Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführerin) wurde im Jahr 1999 an der rechten Hand operiert. Die Operation misslang und führte zu einem komplexen regionalen Schmerzsyndrom. Für den daraus resultierenden Haftpflichtfall erstellte Dr. med. C._ im Jahr 2007 ein Gutachten. Schliesslich wurde ein Vergleich über Fr. 800'000.-- abgeschlossen.
B.
B.a. Am 2. April 2010 stürzte die Beschwerdeführerin auf ihre rechte Hand. Acht Tage später meldete sie sich bei der ambulanten Notfallstation des Kantonsspitals U._ wegen Schmerzen im Ringfingerendglied, einer Schwellung der Weichteile im Nagelbereich und einer Rötung. Im Spital teilte man ihr mit, dass eine Operation notwendig sei. Am 13. April 2010 wurde die Beschwerdeführerin von einem leitenden Arzt und einem Oberarzt operiert.
B.b. Mit Schreiben vom 12. April 2011 machte die Beschwerdeführerin bei der B._ AG (Beschwerdegegnerin) Schadenersatz und Genugtuung geltend. Sie erklärte, sie sei wegen einer Infektion am 3. Mai 2010 im Kantonsspital V._ notfallmässig operiert worden, wobei die Kirschnerdrähte entfernt worden seien. Die Probleme am Ringfinger hätten sich auf die ganze Hand ausgedehnt, was zu weiteren Operationen und Spitalaufenthalten geführt habe. Der weitere Verlauf sei nicht absehbar.
B.c. Am 20. April 2011 reichte die Beschwerdeführerin der Staatskanzlei des Kantons Solothurn eine Kopie ihres Gesuchs vom 12. April 2011 um Schadenersatz und Genugtuung ein.
B.d. Nachdem das Verfahren länger sistiert war, ergänzte die Beschwerdeführerin ihr Gesuch am 31. März 2015 und reichte ein Privatgutachten von Dr. med. C._ vom 22. November 2013 ein. Sie machte geltend, als Folge der Behandlung im Kantonsspital U._ sei ihre Hand praktisch gänzlich gebrauchsunfähig geworden. Sie bezifferte ihren Haushaltschaden auf Fr. 21'965.-- pro Jahr und beantragte eine Genugtuung von Fr. 40'000.-- nebst Zins. Schliesslich reichte sie am 1. April 2015 die Kostennote ihres Rechtsanwalts über Fr. 17'289.-- und eine Honorarrechnung des Gutachters Dr. med. C._ über Fr. 9'350.-- nach.
B.e. Die Staatskanzlei zog die Akten des Kantonsspitals V._ zur Behandlung der Beschwerdeführerin an der rechten Hand bei. Mit verfahrensleitender Verfügung vom 18. Januar 2016 wurde die Beschwerdeführerin aufgefordert, alle Akten zum Haftpflichtfall aus dem Jahr 1999 samt Gutachten von Dr. med. C._ aus dem Jahr 2007 einzureichen. Mit Eingabe vom 18. März 2016 machte die Beschwerdeführerin geltend, es handle sich um einen unzulässigen und unsubstanziierten Ausforschungsbeweis. Die Vorbehandlungen seien für den aktuellen Vorzustand irrelevant, da die Restproblematik der Operation von 1999 nur noch auf die lokale Operationsstelle beschränkt sei. Als Beilage reichte sie lediglich Auszüge aus dem Gutachten von Dr. med. C._ aus dem Jahr 2007 ein. Am 11. Juni 2016 reichte die Beschwerdeführerin zusätzliche Röntgenunterlagen ein. Die Beschwerdeführerin weigerte sich auf entsprechende Aufforderung hin, weitere Akten einzureichen. Am 12. August 2016 stimmte die Beschwerdeführerin dem Beizug der IV-Akten zu und reichte die von Dr. med. C._ erhaltenen Dokumente aus dem Jahr 2007 samt vollständigem Gutachten sowie eine Aufstellung zu den Haushaltstätigkeiten ein. Die eingeholten IV-Akten wurden bis und mit 1998 als vertraulich bezeichnet, im Übrigen wurde der Beschwerdegegnerin Einsicht gewährt, worauf diese am 20. Januar 2017 Stellung nahm. Am 22. August 2017 wurde bei PD Dr. med. D._ ein Gutachten in Auftrag gegeben, welches am 3. November 2017 erstellt und nach Zusatzfragen der Parteien am 2. Juli 2018 ergänzt wurde.
B.f. Mit Verfügung vom 12. April 2019 wies die Staatskanzlei das Gesuch um Schadenersatz und Genugtuung ab.
C.
Die dagegen gerichtete Beschwerde der Beschwerdeführerin wies das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn am 24. Juni 2020 ab.
D.
Die Beschwerdeführerin beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 24. Juni 2020 sei aufzuheben. Sie erneuert ihr letztes Rechtsbegehren vor dem Verwaltungsgericht und verlangt Ersatz des bisherigen Haushaltschadens von Fr. 197'685.-- nebst Zins zu 5 % seit 3. Oktober 2014, des künftigen Haushaltschadens von Fr. 225'807.--, der Gutachterkosten von Fr. 9'350.-- nebst Zins zu 5 % seit 22. November 2011 und der Anwaltskosten von Fr. 17'289.-- nebst Zins zu 5 % seit 12. März 2015 sowie eine Genugtuung von Fr. 40'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 13. April 2010. Eventualiter sei die Sache an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und das Verwaltungsgericht tragen auf Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten sei.
Die Parteien replizierten und duplizierten.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegenstand des angefochtenen Urteils sind Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung wegen fehlerhafter Behandlung in einem öffentlichen Spital nach dem kantonalen öffentlichen Haftungsrecht. Da solche Entscheide in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht stehen, ist dagegen nach <ref-law> die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (vgl. Art. 31 Abs. 1 lit. d und Art. 30 Abs. 1 lit. c Ziff. 1 BGerR sowie <ref-ruling> E. 1.1 S. 331; <ref-ruling> E. 2.1 S. 465). Im Übrigen geben die Eintretensvoraussetzungen zu keinen Bemerkungen Anlass.
1.2. Die Beschwerdeführerin reicht dem Bundesgericht verschiedene kantonale Aktenstücke ein, welche sie als zentral beurteilt. Dies ist unnötig. Die paginierten kantonalen Akten wurden beigezogen und sind dem Bundesgericht vollständig zugänglich.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein; nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereichte Ergänzungen sind unzulässig. Die Replik dient einzig dazu, sich zur gegnerischen Stellungnahme zu äussern (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286; Urteil 5A_626/2018 vom 3. April 2019 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des kantonalen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Ausserdem muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens erheblich sein (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen. Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18; Urteil 4A_125/2020 vom 10. Dezember 2020 E. 2.1 f., zur Publ. vorgesehen).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanzen hätten ihr Ermessen einseitig ausgeübt. Das Verfahren sei von Anbeginn auf eine Ablehnung der Haftung ausgerichtet gewesen. Offensichtlich würden die Vorinstanzen ausnützen, dass bei der kantonalen Staatshaftung hohe Hürden für die bundesgerichtliche Überprüfung bestünden. Zu dieser sogar in der Presse festgestellten Einseitigkeit könne auf die Urteile 4A_12/2008 und 4A_579/2019 verwiesen werden. Eine ergebnisoffene Rechtsprechung liege nicht mehr vor, "wenn wir in mehreren 100 Fällen pro Jahr praktisch nur Ablehnungen verzeichnen". Die Beschwerdeführerin ersucht das Bundesgericht, dieser "geschädigtenfeindlichen Praxis mit krass einseitiger Verfahrensführung in diesem Kanton endlich einen Riegel zu schieben".
3.2. Die Vorinstanz weist diese Vorwürfe in ihrer Vernehmlassung zurück und erklärt, die Beschwerdeführerin suggeriere, pro Jahr würden Hunderte Staatshaftungsfälle gegen die Beschwerdegegnerin abschlägig beurteilt. In Wahrheit sei im vergangenen Jahrzehnt durchschnittlich ein solcher Fall pro Jahr beurteilt worden.
3.3. Dass im Kanton Solothurn eine geschädigtenfeindliche Praxis herrschen würde oder dass die Verfahrensführung in diesem Kanton krass einseitig wäre, belegt die Beschwerdeführerin nicht. Sie verweist bloss auf zwei höchstrichterliche Entscheide: Im Urteil 4A_579/2019 vom 18. Februar 2020 schützte das Bundesgericht ein Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn, worin ein Gesuch um Schadenersatz und Genugtuung abgewiesen worden war. Mit Urteil 4A_12/2008 vom 14. März 2008 bestätigte das Bundesgericht ein Urteil, worin das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn ein Schadenersatzbegehren wegen Verwirkung abgewiesen hatte. Dass das Bundesgericht in diesem Verfahren zuvor eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde gutgeheissen und die Angelegenheit zur Durchführung einer öffentlichen Verhandlung an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen hatte (Urteil 4D_22/2007 vom 16. Juli 2007), erwähnt die Beschwerdeführerin nicht. Jedenfalls legt die Beschwerdeführerin mit der Nennung dieser Urteile und auch mit ihren übrigen Ausführungen nicht im Ansatz dar, dass die Solothurner Justiz bei Staatshaftungsfällen voreingenommen wäre. Offensichtlich unzutreffend ist die Insinuation, es würden jährlich Hunderte von Staatshaftungsklagen abgewiesen.
4.
4.1. Der vorliegende Rechtsstreit beurteilt sich nach dem solothurnischen Gesetz vom 26. Juni 1966 über die Haftung des Staates, der Gemeinden, der öffentlich-rechtlichen Körperschaften und Anstalten und die Verantwortlichkeit der Behörden, Beamten und öffentlichen Angestellten und Arbeiter (VG, Verantwortlichkeitsgesetz; BGS 124.21).
Gemäss § 2 VG haftet der Staat für den Schaden, den ein Beamter in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich mit oder ohne Verschulden zufügt. Die Bestimmungen für den Staat gelten auch für das kantonale Spital (§ 1 Abs. 3 VG). Nach § 8 Abs. 3 VG gibt eine Körperverletzung der verletzten Person Anspruch auf Ersatz der Kosten sowie auf Entschädigung für die Nachteile gänzlicher oder teilweiser Arbeitsunfähigkeit, unter Berücksichtigung der Erschwerung des wirtschaftlichen Fortkommens. Nach § 9 Abs. 1 VG kann das Gericht unter Würdigung der besonderen Umstände eine angemessene Geldsumme als Genugtuung zusprechen, sofern ein Verschulden vorliegt.
4.2. Nach dem Gesagten beurteilt sich die Haftung der Beschwerdegegnerin nach dem kantonalen Verantwortlichkeitsgesetz, welches ergänzend auf das Obligationenrecht verweist. Dessen Bestimmungen bilden damit kantonales Recht (BGE 79 II 424 E. 1 S. 431 f.; <ref-ruling> E. 3 S. 212; vgl. auch <ref-ruling> E. 1a S. 251, je mit Hinweisen) und sind der Prüfung durch das Bundesgericht grundsätzlich entzogen (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft lediglich, ob die Anwendung kantonalen Rechts willkürlich ist und <ref-law> verletzt (<ref-ruling> E. 1.4 S. 253 f.; <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 470; <ref-ruling> E. 3.1.3 S. 14).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin bestreitet, in die Operation vom 13. April 2010 eingewilligt zu haben.
5.2. Es obliegt dem Arzt zu beweisen, dass er den Patienten ausreichend aufgeklärt und dass dieser in den Eingriff eingewilligt hat. Liegt keine solche Einwilligung vor, kann sich der Arzt auf eine hypothetische Einwilligung berufen. Auch hier liegt die Beweislast beim Arzt, wobei der Patient mitwirken muss, indem er glaubhaft macht oder wenigstens die persönlichen Gründe anführt, warum er sich der Operation widersetzt hätte, insbesondere wenn er die Risiken gekannt hätte. Grundsätzlich darf nicht von einer hypothetischen Einwilligung ausgegangen werden, wenn Art und Schwere des Risikos eine erhöhte Informationspflicht geboten hätten, welcher der Arzt nicht nachgekommen ist. In einem solchen Fall ist es denkbar, dass sich der Patient, hätte er die umfassende Information erhalten, in Bezug auf die zu treffende Entscheidung in einem echten Konflikt befunden und eine Bedenkzeit verlangt hätte. Nach der Rechtsprechung darf nicht ohne weiteres ein objektiver Massstab angelegt werden. Massgebend ist vielmehr die persönliche und konkrete Situation des Patienten, um den es geht. Nur wenn der Patient keine persönlichen Gründe geltend macht, die ihn zur Ablehnung der vorgeschlagenen Operation veranlasst hätten, ist nach objektivem Massstab auf die Frage abzustellen, ob die Ablehnung des Eingriffs vom Standpunkt eines vernünftigen Patienten aus verständlich wäre (<ref-ruling> E. 4.1.3 S. 129 f.; 117 Ib197 E. 5c S. 208 f.; Urteil 4A_137/2015 vom 19. August 2015 E. 8.1, nicht publ. in <ref-ruling>).
5.3. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin sei am 10. April 2010 über die Risiken der Operation aufgeklärt worden. Sie habe unterschriftlich bestätigt, dass sie den Aufklärungsbogen verstanden habe und dass allfällige Fragen beantwortet worden seien.
Nach den Feststellungen der Vorinstanz wurde die Beschwerdeführerin über die Operationsmethode nach Lengemann aufgeklärt. Hingegen sei ein Extension-block-pinning mit zwei Kirschnerdrähten auf dem Aufklärungsbogen nicht angekreuzt worden. Diese Operationsmethode, die schliesslich in die Tat umgesetzt wurde, sei somit nicht durch eine explizite Einwilligung der Beschwerdeführerin gedeckt.
Allerdings schloss die Vorinstanz, dass die Beschwerdeführerin auch über die Risiken der umgesetzten Operationsmethode aufgeklärt worden sei. Insbesondere sei die Gefahr einer Versteifung des Gelenks und einer Infektion der Weichteile erwähnt worden. Die Vorinstanz setzte sich auch mit dem Argument der Beschwerdeführerin auseinander, sie habe der Operation nur zugestimmt, weil beteuert worden sei, es handle sich um einen Kleineingriff von 20 Minuten. Dazu erwog die Vorinstanz, das Gutachten von Dr. med. C._ nenne als Vorteile der umgesetzten Operationsmethode einen möglicherweise schnelleren Eingriff und den Verzicht auf die Öffnung des Gelenks. Die Vorinstanz schloss daraus, dass die umgesetzte Methode einen geringeren Eingriff bedeutet hätte als die besprochene Methode, wenn die Drähte wie geplant durch die Haut hätten eingebracht werden können. Da sich dies während der Operation als unmöglich herausgestellt habe, sei eine Öffnung erforderlich gewesen und habe der Eingriff 35 Minuten gedauert. Eine Öffnung wäre aber auch bei der besprochenen Operationsmethode notwendig gewesen, in welche die Beschwerdeführerin ausdrücklich eingewilligt habe. Somit könne sich die Beschwerdeführerin nicht auf den Standpunkt stellen, die umgesetzte Operationsmethode sei kein Kleineingriff und daher von ihrer hypothetischen Einwilligung nicht erfasst. Dr. med. C._ habe erklärt, bei beiden Operationsmethoden bestehe kein erhöhtes Risiko einer Strecksehnennekrose, wenn gewebeschonend operiert werde. Zudem habe er festgehalten, es könne nur vermutet werden und sei noch nicht durch grosse vergleichende Studien belegt, dass bei der besprochenen Operationsmethode das Infektionsrisiko tiefer gewesen wäre. Da ein höheres Infektionsrisiko durch die umgesetzte Operationsmethode nicht überwiegend wahrscheinlich sei und die Beschwerdeführerin insgesamt über die eingetretenen Risiken aufgeklärt worden sei, könne sie aus der fehlenden Aufklärung über die umgesetzte Operationsmethode nichts ableiten.
5.4. Die dagegen gerichteten Rügen der Beschwerdeführerin verfangen nicht.
5.4.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt "in unzähligen Punkten offensichtlich unvollständig und unrichtig festgestellt" und den Anspruch auf rechtliches Gehör "gleich mehrfach verletzt".
Allerdings erschöpfen sich die Ausführungen der Beschwerdeführerin weitgehend in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn sie vorträgt, dass weder der wahre Umfang der Verletzung noch der dafür nötige Operationsplan sorgfältig erkannt und richtig mit ihr erörtert worden seien; dass erst nach Rücksprache mit dem Chefarzt die wahre Natur der Verletzung mitberücksichtigt worden sei; dass der gänzlich andere Operationsplan die besprochenen Pläne und Zusicherungen über den Haufen geworfen habe; dass Fehler rund um die Operation mit Wissen des Vorgesetzten vertuscht worden seien; dass Machenschaften zur Vermeidung von Haftpflichtansprüchen veranlasst worden seien; dass der Operationsbericht verspätet verfasst und versandt worden sei; oder dass sie eine konservative Massnahme gewählt hätte, wenn sie um deren Möglichkeit gewusst hätte.
Darauf ist nicht einzutreten.
5.4.2. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz kehre ihre Bestreitungen um und deklariere sie als ihre eigenen Vorbringen.
Es trifft zu, dass die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren behauptete, nicht in die Operationsmethode nach Lengemann eingewilligt zu haben. Es trifft auch zu, dass die Vorinstanz dennoch zum Schluss kam, die Beschwerdeführerin habe in diese Operationsmethode eingewilligt. Die Beschwerdeführerin zeigt nicht auf, inwiefern dieser Schluss die vorinstanzliche Beweiswürdigung im Ergebnis als willkürlich erscheinen lassen soll, zumal der Aufklärungsbogen die vorinstanzliche Feststellung stützt.
5.4.3. Die Beschwerdeführerin macht ferner geltend, die Ärzte seien nicht erst wegen Komplikationen während der Operation auf die schliesslich umgesetzte Methode ausgewichen. Vielmehr sei der Entscheid schon vor dem Eingriff auf diese Operationsmethode gefallen.
In der Tat ist auf dem Formular "Spitaleinweisung" eine "K-Drahtosteosynthese" eingetragen. Doch selbst wenn man daraus schliesst, die Wahl sei schon vor der Operation auf diese Methode gefallen, ändert dies nichts daran, dass die Vorinstanz ohne Willkür erwägen durfte, dass die Beschwerdeführerin auch über die Risiken dieser Methode aufgeklärt wurde. Gänzlich unberührt von diesem Aktenstück bleiben die vorinstanzlichen Erwägungen, dass sich erst während der Operation ergab, dass die Drähte nicht wie geplant durch die Haut eingebracht werden konnten.
5.4.4. Die Beschwerdeführerin beanstandet sodann, dass sich die Vorinstanz auf das Urteil 4A_160/2015 vom 13. Juli 2015 berief. Dieser Entscheid betreffe eine andere Ausgangslage. Dort sei es um eine Notfallsituation gegangen, in der bei den Risiken der beiden Operationen keine Unterschiede bestanden und der Patient wegen Schmerzen keine Alternative zur Einwilligung gehabt habe. Die Beschwerdegegnerin führt dazu aus, der vorliegende Fall sei durchaus mit dem Sachverhalt gemäss Urteil 4A_160/2015 vom 13. Juli 2015 vergleichbar. Entgegen den Angaben der Beschwerdeführerin habe auch dort keine akute Notfallsituation vorgelegen, in der sofort gehandelt werden musste.
Die Diskussion braucht nicht vertieft zu werden. Denn die Beschwerdeführerin verkennt mit ihren Ausführungen die Einschränkung der zulässigen Rügen und die sich daraus ergebenden Begründungsanforderungen (vgl. E. 2.2 und 4.2 hiervor). Das Bundesgericht hat nicht zu prüfen, ob der vorliegende Fall vergleichbar ist mit dem Sachverhalt, der dem Urteil 4A_160/2015 vom 13. Juli 2015 zugrunde lag. Vielmehr müsste die Beschwerdeführerin aufzeigen, dass das angefochtene Urteil im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist. Sie legt aber nicht rechtsgenüglich dar, dass es geradezu stossend ist, wenn die Vorinstanz erwägt, die Risiken der besprochenen und der umgesetzten Operationsmethode seien vergleichbar, weshalb es nicht schade, dass die umgesetzte Operationsmethode nicht besprochen worden sei.
6.
6.1. Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, die Operation vom 13. April 2010 habe gegen die Regeln der ärztlichen Kunst verstossen, und die postoperative Nachbehandlung sei widerrechtlich erfolgt, da sie ohne Aufklärung erfolgt sei.
6.2. Ein sorgfaltswidriges oder widerrechtliches ärztliches Verhalten kann namentlich darin liegen, dass bei der Behandlung in einem Spital gegen die objektiv gebotene Sorgfalt der ärztlichen Kunst verstossen wird (<ref-ruling> E. 4d/ee; <ref-ruling> E. 4a S. 414, 115 Ib 175 E. 2a S. 180). Die Anforderungen an die ärztliche Sorgfaltspflicht lassen sich nicht abschliessend festlegen; sie richten sich vielmehr nach den Umständen des Einzelfalls, namentlich nach der Art des Eingriffs oder der Behandlung, den damit verbundenen Risiken, dem Ermessensspielraum, den Mitteln und der Zeit, die dem Arzt im einzelnen Fall zur Verfügung stehen, sowie nach dessen Ausbildung und Leistungsfähigkeit. Allgemein lässt sich immerhin sagen, dass seine Haftung sich nicht auf grobe Verstösse gegen Regeln der ärztlichen Kunst beschränkt. Der Arzt hat seine Patienten stets fachgerecht zu behandeln, zum Schutze ihres Lebens oder ihrer Gesundheit insbesondere die nach den Umständen gebotene und zumutbare Sorgfalt zu beachten, grundsätzlich folglich für jede Pflichtverletzung einzustehen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 124.; <ref-ruling> E. 3.3 S. 11; <ref-ruling> E. 4 S. 413, 115 Ib 175 E. 2b S. 180 ff. je mit Hinweisen).
Der Begriff der Pflichtverletzung darf aber nicht so verstanden werden, dass darunter jede Massnahme oder Unterlassung fällt, welche bei nachträglicher Betrachtung den Schaden bewirkt oder vermieden hätte. Eine Pflichtverletzung ist nur dort gegeben, wo eine Diagnose, eine Therapie oder ein sonstiges ärztliches Vorgehen nach dem allgemeinen fachlichen Wissensstand nicht mehr als vertretbar erscheint und damit ausserhalb der objektivierten ärztlichen Kunst steht (BGE <ref-ruling> E. 3.3 S. 12; <ref-ruling> E. 4 S. 413; Urteil 4A_48/2010 vom 9. Juli 2010 E. 6.1).
6.3.
6.3.1. Zur Wahl der Operationsmethode erwog die Vorinstanz, Dr. med. C._ habe in seinem Gutachten vom 22. November 2013 erklärt, eine konservative Behandlung wäre die ungeeignetste Massnahme gewesen im Hinblick auf ein funktionstüchtiges Fingerendgelenk. Ein nach unten gebogenes Ringfingerendglied und eine schmerzhafte Arthrose wären die Folge gewesen. PD Dr. med. D._ mache in seinem Gerichtsgutachten vom 3. November 2017 eine konservative Behandlung von einer geschlossenen Reposition abhängig. Allerdings sei eine solche laut Operationsbericht nicht möglich gewesen. Beide Gutachter hätten die umgesetzte Operationsmethode für diese Art von Verletzung als geeignet qualifiziert.
6.3.2. Die Vorinstanz erkannte auch keine Sorgfaltspflichtverletzung während der Operation. Im Einzelnen erwog sie, zwar seien gemäss Dr. med. C._ nicht alle Möglichkeiten der Infektionsverhinderung ausgeschöpft worden. Welche Massnahmen konkret pflichtwidrig unterlassen worden seien, habe er aber nicht ausgeführt. PD Dr. med. D._ habe dazu ausgeführt, aus dem Operationsbericht könne nicht auf eine Pflichtwidrigkeit geschlossen werden. Zwar erfolge das Extension-block-pinning klassisch ohne offenen Zugang zur Fraktur. Dass dies gemäss Operationsbericht nicht möglich gewesen sei, erscheine wegen des Zeitablaufs zwischen dem Trauma und der Erstvorstellung als plausibel. Unter diesen Umständen könne auch eine offene Reposition indiziert sein. Weiter habe PD Dr. med. D._ erklärt, die Umpositionierung eines Kirschnerdrahts sei ein durchaus üblicher Vorgang. Solange der Draht intakt sei und das sterile Operationsfeld bestehe, entspreche es üblicher ärztlicher Praxis, den gleichen Draht einzubringen. Auch Dr. med. C._ habe erklärt, aus diesem Manöver allein könne keine fehlerhafte oder unübliche Praxis abgeleitet werden. Dr. med. C._ habe auch das Herausragen des Kirschnerdrahts, den H-Schnitt, den vorgängigen Repositionsversuch und andere Schwierigkeiten als üblich bezeichnet.
6.3.3. Die Vorinstanz machte auch nach der Operation keine Sorgfaltspflichtverletzung aus. Sie erwog, gemäss PD Dr. med. D._ und Dr. med. C._ sei der Verzicht auf eine prophylaktische antibiotische Therapie nicht sorgfaltswidrig.
Auch mit Blick auf den aufgetretenen Infekt sei korrekt vorgegangen worden. Die Beschwerdeführerin sei bereits zwei Tage nach der Operation am 15. April 2010 wegen starken Fingerschmerzen im Spital vorstellig geworden. PD Dr. med. D._ habe die darauf eingeleiteten Schritte als lege artis qualifiziert. Zweifel hätten er und Dr. med. C._ nur geäussert, was die antibiotische Therapie betrifft, da diese eine verdeckte Wundinfektion habe verschleiern können.
Was die nächste Kontrolle vom 21. April 2010 betrifft, erwog die Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe gegenüber Dr. med. C._ erklärt, sie sei in diesem Moment nicht beschwerdefrei gewesen oder nur vorübergehend durch die Wirkung der Antibiotika. Daraus habe Dr. med. C._ gefolgert, die Fortdauer der Schmerzen trotz Antibiotika hätte als Indiz für eine Infektion wahrgenommen werden müssen. Auch habe er die Kontrollen als zu wenig engmaschig befunden. Dies stehe jedoch im Widerspruch zum Bericht des leitenden Arztes vom 22. April 2010, der die Beschwerdeführerin zu diesem Zeitpunkt als beschwerdefrei bezeichnet habe. Es gebe keinen Grund, weshalb der leitende Arzt dies hätte falsch deklarieren sollen. Die Beweislast für eine Sorgfaltspflichtverletzung liege aber bei der Beschwerdeführerin. Ihre dem Bericht des leitenden Arztes widersprechende Behauptung beweise nicht, dass am 21. April 2010 Symptome vorgelegen hätten, die entsprechende Massnahmen erfordert hätten. Zudem führe auch Dr. med. C._ aus, dass in der radiologischen Kontrolle vom 21. April 2010 keine ins Auge fallende Schwellung festzustellen sei, wie sie sonst bei einer Infektion üblich sei.
Schliesslich setzte sich die Vorinstanz mit der Einschätzung von PD Dr. med. D._ auseinander, wonach der Kirschnerdraht möglichst bald hätte entfernt werden müssen, nachdem der Infekt erkannt worden war. Allerdings habe die Beschwerdeführerin gegenüber Dr. med. C._ angegeben, die Assistenzärztin habe am 30. April 2010 auf der Notfallstation die Infektion festgestellt und eine sofortige Operation mit stationärer Aufnahme empfohlen. Sie habe darauf eine Infusion und Schmerzmittel erhalten. Als der Chefarzt nach mehrstündiger Wartezeit um 23:15 Uhr an sie herangetreten sei, habe sie sich einer Operation im Kantonsspital U._ widersetzt. Der Chefarzt demgegenüber habe sich geweigert, sie an das Kantonsspital V._ zu überweisen. Darauf sei die Infusion entfernt und die Beschwerdeführerin nach Anbringen einer Gipsschiene entlassen worden. Die Vorinstanz hielt der Beschwerdeführerin diese Aussage entgegen und erwog, die Ärzte des Kantonsspitals U._ hätten sie am 30. April 2010 operieren wollen, was sie selbst verweigert habe. Damit habe sie den adäquaten Kausalzusammenhang unterbrochen. Der Beschwerdegegnerin könne deshalb nicht vorgehalten werden, dass die Drähte zu spät entfernt und der Infekt zu spät behandelt worden seien. Zudem hätten keine eindeutigen Anzeichen für einen Infekt vorgelegen und dessen Diagnose sei nicht einfach gewesen. Die weitgehend fehlenden Anzeichen eines Infekts bei den ersten beiden Kontrollen am 15. und 21. April 2010 und die Schwierigkeit, einen solchen nachzuweisen, machten deutlich, dass keine Sorgfaltspflichtverletzung vorliege. Dass die Beschwerdeführerin am 30. April 2010 nach der Diagnose des Wundinfekts nicht umgehend operiert worden sei, habe sie sich durch ihre Weigerung selbst zuzuschreiben.
6.4. Die dagegen vorgebrachten Rügen der Beschwerdeführerin sind unbegründet.
6.4.1. Auch hier erschöpfen sich die Ausführungen der Beschwerdeführerin weitgehend in einer unzulässigen appellatorischen Kritik am angefochtenen Urteil.
So trägt sie beispielsweise vor, dass Berichte zu den Nachbehandlungen an frei erfundene Kollegen des zuständigen Spitalarztes verschickt worden seien; dass wahrheitswidrig behauptet worden sei, trotz Schmerzmitteln und Antibiotika seien keine Schmerzen vorhanden; oder dass der Vorschlag einer weiteren Operation zur Vertuschung zurückgezogen worden sei, nachdem die Beschwerdeführerin sich in einem anderen Spital habe operieren lassen wollen.
Darauf ist nicht einzugehen.
6.4.2. Erneut missachtet die Beschwerdeführerin mit ihren Ausführungen die Einschränkung der zulässigen Rügen und die daraus fliessenden Begründungsanforderungen (vgl. E. 2.2 und 4.2 hiervor). Das Bundesgericht prüft lediglich, ob die Anwendung kantonalen Rechts willkürlich ist. Dies hat die Beschwerdeführerin klar und substanziiert aufzuzeigen. Wo ihre Kritik diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht darauf einzutreten.
6.4.3. Die Beschwerdeführerin legt nicht hinreichend dar, dass die postoperative Behandlung gegen ihren Willen erfolgte. Die Vorinstanz verfiel nicht in Willkür, als sie im Ergebnis feststellte, die Beschwerdeführerin sei damit einverstanden gewesen. In diesem Zusammenhang verkennt die Beschwerdeführerin den Umfang der ärztlichen Dokumentationspflicht. Aufzuzeichnen ist, was aus medizinischen Gründen notwendig und üblich war. War die Dokumentation aus medizinischen Gründen nicht notwendig und üblich, kann mit deren Fehlen nicht eine Beweiserleichterung begründet und der Nachweis einer Sorgfaltspflichtverletzung als erbracht erachtet werden (<ref-ruling> E. 5). Reine Kontrolluntersuchungen sind deshalb nicht dokumentationspflichtig, wenn es medizinisch üblich ist, bei Ausbleiben eines positiven Befunds nichts aufzuzeichnen. Die Vorinstanz durfte willkürfrei davon ausgehen, dass die Nachbehandlung rechtsgenüglich dokumentiert wurde.
7.
Die Vorinstanz erwog, die am 23. Juli 1948 geborene Beschwerdeführerin habe seit dem 1. November 1993 eine ganze Invalidenrente bezogen. Zudem habe sie schon vor dem Eingriff eine halbe Hilflosenentschädigung erhalten. Sie habe keine Nachteile durch eine Arbeitsunfähigkeit erlitten und auch ihr wirtschaftliches Fortkommen sei nicht erschwert worden. Die Vorinstanz verneinte auch einen Haushaltschaden. Weiter erwog die Vorinstanz, die Unbeweglichkeit des Ringfingerendglieds rechtfertige keine Genugtuung.
Auf die dagegen gerichteten Rügen der Beschwerdeführerin ist nicht mehr einzugehen, nachdem feststeht, dass die ärztlichen Handlungen mit Einwilligung der Beschwerdeführerin und nach den Regeln der Kunst erfolgten.
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Dezember 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Matt