Faits :
A.
A.a. A._ SA est une société anonyme avec siège initialement à U._, puis à V._. Le but de la société, qui dispose de différentes succursales en Suisse, est notamment l'exploitation d'une organisation pour les soins ambulatoires, l'assistance personnelle et dans le ménage. La succursale du canton de Fribourg a été mise au bénéfice d'une autorisation provisoire d'exploiter un service d'aide et de soins à domicile pour une durée limitée, le 8 septembre 2011, puis d'une autorisation définitive, le 9 juillet 2013, qui a été renouvelée le 20 juillet 2018.
A.b. Le 23 décembre 2014, A._ SA a adressé au Service de la santé publique du canton de Fribourg (ci-après: le SSP) une facture de 125'910 fr. 97 à titre de financement résiduel cantonal pour les mois de janvier à novembre 2014. En réponse, le SSP a indiqué ne pas pouvoir accepter cette facture sans disposer de tous les éléments lui permettant de procéder à une analyse des coûts des soins, dont la compatibilité analytique qu'il invitait A._ SA à produire (courrier du 12 janvier 2015). Le 23 janvier suivant, la société a déposé sa comptabilité analytique pour l'année 2013 (tableau "BAB nach Kanton 1.1.2013-31.12.2013"), en déclarant rester à disposition pour toute information complémentaire. Après un nouvel échange de courriels ainsi qu'une rencontre entre le directeur de A._ SA et l'économiste du SSP, le 25 août 2015, A._ SA a fourni sa comptabilité analytique 2014 à l'administration, le 5 décembre 2015 (tableau "BAB nach Kanton 1.1.2014-31.12.2014"). Par la suite, respectivement les 17 décembre 2015 et 29 mars 2016, A._ SA a présenté des factures portant sur le financement résiduel pour la période de décembre 2014 à novembre 2015, puis des factures finales relatives au financement résiduel pour les années 2014 et 2015.
A.c. Saisi d'un recours pour déni de justice formé par A._ SA le 3 juin 2016, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, III e Cour administrative, l'a rejeté et a invité le Conseil d'Etat fribourgeois à statuer sur la prise en charge des factures de la société pour les années 2014 et 2015 (arrêt du 30 novembre 2016). Le 5 janvier 2017, A._ SA a alors adressé au gouvernement cantonal fribourgeois ses factures pour les années 2014 (à hauteur de 137'820 fr. 60) et 2015 (à hauteur de 152'100 fr. 10), ainsi que pour la période du 1er janvier au 31 août 2016 (à hauteur de 74'496 fr. 50). Il a par ailleurs indiqué que les coûts de soins ressortant de sa comptabilité analytique se chiffraient comme suit: évaluation, conseils et coordination: 119 fr. 60 par heure, examens et traitement: 84 fr. 90 par heure, soins de base: 83 fr. par heure. Ni une nouvelle rencontre entre A._ SA et le SSP, ni une proposition transactionnelle de la part de la société, ni les échanges de correspondances qui ont suivi n'ont permis d'aboutir à un résultat. En particulier, le 11 avril 2017, le SSP a informé A._ SA qu'il entendait refuser la prise en charge des factures pour la période du 1er janvier 2014 au 31 août 2016, fixer le coût résiduel, dès le 1er septembre 2016, conformément aux nouvelles règles applicables aux organisations d'assistance et de soins à domicile (ci-après: OASD) privées et proposer au Conseil d'Etat de s'écarter de la disposition de droit cantonal imposant une contribution des patients aux coûts des soins fournis par ces organisations (art. 3 al. 2, première phrase de la loi cantonale fribourgeoise du 9 décembre 2010 d'application de la loi fédérale du 13 juin 2008 sur le nouveau régime de financement des soins [RSF 820.6; ci-après: LARSF]), afin de garantir l'égalité de traitement entre les OASD privées et les infirmiers et infirmières. Il a par ailleurs précisé que si A._ SA lui avait bien présenté sa comptabilité analytique, celle-ci avait été établie en fonction de son organisation (siège principal suisse et sièges cantonaux), de sorte qu'il ne disposait pas d'une comptabilité pour l'ensemble de l'organisation ce qui rendait impossible la vérification de la ventilation des coûts pour le canton de Fribourg. Par courrier du 5 décembre 2017, A._ SA a réclamé du SSP une décision portant sur la prise en charge des factures relatives à la période courant du 1er janvier 2014 au 31 octobre 2017 (factures déjà envoyées précédemment, plus deux factures à hauteur respectivement de 40'536 fr. 55 pour la période du 1er septembre au 31 décembre 2016 et de 81'523 fr. 90 pour la période du 1er janvier au 31 octobre 2017).
Le 6 mars 2018, le Conseil d'Etat du canton de Fribourg a décidé que:
"Art. 1
Le paiement des montants demandés par la société A._ SA à titre de financement résiduel, selon ses conclusions finales du 5 décembre 2017, est refusé.
Art. 2
L'Etat prend en charge la différence entre le tarif OPAS [ordonnance du 29 septembre 1995 sur les prestations dans l'assurance obligatoire des soins en cas de maladie; RS 832.112.31] et les coûts de soins fixés à l'article 1 al. 3 de l'ordonnance cantonale du 25 janvier 2011 sur le nouveau financement des soins [RSF 820.61], pour les prestations effectuées dès le 1er septembre 2016, à savoir 9 fr. 35 pour les prestations d'évaluation, de conseils et de coordination, 7 fr. 70 pour les prestations d'examens et de traitement et 6 fr. 40 pour les prestations de soins de base, fournies aux patients domiciliés dans le canton de Fribourg.
(...) ".
Il a par ailleurs invité A._ SA à présenter des factures concernant cette période, établies conformément aux Directives du 7 avril 2014 de la Direction de la santé et des affaires sociales du canton de Fribourg relatives à la participation des pouvoirs publics aux coûts des soins pour les infirmiers et infirmières, sans facturation d'intérêts moratoires (art. 3).
B.
Statuant le 18 août 2020 sur le recours formé par A._ SA contre la décision du gouvernement fribourgeois du 6 mars 2018, le Tribunal cantonal du canton de Fribourg, III e Cour administrative, l'a partiellement admis; il a réformé l'art. 2 de la décision en ce sens qu'il a fixé au 1er janvier 2014 la date à partir de laquelle l'Etat prend en charge, "la différence entre le tarif OPAS et les coûts de soins fixés à l'art. 1 al. 3 de l'ordonnance du 25 janvier 2011 sur le nouveau financement des soins, pour les prestations effectuées dès le 1er janvier 2014, à savoir 9 fr. 35 pour les prestations d'évaluation, de conseils et de coordination, 7 fr. 70 pour les prestations d'examens et de traitement et 6 fr. 40 pour les prestations de soins de base, fournies aux patients domiciliés dans le canton de Fribourg".
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ SA demande au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt cantonal en ce sens que soit admis le paiement des montants qu'elle avait demandés à titre de financement résiduel, selon ses conclusions finales du 5 décembre 2017, et que l'Etat prenne en charge "la différence entre le tarif OPAS et le coût des soins effectif de A._ SA, pour les prestations effectuées dès le 1er janvier 2014, à savoir 39 fr. 85 pour les prestations d'évaluation, de conseils et de coordination, 19 fr. 50 pour les prestations d'examen et de traitement et 28 fr. 50 pour les prestations de soins de base, fournies aux patients domiciliés dans le canton de Fribourg", à savoir un total de 491'477 fr. 65 pour la période du 1er janvier 2014 au 31 octobre 2017.
Le Conseil d'Etat du canton de Fribourg conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Attribuée dans un premier temps à la II e Cour de droit public, la cause a ensuite été transmise à la II e Cour de droit social.

Considérant en droit :
1.
1.1. La II e Cour de droit social du Tribunal fédéral est compétente pour traiter les recours en matière de droit public concernant le financement résiduel des coûts des soins, dès lors qu'ils ont été formés après la survenance d'un cas d'assurance. Tel est le cas en l'espèce, où le litige porte sur la prise en charge, par l'Etat de Fribourg, des prestations fournies par la recourante pour la période du 1er janvier 2014 au 31 octobre 2017, de sorte que la cause doit être traitée par la Cour de céans (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2. Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (<ref-law>), que le Tribunal fédéral applique d'office (<ref-law>), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Dans la mesure où l'arrêt attaqué se fonde sur des sources du droit cantonal, qui ne sont pas énumérées à l'art. 95 let. c à e LTF, l'examen du Tribunal fédéral se limite à la question de savoir si l'application du droit cantonal consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 6.1). Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont invoqués et motivés de manière précise par le recourant (<ref-law>).
2.
Le litige porte sur l'étendue de la prise en charge par l'Etat de Fribourg des coûts des soins résiduels au sens de l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2018, déterminante en l'espèce), relatifs aux prestations fournies par la recourante pour la période du 1er janvier 2014 au 31 octobre 2017.
3.
3.1.
3.1.1. Selon l'<ref-law>, l'assurance obligatoire des soins fournit une contribution aux soins qui sont dispensés sur la base d'une prescription médicale et d'un besoin en soins avéré, sous forme ambulatoire, notamment dans des structures de soins de jour ou de nuit, ou dans des établissements médico-sociaux. En vertu de l'al. 5 de la disposition, les coûts des soins qui ne sont pas pris en charge par les assurances sociales ne peuvent être répercutés sur la personne assurée qu'à hauteur de 20 % au plus de la contribution maximale fixée par le Conseil fédéral. Les cantons règlent le financement résiduel.
L'<ref-law> garantit que les coûts des soins résiduels, à savoir l'intégralité des frais effectifs que ni l'assurance obligatoire des soins ni l'assuré ne prendraient à leur charge, soit assumée par les collectivités publiques, soit par le canton ou, si ce dernier décide de les mettre (également) à contribution, par les communes (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 4.2; arrêt 2C_228/2011 du 23 juin 2012 consid. 3.2.1 et les références citées). Ce faisant, les cantons disposent d'une large marge d'appréciation relative aux modalités de prise en charge de la part cantonale, en particulier en vue de leur permettre d'intervenir sur les prestataires de soins de santé, afin que ces derniers maîtrisent au mieux le coût des soins à l'aune de l'<ref-law>; l'<ref-law> ne fait pas obstacle à la fixation de tarifs forfaitaires ("Normkosten") par les cantons, en dépit du schématisme qui est inhérent à cet instrument (<ref-ruling> consid. 7.2; <ref-ruling> consid. 4.2; arrêts 2C_642/2018 du 29 mars 2019 consid. 4.1 et 2C_228/2011 du 23 juin 2012 consid. 3.2.1 et les références citées).
3.1.2. Le Tribunal fédéral a précisé que le droit social fédéral imposait désormais aux cantons de couvrir les coûts des soins résiduels auprès de tous les fournisseurs autorisés à facturer leurs prestations à l'assurance-maladie obligatoire, sans autres conditions (<ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 7.4; arrêt 9C_176/2016 du 21 février 2017 consid. 3.1 et 3.2 et les références, in SVR 2017 KV n° 13 p. 59). Ainsi, conformément aux principes jurisprudentiels, une fois qu'un fournisseur de prestations a été autorisé à exercer à la charge de l'assurance obligatoire des soins, un canton ne peut plus assujettir le règlement du financement résiduel à d'autres conditions, comme par exemple la reconnaissance d'utilité publique (<ref-ruling> consid. 4.2.3), mais peut seulement en régler les modalités de versement (<ref-ruling> consid. 5.1; arrêt 9C_176/2016 cité consid. 3.2).
En conséquence, le canton qui ne prendrait pas entièrement à sa charge le coût résiduel, le cas échéant tarifé, des soins dispensés par les fournisseurs de prestations en cause, violerait le droit social fédéral. Ceci dit, pour pouvoir retenir une telle incompatibilité du droit cantonal avec le droit fédéral, encore faudrait-il constater que les tarifs prévus par le droit cantonal ne suffisent pas à couvrir le coût effectif des prestations fournies par les fournisseurs de prestations concernés (cf. arrêt 2C_228/2011 cité consid. 3.2.2). A cet égard, le Tribunal fédéral a cependant précisé que le fournisseur de prestations n'a pas droit, en vertu du droit fédéral, à la prise en charge des coûts effectifs sans considération de l'économicité. Le principe général du caractère économique des prestations (<ref-law>) limite d'une part le besoin en prestations de soins à couvrir (cf. pour l'évaluation des soins requis l'<ref-law>; cf. aussi <ref-ruling> consid. 7.4.4.2). D'autre part, il exige que le besoin évalué soit couvert de la manière la plus économique possible. L'exigence du caractère économique limite par avance l'étendue des prestations assurées. L'ensemble des acteurs impliqués dans le domaine de l'assurance-obligatoire des soins doit assurer que le but de l'<ref-law>, à savoir la garantie d'une couverture des soins efficace, d'une qualité de haut niveau et appropriée, tout en étant la plus avantageuse possible, soit atteint (arrêt 9C_176/2016 cité consid. 6.2.1). C'est dans ce contexte - de droit fédéral - que doit être comprise la liberté du législateur cantonal de prévoir des tarifs, des prix maximaux ou des forfaits, pour influer de manière pondératrice sur les coûts relatifs à la couverture du besoin (arrêt 9C_625/2020 du 10 septembre 2021 consid. 4.1 et les références, destiné à la publication).
3.2.
3.2.1. Au niveau cantonal, le financement résiduel des coûts des soins fournis par les OASD est réglé par la LARFS, entrée en vigueur le 1er janvier 2011. Selon l'art. 1 LARFS, le Conseil d'État détermine les coûts des soins sur la base d'une comptabilité analytique ou d'autres indicateurs. Les art. 2 à 4 LARFS prévoient une distinction pour la prise en charge selon que les soins sont fournis par un établissement médico-social (art. 2), par des services d'aide et de soins à domicile exploités ou mandatés par une association de communes au sens de la loi sur les prestations médico-sociales (art. 3 al. 1 [dans sa version en vigueur à partir du 1er janvier 2018; auparavant: "organisations de soins et d'aide à domicile qui sont au bénéfice d'un mandat de prestations selon la loi sur l'aide et les soins à domicile]), par d'autres organisations de soins et d'aide à domicile (art. 3 al. 2) ou par des infirmières et infirmiers (art. 4).
S'agissant des soins fournis par les autres organisations de soins et d'aide à domicile - comme la recourante -, l'art. 3 al. 2 LARFS prévoit que la part des coûts non pris en charge par l'assurance-maladie obligatoire est facturée aux patients et patientes à hauteur de 20 % au plus de la contribution des assureurs-maladie. Le coût résiduel est à la charge de l'Etat.
3.2.2. Ces dispositions légales ont été concrétisées par l'ordonnance cantonale du 25 janvier 2011 sur le nouveau régime de financement des soins (RSF 820.61), entrée en vigueur le 1er janvier 2011 (ci-après: ORFS 2011). Dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2013, l'art. 1 al. 2 ORFS 2011 prévoit que pour les organisations d'aide et de soins à domicile ainsi que pour les infirmiers et infirmières, les coûts des soins correspondent aux montants fixés par l'art. 7a de l'OPAS (dit "tarif OPAS" dans la présente cause). Selon l'alinéa 1 de la disposition de droit fédéral (dans sa teneur en vigueur du 1er janvier 2011 jusqu'au 31 décembre 2019), pour les fournisseurs de prestations visés à l'art. 7 al. 1 let. a (infirmiers et infirmières) et let. b (organisations de soins et d'aide à domicile), l'assurance prend en charge les montants suivants, par heure, sur les coûts des prestations définies à l'art. 7, al. 2: 79 fr. 80 pour l'évaluation, les conseils et la coordination (let. a), 65 fr. 40 pour les examens et les traitements (let. b) et 54 fr. 60 pour les soins de base (let. c).
L'art. 1 ORFS 2011 a été modifié au 1er janvier 2014 (ROF 2011_004; ci-après: ORFS 2014) pour différencier entre les coûts des soins fournis par les organisations d'aide et de soins à domicile (art. 1 al. 2, dont la teneur est restée identique, sous réserve de la mention des infirmiers et infirmières) et ceux effectués par les infirmiers et infirmières qui ont été fixés à l'al. 3 (89 fr. 15 pour l'évaluation, les conseils et la coordination, 73 fr. 10 pour les examens et traitements, 61 fr. pour les soins de base). A partir du 1er septembre 2016 (ROF 2016_103; ci-après: ORFS 2016), l'art. 1 al. 2 et 3 ORFS a une nouvelle fois été modifié pour distinguer entre les coûts des soins fournis par les organisations de soins et d'aide à domicile au bénéfice d'un mandat de prestations selon la loi sur l'aide et les soins à domicile (les coûts correspondant aux montants fixés par l'<ref-law> [art. 1 al. 2 ORFS 2016]) et ceux fournis par les autres organisations de soins et d'aide à domicile ainsi que pour les infirmiers et infirmières (art. 1 al. 3 ORFS 2016). Pour cette deuxième catégorie de fournisseurs de prestations (autres organisations et personnel infirmier), les coûts ont été fixés à 89 fr. 15 pour l'évaluation, les conseils et la coordination, 73 fr. 10 pour les examens et traitements, 61 fr. pour les soins de base.
4.
4.1. La juridiction cantonale a constaté que jusqu'en mai 2014, la recourante, qui s'est installée dans le canton de Fribourg à partir du 8 septembre 2011 - soit alors que l'ORFS 2011 était déjà en vigueur - n'a pas fait valoir que le tarif OPAS ne couvrait pas l'intégralité du coût des soins prodigués dans le canton, ni produit un quelconque document comptable relatif à ses trois premières années d'exploitation dans le canton. Elle en a déduit que les autorités cantonales étaient légitimées à admettre ("poser l'équation") que le tarif OPAS couvrait l'ensemble des coûts des prestations de la recourante.
4.2. Pour la période courant à partir de mai 2014, où la recourante s'était adressée à la Direction de la santé et des affaires sociales du canton de Fribourg, l'autorité cantonale de recours a retenu que A._ SA n'avait pas fourni de données suffisantes pour permettre au Conseil d'Etat fribourgeois de fixer des coûts des soins "spécifiques pour les OASD non mandatées". Les comptabilités analytiques 2013 et 2014 produites par la recourante étaient insuffisantes pour valider les coûts des soins dispensés. En effet, dès lors qu'il s'agissait d'un prestataire de soins organisé en société active dans plusieurs cantons, dotée d'un siège suisse et de sièges cantonaux, la production de sa comptabilité générale constituait indiscutablement une donnée pertinente, apte et nécessaire pour calculer les coûts imputés à l'antenne fribourgeoise et vérifier le système de répartition des frais généraux à charge du canton. De même, le barème des salaires appliqué au personnel de la société constituait un indicateur indispensable au sens de l'art. 1 LARSF, comme les charges salariales représentaient la plus grande part des coûts d'exploitation d'une OASD. Or la nécessité de disposer de données complètes était d'autant plus justifiée que la recourante était la seule OASD non mandatée active dans le canton de Fribourg - une comparaison avec d'autres organismes similaires étant impossible - et qu'elle avait annoncé des coûts des soins nettement plus élevés (de 29 % en moyenne) que ceux fixés par les autres fournisseurs de prestations (119 fr. 65 pour elle/89 fr. 15 pour les infirmiers et infirmières [évaluation, conseils et coordination], respectivement 84 fr. 90/73 fr. 10 [traitement] et 83 fr. 10/61 fr. [soins de base]). A défaut de données suffisantes et dès lors que la recourante n'avait pas produit d'autres renseignements nécessaires à la fixation des coûts de soins dans le canton requis par l'autorité cantonale, celle-ci n'avait pas été mesure de fixer les coûts des soins propres à la recourante et applicables également aux autres OASD non mandatées qui pouvaient s'implanter dans le canton.
Il en allait ainsi, toujours selon l'autorité judiciaire cantonale, malgré l'impossibilité de détailler quels documents avaient été demandés à la recourante mais n'auraient pas été produits par celle-ci, du fait que le dossier constitué par le Conseil d'Etat était largement lacunaire. Les juges cantonaux ont en effet considéré comme démontré de façon suffisamment convaincante que l'autorité cantonale n'avait pas disposé de tous les éléments jugés nécessaires à la détermination des coûts des soins dispensés dans le canton de Fribourg, comme en particulier le barème des salaires (requis en août 2015 déjà) ou la comptabilité générale de l'organisation. Ils en ont déduit que le Conseil d'Etat avait été parfaitement légitimé à recourir à d'autres indicateurs, reconnus et validés dans le canton, et à appliquer aux OASD non mandatées dans le canton le tarif cantonal, déjà reconnu et validé, arrêté pour les autres fournisseurs de soins privés du canton, à savoir les infirmiers et les infirmières. Ce faisant, le gouvernement cantonal avait à juste titre décidé de verser à la recourante la différence entre le tarif OPAS et les coûts des soins fixés à l'art. 1 al. 3 ORFS 2016, soit 9 fr. 35 pour les prestations d'évaluation, de conseils et de coordination, 7 fr. 70 pour les prestations d'examens et de traitement et 6 fr. 40 pour les prestations de soins de base, en décidant de ne pas appliquer l'art. 3 al. 2, première phrase, LARFS (soit en excluant une participation financière des patients). C'est de manière conforme au droit que le Conseil d'Etat avait usé de son vaste pouvoir d'appréciation dans ce domaine, où les cantons disposaient d'une large marge de manoeuvre pour fixer les coûts normatifs, qui devaient refléter la réalité des coûts des soins dans un canton donné.
4.3. Examinant ensuite l'ORFS 2016 sous l'angle de son application temporelle, la juridiction cantonale a rappelé que le Tribunal fédéral s'était déjà prononcé sur un recours formé par les infirmiers et infirmières contre l'ORFS 2011; à cette occasion, il avait émis des doutes quant à la conformité de la réglementation cantonale avec l'<ref-law>, en invitant le canton de Fribourg à faire preuve de la flexibilité voulue (recours au besoin aux normes de droit transitoire et aux éventuelles possibilités d'accorder des dérogations), afin de veiller à ce que les coûts effectifs des prestations fournies fussent globalement couverts par les tarifs alors pratiqués (arrêt 2C_228/2011 du 23 juin 2012 consid. 3.2.5 et 3.2.6). Cela dit, les premiers juges ont constaté que les comptabilités annuelles produites par la recourante attestaient de manière suffisamment probante que le seul tarif OPAS - qui prenait appui sur les montants prévalant avant l'entrée en vigueur de la réforme du financement des soins de santé au 1er janvier 2011 - ne couvrait pas ses frais effectifs. Au vu des comptabilités analytiques produites pour la période du 1er janvier 2014 au 1er septembre 2016, la réglementation cantonale limitant le coût des soins au tarif OPAS ne répondait pas aux exigences fédérales. La juridiction cantonale a par ailleurs admis qu'il y avait lieu de rétablir une égalité de traitement - désormais prévue - entre les divers prestataires de soins privés du canton (soit d'une part, les infirmiers et infirmières qui avaient bénéficié d'un tarif cantonal plus favorable que le tarif OPAS, de janvier 2014 à septembre 2016 - et d'autre part, la recourante, seule OASD non mandatée active dans le canton de Fribourg). Or ce rétablissement supposait une application rétroactive du tarif cantonal à l'OASD non mandatée du canton, ce d'autant plus que l'ORFS 2016 n'avait pas introduit un tarif particulier pour les coûts des soins spécifiques aux OASD non mandatées mais avait prévu pour ces dernières le tarif déjà fixé pour les prestataires de soins indépendants depuis le 1er janvier 2014. L'application rétroactive de l'ordonnance cantonale reposait sur une base légale suffisamment claire (<ref-law> et art. 1 LARFS), répondait à un intérêt public prépondérant et corrigeait une inégalité de traitement entre les fournisseurs de soins privés du canton, de même qu'elle donnait suite aux recommandations de l'arrêt 2C_228/2011 du 23 juin 2012 (consid. 3.2.6). En conséquence, le Conseil d'Etat fribourgeois était invité à soumettre la recourante aux règles introduites par l'ORFS 2016 à compter du 1er janvier 2014.
La juridiction cantonale a dès lors admis la conclusion subsidiaire de la recourante et modifié la décision du gouvernement cantonal du 6 mars 2018, en ce sens que l'Etat devait prendre en charge, pour les prestations effectuées dès le 1er janvier 2014, la différence entre le tarif OPAS et les coûts des soins fixés par l'ORFS 2016, à savoir 9 fr. 35 pour les prestations d'évaluation, de conseil et de coordination, 7 fr. 70 pour les prestations d'examens et de traitement, ainsi que 6 fr. 40 pour les prestations de soins de base.
5.
5.1. Invoquant à la fois une violation de son droit d'être entendue, une constatation manifestement inexacte des faits, une application arbitraire de la maxime inquisitoire (prévue à l'art. 45 du Code du 23 mai 1991 de procédure et de juridiction administrative du canton de Fribourg [CPJA; RSF 150.1]) ainsi qu'une violation du principe de la bonne foi et de l'arbitraire, la recourante reproche tout d'abord à la juridiction cantonale d'avoir retenu un manque de collaboration de sa part en ce qui concerne les éléments nécessaires à la détermination des coûts des soins dispensés dans le canton (en particulier le défaut de production de la comptabilité générale et le barème des salaires). Selon elle, comme il appartenait au Conseil d'Etat de déterminer quels documents elle devait produire à titre de prestataire de soins et comme la juridiction cantonale n'avait pas été en mesure d'établir clairement ce qui avait été requis de sa part mais qu'elle n'aurait pas produit au cours de la procédure administrative, il serait arbitraire de lui faire subir les conséquences procédurales des lacunes du dossier.
5.2.
5.2.1. En procédure administrative fribourgeoise, l'art. 45 al. 1 CPJA - applicable notamment au Conseil d'Etat et aux organes de l'administration cantonale (art. 1 al. 1 let. a et 2 CPJA) - prévoit que l'autorité procède d'office aux investigations nécessaires pour établir les faits pertinents, sans être limitée par les allégués et les offres de preuves des parties. L'art. 46 al. 1 CPJA énumère les différents moyens de preuves auxquels l'autorité peut recourir: documents et renseignements des parties (let. a), rapports officiels (let. b), audition des parties (let. c), inspection par l'autorité (let. d), expertises (let. e). Selon l'art. 46 al. 3 CPJA, les auditions des parties et des témoins font l'objet d'un procès-verbal. Sous réserve de l'art. 91 al. 3 (débats publics), le procès-verbal est lu et signé par les personnes entendues.
5.2.2. Selon la maxime inquisitoire, qui prévaut en particulier en droit public, l'autorité définit les faits pertinents et ne tient pour existants que ceux qui sont dûment prouvés; elle oblige notamment les autorités compétentes à prendre en considération d'office l'ensemble des pièces pertinentes qui ont été versées au dossier. Elle ne dispense pas pour autant les parties de collaborer à l'établissement des faits; il leur incombe d'étayer leurs propres thèses, de renseigner l'autorité sur les faits de la cause et de lui indiquer les moyens de preuves disponibles, spécialement lorsqu'il s'agit d'élucider des faits qu'elles sont le mieux à même de connaître, respectivement qui relèvent de leur sphère d'influence (cf. arrêts 1C_266/2015 du 20 juin 2016 consid. 3.1.2; 1C_582/2012 du 9 juillet 2013 consid. 3.1). En l'absence de collaboration de la partie concernée par de tels faits et d'éléments probants au dossier, l'autorité qui met fin à l'instruction du dossier en retenant qu'un fait ne peut être considéré comme établi, ne tombe ni dans l'arbitraire ni ne viole l'<ref-law> relatif au fardeau de la preuve (cf. <ref-ruling> consid. 6.3.1 et les références citées; arrêt 1C_611/2020 du 10 mai 2021 consid. 2.3 et les références).
Dans ce contexte, le droit cantonal de procédure prévoit l'obligation des parties de collaborer à l'établissement des faits lorsqu'elles s'en prévalent (art. 47 al. 1 let. a CPJA), l'étendue de cette collaboration (art. 48 CPJA), ainsi que les conséquences du refus de collaborer. A cet égard, lorsqu'une personne ne prête pas le concours qu'on peut exiger d'elle, l'autorité peut déclarer ses conclusions irrecevables ou statuer sur la base du dossier (art. 49 al. 1 CPJA). Les parties sont informées des conséquences possibles de leur attitude (al. 2).
5.3. En l'occurrence, le SSP a été saisi d'une demande de prise en charge des coûts résiduels des soins dispensés à partir du 1er janvier 2014, que la recourante a présentée le 23 décembre 2014. La procédure administrative ainsi initiée avait pour but de déterminer l'étendue de la prise en charge par le canton de Fribourg des coûts des soins résiduels fournis par la recourante, compte tenu des règles prévues par le droit cantonal et des principes découlant du droit fédéral (consid. 3 supra). Dans ce contexte, l'administration a considéré que pour valider les coûts des soins dispensés par la recourante, elle avait besoin, entre autres documents, de la comptabilité générale de A._ SA. Ainsi, par courriel du 5 mai 2015, le SSP lui a indiqué une première fois que la feuille de comptabilité analytique reçue était insuffisante pour définir les coûts des soins, par exemple parce que "les heures payées au personnel de soins" n'étaient pas mentionnées. Il s'en est suivi un entretien qui a eu lieu entre l'économiste du SSP et le directeur de A._ SA, le 25 août 2015, dans les locaux du siège de la société dans le canton de Berne; cet entretien n'a fait l'objet d'aucun procès-verbal de la part de l'administration. Par la suite, à chaque fois que le SSP puis le Conseil d'Etat lui ont reproché de ne pas avoir fourni la comptabilité de l'ensemble de l'organisation qui aurait permis de vérifier si les coûts totaux imputés à l'antenne fribourgeoise avaient été correctement établis, la recourante a fait valoir qu'une collaboratrice du SSP avait eu accès à la comptabilité centrale lors de sa visite en août 2015. Par exemple le 5 janvier 2017, elle a indiqué au Conseil d'Etat que la collaboratrice du SSP avait pu "contrôler le processus de comptabilité en entier en août 2015, ce à la comptabilité centrale au siège principal [...] à Berne". Sans discuter voire préciser l'objet de la visite du mois d'août 2015, le SSP s'est limité à répondre à la recourante qu'elle ne lui avait "pas présenté la comptabilité pour l'ensemble de l'organisation" (lettre du 11 avril 2017), ce que A._ SA a contesté en rappelant que les informations souhaitées avaient été accessibles à son siège (courrier du 11 juillet 2017), puis en produisant, en procédure cantonale, trois rapports "de révision spéciale" de la B._ AG, du 15 janvier 2018, selon lesquels la répartition des coûts entre le siège principal et les différentes filiales de la A._ SA était correcte pour les exercices 2014, 2015 et 2016. Dans sa décision du 6 mars 2018, le Conseil d'Etat a motivé son refus de prise en charge des montants réclamés par la recourante pour la période courant jusqu'au 31 août 2016 notamment par le fait que les coûts totaux imputés à l'antenne fribourgeoise de la société ne pouvaient être validés à défaut de connaître les coûts totaux du siège central (consid. 5a). Dans son recours, A._ SA a à nouveau contesté l'absence de renseignements suffisants, en se référant en particulier à la séance à laquelle avait participé la comptable du SSP, et requis qu'un expert, auquel elle donnerait accès à l'ensemble de la comptabilité de l'organisation, fût nommé si nécessaire.
5.4. Ces circonstances mettent en évidence des carences importantes dans l'instruction de la cause par l'administration cantonale. Tout d'abord, en relation avec l'entretien du 25 août 2015 au siège de la recourante, le SSP n'a pas indiqué au préalable l'objet de la séance, ni établi une note ou un procès-verbal à ce sujet, ainsi que sur les résultats qu'il en a tiré; à défaut de toute indication à ce sujet, on ignore par ailleurs s'il entendait procéder à une audition des parties, voire à une inspection par l'autorité au sens de l'art. 46 al. 1 CPJA. Par la suite, sans prendre position sur les allégations de la recourante quant à l'accès donné aux renseignements requis à son siège - ni réfuter clairement cet accès - l'administration n'a, tout au long de la procédure, jamais ordonné formellement à la société de produire les pièces dont elle estimait avoir besoin pour statuer. Elle n'a pas non plus attiré l'attention de la recourante qu'elle se devait de coopérer en lui transmettant par écrit les données comptables en cause, ni l'avertir des conséquences possibles de l'absence de coopération (cf. art. 49 CPJA).
Dans ces conditions, l'appréciation de la juridiction cantonale paraît insoutenable dans la mesure où elle a retenu un manque de collaboration de la part de la recourante tout en constatant que le dossier du Conseil d'Etat, auquel il appartenait de déterminer quels documents devaient être produits par les prestataires de soins, était largement lacunaire sur ce point et que la séance du 25 août 2015 au sein du service de la comptabilité générale de la recourante n'avait fait l'objet d'aucun rapport ou procès-verbal.
5.5. Le mode de procéder de la juridiction cantonale apparaît contraire au droit pour un autre motif encore. Tout en retenant l'absence de collaboration de la recourante, les premiers juges ont constaté que les comptabilités analytiques produites attestaient de manière suffisamment probante que le seul tarif OPAS ne couvrait pas les frais effectifs de la recourante, ce que le Conseil d'Etat n'avait au demeurant jamais remis en cause. Elle a donc admis que le tarif prévu par le droit cantonal - et appliqué en l'occurrence par le Conseil d'Etat à l'égard de la recourante - était incompatible avec le droit fédéral, dans la mesure où il ne suffisait pas à couvrir le coût effectif des prestations fournies par la recourante (consid. 3.1.2 supra). Or à ce stade de la procédure, où une partie des allégués de la recourante était considérée comme démontrée, la maxime inquisitoire imposait à la juridiction cantonale soit de procéder d'office aux investigations nécessaires pour établir si les coûts invoqués par la recourante correspondaient aux frais effectifs, soit de renvoyer la cause au Conseil d'Etat pour compléter l'instruction.
En définitive, la recourante a été arbitrairement privée d'un moyen de preuve susceptible de confirmer ses allégués sur les coûts effectifs de ses prestations, dans la mesure où elle n'a pas été interpellée formellement sur la production de la comptabilité globale de A._ SA et que sa requête d'expertise a été rejetée. Une mesure d'instruction formelle portant sur les renseignements ou documents exacts à fournir par la recourante aurait également permis de circonscrire les modalités de la transmission, compte tenu du secret des affaires invoqué par la recourante dans la mesure où elle a requis qu'un expert soit nommé pour vérifier la ventilation des coûts pour le canton de Fribourg.
5.6. En conséquence, il y a lieu de renvoyer la cause au Conseil d'Etat du canton de Fribourg pour qu'il reprenne l'instruction de la cause puis rende une nouvelle décision. Le recours est bien fondé dans cette mesure.
6.
En ce qui concerne la répartition des frais judiciaires et des dépens, le renvoi de la cause pour nouvel examen et décision revient à obtenir gain de cause au sens des art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF (<ref-ruling> consid. 7; <ref-ruling> consid. 7.1). Partant, l'intimé, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>), ainsi que les dépens que peut prétendre la recourante (<ref-law>). La cause sera renvoyée à la Cour cantonale pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure (art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, III e Cour administrative, du 18 août 2020 et la décision du Conseil d'Etat du canton de Fribourg du 6 mars 2018 sont annulés. La cause est renvoyée au Conseil d'Etat pour nouvelle décision. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 9000 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à la recourante la somme de 5000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, III e Cour administrative, pour nouvelle décision sur les dépens de la procédure antérieure.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, III e Cour administrative, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 octobre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton