Faits :
A.
A.a. A._ (ci-après: la locataire) et B._ (ci-après: la bailleresse) ont conclu des contrats de bail portant sur deux arcades d'un immeuble situé à la rue xxx à.... Celui-ci était géré par la régie C._ SA (ci-après: la régie). Les contrats prévoyaient que les arcades étaient destinées " à l'usage d'un café-restaurant avec après-midis et soirées dansantes ".
L'entreprise individuelle " U._ " a été inscrite au Registre du commerce le... 2013, avec pour but l'exploitation d'un café-restaurant. La locataire en était la titulaire.
A.b. La locataire a sollicité divers types d'autorisations d'animation musicale auprès du Service du commerce.
Le Service de l'air, du bruit et des rayonnements non ionisants (ci-après: le SABRA), appelé à se prononcer sur ces demandes, a émis un préavis défavorable pour la délivrance d'une autorisation annuelle d'animation musicale, en raison d'une isolation insuffisante. S'agissant d'une autorisation limitée à une durée de trois mois, il a rendu un préavis réservé à l'installation d'un appareil permettant de limiter le niveau sonore de la diffusion de la musique.
A.c. Par différents courriers, la locataire a sollicité de la régie qu'elle fasse réaliser les travaux nécessaires afin de remédier au défaut d'isolation. Elle a signalé ne pas pouvoir exploiter ses locaux conformément à leur destination contractuelle, ce qui engendrait un manque à gagner.
La régie a indiqué que les locaux répondaient à la destination pour laquelle ils avaient été mis à disposition de la locataire, conformément aux contrats de bail concernés.
A.d. Le Service du commerce a accordé à la locataire des autorisations musicales pour la période du 7 novembre au 31 décembre 2014, puis jusqu'au 31 mars 2015. Le préavis du SABRA quant à l'installation d'un appareil permettant de limiter le niveau sonore en faisait partie intégrante.
A.e. En proie à de graves difficultés financières, la locataire a mandaté un agent d'affaires pour la remise du fonds de commerce. Celui-ci a proposé à la régie deux dossiers de candidature pour reprendre le bail, lesquels ont été refusés par la régie et la bailleresse en mai et juillet 2015.
A.f. Dans l'intervalle, la locataire a été déclarée en faillite le... 2015. La faillite a été clôturée et l'entreprise de la locataire a été radiée d'office du Registre du commerce en... 2016.
B.
B.a. Le 21 septembre 2017, au bénéfice d'une autorisation de procéder, la locataire a saisi le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève d'une demande dirigée notamment contre la bailleresse en vue d'obtenir le paiement d'un montant de 350'000 francs. Par la suite, elle a expliqué que cette somme était composée, en particulier, de 250'000 fr. à titre de dommages et intérêts pour gain manqué, de 29'019 fr. correspondant à des " loyers suite à l'opposition injustifiée au transfert de bail " et de 20'000 fr. à titre de réduction de loyer. La bailleresse a déposé une demande reconventionnelle tendant à la condamnation de la locataire à lui verser le montant de 30'033 fr. 50 à titre d'arriérés de loyers et de charges au 30 novembre 2015, à ce qu'elle soit autorisée à prélever ce montant sur les garanties de loyer de 7'002 fr. et 7'968 fr. constituées, et à la libération à due concurrence de ces garanties en sa faveur.
Par la suite, la locataire a amplifié ses conclusions, les portant à 548'130 fr. avec intérêts, en ajoutant notamment une prétention de 200'000 fr. à titre de " rachat d'un fonds de commerce ".
Statuant le 26 novembre 2019, le Tribunal des baux et loyers a débouté la locataire de toutes ses conclusions, l'a condamnée à payer à la bailleresse le montant de 30'033 fr. 50 à titre d'arriérés et de charges au 30 novembre 2015, et a autorisé la libération des garanties de loyer précitées en faveur de la bailleresse.
B.b. La locataire a interjeté appel contre ce jugement auprès de la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève. Par arrêt du 22 juin 2020, la Cour de justice a confirmé le jugement attaqué et débouté les parties de toutes autres conclusions.
En substance, la cour cantonale a relevé qu'elle ne pouvait déterminer si la locataire était légitimée à faire valoir en justice des créances qui auraient dû être inventoriées dans la faillite, dès lors que le dossier ne contenait pas d'éléments suffisants au sujet de la procédure de faillite. Cette question pouvait de toute façon demeurer indécise. En effet, la chose louée ne présentait pas de défaut. En outre, la locataire n'avait pas fourni d'explications, ni de justificatifs au sujet du dommage allégué à ce titre, composé de 250'000 fr. pour le " dommage subi en raison du gain manqué " et de 200'000 fr. pour le " rachat d'un fonds de commerce ". S'agissant des montants réclamés sous la rubrique " transfert de bail ", soit 29'019 fr. à titre de " loyer suite opposition injustifiée du transfert de bail " et 26'911 fr. à titre de " réduction du loyer ", la cour cantonale a notamment considéré que la locataire n'avait donné aucune explication sur les dommages-intérêts qu'elle réclamait, ce qui suffisait à sceller le sort du grief lié au transfert du bail.
C.
La locataire (ci-après: la recourante) forme un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Elle conclut principalement à ce que la bailleresse (ci-après: l'intimée) soit condamnée à lui verser la somme de 187'095 fr. avec intérêts à 5 % dès le 22 mars 2015, subsidiairement au renvoi de la cause à l'autorité précédente afin qu'elle statue dans le sens des considérants. Ce montant est composé de 150'000 fr. pour le dommage subi en raison du défaut de la chose louée et de 37'095 fr. à titre de dommages-intérêts en lien avec le refus de l'intimée de consentir au transfert du bail. Une demande d'assistance judiciaire est jointe au recours.
L'intimée et l'autorité précédente, laquelle a transmis le dossier de la cause, n'ont pas été invitées à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles afférentes à la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. (<ref-law>) et au délai de recours (art. 46 al. 1 let. b et art. 100 al. 1 LTF).
2.
2.1. Le recours peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), il n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). " Manifestement inexactes " signifie ici " arbitraires " (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi les conditions précitées seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1).
En matière d'appréciation des preuves, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait envisageable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.2).
3.
La recourante ne critique pas les considérations de la cour cantonale quant à sa légitimation à faire valoir en justice les créances contestées. A ce stade subsistent uniquement deux points litigieux. En premier lieu, se pose la question de savoir si la chose louée présentait un défaut ayant entraîné un dommage. En second lieu, est litigieux le droit de la recourante à des dommages-intérêts en lien avec le refus de l'intimée de consentir au transfert du bail.
4.
4.1. S'agissant du premier point, la recourante allègue un établissement incomplet des faits constitutif d'arbitraire dans la mesure où la cour cantonale n'a tenu compte ni du fait qu'elle avait toujours affirmé vouloir organiser des thés dansants avec de la musique live, ni de l'absence de réaction de la régie à ses demandes. Elle fait également valoir une violation des art. 18 al. 1 et 256 al. 1 CO. Selon elle, la cour cantonale aurait dû admettre le défaut de la chose louée.
Ensuite, la recourante soutient que le dommage subi en raison dudit défaut se composait d'une perte du chiffre d'affaires et du montant de 150'000 fr. versé pour reprendre le commerce. A cet égard, elle renvoie à l'art. 2 de la " Convention de remise du commerce figurant dans le dossier transmis par le Service de police du commerce ".
4.2. Le bailleur est tenu de délivrer la chose dans un état approprié à l'usage pour lequel elle a été louée, puis de l'entretenir dans cet état (<ref-law>).
Selon l'<ref-law>, le locataire qui subit un dommage en raison du défaut a droit à des dommages-intérêts, à moins que le bailleur ne prouve qu'aucune faute ne lui est imputable. Il s'agit d'un cas d'application classique de la responsabilité contractuelle (<ref-law>), qui présuppose un défaut de la chose louée, un préjudice, un lien de causalité entre les deux ainsi qu'une faute du bailleur, laquelle est présumée. Il incombe donc au locataire d'établir les trois premiers éléments, tandis que le bailleur doit prouver qu'il n'a commis aucune faute (arrêt 4A_32/2018 du 11 juillet 2018 consid. 2.2 et les références citées).
4.3. La cour cantonale a retenu que la chose louée ne présentait pas de défaut. Elle a ajouté que la recourante n'avait ni donné d'explications, ni fourni de justificatifs au sujet du dommage allégué à ce titre, composé de 250'000 fr. pour le " dommage subi en raison du gain manqué " et de 200'000 fr. pour le " rachat d'un fonds de commerce ". Ainsi, le tribunal de première instance avait à juste titre rejeté les prétentions de la locataire en paiement des montants réclamés.
Avant d'examiner la question du défaut de la chose louée, il convient de déterminer si le dommage qui en résulterait, selon la recourante, a bel et bien été établi. Savoir si elle a prouvé le dommage allégué est une pure question d'appréciation des preuves que le Tribunal fédéral ne peut revoir que sous l'angle restreint de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Encore faut-il que la recourante présente à ce sujet une argumentation précise (<ref-law>). Or, dans son recours, l'intéressée ne se conforme pas à ces exigences. Elle n'invoque pas l'arbitraire en lien avec la question du dommage et ne fournit aucune motivation permettant de comprendre en quoi l'autorité cantonale aurait rendu une décision insoutenable en retenant qu'un dommage n'avait pas été établi. La recourante ne prétend pas avoir apporté la moindre preuve de son dommage ou fait référence à des pièces au dossier devant la cour cantonale. Elle se limite à extraire le montant de 150'000 fr. du dossier, ce qui n'est pas conforme à la règle de l'<ref-law>. En effet, sauf si l'arbitraire est démontré par une argumentation précise, ce qui n'est pas le cas ici, le Tribunal fédéral ne peut prendre en compte que les chiffres figurant dans l'arrêt attaqué (arrêt 4A_310/2012 du 1er octobre 2012 consid. 2.5).
Le dommage n'ayant pas été établi, il est superflu d'examiner les autres arguments de la recourante en lien avec un prétendu défaut de la chose louée.
5.
5.1. Concernant le second point litigieux, la recourante se plaint d'une violation des <ref-law> et 8 CC. Elle soutient avoir allégué et prouvé que les candidats à la reprise du bail étaient solvables et expérimentés dans la restauration, et ajoute que le fardeau de la preuve n'était pas à sa charge. Elle prétend que la Cour de justice aurait dû conclure au transfert du bail en faveur du premier candidat proposé et au fait qu'il aurait payé les loyers depuis le 1er juin 2015. La recourante fait ainsi valoir qu'elle n'était pas débitrice des loyers réclamés par l'intimée, de sorte que cette dernière ne pouvait, notamment, se faire autoriser la libération des garanties de loyers en sa faveur.
5.2. Aux termes de l'<ref-law>, le locataire d'un local commercial peut transférer son bail à un tiers avec le consentement écrit du bailleur. Le bailleur ne peut refuser son consentement que pour de justes motifs (al. 2).
Si le bailleur refuse le transfert sans justes motifs, le locataire peut agir en justice (<ref-ruling> consid. 2b; arrêts 4A_352/2012 du 21 novembre 2012 consid. 3.4.1; 4A_55/2008 du 26 mars 2008 consid. 4). Il demandera d'autoriser le transfert et, s'il a subi un préjudice, de condamner le bailleur à des dommages-intérêts (<ref-law>; DAVID LACHAT, Le bail à loyer, 2019, p. 770 n° 4.5; HIGI/WILDISEN, Zürcher Kommentar, 5e éd. 2019, n° 43 ad <ref-law>; BISE/PLANAS, in Droit du bail à loyer et à ferme, Bohnet/Carron/Montini [éd.], 2e éd. 2017, n° 58 ad <ref-law>).
5.3. En l'occurrence, la cour cantonale a tout d'abord relevé que la recourante n'avait donné aucune explication sur le montant des dommages-intérêts qu'elle réclamait, ce qui suffisait à sceller le sort du grief en lien avec le transfert du bail.
A nouveau, la recourante n'invoque pas l'arbitraire et ne fournit aucune motivation tendant à démontrer le moindre arbitraire dans la constatation précitée de la cour cantonale. Les éléments qu'elle se limite à citer en rapport avec le dommage allégué sont tardifs et ne correspondent d'ailleurs même pas aux montants réclamés à ce titre devant la cour cantonale.
Faute d'un dommage établi, les autres arguments de la recourante relatifs au transfert du bail deviennent sans objet.
6.
En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable.
Selon l'<ref-law>, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas vouées à l'échec. En l'occurrence, la procédure entreprise devant le Tribunal fédéral n'offrait manifestement aucune chance de succès. Cela entraîne le rejet de la demande d'assistance judiciaire de la recourante, quelle que soit sa situation financière. Elle supportera dès lors les frais de la présente procédure (<ref-law>), fixés conformément à l'<ref-law>, qui prescrit de tenir compte notamment de la situation financière des parties.
L'intimée n'ayant pas été invitée à déposer une réponse, il ne lui sera pas alloué de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 11 novembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Raetz