Sachverhalt:
A.
A.a. Am 25. November 2020 entschied der Einzelrichter am Bezirksgericht Kriens in einem aufwändigen Eheschutzverfahren der Ehegatten A.A._ und B.A._. Beide Ehegatten legten gegen diesen Entscheid Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein. A.A._ verlangte dabei superprovisorisch die aufschiebende Wirkung der Berufung und eventualiter die aufschiebende Wirkung bezüglich der Ziff. 1, 9 und 12 des erstinstanzlichen Entscheids. Ziff. 1 des Urteilsspruchs verpflichtete ihn zur Edition diverser Unterlagen gestützt auf <ref-law>. Ziff. 9 regelte den Unterhalt, den er seiner Ehefrau und den beiden Kindern C.A._ (geb. 2001) und D.A._ (geb. 2005) zu bezahlen hatte. Ziffer 12 verpflichtete A.A._ zur Übernahme der Gerichtskosten von Fr. 60'000.-- und zur Ausrichtung einer Parteientschädigung von Fr. 20'000.-- an seine Frau.
A.b. Mit Verfügung vom 1. Februar 2021 (eröffnet am 2. Februar 2021) wies das Kantonsgericht den Antrag von A.A._ ab, der Berufung die aufschiebende Wirkung zu erteilen, soweit es darauf eintrat. Die Kosten der Verfügung schlug das Gericht zur Hauptsache.
B.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. März 2021 gelangt A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht mit dem Rechtsbegehren, den Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und seiner Berufung vom 10. Dezember 2020 die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Eventualiter verlangt er, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren gestellte Gesuch um aufschiebende Wirkung hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung nach Anhörung der übrigen Verfahrensbeteiligten mit Verfügung vom 26. April 2021 abgewiesen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
1.2. Angefochten ist der kantonal letztinstanzliche Entscheid (<ref-law>) über die verweigerte Erteilung der aufschiebenden Wirkung einer Berufung gegen einen erstinstanzlichem Eheschutzentscheid, in dem der Beschwerdeführer unter anderem zur Leistung von Unterhalt und zur Auskunftserteilung nach <ref-law> verpflichtet worden ist. Dabei handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid nach <ref-law> (Urteil 5A_866/2020 vom 9. Februar 2021 E. 2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Bei dieser handelt es sich um eine Zivilsache nach <ref-law>. Das Obergericht hat die angefochtene Verfügung im Rahmen eines Berufungsverfahrens gefällt, womit unerheblich bleibt, dass es nicht auf Rechtsmittel hin, sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.2).
2.
2.1. Gegen einen Zwischenentscheid nach <ref-law> steht die Beschwerde in Zivilsachen - abgesehen vom hier nicht gegebenen Fall von Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG - nur offen, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG). Ein derartiger Nachteil muss rechtlicher Natur sein und setzt voraus, dass er auch durch einen günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 1.3). Ausschlaggebend ist, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt (<ref-ruling> E. 1.2.2). Eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis reicht in der Regel nicht, doch genügt die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 2.2.1). Der blosse Umstand, zu einer Geldleistung verpflichtet zu werden, stellt grundsätzlich keinen rechtlichen Nachteil im beschriebenen Sinn dar (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.2). Soweit nicht offenkundig ist, dass der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte, hat die betroffene Person in ihrer Eingabe darzutun, inwiefern sie einem solchen ausgesetzt und die Beschwerde damit zulässig ist (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2).
2.2. Der Beschwerdeführer begründet das Vorliegen eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils einzig in Bezug auf die Unterhaltsforderungen. Soweit der Beschwerdeführer auch zur Auskunftserteilung nach <ref-law> verpflichtet wird, fehlt es an einer Begründung. Da ein nicht wieder gutzumachender Nachteil insoweit auch nicht offenkundig vorliegt, ist auf die Beschwerde in diesem Umfang nicht einzutreten.
2.3.
2.3.1. Was den Unterhalt betrifft, macht der Beschwerdeführer geltend, bei vorsorglichen Massnahmen entspreche es praxisgemäss der Regel, einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil zu bejahen. Weiter sei unbestritten, dass die Familie zur Deckung der das Einkommen übersteigenden Ausgaben über die Jahre Darlehen bei den Gesellschaften des Beschwerdeführers bezogen habe. Ferner sei nachgewiesen, dass die Firmen des Beschwerdeführers bis auf betriebsfremde Erträge defizitär gewirtschaftet hätten. Schliesslich sei belegt, dass die Gesellschaften der Firmengruppe nicht nur Kurzarbeit anmelden mussten, sondern auch COVID-Kredite beantragt und erhalten hätten. Die vorinstanzlich angeordneten Unterhaltsbeiträge setzten voraus, dass der Beschwerdeführer seine Darlehen gegenüber seinen Gesellschaften "massivst" erhöht. Dies sei nach den massgebenden Bestimmungen zu den COVID-Krediten nicht zulässig. Daher drohten hohe Bussen sowie die Kündigung der Darlehen mit damit verbunden Liquiditätsengpässen. Hinzu käme der immense Reputationsschaden der Unternehmensgruppe, sollte gegen Bestimmungen der COVID-Kredite verstossen werden. Dementsprechend sei der Beschwerdeführer nicht in der Lage, die angeordneten Unterhaltsbeiträge zu bezahlen, ohne vertragsbrüchig zu werden bzw. sich strafbar zu machen, was bereits vor Vorinstanz ausgeführt und glaubhaft gemacht worden sei.
Hinzu komme, dass die Beschwerdegegnerin nicht nur umgehend einen Strafantrag gestellt, sondern den Beschwerdeführer auch betrieben habe. Damit bestehe ein auch für Dritte ersichtlicher Eintrag im Betreibungsregister, was unmittelbar einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil darstelle, welcher bei Gewährung der aufschiebenden Wirkung behoben werden könnte. Dem Beschwerdeführer drohe darüber hinaus mit der Fortsetzung des Betreibungsverfahrens auch die Pfändung seines Vermögens sowie dessen Verwertung. Der Verlust der Verfügungsmacht (bei Pfändung) oder des Eigentums (bei Verwertung) seien weitere drohende rechtliche und nicht wieder gutzumachende Nachteile.
Auch in Bezug auf das Strafverfahren drohe sodann ein rechtlich nicht wieder gutzumachender Nachteil, sollte die Staatsanwaltschaft mangels aufschiebender Wirkung der Berufung einen Entscheid zum Nachteil des Beschwerdeführers fällen, da die Frist für ein Rechtsmittel gegen einen solchen Entscheid noch während laufendem Berufungsverfahren ablaufen würde. Ihm wäre daher gar nicht möglich, eine Gutheissung seiner Berufung im Strafverfahren (soweit notwendig) geltend zu machen. Es drohe damit das Risiko eines Entscheids gestützt auf einen noch nicht formell rechtskräftigen, aber vollstreckbaren Eheschutzentscheid.
2.3.2. Die Ausführungen des Beschwerdeführers belegen keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (E. 2). Anders als es der Beschwerdeführer darstellt, wird die aufschiebende Wirkung bei vorsorglichen Massnahmen nicht in der Regel gewährt. Etwas anderes ergibt sich im Übrigen auch nicht aus der in der Beschwerde zitierten Literaturstelle (UHLMANN, in: Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 11 zu <ref-law>, wo ausgeführt wird, der Nachteil sei auch bei vorsorglichen Massnahmen nicht ohne weiteres zu bejahen und jedenfalls zu begründen). Daran ändert auch nichts, dass die Mittelbeschaffung für den Beschwerdeführer nach eigenen Bekunden schwierig ist. Solche Schwierigkeiten begründen nach jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil (vgl. E. 2.1). Eine Ausnahme gilt für den Fall, dass dem Schuldner bei Verweigerung der aufschiebenden Wirkung der Konkurs droht (Urteil 4A_505/2020 vom 18. November 2020 E. 7; UHLMANN, a.a.O., N. 12 zu <ref-law>). Der mit einem Eintrag im Betreibungsregister verbundene Reputationsschaden genügt nicht.
Ebenso wenig weiter hilft dem Beschwerdeführer, dass die Beschwerdegegnerin eine Strafanzeige wegen Verletzung von Unterhaltspflichten (<ref-law>) erstattete und ein Betreibungsverfahren anstrengte. Was die Strafanzeige betrifft, tut der Beschwerdeführer nicht dar, dass sich diese auf Unterhaltsansprüche bezieht, deren Aufschub der Beschwerdeführer verlangt. Auch mit den Hinweisen auf die Modalitäten der COVID-Kredite vermag der Beschwerdeführer keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil darzulegen. Namentlich versäumt es der Beschwerdeführer darzulegen, weshalb es diese Kredite dem Kreditnehmer verbieten sollten, dem Beschwerdeführer in Zukunft einen Lohn auszurichten, der es ihm erlaubt, seinen Unterhaltsverpflichtungen nachzukommen. Der blosse Hinweis auf die finanzielle Schieflage, in welcher das Unternehmen des Beschwerdeführers steckt, genügt nicht.
3.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gegen den Zwischenentscheid nicht zulässig und folglich darauf nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (inkl. den Kosten des Verfahrens betreffend aufschiebende Wirkung) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Ausserdem hat er die Beschwerdegegnerin für dieses Verfahren zu entschädigen. Ansonsten sind der Beschwerdegegnerin mangels Einholens einer Vernehmlassung in der Sache keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber