Sachverhalt:
A.
Am 12. Juli 2018 stellte die B._ GmbH ein Gesuch um Bewilligung des Umbaus bzw. der Aufstockung des Mehrfamilienhauses (Gebäude Nr. 912) auf dem Grundstück Nr. 927, Grundbuch Ebikon. Das Grundstück liegt in verschiedenen Zonen: Der südöstliche Teil des Grundstücks mit dem Gebäude Nr. 912 liegt in der zweigeschossigen Wohnzone. Daran schliesst nordwestlich ein Streifen der Grünzone an und noch weiter nordwestlich - angrenzend an den Rotsee - eine Waldfläche. Überlagert wird der nordwestliche Teil (mitsamt einem Streifen des in der Wohnzone liegenden Grundstücksteils) zudem von der Naturschutzzone gemäss der kantonalen Verordnung vom 30. April 2013 zum Schutz des Rotsees und seiner Ufer (SRL Nr. 711d; nachfolgend: Rotsee-Schutzverordnung). Geplant sind mit dem Bauvorhaben drei Wohnungen, verteilt auf vier Geschosse, mit Aufstockung um ein Attikageschoss. Die Fassade soll im Bereich der bisher im Untergeschoss und im Erdgeschoss bestehenden Rücksprünge erweitert werden. Im Obergeschoss, das als Eingangsgeschoss dient, sind zwei Innenparkplätze und ein gemeinschaftlicher Veloraum vorgesehen. Gegen das Bauvorhaben erhob A._, Eigentümer des Nachbargrundstücks Nr. 127, Grundbuch Ebikon, Einsprache. Mit Entscheid vom 20. Mai 2019 erteilte der Gemeinderat Ebikon der B._ GmbH die Baubewilligung unter Bedingungen und Auflagen. Gleichzeitig eröffnete er den Entscheid Nr. 2018-3326 der Dienststelle Raum und Wirtschaft (rawi) vom 17. April 2019 betreffend eine Ausnahmebewilligung von Bauten und Anlagen im Unterabstand zum Wald. Die Einsprache von A._ wies der Gemeinderat ab, soweit er darauf eintrat.
B.
Am 11. Juni 2019 erhob A._ gegen den Baubewilligungsentscheid der Gemeinde Ebikon vom 20. Mai 2019 Verwaltungsgerichtsbeschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Mit Urteil vom 20. Mai 2020 wies dieses die Verwaltungsgerichtsbeschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 29. Juni 2020 erhebt A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Er beantragt, den Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 20. Mai 2020 aufzuheben.
Die B._ GmbH stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Gemeinde Ebikon beantragt, die Beschwerde abzuweisen und die Baubewilligung vom 20. Mai 2019 zu bestätigen. Soweit sich die Verfahrensbeteiligten im Schriftenwechsel nochmals geäussert haben, halten sie an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>).
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid auf dem Gebiet des Raumplanungsrechts (Art. 82 lit. a und Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen; ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts, von Völkerrecht und von kantonalen verfassungsmässigen Rechten sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts gerügt werden (Art. 95 lit. a-c und <ref-law>).
1.3. Die Anwendung von Bundesrecht und kantonalem Verfassungsrecht prüft das Bundesgericht mit freier Kognition, die Handhabung von kantonalem Gesetzes- und Verordnungsrecht unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 3.1 S. 89). Es wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft es aber nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen).
1.4. Gemäss der ständigen Praxis des Bundesgerichts ist ein Entscheid willkürlich, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist; dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.3 mit Hinweisen).
1.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Offensichtlich unrichtig ist die Sachverhaltsfeststellung, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen, aktenwidrig sind oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 4.1.2; je mit Hinweisen).
2.
Im Sachverhalt des vorinstanzlichen Entscheids war einmalig von einer "Landschaftsschutzzone" statt von einer "Naturschutzzone" die Rede. Es handelt sich, wie die Vorinstanz einräumt, um ein redaktionelles Versehen. Dieses blieb ohne inhaltliche Auswirkungen auf den angefochtenen Entscheid, weshalb der Beschwerdeführer daraus nichts zu seinen Gunsten ableiten kann.
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, dass ihm die Vorinstanz den Original-Schutzplan zur Rotsee-Schutzverordnung nicht eröffnet und dadurch seinen von <ref-law> geschützten Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt habe. Zudem sei durch die unterlassene Edition des Originalplans der rechtserhebliche Sachverhalt im Sinne von <ref-law> offensichtlich unrichtig und auf einer Rechtsverletzung basierend ermittelt worden.
3.1. Die Vorinstanz würdigte die Beweise antizipiert. Obwohl auf der Kopie kein Genehmigungsstempel sichtbar war, erkannte sie keine Gründe für Zweifel, dass es sich beim von der Dienststelle Raum und Wirtschaft (rawi) eingereichten Auflageplan um eine Kopie des Originalplans handle.
3.2. Die Beschwerdegegnerin teilt diese Sicht der Vorinstanz und weist darauf hin, dass durch die Edition des Originalplans keine neuen Erkenntnisse hätten gewonnen werden können. Dem Beschwerdeführer sei es um den Beweis gegangen, dass die Begrenzungslinie der Schutzzone den Grundriss des streitbetroffenen Gebäudes anschneide. Davon sei die Vorinstanz in ihrem Urteil jedoch bereits gestützt auf die Kopie des Originalplans ausgegangen, weshalb es dem Beschwerdeführer für die Edition an einem Rechtsschutzinteresse fehle.
3.3. Es wäre sinnvoll gewesen, wenn die Vorinstanz eine Kopie des Originalplans verwendet hätte, auf dem der Genehmigungsstempel und alle anderen wesentlichen Informationen zum Plan klar hervorgegangen wären - zumal es vorliegend massgeblich um die Interpretation dieses Plans geht. Für den Ausgang des Verfahrens war dieses Vorgehen jedoch nicht entscheidend. Der Beschwerdeführer wollte, wie die Beschwerdegegnerin zu Recht einwendet, mit der abgelehnten Edition des Originalplans nämlich seine Ansicht stützen, dass die Begrenzungslinie der Schutzzone den Grundriss des streitbetroffenen Gebäudes anschneide. Die Vorinstanz ging jedoch bereits gestützt auf die verwendete Plankopie von dieser Möglichkeit aus. Damit verstösst die antizipierte Beweiswürdigung weder gegen <ref-law> noch ist das Vorgehen der Vorinstanz willkürlich. Auch ist darin keine offensichtlich unrichtige oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> basierende Ermittlung des rechtserheblichen Sachverhalts erkennbar.
4.
Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Anwendung von kantonalem Recht. Bei der Rotsee-Schutzverordnung handle es sich um eine Kombination von Schutzzonen im Sinn von Art. 17 Abs. 1 und Abs. 2 RPG (SR 700). Diese kantonale Schutzzone derogiere die geltenden Normen der Bau- und Zonenordnung. In Anwendung von § 56 Abs. 1 lit. c in Verbindung mit Abs. 2 des kantonalen Planungs- und Baugesetzes vom 7. März 1989 (PBG/LU; SRL Nr. 735) trenne die Begrenzungslinie der Schutzzone auch die Bau- und die Nichtbauzone. Aus diesem Grund seien unter anderem die von § 134a PBG/LU verlangten Zonenrandabstände entlang jener Begrenzungslinie einzuhalten. Diese Rechtslage werde von der Vorinstanz verkannt, das Recht willkürlich angewandt.
4.1. Die Vorinstanz führt demgegenüber aus, dass es sich bei der Rotsee-Schutzverordnung um eine kantonale Schutzverordnung nach Art. 17 Abs. 2 RPG und § 22 Abs. 1 lit. b des kantonalen Gesetzes vom 18. September 1990 über den Natur- und Landschaftsschutz (NLG/LU; SRL Nr. 709a) handle. Diese Schutzverordnung lege ihrerseits eine die Grundnutzungsordnung überlagernde Naturschutzzone fest. Die überlagerten Zonen blieben als solche bestehen, ihre Nutzung werde indessen durch die Vorschriften der überlagernden Naturschutzzone eingeschränkt. Die streitbetroffene Liegenschaft liege demnach in der Bauzone und grenze an die Grünzone an, Grenzabstände gemäss § 134a PBG/LU seien nicht erforderlich.
4.2. Vor Bundesgericht wiederholt der Beschwerdeführer weitgehend die Rügen, die er bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht hatte. Dabei setzt er sich über weite Strecken ungenügend mit dem angefochtenen Entscheid auseinander (vgl. vorne E. 1.3). Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Soweit die Beschwerde den Rügeanforderungen genügt, gelingt es dem Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz das Recht vorliegend willkürlich angewendet haben soll. Entgegen seiner Ansicht genügt es hierzu nicht, bloss eine andere Lösung als die von der Vorinstanz gewählte für vertretbar oder zutreffender darzulegen (siehe vorne E. 1.4). So ist die "Derogation" des geltenden Zonenplans samt Bau- und Zonenreglement durch die Rotsee-Schutzverordnung ebensowenig zwingend wie die Anwendung der §§ 56 und 134a PBG/LU auf den vorliegenden Fall. Ohne in Willkür zu verfallen, konnte die Vorinstanz demnach von einer Überlagerung des kommunalen Zonenplans sowie des Bau- und Zonenreglements durch die Rotsee-Schutzverordnung ausgehen und weder die Grenzabstände nach § 134a PBG/LU auf die Begrenzungslinie der Schutzzone anwenden, noch aufgrund von § 56 PBG/LU die von der Schutzzone belegte Fläche dem Nichtbaugebiet zuordnen. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, überzeugt nicht.
Damit dringt der Beschwerdeführer auch nicht mit seinen Rügen durch, die Vorinstanz verfalle in Willkür, wenn sie die von der Schutzzone überlagerte Grundstücksfläche zur Berechnung der zulässigen Ausnützung angerechnet habe.
5.
Verschiedentlich macht der Beschwerdeführer geltend, die Erteilung der Baubewilligung verletze Bundesrecht, vereinzelt werden in diesem Zusammenhang die <ref-law>, <ref-law> und Art. 17 RPG genannt. Auch damit dringt er nicht durch. So ist nicht ersichtlich, wie die Baubewilligung Art. 18, Art. 18a und Art. 18b NHG (SR 451) verletzen könnte. Der Beschwerdeführer stellt nämlich nicht infrage, dass der Kanton mit der Rotsee-Schutzverordnung die Bundesaufgabe, die Biotope von nationaler, regionaler und lokaler Bedeutung unter Schutz zu stellen, richtig wahrgenommen habe. Vielmehr rügt er, dass das diesbezüglich erlassene kantonale Recht nicht richtig angewendet worden sei. Inwiefern das angefochtene Urteil Art. 17 RPG oder gar <ref-law> verletzt haben könnte, wird weder hinreichend dargelegt, noch ist dies ersichtlich.
6.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, dass die vorinstanzliche Anwendung von § 178 Abs. 2 PBG/LU willkürlich gewesen sei, dringt er ebenfalls nicht durch. Die Vorinstanz begründete die Anwendbarkeit dieser kantonalen Norm insbesondere mit der geringfügigen Erweiterung des streitbetroffenen Bauprojekts und der "eher grosszügigen" Praxis zur erweiterten Besitzstandsgarantie nach § 178 Abs. 2 PBG/LU. Die dagegen vorgebrachte Kritik zum Umfang und Abstand beruhen im Wesentlichen auf einer anderen rechtlichen Beurteilung als jener der Vorinstanz, welche sich jedoch als nicht willkürlich erwiesen hat (s. vorne E. 4.2).
Die Dienststelle Raum und Wirtschaft (rawi) bemerkt in ihrer Stellungnahme, dass das streitbetroffene Gebäude vom alten Perimeter der Rotsee-Schutzverordnung vom 9. November 1964 gequert worden sei. Gestützt darauf stellt der Beschwerdeführer nun infrage, dass es sich vorliegend um eine rechtmässig erstellte Baute handelt. Das Gebäude sei in den siebziger Jahren erbaut worden und habe daher die damals geltende Rotsee-Schutzverordnung verletzt. Es sei somit nicht rechtmässig erstellt worden, weshalb eine Anwendung von § 178 PBG/LU nicht in Betracht komme. Aus der Stellungnahme der Dienststelle Raum und Wirtschaft lässt sich jedoch entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht ohne Weiteres ableiten, dass die streitbetroffene Baute unrechtmässig erstellt worden sei. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz bezüglich der Frage, ob das Gebäude rechtmässig erstellt und daher § 178 PBG/LU anwendbar sei, willkürlich gehandelt haben könnte. Auch diesbezüglich dringt der Beschwerdeführer mit seiner Beschwerde nicht durch.
7.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Überdies hat er der obsiegenden, anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin, nicht jedoch der Gemeinde, für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1, 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Gemeinde Ebikon, Abteilung Planung und Bau, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raum und Wirtschaft, und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Bisaz