Erwägungen:
1.
Mit Verfügung ihrer Präsidentin vom 29. August 2018 lehnte die Kreisschulbehörde Letzi ein Gesuch von A.A._ und B.A._ um Übernahme der Kosten für den Besuch der Privatschule C._ ihrer Söhne D.A._ (geb. 8.10.2012) und E.A._ (geb. 20.12.2013) ab. Den gegen diese Verfügung erhobenen Rekurs wies der Bezirksrat Zürich am 21. März 2019 ab. Mit der gegen diesen Rekursentscheid erhobenen Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wurde um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands ersucht. Der Präsident der zuständigen 4. Abteilung des Verwaltungsgerichts lehnte das Gesuch mit Verfügung vom 10. Mai 2019 wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels ab und setzte Frist von 20 Tagen ab Zustellung dieser Verfügung zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 3'000.--, unter Androhung, dass bei Nichtbefolgung der Auflage auf die Beschwerde nicht eingetreten würde.
Mit elektronischer Eingabe vom 21. Juni 2019, versehen mit dem Datum 20. Juni 2019, haben A.A._ und B.A._ beim Bundesgericht Beschwerde gegen die verwaltungsgerichtliche Verfügung erhoben. Ihre Anträge zielen darauf ab, dass ihnen für die kantonalen Verfahren sowie wie für das Verfahren vor Bundesgericht unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährt werde.
Es ist weder ein Schriftenwechsel noch sind andere Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften namentlich die (eigenhändige) Unterschrift zu enthalten (Abs. 1). Bei elektronischer Zustellung muss das Dokument, das die Rechtsschrift enthält, von der Partei oder ihrem Vertreter mit einer anerkannten elektronischen Signatur gemäss Bundesgesetz vom 18. März 2016 über die elektronische Signatur (ZertES [SR 943.03]) versehen werden; das Bundesgericht bestimmt in einem Reglement diesbezügliche Modalitäten (Abs. 4). Aktuell ist massgeblich das Reglement des Bundesgerichts vom 20. Februar 2017 über den elektronischen Rechtsverkehr mit Parteien und Vorinstanzen (ReRBGer [SR 173.110.29]).
Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Zur Fristwahrung müssen Eingaben spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden (<ref-law>). Im Falle elektronischer Zustellung ist für die Wahrung einer Frist der Zeitpunkt massgebend, in dem die Quittung ausgestellt wird, die bestätigt, dass alle Schritte abgeschlossen sind, die auf der Seite der Partei für die Übermittlung notwendig sind (<ref-law>).
2.2. Die angefochtene Verfügung des Verwaltungsgerichts ist den Beschwerdeführern am 22. Mai 2019 am Schalter ausgehändigt worden. Die Beschwerdefrist von 30 Tagen begann am folgenden Tag zu laufen und endete am 21. Juni 2019. Für die Beschwerdeschrift ist als Sendezeitpunkt an die Zustellplattform der 21. Juni 2019, 23.56 Uhr, vermerkt. Die Beschwerde ist indessen nicht mit einer gültigen zertifizierten Unterschrift versehen, wie dies gemäss <ref-law> erforderlich wäre. Innert Frist ist daher nicht gültig Beschwerde erhoben worden.
2.3. Auf die Beschwerde wäre auch nicht einzutreten gewesen, wenn sie rechtzeitig erhoben worden wäre:
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (<ref-law>) verletze. Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> besonderer Geltendmachung und Begründung (BGE 141 36 E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen). Das Verwaltungsgericht begründet die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege mit der Aussichtslosigkeit des Begehrens um Übernahme der Privatschulkosten durch das Gemeinwesen. Es legt in einer (dem Verfahrensstadium angepassten vorläufigen) Beurteilung dar, unter welchen einschränkenden Bedingungen eine derartige Kostenübernahme nach Art. 62 Abs. 2 in Verb. mit <ref-law> in Frage käme und dass diese Bedingungen vorliegend nicht erfüllt seien (angefochtene Verfügung S. 3 Mitte/S. 4 oben). Die Beschwerdeführer lassen eine gezielte Auseinandersetzung mit den einschlägigen Erwägungen vermissen. Es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich die auf diese Erwägungen gestützte Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erfolgreich als rechtsverletzend, namentlich verfassungswidrig, rügen liesse. Damit erschien auch die vorliegende Beschwerde als aussichtslos, was die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und die Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsvertreters ausschloss (<ref-law>). Ohnehin hätte ein Rechtsvertreter nach Ablauf der Beschwerdefrist keine verbesserte Beschwerdeschrift nachreichen können.
2.4. Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.5. Dass dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren nicht entsprochen werden kann, wurde bereits ausgeführt.
Damit sind die Gerichtskosten entsprechend dem Verfahrensausgang den Beschwerdeführern nach Massgabe von Art. 65 sowie 66 Abs. 1erster Satz und Abs. 5 BGG aufzuerlegen.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller