Sachverhalt:
A.
A.a. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führte gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen versuchter schwerer Körperverletzung, mehrfacher einfacher Körperverletzung, mehrfacher Drohung, mehrfacher Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte sowie weiterer Delikte. Ausgangspunkt für die Strafuntersuchung bildete ein Vorfall vom 28. Juni 2017, der sich im Rahmen des Vollzugs des Freiheitsentzugs aufgrund eines früher gefällten Strafurteils ergeben hatte. Bis am 27. September 2017 befand sich A._ im entsprechenden Strafvollzug. Auf den 28. September 2017 wurde er aufgrund der neuen Vorwürfe vorläufig festgenommen. Das Bezirksgericht Zürich verfügte am 29. September 2017 wegen Wiederholungsgefahr die Anordnung von Untersuchungshaft. Nachdem das Amt für Justizvollzug und Wiedereingliederung des Kantons Zürich (früher: Amt für Justizvollzug) den Vollzug der Untersuchungshaft in der Justizvollzugsanstalt Pöschwies (nachfolgend: JVA Pöschwies) genehmigt hatte, wurde A._ am 17. August 2018 dorthin verlegt und in die dortige Sicherheitsabteilung eingewiesen. Am 25. April 2019 ordnete das Bezirksgericht Dielsdorf als Zwangsmassnahmengericht für A._ Sicherheitshaft an.
A.b. Am 4. Oktober 2018 ersuchte A._ erfolglos um Verlegung aus der Sicherheitsabteilung der JVA Pöschwies in ein Untersuchungsgefängnis. Mit Urteil 1B_52/2021 vom 24. März 2021 (zur Publ. bestimmt; nachfolgend: Verlegungsentscheid) wies das Bundesgericht eine in diesem Zusammenhang von A._ erhobene Beschwerde ab.
B.
Zu Beginn der Berufungsverhandlung vom 26. Mai 2021 am Obergericht des Kantons Zürich stellte A._ vorweg ein Gesuch um sofortige Entlassung aus der strafprozessualen Haft. Zur Begründung machte er im Wesentlichen geltend, die Haftbedingungen, denen er in der JVA Pöschwies unterliege, verstiessen gegen das Verbot der Folter bzw. der unmenschlichen Behandlung. Mit Präsidialverfügung vom 26. Mai 2021 wies der zuständige Abteilungspräsident am Obergericht das Gesuch ab und ordnete die Verlängerung der Sicherheitshaft bis zur mündlichen Eröffnung des Berufungsentscheids an.
C.
Dagegen führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen mit dem Hauptantrag, die Präsidialverfügung vom 26. Mai 2021 aufzuheben und ihn sofort aus der Sicherheitshaft zu entlassen; eventuell sei die unverzügliche Entlassung mit der Anordnung von Ersatzmassnahmen zu verbinden; subeventuell sei die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht wird insbesondere um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung ersucht.
Die Staatsanwaltschaft I liess sich innert Frist nicht vernehmen. Das Obergericht verzichtete auf eine Stellungnahme.
D.
Mit Urteil vom 26. Mai 2021 sprach das Obergericht des Kantons Zürich gegenüber A._ insbesondere eine Freiheitsstrafe von sechs Jahren und vier Monaten aus.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen einen kantonal letztinstanzlichen (vgl. <ref-law>) Entscheid über die Entlassung aus der Sicherheitshaft während eines Verfahrens vor dem Berufungsgericht (vgl. <ref-law>) steht die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> an das Bundesgericht offen. Bei der angefochtenen Präsidialverfügung handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Entscheid (vgl. Art. 222 i.V.m. <ref-law>) nach <ref-law>, weshalb sich die Beschwerde in Strafsachen als zulässig erweist.
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss von Bundesverfassungsrecht sowie von Völkerrecht, namentlich der Europäischen Menschenrechtskonvention, gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Der Beschwerdeführer erhebt solche zulässigen Rügen.
1.3. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b BGG ist zur Beschwerde legitimiert, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Der Beschwerdeführer hat das darin beurteilte Gesuch um Haftentlassung gestellt und am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen. Als betroffener Häftling ist er vom angefochtenen Entscheid besonders berührt. Sein Interesse an der Beschwerde muss jedoch aktuell sein, das heisst, auch im Zeitpunkt der Urteilsfällung noch bestehen. Mit dem angefochtenen Entscheid wurde die Sicherheitshaft lediglich bis zur mündlichen Eröffnung des Berufungsentscheids verlängert, die inzwischen erfolgt ist. Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses. Das gilt insbesondere in Haftfällen selbst nach einer Haftentlassung, wenn nicht von vornherein unbegründet die Verletzung von Bestimmungen der Europäischen Menschenrechtskonvention gerügt wird (<ref-ruling> E. 4.3.4). Solche Rügen liegen hier vor, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist. Da sich der noch immer bestehende Freiheitsentzug des Beschwerdeführers inzwischen aber nicht mehr auf den angefochtenen Entscheid zu stützen vermag, sondern auf anderer Grundlage beruhen muss, die hier nicht angefochten ist, kommt eine Haftentlassung von vornherein nicht in Frage.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 BGG beruht (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG).
1.5. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Besondere Anforderungen gelten bei der Rüge einer Grundrechtsverletzung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.
2.1. Nach den Grundvoraussetzungen von <ref-law> ist Sicherheitshaft insbesondere zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ein im Gesetz genannter Haftgrund vorliegt. Die Haft muss überdies verhältnismässig sein (vgl. Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 BV, Art. 197 Abs. 1 lit. c und Art. 212 Abs. 2 lit. c StPO). Weder ein dringender Tatverdacht noch das Vorliegen eines Haftgrundes sind hier strittig. Der Beschwerdeführer beanstandet einzig die Haftbedingungen, womit er im Rahmen seines Haftentlassungsgesuchs die Verhältnismässigkeit der Haft in Frage stellt.
2.2. Nach <ref-law> darf die inhaftierte Person in ihrer persönlichen Freiheit nicht stärker eingeschränkt werden, als es der Haftzweck sowie die Ordnung und Sicherheit in der Haftanstalt erfordern. Der Beschwerdeführer sieht in den ihm auferlegten restriktiven Haftbedingungen einen Verstoss gegen das Verbot der Folter bzw. von unmenschlicher und erniedrigender Behandlung nach Art. 3 EMRK und Art. 7 UNO-Pakt II sowie eine Verletzung der staatlichen Gewährleistungspflichten gemäss Art. 1-4 EMRK, der Offizialmaxime nach <ref-law> sowie des Verhältnismässigkeitsgebots von <ref-law>. Er beruft sich dabei im Wesentlichen auf den erwähnten Verlegungsentscheid des Bundesgerichts sowie auf zwei von ihm eingeholte private Gutachten zu den ihm auferlegten Haftbedingungen und deren Auswirkungen. In diesem Zusammenhang macht er auch einen Verstoss gegen den Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law>, Art. 6 EMRK und Art. 14 Abs. 1 UNO-Pakt II geltend, weil das Obergericht die von ihm eingereichten Privatgutachten nicht genügend gewürdigt und sich dazu nicht zureichend geäussert habe.
3.
3.1. Es ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer persönlich auf ihn zugeschnittenen, sehr restriktiven Haftbedingungen unterliegt, wovon auch bereits das Bundesgericht in seinem Verlegungsentscheid ausging. Es hielt damals dazu in E. 3.8 ergänzend fest, der Kanton Zürich lasse bisher immerhin erkennen, dass er bereit sei, für den individuellen Fall einen grossen personal- und kostenintensiven Aufwand zu leisten. Dennoch könnte sich bei unverändertem Regime auf die Dauer die Frage eines menschenwürdigen Haftvollzugs stellen. Zurzeit liessen sich der Vollzug in der JVA Pöschwies und die damit verbundenen Haftbedingungen aufgrund der besonderen Umstände des Einzelfalles bzw. wegen des vom Beschwerdeführer ausgehenden Risikopotenzials noch rechtfertigen. Sollte es bei einem längeren Freiheitsentzug bleiben, müssten die Behörden aber alle möglichen Anstrengungen für angepasste und grundsätzlich zunehmend zu lockernde Haftbedingungen unternehmen. Als Massstab hätte dabei zu gelten, was auf Dauer vertretbar und für alle Beteiligten zumutbar erscheine, ohne dass die Würde des Beschwerdeführers in nicht mehr zu legitimierender Weise beeinträchtigt würde. Das Bundesgericht sei sich bewusst, dass dies im vorliegenden Fall besondere Anforderungen stelle. Der Rechtsstaat dürfe sich dieser Herausforderung und Verantwortung jedoch weiterhin nicht entziehen.
3.2. Diese Erwägung erging im Rahmen eines Verfahrens, in dem ein Gesuch des Beschwerdeführers Streitgegenstand bildete, in Anwendung des Trennungsgebots nach <ref-law> aus der JVA Pöschwies als Strafvollzugsanstalt in eine dem Zweck der Untersuchungs- und Sicherheitshaft vorbehaltenen Anstalt verlegt zu werden. Der Beschwerdeführer hatte die Haftbedingungen damals nicht ausdrücklich gerügt. Das Bundesgericht überprüfte sie jedoch von Amtes wegen unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit des angeordneten Vollzugs der Sicherheitshaft bzw. prüfte, ob eine Verlegung in eine andere Anstalt aus Gründen der Verhältnismässigkeit wegen unzulässiger Haftbedingungen anzuordnen gewesen wäre. Es verneinte dies mit Blick auf die mehrfach gezeigte Gefährlichkeit des Beschwerdeführers sowie den besonderen Charakter der Sicherheitshaft. Es nahm dabei in erkennbarer Weise einen kurzfristigen Blickwinkel ein. Dabei stand auch (unausgesprochen) im Raum, dass innert relativ kurzer Frist die Berufungsverhandlung anstand. Gleichzeitig gab das Bundesgericht zu erkennen, dass bei einer allfälligen längeren Inhaftierung, also in mittel- bis längerfristiger Sicht, die restriktiven Haftbedingungen die Frage menschenwürdiger Behandlung aufwerfen würden und kontinuierlich auf ein vertretbares Mass zu lockern seien. Angesprochen war dabei insbesondere die Möglichkeit, dass die Sicherheitshaft eventuell noch längere Zeit andauern könnte oder der Beschwerdeführer rechtskräftig zu einer Freiheitsstrafe verurteilt werden sollte.
3.3. Im vorliegenden Zusammenhang verhält es sich ähnlich. Diesmal bildet ein Haftentlassungs- und nicht ein Verlegungsgesuch des Beschwerdeführers den Streitgegenstand. Erneut können die Haftbedingungen unter dem Gesichtspunkt der Verhältnismässigkeit wesentlich sein und sind insofern grundsätzlich auch zu prüfen, wenn Zweifel an ihrer Rechtmässigkeit bestehen. Auch hier steht allerdings eine kurzfristige Sichtweise im Vordergrund. Seit dem Verlegungsentscheid des Bundesgerichts sind bis zum Zeitpunkt der hier angefochtenen Präsidialverfügung rund zwei, bis heute sogar drei Monate vergangen. Während dieser Zeit blieb das Haftregime des Beschwerdeführers offenbar unverändert, was mittelfristig bedeutsam werden könnte. Kurzfristig hat sich die Ausgangslage aber noch nicht wesentlich verändert. Im Übrigen sind die Auswirkungen der Haftbedingungen in persönlicher, sozialer und insbesondere psychischer Hinsicht bisher nicht abschliessend geklärt worden. Immerhin ruft der Beschwerdeführer dazu zwei Privatgutachten an, die Fragen aufwerfen, deren Bedeutung jedoch strittig ist. Auch hat der UNO-Sonderberichterstatter über Folter und andere grausame, unmenschliche oder erniedrigende Behandlung oder Bestrafung Fragen zu den Haftbedingungen des Beschwerdeführers in Aussicht gestellt. Das heisst allerdings noch nicht, dass dessen Haftregime bereits deswegen unrechtmässig wäre. Es indiziert aber einen entsprechenden Abklärungsbedarf, der erneut insbesondere in einer mittel- bis längerfristigen Sicht beachtlich werden könnte.
3.4. Über die Anordnung von Sicherheitshaft ist rasch zu entscheiden. Das belegt gerade der vorliegende Fall. Das Haftentlassungsgesuch wurde am Anfang der Hauptverhandlung gestellt. Das Obergericht unterbrach diese in der Folge unverzüglich, damit die Verfahrensleitung vorweg über das Gesuch befinden konnte, bevor die Verhandlung ohne weitere Verzögerung fortgeführt wurde. Eine beförderliche Erledigung der Hauptverhandlung liegt dabei auch im Interesse des Angeklagten. Unter solchen Umständen ist es der nach <ref-law> zuständigen Verfahrensleitung des Berufungsgerichts nicht möglich, im Rahmen der Beurteilung der Verhältnismässigkeit der Haft umfassende Abklärungen über die Auswirkungen eines dem Angeklagten auferlegten Haftregimes vorzunehmen. Vielmehr muss es bei einer vorläufigen Einschätzung aufgrund jener Aktenlage sein Bewenden haben, die dem Haftgericht vorliegt. Das ist grundsätzlich nicht zu beanstanden, sofern die Parteirechte des Betroffenen gewahrt bleiben. Eine umfassende Beurteilung der Haftbedingungen unter Abklärung sämtlicher Umstände hat allenfalls in einem besonderen separaten Verfahren zu erfolgen, in das bei Bedarf auch die Vollzugsbehörden in geeigneter Weise einzubeziehen sind. Ein solches Verfahren kann sich gegebenenfalls sowohl auf strafprozessuale (in Anwendung von <ref-law>) als auch auf strafvollziehende (vgl. <ref-law>) Haftbedingungen erstrecken. Im vorliegenden Fall dürften dadurch künftig vor allem die für den Vollzug des Strafurteils befassten Behörden angesprochen sein.
4.
4.1. Im Rahmen des hier zu beurteilenden Haftentlassungsgesuchs gibt es bisher, soweit ersichtlich, keine überzeugenden Beweise, dass das strittige Haftregime in einer für ein Haftentlassungsverfahren angebrachten kurzfristigen Sichtweise bereits heute als unrechtmässig zu beurteilen wäre. Dies gilt allerdings nicht vorbehaltlos, denn es stellt sich die Frage, ob das Obergericht die vom Beschwerdeführer angerufenen und eingereichten Privatgutachten ausreichend gewürdigt und seinen Haftentscheid genügend begründet und damit den Anspruch auf rechtliches Gehör des Beschwerdeführers beachtet hat.
4.2. Das rechtliche Gehör nach <ref-law> dient einerseits der Klärung des Sachverhaltes und stellt anderseits ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht bei der Fällung eines Entscheides dar, der in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht der Betroffenen, sich vor der Entscheidfällung zur Sache zu äussern und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Ausgang des Verfahrens zu beeinflussen (<ref-ruling> E. 3.4 S. 102; <ref-ruling> E. 5.1 S. 293; je mit Hinweisen). Dem Gehörsanspruch entspricht die Pflicht der Behörden, die Vorbringen tatsächlich zu hören, ernsthaft zu prüfen und in ihrer Entscheidfindung angemessen zu berücksichtigen. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass die betroffene Person den Entscheid sachgerecht anfechten kann. Sie muss die wesentlichen Überlegungen enthalten, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt. Nicht erforderlich ist, dass sich die Vorinstanz in ihrer Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 9.2 S. 65; <ref-ruling> E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen).
4.3. Der angefochtene Entscheid enthält eine kurze, knapp zweiseitige Begründung. Diese beschränkt sich im Wesentlichen auf die Argumentation, das Bundesgericht habe die Haftbedingungen in seinem Verlegungsentscheid als "derzeit nicht menschenunwürdig" bezeichnet und die vom Beschwerdeführer erhobenen Foltervorwürfe stützten sich primär auf Privatgutachten, die auf "keiner allseitigen Untersuchung" beruhten; weder aufgrund der Vorbringen der Verteidigung noch aufgrund der Aktenlage bestünden Hinweise dafür, dass sich seit der bundesgerichtlichen Beurteilung wesentliche und für den Beschwerdeführer nachteilige Änderungen im Vollzug ergeben hätten. Diese rudimentäre Begründung wirft die Frage auf, ob sie ausreichend ist.
4.3.1. Wie dargelegt (vgl. vorne E. 3.2), hatte das Bundesgericht im angerufenen Urteil eine erkennbar kurzfristige Sichtweise eingenommen und sinngemäss auf eine mittel- bis längerfristig sich abzeichnende Problematik beim Haftregime hingewiesen. Dass zwei Monate später, als der angefochtene Entscheid erging, die Haftbedingungen noch immer zulässig waren, erscheint zwar nicht ausgeschlossen, müsste aber vertiefter begründet werden und lässt sich nicht damit rechtfertigen, es habe seither keine wesentlichen, für den Beschwerdeführer nachteiligen Änderungen im Haftregime gegeben. Zu prüfen wäre vielmehr, weshalb es sich rechtfertigen liesse, dass in der Zwischenzeit keine für ihn vorteilhaften Erleichterungen vorgenommen worden sind. Dazu äussert sich der angefochtene Entscheid nicht, was auf eine unzureichende Begründung hinausläuft.
4.3.2. Was die beiden Privatgutachten betrifft, erscheint der angefochtene Entscheid nicht eindeutig. Insbesondere geht nicht klar daraus hervor, ob die Verfahrensleitung die Expertisen als unzulässig aus dem Recht gewiesen oder sie als inhaltlich nicht überzeugend gewürdigt hat. Grundsätzlich sind private Gutachten nicht einfach unbeachtlich, sondern ihr Beweiswert bzw. ihre Tauglichkeit muss geprüft und angemessen berücksichtigt werden. Zwar kommt einem Parteigutachten nicht die gleiche Bedeutung zu wie einem vom Gericht oder von einer Behörde nach dem vorgegebenen Verfahrensrecht eingeholten Gutachten. Es ist jedoch nach den von der Rechtsprechung aufgestellten Richtlinien für die Beweiswürdigung zu berücksichtigen (vgl. etwa <ref-ruling> E. 3c S. 354; Urteil des Bundesgerichts 8C_28/2021 vom 9. April 2021 E. 4.2). Der Begründung des angefochtenen Entscheids lässt sich nicht entnehmen, dass bzw. in welcher Form dies geschehen wäre. Davon abgesehen liegt unter Umständen auch insofern eine Gehörsverweigerung vor, als die Verfahrensleitung die Privatgutachten ohne weitere Würdigung ihrer Beweiskraft überhaupt nicht als Beweismittel zugelassen hätte. Da dies nicht nachvollziehbar aus dem angefochtenen Entscheid hervorgeht, ist auch insofern von einem Verfahrensmangel auszugehen.
4.4. Aufgrund der festgestellten formellen Unzulänglichkeiten ist der angefochtene Entscheid aufzuheben. Das heisst jedoch nicht, dass er auch inhaltlich bundesrechtswidrig ist. Wegen der formellen Natur des Gehörsanspruchs ist darüber hier nicht zu entscheiden. Es ist nicht Sache des Bundesgerichts, an die Stelle der als erstinstanzlicher Haftrichter handelnden Verfahrensleitung des Obergerichts zu treten, deren Verfahrensmängel zu korrigieren und dabei namentlich die angebotenen Beweismittel angemessen zu würdigen und den Haftentscheid ausreichend zu begründen. Vielmehr ist die Angelegenheit dafür an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5.
Demnach ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache geht zurück an das Obergericht zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Das Gesuch um sofortige Haftentlassung ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang obsiegt der Beschwerdeführer teilweise. Insoweit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit seinem Rechtsvertreter gegenstandslos. Im Übrigen ist es zu bewilligen (vgl. <ref-law>). Unter diesen Umständen sind für das bundesgerichtliche Verfahren keine Kosten zu erheben (Art. 64 Abs. 1 und Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung zu entrichten (vgl. <ref-law>). Im Übrigen ist der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Präsidialverfügung des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Strafkammer, vom 26. Mai 2021 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Das Gesuch um sofortige Entlassung des Beschwerdeführers aus der Haft wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Thomas Häusermann als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
5.
Im Übrigen wird Rechtsanwalt Thomas Häusermann aus der Gerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
6.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Uebersax