Faits :
A.
A.a. A._, né en 1969, travaillait depuis le 1er janvier 2018 comme pâtissier-confiseur pour la Confiserie-Tea-room B._ Sàrl et était à ce titre assuré contre le risque d'accidents auprès de Helsana Accidents SA (ci-après: Helsana). Le 5 août 2018, il a chuté à vélo et s'est réceptionné sur l'épaule droite, ce qui lui a occasionné une fracture non déplacée du trochiter droit et une fracture de l'extrémité dorsale du radius gauche. Helsana a soumis le cas à son médecin-conseil, le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, qui a conclu à un lien de causalité certain entre lesdites fractures et l'accident du 5 août 2018 et a escompté une reprise d'activité pour fin 2018.
L'assuré a été pris en charge par le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Se référant à une arthro-IRM de l'épaule droite réalisée le 8 janvier 2019, ce praticien a fait état dans un rapport du 9 janvier 2019 d'une fracture du trochiter non déplacée post-traumatique de l'épaule droite avec lésion partielle du tendon du sus-épineux droit, tendinopathie du long chef du biceps et lésion labrale de type SLAP. Compte tenu de la persistance de la symptomatologie douloureuse de l'épaule droite, qui a empêché la reprise du travail depuis l'accident, le docteur D._ a effectué le 6 février 2019 une arthroscopie sous la forme d'une suture du sus-épineux et ténotomie du long chef du biceps.
Dans un avis du 28 janvier 2019, le docteur C._ a situé le statu quo sine au plus tard à l'arthro-IRM du 8 janvier 2019, qui montrait selon lui que la fracture du trochiter était guérie et que le reste était dégénératif. Par décision du 6 février 2019, Helsana a signifié à l'assuré la prise en charge des prestations légales jusqu'au 8 janvier 2019 inclus, les traitements au-delà de cette date n'étant en revanche plus en rapport avec l'événement du 5 août 2018.
A.b. L'assuré, sous la plume de sa protection juridique, a fait opposition à cette décision et a produit un rapport du docteur D._ du 6 mars 2019, complété le 6 juillet 2019, selon lequel l'étiologie traumatique de la lésion tendineuse semblait être la plus vraisemblable. Se prononçant le 26 juillet 2019 sur l'avis du docteur D._, le docteur C._ a conclu à l'absence d'argument probant mais, "vu le contexte", a préconisé la mise en oeuvre d'une expertise qu'il proposait de confier au docteur E._, au docteur F._ ou au docteur G._, tous spécialistes en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur.
Par communication du 16 août 2019, Helsana a informé l'assuré qu'une expertise était mise en oeuvre auprès du docteur E._ et que l'examen y relatif interviendrait le 11 septembre 2019, un délai au 6 septembre 2019 étant imparti à l'intéressé pour faire part d'éventuelles remarques, objections ou questions complémentaires.
Dans son rapport du 12 novembre 2019, l'expert E._ a posé les diagnostics de maladie de Südeck post-opératoire de l'épaule droite, de status après ténotomie du long chef du biceps et suture du sus-épineux droit le 6 juin 2019 pour une tendinopathie interstitielle de ce dernier, ainsi que de status après chute à vélo le 5 août 2018 avec fractures peu déplacées du trochiter droit et du radius distal gauche, fractures guéries sans séquelles vers la fin de l'année 2018. Pour le reste, l'expert a estimé que le statu quo sine avait été retrouvé avant l'opération de l'épaule droite et que l'état de la coiffe des rotateurs n'était manifestement pas en lien de causalité naturelle avec l'accident, mais avec un état pathologique préexistant.
Le 28 janvier 2020, l'assuré a contesté les conclusions de l'expert E._. Dans ce contexte, il a notamment produit un rapport du docteur D._ du 3 décembre 2019 imputant une origine traumatique aux troubles de la coiffe des rotateurs, ainsi qu'un rapport du docteur H._ du 10 décembre 2019. Dans un complément d'expertise du 10 mars 2020, le docteur E._ a considéré que les docteurs D._ et H._ n'apportaient pas d'éléments nouveaux susceptibles de modifier ses conclusions. Dans un avis du 27 mai 2020, le docteur C._ a lui aussi écarté les appréciations des docteurs D._ et H._. Par décision sur opposition du 14 juillet 2020, Helsana a confirmé sa décision du 6 février 2019.
A.c. Lors d'un entretien téléphonique du 24 juillet 2020 avec Helsana, l'avocat Alexandre Guyaz, nouveau conseil de l'assuré, a critiqué l'octroi de mandats d'expertise au docteur E._ alors même que ce médecin et le docteur C._ étaient associés, et a remis en cause l'impartialité et l'indépendance de l'expert. Il a proposé l'annulation de la décision sur opposition du 14 juillet 2020 et la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise neutre, ce que Helsana a refusé par courriel du 28 juillet 2020 en se référant à un arrêt valaisan du 13 mars 2013 "confirm[ant] l'indépendance et l'impartialité du Dr E._". Par courriel du 29 juillet 2020, le mandataire de l'assuré a relevé que cet arrêt ne portait pas sur la question qu'il avait soulevée et qu'il allait donc déposer un recours.
B.
B.a. L'assuré a recouru le 8 septembre 2020 devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud contre la décision sur opposition du 14 juillet 2020, en concluant principalement à sa réforme dans le sens de l'octroi des prestations légales en lien avec l'accident du 5 août 2018 au-delà du 8 janvier 2019, et subsidiairement à son annulation suivie du renvoi de la cause à Helsana pour nouvelle décision. Dans ses motifs, le recourant a contesté l'impartialité de l'expert E._ au motif que celui-ci et le docteur C._ étaient associés. Il a précisé que l'on ne pouvait pas lui reprocher d'avoir tardé à se prévaloir d'un motif de récusation dans la mesure où son conseil actuel n'avait pris connaissance du dossier qu'en juillet 2020. A titre de mesures d'instruction, il a notamment requis la production par Helsana d'une liste anonymisée de toutes les expertises confiées au docteur E._ depuis 2010.
B.b. Helsana s'est opposée à cette mesure d'instruction, la jugeant sans pertinence au regard de la jurisprudence (<ref-ruling> consid. 1.3.3), et a conclu au rejet du recours. Elle a produit une prise de position du docteur C._ du 2 novembre 2020 contenant les déclarations suivantes: "Je précise que je ne suis pas l'associé du Dr E._. Notre cabinet n'est pas une S[à]rl ou SA. Nous ne faisons que partager les locaux et les frais qui en découlent, mais notre travail et nos revenus sont indépendants. Ceci signifie que je ne suis pas impliqué dans les choix et décisions de mon confrère, que cela soit concernant [s]es patients ou [s]es expertises".
B.c. Par arrêt du 8 juillet 2021, la cour cantonale a admis le recours, a annulé la décision sur opposition du 14 juillet 2020 et a renvoyé la cause à Helsana pour complément d'instruction dans le sens des considérants et nouvelle décision. Elle a considéré en bref qu'il existait un motif de récusation à l'encontre de l'expert E._, qui justifiait d'écarter le rapport d'expertise du 12 novembre 2019 et son complément du 10 mars 2020 et de mettre en oeuvre une nouvelle expertise orthopédique selon l'<ref-law>.
C.
C.a. Helsana interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour jugement au fond, en admettant l'absence de prévention de l'expert E._.
L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. La juridiction cantonale se réfère purement et simplement à son arrêt. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
C.b. Par ordonnance du 4 novembre 2021, le juge instructeur a requis de la recourante la production d'une liste anonymisée des cas dans lesquels elle a désigné le docteur E._ comme expert indépendant (<ref-law>) dans un dossier relevant de l'assurance-accidents depuis le 1er janvier 2010, avec indication des honoraires de l'expert.
La recourante a produit le 16 décembre 2021 un tableau dont il résulte les éléments suivants: Sur la période allant du 1er septembre 2009 au 31 août 2021, le docteur E._ a rendu 169 rapports d'expertise (dont environ 10 % sont des rapports d'expertise complémentaire) dans des dossiers relevant de l'assurance-accidents dans lesquels la recourante l'a désigné comme expert au sens de l'<ref-law> sur proposition du docteur C._ (étant précisé que celui-ci a parfois proposé plusieurs noms d'experts); il a encaissé à ce titre des honoraires pour un montant total de 562'920 fr. 90. Sur ces douze années, il a ainsi effectué pour la recourante une moyenne de 14 expertises ou compléments d'expertise par année (avec un plus haut de 30 en 2010 et un plus bas de 1 en 2020) et a encaissé un montant annuel moyen de 46'910 fr. à titre d'honoraires d'expert.
L'intimé a déposé de brèves observations sur cette pièce le 29 décembre 2021, tandis que la cour cantonale a indiqué n'avoir pas d'observations à formuler.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1). Le recours en matière de droit public (<ref-law>) est recevable contre les décisions qui mettent fin à la procédure (<ref-law>), ainsi que contre les décisions préjudicielles et incidentes qui sont notifiées séparément et qui portent sur la compétence ou sur une demande de récusation (<ref-law>). Une décision porte sur une demande de récusation lorsqu'elle tranche la question de la récusation d'un membre de l'autorité, tel qu'un juge; la jurisprudence a cependant admis que l'<ref-law> s'applique aussi à la décision sur la récusation d'un expert (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 15 ad <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2.1). En l'espèce, l'arrêt attaqué constitue indubitablement une décision préjudicielle ou incidente qui porte sur une demande de récusation en tant qu'il statue sur la question de la récusation de l'expert E._. Le recours est donc recevable au regard de l'<ref-law>, sans qu'il importe, contrairement à ce que semblent penser tant la recourante que l'intimé, que l'arrêt attaqué soit susceptible d'entrainer pour la recourante un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si la cour cantonale a violé le droit fédéral en retenant que l'intimé a demandé en temps utile la récusation de l'expert E._ (cf. consid. 4 infra) et qu'il existe un motif de récusation à l'encontre de celui-ci (cf. consid. 5 infra).
2.2. La présente procédure n'ayant pas pour objet l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, mais uniquement la question de la récusation, c'est la cognition ordinaire de l'<ref-law> et non la cognition élargie de l'<ref-law> qui s'applique (arrêt 8C_62/2019 du 9 août 2019 consid. 3.2 et les références, in SVR 2020 UV n° 10 p. 35). En conséquence, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il peut toutefois rectifier ou compléter d'office les constatations de l'autorité précédente si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Cette dernière hypothèse est en particulier réalisée lorsque l'autorité précédente n'a pas établi tous les faits déterminants pour la solution du litige, en violation de la maxime inquisitoire (JOHANNA DORMANN, in Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [édit.], Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3e éd. 2018, n° 60 ad <ref-law> et les références; NICOLAS VON WERDT, in Bundesgerichtsgesetz, 2e éd. 2015, n° 10 ad <ref-law>), telle qu'elle est prescrite en droit des assurances sociales par l'art. 61 let. c LPGA (RS 830.1). Si le caractère incomplet de l'état de fait saute aux yeux, le Tribunal fédéral peut intervenir d'office (<ref-ruling> consid. 6.2 in fine; JOHANNA DORMANN, op. cit., n° 65 in fine ad <ref-law>) et peut procéder lui-même à des mesures d'instruction (YVES DONZALLAZ, Loi sur le Tribunal fédéral, Commentaire, 2008, n° 4201 ad <ref-law>; NICOLAS VON WERDT, op. cit., n° 12 in fine ad <ref-law>; cf. par exemple <ref-ruling> et 136 II 281, s'agissant d'une inspection locale).
En l'espèce, le juge instructeur a procédé à une mesure d'instruction requise par l'intimé en procédure cantonale (cf. let. B.a et C.b supra).
3.
3.1. Selon l'<ref-law>, si l'assureur doit recourir aux services d'un expert indépendant pour élucider les faits, il donne connaissance du nom de celui-ci aux parties; celles-ci peuvent récuser l'expert pour des raisons pertinentes et présenter des contre-propositions. La communication du nom de l'expert doit notamment permettre à l'assuré de reconnaître s'il s'agit d'une personne à l'encontre de laquelle il pourrait disposer d'un motif de récusation. Lorsque l'intéressé soulève des objections quant à la personne de l'expert, l'assureur doit se prononcer à leur sujet avant Ie commencement de l'expertise (<ref-ruling> consid. 4.2.1 et les références).
3.2. Si un motif de récusation n'est découvert qu'au moment de la réalisation de l'expertise ou après celle-ci, le motif de récusation doit être invoqué dès que possible, soit en principe dès que le plaideur a connaissance du motif, faute de quoi il est réputé avoir tacitement renoncé à s'en prévaloir (JACQUES OLIVIER PIGUET, in Dupont/Moser-Szeless [édit.], Commentaire romand, Loi sur la partie générale des assurances sociales, Bâle 2018, n° 47 ad <ref-law>). Il est en effet contraire au principe de la bonne foi d'attendre l'issue d'une procédure pour ensuite, à l'occasion d'un recours, tirer argument d'un motif de récusation qui était connu auparavant (<ref-ruling> consid. 8.4.3; <ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 3.2.2).
3.3. Les objections que peut soulever l'assuré à l'encontre de la personne de l'expert peuvent être de nature formelle ou matérielle; les motifs de récusation formels sont ceux prévus par la loi (cf. <ref-law>); d'autres motifs, tels que le manque de compétence dans le domaine médical retenu ou encore un manque d'adéquation personnelle de l'expert, sont de nature matérielle (<ref-ruling> consid. 6.5; arrêt 9C_180/2013 du 31 décembre 2013 consid. 2.3; JACQUES OLIVIER PIGUET, op. cit., n° 24 ad <ref-law>).
3.4. S'agissant des motifs de récusation formels d'un expert, il y a lieu selon la jurisprudence d'appliquer les mêmes principes que pour la récusation d'un juge (<ref-ruling> consid. 2.1.3; <ref-ruling> consid. 7.1; <ref-ruling> consid. 3a), qui découlent directement du droit constitutionnel à un tribunal indépendant et impartial garanti par l'art. 30 al. 1 Cst. - qui en la matière a la même portée que l'art. 6 par. 1 CEDH (<ref-ruling> consid. 4.2) - respectivement, pour un expert, des garanties générales de procédure de l'art. 29 al. 1 Cst., qui assure à cet égard une protection équivalente à celle de l'art. 30 al. 1 Cst. (arrêts 8C_452/2020 du 7 octobre 2021 consid. 2.3.1; 5A_484/2015 du 2 octobre 2015 consid. 2.3.2 et les références).
Un expert passe ainsi pour prévenu lorsqu'il existe des circonstances propres à faire naître un doute sur son impartialité. Dans ce domaine, il s'agit toutefois d'un état intérieur dont la preuve est difficile à apporter. C'est pourquoi il n'est pas nécessaire de prouver que la prévention est effective pour récuser un expert. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale de l'expert. L'appréciation des circonstances ne peut pas reposer sur les seules impressions de l'expertisé, la méfiance à l'égard de l'expert devant au contraire apparaître comme fondée sur des éléments objectifs (<ref-ruling> consid. 7.1; <ref-ruling> consid. 3a et les références). Compte tenu de l'importance considérable que revêtent les expertises médicales en droit des assurances sociales, il y a lieu de poser des exigences élevées à l'impartialité de l'expert médical (<ref-ruling> consid. 7.1 in fine; <ref-ruling> consid. 3b in fine).
3.5. Selon la jurisprudence, le fait qu'un expert, médecin indépendant, ou une institution d'expertises sont régulièrement mandatés par un organe de l'assurance sociale, le nombre d'expertises ou de rapports confiés à l'expert, ainsi que l'étendue des honoraires en résultant ne constituent pas à eux seuls des motifs suffisants pour conclure au manque d'objectivité et à la partialité de l'expert (<ref-ruling> consid. 1.3.3 et les références; arrêt 9C_343/2020 du 22 avril 2021 consid. 4.3; cf. aussi arrêt 8C_112/2010 du 17 août 2010 consid. 4.1).
4.
4.1. En l'espèce, la cour cantonale a d'abord examiné si, comme le soutenait la recourante, le motif de récusation avait été invoqué tardivement. Elle a relevé que l'intimé n'avait aucune obligation générale - légale ou jurisprudentielle - d'effectuer des recherches quant à la personne de l'expert, singulièrement quant aux liens entretenus par ce dernier avec d'autres praticiens et avec le docteur C._ plus spécifiquement. On ne pouvait par ailleurs pas reprocher à l'intimé de ne pas avoir immédiatement réagi lorsqu'il s'était rendu dans les locaux partagés par les docteurs E._ et C._ le jour de l'expertise le 11 septembre 2019, quand bien même le nom de ces médecins figurait à l'entrée du cabinet. En effet, l'intimé n'avait jamais été examiné personnellement par le docteur C._ et avait tout au plus eu connaissance du nom de celui-ci à la lecture de certaines correspondances de la recourante (notamment un courrier du 17 décembre 2018 et la décision du 6 février 2019, adressés à l'intimé alors non représenté) largement antérieures à l'expertise. De telles circonstances n'étaient à l'évidence pas propres à lui faire garder en mémoire l'identité exacte du médecin-conseil de l'assureur, ni à faire le rapprochement avec le docteur C._ le jour de l'expertise. Ce rapprochement n'avait en définitive été fait que fortuitement à la faveur d'un changement de mandataire dans les suites de la décision sur opposition du 14 juillet 2020, après quoi le motif de récusation en découlant avait été directement invoqué devant la recourante puis auprès du tribunal cantonal, soit un enchaînement chronologique qui n'apparaissait en rien contraire au principe de la bonne foi.
4.2. La recourante reproche aux juges cantonaux d'avoir omis de tenir compte du fait que la protection juridique de l'intimé avait obtenu le 27 février 2019 une copie du dossier, comprenant notamment les appréciations médicales du médecin-conseil de l'assureur, et de n'avoir pas tiré les conséquences adéquates du fait que l'intimé avait été informé le 16 août 2019 du nom de l'expert et invité à formuler toutes remarques, objections ou questions complémentaires. Selon la recourante, on aurait pu attendre de l'avocate employée de la protection juridique qui avait représenté l'intimé dès février 2019 qu'elle effectue des recherches quant à la personne de l'expert proposé le 16 août 2019 par la recourante, plus particulièrement quant aux liens que cet expert (le docteur E._) entretiendrait avec elle et le médecin-conseil de celui-ci (le docteur C._), et qu'elle réagisse dès la communication du nom de l'expert. La recourante soutient en outre que l'intimé, qui était censé avoir connaissance des noms de ces deux médecins, aurait pu et dû réagir le jour de l'expertise en voyant ces deux noms sur la porte du cabinet de groupe. Dans ces circonstances, l'invocation du motif de récusation seulement après l'expertise, au moment du changement de mandataire, serait contraire au principe de la bonne foi.
4.3. Ces griefs apparaissent dénués de fondement. En effet, si l'avocate employée de la protection juridique qui a représenté l'intimé dès février 2019 savait, par les pièces du dossier, que le docteur C._ était intervenu comme médecin-conseil de la recourante, il n'est pas prétendu qu'elle savait, lorsqu'elle a reçu la communication du 16 août 2019 proposant de confier une expertise au docteur E._, que ce dernier exerçait au sein du même cabinet que le docteur C._. Par ailleurs, bien que l'on soit en droit d'attendre d'un assuré ou de son mandataire qu'il s'intéresse à la personne de l'expert proposé par l'assureur en vue de soulever un éventuel motif de récusation, l'avocate de la protection juridique n'avait en l'espèce aucune obligation générale - comme l'a relevé à juste titre la cour cantonale - d'effectuer des recherches quant à la personne du docteur E._, plus particulièrement quant aux liens que celui-ci entretiendrait avec la recourante et/ou avec le docteur C._. Quant à l'intimé lui-même, s'il avait bien pu avoir connaissance du nom du docteur C._ à la lecture de certaines correspondances qui lui avaient été adressées en décembre 2018 et février 2019 alors qu'il n'était pas encore représenté, il n'est pas établi qu'il aurait eu ce nom encore à l'esprit lorsqu'il s'est rendu le 11 septembre 2019 au cabinet du docteur E._ pour l'expertise. Ce n'est ainsi que lorsqu'il a consulté l'avocat Guyaz à la suite de la décision sur opposition du 14 juillet 2020 que l'intimé a eu connaissance des éléments lui permettant d'invoquer ce motif de récusation, ce que son mandataire a fait sans délai auprès de la recourante, puis - ensuite du refus de celle-ci d'entrer en matière - à l'appui d'un recours contre la décision sur opposition. L'arrêt attaqué échappe ainsi à la critique en tant qu'il retient que le motif de récusation a été invoqué en temps utile.
5.
5.1. Examinant le bien-fondé du motif de récusation soulevé par l'intimé à l'encontre de l'expert E._, la cour cantonale a constaté qu'il était admis que les docteurs C._ et E._ exploitaient ensemble un cabinet de groupe et que c'était le premier qui, initialement, avait proposé de confier un mandat d'expertise au second tout en avançant également le nom de deux autres confrères. Quand bien même le docteur C._ avait ultérieurement indiqué que le docteur E._ et lui-même se limitaient à partager des locaux et Ies frais y relatifs tout en demeurant indépendants dans l'exercice de leurs activités respectives, une telle constellation était de nature à créer objectivement l'apparence d'une prévention. Force était en effet de constater que deux spécialistes exploitant un même cabinet de groupe - qui plus est, un cabinet de petite taille impliquant des contacts autrement plus fréquents et étroits que ceux d'experts oeuvrant au sein d'un même centre d'expertise - avaient en définitive été sollicités par la recourante aux fins d'émettre des appréciations décisives pour le sort de la cause. Sous cet angle, le motif de récusation invoqué apparaissait donc fondé.
5.2. La recourante conteste l'appréciation de la cour cantonale quant à l'existence d'un motif de récusation. Elle soutient que les docteurs C._ et E._, conformément aux déclarations du premier (cf. let. B.b supra), ne seraient pas "associés" mais ne feraient que partager des locaux et Ies frais y relatifs tout en demeurant indépendants dans l'exercice de leurs activités respectives. Selon elle, une telle constellation ne serait pas de nature à créer objectivement une apparence de prévention, au vu de la jurisprudence selon laquelle la seule circonstance qu'un expert travaille pour le même institut ou laboratoire ou centre d'expertises qui a déjà émis un avis dans la même affaire n'autorise pas en soi à le croire incapable d'agir avec la neutralité voulue (cf. arrêt 8C_1058/2010 du 1er juin 2011 consid. 4, dans lequel il s'agissait d'une experte psychiatre oeuvrant au sein du même centre d'expertises qu'un autre expert psychiatre mandaté précédemment dans la même cause). Pour la recourante, "admettre que le fait de partager des locaux serait vecteur d'une apparence de prévention impliquerait des conséquences non négligeables et ouvrirait la porte à l'invocation de toutes sortes de motifs de récusation vis-à-vis des experts".
5.3. Quoi qu'en pense la recourante, la situation de deux médecins spécialistes en chirurgie orthopédique qui partagent les locaux et les frais d'un petit cabinet de groupe n'est pas comparable à celle de deux médecins psychiatres qui oeuvrent parallèlement au sein d'un même centre d'expertise pluridisciplinaire. En effet, l'appartenance à un même centre d'expertise, qui n'implique normalement pas une présence régulière dans les mêmes locaux, n'est pas de nature à favoriser des liens plus étroits que ceux pouvant exister entre des spécialistes qui se croisent à l'occasion hors de leur lieu de travail habituel (cf. arrêt 8C_1058/2010 précité consid. 4.6). Il en va en revanche différemment de deux médecins qui, à l'instar des docteurs C._ et E._, travaillent tous les jours dans les mêmes locaux au sein d'un petit cabinet de groupe dont ils partagent les frais. De tels contacts quotidiens doublés d'une communauté d'intérêts économiques à travers le partage des frais constituent des éléments objectifs suffisants - au vu des exigences élevées posées à l'impartialité des experts médicaux (cf. consid. 3.4 supra) - pour faire naître à tout le moins une apparence de prévention lorsque l'un des associés est désigné comme expert par un assureur accidents alors que son associé a déjà émis un avis médical sur le cas en tant que médecin-conseil dudit assureur. C'est ainsi à bon droit que la cour cantonale a, au vu de ces éléments, retenu une apparence de prévention de l'expert E._.
Dans ces conditions, il n'est pas nécessaire de trancher le point de savoir si les informations obtenues ensuite de la mesure d'instruction ordonnée par le Tribunal fédéral (cf. let. C.b supra) conduisent également à retenir une apparence de prévention de l'expert E._ (cf. consid. 3.5 supra).
5.4. Au vu de ce qui précède, l'arrêt attaqué échappe à la critique en tant qu'il retient qu'il existe un motif de récusation à l'encontre du docteur E._.
6.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>) et versera à l'intimé une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 27 avril 2022
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Wirthlin
Le Greffier : Ourny