Faits :
A.
A.a. A._, née en 1973 et mère de huit enfants (nés entre 1993 et 2010), a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité au mois de novembre 2005. Cette demande a été rejetée par l'Office cantonal AI du Valais (ci-après: l'office AI), qui a considéré qu'aucun élément médical objectif n'indiquait que la capacité de travail de l'assurée fût limitée (décision du 17 juillet 2007).
A.b. Au mois d'octobre 2013, A._ a présenté une nouvelle demande de prestations. Entre autres mesures d'instruction, l'office AI a sollicité des renseignements, notamment auprès des médecins traitants, puis soumis l'intéressée à une expertise bidisciplinaire auprès du Centre B._. Dans leur rapport du 31 mars 2017, la doctoresse C._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et le docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont retenu, en tant que diagnostics ayant une incidence sur la capacité de travail, un trouble de la personnalité émotionnellement labile type borderline (F60.31), un trouble dépressif récurrent, épisode actuel moyen sans syndrome somatique (F33.10), ainsi qu'un syndrome d'Ehlers-Danlos (SED) de type III ou syndrome d'hypermobilité articulaire bénigne (Q79.6). Ils ont conclu à une capacité de travail globale de 60 % dans toute activité adaptée aux limitations physiques et de 70 % dans les activités ménagères au propre domicile. Par décision du 1er juin 2018, l'office AI a reconnu le droit de l'assurée à un quart de rente d'invalidité dès le 1er mars 2017, fondé sur un taux d'invalidité de 40 %, assorti de cinq rentes pour enfant.
B.
Statuant le 3 septembre 2020 sur le recours formé par l'assurée contre la décision du 1er juin 2018, le Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, l'a rejeté.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. En substance, elle conclut principalement à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité depuis le 1 er mars 2017. Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à l'office AI pour nouvelle décision dans le sens des considérants. L'assurée sollicite également le bénéficie de l'assistance judiciaire.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
L'assurée a encore déposé des observations.

Considérant en droit :
1.
1.1. Dans le cadre de ses observations, la recourante a fait parvenir une nouvelle pièce au Tribunal fédéral, hors du délai de recours, mais pour compléter celui-ci. Cette pièce est irrecevable (<ref-law>).
1.2. Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'<ref-law>, et statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2). On rappellera, en particulier, qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 6.1). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.4).
3.
3.1. Compte tenu des conclusions et motifs du recours, le litige porte sur l'étendue du droit de l'assurée à une rente d'invalidité depuis le 1er mars 2017 (droit à une rente entière en lieu et place du droit à un quart de rente reconnu par l'office intimé et confirmé par les premiers juges) dans le cadre de la nouvelle demande de prestations qu'elle a déposée en octobre 2013.
3.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels en matière, notamment, de révision de la rente d'invalidité, applicables par analogie à l'examen matériel d'une nouvelle demande de prestations (<ref-law>, art. 87 al. 2 et 3 RAI; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 5; <ref-ruling> consid. 3.5.2; <ref-ruling> consid. 3 et les références), ainsi que ceux relatifs à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3) et à la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA). Il suffit d'y renvoyer.
4.
En se fondant sur le rapport d'expertise du 31 mars 2017, auquel elle a accordé une pleine valeur probante, la juridiction de première instance a constaté que la recourante présentait une capacité résiduelle de travail de 60 % dans toute activité adaptée. Elle a ensuite considéré que les avis émis par les médecins traitants de l'assurée ne permettaient pas de remettre en cause les conclusions des experts du Centre B._. En conséquence, elle a nié le droit de l'assurée à une rente d'invalidité supérieure à un quart dès le 1er mars 2017.
5.
5.1. Sur le plan psychique, la recourante se réfère tout d'abord à un rapport de la doctoresse E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie d'enfants et d'adolescents, établi le 29 août 2017. Elle se limite cependant à indiquer que la psychiatre traitante avait diagnostiqué un trouble dépressif sévère réactionnel à sa maladie somatique, et que, dans la mesure où son état de santé somatique s'était aggravé, il en allait inévitablement de même de ses troubles psychiques. Il s'agit d'une affirmation qui n'est pas étayée plus avant, la recourante ne faisant pas état d'éléments cliniques ou diagnostiques concrets et objectifs qui auraient été ignorés par la juridiction cantonale ou qui seraient susceptibles d'établir le caractère arbitraire de son appréciation. L'instance précédente a en effet apprécié l'avis divergent de la doctoresse E._ et expliqué qu'il ne contenait aucune description clinique et que les diagnostics retenus ne reposaient sur aucun élément objectif, de sorte qu'il n'était pas possible de lui reconnaître une valeur prépondérante par rapport à l'avis de l'expert D._.
5.2.
5.2.1. Sur le plan somatique, ensuite, la recourante reproche essentiellement aux premiers juges d'avoir considéré que le docteur F._, médecin praticien, avait retenu le même diagnostic que la doctoresse C._ du Centre B._. Elle soutient que le diagnostic de SED hypermobile de type V posé par le docteur F._ (rapport du 22 janvier 2018) est différent du SED de type III ou syndrome d'hypermobilité articulaire diagnostiqué par la doctoresse C._ et que les diagnostics retenus par ces deux médecins n'entraînent pas les mêmes troubles douloureux et fonctionnels et n'ont donc pas les mêmes conséquences sur la capacité de travail.
L'argumentation de l'assurée ne peut pas être suivie. La juridiction cantonale a en effet dûment retenu, en se référant aux explications mêmes du docteur F._ sur ce point, qu'un SED de type III correspond à un SED hypermobile de type V selon la nouvelle classification, si bien qu'il s'agit de la même entité, avec pour conséquence qu'il n'y avait pas de divergence diagnostique entre le docteur F._ et la doctoresse C._ sur ce point. En particulier, les troubles douloureux irréductibles et les impotences fonctionnelles multiples dont le docteur F._ a fait état et qu'il a décrits comme étant compris dans le diagnostic de SED de type V, avaient déjà été retenus par la doctoresse C._, qui avait diagnostiqué des troubles douloureux irréductibles secondaires au SED de type III et des impotences fonctionnelles multiples, dépassant le substrat étiologique défini (R52.1). L'experte avait alors expliqué de manière circonstanciée les raisons pour lesquelles une partie de ces troubles avait une origine à la fois psychogène et somatique et ne pouvait être attribuée à la pathologie somatique.
Quant à l'hémiparésie de la jambe droite nécessitant le port d'attelles de maintien mise en évidence par le docteur F._ (rapport du 28 août 2017), l'intéressée n'indique pas en quoi cette atteinte à la santé entraînerait des limitations fonctionnelles qui auraient été ignorées par les experts du Centre B._ et, à leur suite, par les premiers juges. On constate à cet égard que la recourante a en particulier bénéficié d'orthèses de la jambe droite dès le mois de mars 2017 (communications des 30 mars 2017 et 23 janvier 2018), ce dont la doctoresse C._ a dûment tenu compte lors de son évaluation.
5.2.2. C'est également en vain que la recourante se réfère au rapport du docteur G._ et de la doctoresse H._, tous deux médecins au Département de l'appareil locomoteur du service de rhumatologie de l'Hôpital I._, et de la physiothérapeute J._, du 28 juin 2018. En premier lieu, contrairement à ce qu'elle soutient, la juridiction de première instance n'a pas "écarté" ce rapport, mais l'a apprécié en indiquant pourquoi ces médecins ne décrivaient pas une situation différente de celle prise en considération par les experts du Centre B._. Dans la mesure ensuite où elle se contente d'affirmer que "[s]a situation médicale [...] n'était plus la même que celle lors [...] de l'expertise du Centre B._", l'assurée ne met pas en évidence d'éléments cliniques ou diagnostiques nouveaux. En effet, la doctoresse H._ a fait état de lésions observées cliniquement et à l'imagerie qui étaient attendues dans le SED et banales. Elle a certes relevé un déconditionnement musculaire global, mais prescrit une rééducation, ce qui parlait en faveur d'un problème réversible, comme l'avait au demeurant également constaté le docteur K._ du Service médical régional de l'AI (SMR; rapport du 5 octobre 2018).
Quant au rapport relatif à la rééducation prescrite par la doctoresse H._, qui a eu lieu en milieu hospitalier du 31 juillet au 10 août 2018 (rapport des docteurs L._ et M._ et de la doctoresse N._, tous trois médecins au service de médecine physique et réadaptation du département de gériatrie, réadaptation et soins palliatifs de l'Hôpital O._, du 23 août 2018), il n'est pas déterminant en l'espèce. Outre le fait que la recourante invoque cette hospitalisation sans en déduire un grief précis, le séjour hospitalier a eu lieu postérieurement à la date de la décision administrative litigieuse du 1er juin 2018. Le rapport y relatif porte donc sur des faits survenus ultérieurement qui ne sont pas de nature à influencer l'appréciation au moment où cette décision a été rendue (sur la période temporelle circonscrivant l'état de fait déterminant pour le jugement du 3 septembre 2020, cf. <ref-ruling> consid. 4.3.1; <ref-ruling> consid. 3.1.1; cf. aussi arrêt 9C_34/2017 du 20 avril 2017 consid. 5.2 et les références). Au demeurant, les docteurs L._ et M._, ainsi que la doctoresse N._, ont seulement préconisé la poursuite de la physiothérapie en piscine et constaté que les objectifs de reprise d'activité avaient été abandonnés ou non atteints car l'assurée avait demandé à rentrer à son domicile. On ajoutera qu'il est loisible à l'assurée de faire valoir une éventuelle aggravation de son état de santé pour la période postérieure à la décision administrative litigieuse, en s'adressant à nouveau à l'assurance-invalidité.
5.2.3. La recourante ne peut pas davantage être suivie lorsqu'elle reproche à la juridiction cantonale de ne pas avoir tenu compte de la baisse progressive de l'acuité visuelle mise en évidence par le docteur P._, spécialiste en ophtalmologie et ophtalmochirurgie (rapport du 22 décembre 2017). Les premiers juges ont en effet expliqué que l'office intimé avait complété la liste de limitations fonctionnelles retenues par les experts du Centre B._ afin de tenir compte de cette nouvelle atteinte à la santé en février 2018, après avoir sollicité l'avis du docteur K._ du SMR (avis du 8 février 2018).
6.
6.1. La recourante reproche encore aux premiers juges d'avoir considéré que l'octroi de moyens auxiliaires par l'assurance-invalidité n'était pas contradictoire et ne démontrait pas nécessairement une aggravation de son état de santé.
Cette argumentation est mal fondée. A la suite des premiers juges, on rappellera que le droit à des moyens auxiliaires et le droit à une rente d'invalidité répondent à des conditions différentes, si bien qu'une décision positive pour les premières prestations ne préjuge pas de l'issue de la procédure relative à la rente (arrêt 9C_319/2019 du 16 août 2019 consid. 6.3). La recourante se limite à affirmer que la juridiction cantonale ne pouvait pas considérer que les moyens auxiliaires qui lui ont été accordés depuis 2016 (dont des orthèses, un fauteuil roulant électrique pour l'intérieur avec deux rampes de chargement pour la voiture, ainsi que des modifications pour le véhicule à moteur; communications des 14 décembre 2016, 30 mars et 2 octobre 2017, 23 janvier et 11 juin 2018, ainsi que des 18 et 28 janvier 2019) n'avaient aucune répercussion sur sa capacité de travail résiduelle de 60 %. Elle ne se fonde cependant pas sur des éléments remettant concrètement en cause la capacité résiduelle de travail médicalement attestée. Au demeurant, comme l'a dûment exposé la juridiction de première instance, lesdits moyens auxiliaires devaient au contraire permettre l'amélioration de l'autonomie de l'assurée et, partant, de sa capacité à accomplir une activité professionnelle.
Quant au fait que l'assurée a présenté une demande d'allocation pour impotent le 11 juin 2018, il s'agit d'une circonstance qui n'avait pas à être prise en considération par le Tribunal cantonal, dès lors déjà que les notions d'invalidité et d'impotence sont distinctes et entraînent des conséquences indépendantes sur le plan des prestations (<ref-ruling> consid. 4.3; cf. aussi arrêt 9C_707/2019 du 13 mai 2020 consid. 6.2).
6.2. Enfin, la recourante ne peut rien non plus tirer en sa faveur de la circonstance invoquée que quatre de ses enfants seraient également atteints de la maladie d'Ehlers-Danlos et percevraient une demi-rente de l'assurance-invalidité alors même qu'ils seraient "moins atteints dans leur santé" qu'elle. L'évaluation de l'invalidité de chaque personne assurée doit être faite en fonction des circonstances propres à celle-ci.
7.
Compte tenu de ce qui précède, il n'y a pas lieu de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale. Le recours est mal fondé.
8.
Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par la recourante qui succombe (<ref-law>). Elle a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Dès lors que les conditions d'octroi en sont réalisées (<ref-law>), l'assistance judiciaire lui est accordée.
La recourante est rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, si elle retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est admise et Me Michel De Palma est désigné comme avocat d'office de la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2800 fr. est allouée à l'avocat de la recourante à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 juillet 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud