Faits :
A.
A.a. Durant la nuit du 21 avril 1995, alors qu'il traversait une route à pied, A._ a été heurté par un véhicule.
Le lésé a mandaté un avocat pour défendre ses intérêts dans les suites de l'accident. Il bénéficiait alors de la prise en charge des frais d'avocat et de justice de son assurance de protection juridique, la D._ SA (ci-après: la D._).
Plusieurs assurances ont indemnisé les conséquences de l'accident: C._ SA (ci-après: C._) en tant qu'assureur responsabilité civile du détenteur du véhicule, ainsi que E._ SA (ci-après: E._) et F._ SA (ci-après: F._), toutes deux en qualité d'assureurs perte de gain du lésé. Ce dernier a également été mis au bénéfice d'une rente entière de l'assurance-invalidité (ci-après: l'AI), assortie d'une rente complémentaire pour son épouse.
A.b. Le 28 mai 2001, le lésé a déposé une action en paiement à l'encontre de C._ pour obtenir la réparation du dommage consécutif à l'accident. En cours de procédure, il a changé d'avocat et a mandaté Me B._ (ci-après: l'avocat). Par jugement du 1er avril 2006, le Tribunal cantonal, statuant en instance unique, a condamné C._ à verser au lésé (ci-après: le client), sous déduction des sommes déjà payées, le montant de 557'118 fr. 80 avec intérêts, incluant également la perte de gain future. Pour arrêter cette créance, il a calculé le préjudice global puis, afin d'éviter une surindemnisation, a déduit du montant obtenu la rente d'invalidité et la rente pour conjoint dues par l'AI.
A.c. En 2006, après avoir découvert que le client participait à des courses automobiles, plusieurs assureurs ont remis en question son droit à des prestations.
E._ a suspendu le versement de la rente. C._ a déposé une demande de révision du jugement rendu le 1er avril 2006. L'Office cantonal de l'AI a suspendu le versement de la rente et a mis en oeuvre une expertise médicale pluridisciplinaire. Les experts ont retenu que la participation du client à des courses automobiles ne remettait pas en cause l'incapacité de travail précédemment constatée. Après avoir pris connaissance de ce rapport, l'Office cantonal de l'AI a confirmé le droit à une rente et C._ a retiré sa demande de révision. E._ a quant à elle maintenu la suspension des prestations.
A.d. L'avocat a adressé à la D._ une note d'honoraires pour ses opérations du 23 avril 2004 au 26 juin 2006 concernant le " dossier c/C._ ", laquelle a été acquittée. En revanche, la D._ a refusé de prendre en charge les autres frais de défense du client, notamment en lien avec la procédure de révision ouverte par C._ et le litige l'opposant à E._.
A.e. La 5ème révision de l'AI a conduit à la suppression de la rente complémentaire pour conjoint dès le 1er janvier 2008. A partir de cette date, le client n'a plus perçu la rente pour son épouse.
Le 14 septembre 2009, l'avocat a requis de C._ un nouveau calcul du dommage tenant compte de la suppression de cette rente.
A.f. Le 16 mars 2010, le client a signé une procuration en faveur de Me Jean-Michel Duc concernant son litige avec E._, devenue dans l'intervalle G._ SA (ci-après: G._). Il a ouvert une action contre cette assurance, procédure qui s'est terminée par une transaction extrajudiciaire. Aux termes de la convention, G._ s'engageait à verser des prestations, hormis celles déjà prescrites.
B.
B.a. Le 19 novembre 2014, au bénéfice d'une autorisation de procéder, le client, toujours représenté par Me Jean-Michel Duc, a ouvert action contre l'avocat devant le tribunal de district de Sion. Au dernier état de ses conclusions, il a réclamé le paiement par celui-ci des montants, avec intérêts, de 96'000 fr. à titre de dommage subi en raison de l'omission de l'avocat d'interrompre la prescription en lien avec le litige l'ayant opposé à G._, de 76'342 fr. 10 à titre de dommage subi en raison de l'omission de l'avocat d'entreprendre des démarches afin de sauvegarder ses droits en lien avec la suppression de la rente complémentaire pour conjoint de l'AI, de 20'000 fr. à titre de dommage subi en raison de l'omission de l'avocat d'interrompre la prescription de ses droits envers la D._ et de 27'892 fr. 05 à titre de frais d'avocat hors procès.
L'avocat a conclu au rejet de la demande et, à titre reconventionnel, à ce que le client soit condamné à lui verser la somme de 15'238 fr. 80 avec intérêts.
Par jugement du 17 décembre 2018, le tribunal a condamné l'avocat à payer au client le montant de 20'000 fr. avec intérêts, correspondant à des frais d'avocat non pris en charge par la D._. Il a rejeté la demande reconventionnelle.
B.b. Par jugement du 8 novembre 2021, la Cour civile I du Tribunal cantonal valaisan a partiellement admis tant l'appel formé par le client que l'appel joint déposé par l'avocat. Statuant à nouveau, elle a condamné l'avocat à verser au client un montant de 72'065 fr. avec intérêts à titre de dommage dû en raison de son omission d'interrompre la prescription en lien avec le litige ayant opposé son client à G._. Elle a libéré l'avocat du paiement du montant de 20'000 fr. Elle a rejeté la demande reconventionnelle.
C.
Le client (ci-après: le recourant) a exercé un recours en matière civile au Tribunal fédéral à l'encontre de ce jugement. Il a conclu à sa réforme en ce sens que l'avocat (ci-après: l'intimé) soit condamné à lui payer les montants de 72'065 fr., 76'342 fr. 10, 20'000 fr. et 27'892 fr. 05, avec intérêts.
Dans sa réponse, l'intimé a conclu au rejet du recours.
La cour cantonale s'est référée aux considérants de son jugement.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF) et au délai de recours (art. 100 al. 1 LTF).
2.
2.1. Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'art. 42 al. 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (art. 108 al. 1 let. b LTF), il n'examine que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). " Manifestement inexactes " signifie ici " arbitraires " (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées. Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références citées).
3.
3.1. En vertu de l'art. 398 al. 1 CO, qui renvoie à l'art. 321e al. 1 CO, l'avocat mandataire répond du dommage qu'il cause au mandant intentionnellement ou par négligence.
Sa responsabilité est donc subordonnée aux quatre conditions suivantes, conformément au régime général de l'art. 97 CO: (1) une violation des obligations qui lui incombent en vertu du contrat, notamment la violation de ses obligations de diligence et de fidélité (art. 398 al. 2 CO; <ref-ruling> consid. 3.2.2; <ref-ruling> consid. 1); (2) un dommage; (3) un rapport de causalité (naturelle et adéquate) entre la violation du contrat et le dommage; et (4) une faute (arrêts 4A_187/2021 du 22 septembre 2021 consid. 3.1.1; 4A_350/2019 du 9 janvier 2020 consid. 3.1; 4A_175/2018 du 19 novembre 2018 consid. 4.1).
Le client mandant supporte le fardeau de l'allégation objectif ( objektive Behauptungslast) et le fardeau de la preuve ( Beweislast) des trois premières conditions conformément à l'art. 8 CC; il incombe en revanche à l'avocat mandataire de prouver qu'aucune faute ne lui est imputable (" à moins qu'il ne prouve... ") (arrêts précités 4A_187/2021 consid. 3.1; 4A_350/2019 consid. 3.1; 4A_175/2018 consid. 4.1).
3.2. En ce qui concerne le rapport de causalité, il y a causalité naturelle entre deux événements lorsque, sans le premier, le second ne se serait pas produit (arrêts 4A_133/2021 du 26 octobre 2021 consid. 9.1.1; 4A_350/2019 précité consid. 3.2; 4A_175/2018 précité consid. 4.1.2).
Lorsque le manquement reproché au mandataire est une omission, le rapport de causalité doit exister entre l'acte omis et le dommage. Entre celui-ci et celui-là, le rapport de cause à effet est nécessairement hypothétique (une inaction ne pouvant pas modifier le cours extérieur des événements), de sorte qu'à ce stade déjà, il faut se demander si le dommage aurait été empêché dans l'hypothèse où l'acte omis aurait été accompli; dans l'affirmative, il convient d'admettre l'existence d'un rapport de causalité entre l'omission et le dommage (<ref-ruling> consid. 5a/aa; arrêts précités 4A_133/2021 consid. 9.1.3; 4A_350/2019 consid. 3.2.2; 4A_175/2018 consid. 4.1.2).
Le rapport de causalité étant hypothétique, le juge se fonde sur l'expérience générale de la vie et émet un jugement de valeur; ce faisant, il élimine d'emblée certains scénarios comme improbables d'après cette même expérience. Il suffit qu'il se convainque que le processus causal est établi avec une vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 5a; arrêt précité 4A_133/2021 consid. 9.1.3).
En règle générale, lorsque le lien de causalité hypothétique entre l'omission et le dommage est établi, il ne se justifie pas de soumettre cette constatation à un nouvel examen sur la nature adéquate de la causalité (ATF <ref-ruling> consid. 5a). Ainsi, lorsqu'il s'agit de rechercher l'existence d'un lien de causalité entre une ou des omissions et un dommage, il convient de s'interroger sur le cours hypothétique des événements. Dans ce cas de figure, le Tribunal fédéral, saisi d'un recours en matière civile, est lié, selon l'art. 105 al. 1 LTF, par les constatations cantonales concernant la causalité naturelle, dès lors qu'elles ne reposent pas exclusivement sur l'expérience de la vie, mais sur des faits ressortant de l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 3.5 et les références; arrêts précités 4A_133/2021 consid. 9.1.3; 4A_350/2019 consid. 3.2.2; 4A_175/2018 consid. 4.1.2).
4.
Tout d'abord, le recourant critique les considérations des juges cantonaux en lien avec les frais d'avocat non pris en charge par la D._, s'élevant à 20'000 fr. Il soutient qu'ils ont retenu de manière arbitraire qu'aucune responsabilité ne pouvait être imputée à l'avocat pour ne pas avoir interrompu la prescription de ses droits à l'encontre de la D._.
4.1. La cour cantonale a considéré qu'il n'y avait pas de lien de causalité entre le manquement reproché à l'avocat, soit l'absence d'acte interruptif de prescription, et le dommage survenu, soit le montant de 20'000 fr. correspondant au montant des honoraires que la D._ avait refusé de prendre en charge. Selon la cour cantonale, il ressortait des courriers des 22 septembre 2009 et 11 février 2010 de la D._ qu'elle avait refusé d'entrer en matière parce que le client avait caché un élément important aux assureurs, à savoir sa participation à des courses automobiles, ce qui avait conduit à l'ouverture de plusieurs procédures. La D._ avait maintenu sa position alors qu'elle savait que C._ avait finalement retiré sa demande de révision et admis que l'incapacité de gain du client était inchangée malgré sa participation à des courses automobiles. D'après la cour cantonale, cela démontrait que la D._ avait considéré comme décisive l'attitude du client pour refuser ses prestations, même si, subsidiairement, elle avait invoqué la prescription. Il n'était pas nécessaire d'examiner si la D._ avait refusé sa couverture à bon droit, puisque le client n'avait ni allégué ni établi que si la prescription avait été interrompue, la D._ aurait dû couvrir le litige. Faute de lien de causalité entre le manquement reproché à l'avocat et le dommage survenu, aucune responsabilité ne pouvait être imputée à l'avocat pour ne pas avoir interrompu la prescription à l'encontre de la D._.
4.2. Le recourant soutient d'abord qu'il avait bel et bien allégué que si la prescription avait été interrompue, la D._ aurait dû couvrir le litige. Ensuite, il fait valoir que l'expertise avait conclu que sa participation à des courses automobiles ne remettait pas en cause son incapacité de travail précédemment constatée. En outre, C._ avait retiré sa demande de révision et n'avait pas remis en question le montant de l'indemnité qu'elle avait été condamnée à verser. Cela démontrait que la participation à des courses automobiles ne revêtait pas un caractère important au point qu'en ne mentionnant pas cet élément, le recourant aurait été la cause de la procédure de révision entamée par C._. L'élément en question n'ayant pas eu de répercussion sur l'obligation de prester des autres assureurs, il était arbitraire de considérer qu'un élément important aurait été caché et qu'il justifiait un refus de prestations.
4.3. La cour cantonale a écarté le lien de causalité naturelle entre l'omission reprochée à l'avocat et le dommage en se fondant sur son appréciation de moyens de preuve, à savoir deux courriers de la D._. Il appartenait ainsi au recourant de démontrer l'arbitraire dans les constatations cantonales concernant la causalité, ce qu'il ne parvient pas à faire, puisqu'il se limite à opposer sa propre appréciation à celle des juges cantonaux. Il n'esquisse d'ailleurs pas le moindre élément tendant à établir quelle aurait été, selon lui, la cause de la procédure de révision débutée par C._. La D._ a exprimé une position très claire dans ses courriers, à savoir que c'était l'omission du client de transmettre une information qui avait conduit à la procédure de révision introduite par C._ et aux litiges subséquents avec F._ et E._, raison pour laquelle la D._ refusait de lui accorder sa couverture pour ceux-ci. La D._ a même confirmé sa position par la suite, après avoir pris connaissance du retrait de la demande de révision déposée par C._. Dès lors, l'appréciation de la cour cantonale, selon laquelle c'était une omission du client, et non de l'avocat, qui avait justifié le refus de prestations de la D._, n'est en aucun cas arbitraire.
Par ailleurs, le recourant ne saurait reprocher à la cour cantonale de ne pas avoir examiné si la D._ avait refusé sa couverture à bon droit. Certes, le recourant a effectivement allégué, dans son mémoire de demande, que si son avocat avait interrompu utilement la prescription envers la D._, il aurait " assurément " obtenu de cette dernière le remboursement de la seconde provision qu'il avait versée à son avocat. Cet allégué a toutefois été contesté par l'avocat, lequel a souligné dans son mémoire de réponse que le refus de prise en charge était motivé par le fait que le client avait omis de mentionner sa participation à des courses automobiles. Dans son recours, le client ne démontre pas que la cour cantonale aurait fait preuve d'arbitraire en retenant qu'il n'avait pas établi que la D._ aurait dû couvrir le litige si la prescription avait été interrompue (cf. consid. 6.1.1 et 6.1.3 infra).
En définitive, la cour cantonale a considéré, sans arbitraire, qu'il n'y avait pas de lien de causalité entre le comportement reproché à l'avocat et le dommage subi. Ainsi, elle était fondée à nier la responsabilité de l'avocat à cet égard.
5.
Ensuite, le recourant soutient que la cour cantonale a fait preuve de formalisme excessif et d'arbitraire en refusant d'entrer en matière sur l'un de ses griefs en lien avec la perte de rente complémentaire pour conjoint d'invalide. Par ce grief, il reprochait à l'avocat de ne pas avoir ouvert une action en enrichissement illégitime contre C._. La cour cantonale a notamment retenu qu'il n'avait pas critiqué la motivation du juge de première instance sur ce point.
5.1. Pour satisfaire à son obligation de motivation de l'appel prévue à l'art. 311 al. 1 CPC, l'appelant doit démontrer le caractère erroné de la motivation de la décision attaquée par une argumentation suffisamment explicite pour que l'instance d'appel puisse la comprendre, ce qui suppose une désignation précise des passages de la décision qu'il attaque et des pièces du dossier sur lesquelles repose sa critique (<ref-ruling> consid. 2.3.3; <ref-ruling> consid. 4.3.1). Même si l'instance d'appel applique le droit d'office (art. 57 CPC), le procès se présente différemment en seconde instance. L'appelant doit tenter de démontrer que sa thèse l'emporte sur celle de la décision attaquée. Il ne saurait se borner à reprendre des allégués de fait ou des arguments de droit présentés en première instance, mais il doit s'efforcer d'établir que, sur les faits constatés ou sur les conclusions juridiques qui en ont été tirées, la décision attaquée est entachée d'erreurs. Il ne peut le faire qu'en reprenant la démarche du premier juge et en mettant le doigt sur les failles de son raisonnement. Si la motivation de l'appel est identique aux moyens qui avaient déjà été présentés en première instance, si elle ne contient que des critiques toutes générales de la décision attaquée, ou encore si elle ne fait que renvoyer aux moyens soulevés en première instance, elle ne satisfait pas aux exigences de l'art. 311 al. 1 CPC et l'instance d'appel ne peut entrer en matière (arrêts 4D_9/2021 du 19 août 2021 consid. 3.3.1; 4A_610/2018 du 29 août 2019 consid. 5.2.2.1; 4A_218/2017 du 14 juillet 2017 consid. 3.1.2).
5.2. En l'espèce, la cour cantonale a retenu que s'agissant du point de savoir si l'avocat aurait dû ouvrir action contre C._ sur la base des règles sur l'enrichissement illégitime, le client n'avait pas critiqué la motivation du juge de première instance; ce dernier avait considéré qu'une telle action se serait heurtée au principe de l'autorité de la chose jugée puisque les prestations dues au client par C._ avaient fait l'objet du jugement du 1er avril 2006, lequel était entré en force. La cour cantonale a relevé que le client s'était contenté d'exposer, comme il l'avait fait en première instance, que l'avocat aurait dû ouvrir action sur la base de l'enrichissement illégitime car les conditions d'application de cette disposition étaient réunies. Faute de motivation topique, la cour cantonale n'est pas entrée en matière sur ce grief.
5.3. Le recourant soutient que la motivation de son appel était suffisante, car il avait fait valoir la suppression de la rente complémentaire pour conjoint, " qui ne pouvait bien entendu pas faire partie du complexe de faits " sur la base duquel le jugement du 1er avril 2006 avait été rendu. Selon le recourant, il ressortait ainsi de son appel qu'il avait considéré qu'une action en enrichissement illégitime était possible, dès lors que l'autorité de la chose jugée du jugement ne pouvait lui être opposée.
5.4. Le recourant ne saurait être suivi dans son extrapolation. Dans son mémoire d'appel, il s'est limité à soutenir que les conditions de l'enrichissement illégitime étaient établies, comme précédemment, sans s'efforcer de démontrer en quoi la motivation du premier juge était erronée. Ceci n'est pas suffisant au regard de la jurisprudence précitée. Par ailleurs, si la validité d'un moyen de droit présuppose, en vertu d'une règle légale expresse, une motivation - même minimale -, en exiger une ne saurait constituer une violation de l'interdiction du formalisme excessif (<ref-ruling> consid. 2.4.2; arrêt 4A_610/2018 précité consid. 5.2.2.2).
Partant, c'est à raison que la cour cantonale a refusé d'entrer en matière sur ce grief. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu d'examiner la motivation alternative présentée par la cour cantonale à ce sujet.
6.
Enfin, le recourant reproche à l'instance précédente d'avoir écarté le poste du dommage relatif aux frais d'avocat hors procès, s'élevant à 27'892 fr. 05 avec intérêts. Il dénonce une violation des art. 221 al. 1 let. d et 222 al. 2 CPC.
6.1.
6.1.1. Conformément à la maxime des débats (art. 55 al. 1 CPC), il incombe aux parties, et non au juge, de rassembler les faits du procès, c'est-à-dire d'alléguer les faits pertinents (fardeau de l'allégation subjectif) et d'offrir les moyens de preuve propres à établir ceux-ci (fardeau de l'administration de la preuve) (<ref-ruling> consid. 5.1). En vertu des art. 221 al. 1 let. d et 222 al. 2 CPC, les faits pertinents doivent être allégués en principe dans la demande, respectivement dans la réponse, et ils doivent être suffisamment motivés (charge de la motivation) pour que la partie adverse puisse se déterminer sur eux et que le juge puisse savoir quels sont les faits admis, respectivement les faits contestés sur lesquels des moyens de preuve devront être administrés (art. 150 al. 1 CPC; pour plus de détails, cf. le même arrêt consid. 5.2.1). Selon les art. 221 al. 1 let. e et 222 al. 2 CPC, les moyens de preuve propres à établir les faits pertinents doivent également y être indiqués. Au regard de la maxime des débats, la personne de l'alléguant importe peu: il suffit que les faits fassent partie du cadre du procès pour que le juge puisse en tenir compte. Il n'en demeure pas moins que celui qui supporte le fardeau de la preuve (art. 8 CC) et donc, en principe, le fardeau de l'allégation objectif, a toujours intérêt à alléguer lui-même les faits pertinents, ainsi qu'à indiquer au juge ses moyens de preuve, pour qu'ils fassent ainsi partie du cadre du procès (<ref-ruling> consid. 4.1; arrêt 4A_164/2021 du 21 décembre 2021 consid. 3.1 et les arrêts cités).
6.1.2. En ce qui concerne l'allégation d'une facture, le demandeur doit en principe en alléguer les différents postes dans sa demande. La jurisprudence admet toutefois exceptionnellement qu'il n'y indique que le montant total lorsqu'il peut se référer à, et produire, une pièce qui contient toutes les informations nécessaires de manière claire et complète, au point que l'exigence de la reprise du détail de la facture dans les allégués de la demande n'aurait pas de sens. Il ne suffit pourtant pas que la pièce produite contienne, sous une forme ou sous une autre, lesdites informations. Leur accès doit être aisé et aucune marge d'interprétation ne doit subsister (<ref-ruling> consid. 5.2.1.2; arrêt 4A_164/2021 précité consid. 3.2 et les arrêts cités).
6.1.3. Le défendeur doit contester les faits dans sa réponse (art. 222 al. 2, 2e phrase, CPC). Si, en principe, il peut se contenter de contester les faits allégués par le demandeur, il doit, dans certaines circonstances exceptionnelles, concrétiser sa contestation (charge de la motivation de la contestation), de façon que le demandeur puisse savoir quels allégués précis sont contestés et, partant, puisse faire administrer la preuve dont le fardeau lui incombe; plus les allégués du demandeur sont motivés, plus les exigences de contestation de ceux-ci par le défendeur sont élevées.
Ainsi, en présence d'une facture alléguée avec référence à la pièce produite dont le contenu est détaillé et explicite, il appartient au défendeur d'indiquer précisément quelles positions de la facture il conteste, à défaut de quoi la facture sera censée admise et n'aura donc pas à être prouvée (art. 150 al. 1 CPC; <ref-ruling> consid. 5.2.2.3; arrêt 4A_164/2021 précité consid. 3.3 et les arrêts cités).
6.2. Les frais d'avocat avant procès peuvent compter parmi les postes du dommage sujet à réparation, mais uniquement s'ils étaient justifiés, nécessaires et adéquats pour faire valoir la créance en dommages-intérêts, et seulement dans la mesure où ils ne sont pas couverts par les dépens (arrêt 4A_692/2015 du 1er mars 2017 consid. 6.1.2 non publié in <ref-ruling>; cf. <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 3a; arrêt 4A_264/2015 du 10 août 2015 consid. 3 et les arrêts cités). Les frais d'avocat avant l'ouverture du procès et les circonstances justifiant leur indemnisation sont des faits qu'il incombe à la partie demanderesse d'alléguer en la forme prescrite et en temps utile (arrêts précités 4A_692/2015 consid. 6.1.2; 4A_264/2015 consid. 4.2.2). La partie qui demande le remboursement de ses frais d'avocat avant procès doit ainsi exposer de manière étayée les circonstances justifiant que les dépenses invoquées soient considérées comme un poste du dommage et donc qu'ils étaient justifiés, nécessaires et adéquats et qu'ils ne sont pas couverts par les dépens (arrêt précité 4A_264/2015 consid. 4.2.2). Les activités effectuées par l'avocat doivent être décrites clairement; une description claire des activités ne suffit toutefois pas à elle seule pour juger si les frais étaient nécessaires et adéquats. Le contexte dans lequel ces activités se sont déroulées est également important (arrêt précité 4A_692/2015 consid. 6.1.3 non publié in <ref-ruling> et les arrêts cités).
6.3. En l'espèce, la cour cantonale a retenu que la responsabilité de l'avocat pour un manquement à son obligation de diligence était engagée uniquement pour le litige ayant opposé le client à G._. Le client avait dû s'attacher les services d'un autre homme de loi afin d'accomplir les démarches utiles et l'assister dans la procédure. Toutefois, il n'avait pas satisfait au fardeau de l'allégation. En effet, dans son mémoire de demande et sa réplique, il avait allégué avoir engagé des frais d'avocat hors procès à hauteur de 27'892 fr. 05, que son activité avait consisté à examiner dix, voire douze classeurs fédéraux, qu'elle avait concerné les procédures engagées à l'encontre de G._ et de F._, de même que les négociations avec la D._ et la procédure ouverte devant la Chambre de surveillance des avocats du canton du Valais, et qu'elle avait été rendue nécessaire par l'incurie de son ancien avocat. Ces allégués avaient été contestés par la partie adverse. A titre de moyen de preuve, le client avait produit une liste de frais faisant état des opérations effectuées. Le renvoi à cette liste ne saurait suffire, puisqu'elle récapitulait les activités déployées par l'avocat dans les différents litiges (G._, F._, AI, C._, Me B._, Chambre de surveillance des avocats), que nombre d'entre elles étaient décrites de manière générique (entretien client, courrier client, etc.), ce qui rendait impossible de les relier à un volet spécifique de l'affaire et d'examiner le caractère nécessaire et raisonnable des démarches. Or, il appartenait au client de détailler dans les allégués présentés lors du double échange d'écritures les démarches concrètes effectuées par son avocat, d'exposer en quoi elles étaient nécessaires et n'étaient couvertes ni par les conventions conclues avec les assurances, ni par les dépens alloués dans le cadre des procédures.
6.4. Le recourant soutient qu'il a allégué le montant total de ses frais d'avocat hors procès et a renvoyé à une liste détaillée et explicite de dix pages contenant des informations claires. Cette pièce était commentée dans les allégués cités par la cour cantonale. En rédigeant ces allégués, il ne pouvait savoir quel serait le jugement qui allait être rendu, de sorte qu'il importait peu que la cour cantonale n'ait retenu qu'une violation des devoirs de l'avocat pour le volet G._. Le recourant fait ainsi valoir qu'il a satisfait à son devoir d'allégation et qu'il appartenait donc à la partie adverse d'indiquer précisément les positions de la note qu'elle contestait, à défaut de quoi cette note était censée être admise.
6.5. Le recourant perd de vue qu'il ne suffit pas que la pièce produite contienne les informations nécessaires. Leur accès doit être aisé et aucune marge d'interprétation ne doit subsister. Tel n'est pas le cas en l'espèce puisque, selon les constatations de la cour cantonale, liant le Tribunal fédéral, de nombreux postes de cette liste étaient décrits de manière générique et ne pouvaient être rattachés à l'un ou l'autre des différents litiges auxquels le client était partie. Il est vrai qu'au moment du double échange d'écritures, le client ne savait pas encore si sa demande allait être admise et, le cas échéant, pour quel (s) volet (s). Pour obtenir le paiement des frais d'avocat hors procès en lien avec le (s) volet (s) admis, il lui appartenait toutefois de distinguer de manière claire les opérations réalisées pour les différents litiges. En outre, au vu des circonstances du cas, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en considérant que cette liste, combinée avec les quelques allégués - très vagues - formulés par le client, ne permettaient pas de déterminer, notamment, si les frais d'avocat étaient déjà couverts et s'ils étaient adéquats.
Le grief du recourant quant à la prise en charge de son dommage relatif aux frais d'avocat hors procès doit dès lors être rejeté.
7.
En définitive, le recours est rejeté.
Le recourant, qui succombe, prendra en charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il versera en outre une indemnité de dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimé une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile I du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 8 avril 2022
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Raetz