Sachverhalt:
A.
A.a. Die C._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) betreibt eine Bierbrauerei. Sie liefert ihr Bier teilweise mit eigenen Pferden aus.
E._ arbeitet seit 2004 für die Beschwerdegegnerin, seit 2007 vollzeitlich als Fuhrmann. Er kümmert sich um die Pferde und liefert mit Pferdegespannen Getränke aus. In seiner Freizeit nimmt er mit den Pferden seit 2010 an Turnieren teil.
A.b. Am Nachmittag des 18. Oktober 2013 war der Fuhrmann mit einem Einspänner der Beschwerdegegnerin unterwegs. Zur gleichen Zeit machte C.A._ eine Velotour. Im Veloanhänger angegurtet war ihre damals fünf Monate alte Tochter A.A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin). Die Mutter überholte den Fuhrmann, der mit seinem Pferdegespann am Strassenrand stand und telefonierte. Er zeigte der Mutter den Weg. Nach Beendigung des Telefonats setzte der Fuhrmann seine Fahrt fort und überholte nach einer gewissen Zeit die auf dem Velo fahrende Mutter und die Beschwerdeführerin auf der leicht ansteigenden Strasse.
A.c. In der Folge scheute das Pferd vermutlich wegen eines Mistkrans auf der linken Strassenseite. Danach vollzog der Fuhrmann mit der Kutsche eine Linkswende, worauf das Pferd durchging. Der Fuhrmann konnte das Pferd nicht mehr bremsen und fiel von der Kutsche. Kurz konnte er sich noch an der Leine halten, dann liess er wegen eines nahenden Hindernisses los und das Pferd galoppierte herrenlos mitsamt Kutsche auf der nun leicht abfallenden Strasse zurück.
A.d. Aufgrund des Strassenverlaufs hatte die Mutter weder das Scheuen des Pferds noch die Linkswende gesehen. Sie sah das Pferd erst auf sich zukommen, nachdem der Fuhrmann von der Kutsche gefallen war. Sie hielt an und schob ihr Velo ganz nach rechts an den Strassenrand. Das Pferd galoppierte mit grosser Geschwindigkeit an ihr vorbei, die schlingernde Kutsche traf jedoch den Veloanhänger. Durch den Zusammenprall wurde der Anhänger vom Velo gerissen und in die angrenzende Wiese geschleudert, wo er sich mehrmals überschlug und schliesslich stehen blieb. Das Pferd galoppierte weiter, prallte kurz darauf in ein Bahnhofhäuschen und kam so zum Stillstand.
A.e. Die Beschwerdeführerin wurde vor Ort von der Sanitätspolizei und der Rega betreut und schliesslich in das Spital X._ transportiert. Dort wurde sie bis am 21. November 2013 stationär behandelt wegen schweren Schädelhirntraumas mit ausgedehnten Kontusionsblutungen an den Stirnlappen und ausgedehnten, diffusen, axonalen Verletzungen sowie wegen Brüchen der linken Augenhöhlenknochen. Es wurden mehrere neurochirurgische Eingriffe durchgeführt, insbesondere wurde ein ventrikulo-peritonealer Shunt gelegt, eine Verbindung zwischen Hirn und Bauchraum zur Ableitung von Hirnflüssigkeit.
A.f. Die Kosten der Sanitätspolizei, der Rega und des Spitals X._ für die stationäre Heilbehandlung der Beschwerdeführerin vom 18. Oktober 2013 bis 21. November 2013 betrugen Fr. 45'913.70. Mit Erklärungen vom 21. September 2016 und 6. Oktober 2016 trat die F._ AG den von ihr übernommenen Kostenanteil an die Beschwerdeführerin ab.
B.
Am 14. Oktober 2016 beantragte die Beschwerdeführerin beim Regionalgericht Bern-Mittelland teilklageweise, die Beschwerdegegnerin und der Fuhrmann seien unter solidarischer Haftbarkeit zu verurteilen, ihr Fr. 45'913.70 nebst Zins zu 5 % seit 5. Februar 2014 zu bezahlen.
Mit Urteil vom 9. Oktober 2019 hiess das Regionalgericht die Teilklage gegen die Beschwerdegegnerin gut und verpflichtete diese, der Beschwerdeführerin Fr. 45'913.70 nebst Zins zu 5 % seit 5. Februar 2014 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 1). Die Gerichtskosten und die Kosten des Schlichtungsverfahrens auferlegte es je hälftig der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin (Dispositiv-Ziffer 2 und 3). Es verpflichtete die Beschwerdegegnerin, der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 4).
Hingegen wies das Regionalgericht die Teilklage gegen den Fuhrmann ab (Dispositiv-Ziffer 1 Absatz 2) und verpflichtete die Beschwerdeführerin, diesem eine Parteientschädigung zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 4 Absatz 2).
C.
Am 1. Dezember 2020 stellte das Obergericht des Kantons Bern fest, das regionalgerichtliche Urteil sei insoweit in Rechtskraft erwachsen, als die Teilklage gegen den Fuhrmann abgewiesen und diesem eine Parteientschädigung zugesprochen wurde (Dispositiv-Ziffer 1). Sodann hiess das Obergericht die Berufung der Beschwerdegegnerin gut und wies auch die Teilklage gegen die Beschwerdegegnerin ab (Dispositiv-Ziffer 2). Was das obergerichtliche Verfahren betrifft, verpflichtete es die Beschwerdeführerin zur Bezahlung der Gerichtskosten (Dispositiv-Ziffer 3) und einer Parteientschädigung (Dispositiv-Ziffer 4). Zudem auferlegte es der Beschwerdeführerin die Kosten des regionalgerichtlichen Verfahrens (Dispositiv-Ziffer 5) und des Schlichtungsverfahrens (Dispositiv-Ziffer 6). Schliesslich verpflichtete es die Beschwerdeführerin, der Beschwerdegegnerin für das regionalgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 7).
D.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Dispositiv-Ziffern 2 bis 7 des obergerichtlichen Urteils vom 1. Dezember 2020 seien aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei teilklageweise zu verurteilen, der Beschwerdeführerin unter Kosten- und Entschädigungsfolge Fr. 45'913.70 nebst Zins zu 5 % seit 5. Februar 2014 zu bezahlen.
Die Beschwerdegegnerin trägt auf Abweisung der Beschwerde an, während das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid (Art. 90 BGG) eines oberen kantonalen Gerichts, das in einer Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) als Rechtsmittelinstanz entschieden hat (Art. 75 BGG). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Teilklage der Beschwerdeführerin gegen die Beschwerdegegnerin wurde im vorinstanzlichen Verfahren abgewiesen (Art. 76 Abs. 1 BGG) und die Beschwerde erging fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c BGG). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt einer rechtsgenügenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.5). Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
2.
2.1. Nach Art. 56 Abs. 1 OR haftet für den von einem Tier angerichteten Schaden, wer dasselbe hält. Der Halter wird jedoch von der Haftung befreit, wenn er nachweist, dass er alle nach den Umständen gebotene Sorgfalt in der Verwahrung und Beaufsichtigung des Tieres angewendet hat oder der Schaden auch bei Anwendung dieser Sorgfalt eingetreten wäre. Die Haftung setzt die Verletzung einer objektiven Sorgfaltspflicht voraus. Ob es sich bei der Tierhalterhaftung um eine gewöhnliche Kausalhaftung mit Befreiungsmöglichkeit oder um eine Verschuldenshaftung mit umgekehrter Beweislast handelt, hat lediglich dogmatische, aber kaum praktische Bedeutung, denn so oder anders sind an den Entlastungsbeweis strenge Anforderungen zu stellen. Der Tierhalter kann sich nicht darauf berufen, das allgemein Übliche an Sorgfalt aufgewendet zu haben. Vielmehr hat er nachzuweisen, dass er sämtliche objektiv notwendigen und durch die Umstände gebotenen Massnahmen getroffen hat. Bleiben über die entlastenden Tatsachen Zweifel bestehen, muss die Haftung des Halters bejaht werden. Die konkreten Sorgfaltspflichten richten sich in erster Linie nach geltenden Sicherheits- und Unfallverhütungsvorschriften. Fehlen gesetzliche oder reglementarische Vorschriften und haben auch private Verbände keine allgemein anerkannten Vorschriften erlassen, ist zu prüfen, welche Sorgfalt nach der Gesamtheit der konkreten Umstände geboten ist (<ref-ruling> E. 2.1 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. auch Urteile 4A_372/2019 vom 19. November 2019 E. 2.1; 4A_36/2019 vom 21. Februar 2019 E. 5.1).
2.2. Die Parteien sind sich einig, dass das Pferd der Beschwerdegegnerin widerrechtlich und adäquat-kausal einen Schaden angerichtet hat; die eingeklagte Schadenssumme und die grundsätzliche Haftung nach Art. 56 Abs. 1 OR sind unbestritten. Hingegen war vor den kantonalen Instanzen strittig, ob der Entlastungsbeweis gelungen ist.
2.3. Die Vorinstanzen stellten auf das rechtshilfeweise eingeholte Gutachten ab. Darin erklärte der Sachverständige, das Pferd und die Kutsche seien in gutem Zustand gewesen. Das Scheuen des Pferds sei nicht zwingend auf eine Unaufmerksamkeit des Fuhrmanns zurückzuführen. Die Linkswende sei mit Gewissheit durch den Fuhrmann eingeleitet worden. Eine unkontrollierte Linkswende durch das Pferd könne ausgeschlossen werden, da die Kutsche sonst gekippt wäre. Zudem sei das Pferd ein Fluchttier und würde nie in Richtung der vermeintlichen Gefahr wenden. Das Pferd müsse bei der Linkswende unter Kontrolle gewesen und erst danach durchgegangen sein. Die kontrollierte Linkswende sei ein sicheres Fahrmanöver gewesen, wenngleich ein Wenden auf enger Stelle gegen eine Gefahrenquelle hin nicht präferiert werden sollte, wenn sicherere Alternativen bestünden. Hier sei wegen der Böschung auf der rechten Seite eine Linkswende unumgänglich gewesen. Der Fuhrmann habe sich besonnen, sorgfältig und technisch korrekt verhalten, indem er eine Linkswende zum vermeintlich gefährlichen Mistkran wählte und nicht eine Rechtswende zur tatsächlich gefährlichen Böschung. Da der Fuhrmann die Linkswende sicher und an der vermeintlichen Gefahr des Mistkrans vorbei habe durchführen können, seien die Gründe für das nachträgliche Durchgehen nicht abschliessend klärbar. Ein erfahrener Fuhrmann müsse in jedem Fall in der Lage sein, auf Anzeichen eines scheuenden Pferds zu reagieren. Hingegen spreche ein durchgehendes Pferd auf keinerlei Einwirkungen mehr an. Der Fuhrmann habe nach dem Durchgehen des Pferds die Fussbremse der Kutsche betätigt und dahingehend alles richtig gemacht. Dennoch habe die Kutsche innerhalb weniger Sekunden eine viel zu hohe Geschwindigkeit erreicht. Beim Auffahren gegen die Böschung habe die Kutsche stark eingefedert. Beim anschliessenden Ausfedern sei der Fuhrmann vermutlich regelrecht aus dem Sitz katapultiert worden. Der Sturz des Fuhrmanns von der Kutsche sei nicht zu verhindern gewesen. Auf die Frage der Beschwerdegegnerin, ob dem Fuhrmann die Verletzung einer Sorgfaltspflicht vorzuwerfen sei, antwortete der Sachverständige, aus den ihm zur Verfügung stehenden Unterlagen gehe nicht hervor, wie der Fuhrmann unmittelbar nach der Linkswende und vor dem Durchgehen des Pferds reagiert habe.
2.4.
2.4.1. Die Erstinstanz erwog, der Sachverständige habe den Ablauf des Unfalls in drei Phasen geteilt. Dabei könne dem Fuhrmann nichts vorgeworfen werden in der ersten Phase, als er mit einer Linkswende auf das Scheuen des Pferds reagierte. Gleiches gelte für die letzte Phase nach dem Durchgehen des Pferds. Ob das Verhalten des Fuhrmanns in der Zwischenphase korrekt gewesen sei, habe der Sachverständige offen gelassen. Erst er habe überhaupt die Frage aufgeworfen, ob sich der Fuhrmann nach der Linkswende und vor dem Durchgehen des Pferds richtig verhalten habe.
2.4.2. Die Teilklage gegen den Fuhrmann wies die Erstinstanz ab. Sie erwog, der Fuhrmann sei nicht als Halter des Pferds zu qualifizieren. Daher komme nur eine Haftung nach Art. 41 Abs. 1 OR in Frage, wobei die Beschwerdeführerin zu beweisen habe, dass sich der Fuhrmann in der Zwischenphase sorgfaltswidrig verhalten habe. Dafür genüge es nicht, dass das Gutachten diese Thematik aufwerfe, die Frage aber offen lasse.
2.4.3. Demgegenüber hiess die Erstinstanz die Teilklage gegen die Beschwerdegegnerin gut. Denn diese sei Halterin des Pferds. Um der Haftung gestützt auf Art. 56 Abs. 1 OR zu entgehen, habe sie den Nachweis zu erbringen, dass der Fuhrmann als ihre Hilfsperson keine Sorgfaltspflicht verletzt habe. Falls dieser Entlastungsbeweis scheitere, müsse sie beweisen, dass der Unfall selbst dann passiert wäre, wenn der Fuhrmann in jeder Hinsicht sorgfältig gehandelt hätte. Soweit Zweifel über entlastende Tatsachen bestünden, sei ihre Haftung zu bejahen. Nun lasse der Sachverständige aber offen, ob der Fuhrmann im Zeitpunkt des Durchgehens des Pferds richtig reagiert habe. Dabei betone der Sachverständige, es wäre interessant gewesen, die Leinenhaltung und die Leineneinwirkung des Fuhrmanns zu kennen. Dies könne nur bedeuten, dass der Sachverständige ein Fehlerpotential des Fuhrmanns sehe und die Verletzung einer Sorgfaltspflicht für möglich halte. Indem die Beschwerdegegnerin darauf verzichtet habe, diese Thematik mit Ergänzungsfragen oder allfälligen Beweisanträgen näher zu beleuchten und die damit verbundenen Zweifel auszuräumen, sei ihr der Entlastungsbeweis nicht gelungen. Auch den Nachweis eines rechtmässigen Alternativverhaltens habe die Beschwerdegegnerin nicht angetreten. Daher sei die Haftung der Beschwerdegegnerin zu bejahen.
2.5. Die Vorinstanz hiess die dagegen gerichtete Berufung der Beschwerdegegnerin gut und erklärte, der Entlastungsbeweis sei gelungen. Die Erstinstanz habe nicht erklärt, in welchem Tun oder Unterlassen des Fuhrmanns sie eine Sorgfaltspflichtverletzung erblicke. Auch habe sie nicht ausgeführt, weshalb sie ein solches Tun oder Unterlassen als erstellt erachte. Zur Zwischenphase nach dem Abschluss der Linkswende und vor dem Durchgehen des Pferds würden sich im erstinstanzlichen Urteil keine Sachverhaltsfeststellungen finden. Der Fuhrmann habe ausgesagt, das Pferd sei nach 3 bis 5 Metern durchgegangen, obwohl für ihn nach der abgeschlossenen Wende alles in Ordnung gewesen sei. Ihm sei ein Rätsel, ob das Pferd auf den Mistkran reagiert habe. Detailliertere Angaben fehlten und seien weder von der Beschwerdeführerin noch von der Erstinstanz erfragt worden, als der Fuhrmann einvernommen worden sei. Einzig der Sachverständige habe von sich aus die Frage nach der Leinenhaltung und Leineneinwirkung beim Durchgehen des Pferds aufgeworfen. Allerdings habe der Sachverständige nicht näher ausgeführt, welche Leinenhaltung und Leineneinwirkung korrekt gewesen wären und wie sich eine abweichende Leineneinwirkung ausgewirkt hätte. In der Folge hätten alle Parteien auf Ergänzungsfragen verzichtet und keine Behauptungen zur Leinenhaltung aufgestellt. Damit sei die Leinenhaltung nicht zum Beweisthema geworden. Bis zum Abschluss des Beweisverfahrens sei dem Fuhrmann weder von der Beschwerdeführerin noch vom Sachverständigen ein Vorwurf gemacht worden für die Zwischenphase nach der kontrollierten Linkswende und vor dem Durchgehen des Pferds. Damit habe für den Fuhrmann kein Anlass bestanden, sein Verhalten während dieser wenigen Meter bis ins Detail zu beschreiben und etwa die Leinenhaltung zu beschreiben. Dies umso mehr, als er sich das Durchgehen des Pferds selbst nicht habe erklären können.
2.6. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 56 Abs. 1 OR und Art. 8 ZGB. Sie macht geltend, die Vorinstanz habe ihr die Beweislast für eine Sorgfaltspflichtverletzung des Fuhrmanns auferlegt. Es obliege dem Tierhalter, den Entlastungsbeweis zu erbringen. Er habe die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen.
Die Beschwerdeführerin trägt vor, der Sachverhalt sei in Bezug auf das Verhalten des Tiers klar, nicht jedoch bezüglich des Verhaltens des Fuhrmanns im entscheidenden Zeitpunkt nach der kontrollierten Wende. Sein Verhalten und seine Leinenhaltung, als er die Kontrolle über das Pferd verlor, sei wichtiger Teil des Sorgfaltsbeweises und damit vollumfänglich durch die Beschwerdegegnerin zu erbringen. Wenn diese es trotz der eindeutigen Formulierung im Gutachten unterlasse, hierüber Beweis zu führen, so scheitere nach der gesetzlichen Konzeption der Entlastungsbeweis und die Haftung müsse bejaht werden.
Dass das Pferd nach der kontrollierten Linkswende durchging, dränge den Schluss auf, dass dem Fuhrmann in der Leinenführung ein Fehler unterlaufen sei. Es komme hinzu, dass er aufgrund der Linkswende erneut auf die fiktive Gefahr des Mistkrans zuhielt, welcher das Scheuen des Pferds erst ausgelöst hatte. Bei Pferden seien gemäss Gutachten die Augen mit den unterschiedlichen Gehirnhälften verknüpft. Somit könne eine zuvor mit dem linken Auge wahrgenommene Gefahrenquelle nach einem Seitenwechsel nunmehr mit dem rechten Auge als komplett neues Objekt wahrgenommen werden. Pferde könnten nicht unbedingt eine Verbindung zur vorangegangenen Situation herstellen. Es sei möglich, dass der Mistkran das Pferd nach der Wende erneut erschreckte und es deshalb durchging. Genau dies hätte der Fuhrmann aber antizipieren müssen.
2.7. Die Rüge der Beschwerdeführerin ist berechtigt.
An den Entlastungsbeweis sind strenge Anforderungen zu stellen. Der Tierhalter kann sich nicht darauf berufen, die allgemein übliche Sorgfalt aufgewendet zu haben. Vielmehr hat er nachzuweisen, dass er sämtliche objektiv notwendigen und durch die Umstände gebotenen Massnahmen getroffen hat. Bleiben über die entlastenden Tatsachen Zweifel bestehen, ist die Haftung des Tierhalters zu bejahen.
Es ist unbestritten, dass der Sachverständige dem Fuhrmann fast durchweg ein einwandfreies Vorgehen bescheinigte. Dies gilt insbesondere für dessen Verhalten bis zur erfolgreichen Linkswende einerseits und nach dem Durchgehen des Pferds anderseits. Allerdings musste der Sachverständige offen lassen, ob der Fuhrmann zwischen der Linkswende und dem Durchgehen des Pferds eine Sorgfaltspflicht verletzt hatte. Der Sachverständige bemerkte sogar, es wäre interessant gewesen, die Leinenhaltung und die Leineneinwirkung des Fuhrmanns unmittelbar vor dem Durchgehen des Pferds zu kennen. Wie die Erstinstanz zutreffend erwog, wäre es an der Beschwerdegegnerin gelegen, die Beweislosigkeit in dieser entscheidenden Zwischenphase zu beseitigen.
Demgegenüber verletzte die Vorinstanz die Beweislastregeln, indem sie der Beschwerdeführerin vorwarf, sie habe dem Fuhrmann bis zum Abschluss des Beweisverfahrens keinen Vorwurf gemacht für sein Verhalten kurz vor dem Durchgehen des Pferds. Damit auferlegte sie der Beschwerdeführerin zu Unrecht die Behauptungs- und Substanziierungslast für ein fehlbares Verhalten des Fuhrmanns. Nach dem zur Beweislastverteilung im Rahmen der Tierhalterhaftung Gesagten wäre es aber an der Beschwerdegegnerin gewesen, mit Bezug auf das Verhalten des Fuhrmanns insgesamt ein tadelloses Verhalten zu beweisen resp. den Entlastungsbeweis zu erbringen. Dies ist ihr nicht gelungen. Sie hat im Gegenteil nicht einmal behauptet, auch hinsichtlich der vom Experten aufgeworfenen Frage der Leinenhaltung und Leineneinwirkung unmittelbar vor dem Durchgehen des Pferds sei dem Fuhrmann keine Sorgfaltswidrigkeit vorzuwerfen. Sie hat es auch unterlassen, diesbezüglich Ergänzungsfragen an den Fuhrmann oder den Experten zu richten (vgl. E. 2.5 oben). Der Vorinstanz kann auch nicht gefolgt werden wenn sie erwägt, die Beschwerdegegnerin und der Fuhrmann hätten keinen Anlass gehabt, dessen Verhalten unmittelbar vor dem Durchgehen des Pferds detailliert zu schildern. Ganz im Gegenteil wäre es an der Beschwerdegegnerin gelegen, zumindest Ergänzungsfragen an den Sachverständigen zu stellen, nachdem dieser die Frage der Leinenhaltung aufgeworfen hatte. Abgesehen davon trägt die Beschwerdeführerin vor, sie habe dem Fuhrmann bereits in der Klageschrift vorgeworfen, das Pferd nicht genügend überwacht und geführt zu haben, was zutrifft.
Die Vorinstanz hält explizit fest, dass die Leinenhaltung nicht zum Beweisthema gemacht wurde. Sie zieht daraus aber die falschen Schlüsse, wenn sie bemängelt, dass sich im erstinstanzlichen Urteil keine Sachverhaltsfeststellungen dazu finden. Entgegen den Erwägungen der Vorinstanz musste die Erstinstanz nicht erklären, in welchem Tun oder Unterlassen sie eine Sorgfaltspflichtverletzung erblickte. Die Erstinstanz ging im Einklang mit dem Gutachten davon aus, dass in der entscheidenden Phase vor dem Durchgehen des Pferds Beweislosigkeit herrscht. Denn gemäss dem Gutachten blieb offen, wie der Fuhrmann das Pferd im entscheidenden Moment geführt hatte. An der diesbezüglich herrschenden Beweislosigkeit ändert zudem nichts, dass die Vorinstanz dem Fuhrmann attestiert, ein äusserst erfahrener und ausgewiesener Fachmann im Umgang mit Pferden und Kutschen zu sein.
Wie die Beschwerdeführerin zutreffend moniert, begründet die Vorinstanz auch nicht, weshalb das Fehlerpotenzial des Fuhrmanns bloss theoretischer Natur sein soll. Die Möglichkeit eines unsorgfältigen Verhaltens des Fuhrmanns in der kurzen Zwischenphase vor dem Durchgehen des Pferds erscheint keineswegs derart entfernt wie die Vorinstanz meint. Andernfalls hätte der Experte nicht explizit die Frage aufgeworfen, wie es sich mit der Leinenhaltung und Leineneinwirkung verhielt. Diesbezüglich besteht aber, wie dargelegt, Beweislosigkeit, zumal die Beschwerdegegnerin nicht einmal behauptet hat, der Fuhrmann habe sich auch insoweit korrekt verhalten. Darin besteht im Übrigen der wesentliche Unterschied zum von der Vorinstanz zitierten Urteil 4A_372/2019 vom 19. November 2019. In jenem Urteil ging es, anders als vorliegend, nicht um eine Rechtsfrage, nämlich darum, welche Partei mit Bezug auf den Entlastungsbeweis die Beweislast trägt. Vielmehr erschöpfte sich das Vorbringen des Beschwerdeführers im von der Vorinstanz herangezogenen Urteil im Ergebnis in einer blossen Sachverhaltsrüge, welche das Bundesgericht - mit Willkürkognition - verwarf (vgl. dort E. 2.2-2.6).
2.8. Nach dem Gesagten liegt mit Blick auf die Vorgänge kurz vor dem Durchgehen des Pferds Beweislosigkeit vor. Deren Folgen hat gemäss Art. 56 Abs. 1 OR die Beschwerdegegnerin zu tragen. Die übrigen Haftungsvoraussetzungen und der eingeklagte Betrag sind unbestritten, weshalb die Teilklage der Beschwerdeführerin gutzuheissen ist.
Bei diesem Ergebnis ist auf das Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht weiter einzugehen, wonach der Entlastungsbeweis deshalb nicht erbracht werden könne, weil der Fuhrmann nach dem Scheuen des Pferdes zum Selbstschutz eine Linkswende ausgeführt und damit das Risiko einer Drittgefährdung erheblich erhöht habe. Wäre er stattdessen stehen geblieben oder geradeaus weitergefahren, hätte er höchstens sich selbst gefährdet.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Beschwerdegegnerin ist in Gutheissung der Teilklage der Beschwerdeführerin zu verpflichten, dieser den Betrag von Fr. 45'913.70 nebst Zins zu 5 % seit dem 5. Februar 2014 zu bezahlen.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Vorinstanz wird die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens neu zu regeln haben (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das angefochtene Urteil aufgehoben. Die Teilklage der Beschwerdeführerin wird gutgeheissen und die Beschwerdegegnerin verpflichtet, der Beschwerdeführerin Fr. 45'913.70 nebst Zins zu 5 % seit dem 5. Februar 2014 zu bezahlen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zu neuer Entscheidung über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Matt