Sachverhalt:
A.
Mit Teilklage vom 5. Dezember 2017 über Fr. 48'497.-- belangte B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) die A._ AG (Beklagte, Beschwerdeführerin) vor dem Bezirksgericht Aarau betreffend deren Haftpflicht als Thermalbadbetreiberin. Am 5. Juni 2020 wies das Bezirksgericht die Klage ab (Ziffer 1), auferlegte die Gerichtskosten von Fr. 12'758.75 der Klägerin (Ziffer 2) und verpflichtete diese, der Beklagten eine Parteientschädigung von Fr. 12'867.30 zu bezahlen (Ziffer 3).
B.
Die Beklagte führte gegen Dispositiv-Ziffer 3 des bezirksgerichtlichen Urteils Kostenbeschwerde an das Obergericht des Kantons Aargau und beantragte, die genannte Ziffer aufzuheben und der Beklagten eine Parteientschädigung von Fr. 15'672.30 zuzusprechen. Eventualiter sei die Frage der Höhe der Parteientschädigung an das Bezirksgericht zurückzuweisen.
Mit Urteil vom 19. März 2021 wies das Obergericht die Beschwerde ab. Es erachtete die in Addition zur unbestrittenen Grundentschädigung (Fr. 8'409.65) gewährten und von der Beklagen als zu tief beanstandeten Zuschläge von je 20 % oder Fr. 1'681.95 für zusätzliche Verhandlungen und Rechtsschriften für angemessen. Die obergerichtlichen Kosten von Fr. 1'200.-- sowie eine Parteientschädigung von Fr. 300.-- auferlegte es der Beklagten.
C.
Die Beschwerdeführerin erhebt subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht und beantragt, in Aufhebung des Entscheids des Obergerichts habe die Beschwerdegegnerin ihr eine erstinstanzliche Parteientschädigung von Fr. 14'549.25 zu bezahlen, die Kosten des Obergerichts seien zu 3/5 im Betrag von Fr. 720.-- der Beschwerdegegnerin und zu 2/5 der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Die Beschwerdegegnerin habe der Beschwerdeführerin für das obergerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 280.-- zu bezahlen, jeweils eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid ist ein verfahrensabschliessender Endentscheid (Art. 117 i.V.m. Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 114 i.V.m. Art. 75 Abs. 1 BGG). Schon vor der Vorinstanz ging es einzig um die erstinstanzlichen Entschädigungsfolgen. In einem solchen Fall ist nicht der Streitwert der Hauptsache massgebend (Urteile 4A_171/2021 vom 27. April 2021 E. 1; 4A_345/2018 vom 5. November 2018 E. 1.2.1 mit Hinweisen; 4A_487/2014 vom 28. Oktober 2014 E. 1.1). Der Streitwert erreicht die erforderliche Streitwertgrenze von Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG nicht, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen nicht gegeben ist. Die erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde erweist sich demnach als das zulässige Rechtsmittel (Art. 113 BGG).
2.
2.1. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG). Der Beschwerdeführer muss angeben, welches verfassungsmässige Recht verletzt wurde, und substanziiert darlegen, worin die Verletzung besteht (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 3.2). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als verfassungswidrig erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Verletzung verfassungsmässiger Rechte beruht (Art. 116 i.V.m. Art. 118 Abs. 2 BGG). Wird Letzteres geltend gemacht, ist neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung für den Ausgang des Verfahrens klar und detailliert darzutun, inwiefern diese verfassungswidrig, insbesondere willkürlich, sein soll (<ref-ruling> E. 7.1, 585 E. 4.1; je mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführerin verlangt vor Bundesgericht eine Erhöhung der Parteientschädigung um Fr. 1'681.95. Sie beanstandet nunmehr einzig, dass ihr für vier zusätzliche Rechtsschriften vom 28. März 2019 sowie vom 13., 15. und 18. Mai 2020 kein entsprechender Zuschlag gewährt wurde.
3.1. Die Beschwerde betrifft die Höhe der Prozesskosten, deren Festsetzung dem kantonalen Recht vorbehalten ist (Art. 96 ZPO). Im vorliegenden Fall ist das Dekret des Kantons Aargau vom 10. November 1987 über die Entschädigung der Anwälte (Anwaltstarif, AnwT AG; SAR 291.150) anwendbar. Gemäss § 3 AnwT AG richtet sich die Grundentschädigung in vermögensrechtlichen Zivilsachen nach dem Streitwert. Durch die Grundentschädigung sind Instruktion, Aktenstudium, rechtliche Abklärungen, Korrespondenz und Telefongespräche sowie eine Rechtsschrift und die Teilnahme an einer behördlichen Verhandlung abgegolten (§ 6 Abs. 1 AnwT AG). Für zusätzliche Rechtsschriften und Verhandlungen erhöht sich die Grundentschädigung um je 5-30 %. Überflüssige Eingaben fallen nicht in Betracht (§ 6 Abs. 3 AnwT AG).
3.2. Die Anwendung von kantonalem Recht überprüft das Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel der Willkür (136 I 241 E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 5.1). Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 7.1, 170 E. 7.3; <ref-ruling> E. 4.3; je mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz hielt zu den vor Bundesgericht streitigen Zuschlägen für vier zusätzliche Eingaben fest, die Beschwerdeführerin verlange 5 % der Grundentschädigung (Fr. 420.50) für ihre Eingabe vom 28. März 2019 zum Gutachterauftrag, wonach nur der von der Beschwerdegegnerin als Unfallort bezeichnete Teil der Treppe zu begutachten sei, ferner einen Zuschlag von 15 % (Fr. 1'261.45) für die zusätzlichen Eingaben vom 13., 15. und 18. Mai 2020 im Zusammenhang mit Unklarheiten über Ungleichbehandlungen und Rückmeldungen von Zeugen, in deren Folge die Beschwerdeführerin auch ein Ausstandsgesuch gegen den Gerichtspräsidenten gestellt habe. Sie mache geltend, erst mit dem entsprechenden Beschluss der Erstinstanz seien die offenen Fragen begründet und aufgeklärt worden.
Die Vorinstanz stellte fest, die Duplik vom 13. September 2018 und die Stellungnahme zum Gutachten vom 11. September 2019 seien unbestrittenermassen entschädigt worden. Darüber hinaus erachtete sie die vier streitbetroffenen Eingaben nicht als zusätzlich entschädigungspflichtig. Auch wenn die mit der ersten Eingabe beantragte Formulierung des Fragekatalogs an den Experten von der Erstinstanz in den Gutachterauftrag aufgenommen worden sei, erweise sich die Eingabe vom 28. März 2019 dennoch nicht als separat entschädigungsberechtigt, da diese Präzisierung sich nur aufgedrängt hätte, wenn die Beschaffenheit der Treppe von Stufe zu Stufe unterschiedlich gewesen wäre, was nicht der Fall sei. Ebenfalls unnötig sei danach die Korrespondenz rund um die Kontakte und die Umstände der Befragung der verschiedenen Zeugen gewesen, wofür keine zeitliche Dringlichkeit bestanden habe und worüber auch erst an der Verhandlung hätte informiert werden können. Es sei dabei um übliche verfahrensleitende Schritte ohne beweisrechtliche Relevanz gegangen, da dazu erst im Rahmen der Hauptverhandlung Aufschluss zu finden gewesen sei und auch habe gefunden werden können. Ein Antrag auf vorsorgliche Beweisabnahme nach Art. 158 ZPO sei nicht gestellt worden. Über den Aufwand im Zusammenhang mit dem Ablehnungsbegehren gegen Gerichtspräsident Schöb sei im Übrigen mit der entsprechenden Verfügung abschliessend befunden worden. Damit erweise sich der gewährte Zuschlag für zusätzliche Rechtsschriften nicht als unangemessen.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Anspruchs auf gerechte Behandlung (Art. 29 Abs. 1 BV), ihres Gehöranspruchs (Art. 29 Abs. 2 BV), der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV). Alle Rügen gehen fehl:
4.1. Was die angebliche Verletzung des Anspruchs auf gerechte Behandlung anbelangt, kann der Beschwerde keine zielführende Begründung entnommen werden. Die Beschwerdeführerin meint, es laufe dem Gerechtigkeitsgedanken geradezu in stossender Weise zuwider, wenn die Vorinstanz urteile, sie müsse es schweigend hinnehmen, wenn sie merke, dass der Prozess vor Bezirksgericht entgleise und Urkunden nicht in die Prozessakten gelangten. Sie habe sich gehörig gegen einen ihre Existenz bedrohenden Haftpflichtanspruch wehren müssen. Sie habe mittels dreier Eingaben einen grossen Effort geleistet, um den entgleisten Prozess wieder auf Kurs zu bringen.
Der Anspruch auf gerechte Behandlung nach Art. 29 Abs. 1 BV garantiert Verfahrensgerechtigkeit (Giovanni Biaggini, Kommentar BV, 2. Aufl. 2017, N. 2 zu Art. 29 BV), nicht "Gerechtigkeit" schlechthin und schon gar nicht, dass jede Prozesshandlung ohne weiteres aufwandgemäss entschädigt werden muss. Es geht um die allgemeine Garantie eines fairen Verfahrens (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3). Inwiefern die Vorinstanz diese verletzt hätte, begründet die Beschwerdeführerin nicht. Sie musste sich nicht entschädigungslos gegen die Klage wehren. Wenn sie mit der Höhe der ihr zugesprochenen Parteientschädigung nicht zufrieden ist, liegt darin keine Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren.
4.2. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör wegen ungenügender Begründung vor (Art. 29 Abs. 2 BV). Sie habe in Verkennung ihrer mit genauen Aktenstellen belegten Vorbringen mehrere unrichtige Sachverhaltsfeststellungen getroffen und sich nicht mit ihren Ausführungen zur Notwendigkeit ihrer Eingaben vom 13. und 15. Mai 2020 auseinandergesetzt.
Aus Art. 29 Abs. 2 BV ergibt sich die Pflicht der Behörden, ihre Entscheide zu begründen. Die Begründung eines Entscheides muss so abgefasst sein, dass der Betroffene ihn gegebenenfalls sachgerecht anfechten kann. Dies ist nur möglich, wenn sowohl er wie auch die Rechtsmittelinstanz sich über die Tragweite des Entscheids ein Bild machen können. In diesem Sinn müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf welche sich ihr Entscheid stützt. Es ist jedoch nicht nötig, dass sich die Behörde mit jeder tatsächlichen Behauptung und mit jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 9.2; <ref-ruling> E. 3.2.4; je mit Hinweisen).
Die Vorinstanz hatte einzig zu begründen, weshalb sie die vier streitbetroffenen Eingaben nicht als separat entschädigungsberechtigt taxierte. Das hat sie getan. Dabei brauchte sie nicht jedes einzelne gegenteilige Argument der Beschwerdeführerin explizit zu verwerfen. Es genügt, dass sie ihre zentralen Überlegungen ausgeführt hat. Die Beschwerdeführerin war denn auch ohne weiteres in der Lage, den Entscheid des Obergerichts sachgerecht anzufechten. Dass die Vorinstanz nach der Auffassung der Beschwerdeführerin inhaltlich unzutreffend urteilte und unrichtige Sachverhaltsfeststellungen traf, bedeutet keine Verletzung des Gehörsanspruchs. Die Rüge ist demnach unbegründet.
4.3. Ebenso wenig verletzt ist die Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Der Beschwerdeführerin stand der Zugang zu einem Gericht offen. Dass dieses die Streitigkeit betreffend die Höhe der Parteientschädigung nicht im Sinne der Beschwerdeführerin entschied, bedeutet keine Verletzung der Rechtsweggarantie, ebenso wenig eines Anspruchs auf wirksamen Rechtsschutz.
4.4. Die Beschwerdeführerin rügt sodann eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV). Dabei moniert sie drei offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellungen:
Erstens schreibe die Vorinstanz aktenwidrig, dass kein Antrag auf vorsorgliche Beweisführung nach Art. 158 ZPO gestellt worden sei, obwohl die Beschwerdeführerin in ihrer Klageantwort einen solchen gestellt und darauf in der Beschwerde an die Vorinstanz explizit hingewiesen habe. Das mag zutreffen, indessen lässt sich die Feststellung der Vorinstanz, ein Antrag auf vorsorgliche Beweisabnahme gemäss Art. 158 ZPO sei nicht gestellt worden, im Kontext ohne weiteres auf die Eingaben vom Mai 2020 beziehen. Dass in diesen Eingaben ein solcher Antrag gestellt worden wäre, behauptet die Beschwerdeführerin nicht.
Zweitens ergebe sich aus dem Gutachten einwandfrei, dass die Oberflächenstruktur jeder Treppenstufe unterschiedlich gewesen sei, was auch das Bezirksgericht festgestellt habe. Dazu im Widerspruch führe die Vorinstanz aus, es treffe nicht zu, dass die Beschaffenheit der Treppe von Stufe zu Stufe unterschiedlich sei. Die Vorinstanz habe einzig aufgrund dieser offensichtlich aktenwidrigen Feststellung die Eingabe vom 28. März 2019 nicht als entschädigungsberechtigt erkannt, weshalb die willkürliche Feststellung für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sei.
Auch diese Rüge verfängt nicht: Zum einen belegt die Beschwerdeführerin nicht, dass sie sich vor der Vorinstanz auf die unterschiedliche Beschaffenheit der einzelnen Stufen berufen hätte, was diese nicht beachtet habe. Zum andern ergibt sich aus dem bezirksgerichtlichen Urteil, S. 30, dass der Gerichtsgutachter nur die vier untersten Stufen untersuchte und nur in Bezug auf diese vier untersten Stufen Unterschiede festhielt (Stufe 1 und 2: Gleitreibungszahl 2; Stufe 3 und 4: Gleitreibungszahl 1). Entsprechend finden sich im erstinstanzlichen Urteil nur zu diesen vier untersten Stufen Feststellungen, nicht zu allen Stufen der ganzen Treppe. Vor diesem Hintergrund erweist sich die beanstandete Feststellung der Vorinstanz, die auf den ganzen Treppenbereich - nicht nur auf die vier untersten Stufen - bezogen werden kann, nicht als offensichtlich unrichtig bzw. in Widerspruch stehend zu entsprechenden Feststellungen betreffend alle Stufen. Es ist aber auch nicht ersichtlich, weshalb es geradezu unhaltbar sein soll, die Eingabe vom 28. März 2019 nicht zusätzlich zur Stellungnahme zum Gutachten zu entschädigen, hat die Beklagte damit doch nur erreicht, dass der Gutachter denjenigen Bereich der Treppe untersuchte, der ohnehin primär zu untersuchen war, nämlich derjenige Treppenbereich, auf dem der Sturz sich behauptetermassen ereignet hatte. Was sich zu ihren Lasten geändert hätte, wenn der Gutachter stattdessen die Beschaffenheit der ganzen Treppe untersucht hätte, legt die Beschwerdeführerin nicht dar.
Drittens beanstandet die Beschwerdeführerin, dass die Vorinstanz bezüglich der Eingaben vom Mai 2020 von "Korrespondenz rund um die Kontakte und Umstände der Befragung der verschiedenen Zeugen" gesprochen habe. Das sei unzutreffend: Mit derjenigen vom 13. Mai 2020 habe sie Akteneinsicht verlangt, was aber nicht möglich gewesen sei, womit ihr rechtliches Gehör verletzt worden sei. Die folgende Eingabe habe der Wahrung ihres Gehörsanspruchs gedient. Die Eingaben vom 13. und 15. Mai 2020 beträfen demnach nicht "die Umstände der Befragung der verschiedenen Zeugen". Diese Eingaben seien nötig gewesen, weil die Beschwerdeführerin vor Bezirksgericht "standhaft um ihr rechtliches Gehör" habe kämpfen müssen. Das erstinstanzliche Gesamtgericht habe denn auch eine Verletzung ihres Gehörsanspruchs durch den Gerichtspräsidenten festgehalten. All das habe sie der Vorinstanz mit Aktenhinweisen dargelegt, diese sei aber nicht darauf eingegangen.
Das mag zutreffen, und es ist der Beschwerdeführerin zuzugestehen, dass man die genannten Eingaben - auch - in den Kontext der Wahrung des rechtlichen Gehörs stellen kann. Das ändert aber nichts daran, dass sie - auch - einen Bezug zur Befragung der Zeugen haben. Damit bleibt die Begründung der Vorinstanz intakt, dass es sich um übliche verfahrensleitende Schritte ohne beweisrechtliche Relevanz gehandelt habe, zu denen erst im Rahmen der Hauptverhandlung Aufschluss zu finden gewesen sei, also keine Dringlichkeit bestanden habe. Inwiefern die Vorinstanz damit in Willkür verfallen wäre, wird nicht aufgezeigt.
4.5. Ohnehin ist in grundsätzlicher Hinsicht anzumerken, dass der streitwertabhängigen Honorierung begriffsgemäss eine gewisse Pauschalisierung des abzugeltenden Aufwandes innewohnt. Wäre unabhängig vom Streitwert in jedem Fall nicht mehr und nicht weniger als der tatsächliche Stundenaufwand zu vergüten, würde ein Streitwerttarif von vornherein keinen Sinn machen. Immerhin kann er nicht verabsolutiert werden, darf doch das Honorar auch bei vermögensrechtlichen Angelegenheiten nicht ausserhalb jeden vernünftigen Verhältnisses zur Wichtigkeit und Schwierigkeit der Sache sowie zu der damit für den Anwalt verbundenen Verantwortung und der von ihm in gebotener Weise aufgewendeten Zeit stehen (Urteil 4A_171/2017 vom 26. September 2017 E. 5.2).
Dem wird durch die in den §§ 6 und 7 AnwT AG vorgesehene Möglichkeit ordentlicher und ausserordentlicher Zu- und Abschläge Rechnung getragen, ohne dass dies bedeutet, dass für jede einzelne Rechtshandlung Zuschläge gewährt werden müssten. Indem § 6 Abs. 3 AnwT AG für zusätzliche Rechtsschriften je einen Zuschlag von 5-30 % zur Grundentschädigung vorsieht, aber überflüssige Eingaben ausscheidet, kommt zum Ausdruck, dass kein Zuschlags-Automatismus gilt für jede Eingabe, die der Rechtsvertreter (von sich aus) einreicht. Was als "überflüssig" gilt, entscheidet das Gericht nach sachgerechtem Ermessen. Vorliegend gelingt es der Beschwerdeführerin nicht, überzeugend dazulegen, dass die Vorinstanz geradezu in unhaltbarer Weise die vier streitbetroffenen Eingaben als nicht zusätzlich entschädigungspflichtig taxierte.
5.
Was schliesslich die Anträge zu den kantonalen Gerichts- und Parteikosten anbelangt, basieren diese auf den Standpunkten der Beschwerdeführerin, mit denen sie aber nicht durchgedrungen ist. Sie ficht die Kostenregelung der Vorinstanz nicht unabhängig vom Ausgang des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens an. Es besteht mithin kein Grund, in dieselbe einzugreifen.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen. Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Dürst