Sachverhalt:
A.
B._ schloss in eigenem Namen bzw. namens der C._ GmbH, bei welcher er Gesellschafter und Geschäftsführer mit Einzelunterschrift war, im Oktober 2003, März bzw. April 2004 mit D._, E._ sowie A._ Verträge ab, welche die Vermögensverwaltung der auf Konten bzw. Depots bei der F._ AG befindenden Vermögenswerte dieser Personen zum Inhalt hatten. Dazu erteilten sie B._ resp. der C._ GmbH gegenüber der F._ AG eine umfassende und uneingeschränkte Vollmacht.
Von Oktober 2003 bis April 2005 traf B._ resp. die C._ GmbH diverse Anlageentscheide bezüglich der ihm überlassenen Vermögenswerte. Für seine Vermögensverwaltungstätigkeit war ein Honorar von 0.5 % pro Jahr auf dem durchschnittlichen Vermögen der Kunden vorgesehen. Weiter erhielt B._ bzw. die C._ GmbH Retrozessionen, die ihm bzw. der C._ GmbH gestützt auf eine Vereinbarung mit der F._ AG zustanden. Die Vermögensverwaltungstätigkeit von B._ führte zu erheblichen Vermögensverlusten, so dass ihm die vorerwähnten Kunden das Vermögensverwaltungsmandat entzogen und die gegenüber der Bank erteilte Vollmacht widerriefen.
Unter dem Titel qualifizierte ungetreue Geschäftsbesorgung wird B._ zusammengefasst vorgeworfen, er habe durch die übermässige Umschichtung der Anlagekonten von A._, E._ und D._ sowie durch wirtschaftlich sinnlose Transaktionen seine Treue- und Sorgfaltspflicht verletzt. Er habe mit dem Ziel gehandelt, möglichst umfangreiche Retrozessionen von der F._ AG zu erhalten und damit ein Einkommen zu erzielen. Gegenüber E._ habe er seine Treuepflicht auch durch mangelnde Transparenz verletzt. Unter dem Titel Veruntreuung, eventualiter ungetreue Geschäftsbesorgung, wird B._ vorgeworfen, er habe über die bei seiner Handelstätigkeit mit dem Kundenvermögen von A._ empfangenen Retrozessionen keine Rechenschaft abgelegt und diese Entschädigung seinem Kunden auch nicht herausgegeben.
B.
Das Bezirksgericht Zürich erklärte B._ mit Urteil vom 16. Dezember 2014 der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung und der mehrfachen qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung schuldig. Es verurteilte ihn zu einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von zwei Jahren. Es entschied über die Schadenersatzforderungen von A._ und E._, sah von der Verpflichtung zur Leistung einer Ersatzforderung an den Staat ab und regelte die Kosten- sowie Entschädigungsfolgen.
Das Obergericht des Kantons Zürich stellte mit Urteil vom 25. September 2018 die Rechtskraft des bezirksgerichtlichen Entscheids in Bezug auf die Verweisung der Zivilklage von E._ auf den Weg des Zivilprozesses und das Absehen von der Verpflichtung zur Leistung einer Ersatzforderung an den Staat fest. Es sprach B._ von den Vorwürfen der mehrfachen qualifizierten Veruntreuung und der mehrfachen qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung frei. Weiter verwies es die Zivilklage von A._ auf den Weg des Zivilprozesses.
C.
A._ (Verfahren 6B_1113/2018) und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich (Verfahren 6B_1139/2018) führen Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragen im Wesentlichen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. September 2018 sei aufzuheben und die Sache sei zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.
Das Obergericht des Kantons Zürich verzichtet auf eine Stellungnahme zur Beschwerde von A._ und zu derjenigen der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich. B._ beantragt die Abweisung der Beschwerden. Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich stellt in ihrer Vernehmlassung zur Beschwerde von A._ den Antrag, seine Beschwerde sei gutzuheissen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht vereinigt me hrere Verfahren, wenn sie in einem engen sachlichen Zusammenhang stehen, namentlich wenn sie sich gegen denselben Entscheid richten und wenn sie die gleichen Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen betreffen (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 217; <ref-ruling> E. 1 S. 60 f.). Dies ist vorliegend der Fall. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Entscheid zu behandeln.
2.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen unter Vorbehalt gewisser Ausnahmen nur berechtigt, wenn sie im kantonalen Verfahren adhäsionsweise Zivilansprüche geltend gemacht hat und der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung dieser Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 439).
Der Beschwerdeführer hat sich im Strafverfahren gegen den Beschwerdegegner als Straf- und Zivilkläger konstituiert. Er hat eine Schadenersatzforderung gestellt, welche im erstinstanzlichen Urteil im Umfang von Fr. 806'146.--, nebst Zins zu 5 % seit 17. November 2004, gutgeheissen, im angefochtenen Entscheid infolge des Freispruchs des Beschwerdegegners jedoch auf den Zivilweg verwiesen wurde. Das angefochtene Urteil wirkt sich mithin auf die Zivilforderung des Beschwerdeführers aus. Er ist zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert.
3.
3.1.
3.1.1. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen den Freispruch des Beschwerdegegners vom Vorwurf der mehrfachen qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung und gegen den vorinstanzlichen Kostenentscheid. Sie rügt in verfahrensrechtlicher Hinsicht, die Vorinstanz komme zum Schluss, (1) die Beurteilung der von der Staatsanwaltschaft als wirtschaftlich unsinnig erachteten Transaktionen, (2) die Frage, welcher Anteil des verwalteten Vermögens von D._ in Derivate investiert worden sei und (3) die Beurteilung "von weiteren Kriterien" betreffend übermässige Umschichtung, sei ohne entsprechendes Fachwissen nicht möglich. Wenn die Vorinstanz der Auffassung sei, dass für die Einschätzung der in der Anklageschrift in den Anhängen 1-3 aufgeführten, nicht im Interesse der Kunden liegenden Transaktionen ein Gutachten notwendig sei, dann hätte sie dieses in Auftrag geben müssen. Ihre Begründung, weshalb sie es nicht tue, verletze Art. 6 und Art. 389 StPO. Es sei unrichtig und mithin willkürlich, dass jetzt kein Gutachten mehr eingeholt werden könne. Es sei zwar zutreffend, dass das Kriterium von wirtschaftlich sinnlosen Transaktionen einen von mehreren Aspekten bei der Beurteilung von Kommissionsreiterei darstelle. Aus den Erwägungen im angefochtenen Entscheid gehe aber hervor, dass die Vorinstanz diesem Punkt eine so entscheidende Bedeutung beimesse, dass sie die angeklagten Vorwürfe als nicht erwiesen erachte. Umso mehr hätte sich im Sinne von <ref-law> aufgedrängt, eine Expertise zu veranlassen. Es sei nicht richtig, dass die Parteien die Ausdehnung bzw. Ergänzung des Beweisverfahrens grundsätzlich abgelehnt hätten: Die Beschwerdeführerin habe in der Vernehmlassung diesbezüglich einen Eventualantrag gestellt. Im Übrigen erhebe die Rechtsmittelinstanz die allenfalls erforderlichen Beweismittel gemäss <ref-law> nicht nur auf Antrag einer Partei sondern auch von Amtes wegen. Schliesslich könne eine durch ein Gutachten verursachte weitere Verfahrensverzögerung nicht dazu führen, dass das Verfahren mit einem Freispruch ende, sofern die Vorinstanz im Gegensatz zur ersten Instanz den Gesichtspunkt der wirtschaftlich sinnlosen Transaktionen nicht für erwiesen und ein diesbezügliches Gutachten für unerlässlich halte (Beschwerde S. 4 ff.).
3.1.2. Der Beschwerdeführer rügt unter anderem eine Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren und des Untersuchungsgrundsatzes. Er macht im Wesentlichen geltend, die Beurteilung der fraglichen Transaktionen setze richtigerweise keine besonderen Kenntnisse oder Fertigkeiten voraus. Entgegen der Ansicht der Vorinstanz würden die zahlreichen Transaktionen ein klares Zeugnis über ein Handeln ohne Konzept und Strategie abgeben. Die Feststellung der Vorinstanz, es könne auf die Einholung eines Gutachtens verzichtet werden, obschon sie zur Auffassung gelange, es sei von Belang, ob die in den Anhängen 4-6 der Anklage aufgeführten Transaktionen unnötig bzw. wirtschaftlich komplett sinnlos seien und damit den Interessen der Kunden zuwiderlaufen würden, sei daher unhaltbar und willkürlich. Ein Gutachten sei geeignet, den fraglichen Beweis zu erbringen. Das Berufungsverfahren habe 3 1⁄2 Jahre gedauert. Es sei nicht nachvollziehbar, warum die Vorinstanz keine Expertise in Auftrag gebe, wenn sie davon überzeugt sei, dass dies für die Beweisführung unabdingbar wäre (Beschwerde S. 7 ff.).
3.1.3. Der Beschwerdegegner führt in seinen Vernehmlassungen aus, er setze sich nicht gegen eine gutachterliche Expertise zur Wehr. Immerhin habe er ein Sachverständigengutachten eventualiter bereits vor Vorinstanz beantragt. Denselben Antrag habe im Übrigen ebenso der Beschwerdeführer während der Strafuntersuchung gestellt. Auch die Staatsanwaltschaft habe sich im vorinstanzlichen Verfahren auf den Standpunkt gestellt, es sei ein Gutachten einzuholen, sollte die Vorinstanz das Beweisverfahren nicht als ausreichend erachten. Sollte das Bundesgericht die Beschwerde nicht abweisen, so sei die Sache daher zur Einholung eines Sachverständigengutachtens und zur neuen Beurteilung zurückzuweisen (Vernehmlassung, act. 13 im Verfahren 6B_1113/2018 S. 12 f.; Vernehmlassung, act. 9 im Verfahren 6B_1139/2018 S. 9).
3.2. Die Vorinstanz erwägt, die Beantwortung der Frage, ob es sich bei den in den Anhängen 4-6 der Anklageschrift aufgeführten Transaktionen um aus Kundensicht unnötigen und wirtschaftlich keinen Sinn ergebenden Börsentransaktionen handle, erfordere Fachwissen (Urteil S. 40 E. 6.5). Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich (Wirtschaftsdelikte) habe zwar fachkundige Personen zur Seite. Die in Zusammenarbeit mit diesen Personen vorgenommenen Abklärungen und Beurteilungen seien indessen lediglich Parteibehauptungen. Der vorhandene Sachverstand dieser Behörde bzw. deren sachkundigen Mitarbeitenden ändere damit nichts daran, dass zur Feststellung und Beurteilung des Sachverhalts eine unabhängige sowie prozessual korrekt instruierte sachverständige Person beizuziehen gewesen wäre. Dasselbe gelte mit Bezug auf allenfalls vorhandenes Sachwissen seitens der ersten Instanz (Urteil S. 40 E. 6.5.2). Dass sich die Staatsanwaltschaft im Berufungsverfahren auf den Standpunkt stelle, Sachverständigenwissen sei nicht erforderlich, erstaune angesichts der Tatsache, dass dieser Behörde verschiedene Sachverständigen zur Seite stünden, die nicht nur Berichte verfassen würden, sondern - wie hier geschehen - auch bei den durchzuführenden Befragungen tätig seien. Auch der Vertreter des Privatklägers habe sich im Berufungsverfahren auf den Standpunkt gestellt, die sich stellenden Fragen würden kein Sachverständigenwissen erfordern. Indes sei in Erinnerung zu rufen, dass es derselbe Vertreter gewesen sei, der früher selber den Antrag auf Einholung eines unabhängigen Gutachtens gestellt habe. All dies zeige die Notwendigkeit von fachkundiger Unterstützung für die Beurteilung der in den Anhängen 4-6 der Anklage aufgeführten Transaktionen auf (Urteil S. 40 f. E. 6.5.3). Es sei evident, dass die Beurteilung der durch den Beschwerdegegner vorgenommenen Transaktionen und der gemäss Anklage in den Transaktionsblocks als sinnlos bezeichneten Trades in jeder Hinsicht sachverständiges Wissen voraussetzen würden. Verteidigung und Staatsanwaltschaft würden einander auch vor Berufungsgericht Ahnungslosigkeit vorwerfen. Ohne Erstellung einer Expertise sei daher eine Beurteilung der gemäss Anklage lit. B VI Ziff. 65-68 erhobenen Vorwürfe der Treue- und Sorgfaltspflichtverletzung ebenso wenig möglich wie die Überprüfung und Verifizierung der Behauptungen der Verteidigung. Dass die auf Wirtschaftsstraffälle spezialisierte Anklagebehörde intern "Experten" beschäftige und auf deren Fachwissen während der Untersuchungsführung greifen könne, ändere nichts daran, denn die in der Anklage aufgenommenen Transaktionsblocks sowie die darin aufgeführten Schlussfolgerungen würden keine Beweismittel darstellen, sondern lediglich Parteivorbringen (Urteil S. 43 E. 6.5.6). Daher stelle sich die Frage, ob solche fachkundigen Abklärungen noch einzuholen seien. In diesem Zusammenhang sei zu berücksichtigen, dass die gemäss Anklage aus Kundensicht unnötigen und wirtschaftlich keinen Sinn ergebenden Börsentransaktionen im Zeitraum Juli 2004 bis April 2005 erfolgt seien, mithin vor beinahe 14 Jahren, so dass äusserst fraglich sei, ob von einem entsprechenden Auftrag (Gutachten) in allen Punkten noch Klarheit erwartet werden könne. Von solchen Weiterungen sei im jetzigen Zeitpunkt aber auch deshalb abzusehen, weil sich in diesen Transaktionen nach Ansicht der Anklagebehörde bloss exemplarisch die zahlenmässig mittels der Analyse der Kennzahlen der Handelstätigkeit belegte übermässige Umschichtung der Depots der drei Geschädigten, mithin zusätzlich, manifestiere bzw. das Kriterium der wirtschaftlichen Sinnlosigkeit lediglich ein Gesichtspunkt von vielen bei der Beurteilung der Handelstätigkeit darstelle. Nach über 14-jähriger Verfahrensdauer sei auch unter dem Aspekt des Beschleunigungsgebots auf die Einholung eines Gutachtens zu verzichten, zumal ein solcher Auftrag eine zusätzliche Verfahrensverzögerung bedeuten würde. Schliesslich lehne auch jede Partei die Ausdehnung bzw. Ergänzung des Beweisverfahrens grundsätzlich ab (Urteil S. 44 E. 6.6). Gewiss sei von Belang, ob die in den Anhängen 4-6 der Anklage aufgeführten Transaktionen unnötig bzw. wirtschaftlich komplett sinnlos seien und damit den Interessen der Kunden zuwiderlaufen würden. Diese Frage könne aber ohne Sachkunde aufgrund der Akten und der diversen Parteivorbringen nicht einfach zulasten des Beschwerdegegners bejaht werden. Damit sei zu Gunsten des Beschwerdegegners davon auszugehen, dass der Sachverhalt gemäss Anklage lit. B. VI und Anhänge 4-6 nicht erstellt sei, womit dem Beschwerdegegner diesbezüglich auch keine Verletzung der Treue- und Sorgfaltspflicht vorgeworfen werden könne (Urteil S. 45 E. 6.7).
3.3.
3.3.1. Gemäss <ref-law> beruht das Rechtsmittelverfahren grundsätzlich auf den Beweisen, die im Vorverfahren und im erstinstanzlichen Hauptverfahren erhoben worden sind. Dieser Grundsatz gelangt indes nur zur Anwendung, soweit die Beweise, auf welche die Rechtsmittelinstanz ihren Entscheid stützen will, prozessrechtskonform erhoben worden sind. Erweisen sich die Beweiserhebungen des erstinstanzlichen Gerichts als rechtsfehlerhaft (lit. a), unvollständig (lit. b) oder erscheinen sie als unzuverlässig (lit. c), werden sie von der Rechtsmittelinstanz wiederholt (<ref-law>). Zudem erhebt die Rechtsmittelinstanz von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei die erforderlichen zusätzlichen Beweise (<ref-law>). Eine unmittelbare Beweisabnahme im Rechtsmittelverfahren hat gemäss Art. 343 Abs. 3 i.V.m. <ref-law> auch zu erfolgen, wenn eine solche im erstinstanzlichen Verfahren unterblieb oder unvollständig war und die unmittelbare Kenntnis des Beweismittels für die Urteilsfällung notwendig erscheint. <ref-law> gelangt insofern auch im Rechtsmittelverfahren zur Anwendung (<ref-ruling> E. 4.4.1 S. 199 mit Hinweis). Der Wahrheits- und Untersuchungsgrundsatz gilt auch im Rechtsmittelverfahren (<ref-ruling> E. 5.4 S. 224; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 199; je mit Hinweisen).
Neue Beweise sind auch im Berufungsverfahren grundsätzlich jederzeit zulässig (<ref-ruling> E. 5.4 S. 224). Es obliegt der Verfahrensleitung, den gesetzlich vorgeschriebenen Verfahrensgang sicherzustellen (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 292).
3.3.2. Gemäss <ref-law> ziehen Staatsanwaltschaft und Gerichte eine oder mehrere sachverständige Personen bei, wenn sie nicht über die besonderen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügen, die zur Feststellung oder Beurteilung eines Sachverhalts erforderlich sind. Die Beantwortung der Frage, ob es eines solchen Gutachtens bedarf, liegt (von hier nicht einschlägigen Ausnahmen abgesehen) im Rahmen der freien richterlichen Beweiswürdigung im pflichtgemässen Ermessen des Gerichts (Urteil 6B_1196/2015 vom 27. Juni 2016 E. 1.3.3 mit Hinweis). Der gerichtliche Experte teilt dem Richter aufgrund seiner Sachkunde entweder Erfahrungs- oder Wissenssätze seiner Disziplin mit, erforscht für das Gericht erhebliche Tatsachen oder zieht sachliche Schlussfolgerungen aus bereits bestehenden Tatsachen. Er ist Entscheidungsgehilfe des Richters, dessen Wissen er durch besondere Kenntnisse aus seinem Sachgebiet ergänzt (<ref-ruling> E. 1.c S. 145 f.; Urteil 6B_488/2016 vom 5. September 2016 E. 3.4.2 mit Hinweis; vgl. auch ANDREAS DONATSCH, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 2 zu <ref-law> mit Hinweisen). Autodidaktisches Wissen von nicht sachverständigen Behörden kann ein Gutachten nicht ersetzen (MARIANNE HEER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Band I, 2. Aufl. 2014, N. 9 zu <ref-law>).
3.4. Die Rügen der Beschwerdeführer sind begründet. Folgt man den Erwägungen im angefochtenen Entscheid, so ist die Vorinstanz grundsätzlich der Auffassung, dass sowohl sie als teilweise auch die Parteien nicht über die nötigen Kenntnisse und Fähigkeiten verfügen, die zur Feststellung sowie Beurteilung des angeklagten Sachverhalts erforderlich sind. Indem die Vorinstanz auf die Einholung eines Gutachtens verzichtet, obwohl sie nach eigener Einschätzung nicht über genügend Fachkenntnisse verfügt, unterschreitet bzw. missbraucht sie ihr Ermessen. Ihrer Begründung für diesen Verzicht kann nicht gefolgt werden. Es ist nicht ersichtlich, wieso ein Gutachten aus rechtlichen oder tatsächlichen Gründen nicht mehr erreichbar sein sollte. Namentlich ist unklar, wieso die Vorinstanz annimmt, von einer Expertise könne hinsichtlich der Frage, ob die gemäss Anklage aus Kundensicht unnötigen und wirtschaftlich keinen Sinn ergebenden Börsentransaktionen erfolgt seien, keine Klarheit mehr erwartet werden. Auch wenn diese Transaktionen vor über 14 Jahren erfolgten, können sie von einer sachverständigen Person begutachtet werden. Nach <ref-law> sind ihr nämlich zusammen mit dem Auftrag die zur Erstellung des Gutachtens notwendigen, vorliegend sehr umfangreichen, Akten und Gegenstände zu übergeben. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz kann eine durch die Einholung eines Gutachtens verursachte weitere Verfahrensverzögerung vorliegend sodann nicht dazu führen, dass deshalb darauf zu verzichten wäre. Gemäss Rechtsprechung sind die Folgen einer Verletzung des Beschleunigungsgebots meistens die Strafreduktion, manchmal der Verzicht auf Strafe oder, als ultima ratio in Extremfällen, die Einstellung des Verfahrens (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 377; <ref-ruling> E. 3.6 S. 26; <ref-ruling> E. 8 S. 170; <ref-ruling> E. 5.3 S. 333; <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 55; <ref-ruling> E. 4d S. 129; je mit Hinweisen). Geht schliesslich die Vorinstanz davon aus, der Beizug einer sachverständigen Person sei erforderlich, kann sie nicht alleine deshalb davon absehen, weil die Parteien die Ausdehnung bzw. Ergänzung des Beweisverfahrens ablehnen (vgl. <ref-law>), was im Übrigen vorliegend gar nicht der Fall war. Bei dieser Sachlage ist der Schluss der Vorinstanz, auf die Einholung eines Gutachtens könne verzichtet werden, nicht haltbar. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache zur Beweisergänzung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Damit erübrigt sich die Behandlung der weiteren Rügen.
4.
Die Beschwerden sind gutzuheissen. Der Oberstaatsanwaltschaft werden keine Kosten auferlegt (<ref-law>). Die Anträge des Beschwerdegegners sind unklar, zumal er die Abweisung der Beschwerde beantragt, hinsichtlich der Einholung eines Gutachtens aber ausführt, die Sache sei zur Einholung eines Sachverständigengutachtens und zur neuen Beurteilung zurückzuweisen. Es wird daher verzichtet, den Beschwerdegegner an den Kosten- und Entschädigungsfolgen zu beteiligen. Der Kanton Zürich hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_1113/2018 und 6B_1139/2018 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 25. September 2018 wird aufgehoben und die Sache an die Vorinstanz zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine Entschädigung von Fr. 4'000.-- auszurichten.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Dezember 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini