Sachverhalt:
A.
C._ (nachfolgend Bauherr) ist Eigentümer des Grundstücks Nr. 995 in der Stadt Luzern (Grundbuch Luzern rechtes Ufer). Für dieses Grundstück ersuchte er am 7. November 2018 bei der Baudirektion der Stadt Luzern um Bewilligung des Abbruchs und Neubaus eines Wohnhauses mit Kleingastronomie oder Dienstleistungsgewerbe im Erdgeschoss sowie die Errichtung von offenen an den Neubau angebauten Terrassen auf dem benachbarten Grundstück Nr. 994. Gegen dieses Bauvorhaben erhoben unter anderem A._ und B._, Gesamteigentümerinnen des Nachbargrundstücks Luzern Nr. 996, während der öffentlichen Auflage Einsprache. Mit Entscheid vom 11. Juni 2019 erteilte die Baudirektion der Stadt Luzern dem Bauherrn die ersuchte Baubewilligung unter Auflagen und Nebenbestimmungen und wies die Einsprachen ab. Dagegen erhoben A._ und B._ Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern, welches das Rechtsmittel mit Urteil vom 16. Juni 2020 abwies.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 24. August 2020 gelangen A._ und B._ an das Bundesgericht. Sie beantragen die Aufhebung des kantonsgerichtlichen Urteils.
Das Kantonsgericht, die Baudirektion und der Bauherr beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdeführerinnen halten replikweise an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid der Vorinstanz im Bereich des Baurechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario; Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Als Gesamteigentümerinnen des Nachbargrundstücks sind die im vorinstanzlichen Verfahren unterlegenen Beschwerdeführerinnen zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>). Da die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht, unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts, gerügt werden (<ref-law>). Das kantonale Gesetzesrecht stellt, von hier nicht in Betracht fallenden Ausnahmen abgesehen (vgl. <ref-law>), keinen Beschwerdegrund dar. Das Bundesgericht prüft das fragliche kantonale Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.3 S. 14; <ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Nach der Praxis des Bundesgerichts verstösst ein Entscheid gegen das Willkürverbot (<ref-law>), wenn er nicht bloss in der Begründung, sondern auch im Ergebnis unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (vgl. <ref-ruling> E. 7.3 S. 174; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 287).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht sodann grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft die Verletzung von Grundrechten (Art. 7-34 BV) jedoch nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Wird die Verletzung des Willkürverbots gemäss <ref-law> gerügt, genügt es daher nicht, wenn in der Beschwerde bloss behauptet wird, der angefochtene Entscheid sei willkürlich. Vielmehr ist anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern dieser an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet. Auf Rügen, mit denen bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geübt wird, tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3 S. 262; 1 37 V 57 E. 1.3 S. 60; je mit Hinweisen).
3.
Die Beschwerdeführerinnen rügen eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) durch die Vorinstanz und damit zusammenhängend eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>).
3.1. Nach <ref-law> legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Abs. 1). Es kann diese Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Abs. 2). Die beschwerdeführende Person kann die Feststellung des Sachverhalts wiederum nur rügen, wenn diese offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-law>) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringungen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236). Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237).
3.3.
3.3.1. Die Beschwerdeführerinnen bringen vor, entgegen den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz grenze das neu geplante Wohn- und Geschäftshaus nicht nur an, sondern über die nördliche Grundstücksgrenze des Nachbargrundstücks Nr. 994 hinaus. Trotz ihrer entsprechenden Beanstandung habe die Vorinstanz diesen Umstand in willkürlicher Weise nicht berücksichtigt, obwohl dies für die Beurteilung der Fragen, ob das geplante Bauvorhaben die Vorgaben der geschlossenen Bauweise nach § 129 Abs. 1 des Planungs- und Baugesetzes des Kantons Luzern vom 7. März 1989 (PBG/LU; SRL 735) einhält und die auf das Grundstück Nr. 994 überragende Aussenmauer von der Bestandesgarantie nach § 178 PBG/LU miterfasst wird, entscheidwesentlich gewesen wäre. Infolgedessen habe die Vorinstanz sowohl den Sachverhalt unrichtig festgestellt als auch ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
3.3.2. Die Vorinstanz erklärt in der Begründung des angefochtenen Urteils, dass und weshalb sie zum Schluss kommt, das geplante Wohn- und Geschäftshaus genüge den Anforderungen der zwingend geschlossenen Bauweise gemäss § 129 PBG/LU. Sie führt hierzu aus, die Vorgaben von § 129 PBG/LU seien ohne Weiteres erfüllt, weil die vollständig an die nördliche Grenze des Nachbargrundstücks Nr. 944 grenzende Aussenmauer des Neubaus keine Öffnungen aufweise und damit den Anforderungen des Brandschutzes genüge (E. 4.3 des angefochtenen Urteils). Massgebend für die Bejahung der Einhaltung der geschlossenen Bauweise war für die Vorinstanz somit die Beschaffenheit der Aussenmauer, nicht aber deren Lage. Auch zur Frage des Umfangs der Bestandesgarantie des Nachbargebäudes auf dem Grundstück Nr. 994 äussert sich die Vorinstanz ausführlich. Soweit hier interessierend hat sie diesbezüglich erwogen, das Wohn- und Geschäftshaus auf dem Nachbargrundstück Nr. 994 falle zweifelsfrei unter die Besitzstandsgarantie gemäss § 178 PBG/LU. Zudem sei es dieses Gebäude, welches einen baupolizeiwidrigen Unterabstand zum Grundstück des Bauherrn aufweise, weshalb für diesen Zustand die Grundsätze der Besitzstandsgarantie nach § 178 PBG/LU weiterbestünden. Der geplante Neubau verstärke diese bestehende Rechtswidrigkeit nicht, sondern führe zumindest in optischer Hinsicht gar zu einer Verbesserung der Situation. Zudem seien trotz aller pauschalen Einwände der Beschwerdeführerinnen auch keine öffentlichen oder privaten Interessen erkennbar, welche den an den Neubau angebauten Erweiterungen auf das Nachbargrundstück Nr. 994 entgegenstehen oder eine Verstärkung der bestehenden Rechtswidrigkeit belegen würden. Infolgedessen seien die auf das Nachbargrundstück ragenden Anbauten des Neubaus von dessen Besitzstandsgarantie umfasst und damit zulässig (E. 4.4.3 f. des angefochtenen Urteils).
3.3.3. Die Vorinstanz ist im Rahmen ihrer genannten Ausführungen somit zwar nicht ausdrücklich auf das eingangs erwähnte Vorbringen der Beschwerdeführerinnen eingegangen. Anzeichen, dass sie dieses nicht zur Kenntnis genommen hätte, bestehen jedoch keine. Aus ihrer Begründung geht zudem zumindest implizit hervor, dass die Lage der an das Grundstück Nr. 944 grenzenden Aussenmauer nichts an ihren rechtlichen Beurteilungen zu ändern vermag. Die Beschwerdeführerinnen zeigen auch vor Bundesgericht nicht ansatzweise auf, ob und gegebenenfalls inwieweit die auf das Grundstück Nr. 944 ragende Aussenmauer entscheidwesentlich sein soll. Dies ist auch nicht ersichtlich, ergibt sich doch bereits aus den Baugesuchsunterlagen, dass für die im Umfang der Aussenisolation überragende Mauer ein zivilrechtliches Überbaurecht (<ref-law>) zugunsten des Grundstücks des Bauherrn besteht. Hierauf verwies auch schon die Baudirektion der Stadt Luzern im Rahmen ihrer Vernehmlassung im vorinstanzlichen Beschwerdeverfahren. Mangels dargelegter Entscheidrelevanz erweist sich somit die eingangs genannte Sachverhaltsrüge als unbegründet (vorne E. 3.1), auch wenn die Vorinstanz den Umstand der überragenden Isolation der Aussenmauer nicht in aller Deutlichkeit festgehalten hat. Dennoch ist die vorinstanzliche Begründung nach dem Ausgeführten so abgefasst, dass sich die Beschwerdeführerinnen über die Tragweite des Entscheids hinreichend Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an das Bundesgericht weiterziehen konnten. Dies gilt umso mehr, als die Vorinstanz auch sonst alle entscheidwesentlichen Überlegungen nennt, von denen sie sich hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt. Damit genügt die Begründung den Anforderungen der Begründungspflicht (vorne E. 3.2).
3.4. Zusammenfassend hat die Vorinstanz somit weder den rechtserheblichen Sachverhalt unrichtig oder gar willkürlich festgestellt, noch hat sie den Anspruch der Beschwerdeführerinnen auf rechtliches Gehör verletzt (vorne E. 3.2).
4.
4.1. In der Sache rügen die Beschwerdeführerinnen, die Vorinstanz habe die Einhaltung der Gebäudeabstandsvorschriften der beiden auf dem Baugrundstück geplanten Bauten (neues Wohn- und Geschäftshaus sowie zurückgebautes bestehendes Werkstattgebäude) in willkürlicher Weise einzig unter dem Aspekt der Bestandesgarantie gemäss § 178 PBG/LU geprüft. Dieses Vorgehen sei rechtswidrig, weil das bestehende, mit dem Werkstattgebäude verbundene Wohn- und Geschäftshaus abgebrochen und durch einen Neubau ersetzt werde. Die Bestandesgarantie nach § 178 PBG/LU komme daher gar nicht zur Anwendung, weshalb die ordentlichen Gebäudeabstandsvorschriften gemäss § 131 PBG/LU massgebend seien. Diese Abstandsvorschriften halte das geplante Bauvorhaben nicht ein.
4.2. Gemäss § 178 PBG/LU dürfen in Bauzonen rechtmässig erstellte Bauten und Anlagen, die den öffentlich-rechtlichen Bau- und Nutzungsvorschriften widersprechen, erhalten und zeitgemäss erneuert werden (Abs. 1). Sie dürfen zudem umgebaut, in ihrer Nutzung teilweise geändert oder angemessen erweitert werden, wenn dadurch ihre Rechtswidrigkeit nicht oder nur unwesentlich verstärkt wird (Abs. 2 lit. a) und keine überwiegenden öffentlichen oder privaten Interessen entgegenstehen (Abs. 2 lit. b).
4.3. Die Vorinstanz hat erwogen, das Bauvorhaben sehe nicht vor, dass auf dem Baugrundstück zwei neue Gebäude errichtet werden. Vielmehr werde neben dem Ersatzneubau des Wohn- und Geschäftshauses das bestehende Werkstattgebäude teilweise abgebrochen, wobei der verbleibende Teil als Velo- und Recyclingraum sowie als Gartenschuppen umgenutzt werde. Zusätzlich werde eine Treppe vom Hof auf das Dach errichtet. Das ursprüngliche Werkstattgebäude bleibe somit bestehen und geniesse deshalb gemäss § 178 PBG/LU Bestandesschutz. Die genannten baulichen Massnahmen am Werkstattgebäude seien zudem ohne Weiteres als Umbau und Umnutzung im Sinne von § 178 Abs. 2 lit. a PBG/LU zu qualifizieren. Da mit dem Bauvorhaben der bisher nicht vorhandene Gebäudeabstand zwischen dem Wohn- und Geschäftshaus und dem Werkstattgebäude durch einen solchen von immerhin 4,10 Meter ersetzt werde, werde die bestehende Rechtswidrigkeit durch das Bauvorhaben überdies nicht verstärkt, sondern sogar abgeschwächt. Schliesslich seien auch keine überwiegenden privaten oder öffentlichen Interessen erkennbar, die gegen die baulichen Massnahmen am Werkstattgebäude sprechen würden. Namentlich würden die Beschwerdeführerinnen in ihren Möglichkeiten der Bebauung ihres Grundstücks nicht beeinträchtigt. Infolgedessen sei das Bauvorhaben insoweit gestützt auf § 178 PBG/LU bewilligungsfähig, selbst wenn der gesetzliche Gebäudeabstand nicht eingehalten sein sollte (E. 5.3.2 des angefochtenen Urteils).
4.4. Die Ausführungen des Kantonsgerichts sind nachvollziehbar. § 178 PBG/LU belässt den Baubewilligungsbehörden einen Handlungsspielraum, welche Arten von Bauten und Anlagen von der Bestandesgarantie miterfasst werden. Es ist deshalb jedenfalls nicht offensichtlich unhaltbar (vorne E. 2.1), wenn das Kantonsgericht das bestehen bleibende Werkstattgebäude als rechtmässig erstellte und demzufolge in ihrem Bestand geschützte Baute im Sinne von § 178 PBG/LU erachtete. Die weiteren kantonsgerichtlichen Erwägungen, wonach mit dem geplanten Bauvorhaben die bestehende Rechtswidrigkeit abgeschwächt werde und dem Bauvorhaben auch sonst keine überwiegenden privaten oder öffentlichen Interessen entgegenstünden, stellen die Beschwerdeführerinnen nicht in einer den erhöhten Begründungsanforderungen genügenden Form in Abrede (vorne E. 2.2). Demzufolge ist auch die kantonsgerichtliche Schlussfolgerung, das Bauvorhaben sei gestützt auf § 178 PBG/LU bewilligungsfähig, selbst wenn der gesetzliche Gebäudeabstand nicht eingehalten sein sollte, bundesrechtlich nicht zu beanstanden. Die Willkürrüge der Beschwerdeführerinnen erweist sich somit als unbegründet.
5.
Die Beschwerde ist aus den genannten Gründen abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang werden die unterliegenden Beschwerdeführerinnen kostenpflichtig (<ref-law>) und sie haben dem anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegner eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdeführerinnen auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerinnen haben den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baudirektion der Stadt Luzern und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Hahn