Faits :
A.
Le xxxx 2020, la Radio-télévision suisse (RTS) a diffusé dans le cadre de l'émission télévisée "B._" un reportage intitulé "X._ ", d'une durée de xxx minutes (ci-après: le reportage), lequel a abordé la thématique de la radiation du barreau des avocats en Suisse romande en présentant un fait d'actualité, soit la récente condamnation d'un avocat C._ pour faux dans les titres (falsification de baux). Il y est indiqué que le dossier se trouve actuellement sur le bureau de l'autorité de surveillance de C._ qui doit décider si une radiation se justifie ou non.
Le même jour, à xxx heures, RTS Info a publié un article intitulé "Y._" (ci-après: l'article), qui a ensuite été modifié à xxx heures. Cet article, rédigé par le même journaliste qui a réalisé le reportage du "B._", a repris et développé le sujet traité dans le reportage, à savoir la condamnation d'un avocat de C._ pour faux dans les titres. Y sont intégrées la vidéo du reportage du xxx 2020, ainsi que celle d'un autre reportage, daté du xxx 2020, intitulé "Z._", d'une durée d'environ une minute, dans lequel les faits sont rappelés, le verdict résumé et la parole donnée au procureur et au représentant de l'avocat de C._.
Le 14 septembre 2020, l'avocat concerné, Me A._ (ci-après également: le plaignant/le recourant), a formé une plainte auprès de l'Autorité indépendante d'examen des plaintes en matière de radio-télévision (ci-après: l'Autorité de plainte ou AIEP), en soutenant essentiellement que le reportage du xxx 2020 et l'article du même jour ne présentaient pas les faits de manière fidèle et portaient atteinte à la présomption d'innocence, ainsi qu'au devoir de lui donner la parole.
B.
Le 3 novembre 2020, après l'échange d'écritures, l'Autorité de plainte a informé la Société suisse de radiodiffusion SRG SSR (ci-après: la SSR) et le plaignant de la tenue de délibérations publiques. Le 14 janvier 2021, elle a envoyé aux parties l'invitation à participer à la délibération publique du cas, agendée pour le 28 janvier 2021.
Par courrier du 21 janvier 2021, le plaignant a sollicité le huis clos. Par courrier du 25 janvier 2021, l'Autorité de plainte a rejeté la requête et indiqué qu'elle maintenait la délibération publique du 28 janvier suivant. Elle a toutefois décidé de préserver l'anonymat du plaignant en ne citant pas son nom pendant la délibération. Le plaignant a confirmé son opposition.
Par décision incidente du 28 janvier 2021, l'Autorité de plainte a rejeté la demande de délibération à huis clos. Elle n'a pas tenu l'audience fixée.
C.
Contre la décision de l'Autorité de plainte du 28 janvier 2021, A._ forme un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'octroi de l'effet suspensif, à l'annulation de la décision attaquée et, principalement, à ce que la délibération de l'Autorité de plainte dans le dossier le concernant se tienne à huis clos, ainsi que, subsidiairement, à ce que la cause soit renvoyée à cette autorité pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par ordonnance du 20 avril 2021, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a admis la demande d'effet suspensif.
La SSR conclut au rejet du recours, à la confirmation de la décision incidente du 28 janvier 2021, sous suite de frais, et à l'allocation d'une indemnité équitable à titre de dépens. L'Autorité de plainte conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité, en renvoyant aux considérants de sa décision. Le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
1.1. La décision entreprise a été rendue dans une cause de droit public (<ref-law>) ne tombant sous le coup d'aucune des exceptions de l'<ref-law>. Elle émane de l'Autorité de plainte (art. 86 al. 1 let. c LTF). La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte (cf. aussi art. 99 al. 3 de la loi fédérale du 24 mars 2006 sur la radio et la télévision [LRTV; RS 784.40]).
1.2. Le recours en matière de droit public est recevable contre les décisions finales (<ref-law>) ou contre les décisions partielles (<ref-law>). La décision finale met fin à la procédure pour un motif tiré du droit matériel ou procédural (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2). La décision partielle règle définitivement le sort de certaines des prétentions en cause (<ref-law>) ou termine l'instance à l'égard de certaines parties au procès (<ref-law>). Le recours est aussi recevable contre les décisions incidentes concernant la compétence et la récusation visées par l'<ref-law>. Contre d'autres décisions incidentes, un recours séparé n'est recevable qu'aux conditions restrictives prévues à l'<ref-law>.
En l'occurrence, la décision querellée, qui refuse d'ordonner un huis clos, ne met pas un terme à la procédure et ne constitue pas une décision partielle au sens de l'<ref-law>. Il s'agit d'une décision incidente ne concernant ni la compétence ni la récusation et contre laquelle le recours n'est donc recevable qu'aux conditions de l'<ref-law>.
1.3. Les décisions incidentes visées à l'<ref-law> ne peuvent faire l'objet d'un recours en matière de droit public que si elles peuvent causer un préjudice irréparable (let. a), ou si l'admission du recours peut conduire immédiatement à une décision finale qui permet d'éviter une procédure probatoire longue et coûteuse (let. b). Cette dernière hypothèse étant d'emblée exclue en l'espèce, la recevabilité du présent recours est subordonnée à la condition que la décision attaquée soit susceptible de causer un préjudice irréparable.
1.3.1. La condition du préjudice irréparable suppose que la partie recourante soit exposée à un préjudice de nature juridique, qui ne puisse pas être ultérieurement réparé ou entièrement réparé par une décision finale qui lui serait favorable (<ref-ruling> consid. 1.3; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.2). En revanche, un dommage économique ou de pur fait, tel que la prolongation de la procédure ou un accroissement des frais de celle-ci, n'est pas considéré comme un préjudice irréparable de ce point de vue (ATF <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.2). Il incombe à la partie recourante de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (ATF <ref-ruling> consid. 1.2).
1.3.2. En l'espèce, le recourant allègue que la décision querellée est susceptible de lui causer un préjudice irréparable, car elle permettrait la tenue publique de la délibération de l'Autorité de plainte et l'exposerait de la sorte une seconde fois à une publicité qu'il souhaite éviter.
1.3.3. La Cour de céans relève que, d'après les indications figurant dans la décision attaquée, qui ne sont pas contestées, l'Autorité de plainte a décidé de ne pas citer le nom du recourant pendant la délibération publique qu'elle tiendra. Le refus de délibérer à huis clos étant tempéré par une garantie d'anonymat, il est douteux que la décision entreprise porte atteinte aux droits de la personnalité du recourant et lui cause un préjudice irréparable. Ce point peut toutefois demeurer indécis au stade de la recevabilité, le recours devant de toute façon être rejeté en lien avec la prétendue atteinte aux droits de la personnalité alléguée (cf. arrêt 1B_69/2009 du 26 mars 2009 consid. 1.2).
1.4. Au surplus, le recours a été formé en temps utile (art. 46 al. 1 let. a et 100 LTF) et dans les formes requises (<ref-law>), par le recourant, destinataire de la décision attaquée qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification. Cet intérêt est en outre actuel, dès lors que la délibération n'a pas eu lieu et que l'effet suspensif a été accordé au recours. Le recourant a partant la qualité pour recourir (<ref-law>).
2.
Le litige porte uniquement sur la décision de refus de huis clos prononcée par l'Autorité de plainte.
2.1. L'Autorité de plainte est notamment chargée de traiter les plaintes concernant le contenu des publications rédactionnelles (<ref-law>). Saisie d'une plainte recevable, elle doit établir si les publications rédactionnelles contestées enfreignent les dispositions relatives au contenu de ces publications (art. 4, 5 et 5a) (<ref-law>). D'après l'<ref-law>, les délibérations de l'Autorité de plainte sont publiques, pour autant qu'aucun intérêt privé digne de protection ne s'y oppose. Cette disposition est précisée par l'art. 11 du règlement de l'Autorité de plainte (règlement du 1er mars 2007 de l'autorité indépendante d'examen des plaintes en matière de radio-télévision [règlement de l'AIEP; RS 784.409]). Selon l'alinéa 1, l'Autorité de plainte est compétente pour décider si des intérêts privés dignes d'être protégés en vertu de l'<ref-law> s'opposent à la publicité des débats. En vertu de l'alinéa 2, l'Autorité de plainte publie sur son site Internet, au moins dix jours avant la séance, les sujets qui seront l'objet d'une délibération publique.
2.2. Dans sa pratique en lien avec l'<ref-law>, l'Autorité de plainte considère que le huis clos, en tant qu'exception au principe de la transparence des débats, se justifie uniquement lorsque le dossier de la cause contient des pièces sensibles relatives à une procédure pénale en cours ou des informations non publiques relevant de la sphère privée d'une personne jouant un rôle dans la prise de décision. Si l'Autorité de plainte décide le maintien de la délibération publique, elle peut renoncer à prononcer le nom de l'auteur de la plainte lors des débats (AIEP, Entre liberté des médias et protection du public. La régulation des médias en Suisse et la jurisprudence de l'AIEP, 2014, ch. 3.3, disponible sur: https://www.ubi.admin.ch/fr/documentation/ publications [consulté la dernière fois le 28 septembre 2021]; STÉPHANE WERLY [membre de l'Autorité de plainte], La surveillance des programmes par l'Autorité indépendante d'examen en matière de radio-télévision [AIEP], SJ 2020 II 69, p. 96).
3.
Le Tribunal fédéral ne s'est jusqu'à présent encore jamais prononcé sur la portée de l'<ref-law>.
3.1. Le principe de la publicité des délibérations, soit des débats oraux qui conduisent les membres de l'Autorité de plainte à statuer sur une plainte (cf. DENIS MASMEJAN, in Loi sur la radio-télévision [LRTV], Stämpflis Handkommentar, 2014, no 3 ad <ref-law>), a été introduit lors de la dernière révision de la LRTV entrée en vigueur le 1er avril 2007 (RO 2007 737). D'après le message relatif à la LRTV, la publicité des délibérations de l'Autorité de plainte a été préconisée car "une plus grande transparence [était] souhaitable dans un domaine aussi sensible que celui de la diffusion de contenus rédactionnels à la radio et à la télévision" (message du 18 décembre 2002 relatif à la révision totale de la loi fédérale sur la radio et la télévision, FF 2003 1425, 1585). En outre, le message relève que "la publicité des décisions pourrait leur donner l'impact qui a manqué aux décisions écrites de l'Autorité de plainte" ( ibid.).
3.2. Un parallèle peut être fait entre le principe de publicité garanti à l'<ref-law> et la publicité de la justice en général, plus particulièrement en lien avec la jurisprudence rendue à propos de l'art. 59 al. 1 et 2 LTF.
En effet, si le Tribunal fédéral a jusqu'à présent laissé indécise la question de savoir si l'Autorité de plainte constitue un tribunal au sens de l'art. 6 CEDH (et 30 Cst.) lorsqu'elle est saisie d'une plainte individuelle (cf. <ref-law>; cf. <ref-ruling> consid. 2.7 et 2.8 qui répond en revanche par la négative en cas d'action populaire au sens de l'<ref-law>), il a néanmoins précisé que cette autorité était assimilable à un tribunal indépendant (arrêt 2C_844/2009 du 22 novembre 2010 consid. 3.2.2, non publié in <ref-ruling>; voir aussi <ref-ruling> consid. 2b; arrêts 2C_255/2015 du 1er mars 2016 consid. 3.1; 2C_402/2013 du 20 août 2013 consid. 4.2.2). On ne voit en outre pas de motifs d'appliquer des standards différents en matière de publicité devant l'Autorité de plainte de ceux applicables devant les autorités judiciaires.
Par ailleurs, l'<ref-law>, relatif à la publicité en cas d'audience du Tribunal fédéral, est une des rares dispositions à prévoir, comme l'<ref-law>, la publicité des délibérations (cf. aussi art. 41 al. 3 de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal administratif fédéral [LTAF; RS 173.32]), étant relevé que celle-ci ne découle pas de l'art. 30 al. 3 Cst., qui garantit la publicité de l'audience et du prononcé du jugement (<ref-ruling> consid. 2c; cf. JEAN-MAURICE FRÉSARD, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, no 8 ad <ref-law>). A noter toutefois que, selon l'<ref-law>, les délibérations ne sont publiques qu'en cas d'audience du Tribunal fédéral. En outre, à l'instar de l'<ref-law> in fine, l'<ref-law> réserve la possibilité de prononcer un huis clos ("Le Tribunal fédéral peut ordonner le huis clos total ou partiel si la sécurité, l'ordre public ou les bonnes moeurs sont menacés, ou si l'intérêt d'une personne en cause le justifie").
3.3. Selon la jurisprudence relative à la publicité des audiences judiciaires, la décision de prononcer un huis clos suppose une pesée des intérêts entre, d'une part, les biens de police ou l'intérêt privé menacés et, d'autre part, l'intérêt à ce que l'audience soit publique (<ref-ruling> consid. 3.1 à propos de l'<ref-law>; cf. aussi <ref-ruling> consid. 3.6.1 à propos de la publicité des débats en matière pénale). La publicité n'existe pas seulement dans l'intérêt des parties, mais présente plus largement un intérêt public (<ref-ruling> consid. 3.1). Le principe de publicité permet en effet d'assurer la transparence de la justice, afin de permettre au public de vérifier de quelle manière les procédures sont menées et la jurisprudence est rendue (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 4a). L'intérêt public à la publicité des délibérations de l'Autorité de plainte est le même, le message relevant expressément que le but poursuivi par l'<ref-law> est une transparence accrue (cf. supra consid. 3.1). Dès lors que le principe de publicité poursuit un intérêt public, les parties n'ont pas un droit à obtenir, sur requête, le huis clos (<ref-ruling> consid. 2 s.; <ref-ruling> consid. 2a).
Compte tenu de l'importance du principe de la publicité des audiences, le Tribunal fédéral a précisé que la possibilité de prononcer le huis clos doit être appréciée de manière restrictive; le huis clos ne doit être ordonné que si des motifs prépondérants l'imposent clairement (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 8.1; arrêt 2C_98/2013 du 29 juillet 2013 consid. 1). Le huis clos tend à protéger la sphère privée et la personnalité (cf. <ref-ruling> consid. 3.1 et les arrêts cités). Le droit au respect de la sphère privée au sens de l'art. 13 al. 1 Cst., dont le champ d'application matériel concorde largement avec celui de l'art. 8 CEDH, vise en effet l'identité, les relations sociales et les comportements intimes de chaque personne physique, l'honneur et la réputation, ainsi que, notamment, toutes les informations se rapportant à une personne qui ne sont pas accessibles au public, en particulier les informations relatives aux dossiers de procédures civiles, pénales ou administratives, qui porteraient atteinte à sa considération sociale (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 6.1; <ref-ruling> consid. 3.1). Ce droit n'est toutefois pas absolu; il peut être limité aux conditions de l'art. 36 Cst. (pour l'art. 13 Cst.) et de l'art. 8 par. 2 CEDH (pour l'art. 8 par. 1 CEDH).
3.4. En l'espèce, l'examen de la plainte du recourant par l'Autorité de plainte se fondera sur l'enregistrement du reportage et sur le contenu de l'article contestés, ainsi que sur les échanges d'écritures des parties pendant l'instruction devant elle. Pour ce qui a trait au reportage et à l'article, il ressort de la décision entreprise que le verdict du 20 mai 2020 rendu par le Tribunal correctionnel de C._ condamnant le recourant pour avoir falsifié des baux y est évoqué, avec la précision que l'avocat condamné a fait appel et que le dossier se trouve par ailleurs sur le bureau de l'autorité de surveillance de C._ Le nom du recourant n'est pas mentionné. En outre, d'après la décision attaquée, le dossier ne contient pas d'actes de procédures pénale ou civile en cours, hormis le jugement du 20 mai 2020 rendu par le Tribunal correctionnel de C._, ni d'informations non publiées sur la vie privée du plaignant. La délibération de l'Autorité de plainte n'impliquera ainsi pas de traiter des dossiers non publics. Enfin, l'Autorité de plainte a proposé de ne pas citer le nom du plaignant pendant sa délibération.
Sur le vu de ces éléments, on ne voit pas de motifs de prononcer un huis clos. Les faits de la cause ne font en effet pas apparaître de circonstances particulières justifiant de renoncer entièrement au principe de publicité des délibérations. La décision de l'Autorité de plainte, qui prévoit de conserver l'anonymat du recourant, tout en délibérant publiquement de sa plainte, préserve un juste équilibre entre les intérêts privés de l'intéressé à ce que son nom ne soit pas divulgué et l'intérêt public à la publicité des délibérations de l'autorité afin de garantir la transparence de son activité (cf., pour une solution analogue, décision 2C_201/2016 du 26 octobre 2017; <ref-ruling> consid. 8). Elle n'est pas critiquable au regard des principes sus-exposés.
4.
Le recourant allègue que le refus de huis clos viole la garantie de l'accès au juge (art. 29a Cst.), car il se voit contraint à faire valoir ses droits en acceptant le risque que ceux-ci soient davantage lésés ou alors de stopper ses démarches judiciaires, afin de ne pas être une seconde fois exposé. Il estime en outre que la décision entreprise porte atteinte à la protection de la vie privée (art. 13 Cst. et 8 par. 1) et viole le principe de proportionnalité (art. 36 al. 3 Cst. et art. 8 par. 2 CEDH). Ces griefs sont sans fondement.
4.1. Le recourant relève tout d'abord que s'il ne s'était pas opposé à la délibération publique de l'Autorité de plainte, celle-ci aurait eu lieu de manière non anonymisée. De ce fait, l'atteinte dont il prétend avoir été victime du fait du reportage et de l'article aurait été entérinée, car les personnes assistant à la délibération auraient obtenu l'identité de la personne visée.
La Cour de céans note qu'elle n'a pas à se prononcer sur des situations hypothétiques. Or, la délibération publique sans anonymisation crainte par le recourant n'a pas eu lieu et n'aura pas lieu puisque l'Autorité de plainte a proposé de ne pas citer son nom. Par ailleurs, il n'est pas contesté que ni le reportage, ni l'article incriminés ne mentionnent le nom du recourant.
4.2. Le recourant se plaint en tout état d'un "nouveau coup de projecteur" sur le reportage et l'article qu'il juge contraires à ses droits personnels en cas de délibération publique de l'Autorité de plainte.
Cette circonstance est toutefois inhérente au processus d'examen de la plainte du recourant. Les éventuels inconvénients pouvant découler du principe de publicité, qui relèvent au reste de la conjecture en l'occurrence, car il n'est absolument pas évident que le recourant sera identifié, doivent être acceptés; ils ne constituent pas en soi un motif pour prononcer le huis clos (ATF <ref-ruling> consid. 4b). Le même risque pèse au demeurant sur toute personne qui recourt au Tribunal fédéral, compte tenu des règles sur la publicité, notamment des arrêts (cf. <ref-law>).
4.3. Le recourant se plaint en outre que la délibération ait été annoncée sur le site de l'Autorité de plainte. Cette annonce est expressément prévue par le règlement de l'Autorité de plainte à l'art. 11 al. 2 (cf. supra consid. 2.1). Elle constitue uniquement la mise en oeuvre de la garantie de la publicité des délibérations et n'est donc pas critiquable sous l'angle de la protection de la vie privée garantie par les art. 13 Cst. et 8 CEDH (cf. arrêt 1P.347/2002 du 25 septembre 2002 consid. 3.2).
4.4. Le recourant dénonce aussi le fait que, s'il ne s'y était pas opposé, la délibération aurait eu lieu sur "Zoom", ce qui élargirait considérablement l'audience possible, puisqu'il serait plus facile de se connecter depuis un ordinateur n'importe où dans le monde que de se rendre en personne à Berne pour assister à une délibération de l'Autorité de plainte.
Dans la mesure où il n'est pas indiqué que la délibération que devra fixer à nouveau l'Autorité de plainte aura également lieu via "Zoom", la Cour de céans n'a pas à se prononcer sur la compatibilité de ce procédé avec les droits du recourant (cf. sur la visio-conférence en matière civile <ref-ruling> consid. 3).
4.5. Le recourant fait aussi valoir, sous l'angle du principe de proportionnalité, qu'une publication ultérieure de la décision anonymisée de l'Autorité de plainte constituerait une mesure adéquate et moins incisive.
Une telle publication ne suffit cependant pas à garantir la transparence voulue par le législateur s'agissant du processus de délibération. Le règlement de l'Autorité de plainte prévoit certes la possibilité de consigner un avis divergent par écrit lorsque trois membres au moins le partagent (art. 13 al. 1 du règlement de l'Autorité de plainte), mais ce n'est qu'au cours de la délibération que tous les avis s'expriment. Il est donc important que cette phase soit publique comme le prévoit la loi, à défaut d'intérêt digne de protection justifiant de s'écarter du principe fixé par celle-ci. A cet égard, le recourant n'expose pas d'éléments qui plaideraient en faveur du huis clos pour des motifs de protection de la vie privée, au lieu de la délibération publique, mais avec anonymisation de son nom telle que proposée par l'Autorité de plainte et la Cour de céans n'en discerne pas.
4.6. Enfin, en tant que le recourant estime qu'il n'a d'autre choix que de renoncer au préalable au respect de sa sphère privée s'il entend faire valoir son droit au juge garanti par l'art. 29a Cst., il est souligné que la décision attaquée repose sur une approche proportionnée de la sphère privée de l'intéressé et ne viole pas les art. 13 Cst. et 8 CEDH. L'atteinte dénoncée est donc justifiée.
4.7. Sur le vu de ce qui précède, le recours ne peut qu'être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
5.
Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens à la SSR, qui remplit, dans le cadre de ses activités d'information, une tâche prévue par la loi (cf. art. 68 al. 1 et 3 LTF; cf. arrêts 2C_402/2013 du 20 août 2013 consid. 5; 2C_664/2010 du 6 avril 2011 consid. 5.2) et qui n'était de toute façon pas représentée par un avocat dans la présente procédure.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, à la Société suisse de radiodiffusion et télévision SRG SSR et à l'Autorité indépendante d'examen des plaintes en matière de radio-télévision.
Lausanne, le 5 octobre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber