Faits :
A.
A la suite d'un premier refus de prestations de l'assurance-invalidité pour manque de collaboration de l'assuré (décision de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud [ci-après: l'office AI] du 25 septembre 2017), A._, ressortissant suisse né en 1991, a déposé une nouvelle demande de prestations, au mois de décembre 2018. L'office AI a rejeté cette demande, par décision du 11 septembre 2020. En bref, il a considéré que si l'assuré présentait une incapacité de travail et de gain de 50 % depuis le mois de novembre 2011, il n'avait droit ni à une rente ordinaire d'invalidité, étant donné qu'il ne remplissait pas la condition de la durée minimale de cotisations de trois ans lors de la survenance de l'invalidité, ni à une rente extraordinaire, dès lors qu'il n'avait pas le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge.
B.
Statuant le 11 juin 2021 sur le recours interjeté par A._ contre la décision du 11 septembre 2020, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a admis. Il a réformé la décision litigieuse en ce sens que l'assuré a droit à une demi-rente extraordinaire d'invalidité, fondée sur un taux d'invalidité de 50 %, à compter du 1er juin 2019, et a renvoyé la cause à l'office AI pour fixer les montants dus.
C.
L'office AI forme un recours en matière de droit public contre cet arrêt, dont il demande l'annulation. Il conclut à la confirmation de la décision qu'il a rendue le 11 septembre 2020. Il requiert également l'octroi de l'effet suspensif au recours.
L'intimé sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>), sans être lié ni par les motifs de l'autorité précédente, ni par les moyens des parties; il peut donc admettre le recours en se fondant sur d'autres arguments que ceux invoqués par le recourant, comme il peut le rejeter en opérant une substitution de motifs (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 3). Le Tribunal fédéral statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
2.1. En instance fédérale, le litige a trait au droit de l'intimé à une demi-rente extraordinaire d'invalidité à compter du 1 er juin 2019. Compte tenu des motifs et conclusions du recours, est seul litigieux le point de savoir si l'assuré présente le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge au sens de l'<ref-law> (applicable par renvoi de l'<ref-law>).
2.2. On rappellera que les ressortissants suisses qui ont leur domicile et leur résidence habituelle (<ref-law>) en Suisse ont droit à une rente extraordinaire d'invalidité s'ils ont le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge, mais n'ont pas droit à une rente ordinaire parce qu'ils n'ont pas été soumis à l'obligation de verser des cotisations pendant trois années entières au moins (<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>, en relation avec l'<ref-law>).
3.
3.1. Comme le fait d'abord valoir à juste titre le recourant, il ne suffit pas d'être assuré en Suisse pour présenter le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge au sens de l'<ref-law>, et donc, pour se voir reconnaître le droit à une rente extraordinaire. Selon la jurisprudence, en exigeant que les personnes concernées aient le même nombre d'années d'assurance que les personnes de leur classe d'âge, l'<ref-law> ne vise pas les requérants qui comptent une lacune de cotisations du fait de leur non-assujettissement à l'assurance pendant une certaine période de leur vie depuis le 1er janvier suivant la date où ils ont eu 20 ans révolus. Il vise des personnes qui, n'ayant pas encore atteint l'âge déterminant ou qui, tout en ayant été assujetties à l'AI suisse depuis cette limite d'âge, n'ont pas, avant la survenance du risque, cotisé du tout ou pendant trois années, faute d'y avoir été obligées (<ref-ruling> consid. 7.3.1; arrêt 9C_528/2010 du 11 juillet 2011 consid. 3.2). En conséquence, les considérations des premiers juges, selon lesquelles bien que l'assuré n'eût pas acquitté de cotisations en 2012, il peut se prévaloir du même nombre d'années d'assurance que les assurés de sa classe d'âge, dès lors qu'il était assujetti à l'assurance du fait de son domicile en Suisse, ne peuvent pas être suivies.
3.2. Il s'impose néanmoins de confirmer l'arrêt entrepris, qui a reconnu le droit de l'intimé à une demi-rente extraordinaire d'invalidité dès le 1er juin 2019, par substitution de motifs. Contrairement à ce qu'a retenu la juridiction de première instance, l'intimé ne présente en effet pas de lacune de cotisations. Selon les constatations cantonales, non contestées par le recourant, l'assuré, né en 1991, était en incapacité de travail à tout le moins depuis le mois de décembre 2011 et l'invalidité est survenue au mois de décembre 2012 (<ref-law>), soit avant le 1er décembre de l'année suivant celle au cours de laquelle il a atteint 22 ans révolus. A cet égard, selon le ch. 7006 des Directives de l'OFAS concernant les rentes (DR) de l'assurance vieillesse, survivants et invalidité fédérale, valables dès le 1er janvier 2003 (état au 1er janvier 2021), doivent en effet être mises au bénéfice d'une rente extraordinaire d'invalidité les personnes domiciliées en Suisse (<ref-law>) qui sont invalides depuis leur naissance ou qui sont devenues invalides selon un taux justifiant l'octroi d'une rente avant le 1er décembre de l'année suivant celle au cours de laquelle elles ont atteint 22 ans révolus, mais qui n'ont pas acquis le droit à une rente ordinaire. Ainsi, dans ces circonstances, le fait que l'intimé n'a pas versé de cotisations à compter du 1er janvier de l'année qui suit la date à laquelle il a eu 20 ans (cf. <ref-law>), soit en l'occurrence à tout le moins en 2012, n'est pas déterminant, contrairement à ce que soutient le recourant. L'arrêt entrepris est conforme au droit dans son résultat. Le recours est mal fondé.
4.
Compte tenu de l'issue du procès, la requête d'attribution de l'effet suspensif au recours de l'office AI, ainsi que la demande d'assistance judiciaire présentée par l'intimé, n'ont plus d'objet.
5.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>) ainsi que les dépens que peut prétendre l'intimé (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'avocate de l'intimé la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 septembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud