Sachverhalt:
A.
Die 1941 geborene A._ bezieht eine Altersrente der Alters- und Hinterlassenenversicherung. Am 30. Oktober 2014 starb ihr Ehemann. Eine erbrechtliche Streitigkeit zwischen A._ und zwei ihrer Söhne (B._ und C._) einerseits und dem dritten Sohn (D._) anderseits wurde mit gerichtlichem Vergleich geregelt (Entscheid des Kreisgerichts Werdenberg-Sarganserland vom 21. Januar 2016). Mit Erbteilungsvertrag vom 10. Juli 2016 einigten sich A._, B._ und C._ über die Teilung des Nachlasses.
Im April 2018meldete sich A._ zum Bezug von Ergänzungsleistungen an. Die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: SVA) ermittelte einen Einnahmenüberschuss von Fr. 19'921.-, wobei sie insbesondere ein Verzichtsvermögen von insgesamt Fr. 266'464.- berücksichtigte. Folglich verneinte sie mit Verfügung vom 29. November 2018 einen Anspruch auf Ergänzungsleistungen. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 20. August 2019fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 1. Juni 2021 insoweit gut, als es den Einspracheentscheid vom 20. August 2019 aufhob und die Sache zur Fortsetzung des Verwaltungsverfahrens im Sinne der Erwägungen an die SVA zurückwies.
C.
Die SVA beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, unter Aufhebung des Entscheids vom 1. Juni 2021 sei der Einspracheentscheid vom 20. August 2019 zu bestätigen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
A._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde. Das kantonale Gericht lässt sich vernehmen, ohne einen formellen Antrag zu stellen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweis).
1.2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist insbesondere berechtigt, wer u.a. ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Die Beschwerde ist zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen (<ref-law>). Gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, die nicht die Zuständigkeit oder ein Ausstandsbegehren betreffen, ist die Beschwerde zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können, oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
1.3. Das kantonale Gericht hat die Ergänzungsleistungsberechnung der SVA insoweit korrigiert, als es bei den anrechenbaren Einnahmen anstelle eines Verzichtsvermögens von Fr. 266'464.- lediglich einen - nach weiteren Abklärungen festzulegenden - Betrag zwischen Fr. 45'674.- und Fr. 100'852.- (Fr. 45'674.- + Fr. 55'178.-) als zusätzliches tatsächliches Vermögen berücksichtigt haben will (für Einzelheiten vgl. nachfolgende E. 4).
Bei Veranschlagung des oberen Grenzwerts resultiert (bei im übrigen unveränderten Berechnungsfaktoren) ein jährlicher Einnahmenüberschuss von Fr. 3'360.-, was einen Ergänzungsleistungsanspruch und damit auch ein schutzwürdiges Interesse der SVA an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids ohne Weiteres ausschliesst. Ist hingegen der untere Grenzwert einzubeziehen, ergibt sich ein Ausgabenüberschuss resp. eine jährliche Ergänzungsleistung von Fr. 2'158.-. Insoweit ist nicht nur ein schutzwürdiges Interesse der Verwaltung zu bejahen, sondern droht dieser auch ein nicht wieder gutzumachender Nachteil, indem sie gezwungen würde, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu erlassen. Damit kann offenbleiben, o b es sich beim angefochtenen Rückweisungsentscheid um einen End- oder einen Zwischenentscheid handelt; die Beschwerde ist zulässig (<ref-ruling> E. 4.2; SVR 2019 EL Nr. 15 S. 37, 9C_653/2018 E. 1).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. In zeitlicher Hinsicht sind grundsätzlich diejenigen materiellen Rechtssätze massgebend, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung haben (<ref-ruling> E. 6.3.1; <ref-ruling> E. 3.1.1). Der Erlass des Einspracheentscheids vom 20. August 2019 begrenzt den gerichtlichen Prüfungszeitraum (vgl. <ref-ruling> E. 2.1.2.1). Somit sind hier die Bestimmungen des ELG (SR 831.30) und der ELV (SR 831.301) in der bis Ende 2020 geltenden Fassung anwendbar. Sie werden im Folgenden jeweils in dieser Version wiedergegeben, zitiert und angewendet.
3.2.
3.2.1. Die jährliche Ergänzungsleistung entspricht dem Betrag, um den die anerkannten Ausgaben die anrechenbaren Einnahmen übersteigen (Art. 9 Abs. 1 ELG). Als Einnahmen angerechnet werden gemäss Art. 11 Abs. 1 ELG u.a. ein Vermögensverzehr (lit. c) sowie Einkünfte und Vermögenswerte, auf die verzichtet worden ist (lit. g). Nach Art. 17a ELV wird der anzurechnende Betrag von Vermögenswerten, auf die verzichtet worden ist, jährlich um Fr. 10'000.- vermindert (Abs. 1). Dabei ist der Wert des Vermögens im Zeitpunkt des Verzichtes unverändert auf den 1. Januar des Jahres, das auf den Verzicht folgt, zu übertragen und dann jeweils nach einem Jahr zu vermindern (Abs. 2). Für die Berechnung der jährlichen Ergänzungsleistung ist der verminderte Betrag am 1. Januar des Bezugsjahres massgebend (Abs. 3).
3.2.2. Der Tatbestand von Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG ist erfüllt, wenn die Leistungsansprecherin (oder ihr verstorbener Ehemann; dazu sogleich) ohne rechtliche Verpflichtung oder ohne adäquate Gegenleistung auf Einkünfte oder Vermögen verzichtet hat (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 4.4 in fine). Dabei ist ein Verzicht nicht alleine deswegen anzunehmen, weil jemand vor der Anmeldung zum Ergänzungsleistungsbezug über seinen Verhältnissen gelebt haben könnte; das System der Ergänzungsleistungen bietet keine gesetzliche Handhabe für eine wie auch immer geartete "Lebensführungskontrolle" (<ref-ruling> E. 2.3.1 und 2.6.2; <ref-ruling> E. 4b; <ref-ruling> E. 5d; Urteil 9C_435/2017 vom 19. Juni 2018 E. 3.2 mit weiteren Hinweisen).
Bei der Berechnung der Ergänzungsleistung des überlebenden Ehegatten ist der während der Ehe vom verstorbenen Ehegatten vorgenommene Vermögensverzicht ungeachtet der eigentums- oder ehegüterrechtlichen Situation aufzurechnen, und zwar in dem Umfang, als das Verzichtsvermögen dem überlebenden Ehegatten nach Durchführung der güter- und erbrechtlichen Auseinandersetzung zustehen würde (<ref-ruling> E. 2; Urteil P 30/06 vom 5. Februar 2007 E. 3.5 und 4; vgl. auch JUNGO/RAAFLAUB, Die wundersame Geldvermehrung beim Bezug von Ergänzungsleistungen nach der Ausschlagung einer Erbschaft, successio 2019 S. 291). In zeitlicher Hinsicht ist zu beachten, dass für die Berücksichtigung eines Vermögensverzichts in der EL-Berechnung grundsätzlich unerheblich ist, wie weit die Verzichtshandlung zurückliegt (Urteil 9C_435/2017 vom 19. Juni 2018 E. 3.2 mit Hinweisen).
3.3. Die leistungsansprechende Person hat sich im Rahmen ihrer Mitwirkungspflicht an der Abklärung des rechtserheblichen Sachverhalts zu beteiligen. Insbesondere hat sie bei einer ausserordentlichen Abnahme des Vermögens diejenigen Tatsachen zu behaupten und soweit möglich auch zu belegen, die einen Vermögensverzicht ausschliessen. Ist ein einmal bestehendes Vermögen nicht mehr vorhanden, trägt sie die Beweislast dafür, dass es in Erfüllung einer rechtlichen Pflicht oder gegen eine adäquate Gegenleistung hingegeben worden ist. Dabei genügt weder die blosse Möglichkeit eines bestimmten Sachverhalts noch Glaubhaftmachen, sondern es gilt der Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit. Dieser ist erfüllt, wenn für die Richtigkeit der Sachbehauptung nach objektiven Gesichtspunkten derart gewichtige Gründe sprechen, dass andere denkbare Möglichkeiten vernünftigerweise nicht massgeblich in Betracht fallen. Bei Beweislosigkeit, d.h. wenn es dem Leistungsansprecher nicht gelingt, einen (überdurchschnittlichen) Vermögensrückgang zu belegen oder die Gründe dafür rechtsgenügend darzutun, wird ein Vermögensverzicht angenommen und ein hypothetisches Vermögen sowie darauf entfallender Ertrag angerechnet (<ref-ruling> E. 2.3.2; Urteil 9C_435/2017 vom 19. Juni 2018 E. 3.3 mit zahlreichen Hinweisen).
4.
Die Vorinstanz hat (mit Bezug auf das Jahr 2018) festgestellt, die anerkannten Ausgaben hätten sich auf Fr. 35'382.- belaufen. Diesen hätten tatsächliche Einnahmen in Form der AHV-Rente (Fr. 25'332.-) und eines geringfügigen Vermögensertrags (Fr. 274.-) gegenübergestanden. Damit hätten ihr real rund Fr. 10'000.- pro Jahr gefehlt. Unter Einbezug nur des vorhandenen Sparvermögens von Fr. 65'346.-, d.h. ohne Berücksichtigung von Verzichtsvermögen, hätte ein Ausgabenüberschuss von rund Fr. 7'000.- resultiert.
Weiter hat das kantonale Gericht mit Blick auf Verzichtsvermögen erwogen, es seien zwar Hinweise aktenkundig, dass der verstorbene Ehemann der Beschwerdegegnerin zu Lebzeiten namhafte Beträge verschenkt haben könnte. Ein entsprechender Vermögensverzicht sei aber nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit belegt. Insbesondere ergebe er sich nicht aus der naturgemäss einseitigen Sachverhaltsdarstellung in der erbrechtlichen Klageschrift vom 23. Juli 2015, und die Versicherte sowie der mutmasslich begünstigte Sohn D._ hätten dazu keine Angaben machen können. Da diesbezüglich kein Verzicht nachweisbar sei, verbiete sich die Anrechnung eines entsprechenden Vermögens gestützt auf Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG. Anlässlich eines im Jahr 2016 erfolgten Liegenschaftsverkaufs liege ebenfalls kein Vermögensverzicht vor; die entsprechenden Miteigentumsanteile seien mit dem jeweiligen Marktwert von Fr. 1'925.- bei den Steuerveranlagungen und bei der Erbteilung berücksichtigt worden.
Die Rechtsprechung des Bundesgerichts im Zusammenhang mit Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG sei gesetzeswidrig. Dessen Anwendung setze zwingend den Nachweis einer Verzichtshandlung voraus. Das gemeinsame Vermögen der Versicherten und ihres Ehemannes habe Ende 2009 Fr. 490'363.- und beim Ableben des Letzteren noch (30. Oktober 2014) Fr. 231'586.- betragen. Der entsprechende Vermögensverzehr (Fr. 258'777.-) sei lediglich im Umfang von Fr. 90'000.- nachvollziehbar. Der darüber hinausgehende Vermögensverbrauch (Fr. 168'777.-) dürfte sich zum Teil, d.h. im Umfang von Fr. 123'103.-, mit Zuwendungen des Verstorbenen an den Sohn D._ oder an Unternehmen, an denen dieser beteiligt gewesen sei, erklären lassen. Darin könne aber kein Verzicht durch die Versicherte erblickt werden. Bis zum Tod ihres Ehemannes sei sie denn auch gar nicht objektiv in der Lage gewesen eine Verzichtshandlung zu "begehen", weil der Ehemann ihr jedes Mitbestimmungsrecht in Bezug auf die Ausgaben und sogar die Einsicht in die finanziellen Verhältnisse verweigert habe. Hinsichtlich des Verbleibs des Restbetrags von Fr. 45'674.- bestehe eine objektive Beweislosigkeit, weshalb dieser Betrag nicht als Verzichtsvermögen, sondern als tatsächlich noch vorhandenes Vermögen bei der Berechnung der Ergänzungsleistung zu berücksichtigen sei.
Sodann habe sich das Vermögen der Versicherten zwischen dem 31. Oktober 2014 und Ende 2017 von Fr. 231'586.- um Fr. 166'253.- auf Fr. 65'333.- verringert. Allerdings habe sie in diesem Zeitraum an ihre beiden Söhne B._ und C._ insgesamt Fr. 26'845.- bezahlen, Todesfallkosten von Fr. 52'560.- begleichen und zur Deckung ihres ergänzungsleistungsrechtlichen Existenzbedarfs Fr. 31'670.- verzehren müssen. Damit resultiere noch ein Vermögensverbrauch von Fr. 55'178.-, der indessen möglicherweise durch die - wohl als angemessen zu qualifizierende - Anschaffung neuer Möbel erklärbar sei. Dafür seien aber keine Kaufbelege aktenkundig. Diesbezüglich habe die SVA die Untersuchungspflicht verletzt. Die Sache sei deshalb an die Verwaltung zurückzuweisen. Diese werde zu versuchen haben, anhand von Quittungen, Bankauszügen oder Nachfragen bei den entsprechenden Möbelhäusern (an deren Namen sich die Versicherte oder ihre Söhne noch erinnern dürften) die Kosten für die neue Wohnungseinrichtung zu ermitteln. Soweit angemessen seien sie vom Betrag von Fr. 55'178.- abzuziehen. Die verbleibende Differenz stelle nicht nachvollziehbarer, objektiv nicht nachweisbarer Vermögensverbrauch dar, weshalb sie ebenfalls als effektiv noch vorhandenes Vermögen bei der Anspruchsberechnung berücksichtigt werden müsse.
5.
5.1. Die SVA hält einerseits den vorinstanzlichen Umgang mit Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG unter verschiedenen Aspekten für bundesrechtswidrig. Anderseits bestreitet sie den Vorwurf, in Bezug auf den Vermögensverbrauch von Fr. 55'178.- resp. die allfällige Anschaffung neuer Möbel den Untersuchungsgrundsatz verletzt zu haben.
5.2. Wenn hinsichtlich der Möbelanschaffung nicht von ungenügender Sachverhaltsabklärung, sondern von Beweislosigkeit auszugehen ist, so ist gemäss dem angefochtenen Entscheid für die anrechenbaren Einnahmen anstatt eines Verzichtsvermögens von Fr. 266'464.- ein zusätzliches tatsächliches Vermögen von Fr. 100'852.- zu berücksichtigen. In diesem Fall ist ein Anspruch auf Ergänzungsleistungen bereits ausgeschlossen (vgl. vorangegangene E. 1.3) und der Einspracheentscheid vom 20. August 2019 (zumindest) im Ergebnis zu bestätigen.
5.3.
5.3.1. Sowohl das sozialversicherungsrechtliche Administrativverfahren als auch der kantonale Sozialversicherungsprozess sind vom Untersuchungsgrundsatz beherrscht (Art. 43 Abs. 1, Art. 61 lit. c ATSG). Danach haben Sozialversicherungsträger resp. das Sozialversicherungsgericht den rechtserheblichen Sachverhalt von Amtes wegen festzustellen. Diese Untersuchungspflicht dauert so lange, bis über die für die Beurteilung des streitigen Anspruchs erforderlichen Tatsachen hinreichende Klarheit besteht (Urteil 8C_641/2019 vom 8. April 2020 E. 3.3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Untersuchungsgrundsatz gilt nicht uneingeschränkt; er findet sein Korrelat in den Mitwirkungspflichten der Parteien (<ref-ruling> E. 5.2.3; <ref-ruling> E. 2; Urteil 8C_57/2019 vom 1. April 2019 E. 2.3; vgl. auch vorangehende E. 3.3).
5.3.2. Mit "Rückfrage" vom 14. August 2018 verlangte die SVA von der Versicherten insbesondere Rechnungen und Quittungen im Zusammenhang mit den Vermögensrückgängen in den Jahren 2011 bis 2017. Daraufhin übermittelte ihr Sohn B._ mit E-Mail vom 5. September 2018 verschiedene Dokumente, wobei er u.a. Folgendes ausführte: "Des Weiteren hat sie die ganze Wohnung neu eingerichtet." Nähere Angaben dazu machte er nicht, und er reichte auch keinen Beleg dafür ein. Am 29. Oktober 2018 teilte die SVA der Versicherten mit, welche Vermögenswerte sie in Anwendung von Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG anzurechnen gedachte. Im darauf folgenden Telefongespräch vom 30. Oktober 2018 mit der Versicherten stellte diese hinsichtlich der Vermögensreduktionen in Aussicht, dass sie versuchen werde, weitere Unterlagen einzureichen. Im Verlauf des Einspracheverfahrens erkundigte sich die SVA mit Schreiben vom 10. Mai 2019 erneut nach Erklärungen und Belegen für die Vermögensrückgänge. Mit Eingabe vom 11. Juni 2019 wurde insbesondere vorgebracht, die Versicherte habe 2014 ihre Wohnung neu möblieren müssen, "da das alte Mobiliar unbrauchbar" gewesen sei; dazu wurde auf den Erbteilungsvertrag vom 10. Juli 2016 verwiesen. Diesem Dokument lässt sich für den hier interessierenden Aspekt einzig entnehmen, dass die frühere Wohnung des Ehepaares "an den Vermieter abgegeben" wurde und der Hausrat "nicht verwertbar" war; daraus ergibt sich kein konkreter Anhaltspunkt für eine Anschaffung von neuen Möbeln, sondern lediglich, dass der Hausrat nicht in die Erbteilung einbezogen wurde. Ein anderer Hinweis auf einen Möbelkauf ist nicht aktenkundig.
5.3.3. Bei diesen Gegebenheiten musste der Versicherten - die im Einspracheverfahren anwaltlich vertreten war (vgl. zu den in diesem Fall geringeren Anforderungen an den Untersuchungsgrundsatz <ref-ruling> E. 5.2.3) - klar sein, dass es ihr im Rahmen der Mitwirkungspflicht oblag, Belege für die behauptete Anschaffung neuer Möbel einzureichen oder zumindest ihre lediglich pauschalen Behauptungen zu substanziieren. Dem kam sie indessen nicht nach. Damit war es nicht Aufgabe der Verwaltung, diesbezüglich weitere Abklärungen zu treffen; vielmehr durfte sie im hier interessierenden Punkt ohne Weiteres auf Beweislosigkeit schliessen. Die Vorinstanz hat Recht verletzt, indem sie, ohne sich mit den in concreto entscheidenden Umständen zu befassen, überzogene Anforderungen an die Untersuchungspflicht gestellt und die Sache deshalb zu weiteren Beweiserhebungen an die Verwaltung zurückgewiesen hat (vgl. Urteil P 47/99 vom 23. Februar 2000 E. 3b und c).
5.4. Nach dem Gesagten erübrigen sich in diesem Verfahren Weiterungen hinsichtlich der Fragen, ob die vorinstanzliche Handhabung von Art. 11 Abs. 1 lit. g ELG bundesrechtswidrig ist (vgl. aber immerhin vorangehende E. 3.2), und ob die Feststellungen im angefochtenen Entscheid, soweit sie sich auf die Höhe der anrechenbaren Einnahmen auswirken, unverbindlich sind (vgl. vorangehende E. 2). Die Beschwerde ist begründet.
6.
Dem Prozessausgang entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 1. Juni 2021 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen vom 20. August 2019 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. Oktober 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann