Fatti:
A.
A.a. Il 7 ottobre 2006 A._, nata nel 1967, dipendente come assistente di cura e assicurata obbligatoriamente contro gli infortuni e le malattie professionali presso ÖKK Kranken- und Unfallversicherungen AG (di seguito: l'ÖKK), è caduta da un cavallo "artificiale" e ha battuto a terra il fianco destro. Le visite mediche hanno messo in luce una sindrome radicolare L5 su sospetto di ernia L5/S1 foraminale a destra. L'esame di risonanza magnetica del 10 ottobre 2006 ha confermato la presenza di un'ernia discale intraforaminale a livello L5/S1 con compressione della radice di L5 a destra e possibile compressione di S1 a destra da parte di un bulging nel recesso laterale. Il 22 novembre 2006 A._ è stata sottoposta a U._ (Italia) a un intervento di erniectomia L5-S1 più sospensione dinamica tra L5-S1 e L4-L5. L'ÖKK ha assunto il caso e corrisposto prestazioni. Nonostante la terapia, A._ ha continuato a lamentare disturbi invalidanti alla regione lombare irradianti prevalentemente all'arto inferiore destro.
L'ÖKK con decisione del 27 luglio 2017, confermata su opposizione il 25 maggio 2018, ha dichiarato estinto il proprio obbligo a prestazioni retroattivamente dall'8 gennaio 2007 posto che sarebbe stato allora raggiunto lo status quo sine relativamente all'evento del 7 ottobre 2006.
A.b. Adito su ricorso di A._, il Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino il 27 febbraio 2019 (causa 35.2018.57) ha accolto il ricorso, annullato la decisione su opposizione e accertato che i disturbi accusati dalla ricorrente costituissero una conseguenza naturale e adeguata dell'intervento chirurgico del 22 novembre 2006, reso necessario dall'infortunio del 7 ottobre 2006. Per il resto, ha rinviato gli atti all'ÖKK affinché definisse il proprio obbligo a prestazioni dal profilo temporale e materiale a contare dall'8 gennaio 2007. Tale sentenza non è stata impugnata al Tribunale federale.
A.c. Ritornata la causa, l'ÖKK ha interpellato il Dr. med. B._, il quale ha consegnato il proprio rapporto l'8 agosto 2019. Con decisione formale dell'11 dicembre 2019, l'ÖKK ha dichiarato estinto dal 7 ottobre 2007 il proprio obbligo a prestazioni dipendente dall'infortunio del 7 ottobre 2006, visto che da quella data i disturbi non sarebbero più stati in nesso di causalità naturale con l'evento assicurato. L'assicuratore ha richiamato la prassi secondo cui per le prestazioni di corta durata è sempre possibile riesaminare la situazione con effetto ex nunc. Anche per tale ragione l'ÖKK ha rinunciato a pretendere la restituzione a norma dell'art. 25 LPGA delle prestazioni erogate fino a quel momento. Con decisione su opposizione del 21 luglio 2020 l'ÖKK ha confermato il proprio operato.
B.
Adito nuovamente su ricorso di A._, il Tribunale cantonale delle assicurazioni il 22 marzo 2021 (causa 35.2020.75) ha accolto il ricorso, annullato la decisione su opposizione e ingiunto all'ÖKK di ripristinare il diritto a prestazioni, da definirsi successivmente dall'assicuratore dal profilo temporale e materiale, a contare dall'8 ottobre 2007.
C.
L'ÖKK presenta, previo conferimento dell'effetto sospensivo, un ricorso in materia di diritto pubblico al Tribunale federale con cui chiede l'annullamento della sentenza cantonale del 22 marzo 2021 e la conferma delle proprie decisioni.
A._ chiede la reiezione del ricorso, mentre la Corte cantonale rinuncia a presentare osservazioni.
Con decreto del 17 giugno 2021 è stato concesso l'effetto sospensivo al ricorso.

Diritto:
1.
1.1. La sentenza impugnata non pone fine al procedimento siccome ha rinviato la causa all'assicuratore per ripristinare nel principio le prestazioni, lasciando comunque all'autorità precedente la definizione del periodo temporale e materiale. Quando da una decisione incidentale l'autorità amministrativa potrebbe essere obbligata a emettere un nuovo provvedimento ritenuto da lei contrario al diritto, può essere ammesso un danno irreparabile secondo l'art. 93 cpv. 1 lett. a LTF se la decisione incidentale dell'autorità di ricorso contiene aspetti vincolanti materiali (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1). Tale eventualità è proprio realizzata nella fattispecie, poiché l'assicuratore ritiene lesiva del diritto la conferma della causalità naturale ed adeguata dopo il 7 ottobre 2007 tra l'infortunio del 7 ottobre 2006 e i disturbi lamentati dall'opponente (ciò vale anche quando dal rinvio alcune questioni potrebbero non più porsi: sentenza 9C_236/2021 del 3 settembre 2021 consid. 1.3).
1.2. Il ricorso in materia di diritto pubblico può essere presentato per violazione del diritto, conformemente a quanto stabilito dagli art. 95 e 96 LTF. L'accertamento dei fatti può venir censurato solo se è stato svolto in modo manifestamente inesatto o in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (art. 97 cpv. 1 e 105 cpv. 1 e 2 LTF). Se, tuttavia, il ricorso è presentato contro una decisione d'assegnazione o rifiuto di prestazioni pecuniarie dell'assicurazione militare o dell'assicurazione contro gli infortuni, può essere censurato qualsiasi accertamento inesatto o incompleto dei fatti giuridicamente rilevanti (art. 97 cpv. 2 LTF); il Tribunale federale in tal caso non è vincolato dall'accertamento dei fatti operato dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 3 LTF).
2.
Oggetto del contendere è sapere se la sentenza impugnata, che ha dichiarato vincolante la precedente pronuncia del 27 febbraio 2019, sia lesiva del diritto federale.
3.
3.1. Il Tribunale cantonale delle assicurazioni, dopo aver esposto nuovamente lo svolgimento del processo e le disposizioni legali ritenute applicabili, ha stabilito che l'assicuratore ha emanato una decisione in aperto contrasto con quanto era stato deciso con la precedente sentenza del 27 febbraio 2019, la quale aveva stabilito al punto n. 1 del dispositivo l'esistenza di un nesso di causalità naturale e adeguato (lett. A.b). I giudici cantonali hanno quindi affermato che l'aspetto della causalità ha acquisito autorità di cosa giudicata, visto che tale sentenza non è stata impugnata al Tribunale federale. L'assicuratore non poteva quindi ritenere estinto il nesso causale naturale dal 7 ottobre 2007. Del resto, il rinvio deciso con la sentenza cantonale sopra menzionata non comprendeva la causalità, ma soltanto l'esame del grado di incapacità lavorativa e le eventuali prestazioni di lunga durata. Nell'eventualità in cui l'assicuratore avesse voluto rimettere in discussione la precedente sentenza cantonale, avrebbe dovuto presentare una domanda di revisione (art. 61 lett. i LPGA) nel termine di 90 giorni previsto dall'art. 25 cpv. 1 della legge ticinese del 23 giugno 2008 di procedura per le cause davanti al Tribunale cantonale delle assicurazioni (Lptca/TI; RL 178.100).
3.2. L'assicuratore ricorrente ritiene di essere legittimato a stabilire, dal profilo temporale e materiale, il proprio obbligo a prestazioni dall'8 gennaio 2017 anche alla luce della sentenza di rinvio. Tutto ciò a maggior ragione se si pensa che per giurisprudenza la sola assunzione dei costi per l'intervento chirurgico eseguito sull'opponente per ordine delle autorità sanitarie italiane non basta per rendere la ricorrente direttamente responsabile delle conseguenze secondo l'art. 10 OAINF. Inoltre, sempre per prassi, per le prestazioni di corta durata sarebbe sempre possibile ritornare con effetto ex nunc e pro futuro sulla propria decisione. A ciò si aggiunga che nella fattispecie la ricorrente ha rinunciato alla restituzione delle prestazioni già versate fino a gennaio 2017. Secondo la ricorrente la sentenza di rinvio sarebbe poi stata evidentemente da intendere nel senso di disporre nuovi accertamenti volti a definire il grado di incapacità lavorativa, ossia se e quando lo stato di salute dell'opponente si sarebbe stabilizzato. Anche nel merito gli stessi periti dell'Istituto C._ e del Servizio di accertamento medico (SAM) avrebbero affermato la causalità in maniera dubitativa. La Corte cantonale non avrebbe potuto quindi chiaramente stabilire una causalità e del resto a ben vedere non avrebbe nemmeno tematizzato la questione. A suo tempo la carenza di elementi sarebbe intrinsecamente legata al rinvio della causa.
3.3. L'opponente ritiene che la sentenza cantonale del 27 febbraio 2019 sia passata in giudicato in assenza di un ricorso dell'assicuratore al Tribunale federale. Ella incentra la sua argomentazione su due aspetti, cioè la valutazione di tutti gli esami medici e la possibilità di una revisione della rendita secondo l'art. 17 LPGA in caso di peggioramento o miglioramento della situazione. Contrariamente alle tesi della ricorrente, la valutazione dell'Istituto C._ stabilirebbe chiaramente la causalità. L'opponente sottolinea poi che il Dr. med. B._ incaricato dalla ricorrente non l'ha nemmeno visitata.
4.
4.1. Manifestamente la sentenza cantonale del 27 febbraio 2019 non ha posto fine al procedimento. Il rinvio non si limitava nemmeno a comportare unicamente un nuovo calcolo, senza che l'assicuratore disponesse di alcun margine di apprezzamento. Non si può parlare in alcun modo di decisione finale (art. 90 LTF; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3.2). L'ipotesi di una decisione parziale deve parimenti essere esclusa, visto che essa non riguardava soltanto talune conclusioni che potessero essere giudicate indipendentemente dalle altre, e che essa non poneva fine al procedimento soltanto per una parte dei litisconsorti (art. 91 LTF; <ref-ruling> consid. 4.2). Essa è pertanto una decisione incidentale.
4.2. Posto che non erano contestate né la competenza né la ricusazione (art. 92 cpv. 1 LTF; decisioni non più impugnabili successivamente secondo l'art. 92 cpv. 2 LTF), la sentenza cantonale del 27 febbraio 2019 rientra fra le altre decisioni pregiudiziali e incidentali. In quest'ultima eventualità a norma dell'art. 93 cpv. 1 LTF il ricorso diretto sarebbe stato ammissibile se tali decisioni possono causare un pregiudizio irreparabile (lett. a) o l'accoglimento del ricorso comporterebbe immediatamente una decisione finale consentendo di evitare una procedura probatoria defatigante o dispendiosa (lett. b). Secondo l'art. 93 cpv. 3 LTF se il ricorso non è ammissibile o non è stato interposto, le decisioni pregiudiziali e incidentali possono essere impugnate mediante ricorso contro la decisione finale in quanto influiscano sul contenuto della stessa.
4.3. Per prassi invalsa quando un tribunale delle assicurazioni adito su ricorso stabilisce aspetti vincolanti materiali, ma rinvia per il resto la causa all'assicuratore, quest'ultimo può vantare un pregiudizio irreparabile (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1; in modo particolare sulla causalità fra un evento e i disturbi lamentati cfr. sentenze 8C_289/2020 del 17 febbraio 2021 consid. 1.1, non pubblicato in <ref-ruling>; 8C_412/2019 del 9 luglio 2020 consid. 1.2; 8C_212/2019 del 21 agosto 2019 consid. 1). Nella fattispecie, tale eventualità sarebbe stata realizzata poiché il Tribunale cantonale delle assicurazioni nella sentenza del 27 febbraio 2019 aveva riconosciuto una responsabilità dell'assicuratore fondata sull'art. 6 cpv. 3 LAINF anche per il periodo successivo all'8 gennaio 2007. In particolare, a parere della Corte cantonale, l'intervento chirurgico del 22 novembre 2006 si era reso necessario proprio in ragione delle sequele dell'infortunio del 7 ottobre 2006. Pertanto, siccome i disturbi accusati dall'opponente nella regione lombare costituivano una conseguenza di questa operazione, essi erano in nesso di causalità con l'infortunio.
4.4. Contrariamente a quanto espresso dalla Corte cantonale non è determinante chiedersi se la ricorrente era tenuta o no a impugnare la precedente sentenza del 27 febbraio 2019 a lei sfavorevole né tantomeno occorre rispondere alla questione se l'art. 93 cpv. 3 LTF obblighi l'ente pubblico o l'autorità legittimata a ricorrere soccombente a insorgere al Tribunale federale immediatamente contro una decisione incidentale che gli rinvia la causa per nuovo esame.
5.
5.1. L'agire dell'assicuratore ricorrente non presta il fianco a critiche anche sotto un altro profilo. Infatti, in prima battuta (lett. A.a) aveva stabilito l'estinzione della causalità all'8 gennaio 2007. La sentenza cantonale del 27 febbraio 2019 ha stabilito una responsabilità di principio dell'assicuratore secondo l'art. 6 cpv. 3 LAINF per il periodo posteriore all'8 gennaio 2007 e ha lasciato all'assicuratore di stabilire il proprio obbligo dal profilo materiale e temporale. L'assicuratore per il periodo posteriore l'8 gennaio 2007 ha provveduto all'assunzione delle prove che riteneva necessarie (art. 43 LPGA) e ha statuito nuovamente, stabilendo l'estinzione dell'obbligo a erogare prestazioni dal 7 ottobre 2007 (lett. A.c; ossia circa nove mesi dopo le prime decisioni).
5.2. Una decisione incidentale acquisisce forza di cosa giudicata soltanto se si fa uso della possibilità di ricorrere immediatamente e se il Tribunale federale entra nel merito del ricorso. In caso contrario, essa non passa in giudicato (cfr. <ref-ruling> consid. 3.3 e 3.4). La Corte cantonale può ritenersi vincolata dalle proprie decisioni incidentali (<ref-ruling> consid. 5.2.3; <ref-ruling> consid. 4a; sentenza 8C_210/2020 dell'8 luglio 2020 consid. 1). Essa non viola il diritto federale nel ritenersi di massima legata dai considerandi di diritto al riguardo. Tuttavia, una valutazione diversa della precedente sentenza è ammissibile da un lato in ogni caso se esistono motivi per una revisione processuale a norma dell'art. 61 lit. i LPGA, come rettamente affermato dalla Corte cantonale. Da un altro lato si devono comunque considerare i fatti che sono emersi nel lasso temporale successivo al momento dell'annullamento della decisione su opposizione del 25 maggio 2018 (cfr. sentenze 8C_624/2020 del 16 aprile 2021 consid. 5.2; 9C_87/2016 del 23 novembre 2016 consid. 3.1 e 8C_152/2012 del 3 agosto 2012 consid. 4.2). Poiché il periodo temporale determinante nell'ambito di un rinvio all'assicuratore si estende fino all'emanazione della nuova decisione su opposizione (in concreto il 21 luglio 2020; <ref-ruling> consid. 3.1.1; <ref-ruling> consid. 2.1.2.1 pag. 412; <ref-ruling> consid. 1a pag. 248; sentenza citata 8C_624/2020 consid. 5.2), la Corte cantonale avrebbe dovuto considerare in ogni caso la fattispecie fino a quel momento, includendo quindi anche le valutazioni del Dr. med. B._ dell'8 agosto 2019. Inoltre, il Tribunale cantonale delle assicurazioni sarebbe stato obbligato ad ammettere agli atti anche gli eventuali fatti presentati nel processo giudiziario cantonale. Anche se questa circostanza non sposta il periodo determinante appena delineato per l'esame del giudice delle assicurazioni sociali, oltre il momento della decisione su opposizione sono da includere anche i nova in senso proprio, nella misura in cui permettono di trarre deduzioni relativi ai fatti della controversia fino all'emissione della decisione di opposizione. Agire diversamente significherebbe compiere un accertamento incompleto dei fatti e ledere conseguentemente il principio inquisitorio e anche il diritto federale (art. 43 cpv. 1 e 61 lett. c LPGA; sentenza citata 8C_624/2020 consid. 5.2; cfr. anche <ref-ruling> consid. 4.2.3 e 4.2.4).
5.3. Dal momento che, come si è dimostrato, la sentenza cantonale del 27 febbraio 2019 non è una decisione parziale, ma una decisione incidentale non passata in giudicato, il Tribunale cantonale delle assicurazioni si sarebbe ancora dovuto chinare, alla luce dei nuovi fatti, sui disturbi accusati dalla ricorrente e chiedersi se questi costituiscano una conseguenza naturale e adeguata dell'intervento chirurgico del 22 novembre 2006, reso necessario dall'infortunio del 7 ottobre 2006. In queste condizioni i giudici cantonali, senza violare il diritto federale, non potevano accontentarsi di affermare che la precedente sentenza cantonale era passata in giudicato e che si sarebbe potuto (e dovuto) far capo soltanto all'istituto della revisione processuale. Ad ogni modo, non compete al Tribunale federale ora in prima e unica istanza valutare il caso praticamente dall'inizio (sentenze 8C_234/2019 del 7 ottobre 2019 consid. 4.4 e 8C_227/2019 del 13 settembre 2019 consid. 4.3). Le censure di merito della ricorrente possono rimanere aperte. La causa va quindi rinviata al Tribunale cantonale delle assicurazioni per nuovo esame alla luce dei criteri appena esposti. In tale contesto esso dovrà anche chiedersi se si imponga l'esperimento di una perizia giudiziaria.
6.
Ne discende che il ricorso deve essere parzialmente accolto, la sentenza impugnata annullata e la causa rinviata alla Corte cantonale per nuovo giudizio. Il rinvio della causa con esito aperto equivale a piena vittoria (<ref-ruling> consid. 11.1). Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono poste a carico dell'opponente (art. 66 cpv. 1 LTF). La ricorrente quale istituto dell'assicurazione obbligatoria contro gli infortuni, benché patrocinato, non ha diritto a ripetibili (art. 68 cpv. 3 LTF; sentenza 8C_300/2020 del 2 dicembre 2020 consid. 6).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è parzialmente accolto, la sentenza impugnata è annullata e la causa è rinviata al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino per nuovo giudizio. Per il resto, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 800.- sono poste a carico dell'opponente.
3.
Comunicazione alle parti, al Tribunale delle assicurazioni del Cantone Ticino e all'Ufficio federale della sanità pubblica.