Erwägungen:
1.
1.1. A._ befindet sich in einer stationären therapeutischen Massnahme. Seit dem 26. März 2019 wird diese in der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich vollzogen. Ihm wurden mehrmals Zwangsmassnahmen in Aussicht gestellt; teilweise wurden solche auch vollzogen. Der Spitalrat wies die hiergegen eingereichten Rekurse am 31. Oktober 2019 ab, soweit er darauf eintrat.
1.2. Mit Schreiben vom 21. November 2019 gelangte A._ hiergegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses stellte fest, dass die Beschwerde nicht genügend begründet sei, gab ihm aber Gelegenheit, seine Eingabe innerhalb der Beschwerdefrist noch zu verbessern. A._ ergänzte in der Folge sein Schreiben. Da auch dieses den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht zu genügen vermochte, trat das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 10. Januar 2020 auf seine Eingabe nicht ein.
1.3. A._ gelangte hiergegen am 18. Januar 2020 an das Bundesgericht mit dem Antrag, ihn sofort aus dem Massnahmenvollzug zu entlassen. Er kritisiert die Art seiner Behandlung. Die Kanzlei der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung teilte ihm am 23. Januar 2020 mit, dass seine Eingabe nicht sachbezogen begründet sei. Er könne jedoch sein Schreiben während der Dauer der Beschwerdefrist noch den gesetzlichen Anforderungen anpassen. Am 12. Februar 2020 reichte er eine Ergänzung zu seinem ersten Schreiben ein.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG (SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die Beschwerde führende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig, was grundsätzlich die beschwerdeführende Person zu rügen und zu belegen hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen gesetzlichen Vorgaben nicht: Gegenstand des angefochtenen Entscheids bildet ausschliesslich das Nichteintreten der Vorinstanz auf die Eingaben von A._. Hiermit setzt sich dieser in seiner Eingabe an das Budnesgericht nicht auseinander. Er kritisiert in all seinen Schreiben, seine persönliche Situation in der Psychiatrischen Universitätsklinik Zürich. Der Beschwerdeführer verkennt, dass das Bundesgericht keine allgemeine Aufsichtsinstanz ist, welche in den eingereichten Akten nach irgendwelchen Rechtsverletzungen suchen kann. Da die Beschwerde offensichtlich keine rechtsgenügende Begründung enthält, ist mit Entscheid des Präsidenten im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> darauf nicht einzutreten. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (<ref-law>) und keine Parteientschädigungen (<ref-law>) zuzusprechen.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar