Sachverhalt:
A.
A.a. A._ wurde am 10. Januar 2020 mittels ärztlicher Anordnung fürsorgerisch im Psychiatriezentrum U._ untergebracht. Dagegen erhob die Betroffene am 13. Januar 2020 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern als Kindes- und Erwachsenenschutzgericht. Dieses wies das Rechtsmittel am 22. Januar 2020 ab und stellte fest, dass die gesetzliche 6-Wochen-Frist am 20. Februar 2020 ablaufe. Das Bundesgericht wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Urteil 5A_90/2020 vom 7. Februar 2020).
A.b. Mit Entscheid vom 23. Januar 2020 ordnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Thun (KESB) die Begutachtung der Betroffenen durch das Psychiatriezentrum U._ an. Die Einweisung zur Begutachtung wurde auf den 4. März 2020 befristet.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangte die Betroffene am 4. Februar 2020 an das Obergericht des Kantons Bern als Kindes- und Erwachsenenschutzgericht. Mit Entscheid vom 10. Februar 2020 (ausgefertigt am 14. Februar 2020 und zugestellt am 18. Februar 2020) trat dieses auf das Begehren um sofortige Entlassung nicht ein und wies die Beschwerde gegen die Einweisung zur psychiatrischen Begutachtung ab. Sodann verzichtete es auf die Erhebung von Gerichtskosten und gewährte der Betroffenen die unentgeltliche Verbeiständung.
C.
A._ gelangt am 24. Februar 2020 (Posteingang 26. Februar 2020) mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht, mit den Hauptanträgen, sie sei sofort aus dem Psychiatriezentrum U._ zu entlassen und von einer Begutachtung sei abzusehen. Sodann beantragt sie die Feststellung, dass Art. 5, Art. 6 Ziff. 1 und Art. 8 EMRK verletzt worden seien, und ferner die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen (sofortige Einstellung der Begutachtung) wurde mit Verfügung vom 26. Februar 2020 abgewiesen.
Mit Schreiben vom 26. Februar 2020 bringt die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht zur Kenntnis, dass die KESB die dem Psychiatriezentrum U._ ursprünglich auf den 27. Februar 2020 angesetzte Frist zur Erstattung des Gutachtens auf dessen Gesuch hin bis zum 4. März 2020 erstreckt hat. Ausserdem soll die Beschwerdeführerin am 4. März 2020, 14 Uhr, im Psychiatriezentrum U._ angehört werden und der begutachtende Arzt sein Gutachten erläutern bzw. für Fragen zur Verfügung stehen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 und Art. 90 BGG) betreffend die Einweisung zur Begutachtung (Art. 449 ZGB). Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit nicht vermögensrechtlicher Natur, die in engem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 BGG) und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Bei der Einweisung zur Begutachtung handelt es sich um einen schweren Eingriff in die Rechte der Betroffenen. Das Bundesgericht prüft daher die Rechtsanwendung durch die Vorinstanz mit freier Kognition (Art. 95 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 4.3).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, das Obergericht sei zu Unrecht nicht auf ihr Entlassungsbegehren eingetreten. In diesem Zusammenhang will sie eine Verletzung der Art. 5 Ziff. 4 und Art. 6 Ziff. 1 EMRK festgestellt wissen.
2.1. Das Obergericht erwog, weil die am 10. Januar 2020 angeordnete fürsorgerische Unterbringung, die nicht Gegenstand des Verfahrens sei, bis am 20. Februar 2020 andaure, könnte die Beschwerdeführerin selbst bei Gutheissung der Beschwerde gegen die Einweisung zur Begutachtung am 10. Februar 2010 nicht entlassen werden.
2.2. Dagegen wendet die Beschwerdeführerin ein, die Vizepräsidentin der KESB habe gemäss Anhörungsprotokoll vom 22. Januar 2020 erklärt, "die behördliche Einweisung zur stationären Begutachtung ersetze die Frist der ärztlichen fürsorgerischen Unterbringung". Ausserdem habe sich die KESB in ihrem Entscheid vom 23. Januar 2020 die Entlassungskompetenz vorbehalten. Damit habe der Unterbringungstitel vom 10. Januar 2020 am 10. Februar 2020 nicht mehr bestanden, weshalb die Gutheissung der Beschwerde sehr wohl zur Entlassung der Beschwerdeführerin aus der Einrichtung geführt hätte.
2.3. Gemäss Art. 426 Abs. 1 ZGB darf eine Person, die an einer psychischen Störung oder an geistiger Behinderung leidet oder schwer verwahrlost ist, in einer geeigneten Einrichtung untergebracht werden, wenn die nötige Behandlung oder Betreuung nicht anders erfolgen kann. Denselben Schutzzweck verfolgt Art. 429 ZGB, der die ärztliche Unterbringung regelt (Geiser/Etzensberger, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 8 zu Art. 429/430 ZGB). Hingegen decken die Art. 426 ZGB und Art. 429 ZGB die Begutachtung nicht ab (Geiser/Etzensberger, op.cit., N. 27 zur Art. 426 ZGB und N. 9 zu Art. 429/430 ZGB). Vielmehr findet sich die gesetzliche Grundlage für die Einweisung zur psychiatrischen Begutachtung gegen den Willen der betroffenen Person in Art. 449 ZGB. Danach kann die Erwachsenenschutzbehörde eine Person zur Begutachtung in eine geeignete Einrichtung einweisen, sofern im Hinblick auf die Anordnung einer Erwachsenenschutzmassnahme eine psychiatrische Begutachtung unerlässlich ist und diese nicht ambulant durchgeführt werden kann (Art. 449 Abs. 1 ZGB). Während es sich bei der Einweisung zur Begutachtung (Art. 449 Abs. 1 ZGB) um eine Massnahme zur Abklärung der Verhältnisse handelt, erfolgt die fürsorgerische Unterbringung i.S.v. Art. 426 Abs. 1 bzw. Art. 429 Abs. 1 ZGB zur Behandlung und/oder Betreuung. Damit unterscheiden sich die Voraussetzungen für die Anordnung einer fürsorgerischen Unterbringung von jenen für eine Einweisung zur Begutachtung. Folglich berechtigt eine fürsorgerische Unterbringung alleine nicht, gegen den Willen der betroffenen Person ein stationäres Gutachten zu erstellen. Vielmehr handelt es sich bei der Einweisung nach Art. 449 Abs. 1 ZGB um eine Ergänzung der Einweisung gemäss Art. 426 Abs. 1 oder Art. 429 ZGB. Sie dient der Abklärung der Verhältnisse und ist zulässig, soweit eine fürsorgerische Unterbringung ernsthaft in Betracht gezogen werden kann, aber wichtige Grundlagen für einen definitiven Einweisungsentscheid fehlen (Urteile 5A_211/2014 vom 14. Juli 2014 E. 3.2.2; 5A_900/2013/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 2.1; 5A_576/2012 vom 27. August 2012 E. 5.1; 5A_250/2010 vom 14. April 2010 E. 2.3). Selbst wenn sich eine Person bereits wegen einer fürsorgerischen Unterbringung in einer Einrichtung befindet, muss ein Entscheid gestützt auf Art. 449 ZGB ergehen, wenn diese Person gegen ihren Willen stationär begutachtet werden soll (Maranta/Auer/Marti, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 4 zu Art. 449 ZGB).
2.4. Nach dem Gesagten haben der Streit um die fürsorgerische Unterbringung (Art. 426 oder Art. 429 ZGB) und jener um die Einweisung zur Begutachtung (Art. 449 ZGB) nicht denselben Gegenstand. Daher kann ein Entscheid über die Einweisung zur Begutachtung einen früheren Entscheid über eine fürsorgerische Unterbringung nicht ersetzen. Insofern hatten die Erläuterungen der Vizepräsidentin der KESB nicht jene Bedeutung, welche die Beschwerdeführerin ihnen zumisst. Soweit die Vizepräsidentin der KESB tatsächlich der Meinung gewesen sein sollte, dass der Entscheid vom 23. Januar 2020 jenen vom 10. Januar 2020 ersetzt habe, ist sie offensichtlich von einer unzutreffenden Rechtslage ausgegangen. Daraus vermag die Beschwerdeführerin nichts zu ihren Gunsten ableiten.
2.5. Das Bundesgericht hat sich im Urteil 5A_118/2017 vom 7. März 2017 mit der Problematik der Parallelität von fürsorgerischer Unterbringung und Einweisung zur Begutachtung befasst. Dort war die betroffene Person am 5. Januar 2017 ärztlich fürsorgerisch untergebracht worden, und am 2. Februar 2017 hatte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde die Einweisung zur Begutachtung angeordnet. In dieser Konstellation konnte eine allfällige Gutheissung der gegen die fürsorgerische Unterbringung gerichteten Beschwerde nicht zur Entlassung des Betroffenen führen, zumal die Anordnung zur Begutachtung noch wirksam war. Folglich kam das Bundesgericht zum Schluss, der Beschwerdeführer habe kein schützenswertes Interesse an der allein die fürsorgerische Unterbringung betreffenden Beschwerde (E. 3.2).
Vorliegend ist die Konstellation ähnlich. Im Zeitpunkt, als das Obergericht über die Beschwerde zur Einweisung zur Begutachtung befand (10. Februar 2020), war die am 10. Januar 2020 angeordnete, die Behandlung und Betreuung bezweckende fürsorgerische Unterbringung noch wirksam (E. 2.4). Daher hätte die Gutheissung der Beschwerde gegen die Einweisung zur Begutachtung nicht zur Entlassung der Beschwerdeführerin führen können. Auf die Beschwerde einer am Verfahren beteiligten Person (Art. 450 Abs. 2 Ziff. 1 ZGB) ist grundsätzlich nur einzutreten, soweit sie über ein tatsächliches, aktuelles Interesse an der Beschwerdeführung verfügt (Urteil 5A_960/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 2.2 mit Hinweisen); vorbehalten bleiben Umstände, unter welchen von einem virtuellen Interesse auszugehen ist (BGE 142I 135 E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1, 312 E. 5.3). Wenn selbst eine allfällige Gutheissung ihrer Beschwerde nicht zur Entlassung aus der fürsorgerischen Unterbringung hätte führen können, verfügte die Beschwerdeführerin über kein tatsächliches, aktuelles Interesse an der Beurteilung ihres Entlassungsbegehrens. Ein ausnahmsweise fortbestehendes virtuelles Interesse macht die Beschwerdeführerin nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Daher ist das Obergericht zu Recht nicht auf das im Verfahren um Einweisung zur Begutachtung gestellte Entlassungsbegehren eingetreten. Der Beschwerdeführerin wurde sowohl mit Bezug auf die fürsorgerische Unterbringung (Sachverhalt Bst. A.a) als auch mit Bezug auf die Einweisung zur Begutachtung der Zugang zum Gericht gewährleistet; eine diesbezügliche Verletzung der Art. 5 Ziff. 4 und Art. 6 Ziff. 1 EMRK liegt nicht vor.
3.
Sodann richtet sich die Beschwerde gegen die Einweisung zur Begutachtung.
3.1. Ist eine psychiatrische Begutachtung unerlässlich und kann diese nicht ambulant durchgeführt werden, so weist die Erwachsenenschutzbehörde die betroffene Person zur Begutachtung in eine geeignete Einrichtung ein (Art. 449 Abs. 1 ZGB). Der zur Begutachtung verfügte Aufenthalt in einer Einrichtung ist auf die absolut notwendige Zeit zu beschränken (Urteil 5A_900/2013 vom 11. Dezember 2013 E. 2.1 mit Hinweis).
3.2. Nach den Feststellungen des Obergerichts ist die Beschwerdeführerin zur Zeit wegen einer Dekompensation der bekannten paranoiden Schizophrenie bei Medikamentenmalcompliance fürsorgerisch im Psychiatriezentrum U._ untergebracht. Sie ist aufgrund vermehrter Konflikte mit ihren Nachbarn, einem massiven Gewichtsverlust und dem Verdacht auf einen Verschmutzungswahn als aktut selbstgefährdet und behandlungsbedürftig eingeschätzt worden. Anlässlich der Verhandlung vor dem Obergericht zeigte sich die Beschwerdeführerin - wie bereits im Rahmen der Verhandlung über die Beschwerde gegen die fürsorgerische Unterbringung - im Vergleich zur Einweisungssituation in einem verbesserten Zustand und konnte klare Antworten geben. Dennoch erweist sich ihr Gesundheitszustand noch nicht als hinreichend stabilisiert. Die Beschwerdeführerin zeigt keine Krankheitseinsicht und bagatellisiert ihre psychische Krankheit stark. So gab sie zu Protokoll, einfach psychisch etwas angeschlagen, jedoch nicht krank zu sein. Nach Absetzen der Medikamente habe sich ihr Zustand nicht gross verändert und sie habe auch nicht weniger gegessen, sondern nur nicht erkannt, dass sie mehr Nahrung bräuchte. Den Gewichtsverlust habe sie nicht respektive erst zu spät bemerkt.
Daraus folgerte das Obergericht, es bestehe ein ernsthafter Verdacht auf einen Schwächezustand im Sinn von Art. 426 Abs. 1 ZGB und die Notwendigkeit einer Behandlung oder Betreuung, wobei eine Krankheitseinsicht zu fehlen scheine. Um dies abschliessend beurteilen zu können, sei eine vertiefte und sorgfältige Abklärung des aktuellen Krankheitsbildes und der allenfalls nötigen Behandlung und Betreuung notwendig. Nur so könnten die Grundlagen für einen definitiven Einweisungsentscheid geschaffen werden. Die psychiatrische Begutachtung erweise sich demnach als unerlässlich. Hinsichtlich der Verhältnismässigkeit erwog das Obergericht, die Begutachtung könne nur stationär stattfinden, denn es müsse davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin nicht an einer ambulanten Begutachtung teilnehmen würde, da sie einen Verbleib in der Klinik nicht als notwendig erachte und nicht sehe, weshalb ein Gutachten notwendig sein sollte. Sie bezeichne sich selber als stabil und zeige daher keine genügende Krankheits- und Behandlungseinsicht. Im Übrigen sei die Unterbringung bis am 4. März 2020 befristet. Die Dauer von rund sechs Wochen sei erforderlich, denn die Begutachtung bedürfe einer längeren Beobachtungsphase. Schliesslich sei das Psychiatriezentrum U._ als psychiatrische Klinik eine geeignete Einrichtung.
3.3. Die Beschwerdeführerin bestreitet das dem angefochtenen Entscheid zu Grunde gelegte Tatsachenfundament nicht. Nicht einverstanden ist sie dagegen mit den daraus gezogenen Schlussfolgerungen. Namentlich wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht vor, nicht plausibel dargelegt zu haben, weshalb sich eine psychiatrische Begutachtung als unerlässlich erweise. So prüfe das Obergericht im Grunde genommen, ob die Voraussetzungen einer fürsorgerischen Unterbringung gegeben seien. Selbst wenn der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin noch nicht als hinreichend stabilisiert betrachtet werden könne, sie keine Krankheitseinsicht zeige, ihre Krankheit bagatellisiere, sich als einfach psychisch etwas angeschlagen einstufe, keine markanten Veränderungen nach Absetzen der Medikamente bei sich registriert und den Gewichtsverlust nicht bzw. erst zu spät bemerkt habe, könne deswegen die Begutachtung nicht als unerlässlich bezeichnet werden, nur weil allenfalls eine Schutzbedürftigkeit bestehe (Ziff. 21). Der Verdacht auf einen Schwächezustand und die Notwendigkeit einer Behandlung oder Betreuung wäre allenfalls als Grundlage einer fürsorgerischen Unterbringung dienlich, mache aber eine psychiatrische Begutachtung deswegen noch lange nicht unerlässlich (Ziff. 22). Das Obergericht lasse ausser Acht, dass die Beschwerdeführerin bereits am 10. Januar 2020 zur notwendigen Behandlung und Betreuung eingewiesen worden sei und gerade diesen Freiheitsentzug nicht einer Prüfung unterziehen wolle (Ziff. 23). An der Sache vorbei ziele sodann der Vorhalt, es könne nicht davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin an einer ambulanten Behandlung teilnehmen würde, denn sie sei ja ohnehin bereits fürsorgerisch untergebracht (Ziff. 24). Ferner könne die Aussage der Beschwerdeführerin, wonach sie einen Verbleib in der Klinik nicht als notwendig erachte und nicht einsehe, weshalb ein Gutachten nötig sein soll, nichts zu ihren Lasten abgeleitet werden, denn "vielleicht hat sie ja Recht!" (Ziff. 25). Schliesslich wirft die Beschwerdeführerin dem Obergericht vor, die Erforderlichkeit der sechswöchigen Dauer nicht ernsthaft geprüft, sondern einfach die sechswöchige Frist einfach neu angesetzt zu haben (Ziff. 26).
3.4. Wie bereits dargelegt, dient die Einweisung zur Begutachtung i.S.v. Art. 449 ZGB der Abklärung der Verhältnisse und ist zulässig, soweit eine fürsorgerische Unterbringung ernsthaft in Betracht gezogen werden kann, aber wichtige Grundlagen für einen definitiven Einweisungsentscheid fehlen (E. 2.3). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin hatte das Obergericht folglich sehr wohl prognostisch zu beurteilen, ob eine auf Art. 426 ZGB gestützte fürsorgerische Unterbringung infrage kommt. Sodann dient die fürsorgerische Unterbringung, wie ebenfalls bereits ausgeführt (E. 2.3), der Behandlung und Betreuung, nicht aber der Begutachtung, weshalb der Umstand, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt der vorinstanzlichen Urteilsfällung noch fürsorgerisch untergebracht war, keine Rolle spielen konnte. Ebenso geht der Einwand, auf die Freiwilligkeit der Begutachtung könne es nicht ankommen, weil die Beschwerdeführerin aktuell fürsorgerisch untergebracht sei, an der Sache vorbei. Mit der Behauptung, vielleicht habe die Beschwerdeführerin recht, dass die Begutachtung nicht notwendig sei, weshalb ihr nicht mangelnder Mitwirkungswillen vorgehalten werden könne, erhebt sie gar keine eigentliche Rüge sondern eine reine Vermutung. Im Übrigen schliesst der Umstand, dass die Beschwerdeführerin mit der Begutachtung nicht einverstanden ist, als solcher die stationäre Durchführung nicht aus. Schliesslich trifft es nicht zu, dass das Obergericht "einfach" eine sechswöchige Frist für die Begutachtung angesetzt hat; namentlich widerspricht sie der Beurteilung des Obergerichts, wonach die Begutachtung eine längere Beobachtungsphase benötige, nicht. Insgesamt gelingt es der Beschwerdeführerin nicht, den angefochtenen Entscheid als bundesrechtswidrig auszuweisen.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin unterliegt und ist grundsätzlich kosten- (Art. 66 Abs. 1 BGG), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal die KESB als verfügende Behörde in ihrem amtlichen Wirkungskreis tätig war (Art. 68 Abs. 3 BGG). Es rechtfertigt sich indes, angesichts der besonderen Umstände auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten.
4.2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, soweit es zufolge Kostenlosigkeit des Verfahrens nicht gegenstandslos geworden ist, zumal die Beschwerde nicht als von vornherein aussichtslos gelten kann und die Beschwerdeführerin offensichtlich bedürftig ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Folglich ist ihr Rechtsanwalt Roger Burges als amtlicher Rechtsbeistand zu bestellen, der für seine Bemühungen aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen ist (Art. 64 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeführerin wird darauf aufmerksam gemacht, dass sie der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist. Ihr wird Rechtsanwalt Roger Burges als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
4.
Rechtsanwalt Roger Burges wird für seine Bemühungen mit Fr. 1'500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Thun und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Februar 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Möckli