Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war vom 11. Juli 2005 bis zum 30. November 2016 als Servicemitarbeiter bei der C._ AG (Arbeitgeberin) angestellt, ab dem 1. Juli 2013 mit einem Pensum von 60 %. Im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses war er ab dem 1. Januar 2016 bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) durch Kollektivvertrag gegen Lohnausfall bei Krankheit versichert. Die Arbeitgeberin kündigte das Arbeitsverhältnis mit Schreiben vom 29. September 2016 per 30. November 2016. Gleichentags suchte der Kläger seinen Hausarzt Dr. D._ auf, der ihm ab dem 30. September 2016 eine 100 % Arbeitsunfähigkeit attestierte. Ab dem 14. Oktober 2016 erbrachte die Beklagte Taggeldleistungen. Am 18. Oktober 2016 liess sie den Kläger durch Dr. E._ untersuchen. Dieser erstattete am 20. Oktober 2016 ein Kurzgutachten. Die Beklagte teilte dem Kläger darauf mit Schreiben vom 28. Oktober 2016 mit, sie werde ab dem 18. Oktober 2016 keine weiteren Taggeldleistungen mehr erbringen.
B.
Mit Klage vom 1. Mai 2017 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich beantragte der Kläger, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm im Sinne einer Teilklage Fr. 14'946.75 Taggelder vom 18. Oktober 2016 bis zum 30. April 2017 nebst Zins zu bezahlen. Eventualiter sei eine fachmedizinische, bidisziplinäre Begutachtung einzuholen.
Mit Urteil vom 15. Januar 2019 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab. Es hielt fest, der Kläger habe den Beweis für die behauptete Arbeitsunfähigkeit im relevanten Zeitraum nicht erbracht.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger, das Urteil des Sozialversicherungsgerichts sei aufzuheben und die Klage gutzuheissen. Eventualiter beantragt er, die Vorinstanz sei anzuweisen, "ein neutrales chirurgisches und psychiatrisches Gutachten" einzuholen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand (vgl. Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz (<ref-law>). Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1 S. 800).
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.3.
2.3.1. Eine Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die von Sachgerichten gezogenen Schlüsse nicht mit der eigenen Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, belegt keine Willkür (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
2.3.2. Das Recht auf Beweis hindert das Gericht nicht daran, die Beweise antizipiert zu würdigen, wenn es zum Schluss kommt, dass weitere Beweiserhebungen an seinem Urteil nichts zu ändern vermöchten, weil die entsprechenden Beweisanträge offensichtlich untauglich sind oder eine rechtsunerhebliche Tatsache betreffen oder weil das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, diese würde durch weitere Beweiserhebungen nicht erschüttert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148). Hinsichtlich seiner Kognition, ordnet das Bundesgericht die antizipierte Beweiswürdigung unterschiedslos der Sachverhaltsfeststellung resp. Beweiswürdigung zu und greift in diese nur ein, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis).
3.
Streitig ist die Erwerbsunfähigkeit des Beschwerdeführers, welche er sowohl psychisch als auch somatisch begründet und aus der er den geltend gemachten Taggeldanspruch ableitet.
3.1.
3.1.1. Die Vorinstanz hielt fest, auf die Angaben des behandelnden Psychiaters Dr. F._ könne nicht abgestellt werden. Bedenken ergäben sich nicht nur, weil sich dieser zu diversen Spekulationen habe hinreissen lassen, sondern auch weil er bei seinen weiteren Ausführungen jegliche Distanz und Objektivität habe vermissen lassen. Mit den weiteren medizinischen Unterlagen - insbesondere den Berichten und Beurteilungen von Dr. D._ - lasse sich eine psychisch begründete Arbeitsunfähigkeit ebenfalls nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachweisen. Es seien darin keine Angaben zu psychischen Befunden und damit einhergehenden Einschränkungen gemacht worden.
Bezüglich des beantragten psychiatrischen (Teil-) Gutachtens erwog die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung, mit einer gutachterlichen Untersuchung des Beschwerdeführers lasse sich dessen Gesundheitszustand und dessen Arbeitsfähigkeit im relevanten und bereits verstrichenen Zeitraum vom 18. Oktober 2016 bis zum 30. April 2017 nicht beurteilen. Ein Gerichtsgutachter könne lediglich die vorhandenen echtzeitlichen Dokumente als Grundlage für ein Aktengutachten nutzen. In diesem Zusammenhang sei zu bemerken, dass die von Dr. E._ im Privatgutachten der Beschwerdegegnerin dargestellten Anamnese- und Beschwerdeschilderungen sowie die Angaben über objektive Befunde vom Beschwerdeführer bestritten worden seien, weshalb sie nicht als Beurteilungsgrundlage dienen könnten. Die übrigen vorhandenen medizinischen Unterlagen (namentlich die Berichte von Dr. F._) würden nicht die erforderlichen Angaben enthalten, welche eine psychiatrische Aktenbeurteilung erlauben würden.
3.1.2. Auch eine somatisch begründete Arbeitsunfähigkeit lasse sich mit den vorhandenen medizinischen Unterlagen nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachweisen. So seien die Berichte und Arbeitsunfähigkeitsbeurteilungen von Dr. D._ nicht mit entsprechenden Befunden begründet worden. Es stelle sich zudem die Frage, inwiefern die von Dr. F._ aus psychischen Gründen attestierte Arbeitsunfähigkeit in die Beurteilungen miteingeflossen sei. Auch aus den Ausführungen von Dr. G._ in dessen Bericht vom 30. Januar 2017 - aufgrund der Schwere der am 20. Januar 2017 erhobenen Befunde sei nicht davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer "in der letzten Zeit" noch arbeitsfähig gewesen sei - lasse sich nicht ableiten, es habe bereits vor Ende 2016 eine anspruchsrelevante Arbeitsunfähigkeit bestanden. Dies müsse umso mehr gelten, als auch Dr. G._ einen raschen Progress seit dem Übergang vom Jahr 2016 auf das Jahr 2017 festgestellt habe.
Auch einem somatischen (Teil-) Gutachten sprach die Vorinstanz die Tauglichkeit ab. Es sei zu beachten, dass eine gutachterliche Untersuchung des Beschwerdeführers nicht geeignet sei, dessen Gesundheitszustand und dessen Arbeitsfähigkeit aus somatischer Sicht im relevanten und bereits verstrichenen Zeitraum zu beurteilen. Vom Gericht zu bestellende Gutachter könnten lediglich die vorhandenen echtzeitlichen Dokumente als Grundlage für ein Aktengutachten benutzen. Entsprechende Befundberichte, welche sich über die Zeit ab dem 18. Oktober 2016 bis zur Untersuchung durch Dr. G._ am 20. Januar 2017 äussern würden, lägen nicht vor. Bereits die Beschwerdegegnerin habe vorprozessual vergeblich versucht, solche erhältlich zu machen. Unter diesen Umständen sei es nicht möglich, mit einem Gerichtsgutachten für die Zeit vom 18. Oktober 2016 bis Ende 2016, allenfalls auch bis zum 20. Januar 2017, relevante Erkenntnisse zu gewinnen. Ein Gerichtsgutachten würde sich lediglich dazu eignen, die späteren Beurteilungen von Dr. G._ und Dr. H._ einer Prüfung zu unterziehen; was aber unterbleiben könne, da der Versicherungsschutz spätestens Ende 2016 erloschen sei und kein Nachleistungsanspruch bestehe.
3.2. Der Beschwerdeführer legt in seiner Beschwerde den Sachverhalt aus seiner Sicht in frei gehaltenen Ausführungen dar und rügt pauschal eine falsche und willkürliche Sachverhaltsermittlung. Damit erfüllt er die Begründungsanforderungen an Sachverhaltsrügen vor Bundesgericht (vgl. hiervor E. 2.2) offensichtlich nicht.
3.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, sein Anspruch auf ein faires Verfahren sei verletzt worden, weil dieselbe kantonale Richterin beide Beschwerden bzw. Klagen (Klage in diesem Krankentaggeld-Verfahren sowie die Beschwerde im UVG-Verfahren [vgl. Urteil des Bundesgerichts 8C_140/2019 vom 23. Mai 2019]) gleichzeitig abgewiesen habe, geht die Rüge fehl. Er hat dies bereits erfolglos vor Bundesgericht gerügt. Es kann auf die diesbezüglichen Ausführungen (zit. Urteil 8C_140/2019 E. 3.) verwiesen werden.
3.4. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht eindeutig, ob der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen rügen will, seine Arbeitsunfähigkeit ergebe sich bereits aus den ärztlichen Berichten von Dr. F._, Dr. D._ und Dr. G._ oder ob er damit vielmehr nur geltend machen will, diese Berichte würden eine ausreichende Grundlage für ein bidisziplinäres Gutachten bilden, auf dessen Einholung die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung verzichtet hat (vgl. dazu hiernach E. 3.5).
Falls der Beschwerdeführer sinngemäss eine willkürliche Beweiswürdigung betreffend die besagten ärztlichen Berichte geltend machen will, geht seine Rüge jedenfalls fehl. Er geht nicht hinreichend konkret auf die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz ein, geschweige denn zeigt er auf, inwiefern ihre Beweiswürdigung offensichtlich unrichtig sein soll (vgl. hiervor E. 2.3.1). So belegt er insbesondere keine Willkür, wenn er der vorinstanzlichen Würdigung des Berichts von Dr. F._ seine eigene Würdigung gegenüberstellt, ohne sich mit den Argumenten der Vorinstanz auseinanderzusetzen. Es genügt auch nicht, wenn er pauschal behauptet, Dr. D._ bzw. Dr. G._ hätten seine Arbeitsunfähigkeit bestätigt.
3.5. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt und sei in Willkür verfallen, indem sie auf die Einholung des beantragten bidisziplinären Gutachtens verzichtet habe. Im Versicherungsbereich würden stets Gutachten eingeholt, bei welchen anhand des vorhandenen Materials und insbesondere der Krankengeschichte die Arbeitsunfähigkeit rückwirkend beurteilt werde.
Der Beschwerdeführer geht selbst davon aus, eine psychiatrische Beurteilung hätte anhand der vorhandenen echtzeitlichen Dokumente zu erfolgen. Entgegen der Vorinstanz ist er aber der Ansicht, ein Gutachter könnte anhand der Berichte von Dr. F._ seinen psychischen Zustand rückwirkend beurteilen. Die Vorinstanz hat ausführlich begründet, dass es den Berichten und Beurteilungen von Dr. F._ namentlich an Objektivität und Distanz mangle und sie diese daher nicht als taugliche Grundlage für ein Aktengutachten erachte. Zudem fehle es an den erforderlichen Angaben, welche eine psychiatrische Aktenbeurteilung erlauben würden (vgl. hiervor E. 3.1.1). Damit setzt sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht hinreichend auseinander (vgl. hiervor E. 2.1). Er zeigt insbesondere nicht auf, inwiefern die Berichte von Dr. F._ - entgegen der Vorinstanz - einem Gutachter erlaubt hätten, die vom Beschwerdeführer geltend gemachte, psychiatrisch begründete Arbeitsunfähigkeit retrospektiv zu beurteilen.
Bezüglich des beantragten somatischen Teilgutachtens hat die Vorinstanz insbesondere berücksichtigt, dass sich aus den Ausführungen Dr. G._s im Bericht vom 30. Januar 2017 nicht ableiten lasse, es habe bereits vor Ende 2016 eine anspruchsrelevante Arbeitsunfähigkeit bestanden, insbesondere weil Dr. G._ in seinem Bericht einen raschen Progress seit dem Übergang vom Jahr 2016 auf das Jahr 2017 festgestellt habe (vgl. hiervor E. 3.1.2). Zudem hat die Vorinstanz auch beachtet, dass der Beschwerdeführer unbestritten auch nach dem Unfall im Jahr 2009 bis zur Kündigung mit einem Pensum von (mindestens) 60 % gearbeitet hat, mithin nicht arbeitsunfähig war. Schliesslich hat die Vorinstanz den Umstand berücksichtigt, dass taugliche Befundberichte bis zur Untersuchung durch Dr. G._ nicht vorlägen. Mit diesen Ausführungen setzt sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde nicht hinreichend auseinander. Er macht bloss pauschal geltend, es hätte auf die Berichte von Dr. D._ abgestellt werden können, ohne sich jedoch mit den diesbezüglichen Einwänden der Vorinstanz (vgl. hiervor E. 3.1.2) auseinanderzusetzen. Damit vermag er die antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz nicht als willkürlich auszuweisen (vgl. hiervor E. 2.3.2).
Die Rüge geht daher insgesamt fehl. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, inwiefern der Verzicht auf die Einholung des beantragten bidisziplinären Gutachtens in antizipierter Beweiswürdigung offensichtlich unrichtig sein soll.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da keine Vernehmlassung eingeholt wurde (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, I. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. August 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross