Sachverhalt:
A.
A.a. Am 14. Januar 1989 reiste A.A._, Staatsangehöriger von Kosovo, in die Schweiz ein. Im Jahr 2000 heiratete er C._ (geboren 1978), ebenfalls Staatsangehörige von Kosovo. Am 17. Oktober 2001 wurde der gemeinsame Sohn B.A._ geboren. Im Jahr 2012 liessen sich A.A._ und C._ scheiden. Dabei behielten die beiden die gemeinsame elterliche Sorge betreffend B.A._. Anlässlich der Scheidung wurde sodann die Vereinbarung genehmigt, dass sich der Hauptwohnsitz von B.A._ am Wohnort des Vaters A.A._ befinde und der Vater grundsätzlich für die Betreuung des Kindes verantwortlich sei.
A.A._ und B.A._ waren im Besitz von Niederlassungsbewilligungen.
A.b. A.A._ erwirkte im Zeitraum von 2004 bis 2011 mehrere strafrechtliche Verurteilungen (vor allem wegen Strassenverkehrsdelikten, ferner wegen Drohung, Veruntreuung und Fälschung von Urkunden).
A.c. Am 1. März 2013 meldeten sich A.A._ und B.A._ in der Gemeinde U._ an. Zugleich ersuchte A.A._ um Bewilligung des Familiennachzuges für seine neue Ehefrau D.A._ und den gemeinsamen Sohn E.A._. Noch ehe die Anwesenheit förmlich geregelt und das Famliennachzugsgesuch geprüft war, zogen A.A._ und B.A._ im Herbst 2013 nach Österreich.
A.d. Am 2. Dezember 2014 meldete sich A.A._ mit seinem Sohn B.A._ für einen Zuzug beim Einwohneramt in V._. Er wurde dabei darauf hingewiesen, dass er über keine gültige Bewilligung mehr verfüge. Nach einer Korrespondenz mit dem Migrationsamt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Migrationsamt), in deren Rahmen A.A._ und B.A._ das Erlöschen ihrer Niederlassungsbewilligungen bestritten und eventualiter um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen ersucht hatten, erliess dieses Amt am 10. Dezember 2015 eine Verfügung. Darin stellte es fest, dass die Niederlassungsbewilligungen von A.A._ und B.A._ erloschen seien. Ferner wies das Migrationsamt mit dieser Verfügung ein Gesuch um Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen ab. Sodann verfügte das Migrationsamt die Wegweisung von A.A._ sowie B.A._ aus der Schweiz.
B.
B.a. Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen wies mit Entscheid vom 21. März 2018 einen gegen die genannte Verfügung erhobenen Rekurs ab.
B.b. Das in der Folge angerufene Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies mit Entscheid vom 24. Januar 2019 die gegen den erwähnten Entscheid des kantonalen Sicherheits- und Justizdepartements erhobene Beschwerde von A.A._ und B.A._ ab, soweit es auf das Rechtsmittel eintrat. Insoweit, als sich die Beschwerde gegen die erstinstanzliche Verfügung des Migrationsamtes richtete, trat das Verwaltungsgericht nicht auf die Eingabe ein.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und eventualiter subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 27. Februar 2019 stellen A.A._ und B.A._ folgendes Rechtsbegehren:
"1. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen [...] vom 24. Januar 2019 [...] sowie der Rekursentscheid des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen vom 21. März 2018 [...] sowie die Ziffern 1-4 der Verfügung des Migrationsamts St. Gallen vom 10. Dezember 2015 [...] seien vollumfänglich aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass die Niederlassungsbewilligung von B.A._ [...] nicht erloschen ist.
3. Eventualiter sei B.A._ [...] eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
4. A.A._ [...] sei eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
5. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6. Subeventualiter sei den Beschwerdeführern je eine Ausreisefrist von mindestens sechs Monaten ab Zustellung des bundesgerichtlichen Entscheides zur Ausreise aus der Schweiz zu setzen."
Das Migrationsamt liess sich nicht vernehmen. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) verzichtet stillschweigend auf Vernehmlassung.
Einem Gesuch der Beschwerdeführer um aufschiebende Wirkung wurde mit Präsidialverfügung des Bundesgerichts vom 4. März 2019 entsprochen.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Januar 2019 angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, der grundsätzlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist allerdings unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Für das Eintreten genügt, dass der Betroffene in vertretbarer Weise dartut, es bestehe potenziell ein Anspruch auf die Bewilligung; ob die jeweiligen Voraussetzungen tatsächlich gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.).
1.1.1. Der Beschwerdeführer 2 hat grundsätzlich einen Anspruch auf Fortbestand der erhaltenen Niederlassungsbewilligung. Damit ist auf die Beschwerde insoweit einzutreten, als damit die Feststellung verlangt wird, dass die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers 2 nicht erloschen ist (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario; siehe ferner <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.; Urteil 2C_124/2018 vom 17. Mai 2019 E. 1.2, zur Publikation vorgesehen; Urteil 2C_575/2013 vom 7. Februar 2014 E. 1.1, mit Hinweisen).
1.1.2. Der Beschwerdeführer 1 beruft sich insbesondere auf Art. 8 EMRK (Schutz des Familien- und Privatlebens). Er macht geltend, sein Sohn, der Beschwerdeführer 2, verfüge mangels Erlöschens der Niederlassungsbewilligung über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht, womit auch er als obhutsberechtigter (und mit der Mutter sorgeberechtigter) Vater in der Schweiz müsse verbleiben können ("umgekehrter Familiennachzug"). Da der Beschwerdeführer 2 im Laufe des bundesgerichtlichen Verfahrens das Mündigkeitsalter erreicht hat, kann sich der Beschwerdeführer 1 freilich nicht mehr auf das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV verankerte Recht auf Achtung des Familienlebens berufen und gestützt darauf einen umgekehrten Familiennachzug verlangen (vgl. zu den zeitlichen Voraussetzungen eines Familiennachzuges gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV <ref-ruling> E. 3 S. 230 ff., mit Hinweisen). Auf die Beschwerde ist deshalb insoweit nicht einzutreten, als damit die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an den Beschwerdeführer 1 beantragt wird.
1.2. Soweit sich die Beschwerdeführer sinngemäss gegen die angeordnete Wegweisung wenden, spielt der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG und ist damit die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig.
1.3. Aufgrund von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG nicht einzutreten ist auf die vorliegende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, soweit die Beschwerdeführer ausserhalb des Anspruchsbereiches verfahrensrechtliche Rügen erheben. Gleiches gilt, soweit (sinngemäss) die Anträge gestellt werden, es seien Härtefallbewilligungen oder Bewilligungen nach Art. 30 Abs. 1 lit. k AIG (SR 142.20) zu erteilen. Denn bei der Erteilung der mit dem Härtefall verbundenen Bewilligung (Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG) oder einer Bewilligung im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. k AIG betreffend die Wiederzulassung von Ausländerinnen und Ausländern, welche im Besitz einer Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung waren, geht es um einen kantonalen Ermessensentscheid (vgl. Art. 96 Abs. 1 AIG).
Zwar beruft sich der Beschwerdeführer 2 auch auf Art. 44 AIG und ersucht gestützt darauf um die Bewilligung des Nachzuges zu seiner in der Schweiz aufenthaltsberechtigten Mutter. Diese Bestimmung räumt dem Beschwerdeführer 2 aber ebenfalls keinen Nachzugsanspruch im Sinne von Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ein (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 287, mit Hinweisen), so dass insoweit auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ebenfalls nicht einzutreten ist.
1.4. Anfechtungsobjekt im vorliegenden bundesgerichtlichen Verfahren kann nur der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Juni 2019 und nicht etwa die erstinstanzliche Verfügung vom 10. Dezember 2015 oder der unterinstanzliche Rekursentscheid vom 21. März 2018 sein (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Insoweit, als sich die Eingabe der Beschwerdeführer gegen die letztgenannten beiden Entscheide richtet, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (Devolutiveffekt). Diese beiden Entscheide gelten jedoch immerhin als inhaltlich mitangefochten (vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 144, mit Hinweis).
1.5. Mit ihrem unzulässigen Antrag, die Verfügung des Migrationsamtes vom 10. Dezember 2015 sei aufzuheben, scheinen die Beschwerdeführer zwar auch eine Aufhebung der Feststellung zu fordern, wonach die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers 1 erloschen ist. Indessen geht aus der Begründung der Beschwerde hervor, dass die Beschwerdeführer das Erlöschen dieser Niederlassungsbewilligung, welche bereits im vorinstanzlichen Verfahren nicht Streitgegenstand bildete, nicht bestreiten. Dementsprechend ist im Folgenden nicht zu klären, ob die Vorinstanz zu Recht festhielt, dass die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers 1 erloschen sei.
1.6. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist mit den vorgenannten Einschränkungen einzutreten.
2.
Unzulässig ist die von den Beschwerdeführern gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde: Die von ihnen geltend gemachten Verletzungen verfassungsmässiger Rechte (Anspruch auf rechtliches Gehör, Willkürverbot) zielen auf die Überprüfung des Sachentscheids ab und sind damit im Rahmen einer subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht zu hören (vgl. Art. 113 i.V.m. Art. 95 lit. a und lit. b BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 308).
Weggewiesene Personen können zwar gegen den kantonalen Wegweisungsentscheid mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht gelangen, doch müssen sie dabei darlegen, welche besonderen verfassungsmässige Rechte durch die Wegweisung verletzt würden (vgl. Art. 115 lit. b und Art. 116 BGG; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310; Urteil 2C_636/2017 vom 6. Juli 2018 E. 1.3, mit Hinweisen). Im Zusammenhang mit ihrer Wegweisung beantragen die Beschwerdeführer zwar die Ansetzung einer ihrer Ansicht nach angemessenen Ausreisefrist. Sie berufen sich aber in diesem Kontext nicht in einer der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG) genügenden Weise auf die Verletzung besonderer verfassungsmässiger Rechte.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nach dem Gesagten nicht einzutreten.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280, mit Hinweis). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
3.2. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich fehlerhaft (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Obwohl im Gesetz nicht ausdrücklich erwähnt, beruht auch die unvollständige Sachverhaltsfeststellung auf einer Rechtsverletzung: Was rechtserheblich ist, bestimmt sich nach dem materiellen Recht; eine in Verkennung der Rechtserheblichkeit unvollständige Ermittlung der für die rechtliche Beurteilung massgeblichen Tatsachen verletzt direkt die anzuwendende materielle Norm (vgl. Art. 105 Abs. 2 i.V.m. Art. 95 BGG; <ref-ruling> E. 1.4 S. 68; <ref-ruling> E. 4.3 S. 62).
4.
4.1. Die Niederlassungsbewilligung gemäss Art. 34 AIG ist auf Dauer angelegt. Aus dem für die Frage der Aufrechterhaltung einer Niederlassungsbewilligung massgeblichen Gesetzesrecht (Art. 61 Abs. 2 Satz 1 AIG) ist ersichtlich, dass die Aufrechterhaltung einer ausländerrechtlichen Bewilligung eine minimale physische Präsenz auf dem schweizerischen Staatsgebiet voraussetzt (grundlegend <ref-ruling> E. 2c S. 372). Für die Definition dieser vorausgesetzten minimalen physischen Präsenz hat der Gesetzgeber jedoch auf eine Anknüpfung an das auslegungsbedürftige Kriterium des Lebensmittelpunktes oder gar des Wohnsitzes verzichtet (<ref-ruling> E. 2c S. 372, unter Verweis auf <ref-ruling> E. 2a S. 2); das Gesetz weist diesbezüglich auch keine Lücke auf (siehe zum Ganzen Urteil 2C_124/2018 vom 17. Mai 2019 E. 2.2, zur Publikation vorgesehen).
4.2. Gemäss Art. 61 Abs. 1 lit. a AIG erlischt die Niederlassungsbewilligung insbesondere mit der Abmeldung einer ausländischen Person ins Ausland. Verlässt die ausländische Person die Schweiz ohne Abmeldung, erlischt die Niederlassungsbewilligung nach sechs Monaten Auslandsaufenthalt (Art. 61 Abs. 2 Satz 1 AIG). Mit dieser Regelung hat der Gesetzgeber für das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung auf zwei formelle Kriterien - die Abmeldung oder einen Auslandsaufenthalt von mindestens sechs Monaten - abgestellt (Urteil 2C_124/2018 vom 17. Mai 2019 E. 2.3, zur Publikation vorgesehen).
In <ref-ruling> E. 2c S. 372 hat das Bundesgericht die Frage erörtert, ob es sich beim für das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung erforderlichen sechsmonatigen Auslandsaufenthalt um einen ununterbrochenen zu handeln hat oder ob dieses Erfordernis auch durch mehrere kürzere Auslandaufenthalte erfüllt werden kann. Das Bundesgericht erwog dazu, dass grundsätzlich nur ein ununterbrochener sechsmonatiger Auslandaufenthalt das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung gestützt auf Art. 61 Abs. 2 Satz 1 AIG nach sich zieht. Vorbehalten bleiben jedoch Konstellationen, in welchen die Rückkehr in die Schweiz nicht mehr im Sinne des Gesetzgebers erfolgt. Dies ist etwa der Fall, wenn ein ausländischer Staatsangehöriger seinen Wohnsitz oder seinen Lebensmittelpunkt ins Ausland verlegt und nur für relativ kurze Zeitperioden, etwa zu Besuchs- oder Geschäftszwecken, in die Schweiz zurückkehrt, ohne jedoch ununterbrochen sechs Monate im Ausland zu weilen (<ref-ruling> E. 2c S. 372). Diesfalls ist nicht ersichtlich, inwiefern die nach dem Willen des Gesetzgebers (Art. 62 Abs. 2 Satz 1 AIG) für die Aufrechterhaltung erforderliche minimale physische Präsenz in der Schweiz erfüllt sein sollte, selbst wenn der ausländische Staatsangehörige in der Schweiz noch über eine Wohnung verfügt (<ref-ruling> E. 2c S. 372). Im Sinne dieser bundesgerichtlichen Praxis hat denn auch der Verordnungsgeber in Art. 79 Abs. 1 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) präzisiert, dass die Frist von sechs Monaten Auslandaufenthalt (im Sinne von Art. 61 Abs. 2 Satz 1 AIG) jedenfalls durch vorübergehende Tourismus-, Besuchs- oder Geschäftsaufenthalte nicht unterbrochen wird (siehe zum Ganzen Urteil 2C_124/2018 vom 17. Mai 2019 E. 2.3, zur Publikation vorgesehen).
Selbst wenn ein Ausländer seinen Wohnsitz ins Ausland verlegt hat, ist es nicht ausgeschlossen, dass ein Aufenthalt in der Schweiz bei gleichzeitigem Wohnsitz im Ausland als nicht bloss vorübergehend zu qualifizieren ist und damit den Ablauf der Sechsmonatsfrist von Art. 62 Abs. 2 Satz 1 AIG jeweils unterbricht (vgl. Urteil 2C_124/2018 vom 17. Mai 2019 E. 2.4 und E. 3.2, zur Publikation vorgesehen). Bei niederlassungsberechtigten ausländischen Kindern, die in der Heimat eine Ausbildung abschliessen, jeweils vor Ablauf der Frist von sechs Monaten in die Schweiz zurückkehren und ihre ganzen Schulferien hier bei den Eltern verbringen, ist nach bundesgerichtlicher Praxis davon auszugehen, dass die Niederlassungsbewilligung fortbesteht. Dies gilt jedenfalls, soweit die Ausbildung nicht unsachgemäss lange dauert (Urteile 2C_691/2017 vom 18. Januar 2018 E. 3.2, 2C_513/2015 vom 13. Dezember 2015 E. 4.3, je mit Hinweisen).
5.
5.1. Es ist vorliegend unbestritten, dass beim Wegzug der Beschwerdeführer nach Österreich im Herbst 2013 keine Abmeldung ins Ausland erfolgte. Zu klären ist jedoch, ob die Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers 2 gemäss Art. 61 Abs. 2 Satz 1 AIG wegen sechsmonatigen Auslandsaufenthaltes ab dem Zeitpunkt dieses Wegzuges erloschen ist.
5.2. Auszugehen ist vom folgenden Sachverhalt, den die Vorinstanz festgestellt hat und an den das Bundesgericht grundsätzlich gebunden ist (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG; E. 3.2 hiervor) :
Der Wegzug der Beschwerdeführer nach Österreich erfolgte im August/September 2013. Der Beschwerdeführer 2 hielt sich danach jedenfalls unter der Woche bei seinem Vater in Österreich auf und besuchte dort die Schule, und zwar während mehr als sechs Monaten. Der Auslandsaufenthalt des Beschwerdeführers 2 erfolgte dabei, weil der Beschwerdeführer 1 in Österreich einen Grossauftrag hatte. Es liegt kein Beleg vor, dass dieser Arbeitseinsatz in Österreich von Beginn weg befristet war.
Nach den Feststellungen im angefochtenen Entscheid hat der Beschwerdeführer 2 sodann behauptet, er habe jeweils an den Wochenenden seine Mutter in der Schweiz besucht und sei von dieser betreut worden.
6.
6.1. Seit seinem Wegzug im August/September 2013 unterhielt der Beschwerdeführer 2 aufgrund des Schulbesuches und der familiären Beziehung zu seinem Vater seine intensivsten Beziehungen in Österreich. Dies gilt selbst dann, wenn sich der Beschwerdeführer 2 - wie er behauptet - an den Wochenenden bei seiner Mutter in der Schweiz aufgehalten haben sollte. Es ist deshalb davon auszugehen, dass sich der Lebensmittelpunkt des Beschwerdeführers 2 im massgebenden Zeitraum in Österreich befand.
6.2. Trotz des Lebensmittelpunktes in Österreich (und der allfälligen Begründung des Wohnsitzes in diesem Staat) ist es entsprechend der erwähnten bundesgerichtlichen Rechtsprechung denkbar, dass sich der Beschwerdeführer 2 anlässlich seiner Besuche bei seiner Mutter im relevanten Sinne nicht bloss vorübergehend in der Schweiz aufhielt und dementsprechend die Sechsmonatsfrist von Art. 62 Abs. 2 Satz 1 AIG jeweils unterbrochen wurde (vgl. E. 4.2 hiervor). In diesem Zusammenhang fällt ins Gewicht, dass die elterliche Sorge betreffend den Beschwerdeführer 2, obschon dieser grundsätzlich vom Vater betreut wurde, beiden Elternteilen gemeinsam zustand. Bei dieser Sachlage ist von mehr als bloss vorübergehenden Besuchen bei der Mutter auszugehen, wenn der Beschwerdeführer 2 gemäss seinen Angaben tatsächlich regelmässig bei der Mutter gewesen (bzw. tatsächlich jedes Wochenende zu seiner Mutter in die Schweiz zurückgekehrt) sein sollte.
6.3. Die Vorinstanz hat auf Beweiserhebungen im Zusammenhang mit Besuchsaufenthalten bei der Mutter verzichtet, weil sie angenommen hat, diese Aufenthalte des Beschwerdeführers 2 in der Schweiz würden am Ausgang des Verfahrens nichts ändern. Damit hat die Vorinstanz nach dem Gesagten die Rechtserheblichkeit dieser Aufenthalte nicht erkannt, den rechtserheblichen Sachverhalt unvollständig bzw. offensichtlich unrichtig festgestellt und damit insbesondere Art. 61 Abs. 2 Satz 1 AIG verletzt.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist folglich gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das angefochtene Urteil ist in Bezug auf die Frage der Niederlassungsbewilligung des Beschwerdeführers 2 aufzuheben und die Sache insoweit zur Sachverhaltsabklärung sowie zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten (vgl. E. 2 hiervor).
7.
Insgesamt erweist sich die Beschwerde des Beschwerdeführers 2 als begründet und ist auf die Beschwerde des Beschwerdeführers 1 nicht einzutreten. Deshalb ist dem Beschwerdeführer 1 eine reduzierte Gerichtsgebühr aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG; siehe ferner Urteil 2C_789/2018 vom 30. Januar 2019 E. 6). Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer 2 für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Der Kanton St. Gallen trägt keine Kosten (Art. 66 Abs. 4 BGG) und hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 24. Januar 2019 wird insoweit aufgehoben, als damit erkannt wurde, dass die Niederlassungsbewilligung von B.A._ erloschen ist. Die Sache wird diesbezüglich zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer 1 auferlegt.
4.
Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer 2 für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'250.-- zu bezahlen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: König