Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: die Steuerpflichtige) unterbreitete der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt sinngemäss ein Revisionsgesuch. Die Steuerrekurskommission trat mit einzelrichterlichem Entscheid STRK.2020.87 vom 17. März 2021 auf das Gesuch nicht ein, wogegen die Steuerpflichtige an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt gelangte.
1.2. In ihrer Eingabe an das Appellationsgericht ersuchte die Steuerpflichtige auch um die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Präsidialverfügung VD.2021.54 vom 3. Juni 2021 wies das Appellationsgericht das Gesuch ab. Die Begründung ging im Wesentlichen dahin, dass ein Revisionsgesuch innerhalb von 90 Tagen seit Entdeckung des Revisionsgrundes zu erheben sei, wobei die um Revision ersuchende Person aufzuzeigen habe, in welchem Zeitpunkt sie vom Revisionsgrund erfahren habe. Die Steuerpflichtige wolle die Tatsache, dass der Vorname der Grossmutter im Familienbüchlein vom 29. September 1998 unzutreffend verzeichnet worden sei, erst anlässlich des Todesfalles ihrer Mutter vom 7. Juni 2020 erfahren haben. Im Rekurs an die Steuerrekurskommission habe sie den massgebenden Zeitpunkt aber nicht genannt, weshalb es im dortigen Verfahren zutreffend zum Nichteintreten gekommen sei. Das im appellationsgerichtlichen Verfahren erhobene Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege sei daher zufolge Aussichtslosigkeit der Hauptsache abzuweisen, zumal die Steuerpflichtige auch ihre prozessuale Bedürftigkeit nicht nachgewiesen habe. Mit einem Renteneinkommen von Fr. 686.30 pro Monat lasse sich das Leben nicht bestreiten. Die Steuerpflichtige müsse über weitere Einkünfte oder über Vermögen verfügen, worüber sie aber keine Angaben gemacht habe. Entsprechend werde die Steuerpflichtige aufgefordert, innerhalb einer nicht erstreckbaren Nachfrist von zehn Tagen, gerechnet ab Zustellung der Verfügung, einen Kostenvorschuss von Fr. 600.-- zu erbringen, ansonsten auf die Sache nicht eingetreten werde.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 7. Juni 2021 (Poststempel) beantragt die Steuerpflichtige sinngemäss, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und es ihr das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.
2.
2.1. Dem Bundesgericht liegt ein Zwischenentscheid vor, der im vorliegenden Fall selbständig anfechtbar ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.1; Urteil 2C_795/2020 vom 2. Oktober 2020 E. 2.2). Der Zwischenentscheid beruht auf eidgenössischem Verfassungsrecht (<ref-law>) bzw. kantonalem Verfahrensrecht (§ 30 Abs. 2 des Gesetzes [des Kantons Basel-Stadt] vom 14. Juni 1928 über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege [VRPG/BS; SG 270.100]). Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1).
2.2. Die Steuerpflichtige bekräftigt im bundesgerichtlichen Verfahren, dass sie vom massgebenden Sachumstand, also dem fehlerhaften Familienbüchlein, erst nach dem Tod ihrer Mutter erfahren habe. Mit Schreiben vom 26. Juni 2020 ("Eingabe leider per normaler Post", so die Steuerpflichtige) habe sie das Verwaltungsgericht auf die gewonnene Erkenntnis hingewiesen. In der Folge legt die Steuerpflichtige weitere Sachumstände dar, die ihre Abstammung bzw. die offenbar nicht ganz übersichtlichen Verwandtschaftsverhältnisse betreffen. Streitig und zu prüfen kann aber nur sein, ob die Vorinstanz verfassungsrechtlich haltbar geschlossen habe, dass die Steuerpflichtige das Erlangen der für eine Revision erforderlichen Kenntnis nicht aufgezeigt habe, weshalb die Hauptsache sich als aussichtslos erweise (zumal die Prozessarmut nicht nachgewiesen sei). Dabei handelt es sich um eine Frage des kantonalen Rechts, was eine Auseinandersetzung unter dem Gesichtspunkt des Verfassungsrechts, insbesondere des allgemeinen Willkürverbots (<ref-law>) erfordert. Auch unter Berücksichtigung dessen, dass eine Laienbeschwerde vorliegt, weswegen die formellen Anforderungen praxisgemäss niedriger angesetzt werden (Urteil 2C_145/2021 vom 19. Februar 2021 E. 2.4), unterbleibt jede zumindest beiläufige Auseinandersetzung mit der Verfassungsfrage. Den gesetzlichen Anforderungen genügt dies nicht (<ref-law>).
2.3. Die Beschwerde enthält damit offenkundig keine hinreichende Begründung. Es ist darauf nicht einzutreten, was durch einzelrichterlichen Entscheid des Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter (<ref-law>) im vereinfachten Verfahren zu geschehen hat (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Es ist mit Blick auf den Sachzusammenhang anzunehmen, dass die Steuerpflichtige auch für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (<ref-law> bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) erheben will. Der in der Hauptsache gestellte Antrag erweist sich indes als aussichtslos, weshalb das Gesuch abzuweisen ist. Praxisgemäss werden die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aber reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die reduzierten Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Juli 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher