Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1957 geborene A._, gelernter Landschaftsgärtner, meldete sich im April 2005 wegen einer "Abnutzung der Wirbelsäule/Bandscheiben" bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an und beantragte eine Weiterbildung zum Obergärtner. Weil er sich zwischenzeitlich in die Selbständigkeit begeben und kein weiteres Interesse an beruflichen Massnahmen kundgetan hatte, wies die IV-Stelle des Kantons St. Gallen das Leistungsbegehren mit Verfügung vom 15. September 2006 ab. Wenige Tage später meldete sich A._ erneut an und führte aus, nach Aufgabe seiner Selbständigkeit sei er wieder bei einer Gartenbaufirma angestellt und wolle auf seinen Antrag auf Weiterbildung zurückkommen. Gemäss Mitteilungen vom 5. April 2007 und 16. Januar 2009 übernahm die IV-Stelle die Umschulung zum Gärtner Polier und Grünpflanzenspezialist. Am 12. August 2009 teilte sie mit, die beruflichen Massnahmen seien ohne Anspruch auf eine Invalidenrente erfolgreich abgeschlossen.
A.b. Im Dezember 2010 meldete sich A._ wegen einer Versteifung der Wirbel wiederum zum Leistungsbezug an. Gemäss Mitteilungen vom 18. und 27. Januar 2011 gewährte ihm die neu zuständige IV-Stelle des Kantons Thurgau Beratung sowie Unterstützung bei der Stellensuche und erbrachte Frühinterventionsmassnahmen in Form eines Ausbildungskurses für Berufsbildner. Mit Verfügung vom 28. Februar 2012 verneinte sie den Anspruch auf berufliche Massnahmen und Rentenleistungen (Invaliditätsgrad 10 %).
A.c. Am 25. September 2015 meldete sich A._ wegen Schmerzen in Schultern und Oberarmen abermals zum Leistungsbezug an. Die nunmehr zuständige IV-Stelle des Kantons Zürich veranlasste verschiedene Abklärungen in erwerblicher sowie medizinischer Hinsicht und zog die Akten der Pensionskasse bei. Nachdem die Verwaltung A._ mitgeteilt hatte, dass berufliche Massnahmen gesundheitsbedingt nicht möglich seien (Mitteilung vom 1. März 2016), verneinte sie nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren den Anspruch auf eine Invalidenrente (Verfügung vom 19. Dezember 2016; Invaliditätsgrad 35 %).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab und auferlegte A._ neben den Gerichtskosten (Fr. 900.-) auch unnötig verursachte Kosten in der Höhe von Fr. 300.- im Zusammenhang mit einer abgesagten Hauptverhandlung (Entscheid vom 6. März 2018).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es seien ihm unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids die gesetzlichen Leistungen, insbesondere eine Invalidenrente, zuzusprechen. Zudem seien ihm die im Zusammenhang mit der abgesagten Hauptverhandlung auferlegten Kosten in der Höhe von Fr. 300.- zu erlassen.
Während die IV-Stelle auf Abweisung der Beschwerde schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann, abgesehen von den hier nicht massgebenden Art. 95 lit. c-e BGG, nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts oder des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (<ref-law>), geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten wie auch von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist; es gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 281; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>). Rechtsfragen sind die vollständige Feststellung erheblicher Tatsachen, die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes bzw. der Beweiswürdigungsregeln nach <ref-law> und der Anforderungen an den Beweiswert von Arztberichten (<ref-ruling> E. 2 S. 25; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232). Bei den aufgrund dieser Berichte getroffenen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit und bei der konkreten Beweiswürdigung geht es um Sachverhaltsfragen (nicht publ. E. 1 des Urteils <ref-ruling>).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Gehörsanspruchs, weil sich die Vorinstanz nicht vertieft mit den verschiedenen medizinischen Berichten auseinandergesetzt habe. Die Begründungspflicht (als Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>) gebietet, dass das Gericht die Überlegungen nennt, von denen es sich hat leiten lassen, damit der Entscheid sachgerecht angefochten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat diese Grundsätze eingehalten: Sie hat den massgebenden medizinischen Sachverhalt umfassend wiedergegeben und dargelegt, weshalb insbesondere auf die Einschätzungen des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 1. April und 21. Juni 2016 abzustellen sei. Der Beschwerdeführer hat den Entscheid vom 6. März 2018 denn auch sachgerecht anfechten können. Insofern er auch eine Gehörsverletzung im Verwaltungsverfahren geltend macht, ist diese nicht zu hören, weil letztinstanzlich der kantonale Entscheid (<ref-law>) und das dazu führende Verfahren zu überprüfen sind. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor.
3.
3.1. Unbestritten ist, dass sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers seit der massgebenden letzten Rentenablehnung (Verfügung vom 28. Februar 2012) wesentlich verschlechtert hat und insofern ein Revisionsgrund gemäss <ref-law> vorliegt. Streitig und zu prüfen ist der Anspruch des Beschwerdeführers auf Leistungen der Invalidenversicherung, insbesondere auf eine Invalidenrente. Die Vorinstanz legte die massgebenden Rechtsgrundlagen zutreffend dar. Darauf wird verwiesen.
3.2. Zu ergänzen ist, dass der Beweiswert eines Arztberichtes davon abhängt, ob er für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Darlegung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
4.
Die Vorinstanz stellte gestützt insbesondere auf das Gutachten des Prof. Dr. med. B._, FMH Neurologie, vom 20. Januar 2016, sein Zusatzgutachten vom 12. März 2016 sowie die regionalärztlichen Stellungnahmen vom 1. April und 21. Juni 2016 fest, der Beschwerdeführer sei in bisheriger Tätigkeit nicht mehr arbeitsfähig. Eine angepasste (körperlich leichte, wechselbelastende, überwiegend sitzende Tätigkeit ohne häufiges Bücken, Kauern, Treppensteigen oder Arbeiten in Schulterhöhe) sei ihm demgegenüber zu 100 % zumutbar mit einer Leistungsminderung von 25 %. In Anwendung der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs ermittelte das kantonale Gericht einen rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von 39 %, wobei es im Rahmen der Ermittlung des Invalideneinkommens keinen Abzug vom Tabellenlohn gewährte.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, weil es für die Abklärung des Gesundheitszustands aufgrund des medizinisch komplexen Falles (insbesondere aufgrund der von Dr. med. C._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie, im Bericht vom 26. April 2016 festgehaltenen Diagnosen) zum einen einer interdisziplinären Expertise bedurft hätte. Zum anderen habe das kantonale Gericht den neuropsychologischen und verhaltenspsychologischen Untersuchungsbericht der Neurologin Dr. med. D._ und der Neuropsychologin lic. phil. E._ vom 9. Januar 2017 nicht berücksichtigt.
5.1.1. Die Rüge, für die Abklärung des Gesundheitszustandes wäre eine interdisziplinäre Expertise erforderlich gewesen, ist unbegründet. Eine interdisziplinäre Vorgehensweise ist nicht stets dann geboten, wenn Diagnosen aus verschiedenen Disziplinen gestellt werden, sondern nur dort, wo die verschiedenartigen Leiden für sich und in ihrem Zusammenwirken invalidisierend wirken können (vgl. Urteil 9C_435/2009 vom 14. August 2009 E. 4.3). Ein solcher Fall liegt nicht vor: Wie sich den Stellungnahmen des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 1. April und 21. Juni 2016 entnehmen lässt und der Beschwerdeführer selber einräumt, steht ein neurologisches Leiden (Myopathie der oberen Extremitäten) im Vordergrund. Nach Einschätzung des RAD ändern daran die von Dr. med. C._ gestellten Diagnosen (Burn-out-Syndrom [ICD-10 Ziff. Z73.0] mit aktuell mittelgradiger reaktiver Depression [ICD-10 Ziff. F32.1]) nichts. Weder aus den Stellungnahmen des RAD noch aus den übrigen Akten ergibt sich eine Notwendigkeit für ein interdisziplinäres Vorgehen.
5.1.2. Auch der Einwand, die Vorinstanz habe den Untersuchungsbericht vom 9. Januar 2017 nicht berücksichtigt, ist unbegründet. Davon, dass die Arbeitsunfähigkeit "unter der kritischen Grenze von 50 % beurteilt" worden sei, wie dieser behauptet, kann keine Rede sein. Dr. med. D._ und lic. phil. E._ führten einzig aus, eine Arbeitsunfähigkeit in dieser Grössenordnung sei zwar "durchaus denkbar", jedoch "schwierig bzw. vom Schreibtisch aus eigentlich nicht zu quantifizieren". Dass die Ausführungen von Dr. med. D._ und lic. phil. E._ dermassen vage ausfielen, erstaunt nicht vor dem Hintergrund, dass sie keine umfassende Kenntnis der medizinischen Anamnese hatten. So drückten sie selber ihr Bedauern über das Fehlen medizinischer Akten aus. Hinzu kommt, dass sie betreffend die berufliche Anamnese tatsachenwidrig davon ausgingen, der Beschwerdeführer habe keinen regulären Schulabschluss und lediglich eine 2-jährige Ausbildung zum Landwirt absolviert. Tatsächlich hat dieser aber erfolgreich eine Lehre zum Landschaftsgärtner mit Eidgenössischem Fähigkeitszeugnis sowie später eine Weiterbildung zum Gärtner Polier und Grünpflegespezialist abgeschlossen. Die Unkenntnis über diesen beruflichen Werdegang wiegt hier besonders schwer, weil die im Untersuchungsbericht festgestellten neuropsychologischen Minderleistungen unter Hinweis auf die Schul- und Berufsbiographie mit einer frühkindlichen zerebralen Entwicklungsstörung interpretiert wurden. Der Untersuchungsbericht vom 9. Januar 2017 erfüllt die allgemeinen beweisrechtlichen Anforderungen an einen ärztlichen Bericht nicht (vgl. E. 3.2 hievor).
5.2. Das kantonale Gericht gelangte in Würdigung der medizinischen Akten zum Schluss, dem Beschwerdeführer sei eine angepasste Tätigkeit zu 100 % zumutbar mit einer Leistungsminderung von 25 %. Dieser bringt nichts vor, was die Feststellung als offensichtlich unrichtig oder sonst wie bundesrechtswidrig erscheinen liesse. Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 1.3 S. 4 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 56). So verhält es sich hier nicht. Die Vorbringen des Beschwerdeführers beschränken sich auf unzulässige Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, indem er dieser lediglich seine eigene Sicht der gesundheitlichen Verhältnisse gegenüberstellt. Darauf ist ebenso wenig einzugehen wie auf die blossen Verweise auf abweichende Einschätzungen der Arbeitsfähigkeit in den Berichten des Spitals F._ vom 22. Dezember 2015, des Spitals G._ vom 9. Dezember 2016 sowie der Hausärztin Dr. med. H._ (undatiert). Insoweit die entsprechenden Berichte überhaupt genauere Angaben zur Arbeitsfähigkeit in angepasster Tätigkeit enthalten, lässt ein blosser Verweis darauf nicht auf Willkür schliessen.
5.3. Der Beschwerdeführer rügt das dem vorinstanzlichen Einkommensvergleich zugrunde gelegte Valideneinkommen von Fr. 82'348.- als zu tief. Wie aus dem Arbeitgeberfragebogen vom 29. Oktober 2015 hervorgehe, habe er ab Juli 2014 einen Monatslohn von Fr. 6'360.45 erzielt (davor einen solchen von Fr. 6'171.85), was einem Jahreseinkommen von gerundet Fr. 82'686.- (13 x Fr. 6'360.45) für das Jahr 2014 bzw. (indexiert) von Fr. 83'598.- (recte: Fr. 83'597.-) für das Jahr 2016 entspreche. Dieser Einwand ist begründet: Für die Ermittlung des Valideneinkommens ist entscheidend, was der Versicherte im Zeitpunkt des frühestmöglichen Rentenbeginns (gemäss den unbestritten gebliebenen vorinstanzlichen Feststellungen im Juni 2016) nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunder tatsächlich verdient hätte. Die Einkommensermittlung hat so konkret wie möglich zu erfolgen; daher ist in der Regel vom letzten Lohn, den der Versicherte vor Eintritt der Gesundheitsschädigung erzielt hat, auszugehen (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 30; <ref-ruling> E. 3.1 S. 59; <ref-ruling> E. 4.1 S. 325; Urteil 8C_537/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 2.2). Dem Grundsatz der möglichst konkreten Bestimmung des hypothetischen, in die Zukunft gerichteten Valideneinkommens wird im vorliegenden Fall nur dann Rechnung getragen, wenn nicht auf das Jahreseinkommen 2014, sondern auf den erstmals ab Juli 2014 und in der Folge regelmässig erzielten, gegenüber den Vormonaten deutlich höheren Monatslohn von Fr. 6'360.45 bzw. auf den Jahresverdienst (x 13) von Fr. 82'685.85 abgestellt wird. Unter Berücksichtigung der Nominallohnerhöhungen von 0.3 % im Jahr 2015 und 0.8 % im Jahr 2016 (vgl. Bundesamt für Statistik, Tabelle T1.10 Nominallohnindex, 2011-2017, Sektor 3, Dienstleistungen) ist somit von einem Valideneinkommen von Fr. 83'597.- für das Jahr 2016 auszugehen.
5.4. Der Beschwerdeführer moniert des Weiteren, die Vorinstanz habe bei der Festlegung des Invalideneinkommens keinen Abzug vom Tabellenlohn (vgl. <ref-ruling>97 E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5b/aa-cc S. 79 f; zur Qualifikation als Rechtsfrage vgl. <ref-ruling> E. 3.3 in fine S. 399) gewährt. Wie das kantonale Gericht zutreffend ausführte, wurde sowohl der Schmerzthematik wie auch den Einschränkungen im kognitiven Bereich durch eine Reduktion der Leistungsfähigkeit um 25 % genügend Rechnung getragen. Die zusätzliche Gewährung eines leidensbedingten Abzugs würde zu einer doppelten Anrechnung derselben Gesichtspunkte führen (Urteile 8C_805/2016 vom 22. März 2017 E. 3.1; 9C_846/2014 vom 22. Januar 2015 E. 4.1.1 mit Hinweisen). Dem Umstand, dass der Beschwerdeführer seit jeher im Gartenbau und teilweise im Baugewerbe gearbeitet hat und über keine anderweitigen Kenntnisse und Ausbildungen verfügt, hat die Vorinstanz dadurch Rechnung getragen, dass sie zur Ermittlung des Invalideneinkommens auf das Kompetenzniveau 1 (einfache Tätigkeiten körperlicher oder handwerklicher Art) abgestellt hat. Sodann wirkt sich das Alter des Beschwerdeführers nicht zwingend lohnsenkend auf derlei Tätigkeiten aus (vgl. Urteile 9C_284/2018 vom 17. Juli 2018 E. 2.2.3; 9C_535/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 4.6; je mit Hinweisen). Besondere Umstände, welche hier einen altersbedingten Einschlag beim Invalideneinkommen rechtfertigen könnten, werden weder in der Beschwerde vorgebracht noch sind solche ersichtlich. Ein Abzug vom Tabellenlohn ist daher nicht angezeigt.
5.5. Stellt man das im Übrigen nicht bestrittene Invalideneinkommen von Fr. 50'389.- dem Valideneinkommen von Fr. 83'597.- gegenüber, so resultiert ein Invaliditätsgrad von 40 % (gerundet). Dieser verleiht dem Beschwerdeführer Anspruch auf eine Viertelsrente ab dem 1. Juni 2016.
6.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die ihm im Zusammenhang der abgesagten Hauptverhandlung auferlegten Kosten. Er macht eine Verletzung verschiedener Normen der ZPO (insbesondere von Art. 108) sowie von <ref-law> geltend. Zur Begründung führt er an, er habe sich weder mutwillig noch leichtsinnig verhalten. Wie die Vorinstanz richtig erwogen hat, finden gemäss § 28 lit. a des Gesetzes des Kantons Zürich über das Sozialversicherungsgericht (GSVGer; LS 212.81) unter anderem die <ref-law> und insbesondere das Verursacherprinzip von <ref-law> sinngemäss Anwendung. Diese Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung gehören Kraft Verweisung im GSVGer nicht dem Bundesrecht, sondern dem kantonalen Prozessrecht an (vgl. Urteil 8C_304/2018 vom 6. Juli 2018 E. 4.2.3 mit Hinweis auf 9C_813/2013 vom 27. Januar 2014 E. 3.1). Dass diese Normen des kantonalen Rechts verfassungsmässige Rechte und Grundsätze verletzen würden macht der Beschwerdeführer nicht geltend. Es erübrigen sich Weiterungen dazu (vgl. E. 1.1 hievor).
Nicht näher einzugehen ist auf die gerügte Verletzung von <ref-law> und insbesondere auf die Frage, ob sich der Beschwerdeführer mutwillig oder leichtsinnig verhalten hat. Dieser lässt ausser Acht, dass das Verursacherprinzip in <ref-law> keine Erwähnung findet (vgl. Urteil 9C_243/2017 vom 2. Juni 2017 E. 5.3). Die Auferlegung von Kosten an den Verursacher gemäss <ref-law> erfordert indessen - anders als deren Auferlegung nach <ref-law> - kein vorwerfbares Verhalten (vgl. Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7221 S. 7298 zu Art. 106 EZPO). Eine Verletzung von Art. 61 Abs. 1bis IVG macht der Beschwerdeführer nicht geltend (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1 S. 124; Urteil 9C_243/2017 vom 2. Juni 2017 E. 5.2 f.). Damit hat es in diesem Punkt sein Bewenden (<ref-law>; vgl. E. 1.1 hievor).
7.
Entsprechend dem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten zu drei Vierteln der IV-Stelle und zu einem Viertel dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dieser hat im Umfang seines Obsiegens Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. März 2018 wird insoweit abgeändert, als der Beschwerdeführer Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung ab dem 1. Juni 2016 hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden zu drei Vierteln (Fr. 600.-) der Beschwerdegegnerin und zu einem Viertel (Fr. 200.-) dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'100.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Februar 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner