Faits :
A.
Le 7 avril 2019 vers 15h30, circulant sur la route de Frontenex à Genève au volant de sa voiture, A._ a, en tournant sur le chemin de Frank-Thomas, heurté, avec l'avant-gauche de son véhicule, l'avant-gauche de celui de B._, correctement arrêté au "stop". Avant l'arrivée de la police, A._ a quitté les lieux, sans laisser ses coordonnées.
Le 16 avril 2019, à la suite d'un mandat de comparution décerné par la police, A._ a sollicité une défense d'office.
A._ a été entendu par le police le 23 avril 2019 en qualité de personne appelée à donner des renseignements puis le 27 novembre 2020 comme prévenu. Il a expliqué s'être disputé avec un homme au sujet d'une place de parking, lequel, en essayant de lui donner un coup de poing, lui avait touché le nez; lorsqu'il était parti, l'inconnu, accompagné de deux autres hommes, l'avait suivi en voiture; en regardant dans son rétroviseur pour vérifier si tel était toujours le cas, il n'avait pas eu le temps de prendre correctement le virage, ce qui avait provoqué le heurt; il avait pris peur car il s'était aperçu qu'il était effectivement suivi; en état de stress, il n'avait pas eu le temps de donner ses coordonnées à la conductrice. Il soutient en particulier ne pas avoir consommé de stupéfiants, d'alcool ou de médicaments avant l'accident et ne pas s'être dérobé au test de l'éthylomètre.
Le 1er mai 2019, la police a entendu un témoin qui était arrêté, avec son vélo, au "stop" de l'intersection de la route de Frontenex et du chemin Frank-Thomas au moment où le choc s'était produit. Le témoin a expliqué qu'après l'accrochage, A._ était sorti de son véhicule et semblait ivre car il titubait et avait du mal à articuler; quelques minutes plus tard, il était retourné à son véhicule, avait attendu, puis, effectué une marche arrière et était reparti en trombe, sans laisser ses coordonnées.
Par ordonnance du 21 décembre 2021, le Ministère public du canton de Genève (ci-après: le Ministère public) a reconnu A._ coupable d'entrave aux mesures de constatation de l'incapacité de conduire (<ref-law>), de violation des obligations en cas d'accident (<ref-law>) et de violation simple des règles de la circulation routière (<ref-law>). Il a été condamné à une peine pécuniaire de 100 jours-amende (à 30 francs le jour) avec sursis ainsi qu'à deux amendes de 600 francs et 2'000 francs, pour lesquelles, en cas de non-paiement, des peines privatives de liberté de 20 jours chacune ont été prononcées. A._, par la plume de son conseil, y a formé opposition.
Par ordonnance du même jour, le Ministère public a refusé d'ordonner sa défense d'office. Par arrêt du 18 mars 2021, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours déposé par A._ contre l'ordonnance du 21 décembre 2021 relative à l'assistance judiciaire.
B.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 18 mars 2021 et d'ordonner sa défense d'office par Me Magali Buser avec effet au 16 avril 2019. Il conclut subsidiairement au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision au sens des considérants. Il requiert aussi l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
La Cour de justice se réfère aux considérants de son arrêt et n'a pas d'observations à formuler. Le Ministère public conclut au rejet du recours. Le recourant a répliqué, par courrier du 21 mai 2021.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, prévenu et auteur de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le refus de désigner un avocat d'office au prévenu est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 4).
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint d'une constatation arbitraire des faits.
2.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3). La recourante ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6).
2.2. En l'occurrence, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir retenu de façon paradoxale dans la partie "en fait" qu'il avait admis les faits, tout en exposant les points qu'il avait contestés. Il fait aussi grief à la cour cantonale de ne pas avoir précisé qu'il avait été auditionné le 23 avril 2019 en qualité de personne appelée à donner des renseignements, puis le 27 novembre 2020 en qualité de prévenu. Ces éléments ont été pris en compte, sans pour autant qu'ils aient une quelconque influence sur l'issue du litige (voir infra consid. 3.3).
Le grief d'appréciation arbitraire des faits et des preuves doit donc être rejeté.
3.
Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir jugé que la cause ne présentait aucune difficulté de fait et de droit justifiant la désignation d'un avocat d'office. Il se plaint d'une violation de l'<ref-law>.
3.1. En dehors des cas de défense obligatoire visés à l'<ref-law>, l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois ou d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende (<ref-law>).
Si les deux conditions mentionnées à l'<ref-law> doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe "notamment"), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il encourt une révocation de l'autorisation d'exercer sa profession ou s'il risque de perdre la garde de ses enfants (arrêt 1B_360/2020 du 4 septembre 2020 consid. 2.1 et les arrêts cités).
Les critères énoncés par l'art. 132 al. 1, let. b, 2 et 3 CPP reprennent largement la jurisprudence du Tribunal fédéral en matière d'assistance judiciaire, rendue sur la base des art. 29 al. 3 Cst. et 6 ch. 3 let. c CEDH (<ref-ruling> consid. 3.5). Selon cette jurisprudence, la désignation d'un défenseur d'office dans une procédure pénale est nécessaire lorsque le prévenu est exposé à une longue peine privative de liberté ou s'il est menacé d'une peine qui ne peut être assortie du sursis. Elle peut aussi l'être, selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées, qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul (<ref-ruling> consid. 3.5; arrêts 6B_243/2017 du 21 septembre 2017 consid. 2.2; 1B_167/2016 du 1er juillet 2016 consid. 3.4). En revanche, lorsque l'infraction n'est manifestement qu'une bagatelle, en ce sens que son auteur ne s'expose qu'à une amende ou à une peine privative de liberté de courte durée, la jurisprudence considère que l'auteur n'a pas de droit constitutionnel à l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.5 et les références citées).
Pour évaluer ensuite si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. La nécessité de l'intervention d'un conseil juridique doit ainsi reposer sur des éléments objectifs, tenant principalement à la nature de la cause, et sur des éléments subjectifs, fondés sur l'aptitude concrète du requérant à mener seul la procédure (arrêts 1B_210/2019 du 29 juillet 2019 consid. 2.1; 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273).
S'agissant de la difficulté objective de la cause, à l'instar de ce qu'elle a développé en rapport avec les chances de succès d'un recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 2.3.1), la jurisprudence impose de se demander si une personne raisonnable et de bonne foi, qui présenterait les mêmes caractéristiques que le requérant mais disposerait de ressources suffisantes, ferait ou non appel à un avocat (<ref-ruling> consid. 9.1; arrêt 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273). La difficulté objective d'une cause est admise sur le plan juridique lorsque la subsomption des faits donne lieu à des doutes, que ce soit de manière générale ou dans le cas particulier (arrêt 1B_475/2020 du 19 novembre 2020 consid. 2.2).
Pour apprécier la difficulté subjective d'une cause, il faut tenir compte des capacités du prévenu, notamment de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, de sa maîtrise de la langue de la procédure (arrêt 1B_257/2013 du 28 octobre 2013 consid. 2.1 in SJ 2014 I p. 273), ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (arrêt 1B_475/2020 du 19 novembre 2020 consid. 2.2).
3.2. En l'espèce, s'agissant d'abord de la gravité de la cause, la peine infligée dans l'ordonnance pénale du 21 décembre 2020 est une peine pécuniaire de 100 jours-amende (à 30 francs le jour) avec sursis ainsi que deux amendes de 600 francs et 2'000 francs, pour lesquelles, en cas de non-paiement, des peines privatives de liberté de 20 jours chacune ont été prononcées. La cour cantonale a considéré que la première condition posée par l'<ref-law> (gravité de la cause) était remplie, dès lors que si les peines étaient cumulées (peines pécuniaires et privatives de liberté de substitution), l'ensemble des sanctions dépassaient celles prévues par l'<ref-law>.
La Cour de justice a ensuite jugé que la seconde condition exigée par l'<ref-law> n'était pas remplie, la présente cause ne présentant à ses yeux aucune complexité en fait ou en droit. Elle a estimé que les faits et les dispositions légales étaient clairement circonscrits et ne présentaient aucune difficulté de compréhension pour le recourant qui maîtrisait la langue française, contrairement à ce qu'il prétendait: en effet, il s'était exprimé en français lors de ses auditions à la police, sans l'assistance d'un traducteur; il avait compris ce qui lui était reproché, reconnu la majorité des faits et donné des explications précises lors de ses deux auditions, sans intervention utile de l'avocat-stagiaire présent; en particulier, il avait été en mesure d'exposer les circonstances pour lesquelles il n'avait pas correctement pris le virage - provoquant ainsi le heurt - et avait quitté les lieux de l'accident sans laisser ses coordonnées; il s'était aussi exprimé au sujet de sa démarche et son élocution, à la suite des déclarations du témoin.
La juridiction précédente a ajouté que la cause ne saurait être qualifiée de complexe au regard du nombre de reproches formulés par le Ministère public compte tenu de l'unicité des faits. Pour le même motif, elle a estimé que la requête et la confrontation avec l'unique témoin ne rendaient pas la cause plus complexe et ne nécessitait pas l'assistance d'un conseil.
3.3. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et le recourant ne fait valoir aucun élément propre à le remettre en cause. Il ne démontre pas quelles seraient les difficultés objectives de la cause. Il n'est à cet égard pas suffisant de relever qu'il a été reconnu coupable de trois infractions et que les règles sur le concours sont applicables. En effet, les faits reprochés se limitent à l'événement isolé du 7 avril 2019 vers 15h30 et les dispositions légales envisagées (art. 91a al. 1, 92 al. 1 et 90 al. 1 LCR), clairement circonscrites, ne présentent aucune difficulté de compréhension ou d'application pour le recourant qui comprend le français. L'intéressé a d'ailleurs compris ce qui lui était reproché et a fourni des explications précises lors de ses auditions à la police les 23 avril 2019 et 27 novembre 2020. Il a aussi été apte à exposer les circonstances de l'événement du 7 avril 2019. Dans ces conditions, le recourant ne peut se limiter à reprocher à la Cour de justice de ne pas l'avoir entendu parler et de s'être fondée sur des pièces du dossier. Cela vaut d'autant moins qu'il a partiellement reconnu les faits. S'il conteste les infractions aux <ref-law> (entrave aux mesures de constatation de l'incapacité de conduire) et 92 LCR (violation des obligations en cas d'accident), il admet la violation simple des règles de la circulation routière (<ref-law>). Il nie uniquement avoir consommé des stupéfiants, de l'alcool ou des médicaments.
De possibles difficultés ne découlent pas non plus de ce que la cause remonte à plus de deux ans et que des questions se poseraient sur une éventuelle violation du principe de célérité. Cette circonstance sera, cas échéant, prise en compte d'office par le juge. Le recourant fait encore valoir qu'il devra demander à être confronté au témoin pour démontrer son innocence de l'infraction qu'il conteste, en particulier d'avoir été ivre au volant et qu'il devra poser des questions au témoin. Solliciter la confrontation avec un témoin ne nécessite toutefois pas l'assistance d'un conseil, compte tenu de l'absence de complexité des faits et de la nature de la cause.
Par ailleurs, le simple fait qu' un avocat stagiaire l'a accompagné lors des deux auditions ne permet pas de démontrer que la présence de celui-ci était justifiée, dans la mesure où le recourant n'expose pas en quoi concrètement et précisément celui-ci l'a aidé à sauvegarder ses intérêts. Quant à l'absence de connaissance juridique, cela ne constitue pas un motif justifiant à lui seul l'assistance d'un avocat, sauf à considérer que toute personne dénuée de formation juridique devrait bénéficier d'un défenseur d'office sans autre démonstration.
Enfin, s auf à permettre à tout prévenu encourant une inscription au casier judiciaire d'obtenir l'assistance d'un mandataire professionnel, le fait que le recourant dispose d'un casier judiciaire vierge ne saurait entrer en considération sans autre explication; cette constatation s'impose d'autant plus que le recourant ne fait état d'aucune éventuelle conséquence sur le plan professionnel et/ou privé.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
Les conclusions du recours étant vouées à l'échec, la demande d'assistance judiciaire sera rejetée (art. 64 al. 1 et 2 LTF). Compte tenu des circonstances, le présent arrêt sera rendu sans frais (art. 66 al. 1, deuxième phrase, LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public et à la Cour de justice du canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 21 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Tornay Schaller