Erwägungen:
1.
1.1. Gegen A._ sind verschiedene straf- und tierschutzrechtliche Verfahren hängig. Am 16. August 2017 sprach das Veterinäramt des Kantons Thurgau gegen ihn - im Sinne einer vorsorglichen Massnahme - ein Tierhalteverbot aus. Im Rahmen von öffentlichen Versteigerungen wurden in der Folge die im Betrieb von A._ beschlagnahmten Tiere verkauft, den rechtmässigen Eigentümern zurückgegeben oder, wo nötig, geschlachtet.
1.2. Am 9. April 2018 verfügte das Veterinäramt des Kantons Thurgau gegenüber A._ wegen "der zahlreichen und massiven Verstösse" gegen die Tierschutzgesetzgebung ein umfassendes und unbefristetes Tierhalteverbot. Am 27. Mai 2019 stellte das Veterinäramt des Kantons Thurgau fest, dass A._ aus dem Erlös des Verkaufs seines Tierbestands Fr. 2'988.-- zustünden. Gegen die entsprechende Abrechnung gelangte A._ an das Departement für Erziehung und Kultur des Kantons Thurgau; dieses wies am 1. Oktober 2019 das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mangels Nachweises der Bedürftigkeit ab. A._ gelangte hiergegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, welches mit Urteil vom 15. Juli 2020 die Beschwerde und das auch vor Verwaltungsgericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Vebeiständung abwies.
1.3. A._ ficht den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau mit Eingabe vom 24. August 2020 beim Bundesgericht an. Am 26. August 2020 ist ihm mitgeteilt worden, dass seine Eingabe den gesetzlichen Anforderungen nicht genügen dürfte; er habe aber bis zum Ablauf der Beschwerdefrist noch Gelegenheit, seine Beschwerdeschrift den gesetzlichen Anforderungen anzupassen. A._ reichte am 15. September 2020 eine ergänzende Rechtsschrift ein. Es wurden keine Vernehmlassungen oder Akten eingeholt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte und Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung in diesem Sinn klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt und damit qualifiziert begründet werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen).
2.2.
2.2.1. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau ging in seinem Entscheid davon aus, dass der Beschwerdeführer im Rahmen seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung seine Bedürftigkeit nicht rechtsgenügend belegt bzw. begründet habe. Es obliege der gesuchstellenden Person ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzulegen und soweit wie möglich zu belegen. Komme sie dieser Pflicht nicht nach, sei das Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen. Obwohl dem Beschwerdeführer mitgeteilt worden sei, dass er selber einen Rechtsvertreter auszuwählen und dieser danach beim Gericht um unentgeltliche Verbeiständung nachzusuchen habe, sei er dieser Vorgabe nicht nachgekommen. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung bzw. um Bewilligung eines unentgeltlichen Anwalts könne bereits aus diesem Grund nicht stattgegeben werden.
2.2.2. Im Übrigen begründe der Beschwerdeführer nur mit handschriftlichen Notizen und ohne klare Darstellung seiner gesamten finanziellen Situation seine Bedürftigkeit ungenügend. Die Situation sei nach wie vor - so die Vorinstanz - nicht transparent und seine prozessuale Bedürftigkeit nicht rechtsgenügend nachgewiesen. Der Beschwerdeführer sei ohne Weiteres in der Lage, die für die zahlreichen Rechtsmittelverfahren benötigten finanziellen Mittel grundsätzlich durch die Vermietung, Verpachtung oder gegebenenfalls Veräusserung der in seinem Eigentum stehenden landwirtschaftlichen Liegenschaften aufzubringen. Der Beschwerdeführer lege nach wie vor keine beweiswertigen und aussagekräftigen Belege ins Recht, aus welchen sich seine finanziellen Verhältnisse - sowohl ausgaben- als auch einkommensseitig - rechtsgenüglich feststellen liessen. Der Entscheid des Departements für Erziehung und Kultur sei nicht rechtsfehlerhaft und die dagegen erhobene Beschwerde aussichtslos.
2.3. Der Beschwerdeführer legt entgegen seiner Begründungspflicht (<ref-law>) nicht dar, inwiefern das Verwaltungsgericht den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt oder die Beweise willkürlich gewürdigt hätte. Zwar kritisiert er, dass die Ausführungen der Vorinstanz mit dem Verhalten anderer Behörden (Bundesverwaltungsgericht) nicht übereinstimme, er begründet jedoch nicht, inwiefern das entsprechende Verfahren mit dem vorliegenden vergleichbar und die Gleichbehandlung geboten wäre. Er legt auch nicht dar, dass bzw. weshalb die Annahme der Vorinstanz, er sei nach wie vor Eigentümer mehrerer landwirtschaftlicher Liegenschaften, die er vermieten oder veräussern könne, offensichtlich unrichtig sei.
Der Beschwerdeführer kritisiert sodann nur die Ausführungen bezüglich seiner Bedürftigkeit, äussert sich aber nicht zur Frage der Pflicht, einen Anwalt selber zu suchen, welcher dann um unentgeltliche Verbeiständung nachzusuchen habe.
3.
3.1. Weil die Beschwerde offensichtlich keine sachbezogene Begründung enthält, ist darauf im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> durch den Präsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten.
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Sollten seine Vorbringen (auch) ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren umfassen, müsste dieses abgewiesen werden, weil die Beschwerde in der vorliegenden Form als aussichtslos zu gelten hätte (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar