Erwägungen:
1.
1.1. Am 25. November 2020 reichte die B._ GmbH & Co. KG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) mit Sitz in Deutschland beim Handelsgericht des Kantons Zürich eine Klage gegen die A._ Inc. (Beklagte, Beschwerdeführerin) mit Sitz in den Vereinigten Staaten von Amerika ein.
Mit Eingabe vom 14. Oktober 2021 erhob die Beklagte die Einrede der Unzuständigkeit und machte darüber hinaus geltend, die "verfahrenseinleitenden Schriftstücke" seien ihr nicht ordnungsgemäss zugestellt worden. Sie stellte folgende Anträge:
"1. Das Verfahren sei vorab auf die Frage der Zuständigkeit des Handelsge richts Zürich zu beschränken;
2. Auf die Klage sei mangels Zuständigkeit des Handelsgerichts Zürich nicht einzutreten;
3. a) Eventualiter sei das Verfahren auf die Frage der ordnungsgemässen Zu stellung der verfahrenseinleitenden Schriftstücke zu beschränken;
b) Eventualiter sei das verfahrenseinleitende Schriftstück sei [sic] ordnungsgemäss zuzustellen und der Beklagten sei eine (neue) Frist für die Einreichung der Klageantwort ab ordnungsgemässer Zustellung anzusetzen;
4. Subeventualiter sei der Beklagten die Frist zur Einreichung der Klage antwort abzunehmen und neu anzusetzen;
5. Subsubeventualiter sei eine Nachfrist für die Klageantwort anzusetzen;
[Kosten- und Entschädigungsfolgen]."
1.2. Mit Beschluss vom 4. November 2021 entschied das Handelsgericht - soweit hier interessierend - was folgt:
"1. Die Unzuständigkeitseinrede der Beklagten wird abgewiesen.
2. Die Eventualanträge und der Subeventualantrag der Beklagten werden ab gewiesen.
3. Der Beklagten wird eine einmalige, kurze Nachfrist bis zum 29. November 2021 angesetzt, um ihre <ref-law> entsprechende Klageantwort in fünffacher A u sfertigung einzureichen; die Beilagen sind der Klage antwort (einschliesslich Verzeichnis der Beweismittel) in zweifacher Ausferti gung beizulegen.
Bei Säumnis wird das Gericht entweder einen Endentscheid treffen, sofern die Angelegenheit spruchreif ist, oder zur Hauptverhandlung vorladen."
In Bezug auf die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 erwog die Vorinstanz, der Beschwerdeführerin sei die Klageschrift samt Verfügung mit Fristansetzung zur Klageantwort ordnungsgemäss auf dem Rechtshilfeweg zugestellt worden, und zwar spätestens am 26. Juli 2021. Entsprechend sei die Frist zur Klageantwort in diesem Zeitpunkt ausgelöst worden. Die Beschwerdeführerin habe innert mittlerweile verstrichener Frist keine Klageantwort eingereicht, weshalb gestützt auf <ref-law> eine kurze Nachfrist anzusetzen sei.
1.3. Die Beklagte verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 15. November 2021, die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 des angefochtenen Beschlusses seien aufzuheben. Das Verfahren vor Handelsgericht sei auf die Frage der ordnungsgemässen Zustellung der "ersten verfahrenseinleitenden Schriftstücke" zu beschränken und die "ersten verfahrenseinleitenden Schriftstücke" seien durch die Vorinstanz ordnungsgemäss zuzustellen. Das Handelsgericht habe ihr eine neue Frist zur Klageantwort ab ordnungsgemässer Zustellung anzusetzen. Ausserdem ersuchte sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
Am 17. November 2021 ordnete das Bundesgericht an, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um Gewährung der aufschiebenden Wirkung alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben hätten.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Dispositiv-Ziffer 1 des vorinstanzlichen Beschlusses, in der das Handelsgericht über die Zuständigkeit entschied, wird in der Beschwerde nicht angefochten.
2.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich einzig gegen die Dispositiv-Ziffern 2 und 3 des Beschlusses. Darin wies das Handelsgericht im Wesentlichen den Antrag der Beschwerdeführerin ab, das "verfahrenseinleitende Schriftstück [...] ordnungsgemäss zuzustellen und der Beklagten [...] eine (neue) Frist für die Einreichung der Klageantwort anzusetzen". Ausserdem setzte es eine Nachfrist zur Klageantwort an. Insoweit handelt es sich beim angefochtenen Beschluss um einen Vor- und Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law>.
2.3. Davon geht denn auch die Beschwerdeführerin aus. Sie bringt vor, die Beschwerde sei gestützt auf <ref-law> zulässig:
2.3.1. Nach dieser Bestimmung kann ein selbständig eröffneter Vor- und Zwischenentscheid angefochten werden, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dabei muss es sich um einen Nachteil rechtlicher Natur handeln, der auch durch einen für die beschwerdeführende Partei günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann, wogegen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht ausreichen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479; <ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen). Dass im konkreten Fall ein derartiger Nachteil droht, ist in der Beschwerdebegründung aufzuzeigen, andernfalls auf die Beschwerde nicht einzutreten ist (BGE <ref-ruling> E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen).
2.3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihr drohe insofern ein Nachteil, als sie "bei einer Fortsetzung des vorinstanzlichen Ver fahrens [...] in ein Klageverfahren gezwungen würde und ihr fristwahrende Handlungen (wie die Einreichung einer materiellen Klage antwort) auferlegt würden, obwohl bei zutreffender Betrachtungsweise angesichts der mangelhaften Eröffnung der ersten verfahrenseinleitenden Schriftstücke noch gar keine Fristen zu laufen begonnen hätten".
Damit zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf, inwiefern der angefochtene Beschluss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur im eben dargestellten Sinne bewirken kann. Die Rüge der nicht rechtskonformen Zustellung der "verfahrenseinleitenden Schriftstücke" könnte jedenfalls auch mit der Beschwerde gegen den Endentscheid vorgetragen werden (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin verweist auf das bundesgerichtliche Urteil 4A_141/2015 vom 25. Juni 2015 E. 3, das indes weder einen Zusammenhang mit <ref-law> aufweist noch sonst einschlägig wäre.
Auf die Beschwerde kann nicht eingetreten werden.
3.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung - dem das Bundesgericht im Sinne einer superprovisorischen Massnahme entsprochen hatte - gegenstandslos.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die - allerdings reduzierten - Gerichtskosten gemäss <ref-law> der Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern hatte, ist für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich, der Beschwerdegegnerin unter Zusendung von act. 13 f. zur Kenntnisnahme, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle