Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 20. August 2018 ordnete das Strassenverkehrsamt des Kantons Thurgau an, dass sich A._ zur Überprüfung der gesundheitlichen Eignung als Motorfahrzeugführer einer verkehrsmedizinischen Kontrolluntersuchung am Institut für Rechtsmedizin Zürich zu unterziehen habe. Der Verfügungsadressat wurde weiter angewiesen, bis zum 8. September 2018 einen entsprechenden Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu leisten. Am 30. August 2018 verunfallte A._ während eines Ferienaufenthalts in Kroatien und wurde vor Ort hospitalisiert. Am 5. September 2018 erfolgte seine Überführung ins Kantonsspital St. Gallen. Am 14. September 2018 wurde A._ aus der Spitalpflege entlassen. Laut dem provisorischen Austrittsbericht des Kantonsspitals wurden eine untere und obere Schambeinastfraktur links, eine Rippenserienfraktur 7-11 links sowie eine distale intraartikuläre Radiusfraktur diagnostiziert. Die Rippen- und Schambeinastfrakturen wurden mittels Stockentlastung, Analgesie und Atemtherapie, das Handgelenk chirurgisch behandelt. Bis zum 22. Oktober 2018 wurde ihm eine Arbeitsunfähigkeit von 100 Prozent attestiert.
B.
A._ focht die Verfügung vom 20. August 2018 mit Eingabe vom 24. September 2018 bei der Rekurskommission für Strassenverkehrssachen des Kantons Thurgau an und beantragte, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben. In prozessualer Hinsicht ersuchte er um Wiederherstellung der abgelaufenen Rekursfrist. Mit Verfügung vom 28. September 2018 entzog das Strassenverkehrsamt A._ vorsorglich den Führerausweis aller Kategorien, Unterkategorien und Spezialkategorien, nachdem er den geforderten Kostenvorschuss bis zum 8. September 2018 nicht geleistet hatte. Dagegen gelangte der Betroffene am 5. Oktober 2018 wiederum an die Rekurskommission. Diese entschied am 22. November 2018, auf den Rekurs gegen die Verfügung vom 20. August 2018 wegen verspäteter Einreichung nicht einzutreten und den Rekurs gegen den vorsorglichen Ausweisentzug abzuweisen.
Gegen beide Rekursentscheide erhob A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau je eine Beschwerde. Mit Urteilen vom 4. September 2019 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde gegen den Nichteintretensentscheid ab (VG.2019.10/E) und hiess die Beschwerde gegen den vorsorglichen Ausweisentzug gut (VG.2019.11/E). Es hielt im Entscheid VG.2019.10/E förmlich fest, dass der Beschwerdeführer innert 20 Tagen ab Rechtskraft des Entscheids den Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu bezahlen und sich der medizinischen Kontrolluntersuchung zu unterziehen habe.
C.
Gegen den verwaltungsgerichtlichen Entscheid VG.2019.10/E reicht A._ mit Eingabe vom 21. November 2019 beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlichen Angelegenheiten ein. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache mit Anweisung zum Eintreten an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Rekurskommission für Strassenverkehrssachen ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) stellt in der Vernehmlassung vom 3. März 2020 Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid auf dem Gebiet des Strassenverkehrsrechts. Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe durch die Abweisung des kantonalen Rechtsmittels gegen den unterinstanzlichen Nichteintretensentscheid Bundesrecht verletzt. Dazu ist er legitimiert (<ref-law>). Der Streitgegenstand ist jedoch auf diese Frage beschränkt. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, es sei denn, die rechtlichen Mängel lägen geradezu auf der Hand. Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich die willkürliche Anwendung von kantonalem Recht) prüft es dagegen lediglich insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 und 1.7.2 S. 106 mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat, sofern dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rechtsverletzung liegt auch bei einer entscheiderheblich unvollständigen Sachverhaltsfeststellung vor (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 24 f.; <ref-ruling> E. 3.1 S. 373). Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer bringt vor, dass die Vorinstanz die Wiederherstellung der Rekursfrist rechtswidrig abgelehnt hat. Sie habe den Sachverhalt in entscheiderheblicher Weise unvollständig und daher unrichtig ermittelt und damit ihr Ermessen überschritten. Ferner habe sie gegen das Legalitätsprinzip verstossen, indem sie unterstellt habe, dass der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers das Risiko der Fristversäumnis durch Einreichung eines vorsorglichen Rekurses mit allfälligem Ersuchen um eine Nachfrist für weitere Ausführungen hätte minimieren können. Ein solches Vorgehen sei gesetzlich nicht vorgesehen. Des Weiteren macht der Beschwerdeführer geltend, dass das angefochtene Urteil das Verhältnismässigkeitsprinzip verletze.
3.
Die Vorinstanz gibt die einschlägige kantonalrechtliche Regelung und die Praxis zur Fristwiederherstellung zutreffend wieder. Nach § 26 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Thurgau vom 23. Februar 1981 (VRG; RB 170.1) kann eine versäumte Frist auf begründetes Gesuch hin wiederhergestellt werden, wenn den Säumigen oder seinen Vertreter kein Verschulden trifft, und ist ein Fristwiederherstellungsgesuch innert 14 Tagen seit Wegfall des Grundes einzureichen, der die Einhaltung der Frist verhindert hat. Die Wiederherstellung ist praxisgemäss nur bei klarer Schuldlosigkeit des Gesuchstellers und seines Vertreters für das Fristversäumnis zu gewähren (vgl. Urteile 2D_65/2019 vom 14. April 2020 E. 3.3; 2C_450/2008 vom 1. Juli 2008 E. 2.2 und 2.3.3). Eine gesundheitliche Beeinträchtigung kann ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung der Frist führendes Hindernis sein. Sie muss allerdings derart gewichtig sein, dass sie den Rechtsuchenden oder seinen Vertreter davon abhält, innert der Frist zu handeln oder dafür einen Vertreter beizuziehen (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 87; Urteil 2C_450/2008 vom 1. Juli 2008 E. 2.3.3).
4.
4.1. Nach der Vorinstanz wurde die erstinstanzliche Verfügung am 23. August 2018 dem Beschwerdeführer zugestellt und endete die Rekursfrist am 12. September 2018. Die Vorinstanz stellte weiter fest, dass der Beschwerdeführer angegeben habe, von Anfang an eine letzte Besprechung mit seinem Rechtsvertreter vor Einreichung des Rekurses, also nach der Rückkehr, geplant zu haben. Der Beschwerdeführer sei seit dem 5. September 2018 wieder in der Schweiz gewesen. Er habe sich zwar bis nach Fristablauf in Spitalpflege befunden, sei aber uneingeschränkt urteilsfähig und problemlos ansprechbar gewesen. Mit Blick auf die diagnostizierten Verletzungen könne ohne vertiefte medizinische Kenntnisse darauf geschlossen werden, dass der Beschwerdeführer während seines Spitalaufenthalts in der Lage gewesen wäre, zumindest eine Drittperson mit der Anfechtung der Verfügung zu beauftragen. Dies wäre in erster Linie sein Anwalt gewesen, mit dem er auf die Zeit nach seiner Auslandsabwesenheit zu diesem Zweck ohnehin einen Termin vereinbart gehabt habe. Ebenso hätte der Beschwerdeführer seine Mutter, die ihn nach seinen Angaben bei den Angelegenheiten seiner Firma vertreten habe, mit einer fristwahrenden Eingabe beauftragen können. Insgesamt hat die Vorinstanz angenommen, dass die Rekursfrist nicht unverschuldet verpasst worden sei.
4.2. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Vorinstanz seine medizinische Situation ungenügend abgeklärt habe. Nach seiner Überführung aus dem Ausland sei er rechtlich zur Verhinderung der Ausbreitung von Krankheitserregern gezwungen gewesen, vier Tage auf der Isolierstation des Spitals zu verbringen. Erst am 10. September 2018 sei er auf die normale Patientenstation verlegt worden. Danach habe noch die Operation am Handgelenk stattgefunden. Der Rechtsvertreter habe ihn zwar im Spital besucht. Die Gegebenheiten während des Spitalaufenthalts hätten es jedoch nicht zugelassen, die vor der Rekurserhebung erforderlichen Besprechungen zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Anwalt durchzuführen.
4.3. Diese Vorbringen sind nicht geeignet, eine offensichtlich unrichtige oder eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz darzutun. Insbesondere stellt der Beschwerdeführer nicht konkret in Abrede, dass er während der ganzen Zeit der Spitalpflege grundsätzlich ansprechbar und urteilsfähig war. Im Hinblick auf die medizinische Verfassung des Beschwerdeführers konnte sich die Vorinstanz mit dem von ihm eingereichten Austrittsbericht des Kantonsspitals begnügen. Die Vorinstanz durfte ohne zusätzliche Abklärungen davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer trotz des Spitalaufenthalts tatsächlich in der Lage war, rechtzeitig den Auftrag für eine Rekurserhebung in geeigneter Weise zu erteilen. Der Beschwerdeführer bestreitet vor Bundesgericht auch nicht substanziiert, dass seine Mutter - neben dem von ihm vor dem Unfall kontaktierten Rechtsanwalt - als Vertrauensperson für die Beauftragung zur rechtzeitigen Rekurseinreichung in Betracht kam. Damit sind die Sachverhaltsrügen unbegründet, und es besteht kein Anlass, von den tragenden Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz abzuweichen; diese sind für das Bundesgericht vielmehr verbindlich (vgl. oben E. 1.3). Bei diesem Ergebnis kann offenbleiben, inwiefern einzelne Tatsachenbehauptungen des Beschwerdeführers vor Bundesgericht wie der Hinweis auf die Isolierstation unzulässige Noven darstellen.
5.
5.1. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz vorwirft, § 26 VRG nicht nach seinem Sinn und Zweck bzw. in unhaltbarer Weise gehandhabt zu haben, rügt er sinngemäss eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts (vgl. zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 7.3 S. 174; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72; je mit Hinweisen). Der angefochtene Entscheid lässt sich nicht anders verstehen, als dass die Vorinstanz neben einem Auftrag an den Rechtsanwalt auch einen solchen an die Mutter des Beschwerdeführers zur rechtzeitigen Rekursergreifung für zumutbar betrachtet hat. Damit gibt die Vorinstanz in diesem Punkt mehrere selbständige Begründungen an, die geeignet sind, je für sich zur Beschwerdeabweisung zu führen. In einem solchen Fall muss der Beschwerdeführer sämtliche Begründungsstränge anfechten. Unterlässt er dies, genügt er seiner Begründungspflicht nicht und kann auf die Beschwerde insoweit nicht eingetreten werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen). Da sich der Beschwerdeführer mit der Begründung der Vorinstanz zur Beauftragung seiner Mutter für die Rekurseinlegung nicht konkret auseinandersetzt, ist auf die Rüge willkürlicher Anwendung kantonalen Rechts nicht einzutreten.
5.2. Auch der vorinstanzliche Verweis auf die Möglichkeit einer vorsorglichen Rekurseinreichung führt zu keinem anderen Ergebnis. Der Beschwerdeführer trägt vor, dass das von der Vorinstanz in den Raum gestellte Vorgehen mit dem Gesuch um Einräumung einer Nachfrist gesetzlich nicht vorgesehen sei. Nach seiner Meinung wäre eine vorsorgliche Rekurseingabe daher wesentlich riskanter gewesen als ein Gesuch um Fristwiederherstellung. Indessen kommt es vorliegend auf die Möglichkeit einer allfälligen Nachfrist bei einem vorsorglichen Rekurs nach dem einschlägigen kantonalen Recht nicht an, weil der angefochtene Entscheid im Hinblick auf die Zumutbarkeit einer Fristwahrung Bestand hat (vgl. oben E. 5.1). Deshalb muss nicht erörtert werden, ob die Erwägung der Vorinstanz zur Zulässigkeit einer Nachfrist bei einem vorsorglichen Rekurs mit dem Legalitätsprinzip vereinbar ist.
6.
6.1. Zu prüfen bleibt die Rüge, dass die Ablehnung der Fristwiederherstellung gegen das bundesverfassungsrechtliche Verhältnismässigkeitsprinzip verstosse. Der Beschwerdeführer führt hierzu aus, dass die Vorinstanz die Voraussetzungen einer Wiederherstellung der Frist unverhältnismässig streng ausgelegt und die Zumutbarkeit kaum durchführbarer Handlungen unterstellt habe. Ferner habe die Vorinstanz im parallel gefällten Urteil zum Führerausweisentzug selbst dargelegt, dass die Voraussetzungen zur Fahreignungsabklärung nicht gegeben seien. Vor diesem Hintergrund hätte die Vorinstanz die Fristwiederherstellung gewähren müssen, um eine materielle Prüfung zu ermöglichen.
6.2. Das Verhältnismässigkeitsprinzip verlangt, dass behördliche Massnahmen für das Erreichen des im öffentlichen oder privaten Interesse liegenden Ziels geeignet und erforderlich sind und sich für die Betroffenen als zumutbar erweisen (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.2 S. 24 mit Hinweisen). Es ist in <ref-law> als allgemeiner Verfassungsgrundsatz verankert und kann, soweit es um die Überprüfung von Normen des kantonalen Rechts geht, ausserhalb des Schutzbereichs spezieller Grundrechte nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots angerufen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 156 ff. mit Hinweisen).
6.3. Der Kritik des Beschwerdeführers an einer angeblich unverhältnismässig strengen Handhabung von § 26 VRG kommt im Ergebnis keine weitergehende Tragweite als dem Vorwurf willkürlicher kantonaler Rechtsanwendung zu. Auch in diesem Zusammenhang äussert sich der Beschwerdeführer nicht zur Zumutbarkeit einer Auftragserteilung an seine Mutter für die rechtzeitige Rekurserhebung; insoweit kann auf die vorstehenden Erwägungen verwiesen werden (vgl. oben E. 5.1). Im Übrigen sind die materiell-rechtlichen Überlegungen der Vorinstanz zur Zulässigkeit eines Führerausweisentzugs im Entscheid VG.2019.11/E für den Anspruch auf Fristwiederherstellung im vorliegenden Verfahren ohne Belang (vgl. oben E. 1.1). Aus dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz vermag der Beschwerdeführer somit vorliegend nichts für sich abzuleiten.
7.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Thurgau, der Rekurskommission für Strassenverkehrssachen des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet