Faits :
A.
Par ordonnance du 9 décembre 2020, le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne a refusé d'entrer en matière sur les plaintes pénales de A.A._ dirigées contre son ex-épouse, B._.
B.
Par arrêt du 21 juin 2021, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal vaudois a déclaré irrecevable le recours formé par A.A._ contre l'ordonnance de non-entrée en matière du 9 décembre 2020 au motif que le recours ne satisfaisait pas aux exigences de motivation posées par l'art. 385 al. 1 CPP. Par surabondance, elle a constaté que, même si le recours était recevable, il ne pourrait qu'être rejeté, dès lors que les plaintes déposées par A.A._ étaient sans consistance.
En résumé, elle a retenu les faits suivants:
B.a. Le 21 décembre 2017, B._ a déposé une plainte pénale et s'est constituée demanderesse au pénal et au civil à l'encontre de A.A._. Elle exposait, en particulier, que, dans la procédure de divorce d'avec son mari, A.A._, celui-ci avait produit deux documents en vue de rattacher un montant de 454'884 fr. à ses biens propres et, partant, obtenir un avantage dans la liquidation du régime matrimonial: le premier document était un prétendu acte notarié instrumenté le 5 mai 1995 par Me C._, avocat et notaire bernois décédé; le second était une prétendue quittance attestant d'une donation que D.A._, père de A.A._, aurait faite à ce dernier.
Un dossier a été ouvert sous la référence n° PE17.025373-BDR.
B.b. Par correspondance du 1er juin 2019, A.A._ a écrit au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne pour porter plainte contre son ex-épouse, en disant qu'en 2010, alors qu'il était incarcéré, celle-ci avait volé un classeur bleu contenant des pièces originales, qu'elle avait fait disparaître " le document de la donation de 454'884 fr. 10 en le remplaçant par une falsification ", ajoutant " Elle dit que moi je suis l'auteur de tout ça et elle veux que je soit condamné ". S'agissant de la quittance, A.A._ expliquait qu'en 2008, il avait remis le montant de 454'884 fr. 10, qu'il détenait dans un petit coffre-fort, à un notaire bernois, Me E._, pour qu'il dépose l'entier du montant sur son compte auprès de la Banque F._; le notaire avait écrit une quittance de couleur jaune en mettant le nom de son ex-femme, puis en biffant celui-ci.
Par acte du 3 septembre 2019, A.A._ a déposé un complément de plainte pour escroquerie, voire abus de confiance et faux dans les titres. Il accusait son ex-femme d'avoir " conservé le document original et d'avoir, non sans habileté, constitué un faux document qu'elle m'accuse aujourd'hui d'avoir produit afin de me faire condamner pour écarter à tout jamais les incertitudes qui gravitent autour de la somme de 454'884 fr. 10 ".
Le procureur a enregistré le dépôt des plaintes pénales de A.A._ pour escroquerie au procès et a ouvert un dossier sous le n° PE19.017914-BDR.
B.c. Par ordonnance du 5 novembre 2019, le procureur a ordonné la jonction de l'enquête PE19.017914-BDR à l'enquête PE17.025373-BDR.
C.
Contre l'arrêt cantonal du 21 juin 2021, A.A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'ordonnance de non-entrée en matière est annulée et la cause renvoyée au Ministère public de l'arrondissement de Lausanne pour ouverture d'instruction. A titre subsidiaire, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
La cour cantonale a déclaré le recours cantonal irrecevable au motif qu'il ne satisfaisait pas aux exigences de motivation posées par l'art. 385 al. 1 CPP. Elle a estimé que les arguments développés par le recourant dans son mémoire de recours ne se référaient pas - du point de vue factuel - aux éléments invoqués dans les plaintes pénales; en outre, elle a reproché au recourant de n'avoir fait aucunement référence à l'ordonnance de non-entrée en matière. Le dispositif de cette décision fait état d'une irrecevabilité. " Par surabondance ", la cour cantonale a cependant analysé le bien-fondé des accusations du recourant et ajouté que la thèse selon laquelle B._ aurait substitué en 2010 des documents falsifiés à des documents originaux, documents falsifiés que le recourant aurait lui-même produits en justice sans s'en rendre compte, était dépourvue de toute crédibilité. Elle a conclu son analyse en déclarant que, " même s'il était recevable, le recours ne pouvait être que rejeté ". La cour cantonale est ainsi, de facto, entrée en matière sur le recours du recourant, ce dernier ayant d'ailleurs formulé des griefs de fond devant le Tribunal fédéral.
Partant, il apparaît expédient de considérer que la cour cantonale est entrée en matière sur le recours cantonal et qu'elle a rejeté celui-ci, ce qui rend sans objet les griefs du recourant tirés de la violation de l'art. 385 CPP (cf. dans le même sens arrêt 6B_1063/2018 du 26 novembre 2018 consid. 1).
2.
Il convient dès lors d'examiner si le recourant a la qualité pour recourir sur le fond au Tribunal fédéral contre l'arrêt attaqué.
2.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles.
Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des art. 41 ss CO (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
En vertu de l'art. 42 al. 1 LTF, il incombe à la partie recourante d'alléguer les faits qu'elle considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. art. 119 al. 2 let. b CPP), il n'en reste pas moins que le procureur qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. art. 320 al. 3 CPP). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
2.2. En l'espèce, le recourant expose que la somme de 454'883 fr. 10 allouée aux fonds propres de B._ lors de la liquidation du régime matrimonial des ex-époux faisait en réalité partie de ses fonds propres à lui, de sorte que cette dernière se serait indûment enrichie de ce montant. Selon lui, B._ aurait induit en erreur le Tribunal d'arrondissement de Lausanne, respectivement la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par la falsification de documents et par des propos mensongers, notamment eu égard à l'origine de ce montant de 454'883 fr. 10. Il conclut que le préjudice subi correspond à tout le moins à la moitié du montant attribué à B._, à savoir la part aux acquêts qui aurait dû lui revenir à défaut de rattachement à ses fonds propres. Par cette argumentation, le recourant explique suffisamment en quoi consistent ses prétentions civiles, de sorte que la qualité pour recourir sur le fond doit lui être reconnue.
3.
3.1. Conformément à l'art. 310 al. 1 let. a CPP, le ministère public rend immédiatement une ordonnance de non-entrée en matière s'il ressort de la dénonciation ou du rapport de police que les éléments constitutifs de l'infraction ou les conditions à l'ouverture de l'action pénale ne sont manifestement pas réunis.
Cette disposition doit être appliquée conformément à l'adage " in dubio pro duriore ". Celui-ci découle du principe de la légalité (art. 5 al. 1 Cst. et art. 2 al. 2 CPP en relation avec les art. 319 al. 1 et 324 al. 1 CPP; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 91) et signifie qu'en principe un classement ou une non-entrée en matière ne peuvent être prononcés par le ministère public que lorsqu'il apparaît clairement que les faits ne sont pas punissables ou que les conditions à la poursuite pénale ne sont pas remplies. Le ministère public et l'autorité de recours disposent, dans ce cadre, d'un pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral revoit avec retenue. La procédure doit se poursuivre lorsqu'une condamnation apparaît plus vraisemblable qu'un acquittement ou lorsque les probabilités d'acquittement et de condamnation apparaissent équivalentes, en particulier en présence d'une infraction grave. En effet, en cas de doute s'agissant de la situation factuelle ou juridique, ce n'est pas à l'autorité d'instruction ou d'accusation mais au juge matériellement compétent qu'il appartient de se prononcer (<ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 243; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 91 et les références citées; arrêt 6B_1047/2019 du 15 janvier 2020 consid. 3.1).
3.2. Aux termes de l'art. 146 al. 1 CP, commet une escroquerie celui qui, dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un enrichissement illégitime, aura astucieusement induit en erreur une personne par des affirmations fallacieuses ou par la dissimulation de faits vrais ou l'aura astucieusement confortée dans son erreur et aura de la sorte déterminé la victime à des actes préjudiciables à ses intérêts pécuniaires ou à ceux d'un tiers.
L'escroquerie au procès constitue un cas particulier d'escroquerie. Elle consiste à tromper astucieusement le juge aux fins de le déterminer à rendre une décision - matériellement fausse - préjudiciable au patrimoine de la partie adverse ou d'un tiers (<ref-ruling> consid. 2 p. 199 ss; arrêts 6B_844/2020 du 24 mars 2021 consid. 2.3.2; 6B_351/2020 du 25 novembre 2020 consid. 3.3.2; 6B_510/2020 du 15 septembre 2020 consid. 3.3; 6B_751/2018 du 2 octobre 2019 consid. 1.4.3). L'escroquerie au procès tombe sous le coup de l'art. 146 CP moyennant la réalisation de l'ensemble des éléments constitutifs objectifs et subjectifs de cette disposition. La typicité se conçoit sans réelle particularité (<ref-ruling> consid. 2d p. 203; arrêt 6B_751/2018 précité consid. 1.4.3). La figure de l'escroquerie au procès peut être envisagée, lorsque l'auteur trompe astucieusement le juge lors du procès, par exemple en produisant de faux documents.
3.3. Par arrêt du 25 juillet 2018, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a définitivement alloué la somme de 454'884 fr. 10 à B._. Elle a estimé sur la base du rapport d'expertise du 26 octobre 2015 et du complément d'expertise du 13 mars 2016 réalisés par la notaire G._ et des mesures d'instruction menées par celle-ci (notamment l'interpellation de Me E._ au sujet de ce montant et du fait que l'épouse lui avait demandé le 6 octobre 2008 de le régulariser fiscalement, ce qui avait eu lieu en 2009) que le montant de 454'884 fr. 10 correspondait à des biens propres de B._. L'experte a écarté l'acte de donation produit par le recourant, notamment, pour les motifs qu'elle ne comprenait pas pourquoi un même document faisait état à la fois d'une donation au recourant et de l'épargne réalisée par celui-ci, qu'il ne pouvait pas s'agir d'un acte authentique, puisqu'il ne portait pas de sceau, qu'il était inhabituel qu'un document ne soit pas répertorié dans une minute et qu'elle ignorait s'il s'agissait d'un faux.
Dans ses plaintes, le recourant soutient que l'acte de donation qu'il a produit dans la procédure de divorce avait été en main de son ex-épouse, qui l'avait falsifié et antidaté à 1995, et non plus à 1986, afin de se voir allouer les 454'884 fr. 10. La cour cantonale a relevé que, dans la procédure de divorce, c'était le recourant qui, à l'appui de la requête d'expertise, avait allégué que la donation de son père datait de 1995 et que c'était le recourant qui avait fourni à titre de preuve une copie de l'acte notarié passé en 1995 par Me C._ ainsi que la quittance litigieuse. Elle a ajouté que, lors de cette procédure civile, le recourant avait requis le retranchement du complément d'expertise qui n'accordait pas de force probante à l'acte de donation et à la quittance litigieuse, non pas en invoquant une erreur de date à propos de la donation en cause ou l'existence d'autres pièces originales, mais en insistant sur le caractère probant des deux pièces qu'il venait de produire. Selon la cour cantonale, la thèse, selon laquelle B._ aurait substitué en 2010 des documents falsifiés à des documents originaux, documents falsifiés que le recourant aurait lui-même produits en justice sans s'en rendre compte, était en conséquence dépourvue de toute crédibilité (arrêt attaqué p. 17). Au vu des éléments exposés par la cour cantonale, on ne peut que suivre cette dernière et admettre qu'il n'existe pas de soupçon suffisant relatif à la commission d'infraction de faux dans les titres.
Indépendamment de la falsification du document notarié, le recourant s'en prend également à la véracité des explications fournies par son ex-épouse s'agissant de l'origine des 454'854 fr. 10 lors de la procédure de divorce; elle aurait faussement affirmé au juge civil que cette somme correspondait au bénéfice résultant de la vente d'actions boursières à la suite de la crise financière de 2001, d'argent épargné dans sa jeunesse et d'un système de remboursement des paiements effectués au profit du recourant. Selon le recourant, la déclaration fiscale spontanée de B._ fait partie intégrante du stratagème mis en place par cette dernière pour se voir attribuer le montant de 454'884 fr. 10.
Le recourant se borne à affirmer que son ex-épouse a menti au sujet de la provenance des fonds litigieux. Il n'apporte toutefois aucun élément tendant à établir ces mensonges. Les indications fournies par B._ ont été jugées crédibles par l'experte, le juge civil et les autorités fiscales. Quoi qu'il en soit, de fausses déclarations - qui pourraient tout au plus être qualifiées de simples mensonges - ne constituent pas une tromperie astucieuse au sens de l'art. 146 CP. Une tromperie astucieuse suppose en règle générale la production de titres ou de justificatifs obtenus illicitement ou contrefaits. Or, comme vu ci-dessus, l'accusation de faux dans les titres portée à l'encontre de B._ n'est pas crédible.
C'est en vain que le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir commis un déni de justice formel, en ne revenant pas sur la question de l'attribution du montant de 454'884 fr. 10. La cour cantonale a en effet renvoyé à l'arrêt du 25 juillet 2018 de la Cour d'appel civil du Tribunal cantonal vaudois, niant ainsi implicitement toute tromperie astucieuse des juges civils par B._.
En définitive, il n'existe pas d'indice suffisant au dossier pour qu'une instruction soit ouverte. La cour cantonale pouvait conclure, sans violer le droit fédéral, à l'inexistence de soupçons suffisants relatifs à la commission d'un faux dans les titres, mais aussi d'une tromperie, respectivement d'une escroquerie, et confirmer l'ordonnance de non-entrée en matière rendue par le ministère public.
4.
Le recours doit être rejeté.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant devra donc supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale.
Lausanne, le 11 janvier 2022
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Kistler Vianin