Sachverhalt:
A.
Mit Entscheid vom 18. Oktober 2017 schied das Bezirksgericht Rheinfelden die am 26. April 2008 geschlossene Ehe von B._ und A._. Der Ehemann focht das bezirksgerichtliche Urteil beim Obergericht des Kantons Aargau an. Dieses hiess die Berufung mit Entscheid vom 26. September 2018 gut. Es regelte den persönlichen Verkehr von B._ zum gemeinsamen Sohn C._ (geb. 2008) neu. Die dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies das Bundesgericht mit Urteil 5A_962/2018 vom 2. Mai 2019 ab, soweit darauf einzutreten war.
B.
Im bezirksgerichtlichen Verfahren und im Verfahren vor dem Obergericht liess sich B._ von Rechtsanwältin E._ vertreten. Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren hatte das Bezirksgericht gutgeheissen. Demgegenüber versagte das Obergericht B._ die unentgeltliche Rechtspflege für das zweitinstanzliche Verfahren (Instruktionsverfügung vom 7. Februar 2018). E._ reichte dem Obergericht für das erstinstanzliche Verfahren eine Kostennote über Fr. 15'126.60 ein. Mit Verfügung vom 8. November 2018 bestimmte das Obergericht die Entschädigung für das erstinstanzliche Verfahren auf Fr. 7'285.80.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 10. Dezember 2018 wenden sich B._ (Beschwerdeführer), vertreten durch E._, und E._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragen, die Verfügung vom 8. November 2018 aufzuheben und die Obergerichtskasse anzuweisen, der Beschwerdeführerin für das erstinstanzliche Verfahren Fr. 15'126.60 (inkl. Barauslagen und MWSt) auszurichten. Der Beschwerdeführer ersucht für das Verfahren vor dem Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege.
C.b. Das Obergericht beantragt in seiner Vernehmlassung vom 7. Mai 2019, die Beschwerde abzuweisen, soweit auf diese einzutreten ist. Auf den Inhalt der Vernehmlassung wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein. Die Vernehmlassung wurde den Beschwerdeführern zu Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 1 S. 186).
2.
2.1. Streitig ist die Festsetzung der Entschädigung der Beschwerdeführerin als unentgeltliche Rechtsbeiständin des Beschwerdeführers. Der öffentlich-rechtliche Entschädigungsanspruch bezieht sich auf das Tätigwerden in einer Streitsache, die der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law>) unterliegt. Der Entscheid betreffend die Festsetzung der Entschädigung beschlägt demnach eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit, die in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht steht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b BGG; Urteile 4D_37/2018 vom 5. April 2019 E. 1.1; 5A_706/2018 vom 11. Januar 2019 E. 1.1; 5D_54/2014 vom 1. Juli 2014 E. 1.1).
2.2. Die Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands ist im Verhältnis zum Zivilprozess in der Hauptsache kein Nebenpunkt. Sie beschlägt einen unabhängigen öffentlich-rechtlichen Anspruch des Rechtsbeistands. Anders als im Streit um die Prozesskosten ist deshalb der Grundsatz der Akzessorietät zur Hauptsache für die Streitwertberechnung hier nicht anwendbar (Urteile 4D_37/2018 vom 5. April 2019 E. 1.1; 5A_120/2016 vom 26. Mai 2016 E. 1.1; je mit Hinweisen; anders aber zum Beispiel die Urteile 5A_75/2017 vom 19. Januar 2018 E. 2; 5D_114/2016 vom 26. September 2016 E. 1; ausführlich 5D_62/2016 vom 1. Juli 2016 E. 1.2; 5A_945/2013 vom 24. Dezember 2013 E. 1.2; 5A_480/2013 vom 22. August 2013 E. 1). Im konkreten Fall halten die Beschwerdeführer daran fest, dass die amtliche Entschädigung der Beschwerdeführerin nicht wie von der Vorinstanz entschieden auf Fr. 7'285.80 (inkl. Mehrwertsteuer und Auslagen), sondern auf Fr. 15'126.60 (inkl. Mehrwertsteuer und Auslagen) zu bestimmen sei. Mithin ist die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) offensichtlich nicht erreicht. Dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzliche Bedeutung stellen würde, wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist deshalb unzulässig. Zu prüfen bleibt, ob der Rechtsweg an das Bundesgericht nach Massgabe der Vorschriften über die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (<ref-law>) offen steht.
3.
3.1. Nach <ref-law>, der im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde sinngemäss gilt (<ref-law>), ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur gegen Entscheide zulässig, die ein oberes kantonales Gericht als Rechtsmittelinstanz gefällt hat (Prinzip der "double instance" im Bereich des Zivilrechts), ausgenommen die in <ref-law> genannten Fälle (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255; <ref-ruling> E. 1.1 S. 42 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 426; Urteile 5A_697/2016 vom 25. November 2016 E. 2.1; 5A_161/2015 vom 6. August 2015 E. 3; 4A_546/2013 vom 13. März 2014 E. 3.3.2; 5A_266/2011 vom 24. Oktober 2011 E. 1). Praxisgemäss gilt eine Ausnahme vom Prinzip der "double instance" auch dort, wo das obere kantonale Gericht mit einem Rechtsmittel befasst ist und in diesem Rahmen einen Zwischenentscheid fällt (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 426). Dazu zählen die Fälle, in denen die Rechtsmittelinstanz über die unentgeltliche Rechtspflege für das oberinstanzliche Verfahren befindet (Urteil 5A_336/2016 vom 19. Dezember 2016 E. 1.2) oder für dieses Verfahren die Entschädigung des amtlichen Rechtsbeistands festsetzt (Urteil 5D_114/2016 vom 26. September 2016 E. 1).
3.2. Im vorliegenden Fall hat das Obergericht als erste und einzige Instanz darüber entschieden, mit welchem Betrag die unentgeltliche Rechtsvertreterin für das Verfahren vor dem Bezirksgericht entschädigt wird (s. Sachverhalt Bst. B). Laut der angefochtenen Verfügung ergibt sich die Zuständigkeit des Obergerichts aus § 12 des aargauischen Dekrets über die Entschädigung der Anwälte (Anwaltstarif) vom 10. November 1987 (SAR 291.150). Danach setzt die als letzte urteilende kantonale Instanz, bei Kollegialbehörden deren Präsidentin oder Präsident, die der unentgeltlichen Rechtsvertretung auszurichtende Entschädigung fest. Das Obergericht führt in diesem Zusammenhang aus, die Festsetzung der amtlichen Entschädigung erfolge "mit Blick auf eine rechtsgleiche Behandlung der Anwälte durch das Obergericht nach Massgabe der obergerichtlichen Praxis zum AnwT und damit ohne Berücksichtigung von allenfalls davon abweichenden Praxen der Bezirksgerichte [...]".
3.3. Nach <ref-law> beurteilt das Gericht Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege im summarischen Verfahren. Das Bundesrecht schreibt den Kantonen damit bloss vor, dass eine gerichtliche Behörde über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu befinden hat. Es macht indessen keine Vorgaben in Bezug auf die funktionelle Zuständigkeit (vgl. <ref-law>). Entsprechend kann der Kanton den Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege auch einem anderen Gericht überlassen als jenem, das in der Sache zu entscheiden hat (Urteile 5A_1017/2018 vom 1. April 2019 E. 1.2.1; 5A_710/2016 vom 2. März 2017 E. 4.2 mit Hinweisen). Allein unter diesem Gesichtspunkt ist es dem aargauischen Gesetzgeber unbenommen, die Festsetzung der Entschädigung des amtlichen Rechtsbeistands im erstinstanzlichen Verfahren dem Obergericht zu übertragen. Indessen können kantonale Regeln über diese (funktionelle) Zuständigkeit nichts an den bundesrechtlichen Vorgaben betreffend den Rechtsweg an das Bundesgericht ändern. Dies ergibt sich aus dem verfassungsmässigen Vorrang des Bundesrechts (<ref-law>; Urteil 5A_1017/2018 vom 1. April 2019 a.a.O.).
3.4. Die angefochtene Verfügung, in der das Obergericht als erste und einzige kantonale Instanz die Entschädigung der Beschwerdeführerin als unentgeltliche Rechtsbeiständin des Beschwerdeführers für das erstinstanzliche Verfahren festsetzt, fällt unter keine der erwähnten Ausnahmen vom Erfordernis eines kantonalen Rechtsmittelentscheids (E. 3.1). Sie kann deshalb nicht direkt an das Bundesgericht weitergezogen werden. Der Kanton Aargau ist verpflichtet, ein kantonales Rechtsmittel zur Verfügung zu stellen, um den Anforderungen des Bundesgerichtsgesetzes gerecht zu werden (<ref-ruling> E. 1.6 S. 255 f.; Urteil 4A_546/2013 vom 13. März 2014 E. 4). Weil die angefochtene Verfügung von einer Gerichtsbehörde stammt, die entgegen den Vorgaben des Bundesrechts nicht als Rechtsmittelinstanz entschieden hat, sind die dagegen erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerden unzulässig. Das Bundesgericht tritt darauf nicht ein.
3.5. Nach der Praxis des Bundesgerichtes gehen die Akten in einem Fall wie dem vorliegenden zur weiteren Behandlung an das Obergericht zurück (<ref-ruling> E. 1.6 S. 256; Urteile 5A_697/2016 vom 25. November 2016 E. 2.4; 5A_266/2011 vom 24. Oktober 2011 E. 2; 4A_546/2013 vom 13. März 2014 E. 4). Zwar ist der Kanton und nicht das Gericht selbst verpflichtet, ein Rechtsmittel zu schaffen. Praktisch lässt sich dies aber, soweit bereits das Obergericht als Erstinstanz geurteilt hat, nicht anders handhaben, als dass das Obergericht in anderer Besetzung die Rechtsmitteleingabe beurteilt und einen zweitinstanzlichen Entscheid fällt (Urteile 4A_263/2016 vom 20. September 2016 E. 1.4; 5A_161/2015 vom 6. August 2015 E. 4).
4.
Nach dem Gesagten fehlt es schon an einem anfechtbaren Entscheid (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Angesichts dessen braucht sich das Bundesgericht grundsätzlich nicht zu den Voraussetzungen zu äussern, von denen das Gesetz die Berechtigung zur Verfassungsbeschwerde abhängig macht (<ref-law>). Immerhin ist daran zu erinnern, dass der Entscheid über die Festsetzung der Entschädigung der unentgeltlichen Rechtsbeiständin ausschliesslich den öffentlich-rechtlichen Anspruch der beigeordneten Anwältin betrifft (E. 2.2). Der Mandant ist durch eine angeblich zu tief festgesetzte Entschädigung seines unentgeltlichen Rechtsbeistands nicht in seinen eigenen Rechten betroffen, weshalb es ihm an einem rechtlich geschützten Interesse an der Erhöhung der Entschädigung fehlt (Urteile 6B_33/2016 vom 24. Oktober 2016 E. 4; 5A_510/2016 vom 31. August 2017 E. 1.4 mit Hinweisen, nicht publ. in: <ref-ruling>; 9C_991/2008 vom 18. Mai 2009 E. 2.2). Aus diesem Grund könnte das Bundesgericht auf die Verfassungsbeschwerde des Beschwerdeführers selbst dann nicht eintreten, wenn ein anfechtbarer Entscheid vorläge.
5.
5.1. Beim geschilderten Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, auf das Erheben von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Die Beschwerdeführer trifft für das legislatorische Versäumnis des Kantons Aargau keine Verantwortung. Den Parteien entsteht durch die Weiterleitung kein zusätzlicher Aufwand. Die Parteikosten sind im Rahmen des zweitinstanzlichen kantonalen Entscheides zu liquidieren.
5.2. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ist mangels Erfolgsaussichten abzuweisen (<ref-law>) : Wie oben ausgeführt, wäre der Beschwerdeführer auch losgelöst vom Erfordernis der "double instance" (E. 3) von vornherein nicht zur Verfassungsbeschwerde berechtigt (E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerden in Zivilsachen wird nicht eingetreten.
2.
Auf die subsidiären Verfassungsbeschwerden wird mangels funktioneller Zuständigkeit nicht eingetreten.
3.
Die Beschwerden vom 10. Dezember 2018 werden im Sinn der Erwägungen zur weiteren Behandlung und Entscheidfindung an das Obergericht des Kantons Aargau überwiesen.
4.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
5.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
6.
Das Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 2. Kammer, und dem Bezirksgericht Rheinfelden mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn