Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Entscheid vom 25. Januar 2008 schied das Bezirksgericht Zürich die Ehe zwischen A._ (geb. 1959) und C._ (geb. 1961) und genehmigte die von den Ehegatten abgeschlossene Scheidungskonvention vom 2. November 2007. Gemäss Ziffer 3.1 der Konvention war A._ verpflichtet, ab 1. Januar 2007 bis und mit Juni 2012 monatliche Kinderalimente von Fr. 1'500.-- an seine Tochter B._ (geb. 13. Juni 2000) zu entrichten, sowie Fr. 1'700.-- ab 1. Juli 2012 bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung, auch über die Volljährigkeit hinaus. Gemäss Ziffer 3.2 der Ehescheidungskonvention ist der Unterhaltsbeitrag an die Mutter zu entrichten, solange die Tochter in deren Haushalt lebt und nicht eigene Ansprüche an den Vater geltend macht.
A.b. Mit Eingabe vom 25. Juli 2019 unterbreitete A._ dem Friedensrichteramt Willisau das folgende Begehren:
"Es sei festzustellen, dass der Kläger der Beklagten aus Ziff. 3.1. in Verbindung mit Ziff. 3.2. Urteil Bezirksgericht Zürich vom 25. Januar 2008 keine Alimente schuldet."
Das Schlichtungsverfahren verlief ergebnislos und das Friedensrichteramt erteilte A._ am 1. Oktober 2019 die Klagebewilligung.
A.c. Am 14. Januar 2020 gelangte A._ an das Bezirksgericht Willisau. Soweit vorliegend relevant formulierte er folgende Rechtsbegehren:
"1. Es sei festzustellen, dass der Kläger der mündigen und volljährigen Beklagten aus Ziff. 3.1. in Verbindung mit Ziff. 3.2. Urteil Bezirksgericht Zürich vom 25. Januar 2008 keine Alimente schuldet.
2. Eventuell sei Ziff. 3. (Ziff. 3.1. in Verbindung mit Ziff. 3.2.) Urteil Bezirksgericht Zürich vom 25. Januar 2008 abzuändern und den [sic] Kläger davon zu befreien, die entsprechenden Unterhaltsbeiträge zu entrichten."
Das Bezirksgericht beschränkte das Prozessthema auf die Frage der örtlichen Zuständigkeit und trat mit Entscheid vom 15. Mai 2020 auf die Klage nicht ein.
B.
Das Kantonsgericht wies die von A._ dagegen erhobene Berufung, mit welcher er das Eintreten auf die Feststellungsklage und deren materielle Beurteilung durch das Bezirksgericht verlangte, ab (Entscheid vom 15. Dezember 2020; Postaufgabe am 23. Dezember 2020).
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen bzw. eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 1. Februar 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt:
"1. Die Beschwerde in Zivilsachen sei gutzuheissen, das Urteil des Kantonsgerichtes Luzern (2. Abteilung) vom 15. Dezember 2020 vollumfänglich aufzuheben, auf die Zivilklage vom 14. Januar 2020 einzutreten und festzustellen, dass der Beschwerdeführer der mündigen und volljährigen Beschwerdegegnerin aus Ziff. 3.1. in Verbindung mit Ziff. 3.2. Urteil Einzelrichter Bezirksgericht Zürich vom 25. Januar 2008 keine Alimente schuldet.
2. Zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens sei die Sache an das Kantonsgericht Luzern (2. Abteilung) zurückzuweisen.
3. Eventuell sei die Beschwerde in Zivilsachen gutzuheissen, das Urteil des Kantonsgerichtes Luzern (2. Abteilung) vom 15. Dezember 2020 vollumfänglich aufzuheben, auf die Zivilklage vom 14. Januar 2020 einzutreten und die Sache im Sinne nachstehender Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
4. [aufschiebende Wirkung]
5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdegegnerin."
C.b. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
C.c. Der Präsident der urteilenden Abteilung hat am 18. Februar 2021 der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer vermögensrechtlichen Zivilsache betreffend Volljährigenunterhalt (<ref-law>). Der Streitwert beträgt Fr. 61'200.--. Auf die vom hierzu legitimierten Beschwerdeführer binnen Frist eingereichte Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten (Art. 72 Abs. 1, Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 75, Art. 76, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Für die eventualiter erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Platz.
1.2. Nachdem die kantonalen Instanzen auf die Klage des Beschwerdeführers nicht eingetreten sind und sich demzufolge mit dem eingeklagten Anspruch materiell nicht auseinandergesetzt haben, steht ein reformatorisches Urteil des Bundesgerichts ausser Frage, weshalb auf das Hauptbegehren nicht eingetreten werden kann. Vorbehaltlos zulässig ist indes das Eventualbegehren, wobei die Sache im Gutheissungsfall an das Bezirksgericht Willisau zurückzuweisen wäre (<ref-law>).
2.
Streitig ist die örtliche Zuständigkeit des vom Beschwerdeführer angerufenen Bezirksgerichts Willisau. Unbestrittenermassen wohnt der Beschwerdeführer in U._ und damit im Sprengel des Bezirksgerichts Willisau, während die Beschwerdegegnerin ihren Wohnsitz in V._ verzeichnet.
2.1. Gemäss <ref-law> haben die Eltern für den Unterhalt des Kindes aufzukommen, wobei sich der zu entrichtende Unterhaltsbeitrag gemäss <ref-law> nach den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern bemisst (vgl. <ref-ruling> E. 5.5). Hat das Kind im Zeitpunkt des Eintritts der Volljährigkeit noch keine angemessene Ausbildung, so haben die Eltern, soweit es ihnen nach den gesamten Umständen zugemutet werden darf, für seinen Unterhalt aufzukommen, bis eine entsprechende Ausbildung ordentlicherweise abgeschlossen werden kann (<ref-law>).
2.2. Der Unterhaltsanspruch nach <ref-law> ist auf die Verwirklichung einer beruflichen Ausbildung gerichtet. Darunter ist eine Ausbildung zu verstehen, die es dem Kind im Rahmen seiner Fähigkeiten und Neigungen erlaubt, seinen Lebensunterhalt zu verdienen und wirtschaftlich selbständig zu werden (<ref-ruling> E. 4b mit Hinweisen). Der Volljährigenunterhalt ist nur geschuldet, wenn sich der Jugendliche (noch) in Ausbildung befindet und diese beruflichen Charakter hat. Zweitausbildung, Weiterbildung und Zusatzausbildung fallen grundsätzlich nicht darunter, auch wenn sie als nützlich angesehen werden können. Anders verhält es sich jedoch, wenn es um die erste eigentliche Berufsausbildung geht, selbst wenn sie erst begonnen wird, nachdem der Jugendliche bereits erwerbstätig gewesen ist. Die Ausbildung muss überdies einem - zumindest in seinen Grundzügen - bereits vor der Volljährigkeit angelegten Lebensplan entsprechen (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 4b; <ref-ruling> E. 6c, 406 E. 2a).
2.3. Eine bis zum Ende der beruflichen Ausbildung zu bezahlende Kindesunterhaltsrente ist resolutiv, d.h. auflösend bedingt (<ref-ruling> E. 2.2; Urteile 5A_719/2019 vom 23. März 2020 E. 3.3.1; 5A_445/2012 vom 2. Oktober 2013 E. 4.2, in: SJ 2014 I S. 190 f.; je mit Hinweisen). Ist die Resolutivbedingung - in der Regel das Ende der beruflichen Ausbildung oder wie hier die Frage, ob die Beschwerdegegnerin überhaupt einer ersten beruflichen Ausbildung nachgeht - eingetreten, geht die Unterhaltspflicht bzw. der Unterhaltsanspruch unter (vgl. <ref-ruling> E. 4c).
2.4. Der Unterhaltsschuldner kann den Untergang seiner Unterstützungspflicht feststellen lassen, indem er den Beweis dafür erbringt, dass die Bedingung nicht (mehr) erfüllt ist. Einer Abänderung des die Unterhaltspflicht statuierenden Entscheids bedarf es in diesem Fall nicht, denn der Unterhaltspflichtige leitet den Untergang der Unterhaltspflicht unmittelbar aus dem ihn resolutiv bedingt verpflichtenden Entscheid ab. Anders liegt die Sache (nur), wenn der Unterhaltsschuldner andere Umstände geltend macht, die sich nach dem Unterhaltsentscheid zugetragen haben, wie beispielsweise die Verschlechterung seiner Leistungsfähigkeit oder die Verbesserung der Eigenversorgungskapazität des Unterhalt beanspruchenden Kindes, um daraus zu folgern, die Voraussetzungen nach <ref-law> seien nicht (mehr) erfüllt (zum Ganzen: Urteil 5A_445/2012 vom 2. Oktober 2013 E. 4.4 mit Hinweisen, in: SJ 2014 I S. 191 f. [ergangen im Rahmen einer negativen Feststellungsklage nach <ref-law>]).
2.5. Mit seinem Klagehauptbegehren beantragte der Beschwerdeführer, "[e]s sei festzustellen, dass der Kläger der mündigen und volljährigen Beklagten aus Ziff. 3.1. in Verbindung mit Ziff. 3.2. Urteil Bezirksgericht Zürich vom 25. Januar 2008 keine Alimente schuldet". In seiner Klage machte er ausschliesslich geltend, seine Tochter gehe keiner unterstützungspflichtigen Erstausbildung (mehr) nach, weshalb er ihr keinen Volljährigenunterhalt schulde (die Beschwerdegegnerin habe die Sekundarschule A verlassen, weil sie sich im Unterricht weder engagiert noch mitgemacht und nicht gelernt habe; danach habe sie "dieses und jenes" gemacht; der Schulbestätigung D._ vom 20. Mai 2019 sei zu entnehmen, dass dies eine anerkannte Ergänzungsschule sei, also keine angemessene Ausbildung, sondern eine gewünschte Weiterbildung); demgegenüber berief er sich weder auf eine verminderte Leistungsfähigkeit seinerseits noch auf eine verbesserte Eigenversorgungskapazität der Beschwerdegegnerin oder auf andere Gründe, welche eine Abänderung des Scheidungsurteils vom 25. Januar 2008 zu rechtfertigen vermöchten. Daher hat der Beschwerdeführer eine Feststellungsklage im Sinn von <ref-law> erhoben und die Frage der örtlichen Zuständigkeit ist allein unter diesem Gesichtspunkt zu beurteilen. Der Vorwurf des Beschwerdeführers, das Kantonsgericht unterscheide zu Unrecht zwischen Abänderung und negativer Feststellung, ist unbegründet.
Soweit er sodann zumindest sinngemäss behauptet, das Kantonsgericht sei willkürlich bzw. überspitzt formalistisch von einer Feststellungsklage und nicht von einer Abänderungsklage ausgegangen, zielen seine Ausführungen ins Leere; darauf ist nicht weiter einzugehen. Ebenso wird die Frage, ob es sich beim erstmals vor dem Bezirksgericht gestellten Eventualbegehren (Sachverhalt Bst. A.c) um eine im Sinn von <ref-law> unzulässige Klageänderung handelt oder nicht, gegenstandslos; eine Auseinandersetzung mit der vorgetragenen Argumentation erübrigt sich. Ins Leere zielt sodann die Kritik des Beschwerdeführers an den Erwägungen des Kantonsgerichts im Kontext von <ref-law>, denn das Kantonsgericht ist ja gerade - und zu Recht - nicht von einem Abänderungsverfahren ausgegangen.
Aus den vorstehenden Erwägungen folgt schliesslich, dass das obiter dictum des Kantonsgerichts, wonach das Gesetz zur Auflösung der Unterhaltsverpflichtung durch den Elternteil eine Abänderungsklage vorsehe, sodass der Beschwerdeführer nicht über das erforderliche Feststellungsinteresse verfüge und die Feststellungsklage selbst dann abgewiesen werden müsste, wenn die örtliche Zuständigkeit bejaht würde, mit Bundesrecht nicht vereinbar ist.
3.
Der Beschwerdeführer bezieht sich ausdrücklich und ausschliesslich auf <ref-law>. Diese Bestimmung lautet wie folgt: "Für selbstständige Unterhaltsklagen der Kinder gegen ihre Eltern und für Klagen gegen unterstützungspflichtige Verwandte ist das Gericht am Wohnsitz einer der Parteien zwingend zuständig" (" Le tribunal du domicile de l'une des parties est impérativement compétent pour statuer sur les actions indépendantes en entretien intentées par des enfants contre leurs père et mère et des actions intentées contre des parents tenus de fournir des aliments "; " Per le azioni di mantenimento indipendenti proposte dal figlio contro i genitori e per le azioni per violazione dell'obbligo di assistenza fra parenti è imperativo il foro del domicilio di una parte ").
Auf <ref-law> kann sich der Beschwerdeführer indes nur berufen, wenn in der vorliegenden Konstellation kumulativ zwei Bedingungen erfüllt sind. Zunächst müsste diese Bestimmung entgegen ihrem Wortlaut nicht nur für selbständige Unterhaltsklagen der Kinder gegen ihre Eltern, sondern auch für selbständige Unterhaltsklagen eines Elternteils gegen sein Kind Anwendung finden (nachfolgend E. 3.1). Sodann müsste <ref-law> nicht nur für den Prozess um Minderjährigenunterhalt, sondern auch für jenen um Volljährigenunterhalt gelten (nachfolgend E. 3.2).
3.1.
3.1.1. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden. Die Gesetzesauslegung hat sich vom Gedanken leiten zu lassen, dass nicht schon der Wortlaut die Norm darstellt, sondern erst das an Sachverhalten verstandene und konkretisierte Gesetz. Gefordert ist die sachlich richtige Entscheidung im normativen Gefüge, ausgerichtet auf ein befriedigendes Ergebnis der ratio legis. Dabei befolgt das Bundesgericht einen pragmatischen Methodenpluralismus und lehnt es namentlich ab, die einzelnen Auslegungselemente einer hierarchischen Prioritätsordnung zu unterstellen. Sind mehrere Auslegungen möglich, ist jene zu wählen, die der Verfassung am besten entspricht. Allerdings findet auch eine verfassungskonforme Auslegung ihre Grenzen im klaren Wortlaut und Sinn einer Gesetzesbestimmung (<ref-ruling> E. 4.4.1; <ref-ruling> E. 4.3.1 mit Hinweisen, 63 E. 2.1 mit Hinweisen).
3.1.2. Von Verfassungs wegen hat jede Person, gegen die eine Zivilklage erhoben wird, Anspruch darauf, dass die Sache vom Gericht des Wohnsitzes beurteilt wird (<ref-law>). Das Gesetz kann einen anderen Gerichtsstand vorsehen (<ref-law>). Diese beiden Grundsätze hat der Gesetzgeber in <ref-law> umgesetzt. Danach ist für Klagen gegen eine natürliche Person das Gericht an deren Wohnsitz zuständig (Bst. a), soweit "dieses Gesetz nichts anderes [vorsieht]".
Gründe für die Abweichung vom Beklagtengerichtsstand sind die einheitliche Beurteilung mehrerer Ansprüche und die Beweisnähe. Regelmässig will der Gesetzgeber aber auch aus sozialpolitischen Gründen dem als (wirtschaftlich) schwächer eingestuften Kläger die Durchsetzung seiner Ansprüche erleichtern, indem er diesem, um dessen besonderem Schutzbedürfnis Rechnung zu tragen, alternativ zum Wohnsitz des Beklagten auch den eigenen Wohnsitz als Gerichtsstand zur Verfügung stellt (<ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen; SURBER, in: Bundesgesetz über den Gerichtsstand in Zivilsachen [GestG], Spühler/Tenchio/Infanger [Hrsg.], 2001, N. 10 zu <ref-law>; BERGER, in: Gerichtsstandsgesetz, Kellerhals/von Werdt/Güngerich [Hrsg.], 2. Aufl. 2005, N. 15 zu den Vorbemerkungen zu Art. 2-11 GestG; ders., in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 2 zu <ref-law>; ähnlich: INFANGER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 15 zu <ref-law>). In diesem Fall verknüpft der Gesetzgeber das Privileg des Klägergerichtsstands mit den Eigenschaften einer Partei. Er überlässt dieser - und nur dieser - die Wahl, ob sie am Wohnsitz des Beklagten oder am eigenen Wohnsitz ein Verfahren einleiten will.
3.1.3. Der Gesetzgeber berücksichtigt die besonderen Interessen des Kindes im Prozess. Zum einen verweist er den selbständigen Unterhaltsprozess des Kindes in das vereinfachte Verfahren (<ref-law>). Letzteres gilt als ökonomisch, sozial und laienfreundlich. Es ist Ausdruck des "sozialen Zivilprozesses" und die besonderen Eigenschaften des vereinfachten Verfahrens sollen "der sozial schwächeren Partei zu Gute kommen" (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7345 f. Ziff. 5.16; MAZAN/STECK, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 1 zu <ref-law>; STAEHELIN/BACHOFNER, in: Zivilprozessrecht, Staehelin/ Staehelin/Grolimund [Hrsg.], 3. Aufl. 2019, § 21 Rz. 15). Zum anderen kommen Art. 296 Abs. 1 und 3 ZPO ins Spiel. Danach erforscht das Gericht in Kinderbelangen den Sachverhalt von Amtes wegen (strenge Untersuchungsmaxime) und entscheidet ohne Bindung an die Parteianträge (Offizialmaxime). Rechtspolitisch wird die Geltung der Untersuchungsmaxime denn auch damit gerechtfertigt, den Parteien die Durchsetzung und Abwehr streitiger Ansprüche aus sozialpolitischen Erwägungen zu erleichtern (STAEHELIN/BACHOFNER, a.a.O., § 10 Rz. 25), und die Offizialmaxime findet ihre Begründung dort, wo den Parteien im öffentlichen Interesse oder im Interesse Dritter die Verfügung über den Streitgegenstand ganz oder teilweise entzogen werden soll (STAEHELIN/BACHOFNER, a.a.O., § 10 Rz. 7; GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 170). Beiden Maximen kommt folglich auch eine Schutzfunktion zu.
3.1.4. Mit <ref-law> ist der Gesetzgeber vom Beklagtengerichtsstand abgewichen; er stellt dem auf Unterhalt klagenden Kind alternativ zum Beklagten- auch den Klägergerichtsstand zur Verfügung.
Wie sich unmittelbar aus dem Gesetzestext ergibt, handelt es sich bei <ref-law> um einen zwingenden Gerichtsstand. Zwingende Gerichtsstände dienen dem Schutz öffentlicher Interessen (Botschaft vom 18. November 1998 zum Bundesgesetz über den Gerichtsstand in Zivilsachen [Gerichtsstandsgesetz, GestG], BBl 1999 2841 Ziff. 163 [mit Verweis auf Art. 2 GestG, welchem der heutige <ref-law> entspricht]; BERGER, in: Berner Kommentar, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; INFANGER, a.a.O.). Die vom Gesetzgeber für zwingend zuständig erklärten Gerichte sollen u.a. aus Gründen des Sozialschutzes und der öffentlichen Ordnung der Parteidisposition entzogen sein (BERGER, in: Berner Kommentar, a.a.O.).
Ausserdem stuft der Gesetzgeber - wie dargelegt (E. 3.1.3) - das Kind als schwächere und damit schutzbedürftige Prozesspartei ein. Diese Wertung ist auch für die Auslegung von <ref-law> zu übernehmen. Indem das Kind seine selbständige Unterhaltsklage alternativ zum Wohnsitz des beklagten Elternteils auch am eigenen Wohnsitz soll einreichen können, will der Gesetzgeber aus sozialpolitischen Gründen dem als schwächer eingestuften Kind die Durchsetzung seiner Ansprüche erleichtern (vgl. E. 3.1.2). Daher steht der (alternative aber zwingende) Klägergerichtsstand einzig dem klagenden Kind zur Verfügung; der klagende Elternteil kann sich nicht unmittelbar auf <ref-law> berufen und folglich den Klägergerichtsstand nicht für sich beanspruchen. Zu diesem Ergebnis kommt, wenn auch nicht ausdrücklich gestützt auf die vorstehend dargelegten Überlegungen, der Grossteil der Lehre (SUTTER-SOMM/LÖTSCHER, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law>; SIEHR, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 11 zu <ref-law>; SCHWANDER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Bd. I, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 7 zu <ref-law>; HAAS/SCHLUMPF, in: ZPO, Oberhammer/Domej/Haas [Hrsg.], 3. Aufl. 2021, N. 2 zu <ref-law>; DIETSCHY-MARTENET, in: CPC, Chabloz/Dietschy-Martenet/Heinzmann [Hrsg.], 2020, N. 7 zu <ref-law>; a.M. SPYCHER, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 7 zu <ref-law>; JACQUEMOUD, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Baker & McKenzie [Hrsg.], 2010, N. 4 zu <ref-law>, wobei die beiden Autoren diese Auffassung im Kontext einer hier nicht diskutierten Abänderungsklage äussern).
3.1.5. Nichts anderes lässt sich diesbezüglich für das Institut der Feststellungsklage ableiten. Für diese sieht das Gesetz keinen besonderen Gerichtsstand vor. Soweit in der Kommentierung zu <ref-law> zur Gerichtsstandsfrage Stellung genommen wird, äussern die Autoren mehrheitlich die Auffassung, die Feststellungsklage könne am Wohnsitz des Feststellungsbeklagten erhoben werden; daneben stünden dem Feststellungskläger aber auch all jene besonderen Gerichtsstände offen, an denen die feststellungsbeklagte Partei auf Leistung klagen könnte (GROLIMUND, in: Zivilprozessrecht, Staehelin/Staehelin/Grolimund [Hrsg.], 3. Aufl. 2019, § 14 Rz. 27; FÜLLEMANN, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Bd. I, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 22 zu <ref-law>; GASSER/RICKLI, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2. Aufl. 2014, N. 5 zu <ref-law>; so wohl auch BOHNET, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 70 zu <ref-law>, der den Gerichtsstand der negativen Feststellungsklage nach dem Streitgegenstand bestimmen will). Einzig MARKUS (in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 54 zu <ref-law>) hält dafür, es sei grundsätzlich die formelle Parteirolle massgeblich: Der Kläger einer negativen Feststellungsklage habe den Beklagten grundsätzlich an dessen Wohnsitz zu verfolgen. Ausnahmen von diesem Grundsatz lässt dieser Autor nur dort gelten, wo das Gesetz ausdrücklich einen besonderen Gerichtsstand vorsieht (z.B. Art. 83 Abs. 2 und Art. 85a Abs. 1 SchKG). Folgt man dem in Rechtsprechung und Lehre für die negative Feststellungsklage vertretenen "Spiegelbildprinzip" (vgl. <ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4; je im Kontext eines internationalen Sachverhalts; FÜLLEMANN, a.a.O.; MEIER / SOGO, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2010, S. 206), muss jedenfalls dort eine Ausnahme greifen, wo der Gesetzgeber von der besonderen Schutzbedürftigkeit einer Partei ausgeht, ansonsten die Schutzfunktion der Ausnahmeregelung unterlaufen würde. Daher erlaubt das "Spiegelbildprinzip" dem negativen Feststellungskläger in der vorliegenden Konstellation nicht, auf den Klägergerichtsstand abzustellen.
3.1.6. Zusammengefasst kann sich der Elternteil, der festgestellt haben will, dass er seinem Kind keinen Unterhalt (mehr) schuldet, nicht auf <ref-law> berufen. Es verbleibt ihm lediglich der allgemeine Beklagtengerichtsstand nach <ref-law>.
3.2. Bei diesem Auslegungsergebnis braucht die Frage, ob <ref-law> nur auf den Prozess um Minderjährigenunterhalt oder auch auf jenen um Volljährigenunterhalt Anwendung findet, nicht beantwortet zu werden.
Immerhin rechtfertigt sich ein Blick in die Zukunft: In seiner Botschaft vom 26. Februar 2020 zur Änderung der Schweizerischen Zivilprozessordnung (BBl 2020 2697) schreibt der Bundesrat, <ref-law> soll "für alle Kinderbelange und ausdrücklich für Unterhaltsklagen von Kindern, ungeachtet der Volljährigkeit des Kindes" gelten (BBl 2020 2767 [zu Art. 295]). Sodann seien der "Untersuchungs- und Offizialgrundsatz in Verfahren über Kinderbelange und zwar grundsätzlich ungeachtet der Volljährigkeit des Kindes" anwendbar (BBl 2020 2768 [zu Art. 296 Abs. 1]). Damit gibt der Bundesrat, dem der Ständerat kommentarlos gefolgt ist (AB 2021 S 690), deutlich zum Ausdruck, dass auch das volljährige Kind im Prozess gegen seine Eltern desselben Schutzes bedarf wie das minderjährige.
4.
Mithin ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer unterliegt und wird kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist demgegenüber nicht geschuldet, zumal die Beschwerdegegnerin auf eine Stellungnahme zum Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung verzichtet hat und sich zur Hauptsache nicht vernehmen lassen musste, ihr folglich kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller