Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 19. Juni 2019 ist das Bundesgericht auf eine Beschwerde von A._ nicht eingetreten, weil sie nicht hinreichend begründet war (Verfahren 1B_299/2019).
2.
2.1. Mit Schreiben vom 24. Juli 2019 beantragt A._, das Urteil vom 19. Juni 2019 sei für gegenstandslos zu erklären und der Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen vom 8. Mai 2019 sei aufgrund einer erwiesenen Verwechslung ersatzlos aufzuheben. Aus der Begründung dieser Begehren geht hervor, dass er damit sinngemäss um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 19. Juni 2019 ersucht. Der Entscheid der Anklagekammer, der in jenem Verfahren angefochten war, kann jedoch im vorliegenden Revisionsverfahren nicht Anfechtungsobjekt sein. Auf den Antrag um dessen Aufhebung ist nicht einzutreten.
2.2. Die Aufhebung oder Abänderung eines Bundesgerichtsurteils ist nur bei Vorliegen eines Revisionsgrundes nach <ref-law> möglich.
Der Gesuchsteller macht geltend, das Bundesgericht habe in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt (<ref-law>). Konkret macht er geltend, es liege eine Verwechslung des Prozessgegenstands vor, wobei er dem Irrtum auch selbst unterlegen sei. Mit seinen Ausführungen kritisiert er im Ergebnis, dass das Bundesgericht gestützt auf seine Ausführungen in der Beschwerde vom 11. Juni 2019 auf seine Beschwerde hätte eintreten müssen. Diese Kritik betrifft jedoch die Rechtsanwendung. Eine in den Akten liegende erhebliche Tatsache, die das Bundesgericht aus Versehen nicht berücksichtigt hätte, ist nicht erkennbar.
Weiter behauptet der Gesuchsteller, sein Antrag sei unbeurteilt geblieben (<ref-law>). Zur Begründung führt er aus, er habe seine Willkürrüge in der Beschwerde hinreichend dargetan. Auch in dieser Hinsicht übt er somit im Ergebnis Kritik an der Rechtsanwendung durch das Bundesgericht. Der geltend gemachte Revisionsgrund liegt nicht vor.
3.
Das Revisionsgesuch ist ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Dem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ist angesichts der Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht zu entsprechen (<ref-law>). Umständehalber ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Juli 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold