Sachverhalt:
A.
A._ wurde am 21. Juli 2020 von der Kantonspolizei St. Gallen angehalten. Im Rapport und Wahrnehmungsbericht zum Vorfall hält die Polizei fest, er sei mit seinem Audi S3 auf der Staatsstrasse mit deutlich überhöhter Geschwindigkeit unterwegs gewesen. Nachdem zwei Polizisten mit Blaulicht und Wechselklanghorn die Verfolgung aufgenommen hätten, habe er weitere Verkehrsteilnehmer überholt und seine Fahrt mit mindestens 120 km/h fortgesetzt. Schliesslich habe er eine Vollbremsung gemacht und sich vom Fahrzeug entfernt, was die ihm hinterherfahrenden Polizisten aus einer Distanz von ca. 30-50 m beobachtet hätten. Nach erfolgter Anhaltung habe er sich renitent verhalten.
Mit Verfügung vom 8. September 2020 ordnete das Untersuchungsamt Altstätten die erkennungsdienstliche Erfassung, einen Wangenschleimhautabstrich und die Erstellung eines DNA-Profils an. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 9. Dezember 2020 ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 18. Dezember 2020 beantragt A._, der Entscheid der Anklagekammer sei aufzuheben.
Die Anklagekammer hat auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Untersuchungsamt beantragt die Abweisung der Beschwerde.
Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2021 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung gegeben.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Beschluss in einer strafrechtlichen Angelegenheit, gegen den die Beschwerde in Strafsachen grundsätzlich offensteht (Art. 78 Abs. 1 und Art. 80 BGG).
1.2. Mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen erweist sich die Erhebung der vom Beschwerdeführer beantragten Beweise (insbesondere eine Zeugeneinvernahme) durch das Bundesgericht als nicht notwendig.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten, einschliesslich der willkürlichen Anwendung von Bundesrecht oder kantonalem Recht, geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 mit Hinweisen).
2.2. Die Vorinstanz hat unter Bezugnahme auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung dargelegt, weshalb sie die Zwangsmassnahmen als zulässig erachtet. Die erkennungsdienstliche Erfassung sei erforderlich, um die aus der Distanz erfolgte Beobachtung der Polizeibeamten zu bestätigen, denn der Beschwerdeführer bestreite, das Fahrzeug gefahren zu sein. Betreffend die DNA-Analyse verwies die Vorinstanz auf zahlreiche Vorstrafen in Deutschland und der Schweiz (verschiedene, teils schwere SVG-Delikte, Tierquälerei, Nötigung und Hausfriedensbruch) sowie zahlreiche polizeiliche Einträge in Deutschland wegen des dringenden Tatverdachts auf Ehrverletzungsdelikte, Strassenverkehrsdelikte, Urkundenfälschung, einfache Körperverletzung, Hausfriedensbruch und Stalking. Zudem stützte sie sich auf ein forensisch-psychiatrisches Gutachten vom 10. September 2020, wonach der Beschwerdeführer ausgeprägte narzisstische Persönlichkeitszüge mit einem deutlichen Dominanzfokus und eine querulatorische Persönlichkeitsakzentuierung aufweise. Gemäss dem Gutachter bestehe u.a. die hohe Gefahr, dass der Beschwerdeführer erneut trotz Führerausweisentzug ein Fahrzeug lenken und zudem gegenüber der Polizei Widerstand leisten werde.
2.3. Der Beschwerdeführer macht pauschal geltend, die Vorhalte seien unberechtigt und er habe nicht vor, in Zukunft Straftaten zu begehen. Er stellt die Ereignisse aus seiner Sicht dar, ohne dabei jedoch aufzuzeigen, weshalb die vorinstanzliche Feststellung des Sachverhalts offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht (vgl. <ref-law>). Zudem weist er auf mögliche falsch positive Identifikationen hin und behauptet, dass das Fahrzeug von einer Mehrzahl von Menschen gelenkt werde. Weshalb dies die angeordneten Zwangsmassnahmen als ungeeignet oder sonstwie unverhältnismässig erscheinen lassen sollte, legt er indessen nicht in nachvollziehbarer Weise dar. Der Polizei wirft er weiter Beweisverfälschung und Irreführung der Rechtspflege vor, ohne dies zu belegen. Im Übrigen geht er auf die vorinstanzlichen Ausführungen nicht ein. Insgesamt erweist sich die Beschwerde damit als unzureichend begründet.
3.
Auf die Beschwerde ist deshalb nicht einzutreten.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist zu verzichten (<ref-law>). Damit erweist sich das sinngemäss gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege insoweit als gegenstandslos (<ref-law>). Die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands fällt ausser Betracht, da der Beschwerdeführer seine Beschwerde selbst verfasst hat (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Untersuchungsamt Altstätten, der Anklagekammer des Kantons St. Gallen und Rechtsanwältin Stephanie Bialas schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. April 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold