Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 2008) ist die Tochter von A._ (Beschwerdeführerin). Sie steht unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter; der Vater ist verstorben.
A.b. Infolge einer Gefährdungsmeldung der Schule U._ vom 20. September 2019, wonach B._ dem Unterricht fernbleibe und die Kooperation mit A._ fast unmöglich geworden sei (vgl. in diesem Zusammenhang auch das Urteil 2C_57/2021 vom 3. Februar 2021), eröffnete die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Hochdorf (KESB) ein Verfahren zur Prüfung von Kindesschutzmassnahmen.
Am 14. Juli 2020 errichtete die KESB über B._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB und bestellte als Beistand C._, Zentrum für Soziales (Zenso). Am 10. September 2020 setzte sie ausserdem Rechtsanwältin D._ als Kindesvertreterin in dem inzwischen eröffneten Verfahren betreffend Anpassung der Kindesschutzmassnahmen ein. Gegen diese Anordnungen wehrte sich A._ vergeblich (vgl. Urteil 5A_30/2021 vom 13. Januar 2021).
Mit Entscheid vom 19. Oktober 2020 entzog die KESB A._ superprovisorisch das Aufenthaltsbestimmungsrecht über B._ und platzierte diese verdeckt in einer Institution. Ausserdem passte sie die Aufgaben des Beistands an und schränkte die elterliche Sorge von A._ bezüglich schulischer Belange ein.
Am 9. November 2020 bestätigte die KESB soweit hier interessierend sämtliche Massnahmen vorsorglich und regelte das Besuchsrecht der Mutter. Die Anträge von A._ und der Kindesvertreterin auf (befristete) Rückplatzierung wies die KESB ab. Ausserdem entzog sie einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B.
Gegen diesen Entscheid erhoben sowohl A._ (im eigenen Namen sowie im Namen von B._) als auch die Kindesvertreterin sowie E._, die Halbschwester von B._, Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Mit Urteil vom 16. Februar 2021 (eröffnet am 23. Februar 2021) wies das Kantonsgericht die von A._ in eigenem Namen und die von der Kindesvertreterin erhobenen Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat. Auf die restlichen Beschwerden trat es nicht ein. Ausserdem regelte das Kantonsgericht das Besuchsrecht von A._ und E._ während der laufenden Fremdplatzierung von B._.
C.
A._ gelangt mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. März 2021 ans Bundesgericht und stellt unter Kostenfolgen die folgenden Anträge:
"1. Es sei die vorsorgliche Massnahme gemäss Entscheid vom 9. November 2020 aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass die richterliche Beweiswürdigung den Grundsatz nach Treu und Glauben verletzt und damit willkürlich erfolgt ist.
3. Es sei festzustellen, dass die Inobhutnahme rechtsmissbräuchlich erfolgt [ist] und die Massnahmen Bundes- und Völkerrecht verletzen."
Ausserdem ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
Mit Verfügung vom 26. März 2021 weist das Bundesgericht ein allfälliges Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde für das bundesgerichtliche Verfahren mangels Begründung ab.
Die KESB hat mit Entscheid vom 6. Mai 2021 endgültig über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts von A._ entschieden. Den definitiven Entscheid über die Beschränkung der elterlichen Sorge in schulischen Belangen hat die KESB in ein separates Verfahren verwiesen.
Am 28. September, am 18. und am 22. Oktober 2021 lässt A._ dem Bundesgericht verschiedene von ihr an zahlreiche Personen und Behörden gerichtete elektronische Schreiben zukommen.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (vgl. Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1 [einleitend]).
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin beantragt vor Bundesgericht die Aufhebung der Massnahme gemäss dem Entschied der KESB vom 9. November 2020. Beschwerde in Zivilsachen kann zwar allein gegen Urteile oberer kantonaler Gerichte erhoben werden, die letztinstanzlich auf Rechtsmittel hin entscheiden (Art. 75 BGG; <ref-ruling> E. 4.1). Mit Blick auf die Begründung der Beschwerde, die zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 6.2), wird jedoch deutlich, dass die Beschwerdeführerin mit ihrem Antrag nicht die Aufhebung des Entscheids der KESB anstrebt, sondern der von dieser verfügten (vorsorglichen) Massnahmen. Die Beschwerde ist daher als gegen das Urteil des Kantonsgerichts vom 16. Februar 2021 gerichtet entgegen zu nehmen. Dies entbindet die Beschwerdeführerin freilich nicht von der hinreichenden Begründung der Beschwerde (vgl. hinten E. 4.1). Auf das Rechtsmittel ist daher von vornherein nicht einzutreten, soweit die Beschwerdeführerin sich in der Beschwerdeschrift nicht mit dem Entscheid der Kantonsgerichts, sondern mit Anordnungen der KESB auseinandersetzt (vgl. auch Urteil 5A_963/2014 vom 9. November 2015 E. 2, nicht publiziert in: <ref-ruling>).
2.2. Nicht Gegenstand des angefochtenen Entscheids und damit auch nicht des vorliegenden Verfahrens sind die bereits früher verfügte Beistandschaft über die Tochter, die Ernennung des Beistands, die Einsetzung der Kindesanwältin, die Amtsführung dieser Personen sowie des früheren Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin und die verschiedenen von der KESB am 19. Oktober 2020 getroffenen und nunmehr ersetzten superprovisorischen Anordnungen (vgl. vorne Bst. A.b; <ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 5 [einleitend]). Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit sie sich auf diese Bereiche bezieht.
3.
3.1. Fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) angefochten ist der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin (Art. 75 BGG) vorsorglich über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts, die Unterbringung eines Kindes sowie die Einschränkung der elterlichen Sorge und damit der Beschwerde in Zivilsachen unterliegende Angelegenheiten ohne Streitwert entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG; vgl. Urteil 5A_914/2018 vom 18. Dezember 2019 E. 1.1). Dabei handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG (Urteile 5A_833/2020 vom 12. Oktober 2020 E. 1; 5A_624/2020 und 5A_625/2020 vom 25. Februar 2021 E. 2; 5A_379/2017 vom 5. Dezember 2017 E. 1.2). Da die Alternative von Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG vorliegend nicht in Betracht kommt, ist dieser nur anfechtbar, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG). Die Beschwerdeführerin äussert sich nur ansatzweise zu dieser Problematik (vgl. hinten E. 4.2). Wie es sich damit im Einzelnen verhält, braucht mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens indes nicht geklärt zu werden. Unter diesem Vorbehalt erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen als das zutreffende Rechtsmittel. Die Beschwerdeführerin ist vorbehältlich des nachfolgend Ausgeführten auch zu deren Einreichung berechtigt (Art. 76 Abs. 1 BGG).
3.2. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sind vorsorgliche Massnahmen im Sinne von Art. 314 Abs. 1 i.V.m. Art. 445 Abs. 1 ZGB (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2.1). Derartige Massnahmen fallen spätestens mit Eintritt der formellen Rechtskraft des Endentscheids von Gesetzes wegen dahin (Urteil 5A_531/2017 vom 16. Oktober 2017 E. 5.2; Maranta/Auer/Marti, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 6. Aufl. 2018 N. 20 zu Art. 445 ZGB). Die KESB hat am 6. Mai 2021 endgültig über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts über B._ entschieden (vorne Bst. C). Die Beschwerdeführerin hat diesen Entscheid angefochten, weshalb nicht ersichtlich ist, dass er bereits in Rechtskraft erwachsen wäre (vgl. Art. 450c und 450f ZGB i.V.m. § 3 des Einführungsgesetzes des Kantons Luzern vom 20. November 2000 zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch [EG ZGB/LU; SRL 200] und §§ 131 Abs. 1, 148 Abs. 1 Bst. a und 206 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Luzern vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG/LU; SRL 40]). Damit besteht nach wie vor ein aktuelles Interesse an der Behandlung der gesamten Beschwerde (Art. 76 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1).
3.3. Die Beschwerdeführerin ersucht um Feststellung verschiedener Rechtsverletzungen durch die Vorinstanz (vgl. vorne Bst. C). Feststellungsbegehren sind im bundesgerichtlichen Verfahren nur zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht und dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungs- oder Gestaltungsbegehren gewahrt werden kann (Art. 76 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.1). Das Feststellungsinteresse ist von der beschwerdeführenden Partei zu begründen und nachzuweisen (Art. 42 Abs. 2 BGG; Urteil 5A_563/2020 vom 29. April 2021 E. 1.3). Die Beschwerdeführerin äussert sich nicht dazu, weshalb sie bei Zutreffen ihrer Vorbringen neben der Aufhebung des angefochtenen Urteils bzw. der betroffenen vorsorglichen Massnahmen noch ein Interesse an den beantragten Feststellungen haben sollte. Solches ist auch nicht offensichtlich. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
3.4. Nicht einzugehen ist auf die verschiedenen elektronischen Eingaben der Beschwerdeführerin (vgl. vorne Bst. C) : Diese sind mit gewöhnlicher E-Mail und ohne anerkannte elektronische Signatur eingereicht worden und damit von vornherein ungültig (Art. 42 Abs. 1 und 4 BGG; statt vieler: Urteile 5A_639/2021 vom 13. August 2021 E. 2; 5D_80/2021 vom 16. Juni 2021 E. 3). Ohnehin wäre weder eine Ergänzung der Beschwerde nach Ablauf der Beschwerdefirst zulässig (Art. 100 Abs. 1 und 44 ff. BGG; Urteile 5A_306/2021 vom 20. Oktober 2021 E. 1.1; 5A_97/2020 vom 27. Februar 2020 E. 2), noch könnten im Verfahren vor Bundesgericht echte Noven vorgetragen werden (Art. 99 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2).
4.
4.1. Umstritten sind vorsorgliche Kindesschutzmassnahmen (vgl. vorne E. 3.1 und 3.2). Mit der Beschwerde gegen vorsorgliche Massnahmen kann nach Art. 98 BGG nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (vgl. Urteil 5A_620/2021 vom 5. August 2021 E. 2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte muss gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde vorgebracht und begründet werden. Die rechtsuchende Partei muss dabei präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3).
Soweit die Beschwerdeführerin die Befragung verschiedener Zeuginnen und Zeugen beantragt, missachtet sie, dass das Bundesgericht grundsätzlich keine Beweis abnimmt (Art. 105 Abs. 2 BGG; Urteile 5A_345/2020 und 5A_357/2020 vom 30. April 2021 E. 2.3; 5A_849/2018 vom 15. Januar 2019 E. 1.4). Ihre Anträge werden daher abgewiesen.
4.2. Im Umfang, in dem die Beschwerde sich erkennbar auf den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bezieht (vgl. vorne E. 2), genügt sie den dargelegten Begründungsanforderungen nicht: Zwar macht die Beschwerdeführerin die Verletzung verschiedener verfassungsmässiger Rechte geltend (namentlich des Anspruchs auf rechtliches Gehör und auf ein faires Verfahren sowie des Willkürverbots). Sie beschränkt sich aber darauf, ihre Sicht der Sach- und Rechtslage darzulegen und dem Kantonsgericht die Verletzung der genannten Rechte vorzuwerfen. Eine zielführende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid und eine präzise Darlegung der angeblichen (Verfassungs-) Verletzungen findet sich nicht. So führt die Beschwerdeführerin beispielsweise aus:
"Entgegen den Behauptungen der Vorinstanz und der gerichtlichen Sachverhaltsermittlungen trifft es nicht zu, dass sich die Beschwerdeführerin während dem Abklärungsverfahren mit den Schulbehörden unkooperativ verhalten habe. Vielmehr ist anzunehmen, dass die Verweigerung einer anfechtbaren Verfügung letztendlich das Ziel verfolgte, B._ ausserkantonal zu platzieren, um die Kosten der mildesten zweckmässigen Massnahme im Sinne einer integrativen Förderung zu umgehen."
"Nach dem Gesagten kann festgestellt werden, dass der entscheidrelevante Sachverhalt im Zeitpunkt des Beschwerdeentscheids nicht [mit] der Sachverhaltsdarstellung gemäss Urteil vom 16. Februar 2021 übereinstimmt und das Kantonsgericht bei dieser komplexen Sachlage in willkürlicher Ausübung des Ermessens auf die Anhörung der Beschwerdeführerin verzichtet hat, wodurch dem betroffenen Kind B._ ein nicht wiedergutzumachender Nachteil entstehen kann. Entgegen den Behauptungen der Vorinstanz trifft es in keiner Weise zu, dass B._ nicht fähig ist, eigene Gefühle oder eigene Ge danken zum in den letzten Jahren Geschehenen (Gründe für den häufigen Schul- und Wohnortswechsel, Schule U._) zu äussern, sondern einzig aus deren Perspektive die Postulate der Beschwerdeführerin wiederholt[. Das] konnte auch anlässlich der richterlichen Anhörung vom 21. Dezember 2020 in eindrücklicher[Weise] wahrgenommen werden [...]. Tatsache ist jedoch, dass die richterliche Anhörung von 21. Dezember 2020 nicht in Anwesenheit einer kinderpsychologisch ausgebildeten Sachverständigen durchgeführt wurde und damit die Anforderungen an eine gerichtliche Anhörung gemäss der UNO-Kinderrechtskonvention nicht erfüllt sind."
Der Beschwerdeführerin hilft auch das seitenlange Zitieren von Passagen aus bei den Akten liegenden Schreiben nicht weiter. Damit ist auf die Beschwerde auch insoweit nicht einzutreten.
5.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde insgesamt nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdeführerin aufzuerlegen. Kosten für die Kindesvertretung sind mangels Einholens einer Vernehmlassung indes keine angefallen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigung ist keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos beurteilt werden muss (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Hochdorf, B._ und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber