Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (geb. 1984) stammt aus dem Kosovo. Sie kam am 18. September 2003 im Rahmen eines Familiennachzugs in die Schweiz, wo ihr das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau (MIKA) am 25. September 2003 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem niederlassungsberechtigten Ehegatten erteilte. Aus der Beziehung gingen die Kinder B.A._ (geb. 2005), C.A._ (geb. 2006) und D.A._ (geb. 2008) hervor. Alle drei verfügen über Niederlassungsbewilligungen.
1.2. A.A._ und ihr Gatte wurden in der Schweiz straffällig und sozialhilfeabhängig. Am 28. November 2018 wurde der Ehemann aus der Schweiz ausgeschafft. Das MIKA AG lehnte es am 15. Mai 2019 ab, die Bewilligung von A.A._ zu verlängern; es hielt sie an, das Land zu verlassen. Die hiergegen eingereichten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Rechtsdienstes des MIKA vom 29. Januar 2020 und Urteil des Verwaltungsgerichts vom 15. Juni 2020).
1.3. A.A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau aufzuheben und ihre Bewilligung zu verlängern; allenfalls sei festzustellen, dass die Voraussetzungen für einen Härtefall erfüllt seien und das MIKA beim SEM um die Zustimmung zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung zu ersuchen habe. Es wurde darauf verzichtet, Akten und Vernehmlassungen einzuholen.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels gemäss Art. 29 Abs. 1 BGG von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476; <ref-ruling> E. 1, 471 E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1 S. 417). Ist jedoch die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, beschlägt die der Beschwerde führenden Partei obliegende Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG grundsätzlich auch die Eintretensvoraussetzungen; die für deren Vorliegen massgeblichen Aspekte müssen in diesem Fall aufgezeigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404). Hängt die Zulässigkeit des Rechtsmittels vom Bestehen eines Rechtsanspruchs ab, ist ein potenzieller Anspruch in vertretbarer Weise geltend zu machen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
2.2.
2.2.1. Gemäss Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Grundsätzlich unzulässig ist sie gegen Entscheide betreffend die ausländerrechtliche Wegweisung (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG). Die Beschwerdeführerin hält - wie die Vorinstanz - fest, dass sie "keinen Anspruch auf die Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleibs beim Ehegatten" habe (Art. 43 Abs. 1 AIG). Da sie mit ihrem Gatten immer noch verheiratet sei, komme "auch ein Anspruch [...] auf Erteilung einer originären Aufenthaltsbewilligung im Rahmen eines nachehelichen Härtefalls (Art. 50 AIG) nicht in Betracht". Sie erhebe hingegen Anspruch auf Erteilung einer Härtefallbewilligung im Sinne von Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG. Dabei handelt es sich indessen nicht um eine Anspruchs-, sondern um eine Ermessensbewilligung. Das Bundesgericht kann deshalb die Verweigerung, eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, nicht unter dem Titel von Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG überprüfen (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348; Urteile 2C_123/2020 vom 25. Juni 2020 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen).
2.2.2. Ein bundesgesetzlicher Anspruch auf Bewilligungsverlängerung besteht nicht. Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass sich in ihrem Fall ein Anspruch aus Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens) ableiten liesse (s. aber die entsprechende [qualifizierte] Rügepflicht nach Art. 106 Abs. 2 BGG). Ein derartiger Anspruch fiele ohnehin nicht ernsthaft in Betracht: Ausländerrechtlich relevante familiäre Beziehungen in der Schweiz bestehen nicht; die minderjährigen Kinder teilen ihrerseits das ausländerrechtliche Schicksal des sorge- und betreuungsberechtigten Elternteils und haben schon aus familienrechtlichen Gründen grundsätzlich mit diesem auszureisen, wobei allerdings offenbar die Niederlassungsbewilligungen der Kinder nicht widerrufen wurden, sodass diese rein ausländerrechtlich gesehen auch in der Schweiz bleiben könnten.
2.2.3. Zwar geht das Bundesgericht in seiner neueren Praxis davon aus, dass bei einer rechtmässigen Anwesenheit von zehn Jahren die Beendigung des Aufenthalts besonderer Gründe bedarf, da nach dieser Zeitspanne regelmässig eine gute Integration vorausgesetzt werden kann (vgl. <ref-ruling> ff.). Die Beschwerdeführerin begründet nicht, inwiefern - nachdem sie straffällig und fürsorgeabhängig geworden ist - die entsprechenden Voraussetzungen und insbesondere eine "gute Integration" gegeben wären; sie macht somit nicht in vertretbarer Weise geltend, über einen konventions- oder verfassungsrechtlichen Bewilligungsanspruch zu verfügen (vgl. auch E. 3 des angefochtenen Urteils). Es ergibt sich (schon mangels Berufung auf diese Konventionsnorm) vorliegend kein Bewilligungsanspruch aus Art. 8 EMRK. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist damit offensichtlich unzulässig (vgl. das Urteil 2C_123/2020 vom 25. Juni 2020 E. 2.6).
3.
3.1. Die Eingabe kann auch nicht als Verfassungsbeschwerde entgegen genommen werden: Soweit die Beschwerdeführerin in Bezug auf die Bewilligungsverweigerung und die Anwendung der diesbezüglichen Gesetzesnormen die Verletzung des Willkürverbots rügt, ist sie nicht legitimiert, eine Verfassungsbeschwerde zu führen, wird sie doch mangels Bewilligungsanspruchs in dieser Hinsicht nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen (Art. 115 lit. b BGG; s. <ref-ruling> ff.).
3.2. Verfahrensfehler, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommen und die das Bundesgericht im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde losgelöst von einem Anspruch in der Sache selber prüfen könnte (sog. "Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 1.1 und 2 S. 307 f.; Urteile 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 1.1; 2C_873/2013 vom 25. März 2014 E. 1.2;), macht die Beschwerdeführerin nicht geltend. Demzufolge kann auf die vorliegende Eingabe auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingetreten werden, zumal die Beschwerdeführerin nicht qualifiziert begründet (vgl. hierzu 2C_465/2019 vom 14. Juli 2020 E. 2; <ref-ruling> E. 1.4 S. 5; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254) darlegt, inwiefern die Vorinstanz konventions- oder verfassungsmässige Rechte verletzt hätte.
4.
4.1. Auf die offensichtlich unzulässige bzw. einer tauglichen Begründung entbehrende Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
4.2. Sind - wie hier - die Voraussetzungen für einen einzelrichterlichen Nichteintretensentscheid nach Art. 108 BGG erfüllt, kann der Einzelrichter das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in eigener Kompetenz abweisen (Urteil 2C_384/2020 vom 9. Juni 2020 E. 2.4, mit Hinweisen). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung kann angesichts der Aussichtslosigkeit des bundesgerichtlichen Rechtsmittels nicht entsprochen werden (vgl. Art. 64 BGG).
4.3. Die Beschwerdeführerin als unterliegende Partei hat somit die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG). Bei der Festsetzung von deren Höhe wird berücksichtigt, dass über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht vorweg entschieden wurde, was es der Beschwerdeführerin erlaubt hätte, ihre Beschwerde allenfalls (noch) zurückzuziehen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar