Faits :
A.
A._, née en 1963, travaillait depuis le 16 février 1998 comme infirmière en soins généraux au service de la Croix-Rouge genevoise, laquelle a plus tard été intégrée à la Fondation des services d'aide et de soins à domicile, devenue le 1 er janvier 2013 l'Institution genevoise de maintien à domicile (IMAD).
Le 19 février 2019, la prénommée a fait l'objet d'un entretien de service, lequel s'est tenu sous la forme écrite en raison de son incapacité totale de travailler. A cette occasion, sa hiérarchie lui a reproché: de s'être rendue le 12 janvier 2019, sur son temps libre et sans en avertir son supérieur hiérarchique, à la Clinique B._ pour rendre visite à C._, une bénéficiaire de l'IMAD; d'avoir entrepris des actes médicaux afin de permettre à celle-ci de se rendre aux toilettes sans en informer le personnel soignant sur place; d'avoir quitté les lieux de manière précipitée au moment où le personnel médical de la clinique prêtait secours à la patiente, laquelle avait fait un malaise et était décédée une trentaine de minutes plus tard; d'avoir donné le nom d'une de ses collègues à une infirmière de la clinique qui avait insisté pour connaître son identité; d'avoir omis de communiquer ces événements à son responsable d'équipe; d'avoir menti lors d'un entretien mené par le bureau qualité du Centre de maintien à domicile (CMD) de U._ le 15 janvier 2019. A._ s'est déterminée sur les manquements reprochés par écriture du 22 mars 2019. Le 15 juillet 2019, son employeur l'a libérée de son obligation de travailler avec effet immédiat, sans suspension de salaire.
Par décision du 29 juillet 2019, l'IMAD a résilié les rapports de service pour motif fondé, avec effet au 31 octobre 2019.
B.
A._ a recouru devant la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève, en concluant à la constatation de la nullité de la décision de licenciement, subsidiairement à l'annulation de cette décision et à sa réintégration au sein de l'IMAD.
Par décision du 23 octobre 2019, la juridiction cantonale a suspendu la procédure dans l'attente des résultats de l'enquête ouverte pour homicide par négligence. La procédure pénale a fait l'objet d'une ordonnance de classement du 10 décembre 2019, à la suite de quoi la procédure administrative a été reprise.
Par arrêt du 27 octobre 2020, la Chambre administrative a partiellement admis le recours, a constaté que la décision de licenciement du 29 juillet 2019 était contraire au droit et a condamné l'IMAD à verser à A._ une indemnité correspondant à six mois de son dernier traitement brut.
C.
L'IMAD interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à sa réforme dans le sens de la confirmation de sa décision de licenciement du 29 juillet 2019. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle statue à nouveau dans le sens des considérants. Plus subsidiairement, elle demande la réforme de l'arrêt dans le sens de la réduction de l'indemnité à un mois de traitement brut. Elle requiert préalablement l'attribution de l'effet suspensif au recours.
L'intimée conclut au rejet du recours, tandis que la cour cantonale a renoncé à se déterminer.
La recourante a répliqué et persisté dans ses conclusions.
D.
Par ordonnance du 3 mars 2021, le juge instructeur a admis la requête d'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'IMAD est un établissement cantonal de droit public doté de la personnalité juridique (art. 1 al. 1 de la loi cantonale du 18 mars 2011 sur l'Institution genevoise de maintien à domicile [LIMAD; RS/GE K 1 07]). Son personnel est en principe soumis à la loi générale du 4 décembre 1997 relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux (LPAC; RS/GE B 5 05; art. 22 LIMAD). L'arrêt entrepris a donc été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation porte sur la résiliation de tels rapports, elle est de nature pécuniaire (voir p. ex. arrêt 8C_295/2019 du 5 mai 2020 consid. 1.2), de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. La valeur litigieuse atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
1.2. Pour le surplus, interjeté en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale de de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), le recours en matière de droit public est recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Si la partie recourante entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente, elle doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>); à défaut, un état de fait divergent de celui de la décision attaquée ne peut pas être pris en compte (<ref-ruling> consid. 2 précité). En particulier, l'autorité de céans n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires portant sur l'appréciation des preuves ou l'établissement des faits par l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 5.1).
2.2. Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal. Il est néanmoins possible de faire valoir que son application viole le droit fédéral, en particulier l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou d'autres droits constitutionnels; le Tribunal fédéral n'examine alors de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2 et la référence). Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - même préférable - paraît possible. En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1).
3.
3.1. Selon l'art. 21 al. 3 LPAC, l'autorité compétente peut résilier les rapports de service du fonctionnaire pour motif fondé; elle motive sa décision; elle est tenue, préalablement à la résiliation, de proposer des mesures de développement et de réinsertion professionnels et de rechercher si un autre poste au sein de l'administration cantonale correspond aux capacités de l'intéressé; les modalités sont fixées par règlement. Aux termes de l'art. 22 LPAC, il y a motif fondé lorsque la continuation des rapports de service n'est plus compatible avec le bon fonctionnement de l'administration, soit notamment en raison de: a) l'insuffisance des prestations; b) l'inaptitude à remplir les exigences du poste; c) la disparition durable d'un motif d'engagement.
3.2. Selon l'art. 46A du règlement du 24 février 1999 d'application de la LPAC (RPAC; RS/GE B 5 05.01), lorsque les éléments constitutifs d'un motif fondé de résiliation sont dûment établis lors d'entretiens de service, un reclassement selon l'article 21, alinéa 3, de la loi est proposé pour autant qu'un poste soit disponible au sein de l'administration et que l'intéressé au bénéfice d'une nomination dispose des capacités nécessaires pour l'occuper (al. 1). Des mesures de développement et de réinsertion professionnels propres à favoriser le reclassement sont proposées (al. 2). L'intéressé est tenu de collaborer; il peut faire des suggestions (al. 3). L'intéressé bénéficie d'un délai de 10 jours ouvrables pour accepter ou refuser la proposition de reclassement (al. 4). En cas de reclassement, un délai n'excédant pas 6 mois est fixé pour permettre à l'intéressé d'assumer sa nouvelle fonction (al. 5). En cas de refus, d'échec ou d'absence du reclassement, une décision motivée de résiliation des rapports de service pour motif fondé intervient (al. 6).
3.3. Aux termes de l'art. 31 LPAC, tout membre du personnel dont les rapports de service ont été résiliés peut recourir à la Chambre administrative pour violation de la loi (al. 1). Si la Chambre administrative retient que la résiliation des rapports de service ne repose pas sur un motif fondé, elle ordonne à l'autorité compétente la réintégration (al. 2). Si la Chambre administrative retient que la résiliation des rapports de service est contraire au droit, elle peut proposer à l'autorité compétente la réintégration (al. 3). En cas de décision négative de celle-ci ou de refus du recourant, la Chambre administrative fixe une indemnité dont le montant ne peut pas être inférieur à un mois et supérieur à vingt-quatre mois du dernier traitement brut à l'exclusion de tout autre élément de rémunération; concernant un employé, l'indemnité ne peut pas être supérieure à six mois (al. 4).
4.
4.1. En l'espèce, les juges cantonaux ont considéré qu'il ne pouvait pas être reproché à l'intimée d'avoir rendu visite, le 12 janvier 2019, sur son temps libre, à C._, laquelle se trouvait en fin de vie. Rien ne permettait d'infirmer ses allégations, d'après lesquelles la patiente lui avait alors demandé de l'accompagner aux toilettes et la pompe de perfusion avait continué à fonctionner au moyen de sa batterie, une fois débranchée. L'intimée s'était en outre limitée à décrocher la poche urinaire sans procéder à l'extraction de la sonde urinaire. On ne pouvait pas non plus lui reprocher de n'avoir pas envisagé un malaise de la patiente, dès lors que l'état de celle-ci lui avait permis de se rendre jusqu'aux toilettes, certes avec une aide, qu'elle avait d'ailleurs demandée. Ensuite, lorsque C._ avait fait son malaise, l'intimée avait réagi correctement en appuyant sur le bouton d'alarme, permettant aux infirmières d'intervenir. Toutefois, dans la mesure où cette dernière n'était pas en service et ne connaissait pas l'état de santé actualisé de la patiente, elle n'était pas légitimée à entreprendre "ces opérations" et aurait dû au contraire faire appel aux infirmières de service. Cela ne constituait néanmoins pas un manquement suffisamment important pour fonder une résiliation des rapports de travail. En revanche, la réaction de l'intimée à la suite de l'événement était plus problématique. Les juges cantonaux ont relevé à ce sujet que l'intimée n'était pas restée sur place le temps nécessaire pour éclaircir la situation, qu'interrogée sur son identité par une infirmière, elle avait donné le nom de l'une de ses collègues et que, ce faisant, elle avait mis en cause cette collègue totalement étrangère à l'événement, laquelle avait alors été convoquée à un entretien avec le bureau qualité de l'IMAD. Si ce type de réaction - de combat ou de fuite - pouvait s'expliquer médicalement par un stress extrême, l'intimée ne pouvait plus s'en prévaloir deux jours après l'incident. Or, de retour au travail le lundi 14 janvier 2019, elle n'avait pas averti sa hiérarchie de ce qui s'était passé le samedi précédent et, le lendemain matin, interrogée par le bureau qualité, elle avait nié avoir rendu visite à C._. Elle avait persisté à nier après avoir été informée qu'une autopsie avait été demandée et que la police menait une enquête comprenant le visionnage des images issues des caméras de sécurité. Ce n'est que quelques heures plus tard qu'elle avait fini par avouer. Un tel comportement était constitutif de manquements graves aux devoirs de services, propres à entraîner une rupture totale du lien de confiance avec l'employeur. L'IMAD était ainsi fondée à résilier les rapports de service.
4.2. Concernant la procédure de reclassement, les premiers juges ont relevé qu'en tant qu'établissement autonome, l'IMAD n'était pas dispensée de rechercher un poste vacant dans toute l'administration cantonale, son statut l'autorisant à mener des recherches et identifier les postes ouverts chez ses partenaires de l'Etat. En l'espèce, aucune mesure de reclassement hors IMAD n'avait toutefois été entreprise. En dépit de la gravité des manquements reprochés, l'intimée disposait de qualités professionnelles globalement bonnes selon les entretiens périodiques d'évaluation et de développement des compétences (EEDC). Malgré quelques difficultés en relation avec la qualité des dossiers rendus et la communication, elle disposait de bonnes connaissances professionnelles et prodiguait des soins de qualité (cf. EEDC du 4 décembre 2015 et du 17 novembre 2017). Très engagée et très motivée, elle disposait en outre d'une pratique professionnelle de plus de vingt ans et d'une formation spécialisée en santé communautaire et réseaux de soins, ainsi que d'un certificat postgrade de praticien formateur. Différentes attestations d'anciens collègues et de parents d'anciens bénéficiaires de l'IMAD louant ses compétences professionnelles et personnelles plaidaient également en sa faveur. Aussi n'y avait-t-il pas d'intérêt public à la protection de la santé, de la sécurité et de la personnalité des personnes âgées et collaborateurs de l'Etat pour priver l'intimée d'une procédure de reclassement et le présent cas se différenciait des situations de harcèlement, de vols récurrents ou de conflits avec l'ensemble des interlocuteurs d'un employé. En outre, l'événement du 12 janvier 2019 revêtait un caractère exceptionnel, de sorte qu'on ne pouvait pas considérer qu'un reclassement aurait pour conséquence de reporter le risque de comportements inadéquats dans un autre établissement médical. Quant au fait qu'à une autre reprise (le 5 juin 2007), l'intimée n'avait pas prévenu du décès d'un bénéficiaire de l'IMAD, les juges cantonaux l'ont qualifié d'ancien et de peu d'importance, relevant que celle-ci avait en revanche fait appel à la police. Partant, ils ont considéré que l'IMAD avait violé le principe légal du reclassement prévu par les art. 21 al. 3 LPAC et 46A RPAC.
4.3. Le licenciement étant ainsi contraire au droit et l'IMAD s'étant expressément opposée à la réintégration de l'intimée, celle-ci avait droit à une indemnité en vertu de l'art. 31 LPAC, que les juges cantonaux ont fixée à six mois de son dernier traitement mensuel brut, compte tenu de l'existence de motifs fondés de résiliation des rapports de service, de l'absence de mise en oeuvre d'une procédure de reclassement, de la très longue durée des rapports de service (plus de vingt ans), de l'âge de l'intimée au moment du licenciement (56 ans) et de son parcours professionnel pris dans sa globalité.
5.
5.1. Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu, la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue en relation avec la violation de l'art. 9A LPAC ("Secret de fonction") et des art. 22 ("Coopération des parties"), 27 ("Renseignements écrits et production de pièces par des tiers") et 32 ("Personnes astreintes au secret") de la loi cantonale du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RS/GE E 5 10). Elle reproche à la juridiction cantonale d'avoir omis d'ordonner la comparution personnelle des parties et d'avoir considéré comme recevables les témoignages écrits produits par l'intimée sans motiver sa décision. Selon la recourante, ces témoignages ne constitueraient pas un moyen de preuve selon la LPA, de sorte que la cour cantonale aurait dû les écarter. Il s'agirait de simples opinions de tiers dépourvues d'objectivité, orientées et tendancieuses qui ne pourraient pas être utilisées pour apprécier le comportement et les compétences professionnelles de l'intimée et qui n'auraient pas une valeur probante supérieure aux évaluations périodiques. Certains témoignages seraient en outre illicites car les collaborateurs n'auraient pas sollicité la levée du secret de fonction. La recourante se plaint également de n'avoir pas pu poser des questions à l'intimée, à ses témoins ou experts privés, cela en violation du principe du contradictoire. Enfin, elle reproche aux premiers juges d'avoir rejeté ses offres de preuve (témoignage des membres du bureau qualité et production du dossier pénal complet), alors que celles-ci seraient déterminantes pour qualifier la gravité du comportement de l'intimée et donc pour statuer sur la réintégration de celle-ci.
5.2.
5.2.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision soit prise touchant sa situation juridique, d'avoir accès au dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 4.1.1 et les arrêts cités). En revanche, l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement, ni celui d'obtenir l'audition de témoins (<ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 2.1). L'autorité peut renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient pas l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 6.3.1 et les arrêts cités).
5.2.2. Le droit d'être entendu impose par ailleurs à l'autorité le devoir de motiver sa décision afin que le justiciable puisse en saisir la portée et, le cas échéant, l'attaquer en connaissance de cause. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 5.2). Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2).
5.3. Les griefs de la recourante sont mal fondés. Non seulement l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère pas le droit d'être entendu oralement (cf. consid. 5.2.1 supra), mais il n'apparaît pas non plus que la comparution personnelle des parties eût été nécessaire à l'établissement des faits et à la solution du litige. En ce qui concerne les documents produits par l'intimée provenant de parents d'anciens bénéficiaires de l'IMAD et d'anciens collègues, la juridiction cantonale les a traités comme de simples attestations et l'art. 27 LPA - dont la recourante invoque la violation - l'autorise d'ailleurs à recueillir des renseignements écrits auprès de particuliers non parties à la procédure et à décider librement si ces renseignements ont valeur de preuve ou s'ils doivent être confirmés par témoignage (al. 2). En l'espèce, les premiers juges se sont principalement référés aux EEDC les plus récents au dossier, et non aux attestations produites par l'intimée, pour retenir que cette dernière disposait de qualités professionnelles globalement bonnes (cf. consid. 9e de l'arrêt). Ils ont aussi relevé sa longue expérience professionnelle complétée par plusieurs formations. A l'égard des attestations, ils ont uniquement retenu qu'elles plaidaient également en faveur de l'intimée. Aussi lesdites attestations n'ont-elles pas la portée que leur prête la recourante et les critiques élevées par celle-ci à l'encontre de leur contenu sont dépourvues de fondement. Par ailleurs, on ne saurait reprocher aux juges cantonaux de n'avoir pas examiné la violation éventuelle du secret de fonction par les auteurs des attestations, laquelle n'a pas été soulevée en procédure cantonale. Au demeurant, on ne voit pas - et la recourante ne l'expose pas - quelle information couverte par le secret de fonction aurait été révélée par les concernés, lesquels se sont limités en substance à indiquer que l'intimée était une excellente professionnelle, appréciée des collègues et des clients et faisant preuve d'une grande disponibilité. Ensuite, contrairement à ce que laisse entendre la recourante, celle-ci a eu l'occasion de se déterminer sur les pièces produites par l'intimée, comme l'ont d'ailleurs relevé les premiers juges (consid. 3c de l'arrêt attaqué; cf. également sa détermination du 12 août 2020). Enfin, s'agissant de ses offres de preuve, on ne voit pas en quoi le témoignage des membres du bureau qualité aurait permis de mieux saisir la gravité des actes reprochés à l'intimée, étant rappelé qu'ils n'ont pas été témoins des faits survenus à la clinique et qu'il n'est pas contesté que l'intimée a menti lors de l'entretien du 15 janvier 2019. La recourante ne démontre pas non plus en quoi les premiers juges auraient fait preuve d'arbitraire (cf. consid. 5.2.1 supra) en considérant que l'apport du dossier de la procédure pénale n'était pas nécessaire dans la mesure où l'ordonnance de classement du 10 décembre 2019 était suffisamment détaillée. D'ailleurs, en soutenant que ses offres de preuve étaient déterminantes pour apprécier la gravité du comportement de l'intimée, la recourante perd de vue que les manquements ont précisément été qualifiés de graves.
6.
6.1. Se plaignant d'un établissement arbitraire des faits, la recourante reproche aux juges cantonaux de ne pas avoir retenu que l'intimée avait mis en danger la vie de C._, eu égard au rapport d'autopsie, et qu'elle aurait dû connaître l'existence du risque de malaise de la patiente. Sur ce dernier point, elle fait valoir que l'intimée aurait mis en place un soin sans procéder à une évaluation de l'état de santé et de l'environnement de l'intéressée et sans prendre en considération les particularités de la situation, ce qui démontrerait une prise de risque inacceptable. Selon la facturation produite par elle, l'intimée n'avait d'ailleurs pas déjà procédé à la mobilisation de la patiente pour aller aux toilettes. Enfin, elle reproche à la cour cantonale d'avoir constaté que l'intimée exécutait des visites dans le cadre professionnel depuis près d'un an (dès décembre 2018), alors que la cliente était décédée en janvier 2019, soit un mois plus tard. La fréquence des visites n'ayant été que de sept sur trois semaines, la cour cantonale aurait également retenu à tort que des liens ont pu être créés au fil du temps, n'excluant pas une demande de visite de la part de la patiente.
6.2. Selon le rapport d'autopsie, tel que cité dans l'ordonnance de classement et repris par la recourante, le retrait du dispositif d'oxygénothérapie, suivi de la mobilisation de C._ par l'intervention d'un tiers, a pu précipiter la survenance du décès (bien que ce dernier fût inéluctable à brève échéance). Pour autant, selon les constatations de l'arrêt attaqué, il n'a pas pu être établi si la patiente portait ou non le dispositif d'oxygénothérapie au moment de l'arrivée de l'intimée dans sa chambre. L'argument de la recourante tombe ainsi à faux. En outre, en tant qu'elle invoque une prise de risque inacceptable, la recourante livre sa propre appréciation des faits dans une discussion de nature purement appellatoire, ce qui n'est pas admissible (cf. consid. 2.1 supra). Au demeurant, les premiers juges ont bel et bien retenu que l'intimée aurait dû faire appel au personnel soignant sur place avant d'entreprendre d'emmener la patiente aux toilettes, dès lors qu'elle n'était pas en service et ne connaissait pas l'état de santé actualisé de celle-ci. Enfin, s'ils se sont visiblement trompés en laissant entendre que les visites de l'intimée dès décembre 2018 avaient duré près d'un an (consid. 8 de l'arrêt attaqué), il n'en reste pas moins que la déduction qu'ils en ont tirée, selon laquelle il ne pouvait pas être exclu que C._ ait demandé à l'intimée de lui rendre visite, n'apparaît pas insoutenable. En effet, il n'est pas contesté que l'intimée s'occupait de l'intéressée avant l'entrée de celle-ci en clinique et, à suivre les allégations de la recourante, elle lui aurait rendu visite à sept reprises. Quant au fait qu'auparavant elle n'ait jamais procédé à une mobilisation de la patiente pour aller aux toilettes, on ne voit pas en quoi cet élément aurait une influence décisive sur l'issue du litige, pas plus qu'on ne trouve au dossier la facturation à laquelle se réfère la recourante. Dans ces conditions, le grief se révèle mal fondé et il y a lieu de s'en tenir aux faits constatés par l'autorité précédente.
7.
7.1. Sous couvert d'arbitraire dans l'application des art. 16 al. 1 LPAC ("Autorités compétentes et sanctions disciplinaires") et 61 al. 2 LPA ("Motifs du recours"), la recourante émet de multiples griefs à l'encontre de l'arrêt attaqué, formulés dans un ordre aléatoire et mélangeant des éléments de fait et de droit. On reviendra ci-après sur les principales critiques. En revanche, en tant que la recourante discute des "antécédents" de l'intimée et de ses compétences professionnelles, son argumentation est de nature appellatoire et n'est donc pas admissible.
7.2. Premièrement, la recourante reproche aux premiers juges d'avoir tenu compte de critères applicables en matière de sanctions disciplinaires et d'infractions pénales alors que la cause a trait à un licenciement pour incompatibilité avec le bon fonctionnement de l'administration, lequel ne supposerait pas l'existence d'une violation fautive des devoirs de service. En se référant à la jurisprudence permettant de renoncer exceptionnellement à la procédure de reclassement, la juridiction cantonale aurait ainsi appliqué des critères pertinents en matière de révocation et abusé de son pouvoir d'appréciation.
On peine à comprendre la portée d'une telle argumentation et l'on ne discerne pas, à la lecture des griefs, en quoi les premiers juges auraient violé les dispositions cantonales susmentionnées. A suivre le raisonnement de la recourante, la procédure de reclassement n'aurait pas sa place en cas de licenciement administratif pour incompatibilité avec le bon fonctionnement de l'administration. Ce point de vue se heurte toutefois au texte clair de l'art. 21 al. 3 LPAC qui prévoit l'obligation, préalablement à la résiliation pour motif fondé - soit lorsque la continuation des rapports de service n'est plus compatible avec le bon fonctionnement de l'administration (cf. art. 22 LPAC) - de proposer des mesures de développement et de réinsertion professionnels et de rechercher si un autre poste au sein de l'administration cantonale correspond aux capacités de l'intéressé. En outre, contrairement à ce que soutient la recourante, les arrêts cantonaux cités par les premiers juges pour examiner s'il convenait de renoncer exceptionnellement au principe du reclassement concernaient également des cas de licenciement pour motif fondé. Le fait que les manquements de l'intimée auraient éventuellement pu être sanctionnés par la voie disciplinaire n'apparaît pas pertinent dans la mesure où la recourante n'a précisément pas choisi cette voie. La jurisprudence du Tribunal fédéral reconnaît d'ailleurs que la violation fautive des devoirs de service n'exclut pas le prononcé d'un licenciement pour motif fondé (dit licenciement ordinaire ou administratif; cf. arrêt 8C_203/2010 du 1 er mars 2011 consid. 3.5; voir aussi WYLER/BRIGUET, La fin des rapports de travail dans la fonction publique, 2017, p. 47 s.; PETER HÄNNI, Beendigung öffentlicher Dienstverhältnisse, in Stellenwechsel und Entlassung, 2012, p. 228). Dans un tel cas de figure, l'employeur n'est toutefois pas libéré de respecter les règles de procédure afférentes à ce type de licenciement.
7.3. La recourante soutient ensuite qu'en se limitant à indiquer que seules des circonstances particulières pouvaient justifier une exception au principe légal du reclassement, la cour cantonale aurait violé son devoir de motivation. En particulier, on ne comprendrait pas pourquoi un cas de harcèlement sexuel justifierait de ne pas procéder à un reclassement mais pas les manquements de l'intimée, pourtant qualifiés de graves. Les juges cantonaux auraient en outre fait preuve d'arbitraire en tenant compte des qualités professionnelles de l'intimée pour examiner la gravité de la situation et l'opportunité d'un reclassement, ce qui signifierait, toujours selon la recourante, que l'Etat ne pourrait jamais licencier un fonctionnaire ayant commis un manquement grave s'il a de bonnes qualités professionnelles.
Le grief de violation du devoir de motivation - soulevé en passant - est mal fondé. En effet, par rapport aux situations ne justifiant pas de procédure de reclassement préalable, comme le harcèlement sexuel, les juges cantonaux ont expliqué que, dans de telles circonstances, l'intérêt public ainsi que l'intérêt privé des autres employés de l'Etat l'emportaient sur l'intérêt privé de la personne licenciée à bénéficier d'une procédure de reclassement. Par ailleurs, s'ils ont pris en considération les qualités professionnelles de l'intimée, ils l'ont fait dans le but d'examiner si l'IMAD pouvait invoquer la protection de la santé, la sécurité et la personnalité des personnes âgées et collaborateurs de l'Etat pour priver l'intimée d'une procédure de reclassement. On ne saurait donc en déduire, comme le fait la recourante, qu'un employeur restera toujours tenu de respecter le principe légal du reclassement en présence de bonnes compétences professionnelles.
7.4. Enfin, la recourante reproche aux premiers juges d'avoir omis d'analyser la violation du secret de fonction par l'intimée et de n'avoir pas appliqué diverses jurisprudences concernant des situations selon elle semblables au cas d'espèce (arrêt 8C_541/2010 du 20 juin 2011 ainsi qu'un arrêt reproduit au JdT 2017 II p. 242).
En l'occurrence, la décision de licenciement n'a pas été motivée par une violation du secret de fonction par l'intimée, de sorte que les premiers juges n'avaient pas à examiner cette question. Quant aux arrêts cités par la recourante, ils portaient sur le bien-fondé de décisions de licenciement immédiat (dans le cadre de rapports de travail de droit privé pour le second [arrêt 4A_659/2015 du 28 juin 2016]) et dans aucun des deux cas il n'était question d'une obligation de l'employeur de tenter de reclasser l'employé avant de rendre sa décision de licenciement. Ils ne concernent donc pas des situations semblables à la présente cause.
8.
8.1. La recourante se plaint d'une application arbitraire des art. 21 al. 3 et 31 al. 3 LPAC, ainsi que de l'art. 46A RPAC. Selon elle, les juges cantonaux auraient d'abord considéré que la résiliation des rapports de service respectait le principe de la proportionnalité avant de retenir, de manière contradictoire, que celle-ci était disproportionnée. Ils auraient par ailleurs omis d'analyser si l'intimée avaient les capacités nécessaires pour occuper un autre poste dans l'administration publique au sens de l'art. 46A al. 1 in fine RPAC et n'auraient pas tenu compte de ses manquements en plébiscitant sa réintégration dans la fonction publique. Or le comportement de l'intimée durant et après la visite à la clinique serait de nature à rompre la considération et la confiance des administrés. Dans ce contexte, la recourante soutient en substance que l'intérêt public à ne pas réintégrer l'intimée dans le domaine de la santé serait prépondérant. Un reclassement dans une institution de soins représenterait en effet un risque de mise en danger de la population. La recourante relève en outre qu'au moment du licenciement, une enquête pénale était en cours et que les Hôpitaux universitaires de Genève (HUG), principal employeur public de personnel soignant, avaient également ouvert "un incident pour événement grave" contre l'intimée, les faits s'étant déroulés en son sein. Enfin, un risque de récidive ne serait pas exclu.
8.2.
8.2.1. Avant de se prononcer sur l'éventuel devoir de la recourante d'ouvrir une procédure de reclassement dans le cas d'espèce, la juridiction cantonale a exposé que l'obligation de reclassement (au sens des art. 21 al. 3 LPAC et 46A RPAC) préalable à une décision de licenciement ne constituait pas une obligation de résultat mais imposait à l'employeur de mettre en oeuvre tout ce qui pouvait raisonnablement être exigé de sa part. Il s'agissait tout d'abord de proposer des mesures dont l'objectif était d'aider l'intéressé à retrouver ou maintenir son employabilité, dans sa fonction ou dans une autre fonction, à son niveau hiérarchique ou à un autre niveau. Différentes mesures pouvaient être envisagées et prendre de multiples formes, comme l'établissement d'un certificat de travail intermédiaire ou d'un bilan de compétences, un stage d'évaluation, des conseils en orientation, des mesures de formation et d'évolution professionnelles, l'accompagnement personnalisé, voire l'outplacement. Il s'agissait ensuite de rechercher si une solution alternative de reclassement au sein de la fonction publique cantonale pouvait être trouvée, les recherches de l'Etat employeur devant s'étendre à tous les postes de la fonction publique correspondant aux capacités de l'intéressé (cf. consid. 9a et 9b de l'arrêt attaqué). Comme on l'a mentionné plus haut (consid. 4.2 et 7.2 supra), les juges cantonaux ont ensuite relevé que certaines circonstances exceptionnelles justifiaient toutefois de libérer l'employeur de l'obligation de mettre en oeuvre une procédure de reclassement. Par exemple, la protection des collaborateurs de l'Etat était prépondérante à l'intérêt du fonctionnaire de se voir soumettre à une procédure de reclassement en cas de harcèlement sexuel et d'atteinte à la personnalité. La juridiction cantonale a également cité le cas d'une infirmière ayant consommé de la codéine et commis des vols de ce produit, dès lors qu'un reclassement reviendrait à lui en faciliter l'accès. En conclusion, seules des circonstances particulières, dûment établies, pouvaient justifier une exception au principe légal du reclassement (cf. consid. 9c de l'arrêt attaqué).
8.2.2. En l'occurrence, l'obligation de reclassement préalable à une décision de résiliation pour motifs fondés découle expressément de la réglementation cantonale, soit des art. 21 al. 3 LPAC et 46A RPAC. En ce sens, il peut difficilement être reproché aux premiers juges d'avoir appliqué les dispositions précitées de manière arbitraire en considérant que la recourante était tenue de mettre en oeuvre des mesures de reclassement. Il s'agit plutôt de déterminer s'ils ont fait preuve d'arbitraire - ou violé le droit fédéral d'une autre manière - en considérant que les circonstances du cas d'espèce ne justifiaient pas une exception au principe légal du reclassement.
8.2.3. L'argumentation développée par la recourante à l'appui de son grief ne le démontre toutefois pas.
Premièrement, contrairement à ce que celle-ci soutient, les juges cantonaux n'ont pas retenu que la résiliation des rapports de service était disproportionnée, mais uniquement que la recourante n'était pas dispensée de formaliser une procédure de reclassement préalable, laquelle était une expression du principe de la proportionnalité. On ne saurait en outre reprocher à la juridiction cantonale de n'avoir pas examiné si l'intimée avait les capacités nécessaires pour occuper un autre poste dans l'administration publique au sens de l'art. 46A al. 1 in fine RPAC, dès lors que cette tâche incombait précisément à la recourante. Le fait que les HUG n'auraient certainement pas donné une suite favorable à une demande de reclassement n'y change rien, étant rappelé que la recourante n'avait pas une obligation de résultat.
S'agissant des compétences professionnelles de l'intimée, il ressort des constatations de l'arrêt attaqué qu'elles étaient globalement bonnes. Certes, il peut lui être reproché d'avoir - sur demande - mobilisé la patiente afin de lui permettre de se rendre aux toilettes sans connaître son état de santé actualisé. Il n'en est pas pour autant arbitraire de retenir qu'un tel manquement ne justifiait pas de renoncer aux mesures de reclassement, cela dans un but de sauvegarde de la santé des administrés, ce qui reviendrait en définitive à considérer que l'intimée devrait mettre un terme à sa longue carrière professionnelle qui, quoi qu'en pense la recourante, n'a pas été marquée par d'autres événements du genre. Le risque de récidive invoqué par la recourante à cet égard est purement hypothétique. Quant à la réaction de déni de l'intimée, elle était étroitement liée à l'événement du 12 janvier 2019, que les premiers juges pouvaient - sans arbitraire - qualifier d'exceptionnel.
Finalement, si l'on peut comprendre la réticence de la recourante à mettre en oeuvre une procédure de reclassement alors même que son employée était visée par une procédure pénale pour homicide par négligence, il n'en demeure pas moins que ce processus préalable à la résiliation des rapports de service pour motif fondé est inhérent au système consacré en droit genevois. En outre, les mesures à disposition de l'employeur peuvent revêtir plusieurs formes, allant de l'établissement d'un certificat de travail intermédiaire ou d'un bilan de compétences au fait de prodiguer des conseils en orientation; un reclassement dans une autre fonction est également envisageable. Dans ces conditions, il ne saurait être reproché aux juges cantonaux d'être tombés dans l'arbitraire en considérant que les circonstances du cas d'espèce ne justifiaient pas une exception au principe légal du reclassement.
9.
La recourante a conclu subsidiairement à ce que l'indemnité à allouer à l'intimée sur la base de l'art. 31 al. 4 LPAC soit réduite à un mois de traitement. Sa conclusion ne fait toutefois l'objet d'aucun développement dans l'acte de recours, de sorte qu'il n'y a pas lieu de l'examiner faute de grief répondant aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law> (cf. consid. 2.2 supra).
10.
Vu ce qui précède, le recours est en tous points mal fondé et doit être rejeté.
11.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera à l'intimée une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 30 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella