Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) erhob am 27. Januar 2021 beim Bezirksgericht Brugg Teilklage gegen die B._ AG (Beklagte). Er verlangte Schadenersatz von Fr. 30'000.-- nebst Zins wegen Vertragsverletzung und ersuchte um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung.
B.
B.a. Die Präsidentin des Bezirksgerichts wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege am 18. Mai 2021 ab.
Die dagegen gerichtete Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Aargau am 8. Juni 2021 teilweise gut und wies die Sache zur neuen Entscheidung an das Bezirksgericht zurück.
B.b. Am 12. Juli 2021 wies die Präsidentin des Bezirksgerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege erneut ab.
A._ erhob abermals Beschwerde, die das Obergericht am 6. Dezember 2021 abwies, wobei es die unentgeltliche Rechtspflege auch für das Beschwerdeverfahren verweigerte.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen im Wesentlichen, der Entscheid des Obergerichts vom 6. Dezember 2021 sei aufzuheben und ihm sei für das Verfahren vor dem Bezirksgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung zu bewilligen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung auch für das bundesgerichtliche Verfahren.
Mit Verfügung vom 18. Januar 2022 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt. Auf die Einholung von Vernehmlassungen in der Sache wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen).
1.2. Der angefochtene Entscheid ist entgegen dem Beschwerdeführer nicht verfahrensabschliessend. Er beendet lediglich den Streit um die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung, nicht das Hauptverfahren. Nach <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Zwischenentscheide zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigert. Derartige Entscheide bewirken in der Regel einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1.1; Urteile 4A_257/2021 vom 6. September 2021 E. 1.1; 4A_325/2021 vom 27. August 2021 E. 1.2).
Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens sind Zwischenentscheide mit dem in der Hauptsache zulässigen Rechtsmittel anzufechten (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). In der Hauptsache führt der Beschwerdeführer eine Teilklage über Fr. 30'000.--. Der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert ist erreicht (<ref-law>).
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind und zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (vgl. E. 2 hiernach) auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2). Unbeachtlich sind blosse Verweise auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder die Akten; inwiefern das angefochtene Urteil Recht verletzt, ist in der Rechtsschrift selbst darzulegen (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweis).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2, 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
3.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege. Er ist der Ansicht, dass seine Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheinen.
3.1. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (<ref-law>).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind Rechtsbegehren als aussichtslos anzusehen, wenn die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und sie deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie zumindest vorläufig nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (BGE 142 II I 138 E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.2.4 mit Hinweis).
3.2. In der Sache macht der Beschwerdeführer gegen die Beklagte Schadenersatz aus der Verletzung auftragsrechtlicher Sorgfaltspflichten geltend. Am 5. Juli 2004 habe sich auf einer italienischen Autobahn ein Verkehrsunfall ereignet zwischen ihm und einem polnischen Kleinbus, wobei er das Fahrzeug seines Schwiegersohns gelenkt habe. Er habe eine posttraumatische Belastungsstörung erlitten, worauf ihm von der IV-Stelle U._ eine IV-Rente bei einem lnvaliditätsgrad von 100 % und von der Suva U._ eine Integritätsentschädigung zuerkannt worden seien.
Nach dem Unfall habe sich der Beschwerdeführer an die Beklagte gewandt, bei der er eine Rechtsschutzversicherung abgeschlossen hatte. In der Folge sei ein externer Rechtsanwalt mandatiert worden. Weil am Unfallort italienisches Recht anwendbar sei, habe dieser Rechtsanwalt die Beklagte um eine Stellungnahme zur italienischen Rechtslage ersucht und mitgeteilt, er müsste das Mandat für eine Rechtsdurchsetzung in Italien abgeben. Die Beklagte habe ihm geantwortet, nach italienischem Recht schütze die Fahrzeughaftpflichtversicherung nur den Halter des betreffenden Fahrzeugs. In der Folge seien, so der Beschwerdeführer, keine Ansprüche gegen die Fahrzeughaftpflichtversicherung des Schwiegersohns geltend gemacht worden. Vielmehr sei mit der polnischen Haftpflichtversicherung ein für den Beschwerdeführer nachteiliger Vergleich über EUR 30'000.-- geschlossen worden. Hätte der Beschwerdeführer in Italien gegen die Fahrzeughaftpflichtversicherung des Schwiegersohns geklagt, so hätte das italienische Kollisionsrecht gemäss Beschwerdeführer auf das schweizerische Recht verwiesen, wonach die Fahrzeughaftpflichtversicherung des Schwiegersohns gehaftet hätte. Die Beklagte habe ihre auftragsrechtliche Sorgfaltspflicht verletzt, indem sie die Rechtslage nicht fundiert abgeklärt habe. Ihm hätte wegen seiner gesundheitlichen Einschränkungen ein Vielfaches von EUR 30'000.-- zugestanden.
3.3. Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer habe den externen Rechtsanwalt selbst mandatiert. Bis zur Mandatierung habe dieser keinen Kontakt mit der Beklagten gehabt. Mit der Mandatierung sei zwischen dem externen Rechtsanwalt und dem Beschwerdeführer ein Auftrag entstanden. Fortan seien die auftragsrechtlichen Sorgfaltspflichten ausschliesslich dem externen Rechtsanwalt zugefallen. Nach seiner Mandatierung habe sich die Pflicht der Beklagten darin erschöpft, die Kosten im Rahmen der vereinbarten Gutsprache zu tragen. Dass sich der externe Rechtsanwalt mit Rückfragen an die Versicherung gewandt habe, ändere daran nichts.
Weiter erwog die Vorinstanz, zwischen dem Beschwerdeführer und der Beklagten gelange das Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1) zur Anwendung. Daher gelte die zweijährige Verjährungsfrist gemäss <ref-law>. Die Mandatierung des externen Rechtsanwalts sei im Jahr 2005 erfolgt, der Rechtsfall sei mit Unterzeichnung der Vereinbarung im Jahr 2010 abgeschlossen worden. Die Verjährung sei demnach bereits eingetreten. Die Teilklage des Beschwerdeführers erscheine vor diesem Hintergrund als aussichtslos.
3.4. Dagegen trägt der Beschwerdeführer im Wesentlichen vor, der externe Rechtsanwalt habe sich mit Rückfragen an die Beklagte gewandt. Er habe ihr mitgeteilt, er verfüge nicht über die notwendigen Fachkenntnisse für die weitere Schadensregulierung. Zudem habe er sie um eine rechtliche Einschätzung der Sach- und Rechtslage ersucht. Der Beschwerdeführer schildert eingehend die Mandatsführung des externen Rechtsanwalts, dessen Kontakt mit der Beklagten und deren Verhalten. Er macht geltend, die Beklagte habe auch nach der Mandatierung des externen Rechtsanwalts auftragsrechtliche Pflichten gehabt. Für seine Ansprüche aus den behaupteten Sorgfaltspflichtverletzungen der Beklagten gelte nicht die zweijährige Verjährungsfrist von <ref-law>, sondern die zehnjährige Frist gemäss <ref-law>.
3.5. Ob diese Rügen des Beschwerdeführers fundiert sind, kann aus nachfolgenden Gründen offenbleiben.
3.5.1. Die Beklagte hatte im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht, es liege kein Schaden vor, da die gesundheitlichen Beeinträchtigungen des Beschwerdeführers frei erfunden seien. Indes prüfte die Vorinstanz die Frage des Schadens nicht näher, weil sie allfällige Ansprüche des Beschwerdeführers gegen die Beklagte ohnehin für verjährt hielt.
3.5.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2 S. 89; <ref-ruling> E. 4.3.4).
3.5.3. Im Urteil 9C_21/2019 vom 10. April 2019 befasste sich das Bundesgericht mit den sozialversicherungsrechtlichen Folgen des Verkehrsunfalls, aus dem der Beschwerdeführer hier zivilrechtliche Ansprüche geltend macht. Im Jahr 2013 war ein Revisionsverfahren eingeleitet worden. Die zuständige IV-Stelle tätigte weitere Abklärungen und veranlasste eine polydisziplinäre Begutachtung des Beschwerdeführers. Wegen des Verdachts eines ungerechtfertigten Leistungsbezugs führte die IV-Stelle am 10. und 29. März 2016 eine Beweissicherung vor Ort durch. Anschliessend liess sie den Beschwerdeführer vom 20. April bis 11. August 2016 observieren. Gestützt auf die Überwachungsergebnisse wurde seine Rente am 3. Oktober 2016 sofort sistiert. Am 7. Februar 2017 stellte die IV-Stelle die Invalidenrente mittels prozessualer Revision rückwirkend per 1. Juli 2005 ein. Die dagegen gerichteten Rechtsmittel des Beschwerdeführers wiesen das Versicherungsgericht des Kantons Aargau und das Bundesgericht ab.
Dem erwähnten Urteil 9C_21/2019 ist zu entnehmen, dass in somatischer Hinsicht spätestens seit April 2005 eine volle Arbeitsfähigkeit bestanden habe. In psychiatrischer Hinsicht sei das Verhalten des Beschwerdeführers simuliert. Seine Beeinträchtigungen und Leistungseinschränkungen beruhten auf einer lege artis diagnostizierten Simulation, weshalb keine versicherte Gesundheitsschädigung zu erblicken sei (vgl. zit. Urteil 9C_21/2019 E. 4-6).
3.5.4. Massgebend für die Beurteilung eines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2). Das zit. Urteil 9C_21/2019 vom 10. April 2019 erging, bevor der Beschwerdeführer am 27. Januar 2021 Teilklage gegen die Beklagte erhob und um unentgeltliche Rechtspflege und Rechtsverbeiständung ersuchte. Die Beklagte berief sich bereits im kantonalen Verfahren auf dieses Urteil und auch vor Bundesgericht in ihrer Stellungsnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung. In seiner Stellungnahme zu dieser Eingabe verweist der Beschwerdeführer auf eine Eingabe an das Bezirksgericht, was ungenügend ist (vgl. E. 2.1 hiervor), und macht überdies geltend, der Streitgegenstand des Verfahrens, für das um unentgeltliche Prozessführung nachgesucht werde, beschränke sich in zeitlicher Hinsicht auf einen Teil des dem Beschwerdeführer bis Mai 2009 entstandenen Schadens, während die von der Beklagten erwähnten Verfahren Urteile beträfen, die im Wesentlichen im Jahre 2021, also rund 12 Jahre später, gefällt worden seien.
Der Beschwerdeführer klagt gegen die Beklagte, weil sie sorgfaltswidrig verschuldet habe, dass er aus dem Unfall vom 5. Juli 2004 keine weitergehenden Schadenersatzansprüche geltend machen konnte. Nach dem zitierten Urteil 9C_21/2019 steht fest, dass der Beschwerdeführer spätestens seit April 2005 voll arbeitsfähig war und seine körperlichen und psychischen Beschwerden simulierte. Auch wenn damit nichts Ausdrückliches zum Zeitraum zwischen Juli 2004 und April 2005 gesagt ist, erscheinen die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers doch als aussichtslos im Sinne von <ref-law>. Bei summarischer Prüfung sind die Gewinnaussichten der Teilklage im Licht des erwähnten Urteils 9C_21/2019 erheblich getrübt. Deshalb würde eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, bei vernünftiger Überlegung keinen Prozess führen. Daran ändert sein Hinweis, es gehe um bis Mai 2009 entstandenen Schaden, nichts. Im zit. Urteil 9C_21/2019 wird der unter Hinweis auf das in der Klinik X._ am 11. Januar 2007 (und damit vor Mai 2009) an den Tag gelegte Verhalten gezogene Schluss, eine Simulation habe bereits im Zeitpunkt der Rentenzusprache vorgelegen, nicht beanstandet. Das Urteil beschlägt sehr wohl den vom Beschwerdeführer genannten Zeitraum.
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteile 4A_326/2019 vom 4. Februar 2020 E. 5; 4A_429/2019 vom 13. November 2019 E. 6; 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2). Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beklagten, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern hatte, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 4. Kammer, und der B._ AG, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Luczak