Faits :
A.
A.a. Par contrat du 1er octobre 2008, Hôpital B._ a engagé A._ en qualité de médecin-chef, responsable du service de gastro-entérologie, dès le 17 novembre 2008, pour un salaire annuel brut de 184'920 fr. versé douze fois l'an. S'agissant de la rémunération, le contrat de travail précisait en outre ce qui suit:
" A ce salaire s'ajoutent:
- les rétrocessions sur honoraires pour P1 et P2 qui correspondent aux CPH majoré (x2) moins une déduction de 40% en faveur de l'Hôpital B._.
- Les revenus de toute votre activité ambulatoire sur la base du point médical Tarmed majoré (x2), sans autres frais administratifs ou autre.
- Les piquets qui sont rémunérés à raison de Sfrs 100.- par 24 heures.
Durant les trois premières années de votre activité, nous vous garantissons un complément de votre revenu, au départ incertain, de façon à ce que votre revenu brut total soit de Sfrs 300'000.- par an pour l'ensemble de votre activité, indemnités de garde et de titre non-comprises (sic).
Par la suite votre revenu brut sera plafonné à Sfrs 400'000.- par an (...) ".
Un avenant au contrat de travail, signé le même jour que le contrat précité, stipulait que la part du revenu excédant 400'000 fr. alimenterait, à concurrence de 50%, un fonds " gastro-entérologie ", géré par le chef du service éponyme, l'autre moitié étant affectée au fonds du département de médecine. Cette clause coïncidait avec l'art. 3.12 de la Convention collective de travail pour médecins-cadres du 20 avril 2009 - réputée faire partie intégrante du contrat - qui a la teneur suivante:
" 3.12 Fonds institutionnel de formation et de recherche
1 Le revenu des médecins-cadres excédant SFr. 400'000.- par année au sens de l'art. 3.10 alimente un fonds de l'Hôpital B._ dédié aux activités de formation et de recherche des médecins.
2 Ce fonds est géré par une commission médicale présidée par le directeur médical. La composition de cette commission ainsi que son fonctionnement font l'objet d'un règlement validé par la direction générale.
3 Le 20% du revenu de chaque département est réservé à l'usage du département, conformément au règlement.
4 Dans ces situations exceptionnelles avec l'accord du comité médical, la direction de l'Hôpital peut utiliser ce fonds. "
A.b. A._ a résilié son contrat de travail pour le 31 mai 2016.
B.
B.a. Après une tentative de conciliation infructueuse, A._ a saisi, en date du 20 février 2018, le Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers d'une demande au terme de laquelle il a pris, sous suite de frais et dépens, les conclusions suivantes:
" 1. Condamner l'Hôpital B._ à verser à Monsieur A._ le montant minimal (<ref-law>) de CHF 33'335.- sous déduction des charges légales et conventionnelles, avec intérêts à 5% l'an dès le 31 mai 2016;
1. (recte: 2) Condamner l'Hôpital B._ à verser aux services de gastroentérologie et de médecine interne à raison de 50%/50% un montant de CHF 45'517.- pour l'année 2015 ".
Dans sa réponse du 20 avril 2018, B._ a conclu à l'irrecevabilité de cette dernière conclusion, faute pour le demandeur de pouvoir justifier d'un quelconque intérêt personnel à l'admission de celle-ci.
Le 7 mai 2018, le juge instructeur a décidé de limiter la procédure à la question de la recevabilité de la seconde conclusion du demandeur.
Statuant le 5 septembre 2018, le Tribunal régional a jugé la conclusion litigieuse irrecevable. En substance, il a nié l'existence d'une stipulation pour autrui imparfaite, mettant nécessairement en relation trois personnes, car les fonds de gastro-entérologie et de médecine interne étaient dépourvus de la personnalité juridique. Ils entraient dès lors dans le patrimoine de l'établissement défendeur, quand bien même une réglementation interne à celui-ci leur attribuait une affectation relativement précise et en soumettait la gestion, essentiellement, au médecin-chef. Aussi, faire droit à la conclusion litigieuse reviendrait-il à condamner le défendeur à se verser à lui-même une somme d'argent déterminée. Dans ces conditions, le demandeur ne pouvait se prévaloir d'un quelconque intérêt à l'admission de cette conclusion, puisque ses droits et obligations ne se trouveraient nullement touchés.
B.b. Par arrêt du 1er février 2019, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté l'appel interjeté par A._ et confirmé le jugement attaqué. Ses considérants peuvent être résumés comme il suit (cf. lettres B.c et B.d infra).
B.c. Le système de rémunération instauré par les parties implique que B._ facture aux patients tous les montants générés par l'activité de l'appelant, qu'il rémunère ensuite ce dernier à hauteur de 400'000 fr. au total, et que le solde des prestations facturées aux patients doit faire l'objet d'une répartition entre les fonds de gastro-entérologie et du département de médecine. Les honoraires excédant ce plafond de 400'000 fr. ne reviennent pas à A._ mais à B._. Si les parties ont certes prévu, contractuellement, un usage déterminé des honoraires dépassant ce seuil, générés par l'activité de l'appelant mais grâce à la structure hospitalière, elles n'ont pas disposé d'une créance dont l'employé serait titulaire à l'égard de son employeur. Aussi, B._ ne s'est-il pas engagé envers son employé à verser aux deux fonds précités des montants qui seraient sinon revenus à ce dernier. L'on ne se trouve ainsi pas dans un cas de stipulation pour autrui où le promettant doit un certain montant au stipulant et le verse au tiers désigné par celui-ci.
Par ailleurs, A._ ne revêt pas la qualité de stipulant. Il ne demande en effet pas à B._ de payer à un tiers une somme qui devrait sinon lui revenir. Il n'existe en réalité qu'un simple accord interne sur l'affectation des montants, excédant le plafond de 400'000 fr., aux deux fonds précités.
Enfin, la figure de la stipulation pour autrui ne saurait entrer en ligne de compte faute d'indépendance entre B._ et le tiers bénéficiaire, c'est-à-dire les deux fonds litigieux. L'attribution de ressources à différents fonds - intégrés dans la comptabilité de B._ et sous la surveillance de sa direction générale - constitue une réglementation interne à l'hôpital quant au financement de ses différents départements et services. Il n'existe dès lors aucune indépendance à ce titre. Le fonds du département de médecine comprend différents sous-fonds, portant chacun une rubrique comptable, ce qui n'en fait pas pour autant une entité indépendante de B._. La répartition des ressources entre les différents fonds en fonction de l'investissement de ceux qui travaillent dans les divers services de l'hôpital représente certainement une incitation pour eux mais ne suffit pas à reconnaître à ces fonds une certaine indépendance par rapport à B._. En tant que le service de gastro-entérologie et le département de médecine font partie de l'hôpital et que les fonds qui leur sont affectés ne sont qu'une portion des fonds de B._, régis par des rubriques comptables permettant de les différencier, il y a lieu de considérer que le paiement auquel conclut l'appelant reviendrait à condamner B._ à opérer un versement à lui-même.
B.d. A titre de motivation alternative, la cour cantonale retient qu'un obstacle procédural insurmontable, tiré de l'absence d'intérêt digne de protection au sens de l'<ref-law>, s'oppose à la recevabilité de la conclusion litigieuse. Elle relève que les objectifs poursuivis par les fonds concernés sont, selon la description faite par A._ lui-même, destinés aux intérêts du personnel qui se trouve actuellement employé par B._. Dans ces conditions, l'intéressé ne dispose d'aucun intérêt personnel à voir les montants dépassant le plafond annuel de 400'000 fr. alimenter les deux fonds concernés, dans la mesure où il n'est plus employé de l'établissement hospitalier et ne peut plus bénéficier lui-même, ou par le biais du personnel qu'il a sous ses ordres, des activités financées par lesdits fonds. Aussi, l'appelant ne peut-il prétendre avoir un intérêt du point de vue de ses conditions de travail, de formation et de recherche.
C.
Le 8 mars 2019, A._ (ci-après: le recourant) a formé un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt cantonal, en ce sens que la conclusion litigieuse soit déclarée recevable. Subsidiairement, il demande l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision.
B._ (ci-après: l'intimé) et la cour cantonale, qui a produit le dossier de la cause, n'ont pas été invités à déposer une réponse.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué a été rendu en matière civile (<ref-law>) par le tribunal supérieur d'un canton, qui a statué sur appel (<ref-law>). La cause atteint la valeur litigieuse de 15'000 fr. ouvrant le recours en matière civile dans les affaires pécuniaires relevant du droit du travail (<ref-law>). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui a succombé et qui a donc qualité pour recourir (<ref-law>); il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi.
1.2. Aux termes de l'<ref-law>, le recours est recevable contre toute décision qui statue sur un objet dont le sort est indépendant de celui qui reste en cause. La décision partielle est une variante de la décision finale au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 397); elle statue de manière finale sur un ou plusieurs chefs d'une demande, mais renvoie l'examen d'un ou de plusieurs autres chefs de la demande à une décision ultérieure; il doit s'agir de prétentions distinctes, et non pas seulement de diverses questions de droit matériel se rapportant à la même prétention (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 217). L'indépendance prescrite à l'<ref-law> suppose, d'une part, que les conclusions traitées auraient pu, théoriquement, donner lieu à un procès séparé et, d'autre part, que la décision attaquée tranche définitivement une partie du litige, sans qu'il n'existe de risque que la décision à rendre sur le reste de la demande se trouve en contradiction avec la décision déjà entrée en force (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 398; <ref-ruling> consid. 1.2.2 et 1.2.3 p. 217).
1.3. En l'occurrence, la cour cantonale a déclaré irrecevable la seconde conclusion portant sur une prétention indépendante de l'autre chef de la demande. Il s'agit dès lors d'une décision partielle au sens de l'<ref-law>.
1.4. Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral, notion qui inclut le droit constitutionnel (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4).
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 116).
1.5. Lorsque la décision attaquée comporte plusieurs motivations indépendantes dont chacune suffit à sceller le sort de la cause, le recourant doit s'attacher à démontrer que chacune d'elles contrevient au droit fédéral, sous peine d'irrecevabilité. Il n'a en effet pas d'intérêt à faire examiner ses griefs dûment motivés, alors que la décision attaquée conserve toute son assise en raison d'une autre argumentation qu'il ne conteste pas (<ref-ruling> consid. 3.4; <ref-ruling> consid. 6.3; arrêt 4A_113/2018 du 12 juin 2018 consid. 3.4).
En l'espèce, le recourant s'en prend à la double motivation des juges cantonaux, de sorte que le recours est recevable sous cet angle.
Il convient dès lors d'entrer en matière.
2.
2.1. En l'occurrence, est litigieuse la question de savoir si le recourant dispose d'un intérêt digne de protection au sens de l'<ref-law> à l'admission de sa seconde conclusion.
2.2. Le justiciable qui fait valoir une prétention doit démontrer qu'il a un intérêt digne de protection, soit un intérêt personnel et actuel à voir le juge statuer sur ses conclusions (FRANÇOIS BOHNET, in Commentaire romand, Code de procédure civile, 2e éd., 2019, n os 89a s. ad <ref-law>; SIMON ZINGG, in Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, vol. I, 2012, n°s 43 et 45 ad <ref-law>). Comme toute condition de recevabilité, cet intérêt doit exister au moment du jugement (<ref-ruling> consid. 4.2.4; arrêt 4A_280/2015 du 20 octobre 2015 consid. 6.2.1; BOHNET, op. cit., n o 92 ad <ref-law> et n o 13 ad <ref-law>). Lorsqu'une demande en justice ne répond pas à un intérêt digne de protection de son auteur, elle est irrecevable (<ref-ruling> consid. 4.2.4; arrêt 4A_226/2016 du 20 octobre 2016 consid. 5).
2.3. La cour cantonale a estimé que le recourant n'avait aucun intérêt personnel et actuel à l'admission de sa seconde conclusion, dès lors qu'il ne travaillait plus pour l'intimé et ne pouvait plus bénéficier lui-même, ou par le biais du personnel qu'il avait sous ses ordres, des activités financées par les deux fonds censés recevoir les montants dépassant le plafond annuel d'honoraires de 400'000 fr.
2.4. Dans son mémoire de recours, l'intéressé soutient qu'il dispose d'un intérêt digne de protection à l'admission de sa demande, car l'inexécution alléguée de l'engagement pris par l'intimé d'affecter les montants dépassant le plafond annuel de 400'000 fr. à des fonds spécifiques lui causerait un préjudice. A en croire le recourant, l'on ne saurait lui reprocher d'avoir agi après la résiliation de son contrat de travail, dans la mesure où les montants litigieux concernent l'année 2015, soit une période au cours de laquelle il était encore employé de l'intimé et aurait pu bénéficier de ces fonds. Il serait en outre difficile d'admettre qu'un employé, dans une telle situation, puisse agir contre son employeur tant que dure la relation contractuelle, vu le risque de s'exposer à un éventuel licenciement.
2.5. Semblable argumentation tombe à faux. Admettre que l'intéressé ait eu un intérêt digne de protection à voir des fonds spécifiques alimentés lorsqu'il travaillait pour l'intimé est une chose. Qu'un tel intérêt demeure après la résiliation du contrat de travail en est une autre, dès lors que le recourant ne peut précisément plus retirer un quelconque avantage de l'utilisation convenue de ces fonds. La cour cantonale a retenu que les objectifs poursuivis par les fonds concernés étaient, selon la description faite par le recourant lui-même, destinés à servir les intérêts du personnel actuellement employé par l'intimé. On cherche en vain, dans le mémoire du recourant, une critique de cette appréciation de la cour cantonale. Partant, force est d'admettre que l'intéressé ne dispose d'aucun intérêt digne de protection au sens de l'<ref-law>, car lorsqu'il a ouvert action en date du 24 juillet 2017, il avait déjà résilié son contrat de travail le 31 mai 2016. Dans la mesure où le recourant ne remet pas en cause le fait que les fonds litigieux concernent uniquement les personnes effectivement employées par l'intimé, l'on ne saurait lui reconnaître un quelconque intérêt actuel. Dès lors qu'il ne travaille plus pour le compte de l'intimé, le recourant n'a en effet aucun intérêt digne de protection à pouvoir interférer dans la gestion de l'hôpital, ni même dans celle du service au sein duquel il exerçait. Lorsque l'intéressé oeuvrait en qualité de médecin-chef du service de gastro-entérologie de l'intimé, sa fonction lui permettait de disposer, dans une certaine mesure, de ces fonds pour des actions au profit de son service. Tel n'est manifestement plus le cas depuis la fin des rapports de travail. En tout état de cause, la Cour de céans ne discerne pas le préjudice que subirait prétendument le recourant. Si ce dernier souhaitait que les montants générés par son activité fussent affectés à des fonds spécifiques, il lui était loisible d'agir au cours de la relation contractuelle, ce qu'il s'est pourtant abstenu de faire. A cet égard, l'on ne saurait suivre le recourant lorsqu'il affirme qu'il ne pouvait agir en cours de relation de travail, compte tenu de la possibilité de perdre son emploi. Vu la position hiérarchique élevée qu'il occupait au sein de l'hôpital, l'existence d'un tel risque doit en effet être relativisée. Au demeurant, il est raisonnablement permis de douter que l'intimé aurait pris le risque de procéder à un licenciement dans cette hypothèse, vu l'éventualité de voir ce congé considéré comme abusif avec les conséquences financières non négligeables pouvant en résulter.
2.6. Le recourant prétend que la violation alléguée du contrat par l'intimé serait susceptible de se reproduire en tout temps de la même façon avec tous les médecins-chefs occupant le même poste auprès de l'intimé. Ce faisant, il semble se prévaloir de la jurisprudence du Tribunal fédéral selon laquelle il peut être dérogé exceptionnellement à l'exigence d'un intérêt actuel lorsque la contestation à la base de la décision attaquée est susceptible de se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 25; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 103; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 81).
Il sied de relever d'emblée que l'intéressé n'a jamais fait valoir une telle exception dans le cadre de la procédure cantonale. Du reste, il n'a pas fourni le moindre élément démontrant que la prétendue violation du contrat de travail serait susceptible de se reproduire avec d'autres médecins-cadres exerçant au sein de l'intimé. Quoi qu'il en soit, rien ne permet d'affirmer que la question litigieuse ne puisse jamais être tranchée avant qu'elle ne perde son actualité, ni qu'elle constitue une question de principe. Force est ainsi d'admettre que les conditions permettant de déroger à l'exigence d'un intérêt actuel ne sont pas réalisées en l'espèce.
3.
L'une des motivations alternatives étant suffisante pour maintenir l'arrêt attaqué, point n'est besoin d'examiner l'autre motivation développée dans l'arrêt attaqué.
4.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, devra supporter les frais de la procédure fédérale (<ref-law>). L'intimé, qui n'a pas été invité à se déterminer, ne se verra pas allouer de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 10 avril 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : O. Carruzzo