Sachverhalt:
A.
Am 3. Dezember 2019 setzte der Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt die Wahl eines neuen Mitglieds des Präsidiums und die Ersatzwahl einer Präsidentin bzw. eines Präsidenten des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt auf den 17. Mai 2020 an. Am 20. März 2020 sagte der Regierungsrat diese Volkswahlen aufgrund der COVID-19-Pandemie ab.
B.
B.a. Mit Beschluss vom 31. März 2020 stellte der Gerichtsrat des Kantons Basel-Stadt dem Grossen Rat des Kantons Basel-Stadt ein Begehren um befristete Zuwahl einer Gerichtspräsidentin und um befristete Erhöhung der Pensen von verschiedenen Präsidiumsmitgliedern am Appellationsgericht gestützt auf § 29 Abs. 1 des Gerichtsorganisationsgesetzes des Kantons Basel Stadt vom 3. Juni 2015 (GOG/BS; SG 154.100).
B.b. Gegen den Beschluss des Gerichtsrats vom 31. März 2020 erhob A._ am 6. April 2020 eine Verfassungsbeschwerde beim Appellationsgericht und ausserdem eine Wahl- und Stimmrechtsbeschwerde bei der Staatskanzlei des Kantons Basel-Stadt, wobei die Staatskanzlei die bei ihr eingereichte Beschwerde zur Behandlung an das Appellationsgericht weiterleitete. Ebenfalls gegen den Beschluss des Gerichtsrats vom 31. März 2020 erhob A._ am 7. April 2020 überdies Beschwerde an das Bundesgericht. A._ beantragte jeweils, der Beschluss vom 31. März 2020 sei als verfassungswidrig zu erklären und die Wahlen der Gerichtspräsidien durch den Grossen Rat seien zu annullieren.
B.c. Mit Vernehmlassung vom 14. April 2020 beantragte der Gerichtsrat, die Beschwerde an das Bundesgericht sei abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne. Der Grosse Rat liess sich am 29. April 2020 vernehmen. Ohne ausdrücklich ein Begehren zu stellen, hielt er unter anderem fest, es sei fraglich, ob der in Form eines Ratschlags an den Grossen Rat überwiesene Beschluss des Gerichtsrats ein taugliches Anfechtungsobjekt darstelle und somit überhaupt auf die Beschwerde eingetreten werden könne.
B.d. Ein Gesuch von A._ um Anordnung vorsorglicher Massnahmen im Verfahren vor Bundesgericht wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 5. Mai 2020 ab.
C.
Am 3. Juni 2020 stimmte der Grosse Rat dem Begehren des Gerichtsrats um befristete Zuwahl einer Gerichtspräsidentin und um befristete Erhöhung des Pensums einer amtierenden Präsidentin am Appellationsgericht gestützt auf § 29 Abs. 1 GOG/BS zu. Gegen den Beschluss des Grossen Rats vom 3. Juni 2020 erhob A._ am 4. Juni 2020 im Rahmen des bereits beim Bundesgericht hängigen Verfahrens "eventualiter" Beschwerde an das Bundesgericht.
D.
Mit Urteilen vom 11. bzw. 19. Juni 2020 trat das Appellationsgericht als Verwaltungsgericht bzw. als Verfassungsgericht auf die Wahl- und Stimmrechtsbeschwerde bzw. die Verfassungsbeschwerde von A._ vom 6. April 2020 nicht ein. Gegen die Urteile des Appellationsgerichts vom 11. bzw. 19. Juni 2020 erhob A._ am 23. bzw. 29. Juli 2020 im Rahmen des bereits beim Bundesgericht hängigen Verfahrens wiederum Beschwerde an das Bundesgericht.
E.
Das Bundesgericht hat auf das Einholen weiterer Vernehmlassungen verzichtet. Der Beschwerdeführer hat in der Sache weitere Eingaben eingereicht.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht steht gemäss <ref-law> offen gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts (lit. a), gegen kantonale Erlasse (lit. b) und betreffend die politischen Rechte der Bürgerinnen und Bürger (lit. c). Die Beschwerde gegen kantonale Erlasse (<ref-law>) scheidet vorliegend von vornherein aus. Zu prüfen ist, ob die Beschwerde gemäss <ref-law> offen steht.
2.
Der Beschwerdeführer scheint seine Beschwerde als Beschwerde in Stimmrechtssachen gemäss <ref-law> zu verstehen, zumal er für die Beschwerdelegitimation auf seine Wahlberechtigung im Kanton Basel-Stadt verweist (vgl. <ref-law>).
Gemäss § 29 Abs. 1 GOG/BS kann der Grosse Rat auf Antrag des Gerichtsrats für bestimmte Zeit eine Präsidentin oder einen Präsidenten wählen, die oder der die Wählbarkeitsvoraussetzungen für Gerichtspräsidien erfüllt, wenn eine Präsidentin oder ein Präsident aus gesundheitlichen oder anderen wichtigen Gründen nicht in der Lage ist, das Amt auszuüben oder wenn wegen aussergewöhnlich grosser Geschäftslast Bedarf besteht.
Mangels eines direkten Zusammenhangs mit den politischen Rechten der Stimmberechtigten gehören so genannte indirekte Wahlen durch Parlamente und andere Wahlkörper nicht zum Gegenstand der Beschwerde in Stimmrechtssachen gemäss <ref-law> (Urteil 1C_295/2019 vom 16. Juli 2020 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 1.1 S. 78 f.). Bei der am 3. Juni 2020 gestützt auf § 29 Abs. 1 GOG/BS durch den Grossen Rat vorgenommenen Wahl handelt es sich um eine solche indirekte Wahl, weshalb die Beschwerde in Stimmrechtssachen gemäss <ref-law> vorliegend nicht zur Verfügung steht.
3.
Gemäss <ref-law> steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen gegen Entscheide in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts.
3.1. Das am 31. März 2020 beschlossene Begehren des Gerichtsrats an den Grossen Rat ist nicht als abschliessender Entscheid, sondern als rechtlich nicht verbindlicher Antrag zuhanden des Kantonsrats zu qualifizieren. Es erfüllt die Anforderungen an einen anfechtbaren Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts gemäss <ref-law> nicht (vgl. Urteil 1C_295/2019 vom 16. Juli 2020 E. 2.1 f.). Folglich bilden auch die Urteile des Appellationsgerichts vom 11. bzw. 19. Juni 2020, mit welchen das Gericht auf die Rechtsmittel des Beschwerdeführers gegen das Begehren des Gerichtsrats nicht eingetreten ist, kein zulässiges Anfechtungsobjekt im Sinne von <ref-law>.
3.2. Damit ist allerdings noch nicht geklärt, ob die Beschwerde gemäss <ref-law> gegen den vom Beschwerdeführer mitangefochtenen Wahlakt des Grossen Rats vom 3. Juni 2020 selber offen steht und gegebenenfalls, ob dagegen direkt beim Bundesgericht Beschwerde geführt werden könnte (vgl. <ref-law>).
Das Bundesgericht hat sich in einem kürzlich ergangenen Urteil mit der Frage befasst, ob Wahlen und Wiederwahlen von Richterinnen und Richter durch ein kantonales Parlament gestützt auf <ref-law> mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht angefochten werden können. Es hat darauf hingewiesen, dass die Rechtsnatur von Wahlen und Wiederwahlen von Richterinnen und Richtern durch ein Parlament nicht abschliessend geklärt sei, ist im betreffenden Verfahren jedoch von einem grundsätzlich zulässigen Anfechtungsobjekt ausgegangen, weil der Beschwerdeführer - anders als der Beschwerdeführer im vorliegenden Verfahren - geltend machte, er sei dadurch, dass er mit dem strittigen Wahlakt aus Altersgründen nicht wiedergewählt worden sei, im Sinne von <ref-law> diskriminiert worden (Urteil 1C_295/2019 vom 16. Juli 2020 E. 3.2 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen).
Mit Blick auf die nachfolgenden Überlegungen kann offen bleiben, ob der Wahlakt des Grossen Rats vom 3. Juni 2020 unter den gegebenen Umständen ein zulässiges Anfechtungsobjekt im Sinne von <ref-law> darstellt und gegebenenfalls, ob dagegen direkt beim Bundesgericht Beschwerde erhoben werden könnte.
3.3. Zur Beschwerde gemäss <ref-law> ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Nach <ref-law> muss ein Beschwerdeführer die Tatsachen darlegen, aus denen sich seine Beschwerdeberechtigung ergibt, sofern diese nicht offensichtlich gegeben ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 292 mit Hinweisen). Erforderlich ist grundsätzlich ein aktuelles Rechtsschutzinteresse. Dieses Interesse muss nicht nur bei der Beschwerdeeinreichung, sondern auch im Zeitpunkt der Urteilsfällung noch aktuell und praktisch sein. Fällt das Interesse im Verlaufe des Verfahrens dahin, wird die Sache als erledigt abgeschrieben (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143). Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen).
Die vorliegend umstrittene Zuwahl im Sinne von § 29 Abs. 1 GOG/BS wurde vom Grossen Rat am 3. Juni 2020 beschlossen. Sie wurde damit begründet, dass die ursprünglich am 17. Mai 2020 vorgesehene Wahl eines neuen Mitglieds des Präsidiums und die Ersatzwahl einer Präsidentin bzw. eines Präsidenten des Appellationsgerichts durch das Volk wegen der Covid-19-Pandemie nicht durchgeführt werden konnte und die Geschäftslast gross sei. Entsprechend wurde die Zuwahl befristet bzw. die Dauer der Tätigkeit der zugewählten Personen vom Zeitpunkt des Amtsantritts der vom Volk zu wählenden Nachfolgerin oder des Nachfolgers abhängig gemacht.
Wie den Akten entnommen werden kann, hat sich der Beschwerdeführer am 24. April 2020 beim Grossen Rat zur Wahl als Appellationsgerichtspräsident anstelle der vom Gerichtsrat für die Zuwahl vorgeschlagenen Personen empfohlen. Soweit er in der Folge vom Grossen Rat nicht gewählt wurde, kann darin allenfalls ein persönliches Interesse an der Aufhebung des Wahlakts erblickt werden. Allerdings wurde die Volkswahl für die am Appellationsgericht neu zu besetzenden Richterpräsidien für den Rest der Amtsperiode 2016-2021 in der Folge neu angesetzt und am 27. September 2020 durchgeführt, wobei der Beschwerdeführer an dieser Wahl als Kandidat teilgenommen hat. Inwiefern er unter diesen Umständen noch ein aktuelles praktisches Interesse an der Aufhebung des Wahlbeschlusses vom 3. Juni 2020 haben sollte, ist jedenfalls nicht offensichtlich und wird vom Beschwerdeführer nicht dargetan. Ebenfalls ist weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern die Voraussetzungen erfüllt wären, wonach das Bundesgericht ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses verzichten würde.
4.
Nach dem Ausgeführten ist auf die am 4. Juni 2020 und am 23. bzw. 29. Juli 2020 ergänzte Beschwerde vom 7. April 2020 nicht einzutreten, soweit das Verfahren nicht ohnehin gegenstandslos geworden ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind dem Beschwerdeführer reduzierte Gerichtskosten zu auferlegen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten, soweit sie nicht ohnehin gegenstandslos ist.
2.
Dem Beschwerdeführer werden reduzierte Gerichtskosten von Fr. 500.-- auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Grossen Rat des Kantons Basel-Stadt, dem Gerichtsrat des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Mattle