Sachverhalt:
A.
Am 11. November 2015 kontrollierte das Amt für Verbraucherschutz und Veterinärwesen des Kantons St. Gallen (AVSV; nachfolgend: Veterinäramt) die Hundehaltung von A.A._ und B.A._ auf deren Liegenschaft in U._. In einem Zwinger wurden zwei weibliche Belgische Schäferhündinnen angetroffen: C._ (geb. 2. Februar 2012, Chip-Nr. xxx) und D._ (geb. 7. Juli 2008, Chip-Nr. yyy). C._ war von A.A._ gezüchtet und an E._ verkauft worden. Am 26. April 2015 kaufte A.A._ die Hündin für Fr. 1'500.-- wieder zurück. In der Tierhalterdatenbank "AMICUS" war im Zeitpunkt der Kontrolle E._ als Halterin erfasst. D._ entstammt ebenfalls der Zucht von A.A._ und war als Welpe an F._ verkauft worden. Gegen Ende 2010 gab dieser die Hündin der Züchterin zurück. Laut Auszug der Tierhalterdatenbank war F._ vom 5. Dezember 2008 bis 6. Dezember 2015 Halter der Hündin.
Anlässlich der Kontrolle wurde festgestellt, dass die Hündin D._ ein verbotenes Zughalsband ohne Stopp trug. Der Hundezwinger war zwar überdacht, es fehlten aber die gesetzlich vorgeschriebenen Hundehütten zum Schutz vor Wind und Kälte bzw. als Rückzugsmöglichkeit. Zwar war im Garten eine derartige Hütte vorhanden, der Zugang zum Garten den Hunden jedoch versperrt. Weiter fehlte es im Zwinger an geeignetem Liegematerial. Schliesslich stellte sich heraus, dass für beide Hunde die Meldung an die politische Gemeinde U._ zur Erhebung der jährlichen Hundetaxe unterblieben war. Das Veterinäramt beschlagnahmte die beiden Hündinnen anlässlich der Kontrolle vorsorglich und brachte sie in einer Tierpension unter.
B.
Am 28. Dezember 2015 zog das Veterinäramt die Hündinnen C._ und D._ definitiv ein. Gegen diese Verfügung rekurrierte A.A._ an das Gesundheitsdepartement des Kantons St. Gallen. Das Rekursverfahren wurde abgeschrieben, nachdem das Veterinäramt am 18. Januar 2016 die angefochtene Verfügung widerrufen hatte. Am 8. April 2016 verfügte das Veterinäramt im Wesentlichen erneut den Einzug der beiden Hündinnen und verbot A.A._ und B.A._ das Halten von Tieren bzw. deren selbständige Betreuung für Dritte sowie den Einsatz von "Strohmännern" (d.h. eine Unterbringung von Tieren unter einem anderen Namen oder auf andere Personen aus der Verwandtschaft). Für den Widerhandlungsfall drohte das Veterinäramt die unverzügliche Beschlagnahme der Tiere sowie die Ungehorsamsstrafe nach Art. 28 Abs. 3 des Tierschutzgesetzes vom 16. Dezember 2005 (TSchG; SR 455) an.
Mit Entscheid vom 27. März 2017 verurteilte der Einzelrichter des Kreisgerichts Wil A.A._ wegen mehrfacher vorsätzlicher Übertretung des kantonalen Tierseuchengesetzes, mehrfacher vorsätzlicher Übertretung des Tierschutzgesetzes sowie vorsätzlicher Übertretung des kantonalen Hundegesetzes zu einer Busse von Fr. 1'000.--. Dieses Strafurteil ist nicht rechtskräftig.
Einen gegen die Verfügung des Veterinäramtes vom 8. April 2016 erhobenen Rekurs von A.A._ und B.A._ hiess das Gesundheitsdepartement mit Entscheid vom 26. September 2017 teilweise gut. Das generelle unbefristete Tierhalteverbot für A.A._ und B.A._ wurde auf ein unbefristetes Hundehalteverbot für A.A._ reduziert. In den Erwägungen wurde jedoch festgehalten, dass die Platzierung von Hunden unter dem Namen von B.A._ auf derselben Liegenschaft als Umgehung des für seine Frau angeordneten Verbots gelte und von diesem ebenfalls erfasst sei. Die gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, mit Entscheid vom 11. Dezember 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 11. Dezember 2018 reichen A.A._ und B.A._ mit Eingabe vom 31. Januar 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht ein. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts betreffend "Hundehaltung; Beschlagnahme, Tierhalteverbot" sei aufzuheben. Eventualiter sei der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts zur Neubeurteilung [an die Vorinstanz] zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, das Gesundheitsdepartement sowie das Veterinäramt schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss <ref-law> fällt und daher mit dem ordentlichen Rechtsmittel der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) bleibt somit kein Raum, so dass darauf nicht eingetreten wird.
Da die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss auch das Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die beschwerdeführende Partei darf sich praxisgemäss nicht darauf beschränken, einen rein kassatorischen Antrag zu stellen, ausser wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.2 S. 135; Urteil 2C_489/2018 vom 13. Juli 2018 E. 1.2.2), oder wenn es um eine belastende Anordnung geht, so dass mit deren Aufhebung die Belastung beseitigt wird (vgl. Urteil 2C_576/2018 vom 16. November 2018 E. 1.2.3.1, mit Hinweisen). Inhaltlich geht es vorliegend um das vorinstanzlich bestätigte Hundehalteverbot und die ebenfalls bestätigte Beschlagnahme der beiden Hunde. Der rein kassatorische Antrag der Beschwerdeführer auf Aufhebung dieser sie belastenden Anordnungen ist zulässig.
1.2. Beide Beschwerdeführer haben am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin 1 ist als Halterin der beschlagnahmten Hunde und Adressatin des unbefristeten Hundehalteverbots vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung. Ihre Legitimation ist daher ohne Weiteres gegeben (<ref-law>). Das dem Beschwerdeführer 2 auferlegte unbefristete Hundehalteverbot wurde zwar mit Entscheid des Gesundheitsdepartements vom 26. September 2017 formell aufgehoben. Weil jedoch die Platzierung von Hunden unter seinem Namen auf derselben Liegenschaft als Umgehung des für die Beschwerdeführerin 1 angeordneten Verbots gilt, besteht faktisch auch für ihn ein Verbot, Hunde zu halten und zu betreuen. Folglich ist auch der Beschwerdeführer 2 vom angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Im Übrigen wurde die Beschwerde frist- und formgerecht (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. c, Art. 42 BGG) eingereicht, so dass darauf einzutreten ist.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und verfügt über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2 S. 149). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). Auf bloss allgemeine, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführer rügen zunächst eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung durch das Verwaltungsgericht. Zudem werfen sie der Vorinstanz vor, sie habe insbesondere auf die Durchführung eines Augenscheins vor Ort sowie auf das Einholen eines Gutachtens über die Hundehaltung verzichtet, womit sie ihr rechtliches Gehör (<ref-law>; Art. 4 Abs. 1 lit. c der Verfassung des Kantons St. Gallen vom 10. Juni 2001 [KV/SG; SR 131.225]) verletzt habe.
2.1. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 313). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn Zweifel bestehen, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44; Urteil 8C_416/2015 vom 30. September 2015 E. 1.2). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung bzw. die Sachverhaltsfeststellung offensichtlich unhaltbar ist, muss in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufgezeigt werden; an die Begründung gelten, wie bei den in <ref-law> genannten Rügen, strenge Anforderungen (<ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; Urteil 2C_325/2018 vom 18. Februar 2019 E. 2). Demzufolge genügt es nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift nach den erwähnten gesetzlichen Erfordernissen darzulegen, inwiefern diese Feststellungen willkürlich zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255; Urteil 2C_961/2018 vom 24. Januar 2019 E. 2.2).
2.2. Das rechtliche Gehör (<ref-law>; Art. 4 Abs. 1 lit. c KV/SG) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236). Ferner gewährt es den Parteien das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen erheblichen Beweismitteln gehört zu werden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.2 S. 505), wobei kein absoluter Anspruch auf Abnahme eines Beweismittels besteht (vgl. Urteil 5A_510/2016 vom 31. August 2017 E. 4.2). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 3.3 S. 64; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; Urteil 2C_272/2016 vom 28. April 2016 E. 2.2).
2.3. Die Vorinstanz hat, insbesondere gestützt auf die anlässlich der Kontrolle des Veterinäramtes vom 11. November 2015 aufgenommenen Fotos und Videos, die Sachverhaltsfeststellungen des Gesundheitsdepartements bestätigt. Auf den Aufnahmen sei zu erkennen, dass es sich bei der Wiese, auf der sich nach Angaben der Beschwerdeführer eine Hundehütte befinde, um einen umzäunten Ziergarten handle, worauf u.a. Kinderspielgeräte liegen würden; ganz offensichtlich stehe der Garten den Hunden nicht permanent zur Verfügung. An der Rückwand des Zwingers sei zwar eine Türe zu sehen, von der anzunehmen sei, dass sie in den Garten führe, diese sei aber mit einem von innen zu öffnenden Riegel versehen. Einer Filmaufnahme könne entnommen werden, dass der Beschwerdeführer 2 anlässlich der Kontrolle den Zwinger nicht habe öffnen können, weil er die Kombination des Zahlenschlosses nicht gekannt habe. Die Innenausstattung des Zwingers sei aus den Bildaufnahmen genügend ersichtlich: Auf einer Holzunterlage stehe ein Podest, auf einer anderen Holzunterlage befänden sich zwei Platten verschiedenen Materials. Die Vorinstanz sah keinen Anlass, an den Feststellungen des Veterinäramtes zu zweifeln, wonach es sich je um eine Metall- und eine Faserzementplatte gehandelt habe. Eine Teppichunterlage sei nicht ersichtlich. Ferner sei auf einer Filmaufnahme zu erkennen, dass sich zumindest bei einer Hündin büschelweise Haare entfernen liessen. Fotografisch dokumentiert sei schliesslich die Verwendung eines Würgehalsbandes. Die Behauptungen der Beschwerdeführer, wonach die Hunde die Nacht im Haus verbringen würden, hat die Vorinstanz aufgrund der gesamten Umstände als unglaubwürdig erachtet. Im Ergebnis hielt das Verwaltungsgericht fest, dass im Zwinger weder eine Hundehütte oder eine andere Rückzugsmöglichkeit noch geeignetes Liegematerial vorhanden gewesen, ein verbotenes Zughalsband verwendet worden und die korrekte Fellpflege zumindest fraglich sei (vgl. E. 6.2.3 und 6.2.4 des angefochtenen Urteils).
Die Beschwerdeführer beschränken sich im Wesentlichen auf blosse Bestreitungen der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen. So führen sie unter anderem aus, die Hunde würden über genügend Rückzugsmöglichkeiten verfügen, auf der Holzpritsche habe sich eine graue Teppichunterlage befunden und die Türe im Zwinger führe direkt in eine isolierte Hundehütte und sei nicht mit einem von innen zu öffnenden Riegel versehen. Die Vorbringen der Beschwerdeführer stellen blosse Behauptungen dar, die mit dem von der Vorinstanz gestützt auf Foto- und Videomaterial festgestellten Sachverhalt in Widerspruch stehen. Damit vermögen sie nicht substantiiert aufzuzeigen, inwiefern die Ausführungen des Verwaltungsgerichts offensichtlich unhaltbar sein sollen (vgl. E. 2.1 hiervor). Ebenfalls unsubstantiiert sind ihre Behauptungen, die Hunde seien hauptsächlich in der Wohnung gehalten worden. Die Vorinstanz hat in nachvollziehbarer Weise ausgeführt, weshalb sie diese Darlegung als unglaubwürdig erachtete: So sei gestützt auf Filmaufnahmen erkennbar, dass die Wohnung nicht zur gewohnten Umgebung der Hunde gehört habe. Zudem hätten die Hunde über keine fixen Schlafplätze im Haus verfügt, was für eine Hundehaltung äusserst ungewöhnlich sei. Schliesslich sei die Wohnung, bevor sich die Hunde anlässlich der Kontrolle darin aufhielten, sauber gewesen; anschliessend sei sie durch Hundehaarbüschel stark verunreinigt worden (vgl. E. 6.2.3 des angefochtenen Urteils). Was die Beschwerdeführer dagegen vorbringen, lässt diese Sachverhaltsfeststellung nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen. Ob die Hundehaltung im Zeitpunkt der Kontrolle den Anforderungen der Tierschutzgesetzgebung entsprach, ist keine Frage der Sachverhaltsfeststellung, sondern der materiellen Rechtsanwendung. Gleich verhält es sich mit der Frage, inwieweit frühere Interventionen der Behörden bei der Anordnung von Verwaltungsmassnahmen relevant sind.
Im Ergebnis erweist sich die Rüge der willkürlichen Feststellung des massgebenden Sachverhalts als unbegründet.
2.4. Die Vorinstanz hat in antizipierter Beweiswürdigung (vgl. E. 2.2 hiervor) auf die Abnahme der von den Beschwerdeführern angebotenen Beweise, insbesondere auf die Durchführung eines Augenscheins, verzichtet, da sie zum Schluss gekommen ist, die entscheidrelevanten tatsächlichen Verhältnisse würden sich aus den Verfahrensakten ergeben. Nach den von den Beschwerdeführern nicht bestrittenen Ausführungen des Verwaltungsgerichts hatten diese die Möglichkeit, sich sowohl vor der verfügenden Behörde als auch im vorinstanzlichen Verfahren umfassend schriftlich zu äussern und Beweismittel einzureichen (vgl. E. 4.2.3 des angefochtenen Urteils). Welche neuen Erkenntnisse von einem Augenschein oder weiteren Zeugenbefragungen zu erwarten gewesen wären, ist vorliegend nicht ersichtlich: Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, wäre weder ein Augenschein noch die Befragung der von den Beschwerdeführern angegebenen Personen geeignet gewesen, Auskunft über die Bedingungen zu erteilen, unter welchen die Hunde im Zeitpunkt der Kontrolle gehalten wurden. Insbesondere besteht keine Gewähr, dass die protokollierten Zustände seit der Kontrolle unverändert geblieben sind (vgl. E. 4.2.3 des angefochtenen Urteils). Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz, ohne in Willkür zu verfallen, auf die Abnahme weiterer Beweismittel verzichten und auf die Akten abstellen. Aus den selben Gründen besteht für das Bundesgericht ebenfalls kein Anlass, einen Augenschein anzuordnen.
3.
In materieller Hinsicht geltend gemacht wird die Verletzung von Art. 23 Abs. 1 und Art. 24 Abs. 1 TschG sowie des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes (<ref-law>; Art. 8 Abs. 2 KV/SG). Ob die Beschwerdeführer zudem noch Grundrechtsverletzungen rügen wollen, ist unklar. Zwar behaupten sie, die Verhängung eines Tierhalteverbots sowie der Einzug der Hunde bedeuteten schwere Eingriffe in ihre Grundrechte, doch genügen diese Ausführungen nicht der qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law> (vgl. E. 1.3 hiervor). Auf eine allfällige Rüge der Verletzung von Grundrechten bzw. von kantonalen verfassungsmässigen Rechten ist daher nicht weiter einzugehen.
3.1. Das Tierschutzgesetz bezweckt, die Würde und das Wohlergehen der Tiere zu schützen (<ref-law>). Nach Art. 4 Abs. 1 TschG hat, wer mit Tieren umgeht, (a) ihren Bedürfnissen Rechnung zu tragen und (b) soweit es der Verwendungszweck zulässt, für ihr Wohlergehen zu sorgen. Niemand darf ungerechtfertigt einem Tier Schmerzen, Leiden oder Schäden zufügen, es in Angst versetzen oder in anderer Weise seine Würde missachten. Das Misshandeln, Vernachlässigen oder unnötige Überanstrengen von Tieren ist verboten (Art. 4 Abs. 2 TschG). <ref-law> sieht vor, dass derjenige, der Tiere hält oder betreut, sie angemessen nähren, pflegen, ihnen die für ihr Wohlergehen notwendige Beschäftigung und Bewegungsfreiheit sowie soweit nötig Unterkunft gewähren muss. Diese Vorschriften werden auf Verordnungsstufe konkretisiert. Gemäss Art. 70 Abs. 1 der Tierschutzverordnung vom 23. April 2008 (TSchV; SR 455.1) müssen Hunde täglich ausreichend Kontakt mit Menschen und, soweit möglich, mit anderen Hunden haben. Nach <ref-law> müssen Hunde täglich im Freien und entsprechend ihrem Bedürfnis ausgeführt werden. Soweit möglich sollen sie sich dabei auch unangeleint bewegen können. Abs. 2 der gleichen Bestimmung statuiert, dass die Hunde täglich Auslauf haben müssen, wenn sie nicht ausgeführt werden können. Der Aufenthalt im Zwinger oder an der Laufkette gilt nicht als Auslauf. Für Hunde, die im Freien gehalten werden, müssen eine Unterkunft und ein geeigneter Liegeplatz vorhanden sein und es muss ihnen geeignetes Liegematerial zur Verfügung stehen (<ref-law>). Bei Boxenhaltung und bei Zwingerhaltung müssen die Gehege den Anforderungen nach Anhang 1 Tabelle 10 der TSchV entsprechen (Art. 72 Abs. 4 TschV). Bei dieser Tierhaltung müssen für jeden Hund eine erhöhte Liegefläche und eine Rückzugsmöglichkeit vorhanden sein. In begründeten Fällen, namentlich bei kranken oder alten Tieren, kann auf die Rückzugsmöglichkeit verzichtet werden (<ref-law>). Das Verwenden von Zughalsbändern ohne Stopp ist gemäss Art. 73 Abs. 2 lit. b Ziff. 1 TSchV verboten.
3.2. Gemäss <ref-law> kann die zuständige Behörde das Halten oder die Zucht von Tieren, den Handel oder die berufsmässige Beschäftigung mit Tieren auf bestimmte oder unbestimmte Zeit den Personen verbieten, (lit. a) die wegen wiederholter oder schwerer Zuwiderhandlung gegen Vorschriften dieses Gesetzes und seiner Ausführungserlasse oder gegen Verfügungen bestraft worden sind, oder (lit. b) die aus anderen Gründen unfähig sind, Tiere zu halten oder zu züchten. Unfähigkeit im Sinne von <ref-law> liegt vor, wenn die betreffende Person nicht die grundsätzlichen Verhaltensgebote und -verbote des Tierschutzgesetzes zu befolgen vermag (vgl. Urteile 2C_958/2014 vom 31. März 2015 E. 2.1, mit Hinweisen; 2C_79/2007 vom 12. Oktober 2007 E. 4.2.2).
<ref-law> verpflichtet die zuständige Behörde, unverzüglich einzuschreiten, wenn festgestellt wird, dass Tiere vernachlässigt oder unter völlig ungeeigneten Bedingungen gehalten werden. Die Behörde kann die Tiere vorsorglich beschlagnahmen und auf Kosten der Halterin oder des Halters an einem geeigneten Ort unterbringen; wenn nötig lässt sie die Tiere verkaufen oder töten. Sie kann dafür die Hilfe der Polizeiorgane in Anspruch nehmen. Durch das Instrument des unverzüglichen Einschreitens gemäss Art. 24 Abs. 1 TschG kann die zuständige Behörde eine gesetzeswidrige Situation sofort beheben, damit das Wohl der Tiere unverzüglich verbessert wird. <ref-law> bildet somit die notwendige Verwaltungsmassnahme, um die in <ref-law> genannten Grundsätze (vgl. E. 3.1 hiervor) durchzusetzen (vgl. ANTOINE F. GOETSCHEL/ALEXANDER FERRARI, GAL Tierleitfaden 1.1 für Schweizer Vollzugsbehörden, 2018, S. 23).
3.3. Vorliegend hat die Vorinstanz willkürfrei festgestellt, dass im Zwinger der Beschwerdeführer im Zeitpunkt der Kontrolle weder eine Hundehütte oder andere Rückzugsmöglichkeiten noch geeignetes Liegematerial vorhanden war und ein verbotenes Zughalsband verwendet wurde (vgl. E. 2.3 hiervor). Damit verstösst die Hundehaltung gegen Art. 72 Abs. 2 und 4bis sowie <ref-law>.
4.
Im Folgenden ist zunächst zu prüfen, ob die Beschlagnahme der Hunde bundesrechtskonform erfolgte.
4.1. Die Vorinstanz erachtete es als erwiesen, dass die Tiere im Sinne von Art. 24 Abs. 1 TschG vernachlässigt wurden. Demgegenüber liess sie offen, ob diese auch "unter völlig ungeeigneten Bedingungen" gehalten wurden (vgl. E. 7.1 und 7.1.3 des angefochtenen Urteils). Sie stützte sich dabei auf die Verfügung des Veterinäramtes vom 8. April 2016, wonach mindestens ein Hund aufgrund des ungepflegten Fells einen stark vernachlässigten Eindruck hinterlassen habe. Zudem seien die Krallen beider Hunde übermässig lang gewesen, was auf ungenügenden bis fehlenden Auslauf hinweise. Ferner sei das unerlaubte Halsband viel zu eng gewesen und im Zwinger hätten wesentliche minimale Einrichtungen gefehlt. Auch seien die Hunde auf keinen der Beschwerdeführer registriert und der Beschwerdeführer 2 habe den Zwinger nicht ohne fremde Hilfe öffnen können. Schliesslich wies das Verwaltungsgericht auf eine rechtskräftige Verfügung des Veterinäramtes vom 2. Oktober 2007 hin, in welcher die Beschwerdeführer unter anderem verpflichtet wurden, den Hunden Mindestauslaufzeiten zu gewähren. Zudem führte es aus, in den Erwägungen der Verfügung sei der überdachte Hundezwinger in der gleichen Art beanstandet worden wie anlässlich der Kontrolle vom 11. November 2015 (vgl. E. 7.1.3 i.V.m. E. 6.1 des angefochtenen Urteils). Im Ergebnis erachtete die Vorinstanz die vorsorgliche Beschlagnahme der Tiere als gerechtfertigt.
4.2. Die Vernachlässigung i.S.v. <ref-law> kann in einem Unterlassen oder in einem Handeln bestehen, welches die Voraussetzungen der ordnungsgemässen Sorge nicht erfüllt. Die Vernachlässigung muss erheblich sein, nicht aber die Folgen des Fehlverhaltens. Es wird eine gewisse Intensität der Tierwohlbeeinträchtigung verlangt, damit ein sofortiges Einschreiten zum Schutz der Tiere gerechtfertigt erscheint. Ein Tier ist nicht erst dann vernachlässigt, wenn es nach seinem Zustand nicht mehr lebensfähig ist oder Gefahr läuft, zu verenden, sondern schon dann, wenn es unter der fehlenden oder ungenügenden Wartung und Pflege erheblich leidet oder wenn sein Wohlbefinden in erheblichem Masse eingeschränkt ist (RITA JEDELHAUSER, Das Tier unter dem Schutz des Rechts, Diss. Basel 2011, S. 224). Wie weit die Behörde einschreitet, hängt auch davon ab, ob der Tierhalter im Stande ist, den rechtmässigen Zustand selber wiederherzustellen (GOETSCHEL/FERRARI, a.a.O., S. 23). Die Behörde darf nicht erst im Zeitpunkt des gesicherten Feststehens von Missständen tätig werden, sondern muss bereits beim Vorliegen begründeter Verdachtsmomente einschreiten und für die nötigen Abklärungen besorgt sein (vgl. Urteil 2A.532/2004 vom 31. März 2005 E. 2.2; JEDELHAUSER, a.a.O., S. 225 f.).
Aufgrund der festgestellten Mängel, die - entgegen den Behauptungen der Beschwerdeführer genügend substantiiert aufgeführt wurden (vgl. E. 4.1 hiervor) - bestanden im Zeitpunkt der Kontrolle genügend Anhaltspunkte, dass die Tiere in ihrem Wohlbefinden in erheblichem Masse eingeschränkt und somit vernachlässigt im Sinne von <ref-law> waren. Auch war die zuständige Behörde nach dem Gesagten berechtigt, bereits beim Vorliegen begründeter Verdachtsmomente einzuschreiten. Soweit die Beschwerdeführer etwas anderes behaupten, kann ihnen nicht gefolgt werden.
4.3. Eine definitive Beschlagnahme kommt in Betracht, wenn die zuständige Behörde nach sorgfältiger Prüfung zum Schluss kommt, dass der Tierhalter auch in Zukunft nicht in der Lage sein wird, angemessen für das Tier zu sorgen (GOETSCHEL/FERRARI, a.a.O., S. 26). Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass seit dem Jahr 1988 verschiedene behördliche Interventionen bei den Beschwerdeführern dokumentiert sind (vgl. E. 6.1 des angefochtenen Urteils) :
- Am 19. Dezember 1989 wurde ein Tierhalteverbot gegen die Beschwerdeführer erlassen, weil sie eine Verfügung, mit welcher sie verpflichtet wurden, die notwendigen baulichen Vorkehrungen für eine einwandfreie und gesetzeskonforme Tierhaltung zu treffen, nicht bzw. nur unvollständig umgesetzt hatten. Nachdem in der Zwischenzeit die Haltung verbessert worden war, sah der Gemeinderat vom Verbot wieder ab.
- Am 22. September 1999 wurde festgestellt, dass Hunde in zu klein bemessenen Zwingern und bei ungenügenden Lichtverhältnissen gehalten wurden; mit Verfügung vom 18. Oktober 1999 wurde die Beseitigung der tierschutzwidrigen Zustände innert Frist angeordnet.
- Mit Verfügung vom 9. Dezember 1999 stellte das damalige Veterinäramt fest, dass eine Hunde-Unterkunft vollständig umgebaut wurde; es beschränkte jedoch die Zahl der gleichzeitig gehaltenen Welpen auf zwölf und verbot die Hundehaltung in den nicht umgebauten Zwingern.
- Im Dezember 2001 wurde anlässlich einer Kontrolle festgestellt, dass die Beschwerdeführer 17 Welpen und insgesamt 28 Hunde hielten, denen es seit mindestens einer Woche gänzlich an Auslauf fehlte. Ein gegen den Beschwerdeführer 2 auferlegtes Zuchtverbot wurde aufgrund von Unklarheiten betreffend die für die Hundezucht verantwortliche Person vom Veterinäramt widerrufen.
- Mit Verfügung des Veterinäramts vom 2. Oktober 2007 wurden die Beschwerdeführer angehalten, den Hunden Mindestauslaufzeiten zu gewähren, ein diesbezügliches Konzept vorzulegen und die gehaltenen Hunde einem Wesenstest zu unterziehen und solche mit Aggressionspotential nicht mehr für die Zucht zu verwenden. Nachdem am 7. Dezember 2007 festgestellt wurde, dass - trotz gegenteiliger Beteuerungen der Beschwerdeführer - weiterhin Hunde gezüchtet wurden, verfügte das Veterinäramt am 14. Dezember 2007 weitere Auflagen.
- Am 12. Februar 2009 verurteilte das kantonale Untersuchungsamt die Beschwerdeführerin 1 zu einer Busse von Fr. 100.--, weil sie der Verfügung vom 2. Oktober 2007 keine Folge leistete.
- Anlässlich einer Kontrolle vom 18. November 2009 wurde im Aussenzwinger eine Hündin angetroffen, der es an einer erhöhten Liegefläche und einer Rückzugsmöglichkeit fehlte. Kothaufen und Urinlachen deuteten auf ungenügenden Auslauf hin. Eine daraufhin eingeleitete Strafuntersuchung führte zu Einstellungs- bzw. Nichtanhandnahmeverfügungen des kantonalen Untersuchungsamtes.
4.4. Es kann somit festgehalten werden, dass die Hundehaltung der Beschwerdeführer über Jahre hinweg immer wieder Anlass zu Beanstandungen und Interventionen seitens der Behörden gab. Daraus, dass anlässlich einer im Januar 2001 durchgeführten Kontrolle keine Mängel festgestellt wurden, kann nicht geschlossen werden, die Hundehaltung sei nachhaltig verbessert worden. Insbesondere wurden im Jahr 2007 weitere Missstände festgestellt; sodann wurde die Beschwerdeführerin 1 zu einer Busse verurteilt, weil sie der Verfügung des Veterinäramtes vom 2. Oktober 2007 keine Folge leistete. Der Einwand der Beschwerdeführer, wonach ihre Hundehaltung seit 2009 nicht mehr beanstandet worden sei, ist zu relativieren: Gemäss dem angefochtenen Urteil seien auf die Beschwerdeführer in der einschlägigen Tierdatenbank keine Tiere mehr registriert worden, weshalb sie nicht mehr kontrolliert worden seien (vgl. E. 7.1.3 des angefochtenen Urteils). Wie die Vorinstanz zu Recht ausführt, scheint es den Beschwerdeführern zudem an der grundsätzlichen Einsicht zu fehlen, dass sie ihre Tiere in Übereinstimmung mit der Tierschutzgesetzgebung zu halten haben (vgl. E. 7.2 des angefochtenen Urteils). Auch im bundesgerichtlichen Verfahren beschränken sie sich im Wesentlichen darauf, die festgestellten Mängel zu bestreiten und die bisherigen Beanstandungen und Anordnungen der Behörden zu verharmlosen. Dass sie Massnahmen getroffen haben sollen, um ihre Tierhaltung mit der Tierschutzgesetzgebung in Einklang zu bringen, behaupten sie nicht. Unter diesen Umständen kann nicht erwartet werden, dass sie in Zukunft angemessen für die Tiere sorgen werden. Im Ergebnis erweist sich auch die definitive Beschlagnahme der Hunde als bundesrechtskonform.
5.
Zu prüfen ist schliesslich die Verhältnismässigkeit des gegen die Beschwerdeführerin 1 angeordneten Hundehalteverbots.
5.1. Der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Verhältnismässigkeit verlangt, dass behördliche Massnahmen für das Erreichen des im öffentlichen oder privaten Interesse liegenden Zieles geeignet und erforderlich sind und sich für die Betroffenen als zumutbar erweisen (vgl. <ref-ruling> E. 7.5.2 S. 53; <ref-ruling> E. 3.2 S. 92; Urteil 2C_545/2014 vom 9. Januar 2015 E. 5).
5.2. Die Vorinstanz hat die Verhältnismässigkeit des angeordneten Hundehalteverbots insbesondere mit der mangelnden Kooperationswilligkeit und -fähigkeit der Beschwerdeführerin 1 bejaht. Die Beschwerdeführerin 1 habe es selbst nach zahlreichen behördlichen Interventionen versäumt, auf eigene Initiative dauerhaft dafür zu sorgen, dass ihre Tierhaltung den Vorschriften der Tierschutzgesetzgebung entspricht. Sie sei damit unfähig zur Hundehaltung. Daher würden mildere Massnahmen von vornherein ausser Betracht fallen und ein Hundehalteverbot erweise sich als einzige geeignete und erforderliche Massnahme. Das Eingriffsinteresse an der Vermeidung weiterer leidvoller Verstösse gegen die Tiergesetzgebung überwiege das private Interesse der Beschwerdeführerin 1 an einer weiteren Hundehaltung (vgl. E. 7.3.4 des angefochtenen Urteils).
Die Beschwerdeführer werfen demgegenüber der Vorinstanz vor, sie habe zu keinem Zeitpunkt ein milderes Vorgehen geprüft und keine Interessenabwägung vorgenommen. Ihre Ausführungen zum mangelnden Kooperationswillen der Beschwerdeführer stünden in Widerspruch mit den aktenkundigen Verbesserungen der Tierhaltung in den Jahren 1990 und 2001.
5.3. Das Verbot der Tierhaltung als solches hat die Wahrung oder die Wiederherstellung des Tierwohls zum Ziel. Anders als bei der Bestrafung kommt es nicht auf ein Verschulden des Pflichtigen an, sondern lediglich auf das Bestehen eines rechtswidrigen Zustands; es ist eine restitutorische Massnahme, die nicht auf die Bestrafung des Halters, sondern auf den Schutz und die Wiederherstellung der tierschutzrechtlich korrekten Haltebedingungen ausgerichtet ist. Einem Halteverbot gehen in der Regel grobe und für die Tiere leidvolle Verstösse gegen das Tierschutzrecht voraus (Urteile 2C_958/2014 vom 31. März 2015 E. 2.1; 2C_378/2012 vom 1. November 2012 E. 3.1; JEDELHAUSER, a.a.O., S. 202 ff.). Ein Halteverbot kommt namentlich in Betracht, wenn aus mangelnder charakterlicher Eignung oder wegen Unzuverlässigkeit der Tierhalter die Gefahr besteht, dass die gehaltenen Tiere erhebliche Schmerzen, Leiden oder Schäden erfahren (vgl. JEDELHAUSER, a.a.O., S. 198). Auch die blosse Gefahr von Schmerzen, Leiden oder Schäden an Tieren kann bei zahlreichen oder schweren tierschutzrechtlichen Verstössen ausreichend sein, um ein Tierhalteverbot auszusprechen. Dies ist insbesondere der Fall, wenn die zuständige Behörde in der Vergangenheit durch das Aussprechen von spezifischen Anordnungen solche zwar präventiv verhindern konnte, diese Massnahmen jedoch gleichwohl zu keiner nachhaltigen Verbesserung der Tierhaltung geführt haben (GOETSCHEL/FERRARI, a.a.O., S. 32 f.). Als mildere Massnahmen unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit kommen etwa die Verfügung einer Reduktion des Tierbestandes oder einer tierärztlichen Behandlung, Vorschriften betreffend die Pflege der Tiere oder die Anordnung von notwendigen Instandstellungsarbeiten am Gehege oder im Stall in Frage. Bei der Beurteilung, welche Massnahmen im Einzelfall am zweckmässigsten sind, kommt der zuständigen Behörde ein erheblicher Ermessensspielraum zu (vgl. Urteil 2C_804/2018 vom 11. März 2019 E. 2.2). Im Sinne der Verhältnismässigkeit kann sich die Androhung eines Tierhalteverbots als mildere Massnahme aufdrängen (vgl. Urteil 2C_737/2010 vom 18. Juni 2011 E. 4.2).
5.4. Vorliegend besteht ein gewichtiges öffentliches Interesse an einer tiergerechten Haltung bzw. am Schutz des Wohlergehens der Tiere (vgl. <ref-law>; <ref-law>). Das angeordnete Hundehalteverbot ist ohne Weiteres geeignet, dieses öffentliche Interesse zu wahren. Die Tierhaltung der Beschwerdeführer wurde, wie bereits ausgeführt, mehrmals von den zuständigen Behörden beanstandet. Dabei wurden verschiedene Massnahmen angeordnet, unter anderem baulichen Vorkehrungen für eine einwandfreie und gesetzeskonforme Tierhaltung oder eine Beschränkung der gleichzeitig zu haltenden Welpen (vgl. E. 4.3 hiervor). Selbst wenn die Beschwerdeführer einzelnen Aufforderungen der Behörden nachgekommen sind, ist eine nachhaltige Verbesserung der Hundehaltung, wie bereits ausgeführt, nicht ersichtlich (vgl. E. 4.4 hiervor). Wie ebenfalls dargelegt, bringt die Beschwerdeführerin 1 auch im bundesgerichtlichen Verfahren nicht vor, dass sie gewillt ist, die festgestellten Missstände von sich aus zu beheben, sondern beschränkt sich im Wesentlichen darauf, diese zu bestreiten oder herunterzuspielen (vgl. E. 4.4 hiervor). Aufgrund der konkreten Umstände ist die Vorinstanz zu Recht zum Schluss gekommen, dass die Beschwerdeführerin 1 nicht in der Lage ist, grundsätzliche Verhaltensgebote und -verbote der Tierschutzgesetzgebung zu befolgen, und somit unfähig ist, Hunde zu halten (<ref-law>; vgl. E. 7.3.4 des angefochtenen Urteils und E. 3.2 hiervor). Angesichts der bereits verfügten Massnahmen und der fehlenden Einsicht der Beschwerdeführerin 1 ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass mildere Massnahmen nicht geeignet gewesen wären, das öffentliche Interesse zu erreichen. Folglich ist die Erforderlichkeit des angeordneten Hundehalteverbots ebenfalls zu bejahen. Schliesslich wiegt das öffentliche Interesse am Wohlergehen der Tiere höher als das Interesse der Beschwerdeführerin 1, weiterhin Hunde halten zu dürfen, so dass die Massnahme als zumutbar erscheint. Im Ergebnis erweist sich das Hundehalteverbot unter den konkreten Umständen als verhältnismässig.
6.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die unterliegenden Beschwerdeführer unter solidarischer Haftung kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov