Faits :
A.
A._, né en 1956, a travaillé au service de l'établissement B._, établissement médico-social, depuis 2002, d'abord en qualité de chef de service, puis de directeur administratif et ressources humaines, et enfin de directeur général adjoint. Il a été mis au bénéfice d'une rente-pont AVS partielle à compter du 1 er janvier 2017; une mise à la retraite anticipée complète était prévue pour le 1 er janvier 2018.
Entre-temps, des soupçons d'irrégularités et de manquements répétés dans l'accomplissement de ses fonctions ont conduit l'établissement B._ à suspendre le prénommé de ses fonctions avec effet immédiat et à ouvrir une enquête administrative à son encontre en novembre 2016. Son traitement a été suspendu, avec effet immédiat, par décision du 7 juin 2017.
Le 13 février 2017, A._ a demandé à anticiper son départ à la retraite complète au 1 er décembre 2017, en raison de nouvelles mesures structurelles prises par la caisse de pension de l'Etat de Genève (augmentation de l'âge pivot avec effet au 1 er janvier 2018). Dans un courriel du 16 mai 2017, l'employeur a répondu qu'il se prononcerait après la clôture de l'enquête administrative. Par lettre du 15 novembre 2017, A._ a sollicité l'employeur de se déterminer jusqu'au 22 novembre suivant sur sa demande d'anticipation du départ à la retraite.
Le 17 novembre 2017, l'enquêteur a rendu son rapport, à la suite de quoi A._ a informé son employeur qu'il entendait déposer des observations dans un délai de 30 jours.
B.
Par acte du 29 novembre 2017, l'intéressé a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève d'un recours, dans lequel il lui demandait de constater que son employeur n'avait pas répondu à sa requête de mise à la retraite anticipée au 1 er décembre 2017 et de renvoyer la cause à celui-ci pour prise de décision. Subsidiairement, il concluait à ce qu'il soit ordonné à l'établissement B._ d'accepter sa requête.
Le 6 février 2018, la juridiction cantonale a rendu son jugement, dans lequel elle a rejeté le recours, en tant qu'il était recevable.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire par mémoire du 14 mars 2018, dans lequel il conclut à l'annulation du jugement cantonal et reprend en substance les conclusions formulées devant l'autorité précédente.
La cour cantonale persiste dans les considérants et le dispositif de son jugement. L'intimée conclut à l'irrecevabilité des recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 186).
1.2. L'établissement B._ est un établissement médico-social de droit public qui accueille des personnes âgées (cf. loi cantonale genevoise [xxx] concernant l'établissement B._). Son personnel est soumis au statut de la fonction publique tel que défini par la loi générale du 4 décembre 1997 relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux (LPAC; RSG B 5 05). La présente cause concerne ainsi des rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Il porte sur une contestation pécuniaire, dans la mesure où le recourant fait valoir qu'un départ à la retraite anticipée (complète) en 2017 conduit à une rente LPP plus élevée par rapport à celle à laquelle il a droit en partant à la retraite en 2018. Le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre donc pas en considération.
Selon les allégués du recourant, la perte s'élève à 133 fr. 50 par mois. Ses allégués ne sont pas contestés, de sorte que l'on pourrait admettre que la valeur litigieuse, sur la durée, atteint le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public dans le domaine des rapports de travail de droit public (art. 51 al. 1 let. a et 85 al. 1 let. b LTF). En tout état de cause, si la voie ordinaire du recours en matière de droit public n'était pas ouverte, celle du recours constitutionnel subsidiaire le serait (art. 113 LTF). En effet, le recourant invoque la violation de droits constitutionnels (art. 116 LTF) - griefs qui peuvent être soulevés dans ces deux types de recours - et peut se prévaloir d'un intérêt juridique protégé puisqu'il se plaint d'un déni de justice formel au sens de l'art. 29 al. 1 Cst. (art. 115 LTF; <ref-ruling> consid. 2 p. 308; arrêt 8D_1/2016 du 23 janvier 2017 consid. 3.1).
1.3. Par ailleurs, l'intimée soutient à tort que le recourant n'a pas d'intérêt actuel à recourir. En effet, à ce jour, il n'apparaît pas que l'intimée ait rendu la décision requise par le recourant. Quant à l'impossibilité alléguée de modifier rétroactivement la date du départ à la retraite anticipée, elle est dépourvue de pertinence dans une procédure ouverte pour déni de justice formel. En outre, on ne voit pas pour quelles raisons la situation ne pourrait être rétablie par le biais d'un versement rétroactif de prestations, correspondant à la différence entre le montant de la rente-pont à laquelle prétend le recourant et le montant de celle qu'il perçoit effectivement. Au demeurant, lorsque le refus ou le retard à statuer entraînent un dommage, l'administré peut, selon les circonstances, actionner l'Etat en réparation (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 533; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 417). Enfin, le recourant paraît avoir un intérêt à obtenir une décision de son employeur sur le moment de sa mise à la retraite (complète) au regard de la loi cantonale du 3 octobre 2013 sur la rente-pont AVS (LRP; RSG B 5 20). En effet, selon l'art. 4 al. 1 de cette loi, l'autorité ou l'organe compétent pour mettre fin aux rapports de service en cas de retraite ordinaire l'est également pour octroyer les prestations de la présente loi.
2.
L'art. 29 al. 1 Cst. consacre notamment le principe de la célérité ou, en d'autres termes, prohibe le retard injustifié à statuer. L'autorité viole cette garantie constitutionnelle lorsqu'elle ne rend pas la décision qu'il lui incombe de prendre dans le délai prescrit par la loi ou dans un délai que la nature de l'affaire ainsi que toutes les autres circonstances font apparaître comme raisonnable (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 277; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 409; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 331). Il en va de même lorsque l'autorité refuse de statuer ou ne le fait que partiellement (arrêt 8D_3/2016 du 1 er juin 2017 consid. 4.1 et les arrêts cités). En outre, pour pouvoir se plaindre avec succès d'un retard injustifié, la partie recourante doit être vainement intervenue auprès de l'autorité pour que celle-ci statue à bref délai (<ref-ruling> consid. 2d p. 248).
3.
Les juges cantonaux ont considéré qu'il ne pouvait être reproché à l'intimée de n'avoir pas rendu de décision dans le délai imparti au 22 novembre 2017. En effet, celle-ci avait clairement indiqué, au mois de mai précédent, qu'elle se prononcerait une fois le rapport d'enquête rendu. Comme le rapport d'enquête date du 17 novembre 2017, le délai imparti par le recourant était trop court. On ne pouvait pas non plus reprocher à l'intimée de n'avoir pas demandé de prolongation de délai ou de ne pas s'être exécutée avant le 29 novembre 2017 (date du recours cantonal) dans la mesure où le recourant avait sollicité de son côté un délai pour faire des observations sur le rapport d'enquête. Aussi la cour cantonale a-t-elle considéré que l'intimée n'avait pas refusé expressément de statuer alors qu'elle en avait l'obligation, ni tardé sans droit à statuer.
4.
Le recourant se plaint d'une violation de l'art. 29 al. 1 Cst. et d'une application arbitraire des art. 4 al. 4 et 4A de la loi (du canton de Genève) du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RSG E 5 10).
En tant qu'il reproche aux premiers juges d'avoir éludé la question de son droit à une rente-pont AVS (complète) au 1er décembre 2017, sa critique est mal fondée. En effet, en l'absence de décision de l'intimée, il n'appartenait pas à la cour cantonale de se prononcer sur le fond du litige. Il lui incombait uniquement d'examiner si, au moment du recours cantonal, on pouvait reprocher à l'intimée de n'avoir pas statué sur la prétention du recourant. En outre, on ne saurait déduire du jugement attaqué que les premiers juges ont dispensé l'intimée de rendre une décision formelle. Bien que cette dernière n'ait pas donné suite à la mise en demeure du 15 novembre 2017, le point du vue des premiers juges, selon lequel le délai imparti par le recourant était trop court et le dépôt du recours prématuré, n'apparaît pas critiquable. Enfin, si les raisons pour lesquelles l'intimée souhaitait attendre la clôture de l'enquête administrative avant de statuer sur la requête du recourant ne sont pas évidentes, on ne peut pas non plus considérer, d'emblée, que les résultats de l'enquête ne lui étaient d'aucune utilité.
Pour le reste, l'argumentation du recourant consiste à démontrer qu'il remplissait les conditions d'octroi d'une rente-pont AVS complète en 2017. Dans cette mesure, elle n'est pas admissible (art. 42 al. 2 LTF) car le recourant s'écarte de l'objet du litige, tel qu'il est circonscrit par la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 10).
5.
Il s'ensuit que les recours doivent être rejetés, dans la mesure où ils sont recevables.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Bien qu'elle obtienne gain de cause, l'intimée n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF; arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6.2).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public et le recours constitutionnel subsidiaire sont rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 9 novembre 2018
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella