Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1980) ist türkischer Staatsangehöriger. Er heiratete am 23. Februar 2013 die schweizerische Staatsangehörige C._ und reiste am 18. April 2013 im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein, wo ihm eine zuletzt bis 17. April 2016 befristete Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erteilt wurde.
Nach einer Meldung durch seine Ehefrau wurde A._ am 30. Januar 2016 von der Kantonspolizei Zürich verhaftet, die ihn gleichentags aus der Wohnung wegwies sowie ein Betretungs- und Kontaktverbot bis 13. Februar 2016 verfügte. Die Schutzmassnahme wurde mit Verfügung des zuständigen Zwangsmassnahmengerichts bis am 13. April 2016 verlängert.
Auf Anfrage des Migrationsamts des Kantons Zürich teilte C._ mit Schreiben vom 12. Februar 2016 mit, dass sie seit 18. Dezember 2015 nicht mehr mit A._ zusammenwohne und der Ehewille bereits im November 2015 erloschen sei. A._ gab demgegenüber mit Schreiben vom 14. März 2016 an, die Ehe fortführen zu wollen.
B.
Mit Verfügung vom 2. Juni 2016 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich ein Gesuch von A._ um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab. Gleichzeitig verfügte es seine Wegweisung aus der Schweiz und setzte ihm eine Ausreisefrist bis am 2. August 2016 an.
Einen Rekurs gegen die Verfügung vom 2. Juni 2016 wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich mit Entscheid vom 23. August 2017 unter Ansetzung einer Ausreisefrist bis 23. Oktober 2017 ab.
Auf eine dagegen gerichtete Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich unter Ansetzung einer Ausreisefrist bis 31. Dezember 2017 mit Verfügung vom 5. Oktober 2017 wegen mangelnder Begründung der Rechtsschrift nicht ein. Ein Gesuch von A._ um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege für das verwaltungsgerichtliche Verfahren wies es ab. Die Gerichtskosten auferlegte es dem Rechtsvertreter von A._, Rechtsanwalt B._.
C.
Mit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde bezeichneter gemeinsamer Eingabe vom 8. November 2017 gelangen A._ (Beschwerdeführer 1) und Rechtsanwalt B._ (Beschwerdeführer 2) an das Bundesgericht. Sie verlangen sinngemäss die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an A._. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Weiter beantragen sie die unentgeltliche Rechtspflege für A._ im bundesgerichtlichen Verfahren.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Auf weitere Instruktionsmassnahmen wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Frist- und grundsätzlich formgerecht angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher, verfahrensabschliessender Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG [i.V.m. Art. 114 und <ref-law>]).
1.1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundes- noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Für das Eintreten auf die Beschwerde reicht es aus, wenn der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise dartut, dass ihm potentiell ein Bewilligungsanspruch zusteht. Ob der geltend gemachte Anspruch tatsächlich besteht, bildet alsdann Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; Urteil 2C_736/2017 vom 28. November 2017 E. 1.1). Soweit ein Sachentscheid der Einschränkung von <ref-law> unterliegt, gilt dies auch für Nichteintretens- und Kostenentscheide in derselben Angelegenheit (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 373; <ref-ruling> E. 1.1 S. 160; Urteile 2D_35/2016 vom 21. April 2017 E. 1.1; 2C_139/2016 vom 14. Juni 2016 E. 1.2).
1.1.2. In ihrer Eingabe an das Bundesgericht behaupten die Beschwerdeführer einen "klaren Anspruch des Beschwerdeführers [1] auf Verlängerung einer Aufenthaltserlaubnis". Sie legen jedoch nicht ansatzweise dar, worauf dieser Anspruch gründen soll; entsprechende Anhaltspunkte ergeben sich auch nicht aus dem angefochtenen Urteil. Zwar führen die Beschwerdeführer aus, der Beschwerdeführer 1 sei "Opfer von häuslicher und polizeilicher Gewalt" geworden, was im Rahmen von Art. 50 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 AuG (SR 142.20) für einen Aufenthaltsanspruch bedeutsam sein könnte. Die Darstellung der Beschwerdeführer findet in den für das Bundesgericht massgebenden Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (vgl. <ref-law>) aber keinerlei Stütze und wird auch nicht in einer Weise vorgetragen, die den Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge im Sinne von <ref-law> annähernd genügt (vgl. <ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96 f.; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Bei dieser Ausgangslage ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten.
1.2. Zu prüfen bleibt die Zulässigkeit der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>). Nach <ref-law> ist zur Verfassungsbeschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
1.2.1. Der Beschwerdeführer 1 war Partei im vorinstanzlichen Verfahren. Ein geschütztes materiellrechtliches Interesse an der Beschwerdeführung macht er nicht geltend; seine oberflächliche Bezugnahme auf den allgemeinen Gleichbehandlungsgrundsatz (<ref-law>) genügt den Begründungsanforderungen nach <ref-law> nicht und verschafft für sich allein ohnehin noch keine Beschwerdebefugnis im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 192; <ref-ruling> E. 1.5 S. 118; Urteile 1D_19/2007 vom 16. Dezember 2008 E. 1; 2C_560/2007 vom 23. Oktober 2007 E. 3.2). Allerdings rügt der Beschwerdeführer 1 weiter eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Dazu ist er mit Blick auf <ref-law> befugt, auch wenn ihm die Legitimation in der Sache abgeht (sog. "Star-Praxis", vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f.; Urteil 2C_147/2017 vom 23. Januar 2018 E. 2.6.1). Dabei hat das Bundesgericht nur den Antrag des Beschwerdeführers 1 auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Rückweisung der Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zu behandeln; die ebenfalls verlangte Erteilung der Aufenthaltsbewilligung geht über den Gegenstand des angefochtenen Entscheids hinaus (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 235 f.; <ref-ruling> E. 1.2 S. 41). Unter dieser Einschränkung ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde des Beschwerdeführers 1 einzutreten.
1.2.2. Ebenfalls einzutreten ist auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde des Beschwerdeführers 2. Soweit ihn die Vorinstanz zur Bezahlung von Gerichtskosten verpflichtete, wurde er im verwaltungsgerichtlichen Verfahren zur Partei (<ref-law>). Gegen dieses Vorgehen beruft sich der Beschwerdeführer 2 auf seinen verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>), was ihn nach dem bereits Dargelegten zur subsidiären Verfassungsbeschwerde legitimiert (<ref-law>, vgl. E. 1.2.1 hiervor).
2.
Im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Dabei trifft die beschwerdeführende Partei eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254). In tatsächlicher Hinsicht legt das Bundesgericht seinem Urteil gemäss <ref-law> den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann es von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer 1 vertritt die Auffassung, das Verwaltungsgericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es sich inhaltlich mit seinen Ausführungen nicht auseinandergesetzt und ihm im Rahmen der kantonal anwendbaren Verfahrensbestimmungen keine Möglichkeit zur Verbesserung seiner Rechtsschrift eingeräumt hat.
3.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) umfasst als Teilgehalt die Pflicht der Behörden, Vorbringen der Beteiligten tatsächlich zu hören, zu prüfen und bei der Entscheidfindung zu berücksichtigen. Dazu hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen, wobei sie wenigstens kurz die wesentlichen Überlegungen nennen muss, von denen sie sich hat leiten lassen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237). Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 102 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293). Soweit ein Entscheid eine Begründung enthält, die dem Anspruch auf rechtliches Gehör genügt, sind dem Rechtssuchenden die zum Entscheid führenden wesentlichen Überlegungen bekannt. Sieht das kantonale Verfahrensrecht für solche Fälle vor, dass sich der Rechtssuchende in einer Rechtsschrift wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen hat, ist das weder überspitzt formalistisch noch mit dem Anspruch auf rechtliches Gehör unvereinbar (vgl. <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 247 f.; Urteile 2C_148/2013 vom 2. Mai 2013 E. 4; 2C_286/2017 vom 29. Mai 2017 E. 3.2). Eine Nachfristansetzung zur Verbesserung einer Eingabe ist verfassungsrechtlich jedenfalls nicht geboten, wenn der Mangel in der Rechtsschrift freiwillig in Kauf genommen wurde (vgl. <ref-ruling> E. 4.5 S. 159 f.; Urteil 2C_331/2011 vom 25. Januar 2012 E. 4).
3.2. Der Beschwerdeführer 1 stellt nicht in Abrede, dass seine Eingabe an das Verwaltungsgericht weitestgehend identisch war mit seinem Rekurs an die Sicherheitsdirektion. Mit dem angefochtenen Rekursentscheid setzte sich der Beschwerdeführer 1 im verwaltungsgerichtlichen Verfahren demnach inhaltlich nicht auseinander. Sachliche Gründe, die den Beschwerdeführer 1 unfreiwillig zu diesem prozessualen Verhalten bewegten, sind weder dargetan noch ersichtlich. Namentlich wird nicht geltend gemacht, dass der Rekursentscheid der behördlichen Begründungspflicht von <ref-law> nicht entsprochen habe, was gegebenenfalls zu einer Absenkung der Anforderungen an die Beschwerdebegründung im verwaltungsgerichtlichen Verfahren hätte führen können (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 f. S. 145 f.). Mit dem Anspruch auf rechtliches Gehör ist es vereinbar, wenn die Vorinstanz bei dieser Ausgangslage vom anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer 1 eine minimale inhaltliche Auseinandersetzung mit den Erwägungen des Rekursentscheids verlangte, von der Ansetzung einer Nachfrist absah und auf sein Rechtsmittel nicht eintrat. Der Beschwerdeführer 1 verlangt im bundesgerichtlichen Verfahren weiter die Aufhebung des angefochtenen Entscheids in Bezug auf die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, die Ausreisefrist sowie die Höhe der Gerichtsgebühr. Eine taugliche Begründung für diese Anträge, die den Anforderungen von <ref-law> genügt, enthält seine Eingabe jedoch nicht. Somit erweist sich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde mit Bezug auf den Beschwerdeführer 1 als unbegründet, soweit auf sie einzutreten ist.
4.
Der Beschwerdeführer 2 sieht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör dadurch verletzt, dass ihm die Vorinstanz ohne vorherige Anhörung die Kosten für das verwaltungsgerichtliche Verfahren auferlegt hat.
4.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) soll unter anderem sicherstellen, dass sich die Betroffenen vor Erlass eines in ihre Rechtsstellung eingreifenden Entscheids zur Sache äussern können (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 102; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2b S. 56). Dabei handelt es sich um ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 102; <ref-ruling> E. 2.1 S. 127). Inhalt und Umfang des Gehörsanspruchs lassen sich nicht abstrakt umschreiben, sie sind vielmehr am Anspruch auf wirksame Mitwirkung anhand konkreter tatsächlicher und rechtlicher Gegebenheiten nach Fallgruppen und im Einzelfall zu konkretisieren (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 f. S. 282 f.; GEROLD STEINMANN, in: Die Schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 42 zu <ref-law>). Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung führt grundsätzlich ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197; <ref-ruling> E. 2d/bb S. 24; Urteil 8C_502/2017 vom 30. November 2017 E. 5.3 [zur Publikation vorgesehen]). Von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz kann indes unter bestimmten Voraussetzungen abgesehen werden, wobei die Heilung des Mangels die Ausnahme bleiben soll (vgl. <ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.).
4.2. Das Verwaltungsrechtspflegegesetz des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2) sieht in § 13 Abs. 2 ausdrücklich vor, dass Kosten ohne Rücksicht auf den Ausgang des Verfahrens demjenigen Beteiligten zu überbinden sind, der sie durch Verletzung von Verfahrensvorschriften verursacht. Die entsprechende Bestimmung ist im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht gleichermassen anwendbar (§ 65a Abs. 2 VRG). Sodann geht aus dem Verwaltungsrechtspflegegesetz deutlich hervor, dass die Beschwerdeschrift an das Verwaltungsgericht eine Begründung enthalten muss (§ 54 Abs. 1 VRG), wobei dem im Anwaltsregister eingetragenen Beschwerdeführer 2 auch aus verschiedenen Verfahren vor dem Bundesgericht bekannt ist, dass sich eine Rechtsschrift selbst bei Rechtsanwendung von Amtes wegen (<ref-law>, für das kantonale Verfahren: <ref-law>) in minimaler Form mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzen muss (<ref-law>; vgl. Urteile 2C_3/2018 vom 5. Januar 2018 E. 2.2; 6B_909/2017 vom 27. September 2017 E. 2.2; 2C_559/2013 vom 19. Juni 2013 E. 2.2; 2C_150/2013 vom 13. Februar 2013 E. 2.2). Der fachkundig auftretende Beschwerdeführer 2 musste folglich schon bei Beachtung elementarster Sorgfalt erkennen, dass das von ihm eingelegte Rechtsmittel unzulässig ist bzw. die von ihm praktizierte Prozessführung mutwillig erscheint und ihm die Verfahrenskosten auferlegt werden können (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 207 f.; Urteil 2C_822/2017 vom 27. September 2017 E. 3 mit Hinweisen). Bei dieser Ausgangslage war der Beschwerdeführer 2 vor der Regelung der Kostenfolgen durch die Vorinstanz nicht zwingend anzuhören, zumal er auch im bundesgerichtlichen Verfahren keine Gesichtspunkte namhaft macht, die eine Rückweisung der Angelegenheit an das Verwaltungsgericht nicht bloss als formalistischen Leerlauf erscheinen liessen. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Bezug auf den Beschwerdeführer 2 ist demzufolge vollumfänglich abzuweisen.
5.
Nach dem Dargelegten ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang werden die Beschwerdeführer grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>), wobei von einer Kostenauferlegung zulasten des Beschwerdeführers 1 umständehalber abgesehen werden kann. Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>). Soweit das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdeführers 1 damit nicht gegenstandslos geworden ist, muss es als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden und ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Dem Beschwerdeführer 2 werden Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- auferlegt.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdeführers 1 wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Februar 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann