Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1972 geborene A._ war seit 1991 als Maurer bei der B._ AG tätig und dadurch bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) obligatorisch gegen die Folgen von Unfällen versichert. Er hatte sich am 15. Februar 2008 bei einem Arbeitsunfall an beiden ventralen Unterschenkeln eine Sägeverletzung mit ossärer Beteiligung zugezogen. Die Suva erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Ab Mai 2008 war A._ wieder vollumfänglich arbeitsfähig. Nach einer Rückfallmeldung aufgrund einer am 24. Mai 2011 durchgeführten Narbenneuromexzision des Nervus saphenus am rechten Unterschenkel liess die Suva A._ von Kreisarzt Dr. med. C._, Facharzt FMH für Orthopädische Chirurgie und Traumatologie, untersuchen. Gestützt auf den Bericht vom 24. November 2011 teilte sie ihm am 28. November 2011 schriftlich mit, sie stelle die nach dem Rückfall erneut erbrachten Taggeldleistungen per 1. Dezember 2011 ein.
A.b. Mit Schreiben vom 11. Dezember 2017 verlangte A._ sinngemäss eine Neubeurteilung und ersuchte anlässlich der Besprechung vom 25. Januar 2018 mit einer Suva-Mitarbeiterin um Prüfung seines Anspruchs auf eine Integritätsentschädigung. Gestützt auf die Berichte des Dr. med. D._, Facharzt FMH für Neurologie, vom 8. März 2018 sowie des Dr. med. E._, Oberarzt an der Klinik für Neurochirurgie des Spitals F._, vom 11. Mai 2018 teilte die Suva A._ am 24. Mai 2018 schriftlich mit, sie habe den Schadenfall abgeschlossen. Gleichzeitig erklärte sie sich indes bereit, weiterhin für Schmerzmittel und die Salbe Capsaicin aufzukommen, obschon kein Rentenanspruch bestehe.
A.c. Nachdem A._ am 20. November 2018 einen Anspruch auf Integritätsentschädigung geltend machen liess, holte die Suva eine kreisärztliche Beurteilung der Dr. med. G._, Fachärztin FMH für Chirurgie, vom 18. Dezember 2018 ein. Gestützt darauf verneinte sie mit Verfügung vom 14. Januar 2019 einen Rückfall im Sinne einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes und mithin einen Anspruch auf eine Invalidenrente sowie explizit auch auf eine Integritätsentschädigung. Die hiegegen erhobene Einsprache wies die Suva nach Einholung einer weiteren kreisärztlichen Beurteilung der Dr. med. G._ vom 9. Mai 2019 mit Einspracheentscheid vom 21. Mai 2019 ab.
A.d. Mit Verfügung vom 5. Februar 2019 hatte auch die IV-Stelle des Kantons Zürich - ausgehend von einer vollumfänglichen Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit - einen Anspruch auf eine Invalidenrente verneint.
B.
Die gegen den Einspracheentscheid vom 21. Mai 2019 erhobene Beschwerde, welcher der Schlussbericht zur arbeitsmarktlichen Abklärung für Stellensuchende vom 8. März 2019 beilag, wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 26. August 2020 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids seien ihm eine Rente von mindestens 30 %, eventualiter eine Integritätsentschädigung von 25 % zuzusprechen; subeventualiter sei eine neurologische Begutachtung vorzunehmen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 4.2 S. 62 mit Hinweisen).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie in Bestätigung des Einspracheentscheids der Suva vom 21. Mai 2019 das Vorliegen eines Rückfalls sowie eines erneuten Leistungsanspruchs verneinte.
2.2. Das kantonale Gericht legte die Bestimmungen und Grundsätze über das zeitlich massgebende Recht (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 232 mit Hinweis; zur 1. UVG-Revision vgl. Abs. 1 der Übergangsbestimmungen zur Änderung des UVG vom 25. September 2015, AS 2016 4375, 4387) zutreffend dar. Richtig wiedergegeben sind sodann die rechtlichen Grundlagen über die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers bei Rückfällen und Spätfolgen als besondere revisionsrechtliche Tatbestände (<ref-law>; <ref-ruling>, 140 V 65, 127 V 456 E. 4b S. 457, 118 V 293 E. 2c S. 296). Darauf wird verwiesen.
3.
Das kantonale Gericht stellte fest, die Beschwerdegegnerin habe den Fall nach dem durch das Narbenneurom bedingten Rückfall mit Schreiben vom 28. November 2011 rechtskräftig abgeschlossen und die Taggeldleistungen per 1. Dezember 2011 eingestellt, da der Beschwerdeführer gemäss kreisärztlicher Beurteilung vom 24. November 2011 ab diesem Zeitpunkt wieder vollumfänglich arbeitsfähig gewesen sei. Eine Rentenprüfung aufgrund des Schreibens vom 11. Dezember 2017, mithin nach einem leistungsfreien Zeitraum von sechs Jahren, setze daher einen weiteren Rückfall oder Spätfolgen voraus. Nicht vom Fallabschluss erfasst gewesen sei indes der Anspruch auf eine Integritätsentschädigung. Die Vorinstanz prüfte die Anwendbarkeit der fünfjährigen Verwirkungsfrist gemäss <ref-law> auf Integritätsentschädigungen, bejahte diese und schloss daraus, dass auch der diesbezügliche Anspruch nur im Rahmen eines Rückfalls oder von Spätfolgen geprüft werden könne. Im Weiteren verneinte das kantonale Gericht nach eingehender Auseinandersetzung mit der medizinischen Aktenlage eine relevante gesundheitliche Verschlechterung in Form einer Schmerzzunahme und damit eines Rückfalls. Es stellte lediglich unterschiedliche Erklärungsansätze für die weiterhin geklagten Beschwerden fest und wies darauf hin, dass die Schmerzsituation über Jahre hinweg keiner spezifischen Behandlung bedurft habe. Zudem äusserte es, wiederum unter Verweis auf medizinische Berichte, erhebliche Zweifel an der Zuverlässigkeit der subjektiven Angaben des Beschwerdeführers. Die Vorinstanz bestätigte daher die Verneinung eines Anspruchs des Beschwerdeführers sowohl auf eine Invalidenrente als auch auf eine Integritätsentschädigung.
4.
Was beschwerdeweise zunächst zur Bejahung des Vorliegens eines Rückfalls und damit eines Rentenanspruchs vorgebracht wird, verfängt nicht.
4.1. Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, wonach gegenüber der dem Fallabschluss zu Grunde liegenden kreisärztlichen Beurteilung vom 24. November 2011 keine anspruchsrelevante Verschlechterung des Gesundheitszustandes im Sinne eines Rückfalls oder von Spätfolgen vorliege, beruht auf einer nicht zu beanstandenden Prüfung und Würdigung der medizinischen Aktenlage.
4.1.1. Das kantonale Gericht stützte sich dabei im Wesentlichen auf die kreisärztlichen Beurteilungen der Dr. med. G._ vom 18. Dezember 2018 und 9. Mai 2019, denen es volle Beweiskraft zuerkannte. Wie es korrekt aufzeigte, bezogen sich diese Aktenbeurteilungen hauptsächlich auf die Untersuchungsberichte des Dr. med. D._ vom 8. März 2018 sowie des Dr. med. E._ vom 11. Mai 2018 und sind rechtsprechungsgemäss beweiskräftig, da es dabei um die fachärztliche Beurteilung eines an sich feststehenden medizinischen Sachverhalts und lückenlosen Befunds ging (SVR 2010 UV Nr. 17 S. 63, 8C_239/2008 E. 7.2; vgl. auch Urteil 8C_608/2020 vom 15. Dezember 2020 E. 5.2).
4.1.2. Soweit sich der Beschwerdeführer - wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren - allgemein auf Berichte der behandelnden Ärzte und die Validierung der Schmerzen in einem Arbeitseinsatz gemäss Schlussbericht zur arbeitsmarktlichen Abklärung beruft, ist mit dem kantonalen Gericht festzustellen, dass diese keine auch nur geringen Zweifel an den versicherungsinternen Beurteilungen zu begründen vermögen. Der Beschwerdeführer zeigt nicht ansatzweise auf, inwiefern Berichte behandelnder Ärzte der kreisärztlichen Beurteilung widersprechen würden. Bezüglich des von der Arbeitslosenversicherung eingeholten Berichts zur arbeitsmarktlichen Abklärung für Stellensuchende vom 8. März 2019 sodann legte das kantonale Gericht dar, dass dieser auf falschen Grundlagen zur bisherigen Arbeitsfähigkeit basiert, was nicht bestritten wird. Zudem beruht die im Bericht erwähnte erhebliche Schmerzzunahme während eines Arbeitseinsatzes nicht auf medizinischen, sondern auf berufspraktischen Beobachtungen zur subjektiven Arbeitsleistung des Beschwerdeführers und differenziert insbesondere nicht zwischen den Beinschmerzen und den Schmerzen im Bereich der HWS, was ebenfalls gegen die Begründung von Zweifeln an der kreisärztlichen Beurteilung spricht (vgl. Urteil 8C_21/2020 vom 8. April 2020 E. 4.1.2 mit Hinweis).
4.2. Bei dieser Ausgangslage konnte und kann in antizipierter Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 6.5 S. 368 f.) auf zusätzliche Abklärungen verzichtet werden. Eine Bundesrechtswidrigkeit, namentlich eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes, ist darin ebenso wenig zu sehen wie eine in medizinischer Hinsicht unrichtige Sachverhaltsfeststellung.
4.3. Vermag der Beschwerdeführer zusammenfassend nicht aufzuzeigen, inwiefern die vorinstanzliche Verneinung einer Verschlechterung des Gesundheitszustandes in Form eines Rückfalls bundesrechtswidrig sein soll, ist auch die daraus resultierende Verneinung des Rentenanspruchs nicht zu beanstanden.
5.
Streitig und zu prüfen ist im Weiteren, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie - der Suva folgend - den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung verneinte.
5.1. Wie die Suva im Einspracheentscheid vom 21. Mai 2019 zutreffend ausführte, stellt die Feststellung des Integritätsschadens eine Tatfrage dar, die ein Mediziner zu beurteilen hat (vgl. Urteil 8C_762/2019 vom 12. März 2020 E. 6.3 mit Hinweisen). Sie legte dar, dass die Kreisärztin Dr. med. G._ in ihren Beurteilungen vom 18. Dezember 2018 und 9. Mai 2019 schlüssig und überzeugend aufgezeigt habe, dass die Erheblichkeitsgrenze eines unfallbedingten Integritätsschadens nicht erreicht sei.
5.2. Soweit der Beschwerdeführer erneut einen Anspruch auf eine Integritätsentschädigung geltend macht, vermag er sich nicht auf eine entsprechende ärztliche Stellungnahme zu berufen. Auch bei den Akten findet sich kein einziger medizinischer Bericht, der bestätigt, dass der Beschwerdeführer an einer dauerhaften unfallbedingten Einschränkung der gesundheitlichen Unversehrtheit leide, welche nach den einschlägigen Bemessungsgrundlagen (vgl. dazu statt vieler: Urteile 8C_19/2017 vom 22. Mai 2017 E. 4.2 und 8C_606/2016 vom 13. Dezember 2016 E. 6, je mit Hinweisen) einen Anspruch auf Integritätsentschädigung zu begründen vermöchte. Zudem wird die Beweiskraft der kreisärztlichen Beurteilungen des Integritätsschadens nicht in Frage gestellt.
5.3. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde hat die Vorinstanz nicht einen Integritätsschaden in der Höhe von mindestens 15 % anerkannt. Sie hat lediglich anhand des vom Beschwerdeführer angerufenen Urteils 8C_362/2014 vom 25. Juni 2014 aufgezeigt, dass die geltend gemachte Höhe von 25 % von vornherein illusorisch wäre, da im erwähnten Urteil selbst bei ärztlich attestierten, andauernden starken neuropathischen Schmerzen von einem Richtwert von (lediglich) 15 % ausgegangen worden sei. Da ein entsprechender ärztlicher Befund vorliegend fehlt, kann der Beschwerdeführer aus dem angerufenen Urteil nichts zu seinen Gunsten ableiten.
5.4. Mangels Vorliegens eines Integritätsschadens kann offen bleiben, ob - wie dies das kantonale Gericht bejahte - die fünfjährige Verwirkungsfrist gemäss <ref-law> auf Integritätsentschädigungen anwendbar ist.
5.5. Zusammenfassend ist die Beschwerde mithin auch bezüglich Verneinung des Anspruchs auf eine Integritätsentschädigung unbegründet, weshalb es beim angefochtenen Entscheid im Ergebnis sein Bewenden hat.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Seinem Ausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Februar 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Kopp Käch