Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt erhob beim Strafgericht Basel-Stadt am 2. November 2020 Anklage gegen A._ wegen mehrfacher Verbrechen gemäss Betäubungsmittelgesetz, mehrfacher Urkundenfälschung und mehrfacher Vergehen gemäss Ausländer- und Integrationsgesetz. Gleichentags beantragte die Staatsanwaltschaft beim Zwangsmassnahmengericht Basel-Stadt die Anordnung von Sicherheitshaft. Das Zwangsmassnahmengericht ordnete gegenüber A._ mit Verfügung vom 5. November 2020 Sicherheitshaft an für die vorläufige Dauer von zwölf Wochen bis zum 28. Januar 2021.
Diese Verfügung focht A._ beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt an, welches die Beschwerde mit Entscheid vom 4. Dezember 2020 abwies, A._ die Kosten des Beschwerdeverfahrens in der Höhe von Fr. 600.-- (einschliesslich Auslagen) auferlegte und dessen amtlicher Verteidigerin für das Beschwerdeverfahren einen Betrag von insgesamt Fr. 1'611.-- aus der Gerichtskasse ausrichtete, unter Vorbehalt von Art. 135 Abs. 4 StPO.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangt A._ mit Eingabe vom 14. Januar 2021 an das Bundesgericht und beantragt, der appellationsgerichtliche Entscheid sei dahingehend abzuändern, als die Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör festgestellt und auf die Erhebung von Kosten verzichtet werde und das amtliche Honorar zu Lasten des Staates gehe. Eventualiter sei der Entscheid teilweise aufzuheben und die Sache zur Neuverteilung der Kosten an das Appellationsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersucht der Beschwerdeführer um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Appellationsgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung und stellt, unter Verweis auf seinen Entscheid, Antrag auf Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei diese abzuweisen. Der Beschwerdeführer nahm dazu Stellung, worüber die anderen Verfahrensbeteiligten in Kenntnis gesetzt wurden.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid (Art. 80 BGG) in einer Strafsache (Art. 78 Abs. 1 BGG). Es handelt sich dabei nicht um einen Endentscheid (vgl. Art. 90 BGG), sondern um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde in Strafsachen - von hier nicht gegebenen Spezialfällen abgesehen (vgl. Art. 92 BGG) - nur unter den einschränkenden Voraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 BGG zulässig ist: wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a); oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
Die Variante gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG fällt vorliegend ausser Betracht.
Zu prüfen bleibt deshalb, ob die Sachurteilsvoraussetzungen gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt sind. Rechtsprechungsgemäss muss es sich beim nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Strafrecht um einen solchen rechtlicher Natur handeln. Ein derartiger Nachteil liegt vor, wenn er auch durch einen für den Beschwerdeführer günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 130). Ein lediglich tatsächlicher Nachteil wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479 mit Hinweisen).
1.2. Der Beschwerdeführer muss, sofern das nicht offensichtlich ist, darlegen, inwiefern ihm ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinn von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG drohen soll. Andernfalls genügt er seiner Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) nicht und kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 2.5 S. 399 f.; je mit Hinweisen).
1.3. Der in einem Zwischenentscheid enthaltene Kosten- und Entschädigungspunkt kann grundsätzlich nur im Rahmen einer Beschwerde gegen den Hauptpunkt an das Bundesgericht weitergezogen werden (<ref-ruling> E. 1 S. 331 ff. mit Hinweisen). Bei einer Beschwerde im Hauptpunkt - die Anordnung der Sicherheitshaft - wäre vorliegend ein drohender, nicht wieder gutzumachender Nachteil zu bejahen. Jedoch hat der Beschwerdeführer den Entscheid des Appellationsgerichts insoweit akzeptiert. Sowohl in der Beschwerde als auch in der Stellungnahme an das Bundesgericht führt er aus, sein schutzwürdiges Interesse bestehe in der Umverteilung der Kosten, die ihm durch die Vorinstanz vollumfänglich auferlegt worden seien. Insgesamt seien dies Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 600.-- und das Honorar für die amtliche Verteidigung in der Höhe von Fr. 1'611.--, das er dereinst zurückbezahlen müsse.
Seine Beschwerde an das Bundesgericht richtet sich ausschliesslich gegen den Kostenpunkt. Rechtsprechungsgemäss bewirkt die Auferlegung von Kosten in einem Haftbeschwerdeverfahren jedoch keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (Urteile 1B_33/2019 vom 18. April 2019 E. 1.2; 1B_246/2016 vom 2. August 2016 E. 1; 1B_233/2012 vom 21. August 2012 E. 2; je mit Hinweisen). Dies entspricht der ständigen Praxis in vergleichbaren Fällen (<ref-ruling> E. 1.3 S. 419; <ref-ruling> E. 1.2.1 f. S. 332 ff.; Urteile 1B_422/2019 vom 6. Mai 2020 E. 1.2; 1B_491/2019 vom 5. Februar 2020 E. 1.4.1; je mit Hinweisen). Dass es sich vorliegend anders verhielte, tut der Beschwerdeführer weder dar noch ist dies ersichtlich. Infolgedessen braucht auch auf die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör nicht eingegangen zu werden, zumal das Bundesgericht nicht über die Begehren der Parteien hinausgehen darf (Art. 107 Abs. 1 BGG; vgl. Urteil 1B_176/2014 vom 22. Mai 2014 E. 1.4).
Der Beschwerdeführer kann den vorinstanzlichen Kostenentscheid mit dem Endentscheid in der Hauptsache anfechten (Art. 93 Abs. 3 BGG). Sollte er schuldig gesprochen werden, kann er den Kostenentscheid nach Erschöpfung des kantonalen Instanzenzugs zusammen mit dem Strafurteil an das Bundesgericht weiterziehen. Sollte das Strafverfahren zu seinen Gunsten ausgehen (Einstellung oder Freispruch), womit er kein Interesse an der Weiterziehung des Entscheids in der Hauptsache hätte, könnte er den vorinstanzlichen Kostenentscheid nach Eröffnung des Entscheids in der Hauptsache innerhalb der Frist gemäss Art. 100 BGG selbstständig an das Bundesgericht weiterziehen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 ff. S. 365 ff.; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 333; Urteil 1B_33/2019 vom 18. April 2019 E. 1.2; je mit Hinweisen).
1.4. Soweit der Beschwerdeführer ausführt, die Vorinstanz habe die gerügte Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör zwar offenbar zur Kenntnis genommen, sei dann aber nicht darauf eingegangen, was eine Rechtsverweigerung darstelle, ist Folgendes festzuhalten: Zwar verzichtet das Bundesgericht bei Beschwerden gegen Zwischenentscheide grundsätzlich auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils, wenn der Beschwerdeführer eine Rechtsverweigerung oder ungerechtfertigte Rechtsverzögerung rügt (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 346; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling> E. 1.3 S. 129; Urteil 1B_66/2020 vom 2. Dezember 2020 E. 1) bzw. wenn mit der Beschwerde eine formelle Rechtsverweigerung in der Form der Verweigerung oder Verzögerung eines Rechtsanwendungsakts gerügt wird (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 177 f.; Urteile 1B_529/2020 vom 9. Dezember 2020 E. 1; 1B_265/2020 vom 31. August 2020 E. 1.2 und 2.1; 1C_340/2018 vom 7. März 2019 E. 2.2; 1C_201/2017 vom 1. September 2017 E. 2.4; 1B_7/2013 vom 14. März 2013 E. 1.4, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dass der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde eine Verletzung der aus Art. 29 Abs. 2 BV fliessenden behördlichen Begründungspflicht rügt, rechtfertigt nach dem Ausgeführten jedoch keinen Verzicht auf das Erfordernis des nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinn von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG (zum Ganzen: Urteil 1C_595/2019 vom 27. Januar 2020 E. 2).
1.5. Da dem Beschwerdeführer gegen den angefochtenen Kostenentscheid noch ein Rechtsmittel zur Verfügung steht, ist dieser nicht rechtskräftig (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 332 mit Hinweis) und der Beschwerdeführer noch nicht zahlungspflichtig (vgl. Urteil 1B_33/2019 vom 18. April 2019 E. 1.3 mit Hinweis).
2.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 BGG). Da sein Rechtsbegehren mit Blick auf die dargelegte Rechtsprechung aus formellen Gründen aussichtslos war, ist das Gesuch abzuweisen (ebenso Urteil 1B_33/2019 vom 18. April 2019 E. 2 mit Hinweis). Der Beschwerdeführer trägt damit die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck