Sachverhalt:
A.
Der am 27. März 1952 geborene A._ war seit 1983 bei der Pensionskasse der Berner Versicherungsgruppe (heute: Pensionskasse der Berner Versicherungsgruppe Genossenschaft; nachfolgend: Pensionskasse) für die berufliche Vorsorge versichert. Per 1. Januar 2003 wechselte die Pensionskasse vom Leistungs- zum Beitragsprimat, wobei in den neuen Statuten eine Besitzstandsregelung für bestimmte Versicherte verankert wurde. A._ liess sich auf den 31. März 2014 zu 30 % teilweise pensionieren. Am 16. April 2014 teilte die Pensionskasse mit, dass sie ihm deshalb das entsprechende Alterskapital von Fr. 609'252.60 überweise und von seinem Wunsch Kenntnis genommen habe, dass er für die Restpensionierung per 31. März 2016 die Leistungen je zur Hälfte als Rente und als Kapital beziehen wolle. Über die Höhe der Kapitalabfindung im Rahmen der Pensionierung 2016 konnten sich die Parteien nicht einigen. Mit Valuta 9. September 2016 überwies die Pensionskasse eine Kapitalabfindung von Fr. 856'773.65 (zuzüglich Fr. 1'189.95 Zins vom 30. August bis 9. September 2016).
B.
Die Klage des A._ vom 22. Dezember 2016 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 1. September 2017 weitgehend gut. Es verpflichtete die Pensionskasse zur Zahlung einer zusätzlichen Kapitalabfindung von Fr. 242'049.20 sowie Zins zu 1,25 % auf Fr. 1'098'822.85 vom 1. April bis zum 29. August 2016 und auf Fr. 242'049.20 ab 10. September 2016. Im Übrigen, d.h. in Bezug auf höhere Zinsforderungen, wies es die Klage ab.
C.
Die Pensionskasse lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 1. September 2017 sei aufzuheben und die Klage vom 22. Dezember 2016 sei abzuweisen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen). Gleiches gilt für die Eingaben der weiteren Verfahrensbeteiligten (LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar zum BGG, Basel 2011, N. 8 zu <ref-law>).
2.
Bei der Pensionskasse handelt es sich um eine umhüllende Vorsorgeeinrichtung, die über das Obligatorium hinaus Leistungen erbringt. Rechtliche Grundlagen für das Rechtsverhältnis zwischen den Versicherten und der Pensionskasse bilden in Bezug auf das Obligatorium die Bestimmungen des BVG (vgl. Art. 5 Abs. 2 BVG).
Im Bereich der weitergehenden beruflichen Vorsorge werden die Rechtsbeziehungen zwischen versichertem Arbeitnehmer und privater Vorsorgeeinrichtung durch den Vorsorgevertrag geregelt. Auf diesen den Innominatverträgen sui generis zugeordneten Vertrag ist der Allgemeine Teil des Obligationenrechts anwendbar (Art. 1-183 OR). Reglement oder Statuten stellen den vorformulierten Inhalt des Vorsorgevertrages dar, vergleichbar Allgemeinen Vertrags- oder Versicherungsbedingungen, denen sich der Versicherte konkludent, durch Antritt des Arbeitsverhältnisses und unwidersprochen gebliebene Entgegennahme von Versicherungsausweis und Vorsorgereglement, unterzieht. Die Vertragsparteien sind an den durch Statuten und Reglement vorgegebenen Vertragsinhalt gebunden, zumal auch im Bereich der weitergehenden beruflichen Vorsorge die Grundsätze der Gleichbehandlung der Destinatäre, der Angemessenheit, Kollektivität und Planmässigkeit gelten (<ref-ruling> E. 5.2.5 S. 154). Zudem sind auch im Rahmen der erweiterten beruflichen Vorsorge Vertragsvereinbarungen nur im Rahmen der zwingend zu beachtenden gesetzlichen Bestimmungen (vgl. insbesondere Art. 49 BVG) zulässig (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 164; <ref-ruling> E. 4 S. 370; <ref-ruling> E. 3.1 S. 227 f.).
3.
3.1. Die unterschiedliche Auffassung der Parteien über die Höhe der Kapitalabfindung (im Zeitpunkt der Restpensionierung am 31. März 2016) beruht (e) in erster Linie auf der Uneinigkeit darüber, ob die statutarische Besitzstandsregelung lediglich auf den Rentenanspruch anwendbar ist, was die Vorinstanz angenommen hat, oder ob sie auch für den entsprechenden Kapitalbezug gilt.
3.2. Die massgeblichen Bestimmungen der ab 1. Januar 2012 geltenden Statuten der Pensionskasse (nachfolgend: Statuten) lauten wie folgt:
Für Versicherte nach dem 58. Geburtstag entsteht der Anspruch auf eine Altersrente im Zeitpunkt, in welchem ihr Arbeitsverhältnis endet, jedoch spätestens mit Erreichen des ordentlichen Rücktrittsalters (Ziff. 4.2 Abs. 1 Statuten). Die Höhe der Altersrente ergibt sich aus der Multiplikation des im Zeitpunkt des Rücktritts vorhandenen Altersguthabens mit dem zum Zeitpunkt der ersten Rentenzahlung gültigen Umwandlungssatz gemäss Anhang A.7 (Art. 4.2 Abs. 2 Statuten). Ziff. 7.2 lit. d Statuten enthält als Übergangsbestimmung die nachstehende Besitzstandsregelung: Für aktive männliche Mitglieder, welche am 31. Dezember 2002 in der Pensionskasse versichert waren, gilt die folgende Garantie: Für diese Mitglieder wird der frankenmässige Betrag der Altersrente im Rücktrittsalter 65, welcher am 31. Dezember 2002 gemäss den damaligen Statuten der Pensionskasse versichert ist, garantiert. Ist die Altersrente im Rücktrittsalter 64 oder im Rücktrittsalter 65 gemäss den in diesem Zeitpunkt geltenden Statuten frankenmässig tiefer als der garantierte frankenmässige Betrag der Altersrente im Rücktrittsalter 65, wird die fällige Rente in der per 31. Dezember 2002 frankenmässig garantierten Höhe ausbezahlt.
Der Versicherte kann beim vorzeitigen oder ordentlichen Rücktritt an Stelle der Altersrente sein gesamtes Altersguthaben oder einen frei wählbaren Teil davon in Kapitalform beziehen (Ziff. 4.3 Abs. 1 Statuten). Eine entsprechende schriftliche Erklärung muss mindestens ein Jahr bevor gemäss Ziff. 4.2 Abs. 1 der Anspruch auf die Altersrente entstanden wäre, abgegeben werden und ist ab diesem Zeitpunkt unwiderrufbar (Ziff. 4.3 Abs. 2 Statuten).
3.3. Die Auslegung des Reglements einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung als vorformulierter Inhalt des Vorsorgevertrages geschieht nach dem Vertrauensprinzip. Dabei sind jedoch die den Allgemeinen Versicherungsbedingungen innewohnenden Besonderheiten zu beachten, namentlich die sogenannte Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregel. Nach diesen Auslegungsgrundsätzen gilt es, ausgehend vom Wortlaut und unter Berücksichtigung des Zusammenhanges, in dem eine streitige Bestimmung innerhalb des Reglements als Ganzes steht, den objektiven Vertragswillen zu ermitteln, den die Parteien mutmasslich gehabt haben. Dabei hat das Gericht zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht angenommen werden kann, dass die Parteien eine unvernünftige Lösung gewollt haben (<ref-ruling> E. 2.2 S. 51 f. mit Hinweisen).
Das Ergebnis der Auslegung nach dem Vertrauensgrundsatz und in Anwendung der Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregel überprüft das Bundesgericht als Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 2.3 S. 52 mit Hinweisen).
3.4. Die Vorinstanz hat erwogen, nach dem klaren Wortlaut von Ziff. 7.2 lit. d Statuten beziehe sich diese Bestimmung nur auf Renten. Die Regelung sei weder unklar noch ungewöhnlich oder mehrdeutig. Auch im Informationsschreiben betreffend die auf den 1. Januar 2003 erfolgten Änderungen seien jeweils nur garantierte Renten erwähnt worden. Für einen abweichenden objektiven Vertragswillen - Besitzstandsgarantie für Rente und Kapital - fänden sich keine Grundlagen. Im Fall des <ref-ruling> seien bei der Auslegung einer öffentlich-rechtlichen Vorschrift Materialien zu berücksichtigen gewesen, die explizit von den "Modalitäten des vorzeitigen Altersrücktritts" gesprochen hätten. Hier fehle aber eine derartige Dokumentation, und in den vorhandenen Unterlagen werde unmissverständlich einzig die Rente thematisiert.
3.5. Soweit der Beschwerdegegner auf die im vorangegangenen Verfahren eingereichte Klageschrift verweist, so genügt dies den Anforderungen von <ref-law> an die Begründung einer Eingabe nicht (Urteile 9C_904/2017 vom 5. September 2018 E. 3.6.2; 5A_313/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 3.1 mit Hinweisen). Aus den weiteren Vorbringen im Zusammenhang mit der Auslegung von Ziff. 7.2 lit. d Statuten ergibt sich nichts zu seinen Gunsten. Zwar ist laut Ziff. 4.3 Abs. 1 Statuten "an Stelle" der Rente ein Kapitalbezug möglich; dieser bemisst sich aber ausdrücklich nach dem "Altersguthaben", mithin nach einer tatsächlich vorhandenen Grösse. Die Besitzstandsregelung ist eine Übergangsbestimmung in dem Sinne, als für eine eingegrenzte "Übergangsgeneration" allfällige Nachteile des Wechsels vom Leistungs- zum Beitragsprimat abgefedert werden sollten, indem bestimmte altrechtliche Leistungen garantiert werden, auch wenn diese nicht durch das Altersguthaben gedeckt sind. Eine solche Abfederung muss sich, trotz grundsätzlicher Gleichwertigkeit von Rente und Kapitalbezug, nicht zwingend auf beide entsprechenden (alternativen) Anwartschaften erstrecken. Den Unterschied im Ergebnis der vorinstanzlichen Auslegung von Ziff. 7.2 lit. d Statuten im Vergleich zu jenem der bundesgerichtlichen Auslegung von Art. 25 Satz 1 des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 2006 über die Pensionskasse des Bundes (PUBLICA-Gesetz; SR 172.222.1) in <ref-ruling> hat das kantonale Gericht insbesondere mit den Abweichungen in den anwendbaren Auslegungsregeln einerseits und in der Aktenlage resp. den Materialien anderseits begründet. Damit befasst sich der Beschwerdegegner nicht, weshalb sich diesbezügliche Weiterungen erübrigen (E. 1).
Nach dem Gesagten bleibt es beim vorinstanzlichen Schluss, dass sich die Besitzstandsregelung von Ziff. 7.2 lit. d Statuten nicht auf die Kapitalabfindung bezieht.
4.
4.1. Sodann ist unbestritten, dass die reglementarische Kapitalabfindung per 31. März 2016 (ohne Anwendung der Besitzstandsregelung; vgl. E. 3.4) Fr. 856'773.65 beträgt. Streitig ist und war, ob die Besitzstandsgarantie gestützt auf den Vertrauensgrundsatz zur Anwendung gelangt und deshalb Anspruch auf eine (um Fr. 242'049.20 höhere) Abfindung von insgesamt Fr. 1'098'822.85 besteht, was das kantonale Gericht bejaht hat.
4.2. Nach dem in <ref-law> verankerten Grundsatz von Treu und Glauben kann eine unrichtige Auskunft, welche eine Behörde dem Bürger erteilt, unter gewissen Umständen Rechtswirkungen entfalten. Voraussetzung dafür ist, dass: a) es sich um eine vorbehaltlose Auskunft der Behörden handelt; b) die Auskunft sich auf eine konkrete, den Bürger berührende Angelegenheit bezieht; c) die Amtsstelle, welche die Auskunft gegeben hat, hiefür zuständig war oder der Bürger sie aus zureichenden Gründen als zuständig betrachten durfte; d) der Bürger die Unrichtigkeit der Auskunft nicht ohne weiteres hat erkennen können; e) der Bürger im Vertrauen hierauf nicht ohne Nachteil rückgängig zu machende Dispositionen getroffen hat; f) die Rechtslage zur Zeit der Verwirklichung noch die gleiche ist wie im Zeitpunkt der Auskunftserteilung; g) das Interesse an der richtigen Durchsetzung des objektiven Rechts dasjenige des Vertrauensschutzes nicht überwiegt (<ref-ruling> E. 3.6.2 S. 103 mit Hinweisen). Diese Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein; ist bereits eine nicht gegeben, erübrigt es sich die anderen zu prüfen (<ref-ruling> E. 3.6.3 S. 194).
4.3. Unabhängig davon, ob und inwieweit der öffentlich-rechtliche Vertrauensschutz im vorgenannten Sinn hier - zumindest analog - Anwendung findet, vermag der Versicherte daraus nichts zu seinen Gunsten abzuleiten:
4.3.1. Die Vorinstanz hat die für den Vertrauensschutz notwendige Disposition (vgl. oben E. 4.2 lit. e) darin erblickt, dass der Versicherte im Februar 2015 die Modalitäten des Leistungsbezugs bei der Restpensionierung im Alter 64 (2016) - je 50 % Rente und Kapitalabfindung - bestätigt hatte. Diese Wahl sei nicht ohne Nachteil rückgängig zu machen.
4.3.2. Diesbezüglich macht der Beschwerdegegner geltend, dass seine "Pensionierungsplanung" - Teilpensionierung zu 30 % per 31. März 2014 mit Kapitalabfindung (ohne Besitzstandgarantie) und Restpensionierung per 31. März 2016 mit je 50 % Rente und Kapitalabfindung (beide mit Besitzstandgarantie) - u.a. aus steuerlichen Gründen viel früher begonnen habe. Dabei habe er auf den Vorsorgeausweis per 1. Januar 2003 und das Schreiben der Pensionskasse vom 23. November 2011 vertraut. Bei der Teilpensionierung im März 2014 habe er im Umfang von 30 % auf den Besitzstand verzichtet. Zu diesem Zeitpunkt sei die Planung bereits abgeschlossen gewesen und der damals hingenommene "Verlust" sei deshalb auch nicht rückgängig zu machen.
Es kann offenbleiben, ob die genannten Unterlagen eine für den Vertrauensschutz genügende Vertrauensgrundlage darstellen. Der Versicherte legt mit keinem Wort dar, dass und gegebenenfalls inwiefern er seine Pensionierung anders geplant hätte, wenn er rechtzeitig gewusst hätte, dass die Besitzstandgarantie nach Ziff. 7.2 lit. d Statuten bei der Kapitalabfindung im Alter 64 (2016) nicht greift. Somit kann nicht angenommen werden, dass eine unrichtige Auskunft der Pensionskasse kausal für die konkrete "Pensionierungsplanung" war. Hinsichtlich des Vertrauensschutzes fällt keine andere Disposition als jene der Festlegung resp. Bestätigung der Modalitäten des Leistungsbezugs in Betracht.
4.3.3. Ob die Wahl der Modalitäten des Leistungsbezugs aufgrund der Auskünfte der Pensionskasse in deren Schreiben vom 4. August 2014 und 21. Mai 2015 getroffen wurde, wie die Vorinstanz angenommen hat, braucht ebenfalls nicht geprüft zu werden. Weshalb die massgebliche Disposition des Beschwerdegegners nicht rückgängig zu machen gewesen sein soll, hat das kantonale Gericht nicht begründet. Diesbezüglich macht die Pensionskasse zu recht geltend, dass sie dem Versicherten mit Schreiben vom 27. April 2016 Gelegenheit gegeben habe, nachträglich den "vollständigen Rentenbezug" zu wählen, um so "in den vollen Genuss des statutarischen Besitzstandes zu kommen". Dagegen bringt der Beschwerdegegner lediglich vor, zu diesem Zeitpunkt habe es statutarisch bezüglich Rente oder Kapital gar keine Wahlmöglichkeit mehr gegeben. Damit nimmt er implizit Bezug auf Ziff. 4.3 Abs. 2 Statuten (vgl. oben E. 3.2). Diese Bestimmung schliesst indessen eine "verspätete" Änderung der Modalitäten des Leistungsbezugs nicht ausnahmslos aus. Es muss den Parteien in der hier interessierenden Konstellation offenstehen, auf die getroffene Wahl zurückzukommen, zumal sich der Beschwerdegegner auf einen qualifizierten Motivirrtum hätte berufen können (vgl. <ref-law>), wenn er bei der Abgabe seiner Willenserklärung fälschlicherweise von einem erheblich zu hohen Betrag der Kapitalabfindung ausgegangen war.
Damit fehlt es an einer nicht ohne Nachteil rückgängig zu machenden Disposition des Versicherten. Folglich hat dieser auch unter dem Titel des Vertrauensschutzes keinen Anspruch auf eine zusätzliche Kapitalabfindung.
5.
5.1. Schliesslich steht fest, dass die geschuldete Kapitalabfindung (Fr. 856'773.65; zuzüglich Fr. 1'189.95 Zins ab 30. August 2016) mit Valuta 9. September 2016 auf dem Konto des Beschwerdegegners eintraf. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass sich die Pensionskasse ab 1. April 2016 in Verzug befand und sie deshalb auf der Kapitalabfindung Verzugszins zu 1,25 % vom 1. April bis zum 29. August 2016 zu leisten habe.
5.2. In diesem Zusammenhang macht die Pensionskasse einzig geltend, der Versicherte habe am 6. Mai 2016 verlangt, die Auszahlung der Rente und des Kapitals aufzuschieben, womit die Forderung bis auf Weiteres gestundet worden sei. Sie legt aber nicht substanziiert dar, weshalb er damit - rückwirkend - auf den Anspruch auf Verzugszins verzichtet haben soll. Somit erübrigen sich diesbezügliche Weiterungen (E. 1). Der Beschwerdegegner hat Anspruch auf (zusätzlichen) Verzugszins von Fr. 4'430.55 (Fr. 856'773.65 x 1,25 % : 365 x 151). Lediglich in diesem marginalen Punkt ist die Beschwerde unbegründet und die Klage vom 22. Dezember 2016 begründet.
6.
Der Beschwerdegegner ist weitgehend unterlegen, weshalb ihm die gesamten Gerichtskosten aufzuerlegen sind (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).
Was das vorangegangene Verfahren anbelangt, so hat die Vorinstanz einerseits der Pensionskasse aufgrund unnötigen Aufwands Gerichtskosten in Höhe von Fr. 500.- auferlegt (Dispositiv-Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids) und anderseits die Parteientschädigung entsprechend dem überwiegenden Obsiegen verlegt (Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids). Folglich bleibt es bei den Gerichtskosten, und eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-ruling> E. 4b S. 150 f.).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 1. September 2017 wird insoweit aufgehoben, als die Beschwerdeführerin zur Zahlung eines höheren Betrags als Fr. 4'430.55 verpflichtet wurde. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dispositiv-Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids wird aufgehoben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. Oktober 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann