Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 22. März 2021 führt A._ Beschwerde beim Bundesgericht gegen die in stiller Wahl erfolgten Gesamterneuerungswahlen der Präsidien am Zivilgericht, Strafgericht, Sozialversicherungsgericht und Jugendgericht des Kantons Basel-Stadt gemäss dem entsprechenden Beschluss des Regierungsrats des Kantons Basel-Stadt vom 16. März 2021. Als Anfechtungsobjekt bezeichnet er "die in stiller Wahl gewählten Richter gemäss Kantonsblatt". Im Wesentlichen beantragt er, die Wahlen zu annullieren und neu anzusetzen. Ergänzend stellt er verschiedene prozessuale Begehren, insbesondere ein solches um Anordnung vorsorglicher Massnahmen sowie ein Sistierungsgesuch. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement schliesst für den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt auf Nichteintreten auf die Beschwerde, eventuell auf deren Abweisung. Mit Eingaben vom 20. April sowie 21. Mai 2021 äusserte sich A._ nochmals zur Sache.
2.
Der Beschwerdeführer vermag für die gestellten Prozessanträge, namentlich das Begehren um Anordnung vorsorglicher Massnahmen sowie das Sistierungsgesuch, keine ausreichenden Interessen darzulegen, insbesondere keine solchen, welche diejenigen an einer raschen Verfahrenserledigung überwiegen würden. Die prozessualen Begehren sind daher abzuweisen.
3.
Nach <ref-law> sind Beschwerden an das Bundesgericht unter anderem betreffend Volkswahlen in kantonalen Angelegenheiten zulässig gegen Akte letzter kantonaler Instanzen. Gemäss § 81 Abs. 1 lit. b des Gesetzes vom 21. April 1994 über Wahlen und Abstimmungen des Kantons Basel-Stadt (Wahlgesetz; SG 132.100) kann beim Regierungsrat insbesondere Beschwerde erhoben werden wegen Unregelmässigkeiten bei der Vorbereitung und Durchführung von Wahlen (Wahlbeschwerde). Der Regierungsrat kann solche Beschwerden nach § 12 des Gesetzes über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege vom 14. Juni 1928 des Kantons Basel-Stadt (VRPG; SG 270.100) in Verbindung mit § 42 des Gesetzes betreffend die Organisation des Regierungsrates und der Verwaltung des Kantons Basel-Stadt vom 22. April 1976 (Organisationsgesetz, OG; SG 153.100) dem Appellationsgericht als Verwaltungsgericht weiterleiten. Möglich ist auch die Anrufung des Appellationsgerichts als Verfassungsgericht (vgl. § 30k Abs. 1 VRPG). Der Beschwerdeführer ficht beim Bundesgericht direkt die amtlich publizierten stillen Wahlen an. Dabei handelt es sich nicht um ein taugliches kantonal letztinstanzliches Anfechtungsobjekt.
4.
Der Beschwerdeführer bezeichnet seine Beschwerde als Sprungrekurs. Im Wesentlichen macht er sinngemäss geltend, der Regierungsrat und das Appellationsgericht hätten ihre Rechtsauslegung im vorliegenden Zusammenhang durch frühere Entscheide schon ausreichend kundgetan; es sei nicht zu erwarten, dass sie in einem neuen Verfahren davon abweichend zu seinen Gunsten entscheiden würden. Indessen sieht das Bundesgerichtsgesetz keine Sprungbeschwerde vor. Im Übrigen würden die Ausführungen des Beschwerdeführers auch nicht ausreichen, um nachvollziehbar von einer im voraus unverrückbaren Rechtsauffassung auf Seiten der zuständigen kantonalen Behörden auszugehen, die eine sachgerechte Prüfung der Anliegen des Beschwerdeführers von vornherein ausschliessen würde. Der Hinweis darauf, sie seien bereits früher mit ähnlichen Beschwerden des Beschwerdeführers befasst gewesen, genügt dafür nicht und stellt gemeinhin nicht einmal einen Ausstandsgrund dar (vgl. <ref-ruling> E. 2.3, mit Hinweisen). Die Beschwerde erweist sich daher wegen fehlender Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs als unzulässig. Da der Beschwerdeführer bewusst darauf verzichtet hat, die kantonalen Rechtsmittelinstanzen anzurufen, kann auf die Weiterleitung verzichtet werden.
5.
Demnach ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Prozessanträge, namentlich diejenigen auf Anordnung vorsorglicher Massnahmen sowie auf Verfahrenssistierung, werden abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt, Staatskanzlei, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax