Erwägungen:
1.
A._ stellte am 16. September 2021 beim Bezirksgericht Horgen ein Ausstandsgesuch. Das Bezirksgericht Horgen wies das Ausstandsbegehren mit Urteil vom 5. November 2021 ab, soweit es darauf eintrat. Betreffend den Ausstand gegen einen Bezirksrichter des Bezirksgerichts Horgen und gegen einen Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis sowie gegen die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis leitete es die Verfahrensakten zuständigkeitshalber an das Obergericht des Kantons Zürich weiter.
2.
Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich nahm die Eingabe von A._ als Ausstandsgesuch gegen einen Bezirksrichter des Bezirksgerichts Horgen, einen Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis sowie gegen die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis und das Bezirksgericht Horgen entgegen. Mit Beschluss vom 18. Januar 2022 wies die III. Strafkammer das Ausstandsbegehren ab, soweit sie darauf eintrat. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass A._ mit seinen Vorbringen keinerlei Anhaltspunkte für einen Ausstandsgrund gegen den Bezirksrichter und den Staatsanwalt vorbringe. Ein Ausstandsbegehren könne sich im Weiteren nicht pauschal gegen eine Behörde als solche, bzw. vorliegend gegen das Bezirksgericht Horgen und die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis richten.
3.
A._ führt mit Eingabe vom 20. Januar 2022 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1, 65 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag nicht verständlich aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer das Ausstandsbegehren rechtswidrig behandelt hätte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht im Einzelnen und konkret, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
5.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Auf eine Kostenauflage ist indessen zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Horgen, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Jametti
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli