Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1967, war seit 1998 bei der Stadt B._ angestellt, zunächst als kaufmännischer Angestellter, seit 2000 als IC-Berater und -Techniker. Im Mai 2008 meldete er sich unter Hinweis auf eine manische Depression, eine Ess- sowie eine Zwangsstörung bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Gemäss den Berichten der Klinik C._ vom 26. Juni und vom 9. Juli 2008, des Sanatoriums D._ vom 28. Juli 2008 sowie des seit 1985 behandelnden Arztes Dr. med. E._, Spezialarzt FMH für Psychiatrie und Psychotherapie vom 12. August 2008 bestand die gesundheitliche Störung seit der Jugend und erfolgten deswegen mehrfache Hospitalisationen, zuletzt ab August 2007 bis Februar 2008 und erneut vom 2. April bis zum 16. Juni 2008. Danach wurde A._ ambulant im Sanatorium D._ betreut, wobei im weiteren Verlauf immer wieder depressive Phasen auftraten. Die IV-Stelle Luzern gewährte am 5. Dezember 2008 Frühinterventionsmassnahmen. Damit erfolgte eine Wiedereingliederung am bisherigen Arbeitsplatz. Für die Zeit vom 1. August bis 30. November 2008 sprach sie A._ eine Viertelsrente zu (Verfügung vom 19. August 2009).
A.b. Im Juni 2011 meldete sich A._ erneut zum Leistungsbezug an. Dr. med. F._, Psychiatrie und Psychotherapie FMH, der ihn nach der Praxisaufgabe des Dr. med. E._ betreute, bescheinigte eine volle Arbeitsunfähigkeit ab dem 6. Juni 2011. Gemäss Bericht der Arbeitgeberin vom 11. August 2011 hatte A._ sein Arbeitspensum per 1. Januar 2011 auf 50 % gesenkt. Im Februar 2012 wurde ihm die Arbeitsstelle gekündigt. Am 19. April 2012 klärte die IV-Stelle die Situation im Haushalt ab. Dr. med. F._ erachtete am 14. Mai 2012 eine 50%ige Arbeitsfähigkeit als erreichbar. Die IV-Stelle gewährte am 3. Januar 2012 Arbeitsvermittlung, schloss ihre Bemühungen jedoch mangels Mitwirkung des Versicherten am 19. April 2012 ab. Mit Verfügung vom 13. November 2012 sprach sie A._ ab 1. September 2011 eine Viertelsrente, ab 1. Dezember 2011 eine ganze Rente und ab 1. April 2012 wiederum eine Viertelsrente zu.
A.c. Nach einer befristeten Anstellung bei der Krankenkasse G._ arbeitete A._ ab 1. Oktober 2015 im Teilpensum bei Swiss Post Solutions, ab August 2016 zu 60 %. Die IV-Stelle leitete im März 2016 ein Revisionsverfahren ein. Gemäss Bericht des Dr. med. F._ vom 10. April 2016 sei es seit 2012 zu alltagsrelevanten Stimmungsschwankungen im Sinne eines Wechsels von hypoman anmutenden und depressiven Zuständen gekommen. Er habe A._ regelmässig ambulant betreut, wobei die Sitzungsfrequenz und die Intensität der psychotherapeutischen Interventionen und der Psychopharmakologie dem jeweiligen Befinden angepasst worden sei. Zuletzt habe die Medikation ausgeschlichen werden können. Mit einem Arbeitspensum von 50 bis 60 % sei das Maximum der Belastbarkeit und Zumutbarkeit erreicht. Mit Verfügung vom 15. November 2016 bestätigte die IV-Stelle zunächst einen unveränderten Anspruch auf eine Viertelsrente, hob diese jedoch am 20. Dezember 2016 wieder auf. A._ hatte zwischenzeitlich seine Stelle bei der Swiss Post Solutions per 31. Januar 2017 aus gesundheitlichen Gründen gekündigt. Per 1. Juni 2017 fand A._ eine neue Stelle als Call Center Agent bei der H._ AG, im 60 %-Pensum. Die IV-Stelle kündigte am 24. November 2017 die Aufhebung des Rentenanspruchs an, worauf A._ die Zusprechung einer ganzen Invalidenrente beantragte. Mit Verfügung vom 16. November 2018 bestätigte die IV-Stelle einen unveränderten Anspruch auf eine Viertelsrente.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern gut, soweit es darauf eintrat, und sprach A._ ab 1. März 2016 eine Dreiviertelsrente zu.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei ihre Verfügung vom 16. November 2018 zu bestätigen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 6. Januar 2020 hat die Instruktionsrichterin dem Gesuch der IV-Stelle um aufschiebende Wirkung der Beschwerde stattgegegeben.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
2.
Streitig ist, ob die vorinstanzliche Zusprechung einer Dreiviertelsrente ab 1. März 2016 vor Bundesrecht standhält. Zur Frage steht dabei insbesondere das Valideneinkommen. Umstritten ist, ob das kantonale Gericht dem Beschwerdegegner zu Recht den Lohn eines Primarlehrers angerechnet hat. Des Weiteren ist streitig, ob er als Gesunder ein Voll- oder nur ein Teilzeitpensum (80 %) versehen würde.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zur Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) und zur Invalidität (<ref-law>, <ref-law>), zum Rentenanspruch (<ref-law>), zur Ermittlung des Invaliditätsgrades nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>) sowie zur Rentenrevision (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Es wird darauf verwiesen.
3.2. Über die Wahl der Invaliditätsbemessungsmethode (Einkommensvergleich, gemischte Methode, Betätigungsvergleich) entscheidet die Statusfrage. Ob eine versicherte Person als ganztägig oder zeitweilig erwerbstätig oder als nichterwerbstätig einzustufen ist, beurteilt sich danach, was diese bei im Übrigen unveränderten Umständen täte, wenn keine gesundheitliche Beeinträchtigung bestünde. Entscheidend ist nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern in welchem Pensum sie hypothetisch erwerbstätig wäre. Für die hypothetische Annahme einer im Gesundheitsfall ausgeübten (Teil-) Erwerbstätigkeit ist der im Sozialversicherungsrecht übliche Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erforderlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 30 f.).
Die Beantwortung der Statusfrage erfordert zwangsläufig eine hypothetische Beurteilung, die auch hypothetische Willensentscheidungen der versicherten Person zu berücksichtigen hat. Derlei ist einer direkten Beweisführung wesensgemäss nicht zugänglich und muss in aller Regel aus äusseren Indizien erschlossen werden. Die Beurteilung hypothetischer Geschehensabläufe stellt eine Tatfrage dar, soweit sie auf Beweiswürdigung beruht, selbst wenn darin auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung mitberücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 31).
3.3. Die Feststellung der Vergleichseinkommen nach <ref-law> (Validen- und Invalideneinkommen) stellt sich als Tatfrage dar, soweit sie auf konkreter Beweiswürdigung beruht, und nur dann als Rechtsfrage, wenn sich der Entscheid nach der allgemeinen Lebenserfahrung richtet (Urteil 8C_556/2019 vom 18. Dezember 2019 E. 3.3.1 mit Hinweisen).
4.
4.1. Nach dem kantonalen Gericht war ein Revisionsgrund gegeben zufolge veränderter erwerblicher Auswirkungen des im Wesentlichen gleich gebliebenen Gesundheitszustandes seit der letzten Rentenzusprechung mit Verfügung vom 13. November 2012.
4.2. Die Vorinstanz ging davon aus, dass der Versicherte als Gesunder zu 100 % erwerbstätig wäre. Im Oktober 2000, kurz nach einem Abteilungswechsel bei der Stadt B._, habe er sein Pensum zwar zunächst wegen einer Weiterbildung reduziert, ab November 2001 bis Ende August 2005 jedoch wieder zu 100 % gearbeitet. Ab September 2005 (90 %) beziehungsweise Januar 2006 (80 %) sei er wegen einer erneuten Weiterbildung wiederum nur noch teilzeitlich erwerbstätig gewesen. In der Folge habe er sein Pensum jedoch aus gesundheitlichen Gründen nicht mehr erhöhen können.
4.3. Das kantonale Gericht stellte des Weiteren fest, dass der Versicherte als Erstausbildung den Beruf eines Primarlehrers gewählt habe. Er habe den Lehrgang am kantonalen Lehrerseminar I._ im Frühling 1986 abbrechen müssen, weil erstmals seine Essstörung aufgetreten sei. Erst Jahre später habe er eine KV-Ausbildung absolvieren können. Die Vorinstanz rechnete dem Versicherten deshalb als Einkommen, das er hypothetisch als Gesunder verdienen würde (Valideneinkommen), den Verdienst eines Primarlehrers mit entsprechenden Dienstjahren in der Höhe von Fr. 127'680.- an. Hinsichtlich des Lohnes, das der Versicherte nach Eintritt der Gesundheitsschädigung verdienen könnte (Invalideneinkommen), war nach der Vorinstanz nicht auf den bestehenden Arbeitsvertrag abzustellen. Mit Blick auf die mehrfachen Stellenwechsel seit der letzten Rentenverfügung könne die aktuelle Arbeitssituation nicht als stabil bezeichnet werden. Sie ermittelte das Invalideneinkommen daher gestützt auf die Tabellenlöhne der vom Bundesamt für Statistik herausgegebenen Lohnstrukturerhebung (LSE). Sie zog dabei, mit Blick auf die angestammte Tätigkeit, den statistischen Verdienst für praktische Tätigkeiten (Kompetenzniveau 2) im Bereich Informationstechnologie und Informationsdienstleistungen (LSE 2016, TA1, Ziff. 62-63) bei und errechnete für ein 50 %-Pensum ein Jahreseinkommen von Fr. 39'375.-. Aus dem Vergleich der beiden Einkommen resultierte ein Invaliditätsgrad von 69 %.
5.
Die IV-Stelle macht geltend, es hätte nicht auf die erst im Revisionsverfahren vorgebrachte Behauptung abgestellt werden dürfen, dass der Versicherte ohne Gesundheitsschädigung als Lehrer tätig wäre. Zudem könne nicht davon ausgegangen werden, dass er als Gesunder ein Vollzeitpensum versehen würde.
6.
Unbestritten geblieben ist, dass ein Revisionsgrund gegeben ist. Unter dieser Voraussetzung prüfte die Vorinstanz den Rentenanspruch zu Recht in rechtlicher und tatsächlicher Hinsicht umfassend ("allseitig") neu (<ref-ruling> E. 2.3 S. 11).
7.
7.1. Was das im Gesundheitsfall hypothetisch ausgeübte Arbeitspensum betrifft, ergibt sich aus den vorinstanzlichen Feststellungen, dass der Beschwerdeführer früher wiederholt angegeben hatte, nicht krankheitsbedingt mit einem 80%-Pensum gearbeitet zu haben, sondern um einen Tag pro Woche frei zu haben. Im Abklärungsbericht Haushalt vom 8. Januar 2009 wurde festgehalten, der Beschwerdegegner habe auf den 1. Januar 2006 das Arbeitspensum von 100 % auf 80 % reduziert. Dies sei nicht krankheitsbedingt erfolgt, sondern weil er einen Tag pro Woche habe frei haben wollen. Ohne Behinderung würde er eine Erwerbstätigkeit im Ausmass von 80 % ausüben. Im Revisionsverfahren aus dem Jahre 2012 gab der Versicherte erneut an, ohne Gesundheitsschaden zu 80 % zu arbeiten. So wurde denn auch im Abklärungsbericht Haushalt vom 19. April 2012 festgehalten, der Versicherte würde ohne Gesundheitsschaden zu 80 % arbeiten.
Im Arbeitgeberfragebogen der Stadt B._ vom 14. Oktober 2010 führte diese aus, vor Eintritt des Gesundheitsschadens habe der Beschwerdegegner seit 1. Juli 2000 33,6 Stunden pro Woche gearbeitet. Dies entspricht einem 80 %-Pensum. Anlässlich eines Standortgesprächs vom 15. Februar 2011 gab der Beschwerdegegner gegenüber der IV-Stelle an, er habe immer nur maximal 80 % gearbeitet. Im Arbeitszeugnis vom 31. Januar 2013 hielt die Stadt B._ fest, dass der Versicherte bis Ende 2011 mit einem Pensum von 80 % und ab 1. Januar 2012 mit einem solchen von 50 % gearbeitet habe. Von einem 100 %-Pensum wird nichts erwähnt.
7.2. Die vorinstanzlichen Erwägungen zu diesem Punkt (E. 5.4.3 S. 15 f.) sind unklar und beruhen teilweise auf Mutmassungen.
7.2.1. So hielt das kantonale Gericht vorweg fest, es sei nicht klar, ob der Beschwerdegegner nach der Weiterbildung im Oktober 2001 wieder in einem 100 %-Pensum gearbeitet habe. Dem Arbeitszeugnis der Stadt B._ vom 31. Oktober 2013 sei zu entnehmen, dass er ab 1. Juli 2000 bis 2011 in einem 80 %-Pensum tätig gewesen sei. Sodann habe die Stadtverwaltung im Arbeitgeberfragebogen vom 14. Oktober 2010 bestätigt, dass der Beschwerdegegner seit 1. Juli 2000 zu 80 % gearbeitet habe. Allerdings sei erstellt, dass die Stadt B._ am 31. August 2005 einen Antrag auf Pensumsreduktion auf 90 % ab 1. September 2005 gutgeheissen habe. Weiter sei dem Abklärungsbericht Haushalt vom 26. Januar 2009 zu entnehmen, dass der Beschwerdegegner zu Protokoll gegeben habe, das Pensum auf den 1. Januar 2006 von 100 % auf 80 % reduziert zu haben. Damit sei mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit davon auszugehen, dass der Versicherte von November 2001 bis mindestens Ende August 2005 wieder zu 100 % gearbeitet haben müsse. Ab 1. Januar 2006 habe der Beschwerdegegner in einem 80 %-Pensum gearbeitet. Danach sei unbestrittenermassen keine Pensumserhöhung erfolgt. Dass der Beschwerdegegner von November 2001 bis mindestens Ende August 2005 wieder zu 100 % gearbeitet haben müsse, widerspricht allerdings den Angaben der Stadt B._, die bestätigt hatte, dass der Beschwerdegegner seit 1. Juli 2000 zu 80 % gearbeitet habe.
7.2.2. Die Vorinstanz gelangte zum Schluss, der Beschwerdegegner habe sein Pensum im Januar 2006 nicht aus gesundheitlichen Gründen reduziert, sondern um sich einer erneuten Weiterbildung zu widmen respektive um einen Tag frei zu haben. Gleichzeitig hielt sie allerdings fest, die Ausbildung zum eidgenössisch diplomierten Organisator SGO sowie deren Abbruch im Jahr 2006 seien aktenmässig nicht belegt. Auch führte sie in der gleichen Erwägung aus, der Beschwerdegegner habe anlässlich der Abklärung vor Ort am 26. Januar 2009 ausgeführt, er habe das Pensum per 1. Januar 2006 auf 80 % reduziert, damit er einen Tag frei habe. Dass dies zwecks Absolvierung einer Ausbildung erfolgt wäre, wird nicht festgehalten.
7.2.3. Im Weiteren ist darauf hinzuweisen, dass der Versicherte auch vor der Anstellung bei der Stadt B._ nie zu 100 % gearbeitet hatte. So war er von 1986 bis 1990 als Skilehrer tätig. Nach seiner KV-Ausbildung arbeitete er während zwei Jahren als kaufmännischer Angestellter und Informatikmitarbeiter bei der Stiftung J._ mit einem 50 % Pensum.
Die Vorinstanz hielt denn auch selbst fest, der Beschwerdegegner habe zu Protokoll gegeben, er habe frei haben wollen (2009) und würde im Gesundheitsfall in einem 80 %-Pensum arbeiten (2012). Die vorinstanzliche Begründung, weshalb dies an ihrem Schluss, wonach der Versicherte ohne Gesundheitsschaden mit einem Pensum von 100 % arbeiten würde, nichts ändere, überzeugt nicht und ist im Ergebnis willkürlich.
7.2.4. Aufgrund der teilweise widersprüchlichen und unstimmigen Feststellungen der Vorinstanz erweist sich deren Schluss, wonach sich der Beschwerdegegner, sofern er die Weiterbildung zum eidgenössisch diplomierten Organisator SGO abgeschlossen hätte, wieder zu 100 % gearbeitet hätte, als willkürlich. Jedenfalls steht dies aufgrund der unklaren vorinstanzlichen Feststellungen und eigenen Angaben des Beschwerdegegners nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit fest. Weshalb im Übrigen die familiären Verhältnisse des Beschwerdegegners als Alleinstehender für ein Vollpensum sprechen sollten, ist unerfindlich. Zahlreiche Alleinstehende arbeiten nicht mit einem 100 %-Pensum, um - wie dies beim Beschwerdegegner offensichtlich der Fall ist - mehr Freizeit zu haben. Im Übrigen behauptete der Beschwerdegegner erstmals im vorliegenden Revisionsverfahren in seinem Schreiben vom 8. September 2016, gesundheitsbedingt nur teilzeitlich zu arbeiten. Es ist daher mit der Beschwerdeführerin gestützt auf die Aussagen der ersten Stunde beziehungsweise die zu Beginn vom Beschwerdegegner gemachten Aussagen davon auszugehen, dass er auch ohne Gesundheitsschaden nur mit einem 80 % Pensum arbeiten würde.
8.
8.1. Das kantonale Gericht legte seiner Ermittlung des Valideneinkommens die Annahme zugrunde, der Versicherte würde heute als Lehrer arbeiten, wenn er gesund wäre. Invaliditätsbedingt fehle es an einem Abschluss der Erstausbildung. Erst nach langen beruflichen Wanderjahren habe er im Alter von bald 30 Jahren ein kaufmännisches Diplom erlangt und sich auch weitergebildet, ohne jedoch die ausgewiesenermassen weitaus besseren Verdienstmöglichkeiten als Lehrer je erreicht zu haben.
8.2. Der Versicherte meldete sich erstmals im Mai 2008 bei der Invalidenversicherung an. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend darlegt, ist nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erstellt, dass der Versicherte bis zu diesem Zeitpunkt in der beruflichen Ausbildung und im beruflichen Werdegang wegen einer gesundheitlichen Beeinträchtigung IV-relevant eingeschränkt war. Nach so langer Zeit lässt sich nicht mehr nachweisen, dass er die Lehrerausbildung im Jahre 1986 aus invaliditätsbedingten Gründen abgebrochen hatte. Dies wird jedenfalls in keiner Art und Weise belegt und stützt sich einzig auf die erstmals anlässlich des vorliegenden Revisionsverfahrens gemachten Aussagen des Beschwerdegegners. Gestützt auf die damals allenfalls vorhandenen Essstörungen allein lässt sich dies jedenfalls nicht ableiten.
8.3. Auch der von der Vorinstanz angeführte Werdegang des Versicherten lässt nicht darauf schliessen, dass er im Gesundheitsfall mit überwiegender Wahrscheinlichkeit seine Lehrerausbildung abgeschlossen und danach auch bis zu seiner Anmeldung bei der Invalidenversicherung in diesem Beruf gearbeitet hätte. Er absolvierte ab 1992 eine kaufmännische Ausbildung, die er 1995 mit dem Diplom abschloss. Sofern er die Lehrerausbildung lediglich aus gesundheitlichen Gründen abgebrochen gehabt hätte, hätte er diese wieder aufnehmen und abschliessen können. Wie mit Bezug auf das Arbeitspensum stellt sich auch hier die Frage, weshalb der Versicherte dies nicht bereits im Rahmen der ersten Rentenzusprache vorbrachte. Die Beschwerdeführerin zeigt daher zutreffend auf, dass die vorinstanzliche Annahme einer Validenkarriere als Lehrer dem aktenkundigen Werdegang vor Eintritt der Invalidität widerspricht. Entgegen dem vorinstanzlichen Schluss kann daher nicht davon ausgegangen werden, dass der Beschwerdegegner im Gesundheitsfall als Lehrperson gearbeitet hätte.
9.
Zusammenfassend ist der vorinstanzliche Entscheid in Bezug auf die Festsetzung des hypothetischen Lohnes als Gesunder bundesrechtswidrig. Dies betrifft die vom kantonalen Gericht für diesen Fall getroffenen Annahmen hinsichtlich des Berufs wie auch bezüglich des Erwerbspensums. Die Sache ist daher zur Ermittlung der Vergleichseinkommen und gestützt darauf zur Festsetzung des Invaliditätsgrades (unter Berücksichtigung von <ref-ruling> E. 7.3 S. 298) an die Vorinstanz zurückzuweisen.
10.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdegegner auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 10. September 2019 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Mai 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Durizzo