Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht trat am 20. Oktober 2021 auf eine Rechtsverzögerungsbeschwerde von A._ vom 18. Oktober 2021 gegen eine Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich, 4. Abteilung, vom 1. Oktober 2021 nicht ein (Urteil 2C_816/2021). Dieses Urteil wurde A._ am 1. November 2021 zugestellt.
Mit einer vom 7. Januar 2022 datierten und als "Abschlussschreiben an die Verantwortlichen, BGer 2C_816/2021" bezeichneten Eingabe ersucht A._ verschiedene Behörden, darunter das Bundesgericht, ihre "Entscheidungen zu korrigieren". Für den Fall, dass diese Behörden "keine Revision ihres Verhaltens" wünschten, behalte er sich vor, Schadenersatz einzufordern.
Die Eingabe ist als Revisionsgesuch gegen das Urteil 2C_816/2021 zu behandeln.
Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.
2.
2.1. Urteile des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zu Grunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Die um Revision eines bundesgerichtlichen Urteils ersuchende Person hat gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG namentlich einen vom Gesetz vorgesehenen Revisionsgrund zu nennen und aufzuzeigen, weshalb das revisionsbetroffene Urteil an einem revisionserheblichen Mangel leidet; fehlt eine entsprechende Begründung, wird auf das Gesuch nicht eingetreten (vgl. Urteile 2F_37/2021 vom 11. Januar 2022 E. 3; 2F_35/2021 vom 9. Dezember 2021 E. 2.1; 2F_30/2021 vom 12. November 2021 E. 2). Das Revisionsgesuch ist unter Beachtung der gesetzlichen Fristen gemäss <ref-law> einzureichen.
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Anforderungen nicht. Der Gesuchsteller bezieht sich nicht einmal ansatzweise auf einen der gesetzlichen Revisionsgründe und legt damit auch nicht dar, inwiefern ein solcher gegeben sein soll. Vielmehr bringt er seinen Unmut über verschiedene Verantwortliche des Realgymnasiums B._ und der Bildungsdirektion des Kantons Zürich, über Mitglieder des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich sowie über den am Urteil 2C_816/2021 beteiligten Abteilungspräsidenten und den Gerichtsschreiber zum Ausdruck. Zudem wirft er dem damaligen Abteilungspräsidenten sowie der Präsidentin des Bundesgerichts, die am revisionsbetroffenen Urteil ohnehin nicht mitgewirkt hatte, vor, Urteile aus der Datenbank des Bundesgerichts "verschwinden" zu lassen. Auf das Gesuch ist deshalb nicht einzutreten. Vor diesem Hintergrund kann offenbleiben, ob das Revisionsgesuch überhaupt fristgerecht eingereicht wurde (<ref-law>).
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Gesuchsteller kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 400.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2022
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: F. Aubry Girardin
Die Gerichtsschreiberin: D. Ivanov