Sachverhalt:
A.
A.a. B.B._ und C.B._ haben 2014 vor dem Zivilstandsamt Chur geheiratet.
A.b. Am 7. Oktober 2015 reichte C.B._ dem Bezirksgericht Plessur (heute: Regionalgericht Plessur) eine Scheidungsklage gemäss <ref-law> (Unzumutbarkeit der Fortsetzung der Ehe) ein (Verfahren Nr. xxx). Gleichzeitig ersuchte er um den Erlass vorsorglicher Massnahmen betreffend das Getrenntleben, insbesondere um Zuteilung der ehelichen Wohnung (Verfahren Nr. yyy). B.B._ widersetzte sich in der Folge der Scheidung und der Wohnungszuteilung. Letzteres führte zur vorsorglichen Wohnungszuteilung vom 29. Oktober 2015, die C.B._ mit Berufung angefochten hat.
A.c. Das Bezirksgericht gewährte B.B._ am 6. November 2015 im Verfahren betreffend die Ehescheidung (gemäss <ref-law>; Verfahren Nr. xxx) und den Erlass vorsorglicher Massnahmen (Verfahren Nr. yyy) mit Wirkung ab dem 16. Oktober 2015 die unentgeltliche Rechtspflege und ordnete ihr Rechtsanwalt A._ als amtlichen Anwalt bei.
A.d. Auf Berufung von C.B._ vom 9. November 2015 änderte das Kantonsgericht im Urteil vom 7. Januar 2016 die vorsorgliche Wohnungszuteilung und verlegte die erst- und zweitinstanzlichen Prozesskosten. Die B.B._ auferlegten Gerichtskosten und die Kosten ihrer Rechtsvertretung gingen zufolge unentgeltlicher Rechtspflege zu Lasten des Kantons.
A.e. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2016 wies das Bezirksgericht die Scheidungsklage gemäss <ref-law> ab und auferlegte die Gerichtskosten dem unterliegenden C.B._. Dieser wurde zudem verpflichtet, B.B._ eine Parteientschädigung von Fr. 11'512.60 zu bezahlen.
A.f. Gegen diesen Entscheid erhob C.B._ am 10. März 2017 Berufung an das Kantonsgericht Graubünden und beantragte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Scheidung der Ehe.
A.g. Am 2. Mai 2017, also während des Berufungsverfahrens, schlossen C.B._ und B.B._ eine Scheidungsvereinbarung. Darin erklärte sich B.B._ nunmehr mit der Scheidung einverstanden. Ferner einigten sich die Parteien über Nebenpunkte der Scheidung und beantragten dem Kantonsgericht, die Scheidung selber auszusprechen und die Nebenfolgen vereinbarungsgemäss zu regeln, ohne Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. In Bezug auf die Prozesskosten vereinbarten die Parteien, dass sie "die Kosten dieses Verfahrens, wie auch des erstinstanzlichen Verfahrens" je zur Hälfte tragen. "Sämtliche ausseramtliche Kosten" seien wettzuschlagen.
A.h. Gestützt auf die erwähnte Scheidungsvereinbarung liess C.B._ mit Eingabe seiner Rechtsvertreterin vom 16. Juni 2016 (richtig: 2017) den Rückzug seiner Berufung erklären. Mit Verfügung vom 5. Juli 2017 schrieb das Kantonsgericht seine Berufung "als durch Rückzug erledigt" ab, auferlegte die Kosten des Berufungsverfahrens je zur Hälfte beiden Parteien und verzichtete auf den Zuspruch einer aussergerichtlichen Entschädigung.
A.i. Am 7. September 2017 reichten die Parteien dem Regionalgericht (vorher: Bezirksgericht) ein gemeinsames Scheidungsbegehren mit umfassender Einigung im Sinne von <ref-law> ein (Verfahren Nr. zzz). Dadurch kam es zu einem zweiten Scheidungsverfahren.
A.j. Anlässlich der Anhörung vom 26. Oktober 2017 im zweiten Scheidungsverfahren unterzeichneten die Parteien nochmals eine Scheidungsvereinbarung, die im Wesentlichen den gleichen Inhalt aufweist wie die Vereinbarung vom 2. Mai 2017. In Bezug auf die Prozesskosten vereinbarten sie die hälftige Tragung der Gerichtskosten und die Wettschlagung sämtlicher ausseramtlichen Entschädigungen.
A.k. Ebenfalls anlässlich der erwähnten Anhörung gab Rechtsanwalt A._ als amtlicher Anwalt von B.B._ zwei Kostennoten zu den Akten: eine datiert vom 7. Dezember 2016, umfasst den Aufwand für die Zeit vom 16. Oktober 2015 bis 7. Dezember 2016 und lautet auf die Summe von Fr. 10'289.70; die andere datiert vom 26. Oktober 2017, erfasst den Aufwand für die Zeit vom 15. Dezember 2016 bis 26. Oktober 2017 und lautet auf die Summe von Fr. 2'428.75. Das Total der beiden Kostennoten beläuft sich auf Fr. 12'718.45.
A.l. An der Verhandlung vom 26. Oktober 2017 sprach das Regionalgericht die Scheidung gemäss <ref-law> aus und genehmigte die Scheidungsvereinbarung. Es auferlegte den Parteien die Gerichtskosten je zur Hälfte und hielt fest, dass die Parteien gegenseitig auf eine Parteientschädigung verzichteten. In Bezug auf B.B._ hielt es in Ziffer 6.d des Dispositivs fest, dass die ihr auferlegten Gerichtskosten und die auf Fr. 1'353.40 bestimmten Kosten ihres unentgeltlichen Rechtsvertreters, Rechtsanwalt A._, auf die Gerichtskasse genommen würden. Die zugesprochene Entschädigung von Fr. 1'353.40 betrifft den nach der Abschreibungsverfügung vom 5. Juli 2017 im ersten Scheidungsverfahren entstandenen Aufwand des unentgeltlichen Rechtsvertreters für das zweite Scheidungsverfahren gemäss <ref-law>.
B.
B.a. Am 6. November 2017 erhob Rechtsanwalt A._ im eigenen Namen und im Namen von B.B._ Beschwerde und beantragte, ihm als unentgeltlichem Rechtsbeistand sei in Ergänzung von Ziffer 6.d des Dispositivs des vorinstanzlichen Entscheids ein Honorar von Fr. 12'718.45 zuzusprechen, entsprechend der Summe des erstinstanzlich geltend gemachten Aufwands für beide Scheidungsverfahren.
B.b. Mit Entscheid vom 12. Januar 2018 trat das Kantonsgericht auf die Beschwerde, soweit B.B._ betreffend, mangels Rechtsschutzinteresses nicht ein. In Bezug auf Rechtsanwalt A._ wies es die Beschwerde ab.
C.
C.a. Dagegen erhebt Rechtsanwalt A._ (Beschwerdeführer) in eigenem Namen Beschwerde ans Bundesgericht, beschränkt auf seine anwaltlichen Bemühungen für B.B._ in der Zeit vom 16. Oktober 2015 bis und mit Dezember 2016, also für die Scheidungsklage gemäss <ref-law> (erstes Scheidungsverfahren). Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und seine Bemühungen für das erwähnte Verfahren seien vom Kanton mit Fr. 10'289.70 zu entschädigen. Nicht angefochten ist die Entschädigung für die Bemühungen des Beschwerdeführers im zweiten Scheidungsverfahren nach <ref-law>.
C.b. Es wurden die vorinstanzlichen Akten eingeholt, nicht aber eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid über die Entschädigung eines amtlich bestellten Rechtsbeistandes. Dabei handelt es sich um eine vermögensrechtliche Beschwerdesache (Urteil 5A_531/2014 vom 8. Dezember 2014 E. 1.1 mit Hinweisen). Der Streitwert beträgt gemäss den unangefochtenen Feststellungen des Kantonsgerichts (Dispositiv-Ziff. 3) weniger als Fr. 30'000.-- und erreicht damit den gesetzlich geforderten Mindestbetrag für die Beschwerde in Zivilsachen nicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Dass es um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung geht (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG), ist in der Beschwerde darzulegen (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.2.2.1; Urteil 5A_865/2017 vom 25. Juni 2018 E. 1.3.1), wird aber vom Beschwerdeführer nicht behauptet.
1.2. Erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen somit als unzulässig, dann kann die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) entgegengenommen werden, wenn deren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_531/2014 vom 8. Dezember 2014 E. 1.3). Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich (Art. 114 i.V.m. <ref-law>), lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers, der eine Honorarforderung als amtlicher Rechtsbeistand geltend macht (<ref-law>), und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 117 i.V.m. <ref-law>; Urteil 5A_531/2014 vom 8. Dezember 2014 E. 1.3; 4D_24/2014 vom 14. Oktober 2014 E. 1.1). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist einzutreten.
1.3. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dabei das Recht nicht von Amtes wegen an, sondern prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (Rügeprinzip; Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>). Auf ungenügend begründete Rügen oder bloss allgemein gehaltene appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 4.2 und 142 III 364 E. 2.4; je mit weiteren Hinweisen). Wird eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) geltend gemacht, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen dargelegt werden, inwiefern der angefochtene Erlass an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
2.
Streitig ist, ob dem Beschwerdeführer für seine Bemühungen als amtlicher Anwalt von B.B._ im ersten Scheidungsverfahren nach <ref-law> ein Entschädigungsanspruch gegenüber dem Kanton Graubünden zusteht.
2.1. Das Kantonsgericht stellte fest, dass die geltend gemachte Entschädigung von Fr. 10'289.70 den Aufwand des Beschwerdeführers in der Zeit vom 16. Oktober 2015 bis 7. Dezember 2016 für das erste Scheidungsverfahren (Scheidungsklage gemäss <ref-law>) betreffe. Bezüglich dieses Aufwands stehe ihm gegenüber dem Kanton kein Entschädigungsanspruch zu. Mit Entscheid vom 7. Dezember 2016 habe die Erstinstanz seiner obsiegenden Klientin im ersten Scheidungsverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 11'512.60 zugesprochen. Diese Parteientschädigung decke den hier geltend gemachten Aufwand. Der mit der Parteientschädigung belastete C.B._ habe keine unentgeltliche Rechtspflege genossen. Eine Uneinbringlichkeit der Parteientschädigung, welche gemäss <ref-law> die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands durch den Kanton auslösen würde, liege hier nicht vor und sei vom Beschwerdeführer auch nicht geltend gemacht worden.
2.2. Der Beschwerdeführer bestätigt, dass seiner obsiegenden Klientin im erstinstanzlichen Entscheid vom 7. Dezember 2016 eine Parteientschädigung von Fr. 11'512.60 zugesprochen wurde. Er meint aber, die Vorinstanz habe übersehen, dass gegen diesen Entscheid Berufung eingelegt worden sei und dass sich die Parteien in der Folge geeinigt hätten. Sie seien übereingekommen, dem Gericht ein gemeinsames Scheidungsbegehren mit umfassender Konvention über die Nebenpunkte der Scheidung vorzulegen. Mit dieser Vereinbarung hätten die Parteien den erstinstanzlichen Entscheid auch im Kostenpunkt aufgehoben. Sie hätten nämlich ausdrücklich bestimmt, dass die ausseramtlichen Kosten wettgeschlagen würden. Das bedeute, dass jede Partei ihre Anwaltskosten selber übernehme. Vor der Unterzeichnung der Vereinbarung sei die Erstinstanz gefragt worden, ob die unentgeltliche Rechtspflege auch für den Fall gelte, dass sich die Parteien gütlich einigten. Gemeint gewesen sei, dass die Kostennote vom 7. Dezember 2016 auch in diesem Falle vom Kanton übernommen werde. Das sei ausdrücklich bestätigt worden. Indem die Vorinstanz dennoch meine, die erstinstanzliche Parteientschädigung komme zur Anwendung, verfalle sie in Willkür gemäss <ref-law>.
2.3. Gemäss <ref-law> wird der unentgeltliche Rechtsbeistand vom Kanton angemessen entschädigt, wenn die der obsiegenden unentgeltlich prozessführenden Partei zugesprochene Parteientschädigung bei der Gegenpartei nicht oder voraussichtlich nicht einbringlich ist (<ref-ruling> E. 2.3). Die Parteientschädigung geht, wenn sie einbringlich ist (dazu: Urteil 5A_407/2014 vom 7. Juli 2014 E. 2), dem Entschädigungsanspruch gegenüber dem Kanton vor (dazu etwa: Urteil 5A_85/2017 vom 19. Juni 2017 E. 8).
Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass seiner Klientin im ersten Scheidungsverfahren erstinstanzlich eine Parteientschädigung zugesprochen wurde, die seinen Aufwand deckt. Er behauptet auch nicht, dass die Parteientschädigung des Ex-Ehemannes uneinbringlich sei. Damit kann die Bezugnahme der Vorinstanz auf den Vorrang der Parteientschädigung gegenüber der Entschädigung des Kantons (<ref-law>) nur noch willkürlich sein, wenn die erstinstanzliche Parteientschädigung gar nicht mehr besteht. Nach den Vorbringen des Beschwerdeführers sollen die Berufung des Ex-Ehemannes und die oberinstanzliche Einigung der Parteien dazu geführt haben.
Die von C.B._ im ersten Scheidungsverfahren erhobene Berufung hemmte, soweit sie die erstinstanzliche Parteientschädigung überhaupt erfasste, zunächst deren Rechtskraft und Vollstreckbarkeit (<ref-law>). Während des Berufungsverfahrens haben sich die Parteien sodann in einer Konvention geeinigt über die Scheidung und deren Nebenfolgen, über die Fortsetzung des Scheidungsverfahrens vor dem Kantonsgericht und über die Verlegung der Prozesskosten beider Instanzen (Bst. A.g). Nachdem das Scheidungsverfahren - aus welchen Gründen auch immer - vor dem Kantonsgericht nicht weitergeführt wurde, hat C.B._ seine Berufung zurückgezogen. Das Kantonsgericht schrieb das Verfahren deshalb in Folge Rückzugs der Berufung als erledigt ab (Bst. A.h). Ein solcher Rückzug (vgl. Art. 313 Abs. 2 Bst. c ZPO) lässt den erstinstanzlichen Entscheid rechtskräftig und vollstreckbar werden (vgl. etwa: PETER REETZ, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N 39 der Vorbemerkungen zu den Art. 308-318 ZPO; PETER REETZ/SARAH HILBER, a.a.O., N. 8, 12 f. und 19 zu <ref-law>). Das gilt auch für die Verlegung der erstinstanzlichen Parteikosten, die das Kantonsgericht nicht geändert hat. Die erstinstanzlich zugesprochene Parteientschädigung hat daher Bestand. Der Hinweis des Beschwerdeführers auf die Vereinbarung der Parteien über die Verlegung der erstinstanzlichen Kosten vermag daran nichts zu ändern, denn das Kantonsgericht hat diese Vereinbarung nicht in die Abschreibungsverfügung vom 5. Juli 2017 übernommen. Aus dem Dispositiv und der Begründung dieser unangefochtenen Verfügung ergibt sich vielmehr, dass das Kantonsgericht nur die Prozesskosten des Berufungsverfahrens verteilt hat, nicht auch die des erstinstanzlichen Verfahrens. Das entspricht der Erledigung des Berufungsverfahrens wegen Rückzugs des Rechtsmittels, der den erstinstanzlichen Entscheid (auch) im Kostenpunkt verbindlich werden lässt. Weshalb die Kosten des Berufungsverfahrens konventionsgemäss verlegt wurden, kann offen bleiben. Hat die erstinstanzliche Parteientschädigung Bestand, dann ist dem Willkürvorwurf, die Vorinstanz stütze sich zu Unrecht auf eine aufgehobene erstinstanzliche Parteikostenregelung, der Boden entzogen. Weitere Ausführungen zur Abschreibungsverfügung, die hier nicht Anfechtungsobjekt ist, erübrigen sich.
Was der Beschwerdeführer vorliegend aus der behaupteten Auskunft der Erstinstanz zur unentgeltlichen Rechtspflege im Falle einer Einigung im Berufungsverfahren ableiten will, ist nicht nachvollziehbar und genügt den Rügeanforderungen (E. 1.3) nicht. Auf dieses Vorbringen ist nicht einzutreten.
3.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu