Sachverhalt:
A.
Die Klinik A._ SA betreibt im Kanton Graubünden seit Anfang Oktober 2010 eine gleichnamige Klinik, die gemäss Selbstdeklaration auf die Behandlung von Stressfolgeerkrankungen (Fachklinik für Burnout) spezialisiert ist. Mit Entscheid vom 31. August 2010 ergänzte der Regierungsrat des Kantons Graubünden seine Spitalliste um die Klinik A._ und fügte folgenden Zusatz hinzu: "Leistungsauftrag für Stressfolgeerkrankungen / Zugewiesene Bettenzahl für Bündner KVG-Patienten x Betten". In Bezug auf diese Kapazitätslimite verfügte die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich (nachfolgend: Gesundheitsdirektion) am 13. November 2013 unter dem Titel "Krankenversicherung; Umfang der Mitfinanzierung von ausserkantonalen Wahlbehandlungen", der Kanton Zürich werde ab 1. Januar 2014 jährlich für aufgerundet y Betten, also für maximal z Pflegetage, Finanzierungsbeiträge leisten; in diesem Umfang seien für ausserkantonale Wahlbehandlungen, bei denen der Tarif der Klinik gleich hoch oder tiefer als der Zürcher Referenztarif sei, keine Kostengutsprachegesuche erforderlich. Darüber hinaus werde der Kanton Zürich für Zürcher Patienten Finanzierungsbeiträge für maximal x-y zusätzliche Betten leisten, soweit diese Betten nicht durch Patienten aus deren Kantonen zulasten der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (OKP) belegt seien und dies von der Klinik nachvollziehbar dargelegt werde. Für solche Belegungen sei vor Klinikeintritt eine Kostengutsprache samt entsprechendem Nachweis einzureichen. Daran wurde, auf Einsprache der Klinik A._ SA hin, mit Entscheid vom 22. Januar 2014 festgehalten.
B.
Hiegegen erhob die Klinik A._ SA Beschwerde. Nach Klärung der sachlichen Zuständigkeit (Beschluss des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 17. Juni 2015, Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. November 2015, Beschluss des Kantonsrats des Kantons Zürich vom 22. Mai 2017, Urteil des Bundesgerichts 1C_357/2017 vom 31. Januar 2018) wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich das Rechtsmittel mit Entscheid vom 29. Mai 2018 im Sinne der Erwägungen ab.
C.
Die Klinik A._ SA lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit den (Haupt-) Anträgen, der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Mai 2018, der Beschluss des Regierungsrats des Kantons Zürich vom 17. Juni 2015 sowie der Einspracheentscheid der Gesundheitsdirektion vom 22. Januar 2014 und deren Verfügung vom 13. November 2013 seien aufzuheben. Es sei ferner festzustellen bzw. anzuordnen, dass der Kanton Zürich ohne Berücksichtigung einer Platzbeschränkung/Mengenbegrenzung Finanzierungsbeiträge für sämtliche Zürcher Patienten in der Klinik A._ zu leisten habe, soweit die (weiteren) Voraussetzungen für eine Finanzierungspflicht nach KVG gegeben seien. In prozessualer Hinsicht sei im Sinne einer vorsorglichen Massnahme umgehend anzuordnen, dass der Kanton Zürich die kantonalen Finanzierungsbeiträge für die Dauer des Verfahrens ohne Berücksichtigung einer Platzbeschränkung/Mengenbegrenzung zu erbringen habe, soweit die (weiteren) Voraussetzungen der Finanzierungspflicht nach KVG gegeben seien. Des Weitern sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Schliesslich sei die Bündner Regierung auf geeignete Weise in das Verfahren miteinzubeziehen (Beiladung).
Die Gesundheitsdirektion schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Gesundheit verzichtet auf eine Vernehmlassung. Mit Eingabe vom 4. Oktober 2018 hält die Klinik A._ SA an ihren Anträgen fest.
D.
Mit Verfügung vom 31. Juli 2018 wies das Bundesgericht die Verfahrensanträge betreffend vorsorgliche Massnahmen, aufschiebende Wirkung der Beschwerde sowie Beiladung des Kantons Graubünden zum Verfahren ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280).
1.2. Das Bundesgericht prüft in Bezug auf das vorinstanzliche Verfahren die Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition. Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht) prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde substanziiert vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; Urteil 9C_905/2013 vom 4. Februar 2014 E. 1 und 3.1.4 mit weiteren Hinweisen, in: SVR 2014 KV Nr. 4 S. 11).
Die Vorinstanz hat für die vorliegende Tarifstreitigkeit zwischen Leistungserbringerin und Kanton gestützt auf kantonales Recht (vgl. Urteil 9C_905/2013 vom 4. Februar 2014 E. 3.1.2-3.1.4, in: SVR 2014 KV Nr. 4 S. 11) ein Feststellungsinteresse bejaht und den Einspracheentscheid der Gesundheitsdirektion vom 22. Januar 2014 als zulässiges Anfechtungsobjekt betrachtet. Dass damit Bundes (verfassungs) recht verletzt sein soll, ist nicht ersichtlich und wird nicht geltend gemacht (vgl. auch Urteil 9C_540/2018 vom 29. August 2019 E. 1.2, zur Publikation vorgesehen).
2.
2.1. Die versicherte Person kann für die stationäre Behandlung unter den Spitälern frei wählen, die auf der Spitalliste ihres Wohnkantons oder jener des Standortkantons aufgeführt sind (Listenspital). Der Versicherer und der Wohnkanton übernehmen bei stationärer Behandlung in einem Listenspital die Vergütung anteilsmässig nach Art. 49a KVG höchstens nach dem Tarif, der in einem Listenspital des Wohnkantons für die betreffende Behandlung gilt (Art. 41 Abs. 1bis KVG). Diese Bestimmung trat mit der Änderung vom 21. Dezember 2007 des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG; Spitalfinanzierung; AS 2008 2049) auf den 1. Januar 2009 in Kraft und ist, laut den entsprechenden Übergangsbestimmungen, seit 1. Januar 2012 umzusetzen. Nach Art. 49a Abs. 1 und 2 KVG werden die Vergütungen zur Abgeltung der stationären Leistungen vom Kanton und den Versicherern anteilsmässig übernommen, wobei der kantonale Anteil mindestens 55 Prozent beträgt.
2.2. Anstalten oder deren Abteilungen, die der stationären Behandlung akuter Krankheiten oder der stationären Durchführung von Massnahmen der medizinischen Rehabilitation dienen (Spitäler), sind zugelassen, wenn sie u.a. der von einem oder mehreren Kantonen gemeinsam aufgestellten Planung für eine bedarfsgerechte Spitalversorgung entsprechen, wobei private Trägerschaften angemessen in die Planung einzubeziehen sind (Art. 39 Abs. 1 lit. d KVG), und auf der nach Leistungsaufträgen in Kategorien gegliederten Spitalliste des Kantons aufgeführt sind (Art. 39 Abs. 1 lit. e KVG). Die Kantone koordinieren ihre Planung (Art. 39 Abs. 2 KVG); der Bundesrat erlässt einheitliche Planungskriterien auf der Grundlage von Qualität und Wirtschaftlichkeit (Art. 39 Abs. 2ter KVG).
3.
Unbestrittenermassen ist die Klinik A._ auf der Spitalliste des Kantons Graubünden, nicht aber auf derjenigen des Kantons Zürich aufgeführt. Des Weitern steht weder die Spitalplanung noch die Spitalliste des Kantons Graubünden (Stand Juli 2012; vgl. diesbezüglich Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. September 2015) zur Disposition. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob der Kanton Zürich sich auf die Mengenbeschränkung, die für die Leistungserbringerin in der Spitalliste des Standortkantons vermerkt ist, berufen und aus diesem Grund die (anteilsmässige) Vergütung von sogenannten "ausserkantonalen Wahlbehandlungen" seiner Einwohnerinnen und Einwohner (im Sinne von Art. 41 Abs. 1bis KVG) verweigern kann. Dies hat die Vorinstanz bejaht.
4.
4.1. Im Urteil 9C_151/2016, 9C_153/2016, 9C_155/2016 und 9C_507/2016 (nachfolgend vereinfacht: Urteil 9C_151/2016) vom 27. Januar 2017 (in: SVR 2017 KV Nr. 11 S. 49) befasste sich das Bundesgericht mit Mengenbeschränkungen in Leistungsaufträgen, die zwischen dem Kanton Genf und verschiedenen Genfer Privatkliniken abgeschlossen worden waren. Dabei rief es in Erinnerung, dass die ausserkantonale Wahlbehandlung unter dem seit 1. Januar 2009 geltenden Recht als Pflichtleistung der OKP zu qualifizieren (<ref-ruling> E. 3.3 S. 212 ff.) und es im Rahmen der Spitalplanung zulässig ist, in der Spitalliste respektive in Leistungsaufträgen eine quantitative Beschränkung der Leistungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 3 S. 408 ff.). Sodann analysierte es den Begriff des "Leistungsauftrags" und verwies auf die enge Verknüpfung von Spitalplanung, Erteilung von Leistungsaufträgen und Erstellung der Spitalliste. Weiter stellte es fest, dass sich die Genfer Spitalplanung und die entsprechenden Leistungsaufträge nur auf Leistungen im Rahmen der OKP für im Kanton Genf wohnende Versicherte bezogen und nur deren Bedarf deckten. Daraus schloss das Bundesgericht, dass die vom Kanton Genf festgelegten Mengenbeschränkungen für die ausserkantonale Wahlbehandlung der im Kanton Waadt wohnenden Versicherten in den betroffenen Genfer Privatkliniken keine Geltung hatten, mit anderen Worten sich der Kanton Waadt nicht darauf berufen konnte, um seine Leistungspflicht zu verneinen (Urteil 9C_151/2016 E. 6.1-7.3). Diese Rechtsprechung bestätigte das Bundesgericht in der Folge auch für die umgekehrte Konstellation (umstrittene Leistungspflicht des Kantons Genf bei Leistungsaufträgen mit Mengenbeschränkung des Standortkantons Waadt; Urteil 9C_617/2017 vom 28. Mai 2018 E. 5.2, in: SVR 2018 KV Nr. 26 S. 131; zum Ganzen nunmehr auch Urteil 9C_540/2018 vom 29. August 2019 E. 4.1, zur Publikation vorgesehen [nachstehend: Urteil 9C_540/2018]).
4.2. Aus der hier massgebenden Spitalliste des Kantons Graubünden, Stand Juli 2012, geht klar hervor - und wird denn auch von keiner Seite dem Grundsatze nach bestritten -, dass sich die darin festgehaltenen Kapazitätslimiten einzig auf die stationäre Behandlung von Einwohnerinnen und Einwohnern des Kantons Graubünden beziehen.
4.2.1. Der Beschwerdegegner bestreitet indessen - wie bereits im kürzlich ergangenen, hiervor erwähnten Urteil 9C_540/2018 (insbesondere dessen E. 4.2), welchem eine vergleichbare Konstellation zugrunde lag - die präjudizierende Bedeutung der soeben dargelegten Rechtsprechung (E. 4.1 hiervor) für Fälle wie den vorliegenden, weil in jenen Urteilen die Mengenbeschränkungen Leistungen des Akutbereichs beschlugen und in den jeweiligen Leistungsaufträgen festgelegt wurden. In casu hingegen betreffe die Limitierung Kapazitäten im Psychiatriebereich, zudem sei sie in der publizierten Spitalliste des Standortkantons Graubünden festgehalten. Somit sei die Klinik A._ nur mit fünf Betten zur Leistungserbringung im Rahmen der OKP zugelassen, welche Grenze stets und gleichermassen auch für ausserkantonale Patienten zu beachten sei. Andernfalls werde die Spitalplanung (mit Mengensteuerung bezüglich des Angebots) der anderen Kantone unterlaufen und sinnlos.
4.2.2. Dieser Argumentation ist - der Begründung im Urteil 9C_540/2018 (E. 4.3) folgend - entgegenzuhalten, dass nicht einleuchtet, inwiefern es im hier interessierenden Kontext von Bedeutung sein soll, ob sich die Mengenbeschränkung auf Leistungen (Fallzahlen) oder Kapazitäten (Pflegeplätze) respektive auf den Akut- oder Psychiatriebereich bezieht (vgl. Art. 58c KVV). So oder anders geht es um die Begrenzung des medizinischen Angebots und deren Tragweite. Angesichts der engen Verknüpfung von Spitalplanung, Erteilung von Leistungsaufträgen und Erstellung der Spitalliste (vgl. E. 2.2 und 4.1 hiervor; <ref-ruling> E. 7.1.1 S. 139) kann auch nicht entscheidend sein, ob die Mengenbeschränkung formell (nur) in einem Leistungsauftrag oder (auch) in der Spitalliste festgehalten wird. Anderweitige Gründe, weshalb die in E. 4.1 hiervor wiedergegebene bundesgerichtliche Praxis - die von der Vorinstanz nicht beachtet wurde - im konkreten Fall nicht einschlägig sein sollte, sind sodann nicht erkennbar.
5.
5.1. Sollten die Ausführungen des Beschwerdegegners (und - implizit - diejenigen des kantonalen Gerichts im angefochtenen Entscheid) eine Änderung der betreffenden Rechtsprechung bezwecken, ist darauf hinzuweisen, dass sich eine solche auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können muss. Diese müssen - vor allem im Hinblick auf das Gebot der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein, je länger die als falsch oder nicht mehr zeitgemäss erkannte Rechtsanwendung für zutreffend erachtet worden ist. Eine Praxisänderung lässt sich grundsätzlich nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis des Gesetzeszwecks, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht (<ref-ruling> E. 5.5.1 S. 303; <ref-ruling> E. 4.5 S. 541; je mit Hinweisen; Urteil 9C_540/2018 E. 4.4).
5.1.1. Das Bundesverwaltungsgericht hielt in E. 5.3.4 des vom Beschwerdegegner angerufenen Entscheids C-2112/2009 vom 31. Juli 2012 fest, dass eine Kapazitätsbeschränkung die Zulassung zur Erbringung von OKP-Leistungen als solche betreffe. Daraus ergibt sich nichts für die vorliegend im Fokus stehende Frage (E. 3 hiervor). In diesem Entscheid ging es nicht um die ausserkantonale Wahlbehandlung, sondern um einen rein "innerkantonalen" Sachverhalt. Zwar erwog das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 8.2 S. 67, dass für stationäre Behandlungen ausserhalb seines Leistungsauftrags ein Spital als nicht zugelassener Leistungserbringer gilt. In diesem Fall war aber die Zulassung als Leistungserbringer nicht hinsichtlich der Leistungsmenge, sondern nur in Bezug auf das Leistungsspektrum fraglich, weshalb die erwähnte Erwägung des <ref-ruling> hier ebenfalls nicht relevant ist. Die Auffassung, dass bei Überschreitung einer Mengenbeschränkung die Leistungserbringung zu Lasten der OKP gänzlich ausgeschlossen sein soll, steht im Übrigen im Widerspruch zur Rechtsprechung des Bundesgerichts im Zusammenhang mit der ausserkantonalen Wahlbehandlung einerseits (vgl. E. 4.1 hiervor) und der "innerkantonalen" Überschreitung einer Mengenbeschränkung anderseits (vgl. <ref-ruling> E. 3.10.3 S. 427, wonach die degressive Abgeltung von Leistungen, die eine kantonal vorgegebene Limite überschreiten, zulässig ist; vgl. auch Urteil 9C_617/2017 vom 28. Mai 2018 E. 5.2.2, in: SVR 2018 KV Nr. 26 S. 131).
5.1.2. Eine Mengenbeschränkung wie jene des Kantons Graubünden im Rahmen der kantonalen Spitalplanung ist sodann zwar zulässig (vgl. E. 4.1 hiervor mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.3 S. 212 ff.), indessen wird nicht (substanziiert) eine bundesrechtliche Vorgabe geltend gemacht, wonach eine quantitative Beschränkung überhaupt festgelegt werden müsste (vgl. Gebhard Eugster, Krankenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 657 Rz. 808, der eine solche Verpflichtung verneint). Ebenso wird nicht dargelegt, dass bei der kantonalen Versorgungsplanung zwecks Vermeidung einer Versorgungslücke der Bedarf der ausserkantonalen Bevölkerung im Rahmen von Art. 41 Abs. 1bis KVG zwingend einzurechnen sein soll (vgl. Art. 58b KVV, insbesondere dessen Abs. 3, wonach bei der Versorgungsplanung die ausserkantonale Wahlbehandlung der eigenen Bevölkerung vom Versorgungsbedarf abzuziehen ist). Vielmehr liegt es in der Natur der Sache, dass die den Kantonen obliegende Spitalplanung - mangels einer gemeinsam mit einem anderen Kanton aufgestellten Planung (vgl. Art. 39 Abs. 1 lit. d KVG) - auf die Versorgung der eigenen Wohnbevölkerung zielt (wobei die Frage, ob ein Kanton eine Mengenbeschränkung auch gegenüber ausserkantonalen Patienten festlegen darf, weiterhin offen bleiben kann; vgl. <ref-ruling> E. 3.8.1.3 S. 424; Urteil 9C_151/2016 E. 8). Die unterschiedlichen Auswirkungen einer Kapazitätslimite auf inner- und ausserkantonale Patienten ist somit sachlich gerechtfertigt und verstösst nicht gegen Art. 8 BV (so auch Urteil 9C_540/2018 E. 4.5).
5.1.3. Schliesslich berücksichtigte das Bundesgericht bereits in <ref-ruling>, dass der Gesetzgeber bei der Einführung von Art. 41 Abs. 1bis KVG im Wissen darum, dass zwischen der Spitalplanung nach Art. 39 KVG und der freien Spitalwahl nach Art. 41 Abs. 1bis KVG ein gewisser Widerspruch besteht und letztere die Planung erschwert, an beiden Instituten festhielt. Es erwog, dass unter diesen Umständen die Wirksamkeit einer quantitativen Beschränkung zwar mehr als zweifelhaft ist. Die freie Spitalwahl macht aber eine solche Limitierung nicht völlig unmöglich und sinnlos. Nach der allgemeinen Erfahrung gehen die Patienten mehrheitlich in die Spitäler in ihrer Nähe. Wenn wegen der quantitativen Beschränkung eine Behandlung innerhalb des Kantons (respektive der kantonalen Spitalliste) unmöglich ist, impliziert dies nicht, dass die Personen in jedem Fall ein ausserkantonales Spital aufsuchen (<ref-ruling> E. 3.7.3 und 3.7.4 S. 422 f.). Das angesprochene Spannungsverhältnis akzentuiert sich umso mehr, als sich der bundesrechtliche Grundsatz der freien Spitalwahl auf die ganze Schweiz erstreckt, während die Spitalplanung Sache der einzelnen Kantone ist, auch wenn das Bundesrecht eine Koordination vorschreibt und eine gemeinsam aufgestellte Planung zulässt (E. 2.2 hiervor). Dieser Problematik war sich das Bundesgericht auch beim Erlass der Urteile 9C_151/2016 vom 27. Januar 2017 und 9C_617/2017 vom 28. Mai 2018 (vgl. E. 4.1 hiervor) bewusst. Indessen entspricht es dem vom Gesetzgeber implementierten System, dass die ausserkantonale Wahlbehandlung ausserhalb der kantonalen Spitalplanung stattfindet (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 214; vgl. auch <ref-ruling> E. 7.1.2 und 7.2 S. 139 f.). Dabei gilt aber weder der Grundsatz der freien Spitalwahl noch die Aufnahmepflicht eines Listenspitals im Rahmen eines Leistungsauftrags uneingeschränkt (vgl. Art. 41 Abs. 1bis und Art. 41a KVG). Inwiefern die ausserkantonale Wahlbehandlung, mit der der interkantonale Wettbewerb gefördert werden sollte (vgl. <ref-ruling> E. 6.2.1 S. 337; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 213), angesichts der kantonalen Befugnis zur Planung (samt Mengensteuerung) sinnvoll ist oder zu krasser Wettbewerbsverzerrung führt, ist im Wesentlichen eine politische Frage (ebenso Urteil 9C_540/2018 E. 4.5).
5.2. Nach dem Gesagten ist kein ernsthafter Grund für die Änderung der in E. 4.1 hiervor dargelegten Rechtsprechung ersichtlich. Demnach kann der Kanton Zürich seine anteilsmässige Vergütung von ausserkantonalen Wahlbehandlungen nicht unter Berufung auf die Mengenbeschränkung, die für die Beschwerdeführerin in der Spitalliste des Kantons Graubünden, Stand Juli 2012, vermerkt ist, verweigern.
Die Beschwerde ist daher begründet und der angefochtene sozialversicherungsgerichtliche Entscheid wie auch der Einspracheentscheid der Gesundheitsdirektion vom 22. Januar 2014 sind aufzuheben.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 KVG). Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Es sind keine Gründe ersichtlich, diesbezüglich vom Pauschalansatz von Fr. 2800.- abzuweichen. Es erübrigt sich daher, der Beschwerdeführerin, wie von ihr beantragt, eine angemessene Frist zur Einreichung einer Kostennote anzusetzen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Mai 2018 und der Einspracheentscheid der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich vom 22. Januar 2014 werden aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Regierungsrat des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Oktober 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Fleischanderl