Sachverhalt:
A.
Am 19. September 1991 erteilte der Gesundheitsrat des Kantons St. Gallen A._ zunächst eine örtlich und zeitlich befristete sowie am 19. September 1996 eine für den ganzen Kanton gültige, unbefristete Ausnahmebewilligung zur selbständigen Berufsausübung als Zahnarzt. Am 31. Januar 2012 eröffnete das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen ein Disziplinarverfahren gegen A._. In der Folge wurde ihm prozessual die Berufsausübungsbewilligung entzogen. Während der Hängigkeit des Verfahrens wies das Gesundheitsdepartement mit Verfügung vom 10. November 2015 unter anderem ein Gesuch von A._ um Einsicht in die nicht zu den Akten genommenen Patientenbeschwerden ab. Am 24. August 2017 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen eine bei ihm erhobene Beschwerde von A._ gut, soweit es darauf eintrat oder das Verfahren nicht gegenstandslos geworden war. In der Folge erteilte das Gesundheitsdepartement A._ am 6. November 2017 wieder die Berufsausübungsbewilligung.
Noch bevor das Verwaltungsgericht am 24. August 2017 entschied, stellte A._ am 2. Juni 2017 unter Berufung auf das kantonale Datenschutzrecht beim Gesundheitsdepartement ein Gesuch um vollständige Akteneinsicht und Auskunft hinsichtlich der Akten des Disziplinarverfahrens. Mit Schreiben vom 7. Juni 2017 teilte ihm das Gesundheitsdepartement mit, die Zuständigkeit sei aufgrund des damals hängigen Verfahrens auf das Verwaltungsgericht übergegangen. Am 6. November 2017 hiess das Verwaltungsgericht eine dagegen erhobene Beschwerde gut und wies die Sache an das Gesundheitsdepartement zurück. Dieses gewährte A._ mit Verfügung vom 4. Mai 2018 einen in dem Sinne beschränkten Zugang zu den nicht bearbeiteten Personendaten, dass sein Rechtsvertreter ohne Anonymisierung und inhaltliche Einschränkungen darin Einsicht erhalte, verbunden mit der Auflage, dass der Rechtsvertreter seinem Mandanten die Dokumente nicht aushändigen und ihm keine Auskünfte erteilen dürfe, die zur Identifizierung von Aufsichtsanzeigern führen könnten; erlaubt seien einzig Informationen über Umfang, Form und Inhalt der Patientenanzeigen; überdies hielt das Gesundheitsdepartement fest, dass es den Aufsichtsanzeigern nach erfolgter Akteneinsicht die sie je betreffenden Unterlagen zurückgeben werde. Dafür auferlegte das Departement A._ Verfahrenskosten von Fr. 1'500.--.
B.
Dagegen führte A._ am 22. Mai 2018 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses hiess die Beschwerde mit Entscheid vom 10. Februar 2019 teilweise gut, soweit es darauf eintrat, hob die Verfügung des Departements im Kostenpunkt auf und wies dieses an, dem Beschwerdeführer den geleisteten Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zurückzuerstatten; im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 18. März 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 10. Februar 2019 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Gericht zurückzuweisen, verbunden mit der Anweisung, sämtliche Verfahrensakten beim Gesundheitsdepartement anzufordern; eventuell sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und A._s Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 22. Mai 2018 gutzuheissen. Zur Begründung wird im Wesentlichen eine ungenügende Begründung des angefochtenen Entscheids, die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts durch das Verwaltungsgericht sowie die willkürliche Anwendung des einschlägigen kantonalen Rechts über den Datenschutz sowie über die Aktenführung und Archivierung geltend gemacht. In prozessualer Hinsicht ersuchte A._ um superprovisorische bzw. vorsorgliche Anordnung der aufschiebenden Wirkung.
Das Gesundheitsdepartement äusserte sich in einer Vernehmlassung vom 28. März 2019 nur zur Frage der superprovisorischen Gewährung der aufschiebenden Wirkung, reichte hingegen in der Sache keine Stellungnahme ein. Das Verwaltungsgericht schliesst ohne weitere Ausführungen und unter Verweis auf seinen angefochtenen Entscheid auf Abweisung der Beschwerde.
D.
Nachdem das Bundesgericht mit prozessleitender Verfügung vom 26. März 2019 angeordnet hatte, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um aufschiebende Wirkung alle Vollziehungsvorkehren zu unterbleiben hätten, erteilte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde am 12. April 2019 die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Zusammenhang mit der Anwendung des kantonalen Datenschutz- und Archivierungsrechts. Dabei handelt es sich um öffentlich-rechtliche Materien. Grundsätzlich steht daher die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (vgl. Art. 83 ff. BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als Beschwerdeführer vor dem Verwaltungsgericht sowie als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere, von hier nicht interessierenden weiteren Möglichkeiten abgesehen, die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann im Wesentlichen geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Bundesrecht bzw. gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze. Das Bundesgericht prüft kantonales Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz. Diese sei aktenwidrig davon ausgegangen, dass das Gesundheitsdepartement die hier massgeblichen Patientenbeschwerden als nicht beschwerdewesentlich beurteilt habe. Sie verweise dazu auf ihr früheres eigenes Urteil vom 24. August 2017, in dessen Begründung sie dasselbe bereits ausgeführt habe. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, das sei schon damals falsch gewesen, nur habe er, da damals seine Beschwerde gutgeheissen worden sei, diesen Fehler nicht mit einem Rechtsmittel korrigieren lassen können.
2.2. Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich im Sinne von Art. 9 BV ist (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweis). Willkür liegt nach ständiger Rechtsprechung nur vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, aktenwidrig sind oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; je mit Hinweisen).
2.3. Strittig ist in tatsächlicher Hinsicht, ob 15 Patientenbeschwerden im gesundheitsrechtlichen Verfahren gegen den Beschwerdeführer je Bedeutung erlangten oder nicht. Die Argumentation des Beschwerdeführers erweist sich insoweit als begründet, als das Verwaltungsgericht nicht unter Verweis auf sein früheres Urteil verbindlich feststellen konnte, die fraglichen Patientenbeschwerden hätten in diesem Zusammenhang keine Rolle gespielt. Es kann hier offen bleiben, wieweit die Begründung eines Urteils überhaupt an seiner Rechtskraft teilhat. So oder so wäre der Beschwerdeführer mangels Beschwer gar nicht befugt gewesen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. August 2017, mit dem seine damalige Beschwerde gutgeheissen worden war, anzufechten. Die strittige Feststellung des Verwaltungsgerichts ist trotzdem nicht unhaltbar. Das Gesundheitsdepartement hatte in zwei Erwägungen seiner Verfügung vom 10. November 2015 über die Akteneinsicht im gesundheitsrechtlichen Verfahren die 15 Patientenbeschwerden (neun in E. 4.1 und sechs in E. 4.14) zwar erwähnt, jeweils aber ausdrücklich angefügt, auf den Inhalt sei nicht einzugehen, und dazu auf E. 6 verwiesen. Von dieser Verfügung befindet sich nur das Deckblatt sowie die Dispositivseite (S. 1 und 106 von 107 Seiten) in den Akten. Der Beschwerdeführer ist aber offenbar im Besitz der Verfügung, denn er hat diese dem Bundesgericht auszugsweise eingereicht, allerdings ohne insbesondere die genannte E. 6. Die Formulierungen in den E. 4.1 und 4.14 lassen durchaus den Schluss zu, dass die fraglichen 15 Patientenbeschwerden im gesundheitsrechtlichen Verfahren nicht entscheidwesentlich waren. Indem der Beschwerdeführer E. 6 nicht eingereicht hat, vermag er nichts Gegenteiliges zu belegen. Die strittige Feststellung ist demnach nicht aktenwidrig bzw. offensichtlich unrichtig.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der angefochtene Entscheid sei nicht ausreichend begründet, was gegen Art. 29 Abs. 2 BV verstosse.
3.2. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Klärung des Sachverhaltes und stellt anderseits ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht der Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 102; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293; je mit Hinweisen). Dem Gehörsanspruch entspricht die Pflicht der Behörden, die Vorbringen tatsächlich zu hören, ernsthaft zu prüfen und in ihrer Entscheidfindung angemessen zu berücksichtigen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass die betroffene Person den Entscheid sachgerecht anfechten kann. Sie muss die wesentlichen Überlegungen enthalten, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Vorinstanz in ihrer Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen).
3.3. Der angefochtene Entscheid umfasst 14 Seiten. Die Vorinstanz setzte sich dabei mit den Rügen des Beschwerdeführers und den unterinstanzlichen Erwägungen auseinander. In E. 3 befasste sie sich über rund drei Seiten hinweg mit dem Auskunftsrecht des Beschwerdeführers und der dabei vorzunehmenden Interessenabwägung. Auch wenn die Erläuterungen zu letzterer möglicherweise etwas knapp ausgefallen sind, so ist doch ersichtlich und war auch für den Beschwerdeführer nachvollziehbar, aus welchen Gründen das Verwaltungsgericht die bei ihm erhobene Beschwerde in der Sache insoweit abwies. Im Übrigen brauchte die Vorinstanz nicht auf alle vom Beschwerdeführer vorgebrachten Argumente einzeln einzugehen. Eine gewisse Pauschalisierung der Begründung ist nicht unzulässig, wenn wie hier die entscheidende Instanz unter Ausschöpfung ihrer Kognition die vorgetragenen Rügen insgesamt behandelt. Der Beschwerdeführer vermochte denn auch den Entscheid des Verwaltungsgerichts vor Bundesgericht sachgerecht anzufechten. Damit liegt kein Verstoss gegen die Begründungspflicht nach Art. 29 Abs. 2 BV vor.
4.
Der Beschwerdeführer rügt in mehrfacher Hinsicht, das Verwaltungsgericht habe kantonales Recht willkürlich angewendet. Gemäss der ständigen Praxis des Bundesgerichts ist ein Entscheid willkürlich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3 S. 174 f. mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; 167 E. 2.1 S. 168; <ref-ruling> E. 2.4 S. 5; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; je mit Hinweisen). Da der angefochtene Entscheid nur aufzuheben ist, wenn er im Ergebnis und nicht bloss in der Begründung gegen die Verfassung verstösst, hat das Bundesgericht die Möglichkeit, die Motive des umstrittenen Entscheids zu ersetzen oder zu ergänzen. Das gilt dann, wenn der massgebliche Sachverhalt aus den Akten hinreichend ersichtlich ist und die rechtliche Situation als klar erscheint und wenn die letzte kantonale Instanz die substituierte Begründung nicht ausdrücklich abgelehnt hat (vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 248; Urteil des Bundesgerichts 1P.188/2005 vom 14. Juli 2005 E. 5.2; je mit Hinweisen).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer beanstandet zunächst, das Verwaltungsgericht habe das einschlägige kantonale Verfahrensrecht, namentlich Art. 64 in Verbindung mit Art. 52 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 (VRP; sGS 951.1), willkürlich angewendet, indem es nicht sämtliche Verfahrensakten beigezogen habe. Er meint damit offenbar, dass sämtliche Akten des gesundheitsrechtlichen Verfahrens im hier strittigen datenschutzrechtlichen Verfahren hätten beigezogen werden müssen.
5.2. Nach Art. 64 VRP gelten die Bestimmungen über den Rekurs und ergänzend das Verwaltungsverfahren sinngemäss auch für die Beschwerde an das Verwaltungsgericht. Gemäss Art. 52 VRP ist im Rekursverfahren und damit durch den Verweis in Art. 64 VRP auch im Beschwerdeverfahren die Vorinstanz zur Überweisung der Akten verpflichtet.
5.3. Es ist nicht willkürlich, im datenschutzrechtlichen Verfahren nur die insoweit massgeblichen Unterlagen zu den Akten zu nehmen. Andere Akten aus parallelen oder früheren Verfahren sind nur dann zwingend beizuziehen, wenn sie für die zu entscheidenden datenschutzrechtlichen Fragestellungen von Belang sind. Im vorliegenden Zusammenhang erscheint es daher nicht erforderlich, sämtliche Akten des gesundheitsrechtlichen Verfahrens einzuholen, auch wenn sich dort unter dem Gesichtspunkt der Akteneinsicht ähnliche Fragen gestellt haben mögen. Jedenfalls vermag der Beschwerdeführer nicht darzulegen, inwiefern der integrale Beizug der gesundheitsrechtlichen Akten im vorliegenden Verfahren unausweichlich sein sollte. Folgerichtig darf im datenschutzrechtlichen Verfahren jedoch auch nur auf die hier vorliegenden Akten abgestellt werden. Die Unterlagen des datenschutzrechtlichen Verfahrens unter Einschluss der strittigen Patientenbeschwerden befinden sich in den dem Bundesgericht vom Verwaltungsgericht zugestellten Prozessakten. Soweit es um die in E. 2.3 bereits angesprochene Verfügung des Gesundheitsdepartements vom 10. November 2015 über die Akteneinsicht im gesundheitsrechtlichen Verfahren geht, hätte es dem Beschwerdeführer im Übrigen wie schon dargelegt offen gestanden, diese selbst ins Verfahren einzubringen. Der angefochtene Entscheid ist daher nicht deswegen willkürlich, weil das Verwaltungsgericht nicht alle Akten des gesundheitsrechtlichen Verfahrens eingeholt hat.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer beanstandet weiter, das Verwaltungsgericht habe Art. 18 des Datenschutzgesetzes vom 20. Januar 2009 des Kantons St. Gallen (DSG; sGS 142.1) willkürlich angewendet.
6.2. Nach Art. 17 DSG erteilt ein öffentliches Organ einer betroffenen Person auf grundsätzlich schriftliches Gesuch hin und gegen Ausweis über die Identität in der Regel schriftliche Auskunft, welche Personendaten über sie bearbeitet werden (Abs. 1); auf Verlangen der betroffenen Person wird Einsicht in die Personendaten gewährt (Abs. 2). Gemäss Art. 18 DSG lehnt das öffentliche Organ Auskunft und Einsicht ab, schränkt sie ein oder verbindet sie mit Auflagen, soweit öffentliche oder schutzwürdige private Interessen Dritter überwiegen oder ein Gesetz im formellen Sinn dies vorsieht.
6.3. Im vorliegenden Fall bewilligte das Gesundheitsdepartement die Einsicht nur beschränkt, indem der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers die ganzen Akten erhalten soll und frei darin Einsicht nehmen kann, diese aber dem Beschwerdeführer nicht aushändigen und ihm keine Auskünfte erteilen darf, die zur Identifizierung von Aufsichtsanzeigern führen könnten; erlaubt sind einzig Informationen über Umfang, Form und Inhalt der Patientenanzeigen. Es ist nicht umstritten, dass es um Personendaten geht, ein schriftliches Gesuch um Einsicht vorliegt und einschränkende Massnahmen grundsätzlich zulässig sind. Strittig ist einzig, ob die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen durfte, die Interessen an einer eingeschränkten Einsicht würden die entgegenstehenden Interessen des Beschwerdeführers an einer freien Einsicht überwiegen.
6.4. Der Beschwerdeführer macht ein Interesse an voller Kenntnis der Umstände, die zum gesundheitsrechtlichen Verfahren gegen ihn geführt haben, geltend. Soweit er eigentliche gesundheitsrechtliche Interessen anruft, ist er nicht zu hören, ist das entsprechende Verfahren doch rechtskräftig abgeschlossen und wurde bereits im darin integrierten rechtskräftigen Zwischenverfahren über die Akteneinsicht über seine diesbezüglichen Einsichtsinteressen entschieden. Das gilt auch insoweit, als er behauptet, wissen zu wollen, wieweit die Akten im gesundheitsrechtlichen Verfahren tatsächlich massgeblich gewesen seien oder nicht. Der Beschwerdeführer hat jedoch ein Interesse daran abzuklären, ob das Departement und seine Mitarbeiter im gesundheitsrechtlichen Verfahren, in dem er letztlich obsiegt hat, in möglicherweise relevanter Weise rechtswidrig gehandelt haben, um allfällige weitere Rechtsschritte prüfen zu können. Es ist aber nicht ersichtlich, dass er dafür selbst Einsicht in alle Akten nehmen können muss. Vielmehr kann er die entsprechende Tat- und Rechtslage von seinem Rechtsvertreter prüfen lassen.
6.5. Das Verwaltungsgericht geht davon aus, die privaten Anzeigeerstatter seien vor möglichen Repressalien oder sonstigem einschüchterndem Verhalten des Beschwerdeführers zu schützen. Die Vorinstanz verwies auf ihren eigenen Entscheid vom 24. August 2017, wonach sich der Beschwerdeführer gegenüber Mitarbeitern des Departements aktenkundig "sowohl von der Wortwahl als auch inhaltlich wiederholt in nicht gerechtfertigter und verletzender Art" verhalten habe. Das steht in einem gewissen Widerspruch dazu, dass das Verwaltungsgericht dem Beschwerdeführer im gleichen Urteil die gesundheitsrechtlich für die (Wieder) Erteilung der Berufsausübungsbewilligung erforderliche Vertrauenswürdigkeit zusprach. Der Beschwerdeführer gibt gegenüber dem Bundesgericht überdies die Zusicherung ab, nicht gegen Patienten vorzugehen. Es gibt keinen Grund, an der Ernsthaftigkeit dieser Zusicherung zu zweifeln, zumal der Beschwerdeführer darauf behaftet werden kann. Indessen benötigt der Beschwerdeführer gar nicht mehr Informationen, um seine allfälligen Rechte gegenüber dem Departement und dessen Mitarbeitern wahrzunehmen. Sein Rechtsvertreter hat volle Einsicht in die Akten und kann daraus die nötigen Schlüsse ziehen und den Beschwerdeführer über den insofern wesentlichen Inhalt der Patientenanzeigen orientieren. Es ist nicht ersichtlich, dass dieser dafür selbst volle Einsicht bräuchte. Ebenso wenig muss der Rechtsvertreter dafür Einsicht in die Patientendatei des Beschwerdeführers nehmen, wovon dieser auszugehen scheint, was mit dem Arztgeheimnis in Konflikt geraten könnte. Ob sich unter den Anzeigern Personen befanden, die gar nicht Patienten des Beschwerdeführers sind oder waren, ist jedenfalls nicht von Belang, wenn das Verwaltungsgericht, wie dargelegt (vgl. vorne E. 2.3), willkürfrei davon ausgehen durfte, dass die fraglichen Akten im gesundheitsrechtlichen Verfahren keine Berücksichtigung gefunden haben.
Hinzu kommt ein gewisses öffentliches Interesse an der Anonymisierung der Patientenanzeiger aus einer allgemeinen präventiven Sicht. Erhält der Beschwerdeführer selbst Einsicht in anonymisierte Anzeigen, erscheint es nicht ausgeschlossen, dass er aufgrund seiner Patientendatei herausfinden könnte, wer die Anzeiger sind. Wird bekannt, dass die Behörden die betroffenen Medizinalpersonen integral über allfällige Patientenanzeiger informieren müssen, selbst wenn sie die entsprechenden Anzeigen nicht befolgen bzw. als irrelevant erachten, könnte dies abschreckende Wirkung für künftige Fälle haben. Betroffene Patienten würden sich möglicherweise davon abhalten lassen, Anzeigen einzureichen, weil sie eventuell mit nachteiligen Folgen rechnen müssten, oder sie würden ihre Anzeigen nur noch anonym erstatten. Gerade um anonymes Denunziantentum nicht zu fördern, besteht ein öffentliches Interesse daran, dass Patientenanzeiger nicht mit einer umfassenden Information der betroffenen Medizinalpersonen selbst über die Bedürfnisse des gesundheitsrechtlichen Verfahrens hinaus rechnen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 6c S. 165 ff.). Dieses Argument wird zwar so vom Verwaltungsgericht nicht angerufen, von diesem aber auch nicht ausgeschlossen, so dass es vom Bundesgericht als ergänzende Begründung mitberücksichtigt werden kann.
6.6. Zu beachten ist sodann, dass der Beschwerdeführer von der ihm bereits im Jahr 2014 im gesundheitsrechtlichen Verwaltungsverfahren eingeräumten Möglichkeit, in die anonymisierten Patientenbeschwerden Einsicht zu nehmen, keinen Gebrauch gemacht hat. Auch die seinem Rechtsvertreter vom Verwaltungsgericht am 12. Juli 2016 gestattete Einsichtsmöglichkeit in die nicht anonymisierten Patientenbeschwerden hat er nicht genutzt. Er hätte dabei zumindest prüfen können, ob ihm dadurch nicht doch genügend Informationen offen gestanden wären, um die Rechtslage im Hinblick auf das aus seiner Sicht verdächtige Verwaltungshandeln zu prüfen.
6.7. Insgesamt ist es daher nicht unhaltbar, die verfügte Einschränkung der datenschutzrechtlichen Akteneinsicht als verhältnismässig zu beurteilen. Der angefochtene Entscheid verstösst insofern nicht gegen das Willkürverbot von Art. 9 BV.
7.
7.1. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer die willkürliche Anwendung von Art. 10 des Gesetzes über Aktenführung und Archivierung vom 19. April 2011 des Kantons St. Gallen (GAA; sGS 147.1), weil das Verwaltungsgericht den Entscheid des Departements schützte, die fraglichen 15 Patientendossiers nach erfolgter Akteneinsicht an die Anzeigeerstatter zurückzugeben. Nach Art. 10 GGA ist das öffentliche Organ für die Aktenführung verantwortlich (Abs. 1); u.a. bewahrt es dabei die Unterlagen bis zum Vollzug des Entscheids des zuständigen Archivs über deren Archivwürdigkeit auf (Abs. 2). Der Beschwerdeführer beruft sich ergänzend auf eine Vereinbarung zwischen dem Staatsarchiv St. Gallen und dem Rechtsdienst des Generalsekretariats des Gesundheitsdepartements vom 1. Februar 2012, wonach gesundheitspolizeiliche Personendossiers sowie Aufsichtsbeschwerden dauernd aufzubewahren sind.
7.2. Nach Art. 11 GAA bietet das öffentliche Organ die Unterlagen, die es zur Erfüllung seiner Aufgaben nicht mehr benötigt, dem zuständigen Archiv zur Übernahme an; dieses bewertet die Unterlagen und entscheidet nach Anhörung des öffentlichen Organs über die Archivwürdigkeit (Art. 12 GAA). Die Vorinstanzen gehen jedoch davon aus, dass die fraglichen Patientenanzeigen nicht zu archivieren seien, weil sie gar nicht als verfahrensrelevant beurteilt worden seien. Nach dem Verwaltungsgericht gehe es im Ergebnis darum, die Aufsichtsanzeiger über die Nichtbearbeitung ihrer Anzeigen in Kenntnis zu setzen.
7.3. Ob der Beschwerdeführer aus der von ihm angerufenen Vereinbarung zwischen dem Staatsarchiv und dem Gesundheitsdepartement etwas zu seinen Gunsten ableiten kann, erscheint fraglich. Grundsätzlich handelt es sich dabei um eine rein verwaltungsinterne Abmachung ohne Aussenwirkung. Berufen kann er sich hingegen auf die gesetzliche Regelung, und er kann dabei deren willkürliche Handhabung rügen. Nach Art. 10 Abs. 3 GAA muss das Departement die Unterlagen zumindest bis zum Vollzug des Entscheids des Staatsarchivs über deren Archivwürdigkeit aufbewahren. Dass ein solcher Entscheid ergangen ist, wird von keiner Seite behauptet. So oder so ist der entsprechende Entscheid der Vorinstanzen nicht nachvollziehbar. Dass die Anzeigeerstatter über die Nichtbearbeitung ihrer Anzeigen in Kenntnis gesetzt werden sollen, was grundsätzlich nicht zu beanstanden ist, bedingt die Rückgabe ihrer Anzeigeunterlagen nicht, sondern kann auch durch eine reine Mitteilung geschehen. Nach Art. 2 GAA dienen die Aktenführung und Archivierung insbesondere der Rechtssicherheit (lit. a), der Nachvollziehbarkeit des Handelns des öffentlichen Organs (lit. b) sowie der kontinuierlichen und wirksamen Verwaltungsführung (lit. c). Damit definiert das Gesetz die öffentlichen Interessen für die Archivierung. Auch wenn im vorliegenden Fall die fraglichen Patientenanzeigen im Ergebnis gesundheitsrechtlich nicht als relevant eingestuft wurden, befanden sie sich doch während einiger Zeit im entsprechenden Dossier, weshalb aus Gründen der Rechtssicherheit, der Nachvollziehbarkeit der Verfahrensführung des Departements sowie der Kontrolle der allgemeinen Verwaltungsführung ein gewisses öffentliches Interesse an der Archivierung bestehen kann. Das Anliegen des Beschwerdeführers, die Verwaltungsführung in seinem Fall zu überprüfen und eventuell entsprechende Rechtsschritte zu unternehmen, belegt überdies mögliche private Interessen. Die Verfolgung dieser öffentlichen und privaten Interessen darf nicht erschwert oder sogar verunmöglicht werden, indem einzelne Unterlagen verfrüht aus den Akten entfernt werden mit der Folge, dass sie danach voraussichtlich nicht mehr erhältlich sind und später auch nicht mehr eingesehen bzw. in einem allfälligen Verfahren angerufen werden können. Damit bleibt allerdings offen, ob nicht später gemäss einem allfälligen entsprechenden Entscheid des Staatsarchivs über die Archivwürdigkeit der fraglichen Unterlagen doch noch deren Rückgabe angeordnet werden dürfte.
7.4. Der angefochtene Entscheid steht in diesem Punkt in klarem Widerspruch zum kantonalen Recht, erweist sich insofern als unhaltbar und ist im entsprechenden Umfang wegen Verstosses gegen das Willkürverbot nach Art. 9 BV aufzuheben.
8.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen und der angefochtene Entscheid insoweit aufzuheben, als er damit die Anordnung der Rückgabe der strittigen Patientenanzeigen an die Anzeigeerstatter schützt. Ergänzend ist der angefochtene Entscheid auch im Kosten- und Entschädigungspunkt aufzuheben. Das Verwaltungsgericht wird darüber gemäss dem Verfahrensausgang für das verwaltungsgerichtliche Verfahren neu zu entscheiden haben; es wird auch über die Entschädigungsfrage im unterinstanzlichen Verfahren neu zu befinden haben, nicht aber über den entsprechenden Kostenpunkt, da dieser im angefochtenen Entscheid wegen der grundsätzlichen Kostenlosigkeit des datenschutzrechtlichen Verwaltungsverfahrens bereits zu Gunsten des Beschwerdeführers entschieden wurde (vgl. E. 3.3 und Dispositivziffer 1 erster Satz des angefochtenen Entscheids), was hier nicht mehr Streitgegenstand bildet. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ergebnis sind dem mehrheitlich unterliegenden Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 65 f. BGG). Gleichzeitig hat der Kanton St. Gallen dem Beschwerdeführer nach Massgabe von dessen Obsiegen eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, und der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 10. Februar 2019 wird insoweit, als damit die Anordnung der Rückgabe der strittigen Patientenanzeigen an die Anzeigeerstatter durch das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen geschützt wird, sowie im Kosten- und Entschädigungspunkt aufgehoben.
1.2. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
1.3. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wird über die Verlegung der Kosten und Entschädigungen in den vorinstanzlichen Verfahren im Sinne der Erwägungen neu zu entscheiden haben.
2.
Dem Beschwerdeführer wird eine reduzierte Gerichtsgebühr von Fr. 2'000.-- auferlegt.
3.
Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax