Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ sind Milchproduzenten. Sie füttern ihre Kühe ohne Silage. Als Direktlieferanten belieferten sie die von C._ beherrschte D._ AG.
A.b. Die Milchgenossenschaft E._ war eine vorzeitig aus der Milchkontingentierung ausgestiegene Produzenten-Milchverwerter-Organisation. Gemäss einer Grundsatzvereinbarung vom 13. Februar 2006 zwischen C._ und der Milchgenossenschaft E._ war Letztere ab Februar 2006 Milchverwerterin, wobei sich C._ verpflichtet hatte, die Milch im Auftrag und auf Kosten der Milchgenossenschaft E._ zu verarbeiten.
A.c. Zwischen September 2006 und April 2009 richtete das Bundesamt für Landwirtschaft (hiernach: BLW) die Zulagen für verkäste Milch und Fütterung ohne Silage der Milchgenossenschaft E._ zur Weiterleitung an ihre Produzenten aus. Den Direktlieferanten der D._ AG wurden die Zulagen bis Mai 2007 direkt ausgerichtet. Zwischen Juni 2007 und April 2009 wurden die Direktlieferanten der D._ AG dann ebenfalls über die Milchgenossenschaft E._ abgerechnet.
A.d. Mitte Mai 2009 wurde bekannt, dass die Milchgenossenschaft E._ finanzielle Schwierigkeiten hatte. Deshalb richtete das BLW die Zulagen für den Monat Mai 2009 direkt den betroffenen Milchproduzenten aus.
A.e. An ihrer ausserordentlichen Generalversammlung vom 28. Mai 2009 stellte die Milchgenossenschaft E._ ihre Mitglieder für den freien Milchverkauf ab dem 1. Juni 2009 frei. Ihre Produzenten mussten somit ab diesem Zeitpunkt einen neuen Milchverwerter suchen.
A.f. Im August 2009 unterzeichneten A._ und B._ je ein "Bestätigungsblatt über das Vorgehen des Bundesamtes für Landwirtschaft bei der Auszahlung von Zulagen ab Produktionsperiode Mai 2009 (nach dem Entscheid der ausserordentlichen Generalversammlung der Milchgenossenschaft E._ vom 28. Mai 2009) ". Das Bestätigungsblatt enthielt folgenden Text:
"Zulagen Produktionsperiode Mai 2009
Ich habe davon Kenntnis genommen, dass mir die im Begleitschreiben vom 6. August 2009 aufgeführten Zulagen der Produktionsperiode Mai 2009 durch das BLW direkt ausbezahlt werden und die D._ AG bzw. die Milchgenossenschaft E._ bei der Milchgeldzahlung der Produktionsperiode Mai 2009 eine entsprechende Korrektur in gleicher Höhe vornehmen wird.
Zulagen ab Produktionsperiode Juni 2009
Ich habe davon Kenntnis genommen, dass das BLW ab Produktionsperiode Juni 2009 die Zulage für verkäste Milch und für Fütterung ohne Silage meinem jeweiligen Milchverwerter überweist. Der Milchverwerter ist gemäss Artikel 6 der Milchpreisstützungsverordnung vom 25. Juni 2008 (MSV; SR 915.350.2 [recte: 916.350.2]) verpflichtet, diese Zulagen innert Monatsfrist den Produzentinnen und Produzenten, von denen sie die zu Käse verarbeitete Milch gekauft haben, weiterzugeben."
A._ und B._ gaben jeweils die D._ AG als ihre Milchverwerterin an. Entsprechend richtete das BLW die Zulagen für verkäste Milch und Fütterung ohne Silage für den Zeitraum von Juni 2009 bis Oktober 2011 der D._ AG zur Weiterleitung an A._ und B._ aus.
Die D._ AG leitete diese Zulagen nicht bzw. nicht vollumfänglich an A._ und B._ weiter.
A.g. Über die Milchgenossenschaft E._ wurde mit Wirkung ab 7. Januar 2011 der Konkurs eröffnet; die Löschung von Amtes wegen erfolgte am 13. Oktober 2014.
Über die D._ AG wurde mit Wirkung ab 8. Februar 2012 der Konkurs eröffnet.
A.h. Mit Schreiben vom 26. Februar 2015 an das Bundesamt für Landwirtschaft (BLW) machten A._ und B._ geltend, der Bund trage das Risiko dafür, dass die D._ AG ihnen die zwischen Frühjahr 2009 und Oktober 2011 erhaltenen Zulagen nicht weitergegeben habe und ersuchten das BLW um Stellungnahme bzw. Bestätigung, dass für die nicht weitergeleiteten Zulagen nach wie vor ein Erfüllungsanspruch bestehe.
A.i. Mit Schreiben vom 24. März 2015 teilte das BLW A._ und B._ mit, dass diese ihm gegenüber keinen Erfüllungsanspruch auf Ausrichtung der nicht erhaltenen Zulagen hätten. Das Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung (WBF) habe am 2. Oktober 2012 eine von Milchproduzenten der D._ AG eingereichte Aufsichtsbeschwerde abgewiesen und festgehalten, dass das Bundesamt seine Aufsichtspflicht sachgerecht wahrgenommen habe.
A.j. Mit Schreiben vom 13. August 2015 ersuchten A._ und B._ das BLW um eine erneute Prüfung der Angelegenheit. Es gehe nicht um ein Fehlverhalten des Bundes oder um Schadenersatz. Vielmehr gehe es nur um die Frage, wer das Risiko trage, wenn die vom Bund an den Milchverwerter ausbezahlten Zulagen nicht beim Produzenten ankämen. Sie seien der Ansicht, der Produzent habe gegenüber dem Bund als Schuldner solange einen Erfüllungsanspruch auf die Zulagen, bis das Geld eingetroffen sei.
A.k. Mit Schreiben vom 2. September 2015 teilte das BLW A._ und B._ mit, dass der Erfüllungsanspruch des Milchproduzenten erlösche, sobald die Zulagen an den Milchverwerter ausbezahlt seien. Damit sichergestellt werde, dass die Zulagen beim Produzenten ankämen, sehe die Milchpreisstützungsverordnung eine Aufsichtspflicht des BLW vor. Dieses habe unmittelbar nach Bekanntwerden der finanziellen Schwierigkeiten der Milchgenossenschaft E._ Mitte Mai 2009 reagiert und die Zulagen für den Monat Mai 2009 direkt den Milchproduzenten ausgerichtet. Ab Juni 2009 habe sie die Zulagen mit dem schriftlichen Einverständnis der Produzenten an die D._ AG ausbezahlt. Das BLW sei erstmals im Oktober 2011 über massive Ausstände der D._ AG betreffend Milchgeldzahlungen informiert worden und habe die Zulagen ab diesem Zeitpunkt direkt an die Produzenten ausgerichtet. Zwischen Juni 2009 und Oktober 2011 hätten A._ und B._ nie mitgeteilt, dass sie die Zulagen nicht erhalten hätten.
A.l. Mit Schreiben vom 7. September 2015 ersuchten A._ und B._ das BLW um Erlass einer anfechtbaren Verfügung, falls es weiterhin daran festhalten sollte, dass ihr Erfüllungsanspruch auf Ausrichtung der Zulagen erloschen sei.
B.
Mit Verfügung vom 8. Januar 2016 stellte das BLW fest, dass A._ und B._ für den Zeitraum von Juni 2009 bis Oktober 2011 ihm gegenüber keinen Erfüllungsanspruch auf Ausrichtung der Zulagen für verkäste Milch und Fütterung ohne Silage hätten. Eine gegen die Verfügung erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 28. Februar 2017 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. Mai 2017 beantragen A._ und B._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils. Es sei festzustellen, dass sie für den Zeitraum von Juni 2009 bis Oktober 2011 gegenüber dem BLW einen Erfüllungsanspruch auf Ausrichtung der Zulagen für verkäste Milch und für Fütterung ohne Silage hätten.
Während das Bundesverwaltungsgericht auf Vernehmlassung verzichtet, beantragt das BLW die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Mit Eingabe vom 16. August 2017 reichten A._ und B._ eine abschliessende Stellungnahme ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid des Bundesverwaltungsgerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 83 BGG fällt. Namentlich greift der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. k BGG nicht, da gemäss Art. 1 Abs. 2 bzw. Art. 2 Abs. 1 der Verordnung über die Zulagen und die Datenerfassung im Milchbereich (Milchpreisstützungsverordnung; MSV; SR 916.350.2) ein Anspruch auf die betreffenden Zulagen besteht. Somit kann der Entscheid mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a und Art. 90 BGG).
1.2. Feststellungsbegehren sind subsidiär zu Leistungsbegehren und nur zulässig, wenn daran ein schutzwürdiges Feststellungsinteresse besteht. Zudem kann ein Feststellungsantrag nicht abstrakte, theoretische Rechtsfragen zum Gegenstand haben, sondern nur konkrete Rechte oder Pflichten (vgl. <ref-ruling> E. 6.5 S. 218; <ref-ruling> E. 2c S. 303).
Gegenstand des vorinstanzlichen Urteils ist eine Feststellungsverfügung des BLW. Die Vorinstanz räumt ein, dass die Beschwerdeführer die Ausrichtung der umstrittenen Zulagen mittels eines Leistungsbegehrens gegenüber dem BLW hätten verlangen können. Dennoch gingen sowohl das BLW als auch die Vorinstanz übereinstimmend davon aus, die Beschwerdeführer hätten ein schutzwürdiges Feststellungsinteresse im Sinne von Art. 25 Abs. 2 VwVG (SR 172.021), weil damit grundlegende Rechtsfragen vorweg gelöst werden könnten und auf die Einleitung eines aufwändigen Verfahrens verzichtet werden könne. Dieser Auffassung kann gefolgt werden, so dass auch im vorliegenden Verfahren ein schützenswertes Interesse am Feststellungsbegehren zu bejahen ist. Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und Art. 100 BGG) der hierzu legitimierten Beschwerdeführer (Art. 89 Abs. 1 BGG) ist somit einzutreten.
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur, was ausdrücklich geltend gemacht wird, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5 S. 144). Es legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 10.1 S. 445). Die betroffene Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (<ref-ruling> E. 10.1 S. 445).
Soweit die Beschwerdeführer in ihrer Stellungnahme vom 16. August 2017 zur Vernehmlassung des BLW dessen (bereits im Urteil der Vorinstanz zitierten) Ausführungen zur Kooperation zwischen der Milchgenossenschaft E._ und C._ "mit Nichtwissen" bestreiten, ist darauf nicht einzugehen. Darin liegt keine gesetzeskonform substanziierte Rüge willkürlicher Tatsachenfeststellungen (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 97 Abs. 1 BGG). Im Übrigen ist weder ersichtlich noch dargetan, inwiefern die umstrittene Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein sollte.
3.
Strittig ist einzig die Frage, ob das BLW mit der Auszahlung der Zulagen an die D._ AG zwischen Juni 2009 und Oktober 2011 seine Verpflichtung gegenüber den Beschwerdeführern mit schuldbefreiender Wirkung erfüllt hat.
3.1. Die zu beurteilende Frage ist nach den für den Zeitraum von Juni 2009 bis Oktober 2011 geltenden Rechtsnormen zu beantworten. Soweit interessierend, haben die einschlägigen Bestimmungen keine materiellen Änderungen erfahren, weshalb sie nachfolgend in der Fassung der Systematischen Sammlung des Bundesrechts zitiert werden. Gemäss Art. 38 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 20. April 1998 über die Landwirtschaft (Landwirtschaftsgesetz, LwG; SR 910.1) kann der Bund für die Verkehrsmilch, die zu Käse verarbeitet wird, eine Zulage an die Produzenten und Produzentinnen ausrichten. Art. 39 Abs. 1 LwG sieht vor, dass den Produzenten für Milch, die zu Käse verarbeitet wird und aus einer Produktion ohne Silagefütterung stammt, eine Zulage für Fütterung ohne Silage entrichtet wird. Der Bundesrat legt insbesondere die Höhe und die Voraussetzungen der jeweiligen Zulagen fest (vgl. Art. 38 Abs. 2 und Art. 39 Abs. 2 LwG). Art. 1 (verkäste Milch) und Art. 2 (Fütterung ohne Silage) der Milchpreisstützungsverordnung enthalten genauere Angaben zum Betrag der jeweiligen Zulagen und den Voraussetzungen für deren Entrichtung an die Milchproduzenten. Gesuche um Ausrichtung der Zulagen sind von den Milchverwertern und Milchverwerterinnen zu stellen (Art. 3 Abs. 1 erster Satz MSV). Diese müssen bei der zuständigen Administrationsstelle monatlich eingereicht werden (vgl. Art. 3 Abs. 1 zweiter Satz MSV). Nach Art. 6 lit. a MSV sind die Milchverwerter und Milchverwerterinnen verpflichtet, die Zulagen nach den Artikeln 1 und 2 der Verordnung innert Monatsfrist den Produzenten und Produzentinnen, von denen sie die zu Käse verarbeitete Milch gekauft haben, weiterzugeben. Sie sind ebenfalls verpflichtet, die betreffenden Zulagen in der Abrechnung über den Milchkauf separat auszuweisen und die Buchhaltung so zu gestalten, dass ersichtlich ist, welche Beiträge sie für die Zulagen erhalten und ausbezahlt haben (Art. 6 lit. b MSV). Die Milchverwerter und Milchverwerterinnen sind gesetzlich verpflichtet, der Administrationsstelle monatlich Daten zu gelieferten Milchmengen und deren Verwertung zu melden (vgl. Art. 43 Abs. 1 LwG sowie Art. 8 und 9 MSV).
Gemäss "Botschaft zur Reform der Agrarpolitik: Zweite Etappe (Agrarpolitik 2002) " vom 26. Juni 1996 zum heutigen Art. 38 LwG sollte die Zulage für verkäste Milch direkt den Produzenten ausgerichtet werden. Aus administrativen Gründen - grosse Produzentenzahl, unterschiedliche Verwertung der abgelieferten Milch, Schwankungen im Anteil verkäster Milch - werde die Zulage jedoch dem Milchverwerter ausgerichtet werden müssen. Aufgrund der Konkurrenzverhältnisse würden die Verwerter gezwungen sein, die Zulage an die Produzenten weiterzugeben (BBl 1996 IV 1 ff., S. 147).
3.2. Wie die Vorinstanz richtig feststellt, wird auf Gesetzes- und Verordnungsstufe festgehalten, dass die Milchproduzenten für die Zulagen anspruchsberechtigt sind und Schuldner der Zulagen der Bund ist. Die Überweisung der Zulagen über den Milchverwerter an den Produzenten ergibt sich lediglich aus der Verordnung. Gemäss der zitierten Botschaft liegen dem in Art. 6 lit. a MSV vorgesehenen Auszahlungsmodus rein administrative Überlegungen zugrunde. Die Zwischenschaltung des Milchverwerters bei der Auszahlung der Zulage an den Produzenten dient einzig der administrativen Vereinfachung in der Abwicklung des Zahlungsverkehrs. Somit ist der Vorinstanz darin beizupflichten, dass Art. 6 lit. a MSV nicht mehr als das reine Auszahlungsprozedere regelt. Weder aus dieser Bestimmung noch aus dem Gesetz lässt sich jedoch ableiten, dass der Bund durch die Überweisung der Zulagen an den Milchverwerter von seiner Schuld gegenüber dem Produzenten befreit wird. Eine solche Auslegung der Verordnungsbestimmung wäre gesetzüberschreitend.
Damit kommt bei gesetzeskonformer Auslegung der Verordnungsbestimmungen dem Milchverwerter lediglich die Funktion eines Erfüllungsgehilfen des Bundes in der administrativen Abwicklung der Auszahlung der Zulagen zu. Dass der Bundesverordnungsgeber keine direkte Auszahlung an den Milchproduzenten vorsieht, sondern zwecks administrativer Vereinfachung die Bundesstelle damit beauftragt, die Auszahlung über den Milchverwerter vorzunehmen, liegt nicht im Interesse des Milchproduzenten, sondern einzig im Interesse des Bundes. Die damit verbundenen Risiken sind somit dem Bund zuzurechnen und können dem Produzenten nicht entgegengehalten werden.
Entgegen der Auffassung der Vorinstanz vermag das von den Beschwerdeführern unterzeichnete Bestätigungsblatt vom 8./10. August 2009 an dieser Einschätzung nichts zu ändern. Das Bestätigungsblatt gibt lediglich die gesetzliche bzw. verordnungsrechtlich geregelte Zahlungsabwicklung wieder. Inwiefern es aber eine über die gesetzlichen Vorschriften hinausgehende Wirkung entfalten bzw. nur aufgrund des Bestätigungsblattes eine ausdrückliche Ermächtigung zur schuldbefreienden Leistung an einen Dritten vorliegen sollte, ist nicht ersichtlich.
4.
4.1. Dies führt zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. Februar 2017 (B-835/2016). Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführer für den Zeitraum von Juni 2009 bis Oktober 2011 gegenüber dem BLW einen Erfüllungsanspruch auf Ausrichtung der Zulagen für verkäste Milch und für Fütterung ohne Silage haben.
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt das Bundesamt für Landwirtschaft die Verfahrenskosten, da es in seinem Vermögensinteresse handelt (Art. 66 Abs. 4 BGG). Zudem hat das Bundesamt für Landwirtschaft die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 BGG).
4.3. Zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens ist die Sache an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, und das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. Februar 2017 wird aufgehoben. Es wird festgestellt, dass die Beschwerdeführer für den Zeitraum von Juni 2009 bis Oktober 2011 gegenüber dem BLW einen Erfüllungsanspruch auf Ausrichtung der Zulagen für verkäste Milch und für Fütterung ohne Silage haben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Bundesamt für Landwirtschaft auferlegt.
3.
Das Bundesamt für Landwirtschaft hat die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, und dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner