Sachverhalt:
A.
A._ stammt aus Eritrea. Sie stellte am 30. Oktober 2016 im Empfangs- und Verfahrenszentrum Chiasso ein Asylgesuch. Anlässlich einer Befragung vom 11. November 2016 gab sie als Geburtsdatum den xx.xx.2000 an. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) bezweifelte diese Angabe und beauftragte das Institut für Rechtsmedizin der Universität Basel (IRM Basel) mit einer forensischen Lebensaltersschätzung. In seinem Gutachten vom 30. November 2016 (korrigierte Fassung) kam das IRM Basel zum Schluss, dass für den Zeitpunkt der Untersuchung von einem Mindestalter von 17,5 Jahren und einem wahrscheinlichen Alter zwischen 19 und 20 Jahren auszugehen sei. A._ habe somit mit überwiegender Wahrscheinlichkeit das 18. Lebensjahr vollendet. In der Folge teilte das SEM A._ mit, dass ihr im Zentralen Migrationsinformationssystem (ZEMIS) eingetragenes Geburtsdatum auf den xx.xx.1998 geändert und ihr diesbezüglich das rechtliche Gehör eingeräumt werde. A._ verlangte, das Geburtsdatum sei beim xx.xx.2000 zu belassen.
Am 2. März 2017 verfügte das SEM, dass auf das Asylgesuch nicht eingetreten und A._ nach Italien als dafür zuständigem Dublin-Mitgliedsstaat weggewiesen werde. Weiter verfügte es, dass das im ZEMIS eingetragene Geburtsdatum auf den 1. Januar 1998 laute.
A._ erhob am 8. März 2017 Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht und beantragte, die Verfügung des SEM sei aufzuheben und dieses anzuweisen, auf das Asylgesuch einzutreten, wobei sie bezüglich des Geburtsdatums eine separate Beschwerde ankündigte. Mit Urteil vom 3. Mai 2015 (recte: 2017) wies das Bundesverwaltungsgericht die Beschwerde ab.
Mit Eingabe vom 30. März 2017 erhob A._ ein zweites Mal Beschwerde gegen die Verfügung des SEM, wobei sie diesmal die Berichtigung des im ZEMIS eingetragenen Geburtsdatums auf den xx.xx.2000, eventualiter den xx.xx.1999 verlangte. Mit Verfügung vom 12. Mai 2017 ordnete das Bundesverwaltungsgericht als superprovisorische Massnahme einen Vollzugsstopp bezüglich der Wegweisung nach Italien an. Mit Urteil vom 12. Juni 2017 wies es die Beschwerde ab und ordnete an, das im ZEMIS eingetragene Geburtsdatum sei mit einem Bestreitungsvermerk zu versehen.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 28. Juni 2017 beantragt A._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts sei aufzuheben und das SEM anzuweisen, ihr Geburtsdatum im ZEMIS auf den xx.xx.2000, eventualiter den xx.xx.1999 anzupassen. Sub- bzw. subsubeventualiter sei die Sache an das SEM bzw. das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.
Das SEM und das Bundesverwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerin hat dazu Stellung genommen. Mit Eingaben vom 17. August 2017 und 3. Oktober 2017 reichte sie zudem neue Beweismittel ein.
Mit Präsidialverfügung vom 4. Juli 2017 trat das Bundesgericht auf das von der Beschwerdeführerin gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht ein.

Erwägungen:
1.
Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG). Die Ausnahme von <ref-law> greift nicht, da die Beschwerdeführerin das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts, soweit es sich auf das Asyl bezieht, nicht anficht. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesverwaltungsgericht führte aus, im Asylverfahren sei die Minderjährigkeit zumindest glaubhaft zu machen. Anders verhalte es sich im datenschutzrechtlichen Verfahren betreffend die Berichtigung von Personendaten im ZEMIS. Hier seien die wahrscheinlichsten, also die überwiegend wahrscheinlichen Daten einzutragen. Aufgrund aller Beweismittel sei vorliegend die Volljährigkeit wahrscheinlicher als die Minderjährigkeit. Die Beschwerdeführerin kritisiert diese Beweiswürdigung als unhaltbar. Massgebend sei das Mindestalter und im Zweifelsfall müsse von Minderjährigkeit ausgegangen werden. Vor dem Hintergrund dieser Kritik ist zunächst darzulegen, was Verfahrensgegenstand ist und welcher Beweismassstab gilt.
2.2.
2.2.1. Umstritten ist der Eintrag des Geburtsdatums der Beschwerdeführerin im ZEMIS. Das Geburtsdatum gehört zu den Stammdaten, die allen zugriffsberechtigten Benutzerinnen und Benutzern zugänglich sind (Art. 4 Abs. 1 lit. a und Abs. 2 lit. a der Verordnung vom 12. April 2006 über das Zentrale Migrationsinformationssystem [ZEMIS-Verordnung; SR 142.513]). Art. 9 des Bundesgesetzes vom 20. Juni 2003 über das Informationssystem für den Ausländer- und den Asylbereich (BGIAA; SR 142.51) sieht vor, dass das SEM die von ihm oder in seinem Auftrag im ZEMIS bearbeiteten Daten verschiedenen Behörden durch ein Abrufverfahren zugänglich machen kann, darunter den Polizeibehörden, der zentralen Ausgleichsstelle (bspw. zur Abklärung von Leistungsgesuchen) und den Zivilstandsämtern (bspw. für die Vorbereitung einer Eheschliessung). Die Zweckbestimmung des Eintrags geht somit über das Asylverfahren hinaus.
2.2.2. Das Geburtsdatum ist entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht mit dem Mindestalter gleichzusetzen. Dies geht bereits aus dem gewöhnlichen Sprachgebrauch hervor und findet eine weitere Bestätigung im Umstand, dass die im ZEMIS erfassten Daten einer ganzen Reihe von Zwecken dienen. Ob es im Einzelfall für die betroffene Person vorteilhafter wäre, wenn das eingetragene Geburtsdatum zurück- oder vordatiert würde, ist irrelevant (vgl. dazu etwa das Urteil 1C_11/2013 vom 21. Oktober 2013, wo die Gesuchstellerin verlangt hatte, dass der 14. April 1967 statt dem 26. Juni 1969 als ihr Geburtsdatum einzutragen sei, sie also älter zu sein beanspruchte als dies ihrem Eintrag entsprach; vgl. auch Urteil 1C_240/2012 vom 13. August 2012 E. 4, wonach Fragen des Kindesschutzes keinen Einfluss auf die Bestimmung des Geburtsdatums haben).
2.3.
2.3.1. Gesuche um Berichtigung eines Eintrags im ZEMIS sind gestützt auf das Bundesgesetz vom 19. Juni 1992 über den Datenschutz (DSG; SR 235.1) zu beurteilen (Art. 19 Abs. 1 ZEMIS-Verordnung i.V.m. <ref-law>).
2.3.2. Wer Personendaten bearbeitet, hat sich über deren Richtigkeit zu vergewissern und alle angemessenen Massnahmen zu treffen, damit die Daten berichtigt oder vernichtet werden, die im Hinblick auf den Zweck ihrer Beschaffung oder Bearbeitung unrichtig oder unvollständig sind (Art. 5 Abs. 1 DSG). Jede betroffene Person kann verlangen, dass unrichtige Daten berichtigt werden (Art. 5 Abs. 2 DSG). Werden Personendaten von einem Organ des Bundes bearbeitet, konkretisiert Art. 25 DSG die Rechte von betroffenen Personen. Wer ein schutzwürdiges Interesse hat, kann gemäss Abs. 3 lit. a dieser Bestimmung ebenfalls die Berichtigung von unrichtigen Personendaten verlangen.
2.3.3. Grundsätzlich hat die Bundesbehörde, welche Personendaten bearbeitet, die Richtigkeit der bearbeiteten Daten zu beweisen, wenn sie von einer betroffenen Person bestritten wird. Der betroffenen Person, die ein Gesuch um Berichtigung von Personendaten stellt, obliegt hingegen der Beweis der Richtigkeit der verlangten Änderung. Kann weder die Richtigkeit noch die Unrichtigkeit von Personendaten bewiesen werden, so muss das Bundesorgan bei den Daten einen entsprechenden Vermerk anbringen (Art. 25 Abs. 2 DSG). Spricht mehr für die Richtigkeit der von einer betroffenen Person verlangten Änderung, sind die Personendaten zu berichtigen und ebenfalls mit einem derartigen Vermerk zu versehen (zum Ganzen: Urteil 1C_11/2013 vom 21. Oktober 2013 E. 4.2 mit Hinweisen).
2.4. Aus dem Dargelegten folgt, dass unter den vorliegend allein massgeblichen datenschutzrechtlichen Gesichtspunkten das tatsächliche Geburtsdatum Streitgegenstand bildet, nicht aber das biologisch spätestmögliche Geburtsdatum bzw. das Mindestalter. Das Geburtsdatum ist dabei nach der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Die von der Beschwerdeführerin geforderte Beweisregel, wonach im Zweifelsfall von der Minderjährigkeit auszugehen ist ("in dubio pro minore"), ist dem Datenschutzrecht fremd (vgl. zum Ganzen die Urteile 1C_11/2013 vom 21. Oktober 2013; 1C_240/2012 vom 13. August 2012; 1C_114/2012 vom 25. Mai 2012). Wie es sich diesbezüglich im Asylverfahren verhält, ist vorliegend nicht von Bedeutung und braucht deshalb nicht erörtert zu werden.
2.5. Das Bundesgericht darf nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen (<ref-law>) und prüft die vorinstanzliche Beweiswürdigung grundsätzlich nur auf Willkür (<ref-law>). Im vorliegenden Verfahren ist deshalb nicht frei zu ermitteln, welches genaue Geburtsdatum bzw. Alter als das wahrscheinlichste erscheint. Zu prüfen ist vielmehr einzig, ob das Bundesverwaltungsgericht Bundesrecht verletzte, indem es den bestehenden Eintrag (Geburtsdatum: xx.xx.1998) für wahrscheinlicher hielt als den von der Beschwerdeführerin verlangten (Geburtsdatum: xx.xx.2000, eventuell xx.xx.1999). Dass es sich beim 1. Januar um ein fiktives Datum handelt, ist insofern nicht zu beanstanden (vgl. Urteil 1C_240/2012 vom 13. August 2012 E. 5.5).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>). Das Bundesverwaltungsgericht sei nicht auf ihr Eventualbegehren eingegangen. Zudem habe es sich nicht mit ihren Argumenten auseinandergesetzt, weshalb das Altersgutachten einen verminderten Beweiswert habe. Auch werde nicht näher begründet, weshalb die Aussagen zu den fehlenden Dokumenten nicht glaubhaft seien.
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
3.3. Der angefochtene Entscheid genügt diesen Anforderungen. Das Bundesverwaltungsgericht verwies im Wesentlichen auf sein Urteil vom 3. Mai 2017. Darin hatte es dargelegt, dass die Minderjährigkeit der Beschwerdeführerin im relevanten Zeitpunkt nicht glaubhaft sei. Im vorliegend angefochtenen Urteil vom 12. Juni 2017 hielt es fest, dass unter Berücksichtigung der datenschutzrechtlichen Grundsätze das Ergebnis dasselbe sei. Aus dieser Begründung geht hervor, dass das Bundesverwaltungsgericht sowohl das im Haupt- als auch das im Eventualbegehren genannte Geburtsdatum als weniger wahrscheinlich ansah, denn beide hätten Minderjährigkeit bedeutet. Das Bundesverwaltungsgericht setzte sich zudem sowohl mit dem Altersgutachten als auch mit den Aussagen der Beschwerdeführerin zur Beschaffung von Dokumenten betreffend ihr Alter auseinander. Es war dabei nicht gehalten, sich mit jedem Vorbringen auseinanderzusetzen. Insgesamt erlaubte es die Begründung des angefochtenen Entscheids der Beschwerdeführerin, sich über dessen Tragweite Rechenschaft zu geben und ihn in voller Kenntnis der Sache ans Bundesgericht weiterzuziehen. Das rechtliche Gehör erweist sich somit als nicht verletzt.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, es hätte von vornherein kein Altersgutachten erstellt werden dürfen, weil es damals keine Hinweise auf ihre Mündigkeit gegeben habe (Art. 17 Abs. 3bis des Asylgesetzes vom 26. Juni 1998 [AsylG; SR 142.31]). Ihre Aussagen zu ihrem Alter seien widerspruchsfrei. Selbst wenn sie nicht das genaue Geburtsdatum ihrer Geschwister habe angeben können, kenne sie immerhin deren Alter. Weiter habe sie dargelegt, dass sie keine Verbindung zu ihrem Dorf und ihren Eltern habe herstellen können, um Identitätsausweise zu beschaffen. Das SEM und das Bundesverwaltungsgericht hätten nicht eruiert, welche Angaben sie gegenüber den italienischen Behörden gemacht habe. Diese Angaben hätten immerhin als Indiz gedient. Dem Altersgutachten komme nur ein verminderter Beweiswert zu. Zum einen habe der Gutachtensauftrag einzig die Vollendung des 18. Lebensjahrs zum Gegenstand gehabt. Zum andern sei das Gutachten unsorgfältig erstellt und vernachlässige, dass das in den verschiedenen Einzeluntersuchungen festgestellte Mindestalter mit dem von ihr angegebenen Geburtsdatum ohne Weiteres vereinbar sei. Darüber hinaus werde eine Studie von CAVRIC ET AL., welche bereits im März 2016 publiziert worden und damit bei Erstellung des Altersgutachtens verfügbar gewesen sei, vorliegend nicht berücksichtigt. In einem anderen Fall mit beinahe identischer Ausgangslage sei diese Studie vom IRM Basel für das Altersgutachten beigezogen worden, was bezüglich der zahnärztlichen Untersuchung zu einer Senkung des Mindestalters von 18.1 auf 16.8 Jahre geführt habe. Die vorinstanzliche Beweiswürdigung sei aus diesen Gründen willkürlich (<ref-law>).
4.2. Mit Eingabe vom 17. August 2017 reichte die Beschwerdeführerin beim Bundesgericht ein an sie adressiertes Schreiben der Direktorin des IRM Basel vom 4. August 2017 als neues Beweismittel ein. Darin werden gewisse Vorbehalte gegenüber der Übertragbarkeit der Erkenntnisse aus der Studie von CAVRIC ET AL. auf Personen aus Eritrea geäussert. Bei einer Berücksichtigung der Studie würde sich im vorliegenden Fall die Schätzung für das festgestellte Entwicklungsstadium der Zähne geringfügig senken (von einem wahrscheinlichen Altersbereich von 19-20 Jahre auf 18-19 Jahre), während die zugeordneten Altersbereiche für die Untersuchungen der Hand sowie der Schlüsselbeine (wahrscheinlicher Altersbereich 19-20 Jahre) gleich blieben. Mit Eingabe vom 3. Oktober 2017 reichte die Beschwerdeführerin als weiteres neues Beweismittel ein an sie gerichtetes E-Mail der Direktorin des IRM Basel vom 29. September 2017 ein, wonach unter Berücksichtigung der Studie von CAVRIC ET AL. beim die Beschwerdeführerin betreffenden Altersgutachten folgendes Fazit gezogen werden müsse: "Bei der untersuchten Person lässt sich die Vollendung des 18. Lebensjahres und damit das Erreichen der Volljährigkeit nicht mit der notwendigen Sicherheit belegen."
4.3. Die Kritik der Beschwerdeführerin am Altersgutachten basiert auf der unzutreffenden Annahme, massgebend sei das potenzielle Mindestalter. Dass die Beweiswürdigung auch unter Zugrundelegung des korrekten Massstabs, wonach das nach überwiegender Wahrscheinlichkeit zutreffende Geburtsdatum entscheidend ist, willkürlich sein soll, legt sie nicht dar. Vielmehr geht aus ihren eigenen Ausführungen hervor, dass gestützt auf das Altersgutachten auf ein wahrscheinliches Alter von 19 bis 20 Jahren zu schliessen ist. Auch gestützt auf die Studie von CAVRIC ET AL. ist von einem wahrscheinlichen Alter von jedenfalls mehr als 18 Jahren auszugehen. Bezüglich des im datenschutzrechtlichen Verfahren massgebenden wahrscheinlichen Geburtsdatums bestätigen somit selbst die neuen Vorbringen den angefochtenen Entscheid. Ob es sich dabei um zulässige Noven im Sinne von <ref-law> handelt, kann deshalb offenbleiben.
4.4. Dem Altersgutachten kommt in der Beweiswürdigung erhebliche Bedeutung zu. Dass der Gutachtensauftrag auf die Prüfung der Vollendung des 18. Lebensjahrs abzielte, ändert an der Zuverlässigkeit der Angaben zum wahrscheinlichen Alter nichts. Vor dem Hintergrund der späteren medizinischen Befunde ist zudem ohne Weiteres nachvollziehbar, dass das SEM am angegebenen Alter zweifelte und deshalb ein Altersgutachten in Auftrag gab (<ref-law>). Auch vor dem Hintergrund, dass sich die Beschwerdeführerin widerspruchsfrei zu ihrem Alter äusserte, erscheint die Beweiswürdigung des Bundesverwaltungsgerichts als haltbar. Wie es sich mit dem Umstand verhält, dass sie das genaue Geburtsdatum ihrer Geschwister nicht angeben und keine Identitätsdokumente beschaffen konnte, kann dabei offenbleiben. Schliesslich durfte das Bundesverwaltungsgericht ohne Weiteres in antizipierter Beweiswürdigung davon ausgehen, dass ihre Angaben gegenüber den italienischen Behörden am Beweisergebnis nichts ändern würden (<ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 299; je mit Hinweisen). Insgesamt erweist sich somit die Rüge der Verletzung von <ref-law> als unbegründet.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin bezeichnet es als unverständlich, dass ihr im Asylverfahren die unentgeltliche Rechtspflege gewährt wurde, nicht aber im datenschutzrechtlichen Verfahren. Zudem weist sie darauf hin, dass das Bundesverwaltungsgericht immerhin das Anbringen eines Bestreitungsvermerks anordnete.
5.2. Da das datenschutzrechtliche Verfahren einen eigenen Gegenstand und Beweismassstab aufweist, ist ein Unterschied zum Asylverfahren hinsichtlich der Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ohne Weiteres möglich. Für das datenschutzrechtliche Verfahren folgt aus dem Dargelegten, dass das Bundesverwaltungsgericht ohne Bundesrecht zu verletzen davon ausgehen durfte, das Begehren sei aussichtslos (<ref-law>). Die Anordnung eines Bestreitungsvermerks erweist sich insofern als Nebenpunkt, der in Bezug auf die Kosten- und Entschädigungsfolgen nicht zwingend berücksichtigt werden musste.
6.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann wegen Aussichtslosigkeit der Vorbringen nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Umständehalber wird aber auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Staatssekretariat für Migration und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung V, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold