Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war über seine Arbeitgeberin bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerde gegnerin) nach VVG (SR 221.229.1) krankentaggeldversichert. Bis 31. August 2017 arbeitete er in einem 100-%-Pensum. Per 1. September 2017 reduzierte er sein Arbeitspensum auf 70 %.
Die B._ AG wurde mit Meldung der Arbeitgeberin vom 16. Oktober 2017 darüber informiert, dass A._ seit dem 12. Oktober 2017 krankheitsbedingt vollständig arbeitsunfä hig sei. Die B._ AG richtete (nach Ablauf der Wartefrist) ab dem 26. Oktober 2017 Taggelder aus.
B.
Am 25. Januar 2019 reichte A._ beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die B._ AG ein. Er stellte - neben verfahrensrechtlichen Anträgen - folgende Begehren:
"1. Die Beklagte sei zur Zahlung von CHF 24'302.15 nebst Zins von 5 % seit 16. Juni 2018 an den Kläger zu verpflichten.
2. Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger die versicherten Leistungen (Taggeld) bei einer zukünftigen vollständigen Arbeitsunfähigkeit von 100% mit einem Taggeldansatz von CHF 219.177 bzw. in entsprechend redu ziertem Umfang bei einer Teilarbeitsunfähigkeit auszurichten."
Zwischen den Parteien war im Wesentlichen strittig, ob die von A._ beanspruchten Taggelder auf Basis des bis 31. August 2017 ausbezahlten Bruttolohns (100-%-Pensum) oder des ab 1. September 2017 ausbezahlten Bruttolohns (70-%-Pensum) zu bemessen seien.
Mit Urteil vom 4. Februar 2020 wies das Versicherungsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Versicherungsgerichts sei aufzuheben und die Beschwerdegegnerin sei zu verurteilen, ihm Fr. 24'302.15 nebst Zins zu 5 % seit 16. Juni 2018 zu bezahlen. Ausserdem sei die Sache "zur Neuverlegung der o/e Kosten des kantonalen Verfahrens" an die Vorinstanz zurückzuweisen. In der Beschwerdebegründung formuliert er das Eventualbegehren, die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts betreffend "die Höhe des geschuldeten Taggeldes in der Zeit von Dezember 2017 bis Dezember 2018 zuzüglich Zins" an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Versicherungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss <ref-law> zum Gegenstand (siehe dazu Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.2).
Soweit aber der Beschwerdeführer die Rückweisung der Sache zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens verlangt, kann auf die Beschwerde mangels bezifferten Antrags nicht eingetreten werden (siehe <ref-ruling> E. 1.2).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
2.4. Zu beachten ist ferner, dass der Beweisführungsanspruch nach <ref-law>, <ref-law> beziehungsweise <ref-law> zwar der beweispflichtigen Partei in allen bundesrechtlichen Zivilrechtsstreitigkeiten einen Anspruch darauf verschafft, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, soweit entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen). Diese Bestimmungen schreiben jedoch dem Gericht nicht vor, mit welchen Mitteln es den Sachverhalt abzuklären hat (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 291 mit Hinweis), und sie schliessen namentlich die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus. Wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde, ist der Beweisführungsanspruch nicht verletzt (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht ordnet die antizipierte Beweiswürdigung, soweit seine Kognition betreffend, der Sachverhaltsfeststellung respektive Beweiswürdigung zu und greift in diese entsprechend nur ein, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis).
3.
3.1.
3.1.1. Die Vorinstanz führte einleitend aus, es sei unstrittig, dass der Beschwerdeführer ab dem 12. Oktober 2017 vollumfänglich arbeitsunfähig gewesen sei und von der Beschwerdegegnerin in der Folge Taggelder zu einem Ansatz von Fr. 157.808 erhalten habe. Mit seiner Klage verlange er Taggelder zu einem Ansatz von Fr. 219.177.
Gemäss Ziffer 6.1 Abs. 2 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen der Beschwerdegegnerin gelte "der letzte vor Beginn des Versicherungsfalls bezogene Lohn" als Grundlage für die Bemessung der Tag gelder. Der Versicherungsfall sei vorliegend mit der Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers eingetreten. Nachdem dieser sein Pensum per 1. September 2017 auf 70 % reduziert habe, sei für die Bestimmung des Taggeldansatzes zu prüfen, ob die Arbeitsunfähigkeit bereits in jenem Zeitpunkt bestanden habe, wie dies der Beschwerdeführer behaupte und wofür dieser die Beweislast trage, oder ob sie erst nachher eingetreten sei.
3.1.2. Der Beschwerdeführer stütze sich im Wesentlichen auf zwei Berichte von Dr. med. C._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 27. Oktober 2017 und vom 22. Oktober 2018 sowie auf einen Bericht von Prof. Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 10. April 2018. Diese Berichte seien indes nicht geeignet, um mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit eine bereits im September 2017 eingetretene Arbeitsunfähigkeit auszuweisen:
Der erste Bericht von Dr. med. C._ attestiere eine Arbeitsunfähigkeit seit dem 12. Oktober 2017. Zu einer davor bestehenden Arbeitsunfähigkeit äussere sich dieses Gutachten nicht. Zwar habe Dr. med. C._ in seinem zweiten Bericht ausgeführt, es sei "davon auszugehen", dass der Beschwerdeführer bereits im September 2017 nicht mehr arbeitsfähig gewesen sei. Diese Aussagen würden indes nicht auf eigenen Feststellungen und Untersuchungen beruhen, sondern allein auf Angaben des Beschwerdeführers. Hinzu komme, dass dieser zweite Bericht am 22. Oktober 2018, also jedenfalls mehr als ein Jahr nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, erstellt worden sei und diesem überdies die Bedeutung einer blossen Parteibehauptung zukomme, soweit darin eine eingeschränkte Arbeitsfähigkeit bestätigt werde. Das Gutachten von Prof. Dr. med. D._ äussere sich nicht zum Zeitpunkt, in dem die Arbeitsunfähigkeit eingetreten sei.
Auf die vom Beschwerdeführer beantragte Befragung von Dr. med. C._ als Zeuge sei zu verzichten. Denn der Beschwerdeführer sei vor dem 12. Oktober 2017 nicht bei ihm in Behandlung gewesen. Dr. med. C._ könne daher keine Aussagen über Tatsachen machen, die er im relevanten Zeitraum unmittelbar wahrgenommen habe.
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt. Dabei verkennt er allerdings die im bundesgerichtlichen Verfahren geltenden Begründungsanforderungen (Erwägungen 2.2 f.) : In Rz. 11 unterbreitet er dem Bundesgericht frei seine eigene Interpretation des Gutachtens von Dr. med. C._ vom 27. Oktober 2017, ohne darzutun, inwiefern die diesbezüglichen Feststellungen der Vorinstanz geradezu willkürlich sein sollen. In Rz. 12 moniert er, das Versicherungsgericht habe das Beweisthema, zu dem die Befragung von Dr. med. C._ beantragt worden sei, falsch wiedergegeben. Inwiefern die Behebung dieses (angeblichen) Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein soll, zeigt der Beschwerdeführer aber nicht auf.
Es ist damit vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat.
3.2.2. Soweit der Beschwerdeführer in Rz. 14 ferner geltend macht, die antizipierte Beweiswürdigung des Versicherungsgerichts vermöge "nicht zu überzeugen" und verletze <ref-law>, übergeht er, dass er (auch) in diesem Punkt hätte Willkür nachweisen müssen (siehe Erwägung 2.4). Dies unterlässt er.
3.2.3. Sodann kritisiert der Beschwerdeführer die Beweiswürdigung der Vorinstanz. Allerdings beschränkt er sich im Wesentlichen darauf, verschiedene "Indizien" zu nennen, welche das Versicherungsgericht "unberücksichtigt" gelassen habe, und schliesst daraus, "die Grundsätze des Beweismasses der überwiegenden Wahrscheinlichkeit" seien verletzt. Damit belegt er keine Willkür (siehe Erwägung 2.3).
Jedenfalls stellte die Vorinstanz verbindlich fest, dass Dr. med. C._ in seinem ersten Bericht vom 27. Oktober 2017 ausdrücklich eine erst ab dem 12. Oktober 2017 bestehende Arbeitsunfähigkeit bestätigte. Dass ferner das Gutachten von Dr. med. C._ vom 22. Oktober 2018 einzig auf Aussagen des Beschwerdeführers (und nicht auf einer echtzeitlichen Begutachtung) beruhte und dessen Arbeitsunfähigkeit mit erheblicher zeitlicher Verzögerung rückwirkend attestierte, stellt der Beschwerdeführer nicht in Frage. Ebenso wenig zeigt er Willkür auf, soweit er auf eine "Whatsapp-Unterhaltung" vom 28. Juni 2017 und vom 28. August 2017 verweist. Aus dieser könne - so der Beschwerdeführer - geschlossen werden, dass die Arbeitgeberin "mit der Arbeitsleistung und dem Verhalten des Beschwerdeführers nicht zufrieden" gewesen sei und dass eine "ungenügende Arbeitsleistung" vorgelegen habe. Inwiefern die Vorinstanz in Willkür verfallen sein soll, wenn sie dieser "Whatsapp-Unterhaltung" bei der Beurteilung der Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers kein entscheidendes Gewicht beimass, ist mit Blick auf diese Ausführungen nicht erkennbar. Schliesslich weist der Beschwerdeführer auch keine offensichtlich unhaltbare Beweiswürdigung aus, wenn er auf seinem - bereits vor Vorinstanz vorgetragenen - Standpunkt beharrt, die Beschwerdegegnerin habe "anerkannt", dass die Reduktion des Arbeitspensums auf 70 % per 1. September 2017 "aus gesundheitlichen Gründen" erfolgt sei, ohne auf die Erwägung des Versicherungsgerichts einzugehen, wonach das "Auftreten von gesundheitlichen Beschwerden" von der versicherungsrechtlich massgebenden "Arbeitsunfähigkeit" zu unterscheiden sei.
Die Feststellung der Vorinstanz, eine bereits per 1. September 2017 eingetretene Arbeitsunfähigkeit sei nicht erstellt, hält der bundesgerichtlichen Überprüfung somit stand. Die weiteren Folgerungen der Vorinstanz - Taggeldansatz von Fr. 157.808 und entsprechend Abweisung der Klage - beanstandet der Beschwerdeführer nicht.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach <ref-law> zu entschädigen wäre.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juni 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle