Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 1977) ist ethnischer Tibeter chinesischer Herkunft. Er kam am 19. September 2011 in die Schweiz und wurde am 28. August 2014 im Asylverfahren vorläufig aufgenommen. Seit dem 3. Januar 2017 verfügt er über eine Aufenthaltsbewilligung (Härtefall) im Kanton Solothurn.
A.b. A._ (geb. 1980) stammt nach eigenen Angaben ebenfalls als ethnische Tibeterin aus China. Sie kam am 22. Mai 2012 in die Schweiz, wo ihr Asylgesuch am 30. September 2016 abgewiesen und sie angehalten wurde, das Land zu verlassen. Der Vollzug der Wegweisung nach China wurde ausgeschlossen, da ihr dort allenfalls unmenschliche Behandlung oder Folter drohe; das SEM ging jedoch davon aus, dass A._ in Indien oder Nepal sozialisiert worden und eine Ausreise in einen dieser Staaten möglich und ihr zumutbar sei. Das Bundesverwaltungsgericht trat am 9. Dezember 2016 auf eine Beschwerde hiergegen mangels Eingangs des Kostenvorschusses nicht ein. A._ hält sich in einer Unterkunft für Ausreisepflichtige in U._ (AG) auf.
B.
B._ und A._ kennen sich seit 2013. Sie bemühen sich um eine Heirat. Zu diesem Zweck ersuchten sie das Migrationsamt des Kantons Solothurn am 29. November 2019 bzw. 9. Januar 2020 darum, A._ eine Kurzaufenthaltsbewilligung zwecks Vorbereitung der Heirat zu erteilen, was das Amt am 18. Juni 2020 ablehnte. Es begründete dies im Wesentlichen damit, dass A._ nicht gewillt sei, mit dem Staatssekretariat für Migration (SEM) zusammenzuarbeiten, um einen Reisepass bzw. ein Ausweispapier für ihre ausländerrechtliche Anmeldung zu besorgen. Für die Eheschliessung vor dem Zivilstandsamt sei ebenfalls ein Identitätsnachweis erforderlich; selbst wenn die Eheschliessung erfolgen könnte, würde dies A._ mangels Identitätsnachweises nicht zum weiteren Aufenthalt in der Schweiz berechtigen. Sie habe weder mit dem SEM Kontakt aufgenommen, noch beim Gericht einen Antrag auf Feststellung ihrer Identität gestellt (vgl. <ref-law>); zudem fehle die Bestätigung des Zivilstandsamts, dass das Ehevorbereitungsverfahren eingeleitet sei und die Heirat innert nützlicher Frist erfolgen könne. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 15. Februar 2021 ab.
C.
B._ und A._ beantragen vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Februar 2021 und die Verfügung des Migrationsamts des Kantons Solothurn vom 18. Juni 2020 aufzuheben; dieses sei anzuweisen, die Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Eheschliessung zu gewähren. In verfahrensrechtlicher Hinsicht sei A._ die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen; für B._ sei dessen bescheidenen finanziellen Mitteln Rechnung zu tragen. B._ und A._ machen geltend, dass die "Einforderung" einer nicht erfüllbaren administrativen Bedingung (Reisepapiere) als Voraussetzung für die Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Ehe bzw. der Eheschliessung ihr "Grundrecht auf Ehe und Familie" beeinträchtige.
Das Migrationsamt und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Das SEM schliesst sich den Ausführungen im angefochtenen Entscheid an: Bei vielen Personen tibetischer Ethnie, deren genaue Identität nicht bekannt sei, stehe aufgrund der Abklärungen im Asylverfahren fest, dass sich ihr letzter Aufenthaltsort vor der Abreise nicht in China befunden habe, sondern in einem der umliegenden Länder (vor allem Indien und Nepal). Diese Personen seien - möglicherweise aus Furcht vor der Rückschaffung - nicht bereit, mit den Behörden zusammenzuarbeiten und bei der Identitätsfeststellung mitzuwirken. Gestützt auf ein von der tibetischen Exilregierung ausgestelltes "Green Book" und einer von den indischen oder nepalesischen Behörden erteilte Wohnsitz- oder Aufenthaltsbestätigung gelte die tatsächliche Identität als offengelegt, weshalb eine Bewilligung im Härtefallverfahren erteilt werden könne; die betroffene Person habe jedoch auch in diesem Fall innerhalb eines Jahres gültige Ausweispapiere nachzureichen (<ref-law>) oder den Nachweis ihrer Schriftenlosigkeit zu erbringen (Art. 10 der Verordnung vom 14. November 2012 über die Ausstellung von Reisedokumenten für ausländische Personen [RDV; SR 143.5]).
B._ und A._ halten fest, dass es sich beim geschilderten Vorgehen um ein Sonderverfahren im Kanton St. Gallen gehandelt habe. In einer grösseren Zahl von Fällen werde die Aufenthaltsbewilligung ohne die Vorlage entsprechender Dokumente ausgestellt. Personen, welche sich - wie A._ - nie in Indien aufgehalten und Nepal lediglich illegal auf der Flucht durchreist hätten, könnten sich keine entsprechenden Dokumente beschaffen.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn der Betroffene in vertretbarer Weise dartut, dass ein potenzieller Anspruch auf die beantragte Bewilligung besteht; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich erfüllt sind, bildet Gegenstand der inhaltlichen Beurteilung (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.).
1.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, heiraten zu wollen. Die Verweigerung der beantragten Bewilligung vereitle ihr Recht hierauf (<ref-law> und Art. 12 EMRK), wie das Bundesgericht dieses bezüglich (abgewiesener) Asylsuchender, die erst durch die Heirat zu einem rechtmässigen Aufenthaltstitel kommen könnten, in seiner Praxis umschrieben habe (<ref-ruling> E. 3.5.2 S. 48; <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> ff.); ohne die beantragte ausländerrechtliche Bewilligung könnten sie die von ihnen gewollte Ehe nicht eingehen.
1.3. Aufgrund ihres Sachvortrags ist eine Verletzung des Anspruchs auf Erteilung einer Bewilligung zur Wahrnehmung ihres Rechts auf Ehe in vertretbarer Weise geltend gemacht. Ihre gemäss der unzutreffenden Rechtsmittelbelehrung als subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingereichte Eingabe ist deshalb als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen (vgl. die Urteile 2C_117/2019 vom 7. Juni 2019 E. 1 und 2C_880/2017 vom 3. Mai 2018 E. 1).
1.4. Da die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d, 89 Abs. 1 und 100 Abs. 1 BGG) gegeben sind, ist mit folgenden Präzisierungen auf die Beschwerde einzutreten:
1.4.1. Verfahrensgegenstand bildet ausschliesslich die Frage, ob der Beschwerdeführerin eine Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Ehe zu erteilen ist oder nicht; auf die darüber hinausgehenden Darlegungen in der Beschwerdeschrift (Vorgehen bei Härtefallbewilligungen usw.) ist nicht weiter einzugehen; sie gehen über den Gegenstand des angefochtenen Entscheids hinaus. Dies gilt auch für die Kritik am rechtskräftigen Asylentscheid und die dortige - angeblich "verzerrte, verfälschte und irreführende" - Herkunftsabklärung im Rahmen der Evaluation des Alltagswissens der Beschwerdeführerin durch den zuständigen Experten des SEM.
1.4.2. Nicht einzutreten ist auf den Antrag, die Verfügung des Migrationsamts vom 18. Juni 2020 aufzuheben: Diese ist durch das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. Februar 2021 ersetzt worden (Devolutiveffekt); sie gilt lediglich als mitangefochten und kann im bundesgerichtlichen Verfahren nicht in eigenständiger Weise infrage gestellt werden, da die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur gegen Urteile letzter kantonaler Instanzen zulässig ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4).
1.4.3. In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt schliesslich eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Es genügt nicht, lediglich einzelne Elemente aufzugreifen, die anders als im angefochtenen Entscheid hätten gewichtet werden können, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik bloss die eigene Auffassung zu unterbreiten, ohne in Auseinandersetzung mit der Begründung im angefochtenen Entscheid darzutun, dass und inwiefern der Sachverhalt in Verletzung von <ref-law> festgestellt worden ist bzw. die Beweiswürdigung sich als offensichtlich fehlerhaft erweist (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Soweit die Ausführungen der Beschwerdeführer diesen Vorgaben nicht genügen und sie eine Kontrolle der "Angemessenheit" des angefochtenen Entscheids verlangen, ist auf ihre Darlegungen nicht weiter einzugehen.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat angenommen, dass der beantragte Aufenthaltstitel zur Vorbereitung der Ehe nur auszustellen sei, wenn keine Anzeichen für einen Rechtsmissbrauch bestünden und klar erscheine, dass die betroffene ausländische Person - einmal verheiratet - aufgrund ihrer persönlichen Situation die Zulassungsvoraussetzungen in der Schweiz erfüllen werde. Für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung im Familiennachzug nach der Heirat müsse ein "Identitätsnachweis vorliegen" (<ref-law>); an einem solchen fehle es hier, weshalb auch die beantragte Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Ehe nicht erteilt werden könne. Vom Identitätsnachweis könne nicht abgesehen werden, da A._ gemäss den Feststellungen im Asylverfahren nicht in China sozialisiert worden sei und sie keine glaubhaften und überprüfbaren Angaben zu ihrem (wirklichen) Lebenslauf mache, was es erlauben würde, eine Bestätigung der Identität von den indischen oder nepalesischen Behörden zu erhalten. A._ sei ihrer Mitwirkungspflicht bei der Papierbeschaffung (<ref-law>) bisher nicht nachgekommen, weshalb ihr Aufenthalt illegal und die Bewilligung bzw. Duldung ihrer Anwesenheit zur Vorbereitung der Heirat nicht möglich sei.
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführer machen geltend, alles vorgekehrt zu haben, um die verlangten Papiere zu beschaffen, doch sei ihnen dies nicht möglich gewesen. Weder Indien noch Nepal seien auf ihre Gesuche eingegangen; an die chinesischen Behörden hätten sie nicht gelangen können und müssen, nachdem im Asylverfahren der Vollzug des Wegweisungsentscheids nach China als unzulässig bezeichnet worden sei; auch anderen Tibetern seien im Übrigen von den chinesischen Behörden keine Papiere ausgestellt worden.
2.2.2. Der Staatssekretär des SEM habe in einem Schreiben vom 13. Januar 2020 bestätigt, dass abgewiesene asylsuchende Personen tibetischer Ethnie seit November 2018 nicht mehr aufgefordert würden, auf der chinesischen Vertretung ein Reisedokument zu beschaffen; sie würden stattdessen "angewiesen, ihre tatsächliche Identität offenzulegen, indem sie überprüfbare Angaben zu ihrem Lebenslauf im Ausland" machten " (insbesondere die letzten Wohnadressen im Ausland, den Aufenthaltsstatus, Arbeitgeber, Schulbesuche usw.) ", damit ihre Schriftenlosigkeit abgeklärt werden könne; zudem hätten sie die Möglichkeit, bei den Botschaften von Indien und Nepal um heimatliche Papiere nachzusuchen.
2.2.3. Die Beschwerdeführerin sei in einem abgelegenen Gebiet in China sozialisiert worden. Sie habe das Land über Nepal verlassen und dort nie über eine Anwesenheitsbefugnis verfügt; zu Indien habe sie keinerlei Beziehungen; beides sei jedoch nur schwer zu beweisen ("negativa non sunt probanda"). In Härtefallverfahren seien wiederholt Bewilligungen erteilt worden, ohne dass Ausweispapiere im Sinne von <ref-law> vorgelegen hätten; es sei dabei jeweils von diesem Erfordernis abgesehen worden (Art. 8 Abs. 2 lit. a und b der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE, SR 142.201]). Die verschiedenen Kantone gingen unterschiedlich vor: In gewissen werde auf die vorliegenden Angaben abgestellt und von einer Bestätigung der Identität abgesehen, in anderen, den Betroffenen die Möglichkeit gegeben, ihre Identität zivilrechtlich feststellen zu lassen. Die Anwendung des Bundesrechts erfolge rechtsungleich.
3.
3.1. Das in <ref-law> statuierte Recht auf Ehe gewährleistet grundsätzlich jeder volljährigen natürlichen Person ungeachtet ihrer Nationalität - einschliesslich Staatenloser - oder ihrer Religion die Möglichkeit zu heiraten (BGE <ref-ruling> E. 4 S. 46; <ref-ruling> E. 3.5 S. 356 mit zahlreichen Hinweisen auf die Lehre). Die Verfassung schützt mithin den Einzelnen vor staatlichen Massnahmen, welche die Wahl des Ehepartners oder überhaupt die Möglichkeit, die Ehe einzugehen, in ungerechtfertigter Weise beschränken (vgl. PETER UEBERSAX, in: Waldmann/ Belser/Epiney [Hrsg.], BSK Bundesverfassung, 2015, N. 11 zu <ref-law>; JEAN-FRANÇOIS AUBERT/PASCAL MAHON, Petit commentaire de la Constitution fédéral de la Confédération suisse, 2003, N. 6 zu <ref-law>). Einschränkungen der Ehefreiheit müssen den Anforderungen von <ref-law> genügen (GIOVANNI BIAGGINI, Kommentar Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft, 2. Aufl. 2017, N. 4 zu <ref-law>) : Sie haben auf einer gesetzlichen Grundlage zu beruhen, im öffentlichen Interesse zu liegen und verhältnismässig zu sein; sie sollen sich auf das Notwendige beschränken und dürfen die Ehefreiheit nicht ihres Kerngehalts entleeren (vgl. das Urteil 2C_962/2013 vom 13. Februar 2015 E. 3.1 und 3.2 mit Hinweisen; UEBERSAX, a.a.O., N. 25 zu <ref-law>; AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, Droit constitutionnel suisse, Vol. II, Les droits fondamentaux, 3. Aufl. 2013, N. 434).
3.2. Dem Gesetzgeber ist es in diesem Rahmen erlaubt, Regeln über die Voraussetzungen der Ehefähigkeit, der Ehehindernisse und der Eheschliessung vorzusehen (KIENER/KÄLIN/WYTTENBACH, Grundrechte, 3. Aufl. 2018, N. 3 zu § 15; JACQUES DUBEY, Droits fondamentaux, Vol. II, 2018, N. 2521; RUTH REUSSER, in: St. Galler Kommentar, Die schweizerische Bundesverfassung, 3. Aufl. 2014, N. 13 zu <ref-law>; PASCAL MAHON, Droit constitutionnel, Vol II, 3. Aufl. 2015, S. 119 N. 70; AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, a.a.O., N. 430); er darf insbesondere auch festlegen, dass sich die Verlobten über ihre Personalien auszuweisen haben (<ref-law>; KIENER/KÄLIN/WYTTENBACH, a.a.O., N. 19 zu § 15). Dies liegt - im Hinblick auf die Statuswirkungen der Ehe - im öffentlichen Interesse, ist grundsätzlich verhältnismässig und höhlt den Kernbereich der Ehefreiheit nicht aus (vgl. zu diesem: UEBERSAX, a.a.O., N. 18 zu <ref-law>; KIENER/KÄLIN/WYTTENBACH, a.a.O., N. 17 zu § 15).
3.3.
3.3.1. Ausländische Verlobte müssen während des Vorbereitungsverfahrens ihren rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz nachweisen (<ref-law>). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind die Migrationsbehörden im Hinblick auf das Recht auf Ehe (Art. 12 EMRK bzw. <ref-law>) gehalten, eine (Kurz-) Aufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Ehe zu erteilen, wenn keine Hinweise dafür bestehen, dass die ausländische Person rechtsmissbräuchlich handelt (Scheinehe, missbräuchliche Anrufung der Familiennachzugsbestimmungen usw.; vgl. hierzu das Urteil 2C_400/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 3), und "klar" erscheint, dass sie nach der Heirat mit ihrem Ehepartner in der Schweiz wird verbleiben können, d.h. sie auch die weiteren hierfür erforderlichen Voraussetzungen erfüllt (BGE <ref-ruling> E. 3.7 S. 359 f.; <ref-ruling> E. 4 u. 5 S. 46 ff.).
3.3.2. Diese Rechtsprechung gilt trotz des Vorrangs des Asylverfahrens (<ref-law>) und der Bindung an die Bundesgesetze (<ref-law>) auch für abgewiesene Asylsuchende, die erst dank der Heirat einen ausländerrechtlichen Bewilligungsanspruch erwerben können (vgl. das Urteil 2C_962/2013 vom 13. Februar 2015 E. 4.2). Es kann diesen bei einer ernsthaft gewollten Ehe und offensichtlich erfüllten Bewilligungsvoraussetzungen nach der Heirat im Lichte des EGMR-Urteils O'Donoghue u. Mitb. gegen Vereinigtes Königreich vom 14. Dezember 2010 (Nr. 34848/07) nicht zugemutet werden, wegen ihres illegalen Aufenthalts vor dem Eheschluss ausreisen zu müssen; es ist ihnen in diesem Fall die Rechtmässigkeit des Aufenthalts im Sinne von <ref-law> (provisorisch) zu bestätigen (<ref-ruling> E. 3.5.2; <ref-ruling> E. 3.5 u. E. 3.7; <ref-ruling> E. 3 S. 45 f.).
3.3.3. Die Kurzaufenthaltsbewilligung zwecks Vorbereitung der Heirat soll jedoch nur erteilt werden, wenn mit dieser bzw. dem Erhalt der hierfür zivilrechtlich erforderlichen Papiere und Bestätigungen in absehbarer Zeit gerechnet werden kann; die (vorübergehende) Legalisierung des Aufenthalts mit Blick auf den geplanten Eheschluss darf praxisgemäss nicht dazu dienen, den Aufenthalt über das Vorbereitungsverfahren hinaus längerfristig zu sichern (Urteile 2C_117/2019 vom 7. Juni 2019 E. 3; 2C_880/2017 vom 3. Mai 2018 E. 4.3 und 2C_702/2011 vom 23. Februar 2012; MARC SPESCHA, in: Spescha/Zünd/ Bolzli/Hruschka/de Weck [Hrsg.], Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 3 zu <ref-law>).
4.
4.1. Nach <ref-law> haben Ausländerinnen und Ausländer bei der Anmeldung ein gültiges Ausweispapier vorzulegen; der Bundesrat bestimmt die Ausnahmen und die anerkannten Ausweispapiere. Die Betroffenen müssen während des ganzen Aufenthalts in deren Besitz bleiben (<ref-law>). Bei der Anmeldung muss kein gültiges ausländisches Ausweispapier vorgelegt werden, wenn sich dessen Beschaffung nachweislich als unmöglich erweist (<ref-law>) oder von der betroffenen Person nicht verlangt werden kann, dass sie sich bei der zuständigen Behörde ihres Heimat- oder Herkunftsstaates um die Ausstellung oder Verlängerung eines Ausweispapiers bemüht (<ref-law> unter Verweis auf Art. 89 und <ref-law>). Eine entsprechende Kontaktnahme mit den zuständigen Behörden des Heimat- oder Herkunftsstaates kann namentlich nicht von schutzbedürftigen und asylsuchenden Personen verlangt werden (Art. 10 RDV analog). Im Hinblick auf die beabsichtigte Ehe ist erforderlich, dass die Identitätsangaben im Sinne von <ref-law> "nicht streitig" sind oder die Identität gerichtlich festgestellt wurde (SPESCHA, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>). Der Nachweis nach <ref-law> ist während des Vorbereitungsverfahrens zu erbringen und muss den mutmasslichen Zeitpunkt der Trauung mitumfassen. Der Zivilstandsbeamte setzt den ausländischen Verlobten eine (angemessene) Frist - in der Regel eine solche von 60 Tagen -, um den Aufenthaltstitel bei den zuständigen Migrationsbehörden zu beschaffen (MICHEL MONTINI/CORA GRAF-GAISER, in: Basler Kommentar, ZGB I, 6. Aufl. 2018, N. 6 zu 98 ZGB). Absehbar ist die Eheschliessung, wenn mit der Beibringung der erforderlichen Papiere innert der für die Vorbereitung der Eheschliessung üblichen Zeitperiode von sechs Monaten gerechnet werden kann; der entsprechende prozedurale Aufenthalt ist gestützt auf das Verhältnismässigkeitsprinzip allenfalls ausnahmsweise sach- und fallgerecht anzupassen (SPESCHA, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>).
4.2.
4.2.1. Im Vorbereitungsverfahren haben die Verlobten (unter anderem) ihre Personalien mittels Dokumenten zu belegen (<ref-law>). Diese dürfen nicht älter als sechs Monate sein (Art. 16 Abs. 2 Satz 2 ZStV [SR 211.112.2]). Weist die zur Mitwirkung verpflichtete Person nach, dass es ihr trotz hinreichender Bemühungen unmöglich oder unzumutbar ist, die entsprechenden Urkunden zu beschaffen, und sind die Angaben nach den zur Verfügung stehenden Unterlagen und Informationen "nicht streitig", kann die kantonale Aufsichtsbehörde den Nachweis durch Abgabe einer Erklärung vor dem Zivilstandsbeamten bewilligen (<ref-law>; Art. 17 ZStV; MONTINI/GRAF-GAISER, a.a.O., N. 4 zu <ref-law>; Aus der Praxis des Eidgenössischen Amtes für das Zivilstandswesen [EAZW], "Aktuelle Fragen zum Eherecht", in: ZZW 2001/3, S. 69 ff.).
4.2.2. Die Zivilstandsbehörden prüfen dabei, ob die zu beweisenden Angaben nicht widersprüchlich sind; sie tun dies in erster Linie anhand der Informationen, welche die betroffene Person anderen Behörden gegenüber bekannt gegeben hat (insbesondere etwa anlässlich der Einreichung des Asylantrags; CORA GRAF-GAISER/MICHEL MONTINI, a.a.O., N. 2a ff. zu <ref-law>). Die Unzumutbarkeit bzw. die Unmöglichkeit der Beschaffung von Dokumenten beurteilt sich nach den Umständen im Einzelfall; das Gleiche gilt bezüglich des Begriffs der "Streitigkeit" (vgl. Aus der Praxis des EAZW, "Erklärung nichtstreitiger Angaben und Feststellungsklage bei unklarer Identität im Ehevorbereitungsverfahren", in: ZZW 2001/1, S. 6 ff.). Die rechtsanwendende Behörde verfügt im Einzelfall über einen gewissen Ermessensspielraum (Amtliche Mitteilungen EAZW, Nr. 140.3 vom 1. Mai 2009, Nachweis nicht streitiger Angaben über den Personenstand [Art. 41 f. ZGB, Art. 17 ZStV]). Bei streitigen Angaben (z.B. wenn das mit Zustimmung der betroffenen Person beim SEM konsultierte Dossier zum Asylgesuch widersprüchliche Informationen zu den nachzuweisenden Angaben enthält) erlässt die Aufsichtsbehörde eine ablehnende Verfügung, wobei sie die Person an das Gericht verweist (GRAF-GAISER/MONTINI, a.a.O., N. 1b zu <ref-law>; Aus der Praxis des EAZW, "Erklärung nichtstreitiger Angaben und Feststellungsklage bei unklarer Identität im Ehevorbereitungsverfahren", in: ZZW 2001/1 S. 6 ff.; vgl. Art. 17 Abs. 3 ZStV). Diese Verfügung ist ihrerseits anfechtbar (Art. 90 Abs. 2 ZStV; GRAF-GAISER/MONTINI, a.a.O., N. 1b zu <ref-law>).
4.2.3. Nach dem Willen des Gesetzgebers gelten Angaben über den Personenstand als "streitig" - und es ist somit ausgeschlossen, eine Erklärung gemäss <ref-law> und Art. 17 ZStV entgegenzunehmen - wenn die Akten Widersprüche aufweisen, die in Bezug auf die einzutragenden Angaben von zentraler Bedeutung sind (vgl. Aus der Praxis des EAZW, "Personenstand schriftenloser Ausländer", in: ZZW 2001/4 S. 105 ff.). In diesen Fällen ist einzig ein Gericht befugt, den streitigen Personenstand der betroffenen Person festzustellen. Allfällige vom SEM ausgestellte Dokumente weisen weder deren Identität noch Nationalität nach, weshalb die Ausstellung der Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Heirat bzw. der ZEMIS-Eintrag das entsprechende zivilrechtliche Verfahren - entgegen der Auffassung der Beschwerdeführer - grundsätzlich nicht zu ersetzen vermag (Art. 8 Abs. 1 RDV; zum Ganzen: Amtliche Mitteilungen des Eidgenössischen Amtes für das Zivilstandswesen [EAZW] Nr. 140.3 vom 1. Mai 2009 "Nachweis nicht streitiger Angaben über den Personenstand"; Art. 41 f. ZGB, Art. 17 ZStV).
5.
5.1. Das schweizerische Recht sieht somit Verfahren vor, welche auch Personen erlaubt, sich zu verheiraten und allenfalls im Land zu verbleiben, die sich nicht in zumutbarer Weise andernorts verheiraten können und gestützt auf ihre Lebensgeschichte, ihre Personalien nicht nachweisen können. Es besteht insofern keine Verletzung des Rechts auf Ehe der betroffenen Personen. Die bundesgerichtliche Praxis zur Ausstellung einer provisorischen Aufenthaltsberechtigung zur Vorbereitung der Ehe bezieht sich auf die in <ref-law> verankerte Pflicht, den rechtmässigen Aufenthalt in der Schweiz nachzuweisen; sie ändert nichts daran, dass für die Heirat die Personalien mittels Dokumenten zu belegen sind und in erster Linie die Zivilstandsbehörden und deren Aufsichtsinstanzen bzw. das Zivilgericht zu prüfen haben, ob die Personalien der beteiligten Personen für die Heirat als erstellt gelten können oder nicht (vgl. vorstehende E. 4.2; <ref-law> i.V.m. Art. 16 Abs. 1 lit. b ZStV).
5.2. Das ausländerrechtliche Bewilligungs- und zivilrechtliche Vorbereitungsverfahren sind diesbezüglich aufeinander abzustimmen: Ausländerrechtlich darf die Bewilligung im Rahmen von <ref-law> verweigert werden, falls die Eheschliessung mangels der erforderlichen Papiere als (noch) nicht absehbar gelten muss (vgl. SPESCHA, a.a.O., N. 2 zu <ref-law>; vorstehende E. 3.3.3). Wo Bemühungen um die Beschaffung (noch) fehlender Heiratsdokumente glaubhaft gemacht sind bzw. die entsprechenden zivilrechtlichen Rechtswege beschritten wurden, darf die Bewilligung in der Regel angesichts der in <ref-law> bzw. Art. 12 EMRK verankerte Institutsgarantie des Rechts auf Ehe und der daraus fliessenden positiven Gewährleistungspflicht des Staates nicht verweigert werden, auch wenn mit der entsprechenden Kurzaufenthaltsbewilligung die Anwesenheit nicht längerfristig gesichert werden soll (vgl. SPESCHA, a.a.O., N. 3 zu <ref-law>).
6.
Der angefochtene Entscheid verletzt vor diesem Hintergrund kein Bundesrecht: Zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids konnte der Abschluss des Vorbereitungsverfahrens und die Heirat vorliegend ausländerrechtlich noch nicht als absehbar im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gelten (vgl. vorstehende E. 3.3) :
6.1. Im Asylverfahren wurde als zweifelhaft bezeichnet, dass die Beschwerdeführerin tatsächlich aus China stammt und dort sozialisiert worden ist. Aufgrund des mangelhaften Alltagswissens zur angeblichen Herkunftsregion, bestünden erhebliche Zweifel an der von ihr geltend gemachten Herkunft; verschiedene Indizien deuteten darauf hin, dass sie die Schweizer Behörden über ihre Herkunft täuschen wolle; sie sei vermutlich in einer exiltibetischen Gemeinschaft ausserhalb Chinas etwa in Indien oder Nepal sozialisiert worden.
6.2. Die Beschwerdeführer haben sich für das Verkündverfahren an das Zivilstandsamt V._ gewandt, wo das Verfahren aber offenbar (noch) nicht formell eingeleitet worden ist; dies muss gegebenenfalls noch nachgeholt werden. Im Rahmen des Vorbereitungsverfahrens wird bezüglich der Identität der Beschwerdeführerin nötigenfalls nach Art. 17 ZStV vorgegangen werden können, sollte sie ihre Personalien trotz ihrer Bemühungen nicht anderweitig belegen können.
6.3. Sobald im Vorbereitungsverfahren absehbar erscheint, dass dieses positiv beendet und die Ehe bald geschlossen werden kann, hat das Migrationsamt die für das entsprechende Verfahren erforderliche Bestätigung der Rechtmässigkeit des Aufenthalts im Rahmen von <ref-law> auszustellen, wenn die Ehe dannzumal nicht rechtsmissbräuchlich eingegangen wird und die weiteren ausländerrechtlichen Bewilligungsvoraussetzungen (vgl. <ref-law>) nach wie vor gegeben sind.
6.4. Das Erfordernis des Vorliegens eines gültigen Ausweispapiers im Sinn von <ref-law> steht der Ausstellung einer zeitlich beschränkten Kurzaufenthaltsbewilligung zur Vorbereitung der Heirat nicht entgegen. Der Mangel des Identitätsnachweises bzw. der Personalien ist im Vorbereitungsverfahren (vgl. Art. 17 ZStV bzw. Art. 41 und 42 ZGB) zu beseitigen. Erst bei der im Anschluss an die Heirat zu erteilenden definitiven ausländerrechtlichen Bewilligung kann dann gegebenenfalls gestützt auf Art. 8 Abs. 2 lit. a (unmögliche Beschaffung) und lit. b (unzumutbare Beschaffung) VZAE vom Erfordernis des gültigen ausländischen Ausweispapiers gemäss Art. 13 Abs. 1 bzw. <ref-law> abgesehen werden.
6.5. Soweit die Beschwerdeführer geltend machen, dass das Bundesrecht im vorliegenden Zusammenhang rechtsungleich gehandhabt werde, überzeugt ihre Kritik nicht: Die Unterschiede ergeben sich aus den konkreten Umständen des einzelnen Falles; es ist nicht ersichtlich und wird von den Beschwerdeführern nicht dargelegt, inwiefern einzelne Kantone die dargelegten bundesrechtlichen ausländer- bzw. zivilrechtlichen Vorgaben nicht einhalten würden; im Übrigen kann die Erteilung einer Härtefallbewilligung nicht mit der provisorischen Bewilligungserteilung zur Vorbereitung der Heirat im Rahmen des Rechts auf Ehe verglichen werden.
7.
7.1. Die Beschwerde ist nach dem Gesagten (derzeit) unbegründet; sie ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.2. Für diesen Fall ersucht die Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege; der Beschwerdeführer beantragt, bei der Festlegung der Gerichtskosten seiner (prekären) finanziellen Situation Rechnung zu tragen. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin kann entsprochen werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer verfügt seinerseits über Ersparnisse in der Höhe von Fr. 33'000.--. Es rechtfertigt sich, ihm die Gerichtskosten aufzuerlegen, nachdem gemäss <ref-law> mehrere Beschwerdeführer diese solidarisch zu tragen haben. Bei der Festsetzung von deren Höhe wird dem Umstand Rechnung getragen, dass über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht vorweg entschieden wurde, was es den Beschwerdeführern allenfalls noch erlaubt hätte, ihre Beschwerde zurückzuziehen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen; es werden von ihr keine Kosten erhoben.
2.2. Die reduzierten Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar