Sachverhalt:
A.
A._ (Jg. 1982) und C._ (Jg. 1987) sind die Eltern der Tochter B._ (geb. xx.August 2018). Die nicht verheirateten Eltern, die schon bei B._s Geburt getrennt gewohnt hatten, trennten sich kurz nach der Geburt ihres Kindes.
B.
B.a. Am 9. August 2019 verklagte B._, gesetzlich vertreten durch ihre Mutter, ihren Vater auf Unterhalt. Der Vater stellte eigene Begehren betreffend die Alimente. Ausserdem beantragte er, für das Kind die gemeinsame elterliche Sorge anzuordnen und es unter die alternierende Obhut der Eltern zu stellen. Die väterliche Betreuung sollte alle vierzehn Tage von anfänglich einem Wochenende (ab 1. August 2020) schrittweise zunächst (ab 1. Oktober 2020) auch den Freitag und dann (ab 1. Januar 2021) auch noch den Donnerstag umfassen.
B.b. Mit Urteil vom 27. Mai 2020 regelte der Amtsgerichtspräsident von Solothurn-Lebern die Kinderbelange. Soweit für das vorliegende Verfahren relevant, stellte er das Kind unter die Obhut der Mutter und regelte das Besuchsrecht des Vaters, indem er die Kontaktregelung der freien Vereinbarung der Eltern überliess und für den Fall der Nichteinigung eine Konfliktregelung vorsah, wonach der Vater die Tochter (ab 1. August 2019) jedes zweite Wochenende von Samstag 9:00 bis Sonntag 18:00 Uhr betreut. Sodann verpflichtete er den Vater dazu, für die Tochter zeitlich gestaffelte monatliche Unterhaltsbeiträge zu leisten (ab 1. März 2020 bis 31. Dezember 2020 Fr. 645.-- [Barunterhalt Fr. 500.--, Betreuungsunterhalt: Fr. 145.--], ab 1. Januar 2021 bis 28. Februar 2022 Fr. 850.-- [Barunterhalt Fr. 500.--, Betreuungsunterhalt: Fr. 350.--], ab 1. März 2022 bis 31. Juli 2028 Fr. 960.-- [Barunterhalt Fr. 560.--, Betreuungsunterhalt: Fr. 400.--], ab 1. August 2028 bis 31. Juli 2031 Fr. 1'095.-- [Barunterhalt Fr. 820.--, Betreuungsunterhalt: Fr. 275.--] und ab 1. August 2031: Fr. 1'060.-- [Barunterhalt]).
C.
C.a. A._ legte beim Obergericht des Kantons Solothurn Berufung ein. Er hielt an seinen Begehren betreffend die alternierende Obhut und die Regelung der Betreuungszeiten fest (Bst. B.a). Zusätzlich verlangte er, die väterliche Betreuung des Kindes ab 1. Juli 2021 jede zweite Woche um den Mittwoch zu erweitern. Im Unterhaltsstreit beantragte er, die monatlichen Alimente auf Fr. 300.-- festzusetzen.
C.b. Das Obergericht hiess die Berufung teilweise gut. Es beliess B._ unter der Obhut der Mutter und legte das Besuchsrecht des Vaters wie folgt fest: Jedes zweite Wochenende von Samstag 9:00 Uhr bis Sonntag 18:00 Uhr und ab dem 1. August 2022 drei Wochen Ferien pro Jahr sowie in ungeraden Jahren an Weihnachten und am 1. August und in geraden Jahren an Ostern und Silvester. Die monatlichen Unterhaltsbeiträge reduzierte es in der Phase vom 1. Januar 2021 bis 28. Februar 2022 auf Fr. 760.-- (Barunterhalt Fr. 466.--, Betreuungsunterhalt: Fr. 294.--); im Übrigen bestätigte es die vorinstanzliche Unterhaltsregelung (Urteil vom 7. Dezember 2020).
D.
Mit Beschwerde vom 25. Januar 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, B._ (Beschwerdegegnerin) unter die alternierende Obhut zu stellen und seine Betreuungszeiten wie folgt festzulegen: Vom 1. August 2020 bis 31. September 2020 jedes zweite Wochenende von Samstag 9:00 Uhr bis Sonntag 18:00 Uhr; vom 1. Oktober 2020 bis 31. Dezember 2020 jede zweite Woche von Freitag 09.00 Uhr bis Sonntag 18:00 Uhr; ab dem 1. Januar 2021 jede zweite Woche von Donnerstag 9:00 Uhr bis Sonntag 18:00 Uhr; ab dem 1. Juli 2021 jede zweite Woche von Mittwoch 9:00 Uhr bis Sonntag 18:00 Uhr. Weiter beantragt er die Festsetzung eines monatlichen Unterhaltsbeitrags an die Tochter von Fr. 300.--; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung der Unterhaltsbeiträge an die Vorinstanz zurückzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer überdies um unentgeltliche Rechtspflege. Den weiteren Antrag, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren, wies der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung mit Verfügung vom 26. Januar 2021 ab. Im Übrigen hat das Bundesgericht die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) entschieden hat. Streitig sind sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Aspekte, sodass für diese Zivilsache (<ref-law>) insgesamt kein Streitwerterfordernis gilt (Urteil 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 1.1 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer ist grundsätzlich zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat diese rechtzeitig erhoben (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>) und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis). In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Beschwerde hat auf die Begründung des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen aufzuzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Auf eine unzureichend begründete Beschwerde wird nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweis). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten geltend gemacht wird. Das Bundesgericht prüft deren Verletzung nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.2. Beim Entscheid über die Anordnung einer alternierenden Obhut und über andere Kinderbelange ist der Sachrichter, der die Parteien und die weitere Umgebung des Kindes am besten kennt, in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen (<ref-ruling> E. 4.5). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide schreitet das Bundesgericht nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 5.3.2; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 4.2).
2.3. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.1). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substantiierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweis).
3.
Der Streit dreht sich hauptsächlich um die alternierende Obhut bzw. um die Betreuungsanteile des Vaters und um den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter. Der Beschwerdeführer besteht auf der alternierenden Obhut und will die Beschwerdegegnerin (ab 1. Juli 2021) jede zweite Woche von Mittwoch 9:00 Uhr bis Sonntag 18:00 betreuen (s. Sachverhalt Bst. D).
3.1.
3.1.1. Bei gemeinsamer elterlicher Sorge prüft das (mit der Unterhaltsklage befasste) Gericht im Sinne des Kindeswohls die Möglichkeit einer alternierenden Obhut, wenn ein Elternteil oder das Kind dies verlangt (Art. 298b Abs. 3 Satz 2 i.V.m. Abs. 3ter ZGB). Wie die Obhut im konkreten Fall zu regeln ist, hat das Gericht unabhängig von den Wünschen der Eltern und losgelöst von einer diesbezüglichen Übereinkunft nach Massgabe des Kindeswohls zu beurteilen (Urteil 5A_794/2017 vom 7. Februar 2018 E. 3.1). Denn nach der Rechtsprechung gilt das Kindeswohl als oberste Maxime des Kindesrechts (<ref-ruling> E. 5.4 mit Hinweis). Es ist für die Regelung des Eltern-Kind-Verhältnisses immer der entscheidende Faktor. Die Interessen und Wünsche der Eltern haben in den Hintergrund zu treten (<ref-ruling> E. 5). Bei gegebenen Voraussetzungen kann die alternierende Obhut auch gegen den Willen eines Elternteils angeordnet werden (Urteil 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 3.4.3 mit Hinweis, nicht publ. in: <ref-ruling>).
3.1.2. Wie <ref-law>, der in einem Scheidungs- oder Eheschutzverfahren für verheiratete Eltern gilt (<ref-law>), gelangt auch der inhaltlich identische <ref-law> nicht nur dann zur Anwendung, wenn ein Elternteil gegen den Willen des anderen vor Gericht eine (ungefähr) hälftige Betreuung erreichen will. Die Vorschrift gilt allgemein und insbesondere auch dann, wenn ein Elternteil sein Kind auch unter der Woche betreuen möchte, anstatt es nur übers Wochenende zu sich auf Besuch zu nehmen. Denn in diesem Fall dreht sich der Streit nicht mehr nur um den persönlichen Verkehr des nicht obhutsberechtigten Elternteils mit dem Kind (<ref-law>), sondern um Betreuungsanteile im Sinne von <ref-law>, mithin um die Obhut selbst (Urteil 5A_373/2018 vom 8. April 2019 E. 3.1; s. auch Urteil 5A_418/2019 vom 29. August 2019 E. 3.5.2). Ist ein Elternteil an der Betreuung der Kinder massgeblich beteiligt, so hat das Gericht auch im Urteilsspruch als Betreuungsform grundsätzlich die alternierende Obhut anzuordnen (<ref-ruling> E. 3.2.3).
3.1.3. Ob die alternierende Obhut überhaupt in Frage kommt und ob sie sich mit dem Kindeswohl verträgt, hängt von den konkreten Umständen ab. Das bedeutet, dass das Gericht gestützt auf festgestellte Tatsachen der Gegenwart und der Vergangenheit eine sachverhaltsbasierte Prognose darüber zu stellen hat, ob die alternierende Obhut als Betreuungslösung aller Voraussicht nach dem Wohl des Kindes entspricht (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Unter den Kriterien, auf die es bei dieser Beurteilung ankommt, ist zunächst die Erziehungsfähigkeit der Eltern hervorzuheben, und zwar in dem Sinne, dass die alternierende Obhut grundsätzlich nur dann in Frage kommt, wenn beide Eltern erziehungsfähig sind. Weiter erfordert die alternierende Obhut organisatorische Massnahmen und gegenseitige Informationen. Insofern setzt die praktische Umsetzung einer alternierenden Betreuung voraus, dass die Eltern fähig und bereit sind, in den Kinderbelangen miteinander zu kommunizieren und zu kooperieren. Allein aus dem Umstand, dass ein Elternteil sich einer alternierenden Betreuungsregelung widersetzt, kann indessen nicht ohne Weiteres auf eine fehlende Kooperationsfähigkeit der Eltern geschlossen werden, die einer alternierenden Obhut im Weg steht. Ein derartiger Schluss kann nur dort in Betracht fallen, wo die Eltern aufgrund der zwischen ihnen bestehenden Feindseligkeiten auch hinsichtlich anderer Kinderbelange nicht zusammenarbeiten können, mit der Folge, dass sie ihr Kind im Szenario einer alternierenden Obhut dem gravierenden Elternkonflikt in einer Weise aussetzen würden, die seinen Interessen offensichtlich zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.3).
Zu berücksichtigen ist ferner die geographische Situation, namentlich die Distanz zwischen den Wohnungen der beiden Eltern, und die Stabilität, welche die Weiterführung der bisherigen Regelung für das Kind gegebenenfalls mit sich bringt. In diesem Sinn fällt die alternierende Obhut eher in Betracht, wenn die Eltern das Kind schon vor ihrer Trennung abwechselnd betreuten. Weitere Gesichtspunkte sind die Möglichkeit der Eltern, das Kind persönlich zu betreuen (s. dazu Urteil 5A_629/2019 vom 13. November 2020 E. 4.2), das Alter des Kindes, seine Beziehungen zu (Halb- oder Stief-) Geschwistern und seine Einbettung in ein weiteres soziales Umfeld (vgl. Urteile 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.2 und 4.4.5; 5A_345/2014 vom 4. August 2014 E. 4.2). Auch dem Wunsch des Kindes ist Beachtung zu schenken, selbst wenn es bezüglich der Frage der Betreuungsregelung (noch) nicht urteilsfähig ist. Das Gericht, das den Sachverhalt von Amtes wegen erforscht (<ref-law>), muss im konkreten Fall entscheiden, ob und gegebenenfalls in welcher Hinsicht Hilfe von Sachverständigen erforderlich ist, um die Aussagen des Kindes zu interpretieren, insbesondere um erkennen zu können, ob diese seinem wirklichen Wunsch entsprechen. Während die alternierende Obhut in jedem Fall die Erziehungsfähigkeit beider Eltern voraussetzt, sind die weiteren Beurteilungskriterien oft voneinander abhängig und je nach den konkreten Umständen des Einzelfalls von unterschiedlicher Bedeutung. So spielen das Kriterium der Stabilität und dasjenige der Möglichkeit zur persönlichen Betreuung des Kindes bei Säuglingen und Kleinkindern eine wichtige Rolle. Geht es hingegen um Jugendliche, kommt der Zugehörigkeit zu einem sozialen Umfeld grosse Bedeutung zu. Die Kooperationsfähigkeit der Eltern wiederum verdient besondere Beachtung, wenn das Kind schulpflichtig ist oder die geografische Entfernung zwischen den Wohnorten der Eltern ein Mehr an Organisation erfordert (<ref-ruling> E. 4.3).
3.2.
3.2.1. Das Obergericht verweist zunächst auf die erstinstanzliche Erkenntnis, wonach die Erziehungsfähigkeit beider Eltern gegeben sei; dies sei unbestritten geblieben. Weiter konstatiert es, dass sich die Mutter seit der Geburt des Kindes allein um die Beschwerdegegnerin und ihre Erziehung gekümmert habe. Der Beschwerdeführer sei bis zum Frühling 2020 nur in unregelmässigen Abständen mit der Beschwerdegegnerin in persönlichen Kontakt getreten; berufliche Engagements in der Schweiz und in Deutschland hätten eine regelmässige Betreuung durch den Vater verunmöglicht. Dass erst im Lauf des Verfahrens bzw. seit Sommer 2020 ein regelmässiger Kontakt zwischen Vater und Tochter etabliert werden konnte, fällt laut Vorinstanz negativ ins Gewicht. Da die Beziehung immer noch im Aufbau sei und die Beschwerdegegnerin bis vor kurzem noch nie beim Beschwerdeführer übernachtet habe, fehle es am Element der Weiterführung eines bisher gelebten Betreuungsmodells. Bezüglich der Frage, ob die Eltern willens und in der Lage sind, das Kind selbst zu betreuen, gibt die Vorinstanz zu bedenken, dass die Mutter jeden Freitag ausser Haus eine Weiterbildung absolviere und somit an den Stundenplan der Schule gebunden sei. Der vom Beschwerdeführer beantragte Betreuungsrhythmus bedinge, dass die Beschwerdegegnerin trotz väterlicher Betreuung jeden zweiten Freitag während der Abwesenheit der Mutter drittbetreut werde. Damit sei der hauptbetreuenden Mutter nicht optimal gedient, da eine durch Fremdbetreuung zu schliessende Betreuungslücke verbleibe. Eine nicht auf die beiderseitigen Bedürfnisse abgestimmte Aufteilung der Betreuung schmälert dem angefochtenen Entscheid zufolge den Mehrwert, den die alternierende Obhut mit persönlicher Betreuung durch den Beschwerdeführer bieten könnte. In der Folge kommt das Obergericht auf die Wohnsituation zu sprechen. Es stellt fest, dass die aktuellen Wohnorte der Eltern rund eine Autostunde voneinander entfernt sind; daran ändere sich auch nichts, wenn die Mutter im Frühling 2021 nach U._ (BE) umziehe. Eine zu grosse räumliche Distanz schliesse eine alternierende Obhut zwar nicht von vornherein aus, sei aber dennoch nicht ideal, da sie praktische Hindernisse bei der Bewältigung des Wegs, vermehrten Organisationsaufwand und zusätzliche Kosten mit sich bringe. Das gelte umso mehr, sobald das Kind eingeschult und unter der Woche nicht am Schulort betreut werde. Im konkreten Fall spreche die grosse Distanz zwischen elterlichen Wohnorten "eher gegen die alternierende Obhut"; im Hinblick auf die Einschulung der Beschwerdegegnerin im Sommer 2022 gewinne diese Problematik an Gewicht. Als gewichtiges Argument gegen die alternierende Obhut wertet die Vorinstanz schliesslich den Umstand, dass die Eltern sich nicht zutrauen würden, die Kinderbelange einvernehmlich zu regeln, und auf die Vermittlung durch einen Beistand angewiesen seien. Gerade bei der alternierenden Obhut gebe es viele alltägliche Dinge zu besprechen, bezüglich derer ein Beistand die Eltern höchstens organisatorisch beraten könne. Da die Abstimmung im Alltag selbst gemeistert werden müsse und die Kommunikation nicht immer über eine Drittperson laufen könne, sei zu befürchten, dass sich die "aktuell mangelnde Kommunikation unter den Eltern längerfristig negativ auf das Kindswohl auswirkt".
3.2.2. Im Ergebnis findet das Obergericht, auch wenn der regelmässige Kontakt zwischen Vater und Tochter für die Persönlichkeitsentwicklung des Kindes wichtig sei, sprächen die in der praktischen Umsetzung beachtlichen Faktoren "insgesamt mehr gegen die alternierende Obhut als dafür". Im Vordergrund steht für die Vorinstanz - neben der nicht zu unterschätzenden Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern - vor allem die Tatsache, dass sich die Eltern nicht zutrauen, die Kinderbelange ohne Beistand zu regeln, und das dahinterstehende gegenseitige Misstrauen. Der Antrag auf alternierende Obhut sei deshalb abzuweisen und die Beschwerdegegnerin unter der alleinigen Obhut der Mutter zu belassen. "Angesichts der derzeit gestörten Kommunikation zwischen den Eltern" will die Vorinstanz die Betreuungsregelung nicht den Eltern überlassen und ordnet den väterlichen Betreuungsanteil konkret im Sinne alle vierzehn Tage stattfindender Wochenendbesuche, verbunden mit einer Feiertags- und Ferienregelung (vgl. Sachverhalt Bst. C.b).
3.3. Der Beschwerdeführer will die vorinstanzliche Beurteilung nicht gelten lassen. Er wirft dem Obergericht vor, den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festzustellen und das Recht falsch anzuwenden.
3.3.1. Der Beschwerdeführer räumt ein, dass er und die Kindsmutter bereits seit der Geburt der Beschwerdegegnerin in einem "latenten Paarkonflikt" stecken. Mit ihren Feststellungen über seine unregelmässigen Kontakte zur Beschwerdegegnerin und die überwiegende Betreuung durch die Kindsmutter bis zum Frühling 2020 verkenne die Vorinstanz, dass die Kontakte stets vom aktuellen Stand des Elternkonflikts abhängig gewesen seien. Unter Hinweis auf die Rechtsprechung besteht der Beschwerdeführer darauf, dass der nicht funktionierende Kontakt während der Trennungsphase die Zuteilung der Obhut an den während der Trennungszeit überwiegend oder allein betreuenden Elternteil nicht rechtfertigen könne. Das Obergericht lasse in unvollständiger Sachverhaltsfeststellung ausser Acht, dass aus der Zeit vor der Trennung der Eltern gar keine "bereits gelebte Betreuungsregelung" existiere, an der angeknüpft werden könne. Anstatt auf die Betreuungssituation während der Trennung zurückzugreifen, hätte das Obergericht erkennen müssen, dass eine vor der Trennung gelebte Betreuungsregelung als Beurteilungskriterium entfällt, und anhand der übrigen entscheidrelevanten Faktoren über den Antrag betreffend die alternierende Obhut entscheiden müssen.
Die Befürchtungen des Beschwerdeführers sind unbegründet. Das Obergericht stellt selbst ausdrücklich fest, dass sich seit der Geburt der Beschwerdegegnerin "keine überdauernde Betreuungsregelung im Kernfamilienverband etablieren konnte", weshalb es "an einem valablen Status quo" fehle, an den nach der Trennung angeknüpft werden konnte. Der Vorwurf der unvollständigen Sachverhaltsfeststellung ist unbegründet. Die Vorinstanz kommt weiter zum Schluss, dass die Kontakte zwischen Vater und Tochter je nach Lebenssituation der Eltern unterschiedlich gehandhabt worden seien, was offensichtlich ihrem Willen entsprochen habe. Im Anschluss daran stellt das Obergericht klar, dass die gegenseitigen Vorwürfe der Eltern, wer diese Situation zu verantworten habe, nicht zielführend seien. Gegen diese Erkenntnisse hat der Beschwerdeführer nichts einzuwenden; der zuletzt erwähnten Einschätzung pflichtet er ausdrücklich bei. Warum er trotzdem auf dem "latenten Paarkonflikt" beharrt, den die Vorinstanz als Ursache für das Fehlen einer vor der Trennung gelebten Betreuungsregelung übersehe, mag er nicht erklären. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich darauf pocht, dass die Betreuungssituation nach der Trennung gänzlich ausser Betracht bleiben müsse, laufen seine Beanstandungen ebenfalls ins Leere. Inwiefern das Obergericht seinen Rechtsspruch entscheidtragend darauf stützt, dass die Beschwerdegegnerin in ihren ersten Lebensjahren nach der Trennung der Eltern abgesehen von unregelmässigen Kontakten zum Vater ausschliesslich von der Mutter betreut wurde, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen und ist auch nicht ersichtlich. Wie die vorinstanzlichen Erwägungen zeigen, stehen für das Obergericht vielmehr die in der praktischen Umsetzung einer alternierenden Obhut beachtlichen Faktoren, mithin die künftige Entwicklung, im Vordergrund (s. oben E. 3.2.2).
3.3.2. Der Beschwerdeführer verwahrt sich gegen den Vorhalt, die von ihm beantragte Betreuungsregelung sei nicht hinreichend auf die Situation und die Bedürfnisse der Beschwerdegegnerin bzw. ihrer Mutter abgestimmt. Er anerkennt, aufgrund der gegnerischen Eingabe vom 21. April 2020 im erstinstanzlichen Verfahren erfahren zu haben, dass die Mutter ab 1. Juni 2020 eine 50 %-Stelle auf einem Landwirtschaftsbetrieb sowie die Ausbildung zur Landwirtin antreten wollte. Obwohl gerade die Regelung des Besuchs- und Betreuungsrechts strittig gewesen sei, habe man ihn aber nicht dahingehend informiert, dass eine wöchentlich wiederkehrende Kinderbetreuung der Mutter dienen würde. Das Obergericht verkenne die Prozessgeschichte und stelle folglich den Sachverhalt falsch fest. Die Anordnung der alternierenden Obhut davon abhängig zu machen, dass er die Betreuungszeiten entsprechend dem aktuellen Stundenplan der Mutter beantragte, sei stossend und überspitzt formalistisch und komme einer Rechtsverletzung gleich. Die Vorinstanz hätte die konkreten Betreuungszeiten im Rahmen der Untersuchungs- und Offizialmaxime in Rücksprache mit den Parteien den neuen Bedürfnissen der Beschwerdegegnerin bzw. ihrer Mutter anpassen müssen.
Soweit sich der Beschwerdeführer über eine falsche Sachverhaltsfeststellung und überspitzten Formalismus beklagt, verstrickt er sich in Widersprüche. So beteuert er vor Bundesgericht seine Flexibilität in Bezug auf die Organisation der Kinderbetreuung. Was ihn im erstinstanzlichen Verfahren trotzdem daran hinderte, sich bei der Beschwerdegegnerin nach den allfälligen Auswirkungen der angekündigten beruflichen Veränderungen auf die Betreuungssituation zu erkundigen, mag er nicht erklären. Die Verantwortung für seine Versäumnisse mit den jetzt erhobenen Vorwürfen der Berufungsinstanz zuzuschieben, verträgt sich nicht dem Grundsatz, wonach alle am Verfahren beteiligten Personen nach Treu und Glauben zu handeln haben (<ref-law>). Entsprechend kann auch nicht die Rede davon sein, dass das Obergericht formelle Vorschriften mit übertriebener Schärfe handhabt oder an Rechtsschriften überspannte Anforderungen stellt, wenn es seiner Beurteilung die zuletzt gestellten Anträge des Beschwerdeführers zugrunde legt (s. zum überspitzten Formalismus <ref-ruling> E. 2.1).
Aufhorchen lässt indessen die vorinstanzliche Wertung, wonach die "Betreuungslücke", die der vom Beschwerdeführer offerierte Betreuungsrhythmus hinterlasse, den "Mehrwert schmälere", den eine alternierende Obhut mit persönlicher Betreuung durch den Beschwerdeführer bieten könnte (E. 3.2.1). Nach der Rechtsprechung soll die Möglichkeit persönlicher Betreuung als Beurteilungskriterium im Obhutsstreit grundsätzlich nur ins Spiel kommen, falls eine persönliche Betreuung aufgrund spezifischer Bedürfnisse des Kindes erforderlich erscheint oder ein Elternteil selbst in Randzeiten nicht bzw. kaum zur Verfügung stünde; ansonsten ist von der Gleichwertigkeit von Eigen- und Fremdbetreuung auszugehen (Urteil 5A_629/2019 vom 13. November 2020 E. 4.2 mit Hinweis). Dass im konkreten Fall eine dieser Voraussetzungen gegeben wäre, ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen. Damit spricht der Umstand, dass die Mutter jeweils freitags einer Weiterbildung nachgeht und die Beschwerdegegnerin folglich alle vierzehn Tage auf Fremdbetreuung angewiesen wäre, nicht gegen die Anordnung der vom Beschwerdeführer gewünschten Betreuungsregelung. In diesem Punkt verträgt sich jedenfalls die Begründung des angefochtenen Entscheid nicht mit dem Bundesrecht.
3.3.3. Unter dem Titel der "Willkür in der Rechtsanwendung verbunden mit einer falschen Feststellung des Sachverhalts" beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass die Vorinstanz die Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern zu seinem Nachteil berücksichtige. Die Rechtsprechung, wonach diese Distanz für Eltern schulpflichtiger Kinder zu erhöhtem Koordinierungsbedarf führen könne, bedeute "im Umkehrschluss", dass die Distanz für nicht schulpflichtige Kleinkinder nicht zum entscheidenden Faktor werden darf. Der Beschwerdeführer insistiert, dass die Beschwerdegegnerin nicht wie von der Vorinstanz angenommen im Sommer 2022, sondern erst im Sommer 2023 eingeschult werde. Die Vorinstanz verkenne, dass der Stichtag für die Einschulung im Wohnkanton der Beschwerdegegnerin der 31. Juli ist und in der Regel alle Kinder, die bis zum 31. Juli vierjährig sind, im August in den Kindergarten eintreten. In der Folge trete der vom Obergericht erwähnte distanzbedingte Organisationsaufwand für Fahrten zur Schule, Mittagsbetreuung und ausserschulische Aktivitäten frühestens in zweieinhalb Jahren auf. Alsdann sei aus dem Sachverhalt erstellt, dass sich bei der Beschwerdegegnerin bis zur Einschulung noch mindestens ein Wohnsitzwechsel abzeichne. Die schwergewichtige Berücksichtigung der Wohnorte erscheine im Hinblick auf die Einschulung willkürlich, zumal die Wohnorte beider Parteien bis zum Sommer 2023 nach der allgemeinen Lebenserfahrung durchaus noch ändern könnten.
Angesichts der vorinstanzlichen Erwägungen, wonach die Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern "tendenziell" und "eher" gegen die alternierende Obhut spricht, erscheint von vornherein fraglich, dass das Obergericht dieses Kriterium zu einem entscheidenden Faktor erhebt. Soweit das Obergericht die geographische Situation aber für die Zeit vor dem Schuleintritt der Beschwerdegegnerin als ungünstig bewertet, vermag der angefochtene Entscheid in der Tat nicht zu überzeugen. Denn hinsichtlich der Anzahl Autofahrten unterscheidet sich die vom Beschwerdegegner beantragte Betreuungsregelung nicht vom Besuchsrecht, das die Vorinstanz dem Beschwerdeführer einräumt. Bei richtiger Betrachtung wird die Distanz zwischen den elterlichen Wohnorten erst mit der Einschulung der Beschwerdegegnerin relevant. Was den Vorwurf angeht, dass die Vorinstanz diesbezüglich vom falschen Zeitpunkt ausgehe, ist dem Beschwerdeführer beizupflichten: Nach Art. 5 Abs. 1 der Interkantonalen Vereinbarung über die Harmonisierung der obligatorischen Schule (HarmoS-Konkordat) vom 14. Juni 2007, der auch der Kanton Bern beigetreten ist (BSG 439.60-1) und die das Bundesgericht als interkantonales Recht von Amtes wegen anwendet (Art. 95 Abs. e BGG; s. E. 2.1), werden die Schülerinnen und Schüler mit dem vollendeten 4. Altersjahr eingeschult, wobei der 31. Juli Stichtag ist. Die Beschwerdegegnerin, die dem angefochtenen Entscheid zufolge am xx.August 2018 zur Welt kam, wird also im Jahr 2023 eingeschult. Inwiefern es sich auch mit Blick auf diese spätere Einschulung nicht mit dem Kindeswohl verträgt, schon heute von einer alternierenden Obhut Abstand zu nehmen, ist der Beschwerde freilich nicht zu entnehmen. Der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend, dass die alternierende Obhut im von ihm beantragten Sinn gegebenenfalls bis zum Schuleintritt gewährt werden könnte. Er begnügt sich mit Beteuerungen, seine Rolle als Bezugs- und Betreuungsperson wahrnehmen, seine Freizeit dafür hergeben und den damit verbunden Mehraufwand auf sich nehmen zu wollen. Allein mit diesen auf den Beschwerdeführer fokussierten Überlegungen ist mit Blick auf das Kindeswohl, das an erster Stelle zu berücksichtigen ist (E. 3.1.1), nichts gewonnen. Dasselbe gilt für die vagen Mutmassungen des Beschwerdeführers, denen zufolge es bis zum Sommer 2023 noch zu Wohnortswechseln kommen könnte.
3.3.4. Der Beschwerdeführer rügt weiter eine unrichtige Feststellung des Sachverhalts in Bezug auf die mangelnde Kommunikation der Eltern. Er besteht darauf, dass kein kindeswohlgefährdender Kommunikationsmangel vorliege, der eine Alleinzuteilung der Obhut an die Mutter rechtfertigen würde. Noch im erstinstanzlichen Urteil sei festgehalten worden, dass die Eltern bisher in der Lage gewesen seien, bei wichtigen Angelegenheiten betreffend die gemeinsame Tochter miteinander zu kommunizieren, und mit E-Mail vom 24. August 2020 habe die Beiständin ausgeführt, dass beide grundsätzlich gewillt seien, Schritte auf den jeweils anderen Elternteil zuzugehen. Ergänzend reicht der Beschwerdeführer eine Berichterstattung der Begleitperson für die Übergaben der Beschwerdegegnerin vom 21. September bis 14. Dezember 2020 ein, woraus hervorgehe, dass ein Austausch unter den Eltern möglich sei. Der von der Vorinstanz angenommene Sachverhalt ergebe sich damit weder aus den Akten noch entspreche er den Tatsachen. Das Obergericht begründe mit keinem Wort, woraus auf die angeblich mangelhafte Kommunikation betreffend die Kinderbelange geschlossen werde. Würde alleine aufgrund des vom Obergericht erwähnten Umstands, dass auf beidseitigen Antrag eine Beistandschaft errichtet wurde, die Kooperations- und Kommunikationsfähigkeit verneint, so käme eine alternierende Obhut jeweils nur in Frage, wenn die Errichtung einer Beistandschaft ausgeschlossen bleibt.
Tatsächlich erweckt der angefochtene Entscheid auch in diesem Punkt Bedenken. Dies gilt insbesondere für die vorinstanzliche Überlegung, wonach die Kommunikation zwischen den Eltern bei einer alternierenden Obhut "nicht immer über eine Drittperson laufen" könne. Wie der Beschwerdeführer zutreffend bemerkt, steht diese Auffassung im Widerspruch zur Rechtsprechung. Allein die Tatsache, dass die Eltern zur gemeinsamen Entscheidfindung über die Kinderbelange auf die Vermittlung einer Drittperson angewiesen sind, steht einer alternierenden Obhut nicht entgegen (Urteil 5A_629/2019 vom 13. November 2020 E. 4.2). Ebenso erscheint fraglich, ob es "gerade" bei der alternierenden Obhut "viele alltägliche Dinge zu besprechen" gibt, wie das Obergericht unterstellt. Im Rahmen der faktischen Obhut hat jeder Elternteil die autonome Befugnis zur täglichen Betreuung des Kindes und zur Ausübung der Rechte und Pflichten im Zusammenhang mit seiner Pflege und laufenden Erziehung (<ref-ruling> E. 4.1). Nichts anderes ergibt sich aus dem Gesetz. Nach <ref-law> kann der Elternteil, der das Kind betreut, in alltäglichen oder dringlichen Angelegenheiten allein entscheiden. Entgegen der Meinung der Vorinstanz setzt die Regelung alltäglicher Belange - abgesehen von rein organisatorischen Fragen wie namentlich den Übergaben des Kindes - also gerade nicht voraus, dass die Eltern sich untereinander absprechen können. Entsprechend kann auch der vorinstanzlichen Erwägung nicht ohne Weiteres gefolgt werden, wonach die Eltern die Abstimmung im Alltag trotz Beistandschaft selbst meistern müssen, sich jedoch nicht zutrauen, die Kinderbelange einvernehmlich ohne Beistand zu regeln. Das Obergericht berücksichtigt Gesichtspunkte, die keine Rolle hätten spielen dürfen.
3.4. Nach alledem steht fest, dass die Vorinstanz das ihr zustehende Ermessen in verschiedener Hinsicht bundesrechtswidrig ausübt, indem sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abweicht und ihrer Beurteilung Gesichtspunkte zugrunde legt, die keine Rolle hätten spielen dürfen (E. 2.2). Zu prüfen bleibt, ob der angefochtene Entscheid deswegen aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen ist. Wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen, ist dies nicht der Fall.
Unbestrittenermassen haben die Eltern seit der Geburt der Beschwerdegegnerin nie zusammengelebt. Die Erziehungs- und Betreuungsverantwortung für die Beschwerdegegnerin lag seit deren Geburt ausschliesslich bei der Mutter. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer ab und zu in Absprache mit der Mutter kurzfristige Betreuungsaufgaben übernahm. Bis zum Frühling 2020 trat der Beschwerdeführer nur unregelmässig mit seiner Tochter in Kontakt. Erst im Rahmen des Unterhaltsprozesses stellte die Beschwerdegegnerin (und nicht der Beschwerdeführer) vor erster Instanz anlässlich der Hauptverhandlung einen Antrag auf schrittweisen Aufbau eines Besuchsrechts. Anders als im Urteil 5A_367/2020 vom 19. Oktober 2020, auf das sich der Beschwerdeführer beruft, existierte im vorliegenden Fall gar nie eine vor der Trennung der Parteien gelebte Betreuungssituation, auf die hätte abgestützt werden können. Entgegen der Meinung des Beschwerdeführers folgt daraus nicht, dass das Kriterium der bisherigen Betreuungssituation gänzlich entfällt und über die Obhutsfrage allein anhand der übrigen Kriterien zu entscheiden ist, wenn in der Zeit vor der Trennung gar keine Regelung der (hier väterlichen) Betreuung bestand. Die bisher gelebte Betreuung des Kindes ist in jedem Fall ein zentrales Entscheidungskriterium für die Zuteilung der Obhut. War der Betreuungsanteil des Beschwerdeführers vor der Hängigkeit des vorliegenden Verfahrens nicht geregelt, fanden auch keine regelmässigen Besuche statt und ist die Beziehung zwischen Vater und Tochter immer noch im Aufbau, so entspricht es mit Blick auf das Kriterium der Stabilität auch dem Kindeswohl, der heute dreijährigen Beschwerdegegnerin keinen vollständig neuen Lebensrhythmus zuzumuten. Im Ergebnis hält der Entscheid des Obergerichts, das Begehren des Beschwerdeführers auf Anordnung der alternierenden Obhut abzuweisen, deshalb vor Bundesrecht stand. Für den nun eingetretenen Fall, dass er mit seinem Begehren auf Anordnung der alternierende Obhut scheitert, hat der Beschwerdeführer gegen die vorinstanzliche Regelung des väterlichen Besuchs- und Ferienrechts nichts Konkretes einzuwenden.
4.
Anlass zur Beschwerde gibt alsdann die Festsetzung des Unterhalts für die Beschwerdegegnerin. Der Beschwerdeführer beantragt, den Kinderunterhalt auf Fr. 300.-- pro Monat zu bestimmen.
4.1. Gemäss <ref-law> soll der Unterhaltsbeitrag den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebensstellung und Leistungsfähigkeit der Eltern entsprechen. Der Unterhaltsbeitrag dient auch der Gewährleistung der Betreuung des Kindes durch die Eltern oder Dritte (<ref-law>). Über die Schranke der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit des unterhaltspflichtigen Elternteils kann sich das Gericht bei der Bemessung des Kindesunterhalts grundsätzlich nicht hinwegsetzen. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts ist dem Rentenschuldner mit Bezug auf alle familienrechtlichen Unterhaltskategorien zumindest das (für ihn allein massgebliche) betreibungsrechtliche Existenzminimum stets voll zu belassen (<ref-ruling> E. 4.2.1 mit Hinweisen).
4.2. Die Vorinstanz errechnet beim Beschwerdeführer einen monatlichen Bedarf von Fr. 2'296.-- (Grundbetrag Fr. 1'000.--, Miete inkl. Nebenkosten Fr. 700.--, obligatorische Krankenkassenprämie Fr. 379.--, Telecom/Mobiliarversicherung Fr. 100.--, Quellensteuer Fr. 117.--). Sie begründet den reduzierten Grundbetrag im Einklang mit der ersten Instanz damit, dass sich der Beschwerdeführer auf dem Bauernhof, wo er lebt und arbeitet, vergünstigt verpflegen könne. Bei den Wohnkosten weist sie darauf hin, dass sich der Beschwerdeführer um eine kleinere und günstigere Wohnung hätte bemühen können und dies angesichts seiner Unterhaltsverpflichtung auch hätte tun müssen.
4.3. Der Beschwerdeführer beanstandet, die Vorinstanz belasse ihm sein betreibungsrechtliches Existenzminimum nicht bzw. mute ihm eine Reduktion seines Bedarfs zugunsten der Deckung des Bedarfs seiner Tochter zu. Dieses Vorgehen verstosse gegen die konstante Rechtsprechung des Bundesgerichts und sei deshalb mangels sachlich haltbarer Gründe willkürlich. Der Beschwerdeführer macht einen Bedarf von Fr. 2'935.-- geltend (Grundbetrag Fr. 1'200.--, 35% Grundbetrag Kind Fr. 140.--, Miete inkl. Nebenkosten Fr. 1'000.--, obligatorische Krankenkassenprämie Fr. 378.--, Telecom/Mobiliarversicherung Fr. 100.--, Steuern Fr. 117.--). Er unterlässt es jedoch, sich mit den Erwägungen der Vorinstanz betreffend Grundbetrag und Miete auseinanderzusetzen und übt einzig appellatorische Kritik. Die Fr. 140.-- für den anteilsmässigen Grundbedarf des Kindes begründet er nicht weiter. Soweit dieser Betrag auf der Annahme beruht, dass er seine Tochter im Sinne einer alternierenden Obhut zu rund 35 % betreut, ist dieser Forderung nach dem Gesagten (E. 3.4) der Boden entzogen. Die dem Bundesgericht mit Schreiben vom 14. Juni 2021 eingereichten Unterlagen betreffend den Pfändungsvollzug der Zivilrechtsverwaltung Betreibungsamt Liestal vom 1. Juni 2021 sind als echte Noven im bundesgerichtlichen Verfahren von vornherein unbeachtlich (<ref-law>; s. <ref-ruling> E. 3.1.2 mit Hinweis). Damit hat es bezüglich des monatlichen Bedarfs mit dem angefochtenen Entscheid sein Bewenden.
4.4. Das Einkommen des Beschwerdeführers ist mit Fr. 2'939.-- pro Monat unbestritten geblieben, weshalb es bei den von der Vorinstanz festgelegten Kinderunterhaltsbeiträgen bleibt.
5.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde also als unbegründet. Sie ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann entsprochen werden. Die gesetzlichen Voraussetzungen sind erfüllt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Adrian Keller als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Adrian Keller wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn