Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1972) und B.A._ (geb. 1970) heirateten 2010 in U._. Sie sind die Eltern von C.A._ (geb. 2003) sowie des von der Ehefrau mit in die Ehe gebrachten und vom Ehemann adoptierten bereits volljährigen Sohnes D.A._ (geb. 1997). Die genannten Familienmitglieder sind allesamt Staatsbürger von Grossbritannien und besassen bzw. besitzen bis mindestens am 6. November 2018 bzw. 6. November 2023 (Ehefrau) eine für die ganze Schweiz gültige Aufenthaltsbewilligung B.
A.b. Am 21. August 2017 (Trennungsdatum) reichte der Ehemann ein Eheschutzbegehren und die Ehefrau daraufhin eine Widerklage beim Kreisgericht Rheintal ein.
A.c. Zuvor, am 17. August 2017, beantragte der Ehemann beim High Court of Justice V._ die Scheidung.
A.d. Soweit vor Bundesgericht von Relevanz, entschied das Kreisgericht am 22. Januar 2018, dass C.A._ in der gemeinsamen elterlichen Sorge bleibe, wobei er unter die alleinige Obhut des Vaters gestellt werde. Der Vater habe für den Unterhalt von C.A._ in vollem Umfang selber aufzukommen. Ebenfalls wurde er zur Leistung von Ehegattenunterhalt verpflichtet.
A.e. Am 26. Februar 2018 kamen die Zwillinge B._ und C._ durch eine Leihmutterschaft in W._ zur Welt. Ein in der Schweiz anerkanntes Kindesverhältnis zu den Ehegatten, jedenfalls zur Ehefrau, besteht nicht.
B.
B.a. Gegen den Entscheid des Kreisgerichts erhob A.A._ Berufung beim Kantonsgericht St. Gallen (Eingang 21. Februar 2018). Er beantragte unter anderem, die Ehefrau sei zu verpflichten, Ehegatten- und Kindesunterhalt (für C.A._ und die Zwillinge) zu bezahlen. B.A._ beantragte die Abweisung der Berufung, soweit darauf eingetreten werden könne.
B.b. Am 9. August 2018 sprach der High Court of Justice V._ die Scheidung aus. Das Kantonsgericht wies den daraufhin erfolgten Antrag des Ehemannes um Abschreibung des Verfahrens mit Zwischenentscheid vom 28. November 2018 ab und bejahte die Zuständigkeit der St. Galler Gerichtsbehörden für die Regelung der Eheschutzmassnahmen.
B.c. Die Ehefrau reichte am 26. November 2018 vor dem Kreisgericht Rheintal Klage auf Ergänzung des Scheidungsurteils ein und beantragte vorsorgliche Massnahmen.
B.d. Soweit vorliegend relevant, legte das Kantonsgericht mit Entscheid vom 22. Mai 2020 die monatlichen Beträge an den persönlichen Unterhalt der Ehefrau wie folgt fest (Disp.-Ziff. 2) :
- Fr. 2'032.-- ab 1. September 2017 bis 31. Oktober 2017
- Fr. 1'952.-- ab 1. November 2017 bis 31. Dezember 2017
- Fr. 1'752.-- ab 1. Januar 2018 bis 31. Mai 2018
- Fr. 1'056.-- ab 1. Juni 2018 bis 30. November 2018
Im Übrigen wies es die Berufung ab (Disp.-Ziff. 3).
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juni 2020 gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht und beantragt die Abänderung von Disp.-Ziff. 2 und 3 des kantonsgerichtlichen Entscheids. Die Beschwerdegegnerin sei zur Leistung von persönlichen Unterhaltsbeiträgen an den Beschwerdeführer zu verpflichten (Fr. 857.-- pro Monat vom 1. November 2017 bis 26. Februar 2018; Fr. 1'044.50 pro Monat ab 27. Februar 2018 bis 3. Juli 2018; Fr. 536.60 pro Monat ab 4. Juli 2018 bis 30. November 2018). Weiter sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, an den Kindesunterhalt von C.A._ monatlich Fr. 760.-- zu bezahlen, wobei jeweils der Mankobetrag festzuhalten sei (Fr. 35.-- ab 1. November 2017 bis 26. Februar 2018; Fr. 2'265.-- ab 27. Februar 2018 bis 30. November 2018). Ferner seien die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens vollumfänglich auf die Staatskasse zu nehmen. Eventualiter sei die Sache zur Sachverhaltsergänzung und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.b. Im Übrigen ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung des ihn vertretenden Rechtsanwalts als unentgeltlicher Rechtsvertreter.
C.c. Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (<ref-law>) geurteilt hat. Vor Bundesgericht steht nur die Unterhaltsfrage und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache im Streit (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_341/2018 vom 21. September 2018 E. 1.1). Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Eheschutzentscheide gelten als Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 5 S. 396). Mit der Beschwerde gegen solche Entscheide kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das bedeutet, dass der Schriftsatz der rechtsuchenden Partei die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten muss, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Wird eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend gemacht, reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
Daraus folgt unter anderem, dass der Beschwerdeführer nicht zu hören ist, soweit er die Verletzung von Gesetzesbestimmungen rügt.
2.2. Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt ebenfalls nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f.), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat. Um mit dem Vorwurf einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung durchzudringen, muss der Beschwerdeführer deshalb nachweisen, dass das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, dass es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder dass es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der rechtsuchenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 4.4 S. 444; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; je mit Hinweisen).
2.3. Sodann dürfen neue Tatsachen und Beweismittel vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden (Urteil 5A_791/2017 vom 17. Juli 2018 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind, sind im Verfahren vor dem Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich nicht zu beachten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 22; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; je mit Hinweisen).
3.
Der Streit dreht sich um den Kindes- bzw. Ehegattenunterhalt.
3.1. Der Beschwerdeführer beanstandet in diesem Zusammenhang vorab den vom Kantonsgericht festgestellten Sachverhalt betreffend den Aufenthalt der Ende Februar 2018 in W._ durch Leihmutterschaft zur Welt gekommenen Zwillinge C._ und B._.
3.2. Das Kantonsgericht erwog hinsichtlich der Leihmutterzwillinge, dass diese weder von der Ehefrau geboren noch adoptiert geworden seien. Zudem sei weder die Ehelichkeit der Kinder erstellt, noch dass sie in der Schweiz anerkannt worden seien resp. ein Kindesverhältnis zu den Ehegatten, jedenfalls nicht zur Ehefrau, bestehe. Deshalb könnten die Leihmutterzwillinge nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sein. Ob der Ehemann vom Staat V._ für die Zwillinge Kindergeld erhalte, sei in diesem Zusammenhang irrelevant. Was den Aufenthalt der Zwillinge angeht, führt das Kantonsgericht aus, sei es unklar, wo sich die Zwillinge während der hier zur Diskussion stehenden Zeit (von der Geburt bis November 2018) aufgehalten hätten und wer sie effektiv betreut hätte. Einen Wohnsitz in der Schweiz hätten sie nicht begründen können. Sie dürften sich möglicherweise in W._ aufgehalten haben. So sei in den Akten einmal die Rede von einer Partnerin gewesen.
3.3. Der Beschwerdeführer bringt vor, er habe im kantonsgerichtlichen Verfahren zusätzlich zu seinen Stellungnahmen mehrere Beweismittel ins Recht gelegt (so act. 40, act. 90/91 und act. 141), welche darlegten, dass der Beschwerdeführer für die Zwillinge C._ und B._ aufkomme und die Betreuung selbst übernehme. Hervorzuheben sei, so der Beschwerdeführer, dass diese Aussagen von der Beschwerdegegnerin nie bestritten worden seien, was die Auffassung des Beschwerdeführers beweise. Gestützt darauf habe der Beschwerdeführer nach Treu und Glauben davon ausgehen dürfen, dass dieser Punkt unbestritten sei. Die gegenteilige Annahme des Kantonsgerichts auf Seite 12, 15 und unter anderem auch sinngemäss 16-17 stelle eine Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> dar. Das rechtliche Gehör sei "krass" verletzt. Das Kantonsgericht habe unbestrittene Tatsachen - ohne nähere Abklärung - anders und falsch gewürdigt, was gegen das Willkürverbot gemäss <ref-law> und auch gegen <ref-law> verstosse. Das Kantonsgericht habe zudem <ref-law> verletzt, da es seiner Sachverhaltsermittlungspflicht nicht ausreichend nachgekommen sei. Da es die "Einbringungen" der Parteien in stossender Weise willkürlich gewürdigt habe, habe sie zusätzlich gegen <ref-law> verstossen. Das Kantonsgericht habe selbst keinerlei "Sachverhaltserkundungen" "angestellt" und auch den unbestritten dargelegten Sachverhalt im erstinstanzlichen Urteil ignoriert.
3.4. Die Rügen des Beschwerdeführers sind unbegründet. Bei den von ihm angesprochenen und vor Kantonsgericht eingereichten Unterlagen handelt es sich um einen auf Englisch und (wohl) auf W._ verfassten Leihmuttervertrag sowie um eine Bestätigung der Regierung V._ betreffend Kinderzulagen (Child Benefit). Zusätzlich geht es um (apostillierte) öffentliche Urkunden einer Behörde in W._, wobei sich darunter eine auf Englisch übersetzte Geburtsurkunde von B._ befindet. Mit diesen Unterlagen legt der Beschwerdeführer nicht rechtsgenüglich dar, dass er sich im fraglichen Zeitraum um die Zwillinge gekümmert hat. Unter diesen Umständen ist bei der kantonsgerichtlichen Würdigung der Unterlagen keine Willkür auszumachen. Ebenso ist eine Gehörsverletzung auszuschliessen, zumal das Kantonsgericht die wesentlichen Gesichtspunkte seiner Überlegungen deutlich dargelegt hat (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41). Sodann vermögen auch die dem Bundesgericht eingereichten Unterlagen nicht weiterzuhelfen, zumal es der Beschwerdeführer unterlässt geltend zu machen, dass es sich hier ausnahmsweise um zulässige Noven handelt (vgl. E. 2.3). Schliesslich sind bei den weiteren Rügen Gesetzesbestimmungen betroffen, weshalb darauf nicht einzutreten ist (vgl. E. 2.1).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer übt in Bezug auf die Unterhaltsberechnung sodann Kritik an der Anrechnung eines hypothetischen Einkommens durch das Kantonsgericht.
4.1.1. Das Kantonsgericht erwog, der Nettolohn des Beschwerdeführers in Höhe von Fr. 8'400.-- (inkl. 13. Monatslohn) bei einem 100 %-Pensum sei an sich von den Parteien unbestritten. Strittig sei einzig, ob es dem Beschwerdeführer zumutbar sei, als Alleinerziehender einer Erwerbstätigkeit nachzugehen resp. ob es verhältnismässig sei, seine bisherige aufzugeben. Der Beschwerdeführer habe hierzu einzig geltend gemacht, es sei ihm zufolge Kinderbetreuung keine Erwerbstätigkeit mehr zumutbar. Im Sinne aktueller bundesgerichtlicher Rechtsprechung sei es im Normalfall dem hauptbetreuenden Elternteil ab dem Eintritt des Kindes in die Sekundarstufe I zumutbar einer Erwerbstätigkeit zu 80 % nachzugehen sowie zu 100 % ab Vollendung des 16. Lebensjahres. Gleichermassen Beachtung finde das Kontinuitätsprinzip und damit die Weiterführung der bisher gelebten Rollen. Im Trennungsfall könnten die Eltern für eine gewisse Zeit auf das bisher Gelebte behaftet werden. Weiter führt das Kantonsgericht mit Verweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (namentlich <ref-ruling> E. 4a S. 5 f.) aus, dass bei der Festsetzung von Unterhaltsbeiträgen vom tatsächlichen Leistungsvermögen des Pflichtigen abgewichen und stattdessen von einem hypothetischen Einkommen ausgegangen werden dürfe, falls und soweit der Pflichtige bei gutem Willen bzw. bei ihm zuzumutender Anstrengung mehr zu verdienen vermöchte, als er effektiv verdient. Weshalb der Unterhaltspflichtige auf das ihm angerechnete höhere Einkommen verzichte, sei im Prinzip unerheblich. Die gesetzliche Unterhaltspflicht habe zur Folge, dass der Pflichtige - wie hier - alles in seiner Macht Stehende unternehmen und insbesondere seine wirtschaftliche Leistungsfähigkeit voll ausschöpfen müsse, um das erforderliche Einkommen zu generieren.
Der Beschwerdeführer habe, so das Kantonsgericht weiter, seine Arbeitsstelle bei der D._ unbestrittenermassen freiwillig mittels Aufhebungsvertrag vom 31. Oktober 2017 beendet. Der Beschwerdeführer gebe selbst an, dass er sich bereits vor der Trennung um den Haushalt und die Kinderbetreuung während der Ehe gekümmert habe, weil er aufgrund längerer Projektpausen und teilweisen Arbeitens von zuhause aus viel Zeit zuhause verbracht habe. Als der Beschwerdeführer sich alsdann von Februar 2018 bis Juni 2018 im Ausland aufgehalten habe, habe er die Betreuung von C.A._ durch eine Bekannte sicherzustellen gewusst. Zudem habe gemäss Angaben des Beschwerdeführers auch die deutsche Grossmutter während seiner Abwesenheit die Betreuung des Jugendlichen über Monate hinweg wahrgenommen. Daraus lasse sich schliessen, dass die geltend gemachte vorübergehende gesundheitliche Beeinträchtigung von C.A._ für den Beschwerdeführer nicht derart gravierend gewesen sei, dass er es für nötig gehalten habe, dessen Betreuung persönlich wahrzunehmen, entgegen dem, was er in seinen Eingaben glauben machen wolle. Er habe offensichtlich die Betreuung des Jugendlichen auch nach der Trennung vollumfänglich zu gewährleisten gewusst, auch wenn er für längere Zeit abwesend gewesen sei. Die bisherige Erwerbstätigkeit - bei welcher er offenbar auch wochenlang abwesend gewesen sei - sei dem Beschwerdeführer daher ohne Weiteres zumutbar gewesen und immer noch zumutbar. Der Grund für seine Abwesenheit, sei er beruflicher oder anderer Art, spiele dabei keine Rolle. Er habe sich mit Freunden und Familie organisieren können, um die Betreuung von C.A._ zu gewährleisten. Eine Nanny sei für den Jugendlichen somit auch unnötig gewesen. Eine allfällige Kinderbetreuung sei allenfalls für die Leihmutterzwillinge in Anspruch zu nehmen. Die Angaben des Beschwerdeführers betreffend Nanny würden zeigen, dass er selber davon ausgehe, dass diese nicht von ihm vollumfänglich persönlich zu betreuen wären. Unklar sei - wie bereits erwähnt (vgl. E. 3.2) -, wo sich die Zwillinge während der hier zur Diskussion stehenden Zeit (von der Geburt Ende Februar 2018 bis November 2018) aufgehalten hätten bzw. von wem sie effektiv betreut worden seien. Möglicherweise hätten sie sich in W._ aufgehalten. Weiter sei die Arbeitstätigkeit des Beschwerdeführers offensichtlich örtlich nicht an die Schweiz gebunden. Der bisherige Lohn von Fr. 8'400.-- sei exklusiv Kinderzulagen und Spesen. Es wäre Sache des Beschwerdeführers seine Situation vollumfänglich offenzulegen, um vorliegend näher darauf eingehen zu können. Dies sei aufgrund der undurchsichtigen Angaben nicht möglich. Nicht nur die bisherige Erwerbstätigkeit sei dem Beschwerdeführer daher zumutbar, sondern auch das bisherige Pensum. Es habe sich gezeigt, dass er trotz Obhut über C.A._ im Stande sei, die Betreuung für den Jugendlichen zu gewährleisten. Der freiwillige Verzicht auf Einkommen könne nicht hingenommen werden. Ebenso sei nicht dargetan, dass die Betreuung der Zwillinge eine Erwerbstätigkeit hätte verhindern müssen. Das von der Erstinstanz angenommene hypothetische Einkommen von Fr. 8'400.-- (inkl. 13. Monatslohn, exkl. Kinderzulagen, exkl. Spesen) sei zu übernehmen.
4.1.2. Der Beschwerdeführer stösst sich im Wesentlichen daran, dass das Kantonsgericht die Festsetzung des hypothetischen Einkommens damit begründe, dass sich nichts geändert habe bzw. der Beschwerdeführer bereits während der Ehe C.A._ betreut habe. Das Kantonsgericht lasse dabei völlig ausser Acht, dass sich der Beschwerdeführer "unbestritten" neben dem Sohn C.A._ zusätzlich um die Betreuung und Erziehung der Ende Februar 2018 geborenen Zwillinge habe kümmern müssen. Diese Vorgehensweise sei "krass" willkürlich und verstosse gegen <ref-law>, <ref-law> sowie Art. 6 EMRK.
Die Rüge des Beschwerdeführers geht fehl. So hielt das Kantonsgericht fest, es sei unklar, wo sich die Zwillinge während des für das vorliegende Verfahren massgebenden Zeitraums aufgehalten hätten (vgl. E. 3.2). Gestützt auf diesen von der Vorinstanz verbindlich festgestellten Sachverhalt (vgl. E. 2.2) ist keine Rechtsverletzung auszumachen.
Damit ist auch den weiteren Argumenten des Beschwerdeführers, wonach er sein Arbeitsverhältnis im Hinblick auf die Geburt der Zwillinge nicht habe weiterführen können und ihm gemäss der "10/16-Regel" infolge Kleinkinderbetreuung keine Erwerbstätigkeit zumutbar sei, die tatsächliche Grundlage entzogen. Das Gleiche gilt für die Rüge, wonach Art. 8 EMRK verletzt worden sei, da vom Beschwerdeführer verlangt werde, die Zwillinge in "ein Heim oder ähnliches abzugeben", damit er in der Schweiz als externer Unternehmensberater mit 100 % Reisetätigkeit erwerbstätig sein könne.
Inwiefern ein Verstoss gegen Art. 6 EMRK vorliegen könnte, erklärt der Beschwerdeführer mit keinem Wort, womit die Begründungsanforderungen nicht erfüllt sind (vgl. E. 2.1). Darauf ist nicht einzutreten.
4.1.3. Der Beschwerdeführer führt weiter aus, dass selbst wenn man die neugeborenen Zwillinge vollständig ausser Acht lassen würde, es dem Beschwerdeführer bis zum 28. Februar 2018 (Geburt Zwillinge) gestützt auf die 10/16-Regel gemäss der alten bundesgerichtlichen Rechtsprechung lediglich ein 60 %-Pensum und nach dem neuen Schulstufenmodell ein 80 %-Pensum zumutbar gewesen wäre, da der Sohn C.A._ sein 16. Lebensjahr in dieser Zeitspanne noch nicht vollendet habe. Somit entbehre das Urteil der Vorinstanz jeglicher rechtlicher Grundlage.
Der Beschwerdeführer übergeht, dass das Kantonsgericht das Vollzeitpensum auf der Grundlage des sog. Kontinuitätsprinzips (vgl. <ref-ruling> E. 4.5 S. 489 f. und E. 4.7 S. 493 f.) angenommen hat (vgl. E. 4.1.1). Mit dieser Erwägung setzt sich der Beschwerdeführer jedoch nicht auseinander, weshalb es ihm auch nicht gelingt, eine Verfassungsverletzung aufzuzeigen (vgl. E. 2.1).
4.1.4. Zudem moniert der Beschwerdeführer, das Kantonsgericht habe ihm ein hypothetisches Einkommen unter anderem deshalb angerechnet, weil er die persönliche Betreuung von C.A._ nicht wahrgenommen habe, obwohl er dies ja mangels Aufenthaltsbewilligung für die Schweiz gar nicht hätte tun können. Dieses Vorgehen verstosse gegen <ref-law>. Der Beschwerdeführer missversteht den angefochtenen Entscheid. So hat das Kantonsgericht dem Beschwerdeführer deswegen ein hypothetisches Einkommen angerechnet, weil er die Betreuung des Sohnes trotz längerer Abwesenheiten habe organisieren können. Willkür ist nicht dargetan.
4.1.5. Der Beschwerdeführer bezeichnet auch die Annahme eines hypothetischen Einkommens auf Schweizer Niveau als willkürlich, weil seine Aufenthaltsbewilligung B per 6. November 2018 aufgehoben sei. Dass er diese Überlegung bereits im kantonalen Verfahren vorgetragen hat, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist auch nicht ersichtlich. Mangels Ausschöpfung des Instanzenzuges (<ref-ruling> E. 1.1 S. 292 f.) ist auf dieses Vorbringen nicht einzutreten.
4.2. Strittig ist überdies die kantonsgerichtliche Berechnung des Einkommens der Beschwerdegegnerin.
4.2.1. Im angefochtenen Entscheid wurde der Beschwerdegegnerin bis Dezember 2017 ein Einkommen basierend auf einem 30 %-Pensum, ab Januar 2018 bis Mai 2018 auf einem 60 %-Pensum und ab 1. Juni 2018 auf einem solchen von 100 % angerechnet.
4.2.2. Der Beschwerdeführer beschwert sich darüber, dass der Beschwerdegegnerin lediglich schrittweise ein erhöhtes Pensum mit entsprechender Entlöhnung angerechnet und namentlich erst ab dem 1. Juni 2018 ein Vollzeitpensum verlangt werde. Dies obwohl die Beschwerdegegnerin bereits ab dem 1. September 2017 keine Kinderbetreuung mehr habe wahrnehmen müssen. Es werde ihr ohne Begründung eine lange Übergangsfrist eingeräumt. Von ihm werde demgegenüber verlangt, dass er schon ab dem 1. September 2017 einem Vollzeitpensum nachgehe. Dies verstosse gegen den Grundsatz der Gleichbehandlung im Sinne von <ref-law> und Art. 14 EMRK i.V.m. <ref-law> sowie gegen den Grundsatz der Festlegung von Unterhaltsbeiträgen nach der Leistungsfähigkeit der Ehegatten (im Sinne von <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer habe die Geburt der Zwillinge in W._ alleine vorbereiten müssen, sich um sämtliche Dokumente für die Einreise kümmern und auch eine neue Familienwohnung suchen müssen. Trotz dieser Umstände sei ihm keine Übergangsfrist gewährt worden. Dies im Gegensatz zur Beschwerdegegnerin, welche sich aus der ganzen Verantwortung gezogen habe. Dies sei "krass" willkürlich. Eine Ungleichbehandlung im Sinne der Verfassung bzw. Konvention liege vor, wenn ohne rechtfertigende sachliche Gründe gegen den Grundsatz des Gleichheitsgebots verstossen werde. Dies liege vorliegend klarerweise vor. Selbst wenn man die Zwillinge nicht miteinbeziehe, sei zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer sich habe um den gemeinsamen Sohn C.A._ kümmern müssen. Zudem habe er infolge Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung die Schweiz verlassen und eine neue Existenz aufbauen müssen.
Die Rügen des Beschwerdeführers sind unbegründet. Der Beschwerdegegnerin wurde eine Übergangsfrist eingeräumt, da sie bis zu diesem Zeitpunkt - im Gegensatz zum Beschwerdeführer - nur in einem tiefen Pensum gearbeitet hatte. Die Einräumung einer Übergangsfrist entspricht ständiger Gerichtspraxis. Die betreffende Partei soll hinreichend Zeit haben, um die rechtlichen Vorgaben in die Wirklichkeit umsetzen zu können (<ref-ruling> E. 2.2 S. 421 mit Hinweis). Im Übrigen gehen die Ausführungen des Beschwerdeführers an der Sache vorbei. So ist es in unterhaltsrechtlicher Hinsicht unerheblich, dass die Geburt der Zwillinge für ihn offenbar mit viel Aufwand verbunden war. Da er bereits im Vollzeitpensum beschäftigt war, muss auch keine Übergangsfrist eingeräumt werden. Das Kantonsgericht hat bei der Bemessung des Einkommens der Beschwerdegegnerin weder den Gleichbehandlungsgrundsatz (<ref-law>) noch das Willkürverbot (<ref-law>) verletzt.
4.3. Der Beschwerdeführer bemängelt ausserdem, dass das Kantonsgericht den Sachverhalt falsch festgestellt habe, da die Beschwerdegegnerin die Kinderzulagen bezogen, aber dem Beschwerdeführer nicht überwiesen habe. Bei den kantonsgerichtlichen Einkommensberechnungen werden die monatlichen Kinderzulagen von Fr. 200.-- bei C.A._ als Einkommen angerechnet. Wer diese Kinderzulagen effektiv bezieht, geht aus dem angefochtenen Urteil nicht hervor. Im Übrigen ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer diese Rüge bereits vor dem Kantonsgericht vorgebracht hat, weshalb mangels Ausschöpfung des Instanzenzuges ohnehin nicht darauf einzutreten ist (vgl. E. 4.1.5).
4.4. Umstritten ist darüber hinaus die Bedarfsberechnung des Kantonsgerichts.
4.4.1. Der Beschwerdeführer argumentiert, das Kantonsgericht habe gegen <ref-law> und Art. 6 EMRK verstossen, da es bei der Bedarfsberechnung die Zwillinge nicht berücksichtigt habe. Es sei zwar richtig, dass die Leihmutterschaft in der Schweiz verboten sei. Jedoch sei es gestützt auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 5 S. 246 ff.; <ref-ruling> E. 5 S. 474 ff.) nicht mit <ref-law> vereinbar, eine auf diese Art entstandene Familienbande unberücksichtigt zu lassen. Ausserdem erachtet es der Beschwerdeführer als "krass" willkürlich, dass von ihm weiterhin verlangt werde, eine unentgeltliche Kinderbetreuung (durch die Grossmutter oder Bekannte) sicherzustellen bzw. keine Fremdbetreuungskosten angerechnet werden.
Der Beschwerdeführer übersieht erneut, dass es gemäss den kantonsgerichtlichen Sachverhaltsfeststellungen unklar ist, wo sich die Zwillinge im einschlägigen Zeitraum aufgehalten haben bzw. von wem sie betreut wurden (vgl. E. 3.2). Soweit die Betreuungssituation unbelegt ist, kann auch deren fehlende Berücksichtigung in der Bedarfsberechnung nicht beanstandet werden. Immerhin hat das Kantonsgericht - im Gegensatz zur Erstinstanz - Fr. 200.-- monatlich für die Betreuung angerechnet mit der Überlegung, dass im Ausland in der Regel von deutlich tieferen Auslagen profitiert werden könne. Es sei, so das Kantonsgericht, infolge der Nichtoffenlegung der konkreten Zahlen trotz Nachfrage davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer in der Lage sei, für die Unterhaltskosten, insbesondere auch jene der Zwillinge (zumindest für den hier zur Diskussion stehenden relativ kurzen Zeitraum) aufzukommen. Inwiefern diese Erwägungen willkürlich sein sollen, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen. Die Rüge schlägt fehl.
4.4.2. Schliesslich wendet sich der Beschwerdeführer gegen weitere Bedarfs- bzw. Einkommenspositionen, übersieht dabei aber einmal mehr, dass im vorliegenden Verfahren lediglich Verfassungsverletzungen gerügt werden können (vgl. E. 2.1). Insofern er also die Verletzung von Art. 8, Art. 176 und <ref-law> geltend macht, ist er nicht zu hören. Was <ref-law> und <ref-law> anbelangt, genügt er den Substantiierungsanforderungen - wenn überhaupt - nur knapp, zumal er deren Verletzung pauschal am Ende seiner Ausführungen anführt (vgl. E. 2.1).
Im Einzelnen stört er sich an der Feststellung des Kantonsgerichts, wonach sich der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin mit ihrem volljährigen Sohn zusammenwohnt, nicht auf den Grundbetrag auswirke, da das Zusammenleben mit einem volljährigen Kind in der Regel nicht auf Dauer ausgelegt sei. Das Kantonsgericht lasse dabei unberücksichtigt, dass es sich um eine Unkostengemeinschaft handle und der Grundbetrag daher (von Fr. 1'230.--) auf Fr. 1'050.-- herabzusetzen sei. Weshalb die nachvollziehbare Begründung des Kantonsgerichts jedoch als geradezu unhaltbar zu würdigen ist, erklärt der Beschwerdeführer nicht.
Das Gleiche gilt für die Kritik des Beschwerdeführers, wonach das Kantonsgericht seine Krankenkassenversicherungskosten von rund Fr. 4'700.-- (für den Zeitraum 26. Februar 2018 bis 4. Juli 2018) nicht gehörig gewürdigt habe. Gemäss seiner Berufungsschrift beträgt die Krankenkassenprämie Fr. 973.--, wobei er diesen Betrag - wie das Kantonsgericht festhielt - vor Vorinstanz nicht begründete. Soweit er diesen Betrag vor Bundesgericht mit neuen Unterlagen untermauern möchte, ist er damit nicht zu hören (vgl. E. 2.3).
Ferner wünscht der Beschwerdeführer, dass für C.A._ der Grundbetrag eines alleinstehenden Erwachsenen angerechnet wird, da die ehemalige Familienwohnung mit den Zwillingen zusammen untragbar sei. Der Beschwerdeführer vermischt hier den Grundbetrag mit den Wohnkosten. Dass das Kantonsgericht für den noch nicht volljährigen C.A._ den für Kinder (ab 12 Jahren) vorgesehenen Betrag eingesetzt hat, ist nicht willkürlich. Die Rüge schlägt damit fehl.
5.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist deshalb abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht St. Gallen, Einzelrichter im Familienrecht, und der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Rheintal, Altstätten SG, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller