Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt erhob am 20. Dezember 2017 gegen A._ und 17 weitere Personen Anklage wegen mehrfacher qualifizierter Sachbeschädigung, Angriffs, einfacher Körperverletzung, mehrfacher versuchter einfacher Körperverletzung, mehrfacher Störung des öffentlichen Verkehrs, Landfriedensbruchs, mehrfacher Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte, Verletzung der Verkehrsregeln und Widerhandlung gegen das kantonale Übertretungsstrafgesetz. Ihnen wurde vorgeworfen, am 24. Juni 2016 an einer unbewilligten Demonstration teilgenommen und dabei mittäterschaftlich grossen Schaden angerichtet zu haben.
B.
Wegen verschiedener Vorkommnisse stellte der Rechtsvertreter einer der beschuldigten Personen am 24. Oktober 2018 ein Ausstandsgesuch gegen das Strafgericht Basel-Stadt, bestehend aus Dominik Kiener als vorsitzendem Präsidenten, Statthalterin Marcia Stucki und Harry Höcklin. Spätestens am 6. Dezember 2018 hatten sämtliche 18 Mitangeschuldigte ein entsprechendes Gesuch gestellt. Zur Begründung führten sie dabei insbesondere aus, die Richter des Strafgerichts seien befangen, weil anlässlich des Demonstrationsumzuges am 24. Juni 2016 auch am Gebäude des Gerichts ein Sachschaden entstanden sei und der Verwaltungschef des Gerichts deshalb einen Strafantrag gestellt habe.
Mit Urteil vom 25. Januar 2019 verurteilte das Strafgericht 15 der 18 beschuldigten Personen zu Freiheitsstrafen von je 20 bis 27 Monaten. Alle verurteilten Personen, einschliesslich A._, legten hiergegen Berufung ein. Bei sechs der verurteilten Personen erhob die Staatsanwaltschaft Anschlussberufung. Das Appellationsgericht Basel-Stadt sistierte das Berufungsverfahren bis zum rechtskräftigen Abschluss des Ausstandsverfahrens. In der Folge erklärten drei der mitangeschuldigten Personen den Rückzug ihrer Ausstandsgesuche.
Mit Entscheid vom 9. März 2021 wies das Appellationsgericht die übrig gebliebenen Ausstandsgesuche ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 7. Mai 2021 beantragt A._ dem Bundesgericht, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben, das Strafgericht (insbesondere Dominik Kiener) in den Ausstand zu setzen und die Wiederholung der unter der Leitung des Strafgerichts durchgeführten Verfahrenshandlungen anzuordnen; eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an das Appellationsgericht zurückzuweisen. Ferner stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Dominik Kiener verzichtet im eigenen Namen und im Namen des Strafgerichts auf eine Stellungnahme. Das Appellationsgericht beantragt, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG). Das Appellationsgericht hat als letzte und einzige kantonale Instanz entschieden (Art. 80 BGG i.V.m. Art. 59 Abs. 1 StPO). Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde befugt.
1.2. Streitgegenstand kann nur sein, was bereits Gegenstand des erstinstanzlichen Verfahrens war oder allenfalls hätte sein sollen und was gemäss der Dispositionsmaxime zwischen den Parteien noch umstritten ist. Gegenstände, über welche die erste Instanz zu Recht nicht entschieden hat, fallen nicht in den Zuständigkeitsbereich der Rechtsmittelbehörde (vgl. <ref-ruling> E. 4.2; Urteil des Bundesgerichts 1C_86/2020 vom 22. April 2021 E. 2; je mit Hinweisen).
Die Vorinstanz befand aufgrund der bei ihr gestellten Ausstandsbegehren zu Recht nur über den Ausstand der drei Richter des Strafgerichts, die am Verfahren gegen den Beschwerdeführer beteiligt waren (Dominik Kiener, Marcia Stucki und Harry Höcklin). Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht verlangt, alle weiteren Einzelmitglieder des Strafgerichts hätten in den Ausstand zu treten (vgl. dazu hinten E. 3.2), geht sein Beschwerdebegehren über den durch den Streitgegenstand gesetzten Rahmen hinaus. Insoweit ist auf sein Rechtsmittel nicht einzutreten.
1.3. Der Beschwerdeführer beantragt anzuordnen, die unter der Leitung des Strafgerichts vorgenommenen Verfahrenshandlungen zu wiederholen.
Gemäss Art. 60 Abs. 1 StPO sind Amtshandlungen, an denen eine zum Ausstand verpflichtete Person mitgewirkt hat, aufzuheben und zu wiederholen, sofern dies eine Partei innert fünf Tagen verlangt, nachdem sie vom Entscheid über den Ausstand Kenntnis erhalten hat. Der Beschwerdeführer kann somit bei Gutheissung der Beschwerde die Aufhebung und Wiederholung von Amtshandlungen verlangen, an denen der Beschwerdegegner 1 und das Strafgericht mitgewirkt haben (vgl. das Urteil des Bundesgerichts 1B_376/2020 vom 11. September 2020 E. 1 mit Hinweis). Das vorliegende Verfahren betrifft indessen ausschliesslich den Entscheid über den Ausstand. Die Frage, ob eine Wiederholung von Verfahrenshandlungen anzuordnen ist, welche unter der Leitung des Strafgerichts durchgeführt wurden, ist nicht Gegenstand dieses Verfahrens.
1.4. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist mit den vorgenannten Einschränkungen (E. 1.2 und 1.3) einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe sein rechtliches Gehör verletzt. Im angefochtenen Entscheid sei nämlich an zahlreichen Stellen auf das schriftlich begründete Urteil des Strafgerichts vom 25. Januar 2019 "im Sinne einer Stellungnahme des Strafgerichts" abgestellt worden, ohne dem Beschwerdeführer vorgängig Gelegenheit zu geben, dazu Stellung zu nehmen. Die Vorinstanz habe somit sein Replikrecht missachtet.
2.2. Nach Art. 29 Abs. 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör. Diese Garantie umfasst das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht; <ref-ruling> E. 2.1). Das Replikrecht hängt nicht von der Entscheidrelevanz der Eingaben ab (<ref-ruling> E. 2.3.3). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die von den übrigen Verfahrensbeteiligten eingereichten Eingaben der Partei zugestellt werden (<ref-ruling> E. 2.3.1). In Ausstandsverfahren steht das Replikrecht dem Gesuchsteller auch zu sämtlichen Stellungnahmen der Personen zu, deren Ausstand er beantragt hat (vgl. zum Ganzen auch <ref-ruling> E. 2.1; Urteil des Bundesgerichts 1B_227/ 2021 vom 17. August 2021 E. 3.1).
Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst insbesondere auch ein Akteneinsichtsrecht. Dieses bezieht sich auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten, die geeignet sind, Grundlage des Entscheids zu bilden. Die Akteneinsicht ist demnach auch zu gewähren, wenn die Ausübung des Akteneinsichtsrechts den Entscheid in der Sache nicht zu beeinflussen vermag. Die Einsicht in die Akten, die für ein bestimmtes Verfahren erstellt oder beigezogen wurden, kann demnach nicht mit der Begründung verweigert werden, die fraglichen Akten seien für den Verfahrensausgang belanglos. Es muss vielmehr dem Betroffenen selber überlassen sein, die Relevanz der Akten zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.2). Damit die Beteiligten die Möglichkeit haben, ein Akteneinsichtsgesuch zu stellen, müssen sie über den Beizug neuer entscheidwesentlicher Akten informiert werden. Dies gilt jedenfalls für Akten, die sie nicht kennen und auch nicht kennen können (<ref-ruling> E. 6.2; Urteil des Bundesgerichts 1B_70/2018 vom 10. April 2018 E. 2.2; je mit Hinweisen).
2.3. Zur Rüge der Verletzung des Replikrechts ist festzuhalten, dass das Urteil des Strafgerichts vom 25. Januar 2019 nicht als Stellungnahme dieses Gerichts zum vorinstanzlichen Verfahren herangezogen worden ist. Eine Missachtung dieses Rechts durch die Vorinstanz ist damit von vornherein nicht gegeben.
Zwar hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid mehrfach auf das erwähnte Urteil des Strafgerichts abgestellt und den Beschwerdeführer soweit ersichtlich nicht über den Beizug dieses Aktenstücks informiert. Indessen liegt darin keine Verletzung des Akteneinsichtsrechts bzw. der behördlichen Pflicht zur Information über den Beizug neuer, entscheidwesentlicher Aktenstücke. Denn gemäss den vorinstanzlichen Akten hat der Beschwerdeführer (bzw. dessen Rechtsvertreter) das schriftlich begründete Urteil des Strafgerichts vom 25. Januar 2019 am 30. Juli 2019, also noch vor Erlass des vorliegend angefochtenen Entscheids vom 9. März 2021, erhalten. Damit hatte er vor Erlass des angefochtenen Entscheids Kenntnis vom ihn betreffenden Urteil des Strafgerichts und der darin enthaltenen Begründung. Zudem musste er nach Treu und Glauben mit einem Beizug dieses Urteils durch die Vorinstanz rechnen.
Die diesbezügliche Rüge der Gehörsverletzung durch die Vorinstanz ist somit unbegründet.
3.
Der Beschwerdeführer macht zum einen geltend, "das Strafgericht" habe vorliegend als Richter in eigener Sache geamtet und sei in den Ausstand zu setzen. Der Verwaltungschef des Strafgerichts, Patrick Suter, habe nämlich wegen des anlässlich des Demonstrationsumzuges am Gerichtsgebäude entstandenen Sachschadens im Namen des Gerichts einen Strafantrag eingereicht. Zum anderen bringt er wie schon im vorinstanzlichen Verfahren verschiedene Umstände vor, die seiner Ansicht nach den Beschwerdegegner 1 als im Sinne von Art. 56 lit. f StPO befangen erscheinen lassen. Insbesondere, dass der Beschwerdegegner 1 am 3. Mai 2018 verfügt habe, dass auf der Website des Gerichts als Titel einer Pressemitteilung "Saubannerzug durch Basel am 24. Juni 2016" aufgeschaltet werde.
3.1. Nach Art. 30 Abs. 1 BV, Art. 6 Ziff. 1 EMRK und Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II (SR 0.103.2) hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Gericht ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters wird verletzt, wenn bei objektiver Betrachtung Gegebenheiten vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Solche Umstände können entweder in einem bestimmten Verhalten des betreffenden Richters oder in gewissen äusseren Gegebenheiten funktioneller und organisatorischer Natur begründet sein (<ref-ruling> E. 4.2.2 mit Hinweisen). Auf das bloss subjektive Empfinden einer Partei kann bei der Beurteilung nicht abgestellt werden. Der abgelehnte Richter muss nicht tatsächlich befangen sein; der Anschein der Befangenheit genügt (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.1; je mit Hinweisen).
Die genannte verfassungs- bzw. konventionsrechtliche Garantie wird unter anderem in Art. 56 StPO konkretisiert (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 4.2.1). Danach tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person unter anderem dann in den Ausstand, wenn sie in der Sache ein persönliches Interesse hat (lit. a), in einer anderen Stellung in der gleichen Sache tätig war (lit. b) oder aus anderen Gründen (insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand) befangen sein könnte (lit. f).
3.2.
3.2.1. Ein Ausstandsbegehren kann sich stets nur gegen Personen und nicht gegen Behörden richten. Nur die für eine Behörde tätigen Personen können befangen sein (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 1.3.3; Urteil des Bundesgerichts 1B_548/2019 vom 31. Januar 2020 E. 3.2; je mit Hinweisen). Ein formal gegen eine Gesamtbehörde gerichtetes Ersuchen kann jedoch unter Umständen als Ausstandsbegehren gegen alle Einzelmitglieder der Behörde entgegengenommen werden (Urteil des Bundesgerichts 1B_548/2019 vom 31. Januar 2020 E. 3.2 mit Hinweisen). Voraussetzung ist, dass aufgezeigt wird, weshalb jedes Mitglied der Behörde einzeln im konkreten Fall befangen sein soll (Urteile des Bundesgerichts 9C_245/2020 vom 12. Juni 2020 E. 1.1; 4A_326/2014 vom 18. September 2014 E. 2.3 mit Hinweis).
3.2.2. Vorliegend sind die Voraussetzungen dafür erfüllt, dass das Ausstandsgesuch betreffend das Strafgericht (Beschwerdegegner 2) als gegen die mit der Sache befassten Richter Kiener, Richterin Stucki und Richter Höcklin entgegengenommen werden kann.
3.3. Vorweg zu klären ist, ob die Ausstandsgesuche rechtzeitig gestellt worden sind.
3.3.1. Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, hat sie gemäss Art. 58 Abs. 1 StPO der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat.
Nach der Rechtsprechung muss der Gesuchsteller den Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnis des Ausstandsgrunds verlangen. Andernfalls verwirkt er grundsätzlich den Anspruch (vgl. <ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen). Ein sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrunds gestelltes Gesuch ist rechtzeitig. Wartet der Gesuchsteller damit zwei Wochen zu, ist es dagegen verspätet (vgl. Urteile des Bundesgerichts 1B_647/2020 vom 20. Mai 2021 E. 2; 1B_98/2020 vom 26. November 2020 E. 2.2; je mit Hinweisen).
Bei ganz offensichtlichem Anschein der Befangenheit steht die allfällige Verspätung eines Ausstandsgesuchs der Ausstandspflicht jedoch unter Umständen nicht entgegen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2; Urteil des Bundesgerichts 1B_265/2021 vom 9. September 2021 E. 4.3 mit Hinweisen; ANDREAS J. KELLER, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung StPO, 3. Aufl. 2020, N. 5 zu Art. 58 StPO; tendenziell restriktiver <ref-ruling> E. 3.3; Urteil des Bundesgerichts 1B_246/2020 vom 22. Dezember 2020 E. 3.2 [Nichtberücksichtigung der Verspätung nur bei Nichtigkeit des in Frage stehenden Entscheids]).
Leitet der Betroffene den Anschein der Befangenheit aus verschiedenen Verfahrensfehlern ab, handelt er rechtzeitig, wenn er sein Ausstandsgesuch so bald wie möglich nach dem letzten geltend gemachten Verfahrensfehler stellt, der seiner Ansicht nach "das Mass voll" gemacht und dazu geführt hat, dass der Richter nun als befangen angesehen werden muss (Urteil des Bundesgerichts 1P.333/2003 vom 14. November 2003 E. 2.2). Ist vernünftigerweise nicht damit zu rechnen, dass ein einzelner potenzieller Verfahrensmangel zu einer Ausstandspflicht führt, besteht keine Verpflichtung, unverzüglich ein Ausstandsgesuch zu stellen. Dadurch verwirkt zwar die Möglichkeit, das Gesuch allein mit dem entsprechenden problematischen Verhalten zu begründen; nicht ausgeschlossen ist es aber, darauf später zusammen mit neu hinzugetretenen Umständen zurückzukommen, sofern nicht missbräuchlich ein bloss vorgeschobener neuer Grund angerufen wird, der nicht ernstlich für die Begründung eines Ausstands geeignet ist (Urteil des Bundesgerichts 1B_246/2020 vom 22. Dezember 2020 E. 5.2.2).
3.3.2. Aus der Anklageschrift vom 20. Dezember 2017 ergibt sich, dass das Strafgericht einer der Tatorte war, die Anklage vor dem Strafgericht verhandelt werden würde und Patrick Suter Strafantrag gestellt hatte.
Der Beschwerdeführer macht geltend, sein Anwalt habe nicht ohne Weiteres bis Ende Dezember 2017 erkennen können, dass aufgrund des Strafantrages ein Anschein der Befangenheit besteht. Zur Begründung verweist er auf den grossen Umfang der Akten (von angeblich über 8'000 Seiten), den Umfang der Anklageschrift von 49 Seiten und die konstant hohe Arbeitsbelastung des Rechtsanwaltes. Ferner bringt er vor, das Strafgericht sei als Tatort in einer tabellarischen Übersicht der Tatorte erst an der zwölften von insgesamt 16 Stellen genannt worden.
Mit Blick auf die anwaltliche Sorgfaltspflicht (vgl. Art. 12 lit. a des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte [Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61]) konnte vom Rechtsvertreter des Beschwerdeführers erwartet werden, dass er die Anklageschrift unmittelbar nach deren Erhalt liest. Dies gilt umso mehr, als auch ein allfälliger Grund für einen Ausstand eines fallbeteiligten Staatsanwaltes ohne Verzug geltend zu machen ist (vgl. Art. 58 Abs. 1 StPO). Bei der nach den Umständen gebotenen unverzüglichen Lektüre der Anklageschrift hätten dem Vertreter des Beschwerdeführers die den Anschein der Befangenheit begründenden Gegebenheiten auffallen müssen. Da der Anwalt die Anklageschrift unbestrittenermassen noch im Jahr 2017 erhalten hat und das Ausstandsgesuch vorliegend erst am 24. Oktober 2018 mit dem Strafantrag des Gerichts begründet worden ist, erscheint es insoweit als verspätet.
Aus der erwähnten Rechtsprechung, wonach bei ganz offensichtlichem Anschein der Befangenheit die allfällige Verspätung eines Ausstandsgesuchs der Ausstandspflicht unter Umständen nicht entgegensteht (vorne E. 3.3.1), kann der Beschwerdeführer in diesem Punkt nichts zu seinen Gunsten ableiten. Der aufgrund des Strafantrages des Gerichts entstandene Anschein der Befangenheit war nämlich nicht derart offensichtlich, dass die mit der Sache befassten Richter aus eigenem Antrieb hätten in den Ausstand treten müssen. So wurde der Strafantrag zum einen nicht von den einzelnen, mit der Sache befassten Richter gestellt. Zum anderen wurde in der Folge die Straf- und Zivilklage betreffend die Beschädigung des Gerichtsgebäudes nicht vom Strafgericht, sondern von der Abteilung Immobilien Basel-Stadt vertreten. Unter den konkreten Umständen fehlt es an der Offensichtlichkeit des geltend gemachten Anscheins der Befangenheit um auf das Erfordernis zur unmittelbaren Geltendmachung der Ausstandsgründe verzichten zu können.
3.3.3. Dass der Beschwerdegegner 1 wegen der Verwendung des Wortes "Saubannerzug" in der am 22. Mai 2018 auf dem Internet aufgeschalteten Pressemitteilung in den Ausstand zu treten habe, wurde erstmals an der Hauptverhandlung vom 24. Oktober 2018 vorgebracht. Soweit das Ausstandsgesuch unter Hinweis auf diese Pressemitteilung begründet wurde, erscheint es ebenfalls als verspätet.
Zwar ist davon auszugehen, dass die Verwendung des Begriffes "Saubannerzug" in der Pressemitteilung unangemessen war. Denn nicht nur bei der Redaktion von Gerichtsurteilen (vgl. dazu das Urteil des Bundesgerichts 1B_255/2021 vom 27. Juli 2021 E. 3.3 mit Hinweisen), sondern auch bei der Abfassung von Pressemitteilungen sollten Gerichte möglichst neutrale und objektive Begriffe verwenden. Dieser Regel wurde mit der Verwendung des negativ konnotierten Wortes "Saubannerzug" nicht genügend Rechnung getragen. Der Umstand, dass das fragliche Wort im Titel einer Pressemitteilung platziert war, welchem aufgrund seiner Kürze und seiner Bestimmung für die Medien eine besondere Signalwirkung zukam, lässt das Vorbringen, die Verwendung des Begriffes "Saubannerzug" im Titel der am 22. Mai 2018 aufgeschalteten Pressemitteilung begründe den Anschein der Befangenheit des Beschwerdegegners 1, jedenfalls nicht als von vornherein unbegründet erscheinen.
Ein ganz offensichtlicher Anschein der Befangenheit, welcher es unter Umständen rechtfertigen könnte, dem Beschwerdeführer die verspätete Geltendmachung des (allfälligen) Ausstandsgrundes nicht entgegenzuhalten, lag aber jedenfalls seit der Eliminierung des problematischen Begriffes aus der Pressemitteilung nicht mehr vor. Spätestens seit diesem Zeitpunkt lag nämlich der mit der ursprünglichen Pressemitteilung allenfalls begründete Anschein der Befangenheit nicht mehr derart augenfällig vor, dass der betreffende Richter von sich aus in den Ausstand hätte treten müssen.
3.4. Die vorgebrachten Ausstandsgründe können demnach einzig dann noch in die Beurteilung einbezogen werden, wenn sie mit Blick auf die Rechtsprechung zur Befangenheit aufgrund mehrerer Vorkommnisse als rechtzeitig vorgebracht gelten könnten.
3.4.1. Eine solche Ausgangslage macht der Beschwerdeführer in Bezug auf den Beschwerdegegner 1 geltend:
Der Beschwerdeführer bringt verschiedene weitere Gründe für eine Befangenheit des Beschwerdegegners 1 vor. So habe dieser zu Unrecht die in der Anklageschrift verwendeten Begrifflichkeiten (namentlich die Ausdrücke "Saubannerzug", "Genossen", "Krawallmob", "Mob" und "Linksextreme"), welche die breite mediale Kommunikation im Vorfeld des Prozesses geprägt und zu einer "politischen Aufladung" des Verfahrens geführt hätten, nicht beanstandet. Ferner habe der Beschwerdegegner 1 den Zeitplan und die Beratungsdauer von Anfang an massiv zu kurz bemessen. Der Beschwerdeführer sieht sodann Indizien für Befangenheit in der Art und Weise, in welcher der Beschwerdegegner 1 Vorfragen beantwortete, mit Beweisanträgen umging und das Verfahren leitete bzw. den Verfahrensbeteiligten (angeblich) das Wort abschnitt. Seiner Ansicht nach deuten das Verhalten und öffentliche Äusserungen des Beschwerdegegners 1 auf Feindschaft gegenüber seinem Rechtsvertreter hin. Indiz für Befangenheit sei auch die vom Beschwerdegegner 1 in einer Verfügung vom 24. September 2019 betreffend die Verweigerung des Zutritts zum Gerichtsgebäude durch den Hintereingang abgegebene Erklärung, wenn der Beschwerdeführer beim Gang in das Gericht nicht erkannt werden wolle, habe er "bestimmt Ideen, wie er dieses Problem relativ einfach lösen" könne. Damit habe der Beschwerdegegner 1 auf die Vermummung der Täter anlässlich der angeblichen Tatbegehung angespielt. Der Beschwerdegegner 1 habe ferner den Anschein der Befangenheit erweckt, indem er in einem Telefongespräch mit dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers tatsachenwidrig behauptet habe, er habe erstmals die Frage einer mittäterschaftlichen Sachbeschädigung im Zusammenhang mit einer Demonstration zu beurteilen. Die Gefahr der Voreingenommenheit sei auch deshalb zu bejahen, weil der Beschwerdegegner 1 das Replikrecht verweigert habe, in unzulässiger Weise eine Videoaufzeichnung der Hauptverhandlung habe anfertigen und diese erst auf wiederholtes Nachhaken habe löschen lassen. Schliesslich sei zu berücksichtigen, dass er durch die Festlegung der Sitzordnung einen Austausch zwischen Verteidigung und Angeklagten während der Verhandlung (insbesondere während der Plädoyers der Staatsanwaltschaft) verunmöglicht habe.
Der Beschwerdeführer erklärt, diese Gründe hätten zusammen mit dem Umstand, dass die Strafrichter als Richter in eigener Sache geamtet hätten und in der Pressemitteilung der Begriff des "Saubannerzuges" verwendet wurde, "das Fass zum Überlaufen gebracht".
3.4.2. Es ist fraglich, ob die Grundsätze zur Rechtzeitigkeit eines Ausstandsgesuches, welche gemäss der genannten Rechtsprechung im Falle von mehreren potenziellen Verfahrensfehlern greifen (vgl. vorne E. 3.3.1), auch im Zusammenhang mit Art. 56 lit. a StPO zur Anwendung gelangen. Selbst wenn dies bejaht würde, könnte daraus nichts zugunsten des Beschwerdeführers abgeleitet werden:
So oder anders muss ein Ausstandsgesuch gemäss Art. 58 Abs. 1 StPO jedenfalls dann unverzüglich gestellt werden, wenn vernünftigerweise damit zu rechnen ist, dass eine Ausstandspflicht gegeben ist.
Vorliegend hatte der Beschwerdeführer spätestens, nachdem ihm die Pressemitteilung des Strafgerichts mit dem Begriff "Saubannerzug" am 22. Mai 2018 bekannt geworden ist, damit rechnen müssen, dass - mit Blick auf den Strafantrag des Gerichts - ein potenzieller Verfahrensmangel vorliegt, der zu einer Ausstandspflicht führen würde (vgl. vorne E. 3.3.3). Vor diesem Hintergrund durfte er sich zur Begründung seines Ausstandsgesuches nicht mehr auf den Strafantrag und die Pressemitteilung berufen.
Was die weiteren, nach Ansicht des Beschwerdeführers eine Befangenheit begründenden Vorkommnisse betrifft, macht er selbst nicht geltend, sie würden für sich allein (einzeln oder zusammengenommen) eine Ausstandspflicht begründen. Solches ist auch nicht ersichtlich, hat doch die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid mit einlässlichen Erwägungen überzeugend dargelegt, dass die behaupteten Verfahrensfehler sinngemäss entweder gar nicht gegeben sind oder jedenfalls nicht als besonders krass bzw. nicht als ungewöhnlich häufig erscheinen, was jedoch für den objektiven Verdacht der Voreingenommenheit eines Richters erforderlich wäre (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; Urteil des Bundesgerichts 1B_532/2021 vom 3. Dezember 2021 E. 2.3; je mit Hinweisen).
3.5. Die Ausstandsgesuche wurden somit verspätet gestellt.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Er stellt indessen ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden und ist der Vertreter des Beschwerdeführers aus der Bundesgerichtskasse angemessen zu entschädigen (vgl. Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Advokat Dr. Andreas Noll wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Bisaz