Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 21. April 2020 wies der Einzelrichter des Kreisgerichts Rorschach eine vom Beschwerdeführer erhobene Schadenersatzklage ab und befahl ihm unter Androhung von Ersatzmassnahmen im Nichtbeachtungsfall, die 4-Zimmer-Wohnung an der U._- strasse in V._ unverzüglich zu räumen.
Der Beschwerdeführer focht diesen Entscheid beim Kantonsgericht St. Gallen an und ersuchte gleichzeitig um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren. Mit Entscheid vom 29. September 2020 wies das Kantonsgericht das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege ab und setzte dem Beschwerdeführer Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses an.
Gegen den kantonsgerichtlichen Entscheid vom 29. September 2020 erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 2. November 2020 Beschwerde an das Bundesgericht.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann. Dazu muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 88 f., 115 E. 2 S. 116). Eine allfällige Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4 S. 44).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt ebenfalls das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Zunächst kann auf die Beschwerde von vornherein nicht eingetreten werden, soweit sie sich unmittelbar gegen den Entscheid des Einzelrichters des Kreisgerichts Rorschach vom 21. April 2020 richtet, da es sich dabei nicht um einen letztinstanzlichen Entscheid im Sinne von <ref-law> handelt. Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz Befangenheit vorwirft, genügen seine Ausführungen den gesetzlichen Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Allgemein schildert der Beschwerdeführer dem Bundesgericht in seiner Eingabe vom 2. November 2020 in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge zu den Hintergründen des mietrechtlichen Streits sowie zum Ablauf des kantonalen Verfahrens. Dabei geht er nicht hinreichend auf die konkreten Erwägungen des angefochtenen Entscheids ein und zeigt auf, inwiefern der Vorinstanz bei der Beurteilung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege eine Verletzung von Bundesrecht vorzuwerfen wäre. Die Eingabe erfüllt die erwähnten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
4.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war (<ref-law>). Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kantonsgericht St. Gallen, III. Zivilkammer, sowie B.B._ und C.B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann