Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1986) stammt aus Pakistan. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren. Am 4. Februar 2015 heiratete er die hier niederlassungsberechtigte kubanische Staatsangehörige B.A._, worauf ihm eine - letztmals bis zum 3. Februar 2017 gültige - Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Gattin erteilt wurde. B.A._ hat mit einem anderen Mann - teilweise während der Ehe - zwei Söhne gezeugt (C._ [geb. April 2009] und D._ [geb. September 2016]). Das Kindesverhältnis zwischen A.A._ und D._ wurde am 14. Januar 2019 aufgehoben. Das Ehepaar A._ trennte sich im Jahr 2016; von April 2017 bis 30. Juni 2018 wollen sie den gemeinsamen Haushalt wieder aufgenommen haben, bevor sie sich definitiv trennten.
B.
Das Amt für Migration und Personenstand (heute: Amt für Bevölkerungsdienste, Migrationsdienst) des Kantons Bern lehnte es am 22. Februar 2018 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ zu verlängern. Die von diesem hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg: Mit Entscheid vom 28. März 2018 wiesen die Polizei- und Militärdirektion (heute: Sicherheitsdirektion des Kantons Bern) und mit Urteil vom 6. Februar 2020 das Verwaltungsgericht des Kantons Bern seine Beschwerden ab. Die kantonalen Behörden verneinten, dass A.A._ nach der Auflösung der Familiengemeinschaft einen Rechtsanspruch auf die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung geltend machen könne.
C.
A.A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 6. Februar 2020 aufzuheben; seine Aufenthaltsbewilligung sei zu verlängern. Eventuell sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Vernehmlassungen einzuholen; es hat jedoch die kantonalen Akten einverlangt. Der Beschwerde wurde superprovisorisch aufschiebende Wirkung beigelegt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beruft sich für das Bestehen eines Bewilligungsanspruchs auf <ref-law>, welcher den Fortbestand der Bewilligung nach Auflösung der Familiengemeinschaft regelt (bis 31. Dezember 2019: Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer [AuG: SR 142.20]). Ob der entsprechende Anspruch besteht, bildet eine Frage der materiellen Prüfung und nicht des Eintretens (vgl. <ref-law> [SR 173.110]; <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f., 497 E. 3.3 S. 500 f.). Da auch alle übrigen Prozessvoraussetzungen gegeben sind, ist die Eingabe als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Soweit der Beschwerdeführer seine Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde einreicht, ist auf diese nicht einzutreten: Er macht ausdrücklich geltend, dass er den Nichtverlängerungsentscheid, indessen nicht die damit verbundene Wegweisung beanstande; er erhebt diesbezüglich denn auch keine hinreichend begründeten Verfassungsrügen (vgl. <ref-ruling> ff.).
1.3.
1.3.1. Das Bundesgericht wendet das Recht zwar von Amtes wegen an; es prüft - unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht - jedoch nur die vorgebrachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254); solche sind hier nicht ersichtlich. In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig ermittelt (<ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.).
1.3.2. Der Beschwerdeführer beanstandet das angefochtene Urteil weitgehend appellatorisch, d.h. er wiederholt seine Sicht der Dinge und stellt diese derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne sich aber in gezielter Auseinandersetzung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form sachbezogen auseinanderzusetzen. Zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren genügt eine solche appellatorische Kritik nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Das Bundesgericht behandelt im Folgenden nur jene Rügen, die der Beschwerdeführer den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet.
2.
Der Beschwerdeführer kritisiert, das Verwaltungsgericht habe den angefochtenen Entscheid unzulänglich begründet, was seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletze (<ref-law>). Die Kritik ist unberechtigt: Das Verwaltungsgericht hat sich mit den entscheidrelevanten Ausführungen des Beschwerdeführers auseinandergesetzt und sein Urteil hinreichend begründet. Es durfte sich dabei kurz fassen; dem Beschwerdeführer war es ohne weiteres möglich, das Urteil gestützt auf die Begründung im angefochtenen Entscheid sachgemäss anzufechten. Praxisgemäss genügt, dass die Begründung eines Entscheids die wesentlichen Überlegungen nennt, von denen die Behörde sich hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt; es ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten ausführlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236, 184 E. 2.2.1 S. 188; je mit weiteren Hinweisen).
3.
3.1. Nach <ref-law> besteht der Anspruch des Ehegatten und der Kinder auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung fort, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert und die ausländische Person sich hier erfolgreich integriert hat (Abs. 1 lit. a) oder wenn wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Abs. 1 lit. b). Dies kann der Fall sein, wenn die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (<ref-law>; [nachehelicher Härtefall]). Hat sich die ausländische Person nur für kürzere Zeit in der Schweiz aufgehalten und keine engen Beziehungen zum Land geknüpft, besteht kein Anspruch auf einen weiteren Verbleib, sofern sie sich ohne besondere Probleme wieder im Herkunftsland integrieren kann (<ref-ruling> E. 3.1 S. 231 f.; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 349 f.).
3.2.
3.2.1. Anders als vor Verwaltungsgericht beruft sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht mehr darauf, dass bei ihm ein nachehelicher Härtefall bestehe (Art. 50 Abs. 1 lit. b i.V.m. Abs. 2 AIG); die entsprechende Problematik bildet somit nicht mehr Verfahrensgegenstand. Umstritten ist im Rahmen von <ref-law> noch, ob seine eheliche Gemeinschaft drei Jahre gedauert hat oder nicht. Die Vorinstanz verneinte dies - zu Recht: Hinsichtlich des relevanten Zeitpunkts der Trennung ist darauf abzustellen, wann die gemeinsame Wohnung aufgegeben worden und der Ehewille nach aussen wahrnehmbar dahingefallen ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 347); dies schliesst nicht aus, dass trotz des Zusammenwohnens bereits früher keine gelebte Ehegemeinschaft mehr bestanden hat. Die eheliche Gemeinschaft, auf deren Dauer es ankommt, kann aufgrund sämtlicher Umstände im Einzelfall auch schon während und trotz des weiteren Zusammenlebens dahingefallen sein, wobei für die Fristberechnung dann auf diesen Zeitpunkt abzustellen ist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 347; Urteil 2C_970/2016 vom 6. März 2017 E. 2.4; vgl. zur Berechnung der Dreijahresfrist: Thomas Hugi Yar, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, 2013, S. 31 ff., dort S. 69 - 74).
3.2.2. Die Eheleute lebten nach der Darstellung des Beschwerdeführers zwischen dem Eheschluss am 4. Februar 2015 bis im Juni 2016 (17 Monate) und vom April 2017 bis im Juni 2018 (15 Monate) ohne Unterbruch zusammen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers bestand in der Zeit dazwischen der Ehewille - in Anwendung von <ref-law> (Ausnahme vom Erfordernis des Zusammenwohnens; Hugi Yar, a.a.O., S. 49 ff.) - nicht fort: Die Ehegattin des Beschwerdeführers zog jedoch nach den Feststellungen der Vorinstanz (E. 2.4, 3.3) bereits im Winter 2015/16 wieder zum Vater ihres ersten Kindes und zeugte mit diesem einen zweiten Sohn. Die Vorinstanz durfte - ohne in Willkür zu verfallen - hierin ein gewichtiges Indiz für die Aufgabe des Ehewillens sehen. Nach dem weiteren kurzen Zusammenleben mit dem Beschwerdeführer und der endgültigen Trennung im Juni 2018 kehrte die Gattin mit den Kindern denn auch wieder zu ihrem Partner und dem biologischen und nunmehr auch rechtlichen Vater ihrer Kinder zurück.
3.2.3. Die Vorinstanz hält zutreffend fest, dass der Beschwerdeführer nicht dartut, dass und inwiefern er und seine Gattin das Eheleben zwischen den Zeiträumen des Zusammenlebens aufrecht erhalten (Kontakte, gemeinsame Aktivitäten usw.) bzw. daran gearbeitet hätten, die Ehe wieder aufzunehmen. Der Beschwerdeführer zeigte sich - so die Vorinstanz - wenig bereit, das Familienleben mit den Kindern eines Dritten aufzunehmen. Das Bundesgericht teilt daher die Auffassung des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern, dass angesichts der gesamten Umstände kein Ehewille während der Trennungsphase bestanden hat und das Zusammenleben in erster Linie im Zusammenhang mit der Ankündigung, die Bewilligung des Beschwerdeführers nicht mehr zu verlängern, zu sehen ist; der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was die entsprechende Beweiswürdigung durch die Vorinstanz als offensichtlich unhaltbar erscheinen liesse.
3.2.4. Der Einwand des Beschwerdeführers zu seiner speziellen Art, die Beziehung zu seiner Gattin zu leben, welche "nicht vor dem Hintergrund einer herkömmlichen und alltäglichen Ehe" zu sehen sei, ist wenig überzeugend. Dasselbe gilt für seine Erklärung, dass der Umstand, wonach das Zusammenleben der Gattin mit ihrem ehemaligen Mann darauf hindeute, dass kein Ehewille mehr bestehe, unhaltbar sei; die entsprechende Annahme bilde "eine übermässige Einmischung in die privatautonome Ausgestaltung eines Eheverhältnisses". Entscheidend ist, wovon der Gesetzgeber im Rahmen von <ref-law> ausgegangen ist; es kann diesbezüglich nicht auf eine subjektive Einschätzung abgestellt werden, wie dies der Beschwerdeführer wünscht.
3.2.5. Bestand die eheliche Gemeinschaft somit nicht während drei Jahren, erübrigt es sich, der Frage nachzugehen, ob und inwiefern der Beschwerdeführer sich in der Schweiz integriert hat. Die im Rahmen des gemeinsamen Haushalts gelebte Anwesenheitsdauer von drei Jahren und die erfolgreiche Integration müssen kumulativerfüllt sein (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 119; Urteil 2C_300/2020 vom 30. April 2020 E. 3.2); vorliegend fehlt es bereits an der erforderlichen Ehedauer.
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet und kann im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> erledigt werden. Das Bundesgericht begründet in diesem Fall sein Urteil nur summarisch; für alles Weitere kann im vorliegenden Fall ergänzend auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (vgl. <ref-law>). Es besteht keine Veranlassung, die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Mit dem Entscheid in der Sache selber werden die Gesuche um aufschiebende Wirkung und eine Verlängerung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses gegenstandslos.
4.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar