Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) verlangte mit Teilklage vom 9. Februar 2015 vor dem Bezirksgericht Bremgarten, die B._ AG (Beschwerdegegnerin) sei in Folge eines Verkehrsunfalls vom 19. Mai 2001 als Versicherer des Unfallverursachers zur Zahlung einer Genugtuung in der Höhe von Fr. 25'000.-- nebst Zins zu verurteilen. Weitere Schadenersatzansprüche würden ausdrücklich vorbehalten.
Die B._ AG beantragte das Nichteintreten auf die Klage, eventualiter deren Abweisung. Mit Verfügung vom 18. August 2016 beschränkte der Bezirksgerichtspräsident das Verfahren auf die Frage der Zulässigkeit der Teilklage sowie der Verjährung. Mit Entscheid vom 7. März 2018 wies er die Klage wegen Verjährung ab.
Die dagegen gerichtete Berufung von A._ wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 14. November 2018 ab.
B.
Mit zwei selbständigen Eingaben vom 8. Januar 2018 hat A._ diesen Entscheid mit Beschwerde in Zivilsachen sowie subsidiärer Verfassungsbeschwerde angefochten. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der Streitwert erreicht die Grenze von Fr. 30'000.-- gemäss <ref-law> nicht. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Begründung auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-law>).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liegt eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung dann vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2 mit weiteren Hinweisen). Die Frage muss von allgemeiner Tragweite sein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2 S. 269 mit weiteren Hinweisen). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 mit weiteren Hinweisen).
Im Berufungsverfahren vor der Vorinstanz war umstritten, ob ein als "Abschlussofferte A._" überschriebenes Dokument vom 18. Oktober 2010, in dem ein Schadensspezialist der Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer aus dem Unfallereignis den eine Genugtuung von Fr. 40'000.-- beinhaltenden Betrag von Fr. 100'000.-- angeboten hatte, eine Schuldanerkennung darstellt, die gemäss <ref-law> eine neue Verjährungsfrist von zehn Jahren nach sich zieht. Die Vorinstanz verwies auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach die Anforderungen an eine Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> dieselben sind wie diejenigen an eine Schuldanerkennung im Sinne von <ref-law> (Urteil 4A_153/2011 vom 24. November 2011 E. 3.1). Sie erwog, die Abschlussofferte weise keine Unterschrift auf, womit es an einem Formerfordernis fehle und, wenn überhaupt, nur die zweijährige Verjährungsfrist neu ausgelöst worden sei.
Der Beschwerdeführer vermag das Vorliegen der Eintretensvoraussetzung gemäss <ref-law> nicht aufzuzeigen, indem er pauschal behauptet, "bezüglich der Verjährungsfrage" handle es sich um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung, und weiter, konkret gehe es "u.a. um die Frage, welche Kriterien eine Abschlussofferte erfüllen muss, um die Auslösung der 10-Jährigen Verjährungsfrist gemäss OR <ref-law> auszulösen." Entgegen der Beteuerung des Beschwerdeführers geht es diesem um nichts anderes als um die Anwendung der feststehenden Rechtsregel gemäss der zitierten Rechtsprechung auf den zu beurteilenden Fall.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit nicht zulässig. Unter diesen Umständen steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>). Da die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf diese einzutreten, unter Vorbehalt zulässiger und hinlänglich begründeter Rügen (siehe Erwägungen 2 und 3).
2.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>).
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 und Art. 117 BGG). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen). Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots von <ref-law> geltend, genügt es nicht, wenn sie einfach behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Sie hat vielmehr im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 3 S. 352).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Die Beschwerde ist weitgehend unzulässig begründet. Der Beschwerdeführer stützt seine Argumentation nämlich auf einen Sachverhalt, der von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ohne im Einzelnen hinreichend begründete Sachverhaltsrügen gemäss den eben dargelegten Grundsätzen zu formulieren. Insbesondere begründet er keine zulässige Willkürrüge, wenn er gestützt auf den frei ergänzten Sachverhalt behauptet, die Abschlussofferte vom 18. Oktober 2010 könne "in Beachtung der faktischen Gegebenheiten als Schuldanerkennung im Sinne von OR Art. 137 qualifiziert werden", und meint, "eine andere richterliche Würdigung" sei "offensichtlich in der Rechtsanwendung willkürlich". Insoweit ist auf die Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine Gehörsverletzung, überspitzten Formalismus sowie Willkür, da ihm die Vorinstanz verwehrt habe, eine freigestellte Stellungnahme zur Berufungsantwort zu erstatten.
Gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör. Diese Garantie umfasst auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können, unabhängig davon, ob diese Eingaben neue und erhebliche Gesichtspunkte enthalten (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 52 f.; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung muss die Partei, die eine Stellungnahme zu einer ihr zur Kenntnisnahme zugestellten Vernehmlassung für erforderlich hält, diese grundsätzlich unverzüglich einreichen oder beantragen (<ref-ruling> E. 4.8 mit Hinweisen).
Laut den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid wurde nach dem Eingang der Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin vom 12. Oktober 2018 kein weiterer Schriftenwechsel angeordnet, sondern die Eingabe mit Verfügung vom 15. Oktober 2018 dem Beschwerdeführer "zur freigestellten Stellungnahme innert einer nicht erstreckbaren Frist bis spätestens 25. Oktober 2018 (Eingang beim Obergericht) " zugestellt. Damit - so die Erklärung der Vorinstanz - sei dem Beschwerdeführer keine Frist angesetzt worden, "die verlängert werden könnte", sondern angegeben worden, bis zu welchem Zeitpunkt das Gericht seinen Entscheid aussetze, falls der Beschwerdeführer von seinem Replikrecht Gebrauch machen sollte. Mit Eingabe vom 25. Oktober 2018 ersuchte der Beschwerdeführer, ihm sei die Frist zur Stellungnahme "zufolge Arbeitsüberlastung" um 20 Tage zu verlängern. Aus den kantonalen Akten ergibt sich, dass das Fristerstreckungsgesuch am 26. Oktober 2018 beim Obergericht einging und dem Beschwerdeführer in der Folge umgehend per E-Mail mitgeteilt wurde, dass die Frist "gemäss Verfügung vom 15. Oktober 2015" nicht erstreckbar sei.
Somit hätte der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer Gelegenheit gehabt, sich zur Berufungsantwort der Beschwerdegegnerin zu äussern, bevor das Obergericht am 14. November 2018 das Urteil fällte. Der Beschwerdeführer tut jedenfalls nicht dar, aus welchen Gründen es ihm unmöglich gewesen wäre, innert der angesetzten Frist sein Replikrecht auszuüben oder dem Obergericht unverzüglich und substanziiert darzulegen, weshalb er dazu nicht in der Lage sein würde.
Ohnehin begnügt sich der Beschwerdeführer damit, geltend zu machen, er habe keine Gelegenheit zur Stellungnahme gehabt, ohne auch nur ansatzweise zu erörtern, welchen Inhalt diese gehabt hätte und inwiefern sie den Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens hätte beeinflussen können. Genau genommen behauptet er nicht einmal, dass er überhaupt hätte Stellung nehmen wollen. Unter diesen Umständen ist nicht erkennbar, inwiefern er überhaupt ein schützenswertes Interesse an einer Rückweisung hat (siehe Urteil 5A_561/2018 vom 14. Dezember 2018 E. 2.3; vgl. auch Urteil 4A_27/2018 vom 3. Januar 2019 E. 3.2.4 mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit daraufeingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach <ref-law> zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz