Das präsidierende Mitglied zieht in Erwägung:
1.
Mit Eingabe vom 17. März 2020 erstattete der Beschwerdeführer Strafantrag gegen den Beschwerdegegner. Die Staatsanwaltschaft, Untersuchungsamt Altstätten, nahm eine Strafuntersuchung wegen Verdachts auf üble Nachrede am 18. August 2020 nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 2. Dezember 2020 ab, soweit sie darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht.
2.
Die Privatklägerschaft ist zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). Bei den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG geht es in erster Linie um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden müssen. Die Privatklägerschaft muss im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer äussert sich in seiner Eingabe nicht zur Legitimation und zur Frage der Zivilforderungen. Inwiefern ihm ein Vermögensschaden unmittelbar im Zusammenhang mit dem angezeigten Deliktssachverhalt entstanden sein soll, zeigt er nicht auf. Auch dem angefochtenen Entscheid kann insoweit nichts entnommen werden. Dass er dem Beschwerdegegner eine Entschädigung in Höhe von Fr. 1'000.-- zu zahlen hat (vgl. nachstehend E. 5), stellte, wenn überhaupt, einen mittelbaren Schaden dar, welcher eine Geschädigtenstellung im Sinne von <ref-law> von vornherein nicht zu begründen vermöchte. Eine Genugtuung nach <ref-law> ist zudem nur geschuldet, sofern die Schwere einer Persönlichkeitsverletzung dies rechtfertigt, was vorliegend ebenfalls weder dargetan noch offensichtlich ist. Dem Beschwerdeführer fehlt es demnach an der Beschwerdelegitimation in der Sache im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG.
4.
Formelle Rügen, zu deren Vorbringen er unbesehen der fehlenden Legitimation in der Sache befugt wäre (sog. "Star-Praxis"; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen), erhebt der Beschwerdeführer nicht.
5.
Das nicht anhand genommene Verfahren bezieht sich auf ein Antragsdelikt (vgl. <ref-law>). Entsprechend auferlegte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer zu Recht eine an den Beschwerdegegner zu zahlende Entschädigung (Art. 436 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling>; zur Publikation bestimmtes Urteil 6B_582/2020 vom 17. Dezember 2020 E. 4). Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Höhe der Entschädigung wendet, genügen seine Vorbringen den Begründungsanforderungen nicht. Insbesondere zeigt er nicht auf, dass die Entschädigung der Sache nach und/oder vom Umfang her unangemessen sein und inwiefern die Vorinstanz das ihr diesbezüglich zustehende Ermessen überschritten haben soll.
6.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten. Dem Beschwerdeführer sind die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill