Faits :
A.
Le 10 août 2019, B._ a déposé plainte pénale contre son ex-épouse, A._, pour diffamation et injure. Le premier reprochait en substance à la seconde d'avoir, entre le 1eret le 10 août 2019, écrit et publié depuis son compte Facebook, ainsi que par l'intermédiaire d'autres comptes en utilisant des pseudonymes, des messages sur Messenger et sur le compte Facebook C._, ainsi que des courriers électroniques privés et à ses clients, dans lesquels elle le traitait notamment de "connard de merde", de "trou du cul", de "père ignoble", le dénigrant tant sur le plan personnel que professionnel.
La partie plaignante, par l'intermédiaire d'un avocat de choix, a complété sa plainte le 22 août 2019. B._ a en particulier chiffré des prétentions civiles à hauteur de 20'000 fr. dans la mesure où certains des commentaires auraient été publiés directement sur la page Facebook de l'hébergement hôtelier qu'il exploitait. B._ a également requis la mise en prévention de A._ pour les infractions de calomnie, menaces et utilisation abusive d'une installation de télécommunication.
Entendue le 8 octobre 2019, la prévenue a reconnu avoir écrit et publié l'ensemble des commentaires qui lui étaient imputés, que ce soit par le biais de son compte Facebook ou par l'utilisation de faux comptes. Elle a également admis l'envoi de courriers électroniques à son ex-époux et aux clients de ce dernier, ce "afin de défendre sa fille".
Le 5 novembre 2019, le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne a adressé aux parties un avis de "prochaine condamnation" pour diffamation et injure; il leur a fixé un délai au 21 novembre 2019 pour présenter des réquisitions de preuve. B._, par l'intermédiaire de son mandataire, a précisé ses conclusions civiles, réclamant 2'287 fr. 85 pour ses frais de défense, 2'000 fr. à titre de tort moral et 20'000 fr., au titre de gain manqué (24'287 fr. 85 au total).
B.
Par lettre du 15 novembre 2019, l'avocat Mathias Micsiz a exposé qu'il avait été consulté par la prévenue et a sollicité, en son nom, le bénéfice de l'assistance judiciaire, ainsi que sa désignation en tant qu'avocat d'office.
Cette requête a été rejetée le 21 novembre 2019. Le Ministère public a en substance considéré que A._ ne se trouvait pas dans un cas de défense obligatoire et qu'indépendamment de son indigence - non établie -, la cause ne présentait aucune complexité en fait ou en droit.
Le 13 décembre 2019, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision.
C.
Par acte du 6 janvier 2020, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à sa réforme en ce sens que Me Mathias Micsiz soit désigné en tant que son défenseur d'office, avec effet au 15 novembre 2019. A titre subsidiaire, elle demande son annulation et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. La recourante sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invités à se déterminer, le Ministère public et l'autorité précédente ont renoncé à déposer des déterminations, se référant à la décision attaquée.

Considérant en droit :
1.
L'arrêt attaqué a été rendu par une autorité statuant en tant que dernière instance cantonale (<ref-law>) dans une cause de droit pénal. Le recours en matière pénale au sens des <ref-law> est donc ouvert. Le refus de l'assistance judiciaire est une décision incidente susceptible de causer à la recourante un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205). La recourante, prévenue dont la requête tendant à obtenir la désignation d'un avocat d'office a été rejetée, a qualité pour recourir (art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF). Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF) et les conclusions qui y sont prises sont recevables (<ref-law>).
Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
La recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que la cause ne présenterait aucune difficulté en fait et en droit justifiant la désignation d'un avocat d'office. La recourante soutient que tel serait le cas vu les notions juridiques indéterminées entrant en considération, les difficultés d'ordre procédural en lien avec la procuration de l'avocat de la partie plaignante, les importantes conclusions civiles prises par cette dernière, ses aptitudes personnelles à comprendre la procédure, les enjeux de celle-ci et le principe de l'égalité des armes. A l'appui de sa motivation, la recourante demande notamment le complément de l'état de fait, dont la mention de l'objet figurant dans la procuration, non datée, de l'avocat de la partie plaignante ("Affaire A._").
2.1. En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Si la sauvegarde de ses droits le requiert, elle a en outre le droit à la commission d'office d'un conseil juridique.
En dehors des cas de défense obligatoire visés à l'<ref-law>, l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois ou d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende (<ref-law>).
Si les deux conditions mentionnées à l'<ref-law> doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe "notamment"), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il est en détention, s'il encourt une révocation de l'autorisation d'exercer sa profession ou s'il risque de perdre la garde de ses enfants (arrêts 1B_12/2020 du 24 janvier 2020 consid. 3.1; 1B_374/2018 du 4 septembre 2018 consid. 2.1). La désignation d'un défenseur d'office peut ainsi s'imposer selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées, qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul. En revanche, lorsque l'infraction n'est manifestement qu'une bagatelle, en ce sens que son auteur ne s'expose qu'à une amende ou à une peine privative de liberté de courte durée, la jurisprudence considère que l'auteur n'a pas de droit constitutionnel à l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 174).
2.2. Pour évaluer si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. La nécessité de l'intervention d'un conseil juridique doit ainsi reposer sur des éléments objectifs, tenant principalement à la nature de la cause, et sur des éléments subjectifs, fondés sur l'aptitude concrète du requérant à mener seul la procédure (arrêt 1B_494/2019 du 20 décembre 2019 consid. 3.1 et les arrêts cités).
S'agissant de la difficulté objective de la cause, à l'instar de ce qu'elle a développé en rapport avec les chances de succès d'un recours (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 397; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 135 s.), la jurisprudence impose de se demander si une personne raisonnable et de bonne foi, qui présenterait les mêmes caractéristiques que le requérant mais disposerait de ressources suffisantes, ferait ou non appel à un avocat (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 537). La difficulté objective d'une cause est admise sur le plan juridique lorsque la subsomption des faits donne lieu à des doutes, que ce soit de manière générale ou dans le cas particulier (arrêt 1B_538/2019 du 10 décembre 2019 consid. 3.1 et l'arrêt cité).
Quant à la difficulté subjective d'une cause, il faut tenir compte des capacités du prévenu, notamment de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, de sa maîtrise de la langue de la procédure, ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (arrêt 1B_538/2019 du 10 décembre 2019 consid. 3.1 et les arrêts cités).
2.3. La cour cantonale a constaté que la recourante ne se trouvait pas dans un cas de défense obligatoire, ce qui n'est pas contesté.
La juridiction précédente a ensuite estimé que la cause ne présentait aucune difficulté en fait ou en droit; la recourante était accusée d'avoir envoyé des messages et des courriers électroniques à son ex-mari, ce qu'elle avait reconnu dans son intégralité. Selon les juges cantonaux, les faits étaient extrêmement simples et délimités. De plus, ils imaginaient mal que la recourante puisse se prévaloir de preuves libératoires pour échapper à la condamnation envisagée, que ce soit eu égard aux qualificatifs utilisés pour les injures ou sous l'angle d'un intérêt public par rapport aux propos tenus à des clients de la partie plaignante; il était manifestement question d'un conflit conjugal ou à tout le moins privé. Relevant l'absence de pièces afin d'étayer les importantes conclusions civiles déposées par la partie plaignante, l'autorité précédente a indiqué qu'une ordonnance pénale étant envisagée, les prétentions non reconnues seraient renvoyées devant le juge civil ou seraient du ressort du tribunal de première instance en cas de renvoi en jugement; devant ces autorités, la recourante pourra, le cas échéant, renouveler sa requête d'assistance judiciaire. La cour cantonale a enfin relevé que la recourante n'était pas exposée à une peine supérieure à la limite fixée à l'<ref-law>, de sorte que l'affaire était de peu de gravité et que les enjeux étaient limités; le seul fait que des jours-amende puissent être prononcés - ce qui impliquait une inscription au casier judiciaire - ne suffisait pas; il en allait de même du fait que la partie plaignante soit assistée.
2.4. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et la recourante ne développe aucune argumentation propre à le remettre en cause, en particulier s'agissant de l'appréciation retenue en lien avec les conclusions civiles.
Elle ne démontre pas non plus quelles seraient les difficultés objectives de la cause. Il n'est ainsi à cet égard pas suffisant d'invoquer une définition strictement théorique d'un des termes utilisés ("ignoble") pour démontrer qu'il serait dans le cas d'espèce - où l'existence d'un conflit conjugal important semble avérée - sujet à une interprétation particulièrement complexe (cf. le qualificatif de "père ignoble" et les explications de la recourante en lien avec l'idée de "défendre sa fille"); cela vaut d'autant plus que la recourante ne conteste pas les faits reprochés. De possibles difficultés ne découlent pas non plus des éventuels vices que comporterait la procuration produite le 22 août 2019 par l'avocat de la partie plaignante (défaut de date et objet du litige prétendument indiqué de manière trop large). En effet, la plainte à l'origine de la procédure pénale ouverte contre la recourante n'a pas été déposée par l'avocat (cf. a contrario dans les causes connexes 6B_463/2019 du 6 août 2019 et 6B_996/2017 du 4 juillet 2018), mais par l'ex-mari de celle-ci, soit la personne titulaire du bien juridiquement protégé par les infractions dénoncées (cf. sa déposition à la police le 10 août 2019; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 383 s. et consid. 2.3.4. p. 387). Vu cette chronologie et sans autre indication, il ne saurait ainsi être retenu que l'intervention subséquente de l'avocat ne serait pas conforme à la volonté manifestée par son client; peu importe donc de savoir si la procuration produite remplirait ou pas les exigences prévalant en cas de dépôt par un représentant d'une plainte pénale pour des infractions à l'honneur (<ref-ruling> consid. 3c p. 208 s.; <ref-ruling> consid. 1b et 1c p.169 ss; <ref-ruling> consid. d/aa p. 4 s.). Cette motivation permet d'ailleurs aussi d'écarter le grief d'arbitraire dans l'établissement des faits. En tout état de cause, la partie plaignante a évoqué, au moment du dépôt de sa plainte pénale, tant les messages postés sur Facebook que ceux adressés à ses clients privés, même s'il n'a produit que des copies des premiers; le courrier du 22 août 2019 ne semble ainsi constituer, tel son intitulé, qu'un complément, notamment quant aux faits dénoncés en lien avec une même période pénale (du 8 au 10 août 2019), aux moyens de preuve y relatifs et/ou aux notions juridiques pouvant entrer en considération.
Sur le plan subjectif, la recourante n'explique pas en quoi le défaut de formation, l'absence de connaissance juridique et/ou son origine étrangère l'auraient empêchée de comprendre la procédure à ce jour, notamment par exemple en raison de la langue utilisée; elle a d'ailleurs refusé l'assistance d'un interprète lors de son audition du 8 octobre 2019. Sauf à permettre à tout prévenu encourant une inscription au casier judiciaire d'obtenir l'assistance d'un mandataire professionnel, cet élément ne saurait entrer en considération sans autre explication; cette constatation s'impose d'autant plus que la recourante ne fait état d'aucune éventuelle conséquence sur le plan professionnel et/ou privé. Dans un dernier moyen, la recourante invoque une violation du principe de l'égalité des armes dès lors que la partie plaignante est assistée par un avocat. A nouveau, sans autre démonstration, cette seule circonstance ne suffit pas à démontrer une violation de ce principe.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté.
La recourante a demandé l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale. Les conditions posées à l'<ref-law> étant réunies, cette requête doit être admise. Me Mathias Micsiz est désigné comme avocat d'office de la recourante et il est alloué à ce mandataire une indemnité à titre d'honoraires, qui seront supportés par la caisse du tribunal. Il n'est pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>), ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Me Mathias Micsiz est désigné comme avocat d'office de la recourante et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne et à la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 6 mai 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Kropf