Sachverhalt:
A.
A.a. Für A._ (Beschwerdeführerin) besteht seit Juli 2015 eine Vertretungsbeistandschaft mit Vermögensverwaltung. Auf ihren Wunsch wurde C._ als Beiständin eingesetzt.
A.b. Am 21. März 2017 beantragte die Schwester von A._, B._ (Beschwerdegegnerin), bei der zuständigen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde der Stadt U._ (KESB) die unverzügliche Entlassung der Beiständin aus dem Amt und eventuell die Ernennung eines zusätzlichen Berufsbeistands, dem die ausschliessliche Verwaltung des Vermögens der Verbeiständeten zu übertragen sei, sowie die Verpflichtung der Beiständin, der KESB umfassend Rechenschaft abzulegen.
Mit Beschluss vom 12. Dezember 2017 trat die KESB mangels Beschwerdelegitimation auf dieses Gesuch nicht ein. Die dagegen von B._ erhobene Beschwerde wies der Bezirksrat Zürich ab. Mit Urteil vom 29. März 2019 hob das Obergericht des Kantons Zürich den Beschluss des Bezirksrats auf und wies die Angelegenheit zum Entscheid in der Sache an diesen zurück. Dabei stellte das Obergericht fest, B._ sei eine nahestehende Person nach Art. 450 Abs. 2 Ziff. 2 ZGB. Ausserdem hiess das Obergericht ein in diesem Verfahren von B._ gestelltes Gesuch um vollständige Einsicht in die Verfahrensakten dem Grundsatz nach gut. Der Bezirksrat werde darüber zu entscheiden haben, ob der Akteneinsicht allenfalls überwiegende Interessen entgegenstehen.
Auf die gegen dieses Urteil von A._ erhobene Beschwerde in Zivilsachen trat das Bundesgericht mit Urteil 5A_345/2019 vom 24. Juli 2019 nicht ein.
A.c. Der Bezirksrat hiess mit Beschluss vom 10. Oktober 2019 das Gesuch von B._ um Akteneinsicht gut.
B.
Die hiergegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht mit Urteil vom 18. Dezember 2019 (eröffnet am 19. Dezember 2019) ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 28. Januar 2020 gelangt A._ ans Bundesgericht und beantragt in der Sache, es sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und das Gesuch um Akteneinsicht abzuweisen. Eventuell sei die Angelegenheit zur Beurteilung der im vorinstanzlichen Verfahren gestellten Eventualbegehren an das Obergericht zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
1.2. Angefochten ist das Urteil einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) über die Einsicht in die Akten eines Erwachsenenschutzverfahrens entschieden hat. Hierbei handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid, der weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betrifft (vgl. Art. 93 BGG; Urteil 5A_345/2019 vom 24. Juli 2019 E. 1.2). Gegen einen solchen Zwischenentscheid ist nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG die Beschwerde insbesondere zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. zu diesem Nachteil <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3). Die Einsicht in Verfahrensakten, welche vertrauliche Informationen enthalten, kann nach der Rechtsprechung für die betroffene Person einen solchen Nachteil bewirken, sofern auch ein dieser günstiger Endentscheid die mit der Einsicht verbundenen Beeinträchtigungen nicht vollständig beheben kann (Urteil 5A_1000/2017 vom 15. Juni 2018 E. 1.1.1 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin widersetzt sich der anbegehrten Akteneinsicht mit dem Argument, hierdurch würden ihrer Schwester persönliche und vertrauliche Informationen zu ihrem Gesundheitszustand sowie sensible Informationen zu ihren Vermögensverhältnissen bekannt, was für sie, die Beschwerdeführerin, sehr nachteilige Folgen habe (vgl. im Einzelnen hinten E. 6). Eine Kenntnisnahme vertraulicher Informationen kann nach erfolgter Akteneinsicht nicht mehr rückgängig gemacht werden. Der Beschwerdeführerin droht durch den angefochtenen Entscheid damit ein nicht wieder gutzumachender Nachteil. Wie es sich mit den angerufenen Geheimhaltungsinteressen im Einzelnen verhält, ist im Rahmen der materiellen Entscheidung zu prüfen (zu den sog. doppelrelevanten Tatsachen vgl. <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 5).
Nachdem vorliegend anders als im Verfahren 5A_345/2019 über die Akteneinsicht insgesamt und nicht nur über deren Grundsatz zu befinden ist (vgl. vorne Bst. A.b und A.c), bleibt unerheblich, dass auf die in jenem Verfahren erhobene Beschwerde in Zivilsachen mangels hinreichender Begründung nicht eingetreten werden konnte (vgl. Urteile 5A_703/2017 vom 26. Februar 2018 E. 1.3; 4A_140/2015 vom 1. April 2015 E. 2.4.2; 4A_458/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 1.2; UHLMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 28 zu Art. 93 BGG; vgl. dazu auch hinten E. 4.3).
1.3. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem in der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort stehen mit der Entlassung einer Beiständin aus dem Amt und (eventuell) der Ernennung eines zweiten Beistandes Massnahmen des Erwachsenenschutzes und damit öffentlich-rechtliche Angelegenheiten in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht in Streit, die nach Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG der Beschwerde in Zivilsachen unterliegen. Die strittige Angelegenheit ist nicht vermögensrechtlicher Natur (so betreffend die Beschwerdeführerin bereits Urteil 5A_345/2019 vom 24. Juli 2019 E. 1.2; vgl. weiter Urteil 5A_614/2017 vom 12. April 2018 E. 2). Die Beschwerdeführerin ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, die sie auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, S. 115 E. 2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (Art. 9 BV), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1, 317 E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung (Urteil 2C_302/2018 vom 9. August 2018 E. 1.4, in: StE 2018 B 23.47.1 Nr. 19, mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.1). Ebenfalls den strengen Rüge- und Begründungsanforderungen nach Art. 106 Abs. 2 BGG unterliegt das Vorbringen der Verletzung verfassugsmässiger Rechte (vgl. <ref-ruling> E. 1.3).
Die Beschwerde enthält unter dem Titel "Sachverhalt und Vorgeschichte" eine ausführliche Darstellung der bisherigen Geschehnisse aus der Sicht der Beschwerdeführerin. Diese Darstellung erfolgt ihrem eigenen Vernehmen nach, weil sich der von der Vorinstanz nur sehr knapp dargestellte Sachverhalt ergänzen lasse. Soweit die Beschwerdeführerin dabei ohne die notwendigen Rügen zu erheben von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
3.1. Anlass zur Beschwerde gibt die Einsicht in die Akten des die Beschwerdeführerin betreffenden Erwachsenenschutzverfahrens durch die Beschwerdegegnerin (vgl. vorne E. 1.2).
Gemäss Art. 449b Abs. 1 1. Teilsatz ZGB haben die an einem Erwachsenenschutzverfahren beteiligten Personen Anspruch auf Akteneinsicht. Diese Bestimmung gilt auch für das gerichtliche Beschwerdeverfahren. Das Recht auf Akteneinsicht ist ein Teilgehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Es bezieht sich grundsätzlich auf sämtliche Akten, die für das betreffende Verfahren erstellt oder beigezogen wurden, ohne dass ein besonderes Interesse geltend gemacht werden müsste und gilt unabhängig davon, ob die fraglichen Akten aus Sicht der Behörde für den Ausgang des Verfahrens bedeutsam sind (Urteil 5A_662/2019 vom 25. September 2019 E. 3.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.1).
3.2. Ein Recht auf Akteneinsicht besteht aber nicht unbeschränkt, sondern nur insoweit, als ihm nicht überwiegende Interessen entgegenstehen (Art. 449b Abs. 1 2. Teilsatz ZGB). Damit kann das Einsichtsrecht auf Grundlage einer Abwägung mit den der Einsicht entgegenstehenden privaten oder öffentlichen Interessen eingeschränkt werden. Die Verweigerung der Einsicht kann sich insbesondere mit Blick auf Geheimhaltungsinteressen der betroffenen Person rechtfertigen. Das Verhältnismässigkeitsprinzip (vgl. Art. 5 Abs. 2 BV) gebietet dabei, die Akteneinsicht bei überwiegenden entgegenstehenden Interessen möglichst nicht gänzlich zu verbieten, sondern bloss einzuschränken, sei dies in sachlicher, zeitlicher oder persönlicher Hinsicht. Beim Entscheid über die Akteneinsicht verfügt die zuständige Behörde über einen grossen Ermessensspielraum, in den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift (Urteile 5A_233/2020 vom 25. März 2020 E. 3; 5A_1000/2017 vom 15. Juni 2018 E. 4.2).
4.
4.1. Das Obergericht hielt vorab fest, es habe bereits im Urteil vom 29. März 2019 (vgl. vorne Bst. A.b) festgestellt, dass die Beschwerdegegnerin als nahestehende Person Verfahrenspartei im Hauptsacheverfahren sei. Ihr komme damit grundsätzlich ein Einsichtsrecht zu. Den Erwägungen im früheren Urteil habe die Beschwerdeführerin nichts Substanzielles entgegengestellt.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich gegen die Qualifikation der Beschwerdegegnerin als nahestehende Person. Tatsächlich bestehe keine Tatsachenvermutung dahingehend, dass es sich bei einer Schwester um eine nahestehende Person handle, was denn auch realitätsfremd sei. Sie, die Beschwerdeführerin, habe zudem wiederholt den Wunsch geäussert, von ihrer Familie in Ruhe gelassen zu werden. Dies sei zu respektieren, ohne dass weitere Erklärungen nötig seien. Dies alles habe die Beschwerdeführerin bereits vor Obergericht geltend gemacht. Die Vorinstanz habe sich mit diesen Vorbringen indes nicht auseinandergesetzt, sondern auf das frühere Urteil verwiesen
4.3. Was die Stellung der Beschwerdeführerin als nahestehende Person nach Art. 450 ZGB und den Grundsatz des Akteneinsichtsrechts betrifft, so hat die Vorinstanz hierüber bereits mit Zwischenentscheid vom 29. März 2019 befunden (vgl. vorne Bst. A.b). Der Beschwerdeführerin ist es zwar unbenommen, diesen Entscheid im vorliegenden Verfahren mitanzufechten, zumal ansonsten nicht sinnvoll über die Akteneinsicht entschieden werden könnte (vgl. vorne E. 1.3). Weshalb die Vorinstanz unter diesen Umständen aber gehalten gewesen sein sollte, im Entscheid vom 18. Dezember 2019 nochmals über diese Fragen zu befinden, ist nicht ersichtlich und wird in der Beschwerde auch nicht ausgeführt. Die Beschwerdeführerin legt insbesondere nicht dar, dass die Vorinstanz nach Massgabe des insoweit anwendbaren kantonalen Prozessrechts (vgl. Art. 450f ZGB) deswegen in Willkür verfallen wäre oder ein anderes verfassungsmässiges Recht verletzt hätte (zur Prüfungsbefugnis des Bundesgerichts bei der Anwendung des kantonalen Rechts vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2). Damit liegt in der Vorgehensweise der Vorinstanz auch keine Gehörsverletzung (vgl. <ref-ruling> E. 5.2).
Im Übrigen geht die Beschwerdeführerin mit ihren appellatorischen Ausführungen zu diesem Thema nicht weiter auf die vorinstanzliche Argumentation im Entscheid vom 29. März 2019 ein und gibt allein ihre Sicht der Dinge wieder. Selbst wenn zutreffen sollte, dass sie "all dies", mithin ihre in der Beschwerde vorgetragenen Argumente, bereits vor Obergericht vorgebracht hat, vermag sie daher dessen Schlussfolgerung nicht in Frage zu stellen, wonach sie nicht substanziiert auf den Entscheid vom 29. März 2019 eingegangen sei.
5.
5.1. Zum (konkreten) Interesse der Beschwerdegegnerin an der Akteneinsicht erwägt das Obergericht, deren Fürsorge für die Schwester sei unter den gegebenen Umständen nicht vorgeschoben. Der Antrag auf Akteneinsicht diene nicht lediglich eigenen Interessen. Zwar verfolge die Beschwerdegegnerin auch solche Interessen, namentlich wolle sie das von den Vorfahren akkumulierte Vermögen für die Grossfamilie und sich selbst erhalten. Dies lasse aber die Fürsorge für die Schwester zu. Sodann hätten Miterben auch gemeinsame und nicht nur gegenläufige Interessen. Der Beschwerdegegnerin gehe es um die Klärung der Eignung der derzeitigen Beiständin zur Führung der Beistandschaft. Erstere wolle nicht selbst Beiständin werden, sondern einen unabhängigen und neutralen Berufsbeistand einsetzen lassen. Zur Führung dieses Prozesses benötige sie Akteneinsicht und es sei nicht ersichtlich, inwiefern diese das Vermögen der Beschwerdeführerin gefährde.
5.2. Die Beschwerdeführerin verweist demgegenüber darauf, dass sie von ihrer Familie belästigt und bedroht werde, wie sie vor Obergericht dargetan und nachgewiesen habe. Damit habe die Vorinstanz sich nicht auseinandergesetzt, was eine Gehörsverletzung darstelle. Die Vorinstanz übersehe sodann, dass im Erwachsenenschutzverfahren der Schutz des Vermögens und der Privatsphäre der Beschwerdeführerin im Vordergrund stehe und nicht die Erhaltung des Familienvermögens. Die finanziellen Interessen der Beschwerdegegnerin stünden den Interessen der Beschwerdeführerin denn auch diametral entgegen. Von einer fürsorglichen Schwester könne keine Rede sein. Unter diesen Umständen habe das Obergericht den Sachverhalt willkürlich festgestellt und die Akteneinsicht zu Unrecht zugelassen. Ohnehin sei die Beschwerdegegnerin auch ohne Akteneinsicht in der Lage, ihr Begehren um Absetzung der Beiständin hinreichend zu begründen.
5.3. Nicht einzugehen ist auf die letzte Behauptung der Beschwerdeführerin, die Beschwerdegegnerin sei auch ohne Akteneinsicht in der Lage, das Hauptsacheverfahren sinnvoll zu führen. Mit diesem pauschalen, rein appellatorischen und nicht weiter begründeten Vorbringen vermag sie die vorinstanzliche Feststellung nicht in Frage zu stellen (vgl. vorne E. 2.2).
Weitergehend wirft die Beschwerdeführerin zwar im Grundsatz nicht zu Unrecht die Frage auf, inwieweit die ihr in einer Erbschaftssache gegenüberstehende Schwester ihre Interessen wahrnehmen kann (vgl. Urteil 5A_112/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 2.5.2.2). Indes ist die Beschwerdegegnerin unbesehen hierum als nahestehende Person nach Art. 450 Abs. 2 Ziff. 2 ZGB anerkannt (vgl. vorne E. 4) und daher als zur Wahrung der Interessen der Schwester geeignet anzusehen (vgl. Urteile 5A_112/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 2.5.1; 5A_665/2013 vom 5. November 2013 E. 3). Sodann leitet die Beschwerdeführerin ihren Standpunkt aus dem Verhalten verschiedener Familienmitglieder ab, die versucht hätten, sie einzuschüchtern oder zu bedrohen. Sie nennt insbesondere einen ungewollten Besuch ihrer Nichte und ihres Neffen im Pflegeheim. Diese Ausführungen beziehen sich indes von vornherein nicht auf die Beschwerdegegnerin und sind daher nicht ausschlaggebend. Soweit die Beschwerdeführerin sich zu ihrer Schwester äussert, bleiben ihre Ausführungen sodann sehr allgemein und beruft sie sich letztlich auf den hängigen Erbstreit. Angesprochen ist insbesondere der Vorwurf, der Schwester sei "es gelungen" "gewisse Mobiliargüter aus der Erbschaft an sich zu nehmen". Diesen Streit hat das Obergericht aber in seine Überlegungen einfliessen lassen und es hat berücksichtigt, dass zwischen den Schwestern ein angespanntes Verhältnis besteht. Die Beschwerdeführerin äussert sich sodann nicht zur Feststellung des Obergerichts, wonach die Beschwerdegegnerin einzig versuche, einen neutralen Berufsbeistand einsetzen zu lassen und nicht etwa selbst Beiständin werden wolle. Damit vermag die Beschwerdeführerin keine Bundesrechtsverletzung aufzuzeigen. Die Vorinstanz war unter diesen Umständen auch nicht verpflichtet, näher auf die genannten Vorbringen einzugehen, womit sich auch der Vorwurf der Gehörsverletzung nicht erhärtet (vgl. <ref-ruling> E. 5.2).
6.
6.1. Zu den der Akteneinsicht entgegenstehenden Interessen bemerkt das Obergericht vorab, dass die Beschwerdeführerin allein überwiegende private Interessen an der Geheimhaltung der Akten geltend mache. Sie bringe vor, ihr Vermögen sei in unmittelbarer Gefahr, wenn die Beschwerdegegnerin Akteneinsicht erhalte, und sie, die Be-schwerdeführerin, müsse sich vor ihrer Familie schützen. Aufgrund der Akten lasse sich jedoch nicht im Einzelnen klären, was dem Streit in V._, der Heimat der Beschwerdeführerin, zugrunde liege. Jedenfalls seien jahrelange gerichtliche Auseinandersetzungen bei hohen Erbschaften nichts Aussergewöhnliches. Der weitere (wenig konkrete) Vorwurf, die Beschwerdegegnerin versuche mit der Akteneinsicht Schwachpunkte zu finden, um gegen die Beschwerdeführerin vorgehen zu können, sei zur Einschränkung der Akteneinsichtsrecht nicht geeignet. Dazu hätte die Beschwerdeführerin konkret aufzeigen müssen, welche ihrer vom Persönlichkeitsschutz erfassten Rechtsgüter, insbesondere die seelische und geistige Integrität, das Akteneinsichtsrecht überwiegen. Dies habe sie nicht mit der nötigen Klarheit getan.
6.2. Nach Dafürhalten der Beschwerdeführerin erhellen die Hintergründe des Erbstreits dagegen aus dem bei den Akten liegenden Schreiben ihrer Anwaltskanzlei. Gestützt hierauf ergibt sich für die Beschwerdeführerin zusammengefasst eindeutig eine Gefährdung ihrer Vermögensinteressen durch die Schwester. Diese zeige ihre Feindseligkeit und Geringschätzung und setze alles daran, an die Vermögenswerte der Beschwerdeführerin zu kommen. Das Obergericht habe in Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör die fraglichen Beweise nicht beachtet und sich auch nicht mit den Vorbringen der Beschwerdeführerin auseinandergesetzt. Gleichzeitig zeichneten die eingereichten Belege ein eindeutiges Bild. Indem die Vorinstanz die klaren Anhaltspunkte nicht oder völlig falsch gewürdigt habe, sei sie in Willkür verfallen.
Entgegen der Einschätzung des Obergerichts habe sie, die Beschwerdeführerin, sodann sehr wohl klar und substanziiert dargelegt, weshalb ihre Interessen durch die Akteneinsicht massiv beeinträchtigt würden. In den Akten des Erwachsenenschutzverfahrens würden sich zahlreiche Unterlagen finden, die sehr persönliche Informationen über die Beschwerdeführerin enthielten und auch gar nicht nötig seien, um über die Absetzung der Beiständin zu entscheiden. Angesprochen seien insbesondere Informationen über den Gesundheitszustand und die Vermögensverhältnisse. Diese Akten seien strikt vertraulich zu behandeln, zumal vor dem Hintergrund dubioser Einbrüche bei der Beschwerdeführerin und des unerklärlichen Verschwindens verschiedener Vermögensgegenstände. Aufgrund der Verfeindung zwischen den Parteien sei die Privatsphäre der Beschwerdeführerin absolut zu schützen. Indem das Obergericht sich mit diesen Vorbringen nicht auseinandergesetzt habe, habe es den Gehörsanspruch verletzt.
6.3. Vorab trifft der Vorwurf nicht zu, die Vorinstanz habe das von der Beschwerdeführerin eingereichte Schreiben ihrer Anwaltskanzlei nicht berücksichtigt. Vielmehr hat sie dieses ausdrücklich erwähnt, kam aber zum Schluss, die dem Erbstreit zugrunde liegenden Zusammenhänge liessen sich nicht aufklären. Damit erweist sich der diesbezügliche Vorwurf der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör als unbegründet. Eine Gehörsverletzung ergibt sich insbesondere auch nicht daraus, dass die Vorinstanz zu anderen Schlüssen als die Beschwerdeführerin gelangte (vgl. Urteil 5A_783/2017 vom 21. November 2017 E. 4.2). Angesprochen ist vielmehr die von der Vorinstanz vorgenommene Würdigung der vorhandenen Beweise. Was die Beweiswürdigung betrifft, belässt die Beschwerdeführerin es bezüglich der Gefahr für ihre Vermögensinteressen indes dabei, in appellatorischer Art und Weise ihr eigenes Verständnis der Akten jenem der Vorinstanz gegenüber zu stellen und letzteres als im Ergebnis "völlig falsch" oder eben willkürlich zu bezeichnen. Dies genügt den Begründungsanforderungen nicht (vgl. vorne E. 2.2 und spezifisch zur Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung <ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
Ausgehend von dem durch die Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalt vermag die Beschwerdeführerin den Vorwurf nicht in Frage zu stellen, sie habe vor der Vorinstanz ihre der Akteneinsicht entgegenstehenden Interessen nicht hinreichend genau dargelegt. Solches gelingt ihr im Übrigen auch vor Bundesgericht nicht, beschränkt sie sich im Wesentlichen doch auf eine erneute Darstellung ihrer im Zusammenhang mit dem Familienstreit stehenden Befürchtungen. Dies gilt umso mehr, als die Beschwerdeführerin sich auch in diesem Zusammenhang verschiedentlich auf tatsächliche Grundlagen stützt, welche die Vorinstanz so nicht festgestellt hat, ohne die notwendigen Sachverhaltsrügen zu erheben (vorne E. 2.2). Dies betrifft etwa die (angeblichen) Einbrüche, insbesondere jedoch die Behauptung, der Beschwerdegegnerin würde die Akteneinsicht nichts nützen. Nach dem Ausgeführten kann auch insoweit keine Gehörsverletzung durch die Vorinstanz festgestellt werden.
7.
7.1. Zusammengefasst gelingt es der Beschwerdeführerin mit der in verschiedener Hinsicht den massgebenden Anforderungen nicht genügenden Beschwerdeschrift nicht, die Ermittlung und Gewichtung der bezüglich der Akteneinsicht auf dem Spiel stehenden Interessen durch das Obergericht und in der Folge die vorgenommene Interessenabwägung und die Gewährung der vollen Akteneinsicht in Frage zu stellen.
Die Beschwerdeführerin verweist ausserdem auf das im vorinstanzlichen Verfahren gestellte Eventualbegehren, es sei die Akteneinsicht auf bestimmte Aktenstücke zu beschränken. Mit diesem Begehren habe die Vorinstanz sich in keiner Weise auseinandergesetzt, worin eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liege. Die Angelegenheit sei daher zumindest zur Behandlung dieses Punktes an die Vorinstanz zurückzuweisen.
7.2. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör in Verbindung mit dem Verbot der formellen Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV) folgt die Pflicht der Behörden, formgerecht gestellte Anträge zu beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1) und diese Beurteilung auch zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2).
Auch Eventualbegehren müssen in diesem Sinn beurteilt werden. Die Abweisung eines Eventualbegehrens kann nach der Rechtsprechung indes implizit erfolgen, wenn bereits aus der Beurteilung eines Hauptbegehrens hervorgeht, das damit auch ein weniger weit gehendes Eventualbegehren abgewiesen ist (Urteile 2C_431/2017 vom 5. März 2018 E. 3.3; 2C_1065/2014 vom 26. Mai 2016 E. 3.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Hiervon ist vorliegend auszugehen:
7.3. Die Vorinstanz hat sich nicht explizit mit dem Antrag auf Beschränkung des Akteneinsichtsrechts auseinandergesetzt und nur dessen umfassende Gewährung begründet. Das Obergericht konnte jedoch keinerlei Interessen der Beschwerdeführerin feststellen, welche der Akteneinsicht entgegenstehen (im Einzelnen dazu vorne E. 6). Folglich lehnte es auch eine Einschränkung des Akteneinsichtsrechts der Beschwerdegegnerin ab. In E. 3.4 auf S. 7 des angefochtenen Urteils erwog es denn auch: "Mit diesen wenig konkreten Ausführungen kann die Beschwerdeführerin das grundsätzlich umfassende Akteneinsichtsrecht der Beschwerdegegnerin nicht in die Schranken weisen." Damit ergibt sich aus dem angefochtenen Urteil mit hinreichender Klarheit, dass sich nach Dafürhalten des Obergerichts auch eine Einschränkung des Einsichtsrechts nicht rechtfertigt. Entsprechend hat das Gericht die Beschwerde denn auch in allen Teilen abgewiesen. Wohl wäre zu wünschen gewesen, dass die Vorinstanz ihre Schlussfolgerung zum Eventualbegehren in aller Kürze ausdrücklich festgehalten hätte. Eine Verletzung des Gehörsanspruch liegt hierin jedoch nicht. Im Übrigen tut die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht in keiner Weise dar, weshalb sich gestützt auf den von der Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalt eine Einschränkung der strittigen Akteneinsicht rechtfertigen könnte.
8.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde insgesamt unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigung ist keine auszurichten, da der obsiegenden Beschwerdegegnerin mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen sind (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Bezirksrat Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber