Das präsidierende Mitglied zieht in Erwägung:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Luzern nahm ein von A._ gegen seine Ehefrau angestrengtes Verfahren betreffend falsche Anschuldigung, Urkundenfälschung und weitere Delikte am 15. Februar 2021 nicht an die Hand. Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern am 10. August 2021 ab, soweit es auf sie eintrat. A._ wendet sich an das Bundesgericht.
2.
Der Beschwerdeführer ersucht um Einräumung des Rechts, seine Beschwerde zu ergänzen, und begehrt um Akteneinsicht bei der Staatsanwaltschaft. Den Anträgen kann nicht entsprochen werden. Mängel in Bezug auf Antrag und Begründung einer Beschwerde können grundsätzlich nur innert der 30-tägigen Beschwerdefrist behoben werden (Art. 100 Abs. 1 und Art. 47 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdeführer übergab seine Beschwerdeeingabe am zweitletzten Tag der Frist der Schweizerischen Post zuhanden des Bundesgerichts, wo sie einen Tag nach Fristablauf eintraf. Die Ergänzung oder Nachbesserung der Beschwerde ist folglich nicht mehr möglich. Inwiefern eine Einsicht in die Untersuchungsakten im Hinblick auf die Beschwerdebegründung erforderlich (gewesen) wäre, ist alsdann weder ersichtlich noch dargelegt. Der vorliegende Entscheid kann ohne vorgängige Einsicht in die kantonalen Akten ergehen. Dem Beschwerdeführer steht es frei, ein Gesuch um Einsicht in die Untersuchungsakten beim hierfür zuständigen Kanton zu stellen.
3.
Der weitere Antrag des Beschwerdeführers um Gewährung eines Replikrechts erweist sich als gegenstandslos, nachdem keine Vernehmlassungen einzuholen sind.
4.
4.1. Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich nur berechtigt, wenn sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (Art. 42 Abs. 1 BGG). In der Begründung ist unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 und 1.3). Die Begründung muss sachbezogen sein und erkennen lassen, dass und weshalb nach Auffassung des Beschwerdeführers Recht im Sinne von Art. 95 BGG verletzt ist (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.2). Die beschwerdeführende Partei kann in der Beschwerdeschrift nicht bloss erneut die Rechtsstandpunkte bekräftigen, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, sondern hat mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 2).
4.2. Die Beschwerdeeingabe vermag den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht zu genügen. Der Beschwerdeführer äussert sich nicht zu seiner Beschwerdelegitimation als Privatkläger. Er zeigt insbesondere nicht rechtsgenügend auf, dass ihm aufgrund der angeblichen Straftaten Schadenersatz- oder Genugtuungsansprüche im Sinne von Art. 41 ff. OR zustehen könnten. Dies ist auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Die Beschwerde ist darüber hinaus ebenso in der Sache ungenügend begründet. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, die Chronologie seiner mehreren Strafanzeigen wiederzugeben und hinsichtlich des Vorwurfs der falschen Anschuldigung das angebliche Motiv seiner Ehefrau sowie die fehlende Beweiskraft einer Zeugin zu betonen. Er wiederholt damit seine vorinstanzliche Argumentation, ohne auf die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz einzugehen. Dass und weshalb der angefochtene Entscheid verfassungs- und/oder sonstwie bundesrechtswidrig sein könnte, lässt sich den Ausführungen in der Beschwerde nicht entnehmen.
Der Beschwerdeführer wirft ausserdem der Staatsanwaltschaft Befangenheit vor. Dass er den Befangenheitsvorwurf bereits im kantonalen Verfahren erhoben hätte, zeigt er vor Bundesgericht nicht auf. Ebenso wenig legt er dar, dass er vom angeblichen Ausstandsgrund erst nach Eröffnung des angefochtenen Entscheids Kenntnis erhalten hätte. Schliesslich begründet er nicht hinlänglich, weshalb die Staatsanwaltschaft befangen sein könnten. Aus dem Umstand, dass er mit deren Entscheide oder Verfahrensführung nicht einverstanden ist, lässt sich noch keinen Ausstandsgrund ableiten. Die Beschwerde genügt auch in diesem Punkt den Begründungsanforderungen nicht.
5.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seiner finanziellen Lage ist mit einer reduzierten Gerichtsgebühr Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Boller