Ritenuto in fatto e considerando in diritto:
1.
Con petizione 1° giugno 2006 la A._ SA ha convenuto in giudizio innanzi al Tribunale di appello del Cantone Ticino la B._ SA, chiedendo, fra l'altro, che quest'ultima fosse condannata al pagamento di almeno fr. 863'744.55, importo aumentato nelle conclusioni a fr. 2'392'535.46.--. La B._ SA ha proposto l'integrale reiezione dell'azione. La III Camera civile del Tribunale di appello ha, con sentenza 1° febbraio 2022, parzialmente accolto la petizione e ha condannato la convenuta a versare all'attrice fr. 410'177.57.
2.
Con ricorso del 1° marzo 2022 la A._ SA postula la riforma della sentenza cantonale nel senso che la convenuta sia condannata a versarle fr. 2'392'535.46.--.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti.
3.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio e con piena cognizione l'ammissibilità di un rimedio giuridico che gli viene sottoposto (<ref-ruling> consid. 2, con rinvii; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1).
3.1. Secondo l'<ref-law> sono ammissibili ricorsi in materia civile contro decisioni pronunciate da ultime istanze cantonali. Queste devono essere tribunali superiori e giudicare su ricorso (<ref-law>), fatte salve le eccezioni previste dall'art. 75 cpv. 2 lett. a-c LTF (<ref-ruling> consid. 4.1).
Nella fattispecie la petizione è stata direttamente inoltrata al Tribunale di appello ticinese in applicazione dell'art. 302 cpv. 1 secondo periodo CPC/TI. Tale norma permetteva di proporre, senza l'accordo delle parti, direttamente alla Camera civile del tribunale di appello, quale prima istanza, le cause di natura patrimoniale con un valore di lite superiore a fr. 200'000.--. Ora, contrariamente a quanto ritiene la ricorrente, non siamo quindi in presenza dell'eccezione prevista dall'art. 75 cpv. 2 lett. c LTF, poiché questa norma presuppone, oltre a un valore litigioso di almeno fr. 100'000.--, pure che l'azione sia stata proposta direttamente all'ultima istanza cantonale con il consenso di tutte le parti, condizione che la ricorrente non afferma essersi verificata in concreto. Il ricorso si rivela pertanto inammissibile, perché non è diretto contro una decisione emanata su ricorso e non è data nessuna delle deroghe previste dall'<ref-law> (sentenza 4A_691/2016 del 6 aprile 2017 consid. 1.1). Non soccorre la ricorrente nemmeno aver presentato, per l'eventualità che il ricorso in materia civile non dovesse rivelarsi ammissibile, un ricorso sussidiario in materia costituzionale: giusta l'<ref-law> anche a questo rimedio di diritto si applicano - per analogia - le disposizioni dell'<ref-law> concernenti le autorità cantonali inferiori.
3.2. Con l'adozione della LTF il diritto federale ha imposto ai Cantoni l'esigenza, tranne eccezioni che in concreto non si realizzano, di una doppia istanza (<ref-law>; DTF <ref-ruling> consid. 1.6) e ha assegnato loro un termine, scaduto il 1° gennaio 2011 con l'entrata in vigore del diritto processuale civile unificato, per adeguare la loro legislazione (<ref-law>).
Spetta quindi al Cantone Ticino fare in modo che le sentenze, emanate in prima e unica istanza dal Tribunale d'appello ticinese in applicazione dell'<ref-law>/TI senza l'accordo delle parti, possano essere oggetto di un ricorso presso un tribunale cantonale superiore. Quest'ultimo può consistere in un'altra Camera del medesimo Tribunale di appello, composta di altri giudici. Provvedendo ad instaurare un'organizzazione giudiziaria tale da soddisfare l'esigenza della doppia istanza prevista dall'<ref-law>, il Cantone Ticino dovrà fare in modo che l'autorità che precede immediatamente il Tribunale federale abbia almeno la facoltà di esaminare le censure di cui agli art. 95-98 LTF (<ref-law>; DTF <ref-ruling> consid. 1.6). A tal fine l'incarto viene ritornato alla III Camera civile del Tribunale di appello ticinese, affinché lo faccia pervenire a un tribunale superiore competente per giudicare in seconda istanza conformemente all'<ref-law>.
4.
Le parti non sono responsabili del mancato adeguamento della legislazione cantonale al diritto federale. Per tale motivo non si prelevano spese giudiziarie.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
La causa è rinviata all'autorità inferiore.
3.
Non si prelevano spese giudiziarie.
4.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.