Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1992; Beschwerdegegnerin) und B._ (geb. 1988; Beschwerdeführer) heirateten 2013. Sie sind die Eltern des Sohnes C._ (geb. 2014). Seit dem 22. April 2015 leben die Ehegatten getrennt und am 22. Mai 2015 leitete B._ das Eheschutzverfahren ein.
A.b. Mit Entscheid vom 8. Juni 2016 stellte das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft West den Sohn soweit heute noch interessierend für die Dauer des Getrenntlebens unter die geteilte Obhut der Eltern, wobei der zivilrechtliche Wohnsitz bei der Mutter sei. B._ berechtigte und verpflichtete es, das Kind jeweils wöchentlich von Freitag, 18.00 Uhr, bis Dienstag, 18.00 Uhr, zu sich zu nehmen und zu betreuen sowie mit dem Kind sechs Wochen Ferien zu verbringen.
A.c. Die von A._ hiergegen eingereichte Berufung hiess das Kantonsgericht Basel-Landschaft am 27. September 2016 teilweise gut und bestimmte, dass B._ das Kind in den geraden Kalenderwochen ab Freitag, 18.00 Uhr, bis Dienstag, 18.00 Uhr, und in den ungerade Kalenderwochen ab Samstag, 18.00 Uhr, bis Dienstag, 18.00 Uhr, sowie während sechs Wochen Ferien im Jahr betreuen solle. In der übrigen Zeit werde das Kind durch die Mutter betreut.
A.d. In teilweiser Gutheissung der von A._ eingereichten Beschwerde in Zivilsachen hob das Bundesgericht den Entscheid des Kantonsgerichts soweit die Betreuung des Kindes betreffend auf und wies die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung und zu neuer Entscheidung an das Kantonsgericht zurück (Urteil 5A_888/2016 vom 20. April 2018).
B.
Mit Entscheid vom 28. August 2018 (eröffnet am 12. Oktober 2018) entschied das Kantonsgericht erneut über die Betreuung von C._. Dabei legte es fest, dass B._ das Kind in den geraden Kalenderwochen ab Freitag, 18.00 Uhr, bis Dienstag, 18.00 Uhr, und in den ungeraden Kalenderwochen ab Sonntag, 18.00 Uhr, bis Dienstag, 18.00 Uhr, sowie während sechs Wochen Ferien im Jahr betreuen solle. In der übrigen Zeit werde das Kind durch die Mutter betreut.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 12. November 2018 gelangt B._ ans Bundesgericht. Er beantragt, es sei der Entscheid des Kantonsgerichts vom 28. August 2018 aufzuheben und der Ehemann und Vater als berechtigt und verpflichtet zu erklären, das Kind in den geraden Kalenderwochen ab Freitag, 18.00 Uhr, bis Dienstag, 18.00 Uhr, und in den ungeraden Kalenderwochen ab Sonntag, 18.00 Uhr, bis Mittwoch, 18.00 Uhr, sowie während sechs Wochen Ferien im Jahr zu betreuen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Ausserdem ersucht B._ für das Verfahren vor Bundesgericht um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) im Rahmen eines Eheschutzverfahrens über die Festlegung der Betreuungsanteile der obhutsberechtigten Eltern und damit über eine Zivilsache ohne Streitwert entschieden hat (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 45 Abs. 1 BGG).
1.2. Eheschutzentscheide gelten als Entscheide über vorsorgliche Massnahmen nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 5.1 und 5.2). Mit der Beschwerde gegen solche Entscheide kann gemäss <ref-law> nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz kommt nur infrage, wenn diese verfassungsmässige Rechte verletzt hat (vgl. <ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das bedeutet, dass der Schriftsatz der rechtsuchenden Partei die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten muss, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft demnach nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht, reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer erachtet die Festlegung der Betreuungsanteile durch das Kantonsgericht als willkürlich. Dabei ist strittig, ob das Kind in den ungeraden Kalenderwochen am Mittwoch durch die Mutter oder den Vater betreut wird.
Willkürlich ist ein Entscheid nach konstanter Praxis nicht schon dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint. Willkür in der Rechtsanwendung liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.1; 167 E. 2.1). Entsprechendes gilt auch für die Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung (vgl. <ref-ruling> E. 4.4).
2.2. Im Einzelnen rügt der Beschwerdeführer, die Betreuungszeiten des Vaters seien seit dem ursprünglichen Eheschutzentscheid vom 8. Juni 2016 kontinuierlich und grundlos eingeschränkt worden, was in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderlaufe. Zwar sei zutreffend, dass die Betreuungsanteile vorab mit Blick auf das Kindeswohl festzulegen seien. Es liege jedoch nicht im Wohl des Sohnes, dass der Kontakt zum Vater weiter eingeschränkt werde. Mit der vom Beschwerdeführer beantragten Betreuungsregelung erhalte der Sohn eine zusätzliche Möglichkeit, wichtige Alltagsrituale (Mahlzeiten, abendliches Zubettbringen, usw.) gemeinsam mit dem Vater zu erleben. Dies sei sowohl für die Entwicklung des Kindes als auch für die Beziehung zwischen Vater und Sohn von grösster Wichtigkeit.
Nicht nachvollziehbar sei das Argument des Kantonsgerichts, mit der verfügten Regelung werde eine grössere Regelmässigkeit im Wochenrhythmus des Kindes sichergestellt. Auch die vom Beschwerdeführer in Aussicht genommene Regelung führe zu keiner signifikanten Unregelmässigkeit in der Wochenstruktur, womit der angefochtene Entscheid mit der tatsächlichen Situation im klaren Widerspruch stehe. Es spreche auch nicht gegen eine (zusätzliche) Betreuung durch den Vater, wenn diesem die Grosseltern des Kindes behilflich seien. Ohnehin könne der Beschwerdeführer seine Arbeit so organisieren, dass er den Sohn auch unter der Woche problemlos am Nachmittag betreuen könne. Auch die Mutter müsse sodann einer Arbeit nachgehen, sodass auch sie auf die Mithilfe Dritter angewiesen sei.
2.3. Mit diesen Ausführungen trägt der Beschwerdeführer nichts vor, was die vom Kantonsgericht getroffene Regelung als willkürlich erscheinen lassen könnte. Vielmehr beschränkt er sich auf die Darlegung seiner eigenen Auffassung bzw. auf die Begründung der von ihm vorgezogenen Regelung und macht geltend, die abweichende Lösung des Kantonsgerichts sei unhaltbar. Der Beschwerdeführer verkennt sodann die Funktion des Rechtsmittelverfahrens, wenn er davon spricht, die ursprüngliche Regelung sei kontinuierlich eingeschränkt worden. Mit dem Rechtsmittel findet eine Überprüfung des erstinstanzlichen Urteils statt (vgl. etwa MAX KUMMER, Grundriss des Zivilprozessrechts, 4. Aufl. 1984, S. 187 f.). Es dient nicht der Abänderung einer bereits rechtskräftigen Regelung, diesfalls allein von einer Einschränkung der dem Beschwerdeführer zugestandenen Betreuungszeit die Rede sein könnte. Soweit überhaupt auf sie eingetreten werden kann, erweist sich die Beschwerde nach dem Ausgeführten als unbegründet.
2.4. Der Beschwerdeführer bestreitet sodann zu Recht nicht, dass das Bundesgericht in seinem Urteil 5A_888/2016 vom 20. April 2018 dem Kantonsgericht vorgegeben hat, eine Regelung der Betreuungsanteile zu finden, mit welcher kein Elternteil an den Wochenenden von der Betreuung des Kindes ausgeschlossen werde (vgl. Urteil, a.a.O., E. 4.1). Hieran war die Vorinstanz gebunden (vgl. <ref-ruling> E. 5.3.3; <ref-ruling> E. 2 [einleitend] und E. 2.1). Dem Urteil des Bundesgerichts lässt sich weiter entnehmen, dass beide Elternteile in der Betreuung des Kindes grundsätzlich gleichberechtigt sein sollen (vgl. etwa Urteil, a.a.O., E. 3.1, 3.2.1 und 4.2). Wie das Kantonsgericht richtig festhält, ist die nunmehr getroffene Betreuungsregelung auch in dieser Hinsicht ausgewogen, sodass der angefochtene Entscheid auch insoweit zu keinen Beanstandungen Anlass gibt.
3.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der obsiegenden Beschwerdegegnerin sind mangels Einholens einer Vernehmlassung keine ersatzpflichtigen Kosten entstanden, sodass keine Parteientschädigung zu sprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtlos beurteilt werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, und dem Zivilkreisgericht Basel-Landschaft West schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber