Faits :
A.
A.a. X._ a commencé en 2015 des études de sage-femme à la Haute école de santé Vaud (ci-après: la Haute école) en vue d'obtenir un baccalauréat de cette profession. En raison de ses convictions religieuses, elle a signalé à la doyenne de son école qu'elle faisait valoir son droit à l'objection de conscience dans le cadre de ses futurs stages, afin d'être dispensée de participer à des interruptions de grossesse.
A.b. La Haute école a réservé une place de stage à X._ pour la période du 23 novembre au 18 décembre 2015 au sein des Hôpitaux universitaires de Genève (ci-après: HUG). Le 28 octobre 2015, X._ a adressé un courriel à cette institution, pour manifester son refus de participer ou d'assister à une interruption de grossesse. Par courriel du 13 novembre 2015, la responsable de l'unité "salle d'accouchement" des HUG a indiqué à la Haute école et à X._ qu'elle ne pouvait pas valider la demande de stage.
Face à ce refus et après un entretien avec l'intéressée, la Haute école a décidé, le 3 décembre 2015, que X._ serait en interruption d'études jusqu'à la prochaine rentrée académique au minimum. Le 22 décembre 2015, la Haute école a précisé à X._ qu'elle cherchait les réponses les plus adéquates en fonction des cadres réglementaires et éthiques. La situation était encore à l'étude, mais X._ pouvait, dans un délai de 10 jours, déposer une réclamation à la direction de la Haute école. L'intéressée n'a pas fait usage de cette possibilité.
A.c. Le 10 mai 2016, la Haute école a informé X._ qu'elle pourrait reprendre sa formation à la rentrée académique 2016. La Haute école avait obtenu du Centre hospitalier universitaire vaudois (ci-après: CHUV) les éléments permettant de prendre en compte son statut d'objectrice de conscience. Un avenant au contrat de stage tripartite entre la Haute école, l'étudiante et le CHUV était annexé, qui devait être signé par les trois parties.
Par courriel du 8 juin 2016, X._ a accusé réception du pli du 10 mai 2016 et indiqué à la Haute école qu'elle avait décidé de ne pas reprendre sa formation à la rentrée du mois de septembre 2016, car la proposition qui lui avait été soumise ne lui convenait pas. Le 15 juin 2016, la Haute école a pris note de la décision de X._ d'arrêter sa formation de sage-femme avec effet immédiat.
B.
B.a. Par courrier du 17 novembre 2016, X._ a requis de la direction des ressources humaines des HUG une décision administrative confirmant le refus, communiqué en novembre 2015, de lui attribuer une place de stage d'étudiante sage-femme.
Le 13 janvier 2017, les HUG ont indiqué à X._ qu'ils n'engageaient pas les stagiaires, mais se contentaient de mettre à disposition un certain nombre de places de stage dans le cadre d'un partenariat avec la Haute Ecole. Ils refusaient de prononcer une décision de non-engagement.
B.b. Le 17 décembre 2016, X._ a saisi la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients de la République et canton de Genève (ci-après: la Commission de surveillance) d'une dénonciation visant les HUG, dans le cadre du refus de cette institution de l'admettre à un stage de sage-femme.
Le 23 février 2017, la Commission de surveillance a classé la dénonciation. Le stage relevait de la formation et non pas des soins ou de la santé au sens de la loi genevoise sur la santé du 7 avril 2006 (LS/GE; RS/GE K 1 03). Ce classement était communiqué par simple avis à X._, dès lors que celle-ci avait le statut de dénonciatrice. Le 24 mars 2017, X._ a demandé à la Commission de surveillance de reconsidérer sa décision. Par courrier du 13 avril 2017, la Commission de surveillance lui a confirmé qu'elle n'entendait pas ouvrir de procédure à l'encontre des HUG.
B.c. Le 5 octobre 2017, X._ a saisi la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) d'un recours pour déni de justice, visant tant les HUG que la Commission de surveillance. Elle reprochait aux premiers d'avoir refusé, le 13 janvier 2017, de rendre une décision administrative concernant sa non-admission, en novembre 2015, à un stage d'étudiante sage-femme et à la seconde d'avoir, le 23 février 2017, classé sa dénonciation.
Par arrêt du 23 janvier 2018, la Cour de justice a déclaré le recours interjeté par X._ contre les HUG et la Commission de surveillance irrecevable, faute de qualité pour recourir.
C.
Contre l'arrêt du 23 janvier 2018 de la Cour de justice, X._ forme un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Elle demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt querellé et de renvoyer la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
La Cour de justice, qui ne formule pas d'observations, s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Les HUG concluent, sous suite de frais et dépens, à l'irrecevabilité des recours formés par X._, respectivement à leur rejet. La Commission de surveillance n'a pas déposé d'observations. X._ a répliqué, en maintenant ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 186).
1.1. Le présent litige porte sur le point de savoir si c'est à raison que la Cour de justice a dénié à la recourante la qualité pour recourir contre le refus des HUG de rendre une décision et contre le classement de sa dénonciation par la Commission de surveillance.
Dans une procédure administrative, l'auteur d'un recours déclaré irrecevable pour défaut de qualité pour agir est habilité à contester l'arrêt d'irrecevabilité par un recours en matière de droit public lorsque l'arrêt au fond de l'autorité intimée aurait pu être déféré au Tribunal fédéral par cette voie (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 149; <ref-ruling> consid. 1 p. 500; <ref-ruling> consid. 1b p. 502).
Tel est le cas en l'espèce. L'arrêt attaqué est en effet une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), qui ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law>. En particulier, la cause ne relève pas des rapports de travail de droit public (art. 83 let. g LTF), mais de la formation. A ce titre, elle ne tombe en outre pas sous le coup de l'art. 83 let. t LTF, qui exclut les décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, dès lors que n'est pas en cause l'évaluation des capacités de la recourante. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte. Le recours constitutionnel subsidiaire formé en parallèle est partant irrecevable (<ref-law> a contrario).
1.2. La recourante, destinataire de l'arrêt entrepris, a un intérêt digne de protection à en demander l'annulation, dès lors que ledit arrêt refuse d'entrer en matière sur son recours, cela indépendamment et sans préjudice du motif d'irrecevabilité retenu par le Tribunal cantonal, qui constitue l'objet de la contestation devant le Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 148; arrêts 2C_977/2018 du 14 janvier 2019 consid. 2.1; 2C_36/2018 du 27 mars 2018 consid. 1.2). Partant, il faut reconnaître à l'intéressée la qualité pour recourir dans la présente procédure au sens de l'<ref-law>.
1.3. Le recours a en outre été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>). Comme le dispositif de l'arrêt attaqué prononce l'irrecevabilité du recours formé devant la Cour de justice, c'est à juste titre que la recourante a conclu uniquement à l'annulation de l'arrêt et au renvoi de la cause à cette autorité pour qu'elle entre en matière, des conclusions au fond n'étant en principe pas admissibles dans un tel cas (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 347). En revanche, en tant que la recourante consacre, dans son mémoire, de longs développements relatifs au bien-fondé du refus des HUG de rendre une décision, voire aux raisons du refus des HUG de lui offrir une place de stage en novembre 2015, elle perd précisément de vue que le fond du litige n'a pas à être traité dans le cadre du présent recours (cf. arrêts 2C_36/2018 du 27 mars 2018 consid. 1.3; 2C_776/2016 du 17 juillet 2017 consid. 1.4). Ses critiques ne seront donc pas examinées. Sous la réserve qui précède, il convient d'entrer en matière.
2.
2.1. Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law>, il ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux, ainsi que de celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal, que si ce grief a été invoqué et motivé par la partie recourante, c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de façon claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 234). En l'occurrence, le grief tiré de la violation de l'art. 6 par. 1 CEDH ne sera pas examiné, car la recourante, qui se contente de citer cette disposition sans autre précision, n'a pas satisfait à son obligation de motivation.
2.2. A cela s'ajoute que, sous réserve des cas visés à l'art. 95 let. c-e LTF, la violation du droit cantonal en tant que tel ne peut être invoquée devant le Tribunal fédéral. Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 324; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 308). Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiées prévues à l'<ref-law>. Ainsi qu'il sera vu ci-après, les griefs de la recourante en lien avec le droit cantonal ne satisfont pas aux exigences de l'<ref-law> (cf. infra consid. 4 et consid. 6).
2.3. Pour le reste, le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). En l'espèce, les pièces nouvelles accompagnant le recours ne seront pas prises en compte.
3.
La recourante se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits.
3.1. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. <ref-law>).
3.2. La recourante reproche à la Cour de justice d'avoir ignoré le fait qu'elle aurait subi des pertes financières en raison de l'abandon, forcé selon elle, de sa formation de sage-femme, ainsi que d'avoir retenu qu'elle avait sollicité une décision de la part des HUG plus d'un an après le refus de stage, sans mentionner et prendre en compte les efforts qu'elle avait faits, dans l'intervalle, pour trouver une autre place de stage.
La recourante ne démontre pas en quoi les modifications de l'état de fait qu'elle sollicite seraient susceptibles d'influer sur le sort de la cause et on ne décèle pas leur incidence. La Cour de justice a en effet déclaré le recours dirigé contre les HUG irrecevable en raison d'un défaut d'intérêt actuel, en relevant que la recourante n'était pas en formation au moment où elle avait sollicité des HUG une décision. Retenir que la recourante a subi une perte financière, ce qu'elle se contente au demeurant d'affirmer sans l'établir, ou qu'elle a cherché de son côté une place de stage ne changerait rien à ce constat, qui est en l'espèce déterminant (cf. infra consid. 5) et qui n'est pas contesté. Le grief tiré d'un établissement des faits arbitraire est donc rejeté.
4.
La recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.). Elle reproche à la Cour de justice d'avoir retenu qu'elle n'avait pas documenté son souhait de reprendre une formation, sans l'interpeller au préalable sur ce point et alors qu'il était totalement imprévisible pour elle qu'il soit examiné. Elle cite également dans ce cadre les art. 19 (maxime d'office) et 24 (production de documents) de la loi genevoise sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RS/GE E 5 10). S'agissant de ces dispositions de droit cantonal, la recourante n'explique toutefois pas, contrairement à son devoir de motivation (cf. <ref-law>; cf. supra consid. 2.2), en quoi la Cour de justice les aurait arbitrairement appliquées ou ignorées, ni du reste en quoi ces dispositions lui offriraient une protection supérieure à l'art. 29 al. 2 Cst. Son grief sera ainsi exclusivement examiné à la lumière de cette dernière disposition.
4.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment (ATF 141 IV 557 consid. 3.1 p. 564; <ref-ruling> consid. 3.4 p. 102 s.).
4.2. En l'occurrence, la Cour de justice a déclaré le recours irrecevable en tant qu'il était dirigé contre les HUG en notant que la recourante n'était plus en formation et n'avait donc plus d'intérêt actuel à son recours. Elle a ajouté que le fait que la recourante indique vouloir reprendre sa formation sans toutefois documenter ce désir ou être admise dans une école ne suffisait pas pour récréer un intérêt actuel.
4.3. On ne voit pas que le raisonnement de la Cour de justice exposé ci-avant ait pu prendre de court la recourante comme elle le prétend. En effet, l'intérêt actuel au recours est une condition de recevabilité usuelle (cf. infra consid. 5.2.1), ce que la recourante, assistée d'un mandataire professionnel, ne pouvait ignorer. La recourante, après avoir indiqué expressément à la Haute école en juin 2016 qu'elle n'entendait pas reprendre sa formation à la rentrée académique, devait donc s'attendre à ce que l'intérêt actuel soit examiné et, dans ce contexte, la question de la poursuite de sa formation. La Cour de justice n'a partant pas violé le droit d'être entendue de l'intéressée en ne l'interpellant pas spécifiquement sur ce point avant de rendre son arrêt. Le grief est rejeté.
5.
Le litige porte en premier lieu sur la question de savoir si c'est à bon droit que la Cour de justice a déclaré irrecevable le recours en tant qu'il portait sur le refus des HUG de rendre une décision. La Cour de justice a prononcé l'irrecevabilité au motif que la recourante n'avait pas d'intérêt actuel à son recours formé pour déni de justice. La recourante se plaint de la violation de l'art. 29 al. 1 Cst. et de l'art. 29a Cst.
5.1. La recourante reproche tout d'abord à la Cour de justice d'avoir commis (à son tour) un déni de justice (art. 29 al. 1 Cst.), en déclarant son recours irrecevable faute d'intérêt actuel.
5.1.1. Il y a déni de justice formel (art. 29 al. 1 Cst.) notamment lorsqu'une autorité n'applique pas ou applique d'une façon incorrecte une règle de procédure, de sorte qu'elle ferme l'accès à la justice au particulier qui, normalement, y aurait droit (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 192; cf. arrêt 2D_34/2018 du 17 août 2018 consid. 4.1).
5.1.2. La qualité pour recourir est définie sur le plan cantonal par l'art. 60 al. 1 LPA/GE. Eu égard à l'<ref-law>, d'après lequel la qualité de partie à la procédure devant toute autorité cantonale précédente doit être reconnue à quiconque a qualité pour recourir devant le Tribunal fédéral, la qualité pour recourir ne peut pas s'apprécier de manière plus restrictive devant les autorités cantonales que devant le Tribunal fédéral, les cantons demeurant libres de concevoir cette notion de manière plus large (<ref-ruling> consid. 2.1.1 p. 164). En l'occurrence, la recourante ne prétend pas que le droit cantonal définissant la qualité pour recourir serait plus large que le droit fédéral sur ce point. Il convient donc d'examiner la qualité pour recourir sous l'angle de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 32; arrêt 2C_36/2018 du 27 mars 2018 consid. 2.1). S'agissant de droit fédéral, le Tribunal fédéral examine cette question librement (arrêts 1C_170/2018 du 10 juillet 2018 consid. 4.1; 2C_36/2018 du 27 mars 2018 consid. 2.1).
5.1.3. L'<ref-law> exige notamment que le recourant ait un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. c). Selon la jurisprudence tirée de cette disposition, cet intérêt doit être actuel et exister tant au moment du dépôt du recours qu'à celui où l'arrêt est rendu (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 41; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 299; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 365). La jurisprudence a déjà relevé que l'exigence de l'intérêt actuel vaut aussi lorsqu'est invoqué un déni de justice formel: en ce cas, le recourant doit au moins justifier d'un intérêt actuel à ce que son grief (formel) soit examiné, intérêt qui s'apprécie en fonction des effets et de la portée d'une éventuelle admission du recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 157; <ref-ruling> consid. 2a p. 492; cf. arrêt 5A_752/2016 du 27 janvier 2017 consid. 2.1.1). Il est exceptionnellement fait abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel lorsque la contestation peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 208; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 103).
5.1.4. En l'occurrence, il résulte du dossier et il n'est pas contesté que la recourante ne suivait pas de formation de sage-femme au moment de l'arrêt entrepris et n'avait donc pas à effectuer de stage auprès d'une institution telle que les HUG. Tant que la recourante n'est pas en formation, on ne discerne pas d'utilité pratique à sa démarche tendant à obtenir une décision de cette institution au sujet d'un refus de stage et l'intéressée ne démontre pas le contraire. La Cour de justice pouvait partant nier l'intérêt actuel au recours formé pour déni de justice à l'encontre des HUG.
5.1.5. La recourante ne conteste pas l'absence d'intérêt actuel, mais soutient qu'il y aurait eu lieu de faire abstraction de cette exigence.
En l'espèce, on peut certes admettre que le courriel initial des HUG du 13 novembre 2015 indiquant à la Haute école, qui l'avait requise, et à la recourante qu'une place de stage ne pouvait pas être offerte à celle-ci, après que l'étudiante eut exprimé son refus de pratiquer ou d'assister à des interruptions de grossesse, soulève une question importante relative à l'aménagement des convictions religieuses pendant une formation de sage-femme.
Il n'est en revanche pas certain que cette problématique de base, et à sa suite la question du droit à une décision de refus de stage de la part des HUG dans le cadre de leur accord avec la Haute école, se reposerait à nouveau en ces termes. En effet, comme le démontrent les démarches effectuées par la Haute école après le courriel des HUG, cet établissement hospitalier n'est pas le seul à accueillir des étudiants de la Haute école en formation de sage-femme. Il ressort des constatations de fait de l'arrêt attaqué que le CHUV, en tant qu'autre établissement envisagé, a donné un accord de principe à un stage de la recourante tenant compte des convictions religieuses de celle-ci. En mai 2016, un contrat de stage a été du reste présenté à la recourante, qui n'a pas donné suite.
En outre, si la contestation venait à se reproduire dans des circonstances analogues, la nature de la cause permettrait tout à fait de la trancher avant qu'elle ne perde de son actualité, compte tenu de la durée d'une formation pour un bachelor. En cela, la situation de la recourante diffère de celle envisagée dans l'ATF <ref-ruling> ( Balmelli) dont elle se prévaut et qui concernait un refus d'embauche, soit une mesure ponctuelle. Les faits résultant de l'arrêt attaqué démontrent du reste que des démarches pouvaient être entreprises pendant la formation. Ainsi, la Haute école a indiqué à la recourante qu'une réclamation pouvait être formée contre la décision de suspendre la formation jusqu'à ce qu'une solution soit trouvée (courriel du 22 décembre 2015). Comme on l'a vu, la Haute école a d'ailleurs cherché une alternative pour la recourante à la suite du refus des HUG, en lui proposant une place de stage à Lausanne à la prochaine rentrée académique. Il relève de la responsabilité et des choix de la recourante de ne pas avoir réagi, à teneur de l'arrêt entrepris, au courriel du 22 décembre 2015, puis d'avoir arrêté sa formation, sans discuter les modalités proposées par la Haute école et le CHUV et sans solliciter, à ce moment là, une décision formelle. Ces circonstances ne sauraient en revanche justifier qu'il soit renoncé à l'exigence d'un intérêt actuel.
Il résulte de ce qui précède que les conditions pour qu'il soit renoncé à l'exigence d'un intérêt actuel ne sont pas réunies.
5.1.6. Par conséquent, la Cour de justice a fait une application correcte de l'exigence de l'intérêt actuel et n'a pas partant pas commis de déni de justice en niant à la recourante la qualité pour recourir.
5.2. La recourante se plaint également d'une violation de la garantie de l'accès au juge (art. 29a Cst.).
5.2.1. Selon l'art. 29a Cst. première phrase, toute personne a droit à ce que sa cause soit jugée par une autorité judiciaire. Cette norme constitutionnelle étend le contrôle judiciaire en principe à toutes les contestations juridiques. Il s'agit en particulier de contestations portant sur les droits et les obligations de personnes (physiques ou morales). La garantie ne s'oppose cependant pas aux conditions de recevabilité habituelles du recours ou de l'action (<ref-ruling> consid. 8.2 p. 350 s.; <ref-ruling>9 consid. 4.2 p. 411; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 328).
5.2.2. En l'occurrence, dès lors que l'irrecevabilité prononcée par la Cour de justice relève d'une application correcte des règles habituelles relatives à la qualité pour recourir, l'arrêt entrepris ne méconnaît pas la garantie de l'accès au juge (cf. arrêt 2C_977/2018 du 14 janvier 2019 consid. 8.1), contrairement à ce que fait valoir la recourante.
On peut même se demander, compte tenu de l'absence de réaction de la recourante au courriel du 22 décembre 2015 lui ouvrant la voie de la réclamation, puis de l'abandon volontaire de ses études en juin 2016, si le grief tiré de la violation de la garantie de l'accès au juge dans le cadre du présent recours est compatible avec le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 et 9 Cst.). La question souffre de demeurer indécise, puisque ce grief est de toute façon infondé.
5.3. Sur le vu de ce qui précède, la Cour de justice n'a pas méconnu le droit en déclarant le recours irrecevable en tant qu'il était dirigé contre les HUG.
6.
Le litige porte en second lieu sur la question de savoir si c'est à bon droit que la Cour de justice a déclaré irrecevable le recours en tant qu'il visait la décision de classement de la Commission de surveillance du 23 février 2017.
6.1. La Cour de justice a justifié l'irrecevabilité en indiquant qu'en vertu de la loi genevoise sur la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients (LComPS/GE; RS/GE K 3 03), cette autorité pouvait classer une dénonciation lorsqu'elle était manifestement mal fondée ou se situait hors du champ de sa compétence (art. 15 LComPS/GE). La décision de classement constituait une décision au sens de l'art. 4 LPA/GE. Le dénonciateur n'en était toutefois pas le destinataire (cf. art. 21 al. 3 LComPS) et n'était touché qu'indirectement par celle-ci. Il découlait de ces règles que le dénonciateur n'avait pas la qualité de partie, ni la qualité pour recourir.
6.2. Il résulte de ce qui précède que l'irrecevabilité du recours prononcé par l'instance précédente relève du droit cantonal de procédure. Or, la recourante n'expose pas en quoi l'instance précédente aurait appliqué de manière arbitraire le droit cantonal. Elle ne remet en particulier pas en cause, sous l'angle de l'arbitraire, sa qualité de dénonciatrice et les conséquences juridiques que la Cour de justice y a attachées. La recourante invoque uniquement une violation de la garantie de l'accès au juge (art. 29a Cst.). Elle ne développe toutefois dans ce contexte aucun argument distinct de ceux qu'elle dirige contre l'irrecevabilité de son recours en tant qu'il était formé contre le refus des HUG de rendre une décision. Son grief, dans la faible mesure où il est recevable aux regard des exigences de l'<ref-law>, ne peut donc qu'être rejeté.
6.3. Ainsi, le recours doit également être rejeté en tant qu'il porte sur l'irrecevabilité prononcée en lien avec la décision de classement de la Commission de surveillance.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours en matière de droit public et à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires de la recourante et des HUG, ainsi qu'à la Commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lausanne, le 15 mars 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Kleber