Sachverhalt:
A.
A.a. A._ wurde am 2. September 1993 in Winterthur als Sohn einer schweizerisch-französischen Doppelbürgerin und eines libanesischen Staatsangehörigen geboren. Seine Mutter hatte durch Heirat mit einem Schweizer von Gesetzes wegen das Schweizer Bürgerrecht erworben. Nach der damaligen Rechtslage erhielt das Kind einer Schweizer Mutter, die das Schweizer Bürgerrecht durch frühere Heirat mit einem Schweizer erworben hatte, nur unter bestimmten Voraussetzungen die schweizerische Staatsangehörigkeit. A._ wuchs in Winterthur auf, wo er heute noch lebt. Als er im Jahr 2015 seinen Schweizer Pass verlängern lassen wollte, stellten die Behörden fest, dass er nicht im elektronischen Zivilstandsregister erfasst war. Am 23. September 2015 teilte ihm das die Einwohnerkontrolle der Stadt Winterthur mit und ergänzte, er sei bis dahin von den Schweizer Behörden fälschlicherweise als Schweizer Bürger behandelt worden.
A.b. Am 13. Juli 2016 ging beim Staatssekretariat für Migration SEM ein Gesuch von A._ um erleichterte Einbürgerung auf der Grundlage eines irrtümlich angenommenen Schweizer Bürgerrechts ein. Da sein Betreibungsregisterauszug vom 19. November 2015 mehrere Betreibungen und Verlustscheine auswies, teilte ihm das Staatssekretariat am 20. Juli 2016 mit, er könne wegen seines getrübten finanziellen Leumunds nicht eingebürgert werden, und empfahl den Rückzug des Gesuchs. Am 29. September 2016 ersuchte A._ darum, das Gesuch bis Ende Jahr pendent zu halten, um die finanzielle Sachlage zu bereinigen. Mit Eingabe vom 27. Januar 2017 teilte er mit, dies sei ihm nicht gelungen, er halte jedoch am Einbürgerungsgesuch fest. Weitere Betreibungsregisterauszüge vom 31. Januar sowie vom 24. Oktober 2017 wiesen noch immer zahlreiche Verlustscheine aus. Mit Verfügung vom 6. Dezember 2017 lehnte das Staatssekretariat das Gesuch um erleichterte Einbürgerung ab.
B.
Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht. Dieses wies die Beschwerde am 3. November 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Dezember 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts aufzuheben und das Staatssekretariat für Migration anzuweisen, ihn erleichtert einzubürgern; eventuell sei die Streitsache zur neuen Entscheidung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht wird um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht. Zur Begründung wird im Wesentlichen geltend gemacht, es handle sich um einen Ausnahmefall, der eine erleichterte Einbürgerung rechtfertige; eine solche zu verweigern, sei überdies unverhältnismässig und willkürlich.
Das Staatssekretariat für Migration und das Bundesverwaltungsgericht verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid in einem Verfahren über die erleichterte Einbürgerung (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. a, Art. 90 BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen; der Ausnahmegrund von <ref-law> betreffend Entscheide über die ordentliche Einbürgerung ist vorliegend nicht erfüllt (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 219). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Adressat des angefochtenen Urteils zur Beschwerde befugt (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts gerügt werden (<ref-law>).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG), wofür es im vorliegenden Fall keine Hinweise gibt.
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an, behandelt aber grundsätzlich nur in der Beschwerdeschrift behauptete und ausreichend begründete Rechtsverletzungen, wobei angebliche Grundrechtsverletzungen (unter Einschluss des behaupteten Verstosses gegen das Willkürverbot) besonders substanziiert werden müssen (vgl. <ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.6; <ref-ruling> E. 1.4). Das Bundesgericht tritt auf solche Rügen nur insoweit ein, als die Voraussetzung einer ausreichenden Begründung erfüllt ist.
2.
2.1. Anwendbar ist im vorliegenden Fall noch nicht das Bundesgesetz vom 20. Juni 2014 über das Schweizer Bürgerrecht (BüG; SR 141.0; in Kraft seit dem 1. Januar 2018), sondern dasjenige vom 29. September 1952 über Erwerb und Verlust des Schweizer Bürgerrechts (Bürgerrechtsgesetz, aBüG; SR 141.0; AS 1952 1087; vgl. <ref-law>). Die Mutter des Beschwerdeführers erwarb das Schweizer Bürgerrecht nicht durch Abstammung oder Einbürgerung, sondern von Gesetzes wegen infolge Heirat mit einem Schweizer (vgl. Art. 3 aBüG in der Fassung vom 29. September 1952; AS 1952 1088). Diese Erwerbsform wurde erst später mit der Teilrevision des Bürgerrechtsgesetzes vom 23. März 1990 (AS 1991 1034; in Kraft seit dem 1. Januar 1992) aufgehoben und durch eine erleichterte Einbürgerung ersetzt (Art. 27 und 28 aBüG; AS 1991 1037 f.).
2.2. Die bürgerrechtliche Stellung von Kindern aus solchen Verbindungen war in den Übergangsbestimmungen des Bürgerrechtsgesetzes in der Fassung vom 23. März 1990 (AS 1991 1040 f.) geregelt. Art. 57a aBüG bestimmte, dass das Kind aus der Ehe eines Ausländers und einer Schweizerin, die das Schweizer Bürgerrecht durch frühere Heirat mit einem Schweizer erlangt hatte, nur dann Schweizer Bürger wurde, wenn es durch die Geburt keine andere Staatsangehörigkeit erwerben konnte oder vor seiner Mündigkeit staatenlos wurde. Für die übrigen Fälle sah Art. 58b aBüG unter bestimmten Voraussetzungen die erleichterte Einbürgerung vor. Im Rahmen einer weiteren Teilrevision des Bürgerechtsgesetzes vom 3. Oktober 2003 (in Kraft seit dem 1. Januar 2006; AS 2005 5233) wurden diese beiden Übergangsbestimmungen ersatzlos aufgehoben (AS 2005 5235 f.).
2.3. Bei der Geburt des Beschwerdeführers am 2. September 1993 standen Art. 57a und 58b aBüG noch in Kraft. Nach Art. 18 des französischen Code civil erhielt er als Kind einer französischen Staatsangehörigen durch Abstammung von Gesetzes wegen die französische Staatsangehörigkeit. Auch wenn er sich lange nicht um eine entsprechende Bestätigung kümmerte, war die gesetzliche Voraussetzung von Art. 57a aBüG daher nicht erfüllt, dass er durch die Geburt keine andere Staatsangehörigkeit erwerben konnte; auch wurde er nicht vor seiner Mündigkeit staatenlos. Es ist unbestritten, dass ihm grundsätzlich die französische Staatsangehörigkeit zusteht, und er hat die erforderlichen administrativen Schritte unternommen, um eine entsprechende, grundsätzlich rein feststellende Bestätigung bzw. einen diesbezüglichen Ausweis zu erhalten. Dass er sich zurzeit subjektiv als "de facto und de jure" staatenlos fühlt, ändert daran nichts. Es gibt keine Hinweise dafür und er vermag auch keine solchen vorzulegen, dass die Anerkennung der französischen Staatsangehörigkeit scheitern würde. Insoweit ist die entsprechende Argumentation in E. 7.4 des angefochtenen Entscheids nicht zu beanstanden.
2.4. Mit der Aufhebung von Art. 58b aBüG am 1. Januar 2006 entfiel allerdings die Möglichkeit einer erleichterten Einbürgerung als Kind einer Schweizerin, die das Schweizer Bürgerrecht durch frühere Ehe mit einem Schweizer erworben hatte. Im Unterschied zum in <ref-ruling> beurteilten Fall besteht bei der vorliegenden Rechtslage keine Gesetzeslücke, die zu einer massgeblichen Ungleichbehandlung der Geschlechter führen würde, die durch Auslegung zu beseitigen wäre. Art. 58b aBüG war auf den Beschwerdeführer grundsätzlich anwendbar und wurde vom Gesetzgeber bewusst aufgehoben. Im Übrigen würden auch diesfalls die Voraussetzungen von Art. 26 aBüG zumindest sinngemäss gelten (vgl. Art. 58b Abs. 4 aBüG).
3.
3.1. Nach Art. 29 aBüG kann der Ausländer, der während wenigstens fünf Jahren in gutem Glauben gelebt hat, er sei Schweizer Bürger, und während dieser Zeit von kantonalen oder Gemeindebehörden tatsächlich als solcher behandelt worden ist, erleichtert eingebürgert werden (Abs. 1); er erhält in der Regel das Bürgerrecht des für den Irrtum verantwortlichen Kantons, der bestimmt, welches Gemeindebürgerrecht gleichzeitig erworben wird (Abs. 2). Die gleiche Regelung findet sich im Übrigen auch im geltenden Recht wieder (vgl. <ref-law>).
3.2. Die Einwohnerkontrolle der Stadt Winterthur, der damals die Geburt des Beschwerdeführers gemeldet worden war, nahm irrtümlich an, dieser sei Schweizer und vermerkte die entsprechende Anmeldung in Winterthur. Erst 22 Jahre später, im Jahr 2015, wurde der Irrtum bei der Behandlung eines Antrags auf Neuausstellung des Schweizer Reisepasses erkannt. Es ist dem Beschwerdeführer zugute zu halten, dass er bei dieser Ausgangslage gutgläubig davon ausging, Schweizer zu sein. Damit erweist sich der Grundtatbestand von Art. 29 aBüG als erfüllt. Fälle wie der vorliegende im Zusammenhang mit Kindern von Müttern, die das Schweizer Bürgerrecht zuvor durch Heirat erworben hatten, kamen im Übrigen offenbar häufiger vor (vgl. CESLA AMARELLE, in: Amarelle/Nguyen [Hrsg.], Code annoté de droit des migrations, Volume V : Loi sur la nationalité [LN], 2014, Art. 29 N. 8).
3.3. Gemäss Art. 26 Abs. 1 aBüG setzt die erleichterte Einbürgerung bei in der Schweiz wohnenden Gesuchstellenden, wie das auf den Beschwerdeführer zutrifft, voraus, dass die Bewerberin oder der Bewerber in der Schweiz integriert ist (lit. a), die schweizerische Rechtsordnung beachtet (lit. b) und die innere oder äussere Sicherheit der Schweiz nicht gefährdet (lit. c).
3.3.1. Art. 26 aBüG steht am Anfang des Gesetzesabschnitts über die erleichterte Einbürgerung. Systematisch ergibt sich daraus, dass die darin definierten materiellen Einbürgerungsvoraussetzungen für alle nachfolgend geregelten Formen der erleichterten Einbürgerung gelten. Davon gehen auch die Rechtsprechung und die Literatur aus (vgl. etwa <ref-ruling> E. 3.3.1; Urteil des Bundesgerichts 1C_299/2018 vom 28. März 2019 E. 3 in ZBl 121/2020 111; SAMAH OUSMANE, in: Amarelle/Nguyen [Hrsg.], a.a.O., Art. 26 N. 1 f.; BBl 1987 III 293 ff.).
3.3.2. Das Kriterium des Beachtens der schweizerischen Rechtsordnung nach Art. 26 Abs. 1 lit. b aBüG bedeutet, dass ein guter straf- und betreibungsrechtlicher Leumund vorliegen muss (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1; Urteile des Bundesgerichts 1C_299/2018 vom 28. März 2019 E. 3 in ZBl 121/2020 111 und 1C_651/2015 vom 15. Februar 2017 E. 4.3 in ZBl 119/2018 40, je mit Hinweisen; OUSMANE, a.a.O., Art. 26 N. 16 ff.). Nach der Praxis wird für einen einwandfreien finanziellen bzw. betreibungsrechtlichen Leumund vorausgesetzt, dass der Bewerber bzw. die Bewerberin den öffentlich- und privatrechtlichen Zahlungsverpflichtungen nachkommt. Hängige Betreibungsverfahren, Lohnpfändungen und nicht gelöschte Verlustscheine, die in den letzten fünf Jahren ausgestellt wurden, stehen einer erleichterten Einbürgerung entgegen, ausser die Schulden seien unverschuldet aus existentieller Not entstanden (Urteil des Bundesgerichts 1C_299/2018 vom 28. März 2019 E. 3 und 5.2 in ZBl 121/2020 111).
3.3.3. Fraglich erscheint allenfalls, ob sämtliche Voraussetzungen, wie im angefochtenen Urteil in E. 5.2 festgehalten wird, sowohl im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung als auch der Einbürgerungsverfügung erfüllt sein müssen. Der entsprechend zitierte <ref-ruling> E. 2 bezieht sich auf Art. 27 aBüG und den erforderlichen Bestand der Ehe im Rahmen einer erleichterten Einbürgerung des Ehegatten eines Schweizers oder einer Schweizerin. Bei anderen Voraussetzungen, wie namentlich dem Erfordernis der Schuldenfreiheit, erscheint es nicht zwingend, dass sie in beiden Zeitpunkten erfüllt sind. Unter Umständen sollte auch der Zeitpunkt der Einbürgerung bzw. eine von diesem Moment an zurückgerechnete Zeitspanne genügen, was insbesondere für die Fünf-Jahres-Frist bei den Verlustscheinen in Frage kommen könnte. Im vorliegenden Fall braucht darüber jedoch nicht entschieden zu werden.
3.4. In den Verfahrensakten liegen drei den Beschwerdeführer betreffende Betreibungsregisterauszüge. Ein erster Auszug vom 19. November 2015 weist für die vorausgegangenen fünf Jahre insgesamt 21 Verlustscheine, datiert vom 21. Februar 2011 bis zum 1. Juni 2015, im Betrag von rund Fr. 22'000.-- sowie drei hängige Betreibungen über insgesamt Fr. 1'230.-- aus. Der zweite Auszug vom 1. Februar 2017 zählt 23 Verlustscheine auf, datiert vom 12. März 2012 bis zum 7. Juli 2016, im Betrag von erneut rund Fr. 22'000.-- sowie eine laufende Betreibung über rund Fr. 1'180.--. Der dritte und jüngste Auszug vom 24. Oktober 2017 weist noch immer 17 Verlustscheine, wovon der letzte vom 7. Juli 2016, im Gesamtbetrag von rund Fr. 14'000.-- sowie eine durch Pfandverwertung abgeschlossene und drei hängige Betreibungen im Betrag von rund Fr. 2'940.-- aus. Dabei handelt es sich um verschiedenartige Schulden, unter anderem gegenüber dem Kanton und der Gemeinde, diversen Versicherungen, Verkehrsbetrieben, Immobilienverwaltungen und Privatpersonen. Es gelang dem Beschwerdeführer nicht, wie er selbst einräumt, seine finanzielle Situation zu bereinigen, obwohl ihm das Staatssekretariat auf Gesuch hin dazu die zeitliche Gelegenheit gab. Zwischen November 2016 und September 2017 kamen vielmehr vier neue Betreibungen hinzu. Dass die Anzahl der Betreibungen insgesamt zurückging, hängt einzig mit der Begrenzung des Auszugs auf die letzten fünf Jahre zusammen (vgl. <ref-law>).
3.5. Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei abgesehen von seiner finanziellen Situation sehr gut integriert und fühle sich als Schweizer. Das Bundesverwaltungsgericht führt in E. 7.3 des angefochtenen Entscheids aus, die Voraussetzungen der erleichterten Einbürgerung seien in Art. 26 aBüG kumulativ gefasst, so dass eine besonders qualifizierte Erfüllung der einen Voraussetzung Defizite bei anderen nicht ausgleiche. Zwar erscheint fraglich, ob mit Blick auf das Verhältnismässigkeitsprinzip nicht eine Gesamtbeurteilung greifen sollte und dabei ein geringes Manko bei der einen materiellen Voraussetzung durch besonders gelungene Erfüllung von anderen Kriterien ausgeglichen werden könnte. Das Bundesgericht hat dies bei der Beurteilung der materiellen Voraussetzungen im Rahmen einer ordentlichen Einbürgerung bejaht (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 und. 4.6). Umso eher müsste das angesichts der analogen materiellen Voraussetzungen (vgl. dazu etwa OUSMANE, a.a.O., Art. 26 N. 4) eigentlich auch bei der erleichterten Einbürgerung gelten. Das kann hier aber genauso offenbleiben wie die Frage, in welchem Verhältnis insofern lit. a und b von Art. 26 Abs. 1 aBüG stehen. Zwar ist der Beschwerdeführer in der Schweiz geboren und hat immer hier gelebt. Er spricht die Sprache und es gibt keine Anhaltspunkte dafür, dass er nicht integriert wäre. Sein getrübter finanzieller Leumund wiegt aber schwer. Wohl sind die Schulden insgesamt nicht ausserordentlich hoch; der Gesamtbetrag ist aber auch nicht unbedeutend, selbst dann nicht, wenn gemäss der Argumentation des Beschwerdeführers die Betreibungen im Zusammenhang mit der Wehrpflichtersatzabgabe nicht berücksichtigt würden, weil er mangels Schweizer Bürgerrechts ja gar nicht abgabepflichtig gewesen wäre. Abgesehen davon belegt der Beschwerdeführer nicht, welchen Teilbetrag das überhaupt ausmachen würde. Die Schuldenwirtschaft zieht sich überdies inzwischen über viele Jahre hinweg, und der Beschwerdeführer bekommt seine finanzielle Lage trotz angeblicher Bemühungen nicht in den Griff. Mit Blick auf Art. 26 Abs. 1 lit. b aBüG kann daher davon nicht abgesehen werden.
4.
4.1. Soweit sich der Beschwerdeführer auf Treu und Glauben beruft, ist darauf hinzuweisen, dass der Gesetzgeber mit dem Erlass von Art. 29 aBüG gerade mit Blick auf den Vertrauensschutz dem gutgläubigen Irrtum bei der Annahme des Schweizer Bürgerrechts Rechnung getragen hat (vgl. AMARELLE, a.a.O., Art. 29 N. 2). Er hat dafür jedoch spezifische gesetzliche Voraussetzungen vorgesehen, die für die Zulassung der erleichterten Einbürgerung zu erfüllen sind. Dass im vorliegenden Fall eine besondere ausserordentliche Sachlage vorliegen würde, die einen erweiterten Vertrauensschutz zu begründen vermöchte, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht ausreichend dargetan. Es ist im Übrigen wenig glaubhaft und auch spekulativ, dass er, wie er behauptet, keine Schulden gemacht hätte, wenn ihm deren Bedeutung für die Staatsangehörigkeit bewusst gewesen wäre. Vielmehr erscheint dies als Hinweis auf eine gewisse Unbekümmertheit im Umgang mit finanziellen Verpflichtungen.
4.2. Analoges gilt für die vom Beschwerdeführer erhobene Rüge, der angefochtene Entscheid sei unverhältnismässig und willkürlich. Dass Verhältnismässigkeitsgesichtspunkte bei der Auslegung und Anwendung von Art. 29 in Verbindung mit Art. 26 aBüG beachtet werden könnten, wurde bereits dargelegt. Dafür genügt es jedoch nicht, dass der Beschwerdeführer die Nichteinbürgerung als subjektiv hart empfindet. Aus objektiver Sicht bedingt das Verhältnismässigkeitsprinzip nicht, den Beschwerdeführer erleichtert einzubürgern (vgl. vorne E. 3.5). Die erhobene Willkürrüge ist zu vage und erfüllt die Anforderungen an eine zulässige Begründung nicht, weshalb insofern auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann (vgl. vorne E. 1.4). Abgesehen davon ist nicht ersichtlich, wie eine Willkürprüfung des angefochtenen Entscheids zu einem anderen Ergebnis führen könnte als dessen freie Überprüfung.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung des unterliegenden und damit grundsätzlich kostenpflichtigen (vgl. Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG) Beschwerdeführers ist wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren abzuweisen (vgl. <ref-law>). Es rechtfertigt sich jedoch aufgrund der besonderen Sachlage, ausnahmsweise von der Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren abzusehen (vgl. Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Staatssekretariat für Migration SEM und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax