Sachverhalt:
A.
Die Sunrise Communications AG (nachstehend: Sunrise) betreibt eine Mobilfunkanlage auf dem Hochhaus an der Scheffelstrasse 3, Romanshorn. Dieses befindet sich auf der Parzelle Nr. 489 des Grundbuchs Romanshorn, die der zweigeschossigen Wohnzone (W2) zugeteilt wurde.
B.
Am 27. Juli 2015 stellte die Sunrise bei der Gemeinde Romanshorn ein Baugesuch bezüglich des Um- und Ausbaus der vorgenannten Mobilfunkanlage. Gemäss diesem Gesuch sollte das Frequenzband der bestehenden Anlage von 900 MHz auf 800, 1'800 und 2'100 MHz umverteilt, die abgestrahlte Sendeleistung (effective radiated power, ERP) von 300 auf 6'800 Watt erhöht, die bestehenden Antennentypen ersetzt und die Hauptstrahlrichtungen neu auf 10°, 140° und 250° festgesetzt werden.
Das Amt für Umwelt des Kantons Thurgau (AfU/TG) stellte in seinem Entscheid vom 30. November 2015 fest, die geplante Anlage erfülle die bundesrechtlichen Anforderungen an den Immissionsschutz.
Während der öffentlichen Auflage des Baugesuchs gingen dagegen zahlreiche Einsprachen ein, welche die Politische Gemeinde Romanshorn mit Entscheid vom 30. Juli 2016 abwies, soweit sie darauf eintrat. Gleichzeitig erteilte sie der Sunrise die von ihr verlangte Baubewilligung, wobei sie den Entscheid des AfU/TG vom 30. November 2015 zum integrierenden Teil der Baubewilligung erklärte.
Gegen die Baubewilligung bzw. den Einspracheentscheid erhoben 132 Einsprecher Rekurse beim Departement für Bau und Umwelt (DBU) des Kantons Thurgau. Dieses trat mit Rekursentscheid vom 2. Mai 2017 auf 59 Rekurse wegen Nichteinhaltens der Rekursfrist nicht ein und wies die übrigen Rekurse ab. Dagegen erhoben A._ und weitere 78 Personen Beschwerden beim Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau. Dieses wies mit Entscheid vom 17. Januar 2018 die Beschwerde der Beschwerdeführer 1 - 73 ab und verwies die übrigen Beschwerden, die zurückgezogen worden waren, in ein separates Verfahren.
C.
A._, B._ und C._ (Beschwerdeführer 1-3) erheben Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 17. Januar 2018 aufzuheben und die von der Sunrise beantragte Baubewilligung zu verweigern.
Das Verwaltungsgericht schliesst unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde. Das AfU/TG verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde. Die Sunrise (Beschwerdegegnerin) beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) kommt in seiner Stellungnahme zum Ergebnis, der angefochtene Entscheid entspreche dem Bundesumweltschutzrecht.
Der Rechtsanwalt der Beschwerdeführer teilt in seiner Replik mit, der Beschwerdeführer 3 sei am 4. September 2019 verstorben und seine Erben wollten sich nicht am Verfahren beteiligen. Die übrigen Beschwerdeführer hielten an ihren Ausführungen in der Beschwerde fest.
Die weiteren Verfahrensbeteiligten verzichteten stillschweigend auf eine Duplik.
Mit Verfügung vom 27. März 2019 stellte der Instruktionsrichter dem BAFU zum von diesem empfohlenen Qualitätssicherungssystem für Mobilfunkanlagen Fragen, die das BAFU in seiner ergänzenden Stellungnahme vom 29. Mai 2019 beantwortete.
Die Beschwerdeführer reichten zu diesen Antworten eine Stellungnahme ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen, kantonal letztinstanzlichen Endentscheid im Bereich des Baurechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 356). Die Beschwerdeführer sind zur Beschwerdeführung legitimiert, da sie am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen haben, und sie als Bewohner von Grundstücken innerhalb des Einspracheperimeters durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3 und 2.4 S. 171 f.).
1.2. Vor Bundesgericht können neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Tatsachen oder Beweismittel, die sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten oder entstanden sind (sog. echte Noven), können nicht durch den vorinstanzlichen Entscheid veranlasst worden sein und sind somit im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-ruling> E. 2.1 S. 344; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123).
Die Beschwerdeführer berufen sich vor Bundesgericht auf ein Telefongespräch vom 7. Februar 2018 mit einem Mitarbeiter des Amts für Umwelt des Kantons Schwyz. Da dieses Gespräch nach der Fällung des angefochtenen Urteils am 17. Januar 2018 geführt wurde, stellt es ein echtes Novum dar. Der Beweisantrag, dazu eine Partei und einen Zeugen zu befragen, ist daher unzulässig.
2.
Die Beschwerdeführer bringen vor, in der Zeitung "Seeblick" vom 8. Januar 2018 sei auf das strittige Baugesuch hingewiesen worden, ohne zu erwähnen, dass die Sendeleistung der Anlage um den Faktor 23 vergrössert werde und damit eine der stärksten Anlagen der Schweiz entstehen soll. Da sich dies erst aufgrund des Studiums der technischen Baugesuchsakten ergebe, sei die Öffentlichkeit bewusst in die Irre geführt worden.
Da die Beschwerdeführer nicht geltend machen, sie seien selber durch den Hinweis auf das Baugesuch in der Zeitung "Seeblick" über dessen Bedeutung getäuscht worden, haben sie an entsprechenden Einwänden kein schützenswertes Interesse. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (vgl. <ref-law>).
3.
3.1. Der Immissionsschutz ist bundesrechtlich im Umweltschutzgesetz (USG; SR 814.01) und den darauf gestützten Verordnungen geregelt. Gemäss <ref-law> sind Einwirkungen, die schädlich oder lästig werden könnten, im Sinne der Vorsorge frühzeitig zu begrenzen. Nach <ref-law> werden Emissionen unter anderem durch Emissionsgrenzwerte eingeschränkt (Abs. 1 lit. a), die durch Verordnung oder direkt auf das Gesetz abgestützte Verfügungen vorgeschrieben werden (Abs. 2). Für den Schutz vor nichtionisierender Strahlung, die beim Betrieb ortsfester Anlagen erzeugt wird, erliess der Bundesrat die Verordnung vom 23. Dezember 1999 über den Schutz vor nichtionisierender Strahlung (NISV; SR 814.710), die unter anderem die Immissionen von Mobilfunksendeanlagen regelt. Der Bundesrat hat in dieser Verordnung im Rahmen des Vorsorgeprinzips gemäss <ref-law> die Anlagegrenzwerte so tief angesetzt, wie dies technisch und betrieblich möglich und wirtschaftlich tragbar ist, wobei er bezüglich möglicher Gesundheitsgefährdungen eine Sicherheitsmarge vorsah (vgl. Urteil 1C_576/2016 vom 27. Oktober 2017 E. 3.5.1). Jede Mobilfunkanlage hat für sich im massgebenden Betriebszustand an allen Orten mit empfindlicher Nutzung (sog. OMEN) den Anlagegrenzwert einzuhalten (vgl. Ziff. 64 und 65 Anhang 1 NISV). Zudem müssen überall, wo sich Menschen aufhalten können, die festgelegten Immissionsgrenzwerte eingehalten werden (vgl. <ref-law> und Anhang 2 NISV).
3.2. Die Beschwerdeführer bringen vor, die Beschwerdegegnerin habe nachträglich Korrekturen an ihrem fehlerhaften Standortdatenblatt vornehmen müssen. So habe sie in einem neu eingereichten Standortdatenblatt "2.0" nachträgliche OMEN-Berechnungen erstellt, wobei zwei dieser OMEN zu den höchstbelasteten Orten zählten.
3.3. Mit diesen Ausführungen legen die Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern das zweite Standortdatenblatt den Anforderungen der NISV nicht genügen würde. Dies ist auch nicht ersichtlich, zumal das BAFU in seiner Stellungnahme zum Ergebnis kam, in diesem Standortdatenblatt würden die geprüften OMEN korrekt ermittelt und der Anlagegrenzwert eingehalten.
4.
Die in der NISV vorgeschriebenen Anlagegrenzwerte sind keine Gefährdungswerte, sondern vorsorgliche Emissionsbegrenzungen (vgl. E. 3 hievor). Bei solchen Grenzwerten im Vorsorgebereich kommt nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts bei den konkreten Messungen der Grundsatz zur Anwendung, wonach der gemessene Wert massgeblich ist, und die Messunsicherheit weder dazugerechnet noch abgezogen wird (Urteile 1C_343/2015 vom 30. März 2016 E. 2.1; 1C_685/2013 vom 6. März 2015 E 8.1 mit Hinweisen). Gemäss dem Amtsbericht des Eidgenössischen Instituts für Metrologie (METAS) vom 11. Juni 2014 über die Messunsicherheit beim Messen der Strahlung von Mobilfunk-Basisstationen ist es nicht möglich, nichtionisierende Strahlung genauer als mit einer Unsicherheit von 45 % zu erfassen. Das Bundesgericht hat gestützt darauf auch in jüngeren Entscheiden bestätigt, dass die in der Praxis gemäss den bestehenden Messempfehlungen durchgeführten Abnahmemessungen auch heute noch dem Stand der Technik entsprechen (vgl. Urteile 1C_323/2017 vom 15. Januar 2018 E. 4; 1C_343/2015 vom 30. März 2016 E. 6.6 mit Hinweisen).
Die Beschwerdeführer wenden ein, selbst wenn die angewandte "Messweise" dem heutigen Stand der Technik entspreche, könnten bei Unsicherheiten von +/- 45% die zugelassenen Anlagegrenzwerte überschritten werden, weshalb den Messunsicherheiten Rechnung getragen werden müsse.
Mit diesen unsubstanziierten Ausführungen zeigen die Beschwerdeführer keine Gründe auf, welche eine Abweichung von der bisherigen Rechtsprechung rechtfertigen könnten.
5.
5.1. Die Vorinstanz kam unter Berufung auf die Rechtsprechung des Bundesgerichts und die Einschätzung des BAFU zum Ergebnis, die in der NISV festgelegten Grenzwerte würden dem gegenwärtigen wissenschaftlichen Kenntnisstand über die von Mobilfunkanlagen ausgehenden Gesundheitsgefährdung ausreichend Rechnung tragen. Demnach sei bei der Einhaltung dieser Grenzwerte durch den Betrieb solcher Anlagen nicht von gesundheitsgefährdenden Beeinträchtigungen auszugehen. Die von den Beschwerdeführern angerufenen Studien und Artikel, wie etwa die von Adilza Dode in Belo Horizonte durchgeführte Studie und der in der Zeitschrift "umwelt medizin gesellschaft" 3/2016 publizierte Bericht von P. Hensinger und I. Wilke, seien nicht geeignet, Zweifel an dieser Beurteilung zu begründen.
5.2. Die Beschwerdeführer rügen, die Vorinstanz setze sich mit dem von ihr erwähnten Bericht von P. Hensinger und I. Wilke nicht auseinander und verletze damit ihre Begründungspflicht.
Aus dem angefochtenen Urteil geht hervor, dass die Vorinstanz zum Ergebnis kam, die angerufenen Berichte und Studien würden eine Änderung der in der NISV festgelegten Immissionsgrenzwerte nicht erforderlich machen. Damit war eine sachgerechte Anfechtung des angefochtenen Urteils möglich, weshalb die Vorinstanz ihre Begründungspflicht auch dann nicht verletzte, wenn sie nicht auf alle angerufenen Berichte im Einzelnen einging (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; <ref-ruling> E. 9.2 S. 65; je mit Hinweisen).
5.3. Weiter bringen die Beschwerdeführer vor, entgegen der von der Vorinstanz angerufenen Rechtsprechung des Bundesgerichts sei ein Zusammenhang zwischen der Strahlung von Mobilfunkanlagen und schädlichen oder lästigen Einwirkungen nachweisbar, da zahllose in- und ausländische wissenschaftliche Publikationen bedenkliche Auswirkungen der nichtionisierenden Strahlung beschrieben. Dazu gehöre die im Jahr 2011 in der Stadt Belo Horizonte durchgeführte Studie von Adilza Dode und anderen. Gemäss einem im "dlz agrarmagazin" vom März 2014 publizierten Interview habe Dr. Michael Hässig, Professor an der Universität Zürich, auf einem Bauernhof in der Nähe von Winterthur einen Zusammenhang zwischen der Zahl erblindeter Kälber und dem Betrieb einer Mobilfunkanlage festgestellt. Der Bericht von Peter Hinsinger und Isabel Wilke gebe einen Überblick über neue Forschungen und dokumentiere neue Studienergebnisse, wobei er davon ausgehe, dass ein gesicherter Schädigungsmechanismus der oxidative Zellstress sei. Zudem werde in einem vom BAFU im Jahr 2013 herausgegebenen Bericht ausgeführt, die Expositionen durch ortsfeste Sendeanlagen seien generell erfreulich niedrig und bei diesem Belastungsniveau seien bisher keine gesundheitlichen Auswirkungen wissenschaftlich nachgewiesen worden. Vorliegend könne jedoch von einer "erfreulich niedrigen Exposition" nicht mehr die Rede sein, da die Kapazität einer Anlage um den Faktor 23 vergrössert worden sei.
5.4. Das BAFU führte in seiner Stellungnahme zur Beschwerde aus, die Immissionsgrenzwerte, die verhindern sollen, dass insbesondere Menschen schädlicher oder lästiger nichtionisierender Strahlung ausgesetzt seien, habe der Bundesrat nach Massgabe des Standes der Wissenschaft oder der Erfahrung festzulegen. Dabei werde er durch das BAFU als zuständige Fachbehörde unterstützt, die in diesem Bereich die internationale Forschung sowie technische Entwicklung verfolge und allenfalls auf der Basis gefestigter neuer Erkenntnisse eine Anpassung der Grenzwerte der NISV beantragen müsse. Zur fachlichen Unterstützung habe das BAFU im Jahr 2014 die "Beratende Expertengruppe nichtionisierende Strahlung" (BERENIS) einberufen, welche die neu publizierten wissenschaftlichen Arbeiten zum Thema sichte und diejenigen zur detaillierten Bewertung auswähle, die für den Schutz des Menschen von Bedeutung sein könnten. Die Ergebnisse würden regelmässig in Form eines Newsletters auf der Internetseite des BAFU publiziert. Diesem lägen keine neuen Studien vor, die eine Anpassung der Immissionsgrenzwerte erforderlich machen würden.
5.5. Für das Bundesgericht besteht kein Anlass, von dieser Einschätzung des BAFU abzuweichen, da die Beschwerdeführer keine neuen wissenschaftlichen Studien nennen, die zu einem anderen Ergebnis führen könnten. So führte das Bundesgericht bereits in früheren Entscheiden aus, die unter der Leitung von Adilza Dode in der Stadt Belo Horizonte durchgeführte Studie gebe keinen Anlass zur Anpassung der Grenzwerte für nichtionisierende Strahlung (Urteil 1C_286/2014 vom 2. Dezember 2014 E. 5.3 mit Hinweis). Der von Peter Hinsinger und Isabel Wilke verfasste Artikel: "Mobilfunk: Neue Studienergebnisse bestätigen Risiken der nicht-ionisierenden Strahlung", berichtet lediglich über Ergebnisse von Studien, ohne selber eine solche darzustellen. Gleiches gilt bezüglich des vom BAFU im Jahr 2013 herausgegebenen und von Kerstin Hug und Martin Röösli verfassten Berichts: "Strahlung von Sendeanlagen und Gesundheit; Bewertung von wissenschaftlichen Studien im Niedrigdosisbereich, Stand: Dezember 2012", den die Beschwerdeführer zitieren. Dass Dr. Michael Hässig gemäss dem angerufenen Interview bezüglich des möglichen Zusammenhangs zwischen der Strahlung von Mobilfunkanlagen und der Erblindung von Kälbern eine wissenschaftlich abgesicherte Studie durchführte, ist nicht ersichtlich, da er relativierend ausführte, die zu Vergleichszwecken nach den Zufallsprinzip untersuchten 300 Kälber seien eine kleine Probeauswahl für die Fragestellung.
6.
6.1. Für den Vollzug der Vorschriften im Bereich des Umweltschutzes sind grundsätzlich die Kantone zuständig (<ref-law>; vgl. auch Art. 36 des Bundesgesetzes über den Umweltschutz vom 7. Oktober 1983; USG; SR 814.01). Entsprechend obliegt der Vollzug der auf dem USG beruhenden NISV den Kantonen (Art. 18 NIVS). Die zuständige kantonale Behörde überwacht die Einhaltung der Emissionsbegrenzungen (Art. 12 Abs. 1 NIVS). Zur Kontrolle der Einhaltung des Anlagegrenzwertes führt sie Messungen oder Berechnungen durch, lässt solche durchführen oder stützt sich auf die Ermittlungen Dritter (<ref-law>).
Der Bund wacht über den Vollzug des Umweltschutzgesetzes und koordiniert die Vollzugsmassnahmen der Kantone (<ref-law>). Diese Bundeskompetenz wird nach den Grundsätzen des Regierungs- und Verwaltungsorganisationsgesetzes vom 21. März 1997 (RVOG, SR 172.010) vom Bundesrat, dem zuständigen Departement (UVEK) oder Bundesamt (BAFU) ausgeübt (vgl. 47 Abs. 1 und 2 RVOG; BÉATRICE WAGNER PFEIFER, Umweltrecht, 2017, S. 315 Rz. 834). So hat zur Koordination des Vollzugs der NISV das BAFU als Fachbehörde für die Umwelt geeignete Mess- und Berechnungsmethoden zu empfehlen (<ref-law>; vgl. auch Art. 12 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b der Organisationsverordnung für das Eidgenössische Departement für Umwelt, Verkehr, Energie und Kommunikation vom 6. Dezember 1999; SR 172.217.1). Zudem hat das BAFU periodisch eine nationale Übersicht über die Belastung der Bevölkerung durch Strahlung zu veröffentlichen, wozu es Erhebungen durchführen kann (<ref-law>).
6.2. Gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts haben Anwohner von Mobilfunkanlagen ein schutzwürdiges Interesse, dass die Einhaltung der Grenzwerte der NISV durch objektive und überprüfbare bauliche Vorkehrungen gewährleistet wird. Das Bundesgericht schloss aber andere Möglichkeiten der Kontrolle nicht aus (Urteil 1C_172/2007 vom 17. März 2008 E. 2.2 mit Hinweisen auf <ref-ruling> E. 4 S. 379 ff. und Urteil 1A.160/2004 vom 10. März 2005 E. 3.3). Als alternative Kontrollmöglichkeit empfahl das BAFU in einem Rundschreiben vom 16. Januar 2006 die Einrichtung eines Qualitätssicherungssystems (QS-System) auf den Steuerzentralen der Netzbetreiberinnen (vgl. Rundscheiben Qualitätssicherung zur Einhaltung der Grenzwerte der NISV bei Basisstationen für Mobilfunk und drahtlose Teilnehmeranschlüsse vom 16. Januar 2006; nachstehend: Rundschreiben BAFU). Gemäss diesem Rundschreiben bezieht das QS-System nicht nur fernsteuerbare Parameter, sondern sämtliche Bauteile und Einstellungen ein, die nichtionisierende Emissionen beeinflussen (Rundschreiben BAFU, S. 2 Ziff. 2). Die Netzbetreiber haben dazu in den Steuerzentralen eine Datenbank (QS-Datenbank) zu implementieren, in der für jede Sendeanlage sämtliche Hardware-Komponenten und Geräteeinstellungen erfasst werden, welche die abgestrahlte Leistung (ERP) oder die Senderichtungen beeinflussen. Für ferngesteuerte oder manuelle Veränderungen der Einstellungen sind Prozesse zu definieren, die sicherstellen, dass die geänderten Einstellungen erfasst und unverzüglich in die QS-Datenbank übernommen werden. Das QS-System hat einmal pro Arbeitstag automatisch die effektiv eingestellten Sendeleistungen und -richtungen sämtlicher Antennen des betreffenden Netzes mit den bewilligten Werten bzw. Winkelbereichen zu vergleichen. Die dabei festgestellten Überschreitungen eines bewilligten Wertes sind, sofern dies durch Fernsteuerung möglich ist, innerhalb von 24 Stunden und andernfalls innerhalb einer Arbeitswoche zu beheben. Das QS-System hat bei festgestellten Überschreitungen automatisch Fehlerprotokolle zu erzeugen, die den Vollzugsbehörden alle zwei Monate unaufgefordert zuzustellen sind. Die Netzbetreiber haben den Behörden uneingeschränkte Einsicht in die QS-Datenbank zu gewähren (Rundschreiben BAFU, S. 2 f. Ziff. 3). Der Stand der Implementierung und das ordnungsgemässe Funktionieren des QS-Systems soll periodisch, erstmals Ende 2006, kontrolliert werden (Rundschreiben BAFU, S. 4 Ziff. 6; vgl. zu den QS-Systemen auch: Urteile 1A.57/2006 vom 6. September 2006 E. 5.1; 1C_282/2008 vom 7. April 2009 E. 3.2).
Die gestützt auf diese Empfehlungen eingerichteten QS-Systeme der kommerziell tätigen Mobilfunkbetreiberinnen wurden im Jahr 2007 ein erstes Mal in einer schweizweiten Stichprobenkontrolle überprüft. Im Jahr 2008 kontrollierte das Bundesamt für Verkehr (BAV) das QS-System des Mobilfunknetzes der SBB. In den Jahren 2010/2011 wurden im Auftrag des BAFU die QS-Systeme der Orange, Sunrise, Swisscom und SBB erneut schweizweit überprüft (vgl. ASEB/ECOSENS AG, Stichprobenkontrolle von Mobilfunksendeanlagen und Überprüfung der Qualitätssicherungssysteme der Mobilfunkbetreiber Orange, Sunrise, Swisscom und SBB, 2010/2011, 18. Januar 2012; nachstehend: Bericht zur Stichprobenkontrolle 2010/2011, Einleitung, S. i).
6.3. Mit der Erteilung der Baubewilligung wurde die Beschwerdegegnerin verpflichtet, die Sendeanlage mit einem QS-System zur Überwachung von Sendeleistung und Antennenausrichtung nach der Empfehlung des BAFU zu betreiben.
Im vorinstanzlichen Verfahren stellten die Beschwerdeführer das Funktionieren des QS-Systems der Beschwerdegegnerin bzw. eine wirksame Kontrolle der Immissionsbegrenzungen durch das AfU/TG in Frage und verlangten die Durchführung eines Augenscheins bei diesem Amt mit "Online-Verbindungsaufnahme in eine Steuerzentrale respektive in eine ad hoc von den Beschwerdeführern festgelegte Basisstation mit Einspielung der gefahrenen Sendeparameter auf dem Bildschirm" sowie anschliessender Alarmauslösung und Verfolgung des Alarms beim verfahrensbeteiligten Amt.
Die Vorinstanz führte diesbezüglich aus, das Bundesgericht habe unter Berücksichtigung des Berichts zur Stichprobenkontrolle 2010/2011 die QS-Systeme als ausreichend qualifiziert. Demnach seien auch bei einem Augenschein beim AfU/TG mit den von den Beschwerdeführern verlangten Modalitäten keine entscheidrelevanten Erkenntnisse zu erwarten, weshalb auf diese Beweiserhebung in antizipierter Beweiswürdigung verzichtet werden könne.
6.4. Die Beschwerdeführer rügen, diese antizipierte Beweiswürdigung sei willkürlich, da vom beantragten Augenschein mit den verlangten Modalitäten entscheidrelevante Erkenntnisse zu erwarten seien.
Gemäss ihrem Beweisantrag gehen die Beschwerdeführer davon aus, das AfU/TG verfüge über einen Onlinezugriff auf die Steuerzentralen der Mobilfunkanlagen und könne durch Veränderungen von Einstellungen bei ihm einen Alarm auslösen. Dabei lassen sie ausser Acht, dass die Vollzugsbehörden gemäss den massgebenden Empfehlungen des BAFU keinen Onlinezugriff auf die Steuerzentralen der Mobilfunkbetreiberinnen haben, da diese nur Einsicht in die QS-Datenbank gewähren müssen. Zudem wird bei vom QS-System festgestellten Überschreitungen kein "Alarm" bei den Vollzugsbehörden, sondern nur die automatische Erzeugung von Fehlerprotokollen verlangt, die den Behörden alle zwei Monate zuzustellen sind (vgl. E. 6.1 hievor). Die Vorinstanz durfte in willkürfreier vorweggenommener Beweiswürdigung davon ausgehen, die Durchführung eines Augenscheins beim AfU/TG könne insoweit keine neuen Erkenntnisse verschaffen (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
6.5. Der vorinstanzlichen Anmerkung, die Beschwerdeführer hätten vom Angebot des AfU/TG, bei ihm einen Besuch abzustatten, keinen Gebrauch gemacht, kommt keine entscheiderhebliche Bedeutung zu. Auf den dagegen gerichteten Einwand der Beschwerdeführer ist daher nicht einzugehen.
7.
7.1. Weiter machen die Beschwerdeführer geltend, das AfU/TG hätte nicht nachweisen können, dass das QS-System der Beschwerdegegnerin funktioniere und es die Einhaltung der bewilligten Parameter effektiv kontrolliere. Der Überprüfungsbericht 2010/2011 habe gezeigt, dass nur bei den SBB und der Swisscom nichts habe beanstandet werden müssen. Dagegen sei aufgrund der wenigen Stichproben festgestellt worden, dass die Sunrise drei Basisstationen nicht innerhalb der bewilligten Werte betrieben habe und diese Fehler durch das QS-System nicht entdeckt worden seien. Damit zeige dieser Bericht, dass dieses System nicht funktioniere.
7.2. Das Bundesgericht führte zur Tauglichkeit der QS-Systeme aus, gemäss den Angaben des BAFU würden alle Daten, die von der Netzzentrale aus gesteuert werden können, wie die Sendeleistung und teilweise die Elevation, von dieser Zentrale automatisch an die QS-Datenbank weitergegeben, weshalb insoweit fehlerhafte Eingaben ausgeschlossen seien. Auch wenn die QS-Systeme Überschreitungen der bewilligten Werte nicht mit absoluter Sicherheit verhindern könnten, sei zu beachten, dass eine solche Sicherheit auch mit baulichen Begrenzungen nicht zu erreichen sei, da die Netzbetreiberinnen diese Begrenzungen wieder entfernen oder abändern könnten, was für die Vollzugsbehörden nur mit sehr grossem Aufwand erkennbar wäre. Demnach sei dank den in den QS-Systemen implementierten Prozessen und Datenstrukturen zusammen mit den behördlichen Kontrollen die Wahrscheinlichkeit grösser, dass Überschreitungen der bewilligten Werte erkannt und rasch behoben werden, als bei der Beschränkung der Sendeleistung durch bauliche Massnahmen. Aus diesen Gründen sei ein Zurückkommen auf eine Hardware-Kontrolle nicht zu verlangen (Urteil 1C_282/2008 vom 7. April 2009 E. 3.4 und 3.5; vgl. auch Urteil 1C_169/2013 vom 29. Juli 2013 E. 4.4). Das Bundesgericht hielt an dieser Rechtsprechung auch fest, nachdem im Bericht zur Stichprobenkontrolle 2010/2011 namentlich bezüglich des QS-Systems der Sunrise Unstimmigkeiten festgestellt worden waren, da dieser Bericht zum Ergebnis kam, diese Unstimmigkeiten seien die Ausnahme und hätten im aktuellen Betrieb in keinem Fall zu einer Überschreitung des Anlagegrenzwertes geführt (Urteile 1C_661/2012 vom 5. September 2013 E. 5.1 und 5.2; 1C_323/2017 vom 15. Januar 2018 E. 3.4.1). Aus diesem Bericht ist daher entgegen der Meinung der Beschwerdeführer nicht auf die Untauglichkeit der QS-Systeme zu schliessen.
7.3. Sodann bringen die Beschwerdeführer vor, gemäss einem Bericht des Departements Bau, Verkehr und Umwelt des Kantons Aargau vom 15. August 2016 bemühe sich dieses um das direkte Herunterladen von Daten des BAKOM, was zeige, dass die Kontrolle in diesem Gebiet nicht gewährleistet sei.
Das Bundesgericht kam in einem früheren Entscheid zum Ergebnis, dieser Bericht bestätige die Tauglichkeit des QS-Systems, auch wenn die für den Vollzug zuständige kantonale Fachstelle den Aufwand für Stichprobenkontrollen als hoch erachtete (Urteil 1C_323/2017 vom 15. Januar 2018 E. 3.3 und 3.4). Aus diesem Bericht, bzw. daraus, dass sich eine kantonale Fachstelle um das vereinfachte Herunterladen von Daten des BAKOM bemühte, ergeben sich daher ebenfalls keine Hinweise auf ungenügende Kontrollen oder grundlegende Mängel beim QS-System.
8.
8.1. Gemäss einer Medienmitteilung des Umweltdepartements des Kantons Schwyz vom 10. Februar 2016 stellte eine Messfirma bei der Überprüfung von 14 Mobilfunkanlagen bei acht Anlagen Abweichungen von der Baubewilligung bezüglich der Höhe oder Ausrichtung von Antennen fest, weshalb die betroffenen Mobilfunkanbieter aufgefordert wurden, die Mängel zu beheben.
Die Beschwerdeführer machen geltend, wenn gemäss dieser Mitteilung im Kanton Schwyz jede zweite der geprüften Anlagen bewilligte und für die Ausbreitung der Strahlung wesentliche Parameter nicht einhalte, erweise sich das vom BAFU empfohlene QS-System als untauglich.
8.2. Das BAFU führt in seiner Stellungnahme zur Beschwerde aus, ihm fehlten hinsichtlich der in der angerufenen Medienmitteilung erwähnten Stichprobenkontrollen weitere Angaben. So sei ihm insbesondere die Art der Stichproben, das Ausmass der festgestellten Abweichungen und deren Auswirkungen auf die Belastung durch nichtionisierende Strahlung nicht bekannt. Das BAFU könne daher nicht beurteilen, inwiefern diese Stichprobenkontrollen auf Versagen der QS-Systeme hindeuten sollten.
In seiner ergänzenden Stellungnahme gab das BAFU namentlich an, die QS-Systeme der Mobilfunkbetreiberinnen erfassten neben den Senderichtungen auch die tatsächliche Höhe der montierten Antennen. Diese Höhe, der vor Ort mechanisch eingestellte Neigungswinkel, die horizontale Senderichtung und andere fixe Einstelllungen müssten von den Mobilfunkbetreiberinnen nach dem Bau der Anlage nach definierten Prozessen ermittelt und ins QS-System übertragen werden. Da bei der Eingabe der entsprechenden Daten Fehler entstehen könnten, die vom QS-System nicht erkannt würden, seien die im Kanton Schwyz festgestellten Abweichungen erst bei vor Ort vorgenommen Messungen im Rahmen einer Baukontrolle entdeckt worden. Daraus folge, dass auch ein funktionstüchtiges QS-System die Einhaltung der umweltschutzrechtlichen Anforderungen von Mobilfunkanlagen im Betrieb nur gewährleisten könne, wenn die definierten Prozesse der Datenübertragung auch eingehalten und "gelebt" würden.
8.3. Die vom BAFU empfohlenen QS-Systeme beziehen sämtliche Bauteile und Einstellungen ein, welche die Emissionen nichtionisierender Strahlung beeinflussen (vgl. E. 6.1 hievor). Dies ist gerechtfertigt, weil in der Schweiz über 19'000 bewilligungspflichtige Mobilfunkanlagen errichtet wurden, deren nachträglich abänderbare Einstellungen von den Behörden nicht dauernd überwacht werden können (vgl. Urteil 1C_282/2008 vom 7. April 2009 E. 3.4, in der noch von 10'000 Mobilfunksendeanlagen ausgegangen wurde). Zu den von den QS-Systemen erfassten Einstellungen gehören namentlich die Höhe und Senderichtung der Mobilfunkantennen. Die diesbezüglich im Kanton Schwyz festgestellten Abweichungen sind gemäss den Angaben des BAFU auf Fehler bei den Prozessen der Übertragung von Daten in die QS-Datenbanken zurückzuführen. Da solche Fehler von den QS-Systemen nicht erkannt werden, beeinträchtigen sie deren Funktionsfähigkeit (anders noch Urteil 1C_323/2017 vom 15. Januar 2018 E. 3.4.2). Dass im Kanton Schwyz entsprechende Abweichungen bei acht von 14 geprüften Anlagen festgestellt wurden, lässt darauf schliessen, dass die Prozesse der Datenübertragung in die QS-Datenbanken in diesem Kanton nicht hinreichend eingehalten bzw. "gelebt" wurden. Ob dies auch in anderen Kantonen zutraf und die festgestellten Abweichungen dazu führten, dass die Grenzwerte der NISV überschritten wurden, steht damit aber nicht fest, weshalb insoweit Klärungsbedarf besteht. Das BAFU wird daher aufgefordert, im Rahmen seiner Aufgaben, den Vollzug der NISV zu überwachen und die Vollzugsmassnahmen der Kantone zu koordinieren (vgl. E. 6.1 hievor), erneut eine schweizweite Kontrolle des ordnungsgemässen Funktionierens der QS-Systeme durchführen zu lassen oder zu koordinieren. Dies drängt sich auch deshalb auf, weil sich die letzte dieser Kontrollen in den Jahren 2010/2011 auf die computergesteuerten Parameter und die Angaben in den Datenbanken beschränkte und damals der Datenfluss bzw. die Datenübertragung von der realen Anlage in die QS-Datenbank nicht vor Ort überprüft wurde. Zur Prüfung dieser Datenübertragung sollten daher die nächsten Stichprobenkontrollen mit Kontrollen vor Ort an den Anlagen ergänzt werden, wie dies die Ecosens AG im Bericht zur Stichprobenkontrolle 2010/2011 empfielt (S. 30, vgl. auch S. ii, Fazit).
Entgegen der Meinung der Beschwerdeführer schaffen die im Kanton Schwyz bei Mobilfunkantennen festgestellten Abweichungen von bewilligten Einstellungen jedoch keine genügende Grundlage, um auf das generelle Versagen der QS-Systeme zu schliessen, weil das Ausmass der Abweichungen sowie deren Auswirkungen auf die Belastung durch nichtionisierende Strahlung an OMEN nicht bekannt sind und auch entsprechende Feststellungen bezüglich anderer Kantone fehlen. Damit besteht zur Zeit keine Veranlassung, bezüglich der Höhe und Senderichtung von Mobilfunkantennen eine Kontrolle durch bauliche Massnahmen (Plombierungen) zu verlangen.
9.
9.1. Die Vorinstanz erwog, die streitbetroffene Anlage halte die Anlagegrenzwerte gemäss der NIVS ein, obwohl sie mit einer Gesamtsendeleistung pro Sektor von 6'800 Watt eine relativ leistungsstarke Anlage sei. Gemäss der in <ref-ruling> präzisierten Rechtsprechung verstosse eine Mobilfunkanlage innerhalb der Bauzone nicht gegen den Grundsatz der Trennung von Bau- und Nichtbaugebiet, weil sie erheblich grössere Gebiete in der Nichtbauzone als in der Bauzone mit Mobilfunkleistungen versorge. Das Bundesgericht habe daher eine in einem Baugebiet geplante Anlage, die eine 30 Mal grössere Fläche von Nichtbaugebiet abdecke als zonenkonform erachtet. Demnach sei die Zonenkonformität der vorliegend strittigen Anlage zu bejahen, zumal ihre Hauptstrahlrichtungen gegen Westen, Norden und Südosten zeigten, wo sich in unmittelbarer Nähe des Standorts Baugebiete befänden. Damit sei der unmittelbare funktionelle Zusammenhang zwischen der Mobilfunkanlage und ihrem Standort in der Bauzone gegeben. Ob gemäss der Behauptung der Beschwerdeführer in 45 km Entfernung von der Anlage noch eine nutzbare Feldstärke gegeben wäre, könne dahingestellt bleiben.
9.2. Die Beschwerdeführer rügen, die geplante Anlage sei zonenwidrig, da in Bauzonen Infrastrukturbauten nur zonenkonform seien, soweit sie hinsichtlich Standort und Ausgestaltung in einer unmittelbaren funktionellen Beziehung zum Ort stehen, an dem sie errichtet werden. So seien in Bauzonen Mobilfunkanlagen grundsätzlich zonenkonform, soweit sie im Wesentlichen der Abdeckung derselben dienten. Die bestehende Anlage aus dem Jahr 1999 diene mit einer Sendeleistung von 300 Watt primär der lokalen Versorgung. Die geplante Anlage gehöre dagegen mit einer Gesamtleistung von 6'800 Watt gemäss der Kategorisierung des BAKOM zur obersten Kategorie mit einer grossen Gesamtleistung oberhalb 1000 Watt. Ihr Versorgungsgebiet mit einem Durchmesser von bis zu 90 km erfasse nicht nur die umliegenden Nichtbaugebiete bis zu den angrenzenden Gemeinden, sondern über den Kanton Thurgau hinaus Teile weiterer Kantone und über den Bodensee hinaus Teile von Baden-Württemberg, Bayern und Vorarlberg. Damit fehle die unmittelbare funktionelle Beziehung der geplanten Sendeanlage zu ihrem Standort in der Stadt Romanshorn und deren Wohnzone. Im <ref-ruling> seien Funkzellen mit grossen Radien in ländlichen Gebiete zugelassen worden, in denen diese Radien grösser seien als in dicht besiedelten Gebieten. Die strittige Anlage sei dagegen mitten in der Stadt Romanshorn in dicht besiedeltem Wohngebiet geplant, weshalb ein Versorgungsgebiet mit einem Radius von bis zu 45 km zu gross sei. Selbst wenn zulässig wäre, dass dieses Gebiet neben der Stadt noch das Landwirtschaftsland bis zu den Nachbargemeinden umfasse, dürfte der Radius maximal etwa drei Kilometer betragen. Andernorts würden zur Verbesserung des Strahlenschutzes eine Vielzahl von kleinen Antennen mit kleiner Leistung gebaut. So sehe das "Smartnet" der Stadt St. Gallen auf dem Stadtgebiet bis zu maximal 100 Antennen mit kleiner Sendeleistung vor. Eine Konzentration von Mobilfunkanlagen mit hoher Sendeleistung auf wenige Standorte sei auch gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts nicht generell anzustreben (Urteil 1A.264/2000 vom 24. September 2002 E. 9.4).
9.3. Mit diesen Ausführungen stellen die Beschwerdeführer nicht in Frage, dass nach der präzisierten Rechtsprechung des Bundesgerichts eine Mobilfunkanlage in der Bauzone nicht gegen Bundesumweltrecht verstösst, weil ihr Versorgungsgebiet flächenmässig erheblich mehr Land in der Nichtbauzone als in der Bauzone umfasst (<ref-ruling> E. 2.4 S. 250 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführer fordern jedoch für Mobilfunkanlagen eine Beschränkung, die zur Reduktion der Strahlenbelastung in Wohngebieten mehrere kleine anstelle von wenigen grösseren Anlagen vorschreibt. Eine solche Beschränkung kann indessen nicht aus dem Erfordernis der Zonenkonformität von Anlagen abgeleitet werden, weil der Schutz vor nichtionisierender Strahlung auch im Bereich des vorsorglichen Schutzes abschliessend durch die NISV geregelt wird (<ref-ruling> E. 5.2 S. 66 mit Hinweis). Zwar ist nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts mit dem Bundesumweltrecht vereinbar, dass ein kommunales Baureglement zum Schutz vor ideellen Immissionen in Wohngebieten nur Mobilfunkanlagen zulässt, die einen funktionellen Bezug zu dieser Zone aufweisen und von ihren Dimensionen und ihrer Leistungsfähigkeit her der in reinen Wohnzonen üblichen Ausstattung entsprechen (<ref-ruling> E. 5.4 S. 179; vgl. auch Urteil 1C_167/2018 vom 8. Januar 2019 E. 2). Eine solche Beschränkung setzt jedoch eine entsprechende kantonale bzw. kommunale Regelung voraus (<ref-ruling> E. 2.4 S. 249; Urteil 1C_7/2015 vom 6. November 2015 E. 3.5). Dass im vorliegenden Fall eine solche Regelung anwendbar sei, ergibt sich nicht aus dem angefochtenen Urteil und wird von den Beschwerdeführern auch nicht geltend gemacht.
10.
Schliesslich bringen die Beschwerdeführer vor, die geplante Anlage verletze aufgrund ihres Versorgungsradius gegenüber Deutschland und Österreich das im Schiedsspruch "Trail Smelter" vor 80 Jahren begründete völkergewohnheitsrechtliche Verbot erheblicher grenzüberschreitender Umweltbeeinträchtigungen.
Da gemäss den vorstehenden Erwägungen davon auszugehen ist, die strittige Mobilfunkanlage werde weder in der Schweiz noch in den benachbarten Ländern erhebliche Umweltbeeinträchtigungen hervorrufen, kann offenbleiben, inwieweit das Völkergewohnheitsrecht solche grenzüberschreitenden Beeinträchtigungen verbietet (vgl. dazu <ref-ruling> E. 18c S. 331 f.).
11.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den unterliegenden und noch am Verfahren beteiligten Beschwerdeführern 1 und 2 aufzuerlegen (<ref-law>). Diese haben der privaten Beschwerdegegnerin unter solidarischer Haftbarkeit eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführern 1 und 2 auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführer 1 und 2 haben die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren unter solidarischer Haftbarkeit mit insgesamt Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Poltischen Gemeinde Romanshorn, dem Amt für Umwelt des Kantons Thurgau, dem Departement für Bau und Umwelt des Kantons Thurgau, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. September 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Gelzer