Faits :
A.
A.D._, de nationalité hongroise, et B.E._, de nationalité française, sont les parents non mariés de C._, né D._ en 2016 à U._.
Le 21 décembre 2016, la mère a saisi le Tribunal d'arrondissement de l'Est vaudois d'une action visant à ce que la paternité de B.E._ sur l'enfant soit constatée, à ce que les inscriptions de l'état civil soient rectifiées en ce sens, à ce que l'autorité parentale sur l'enfant lui soit exclusivement attribuée et à ce qu'un droit de visite à exercer deux fois par mois en sa présence au Point Rencontre soit accordé au père.
Dans sa réponse du 4 mai 2017, le défendeur a notamment conclu à ce que l'autorité parentale soit attribuée conjointement aux deux parents, à ce que la garde de l'enfant soit confiée à la mère et à ce qu'un droit de visite usuel lui soit accordé, à défaut d'entente avec celle-ci.
B.
Dans l'intervalle, à savoir le 12 janvier 2017, B.E._ a reconnu l'enfant C._ devant l'officier de l'état civil. À cette occasion, les deux parents ont complété et signé une déclaration concernant le nom de l'enfant (formulaire n° 4.0.1), afin qu'il soit modifié de " D._ " en " E._ "; l'enfant porte depuis lors le patronyme de son père.
Par la suite, cette modification a été cependant contestée par la mère, qui a vainement adressé à la Direction de l'état civil du canton de Vaud une requête fondée sur l'art. 43 CC tendant au changement de nom de l'enfant en " D._ ".
C.
Par requête déposée le 13 décembre 2019, la mère a conclu à ce qu'il soit ordonné à l'officier d'état civil de procéder à la rectification du nom de l'enfant C._ de " E._ " en " D._ ".
Statuant le 13 mars 2020, le Tribunal d'arrondissement de l'Est vaudois a rejeté la requête (I), aux frais de la requérante (II). Le 17 août 2020, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel de l'intéressée (I) et confirmé ce jugement (II).
D.
Par mémoire expédié le 28 septembre 2020, la requérante exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral; sur le fond, elle reprend les conclusions de sa requête.
Invités à se déterminer sur le recours, l'autorité précédente se réfère aux considérants de son arrêt, alors que les intimés proposent le rejet du recours. Les parties ont procédé à un nouvel échange d'écritures et maintenu leurs conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le recours a été déposé à temps (art. 100 al. 1 LTF) à l'encontre d'une décision finale (art. 90 LTF) sujette au recours en matière civile (art. 72 al. 2 let. b ch. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.1) prise par une autorité cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF); la requérante, qui a pris part à la procédure devant l'autorité cantonale et a un intérêt digne de protection à la modification de l'arrêt attaqué, a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF).
2.
Les faits et pièces postérieurs à la décision attaquée sont irrecevables d'emblée (<ref-ruling> consid. 1.2 et les citations). Il s'ensuit que le jugement (produit sous forme de dispositif) rendu le 17 décembre 2020 par le Tribunal d'arrondissement de l'Est vaudois qui attribue l'autorité parentale sur l'enfant " à sa mère [ i.e. la recourante] exclusivement " ne peut être pris en considération. Au demeurant, il est dénué d'incidence quant à l'issue du recours ( cf. infra, consid. 6).
3.
3.1. La cour cantonale a admis que la requérante était habilitée à agir par la voie de la procédure prévue par l'art. 42 CC, et non par celle de l'action en changement de nom (art. 30 CC), pour obtenir la rectification du nom de son fils. Cette première norme subordonne la modification des registres de l'état civil à deux conditions cumulatives: d'une part, l'existence de données litigieuses relatives à l'état civil; d'autre part, un intérêt personnel légitime à la modification de celles-ci (al. 1).
L'autorité précédente a constaté que les parents étaient de nationalité étrangère ( cf. supra, let. A); quant à l'enfant, il a été inscrit au registre de l'état civil suisse comme ayant la nationalité hongroise, puis, dès sa reconnaissance par son père ( cf. supra, let. B), comme ayant aussi la nationalité française. La cause revêt ainsi un caractère international au sens de la LDIP. Selon l'art. 37 al. 2 LDIP, les parents étaient en droit de demander pour leur fils l'application d'un de ses droits nationaux, en l'occurrence le droit hongrois de la mère, à savoir celle du parent avec lequel l'enfant a les relations les plus étroites (art. 23 al. 2 LDIP); dans le cas présent, le droit hongrois permettait aux parents d'opter pour le nom du père. Avec le premier juge, il faut constater que la " déclaration concernant le nom " (formulaire n° 4.0.1) signée par les parents le jour de la reconnaissance de la paternité ne permet pas de conclure à une expression suffisante de leur volonté de voir appliquer le " droit national déterminant de l'enfant " et l'on ne peut donc " en l'état faire strictement application de l'art. 37 al. 2 LDIP "; partant, le nom de l'enfant aurait dû être régi, au moment de la reconnaissance, par le droit suisse (art. 37 al. 1 LDIP), " ce qui pourrait conduire à admettre que les données soient litigieuses au sens de l'art. 42 al. 1 CC ".
3.2. L'autorité précédente a ensuite recherché si la requérante, " pour son fils ", avait justifié d'un intérêt " personnel légitime " à ce que le nom actuel de celui-ci soit modifié. Elle a estimé que cette condition n'était pas réalisée en l'occurrence.
Les magistrats cantonaux ont constaté que la question de l'attribution de l'autorité parentale conjointe est litigieuse " pratiquement " depuis la naissance de l'enfant et est actuellement pendante devant le Tribunal d'arrondissement de l'Est vaudois. Si l'autorité parentale conjointe, qui est désormais la règle, était instituée à l'issue de cette procédure, les parents pourraient alors, conformément à l'art. 270a al. 1 CC, déclarer à l'officier de l'état civil que l'enfant portera le nom de son père. Or, en dépit de ce litige, ils ont signé, le 12 janvier 2017, une déclaration aux termes de laquelle l'enfant porte le nom de son père; autrement dit, ils ont estimé, au moment de la reconnaissance de l'enfant, que l'intérêt de celui-ci imposait qu'il porte le nom de son père. La déclaration de la mère ne peut pas être interprétée différemment, sauf à y voir " un bas calcul pour obtenir la reconnaissance de l'enfant par l'intimé ". Dans ces circonstances, on ne discerne pas quel intérêt légitime imposerait de revenir sur ce choix, d'autant que l'enfant, qui porte son nom actuel depuis plus de trois ans, a des relations avec son père - " qui se bat dans ce sens " - et porte le nom de celui-ci en accord avec la volonté clairement exprimée par sa mère.
L'intérêt de l'état civil à l'exactitude des données - dont on peut douter qu'il soit " personnel " - n'est pas pertinent ici, car les données de l'état civil dépendront dans les prochains mois de la question de savoir si les parents se sont vu attribuer l'autorité parentale conjointe et s'ils ont accepté de confirmer le choix fait en janvier 2017; la question du nom de l'enfant n'est donc pas encore " résolue " comme le prétend la mère dans son mémoire. Enfin, l'intéressée n'invoque aucun intérêt légitime propre; alors que l'enfant portait son nom à la naissance, elle a accepté qu'il porte le nom de son père, sans se soucier de savoir si une telle solution était juridiquement possible, " car cela l'arrangeait alors "; il est donc plus que discutable de revenir sur cet accord en soutenant " avoir ignoré ce qu'elle faisait ", sans qu'il soit nécessaire d'examiner si pareil comportement devrait être qualifié d'abusif.
4.
4.1. La partie intimée n° 1 affirme que l'action prévue à l'art. 42 CC est une action formatrice générale, mais cependant " subsidiaire aux actes de la juridiction gracieuse ou contentieuse du droit des personnes ou de la famille ". Il s'ensuit que la recourante devait faire régler la question du nom de son fils par la voie de la procédure en changement de nom au sens de l'art. 30 CC.
4.2. Cette argumentation - que l'autorité cantonale a réfutée - ne peut être suivie. La procédure de l'art. 30 CC vise à modifier un nom (ou un prénom) valablement inscrit à l'état civil, et non pas à faire rectifier une inscription inexacte (sur la distinction: BÜHLER, in : Basler Kommentar, ZGB I, 6e éd., 2018, n° 3 ad art. 30 CC). C'est donc à juste titre que la juridiction précédente est entrée en matière sur la requête.
5.
La recourante soulève deux griefs: l'arbitraire dans l'établissement des faits et la violation de l'art. 270a al. 1 CC. En réalité, le premier moyen porte essentiellement sur l'existence d'un " intérêt personnel légitime " à la rectification de l'inscription litigieuse, aspect qui ressortit au droit, et non aux faits; c'est sous cet angle qu'il faut en connaître.
6.
6.1. En vertu de l'art. 42 al. 1 CC, toute personne qui justifie d'un intérêt personnel légitime peut demander au juge d'ordonner l'inscription, la rectification - objet de la présente cause - ou la radiation de données litigieuses relatives à l'état civil. Cette procédure a pour but de corriger une inscription qui était déjà inexacte lorsqu'elle a été effectuée, parce que l'officier de l'état civil a commis une erreur, fondée notamment sur une mauvaise interprétation de la loi, ou a été tenu dans l'ignorance de faits importants (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 1.3 et les références citées dans ces arrêts).
6.2. La recourante agit en l'espèce en qualité de représentante légale de son enfant mineur (BÜHLER, op. cit., n° 35 ad art. 270-270 b CC, avec les références); l'intérêt " personnel légitime " déterminant aux fins de l'art. 42 al. 1 CC est donc celui de l'enfant lui-même, et non celui de sa mère requérante.
6.3. Selon l'art. 37 LDIP, le nom d'une personne domiciliée en Suisse est régi par le droit suisse, celui d'une personne domiciliée à l'étranger par le droit que désignent les règles de droit international privé de l'État dans lequel cette personne est domiciliée (al. 1er); une personne peut toutefois demander que son nom soit régi par son droit national (al. 2), cette option étant exercée par le (s) titulaire (s) de l'autorité parentale si l'enfant n'a pas la capacité de discernement (BUCHER, in : Commentaire romand, LDIP - CL, 2011, n° 32 ad art. 37 LDIP). Cette disposition est en principe applicable dans le cas présent, où l'enfant mineur possède la double nationalité hongroise et française (<ref-ruling> consid. 2a, avec les citations).
En l'espèce, la cour cantonale - à la suite du premier juge - a admis que la " déclaration concernant le nom " signée par les parents le jour de la reconnaissance de l'enfant (12 janvier 2017) " ne permet pas de retenir une expression suffisante de la volonté de ceux-ci d'appliquer le droit national déterminant de l'enfant ". Il s'agit là d'une constatation fondée sur la volonté interne des intéressés, qui lie le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 5.1); de surcroît, au regard des faits ressortant de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), il est manifeste que l'enfant entretient avec la Suisse ses relations les plus étroites ( cf. art. 20 al. 1 let. a LDIP; BUCHER, ibid., n° 9). Avec l'autorité précédente, force est ainsi de conclure à l'application du droit suisse, conformément à la règle posée à l'art. 37 al. 1 LDIP.
Aux termes de l'art. 270a al. 1 (2ème phrase) CC, lorsque l'autorité parentale est exercée d'une manière conjointe, les parents choisissent lequel de leurs deux noms de célibataire leurs enfants porteront. Les conditions prévues par cette disposition ne sont pas réalisées ici: il est constant que l'enfant a porté à sa naissance le nom de sa mère ayant l'autorité parentale exclusive (art. 270 al. 1 [1ère phrase] CC); en dépit de la reconnaissance de l'enfant par le père, il n'est pas établi que les parents auraient fait une déclaration commune s'agissant de l'autorité parentale, en particulier simultanément à la reconnaissance (art. 298a al. 1 et 4 CC), les intéressés étant, au contraire, opposés sur ce point devant les juridictions vaudoises ( cf. supra, let. A). Or, la loi est claire et ne prévoit pas la possibilité pour des parents qui n'exercent pas de manière conjointe l'autorité parentale de déroger à cette norme, même en cas de reconnaissance de l'enfant par son père. Le changement de nom ressortit en effet à " l'ordre public " (SCHÜPBACH, Saisie de l'état civil des personnes physiques, in : TDPS, t. II/2, 1994, p. 110); sous réserve des exceptions prévues par la loi, l'attribution du nom de l'enfant n'est pas laissée au libre choix des parents, quoi qu'en pensent les autorités cantonales et les intimés. Le moyen tiré de l'abus de droit, invoqué par ces derniers, est inopérant; l'officier de l'état civil ne saurait entériner une solution qui enfreint la loi au seul motif d'un " accord commun " des parents, que la mère entend dénoncer. En tant qu'elle se fonde sur la " déclaration concernant le nom " signée le 12 janvier 2017, l'inscription litigieuse apparaît ainsi erronée, dès lors qu'elle s'avère contraire au droit ( cf. supra, consid. 4.1).
6.4. Avec la recourante, on ne peut pas souscrire davantage aux motifs de la juridiction précédente quant à l'absence d'un intérêt légitime à la rectification du nom de l'enfant.
En tant que composante de la personnalité, le nom constitue un facteur d'intégration dans la vie sociale; il est destiné en général à reconnaître l'appartenance à une relation familiale déterminée, en particulier à la suite d'une filiation (BUCHER, Droit international privé suisse, t. II, 1992, n° 210). De ce point de vue, l'intérêt de l'enfant est de figurer dans le registre de l'état civil sous le nom de la mère avec laquelle il vit depuis sa naissance. Certes, l'enfant porte depuis 2017 le nom de son père, avec lequel il entretiendrait des " relations "; il ne ressort cependant pas de l'arrêt entrepris (art. 105 al. 1 LTF) qu'ils auraient noué des liens vivants (droit de visite, lettres, appels téléphoniques, conversations via Skype, etc.; cf. sur ces différentes formes: SCHWENZER/COTTIER, in : Basler Kommentar, op. cit., n° 12 ad art. 273 CC, avec les citations), le père étant au demeurant domicilié à l'étranger. L'affirmation de la juridiction cantonale selon laquelle le père " se bat dans ce sens " ne veut rien dire, sauf à expliquer dûment en quoi consisteraient ces " relations ". Enfin, la procédure qui oppose actuellement les parents devant les juridictions vaudoises ( cf. supra, let. A) n'infirme pas l'intérêt de l'enfant à porter d'ores et déjà le nom de sa mère. Cette procédure n'a pas pour objet le nom de l'enfant - plus précisément sa rectification dans le registre de l'état civil -, mais bien la réglementation des droits parentaux. Comme l'observe la cour cantonale, si l'autorité parentale conjointe devait être instituée à l'issue du procès, les parents pourraient décider de donner à l'enfant le nom de son père (art. 270a al. 1 [2ème phrase] CC); vu l'intensité du contentieux parental sur cet aspect - " quasiment depuis la naissance " de l'enfant -, force est toutefois d'admettre qu'une telle hypothèse apparaît pour le moins théorique.
7.
Vu ce qui précède, le recours doit être admis et l'arrêt attaqué réformé dans le sens des conclusions principales de la recourante. Les frais de justice sont mis à la charge du seul intimé n° 2 (art. 66 al. 1 et 4 LTF); en revanche, les dépens incombent solidairement à celui-ci et à l'État de Vaud, solidairement entre eux (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF). La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens des instances cantonales.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que la Direction de l'état civil de l'État de Vaud est invitée à faire procéder à la rectification du nom de l'enfant C._, né le 10 juillet 2016, de " E._ " en " D._ " dans le registre de l'état civil.
2.
La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision sur les frais et dépens des instances cantonales.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé n° 2.
4.
Une indemnité de 3'000 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise solidairement à la charge de l'intimé n° 2 et de l'État de Vaud.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 8 décembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
Le Greffier : Braconi