Sachverhalt:
A.
Vor dem Regionalgericht Berner Jura-Seeland wurde ein Verfahren betreffend Verlängerung der mit Urteil vom 28. Mai 2014 angeordneten stationären therapeutischen Behandlung von A._ durchgeführt. Das Bundesgericht wies mit Urteil 1B_64/2020 vom 28. Februar 2020 eine von ihm erhobene Beschwerde gegen die Verlängerung der Sicherheitshaft ab, soweit es darauf eintrat. Am 4. Juni 2020 fand die Hauptverhandlung vor dem Regionalgericht statt. An dieser Verhandlung stellte der Rechtsanwalt von A._ den Antrag, der verfahrensleitende Gerichtspräsident Markus Gross habe in den Ausstand zu treten. Nach Beratung über diesen Antrag beschloss das Gericht, bis zum Entscheid des für das Ausstandsgesuch zuständigen Obergerichts des Kantons Bern trete der abgelehnte Richter nicht in den Ausstand. Das Regionalgericht tagte weiter und beschloss am gleichen Tag die Verlängerung der stationären therapeutischen Massnahme. Mit Schreiben vom 8. Juni 2020 überwies Gerichtspräsident Gross das Ausstandsgesuch dem Obergericht und stellte Antrag auf Abweisung.
B.
Mit Verfügung vom 10. Juni 2020 eröffnete die Verfahrensleitung am Obergericht das Ausstandsverfahren und sandte dem Rechtsvertreter von A._ eine Kopie der Stellungnahme des Gerichtspräsidenten zur Kenntnisnahme zu. Am 16. Juni 2020 beschloss das Obergericht, auf das Ausstandsgesuch wegen verspäteter Erhebung nicht einzutreten.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 20. Juli 2020 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt, den angefochtenen Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, auf das Ausstandsgesuch einzutreten. Eventuell sei die Sache zur neuen Begründung und Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Er macht namentlich eine Verletzung seines Replikrechtes durch die Vorinstanz geltend. Für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Gerichtspräsident Gross, das Obergericht und das Amt für Justizvollzug des Kantons Bern, Bewährungs- und Vollzugsdienste, verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein selbstständig eröffneter Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache, den die Vorinstanz als letzte und einzige kantonale Instanz gefällt hat. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen offen (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG, <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt. Er hat nach wie vor ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde, auch wenn das Regionalgericht bereits unter Mitwirkung des Beschwerdegegners entschieden hat, die stationäre therapeutische Behandlung des Beschwerdeführers zu verlängern. Nach <ref-law> sind Amtshandlungen, an denen eine zum Ausstand verpflichtete Person mitgewirkt hat, aufzuheben und zu wiederholen, sofern dies eine Partei innert fünf Tagen verlangt, nachdem sie vom Entscheid über den Ausstand Kenntnis erhalten hat. Der Beschwerdeführer kann somit bei Gutheissung der Beschwerde die Aufhebung und Wiederholung von Amtshandlungen verlangen, an denen der Beschwerdegegner mitgewirkt hat (vgl. Urteil 1B_272/2016 vom 26. September 2016 E. 1 mit Hinweis). Da auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK haben die Parteien eines Gerichtsverfahrens Anspruch auf rechtliches Gehör. Diese Garantie umfasst auch das Recht, von den beim Gericht eingereichten Stellungnahmen Kenntnis zu erhalten und sich dazu äussern zu können (sog. Replikrecht: <ref-ruling> E. 2.1 S. 99). Das Replikrecht hängt nicht von der Entscheidrelevanz der Eingaben ab (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 157). Die Wahrnehmung des Replikrechts setzt voraus, dass die von den übrigen Verfahrensbeteiligten eingereichten Eingaben der Partei zugestellt werden (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 197). In Ausstandsverfahren steht das Replikrecht dem Gesuchsteller zu sämtlichen Stellungnahmen der Personen zu, deren Ausstand er beantragt hat (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 224; Urteil 1B_272/2016 vom 26. September 2016 E. 2.2.1). Den Erwägungen des angefochtenen Entscheids lässt sich entnehmen, dass die Verfahrensleitung der Vorinstanz auf das Einholen einer Vernehmlassung zur Stellungnahme des Beschwerdegegners verzichtet hat. Dieses Vorgehen wahrte den Gehörsanspruch des anwaltlich vertretenen Beschwerdeführers nur dann, wenn ihm eine genügende Zeitspanne zur allfälligen Wahrnehmung des Replikrechts belassen wurde, bevor der angefochtene Entscheid gefällt worden ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.4 und 2.5 S. 487; Urteile 1B_233/2016 vom 27. Juli 2016 E. 2.1; 1B_272/2016 vom 26. September 2016 E. 2.2.2).
2.2. Welche Wartezeit ausreichend ist, hängt vom Einzelfall ab. Die Rechtsprechung bejaht in aller Regel eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, wenn das Gericht "nur wenige Tage" nach der Mitteilung entscheidet (vgl. <ref-ruling> E. 2.6 S. 199). In einer allgemeinen Formulierung hielt das Bundesgericht fest, dass jedenfalls vor Ablauf von zehn Tagen nicht, hingegen nach zwanzig Tagen von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgegangen werden dürfe (vgl. Urteil 1B_272/2016 vom 26. September 2016 E. 2.2.2 mit Hinweisen). Mit anderen Worten darf das Gericht vor Ablauf von zehn Tagen im Allgemeinen nicht von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgehen (vgl. Urteile 1B_214/2019 vom 25. Juni 2019 E. 2.1; 1B_340/2018 vom 18. Oktober 2018 E. 2.3; je mit Hinweisen). Bei Ausstandsverfahren in Haftfällen besteht grundsätzlich eine besondere Dringlichkeit. In solchen Fällen wäre es dem kantonalen Gericht zur Beschleunigung des Verfahrens unbenommen, den Parteien die Stellungnahme einer abgelehnten Gerichtsperson unter Ansetzung einer kurzen, nicht verlängerbaren Frist zur Vernehmlassung zuzustellen (vgl. Urteil 1B_272/2016 vom 26. September 2016 E. 2.2.3 mit Hinweis zum Replikrecht im Haftverfahren). Da die Vorinstanz die fragliche Stellungnahme aber lediglich zur Kenntnisnahme zustellte, durfte sie nicht vor Ablauf von zehn Tagen von einem Verzicht auf das Replikrecht ausgehen. Es kommt daher vorliegend nicht darauf an, ob beim betroffenen Ausstandsverfahren eine besondere Dringlichkeit gegeben ist.
2.3. Nach den Verfahrensakten ging die vom Obergericht übermittelte Stellungnahme des Beschwerdegegners am 11. Juni 2020 beim Rechtsanwalt des Beschwerdeführers ein. In der Beschwerde ans Bundesgericht wird vorgebracht, die Vorinstanz habe die Stellungnahme dem Beschwerdeführer am 9. und am 11. Juni 2020 zugestellt. Der angefochtene Entscheid des Obergerichts erging am 16. Juni 2020. Es spielt keine Rolle, ob von einer Kenntnisnahme bereits am 9. Juni 2020 ausgegangen werden kann. Selbst wenn das zuletzt genannte Datum als massgeblich betrachtet würde, hätte das Obergericht seinen Beschluss sieben Tage nach dem Eintreffen der Stellungnahme bzw. ihrer Kenntnisnahme durch den Betroffenen gefällt. Diese Zeitspanne ist im Sinne der dargelegten Rechtsprechung (vgl. oben E. 2.2) zu kurz, um einen Verzicht auf das Replikrecht annehmen zu dürfen.
2.4. Der angefochtene Entscheid verletzt somit den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Eine Heilung dieses Verfahrensmangels im bundesgerichtlichen Verfahren fällt nur schon deshalb ausser Betracht, weil das Bundesgericht jedenfalls in tatsächlicher Hinsicht nicht über volle Kognition verfügt (vgl. Art. 97 i.V.m. <ref-law>). Für eine Überprüfung des angefochtenen Nichteintretensentscheids bzw. der dabei umstrittenen Rechtzeitigkeit des Ausstandsbegehrens sind auch Sachverhaltsfragen von Bedeutung. Unter diesen Umständen erübrigt sich ein Eingehen auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers. Dieser dringt demzufolge mit seinem Eventualbegehren auf Rückweisung der Sache zur Gewährung des rechtlichen Gehörs durch.
3.
Nach dem Gesagten ist d ie Beschwerde gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache ist zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Bern den obsiegenden Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, vom 16. Juni 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat Rechtsanwalt Julian Burkhalter für das bundesgerichtliche Verfahren mit F r. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Amt für Justizvollzug des Kantons Bern, Bewährungs- und Vollzugsdienste, und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. September 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet