Faits :
A.
Les avocats B._ et A._ ont convenu de s'associer dans l'exercice de leur profession au début de l'année 2008.
Un différend ayant surgi au terme de leur collaboration, B._, se fondant sur la clause d'arbitrage insérée dans la convention d'association conclue le 8 janvier 2008, a initié, le 1 er février 2011, une procédure arbitrale aux fins d'obtenir le paiement par A._ d'un montant de 40'329 fr. 50, intérêts en sus.
Par sentence du 30 août 2018, le tribunal arbitral a condamné A._ à payer à B._ la somme de 34'329 fr. 50 avec intérêts à 5% l'an dès le 1 er février 2011.
B.
Le 1 er octobre 2018, A._ a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral en vue d'obtenir l'annulation de ladite sentence (cause 4A_539/2018). Dénonçant une violation de son droit d'être entendu, l'intéressé faisait grief au tribunal arbitral d'avoir totalement omis de mentionner et de discuter le moyen tiré de la compensation (<ref-law>) dans la sentence finale.
Invités à se déterminer sur le recours, B._ a conclu au rejet du recours, tandis que le tribunal arbitral a déclaré s'en remettre au Tribunal fédéral en ce qui concerne l'issue du recours.
Par ordonnance du 29 octobre 2018, la Cour de céans a transmis à A._ la réponse de B._ et les observations du tribunal arbitral. Ladite ordonnance précisait notamment ce qui suit:
" (...) Aucun échange d'écritures supplémentaire n'est ordonné. D'éventuelles observations doivent être déposées jusqu'au 13 novembre 2018(...). "
A._ a déposé une réplique le 13 novembre 2018, suivie d'une duplique de B._ datée du 22 novembre 2018.
Par arrêt du 27 mars 2019, le Tribunal fédéral a rejeté le recours et a mis les frais judiciaires à la charge du recourant. En substance, il a nié toute violation du droit d'être entendu du recourant en considérant notamment ce qui suit:
" (...). La créance compensante ainsi invoquée était donc une prétention en dommages-intérêts. Le défendeur n'a pas cru utile de la chiffrer. La preuve du dommage lui incombait à teneur de l'<ref-law>; néanmoins, il n'a pas allégué de dommage d'un montant déterminé et il n'a non plus allégué aucun élément propre à permettre l'estimation réservée par l'<ref-law>. Le défendeur n'a fait aucune allusion à un éventuel préjudice moral et il a moins encore cherché à démontrer une atteinte à sa personnalité, suffisamment grave pour justifier une réparation en argent à allouer sur la base de l'<ref-law>. L'exception de compensation, certes soulevée, n'était donc pas motivée, sinon par la seule allégation d'un acte illicite. Cela n'était de toute évidence pas suffisant. Dans ce litige entre avocats, emprunt d'un puissant esprit d'animosité et de polémique, le tribunal arbitral pouvait voir dans l'exception une simple récrimination supplémentaire plutôt qu'un moyen de défense sérieux et apte à influencer l'issue de la cause. Il s'ensuit que le tribunal pouvait se dispenser de mentionner et de discuter l'exception, sans violer, par là, le droit du défendeur d'être entendu en procédure contradictoire. La sentence finale échappe donc au grief tiré de l'art. 393 let. d CPC. " (arrêt 4A_539/2018 consid. 7).
C.
Le 24 mai 2019, A._ (ci-après: le requérant) a adressé au Tribunal fédéral un mémoire, accompagné de pièces, dans lequel il sollicite la révision de l'arrêt du 27 mars 2019. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de cet arrêt et, cela fait, à l'annulation de la sentence arbitrale rendue le 30 août 2018. Il requiert également la récusation du greffier ayant participé au prononcé de l'arrêt fédéral objet de la présente demande de révision.
L'intimé, B._, et le tribunal arbitral n'ont pas été invités à se déterminer sur la demande de révision.

Considérant en droit :
1.
Dans son mémoire, le requérant a sollicité préalablement la récusation du greffier ayant fonctionné en cette qualité dans la cause 4A_539/2018. Cette requête de récusation se révèle d'emblée privée d'objet, dès lors que la présente cause a été attribuée à un autre greffier.
2.
Selon l'<ref-law>, les arrêts du Tribunal fédéral entrent en force dès leur prononcé. Cela signifie qu'il n'existe pas de voie de recours ou d'opposition à leur encontre. Seule est envisageable une demande de révision pour les motifs énumérés aux art. 121 à 123 LTF. La demande de révision est soumise aux exigences de motivation découlant de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (arrêts 4F_2/2019 du 28 février 2019 consid. 1.1; 5F_14/2016 du 14 mars 2017 consid. 1.1; 2F_13/2014 du 14 août 2014 consid. 4; 2F_4/2014 du 20 mars 2014 consid. 2.1).
Le requérant demande la révision de l'arrêt du 27 mars 2019 en invoquant les motifs prévus à l'art. 121 let. a et d LTF. La demande de révision doit dès lors intervenir dans les 30 jours suivant la notification complète de l'arrêt (art. 124 al. 1 let. a et b LTF). En l'espèce, le requérant a agi en temps utile, compte tenu de la suspension des délais pendant les féries pascales (<ref-law>).
3.
3.1. En premier lieu, le requérant se prévaut du motif de révision prévu à l'art. 121 let. d LTF.
3.2. Aux termes de l'art. 121 let. d LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier. Ce motif de révision vise le cas où le Tribunal fédéral a statué en se fondant sur un état de fait incomplet ou différent de celui qui ressortait du dossier. Il y a inadvertance lorsque le tribunal a omis de prendre en considération une pièce déterminée, versée au dossier, ou l'a mal lue, s'écartant par mégarde de sa teneur exacte, en particulier de son vrai sens littéral. Cette notion se rapporte au contenu même du fait, à sa perception par le tribunal, mais non pas à son appréciation juridique. L'inadvertance se distingue en effet de la fausse appréciation soit des preuves administrées devant le Tribunal fédéral, soit de la portée juridique des faits établis; la révision n'est pas possible lorsque c'est sciemment que le juge a refusé de tenir compte d'un certain fait, parce qu'il le tenait pour non décisif, car un tel refus relève du droit. Par ailleurs, le motif de révision prévu à l'art. 121 let. d LTF n'est réalisé que si les faits en cause sont pertinents, c'est-à-dire susceptibles de conduire à une solution différente de celle qui a été retenue, plus favorable au requérant (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 18; arrêts 4F_6/2017 du 22 mars 2017 consid. 2; 4F_9/2014 du 28 octobre 2014 consid. 2.2; 4F_16/2013 du 7 janvier 2014 consid. 4.2; 5F_7/2012 du 7 septembre 2012 consid. 1).
3.3. Le requérant soutient que le Tribunal fédéral aurait statué sans tenir compte de sa réplique déposée le 13 novembre 2018. A en croire l'intéressé, le passage de l'arrêt attaqué selon lequel " Sans y avoir été invitées, les parties ont déposé une réplique et une duplique " ne permettrait pas de retenir que la Cour de céans a effectivement pris en considération son écriture. De l'avis du requérant, l'absence de toute autre allusion aux développements figurant dans sa réplique démontrerait que celle-ci a été purement et simplement ignorée.
3.4. Pareille argumentation n'emporte pas la conviction de la Cour de céans.
L'argumentation développée par le requérant repose sur une prémisse erronée. En effet, l'intéressé fait fausse route lorsqu'il fait valoir que le Tribunal fédéral aurait prétendument considéré à tort sa réplique comme une écriture spontanée. La loi sur le Tribunal fédéral prévoit qu'il n'y a, en règle générale, qu'un seul échange d'écritures et qu'un second échange d'écritures n'est ordonné qu'exceptionnellement (<ref-law>). Selon la jurisprudence, les parties possèdent néanmoins un droit de réplique, déduit des art. 29 al. 2 Cst. et 6 CEDH, qui leur confère le droit de se déterminer sur toute prise de position versée au dossier, quelle que soit sa dénomination procédurale (<ref-ruling> consid. 4.1.1). Le droit de répliquer n'impose pas à l'autorité judiciaire de fixer un délai à la partie pour déposer d'éventuelles observations. L'autorité doit seulement lui laisser un laps de temps suffisant, entre la remise des documents et le prononcé de sa décision, pour que la partie ait la possibilité de déposer des observations si elle l'estime nécessaire (<ref-ruling>, précité, consid. 4.1.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Lorsque le Tribunal fédéral impartit un délai pour déposer d'éventuelles observations, ce délai ne saurait être considéré comme un ordre de se déterminer mais bien plutôt comme une simple possibilité offerte aux parties. En l'occurrence, le Tribunal fédéral, par avis du 29 octobre 2018, a transmis au requérant la réponse de la partie adverse et la prise de position du tribunal arbitral, en précisant qu'aucun échange d'écritures n'était ordonné et en impartissant au requérant un délai pour déposer d'éventuelles observations. Ce faisant, il n'a pas formellement invité le requérant à se déterminer mais il lui a simplement fixé un délai pour respecter son droit de répliquer. L'arrêt attaqué retient dès lors à juste titre que les parties ont répliqué et dupliqué sans y avoir été invitées.
Quoi qu'en dise le requérant, la mention de la réplique, dans l'arrêt attaqué, démontre que la Cour de céans a effectivement pris en considération cette écriture. Celle-ci n'a dès lors pas été ignorée. Que le Tribunal fédéral n'ait pas fait référence à des passages précis de la réplique ou discuté chaque élément qu'elle contient ne signifie nullement qu'il aurait ignoré l'argumentation du recourant.
A la lecture du mémoire du requérant, on constate que ce dernier critique les considérations faites par la Cour de céans dans l'arrêt litigieux à propos du fondement juridique de la créance opposée en compensation et de la preuve du dommage, respectivement des conditions d'application de l'<ref-law>. Aussi, sous couvert d'une prétendue inadvertance du Tribunal fédéral, le requérant cherche-t-il en réalité à remettre en cause l'appréciation juridique de la Cour de céans et la motivation retenue dans l'arrêt litigieux. Ce faisant, il perd de vue que la voie de la révision ne permet pas de rediscuter l'appréciation juridique contenue dans l'arrêt dont la révision est demandée (arrêt 1F_12/2015 du 27 avril 2015 consid. 3).
Il s'ensuit le rejet du grief.
4.
4.1. En second lieu, le requérant, invoquant l'<ref-law>, fait valoir que les dispositions concernant la composition du tribunal et la récusation n'auraient pas été observées.
4.2. Dans une première branche de son grief, l'intéressé se plaint de la composition irrégulière du Tribunal fédéral. A l'en croire, la Cour de céans se serait arrogée à tort la compétence de statuer sur le bien-fondé du moyen tiré de la compensation.
Semblable argumentation tombe à faux et repose sur une lecture manifestement erronée de l'arrêt litigieux. Contrairement à ce que semble penser le requérant, le Tribunal fédéral ne s'est pas prononcé sur des questions de fond en lieu et place du tribunal arbitral. Appelé à examiner l'existence d'une éventuelle violation du droit d'être entendu, il a simplement considéré que le tribunal arbitral pouvait voir dans le moyen de la compensation une simple récrimination supplémentaire plutôt qu'un moyen de défense sérieux et apte à influencer l'issue de la cause et, partant, se dispenser de le mentionner et le discuter dans la sentence finale, sans violer, par là, le droit du requérant d'être entendu. Aussi, est-ce à tort que le requérant affirme, de façon péremptoire, que la Cour de céans a tranché une question de principe et modifié sa jurisprudence en décidant " de s'octroyer, pour la première fois depuis que l'institution de l'arbitrage existe, une compétence nouvelle du ressort exclusif du Tribunal arbitral ". Au demeurant, le motif de révision allégué n'est pas réalisé lorsque la composition de la section du tribunal, qui a statué en l'espèce à trois juges, est déterminée en fonction d'une appréciation du fond, comme l'existence ou non d'une question de principe (arrêts 5F_7/2016 du 7 juillet 2016 consid. 3.2; 4F_20/2013 du 11 février 2014 consid. 4).
Pour le surplus, la motivation retenue dans l'arrêt litigieux - que le requérant qualifie de sommaire - ne permet nullement de retenir que le Tribunal fédéral aurait statué dans une composition irrégulière.
4.3. Dans une deuxième branche de son moyen, le requérant dénonce une violation de la garantie d'un tribunal indépendant et impartial. A ses yeux, le texte de l'arrêt litigieux démontrerait une apparence de partialité. Contrairement à ce que laisse entendre le requérant, qui se réfère au passage suivant " Dans ce litige entre avocats, emprunt d'un puissant esprit d'animosité et de polémique, le tribunal arbitral pouvait voir dans l'exception une simple récrimination supplémentaire plutôt qu'un moyen de défense sérieux et apte à influencer l'issue de la cause ", les termes utilisés ne dénotent aucun parti pris envers le requérant, pas plus qu'une volonté de la Cour de céans de " dénigrer " les arguments de ce dernier. On rappellera que le conflit qui oppose les parties, vieux de plusieurs années, a donné lieu à pas moins de trois arrêts du Tribunal fédéral. Par ailleurs, les termes et le ton employés par les deux protagonistes dans certains documents versés au dossier et dans le cadre des écritures adressées à la Cour de céans révèlent effectivement un puissant esprit d'animosité et de polémique.
Le requérant fait grand cas d'un courrier, daté du 11 avril 2019, signé par le greffier ayant participé au prononcé de l'arrêt litigieux. Par lettre du 9 avril 2019, l'intéressé a sollicité l'anonymisation du courriel du mois de décembre 2010, reproduit au considérant 7 de l'arrêt attaqué. Le requérant a simultanément émis certaines critiques à l'égard de la motivation retenue dans l'arrêt, mettant notamment en cause sa brièveté. Le 11 avril 2019, par ordre de la Présidente de la Ire Cour de droit civil, ledit greffier a notamment indiqué ce qui suit:
" (...) Le passage que vous mentionnez, dont vous demandez la dissimulation complète, ne contient aucun élément propre à permettre au public d'identifier les personnes impliquées. Vous invoquez la possibilité d'une utilisation malveillante de ce passage par votre adverse partie. Cela s'inscrit dans l'esprit d'animosité et de polémique relevé dans l'arrêt, et ne justifie pas une restriction plus importante, au delà de la " forme anonyme ", de la publicité légalement prévue. Vos observations concernant la motivation de l'arrêt ne sont pas davantage concluantes. En conséquence, nous ne donnerons pas suite à votre demande. "
Contrairement à ce que soutient - manifestement à tort - le requérant, le greffier ne s'est pas arrogé une compétence en procédant à une prétendue interprétation personnelle de l'arrêt litigieux. On relèvera tout d'abord que le courrier du 11 avril 2019 a été adressé sur ordre de la Présidente de la Ire Cour de droit civil. Ensuite, le greffier mis en cause n'a pas refusé d'anonymiser le mail litigieux sur la base d'une interprétation personnelle de l'arrêt litigieux, comme le prétend le requérant. Il a clairement exposé que le passage en question ne contenait aucun élément susceptible de permettre au public d'identifier les parties, ce qui en rendait l'anonymisation superflue. L'affirmation du requérant selon laquelle " l'esprit d'animosité et de polémique " mentionné dans le courrier du 11 avril 2019 le viserait exclusivement relève de la pure conjecture. En tout état de cause, c'est aller trop loin que de voir, dans les circonstances invoquées par le requérant, des motifs propres à fonder objectivement une apparence de partialité de la personne mise en cause.
Pour le reste, le requérant revient à la charge en se bornant, une nouvelle fois, à critiquer la motivation retenue dans l'arrêt attaqué et à dénoncer les prétendues inadvertances de la Cour de céans. Or, les considérants de l'arrêt attaqué ne résultent d'aucune inadvertance et la voie de la révision ne permet pas de rediscuter l'appréciation juridique contenue dans celui-ci.
Il appert des remarques précédentes que le grief doit être écarté.
5.
Sur le vu de ce qui précède, la demande de révision est rejetée.
Vu le sort réservé à la demande de révision, les frais judiciaires seront mis à la charge du requérant (<ref-law>). L'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer, n'a pas droit à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal arbitral.
Lausanne, le 27 août 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo