Erwägungen:
1.
Der Präsident des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt teilte A._ am 20. November 2021 mit, dass ihre Eingabe gegen den Entscheid des Regierungspräsidenten vom 10. November 2021 betreffend die definitive Einziehung der Hündin "B._" bei "provisorischer und summarischer Beurteilung" den Anforderungen an eine Rekursbegründung nicht genügen dürfte, sie aber noch Gelegenheit habe, ihre Eingabe innerhalb der Rekursfrist zu verbessern; gleichzeitig forderte er sie auf, einen Kostenvorschoss von Fr. 500.-- zu leisten, andernfalls auf ihre Eingabe nicht eingetreten werden könnte. Ein allfälliges Gesuch um vorsorgliche Massnahmen wies er ab. A._ gelangte hiergegen an das Bundesgericht; sie beantragt unter anderem, die Hündin "B._" sei ihr zurückzugeben.
2.
2.1. Das Bundesgericht ist keine allgemeine Aufsichtsinstanz und kann nur im Rahmen der im Bundesgerichtsgesetz (BGG; SR 173.110) vorgesehenen Verfahren tätig werden. Nach Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und ihre Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht: Die Beschwerdeführerin führt nicht aus, inwiefern die angefochtene Verfügung Recht verletzen würde. Dies ist auch nicht ersichtlich. Sie wird in der angefochtenen Verfügung darauf hingewiesen, dass ihr Rekurs den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht genügen dürfte, sie ihre Eingabe aber innert Frist noch verbessern könne. Es kann ihrer Beschwerde nicht entnommen werden, weshalb der von ihr erhobene Kostenvorschuss von Fr. 500.-- widerrechtlich sein könnte. Ihre Ausführungen beziehen sich weitgehend auf verschiedene Vorkommnisse im Zusammenhang mit der Betreuung ihrer Mutter durch die KESB und damit verbundene Entschädigungsansprüche; diese bilden indessen nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens. Auf die Beschwerde ist durch den Abteilungspräsidenten im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.
Es rechtfertigt sich, ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar