Faits :
A.
Par décision du 13 octobre 2017, le Conseil municipal de Bagnes a délivré à C._ l'autorisation de construire deux chalets en résidence principale, avec garage et forages géothermiques sur la parcelle n° 704 du registre foncier de la commune de Bagnes, sise à Verbier. Ce bien-fonds est colloqué en zone touristique T3 selon le plan d'affectation des zones et le règlement de construction approuvés par le Conseil d'Etat du canton du Valais les 6 février 2002 et 25 juin 2003 (RCC). Le Conseil municipal a aussi écarté l'opposition formée par B._, propriétaire de parcelles voisines.
Par décision du 23 mai 2018, le Conseil d'Etat a admis le recours déposé par B._ et annulé l'autorisation de construire du 13 octobre 2017.
Par arrêt du 14 juin 2019, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours interjeté par C._ contre la décision du 23 mai 2018. Elle a considéré en substance que les règles sur la hauteur du bâtiment n'étaient pas respectées et que la zone touristique T3 était affectée aux résidences secondaires de vacances individuelles ou groupées et non aux résidences principales.
B.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la commune de Bagnes demande principalement au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt du 14 juin 2019 en ce sens que le permis de construire du 13 octobre 2017 est accordé et que la conformité des résidences principales à l'affectation de la zone touristique T3 du plan d'affectation des zones ainsi que de l'art. 107 RCC est constatée. Elle conclut subsidiairement à la constatation de la conformité des résidences principales à l'affectation de la zone touristique T3 précitée. A titre encore plus subsidiaire, elle requiert le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
Le Tribunal cantonal et le Conseil d'Etat renoncent à se déterminer. L'intimé B._ s'en remet à justice quant à la recevabilité du recours et conclut à son rejet. Un second échange d'écritures a eu lieu, au terme duquel les parties ont maintenu leurs conclusions.
Par ordonnance du 11 octobre 2019, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête d'effet suspensif, présentée par la recourante.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis.
1.1. Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions prévues à l'<ref-law> n'étant réalisée.
1.2. Le constructeur a renoncé à recourir au Tribunal fédéral, acceptant ainsi l'arrêt du Tribunal cantonal et renonçant à la construction litigieuse. Lorsque le destinataire ne saisit pas lui-même le juge, le tiers doit, sauf s'il a lui-même certains droits ou s'il est autorisé à recourir par une disposition spéciale, bénéficier d'un intérêt juridique propre à l'annulation ou la modification de la décision (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 157, ainsi que les références et les exemples; arrêt 9C_766/2008 du 15 juillet 2009 consid. 5.3).
En l'espèce, la commune de Bagnes affirme fonder sa qualité pour recourir sur une disposition spéciale, l'art. 89 al. 2 let. c LTF. Selon cet article, les communes ont qualité pour recourir en invoquant la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonale ou fédérale. La commune de Bagnes invoque l'autonomie dont elle bénéficie en matière d'aménagement du territoire et de police des constructions, plus particulièrement dans le domaine de la construction. Elle fait valoir en l'occurrence que l'arrêt attaqué a été rendu en violation de son autonomie, sur le point concernant la possibilité de réaliser des résidences principales en zone T3: la définition faite par le Tribunal cantonal des constructions admissibles en zone touristique T3 a pour effet de complètement vider de sa substance la planification de la zone en question depuis l'entrée en vigueur de l'art. 75b Cst.; cela reviendrait en pratique à interdire toute construction dans cette zone, puisque la construction de résidences secondaires n'est plus possible, le quota de 20 % étant atteint.
L'intimé met en doute la qualité pour recourir de la commune au motif qu'elle a déjà usé de son autonomie en soumettant à enquête publique une modification partielle de son RCC portant sur l'affectation de la zone touristique T3. La question de la qualité pour recourir de la commune peut cependant demeurer indécise, dans la mesure où il découle des considérants suivants que le recours doit être rejeté sur le fond.
1.3. La commune recourante a pris une conclusion en réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que le permis de construire délivré à C._ est confirmé. Cette conclusion est irrecevable, faute de recours de la part de C._. En effet, lorsque le constructeur renonce à contester un refus de construire, le tiers qui recourt en faveur du destinataire de la décision (" Drittbeschwerde pro Adressat ") ne peut pas obtenir que la construction se fasse, contre la volonté du constructeur (WIEDERKEHR/EGGENSCHWILER, Die allgemeine Beschwerdebefugnis Dritter, 2018, N 280; HANSJÖRG SEILER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz, 2 ème éd., Berne 2015, ad art. 89 N 53). Est aussi irrecevable le grief portant sur l'application arbitraire de l'art. 97 RCC relatif à la hauteur des constructions admissibles en zone T3, dans la mesure où cette critique est rattachée à la conclusion en réforme irrecevable.
La commune de Bagnes a aussi pris des conclusions subsidiaires tendant à la constatation de la conformité des résidences principales à l'affectation de la zone touristique T3. Selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (cf. <ref-ruling> consid. 1.7 p. 123; <ref-ruling> consid. 4 p. 122; arrêt 1C_529/2015 du 5 avril 2016 consid. 1.3, in Pra 2017 n. 28 p. 241). En l'occurrence, l'absence de recours du constructeur pourrait justifier la nature purement constatatoire des conclusions prises. Dans la mesure où la commune est susceptible de revêtir la qualité pour recourir (consid. 1.2), ces conclusions seraient donc recevables.
2.
La commune recourante fait valoir une violation de son autonomie communale (art. 50 Cst.), dans l'application de l'art. 107 RCC.
2.1. Selon l'art. 50 al. 1 Cst., l'autonomie communale est garantie dans les limites fixées par le droit cantonal. Une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de façon exhaustive, mais qu'il laisse en tout ou partie dans la sphère communale, conférant par là aux autorités municipales une liberté de décision relativement importante. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la constitution et la législation cantonales (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 172-173 et les arrêts cités; arrêt 1C_645/2017 du 19 décembre 2018 consid. 4.1.1).
Dans le canton du Valais, l'art. 69 de la constitution du canton du Valais du 8 mars 1907 (RS 131.232) et l'art. 2 al. 1 de la loi cantonale du 5 février 2004 sur les communes (LCo; RS/VS 175.1) prévoient que les communes sont autonomes dans le cadre de la constitution et des lois. A teneur de l'art. 6 let. c LCo, les communes ont notamment pour attribution l'aménagement local et la police des constructions; la disposition précise que cette attribution de compétences est faite sous réserve des législations cantonale et fédérale (cf. arrêts 1C_549/2012 du 2 octobre 2013 consid. 5.1.1 in RDAF 2014 I 30).
Selon le droit cantonal valaisan, l'aménagement du territoire communal incombe aux communes, lesquelles établissent un plan d'affectation des zones pour l'ensemble du territoire communal (art. 3 al. 1 et 11 al. 1 de la loi d'application valaisanne de la loi fédérale sur l'aménagement du territoire du 23 janvier 1987 (LcAT/VS; RS/VS 701.1). Les communes définissent les possibilités d'utilisation des différentes zones d'affectation dans un règlement des zones et des constructions (art. 13 al. 1 LcAT/VS).
2.2. Lorsque, statuant sur une demande d'autorisation de construire, l'autorité communale interprète son règlement en matière de constructions et apprécie les circonstances locales, elle bénéficie d'une liberté d'appréciation particulière, que l'instance cantonale de recours contrôle avec retenue (cf. art. 3 al. 2 LAT; arrêt 1C_92/2015 du 18 novembre 2015 consid. 3.2.2). Une autorité de recours ne peut ainsi pas choisir entre plusieurs solutions disponibles et appropriées ou remplacer une appréciation adéquate de la commune par sa propre appréciation (AEMISEGGER/HAAG, in Commentaire pratique LAT: Autorisations de construire, protection juridique et procédure, 2020, n° 84 ad art. 33 LAT). Elle ne doit cependant pas seulement intervenir lorsque l'appréciation de l'instance précédente est insoutenable, auquel cas l'étendue de son pouvoir d'examen s'apparenterait à un contrôle limité à l'arbitraire, ce qui serait contraire à l'art. 33 al. 3 let. b LAT (<ref-ruling> consid. 3.6 p. 58). Conformément aux art. 46 et 49 Cst., l'autorité de recours doit en particulier sanctionner l'appréciation communale lorsque celle-ci contrevient au droit supérieur (<ref-ruling> consid. 3.6 p. 59; <ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 311; arrêt 1C_ 279/2019 du 9 avril 2020 consid. 2.1; arrêt 1C_450/2018 du 11 décembre 2019 consid. 3.1.3). Sur des éléments susceptibles de heurter le droit supérieur, il appartient à la commune de motiver soigneusement sa décision (arrêts 1C_540/2016 du 25 août 2017 consid. 2.2, in JdT 2017 I p. 303; 1C_450/2018 du 11 décembre 2019 consid. 3.1.3; 1C_641/2018 du 23 septembre 2019 consid. 3.1.3). Le contrôle de l'opportunité s'exerce donc avec retenue sur des points concernant principalement des intérêts locaux, tandis que, au contraire, la prise en considération adéquate d'intérêts d'ordre supérieur, dont la sauvegarde incombe au canton, doit être imposée par un contrôle strict. L'autorité intervient ainsi non seulement lorsque la mesure d'aménagement retenue par la commune est insoutenable, mais aussi lorsqu'elle paraît inappropriée à des intérêts qui dépassent la sphère communale (<ref-ruling> consid. 3.6 p. 58 s.; AEMISEGGER/HAAG, ibidem).
2.3. Le Tribunal fédéral revoit librement l'interprétation et l'application du droit fédéral et du droit constitutionnel cantonal. Il examine en revanche sous l'angle restreint de l'arbitraire l'interprétation et l'application des autres règles du droit cantonal ou communal (cf. <ref-ruling> consid. 5.4 p. 43; arrêt 1C_337/2019 du 13 novembre 2019 consid. 3.1 destiné à la publication et les références citées; cf. PIERRE TSCHANNEN, Staatsrecht der Schweizerischen Eidgenossenschaft, 4 ème éd., 2016, par. 17, n. 15, p. 256). Il contrôle librement si l'autorité judiciaire a respecté la latitude du jugement découlant de l'autonomie communale (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 56).
2.4. L'art. 107 du règlement de construction de la commune de Bagnes définit la "zone touristique T3" comme suit:
a) Cette zone est destinée aux résidences secondaires de vacances individuelles ou groupées.
b) Les commerces, locaux de travail et autres équipements sont autorisés dans le cadre de plans de quartier à vocation touristique.
c) Constructions interdites : les artisanats et les ruraux.
L'art. 22 LAT dispose que l'autorisation de construire est délivrée si la construction est conforme à l'affectation de la zone.
2.5. En l'occurrence, la cour cantonale a considéré que l'art. 107 let. a RCC destinait expressément la zone T3 aux résidences secondaires de vacances individuelles ou groupées; si le législateur communal avait aussi voulu permettre la construction de résidences principales dans ce type de zone, l'on ne percevait alors pas pourquoi il avait utilisé les qualificatifs "secondaires" et "de vacances" lors de la rédaction de cette disposition. L'instance précédente a ajouté qu'il ressortait du règlement communal que le législateur avait spécifiquement prévu des zones résidentielles destinées à l'habitat sans aucune restriction quant à l'occupation des logements (zones R1, R2 et R3) et une zone T2 notamment destinée à "l'habitat permanent et saisonnier" (cf. art. 106 let. a RCC). La cour cantonale en a déduit qu'il n'y avait aucune raison objective de déroger au sens littéral de ce texte clair par voie d'interprétation; que les résidences principales ne soient pas nommément exclues selon le texte de l'art. 107 RCC n'y changeait rien; en effet, on devait logiquement penser que la formulation claire de l'art. 107 let. a RCC imposait a contrario ce résultat. Pour ce motif, les juges cantonaux ont considéré qu'il n'y avait pas non plus lieu de déduire de l'affectation générale à l'habitat qui ressort du tableau des zones (art. 97c RCC) la possibilité d'ériger des résidences principales en zone T3; contrairement aux dispositions topiques du RCC précitées, ce tableau ne faisait aucune distinction entre résidences principales et secondaires.
2.6. La commune reproche à l'instance précédente d'avoir procédé à une interprétation littérale de l'art. 107 RCC, ce qui a pour effet de vider complètement de sa substance la planification communale concernant la zone T3 en la rendant inconstructible alors qu'elle est destinée à la construction. Elle fait grief au Tribunal cantonal de ne pas analyser l'art. 107 RCC à la lumière des circonstances contemporaines, sans prendre en considération l'entrée en vigueur de l'art. 75b Cst. et de la législation sur les résidences secondaires, correspondant à un changement manifeste de circonstances quant à la portée de la planification. Elle prétend que le Tribunal cantonal laisse entendre que le législateur communal avait anticipé l'interdiction des résidences secondaires et comptait avec le risque que la portion de son territoire colloquée en zone T3 puisse devenir totalement inconstructible. La commune recourante défend une interprétation téléologique de l'art. 107 RCC: le but de l'art. 107 RCC est de permettre la construction de résidence destinée à l'habitat en zone T3, ce qui n'est plus possible depuis l'entrée en vigueur de l'art. 75b Cst. et de l'art. 7 al. 1 let. a de la loi fédérale du 20 mars 2015 sur les résidences secondaires (LRS; RS 702).
Par ailleurs, pour la commune, le fait que l'art. 107 RCC ne prohibe pas expressément les résidences principales, contrairement aux constructions affectées à l'artisanat ou à une exploitation rurale, traduit l'intention du législateur de ne pas exclure les résidences principales de la zone T3. La commune relève encore que la situation est différente du cas où un règlement communal interdisait expressément les résidences principales. Elle ajoute que l'art. 97c RCC (tableau des zones) indique que la construction d'un bâtiment affecté à l'habitat est conforme à la zone T3; or tel ne serait plus le cas à suivre la lecture stricte de l'art. 107 RCC effectuée par le Tribunal cantonal.
Enfin, la commune précise que la nature constructible de la zone T3 voulue par le législateur est confirmée par les démarches actuelles de reformulation des art. 107 et 108 RCC entreprises par la commune et en cours d'approbation par les autorités cantonales.
2.7. Il est vrai que l'interprétation littérale de l'art. 107 RCC donne à la zone T3 une nature inconstructible, qui semble différente de celle que le législateur communal voulait attribuer à cette zone. Conformément à la jurisprudence précitée, l'autorité de recours n'intervient cependant pas seulement lorsque la mesure d'aménagement retenue par la commune est insoutenable, mais aussi lorsqu'elle paraît inappropriée à des intérêts qui dépassent la sphère communale. L'autorité de recours doit en effet veiller à la prise en considération adéquate d'intérêts d'ordre supérieur.
En l'occurrence, la zone à bâtir prévue par le règlement communal élaboré en décembre 1999 a été définie en tenant compte d'une demande en résidences secondaires. Or l'impossibilité de construire des résidences secondaires (art. 75b Cst.), entrée en vigueur le 11 mars 2012, a affecté le besoin en zone à bâtir. S'y ajoute que l'art. 15 al. 1 LAT, entré en vigueur le 1er mai 2014, prévoit que les zones à bâtir doivent répondre aux besoins prévisibles pour les quinze prochaines années. Un tel besoin prévisible pour les quinze prochaines années doit être réévalué par le biais d'une adaptation du plan d'affectation (art. 21 al. 2 LAT) et non au moyen d'une interprétation du règlement communal.
Dans ce contexte particulier, l'interprétation de l'art. 107 RCC à laquelle a procédé le Tribunal cantonal ne saurait être critiquée, dans la mesure où elle veille à la prise en considération adéquate d'un intérêt d'ordre supérieur, le besoin en zone à bâtir affecté par l'impossibilité de construire des résidences secondaires.
Comme l'a relevé le Tribunal cantonal, face à l'interdiction de bâtir des résidences secondaires prévue par l'art. 75b Cst. et la LRS, l'autorité communale n'a guère d'autre choix, si elle entend toujours permettre la construction des parcelles sises en zone T3, que de faire modifier par son pouvoir législatif la réglementation de la zone, ce qu'elle a d'ailleurs déjà entrepris de faire.
3.
Il s'ensuit que le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, la commune ayant agi dans l'exercice de ses attributions officielles sans que son intérêt patrimonial soit en cause (<ref-law>). La commune versera néanmoins une indemnité de dépens à l'intimé qui obtient gain de cause avec l'aide d'un avocat (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 1'500 fr. est allouée à l'intimé à titre de dépens, à la charge de la commune de Bagnes.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la commune de Bagnes et de l'intimé, au Conseil d'Etat, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton du Valais, ainsi qu'à C._.
Lausanne, le 14 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Tornay Schaller