Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1974 geborene A._ ist seit Januar 2014 als IT-Analyst bei der B._ GmbH, angestellt und dadurch bei der AXA Versicherungen AG (im Folgenden: AXA) gegen Unfallfolgen versichert. Am 21. August 2016 stürzte er mit einem Glas in der linken Hand, wobei er sich eine tiefe Schnittwunde mit Nerven- und Sehnenläsionen im Bereich des linken Daumens zuzog. Die AXA erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld). Nach verzögertem Heilverlauf und andauernder (teilweiser) Arbeitsunfähigkeit liess die AXA A._ am 20. November 2017 durch ihren beratenden Arzt, Dr. med. C._, Facharzt für Chirurgie, untersuchen. Gestützt auf dessen Bericht vom 20. November 2017 stellte die AXA die Taggeldleistungen wegen Wiedererlangung einer 100%igen Arbeitsfähigkeit per 31. Dezember 2017 ein (Verfügung vom 30. November 2017). Gleichzeitig verneinte sie einen Anspruch auf eine Integritätsentschädigung. Die Kosten der rezeptierten Schmerzmittel und der dafür notwendigen ärztlichen Kontrollen übernahm sie hingegen bis auf Weiteres. Nachdem A._ dagegen Einsprache erheben und ein Aktengutachten der Dr. med. D._, Fachärztin für Allgemeine Chirurgie, vom 5. Januar 2017 (richtig: 2018) einreichen lassen hatte, tätigte die AXA weitere Abklärungen, insbesondere holte sie eine weitere Stellungnahme des beratenden Arztes (Bericht vom 2. Juli 2018) ein. Alsdann hiess sie die Einsprache mit Entscheid vom 20. Juli 2018 in dem Sinne teilweise gut, dass der Anspruch auf eine allfällige Integritätsentschädigung nach Erreichen des Endzustands noch zu prüfen sei. Im Übrigen wies sie die Einsprache im Sinne der Erwägungen ab.
Die dagegen erhobene Beschwerde, mit der A._ beantragte, es seien im weiterhin (ab 31. Dezember 2017) die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung und Taggeld) zuzusprechen, wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 23. Juli 2019 ab, was das Bundesgericht mit Urteil 8C_608/2019 vom 14. Januar 2020 bestätigte.
A.b. Mit Schreiben vom 14. August 2019 ersuchte die behandelnde Ärztin, Prof. Dr. med. E._, Fachärztin für Plastische, Rekonstruktive und Ästhetische Chirurgie sowie für Handchirurgie, um Kostengutsprache für eine erneute Operation am Daumen links (Narbenlösung erste Kommissur, Rekonstruktion mit Vollhauttransplantat von der rechten Leiste), welche sie am 1. Oktober 2019 - ohne entsprechende Kostengutsprache der AXA - durchführte. In der Folge schrieb sie den Beschwerdeführer zunächst zu 100 % und später zu 50 % resp. 40 % arbeitsunfähig. Nach Einholung einer Stellungnahme des beratenden Arztes (Bericht vom 22. Dezember 2019) verfügte die AXA am 21. Januar 2020 die Einstellung der Heilbehandlungskosten per 30. September 2019. Gleichzeitig verneinte sie einen Anspruch auf eine Integritätsentschädigung. Die von A._ und seinem Krankenversicherer hiergegen erhobenen Einsprachen wies die AXA mit Einspracheentscheid vom 22. Dezember 2020 ab, soweit sie darauf eintrat. Das Nichteintreten bezog sich auf die Einsprache des Krankenversicherers.
B.
Dagegen führte A._ Beschwerde, welche das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 14. Juni 2021 abwies, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die AXA zu verpflichten, ihm die gesetzlichen Leistungen über den 30. September 2019 hinaus zu erbringen. Eventualiter sei die Sache unter Aufhebung des angefochtenen Urteils zu weiteren Abklärungen (Gutachten) an die AXA zurückzuweisen.
Während die Vorinstanz und das Bundesamt für Gesundheit (BAG) auf eine Vernehmlassung verzichten, schliesst die AXA auf Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Vor Bundesgericht kann der Streitgegenstand gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren weder geändert noch erweitert werden (<ref-law>). Ficht die beschwerdeführende Partei einen Nichteintretensentscheid oder einen Rechtsmittelentscheid an, der einen solchen bestätigt, haben ihre Rechtsbegehren und deren Begründung sich zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten bzw. zur Bestätigung des Nichteintretens geführt haben (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in einem solchen Fall an sich nur, ob die betreffende Instanz mit Recht auf das Rechtsmittel nicht eingetreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; Urteil 9C_520/2016 vom 27. Oktober 2016 E. 1). Ist dies zu bejahen, weist es die Beschwerde ab. Andernfalls hebt es den Nichteintretensentscheid auf, weist es die Sache an die Vorinstanz zurück und sieht es von einer Beurteilung in der Sache selbst ab. Vorbehalten bleiben einzig Fälle, in welchen die Vorinstanz in einer Eventualbegründung über die Eintretensfrage hinaus materiellrechtliche Überlegungen angestellt hat (<ref-ruling> E. 3.2; Urteil 2C_590/2016 vom 23. August 2016 E. 1.1).
2.2. Mit dem angefochtenen Urteil bestätigte die Vorinstanz den Einspracheentscheid der AXA, wonach der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf eine Integritätsentschädigung habe. Dementsprechend wies sie die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen den Einspracheentscheid der AXA vom 22. Dezember 2020 ab. Soweit sich die vorliegende Beschwerde gegen die Verweigerung der Integritätsentschädigung richtet, ist darauf einzutreten.
2.3. Hinsichtlich der verfügten - und mit Einspracheentscheid vom 22. Dezember 2020 bestätigten - Einstellung der Heilbehandlungskosten per 30. September 2019 trat das kantonale Gericht indessen auf die Beschwerde des Beschwerdeführers mangels eines Rechtsschutzinteresses nicht ein (vgl. E. 3 des angefochtenen Urteils). Zur Begründung hielt es fest, es habe mit Urteil vom 23. Juli 2019 unter Hinweis auf <ref-law> entschieden, dass die AXA den Anspruch auf Leistungen (Taggelder und Heilbehandlungskosten) über den 31. Dezember 2017 hinaus zu Recht abgelehnt habe. Dabei habe es den Umstand berücksichtigt, dass gemäss Prof. Dr. med. E._ ein weiterer Eingriff ("nochmalige Narbenlösung und Einsetzen eines Vollhauttransplantates von der Leiste rechts") indiziert sei. Die vom Beschwerdeführer erhobene Beschwerde habe das Bundesgericht mit Urteil 8C_608/2019 vom 14. Januar 2020 abgewiesen. Sodann habe Prof. Dr. E._ mit Schreiben vom 14. August 2019 ihr Kostengutsprachegesuch erneuert.
Unter Verweis auf diese Verfahrensgeschichte erkannte die Vorinstanz, der Fallabschluss per 31. Dezember 2017 unter Berücksichtigung des damals schon vorgesehenen Eingriffs bezüglich einer nochmaligen Narbenlösung sei bereits rechtskräftig abgeurteilt. Der Anspruch könne deshalb aus demselben Rechtsgrund und gestützt auf den gleichen Sachverhalt nicht abermals dem Gericht zur Beurteilung unterbreitet werden (res iudicata; <ref-ruling> E. 4.2; Urteil 9C_527/2016 vom 12. Dezember 2016 E. 2.1). Auf die über den 31. Dezember 2017 hinaus beantragte Ausrichtung von Taggeldern ("für die Zeit der Revisionsoperation") resp. Übernahme der Kosten des Eingriffs vom 1. Oktober 2019 sei folglich nicht einzutreten.
2.4. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, es seien ihm über den 30. September 2019 hinaus die gesetzlichen Leistungen zu erbringen, kann auf den entsprechenden Antrag nicht eingetreten werden (vgl. E. 2.1 hiervor; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweis; SVR 2010 UV Nr. 29 S. 117, 8C_556/2009 E. 1). Immerhin macht er aber geltend, entgegen der Annahme der Vorinstanz sei der medizinische Endzustand bisher nicht beurteilt worden. Das Bundesgericht habe im Urteil 8C_608/2019 vom 14. Januar 2020 keinen Endzustand bestätigt, sondern vielmehr festgehalten, dass die AXA über einen allfälligen Anspruch auf Integritätsentschädigung nach Erreichen des Endzustands entscheiden werde. Damit beanstandet er das vorinstanzliche Nichteintreten. Insoweit genügt die Beschwerde (knapp) den Anforderungen an eine hinreichende Begründung (vgl. <ref-law>), sodass auf die Beschwerde auch in diesem Punkt eingetreten werden kann.
3.
3.1. Eine abgeurteilte Sache (res iudicata) liegt vor, wenn der streitige Anspruch mit einem schon rechtskräftig beurteilten identisch ist (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen). Dies trifft zu, falls der Anspruch dem Gericht aus demselben Rechtsgrund und gestützt auf denselben Sachverhalt erneut zur Beurteilung unterbreitet wird und sich wieder die gleichen Parteien gegenüberstehen. Bei der Prüfung der Identität der Begehren ist nicht ihr Wortlaut, sondern ihr Inhalt massgebend. Das neue Begehren ist deshalb trotz abweichender Umschreibung vom beurteilten nicht verschieden, wenn es in diesem bereits enthalten war oder wenn im neuen Verfahren das kontradiktorische Gegenteil zur Beurteilung gestellt wird. Anderseits sind Rechtsbehauptungen trotz gleichen Wortlauts dann nicht identisch, wenn sie nicht auf dem gleichen Entstehungsgrund, das heisst auf denselben Tatsachen und rechtlichen Umständen beruhen. Die materielle Rechtskraft eines früheren Entscheids bedeutet grundsätzlich nur eine Bindung an das Dispositiv. Allerdings können zur Feststellung der Tragweite des Dispositivs weitere Umstände, namentlich die Begründung des Entscheids herangezogen werden. Nach der Praxis des Bundesgerichts bestimmt das Bundesrecht über die materielle Rechtskraft, soweit der zu beurteilende Anspruch auf Bundesrecht beruht.
3.2. In ihrer Verfügung vom 30. November 2017 verneinte die AXA einen Taggeldanspruch des Beschwerdeführers ab 1. Januar 2018, da ab diesem Zeitpunkt gemäss Stellungnahme des beratenden Arztes von einer vollständigen Arbeitsfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit auszugehen sei. Einer weiteren Heilbehandlung bedürfe es ausserdem nicht. Ferner verneinte die AXA einen Anspruch auf Integritätsentschädigung. Die dagegen erhobene Einsprache hiess sie insoweit teilweise gut, als der Anspruch auf eine Integritätsentschädigung nach Erreichen des Endzustandes noch zu prüfen sei. Im Übrigen wies sie die Einsprache ab (Einspracheentscheid vom 20. Juli 2018). In ihren Erwägungen wies die AXA darauf hin, dass die vorgesehene Operation (Narbenkorrektur) gemäss ihrem beratenden Arzt nicht indiziert sei, da sie nicht zu einer namhaften Besserung des Gesundheitszustands führen würde. Eine Arbeitsunfähigkeit in der bisherigen Tätigkeit sei zudem nicht erstellt, weshalb kein Anspruch auf Taggeldleistungen nach dem 31. Dezember 2017 bestehe.
Die Vorinstanz verneinte ihrerseits mit Urteil vom 23. Juli 2019 einen Anspruch des Beschwerdeführers auf Taggelder und Heilbehandlungskosten über den 31. Dezember 2017 hinaus unter Hinweis auf <ref-law>. Dass gemäss der behandelnden Ärztin ein weiterer Eingriff indiziert sei, ändere nichts am fehlenden Leistungsanspruch, zumal der Beschwerdeführer wieder in der Lage sei, seiner vor dem Unfall ausgeübten Tätigkeit im gleichen Umfang nachzugehen. Damit setzte das kantonale Gericht den Zeitpunkt des Fallabschlusses auf den 31. Dezember 2017 fest.
Die hiergegen geführte Beschwerde wies das Bundesgericht ab. Es verneinte einen Taggeldanspruch des Beschwerdeführers indessen nicht infolge Erreichens des medizinischen Endzustands, sondern mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe im massgeblichen Zeitraum vom 1. Januar 2018 bis zum Erlass des Einspracheentscheids der AXA vom 20. Juli 2018 in einem Vollzeitpensum gearbeitet und damit keine Erwerbseinbusse erlitten. In Bezug auf den Anspruch auf weitere Heilbehandlung hielt es fest, der Beschwerdeführer habe nicht substanziiert geltend gemacht und es sei auch nicht ersichtlich, dass nebst den von der AXA weiterhin übernommenen Schmerzmitteln und den hierfür notwendigen ärztlichen Konsultationen weitere medizinische Behandlungen erforderlich wären. Hinsichtlich des Anspruchs auf Integritätsentschädigung wies es ferner darauf hin, dass die AXA darüber nach Erreichen des Endzustandes noch befinden werde.
3.3. Nachdem die behandelnde Ärztin mit Schreiben vom 14. August 2019 erneut ein Gesuch um Kostengutsprache für eine Narbenkorrektur gestellt hatte, setzte die AXA mit Verfügung vom 21. Januar 2020, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 22. Dezember 2020, den Zeitpunkt des Fallabschlusses auf den 30. September 2019 fest. Zudem verneinte sie einen Anspruch auf Integritätsentschädigung.
3.4. Dem Beschwerdeführer ist darin beizupflichten, dass letztinstanzlich zum Zeitpunkt des Fallabschlusses nicht Stellung genommen wurde. Ein Taggeldanspruch wurde mangels einer Erwerbseinbusse (allein) für den Zeitraum vom 1. Januar bis zum 20. Juli 2018 verneint. Über eine allenfalls später eintretende Arbeitsunfähigkeit war damit nichts entschieden. Das Bundesgericht hielt denn auch nicht fest, dass von weiteren ärztlichen Behandlungen keine namhafte Besserung im Sinne von <ref-law> zu erwarten sei. Mit Blick auf die nunmehr postoperativ eingetretene Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers ab 1. Oktober 2019 und den von der AXA auf den 30. September 2019 festgelegten Fallabschluss kann somit nicht gesagt werden, der im kantonalen Verfahren streitige Anspruch sei mit einem bereits beurteilten identisch (vgl. E. 2.5 hiervor). Verlangte der Beschwerdeführer beim ersten Durchgang vor dem kantonalen Gericht noch die Ausrichtung weiterer Leistungen (Taggelder und Heilbehandlung) über den 31. Dezember 2017 hinaus, beantragte er im zweiten Durchgang unter anderem die Zusprache von gesetzlichen Leistungen, wobei sich aus seiner Begründung ergibt, dass er einen Taggeldanspruch für die Zeit nach der Revisionsoperation vom 1. Oktober 2019 sowie die Übernahme der Kosten des Eingriffs verlangte. Insoweit unterscheidet sich auch der Streitgegenstand. Mithin wurde der Anspruch dem Gericht nicht aus demselben Rechtsgrund und gestützt auf denselben Sachverhalt erneut zur Beurteilung unterbreitet. Die materielle Rechtskraft des Urteils des Bundesgerichts 8C_608/2019 vom 14. Januar 2020 umfasst nach dem Gesagten in Bezug auf den Taggeldanspruch einzig den Zeitraum vom 1. Januar bis zum 20. Juli 2018, nicht aber denjenigen ab 1. Oktober 2019.
Hinsichtlich der Heilbehandlung ist Folgendes festzuhalten: In ihrem Einspracheentscheid vom 20. Juli 2018 hielt die AXA in Bezug auf die von der behandelnden Ärztin konkret vorgeschlagene Operation (Narbenkorrektur) zwar fest, diese sei nicht indiziert und führe zu keiner namhaften Besserung des Gesundheitszustands. Gleichzeitig stellte sie aber auch klar, dass der (medizinische) Endzustand noch nicht erreicht sei. In ihrer Verfügung vom 21. Januar 2020, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 22. Dezember 2020, erwog die AXA schliesslich, gemäss Stellungnahme ihres beratenden Arztes sei der Endzustand am 30. September 2019 erreicht. Entsprechend stellte sie die Heilungskosten auf diesen Tag hin ein. Es kann demnach nicht gesagt werden, die Verfügung vom 21. Januar 2020 betreffe einen inhaltlich gleichen Sachverhalt und damit eine abgeurteilte Sache (res iudicata).
3.5. Aus dem Gesagten folgt, dass die Vorinstanz auf die Beschwerde auch insoweit hätte eintreten müssen, als sie sich gegen den per 30. September 2019 verfügten Fallabschluss richtete. Das vorinstanzliche Nichteintreten mit der Begründung der res iudicata verletzt Bundesrecht.
4.
4.1. Was den Anspruch auf eine Integritätsentschädigung betrifft, so hat die Vorinstanz gestützt auf die Beurteilung des Dr. med. C._ überzeugend dargelegt, dass kein entschädigungspflichtiger Integritätsschaden vorliege. So sehe die Skala Integritätsentschädigung in Anhang 3 UVV selbst beim Verlust von mindestens zwei Gliedern eines Langfingers resp. beim Verlust eines Gliedes des Daumens lediglich eine Integritätsentschädigung in der Höhe von 5 % vor. Damit lasse sich die beim Beschwerdeführer unfallbedingt verbliebene geringfügige Beweglichkeitseinschränkung des Daumens offensichtlich nicht vergleichen.
4.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer einzig vor, Dr. med. C._ habe ihn seit dem Eingriff vom 1. Oktober 2019 nicht mehr untersucht, was unhaltbar sei. Ausserdem habe auch die Invalidenversicherung eine Einschränkung dokumentiert.
4.3. Mit diesen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer keine Bundesrechtswidrigkeit aufzuzeigen. Was er aus der von der Invalidenversicherung anerkannten Einschränkung der Arbeitsfähigkeit hinsichtlich der Beurteilung des Integritätsschadens ableiten will, erschliesst sich nicht. Sodann ist darauf hinzuweisen, dass der beratende Arzt der AXA den Beschwerdeführer am 20. November 2017 persönlich untersuchte und seine Einschätzung der (fehlenden) Integritätseinbusse in Kenntnis der relevanten medizinischen Akten erging, sodass nicht ersichtlich ist, weshalb eine neuerliche Untersuchung unabdingbar sein sollte. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
5.
Zusammenfassend hat die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, indem sie auf die Beschwerde hinsichtlich des geltend gemachten verfrühten Fallabschlusses nicht eingetreten ist. Die Sache ist deshalb an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie in diesem Punkt auf die Beschwerde eintrete und darüber materiell entscheide. Im Übrigen ist die Beschwerde unbegründet.
6.
Der Beschwerdeführer obsiegt (vgl. SVR 2020 BVG Nr. 37 S. 157, 9C_861/2017 E. 7.1) mit seiner Beschwerde insoweit teilweise, als die Vorinstanz auf seine Beschwerde in Bezug auf den Fallabschluss einzutreten hat. Hinsichtlich des Anspruchs auf Integritätsentschädigung unterliegt er hingegen. Aufgrund dieses Verfahrensausganges rechtfertigt es sich, ihm und der Beschwerdegegnerin je die Hälfte der Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Zudem hat die AXA dem Beschwerdeführer eine reduzierte Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 14. Juni 2021 wird aufgehoben, soweit damit auf die Beschwerde des Beschwerdeführers nicht eingetreten wurde. Die Sache wird diesbezüglich an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden den Parteien je zur Hälfte (Fr. 400.-) auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. Dezember 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest