Sachverhalt:
A.
Der 1974 geborene A._ war seit 15. Juni 2001 als Maschinenmechaniker/Fertigungsangestellter für die B._ GmbH tätig und in dieser Eigenschaft bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 3. Juli 2018 zog er sich beim Anheben eines schweren Teils eine Stauchung der Wirbelsäule links zu. Nachdem eine konservative Behandlung kein zufriedenstellendes Ergebnis gezeigt hatte, wurde am 28. Juli 2018 mikrochirurgisch ein Bandscheibenvorfall auf der Höhe des Lendenwirbelkörpers (LWK) 4/5 links entfernt und vom 24. Juli bis 10. September 2018 eine 100%ige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Die Wiederaufnahme der Erwerbstätigkeit gestaltete sich in der Folge aber schwierig. Zunächst hatte die Suva A._ am 25. Oktober 2018 formlos mitgeteilt, sie sei nicht leistungspflichtig. Am 4. Dezember 2018 anerkannte sie sodann zwar ihre Leistungspflicht, schloss aber den Fall per 3. Januar 2019 ab und verneinte den Anspruch auf weitere Versicherungsleistungen. Dies bestätigte sie mit Verfügung vom 11. Juni 2019. Daran hielt sie auf Einsprache hin fest (Einspracheentscheid vom 8. Oktober 2019).
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 1. Juli 2020).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, in Aufhebung des kantonalgerichtlichen Entscheids sei die Suva zu verpflichten, die Versicherungsleistungen über den 3. Januar 2019 hinaus zu erbringen; eventualiter sei die Sache an die Suva zurückzuweisen und diese sei zu verpflichten, ein unabhängiges Gutachten zu veranlassen.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie in Bestätigung des Einspracheentscheids vom 8. Oktober 2019 die Leistungspflicht der Suva für die Zeit nach dem 3. Januar 2019 verneint hat.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat die Bestimmungen und Grundsätze zum für die Leistungspflicht des obligatorischen Unfallversicherers (<ref-law>) vorausgesetzten natürlichen Kausalzusammenhang zwischen Unfall und Gesundheitsschaden (<ref-ruling> E. 1 S. 438, 134 V 109 E. 2.1 S. 111 f., 129 V 177 E. 3.1 f. S. 181) und die Rechtsprechung zum Erreichen des Status quo sine vel ante (SVR 2016 UV Nr. 18 S. 55, 8C_331/2015 E. 2.1.1) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch seine Erwägungen zum Anspruch auf die zweckmässige Behandlung von Unfallfolgen und auf Taggeldleistungen (Art. 10 Abs. 1, Art. 16 Abs. 1 und Art. 17 Abs. 1 UVG), zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 ff., je mit Hinweisen) und zum massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5.1 S. 56). Darauf wird verwiesen.
3.2. Es entspricht einer medizinischen Erfahrungstatsache im Bereich des Unfallversicherungsrechts, dass praktisch alle Diskushernien bei Vorliegen degenerativer Bandscheibenveränderungen entstehen und ein Unfallereignis nur ausnahmsweise, unter besonderen Voraussetzungen, als eigentliche Ursache in Betracht fällt. Als weitgehend unfallbedingt kann eine Diskushernie betrachtet werden, wenn das Unfallereignis von besonderer Schwere und geeignet war, eine Schädigung der Bandscheibe herbeizuführen, und die Symptome der Diskushernie (vertebrales oder radikuläres Syndrom) unverzüglich und mit sofortiger Arbeitsunfähigkeit auftreten. So muss eine entsprechende richtunggebende Verschlimmerung insbesondere auch röntgenologisch ausgewiesen sein und sich von der altersüblichen Progression abheben. Ist hingegen die Diskushernie bei (stummem) degenerativem Vorzustand durch den Unfall nur aktiviert, nicht aber verursacht worden, liegt eine vorübergehende Verschlimmerung vor. Diesfalls hat die Unfallversicherung nur Leistungen für das unmittelbar im Zusammenhang mit dem Unfall stehende Schmerzsyndrom zu erbringen. Nach derzeitigem medizinischem Wissensstand kann in solchen Fällen das Erreichen des Status quo sine bei posttraumatischen Lumbalgien und Lumboischialgien nach drei bis vier Monaten erwartet werden. Im Allgemeinen ist bei einer Prellung, Verstauchung oder Zerrung der Wirbelsäule die vorübergehende Verschlimmerung nach sechs bis neun Monaten und bei Vorliegen eines erheblich degenerativen Vorzustandes spätestens nach einem Jahr als abgeschlossen zu betrachten (vgl. Urteile 8C_408/2019 vom 26. August 2019 E. 3.3; 8C_834/2018 vom 19. März 2019 E. 3.3; SVR 2009 UV Nr. 1 S. 1, 8C_677/2007 E. 2.3 und 2.3.2 mit Hinweisen).
4.
4.1. Das kantonale Gericht gelangte nach eingehender Würdigung der medizinischen Akten zur Überzeugung, der Unfall vom 3. Juli 2018 sei nicht geeignet gewesen, eine Diskushernie zu verursachen. Eine rein axiale Belastung habe jedenfalls, unabhängig von welcher der voneinander abweichenden Unfallschilderungen ausgegangen werde, nicht stattgefunden. Die Symptome einer Diskushernie seien zudem nicht unverzüglich nach dem Ereignis aufgetreten. Der Beschwerdeführer sei in der Lage gewesen, seine körperlich belastende Tätigkeit, wenn auch unter Einnahme von Schmerzmitteln, während mindestens zwei weiteren Wochen auszuführen. Eine unfallbedingte richtunggebende Verschlimmerung eines Vorzustandes sei ebenfalls nicht anzunehmen. Damit könne höchstens davon ausgegangen werden, dass die Diskushernie bei degenerativem Vorzustand durch das behauptete Ereignis aktiviert worden sei. Rechtsprechungsgemäss könne das Erreichen des Status quo sine nach drei bis vier Monaten erwartet werden. Da die Suva ihre Leistungen erst nach sechs Monaten eingestellt habe, sei sie ihrer Leistungspflicht somit nachgekommen. Die geltend gemachten Beschwerden seien jedenfalls im Zeitpunkt der Leistungseinstellung in keinem kausalen Zusammenhang mit dem behaupteten Ereignis mehr gestanden, weshalb auch offen bleiben könne, ob es zur Leistungseinstellung eines Rückkommenstitels bedurft hätte.
4.2. Die Vorbringen des Beschwerdeführers vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern.
4.2.1. Er macht zunächst geltend, der behandelnde Dr. med. C._, Facharzt für Neurochirurgie, habe in seinen Berichten vom 14. Januar und 8. Juli 2019 nachvollziehbar aufgezeigt, dass der Unfallhergang sehr wohl geeignet gewesen sei, eine Diskushernie zu verursachen, und der protrahierte Heilungsverlauf auf Komplikationen während der Operation zurückgeführt werden müsse. Dies stehe im Gegensatz zur Kreisärztin Dr. med. D._, Fachärztin für Neurochirurgie, die nur theoretische Einschätzungen abgegeben habe (Beurteilungen vom 22. Oktober 2018, 7. Juni und 15. Juli 2019). Darin kann ihm nicht gefolgt werden. Aus dem vom Neurochirurgen angegebenen Unfallhergang erschliesst sich nämlich nicht, wie dadurch eine Diskushernie entstanden sein könnte oder eine vorbestehende Diskushernie sich zumindest richtunggebend hätte verschlimmern können. Das kantonale Gericht wies in diesem Zusammenhang auf die unterschiedlichen Schilderungen des Ereignisses vom 3. Juli 2018 hin: Heben eines schweren Stahlteils (Unfallmeldung vom 3. August 2018), unbedachtes Bücken mit Drehung (Bericht des erstbehandelnden Hausarztes pract. med. E._, Allgemeine Innere Medizin FMH, vom 21. August 2018), falsches Heben an einer Maschine (Bericht des Interdisziplinären Notfalls, Spital F._, vom 25. Juli 2018) oder Heben eines ungefähr 25 kg schweren Werkstücks vom Boden, um es auf einer Höhe von zirka einem Meter in eine Maschine zu legen, dabei in gebeugter Haltung mit dem linken Bein etwas nach links ausgerutscht (Schilderung des Beschwerdeführers vom 10. August 2018 nach Anfrage der Suva). Indem es sich bezüglich dieser Tatbestandsvarianten nicht festlegte und ausführte, unabhängig davon, welcher Beschreibung man folge, liege kein besonders schwerer Unfall vor, der geeignet gewesen wäre, eine Diskushernie oder eine unfallbedingte richtunggebende Verschlimmerung eines Vorzustandes zu verursachen, verletzte es kein Bundesrecht Denn nicht zuletzt findet in der Einschätzung des Neurochirurgen auch keine Beachtung, dass erst am Tag nach dem Ereignis erstmals Schmerzen aufgetreten waren, keine sofortige ärztliche Behandlung stattgefunden hatte (die Erstbehandlung beim Hausarzt datiert vom 9. Juli 2018) und der Beschwerdeführer noch weitere zwei Wochen seiner körperlich schweren Arbeit hatte nachgehen können, bevor ihm ab 24. Juli 2018 eine Arbeitsunfähigkeit attestiert wurde.
4.2.2. Weil somit höchstens eine Aktivierung der Diskushernie durch das Ereignis bei degenerativem Vorzustand in Frage kommt, musste sich die Vorinstanz auch bezüglich der von der Suva aufgeworfenen Frage, ob überhaupt von einem Unfall ausgegangen werden könne, nicht festlegen. Weiterungen dazu erübrigen sich entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers auch hier. Bei einer blossen Aktivierung kann das Erreichen des Status quo sine nämlich rechtsprechungsgemäss schon nach drei bis vier Monaten erwartet werden (vgl. E. 3.2 hiervor), während die Beschwerdegegnerin ihre Leistungen im vorliegenden Fall erst nach sechs Monaten einstellte. Die vom Beschwerdeführer angeführten Komplikationen nach der mikrochirurgischen Entfernung des Bandscheibenvorfalls vom 28. Juli 2018 liefern keinen Grund, der es rechtfertigen würde, von diesem Grundsatz abzuweichen. Dies bereits deshalb, weil Dr. med. C._ den vom Beschwerdeführer geltend gemachten protrahierten Verlauf im Sinne einer residuellen Radikulopathie auf - sich selbst abbauendes - Fremdmaterial zurückführte, das im Operationsgebiet (offenbar bestimmungsgemäss: vgl. die Zweitmeinung des Dr. med. G._, Wirbelsäulenzentrum H._, vom 9. April 2019) zum Einsatz gekommen, bei der Verlaufskontrolle im November 2018 jedoch schon nicht mehr nachweisbar war. Mit der Leistungserbringung bis zum 3. Januar 2019 wurden damit auch die Auswirkungen eines allfällig verzögerten Heilungsverlaufs abgedeckt. Die darüber hinaus bestehenden Beschwerden waren nicht mehr unfallkausal, weshalb aus dem Umstand, dass die Behandlung bei Dr. med. C._ über diesen Zeitpunkt hinaus andauerte, nichts anderes abgeleitet werden kann.
4.2.3. Der Beschwerdeführer verweist sodann im Grundsatz zu Recht darauf, dass ergänzende Abklärungen vorzunehmen sind, falls auch nur geringe Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit versicherungsinterner ärztlicher Feststellungen bestehen (<ref-ruling> E. 8.5 S. 105; <ref-ruling> E. 5.1 i.f. S. 65 mit Hinweisen). An der Beurteilung der Kreisärztin vom 7. Juni 2019, wonach der Bandscheibenvorfall nicht durch das Ereignis vom 3. Juli 2018 verursacht worden sei, ergeben sich allerdings keine solchen Zweifel (vgl. E. 4.2.1 f. hiervor). Das kantonale Gericht durfte deshalb von ergänzenden medizinischen Abklärungen absehen, ohne Bundesrecht zu verletzen (antizipierende Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94).
4.2.4. Schliesslich bringt der Beschwerdeführer vor, die Suva habe den Sachverhalt am 4. Dezember 2018 als Unfall anerkannt und ihre Leistungspflicht bejaht. Deshalb könne sie sich nun nicht mehr auf "ex nunc et pro futuro" berufen, zumal weder widersprüchliches Verhalten noch die Verletzung des Grundsatzes von Treu und Glauben Rechtsschutz finde.
Es trifft zu, dass der Unfallversicherer die Möglichkeit hat, die durch Ausrichtung von Heilbehandlung (und allenfalls Taggeld) anerkannte Leistungspflicht mit Wirkung ex nunc et pro futuro ohne Berufung auf den Rückkommenstitel der Wiedererwägung oder der prozessualen Revision einzustellen, etwa mit dem Argument, bei richtiger Betrachtung liege kein versichertes Ereignis vor (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 384). Im vorliegenden Fall hatte sich die Suva in ihrem Einspracheentscheid zur Begründung der Leistungseinstellung jedoch nicht auf ein fehlendes Unfallereignis berufen, sondern auf den Wegfall der Unfallkausalität. Im hier angefochtenen kantonalgerichtlichen Entscheid wurde offen gelassen, ob es zur Leistungseinstellung eines Rückkommenstitels bedurft hätte. Da die Suva keine Leistungen zurückfordert (vgl. Urteil 8C_548/2019 vom 10. Januar 2020 E. 4.2.2) und feststeht, dass selbst bei Annahme eines Unfalles mit dem vom Beschwerdeführer am 10. August 2018 geschilderten Ablauf die Unfallkausalität jedenfalls am 3. Januar 2019 nicht mehr bestand (womit sich die Leistungseinstellung auf diesen Zeitpunkt hin als in jedem Fall rechtens erweist), zielt auch die letztinstanzlich erhobene Rüge des fehlenden Rückkommenstitels ins Leere.
5.
Mit seinen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer demzufolge nicht aufzuzeigen, inwiefern der vorinstanzliche Entscheid bundesrechtswidrig sein soll.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz