Faits :
A.
A._ (1972), de nationalité française, et B._ (1965), ressortissante indienne, se sont mariés le 1er août 2002 en France, sans conclure de contrat de mariage. Deux enfants sont issus de leur union: C._ (2003) et D._ (2006).
Les conjoints vivent séparés depuis 2015.
Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale rendue le 20 juillet 2016 par le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal), le mari a été condamné à verser en faveur de l'épouse une contribution d'entretien d'un montant de 1'200 fr. par mois.
Le 13 octobre 2017, le mari a déposé une demande unilatérale en divorce.
B.
B.a. Par jugement du 17 octobre 2019, le Tribunal a notamment prononcé le divorce, maintenu l'autorité parentale conjointe sur les deux filles des parties, limité l'autorité parentale de l'épouse quant au choix du lieu de résidence de celles-ci, attribué leur garde au père, réservé à la mère un large droit de visite devant s'exercer sans la nuit tant qu'elle n'aurait pas un logement adéquat pour les recevoir, maintenu la curatelle d'organisation et de surveillance du droit de visite selon l'<ref-law>, dit que l'entretien convenable de chaque enfant s'élevait à 1'135 fr. par mois, dont à déduire les allocations familiales, donné acte au mari de ce qu'il s'engageait à prendre en charge l'intégralité du coût de l'entretien de ses filles, dit qu'il percevrait les allocations familiales, dès lors qu'il se voyait attribuer la garde des deux enfants, condamné celui-ci à verser à l'épouse une contribution d'entretien, indexée, d'un montant de 1'200 fr. par mois dès le dépôt de la demande, soit le 13 octobre 2017, attribué à celle-ci la bonification pour tâches éducatives et, enfin, prononcé le partage par moitié des avoirs de prévoyance professionnelle accumulés pendant le mariage par le mari.
B.b. Chacune des parties a appelé de ce jugement. Par arrêt du 26 juin 2020, la Cour de Justice du canton de Genève (ci-après: Cour de justice) l'a modifié en ce sens qu'elle a arrêté le montant de la contribution à l'entretien de l'épouse à 1'200 fr. par mois du 13 octobre 2017 au 17 juillet 2019, puis à 2'900 fr. par mois dès le 18 juillet 2019.
C.
Par acte posté le 8 septembre 2020, A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt précité. Il conclut à ce qu'il lui soit donné acte de ce qu'il offre de verser à l'intimée une contribution d'entretien d'un montant de 1'200 fr. par mois jusqu'à droit jugé dans la procédure de divorce.
L'intimée propose le rejet du recours et la confirmation de l'arrêt entrepris.
Les deux parties sollicitent en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) prise par une juridiction cantonale de dernière instance statuant sur recours (<ref-law>), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant, qui a succombé devant l'autorité précédente, a qualité pour recourir (<ref-law>).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 2.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.4et les arrêts cités).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 1.1).
3.
Le recourant reproche à l'autorité cantonale d'avoir refusé d'imputer un revenu hypothétique à l'intimée.
3.1. Conformément au principe de l'indépendance économique des époux, qui se déduit de l'<ref-law>, le conjoint demandeur ne peut prétendre à une pension que s'il n'est pas en mesure de pourvoir lui-même à son entretien convenable (<ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 4; arrêts 5A_104/2018 du 2 février 2021 consid. 5.2, destiné à la publication; 5A_907/2018 du 3 novembre 2020 consid. 3.4.4; 5A_903/2019 du 6 juillet 2020 consid. 3.3.1). Selon les circonstances, il pourra donc être contraint d'exercer une activité lucrative ou d'augmenter son taux de travail (ATF <ref-ruling> consid. 4.2.2.2; arrêt 5A_903/2019 du 6 juillet 2020 consid. 3.3.1 et les références).
Un conjoint - y compris le créancier d'aliments - peut ainsi se voir imputer un revenu hypothétique, pour autant qu'il puisse le réaliser en faisant preuve de bonne volonté et en accomplissant l'effort qui peut être raisonnablement exigé de lui. L'obtention d'un tel revenu doit donc être effectivement possible. Savoir si l'on peut raisonnablement exiger du conjoint concerné qu'il exerce une activité lucrative ou augmente celle-ci est une question de droit; déterminer si cette personne a la possibilité effective d'exercer l'activité ainsi déterminée et quel revenu elle peut en obtenir est en revanche une question de fait (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 4.2.2.2, 118 consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4c/bb; arrêt 5A_253/2020 du 25 mars 2021 consid. 3.1.2 et les références). Pour déterminer si un revenu hypothétique peut être imputé, les circonstances concrètes de chaque cas sont déterminantes. Les critères dont il faut tenir compte sont notamment l'âge, l'état de santé, les connaissances linguistiques, la formation, l'expérience professionnelle et la situation du marché du travail (arrêts 5A_694/2020 du 7 mai 2021 consid. 3.2; 5A_104/2018 du 2 février 2021 consid. 5.6 destiné à la publication).
3.2. La Cour de justice considère qu'aucun revenu hypothétique ne peut être imputé à la défenderesse pour les motifs suivants. D'origine indienne, elle n'a aucune formation et n'a jamais exercé d'activité professionnelle, tant avant que pendant le mariage, puisqu'elle a consacré son temps à la tenue du ménage et à l'éducation des deux filles du couple. Elle parle l'hindi et l'anglais, mais pas le français. Cela étant, indépendamment de cette méconnaissance de la langue française, il ne peut être retenu qu'elle serait en mesure de trouver un emploi. Âgée de 50 ans lors de la séparation, elle en a désormais cinq de plus et, si elle n'est pas atteinte dans sa santé, sa situation précaire l'affecte au point qu'elle est suivie depuis plusieurs mois par un psychiatre. Celui-ci a attesté du désarroi de sa patiente qui, sans famille à Genève, a été expulsée du domicile conjugal avec les enfants faute de pouvoir en assumer le loyer. Compte tenu de ce qui précède, même si l'intimée parle l'anglais et qu'elle s'est occupée de ses propres enfants, elle ne possède pas, selon toute vraisemblance et compte tenu, notamment, de sa fragilité psychique, de son âge ainsi que de son absence de formation, les qualifications nécessaires pour être engagée comme garde d'enfants, même par des personnes anglophones, et ce contrairement à l'opinion du premier juge. Partant, il ne peut être exigé d'elle qu'elle exerce une activité lucrative.
3.3. Le recourant reproche à l'autorité cantonale de s'être fondée sur la seule vraisemblance pour nier les possibilités concrètes de l'intimée de reprendre [sic] un emploi. Il expose que la prétendue fragilité psychique de celle-ci ne résulte pas de l'attestation de son psychiatre, qui a simplement constaté une situation d'errance et n'a pas fait état d'un désarroi à propos de sa patiente. L'appréciation de la Cour de justice étant à cet égard insoutenable, il ne serait pas établi que l'exercice d'une activité lucrative ne puisse pas être raisonnablement exigé de l'intimée en raison de son état de santé. Le critère de l'âge ne serait pas non plus un obstacle pour garder des enfants, cette activité étant notoirement aussi exercée par des aînés. L'argument tiré du manque de formation de l'intimée ne serait pas davantage valable, faute d'être suffisamment motivé; l'autorité cantonale aurait du reste fait preuve d'une certaine contradiction à cet égard, puisqu'elle a reconnu des compétences parentales à l'intéressée. Enfin, le déracinement culturel de celle-ci ne saurait être considéré comme un élément en faveur de l'impossibilité de lui imputer un revenu hypothétique, la juridiction précédente ayant par ailleurs relevé qu'un tel déracinement ne justifiait pas la passivité de l'épouse à s'intégrer.
3.4. Par cette argumentation, le recourant se contente de présenter sa propre appréciation des faits, sans démontrer en quoi celle effectuée par la cour cantonale serait arbitraire (<ref-law>). Tel est le cas lorsqu'il conteste la manière dont les juges précédents ont apprécié l'état de santé de l'intimé. Il en va de même en tant qu'il prétend qu'en dépit de son âge et de son manque de formation, celle-ci serait effectivement en mesure d'être engagée comme garde d'enfants par des personnes anglophones. Quant au déracinement culturel de l'épouse, l'autorité précédente l'a certes pris en compte pour déterminer si elle avait droit, sur le principe, au versement d'une contribution d'entretien après divorce lui permettant de maintenir son train de vie, mais ce critère n'a pas joué un rôle décisif dans l'examen de la possibilité de lui imputer un revenu hypothétique, si ce n'est sous l'angle, limité, de la langue. A cet égard, le recourant se contente d'affirmer, de manière appellatoire, que comme elle parle anglais, l'intimée serait en mesure d'être engagée comme garde d'enfants par des personnes anglophones. Un tel argument ne suffit manifestement pas à démontrer que les faits auraient été constatés de manière insoutenable. Pour le surplus, on ne voit pas en quoi la Cour de justice, qui s'est référée à des critères pertinents, aurait enfreint le droit fédéral en refusant d'imputer un revenu hypothétique à l'intimée. Le moyen se révèle ainsi mal fondé, en tant qu'il est suffisamment motivé (art. 42 al. 2, 106 al. 2 LTF).
4.
Le recourant fait aussi grief à la Cour de justice d'avoir violé l'art. 125 et, en particulier, l'<ref-law> en le condamnant à verser à l'intimée une contribution d'entretien sans limite de temps.
4.1. Pour fixer la durée de la contribution d'entretien, le juge doit tenir compte de l'ensemble des critères énumérés de façon non exhaustive à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 9.1; arrêt 5A_800/2016 du 18 août 2017 consid. 6.1), notamment des expectatives de l'assurance-vieillesse et de la prévoyance professionnelle ou d'autres formes de prévoyance (ch. 8). En pratique, l'obligation est souvent fixée jusqu'au jour où le débiteur de l'entretien atteint l'âge de la retraite. Il n'est toutefois pas exclu d'allouer une rente sans limitation de durée (<ref-ruling> consid. 3.2.1; <ref-ruling> consid. 7.2; arrêts 5A_399/2019 du 18 septembre 2020 consid. 8.1; 5A_769/2016 du 21 février 2017 consid. 5.2), en particulier lorsque l'amélioration de la situation financière du créancier n'est pas envisageable et que les moyens du débiteur le permettent (arrêts 5A_125/2019 du 9 septembre 2019 consid. 6.3.1; 5A_113/2015 du 3 juillet 2015 consid. 6.2.1 et les références). Le seul fait d'atteindre l'âge de la retraite ne dispense donc pas le débirentier de continuer à verser une pension à l'époux crédirentier (5A_801/2019 du 26 mai 2020 consid. 4.2).
4.2. En l'espèce, le recourant prétend que l'autorité cantonale a violé le droit fédéral en ne tenant pas compte du partage par moitié de sa prévoyance professionnelle, qui entraînera pour lui une prestation LPP et, partant, une capacité contributive réduites. Il ne serait en outre pas démontré que la situation financière de l'intimée ne puisse pas s'améliorer.
Ces critiques ne peuvent être admises. Ainsi qu'il a été exposé au considérant précédent, il ne peut être reproché à la cour cantonale d'avoir arbitrairement constaté les faits, ni violé le droit fédéral en considérant qu'aucune activité lucrative ne pouvait être exigée de l'intimée. Sur la base des éléments dont elle disposait, les juges précédents ont ainsi estimé à juste titre qu'une amélioration de la situation financière de celle-ci ne paraissait pas envisageable en l'état. Quant au grief relatif à l'absence d'examen, par l'autorité cantonale, des prestations de la prévoyance professionnelle dont bénéficiera le recourant lorsqu'il sera à la retraite, il n'apparaît pas qu'il ait été présenté en appel. Or, en vertu du principe de l'épuisement des instances (<ref-law>), le recourant, avant de s'adresser au Tribunal fédéral, doit avoir utilisé toutes les voies de droit cantonales qui permettaient d'obtenir, avec un pouvoir d'examen au moins aussi étendu que celui du Tribunal fédéral, une décision sur les griefs qu'il invoque (<ref-ruling> consid. 2.2.2; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.1-2.2 et les références). Une argumentation juridique nouvelle est certes admissible en instance fédérale, mais pour autant qu'elle repose sur les faits retenus par la juridiction cantonale (<ref-ruling> consid. 4.4.3; <ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 5.3.2; arrêts 4A_215/2020 du 12 mars 2021 consid. 2.2; 8C_667/2019 du 28 janvier 2021 consid. 7.2.2). En l'occurrence, le recourant n'a pas démontré - alors que, conformément à la maxime des débats applicable à la question de la contribution due en faveur de l'ex-conjoint (<ref-law>; notamment: arrêt 5A_776/2019 du 27 octobre 2020 consid. 8), il lui appartenait de faire porter l'instruction sur ce point -, que lorsqu'il sera à la retraite, sa capacité financière sera insuffisante pour payer la pension mise à sa charge. Il convient encore de relever que si la loi permet au juge de tenir compte, lors de la fixation de la contribution d'entretien, des changements de circonstances prévisibles dans la situation du débirentier (ou du crédirentier) et, par conséquent, d'échelonner ou de limiter lesdites contributions, il n'en a pas l'obligation. L'autorité cantonale ne peut donc se voir reprocher d'avoir violé le droit fédéral en allouant à l'intimée une contribution d'entretien non limitée dans le temps.
Si les moyens du recourant ne lui permettent plus de s'acquitter de la contribution d'entretien, il lui appartiendra de demander, cas échéant, une modification ou une suppression de celle-ci (<ref-law>; cf. notamment: arrêts 5A_399/2019 du 18 septembre 2020 consid. 8.3; 5A_508/2007 du 3 juin 2018 consid. 4.1 in fine; 5A_424/2014 du 15 décembre 2014 consid. 4.2; 5A_11/2008 du 18 mars 2008 consid. 7.2).
5.
En conclusion, le recours apparaît mal fondé et ne peut donc être que rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Comme les conclusions du recourant étaient vouées à l'échec, il y a lieu de rejeter sa requête d'assistance judiciaire (<ref-law>) et de mettre les frais de la procédure à sa charge (<ref-law>). L'intimée a droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Cela étant, sa requête d'assistance judiciaire devient en principe sans objet; il convient néanmoins d'y donner suite et de prévoir l'indemnisation de son conseil pour le cas où les dépens ne pourraient être recouvrés.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimée est admise, autant qu'elle n'est pas sans objet, et Me Laurence Mizrahi, avocate à Genève, lui est désignée comme conseil d'office.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
5.
Une indemnité de 2'500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
6.
Au cas où les dépens ne pourraient être recouvrés, la Caisse du Tribunal fédéral versera au conseil de l'intimée une indemnité de 2'500 fr. à titre d'honoraires d'avocat d'office.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 13 juillet 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot