Faits :
A.
A.a. A la suite d'une dénonciation de B._ datée du 19 décembre 2012, A._ a fait l'objet depuis le 17 juillet 2013 d'une instruction pénale menée par l'Office central du Ministère public du canton du Valais. L'enquête a porté en particulier sur des infractions qui auraient été commises dans le cadre de la gestion de la société C._ SA.
Par acte d'accusation du 22 juillet 2019, le Ministère public a engagé l'accusation à l'encontre de A._ devant le Tribunal du district de Sion pour les infractions de gestion déloyale (<ref-law>), de faux dans les titres (<ref-law>) et d'inobservation des prescriptions légales sur la comptabilité (<ref-law>).
A.b. Par acte du 2 août 2019 adressé au Tribunal du district de Sion, A._ s'est prévalu de violations de l'<ref-law> par le Ministère public dans le contexte de sa mise en accusation, dès lors en particulier que cette autorité ne l'avait pas avisé de la prochaine clôture de l'instruction, ni informé au sujet de l'admission à la procédure d'une nouvelle partie plaignante et de la dénonciation d'une des protagonistes de l'affaire auprès des autorités pénales d'un autre canton. Il a fait valoir que, pour ces motifs, "l'acte d'accusation du 22 juillet 2019 ne [pouvait] être que nul, éventuellement annulé et le dossier renvoyé au Ministère public pour qu'il lui accorde un droit d'être entendu suffisant avant la clôture formelle de l'instruction".
Par décision du 16 septembre 2019, la juge suppléante auprès du Tribunal du district de Sion, en la personne de Patrizia Métrailler, a signifié à A._ que l'examen effectué dans le cadre de l'<ref-law> ne justifiait pas de renvoyer l'accusation au Ministère public pour qu'il la complète ou la corrige. Le même jour, elle lui a imparti un délai échéant le 8 octobre 2019 pour présenter et motiver ses réquisitions de preuve conformément à l'<ref-law>.
A.c. Le 7 octobre 2019, A._ a demandé à la magistrate précitée que l'acte du 2 août 2019 soit "transmis sans délai au Tribunal cantonal pour valoir recours contre les actes du Ministère public".
Le 8 octobre 2019, la juge suppléante a informé A._ qu'elle n'entendait pas donner suite à sa demande de transmission.
A.d. Le même jour, A._ a sollicité une prolongation de 20 jours du délai pour présenter ses réquisitions de preuve.
Par courrier du 15 octobre 2019 adressé aux parties, la juge suppléante a accordé à A._ une prolongation de 5 jours du délai imparti le 16 septembre 2019, faute de motivation suffisante pour une prolongation de plus longue durée. La magistrate a par ailleurs annoncé avoir demandé un extrait de casier judiciaire actualisé concernant le prévenu ainsi que l'édition d'un dossier connexe, qui s'était soldé par un classement. Elle a enfin informé les parties, en prévision des débats et en application de l'<ref-law>, que le Tribunal se réservait la possibilité d'examiner également la qualification d'obtention frauduleuse d'une constatation fausse (<ref-law>) éventuellement en concours avec celle de faux dans les titres (<ref-law>).
B.
Le 19 octobre 2019, A._ a demandé à la juge suppléante Patrizia Métrailler sa récusation. Il a fait valoir que la teneur de ses écrits des 16 septembre 2019, 8 octobre 2019 et 15 octobre 2019 dénotait une prévention à son encontre, excluant toute possibilité de procès équitable.
Le 21 octobre 2019, la juge suppléante, qui s'est opposée à la demande de récusation, a transmis cette dernière à la Chambre pénale du Tribunal cantonal valaisan comme objet de sa compétence.
Par ordonnance du 23 décembre 2019, la Chambre pénale a rejeté la demande de récusation, dans la mesure de sa recevabilité.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'ordonnance du 23 décembre 2019. Il conclut, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que la juge suppléante Patrizia Métrailler est récusée. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'ordonnance du 23 décembre 2019 et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite en outre l'octroi de l'effet suspensif.
Invitée à se déterminer, la cour cantonale a indiqué qu'elle n'avait pas d'observations à formuler sur le recours, ni sur la requête d'effet suspensif. Patrizia Métrailler a indiqué pour sa part qu'elle n'avait pas d'observations à formuler sur le recours et qu'elle se rapportait à justice s'agissant de la requête d'effet suspensif.
D.
Par ordonnance du 24 février 2020, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, auteur de la demande de récusation, a qualité pour recourir (<ref-law>). Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions prises sont recevables (<ref-law>). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Invoquant une violation de l'art. 56 let. f CPP, le recourant fait valoir que les actes qui lui ont été adressés par la magistrate intimée les 16 septembre 2019, 8 octobre 2019 et 15 octobre 2019 consacrent, pris dans leur ensemble, l'existence d'une prévention à son égard, ainsi qu'à celui de son conseil.
2.1. Un magistrat est récusable, selon l'art. 56 let. f CPP, "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 74).
Des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que le juge est prévenu ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. En effet, la fonction judiciaire oblige à se déterminer rapidement sur des éléments souvent contestés et délicats. Il appartient en outre aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de contester la manière dont est menée l'instruction et de remettre en cause les différentes décisions incidentes prises notamment par la direction de la procédure (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 74 s.).
2.2. Il est observé que la cour cantonale a procédé à un examen détaillé du contenu des écritures mises en cause par le recourant (cf. ordonnance entreprise, p. 7 s).
Elle a ainsi relevé, s'agissant de la décision du 16 septembre 2019, que la magistrate intimée ne s'était aucunement méprise en concluant, à l'issue de l'examen sommaire prescrit par la loi (cf. <ref-law>), qu'il n'y avait pas lieu de suspendre la procédure afin de compléter l'acte d'accusation, ce qui constituait l'objet central de la vérification qu'elle était tenue d'opérer en vertu de la disposition précitée. De surcroît, aux termes de l'ordonnance que l'autorité précédente avait également rendue le 23 décembre 2019, l'intimée n'avait pas commis de déni de justice en refusant de faire suivre à l'autorité de recours l'acte du 2 août 2019 par lequel le recourant se plaignait de l'acte d'accusation. En tant que l'intimée était revenue sur d'autres points que le seul examen de la conformité de l'acte d'accusation au sens de l'<ref-law>, tels que la question du for ou celle d'une éventuelle jonction de cause, c'était à titre superfétatoire, par souci de clarifier globalement la situation litigieuse entourant l'acte d'accusation, dont le renvoi était requis, et non pour se substituer à l'autorité de recours. En tout état de cause, les griefs du recourant en lien avec la décision du 16 septembre 2019 portaient sur des questions de procédure susceptibles d'être déférées devant des juridictions de recours normalement compétentes pour constater et redresser les erreurs éventuellement commises.
Quant au courrier du 8 octobre 2019, il ne comportait que la simple énonciation de la confirmation de la décision du 16 septembre 2019. Enfin, dans son courrier du 15 octobre 2019, la magistrate intimée avait expliqué de manière plausible et référencée pour quelle raison elle n'avait accordé qu'une prolongation de délai de 5 jours. Il n'y avait non plus rien d'exorbitant ni d'inhabituel d'avoir fait référence à l'<ref-law> pour se réserver une appréciation juridique différente de celle du Ministère public, alors même qu'elle serait fondée sur un fait contesté, voire inexact, comme le soutenait le recourant. Quant à l'édition d'un dossier connexe clos par un classement, celle-ci répondait de façon crédible à un souci de commodité formelle, les actes principaux de ce dossier figurant déjà au dossier de la cause, mais classés de manière éparse.
2.3. A l'instar de la cour cantonale, on ne distingue pas, dans les trois écritures précitées, d'éléments propres à retenir que la magistrate intimée pourrait, par des erreurs qui auraient été commises, avoir contrevenu de manière lourde et répétée à ses devoirs de magistrat, ni a fortiori que leur teneur dénoterait, ainsi que le soutient le recourant, une "hostilité à son égard". En outre, en tant que le recourant prétend que ces écritures consacrent des violations de règles de procédure, telles que notamment celles de son droit d'être entendu (art. 6 CEDH et 29 al. 2 et 32 al. 2 Cst.), de la maxime d'accusation (<ref-law>) et de diverses dispositions du CPP concernant la procédure de première instance (<ref-law>), on ne voit pas qu'il serait empêché, le cas échéant, de remettre en cause les actes de procédure de l'intimée dans le cadre des voies de droit ordinairement prévues par la loi.
La Chambre pénale pouvait par conséquent, sans violer le droit fédéral, rejeter la requête de récusation.
3.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'intimée et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Juge unique de la Chambre pénale.
Lausanne, le 9 mars 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
Le Greffier : Tinguely