Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 6. September 2018 verpflichtete der High Court of Justice, Chancery Division, die A._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdeführerin), der B._ Limited (Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) GBP 4'306'605.33 zu bezahlen.
B.
Am 13. Februar 2020 ersuchte die B._ Limited gestützt auf <ref-law> beim Bezirksgericht Hinwil um Vollstreckbarerklärung dieses Urteils. Am 24. Februar 2020 kam das Bezirksgericht dem Gesuch nach und erklärte das Urteil des High Court of Justice für vollstreckbar.
Die Gesuchsgegnerin erhob gegen das Exequatur Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses hiess die Beschwerde mit Urteil vom 15. September 2020 gut und wies das Gesuch um Vollstreckbarerklärung ab.
Mit Urteil 4A_551/2020 vom 26. Februar 2021 hob das Bundesgericht dieses Urteil auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück.
Mit Urteil vom 27. September 2021 wies das Obergericht die Beschwerde der Gesuchsgegnerin ab und bestätigte damit die vom Bezirksgericht erteilte Vollstreckbarerklärung.
C.
Die Gesuchsgegnerin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts vom 27. September 2021 sei aufzuheben und das Vollstreckungsgesuch vom 13. Februar 2020 sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht verzichtete auf Vernehmlassung.
Mit Präsidialverfügung vom 25. November 2021 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt, nachdem diese mit Präsidialverfügung vom 5. November 2021 bereits superprovisorisch gewährt worden war.

Erwägungen:
1.
Das Obergericht entschied im angefochtenen Urteil über die Vollstreckbarerklärung eines ausländischen Urteils nach Massgabe des Lugano-Übereinkommens vom 30. Oktober 2007 (LugÜ; SR 0.275.12). Gegen diesen Entscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht zulässig (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 1 BGG; vgl. ferner Art. 44in Verbindung mit Anhang IV LugÜ). Das Urteil ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer Vorinstanz im Sinne von <ref-law>. Der Streitwert übersteigt den nach <ref-law> geltenden Mindestbetrag von Fr. 30'000.--. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten.
2.
Anfechtungsobjekt bildet das Urteil des Obergerichts, welches die Vollstreckbarerklärung eines englischen Urteils gestützt auf das LugÜ bestätigt hat. Die Beschwerdeführerin stellt sich auf den Standpunkt, die Vollstreckung dieses Urteils in der Schweiz widerspreche dem hiesigen Ordre public.
2.1. Das englische Urteil, um dessen Vollstreckbarerklärung es geht, wurde am 6. September 2018 gefällt; das Exequaturverfahren in der Schweiz ist am 13. Februar 2020 eingeleitet worden. Massgebend ist - ungeachtet des Brexit - somit noch das LugÜ von 2007 (<ref-ruling> E. 6.1.1 und 6.1.2; Urteil 5A_1071/2020 vom 23. August 2021 E. 3.1).
2.2. Gemäss Art. 38 Nr. 1 LugÜ werden die in einem durch das LugÜ gebundenen Staat ergangenen Entscheidungen, die in diesem Staat vollstreckbar sind, in einem anderen durch das LugÜ gebundenen Staat vollstreckt, wenn sie dort auf Antrag des Berechtigten für vollstreckbar erklärt worden sind. Gegen die Entscheidung über den Antrag auf Vollstreckbarerklärung kann jede Partei einen Rechtsbehelf einlegen (Art. 43 Nr. 1 LugÜ). Die Vollstreckbarerklärung darf von dem mit dem Rechtsbehelf befassten Gericht nur aus den in den Art. 34 oder 35 LugÜ aufgeführten Gründen versagt oder aufgehoben werden (Art. 45 Nr. 1 LugÜ).
2.3. Dementsprechend kann die Vollstreckbarerklärung vom Rechtsbehelfsgericht gestützt auf Art. 45 Nr. 1 in Verbindung mit Art. 34 Nr. 1 LugÜ verweigert werden, wenn sie der öffentlichen Ordnung (Ordre public) des Staats, in dem sie geltend gemacht wird, offensichtlich widersprechen würde.
Der Ordre public hat sowohl einen materiellen als auch einen verfahrensrechtlichen Gehalt. Ein Verstoss gegen den materiellen Ordre public liegt vor, wenn das einheimische Rechtsgefühl durch die Anerkennung und Vollstreckung eines ausländischen Entscheids in unerträglicher Weise verletzt würde, weil dadurch grundlegende Vorschriften der schweizerischen Rechtsordnung missachtet werden (<ref-ruling> E. 5.2.3; <ref-ruling> E. 3.2). Der Vorbehalt des Ordre public ist restriktiv auszulegen. Namentlich genügt es nicht, dass die im Ausland getroffene Lösung von der nach schweizerischem Recht vorgesehenen abweicht oder in der Schweiz unbekannt ist (<ref-ruling> E. 3b S. 108).
2.4. Die ausländische Entscheidung darf keinesfalls materiell nachgeprüft werden (Art. 45 Nr. 2 LugÜ; auch <ref-law>). Dies bedeutet, dass das Rechtsbehelfsgericht nicht zu untersuchen hat, ob die ausländische Entscheidung in der Sache selbst aus tatsächlichen oder rechtlichen Gründen richtig oder falsch ist. Die Entscheidung muss sowohl hinsichtlich ihres Zustandekommens als auch ihres Ergebnisses so hingenommen werden, wie sie ergangen ist (Urteil 4A_228/2010 vom 6. Juli 2010 E. 5; ferner Urteil 5A_1056/2017 vom 11. April 2018 E. 6.1.2). Das Verfahren um Vollstreckbarerklärung ermöglicht kein Wiederaufrollen des ausländischen Prozesses (Urteil 5A_387/2016 vom 7. September 2016 E. 4.1).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin brachte vor Vorinstanz (und nun auch vor Bundesgericht) was folgt vor:
Hintergrund der Streitigkeit vor den englischen Gerichten sei ein Garantievertrag vom 27. März 2008 gewesen. Mit diesem habe sie (die Beschwerdeführerin) der Beschwerdegegnerin die Erfüllung von Verpflichtungen ihrer Schwestergesellschaft garantiert.
Sie (die Beschwerdeführerin) habe die zum Vorteil ihrer Schwestergesellschaft versprochene Garantie entschädigungslos und folglich nicht zu Drittbedingungen gewährt. Der Garantie komme daher Ausschüttungscharakter zu und sie verstosse gegen Art. 678 Abs. 2 sowie gegen <ref-law>, da weder damals noch heute frei verfügbares Eigenkapital im Umfang des Garantiebetrags vorhanden (gewesen) sei. Eine Vollstreckung des englischen Urteils, in dem sie gegenüber der Beschwerdegegnerin zur Zahlung unter dem Garantievertrag verpflichtet worden sei, führe zu einer Verletzung schweizerischer Eigenkapitalschutzbestimmungen, des Prinzips der Gläubigergleichbehandlung und "somit" des schweizerischen Ordre public.
3.2. Die Beschwerdegegnerin erwiderte, die Erfüllung der Garantie belaste das frei verfügbare Eigenkapital der Beschwerdeführerin nicht, da sich diese bei ihrer (solventen) indirekten Muttergesellschaft gestützt auf eine entsprechende Vereinbarung ("Deed of Indemnity") schadlos halten könne. Die materielle Garantieleistung werde damit wirtschaftlich von der Muttergesellschaft erbracht und einzig formell über die Beschwerdeführerin abgewickelt. Die Leistungen unter dem Garantievertrag stellten aus diesem Grund rechtlich gar keine Ausschüttungen im Sinne der Art. 678 und <ref-law> dar.
4.
Das Bundesgericht braucht im vorliegenden Fall nicht zu prüfen, ob der in Frage stehende Garantievertrag respektive die gestützt auf diesen Vertrag zu erbringenden Leistungen - unter schweizerischem Recht - allenfalls das Verbot der verdeckten Gewinnausschüttung (<ref-law>) oder das Verbot der Einlagerückgewähr (<ref-law>) verletzen. Auch kann dahingestellt bleiben, ob ein Verstoss gegen diese Bestimmungen einer Missachtung des schweizerischen Ordre public gleichkommt:
Gegenstand des englischen Verfahrens bildete sowohl nach den vorinstanzlichen Feststellungen als auch nach den übereinstimmenden Parteivorbringen der Garantievertrag vom 27. März 2008, der zwischen der Beschwerdeführerin und der konzernexternen Beschwerdegegnerin abgeschlossen wurde. Es geht nicht um ein rein mitgliedschaftsrechtliches, innergesellschaftliches Verhältnis; die Beschwerdeführerin widerlegt denn auch die obergerichtliche Feststellung nicht, die Beschwerdegegnerin sei weder nahestehende Dritte im Sinne von Art. 678 Abs. 1 und 2 OR noch Aktionärin gemäss <ref-law>. Vielmehr möchte die Beschwerdeführerin im Ergebnis diskutiert haben, inwiefern die behauptete Verletzung aktienrechtlicher Normen (die sich aus ihrem Verhältnis zur Schwestergesellschaft ergeben soll) auf die vertragliche Beziehung zwischen ihr und der - ausserhalb der Gesellschaft stehenden - Beschwerdegegnerin durchschlägt. Zu Recht hat das Obergericht darauf hingewiesen, dass sich in diesem Zusammenhang (aus einer Perspektive des schweizerischen Rechts) etwa Fragen hinsichtlich der Vertretungsbefugnis und der Vertretungsmacht der im Zeitpunkt des Vertragsabschlusses für die Beschwerdeführerin handelnden Organe, allenfalls der Gutgläubigkeit der Organe der Beschwerdegegnerin oder anderer vertraglicher Grundsätze stellen könnten. Die Behandlung dieser Problemkreise im vorliegenden Exequaturverfahren käme einer révision au fond gleich. Eine solche ist dem schweizerischen Vollstreckungs- und Rechtsbehelfsgericht ausdrücklich untersagt (Art. 45 Nr. 2 LugÜ). Weiterungen erübrigen sich.
5.
Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz das Vorliegen eines Vollstreckungsverweigerungsgrunds verneinte und folglich das erstinstanzliche Exequatur schützte. Die Beschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Nach <ref-law> dürfen im Vollstreckbarerklärungsverfahren keine nach dem Streitwert abgestuften Gebühren erhoben werden. Diese Bestimmung ist einzig auf die Gerichtsgebühren anwendbar. Die Parteientschädigung richtet sich nach dem Tarif, wobei für den Streitwert der im ausländischen Titel verurkundete Forderungsbetrag massgebend ist (statt vieler: HOFMANN/KUNZ, in: Basler Kommentar, Lugano-Übereinkommen, 2. Aufl. 2016, N. 73 f. zu <ref-law>). Die Gerichtskosten sind demnach streitwertunabhängig zu bemessen und betragen Fr. 5'000.--. Die Parteientschädigung ist ausgehend vom vorinstanzlich festgestellten Streitwert von Fr. 5'450'000.-- sowie mit Blick auf Art. 3 und 4 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (SR 173.110.210.3) auf Fr. 20'000.-- festzulegen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 20'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle