Erwägungen:
1.
1.1. In einem vor Appellationsgericht Basel-Stadt hängigen Rekursverfahren den Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung betreffend ersuchte der Instruktionsrichter den Rekurrenten A._, zusammen mit der Rekursbegründung das aktuelle Einkommen, das Vermögen, den aktuellen Bedarf und seine Wohnverhältnisse darzulegen sowie diese soweit wie möglich zu belegen. A._ machte unter Verweis auf das Budget zur Berechnung des Vollzugskostenanteils vom 21. März 2018 und die Vorakten geltend, er sei offensichtlich bedürftig. Mit Zwischenentscheid vom 6. April 2018 setzte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt dem kantonalen Justiz- und Sicherheitsdepartement Frist zur Vernehmlassung an, wies das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzt ihm Frist zur Einreichung des Entscheids über seine bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug an. A._ gelangte dagegen am 9. Mai 2018 mit Beschwerde in öffentlich-rechtlicher Angelegenheit an das Bundesgericht.
1.2. Am 6. Juni 2018 teilte der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers mit, ihm sei in der eingangs erwähnten Angelegenheit das schriftliche Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt eröffnet worden. Der vor der Vorinstanz hängige Rekurs des Beschwerdeführers sei in der Hauptsache gutgeheissen und ihm für das verwaltungsinterne Rechtsmittelverfahren wie auch für das vorinstanzliche Rekursverfahren eine Parteientschädigung zugesprochen worden, was das aktuelle Rechtsschutzinteresse an der bei Bundesgericht anhängig gemachten Beschwerde entfallen lassen. Namens und auftrags des Beschwerdeführers beantragt der Rechtsvertreter, das Verfahren 2C_416/2018 wegen Gegenstandslosigkeit und Rückzugs der Beschwerde abzuschreiben, auf die Erhebung ordentlicher Kosten zu verzichten und die ausserordentlichen Kosten nach dem hypothetischen Ausgang des Verfahrens zu Lasten des Beschwerdegegners angemessen festzusetzen.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Erforderlich ist grundsätzlich ein persönliches aktuelles praktisches Interesse an der Beschwerdeführung. Fehlt ein solches bei Beschwerdeeinreichung, ist auf die Eingabe nicht einzutreten, fällt es nach Beschwerdeerhebung dahin, wird die Sache wegen Gegenstandslosigkeit abgeschrieben (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 208), wobei der Instruktionsrichter in der Abschreibungsverfügung mit summarischer Begründung über die Prozesskosten auf Grund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes entscheidet (Art. 72 des Bundesgesetzes vom 4. Dezember 1947 über den Bundeszivilprozess [BZP; SR 273] in Verbindung mit <ref-law>).
2.2. Bei der angefochtenen verfahrensleitenden Verfügung handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> über die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit dem Urteil vom 26. Mai 2018, in welchem das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt auf die Erhebung von Verfahrenskosten verzichtet hat, ist das erforderliche praktische und aktuelle Interesse des Beschwerdeführers an der Behandlung seiner Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid, mit welchem ihm die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden ist, entfallen. Das vorliegende Verfahren ist als gegenstandslos abzuschreiben.
2.3. Hinsichtlich der Kostenverteilung ist zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde gegen den angefochtenen Zwischenentscheid die Verletzung von <ref-law> gerügt hat. Die zentrale Frage, ob die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers in tatsächlicher Hinsicht mit den im vorinstanzlichen Verfahren eingereichten Unterlagen genügend belegt war, beschlägt jedoch vorab die Beweiswürdigung, die das Bundesgericht nur auf Willkür überprüft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9); von Willkür ist auszugehen, wenn die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweise übersehen oder solche willkürlich ausser Acht gelassen hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 4b S. 40). Aus einem Verweis in der Rekursanmeldung auf die Vorakten geht, zumindest bei einer Überprüfung unter dem Blickwinkel der Willkür, nicht einfach notorisch hervor, dass eine sich im Strafvollzug befindende Person über keinerlei Einkommen und Vermögen verfügt. Der Beschwerde wäre somit voraussichtlich kein Erfolg beschieden gewesen, weshalb auf eine Erhebung von Kosten nicht gänzlich verzichtet werden kann (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Der Abteilungspräsident ist bei der gegebenen Konstellation auch befugt, als Einzelrichter über die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zu entscheiden (vgl. Art. 64 Abs. 3 zweiter Satz BGG). Die Kosten sind angesichts der nicht erfüllten Voraussetzung der fehlenden Aussichtslosigkeit für die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law>) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Die unentgeltliche Verbeiständung kann diesfalls ebenfalls nicht gewährt werden (<ref-law>). Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (<ref-law>).

Demnach verfügt der Präsident:
1.
Das Verfahren wird abgeschrieben.
2.
Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Mayhall