Considérant en fait et en droit :
1.
Par arrêt du 25 août 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 6 avril 2020 par laquelle le Ministère public genevois a refusé d'entrer en matière sur la plainte déposée par la prénommée contre le Juge B._ et contre l'ordonnance du 9 avril 2020 par laquelle l'autorité précitée a refusé l'octroi de l'assistance judiciaire.
En substance, il en ressort que A._ et C._ s'opposent, depuis leur séparation en juillet 2016, dans le cadre de procédures civiles, notamment au sujet de la garde de leur fille. Dans ce cadre, le Juge B._ a rendu plusieurs décisions civiles. Le 21 janvier 2020, A._ a déposé plainte pénale contre le juge précité pour toute infraction qu'il appartiendrait au Ministère public de qualifier, lui reprochant d'avoir dissimulé de nombreux faits, menti et de l'avoir calomniée, dans diverses décisions. Elle lui reprochait, en outre, le fond des décisions prises en relation avec la garde de sa fille et d'avoir violé son secret de fonction.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. En substance, elle conclut, avec suite de frais et dépens, principalement à l'annulation de l'arrêt attaqué et à celle de l'ordonnance de non-entrée en matière, à ce qu'ordre soit donné au Ministère public genevois de reprendre l'instruction, en particulier de procéder à différentes mesures d'instruction qu'elle énumère, et de lui désigner un avocat d'office, et à ce que la " nullité absolue " soit prononcée. Elle requiert, par ailleurs, l'octroi de l'assistance judiciaire et la désignation de " Me D._ ou de Me E._ " en qualité d'avocat d'office.
2.
Le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les trente jours qui suivent sa notification (<ref-law>). Les délais dont le début dépend d'une communication ou de la survenance d'un événement courent dès le lendemain de celles-ci (<ref-law>). Si le dernier jour du délai est un samedi, un dimanche ou un jour férié selon le droit fédéral ou cantonal, le délai expire le premier jour ouvrable qui suit (<ref-law>). Le délai est observé si le mémoire est remis à La Poste Suisse le dernier jour du délai (<ref-law>).
En l'espèce, l'arrêt attaqué a été notifié à la recourante le 27 août 2020, le délai a commencé à courir le 28 août 2020 pour arriver à échéance le samedi 26 septembre 2020. Le délai de recours a ainsi expiré le lundi suivant, soit le 28 septembre 2020. Déposées à La Poste Suisse, respectivement les 22 et 23 septembre 2020, les écritures de la recourante du 22 septembre 2020 sont recevables. En revanche, son courrier daté du 2 octobre 2020 et ses annexes postés le même jour sont tardifs, partant irrecevables.
Quant aux annexes à ses écritures du 22 septembre 2020, dans la mesure où elles ne figureraient pas déjà à la procédure, elles sont nouvelles, partant irrecevables (<ref-law>).
3.

3.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law>. En vertu de l'<ref-law>, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
La plainte de la recourante, sur laquelle il a été refusé d'entrer en matière, est dirigée contre un magistrat de l'ordre judiciaire genevois, à l'adresse duquel la recourante élève des reproches dans le cadre de la procédure civile relative à la garde de sa fille. Les actes reprochés par la recourante ont, pour autant qu'ils soient avérés, été effectués par le juge dans le cadre de sa fonction. En vertu de l'<ref-law>, la législation cantonale peut déroger aux règles des <ref-law> en ce qui concerne la responsabilité encourue par des agents publics pour le dommage ou le tort moral qu'ils causent dans l'exercice de leurs fonctions. Ainsi, la loi genevoise du 24 février 1989 sur la responsabilité de l'Etat et des communes (LREC; RS/GE A 2 40), prévoit que l'Etat de Genève et les communes répondent du dommage résultant pour les tiers d'actes illicites commis soit intentionnellement, soit par négligence ou imprudence dans l'exercice de leur fonction par des magistrats qui les représentent (<ref-law>). Le canton de Genève ayant ainsi fait usage de la faculté réservée à l'<ref-law>, la recourante ne disposerait, le cas échéant, que d'une prétention de droit public à faire valoir non pas contre l'auteur présumé contre lequel elle a dirigé sa plainte mais contre l'Etat. Selon la jurisprudence constante, de telles prétentions ne peuvent être invoquées dans le procès pénal par voie d'adhésion et ne constituent donc pas des prétentions civiles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 88). Cela exclut que la recourante puisse déduire sa qualité pour recourir de l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF.
3.2. Indépendamment des conditions posées par l'<ref-law>, la partie plaignante est habilitée à se plaindre d'une violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, sans toutefois pouvoir faire valoir par ce biais, même indirectement, des moyens qui ne peuvent être séparés du fond (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 5).
Conformément à l'<ref-law>, le mémoire de recours doit être motivé. Les motifs doivent exposer succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit (<ref-law>). Selon la jurisprudence, pour répondre à cette exigence, la partie recourante est tenue de discuter au moins sommairement les considérants de l'arrêt entrepris (<ref-ruling> consid. 2 p. 88 ss et 115 consid. 2 p. 116 s.). Par ailleurs, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant (<ref-law>), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368 et les références citées).
La recourante prétend à une violation de son droit d'être entendue et à la commission d'un déni de justice. Elle ne consacre toutefois aucune motivation à cette critique qui permettrait de comprendre en quoi tel serait le cas. Il en va de même de sa demande de constatation de la " nullité absolue ". En outre, dans la mesure où ces principes sont invoqués en lien avec le fait que la recourante reproche à la cour cantonale de ne pas avoir donné suite à ses réquisitions de preuve et d'avoir arbitrairement établi les faits, ses développements ne visent qu'à démontrer en quoi ces mesures seraient nécessaires afin d'établir ses accusations. Elle ne fait ainsi valoir aucun moyen qui peut être séparé du fond et ses griefs ne sauraient non plus fonder sa qualité pour recourir.
4.
La recourante requiert la désignation d'un avocat. En application de l'<ref-law>, l'attribution d'un avocat par le Tribunal fédéral suppose une incapacité totale de la partie de procéder elle-même, le principe étant qu'elle est tenue de veiller elle-même à ce que son écriture réponde aux exigences légales de motivation (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF) et de mandater, au besoin, un avocat de son choix qui sollicitera l'octroi de l'assistance judiciaire (cf. arrêts 6B_1204/2019 du 14 novembre 2019 consid. 3; 6B_983/2019 du 5 novembre 2019 consid. 3; 6B_13/2015 du 11 février 2015 consid. 3 et les références citées). En l'espèce, la recourante ne paraît pas manifestement incapable de procéder au vu de ses écritures, si bien qu'il n'y a pas lieu de lui attribuer un défenseur au titre de l'<ref-law>. En outre, la désignation d'un avocat d'office au sens de l'<ref-law> suppose la réalisation de deux conditions cumulatives, soit l'impécuniosité du requérant et que le recours ne soit pas dénué de chances de succès (cf. arrêts 6B_1204/2019 précité consid. 3; 6B_13/2015 précité consid. 3 et les références citées). Au vu du sort du recours, cette seconde condition n'est pas réalisée et il y a lieu de rejeter la demande de désignation d'un avocat et d'assistance judiciaire de la recourante.
5.
Faute de satisfaire aux conditions de recevabilité d'un recours en matière pénale au Tribunal fédéral (art. 42 al. 1 et 2 et 106 al. 2 LTF), le recours doit être écarté en application de l'art. 108 al. 1 let. a et b LTF. La recourante, qui succombe, supporte les frais judiciaires, qui seront fixés en tenant compte de sa situation financière qui n'apparaît pas favorable (cf. art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Président prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 2 novembre 2020
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Livet