Sachverhalt:
A.
Mit Verfügungen vom 8. August 2019 nahm die Stadt Zürich, Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV (AZL), infolge der von A._ nicht gemeldeten Mietzinssenkungen eine Neuberechnung des Leistungsanspruchs vor. Gleichzeitig forderte sie von der Versicherten die zu viel ausgerichteten Zusatzleistungen (Gemeindezuschüsse) für den Zeitraum vom 1. Oktober 2017 bis 31. August 2019 im Umfang von Fr. 1'942.- zurück. Die dagegen erhobene Einsprache wies das AZL mit Einspracheentscheid vom 30. September 2019 ab.
B.
Die hiergegen geführte Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 6. Februar 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei festzustellen, dass die Kosten des Kabelnetzwerk-Grundanschlusses von monatlich Fr. 40.- ab 1. Mai 2018 als zu erstattende Nebenkosten der Mietwohnung weiterhin anerkannt seien. Die Verfügung des AZL vom 8. August 2019 sei dahingehend zu berichtigen, dass der Rückerstattungsbetrag für zu viel bezogene Gemeindezuschüsse bis und mit Juni 2019 um Fr. 540.- reduziert und der laufende Anspruch der Periode ab 1. Juli 2019 um Fr. 40.- pro Monat erhöht würden. Eventualiter sei die Sache zur Neuberechnung der Gemeindezuschüsse an das AZL zurückzuweisen.
Das AZL schliesst auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein in Anwendung von kommunalem Sozialversicherungsrecht ergangener, kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG), welche unter keine der Ausnahmebestimmungen von Art. 83 BGG fällt. Insofern steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 82 ff. BGG).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht (einschliesslich der verfassungsmässigen Rechte) gerügt werden. Die Verletzung von kommunal- oder kantonalrechtlichen Bestimmungen stellt demgegenüber - vorbehältlich kantonaler verfassungsmässiger Rechte (Art. 95 lit. c BGG) oder politische Rechte umschreibender Normen (Art. 95 lit. d BGG) - keinen eigenständigen Beschwerdegrund dar. Sie kann nur insoweit angerufen werden, als damit zugleich Bundesrecht oder Völkerrecht verletzt wird. Im Vordergrund steht diesfalls die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere des Willkürverbots (Art. 9 BV). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 61 f.). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 252).
1.3. Eine willkürliche Anwendung kommunalen oder kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch dessen Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar als zutreffender erscheinen mag, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Für die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie kommunalem Recht gilt demgegenüber eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob der angefochtene kantonale Entscheid die Grundrechte oder kantonales und kommunales Recht verletzt, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Da keine gesetzliche Ausnahme besteht (Art. 95 lit. c-e BGG), ist die Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts gegenüber kantonalem Recht auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, insbesondere auf Willkür, beschränkt (Art. 9 BV; vgl. zum Willkürverbot <ref-ruling> E. 2.2 S. 72 mit Hinweisen). Diese Beschränkung gilt auch für die Prüfung der Auslegung und Anwendung von kommunalem Recht (Urteile 5A_221/2017 vom 22. Januar 2018 E. 5.4.1, 1C_27/2010 vom 11. März 2010 E. 1.5; vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 253).
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie die Kürzung des städtischen Mietkostenzuschusses ("Gemeindezuschuss") schützte, die die Verwaltung deswegen verfügte, weil die der Beschwerdeführerin nunmehr direkt und individuell in Rechnung gestellten Kosten des Kabelanschlusses des Kabelanbieters B._ von monatlich Fr. 40.- im Rahmen der Bedarfsberechnung nicht als Mietnebenkosten zu berücksichtigen seien; dies im Gegensatz zu früher, als die betreffenden Kosten noch gegenüber der Vermieterin erhoben wurden, die sie dann unter dem Titel Nebenkosten den Mietern überband. Unbestritten ist dagegen, dass die Beschwerdeführerin infolge nicht gemeldeter Mietzinssenkungen grundsätzlich zur Rückerstattung zu viel bezogener Leistungen verpflichtet ist.
2.2. Gemäss § 1 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 7. Februar 1971 über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (Zusatzleistungsgesetz, ZLG; LS 831.3) werden nach Massgabe der Vorschriften des ELG (SR 831.30) und aufgrund des ZLG Zusatzleistungen ausgerichtet, welche aus Ergänzungsleistungen gemäss ELG (lit. a), Beihilfen (lit. b) und Zuschüssen (lit. c) bestehen. Nach § 15 ZLG finden die Vorschriften, die für die jährliche Ergänzungsleistung nach Art. 9 ff. ELG gelten, entsprechende Anwendung, soweit für die Beihilfe nichts Abweichendes bestimmt ist. § 17 ZLG sieht vor, dass für die Berechnung der Beihilfe auf die Bedarfsrechnung für die jährliche Ergänzungsleistung abgestellt wird, wobei (a.) die tatsächlich ausgerichteten Ergänzungsleistungen als anrechenbare Einnahmen behandelt werden und (b.) der Betrag für den allgemeinen Lebensbedarf bei zu Hause wohnenden Personen um den Höchstbetrag der Beihilfe erhöht wird. Nach § 20 Abs. 1 ZLG können die Gemeinden zudem Gemeindezuschüsse zu den Beihilfen gewähren. Die Stadt Zürich hat diese Zuschüsse in der Verordnung vom 21. Dezember 2005 über den Vollzug des Gesetzes über die Zusatzleistungen zur eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung und die Gewährung von Gemeindezuschüssen (Zusatzleistungsverordnung; ZVO; LS 831.110) geregelt. Gemäss Art. 4 Abs. 1 ZVO wird für die Berechnung des jährlichen Gemeindezuschusses auf die Bedarfsberechnung für die gesetzliche Beihilfe abgestellt, wobei die tatsächlich ausgerichtete Beihilfe als Einnahme angerechnet wird.
3.
Das kantonale Gericht erwog, nach dem Wortlaut von Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG seien als Ausgaben der Mietzins einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten anerkannt. Ob die Mietnebenkosten berücksichtigt werden könnten, entscheide sich nicht dadurch, ob sie im Mietvertrag als solche aufgeführt würden. Massgeblich sei vielmehr, ob sie eng mit dem Gebrauch des Mietobjekts zusammenhingen oder den allgemeinen Lebensbedürfnissen dienten. EL-rechtlich könnten deshalb nicht einfach alle vom Vermieter in Rechnung gestellten Kosten als Nebenkosten im Sinne des Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG betrachtet werden. Es sei vielmehr für jede Kostenposition zu prüfen, ob sie tatsächlich direkt aus dem Wohnbedürfnis resultiere oder ob sie zum allgemeinen Lebensbedarf zu zählen sei. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin seien die Gebühren des Kabelanbieters B._ bei den Mietzins- und Nebenkostenausgaben nicht zu berücksichtigen. So würden die Gebühren für das Kabelfernsehen respektive die des Kabelanbieters B._ wie die Radio- und Empfangsgebühren rechtsprechungsgemäss zum allgemeinen Lebensbedarf gehören. Der Kabelanschluss diene nämlich nicht dem Wohnen, sondern der Befriedigung kultureller Bedürfnisse. Entsprechend handle es sich bei den Kosten des Kabelanschlusses nicht um Nebenkosten gemäss Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG, sondern um einen Teil des allgemeinen Lebensbedarfs.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht in tatsächlicher Hinsicht geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, indem sie fälschlicherweise von einem plombierten Kabelanschluss ausgegangen sei.
4.2. Die Vorinstanz begründete die fehlende Anrechenbarkeit der Kabelanschlussgebühren nicht mit der Plombierung des Anschlusses und einem damit einhergehenden Wegfall dieser Kosten. Sie erwog vielmehr, dass es sich bei den Kabelanschlussgebühren nicht um Nebenkosten im Sinne von Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG handle. Zudem seien die Kosten bereits durch den allgemeinen Lebensbedarf abgedeckt. Dass die Vorinstanz von einem falschen Sachverhalt ausgegangen wäre, ist demnach nicht dargetan.
5.
Weiter rügt die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV) und des Verbots der rechtsungleichen Behandlung (Art. 8 Abs. 1 BV und der gleichlautende Art. 11 Abs. 1 der Verfassung des Kantons Zürich).
5.1.
5.1.1. Im Rahmen der Willkürrüge bringt die Beschwerdeführerin vor, im heutigen gesellschaftlichen Zusammenhang gehöre das Vorhandensein eines Kabelnetzgrundanschlusses für Fernsehen, Internet und Telefonie zur selbstverständlichen und unabdingbaren Grundausstattung einer Wohnung. Der Anschluss biete etwa Grundlage für die Arbeit im "home office" und für die verschiedenen Formen des Fernunterrichts. Die gegenteilige vorinstanzliche Sichtweise verstosse gegen das Willkürverbot.
5.1.2. Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG, der kraft Verweisung in § 15 ZLG und Art. 4 ZLV als kantonales respektive kommunales Recht zur Anwendung gelangt, sieht vor, dass der Mietzins einer Wohnung und die damit zusammenhängenden Nebenkosten als Ausgaben anerkannt werden. Bei den Nebenkosten handelt es sich um die Kosten der Leistungen des Vermieters, die mit dem Gebrauch der Sache zusammenhängen, oder die dazu dienen, die Mietsache in einem zum vorausgesetzten Gebrauch tauglichen Zustand zu erhalten (RALPH JÖHL/PATRICIA USINGER-EGGER, Ergänzungsleistungen zur AHV/IV, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, Rz. 72 S. 1760 f.). Diese enge Definition deckt sich mit dem Zweck der EL, den Existenzbedarf, d.h. den notwendigsten Lebensbedarf zu decken (Art. 112a Abs. 1 BV). Vor diesem Hintergrund erscheint die vorinstanzliche Differenzierung und der daraus gezogene Schluss, dass der Kabelanschluss nicht mit dem Gebrauch des Mietobjekts, sondern eher mit dem allgemeinen Lebensbedarf verbunden sei, nicht unhaltbar. Zudem sind rechtsprechungsgemäss Radio- und Fernsehempfangsgebühren (ehemals "Billag-Gebühren") wie auch die Kabelfernsehgebühren ergänzungsleistungsrechtlich zum allgemeinen Lebensbedarf zu zählen (Urteile P 36/04 vom 29. Oktober 2004 E. 1.2.1 und E. 1.2.2; P 34/03 vom 5. November 2003 E. 2.1.1 und E. 2.1.2). Wenn die Vorinstanz dasselbe für die Kabelanschlussgebühren annimmt, so ist dies jedenfalls nicht willkürlich, selbst wenn den Urteilen des ehemaligen Eidgenössischen Versicherungsgerichts P 36/04 vom 29. Oktober 2004 E. 1.2.2 und P 34/03 vom 5. November 2003 E. 2.1.3 zu entnehmen sein sollte, dass die Kosten für den Kabelnetzanschluss nicht zum Lebensbedarf gehörten (vgl. zur diesbezüglichen Kritik RALPH JÖHL/PATRICIA USINGER-EGGER, a.a.O., Fn. 285 S. 1761). Dass eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, reicht für die Annahme von Willkür nicht aus. Eine krasse Verletzung eines unumstrittenen Rechtsgrundsatzes oder eine stossende Ungerechtigkeit ist ebenfalls nicht ersichtlich (vgl. E. 1.3 hiervor).
5.2.
5.2.1. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, es wäre unsachlich und willkürlich, die Kabelanschlussgebühren gemäss der Rechtsauffassung der Verwaltung dann als Mietnebenkosten anzuerkennen, wenn sie vom Vermieter im Rahmen des Mietvertrages fakturiert werden, nicht aber, wenn sie direkt vom Drittanbieter erhoben werden. Die Versicherte erblickt darin eine rechtsungleiche Behandlung im Vergleich zu denjenigen EL-Bezügern, die im Genuss eines Kollektivanschlussvertrages (zwischen dem Kabelnetzbetreiber und dem Eigentümer der Liegenschaft) stünden. Dafür gebe es keinen sachlichen Grund.
5.2.2. Das Gleichbehandlungsgebot nach Art. 8 Abs. 1 BV und das Willkürverbot nach Art. 9 BV sind eng miteinander verbunden. Ein Entscheid verletzt das Rechtsgleichheitsgebot, wenn er rechtliche Unterscheidungen trifft, für die ein vernünftiger Grund in den tatsächlichen Verhältnissen nicht ersichtlich ist, oder Unterscheidungen unterlässt, die sich aufgrund der Verhältnisse aufdrängen, wenn also Gleiches nicht nach Massgabe seiner Gleichheit gleich und Ungleiches nicht nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich behandelt wird. Vorausgesetzt ist, dass sich die ungerechtfertigte Gleich- bzw. Ungleichbehandlung auf eine wesentliche Tatsache bezieht. In dieser Hinsicht erscheint ein Verstoss gegen die Rechtsgleichheit als eine besondere Form der Willkür (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 399 mit Hinweisen). Das Gleichbehandlungsgebot gilt nicht nur in der Rechtsanwendung, sondern bereits in der Rechtssetzung. Dort müssen die hinsichtlich einer entscheidwesentlichen Tatsache getroffenen rechtlichen Unterscheidungen durch einen vernünftigen Grund in den zu regelnden Verhältnissen unterlegt sein bzw. die aufgrund der Verhältnisse gebotenen Unterscheidungen getroffen werden (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 80; <ref-ruling> E. 5.1 S. 254 mit Hinweisen).
5.2.3. Die Beschwerdegegnerin begründete ihren Entscheid, die Kabelanschlussgebühren bei der EL-Berechnung nicht mehr zu berücksichtigen, damit, dass diese Kosten seit Mai 2018 nicht mehr unter den Nebenkosten im Mietvertrag aufgeführt seien. Bei den vom Kabelanbieter B._ seither der Versicherten separat in Rechnung gestellten Abonnementskosten (inkl. Gebühren für den Grundanschluss) handle es sich somit nicht um zusatzleistungsrechtlich als Mietnebenkosten anerkannte Ausgaben (vgl. Einspracheentscheid vom 30. September 2019). In ihrer Vernehmlassung schliesst sich die Beschwerdegegnerin der Sichtweise der Vorinstanz an, wonach der Kabelanschluss dem Lebensbedarf und nicht dem Bedürfnis "Wohnen" zuzurechnen sei. Gleichzeitig verneint sie eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots, da Ungleiches - Mietverhältnisse mit Einschluss der Grundgebühr einerseits und Mietverhältnisse ohne Einschluss der Grundgebühr anderseits - ungleich behandelt werde.
5.2.4. Bereits im kantonalen Verfahren rügte die Beschwerdeführerin eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots. Da die Vorinstanz die Anschlusskosten generell und unabhängig davon, ob sie direkt vom Leistungserbringer erhoben oder vom Vermieter (unter dem Titel Nebenkosten) abgewälzt werden, als ergänzungsleistungsrechtlich unbeachtlich (resp. bereits im Rahmen von Art. 10 Abs. 1 lit. a ELG erfasst) erachtete, hat sie sich nicht dazu veranlasst gesehen, sich der Frage der Gleichbehandlung anzunehmen. Mit Blick darauf, dass die Verwaltung von ihrer bisherigen Praxis nicht abzurücken scheint, durfte sich die Vorinstanz der Gleichbehandlungsrüge indessen nicht ohne Weiteres entziehen; dies umso weniger, als sie ja ihrerseits die von der Verwaltung angestellte Differenzierung (vgl. E. 5.2.2) nicht als überzeugend erachtet. Diese Unterscheidung führt in der Tat dazu, dass EL-Bezugsberechtigte, denen die Kabelanschlussgebühren direkt durch den Kabelnetzbetreiber in Rechnung gestellt werden, gegenüber EL-Berechtigten, denen die Anschlussgebühren vom Vermieter über die Mietnebenkosten fakturiert werden, ergänzungsleistungsrechtlich benachteiligt sind, obwohl in beiden Fällen letztlich die EL-Bezüger die Kosten zu tragen haben. Es fragt sich deshalb in der Tat, ob mit der hier in Frage stehenden Verwaltungspraxis die Rechtsgleichheit gewahrt wird.
5.2.5. Das als kantonales resp. kommunales Recht angewendete ELG unterscheidet seinerseits danach, von welcher Seite die konkrete Rechnungsstellung erfolgt. Das zeigt sich exemplarisch bei den Heizkosten in Art. 9 Abs. 5 lit. f ELG. Danach bestimmt der Bundesrat die Pauschale für Heizkosten einer gemieteten Wohnung, sofern diese von der Mieterin oder vom Mieter direkt getragen werden müssen. Diese Spezialnorm und das gestützt darauf geschaffene Verordnungsrecht (Art. 16b ELV) wären entbehrlich, wenn diese Kosten bereits mit Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG erfasst würden. Das lässt willkürfrei die Annahme zu, dass Ungleichbehandlungen der hier gegebenen Art bereits im Gesetz angelegt sind, was insbesondere auch aus Art. 10 Abs. 1 lit. b ELG und dem dort verankerten Ausschluss von Rück- oder Nachzahlungen hervorgeht. Das Bundesgericht respektive das Eidgenössische Versicherungsgericht hat denn auch schon unter Hinweis hierauf entschieden, dass separat in Rechnung gestellte, das heisst im Mietvertrag nicht vereinbarte Nebenkosten, bei der Berechnung der Ergänzungsleistung nicht zu berücksichtigen seien (vgl. Urteile 8C_741/2008 vom 17. Dezember 2008; P 58/04 vom 3. Mai 2005 E. 2). Ob bei freier Überprüfung daran festzuhalten wäre, steht im vorliegenden Verfahren nicht zur Frage. Soweit sodann die in Übereinstimmung mit dem ELG und der darin enthaltenen Bedarfsermittlung ausgestaltete kantonale Gesetzgebung selbst in den Blick gelangt, lässt sich der Vorwurf einer verfassungswidrigen Ungleichbehandlung nicht halten. Denn namentlich aus abklärungsökonomischen Gründen leuchtet ein und ist vernünftig, wenn sich die Kantone (und die Gemeinden) bei der Ermittlung der für ihre Beihilfen massgeblichen Bedarfslage vollständig an die bundesgesetzliche Ordnung anlehnen (vgl. §§ 15 ff. ZLG; Art. 4 Abs. 1 ZVO) und von einer weiteren Ausdifferenzierung ihrer eigenen Gesetzgebung absehen.
5.2.6. Zusammenfassend verletzt der angefochtene Entscheid weder das Willkürverbot (Art. 9 BV) noch das Gleichbehandlungsgebot (Art. 8 Abs. 1 BV). Die Beschwerdeführerin vermag mit ihren Vorbringen nicht durchzudringen.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (Art. 65 BGG). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdeführerin auferlegt (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Juli 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest