Sachverhalt:
A.
Aufgrund einer Strafanzeige von A._ wegen übler Nachrede bzw. Verleumdung führt das Untersuchungsamt St. Gallen ein Strafverfahren gegen B._. Am 5. Juni 2019 erhob A._ bei der Anklagekammer des Kantons St. Gallen Rechtsverzögerungsbeschwerde.
Diese wies die Anklagekammer am 8. August 2019 ab; ebenso wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Sie auferlegte A._ die Entscheidgebühr von Fr. 1'500.--.
B.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid der Anklagekammer aufzuheben, und weiteren Anträgen.
C.
Die Anklagekammer hat (unter Verweis auf ihren Entscheid) ausdrücklich auf Vernehmlassung verzichtet, das Untersuchungsamt stillschweigend. A._ hat dem Bundesgericht in der Folge eine weitere Eingabe zukommen lassen.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer macht keine Verletzung einfachen Bundesrechts geltend, sondern die Verletzung von Grundrechten. Gemäss <ref-law> prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist. Insoweit stellt die Rechtsprechung erhöhte Anforderungen an die Begründung der Beschwerde (<ref-ruling> E. 1.3 S. 30 mit Hinweis). Dem dürfte die vorliegende Beschwerde nicht genügen. Die Vorbringen des Beschwerdeführers, die überwiegend mit dem Gegenstand des Verfahrens - nämlich der Frage, ob dem Untersuchungsamt eine Rechtsverzögerung vorzuwerfen ist - nichts zu tun haben, sind teilweise schwer verständlich. Jedenfalls sind sie ungeeignet, den angefochtenen Entscheid als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen. Die Vorinstanz hat eingehend geprüft, ob sich das Untersuchungsamt eine ungebührliche Rechtsverzögerung zu schulden kommen lassen hat und dies verneint. Die Erwägungen der Vorinstanz, auf welche gemäss <ref-law> verwiesen werden kann, sind nicht zu beanstanden. Das gilt auch, soweit die Vorinstanz die bei ihr erhobene Beschwerde als aussichtslos beurteilt und deshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hat. Eine mangelhafte Begründung ihres Entscheids kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden. Sie war nach der Rechtsprechung nicht verpflichtet, sich mit jedem Vorbringen des Beschwerdeführers im Einzelnen auseinanderzusetzen. Wenn sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränkt hat, ist das nicht zu beanstanden (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 183; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> nicht bewilligt werden. Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri