Erwägungen:
1.
Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt sprach A._ mit Urteil vom 8. Dezember 2015 der versuchten vorsätzlichen Tötung, der Gefährdung des Lebens, der versuchten einfachen Körperverletzung und des Vergehens gegen das Waffengesetz schuldig und verurteilte ihn zu acht Jahren Freiheitsstrafe, unter Einrechnung der Untersuchungshaft sowie des vorläufigen Strafvollzugs seit dem 12. November 2014. Ausserdem wurde er zu Fr. 5'000.-- Genugtuung an den Geschädigten B._ verurteilt. Gegen dieses Urteil meldeten A._ und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt Berufung an, welche derzeit beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hängig ist.
2.
A._ beanstandete mit Eingabe vom 12. Oktober 2017, dass die Staatsanwaltschaft die Hintergründe seiner Tat nicht gründlich aufgeklärt habe. Als Beilage reichte er ein mit "Aufsichtsbeschwerde" bezeichnetes und an den Ersten Staatsanwalt adressiertes Schreiben vom 22. September 2017 ein, wozu der Erste Staatsanwalt am 12. Oktober 2017 schriftlich Stellung nahm. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt nahm die Eingabe von A._ als Beschwerde entgegen und trat darauf mit Entscheid vom 23. Februar 2018 nicht ein. Zur Begründung führt das Appellationsgericht zusammenfassend aus, dass der Beschwerdeführer nicht aufzeige, inwiefern die Staatsanwaltschaft seine Verfahrensrechte verletzt haben sollte.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 23. März 2018 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, vermag mit der Darstellung seine Sicht der Dinge nicht aufzuzeigen, dass das Appellationsgericht seine Beschwerde rechtswidrig behandelt hätte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht ansatzweise, inwiefern die Begründung des Appellationsgerichts bzw. dessen Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, Erster Staatsanwalt, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli