Sachverhalt:
A.
Am 7. Dezember 2015 erhob A._ (Klägerin/Beschwerdeführerin) beim Richteramt Olten-Gösgen Klage. Mit dieser macht sie Ansprüche aus einem Unfall geltend, der sich am 28. Februar 2012 in einer Waschanlage ereignet habe. Sie verlangt, die B._ AG (Beklagte 1 / Beschwerdegegnerin 1) und die C._ (Beklagte 2 / Beschwerdegegnerin 2) seien solidarisch - eventualiter "die Beklagten 1 oder die Beklagte 2" - zu verurteilen, ihr eine "Teilgenugtuung" von Fr. 30'000.-- zu bezahlen, unter Vormerknahme vom klägerischen Nachklagevorbehalt.
Mit Verfügungen vom 6. September und 28. Oktober 2016 beschränkte der Amtsgerichtspräsident das Verfahren in Bezug auf die Beklagte 1 auf die Frage des Eintritts bzw. Nichteintritts der Verjährung, in Bezug auf die Beklagte 2 auf die Frage der Passivlegitimation.
Mit "Zwischenentscheid" vom 6. Februar 2017 wies der Amtsgerichtspräsident die Klage gegenüber der Beklagten 1 wegen Verjährung ab, gegenüber der Beklagten 2 mangels Passivlegitimation.
Diesen Entscheid focht die Klägerin beim Obergericht des Kantons Solothurn an, wobei sie seine Aufhebung beantragte und weiter begehrte, die Beklagte 1, eventualiter die Beklagte 2, sei zu verurteilen, ihr den bereits erstinstanzlich verlangten Betrag zu bezahlen.
Mit Urteil vom 3. Januar 2018 hiess das Obergericht die Berufung teilweise gut. Es hob den Zwischenentscheid bezüglich der Klageabweisung gegenüber der Beklagten 1 auf und wies die Sache zur Weiterführung des Verfahrens zurück an die Vorinstanz. Im Übrigen wies es die Berufung ab, soweit es darauf eintrat (Dispositiv-Ziffer 1). Weiter verpflichtete das Obergericht die Klägerin, der Beklagten 2 für das erstinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 13'860 zu bezahlen (Dispositiv-Ziffer 2), für das zweitinstanzliche Verfahren eine solche in der Höhe von Fr. 3'804.95 (Dispositiv-Ziffer 3). Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 2'000.-- auferlegte es der Klägerin und der Beklagten 1 je zur Hälfte (Dispositiv-Ziffer 4). Die Parteikosten des Berufungsverfahrens der Klägerin und der Beklagten 1 schlug es wett (Dispositiv-Ziffer 5).
B.
Die Klägerin begehrt mit Beschwerde in Zivilsachen, die Dispositiv-Ziffern 3, 4 und 5 des Entscheids des Obergerichts seien aufzuheben. Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens vor der Vorinstanz seien vollumfänglich der Beklagten 1 aufzuerlegen. Letztere sei zu verpflichten, ihr für das vorinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung in der Höhe von Fr. 5'427.-- auszurichten. Bezüglich des Berufungsverfahrens gegen die Beklagte 2 seien "keine Gerichtskosten und keine Parteientschädigungen zuzusprechen". Eventualiter sei die Sache zur neuen Festsetzung der Kostenfolgen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Entscheid einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Weiter erreicht der Streitwert den nach <ref-law> geltenden Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- (siehe <ref-law>).
1.2. Die Beschwerde ist in der Regel erst gegen Endentscheide zulässig (<ref-law>). Rückweisungsentscheide kantonaler Rechtsmittelinstanzen schliessen das Verfahren nicht ab und sind somit nach der Rechtsprechung keine End-, sondern Vor- und Zwischenentscheide (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.2 S. 216 mit weiteren Hinweisen). Als solche können sie - sofern sie nicht die Zuständigkeit oder den Ausstand im Sinne von <ref-law> betreffen - gemäss <ref-law> nur direkt mit Beschwerde beim Bundesgericht angefochten werden, wenn sie entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Das gilt auch für die in einem Rückweisungsentscheid enthaltene Kostenregelung (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.1 S. 366 mit weiteren Hinweisen).
1.3. Im Verhältnis zwischen der Klägerin und der Beklagten 1 weist das Obergericht die Sache an die erste Instanz zurück. Die von der Klägerin angefochtenen Dispositiv-Ziffern 4 und 5 des Urteils betreffen die Verteilung der Prozesskosten, die im Berufungsverfahren zwischen diesen beiden Parteien angefallen sind. Damit sind sie entgegen der Klägerin zusammen mit dem Rückweisungsentscheid selber nicht als End-, sondern als Vor- und Zwischenentscheid zu qualifizieren.
Da die Klägerin zu Recht nicht geltend macht, das Urteil des Obergerichts sei in diesem Punkt unter dem Aspekt von Art. 92 f. BGG anfechtbar, erweist sich die Beschwerde insoweit als unzulässig.
1.4. Demgegenüber ist das Urteil des Obergerichts ein Teilentscheid im Sinne von <ref-law>, soweit darin die Berufung mit Bezug auf die Klageabweisung gegenüber der Beklagten 2 abgewiesen wird. Dementsprechend ist auch Dispositiv-Ziffer 3 unter diesem Titel anfechtbar, mit der die Klägerin zur Bezahlung einer Parteientschädigung an die Beklagte 2 für das zweitinstanzliche Verfahren verpflichtet wird. In diesem Umfang ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.1 S. 104; je mit Hinweisen).
3.
Die Klägerin macht geltend, sie habe in der Berufung bloss als Eventualstandpunkt geltend gemacht, die Passivlegitimation der Beklagten 2 sei zu prüfen. Nachdem das Obergericht die Berufung im Hauptstandpunkt betreffend Verjährung gegenüber der Beklagten 1 gutgeheissen habe, habe sie sich folglich nicht mit dem Verhältnis zwischen der Klägerin und der Beklagten 2 auseinandersetzen und die Klägerin entsprechend nicht zur Zahlung einer Parteientschädigung an die Beklagte 2 verpflichten dürfen. Das Urteil verletze Art. 106 Abs. 1 und 2 ZPO.
Ob die Klägerin ihre Berufung gegenüber der Beklagten 2 verbindlich vom Ausgang des Berufungsverfahrens gegenüber der Beklagten 1 abhängig machen konnte und ob das Obergericht dementsprechend die Berufung gegenüber der Beklagten 2 in der Sache nicht hätte beurteilen müssen, braucht vorliegend nicht erörtert zu werden. Da die Klägerin im Hauptantrag der Berufung die Aufhebung des gesamten erstinstanzlichen Entscheids verlangt hatte, also auch der Klageabweisung gegenüber der Beklagten 2, ist es dem Obergericht jedenfalls nicht vorzuwerfen, wenn es nach Eingang der Berufung auch die Beklagte 2 gestützt auf <ref-law> umgehend zur Beantwortung einlud. Für den in der Folge entstandenen Aufwand hätte die Klägerin die Beklagte 2 aber auch dann entschädigen müssen, wenn das Obergericht von einer materiellen Beurteilung der Berufung gegenüber der Beklagten 2 schliesslich abgesehen hätte (vgl. Art. 106 Abs. 1 Satz 2 sowie zu den Kriterien, die bei einer Verteilung nach Ermessen gemäss <ref-law> zu berücksichtigen sind, Urteil 5A_885/2014 vom 19. März 2015 E. 2.4). Das Urteil des Obergerichts ist jedenfalls im Ergebnis nicht zu beanstanden.
Schliesslich ist in diesem Zusammenhang entgegen der Klägerin auch keine Gehörsverletzung erkennbar: <ref-law> und <ref-law> verbieten es dem Gericht nicht, sich zu einem in einer Rechtsschrift enthaltenen Eventualstandpunkt zu äussern, auch wenn dies nach Auffassung der Parteien nicht erforderlich ist.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> der Klägerin aufzuerlegen. Den Beklagten 1 und 2 ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach <ref-law> zu entschädigen wären.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. März 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz