Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Kantonales Untersuchungsamt, führt ein Strafverfahren gegen A._ wegen Verdachts der vorsätzlichen Tötung. Die Strafuntersuchung steht kurz vor dem Abschluss.
Am 2. April 2019 ersuchte A._ um Ausstand des verfahrensleitenden Staatsanwalts B._. Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen trat mit Entscheid vom 8. Mai 2019 auf das Ausstandsgesuch nicht ein. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass ein Ausstandsgesuch, das erst nach Ablauf von zwei bis drei Wochen nach Kenntnis des Ausstandsgrundes gestellt wird, gemäss der Rechtsprechung verspätet sei. Das vorliegende Ausstandsgesuch sei daher verspätet, weshalb darauf nicht einzutreten sei. Andernfalls wäre es abzuweisen, da keine Umstände ersichtlich seien, die eine Befangenheit des Staatsanwalts bzw. einen entsprechenden Anschein dazu begründen könnten.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 3. Juni 2019 (Postaufgabe 4. Juni 2019) Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht nachvollziehbar aufzuzeigen, dass die Hauptbegründung oder die Alternativbegründung der Anklagekammer Recht im Sinne von <ref-law> verletzen würde. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli