Sachverhalt:
A.
Die A._ Gruppe betrieb während mehr als vier Jahrzehnten einen Modellflugplatz auf der Hochebene zwischen Rothenthurm und Biberbrugg. Gestützt auf die Nutzungsplanrevision "Moorlandschaft Rothenthurm" und die Verordnung des Kantons Schwyz betreffend die Moorlandschaft Rothenthurm vom 6. September 2007 (SRSZ 722.311) wurde der Betrieb des Modellflugplatzes auf den 1. September 2010 hin eingestellt. Ab dem Jahr 2012 nutzte die A._ Gruppe die Anlagen und das Gebäude des B._clubs Ortsgruppe Schwyzerland auf den Grundstücken KTN 327 und KTN 826 in Rothenthurm als Modellflugplatz und erhielt dafür in den Jahren 2012 und 2013 von der Baubehörde Rothenthurm und dem Umweltdepartement des Kantons Schwyz eine jeweils auf ein Jahr befristete Betriebsbewilligung.
B.
B.a. Am 14. April 2014 reichte die A._ Gruppe dem Gemeinderat Rothenthurm ein Bau- und Betriebsbewilligungsgesuch für einen permanenten Modellflugplatz auf dem Grundstück KTN 327 ausserhalb der Bauzone (im übrigen Gemeindegebiet) in Rothenthurm ein. Das Baugesuch wurde publiziert und öffentlich aufgelegt. Gegen das Vorhaben erhoben die Pro Natura Schweiz und Schwyz, der WWF Schweiz und Schwyz, der Schweizer Vogelschutz SVS/BirdLife Schweiz und weitere Mitbeteiligte am 30. April 2014 Einsprache. Die A._ Gruppe änderte ihr Gesuch am 30. April 2015 insoweit ab, als sie noch um eine auf zwei Jahre befristete Bau- bzw. Betriebsbewilligung ersuchte, damit während dieser Zeit ein ornithologisches Gutachten über die Auswirkungen des Flugbetriebs erstellt werden könne. Das Volkswirtschaftsdepartement des Kantons Schwyz verweigerte am 7. Oktober 2015 die kantonale Baubewilligung. Gestützt hierauf verweigerte die Baubehörde Rothenthurm mit Beschluss vom 22. Oktober 2015 die Betriebsbewilligung. Die dagegen von der A._ Gruppe erhobene Beschwerde hiess der Regierungsrat des Kantons Schwyz mit Beschluss vom 6. September 2016 gut und wies die Sache im Sinne der Erwägungen zur vertieften Sachverhaltsabklärung und zu neuem Entscheid an das Volkswirtschafts-departement zurück. Der Regierungsrat verlangte, dass die Auswirkungen des Modellflugbetriebs auf die Tierwelt und speziell auf die Brutvögel mittels eines ornithologischen Gutachtens abgeklärt werden. Weiter sei zu prüfen, ob für die Ausarbeitung eines ornithologischen Gutachtens ein zweijähriger Flugbetrieb nötig sei, ob eine Begutachtung durch die Eidgenössische Natur- und Heimatschutzkommission (ENHK) angezeigt sei und ob sich die A._ Gruppe hinreichend um einen Alternativstandort bemüht habe.
B.b. Am 28. August 2017 reichte die A._ Gruppe dem kantonalen Amt für Raumentwicklung die "Bestandsaufnahme Brutvögel im Perimeter des geplanten Modellflugplatzes Rothenthurm" der C._ AG vom Juni 2017 ein und beantragte eine bis Ende 2019 befristete Betriebs- bzw. Flugbewilligung, damit die Entwicklung der Population der Brutvögel im betroffenen Perimeter untersucht werden könne. Die Pro Natura Schweiz und Schwyz, der WWF Schweiz und Schwyz, der Schweizer Vogelschutz SVS/BirdLife Schweiz und weitere Mitbeteiligte beantragten die Verweigerung der Betriebsbewilligung. Am 15. Dezember 2017 erteilte das dem Volkswirtschaftsdepartement angegliederte Amt für Raumentwicklung die kantonale Baubewilligung für den befristeten Betrieb des Modellflugplatzes auf KTN 327 mit Nebenbestimmungen und Auflagen. Gestützt hierauf erteilte die Baubehörde Rothenthurm am 22. Februar 2018 die befristete Betriebsbewilligung für den Modellflugplatz unter Bedingungen und Auflagen.
B.c. Gegen die befristete Betriebsbewilligung für den Modellflugplatz gelangten die Pro Natura Schweiz und Schwyz, der WWF Schweiz und Schwyz und der Schweizer Vogelschutz SVS/BirdLife Schweiz mit Beschwerde an den Regierungsrat. Mit Entscheid vom 11. September 2018 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab, soweit er darauf eintrat. Er befristete die Betriebsbewilligung auf ein Jahr ab Rechtskraft seines Entscheids. In ihrer Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz vom 4. Oktober 2018 beantragten die Pro Natura Schweiz und Schwyz, der WWF Schweiz und Schwyz und der Schweizer Vogelschutz SVS/BirdLife Schweiz, der Beschluss des Regierungsrats vom 11. September 2018 sei aufzuheben, und es sei die Einrichtung eines Modellflugplatzes auf KTN 327 zu verbieten. Mit Entscheid vom 27. Mai 2019 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die Beschwerde gut und hob die Entscheide des Regierungsrats, des Amts für Raumentwicklung und der Baubehörde Rothenthurm auf.
C.
Mit als Verwaltungsgerichtsbeschwerde bezeichneter Eingabe vom 9. Juli 2019 beantragt die A._ Gruppe im Wesentlichen, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 27. Mai 2019 sei aufzuheben und die unterinstanzlichen Entscheide des Amts für Raumentwicklung und der Baubehörde Rothenthurm seien zu bestätigen; eventuell sei die Sache zur vertieften Sachverhaltsabklärung an das Amt für Raumentwicklung oder das zuständige Volkswirtschaftsdepartement zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht und der Regierungsrat verzichten auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde. Das kantonale Amt für Raumentwicklung erklärt Verzicht auf eine umfangreiche Stellungnahme und verweist auf seine Vernehmlassungen in den kantonalen Beschwerdeverfahren. Die am kantonalen Verfahren beteiligten Natur- und Umweltschutzverbände beantragen die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Umwelt (BAFU) gelangt zum Schluss, der Entscheid der Vorinstanz stehe im Einklang mit der Umweltschutzgesetzgebung des Bundes. Das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) reicht keine Stellungnahme ein. In ihrer Replik hält die Beschwerdeführerin an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid über eine Bau- und Betriebsbewilligung eines Modellflugplatzes, mithin eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen. Ein Ausschlussgrund im Sinne von <ref-law> ist nicht gegeben. Die falsche Bezeichnung des Rechtsmittels schadet nicht (<ref-ruling> E. 1.6 S. 275; <ref-ruling> E. 3.1 S. 399 mit Hinweis). Die Beschwerdeführerin, die am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat und in schutzwürdigen Interessen besonders berührt ist, ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dieses grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt gebunden, soweit dieser nicht offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 105 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen. Die Verletzung von Grundrechten prüft es nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1).
1.3. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind erfüllt und geben zu keinen weiteren Erörterungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten, soweit die in E. 1.2 hiervor genannten Begründungsanforderungen erfüllt sind.
2.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe in ihrem Entscheid den in Rechtskraft erwachsenen Beschluss des Regierungsrates vom 6. September 2016 übergangen und damit die mit dem Beschluss angeblich einhergehende einjährige Betriebsbewilligung willkürlich nicht beachtet.
Die Beschwerdeführerin begnügt sich in ihrer Beschwerdeschrift damit, ihre Sicht der Dinge darzulegen, ohne konkret aufzuzeigen, dass und inwiefern die Feststellung der Vorinstanz, wonach der in Rechtskraft erwachsene Rückweisungsentscheid des Regierungsrates keine einjährige Betriebsbewilligung impliziere, im Ergebnis unzutreffend sein soll. Eine Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> ist weder ersichtlich noch wird eine solche von der Beschwerdeführerin substanziiert dargelegt (vgl. E. 1.2). Auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin wendet ein, die Vorinstanz habe Art. 5 Abs. 2 lit. d der Verordnung vom 1. Mai 1996 über den Schutz der Moorlandschaften von besonderer Schönheit und von nationaler Bedeutung (Moorlandschaftsverordnung; SR 451.35) in Verbindung mit Art. 23d Abs. 1 des Bundesgesetzes über den Natur- und Heimatschutz vom 1. Juli 1966 (NHG; SR 451) falsch angewendet. Der umstrittene Modellflugplatz sei als blosse Nutzungsänderung einer bestehenden Baute nicht von Art. 5 Abs. 2 lit. d der Moorlandschaftsverordnung erfasst. Der Modellflugplatz müsse darum unabhängig von der unmittelbaren Standortgebundenheit und des nationalen Interesses an einer solchen Anlage zulässig sein.
3.2. Das Verwaltungsgericht kommt im angefochtenen Entscheid (E. 4.4) zum Schluss, eine (weitere) befristete Bau- und Betriebsbewilligung für einen Modellflugplatz auf KTN 327 könne zur Klärung der Frage, ob der Standort aus Gründen des Vogelschutzes überhaupt in Betracht falle, nicht erteilt werden. Die angestrebte Klärung der Beeinträchtigung der Avifauna durch den Modellflugbetrieb vermöge nichts daran zu ändern, dass die angestrebte Nutzungserweiterung auf KTN 327 mangels nationaler Bedeutung und fehlender unmittelbarer Standortgebundenheit des Vorhabens von vornherein nicht bewilligt werden könne. Der geplante Modellflugplatz auf KTN 327 diene weder direkt noch indirekt dem Schutz der Moorlandschaft. Es komme ihm weder nationale Bedeutung zu noch sei er unmittelbar standortgebunden, weswegen er in der Moorlandschaft Rothenthurm selbst dann unzulässig sei, wenn mit einem ornithologischen Fachgutachten die Schutzzielverträglichkeit in dem Sinne nachgewiesen werden könnte, dass er keine beeinträchtigenden Auswirkungen auf die Avifauna habe. Daran ändere auch nichts, wenn vom geplanten Modellflugplatz keine schützenswerte Vegetation betroffen sei.
3.3. Nach <ref-law> sind Moore und Moorlandschaften von besonderer Schönheit und gesamtschweizerischer Bedeutung geschützt. Es dürfen darin weder Anlagen gebaut noch Bodenveränderungen vorgenommen werden. Ausgenommen sind Einrichtungen, die dem Schutz oder der bisherigen landwirtschaftlichen Nutzung der Moore und Moorlandschaften dienen. <ref-law> lässt die Gestaltung und Nutzung von Moorlandschaften zu, soweit dies der Erhaltung der für die Moorlandschaften typischen Eigenheiten nicht widerspricht. <ref-law> ersetzt somit im Hinblick auf Moorlandschaften das durch die Verfassung vorgegebene Kriterium der Schutzzieldienlichkeit durch dasjenige der Schutzzielverträglichkeit (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 295 ff.; <ref-ruling> E. 3a/cc S. 252 f.; je mit Hinweisen) und ist damit milder ausgestaltet als die verfassungsrechtliche Bestimmung (BGE <ref-ruling> E. 3a/cc S. 252 f.; <ref-ruling> E. 6.2 S. 295 ff.; NINA DAJCAR/ALAIN GRIFFEL, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2015, N. 40 zu <ref-law>; PETER M. KELLER, in: Kommentar NHG, 2. Aufl. 2019, N. 4 zu <ref-law>). <ref-law> erklärt in nicht abschliessender Weise ("insbesondere") folgende Nutzungen in Moorlandschaften für zulässig: die land- und forstwirtschaftliche Nutzung (lit. a); den Unterhalt und die Erneuerung rechtmässig erstellter Bauten und Anlagen (lit. b); Massnahmen zum Schutz von Menschen vor Naturereignissen (lit. c) sowie die für die Anwendung der Buchstaben a-c notwendigen lnfrastrukturanlagen (lit. d). Gemäss Art. 5 Abs. 2 lit. d der Moorlandschaftsverordnung sorgen die Kantone unter anderem dafür, dass Bauten und Anlagen, die weder mit der Gestaltung und Nutzung nach <ref-law> in Zusammenhang stehen noch der Biotoppflege oder der Aufrechterhaltung der typischen Besiedlung dienen, nur ausgebaut oder neu errichtet werden, wenn sie nationale Bedeutung haben, unmittelbar standortgebunden sind und den Schutzzielen nicht widersprechen. Zudem sorgen sie dafür, dass die touristische Nutzung und die Nutzung zur Erholung mit den Schutzzielen im Einklang stehen (Art. 5 Abs. 2 lit. e der Moorlandschaftsverordnung).
3.4.
3.4.1. Der Standort des geplanten Modellflugplatzes auf dem Grundstück KTN 327 befindet sich nach den unbestrittenen und für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz im Objekt Nr. 1 "Moorlandschaft Rothenthurm" (Art. 1 und Anhang 1 der Moorlandschaftsverordnung). Die horizontale Pufferfläche im Umfang von 500 m um den geplanten Modellflugplatz tangiert neben dem Objekt Nr. 1 "Moorlandschaft Rothenthurm" auch den südlichen Bereich der Flachmoore Nr. 2901 "Grossblätz" und Nr. 1951 "Altmatt/Ägeriried" (Art. 1 und Anhang 1 der Verordnung über die Flachmoore von nationaler Bedeutung vom 7. September 1994 [Flachmoorverordnung; SR 451.33]), den südlichen Bereich der sekundären Hochmoorfläche und des Hochmoorumfeldes Nr. 303 "Altmatt-Biberbrugg" (Art. 1 und Anhang 1 der Verordnung über den Schutz der Hochmoore von nationaler Bedeutung vom 21. Januar 1991 [Hochmoorverordnung; SR 451.32]), den südlichsten Teil des im Bundesinventar der Landschaften und Naturdenkmäler von nationaler Bedeutung verzeichneten Gebiets Nr. 1308 "Moorlandschaft zwischen Rothenthurm und Biberbrugg" (Art. 1 und Anhang 1 der Verordnung über das Bundesinventar der Landschaften und Naturdenkmäler vom 29. März 2017 [VBLN; SR 451.11]) und kantonale Biotope im Bereich "Grossblätz" und entlang des Flusses Biber.
3.4.2. Unumstritten ist, dass der ausserhalb der Bauzone geplante Modellflugplatz nicht zonenkonform ist und die neue Nutzung der Parzelle auch ohne bauliche Veränderungen eine raumplanungsrechtliche Ausnahmebewilligung erfordert (vgl. <ref-ruling> E. 3a und b S. 226 ff. betreffend einen Hängegleiterlandeplatz; Urteil des Bundesgerichts 1C_505/2017 vom 15. Mai 2018 E. 5.1 f., publ. in: URP 2018 S. 528; BERNHARD WALDMANN/PETER HÄNNI, Raumplanungsgesetz, Handkommentar, 2006, N. 17 zu Art. 22 RPG). Die geplante Nutzung soll regelmässig und organisiert erfolgen, ist auf Dauer angelegt und örtlich konzentriert. Auch Eingriffe und Nutzungsänderungen, die ohne bauliche Veränderungen Folgen für die Raumordnung, die Umwelt und die Erschliessung haben, fallen unter den Begriff der Nutzung. In ihrer Wirkung kommen sie jener von Bauten und Anlagen gleich (vgl. KELLER, a.a.O., N. 2 zu <ref-law> und N. 6 zu <ref-law>). Der Betrieb eines Modellflugplatzes auf KTN 327 hat gegenüber der Nutzung der Liegenschaft als Hundeausbildungsplatz neue Auswirkungen auf die Umwelt, wie Lärm, Motorengeräusche, Abgase und Mehrverkehr. Die Vorinstanz hat zutreffend erkannt, dass im Rahmen des Bewilligungsverfahrens in Anwendung von Art. 24 lit. b RPG eine umfassende Interessenabwägung vorzunehmen ist. Soweit das positive Verfassungs- und Gesetzesrecht allerdings einzelne Aspekte der allgemeinen Interessenabwägung konkret regelt und auf diese Weise die Entscheidungsspielräume eingrenzt oder ausschliesst, wird zuerst die Vereinbarkeit des Vorhabens mit diesen Vorschriften geprüft, da anschliessend unter Umständen gar keine umfassende Interessenabwägung mehr nötig ist (vgl. <ref-ruling> E. 2e/aa S. 486 f.; WALTER HALLER/PETER KARLEN, Raumplanungs-, Bau- und Umweltrecht, Band I, 3. Aufl. 1999, Rz. 717; RUDOLF MUGGLI, in: Praxiskommentar RPG: Bauen ausserhalb der Bauzone, 2017, N. 22 zu Art. 24 RPG; WALDMANN/HÄNNI, a.a.O., N. 22 zu Art. 24 RPG).
4.
4.1. Gegenstand von <ref-law> ist nach dem Titel der Bestimmung die Gestaltung und Nutzung der Moorlandschaften. <ref-law> enthält eine nicht abschliessende Aufzählung von Nutzungen, die unter der Prämisse der Schutzzielverträglichkeit in der Moorlandschaft zulässig sind. Diese Aufzählung wird durch weitere Beispiele in Art. 5 Abs. 2 lit. d und e der Moorlandschaftsverordnung ergänzt. In Art. 5 Abs. 2 lit. d der Moorlandschaftsverordnung wird wiederum die Voraussetzung der Schutzzielverträglichkeit durch weitere Voraussetzungen, nämlich die Standortgebundenheit und das Eingriffsinteresse von nationaler Bedeutung ergänzt. Die Beschwerdeführerin vertritt die Ansicht, Art. 5 Abs. 2 lit. d der Moorlandschaftsverordnung regle nicht die Nutzungsänderung bzw. wie im konkreten Fall die Nutzungserweiterung des bestehenden Hundeausbildungsplatzes ohne bauliche Vorkehrungen. Es könne daher nicht verlangt werden, dass für die Nutzungsänderung neben der Standortgebundenheit auch ein nationales Eingriffsinteresse vorliegen müsse. Es genüge, dass sich die Nutzung in der Moorlandschaft als schutzzielverträglich erweise.
4.2. Unabhängig von der Beurteilung der umstrittenen Nutzung ist zunächst zu prüfen, inwieweit <ref-law> im Lichte der verfassungsrechtlichen Grundlage des Moorlandschaftsschutzes in <ref-law> eine solche Nutzung in der Moorlandschaft zulässt. Von Verfassungs wegen sind in den Moorlandschaften von besonderer Schönheit und gesamtschweizerischer Bedeutung wie hier der Bau von Anlagen und Bodenveränderungen nicht zulässig (<ref-law>). Ausgenommen sind lediglich Einrichtungen, die dem Schutz oder der bisherigen landwirtschaftlichen Nutzung der Moore und Moorlandschaften dienen (<ref-law>). Im Unterschied zu der in der Verfassung zum Ausdruck gebrachten strengen Schutzverpflichtung, wonach die ausnahmsweise zulässigen Einrichtungen dem Schutzanliegen dienen sollen (Schutzzieldienlichkeit), erklärt <ref-law> die Gestaltung und die Nutzung der Moorlandschaften als zulässig, soweit sie der Erhaltung der für die Moorlandschaften typischen Eigenheiten nicht widersprechen (Schutzzielverträglichkeit). Das Bundesgericht ist mit Blick auf <ref-law> zur Anwendung dieser über den Verfassungswortlaut hinausgehenden Gesetzesbestimmung verpflichtet. Die mit der Verfassungsbestimmung und dem NHG verfolgten gewichtigen Schutzanliegen gebieten indessen nach gefestigter Rechtsprechung eine zurückhaltende Handhabung der mit <ref-law> zusätzlich gewährten Gestaltungs- und Nutzungsmöglichkeiten (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 f.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 27 ff.; je mit Hinweisen; Dajcar/Griffel, a.a.O., N. 40 zu <ref-law>; Arnold Marti, in: Die schweizerische Bundesverfassung, St. Galler Kommentar, 3. Aufl. 2014, N. 23 zu <ref-law>; Keller, a.a.O., N. 7 zu den Vorbemerkungen zu Art. 23a-23d NHG).
4.3. Wie in E. 4.1 hiervor erwähnt, handelt es sich bei der Aufzählung in <ref-law> um eine nicht abschliessende Aufzählung (<ref-ruling> E. 6.2 S. 295 ff. mit Hinweisen). Grundsätzlich können somit nach dem Willen des Gesetzgebers auch weitere Nutzun-gen zulässig sein, wenn die Schutzzielverträglichkeit gegeben ist (vgl. auch Keller, a.a.O., N. 8 zu <ref-law>). Die vorliegend zur Diskussion stehende Nutzung der Moorlandschaft für einen Modellflugplatz gehört nicht zu den in <ref-law> konkret genannten Nutzungen. Für weitere, über die in <ref-law> umschriebenen Nutzungen hinausgehende Gestaltungen und Nutzungen bleibt jedoch nach ständiger Praxis nur ein sehr enger Raum (<ref-ruling> E. 6.3 S. 297 f.; Urteil des Bundesgerichts 1C_515/2012 vom 17. September 2013 E. 5.4, publ. in: URP 2013 S. 707; je mit Hinweisen; vgl. auch Keller, a.a.O., N. 11 zu <ref-law> mit Hinweisen). Aus den parlamentarischen Debatten geht hervor, dass neben den ausdrücklich genannten Nutzungen auch militärische Nutzungen und eine sanfte touristische Nutzung möglich sein sollten (Votum Schallberger, AB 1992 S 619). Abgelehnt wurden dagegen die Anträge von Ständerat Küchler, in <ref-law> auch die Erweiterung rechtmässig erstellter Bauten und Anlagen sowie den Neubau notwendiger Erschliessungsanlagen zu erwähnen: Die Zulassung von Erweiterungen würde den verfassungsrechtlichen Rahmen sprengen (Voten Jagmetti, Frick und Bundesrat Cotti, AB 1992 S 621). Der in der parlamentarischen Debatte zum Ausdruck gebrachten Würdigung des verfassungsrechtlichen Rahmens entspricht die bundesgerichtliche Praxis, wonach <ref-law> bei rechtmässig erstellten Bauten und Anlagen nur den Unterhalt und die Erneuerung, nicht aber eine Erweiterung zulässt (<ref-ruling> E. 6.3 S. 297 f. mit Verweis auf BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 28 f.). Vorbehalten bleiben nur die Erweiterung von Anlagen oder Bauten, die dem Schutz der Moorlandschaft - direkt oder indirekt - dienen und somit schon nach <ref-law> zulässig sind (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 28 f.; Urteil des Bundesgerichts 1C_515/2012 vom 17. September 2013 E. 5.4, publ. in: URP 2013 S. 707). Dasselbe muss auch für Nutzungsänderungen gelten, soweit sie den Bauten und Anlagen gleichkommen. Somit ergibt sich, dass nach verfassungskonformer Auslegung und unter Berücksichtigung der parlamentarischen Beratungen unter dem Vorbehalt der Schutzzieldienlichkeit keine weiteren Nutzungen als die in <ref-law> genannten und allenfalls die militärische oder sanfte touristische Nutzung in Moorlandschaften zulässig sind. In allen weiteren Fällen der Nutzung bzw. Errichtung von Bauten und Anlagen ist weiterhin im Sinne des <ref-law> das Kriterium der Schutzzieldienlichkeit massgebend. Diese ist im Falle eines Modellflugplatzes nicht gegeben, leistet er doch gerade keinen Beitrag zum Schutz der Moorlandschaft.
4.4. Während der Wortlaut der Verfassungsbestimmung (<ref-law>) lediglich für Einrichtungen, die dem Schutz oder der bisherigen landwirtschaftlichen Nutzung der Moore und Moorlandschaften dienen, eine Ausnahme vom Schutz vorsieht, lässt <ref-law> die Gestaltung und die Nutzung von Moorlandschaften zu, soweit diese der Erhaltung der für die Moorlandschaft typischen Eigenschaften nicht widersprechen. Mit Gestaltung im Sinne von <ref-law> sind die planerischen Vorstellungen angesprochen, die primär in der Raumplanung der Kantone, aber auch in Sachplänen und Konzepten des Bundes zum Ausdruck kommen und im Rahmen der baurechtlichen Bewilligungen konkretisiert werden. Unter den Begriff der Nutzung fallen auch Eingriffe und Nutzungsänderungen, die ohne bauliche Veränderungen Folgen für die Raumordnung, die Umwelt und die Erschliessung haben, so dass sie in ihrer Wirkung jener von Bauten und Anlagen gleichkommen (vgl. E. 3.4.2 hiervor). Bei einem Modellflugplatz beschränken sich die Auswirkungen nicht auf die baulichen Anlagen und die für die Start- und Landemanöver erforderliche Bodenfläche. Die Beeinträchtigung der Umwelt erfolgt in erster Linie durch den Betrieb der Anlage und die damit verbundene Fliegerei in der Moorlandschaft. Die Flüge mit den Modellflugzeugen als solche sowie der zusätzliche Motorfahrzeugverkehr durch An- und Wegfahrten sind in der Regel weiträumig wahrnehmbar. Es handelt sich damit offensichtlich nicht um eine Nutzungsänderung, die mit <ref-law> im Einklang steht. Soweit die Beschwerdeführerin unter Berufung auf Art. 5 der Moorlandschaftsverordnung die beschriebene Rechtslage in Frage stellt, kann ihr nicht gefolgt werden. Die Verordnung kann nicht als rechtliche Grundlage für eine Bewilligung dienen, die über den gesetzlichen Rahmen hinausgeht.
Nach dem Gesagten kann der Beschwerdeführerin keine Bau- und Betriebsbewilligung für den Modellflugplatz auf dem Grundstück KTN 327 in Rothenthurm erteilt werden.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die unterliegende Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Sie hat den obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnern eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>). Eine Entschädigung an den Bund, an Kantone oder an Gemeinden sowie an mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisationen fällt ausser Betracht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baubehörde Rothenthurm, dem Amt für Raumentwicklung des Kantons Schwyz, dem Regierungsrat des Kantons Schwyz, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, dem Bundesamt für Umwelt und dem Bundesamt für Raumentwicklung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold