Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer erstatte am 1. September 2020 Anzeige gegen den Beschwerdegegner 2 wegen Beschimpfung und Missbrauchs einer Fernmeldeanlage in Bezug auf 16 SMS, die er zwischen dem 14. Mai 2020 und dem 1. Juli 2020 vom Beschwerdegegner 2 erhalten hat. Mit Verfügung vom 18. März 2021 stellte die Beschwerdegegnerin 1 das Strafverfahren ein. Die vom Beschwerdeführer gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde wies die Vorinstanz am 15. Juni 2021 kostenfällig ab.
Der Beschwerdeführer gelangt an das Bundesgericht.
2.
2.1. Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beschwerde zuerkannt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Sie muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Ungeachtet der Legitimation in der Sache kann die Privatklägerschaft mit Beschwerde in Strafsachen eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind nur Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt, wobei für die Anfechtung des Sachverhalts qualifizierte Begründungsanforderungen gelten (vgl. Art. 97 Abs. 1, Art. 106 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 2).
2.2. Der Beschwerdeführer ist in der Sache nicht zur Beschwerde in Strafsachen legitimiert. Er hat im Strafantrag vom 1. September 2020 explizit darauf verzichtet, im Strafverfahren adhäsionsweise zivilrechtliche Ansprüche zu stellen (Vorakten StA, act. 5), weshalb sich der angefochtene Entscheid von vornherein nicht auf allfällige Zivilforderungen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG auswirken kann.
Auch eine Verletzung seiner Parteirechte im Sinne der "Star-Praxis", deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft, ist selbst unter Anwendung des bei Laienbeschwerden praxisgemäss grosszügigen Massstabs an die formellen Anforderungen einer Beschwerde in Strafsachen weder hinreichend gerügt noch ersichtlich. Der Beschwerdeführer kritisiert zwar verschiedentlich in pauschaler Weise das Verhalten respektive das prozessuale Vorgehen der Strafverfolgungsbehörden, jedoch vermögen allfällige Verfahrensfehler im Vorverfahren von vornherein keine formelle Rechtsverweigerung durch die Vorinstanz im kantonalen Beschwerdeverfahren zu begründen (vgl. <ref-law>), weshalb offenbleiben kann, ob die vom Beschwerdeführer vorgebrachte Kritik das vorliegende oder ein gegen ihn eröffnetes Strafverfahren betrifft.
3.
3.1. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 6 BGG ist auch die Person, die einen Strafantrag stellt, zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, soweit es um das Strafantragsrecht als solches geht.
3.2. Soweit der Beschwerdeführer - zumindest implizit - rügt, die Vorinstanz erachte seinen Strafantrag in Bezug auf die zwischen dem 14. und 31. Mai 2020 an ihn gesandten SMS zu unrecht als verspätet, macht er formell eine Verletzung seines Strafantragsrechts geltend und ist in diesem Punkt zur Beschwerde legitimiert (vgl. Urteile 6B_42/2021 vom 8. Juli 2021 E. 1.2; 6B_729/2020 vom 3. Februar 2021 E. 1.3; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer begründet die vermeintliche Verletzung seines Strafantragsrechts ausschliesslich mit einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz. Was der Beschwerdeführer hiergegen vorbringt, erschöpft sich (weitgehend) in appellatorischer Kritik an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung, auf die nicht einzutreten ist, und geht im Übrigen an der Sache vorbei. Soweit er rügt, die Vorinstanz gehe zu unrecht davon aus, er habe "die Identität des mutmasslichen Täters erst am 1. Juli [2020] gekannt", verkennt er, dass das Gegenteil der Fall ist. Die Vorinstanz erachtet die zwischen dem 14. und 31. Mai 2020 versandten SMS nicht mehr durch den Strafantrag vom 1. September 2020 erfasst, da sie zum Schluss gelangt, der Beschwerdeführer habe seit der ersten SMS gewusst, dass diese vom Beschwerdegegner 2 stammen. Dies bestätigt der Beschwerdeführer auch in seiner Beschwerde an das Bundesgericht, denn er führt explizit aus, dass er die Nummer des Beschwerdegegners 2, bei dem es sich um den ehehmaligen Geschäftspartner handelt, mit dem der Beschwerdeführer bereits in der Vergangenheit einen ähnlichen Konflikt wegen angeblicher Geldforderungen hatte, kenne. Die Nummer sei seit Jahren dieselbe und laute (...). Unklar ist, was der Beschwerdeführer daraus ableiten will, wenn er rügt, die Annahme, dass die erwähnte Natelnummer dem mutmasslichen Täter gehört, gelte nicht, sondern dies müsse bewiesen werden, was nicht geschehen sei. Dass die Nummer, von der die SMS versandt wurden, dem angezeigten Beschwerdegegner 2 gehört, wurde sowohl von diesem als auch - wie soeben aufgezeigt - vom Beschwerdeführer selbst bestätigt. Soweit der Beschwerdeführer mit der Rüge vorbringen will, es sei möglich, dass eine andere Person ihm mit dem Natel des Beschwerdegegners 2 SMS geschickt habe, setzt er sich nicht mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander, mit denen diese seine hypothetische Vermutung überzeugend verwirft. Zudem wäre das Strafverfahren gegen den Beschwerdegegner 2 ebenfalls einzustellen gewesen, wenn nicht erwiesen [respektive nachweisbar] ist, dass dieser und nicht eine andere Person die SMS zwischen dem 14. und 31. Mai 2020 geschickt hätte.
Auch was der Beschwerdeführer hinsichtlich des Zeitpunkts der Anzeigestellung vorbringt, erschöpft sich in appellatorischer Kritik und ist ungeeignet, eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung seitens der Vorinstanz aufzuzeigen. Der Beschwerdeführer setzt sich wiederum inhaltlich nicht (rechtsgenügend) mit den Erwägungen der Vorinstanz auseinander, die mit den Akten in Einklang stehen und aus denen sich ergibt, dass der vom Beschwerdeführer unterschriebene Strafantrag vom 1. September 2020 datiert. Mithin ist bereits nicht ersichtlich, inwieweit die Behauptung des Beschwerdeführers, er habe ursprünglich bereits am 22. Juli 2020 Strafantrag stellen wollen, wozu es jedoch nicht gekommen sei, da die Polizei keine Zeit gehabt habe, von der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung abweicht respektive diese offensichtlich unrichtig sein soll.
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Angesichts des geringen Aufwands rechtfertigt es sich, dem Beschwerdeführer reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten in Höhe von Fr. 1'500.- auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafprozessuale Beschwerdeinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Held