Faits :
A.
A.a. B.X._, ressortissante de la République fédérale de Somalie née en 1965, est entrée en suisse le 17 octobre 1997 avec ses enfants C.X._ (née en 1986), D.X._ (née en 1987) et E.X._ (né en 1990). Son mari A.X._, né en 1948, qui est originaire du même pays, a rejoint sa famille en Suisse le 25 mai 1998. Le couple a ensuite eu trois autres enfants: F.X._, né en 1998, G.X._, né en 1999, et H.X._, né en 2000.
Le 30 septembre 1999, l'Office fédéral des réfugiés (devenu entretemps le Secrétariat d'Etat aux migrations; ci-après: le SEM) a rejeté la demande d'asile déposée par B.X._, A.X._ et leurs enfants et prononcé leur renvoi de Suisse. En considérant que l'exécution du renvoi n'était pas exigible, cette autorité a mis les intéressés au bénéfice d'une admission provisoire (permis F), qui a régulièrement été prolongée depuis lors. Les six enfants du couple ont tous acquis la nationalité suisse par la suite.
A.b. A.X._ n'a jamais travaillé en Suisse. Après avoir été assisté par l'Etablissement vaudois d'accueil des migrants, le 1er janvier 2014 il a atteint l'âge de la retraite et perçoit actuellement une rente AVS ainsi que des prestations complémentaires. B.X._, qui n'a jamais exercé d'activité lucrative en Suisse, s'étant occupée de ses enfants, est aidée financièrement par les services sociaux. Pendant leur séjour en Suisse, les intéressés ont suivi plusieurs formations, notamment des cours de français pour débutants. B.X._ a également participé à une formation d'employée de maison, à une formation de lingère et à un programme d'emploi temporaire comme lingère à 50 %. Les époux s'expriment avec beaucoup de difficultés en français.
B.
Le 8 juillet 2015, A.X._ et B.X._ ont déposé auprès du Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) une demande d'autorisation de séjour en Suisse. Par décision du 20 janvier 2017, le Service cantonal a refusé de transformer les permis F (admission provisoire) des intéressés en autorisations de séjour (permis B), pour des raisons liées à l'intégration insuffisante des requérants.
Par arrêt du 14 juillet 2017, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A.X._ et B.X._ contre cette décision.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 14 juillet 2017, A.X._ (le recourant 1) et B.X._ (la recourante 2) déposent un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Ils concluent à l'annulation de l'arrêt entrepris. Ils demandent en outre au Tribunal fédéral de renoncer à "percevoir une avance de frais de procédure".
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt. Le Secrétariat d'Etat aux migrations dépose des observations et conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement au rejet de celui-ci. Le Service cantonal renonce à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours portés devant lui (<ref-ruling> consid. 2 p. 59).
1.1. Les recourants ont déclaré former un "recours" auprès du Tribunal fédéral. Cette désignation imprécise ne saurait leur nuire à condition que le recours remplisse les exigences légales de la voie de droit qui lui est ouverte (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 370).
1.2. Selon l'art. 83 let. c LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent, notamment, une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit (ch. 2), ainsi que les dérogations aux conditions d'admission (ch. 5).
1.2.1. Les recourants, requérants d'asile déboutés admis provisoirement, invoquent l'art. 84 al. 5 LEtr, disposition qui impose aux autorités d'examiner de manière approfondie les demandes d'autorisation de séjour déposées par un étranger admis provisoirement et résidant en Suisse depuis plus de cinq ans. L'étranger admis provisoirement qui sollicite une autorisation de séjour en application de l'art. 84 al. 5 LEtr n'a toutefois pas droit à la délivrance d'une telle autorisation, à savoir à la transformation de son permis F en permis B (arrêts 2D_32/2017 du 10 août 2017 consid. 4; 2D_25/2017 du 14 juin 2017 consid. 2; 2C_276/2017 du 4 avril 2017 consid. 2.1). Cette autorisation lui est, dans une telle hypothèse, décernée sur le fondement des dérogations aux conditions d'admission prévues aux art. 30 LEtr et 31 al. 1 OASA (RS 142.201), que l'art. 83 let. c ch. 5 LTF exclut du champ du recours en matière de droit public (cf. arrêts 2C_916/2017 du 30 octobre 2017 consid. 4.1 et 2D_25/2007 du 14 juin 2017 consid. 2).
1.2.2. Les recourants se fondent également sur l'art. 8 CEDH, qui protège le droit au respect de la vie privée et familiale.
Concernant la vie familiale des intéressés, pour que cette garantie puisse être invoquée il faut être en présence d'une mesure étatique qui aboutit à la séparation des membres d'une famille (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 154 ss; arrêt 2C_505/2009 du 29 mars 2010 consid. 5.1, non publié in <ref-ruling>). En l'espèce, force est de constater que les recourants bénéficient de l'admission provisoire en Suisse. Partant, le refus d'octroyer les autorisations de séjour requises, confirmé dans l'arrêt entrepris, n'a pas pour effet de les obliger à quitter ce pays et à se séparer de leurs enfants suisses.
Pour ce qui est de la protection de la vie privée, il ressort de l'arrêt attaqué que les intéressés - qui ne remettent pas en question ces constatations de fait sous l'angle de l'arbitraire (art. 97 al. 1 LTF; cf. arrêt 2C_665/2017 du 9 janvier 2018 consid. 2.1) -, vivent en Suisse depuis vingt ans, que pendant ce temps ils n'ont jamais travaillé, qu'ils ont été durablement pris en charge par les services sociaux et qu'ils s'expriment avec beaucoup de difficultés en français. Dans ces conditions, le séjour des recourants en Suisse, certes long, ne saurait leur conférer la protection requise, laquelle exige l'existence de liens sociaux et professionnels spécialement intenses avec la Suisse, qui doivent dans ce cadre être notablement supérieurs à ceux qui résultent d'une intégration ordinaire (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 286; arrêts 2C_960/2017 du 22 décembre 2017 consid. 6.1 et 2C_276/2017 du 4 avril 2017 consid. 2.2).
1.2.3. Compte tenu de ce qui précède, la voie du recours en matière de droit public n'est pas ouverte.
1.3. Il y a ainsi lieu d'examiner si le recours est recevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 ss LTF).
1.3.1. La qualité pour former un recours constitutionnel subsidiaire suppose un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 let. b LTF). Les recourants, qui ne peuvent déduire aucun droit des art. 30 et 84 al. 5 LEtr (cf. supra consid. 1.2.1) ou de l'art. 8 CEDH (cf. supra consid. 1.2.2), n'ont pas une position juridique protégée leur reconnaissant la qualité pour agir au fond sous cet angle (cf. arrêt 2C_916/2017 du 30 octobre 2017 consid. 5).
1.3.2. Au demeurant, les recourants ne se plaignent pas de la violation de leurs droits de partie équivalant à un déni de justice formel, ce qui pourrait, à certaines conditions, ouvrir la voie du recours constitutionnel subsidiaire (cf. arrêts 2C_6/2018 du 4 janvier 2018 consid. 4; 2C_276/2017 du 4 avril 2017 consid. 3; 2C_818/2016 du 26 septembre 2016 consid. 4.2).
2.
Il ressort des considérants qui précèdent que le recours doit être déclaré irrecevable.
La requête tendant à renoncer à "percevoir une avance de frais de procédure" formulée par les recourants en invoquant leur indigence, interprétée comme une demande d'assistance judiciaire, doit être rejetée, la cause paraissant d'emblée dépourvue de chances de succès (art. 64 al. 1 LTF). Succombant, les recourants devraient supporter les frais judiciaires; compte tenu des circonstances, il y sera néanmoins renoncé (art. 66 al. 1 LTF; cf. arrêt 2C_276/2017 du 4 avril 2017 consid. 4). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant des recourants, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 1er février 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti