Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und B.A._ sind miteinander verheiratet und haben den gemeinsamen Sohn C._ (geb. 2013).
A.b. Mit Eheschutzentscheid der Einzelrichterin des Kantonsgerichts Zug vom 3. Mai 2018 wurden die Parteien u.a. berechtigt, den gemeinsamen Haushalt für unbestimmte Dauer aufzuheben. Der gemeinsame Sohn wurde unter die Obhut der Mutter gestellt. Dem Vater wurde ein ausgedehntes Besuchsrecht eingeräumt.
A.c. Auf entsprechendes Abänderungsgesuch von B.A._ hin stellte der Einzelrichter am Kantonsgericht Zug mit Entscheid vom 5. Juni 2019 den Sohn unter die Obhut des Vaters und räumte der Mutter ein Besuchsrecht ein. Überdies errichtete er für den Sohn eine Beistandschaft im Sinne von <ref-law> und verpflichtete die Eltern, eine Mediation zu machen, um ihre Kommunikation, ihren Umgang und die Erziehungsfähigkeit in Bezug auf ihren gemeinsamen Sohn zu verbessern und zu stabilisieren.
B.
Dagegen reichte A.A._ am 14. Juni 2019, ohne anwaltliche Vertretung, eine als "Wiederspruch" bezeichnete Eingabe beim Kantonsgericht Zug ein, welche das Kantonsgericht an das Obergericht des Kantons Zug weiterleitete. Das Obergericht nahm die Eingabe als Berufung entgegen, wobei es mit Entscheid vom 24. Juni 2019 nicht darauf eintrat.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 29. Juli 2019 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführerin), nunmehr durch Rechtsanwalt Stephan Bernard vertreten, an das Bundesgericht. Sie beantragt, es sei der Entscheid des Obergerichts des Kantons Zug aufzuheben, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen und auf die Berufung einzutreten. Eventualiter sei der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
C.b. B.A._ (Beschwerdegegner) verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, verzichtet aber im Übrigen ebenfalls auf eine Stellungnahme.
C.c. Am 14. August 2019 liess Rechtsanwältin Julia Heer mitteilen, dass die Beschwerdeführerin sie (ebenfalls) mit der Wahrung ihrer Interessen beauftragt habe. Abgesprochen sei, dass Rechtsanwalt Stephan Bernhard die Beschwerdeführerin (weiterhin) im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht vertrete und sie selber in allen weiteren Angelegenheiten die Rechtsvertreterin sei.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Entscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) betreffend die Abänderung eines Eheschutzentscheides (<ref-law>) und damit eine Zivilsache (<ref-law>). Strittig ist die Obhut, womit die Beschwerde mangels Vermögenswerts keinem Streitwerterfordernis unterliegt. Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und verfügt über ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides (<ref-law>). Die rechtzeitig (<ref-law>) erhobene Beschwerde in Zivilsachen ist somit grundsätzlich zulässig.
1.2. Die Beschwerdeführerin beantragt, die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Da die Vorinstanz auf die Berufung nicht eingetreten ist, kann das Bundesgericht im Falle der Begründetheit der Beschwerde kein Sachurteil fällen, womit dieses Rechtsbegehren den formellen Anforderungen genügt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 317; <ref-ruling> E. 1.3 S. 383).
2.
Strittig ist die Abänderung des Eheschutzurteils vom 5. Juni 2019. Eheschutzurteile gelten als vorsorgliche Massnahmen im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588), so dass nur die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte möglich ist. Auch die Anwendung von Bundesgesetzen prüft das Bundesgericht im Rahmen von <ref-law> nur auf die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) hin (vgl. Urteil 5A_1018/2015 vom 8. Juli 2016 E. 2; zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 3.4 S. 53). Es gilt somit das strenge Rügeprinzip im Sinne von <ref-law>. Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene Rügen, während es auf appellatorische Kritik nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Seinem Urteil legt das Bundesgericht sodann den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt ebenfalls nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588).
Die Beschwerdeführerin macht die Verletzung von Art. 311, Art. 314 und Art. 296 ZPO geltend, ohne der Vorinstanz diesbezüglich die Verletzung des Willkürverbots vorzuwerfen. Darauf ist nicht einzutreten.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt die Frage, ob die Vorinstanz zu Recht nicht auf die Berufung der Beschwerdeführerin wegen mangelhafter Begründung eingetreten ist.
3.1. Das Berufungsverfahren ist als eigenständiges Verfahren ausgestaltet. Es dient nicht der Vervollständigung des vorinstanzlichen Verfahrens, sondern der Überprüfung und Korrektur des erstinstanzlichen Entscheides im Lichte konkret dagegen vorgebrachter Beanstandungen (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 415 mit Hinweisen). Entsprechend ist die Berufung nach <ref-law> begründet einzureichen. Dies gilt auch dann, wenn das Verfahren wie hier dem Untersuchungsgrundsatz unterliegt (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_206/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.2.1 mit Hinweisen). Der Berufungskläger muss aufzeigen, inwiefern er den angefochtenen Entscheid als fehlerhaft erachtet. Um dieser Pflicht nachzukommen genügt es nicht, wenn er auf seine Vorbringen vor der ersten Instanz verweist oder den angefochtenen Entscheid in allgemeiner Art und Weise kritisiert. Vielmehr muss der Berufungskläger im Einzelnen die vorinstanzlichen Erwägungen bezeichnen, die er beanstandet, sich mit ihnen argumentativ auseinandersetzen und die Aktenstücke nennen, auf denen seine Kritik beruht. Die Begründung muss hinreichend explizit sein, dass sie von der Berufungsinstanz einfach nachvollzogen werden kann (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 375; Urteile 4A_142/2017 vom 3. August 2017 E. 3.1; 4A_397/2016 vom 30. November 2016 E. 3.1; 4A_580/2015 vom 11. April 2016 E. 2.2, nicht veröffentlicht in: <ref-ruling>).
3.2. Die Vorinstanz erwog, die Berufung der Beschwerdeführerin genüge den Anforderungen an eine Berufungsschrift offenkundig nicht. Die Beschwerdeführerin bringe lediglich in allgemeiner Weise vor, dass die Zuteilung der Obhut an den Vater nicht dem Kindeswohl entspreche und das Kind bei ihm in Gefahr bzw. der Vater gewalttätig sei, was zahlreiche, dem Gericht eingereichte Beweismittel belegen würden. Ferner seien die Parteien nicht kooperationsfähig, weshalb die im angefochtenen Entscheid festgesetzte Regelung nicht funktionieren würde. Mit diesen pauschalen Rügen beschränke sich die Beschwerdeführerin darauf, ihre vor der ersten Instanz sinngemäss vertretenen Standpunkte zu wiederholen und setze sich mit den ausführlichen Erwägungen der ersten Instanz in keiner Weise auseinander. Sie äussere sich insbesondere nicht zur von der ersten Instanz festgestellten Entfremdung des Sohnes ihr gegenüber sowie zur Stabilität der Verhältnisse. Sodann habe der erstinstanzliche Einzelrichter den Umstand, dass der Vater den Sohn gegenüber der Beschwerdeführerin negativ beeinflusse, explizit in seine Beurteilung miteinbezogen. Damit zeige die Beschwerdeführerin nicht hinreichend auf, inwiefern die erste Instanz den Sachverhalt falsch festgestellt bzw. das Recht unrichtig angewendet haben solle. Zusammenfassend sei festzuhalten, dass die Berufung offensichtlich keine hinreichende Begründung enthalte, weshalb nicht darauf einzutreten sei.
3.3. Die Beschwerdeführerin wendet ein, im angefochtenen Entscheid würden sich keinerlei Erwägungen finden, dass bei Laienbeschwerden geringere Anforderungen an die Formalitäten, insbesondere an die Substantiierungslast und Formulierung der Anträge, gestellt werden. Es genüge, wenn Laien wenigstens dem Sinn nach Anträge stellen, wie die Berufungsinstanz zu entscheiden habe. Und ohnehin gehe die Begründungslast nicht so weit wie das Rügeprinzip. Entgegen der früheren kantonalen Praxis könne nicht mehr eine unvollständige Berufungsschrift eingereicht und innert Nachfrist verbessert werden. Dies spreche aber gerade bei Laienbeschwerden dafür, die Schwelle für ein Nichteintreten nicht allzu tief anzusetzen, was sich aus dem Verbot des überspitzten Formalismus nach <ref-law> ableiten lasse. Die Beschwerdeführerin habe in ihrer Berufungseingabe eindeutig zum Ausdruck gebracht, dass die Zuteilung der Obhut nicht dem Kindeswohl entspreche und ihr die Obhut zuzuteilen sei. Damit liege eine klare Begründung der ohnehin eindeutigen Anträge vor. Die Begründung sei zwar nicht sehr ausführlich und nehme beispielsweise nicht mit Seitenzahlen Bezug auf das erstinstanzliche Urteil, was allenfalls ein Mangel sein möge, der sich bei der materiellen Beurteilung möglicherweise auswirken könne, aber die Frage des Eintretens unberührt lasse.
3.4.
3.4.1. Die Einwände der Beschwerdeführerin gehen aus folgenden Gründen fehl:
3.4.2. So weist die Vorinstanz vorliegend darauf hin, dass sich die Beschwerdeführerin mit den erstinstanzlichen Erwägungen in keiner Weise auseinandergesetzt, sondern lediglich die bereits vor der ersten Instanz vertretenen Standpunkte sinngemäss wiederholt hat. Mit dem pauschalen Hinweis, wonach sie sich mit ihren Vorbringen "eindeutig mit den erstinstanzlichen Erwägungen im Entscheid vom 5. Juni 2019 namentlich auf S. 5 ff. befasst und diesen ihren eigenen, klar begründeten Standpunkt entgegensetzt" habe, vermag die Beschwerdeführerin die erhöhten Rügeanforderungen (vgl. E. 2) nicht zu erfüllen bzw. eine Verletzung von <ref-law> aufzuzeigen. Vielmehr hätte sie mit näheren und konkreten Ausführungen darlegen müssen, inwiefern in ihrer Berufungseingabe eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid stattgefunden hat.
3.4.3. Weiter ist überspitzter Formalismus als besondere Form der Rechtsverweigerung dann gegeben, wenn für ein Verfahren rigorose Formvorschriften aufgestellt werden, ohne dass die Strenge sachlich gerechtfertigt wäre, wenn die Behörde formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt und damit dem Bürger den Rechtsweg in unzulässiger Weise versperrt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen). Indem die Vorinstanz bei der Begründung der Berufung die Einhaltung gewisser Minimalanforderungen verlangt, stellt sie keine überspannten Anforderungen an die Rechtsmittelschrift, ungeachtet dessen, dass es sich um eine Laieneingabe handelt. Das Verbot des überspitzten Formalismus hat sie damit nicht verletzt.
4.
Aus den dargelegten Gründen muss die Beschwerde abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Sie hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos beurteilt werden muss (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat auf eine Vernehmlassung verzichtet, weshalb ihm keine Entschädigung geschuldet ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, II. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller