Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 21. Februar 2018 trat das Eidgenössische Finanzdepartement auf ein Schadenersatzbegehren von A._ gegen die Schweizerische Eidgenossenschaft nicht ein, weil nicht das Bundesgesetz vom 14. März 1958 über die Verantwortlichkeit des Bundes sowie seiner Behördemitglieder und Beamten (Verantwortlichkeitsgesetz, VG; SR 170.32) zur Anwendung komme, es mithin nicht zuständig sei und die Zivilgerichte zur Beurteilung einer Haftungsklage zuständig seien.
A._ gelangte dagegen mit Beschwerde an das Bundesverwaltungsgericht, welches das Verfahren A-2079/2018 eröffnete. Mit Zwischenverfügung vom 25. Juli 2018 wies es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab und forderte zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 8'500.-- auf. Auf die gegen diese Zwischenverfügung erhobene Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_860/2018 vom 15. Oktober 2018 nicht ein. In der Folge wies das Bundesverwaltungsgericht mit einer weiteren Zwischenverfügung vom 13. November 2018 die Anträge von A._ um Sistierung des Verfahrens A-2079/2018 sowie eventualiter auf Aussetzung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses ab und hielt unter Androhung der Säumnisfolge des Nichteintretens fest, die Verpflichtung zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 8'500.-- bis zum 15. November 2018 bleibe bestehen. Auf eine darauf Bezug nehmende Eingabe von A._ vom 15. November 2018 trat das Bundesgericht mit Urteil vom 19. November 2018 nicht ein, weil damit bloss "im Voraus zum Beschwerdeverfahren" aufschiebende Wirkung und unentgeltliche Rechtspflege beantragt werde, weshalb die Eingabe nicht als Beschwerde gegen die Zwischenverfügung vom 13. November 2018 entgegengenommen werden könne.
Das Bundesverwaltungsgericht trat mit Urteil A-2079/2018 vom 4. Dezember 2018 auf die Beschwerde nicht ein, weil der Betroffene den Kostenvorschuss trotz Androhung der entsprechenden Säumnisfolge innert der gesetzten Frist nicht bezahlt hatte. Am 13. Dezember 2018 gelangte A._ unter Bezugnahme auf das Nichteintretensurteil des Bundesverwaltungsgerichts mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht; die Beschwerdebegründung nahm ausschliesslich Bezug auf die Zwischenverfügung vom 13. November 2018, welche mithin als einziger Anfechtungsobjekt betrachtet wurde. Mit Urteil 2C_1119/2018 vom 17. Dezember 2018 trat das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein, weil die Zulässigkeitsvoraussetzung von <ref-law> nicht dargetan sei und es an einer den Anforderungen von <ref-law> genügenden Begründung fehle.
Am 21. Januar 2019 gelangte A._ wiederum an das Bundesgericht mit dem hauptsächlichen Begehren, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 4. Dezember 2018 sei aufzuheben. Er rügt die Verletzung von Art. 5, 9, 29 Abs. 1, 29 Abs. 3 und 29a BV.
2.
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein. Die Beschwerde führende Partei muss bezogen und beschränkt auf den Verfahrensgegenstand in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form darlegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte bedarf spezifischer Geltendmachung und Begründung (<ref-law>).
Gegenstand des Urteils vom 4. Dezember 2018 ist einzig das Nichteintreten auf die Beschwerde wegen Nichtbezahlung des Kostenvorschusses. Darüber hinausgehende Vorbringen des Beschwerdeführers, etwa zum patentrechtlichen Hintergrund des Rechtsstreits oder zur behaupteten Voreingenommenheit des Eidgenössischen Finanzdepartements, sind von vornherein nicht zu hören. Dass oder inwiefern das Nichteintreten auf die Beschwerde wegen Nichtbezahlung des Kostenvorschusses innert Frist rechtsverletzend sei, lässt sich der Beschwerdeschrift vom 21. Januar 2019 nicht entnehmen und ist angesichts der gesetzlichen Regelung (namentlich <ref-law>) auch nicht ersichtlich. Über die Erhebung des Kostenvorschusses, die entsprechende Fristansetzung bzw. die Ablehnung einer Fristerstreckung hat das Bundesverwaltungsgericht mit Zwischenverfügung vom 13. November 2018 entschieden. Ob sich dieser Zwischenentscheid heute nochmals zusammen mit dem Nichteintretensurteil vom 4. Dezember 2018 anfechten lässt (<ref-law>), nachdem der Beschwerdeführer von der Möglichkeit der separaten Anfechtung bereits - wenn auch in untauglicher Weise - Gebrauch gemacht hat, kann offen bleiben. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was geeignet wäre, die Erwägungen des Bundesverwaltungsgerichts in der Zwischenverfügung vom 13. November 2018 über die Ablehnung eines - erneuten - Sistierungsgesuchs und mithin die Verneinung des Vorliegens von Gründen für eine Aussetzung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses als rechtsverletzend erscheinen zu lassen. Dasselbe gilt auch in Bezug auf die Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts vom 25. Juli 2018 betreffend die Ablehnung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege, die implizit nochmals mit angefochten wird. Soweit nach dem Urteil 2C_860/2018 vom 15. Oktober 2018 dazu Raum bestehen sollte, wird auch mit den heutigen Vorbringen nicht hinreichend auf die Einschätzung der Erfolgsaussichten der vorinstanzlichen Beschwerde im Lichte von deren Gegenstand (öffentlich- oder zivilrechtliche Natur des Haftungsstreits) eingegangen; der Beschwerdeführer hat offensichtlich E. 2.2 und 2.3 des Urteils 2C_860/2018 nicht zur Kenntnis genommen.
Die Beschwerde enthält, soweit sie überhaupt den beschränkten Verfahrensgegenstand beschlägt, offensichtlich keine den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 und 106 Abs. 2 BGG genügende Begründung für die geltend gemachten Rechtsverletzungen (<ref-law>).
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann angesichts der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (<ref-law>). Damit sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei nach Massgabe von Art. 65 und 66 Abs. 1 erster Satz BGG aufzuerlegen.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller