Sachverhalt:
A.
Am frühen Morgen des 14. Januars 2014 stürzte C._ (Patientin) in ihrer Wohnung. Ihr Lebenspartner A._ (Kläger; Beschwerdeführer) alarmierte die Rettungssanität, welche die Patientin ins Spital B._ (Beschwerdegegner; Spital) brachte, wo sie um 5.20 Uhr im Schockraum Aufnahme fand. Es wurde die Verdachtsdiagnose "Infekt/Sepsis" gestellt. Um etwa 14 Uhr wurde die Patientin auf die Intensivstation verlegt. Um 14.19 Uhr zeigte die Blutgasanalyse eine nur sehr knapp kompensierte Atmung, worauf sie mit einer Beatmung via Maske unterstützt wurde.
A.a. Bereits ab 19.20 Uhr wurde ein knapper Sauerstoffgehalt im Blut festgestellt, danach wurde die Sauerstoffkonzentration in der Einatmungsluft der Patientin sukzessiv erhöht und um etwa 21.40 Uhr wurde die Indikation zur Intubation gestellt. Nach der Einleitung der Anästhesie zur Intubation kam es primär zum Blutdruckabfall, dann zu einer deutlichen Senkung der Herzfrequenz und zum Kreislaufzusammenbruch. Die ersten beiden (klassischen) lntubationsversuche durch den Assistenzarzt misslangen. Danach kam es zu einer sog. "cannot intubate, cannot ventilate"-Situation, einer anästesiologischen Notfallsituation, in der ein Patient mit schwierigen Atemwegen weder intubiert noch mit Maske beatmet werden kann. Dann übernahmen der Oberarzt beziehungsweise ein weiterer Arzt. Sie versuchten zweimal die Intubation mittels Fiberoptik. Auch diese Versuche gelangen nicht. Danach folgten zwei Versuche mit dem Videolaryngoskop (Video-Kehlkopfspiegel). Schliesslich gelang es beim zweiten Versuch mittels Videolaryngoskop, die Patientin zu intubieren. Um etwa 22.10 Uhr konnte die Kreislauffunktion wiederhergestellt und ab etwa 22.30 Uhr stabilisiert werden.
A.b. Die Patientin erlitt eine schwere Gehirnschädigung und befand sich danach im Wachkoma. Am 6. Februar 2014 wurde sie vom Spital in eine Rehaklinik und dann in ein Pflegeheim verlegt, wo sie am 21. September 2015 wegen der Verlegung der Atemwege mit Schleim verstarb.
B.
A._ gelangte im Mai 2014 an das Spital und dessen Haftpflichtversicherung und beantragte für sich und die Patientin eine Entschädigung von Fr. 3 Millionen. Im Juli 2014 machte der Beistand der Patientin sodann eine Genugtuung von Fr. 1 Million geltend. Nacheinem von den Parteien gemeinsam eingeholten Gutachten lehnte die Haftpflichtversicherung die Haftung ab.
B.a. Nach erfolglosem Schlichtungsverfahren erhob A._ am 11. Juni 2018 Klage beim Zivilgericht Basel-Stadt und verlangte vom Spital Fr. 60'000.-- Genugtuung nebst Zins unter Vorbehalt von Mehrforderungen.
Am 25. September 2019 wies das Zivilgericht die Klage ab.
B.b. Die dagegen vom Kläger erhobene Berufung wies das Appellationsgericht Basel-Stadt am 24. Juli 2020 ab.
Das Appellationsgericht erachtete die Berufung in verschiedenen Punkten für nicht hinreichend begründet - namentlich warf es dem Kläger wiederholt vor, er beanstande das Gutachten, ohne aufzuzeigen, dass beziehungsweise wo genau er entsprechende Beanstandungen bereits vor dem Zivilgericht erhoben habe. Aber auch davon abgesehen kam das Appellationsgericht zum Schluss, das Zivilgericht habe gestützt auf die gutachterlichen Äusserungen eine Sorgfaltspflichtverletzung der behandelnden Ärzte zu Recht verneint.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger dem Bundesgericht im Wesentlichen, die Entscheide des Zivil- und des Appellationsgerichts aufzuheben und die Sache an das Zivilgericht zurückzuweisen zur Einholung eines gerichtlichen Gutachtens zur Frage, ob die Ärzte bei der Intubation ihre Sorgfaltspflichten verletzt haben. Das Spital schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Den gleichen Antrag stellt das Appellationsgericht unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid und verzichtet im Übrigen auf Vernehmlassung. Die Parteien haben unaufgefordert eine Beschwerdereplik und -duplik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Nach Art. 75 Abs. 1 BGG ist eine Beschwerde in Zivilsachen zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen, des Bundesverwaltungsgerichts und des Bundespatentgerichts. Soweit sich die Beschwerde gegen den kantonal nicht letztinstanzlichen Entscheid des Zivilgerichts richtet, ist darauf nicht einzutreten.
Nach Art. 99 Abs. 2 BGG sind neue Begehren unzulässig. Die Beschwerdegegnerin ist der Ansicht, der Beschwerdeführer habe ein neues Begehren gestellt, da er das vor Bundesgericht gestellte Begehren vor der Vorinstanz nicht gestellt habe. Die Beschwerdegegnerin verkennt, dass es sich nicht um einen materiellen Antrag handelt, sondern um einen Antrag auf Rückweisung. Ein derartiger Rückweisungsantrag ist zulässig, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1; je mit Hinweisen). Dies ist hier der Fall, beruft sich der Beschwerdeführer doch auf Mängel des Gutachtens, auf das die kantonalen Instanzen ihre Entscheide in tatsächlicher Hinsicht gestützt haben. Die Anordnung eines gerichtlichen Gutachtens hat der Beschwerdeführer erstinstanzlich beantragt und den Entscheid, in dem das Zivilgericht diesem Antrag keine Folge leistete, da es das von den Parteien in Auftrag gegebene Gutachten für beweistauglich erachtete, gerade mit Blick auf die Mangelhaftigkeit des Gutachtens mit Berufung angefochten. Das vor Bundesgericht gestellte Begehren ist damit nicht neu, sondern zulässig.
1.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft aber unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 BGG, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweis).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2, 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.2.1. Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Rechtsprechung nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre. Das Bundesgericht hebt einen kantonalen Entscheid wegen Willkür vielmehr nur auf, wenn er nicht nur in einzelnen Elementen der Begründung, sondern auch im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2.1).
1.2.2. Eine Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen).
1.3. Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen).
1.3.1. Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die in E. 1.2 - 1.3 hiervor genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
1.3.2. Es genügt nicht, dem Bundesgericht, ohne eine substanziierte Sachverhaltsrüge zu erheben, unter gelegentlichem Hinweis auf die Akten einfach einen über die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid hinausgehenden Sachverhalt zu unterbreiten, daraus vom angefochtenen Urteil abweichende Schlüsse zu ziehen und dieses als willkürlich zu bezeichnen. Ein derartiges Vorgehen verkennt die grundsätzliche Bindung des Bundesgerichts an die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (Art. 97 und 105 BGG). Es geht nicht an, in einer Beschwerde in Zivilsachen appellatorische Kritik an der Beweiswürdigung des kantonalen Gerichts zu üben und Ergänzungen bezüglich der tatsächlichen Feststellungen vorzunehmen, als ob dem Bundesgericht im Beschwerdeverfahren die freie Prüfung aller Tatfragen zukäme (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.8).
1.4. Die dargelegten Begründungsanforderungen missachtet der Beschwerdeführer, soweit er dem Bundesgericht, ohne eine substanziierte Sachverhaltsrüge zu erheben, unter dem Titel Sachverhalt diesen einfach unter Hinweis auf in den Akten befindliche Beweismittel aus seiner Sicht schildert. Darauf ist nicht abzustellen.
2.
Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die kantonalen Instanzen hätten seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem sie die von ihm beantragten Auskünfte zur Beziehung zwischen dem Haftpflichtversicherer des Spitals und dem von den Parteien beauftragten Gutachter nicht eingeholt hätten. Die Beziehung zwischen dem Haftpflichtversicherer und dem Gutachter sei bis heute ungeklärt. Angesichts dessen sowie der einseitigen und unvollständigen Ausführungen des Gutachters in seinem Gutachten vom 4. Oktober 2016 bestehe der Anschein der Befangenheit, weshalb das Gutachten nicht als Beweismittel zuzulassen sei.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, bis zum Erhalt des Gutachtens habe für ihn kein Anlass bestanden, an den Fähigkeiten und der Unabhängigkeit des Gutachters zu zweifeln. Erst die krasse Einseitigkeit der Ausführungen im Gutachten vom 4. Oktober 2016 hätten den Anschein der Befangenheit begründet. Der Gutachter habe sich nicht die Mühe gemacht, beim Spital nachzufragen, ob Algorithmen für den lntubationsvorgang bestünden, bzw. diese vom Spital herauszuverlangen. Vollends widersprüchlich sei das Gutachten in Bezug auf den Einsatz der Fiberoptik. Der Gutachter habe hierzu festgehalten, dass vom Versuch einer fiberoptischen Intubation hätte abgesehen werden müssen. Welchen Einfluss dieses kontraindizierte Vorgehen auf den lntubationsvorgang bzw. die aufgrund des Sauerstoffmangels eingetretene Hirnschädigung gehabt habe, habe der Gutachter mit keinem Wort erwähnt. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe nicht verlangt, dass der Gutachter zu seinen Vorwürfen Stellung nehme. Für ihn habe der Anschein der Befangenheit bestanden. Deshalb habe er keine Ergänzungsfragen an den Gutachter gestellt. Der Haftpflichtversicherer habe - ohne dies mit ihm abzusprechen - das Schreiben seines Rechtsvertreters vom 1. Februar 2017 dem Gutachter zur rechtfertigenden Stellungnahme zukommen lassen.
2.2. Wie der Beschwerdeführer selbst festhält, kam die Vorinstanz zum Schluss, seine Mitwirkungsrechte bei der Erstellung des Gutachtens seien nicht verletzt worden, da er in seinem Schreiben vom 1. Februar 2017 in zahlreichen Punkten Kritik am Gutachten geübt habe. Zu diesen Kritikpunkten habe der Gutachter am 6. April 2017 eingehend Stellung genommen. Der Beschwerdeführer habe in seinem Schreiben das Gutachten in zahlreichen Punkten in Frage gestellt. Ob er dies in Form von Feststellungen oder von Fragen getan habe, spiele für die Frage, ob er seine Mitwirkungsrechte habe wahrnehmen können, keine Rolle.
2.3. Diese Ausführungen hält der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde für irrelevant. Er behauptet damit vor Bundesgericht nicht, er habe seine Mitwirkungsrechte nicht wahrnehmen können. Er ist aber der Auffassung, das Gutachten dürfe nicht als Beweismittel zugelassen werden, weil er in seinem Schreiben vom 1. Februar 2017 den Anschein der Befangenheit des Gutachters geltend gemacht habe und zur diesbezüglichen Klärung die Beantwortung verschiedener Fragen zur Beziehung zwischen dem Haftpflichtversicherer und dem Gutachter verlangt habe. Er rügt, er habe im erstinstanzlichen Verfahren in seiner Replik (Ziffer 9, Seite 7) bemängelt, ein Teil seiner im Schreiben vom 1. Februar 2017 gestellten Fragen sei unbeantwortet geblieben (namentlich die Frage nach der Anzahl vergebener Gutachteraufträge an den Gutachter durch den Haftpflichtversicherer und das dadurch erzielte Honorar sowie die Frage, ob der Gutachter persönlich und/oder die Klinik, an der er tätig ist, ebenfalls beim Haftpflichtversicherer haftpflichtversichert seien).
2.4. Die Vorinstanz beanstandete, der Beschwerdeführer habe in seiner Berufung nicht angegeben, an welcher Stelle in seiner 19-seitigen Replik er festgehalten habe, die von ihm gestellten Fragen zur Unabhängigkeit des Gutachters seien nie beantwortet worden. Dies stellt der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht in Abrede. Nicht einverstanden ist er aber mit dem Schluss der Vorinstanz, damit sei er seiner Pflicht zur Berufungsbegründung nicht nachgekommen. Zwar geht er mit der Vorinstanz davon aus, die Begründung müsse nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts (<ref-ruling> E. 4.3.1) hinreichend genau und eindeutig sein, um von der Berufungsinstanz mühelos verstanden werden zu können. Dies setze voraus, dass der Berufungskläger im Einzelnen die vorinstanzlichen Erwägungen bezeichne, die er anfechte, und die Aktenstücke nenne, auf denen seine Kritik beruhe. Überspitzt formalistisch ist es nach seiner Ansicht aber, wenn die Vorinstanz von ihm verlangt, dass er die genaue Stelle in der Rechtsschrift angeben müsse, an der er geltend gemacht habe, die von ihm gestellten Fragen zur Unabhängigkeit des Gutachters seien nie beantwortet worden. Die Vorinstanz sei, wie sich aus ihren Erwägungen ergebe, nämlich sehr wohl in der Lage gewesen, die massgebende Stelle in der Replik zu finden.
2.5. Mit seinen Vorbringen stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede, dass er gehalten war, die entsprechenden Punkte bereits vor der ersten Instanz zu beanstanden, wenn er vor der Vorinstanz etwas daraus ableiten wollte. Er bestreitet im Grundsatz auch nicht, dass es an ihm war darzulegen, wo er Entsprechendes im kantonalen Verfahren vorgebracht hat, zumindest soweit die Vorinstanz dies nicht auch selbst erkennen kann. In diesen Punkten ist der angefochtene Entscheid mangels Beanstandung nicht zu überprüfen (vgl. E. 1.1 hiervor). Zu behandeln bleibt die Rüge, die Vorinstanz sei in überspitzten Formalismus verfallen, indem sie den blossen pauschalen Verweis auf die Replik für ungenügend erachtete, obwohl sie sehr wohl in der Lage gewesen sei, die massgebende Stelle in der Replik zu finden.
2.5.1. Das aus Art. 29 Abs. 1 BV fliessende Verbot des überspitzten Formalismus wendet sich gegen prozessuale Formstrenge, die als exzessiv erscheint, durch kein schutzwürdiges Interesse gerechtfertigt ist, zum blossen Selbstzweck wird und die Verwirklichung des materiellen Rechts in unhaltbarer Weise erschwert oder gar verhindert (<ref-ruling> E. 5 S. 253; <ref-ruling> E. 2a; Urteile des Bundesgerichts 4A_601/2020 vom 11. Mai 2021 E. 4.4; 4A_375/2015 vom 26. Januar 2016 E. 7.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.5.2. Der Vorwurf des überspitzten Formalismus ist unbegründet. Die Parteien haben am erstinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Sie wissen genau, was sie wo vorgebracht haben (vgl. Urteile des Bundesgerichts 4A_291/2017 vom 11. Juni 2018 E. 4.5.1; 4A_85/2017 vom 4. September 2017 E. 3.3). Ihnen bereitet es in aller Regel keinerlei Schwierigkeiten, die exakte Fundstelle eines Vorbringens zu bezeichnen. Das stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht mit seinem Hinweis auf die entsprechenden Seitenzahlen der Replik selbst unter Beweis. Auch das Bundesgericht verlangt in ständiger Rechtsprechung präzise Aktenhinweise (vgl. E. 1.3.1 hiervor). So wird dem Gericht ein mühsames Durchsuchen der Rechtsschriften erspart. Wenn das Gericht diese unnötige Arbeit nicht auf sich nimmt, sondern von den Parteien einen hinreichend präzisen Aktenhinweis verlangt, dient dies der Effizienz des Verfahrens (zit. Urteil 4A_85/2017 E. 3.3) und stellt keinen blossen Selbstzweck dar.
2.5.3. Hier hat die Vorinstanz zwar die Arbeit dennoch auf sich genommen, so dass argumentiert werden könnte, es lasse sich kein Effizienzgewinn mehr erzielen. Auch insoweit ist der angefochtene Entscheid aber nicht zu beanstanden. Im Einzelfall kann es mit Blick auf ein allfälliges Rechtsmittelverfahren effizient erscheinen, den Aufwand auf sich zu nehmen, um den Entscheid auf eine Eventualbegründung stützen zu können, falls die Rechtsmittelinstanz die Hauptbegründung beanstanden sollte. Dies ändert nichts an der Tragfähigkeit der Hauptbegründung. Überspitzter Formalismus könnte in Betracht fallen, wenn die verlangte Angabe für die Vorinstanz von Vornherein mit keinem Zeitgewinn verbunden wäre, beispielsweise wenn eine Eingabe ohnehin nicht mehrere Seiten oder überhaupt nur die relevanten Angaben enthält oder wenn sich die Aktenstelle aus den vorhandenen Hinweisen im Gesamtzusammenhang präzise lokalisieren lässt, auch wenn keine Seitenzahl oder Randziffer genannt wurde (vgl. zu Letzterem: Urteil des Bundesgerichts 4A_142/2017 vom 3. August 2017 E. 3.3). Derartiges macht der Beschwerdeführer aber nicht geltend.
2.5.4. Erweist sich die Rüge des überspitzten Formalismus als unbegründet, braucht nicht abgeklärt zu werden, ob die weiteren Argumente, mit denen die Vorinstanz die Berufung auch unter der Annahme einer hinreichenden Begründung abgewiesen hat, Recht verletzen.
3.
Auch in materieller Hinsicht beanstandet der Beschwerdeführer das Gutachten. Er erkennt aber selbst, dass die Vorinstanz auf die materielle Kritik am Gutachten grösstenteils nicht eingetreten ist. Auch hier hielt die Vorinstanz die Berufungsbegründung für ungenügend, da der Beschwerdeführer nicht angegeben habe, dass und an welcher Stelle er in den erstinstanzlichen Rechtsschriften die gutachterlichen Ausführungen bemängelt habe. Auch in diesem Zusammenhang rügt der Beschwerdeführer, es sei überspitzt formalistisch, wenn die Vorinstanz von ihm verlange, dass er die genaue Stelle in der Rechtsschrift angebe, an der er die jeweilige Kritik am Gutachten geäussert habe. Er begründet diese Rüge wiederum damit, die Vorinstanz habe sich zu den jeweiligen Kritikpunkten im Sinne einer Eventualargumentation auch materiell geäussert und sei also erwiesenermassen in der Lage gewesen, sich trotz der angeblich ungenügenden Begründung mit der Sache materiell auseinanderzusetzen. Dass er damit keinen überspitzten Formalismus aufzuzeigen vermag, wurde in E. 2.5 hiervor dargelegt. Damit erweist sich die Beschwerde bereits aus diesem Grund als unbegründet. Aber auch davon abgesehen wäre ihr kein Erfolg beschieden. Der Beschwerdeführer wiederholt im Wesentlichen vor Bundesgericht seine Argumentation vor der Vorinstanz. Das Bundesgericht ist aber keine letzte Appellationsinstanz, die von den Parteien mit vollkommenen Rechtsmitteln angerufen werden könnte (vgl. Botschaft vom 28. Februar 2001 zur Totalrevision der Bundesrechtspflege, BBl 2001 4342 Ziff. 4.1.4.5 zu Art. 97 E-BGG). Es ist nicht am Bundesgericht, seine eigene Einschätzung oder diejenige des Beschwerdeführers an die Stelle derjenigen des Gutachters zu setzen. Der Beschwerdeführer müsste vielmehr aufzeigen, dass das Gutachten an für das Gericht erkennbaren offensichtlichen Mängeln leidet, so dass es offensichtlich unhaltbar und damit willkürlich ist, darauf abzustellen. Dies gelingt dem Beschwerdeführer mit seiner appellatorischen Kritik nicht:
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, er habe einen verzögerten Beginn der Intubation geltend gemacht. Er sieht diesbezüglich einen Widerspruch im Gutachten. Der Gutachter betone einerseits, dass zum Zeitpunkt der Indikationsstellung eine invasive Beatmung nicht nur zwingend, sondern auch dringend gewesen sei, um einen fatalen Verlauf zu vermeiden. Andererseits bezeichne er eine Zeitverzögerung zwischen Indikation und Intubation von "20 Minuten" als "nachvollziehbar". Die Verzögerung habe aber nicht 20, sondern 25 Minuten betragen (21:15 Uhr bis 21:40 Uhr). Die Behauptung des Gutachters, die Kollegen aus der Anästhesie hätten aus dem Operationssaal gerufen werden müssen, sei nicht belegt und könne nicht den Tatsachen entsprechen. Es sei nicht möglich, dass ein Anästhesist eine laufende Operation verlassen könne. Der Gutachter führe sodann aus, die Patientin sei unmittelbar vor dem ersten lntubationsversuch kurz vor einem vollständigen Atemversagen gestanden. Es sei nicht nachvollziehbar, dass der Gutachter dennoch in der Zeitspanne von 25 Minuten zwischen Indikation und Beginn der Intubation kein Fehlverhalten erblicke. Das Gutachten sei nicht vollständig bzw. nicht schlüssig.
3.1.1. Gemäss der Vorinstanz hat der Gutachter festgehalten, aufgrund der Verbesserung der Sauerstoffsättigungswerte auf stabil über 92 % ab etwa 21.15 Uhr könne angenommen werden, die Sauerstoffkonzentration in der Einatmungsluft sei zu diesem Zeitpunkt auf 100 % erhöht und dann die Indikation zur Intubation gestellt worden. Da die Anästhesie zur Intubation kurz nach 21.40 Uhr eingeleitet worden sei, ergebe sich eine Zeitverzögerung zwischen Indikationsstellung und Intubation von etwa 20 Minuten, was nachvollziehbar sei angesichts der Tatsache, dass die Kollegen der Anästhesie aus dem Operationssaal hätten gerufen und die Intubation habe vorbereitet werden müssen. Zudem seien die Sauerstoffsättigungswerte bis zur Intubation auf deutlich über 90 % geblieben und hätten unmittelbar vor der Einleitung 92 % betragen.
3.1.2. Der Gutachter erachtete eine Intubation für indiziert. Insoweit widerspricht der Beschwerdeführer dem Gutachten nicht, wenn er moniert, die Intubation sei zu spät erfolgt. Der Gutachter hat die Zeiten angegeben, auf die er sich gestützt hat, und die eine Verzögerung von 25 Minuten ergeben, und daraufhin eine Verzögerung von "etwa" 20 Minuten für nachvollziehbar erklärt. Das unterschlägt der Beschwerdeführer, wenn er aus der Abweichung auf die Unzuverlässigkeit des Gutachtens schliesst. Soweit er überhaupt etwas aus der Differenz von 5 Minuten ableiten wollte, müsste er aufzeigen, welchen Einfluss die Verzögerung von fünf Minuten auf den Zustand der Patientin gehabt haben sollte. Ein derartiger Einfluss ist nicht ersichtlich, betrugen die Werte doch gemäss dem Gutachter ab etwa 21.15 Uhr stabil über 92 % und unmittelbar vor der Einleitung 92 %. Damit setzt sich die Beschwerde nicht rechtsgenüglich auseinander. Von einer hinreichend begründeten Willkürrüge kann keine Rede sein. Ob der Anästhesist eine laufende Operation verlassen hat, diese allenfalls erst beenden musste oder aus einem anderen Grund die Anästhesie zur Intubation erst kurz nach 21.40 Uhr eingeleitet hat, spielt im Ergebnis keine massgebende Rolle. Entscheidend ist vielmehr, ob der Zustand der Patientin das frühere Bereitstellen eines Anästhesisten erfordert hätte. Davon geht der Gutachter offensichtlich nicht aus. Muss der Anästhesist nicht bereitstehen, kann allein darin, dass eine gewisse Zeit vergeht, bis die Anästhesie zur Intubation eingeleitet wird, keine Sorgfaltspflichtverletzung gesehen werden.
3.2. Appellatorische Kritik übt der Beschwerdeführer auch, soweit er geltend macht, es hätte genügend Zeit bestanden, das Eintreffen der HNO-Ärztin abzuwarten. Die HNO-Ärztin hätte nach seiner Ansicht beigezogen werden müssen, weil die Algorithmen ausdrücklich chirurgische Notfallmassnahmen vorsehen würden. Die HNO-Ärztin wäre in der Lage gewesen, diese vorzunehmen, womit es nicht zur hypoxischen Hirnschädigung bei der Patientin gekommen wäre. Daran ändere die Behauptung des Gutachters nichts, dass auch HNO-Ärzte nicht mit Not-Tracheotomien vertraut seien, eine Tracheotomie ultima ratio und ein "heroisches" Vorgehen sei. Der Beschwerdeführer ruft in Erinnerung, dass die Patientin in jenem Moment zu ersticken drohte, und ist der Ansicht, es gebe keine dringlichere Situation für die Vornahme eine Tracheotomie.
3.2.1. Der Gutachter weist in seiner Stellungnahme zu Recht darauf hin, es sei "nicht ganz konsistent", den Vorwurf der zu späten Intubation zu erheben und gleichzeitig zu verlangen, man hätte mit der Intubation bis zum Eintreffen des HNO-Arztes zuwarten sollen. Er verweist zusätzlich auf Punkt 4 des Gutachtens. Dort werde erläutert, weshalb eine "cannot inhalate, cannot intubate"-Situation, die einzige Situation, in der ein primärer transtrachealer Zugang geschaffen werden müsse, nicht voraussehbar gewesen sei und weshalb dies unabhängig davon kaum praktikabel gewesen wäre. Unter Punkt 6 des Gutachtens fänden sich Angaben darüber, weshalb auch ein bereitstehender HNO-Arzt am Verlauf in diesem speziellen Fall kaum etwas hätte ändern können. Damit findet die Annahme, die HNO-Ärztin wäre in der Lage gewesen, die hypoxische Hirnschädigung zu verhindern, in den Ausführungen des Gutachters keine Stütze. Dieser führte vielmehr aus, das Risiko bei einer ungünstigen Anatomie sei, dass grosse Blutgefässe im Halsbereich sowie Kehlkopf oder Luftröhre hätten verletzt werden können oder es zu einer paratrachealen Einlage gekommen wäre (Einlage neben der Luftröhre; gegebenenfalls mit Pneumothorax, Verletzung der grossen Gefässe wie Halsschlagader). Hier sei der Hals der Patientin voluminös und kurz und das Cricoid (Ringelknorpel des Kehlkopfs) palpatorisch kaum zu identifizieren gewesen, was eine Not-Tracheotomie nur als ultima ratio gerechtfertigt hätte. Das Durchführen einer Not-Tracheotomie wäre bei der Patientin eine "heroische" Intervention gewesen, weil der Ringelknorpel des Kehlkopfs aufgrund der Anatomie nicht identifizierbar gewesen sei.
3.2.2. Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz der Tatsache, dass die HNO-Spezialistin nicht anwesend war, keine entscheidende Bedeutung zumass. Von Willkür kann keine Rede sein. Nicht gefolgt werden kann dem Beschwerdeführer, soweit er aus der Tatsache, dass der Oberarzt eine HNO-Spezialistin aufgeboten hat, ableiten will, dass diese den Verlauf hätte abwenden können. In der E-Mail, aus welcher der Beschwerdeführer selbst zitiert, hält der behandelnde Oberarzt fest, er habe die Option einer Not-Tracheotomie tatsächlich im Kopf gehabt. Die anatomischen Verhältnisse hätten diese Option aber weit in den Hintergrund rücken lassen. Zusätzlich als weiteres Backup habe er die HNO-Ärztin bestellt. Die diensthabende Ärztin sei eingetroffen, als die Patientin bereits intubiert gewesen sei. Das in der Beschwerde wiedergegebene Zitat schliesst mit der Bemerkung: "Auch nachträglich sehe ich das Quick-Trach nicht als Lösung bei dieser Patientin." Daraus ergibt sich unzweideutig, dass nach Ansicht des Oberarztes entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers das Quick-Trach nicht etwa nur für ihn selbst als Anästhesisten keine Option war, da er befürchtete, aufgrund seiner fehlenden Fachkenntnisse diese nicht erfolgreich durchführen zu können, sondern dass er wie auch der Gutachter davon ausgeht, ein Quick-Trach sei keine Lösung bei dieser Patientin. Dass die Algorithmen ausdrücklich chirurgische Notfallmassnahmen vorsehen, ist nicht massgebend, da sich auch eine in den Algorithmen vorgesehene Massnahme angesichts der konkreten Umstände als nicht angezeigt erweisen kann. Willkür in der Beweiswürdigung wird nicht aufgezeigt.
3.3. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die ersten beiden Intubationsversuche dem Assistenzarzt anvertraut wurden, obwohl eine erwartet schwierige Intubation vorgelegen habe. Er wirft dem Assistenzarzt Sorgfaltspflichtverletzungen vor: Beide Versuche seien gescheitert, weil der Assistenzarzt dabei Fehler begangen habe, indem er beim ersten Mal einen zu grossen Tubus verwendet und beim zweiten Versuch den Tubus in die Speiseröhre, statt in die Luftröhre geschoben habe.
3.3.1. Aus der Tatsache, dass ein Intubationsversuch misslingt, kann nicht zwingend auf eine Sorgfaltspflichtverletzung geschlossen werden. Der Beschwerdeführer müsste vielmehr aufzeigen, woraus sich ergibt, dass der Assistenzarzt bei sorgfältigem Arbeiten im Voraus hätte erkennen müssen, dass der Tubus zu gross war, oder dass es bei sorgfältigen Arbeiten nicht vorkommen kann, dass der Tubus in die Speiseröhre geschoben wird. Beides hat der Gutachter nicht festgestellt. Er erachtete vielmehr das Risiko für eine Tubus-Fehllage, namentlich das Einführen in die Speiseröhre statt in die Luftröhre, bei unübersichtlichen Verhältnissen wie im vorliegenden Fall als nicht sehr aussergewöhnlich.
3.3.2. Der Beschwerdeführer rügt, nur weil ein Fehler häufig vorkomme, heisse dies nicht, dass er keine Sorgfaltspflichtverletzung darstelle. Es kann aber sehr wohl ein Indiz dafür sein, dass sich der Fehler auch bei aller gebotenen Sorgfalt nicht immer vermeiden lässt. Entsprechend erachtete der Gutachter eine Sorgfaltspflichtsverletzung nicht für erstellt. Dass es sich um einen Assistenzarzt handelte, bedeutet nicht zwingend, dass er für eine schwierige Intubation nicht qualifiziert war (gemäss Gutachten verfügt ein Assistenzarzt nach hier fünf Jahren Anästhesieweiterbildung vermutungsweise über eine hohe Routine beim Atemwegsmanagement).
3.4. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass das Videolaryngoskop, mit dem die Intubation schliesslich gelang, nicht von Anfang an bereitstand, sondern während des lntubationsvorgangs erst noch geholt werden musste. Er behauptet, das Videolaryngoskop hätte bereitgestellt werden müssen, weil es in den Algorithmen vorgesehen sei. Er legt aber nicht dar, auf welchen Algorithmus er sich bezieht und wo sich dieser in den Akten befinden soll. Der Gutachter hat in seinen Bemerkungen die im Jahr 2014 gültigen Richtlinien beigelegt und festgehalten, der Vorgehensplan der Ärzte habe der damals gültigen Richtlinie entsprochen, welche die Videolaryngoskopie nicht erwähne. Soweit Letzteres nicht zutreffen sollte, müsste der Beschwerdeführer unter Bezugnahme auf die Akten aufzeigen, welcher Algorithmus der damals gültigen Richtlinie wo genau die Videolaryngoskopie vorsieht. Dies legt er nicht dar und genügt damit den Begründungsanforderungen nicht. Er macht vielmehr geltend, selbst wenn das Videolaryngoskop nicht in den Algorithmen vorgesehen gewesen wäre, hätte es von Anfang an bereitstehen müssen. In einem Universitätsspital vorhandene Geräte müssten auch einsetzbar sein.
Das Gerät war einsetzbar, gelang damit doch die Intubation. Hätte sich die Notfallsituation vorhersehen lassen, würde sich vielleicht die Frage stellen, ob das Bereitstellen von Spezialgeräten, die diesfalls notwendig werden könnten, angezeigt gewesen wäre. Dazu müsste der Beschwerdeführer aber aufzeigen, woraus sich ergeben sollte, dass eine solche "cannot intubate, cannot ventilate"-Situation entgegen der Annahme des Gutachters für die Ärzte vorhersehbar gewesen wäre. Auch dies zeigt er nicht rechtsgenüglich auf.
3.5. Der Beschwerdeführer bemängelt, die Ärzte hätten einen lntubationsversuch mittels einer sog. Fiberoptik unternommen, obwohl das Gutachten festhalte, auf den Einsatz der Fiberoptik hätte verzichtet werden sollen. Es genügt indessen nicht, einfach darauf hinzuweisen, dass nach der Erfahrung des Gutachters die Fiberoptik unter den spezifischen Umständen (sich rasch verschlechternde Atmung mit marginaler Sauerstoffversorgung, 100 % Sauerstoff in der Einatmungsluft) unter anderem aufgrund des Zeitfaktors in der Regel nicht funktioniere. Der Beschwerdeführer müsste vielmehr im Einzelnen darlegen, woraus sich ergibt, dass auch die behandelnden Ärzte im Zeitpunkt, in dem sie sich für die Fiberoptik entschieden, über derartige Erfahrungen verfügten oder hätten verfügen müssen. Der Gutachter hat nichts Entsprechendes ausgeführt. Vielmehr hielt er fest, lediglich retrospektiv hätte auf die Verwendung der Fiberoptik verzichtet werden sollen. Die Formulierung "entspricht meiner Erfahrung" kann daher entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht so verstanden werden, dass diese Erfahrung allgemein gültiges medizinisches Wissen darstelle, jedenfalls nicht im für die Entscheidfindung massgebenden Zeitpunkt.
3.6. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die Ärzte hätten sich bezüglich des Ablaufs der Intubation nicht an die geltenden Algorithmen gehalten, namentlich hätten die Ärzte einen Luftröhrenschnitt vornehmen müssen, anstatt trotz "cannot intubate, cannot ventilate"-Situation weitere lntubationsversuche vorzunehmen. Die Argumentation der Beschwerde beruht indessen auf einer unzulässigen rückblickenden Betrachtungsweise:
3.6.1. Die Algorithmen gehen von gewissen Normalfällen aus und können nicht immer unbesehen auf den konkreten Fall angewendet werden. Darauf beruft sich der Beschwerdeführer selbst (vgl. E. 3.5 hiervor), wenn er bemängelt, die Ärzte hätten keinen lntubationsversuch mittels einer sog. Fiberoptik vornehmen sollen, obwohl diese Technik gemäss den Bemerkungen des Gutachters in den Algorithmen vorgesehen ist. Nicht jedes Abweichen von den Algorithmen bedeutet eine Pflichtverletzung.
3.6.2. Der Beschwerdeführer ist der Ansicht, nach der erfolglosen Beatmung mittels ILMA hätte das Notverfahren bzw. der chirurgische Airway gewählt werden müssen. Diese Einschätzung mag im Rückblick zutreffen. Mit Blick auf das negative Ergebnis erscheint im Nachhinein betrachtet jede Alternative besser als das tatsächlich erreichte Resultat. Nach Einschätzung des Gutachters hätte indessen eine derartige Intervention aufgrund der Anlagen der Patientin am Verlauf kaum etwas ändern können. Vielmehr hätte aufgrund der Anatomie der Patientin eine konkrete Gefahr einer Verletzung der grossen Gefässe wie Halsschlagader bestanden (vgl. E. 3.2 hiervor). Hätten die Ärzte getan, was der Beschwerdeführer von ihnen verlangt, und wären, wie der Gutachter annimmt, dieselben negativen Folgen eingetreten, würde der Beschwerdeführer den Ärzten jetzt vorwerfen, einen Eingriff vorgenommen zu haben, der aufgrund der Anatomie der Patientin äusserst riskant war, statt weniger gefährliche Lösungen zu versuchen, wie weitere Intubationen. Denn in diesem Fall wüsste der Beschwerdeführer nicht, dass diese Versuche nicht mehr rechtzeitig zu einem Erfolg führen würden. Der Beschwerdeführer zeigt aber nicht rechtsgenüglich auf, dass vom Zeitpunkt der getroffenen Entscheidung aus betrachtet aus der Sicht der handelnden Ärzte die Erfolgsaussichten eines erneuten Intubationsversuches kleiner erscheinen mussten als diejenigen eines chirurgischen Airways.
3.7. Der Beschwerdeführer ist sodann der Auffassung, die Ärzte hätten bei der Patientin das Medikament Thiopental in einer zu hohen Dosierung von 400 mg angewendet. Auch bezüglich dieses Vorwurfs seien die Ausführungen des Gutachters nicht schlüssig und widersprüchlich.
3.7.1. Nach den Feststellungen der Vorinstanz berief sich der Beschwerdeführer für seine Rüge, das Gutachten sei widersprüchlich, zum einen auf folgende Passage: "Auch wenn zu diskutieren bleibt, ob ein anderes Einleitungsverfahren weniger negative Auswirkungen auf den Kreislauf gehabt hätte, muss doch festgehalten werden, dass die Wahl des Anästhetikums im Kontext mit der 'Cannot lntubate - Cannot Ventilate'-Situation von untergeordneter Bedeutung war und die potentiell ungünstigen Auswir kungen auf die Herz-Kreislauffunktionen allein medikamentös wahrscheinlich hätten kontrolliert werden können." Diese Aussage steht nach der Ansicht des Beschwerdeführers im Widerspruch zur zweiten Aussage des Gutachters, wonach das Kreislaufversagen auf den Sauerstoffmangel zurückzuführen sei. Diesen Widerspruch habe der Gutachter auch in seiner Stellungnahme nicht aufgelöst. Er verweise lediglich darauf, dass auch noch Ketamin gegeben worden sei. Dies beantworte nicht die Frage, ob dennoch eine derart hohe Dosis Thiopental habe verabreicht werden dürfen.
3.7.2. Nach den Feststellungen der Vorinstanz stufte der Gutachter die Dosierung für sich allein genommen als eher hoch ein, deren Wirkung werde aber durch die parallele Gabe von Ketamin (zum Abfangen der negativen Kreislaufwirkungen) relativiert. Vor diesem Hintergrund ist der vom Beschwerdeführer behauptete Widerspruch nicht rechtsgenüglich dargetan: Der Gutachter misst der von ihm als hoch eingeschätzten Dosierung keine massgebende Bedeutung zu, sondern vielmehr der "Cannot lntubate - Cannot Ventilate"-Situation. Das ist kein Widerspruch. Mangels hinreichender Begründung ist auf die Rüge nicht einzutreten.
4.
Insgesamt werden keine Unstimmigkeiten im Gutachten aufgezeigt, aus denen auf eine Befangenheit des Gutachters geschlossen werden könnte oder die das Einholen eines gerichtlichen Gutachtens als angezeigt erscheinen liessen. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. September 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Luczak