Sachverhalt:
A.
A.a. Am 4. August 2017 gewährte das Regionalgericht Engiadina Bassa/Val Müstair im damals hängigen Eheschutzverfahren B._ die unentgeltliche Rechtspflege und ordnete ihm A._ (Beschwerdeführer) als unentgeltlicher Rechtsbeistand bei. Mit Schreiben vom 8. Juni 2018 verzichtete B._ für das weitere Verfahren auf das Recht auf unentgeltliche Rechtspflege.
A.b. Mit Honorarnote vom 21. Dezember 2018 stellte A._ beim Regionalgericht für seine Bemühungen in der Zeit vom 30. Juni 2017 bis 29. Juni 2018 ein Honorar von Fr. 107'066.69 (inkl. Spesen und MWSt) in Rechnung. Am 12. September 2019 setzte das Regionalgericht die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands auf Fr. 37'254.52 (inkl. Spesen und MWSt) fest.
B.
Mit Urteil vom 16. November 2020 (eröffnet am 4. Januar 2021) wies das Kantonsgericht von Graubünden die von A._ gegen die Festsetzung der Entschädigung erhobene Beschwerde ab.
C.
A._ gelangt am 3. Februar 2021 mit Beschwerde in Zivilsachen ans Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids vom 16. November 2020 und die Rückweisung der Angelegenheit zu neuer Beurteilung an das Kantonsgericht. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Kantons Graubünden.
Nach Einsicht in die Verfahrensakten hat A._ mit Eingabe vom 25. Februar 2021 weitere Bemerkungen eingereicht. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob auf eine Beschwerde eingetreten werden kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1). Gleichwohl obliegt es dem Beschwerdeführer, seine Eingabe auch bezüglich der formellen Eintretensvoraussetzungen zu begründen, soweit diese nicht zweifelsfrei gegeben sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2; Urteil 5A_18/2019 vom 6. Juni 2019 E. 1).
2.
Fristgerecht (<ref-law>) angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin als oberes Gericht (<ref-law>) über die Festsetzung der Entschädigung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands in einer Zivilsache nach <ref-law> (Eheschutz) entschieden hat. Dabei handelt es sich um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid, der in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht und nach Art. 72 Abs. 2 Bst. b BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (vgl. zum Ganzen Urteile 5D_163/2019 vom 24. Februar 2020 E. 1.1 und 1.3; 5A_272/2018 vom 3. August 2018 E. 2.1). Die Angelegenheit ist vermögensrechtlicher Natur (vgl. Urteil 5D_49/2018 vom 7. August 2018 E. 1.1), wobei der notwendige Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG; zur Berechnung vgl. Urteil 5A_1007/2018 vom 26. Juni 2019 E. 2.2). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt (vgl. Urteile 5A_1002/2018 vom 8. August 2019 E. 1.2; 5A_415/2018 vom 18. Mai 2018 E. 4).
Unbeachtlich bleibt die Eingabe des Beschwerdeführers vom 25. Februar 2021, die nach Ablauf der Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 und Art. 44 ff. BGG) und damit verspätet eingereicht wurde. Eine Ergänzung der Beschwerde ist zu diesem Zeitpunkt nicht mehr möglich (Urteil 5A_724/2017 vom 15. Mai 2018 E. 1.2).
3.
3.1. Die Beschwerdeschrift hat ein Begehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (vgl. <ref-law>), muss dieses Begehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die rechtsuchende Partei hat daher einen Antrag in der Sache zu stellen. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, müssen ausserdem beziffert werden (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2). Hiervon ausgenommen ist namentlich der Fall, dass das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte, etwa weil es an den nötigen Sachverhaltsfeststellungen fehlt (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_789/2019 vom 16. Juni 2020 E. 2.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Diese Grundsätze gelangen auch im Zusammenhang mit Gesuchen betreffend die unentgeltliche Rechtspflege zur Anwendung (vgl. Urteile 5A_408/2021 vom 26. Mai 2021 E. 1; 5A_832/2020 vom 12. Oktober 2020 E. 1; 5A_660/2020 vom 25. Februar 2021 E. 1.2; 5A_455/2020 vom 1. September 2020 E. 2).
3.2. Der Beschwerdeführer stellt (allein) den Antrag, der Entscheid des Kantonsgerichts vom 16. November 2020 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (vgl. vorne Bst. C). Zur Begründung führt er aus, das Bundesgericht könne "die Kostennote wohl nicht im reformatorischen Sinne selbst beurteilen und genehmigen". Diese sehr sparsamen Bemerkungen erläutert der Beschwerdeführer nicht weiter. Sie vermögen den ausnahmsweisen Verzicht auf ein reformatorisches und beziffertes Begehren nicht zu rechtfertigen.
Auch ansonsten bestehen keine Hinweise, dass ein solcher Verzicht zulässig wäre: Zwar ist der Beschwerdeführer mit den vorinstanzlichen Feststellungen der tatsächlichen Gegebenheiten verschiedentlich nicht einverstanden. Er beschränkt sich diesbezüglich jedoch darauf, dem angefochtenen Entscheid in rein appellatorischer Art und Weise seine eigene Sachverhaltsdarstellung entgegenzustellen, ohne der Vorinstanz eine offensichtlich unrichtige oder sonst rechtswidrige Feststellung des Sachverhalts vorzuwerfen. Dies genügt den insoweit geltenden Rügeerfordernissen nicht (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG und dazu etwa <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3). Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht sodann eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) vor, weil dieses bestimmte Akten nicht ediert habe. Indes geht er nicht weiter auf die angebliche Verfassungsverletzung ein und begründet diese nicht mit der nötigen Klarheit, was den einschlägigen strengen Begründungserfordernissen von <ref-law> nicht genügt (vgl. <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2). Seine Vorbringen entbinden den Beschwerdeführer daher nicht davon, vor Bundesgericht einen hinreichenden Antrag zu stellen (vgl. dagegen etwa Urteil 5A_299/2016 vom 17. Januar 2017 E. 1.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
3.3. Damit enthält die Beschwerde kein genügendes Begehren. Da der Beschwerdeführer ausdrücklich auf ein reformatorisches und beziffertes Begehren verzichtet und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz verlangt, braucht das Bundesgericht im Übrigen nicht zu prüfen, ob sich aus der Beschwerdebegründung allenfalls ergeben würde, welchen Geldbetrag der Beschwerdeführer im Ergebnis erhältlich machen will (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1b).
4.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. August 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber