Sachverhalt:
A.
Am 21. Mai 2014 lenkte A._ auf dem Gemeindegebiet von Strengelbach einen Personenwagen auf der Autobahn A2 in Richtung Basel; dabei hielt er einen ungenügenden Abstand zum voranfahrenden Fahrzeug ein. Ihm wurde vorgeworfen, bei einer Geschwindigkeit von 110 km/h einen Abstand von zehn Metern zum Fahrzeug vor ihm eingehalten zu haben, was einem zeitlichen Abstand von maximal 0,327 Sekunden entspreche. Die Motorfahrzeugkontrolle des Bau- und Justizdepartements des Kantons Solothurn ging von einer schweren Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften aus und ordnete am 26. Juni 2014 gegenüber A._ den Entzug des Führerausweises für die Dauer von drei Monaten an. Dieser focht die Verfügung beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn an.
Die Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm sprach A._ mit Strafbefehl vom 28. August 2014 der groben Verletzung von Verkehrsregeln schuldig. Das Verwaltungsgericht sistierte am 8. September 2014 das bei ihm hängige Beschwerdeverfahren bis zum rechtskräftigen Abschluss des parallelen Strafverfahrens.
Am 19. Juni 2017 wurde dem Verwaltungsgericht eine Kopie des rechtskräftigen Urteils des Obergerichts des Kantons Aargau in der Strafsache zugestellt. Daraufhin hob die Präsidentin des Verwaltungsgerichts die Sistierung des Verfahrens auf. Mit Urteil vom 19. September 2017 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. Oktober 2017 beantragt A._, das verwaltungsgerichtliche Urteil sei aufzuheben und auf den Entzug seines Führerausweises sei zu verzichten.
Die Motorfahrzeugkontrolle und das Verwaltungsgericht schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Strassen (ASTRA) stellt in der Vernehmlassung vom 16. Januar 2018 ebenfalls den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen.
C.
Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung hat der Beschwerde mit Verfügung vom 20. November 2017 aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen; ein Ausnahmegrund ist nicht gegeben (<ref-law>). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> hat der Lenker gegenüber allen Strassenbenützern einen ausreichenden Abstand zu wahren, namentlich beim Hintereinanderfahren. Er muss auch bei überraschendem Abbremsen des voranfahrenden Fahrzeugs rechtzeitig anhalten können (vgl. Art. 12 Abs. 1 VRV; SR 741.11). Dass der Beschwerdeführer gegen diese Verkehrsregeln verstossen hat, ist unbestritten.
2.2. Das Gesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft und ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Die fehlbare Person wird verwarnt, wenn in den vorangegangenen zwei Jahren der Ausweis nicht entzogen war und keine andere Administrativmassnahme verfügt wurde (Abs. 3). Gemäss <ref-law> begeht eine mittelschwere Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer mittelschweren Widerhandlung wird der Führerausweis für mindestens einen Monat entzogen (Abs. 2 lit. a). Leichte und mittelschwere Widerhandlungen werden von <ref-law> als einfache Verkehrsregelverletzungen erfasst (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 S. 143). Gemäss <ref-law> begeht eine schwere Widerhandlung, wer durch grobe Verletzung von Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (Abs. 1 lit. a). Nach einer schweren Widerhandlung, welche einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> entspricht (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 238; Urteil 1C_3/2015 vom 26. August 2015 E. 2.1), wird der Führerausweis für mindestens drei Monate entzogen (<ref-law>).
2.3. Die mittelschwere Widerhandlung nach <ref-law> stellt einen Auffangtatbestand dar. Sie liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 141). Demgegenüber setzt die Annahme einer schweren Widerhandlung kumulativ eine qualifizierte objektive Gefährdung und ein qualifiziertes Verschulden voraus. In objektiver Hinsicht wird verlangt, dass die Verkehrssicherheit ernsthaft gefährdet wurde. Dabei genügt nach der Rechtsprechung eine erhöhte abstrakte Gefährdung, die vorliegt, wenn in Anbetracht der jeweiligen Verhältnisse des Einzelfalls der Eintritt einer konkreten Gefährdung oder gar einer Verletzung nahe liegt. Subjektiv erfordert der Tatbestand der groben Verkehrsregelverletzung ein rücksichtsloses oder sonst schwerwiegend verkehrswidriges Verhalten, d.h. ein schweres Verschulden, bei fahrlässiger Begehung grobe Fahrlässigkeit (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 136; Urteil 1C_588/2015 vom 14. April 2016 E. 2.2).
2.4. Nach der Rechtsprechung ist die Verwaltungsbehörde grundsätzlich an die Feststellungen des Sachverhalts durch den Strafrichter gebunden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 101 mit Hinweisen). In der rechtlichen Würdigung des Sachverhalts - namentlich auch des Verschuldens - ist die Verwaltungsbehörde hingegen frei, ausser die rechtliche Qualifikation hängt stark von der Würdigung von Tatsachen ab, die der Strafrichter besser kennt, etwa weil er den Beschuldigten persönlich einvernommen hat. Auch in diesem Zusammenhang hat sie jedoch den eingangs genannten Grundsatz, widersprüchliche Urteile zu vermeiden, gebührend zu berücksichtigen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 451; Urteil 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 2.3).
2.5. Die Vorinstanz hat die Verkehrsregelverletzung im vorliegenden Fall als schwere Widerhandlung beurteilt. Der Beschwerdeführer entgegnet, weder die Gefährdung der Verkehrssicherheit noch sein Verschulden hätten schwer gewogen. Im Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau seien die Gefährdung der Verkehrssicherheit und sein Verschulden nur als leicht bis mittelschwer betrachtet worden. Zu seinen Gunsten sei auch zu berücksichtigen, dass sein Verhalten beim Vorfall vom 21. Mai 2014 durch die zivile Polizeipatrouille im Wagen hinter ihm beeinflusst worden sei, die ihn bedrängt habe.
2.6. Im Strafverfahren wurde der Sachverhalt eingehend abgeklärt; vor Bezirksgericht und Obergericht wurden auch je eine Parteiverhandlung durchgeführt. Den Einwand betreffend die hinter ihm fahrende Polizeipatrouille hat der Beschwerdeführer bereits im Strafverfahren erfolglos vorgebracht. Im Übrigen scheint er bei seiner Argumentation auszublenden, dass er strafrechtlich aufgrund des Vorfalls wegen einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law> verurteilt worden ist. Die von ihm angeführte Erwägung des Obergerichts, welche die Gefährdungslage und das Verschulden als leicht bis mittelschwer würdigt, beziehen sich auf den Rahmen dieses Tatbestands. Sie sind somit nicht geeignet, die Schwere der Widerhandlung in allgemeiner Weise zu relativieren. Wie oben bei E. 2.2 dargelegt, entspricht die schwere Widerhandlung nach <ref-law> einer groben Verkehrsregelverletzung im Sinne von <ref-law>.
2.7. Das Einhalten eines ausreichenden Abstands beim Hintereinanderfahren im Sinn von <ref-law> und Art. 12 Abs. 1 VRV ist von grundlegender Bedeutung für die Verkehrssicherheit. Für die Einhaltung des angemessenen Abstandes hat im Regelfall der Fahrer des hinteren Fahrzeugs zu sorgen (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 329 mit Hinweisen). Für die Bestimmung des auch bei günstigen Verhältnissen minimal einzuhaltenden Abstands kann nach der Praxis des Bundesgerichts von der Faustregel "halber Tacho" (bzw. 1,8 Sekunden) ausgegangen werden (<ref-ruling> E. 3.1 135). Keine allgemeinen Grundsätze entwickelt hat die Rechtsprechung zur Frage, bei welchem Abstand auch bei günstigen Umständen objektiv eine grobe Verkehrsregelverletzung anzunehmen ist. In der Lehre wird etwa ein Abstand von 0,6 Sekunden vorgeschlagen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 137 mit Hinweisen). Das Bundesgericht geht bei Abständen von rund 10 m (bzw. 0,36 Sekunden) bei Tempi um die 100 km/h regelmässig von groben Verkehrsregelverletzungen aus (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 137 f.; Urteile 1C_424/2012 vom 15. Januar 2013 E. 4.1; 1C_590/ 2015 vom 10. August 2016 E. 3.2). Nach dem Urteil des Obergerichts, worauf die Vorinstanz verweist, ist erstellt, dass der Beschwerdeführer einen Abstand von 0,32 bis 0,6 Sekunden - mehrheitlich 0,4 Sekunden - auf einer Strecke von rund 1'500 Metern mit einer Geschwindigkeit von 112 km/h bis 126 km/h bei guter Sicht und trockener Fahrbahn einhielt. Bei dieser Sachlage durfte eine qualifizierte objektive Gefährdung der Verkehrssicherheit angenommen werden. Ausserdem hat das Obergericht das Verhalten des Beschwerdeführers bei jenem Vorfall als rücksichtslos und unüberlegt gewürdigt. Im Ergebnis stimmt die Beurteilung des Verschuldens im angefochtenen Urteil mit derjenigen der Strafrichter überein. Es verletzt kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz von einer schweren Widerhandlung ausgegangen ist.
3.
3.1. Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, dass das Verfahren gesamthaft ohne seine Schuld viel zu lange gedauert habe. Er rügt eine schwere Verletzung des Beschleunigungsgebots (<ref-law>, <ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK); dieser könne nur durch einen gänzlichen Verzicht auf den Führerausweisentzug Rechnung getragen werden. Zudem widerspreche der Ausweisentzug vorliegend dem Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>); ein solcher sei nach so langer Zeit seit dem Vorfall nicht mehr geeignet oder erforderlich, um eine erzieherische Wirkung zu entfalten, und auch nicht zumutbar. Der Beschwerdeführer macht geltend, aus beruflichen Gründen auf den Führerausweis angewiesen zu sein.
3.2. Der vorliegend zu beurteilende Vorfall ereignete sich am 21. Mai 2014. Der Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Zofingen-Kulm erging am 28. August 2014. Das Urteil des Bezirksgerichts Zofingen folgte am 15. November 2016. Es dauerte somit 2.5 Jahre, bis ein erstinstanzliches Strafurteil vorlag. Weitere fünf Monate später, am 25. April 2017, entschied das Obergericht. Es hielt in seinem Urteilsdispositiv ausdrücklich fest, dass das Beschleunigungsgebot verletzt worden sei, und berücksichtigte diesen Verfahrensmangel strafmindernd. Im Administrativverfahren war die erstinstanzliche Verfügung am 26. Juni 2014, und damit noch vor dem Strafbefehl, erlassen worden. Das Urteil der zweitinstanzlich zuständigen Vorinstanz erging am 19. September 2017, das war fünf Monate nach Abschluss des Strafverfahrens. Insgesamt liegt zwischen der schweren Verkehrsregelverletzung des Beschwerdeführers am 21. Mai 2014 und der rechtskräftigen administrativen Sanktionierung durch das Bundesgericht, welche mit dem vorliegenden Urteil erfolgt, ein Zeitraum von drei Jahren und etwas über zehn Monaten.
3.3. Jede Person hat in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung sowie auf Beurteilung innert angemessener Frist (<ref-law>). Ein solches Recht ergibt sich auch aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK. <ref-law> über das Beschleunigungsgebot kommt im vorliegenden Fall keine Bedeutung zu, die über <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK hinausgeht.
Nach <ref-law> darf die Mindestentzugsdauer nicht unterschritten werden. Das gilt nach der Rechtsprechung auch bei einer Verletzung des verfassungsrechtlichen Beschleunigungsgebots. Offen gelassen wurde die Frage, ob bei einer schweren Verletzung dieses Gebots, die anderweitig nicht behoben werden kann, ausnahmsweise gänzlich auf eine Massnahme verzichtet werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.2-2.3 S. 337).
Die Beurteilung der angemessenen Verfahrensdauer entzieht sich starren Regeln. Es ist in jedem Einzelfall zu prüfen, ob sich die Dauer unter den konkreten Umständen als angemessen erweist. Der Streitgegenstand und die damit verbundene Interessenlage können raschere Entscheide erfordern oder längere Behandlungsperioden erlauben. Zu berücksichtigen ist der Umfang und die Komplexität der aufgeworfenen Sachverhalts- und Rechtsfragen, das Verhalten der beschuldigten Person und dasjenige der Behörden (z.B. unnötige Massnahmen oder Liegenlassen des Falls) sowie die Zumutbarkeit für die beschuldigte Person (Urteile 1C_486/2011 vom 19. März 2012 E. 2.2; 1C_540/2011 vom 13. Februar 2012 E. 4.3).
3.4. Die Vorinstanz hat eine schwere Verletzung des Beschleunigungsgebots verneint, obwohl im Strafverfahren gegen dieses Gebot verstossen wurde. Insgesamt hat die Vorinstanz von einem Verzicht auf den Führerausweisentzug abgesehen.
In der Begründung des angefochtenen Urteils wird unter Bezugnahme auf <ref-ruling> dargelegt, in jenem Fall habe das Bundesgericht bei einer Zeitspanne von drei Jahren und dreieinhalb Monaten seit der Widerhandlung die Verletzung des Beschleunigungsgebots nicht als schwer eingestuft. Zwar trifft es zu, dass in den betreffenden Urteilserwägungen des Bundesgerichts nur die Dauer des Administrativverfahrens angesprochen wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 337). Das Bundesgericht hat aber in der Folge den in <ref-ruling> beurteilten Fall unter Einbezug der damals gesamthaft verstrichenen Zeitspanne gewürdigt (vgl. Urteil 1C_383/2009 vom 30. März 2010 E. 3.3). Im zuletzt genannten Urteil wurde bei einer Dauer von etwas über vier Jahren seit der Widerhandlung festgestellt, es sei keine schwere Verletzung des Beschleunigungsgebots gegeben (Urteil 1C_383/2009 E. 3.4). Auch im Urteil 1C_591/2012 vom 28. Juni 2013 E. 4.3 (publ. in: RtiD 2014 I 266) hat das Bundesgericht bei einer ähnlichen Zeitspanne eine schwere Verletzung des Beschleunigungsgebots verneint.
Vorliegend haben sich bei einer Bearbeitungsdauer von unter vier Jahren insgesamt sechs Instanzen im Straf- und Administrativverfahren mit dem Fall befasst. Wie die Vorinstanz zu Recht festgehalten hat, ist das Administrativverfahren für sich allein ohne Verzögerung durchgeführt worden. Der Vorwurf der übermässigen Verfahrensdauer gegenüber den Strafbehörden hat bereits zur Strafminderung geführt (vgl. oben E. 3.2). Unter dem Blickwinkel des Administrativverfahrens ist dieser Vorwurf nicht so gravierend, dass die Möglichkeit eines Verzichts auf den Führerausweisentzug in Betracht fallen könnte.
3.5. Es ist auch nicht ersichtlich, dass der Entzug des Führerausweises unter den gegebenen Umständen wegen des Zeitablaufs keine erzieherische Wirkung mehr haben könnte (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 337). Ferner ist eine Unterschreitung der gesetzlich vorgesehenen, minimalen Entzugsdauer selbst bei Personen, die beruflich auf den Führerausweis angewiesen sind, ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 336 f.).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. April 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet