Sachverhalt:
A.
Das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich ordnete am 6. September 2016 an, dass sich A._ einer verkehrsmedizinischen Abklärung ihrer Fahreignung zu unterziehen habe. Anlass zu dieser Verfügung gab folgender Vorfall:
Am Nachmittag des 15. Juni 2016 ging A._ nach dem Konsum von Alkohol in den Garten einer benachbarten Liegenschaft, hob dort eine zur Dekoration liegende Stosskugel auf und warf diese gegen die Hauswand. Ein Sachschaden entstand nicht. Dem Vorfall ging ein längerer Nachbarschaftsstreit voraus. A._ führte aus, sie sei zum Nachbarhaus hinübergegangen, weil ein Kind geschrien habe. Die Nachbarin verständigte die Kantonspolizei Zürich, welche A._ am selben Tag in deren Haus aufsuchte und befragte. Die Kantonspolizei erstattete dazu am 22. Juli 2016 einen Bericht; darin äusserte sie ernsthafte Zweifel an der Fahrtüchtigkeit von A._.
B.
A._ rekurrierte gegen die Verfügung an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich. Diese wies den Rekurs am 13. Januar 2017 ab, soweit sie ihn nicht als gegenstandslos beurteilte.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich hiess die von A._ gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde mit Urteil vom 24. Mai 2017 gut. Damit hob es die Anordnung zur Abklärung der Fahreignung auf.
C.
Das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 13. Juli 2017, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben.
A._ und das Verwaltungsgericht ersuchen um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Strassen ASTRA stellt in der Vernehmlassung vom 5. Oktober 2017 den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid, mit dem die Vorinstanz die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung aufgehoben hat. Das kantonale Strassenverkehrsamt ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Das Strassenverkehrsamt hat am 12. Dezember 2017 das Bundesgericht unter Beilage der Polizeiakten informiert, dass die Beschwerdegegnerin am 27. November 2017 einen Personenwagen in angetrunkenem Zustand gelenkt habe. Insoweit werde ein Verfahren zum Warnungsentzug eingeleitet. Das Bundesgericht hat dieses Schreiben samt allen Beilagen der Beschwerdegegnerin zur Vernehmlassung übermittelt. Das Begehren der Beschwerdegegnerin um Einsicht in act. 15 ist gegenstandslos, weil die von ihrer Rechtsvertreterin bei act. 18 Rz. 1 aufgezählten Dokumente dem Dossier in act. 15 entsprechen. Letztere hat am 17. Januar 2018 dazu Stellung genommen.
Die Eingabe des Beschwerdeführers vom 12. Dezember 2017 stellt zwar ein echtes Novum dar, zumal sich der darin geschilderte Vorfall erst nach Erlass des angefochtenen Urteils ereignet hat. Aufgrund dessen stünde aber selbst bei einer Abweisung der hier zu beurteilenden Beschwerde die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung weiterhin zur Debatte. Aus prozessökonomischen Gründen ist es daher gerechtfertigt, den Vorfall vom 27. November 2017 in die vorliegende Würdigung miteinzubeziehen (vgl. Urteil 1C_13/2017 vom 19. Mai 2017 E. 1.2).
2.
Streitig ist, ob die Vorinstanz die Anordnung der Fahreignungsuntersuchung zu Recht aufgehoben hat.
2.1. Der Führerausweis wird entzogen, wenn festgestellt wird, dass die gesetzlichen Voraussetzungen zur Erteilung nicht oder nicht mehr bestehen (<ref-law>). Einer Person wird der Führerausweis auf unbestimmte Zeit entzogen, wenn sie an einer Sucht leidet, welche die Fahreignung ausschliesst (<ref-law>). Trunksucht wird nach der Praxis des Bundesgerichts bejaht, wenn der Fahrzeugführer regelmässig so viel Alkohol konsumiert, dass seine Fahrfähigkeit vermindert wird und er keine Gewähr bietet, den Alkoholkonsum zu kontrollieren und ihn ausreichend vom Strassenverkehr zu trennen, so dass die Gefahr nahe liegt, dass er im akuten Rauschzustand am motorisierten Strassenverkehr teilnimmt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 86 f.; <ref-ruling> E. 3c S. 126). Der Suchtbegriff des Verkehrsrechts deckt sich nicht mit dem medizinischen Begriff der Alkoholabhängigkeit. Auch bloss suchtgefährdete Personen, bei denen aber jedenfalls ein Alkoholmissbrauch vorliegt, können vom Führen eines Motorfahrzeugs ferngehalten werden (Urteil 1C_147/2017 vom 22. Juni 2017 E. 3.2.2 mit Hinweisen). Entsprechende Anhaltspunkte ergeben sich etwa aus den Konsumgewohnheiten der Betroffenen, ihrer Vorgeschichte, dem bisherigen Verhalten im Strassenverkehr und ihrer Persönlichkeit (vgl. Urteile 1C_508/2016 vom 18. April 2017 E. 2.1; 1C_111/2015 vom 21. Mai 2015 E. 4.4).
2.2. Bestehen Zweifel an der Fahreignung einer Person, so wird diese einer Fahreignungsuntersuchung unterzogen. In einer nicht abschliessenden Aufzählung nennt Art. 15d Abs. 1 (lit. a-e) SVG Beispiele von Fällen, in denen Zweifel an der Fahreignung bestehen. Dies ist unter anderem der Fall bei Fahren in angetrunkenem Zustand mit einer Blutalkoholkonzentration von 1,6 Gewichtspromille oder mehr oder mit einer Atemalkoholkonzentration von 0,8 mg Alkohol oder mehr pro Liter Atemluft (<ref-law>). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind die Anforderungen an die Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung nicht dieselben wie für den vorsorglichen Führerausweisentzug, obschon diese beiden Massnahmen häufig zusammen ergehen: Während für Erstere hinreichende Anhaltspunkte ausreichen, welche die Fahreignung in Frage stellen, setzt der vorsorgliche Führerausweisentzug voraus, dass ernsthafte Zweifel an der Fahreignung einer Person bestehen, wie dies namentlich bei konkreten Hinweisen auf eine Alkoholabhängigkeit der Fall ist (zum Ganzen: Urteil 1C_531/2016 vom 22. Februar 2017 E. 2.4.2 mit Hinweisen). Die Anordnung einer verkehrsmedizinischen Untersuchung setzt nicht zwingend voraus, dass der Fahrzeugführer tatsächlich unter dem Einfluss von Alkohol oder Betäubungsmitteln gefahren ist (vgl. Urteile 1C_111/2015 vom 21. Mai 2015 E. 4.6; 1C_328/2013 vom 18. September 2013 E. 3.2; 1C_445/2012 vom 26. April 2013 E. 3.2).
2.3. Im zu beurteilenden Fall liegt bei der Beschwerdegegnerin nach den Feststellungen der Vorinstanz eine Kombination von psychischen Störungen vor, die Depression, Angststörung und schädlichen Alkoholkonsum umfasst. Das Bestehen von Anhaltspunkten für eine Alkoholabhängigkeit der Beschwerdegegnerin hat die Vorinstanz aber verneint. Zudem fehlt es nach der Vorinstanz bei der Beschwerdegegnerin am Konnex zwischen dem Alkoholkonsum und der Teilnahme am Strassenverkehr. Die Vorinstanz hielt der Beschwerdegegnerin den ungetrübten automobilistischen Leumund zugute. Unter Bezugnahme auf einen Bericht der Ärztin, bei der sich die Beschwerdegegnerin in Behandlung befindet, hat die Vorinstanz weiter ausgeführt, die Beschwerdegegnerin trinke Alkohol in Krisenzeiten ihrer Depression, um so Schlaf zu finden. Sie fahre folglich nicht, wenn sie trinke und umgekehrt. Diese ärztlichen Ausführungen sind nach Ansicht der Vorinstanz nachvollziehbar, weil sie die allgemein bekannten Symptome von Depressionen und Angstzuständen beschreiben würden. Den Vorfall vom 15. Juni 2016 mit der Dekorationskugel betrachtete die Vorinstanz als relativ harmlos. Dieser wecke keine Zweifel an der Fahrtüchtigkeit der Beschwerdeführerin. Auch der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin seit mehreren Jahren zur Behandlung der Angststörung ärztlich verschriebene Medikamente (Benzodiazepine) einnimmt, ändere nichts an der Beurteilung.
2.4. Es ist fraglich, ob im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils bereits hinreichende Indizien für Zweifel an der Fahreignung der Beschwerdegegnerin vorgelegen haben. Wie es sich damit im Einzelnen verhält, kann allerdings offenbleiben. Am 27. November 2017 hat sich gezeigt, dass die Beschwerdegegnerin den Genuss von Alkohol und die Teilnahme am Strassenverkehr nicht zu trennen vermochte. Sie hat nicht bestritten, an jenem Tag einen Personenwagen in angetrunkenem Zustand gelenkt zu haben, wobei die polizeilich durchgeführte Atemalkoholprobe eine Blutalkoholkonzentration von 1,32 Gewichtspromillen ergab. Zwar trifft es zu, dass dieses Untersuchungsergebnis unterhalb des Werts von 1,6 Gewichtspromillen gemäss <ref-law> liegt. Es ist aber zu berücksichtigen, dass die Vorinstanz bei der Beschwerdegegnerin einen Mischkonsum von Alkohol und Benzodiazepinen festgestellt hat. Die Beschwerdegegnerin bringt vor, es wäre mutmasslich nicht zum Vorfall vom 27. November 2017 gekommen, wenn sie im damaligen Zeitpunkt ihre Medikamente in der üblichen Dosis gehabt hätte. Der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin verhindert ist, die geeigneten Medikamente rechtzeitig einzunehmen, kann jedoch wieder eintreten, ohne dass sie es zu vertreten hätte. Ausserdem hat die Beschwerdegegnerin bei den Vorfällen vom 15. Juni 2016 und 27. November 2017 nach der Alkoholeinnahme - trotz der allfälligen Absicht, schlafen zu gehen - beachtliche Aktivitäten ausser Haus unternommen; die Annahme der Vorinstanz, dass die Beschwerdegegnerin Alkohol nur einnehme, um so Schlaf zu finden, wird dadurch widerlegt. In einer Gesamtwürdigung bestehen jedenfalls seit dem Vorfall vom 27. November 2017 konkrete Anzeichen dafür, dass die Beschwerdegegnerin keine Gewähr dafür bietet, den Konsum von Alkohol und die Teilnahme am Strassenverkehr ausreichend zu trennen. Mithin gibt es hinreichende Anhaltspunkte, die Zweifel an der Fahreignung der Beschwerdegegnerin zu wecken vermögen. Die Aufhebung der Anordnung einer Fahreignungsuntersuchung durch die Vorinstanz erweist sich demzufolge als bundesrechtswidrig.
3.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben; hingegen sind die Anordnung der Fahreignungsuntersuchung gemäss Verfügung des Strassenverkehrsamts vom 6. September 2016 und der Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 13. Januar 2017 zu bestätigen. Die Vorinstanz wird über die Kostenliquidation in ihrem Verfahren neu zu befinden haben.
Bei diesem Verfahrensausgang wird die unterliegende Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 24. Mai 2017 wird aufgehoben. Die Anordnung der Fahreignungsuntersuchung gemäss Verfügung des Strassenverkehrsamts des Kantons Zürich vom 6. September 2016 und der Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 13. Januar 2017 werden bestätigt.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorinstanzlichen Verfahrens an das Verwaltungsgericht Zürich zurückgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Einzelrichter, und dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet