Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1979) ist serbischer Staatsangehöriger. Er reiste am 4. August 2003 in die Schweiz ein und ersuchte hier erfolglos um Asyl. Am 18. Oktober 2003 heiratete er seine in der Schweiz niederlassungsberechtigte Landsfrau B.A._ (geb. 1982). Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen erteilte ihm im Anschluss hieran eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin. Aus der Beziehung sind die drei Kinder C.A._ (geb. 2005), D.A._ (geb. 2011) und E.A._ (geb. 2012) hervorgegangen; alle drei verfügen im Kanton St. Gallen über eine Niederlassungsbewilligung. Vom 1. Juli 2009 bis Oktober 2011 lebten die Eheleute getrennt.
B.
B.a. A.A._ wurde in der Schweiz wiederholt wegen Verstössen gegen das Strassenverkehrsgesetz bestraft. Zudem präsentierte sich seine finanzielle Situation über Jahre hinweg als angespannt. Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen verwarnte ihn deshalb am 8. Oktober 2009 und am 12. Dezember 2014; es hielt ihn jeweils an, sich künftig in jeder Beziehung klaglos zu verhalten, insbesondere keine weiteren Fürsorgeleistungen zu beziehen, keine neuen Schulden mehr einzugehen, die bestehenden Schulden zu tilgen, eine geregelte Arbeitsstelle zu finden und sich generell wohl zu verhalten. Die Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung erfolgte jeweils mit einem Hinweis auf das in den Verwarnungen vom ihm erwartete Verhalten.
B.b. Am 22. Februar 2016 widerrief das Migrationsamt St. Gallen die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ und hielt ihn an, das Land zu verlassen. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg. Die kantonalen Instanzen gingen übereinstimmend davon aus, dass sich die finanzielle Lage von A.A._ trotz der Verwarnungen zusehends verschlechtert habe und ihm (und allenfalls auch seiner Familie) die Rückkehr nach Serbien zugemutet werden könne.
C.
A.A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts St. Gallen vom 28. Juni 2018 aufzuheben und das Sicherheits- und Justizdepartement - entgegen dessen Entscheid vom 18. April 2017 - anzuhalten, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; allenfalls sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zu ergänzenden Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Seine Verschuldung sei nicht mutwillig erfolgt, sondern stehe im Zusammenhang mit der gesundheitlichen Situation seiner Ehefrau (psychische Probleme) und seines ältesten Sohns (Epilepsie).
Das Sicherheits- und Justizdepartement sowie das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen beantragen, unter Hinweis auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid, die Beschwerde abzuweisen.
Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat keine Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Für das Eintreten genügt, wenn der Betroffene in vertretbarer Weise dartut, dass potenziell ein Anspruch auf die beantragte Bewilligung besteht. Ob die erforderlichen Voraussetzungen hierfür gegeben sind, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (<ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.).
1.2. Der Beschwerdeführer ist mit einer in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsfrau verheiratet, wobei die Beziehung zu ihr - wie zu den drei gemeinsamen Kindern - intakt ist und eng gelebt wird. Der Beschwerdeführer kann sich für seinen Anspruch damit auf <ref-law> (bis 1. Januar 2019: AuG; Familiennachzug zu niederlassungsberechtigter Person) sowie Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> (Schutz des Privat- und Familienlebens) berufen. Da auch die übrigen Zulässigkeitsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es prüft - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Parteien - jedoch nur die qualifiziert vorgebrachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu ins Auge springen (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig ermittelt (<ref-law>). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_634/2018 vom 5. Februar 2019 E. 2.2).
2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet den Sachverhalt "in allen Einzelheiten", soweit er diesen nicht ausdrücklich als richtig anerkenne oder er den Sachverhalt übereinstimmend mit jenem der Vorinstanz darstelle. Er verkennt seine qualifizierte Begründungspflicht im Zusammenhang mit der Feststellung des Sachverhalts und der Beweiswürdigung: Soweit der Beschwerdeführer lediglich seine Sicht der Dinge jener der Vorinstanz gegenüberstellt, ohne darzulegen, inwiefern diese die Beweise und die Sachverhaltselemente in Verletzung von <ref-law> (Willkür) festgestellt und gewürdigt hat, ist seine Eingabe ungenügend substanziiert (vgl. LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar zum BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Auf die entsprechenden, rein appellatorischen Vorbringen wird im Folgenden nicht eingegangen. Dem Entscheid ist der Sachverhalt zugrunde zu legen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.3.
2.3.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich insoweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz hierzu Anlass gibt (<ref-law>). Das Bundesgericht darf seinem Urteil keine Tatsachen oder Beweismittel zugrunde legen, die nicht bereits zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids bestanden haben. Der Beschwerdeführer reicht mit seiner Eingabe an das Bundesgericht Unterlagen ein, welche sich teilweise auf Entwicklungen nach dem angefochtenen Entscheid vom 28. Juni 2018 beziehen; dabei handelt es sich um "echte Noven" bzw. Dokumente, die der Beschwerdeführer rechtzeitig in das kantonale Verfahren hätte einbringen können und müssen (vgl. <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344).
2.3.2. Nur weil das Verwaltungsgericht die rechtliche Einschätzung des Beschwerdeführers nicht geteilt hat, gibt sein Entscheid nicht bereits Anlass dazu, im bundesgerichtlichen Verfahren die Beweismittel zu ergänzen. Hierfür müsste die Vorinstanz materielles Recht derart angewendet haben, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - Rechtserheblichkeit erhielten (Urteil 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 1.4 mit Hinweisen). Dies ist hier nicht der Fall: Bei allen Instanzen ging es um die Frage, ob der Beschwerdeführer mit seinem Finanzgebaren erheblich und wiederholt gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz verstossen oder diese gefährdet hat (<ref-law>). Alle kantonalen Behörden haben dies aus den gleichen Gründen bejaht und die Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung durch das Migrationsamt geschützt. Das Bundesgericht kann die Lohnabrechnungen von Mai, Juni und Juli 2018, die Rechnung für Betreibungen der Gemeinde St. Margrethen vom 22. August 2018, den Drittkontoauszug der Stadt Rorschach vom 22. August 2018 und den Auszug aus dem Betreibungsregister vom 13. August 2018 nicht berücksichtigen.
3.
Die Vorinstanz hat in E. 3 des angefochtenen Entscheids die bundesgerichtliche Praxis zu <ref-law> zutreffend wiedergegeben; es erübrigt sich, diese noch einmal umfassend zu wiederholen (vgl. etwa die Urteil 2C_93/2018 vom 21. Januar 2019 E. 3 und 2C_789/2017 vom 7. März 2018 E. 3 - 6). Es genügen folgende Hinweise:
3.1. Ein erheblicher oder wiederholter Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung liegt nach der Rechtsprechung zu <ref-law> in Verbindung mit Art. 80 Abs. 1 lit. b der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) unter anderem bei mutwilliger Nichterfüllung öffentlich-rechtlicher oder privatrechtlicher Verpflichtungen vor. Die Schuldenwirtschaft allein genügt für den Widerruf bzw. die Nichterneuerung eines Anwesenheitsrechts nicht. Die Verschuldung muss vielmehr selbst verursacht und dem Betroffenen qualifiziert vorwerfbar sein, da der ausländerrechtliche Bewilligungswiderruf kein schuldbetreibungsrechtliches Instrument zur Deckung von finanziellen Ausständen bildet (vgl. das Urteil 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 3.3). Erforderlich ist zumindest ein erheblicher Ordnungsverstoss; ein solcher kann bereits in einer qualifizierten Leichtfertigkeit liegen (vgl. das Urteil 2C_789/2017 vom 7. März 2018 E. 3.3). Die so umschriebene Mutwilligkeit ist nicht leichthin anzunehmen (vgl. Urteil 2C_164/2017 vom 12. September 2017 E. 3.1 mit Hinweis). Der Beweis dafür obliegt der Migrationsbehörde (vgl. Urteil 2C_27/2018 vom 10. September 2018 E. 2.2).
3.2. Wurde bereits eine ausländerrechtliche Verwarnung (<ref-law>) ausgesprochen, ist entscheidend, ob die ausländische Person danach weiterhin mutwillig Schulden angehäuft hat oder nicht. Dabei ist zu berücksichtigen, dass - wer einem betreibungsrechtlichen Verwertungsverfahren (insbesondere der Lohnpfändung) unterliegt - zum Vornherein keine Möglichkeit hat, ausserhalb des Betreibungsverfahrens Schulden zu tilgen. Das kann in solchen Fällen dazu führen, dass im Vergleich zu früher weitere Betreibungen hinzukommen oder der betriebene Betrag anwächst, ohne dass allein deswegen eine Mutwilligkeit angenommen werden darf. Von entscheidender Bedeutung ist, welche Anstrengungen der Betroffene zur Sanierung seiner Situation vorkehrt: Positiv ist zu würdigen, wenn vorbestandene Schulden abgebaut wurden; negativ fällt ins Gewicht, wenn der Betroffene trotz Verwarnung sich weiterhin in vorwerfbarer Weise verschuldet (vgl. Urteile 2C_164/2017 vom 12. September 2017 E. 3.1 mit Hinweis und 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 3.4).
4.
4.1. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass sich der Beschwerdeführer trotz zweier Verwarnungen nicht darum bemüht habe, die finanzielle Situation seiner Familie in den Griff zu bekommen; er sei (1) erheblich verschuldet. Diese Feststellung ist nicht zu beanstanden: Bei seiner ersten Verwarnung am 8. Oktober 2009 bestanden elf offene Verlustscheine in der Höhe von Fr. 24'593.05; zudem bezogen er und seine Gattin Sozialhilfegelder. Bei der zweiten Verwarnung hatten sich die Schulden fast verdoppelt, zudem war der Beschwerdeführer - weitgehend im Zusammenhang mit Bagatelldelikten (SVG) - fünfmal gebüsst bzw. mit Geldstrafen belegt worden. Im Herbst 2015 war der Beschwerdeführer in den Betreibungsregistern mit 54 Verlustscheinen im Gesamtbetrag von Fr. 93'331.05 und offenen Forderungen über Fr. 29'568.55 verzeichnet; dem Betreibungsamt gegenüber verschwieg er, dass seine Gattin eine IV-Rente von monatlich Fr. 3'100.-- bezog. Per Dezember 2016 bestanden 69 Verlustscheine über insgesamt Fr. 127'037.60; sieben Forderungen im Betrag von Fr. 8'986.05 unterlagen der Einkommenspfändung; zudem befanden sich noch zwei Forderungen im Umfang von Fr. 2'850.50 im Betreibungsstadium. Die Gattin des Beschwerdeführers war zum gleichen Zeitpunkt beim Betreibungsamt Au mit 20 offenen Verlustscheinen in der Höhe von insgesamt Fr. 36'748.45 verzeichnet. Gemäss dem Steuerausweis von 2016 beziehen B.A._ und die drei Kinder pro Jahr eine Invaliden- bzw. Kinderrente in der Höhe von insgesamt Fr. 37'620.-- und Ergänzungsleistungen von Fr. 33'204.-- (insgesamt Fr. 70'824.--). Gestützt auf diese Entwicklung durfte die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen, dass nicht anzunehmen ist, die finanzielle Situation werde sich in absehbar Zeit entspannen.
4.2.
Die erhebliche Verschuldung hat - entgegen der Kritik des Beschwerdeführers - auch als (2) mutwillig verursacht zu gelten:
4.2.1. Das Regionale Arbeitsvermittlungszentrum U._ stellte den Beschwerdeführer, was nicht bestritten ist, vom 7. Juli 2015 bis zum 29. Juni 2016 für insgesamt 73 Tage in seinen Taggeldern ein, da seine Arbeitsbemühungen in quantitativer und qualitativer Hinsicht nicht genügten und er zudem wiederholt zu Beratungsgesprächen nicht erschienen war. Trotz zweier Verwarnungen (und regelmässiger Hinweise auf diese bei den jeweiligen Verlängerungen der Bewilligung "auf Zusehens hin") baute der Beschwerdeführer seine Schulden nicht ab; im Gegenteil: Sie erhöhten sich weiter.
4.2.2. Zwar ist seine Gattin psychisch beeinträchtigt, weshalb sie IV-Leistungen erhält (3 /4-Rente); unbestrittenermassen leidet der älteste Sohn an Epilepsie. Ein Teil der Schulden standen direkt oder indirekt mit diesen Problemen im Zusammenhang, indessen weit nicht alle: Aus den Betreibungsregisterauszügen ist - wie die Vorinstanz darlegt und der Beschwerdeführer nicht bestreitet - ersichtlich, dass zumindest zwischen der ersten und der zweiten Verwarnung auch andere Schulden angefallen sind - so etwa nicht bezahlte Steuern, signifikante Ausgaben für mindestens ein Auto (trotz [bisweilen] sehr langer Arbeitslosigkeit) sowie hohe Ausgaben für Beleuchtungs- bzw. Elektrogeräte; weitere Schulden unbekannter Natur bestanden zudem einer Privatperson gegenüber.
4.2.3. Die Gattin des Beschwerdeführers war punktuell nicht fähig, für die Kinder zu sorgen; dies durfte den Beschwerdeführer indessen nicht daran hindern, sich weiter um eine Arbeitsstelle zu bemühen. Soweit er geltend macht, dass die Nichterfüllung der finanziellen Verpflichtungen mutwillig erscheinen müsse, nicht die Nichtaufnahme eines Arbeitsverhältnisses, verkennt er den Zusammenhang zwischen den finanziellen Verpflichtungen und dem Einkommen aus einer Arbeit, welches ihm erlaubt, für die entsprechenden Forderungen - ohne weitere Verschuldung - aufzukommen. Der Lebensunterhalt soll von den einzelnen Betroffenen durch ihr Einkommen selber bestritten werden und nicht auf Kosten der Gläubiger durch Schuldenwirtschaft.
4.2.4. Konnte die Gattin sich teilweise nicht um die Kinder kümmern, hätten Betreuungsalternativen in Betracht gezogen werden müssen. Trotz der vom Beschwerdeführer angerufenen, im vorinstanzlichen Verfahren nicht weiter belegten, häuslichen Erziehungs- und Haushaltführungspflichten durften ihn auch diese nicht davon abhalten, zumindest teilweise - ohne Erhöhung seiner Verschuldung - sich um den Unterhalt seiner Familie zu kümmern, zumal über die IV- und die Ergänzungsleistungen ein Jahreseinkommen von doch rund Fr. 70'000.-- anfiel; bereits durch einen Teilzeitjob hätte er die finanzielle Lage etwas entspannen und mit der Rückzahlung der Schulden beginnen können.
4.2.5. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz einen Arbeitsvertrag als Stapelfahrer einreichte, wäre es an ihm gewesen, zu belegen, dass und wie er seit seiner entsprechenden Erwerbstätigkeit den Schuldenabbau tatsächlich in Angriff genommen hat. Ohne Sanierungsplan und Nachweis von dessen Befolgung, konnte der Beschwerdeführer nicht allein mit dem Einreichen des Arbeitsvertrags belegen, dass er an der Verbesserung seiner Situation ernstlich arbeitet. Den Hinweis, er habe den Sozialarbeiter der Gemeinde kontaktiert, durfte die Vorinstanz - ohne weitere konkrete Angaben und Belege - willkürfrei als ungenügend einschätzen, um einen - inzwischen allenfalls tatsächlich erfolgten - Schuldenabbau zu belegen.
5.
Auch die Interessenabwägung des Verwaltungsgerichts ist im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK bzw. <ref-law> zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids nicht zu beanstanden:
5.1. Der Beschwerdeführer verschuldete sich bald nach seiner Einreise und bezog Sozialhilfegelder. Trotz zweier Verwarnungen erhöhte sich seine Verschuldung regelmässig, statt sich (zumindest) zu konsolidieren oder gar zu reduzieren. Zu dieser Zeit hatte er noch nicht für den Unterhalt von Kindern zu sorgen. Wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgehalten hat (<ref-law>), kam der Beschwerdeführer seinen finanziellen Verpflichtungen während praktisch der ganzen Dauer seines Aufenthalts in der Schweiz nicht oder nur unter Druck betreibungsrechtlicher Massnahmen nach. Der Beschwerdeführer war immer wieder erwerbstätig, doch verlor oder wechselte er häufig seine Stelle und war zudem wiederholt längere Zeit arbeitslos. Er hat die ihm gebotenen Chancen nicht zu nutzen vermocht und zeigte seinen Zahlungsverpflichtungen gegenüber eine problematische Gleichgültigkeit, was sich auch daraus ergibt, dass er das Einkommen aus einzelnen Gelegenheitsjobs den Behörden gegenüber verschwieg. Trotz seines langjährigen Aufenthalts in der Schweiz hat seine Integration - nach der unbeanstandeten Beweiswürdigung der Vorinstanz - weitgehend als misslungen zu gelten.
5.2.
5.2.1. Der Beschwerdeführer kam erst im Alter von 24 Jahren in die Schweiz und wurde somit in der Heimat sozialisiert. Er ist mit der dortigen Kultur und Sprache nach wie vor vertraut. Es ist ihm möglich, in seiner Heimat wieder Fuss zu fassen. Seine Ehefrau stammt ebenfalls aus Serbien. Sie ist jedoch bereits im Kindesalter in die Schweiz gekommen. Eine Rückkehr in die Heimat mit der intakten Kernfamilie, d.h. mit ihrem Ehemann und den gemeinsamen Kindern, dürfte ihr nicht leicht fallen, ist ihr objektiv aber nicht unzumutbar: Sowohl ihre psychischen Beeinträchtigungen als auch die Epilepsie des Sohns sind in Serbien behandelbar (vgl. die Urteile des Bundesverwaltungsgerichts D-503/2014 vom 12. März 2015 E. 7.3.2 und E-1723/2008 vom 30. März 2012 E. 8.4.5 sowie Staatssekretariat für Migration, "Focus Serbien" vom 17. Mai 2017, Medizinische Grundversorgung, insbesondere in Südserbien sowie Auskunft der Länderanalyse der Schweizerischen Flüchtlingshilfe, "Serbien: Psychiatrische Behandlung für Roma", 8. Juni 2016).
5.2.2. Die Kontakte zu den medizinischen Fachkräften in der Heimat können von hier aus geplant und die medizinischen Dossiers zeitgerecht überstellt werden, sodass die Behandlungen ohne einen längeren Unterbruch fortgesetzt werden können. Der Umstand, dass die medizinische Versorgung in der Schweiz allenfalls besser ist als in Serbien, ändert an der Zumutbarkeit einer Rückkehr in die Heimat nichts. Zu berücksichtigen ist im Übrigen, dass die Familie in Serbien mit den schweizerischen IV-Leistungen über eine komfortable wirtschaftliche Grundlage verfügt, liegen - wie die Vorinstanz zutreffend festgestellt hat und der Beschwerdeführer nicht bestreitet - diese doch deutlich über einem monatlichen serbischen Durchschnittsverdienst.
5.3.
5.3.1. Die Kinder befinden sich noch in einem anpassungsfähigen Alter; sie dürften über die Familie mit den heimatlichen sozio-kulturellen Verhältnissen nicht gänzlich unvertraut sein, zumal sie in der Heimat auch Ferien verbracht haben. Allfällige sprachliche Lücken können mit Hilfe der Eltern geschlossen werden. Ein Wechsel von einem Land in das andere durch Ausländer im Alter der Kinder des Beschwerdeführers wird regelmässig selbst ohne vertiefte Sprachkenntnisse als möglich und zumutbar erachtet, wenn es um den Umzug aus dem Heimatland in die Schweiz geht. Auch die umgekehrte Übersiedlung erscheint daher als zumutbar, falls nicht besondere, erschwerende Umstände dem entgegenstehen (Urteile 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 4.3.3 und 2C_426/2010 vom 16. Dezember 2010 E. 4.2). Ein solches Hindernis könnte etwa in der Epilepsie des ältesten Sohnes gesehen werden. Da dessen Krankheit jedoch auch in der Heimat behandelt werden kann, fällt der entsprechende Umstand nicht wesentlich ins Gewicht. Die Kinder können sich in Serbien einen Kreis neuer Freunde schaffen. Das hier Gelernte wird ihnen auch in der Heimat nützlich sein. Allfällige unterschiedliche schulische Bildungsniveaus gleichen sich über die Zeit hinweg aus.
5.3.2. Zwar macht der Beschwerdeführer geltend, dass die ganze Familie in der Schweiz verwurzelt sei und durch die aufenthaltsbeendende Massnahme aus ihrem sozialen Netz gerissen würde. Die entsprechenden - sehr allgemein gehaltenen - Behauptungen hat der Beschwerdeführer bisher in keinem der verschiedenen Verfahren auch nur ansatzweise konkretisiert und belegt; der Beschwerdeführer nannte keinerlei Namen von Personen, die mit seiner Familie engeren Umgang pflegen würden. Schliesslich können die anderen Mitglieder der Kernfamilie weiterhin in der Schweiz bleiben, falls sie dies wünschen; sie verfügen einerseits über Niederlassungsbewilligungen, andererseits richtet sich die aufenthaltsbeendende Massnahme nicht gegen sie, sondern ausschliesslich gegen den Beschwerdeführer. Dieser kann - sollte seine Familie hier bleiben wollen - die familiären Beziehungen besuchsweise und über die elektronischen Medien grenzüberschreitend aufrecht erhalten. Die Kritik des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe die Interessen der Kinder in Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) nicht genügend gewichtet, ist unbegründet; es kann insofern auf die Ausführungen in Erwägung 4 des angefochtenen Entscheids verwiesen werden.
5.3.3. Zu berücksichtigen ist schliesslich, dass die aufenthaltsbeendende Massnahme zeitlich nur begrenzt gilt: Soweit der Betroffene, gegen den eine Entfernungsmassnahme ergriffen wurde, weiterhin in den Kreis der nach <ref-law> nachzugsberechtigten Personen fällt und seine hier anwesenden nahen Angehörigen es vorziehen sollten, im Land zu verbleiben und dem Betroffenen nicht in die Heimat zu folgen und dort das Familienleben fortzusetzen, ist auf Antrag hin eine Neubeurteilung angezeigt, falls der Betroffene sich in der Heimat bewährt hat, sodass davon ausgegangen werden kann, dass er sich nunmehr künftig wirtschaftlich, sozial und sprachlich in die hiesigen Verhältnisse einleben wird und keine Gefahr besteht, dass er - mit zusätzlichen Schulden - weitere Gläubigerinteressen gefährdet.
6.
6.1. Zusammengefasst ergibt sich, dass der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht verletzt: Das staatliche Anliegen, dass nicht jahrelang Gläubiger durch eine ausländische Person immer stärker geschädigt werden, ist als öffentliches Interesse grundsätzlich anerkannt (vgl. die EGMR-Urteile Konstantinov gegen Niederlande vom 26. April 2007 [Nr. 16351/03] § 50 ["wirtschaftliches Wohl des Landes"] und Hasanbasic gegen Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 mit weiteren Hinweisen). Die Höhe und die Dauer der mutwillig eingegangenen Verschuldung, die der Betroffene in einer ihm vorwerfbaren Weise nicht abträgt bzw. zusehends erhöht, bilden ein legitimes öffentliches Interesse daran, um in seinen Anspruch auf Schutz des Familienlebens eingreifen zu können, soweit die Interessenabwägung nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK überhaupt vorzunehmen ist, nachdem es der Familie vorliegend insgesamt zugemutet werden kann, mit dem Gatten in die gemeinsame Heimat auszureisen, wo sie mit den IV-Leistungen wirtschaftlich eine weitgehend abgesicherte Existenz führen können. Art. 8 EMRK ist nur dann berührt, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person beeinträchtigt, ohne dass es dieser möglich bzw. zumutbar wäre, ihr Familienleben andernorts zu pflegen (<ref-ruling> E. 6.1 S. 12). Eine solche Unzumutbarkeit liegt hier nicht vor.
6.2. Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht Noven vorbringt, können diese - wie dargelegt (vorstehende E. 2.3) - nicht berücksichtigt werden; sie sind gegebenenfalls im Rahmen eines neuen Bewilligungsgesuchs beim Migrationsamt geltend zu machen.
7.
7.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nach dem Gesagten abzuweisen. Der vor Bundesgericht als Novum geltend gemachte Abbau der Verschuldung in der Zeit zwischen dem angefochtenen Entscheid und dem vorliegenden Urteil sind mit den entsprechenden Beweisen gegebenenfalls vor dem Migrationsamt St. Gallen als neue Entwicklung vorzubringen, die möglicherweise zu einem weiteren Aufenthalt des Beschwerdeführers bei seiner Familie in der Schweiz Anlass geben kann (vgl. das Urteil 2C_883/ 2018 vom 21. März 2019 E. 4).
7.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration (SEM) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar