Sachverhalt:
A.
A.a. C._ und A._ sind die Töchter des 2018 verstorbenen D._ (Erblasser). Gemäss öffentlicher letztwilliger Verfügung vom 5. August 2011 erben diese den Nachlass je zur Hälfte. Das öffentliche Testament enthält weiter ein Vermächtnis (Barlegat) von Fr. 200'000.-- zu Gunsten von B._, der Tochter von C._.
A.b. Nach durchgeführtem Schlichtungsverfahren reichte B._ am 12. Juni 2019 beim Richteramt Olten-Gösgen Klage ein gegen ihre Tante A._. Sie beantragte, die Beklagte sei als solidarisch haftende Erbin zu verurteilen, ihr den als Vermächtnis ausgerichteten Betrag von Fr. 200'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit wann rechtens zu Lasten des Nachlasses von D._ zu bezahlen. Mit Urteil vom 11. März 2020 verpflichtete das Richteramt A._ den Betrag von Fr. 200'000.-- zu bezahlen.
B.
Mit Urteil vom 3. Dezember 2020 (eröffnet am 8. Dezember 2020) wies das Obergericht des Kantons Solothurn die hiergegen erhobene Berufung von A._ ab.
C.
A._ (Beschwerdeführerin) wendet sich mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. Januar 2021 an das Bundesgericht. Sie verlangt in Aufhebung des Urteils vom 3. Dezember 2020 die Vermächtnisklage von B._ (Beschwerdegegnerin) abzuweisen. Eventuell sei die Sache zu neuer Entscheidung ans Obergericht zurückzuweisen, alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid betrifft die Ausrichtung eines Vermächtnisses (Art. 562 Abs. 3 und Art. 601 ZGB) und damit eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit, deren Streitwert laut obergerichtlichen Feststellungen Fr. 200'000.-- beträgt und damit die für die Beschwerde in Zivilsachen vorausgesetzte Mindestsumme von Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG; Urteile 5A_412/2017 vom 8. Januar 2018 Bst. C und E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_715/2009 vom 14. Dezember 2009 Bst. A und E. 1). Der Entscheid ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (Art. 75 BGG), lautet zum Nachteil der Beschwerdeführerin (Art. 76 Abs. 1 BGG) und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 90 BGG). Auf die im Weiteren fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 46 Abs. 1 Bst. c sowie Art. 45 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde kann eingetreten werden.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung muss zudem in der Beschwerde an das Bundesgericht selbst enthalten sein; ein Verweis auf frühere Rechtsschriften genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (vgl. Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG (z.B. Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1, 317 E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3). Dieselben Voraussetzungen gelten für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2).
3.
Strittig ist, ob die Vorinstanzen die Beschwerdeführerin allein zur Zahlung des Vermächtnisses verurteilen durften, obgleich die Beschwerdegegnerin beantragt hatte, diese "als solidarisch haftende Erbin" zur Zahlung eines entsprechenden Betrags "zu Lasten des Nachlasses" zu verurteilen.
3.1. Die Vorinstanz erwägt, das Begehren der Beschwerdegegnerin enthalte nicht nur die gewünschte Rechtsfolge, sondern mit den Hinweisen auf die solidarische Haftung sowie das "Vermächtnis (...) zu Lasten des Nachlasses" auch Elemente der Begründung. Aus der Klagebegründung und dem Gesamtzusammenhang ergebe sich in Verbindung mit dem Rechtsbegehren klar, dass die Beschwerdegegnerin die Beschwerdeführerin als Solidarschuldnerin ins Recht fassen wollte. Im Weiteren seien die Rechtsfolgen gesetzlich geregelt: Gemäss Art. 143 Abs. 1 OR hafte eine Solidarschuldnerin gegenüber der Gläubigerin persönlich für die Erfüllung der ganzen Schuld. Nach Art. 144 Abs. 1 OR könne die Gläubigerin nach ihrer Wahl von allen Solidarschuldnerinnen je nur einen Teil oder das Ganze fordern und nach Absatz 2 blieben sämtliche Schuldnerinnen so lange verpflichtet, bis die ganze Forderung getilgt sei. Genau in diesem Sinne habe die Beschwerdegegnerin beim Richteramt Olten-Gösgen verlangt, dass die Beschwerdeführerin persönlich verpflichtet werde, ihr den Betrag von Fr. 200'000.-- zu bezahlen, das heisst den gesamten vom Erblasser vermachten Betrag. Etwas anderes könne, ohne in überspitzten Formalismus zu verfallen, nicht in ihr Rechtsbegehren hineininterpretiert werden. Das klar, eindeutig und in aller Kürze formulierte Urteilsdispositiv entspreche somit (bis auf den zusätzlich ebenfalls noch beantragten, aber nicht zugesprochenen Zins) dem Rechtsbegehren der Beschwerdegegnerin. Eine Verletzung des Dispositionsgrundsatzes (Art. 58 Abs. 1 ZPO) sei nicht auszumachen.
3.2. Die Beschwerdeführerin verweist auf den Urteilsspruch des Richteramts vom 11. März 2020, dessen Ziffer 1 die Beschwerdeführerin dazu verpflichtete, den Vermächtnisbetrag von Fr. 200'000.-- aus ihrem eigenen, persönlichen Vermögen zu bezahlen. Hätte die Beschwerdegegnerin diese Rechtsfolge gewollt, hätte sie den Zusatz "zu Lasten des Nachlasses des Erblassers" nicht in ihr Rechtsbegehren Ziffer 1 gemäss Klage vom 12. Juni 2019 aufnehmen dürfen. Bei einer auf Zahlung einer bestimmten Geldsumme gerichteten Forderungsklage müsse klar ersichtlich sein, aus welchem Vermögen die Zahlung bzw. welcher Mittelfluss zu erfolgen habe, und zwar aus dem Klagebegehren selber. Die Klagebegründung und ein "Gesamtzusammenhang" könnten ein unklar oder gar widersprüchlich formuliertes, anwaltlich abgefasstes Klagebegehren nicht heilen. Die ins Recht gefasste Partei dürfe darauf vertrauen, dass nur über die gestellten Rechtsbegehren entschieden werde. Mit überspitztem Formalismus habe dies nichts zu tun. Auch liege kein Anwendungsfall von Art. 58 Abs. 2 ZPO vor.
3.3. Das Gericht darf einer Person nicht mehr und nichts anderes zusprechen, als sie verlangt, und nicht weniger, als die Gegenpartei anerkannt hat (Dispositionsgrundsatz; Art. 58 Abs. 1 ZPO). Sowohl das Urteil wie die Rechtsbegehren sind dabei, wie alle prozessualen Handlungen, am Grundsatz von Treu und Glauben zu messen (Art. 52 ZPO; vgl. Urteile 4A_104/2021 vom 3. Mai 2021 E. 2.3; 4A_653/2018 und 4A_657/2018 vom 14. November 2019 E. 6.3). Vor diesem Hintergrund ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das Rechtsbegehren der Beschwerdegegnerin unter Rückgriff auf dessen Begründung und mit Blick auf die Umstände des konkreten Falls dahingehend verstanden hat, dass sie von der Beschwerdeführerin persönlich Fr. 200'000.-- fordert. Die Aussage in der Klage, dass der Betrag zu Lasten des Nachlasses geht, betrifft sodann den Rechtsgrund und meint nicht, dass die persönliche Haftung der Beschwerdeführerin ausscheiden würde. Welche Vermögenswerte die Beschwerdeführerin zur Befriedigung dieser Forderung verwendet, ist ohne Belang. Entsprechend ist auch keine Verletzung des Dispositionsgrundsatzes auszumachen, wenn das Gericht, wie von der Vorinstanz dargelegt, den Hinweis auf den Nachlass im Dispositiv des Urteils weggelassen hat.
4.
Weiter umstritten ist die Passivlegitimation der Beschwerdeführerin, die als einzige der beiden Erbinnen eingeklagt wurde.
4.1. Die Vorinstanz erwägt, dass die Vermächtnisnehmer gegen die gesetzlichen oder eingesetzten Erben einen persönlichen Anspruch haben (Art. 562 Abs. 1 ZGB). Für Schulden des Erblassers seien die Erben solidarisch haftbar (Art. 603 Abs. 1 ZGB). Die Solidarhaftung gelte auch für Vermächtnisse, soweit diese vom Erblasser nicht einem oder mehreren bestimmten Erben auferlegt worden seien. Diese Auffassung werde von der überwiegenden Lehre und vom Bundesgericht geteilt.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet dagegen ein, dass das fragliche Vermächtnis den beiden Nachkommen des Erblassers als zwei bestimmten Erbinnen auferlegt worden sei. Etwas anderes lasse sich aus der öffentlichen letztwilligen Verfügung vom 5. August 2011 nicht ableiten. Es sei deshalb nicht nachvollziehbar, weshalb die Vorinstanz die Solidarhaft von Art. 603 Abs. 1 ZGB im Widerspruch zur eigenen Argumentation heranziehe. Im Weiteren setze sich die Vorinstanz mit keinem Wort mit der Notwendigkeit des von ihr gezogenen Analogieschlusses auseinander.
Art. 603 Abs. 1 ZGB halte fest, dass für die Schulden des Erblassers die Erben solidarisch haften. In dieser Bestimmung sei nicht die Rede von Schulden der Erben. Die Haftung von Art. 603 Abs. 1 ZGB könne nicht entgegen dem klaren Wortlaut auf Schulden der Erben ausgedehnt werden. Die Vorinstanz würdige Art. 562 Abs. 1 ZGB mit keinem Wort. Der weitere Hinweis auf Art. 560 Abs. 2 ZGB (Erwerb der Erbschaft) gehe schon aufgrund der Gesetzessystematik fehl.
Die Rechtsprechung begründe die Ausdehnung des Grundsatzes der Solidarhaftung nach Art. 603 Abs. 1 ZGB auf die Ausrichtung von Vermächtnissen im Wesentlichen mit dem Gläubigerschutz, wobei die nicht zur Erbengemeinschaft gehörenden Gläubiger angesprochen seien. Die Beschwerdegegnerin sei zwar nicht Erbin. Es bestehe aber weder Anlass noch Bedarf, der Beschwerdegegnerin einen besonderen vom Wortlaut der Art. 562 Abs. 1 und Art. 603 Abs. 1 ZGB abweichenden Gläubigerschutz zukommen zu lassen. Es komme hinzu, dass die Gläubiger des Erblassers mit ihren Ansprüchen den Vermächtnisnehmern vorgehen (Art. 564 Abs. 1 ZGB) und dass die Beschwerdegegnerin selbst die Ausrichtung des Vermächtnisses zu Lasten des Nachlasses verlangt habe, obwohl das Vermächtnis keine Schuld des Erblassers, sondern der Erben sei.
Schliesslich wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, sich nicht explizit mit der Frage auseinandergesetzt zu haben, ob die beiden gesetzlichen Erbinnen eine notwendige (Art. 70 ZPO) oder eine einfache Streitgenossenschaft (Art. 71 ZPO) bilden. Im vorliegenden Fall seien durch das fragliche Barlegat beide Erbinnen beschwert. Ob das vom Erblasser ausgerichtete Vermächtnis gestützt auf den Ehe- und Erbvertrag vom 27. Februar 1991 gültig sei oder nicht, habe Wirkung für beide Erbinnen. Es stehe die Belastung beider Erbanteile durch das Vermächtnis in Frage. Es gehe damit nicht um gleichartige Tatsachen oder Rechtsgründe im Sinn von Art. 71 Abs. 1 ZPO, sondern um die Beteiligung der beiden Erbinnen am gleichen Rechtsverhältnis (Vermächtnisbeschwerung), über das nur mit Wirkung für beide Erbinnen entschieden werden könne. Für die Vermächtnisklage sei nach zu bejahender herrschender Lehre die Gesamtheit der Erben als notwendige Streitgenossenschaft passivlegitimiert. Dies gelte erst recht, wenn, wie hier, die Ausrichtung des Legats zu Lasten des Nachlasses des Erblassers verlangt werde. Mit dem Klagebegehren der Beschwerdegegnerin hätten die beiden Erbinnen als Gesamthandsgemeinschaft zu entscheiden, aus welchen Vermögenswerten des Nachlasses das Barlegat auszurichten sei. Reichten die im Nachlass vorhandenen liquiden Mittel nicht aus, um das Barlegat auszurichten, hätten die Erbinnen als Gesamthandsgemeinschaft gemeinsam zu entscheiden, welche weiteren oder anderen Vermögenswerte zur Barauszahlung des Vermächtnisses liquidiert bzw. versilbert werden müssten, was bei Kurs- und Wertschwankungen dazu führen könnte, dass die Pflichtteilsansprüche der gesetzlichen Erbinnen nicht mehr gewahrt seien und somit das Vermächtnis der Herabsetzung unterliegen würde. Sei im Nachlass genügend Liquidität vorhanden, hätten die Erbinnen als Gesamthandsgemeinschaft gemeinsam über den konkreten Mittelfluss zu entscheiden.
4.3.
4.3.1. Vor Bundesgericht ist die Gültigkeit des Vermächtnisses zugunsten der Beschwerdegegnerin nicht (mehr) in Frage gestellt. Umstritten ist hingegen, ob die beiden Schwestern als gesetzliche Erbinnen eine notwendige Streitgenossenschaft bilden bzw. ob die Beschwerdegegnerin das Vermächtnis in Form eines Barlegats von Fr. 200'000.-- von der Beschwerdeführerin allein einfordern durfte. Dabei erweist es sich von vornherein als unbegründet, wenn die Beschwerdeführerin auch in diesem Zusammenhang darauf verweist, dass nur sie belangt wurde (vgl. vorne E. 3).
4.3.2. Nach Art. 603 Abs. 1 ZGB sind die Erben für die Schulden des Erblassers solidarisch haftbar. Der italienische Gesetzestext spricht im Unterschied zur deutschen und französischen Fassung von solidarischer Haftung der Erben "per i debiti della successione". Das Gesetz ist in der Frage der Schuldenhaftung mit Rücksicht auf die Gläubiger vom sonst massgebenden Prinzip der gesamten Hand abgewichen. Die Gläubiger sollen nach dem Tod des Erblassers nicht eine Mehrheit von Schuldnern belangen müssen, sondern sich für die ganze Forderung nach ihrer Wahl an einen einzelnen oder an mehrere Erben halten können, wobei es dann Sache der belangten Erben ist, auf ihre Miterben Rückgriff zu nehmen (<ref-ruling> E. 2).
Das Bundesgericht hat den Grundsatz der Solidarhaftung auf die Ausrichtung von Vermächtnissen ausgedehnt, obwohl es sich dabei streng genommen nicht um Schulden des Erblassers, sondern der Erben handelt (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 5A_881/2012 vom 26. April 2013 E. 5.1). Es besteht auch mit Blick auf die Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht der geringste Anlass, auf diese Rechtsprechung, die von der Lehre befürwortet wird (statt vieler: DANIEL ABT, in: Abt/Weibel, Praxiskommentar Erbrecht, 4. Auflage, 2019, N. 9 zu Art. 601 ZGB), zurückzukommen. Entsprechend hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie davon ausgegangen ist, dass die gesetzlichen Erbinnen keine notwendige passive Streitgenossenschaft (Art. 70 ZPO) für die Vermächtnisklage bilden und die Beschwerdeführerin als solidarisch Verpflichtete für das ganze Barlegat von Fr. 200'000.-- einstehen muss (Art. 144 OR). Ob Gleiches gilt, wenn die Vermächtnisklage eine bestimmte Sache betrifft, kann offen bleiben.
4.4. Unbeachtlich ist schliesslich auch das zumindest sinngemäss vorgetragene Argument der Beschwerdeführerin, wonach der Erblasser nicht gewollt habe, dass sie allein das Vermächtnis ausrichten müsse. Die Frage berührt die Auslegung der letztwilligen Verfügung. Das Bundesgericht überprüft diese frei. Es ist indessen an die tatsächlichen Feststellungen gebunden, aus denen sich der innere Wille des Erblassers ergibt (<ref-ruling> E. 2 [einleitend]; <ref-ruling> E.3 a; <ref-ruling> E. 2a, mit Hinweisen). Im vorliegenden Fall ist nicht auszumachen, inwiefern die Vorinstanz das Testament falsch verstanden hätte. Daran ändert auch nichts, dass der Erblasser möglicherweise nicht damit gerechnet hat, dass sein Grosskind nur ihre Tante ins Recht fassen und ihre Mutter "schonen" würde. Der Rechtsschutz der Beschwerdeführerin ist anderweitig ausreichend gewahrt und niemand hinderte diese daran, ihrer Schwester den Streit zu verkünden (Art. 78 ff. ZPO). Im Übrigen behauptet die Beschwerdeführerin nicht, geschweige denn erbringt sie den Nachweis dafür, dass sie wegen der Ausrichtung des Vermächtnisses ihren Pflichtteil nicht erhält.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Die Beschwerdeführerin wird damit kostenpflichtig (Art. 65 Abs. 1 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist mangels Einholung einer Vernehmlassung keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 7. Januar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber