Erwägungen:
1.
Mit Beschluss vom 3. November 2021 wies das Handelsgericht des Kantons Zürich in einem Forderungsprozess das Gesuch von A._ (Beschwerdeführer) um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege mangels Bedürftigkeitsnachweis ab.
A._ hat mit Eingabe vom 15. November 2021 beim Bundesgericht Beschwerde gegen diesen Beschluss erhoben und um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (auch) für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht.
Am 17. November 2021 ordnete das Bundesgericht an, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben hätten.
In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
3.
Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe sich in seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu seinem Vermögen geäussert. Dazu hätte er aber - so das Handelsgericht - Anlass gehabt, sei dem Gericht doch aus diversen anderen Verfahren bekannt, dass ihm und/oder seiner Ehefrau Beteiligungen an zwei Unternehmen zugeordnet würden und ihnen beim Verkauf einer Liegenschaft ein Erlös von Fr. 365'500.-- zugeflossen sein soll. Ausserdem sei der Beschwerdeführer schon in zahlreichen anderen Verfahren betreffend unentgeltliche Rechtspflege auf die Obliegenheit zur umfassenden Mitwirkung bei der Darlegung der gesamten Einkommens- und Vermögensverhältnisse hingewiesen worden.
An diesen Ausführungen geht der Beschwerdeführer vorbei. Er schildert frei und zu grossen Teilen losgelöst von den Feststellungen im angefochtenen Urteil seine Sicht der Einkommens- und Vermögenslage, ohne die - allein entscheidende - handelsgerichtliche Feststellung zu widerlegen, wonach er im vor Vorinstanz eingereichten Gesuch seine Vermögensverhältnisse nicht dargelegt habe. Inwiefern es Recht verletzen sollte, bei nicht ausreichender Substanziierung auf Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege zu schliessen, legt der Beschwerdeführer ebenfalls nicht dar. Damit enthält die Beschwerde offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> auf sie nicht einzutreten ist.
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung - dem das Bundesgericht im Sinne einer superprovisorischen Massnahme entsprochen hatte - gegenstandslos.
Das Begehren um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (siehe <ref-law>). Die Gerichtskosten sind gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der B._ AG und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle