Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Nach einer Strafanzeige gegen die Ombudsfrau des Kantons Zürich u.a. wegen Amtsgeheimnisverletzung nahm die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat die Strafuntersuchung am 2. Mai 2019 nicht an die Hand. Auf die dagegen gerichtete Beschwerde trat das Obergericht mangels Leistung der Prozesskaution am 13. September 2019 nicht ein.
Der Beschwerdeführer gelangte am 18. Oktober 2019 (Poststempel) mit Beschwerde an das Bundesgericht (Verfahren 6B_1266/2019). Auf seine Beschwerde sei nicht eingetreten worden, weil er gemäss Obergericht die Verfügung vom 26. Juni 2019 betreffend Prozesskaution auf der Post nicht abgeholt habe. Tatsächlich habe er diese nicht abgeholt, weil er im fraglichen Zeitraum hospitalisiert gewesen sei.
Das Bundesgericht leitete die Eingabe des Beschwerdeführers am 4. November 2019 als Fristwiederherstellungsgesuch zuständigkeitshalber an das Obergericht des Kantons Zürich. Das Verfahren 6B_1266/2019 wurde einstweilen sistiert. Das Obergericht des Kantons Zürich wies das Gesuch am 11. Dezember 2019 ab.
Der Beschwerdeführer wendet sich auch dagegen mit Beschwerde an das Bundesgericht (Verfahren 6B_65/2020).
2.
Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid darzulegen, inwieweit dieser gegen das Recht verstossen soll, wobei für die Rüge der Verletzung von Grundrechten qualifizierte Begründungsanforderungen bestehen (<ref-law>).
Die Zustellung einer eingeschriebenen Postsendung, die nicht abgeholt worden ist, gilt am siebten Tag nach dem erfolglosen Zustellungsversuch als erfolgt, sofern die Person mit einer Zustellung rechnen musste (<ref-law>).
Hat eine Partei eine Frist versäumt und würde ihr daraus ein erheblicher und unersetzlicher Rechtsverlust erwachsen, so kann sie die Wiederherstellung der Frist verlangen; dabei hat sie glaubhaft zu machen, dass sie an der Säumnis kein Verschulden trifft (<ref-law>). Typischerweise kann eine im kritischen Zeitpunkt aufgetretene schwere Erkrankung eine Fristwiederherstellung rechtfertigen, wenn dadurch jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht wird.
3.
Die Verfahren 6B_1266/2019 und 6B_65/2020 sind zu vereinigen und gemeinsam zu erledigen.
4.
Die Vorinstanz erwägt im Entscheid vom 13. September 2019, dem Beschwerdeführer sei mit Verfügung vom 26. Juni 2019 eine Frist von 30 Tagen zur Leistung einer Prozesskaution angesetzt worden. Als Säumnisfolge sei ein Nichteintreten auf die Beschwerde angedroht worden. Die Verfügung vom 26. Juni 2019 sei dem Beschwerdeführer am 27. Juni 2019 von der Post zur Abholung gemeldet, indessen innert der siebentägigen Abholfrist bis am 4. Juli 2019 nicht abgeholt worden. Da der Beschwerdeführer am 20. Juni 2019 selber Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhoben habe, habe er mit eingeschriebenen Postsendungen des Gerichts rechnen müssen. Die nicht abgeholte eingeschriebene Sendung gelte am siebten Tag nach dem Zustellversuch, mithin am 4. Juli 2019 als zugestellt. Die Frist zur Leistung der Prozesskaution sei bis 5. August 2019 gelaufen. Innert der Frist sei keine Prozesskaution und auch keine weitere Eingabe eingegangen. Auf die Beschwerde sei androhungsgemäss nicht einzutreten.
In der Nachtragsverfügung vom 11. Dezember 2019 führt die Vorinstanz zusammengefasst aus, das Zeugnis des Universitätsspitals Zürich vom 29. November 2019 belege einen Spitalaufenthalt vom 28. Juni bis zum 7. August 2019 ohne Möglichkeit einer Beurlaubung. Daraus ergebe sich aber nicht, dass es dem Beschwerdeführer aufgrund seiner gesundheitlichen Verfassung unmöglich gewesen sein soll, jemanden mit der Abholung der eingeschriebenen Sendung zu beauftragen. Das Argument, es sei keine Person vorhanden gewesen, die er mit der Abholung hätte beauftragen können, verfange nicht. Wenn der Beschwerdeführer - was unwahrscheinlich sei - keinen einzigen Bekannten habe, den er damit hätte beauftragen können, hätte er sich an einen Anwalt wenden können. Er habe immerhin mit gerichtlicher Post rechnen müssen, zumal er selber Beschwerde eingereicht habe. Zudem sei ihm die Sendung einen Tag vor Spitaleintritt zur Abholung gemeldet worden. Eine unverschuldete Säumnis im Sinne von <ref-law> könne damit nicht angenommen werden.
5.
Was daran gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnte, ist nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Erwägungen in den angefochtenen Entscheiden nicht oder nicht hinreichend auseinander. Den Schluss der Vorinstanz, es liege keine unverschuldete Säumnis vor, widerlegt er nicht als bundesrechtswidrig. Er zeigt auch nicht auf, inwiefern die vorinstanzliche Folgerung, er habe aufgrund seiner Beschwerdeeinreichung mit gerichtlichen Zustellungen rechnen müssen, rechtlich fehlerhaft sein könnte. Er äussert sich weder konkret zur Art und Schwere seines nicht näher umschriebenen gesundheitlichen Problems, noch spricht er sich dazu aus, ob der mehrwöchige Spitalaufenthalt im Voraus geplant war oder unplanmässig erfolgte. Inwiefern er entgegen der Auffassung der Vorinstanz selbst ausserstande gewesen sein soll, organisatorische Vorkehren zu treffen und zumindest eine Drittperson mit der Abholung der gerichtlichen Sendung zu beauftragen, erschliesst sich aufgrund seiner Vorbringen nicht. Dass er die von der Vorinstanz beispielhaft genannte Beauftragung eines Anwalts für nicht zweckmässig, kostengünstig und vernünftig hält, ist nicht entscheidend und kann jedenfalls als Fristwiederherstellungsgrund nicht angerufen werden. Inwiefern die Vorinstanz mit der Abweisung des Wiederherstellungsgesuchs gegen Recht im Sinne von <ref-law> verstossen haben könnte, lässt sich den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht entnehmen. Daraus geht auch nicht hervor, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt haben könnte, indem sie auf die Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung mangels Leistung der Prozesskaution nicht eintrat. Der Beschwerdeführer macht weder geltend, der Zustellversuch der Kautionsverfügung sei nicht ordnungsgemäss erfolgt, noch ficht er die vorinstanzlichen Feststellungen über den Beginn und das Ende des Fristenlaufs im Zusammenhang mit der angewandten Zustellfiktion als willkürlich oder sonstwie bundesrechtswidrig an. Soweit auf die Beschwerden mithin überhaupt eingetreten werden kann, sind sie im Verfahren nach <ref-law> als offensichtlich unbegründet abzuweisen.
6.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das nachträglich gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist wegen Aussichtslosigkeit in Anwendung von <ref-law> abzuweisen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist durch eine Reduktion der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_1266/2019 und 6B_65/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill