Sachverhalt:
A.a. Die Ehegatten B.A._ und A.A._ sind seit dem 25. Januar 1965 verheiratet. A.A._ hält als Alleinaktionär verschiedene Gesellschaften, die im Bereich der Rohr- und Kanalsanierung tätig sind, darunter insbesondere die C._ AG (mit heutigem Sitz in D._; bis 2016 Sitz in E._), die F._ AG (mit heutigem Sitz in D._; bis 1991 Sitz in G._, 1991 bis 1992 Sitz in H._, 1992 bis 1999 Sitz in I._ [SZ], seither Sitz in D._) und eine Gesellschaft in den Vereinigten Arabischen Emiraten (VAE). Er ist einziger Verwaltungsrat dieser Gesellschaften. B.A._ ist Hausfrau und arbeitet unregelmässig in der Buchhaltung der Betriebe ihres Ehegatten mit.
A.b. Vom 1. Dezember 1989 bis Mai 2004 befand sich der polizeiliche Wohnsitz der Ehegatten A._ in J._ (GR). Im Mai 2004 meldeten sie sich dort ab. Bei ihrer Abmeldung gaben sie an, in die VAE zu ziehen. Vom 25. Juni 2007 bis zum 7. Dezember 2007 waren die Ehegatten A._ zwischenzeitlich wieder in J._ gemeldet, wobei sie bei ihrer Wiederabmeldung abermals die VAE als Wegzugsort bezeichneten.
Am 4. April 2012 meldete sich A.A._ ein weiteres Mal in J._ an. Ab Juli 2014 lebte er mit seiner Ehefrau in E._, zog dann ein weiteres Mal nach K._ um und meldete sich schliesslich per 30. Juni 2018 nach L._ (Deutschland) ab.
A.c. Im Juni 2014 eröffnete die Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV), Abteilung Strafsachen und Untersuchungen (ASU), wegen des Verdachts der Steuerhinterziehung eine Strafuntersuchung gegen die Ehegatten B.A._ und A.A._. Die Untersuchungsleiterin der ASU übermittelte dem Steueramt M._ am 15. September 2015 einen Bericht zum steuerlichen Wohnsitz der Ehegatten A._ während der Jahre 2004 bis 2011 (A.A._) bzw. zwischen 2004 und September 2009 (B.A._).
B.
B.a. Gestützt auf den ASU-Bericht stellte das Steueramt M._ mit Verfügung vom 15. September 2015 fest, A.A._ sei zwischen dem 1. Januar 2004 und dem 31. Dezember 2010 in N._ unbeschränkt steuerpflichtig gewesen.
Gegen diesen Feststellungsentscheid erhob A.A._ Einsprache bei der Dienststelle Steuern des Kantons Luzern (nachfolgend: Dienststelle Steuern). Die Dienststelle Steuern führte am 13. Januar 2017 eine Einspracheverhandlung durch und übermittelte A.A._ in der Folge den ihm bis dahin nicht offen gelegten ASU-Bericht vom 15. September 2015 samt dem zugehörigen Kalendarium als Beilage. Mit Entscheid vom 9. Oktober 2017 wies sie die Einsprache A.A._s nach Durchführung einer weiteren Anhörung ab.
B.b. Gegen diesen Entscheid der Dienststelle Steuern erhob A.A._ Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Dieses nahm eine Verfahrensauftrennung vor: Das Steuerdomizil A.A._s für die Steuerperioden 2004, 2005, 2006, 2007 und 2008 beurteilte es im Urteil vom 3. Juli 2018 (Verfahrensnummer 7W 18 61); insoweit hob es den Entscheid der Dienststelle vom 9. Oktober 2017 auf und wies das Verfahren an die Dienststelle Steuern zurück. Betreffend die Steuerperioden 2009 und 2010 hingegen wies es die Beschwerde mit Urteil vom 18. März 2019 (Verfahrensnummer 7W 17 91) ab, soweit es auf die Beschwerde überhaupt eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 6. Mai 2019 gelangt A.A._ an das Bundesgericht. In der Hauptsache beantragt er die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts Luzern vom 18. März 2019 betreffend Steuerdomizil 2009 und 2010. Eventualiter sei das Urteil vom 18. März 2019 aufzuheben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen.
Dem Gesuch A.A._s um Erteilung der aufschiebenden Wirkung hat das Bundesgericht mit Präsidialverfügung vom 13. Mai 2019 nicht entsprochen. Auf Instruktionsmassnahmen hat es - abgesehen vom Beizug der Akten - verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) und Form (<ref-law>) eingereicht und richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) einer letzten, oberen kantonalen Instanz (<ref-law>) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law> i.V.m. Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [Steuerharmonisierungsgesetz, StHG; SR 642.14]). Der Beschwerdeführer ist als vom Kanton Luzern in Anspruch genommener Steuerpflichtiger zur Beschwerdeführung beim Bundesgericht legitimiert (<ref-law> i.V.m. Art. 73 Abs. 2 StHG). Auf die Beschwerde ist damit einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dabei prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Anwendung des harmonisierten kantonalen Steuerrechts durch die Vorinstanz prüft das Bundesgericht gleich wie Bundesrecht mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 2 S. 210; vgl. mit Blick auf die hier interessierenden Art. 3 Abs. 1 und Abs. 2 StHG Urteil 2C_473/2018 vom 10. März 2019 E. 3).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.3 S. 156). Zu den tatsächlichen Feststellungen zählt auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Das Bundesgericht kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244).
3.
Zu prüfen ist zunächst, ob für die Steuerperiode 2009 - wie vom Beschwerdeführer behauptet - Veranlagungsverjährung eingetreten ist. Wäre dies der Fall, wäre die Beschwerde insoweit gutzuheissen. Diesfalls würde es sich erübrigen, die weiteren Rügen des Beschwerdeführers betreffend die Steuerperiode 2009 zu erörtern.
3.1. Das Recht, eine Steuer zu veranlagen, verjährt fünf Jahre nach Ablauf der Steuerperiode (vgl. <ref-law>; Art. 47 Abs. 1 StHG und § 142 Abs. 1 des Steuergesetzes des Kantons Luzern vom 22. November 1999 [StG/LU; SRL 620]). Neu zu laufen beginnt die Verjährungsfrist mit jeder auf Feststellung oder Geltendmachung der Steuerforderung gerichteten Amtshandlung, die einem Steuerpflichtigen zur Kenntnis gebracht wird (<ref-law>; § 142 Abs. 3 lit. a StG/LU). Die Einleitung einer Strafverfolgung wegen (versuchter) Steuerhinterziehung (<ref-law>; § 142 Abs. 3 lit. c StG/LU) ist eine qualifizierte Form einer solchen, auf Geltendmachung des Steueranspruchs gerichteten Amtshandlung (vgl. MICHAEL BEUSCH, in: Zweifel/Beusch [Hrsg.], Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, DBG, 3. Aufl. 2016, N. 56 zu <ref-law>). Inhaltlich braucht die auf Geltendmachung des Steueranspruchs (vgl. <ref-law>) gerichtete Amtshandlung den steuerbegründenden Tatbestand bloss zu umreissen; es genügt, dass die Behörde dem Steuerpflichtigen den Willen kundtut, auf die Realisierung der Steuerforderung hinzuarbeiten (vgl. <ref-ruling> E. 2f S. 4 f.).
3.2. Strittig ist vorliegend, ob die formularförmige Mitteilung der Dienststelle Steuern vom 17. Dezember 2014 betreffend "Hinterzug von Einkommen und Vermögen" in den "eingangs genannten Jahren" (also den "Jahre[n] 2004 ff.") die Veranlagungsverjährung unterbrochen hat. Die Vorinstanz hat diesbezüglich erwogen, der Wortlaut der Mitteilung liefere zwar wenig konkrete Anhaltspunkte über die Gründe für das Nach- und Strafsteuerverfahren, mache jedoch deutlich, dass die Steuerbehörde Amtshandlungen einleite, um eine Unterbesteuerung bzw. Nichtbesteuerung auszugleichen. Damit seien die Anforderungen von <ref-law> bzw. § 142 Abs. 3 lit. c StG/LU erfüllt. Mit Blick auf die oben (vgl. E. 3.1 hiervor) wiedergegebene bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach für die Unterbrechung genügt, dass die Behörde der Steuerpflichtigen ihren Willen kundtut, auf die Realisierung der Steuerforderung hinzuarbeiten, ist diese Würdigung nicht zu beanstanden.
3.3. Damit ergibt sich, dass die Vorinstanz zu Recht davon ausging, die Veranlagungsverjährung für das Jahr 2009 sei zum Zeitpunkt ihres Entscheids nicht eingetreten gewesen. Nicht anders präsentiert sich die Situation im heutigen Zeitpunkt.
4.
Zu prüfen ist damit als nächstes der Einwand des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe <ref-law> (vgl. dazu nachfolgend E. 4.1 und 4.2) sowie <ref-law> (vgl. dazu nachfolgend E. 4.3) verletzt.
4.1. Der durch <ref-law> gewährleistete Anspruch auf rechtliches Gehör garantiert ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht im Verfahren. Dazu gehört, dass die vom Verfahren betroffene Person zu den wesentlichen Punkten Stellung nehmen kann, bevor die Behörde verfügt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236). Weiter umfasst der Gehörsanspruch das Recht auf Akteneinsicht (<ref-ruling> E. 3.1 S. 434) und gehörige Begründung des Entscheids (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> S. 46). Unbestritten ist vorliegend, dass das Steueramt M._ die erwähnten Teilgehalte von <ref-law> verletzt hat, indem es am 15. September 2015 gestützt auf den selbentags erhaltenen ASU-Zwischenbericht ohne vorgängige Anhörung des Beschwerdeführers, ohne Offenlegung des ASU-Berichts und ohne nähere Begründung über dessen persönliche Steuerzugehörigkeit verfügt hat (vgl. auch angefochtener Entscheid, E. 3.2.3). Damit ist jedoch nicht gesagt, dass auch der Vorinstanz eine Verletzung von <ref-law> vorzuwerfen ist; ob dies der Fall ist, hängt massgeblich davon ab, ob die von der Dienststelle Steuern vorgenommenen Instruktionshandlungen die Mängel des Verfahrens vor dem Steueramt M._ - wie von der Vorinstanz angenommen - zu heilen vermochten.
4.2. Im Grundsatz gilt in diesem Zusammenhang, dass die Verletzung des rechtlichen Gehörs ungeachtet der Erfolgsaussichten der Beschwerde in der Sache selbst die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zur Folge hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 197 mit Hinweis). Nicht besonders schwerwiegende Verletzung des Gehörsanspruchs können aber ausnahmsweise werden, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt als auch die Rechtslage frei überprüfen kann. Unter dieser Voraussetzung ist selbst bei schwerwiegenden Verletzungen des Gehörsanspruchs von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem Interesse der betroffenen Person an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_1259/2012 vom 22. April 2013 E. 2.2).
Mit Blick auf diese Rechtsprechung hat die Vorinstanz zu Recht konstatiert, dass die Dienststelle Steuern im Einspracheverfahren (vgl. Art. 48 Abs. 3 StHG und § 155 Abs. 1 StG) über volle Kognition verfügte. Angesichts des Umstands, dass die Dienststelle Steuern in ihrem Verfahren sämtliche Handlungen nachholte, welche das Steueramt M._ im Ausgangsverfahren zu Unrecht unterlassen hatte, hätte eine Rückweisung an das Steueramt M._ zu einem formalistischen Leerlauf geführt. Das Argument des Beschwerdeführers, wonach er durch dieses Vorgehen eine Beschwerdeinstanz verlustig gehe, verfängt schon deshalb nicht, weil das Luzerner Kantonsgericht später ein weiteres Mal mit voller Kognition entscheiden konnte und damit auch das Vorgehen der Dienststelle einer uneingeschränkten Prüfung zugeführt werden konnte (Art. 50 Abs. 2 StHG und § 165 Abs. 2 StG/LU). Vor diesem Hintergrund ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz davon ausging, die unstrittig schwerwiegenden Verletzungen des Gehörsanspruchs des Beschwerdeführers im Verfahren vor dem Steueramt M._ seien durch die Dienststelle Luzern geheilt worden.
4.3. Soweit sich der Beschwerdeführer auf eine Verletzung von <ref-law> beruft, verkennt er, dass Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens nicht eine - allfällig von der kantonalen Steuerverwaltung später noch auszusprechende - Steuerstrafe ist, sondern die Feststellung seines Steuerdomizils während der Steuerperioden 2009 und 2010. Das hier zu beurteilende Verfahren hat damit klarerweise keinen strafrechtlichen Charakter; worauf sich der vom Beschwerdeführer postulierte Anspruch auf "einheitliche Verteidigung" abstützen könnte, ist daher nicht ersichtlich (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 431 ff.).
5.
Materiell strittig ist vorliegend die bundesrechtlich harmonisierte Rechtsfrage der persönlichen Zugehörigkeit bzw. des Steuerwohnsitzes des Beschwerdeführers als natürliche Person (vgl. dazu <ref-law>; Art. 3 und 4 StHG; § 8 StG/LU) in den Steuerperioden 2009 und 2010. Anders als im Verfahren der Ehefrau des Beschwerdeführers (vgl. Urteil 2C_415/2019 vom 20. Dezember 2019), bestehen in seinem Fall nicht nur interkantonal verschiedene Möglichkeiten zur Anknüpfung (J._ und N._), sondern auch international (O._ [VAE]).
5.1. Natürliche Personen sind aufgrund persönlicher Zugehörigkeit steuerpflichtig, wenn sie ihren steuerrechtlichen Wohnsitz in der Schweiz (<ref-law>) bzw. im Kanton (Art. 3 Abs. 1 StHG; § 8 Abs. 1 StG/LU) haben. Im interkantonalen Verhältnis massgebend sind die Verhältnisse am letzten Tag der jeweiligen Steuerperiode (also am 31. Dezember; Art. 4b Abs. 1 i.V.m. Art. 15 Abs. 1 StHG). Der steuerrechtliche Wohnsitz einer natürlichen Person befindet sich in der Regel am Ort, wo sie sich mit der Absicht des dauernden Verbleibens aufhält (<ref-law>; Art. 3 Abs. 1 StHG; § 8 Abs. 2 Satz 1 StG/LU). Für die Annahme eines steuerrechtlichen Wohnsitzes müssen demnach zwei Bedingungen kumulativ erfüllt sein: Objektiv ist ein "tatsächlicher Aufenthalt" erforderlich, subjektiv die "Absicht dauernden Verbleibens" (BLUMENSTEIN/LOCHER, System des schweizerischen Steuerrechts, 7. Aufl. 2016, § 5 S. 72; OESTERHELT/SEILER, in: Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht, DBG, 3. Aufl. 2016, N. 13 zu <ref-law>; OESTERHELT/SEILER, in: Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht, StHG, 3. Aufl. 2017, N. 30 zu Art. 3 StHG).
5.2. Der tatsächliche Aufenthalt einer Person lässt sich ohne Weiteres feststellen. Anders die Absicht dauernden Verbleibens, insbesondere wenn sich die abgabepflichtige Person an mehreren Orten aufhält: Nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist in solchen Fällen entscheidend, zu welchem Ort der Abgabepflichtige die stärkeren Beziehungen hat (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.1) bzw. wo sich faktisch der Mittelpunkt seiner Lebensinteressen befindet (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 305 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 35 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 56; <ref-ruling> E. 2a S. 293). Nicht massgebend sind hingegen seine bloss erklärten Wünsche; der steuerrechtliche Wohnsitz ist nicht frei wählbar (<ref-ruling> E. 3.2 S. 305 f.). Entscheidend sind vielmehr die objektiven äusseren Tatsachen, in denen der Wille zum dauernden Verbleib zum Ausdruck kommt (OESTERHELT/SEILER, in: Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht, DBG, 3. Aufl. 2016, N. 15 zu <ref-law>; OESTERHELT/SEILER, in: Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht, StHG, 3. Aufl. 2017, N. 33 zu Art. 3 StHG).
5.3. Die zur Annahme des Steuerwohnsitzes führenden Umstände sind als steuerbegründende Tatsachen von den Steuerbehörden nachzuweisen. Den Nachteil der Beweislosigkeit tragen damit die Steuerbehörden (sog. objektive Beweislast; vgl. <ref-ruling> E. 3.5; <ref-ruling> E. 7.1; <ref-ruling> E. 4c/aa).
5.4. Vorliegend ergeben sich aus den Akten verschiedenste Hinweise darauf, dass sich der Steuerwohnsitz des Beschwerdeführers in den hier interessierenden Steuerperioden in der Schweiz und spezifischer in N._ befand. Von Belang ist zunächst, dass der Beschwerdeführer (mittelbar über die von ihm gehaltenen Gesellschaften) in N._ über eine geräumige, von seiner Ehefrau eingerichtete Eigentumswohnung mit hohem Ausbaustandard verfügte, die während der hier interessierenden Steuerperioden durchgehend möbliert und versichert war. Ins Gewicht fällt weiter, dass er beruflich in dieser Zeit äusserst stark beansprucht war und die "Basis" seiner Unternehmungen sich nach der überzeugenden Würdigung der Vorinstanz (vgl. namentlich angefochtener Entscheid, E. 4.4.5.1) in N._ befand. Sodann ist zu beachten, dass sich der Beschwerdeführer in den betreffenden Jahren gemäss Passeinträgen bloss 93 (2009) bzw. 60 (2010) Tage in den VAE aufhielt, trotz melderechtlichen Aufenthalts in den VAE weiterhin in der Schweiz krankenversichert blieb und auch weiterhin seine Schweizer Ärzte konsultierte, darunter einige in unmittelbarer Umgebung von N._. Briefsendungen für ihn wurden in N._ ausgeliefert, wobei er während gewisser - relativ kurzer - Zeitperioden Umleitungen nach J._ in Auftrag gab; auch Zeitungen liess er sich nach N._ zustellen. Weiter existieren Zeugenaussagen, wonach sich der Beschwerdeführer den grossen Teil des Jahres über wöchentlich für einen oder einige Werktage in N._ aufhielt und sich von dort aus zu Geschäftszwecken ins Ausland begab. Dass auch die Ehefrau des Beschwerdeführers in den hier interessierenden Steuerperioden Steuerwohnsitz in N._ hatte (vgl. Urteil 2C_415/2019 vom 20. Dezember 2019 E. 5.4), stärkt diesen Sichtweise, wenngleich die Vorinstanz angesichts des hohen Arbeitseinsatzes des Beschwerdeführers festhielt, es sei nicht erstellt, dass die Ehegatten in dieser Periode gemeinschaftliche Aktivitäten entwickelt hätten.
Der Beschwerdeführer rügt zwar namentlich die Würdigung der Zeugenaussagen durch die Vorinstanz als willkürlich; mit der Gesamtwürdigung, die die Vorinstanz überaus differenziert vornahm, setzt er sich in seiner Eingabe jedoch nicht substanziiert auseinander. Wenn die Vorinstanz bei der dargelegten Dichte von Indizien davon ausging, der faktische Lebensmittelpunkt des Beschwerdeführers habe sich in N._ befunden, ist dies bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
5.5. Dass die Vorinstanz auf Basis des von ihr festgestellten Sachverhalts (vgl. E. 5.4 hiervor) rechtlich falsche Schlüsse gezogen hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Bundesrechtlich ist damit nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz davon ausging, der Beschwerdeführer habe in den Jahren 2009 und 2010 Steuerwohnsitz in N._ gehabt.
6.
Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet und ist abzuweisen. Diesem Verfahrensausgang entsprechend hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Verfahrenskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der Eidgenössischen Steuerverwaltung und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner