Sachverhalt:
A.
Die 1952 geborene A._ ist als selbstständigerwerbende Betreiberin einer Modellagentur sowie eines Styling- und Kosmetikstudios der Ausgleichskasse des Kantons Zürich angeschlossen. Am 29. März 2020 meldete sie sich im Zusammenhang mit den Massnahmen für die Bekämpfung des Coronavirus zum Bezug einer Erwerbsausfallentschädigung ("Härtefallregelung", nachfolgend: Corona-Erwerbsersatz) an. Mit Verfügung vom 29. April 2020 verneinte die Ausgleichskasse einen Leistungsanspruch, da für das Jahr 2019 kein Erwerbseinkommen ausgewiesen sei. Somit liege das AHV-pflichtige Jahreseinkommen unter Fr. 10'000.-, was einen Corona-Erwerbsersatz ausschliesse. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 7. Juli 2020 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde der A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 28. Oktober 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Urteils und des Einspracheentscheids vom 7. Juli 2020 sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann sei ihr eine "A-fonds-perdu-Entschädigung" von pauschal Fr. 1000.- für die angefallenen Umtriebe auszurichten.
Die Ausgleichskasse und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Das kantonale Gericht hat die massgeblichen Grundlagen zutreffend dargelegt (Art. 2 Abs. 3bis und Art. 5 Abs. 2 der Verordnung vom 20. März 2020 über Massnahmen bei Erwerbsausfall im Zusammenhang mit dem Coronavirus [SR 830.31; nachfolgend: Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall; "Stand am 6. Juli 2020", in Kraft vom 17. März bis zum 16. September 2020; AS 2020 2223 und AS 2020 3705]). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. Soweit die Beschwerdeführerin in formeller Hinsicht die "faktische Verweigerung" des kantonalen Gerichts beanstandet, sich mit den von ihr angeführten Tatsachen und substanziierten Begründungen auseinanderzusetzen, dringt sie nicht durch. Denn die Vorinstanz hat klar zu erkennen gegeben, von welchen Überlegungen sie sich hat leiten lassen. Eine sachgerechte Anfechtung war damit zweifellos möglich (vgl. statt vieler: <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen). Es liegt keine Verletzung der Begründungspflicht resp. des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) vor.
3.2. Sodann trifft zwar zu, dass die Erwägung 3.1 des angefochtenen Urteils fälschlicherweise auf eine nicht existierende "E. 1.5" verweist. Gemeint ist damit aber offenkundig die Erwägung 1.4. Dort hat das kantonale Gericht erwogen, das mit der Rechtsverzögerungs- oder Rechtsverweigerungsbeschwerde verfolgte rechtlich geschützte Interesse bestehe darin, einen an eine gerichtliche Beschwerdeinstanz weiterziehbaren Entscheid zu erlangen. Dazu ist der Erwägung 3.1 schlüssig zu entnehmen, die Frage der Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung sei vorliegend mit dem Entscheid der Beschwerdegegnerin in der Sache gegenstandslos geworden. Dies führe zum Wegfall des Rechtsschutzinteresses der Beschwerdeführerin, was das Nichteintreten auf die Beschwerde in diesem Punkt zur Folge habe. Damit stellt der irrtümliche Verweis auf die Erwägung 1.5 ein redaktionelles Versehen dar, welches ohne Weiteres berichtigt werden kann, weil damit kein wesentlicher Einfluss auf das Dispositiv oder die Urteilsbegründung verbunden ist (Urteil 1C_610/2014 vom 24. Juli 2015 E. 2 mit Hinweisen).
Nicht anders zu qualifizieren ist das vorinstanzliche Auslassen der Erwägung 2. Es handelt sich - wie die Beschwerdeführerin selber einräumt - um einen reinen Nummerierungsfehler. Nachdem das angefochtene Urteil auch vor diesem Hintergrund im Gesamtkontext (Dispositiv und Begründung) durchaus nachvollziehbar bleibt, besteht kein Anlass für die verlangte Rückweisung.
4.
4.1. In materieller Hinsicht hat die Vorinstanz im Wesentlichen erwogen, selbst wenn das massgebliche Einkommen - zu Gunsten und dem Antrag der Beschwerdeführerin folgend - anhand der Steuererklärung für das Jahr 2019 eruiert würde, resultiere daraus kein Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz. Bei einem veranlagten Einkommen von Fr. 14'183.- sei der massgebliche Schwellenwert denn auch bereits mit Blick auf den für Personen im AHV-Alter geltenden Freibetrag von Fr. 16'800.- jährlich offensichtlich nicht erreicht. Gestützt darauf hat das kantonale Gericht den Einspracheentscheid vom 7. Juli 2020 im Ergebnis bestätigt.
4.2. Die Beschwerdeführerin vermag dem - soweit die Beschwerde überhaupt sachbezogene Rügen enthält - nichts Stichhaltiges entgegen zu halten. Die Vorinstanz hat zu Recht auf die Angaben des Bundesamts für Sozialversicherungen verwiesen, wonach das im hier interessierenden Zusammenhang massgebliche AHV-pflichtige Einkommen bei Versicherten im Pensionsalter - wie im Fall der 1952 geborenen Beschwerdeführerin - wegen des sogenannten Freibetrags (vgl. Art. 4 Abs. 2 lit. b AHVG in Verbindung mit Art. 6quater Abs. 2 AHVV) trotz eines faktisch erzielten Einkommens bei Null liegen könne. Diesen zentralen Punkt übersieht die Beschwerdeführerin. Sie legt insbesondere nicht (substanziiert) dar, weshalb der Schwellenwert vorliegend nicht anwendbar sein soll. Ebenso wenig wird in der Beschwerde aufgezeigt oder ist aufgrund der Akten ersichtlich, dass die Beschwerdeführerin im Jahr 2019 als Selbstständigerwerbende ein Fr. 16'800.- übersteigendes AHV-pflichtiges Einkommen erzielt hätte. Auch anhand der sonstigen Vorbringen ist keine Rechtsverletzung zu erkennen.
5.
Nach dem Gesagten hält das angefochtene Urteil vor Bundesrecht stand. Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Umständehalber wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Eine Entschädigung für Umtriebe und Unkosten, wie sinngemäss beantragt, kann die Beschwerdeführerin nicht verlangen (Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Juni 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder