Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1960 geborene A._ liess sich im Mai 2010 von ihrem Ehemann scheiden, der seit 1. März 2015 eine ordentliche Altersrente der AHV bezieht. Die Ausgleichskasse des Kantons Zürich gewährte zusätzlich Kinderrenten von je Fr. 940.- monatlich für die gemeinsamen Söhne B._ (geb. Dezember 1992) und C._ (geb. April 1998). Diese wurden A._ als Inhaberin der elterlichen Sorge ausbezahlt.
A.b. Nachdem die Verwaltung Ausbildungsnachweise verlangt hatte, verurkundete A._ unter anderem den Lehrvertrag des B._ vom 22. August 2013 sowie eine Bestätigung, dass sich dessen Lehre zum Automobil-Mechatroniker EFZ infolge der Repetition des zweiten Ausbildungsjahres um ein Jahr bis im August 2017 verlängern werde (Schreiben vom 22. März 2016). Die Ausgleichskasse richtete in der Folge die Kinderrenten für das Jahr 2016 aus.
A.c. Am 24. Juli 2017 gab A._ an, der Lehrabschluss ihres Sohnes stehe wie geplant im August bevor. Gestützt darauf stellte die Ausgleichskasse die Kinderrente per Juli 2017 ein. Ausserdem forderte sie insgesamt Fr. 27'260.- (29 x Fr. 940.-) zurück, weil B._ ab 1. März 2015 bis 31. Juli 2017 ein durchschnittliches Bruttoeinkommen erzielt habe, das über der maximalen vollen Altersrente der AHV liege (Verfügung vom 18. August 2017). Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 1. März 2018 fest.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde der A._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 17. September 2019 teilweise gut. Es änderte den Einspracheentscheid vom 1. März 2018 dahingehend ab, dass A._ zur Rückzahlung zu viel ausgerichteter AHV-Kinderrenten von lediglich Fr. 17'860.- verpflichtet werde. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, der angefochtene Entscheid sowie der Einspracheentscheid vom 1. März 2018 seien aufzuheben und der Rückforderungsbetrag auf Fr. 10'340.- zu reduzieren.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist letztinstanzlich einzig, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es die Rückforderung unrechtmässig ausgerichteter Kinderrenten ab Januar 2016 bis und mit Juli 2017 von insgesamt Fr. 17'860.- (19 x Fr. 940.-) nicht als teilweise verwirkt erachtete (vgl. <ref-law>).
Nicht mehr im Streit liegt demgegenüber die Rückforderung für das Jahr 2015, nachdem die Vorinstanz diesbezüglich einen Anspruch auf eine Kinderrente bejahte (vorinstanzliche Erwägung 4.4).
2.1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen zu den Kinderrenten nach AHVG und deren Auszahlung an nicht oder nicht mehr miteinander verheiratete oder getrennt lebende Eltern zutreffend wiedergegeben (Art. 22ter AVHG in Verbindung mit <ref-law>). Dasselbe gilt für die Erwägungen hinsichtlich des Rentenanspruchs von Kindern in Ausbildung bis längstens zum vollendeten 25. Altersjahr (vgl. <ref-law>) sowie der in diesem Zusammenhang massgeblichen Obergrenze der maximalen vollen Altersrente der AHV (Art. 49bis Abs. 1 und 3 AHVV). Korrekt sind schliesslich auch die Darlegungen über die Rückforderung unrechtmässig bezogener Leistungen (<ref-law>), insbesondere was den Beginn der relativen einjährigen Verwirkungsfrist nach <ref-law> betrifft (vgl. statt vieler: <ref-ruling> E. 2.1 S. 525). Darauf wird verwiesen.
2.2. Für die Festlegung des durchschnittlichen monatlichen Erwerbseinkommens ist einzig der tatsächliche Verdienst massgebend, spricht <ref-law> doch ausdrücklich von erzieltem Erwerbseinkommen (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 447 mit Hinweis auf SVR 2014 IV Nr. 24 S. 84, 8C_875/2013 E. 3.4). Demnach kommt es im Zusammenhang mit der Verwirkung der Rückerstattung zu viel ausbezahlter Kinderrenten nicht auf das Wissen der Verwaltung im Zeitpunkt der Rentenausrichtung an (sog. "erster Anlass"). Vielmehr beginnt die einjährige Verwirkungsfrist nach <ref-law> erst zu laufen, wenn aufgrund des tatsächlichen Lohnes des Kindes feststeht (sog. "zweiter Anlass"), dass das während der Ausbildung erzielte Bruttoeinkommen den Grenzbetrag der vollen jährlichen Altersrente (hier: Fr. 28'200.-) übersteigt. In diesem Fall besteht kein Anspruch auf eine Kinderrente, weil das Kind nicht als in Ausbildung im Sinne von <ref-law> gilt (so [implizit] schon Urteile 8C_677/2017 vom 23. Februar 2018 E. 7.2 und 8C_777/2011 vom 1. Mai 2012 E. 5.3).
3.
Die Vorinstanz hat zum Beginn des Fristenlaufes gemäss <ref-law> erwogen, es habe sich erst Ende Jahr 2016 gezeigt, dass die Voraussetzungen für die Weiterausrichtung der Kinderrente nicht mehr bestanden hätten, da das von B._ erzielte Bruttoeinkommen relativ knapp über der maximalen jährlichen vollen Altersrente der AHV von Fr. 28'200.- (12 x Fr. 2350.-) gelegen habe; vor dem Zeitpunkt der Realisierung der höheren Monatslöhne im dritten Lehrjahr sei nicht sicher gewesen, ob dieser Grenzwert übertroffen werde. Jedenfalls sei die Ausrichtung der Kinderrente im Jahr 2016 als ursprünglich unrichtiges Handeln zu qualifizieren. Ihren Irrtum habe die Beschwerdegegnerin bei der internen Überprüfung vom 25. Juli 2017 bemerkt. Demzufolge sei die einjährige Verwirkungsfrist mit dem Erlass der Rückerstattungsverfügung vom 18. August 2017 gewahrt. Die Rückforderung von Fr. 17'860.- sei ausgewiesen und in diesem Umfang nicht verwirkt.
4.
4.1. Nach für das Bundesgericht verbindlicher (E. 1) Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz erzielte B._ vom 1. Januar bis zum 24. August 2016 im (repetierten) zweiten Lehrjahr einen Lohn von Fr. 2150.- monatlich. Danach und bis zum Ende des dritten Ausbildungsjahres belief sich sein Einkommen auf Fr. 2900.- im Monat.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Beschwerdegegnerin wäre bereits nach Eingang des Schreibens vom 22. März 2016 gehalten gewesen, den Anspruch auf eine Kinderrente zu überprüfen. Damit dringt sie nicht durch: B._ hatte bis Ende März 2016 erst drei Monatssaläre verdient, d.h. insgesamt Fr. 6450.- (3 x Fr. 2150.-). Dass der Verwaltung zu diesem Zeitpunkt der Lehrvertrag vom 22. August 2013 mit den voraussichtlichen Lehrlingslöhnen, insbesondere für das zweite und dritte Lehrjahr, und die Bestätigung des Bildungsamtes des Kantons Zürich vorlagen, wonach sich das Lehrverhältnis infolge der Repetition des zweiten Ausbildungsjahres bis am 25. August 2017 verlängern werde, begründet keine zumutbare Kenntnis über eine unrechtmässige Leistungsausrichtung. Dafür massgeblich ist allein das während der Ausbildung tatsächlich erzielte Einkommen (vgl. E. 2.2). Es steht fest, dass das Erwerbseinkommen des B._ erst Ende Jahr 2016 mit Fr. 30'950.- (9 x Fr. 2150.- + 4 x Fr. 2900.-) den Betrag der maximalen vollen Altersrente überstieg. Vorher konnte und musste die Beschwerdegegnerin weder dem Grundsatz nach noch im Ausmass Kenntnis über einen Rückerstattungsanspruch haben. Damit begann die relative Verwirkungsfrist nach <ref-law> nicht vor diesem Zeitpunkt zu laufen. Die Schlussfolgerung der Vorinstanz, wonach die mit der Verfügung vom 18. August 2017 geltend gemachte Rückforderung rechtzeitig erfolgt sei, ist daher bundesrechtskonform.
4.3. Auch der Einwand der Beschwerdeführerin, es seien lediglich die Kinderrenten von September 2016 bis und mit Juli 2017 zurückzuerstatten, was einen Betrag von Fr. 10'340.- (11 x Fr. 940.-) ausmache, zielt ins Leere.
Nach dem klaren Wortlaut des <ref-law> gilt ein Kind nicht als in Ausbildung, wenn es ein durchschnittliches monatliches Erwerbseinkommen ("revenu d'activité lucrative mensuel moyen", "reddito da attività lucrativa mensile medio") erzielt, das höher ist als die maximale volle Altersrente der AHV. Mit dem Hinweis auf den Einkommensdurchschnitt schliesst die Bestimmung zum vornherein aus, dass auf das in jedem einzelnen Monat erzielte Einkommen abgestellt und dieses mit dem monatlichen Höchstbetrag der vollen Altersrente verglichen wird (hier: Fr. 2350.-), worauf die Argumentation der Beschwerdeführerin letztlich hinaus läuft. Verdiente B._ im August 2016 einen Lohn von Fr. 2150.- und im Folgemonat einen solchen von Fr. 2900.-, so erlischt der Anspruch auf eine Kinderrente somit nicht vom einen auf den anderen Monat, sondern es ist das ganze (Ausbildungs-) Einkommen im betreffenden Kalenderjahr heranzuziehen und durch zwölf zu teilen (vgl. Wegleitung des Bundesamtes für Sozialversicherungen [BSV] über die Renten [RWL] in der Eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung, Rz. 3367 [Stand: 1. Januar 2019, identisch mit den Formulierungen der ab 1. Januar 2018 gültigen Fassung]). Daraus ergibt sich zwangsläufig, dass - wenn wie hier der Höchstbetrag im Durchschnitt überschritten wird (vgl. E. 4.2) - sämtliche während des Kalenderjahres unrechtmässig geleisteten Kinderrenten rückforderbar sind. Dass diese, wie die Beschwerdeführerin vorbringt, in der ersten Hälfte jedes Monats ausgerichtet werden (vgl. <ref-law>), ändert daran nichts. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Dezember 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder