Faits :
A.
A._, né en 1951, travaillait en qualité de plâtrier-peintre auprès de la société B._ Sàrl. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA). Selon les déclarations d'accident des 2 et 12 novembre 2015, l'assuré a subi le 26 juillet 2015 une contusion de la jambe droite en voulant "enlever un scotch sur une petite échelle".
Par décision du 7 juillet 2016, confirmée sur opposition le 12 août suivant, la CNA a refusé d'allouer ses prestations au motif que A._ avait donné des renseignements contradictoires et incohérents qui ne permettaient pas de rendre vraisemblable la survenance d'un événement assuré.
B.
Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura l'a rejeté par jugement du 12 juin 2018.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant à ce que la CNA soit tenue d'accorder des prestations pour l'accident dont il affirme avoir été victime le 26 juillet 2015. Il conclut également au renvoi de la cause à l'autorité intimée afin qu'elle statue à nouveau sur le sort des frais et dépens de la procédure cantonale.
La cour cantonale conclut au rejet du recours, tandis que l'intimée et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la juridiction cantonale était fondée à confirmer le refus de l'intimée d'allouer au recourant des prestations de l'assurance-accidents.
3.
Selon l'art. 61 let. c LPGA, le tribunal établit avec la collaboration des parties les faits déterminants pour la solution du litige; il administre les preuves nécessaires et les apprécie librement.
Dans le domaine des assurances sociales, la procédure est régie par le principe inquisitoire, d'après lequel les faits pertinents de la cause doivent être constatés d'office par le juge. Mais ce principe n'est pas absolu. Sa portée est restreinte par le devoir des parties de collaborer à l'instruction de l'affaire. Celui-ci comprend en particulier l'obligation des parties d'apporter, dans la mesure où cela peut être raisonnablement exigé d'elles, les preuves commandées par la nature du litige et des faits invoqués, faute de quoi elles risquent de devoir supporter les conséquences de l'absence de preuves (<ref-ruling> consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130I 180 consid. 3.2 p. 183).
En ce qui concerne la preuve, le juge des assurances sociales fonde sa décision, sauf dispositions contraires de la loi, sur les faits qui, faute d'être établis de manière irréfutable, apparaissent comme les plus vraisemblables, c'est-à-dire qui présentent un degré de vraisemblance prépondérante. Il ne suffit donc pas qu'un fait puisse être considéré seulement comme une hypothèse possible. Parmi tous les éléments de fait allégués ou envisageables, le juge doit, le cas échéant, retenir ceux qui lui paraissent les plus probables (<ref-ruling> consid. 1 p. 438; <ref-ruling> consid. 5b p. 360; <ref-ruling> consid. 2 p. 195; cf. <ref-ruling> consid. 3.2 et 3.3 p. 324 s.). Il n'existe pas, en droit des assurances sociales, un principe selon lequel l'administration ou le juge devrait statuer, dans le doute, en faveur de l'assuré.
Par ailleurs, il incombe à celui qui prétend des prestations de l'assurance-accidents de rendre plausible que les éléments d'un accident sont réunis. S'il ne satisfait pas à cette exigence, en donnant des indications incomplètes, imprécises ou contradictoires, qui ne rendent pas vraisemblable l'existence d'un accident, l'assurance n'est pas tenue de prendre en charge le cas (<ref-ruling> consid. 4b p. 140 et les références).
4.
4.1. Les premiers juges ont constaté plusieurs éléments troublants propres à faire naître de sérieux doutes sur la réalité de l'accident annoncé. Il s'était notamment écoulé plusieurs mois avant que le recourant ne l'annonce à l'assureur-accidents. En outre, d'après les renseignements pris par l'intimée auprès de l'hôpital C._, le recourant n'avait pas consulté les urgences de cet établissement quelques jours après le prétendu accident, contrairement à ce qu'il avait déclaré. Il existait aussi des contradictions quant à la date à laquelle l'assuré aurait consulté le docteur D._, spécialiste en médecine générale et médecin traitant. De plus, le taux d'incapacité de travail du recourant avait varié de manière incohérente et sans justification. Le jour de la survenance alléguée de l'accident, soit un dimanche, alors même que l'assuré était en incapacité de travail à 80 %, laissait également songeur. Enfin, le fait que, parallèlement à l'accident supposé, le recourant s'était vu supprimer ses indemnités journalières pour cause de maladie et qu'il avait annoncé le cas à l'intimée le même jour que son audition par un inspecteur des sinistres de l'assureur-maladie, suscitait des interrogations, alors que le recourant était à une année de l'âge de la retraite. Seuls les résultats des IRM pratiquées en août 2015 mettant en évidence une rupture du ménisque étaient susceptibles de rendre vraisemblable la survenance d'un événement accidentel. L'origine de cette affection n'était toutefois pas documentée et pouvait aussi bien être de nature maladive, respectivement dégénérative, en particulier vu l'âge du recourant. Aussi, la cour cantonale a-t-elle retenu que l'existence d'un accident n'avait pas été établie au degré de preuve requis.
4.2. Le recourant invoque une violation du droit fédéral et une appréciation arbitraire des faits et des preuves. Il soutient tout d'abord que les différents médecins consultés ont confirmé qu'il avait été victime d'un accident le 26 juillet 2015, lequel avait engendré une rupture du ménisque qui, selon lui, ne peut pas avoir une origine maladive. Il fait ensuite valoir que s'il a annoncé l'événement accidentel de manière tardive, c'est "parce qu'il n'était pas au clair avec toutes les subtilités du système suisse" et pensait qu'un certificat médical établi par son médecin traitant le 24 août 2015 était suffisant. Par ailleurs, si la déclaration selon laquelle il s'était rendu aux urgences quelques jours après l'accident était effectivement erronée, elle ne constituait cependant pas une fausse déclaration intentionnelle mais résultait d'une simple confusion. Se référant au "rapport médical initial LAA" établi par le docteur D._ le 14 décembre 2015, le recourant affirme avoir consulté son médecin traitant le jour du prétendu accident. Il soutient par ailleurs que la variation du taux d'incapacité de travail peut s'expliquer par le fait qu'il souffrait également d'allergies incapacitantes. Enfin, il estime qu'il n'y a rien d'incohérent à se rendre sur un chantier un jour de repos pour un chef d'entreprise.
4.3. En l'occurrence, les médecins consultés après le 26 juillet 2015 se sont fondés sur les seules déclarations du recourant pour indiquer qu'il avait été victime d'un accident en juillet 2015, ce qui ne suffit pas pour rendre vraisemblable la survenance de celui-ci. On ne peut pas non plus se fonder sur le seul diagnostic de rupture du ménisque - lésion qui comme l'a relevé la juridiction cantonale peut aussi bien être d'origine dégénérative - pour retenir l'existence d'un accident. Pour le surplus, les arguments du recourant ne permettent pas d'expliquer et encore moins de justifier les incohérences relevées par les premiers juges. Par exemple, il apparaît peu vraisemblable que le recourant ignorât que l'accident devait être annoncé à l'intimée alors qu'il est employé de sa propre entreprise. Quant au certificat médical du 24 août 2015, il ne paraît pas avoir été adressé à l'assureur puisqu'il porte en en-tête la mention "à qui de droit". En outre, alors que le recourant soutient avoir eu contact avec le docteur D._ le jour du prétendu accident, il n'explique pas pourquoi il a déclaré dans un premier temps - de manière contradictoire - ne s'être rendu ni chez le médecin ni à l'hôpital immédiatement après l'événement accidentel allégué (cf. PV d'audition du 14 décembre 2014). Pour le reste, on peut renvoyer aux considérants du jugement attaqué, les explications du recourant n'étant pas convaincantes.
Vu ce qui précède, l'existence d'un accident n'apparaît pas vraisemblable au degré requis par la jurisprudence (cf. consid. 3). C'est dès lors à bon droit que la juridiction précédente a nié le droit du recourant aux prestations de l'assurance-accidents.
5.
Partant, le recours se révèle mal fondé et doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais de justice (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 22 janvier 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Paris