Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und B._ sind die nicht miteinander verheirateten, getrennt voneinander lebenden Eltern von C.A._ (geb. 2012) und D.A._ (geb. 2013).
A.b. Gestützt auf eine Gefährdungsmeldung der Beiständin E._, Zweckverband Sozialregion Thierstein, vom 11. Oktober 2019 eröffnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein ein Verfahren zur Prüfung gesetzlicher Massnahmen. Der Zweckverband Sozialregion Thierstein wurde beauftragt, einen Sozialbericht zu erstellen und der KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein geeignete Massnahmen vorzuschlagen; über das weitere Vorgehen werde nach Eingang des Sozialberichts befunden (Verfügung vom 15. Oktober 2019). Am 18. Oktober 2019 ging der Abklärungsbericht des Zweckverbands Sozialregion Thierstein vom 17. Oktober 2019 bei der KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein ein.
A.c. Mit Entscheid vom 18. Oktober 2019 entzog die KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein A.A._ mit superprovisorischer Wirkung das Aufenthaltsbestimmungsrecht über C.A._ und D.A._ und übergab die Kinder vorsorglich in die Betreuung ihres in Österreich lebenden Vaters. Dazu kamen weitere Anordnungen, u.a. zur Organisation und Finanzierung der Platzierung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn stützte den Entscheid mit Urteil vom 24. Januar 2020.
A.d. Anlässlich einer Verhandlung vor der KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein vom 13. Februar 2020 einigten sich die Eltern auf die Erstellung eines Erziehungsfähigkeitsgutachtens. In der Folge wehrte sich A.A._ gegen die behördliche Ankündigung, ein interventions- resp. entscheidungsorientiertes Gutachten in Auftrag zu geben; eventualiter beantragte sie eine alternative Fragestellung. Mit Entscheid vom 12. Mai 2020 gab die KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein ein interventions- und entscheidungsorientiertes Gutachten bei der Fachstelle F._ AG (Frauenfeld) in Auftrag (Ziffer 3.1). Ziffer 3.2 führt die Fragen auf, die das Gutachten zu beantworten hat. Einer allfälligen Beschwerde wurde die aufschiebende Wirkung entzogen (Ziffer. 3.5).
A.e. A.A._ erhob Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Sie beantragte, die Ziffern 3.1 und 3.2 des erstinstanzlichen Entscheids (Bst. A.d) aufzuheben und festzustellen, dass kein Rechtsgrund für das in Auftrag gegebene interventions- und entscheidungsorientierte Gutachten besteht bzw. bestanden hat. Im Eventualbegehren verlangte sie festzustellen, dass der Begutachtungsstelle anstatt der Fragen gemäss Ziffer 3.2 des erstinstanzlichen Entscheids andere, von ihr formulierte Fragen hätten unterbreitet werden müssen. Das Verwaltungsgericht beschloss, auf die Beschwerde nicht einzutreten (Urteil vom 3. August 2020).
B.
Mit Beschwerde vom 4. September 2020 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 1 S. 186).
2.
In der Sache dreht sich der Streit vor der KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein um den Entzug bzw. die neue Regelung des Aufenthaltsbestimmungsrechts über die Kinder C.A._ und D.A._. Das ist eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) und keinen Vermögenswert hat. Das Verwaltungsgericht ist ein oberes Gericht und hat auf Rechtsmittel hin als letzte kantonale Instanz entschieden (Art. 75 BGG). Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ein schützenswertes Interesse an der Aufhebung oder Abänderung des angefochtenen Urteils (Art. 76 Abs. 1 BGG). Von daher stünde die rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG) eingereichte Beschwerde an sich offen.
3.
3.1. Das Urteil des Verwaltungsgerichts hat die Beschwerde gegen den Entscheid zum Gegenstand, mit dem die KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein im Rahmen der Prüfung von Kindesschutzmassnahmen ein Gutachten in Auftrag gibt (s. Sachverhalt Bst. A.d). Das Kindesschutzverfahren vor der KESB Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein dauert also noch an und der angefochtene Entscheid beschlägt einen prozessleitenden Zwischenentscheid über die Anordnung einer Expertise (vgl. Urteil 4A_530/2009 vom 2. November 2009). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass das Verwaltungsgericht auf das kantonale Rechtsmittel der Beschwerdeführerin nicht eintritt.
3.2. Gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Bst. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Bst. b). Nach der Rechtsprechung obliegt es der Beschwerde führenden Partei darzutun, dass eine dieser beiden Voraussetzungen erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1.2 S. 47). Äussert sich die Beschwerde führende Partei überhaupt nicht dazu, weshalb ein selbständig anfechtbarer Zwischenentscheid im Sinne von Art. 93 Abs. 1 BGG vorliegt, übersieht sie mithin diese Eintretensfrage schlechthin, so kann das Bundesgericht von vornherein nicht auf die Beschwerde eintreten (Urteile 5A_70/2020 vom 18. Juni 2020 E. 3.2; 5A_752/2015 vom 9. März 2016 E. 3; 5D_111/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 2.2; 5A_620/2011 vom 16. November 2011 E. 3.2 mit Hinweisen). Hier behauptet die Beschwerdeführerin an keiner Stelle ihrer Beschwerdeschrift, dass der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könne oder die Gutheissung ihrer Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde. Dementsprechend ist auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 Bst. a BGG nicht einzutreten.
4.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Dem Beschwerdegegner ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das hiesige Verfahren ist abzuweisen. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, muss das vor Bundesgericht gestellte Rechtsbegehren als von Anfang aussichtslos gelten, so dass es an einer materiellen Anspruchsvoraussetzung mangelt (Art. 64 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Thal-Gäu/Dorneck-Thierstein und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. September 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn