Sachverhalt:
A.
A.a. B._ und C._ (Beschwerdegegner) sind die unverheirateten Eltern des 2015 geborenen A._ (Beschwerdeführer). Im Januar 2019 lösten die Eltern den gemeinsamen Haushalt auf. Eine Unterhaltsvereinbarung schlossen sie nicht. Seit Juni 2019 hat C._ seinen Wohnsitz in U._ (D).
A.b. Mit Klagen vom 4. März und vom 21. Juni 2019 ersuchte A._ das Bezirksgericht Rheinfelden darum, C._ (vorab vorsorglich) zur Leistung von Beiträgen an seinen Unterhalt zu verpflichten. Im darauf folgenden Verfahren stellten die Parteien ausserdem Anträge zur Obhut über A._ und zur Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Sohn. Mit Entscheid vom 18. Juli 2019 teilte das Bezirksgericht soweit hier interessierend die elterliche Sorge über den Sohn beiden Eltern gemeinsam zu, stellte diesen unter die alleinige Obhut der Mutter und regelte das Besuchsrecht des Vaters. Ausserdem verpflichtete es C._ zur Zahlung von Bar- und Betreuungsunterhalt für den Sohn und erklärte ihn für berechtigt, Fr. 17'721.30 vom geschuldeten Unterhalt in Abzug zu bringen.
B.
Gegen diesen Entscheid reichten sowohl C._ als auch A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Mit Entscheid vom 10. November 2020 (eröffnet am 2. Dezember 2020) hiess dieses die Berufung von C._ teilweise gut und passte dessen Besuchsrecht an (Dispositivziffer 1.1). Im Übrigen wies es die Berufung ab, soweit es darauf eintrat (Dispositivziffer 1.2). Auch die Berufung von A._ hiess das Obergericht soweit die Parteikosten betreffend teilweise gut, soweit es darauf eintrat (Dispositivziffer 2.1 und 2.2). Auf das Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege im Berufungsverfahren trat es nicht ein (Dispositivziffer 2.3). Von Amtes wegen passte das Obergericht schliesslich die Unterhaltsregelung an. Neu verpflichtete es C._ zur Zahlung folgender monatlicher Unterhaltsbeiträge (zzgl. Kinderzulagen) an den Sohn:
Fr. 4'355.-- ab 1. Februar 2019 bis zum 30. Juni 2019 (wovon Fr. 925.-- Barunterhalt und Fr. 3'430.-- Betreuungs unterhalt) Fr. 3'119.-- vom 1. Juli 2019 bis zum 30. November 2019 (wovon Fr. 550.-- Barunterhalt und Fr. 2'569.-- Betreuungsunterhalt) Fr. 2'842.-- vom 1. Dezember 2019 bis zum 31. Dezember 2019 (wovon Fr. 642.-- Barunterhalt und Fr. 2'200.-- Betreuungsunterhalt) Fr. 2'888.-- vom 1. Januar 2020 bis zum 31. Juli 2020 (wovon Fr. 922.-- Barunterhalt und Fr. 1'966.-- Betreuungsunterhalt) Fr. 2'825.-- vom 1. August 2020 bis zum 31. Juli 2021 (wovon Fr. 925.-- Barunterhalt und Fr. 1'900.-- Betreuungsunterhalt) Fr. 2'435.-- vom 1. August 2021 bis zum 20. Mai 2025 (wovon Fr. 925.-- Barunterhalt und Fr. 1'510.-- Betreuungsunterhalt) Fr. 2'635.-- vom 21. Mai 2025 bis zum 31. Juli 2027 (wovon Fr. 1'125.-- Barunterhalt und Fr. 1'510.-- Betreuungsunterhalt) Fr. 1 '715.-- vom 1. August 2027 bis zum 20. Mai 2031 (wovon Fr. 1'125.-- Barunterhalt und Fr. 590.-- Betreuungsunterhalt) Fr. 1'075.-- vom 21. Mai 2031 bis zum ordentlichen Abschluss einer angemessenen Ausbildung, mindestens aber bis zur Volljährigkeit des Kindes (nur Barunterhalt)
Ausserdem stellte das Obergericht die finanziellen Grundlagen der Unterhaltspflicht fest (alles Dispositivziffer 3). Die Gerichtskosten auferlegte es den Parteien je zur Hälfte, die Parteikosten schlug es wett (Dispositivziffer 4 und 5).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Januar 2021 gelangt A._ ans Bundesgericht und beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge die teilweise Aufhebung des Entscheids des Obergerichts. Die Grundlagen der Unterhaltspflicht seien neu festzustellen und C._ sei zur Bezahlung folgender monatlicher Beiträge zu verpflichten:
1. Februar 2019 bis 31. Mai 2019 Fr. 4'929.25 1. Juni 2019 bis 30. Juni 2019 Fr. 4'679.25 1. Juli 2019 bis 31. Oktober 2019 Fr. 3'980.-- 1. November 2019 bis 30. November 2019 Fr. 3'230.-- 1. Dezember 2019 bis 31. Dezember 2019 Fr. 2'842.-- 1. Januar 2020 bis 31. Juli 2020 Fr. 3'113.-- 1. August 2020 bis 31. Juli 2021 Fr. 3'129.-- 1. August 2021 bis 20. Mai 2025 Fr. 3'226.50 21. Mai 2025 bis 31. Juli 2027 Fr. 3'176.50 1. August 2027 bis 20. Mai 2031 Fr. 3'406.50 21. Mai 2031 bis zum ordentlichen Abschluss einer Ausbildung Fr. 3'566.50
Eventualiter sie die Sache zur Neuberechnung des Unterhalts an das Obergericht zurückzuweisen. Weiter seien die Kosten des Berufungsverfahrens vollumfänglich C._ aufzuerlegen. A._ sei für das Berufungsverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei seiner Rechtsvertreterin eine Entschädigung von Fr. 2'700.-- für die unentgeltliche Vertretung zuzusprechen. A._ sei auch für das Verfahren vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
Das Obergericht verzichtet am 25. Januar 2021 auf eine Vernehmlassung. Am 11. Februar 2021 beantragt C._, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. A._ hat am 4. März 2021 weitere Bemerkungen eingereicht.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist einerseits der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über den Unterhalt für ein Kind nicht verheirateter Eltern und damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat (Urteil 5A_816/2019 vom 25. Juni 2021 E. 1.1). Der Streitwert liegt laut Angaben der Vorinstanz bei über Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die nämliche Qualifikation gilt für den nicht selbständig eröffneten Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege, der andererseits in Streit steht (Urteil 5A_100/2021 vom 25. August 2021 E. 1.1). Der Zulässigkeit der Beschwerde ans Bundesgericht steht insofern nicht entgegen, dass das Obergericht nicht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat diese rechtzeitig erhoben (Art. 100 Abs. 1, Art. 46 Abs. 1 Bst. c und <ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>) und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden. In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Dieselben Rüge- und Begründungsvoraussetzungen gelten für das Vorbringen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2).
3.
3.1. Umstritten ist die Höhe des Kindesunterhalts, den der Beschwerdegegner zu bezahlen hat. Dabei sind sich die Parteien zum einen uneinig über die Berechnung ihres Bedarfs (hinten E. 5 und 6) und zum anderen über die Höhe des dem Kind zustehenden Überschussanteils (hinten E. 7).
Der Unterhalt eines Kindes wird durch Pflege, Erziehung und Geldzahlung geleistet (<ref-law>). Dabei hat das Kind Anspruch auf den gebührenden Unterhalt (vgl. <ref-law>), der die Komponente des Geldunterhalts beschlägt und sich sowohl auf den Bar- als auch den Betreuungsunterhalt bezieht. Der Umfang des gebührenden Unterhalts richtet sich nach mehreren Kriterien. Gemäss <ref-law> soll der Geldunterhalt zum einen den Bedürfnissen des Kindes und zum anderen der Lebensstellung sowie der Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen. Der gebührende Unterhalt des Kindes ist somit (wie der gebührende eheliche und nacheheliche Unterhalt) eine von den konkreten Mitteln abhängige dynamische Grösse, indem unter Vorbehalt einer Obergrenze aus erzieherischen Gründen bei weit überdurchschnittlich guten finanziellen Verhältnissen (vgl. hinten E. 7.2) auch das Kind von einer überdurchschnittlichen Leistungsfähigkeit profitieren und an einer gehobenen Lebensstellung der Eltern teilhaben soll. Grundsätzlich sorgen beide Elternteile, ein jeder nach seinen Kräften, für den dem Kind in Form von Pflege, Erziehung und Geld zu erbringenden Unterhalt (vgl. Art. 276 Abs. 1 und 2 ZGB). Dies gilt an sich auch für den gesamten Geldunterhalt, dessen Umfang sich nach Art. 285 Abs. 1 und 2 ZGB bemisst. Steht das Kind indes unter der alleinigen Obhut des einen Elternteils, indem es in dessen Haushalt lebt und den anderen Elternteil nur im Rahmen des Besuchs- und Ferienrechts sieht, so leistet der obhutsberechtigte Elternteil seinen Unterhaltsbeitrag bereits vollständig in natura, indem er dem Kind Pflege und Erziehung erweist (sog. Naturalunterhalt). Diesfalls fällt der Geldunterhalt vor dem Hintergrund der Gleichwertigkeit von Geld- und Naturalunterhalt vom Grundsatz her vollständig dem anderen Elternteil anheim (Urteil 5A_816/2019 vom 25. Juni 2021 E. 3.1).
3.2. Beim Entscheid über den Kindesunterhalt ist das Sachgericht verschiedentlich auf sein Ermessen verwiesen (<ref-law>; Urteile 5A_20/2017 vom 29. November 2017 E. 4.2, in: FamPra.ch 2018 S. 595; 5A_90/2017 vom 24. August 2017 E. 3.3). Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung (<ref-ruling> E. 3.2.5; <ref-ruling> E. 11.2).
4.
4.1. Zur Berechnung des vom Beschwerdegegner geschuldeten Unterhalts ging die Vorinstanz im Ergebnis von der zweistufig-konkreten Methode aus (auch zweistufige Methode mit Überschussverteilung genannt; vgl. zu dieser Methode <ref-ruling> E. 4.1, mit Hinweis [betreffend nachehelichen Unterhalt]). Dabei bestimmte sie zuerst die Leistungsfähigkeit der Eltern und anschliessend den Grundbedarf des Kindes. Sodann teilte sie die zur Verfügung stehenden Mittel zwischen dem leistungspflichtigen Elternteil und dem Kind auf (unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 6.5; <ref-ruling> E. 4.3). Unter der Leistungsfähigkeit der Eltern verstand das Obergericht den Überschuss des anrechenbaren Einkommens über den Bedarf. Zur Bestimmung des Bedarfs ging das Gericht für den Mankofall vom betreibungsrechtlichen Existenzminimum einer Partei aus. In Bezug auf die Leistungsfähigkeit erachtete es grundsätzlich das tatsächlich erzielte Einkommen als massgeblich, soweit es aus zumutbarer Erwerbstätigkeit stamme. Ein hypothetisches Einkommen dürfte nur unter bestimmten Umständen und unter Einräumung einer angemessenen Übergangsfrist angerechnet werden.
4.2. In der Folge rechnete das Obergericht dem Beschwerdegegner für die gesamte Unterhaltsdauer ein Einkommen von Fr. 10'432.-- an. Die Kindsmutter könne ein Einkommen von Fr. 900.-- ab dem 1. November 2020, von Fr. 1'333.70 ab dem 1. Januar 2020, von Fr. 1'200.-- ab dem 1. August 2020, von Fr. 1'700.-- ab dem 1. August 2021, von Fr. 2'750.-- ab dem 1. August 2027 und von Fr. 3'440.-- ab Vollendung des 16. Altersjahrs des Kindes erzielen. Für die Berechnung der Existenzminima der Beteiligten ging die Vorinstanz von der erstinstanzlichen Bemessung aus, welche sie in einzelnen Punkten anpasste. Die Erstinstanz berücksichtigte insoweit den Grundbedarf, die Wohnkosten sowie die Kosten für die Krankenkasse, den Arbeitsweg und die auswärtige Verpflegung, abzüglich der Kinderzulagen. In die Berechnung sowohl des Betreuungs- wie auch des Barunterhalts bezog die Vorinstanz alsdann neben diesen Werten die den Betroffenen anfallenden Steuern ein. Diese bestimmte sie für den Beschwerdegegner mit monatlich Fr. 1'030.-- bis zum 30. Juni 2019 sowie mit Fr. 3'788.-- ab 1. Juli 2019 und Fr. 2'904.-- ab 1. Januar 2020. Bei der Kindsmutter veranschlagte die Vorinstanz eine monatliche Steuerbelastung von Fr. 100.-- bis zum 1. August 2027, von Fr. 170.-- bis zum 21. Mai 2031 und von Fr. 200.-- ab diesem Datum. Mit Blick auf die Überschussverteilung beim Barunterhalt schützte das Obergericht schliesslich die Lösung der Erstinstanz, wonach der Beschwerdeführer zwar grundsätzlich Anspruch auf 25 % des vorhandenen Überschusses habe, sein Überschussanteil aber auf maximal die Hälfte seines Barbedarfs zu beschränkten sei. Dies mache vorliegend Fr. 375.-- im Monat aus und reiche, um Kosten für Hobbies und Schulausflüge zu decken. Gesundheitskosten würden sodann durch die Krankenversicherung übernommen. Sofern der Kindsmutter in Zukunft Betreuungskosten anfallen würden, stehe ihr der Weg der Abänderungsklage offen.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer erachtet die Berechnung des Bedarfs des Beschwerdegegners als fehlerhaft, weil das Obergericht anders als die Erstinstanz zwischen 1. Juli 2019 und 30. November 2019 dessen gesamte Steuerlast berücksichtigte. Hierdurch werde eine Mankosituation herbeigeführt, in welcher der Betreuungsunterhalt nicht mehr voll gedeckt werden könne. Effektiv bezahlte Steuern dürften nach der Rechtsprechung nur in guten Verhältnissen berücksichtigt werden. Bei knappen Finanzen sei demgegenüber vom betreibungsrechtlichen Existenzminimum auszugehen, das die Steuern nicht beinhalte. Zudem verstosse das Obergericht gegen Treu und Glauben, indem es ohne Begründung von der gefestigten Rechtsprechung abweiche. Dieses Vorgehen sei umso bemerkenswerter, als die Vorinstanz in einem wenige Monate zuvor zwischen den Parteien ergangenen Entscheid noch anders entschieden habe. Entsprechend seien die Steuern in der Bedarfsberechnung des Beschwerdegegners nur teilweise mit Fr. 2'927.-- vom 1. Juli 2019 bis zum 31. Oktober 2019 und mit Fr. 3'677.-- im November 2019 zu berücksichtigen. Dies führe zu einer Erhöhung des Kindesunterhalts auf Fr. 3'980.-- bis zum 31. Oktober 2019 und auf Fr. 3'230.-- für November 2019.
5.2. Basis für die Bedarfsberechnung bei der zweistufigen Methode sind die Positionen, wie sie auch für die Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums verwendet werden. Indes sind die von den Betreibungsämtern für die Ermittlung des pfändbaren Einkommens verwendeten Zahlen nicht direkt massgebend. Vielmehr müssen die eingesetzten Beträge im Zusammenhang mit den wirtschaftlichen Verhältnissen der Parteien stehen. Daher ist in guten finanziellen Verhältnissen eine grosszügige Bedarfsberechnung zulässig. Je knapper die finanziellen Verhältnisse sind, desto enger müssen die Gerichte sich bei der Bedarfsermittlung jedoch an die in Anwendung von <ref-law> entwickelten Grundsätze über die Pfändbarkeit des schuldnerischen Einkommens anlehnen (BGE <ref-ruling> E. 4.2.3; Urteile 5A_43/2019 vom 16. August 2019 E. 4.6.1, in: SJ 2020 I S. 54 und BlSchK 2021 S. 113; 5A_78/2019 vom 25. Juli 2019 E. 4.3.1).
Nach konstanter Rechtssprechung sind laufende oder aufgelaufene Steuern nicht im betreibungsrechtlichen Existenzminimum zu berücksichtigen (BGE <ref-ruling> E. 4.4; Urteile 5A_144/2021 vom 28. Mai 2021 E. 7). Deren Einbezug in die Unterhaltsberechnung ist nur bei genügenden finanziellen Mitteln zulässig (<ref-ruling> E. 3.6; <ref-ruling> E. 4.2.3; Urteile 5A_816/2019 vom 25. Juni 2021 E. 4.2.2.1 [zur Publikation bestimmt]; 5A_465/2020 vom 23. November 2020 E. 5.3).
5.3. Das Obergericht hat festgestellt, dass der Beschwerdegegner aufgrund seines beachtlichen Einkommens grundsätzlich überdurchschnittlich leistungsfähig ist (vgl. vorne E. 4.2). Damit sind, wie der Beschwerdegegner richtig vorträgt und der Beschwerdeführer auch nicht bestreitet, grundsätzlich gute finanzielle Verhältnisse gegeben. Dennoch verweist Letzterer zu Recht darauf, dass gemäss dem angefochtenen Entscheid für die Zeit vom 1. Juli 2019 bis zum 30. November 2019 bei Berücksichtigung der Steuerlast im Bedarf des Beschwerdegegners eine Mankosituation entsteht, in welcher der Betreuungsunterhalt nicht voll gedeckt werden kann. Unter diesen Umständen widerspricht es den aufgezeigten Grundsätzen zur Unterhaltsbemessung, wenn die Steuerlast des Beschwerdegegners im fraglichen Zeitraum (vollumfänglich) angerechnet wird. Die Beschwerde erweist sich insoweit als begründet (zu den Folgen hinten E. 8.1).
6.
6.1. Zur Berechnung seines eigenen Bedarfs bringt der Beschwerdeführer vor, es sei in den Unterhaltsphasen mit guten Verhältnissen vom familienrechtlichen Existenzminimum auszugehen. Das Obergericht habe sich dagegen für die gesamte Unterhaltsdauer an den Empfehlungen für die Bemessung von Unterhaltsbeiträgen für Kinder (Kreisschreiben des Obergerichts XKS.2017.2 vom 1. Mai 2017 [Stand: 10. Mai 2017; nachfolgend: Kreisschreiben]) orientiert, nach denen das betreibungsrechtliche Existenzminimum massgebend sei. Entsprechend habe es das familienrechtliche Existenzminimum nicht berechnet und insofern den Sachverhalt unvollständig festgestellt. Damit sei der angefochtene Entscheid aufzuheben bzw. zu korrigieren und es seien für diejenigen Phasen, in denen nach der Anrechnung sämtlicher Steuern des Beschwerdegegners ein Überschuss verbleibt (d.h. zwischen 1. Februar 2019 und 31. Mai [recte: wohl 30. Juni] 2019 sowie ab 1. Dezember 2019), angepasste Wohnkosten von mindestens Fr. 500.-- sowie ein Steueranteil von mindestens Fr. 50.-- zu berücksichtigen. Dies ergebe einen um Fr. 300.-- erhöhten Bedarf des Kindes.
6.2. Dem Beschwerdeführer ist insofern Recht zu geben, als der gebührende Unterhalt dort, wo die finanziellen Mittel dies zulassen, zwingend auf das familienrechtliche Existenzminimum zu erweitern ist. Zum familienrechtlichen Existenzminimum gehören beim Barbedarf des Kindes namentlich ein Steueranteil, ein den konkreten finanziellen Verhältnissen entsprechender Wohnkostenanteil und gegebenenfalls über die obligatorische Grundversicherung hinausgehende Krankenkassenprämien (<ref-ruling> E. 7.2).
Allerdings missachtet der Beschwerdeführer, dass für Rügen, die dem Bundesgericht vorgetragen werden, der kantonale Instanzenzug ausgeschöpft worden sein muss, und zwar nicht nur formell, sondern auch materiell, indem die Beanstandungen soweit möglich schon der Vorinstanz unterbreitet werden (<ref-ruling> E. 1.1). Fehlt es bei einer Rüge daran, ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten (Urteil 4A_647/2015 und 4A_649/2015 vom 11. August 2016 E. 5.2.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich, dass der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit der Unterhaltsberechnung die Frage nach einem höheren Wohnkostenanteil und der Berücksichtigung von Steuern in seinem Bedarf im Berufungsverfahren nicht aufgeworfen hat. Er macht vor Bundesgericht auch nicht geltend, das Obergericht habe den Prozesssachverhalt insoweit falsch festgestellt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1). Folglich kann er mit seinem Vorbringen vor Bundesgericht nicht gehört werden. Hieran würde sich im Übrigen auch nichts ändern, wenn die Ausführungen des Beschwerdeführers als prinzipiell zulässige neue rechtliche Argumentation verstanden würden (Urteil 5A_1048/2019 vom 30. Juni 2021 E. 3.5.1 [auch zum Folgenden]; vgl. aber Urteil 5A_980/2018 vom 5. Juni 2019 E. 1.3) : Sie wäre durch das Bundesgericht jedenfalls nur zu prüfen, wenn sie sich im Rahmen des von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalts bewegen würde. Dem angefochtenen Urteil lassen sich indes keine Feststellungen zu erhöhten Wohnkosten des Beschwerdeführers oder zu von diesem zu tragenden Steuern entnehmen. Der Beschwerdeführer beanstandet die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts sodann auch in dieser Hinsicht nicht hinreichend; insbesondere genügt das pauschale Vorbringen nicht, der Sachverhalt sei unvollständig erhoben worden (vgl. vorne E. 2.2). Auf die Beschwerde ist in diesem Umfang daher nicht einzutreten.
7.
7.1. Im Zusammenhang mit seiner Überschussbeteiligung erachtet der Beschwerdeführer die Begrenzung seines Anteils in Anwendung des Kreisschreibens auf die Hälfte seines Bedarfs als rechtswidrig. Kinder sollten auf dem Weg der Überschussbeteiligung an der Lebenshaltung der Eltern beteiligt werden, auch wenn kein gemeinsamer Haushalt mehr bestehe. Das Vorgehen der Vorinstanz widerspreche diesem Grundsatz ebenso wie der neusten Rechtsprechung, in welcher das Bundesgericht eine einheitliche Methode für die Unterhaltsbemessung vorsehe und Abweichungen, d.h. eine "Deckelung" der Überschussbeteiligung, nur bei stark überdurchschnittlichen Verhältnissen zulasse. Derartige Verhältnisse seien vorliegend nicht gegeben. Auch gehe es nicht an, das Kind in erheblich geringerem Umfang am Überschuss der Eltern partizipieren zu lassen und es dadurch gegenüber den Kindern in umliegenden Kantonen finanziell schlechter zu stellen. Das Obergericht erläutere seine Vorgehensweise sodann nicht. Ohnehin wende die Vorinstanz das eigene Kreisschreiben falsch an, was zu einer Schlechterstellung des Beschwerdeführers führe und willkürlich sei. Somit sei der Beschwerdeführer in sämtlichen Unterhaltsphasen zu 25 % am Überschuss zu beteiligen.
7.2. Wie der Beschwerdeführer korrekt ausführt, hat das Bundesgericht im Entscheid 147 III 265 für die Berechnung des (Bar-) Unterhalts die zweistufige-konkrete Methode schweizweit für massgebend erklärt (E. 6). Zum Vorgehen bei der Überschussverteilung hat es ausgeführt, dass ein allfällig bestehender Überschuss ermessensweise zwischen den Eltern und den Kindern aufzuteilen sei, in der Regel aber nach "grossen und kleinen Köpfen" (gemeint: Eltern und minderjährige Kinder). Von einer solchen Aufteilung kann und muss aufgrund der besonderen Konstellation im Einzelfall abgewichen werden, wobei im Urteil stets zu begründen ist, aus welchen Gründen die Regel zur Anwendung gebracht oder davon abgewichen wird. Limitiert werden kann der rechnerische Überschussanteil des Kindes aus erzieherischen und aus konkreten Bedarfsgründen namentlich bei weit überdurchschnittlich guten finanziellen Verhältnissen (E. 7.3; vgl. weiter vorne E. 3.1; <ref-ruling> E. 4.4 a.E.; Urteile 5A_491/2020 vom 19. Mai 2021 E. 4.3.1; 5A_365/2019 vom 14. Dezember 2020 E. 5.3). Keinen Anspruch auf einen Überschussanteil haben volljährige Kinder, die auch im Rahmen der Unterhaltsfestsetzung nach der zweistufig-konkreten Methode ausschliesslich Anrecht auf Deckung ihres familienrechtlichen Existenzminimums haben (Urteil 5A_1072/2020 vom 25. August 2021 E. 8.4).
7.3.
7.3.1. Unter Berücksichtigung dieser Grundsätze rügt der Beschwerdeführer zu Recht, dass das angefochtene Urteil gegen Bundesrecht verstösst: Wie ausgeführt (vorne E. 4.2) beschränkte das Obergericht den Überschussanteil des Beschwerdeführers auf pauschal Fr. 375.-- im Monat und führte aus, dass er mit diesem Betrag bestimmte Ausgaben wie Kosten für Freizeitbeschäftigungen decken könne. Dagegen begründete die Vorinstanz nicht, weshalb sich gemessen an den konkreten Umständen ein Abweichen von der im Regelfall vorzunehmenden Aufteilung des Überschusses nach grossen und kleinen Köpfen rechtfertigen würde. Solche Gründe sind denn auch nicht auszumachen. Insbesondere sind bei einem gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen massgebenden Einkommen der Eltern von rund Fr. 11'000.-- im Monat keine weit überdurchschnittlich guten finanziellen Verhältnisse gegeben. Das angefochtene Urteil lässt sich in diesem Punkt daher nicht aufrecht erhalten, woran angesichts der klaren bundesrechtlichen Leitlinien entgegen den Vorbringen des Beschwerdegegners auch nichts ändert, dass dem Obergericht bei der Überschussverteilung grundsätzlich ein Ermessensspielraum zukommt (vgl. vorne E. 3.2 und 7.2).
7.3.2. Allerdings hat die Vorinstanz dem Beschwerdeführer grundsätzlich zu Unrecht einen Anteil am Überschuss auch über das Erreichen der Volljährigkeit hinaus zugesprochen (vgl. vorne Bst. B, E. 4.2 und 7.2). Weil Volljährige keinen Anspruch auf Beteiligung am Überschuss haben, ändern hieran die weiteren zur Berechnung des Überschussanteils erhobenen (Verfassungs-) Rügen des Beschwerdeführers von vornherein nichts. Da der Beschwerdegegner keine Beschwerde erhoben hat und das Bundesgericht nicht über die Anträge des Beschwerdeführers hinausgehen kann (<ref-law>), ist der angefochtene Entscheid insoweit aber nicht zu korrigieren. Allerdings besteht für den fraglichen Zeitraum auch kein Anlass für eine Neuberechnung des Unterhalts. Vielmehr bleibt es diesbezüglich beim vorinstanzlichen Urteil.
7.3.3. Zusammenfassend erweist die Beschwerde sich mit Blick auf die Überschussverteilung als teilweise begründet (zu den Folgen sogleich E. 8.1).
8.
8.1. Damit ist die Beschwerde hinsichtlich der Unterhaltsberechnung insoweit begründet, als der Bedarf des Beschwerdegegners für die Zeit vom 1. Juli 2019 bis zum 30. November 2019 sowie die Überschussbeteiligung des Beschwerdeführers während dessen Minderjährigkeit betroffen ist. Es ist indes nicht Sache des Bundesgerichts, den Unterhalt neu zu berechnen. Die Angelegenheit ist vielmehr entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers in teilweiser Aufhebung von Ziffer 3 des angefochtenen Entscheids zur Neuberechnung des Unterhalts an das Obergericht zurückzuweisen (<ref-law>). Nicht mehr einzugehen ist damit auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zu dieser Problematik. Aufzuheben ist ausserdem die Ziffer 2.2 des angefochtenen Entscheids, soweit das Obergericht dort die bei ihm erhobene Berufung des Beschwerdeführers auch soweit die Unterhaltsfestlegung betreffend abwies. Bei seinem neuen Entscheid wird das Obergericht indes zu beachten haben, was folgt:
Das Obergericht - wie später auch das Bundesgericht - ist nach der Rückweisung an die rechtliche Beurteilung gebunden, mit der diese begründet wurde. Den Gerichten wie auch den Parteien ist es daher - abgesehen von allenfalls zulässigen Noven - verwehrt, der Beurteilung des Rechtsstreits einen anderen als den bisherigen Sachverhalt zu unterstellen oder die Sache unter rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, die im Rückweisungsentscheid abgelehnt oder überhaupt nicht in Erwägung gezogen worden waren (<ref-ruling> E. 5.3.3; <ref-ruling> E. 2). Der Beschwerdeführer rügt vor Bundesgericht zwar (zu Recht) die vollumfängliche Berücksichtigung der Steuerlast des Beschwerdegegners in der Unterhaltsberechnung als bundesrechtswidrig. Mit einer teilweisen Anrechnung der Steuern hat er sich indes abgefunden und er beantragt nur deren Reduktion um Fr. 861.-- auf Fr. 2'927.-- von Juli bis Oktober 2019 und um Fr. 111.-- auf Fr. 3'677.-- im November 2019 (vgl. vorne E. 5.1). Sodann limitiert er seine Überschussbeteiligung auf 25 % eines allfälligen Überschusses. Der Beschwerdegegner seinerseits hat keine Beschwerde erhoben und damit auch die Berücksichtigung der Steuerlast der Kindesmutter für die Berechnung des Betreuungsunterhalts nicht beanstandet. Daran ist das Bundesgericht gebunden (<ref-law>) und die nicht beanstandeten Punkte sind folglich auch im erneuten Verfahren vor dem Obergericht nicht mehr zu hinterfragen. Gleiches gilt für die hier nicht mehr strittige Frage, inwieweit der Beschwerdegegner bereits bezahlte Beträge an seine Unterhaltspflicht anrechnen kann.
8.2. Das Obergericht wird auch neu über die Kosten des Berufungsverfahrens zu entscheiden haben (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG), weshalb antragsgemäss auch die Ziffern 4 und 5 des angefochtenen Urteils aufzuheben sind. Zu prüfen bleibt nachfolgend (sogleich E. 9) die Frage, ob das Obergericht Bundesrecht verletzte, indem es auf das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren nicht eintrat.
9.
9.1. Das Obergericht trat auf das im Berufungsverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdeführers nicht ein. Die Rechtswohltat der unentgeltlichen Rechtspflege sei subsidiär zum Anspruch auf Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses. Über diesen könne das Obergericht im vorliegenden vereinfachten Verfahren mangels sachlicher Zuständigkeit aber nicht entscheiden. Damit sei weder auf das Gesuch um einen Prozesskostenvorschuss noch auf jenes um unentgeltliche Rechtspflege einzutreten.
9.2. Zwar beantragt der Beschwerdeführer die Aufhebung der gesamten Ziffer 2.2 des angefochtenen Entscheids, in welcher das Obergericht unter anderem auch auf das Gesuch um einen Prozesskostenvorschuss im Berufungsverfahren nicht eintrat. Indes äussert er sich zu dieser Problematik in der Beschwerdebegründung nicht weiter. Soweit der Entscheid der Vorinstanz diesbezüglich also überhaupt angefochten sein sollte (vgl. etwa Urteil 5A_731/2020 vom 23. Februar 2021 E. 1.2), wäre auf die Beschwerde insoweit mangels Begründung nicht einzutreten (<ref-law>; vorne E. 2). Das Nichteintreten auf das Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses im Berufungsverfahren ist hier folglich nicht zu prüfen. Unter dieser Voraussetzung ist auf Folgendes zu verweisen:
9.3. Der Anspruch des minderjährigen Kindes auf Bevorschussung der Prozesskosten gründet in der familienrechtlichen Pflicht der Eltern, im Rahmen ihrer Fürsorge- und Unterhaltspflicht für derartige Kosten aufzukommen (vgl. bereits <ref-ruling> E. 3d). Soweit die Pflicht eines Elternteils auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses besteht, geht diese dem Anspruch des Kindes auf unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) vor, der insoweit subsidiärer Natur ist (Urteile 5A_702/2020 vom 21. Mai 2021 E. 7.3; 5A_362/2017 vom 24. Oktober 2017 E. 6; zur entsprechenden Rechtslage in eherechtlichen Prozessen vgl. <ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 2.3 S. 39). Angesichts der klaren Rechtslage kann dem Beschwerdeführer von vornherein nicht gefolgt werden, soweit er aus dem Urteil 5A_590/2009 vom 6. Januar 2010 E. 3.3.2 und einer Lehrmeinung etwas anderes ableiten wollte.
Vor Bundesgericht ist nicht in Frage gestellt, dass der Beschwerdeführer im Berufungsverfahren keinen genügenden Antrag um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses gestellt hat (vgl. E. 9.1 hiervor). Entsprechend ist grundsätzlich nicht zu beanstanden, dass seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen wurde (vgl. für das Verfahren vor dem Bundesgericht etwa <ref-ruling> E. 7; Urteil 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 8).
9.4. Der Beschwerdeführer begründet demgegenüber ausführlich, weshalb ein Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses für das Berufungsverfahren kaum Aussichten auf Erfolg gehabt hätte und es ihm nicht zumutbar gewesen sei, vor dem zuständigen Gericht ein solches zu stellen und dadurch ein weiteres Verfahren einzuleiten. Er spricht damit die Rechtsprechung an, wonach unter Umständen aus prozessökonomischen Gründen ausnahmsweise darauf verzichtet werden kann, um Zahlung eines Prozesskostenvorschusses zu ersuchen. Dies setzt jedoch insbesondere bei anwaltlich vertretenen Parteien voraus, dass sie im Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ausdrücklich darlegen, weshalb auf einen Prozesskostenvorschuss nach ihrer Ansicht zu verzichtet ist, sodass das Gericht diese Auffassung vorfrageweise überprüfen kann (ausführlich: Urteil 5A_556/2014 vom 4. März 2015 E. 3.2; vgl. weiter Urteile 5A_49/2017 vom 18. Juli 2017 E. 3.1; 5A_928/2016 vom 22. Juni 2017 E. 8). Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass er dem Obergericht in seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege eine entsprechende Begründung vorgelegt hätte. Dies ergibt sich auch nicht aus dem angefochtenen Entscheid. Im Verfahren vor Bundesgericht kann der Beschwerdeführer dieses Versäumnis aber nicht mehr nachholen, weshalb die entsprechenden Ausführungen ihm nicht weiterhelfen (vgl. auch vorne E. 6.2).
Hieran ändert auch das weitere Vorbringen nichts, das Obergericht habe um den schlechten Zahlungswillen des Beschwerdegegners sowie darum gewusst, dass dieser durch die Unterhaltspflicht finanziell stark betroffen sei. Daher sei nicht mit der Bezahlung des Prozesskostenvorschusses zu rechnen gewesen: Mit diesem Vorbringen vermag der Beschwerdeführer nicht mit hinreichender Klarheit (vgl. vorne E. 2) eine geradezu willkürliche Feststellung des Sachverhalts oder eine Verletzung von Bundesrecht aufzuzeigen.
9.5. Damit ist nicht zu beanstanden, dass das Obergericht dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege verweigerte und die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
10.
Zusammenfassend ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und sind die Ziffern 2.2 und 3 des angefochtenen Urteils teilweise und die Ziffern 4 und 5 vollumfänglich aufzuheben. Die Sache ist zu neuer Entscheidung über den Kindesunterhalt während der Minderjährigkeit des Beschwerdeführers sowie die Kosten des Berufungsverfahrens an das Obergericht zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>) und die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist gutzuheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, weil ihm zufolge des teilweisen Obsiegens keine Kosten anfallen. Die entsprechenden Voraussetzungen sind erfüllt (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) und der Beschwerdeführer legt vor Bundesgericht hinreichend dar, weshalb auf ein Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses ausnahmsweise verzichtet werden kann (vorne E. 9.4). Die Gerichtskosten sind daher auf die Bundesgerichtskasse zu nehmen, soweit der Beschwerdeführer sie zu tragen hat. Dem Beschwerdeführer ist ausserdem seine Vertreterin als unentgeltliche Rechtsbeiständin beizuordnen und diese ist aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen. Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und es werden die Ziffern 2.2 und 3 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Aargau vom 10. November 2020 teilweise und die Ziffern 4 und 5 vollständig aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung über den Kindesunterhalt während der Minderjährigkeit des Beschwerdeführers und die Kosten des Berufungsverfahrens an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihm Rechtsanwältin Rosa Renftle als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Der Anteil des Beschwerdeführers wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
5.
Rechtsanwältin Renftle wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 2'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Oktober 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber