Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 24. November 2016 vom Amtsgericht Olten-Gösgen wegen mehrfachen Raubes, mehrfacher Vergehen gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie mehrfacher Übertretung desselben zu einer Freiheitsstrafe von 20 Monaten und einer Busse von Fr. 150.-- verurteilt. Überdies wurde eine stationäre therapeutische Massnahme nach <ref-law> angeordnet.
B.
B.a. A._ befindet sich seit dem 24. November 2016 im Massnahmenvollzug, der seit dem 21. Januar 2019 in der Justizvollzugsanstalt (nachfolgend: JVA) Solothurn vollzogen wurde. Nachdem er dort am 21. Februar 2020 einen Mitinsassen tätlich angegriffen und verletzt hatte sowie durch aggressives Verhalten aufgefallen war, wies ihn das Amt für Justizvollzug des Kantons Solothurn (nachfolgend: AJUV) mit Verfügung vom 2. März 2020 wegen Fremdgefährdung befristet für maximal sechs Monate in den Sicherheitstrakt I der JVA Lenzburg (nachfolgend: Sicherheitstrakt) ein.
B.b. Das AJUV verlängerte am 2. September 2020 die Einweisung in den Sicherheitstrakt um maximal zwei Monate bzw. bis zum 1. November 2020.
B.c. Am 28. Oktober 2020 verfügte das AJUV im Sinne einer Krisenintervention wegen Fremd- und Selbstgefährdung, namentlich infolge Suizidalität von A._, rückwirkend per 26. Oktober 2020 dessen Verlegung in die Station Etoine der Universitären Psychiatrischen Dienste Bern (nachfolgend: Station Etoine).
C.
C.a. Die Verfügung des AJUV vom 2. März 2020 betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt focht A._ am 12. März 2020 mit Beschwerde beim Departement des Innern des Kantons Solothurn (nachfolgend: DdI) an, welches diese am 31. August 2020 abwies, soweit es auf sie eintrat. Am 11. September 2020 erhob er dagegen Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn.
C.b. Am 31. Juli 2020 hatte A._ beim Verwaltungsgericht Beschwerde mit den Anträgen erhoben, es sei festzustellen, dass es in dem beim DdI per 12. März 2020 angehobenen Beschwerdeverfahren betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt zu einer Rechtsverweigerung und Rechtsverzögerung gekommen sei. Mit Urteil vom 23. September 2020 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es auf sie eintrat. Es erwog, das Begehren um Feststellung einer Rechtsverweigerung habe sich erledigt, nachdem das DdI am 31. August 2020 über die Beschwerde von A._ gegen die Einweisung in den Sicherheitstrakt entschieden habe. Im Übrigen beurteilte es die Beschwerde als unbegründet. A._ führte Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 23. September 2020, welche das Bundesgericht abwies, soweit es auf sie eintrat (Urteil 6B_1251/2020 vom 15. Dezember 2020).
C.c. Die gegen die Verfügung des AJUV vom 2. September 2020 betreffend Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt von A._ beim DdI erhobene Beschwerde wies dieses am 5. Oktober 2020 ab. Dagegen erhob er am 16. Oktober 2020 Beschwerde beim Verwaltungsgericht.
C.d. Mit Urteil vom 9. November 2020 trat das Verwaltungsgericht nicht auf die Beschwerde vom 11. September 2020 ein. Aktueller Hafttitel sei die Verfügung des AJUV vom 2. September 2020, womit kein aktuelles und praktisches Rechtsschutzinteresse mehr bestehe. Im gleichen Urteil schrieb es auch die Beschwerde vom 16. Oktober 2020 zufolge Gegenstandslosigkeit ab. Es erwog, dass A._ mit Verfügung des AJUV vom 28. Oktober 2020 rückwirkend per 26. Oktober 2020 in die Station Etoine verlegt worden sei, weshalb es auch in diesem Verfahren an einem aktuellen und praktischen Interesse an der Beurteilung fehle. Unbesehen davon führt das Verwaltungsgericht anschliessend aus, weshalb der Beschwerde auch in der Sache kein Erfolg beschieden gewesen wäre. Ferner verzichtete es darauf, Kosten zu erheben und entschädigte den unentgeltlichen Rechtsbeistand mit Fr. 1'927.10.
D.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 9. November 2020 (VWBES.2020.351) und die Sache sei zum Eintreten und zur neuen Begründung und je separater Entscheidung zurückzuweisen. Eventualiter beantragt er die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Anweisung des Verwaltungsgerichts, auf die Beschwerden betreffend Anordnung der Sicherheitshaft und Verlängerung derselben separat einzutreten bzw. diese separat zu behandeln. Insbesondere auf die Beschwerde vom 11. September 2020 sei einzutreten und das Urteil betreffend Gegenstandslosigkeit separat zu erlassen. Subeventualiter beantragt er die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Anweisung des Verwaltungsgerichts, auf die jeweiligen vor dem DdI gestellten Anträge betreffend Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege einzutreten. Subsubeventualiter beantragt er die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Feststellung, dass die Verlegung in den Sicherheitstrakt rechtswidrig erfolgt sei und Art. 3 sowie Art. 5 Ziff. 1 lit. e und Art. 6 EMRK, jeweils auch i.V.m. Art. 13 EMRK, verletzt habe, die Zusprechung einer Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- für die Verfahren vor dem DdI und die Übernahme sämtlicher Verfahrenskosten durch die Staatskasse. Schliesslich beantragt er die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Die Akten des Vorverfahrens sowie des separaten Verfahrens betreffend Entlassung aus bzw. Aufhebung der stationären therapeutischen Massnahme (Verfahren 6B_1438/2020) wurden beigezogen.

Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes, aktuelles und praktisches Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b).
1.2. Strittig ist primär, ob die Vorinstanz zu Recht mangels aktuellen Rechtsschutzinteresses nicht auf die Beschwerde betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt und Verlängerung derselben eingetreten ist und das Urteil nachgeholt werden muss. Es geht damit um einen Entscheid über den Vollzug von Strafen und Massnahmen im Sinne von <ref-law>, welcher der Beschwerde in Strafsachen unterliegt. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen. Dadurch, dass auf seine Beschwerden vom 11. September 2020 betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt und vom 16. Oktober 2020 betreffend Verlängerung derselben nicht materiell eingetreten bzw. sie als gegenstandslos abgeschrieben wurden, obwohl ihm hierfür ein Rechtsschutzinteresse zukommt (dazu sogleich E. 1.3) ist er materiell beschwert. Dass in der beispielhaften Aufzählung von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 BGG "die verurteilte Person" nicht erwähnt wird, steht deren Beschwerdebefugnis in Angelegenheiten des Straf- und Massnahmenvollzugs entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht entgegen. Inwiefern in diesem Zusammenhang Art. 5 Ziff. 1 lit. a EMRK verletzt sein soll, ist nicht nachvollziehbar (so schon Urteil 6B_1251/2020 vom 15. Dezember 2020 E. 1).
1.3.
1.3.1. Die Vorinstanz trat auf die Beschwerde vom 11. September 2020 gegen die Verfügung des AJUV vom 2. März 2020 (Einweisung in den Sicherheitstrakt) nicht ein. Sie erwog, dass es sich bei der angefochtenen Verfügung nicht mehr um den Hafttitel gehandelt habe, nachdem das AJUV per 2. September 2020 die Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt verfügt habe. Damit habe es an einem aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresse gefehlt.
Die Beschwerde vom 16. Oktober 2020 gegen die Verfügung des AJUV vom 2. September 2020 (Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt) schrieb die Vorinstanz mit der Begründung ab, der Beschwerdeführer sei mit Verfügung des AJUV vom 28. Oktober 2020 rückwirkend per 26. Oktober 2020 in die Station Etoine verlegt worden, weshalb auch bezüglich diesem vom Beschwerdeführer ergriffenen Rechtsmittels kein aktuelles und praktisches Interesse an der Beurteilung bestanden habe.
1.3.2. Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung muss das von <ref-law> verlangte Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ein aktuelles und praktisches sein (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 1.3.1; siehe zur jüngeren Praxis etwa Urteil 6B_486/2021 vom 21. Juli 2021 E. 1.1). Mit diesem Erfordernis soll sichergestellt werden, dass das Gericht konkrete und nicht bloss theoretische Fragen entscheidet. Es dient damit der Prozessökonomie (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2; Urteil 1C_147/2020 vom 5. Oktober 2020 E. 1.2.1; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht tritt ausnahmsweise unter Verzicht auf das Erfordernis des aktuellen und praktischen Interesses als Prozessvoraussetzung auf eine Beschwerde dennoch ein, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 6B_1456/2020 vom 10. März 2021 E. 1, zur Publikation vorgesehen). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn eine Verletzung von Rechtsansprüchen, die durch die EMRK geschützt sind, zur Diskussion steht und der Betroffene ein entsprechendes Feststellungsbegehren stellt (BGE <ref-ruling> E. 1.2.1; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 1.3).
Nach ständiger bundesgerichtlicher Rechtsprechung kann aus Gründen der Prozessökonomie von der Aufhebung eines Nichteintretensentscheids abgesehen werden, wenn die zuständige Behörde zwar zu Unrecht nicht auf ein Rechtsmittel eingetreten ist, dieses jedoch gleichzeitig im Eventualstandpunkt materiell geprüft und mit haltbaren Erwägungen als unbegründet bezeichnet (vgl. <ref-ruling> E. 5a/bb; <ref-ruling> E. 2b; <ref-ruling> E. 2).
1.3.3. Der Beschwerdeführer befindet sich seit seiner Verlegung per 26. Oktober 2020 in die Station Etoine nicht mehr im Sicherheitstrakt. Entsprechend hat er kein aktuelles und praktisches Interesse mehr an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils. Er kann jedoch jederzeit wieder in Einzelhaft versetzt werden, solange er sich im Massnahmevollzug nach <ref-law> befindet und er selbst- oder fremdgefährdendes Verhalten an den Tag legt (vgl. <ref-law>). Wie das vorliegende Verfahren zeigt, wäre eine rechtzeitige letztinstanzliche Prüfung einer künftigen Einweisung in den Sicherheitstrakt kaum je möglich. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer namentlich eine Verletzung von Art. 3, Art. 4 und Art. 5 Ziff. 1 EMRK je i.V.m. Art. 13 EMRK sowie von Art. 5 Ziff. 4 und Art. 6 Ziff. 1 EMRK rügt, womit im Sinne der angeführten Rechtsprechung ein öffentliches Interesse an der Behandlung der Beschwerde zu bejahen ist.
Die Vorinstanz hätte in Anwendung von § 12 Abs. 1 des Gesetzes vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen des Kantons Solothurn (Verwaltungsrechtspflegegesetz [VRG-SO]; BGS 124.11) und der angeführten Rechtsprechung die Legitimation bejahen und auf die Beschwerden vom 11. September 2020 bzw. vom 16. Oktober 2020 eintreten müssen. Sie behandelt die materiellen Rügen des Beschwerdeführers jedoch im Rahmen einer ausführlichen Eventualbegründung. Diese erweist sich als haltbar. Auf die Beschwerde ist einzutreten, indessen von einer Rückweisung an die Vorinstanz aus Gründen der Prozessökonomie abzusehen.
2. Mit Beschwerde in Strafsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. In der Begründung der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Bezüglich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft eine solche nur insofern, als eine Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Urteils darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3; Urteil 6B_195/2020 vom 23. Juni 2021 E. 6.2, zur Publikation vorgesehen).
Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung diverser Bestimmungen der Bundesverfassung und der EMRK, kommt jedoch den dafür geltenden Begründungsanforderungen nur teilweise nach. Namentlich die Rüge einer Verletzung von Art. 3 und Art. 5 Ziff. 1 und 4 i.V.m. Art. 13 EMRK erschöpft sich nahezu ausschliesslich in allgemeinen Ausführungen über die Isolation von Inhaftierten, worauf zurückzukommen sein wird.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst unter dem Titel der Verletzung des Willkürverbots und der Begründungspflicht die Vereinigung der Beschwerde vom 11. September 2020 gegen die Verfügung des AJUV vom 2. März 2020 (Einweisung in den Sicherheitstrakt) mit der Beschwerde vom 16. Oktober 2020 gegen die Verfügung des AJUV vom 2. September 2020 (Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt). Willkürlich sei, dass weder vorgängig zu diesem Entscheid Gründe für die Verfahrensvereinigung genannt worden seien noch solche im angefochtenen Urteil erwähnt würden. Indem die Vorinstanz für die Verfahrensvereinigung weder Gründe noch eine gesetzliche Grundlage nenne noch ihn, den Beschwerdeführer, vorgängig über das beabsichtigte Vorgehen informiert habe, habe sie sein rechtliches Gehör verletzt. Eine Vereinigung der beiden Beschwerden sei ausgeschlossen, weil sich "bloss ähnliche", nicht aber identische Sachverhalts- und Rechtsfragen stellten. Es fehle an hinreichenden Gründen für eine Verfahrensvereinigung und es fehle an einer gesetzlichen Grundlage. Die Verfahrensvereinigung sei zwar allenfalls "prozessökonomisch durchaus sinnvoll" gewesen. Durch sie seien ihm jedoch Nachteile entstanden, namentlich seien in beiden Verfahren Parteientschädigungen beantragt worden, die nun nicht behandelt würden. Die Vorinstanz habe zudem mit keinem Wort begründet, weshalb nicht ausnahmsweise auf ein aktuelles und praktisches Interesse zu verzichten sei, wie er dies beantragt habe. Auch auf die in beiden Beschwerden gestellten Feststellungsbegehren sei ohne Begründung nicht eingetreten worden.
3.2. Die Vorinstanz hat die Beschwerde vom 11. September 2020 betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt und die Beschwerde vom 2. September 2020 betreffend Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt im gleichen Urteil behandelt (vgl. E. 1.3.1), ohne dieses Vorgehen zu begründen.
3.3. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie willkürlich ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; vgl. auch Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 2.1, 88 E. 1.3.1). Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung nur vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, das heisst, wenn das Gericht in seinem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 6B_1178/2019 vom 10. März 2021 E. 2.3, zur Publikation vorgesehen; je mit Hinweisen). Die Willkürrüge muss in der Beschwerde anhand des angefochtenen Entscheids explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden (<ref-law>). Auf ungenügend begründete Rügen oder allgemeine appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 4.1.2; <ref-ruling> E. 2.1, 88 E. 1.3.1).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> verpflichtet die Behörde, die Vorbringen der Parteien tatsächlich zu hören, zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen. Daraus folgt die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid ausreichend und nachvollziehbar zu begründen (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Dabei muss die Begründung kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 2.2.7 mit Hinweisen; Urteil 6B_280/2021 vom 27. Mai 2021 E. 3.3.1). Dies bedeutet indessen nicht, dass sie sich ausdrücklich mit jeder tatbeständlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen muss. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Gesichtspunkte beschränken (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 1C_526/2021 vom 22. September 2021 E. 3.1; je mit Hinweisen).
3.4.
3.4.1. Zwar beruft sich der Beschwerdeführer auf Willkür. Er führt hierfür jedoch ausschliesslich Gründe an, die in den Schutzbereich des rechtlichen Gehörs nach <ref-law> fallen (dazu E. 3.4.2 ff.). Eine Verletzung von <ref-law> ist damit weder rechtsgenüglich dargelegt noch ist eine solche ersichtlich.
3.4.2. Indem die Vorinstanz die beiden Beschwerden vom 11. September 2020 betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt und vom 16. Oktober 2020 betreffend Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt in einem Verfahren behandelt, ohne hierfür explizit die einschlägigen Rechtsnormen zu nennen, hat sie das rechtliche Gehör nicht verletzt.
Die Verfahrensvereinigung war vorliegend offensichtlich (siehe nur angefochtenes Urteil S. 5). Der Beschwerdeführer erkannte diese auch ohne Weiteres, wie seine Rüge zeigt. Er konnte das angefochtene Urteil auf seine Richtigkeit hin prüfen und sachgerecht anfechten, womit der Begründungspflicht genüge getan ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2; <ref-ruling> E. 1.2.1; Urteile 6B_992/2020 vom 30. November 2020 E. 2.1; 6B_712/2017 vom 23. Mai 2018 E. 1.2; je mit Hinweisen).
Die Verfahrensvereinigung durch die Vorinstanz regelt § 58 Abs. 1 VRG-SO, der auf die sinngemässe Anwendung der Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung verweist, sofern nichts anderes bestimmt ist. Damit wird <ref-law> analog einschlägig. Diese Bestimmungen kommen als subsidiär anwendbares kantonales Recht zur Anwendung und werden vom Bundesgericht nur auf Willkür und Vereinbarkeit mit anderen bundesverfassungsmässigen Rechten sowie nur auf entsprechende Rüge hin überprüft (vgl. Art. 95 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3.1; Urteil 6B_764/2021 vom 18. August 2021 E. 2.1, zur Publikation vorgesehen; je mit Hinweisen; vgl. E. 2). Erforderlich ist demnach ein sachlicher Zusammenhang zwischen den einzelnen Verfahren, der dann anzunehmen ist, wenn zwischen ihnen eine so enge Beziehung besteht, dass eine gemeinsame Behandlung geboten ist, um sich widersprechende Urteile zu vermeiden, die in getrennten Verfahren ergehen könnten. Die erforderliche Konnexität liegt vor, wenn den verschiedenen Verfahren gleichartige faktische Umstände bzw. Rechtsfragen zu Grunde liegen (JULIA GSCHWEND, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 14 zu <ref-law>; ADRIAN STAEHELIN, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 5 zu <ref-law>; NINA J. FREI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 22 zu <ref-law>). Die weiteren Voraussetzungen von <ref-law> - hier als subsidiär anwendbares kantonales Recht -, namentlich die gleiche Verfahrensart und sachliche Zuständigkeit (GSCHWEND, a.a.O. N. 14 zu Art. 125; STAEHELIN, a.a.O., N. 5 zu Art. 125), entfallen vorliegend im Rahmen der sinngemässen Übertragung auf die Verwaltungsrechtspflege. Die Beschwerden vom 11. September 2020 betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt und vom 16. Oktober 2020 betreffend Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt berühren dieselben Sach- und Rechtsfragen. Der Verlängerungsentscheid beschlägt inhaltlich die Thematik, ob die Voraussetzungen, die für die Einweisung erforderlich waren, weiterhin gegeben sind. Entsprechend verweist die Verfügung des AJUV vom 2. September 2020 betreffend Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt zu Recht auf die Verfügung des AJUV vom 2. März 2020 betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt und berücksichtigt zusätzlich den dannzumal aktuellsten Vollzugsbericht der JVA Lenzburg vom 25. August 2020. Es ist somit keine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht ersichtlich.
3.4.3. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, die Vorinstanz hätte ihm vor der Verfahrensvereinigung das rechtliche Gehör gewähren müssen (vgl. § 23 VRG-SO), ist dies nicht zu hören. Wäre in einem separaten Urteil nicht auf die Beschwerde vom 11. September 2020 betreffend Einweisung in den Sicherheitstrakt eingetreten worden, wäre dem Beschwerdeführer nicht vorab das rechtliche Gehör gewährt worden. Gleiches gilt hinsichtlich der Beschwerde vom 16. Oktober 2020 betreffend Verlängerung der Einweisung in den Sicherheitstrakt, die wegen Gegenstandslosigkeit abgeschrieben wurde. Auch hier wäre dem Beschwerdeführer nicht vorab das rechtliche Gehör gewährt worden. Der alleinige Umstand, dass die Vorinstanz nicht zwei separate, sondern ein gemeinsames Urteil erliess, vermag daran nichts zu ändern. Dass die beiden Beschwerden in einem gemeinsamen Urteil behandelt werden, liegt im Übrigen mit Blick auf die Prozessökonomie, namentlich die Prozesskosten, im Interesse des Beschwerdeführers. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, welcher Nachteil ihm durch die angebliche Gehörsverletzung entstanden sein soll. Er beschränkt sich darauf, auf die "Eingriffstiefe der zur Diskussion stehenden Themengebiete" zu verweisen und bringt vor, er hätte namentlich zu den Kosten- und Entschädigungsfolgen angehört werden müssen. Worin jedoch im Bezug auf letztere ein Nachteil entstanden sein soll, legt er nicht dar. Im Übrigen ist ein solcher nicht ersichtlich, kann die Vorinstanz doch im Rahmen eines vereinigten Verfahrens die Kosten- und Entschädigungsfolgen umfassend berücksichtigen. Der Beschwerdeführer kommt damit der Begründungspflicht nicht nach.
3.4.4. Gleiches gilt für seine Rüge, die Vorinstanz habe sich nicht mit seinem Antrag auseinandergesetzt, ausnahmsweise auf ein aktuelles und praktisches Interesse zu verzichten. Die Vorinstanz sah ein solches als nicht gegeben und trat entsprechend nicht auf die Beschwerde vom 11. September 2020 ein und schrieb die Beschwerde vom 16. Oktober 2020 als gegenstandslos ab. Entsprechend hat sie sich mit diesem Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt, kam jedoch zu einem anderen Ergebnis als er. Unbesehen davon, hat sie sich in ihrer Eventualbegründung materiell ausführlich mit den Rügen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt, womit sie faktisch auf die Voraussetzung des aktuellen und praktischen Interesses verzichtet hat (vgl. E. 1.3.3).
3.4.5. Auch die Rüge des Beschwerdeführers, seine Feststellungsbegehren seien von der Vorinstanz nicht behandelt worden, ist nicht zu hören. Diese bezogen sich auf sein angeblich verletztes Recht auf wirksame Beschwerde gemäss Art. 13 EMRK. Dem Beschwerdeführer standen sowohl gegen die Einweisung in den Sicherheitstrakt als auch gegen deren Verlängerung Rechtsmittel offen, von welchen er Gebrauch machte, wie die Verfahrenshistorie zeigt (vgl. Sachverhalt lit. C). Namentlich ergriff er ein Rechtsmittel gegen die angebliche Rechtsverzögerung durch das DdI und zog dieses Verfahren bis vor Bundesgericht weiter (vgl. Sachverhalt lit. C.b). Vor diesem Hintergrund ist die vorinstanzliche Feststellung, eine Verletzung von Art. 13 EMRK sei weder näher dargelegt noch ersichtlich, nicht zu beanstanden.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, da betreffend die Einweisung in den Sicherheitstrakt keine mündliche Verhandlung stattgefunden habe. Die Vorinstanz habe namentlich das von ihr zitierte Urteil des EGMR falsch interpretiert. Bei der Isolation gehe es um ein "Gefängnis im Gefängnis" und die Situation dauere schon sehr lange an, weshalb diese "Sanktion [...] für den Betroffenen sicherlich eine Strafe" darstelle.
4.2. Die Vorinstanz hält fest, die Rüge der Verletzung der "fair trial"-Garantie von Art. 6 Ziff. 1 EMRK sei unbegründet. Gemäss der Rechtsprechung zur EMRK (Urteil des EGMR vom 28. Juni 1984 Campbell und Fell gegen Grossbritannien, Serie A Nr. 80 § 71) fiele die Regelung der Gefängnisdisziplin nicht unter Art. 6 Ziff. 1 EMRK.
4.3. Regelungen betreffend die Gefängnisdisziplin fallen in aller Regel nicht in den Anwendungsbereich von Art. 6 Ziff. 1 EMRK (vgl. Urteil des EGMR Boulois gegen Luxemburg vom 3. April 2012, Recueil CourEDH 2012-II S. 349, § 82; <ref-ruling> E. 2 f.; Urteil 6B_729/2018 vom 26. September 2018 E. 2.4; je mit Hinweisen; Conseil de l'Europe, Guide sur l'article 6 de la Convention européenne des droits de l'homme [volet pénal], aktualisiert am 31. August 2021, N. 32, http://www.echr.coe.int unter Jurisprudence/Analyse jurisprudentielle / Guides sur la jurisprudence [besucht am 18. November 2021]; THEO VOGLER, in: Pabel/Schmahl [Hrsg.], Internationaler Kommentar zur Europäischen Menschenrechtskonvention, 1. Lieferung 1986, N. 231 zu Art. 6 EMRK). Dies gilt namentlich selbst für Arreststrafen unter verschärften Haftbedingungen bzw. in strikter Einzelhaft (vgl. Urteil 1P.29/2004 vom 5. August 2004 E. 2.5), die viel strenger und einschränkender Ausfallen als eine Einzelunterbringung i.S.v. <ref-law>, wie sie vorliegend zu beurteilen ist (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2, publ. in Pra 2009 Nr. 16). Die Rüge ist nicht zu hören.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung von Art. 3 und Art. 5 Ziff. 1 und 4 EMRK i.V.m. Art. 13 EMRK. Er sei weit über sechs Monate isoliert gefangen gehalten worden. Die von der Vorinstanz angeführten Scharmützel seien Folgen der Isolation. Der Beschwerdeführer habe den "Draht zur Realität" verloren. Die Aufseher im Sicherheitstrakt seien nicht für Menschen mit psychischen Störungen ausgebildet und mit der Behandlung überfordert gewesen. Seit "Anbeginn" sei eine Verlegung in die Station Etoine beantragt worden. Durch die fehlende Beschwerdemöglichkeit sei seine Würde missachtet, ihm weder Achtung noch Respekt entgegengebracht worden, womit genau jene Werte missachtet worden seien, welche ihm durch den Massnahmenvollzug vermittelt werden sollen.
5.2.
5.2.1. Die Vorinstanz erwägt, das Ddl habe die Gründe, welche zur Verlegung des Beschwerdeführers in den Sicherheitstrakt geführt hätten, ausführlich dargelegt. Dieser habe am 21. Februar 2020 in der JVA Solothurn einen Mitinsassen tätlich angegriffen. Der Angegriffene habe sich dabei eine Kontusionsfraktur am linken Arm zugezogen, welche operativ habe behandelt werden müssen. Das Verhalten des Beschwerdeführers sei ambivalent und unberechenbar gewesen, er habe sich in einer Abwärtsspirale befunden, weshalb er eine Gefahr für sich selbst, für Mitinsassen und für Mitarbeitende der JVA dargestellt habe. Im Sicherheitstrakt sei dem Beschwerdeführer Gelegenheit zur Arbeit, Nutzung von Unterhaltungselektronik sowie zum Empfangen von Besuchen und Freigang geboten worden. Zudem sei die JVA Lenzburg bemüht gewesen, ihm eine geeignete medizinische Betreuung zukommen zu lassen. Eine komplette sensorische oder soziale Isolation habe nicht vorgelegen. Der Beschwerdeführer habe sich selbst isoliert, habe namentlich weder gearbeitet noch an den Spaziergängen teilgenommen. Diese Sachverhaltsdarstellungen des DdI seien vom Beschwerdeführer unbestritten geblieben. Aus dem Vollzugsbericht gehe zudem hervor, dass er nach wie vor aggressives Verhalten gegenüber Dritten gezeigt habe. So habe sich am 24. Juni 2020 ein Zwischenfall ereignet, bei welchem er gegenüber dem Vollzugspersonal einen Kugelschreiber wie eine Stichwaffe in der Hand gehalten habe. Auch habe er sich weitere "Scharmützel" mit dem Vollzugspersonal geliefert. Die Einzelunterbringung im Sicherheitstrakt stütze sich auf <ref-law>, deren Voraussetzungen aufgrund des Dargelegten erfüllt gewesen seien. Gegenteiliges werde vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht. Dessen Verweis auf die Ungeeignetheit des Sicherheitstrakts als Einrichtung des Massnahmenvollzugs gehe fehl. Zum einen sei die Institution geeignet, den Schutz des Beschwerdeführers und Dritter zu gewährleisten, zum anderen habe es sich um eine vorübergehende Verlegung gehandelt. Eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 1 lit. e und Art. 13 EMRK sei nicht ersichtlich. Dem Beschwerdeführer seien die Instrumente der Verwaltungsrechtspflege gegen die Anordnungen des AJUV jederzeit zur Verfügung gestanden und er habe von diesen Gebrauch gemacht.
5.2.2. Eine Person, die sich im Vollzug einer stationären Massnahme nach <ref-law> befindet, darf namentlich dann ununterbrochen von den anderen Eingewiesenen getrennt untergebracht werden, wenn dies zum Schutz des Eingewiesenen oder Dritter unerlässlich ist (<ref-law>).
Nach <ref-law>, Art. 3 EMRK und Art. 7 UNO-Pakt II ist Folter und jede andere Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Bestrafung verboten. Um unter diese Bestimmung zu fallen, muss eine Behandlung ein Mindestmass an Schwere erreichen und körperliche Verletzungen oder intensive physische oder psychische Leiden mit sich bringen (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 2b; Urteile 6B 587/2021 vom 23. Juni 2021 E. 2.3.6; 6B_1094/2020 vom 26. Mai 2021 E. 3; je mit Hinweisen). Es genügt daher nicht, dass die Behandlung gewisse unangenehme Auswirkungen hat, die durch den legitimen Zweck einer staatlichen Massnahme zwangsläufig bedingt werden (vgl. Urteile des EGMR Kaprykowski gegen Polen vom 3. Februar 2009, Nr. 23052/05 § 68 ff.; Antonio Messina gegen Italien vom 8. Juni 1999, Recueil CourEDH 1999-V S. 531, S. 548; Urteile 6B_880/2017 vom 4. Juli 2018 E. 3.4.3; 6B_507/2017 vom 8. September 2017 E. 2.3; je mit Hinweisen; vgl. ferner Marcel Kau, in: Pabel/Schmahl [Hrsg.], Internationaler Kommentar zur Europäischen Menschenrechtskonvention, 18. Lieferung 2015, N. 54 zu Art. 3 EMRK). Eine vollständige sensorische Isolierung, verbunden mit einer sozialen Isolierung kann die Persönlichkeit zerstören und somit eine Form unmenschlicher Behandlung darstellen, die sich weder mit Sicherheitsbedürfnissen noch aus irgendeinem anderen Grund rechtfertigen lässt (<ref-ruling> E. 3.2.1 publ. in Pra 2009 Nr. 16; Urteil 6B_988/2020 vom 12. November 2020 E. 5.1).
5.2.3. Die Vorinstanz verletzt weder Bundes- noch Konventionsrecht, wenn sie die befristete Einweisung des Beschwerdeführers in den Sicherheitstrakt als rechtmässig beurteilt. Dieser hatte einen Mitinsassen angegriffen und erheblich verletzt. Auch abgesehen von diesem Akt war er durch aggressives Verhalten aufgefallen und tat dies nach Einweisung in den Sicherheitstrakt weiterhin, wie dem Vollzugsbericht der JVA Lenzburg vom 25. August 2020 zu entnehmen ist, den die Vorinstanz zutreffend wiedergibt und würdigt. Angesichts dieser konkreten Umstände durfte die Vorinstanz die befristete Unterbringung des Beschwerdeführers im Sicherheitstrakt wegen Fremdgefährdung als geeignet und erforderlich qualifizieren. Sie legt überdies zutreffend dar, dass keine milderen Massnahmen bestehen, da namentlich die vom Beschwerdeführer vorgeschlagenen Institutionen einzig der Krisenintervention dienen. Dies trifft insbesondere auf die Station Etoine zu, in welche der Beschwerdeführer per 26. Oktober 2020 aufgrund einer akuten psychischen Krise mit Suizidalität und damit gerade im Rahmen einer Krisenintervention verlegt wurde. Zudem betont die Vorinstanz zutreffend, dass die Unterbringung in der Sicherheitsabteilung von Beginn weg als befristete Übergangslösung gedacht war und das AJUV deshalb angehalten ist, für eine Anschlusslösung in einer geeigneten Vollzugseinrichtung besorgt zu sein. Soweit der Beschwerdeführer anführt, er sei während Monaten "vollständig isoliert" worden, ist dem mit der Vorinstanz entgegenzuhalten, dass es sich um eine von ihm weitgehend selbst gewählte Isolation handelt. Damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Er stellt den zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz - gemäss Vollzugsbericht der JVA Lenzburg vom 25. August 2020 hatte der Beschwerdeführer täglich die Möglichkeit zur Teilnahme an Gruppenspaziergängen, zur Arbeitstätigkeit und zu weiteren Tagesaktivitäten gehabt, jedoch freiwillig weitgehend auf diese Möglichkeiten verzichtet - seine eigene Sicht der Dinge gegenüber, womit er nicht über eine unzulässige appellatorische Kritik hinausgeht. Soweit der Beschwerdeführer den Begründungsanforderungen damit überhaupt nachgekommen ist (vgl. E. 2), ist die Rüge nicht zu hören.
5.2.4. Eine Verletzung des Rechts auf wirksame Beschwerde gemäss Art. 13 EMRK liegt angesichts der vom Beschwerdeführer gegen seine Einweisung in den Sicherheitstrakt und deren Verlängerung ergriffenen und behandelten Rechtsmittel nicht vor (siehe E. 3.4.5).
6.
6.1. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung von Art. 5 Ziff. 4 EMRK. Im Wesentlichen sei ihm sein Recht verwehrt worden, dass ein Gericht innert kurzer Frist über die Rechtsmässigkeit des Freiheitsentzugs entscheide. Er verweist auf seine psychische Erkrankung. Die Angelegenheit sei zudem nicht komplex, was im Einzelfall ein Überschreiten der Höchstgrenze von zwei Wochen erlauben könne, jedoch von der Vorinstanz nicht einmal behauptet werde.
6.2. Eine zusätzliche Einschränkung der persönlichen Freiheit begründet im Rahmen eines bestehenden Straf- und Massnahmenvollzugs in aller Regel keine Freiheitsentziehung im Sinne von Art. 5 EMRK. Dies gilt insbesondere für die weitere Beschränkung des Bewegungsspielraums eines Inhaftierten durch disziplinarische Massnahmen, etwa durch Einzelhaft (vgl. Conseil de l'Europe, Guide sur l'article 5 de la Convention européenne des droits de l'homme, aktualisiert am 30. April 2021, N. 17, http://www.echr.coe.int unter Jurisprudence/Analyse jurisprudentielle/ Guides sur la jurisprudence [besucht am 18. November 2021]; Joachim Renzikowski, in: Pabel/Schmahl [Hrsg.], Internationaler Kommentar zur Europäischen Menschenrechtskonvention, 19. Lieferung 2016, N. 75 ff. und N. 23 zu Art. 5 EMRK; Frowein/Peukert, Europäische Menschenrechtskonvention, EMRK-Kommentar, 3. Aufl. 2009, N. 18 f. zu Art. 5 EMRK; je mit Verweisen auf die Rechtsprechung des EGMR; vgl. ferner Urteil 6B_1251/2020 vom 15. Dezember 2020 E. 3.1).
6.3. Gegen den Beschwerdeführer wurde am 24. November 2016 vom Amtsgericht Olten-Gösgen eine stationäre therapeutische Massnahme nach <ref-law> angeordnet (vgl. Sachverhalt lit. A). Im Rahmen des Massnahmenvollzugs wurde er am 2. März 2020 vom AJUV gestützt auf <ref-law> wegen Fremdgefährdung zunächst befristet für maximal sechs Monate in den Sicherheitstrakt eingewiesen (vgl. Sachverhalt lit. B.a sowie E. 5). Am 2. September 2020 verlängerte das AJUV die Einweisung um zwei Monate (vgl. Sachverhalt lit. B.b). Damit liegt vorliegend eine Situation vor, in welchem die Freiheit im Rahmen eines bestehenden Massnahmenvollzugs befristet weiter eingeschränkt wurde und die nicht unter Art. 5 EMRK fällt.
7.
Sämtliche Rügen des Beschwerdeführers sind nicht zu hören. Sein Hauptbegehren auf Aufhebung und Rückweisung des angefochtenen Entscheids zur neuen Begründungen und je separaten Entscheidung an die Vorinstanz ist abzuweisen. Es verbleiben seine Eventual-, Subeventual- und Subsubeventualbegehren (siehe Sachverhalt lit. D), die alle abzuweisen sind. Das Eventualbegehren ist inhaltlich identisch mit dem Hauptbegehren, womit dieses abzuweisen ist. Im Subeventualbegehren beantragt der Beschwerdeführer neben der Aufhebung des angefochtenen Urteils die Anweisung der Vorinstanz, auf dessen jeweilige Anträge betreffend Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege vor dem DdI einzutreten. Im angefochtenen Urteil wurden über die vorinstanzlichen Kosten, einschliesslich der Entschädigung für den unentgeltlichen Rechtsbeistand, entschieden. Die Bemessung der Entschädigung für das Verfahren vor dem Ddl wurde mit Entscheid des DdI vom 31. August 2020 in einen gesonderten Nachentscheid verwiesen und ist entsprechend nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Im Subsubeventualbegehren beantragt der Beschwerdeführer schliesslich ebenfalls die Aufhebung des angefochtenen Urteils und die Feststellung der Widerrechtlichkeit der Einweisung in den Sicherheitstrakt und der Verletzung von Art. 3, Art. 5 Ziff. 1 lit. e, Art. 6 und Art. 13 EMRK. Vorstehend wurde dargelegt, dass die angeführten Bestimmungen nicht verletzt sind (E. 4-6). Das Feststellungsbegehren ist entsprechend abzuweisen, soweit auf dieses überhaupt einzutreten ist.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit überhaupt auf sie eingetreten werden kann. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind entsprechend dem Ausgang des Verfahrens dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Dessen finanzieller Lage ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. November 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Clément