Sachverhalt:
A.
A.a. B._ und A._ (Beschwerdeführer) sind die geschiedenen Eltern von C._ (geb. 2008). Das Kind steht unter gemeinsamer elterlicher Sorge und wird durch die Mutter betreut. A._ wurde im Scheidungsurteil vom 12. März 2012 ein Besuchsrecht bei seinem Sohn eingeräumt.
A.b. Mit Eingabe vom 13. Juni 2017 ersuchte A._ die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region Solothurn (KESB) um Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft über seinen Sohn. Die Beistandsperson sei damit zu beauftragen, den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Sohn zu überwachen, zwischen den Eltern zu vermitteln und diese bei der Umsetzung des Besuchsrechts zu unterstützen.
Mit Präsidialverfügung vom 27. Oktober 2017 trat die KESB auf das Gesuch nicht ein.
B.
B.a. Hiergegen erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit dem Antrag, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und auf sein Gesuch sei einzutreten. Zudem ersuchte er um Gewährung des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung seines Rechtsvertreters als unentgeltlichen Rechtsbeistand.
B.b. Mit Verfügung vom 7. Februar 2018 hiess das Verwaltungsgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege insoweit gut, als es auf die Erhebung eines Kostenvorschusses verzichtete (Dispositivziffer 4). Das Gesuch um Einsetzung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands wies es ab (Dispositivziffer 5).
C.
Am 9. März 2018 gelangt A._ mit Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, die Ziffer 5 der Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 7. Februar 2018 sei aufzuheben und es sei ihm für das kantonale Beschwerdeverfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen. Ausserdem ersucht A._ auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Am 21. März 2018 beantragt das Verwaltungsgericht, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Mit Entscheid von demselben Datum hat das Verwaltungsgericht ausserdem die Beschwerde betreffend die Besuchsrechtsbeistandschaft sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege in diesem Verfahren abgewiesen.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen eine Verfügung einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit der diese dem Beschwerdeführer die Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands im kantonalen Beschwerdeverfahren verweigerte. Das Verwaltungsgericht hat die Verfügung im Rahmen eines Beschwerdeverfahrens erlassen, weshalb unerheblich bleibt, dass es nicht auf Rechtsmittel hin (vgl. <ref-law>), sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Der angefochtene Entscheid ist ein Zwischenentscheid, der praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteil 5A_339/2017 vom 8. August 2017 E. 1.1 mit Hinweis; vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2a). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort steht mit der Errichtung einer Beistandschaft (<ref-law>) eine Massnahme des Kindesschutzes und damit eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht in Streit (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 ZGB). Diese ist nicht vermögensrechtlicher Natur. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen die Zwischenverfügung gegeben. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist daher grundsätzlich einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. <ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (vgl. <ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1, 317 E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung. Die Anfechtung der diesbezüglichen vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt ebenfalls der qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht (Urteil 2C_302/2018 vom 9. August 2018 E. 1.4 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.1).
2.
2.1. Strittig ist, ob dem Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen war, wobei ersterer eine Verletzung von <ref-law> geltend macht. Gemäss dieser Bestimmung hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Das Bundesgericht prüft die Anwendung der Verfassungsbestimmung - das kantonale Verfahrensrecht (vgl. Art. 314 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) sieht keinen weitergehenden Anspruch vor (vgl. Urteil 2C_432/2016 vom 26. Januar 2018 E. 6) - frei. Soweit allerdings die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz betroffen sind, ist seine Prüfungsbefugnis wie in E. 1.2 hiervor dargelegt beschränkt (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1).
2.2. Zur Wahrung der Rechte einer Partei ist eine Verbeiständung notwendig, wenn die Interessen der Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und der Fall in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht Schwierigkeiten bietet, welche die Beiziehung eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Droht das in Frage stehende Verfahren besonders stark in die Rechtsposition der Partei einzugreifen, ist die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters grundsätzlich geboten, sonst nur dann, wenn zur relativen Schwere des Falles besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen die Partei auf sich alleine gestellt nicht gewachsen wäre (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Dabei sind neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts auch in der Person der Partei liegende Gründe zu berücksichtigen, so das Alter, die soziale Situation, Sprachkenntnisse und allgemein die Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden (<ref-ruling> E. 2.5.2; <ref-ruling> E. 2b/cc). Die Anwendbarkeit der Offizialmaxime oder des Untersuchungsgrundsatzes (vgl. Art. 314 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) schliesst die Notwendigkeit einer Verbeiständung durch einen Rechtsvertreter zwar nicht aus, rechtfertigt es aber, an die Voraussetzungen, unter denen diese geboten ist, einen strengen Massstab anzulegen (vgl. <ref-ruling> E. 4b mit Hinweisen; Urteil 1C_199/2017 vom 3. August 2017 E. 3.2; vgl. auch BGE <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 5A_511/2016 vom 9. Mai 2017 E. 4.2).
3.
3.1. Das Verwaltungsgericht erwog, in der Hauptsache sei das Gesuch um Errichtung einer Besuchsrechtsbeistandschaft strittig. Das Besuchsrecht des Beschwerdeführers werde aber grundsätzlich gelebt und es fänden regelmässig ein- bis zweimal im Monat Kontakte zwischen Vater und Sohn statt. Eine Verweigerung der Beistandschaft bzw. das Nichteintreten auf das entsprechende Gesuch sei damit mit keinem besonderen Eingriff in die Rechtsstellung des Beschwerdeführers verbunden. Zudem liege ein einfaches Verfahren vor, in welchem der Untersuchungsgrundsatz gelte und das keine grösseren Schwierigkeiten tatsächlicher oder rechtlicher Natur beinhalte. Entsprechend sei der Beschwerdeführer nicht auf eine unentgeltliche Vertretung angewiesen und sein Gesuch abzuweisen.
3.2. Der Beschwerdeführer betont demgegenüber vorab, dass der persönliche Verkehr mit seinem Sohn auf dem Spiel stehe. Das Verwaltungsgericht habe den diesbezüglichen Sachverhalt nicht ausreichend abgeklärt (vgl. <ref-law>). Anders als die Vorinstanz meine, sehe er seinen Sohn mitunter über mehrere Wochen nicht. Von regelmässigen Kontakten ein- bis zweimal im Monat könne keine Rede sein. Das Verwaltungsgericht stütze sich einzig auf Behauptungen der Kindsmutter, die der Beschwerdeführer stets bestritten habe. Während des gesamten kantonalen Verfahrens habe kein Beweisverfahren stattgefunden. Die geringe Häufigkeit und die Unregelmässigkeit der Besuche des Beschwerdeführers bei seinem Sohn würden sich negativ auf die Beziehung zwischen Vater und Sohn, zwischen dem Sohn und dessen Halbgeschwistern - weiteren Kindern des Beschwerdeführers - sowie die Beziehung der Eltern untereinander auswirken. Hierin liege eine Kindeswohlgefährdung, weshalb nicht von einem Bagatellfall ausgegangen werden dürfe, in dem auf eine unentgeltliche Verbeiständung verzichtet werden könne.
3.3. Der Beschwerdeführer greift damit die dem vorinstanzlichen Entscheid zugrunde liegende Beweiswürdigung an und kritisiert den Entscheid des Verwaltungsgerichts, mit Blick auf die vorhandenen Akten keine weiteren Beweismittel abzunehmen. Hierin sieht er eine Verletzung der in <ref-law> verankerten Pflicht, den Sachverhalt von Amtes wegen zu erforschen.
Tatsächlich ist das Verwaltungsgericht auch bei Geltung der Untersuchungsmaxime nicht gehalten, den Sachverhalt weiter abzuklären, wenn es aufgrund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, diese Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (sog. antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 2.2.3; Urteile 5A_919/2017 vom 4. Juli 2018 E. 4; 5A_346/2016 vom 29. Juni 2017 E. 5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; allgemein zur antizipierten Beweiswürdigung vgl. <ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 5.3). Inwieweit das Verwaltungsgericht dadurch in Willkür verfallen wäre, dass es auf die in den Akten vorhandenen Aussagen der Kindsmutter abgestellt und keine weiteren Beweise erhoben hat, legt der Beschwerdeführer nicht dar. Diesbezüglich stellt er vielmehr in appellatorischer Art und Weise seine eigene Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz entgegen, was den an die Beschwerde in Zivilsachen diesbezüglich zu stellenden Begründungsanforderungen nicht genügt (vgl. vorne E. 1.2).
3.4. Damit ist den Ausführungen des Beschwerdeführers zum Vorliegen einer Kindeswohlgefährdung und der sich seiner Ansicht nach daraus ergebenden Schwere des ihm drohenden Eingriffs von vornherein die (tatsächliche) Grundlage entzogen. Hieraus vermag er folglich nichts zu seinen Gunsten abzuleiten. Ausgehend von dem durch das Verwaltungsgericht einwandfrei festgestellten Sachverhalt ist sodann nicht zu beanstanden, wenn dieses zum Schluss gelangt, mit der Verweigerung der Besuchsrechtsbeistandschaft drohe kein derart schwerer Eingriff in die Rechtsstellung des Beschwerdeführers, dass eine Vertretung bereits deswegen nötig wäre (vgl. zum diesbezüglichen Massstab etwa <ref-ruling> E. 3.2.2 und 3.2.3).
Weiter konnte das Verwaltungsgericht ohne Verfassungsverletzung das Vorliegen anderweitiger tatsächlicher oder rechtlicher Schwierigkeiten verneinen, welche auch ohne das Drohen eines besonders starken Eingriffs eine Vertretung notwendig machen würden. Der Beschwerdeführer verweist diesbezüglich allein darauf, dass die KESB auf sein Gesuch nicht eingetreten sei, weshalb sich prozessuale Fragen stellen würden (Rechtsschutzinteresse), die er als Laie alleine nicht beantworten könne. Die diesbezüglichen Ausführungen des Beschwerdeführers bleiben aber sehr pauschal. Ohnehin ist ihm entgegenzuhalten, dass die KESB, auch wenn sie auf das Gesuch vom 13. Juni 2017 nicht eingetreten ist, letztlich mit Blick auf das Subsidiaritätsprinzip (<ref-law>) die Notwendigkeit einer Beistandschaft verneint hat (Entscheid vom 27. Oktober 2017, E. 2.6 und 2.7). Damit ist die Behörde dem Antrag des Beschwerdeführers nicht aus formellen, sondern aus materiellen Gründen nicht gefolgt, womit dessen Argumentation an der Sache vorbei zielt.
3.5. Nach dem Ausgeführten konnte das Verwaltungsgericht das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ohne Verletzung von <ref-law> abweisen. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer vollständig. Entsprechend sind ihm die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>) und hat er keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>). Auch dem Kanton Solothurn ist keine solche geschuldet (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtslos qualifiziert werden muss (<ref-law>). Mit Blick auf die finanzielle Lage des Beschwerdeführers ist eine reduzierte Gerichtsgebühr zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Parteikosten werden keine gesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber