Erwägungen:
1.
A._ (geb. 1983) ist irakischer Staatsangehöriger. Das Bundesamt für Migration (heute: Staatssekretariat für Migration [SEM]) wies am 24. April 2012 sein Asylgesuch ab, nahm ihn aber aufgrund der prekären Sicherheitslage im Irak vorläufig auf. Am 31. Juli 2017 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich ein erstes Gesuch ab, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen (Straffälligkeit). Am 30. Juli 2019 ersuchte A._ wiederum erfolglos darum nach, seine vorläufige Aufnahme durch eine Aufenthaltsbewilligung zu ersetzen. Die kantonalen Rechtsmittel hiergegen blieben ohne Erfolg. A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 21. Oktober 2020 aufzuheben und ihm die beantragte Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; gegebenenfalls sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Am 3. Dezember 2020 wurden die kantonalen Akten eingeholt.
2.
2.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Ob die kantonalen Behörden dem Beschwerdeführer die Bewilligung im Bereich ihres Ermessens (Art. 3, 33 Abs. 2 und 96 Abs.1 AuG) hätten erteilen müssen, kann das Bundesgericht nicht im Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten prüfen, da sich seine Zuständigkeit in diesem Zusammenhang auf Anspruchsbewilligungen beschränkt (vgl. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf <ref-law>, der indessen keinen Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung einräumt (Urteile 2C_766/2009 vom 26. Mai 2010 E. 4; 2D_21/2016 vom 23. Mai 2016 E. 3). Bei der Härtefallbewilligung (Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG) handelt es sich ebenfalls um einen kantonalen Ermessensentscheid (vgl. MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 4 zu <ref-law>); ein Anspruch auf Aufenthalt lässt sich dabei weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip ableiten (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 6.2). Diesbezüglich sind im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde deshalb ausschliesslich Rügen hinsichtlich verfahrensrechtlicher Punkte zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die vom Sachentscheid getrennt beurteilt werden können ("Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 3c S. 312 f.; <ref-ruling> E. 1 S. 26 f.; <ref-ruling> E. 2 und 4).
2.2.2. Unzulässig sind Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei, die Vorinstanz sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandergesetzt oder die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt habe; ebenso wenig ist der Vorwurf im Rahmen der Star-Praxis zulässig, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonstwie willkürlich festgestellt worden (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 308; Urteil 2C_574/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 1.2, je mit Hinweisen).
2.2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass die Vorinstanz die Beweise offensichtlich falsch gewürdigt habe; sie habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör insofern verletzt, als sie seinen Beweisanträgen nicht entsprochen habe. Er sei besser integriert als von der Vorinstanz angenommen. Das Verwaltungsgericht habe zentrale Beweismittel ausser Acht gelassen und sein Mitwirkungsrecht verletzt. Die Vorinstanz habe "in Verletzung des rechtlichen Gehörs die angebotenen Beweismittel übergangen und deshalb letztlich willkürlich die in jeder Hinsicht hervorragende Integration verneint". Die entsprechenden Rügen kann das Bundesgericht nicht behandeln, ohne sich mit dem Sachentscheid auseinander zu setzen (<ref-ruling> E. 2 S. 308). Es ist deshalb auch auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten. Dies kann durch den Präsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach <ref-law> geschehen.
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar