Erwägungen:
1.
1.1. A._, geboren am 16. Juni 1990, kosovarischer Staatsangehöriger, heiratete am 11. Dezember 2012 eine österreichische Staatsangehörige mit Wohnsitz im Kanton St. Gallen und erhielt gestützt darauf eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA mit Gültigkeit bis zum 16. Dezember 2017. Nachdem das Ehepaar eheschutzrichterlich am 12. Februar 2014 getrennt worden war, widerrief das Migrationsamt des Kantons St. Gallen am 8. August 2014 die Aufenthaltsbewilligung. Dagegen ergriff A._ die kantonalen Rechtsmittel. Während der Rechtshängigkeit des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht wurde die Ehe mit der österreichischen Staatsangehörigen am 6. Dezember 2016 geschieden und heiratete A._ am 13. Februar 2017 eine schweizerische Staatsangehörige mit Wohnsitz im Kanton Luzern, mit der er zwei vorehelich geborene gemeinsame Kinder hat. Am 16. Januar 2018 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die von A._ erhobene Beschwerde teilweise gut und wies die Angelegenheit zur Überprüfung bzw. Ergänzung des Sachverhalts hinsichtlich des Wohnsitzes von A._ an das Migrationsamt zurück. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil vom 22. Februar 2018 nicht ein (Urteil 2C_161/2018).
1.2. Am 20. April 2018 erliess das Migrationsamt des Kantons St. Gallen eine Feststellungsverfügung und hielt fest, dass der Kanton St. Gallen örtlich nicht zuständig sei für die Erteilung einer neuen Aufenthaltsbewilligung, da sich der Wohnsitz von A._ in Luzern befinde. Dagegen erhob A._ Rekurs an das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen und beantragte, es sei ihm weiterhin (im Kanton St. Gallen) eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen; zudem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Das Departement wies das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit am 16. Juli 2018 ab. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 25. Februar 2019 ab; zugleich wies es das für das verwaltungsgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab.
1.3. A._ erhebt mit Eingabe vom 29. März 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Antrag, unter Aufhebung der vorinstanzlichen Entscheide sei ihm für das Verfahren vor den kantonalen Instanzen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Zugleich beantragt er für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
2.
Streitgegenstand ist die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung im Rekursverfahren vor dem Sicherheits- und Justizdepartement. Dabei handelt es sich praxisgemäss um einen Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil verursachen kann, so dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (<ref-law>), sofern sie in der Hauptsache zulässig ist, was hier zutrifft (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), da der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise einen Anspruch auf eine Bewilligung geltend macht (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist einzutreten, sie erweist sich aber als offensichtlich unbegründet und kann im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> abgewiesen werden.
3.
3.1. Die ausländerrechtlichen Aufenthaltsbewilligungen werden von den Kantonen erteilt (<ref-law> [SR 142.20]). Personen mit einer Aufenthaltsbewilligung können ihren Wohnort innerhalb des Kantons, der die Bewilligung erteilt hat, frei wählen (<ref-law>). Die Bewilligungen gelten nur für das Gebiet des Kantons, der sie ausgestellt hat (Art. 66 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Wollen Personen mit einer Aufenthaltsbewilligung ihren Wohnort in einen anderen Kanton verlegen, müssen sie im Voraus eine Bewilligung des neuen Kantons beantragen (<ref-law>). Aus diesen Bestimmungen ergibt sich zwingend, dass der Wohnortskanton zuständig ist für die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung.
3.2. Nach den verbindlichen und unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz wohnt der Beschwerdeführer im Kanton Luzern bei seiner Ehefrau und seinen Kindern. Unter diesen Umständen ist offensichtlich nicht der Kanton St. Gallen, sondern der Kanton Luzern für die Erteilung der Aufenthaltsbewilligung zuständig. Zwar hat ursprünglich der Kanton St. Gallen die von ihm erteilte Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA widerrufen. Inzwischen besteht ein Aufenthaltsanspruch gestützt auf das Freizügigkeitsabkommen vom 21. Juni 1999 zwischen der Schweiz und der Europäischen Gemeinschaft und ihren Mitgliedstaaten (FZA; SR 0.142.112.681) aufgrund der Scheidung von der früheren österreichischen Ehegattin nicht mehr und ist die früher erteilte Aufenthaltsbewilligung im Kanton St. Gallen durch Zeitablauf erloschen (<ref-law>), so dass sich die Frage eines Widerrufs nicht mehr stellt. Es geht vielmehr um die Erteilung einer neuen Aufenthaltsbewilligung; diese kann nur vom aktuellen Wohnortskanton erteilt werden (vgl. Urteil 2C_1115/2015 vom 20. Juli 2016 E. 1.3.2), und zwar unabhängig davon, ob ein Bewilligungsanspruch auf die Ehe mit einer Schweizerin (<ref-law>) oder auf die frühere Ehe mit einer österreichischen Staatsangehörigen (<ref-law>) gestützt wird.
3.3. Der Beschwerdeführer ist der Meinung, es gehe um einen Kantonswechsel, so dass zuerst in einem "Hauptverfahren" im Kanton St. Gallen über die Bewilligung und erst anschliessend über einen Wechsel in den Kanton Luzern zu befinden sei. Dem kann nicht gefolgt werden: Ein Kantonswechsel im Sinne von Art. 37 Abs. 1 und 2 AIG setzt nach dem klaren Wortlaut dieser Bestimmungen eine bestehende Aufenthaltsbewilligung voraus. Daran fehlt es seit dem Erlöschen der früheren Bewilligung (16. Dezember 2017), also insbesondere auch im Zeitpunkt des erstinstanzlichen Entscheids des Migrationsamts (20. April 2018). Es kann daher kein "Hauptverfahren" im Kanton St. Gallen geben, an das sich ein Gesuch um Kantonswechsel im Kanton Luzern anschliessen würde.
3.4. Zu Unrecht beruft sich der Beschwerdeführer auf verschiedene bundesgerichtliche Urteile: Gemäss Urteil 2C_155/2014 vom 28. Oktober 2014 E. 3.2 kann sich die örtliche Zuständigkeit für die Durchführung des Widerrufsverfahrens im Laufe des Instanzenzugs nicht ändern; dieses Urteil betraf ein Verfahren betreffend Widerruf einer Niederlassungsbewilligung, welche im Unterschied zu einer Aufenthaltsbewilligung nicht durch Zeitablauf erlischt. Demgegenüber geht es hier nicht um ein Widerrufsverfahren, sondern um die Erteilung einer neuen Bewilligung. Im Urteil 2C_327/2010 vom 19. Mai 2011 war im bisherigen Aufenthaltskanton bereits die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung erstinstanzlich verweigert worden, bevor ein Gesuch um Kantonswechsel gestellt worden war. Aus dem Urteil geht nicht hervor, in welchem Zeitpunkt der Wohnsitz effektiv in den anderen Kanton verlegt worden war. Im Urteil 2C_691/2017 vom 18. Januar 2018 schliesslich ging es ebenfalls um den weiteren Bestand der bisherigen Niederlassungsbewilligung; die Frage der Zuständigkeit zur Erteilung einer allfälligen neuen Aufenthaltsbewilligung war nicht Verfahrensgegenstand und deshalb vom Bundesgericht nicht zu beurteilen (E. 1.2.2 und E. 4.3).
3.5. Angesichts dieser Rechtslage haben die Vorinstanzen mit Recht das Begehren, im Kanton St. Gallen eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen, als aussichtslos beurteilt und deshalb die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert.
4.
Aus den bereits genannten Gründen war die Beschwerde aussichtslos, so dass auch das vor Bundesgericht gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung abzuweisen ist (<ref-law>). Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. April 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger