Sachverhalt:
A.
Die 1980 geborene A._ ist seit dem 1. Januar 2009 der Ausgleichskasse des Kantons Zürich (fortan: Ausgleichskasse) angeschlossen als selbständige Filmproduzentin. Am 29. März 2020 meldete sie sich im Zusammenhang mit den Massnahmen zur Bekämpfung des Coronavirus zum Bezug einer Erwerbsausfallentschädigung (nachfolgend: Corona-Erwerbsersatz) an. Die Ausgleichskasse bejahte einen Anspruch gemäss Härtefallregelung und richtete A._ zunächst für den Zeitraum zwischen 17. März und 16. Mai 2020 rückwirkend Corona-Erwerbsersatz aus zu einem Tagesansatz von Fr. 48.80 (Verfügung vom 25. Mai 2020 sowie Abrechnungen vom 1. und 18. Mai 2020), was sie mit Einspracheentscheid vom 16. September 2020 bestätigte.
B.
Die von der Versicherten hiergegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 22. Juni 2021 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, es seien das vorinstanzliche Urteil sowie der Einspracheentscheid vom 16. September 2020 aufzuheben. Die Ausgleichskasse sei zu verpflichten, ihr die gesetzlichen Leistungen zu gewähren, insbesondere Corona-Erwerbsersatz zu leisten basierend auf einem Tagesansatz von Fr. 154.-, und ihr entsprechend den Betrag von Fr. 17'716.10 nachzuzahlen für den Zeitraum vom 17. März bis 16. September 2020. Eventualiter sei die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen, damit sie den Corona-Erwerbsersatz gestützt auf die aktuellste ihr vorliegende Akontoverfügung berechne.
Die Ausgleichskasse sowie das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann ihre Sachverhaltsfeststellungen von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; zum Ganzen <ref-ruling> E. 4).
2.
Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihr für den Zeitraum vom 17. März bis 16. September 2020 Corona-Erwerbsersatz im Betrag von Fr. 17'716.10 nachzuzahlen. Damit verkennt sie, dass Anfechtungsgegenstand einzig der Einspracheentscheid vom 16. September 2020 ist, mit dem die Ausgleichskasse ihre Verfügung vom 25. Mai 2020 bestätigte. Streitgegenstand war dabei der Anspruch der Versicherten auf Corona-Erwerbsersatz für den Zeitraum vom 17. März bis 16. Mai 2020. Soweit sie eine Nachzahlung auch für den Zeitraum vom 17. Mai bis 16. September 2020 verlangt, erweitert die Beschwerdeführerin unzulässigerweise den Streitgegenstand und es ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
Strittig ist der Anspruch der selbständigerwerbenden Beschwerdeführerin auf Corona-Erwerbsersatz. Uneinigkeit besteht dabei über das für die Berechnung von dessen Höhe massgebliche beitragspflichtige Einkommen der Versicherten.
3.1. Das kantonale Gericht hat die hier massgebenden gesetzlichen Grundlagen sowie die Rechtsprechung grundsätzlich zutreffend wiedergegeben. Dies betrifft insbesondere Art. 2 Abs. 3bis der Verordnung vom 20. März 2020 über Massnahmen bei Erwerbsausfall im Zusammenhang mit dem Coronavirus (Covid-19; Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall; SR 830.31) sowie deren Art. 5 Abs. 2 i.V.m. Art. 11 Abs. 1 EOG und Art. 7 Abs. 1 EOV. Richtig sind auch die Ausführungen zum Stellenwert von Verwaltungsweisungen in der richterlichen Entscheidfindung (<ref-ruling> E. 4c; <ref-ruling> E. 7; <ref-ruling> E. 3a; vgl. ausserdem etwa <ref-ruling> E. 2.2). Darauf wird verwiesen.
3.2.
3.2.1. Anzufügen ist Folgendes: Im kürzlich ergangenen und zur Publikation vorgesehenen Urteil 9C_390/2021 vom 8. Februar 2022 hat sich das Bundesgericht zu den allgemeinen intertemporalen Grundsätzen, insbesondere im Zusammenhang mit Dauersachverhalten, im Zusammenhang mit der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall geäussert. Dabei hat es erwogen, gemäss einer allgemeinen prozessualen Grundregel werde das anwendbare Recht durch den Zeitpunkt der Verfügung respektive - sofern diese angefochten werde - den Zeitpunkt des Einspracheentscheides bestimmt. Bei Sachverhalten mit intertemporalem Bezug greife diese Grundregel jedoch zu kurz. In solchen Konstellationen seien weitere Aspekte mit zu berücksichtigen. So stelle sich insbesondere die Frage nach dem zeitlichen Geltungs- sowie dem zeitlichen Anwendungsbereich einer Bestimmung. Der zeitliche Geltungsbereich sei die "Lebensdauer" einer Rechtsnorm. Diese werde durch deren In- und Ausserkrafttreten bestimmt. Die eingangs genannte prozessuale Grundregel beziehe sich vorab auf den zeitlichen Geltungsbereich. Davon zu unterscheiden sei der zeitliche Anwendungsbereich einer Norm; dieser bestimme den Zeitraum, in dem sich die vom Tatbestand erfassten Sachverhalte ereignet haben müssten. Zeitlicher Geltungsbereich und zeitlicher Anwendungsbereich könnten zusammenfallen, müssten dies aber nicht; insbesondere bei Dauersachverhalten seien sie zu unterscheiden. Weil das intertemporale Rechtsetzungsprimat beim Gesetzgeber liege, sei in einem ersten Schritt stets zu prüfen, ob die anwendbare Rechtsgrundlage Kollisionsnormen enthalte. Fehlten solche, kämen auch hier allgemeine Grundsätze zur Anwendung. Diesbezüglich besage der intertemporale Hauptsatz, dass in zeitlicher Hinsicht diejenigen Rechtssätze massgebend seien, die bei der Erfüllung des rechtlich zu ordnenden oder zu Rechtsfolgen führenden Tatbestandes Geltung hätten. Für zeitlich offene Dauersachverhalte bedeute dies, dass sie grundsätzlich nach den jeweils geltenden rechtlichen Grundlagen zu beurteilen seien. Es sei somit bis zum Inkrafttreten einer Rechtsänderung das alte Recht und danach (ex nunc et pro futuro) - sofern die Voraussetzungen hierfür erfüllt seien - das neue Recht anwendbar (unechte Rückwirkung).
Die Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall regle, unter welchen Voraussetzungen während einer gewissen Periode Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz bestehe. Bei dem zu Rechtsfolgen führenden Tatbestand des Erwerbsausfalls handle es sich um einen zeitlich offenen Dauersachverhalt. Eine Sacheinheit liege nicht vor (E. 3.2.1 f. mit Hinweisen).
3.2.2. Der hier im Streit liegende Erwerbsausfall verwirklichte sich zwischen dem 17. März und dem 16. Mai 2020 (E. 2 hiervor). Der Einspracheentscheid erging am 16. September 2020. Ein intertemporaler Bezug besteht, weil ab dem 17. März 2020 bis zum Entscheid über den Corona-Erwerbsersatz mit Einspracheentscheid vom 16. September 2020 verschiedene Fassungen der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall ergangen sind (vgl. das zur Publikation vorgesehene Urteil 9C_390/2021 vom 8. Februar 2022 E. 3.2.2).
In Nachachtung der dargelegten Grundsätze sind auf die vorliegende Konstellation - mangels entsprechender Kollisionsnormen - Art. 2 Abs. 3bis und Art. 5 Abs. 2 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall in der am 16. September 2020 (Zeitpunkt Einspracheentscheid) gültig gewesenen Fassung "Stand am 6. Juli 2020" anwendbar, die rückwirkend ab 17. März 2020 in Kraft getreten waren (E. 6.1 hiernach).
3.3. Zu beachten ist überdies, dass Verwaltungsweisungen keine über Gesetz oder Verordnung hinausgehende Einschränkungen materieller Rechtsansprüche einführen dürfen (etwa: <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 7.3.2 mit Hinweisen). Anwendbar ist hier - in Analogie zur Festlegung der anwendbaren Verordnungsbestimmung (E. 3.2 hiervor) - die im Zeitpunkt des Einspracheentscheides vom 16. September 2020 gültig gewesene Fassung des Kreisschreibens des BSV über die Entschädigung bei Massnahmen zur Bekämpfung des Coronavirus - Corona-Erwerbsersatz (KS CE, Version 6).
4.
4.1. Das kantonale Gericht stellte fest, die Akontobeiträge der Versicherten seien für das Jahr 2019 zunächst (mit Mitteilung vom 29. Januar 2019) auf Grundlage eines beitragspflichtigen Einkommens von Fr. 27'900.- festgelegt worden. Am 30. März 2020 habe die Beschwerdeführerin unter Verweis auf ihren provisorischen Geschäftsabschluss für das Jahr 2019 mitgeteilt, ihr Einkommen aus selbständiger Tätigkeit habe im Jahr 2019 Fr. 62'539.- (netto) betragen. Das Sozialversicherungsgericht erwog, entgegen der Ansicht der Versicherten sei die Verwaltung weder verpflichtet noch berechtigt gewesen, allein gestützt auf den eingereichten provisorischen Geschäftsabschluss 2019 das massgebende Einkommen im Sinne von Art. 2 Abs. 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall zu erhöhen. Hierzu hätte es gemäss KS CE vielmehr einer definitiven Steuerveranlagung bedurft. Insbesondere vermöchten nach dem 17. März 2020 erfolgte Anpassungen des den Akontorechnungen 2019 zugrunde liegenden Erwerbseinkommens keine Änderung in der Höhe der Entschädigung zu bewirken. Dies gelte umso mehr, als die Versicherte es pflichtwidrig unterlassen habe, die wesentliche Abweichung vom voraussichtlichen Einkommen rechtzeitig der Ausgleichskasse zu melden (vgl. Art. 24 Abs. 4 AHVV), obwohl der tatsächlich wesentlich über Fr. 27'900.- liegende Nettoerlös für sie spätestens gegen Jahresende 2019 erkennbar habe sein müssen.
4.2. Die Beschwerdeführerin macht im Wesentlichen geltend, die Ausgleichskasse habe aufgrund der am 30. März 2020 eingereichten Unterlagen ihr beitragspflichtiges Einkommen am 9. April 2020 angepasst. Gemäss Art. 5 Abs. 2 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall i.V.m. Art. 11 Abs. 1 EOG und Art. 7 Abs. 1 EOV sei für die Ermittlung der Entschädigung das für die Bemessung der AHV-Beiträge entscheidende Erwerbseinkommen massgeblich. Dieses könne sich nicht nur aus definitiven Beitragsverfügungen, sondern auch aus Akontoverfügungen ergeben. Bei der erstmaligen Festsetzung des Corona-Erwerbsersatzes sei auf die letzte Akontoverfügung abzustellen, hier konkret auf diejenige vom 9. April 2020. Dabei eine zeitliche Grenze per 17. März 2020 anzuwenden für die Berücksichtigung von Änderungen des für das Jahr 2019 gemeldeten Einkommens, sei weder durch den Wortlaut der Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall noch durch den Willen des Verordnungsgebers gedeckt. Indem sie dieses Vorgehen dennoch geschützt habe, habe die Vorinstanz Bundesrecht verletzt. Das kantonale Gericht habe es unterlassen, Randziffer 1068 KS CE auf seine Vereinbarkeit mit dem übergeordneten Recht zu überprüfen. Dadurch habe es den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör (im Sinne der Begründungspflicht) verletzt (Art. 29 Abs. 2 BV).
5.
Soweit die Beschwerdeführerin eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör rügt, dringt sie damit nicht durch. Das Sozialversicherungsgericht hat sich mit ihren Vorbringen einlässlich befasst und sein Urteil ausführlich begründet (vorinstanzliche Erwägung 3). Wesentlich ist dabei nicht, dass es ihrer Argumentation nicht folgte, sondern, dass für die Beschwerdeführerin ohne Weiteres erkennbar war, von welchen Überlegungen es sich hat leiten lassen und worauf es sein Urteil gestützt hat, so dass eine sachgerechte Anfechtung möglich war (vgl. zur Begründungspflicht etwa <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen). Demnach ist das kantonale Gericht seiner Begründungspflicht nachgekommen.
6.
Zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie den Entscheid der Verwaltung schützte, der auf ein massgebliches beitragspflichtiges Einkommen von Fr. 27'900.- für das Jahr 2019 abstellte, entsprechend der Mitteilung vom 29. Januar 2019.
6.1. Gemäss Art. 2 Abs. 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall ("Stand am 6. Juli 2020", in Kraft vom 17. März bis zum 16. September 2020) sind Selbstständigerwerbende im Sinne von Art. 12 ATSG, die nicht unter Abs. 3 fallen, anspruchsberechtigt, wenn sie im Sinne des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1946 über die Alters- und Hinterlassenenversicherung (AHVG; SR 831.10) obligatorisch versichert sind (Abs. 1bis lit. c), aufgrund der bundesrätlichen Massnahmen zur Bekämpfung des Coronavirus einen Erwerbsausfall erleiden und ihr für die Bemessung der Beiträge der AHV massgebendes Einkommen für das Jahr 2019 zwischen Fr. 10'000.- und Fr. 90'000.- liegt; dabei gilt für die Berechnung des massgebenden Einkommens für das Jahr 2019 Art. 5 Abs. 2 zweiter Satz sinngemäss.
Art. 5 Abs. 2 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall ("Stand am 6. Juli 2020", in Kraft vom 17. März bis zum 16. September 2020) sieht sodann vor, dass für die Ermittlung des Einkommens Artikel 11 Absatz 1 des Erwerbsersatzgesetzes vom 25. September 1952 sinngemäss anwendbar ist. Nach der Festlegung der Entschädigung kann eine Neuberechnung der Entschädigung nur vorgenommen werden, wenn eine aktuellere Steuerveranlagung bis zum 16. September 2020 der anspruchsberechtigten Person zugestellt wird und diese den Antrag zur Neuberechnung bis zu diesem Datum einreicht.
Art. 11 Abs. 1 EOG ("Stand am 1. Januar 2020") sieht unter dem Titel "Berechnung der Entschädigung" vor, dass Grundlage für die Ermittlung des durchschnittlichen vordienstlichen Erwerbseinkommens das Einkommen bildet, von dem die Beiträge nach dem AHVG erhoben werden. Der Bundesrat erlässt Vorschriften über die Bemessung der Entschädigung und lässt durch das Bundesamt für Sozialversicherungen verbindliche Tabellen mit aufgerundeten Beträgen aufstellen.
Art. 7 Abs. 1 EOV ("Stand am 1. Januar 2020") hält - als ausführende Bemessungsvorschriften - unter dem Titel "Entschädigung für Selbstständigerwerbende" fest, die Entschädigung wird auf Grund des auf den Tag umgerechneten Erwerbseinkommens berechnet, das für den letzten vor dem Einrücken verfügten AHV-Beitrag massgebend gewesen ist. Wird für das Jahr der Dienstleistung später ein anderer AHV-Beitrag verfügt, so kann die Neuberechnung der Entschädigung verlangt werden.
6.2.
6.2.1. Vorab erhellt aus den wiedergegebenen Bestimmungen ohne Weiteres, dass sowohl für die Prüfung der Anspruchsvoraussetzung gemäss Art. 2 Abs. 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall als auch für die Berechnung der Entschädigung nach deren Art. 5 auf das für die Bemessung der AHV-Beiträge massgebende Einkommen abzustellen ist (vgl. betreffend das diesbezüglich massgebliche Jahr 2019 das zur Publikation vorgesehene Urteil 9C_390/2021 vom 8. Februar 2022 E. 5.3). Dementsprechend rechtfertigt es sich, auch im Rahmen von deren Anwendung auf die zu den Art. 11 Abs. 1 EOG und Art. 7 Abs. 1 EOV ergangene Rechtsprechung zurückzugreifen (<ref-ruling> E. 5.2) : Im Sinne der Art. 11 Abs. 1 EOG und 7 Abs. 1 EOV können nicht nur definitive Beitragsverfügungen, sondern auch provisorische Akontoverfügungen für die Ermittlung des massgeblichen Einkommens herangezogen werden. Auf diese abzustellen besteht dann kein Anlass, wenn im Zeitpunkt des Verwaltungsentscheids bzw. der Einspracheverfügung genauere Angaben hinsichtlich des Einkommens vorliegen (etwa: definitive Steuerveranlagung; vgl. <ref-ruling> E. 5.3 mit Hinweis auf Urteil 9C_253/2014 vom 28. Juli 2014 E. 6.1 f.; so im Übrigen auch KS CE Rz. 1065 [Version 6]).
Mit Blick auf die Ausführungen im zur Publikation vorgesehenen Urteil 9C_390/2021 vom 8. Februar 2022 ist sodann ergänzend festzuhalten, dass als Grundlage für die Ermittlung des massgeblichen Einkommens im Rahmen der Prüfung der Anspruchsvoraussetzung nach Art. 2 Abs. 3bis ebenso wie für die Bemessung der Entschädigung nach Art. 5 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall auch Mitteilungen der Ausgleichskasse betreffend das AHV-beitragspflichtige Einkommen sowie darauf beruhende Akontorechnungen dienen können (vgl. E. 5.2 f. des Urteils).
6.2.2. Geht es sodann (wie hier) um die erstmalige Prüfung des Anspruchs auf Corona-Erwerbsersatz, so ist die Anwendung einer zeitlichen Grenze per 17. März 2020 für die Berücksichtigung von Anpassungen im massgeblichen Einkommen vom Wortlaut der in Erwägung 6.1 hiervor dargelegten Bestimmungen nicht gedeckt. Dass der Wortlaut am "wahren Sinn" (Rechtssinn) der Regelungen vorbeizielen würde (vgl. hierzu das zur Publikation vorgesehene Urteil 9C_390/2021 vom 8. Februar 2022 E. 5), ist nicht ersichtlich. So lässt sich ein Wille des Verordnungsgebers hinsichtlich einer zeitlichen Begrenzung auf den 17. März 2020 auch den Erläuterungen zur Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall und deren jeweiligen Änderungen nicht entnehmen (abrufbar unter: https://www.bsv.admin.ch/dam/bsv/de/dokumente/eo/ faktenblaetter/covid-erlaeuterungen-gesammelt.pdf.download.pdf/covid-erlaeuterungen-gesammelt-de.pdf, zuletzt besucht am 3. März 2022; in diesem Sinne bereits <ref-ruling> E. 5.3.3).
6.2.3. Zusammenfassend ist damit Folgendes festzuhalten: Im Rahmen einer erstmaligen Prüfung des Anspruchs auf Corona-Erwerbsersatz können nicht nur definitive Beitragsverfügungen, sondern auch (provisorische) Akontoverfügungen und Mitteilungen der Ausgleichskasse betreffend das AHV-beitragspflichtige Einkommen sowie hierauf beruhende Akontorechnungen als Grundlage für die Ermittlung des massgeblichen Einkommens im Zusammenhang mit der Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen von Art. 2 Abs. 3bis sowie der Bemessung der Entschädigung gemäss Art. 5 Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall herangezogen werden. Weiter ist nicht von einer zeitlichen Grenze per 17. März 2020 für die Berücksichtigung von Anpassungen im massgeblichen Einkommen auszugehen. Sollte das KS CE Regelungen enthalten, die als dem Gesagten widersprechend interpretiert werden müssten, wären sie für das Gericht nicht verbindlich (vgl. E. 3.1 und 3.3 hiervor).
6.3. Vorliegend wurde das beitragspflichtige Einkommen der Beschwerdeführerin mit Differenzberechnung vom 9. April 2020 auf Fr. 69'200.- angepasst. Die Beschwerdegegnerin entschied mit Verfügung vom 25. Mai 2020 respektive Einspracheentscheid vom 16. September 2020 über den Corona-Erwerbsersatz.
Für die hier strittige Konstellation, in welcher Änderungen des beitragspflichtigen Einkommens bereits vor Verfügungserlass erfolgt sind und der Einspracheentscheid bis am 16. September 2020 ergangen ist, bedeutet das hiervor Dargelegte, dass die Beschwerdegegnerin den Corona-Erwerbsersatz für den Zeitraum vom 17. März bis 16. Mai 2020 gestützt auf das mit Differenzberechnung vom 9. April 2020 angepasste beitragspflichtige Einkommen von Fr. 69'200.- hätte berechnen müssen. Demnach hat die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, indem sie den Einspracheentscheid der Verwaltung geschützt hat, die bei der Anspruchsprüfung nicht auf dieses Einkommen abgestellt hatte.
6.4. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen und die Sache an die Ausgleichskasse zurückzuweisen, damit sie den Anspruch der Beschwerdeführerin auf Corona-Erwerbsersatz gestützt auf deren beitragspflichtiges Einkommen gemäss Differenzberechnung vom 9. April 2020 neu berechne.
Dabei wird die Ausgleichskasse auch zu prüfen haben, inwieweit die Versicherte im fraglichen Zeitraum einen Erwerbsausfall erlitten hat, was ebenfalls Voraussetzung ist für einen Anspruch auf Corona-Erwerbsersatz (Art. 2 Abs. 3bis Covid-19-Verordnung Erwerbsausfall). Aktenkundig sind einzig Meldungen der Versicherten, die für das Jahr 2020 am 30. März 2020 ein voraussichtliches Einkommen von Fr. 20'000.- anmeldete, was sie mit E-Mail vom 14. Oktober 2020 zunächst auf Fr. 55'000.- korrigierte und mit E-Mail vom 2. November 2020 auf Fr. 45'000.- (Nettoverdienst). Daraus geht indes nicht hervor, inwieweit sie im hier strittigen Zeitraum zwischen dem 17. März und 16. Mai 2020 einen Erwerbsausfall erlitten hat. Hinzuweisen bleibt dabei auf den Umstand, dass im Verfahren vor Bundesgericht das Verbot der reformatio in peius gilt (Art. 107 Abs. 1 BGG), das im Fall einer Rückweisung auch das vorinstanzliche Gericht bindet (etwa: Urteil 8C_798/2019 vom 16. Juli 2020 E. 7 mit Hinweisen). Untere Grenze für die Neufestsetzung des Anspruchs der Beschwerdeführerin bildet der von der Vorinstanz geschützte Anspruch auf 61 Taggelder à Fr. 48.80, entsprechend total Fr. 2976.80 für den Zeitraum zwischen dem 17. März und dem 16. Mai 2020.
7.
Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung gilt als vollständiges Obsiegen der leistungsansprechenden Partei nach Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG (etwa: <ref-ruling> E. 6.1; Urteil 8C_694/2018 vom 22. Februar 2019 E. 4). Als unterliegende Partei trägt demnach die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Sie schuldet der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 2800.- für das bundesgerichtliche Verfahren (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens ist die Sache an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. Juni 2021 und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Zürich vom 16. September 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Verfügung an die Ausgleichskasse des Kantons Zürich zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. März 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Nünlist