Sachverhalt:
A.
Die Stadt Zürich eröffnete mit Ausschreibung vom 3. Oktober 2014 ein offenes Vergabeverfahren betreffend die Einführung eines Veloverleihsystems. Die ausgeschriebene Leistung beinhaltet die Planung, Finanzierung sowie den Aufbau und Betrieb des Veloverleihsystems durch einen Gesamtdienstleister während fünf Jahren. Das Projekt hat zum Ziel, in der Stadt Zürich ein nutzerfreundliches und kostengünstiges Veloverleihsystem einzuführen, bei dem Velos direkt an einer beliebigen, frei wählbaren Station ausgeliehen und zurückgebracht werden können. Für die Registrierung und Benützung der Velos kann der Gesamtdienstleister ein Gebührenmodell vorsehen. Innert Frist gingen für den Auftrag sechs Angebote ein, wovon drei vom Verfahren ausgeschlossen wurden. Die Auswertung der verbleibenden Angebote ergab folgendes Resultat:
1. Rang: PubliBike AG (Angebotspreis: Fr. 0.--) 3,382 Punkte
2. Rang: C._ GmbH (Fr. 1'549'196.19) 3,006 Punkte
3. Rang: Intermobility SA (Fr. 1'500'000.--) 2,885 Punkte
Das Ergebnis der Auswertung wurde den Anbietern mit einem als "Mitteilung der Rangfolge" bezeichneten Schreiben vom 25. Februar 2015 bekannt gegeben. Gleichzeitig wurde die erstplatzierte Anbieterin aufgefordert, innert 60 Tagen einen Finanzierungsnachweis zu erbringen. Die Intermobility SA gelangte gegen dieses Schreiben an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, welches mit Beschluss vom 8. Oktober 2015 auf die Beschwerde nicht eintrat. Das Bundesgericht wies die dagegen gerichteten Rechtsmittel ab, soweit es auf sie eintrat (Urteil 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016).
B.
Zwischenzeitlich hatte die Stadt Zürich der PubliBike AG mit Verfügung vom 11. März/4. April 2016 den Zuschlag für den Aufbau und den Betrieb des Veloverleihsystems erteilt. Die Intermobility SA gelangte dagegen erneut an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, das wegen sachlicher Unzuständigkeit mit Verfügung vom 7. Juni 2016 nicht auf die Beschwerde eintrat. Diesen Nichteintretensentscheid hob das Bundesgericht mit Urteil 2C_658/2016 vom 25. August 2016 auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung an das Verwaltungsgericht zurück. Daraufhin wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde der Intermobility SA mit Urteil vom 23. März 2017 ab.
C.
Die Intermobility SA reicht dem Bundesgericht am 18. Mai 2017 eine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde ein. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils vom 23. März 2017 und die Rückweisung der Sache zur neuen Beurteilung.
Die Stadt Zürich, die PubliBike AG und das Verwaltungsgericht beantragen die Abweisung der Rechtsmittel, soweit auf sie einzutreten ist.
Das Gesuch der Intermobility SA um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wurde mit Verfügung des Instruktionsrichters vom 12. Juni 2017 abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (<ref-law>) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Die form- (<ref-law>) sowie fristgerecht (<ref-law> [i.V.m. <ref-law>]) eingereichte Beschwerde richtet sich gegen den kantonal letztinstanzlichen, verfahrensabschliessenden (<ref-law> [i.V.m. <ref-law>]) Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. März 2017 in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>, <ref-law> [i.V.m. <ref-law>]).
1.2. Die Beschwerdeführerin stellt einen kassatorischen Antrag auf Rückweisung der Angelegenheit an das Verwaltungsgericht. Soweit das Bundesgericht reformatorisch entscheiden kann, darf sich die beschwerdeführende Partei wegen der reformatorischen Natur der Rechtsmittel grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen; sie muss vielmehr einen Antrag in der Sache stellen (vgl. <ref-law> [i.V.m. <ref-law>]; <ref-ruling> [nicht publ. E. 1.3]; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489). Rechtsbegehren sind jedoch nach Treu und Glauben unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung auszulegen (<ref-ruling> [nicht publ. E. 1.3]; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 414 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 109). Die Beschwerdeführerin erhebt neben formellen Rügen, bei deren Begründetheit das Bundesgericht nicht reformatorisch entscheiden könnte, auch Rügen materieller Natur. Die entsprechenden Ausführungen in der Beschwerde sind in Verbindung mit den gestellten Anträgen nach Treu und Glauben so zu verstehen, dass die Beschwerdeführerin die Erteilung des Zuschlags an sie selbst verlangt, falls die Beschwerde aus materiellen Gründen gutgeheissen wird. Bei dieser Ausgangslage liegt im Hinblick auf sämtliche Vorbringen der Beschwerdeführerin ein zulässiges Rechtsbegehren vor.
1.3. Der ausgeschriebene Auftrag der Stadt Zürich fällt in den Anwendungsbereich der Interkantonalen Vereinbarung vom 15. März 2001 über das öffentliche Beschaffungswesen (nachfolgend: Interkantonale Vereinbarung, IVöB), welcher der Kanton Zürich mit Erlass des Gesetzes vom 15. September 2003 über den Beitritt zur revidierten Interkantonalen Vereinbarung über das öffentliche Beschaffungswesen vom 15. März 2001 (LS 720.1; nachfolgend: Beitrittsgesetz) beigetreten ist. Der angefochtene Entscheid ist dem Gebiet der öffentlichen Beschaffungen zuzurechnen (vgl. Urteile 2C_658/2016 vom 25. August 2016 E. 1.2.1; 2C_1014/2015 vom 21. Juli 2016 E. 2.2.4). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist daher nur zulässig, wenn der geschätzte Wert des zu vergebenden Auftrags den massgeblichen Schwellenwert erreicht und sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>). Die beiden Voraussetzungen müssen kumulativ erfüllt sein (<ref-ruling> E. 1.2 S. 20 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 398). Von einer Frage mit grundsätzlicher Bedeutung ist auszugehen, wenn der Entscheid einer Rechtsfrage für die Praxis wegleitend sein kann und sie von ihrem Gewicht her nach höchstrichterlicher Klärung ruft (<ref-ruling> E. 1.2.2.1 S. 21; <ref-ruling> E. 1.1.2 S. 147). Die Beschwerdeführerin unterbreitet dem Bundesgericht drei Fragen, denen ihrer Ansicht nach grundsätzliche Bedeutung im Sinne von <ref-law> zukommt.
1.3.1. Mit der ersten Frage will die Beschwerdeführerin beantwortet wissen, ob "ein Mitbewerber unter Beachtung des Grundsatzes der wirtschaftlichen Nachhaltigkeit den Zuschlag für eine Lieferung und/ oder Dienstleistung erhalten [kann], welche als solche nicht existieren und somit noch nirgends im Einsatz stehen". Dass Auftraggeber, die dem öffentlichen Beschaffungsrecht unterstehen, teilweise spezifische Bedürfnisse aufweisen, die nach Art oder Ausmass nicht mit bereits erprobten Leistungen befriedigt werden können, liegt auf der Hand. Wie es sich mit der wirtschaftlichen Nachhaltigkeit von solchen Leistungen verhält, mag alsdann bei der Angebotsbewertung eine Rolle spielen, entzieht sich aber einer generellen Festlegung. Folglich liegt keine Grundsatzfrage im Sinne von <ref-law> vor, zu deren Beantwortung das Bundesgericht berufen ist (vgl. E. 1.3 hiervor).
1.3.2. Weiter misst die Beschwerdeführerin der Frage grundsätzliche Bedeutung zu, ob "Unternehmensreferenzen unabhängig von den effektiven Kompetenzen der sich wesentlich ändernden Unternehmensform und -struktur dem jeweiligen Unternehmen erhalten [bleiben] und, falls ja, wie lange". Unternehmensreferenzen geben Auskunft über den Anbieter selber, während Personenreferenzen Aussagen über die bei einem Anbieter tätigen Personen treffen. Die Referenzen können unterschiedlichste Aspekte des Anbieters oder der angebotenen Leistung betreffen (vgl. CLAUDIA SCHNEIDER HEUSI, Referenzen, Labels, Zertifikate, in: Jean-Baptiste Zufferey/Martin Beyeler/Stefan Scherler [Hrsg.], Aktuelles Vergaberecht 2016, S. 395 Rz. 6). Auch diese Frage der Beschwerdeführerin entzieht sich einer Antwort mit wegleitendem Charakter für die beschaffungsrechtliche Praxis. Ob eine Vergabestelle die Unternehmensreferenzen eines Anbieters akzeptieren kann und wie sie zu bewerten ist, hängt wesentlich von deren konkretem Inhalt, dem Zeitablauf und den seither eingetretenen Veränderungen aufseiten des Anbieters ab. Eine Grundsatzfrage im Sinne von <ref-law> liegt nicht vor.
1.3.3. Schliesslich unterbreitet die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht die Frage, ob die Ausstandspflicht im Bereich des öffentlichen Vergaberechts auf einen effektiven Interessenkonflikt beschränkt sei oder der Anschein der Befangenheit aufseiten der Vergabebehörde genüge. In Verfahren vor nichtgerichtlichen Behörden bildet das Gebot der Unbefangenheit einen Teilgehalt des Anspruchs auf ein faires Verfahren, der verfassungsrechtlich verankert ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 5 S. 328 f. mit Hinweisen). Dieser kommt auch im Submissionsverfahren zur Anwendung (vgl. Urteil 2P.152/2002 vom 12. Dezember 2002 E. 2). Die aufgeworfene Frage weist damit keine spezifisch beschaffungsrechtliche Natur auf. Sie betrifft die Anwendung von allgemein feststehenden Prinzipien zur Ausstandspflicht von nichtgerichtlichen Behörde im Kontext eines Submissionsverfahrens. Vor diesem Hintergrund kommt ihr keine grundsätzliche Bedeutung im Sinne von <ref-law> zu (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 118 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 195).
1.3.4. Im Ergebnis liegt keine Frage von grundsätzlicher Bedeutung vor. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist nicht einzutreten (<ref-law>).
1.4. Zu prüfen bleiben die Voraussetzungen der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>).
1.4.1. Zur Verfassungsbeschwerde ist nach <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Letzteres ist im Bereich des öffentlichen Vergabewesens der Fall, wenn die Beschwerdeführerin als unterlegene Bewerberin eine reelle Chance hat, im Falle der Gutheissung ihres Rechtsmittels den Zuschlag zu erhalten (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 27 mit zahlreichen Hinweisen). Fehlt es einer Beschwerdeführerin, die im kantonalen Verfahren über Parteistellung verfügte, an einer solchen Legitimation in der Sache, ist sie jedenfalls berechtigt, im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde die Verletzung von Verfahrensrechten geltend zu machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt (sog. "Star-Praxis", vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 308; <ref-ruling> E. 1.3 S. 270; Urteil 2C_203/2014 vom 9. Mai 2015 E. 2.5).
1.4.2. Die Voraussetzung der Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren ist hier offensichtlich erfüllt (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist damit jedenfalls zur Rüge einer Verletzung von Verfahrensrechten legitimiert, die auf eine formelle Rechtsverweigerung hinauslaufen. Zudem verlangt sie stellenweise eine bessere Bewertung ihres eigenen Angebots, was grundsätzlich zur Erteilung des Zuschlags an sie führen könnte (<ref-law>). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist einzutreten.
2.
Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Ausgeschlossen ist damit die Rüge der Missachtung von einfachem Gesetzes- und Konkordatsrecht. Ebenfalls nicht selbständig gerügt werden kann die Verletzung des den Submissionserlassen zugrunde liegenden Transparenzgebotes und des beschaffungsrechtlichen Diskriminierungsverbotes. Diesen Grundsätzen kommt nicht der Rang selbständiger Verfassungsgarantien zu (vgl. Urteile 2D_58/2013 vom 24. September 2014 E. 2.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2014 E. 1.5; 2C_85/2007 vom 1. Oktober 2007 E. 3.1). Hingegen ist die Rüge einer willkürlichen Anwendung der massgebenden Submissionsgesetzgebung zulässig, da die Anbieter im öffentlichen Beschaffungsrecht ein rechtlich geschütztes Interesse an der Einhaltung der entsprechenden Gesetzgebung haben (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 95 f.; Urteile 2C_665/2015 vom 26. Januar 2016 E. 2.3; 2C_1196/2013 vom 21. Februar 2013 E. 1.5). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht, soweit eine entsprechende Rüge präzise vorgebracht und begründet worden ist (sog. Rügeprinzip; Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin erhebt verschiedene formelle Rügen, die vorab zu beurteilen sind.
3.1. Zunächst macht die Beschwerdeführerin geltend, die Vergabebehörde habe Ausstandsvorschriften verletzt. Sie bezieht sich damit auf drei Personen, die zur Bewertung der Offerten beigezogen wurden und bringt vor, dass ein Anschein der Befangenheit bestehe. Die Beschwerdeführerin führt aus, dass zwischen zwei Mitgliedern des Bewertungsgremiums (D._, E._) und dem Geschäftsführer einer Schwestergesellschaft der Zuschlagsempfängerin (F._ AG) enge persönliche Verbindungen bestehen sollen. Sodann pflege die Arbeitgeberin eines dritten Mitglieds des Bewertungsgremiums (G._) geschäftliche Beziehungen zum H._ Konzern, dem die Zuschlagsempfängerin angehöre. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin begründet dies objektiv den Anschein der Befangenheit, was zur Aufhebung des Zuschlagsentscheids führen müsse.
3.1.1. In Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen hat jede Person den Anspruch auf gleiche und gerechte Behandlung (<ref-law>). In Verfahren vor nichtgerichtlichen Behörden - wie hier der Stadt Zürich - umfasst <ref-law> zugleich das Gebot der Unbefangenheit. Es bildet einen Teilgehalt des Anspruchs auf ein faires Verfahren (<ref-ruling> E. 5.2 S. 329; <ref-ruling> E. 2.2 S. 342 ff.; <ref-ruling> E. 3c S. 130). Ein Submissionsverfahren kann den ihm zugedachten Zweck - Gewährleistung einer diskriminierungsfreien, transparenten und auf Marktöffnung sowie wirtschaftliche Verwendung öffentlicher Mittel ausgerichteten Beschaffungspraxis - nur erfüllen, wenn auch die Zusammensetzung der Behörde, die über den Zuschlag entscheidet, diesem Ziel Rechnung trägt (vgl. Urteil 2P.152/2002 vom 12. Dezember 2002 E. 2). Der Anspruch auf Unparteilichkeit der Verwaltungsbehörde bringt mit sich, dass kein befangenes Behördenmitglied am Entscheid mitwirken darf (Urteile 2C_308/2015 vom 7. Juli 2015 E. 2.2; 1C_388/2009 vom 17. Februar 2010 E. 4.1). In Analogie zu <ref-law> verpflichtet <ref-law> eine Amtsperson zum Ausstand, wenn Umstände vorliegen, die nach objektiven Gesichtspunkten geeignet sind, den Anschein der Befangenheit zu erwecken (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 125; <ref-ruling> E. 2.2 S. 3 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 229). Unter die Ausstandspflicht fallen in persönlicher Hinsicht auch Privatpersonen, soweit sie von der Vergabebehörde als Hilfspersonen beigezogen werden und am Entscheid in irgendeiner Form, z.B. bei der Angebotsbewertung, mitwirken (CHRISTOPH JÄGER, Die Vorbefassung des Anbieters im öffentlichen Beschaffungsrecht, 2009, S. 60 und S. 64 f.).
3.1.2. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin liegen keine Anhaltspunkte vor, die nach objektiver Betrachtung auf eine Befangenheit von Mitgliedern des Bewertungsgremiums hindeuten. Die Vorinstanz geht davon aus, dass sich ein Mitglied des Bewertungsgremiums (D._) und der Geschäftsführer einer Schwestergesellschaft der Zuschlagsempfängerin (I._) aufgrund ihrer Einsitznahme im Vorstand des Vereins A._ kennen. Der Vereinsvorstand umfasst dabei insgesamt 15 Personen. Hinweise für eine darüber hinausgehende berufliche oder geschäftliche Verbindung zwischen D._ und I._ sind weder ersichtlich noch dargetan. Hinzu kommt, dass die Zuschlagsempfängerin und ihre hier fragliche Schwestergesellschaft Teil eines grösseren Konzerns sind. Sie stehen gegenseitig nicht in einem direkten Abhängigkeitsverhältnis, sondern sind nur indirekt über die Konzernmutter und weitere zwischengeschaltete Gesellschaften verbunden. Allein aufgrund seiner gleichzeitigen Einsitznahme mit I._ im mehrköpfigen Vorstand des Vereins A._ besteht aus objektiver Sicht keine Veranlassung, die Unparteilichkeit von D._ in Zweifel zu ziehen. Dasselbe gilt für E._, der im Verein A._ lediglich Mitglied ist.
3.1.3. Mit Blick auf G._ geht die Vorinstanz davon aus, dass dessen Arbeitgeberin (J._ AG) auch Gesellschaften, die dem gleichen Konzern angehören wie die Zuschlagsempfängerin, zu ihren Kunden zählt und Beratungsdienstleistungen erbringt. Von keiner Seite wird jedoch geltend gemacht, dass G._ oder seine Arbeitgeberin die Zuschlagsempfängerin beraten hätten. Ebensowenig sind Hinweise vorhanden, dass sie von anderen Gesellschaften des H._ Konzerns im Zusammenhang mit öffentlichen Veloverleihsystemen oder in verwandten Bereichen mit Dienstleistungen beauftragt wurden. Sodann verfügt die Arbeitgeberin von G._ über zahlreiche weitere Kunden, die nicht in Verbindung zum H._ Konzern stehen. Nach den Feststellungen der Vorinstanz fehlen zudem Anhaltspunkte, nach denen die geschäftlichen Beziehungen zwischen der Arbeitgeberin von G._ und Gesellschaften des H._ Konzerns ein Ausmass annehmen, das aus wirtschaftlicher Sicht ein eigentliches Näheverhältnis begründet. Das gilt gleichermassen für die K._, deren Beteiligung an der Zuschlagsempfängerin die Beschwerdeführerin weiterhin behauptet. Insgesamt besteht damit auch in Bezug auf G._ keine objektive Veranlassung, von einem Ausstandsgrund auszugehen.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht weiter in verschiedener Hinsicht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend.
3.2.1. Aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör fliesst als Teilgehalt die Pflicht der Behörde, die Vorbringen der Betroffenen tatsächlich zu hören, zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen. Ausserdem hat die Behörde ihren Entscheid zu begründen, wobei sie wenigstens kurz die wesentlichen Überlegungen nennen muss, von denen sie sich hat leiten lassen. Nicht erforderlich ist, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Die Behörde kann sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Gleichzeitig muss die Begründung aber so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen die Überlegungen, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie sich stützt, wenigstens kurz im Entscheid genannt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.1 S. 237 f.; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
3.2.2. Weiter räumt der Anspruch auf rechtliches Gehör den Betroffenen das Recht ein, erhebliche Beweise beizubringen, mit solchen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken. Diesem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörden, die Argumente und Verfahrensanträge der Parteien entgegenzunehmen und zu prüfen, sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 127 mit Hinweisen; Urteil 2C_109/2015 vom 1. September 2015 E. 4.1). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil es auf Grund der bereits abgenommenen Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (BGE <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157 mit Hinweisen).
3.2.3. Die Rüge einer Verletzung des rechtlichen Gehörs erschöpft sich über weite Strecken in appellatorischer Kritik am vorinstanzlichen Urteil. Im Übrigen erweist sie sich als unbegründet: Mit dem Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach die Zuschlagsempfängerin das Eignungskriterium EK01 (Aufbau und Betrieb eines öffentlichen Veloverleihsystems) nicht erfülle, hat sich die Vorinstanz entgegen der Ausführungen der Beschwerdeführerin eingehend auseinandergesetzt (vgl. angefochtenes Urteil E. 5). Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Vorinstanz habe ihre Argumente unberücksichtigt gelassen, nach denen die "Dichte des Systems" ein erheblicher Erfolgsfaktor sei. Dabei habe die Vorinstanz auch in gehörsverletzender Weise auf die Abnahme von Beweisen verzichtet. Das Standortkonzept der Beschwerdeführerin behandelt die Vorinstanz im Zusammenhang mit dem Unterkriterium ZK2.3 (Betriebskonzept). Dabei stellt sie fest, dass das Standortkonzept neben weiteren Gesichtspunkten positiv bewertet wurde. Zwei Aspekte wurden hingegen negativ gewertet. Eine durchwegs positive Bewertung erhielt das Angebot der Zuschlagsempfängerin, die unter anderem ein "optimiertes Standortkonzept mit Unterstützung eines Verkehrsplaners" vorlegte und in zwei weiteren Punkten ein überzeugenderes Angebot unterbreitete als alle anderen Anbieter. Gestützt darauf kam die Vorinstanz zum Schluss, dass die Stadt Zürich den ihr zustehenden Beurteilungsspielraum ohnehin nicht überschritten habe, wenn sie der Zuschlagsempfängerin für das Betriebskonzept mit vier Punkten die maximale Punktzahl und der Beschwerdeführerin nur drei Punkte erteilte. Damit setzt sich die Vorinstanz mit der Frage der Standortdichte zwar nicht im Detail auseinander. Sie zeigt jedoch hinreichend deutlich auf, dass sich die konkrete Bewertung des Unterkriteriums ZK.2.3 (Betriebskonzept) unter Berücksichtigung sämtlicher Gesichtspunkte insgesamt auch dann noch innerhalb des Beurteilungsspielraums der Vergabebehörde bewegt, wenn der Aspekt der Standortdichte im Angebot der Beschwerdeführerin (noch) positiver zu bewerten wäre. Unter dem Gesichtswinkel des rechtlichen Gehörs hat die Vorinstanz dem Einwand der Beschwerdeführerin somit ausreichend Rechnung getragen. Vor diesem Hintergrund konnte die Vorinstanz auch auf die Abnahme von zusätzlichen Beweisen über den Einfluss der Standortdichte auf den Erfolg eines Veloverleihsystems verzichten, ohne den Beweisanspruch der Beschwerdeführerin zu verletzen.
3.2.4. Die Rügen formeller Natur erweisen sich im Ergebnis als unbegründet.
4.
In materieller Hinsicht macht die Beschwerdeführerin geltend, dass ihre Offerte in verschiedenen Punkten willkürlich bewertet worden sei.
4.1. Die Ausschreibungsunterlagen sahen vor, dass das auf eine Dauer von fünf Jahren ausgelegte Veloverleihsystem in der Grundleistung mindestens 1'500 Velos und 100 Stationen sowie als Option zusätzlich mindestens 750 Velos und 50 Stationen umfassen sollte. Der Vertrag sollte um maximal fünf weitere Jahre verlängert werden können. Als Zuschlagskriterien nannten die Ausschreibungsunterlagen den Preis (Gewichtung: 35%), das Velosystem (25%), die Erfahrung und Referenzen des Anbieters (20%) sowie das Geschäftsmodell (20%). Im Unterkriterium "Betriebskonzept" (Gewichtung insgesamt: 5%) zum Zuschlagskriterium "Velosystem" sollte gemäss den Ausschreibungsunterlagen auch die Anzahl der Stationen in die Beurteilung einfliessen.
4.1.1. Als Grundangebot offerierte die Beschwerdeführerin ein Veloverleihsystem mit 150 Stationen. Damit ging sie über die Anforderungen der Ausschreibung hinaus, was ihr nach den Submissionsbedingungen freistand. Nach Auffassung der Beschwerdeführerin hätte diese Mehrleistung allerdings in die Bewertung des Zuschlagskriteriums "Preis" einfliessen sollen. Weiter hätte nach der Beschwerdeführerin beim Preis berücksichtigt werden müssen, dass sie im Unterschied zur Zuschlagsempfängerin plant, einen Drittel der Veloflotte während der Vertragsdauer von fünf Jahren zu ersetzen.
4.1.2. Die Rüge ist unbegründet: Der Preis steht für die Leistung des Gemeinwesens, die es für den Auftrag zu erbringen hat. Die anderen Zuschlagskriterien dienen der Bewertung der Gegenleistung, die dem Gemeinwesen für den Preis angeboten wird (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 560). Aus den Ausschreibungsunterlagen ging klar hervor, dass die Vergabebehörde den Preis im Verhältnis zur Zahl der Stationen erheblich stärker gewichtet. Ausserdem war deutlich erkennbar, dass die Anzahl der Stationen im Rahmen des Zuschlagskriteriums "Velosystem" und nicht beim Preis berücksichtigt werden. Wie die Vorinstanz sodann zutreffend ausführt, ist die Option einer Verlängerung des Vertrags über die erste Periode von fünf Jahren hinaus von unbestimmtem Gehalt. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin war die Vergabebehörde daher nicht zwingend gehalten, den Restwert der Veloflotte am Ende der fünfjährigen Vertragslaufzeit bei der Preiskalkulation zu berücksichtigen. Die Bewertung des Zuschlagskriteriums "Preis" durch die Vergabebehörde ist nicht zu beanstanden.
4.2. Die Beschwerdeführerin wendet weiter ein, dass durch das Angebot der Zuschlagsempfängerin in der Höhe von Fr. 0.-- das Kriterium der Nutzung und das damit zusammenhängende Anreizsystem zur Erhöhung der Nutzungszahlen ("Bonus-Malus-System") verfälsche. Mit den überzeugenden Erwägungen der Vorinstanz, wonach bei einem offerierten Preis von Fr. 0.-- zusätzliche Anreize für eine Leistungssteigerung des Anbieters durch ein Bonus-Malus-System nicht notwendig seien, setzt sich die Beschwerdeführerin aber nur oberflächlich auseinander. Sie zeigt zudem nicht schlüssig auf, dass im Rahmen der Zuschlagskriterien "Referenzen" und "Geschäftsmodell" bei den budgetierten Nutzungszahlen massgebliche Korrekturen angebracht werden. Eine willkürliche Rechtsanwendung durch die Vorinstanz ist damit nicht dargetan.
4.3. Sämtliche Rügen, mit denen die Beschwerdeführerin auf eine bessere Bewertung ihres Angebots abzielt, erweisen sich damit als unbegründet. Die übrigen Vorbringen materieller Natur betreffen das Angebot der Zuschlagsempfängerin: Die Beschwerdeführerin bestreitet einerseits die Eignung der Zuschlagsempfängerin. Andererseits führt sie aus, dass die Zuschlagsempfängerin ein ungewöhnlich niedriges Angebot eingereicht habe, was zusätzliche Erkundigungen der Vergabebehörde erfordert hätte. Weiter bringt sie vor, dass das System der Zuschlagsempfängerin wegen mangelnder Risikostabilität schlechter zu benoten gewesen wäre. Die Beschwerdeführerin lässt dabei ausser Acht, dass sie als drittplatzierte Anbieterin von einem Ausschluss oder einer schlechteren Bewertung der erstplatzierten Anbieterin nicht unmittelbar profitieren würde. Der Zuschlag würde in beiden Fällen an die zweitplatzierte Anbieterin und nicht an sie erteilt. Die Beschwerdeführerin macht auch nicht in rechtsgenüglicher Weise geltend, dass ein Ausschluss der Zuschlagsempfängerin zu einer Verschiebung der Bewertungsskalen führen würde, sodass sie von den verbleibenden zwei Anbietern den ersten Rang einnehmen würde. Vor diesem Hintergrund erübrigt es sich, die Rügen in Bezug auf den Ausschluss und die Bewertung des erstplatzierten Angebots näher zu behandeln, da sie auch dann nicht den Zuschlag an die Beschwerdeführerin nach sich ziehen würden, wenn sie inhaltlich begründet wären.
5.
Im Ergebnis ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht einzutreten. Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen. Bei diesem Verfahrensausgang trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (vgl. <ref-law>). Sie schuldet der Zuschlagsempfängerin eine Parteientschädigung, nicht hingegen der Stadt Zürich, die in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird nicht eingetreten.
2.
Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdeführerin wird verpflichtet, die PubliBike AG für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, der PubliBike AG und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann