Sachverhalt:
A.
Am 13. November 2018 eröffnete das Sekretariat der Wettbewerbskommission (WEKO) im Einvernehmen mit dem Präsidenten der WEKO gegen mehrere Unternehmen, darunter die A._ AG und die B._ GmbH, eine Untersuchung gemäss Art. 27 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1995 über Kartelle und andere Wettbewerbsbeschränkungen (Kartellgesetz, KG; SR 251). Die WEKO hegt den Verdacht, dass die Untersuchungsadressaten unzulässige Wettbewerbsabreden getroffen hätten, um mobile Bezahllösungen internationaler Anbieter wie Apple Pay und Samsung Pay zu boykottieren ("Verfahren 22-0492: Boykott Apple Pay").
B.
B.a. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2018 ermächtigte die WEKO ihr Sekretariat, verschiedene Personen vorzuladen und in der Vorladung Rolle, Ort und Zeitpunkt der Einvernahme zu konkretisieren. Bei den Personen, die sich gemäss der Verfügung einer Einvernahme durch Mitarbeiter des Sekretariats zu stellen hatten, handelte es sich um aktuelle oder ehemalige Mitarbeiter bzw. aktuelle oder ehemalige Inhaber einer Organfunktion, die geeignet erschienen, über die mutmasslichen Wettbewerbsverstösse Auskunft zu geben. Zu diesen Personen zählte die WEKO namentlich E._, die bei der A._ AG gemäss Handelsregisterauszug bis zum 30. November 2018 als Mitglied der Geschäftsleitung eine Organfunktion innehatte und ab dem 1. September 2018 als CEO der B._ GmbH amtete.
B.b. Am 14. November 2018 wurde E._ von Mitarbeitern des Sekretariats der WEKO im Rahmen einer Hausdurchsuchung als Organ der B._ GmbH einvernommen. Nachdem sie Aussagen zu ihrer früheren Tätigkeit bei der A._ AG verweigert hatte, lud das Sekretariat sie mit Verfügung vom 14. November 2018 für den 15. November 2018 zu einer Zeugeneinvernahme in ihrer Rolle als ehemalige Mitarbeiterin der A._ AG vor.
B.c. Mit (vorab per Fax übermittelter) Eingabe vom 15. November 2018 focht die A._ AG die Verfügung der WEKO vom 14. November 2018 beim Bundesverwaltungsgericht an.
Sie beantragte dem Bundesverwaltungsgericht in der Hauptsache, die Anordnung der WEKO, E._ als Zeugin einzuvernehmen, aufzuheben. Eventualiter sei die Verfügung der WEKO vom 14. November 2018 insoweit zu präzisieren, dass nur Fragen in Bezug auf Angaben rein tatsächlicher Art gestellt werden dürften, die sich weder für die A._ AG noch die B._ GmbH belastend auswirken könnten. Prozessual ersuchte die A._ AG darum, die bereits angeordnete Zeugenbefragung superprovisorisch auszusetzen und die WEKO vorläufig anzuweisen, keine Zeugeneinvernahme mit E._ anzuordnen oder durchzuführen.
B.d. Nachdem das Bundesverwaltungsgericht der WEKO die Zeugenbefragung E._s superprovisorisch untersagt hatte, hiess es den in der Beschwerde vom 15. November 2018 gestellten Eventualantrag mit Urteil vom 8. November 2019 "im Sinne der Erwägungen" gut; im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 24. Januar 2020 gelangt das Eidgenössische Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung (WBF) an das Bundesgericht. Es beantragt die Aufhebung des Urteils des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. November 2019, soweit damit die Beschwerde der A._ AG vom 15. November 2018 gutgeheissen worden sei; den Wettbewerbsbehörden sei die Einvernahme E._s als Zeugin ohne Einschränkungen des Fragerechts und ohne Einräumung aussergesetzlicher Zeugnisverweigerungsrechte zu gestatten.
Die A._ AG beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei; eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Bundesverwaltungsgericht zurückzuweisen. Die WEKO unterstützt die Anträge des WBF. Das Bundesverwaltungsgericht verzichtet auf inhaltliche Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Das hier angefochtene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts hat einen Entscheid der WEKO zum Gegenstand, mit welchem E._ in einem letztlich der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unterliegenden Kartellrechtsverfahren (Art. 82 lit. a BGG, Art. 83 BGG e contrario) zu einer Zeugenbefragung vorgeladen wurde (vgl. Verfügung der WEKO vom 14. November 2018; Bst. B.b hiervor).
1.2. Zu beachten ist, dass es sich bei der strittigen Zeugenvorladung um einen Zwischenentscheid handelt, der keine Zuständigkeits- bzw. Ausstandsfrage (Art. 92 BGG) zum Gegenstand hat. Dies hat zur Folge, dass die Beschwerde gegen das in dieser Sache ergangene Urteil des Bundesverwaltungsgerichts nur unter den Voraussetzungen von Art. 93 BGG zulässig ist.
1.2.1. Das WBF macht geltend, dass das angefochtene Urteil einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könne (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Es bringt vor, dass die Wettbewerbsbehörden durch die vorinstanzliche Anordnung in ihren Ermittlungshandlungen beschränkt würden, ohne dass dieser Nachteil im weiteren Verfahren noch behoben werden könne; die Wettbewerbsbehörden seien nämlich nicht befugt, ihre eigenen - unter den vorinstanzlich angeordneten Einschränkungen zustande gekommenen - Endentscheide anzufechten. Auch das WBF könne diese Entscheide keiner Überprüfung zuführen, da ihm - anders als vor Bundesgericht - kein Beschwerderecht zustehe. Die untersuchungsbetroffenen Unternehmen hätten sodann keinen Anlass, diesen für sie vorteilhaften Aspekt durch ein gegen den Endentscheid erhobenes Rechtsmittel überprüfen zu lassen. Damit bestehe die Gefahr, dass eine die Untersuchungsmöglichkeiten der Wettbewerbsbehörden einschränkende Praxis zementiert werde, ohne dass das Bundesgericht sich dazu jemals geäussert hätte.
1.2.2. Dieser von der A._ AG unwidersprochen gebliebenen Argumentation ist beizupflichten: Könnte das WBF die Anordnung des Bundesverwaltungsgerichts nicht anfechten, wäre die WEKO bei der strittigen Zeugenbefragung massgeblich eingeschränkt, indem sie sich - je nach Auslegung des angefochtenen Urteils - entweder ein (partielles) Aussageverweigerungsrecht E._s entgegenhalten lassen müsste oder aber gewisse Fragen gar nicht erst stellen dürfte. Sodann müsste die WEKO - unter anderem gestützt auf die derart "limitierte" Zeugenbefragung - materiell entscheiden, ohne dass sie (oder auch das WBF; Art. 48 Abs. 2 VwVG e contrario) diesen Entscheid vor Bundesverwaltungsgericht anfechten könnte. Mittelbar würde die WEKO so dazu gebracht, ohne bundesgerichtlichen Entscheid in dieser Sache eine verfahrensrechtliche Praxis zu etablieren, die sie für gesetzeswidrig hält. Die Beschwerde ist vor diesem Hintergrund zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 5.2.4 S. 484 f.; Urteil 2C_749/2017 vom 20. März 2019 E. 4.1.2).
1.2.3. Dass das WBF (und nicht die WEKO als mit dem Hauptsacheverfahren befasste Behörde) Beschwerde führt, ändert an der Zulässigkeit der vorliegenden Beschwerde nichts: Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht gemäss Rechtsprechung auch den beim Bundesgericht beschwerdebefugten Behörden, die nach dem Zwischenentscheid an sich nicht mit der Weiterführung des Hauptsacheverfahrens befasst sind, einen neuen Entscheid aber trotzdem nicht anfechten können, weil sie bei der dem Bundesgericht vorgelagerten Instanz nicht zur Beschwerdeführung legitimiert sind (Urteile 2C_472/2017 vom 7. Dezember 2017 E. 1.2; 2C_1196/2012 vom 25. April 2013 E. 1.2; 2C_275/2008 vom 19. Juni 2008 E. 1.2). Die referenzierten Urteile beziehen sich zwar auf Fälle, in denen ein Departement (statt der ursprünglich verfügenden untergeordneten Amtsstelle) Beschwerde geführt hatte; im Unterschied dazu ist die WEKO von der Bundesverwaltung grundsätzlich unabhängig (Art. 19 Abs. 1 KG). Jedoch gehört das Wettbewerbsrecht zum Aufgabenbereich des WBF und unterscheidet sich die Situation insofern unter den hier massgeblichen Gesichtspunkten nicht von den erwähnten Konstellationen (Art. 1 Abs. 1 der Organisationsverordnung vom 14. Juni 1999 für das Eidgenössische Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung [OV-WBF; SR 172.216.1]).
1.3. Strittig ist die Beschwerdelegitimation des WBF. Gemäss Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG sind die Bundeskanzlei, die Departemente des Bundes oder, soweit das Bundesrecht es vorsieht, die ihnen unterstellten Dienststellen zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt, wenn der angefochtene Akt die Bundesgesetzgebung in ihrem Aufgabenbereich verletzen kann. Für die Behördenbeschwerde ist ein spezifisches schutzwürdiges Interesse nicht erforderlich; es genügt das Interesse an der richtigen Durchsetzung des Bundesrechts (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.), hier also des Kartellrechts (vgl. Urteil 2C_343/2010 vom 11. April 2011 E. 2.4, nicht publ. in <ref-ruling>).
1.3.1. Die Bundesgesetzgebung im Kartellrecht zählt zum Aufgabenbereich des WBF (Art. 1 Abs. 1 OV-WBF). Dieses ist daher gemäss Art. 89 Abs. 2 lit. a BGG grundsätzlich zur Beschwerdeerhebung an das Bundesgericht befugt.
1.3.2. Der A._ AG ist zwar zuzugestehen, dass (auch) die Behördenbeschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig ist, dass sie sich auf ein konkretes Problem eines tatsächlich zu entscheidenden Einzelfalls bezieht (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 342; Urteil 2C_543/2019 vom 19. Juni 2020 E. 1.1). Allerdings kann im vorliegenden Fall nicht die Rede davon sein, das WBF bezwecke allein die Beseitigung einer ihm unliebsamen Praxis des Bundesverwaltungsgerichts, ohne dass ein Interesse daran bestünde, die Befragung im konkreten Fall ohne Einschränkungen durchführen zu können. Wie sich aus der Beschwerde des WBF in aller Deutlichkeit ergibt, geht es ihm nämlich in erster Linie darum, die Einschränkungen zu beseitigen, die sich aufgrund der vorinstanzlich verfügten Auflagen für die Zeugenbefragung im konkreten Fall ergeben; dass das Bundesverwaltungsgericht entsprechende Auflagen auch in anderen Verfahren machen könnte und das WBF mit der vorliegenden Beschwerde eine solche Rechtsentwicklung verhindern möchte, liegt in der Natur der Sache und steht der Beschwerdeführung nicht entgegen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 203).
1.3.3. Ob und gegebenenfalls inwieweit sich aus einer (unbeschränkten) Befragung E._s Erkenntnisse ergeben könnten, die für eine allfällige kartellrechtliche Sanktionierung der A._ AG und der anderen Untersuchungsbetroffenen von Bedeutung sein könnten, lässt sich erst sagen, nachdem die Befragung durchgeführt wurde; insofern steht die theoretisch immer bestehende Möglichkeit, dass eine erst noch vorzunehmende Befragung keine Erkenntnisse vermitteln könnte, die sich nicht auch aus anderen Beweismitteln ergeben (vgl. Beschwerdeantwort, Rz. 15), der Beschwerdeführung durch das WBF im vorliegenden Fall nicht entgegen. Nicht gefolgt werden kann unter Eintretensaspekten auch dem Einwand der A._ AG, dass E._ unabhängig vom Ausgang des vorliegenden Verfahrens als Parteivertreterin zu befragen sei und ihr deshalb so oder anders ein Aussageverweigerungsrecht zukomme. Das WBF macht nämlich geltend, dass E._ in der streitbetroffenen Untersuchung trotz ihrer Organfunktion bei der B._ GmbH als Zeugin befragt werden dürfe. Ob diese Sichtweise zutrifft, wäre grundsätzlich Gegenstand der materiellen Beurteilung. Jedenfalls besteht klarerweise ein aktuelles und praktisches Interesse an der Entscheidung des vorliegenden Falls.
1.4. Die übrigen Eintretenserfordernisse (Art. 42 BGG und Art. 100 Abs. 1 BGG) geben nicht zu Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde des WBF ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 3 S. 415).
3.
Das WBF führt in seiner Beschwerde an das Bundesgericht unter anderem aus, das Bundesverwaltungsgericht verstehe es zu Unrecht als seine Praxis, auf Beschwerden gegen die Anordnung von Zeugeneinvernahmen einzutreten (vgl. Ziff. 21 der Beschwerde).
3.1. Ob die in diesem Zusammenhang kurz gehaltenen Ausführungen des WBF den Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 2 BGG) Genüge tun, kann offen bleiben: Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen, ob im vorinstanzlichen Verfahren die Prozessvoraussetzungen erfüllt waren, soweit diese Bundesrecht darstellen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 69; <ref-ruling> E. 3 S. 25). Wenn die Vorinstanz in der Sache entschied, obschon es an einer Eintretensvoraussetzung fehlte, ist der angefochtene Entscheid schon aus diesem Grunde aufzuheben (<ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 2 Ingress S. 9; Urteile 8C_296/2019 vom 9. Oktober 2019 E. 2.1; 8C_515/2016 vom 22. Juni 2017 E. 2.1).
3.2.
3.2.1. Das angefochtene Urteil hat eine verfahrensleitende Verfügung der WEKO vom 14. November 2018 zum Gegenstand, mit welcher E._ in ihrer Rolle als ehemaliges Organ der A._ AG für den 15. November 2018 im "Verfahren 22-0492: Boykott Apple Pay" als Zeugin vorgeladen wurde. Bei der Verfügung der WEKO vom 14. November 2018 handelt es sich prozessual gesehen um eine Zwischenverfügung (vgl. Urteile 2C_343/2020 vom 2. Juni 2020 und 2C_342/2020 vom 2. Juni 2020, je E. 1). Die Beschwerde der A._ AG an das Bundesverwaltungsgericht war deshalb nur dann zulässig, wenn die Zwischenverfügung vom 14. November 2018 einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken konnte (Art. 37 VGG in Verbindung mit Art. 46 Abs. 1 lit. a VwVG), oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen konnte (Art. 37 VGG in Verbindung mit Art. 46 Abs. 1 lit. b VwVG).
3.2.2. Die Vorinstanz ging zu Recht davon aus, dass ein Eintreten gestützt auf Art. 46 Abs. 1 lit. b VwVG vorliegend nicht in Frage komme (vgl. E. 2.1.1 des angefochtenen Entscheids). Sodann bejahte sie jedoch das Vorliegen eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils (Art. 46 Abs. 1 lit. a VwVG). Sie erwog in diesem Zusammenhang im Wesentlichen, die A._ AG wende sich mit ihrer Beschwerde nicht gegen die verweigerte Entfernung eines bereits erhobenen Beweismittels aus den Akten (vgl. zu dieser Thematik Urteil 2C_578/2017 vom 8. August 2017, E. 2.1 und 2.2), sondern gegen die Zeugeneinvernahme an sich. Das von ihr angerufene Auskunfts- und Editionsverweigerungsrecht dürfe dabei nicht als subsidiär zur nachgelagerten Möglichkeit der Verwertungseinrede aufgefasst werden, ansonsten das Verbot des Selbstbelastungszwangs (nemo tenetur se ipsum accusare; Art. 6 Ziff. 1 EMRK; <ref-ruling> E. 2.6.2 S. 52 f.) im Ergebnis auf ein blosses Verwertungsverbot reduziert würde, was sich mit der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) nicht vertrüge und letztlich einem effektiven Rechtsschutz zuwiderliefe. Hinzu komme, dass es mit einem erheblichen Vertretungsaufwand verbunden wäre, wenn die Zeugeneinvernahme sich im späteren Verlauf des Verfahrens als per se und damit vollumfänglich unzulässig herausstellen würde, weil dann möglicherweise alle früheren Beweismassnahmen wiederholt werden müssten (vgl. E. 2.2.5 des angefochtenen Urteils).
3.2.3. Die Begründung der Vorinstanz mag in Erwägung zu ziehen sein, wenn sich die natürliche Person, die gegen die Zeugenvorladung vorgeht, aus eigenem Recht auf die Einhaltung des nemo-tenetur-Grundsatzes beruft (vgl. allgemein zur Geltung des nemo-tenetur-Grundsatzes im Kartellsanktionsverfahren <ref-ruling> E. 6.4.3 S. 254; spezifisch zu dieser Frage Urteile 2C_342/2020 und 2C_343/2020 vom 2. Juni 2020 E. 2.3; vgl. überdies CHRISTIAN MEYER, Die Mitwirkungsmaxime im Verwaltungsverfahren des Bundes, Zürich 2019, Rz. 964). Personen, die selbst nicht vom Schutzbereich des nemo-tenetur-Grundsatzes erfasst sind, erleiden durch die Zeugeneinvernahme jedoch (jedenfalls mit Blick auf die Einhaltung dieser strafprozessualen Garantie) keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (vgl. auch die Anforderungen an die Beschwerdelegitimation [Art. 48 Abs. 1 lit. b und c VwVG]; zu dieser Verknüpfung auch UHLMANN/WÄLLE-BÄR, in: VwVG Praxiskommentar, 2. Aufl. 2016, N. 4 zu Art. 46 VwVG).
3.2.4. Für die vorstehend skizzierte Sichtweise (E. 3.2.3 hiervor) spricht auch die strafprozessuale Praxis des Bundesgerichts. Auf Beschwerde eines Beschuldigten hin hatte die strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts kürzlich den Fall zu beurteilen, dass die Staatsanwaltschaft einen richtigerweise als Auskunftsperson zu befragenden Verfahrensbeteiligten als Zeugen befragt hatte. Das Bundesgericht erwog dazu, dass das der Auskunftsperson zustehende Aussageverweigerungsrecht nicht dem Interesse des Beschuldigten, sondern demjenigen der Auskunftsperson diene; dem Beschuldigten stehe es daher nicht zu, die Unverwertbarkeit der unter falscher Rechts- und Pflichtbelehrung durchgeführten Einvernahme geltend zu machen (Urteil 6B_269/2018 vom 24. Oktober 2018 E. 1.4). Analog kann für die hier interessierende Konstellation festgehalten werden, dass die im Zusammenhang mit einer Zeugenbefragung allfällig drohende Verletzung des nemo-tenetur-Grundsatzes nur von jener Person geltend gemacht werden kann, die sich selbst auch auf diese Garantie berufen kann.
3.3. Die Beschwerde der A._ AG wäre nach dem Gesagten nur dann zulässig gewesen, wenn die A._ AG hinreichend substanziiert hätte, dass sie selbst durch die Zeugenbefragung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (insbesondere in Form einer Verletzung des nemo-tenetur-Grundsatzes) erleiden könnte (vgl. KAYSER/PAPADOPOULOS/ALTMANN, in: VwVG Kommentar, 2. Aufl. 2019, N. 19 zu Art. 46 VwVG). Davon ist vorliegend nicht auszugehen: Wie das Bundesgericht in einem parallel geführten Verfahren (vgl. Urteil 2C_383/2020 vom 8. März 2021) entschieden hat, berührt die (uneingeschränkte) Einvernahme ehemaliger Gesellschaftsorgane im Kartellsanktionsverfahren den nemo-tenetur-Grundsatz grundsätzlich nicht (a.a.O., E. 5.2.3). Die A._ AG kann damit vorliegend aus Art. 6 Ziff. 1 EMRK nichts für sich ableiten. Wie es sich insoweit mit der späteren Arbeitgeberin von E._, der B._ GmbH verhält, ist hier nicht zu klären, da diese Gesellschaft die strittige Zeugenvorladung nicht angefochten hat; offen bleiben muss daher die Frage, ob es der zugunsten der B._ GmbH anwendbare nemo-tenetur-Grundsatz (vgl. Urteil 2C_383/2020 vom 8. März 2021, E. 4.3 und E. 5.2.1) erlaubt, dass eine natürliche Person in einem gegen mehrere Unternehmen geführten Kartellsanktionsverfahren einmal als Zeugin (mit Pflicht zur wahrheitsgemässen Aussage) und einmal als Parteivertreterin (mit Aussageverweigerungsrecht) befragt wird.
3.4. Unbehelflich ist schliesslich der Hinweis der A._ AG auf den Schutz von Geschäftsgeheimnissen; soweit insoweit überhaupt ein Zeugnisverweigerungsrecht bestünde (Art. 16 Abs. 2 VwVG), wäre dieses von E._ im Rahmen der erst noch durchzuführenden Zeugenbefragung geltend zu machen.
3.5. Die Beschwerde des WBF ist aufgrund der vorstehenden Ausführungen schon deshalb gutzuheissen, weil die Vorinstanz auf das Rechtsmittel der A._ AG nicht hätte eintreten dürfen. Dementsprechend ist das angefochtene Urteil gemäss dem Antrag des WBF aufzuheben.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die A._ AG als Beschwerdegegnerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 8. November 2019 wird aufgehoben.
2.
Die Verfahrenskosten von Fr. 3'000.-- werden der A._ AG auferlegt.
3.
Zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens wird die Angelegenheit an das Bundesverwaltungsgericht zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung II, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner