Sachverhalt:
A.
A._ bezieht seit einiger Zeit von den Sozialen Diensten (SOD), einer Dienstabteilung des Sozialdepartements der Stadt Zürich, wirtschaftliche Hilfe. Vom 2. bis zum 27. März 2015 besuchte er die sog. Basisbeschäftigung, die während vier Wochen die Abklärung der Fähigkeiten, Eignungen, Chancen und Einsatzmöglichkeiten auf dem Arbeitsmarkt bezweckt und von den Sozialen Einrichtungen und Betrieben (SEB), einer weiteren Dienstabteilung des Sozialdepartements der Stadt Zürich, durchgeführt wird. Diese erstellten nach Beendigung der Basisbeschäftigung für A._ eine Integrationsempfehlung, die dem zuweisenden Sozialzentrum zugestellt wurde. Mit Eingabe vom 9. Januar 2017 ersuchte A._ den Stadtrat Zürich unter anderem, die Integrationsempfehlung zu vernichten, dessen Bekanntgabe zu sperren und einen Bericht über dessen Löschung zu erstellen. Am 30. März 2017 wies der Direktor der Sozialen Dienste das Gesuch ab.
Dagegen führte A._ Einsprache beim Stadtrat Zürich und beantragte im Wesentlichen die Vernichtung der Seiten 1 und 3-6 der Integrationsempfehlung vom 26. März 2015 sowie die Sperrung der Bekanntgabe des Inhalts. Am 4. Oktober 2017 wies der Stadtrat die Einsprache ab. Mit Beschluss vom 5. Juli 2018 hiess der Bezirksrat Zürich einen dagegen erhobenen Rekurs teilweise gut und sprach die Streichung von zwei Textpassagen aus, wies den Rekurs im Übrigen aber zur Hauptsache ab.
B.
Mit Urteil VB.2018.00488 vom 25. April 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich eine dagegen von A._ eingereichte Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Im Übrigen ergingen im Zusammenhang mit der Integrationsempfehlung noch zwei weitere Urteile des Verwaltungsgerichts.
C.
Gegen das Urteil VB.2018.00488 des Verwaltungsgerichts erhob A._ am 26. August 2019 Beschwerde beim Bundesgericht mit folgenden Rechtsbegehren in der Sache:
"1. Die sog. Integrationsempfehlung sei zu vernichten.
2. Es sei ein Bericht über die Löschung an Dritte zu erstellen."
Das Sozialdepartement der Stadt Zürich und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
A._ äusserte sich am 21. Oktober 2019 nochmals zur Sache.
D.
Mit Urteil 8C_544/2019 vom 16. Januar 2020 trat das Bundesgericht auf eine weitere Beschwerde von A._ gegen ein weiteres Urteil VB.2018.00483 des Verwaltungsgerichts vom 25. April 2019 nicht ein.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid im Zusammenhang mit der Anwendung des kantonalen Datenschutz- und Sozialhilferechts. Dabei handelt es sich um öffentlich-rechtliche Materien. Grundsätzlich steht daher die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (vgl. <ref-law>).
1.1. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als Beschwerdeführer vor dem Verwaltungsgericht sowie als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids zur Beschwerde ans Bundesgericht legitimiert (vgl. <ref-law>).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere, von hier nicht interessierenden weiteren Möglichkeiten abgesehen, die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts gerügt werden (<ref-law>). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann im Wesentlichen geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Bundesrecht bzw. gegen die verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze. Das Bundesgericht prüft kantonales Recht somit nur auf Bundesrechtsverletzung, namentlich Willkür, hin (<ref-ruling> E. 2 S. 149 f.).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.4. Streitgegenstand vor Bundesgericht kann nur sein, was bereits vor den unteren Instanzen strittig war. Das Streitobjekt kann sich im Rechtsmittelweg nach oben nur verengen, nicht aber vergrössern. Da der Beschwerdeführer beim Stadtrat Zürich nur die Vernichtung der Seiten 1 und 3-6 der Integrationsempfehlung beantragt hatte, kann er nunmehr nicht mehr deren integrale Vernichtung geltend machen. Insoweit ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
2.
Das Sozialdepartement stellt in seiner Vernehmlassung an das Bundesgericht in Frage, ob der Beschwerdeführer die 30-tägige Frist für die Beschwerdeeingabe nach <ref-law> gewahrt hat, überlässt die Prüfung der Frage aber ohne weitere Ausführungen dem Bundesgericht. Der Beschwerdeführer gibt dazu an, dass der angefochtene Entscheid am 24. Juni 2019 bei ihm eingegangen sei. Unter Berücksichtigung des Fristenstillstands vom 15. Juli bis und mit dem 15. August gemäss <ref-law> habe er die gesetzliche Beschwerdefrist mit der Postaufgabe vom 26. August 2019 genau eingehalten. Diese Berechnung ist an sich richtig. Der Beschwerdeführer belegt allerdings nicht, dass der verwaltungsgerichtliche Entscheid tatsächlich am 24. Juni 2019 bei ihm eingegangen ist, und dies ergibt sich auch nicht aus den dem Bundesgericht vorliegenden Akten. Wie es sich damit verhält, kann jedoch offenbleiben, da sich die Beschwerde ohnehin als erfolglos erweist.
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt sind. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
3.2. Die vorliegende Beschwerdeschrift ist in weiten Teilen appellatorischer Natur. In der Sache beruft sich der Beschwerdeführer hauptsächlich auf kantonales Recht. Er legt insofern jedoch nicht dar, weshalb das Verwaltungsgericht das kantonale Datenschutz- und Sozialhilferecht nicht nur falsch, sondern in unhaltbarer Weise bzw. willkürlich angewendet haben sollte. Knapp ausreichend gerügt sind die angebliche Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör sowie der Anforderungen an eine rechtsgenügliche Delegationsnorm im Sozialhilferecht. Es kann daher nur im nachfolgenden Umfang auf die Beschwerde eingetreten werden. Im Übrigen erweist sie sich als unzulässig.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt in verschiedenem Zusammenhang eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law>. Zum rechtlichen Gehör gehört insbesondere das Recht der Betroffenen, sich vor Erlass eines solchen Entscheides zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 102; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293; je mit Hinweisen). Dem Gehörsanspruch entspricht die Pflicht der Behörden, die Vorbringen tatsächlich zu hören, ernsthaft zu prüfen und in ihrer Entscheidfindung angemessen zu berücksichtigen. Sodann muss die Begründung so abgefasst sein, dass die betroffene Person den Entscheid sachgerecht anfechten kann. Die Vorinstanz muss sich jedoch in ihrer Begründung nicht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzen und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegen (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen).
4.2. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, das Verwaltungsgericht habe sich nicht mit seiner Darstellung in Ziff. 1.1 seiner damaligen Beschwerdeschrift vom 15. August 2018 an das Verwaltungsgericht zur Zuständigkeit der Sozialen Dienste (SOB) und der Übertragung der Kompetenzen an die Sozialen Einrichtungen und Betriebe (SEB) befasst. Streitgegenstand vor der Vorinstanz bildete die datenschutzrechtliche Frage der Vernichtung der Integrationsempfehlung wegen angeblicher Unrichtigkeit von deren Inhalt. Der Beschwerdeführer begründete seinen Antrag damals damit, der strittigen Integrationsempfehlung fehle es an einer Rechtsgrundlage. Seine Beschreibung der Zuständigkeitsordnung enthielt jedoch keine Rüge, diese sei verletzt, weshalb sich das Verwaltungsgericht auch nicht näher damit auseinander setzen musste.
4.3. Der Beschwerdeführer sieht sodann darin eine Gehörsverweigerung, dass persönliche Hilfe nach § 12 des Sozialhilfegesetzes des Kantons Zürich vom 14. Juni 1981 (SHG; LS 851.1) nur in seinem Einvernehmen an die Sozialen Einrichtungen und Betriebe (SEB) übertragen werden dürfe. Dem habe er nie zugestimmt. Die kantonalen Behörden gehen davon aus, aus § 11 SHG in Verbindung mit §§ 10 ff. der Verordnung zum kantonalen Sozialhilfegesetz des Kantons Zürich vom 21. Oktober 1981 (SHV; LS 851.11) ergebe sich, dass das Absolvieren einer Basisbeschäftigung unter Einschluss einer Integrationsempfehlung nicht zur persönlichen Hilfe gehöre; für eine solche werde im Unterschied zu einer Basisbeschäftigung eine persönliche Notlage vorausgesetzt. Dass diese Gesetzesauslegung bundesrechtswidrig bzw. insbesondere willkürlich wäre, tut der Beschwerdeführer nicht dar. Inwiefern darin eine Gehörsverletzung liegen sollte, ist nicht ersichtlich.
4.4. Weiter beanstandet der Beschwerdeführer, das Verwaltungsgericht habe verschiedene angebotene Beweismittel wie Audiodateien auf einer CD nicht abgenommen. In einer Präsidialverfügung des Bezirksrats Zürich vom 20. November 2017 hatte der Beschwerdeführer Gelegenheit erhalten, den Inhalt der anscheinend unleserlichen CD in anderer Form in die verschiedenen Parallelverfahren im Zusammenhang mit der Integrationsempfehlung einzubringen. In der Folge hielt das Verwaltungsgericht fest, es könne in antizipierter Beweiswürdigung von der Abnahme der Audiodateien absehen. Diese Erwägung findet sich zwar nicht im hier angefochtenen Entscheid, sondern ausführlich in E. 4 im parallelen, am gleichen Tag (25. April 2019) ergangenen Urteil des Verwaltungsgerichts VB.2018.00483, womit der Beschwerdeführer über dessen Beweggründe im Bilde war. Auch insofern liegt daher keine Gehörsverweigerung vor.
4.5. Schliesslich macht der Beschwerdeführer geltend, die Aktenführung sei intransparent. Die aktenkundigen Unterlagen zur Basisbeschäftigung stünden in keinem Zusammenhang zur Integrationsempfehlung. Inwiefern dies zutreffen sollte, führt der Beschwerdeführer jedoch nicht aus und ist weder ersichtlich noch nachvollziehbar.
4.6. Demnach verstiess das Verwaltungsgericht nicht gegen den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör nach <ref-law>.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Rechts auf informationelle Selbstbestimmung nach <ref-law> sowie der Garantie seines Privatlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK. Der angefochtene Entscheid als Eingriff in diese Grundrechte beruhe auf einer ungenügenden gesetzlichen Grundlage. Die §§ 3a-3c SHG enthielten angesichts der Schwere des Eingriffs keine ausreichend bestimmten Regelungen; überdies mangle es an einer rechtsgenüglichen Delegation der einschlägigen Aufgaben an die Sozialen Dienste (SOD).
5.2. Der Beschwerdeführer hatte die angebliche Unrechtmässigkeit der Zuständigkeitsordnung vor dem Verwaltungsgericht nicht gerügt, weshalb sich dieses nicht damit befassen musste, was nicht zu beanstanden ist (vgl. vorne E. 4.2). Damit bildete diese Thematik nicht Streitgegenstand vor der Vorinstanz. Da sich der Streitgegenstand auf dem Rechtsmittelweg nach oben nicht erweitern kann (vgl. vorne E. 1.4), ist auf die Frage der Zuständigkeitsordnung nicht einzugehen.
5.3. Nach §§ 3a und 3b SHG ermöglichen die Gemeinden den Hilfesuchenden die Teilnahme an geeigneten Beschäftigungsmassnahmen und können von Hilfeempfängern Gegenleistungen zur Sozialhilfe verlangen, die nach Möglichkeit ihrer Integration in die Gesellschaft dienen. Um diese Eingliederung und die finanzielle Unabhängigkeit der Hilfeempfänger zu fördern, sieht § 3c SHG eine institutionelle Zusammenarbeit der Sozialhilfeorgane mit anderen Leistungserbringern vor, worunter auch private Organisationen; nach Möglichkeit harmonisieren die Leistungserbringer ihre Angebote und stellen sich diese gegenseitig zur Verfügung. § 47d SHG enthält zu diesem Zweck die Ermächtigung der Sozialhilfeorgane, mit den im konkreten Einzelfall beteiligten Stellen namentlich Informationen über die persönliche, familiäre, berufliche, gesundheitliche und finanzielle Situation der betroffenen Personen auszutauschen, soweit dies für die Förderung von deren Eingliederung geeignet und erforderlich ist. Auf Ersuchen hin können gemäss § 48 SHG weitere Auskünfte erteilt werden. Ergänzungen finden sich in der kantonalen Sozialhilfeverordnung sowie im Gemeinderecht der Stadt Zürich.
5.4. Die Bearbeitung der Daten des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der Basisbeschäftigung, namentlich die Erstellung der Integrationsempfehlung und deren Weiterleitung an weitere beteiligte Stellen, durch die Sozialbehörden der Stadt Zürich ist im Gesetz angelegt. Für die Aufgabenerfüllung im Bereich der Sozialhilfe sind bestimmte persönliche Daten zentral und unerlässlich. Das Sozialhilferecht ist aufgrund seines dynamischen, im Einzelnen schwer fassbaren Regelungsgegenstandes tendenziell offen formuliert. Mit Blick auf die individuelle Natur der Unterstützungsbedürftigkeit ist ein gewisses Steuerungsdefizit auf Gesetzesstufe unvermeidbar und in Kauf zu nehmen (PHILIPP GLASS, Die rechtsstaatliche Bearbeitung von Personendaten in der Schweiz, 2017, S. 268 ff.). Auch wenn nicht alle Details auf gesetzlicher Stufe geregelt sind, weist diese im vorliegenden Zusammenhang doch eine ausreichende Regelungsdichte im Sinne einer rechtsgenüglichen Delegationsnorm auf. Die strittige Datenbearbeitung verfügt damit über eine zureichende gesetzliche Grundlage. Die Erstellung und Weiterleitung der Integrationsempfehlung des Beschwerdeführers läuft nicht auf eine widerrechtliche Datenbearbeitung hinaus und verstösst nicht gegen <ref-law> und Art. 8 EMRK.
6.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Nach <ref-law> befreit das Bundesgericht eine bedürftige Partei auf Antrag von der Bezahlung von Gerichtskosten, sofern ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Der Beschwerdeführer stellt kein ausdrückliches Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege, sondern behauptet lediglich, er sei ausserstande, allfällige Gerichtskosten zu bezahlen und versucht dies mit Kontoauszügen zu belegen. Als Nachweis seiner Bedürftigkeit genügt dies jedoch nicht, wobei immerhin zu berücksichtigen ist, dass er Unterstützungsleistungen der Sozialhilfe bezieht. Im Übrigen erscheinen seine Rechtsbegehren als aussichtslos. Eine Befreiung von der Leistung von Gerichtskosten ist damit ausgeschlossen. Seinen angespannten finanziellen Verhältnissen kann aber bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr Rechnung getragen werden (vgl. <ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Stadt Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax