Faits :
A.
A._, née en 1972, a travaillé pour la société B._ du 1 er janvier 2000 au 29 novembre 2011, en dernier lieu à 100 % comme caissière. Après avoir bénéficié d'indemnités de l'assurance-chômage, elle a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 3 décembre 2013.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli l'avis des doctoresses C._, médecin traitant (du 16 février 2014), D._, psychiatre traitante (des 24 avril 2014, 27 octobre 2014 et 20 juillet 2015), et E._, spécialiste en neurologie (du 18 juin 2015). Il a ensuite soumis l'assurée à une évaluation psychiatrique auprès de son Service médical régional (SMR) les 17 août et 30 novembre 2016. Dans un rapport établi le 5 décembre 2016, la doctoresse F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a diagnostiqué - avec répercussion sur la capacité de travail - un épisode dépressif moyen avec syndrome somatique en rémission complète, ainsi que - sans répercussion sur la capacité de travail - une dysthymie et des difficultés dans les rapports avec le conjoint. Selon la psychiatre du SMR, l'assurée disposait d'une capacité de travail complète dès le 17 août 2016, tant dans son activité habituelle que dans une activité adaptée.
L'assurée a déposé un avis complémentaire des doctoresses C._ (du 28 août 2017) et D._ (du 4 septembre 2017). Les 31 mars et 6 décembre 2017, la doctoresse G._, spécialiste en médecine interne générale et médecin auprès du SMR, a recommandé à l'office AI de suivre en l'absence d'autres éléments les conclusions de la psychiatre traitante jusqu'au 17 août 2016, puis celles de la psychiatre du SMR à compter de cette date. Par décision du 12 avril 2018, l'office AI a octroyé à l'assurée une rente entière d'invalidité du 1 er octobre 2014 au 30 novembre 2016, soit trois mois après l'amélioration de l'état de santé constatée par la doctoresse F._.
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales. Elle a produit l'avis des doctoresses D._ (des 14 mai 2018 et 11 septembre 2018) et C._ (du 6 juin 2018). De son côté, l'office AI a déposé une prise de position de la doctoresse H._, spécialiste en médecine interne générale et médecin auprès de son SMR (du 26 juillet 2018). Statuant le 9 juillet 2019, la Cour de justice a admis le recours en ce sens que l'assurée a droit au maintien de la rente entière d'invalidité au-delà du 30 novembre 2016.
C.
L'office AI forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à la confirmation de sa décision du 12 avril 2018. Le recours est assorti d'une requête d'effet suspensif.
A._ conclut principalement au rejet du recours. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour la mise en oeuvre d'une expertise. Elle sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour l'instance fédérale.
L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (<ref-law>) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>).
1.2. En vertu de l'<ref-law>, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Dans une écriture précédant sa réponse, l'intimée a déposé les avis médicaux des docteurs C._ (du 23 mai 2019), D._ (du 18 juin 2019), I._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur (du 29 mai 2019), et J._, spécialiste en angiologie (du 28 juin 2019), ainsi que différents documents de radiologie. Dans son écriture, elle n'expose cependant pas en quoi la production de ses pièces serait admissible au regard des exigences légales (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 22 et les références). Au contraire, elle se limite à mentionner un défaut d'organisation qui l'aurait empêchée de les produire devant la juridiction cantonale. Il s'ensuit que les pièces produites pour la première fois par l'intimée en instance fédérale et les allégués s'y rapportant ne peuvent pas être pris en considération.
2.
2.1. Le litige porte sur le maintien du droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité au-delà du 30 novembre 2016. A cet égard, le jugement entrepris expose les normes et la jurisprudence applicables, notamment celles relatives à la notion d'invalidité (<ref-law> et 4 al. 1 LAI), à la révision (<ref-law>; <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2d p. 417), à l'évaluation du caractère invalidant des affections psychiques (<ref-ruling>, en relation avec l'<ref-ruling>), au rôle des médecins (<ref-ruling> consid. 4 p. 99; <ref-ruling> consid. 4 p. 261), ainsi qu'à l'appréciation des preuves et à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 232; <ref-ruling> consid. 3 p. 352). Il suffit d'y renvoyer.
2.2. On ajoutera que la juridiction cantonale était tenue de se prononcer, sous réserve d'exceptions non réalisées en l'espèce, d'après l'état de fait existant au moment où la décision du 12 avril 2018 a été rendue (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.1 p. 213; <ref-ruling> consid. 3.1.1 p. 220). Le présent litige ne porte dès lors pas sur les conséquences sur la capacité de gain de l'intimée de faits intervenus postérieurement à cette date.
3.
3.1. La juridiction cantonale a retenu que le médecin du SMR avait analysé de manière circonstanciée les données anamnestiques, qu'il avait décrit le contexte médical avec précision et qu'il avait procédé à un examen approfondi de l'assurée les 17 août et 30 novembre 2016. Partant, rien ne s'opposait de prime abord à ce que les conclusions du rapport de la doctoresse F._ remplissent toutes les exigences posées par la jurisprudence pour se voir reconnaître une pleine valeur probante. Cependant, les premiers juges ont constaté que l'assurée présentait selon le médecin du SMR des périodes où elle se sentait un peu mieux, mais la plupart du temps, elle se décrivait comme fatiguée et déprimée, tout lui coûtait et rien ne lui était agréable. Elle ruminait et se plaignait, dormait mal, perdait confiance en elle-même, pleurait sur son sort et se positionnait dans un rôle de victime. Si l'assurée ne souffrait pas de fatigue, elle se plaignait que tout la fatiguait. Les premiers juges se sont étonnés que ces constatations pussent conduire le médecin du SMR à conclure à une rémission de l'état de santé de l'intimée, sans même les commenter. Ils ont jugé que ces éléments étaient suffisants pour faire douter sérieusement des conclusions du médecin du SMR et, partant, de leur valeur probante. Aussi, ils ne pouvaient affirmer qu'il y avait eu amélioration de l'état de santé de l'assurée dès août 2016.
Au contraire, selon les premiers juges, les conclusions du médecin du SMR constituaient une nouvelle appréciation de la capacité de travail résiduelle de l'assurée, alors que l'état de fait était resté inchangé. En effet, l'état de l'assurée décrit par le médecin du SMR correspondait plus ou moins à celui figurant dans les rapports établis par la psychiatre traitante dès 2014. Une simple appréciation différente d'un état de fait, qui, pour l'essentiel, était demeuré inchangé ne permettait dès lors pas de réviser le droit de l'assurée à une rente d'invalidité. Pour le surplus, le médecin du SMR ne pouvait sérieusement considérer que la capacité de travail de l'assurée était pleine et entière au motif que sa famille lui apportait toute l'aide dont elle avait besoin. Les conclusions de l'évaluation psychiatrique du SMR ne pouvaient par conséquent pas motiver valablement une révision du droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité.
3.2. Invoquant une violation de l'<ref-law>, l'office recourant reproche pour l'essentiel à la juridiction cantonale d'avoir omis de manière arbitraire les éléments objectifs de l'évaluation de la doctoresse F._ mettant en évidence une amélioration durable de l'état de santé de l'intimée. La juridiction cantonale avait par ailleurs méconnu la jurisprudence en ne tirant aucune conclusion quant aux effets des atteintes à la santé psychique de l'intimée en fonction de la grille d'évaluation normative et structurée définie à l'<ref-ruling>.
4.
4.1. En l'espèce, la juridiction cantonale a retenu que la doctoresse F._ avait procédé à des examens cliniques approfondis les 17 août et 30 novembre 2016. L'évaluation de la psychiatre du SMR contient de plus une description détaillée de ses observations cliniques, une présentation des diagnostics retenus, ainsi qu'une discussion sur le fonctionnement de la personnalité et l'influence de celle-ci sur la capacité de travail de l'intimée. A l'inverse de ce que la juridiction cantonale a considéré, la doctoresse F._ expose en outre de manière claire les motifs pour lesquels elle a retenu une rémission durable de l'épisode dépressif moyen avec syndrome somatique. Elle a tout d'abord recherché les symptômes dépressifs mentionnés dans les avis de la psychiatre traitante. Puis, au terme de son évaluation, elle a nié la persistance de troubles de la mémoire, de la concentration et de l'attention, d'un ralentissement psychomoteur, d'une anhédonie, d'une fatigue, d'une augmentation de la fatigabilité (durant les entretiens), de troubles cognitifs, d'idées de culpabilité ou de persécution, d'une agoraphobie ou d'une phobie sociale. Aussi, comme le fait valoir à juste titre l'office recourant, la psychiatre du SMR a exclu de manière convaincante que l'assurée souffrit encore de signes florides de la lignée dépressive au 17 août 2016.
4.2. Quant aux reproches formulés par l'intimée à l'encontre des conclusions du psychiatre du SMR, ils se fondent exclusivement sur la manière dont elle ressent et assume elle-même sa situation. En particulier, on ne saurait reprocher à la psychiatre du SMR d'avoir tout d'abord reproduit fidèlement les plaintes de l'assurée, qui sont pour l'essentiel demeurées les mêmes depuis la perte de son emploi, puis d'évaluer objectivement leur portée pour établir la mesure de ce qui était raisonnablement exigible au sens de l'<ref-law>. En se limitant à mentionner les différences entre ses plaintes ("rien ne lui est agréable", "se sent inutile", etc.) et les constatations objectives de l'évaluation psychiatrique (absence d'anhédonie, de dévalorisation, etc.), l'intimée n'établit dès lors nullement que la psychiatre du SMR aurait ignoré des éléments cliniques ou diagnostiques essentiels, ni n'explique en quoi le point de vue de sa psychiatre traitante justifierait la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique indépendante.
4.3. Il s'ensuit que l'office AI a recueilli une évaluation psychique qui expose un changement clairement objectivé de la situation clinique de l'assurée sur le plan psychique (rémission) et, donc, une amélioration notable de sa capacité de travail dès le 17 août 2016 (au sens de l'<ref-law>).
5.
Il reste à examiner les effets d'une dysthymie sur la capacité de travail de l'intimée.
5.1. Selon la jurisprudence, une dysthymie est susceptible d'entraîner une diminution de la capacité de travail lorsqu'elle se présente avec d'autres affections, à l'instar d'un grave trouble de la personnalité (arrêt 9C_585/2019 du 3 juin 2020 consid. 4.1 et les références). Pour en évaluer les éventuels effets limitatifs, ces atteintes doivent en principe faire l'objet d'une procédure probatoire structurée selon l'<ref-ruling>.
5.2. A l'issue des examens cliniques, la psychiatre du SMR a exclu l'existence d'une atteinte à la santé présentant une certaine gravité, notamment un trouble de la personnalité morbide. Elle a constaté que l'assurée disposait de plus de ressources personnelles d'adaptation au changement, de ressources mobilisables (notamment le soutien des membres de sa famille) et qu'elle adhérait à sa thérapie. Elle a retenu en outre à juste titre que l'intimée semblait tirer avantage de ses autolimitations (ménage réalisé par sa soeur ou sa fille, emplettes réalisées par sa soeur ou son mari, etc.). Contrairement à ce que la juridiction cantonale a retenu, la doctoresse F._ n'a par ailleurs pas indiqué que l'intimée pouvait travailler parce que sa famille lui apportait de l'aide, mais qu'on pouvait attendre de l'assurée qu'elle mît à profit ses ressources personnelles afin de surmonter les autolimitations primaires et secondaires. Compte tenu de ces éléments, la juridiction cantonale s'est écartée de manière arbitraire des conclusions de l'évaluation psychiatrique du SMR. Dans la mesure où la psychiatre traitante s'est fondée dans ses différents avis médicaux sur les seules plaintes de l'intimée, sans aucune distanciation objective et sans apporter de critiques fondées quant aux constatations du SMR, l'office AI n'avait pour le surplus pas à mettre en oeuvre une expertise psychiatrique indépendante (cf. <ref-ruling> consid. 4.5 p. 415). Aussi, avec l'aide des médecins de son SMR, l'office AI a tiré dans sa décision du 12 avril 2018 les conséquences qui s'imposaient des conclusions de l'évaluation psychiatrique de la doctoresse F._.
5.3. Ensuite des éléments qui précèdent, il convient de retenir que A._ présentait une capacité de travail de 100 % dans son activité habituelle à compter du 17 août 2016. La juridiction cantonale a dès lors violé le droit fédéral en maintenant le droit de l'intimée à une rente entière d'invalidité au-delà du 30 novembre 2016 (<ref-law> et <ref-law>).
6.
Ensuite des considérations qui précèdent, le recours doit être admis et le jugement attaqué annulé.
Le présent arrêt rend sans objet la demande d'effet suspensif déposée par l'office recourant.
7.
Succombant, l'intimée supportera les frais afférents à la présente procédure (<ref-law>). Dès lors qu'elle est dans le besoin et que ses conclusions ne paraissaient pas d'emblée vouées à l'échec (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 477), sa requête d'assistance judiciaire doit être admise. L'intimée est rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. La décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 9 juillet 2019 est annulée et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève du 12 avril 2018 est confirmée.
2.
L'assistance judiciaire est accordée et M e Aliénor Winiger est désignée comme avocate d'office de l'intimée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocate de l'intimée à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais de la procédure antérieure.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 24 août 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Bleicker