Fatti:
A.
Con petizione 9 aprile 2020 A.A._ ha chiesto la condanna della Repubblica e Cantone Ticino al pagamento di fr. 300'000.--, a titolo di risarcimento:
"di tutti i danni morali, esistenziali, patrimoniali e non patrimoniali patiti e patiendi" o "per la somma maggiore o minore che verrà riconosciuta", oltre "ad una rivalutazione di interessi maturati e maturandi pari al 10 % dal saldo dovuto e rivalutazione monetaria dal giorno in cui si è verificato l'evento dannoso (mese di agosto 2014) sino all'effettivo soddisfo".
La domanda faceva seguito alla revoca/al mancato rilascio di un permesso di soggiorno in Svizzera e alla successiva misura di allontanamento adottata dalle autorità migratorie ticinesi nel giugno 2018.
B.
R ilevato che la causa non presentava possibilità di esito favorevole, con decisione del 30 settembre 2020 il Pretore aggiunto ha respinto l'istanza di gratuito patrocinio presentata contestualmente al gravame. Su reclamo, il diniego pronunciato in prima istanza è stato tutelato anche dal Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello, il quale ha nel contempo respinto anche la richiesta di gratuito patrocinio formulata col reclamo medesimo (11 gennaio 2021).
C.
Il 15 febbraio 2021, A.A._ ha impugnato la pronuncia di quest'ultimo davanti al Tribunale federale chiedendo che, in riforma della stessa, venga concesso il gratuito patrocinio sia in prima che in seconda istanza cantonale. Domanda inoltre l'assistenza giudiziaria anche in sede federale e il conferimento dell'effetto sospensivo al gravame. Non sono stati ordinati atti istruttori.

Diritto:
1.
1.1. Basandosi sull'indicazione dei rimedi giuridici contenuta nella sentenza impugnata, la ricorrente è insorta davanti al Tribunale federale facendo riferimento alle norme valide per il ricorso in materia civile.
Siccome la causa ha quale oggetto una richiesta di risarcimento di fr. 300'000.-- oltre accessori che si fonda sulla legge ticinese sulla responsabilità civile degli enti pubblici e degli agenti pubblici del 24 ottobre 1988 (LResp/TI; RL/TI 166.100) e la stessa non riguarda pretese risultanti dall'attività medica, per le quali la via del ricorso in materia civile è eccezionalmente aperta, occorre tuttavia rilevare che il giudizio reso dalla III Camera civile del Tribunale di appello va impugnato con ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 lett. a in relazione con l'<ref-law> [valore litigioso minimo di fr. 30'000.--]; art. 30 cpv. 1 lett. c cifra 1 e 31 cpv. 1 lett. d del regolamento del Tribunale federale del 20 novembre 2006 [RTF; RS 173.110.131]; sentenza 2C_241/2015 del 3 luglio 2015 consid. 1.1).
1.2. Tempestivo e presentato da persona legittimata a ricorrere (<ref-law>), contro una decisione incidentale resa da un'autorità giudiziaria cantonale di ultima istanza (art. 86 cpv. 1 lett. d LTF) con cui viene respinta un'istanza di assistenza giudiziaria e perciò atta a causare un pregiudizio irreparabile (<ref-law>; sentenza 2C_236/2018 del 5 aprile 2018 consid. 1.2), il gravame va quindi esaminato quale ricorso ex art. 82 segg. LTF.
Nella misura in cui l'allegato ricorsuale rispetta le esigenze formali del tipo di ricorso di per sé esperibile, l'errato rinvio alle norme relative al ricorso in materia civile non comporta in effetti nessun pregiudizio per la parte ricorrente (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 3.1).
2.
2.1. Il Tribunale federale applica d'ufficio il diritto federale (<ref-law>); nondimeno, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione posto dalla legge (art. 42 cpv. 1 e 2 LTF), si confronta di regola solo con le censure sollevate. Nell'atto di ricorso occorre pertanto spiegare in modo conciso in cosa consiste la lesione del diritto e su quali punti il giudizio contestato viene impugnato (<ref-ruling> consid. 2.1). Esigenze più severe valgono invece in relazione alla violazione di diritti fondamentali; simili critiche vengono infatti trattate unicamente se sono state motivate in modo circostanziato ed esaustivo mentre, in caso contrario, esse non possono essere prese in considerazione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4.2).
2.2. Quando, come nella fattispecie, il legislatore cantonale sottopone una pretesa di diritto pubblico ai tribunali civili e questi ultimi esaminano la causa applicando il Codice di diritto processuale civile svizzero del 19 dicembre 2008 (CPC; RS 272), il diritto federale è applicato a titolo di diritto cantonale suppletivo (sentenza 2C_241/2015 del 3 luglio 2015 consid. 2.2 con rinvii). Considerato che, fatta eccezione per i casi citati dall'<ref-law>, non è possibile far valere la violazione del diritto cantonale in quanto tale, anche chi intende formulare una critica relativa a disposti che rientrano nella categoria del diritto cantonale suppletivo deve quindi dimostrare, con motivazione conforme all'<ref-law>, una violazione di un diritto costituzionale (<ref-ruling> consid. 2.3; sentenza 2C_241/2015 del 3 luglio 2015 consid. 2.2).
3.
3.1. Richiamato l'<ref-law>, in forza del quale il gratuito patrocinio è escluso se la domanda appare priva di probabilità di successo, il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello indica che il Pretore aggiunto ha respinto l'istanza di assistenza giudiziaria dopo avere constatato: (a) che alla luce delle argomentazioni e della documentazione prodotta non risulta nessun agire illecito e - tanto meno - nessuna grave violazione di un dovere primordiale della funzione, compiuto da qualsivoglia agente pubblico e a dipendenza del quale l'insorgente possa vantare una pretesa di risarcimento danni; (b) che, già a una loro lettura, le domande di accertamento formulate in giudizio appaiono inconferenti ed infondate; (c) che le contestazioni di A.A._ sono state sottoposte al vaglio delle autorità competenti senza che sia mai stato accertato alcun atto illecito e/o alcuna grave violazione; (d) che la pretesa di danno cifrata in fr. 300'000.-- non è stata minimamente argomentata/dettagliata dall'attrice (cfr. anzitutto distinzione tra danni economici e danni morali) e che la richiesta di quantificazione in via equitativa al giudice appare sprovvista di qualsivoglia giustificazione.
3.2. Detto ciò, osserva: (a) che le varie procedure promosse dalla reclamante sono effettivamente state decise dalle autorità giudiziarie preposte; (b) che la stessa ha quindi potuto fare valere i vizi da lei sostenuti impugnando di volta in volta le decisioni delle autorità che le avevano prese, come del resto ha fatto - benché senza successo - fino al Tribunale federale; (c) che, anche in merito all'importo richiesto, già una semplice lettura degli allegati rispettivamente degli art. 55 e 221 CPC (relativi all'onere di allegazione e di specificazione della parte attrice), permette di confermare il giudizio espresso dal Pretore aggiunto; (d) che alle carenze indicate e censurate in risposta, non è stato posto rimedio nemmeno in replica; (e) che pure in sede di reclamo A.A._ osserva che l'importo di fr. 300'000.-- da lei richiesto è stato quantificato "in via equitativa... e l'argomentazione dettagliata sulla quantificazione andrà semmai esposta in fase istruttoria..."; (f) che in queste circostanze è innegabile che la stessa non ha fatto fronte all'onere di allegazione e specificazione, cui non potrà adempiere nemmeno in sede di dibattimento, ostandovi l'<ref-law>.
3.3. Confermato che la causa pendente davanti alla Pretura di Bellinzona appariva effettivamente priva di possibilità di esito favorevole, il Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello: (a) respinge d'altra parte anche le critiche in merito alla mancata nomina, sempre in prima istanza, di un patrocinatore d'ufficio (poiché la designazione di un patrocinatore d'ufficio in applicazione degli art. 117 e 118 CPC presuppone che siano dati i requisiti per beneficiare del gratuito patrocinio); (b) nega, sempre in assenza di probabilità di esito favorevole (<ref-law>), la concessione del gratuito patrocinio pure in sede di appello, ponendo le spese a carico della reclamante.
4.
4.1. Come visto, il diniego dell'assistenza giudiziaria - dapprima, da parte del Pretore aggiunto; in seguito, da parte del Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello - si basa sull'<ref-law>, in forza del quale il gratuito patrocinio è (tra l'altro) escluso se la domanda appare priva di probabilità di successo. Preso atto dei contenuti della decisione impugnata, si pone quindi la questione dell'esistenza delle probabilità di successo e, in questo contesto, dell'eventuale applicazione incostituzionale dei disposti di diritto cantonale suppletivo su cui le autorità ticinesi si sono basate per negare tale probabilità (sentenza 2C_943/2019 del 22 novembre 2019 consid. 2).
Nell'esame "prima facie" che l'autorità competente è chiamata a svolgere per valutare l'esistenza di sufficienti probabilità di successo, essa dispone di un potere di apprezzamento sul quale il Tribunale federale interviene con riserbo, e segnatamente quando: l'istanza inferiore si è scostata da principi riconosciuti; ha tenuto conto di aspetti che non giocavano alcun ruolo; oppure ha tralasciato di esaminarne altri, che avrebbe dovuto considerare (sentenze 2C_236/2018 del 5 aprile 2018 consid. 2.2 e 2C_61/2018 del 26 marzo 2018 consid. 2.2). La valutazione delle probabilità di successo, in base al diritto applicabile, si fonda sulle circostanze al momento del deposito della domanda d'assistenza ed ha luogo in modo sommario (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 476 seg.; <ref-ruling> consid. 2.2.4, pag. 218).
4.2. Nel lungo ricorso interposto davanti al Tribunale federale contro la decisione su reclamo dell'11 gennaio 2021, l'insorgente non dimostra tuttavia né che la Corte cantonale abbia contravvenuto ai principi appena indicati né che la stessa abbia leso le numerose norme di rango costituzionale che, in violazione dell'<ref-law>, vengono in sostanza soltanto menzionate nel ricorso, di modo che il giudizio qui impugnato va confermato.
4.2.1. Innanzitutto, dev'essere in effetti rilevato che - siccome l'insorgente non li mette in discussione, con una motivazione conforme all'<ref-law>, che ne dimostri un accertamento rispettivamente un apprezzamento arbitrario - i fatti che emergono dalla querelata sentenza vincolano il Tribunale federale anche nel caso concreto (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; 133 Il 249 consid. 1.2.2; sentenza 2C_772/2020 del 30 ottobre 2020 consid. 2.2, dalla quale risulta che anche aggiunte e precisazioni formulate liberamente nel testo non possono essere prese in considerazione).
Detto ciò, va poi osservato che - in base a tali fatti e prove - nemmeno può essere rimproverato al Presidente della III Camera civile del Tribunale di appello di avere concluso che, in assenza di probabilità di esito favorevole, la decisione del Pretore aggiunto andasse condivisa.
4.2.2. La violazione di un dovere primordiale giusta l'<ref-law>/TI consisterebbe secondo la ricorrente nella pronuncia della misura di allontanamento del 22 giugno 2018 sulla base di "fatti falsi che non furono mai accertati a livello cantonale", che "il Cantone falsificò appositamente", senza che il Tribunale federale lo potesse/dovesse rilevare in quanto - in base all'<ref-law> - fonda il proprio ragionamento sull'accertamento svolto dall'autorità inferiore. Così argomentando non considera tuttavia:
(a) che, come espressamente risulta dal considerando 2.3 della sentenza 2C_204/2017 del 12 giugno 2018, la contestazione, davanti al Tribunale federale, dell'accertamento dei fatti sui quali si sono basate le istanze precedenti era in realtà possibile, poiché prevista dall'<ref-law>, e spettava semmai alla ricorrente medesima farla valere nelle dovute forme;
(b) che, stando così le cose, lecito è però anche il richiamo, da parte delle istanze inferiori che hanno negato l'assistenza giudiziaria, alla sentenza 2C_204/2017 del 12 giugno 2018, poiché con tale atto il Tribunale federale ha constatato che un diritto di soggiorno in Svizzera non era a quel momento dato e ad esso si potevano quindi riferire pure le autorità migratorie per pronunciare l'allontanamento (<ref-ruling> consid. 1.1 e sentenza 2C_990/2017 del 6 agosto 2018 consid. 1.6, da cui risulta che contro una misura di allontanamento presa dopo la pronuncia di una revoca o di un diniego del rinnovo di un permesso di soggiorno cresciuti in giudicato, critiche che attengono ancora alla questione del diritto a un simile permesso non sono più lecite).
(c) che richieste relative ad altre tipologie di permessi rispettivamente a nuove situazioni andavano/vanno formulate davanti alle istanze cantonali preposte, come per altro la ricorrente mostra di sapere (sentenza 2C_871/2020 del 2 dicembre 2020, relativa all'insorgente medesima la quale, dopo essersi vista negare "in via definitiva" il diritto a un permesso di soggiorno con la sentenza 2C_204/2017 e fissare un termine per lasciare la Svizzera, non ha in realtà lasciato il territorio elvetico ma ha di nuovo - anche se invano - percorso ogni grado di giudizio per fare (tra l'altro) valere un diritto di soggiorno quale lavoratrice indipendente o, eventualmente, un diritto di rimanere in Svizzera dopo la cessazione dell'attività lavorativa).
4.2.3. Nel contempo, la ricorrente nemmeno dimostra che le diverse norme del Codice di procedura civile alle quali fa riferimento il giudizio impugnato per confermare la decisione del Pretore aggiunto (art. 55, 221 e 229 CPC) siano state applicate in maniera arbitraria o altrimenti lesiva di un diritto costituzionale.
Chiamata a formulare una censura in tal senso - in quanto il codice di procedura civile è qui applicato, al pari della LResp/TI, a titolo di diritto cantonale - la stessa si limita infatti a contestarne l'applicazione rispettivamente a proporne una sua differente lettura, ciò che non basta (<ref-law>; precedente consid. 2.2).
4.3. Detto della valutazione svolta dal Pretore aggiunto rispettivamente della correttezza della sua conferma in sede di reclamo, occorre d'altra parte rilevare che corrette sono anche le argomentazioni riassunte nel precedente considerando 3.3, che vengono per altro contestate solo in modo generico e quindi senza addurre critiche sulle quali occorra qui soffermarsi in modo specifico.
5.
Per quanto precede, il ricorso è respinto. L'istanza di assistenza giudiziaria in sede federale non può essere accolta siccome il gravame doveva apparire sin dall'inizio come privo di probabilità di successo (<ref-law>). Le spese giudiziarie seguono quindi la soccombenza (<ref-law>); non sono assegnate ripetibili (<ref-law>). Con la pronuncia di questo giudizio, la domanda di conferimento dell'effetto sospensivo al gravame diviene priva di oggetto.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alla ricorrente, alla Repubblica e Stato del Cantone Ticino, nonché alla III Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino.