Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 5. September 2019 verhaftet und am 9. September 2019 in Untersuchungshaft versetzt. Seine Beschwerden gegen diese Anordnung sowie gegen die Verlängerung der Untersuchungshaft wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheiden vom 2. Oktober 2019 und 21. Januar 2020 ab. Im Februar 2020 trat A._ den vorzeitigen Strafvollzug an. Am 27. März 2020 stellte er ein Haftentlassungsgesuch, welchem das kantonale Zwangsmassnahmengericht nicht stattgab. Diesen Entscheid bestätigte das Appellationsgericht am 20. Mai 2020 unter gleichzeitiger Anordnung von Sicherheitshaft.
Mit Urteil vom 4. September 2020 sprach das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt A._ der versuchten vorsätzlichen Tötung (statt wie von der Staatsanwaltschaft beantragt des versuchten Mordes), der schweren Körperverletzung, der mehrfachen Gefährdung des Lebens, der Drohung sowie des mehrfachen Vergehens gegen das Waffengesetz schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 8 Jahren. Vom Anklagevorwurf der Nötigung sowie der mehrfachen Gefährdung des Lebens zum Nachteil einer Vielzahl von Menschen sprach es ihn frei. Gegen diesen Entscheid gelangten (insbesondere) A._ und die Staatsanwaltschaft an das Appellationsgericht. Das Berufungsverfahren ist hängig. A._ befindet sich mittlerweile wieder im vorzeitigen Strafvollzug.
B.
Am 12. Juli 2021 ersuchte A._ darum, unter Auferlegung einer Schriftensperre und einer Meldepflicht sowie nach Leistung einer angemessenen Kaution aus der Haft bzw. dem vorzeitigen Strafvollzug entlassen zu werden. Mit Verfügung vom 4. August 2021 wies das Appellationsgericht das Gesuch ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 5. September 2021 an das Bundesgericht beantragt A._ sinngemäss die Aufhebung des Entscheids des Appellationsgerichts und die umgehende Entlassung aus der strafprozessualen Haft. Eventualiter sei er unter Anordnung geeigneter Ersatzmassnahmen, namentlich einer Schriften- und Kontaktsperre, einer Meldepflicht und der Pflicht zur Hinterlegung einer Kaution aus der Haft zu entlassen, subeventualiter sei die Sache zu neuem Entscheid an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Im Weiteren sei festzustellen und im Dispositiv des Beschwerdeentscheids festzuhalten, dass das Beschleunigungsgebot in Haftsachen verletzt worden sei.
Die Staatsanwaltschaft schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde und hat ansonsten auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._, nunmehr vertreten durch seinen amtlichen Verteidiger, hat am 22. September 2021 eine weitere Stellungnahme eingereicht. Darin ersucht er neu (eventualiter) um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein von einem Berufungsgericht als einziger kantonaler Instanz stammender Entscheid über die Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug (vgl. Art. 222 Satz 2 i.V.m. <ref-law>). Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht offen (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 und Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Zwar hat er im Gesuch vom 12. Juli 2021 an die Vorinstanz eine Haftentlassung unter Anordnung von Ersatzmassnahmen verlangt. Aus der Gesuchsbegründung geht jedoch hervor, dass er diese Massnahmen nur für den Fall beantragt hat, dass entgegen seinem Vorbringen Fluchtgefahr bejaht wird. Die Vorinstanz hat das Gesuch auch so interpretiert. Der vor Bundesgericht gestellte Antrag auf Entlassung aus der Haft bzw. aus dem vorzeitigen Strafvollzug ohne Anordnung von Ersatzmassnahmen geht somit nicht über den Streitgegenstand hinaus. Soweit der Beschwerdeführer die Feststellung der geltend gemachten Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen verlangt, ist ferner ein Rechtsschutzinteresse grundsätzlich zu bejahen (vgl. Urteil 1B_277/212 vom 3. Juli 2012 E. 1). Auch sonst steht einem Eintreten auf die Beschwerde im Grundsatz nichts entgegen.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Partei geltend macht und begründet (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (vgl. <ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.1.2), ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht. Erforderlich ist zudem, dass die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (vgl. Art. 42 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer befindet sich zwar im vorzeitigen Strafvollzug. Das hindert ihn jedoch nicht, ein Gesuch um Entlassung aus der Haft bzw. aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu stellen. Auf ein entsprechendes Gesuch hin ist vielmehr zu prüfen, ob die Voraussetzungen der strafprozessualen Haft - vorliegend der Sicherheitshaft - erfüllt sind (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.1).
3.2. Nach <ref-law> ist Sicherheitshaft zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig (allgemeiner Haftgrund) und ernsthaft zu befürchten ist, sie entziehe sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion (lit. a; [besonderer Haftgrund der] Fluchtgefahr), beeinflusse Personen oder wirke auf Beweismittel ein, um so die Wahrheitsfindung zu beeinträchtigen (lit. b; Kollusionsgefahr), oder gefährde durch schwere Verbrechen oder Vergehen die Sicherheit anderer erheblich, nachdem sie bereits früher gleichartige Straftaten verübt hat (lit. c; Wiederholungsgefahr). Anstelle der Haft sind eine oder mehrere mildere Massnahmen anzuordnen, wenn diese den gleichen Zweck erfüllen (<ref-law>). Auch sonst muss die Haft verhältnismässig sein (Art. 197 Abs. 1 lit. c und d StPO).
3.3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid den dringenden Tatverdacht sowie die besonderen Haftgründe der Fluchtgefahr und der Wiederholungsgefahr bejaht und die Haft als verhältnismässig beurteilt. Ob auch von Kollusionsgefahr auszugehen sei - was die Staatsanwaltschaft im bundesgerichtlichen Verfahren erneut geltend macht -, hat sie offen gelassen.
3.4. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht nur die von der Vorinstanz bejahten besonderen Haftgründe und die Kollusionsgefahr sowie die Verhältnismässigkeit der Haft; er verneint in der Beschwerde vielmehr auch den dringenden Tatverdacht, der im Haftentlassungsgesuch vom 12. Juli 2021 wegen der bereits erfolgten Anklageerhebung und des erstinstanzlichen Schuldspruchs ausdrücklich grundsätzlich nicht bestritten wurde. In diesem Zusammenhang bringt er zum einen vor, sein amtlicher Verteidiger habe das Haftentlassungsgesuch ohne seine Zustimmung so verfasst, weshalb er nicht darauf zu behaften sei. Zum anderen macht er geltend, er bestreite die rechtliche Würdigung des ihm vorgeworfenen Schusswaffengebrauchs und damit auch den dringenden Tatverdacht, namentlich bezüglich der versuchten vorsätzlichen Tötung und der Gefährdung des Lebens gemäss dem erstinstanzlichen Schuldspruch.
Diese Vorbringen sind unbehelflich. Wenn bereits ein Urteil des erstinstanzlichen Strafgerichts vorliegt, hat jene Partei, die den dringenden Tatverdacht im Widerspruch zu diesem Urteil bestreitet, darzulegen, inwiefern das auf Schuldspruch lautende Urteil klarerweise fehlerhaft erscheint bzw. eine entsprechende Korrektur im Berufungsverfahren mit erheblicher Wahrscheinlichkeit zu erwarten ist. Soweit bereits eine Urteilsbegründung vorliegt, hat sie sich dabei auch mit den betreffenden Erwägungen des Sachgerichts auseinanderzusetzen (vgl. Urteile 1B_55/2020 vom 21. Februar 2020 E. 3.4; 1B_176/2018 vom 2. Mai 2018 E. 3.2; je mit Hinweisen). Diesen Anforderungen genügt die Beschwerde nicht. Das blosse Bestreiten der erwähnten rechtlichen Würdigung der Vorinstanz ist vielmehr klar unzureichend. Ungeachtet der Vorbringen des Beschwerdeführers ist deshalb aufgrund des erstinstanzlichen Schuldspruchs ein dringender Tatverdacht auf versuchte vorsätzliche Tötung, schwere Körperverletzung, mehrfache Gefährdung des Lebens, Drohung sowie mehrfache Vergehen gegen das Waffengesetz zu bejahen. Nachfolgend ist somit zu prüfen, ob die Vorinstanz auch die weiteren Haftvoraussetzungen als erfüllt betrachten durfte.
4.
4.1. Die Annahme von Fluchtgefahr setzt ernsthafte Anhaltspunkte dafür voraus, dass sich die beschuldigte Person durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entziehen könnte (<ref-law>). Im Vordergrund steht dabei eine mögliche Flucht ins Ausland, denkbar ist jedoch auch ein Untertauchen im Inland (Urteil 1B_387/2016 vom 17. November 2016 E. 5.2). Bei der Bewertung, ob Fluchtgefahr besteht, sind die gesamten konkreten Verhältnisse zu berücksichtigen. Es müssen Gründe bestehen, die eine Flucht nicht nur als möglich, sondern als wahrscheinlich erscheinen lassen. Die Schwere der drohenden Strafe ist zwar ein Indiz für Fluchtgefahr, genügt für sich allein jedoch nicht, um den Haftgrund zu bejahen (<ref-ruling> E. 3a; Urteil 1B_368/2016 vom 1. November 2016 E. 2.2). Miteinzubeziehen sind die familiären und sozialen Bindungen, die berufliche und finanzielle Situation und die Kontakte zum Ausland. Selbst bei einer befürchteten Reise in ein Land, das die beschuldigte Person grundsätzlich an die Schweiz ausliefern bzw. stellvertretend verfolgen könnte, ist die Annahme von Fluchtgefahr nicht ausgeschlossen (Urteile 1B_387/2016 vom 17. November 2016 E. 5.2; 1B_157/2015 vom 27. Mai 2015 E. 3.1 und 1B_325/2014 vom 16. Oktober 2014 E. 3.1). Die Wahrscheinlichkeit einer Flucht nimmt in der Regel mit zunehmender Verfahrens- bzw. Haftdauer ab, da sich auch die Dauer des allenfalls noch abzusitzenden strafrechtlichen Freiheitsentzugs mit der bereits geleisteten prozessualen Haft, die auf die mutmassliche Freiheitsstrafe anzurechnen wäre (<ref-law>), kontinuierlich verringert (Urteil 1B_281/2015 vom 15. September 2015 E. 2.2; zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.3).
4.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid bezüglich der von ihr bejahten Fluchtgefahr ausgeführt, der Beschwerdeführer sei Sozialhilfebezüger ohne Arbeitsstelle und lebe von seiner Ehefrau getrennt. Gemäss deren Angaben habe er sich nie richtig um seinen Sohn gekümmert. Nach der ihm vorgeworfenen Haupttat sei er untergetaucht. Als türkischstämmiger Schweizer verfüge er über Verbindungen zu seinem Heimatland. Bis zur frühestmöglichen bedingten Entlassung habe er von der erstinstanzlich ausgesprochenen Freiheitsstrafe noch 41 Monate zu verbüssen, was einen ausreichenden Anlass zur Flucht oder zum Untertauchen bilde. Die Staatsanwaltschaft beantrage im Berufungsverfahren ferner eine Erhöhung der Freiheitsstrafe auf elf Jahre und zehn Monate, was den Fluchtanreiz noch verstärke.
4.3. Der Beschwerdeführer bringt gegen die Annahme von Fluchtgefahr insbesondere vor, die Vorinstanz habe unzutreffend und aktenwidrig bzw. willkürlich festgehalten, dass er türkischstämmiger Schweizer sei und über Beziehungen zu seinem Heimatland verfüge. Er habe nicht türkische, sondern kurdische Wurzeln. Seine gesamte Familie, sein Sohn sowie die komplette Verwandtschaft seien in der Schweiz beheimatet und eingebürgert und lebten hier bereits in der zweiten bzw. dritten Generation. Auch er sei Schweizer, in der Schweiz geboren und habe keine weitere Staatsbürgerschaft. Er habe zudem weder Beziehungen noch Kontakte im Ausland oder in der Türkei, zumal ihm dort aufgrund seiner ethnischen Zugehörigkeit Repressalien drohten. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, er habe bis auf das Pekulium der Haftanstalt kein Einkommen und könne auch nicht auf Vermögenswerte oder Reserven zurückgreifen, die ihm eine Flucht oder ein Untertauchen ermöglichen würden. Dass er Sozialhilfebezüger ohne Arbeitsstelle sei, spreche nicht für, sondern gegen Fluchtgefahr. Ob ihm im Berufungsverfahren eine längere Freiheitsstrafe als die erstinstanzlich ausgefällte drohe, sei sodann konkret zu prüfen, was nicht geschehen sei. Auch sei nicht ausgeschlossen, dass das Berufungsgericht eine mildere Strafe aussprechen werde, wovon er aufgrund der ausserordentlichen Entwicklungen in diesem Fall ausgehe.
In der Stellungnahme vom 22. September 2021 weist der Beschwerdeführer erneut darauf hin, dass seiner Herkunft für die Frage der Fluchtgefahr nicht die Relevanz zukomme, die ihr die Vorinstanz zugesprochen habe. Er bestreitet zudem, dass er sich nie wirklich um seinen Sohn gekümmert habe, und macht geltend, das im Zusammenhang mit der Scheidung laufende Sorgerechtsverfahren sei als Hinweis für seinen Verbleib in der Schweiz zu deuten. Nur wenn er hier bleibe, habe er die Möglichkeit, von dem von ihm angestrebten Kontakt- und Besuchsrecht Gebrauch zu machen. Der Beschwerdeführer spricht weiter auch seiner beruflichen Situation sowie dem Umstand, dass er sich nach der ihm vorgeworfenen Haupttat nicht sofort gestellt habe, eine Bedeutung für das Vorliegen von Fluchtgefahr ab. Für ein theoretisch denkbares Untertauchen in der Schweiz bestünden ferner keine konkreten Hinweise.
4.4. Wie die Staatsanwaltschaft vor Bundesgericht zutreffend ausgeführt hat, wurde der Beschwerdeführer erstinstanzlich wegen sehr schwer wiegender Delikte, insbesondere eines versuchten Kapitaldelikts, zu einer Freiheitsstrafe von 8 Jahren verurteilt, wovon er bislang (unter Anrechnung der Haft) lediglich rund 2 Jahre erstanden hat. Die somit verbleibende lange Freiheitsstrafe ist ein gewichtiges Indiz für das Bestehen von Fluchtgefahr. Dies gilt umso mehr, als die Möglichkeit einer bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug grundsätzlich nicht zu berücksichtigen ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.2) und der Beschwerdeführer keine Umstände nennt, die ein Abweichen von diesem Grundsatz nahe legen würden. Ebenso wenig geht aus seinen Ausführungen hervor, dass im Berufungsverfahren die erstinstanzlich ausgesprochene Freiheitsstrafe wesentlich reduziert werden könnte. Sollte die Staatsanwaltschaft mit ihrer Berufung durchdringen, mit der sie erneut namentlich einen Schuldspruch wegen versuchten Mordes fordert, hätte der Beschwerdeführer im Weiteren einen empfindlich längeren Freiheitsentzug zu gewärtigen.
Aufgrund seiner Abstammung ist der Beschwerdeführer sodann jedenfalls mit der kurdischen Sprache und Kultur in der Türkei vertraut und hat bereits aus diesem Grund einen besonderen Bezug zu diesem Land. Dass er über keinerlei Beziehungen in der Türkei verfügen soll, erscheint zudem wenig glaubhaft. Zwar drängt sich aufgrund der von ihm hervorgehobenen, erwähnten Umstände die Möglichkeit einer Flucht dorthin nicht geradezu auf. Die Vorinstanz hat jedoch, auch vor dem Hintergrund der drohenden langjährigen Restfreiheitsstrafe, die Abstammung des Beschwerdeführers als Indiz für das Bestehen von Fluchtgefahr werten dürfen, ohne Bundesrecht zu verletzen. Dasselbe gilt bezüglich der von ihr angeführten beruflichen, sozialen und (engeren) familiären Situation des Beschwerdeführers. Ungeachtet der Frage, wie die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers im Einzelnen zu beurteilen sind, besteht, zumal mit Blick auf die drohende langjährige Restfreiheitsstrafe, aufgrund der entsprechenden Verhältnisse eine erhöhte Wahrscheinlichkeit, dass dieser flüchten oder untertauchen wird. Entgegen seinen Ausführungen folgt solches zudem auch aus seinem Verhalten nach der ihm vorgeworfenen Haupttat, entzog er sich damals doch über eine längere Zeitdauer dem Zugriff der Strafverfolgungsbehörden.
4.5. Nach dem Gesagten ist eine Flucht ins Ausland oder ein Untertauchen im Inland keine bloss theoretische Möglichkeit. Vielmehr ist aufgrund konkreter Anhaltspunkte ernsthaft zu befürchten, der Beschwerdeführer entziehe sich auf diese Weise dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion. Die Vorinstanz hat demnach Fluchtgefahr im Sinne von <ref-law> zu Recht bejaht. Nachfolgend zu klären ist, ob dieser Gefahr mit Ersatzmassnahmen begegnet werden könnte, wie der Beschwerdeführer geltend macht.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer bringt im genannten Zusammenhang vor, einer (allfälligen) Fluchtgefahr könne mit einer Meldepflicht, einer Schriftensperre und einer Kautionsleistung vonseiten seiner Familie begegnet werden. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid lediglich zur Schriftensperre geäussert und diese als untauglich beurteilt.
5.2. Ersatzmassnahmen für Haft können zwar geeignet sein, einer gewissen (niederschwelligen) Fluchtneigung genügend Rechnung zu tragen. Bei ausgeprägter Fluchtgefahr erweisen sie sich jedoch gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung regelmässig als nicht ausreichend (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 f.; Urteile 1B_177/2021 vom 22. April 2021 E. 5.1; 1B_264/2020 vom 17. Juni 2020 E. 6.1).
Vorliegend ist, insbesondere wegen der drohenden langjährigen Restfreiheitsstrafe und des Verhaltens des Beschwerdeführers nach der ihm vorgeworfenen Haupttat, von einer relativ erheblichen Fluchtgefahr auszugehen. Dass die vom Beschwerdeführer genannten Ersatzmassnahmen dennoch ausreichen würden, um der Fluchtgefahr zu begegnen, ist weder dargetan noch ersichtlich. Daran ändert die von ihm vorgeschlagene Sicherheitsleistung vonseiten seiner Familie nichts. Zwar kann eine Haftentlassung gegen Kaution auch in Frage kommen, wenn diese von Dritten stammt (vgl. <ref-law>; Urteile 1B_297/2019 vom 3. Juli 2019 E. 5.1; 1B_378/2018 vom 21. September 2018 E. 6.4; 1B_388/2015 vom 3. Dezember 2015 E. 2.5). Aus den Vorbringen des Beschwerdeführers ergibt sich jedoch nicht, dass eine Kautionsleistung vonseiten seiner Familie allein oder zusammen mit den weiteren vorgeschlagenen Ersatzmassnahmen die bestehende Fluchtgefahr bannen würde. Insbesondere legt er nicht dar, wer die Sicherheitsleitung erbringen würde und ob die betreffende Person bzw. die betreffenden Personen die dargebotene Hilfe überhaupt zurückfordern würden (vgl. dazu Urteile 1B_297/2019 vom 3. Juli 2019 E. 5.1 und 5.3; 1B_378/2018 vom 21. September 2018 E. 6.4; je mit Hinweisen). Soweit er geltend macht, es sei wohl kaum zu erwarten, dass er seiner Familie durch Flucht einen erheblichen Schaden zufügen würde, ist dies klar unzureichend.
5.3. Die Vorinstanz hat demnach kein Bundesrecht verletzt, indem sie Ersatzmassnahmen zur Haft als untauglich beurteilt hat, um der bestehenden Fluchtgefahr zu begegnen. Dass die Abweisung des Haftentlassungsgesuchs aus anderen Gründen unverhältnismässig wäre, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist, namentlich mit Blick auf die erstinstanzlich ausgefällte Freiheitsstrafe, auch nicht ersichtlich. Soweit sich die Beschwerde gegen die Abweisung des Haftentlassungesuchs richtet, erweist sie sich demnach ungeachtet der Frage, ob die Vorinstanz zu Recht auch den besonderen Haftgrund der Wiederholungsgefahr bejaht hat, sowie unabhängig davon, ob allenfalls auch Kollusionsgefahr zu bejahen wäre, als unbegründet. Auf diese Fragen ist daher nicht weiter einzugehen.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer rügt ausserdem eine Verletzung des Beschleunigungsgebots in Haftsachen (<ref-law>, Art. 5 Ziff. 4 EMRK, <ref-law>). Er beruft sich dabei auf <ref-law> und bringt vor, die Vorinstanz hätte über sein Haftentlassungsgesuch vom 12. Juli 2021 innerhalb von 5 Tagen seit dessen Einreichung entscheiden müssen. Sie habe diese Frist jedoch nicht respektiert, sondern um das Dreifache überzogen.
6.2. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers kommt auf den angefochtenen Entscheid der Vorinstanz nicht <ref-law> zur Anwendung, sondern <ref-law>. Danach entscheidet die Verfahrensleitung über Haftentlassungsgesuche innert 5 Tagen. Diese Bestimmung ist auch anwendbar, wenn sich die betroffene Person im vorzeitigen Strafvollzug befindet (vgl. Urteile 1B_347/2017 vom 1. September 2017 E. 1 und 2.4; 1B_200/2012 vom 20. April 2012 E. 2.1; 1B_722/2011 vom 16. Januar 2012 E. 4.3 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung ist für den Beginn des Fristenlaufs grundsätzlich auf das Ende des Schriftenwechsels abzustellen (<ref-law> analog). Das setzt allerdings wiederum voraus, dass entsprechend kurze Fristen gesetzt werden (vgl. Urteile 1B_347/2017 vom 1. September 2017 E. 2.4; 1B_179/2014 vom 5. Juni 2014 E. 3.2; 1B_722/2011 vom 16. Januar 2012 E. 4.3).
6.3. Aus den vorinstanzlichen Akten geht hervor, dass der Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 14. Juli 2021 Frist bis zum 22. Juli 2021 angesetzt wurde, um zum Haftentlassungesuch des Beschwerdeführers vom 12. Juli 2021 Stellung zu nehmen. Mit Verfügung vom 21. Juli 2021 gab die Vorinstanz dem Beschwerdeführer Gelegenheit, sich bis zum 28. Juli 2021 zur eingegangenen Stellungnahme der Staatsanwaltschaft zu äussern. Die Stellungnahme des Beschwerdeführers ging bei der Vorinstanz am 30. Juli 2021 ein. Der angefochtene Entscheid erging am 4. August 2021 und damit innert der Frist von 5 Tagen gemäss <ref-law>. Dass die von der Vorinstanz für die Stellungnahmen angesetzten Fristen unangemessen lang gewesen wären, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht offensichtlich (vgl. vorne E. 2). Ein Verstoss gegen <ref-law> und damit - ohne dass weiter auf diese Rüge einzugehen wäre - des Beschleunigungsgebots in Haftsachen liegt somit nicht vor. Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt und damit insgesamt als unbegründet.
7.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat in der Stellungnahme vom 22. September 2021, nunmehr vertreten durch seinen amtlichen Verteidiger, allerdings ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt. Da die Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>), insbesondere die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers erstellt scheint und die Beschwerde nicht geradezu aussichtslos war, ist dem Gesuch stattzugeben. Dem Beschwerdeführer ist die unentgeltliche Prozessführung und für die Bemühungen seines Rechtsvertreters im Zusammenhang mit der Stellungnahme vom 22. September 2021 auch die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Advokat Nicolas Roulet wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur