Sachverhalt:
A.
A._ führt vor dem Regionalgericht Berner Jura-Seeland verschiedene "zivilrechtliche Auskunfts- und Informationsklagen" im Zusammenhang mit einer Erbstreitigkeit, darunter das hier betroffene Verfahren CIV 19 4651 gegen die B._ AG "präparatorisch zur Einreichung einer Staatshaftungsklage gegen den Kanton Bern".
B.
In diesem Verfahren stellte A._ am 12. Dezember 2019 ein Ausstandsgesuch gegen den verfahrensleitenden Gerichtspräsidenten C._. Das Regionalgericht Berner Jura-Seeland wies das Ausstandsgesuch (Entscheid vom 3. Januar 2020) ab. Das Obergericht des Kantons Bern bestätigte diesen Entscheid am 13. März 2020; das Bundesgericht trat auf die dagegen erhobene Beschwerde nicht ein (Urteil 5A_267/2020 vom 8. Mai 2020).
C.
C.a. Mit Verfügung vom 23. September 2020 setzte Gerichtspräsident C._ im eingangs erwähnten Prozess (Bst. A.) die Hauptverhandlung auf den 19. November 2020 an und stellte die Durchführung von Parteibefragungen in Aussicht.
C.b. Darauf stellte A._ mit Eingabe vom 28. September 2020 erneut den Antrag, Gerichtspräsident C._ für befangen zu erklären. Das Regionalgericht wies das Ausstandsgesuch ab (Entscheid vom 28. Oktober 2020). Das Obergericht schützte den Entscheid am 18. März 2021. Der dagegen erhobene Beschwerde an das Bundesgericht war kein Erfolg beschieden (Urteil 5A_267/2021 vom 26. Juli 2021).
C.c. Bereits mit Verfügung vom 3. November 2020 hatte das Regionalgericht in der Hauptsache (Bst. A.) die auf den 19. November 2020 anberaumte Hauptverhandlung (Bst. C.a) abgesetzt und den Parteien in Aussicht gestellt, nach Rechtskraft des zweiten Ausstandsentscheids einen neuen Verhandlungstermin bekannt zu geben.
C.d. In einer weiteren Verfügung vom 23. Februar 2021 bestimmte Gerichtspräsident C._ den 26. April 2021 als neuen Verhandlungstermin; ausserdem entsprach er A._s Gesuch um Dispensation vom persönlichen Erscheinen. Am 2. März 2021 verlangte A._ eine Begründung der Vorladung. Mit Verfügung vom 5. März 2021 stellte Gerichtspräsidet C._ diese Eingabe der B._ AG zur Stellungnahme zu. Am 8. März 2021 legte A._ gegen die Verfügung vom 23. Februar 2021 beim Obergericht Beschwerde ein. Dieses wies das Rechtsmittel ab. Der Entscheid datiert vom 14. April 2021 und wurde A._ am 21. April 2021 zugestellt.
C.e. Mit Verfügung vom 23. April 2021 setzte Gerichtspräsident C._ die Hauptverhandlung vom 26. April 2021 (Bst. C.d) ab.
D.
Mit Beschwerde vom 27. April 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung vom 23. Februar 2021 aufzuheben, die auf den 26. April 2021 angesetzte Hauptverhandlung auszusetzen und das Regionalgericht zur Begründung der Verfügung vom 23. Februar 2021 (Bst. C.d) zu verpflichten. Eventualiter sei dem Regionalgericht zu untersagen, vor der Fällung des Urteils im bundesgerichtlichen Verfahren 5A_267/2021 eine Hauptverhandlung anzusetzen. Dazu kommen ein Sub- und ein Subsubeventualbegehren, ein Gesuch um aufschiebende Wirkung und ein solches um Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses sowie ein Antrag um Durchführung einer öffentlichen Verhandlung. Mit Verfügung vom 28. April 2021 wies die II. zivilrechtliche Abteilung die Gesuche um aufschiebende Wirkung und um Erlass des Kostenvorschusses ab. Im Übrigen hat sich das Bundesgericht die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keinen Schriftenwechsel angeordnet.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer verlangt, vor Bundesgericht eine öffentliche Verhandlung durchzuführen. Der Antrag ist abzuweisen. Eine mündliche Parteiverhandlung (<ref-law>) findet vor Bundesgericht nur ausnahmsweise statt. Die Parteien haben darauf grundsätzlich keinen Anspruch (s. etwa Urteil 5A_14/2020 vom 9. Januar 2020 E. 2). Wer trotzdem eine Verhandlung fordert, muss besondere Umstände dartun, die ausnahmsweise eine Verhandlung gebieten (Urteil 5D_7/2015 vom 13. August 2015 E. 2 mit Hinweis). Soweit sich der Beschwerdeführer in seinem wenig kohärenten Schriftsatz überhaupt zum fraglichen Antrag äussert, tut er jedenfalls keine besonderen Gründe für die Durchführung einer Parteiverhandlung im hiesigen Verfahren dar. Wie die nachfolgenden Erwägungen zeigen, kann die vorliegende Beschwerde ohne Weiteres anhand der Akten beurteilt werden. Ob ein Rechtsmittel zulässig ist, prüft das Bundesgericht von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
2.
Der Beschwerdeführer wehrt sich - binnen Frist (<ref-law>) - gegen den Entscheid, mit dem das Obergericht als letzte kantonale Instanz (<ref-law>) seine Beschwerde gegen die erstinstanzliche Verfügung vom 23. Februar 2021 betreffend die Ansetzung der Hauptverhandlung im hängigen Zivilprozess (s. Sachverhalt Bst. A.) abweist. Der Rechtsmittelentscheid über diese prozessuale Anordnung beschlägt - in der Terminologie der Schweizerischen Zivilprozessordnung - eine prozessleitende Verfügung (Art. 319 Bst. b ZPO) und nicht einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen). In der Begrifflichkeit des Bundesgerichtsgesetzes ist die streitige Verfügung jedoch ein Vor- oder Zwischenentscheid (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_471/2010 vom 5. November 2010 E. 1.1). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Dort geht es um eine erbrechtliche Zivilsache (<ref-law>), deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Von daher stünde die Beschwerde an sich offen.
3.
Selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide können vor Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und 93 BGG angefochten werden. Vorliegend fällt nur die Variante gemäss Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG in Betracht. Demnach ist die Beschwerde nur zulässig, wenn der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
3.1. Der Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG muss rechtlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Nicht wieder gutzumachen ist der Nachteil nur, wenn ihn auch ein für den Beschwerdeführer günstiger Endentscheid nicht oder nicht vollumfänglich zu beheben vermöchte (<ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Ausschlaggebend ist also, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt (<ref-ruling> E. 1.2.2). Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6; <ref-ruling> E. 1.2.1; je mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es der Beschwerde führenden Partei darzutun, dass eine der beiden Voraussetzungen nach <ref-law> erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2).
3.2. Der Beschwerdeführer schreibt, die Zulässigkeit seiner Beschwerde sei "wegen der selbständigen Eröffnung der Verfügung vom 23. Februar 2021 auch für den vom Obergericht des Kantons Bern erlassenen Zwischenentscheid gegeben, weil dieser selbständig eröffnet worden ist". Damit ist nichts gewonnen. Allein der Umstand, dass die umstrittene Verfügung und der sie betreffende Rechtsmittelentscheid selbständig eröffnet wurden, sagt nichts darüber aus, ob der angefochtene Zwischenentscheid nach Massgabe von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann.
3.3. Zu prüfen bleibt, ob die Zulässigkeit der Beschwerde gestützt auf Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG geradezu auf der Hand liegt. Das trifft nicht zu. Namentlich liegt im Umstand, dass Gerichtspräsident C._ die Verfügung vom 23. Februar 2021 noch vor Abschluss des kantonalen Beschwerdeverfahrens betreffend seine Ablehnung erliess, kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne der zitierten Norm. Nach der Rechtsprechung, die auch die Vorinstanz zutreffend wiedergibt, sehen weder die Schweizerische Zivilprozessordnung noch übergeordnetes Verfassungsrecht ein Tätigkeitsverbot für abgelehnte Gerichtspersonen vor, nachdem das entsprechende Ausstandsbegehren abgewiesen, ein Rechtsmittelentscheid darüber aber noch ausstehend ist. Die Prozesshandlungen stehen bloss unter dem Vorbehalt späterer Aufhebung, wenn das Ausstandsbegehren gegen diese Gerichtspersonen im Rechtsmittelverfahren erfolgreich sein sollte (Urteil 5A_579/2013 vom 11. November 2013 E. 4.2.2 mit Hinweisen). Im konkreten Fall entfällt dieser Vorbehalt sogar, denn das Bundesgericht hat mit heutigem Urteil letztinstanzlich erkannt, dass das fragliche Ausstandsbegehren unbegründet ist (Urteil 5A_267/2021 vom 26. Juli 2021). Auch so vermöchte allein die Verlängerung des Verfahrens, die sich aus der Gutheissung des Ausstandsgesuchs bzw. der daraus folgenden Wiederholung von Prozesshandlungen allenfalls hätte ergeben können, keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu begründen (E. 3.1).
3.4. An alledem ändert schliesslich nichts, dass die Vorinstanz den Vorwurf des Beschwerdeführers, die prozessleitende Verfügung vom 23. Februar 2021 lasse eine Begründung vermissen, unter dem Titel der Rechtsverzögerung bzw. der Rechtsverweigerung und deshalb losgelöst von der Voraussetzung des nicht leicht wiedergutzumachenden Nachteils (Art. 319 Bst. b Ziff. 2 ZPO) gestützt auf Art. 319 Bst. c ZPO beurteilt. Ob ein behördlicher Entscheid zu begründen ist und welchen Anforderungen die Begründung allenfalls zu genügen hat, ist eine Frage des rechtlichen Gehörs (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Das gilt auch für prozessleitende Verfügungen, welche die Gefahr einer Beschwer der Partei mit sich bringen (Urteil 5A_81/2014 vom 20. März 2014 E. 2.1 mit Hinweisen). Soweit der Beschwerdeführer im hiesigen Verfahren am erwähnten Vorwurf der fehlenden Begründung festhält, lässt sich allein aus diesbezüglichen Gehörsrügen kein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG ableiten. Denn massgebend zur Anfechtbarkeit eines Zwischenentscheids ist grundsätzlich nicht die Rüge, die dagegen erhoben wird, sondern die Frage, ob selbst im Falle eines für den Beschwerdeführer günstigen Endentscheids ein rechtlicher Nachteil resultieren kann (Urteil 5A_866/2020 vom 9. Februar 2021 mit Hinweis). Dass diese Voraussetzung hier weder dargetan noch offensichtlich erfüllt ist, wurde bereits ausgeführt (E. 3.2 und 3.3).
4.
Wie die vorigen Erwägungen zeigen, ist der vorinstanzliche Zwischenentscheid vom 14. April 2021 vor Bundesgericht nicht anfechtbar. Die Beschwerde ist deshalb unzulässig. Das Bundesgericht tritt darauf nicht ein. Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat deshalb für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn