Sachverhalt:
A.
Die 1979 geborene A._, ausgebildete Fachfrau Hauswirtschaft, war zuletzt bis September 2011 in der Wäscherei des Altersheims B._ tätig. Im April 2012 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich ordnete eine Abklärung in der Beruflichen Abklärungsstelle C._ an (Abschlussbericht vom 22. August 2013) und erteilte Kostengutsprache für eine Umschulung zur Elektronikverdrahterin (Mitteilung vom 20. August 2013). Diese Massnahme brach A._ im September 2014 ab. Die Verwaltung veranlasste eine rheumatologisch-psychiatrische Expertise bei Dr. med. D._, FMH Innere Medizin und Rheumatologie, und Prof. Dr. med. E._, FMH Neurologie sowie Psychiatrie und Psychotherapie. Gestützt auf deren Gutachten vom 10. September 2015 verneinte die IV-Stelle den Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung (Verfügung vom 14. März 2016).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die dagegen erhobene Beschwerde gut und sprach A._ in Aufhebung der Verfügung vom 14. März 2016 eine ganze Rente der Invalidenversicherung ab dem 1. Oktober 2012 zu (Entscheid vom 29. November 2016).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei die Verfügung vom 14. März 2016 unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu bestätigen.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und ersucht um unentgeltliche Prozessführung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist der Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung. Die hierfür massgeblichen Rechtsgrundlagen gibt der angefochtene Entscheid zutreffend wieder. Darauf wird verwiesen.
2.1. Die Vorinstanz hat dem bidisziplinären Gutachten vom 10. September 2015 Beweiskraft beigemessen, wonach die Versicherte (mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit) an einer schweren kombinierten Persönlichkeitsstörung (ICD-10 Ziff. F61), einer rezidivierenden depressiven Störung im Verlauf wechselnden Ausmasses (aktuell remittiert; ICD-10 Ziff. F33) sowie unspezifischen Rückenschmerzen leidet. Gestützt auf diese Expertise stellte das kantonale Gericht fest, die Versicherte sei seit Herbst 2011 in sämtlichen Tätigkeiten zu 100 % arbeitsunfähig. Sie habe deshalb Anspruch auf eine ganze Invalidenrente ab Oktober 2012.
2.2. Die IV-Stelle bestreitet das Vorliegen einer Erwerbsunfähigkeit und damit einer Invalidität mit der Begründung, die Versicherte unterziehe sich keiner adäquaten Therapie, namentlich keiner Psychotherapie, wie sie von Prof. Dr. med. E._ (mit guter Prognose) empfohlen worden sei. Zudem werde die in der Expertise gestellte Diagnose einer schweren kombinierten Persönlichkeitsstörung, deren Schweregrad mit Blick auf die Ausbildungs- und Sozialanamnese der Versicherten ohnehin fraglich sei, nicht begründet. Insbesondere fehle es an einer gutachterlichen Auseinandersetzung mit den Kriterien gemäss ICD-10.
3.
3.1. Das Bundesgericht hat mit dem zur Publikation vorgesehenen Urteil 8C_130/2017 vom 30. November 2017 erkannt, dass grundsätzlich sämtliche psychischen Erkrankungen einem strukturierten Beweisverfahren nach Massgabe von <ref-ruling> zu unterziehen sind. Im ebenfalls zur Publikation vorgesehenen Urteil 8C_841/2016 mit demselben Datum hielt es im Speziellen in Bezug auf leichte bis mittelschwere depressive Störungen fest, eine invalidenversicherungsrechtlich relevante psychische Gesundheitsschädigung sei nicht mehr mit dem Argument der fehlenden Therapieresistenz auszuschliessen. Dabei bekräftigte das Bundesgericht in E. 4.2.1 seine Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> E. 4c S. 298, wonach die Therapierbarkeit eines Leidens dem Eintritt einer rentenbegründenden Invalidität nicht absolut entgegenstehe. In der Folgeerwägung hielt es fest, diese Grundsätze stünden im Einklang mit der Rechtsprechung zu den psychosomatischen Leiden gemäss <ref-ruling>, wonach die grundsätzlich gegebene Therapierbarkeit (als Indiz) in die gesamthaft vorzunehmende allseitige Beweiswürdigung miteinzubeziehen sei.
3.2. Nach dem Gesagten kann zwar die IV-Stelle einzig aus dem Einwand, es bestünden noch zumutbare therapeutische Möglichkeiten, nichts Entscheidendes zu ihren Gunsten ableiten. Vielmehr ist diesem Umstand im Rahmen des strukturierten Beweisverfahrens nach Massgabe von <ref-ruling> Rechnung zu tragen. Ein solches ist aber bisher nicht durchgeführt worden.
3.2.1. Prof. Dr. med. E._ verneinte im Rahmen seiner Erhebung des Psychostatus grobe Störungen des Bewusstseins und der Orientierung, des Gedächtnisses, der Aufmerksamkeit, des Denkens, der Intelligenz sowie der Affektivität. Einzig in Bezug auf die Persönlichkeit der Versicherten wies er darauf hin, klinisch fänden sich "Hinweise" auf eine kombinierte Persönlichkeitsstörung mit vorherrschend unreifen, ängstlich vermeidenden und abhängigen Anteilen. Zudem bestünden emotional-instabile und histrionische "Komponenten". Nähere Ausführungen zu diesen Hinweisen und Komponenten finden sich in der Expertise nicht. Weiter verneinte der Gutachter eine aktuell bestehende depressive Symptomatik. Dennoch diagnostizierte er eine solche (mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit) unter Hinweis auf die blosse Möglichkeit, es könne bei der geschilderten Form der kombinierten Persönlichkeitsstörung zu depressiven Einbrüchen kommen. Damit allein ist eine fachärztlich einwandfrei diagnostizierte Gesundheitsschädigung mit anspruchserheblicher Einschränkung der Leistungsfähigkeit nicht ausgewiesen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 285 mit Hinweis).
3.2.2. Selbst unter Annahme einer solchen ist eine schlüssige Beurteilung der Arbeits- und Erwerbsunfähigkeit anhand der Standardindikatoren gemäss <ref-ruling> nicht möglich: Es fehlen in der psychiatrischen Expertise schlüssige Ausführungen zu den persönlichen Ressourcen der Versicherten. Gebeten um eine diesbezügliche Schilderung, führte der Gutachter aus, intellektuelle Parameter würden die Ausbildungs- und Arbeitsfähigkeit nicht beeinträchtigen. Weitere Angaben zu vorhandenen oder fehlenden Ressourcen finden sich nicht. Dem Gutachten mangelt es auch an Informationen zur Prüfung der Konsistenz. Es betrifft dies insbesondere den Umstand, dass die Versicherte im privaten Umfeld - anders als im beruflichen - keine wesentlichen Einschränkungen beklagt. Gegenteils beschreibt das Gutachten ein absolut intaktes soziales Umfeld, verschiedene Hobbies und generell einen geschäftigen Tagesablauf. Der Gutachter erklärte diese diskrepanten Einschränkungen allein damit, die Versicherte könne sich privat mit an ihre Leiden adaptierten Personen umgeben. Wie die IV-Stelle richtig einwendet, ist den gutachterlichen Ausführungen nicht zu entnehmen, weshalb dies nicht ebenso an einem Arbeitsplatz möglich sein sollte, wo die Versicherte mit einem gewissen sozial üblichen Entgegenkommen des Arbeitgebers rechnen könnte (vgl. dazu Urteil 9C_254/2017 vom 21. August 2017 E. 5 mit Hinweis auf 8C_602/2010 vom 30. August 2010 E. 4.4.2).
3.3. Daher ist ein neues Gutachten einzuholen, das die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit im Einklang mit der geltenden Rechtslage nach Massgabe der im Regelfall heranzuziehenden Standardindikatoren ermöglicht. Zu diesem Zweck ist die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen.
4.
4.1. Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung oder an die Vorinstanz zu weiteren Abklärung (mit noch offenem Ausgang) oder neuer Entscheidung gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 271).
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden. Ihrem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung kann jedoch entsprochen werden (<ref-law>). Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. November 2016 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 14. März 2016 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die IV-Stelle des Kantons Zürich zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Prozessführung gewährt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Januar 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner