Erwägungen:
1.
Mit Verfügung und Urteil vom 8. Dezember 2017 schrieb das Mietgericht des Bezirks Horgen ein vor ihm hängiges Verfahren bezüglich der zurückgezogenen Rechtsbegehren ab und wies die verfahrensgegenständliche Klage von A._ (Beschwerdeführer) ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen gerichtete Beschwerde von A._ wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss und Urteil vom 16. Januar 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Eingabe vom 24. Februar 2019 hat A._ erklärt, das Urteil des Obergerichts mit Beschwerde anzufechten. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Der Streitwert beträgt nach der unbestrittenen Feststellung der Vorinstanz Fr. 7'120.-- und erreicht damit die Grenze von Fr. 15'000.-- gemäss <ref-law> in mietrechtlichen Fällen nicht. Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
3.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
4.
Die Eingabe vom 24. Februar 2019 enthält keine hinreichend begründeten Verfassungsrügen. Vielmehr kritisiert der Beschwerdeführer darin im Wesentlichen das Verfahren vor der Schlichtungsbehörde des Bezirks Horgen und dem Mietgericht und behauptet, "die Verfahren vor den unteren Instanzen" seien "ein einziges Sammelsurium von Rechtsverweigerungen, Verweigerungen des rechtlichen Gehörs und der willkürlichen Handhabung von klaren Beweisen und Anträgen" gewesen, ohne diese Vorwürfe im Einzelnen anhand des angefochtenen Entscheids des Obergerichts nachvollziehbar zu begründen. Die Beschwerde enthält somit offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht auf sie einzutreten ist.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz