Sachverhalt:
A.
A._ (geboren 1980) und B._ (geboren 1981) sind die Eltern von C._ (geboren 2009). Sie sind seit dem 15. April 2015 geschieden. C._ hält sich seitdem wochenweise abwechselnd bei seinem Vater in Frankreich und bei seiner Mutter in Basel auf. B._ arbeitet in Basel in einem Angestelltenverhältnis und bezog nach der Scheidung zunächst weiterhin die Familienzulagen für den Sohn.
Infolge Arbeitsaufnahme im Kanton Zug stellte A._ am 14. Februar 2016 bei der Ausgleichskasse Zug (nachfolgend: AK) einen Antrag um Ausrichtung der Kinderzulagen ab 15. Februar 2016 an ihn. Nachdem sich die AK und die Familienausgleichskasse Arbeitgeber Basel (nachfolgend: FAK) auf eine Auszahlung durch die AK geeinigt hatten, informierte die FAK die Kindsmutter mittels Wegfallanzeige vom 11. April 2016 darüber, dass die Kinderzulagen ab 15. Februar 2016 dem Kindsvater ausgerichtet würden. Am 13. April 2016 verfügte die AK die Auszahlung der Kinderzulagen für C._ ab 15. Februar 2016 an A._.
B._ machte in der Folge geltend, dass ihr Sohn nach wie vor in Basel angemeldet sei und weiterhin jede zweite Woche bei ihr lebe, woraufhin die FAK die Wegfallanzeige vom 11. April 2016 mit Zulagenentscheid vom 3. Mai 2016 aufhob. Die AK hielt mit Verwaltungsakt vom 4. Mai 2016 fest, A._ werde ab 15. Februar 2016 nur eine Differenzzulage ausgerichtet, da gegenüber einer anderen Stelle Anspruch auf Kinderzulagen bestehe.
Gestützt auf weitere vom Kindsvater der AK eingereichte Unterlagen zeigte die FAK B._ am 11. Mai 2016 erneut den Wegfall der Familienzulagen per 14. Februar 2016 an. Die AK verfügte am 13. Mai 2016 die Auszahlung der Familienzulagen ab 15. Februar 2016 an A._. Entsprechend teilte die FAK der Kindsmutter mittels Verwaltungsakt vom 17. Mai 2016 mit, sie habe keinen Anspruch auf Familienzulagen. Zur Begründung gab sie an, der Sohn lebe bei seinem Vater in Frankreich. Daher habe A._, der - wie die Kindsmutter auch - in der Schweiz arbeite, Anspruch auf die Familienzulagen. Die von B._ dagegen erhobene Einsprache wies die FAK ab (Einspracheentscheid vom 27. Juli 2016).
B.
In Gutheissung der von B._ dagegen geführten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt den Einspracheentscheid auf und verpflichtete die FAK, B._ auch nach dem 14. Februar 2016 weiterhin Familienzulagen für ihren Sohn auszurichten.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ das Rechtsbegehren stellen, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei festzustellen, dass B._ keinen Anspruch auf Kinderzulagen habe; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
B._ beantragt, die Beschwerde sei vollumfänglich abzuweisen. Ferner ersucht sie darum, A._ - unter Fristansetzung zur Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung - zu verpflichten, Fr. 1'200.- an die Gerichtskasse zu leisten. Die FAK und die AK schliessen auf Gutheissung, das kantonale Gericht auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen stellt den Antrag, die Beschwerde sei dahingehend gutzuheissen, als die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen sei, damit diese weitere Abklärungen betreffend die Einkommen der beiden Elternteile vornehme.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es den Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Familienzulagen für ihren Sohn auch für die Zeit nach dem 14. Februar 2016 weiterhin bejahte.
2.1. Familienzulagen sind einmalige oder periodische Geldleistungen, die ausgerichtet werden, um die finanzielle Belastung durch ein oder mehrere Kinder teilweise auszugleichen (Art. 2 FamZG). Für das gleiche Kind wird gemäss Art. 6 FamZG nur eine Zulage derselben Art ausgerichtet; die Differenzzahlung nach Art. 7 Abs. 2 FamZG bleibt vorbehalten. Nach Art. 4 Abs. 3 FamZG in Verbindung mit <ref-law> besteht nur dann Anspruch auf Familienzulagen für im Ausland lebende Kinder, wenn eine zwischenstaatliche Vereinbarung dies vorschreibt. Das Bundesgericht hat festgestellt, dass <ref-law> sich an die Vorgaben gemäss FamZG hält und weder Art. 8 Abs. 1 und 2 BV (Gleichbehandlungsgebot, Diskriminierungsverbot) noch Bestimmungen des Übereinkommens vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes (Kinderrechtskonvention, KRK; SR 0.107) verletzt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 523; <ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling>). Hat eine Person Kinder mit Wohnsitz in einem EU-Staat, so hat sie gemäss Art. 67 der Verordnung (EG) Nr. 883/2004 des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 zur Koordinierung der Systeme der sozialen Sicherheit (SR 0.831.109.268.1, für die Schweiz am 1. April 2012 in Kraft getreten; nachfolgend: VO Nr. 883/2004) grundsätzlich denselben Anspruch auf Familienzulagen, wie wenn die Kinder ihren Wohnsitz in der Schweiz hätten (zum anwendbaren Recht: <ref-ruling> E. 4.3.1 f. S. 523 ff.; vgl. auch <ref-ruling> E. 6.1 S. 55 f.).
2.2. Es liegt ein internationaler Sachverhalt vor, wobei unbestritten ist, dass aufgrund der Erwerbstätigkeit beider Elternteile in der Schweiz Familienzulagen nach Schweizer Recht auszurichten sind. Auch der allfällige Export der Zulagen nach Frankreich ist gestützt auf die vorstehend erwähnten Abkommen (E. 2.1 hiervor) grundsätzlich möglich. Fraglich und zu prüfen bleibt nur, welchem Elternteil die Zulagen zustehen. Umstritten ist dabei namentlich, ob das Kind Wohnsitz in der Schweiz oder in Frankreich hat.
3.
Haben mehrere Personen für das gleiche Kind Anspruch auf Familienzulagen nach eidgenössischem oder kantonalem Recht, so steht der Anspruch gemäss Art. 7 Abs. 1 FamZG in nachstehender Reihenfolge zu:
a. der erwerbstätigen Person;
b. der Person, welche die elterliche Sorge hat oder bis zur Mündigkeit des Kindes hatte;
c. der Person, bei der das Kind überwiegend lebt oder bis zu seiner Mündigkeit lebte;
d. der Person, auf welche die Familienzulagenordnung im Wohnsitzkanton des Kindes anwendbar ist;
e. der Person mit dem höheren AHV-pflichtigen Einkommen aus unselbstständiger Erwerbstätigkeit;
f. der Person mit dem höheren AHV-pflichtigen Einkommen aus selbstständiger Erwerbstätigkeit.
4.
4.1. Das kantonale Gericht ist der Ansicht, Art. 7 Abs. 1 lit. a bis c FamZG seien nicht geeignet, den anspruchsberechtigten Elternteil zu bestimmen. Beide Elternteile seien nämlich erwerbstätig, sodann sei gemäss Scheidungsurteil vom 15. April 2015 die gemeinsame elterliche Sorge vereinbart worden und aufgrund der Akten sowie mit Blick auf die alternierende Obhut könne nicht festgestellt werden, bei welchem Elternteil das Kind überwiegend lebe, bzw. jeder Elternteil lebe jeweils die Hälfte der Zeit mit dem Kind zusammen. Ein Wohnort befinde sich bei der Mutter in Basel, wo diese auch arbeite. Der andere Wohnort befinde sich in Frankreich beim Vater, der seinerseits in Zug erwerbstätig sei. Der ausländische Wohnort des Kindsvaters falle als Anknüpfungspunkt weg, da das Gesetz explizit von "Wohnsitzkanton" spreche, womit ein Wohnort in der Schweiz gemeint sein müsse. Der einzige mögliche schweizerische Wohnsitz für das Kind sei der Wohn- und Arbeitsort der Mutter in Basel. Demnach seien die Familienzulagen basierend auf Art. 7 Abs. 1 lit. d FamZG der Mutter zuzusprechen. So sei diejenige Ausgleichskasse zahlungspflichtig, zu der die grösste Sachnähe bestehe.
4.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, in der dem Scheidungsurteil beigelegten Vereinbarung vom 9. März 2015 sei explizit festgehalten worden, der Wohnsitz des gemeinsamen Kindes befinde sich seit 1. August 2014 in Frankreich. Damit hätten die damaligen Ehegatten ausdrücklich festgehalten und anerkannt, dass ihr Sohn seit diesem Datum einen überwiegenden Anteil seiner Zeit in Frankreich verbringe, dort auch seine familiären, sprachlichen, schulischen, sozialen und kulturellen Wurzeln habe und sich sein gewöhnlicher Aufenthalt in Frankreich befinde. Da sich sein Lebensmittelpunkt und Wohnsitz in Frankreich befinden würden, seien die Kinderzulagen basierend auf Art. 68 VO Nr. 883/2004 mit Wirkung ab 15. Februar 2016 dem Kindsvater auszubezahlen. Die Kindseltern hätten mit der klaren Regelung in der Scheidungskonvention Streitigkeiten ausschliessen wollen und dieser klare Wille sei vom kantonalen Gericht missachtet worden. Der Sohn verbringe - wie in der Scheidungsvereinbarung explizit geregelt - sogar einen grösseren Anteil der Zeit mit seinem Vater in Frankreich aufgrund der Aufteilung während der jüdischen Feiertage. Zudem kümmere sich der Vater aufgrund des Wohnsitzes des Sohnes in Frankreich unter anderem um sämtliche administrativen Angelegenheiten, Lehrergespräche, Schul- und Freizeitaktivitäten sowie Arztbesuche. Er unterstütze ihn auch überwiegend bei den Hausaufgaben und beim Musikunterricht, zumal die Kindsmutter nicht französischer Muttersprache sei. Gestützt auf Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG habe die Kindsmutter daher keinen Anspruch auf Auszahlung der Kinderzulagen. Art. 7 Abs. 1 lit. d FamZG komme nicht zur Anwendung, da die Kindseltern nicht zusammen wohnen würden. Demgemäss sei festzustellen, dass der Kindsmutter mit Wirkung ab 15. Februar 2016 keine Kinderzulagen mehr auszurichten seien. Wäre hier aber entgegen der Meinung des Beschwerdeführers Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG nicht massgebend, so müsste die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückgewiesen werden, damit sie nach entsprechenden Sachverhaltserhebungen gestützt auf Art. 7 Abs. 1 lit. e FamZG entscheiden könnte.
4.3. Die AK macht letztinstanzlich geltend, dass der Sohn des Beschwerdeführers überwiegend bei ihm in Frankreich lebe, womit der Kindsvater gemäss Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG Anspruch auf Kinderzulagen habe.
Aus der Sicht der FAK muss ebenfalls Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG zur Anwendung kommen. Dabei sei insbesondere die Feststellung in der Scheidungskonvention wesentlich, wonach das Kind "im Sinne der Bestimmungen des internationalen Privatrechts" Wohnsitz in Frankreich habe. Nebst diesem gemäss Scheidungskonvention gewillkürten Wohnsitz sprächen auch die gelebten Fakten für den Wohnsitz in Frankreich. Bloss von sekundärer Bedeutung sei die fremdenpolizeiliche Situation, auf die sich das kantonale Gericht fälschlicherweise stütze. Die Kindsmutter verhalte sich zudem widersprüchlich: Im Scheidungsverfahren werde als Wohnsitz des Kindes explizit Frankreich bestimmt, während im sozialversicherungsrechtlichen Verfahren etwas anderes gelten solle. Es gehe nicht an, je nach eigenem Vorteil dem gleichen Sachverhalt unterschiedliche rechtliche Bedeutung zuzumessen.
4.4. Die Beschwerdegegnerin bringt vor, zuerst sei auf das Scheidungsurteil vom 15. April 2015 abzustellen. Darin sei unter dem Titel "Elterliche Sorge und Wohnsitz des Kindes" ausdrücklich die gemeinsame elterliche Sorge und der alternierende Wohnsitz des Kindes je am Wohnsitz beider Eltern festgehalten worden. Der Beschwerdeführer setze sich darüber hinweg, wenn er behaupte, es sei der wirkliche Wille der Eltern gewesen, dass der Sohn seinen Wohnsitz in Frankreich habe. Die überwiegende Betreuung beurteile sich nach den tatsächlichen Verhältnissen. Eine behördliche Anmeldung an einem Ort bedeute ebenfalls nicht, dass das Kind ausschliesslich dort den zivilrechtlichen Wohnsitz habe, wenn das Kind von den Eltern alternierend und im Verhältnis von 50:50 betreut werde. Ein Kind könne sowohl an einem wie auch am anderen Ort seinen Wohnsitz haben, wenn es - wie im vorliegenden Fall - von zwei getrennt lebenden Elternteilen zu gleichen Teilen betreut werde. Die Vorinstanz habe den Sachverhalt korrekt und gemäss den tatsächlich gelebten und in der Scheidungskonvention vereinbarten Betreuungsverhältnissen festgestellt. An der exakt hälftigen Aufteilung ändere sich nichts, wenn der Vater den Sohn allenfalls einmal einen oder zwei Tage im Jahr mehr betreue wie die Mutter. Bei 365 Tagen im Jahr könne es im einen oder anderen Jahr vorkommen, dass ein Elternteil einen Tag mehr übernehme oder die Aufteilung der Feiertage dies mit sich bringe. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers bestätige Art. 68 VO Nr. 883/2004 die Feststellungen der Vorinstanz. Gemäss dieser Bestimmung sei bei einer Erwerbstätigkeit beider Elternteile unter der Voraussetzung auf den Wohnort des Kindes abzustellen, dass dort eine solche Erwerbstätigkeit ausgeübt werde. Dies sei unzweifelhaft am Wohnsitz der Mutter der Fall, welche in Basel wohne und arbeite, während der Sohn sowohl in Frankreich als auch in der Schweiz wohne.
4.5. Nach Ansicht des BSV kommt demgegenüber Art. 7 Abs. 1 lit. e FamZG zur Anwendung, da lit. a bis d der Bestimmung im vorliegenden Fall nicht einschlägig seien.
5.
5.1. Aufgrund des Umstandes, dass beide Elternteile erwerbstätig sind und sich die elterliche Sorge teilen, besteht allseits Einigkeit, dass Art. 7 Abs. 1 lit. a und b FamZG nicht zur Anwendung kommen können.
5.2. Der Beschwerdeführer geht davon aus, der Anspruch auf Familienzulagen stehe gestützt auf Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG ihm zu, da sein Sohn überwiegend bei ihm lebe.
5.2.1. Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG stellt darauf ab, wo das Kind "überwiegend lebt" (vgl. E. 3 hiervor). Dieser Begriff orientiert sich am Obhutsprinzip: Diejenige Person, bei der das Kind wohnt und die im täglichen Umgang dafür sorgt, dass die Grundbedürfnisse des Kindes erfüllt sind, soll die Familienzulagen beanspruchen können (vgl. KIESER/REICHMUTH, Bundesgesetz über die Familienzulagen, Praxiskommentar, 2010, N. 61 zu Art. 7 FamZG; vgl. auch AB 2005 S 718). Massgebend sind in erster Linie die tatsächlichen Verhältnisse. Weil sich diese oft nur mit erheblichem Aufwand abklären lassen, ist soweit möglich auf Unterlagen, wie unter anderem Unterhaltsvereinbarungen, Scheidungskonvention oder behördliche Anordnungen, abzustellen. Es rechtfertigt sich eine längerfristige Betrachtungsweise, weshalb kleinere Abweichungen oder kürzere Unterbrüche der Regelung nicht massgebend sind (THOMAS FLÜCKIGER, Koordinations- und verfahrensrechtliche Aspekte bei den Kinder- und Ausbildungszulagen, in: Bundesgesetz über die Familienzulagen [FamZG], 2009, S. 174).
5.2.2. In der Scheidungskonvention haben die Eltern neben der gemeinsamen elterlichen Sorge vereinbart, dass ihr Sohn wochenweise alternierend bei seiner Mutter und seinem Vater lebt. Mit Blick auf diese klare Regelung, welche unstreitig auch den gelebten Verhältnissen entspricht, kann entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht davon ausgegangen werden, dass der Sohn überwiegend bei ihm lebe. Dabei fallen kleine Abweichungen aufgrund der Aufteilung der Feiertage nicht ins Gewicht. Ebenso wenig vermag der in der Beschwerde anhand verschiedener Faktoren (vgl. E. 4.2 hiervor) behauptete dominierende Bezug des Sohnes zu Frankreich etwas an der Betreuung im Verhältnis 50:50 zu ändern. Soweit sich der Kindsvater auf die in der Scheidungskonvention für den Sohn vereinbarte "résidence habituelle" (gewöhnlicher Aufenthalt) in Frankreich beruft, kann er ebenfalls nichts zu seinen Gunsten daraus ableiten. Diese Regelung wurde getroffen, damit die Feststellung der elterlichen Sorge nach französischem Recht erfolgen konnte. In der Konvention wird im Übrigen auch in diesem Zusammenhang auf die zu gleichen Teilen zu erfolgende Betreuung des Kindes verwiesen.
5.2.3. Anders als der Beschwerdeführer schliesslich geltend macht, ist der zivilrechtliche Wohnsitz bei der Prüfung der Anwendbarkeit des Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG nicht massgebend. Würde nämlich auf den Wohnsitz des Kindes abgestellt, worauf der Wortlaut dieser Bestimmung in keiner Weise hindeutet, bliebe für eine Prüfung gemäss lit. c gar kein Raum. In diesem Zusammenhang fällt hier auch nicht ins Gewicht, dass das Kind nach Angabe des Beschwerdeführers spätestens per 31. Juli 2014 von Basel nach Frankreich abgemeldet worden ist (was vom Einwohneramt Basel-Stadt am 9. März 2017 bestätigt worden sei).
5.2.4. Besteht somit - wie vorliegend - eine klare Übereinkunft, wonach das Kind wochenweise alternierend bei Mutter und Vater lebt, und entspricht dies grundsätzlich auch den gelebten Verhältnissen, so hat die Familienausgleichskasse darauf abzustellen. Es kann unter diesen Umständen nicht Sache der Ausgleichskasse bzw. des gegen ihre allfällige Auszahlungsverfügung angerufenen Gerichts sein, Abklärungen über die von den Elternteilen effektiv mit dem Kind verbrachte Zeit zu treffen (vgl. auch <ref-ruling> zu Abklärungen im Zusammenhang mit Drittauszahlungsverfügungen). Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG erlaubt für solche Konstellationen keine eindeutige Zuteilung des Erstanspruchs auf Familienzulagen, weshalb diese Bestimmung nicht zur Anwendung kommen kann.
5.3. Nach Ansicht des kantonalen Gerichts und der Beschwerdegegnerin ist für den vorliegenden Fall Art. 7 Abs. 1 lit. d FamZG (vgl. E. 3 hiervor) massgebend.
5.3.1. Diese Regelung soll gemäss Zusatzbericht der Kommission für soziale Sicherheit und Gesundheit des Nationalrates vom 8. September 2004 zur Parlamentarischen Initiative "Leistungen für die Familie" (BBl 2004 6887, 6905 [Art. 7 Abs. 1]) Eltern betreffen, welche die gemeinsame elterliche Sorge haben und mit dem Kind zusammen wohnen, seien sie nun miteinander verheiratet oder nicht. Es kann an dieser Stelle offenbleiben, ob das Gesetz in diesem Sinne eng zu verstehen ist. Namentlich muss nicht beantwortet werden, ob darüber hinaus nicht nur das Kind mit einem Elternteil bzw. alternierend mit dem einen und mit dem anderen Elternteil zusammen wohnen muss, sondern - nach der Interpretation des Beschwerdeführers - auch die Eltern gemeinsam wohnen müssen. Immerhin ist darauf hinzuweisen, dass der vom Kindsvater zitierte Zusatzbericht ausdrücklich nur "die häufigsten Fälle in der Praxis" nennt. Eine Auslegung von Art. 7 Abs. 1 lit. d FamZG hinsichtlich Bedeutung des Zusammenwohnens von Eltern und Kindern erübrigt sich jedoch, weil diese Bestimmung im vorliegenden Fall bereits aus einem anderen Grund nicht einschlägig ist, wie sich nachfolgend zeigt.
5.3.2. Die anwendbare Familienzulagenordnung bestimmt sich nach Art. 12 FamZG. Im Regelfall ist folglich massgebend, wo der Arbeitgeber seinen rechtlichen Sitz bzw. seinen Wohnsitz hat. Es wird deshalb darauf abgestellt, bei welchem Arbeitgeber eine anspruchsberechtigte Person tätig ist. Nach diesem Kriterium wird also berücksichtigt, ob allenfalls eine grundsätzlich anspruchsberechtigte Person bei einem Arbeitgeber tätig ist, der den Sitz bzw. Wohnsitz im Wohnsitzkanton des Kindes hat. Der Wohnsitz ergibt sich gemäss <ref-law> aus <ref-law> (KIESER/REICHMUTH, a.a.O., N. 67 zu Art. 7 FamZG; FLÜCKIGER, a.a.O., S. 174 f.). Da es sich um eine öffentlich-rechtliche Streitigkeit handelt, gelangt zur Bestimmung des Wohnsitzes nicht das Internationale Privatrecht, sondern das ZGB zur Anwendung, auch wenn hier ein internationaler Sachverhalt zur Debatte steht.
5.3.3. Nach <ref-law> gilt als Wohnsitz des Kindes unter elterlicher Sorge der Wohnsitz der Eltern oder, wenn die Eltern keinen gemeinsamen Wohnsitz haben, der Wohnsitz des Elternteils, unter dessen Obhut das Kind steht; in den übrigen Fällen gilt sein Aufenthaltsort als Wohnsitz.
5.3.3.1. Im zu beurteilenden Fall haben die Eltern des Kindes keinen gemeinsamen Wohnsitz. Steht das Kind unter der elterlichen Sorge beider Eltern und haben diese keinen gemeinsamen Wohnsitz, so befindet sich der Wohnsitz des Kindes am Wohnsitz des Elternteils, unter dessen Obhut das Kind steht. Der Aufenthalt spielt dann eine Rolle, wenn die Obhutsberechtigung bei beiden Eltern liegt (DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 5 zu <ref-law>). Entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin kann niemand an mehreren Orten zugleich seinen Wohnsitz haben (<ref-law>).
5.3.3.2. Da der Beschwerdeführer mit seiner ehemaligen Ehepartnerin eine paritätische alternierende Obhutsregelung vereinbart hat und sich sein Sohn wochenweise wechselnd bei Mutter oder Vater aufhält, lässt sich der Wohnsitz hier nicht aufgrund der Obhutsregelung ermitteln. Der Lebensmittelpunkt des Kindes muss vielmehr gestützt auf weitere Kriterien festgelegt werden. Hält sich eine Person ohne selbstständigen Wohnsitz pendelnd an mehreren Orten nebeneinander auf, so befindet sich ihr Wohnsitz an dem Aufenthaltsort, zu dem die engsten Beziehungen bestehen, auch wenn sich die Person gerade an einem anderen Ort befindet (<ref-ruling> E. 2 S. 11 mit Hinweis; STAEHELIN, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>). In der Literatur wird in Anlehnung an einen Entscheid des deutschen Bundesverwaltungsgerichts vom 30. September 2015 (6 C 38.14) bei einer paritätischen alternierenden Obhutsregelung, welche - wie vorliegend - tatsächlich gelebt wird, ebenfalls vorgeschlagen, den Lebensmittelpunkt anhand weiterer Aspekte wie Ort der Schule des Kindes, Vereinszugehörigkeit etc. zu bestimmen (SARAH GUILLOD, in: ZGB Kommentar, Schweizerisches Zivilgesetzbuch, 3. Aufl. 2016, N. 2 zu <ref-law>).
5.3.3.3. Das kantonale Gericht lässt offen, ob der von ihm angenommene schweizerische Wohnsitz tatsächlich der Wohnsitz des Kindes im Sinne des Privatrechts ist. Denn es geht davon aus, Art. 7 Abs. 1 lit. d FamZG, welcher explizit von "Wohnsitzkanton" spricht, könne nur einen Wohnort in der Schweiz meinen. Damit sei der Wohnort der Mutter der einzige mögliche schweizerische Wohnsitz für das Kind. Mit dieser Argumentation begründet die Vorinstanz ein Ausschlussprinzip zulasten eines Wohnsitzes im Ausland, welches mit der gestützt auf <ref-law> Anwendung findenden Wohnsitzdefinition des ZGB nicht in Einklang steht. Es trifft zwar zu, dass Art. 7 FamZG vom Wortlaut her auf Konkurrenzverhältnisse innerhalb der Schweiz zugeschnitten ist. Der Bestimmung kann aber nicht die Bedeutung beigemessen werden, dass ein ausländischer Wohnsitz des Kindes bei internationalem Bezug "ausser Betracht" fallen würde. Wie eingangs erwähnt (E. 2.1 hiervor), besteht für eine Person mit Kindern aus einem EU-Staat grundsätzlich derselbe Anspruch auf Familienzulagen, wie wenn die Kinder ihren Wohnsitz in der Schweiz hätten. Mit anderen Worten kann ein Wohnsitz des Kindes im Ausland nicht schon deswegen ohne Prüfung weiterer Kriterien verneint werden, weil er als "Wohnsitzkanton" im Sinne von Art. 7 Abs. 1 lit. d FamZG nicht in Frage kommt. Vielmehr ist bei ansonsten paritätischen Verhältnissen bezüglich elterlicher Sorge und Obhut der Lebensmittelpunkt des Kindes tatsächlich anhand weiterer Kriterien festzulegen, die bei der Bestimmung des Aufenthalts bei zwischen mehreren Orten pendelnden Personen im Allgemeinen beigezogen werden (vgl. E. 5.3.3.2 hiervor). Abklärungen dazu sind den Ausgleichskassen zumutbar, da grundsätzlich auf objektiv überprüfbare, äusserlich wahrnehmbare Indizien abgestellt werden kann. Anders verhält es sich bei der Frage nach der effektiv mit dem Kind verbrachten Zeit (vgl. E. 5.2.4 hiervor) oder nach der bedürfnisgerechten Verwendung der Familienzulagen (vgl. <ref-ruling>), da diejenigen Familienmitglieder, die am besten darüber Aufschluss geben könnten, oft gegensätzliche, schwierig zu verifizierende Angaben dazu machen.
5.3.3.4. Im angefochtenen Entscheid sind alle für die Festlegung des Lebensmittelpunktes notwendigen Sachverhaltselemente bereits enthalten, nur wurden sie lediglich im Zusammenhang mit der Prüfung des Art. 7 Abs. 1 lit. c FamZG gewürdigt. Auch wenn der Sohn nicht überwiegend bei seinem Vater in Frankreich lebt, sondern zu gleichen Teilen bei Vater und Mutter (E. 5.2 hiervor), fällt in diesem Rahmen ins Gewicht, dass er am Wohnort des Vaters die Schule besucht. Zudem benutzt er die dortige Schulkantine, besucht das Musikkonservatorium am gleichen Ort und spielt im ortsansässigen Tennisclub. Bei dieser dauerhaften Akkumulation der ausserhäuslichen Tätigkeiten am Wohnort des Vaters (also auch während der Wochen, in denen er bei der Mutter in Basel lebt) liegt der Aufenthaltsort des Sohnes im Sinne von Art. 25 Abs. 1 letzter Teilsatz ZGB offensichtlich in Frankreich. Da dies bereits ohne Weiteres aus den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid hervorgeht (auch das kantonale Gericht schliesst darauf, dass das Kind "einen grossen Teil seines Tages" in Frankreich verbringe) und eine allfällige - von der Beschwerdegegnerin ohnehin erst für die Zukunft in Aussicht gestellte - Kursteilnahme des Sohnes jeweils am Mittwochnachmittag in Basel keinen anderen Ausschlag geben könnte, erübrigt sich eine Rückweisung in diesem Punkt zu weiteren Abklärungen.
5.3.4. Weil somit der abgeleitete Wohnsitz des Kindes beim Vater in Frankreich liegt, wo sich weder der Arbeitsort der Mutter noch derjenige des Vaters befindet, kann der Anspruch auf Familienzulagen nicht anhand von Art. 7 Abs. 1 lit. d FamZG festgelegt werden (vgl. E. 5.3.2 hiervor). Entgegen der Ansicht der Beschwerdegegnerin ist nicht ersichtlich, inwieweit sich aus Art. 68 VO Nr. 883/2004, der Prioritätsregeln beim Zusammentreffen von Ansprüchen nach den Rechtsvorschriften mehrerer Mitgliedstaaten enthält, etwas anderes ergeben soll.
Beide Elternteile üben eine unselbstständige Erwerbstätigkeit aus, weshalb der Anspruch gestützt auf Art. 7 Abs. 1 lit. e FamZG (vgl. E. 3 hiervor) zu bestimmen ist. Die Einkommensverhältnisse der Eltern aus ihren jeweiligen Arbeitsverhältnissen sind jedoch nicht bekannt. Die Angelegenheit geht folglich an die Familienausgleichskasse zurück, damit sie diese Abklärungen vornehme und alsdann erneut darüber verfüge, ob nach dem 14. Februar 2016 weiterhin die Kindsmutter Anspruch auf Auszahlung der Familienzulagen hat.
6.
Der Prozess ist kostenpflichtig. Die Rückweisung der Sache an die FAK zur Abklärung und erneuten Verfügung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Demgemäss sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin zu überbinden. Ferner hat sie dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine Parteientschädigung auszurichten.
Mit Blick auf den Verfahrensausgang erübrigt es sich schon aus diesem Grund, dem Beschwerdeführer gemäss Antrag der Beschwerdegegnerin eine Frist zur Leistung eines Vorschusses zwecks Sicherstellung einer allfälligen Parteientschädigung anzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 19. Juni 2017 und der Einspracheentscheid der Familienausgleichskasse Arbeitgeber Basel-Stadt vom 27. Juli 2016 werden aufgehoben und die Sache wird an die Familienausgleichskasse zurückgewiesen, damit sie nach weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen neu über die Auszahlung der Familienzulagen ab 15. Februar 2016 verfüge. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Familienausgleichskasse Arbeitgeber Basel, der Ausgleichskasse Zug, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. August 2018
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz