Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1956 geborene A._ meldete sich im Januar 2010 unter Hinweis auf eine Erschöpfungsdepression bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern sprach ihm berufliche Massnahmen zu. Nach Abklärungen, insbesondere Einholung des neuropsychologischen Gutachtens des lic. phil. B._ vom 12. Januar 2012, und Durchführung des Vorbescheidverfahrens, in dessen Verlauf u.a. das psychiatrische Gutachten des Dr. med. C._ vom 21. Dezember 2015 veranlasst wurde, ermittelte sie einen Invaliditätsgrad von 20 %. Folglich verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 16. Februar 2016 einen Rentenanspruch.
A.b. Im März 2016 teilte A._ im Sinne einer "rein vorsorglichen Neuanmeldung" mit, dass bei ihm Ende Februar 2016 ein Karzinom der Speiseröhre diagnostiziert worden sei.
B.
Die von A._ gegen die Verfügung vom 16. Februar 2016 erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern, nachdem es bei der MEDAS Zentralschweiz das interdisziplinäre Gutachen vom 3. November 2017 eingeholt hatte, mit Entscheid vom 10. Juli 2018 teilweise gut. Es hob die Verfügung vom 16. Februar 2016 auf und wies die Sache an die IV-Stelle zurück, damit diese nach weiteren Abklärungen gemäss den Erwägungen neu verfüge. Zudem überband es der IV-Stelle Beweiskosten in Höhe von Fr. 9'188.10.
C.
Die IV-Stelle beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des Entscheids vom 10. Juli 2018 und die Bestätigung der Verfügung vom 16. Februar 2016. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ lässt auf Abweisung des Rechtsmittels schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das kantonale Gericht ist davon ausgegangen, dass der Versicherte im Juni 2009 aufgrund einer beruflichen "Überbelastung" und familiär schwieriger Situationen (Tod der Mutter und Scheidung) eine "depressive Episode (Burnout) " erlitten habe. Auf die aktenkundigen psychiatrischen Arbeitsfähigkeitsschätzungen - des Gutachters Dr. med. D._, der behandelnden Dr. med. E._, des med. pract. F._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD), des Administrativgutachters Dr. med. C._ und des Gerichtsexperten med. pract. G._ - könne nicht abgestellt werden. Es sei daher unumgänglich, bei dieser besonderen Konstellation ausnahmsweise für das Invalideneinkommen vom 1. Juli 2010 bis August 2015 auf das jeweils effektiv erzielte Einkommen abzustellen. Zwei vom Versicherten 2011 über fast ein Jahr absolvierte Arbeitsversuche resp. -trainings seien gescheitert. Daher sei, trotz ärztlich attestierter Verbesserung des Gesundheitszustandes ab 2010, von Juni 2009 bis Januar 2012 von einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit auszugehen. Die IV-Stelle habe den Invaliditätsgrad ab 1. Juli 2010 unter Berücksichtigung dieser Vorgaben und von <ref-law> zu bestimmen. Ab dem 6. August 2015 (Untersuchung durch Dr. med. C._) sei dem Versicherten die bisherige Tätigkeit wieder uneingeschränkt zumutbar gewesen, weshalb ab 1. Dezember 2015 kein Rentenanspruch mehr bestanden habe.
Sodann hat die Vorinstanz berücksichtigt, dass am 26. resp. 29. Februar 2016 ein Karzinom diagnostiziert worden war. Die entsprechenden Beschwerden hätten schon bei Erlass der Verfügung vom 16. Februar 2016 persistiert. "Insbesondere aus prozessökonomischen Gründen" seien der Anfechtungs- und Steitgegenstand auszudehnen und das somatische Beschwerdebild (resp. der Sachverhalt nach dem 16. Februar 2016) in das Verfahren miteinzubeziehen. Infolge der Tumorerkrankung sei der Versicherte vom Februar 2016 bis Ende Juli 2017 vollständig arbeitsunfähig gewesen, weshalb er Anspruch auf eine ganze Invalidenrente vom 1. Mai 2016 bis zum 30. September 2017 habe.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die übrigen Eintretensvoraussetzungen wie auch jene der Vorinstanz (<ref-ruling> E. 2 S. 9; Urteil 9C_250/2017 vom 30. Oktober 2017 E. 1) von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen; Urteil 9C_602/2018 vom 29. Januar 2019 E. 1).
2.2. Die Vorinstanz hat die Sache für eine vorangehende Teilperiode des Rentenanspruchs (1. Juli 2010 bis 30. November 2015) zu neuer Beurteilung an die Verwaltung zurückgewiesen und für den darauf folgenden Zeitraum (ab 1. Dezember 2015) den Rentenanspruch abschliessend beurteilt (vgl. zur Implikation des vorinstanzlichen Verweises auf die Erwägungen Urteil 9C_496/2018 vom 21. November 2018 E. 1.2). Damit liegt insgesamt ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> vor (<ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 150 f.; Urteil 9C_554/2018 vom 10. Januar 2019 E. 1.3.1). Danach ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
2.3.
2.3.1. Der Umstand, dass nach der vorinstanzlichen Betrachtungsweise von Juni 2009 bis Januar 2012 keine Arbeitsfähigkeit vorhanden war resp. die von Juli 2010 bis August 2015 erbrachte Arbeitsleistung der (verwertbaren) Arbeitsfähigkeit des Beschwerdegegners entsprach, kann - entgegen der Auffassung des Versicherten - für die Verwaltung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (Urteil 9C_554/2018 vom 10. Januar 2019 E. 1.3.2 mit Hinweisen).
2.3.2. Auch insoweit, als die Vorinstanz - in Ausdehnung des gerichtlichen Beurteilungszeitraums über den Zeitpunkt des Erlasses der streitigen Verwaltungsverfügung vom 16. Februar 2016 hinaus (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220) - einen Anspruch auf eine ganze Invalidenrente vom 1. Mai 2016 bis zum 30. September 2017 bejaht hat, ist auf die Beschwerde einzutreten.
Die entsprechenden Anordnungen des kantonalen Gerichts sind nicht bindend und ersatzlos aufzuheben. Zum einen betreffen sie einen nachfolgenden Zeitraum (E. 2.2 oben), und zum anderen sind die Voraussetzungen für die Ausdehnung des Streitgegenstands nicht gegeben, zumal sich die IV-Stelle bisher zum Rentenanspruch resp. Sachverhalt nach dem 16. Februar 2016 nicht materiell äusserte (vgl. Urteil 9C_554/2018 vom 10. Januar 2019 E. 1.2 und 1.3.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2 S. 503; <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.).
3.
3.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
3.2.
3.2.1. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
3.2.2. Den im Rahmen des Verwaltungsverfahrens eingeholten Gutachten von externen Spezialärzten, welche aufgrund eingehender Beobachtungen und Untersuchungen sowie nach Einsicht in die Akten Bericht erstatten und bei der Erörterung der Befunde zu schlüssigen Ergebnissen gelangen, ist bei der Beweiswürdigung Beweiskraft zuzuerkennen, solange nicht konkrete Indizien gegen die Zuverlässigkeit der Expertise sprechen (BGE <ref-ruling> E. 3b/bb S. 353; Urteil 9C_278/2016 vom 22. Juli 2016 E. 3.2.2).
3.3. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
3.4. Die vorinstanzliche Feststellung betreffend das psychische Leiden und dessen Ursachen (vgl. E. 1 in initio) ist nicht offensichtlich unrichtig. Sie beruht auch nicht auf einer Rechtsverletzung, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleibt (E. 3.1). Fraglich ist, ob damit überhaupt eine invalidenversicherungsrechtlich relevante, d.h. von der soziokulturellen oder psychosozialen Belastungssituation zu unterscheidende und in diesem Sinne verselbständigte psychische Störung vorlag (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 303; Urteil 9C_543/2018 vom 21. November 2018 E. 2.2 mit weiteren Hinweisen; vgl. auch Urteile 9C_848/2016 vom 12. Mai 2017 E. 4.1 und 9C_537/2011 vom 28. Juni 2012 E. 3.1 zur invalidenversicherungsrechtlich fehlenden Erheblichkeit z-kodierter Diagnosen wie "Burnout" [ICD-10: Z73.0]). Diese Frage braucht indessen nicht beantwortet zu werden, wie sich aus dem Folgenden ergibt.
3.5.
3.5.1. Die Vorinstanz hat dem Administrativgutachten des Dr. med. C._ die Beweiskraft abgesprochen. Zur Begründung führte sie an, der Gutachter habe die Ausführungen des med. pract. F._ vom Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; insbesondere Protokolleinträge vom 17. Januar, 30. März, 21. August und 27. September 2012 sowie vom 1. April und 2. Juni 2015) nicht berücksichtigt und keine konkreten Angaben zur Arbeitsfähigkeit von August 2010 bis August 2015 gemacht. Er habe ausgeführt, dass der Versicherte 2009 an einer psychischen Störung erkrankt sei, die wahrscheinlich mit einer Einschränkung der Arbeitsfähigkeit einhergegangen sei; dass er retrospektiv nicht quantifizieren könne, wie sich die Arbeitsfähigkeit entwickelt habe; dass sich der Gesundheitszustand jedenfalls bereits 2010 deutlich verbessert habe; dass der psychische Gesundheitszustand wahrscheinlich seit mindestens August 2014 dem bei der Untersuchung festgestellten Zustand gleiche. Damit weise das Gutachten des Dr. med. C._ für die medizinisch-theoretische Einschätzung der Arbeitsfähigkeit eine grosse Lücke auf.
3.5.2. Das kantonale Gericht ist in Bezug auf Mängel des Gutachtens "bezüglich des Psychostatus" zu Recht davon ausgegangen, dass diese die Beweiskraft der Expertise des Dr. med. C._ nicht beeinträchtigen, zumal sie eine "ausführliche Anamnese und Deskription" des Versicherten enthält.
Sodann kann - entgegen der vorinstanzlichen Auffassung - im Umstand, dass Dr. med. C._ nicht rückwirkend ausdrücklich eine Arbeitsfähigkeit attestierte bzw. nicht vermochte, eine retrospektive Quantifizierung der Arbeitsfähigkeit und deren Verlaufs vorzunehmen, keine Lücke erblickt werden. Vielmehr legte der Experte nachvollziehbar dar, dass im Juni 2009 eine psychische Störung (in Form einer höchstens mittelgradigen depressiven Episode) eingetreten sei, wobei er auf belastende krankheitsfremde Faktoren verwies. Weiter anerkannte er eine damit verbundene anfängliche Einschränkung der Arbeitsfähigkeit. In der Folge hat er aber eine stetige Verbesserung angenommen. Seine Einschätzung, dass sich der Gesundheitszustand bereits 2010 ganz deutlich gebessert habe, steht u.a. im Einklang mit der Angabe des Versicherten, wonach es ihm im Frühjahr 2010 "von der Depression her" wieder besser gegangen sei. Weder die Akten noch die Angaben des Versicherten gaben dem Experten Anlass, eine länger, d.h. über Juni 2010 hinaus dauernde erhebliche Einschränkung der Arbeitsfähigkeit zu attestieren. Nicht ganz klar ist lediglich, ob er implizit, entsprechend der Einschätzung des lic. phil. B._, längstens bis zum August 2014 von einer 20 prozentigen Leistungsminderung in der angestammten Tätigkeit ausging.
Weiter trifft zwar zu, dass die Stellungnahmen des RAD nur insoweit direkt in das Gutachten eingeflossen sind, als Dr. med. C._ auf die "zur Verfügung gestellte Akte der IV-Stelle" verwies. Eine Auseinandersetzung damit erübrigte sich aber insofern, als die Einschätzungen des RAD-Arztes, der in den von der Vorinstanz genannten Stellungnahmen die Leistungsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit jeweils auf 80 resp. 100 % veranschlagte, im Wesentlichen mit jenen des Experten übereinstimmten.
Schliesslich kann - anders als die Vorinstanz anzunehmen scheint - allein aus gescheiterten Eingliederungsversuchen nicht auf eine medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit geschlossen werden. Somit fehlte es an einem konkreten Indiz, das gegen die Zuverlässigkeit des Gutachtens des Dr. med. C._ sprach (vgl. E. 3.2).
3.6. Nach dem Gesagten klärte die Verwaltung den Sachverhalt in Bezug auf den psychischen Gesundheitszustand genügend ab (vgl. <ref-law>). Das kantonale Gericht hätte auf das beweiskräftige Administrativgutachten abstellen müssen, aus dem sich für die angestammte Tätigkeit ab 1. Juli 2010 eine höchstens 20 prozentige Einschränkung ergibt. Die entgegenstehenden Feststellungen im angefochtenen Entscheid - die im Übrigen auch im Gerichtsgutachten keine Grundlage finden, wie die Vorinstanz richtig erkannte - sind nicht haltbar (E. 3.1), während jene, dass (spätestens) ab dem 6. August 2015 eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit bestand, verbindlich bleibt.
Die Kosten der vom Gericht im Sinne einer "second opinion" (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2.7 S. 257, wiedergegeben in <ref-ruling> E. 5.2 S. 339; Urteil 9C_278/2016 vom 22. Juli 2016 E. 3.4.3) angeordneten psychiatrischen Begutachtung durften nicht auf die IV-Stelle abgewälzt werden (<ref-ruling> E. 4.4 S. 502, bestätigt mit <ref-ruling> E. 6 S. 75; vgl. auch ERIK FURRER, Rechtliche und praktische Aspekte auf dem Weg zum Gerichtsgutachten in der Invalidenversicherung, SZS 2019 S. 3).
3.7. Was die weitere Entwicklung des Sachverhalts anbelangt, so hat die Vorinstanz verbindlich (E. 3.1) festgestellt, dass (Schluck-) Beschwerden aufgrund des Ende Februar diagnostizierten Karzinoms schon vor Erlass der Verfügung vom 16. Februar 2016 vorhanden gewesen waren (vgl. Bericht des Dr. med. H._, Facharzt für Allgemeine Innere Medizin und Gastroenterologie, vom 29. Februar 2016). Jedoch lässt sich keinem der medizinischen Berichte in diesem Zusammenhang entnehmen, dass deswegen auch die Arbeitsfähigkeit (vgl. Art. 8 Abs. 1 i.V.m. Art. 6 und 7 ATSG; vgl. auch Art. 87 Abs. 2 und 3 sowie <ref-law>) bereits vor Erlass der angefochtenen Verfügung eingeschränkt gewesen sein soll.
3.8. Dass bei diesen Gegebenheiten bis zum Erlass der angefochtenen Verfügung ein Rentenanspruch entstanden sein soll (vgl. <ref-law>), wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich. Die Beschwerde ist begründet. Der IV-Stelle ist beizupflichten, dass sie den Rentenanspruch unter Berücksichtigung des verschlechterten Gesundheitszustandes im Rahmen der im März 2016 erfolgten Neuanmeldung zu beurteilen hat (vgl. Sachverhalt lit. A.b; E. 2.3.2).
4.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der IV-Stelle um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 10. Juli 2018 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Luzern vom 16. Februar 2016 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Kantonsgericht Luzern zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. März 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Die Gerichtsschreiberin: Dormann