Sachverhalt:
A.
Das Bezirksgericht Dielsdorf wies mit Urteil vom 4. Dezember 2019 die Klage von A._ (Gesuchsteller) gegen die B._ AG wegen mangelnder Aktivlegitimation ab. Gleichentags beschloss es die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung wegen Aussichtslosigkeit. Es auferlegte ihm die Entscheidgebühr von Fr. 8'200.-- und verpflichtete ihn, der B._ AG eine Parteientschädigung von Fr. 10'362.-- zu bezahlen.
B.
Dagegen erhob der Gesuchsteller am 27. Januar 2020 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich.
B.a. Am 27. Januar 2020 beantragte der Gesuchsteller die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren.
Das Obergericht wies das Gesuch mit Beschluss vom 13. März 2020 ab. Es forderte den Gesuchsteller auf, innert zehn Tagen einen Vorschuss von Fr. 8'200.-- für die Kosten des Berufungsverfahrens zu leisten.
B.b. Am 29. April 2020 beantragte der Gesuchsteller ein zweites Mal die unentgeltliche Rechtspflege. Er stellte den Antrag, er sei im Berufungsverfahren von der Pflicht zu befreien, für die Gerichtskosten und die Parteientschädigung Sicherheit zu leisten, und es sei Rechtsanwalt Pierre André Rosselet als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen.
Mit Beschluss vom 18. Mai 2020 wies das Obergericht auch das zweite Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab, soweit es darauf eintrat. Es setzte dem Gesuchsteller eine letzte, nicht erstreckbare Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses von Fr. 8'200.-- und drohte ihm an, dass es bei Säumnis nicht auf das Rechtsmittel eintreten werde.
C.
Dagegen führt der Gesuchsteller Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit dem Antrag, den obergerichtlichen Beschluss vom 18. Mai 2020 aufzuheben und ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung für das Berufungsverfahren ab dem Zeitpunkt der Einreichung des zweiten Gesuchs zu gewähren. Eventualiter sei das Obergericht anzuweisen, eine neue Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses anzusetzen. Es sei die unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht zu gewähren.
Dem Gesuch des Beschwerdeführers entsprechend wurde der Beschwerde mit Präsidialverfügung vom 3. September 2020 die aufschiebende Wirkung erteilt.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde in der Sache wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist. (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 143; <ref-ruling> E. 2.1 S. 397; je mit Hinweisen).
1.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können. Mit dem angefochtenen Entscheid verweigerte die Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren. Derartige Entscheide bewirken in der Regel einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4 S. 338; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131; Urteil 4A_326/2019 vom 4. Februar 2020 E. 1.3).
Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). In der Hauptsache klagte der Beschwerdeführer auf Leistung von Fr. 189'759.--. Es handelt sich um eine Zivilsache (<ref-law>), die den erforderlichen Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) überschreitet. Da die erforderliche Streitwertgrenze überschritten wird, ist auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten (<ref-law>).
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind und zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (vgl. E. 2 hiernach) auf die Beschwerde einzutreten.
1.4. Der Beschwerdeführer beantragte vor der Vorinstanz, er sei im Berufungsverfahren von der Pflicht zu befreien, für die Gerichtskosten und die Parteientschädigung Sicherheit zu leisten, und es sei Rechtsanwalt Pierre André Rosselet als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Mit der vorliegenden Beschwerde verlangt er, die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung sei ihm ab dem Zeitpunkt der Einreichung des zweiten Gesuchs zu gewähren. Zwar sind neue Begehren im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (<ref-law>), dies schadet dem Beschwerdeführer aber nicht, da die Einschränkung eines vorinstanzlich bereits gestellten Begehrens zulässig bleibt.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
2.3. Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege.
3.1. Weder die Bundesverfassung (<ref-law>) noch <ref-law> verlangen, dass nach Abweisung eines ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege gleichsam voraussetzungslos ein neues Gesuch gestellt werden kann (Urteile 5A_299/2015 vom 22. September 2015 E. 3.2; 4A_410/2013 vom 5. Dezember 2013 E. 3.2). Aus verfassungsrechtlicher Sicht genügt, wenn die betroffene Partei im Rahmen des gleichen Zivilprozesses einmal die Gelegenheit erhält, die unentgeltliche Rechtspflege zu erlangen (Urteil 4P.170/1996 vom 16. Oktober 1996 E. 2a). Ein zweites Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auf der Basis desselben Sachverhalts hat den Charakter eines Wiedererwägungsgesuchs, auf dessen Beurteilung weder gestützt auf <ref-law> noch von Verfassung wegen ein Anspruch besteht (zit. Urteil 4A_410/2013 E. 3.2 in fine; ALFRED BÜHLER, Berner Kommentar, Bd. I 2012, N. 64 ff. und insbesondere N. 69 und 71 zu <ref-law>, mit Verweis auf <ref-ruling>). Das Bundesgericht statuierte indes in <ref-ruling> E. 6 S. 137 einen unbedingten verfassungsmässigen Anspruch auf Revision, wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen oder Beweismittel anführt, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand. Ein Anspruch auf Wiedererwägung besteht somit, wenn sogenannte unechte Noven vorliegen (siehe dazu auch die seither ergangene Rechtsprechung <ref-ruling> E. 2.1 S. 181). Von der Wiedererwägung zu unterscheiden ist das neue Gesuch. Dieses ist zulässig, wenn sich die Verhältnisse seit dem Entscheid über das erste Gesuch aufgrund neuer nach dem ersten Entscheid eingetretener Tatsachen und Beweismittel geändert haben. Es ist somit auf der Basis echter Noven möglich (zit. Urteil 5A_430/2010 E. 2.4). Die Zulässigkeit eines neuen Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege aufgrund geänderter Verhältnisse ergibt sich aus dem Umstand, dass der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege als prozessleitender Entscheid nur formell, jedoch nicht materiell in Rechtskraft erwächst (Urteile 5A_430/2010 vom 13. August 2010 E. 2.4; I 302/96 vom 23. Dezember 1997 E. 7b, publ. in SVR 1998 IV Nr. 13 S. 47).
3.2. Zur Begründung seines zweiten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege reichte der Beschwerdeführer der Vorinstanz folgende Unterlagen ein: Betreibungsregisterauszug der Gemeinde U._ vom 26. März 2020 über Fr. 949'122.--, wobei Fr. 846'936.-- eine Grundpfandbetreibung betreffen und die Verwertung des Grundstücks bereits verlangt worden sei; Auszug der Bank C._ über das Konto der D._ AG vom 1. April 2020 mit einem Negativsaldo von Fr. 54'324.--; Auszug der Bank C._ über das Konto des Beschwerdeführers vom 28. April 2020 für die Monate Januar bis April 2020 mit einem Positivsaldo von Fr. 194.--; Abrechnung der Bank C._ über eine variable Hypothek vom 1. April 2020 mit einem Negativsaldo von Fr. 23'356.--; Steuererklärung vom 17. April 2019 mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 0.--; Liste der Einkünfte des Jahres 2020, aufgeschlüsselt nach Monaten sowie Büchern und Vorträgen sowie eine Rechnung des Beschwerdeführers für die Organisation einer Gruppenreise vom 14. Januar 2020 über USD 4'000.--.
Weiter erklärte der Beschwerdeführer im Berufungsverfahren, eine Abrechnung der Arbeitslosenkasse könne er nicht vorlegen, da er ausgesteuert sei. Ebenso wenig sei er in der Lage, eine Unterstützungsbestätigung der Sozialbehörde vorzulegen, da er wegen erniedrigender Erfahrungen bei einer früheren Anmeldung nicht angemeldet sei. Seine sehr spärlichen Einnahmen stammten aus Buchverkäufen, Vorträgen und der Organisation von Gruppenreisen. Wegen der Pandemielage könne er derzeit weder bezahlte Vorträge halten noch Gruppenreisen organisieren. Es sei für das gesamte Jahr nicht mehr mit solchen Einnahmen zu rechnen. Die bisher grosszügig bemessenen durchschnittlichen monatlichen Einkünfte von rund Fr 1'500.-- hielten sich etwa die Waage mit dem Grundbetrag des betreibungsrechtlichen Existenzminimums (Fr. 1'200.--), zuzüglich Zahlungen an die Krankenkasse (Fr. 286.--). Die Einkünfte für die Organisation von Gruppenreisen seien seit Januar jedoch weggebrochen, womit die Einnahmen bis auf weiteres unter dem Grundbetrag von Fr. 1'200.- liegen würden, weshalb er bald gezwungen sein werde, sich widerwillig neu bei den sozialen Diensten anzumelden. Die Pandemielage sei ein Novum, welches eine gegenüber dem Zeitpunkt des ersten Gesuchs vom 27. Januar 2020 neue Situation ergebe. Anderseits handle es sich bei den vorliegend ins Recht gelegten Unterlagen um echte Noven im Sinne des Gesetzes. Damit sei die Prozessarmut im Zeitpunkt des Gesuchs dargetan und belegt.
3.3. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer vermöge keine unechten Noven darzutun. Soweit er sich auf echte Noven berufe, liege keine wesentliche Veränderung seiner finanziellen Verhältnisse vor. Sein Gesuch sei daher abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
3.4. Die vorinstanzlichen Erwägungen sind nicht zu beanstanden.
3.4.1. Die Vorinstanz stellte fest, die Abweisung des ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege sei damit begründet worden, dass der Beschwerdeführer zur relevanten Vermögenssituation per Ende 2019 keine Angaben gemacht und keine Unterlagen eingereicht habe. Zudem seien die Angaben des Beschwerdeführers zu seinem Einkommen als ungenügend taxiert worden. Schliesslich sei bemängelt worden, es sei nicht bekannt, ob eine im Jahr 2018 ausbezahlte Kapitalleistung von Fr. 59'400.-- im Zeitpunkt der Gesuchstellung noch vorhanden gewesen sei.
3.4.2. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, bestanden die meisten Angaben, die der Beschwerdeführer in seinem zweiten Gesuch machte, schon bei der Stellung des ersten Gesuchs. Zu erwähnen sind hier die hängigen Betreibungen, der Negativsaldo des Kontos der D._ AG, der Positivsaldo des Kontokorrents des Beschwerdeführers, die variable Hypothek über Fr. 763'250.--, das Einkommen des Jahres 2019 und die Vermögenslage per 31. Dezember 2019.
3.4.3. Was die Einnahmen des Beschwerdeführers von Januar bis April 2020 betrifft, stellte die Vorinstanz fest, es bestünden Einkünfte aus dem Bücherverkauf von Fr. 2'062.91 und der Organisation einer Gruppenreise in Ägypten von USD 4'000.--. Der Beschwerdeführer errechne daraus durchschnittliche monatliche Erträge von Fr. 1'500.--. Zudem mache er geltend, wegen der Pandemielage könne er keine weiteren Vorträge halten oder Gruppenreisen organisieren. Daraus leite er ab, dass seine Erwerbseinkünfte bis auf weiteres unter den Grundbetrag von Fr. 1'200.-- sänken.
Bei diesen Angaben des Beschwerdeführers handelt es sich um echte Noven, weil sie nach der Abweisung seines ersten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege entstanden. Doch wie die Vorinstanz zutreffend erwog, legte der Beschwerdeführer nicht dar, inwiefern sich seine Verhältnisse seit der Einreichung des ersten Gesuchs oder seit dem ersten Beschluss vom 13. März 2020 massgebend verändert hätten. Denn der Beschwerdeführer erzielte gemäss Steuererklärung bereits im Jahr 2019 aus selbständiger Erwerbstätigkeit bloss ein monatliches Einkommen von Fr. 925.--. Damit lag sein Einkommen bereits bei der Stellung des ersten Gesuchs unter dem Grundbetrag von Fr. 1'200.--. Daran ändert nichts, dass der Beschwerdeführer im Jahr 2019 für eine beschränkte Zeit Arbeitslosentaggelder bezog. Eine relevante Verschlechterung der Verhältnisse seit dem ersten Gesuch oder dem ersten Beschluss vom 13. März 2020 liegt nicht vor. Auch bei der Hypothek haben sich die Verhältnisse nicht entscheidend verändert. Hierzu erwog die Vorinstanz, zwar weise die Kreditabrechnung per 31. März 2020 neben der Grundschuld von Fr. 763'250.-- weitere Ausstände von Fr. 23'356.70 aus, doch bedeute dies nicht eine relevante Veränderung der finanziellen Verhältnisse. In den ersten vier Monaten des Jahres 2020 habe sich das durchschnittliche Erwerbseinkommen des Beschwerdeführers im Vergleich zur Steuererklärung 2019 auf Fr. 1'500.-- pro Monat erhöht; selbst wenn der Beschwerdeführer für den Rest des Jahres 2020 keine Vorträge mehr halten oder Reisen organisieren könnte, sondern nur noch Bücher verkaufen würde und die Einnahmen daraus auf das Jahr hochgerechnet würden, würde sich sein Erwerbseinkommen in ähnlicher Höhe wie im Jahr 2019 bewegen.
3.5. Was der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzlichen Erwägungen vorbringt, dringt nicht durch.
3.5.1. Der Beschwerdeführer trägt vor, drei Tage nach dem ersten Beschluss vom 13. März 2020 habe der Bundesrat die ausserordentliche Lage nach dem Bundesgesetz vom 28. September 2012 über die Bekämpfung übertragbarer Krankheiten des Menschen (Epidemiengesetz, EpG; SR 818.101) erklärt und die Massnahmen weiter verschärft. Hier übersieht er, dass die Vorinstanz seine Einkünfte der Jahre 2019 und 2020 gegenüberstellte und zum Schluss kam, eine relevante Veränderung der Verhältnisse liege selbst dann nicht vor, wenn er für den Rest des Jahres 2020 wegen der Pandemielage keinerlei Einkünfte aus Vorträgen oder der Organisation von Reisen mehr erziele.
3.5.2. Soweit sich der Beschwerdeführer unter Berufung auf das Äquivalenzprinzip gegen die Höhe des Kostenvorschusses wendet, genügt er den Begründungsanforderungen nicht (vgl. E. 2 hiervor). Indem er unter Hinweis auf sein geringes Einkommen verlangt, ihm müsse mit Blick auf das Äquivalenzprinzip der Kostenvorschuss erlassen und so der Zugang zur Justiz gewährt werden, versucht er die einschränkenden Voraussetzungen, unter denen ein Anspruch auf Wiedererwägung eines abgewiesenen oder Stellung eines neuen Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege besteht (vgl. E. 3.1 hiervor), zu umgehen. Damit ist er nicht zu hören.
3.5.3. Der Beschwerdeführer beantragt eventualiter, die Vorinstanz sei anzuweisen, eine neue Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses anzusetzen. Auch hier genügt die Beschwerde den Begründungsanforderungen (vgl. E. 2 hiervor) nicht, indem der Beschwerdeführer bloss auf BGE 142 II [recte: III] 798 E. 2.3.2 sowie eine Lehrmeinung verweist (FELIX UHLMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 11 zu <ref-law>).
4.
Nach dem Gesagten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteile 4A_429/2019 vom 13. November 2019 E. 6; 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und der B._ AG, Zürich, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. September 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak