Faits :
A.
A._, né en 1961, a été engagé en qualité d'infirmier au bloc opératoire par l'Hôpital de U._ (actuellement l'Hôpital neuchâtelois; ci-après l'HNE) dès le 16 juillet 2001.
Par décision du 12 mai 2014, l'HNE a prononcé un avertissement à l'encontre de A._. Il lui était notamment reproché de s'être obstiné à manifester son opposition à des travaux en relation avec les installations du bloc opératoire malgré les explications qui lui avaient été fournies et les multiples confirmations de conformité, d'avoir porté un jugement plus que déplacé à l'encontre de la direction par courriel du 12 février 2014 ainsi que d'avoir persisté à penser que les mesures prises n'étaient pas conformes aux dispositions réglementaires en vigueur, mettant en doute les compétences de nombreuses personnes pourtant engagées au regard de leurs compétences reconnues. La décision fixait en outre des objectifs à l'employé, à savoir développer une communication et une attitude constructive, respectueuse et courtoise avec l'ensemble des partenaires, adopter une collaboration positive et respectueuse avec la hiérarchie en favorisant un esprit d'équipe et en respectant les directives, faire preuve d'une attitude plus respectueuse à l'égard de l'institution et respecter strictement le cadre de ses compétences. Les recours interjetés par l'intéressé contre l'avertissement ont été rejetés par jugement de la Cour de droit public du Tribunal de la République et canton de Neuchâtel du 5 novembre 2015 puis par arrêt du Tribunal fédéral du 24 août 2016 (cause 8D_4/2015).
Parallèlement, l'employeur a convoqué A._ à un entretien destiné à établir un bilan de son comportement eu égard aux objectifs fixés dans la décision d'avertissement. A l'occasion de cet entretien, qui s'est déroulé le 7 octobre 2014, l'employeur a relevé de nouveaux manquements. Il a notamment reproché au prénommé d'avoir refusé de compenser ses heures supplémentaires durant l'été et d'avoir affiché dans la salle de pause des documents (un extrait de loi et un avenant à son contrat de travail) destinés à rallier ses collègues à ses idées. Pour l'employeur, les objectifs n'étaient pas atteints. Par la suite, A._ a fait l'objet de nouvelles critiques (cf. lettre de la directrice des soins et du directeur des ressources humaines du 20 février 2015). En effet, il s'était plaint de la rémunération des collaborateurs frontaliers sur le tableau d'affichage du bloc opératoire et proposait notamment une diminution de leur salaire. En outre, il avait inscrit "c'est de la folie, on met les gens dans la merde" sur le plan de travail, en référence aux gardes de nuit attribuées à un collègue. Il s'était permis d'autres annotations sur un courriel affiché par l'infirmier-chef le 14 janvier 2015, puis le 30 janvier 2015, il avait écrit "on n'a qu'à nommer un chef, un vrai" alors que celui-ci avait noté des éléments d'ordre organisationnel sur le tableau d'affichage.
Par courriel du 15 janvier 2016, A._ a vivement contesté la modification des horaires de travail soumise par la direction des soins le 28 octobre 2015, en indiquant qu'il pourrait envisager de revenir sur sa position si l'on venait lui expliquer clairement ce qu'il en était de ces horaires "qui tombaient d'on ne sait où". Convoqué à cette fin le 24 février 2016, l'employé a refusé de se rendre à l'entretien du même jour, au motif qu'il n'avait pu se préparer à l'avance, comme il l'a exposé dans un courriel dans lequel il demandait en outre à son supérieur de cesser de prendre les gens pour des imbéciles et de prétendre qu'il refuse tout entretien (courriel du 24 février 2016).
Après plusieurs échanges de correspondances et une rencontre entre les parties le 26 septembre 2016, l'employeur a résilié le contrat de travail de A._ avec effet au 28 février 2017 tout en retirant l'effet suspensif à un éventuel recours (décision du 28 novembre 2016).
B.
B.a. Saisie d'un recours, la Cour de droit public du tribunal cantonal l'a rejeté par un premier jugement du 17 février 2017, lequel a été annulé par le Tribunal fédéral, en raison d'une violation du droit d'être entendu de l'intéressé (arrêt 8C_229/2017 du 25 janvier 2018).
B.b. Après avoir donné l'occasion à A._ de déposer une réplique, la cour cantonale a rejeté une nouvelle fois le recours formé contre la décision de résiliation des rapports de service (jugement du 27 avril 2018).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement cantonal en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle décision au sens des considérations. Il a également requis l'attribution de l'effet suspensif à son recours.
L'intimé conclut au rejet du recours, pour autant qu'il est recevable. Le recourant a répliqué.
D.
Par ordonnance du 23 août 2018, le Juge instructeur a rejeté la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'art. 9 de la loi du canton de Neuchâtel du 30 novembre 2004 sur l'Etablissement hospitalier multisite cantonal (aLEHM), en vigueur jusqu'au 28 février 2017 et dont la teneur correspond à l'art. 10 de la nouvelle loi du 1 er novembre 2016 sur l'Hôpital neuchâtelois [LHNE; RSN 802.4], les rapports de travail de tout le personnel de l'établissement hospitalier sont régis par une convention collective de travail de droit public (CCT Santé 21). La cause relève donc de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur la résiliation de ces rapports, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (p. ex. arrêt 8C_310/2017 du 14 mai 2018 consid. 1). En outre, la valeur litigieuse est supérieure au seuil de 15'000 fr., qui ouvre la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 1 let. a et al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
Pour le surplus, interjeté en temps utile et dans les formes requises contre une décision finale prise par un tribunal cantonal, le recours respecte a priori les exigences des art. 42, 86 al. 1 let. d, 90 et 100 al. 1 LTF. Il convient, en conséquence, d'entrer en matière.
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 503) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Il n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 253).
3.
Aux termes de l'art. 3.2.1 CCT Santé 21, dans sa teneur en vigueur du 1 er janvier 2013 au 31 décembre 2016, l'employé ou l'employeur peut résilier le contrat de travail moyennant le respect d'un délai variable en fonction du nombre d'années d'activité accomplies (al. 1). Selon l'art. 3.2.2, tout résiliation signifiée par l'employeur doit être précédée d'un entretien (al. 2); si l'employeur invoque une violation des obligations incombant à l'employé, la résiliation doit avoir été précédée, en sus, d'un avertissement écrit, lequel précise les objectifs, le délai pour les réaliser et les moyens mis à disposition (al. 3, 1 ère phrase).
4.
Les juges cantonaux ont considéré, au vu du comportement du recourant depuis l'avertissement du 12 mai 2014, que la décision de licenciement restait dans les limites du pouvoir d'appréciation de l'intimé. Ils ont retenu en substance que le recourant avait fait preuve d'insubordination en refusant la compensation des heures supplémentaires et adopté un comportement inadéquat, provocateur et à même d'inciter des collaborateurs à la contestation et à la défiance de l'institution, en affichant l'extrait de la loi sur le travail et l'avenant à son contrat de travail, alors qu'il aurait pu s'adresser à ses supérieurs s'il entendait remettre en cause certains aspects de son contrat. En outre, la critique sur la rémunération des frontaliers était à même de créer des tensions inutiles et de porter atteinte aux personnes visées, tout comme l'inscription sur le plan de travail "c'est de la folie, on met les gens dans la merde". Quant aux annotations des éléments organisationnels affichés par l'infirmier-chef, elles allaient à l'encontre du devoir de réserve et exprimait un manque de respect à l'égard de la hiérarchie. En particulier, la phrase "on n'a qu'à nommer un chef, un vrai" était susceptible de créer la défiance envers l'intimé et le but de la démarche n'était pas de nommer un responsable permanent, comme le recourant l'alléguait en vain. Malgré les remarques de son employeur le 20 février 2015, le recourant ne s'était pas mieux comporté par la suite vu la manière dont il a manifesté son désaccord avec les nouveaux horaires. En conclusion, l'ensemble des circonstances démontrait que le recourant n'avait pas atteint les objectifs fixés par la décision d'avertissement en persistant dans son attitude contestataire et peu respectueuse de la hiérarchie et de ses collègues.
5.
5.1.
5.1.1. Invoquant une constatation arbitraire des faits, le recourant conteste, un par un, les manquements reprochés par l'intimé à son encontre. Il fait valoir en particulier que son employeur lui avait demandé de prendre ses heures supplémentaires qu'à une seule reprise, qu'on ne lui a jamais indiqué qu'il fallait une autorisation préalable pour afficher du contenu dans la salle de pause et que ses actions n'étaient pas destinées à léser les intérêts de son employeur mais bien plus à protéger ses collègues et les rendre attentifs à leurs droits. Le recourant persiste par ailleurs dans ses prises de position sur la nécessité de nommer un chef et sur la rémunération des frontaliers, niant qu'il s'agissait d'insultes irréfléchies. Il se réfère également à sa position "maintes fois répétée" selon laquelle il n'a pas voulu remettre en cause les capacités du collaborateur visé par les propos "c'est de la folie, on met les gens dans la merde" mais apporter son soutien à ce dernier. Quant aux annotations des documents affichés par l'infirmier-chef, le recourant est d'avis qu'il est resté dans les limites de son devoir de retenue, dès lors qu'il a simplement émis un avis et demandé quel était celui de ses collègues. A propos de la modification des horaires de travail, il soutient en particulier que l'ancien horaire était conforme au droit, contrairement à ce que l'intimé affirmait. Il fait aussi valoir que de nombreux collègues étaient réticents mais que lui seul a fait l'objet de reproches pour s'y être opposé. Enfin, il estime qu'il était fondé à refuser la convocation du 24 février 2016, dès lors qu'on ne lui a pas laissé le temps de se préparer.
5.1.2. Comme devant la juridiction cantonale, le recourant ne conteste pas en tant que tel les actes reprochés mais il tente de justifier son comportement. La motivation du recours relève à cet égard d'une discussion purement appellatoire car elle tend seulement à substituer sa propre appréciation à celle des autorités précédentes. Cela ne saurait suffire à faire tenir cette dernière pour arbitraire. Au demeurant, les explications du recourant ne sont pas convaincantes. Le sentiment d'être dans son bon droit ne lui permettait pas de refuser ou de discuter et commenter constamment les directives et les injonctions de son employeur. En outre, son point de vue, d'après lequel son comportement n'était pas de nature à détériorer le climat de travail, ne peut pas être partagé, au regard en particulier des propos sur le salaire de ses collègues frontaliers. Contrairement à ce qu'il laisse entendre à ce sujet, la cour cantonale n'avait pas à s'intéresser plus avant aux problèmes de rémunération de ces travailleurs. Par ailleurs, l'intimé n'a pas "tenté de violer le droit d'être entendu" du recourant en le convoquant le 24 février 2016 à un entretien prévu quelques heures plus tard. En effet, le droit d'être entendu garantit (notamment) au justiciable le droit de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment (p. ex: arrêt 8C_13/2015 du 28 janvier 2016 consid. 2.1), ce qui implique en cas de résiliation des rapports de service que le collaborateur dispose de suffisamment de temps pour préparer ses objections (cf. arrêt 8C_70/2018 du 13 novembre 2018 consid. 3.2). En l'espèce toutefois, la séance du 24 février 2015 avait uniquement pour objet de répondre à la demande du recourant tendant à ce qu'on lui fournisse des explications sur les nouveaux horaires de travail, comme l'a constaté la cour cantonale.
5.2. Pour le reste, le recourant revient longuement sur d'autres reproches formulés par l'intimé mais qui n'ont pas été retenus par la juridiction cantonale faute de preuve suffisante. En tant que le recourant nie le bien-fondé de ces reproches, l'argumentation ne répond pas aux exigences de motivation (topique) de l'<ref-law>, dès lors qu'à ce sujet la cour cantonale n'a pas statué sur le fond (cf. <ref-ruling>; <ref-ruling>). En outre, dans la mesure où les manquements n'ont pas été imputés au recourant, il n'y a pas lieu d'examiner les griefs de déni de justice matériel et de violation du droit de faire administrer les preuves. Enfin, la motivation contenue dans la réplique n'est pas non plus recevable, dès lors que le recourant y expose à nouveau sa propre version des circonstances, comme s'il s'adressait à une juridiction pouvant revoir librement les faits, et émet des critiques qui sont exorbitantes à l'objet du présent litige.
5.3. En conclusion, vu l'accumulation et la répétition des manquements, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en confirmant le licenciement, intervenu alors qu'un avertissement avait déjà été infligé au recourant en raison de son comportement systématiquement revendicateur, intempestif et peu respectueux. Les compétences professionnelles de celui-ci et les bons contacts entretenus avec certains des collaborateurs ne permettent pas de justifier ni d'excuser son attitude, laquelle n'a pas laissé entrevoir une quelconque remise en question ou perspective d'amélioration malgré les mises en garde.
5.4. Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Bien qu'il obtienne gain de cause, l'intimé n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 5 février 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella