Sachverhalt:
A.
A._ reichte am 24. Juni 2010 ein Gesuch für die Erstellung eines Einfamilienhauses auf der Parzelle Nr. 82, Grundbuch Näfels, sowie den Abbruch des auf der Parzelle Nr. 81, Grundbuch Näfels, liegenden Wohnhauses, LB-Nr. 1276, ein.
Das Departement Bau und Umwelt des Kantons Glarus (DBU) beurteilte das in der Landwirtschaftszone gelegene Vorhaben mit Teilverfügung vom 12. August 2010 als zonenkonform, worauf die Gemeinde Näfels am 1. Oktober 2010 die Baubewilligung unter Auflagen erteilte. Ziffer 4 der Auflagen hielt fest, dass das bestehende Wohnhaus, LB-Nr. 1276, innerhalb einer Frist von fünf Jahren nach Fertigstellung des neuen Wohnhauses respektive bis zum 31. Dezember 2017, abzubrechen sei. Die Verfügung erwuchs in Rechtskraft.
Die Gemeinde Glarus Nord teilte A._ mit Schreiben vom 17. November 2017 mit, man habe festgestellt, dass das Wohnhaus, LB-Nr. 1276, nach wie vor bestehe und er werde daran erinnert, die Baute bis spätestens Ende 2017 abzubrechen, andernfalls eine Ersatzvornahme durch Dritte verfügt werde. Mit Schreiben vom 27. November 2017 ersuchte A._ um Erstreckung der Frist für den Abbruch des Wohnhauses, solange seine Eltern dieses Haus noch bewohnen würden.
Mit Verfügung vom 7. Februar 2018 setzte die Gemeinde Glarus Nord A._ eine letztmalige Nachfrist von drei Monaten ab Rechtskraft des Entscheids an zur Erfüllung der Auflage gemäss Ziffer 4 der Baubewilligung vom 1. Oktober 2010 (Dispositiv-Ziffer 1). Weiter hielt sie fest, dass sofern der Grundeigentümer der Rückbau- bzw. Abbruchanordnung nicht fristgerecht nachkomme, im Rahmen einer Ersatzvornahme auf Kosten des Grundeigentümers der Rückbau durch Dritte verfügt werde (Dispositiv-Ziffer 3).
Dagegen erhob A._ mit Eingabe vom 13. März 2018 Beschwerde. Das DBU hiess die Beschwerde am 10. Dezember 2018 teilweise gut und änderte Dispositiv-Ziffer 1 der Verfügung der Gemeinde dahingehend ab, als dass A._ eine Frist von einem Jahr ab Rechtskraft des Entscheids zur Erfüllung der Auflage gemäss Ziffer 4 der Baubewilligung vom 1. Oktober 2010 angesetzt wurde. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Die von A._ gegen diesen Entscheid am 25. Januar 2019 eingereichte Beschwerde, wies das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus am 23. Mai 2019 ab.
B.
Mit Eingabe vom 27. Juni 2019 führt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt, der angefochtene Entscheid vom 23. Mai 2019 des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus sei aufzuheben. Weiter sei ihm die Frist für den Abbruch des bestehenden Wohnhauses, LB-Nr. 1276, auf der Parzelle Nr. 81, Grundbuch Näfels, Gemeinde Glarus Nord, bis zum altersbedingten Auszug seiner Eltern zu erstrecken. Eventualiter sei die Streitsache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Das DBU beantragt die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Gemeinde Glarus Nord sowie das Verwaltungsgericht beantragen ebenfalls die Abweisung der Beschwerde.
C.
Der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts wies das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung mit Verfügung vom 22. August 2019 ab.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts im Bereich des Baurechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 356). Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist als Adressat der Vollstreckungsverfügung zur Erhebung der Beschwerde befugt (<ref-law>). Da auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt in formeller Hinsicht eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Er ist der Auffassung, die kantonalen Instanzen hätten zur Prüfung der Gewährung der Fristerstreckung für den Abbruch des von seinen Eltern bewohnten Wohnhauses eine Stellungnahme der kantonalen Abteilung Landwirtschaft des Departements Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Glarus (ALW) einholen müssen. Diese hätte seiner Ansicht nach beurteilen können, ob eine weitere Fristerstreckung mit Berufung auf die landwirtschaftlichen Produktionsgegebenheiten des Betriebs vertretbar oder sogar wünschenswert wäre. Mit der Verweigerung der Konsultation der Fachstelle sei ein entscheidender Aspekt zur Abwägung der Interessen ausser Acht gelassen worden. Dies stelle eine erhebliche Verweigerung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör dar.
2.2. Diese Kritik ist unbegründet. Die Vorinstanz begründete den Verzicht auf die beantragte Einholung der Stellungnahme durch die ALW damit, dass einzig die Rechtmässigkeit der Vollstreckung der rechtskräftigen Baubewilligung zu beurteilen sei. Damit stützt sie die Auffassung des DBU, welches ausführlich dargelegt hat, weshalb von einer Stellungnahme der ALW keine neuen Erkenntnisse zu erwarten seien, welche zur Klärung des rechtserheblichen Sachverhalts beitragen könnten, zumal lediglich Rechtsfragen vollzugsrechtlicher Natur zu beantworten seien. Dem ist beizupflichten. Bei der Frage der Verhältnismässigkeit der Vollstreckungsfrist handelt es sich um eine Rechtsfrage, welche von den Vorinstanzen frei überprüft werden konnte. Ihnen kann folglich keine Verletzung des rechtlichen Gehörs vorgeworfen werden.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer anerkennt zwar die Rechtmässigkeit der Baubewilligung vom 1. Oktober 2010 und seine damit verbundene Verpflichtung zum Abbruch des Wohnhauses, LB-Nr. 1276, auf der Parzelle Nr. 81. Er macht aber geltend, die Frist, innert welcher der Abbruch zu erfolgen habe, sei mit Hinweis auf gewichtige Interessen zum Aufrechterhalten des landwirtschaftlichen Betriebs bis zum altersbedingten Auszug seiner Eltern aus dem abzureissenden Wohnhaus zu erstrecken. Die Vorinstanz habe eine einseitige und unrichtige Interessenabwägung vorgenommen, wenn sie die ihm gewährte Frist von einem Jahr als verhältnismässig beurteilt habe.
3.2. Die Vorinstanz begründete ihren Entscheid damit, dass der Beschwerdeführer genügend Zeit gehabt habe, sich auf den Abbruch und den damit einhergehenden Umzug seiner Eltern vorzubereiten. Schliesslich hätten sie diese Auflage seit Erteilung der Baubewilligung am 1. Oktober 2010 gekannt. Sodann sei der Abbruch des Wohnhauses innert eines Jahres ohne Weiteres möglich. Folglich sei die angefochtene Frist von einem Jahr verhältnismässig.
3.3. Diese Erwägungen der Vorinstanz sind nicht zu beanstanden. Die dem Vollstreckungsentscheid zugrunde liegende Sachverfügung vom 1. Oktober 2010 hielt unter dem Titel "Auflagen" in Ziffer 4 ausdrücklich fest, das bestehende Wohnhaus, LB-Nr. 1276, sei innerhalb einer Frist von fünf Jahren nach Fertigstellung des neuen Wohnhauses bzw. bis zum 31. Dezember 2017 abzubrechen. Dem Beschwerdeführer war somit, wie von der Vorinstanz zutreffend festgehalten, seit mehr als neun Jahren bekannt, dass er das Wohnhaus abzubrechen hat. Soweit er nunmehr vorbringt, der Abbruch innerhalb eines Jahres sei nicht verhältnismässig und er sich einen grösseren zeitlichen Spielraum dafür erbittet, da seine Eltern noch im Haus wohnen würden, ist er demnach nicht zu hören. Daran ändert auch sein grundsätzlich nachvollziehbarer Wunsch nichts, die Bewirtschaftung des landwirtschaftlichen Betriebs mit familiären Ressourcen sicherzustellen. Der Beschwerdeführer hat mehrere Jahre von der rechtswidrigen Situation profitiert, indem seine Eltern immer noch im abzubrechenden Wohnhaus lebten und auf dem Hof und bei der Kinderbetreuung mithelfen konnten, obschon das Haus längstens hätte abgerissen werden müssen. Er hat mithin keinen weiteren Anspruch darauf, diesen rechtswidrigen Zustand auch in Zukunft fortzusetzen. Im Übrigen würde die von ihm beantragte Fristerstreckung bis zum altersbedingten Auszug seiner 72- bzw. 74-jährigen Eltern aus dem Haus, eine Erstreckung auf unbestimmte Zeit, namentlich abhängig von diversen in der Zukunft liegenden Faktoren, bedeuten.
Es wäre dem Beschwerdeführer vielmehr zumutbar gewesen, während der lang bemessenen Frist von fünf Jahren seit Fertigstellung des Neubaus bzw. bis zum 31. Dezember 2017 die Wohnsitzfrage seiner Eltern zu klären. Die Vollstreckungsfrist trifft ihn, wie erwähnt, nicht unvorbereitet. Die Frist zum Abbruch des Wohnhauses wurde nicht erst mit der angefochtenen Vollstreckungsverfügung vom 7. Februar 2018, sondern bereits mit der zugrunde liegenden Baubewilligung vom 1. Oktober 2010 angesetzt. Der Beschwerdeführer muss sich, wie dies die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, anrechnen lassen, dass er bereits seit deren Erlass, d.h. seit mehr als neun Jahren, Kenntnis von der Frist für den Abbruch hatte. Die aus dem Abbruch resultierende Wohnsitzfrage seiner Eltern bzw. Umstrukturierung bei der Hilfe auf dem Hof und der Kinderbetreuung war bzw. musste ihm bekannt sein. Der Beschwerdeführer hatte folglich genügend Zeit, sich in den letzten Jahren mit diesen Fragen auseinandersetzen, sich um alternative Lösungen zu bemühen und den Abbruch vorzubereiten und zu vollziehen. Im Übrigen hätte der Beschwerdeführer damals die Baubewilligung anfechten und sich gegen die angesetzte Frist wehren können. Dies hat er jedoch unterlassen.
Unzutreffend ist sodann auch der Einwand des Beschwerdeführers, es mache aus raumplanerischer Sicht keinen Unterschied, ob das abzubrechende Haus noch einige Jahre länger stehe. Werden unzulässige, dem RPG widersprechende Bauten nicht beseitigt, sondern auf unabsehbare Zeit geduldet, so wird der Grundsatz der Trennung von Bau- und Nichtbaugebiet in Frage gestellt und rechtswidriges Verhalten belohnt (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 364). Diesbezüglich gilt es insbesondere zu beachten, dass die Bewilligung für den Neubau der Betriebsleiterwohnung am geplanten Standort als nicht zonenkonform hätte abgelehnt werden müssen und der Neubau im Rahmen der eigentumsrechtlichen Besitzstandsgarantie nur als zonenkonform beurteilt wurde, weil die Auflage angeordnet wurde, das bestehende Wohnhaus mit einer angemessenen Übergangsfrist abzubrechen. Dessen war bzw. ist sich der Beschwerdeführer bewusst. Sein Vorbringen, wonach er damals auch den Bau eines Stöcklis für seine Eltern hätte beantragen können, welcher wahrscheinlich bewilligt worden wäre, ist ebenfalls nicht geeignet, die Zumutbarkeit der angeordneten Frist in Frage zu stellen.
3.4. Zusammenfassend kann unter Berücksichtigung des einschneidenden Eingriffs, welcher der Abbruch mit sich bringt und eine gewisse Zeit in Anspruch nimmt, bei der angeordneten Vollstreckungsfrist von einem Jahr dennoch nicht von einer unverhältnismässigen Härte gesprochen werden. Es ist für den Beschwerdeführer nach dem Gesagten vielmehr zumutbar, das bestehende und bisher von seinen Eltern bewohnte Wohnhaus innert eines Jahres ab Rechtskraft dieses Entscheids abzubrechen.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (vgl. <ref-law>). Die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegenden Behörden haben praxisgemäss keinen Anspruch auf Parteikostenersatz (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Gemeinde Glarus Nord, dem Departement Bau und Umwelt des Kantons Glarus und dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier