Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist bei der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) obligatorisch krankenpflegeversichert und schloss mit dieser ausserdem verschiedene Zusatzversicherungen ab, u.a. die Spitalversicherung halbprivat, welche bei krankheits- oder unfallbedingten stationären Behandlungen die Aufenthalts- und Behandlungsergänzungskosten in einer halbprivaten Abteilung gewährleistet.
A.b. Vom 15. März bis 11. April 2018 hielt sich die Klägerin zur muskuloskelettalen Rehabilitation stationär in der Klinik C._, U._ auf. Mit Schreiben vom 28. März 2018 erteilte die Beklagte Kostengutsprache für den Aufenthalt, wobei sie festhielt, ab 29. März 2018 wegen eines vertragslosen Zustands im halbprivaten Bereich nur noch Kosten für die allgemeine Abteilung zu übernehmen. Für die 14 Tage vom 29. März bis 11. April 2018 stellte die Klinik der Klägerin einen täglichen Zuschlag von Fr. 280.--, somit insgesamt Fr. 3'920.--, in Rechnung. Die Beklagte verweigerte gemäss Leistungsabrechnung vom 8. Juni 2018 die Kostenübernahme bzw. Kostenbeteiligung, da mit der Klinik C._ keine Tarifbindung betreffend die halbprivate Abteilung bestehe.
B.
Am 30. Januar 2019 erhob die Klägerin beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau Klage und beantragte, die Beklagte sei kostenfällig zu verpflichten, ihr für die Behandlung in der Klinik C._ vom 29. März bis 11. April 2018 (14 Pflegetage) Fr. 2'940.-- nebst 5 % Zins ab Klagedatum zu bezahlen. Sie verlangte damit 75 % des von der Klinik C._ für die Privatabteilung in Rechnung gestellten Betrages von Fr. 3'920.--.
Mit Urteil vom 18. Februar 2020 wies das Versicherungsgericht die Klage ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. März 2020 verlangt die Klägerin sinngemäss, das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 18. Februar 2020 sei kostenfällig aufzuheben und die Klage zu schützen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin trägt auf Abweisung der Beschwerde an. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Da die Vorinstanz als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 800) ist die Beschwerde unabhängig vom Streitwert zulässig. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (<ref-law>) - einzutreten.
2.
Die Vorinstanz erwog, auf die streitgegenständliche Zusatzversicherung "Spitalversicherung halbprivat" gemäss der ab 1. Januar 2018 gültigen Police seien die Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) der Beschwerdegegnerin in der Version 01.1997 anwendbar, wobei unbestritten die per Januar 2017 revidierte Fassung anwendbar sei, die sich aber hinsichtlich der relevanten Bestimmungen nur in der Nummerierung unterscheide.
Seit dem 1. Januar 2018 sei das Verhältnis zwischen der Klinik C._ und der Beschwerdegegnerin - so die Vorinstanz weiter - im Bereich der Zusatzversicherung für die halbprivate Abteilung nicht mehr durch einen Tarifvertrag geregelt, während für die private Abteilung ein Tarifvertrag mit Gültigkeit ab 1. Januar 2018 ausgehandelt worden sei. Der Leistungsumfang der Zusatzversicherung sei in Art. 14 AVB geregelt. Gemäss Art. 14.1 AVB bezahle die Beschwerdegegnerin "Aufenthalts- und Behandlungsergänzungskosten in einem Spital in der ganzen Schweiz (...) ". Gemäss der ab 1. Januar 2018 gültigen Police hätten die Parteien eine Versicherungsleistung gemäss der Variante Art. 14.2 lit. a AVB vereinbart: "Halbprivate Abteilung: Zweibettzimmer mit Tarifbindung mit der B._ AG". Art. 14.4 AVB laute sodann: "Verfügt ein Spital über keine halbprivate oder entsprechende Abteilung, bezahlt die B._ AG 75 % der entstehenden versicherten Kosten".
Die Vorinstanz stellte keinen übereinstimmenden Willen der Parteien fest, sondern legte diese Bestimmungen, insbesondere Art. 14.4 AVB, nach dem Vertrauensprinzip aus.
Sie erwog, in <ref-ruling> habe sich das Bundesgericht bereits in einem vergleichbaren Fall mit der Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin gemäss Art. 14.1 bis 14.4 AVB befasst, wobei die vorgenannten Bestimmungen damals - bei gleichem Wortlaut - entsprechend der älteren Version der AVB noch mit Art. 13.1 bis 13.4 AVB betitelt gewesen seien. Das Bundesgericht sei insbesondere zum Schluss gekommen, Art. 14.2 AVB schränke die Generalklausel in Art. 14.1 AVB gerade dahingehend ein, dass ausschliesslich die Aufenthalts- und Behandlungsergänzungskosten in einer halbprivaten Abteilung mit Tarifbindung übernommen würden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 611). Eine freie Spitalwahl bestehe demnach lediglich unter den Spitälern bzw. Spitalabteilungen, die einen Tarifvertrag mit der Beschwerdegegnerin hätten.
Im Gegensatz zum vom Bundesgericht in <ref-ruling> beurteilten Sachverhalt (wo überhaupt kein Tarifvertrag bestand), gebe es zwar einen Tarifvertrag zwischen der Beschwerdegegnerin und der Klinik C._, jedoch nur für die private Abteilung. Art. 14.4 AVB sei aber unabhängig davon vorliegend nicht anwendbar. Denn gemäss dem Wortlaut dieser Bestimmung werde vorausgesetzt, dass das Spital tatsächlich über keine halbprivate Abteilung verfüge und nicht, dass lediglich für eine (vorhandene) halbprivate Abteilung kein Tarifvertrag abgeschlossen worden sei. Der Regelungszweck für diese Differenzierung sei klar darin ersichtlich, dass die den Leistungserbringern im Sinn von <ref-ruling> E. 2.3 S. 612 zugestandene Möglichkeit, die vertraglich zugesicherten Leistungen selber auswählen zu können, sonst stark ausgehöhlt würde.
3.
AGB-Klauseln sind, wenn sie in Verträge übernommen werden, grundsätzlich nach denselben Prinzipien auszulegen wie andere vertragliche Bestimmungen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 675; <ref-ruling> E. 2 S. 6; je mit Verweisen). Entscheidend ist demnach in erster Linie der übereinstimmende wirkliche Wille der Vertragsparteien und in zweiter Linie, falls ein solcher nicht festgestellt werden kann, die Auslegung der Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips. Dabei ist vom Wortlaut der Erklärungen auszugehen, welche jedoch nicht isoliert, sondern aus ihrem konkreten Sinngefüge heraus zu beurteilen sind. Demnach ist der vom Erklärenden verfolgte Regelungszweck massgebend, wie ihn der Erklärungsempfänger in guten Treuen verstehen durfte und musste (<ref-ruling> E. 3.3 S. 675; <ref-ruling> E. 2.3 S. 398; je mit Hinweisen). Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an Feststellungen des kantonalen Richters über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich gebunden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.3 S. 675 mit Hinweisen).
Mehrdeutige Klauseln in allgemeinen Versicherungsbedingungen sind nach der Unklarheitenregel gegen den Versicherer als deren Verfasser auszulegen (<ref-ruling> E. 2.2.2.3 S. 69, 607 E. 2.2; <ref-ruling> E. 1b S. 158). Sie gelangt jedoch nur zur Anwendung, wenn sämtliche übrigen Auslegungsmittel versagen (<ref-ruling> E. 2.2.2.3 S. 69; <ref-ruling> E. 2a S. 121 und E. 2d S. 124; Urteile 4A_232/2019 vom 18. November 2019 E. 2.1; 4A_499/2018 vom 10. Dezember 2018 E. 1; 4A_650/2017 vom 30. Juli 2018 E. 3.3.1).
3.1. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, entspricht der vorliegende Fall nicht genau der in <ref-ruling> beurteilten Situation, da hier ein Tarifvertrag betreffend die private Abteilung existiert und sich deshalb die Frage stellt, welche spezifische Bedeutung Art. 14.4 AVB zukommt. Diese Frage wurde im zitierten Urteil nicht entschieden. Es wird nur festgehalten, aus Art. 13.4 (gemäss der damaligen Nummerierung) ergebe sich nichts Gegenteiliges - in dem Sinne dass entgegen Art. 13.2 AVB die Kosten für den Aufenthalt in einer halbprivaten Abteilung übernommen werden müssten, obwohl kein Tarifvertrag bestehe. Aus Art. 13.4 AVB liesse sich nur dann etwas zu Gunsten der Klägerin herleiten, wenn das sie behandelnde Spital über keine halbprivate oder entsprechende Abteilung verfügen würde (<ref-ruling> E. 2.3 S. 612). Mit Art. 13.4 AVB selber setzte sich der Entscheid nicht weiter auseinander.
3.2. Entscheidend ist, wie die Formulierung "Verfügt (...) über keine halbprivate (...) Abteilung" in Art. 14.4 AVB (gemäss aktueller Nummerierung) zu verstehen ist.
3.2.1. Die Vorinstanz bezieht Art. 14.4 AVB auf das tatsächliche Vorhandensein einer entsprechenden halbprivaten Abteilung. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, es sei in Bezug auf Art. 14.2 lit. a AVB widersprüchlich, eine Leistungspflicht aus Art. 14.4 AVB nur dann zu bejahen, wenn das Spital tatsächlich über keine halbprivate Abteilung verfüge. Sie beruft sich auf ein von ihr eingereichtes Gutachten aus dem Jahr 2008, welches sich namentlich mit <ref-ruling> auseinandersetzt. Es kann offenbleiben, ob dieses Gutachten ein unzulässiges Novum (<ref-law>) ist, wie die Beschwerdegegnerin wohl meint. Denn die Beschwerdeführerin zitiert die von ihr als massgeblich erachteten Passagen und macht diese somit zu ihrer eigenen Begründung. Sie macht geltend, Art. 14.4 AVB müsse immer zur Anwendung kommen bei Spitälern, die über keine "Zweibettzimmer mit Tarifbindung mit der B._ AG" gemäss Art. 14.2 lit. a AVB verfügen würden, ansonsten zwischen den beiden Bestimmungen ein Widerspruch entstehe. Dazu gehörten nach der Formulierung nicht nur Spitäler ohne Halbprivatabteilung, sondern auch solche mit Halbprivatabteilung, aber ohne Tarifvertrag für die Halbprivatabteilung, denn auch letztere verfügten nicht über "Zweibettzimmer mit Tarifbindung".
3.2.2. Der Wortlaut von Art. 14.4 AVB ist in der Tat nicht eindeutig. Betrachtet man diese Bestimmung isoliert, liegt die Auslegung der Vorinstanz nahe, welche auf das fehlende betriebliche Vorhandensein einer entsprechenden Abteilung abstellt. Der systematische Zusammenhang mit Art. 14.2 lit. a AVB spricht dagegen für die Auslegung der Beschwerdeführerin. Was für den vorliegenden Versicherungsvertrag unter "halbprivate Abteilung" zu verstehen ist, wird in Art. 14.2 lit. a AVB definiert als "Zweibettzimmer mit Tarifbindung der B._ AG". Wenn man davon ausgeht, der Begriff "halbprivate Abteilung" werde in Art. 14.4 AVB gleich verstanden wie in Art. 14.2 lit. a AVB, bedeutet das, ein Spital "verfügt" immer dann nicht über eine halbprivate Abteilung, wenn es über keine Zweibettzimmer mit Tarifbindung mit der B._ AG verfügt.
3.3. Die Vorinstanz berief sich sodann auf den Regelungszweck von Art. 14.4 AVB.
3.3.1. Treffe die Auslegung der Beschwerdeführerin von Art. 14.4 AVB zu, müsste die Beschwerdegegnerin einfach immer 75 % der Kosten für die Privatabteilung zahlen. Sie würde damit die Möglichkeit, für die halbprivate Abteilung bestimmte Tarife aushandeln zu können, zu deren Übernahme sie bereit sei, aus der Hand geben. Es sei ja ohne Weiteres denkbar, dass sie in Fällen wie dem vorliegenden, wo tatsächlich eine halbprivate Abteilung bestehe, nicht bereit sei, für diese einen Kostenansatz von 75 % der Privatabteilung zu vergüten.
3.3.2. Dieser Regelungszweck spricht somit grundsätzlich für das Vertragsverständnis der Beschwerdegegnerin. Entscheidend ist aber, ob auch für den gewöhnlichen Versicherungsnehmer dieser Regelungszweck nach Treu und Glauben erkennbar ist (vgl. E. 3 hiervor). Das erscheint zweifelhaft, zumal die Beschwerdegegnerin auch beim Vertragsverständnis der Beschwerdeführerin ihre Gestaltungsmöglichkeiten nicht völlig aus der Hand gibt. Denn sie vereinbart jedenfalls den Tarif für die Privatabteilung, der Referenzgrösse zur Bestimmung der für die halbprivate Abteilung zu übernehmenden Kosten ist. Zwar bezieht sich Art. 14.4 AVB nicht explizit auf den Tarif für die private Abteilung, sondern spricht nur von "versicherten Kosten". Es ist aber klar, dass damit auch ohne Präzisierung - entgegen dem von der Beschwerdeführerin zitierten Gutachten - wie bereits im vorstehenden Art. 14.3 AVB die Kosten der Privatabteilung gemeint sind, auf welche sich die zu übernehmenden 75 % beziehen.
3.4. Zusammenfassend erweist sich Art. 14.4 AVB sowohl im Hinblick auf den Wortlaut wie den Regelungszweck als unklar. Die Bestimmung ist somit gemäss der Unklarheitenregel (vgl. E. 3 hiervor) gegen die Beschwerdegegnerin auszulegen. Daran ändert nichts, dass - wie die Beschwerdegegnerin geltend macht -, die Beschwerdeführerin mit der Kostengutsprache vom 28. März 2018 auf den vertragslosen Zustand für die halbprivate Abteilung hingewiesen worden sei. Denn massgeblich ist, wie die Versicherungsnehmerin bei Abschluss des Vertrages die Vertragsbedingungen nach Treu und Glauben verstehen durfte. Die Beschwerdeführerin beruft sich überdies auf die Ungewöhnlichkeitsregel (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 S. 412). Darauf muss nicht mehr weiter eingegangen werden.
4.
Im Quantitativen bestreitet die Beschwerdegegnerin die Klage nicht. Die Beschwerde ist somit gutzuheissen, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Klage antragsgemäss gutzuheissen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 18. Februar 2020 wird aufgehoben und die Beschwerdegegnerin wird verpflichtet, der Beschwerdeführerin Fr. 2'940.-- nebst 5 % Zins seit 30. Januar 2019 zu bezahlen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross