Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die Eltern von C._ (geboren Juni 2000), D._ (geboren April 2002) und E._ (geboren Dezember 2009). C._ und D._ besuchten bis im Sommer 2013 die öffentliche Volksschule in der Gemeinde Walenstadt. Per Juli 2013 meldete sich B._ beim Einwohneramt Walenstadt mit den drei Kindern nach Spanien ab. Danach nahmen die Kinder am deutschsprachigen "Off-Campus-Programm" der Clonara Schule, Michigan (USA), teil und besuchten keine öffentliche Schule mehr. Am 6. Juli 2015 meldete A._ die Kinder erneut bei der Gemeinde Walenstadt an, worauf der Schulrat mit Schreiben vom 11. August 2015 festhielt, die Söhne C._ und D._ seien in Walenstadt schulpflichtig. A._ machte daraufhin geltend, er habe die Kinder am 24. Juli 2015 bereits wieder abgemeldet. Nach einer mündlichen Besprechung des Gemeindepräsidenten, der Schulratspräsidentin und des Leiters des Einwohneramts Walenstadt mit A._ vom 18. August 2015 forderte der Schulrat von letzterem am 28. August 2015 eine Erklärung, weshalb C._ und D._ nicht in Walenstadt beschult würden. Recherchen hätten ergeben, dass die Kinder wie auch die Ehefrau trotz zivilrechtlicher Abmeldung ihren Wohnsitz nach wie vor in Walenstadt hätten. A._ nahm am 13. September 2015 dazu Stellung.
Mit Verfügung vom 21. September 2015 ordnete der Schulrat die unverzügliche Einschulung der drei Kinder an der öffentlichen Volksschule in Walenstadt oder die Erbringung des Nachweises einer vom Kanton St. Gallen anerkannten Privatschule an. Er erhob zudem wegen erheblicher Verletzung der Mitwirkungspflichten eine Busse von Fr. 1'000.- pro Kind und orientierte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde über die Gefährdung der schulischen Entwicklung von C._, D._ und E._.
B.
Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs hiess der Erziehungsrat des Kantons St. Gallen betreffend die Ordnungsbussen mit Entscheid vom 20. April 2016 teilweise gut und reduzierte den Bussenbetrag auf insgesamt Fr. 1'000.-. Im Übrigen wies er den Rekurs ab.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 25. Juni 2018 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 28. August 2018 erheben A._ und B._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen sei vollumfänglich aufzuheben, und es sei festzustellen, dass E._ nicht an der öffentlichen Volksschule in Walenstadt einzuschulen sei und dass D._ nicht mehr der obligatorischen Schulzeit im Kanton St. Gallen unterliege, womit der angefochtene Entscheid bezüglich seiner Person gegenstandslos geworden sei.
Der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts hat dem Gesuch um aufschiebende Wirkung bezüglich E._ in dem Sinne entsprochen, dass auf eine Rückführung zwecks Schulbesuch zu verzichten sei, sofern sie sich tatsächlich im Ausland befinde. In Bezug auf D._ hat er das Gesuch gutgeheissen, im Übrigen hat er das Gesuch abgewiesen.
Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und der Erziehungsrat des Kantons St. Gallen verweisen auf den angefochtenen Entscheid und beantragen die Abweisung der Beschwerde. Der Schulrat der Gemeinde Walenstadt verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten. Für die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum (<ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 372).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Dabei gelten, wie bei den in <ref-law> genannten Rügen, strenge Anforderungen an die Begründung (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.).
1.4. Die Beschwerdeführenden beantragen die Feststellung, dass D._ altersbedingt nicht mehr der obligatorischen Schulzeit im Kanton St. Gallen unterliege und der Entscheid des Verwaltungsgerichts bezüglich seiner Person gegenstandslos geworden sei. Gemäss Art. 45 i.V.m. Art. 48 Abs. 1 und Art. 2 Abs. 1-4 des Volksschulgesetzes des Kantons St. Gallen vom 13. Januar 1983 (sGS 213.1) werden Kinder am 1. August nach Vollendung des vierten Altersjahrs schulpflichtig und die Schulpflicht dauert bis zum Abschluss der dritten Oberstufenklasse, welcher in der Regel nach elf vollendeten Schuljahren erfolgt. Nachdem D._ demnächst siebzehn Jahre alt wird und offenbar eine Berufsausbildung begonnen hat, ist die Frage nach der Schulpflicht im Kanton St. Gallen nicht mehr von aktuellem Interesse. Das Verfahren wird diesbezüglich gegenstandslos, so dass insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist. Soweit die Auferlegung einer Busse angefochten wird, tritt in Bezug auf D._ indes keine Gegenstandslosigkeit ein.
2.
Die Beschwerdeführenden rügen über weite Strecken eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts hinsichtlich des Wohnsitzes bzw. Aufenthaltsorts und Lebensmittelpunkts der Tochter. Sie monieren eine Verletzung von <ref-law>, beziehen sich in ihrer Argumentation jedoch ausschliesslich auf den festgestellten Sachverhalt. Dabei legen sie nicht dar, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich oder offensichtlich unrichtig sein soll. Auf die entsprechenden Ausführungen, die den Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge nicht genügen, ist nicht weiter einzugehen (vgl. E. 1.3 hiervor). Soweit sie in diesem Zusammenhang auf eine überspitzt formalistische Beweiswürdigung verweisen, fehlt ebenfalls eine hinreichende Begründung, sodass auch hierauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. E. 1.2 hiervor).
3.
Weiter machen die Beschwerdeführenden geltend, die Verfügung des Schulrats vom 21. September 2015 sei B._ nicht ordentlich zugestellt worden. Sie habe zwar durch ihren Ehemann von der Verfügung Kenntnis erhalten und ein Rechtsmittel ergreifen können. Die Zustellung an ihre vormalige Adresse in der Schweiz führe jedoch angesichts des Umstands, dass sie in Spanien Wohnsitz genommen habe, zur Nichtigkeit der Verfügung.
3.1. Aus dem Prinzip von Treu und Glauben nach Art. 5 Abs. 3 und Art. 9 BV folgt der Grundsatz, dass den Rechtsuchenden aus einer mangelhaften Eröffnung kein Nachteil erwachsen darf. Vertrauensschutz verdienen dabei nur Rechtsuchende, die den Mangel nicht erkannten oder bei gebührender Aufmerksamkeit hätten erkennen können (<ref-ruling> E. 1.3 S. 231 f.; <ref-ruling> E. 8.3.2 S. 53 f.; Urteil 2C_309/2018 vom 10. September 2018 E. 4.1). Nichtigkeit im Sinne einer absoluten Unwirksamkeit der Verfügung wird hingegen nur in Ausnahmefällen angenommen, wenn der ihr anhaftende Mangel besonders schwer wiegt, wenn er offensichtlich oder zumindest leicht erkennbar ist und wenn zudem die Rechtssicherheit durch die Annahme der Nichtigkeit nicht ernsthaft gefährdet wird; fehlt einer Verfügung jegliche Rechtsverbindlichkeit in diesem Sinne, ist dies durch jede Behörde, die mit der Sache befasst ist, jederzeit und von Amtes wegen zu beachten (<ref-ruling> E. 11.2 S. 260; Urteile 2C_827/2015 vom 3. Juni 2016 E. 3.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_1044/2016 vom 6. August 2018 E. 3.1).
Gemäss der bundesgerichtlichen Praxis erlangt ein Urteil oder eine Verfügung erst mit der Mitteilung an die Parteien rechtliche Existenz. Vor seiner Mitteilung ist es ein Nichturteil, was von Amtes wegen zu berücksichtigen ist (<ref-ruling> E. 4.2 S. 413; <ref-ruling> E. 3a/bb S. 99). Dementsprechend vermögen Urteile oder Verfügungen, die den Parteien nie mitgeteilt worden sind, keinerlei Rechtswirksamkeit zu entfalten (<ref-ruling> E. 4.2 S. 413; <ref-ruling> E. 5.3 S. 306; <ref-ruling> 3a S. 50; Urteile 2C_478/2017 vom 9. April 2018 E. 5.1; 2C_734/2017 vom 7. März 2018 E. 3.2; 2C_408/2016 und 2C_409/2016 vom 19. Juni 2017 E. 2.1; YVES DONZALLAZ, La notification en droit interne suisse, 2002, N. 25, 141 und 1115).
3.2. Solange sie minderjährig sind, stehen die Kinder grundsätzlich unter der gemeinsamen elterlichen Sorge von Vater und Mutter (<ref-law>). Die Eltern vertreten die Kinder von Gesetzes wegen gegenüber Drittpersonen im Umfang der ihnen zustehenden elterlichen Sorge (<ref-law>). Sind wie vorliegend beide Eltern Inhaber der elterlichen Sorge, so dürfen gutgläubige Drittpersonen voraussetzen, dass jeder Elternteil im Einvernehmen mit dem andern handelt (<ref-law>). Die verheirateten Eltern vertreten sich gegenseitig (<ref-law>).
Vorliegend sind beide Elternteile Verfahrensbeteiligte. Art. 10bis und Art. 26 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons St. Gallen über die Verwaltungsrechtspflege vom 16. Mai 1965 (VRG/SG; sGS 951.1) sieht vor, dass Verfahrensbeteiligte mit Wohnsitz in Ausland eine Zustelladresse in der Schweiz oder einen Vertreter mit Wohn- oder Geschäftssitz in der Schweiz zu bezeichnen haben, ansonsten Mitteilungen im öffentlichen Publikationsorgan eröffnet werden. Wenn Streitgenossen oder andere Mitbeteiligte keine gemeinsame Zustelladresse bezeichnen, kann die Behörde gemäss Art. 8 Abs. 2 VRG/SG die Zustellung an einen Beteiligten zuhanden der übrigen oder auf Begehren Einzelzustellung verfügen.
3.3. Die Beschwerdeführenden sind verheiratet und leben gemäss eigenen Angaben trotz der zeitweisen örtlichen Trennung, die sie als arbeitsbedingt bezeichnen, nach wie vor in ehelicher Gemeinschaft. Es ist daher nicht zu beanstanden, dass die Verfügung vom 21. September 2015 an den Ehemann als Vertreter der Eltern eröffnet wurde. Im Übrigen wird in der Beschwerde nicht bestritten, dass beide Beschwerdeführenden von der Verfügung des Schulrats rechtzeitig Kenntnis erhielten und in der Folge fristgerecht Beschwerde erhoben. Der geltend gemachte Eröffnungsmangel erfüllt die in E. 3.1 genannten Voraussetzungen für die Annahme der Nichtigkeit der Verfügung wegen mangelhafter Zustellung nicht. Zudem ist unbestritten, dass den Beschwerdeführenden daraus auch kein Nachteil erwachsen ist, sodass sie sich nicht in guten Treuen auf den angeblichen Mangel berufen können.
4.
Die Beschwerdeführenden rügen, die mit Verfügung vom 21. September 2015 verhängte Busse von Fr. 1'000.- pro Kind sei gegenüber den Kindern ausgesprochen worden, was unzulässig sei. Es verstosse gegen Art. 9 und Art. 29 BV, wenn die Vorinstanz behaupte, diese Bussen würden den Vater betreffen.
Zunächst ist daran zu erinnern, dass die Verfügung vom 21. September 2015 hinsichtlich der Busse von Fr. 1'000.- pro Kind mit Entscheid des Erziehungsrats vom 20. April 2016 abgeändert und die Busse auf insgesamt Fr. 1'000.- reduziert worden ist. Entgegen der Auffassung in der Beschwerde ergibt sich sodann weder aus der erstinstanzlichen Verfügung noch aus dem Entscheid des Erziehungsrats, dass der Bussenbetrag den Kindern hätte auferlegt werden sollen. Der Umstand, dass die Busse zunächst mit Fr. 1'000.- pro Kind beziffert wurde, vermag daran nichts zu ändern: die Kinder der Beschwerdeführenden waren nicht Adressaten der Verfügung und es wurde ihnen auch niemals ein pflichtwidriges Verhalten vorgeworfen. Vielmehr richtete sich die Verfügung ebenso wie der Vorwurf der Pflichtverletzung explizit gegen die Eltern. Die Rüge geht somit ins Leere.
5.
Schliesslich rügen die Beschwerdeführenden eine Verletzung der Niederlassungsfreiheit gemäss <ref-law>.
5.1. Gemäss <ref-law> haben Schweizerinnen und Schweizer das Recht, sich an jedem Ort des Landes niederzulassen (Abs. 1). Sie sind ausserdem berechtigt, die Schweiz zu verlassen oder in die Schweiz einzureisen (Abs. 2).
5.2. Soweit sich die diesbezüglichen Ausführungen in der Beschwerde auf die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung resp. Beweiswürdigung beziehen, ohne diese qualifiziert zu rügen, ist darauf nicht weiter einzugehen (vgl. E. 1.3 hiervor). Die ebenfalls erwähnte Verletzung des rechtlichen Gehörs wird nicht begründet und genügt den Anforderungen an die Rüge somit offensichtlich nicht: auch darauf ist nicht weiter einzugehen (vgl. E. 1.2 hiervor). Im Übrigen machen die Beschwerdeführenden nicht geltend, es sei ihnen verwehrt worden, sich im Sinne von <ref-law> an einem von ihnen gewählten Ort in der Schweiz niederzulassen oder die Schweiz zu verlassen bzw. wieder einzureisen. Solches ist denn auch nicht ersichtlich. Vielmehr bezweifelten die kantonalen Behörden, dass tatsächlich ein Wegzug und eine Verlegung des Lebensmittelpunktes nach Spanien erfolgte. Es gelingt den Beschwerdeführenden nicht, darzulegen, dass dadurch ihr Recht auf Niederlassungsfreiheit eingeschränkt worden sei. Es liegt keine Verletzung von <ref-law> vor.
6.
Aufgrund dieser Erwägungen erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird (vgl. E. 1.4 hiervor). Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführenden aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.- werden den Beschwerdeführenden auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Straub