Erwägungen:
1.
1.1. A._ ist im Zusammenhang mit den Covid-Schutzmassnahmen und insbesondere der Maskentragpflicht an verschiedene Behörden gelangt (vgl. in diesem Zusammenhang auch das ihn betreffende Urteil 2C_108/2021 vom 26. Juli 2021). Er ersuchte am 18. Januar 2021 unter anderem beim Eidgenössischen Departement des Innern (EDI) um den Erlass einer feststellenden Verfügung bezüglich der Frage, ob das mit der Kontrolle von Fahrausweisen beauftragte Personal befugt sei, das Attest zur Befreiung von der Maskentragpflicht aus medizinischen Gründen zu kontrollieren, und ob ihm trotz des Attests der Zugang zu öffentlich zugänglichen Einrichtungen oder Dienstleistungen verweigert werden könne.
1.2. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) beantwortete seine Fragen am 19. März 2021 soweit möglich in genereller Hinsicht und informierte ihn darüber, dass eine Äusserung zum spezifischen Fall mangels Zuständigkeit nicht möglich sei. Nachdem A._ am 29. März 2021 an seinen Anträgen festgehalten hatte, traf das BAG am 11. August 2021 eine Nichteintretensverfügung; es begründete diese einerseits damit, dass es keine konkreten Fälle beurteilen könne, und es A._ andererseits an einem schutzwürdigen Interesse an der Beantwortung einer rechtlichen Grundsatzfrage fehle. Die von diesem hiergegen gerichtete Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht am 19. November 2021 ab.
1.3. A._ beantragt vor Bundesgericht mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten:
"1. Der Beschwerdegegner, Alain Berset, sei zu verpflichten, innert 10 Tagen den wissenschaftlichen Beweis für ein SARS-CoV-2 Virus gemäss gereinigtem SARS-CoV-2 Isolat nach den Henle-Kochschen-Postulaten (inkl. Kontrollversuchen) vorzulegen resp. die vollständige Gen-Sequenz des Erregers bekannt zu geben.
2. Es sei der Regierungsrat des Kantons Zürich zu verpflichten, die als "geheim" klassifizierten Dokumente des Dossiers (Dossier-Nr. 993-2020) dem Gericht zu den Akten einzureichen.
Eventualiter sei der Regierungsrat des Kantons Zürich zu verpflichten, dem Gericht und dem Beschwerdeführer von seinem für die Sache wesentlichen Inhalt schriftlich Kenntnis zu geben.
Subeventualiter sei der Regierungsrat des Kantons Zürich zu verpflichten, einzuräumen, dass diese Dokumente im Zusammenhang mit Geoengineering stehen.
3. Es seien die Akten des Bundesgerichts (2C_108/2021) beizuziehen.
4. Es seien die Akten der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich
(A-4/2021/10013266) beizuziehen.
5. Es sei die Covid-19-Verordnung besondere Lage (vom 19 Juni 2020, SR 818.101.26) aufzuheben.
6. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beschwerdegegners."
Es sind keine Instruktionsmassnahmen getroffen worden.
2.
2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht muss die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form sachbezogen darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 m.H.). Sodann prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Es gilt insofern eine gesteigerte Rügepflicht (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2). Enthält ein Rechtsbegehren überhaupt keine hinreichende Begründung, tritt das Bundesgericht darauf nicht ein. Die Begründung muss in der Beschwerde selber enthalten sein, die innert der gesetzlichen und nicht erstreckbaren Beschwerdefrist einzureichen ist.
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht: Verfahrensgegenstand bildet - wie bereits vor der Vorinstanz - ausschliesslich der Nichteintretensentscheid des BAG vom 11. August 2021. Auf alle Ausführungen und Anträge, die sich nicht auf diesen Verfahrensgegenstand beziehen (vgl. "B. Vorbemerkungen"), ist zum Vornherein nicht einzugehen. Das Bundesverwaltungsgericht hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerdebegründung "in keiner Weise darlegt, aus welchen Gründen und in welchen Punkten er mit der von der Vorinstanz erlassenen Nichteintretensverfügung nicht einverstanden sei und weshalb diese zu Unrecht erfolgt sein soll" (E. 2.2), weshalb die Beschwerde mangels Substantiierung ohne Weiteres abzuweisen sei.
Mit dieser Begründung setzt sich der Beschwerdeführer nicht sachbezogen auseinander. Er behauptet, ein schutzwürdiges - aktuelles, konkretes und selbständiges - Interesse am Erlass der Feststellungsverfügung von Beginn weg gehabt zu haben; er legt jedoch nicht dar, inwiefern die Annahme der Vorinstanz, dass er seine Ausführungen entgegen seiner Begründungspflicht nicht rechtsgenügend geltend gemacht habe, Bundesrecht verletzen würde; dies ist auch nicht ersichtlich. Soweit er die bundesgerichtliche Rechtsprechung kritisiert und geltend macht, dass das Bundesgericht bereits vor einem Jahr die Möglichkeit gehabt habe, den "Corona-Betrug" zu beenden, bildet dies wiederum nicht Verfahrensgegenstand; im Übrigen kann diesbezüglich auf das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 2C_108/2021 vom 26. Juli 2021 verwiesen werden. Dasselbe gilt, soweit er geltend macht, dass keine seuchenrechtliche Notlage nachgewiesen sei.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist durch die Abteilungspräsidentin im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden dem Beschwerdeführer auf-erlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar