Faits :
A.
A.a. A._, née en 1982, est mariée depuis novembre 2007 à B._, né en 1973. Le couple a un enfant commun, né en 2008. A._ a bénéficié d'une rente entière de l'assurance-invalidité entre 2000 et juin 2015 pour des raisons de nature psychique (trouble anxieux et dépressif mixte, personnalité émotionnellement labile de type borderline). Depuis le 1er juillet 2015, à la suite de la suppression de cette rente d'invalidité, la famille a perçu des prestations d'aide sociale allouées par la Commission sociale de la Ville de Fribourg (ci-après: "Commission sociale").
A.b. En novembre 2015, A._ a requis des mesures protectrices de l'union conjugale. La situation du couple était de longue date compliquée et conflictuelle. L'époux souffrait aussi de problèmes psychiatriques et n'était pas en mesure d'apporter un soutien à sa conjointe. Le 18 janvier 2016, les époux ont été autorisés à vivre séparément pour une durée indéterminée. Le domicile conjugal ainsi que la garde et l'entretien de l'enfant ont été attribués à A._. A partir de février 2016, la Commission sociale a uniquement pris en considération A._ et l'enfant pour fixer l'aide matérielle versée. B._ a pour sa part bénéficié de prestations d'aide sociale allouées par la Commission sociale du Lac.
A.c. Par décision du 7 mai 2018, la Commission sociale a supprimé avec effet au 1er mars 2018 la couverture du budget social de A._ et de l'enfant. Elle a par ailleurs exigé le remboursement des prestations d'aide sociale perçues dès septembre 2016, à savoir 49'355 fr. 65. Cette décision était justifiée par le fait que les époux auraient repris la vie commune depuis septembre 2016 sans en informer au préalable le Service de l'aide sociale de la Ville de Fribourg (ci-après: "Service de l'aide sociale").
A.d. Le 25 mai 2018, la Commission sociale a dénoncé A._ au Ministère public du canton de Fribourg. Il lui était reproché d'avoir abusé de l'aide sociale en percevant une aide matérielle sur la base de déclarations incomplètes ou fausses. La procédure pénale instruite à l'encontre de l'intéressée a été classée par ordonnance du 8 novembre 2019. Les autorités compétentes ont retenu qu'il n'était pas établi que A._ avait créé un ménage commun avec son mari de façon à modifier sa situation financière et personnelle. Le fait que son mari ait passé à plusieurs reprises la nuit chez elle et son enfant ne suffisait pas à démontrer que les époux avaient créé un ménage commun. Par conséquent, il ne pouvait pas être reproché à A._ de ne pas en avoir informé les services sociaux.
A.e. Par réclamation du 7 juin 2018, A._ a demandé l'annulation de la décision du 7 mai 2018 et le versement des prestations d'aide matérielle jusqu'au 15 mai 2018, date à laquelle elle a déménagé dans l'appartement de son mari. Par décision du 28 juin 2018, la Commission sociale a rejeté la réclamation et a confirmé sa décision du 7 mai 2018.
B.
Par acte du 30 juillet 2018, A._ a recouru auprès du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg. Elle concluait à l'annulation de la décision sur réclamation du 28 juin 2018 en lien avec l'obligation de rembourser le montant de 49'355 fr. 65 et, subsidiairement, à une réduction adéquate du montant à rembourser. Le Tribunal cantonal a admis le recours et a annulé l'exigence de rembourser la somme indiquée.
C.
La Commission sociale interjette un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation du jugement cantonal et au maintien du remboursement du montant de 49'355 fr. 65.
A._ conclut au rejet du recours. Elle sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire. Le Tribunal cantonal n'a pas formulé d'observations.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'acte de recours est signé par la présidente et le secrétaire de la Commission sociale de la Ville de Fribourg ainsi que par le syndic de la Commune de Fribourg et le secrétaire communal. Le mémoire précise qu'il s'agit d'un recours en matière de droit public interjeté par la Commune de Fribourg, représentée par son Conseil communal et sa Commission sociale.
Aux termes de l'art. 60 al. 1 de la loi fribourgeoise du 25 septembre 1980 sur les communes (LCo; RS/FR 140.1), le conseil communal représente la commune envers les tiers. Il lui incombe notamment de soutenir les procès auxquels la commune est partie (art. 60 al. 3 let. g LCo). Les actes du conseil communal sont signés par le syndic et le secrétaire communal ou par leurs remplaçants et munis du sceau communal (art. 83 al. 1, 1re phrase, LCo). Les actes signés par ces personnes engagent la commune, à moins que celle-ci ne prouve que les signataires de l'acte ont excédé leurs pouvoirs de manière reconnaissable pour les tiers (art. 83 al. 2 LCo). En l'occurrence, la commune de Fribourg est valablement représentée par le conseil communal, lui-même engagé par les signatures du syndic et du secrétaire communal. La Commission sociale déduit par ailleurs son pouvoir d'agir en justice pour la commune de Fribourg des art. 19 et 20 de la loi fribourgeoise du 14 novembre 1991 sur l'aide sociale (LASoc; RS/FR 831.0.1). Il est douteux que ces dispositions lui confèrent un tel pouvoir de représentation (cf. ég. arrêt 8C_464/2009 du 1er février 2010 consid. 2.2); la question peut cependant demeurer ouverte en l'espèce.
1.2. Selon l'art. 89 al. 2 let. c LTF, les communes et autres collectivités publiques qui invoquent la violation de garanties qui leur sont reconnues par les Constitutions cantonale ou fédérale ont qualité pour recourir. Elles peuvent aussi agir sur cette base lorsqu'elles invoquent une atteinte à leur propre existence ou à leur territoire. Dans certains cas, les communes peuvent également agir sur la base de l'<ref-law>, notamment lorsqu'elles sont touchées de la même manière qu'un particulier (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 329 s.; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 148 s.). En l'espèce, la recourante fonde son recours sur l'autonomie communale. La question de savoir si elle est réellement autonome dans le domaine considéré relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.2.4 p. 41; <ref-ruling> précité consid. 4.1 p. 330). Il y a donc lieu de reconnaître à la recourante la qualité pour agir la base de l'art. 89 al. 2 let. c LTF.
1.3. Pour le reste, le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Dès lors qu'il porte sur l'octroi d'une indemnité à laquelle la législation cantonale donne droit, l'exception de l'art. 83 let. k LTF ne trouve pas application. La voie du recours en matière de droit public est ouverte et le recours recevable.
2.
2.1. Sauf dans les cas mentionnés à l'<ref-law>, la violation du droit cantonal ou communal ne peut pas être invoquée en tant que telle devant le Tribunal fédéral. Il est cependant possible de faire valoir que son application viole le droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire (art. 9 Cst.) ou d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 4.4.1 p. 112 s.). Le Tribunal fédéral examine de tels moyens uniquement s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'<ref-law>, à savoir expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 579 et la référence).
Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - y compris préférable - paraît possible. En outre, pour qu'une décision soit annulée au titre de l'arbitraire, il ne suffit pas qu'elle se fonde sur une motivation insoutenable; encore faut-il qu'elle apparaisse arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.1 p. 124).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit par ailleurs son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244; sur la notion d'arbitraire cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 516) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
3.
3.1. Le litige porte sur le point de savoir si la cour cantonale a violé le droit fédéral en annulant l'obligation de restituer à la Commission sociale le montant de 49'355 fr. 65 pour la période de septembre 2016 à février 2018.
3.2. Selon la jurisprudence, une commune bénéficie de la protection de son autonomie dans les domaines que le droit cantonal ne règle pas de manière exhaustive, mais laisse en tout ou partie dans la sphère communale, lui accordant une liberté de décision importante. Le domaine d'autonomie protégé peut consister dans la faculté d'adopter ou d'appliquer des dispositions de droit communal ou encore dans une certaine liberté dans l'application du droit fédéral ou cantonal. Pour être protégée, l'autonomie ne doit pas nécessairement concerner l'ensemble d'une tâche communale, mais uniquement le domaine litigieux. L'existence et l'étendue de l'autonomie communale dans une matière concrète sont déterminées essentiellement par la Constitution et la législation cantonales (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 557 s.; <ref-ruling> consid. 5.3 p. 42 s.)
3.3. Comme le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de relever, les dispositions de la LASoc comportent des notions juridiques indéterminées et confèrent à la commune - qui, par sa Commission sociale, décide de l'octroi, du refus, de la modification, de la suppression et du remboursement de l'aide matérielle, et en détermine la forme, la durée et le montant - un certain pouvoir de décision. Lorsque la situation d'aide sociale constitue un cas particulier, qui nécessite d'examiner en détail la forme d'aide la plus appropriée aux spécificités de la personne dans le besoin, une commune peut en effet mieux juger de l'aide nécessaire parce qu'elle connaît mieux que le canton les données locales et personnelles dont cette aide dépend largement. Dans cette mesure, les communes fribourgeoises disposent d'une autonomie dans le domaine de l'aide sociale et son éventuelle violation par une autorité cantonale de recours peut être soumise à l'examen du Tribunal fédéral (arrêts 8C_233/2019 du 28 mai 2020 consid. 4.3; 8C_464/2009 du 1er février 2010 consid. 4.3.2 et les références).
3.4. Lorsqu'elle est reconnue autonome dans un domaine spécifique, une commune peut se plaindre d'un excès ou d'un abus du pouvoir d'appréciation ou d'une fausse application par l'autorité cantonale des normes de droit fédéral, cantonal et communal régissant le domaine en cause; comme indiqué, le Tribunal fédéral ne revoit cependant l'application du droit cantonal et communal que sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 7.4.1 p. 201; <ref-ruling> consid. 6.1 p. 173).
4.
4.1. Selon l'art. 12 Cst., quiconque est dans une situation de détresse et n'est pas en mesure de subvenir à son entretien a le droit d'être aidé et assisté et de recevoir les moyens indispensables pour mener une existence conforme à la dignité humaine. L'art. 36 al. 1 de la Constitution fribourgeoise du 16 mai 2004 (RS 131.219) prévoit également que toute personne dans le besoin a le droit d'être logée de manière appropriée, d'obtenir les soins médicaux essentiels et les autres moyens indispensables au maintien de sa dignité.
4.2. L'art. 24 LASoc prévoit que la personne qui sollicite une aide matérielle est tenue d'informer le service social de sa situation personnelle et financière de manière complète et de produire les documents nécessaires à l'enquête (al. 1). Le bénéficiaire doit informer sans délai le service social de tout changement de sa situation (al. 3). L'aide matérielle peut être refusée si le requérant ne produit pas les documents nécessaires à l'enquête. Cependant, elle ne peut être refusée à une personne dans le besoin, même si celle-ci est personnellement responsable de son état (al. 2). Selon l'art. 30 LASoc, celui qui, par des déclarations fausses ou incomplètes, a obtenu une aide matérielle est tenu de rembourser le montant perçu à tort (al. 1); toutefois, une remise peut être accordée si le requérant était de bonne foi et si le remboursement du montant perçu à tort le mettait dans une situation difficile (al. 2). L'art. 10 de l'ordonnance fribourgeoise du 2 mai 2006 fixant les normes de calcul de l'aide matérielle sur la loi sur l'aide sociale (RS/FR 831.0.12) contient lui aussi des règles prévoyant la réduction, ou même la suppression, de l'aide matérielle.
5.
5.1. En l'espèce, le Tribunal cantonal a relevé que, dans la procédure pénale où prévaut le principe in dubio pro duriore, le procureur n'avait pas retenu que l'existence d'un ménage commun était au moins aussi probable que l'hypothèse inverse. La cohérence entre le traitement pénal et le traitement administratif des faits litigieux conduisait ainsi plutôt à retenir aussi dans la procédure administrative que l'existence d'un ménage commun n'était pas établie, ni au degré de la preuve stricte normalement applicable, ni même à celui de la vraisemblance prépondérante. Il demeurait nécessaire de vérifier s'il existait des motifs sérieux, comme une inexactitude manifeste, qui devraient conduire à une autre solution.
5.2. Après avoir passé en revue les versions opposées des faits présentées par les parties, les juges cantonaux ont constaté que la situation du couple après sa séparation début 2016 n'était pas clairement établie. D'une part, certains éléments troublants constatés lors d'une surveillance policière mise en place entre janvier et février 2018 faisaient apparaître l'existence d'un ménage commun comme possible ou vraisemblable durant les dernières semaines en cause. D'autre part, les explications de l'intimée, appuyées par celles de sa psychiatre, faisaient apparaître comme autant probable la version selon laquelle les époux avaient gardé un lien d'assistance mutuelle, puis repris progressivement une relation de couple, sans toutefois reformer un ménage commun. Selon la psychiatre de l'intimée, celle-ci avait en effet connu un épisode dépressif grave pendant l'hiver 2017-2018 et avait nécessité le soutien de sa mère et de son mari. Ce dernier avait ainsi dû s'occuper de son fils de façon plus importante pour le réveiller et le préparer pour l'école.
5.3. Sur la base de ces éléments, le Tribunal cantonal a conclu que l'existence d'un ménage commun entre l'intimée et son mari durant la période sous revue n'était ni strictement prouvée, ni rendue plus vraisemblable que l'hypothèse inverse. Il s'est ainsi rallié à l'appréciation qui a été retenue dans la procédure pénale. Dès lors que le dossier ne permettait pas d'établir que l'intimée avait formé un nouveau ménage commun avec son mari durant la période litigieuse, il ne pouvait pas lui être reproché d'avoir manqué à son devoir de collaboration ni être retenu qu'elle avait perçu à tort une aide matérielle qu'elle devrait rembourser en application de l'art. 30 al. 1 LASoc.
5.4. Le Tribunal cantonal a par ailleurs relevé que même si la reprise d'un ménage commun avait été établie, on ne pouvait pas en déduire que le retour du mari de l'intimée, lui-même au bénéfice de l'aide sociale, aurait entièrement remis en cause les conditions de prise en charge des prestations versées par la recourante. Une violation du devoir de collaborer par l'intimée n'aurait pas justifié d'exiger le remboursement de l'intégralité des prestations allouées pendant la période sous revue sans autre vérification. En effet, la Commission sociale aurait plutôt dû procéder à un calcul rétrospectif des prestations qu'elle aurait allouées à l'intimée et à son fils en tenant compte de ce fait modifié. Seule la différence entre les prestations versées et celles qui auraient dû l'être en prenant en compte le ménage commun aurait pu être exigée en remboursement au sens de l'art. 30 al. 1 LASoc.
6.
6.1. Dans un premier grief, la recourante reproche au Tribunal cantonal d'avoir violé son autonomie communale, car l'arrêt attaqué impliquerait de renoncer à tout examen régulier de la situation personnelle et financière des bénéficiaires de l'aide sociale. La Commission sociale aurait démontré que l'intimée avait repris la vie commune avec son époux ou à tout le moins qu'elle l'avait régulièrement hébergé à son domicile durant plusieurs nuits par mois au cours de la période d'assistance. Les juges cantonaux n'auraient pas apprécié correctement les pièces et se seraient principalement appuyés sur les déclarations et les preuves versées par l'intimée; ces dernières seraient cependant contradictoires sur plusieurs points et n'auraient de ce fait aucune valeur probante. En toute hypothèse, le simple fait que l'intimée aurait régulièrement hébergé son époux à son domicile durant la période d'assistance suffirait à entraîner des conséquences financières importantes sur le calcul du budget social global et à constater la violation du devoir d'informer, indépendamment d'une reprise de vie commune des époux. La décision des juges cantonaux viderait de son sens le devoir d'informer et ôterait toute efficacité au système de l'aide sociale prévu par le droit cantonal.
6.2. En ce qui concerne tout d'abord l'état de fait retenu, il convient de relever qu'après avoir rappelé que l'autorité administrative ne devait pas s'écarter sans raison sérieuse des faits constatés par le juge pénal, le Tribunal cantonal a procédé à un examen détaillé des éléments du dossier tels qu'ils ressortent tant de la procédure administrative que de la procédure pénale. Il est arrivé à la conclusion que la situation du couple durant la période litigieuse n'était pas clairement établie: l'existence d'un ménage commun n'était ni strictement prouvée, ni rendue plus vraisemblable que l'hypothèse inverse. La recourante ne démontre pas que ces constatations auraient été établies de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>. Elle se borne à opposer de manière appellatoire sa version du dossier à l'état de fait retenu par l'autorité précédente. Le jugement attaqué échappe ainsi à la critique en tant qu'il retient que l'intimée et son époux ne formaient pas un ménage commun durant la période sous revue.
En ce qui concerne l'application du droit ensuite, la recourante estime dans un nouveau moyen de droit que la simple présence régulière de l'époux de l'intimée à son domicile suffirait à fonder une violation du devoir d'informer. Les juges précédents ne se sont pas expressément prononcés sur cette question de droit cantonal. Le Tribunal fédéral peut uniquement l'examiner sous l'angle restreint de l'arbitraire (cf. consid. 2.1 et 3.4). Comme indiqué, le bénéficiaire d'une aide matérielle doit informer sans délai le service social de tout changement de sa situation (art. 24 al. 3 LASoc) et s'expose à des sanctions s'il omet de le faire (art. 30 LASoc). L'ordonnance fribourgeoise du 2 mai 2006 fixant les normes de calcul de l'aide matérielle sur la loi sur l'aide sociale prévoit que l'ensemble des revenus et la fortune du bénéficiaire et de tous les membres faisant partie du ménage sont pris en considération dans le calcul du budget de l'aide matérielle (art. 13). Or sous l'angle pénal, le Ministère public a estimé qu'il n'était pas établi que l'intimée avait créé un ménage commun avec son mari de façon à modifier sa situation financière et personnelle. Compte tenu de ces éléments, le Tribunal cantonal pouvait retenir, sans tomber dans l'arbitraire, que l'hébergement occasionnel de son conjoint par l'intimée n'entraînait pas un changement de situation soumis à une obligation d'annonce au Service de l'aide sociale. Cette conclusion n'empêche pas la recourante de procéder à des examens réguliers de la situation des bénéficiaires de l'aide sociale et de sanctionner ceux d'entre eux qui adopteraient un comportement abusif, en particulier en exigeant le remboursement des prestations perçues de façon indue.
6.3. La recourante se plaint ensuite d'une application arbitraire du droit par le Tribunal cantonal. Sa décision serait insoutenable et ouvrirait la porte aux abus de droit des bénéficiaires de l'aide sociale. Les juges cantonaux auraient interprété et appliqué de manière erronée les règles et la jurisprudence en matière d'aide sociale et auraient refusé d'administrer les pièces versées par la Commission sociale.
6.4. Ce faisant, la recourante n'explique pas quelles règles ou jurisprudences les juges cantonaux auraient mal appliquées ni quelles preuves ils auraient refusé d'administrer. Son argumentation se recoupe largement avec celle invoquée à l'appui de son premier grief et ne va pas au-delà de la simple présentation de sa propre appréciation des faits. Faute de motivation conforme aux exigences de l'<ref-law>, cette critique se révèle irrecevable.
6.5. Compte tenu de ce qui précède, les griefs de violation de l'autonomie communale et d'arbitraire doivent être écartés, ce qui conduit au rejet du recours.
7.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>; sur l'inapplicabilité de l'<ref-law>: arrêt 8C_522/2014 du 20 novembre 2014 consid. 6 et les références, non publié in: <ref-ruling>). Elle versera en outre à l'intimée une indemnité de dépens (<ref-law>). Compte tenu de l'issue du litige, la demande d'assistance judiciaire de l'intimée est sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales.
Lucerne, le 28 janvier 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Elmiger-Necipoglu