Sachverhalt:
A.
A._ und seine Ehefrau B._ stehen sich seit dem 12. Oktober 2020 in einem Scheidungsverfahren vor dem Einzelgericht des Bezirksgerichts Zürich gegenüber. Mit Eingabe vom 20. Oktober 2020 stellte B._ das Begehren, ihren Mann zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Scheidungsverfahren zu verpflichten; eventualiter ersuchte sie um unentgeltliche Rechtspflege. Das Einzelgericht entsprach dem Antrag mit Verfügung vom 25. März 2021 und bestimmte den Prozesskostenvorschuss auf Fr. 16'000.--.
B.
Nachdem A._ beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung eingelegt hatte, beantragte B._ dem Obergericht, ihr für das Berufungsverfahren einen Prozesskostenvorschuss zu Lasten ihres Ehemanns zuzusprechen und ihr eventualiter die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. In teilweiser Gutheissung der Berufung reduzierte das Obergericht den von A._ für das Scheidungsverfahren zu leistenden Prozesskostenvorschuss auf Fr. 6'000.-- und bewilligte B._ für die Fr. 6'000.-- übersteigenden Prozesskosten die unentgeltliche Rechtspflege. Überdies verpflichtete es A._, B._ für das Berufungsverfahren einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu bezahlen; für die diesen Betrag übersteigenden Prozesskosten des Berufungsverfahrens erteilte es der Ehefrau die unentgeltliche Rechtspflege. Das Urteil datiert vom 24. August 2021 und wurde tags darauf an die Parteien versandt.
C.
Mit Beschwerde vom 27. September 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Begehren von B._ (Beschwerdegegnerin) um Leistung von Prozesskostenvorschüssen bzw. um unentgeltliche Rechtspflege für das Scheidungsverfahren vor dem Bezirksgericht (Bst. A) und für das Berufungsverfahren (Bst. B) abzuweisen. Die Gerichtskosten der kantonalen Instanzen seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen und diese sei zu verpflichten, ihm für das erstinstanzliche Verfahren betreffend den Prozesskostenvorschuss und für das Berufungsverfahren eine Parteientschädigung von je Fr. 10'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer zu bezahlen. Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Dem Begehren des Beschwerdeführers, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen, entsprach der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 18. Oktober 2021. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, in der Sache jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1).
1.1. Der Beschwerdeführer wehrt sich dagegen, seiner Frau für das vor erster Instanz hängige Scheidungsverfahren und für das Berufungsverfahren je einen Prozesskostenvorschuss bezahlen zu müssen. Das sind Zivilsachen (<ref-law>) vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_447/2012 vom 27. August 2012 E. 1.2). Vor dem Obergericht focht der Beschwerdeführer den erstinstanzlich zugesprochenen Prozesskostenvorschuss von Fr. 16'000.-- an, die Beschwerdegegnerin forderte für das Berufungsverfahren einen solchen von Fr. 4'000.--. Der zusammengerechnete (<ref-law>) Streitwert dieser vor der Vorinstanz streitig gebliebenen Begehren (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG) erreicht den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) nicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Der Beschwerdeführer macht geltend, dass sich solche Fragen in zweierlei Hinsicht stellen. Ob dies zutrifft, braucht nicht geklärt zu werden, da die Kognition des Bundesgerichts zur Prüfung eines Entscheids über die Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Scheidungsverfahren im Rahmen einer Beschwerde in Zivilsachen dieselbe ist wie bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (unten E. 2).
1.2. Die Beschwerde an das Bundesgericht steht nur offen, soweit der Beschwerdeführer auch zur Beschwerde berechtigt ist (Art. 76 Abs. 1 und Art. 115 BGG). Das Beschwerderecht setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der gestellten Rechtsbegehren voraus (s. <ref-ruling> E 1.2). Die rechtsuchende Partei muss eine im konkreten Fall eingetretene Verletzung ihrer Rechte geltend machen (Urteil 5A_709/2019 vom 7. Februar 2020 E. 2.1). Diese Voraussetzung ist nicht erfüllt, soweit der Beschwerdeführer beantragt, die Gesuche der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Scheidungs- und für das Berufungsverfahren abzuweisen. Denn mit dem öffentlichen-rechtlichen Verhältnis zum Gemeinwesen, in das die Beschwerdegegnerin mit der Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege tritt, hat der Beschwerdeführer nichts zu tun. Insofern ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.3. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 und Art 114 BGG). Der selbständig eröffnete Entscheid über ein im Rahmen des Scheidungsverfahrens gestelltes Gesuch um Leistung eines Prozesskostenvorschusses gilt nach der Rechtsprechung als Endentscheid (Art. 90 und Art. 117 BGG; Urteil 5A_422/2018 vom 26. September 2019 E. 1.2 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 und Art. 115 BGG), die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 45 Abs. 1 und Art. 117 BGG).
1.4. Unter den gleichen Voraussetzungen steht die Beschwerde auch gegen den Entscheid offen, mit dem das Obergericht das Begehren des Beschwerdeführers um Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Rechtsmittelverfahren abweist. Dass das Obergericht über das fragliche Begehren nicht als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde nicht entgegen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2).
2.
Der Entscheid über die Gutheissung oder Abweisung eines im Rahmen des Scheidungsverfahrens gestellten Gesuchs um Leistung eines Prozesskostenvorschusses beschlägt eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> (Urteile 5A_482/2019 vom 10. Oktober 2019 E. 2.1; 5A_422/2018 vom 26. September 2019 E. 2.1). Gemäss der zitierten Norm kann mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen - wie im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) - nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen - einschliesslich der vorinstanzlichen Feststellungen über den Ablauf des kantonalen Verfahrens (Prozesssachverhalt; s. dazu <ref-ruling> E. 1.3.1) - kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Für alle Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2.2). Das bedeutet, dass der Schriftsatz die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten muss, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Erlass oder Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2).
Willkür im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 7.1; <ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen). Willkürlich ist ein kantonaler Entscheid ferner dann, wenn ein Gericht ohne nachvollziehbare Begründung von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung abweicht (Urteil 5A_253/2020 vom 25. März 2021 E. 2.1 mit Hinweisen; ferner Urteil 5A_1031/2019 vom 26. Juni 2020 E. 5.1). Wer sich auf eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) berufen will, kann sich demnach nicht darauf beschränken, die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Die rechtsuchende Partei muss vielmehr anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dartun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE <ref-ruling> a.a.O.; <ref-ruling> E. 4b) und auch im Ergebnis in krasser Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE <ref-ruling> a.a.O; <ref-ruling> E. 3.4).
3.
Streitig ist zunächst die Zuständigkeit des Obergerichts, über das Begehren um Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Berufungsverfahren zu entscheiden (vgl. Sachverhalt Bst. B).
3.1. Das Obergericht stellt klar, dass die Verpflichtung zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses "als vorsorgliche Massnahme zu behandeln" sei und bei der Anordnung vorsorglicher Massnahmen während des Scheidungsverfahrens gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law> die materiell- sowie die verfahrensrechtlichen Bestimmungen über die Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft sinngemäss anwendbar seien. Es gelange das summarische Verfahren zur Anwendung und es gelte die eingeschränkte Untersuchungsmaxime (Art. 276 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Im Anschluss an die Beurteilung der Berufung stellt das Obergericht fest, dass die Beschwerdegegnerin auch für das Rechtsmittelverfahren einen Prozesskostenvorschuss verlange und eventualiter die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantrage. Nachdem ihm ein monatlicher Überschuss von Fr. 1'130.-- verbleibe, sei der Beschwerdeführer zu verpflichten, der Beschwerdegegnerin einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs. Er habe im Berufungsverfahren detailliert dargelegt, dass das Obergericht zur Beurteilung des Begehrens betreffend den Prozesskostenvorschuss für das zweitinstanzliche Verfahren nicht zuständig sei, die Beschwerdegegnerin ihren Antrag also beim falschen Gericht gestellt habe. Die Vorinstanz äussere sich in keiner Weise zu seinen Ausführungen und verweise lediglich auf ihre bisherigen Ausführungen betreffend seinen monatlichen Überschuss. Trotz seines entsprechenden Hinweises prüfe sie nicht von Amtes wegen, ob sie zuständig sei. Dadurch verletze sie willkürlich ihre Begründungspflicht (<ref-law> und <ref-law>, beide in Verbindung mit <ref-law>).
3.2.2. Zwar trifft es zu, dass sich das Obergericht nicht ausdrücklich zu seiner Zuständigkeit bzw. zu den diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers äussert. Allerdings schreibt der verfassungsmässige Gehörsanspruch der Behörde auch nicht vor, auf alle aufgeworfenen Punkte einzugehen und jedes einzelne Vorbringen zu widerlegen (<ref-ruling> E. 3.3.1). Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. Ob diese Anforderungen erfüllt sind, beurteilt sich anhand des Ergebnisses des Entscheides, das im Urteilsspruch zum Ausdruck kommt und das allein die Rechtsstellung der betroffenen Person berührt. Die Begründung ist also nicht an sich selbst, sondern am Rechtsspruch zu messen (zum Ganzen <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 4.3.2; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 3.3). Eingedenk dieser Vorgaben hält der angefochtene Entscheid vor <ref-law> stand. Indem die Vorinstanz die Begründetheit des Begehrens um Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Berufungsverfahren prüft und dem Antrag teilweise entspricht, bejaht sie jedenfalls implizite auch ihre Zuständigkeit zur Beurteilung dieser Streitsache. Ob sie damit richtig liegt, ist keine Frage des rechtlichen Gehörs, sondern eine solche der vorinstanzlichen Rechtsanwendung, die das Bundesgericht hier nur auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte hin überprüft (E. 2).
3.3.
3.3.1. Was nun die Frage der Zuständigkeit angeht, beruft sich der Beschwerdeführer auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung. Laut dieser betreffe das Begehren um Leistung eines Prozesskostenvorschusses keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 261 ff. bzw. <ref-law>, sondern einen materiell-rechtlichen Anspruch, der in der familienrechtlichen Unterstützungspflicht gründe (Art. 163 und allenfalls <ref-law>), weshalb er bei dem für Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft zuständigen Gericht einzufordern sei. Das Obergericht habe sich entgegen dieser Rechtsprechung und damit willkürlich als örtlich und sachlich zuständig erklärt und damit auch Art. 59 f. ZPO in willkürlicher Weise verletzt.
3.3.2. Richtig ist, dass die Pflicht eines Ehegatten, dem andern in Rechtsstreitigkeiten durch Leistung von Prozesskostenvorschüssen beizustehen, im materiellen Eherecht wurzelt (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Hingegen äussert sich das Bundesgericht in der vom Beschwerdeführer zitierten Rechtsprechung (Urteile 5A_793/2008 vom 8. Mai 2009 E. 6.2; 5A_687/2016 vom 19. Juli 2017 E. 3; 5A_894/2016 vom 26. Juni 2017 E. 5; 5A_315/2016 vom 7. Februar 2017 E. 11) nicht zur Frage, ob ein Begehren um Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das kantonale Rechtsmittelverfahren eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 261 ff. bzw. <ref-law> betrifft und welches Gericht zur Beurteilung eines solchen Gesuchs allenfalls zuständig ist. In den erwähnten Urteilen stellt das Bundesgericht lediglich klar, dass die Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das bundesgerichtliche Verfahren keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von <ref-law> ist und ein entsprechendes, auf das materielle Zivilrecht gestütztes Gesuch beim zuständigen Sachgericht im kantonalen Verfahren zu stellen ist (s. <ref-ruling> E. 7 mit Hinweisen; vgl. das zit. Urteil 5A_793/2008 a.a.O.). Warum diese Rechtsprechung zum bundesgerichtlichen Verfahren zwingend auch für das hier streitige Begehren der Beschwerdegegnerin um Leistung eines Prozesskostenvorschusses für das Berufungsverfahren gelten sollte, mag der Beschwerdeführer nicht erklären, noch nennt er andere Gründe, die seine Beurteilung der Zuständigkeitsfrage zu stützen vermöchten. Weitere Erörterungen erübrigen sich.
4.
Anlass zur Beschwerde gibt sodann die vorinstanzliche Beurteilung der Frage, ob die Beschwerdegegnerin die Kosten des Scheidungsverfahrens aus eigenen Kräften bestreiten kann.
4.1. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden (<ref-ruling> E. 4.1). Dazu gehören nicht nur die Einkommens-, sondern auch die Vermögensverhältnisse (<ref-ruling> E. 3b). Die tatsächlichen finanziellen Mittel und die finanziellen Verpflichtungen sind gegeneinander aufzuwiegen (<ref-ruling> E. 5.1). Massgebend ist grundsätzlich der Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (a.a.O.). Entsprechend setzt auch die Berücksichtigung von allfälligem Vermögen voraus, dass dieses im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs tatsächlich vorhanden und verfügbar ist (Urteile 5A_863/2017 vom 3. August 2018 E. 3.2; 5A_546/2016 vom 25. Oktober 2016 E. 2; 4A_264/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 3.1; 5A_590/2009 vom 6. Januar 2010 E. 3.1.1).
Die Voraussetzungen des eherechtlichen Anspruchs auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses, auch "provisio ad litem genannt", sind vom gesuchstellenden Ehegatten geltend zu machen; er trägt bezüglich der anspruchsbegründenden Tatsachen die Beweislast (Urteil 5A_716/2021 vom 7. März 2022 E. 3 mit Hinweis). Das Beweismass ist im Verfahren betreffend den Erlass vorsorglicher Massnahmen auf das Glaubhaftmachen beschränkt (Urteil 5A_446/2019 vom 5. März 2020 E. 4.2.4; 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 3.2 mit Hinweisen). Im Übrigen stellt das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen fest (Art. 276 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Im Rahmen dieser sozialen Untersuchungsmaxime trägt das Gericht freilich nicht die Verantwortung für die Sachverhaltsermittlung. Es kann sich darauf beschränken, seine Fragepflicht auszuüben und die Parteien auf ihre Mitwirkungspflicht sowie das Beibringen von Beweisen hinzuweisen. Über die Vollständigkeit der Behauptungen und Beweise hat es sich jedoch zu versichern, wenn diesbezüglich ernsthafte Zweifel bestehen (<ref-ruling> E. 2.3.1 f.).
4.2. Mit Bezug auf die der Beschwerdegegnerin ausgerichteten Sozialhilfeleistungen stellt die Vorinstanz klar, dass der Leistungsentscheid der Sozialhilfebehörde der Stadt Zürich vom 15. April 2020 auch ein Monatsbudget über belegte regelmässige Beträge beinhalte. Dieses Budget sei entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers aktuell, da der Leistungsentscheid den Zeitraum vom 1. April 2020 bis 28. Februar 2021 und damit die für die vorinstanzliche Prüfung der Mittellosigkeit relevante Periode umfasse. Dass die Behörde offensichtlich keine hinreichende Prüfung der weltweiten Einkommens- und Vermögensverhältnisse der Beschwerdegegnerin vorgenommen und sich dabei lediglich auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin gestützt habe, ist laut Vorinstanz eine unbelegte Parteibehauptung. Aus dem aktuellen Leistungsentscheid gehe hervor, dass die Angaben der Beschwerdegegnerin im Unterstützungsantrag belegt gewesen seien. Dass die Beschwerdegegnerin bereits im Januar 2020 zur Rückerstattung zu Unrecht bezogener Leistungen im Betrag von Fr. 20'000.-- verpflichtet wurde, danach aber trotzdem wirtschaftliche Hilfe zugesprochen erhielt, spreche im Übrigen dagegen, dass die Sozialhilfebehörde sich nur auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin stützte und selbst keine Prüfungen vornahm. Nachdem aus dem Entscheid vom 25. November 2020 hervorgehe, dass der Unterstützungsanspruch der Beschwerdegegnerin laufend überprüft wird, bestehe kein Anlass, Abrechnungen der letzten drei Monate einzufordern oder die Akten der Sozialhilfebehörde beizuziehen; Letzteres habe der Beschwerdeführer zudem erstmals im Berufungsverfahren und damit verspätet verlangt. Was das Erwerbseinkommen der Beschwerdegegnerin angeht, bestritt der Beschwerdeführer den vorinstanzlichen Feststellungen zufolge nicht, dass die Beschwerdegegnerin bei einem 50 %-Pensum derzeit monatliche Nettoeinkünfte von Fr. 1'850.-- erzielt. Ein rechtsmissbräuchliches Verhalten, das die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens rechtfertigen könnte, habe der Beschwerdeführer nicht glaubhaft machen können. Dass die Beschwerdegegnerin ihr Einkommen reduziert hätte, um im Scheidungsverfahren in den Genuss eines Prozesskostenvorschusses oder der unentgeltlichen Rechtspflege zu gelangen, behaupte der Beschwerdegegner gar nicht erst, weshalb nicht weiter darauf eingegangen zu werden brauche.
Hinsichtlich des Vermögens der Beschwerdegegnerin hält das Obergericht fest, dass dieses auch im Rahmen der Gewährung von Sozialhilfe berücksichtigt und überprüft werde, weshalb es aufgrund des aktuellen Leistungsentscheids der Sozialhilfebehörde einstweilen glaubhaft erscheine, dass die Beschwerdegegnerin über kein Vermögen verfügt, das sie zur Finanzierung des Scheidungsverfahrens heranziehen könnte. In der Folge äussert sich der angefochtene Entscheid zu verschiedenen Beanstandungen des Beschwerdeführers. Dass sich das Bezirksgericht bezüglich des Fahrzeugs BMW X4, der Eigentumswohnung und der Gesellschaft C._ auf den rechtskräftigen Entscheid betreffend die Leistung eines Prozesskostenvorschusses im Eheschutzverfahren stützte, sei nicht zu beanstanden. In Bezug auf den BMW X4 und die Eigentumswohnung habe der Beschwerdeführer weder neue Umstände vorgebracht noch neue Beweismittel offeriert. Was die Gesellschaft C._ angehe, sei entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers bestritten, dass sich die Beschwerdegegnerin im Jahr 2018 Verwaltungskosten von insgesamt Fr. 130'000.-- selbst ausgezahlt habe. Der Beschwerdeführer anerkenne, dass die Gesellschaft operativ nicht mehr tätig ist, und widerspreche auch der erstinstanzlichen Feststellung nicht, wonach die Beschwerdegegnerin beachtliche Schulden aus der Geschäftstätigkeit glaubhaft gemacht habe. Damit habe es mit der erstinstanzlichen Feststellung sein Bewenden. Die Behauptung des Beschwerdeführers, dass aus der Steuererklärung 2018 der Beschwerdegegnerin auch die seit 2009 in ihrem Eigentum stehende Liegenschaft in China nicht hervorgehe, weist das Obergericht als unzulässiges Novum aus dem Recht.
Ebenso erachtet es die Vorinstanz als glaubhaft gemacht, dass die Beschwerdegegnerin ausstehende Darlehensschulden im Umfang von Fr. 2'800.-- hat, die den Einzahlungen an den Fonds und die Lebensversicherungen in der Höhe von Fr. 3'775.-- gegenüberstehen. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers habe sich das Bezirksgericht auf ins Deutsche übersetzte Bankunterlagen gestützt. Auch der erstinstanzliche Schluss auf weitere Darlehen kann laut Obergericht "nicht als willkürlich bezeichnet werden", nachdem der Beschwerdeführer die Verschuldung der Beschwerdegegnerin lediglich pauschal bestritten und insbesondere keinen Bezug auf die von der Beschwerdegegnerin eingereichten Bankbelege genommen habe. Auch wenn im Zusammenhang mit dem Fonds und den Lebensversicherungen keine Belege vorhanden seien, erscheine die Bejahung der Mittellosigkeit "in diesem Zusammenhang nicht als willkürlich"; selbst wenn die Beschwerdegegnerin vor der Heirat jährlich Fr. 3'775.-- einbezahlt hätte, sei höchst unwahrscheinlich, dass nach Abzug der Darlehensschulden und der Schulden bei der Sozialbehörde von über Fr. 20'000.-- ein über den Notgroschen hinaus bestehender Vermögenswert vorhanden wäre.
Zuletzt schützt das Obergericht auch die erstinstanzliche Abweisung der Editionsanträge des Beschwerdeführers. Dieser habe vor Bezirksgericht keine aktuellen und konkreten Hinweise geltend gemacht, die eine Edition gerechtfertigt hätten, und seine Anträge äusserst rudimentär und vage begründet. Auch im Berufungsverfahren habe er die notwendige Konkretisierung nicht nachgeholt, sondern lediglich seine Vorbringen wiederholt und teilweise ergänzt.
4.3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz Willkür in der Sachverhaltsfeststellung, Beweiswürdigung und Ermessensausübung vor. So bestreitet er, dass der Leistungsentscheid der Sozialhilfebehörde vom 15. April 2020 aktuell sei; die Vorinstanz stelle den Sachverhalt willkürlich fest. Allein mit dieser Behauptung ist nichts gewonnen. Um die Bewertung der vorgelegten Beweismittel, mithin die Beweiswürdigung (Urteil 5A_113/2014 vom 8. Mai 2014 E. 3.1 mit Hinweis) als willkürlich auszuweisen, müsste sich der Beschwerdeführer mit den vorinstanzlichen Erwägungen zur Aktualität des Leistungsentscheids auseinandersetzen. Das tut er nicht. Weiter reklamiert der Beschwerdeführer, aus dem Leistungsentscheid gehe nicht hervor, dass die finanzielle Situation der Beschwerdegegnerin, das heisst ihr gesamtes Einkommen und Vermögen im In- und Ausland, geprüft wurde. Inwiefern die Vorinstanz davon ausgehen könne, dass die Einkommens- und Vermögensverhältnisse vom Sozialamt hinreichend geprüft wurden, sei unerfindlich; es gebe keinerlei Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin dem Sozialamt sämtliche Unterlagen zukommen liess. Das Gebot der freien Beweiswürdigung sei willkürlich verletzt. Die Rüge geht an der Sache vorbei. Die Vorinstanz äussert sich nicht dazu, ob das Sozialamt die finanzielle Situation der Beschwerdegegnerin hinreichend prüfte. Sie stellt den Inhalt des aktuellen Leistungsentscheids fest, laut dem die Angaben der Beschwerdegegnerin im Unterstützungsantrag belegt gewesen seien. Inwiefern diese Feststellung willkürlich ist, tut der Beschwerdeführer nicht dar, noch liefert er eine Erklärung, weshalb die Vorinstanz nicht darauf hätte abstellen dürfen. Nichts anderes gilt mit Bezug auf die vorinstanzliche Erklärung, weshalb nicht davon auszugehen sei, dass sich das Sozialzentrum lediglich auf die Aussagen der Beschwerdegegnerin stützte und selbst keine Prüfungen vornahm. Bloss pauschal zu bestreiten, dass eine umfassende Prüfung der Einkommens- und Vermögensverhältnisse der Beschwerdegegnerin stattgefunden habe, genügt nicht.
Auch was den Fonds und die Lebensversicherungen angeht, tadelt der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid in verschiedener Hinsicht als willkürlich. Nicht einmal im Scheidungsverfahren habe die Beschwerdegegnerin sämtliche Belege betreffend ihre Konti im In- und Ausland eingereicht. Die beigebrachten Unterlagen gäben keinen Aufschluss darüber, um welche Art Fonds und Lebensversicherungen es sich handelt, welche monatlichen Investitionen getätigt wurden und wie hoch der Rückkaufswert sei. Mithin sei ungewiss, wie viele Gelder vorhanden sind bzw. in der Vergangenheit geäufnet wurden, wie lange die Laufzeit des Fonds und der Lebensversicherungen sei und ob noch weitere Fonds oder Lebensversicherungen bestehen. Der Beschwerdeführer verweist auf seine Vorbringen im kantonalen Verfahren und kommt zum Schluss, angesichts der aufgezeigten Unklarheiten verfalle die Vorinstanz in Willkür, wenn sie für Fonds und Lebensversicherungen von einem geäufneten Betrag von Fr. 3'775.-- ausgehe. All diese Beanstandungen laufen ins Leere. Der angefochtene Entscheid fusst auf der Überlegung, es erscheine selbst unter Berücksichtigung vorehelicher jährlicher Einzahlungen von Fr. 3'775.-- als höchst unwahrscheinlich, dass nach Abzug der Darlehensschulden und der Schulden beim Sozialamt von über Fr. 20'000.-- ein über den Notgroschen hinaus bestehendes Vermögen vorhanden wäre. Auf dieses Element der vorinstanzlichen Beweiswürdigung geht der Beschwerdeführer nicht ein. Weitere Erörterungen erübrigen sich.
Nach alledem ist auch der weiteren Rüge der Boden entzogen, wonach die Vorinstanz über die fehlende Mitwirkung der Beschwerdegegnerin hinwegsehe und die Vorschriften über die Mitwirkungspflicht (Art. 160 Abs. 1 Bst. b und <ref-law>) willkürlich anwende, indem sie Mittellosigkeit trotz offensichtlich ungenügender Angaben zur Einkommens- und Vermögenssituation der Beschwerdegegnerin bejahe. Die Frage, ob die Beschwerdegegnerin ihrer Mitwirkungspflicht hinreichend nachkam bzw. ob die Vorinstanz die diesbezüglichen Normen willkürlich anwendet, stellt sich nur und erst dann, wenn der Beschwerdeführer in einem ersten Schritt das vorinstanzliche Beweisergebnis als willkürlich ausweist (vgl. Urteil 5A_340/2021 vom 16. November 2021 E. 6.3.2). Letzteres aber gelingt dem Beschwerdeführer nicht, wie die vorigen Erwägungen zeigen.
5.
Anlass zur Beschwerde gibt im Zusammenhang mit der Beurteilung der Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers der Entscheid der Vorinstanz, auf eine Rückweisung an das Bezirksgericht zu verzichten.
5.1. Nach Art. 318 Abs. 1 Bst. c ZPO kann die Berufungsinstanz die Sache an die erste Instanz zurückweisen, wenn ein wesentlicher Teil der Klage nicht beurteilt wurde (Ziff. 1) oder der Sachverhalt in wesentlichen Teilen zu vervollständigen ist (Ziff. 2). Als "Kann-Vorschrift" ausgestaltet, verweist die zitierte Norm auf das pflichtgemässe Ermessen der Berufungsinstanz. Eine Prozesspartei hat also grundsätzlich keinen Rechtsanspruch darauf, dass die Berufungsinstanz einen Rückweisungsentscheid fällt. In den Augen des Gesetzgebers soll die Zurückweisung eine Ausnahme sein, da der Prozess sonst unnötig verlängert wird (Urteil 5A_424/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 4.2 mit Hinweisen). Eine Rückweisung zur Vervollständigung des Sachverhalts (Art. 318 Abs. 1 Bst. c Ziff. 2 ZPO) wird im Schrifttum nur in jenen Fällen befürwortet, in denen die Berufungsinstanz ein ausgedehntes Beweisverfahren durchführen müsste. Hingegen erübrige sich eine Rückweisung, wenn lediglich die Abnahme einzelner Beweismittel in Frage steht und das noch durchzuführende Beweisverfahren keinen grossen Aufwand erfordert, denn diesfalls treffe es regelmässig nicht zu, dass der Sachverhalt, der sich primär aus den Parteivorträgen vor erster Instanz ergibt, in wesentlichen Teilen zu vervollständigen ist (PETER REETZ/SARAH HILBER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl., 2016, N 36 zu <ref-law>; ähnlich THOMAS STEINIGER, in: Brunner et al. [Hrsg.], ZPO Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, 2. Aufl., 2016, N 7 zu <ref-law>).
5.2. Im konkreten Fall widerspricht das Obergericht der erstinstanzlichen Beurteilung, wonach der Beschwerdeführer über hinreichend liquides Vermögen verfüge, um der Beschwerdegegnerin die Prozesskosten vorzuschiessen; dies sei nicht glaubhaft, weshalb sich die Berufung insoweit als begründet erweise. In der Folge stellt sich dem Obergericht die vom Bezirksgericht offengelassene Frage, ob der Beschwerdeführer seiner Frau aus seinem laufenden Einkommen einen Prozesskostenvorschuss bezahlen kann. Nachdem die Parteien im vorinstanzlichen Verfahren dazu plädiert hätten, könne es, das Obergericht, als Berufungsinstanz darüber befinden, "ohne die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 318 Abs. 1 lit. c Ziff. 2 ZPO e contrario) ".
5.3. Der Beschwerdeführer beruft sich auf seine Vorbringen vor erster Instanz, denen zufolge er mit seinem Einkommen seinen Bedarf und denjenigen seiner zwei Kinder nicht bzw. lediglich knapp decken kann. Das Bezirksgericht sei seinen Ausführungen gefolgt, weshalb es die Leistungsfähigkeit schliesslich mit seinem Vermögen zu begründen versucht habe. Er habe in keiner Weise damit rechnen können, dass das Obergericht nun auf sein Einkommen abstellt, weshalb er auch keinen Anlass gehabt habe, aktuelle Belege zu seinem Einkommen einzureichen, insbesondere darüber, dass er bei der D._ GmbH keinen Lohn mehr erzielt. Das Obergericht hätte ihm, dem Beschwerdeführer, zumindest Gelegenheit geben müssen, sich dazu zu äussern. Indem es dies jedoch nicht tat und zum Schluss kam, dass er über ein ausreichendes monatliches Nettoeinkommen von angeblich rund Fr. 11'500.-- verfüge, wende die Vorinstanz Art. 318 Abs. 1 Bst. c Ziff. 2 ZPO willkürlich an. Ausserdem stelle sie den Sachverhalt willkürlich fest, überschreite willkürlich ihr Ermessen und verletze erneut sein rechtliches Gehör (<ref-law>).
5.4. Laut Vorinstanz liess das Bezirksgericht gerade offen, ob dem Beschwerdeführer aus seiner Geschäftstätigkeit bei der D._ GmbH ein Einkommen angerechnet werden kann. Gegen diese Feststellung zum Prozesssachverhalt (E. 2) kommt der Beschwerdeführer nicht auf, wenn er ohne weitere Erklärungen einfach behauptet, dass das Bezirksgericht bezüglich seiner Einkommenssituation seinen Vorbringen gefolgt sei. Auch die vorinstanzliche Erkenntnis, dass sich die Parteien vor erster Instanz in ihren Parteivorträgen zum Sachverhalt geäussert hätten, stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede. Weshalb der Entscheid des Obergerichts, unter den gegebenen Umständen von einer Rückweisung abzusehen, trotzdem einer willkürlichen Ausübung des Ermessens gleichkommen soll, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Genau genommen stört sich der Beschwerdeführer - unter dem Titel einer Gehörsverletzung - hauptsächlich daran, dass die Berufungsinstanz ihn im Hinblick auf die beabsichtigte Prüfung des von der D._ GmbH ausbezahlten Lohns nicht zur Stellungnahme einlud und ihm damit die Möglichkeit nahm, aktuelle Belege zu seinem Lohn beizubringen. Allein mit der Beteuerung, dass er vom Vorgehen der Vorinstanz überrascht worden sei, vermag der Beschwerdeführer das Bundesgericht freilich nicht zu gewinnen. Nachdem das Bezirksgericht die Frage der Einkünfte aus der Geschäftstätigkeit bei der D._ GmbH offenliess, durfte der Beschwerdeführer nicht darauf vertrauen, dass es damit auch im Berufungsverfahren sein Bewenden haben würde, zumal er sich vor Obergericht ja gerade dagegen wehrte, den Prozesskostenvorschuss aus seinem Vermögen bezahlen zu müssen. Dazu kommt, dass die Beschwerdegegnerin auch vor Obergericht ein Begehren um Leistung eines Prozesskostenvorschusses stellte (s. Sachverhalt Bst. B). Weshalb er angesichts dieses separaten Verfahrens keinen Anlass hatte, auch für die Zwecke seiner Berufung aktuelle Belege zu seinem Einkommen vorzulegen, mag der Beschwerdeführer nicht erklären, noch behauptet er, dass er solcherlei unternommen hätte und damit von der Vorinstanz nicht gehört worden wäre.
6.
Im Ergebnis ist die Beschwerde unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die sich dem Gesuch um aufschiebende Wirkung widersetzte, mit ihrem Antrag jedoch unterlag, ist keine Parteientschädigung geschuldet. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen. Wie die Begründung der Präsidialverfügung vom 18. Oktober 2021 (s. Sachverhalt Bst. C) zeigt, muss ihr Begehren um Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung als von Anfang an aussichtslos gelten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn