Sachverhalt:
A.
A._ wurde 2018 geboren. Bereits vor seiner Geburt wurde für ihn und seine Mutter in V._ (Kanton Thurgau) die betreute Wohnmöglichkeit "Wohnen und Betreuung für Mutter und Kind X._" organisiert. Dort hatte die Mutter bereits früher während mehr als zehn Jahren als Pflegekind gelebt. Ihre Wohnung in U._ (Kanton St. Gallen) hatte sie gekündigt und die Möbel eingelagert. Aufgrund einer Gefährdungsmeldung ihres Beistands entzog ihr die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) der Region St. Gallen mit superprovisorischer Verfügung vom 17. April 2018 das Aufenthaltsbestimmungsrecht über A._ und hielt fest, dass dieser vorsorglich bei der Pflegefamilie in V._ platziert werde. Am 3. Mai 2018 meldete die Mutter sich bei der Einwohnergemeinde U._ ab und am 4. Mai 2018 bei der Stadt Kreuzlingen (Kanton Thurgau) an, wobei sie am 30. Mai 2018 einen Mietvertrag für eine in dieser Einwohnergemeinde liegende Wohnung mit Beginn ab 1. August 2018 abschloss. Mit Beschluss vom 10. Juli 2018 entzog die KESB in Bestätigung ihrer superprovisorischen Verfügung vom 17. April 2017 der Mutter das Aufenthaltsbestimmungsrecht definitiv und ordnete die Unterbringung von A._ bei der Pflegefamilie in V._ an.
Am 11. September 2018 ersuchte die Beiständin von A._ die Stadt Kreuzlingen, die Platzierungskosten in V._ ab dem 3. Mai 2018 zu übernehmen. Mit Beschluss vom 26. September 2018 wies die Sozialhilfekommisson der Stadt das Gesuch mangels fehlender Zuständigkeit ab. Hiegegen legte die Beiständin beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau Rekurs ein. Mit Entscheid vom 23. April 2019 stellte die Verwaltung fest, dass der Rekurrent in der Stadt Kreuzlingen keinen Unterstützungswohnsitz begründet habe und die Vorinstanz somit weder Kostengutsprache für dessen Platzierung leisten noch für seinen Lebensunterhalt im Rahmen der subsidiären Sozialhilfe aufkommen müsse.
B.
Die hiegegen von der Beiständin in Vertretung des A._ eingereichte Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 25. September 2019 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, unter Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass er seit dem Wegzug seiner Mutter aus U._ (3. Mai 2018) für den massgebenden Zeitraum keinen Unterstützungswohnsitz im Kanton St. Gallen, sondern dieser sich seither im Kanton Thurgau befunden habe. Ferner wird um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Die Stadt Kreuzlingen lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. A._ lässt in seiner Vernehmlassung das in der Beschwerde gestellte Rechtsbegehren wiederholen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren beanstandeten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob und gegebenenfalls ab wann der Unterstützungswohnsitz des Beschwerdeführers in der Stadt Kreuzlingen (Kanton Thurgau) statt der Einwohnergemeinde U._ (Kanton St. Gallen) gelegen hatte.
3.
3.1. Bedürftige werden von ihrem Wohnkanton unterstützt (Art. 115 erster Satz BV). Der Bund regelt die Ausnahmen und Zuständigkeiten (Art. 115 zweiter Satz BV). Das Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG) vom 24. Juni 1977 (SR 851.1) präzisiert in dem durch die Verfassung vorgegebenen Rahmen, welcher Kanton für die Fürsorge zuständig ist, und es regelt den Ersatz von Unterstützungskosten unter den Kantonen (vgl. Art. 1 Abs. 1 und 2 ZUG).
3.2.
3.2.1. Gemäss § 8 des Gesetzes über die öffentliche Sozialhilfe (Sozialhilfegesetz; SHG) des Kantons Thurgau vom 29. März 1984 (Thurgauer Rechtsbuch, Band V, Ziffer 850.1 der Systematischen Übersicht) sorgt die Gemeinde, wenn jemand nicht über hinreichende Mittel zur Bestreitung des Lebensunterhalts für sich und seine Angehörigen mit gleichem Wohnsitz verfügt, für die notwendige Unterstützung, sofern vom Hilfsbedürftigen nicht verlangt werden kann, sich die Mittel durch eigene Arbeit zu beschaffen und keine andere Hilfe möglich ist. Zuständig ist die Wohnsitzgemeinde des Hilfsbedürftigen. Die Gemeinde des Aufenthaltsortes ist zuständig, solange die Wohnsitzgemeinde nicht feststeht oder wenn jemand unaufschiebbar der Hilfe bedarf (§ 4 Abs. 1 SHG). Wohnsitz und Aufenthalt bestimmen sich nach den Vorschriften des ZUG (§ 4 Abs. 2 SHG).
3.2.2. Die unterstützungsbedürftige Person hat ihren Wohnsitz im Sinne des ZUG (Unterstützungswohnsitz), welcher nicht zwingend identisch ist mit dem zivilrechtlichen Wohnsitz (Urteil 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 4.1 mit Hinweis), in dem Kanton, in dem sie sich mit der Absicht dauernden Verbleibens aufhält. Dieser Kanton wird als Wohnkanton bezeichnet (<ref-law>). Wer aus dem Kanton wegzieht, verliert nach <ref-law> den bisherigen Unterstützungswohnsitz (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 435).
3.2.3. Für minderjährige Kinder gelangt bezüglich des Unterstützungswohnsitzes die folgende Spezialregelung gemäss <ref-law> zur Anwendung: Das minderjährige Kind teilt, unabhängig von seinem Aufenthaltsort, den Unterstützungswohnsitz der Eltern oder jenes Elternteils, unter dessen elterlicher Sorge es steht (Abs. 1). Wenn die Eltern keinen gemeinsamen zivilrechtlichen Wohnsitz haben, teilt es den Unterstützungswohnsitz jenes Elternteils, bei dem es wohnt (Abs. 2). Es hat demgegenüber einen eigenen Unterstützungswohnsitz am letzten Unterstützungswohnsitz nach den Abs. 1 und 2, wenn es dauernd nicht bei den Eltern oder einem Elternteil wohnt (Abs. 3 lit. c).
3.2.4. Letzteres ist der Fall bei Unmündigen, welche unter elterlicher Sorge stehen, wirtschaftlich unselbstständig sind und dauerhaft nicht bei den Eltern oder einem Elternteil leben. Erfasst werden durch diese Bestimmung freiwillige und behördliche Fremdplatzierungen ohne Entzug der elterlichen Sorge (Urteil 2A.134/2006 vom 29. Juni 2006 E. 4.3.1; Werner Thomet, Kommentar zum Bundesgesetz über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger [ZUG], 2. Aufl. 1994, Rz. 125). Als eigener Unterstützungswohnsitz des minderjährigen Kindes gemäss Art. 7 Abs. 3 lit. c in Verbindung mit Abs. 1 und 2 ZUG gilt der Ort, an dem es unmittelbar vor der Fremdplatzierung gemeinsam mit den Eltern oder einem Elternteil gelebt bzw. Wohnsitz gehabt hat. Der derart definierte Unterstützungswohnsitz bleibt künftig für die gesamte Dauer der Fremdplatzierung der gleiche, auch wenn die Eltern oder der sorgeberechtigte Elternteil den Wohnsitz wechseln. Ziel der damaligen, auf 1. Juli 1992 in Kraft getretenen Gesetzesrevision war es, jeder unmündigen Person rasch und eindeutig einen Unterstützungswohnsitz zuweisen zu können, der bei dauernd Fremdplatzierten im Interesse der Standortgemeinden von Heimen und anderen sozial-pädagogischen Einrichtungen möglichst nicht am Aufenthaltsort sein sollte. Ein eigener Unterstützungswohnsitz am Aufenthaltsort soll nur bestehen, wenn kein "letzter gemeinsamer Wohnsitz" mit den Eltern oder einem Elternteil vorhanden ist (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 436 mit Hinweisen).
4.
4.1.
4.1.1. Das kantonale Gericht hat festgestellt, die Unterbringung des Beschwerdeführers unmittelbar nach seiner Geburt zusammen mit seiner Mutter in der Pflegefamilie in V._ sei als betreute Wohnmöglichkeit vorgesehen gewesen. Die Mutter habe aufgrund ihrer psychischen Beeinträchtigungen elementarste elterliche Pflichten nicht wahrnehmen können. So sei sie jeweils in der Nacht nicht selber aufgestanden, um sich um die Bedürfnisse ihres Sohnes zu kümmern, sondern sie habe von der Pflegefamilie geweckt werden müssen. Am 5. März 2018 habe der Beistand der Mutter bei der KESB eine schriftliche Gefährdungsmeldung hinterlegt. Am 16. April 2018 sei sie freiwillig in eine psychiatrische Klinik eingetreten, habe diese jedoch am gleichen Tag wieder verlassen. Ihr Beistand habe am 17. April 2018 telefonisch bei der KESB erneut eine Gefährdungsmeldung gemacht, die gleichentags zum superprovisorisch verfügten Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts und der vorsorglichen Platzierung des Sohnes bei der Pflegefamilie in V._ geführt habe. Ab Anfang Mai 2018 habe die Mutter die Unterkunft in V._ dauerhaft verlassen. Aufgrund dieser Umstände sei faktisch davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer ab dem Zeitpunkt seiner Geburt fremdplatziert gewesen sei.
4.1.2. Weiter hat die Vorinstanz erwogen, die Platzierung des Beschwerdeführers bei der Pflegefamilie in V._ sei nicht befristet worden, auch nicht mit der superprovisorischen Verfügung der KESB vom 17. April 2018, in der keine bestimmte Dauer festgelegt worden sei. Der dortige Aufenthalt des Beschwerdeführers sei im Wesentlichen auf die erheblichen und dauernden psychischen Probleme der Mutter zurückzuführen. Im Zeitpunkt der Unterbringung des Beschwerdeführers bei der Pflegefamilie in V._ habe die Mutter ihren Unterstützungswohnsitz nicht in der Stadt Kreuzlingen gehabt. Daraus folge, dass diese für die sozialhilferechtliche Unterstützung des Beschwerdeführers während seiner dauerhaften Fremdplatzierung in V._ nicht aufzukommen habe. Daher habe die Stadt Kreuzlingen ihre Zuständigkeit zu Recht verneint.
4.2. Was der Beschwerdeführer geltend macht, erschöpft sich im Wesentlichen in dem Vorbringen, er lebe seit Anfang August 2019 wieder bei seiner Mutter, weshalb entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts nicht von einer dauerhaften Unterbringung bei der Pflegefamilie in V._ und damit des dortigen Aufenthalts ausgegangen werden könne. Das kantonale Gericht hat dazu gestützt auf die Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 8.4.3 S. 457; Urteil 8C_701/2013 vom 14. März 2014 E. 3 f.) einlässlich dargelegt, dass offensichtlich sei, die Mutter des Beschwerdeführers habe sich bei der Geburt des Sohnes und auch danach in einer gesundheitlich kritischen Situation befunden. Daher sei sie nicht in der Lage gewesen, das Kind zu hegen und zu pflegen. Weitere Abklärungen zum offensichtlich erkennbaren Gesundheitszustand hätten sich unbestritten nicht aufgedrängt, weshalb der im Urteil 8C_701/2013 beurteilte Sachverhalt vorliegend nicht einschlägig sei. Entscheidend sei, ob bei Beginn der Fremdplatzierung von deren Dauerhaftigkeit auszugehen oder von der Behörde nur eine vorübergehende Lösung beabsichtigt worden sei. Unabhängig vom Beschluss der KESB vom 10. Juli 2018 sei die Unterbringung des Beschwerdeführers nicht bloss als vorübergehende, sondern als zum damaligen Zeitpunkt betrachtet als dauerhafte Lösung im Sinne von <ref-law> zu betrachten. Inwiefern diese Erwägungen gegen Bundesrecht verstossen sollen, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Sie ist in allen Teilen abzuweisen.
5.
Die Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Seinem Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist stattzugeben, da die Bedürftigkeit offenkundig, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Verbeiständung durch einen Anwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1-3 BGG). Er wird indessen auf <ref-law> hingewiesen; danach hat er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und Thomas Stark wird als unentgeltlicher Rechtsanwalt des Beschwerdeführers bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. Juni 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Grunder