Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1976 geborene A._, zuletzt als Juristin/Projektleiterin bei der Stiftung B._ im 70 %-Pensum tätig, meldete sich im Dezember 2014 unter Hinweis auf eine Depression und chronische Rückenschmerzen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 8. Dezember 2017 wies die IV-Stelle des Kantons Bern das Leistungsbegehren bei einem Invaliditätsgrad von 32 % ab, was das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 9. Mai 2018 schützte (IV/2018/72). Das Bundesgericht hiess die hiergegen erhobene Beschwerde mit Urteil 8C_450/2018 vom 16. Oktober 2018 teilweise gut und wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
A.b. In der Folge nahm Verwaltungsrichter C._ als zuständiger Instruktionsrichter das Verfahren wieder auf (IV/2018/785). Er hielt unter anderem fest, dass zur Klärung der vom Bundesgericht für ungeklärt befundenen Fragen eine Neubegutachtung (psychiatrisch, allenfalls auch neuropsychologisch) in Auftrag zu geben sein werde (prozessleitende Verfügung vom 14. November 2018). Hierzu würden bei den behandelnden Ärzten und Psychologen sowie bei diversen früheren Arbeitgebern der Versicherten weitere echtzeitliche Unterlagen ediert. Mit prozessleitender Verfügung vom 21. Januar 2019 stellte Verwaltungsrichter C._ unter anderem Aktenstücke resp. Auszüge daraus zusammen und legte unter Würdigung dieser Unterlagen das geplante weitere Instruktionsverfahren dar. Insbesondere gab er den Parteien die beabsichtigte Auftragserteilung zur Erstellung eines psychiatrischen Gutachtens bei Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, bekannt und unterbreitete ihnen den vorgesehenen Fragenkatalog zur Stellungnahme.
A.c. Mit Eingabe vom 15. Februar 2019 liess A._ unter anderem ein Ausstandsbegehren gegen Verwaltungsrichter C._ stellen (Verfahren IV/2019/141). Mit Verfügung vom 19. Februar 2019 sistierte der Präsident der Sozialversicherungsrechtlichen Abteilung des Verwaltungsgerichtes des Kantons Bern das IV-Verfahren (IV/2018/785). Er hielt zudem fest, dass über die Gutachtensvergabe erst nach Abschluss des Verfahrens betreffend Ablehnung des Instruktionsrichters entschieden werde.
B.
Mit Entscheid vom 12. März 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung (in Dreierbesetzung ohne den Betroffenen), das Ausstandsgesuch ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, unter Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei Verwaltungsrichter C._ anzuweisen, für das Verfahren IV/2018/785 in den Ausstand zu treten. Zudem solle der Auftrag für das neue Gutachten nicht mehr Dr. med. D._ erteilt werden können. Schliesslich ersucht sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
Bei der angefochtenen Verfügung handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid einer letzten kantonalen Instanz im Sinne von Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG über ein Ausstandsbegehren (Art. 92 Abs. 1 BGG) im Rahmen einer Streitigkeit (Rente der Invalidenversicherung), die der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegt (Art. 82 lit. a BGG und Art. 62 Abs. 1 ATSG). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit zulässig, und es ist darauf einzutreten (<ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.).
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundesrecht mit Einschluss der Bundesverfassung gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann, abgesehen von den hier nicht massgebenden Art. 95 lit. c-e BGG, nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts oder des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (Art. 9 BV), geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2 S. 145; <ref-ruling> E. 4.2.2 S. 158; <ref-ruling> E. 3 S. 351). Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten wie auch von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist; es gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.6 S. 281; <ref-ruling> E. 3.3 S. 310 f.).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie das Ausstandsbegehren gegen Verwaltungsrichter C._ abwies. Soweit die Beschwerdeführerin im Weiteren geltend macht, die vorgesehene Begutachtung dürfe nicht durch Dr. med. D._ erfolgen, ist darauf nicht einzutreten. Denn mit Verfügung vom 19. Februar 2019 wurde das IV-Beschwerdeverfahren sistiert und in Aussicht gestellt, dass über die Gutachtensvergabe nach Abschluss des Verfahrens betreffend Ausstand von Verwaltungsrichter C._ entschieden werde.
3.2. Im angefochtenen Entscheid wurden die einschlägigen Rechtsgrundlagen nach Gesetz und Rechtsprechung zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
Die Vorinstanz verneinte einen Ausstandsgrund. Sie erwog, es lägen keine Umstände vor, welche objektiv den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit erwecken könnten. Es sei zu beachten, dass das Instruktionsverfahren IV/2018/785 noch lange nicht abgeschlossen sei und namentlich noch das vorgesehene Gutachten erstellt werden müsse. Dass sich der betreffende Instruktionsrichter in dieser Phase des Beweisverfahrens bereits eine abschliessende Meinung gebildet hätte, gehe weder aus seinen bisherigen Schreiben resp. Verfügungen hervor noch enthielten diese eine vorläufige Prognose über den Ausgang des Verfahrens. Auch seien keine Anhaltspunkte für unzutreffende oder aktenwidrige Feststellungen in den Verfügungen, insbesondere in derjenigen vom 21. Januar 2019, ersichtlich. Hinsichtlich der Rügen betreffend den vorgesehenen Experten und die Formulierung des Fragenkatalogs werde sodann im Rahmen der weiteren Instruktion des Hauptverfahrens zu entscheiden sein, wobei der Gesuchstellerin der Rechtsweg offen stehen werde. Weiter begründe auch die Tatsache, dass dem vorgesehenen Gutachter der provisorische Fragenkatalog bereits zugestellt worden sei, keinen Anschein der Befangenheit. Im Übrigen hätten die medizinischen Sachverständigen unter eigenhändiger Prüfung aller ihnen vorliegenden Unterlagen und eigenen Erhebungen nach den Qualitätsleitlinien ihres Fachgebiets allein der medizinischen Lehre folgend in vollständiger Unabhängigkeit (insbesondere auch von Gerichtsmitgliedern) ihre abschliessende Expertise abzugeben. Es bestünden keine Anzeichen, dass der betreffende Instruktionsrichter diese Grundsätze nicht anerkennen würde oder gar unzulässigerweise auf den Gutachter hätte einwirken wollen. Soweit die Gesuchstellerin des Weiteren die Aussagekraft bestimmter Aktenstücke thematisiere, handle es sich dabei um eine Frage der Beweiswürdigung, welche Gegenstand des Verfahrens in der Hauptsache bilde und in diesem Rahmen beanstandet werde könne. Ferner sei zu berücksichtigen, dass die Rückweisung durch das Bundesgericht zu weiteren Abklärungen und neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht ohne die explizite Vorgabe erfolgt sei, dass die zusätzlichen Abklärungen beim gleichen Gutachter stattfinden müssten. Schliesslich seien auch keine besonders krassen und wiederholten Irrtümer in der Verfahrensführung ersichtlich, welche einer schweren Amtspflichtverletzung gleichkämen und sich somit einseitig zu Lasten der Gesuchstellerin auswirken würden.
5.
Die Beschwerdeführerin vermag diese Auffassung nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen.
5.1. Aus dem Umstand, dass Verwaltungsrichter C._ nunmehr die Einholung eines Gerichtsgutachtens für angezeigt hält, wohingegen das Verwaltungsgericht des Kantons Bern im Entscheid vom 9. Mai 2018 (Verfahren IV/2018/72) die von der IV-Stelle veranlassten Gutachten vom 9. Juni und 20. Juli 2017 noch als beweiskräftige Entscheidgrundlage beurteilte, kann nicht abgeleitet werden, der Ausgang des Verfahrens IV/2018/785 sei nicht mehr offen. So gelangte der Verwaltungsrichter erst aufgrund seiner Abklärungen im Nachgang zum Urteil des Bundesgerichts 8C_450/2018 vom 16. Oktober 2018 zur Erkenntnis, ein neues Gutachten sei angezeigt.
5.2. Die Beschwerdeführerin bringt weiter vor, die von Verwaltungsrichter C._ vorgenommene Aktenergänzung und die Konkretisierung der Gutachterfragen würden unzählige Anmerkungen beinhalten, welche berechtigte Zweifel an der Offenheit des Prozesses aufkommen liessen. Dies betreffe etwa die aus dem Kontext gerissenen Passagen und Aussagen der Versicherten aus Bewerbungsschreiben und Arbeitszeugnissen. Hierzu ist festzuhalten, dass der Beschwerdeführerin im (sistierten) Verfahren IV/2018/785 bereits Gelegenheit gegeben wurde, sich zu den Gutachterfragen zu äussern. Ihre Einwände wird sie dort vorbringen können. Im Übrigen vermag die Beschwerdeführerin nicht darzutun, inwiefern die Anmerkungen des betreffenden Instruktionsrichters in der verfahrensleitenden Verfügung vom 21. Januar 2019 auf eine Einflussnahme auf das Beweisergebnis schliessen lassen sollen.
5.3. Schliesslich vermag auch die Tatsache, dass Verwaltungsrichter C._ dem vorgesehenen Gutachter den provisorischen Fragenkatalog bereits zugestellt hat, bevor die Anhörung der Parteien abgeschlossen war, nicht den objektiven Anschein der Voreingenommenheit zu begründen. Soweit die Beschwerdeführerin befürchtet, der designierte Gutachter könne seine Beurteilung nicht mehr unvoreingenommen vornehmen, ist dies nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens (vgl. E. 3.1 hiervor).
5.4. Nach dem Gesagten verletzt die Abweisung des Ausstandsbegehrens gegen den Instruktionsrichter des Verfahrens IV/2018/785 durch die Vorinstanz (Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids) kein Bundesrecht.
6.
Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG ohne Durchführung eines Schriftenwechsels, mit summarischer Begründung und unter Hinweis auf den kantonalen Gerichtsentscheid (Art. 109 Abs. 3 BGG) erledigt wird.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abgewiesen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Juli 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Heine
Der Gerichtsschreiber: Wüest