Sachverhalt:
A.
Die 1965 geborene A._ ist als Mitarbeiterin des Amtes B._ angestellt und deshalb bei der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich (nachfolgend: BVK) für die berufliche Vorsorge versichert.
Im August 2014 meldete sich A._ unter Hinweis auf ein duktales Karzinom in situ (DCIS) und einen seit April 2014 bestehenden Erschöpfungszustand sowie psychische Probleme bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die BVK gewährte gestützt auf das von ihr eingeholte Gutachten des Dr. med. C._ (Facharzt für Allgemeine Innere Medizin und Kardiologie) vom 27. August 2015 ab. 1. April 2016 eine Berufsinvalidenrente aufgrund eines Invaliditätsgrades von 50 % sowie einen Überbrückungszuschuss (Mitteilung vom 1. September 2015, Entscheid vom 29. März 2016). Nachdem die IV-Stelle des Kantons Zürich ihrerseits einen Rentenanspruch mit Verfügung vom 23. Mai 2016 verneint hatte, teilte die BVK der Versicherten mit, dass die BVK die Leistungen per 30. Juni 2016 einstellen werde (Mitteilung vom 27. Mai 2016). Daran hielt die BVK mit Einspracheentscheid vom 28. Juni 2016 fest.
B.
B.a. Am 4. Oktober 2016 liess A._ Klage gegen die BVK erheben und folgende Begehren stellen:
"1. Es sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin rückwirkend ab 1. Juli 2016 eine jährliche Berufsinvalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 50 % gemäss anwendbaren reglementarischen Bestimmungen, demnach Fr. 16'528.00 pro Jahr, zzgl. 5 % Zins der verfallenen Leistungen, zu bezahlen. 2. Es sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin ab 1. Juli 2016 einen jährlichen Überbrückungszuschuss zur Invalidenrente von Fr. 13'748.00 zzgl. 5 % der verfallenen Leistungen, zu bezahlen. 3. Es sei die Beklagte zu verpflichten, das Sparguthaben der Klägerin rückwirkend ab 1. April 2016 auf der Basis des letzten versicherten Lohnes gemäss reglementarischen Bestimmungen, weiterzuführen. 4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (zzgl. MWSt.) zulasten der Beklagten."
Die BVK beantragte die Abweisung der Klage.
B.b. Am 1. Februar 2017 urteilte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich über die gegen die Verfügung der IV-Stelle vom 23. Mai 2016 erhobene Beschwerde. Es hiess diese in dem Sinne gut, als dass es die angefochtene Verfügung aufhob und die Angelegenheit zu weiteren Abklärungen an die Verwaltung zurückwies.
B.c. Mit Verfügung vom 28. Mai 2018 holte das kantonale Gericht die Akten bei der IV-Stelle ein, welche insbesondere das psychiatrische Gutachten des Dr. med. D._ vom 28. Februar 2018 beinhalten.
B.d. In der Folge gab die Vorinstanz den Parteien Gelegenheit zur Stellungnahme.
A._ ergänzte bzw. änderte ihre mit Klage erhobenen Anträge am 5. November 2018 wie folgt ab:
"1. Es sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin rückwirkend ab 1. Juli 2016 eine jährliche Berufsinvalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 50 % gemäss anwendbaren reglementarischen Bestimmungen, demnach Fr. 16'528.00 pro Jahr, zzgl. 2.25 % Zins für da Jahr 2016 und 2 % ab dem Jahr 2017 der verfallenen Leistungen, zu bezahlen. 2. Es sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin ab 1. Juli 2016 einen jährlichen Überbrückungszuschuss zur Invalidenrente von Fr. 13'748.00 zzgl. 2.25 % Zins für da Jahr 2016 und 2 % ab dem Jahr 2017 der verfallenen Leistungen, zu bezahlen. 3. Eventualiter sei die Beklagte zu verpflichten, der Klägerin vom 1. Juli 2016 bis 1. März 2018 eine Berufsinvalidenrente sowie einen Überbrückungszuschuss zur Rente basierend auf einem Invaliditätsgrad von 40 % gemäss anwendbaren reglementarischen Bestimmungen, zzgl. Verzugszins von 2.25 % im Jahr 2016 sowie 2 % ab dem Jahr 2017 auf die verfallenen Leistungen, zu bezahlen. Die Angelegenheit sei zur Durchführung einer vertrauensärztlichen Untersuchung bezüglich der cancer-related fatigue gemäss Art. 37 Abs. 2 des anwendbaren Reglements an die Beklagte zurückzuweisen. 4. Subeventualiter sei die Angelegenheit zur Durchführung einer Oberexpertise gemäss Art. 37 Abs. 3 des anwendbaren Reglements an die Beklagte zurückzuweisen."
Die BVK hielt an der Abweisung der Klage fest.
A.a. Mit Entscheid vom 27. Februar 2019 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage teilweise gut und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin über den 30. Juni 2016 hinaus bis am 30. September 2017 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 50 % eine Berufsinvalidenrente und einen Überbrückungszuschuss zuzüglich Verzugszinsen von 2,25 % bis Ende Dezember 2016 und von 2 % ab dem 1. Januar 2017 für die bis zum 4. Oktober 2016 fällig gewordenen Rentenbetreffnisse ab diesem Datum und für die übrigen ab dem jeweiligen Fälligkeitsdatum auszurichten.
B.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der vorinstanzliche Entscheid sei insoweit aufzuheben, als damit ein Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente und einen Überbrückungszuschuss ab 1. Oktober 2017 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 50 % verneint werde. Die Angelegenheit sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese die Rechtsbegehren Nr. 3 der Klageschrift (betreffend Weiterführung des Sparguthabens) und die Rechtsbegehren Nr. 3 und 4 ihrer Stellungnahme vom 5. November 2018 (betreffend Rente und Überbrückungszuschuss nach Juni 2016 und betreffend Oberexpertise) behandle. Eventualiter sei die BVK zu verpflichten, gestützt auf Art. 37 Abs. 2 des anwendbaren Reglements eine vertrauensärztliche Untersuchung bezüglich der cancer-related fatigue durchzuführen, subeventualiter habe die BVK eine Oberexpertise einzuholen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist ein reformatorisches Rechtsmittel (Art. 107 Abs. 2 BGG), weshalb auch ein Rechtsbegehren reformatorisch gestellt sein muss. Ein rein kassatorisches Begehren ist jedoch zulässig, wenn das Bundesgericht ohnehin nicht in der Sache entscheiden könnte. Dies ist namentlich bei einer vor Bundesgericht nicht heilbaren Gehörsverletzung (Urteil 2C_1109/2018 vom 13. Februar 2019 E. 1.2) oder bei einer ungenügenden Sachverhaltsabklärung durch die Vorinstanz (Urteil 8C_135/2017 vom 4. September 2017 E. 1 mit Hinweisen) der Fall. Auf die Beschwerde, mit der diese Rügen erhoben werden, ist deshalb einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Die Ergebnisse der Beweiswürdigung im Allgemeinen und die auf der Würdigung ärztlicher Berichte und Gutachten beruhenden gerichtlichen Feststellungen zum Gesundheitsschaden und zur (Rest-) Arbeitsfähigkeit im Besonderen sind tatsächlicher Natur (<ref-ruling> E. 3.2 S. 398 f.) und einer bundesgerichtlichen Korrektur somit nur nach Massgabe von Art. 105 Abs. 2 BGG zugänglich (E. 2.1).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, die Vorinstanz habe sich zu ihrem Antrag 3 in der Klage auf Fortführung des Sparguthabens ab 1. April 2016 mit keinem Wort geäussert. Mit ihrer Stellungnahme vom 5. November 2018 sei dieser nicht zurückgezogen worden. Das kantonale Gericht habe deshalb das rechtliche Gehör verletzt. Weiter rügt sie eine Verletzung des Gehörsanspruchs, weil sich die Vorinstanz nicht mit der von ihr in der Stellungnahme vom 5. November 2018 beantragten Rückweisung an die BVK zur vertrauensärztlichen Untersuchung befasst habe.
3.2. Die Begründungspflicht (als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV) gebietet, dass das Gericht die Überlegungen nennt, von denen es sich hat leiten lassen, damit der Entscheid sachgerecht angefochten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen).
3.3.
3.3.1. Es trifft zu, dass die Vorinstanz in den Erwägungen und dem Dispositiv auf den Antrag auf Fortführung des Sparguthabens ab 1. April 2016 nicht einging. Einzig im Sachverhalt des angefochtenen Entscheids legte das Gericht dar, die Beschwerdeführerin habe in ihrer Stellungnahme vom 5. November 2018 den Klageantrag 3 nicht mehr angefü hrt. Aus dieser Ausführung erschliesst sich jedoch nicht, ob die Vorinstanz von einem teilweisen Klagerückzug ausging (vgl. <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 17 f.; Urteil 5A_898/2017 vom 11. Januar 2018 E. 4.2) oder aus Versehen dieses Rechtsbegehren nicht behandelte. Der vorinstanzliche Entscheid ist insoweit mangelhaft begründet und die Sache ist in diesem (Neben-) Punkt an die Vorinstanz zurückzuweisen. Soweit die Beschwerdeführerin aus diesem Grund insgesamt eine Aufhebung des kantonalen Entscheids verlangt, kann dem nicht gefolgt werden, tangiert doch der nicht behandelte Antrag den Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente und einen Überbrückungszuschuss nicht. Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin rechtfertigt es sich daher nicht, den angefochtenen Entscheid in seiner Gesamtheit aufzuheben.
3.3.2. Betreffend die weitere geltend gemachte Verletzung des Gehörsanspruchs - Antrag auf Rückweisung zur Oberbegutachtung -, hat die Vorinstanz den massgeblichen Sachverhalt als genügend abgeklärt beurteilt. Sie hat erwogen, dass aus einer allfälligen krebsbezogenen somatischen Störung gemäss den von Dr. med. D._ erhobenen Befunden eine Einschränkung von weniger als 20 % resultiere. Diese maximale Arbeitsunfähigkeit von 20 % sei nicht geeignet einen weiteren Leistungsanspruch zu begründen, da ein solcher eine mindestens 25%ige Arbeitsunfähigkeit voraussetze. Dem angefochtenen Entscheid lässt sich somit entnehmen, welche Überlegungen ihm zugrunde liegen. Der Gehörsanspruch wird nicht verletzt, wenn das Gericht nach Würdigung der Beweise zur Überzeugung gelangt, eine weitere Beweisabnahme vermöge daran nichts zu ändern (für viele: Urteil 9C_400/2012 vom 4. April 2013 E. 6.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Eine Verletzung des rechlichen Gehörs liegt hier nicht vor.
4.
Die Beschwerdeführerin vertritt weiter die Ansicht, die Vorinstanz habe gegen den Untersuchungsgrundsatz verstossen. Der somatische Gesundheitszustand bedürfe zusätzlicher Abklärungen, nachdem Dr. med. D._ den Verdacht auf eine krebsbezogene Müdigkeit erhoben habe. Die Abklärungen durch den Psychiater Dr. med. D._ genügten nicht, da dieser diese Beschwerden, weil fachfremd, nicht habe beurteilen können.
Mit diesen Vorbringen setzte sich bereits das kantonale Gericht auseinander. Es erachtete die Abklärungen durch Dr. med. D._ als hinreichend, da aus den von ihm beschriebenen Befunden eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von weniger als 20 % resultiere. Diese Schlussfolgerung verletzt, wie im Nachfolgenden dargelegt wird, kein Bundesrecht: Dr. med. D._ hielt fest, die von der Beschwerdeführerin beschriebene vorzeitige Ermüdbarkeit lasse sich in den Alltagsschilderungen nur geringfügig nachvollziehen, insbesondere nicht während den Ferien und sozialen Aktivitäten. Eine Müdigkeit am Nachmittag, insbesondere nach 4,5 Stunden anstrengender Arbeit und einem Mittagessen (postprandiales Tief), die über einen Mittagsschlaf kompensiert werde, sei nichts Ungewöhnliches. Die Nachmittagsmüdigkeit wie auch die verstärkte Einschlafneigung am Abend nehme mit dem Alter auch zu. Es sei verständlich, dass die Versicherte diese physiologische Veränderung der Krebserkrankung zuschreibe - im Kern sei es aber ein normaler physiologischer Prozess. Eine Neurasthenie sowie psychisch bedingte Einschränkung verneinte der Gutachter. Weiter legte Dr. med. D._ mit Blick darauf, dass eine Müdigkeit auch somatische Ursachen haben könne, dar, dass mit den von ihm erhobenen Befunde bezüglich Aktivitätsniveau eine Einschränkung von bis zu weniger als 20 % vereinbar sei. Eine subjektive Müdigkeit könnte durch eine Schlafapnoe, Übergewicht oder andere somatische, insbesondere auch einer krebsbezogenen Ursache, plausibilisiert werden. Den Entstehungsgrund (Ätiologie) der Müdigkeit könne er jedoch nicht beurteilen, weil fachfremd. Dr. med. D._ befasste sich mit der von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Müdigkeit und der daraus resultierenden Einschränkung der Arbeitsfähigkeit eingehend. Er hat die massgebenden Befunde, auch wenn diesen eine mittelbar somatische Ursache zugrunde liegen sollte, umfassend erhoben und aufgrund dessen war er in der Lage, eine dadurch bedingte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit einzuschätzen. Die darauf beruhende Beweiswürdigung der Vorinstanz ist nicht willkürlich.
5.
Die Beschwerde ist betreffend eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Zusammenhang mit dem Antrag auf Fortführung des Sparguthabens ab 1. April 2016 gutzuheissen. Im Übrigen ist die Beschwerde jedoch unbegründet. Auf einen Schriftenwechsel wird angesichts dieses Verfahrensausgangs, der in Bezug auf die teilweise Gutheissung der Beschwerde einen formellen Hintergrund aufweist, verzichtet. Die Einholung einer Vernehmlassung zur Beschwerde käme einem Leerlauf gleich und würde nur weitere Kosten verursachen. Damit ist ein Schriftenwechsel aus Gründen der Prozessökonomie nicht erforderlich (Art. 102 Abs. 1 BGG; vgl. statt vieler Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 2.2 in fine).
6.
Nach dem Verfahrensausgang rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten (Art. 65 Abs. 1 und Abs. 4 lit. a BGG) den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Aus dem selben Grund steht der Beschwerdeführerin gegenüber der BVK eine reduzierte Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Das Bundesgericht erkennt:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 27. Februar 2019 wird, soweit er die Weiterführung der Sparguthaben betrifft, aufgehoben. Die Sache wird im Sinne der Erwägung 3.3.1 zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden zu Fr. 400.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 400.- der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Juli 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Möckli