Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Kläger) und seine Schwester C._ (Klägerin) erhoben am 1. März 2019 beim Regionalgericht Berner Jura-Seeland je eine "zivilrechtliche Auskunfts- und Informationsklage im Erbfall" gegen eine Bank und gegen eine Versicherung. Vertreten wurden die Kläger durch D._, Ehemann der Klägerin und Arzt von Beruf.
A.b. Der Gerichtspräsident B._ lud die Kläger mit Verfügung vom 17. März 2019 ein, ihre Eingaben innert einer Nachfrist bis am 9. April 2019 in verständlicher Form nochmals einzureichen, andernfalls die Eingaben als nicht erfolgt gelten. Mit Verfügung vom 26. März 2019 stellte er fest, dass die von der Verbesserung innert Nachfrist betroffenen Klagen trotz erneuter Eingabe unverständlich geblieben sind und damit als nicht erfolgt gelten.
A.c. Am 27. März 2019 verlangten die Kläger die Begründung der Verfügung vom 26. März 2019. Sie schrieben dem Gerichtspräsidenten weiter Folgendes: "Gleichzeitig erklären die Kläger, dass das von Ihnen an den Tag gelegte Verhalten das Vorliegen eines Ausstandsgrundes gemäss Art. 47 lit. f. ZPO begründet" (S. 1). Nach Ausführungen zur Verständlichkeit ihrer Eingaben schliesst das Schreiben mit folgendem Satz: "Mit dieser Eingabe wird also der Gerichtspräsident für befangen erklärt, sein an den Tag gelegtes Verhalten explizit gerügt und es wird eine Begründung für die erlassene Verfügung verlangt" (S. 4). Unterzeichnet ist das Schreiben von D._ für die Kläger.
A.d. In einer Eingabe vom 1. April 2019 an den Gerichtspräsidenten nehmen die Kläger Bezug auf ihr Schreiben vom 27. März 2019 und betonen, sie hätten zudem "das Vorliegen der Voraussetzungen von Art. 47 lit. f. ZPO sofort nach entdecken der durch Ihre Person an den Tag gelegten Befangenheit dem Gericht angezeigt" (S. 1). Beantragt wurde unter anderem förmlich, es sei gerichtlich der Ausstand des Präsidenten für alle Verfahren, die die Kläger in der Erbangelegenheit dem Gericht zur Beurteilung vorlegen werden, zu verfügen. Unterzeichnet ist das Schreiben von D._ einzig für die Klägerin.
A.e. Am 8. April 2019 zogen die Kläger ihre Klagen zurück.
B.
Das Regionalgericht unter Präsident E._ schrieb das Ausstandsgesuch mangels Rechtsschutzinteresses als gegenstandslos vom Protokoll ab (Entscheid vom 16. Mai 2019). Der Kläger gelangte dagegen an das Obergericht des Kantons Bern, das auf seine Beschwerde mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht eintrat (Entscheid vom 4. Juni 2019). Desgleichen trat das Bundesgericht auf die anschliessende Beschwerde des Klägers nicht ein (Urteil 5A_475/2019 vom 13. Juni 2019).
C.
Mit Eingabe vom 1. Juli 2019 beantragt der Kläger (im Folgenden: Gesuchsteller) dem Bundesgericht, das Urteil 5A_475/2019 vom 13. Juni 2019 aufzuheben, sein Revisionsgesuch gutzuheissen, seine im Verfahren 5A_475/2019 gestellten Rechtsbegehren gutzuheissen und ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen, alles unter Kosten und Entschädigungsfolge zulasten der Eidgenossenschaft und/oder des Kantons Bern. Er wiederholt ferner seine im Verfahren 5A_475/2019 gestellten Begehren im Wortlaut, insbesondere Begehren-Ziff. 4, der Gerichtspräsident B._ (fortan: Gesuchsgegner) "sei für alle vom Kläger beim Regionalgericht Berner Jura Seeland eingereichten Klagen für befangen zu erklären und anzuweisen [,] in den Ausstand zu treten" (S. 2 des Gesuchs).
Das Bundesgericht hat die Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt. Der Gesuchsteller hat mit Schreiben vom 17. Juli 2019 sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zurückgezogen und den Kostenvorschuss für das Revisionsverfahren bezahlt.

Erwägungen:
1.
Ausdrücklich keinen Revisionsgrund erblickt der Gesuchsteller darin, dass das Bundesgericht im Verfahren 5A_475/2019 vor Ablauf der gesetzlichen Beschwerdefrist von dreissig Tagen entschieden hat (S. 3 f. des Gesuchs). Darauf einzugehen erübrigt sich somit (vgl. dazu immerhin: LAURENT MERZ, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 43 zu <ref-law>).
2.
Der Gesuchsteller beruft sich auf den Revisionsgrund gemäss <ref-law>, wonach die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden kann, wenn einzelne Anträge unbeurteilt geblieben sind (S. 5 des Gesuchs).
2.1. Zur Begründung führt der Gesuchsteller aus, es entspreche den Tatsachen, dass vorliegend das Bundesgericht Anträge auch stillschweigend nicht geprüft habe. Dies sei insbesondere im Hinblick auf diejenigen Anträge zu beziehen, über die das Bundesgericht nicht entschieden und die es ausser acht gelassen habe. Vorliegend habe der Präsident das Rechtsbegehren Ziff. 4 der Beschwerdeschrift, durch das die Feststellung der Befangenheit des erstinstanzlichen Gerichtspräsidenten beantragt werde, nicht beantwortet (S. 6 f. des Gesuchs).
2.2. Das Bundesgericht hat in seinem Urteil 5A_475/2019 den Beschwerdeantrag "um Befangenerklärung des Beschwerdegegners" (S. 2 im Abs. 4 des Sachverhalts) ausdrücklich erwähnt, ist dann aber aber auf die Beschwerde und folglich auch auf den erwähnten Beschwerdeantrag nicht eingetreten (E. 4 S. 4). Der behauptete Revisionstatbestand ist somit nicht erfüllt (Urteil 1F_16/2008 vom 11. August 2008 E. 3, in: SJ 2008 I S. 465; seither z.B. Urteile 6F_7/2019 vom 21. März 2019 E. 1; 5F_3/2015 vom 13. August 2015 E. 4.1; 4F_1/2012 vom 24. Februar 2012 E. 2.2; 5F_6/2011 vom 13. Juli 2011 E. 2).
2.3. Entgegen der Ansicht des Gesuchstellers schliesst der Revisionsgrund gemäss <ref-law> bundesgerichtliche Nichteintretensentscheide nicht aus. Er deckt sich zwar mit dem Verbot der formellen Rechtsverweigerung (<ref-ruling> E. 5 S. 293; <ref-ruling> E. 4a S. 242), doch verstösst das Gericht nicht dagegen, wenn es auf ein Begehren nicht eintritt, weil für dessen materielle Behandlung die prozessualen Voraussetzungen fehlen (Urteile 5A_257/2009 vom 26. Oktober 2009 E. 3.5; 2C_608/2017 vom 24. August 2018 E. 5.2).
3.
Der Gesuchsteller beruft sich auf den Revisionsgrund gemäss <ref-law>, wonach die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden kann, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat (S. 5 des Gesuchs).
3.1. Das Versehen soll nach der Darstellung des Gesuchstellers in folgender E. 3 des Urteils 5A_475/2019 unterlaufen sein (Hervorhebungen neu beigefügt) :
"Die Beschwerde hat eine Begründung zu enthalten,..
Das Obergericht hat festgehalten, dass die Vorbringen des Beschwerdeführers insofern an der Sache vorbeigingen, als im vorliegenden Verfahren nicht die Retournierung der Klagen, sondern die Abschreibung des Ausstandsverfahrens zu prüfen sei, in welchem allein die Schwester Partei gewesen sei und mithin dem Beschwerdeführer die Legitimation zur Erhebung eines Rechtsmittels abgehe, zumal er nicht geltend mache, dass ihm die Teilnahme an jenem Ausstandsverfahren verweigert bzw. er zu Unrecht nicht zur Teilnahme zugelassen worden wäre.
Mit dieser Erwägung setzt sich der Beschwerdeführer nicht in einer den dargelegten Anforderungen genügenden Weise auseinander,..
Soweit schliesslich das Gegenteil der in beiden kantonalen Entscheiden für das Bundesgericht verbindlich getroffenen Feststellung (<ref-law>), wonach im Ausstandsverfahren nur die Schwester Partei gewesen sei, behauptet wird, steht dies in Widerspruch zu den vom Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren selbst eingereichten Unterlagen (in Beilage 7 wurde mit Eingabe vom 27. März 2019 eine Begründung für die Retournierung der Klagen verlangt und ein Ausstandsgesuch angekündigt; in Beilage 8 wurde das Ausstandsgesuch am 1. April 2019 schliesslich eingereicht [vgl. Rechtsbegehren 8 und 9], dies aber explizit einzig im Namen der Schwester)...."
Das Versehen erblickt der Gesuchsteller darin, dass das Bundesgericht annehme, er habe mit seinem Schreiben vom 27. März 2019 an das erstinstanzliche Gericht die Einreichung eines Ausstandsgesuchs angekündigt, doch sei dem Schreiben nirgends zu entnehmen, dass noch ein explizites Ausstandsgesuch folgen werde. Vielmehr sei dem Schreiben zu entnehmen, dass der erstinstanzliche Richter nach Art. 47 Abs. 1 lit. f als befangen zu betrachten sei und deshalb in den Ausstand zu treten habe (mit Hinweis auf S. 4 unten). Zur Erheblichkeit dieser versehentlich nicht berücksichtigten Tatsache führt der Gesuchsteller aus, die korrekte Kenntnisnahme des Schreibens vom 27. März 2019 hätte ergeben, dass er nicht bloss ein Ausstandsgesuch angekündigt, sondern an die Adresse des erstinstanzlichen Gerichtspräsidenten ein gehörig formuliertes Gesuch um Ausstand eingereicht habe und deshalb im Ausstandsverfahren Partei gewesen sei (S. 7 f. des Gesuchs).
3.2. Das Bundesgericht hat die angerufenen Belegstellen geprüft und im Sachverhalt wiedergegeben (<ref-law>). Im Schreiben der Kläger vom 27. März 2019 (Bst. A.c oben) heisst es, dass der Gesuchsteller dem Gesuchsgegner erklärt hat, sein Verhalten begründe einen Ausstandsgrund ("Gleichzeitig erklären die Kläger,.."), bzw. den Gesuchsgegner für befangen erklärt hat ("Mit dieser Eingabe wird also der Gerichtspräsident für befangen erklärt,.."). Eine blosse Erklärung ist indessen kein Antrag, wie ihn der Gesuchsteller bzw. sein Vertreter im kantonalen Verfahren durchaus förmlich und richtig zu formulieren wusste (z.B. Bst. C oben: "...für befangen zu erklären und anzuweisen [,] in den Ausstand zu treten"). Wie der Verfasser des Schreibens vom 27. März 2019 die darin abgegebene "Erklärung" zudem selber verstanden hat, ergibt sich deutlich aus dem im Sachverhalt wiedergegebenen Schreiben vom 1. April 2019 (Bst. A.d oben), wonach die Kläger im Schreiben vom 27. März 2019 die Befangenheit des Gesuchsgegners angezeigt hätten ("das Vorliegen der Voraussetzungen von Art. 47 lit. f. ZPO sofort... dem Gericht angezeigt"). Einen förmlichen Antrag, es sei gerichtlich der Ausstand des Präsidenten für alle Verfahren, die die Kläger in der Erbangelegenheit dem Gericht zur Beurteilung vorlegen werden, zu verfügen, hat im Schreiben vom 1. April 2019 dann aber nur die Schwester des Gesuchstellers gestellt.
3.3. Die Feststellung des Bundesgerichts, dass im Schreiben vom 27. März 2019 eine blosse Erklärung abgegeben und kein förmliches Ausstandsbegehren gestellt, sondern nur "ein Ausstandsgesuch angekündigt" wird, beruht folglich auf einer Würdigung der weiteren Eingaben des Gesuchstellers und des Schreibens vom 1. April 2019, das wie das Schreiben vom 27. März 2019 vom gleichen Verfasser stammt. Es liegt bundesgerichtliche Beweiswürdigung vor, gegen die mit Revision nicht aufzukommen ist. Denn ein Versehen im Sinn von <ref-law> liegt nur vor, wenn eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen worden ist. Der Revisionsgrund ist demnach nicht gegeben, wenn das Bundesgericht die fraglichen Aktenstellen und Vorbringen zwar durchaus berücksichtigt, aber nicht so gewürdigt und beurteilt hat, wie die gesuchstellende Partei dies wünscht und im Beschwerdeverfahren beantragt hatte (Urteil 5F_3/2011 vom 4. Mai 2011 E. 2.1; seither z.B. Urteile 5F_24/2018 vom 1. Juli 2019 E. 1; 4F_17/2018 vom 9. Oktober 2018 E. 2.2). Gerade darauf aber zielt die vom Gesuchsteller beantragte Revision ab. Es geht vorliegend weder um ein Übersehen von Tatsachen oder Aktenstücken noch um die falsche Wahrnehmung des Wortlauts, und es steht ausser Frage, dass das Bundesgericht die fraglichen Schreiben in ihrer äusseren Erscheinung richtig wahrgenommen hat. Bestritten werden will hier vielmehr einzig die beweismässige Würdigung, was der Gesuchsteller bzw. sein Vertreter in seinem Schreiben mit der verwendeten Formulierung "erklären" inhaltlich hat sagen wollen, mithin die Ermittlung des inneren Willens des Gesuchstellers und des Gehalts der von ihm gemachten Aussagen. Diese Würdigung unterliegt nicht der Revision.
4.
Aus den dargelegten Gründen muss das Revisionsgesuch abgewiesen werden, soweit darauf einzutreten ist. Der Gesuchsteller wird damit kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Regionalgericht Berner Jura-Seeland und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten