Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 26. Dezember 1955) ist türkische Staatsangehörige. Sie reiste am 20. Mai 2001 mit einem 90 Tage gültigen Touristenvisum in die Schweiz ein. Nachdem ihr das Visum aus gesundheitlichen Gründen vorerst verlängert worden war, heiratete sie am 19. September 2001 ihren in der Schweiz als Flüchtling anerkannten Landsmann B._, worauf die solothurnischen Behörden ihr im Rahmen des Familiennachzugs am 14. Februar 2002 eine Aufenthaltsbewilligung ausstellten. Am 16. März 2007 erteilte der Kanton Bern A._ die Niederlassungsbewilligung - dies obwohl sie und ihr Ehemann auf Sozialhilfeleistungen angewiesen waren. Im gleichen Jahr liessen sich die Gatten scheiden.
B.
Am 20./21. Oktober 2008 bewilligte das Migrationsamt des Kantons Zürich den Kantonswechsel von A._, nachdem sie seit dem 1. Oktober 2007 als Küchenhilfe in der Pizzeria C._ in U._ in einem unbefristeten Arbeitsverhältnis stand. Dieses wurde auf den 31. Januar 2010 aus wirtschaftlichen Gründen beendet. In der Folge bezog A._ Arbeitslosengelder; ab dem 1. März 2012 war sie wiederum von Sozialhilfeleistungen abhängig. Am 27. November 2015 lehnte die IV-Stelle es ab, A._ eine Rente auszurichten. Am 28. Juli 2015 wurde A._ im Hinblick auf ihre Fürsorgeabhängigkeit ausländerrechtlich verwarnt. Am 17. Mai 2016 widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich ihre Niederlassungsbewilligung. Die kantonalen Rechtsmittel hiergegen blieben ohne Erfolg (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 15. Juni 2017; Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2017).
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 20. Dezember 2017 aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihr die Niederlassungsbewilligung zu belassen; eventuell sei die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der bundesgerichtlichen Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ macht geltend, die gesetzliche Frist für den Widerruf ihrer Bewilligung wegen Sozialhilfeabhängigkeit sei verwirkt, da ihr die Verfügung nicht fristgerecht zugegangen sei. Seit dem 1. August 2017 sei sie im Übrigen nicht mehr von der Sozialhilfe abhängig. Sie kümmere sich seit dem 1. Juli 2017 um einen Enkel und erhalte hierfür eine Entschädigung von Fr. 3'000.--; seit Ende 2017 sei ihr auch ein Vorbezug der AHV-Rente möglich. Im Übrigen lasse ihr Gesundheitszustand eine Rückkehr in die Heimat nicht zu. Sämtliche Bezugspersonen lebten heute in der Schweiz, es handle sich dabei um zwei Söhne und eine Tochter, einen Bruder und eine Schwester sowie insgesamt zehn Enkelkinder. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung sei unverhältnismässig.
Die Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich verzichtet darauf, einen Antrag zu stellen; das Verwaltungsgericht äussert sich nicht weiter zur Beschwerde. Das Staatssekretariat für Migration als beschwerdeberechtigte Bundesbehörde hat sich nicht vernehmen lassen. A._ hielt am 13. April 2018 an ihren Anträgen und Ausführungen fest; zudem reichte sie neue Unterlagen ein.
D.
Der Abteilungspräsident legte der Beschwerde am 2. Februar 2018 antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligungen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 34 Abs. 1 AuG; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 4; Urteil 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 1.2). Die Beschwerdeführerin, die sich inzwischen seit mehr als 15 Jahren in der Schweiz aufhält, kann sich für ihren Bewilligungsanspruch auch auf den Schutz ihres Privatlebens berufen: Das Bundesgericht hat in einem neueren, zur Publikation bestimmten Urteil festgehalten, dass nach einer rechtmässigen Aufenthaltsdauer von zehn Jahren regelmässig davon ausgegangen werden könne, dass die sozialen Beziehungen zur Schweiz derart eng seien, dass besondere Gründe erforderlich erschienen, um den Aufenthalt zu beenden (BGE 2C_105/2017 vom 8. Mai 2018 E. 3.8 und 3.9 mit Hinweisen; Urteil 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 5.1). Dies ist etwa der Fall, wenn ein Widerrufsgrund vorliegt. In dieser Situation ist wegen der Anwendbarkeit von Art. 8 Ziff. 1 EMRK unter dem Titel des Schutzes des Privatlebens eine Interessenabwägung gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK erforderlich.
1.2. Ob die jeweiligen Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass ein entsprechender Anwesenheitsanspruch - wie hier bezüglich des Privatlebens - in vertretbarer Weise geltend gemacht wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179). Ob die Beschwerdeführerin sich auch auf den Schutz ihres Familienlebens berufen kann, wird materiell zu prüfen sein, nachdem sie auch diesbezüglich in vertretbarer Weise einen entsprechenden Anspruch geltend macht. Die Eingabe der durch den angefochtenen kantonal letztinstanzlichen Entscheid in eigenen schutzwürdigen Interessen betroffenen Beschwerdeführerin erfüllt auch die weiteren Zulässigkeitsvoraussetzungen (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG); auf ihre Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr formell korrekt (Begründungs- und Mitwirkungspflicht) vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht. Das Bundesgericht geht auf entsprechende Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und verfassungsbezogen begründet werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.2. Das Bundesgericht ist im Übrigen an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig, was von der beschwerdeführenden Person in Auseinandersetzung mit den Ausführungen im angefochtenen Entscheid aufzuzeigen ist (Art. 105 Abs. 2 und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_402/2015 vom 11. November 2016 E. 2.2.2). Soweit die Beschwerdeführerin die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Würdigung der Beweise nicht verfassungsbezogen, sondern bloss appellatorisch beanstandet - d.h. lediglich ihre Sicht der Dinge derjenigen der Vorinstanz gegenüberstellt, ohne darzulegen, inwiefern diese die Beweise in Verletzung von <ref-law> (Willkür) gewürdigt hat - wird im Folgenden auf ihre Ausführungen nicht weiter eingegangen.
2.3.
2.3.1. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>, vgl. Urteile 2C_347/2012 vom 28. März 2013 E. 2.5 und 2.6, nicht publ. in: <ref-ruling>; 2C_1017/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 2). Tatsachen oder Beweismittel, die auf das vorinstanzliche Prozessthema Bezug nehmen, sich aber erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind, können nicht durch das angefochtene Urteil veranlasst worden sein. Diese sog. "echten Noven" sind im bundesgerichtlichen Verfahren von vornherein unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123; <ref-ruling> E. 2.1 S. 344; Urteile 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3.1 und 2C_128/2016 vom 7. April 2017 E. 2.3). Dies ergibt sich aus der Rolle des Bundesgerichts als oberste rechtsprechende Behörde des Bundes (vgl. <ref-law>), welche - nebst der erwähnten Kognitionsbeschränkung betreffend Fragen des aktenkundigen Sachverhalts (vorstehende E. 2.2) - ihrem Urteil keine Tatsachen oder Beweismittel zugrunde legen darf, die im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Entscheids nicht bereits existierten (Urteil 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3.1).
2.3.2. <ref-law> erfasst Tatsachen, die erst durch das angefochtene Urteil rechtserheblich werden. Diese sogenannten unechten Noven sind Tatsachen und Beweismittel, welche im vorangegangenen Verfahren - obwohl sie bereits vorhanden und der Partei bekannt waren - nicht vorgebracht und auch von den Vorinstanzen nicht festgestellt wurden. Vor Bundesgericht kann sich die beschwerdeführende Partei auf Tatsachen stützen, die nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens gebildet haben, wenn die Vorinstanz ein neues rechtliches Argument anführt, mit dem sich die Partei zuvor nicht konfrontiert sah (Urteil 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3.2). Unzulässig sind neue Tatsachen, die bereits der Vorinstanz hätten vorgelegt werden können (<ref-ruling> E. 4.4.3 S. 129).
2.3.3. Nur weil das Verwaltungsgericht nicht der rechtlichen Beurteilung der Beschwerdeführerin gefolgt ist, gibt sein Entscheid nicht bereits Anlass, im bundesgerichtlichen Verfahren die Beweismittel zu ergänzen und insbesondere einen neuen, von der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu beurteilen (vgl. Leistungsgarantie von D._ vom 30. Januar 2018; Zusatz zum Betreuungsvertrag vom 30. Januar 2018 usw.). Dazu müsste das kantonale Gericht materielles Recht derart angewendet haben, dass bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - Rechtserheblichkeit erhielten (vgl. die Urteile 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3 und 2C_1071/2014 vom 28. Mai 2015 E. 1.4 mit Hinweisen). Dies ist hier nicht der Fall, nachdem sämtliche kantonalen Instanzen sich auf die gleichen rechtlichen und faktischen Grundlagen gestützt haben und zum gleichen Resultat gekommen sind.
2.3.4. Die Beschwerdeführerin gibt zahlreiche neue Unterlagen zu den Akten. Diese können nach dem Gesagten im Folgenden nicht berücksichtigt werden: Sowohl der Lohnausweis 2017 (10. Januar 2018) als auch der Steuerausweis ihres Sohnes (29. Dezember 2017) sind nach dem Urteil vom 20. Dezember 2017 ausgestellt worden; dasselbe gilt für die verschiedenen weiteren Stellungnahmen, soweit sie potentiell geeignet sind, den Sachverhalt zu ergänzen (Leistungsgarantie von D._ für die Beschwerdeführerin vom 30. Januar 2018; Zusatz zum Betreuungsvertrag vom 30. Januar 2018; Schreiben der Schule E._ vom 23. Januar 2018; ärztliche Berichte vom 20. Januar und 4. April 2018; Arztvisiten vom 31. Januar und 2. Februar 2018; ärztliches Rezept vom 31. Januar 2018; Liste der Familienangehörigen vom 23. Januar 2018; gemeinsamer Brief der Angehörigen [nicht datiert] usw.). Soweit es sich dabei nicht um echte unzulässige Noven handelt, wäre es an der Beschwerdeführerin gewesen, sich die entsprechenden Unterlagen rechtzeitig zu beschaffen und in das kantonale Verfahren einzubringen. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern gestützt auf ihre neuen Beweismittel davon auszugehen wäre, dass das Verwaltungsgericht den Sachverhalt, wie er sich zum Zeitpunkt seines Entscheids darstellte, offensichtlich fehlerhaft oder unvollständig ermittelt hätte (zur Beweiswürdigung: <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.1 S. 253). Sie kritisiert die Sachverhaltsfeststellung diesbezüglich rein appellatorisch (vgl. vorstehende E. 2.2).
3.
3.1. Die Niederlassungsbewilligung kann widerrufen werden, wenn die Ausländerin oder der Ausländer oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, dauerhaft und in einem erheblichen Mass auf Sozialhilfe angewiesen ist (Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG). Der Widerruf muss innerhalb eines ununterbrochenen und ordnungsgemässen Aufenthalts von 15 Jahren erfolgen, andernfalls der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit nicht mehr angerufen werden kann (Art. 63 Abs. 2 AuG).
3.2. Im vorliegenden Fall ist vorab die Berechnung der Aufenthaltsdauer strittig:
3.2.1. Die Einreise der Beschwerdeführerin erfolgte am 20. Mai 2001 mit einem Touristenvisum. Das Migrationsamt hat die Niederlassungsbewilligung der Beschwerdeführerin am 17. Mai 2016 widerrufen. Die Verfügung ging dem damaligen Rechtsvertreter wegen eines postalischen Rückbehaltungsauftrags erst am 23. Mai 2016 zu. Das Migrationsamt und das Verwaltungsgericht gehen davon aus, dass das Datum der erstinstanzlichen Verfügung für die Bestimmung der 15-Jahresfrist ausschlaggebend ist. Die Beschwerdeführerin und die Sicherheitsdirektion wollen ihrerseits nicht auf das Verfügungsdatum abstellen, sondern auf den Zeitpunkt der Zustellung bzw. der Eröffnung der Verfügung an die Beschwerdeführerin.
3.2.2. Die Beschwerdeführerin leitet aus ihrem Standpunkt ab, dass das Migrationsamt die Frist von 15 Jahren verpasst hat und ihre Niederlassungsbewilligung deshalb nicht mehr wegen ihrer Fürsorgeabhängigkeit widerrufen werden kann (Einreise am 20. Mai 2001; Entgegennahme der Verfügung am 23. Mai 2016). Die Sicherheitsdirektion nimmt ihrerseits an, dass die 15 Jahre beim Empfang der erstinstanzlichen Verfügung noch nicht abgelaufen waren, da die Beschwerdeführerin erst seit dem 14. Februar 2002 über eine Aufenthaltsbewilligung verfügte; ihre vorherige Anwesenheit habe auf einem blossen (Besucher-) Visum beruht, das auf Zusehen hin verlängert worden sei, womit der Aufenthalt für diesen Zeitraum nicht als ordnungsgemäss im Sinne von Art. 63 Abs. 1 lit. c AuG gelten könne. Der Widerruf sei somit rechtzeitig erfolgt, auch wenn auf das Empfangsdatum abgestellt werde.
3.2.3. Wie es sich damit verhält, kann dahingestellt bleiben: Selbst wenn es denkbar wäre, auf den Empfang der Verfügung bzw. auf die Zustellungsfiktion abzustellen und von der verfügenden Instanz zu verlangen, allfällige zeitliche Verzögerungen mitzuberücksichtigen und ihr Verfahren entsprechend auszurichten (vgl. so das Urteil 1C_336/2010 vom 28. September 2010 E. 3.3), wäre die Frist eingehalten: Als ordnungsgemäss gilt nur der ausländerrechtlich bewilligte Aufenthalt und - bei in der Schweiz geschlossenen Ehen - die Zeit zwischen der Heirat und der Bewilligungserteilung (<ref-ruling> E. 4.4 S. 13 f.). Der Eheschluss erfolgte im vorliegenden Fall am 19. September 2001, womit die Frist von 15 Jahren (19. September 2016) beim Empfang der Verfügung (23. Mai 2016) noch nicht abgelaufen war. Soweit die Beschwerdeführerin - ohne eine eigentliche Rüge zu erheben - in diesem Zusammenhang beanstandet, ihr Rechtsvertreter habe durch das ungewöhnliche Vorgehen des Migrationsamts keine Gelegenheit erhalten, sich vor dem Widerruf noch schriftlich zu äussern, wurde dieser Mangel spätestens im Rekursverfahren behoben.
4.
4.1. Beim Widerruf der Niederlassungsbewilligung eines Ausländers wegen Bedürftigkeit geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Ob dieses Ziel erreicht werden kann, ist kaum je mit Sicherheit zu ermitteln. Es muss daher die wahrscheinliche Entwicklung der finanziellen Situation der ausländischen Person berücksichtigt werden. Nach der Rechtsprechung ist eine andauernde konkrete Gefahr einer Sozialhilfeabhängigkeit erforderlich; Hypothesen und pauschalierte Gründe genügen hierzu nicht (vgl. Urteile 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.4; 2C_685/2010 vom 30. Mai 2011 E. 2.3.1 und E. 2.3.2). Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen ist auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht in die Beurteilung miteinzubeziehen. Ein Widerruf fällt in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft selber für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (<ref-ruling> E. 3c S. 8; Urteile 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3 und 2C_74/2010 vom 10. Juni 2010 E. 3.4 mit Hinweis). Nach gefestigter Rechtsprechung stellen Sozialversicherungsleistungen unter Einschluss der Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung grundsätzlich keine Sozialhilfe im Sinne von Art. 63 Abs. 1 lit. c dar (<ref-ruling> E. 3.7 S. 272 mit Hinweis).
4.2. Die Beschwerdeführerin bezog im Kanton Zürich von Anfang März 2012 bis Ende Juli 2017 ohne Unterbruch Sozialhilfeleistungen. Die ihr ausgerichteten Beträge beliefen sich bis zum 22. Mai 2017 auf insgesamt Fr. 130'460.65. In der Zeit von August 2002 bis Januar 2007 mussten ihr Ehemann und sie im Kanton Bern mit Fr. 40'500.30 unterstützt werden. Insgesamt bezog die Beschwerdeführerin somit staatliche Fürsorgeleistungen im Umfang von Fr. 170'960.95. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass ein solcher Sozialhilfebezug als erheblich und aufgrund des verbindlich festgestellten Sachverhalts hier auch als dauerhaft zu gelten hat: Die Beschwerdeführerin ist heute 62-jährig, eine künftige Rückkehr in den ersten Arbeitsmarkt ist aufgrund ihres Alters, ihres Gesundheitszustands, ihrer beschränkten Sprachkenntnisse sowie der langjährigen Fürsorgeabhängigkeit kaum realistisch. Die Beschwerdeführerin war während ihrer ganzen Anwesenheit einzig von Oktober 2007 bis Januar 2010 als Küchenhilfe im Betrieb eines ihrer Söhne beruflich aktiv. Ein gutes Jahr nach der Bewilligungserteilung im Kanton Zürich wurde sie aus wirtschaftlichen Gründen entlassen. Sie bezog dann bis zu ihrer Aussteuerung Taggelder der Arbeitslosenversicherung.
4.3. Die Beschwerdeführerin wendet ein, seit dem 1. Juli 2017 von ihrem in der Schweiz niedergelassenen alleinerziehenden Sohn D._ Fr. 3'000.-- für die Betreuung ihres Enkels zu erhalten, was ihr erlaubt habe, sich per 1. August 2017 von der Sozialhilfe zu lösen. Im Übrigen könne sie ab Ende 2017 ihre AHV-Rente vorbeziehen und gleichzeitig einen Anspruch auf Ergänzungsleistungen geltend machen. Tatsächlich ist die Beschwerdeführerin derzeit nicht fürsorgeabhängig, doch kann - aufgrund des von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalts - nicht davon ausgegangen werden, dass die Gefahr einer weiteren bzw. erneuten Abhängigkeit von der öffentlichen Hand auf längere Sicht hin ausgeschlossen wäre. Die Beschwerdeführerin hat sich erst während der Beschwerdefrist unter dem Druck der drohenden Wegweisung darum bemüht, sich von der Sozialhilfe zu lösen. Ihre einzige Arbeitsstelle als Küchengehilfin bei ihrem Sohn hat sie aus wirtschaftlichen Gründen verloren, weshalb die Vorinstanz willkürfrei davon ausgehen durfte, dass die finanzielle Tragbarkeit des Arrangements mit ihrem Sohn längerfristig noch nicht als gesichert gelten kann. Soweit sie diesbezüglich im bundesgerichtlichen Verfahren weitere Zusicherungen ihres Sohnes einreicht, handelt es sich dabei um unzulässige Noven, die hier nicht berücksichtigt werden können (vgl. oben E. 2.3.4).
4.4. Sollte die Beschwerdeführerin ihre AHV-Rente vorbeziehen, ginge damit eine lebenslange Kürzung der Rente einher; ihr Lebensunterhalt müsste künftig zu einem erheblichen Teil über Ergänzungsleistungen gedeckt werden. Diese schlössen praktisch nahtlos an die vorbestehende Sozialhilfeabhängigkeit an. Durch den voraussichtlich lebenslangen Bezug der Ergänzungsleistungen als beitragsunabhängige Sonderleistungen würde die öffentliche Hand weiterhin in erheblichem Mass belastet (Urteile 2C_1018/2016 vom 22. Mai 2017 E. 6.2 und 2C_562/2016 vom 14. Dezember 2016 E. 3.1.2). Ergänzungsleistungen stellen zwar keine Sozialhilfe im engeren Sinn dar, sie gehen aber als beitragsunabhängige Sonderleistungen dennoch zu Lasten der Öffentlichkeit (<ref-ruling> E. 3.7 S. 273). Obwohl der Bezug von Ergänzungsleistungen keinen Widerrufsgrund bildet, darf er im Rahmen der Prüfung der Verhätnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme dennoch mitberücksichtigt werden. Das Vorbringen der Beschwerdeführerin, sie werde infolge der Anspruchsberechtigung für den Bezug von Ergänzungsleistungen nicht mehr auf Sozialhilfe angewiesen sein, ist deshalb zu relativieren. Die Beschwerdeführerin würde die öffentliche Hand doch weiterhin in erheblichem Umfang belasten. Die Vorinstanz durfte das öffentliche Interesse am Widerruf der Bewilligung deshalb als bedeutend einstufen, ohne damit Bundesrecht zu verletzen (Urteil 2C_562/2016 vom 14. Dezember 2016 E. 3.1.2). Die Beschwerdeführerin vermochte zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids nicht darzutun, dass sie in naher oder ferner Zukunft aus eigener Kraft dauerhaft für sich würde sorgen können, was durch den Umstand nicht entkräftet wird, dass sie kurz vor der Pensionierung steht und danach eine AHV-Rente beziehen wird (so das Urteil 2C_120/2015 vom 2. Februar 2016 E. 2.2).
5.
5.1. Liegt ein Widerrufsgrund vor, ist zu prüfen, ob sich die aufenthaltsbeendende Massnahme auch als verhältnismässig erweist (<ref-law>; vgl. auch Art. 96 Abs. 1 AuG). Dabei sind die Ursachen, warum eine Person sozialhilfeabhängig geworden ist, ihre bisherige Anwesenheitsdauer sowie der Grad ihrer Integration in der Schweiz zu berücksichtigen. Ob und inwieweit die betroffene Person ein Verschulden an der Sozialhilfeabhängigkeit trifft, bildet ebenfalls eine Frage der Verhältnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme (vgl. Urteile 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.5 und 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 2.3). Zu berücksichtigen sind im Rahmen der Interessenabwägung zudem die konkreten Verhältnisse im Land, in das die betroffene Person auszureisen hätte, und die sich daraus für sie ergebenden Auswirkung auf ihre künftigen Lebensumstände (Urteil 2C_120/2015 vom 2. Februar 2016 E. 3.2). Allgemein gebietet der Grundsatz der Verhältnismässigkeit, dass die Aufenthaltsbeendigung im öffentlichen Interesse geeignet, erforderlich und zumutbar erscheint, d.h. es muss ein sachgerechtes Verhältnis von Mittel und Zweck bestehen (Urteil 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2).
5.2. Die Vorinstanz ging davon aus, die aufenthaltsbeendende Massnahme sei hier verhältnismässig: Die Beschwerdeführerin sei zwar nunmehr seit fast 17 Jahren in der Schweiz; davon habe sie aber während 10 Jahren von der öffentlichen Sozialhilfe unterstützt werden müssen. Es wäre ihr möglich gewesen, sich bereits kurz nach der Heirat um eine (Teilzeit-) Arbeit oder eine Ausbildung zu bemühen, was sie nicht getan habe. Bis zum vorinstanzlichen Urteil sei sie insgesamt nur zwei Jahre und vier Monate auf dem ersten Arbeitsmarkt tätig gewesen. Sie habe sich in der Folge an einem Beschäftigungsprogramm und an anderen Aktivitäten auf dem zweiten Arbeitsmarkt beteiligt, doch habe dies ihre Situation nicht zu verbessern vermocht. Die IV habe festgestellt, dass sie zwar nicht mehr als Küchenhilfe arbeiten könne, doch bestehe für eine Tätigkeit ohne repetitives Tragen und Heben von Lasten über fünf Kilogramm über Schulterhöhe und über 15 Kilogramm über Beckenhöhe eine 100%ige Arbeitsfähigkeit. Das Verwaltungsgericht kam zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin während ihrer gesamten bisherigen Anwesenheit in der Schweiz auf die Unterstützung ihres früheren Ehemanns, ihrer erwachsenen Söhne und vor allem des Staates abgestellt habe, ohne sich aus eigenem Antrieb um eine berufliche, sprachliche und soziale Integration zu bemühen; die Bedürftigkeit habe unter diesen Umständen als selbstverschuldet zu gelten. Die entsprechende Beweiswürdigung ist nicht zu beanstanden; die Beschwerdeführerin legt nicht dar, inwiefern der festgestellte Sachverhalt und die daraus gezogenen Schlüsse offensichtlich unhaltbar wären.
5.3. Die Beschwerdeführerin kam mit 45 Jahren in die Schweiz. Sie hat den grössten Teil ihres Lebens, insbesondere die prägenden Kinder- und Jugendjahre, in der Türkei verbracht. Sie ist mit den dortigen Verhältnissen nach wie vor vertraut, hat sie sich doch trotz ihres langen Aufenthalts nie namhaft in die schweizerischen Verhältnisse zu integrieren versucht. Im Übrigen besuchte sie ihr Heimatland regelmässig (2015, 2016 und 2017). In der Türkei leben - nach dem für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt - noch ihre Eltern, ein Onkel und eine Tante sowie zwei Schwestern. Soweit die Beschwerdeführerin dies bestreitet und geltend macht, es verblieben ihr nur die betagten Eltern, hätte sie dies im kantonalen Verfahren vorbringen und belegen müssen; als echtes Novum ist es vor Bundesgericht hierfür zu spät. Die Beschwerdeführerin verfügt so oder anders über ein minimales Beziehungsnetz in der Heimat, das ihr gestatten wird, in der Türkei wieder Fuss zu fassen. Im Übrigen spricht sie sowohl Türkisch als auch Kurdisch. Die Trennung von ihren Söhnen und Enkelkindern dürfte der Beschwerdeführerin sicher nicht leicht fallen, obwohl sie mit ihnen - wie sich aus ihren eigenen Erklärungen ergibt - teilweise lediglich einen lockeren Kontakt unterhält; die entsprechenden Beziehungen kann sie über regelmässige Ferienbesuche und mittels der modernen Kommunikationsmittel aufrechterhalten. Das öffentliche Interesse, dass sie das Land verlässt, überwiegt im Hinblick auf ihre geringe Integration und ihre jahrelang dauernde Fürsorgeabhängigkeit, ohne dass sie sich - selbst nach der Verwarnung - um eine Ablösung von der Unterstützung bemüht hätte, ihr privates Interesse am Verbleib im Land.
5.4. Die Beschwerdeführerin beruft sich auch auf den Schutz ihres Familienlebens im Sinne von Art. 8 EMRK. Der entsprechende Anspruch bezieht sich in erster Linie auf die Kernfamilie; geht es um die Beziehung zwischen Eltern und volljährigen Kindern muss ein Abhängigkeitsverhältnis dargetan werden, das über die normalen familiären Bindungen zwischen den Eltern und ihren volljährigen Kindern hinausgeht; nur dann kommt Art. 8 EMRK zum Tragen (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 14; <ref-ruling> E. 1d und e S. 260 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 4 ff.). Vorliegend besteht zwischen den erwachsenen Kindern und ihrer Mutter bzw. der Grossmutter und ihren Enkelkindern keine solche spezifische Abhängigkeit; hieran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin heute gegen Entgelt einen der Enkel hütet und dadurch ihren alleinerziehenden Sohn entlastet; die entsprechende Dienstleistung kann ohne Weiteres auch durch Dritte erbracht werden.
5.5.
5.5.1. Die Beschwerdeführerin wendet ein, ihre gesundheitliche Situation lasse eine Rückkehr in die Türkei nicht zu. Nach dem verbindlich festgestellten Sachverhalt leide sie an "chronischen lumbosakralen Schmerzen vor allem linksseitig bei breitbasiger Diskushernie L3-L4 mit Tangierung der Nervenwurzel L 4 links, einem cerviko-thorakovertebralen Schmerzsyndrom mit Ausstrahlung in die Arme, einer medial betonten Gonarthorose links, einer chronischen Periarthropathia humeroscarapularis, artieller Hypertoni, Diabetes melius Typ II sowie möglicherweise einer koronaren Herzkrankheit". Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass diese gesundheitlichen Probleme auch in der Türkei behandelt werden könnten; die Beschwerdeführerin bringt nichts Substantielles vor, das hiergegen sprechen würde. Dass die Pflege in der Schweiz allenfalls besser wäre oder einfacher erfolgen könnte (kürzere Wege), ändert hieran nichts (vgl. das Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.2.2 bis E. 4.3.3). Finanziell wird es der Beschwerdeführerin möglich sein, ihre AHV-Rente in der Heimat zu beziehen, was es ihr im Hinblick auf den Kaufkraftunterschied erlauben wird, sich ärztlich betreuen zu lassen und ein Auskommen zu haben.
5.5.2. Die Beschwerdeführerin hat am 13. April 2018 ein ärztliches Gutachten nachgereicht, welches ihr eine rezidivierende depressive Störung mit schwerer Episode mit psychotischen Symptomen (ICD-10; F33.3) und eine Panikstörung (ICD-10, F41.0) diagnostiziert. Sie habe stark wiederkehrende Suizidimpulse und -gedanken und im Falle einer angeordneten Ausreise müsse unverändert mit einer akuten Suizidalität gerechnet werden. Eine Ausweisung aus der Schweiz sei für die Patientin daher "fatal". Das Bundesgericht kann die entsprechenden Ausführungen in seinem Entscheid wiederum nicht berücksichtigen, da es sich um ein unzulässiges echtes Novum handelt (vgl. oben E. 2.3.1).
5.5.3. Ergänzend gilt: Die wegweisungs- oder krankheitsbedingte Gefahr, dass die betroffene Person bei einer Aufenthaltsbeendigung ihrem Leben ein Ende setzen will, genügt für sich allein nicht, um die aufenthaltsbeendende Massnahme, die Wegweisung bzw. deren Vollzug als unverhältnismässig oder unzulässig erscheinen zu lassen. Die schweizerischen Behörden sind jedoch generell (auch ausserhalb des Anwendungsbereichs von Art. 3 EMRK) gehalten, im Rahmen der konkreten Rückkehrmassnahme alles ihnen Zumutbare vorzukehren, um medizinisch bzw. betreuungsmässig sicherzustellen, dass das Leben und die Gesundheit der rückkehrpflichtigen Person möglichst nicht beeinträchtigt wird. Der Vollzug muss sorgfältig und dem Gesundheitszustand entsprechend geplant werden (ärztliche Begleitung auf dem Flug, Übergabe an bzw. Kontaktaufnahme mit dem Arzt in der Heimat, Einbezug der Familie in der Heimat oder in der Schweiz, Beizug einer psychologischen Fachperson bei Eröffnung des negativen Entscheids, Abgabe von Medikamenten usw.). Nur wenn der Vollzug der Wegweisung auch mit adäquater medizinischer Rückkehrhilfe und entsprechenden Vorsichtsmassnahmen längerfristig (objektiv) nicht möglich sein sollte, stellt sich die Frage einer Unzumutbarkeit oder einer Unmöglichkeit des Wegweisungsvollzugs und der sich daraus ergebenden aufenthaltsrechtlichen Konsequenzen (Urteil 2D_14/2018 vom 13. August 2018 E. 4 - 7).
5.5.4. Soweit der Sohn der Beschwerdeführerin verbindlich und glaubwürdig erklärt, für die Kosten seiner Mutter aufkommen zu wollen, was das Bundesgericht im vorliegenden Entscheid wegen des Novenverbots nicht berücksichtigen kann, stellt sich für die kantonalen Behörden allenfalls die Frage, ob aufgrund der neu diagnostizierten psychischen Probleme der Beschwerdeführerin gegebenenfalls die Erteilung einer Härtefallbewilligung (Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG) oder eine Bewilligung als Rentnerin (Art. 28 AuG) bzw. als Patientin (medizinische Behandlung; Art. 29 AuG) zu prüfen wäre. Die entsprechenden Fragen bilden indessen nicht Gegenstand einer bundesgerichtlichen Beurteilung, da es dabei jeweils um Ermessensbewilligungen geht. Denkbar wäre für die Beschwerdeführerin allenfalls auch, ein Wiedererwägungsgesuch im Hinblick auf mögliche entscheidwesentliche neue Sachverhaltselemente zu stellen, welche im vorliegenden Verfahren nicht berücksichtigt werden konnten.
6.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die unterliegende Beschwerdeführerin die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. November 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar