Sachverhalt:
A.
Die 1976 geborene C._ arbeitete vom 18. Dezember 2001 bis zum 30. September 2002 als Mitarbeiterin Information und Sekretariat bei der Unternehmung D._ (Pensum 100 %) und vom 1. Januar 2003 bis zum 31. Dezember 2009 als Betreuerin bei der Stiftung E._ (Pensum 50-80 %). Aufgrund dieser Tätigkeiten war sie bei der Vorsorge A._ vorsorgeversichert. Sodann arbeitete C._ vom 4. Mai 2010 bis zum 31. Januar 2013 als Sachbearbeiterin bei der Organisation E._ (Pensum 50 %) und vom 1. Februar bis zum 31. Mai 2013 als Mitarbeiterin Sekretariat bei der Gemeinde F._ (Pensum 60 %). Im Rahmen dieser Anstellungen war sie bei der Pensionskasse B._ vorsorgeversichert. Die IV-Stelle sprach C._ mit Wirkung ab dem 1. April 2012 eine halbe Invalidenrente zu (Invaliditätsgrad 50 %; Verfügung vom 20. März 2014).
Die Pensionskasse B._ (Schreiben vom 26. November 2013) und die Vorsorge A._ (Schreiben vom 12. Februar 2014 und vom 15. Oktober 2015) verneinten je den Anspruch auf Leistungen der beruflichen Vorsorge.
B.
C._ erhob beim Verwaltungsgericht des Kantons Glarus gegen beide Vorsorgeeinrichtungen Klage mit dem Rechtsbegehren, die Vorsorge A._, eventuell die Pensionskasse B._, sei zu verpflichten, ihr rückwirkend eine Invalidenrente aus der obligatorischen und überobligatorischen beruflichen Vorsorge auszurichten, zuzüglich Verzugszinsen ab Klageerhebung. Das kantonale Gericht hiess die Klage gegen die Vorsorge A._ gut und verpflichtete diese, C._ ab dem 1. April 2012 eine halbe Invalidenrente, zuzüglich Zins von 5 % ab dem 19. Mai 2016 zu bezahlen (Entscheid vom 26. Oktober 2017).
Aufgrund eines Erläuterungsbegehrens ergänzte das kantonale Gericht den Entscheid vom 26. Oktober 2017 dahingehend, dass die Klage gegen die Pensionskasse B._ als gegenstandslos abgeschrieben wurde (Beschluss vom 6. November 2017).
C.
Die Vorsorge A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, es sei die Klage vom 19. Mai 2016 unter Aufhebung sowohl des Entscheids vom 26. Oktober 2017 wie auch des Beschlusses vom 6. November 2017 abzuweisen; eventuell seien die Akten an die Vorinstanz zu weiteren Abklärungen zurückzuweisen.
Während die Pensionskasse B._ keine Anträge stellt, schliesst C._ auf Abweisung der Beschwerde; eventuell (bei allfälliger Gutheissung der Beschwerde) sei festzustellen, ab wann bei ihr eine dauernde Arbeitsunfähigkeit von 20 % eingetreten sei. Ferner beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.
Mit Eingabe vom 19. März 2018 nahm C._ nochmals Stellung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdegegnerin 1 bemängelt den Eventualantrag der Beschwerdegegnerin 2 in deren Vernehmlassung zu Recht. Anträge in der Vernehmlassung, die über die Abweisung der Beschwerde hinausgehen, sind unzulässig, weil das Bundesgerichtsgesetz (BGG) die Anschlussbeschwerde nicht kennt (in <ref-ruling> [Urteil 5A_590/2016 vom 12. Oktober 2017]) nicht publ. E. 1.3). An der Parteistellung der Beschwerdegegnerin 1 im vorliegenden Verfahren ändert sich dadurch nichts, da sie im vorinstanzlichen (Klage-) Verfahren Gegenpartei der Klägerin war und damit Teil des streitigen materiellen Rechtsverhältnisses bildet.
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3 S. 395). Tatsachen oder Beweismittel, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind (sog. echte Noven), können nicht durch dieses Erkenntnis veranlasst worden sein und sind deshalb von vornherein unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548). In diesem Sinne sind die Bestätigung der lic. phil. G._ vom 6. Februar 2018, der Jahresdienstplan von 2009 sowie die fachärztliche Bescheinigung der Beratungsstelle H._ vom 29. Oktober 2010 unbeachtlich.
1.3.
1.3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.3.2. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (<ref-ruling> E. 8.1 S. 153). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (<ref-ruling> E. 4.3 S. 380; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9). Diese Grundsätze gelten auch in Bezug auf die konkrete Beweiswürdigung (Urteil 9C_600/2017 vom 9. August 2018 E. 1.2), insbesondere für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; Urteil 9C_599/2013 vom 24. Februar 2014 E. 2 mit Hinweis).
2.
Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen zu den Invalidenleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge (Art. 23 lit. a BVG) und zum Beginn und Ende der Versicherungspflicht (Art. 10 Abs. 1 und Abs. 2 lit. b BVG) korrekt wiedergegeben. Richtig sind auch die Ausführungen zur massgeblichen Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen von mindestens 20 % (vgl. dazu <ref-ruling>) sowie zum sachlichen und zeitlichen Konnex zwischen einer allfälligen Leistungsunfähigkeit während des Vorsorgeverhältnisses und der späteren Invalidität bzw. zur Unterbrechung des engen zeitlichen Zusammenhangs (statt vieler: Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.2). Darauf wird verwiesen.
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin bejahte.
Das kantonale Gericht stellte fest, bei der Versicherten würden seit Jugendjahren immer wieder eine mittelschwere Depression und eine Borderline-Persönlichkeitsstörung (bzw. eine emotional instabile Persönlichkeitsstörung) oder der Verdacht darauf diagnostiziert (Berichte der Klinik I._ vom 4. November 2008, der Beratungsstelle H._ vom 11. Juli 2013, des Dr. med. J._ vom 5. März 2014 und vom 21. Mai 2015 sowie des Dr. phil. K._ vom 2. März 2015). Die Versicherte sei unstreitig bis September 2002 zu 100 % arbeitsfähig gewesen. Von September bis Dezember 2002 sei sie in ihrer angestammten Tätigkeit als kaufmännische Angestellte überwiegend wahrscheinlich noch zu maximal 80 % arbeitsfähig gewesen. Die Vorinstanz bejahte einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen dieser Arbeitsunfähigkeit und der heutigen Invalidität. Namentlich ging sie davon aus, die Versicherte sei auch zwischen Januar 2003 und Februar 2007 durchgehend zu mindestens 20 % und hernach zu 50 % eingeschränkt gewesen. Aufgrund dessen schloss das kantonale Gericht, die Versicherte habe gegenüber der Beschwerdeführerin Anspruch auf eine halbe Invalidenrente ab dem 1. April 2012 zuzüglich Zins von 5 % ab dem 19. Mai 2016.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, weil eine Arbeitsunfähigkeit bis Ende September 2002 weder aktenkundig ausgewiesen noch arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sei. Ein entsprechendes Attest fehle auch für den Zeitraum der Nachdeckungsfrist des ersten Vorsorgeverhältnisses, d.h. bis Ende Oktober 2002 (vgl. nachfolgend E. 4.2). Per 1. Januar 2003 habe die Versicherte lediglich noch zu 80 % gearbeitet, wobei sich aus den Akten nicht ergebe, weshalb das davor geleistete Vollpensum reduziert worden sei. Die Annahme des kantonalen Gerichts, dies sei aus gesundheitlichen Gründen geschehen, stelle eine reine Mutmassung dar. Willkürlich seien auch die vorinstanzlichen Feststellungen, die Versicherte sei von Januar 2003 bis Februar 2007 durchgehend zu höchstens 80 % und ab Anfang 2007 zu 50 % arbeitsfähig gewesen. Es fehle diesbezüglich ebenfalls an echtzeitlichen Attesten. Gegen eine Arbeitsunfähigkeit würde sprechen, dass sich die Versicherte zwischen Januar 2003 und Februar 2007 weder psychiatrisch noch psychotherapeutisch habe behandeln lassen (vgl. nachfolgend E. 4.3).
4.2. Der vorinstanzlichen Beweiswürdigung betreffend die erste Vorsorgephase (18. Dezember 2001 bis 30. September 2002 sowie einmonatige Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG) liegt insbesondere der Bericht der Beratungsstelle H._ vom 18. Juni 2003 zu Grunde (Kurzbericht von Dr. med. L._, FMH Psychiatrie und Psychotherapie). Wie die Beschwerdeführerin richtig einwendet, enthält dieser keine quantifizierenden Angaben zur damaligen Arbeitsunfähigkeit der Versicherten. Der Psychologe Dr. phil. K._, bei welchem am 17. September 2002 die Erstkonsultation stattgefunden hatte (vgl. eben zitierter Bericht der Beratungsstelle H._ vom 18. Juni 2003), wies indessen im Bericht vom 2. März 2015 auf eine bereits im September 2002 bestandene vollständige Arbeitsunfähigkeit hin, welche sich im Therapieverlauf auf 20 % reduziert habe. Wie die Beschwerdeführerin richtig einwendet, erfolgte diese Einschätzung retrospektiv (zur Rechtsprechung, wonach der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit grundsätzlich "echtzeitlich" nachgewiesen sein muss: Urteil 9C_420/2015 vom 26. Januar 2016 E. 4.2.1 mit Hinweis auf 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.2; vgl. auch nachfolgend E. 4.3). Allerdings konnte Dr. phil. K._ seine nachträgliche Einschätzung auf eigene echtzeitliche Untersuchungen (Behandlung vom 17. September 2002 bis zum 21. Januar 2003) stützen. Er begründete auch, weshalb ein formales Ausweisen der Arbeitsunfähigkeit seinerzeit unterlassen wurde: Das Arbeitsverhältnis mit der Unternehmung D._ war damals bereits gekündigt und die Versicherte nicht beim RAV angemeldet, weil sie sich aus eigener Kraft durchbringen wollte. In Anbetracht dessen stellen die Ausführungen des Dr. phil. K._ keine nachträglichen Annahmen oder spekulativen Überlegungen im Sinne der zitierten Rechtsprechung dar. Dies umso weniger, als sich seine retrospektiven Angaben mit den tatsächlich von der Versicherten geleisteten Arbeitspensen decken und die behandelnde Psychiaterin Dr. med. M._ - entgegen der Behauptung in der Beschwerde - nur kurze Zeit später eine vollständige Arbeitsunfähigkeit ab dem 14. Dezember 2002 attestierte. Wenn die Vorinstanz gestützt darauf sowie auf die (ebenfalls retrospektive) Einschätzung der Psychologin lic. phil N._ und des Psychiaters Dr. med. J._ im Bericht der Beratungsstelle H._ vom 11. Juli 2013 (Arbeitsunfähigkeit von 50 % mindestens seit 2002) von einer Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % zwischen September und Dezember 2002 ausging, ist dies im Rahmen der bundesgerichtlichen Überprüfungsbefugnis (vgl. E. 1.3.2 hievor) nicht zu beanstanden.
Insofern die Beschwerdeführerin einen fehlenden sachlichen Zusammenhang zwischen der Arbeitsunfähigkeit während der ersten Vorsorgephase und der späteren Invalidität rügt, begründet sie diesen Einwand nicht, womit sie ihrer Begründungspflicht nicht nachkommt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es erübrigen sich Weiterungen dazu.
4.3. Die Vorinstanz ging weiter davon aus, die Versicherte habe ihr Arbeitspensum per 1. Januar 2003 aus gesundheitlichen Gründen auf 80 % reduziert und sei in der Folge während der gesamten zweiten Vorsorgephase (1. Januar 2003 bis 31. Dezember 2009 sowie einmonatige Nachdeckungsfrist gemäss Art. 10 Abs. 3 BVG) überwiegend wahrscheinlich vorerst zu höchstens 80 % (bis Februar 2007) und danach noch zu 50 % arbeitsfähig gewesen. Diesen Schluss stützte sie hauptsächlich auf die retrospektiven Einschätzungen in den Berichten der Beratungsstelle H._ vom 11. Juli 2013 (Arbeitsunfähigkeit von 50 % spätestens seit 2002) und des Dr. med. J._ vom 5. April 2014 (recte: 5. März 2014). Damit fehlt es - wie die Vorinstanz selber einräumte - bezüglich der zweiten Vorsorgephase gänzlich an echtzeitlichen Bestätigungen einer Arbeitsunfähigkeit. Solche werden zwar nicht zwingend verlangt, jedoch muss sich bei deren Fehlen die gesundheitliche Beeinträchtigung sinnfällig auf das Arbeitsverhältnis auswirken oder ausgewirkt haben. Mit anderen Worten muss die Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten sein (vgl. Urteil 9C_420/2015 vom 26. Januar 2016 E. 4.2.1 mit Hinweis auf 9C_419/2013 vom 9. Januar 2014 E. 2.2). Das kantonale Gericht stellte fest, es sei nicht aktenkundig, weshalb die Versicherte, welche bis September 2002 unbestritten uneingeschränkt arbeitsfähig war, ihr Arbeitspensum per 1. Januar 2003 auf 80 % reduziert habe. Diese selbst hielt sich gemäss Gesundheitserklärung vom 8. Januar 2003 zu 100 % arbeitsfähig. Im Jahre 2005 reduzierte die Versicherte ihr Pensum weiter (vorerst auf 65 %, danach auf 50 %). Diese Reduktion erfolgte gemäss angefochtenem Entscheid aufgrund veränderter Familienverhältnisse (Geburt der Tochter). Ein anderweitiger Leistungsabfall, welcher etwa durch entsprechende Feststellung oder gar Ermahnung des Arbeitgebers oder durch gehäufte aus dem Rahmen fallende gesundheitlich bedingte Arbeitsausfälle ausgewiesen wäre (vgl. eben zitierte Urteile), geht weder aus dem angefochtenen Entscheid noch aus den Akten hervor. Einhergehend damit stellte das kantonale Gericht fest, die Versicherte habe sich bis Februar 2007 gar nicht und danach bis Oktober 2012 lediglich sporadisch (u.a. vom 22. August bis zum 25. September 2008 stationär; vgl. Austrittsbericht der Klinik I._ vom 4. November 2008) psychotherapeutisch behandeln lassen. Es fehlt somit nicht nur an echtzeitlichen medizinischen Bestätigungen einer Arbeitsfähigkeit, sondern auch an jeglichen Hinweisen, dass eine Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen arbeitsrechtlich in Erscheinung getreten wäre. Die offensichtlich im Widerspruch zu ihren eigenen Feststellungen stehende vorinstanzliche Betrachtungsweise, die Versicherte sei seit Oktober 2002 durchgehend zu mindestens 20 % in ihrer Arbeitsfähigkeit eingeschränkt gewesen und bis heute zu mindestens 50 % invalid, verletzt Bundesrecht. An diesem Ergebnis ändern die verschiedenen nachträglichen Annahmen und spekulativen Überlegungen im angefochtenen Entscheid nichts. Es betrifft dies namentlich die Ausführungen zum Wohlwollen der Stiftung E._ als damaliger Arbeitgeber der Versicherten, zu deren finanziellen Verhältnissen bzw. ihrem Angewiesensein auf finanzielle Unterstützung sowie dazu, ob sich die Versicherte im Rahmen ihrer Selbsteinschätzung am 8. Januar 2003 allenfalls überschätzt haben könnte.
4.4. Ist die zeitliche Konnexität nach dem Gesagten zu verneinen, ist die Beschwerdeführerin für die bei der Versicherten eingetretene Invalidität nicht leistungspflichtig. Weil sich die Klage der Versicherten auch gegen die Pensionskasse B._ richtete, ist die Sache an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit dieses neu entscheide.
5.
Die Rückweisung gilt praxisgemäss als Obsiegen. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (<ref-law>).
Dem Gesuch der Versicherten um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus vom 26. Oktober 2017 und deren Beschluss vom 6. November 2017 werden aufgehoben. Die Sache wird an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen, damit es über die Klage neu entscheide.
2.
Auf die Anschlussbeschwerde der Beschwerdegegnerin 2 wird nicht eingetreten.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Versicherten wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Sibylle Käser Fromm wird als unentgeltliche Anwältin bestimmt. Dieser wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'400.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. September 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Williner