Sachverhalt:
A.
A.a. A._ lebte seit Mai 2016 (definitiv) bei einer Pflegefamilie im Kanton B._. Seine im Kanton St. Gallen wohnhafte Mutter bezog eine Rente der Invalidenversicherung samt einer Kinderrente sowie Ergänzungsleistungen. Mit Verfügung vom 28. Mai 2016 sprach die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, Ausgleichskasse (nachfolgend: Ausgleichskasse), für den Sohn eine jährliche Ergänzungsleistung von Fr. 1'002.- ab Mai 2016 zu. Der gesonderten Anspruchsberechnung hatte sie eine Tagespauschale von Fr. 33.- zugrunde gelegt. Mit Verfügung vom 19. Dezember 2016 erhöhte sie die Ergänzungsleistung für 2017 auf Fr. 1'008.- entsprechend der höheren kantonalen Durchschnittsprämie für die obligatorische Krankenpflegeversicherung. Daran hielt die Ausgleichskasse mit Einspracheentscheid vom 9. März 2017 fest, wobei sie sich auch mit dem Antrag auf Anrechnung einer höheren Tagestaxe auseinandersetzte. Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen wies die von A._ gegen den Einspracheentscheid erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 27. Juni 2019 ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, die angefochtene Verfügung habe keine komplette Neuberechnung im Sinne der Kalenderjahrpraxis vornehmen wollen, sondern sich darauf beschränkt, die laufende Ergänzungsleistung mit Wirkung ab Januar 2017 an die Erhöhung der kantonalen Durchschnittsprämie für die obligatorische Krankenpflegeversicherung anzupassen. Zu prüfen sei einzig die Rechtmässigkeit dieser Anpassung, was zu bejahen sei. Insofern die Revisionsverfügung im Einspracheverfahren in Anwendung der Kalenderjahrpraxis komplett umgedeutet worden sei, sei dies rechtsmissbräuchlich. Die dagegen geführte Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 9C_541/2019 vom 7. Oktober 2019 gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück.
A.b. Auf dieses Rückweisungsurteil hin hob das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen den Einspracheentscheid vom 9. März 2017 auf und wies die Sache zur weiteren Sachverhaltsabklärung und zum anschliessenden neuen Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Ausgleichskasse zurück (Entscheid vom 17. März 2020).
B.
Die Ausgleichskasse führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei der Entscheid der Vorinstanz vom 17. März 2020 aufzuheben und der Einspracheentscheid vom 9. März 2017 zu bestätigen.
A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde und ersucht um unentgeltliche Rechtspflege. Die Vorinstanz lässt sich vernehmen, verzichtet aber auf einen Antrag zur Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweis).
1.2. Beim angefochtenen Rückweisungsentscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG (<ref-ruling> E. 3 S. 325 ff.; <ref-ruling> E. 4 und 5 S. 480 ff.). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG).
1.3. Das kantonale Gericht wies die Sache "zur Weiterführung des Einspracheverfahrens im Sinne der Erwägungen" - d.h. zur umfassenden Sachverhaltsabklärung - an die Beschwerdeführerin zurück. Dabei wies es diese an, bei der Anspruchsberechnung nicht nur eine Tagestaxe von Fr. 33.-, sondern den gesamten vereinbarten Tagessatz zu berücksichtigen, dessen Höhe sich auf Fr. 200.- zu belaufen scheine. Hierbei handelt es sich um eine materiellrechtliche Anordnung, welche die Beschwerdeführerin verpflichtet, eine ihrer Ansicht nach rechtswidrige neue Verfügung zu erlassen. In dieser Konstellation führt die Rückweisung zu einem nicht wieder gutzumachenden Nachteil (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484). Darüber hinaus führt die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbei und erspart mit Blick auf die vom kantonalen Gericht angeordnete umfassende Sachverhaltsabklärung einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Streitgegenstand des Verfahrens 9C_541/2019 bildete die jährliche Ergänzungsleistung des Versicherten für die Zeit ab dem 1. Januar 2017. Aufgrund des gegen den Einspracheentscheid vom 9. März 2017 Vorgebrachten stellte sich einzig die Frage, ob die Anerkennung einer Tagestaxe von Fr. 33.- als Ausgabe nach Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG in der gesonderten Berechnung nach Art. 7 Abs. 1 lit. c und Abs. 2 ELV (i.V.m. Art. 9 Abs. 5 lit. a ELG) Bundesrecht verletze, womit sich die Vorinstanz im Entscheid vom 27. Juni 2019 nicht bzw. lediglich im Sinne eines obiter dictum (vgl. dazu E. 4.2 des Urteils 9C_541/2019) auseinandergesetzt hatte. Entsprechend wies das Bundesgericht die Sache an das kantonale Gericht zurück, damit dieses die Höhe der einzig beanstandeten Tagestaxe prüfe und danach über die jährliche Ergänzungsleistung für den Versicherten für das Jahr 2017 neu entscheide (dortige E. 2 und 4.3). Indem das kantonale Gericht die Sache nunmehr zur umfassenden Prüfung an die Beschwerdeführerin zurückwies, hat es ohne hinreichenden Anlass nicht beanstandete Elemente in die (delegierte) Prüfung miteinbezogen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2c S. 416 f.). Dies begründet die Vorinstanz damit, dass es gemäss Urteil 9C_541/2019 zulässig gewesen sei, die Revisionsverfügung vom 19. Dezember 2016 durch einen "Kalenderjahr-Einspracheentscheid" zu ersetzen. Eine Neufestsetzung der Ergänzungsleistung ohne Bindung an frühere Verfügungen hätte aber in Nachachtung des Untersuchungsgrundsatzes - so die Vorinstanz weiter - eine Ermittlung des gesamten für den Ergänzungsleistungsanspruchs ab Januar 2017 massgebenden Sachverhalts (entsprechend einer erstmaligen Zusprache) vorausgesetzt.
Diese Auffassung ist unzutreffend und gründet erneut in der Weigerung des Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> anzuwenden (vgl. Urteile 8C_94/2007 vom 15. April 2008 E. 4, 9C_480/2018 vom 30. Januar E. 2.3 2019 sowie zuletzt die vorliegende Streitigkeit betreffend 9C_541/2019 vom 7. Oktober 2019 E. 4). Danach ist die Ergänzungsleistung auf das Kalenderjahr bezogen, d.h. eine diesbezügliche Verfügung kann in zeitlicher Hinsicht von vornherein Rechtsbeständigkeit nur für das Kalenderjahr entfalten. Mit Blick darauf ist offensichtlich, dass die Ausgleichskasse mit Verfügung vom 19. Dezember 2016 die Ergänzungsleistung für das Kalenderjahr 2017 (explizit: "ab 01.01.2017") festsetzte und nicht eine - die jährliche Neuberechnung ergänzende, aber diese nicht ersetzende - auch im Laufe des Kalenderjahrs mögliche Revision gemäss Art. 17 Abs. 2 ATSG vornahm, (vgl. Urteil 8C_94/2007 vom 15. April 2008 E. 4.2). Anders als die Erwägungen der Vorinstanz suggerieren, steht es denn einer Verwaltung auch nicht frei, über die beschränkte Rechtsbeständigkeit einer solchen Verfügung zu befinden. An der somit feststehenden Natur der Verfügung vom 19. Dezember 2016 ändert nichts, dass die Ausgleichskasse vor deren Erlass nicht erneut sämtliche Abklärungen vornahm, welche im Rahmen der erstmaligen Zusprache notwendig gewesen waren. So führt die auf ein Jahr beschränkte Rechtsbeständigkeit der Verfügung wohl dazu, dass die Verwaltung die Berechnungsgrundlagen bei der jährlichen Überprüfung ohne Bindung an die früher verwendeten Faktoren neu festlegen kann. Sie ermöglicht zudem der die Ergänzungsleistung beziehenden Person, die für vorausgegangene Kalenderjahre rechtskräftigen Berechnungsgrundlagen auf das neue Kalenderjahr hin voraussetzungslos wieder anfechten und neu gerichtlich beurteilen zu lassen (vgl. Urteil 8C_94/2007 vom 15. April 2008 E. 3 und 4; bestätigt mit Urteil 9C_52/2015 vom 3. Juli 2015 E. 2.2.1). Indessen bedeutet die beschränkte Rechtsbeständigkeit nicht, dass die Verwaltung im Rahmen der jährlichen Neuberechnung alle unbestrittenen Berechnungsgrundlagen neu überprüfen muss. Eine solche jährliche umfassende Prüfung ist weder aus verfahrensökonomischer Sicht sinnvoll noch mit Blick auf die der versicherten Person obliegende Meldepflicht notwendig. Zu prüfen bleibt damit einzig die Höhe der beanstandeten Tagestaxe.
3.
3.1. Art. 1b Abs. 2 der kantonalen Verordnung vom 4. Dezember 2007 über die nach Ergänzungsleistungsgesetz anrechenbaren Tagespauschale (sGS 351.52; in der bis Ende 2019 gültig gewesenen Fassung; nachfolgend: kantonale Verordnung) bestimmt Folgendes: "Bei Aufenthalt in bewilligten Pflegefamilien von Kindern, die einen Anspruch auf eine Kinderrente der Alters- oder Invalidenversicherung begründen, entspricht die anrechenbare Tagespauschale höchstens dem Ansatz für Verpflegung und Unterkunft nach Art. 11 Abs. 1 der Verordnung über die Alters- und Hinterlassenenversicherung vom 31. Oktober 1947." Die Vorinstanz hat zwar nicht über die Rechtmässigkeit der gestützt darauf begrenzten Tagespauschale von Fr. 33.- entschieden, wohl aber verbindliche Anweisungen an die Verwaltung gemacht. Danach soll die Anrechnung der begrenzten Tagestaxe nur eine verkürzte Darstellung sein und "selbstverständlich" die gesamte Tagestaxe gemäss Pflegevertrag vom 19. Mai 2016 als Ausgabe anzurechnen sein. Es sei aber zu prüfen, ob dieser Ausgabeposition eine Einnahmeposition gegenüberstehe, die so hoch sei, dass letztlich nur noch ein ungedeckter Teilbetrag von Fr. 33.- als Nettoausgabe verbleibe. Diesbezüglich sei die kantonalrechtliche Regelung massgebend. Die Eltern seien gemäss der geltenden kantonalen sozialhilferechtlichen Regelung lediglich verpflichtet, die Unterkunfts- und Verpflegungspauschale zu bezahlen; die weiteren Kosten für die Betreuung seien durch das Gemeinwesen zu tragen. Diese Vergütung sei ihrer Natur nach als eine besondere Form einer typischen Sozialhilfeleistung zu qualifizieren und folglich unter Art. 11 Abs. 3 lit. b oder c ELG zu subsumieren. Eine sorgfältige systematische Interpretation zeige, dass Leistungen der Sozialhilfe bei der Berechnung des Anspruchs auf Ergänzungsleistung keine Rolle spielen dürften. Diese gesetzliche Regelung könne vom Sozialhilfegesetzgeber nicht modifiziert werden. Die systematisch richtige Lösung könne folglich nur sein, dass die Ergänzungsleistung die gesamten Kosten decken müsse, die bei einer Betreuung in einer Pflegefamilie entstehen würden. Der Art. 1b Abs. 2 der kantonalen Vorordnung verstosse damit gegen Art. 11 Abs. 3 ELG, weshalb ihm die Anwendung zu versagen sei. Daran ändere die vom Bundesgericht im Urteil 9C_884/2018 vom 1. Mai 2019 vertretene gegenteilige Auffassung nichts, weil es sich darin nicht mit dem entscheidenden koordinationsrechtlichen Zusammenspiel zwischen den Ergänzungsleistungen und der Sozialhilfe auseinandergesetzt und deshalb übersehen habe, dass die St. Galler Lösung sich nicht mit dem ELG in Übereinstimmung bringen lasse. Damit wich die Vorinstanz von ihren zumindest im Sinne eines obiter dictum getätigten Überlegungen in E. 2.3 des Entscheids vom 27. Juni 2019 ab.
3.2. Wie die Beschwerdeführerin richtig einwendet, hat sich das Bundesgericht in <ref-ruling>, auf welchen das Urteil 9C_884/2018 in E. 6 explizit Bezug nimmt, ausführlich mit den Tagestaxen und der Sozialhilfebedürftigkeit auseinandergesetzt. Dabei kam es zum Schluss, Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG verpflichte die Kantone nicht, die Tagestaxen auch bei anderen Einrichtungen als anerkannten Pflegeheimen nach Art. 39 Abs. 3 KVG so festzusetzen, dass die dort lebenden EL-Bezüger - in der Regel - nicht Sozialhilfe beantragen müssten. Diese eingeschränkte Tragweite von Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG könne dazu führen, dass kein Anspruch auf eine jährliche Ergänzungsleistung bestehe und als Folge davon grundsätzlich auch nicht auf Vergütung der Krankheits- und Behinderungskosten. Dies könne dort der Fall sein, wo eine Tagestaxe die tatsächlichen Heimkosten (bei Weitem) nicht decke, was von Verfassung wegen (Art. 190 BV) hinzunehmen sei. Diese Rechtsprechung bestätigte das Bundesgericht im erwähnten, ebenfalls den Kanton St. Gallen betreffenden Urteil 9C_884/2018 (dort hinsichtlich der Tagespauschalen für Kinder im Kinder- und Jugendheim im Sinne von Art. 1a der kantonalen Verordnung). Es ist kein Grund ersichtlich, im vorliegenden Fall (hinsichtlich der Tagespauschalen für Kinder in Pflegefamilien im Sinne von Art. 1b der kantonalen Verordnung) von dieser Rechtsprechung abzuweichen (zu den Voraussetzungen für eine Praxisänderung vgl. <ref-ruling> E. 5.5.1 S. 303; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 422; je mit Hinweisen). Insbesondere lässt sich dem angefochtenen Entscheid kein solcher entnehmen. So überzeugen die vorinstanzlichen Ausführungen zum koordinationsrechtlichen Zusammenspiel zwischen den Ergänzungsleistungen und der Sozialhilfe nicht. Sie gehen allesamt von der im Entscheid unbegründet gebliebenen und in Widerspruch zu der dargelegten Rechtsprechung stehenden Prämisse aus, es sei "selbstverständlich" die gesamte - in casu unbestritten keine Einrichtung im Sinne von Art. 39 Abs. 3 KVG betreffende - Tagestaxe gemäss Pflegevertrag vom 19. Mai 2016 als anerkannte Ausgabe im Sinne von Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG anzurechnen. Die Vorinstanz lässt damit ausser Acht, dass die Höhe der jährlichen Ergänzungsleistung nach Art. 9 ELG nicht dem Betrag entspricht, um den sämtliche Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen; massgebend sind vielmehr nur die gemäss Art. 10 ELG anerkannten Ausgaben. Eine "verkürzte Darstellung" ist darin nicht zu erblicken.
3.3. An diesem Ergebnis ändern auch die Einwände des Versicherten nichts. Diese zielen im Wesentlichen darauf ab, die seiner Auffassung nach lediglich Kost und Logis (nicht aber die Betreuung) deckende anrechenbare Tagespauschale als zu tief zu bezeichnen und geltend zu machen, diese sei nicht existenzsichernd. Nach dem Dargelegten ist das bei anderen Einrichtungen als anerkannten Pflegeheimen nach Art. 39 Abs. 3 KVG hinzunehmen, was auch den Gang zur Sozialhilfe nicht ausschliesst (<ref-ruling> E. 6.1 S. 14). Dass die über die Unterkunfts- und Verpflegungspauschale hinausgehenden Kosten für Betreuung gemäss dem Sozialhilfegesetz durch das Gemeinwesen zu bezahlen sind, hat bereits das kantonale Gericht dargelegt. Was schliesslich die gerügte Verletzung des Gebots der rechtsgleichen Behandlung (Art. 8 Abs. 1 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV) anbelangt, prüft das Bundesgericht derlei Beschwerden nur insoweit, als die Rüge substanziiert vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53). Diesen strengen Anforderungen genügen die Vorbringen des Versicherten nicht. Diese gehen im Ergebnis nicht über den Hinweis auf eine "Ungleichbehandlung von Kindern in unterschiedlichen Konstellationen" hinaus (vgl. im Übrigen auch das Urteil 9C_334/2014 vom 10. November 2014 E. 5).
3.4. Hat die Beschwerdeführerin mit Blick auf die zitierte Rechtsprechung die den Betrag von Fr. 33.- übersteigenden Kosten für den Aufenthalt in der Pflegefamilie zu Recht nicht als Ausgabe im Sinne von Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG anerkannt, erübrigen sich zum Vornherein Weiterungen zu der vorinstanzlich aufgeworfenen Frage, ob dieser Ausgabe anrechenbare Einnahmen im Sinne von Art. 11 ELG gegenüberstehen.
4.
Nach dem Gesagten verletzt Art. 1b Abs. 2 der kantonalen Verordnung kein Bundesrecht. Der angefochtene Entscheid hebt somit zu Unrecht den Einspracheentscheid vom 9. März 2016 auf; letzterer ist zu bestätigten.
5.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten zu Lasten des Beschwerdegegners wird umständehalber verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Dem Gesuch des Versicherten um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 17. März 2020 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen vom 9. März 2017 bestätigt.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dem Versicherten wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Thomas Stark wird als unentgeltlicher Anwalt bestimmt. Diesem wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteikosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. November 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Williner