Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) schloss mit der B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) neben der obligatorischen Krankenversicherung verschiedene Zusatzversicherungen ab, darunter die Spitalversicherung Halbprivat. Diese Spitalversicherung gewährt ihm bei krankheits- oder unfallbedingten stationären Behandlungen einen Anspruch auf Behandlung in der halbprivaten Abteilung bei freier Arzt- und Spitalwahl.
Mit Schreiben vom 3. Januar 2018 erteilte die Beklagte für die muskuloskelettale Rehabilitation des Klägers in der Privatklinik C._, U._, eine Kostengutsprache für die Mehrkosten der halbprivaten Abteilung während 21 Tagen. Die Gutsprache erfolgte mit der Einschränkung, dass nur Kosten im Rahmen des von ihr festgesetzten VVG-Maximaltarifs in der Höhe von Fr. 155.-- pro Tag übernommen würden.
Vom 4. bis am 24. Januar 2018 hielt sich der Kläger stationär in der Privatklinik C._ auf. Von den dafür angefallenen Behandlungskosten von Fr. 5'250.-- (21 Tage à Fr. 250.--) übernahm die Beklagte den Betrag von Fr. 3'255.-- (21 Tage à Fr. 155.--). Die verbleibenden Restkosten in der Höhe von Fr. 1'955.-- bezahlte sie nicht.
B.
Für diese ungedeckten Kosten des Spitalaufenthalts erhob der Kläger am 22. Juni 2018 am Versicherungsgericht des Kantons Aargau Klage. Er beantragte, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm für die Behandlung in der Privatklinik C._ vom 4. Januar bis 24. Januar 2018 (21 Pflegetage) Fr. 1'995.-- nebst 5 % Zins ab Klagedatum zu bezahlen.
Mit Urteil vom 5. Februar 2019 trat das Versicherungsgericht auf die Klage mangels Rechtsschutzinteresse nicht ein. Die dagegen vom Kläger erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht mit Urteil 4A_127/2019 vom 7. Juni 2019 gut und wies die Sache zu neuer Beurteilung an das Versicherungsgericht zurück. Dieses wies mit Urteil vom 22. Oktober 2019 die Klage ab.
C.
Gegen letzteres Urteil erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragte, das Urteil des Versicherungsgerichts vom 22. Oktober 2019 sei aufzuheben und die Angelegenheit sei zur Ergänzung des Sachverhalts und zur Neuentscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragte, die Beschwerde sei abzuweisen, und das Urteil des Versicherungsgerichts sei zu bestätigen. Das Versicherungsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer replizierte.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines kantonalen Gerichts, das in einer Zivilsache (<ref-law>) entschieden hat. Der Beschwerdeführer ist mit seinen Anträgen unterlegen (<ref-law>). Die Vorinstanz hat als einzige kantonale Instanz entschieden (<ref-law> i.V.m. <ref-law>), weshalb die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig von der Erreichung der Streitwertgrenze von <ref-law> zulässig ist (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde an das Bundesgericht ein reformatorisches Rechtsmittel ist (<ref-law>), muss die rechtsuchende Partei grundsätzlich einen Antrag in der Sache stellen, das heisst angeben, welche Punkte des Entscheids sie anficht und welche Abänderungen sie beantragt. Dazu ist im Prinzip ein materieller Antrag erforderlich; ein Antrag auf blosse Aufhebung genügt nicht und macht die Beschwerde unzulässig (<ref-ruling> E. 1.3 S. 383; <ref-ruling> E. 3.1 S. 489 f.). Immerhin sind die Rechtsbegehren unter Berücksichtigung der Beschwerdebegründung nach dem Vertrauensprinzip auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136; <ref-ruling> E. 2 S. 236; <ref-ruling> E. 1.4.2).
Der Beschwerdeführer stellt in seinem Rechtsbegehren keinen materiellen Antrag, sondern verlangt nur die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz. Er legt aber in der Beschwerdebegründung dar, dass er von der Beschwerdegegnerin weiterhin den Betrag von Fr. 1'955.-- verlangt. Damit genügt er den genannten Grundsätzen.
1.3. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind und zu keinen Bemerkungen Anlass geben, ist unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (<ref-law>; vgl. Erwägung 2) auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Der Beschwerdeführer bezieht sich auf den Inhalt vorprozessualer Schreiben sowie auf Bestimmungen der Zusätzlichen Versicherungsbedingungen der Beschwerdegegnerin und geht damit über die Feststellungen im vorinstanzlichen Entscheid hinaus, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge nach den oben genannten Grundsätzen zu erheben. Darauf kann er sich im Folgenden nicht stützen.
2.3. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Vor Bundesgericht findet in der Regel nur ein Schriftenwechsel statt (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4). Mit Rügen, welche die beschwerdeführende Partei bereits in der Beschwerde hätte erheben können, ist sie nach Ablauf der Beschwerdefrist ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.3.4 mit Hinweisen). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
Soweit der Beschwerdeführer in seiner Replik davon abweicht und versucht, die Beschwerdeschrift zu ergänzen oder zu verbessern, ist er nicht zu hören. Das gilt insbesondere, wenn er sich darin erstmals auf die Versicherungsbedingungen anderer Versicherungen bezieht, zumal er damit über den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt hinaus geht, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge zu erheben (Erwägung 2.2).
3.
Die Vorinstanz erwog, seit dem 1. Januar 2017 sei das Verhältnis zwischen der Privatklinik C._ und der Beschwerdegegnerin im Bereich der Zusatzversicherungen nicht mehr durch einen Tarifvertrag geregelt. Die Beschwerdegegnerin habe für den Aufenthalt des Beschwerdeführers in der halbprivaten Abteilung der Privatklinik Kosten in der Höhe von Fr. 3'255.-- anerkannt, nämlich 21 Pflegetage zu dem von ihr festgelegten VVG-Maximaltarif von Fr. 155.-- pro Pflegetag. Der Beschwerdeführer fordere von der Beschwerdegegnerin dagegen aus der Zusatzversicherung die Übernahme der beim stationären Aufenthalt angefallenen tatsächlichen Kosten in der Höhe von Fr. 250.-- pro Pflegetag und damit die ungedeckt gebliebene Differenz von Fr. 1'995.--. Er berufe sich darauf, dass die Zusätzlichen Versicherungsbedingungen (ZVB) der Beschwerdegegnerin keine Bestimmungen zu den anerkannten Tarifen enthalten würden. Damit greife Art. 36.2 der Allgemeinen Versicherungsbedingungen (AVB) der Beschwerdegegnerin, wonach der Versicherer die für die schweizerischen Sozialversicherungen gültigen Tarife und die üblicherweise verwendeten Privattarife anerkenne.
Die Vorinstanz teilte diese Auffassung nicht. Sie kam zusammengefasst zum Schluss, Art. 36.2 AVB enthalte einen Vorbehalt zugunsten abweichender Bestimmungen in den ZVB. Gestützt auf Art. 4.6 ZVB sei die Beschwerdegegnerin berechtigt, Maximaltarife festzulegen. Die Beschwerdegegnerin habe in Anwendung dieser Bestimmung den Maximalbetrag auf Fr. 155.-- pro Tag festgelegt, entsprechend dem letzten anwendbaren Tarif mit der Privatklinik C._. Diese Festsetzung des Maximaltarifs verletze den Grundsatz von Treu und Glauben nicht. Die Beschwerdegegnerin sei daher nicht verpflichtet, höhere als die von ihr anerkannten Kosten von Fr. 155.-- pro Tag zu übernehmen. Soweit der Beschwerdeführer geltend mache, dass dadurch die Spitalwahlfreiheit eingeschränkt würde, helfe ihm diese Argumentation nicht weiter. Die auf sein Verhältnis zur Beschwerdegegnerin anwendbaren Vertragsbedingungen würden eine Kostenübernahme nur im Rahmen der von der Beschwerdegegnerin anerkannten Tarife vorsehen.
4.
4.1. Dagegen trägt der Beschwerdeführer vor, sein vertraglich eingeräumtes Recht auf freie Spitalwahl und auf eine angemessene Kostenübernahme seien eingeschränkt. Die Beschwerdegegnerin müsse die vollen Kosten seines Spitalaufenthalts übernehmen.
Die Vorinstanz kam diesbezüglich zum Schluss, dass dem Beschwerdeführer die Berufung auf die Spitalwahlfreiheit nicht weiterhelfen würde, da die anwendbaren allgemeinen Vertragsbedingungen eine Kostenübernahme nur im Rahmen der von der Beschwerdegegnerin anerkannten Tarife vorsehe. Mit dieser vorinstanzlichen Argumentation setzt sich der Beschwerdeführer nicht hinreichend auseinander (Erwägung 2.1), indem er bloss seinen bereits vor der Vorinstanz vorgetragenen Standpunkt wiederholt und in abstrakter Weise den Grundsatz der freien Spitalwahl schildert. Vielmehr hätte er rechtsgenüglich aufzeigen sollen, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, als sie im vorliegenden konkreten Fall entschied, dass die freie Spitalwahl bzw. die Übernahme der Behandlungskosten durch die allgemeinen Versicherungsbedingungen eingeschränkt ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.3).
4.2. Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass zwischen ihm und der Beschwerdegegnerin ein übereinstimmender wirklicher Wille bestehe, dass die Versicherungsleistungen im Umfang der üblichen Privattarife zu vergüten seien. Die Vorinstanz habe diesen übereinstimmenden wirklichen Willen nicht geprüft und damit unzutreffend, aktenwidrig und willkürlich geurteilt.
Es ist zutreffend, dass die Vorinstanz die zwischen den Parteien anwendbaren Vertragsbestimmungen einzig nach dem Vertrauensprinzip auslegte. Feststellungen zu einem davon abweichenden, übereinstimmenden wirklichen Willen der Parteien finden sich im vorinstanzlichen Entscheid nicht. Vor Bundesgericht wäre es aber am Beschwerdeführer gewesen, mit präzisen Aktenhinweisen aufzeigen, dass er bereits vor der Vorinstanz einen übereinstimmenden Willen behauptet und prozesskonform ins vorinstanzliche Verfahren eingebracht hätte (vgl. Erwägung 2.2). Dies zeigt er nicht rechtsgenüglich auf. Unabhängig davon ist aus den vom Beschwerdeführer zitierten Unterlagen auch nicht ersichtlich, dass es dem Willen der Beschwerdegegnerin entsprochen hätte, bei fehlendem Tarifvertrag oder fehlender Tarifanerkennung ohne Weiteres die üblicherweise verwendeten Privattarife zu bezahlen.
4.3. Der Beschwerdeführer erklärt, auch bei Auslegung der Versicherungsbedingungen nach dem Vertrauensprinzip seien Versicherungsleistungen nach den üblicherweise verwendeten Privattarifen zu bemessen. Das ergebe sich aus dem Vertragszweck, den gesamten Umständen und den "allgemeinen Regeln zum OR". Die Vorinstanz habe keine Gesamtwürdigung der Umstände vorgenommen. Ihre Vertragsauslegung sei einseitig und selektiv. Sodann seien wichtige Aspekte nicht berücksichtigt worden.
Letztere Auffassung kann nicht geteilt werden. Die Vorinstanz legte in den Erwägungen 4.3 und 4.4 des angefochtenen Entscheids die anwendbaren Versicherungsbestimmungen sorgfältig und ausführlich aus. Inwiefern die vorinstanzliche Vertragsinterpretation einseitig und selektiv wäre und nicht alle Umstände gewürdigt hätte, zeigt der Beschwerdeführer nicht hinreichend auf (Erwägung 2.1) und ist auch nicht ersichtlich.
Die Vorinstanz verwarf auch das Argument des Beschwerdeführers, dass für die Maximaltarife ohne Weiteres auf die üblicherweise verwendeten Privattarife abzustellen sei, denn mit einem solchen Vorgehen würde der Vorbehalt in Art. 36.2 AVB zugunsten der ZVB seines Sinnes entleert werden. Mit dieser vorinstanzlichen Argumentation setzt sich der Beschwerdeführer nicht hinreichend auseinander, indem er vor Bundesgericht bloss nochmals den bereits vor der Vorinstanz vertretenen Standpunkt wiederholt und erklärt, dass die Auslegung der Vorinstanz "nicht haltbar" und Art. 36.2 AVB bei seinem Auslegungsergebnis "nicht seines Sinnes entleert" werde (Erwägung 2.1).
Im Übrigen ist auch nicht ersichtlich, inwiefern die Auslegung der Vorinstanz nicht haltbar wäre. Im Gegenteil: Wie die Vorinstanz zu Recht erkennt, ist aufgrund der zwischen den Parteien vereinbarten Versicherungsbedingungen bei fehlendem Tarifvertrag oder fehlender Tarifanerkennung nicht ohne Weiteres auf den üblichen Privattarif abzustellen. Vielmehr hat sich die Beschwerdegegnerin in Art. 36.2 AVB ausdrücklich einen Vorbehalt zugunsten der ZVB ausbedungen, nämlich mit dem eindeutigen Wortlaut: "Abweichende Bestimmungen in den Zusätzlichen Versicherungsbedingungen bleiben vorbehalten." Auch diese Rüge geht damit fehl.
4.4. Der Beschwerdeführer trägt vor, aus den allgemeinen Bedingungen müsse nach <ref-law> unmissverständlich hervorgehen, welche Leistungen im Versicherungsfall übernommen würden. Die Beschwerdegegnerin habe dies als Verfasserin der AVB und ZVB unterlassen und müsse die Folgen der Unklarheit tragen. Weder die AVB noch die ZVB äusserten sich in quantitativer Hinsicht zur Höhe des Maximaltarifs. Damit bestehe eine Unklarheit. Wenn eine Leistung nicht genau umschrieben, aber bestimmbar sei, seien nach den allgemeinen Regeln des Obligationenrechts die üblichen Preise geschuldet. Es sei also auf die üblicherweise verwendeten Privattarife abzustellen. Sodann erschliesse sich die Bedeutung von Art. 4.6 Sätze 1 und 2 ZVB dem Aussenstehenden nicht. Die Vorinstanz zitiere nur den ersten Halbsatz und würdige diesen nicht im Zusammenhang mit dem zweiten Halbsatz. Dies sei unhaltbar und die Bestimmung sei ungewöhnlich. Auf ungewöhnliche Klauseln müsse die schwächere und weniger geschäftserfahrene Partei gesondert aufmerksam gemacht werden.
Es ist nicht richtig, wenn der Beschwerdeführer behauptet, die Vorinstanz gebe die Bestimmung von Art. 4.6 ZVB nicht vollständig wieder. Die Vorinstanz zitierte im Gegenteil in Erwägung 4.3.2 des angefochtenen Entscheids den Wortlaut der Bestimmung von Art. 4.6 ZVB und interpretierte anschliessend in Erwägung 4.3.3 und 4.3.4 die Bestimmung nach dem Vertrauensprinzip. Die Vorinstanz legt dabei dar, dass nach der genannten Vertragsbestimmung der "Versicherer" in der vorliegenden Konstellation "Maximaltarife festlegen" kann. Aus dem Wortlaut der Bestimmung ergibt sich somit eindeutig, dass die Beschwerdegegnerin als Versicherung unter den vorliegenden Umständen bestimmen kann, bis zu welchem Betrag sie bei einem Aufenthalt die Kosten übernimmt. Eine Unklarheit ist weder hinreichend dargetan, noch erkennbar.
Es liegt im Übrigen in der Natur der Sache, dass die Beschwerdegegnerin in ihren allgemeinen Versicherungsbedingungen nicht schon für jeden individuellen Aufenthalt den anwendbaren Maximaltarif quantifizieren kann. Auch diesbezüglich geht die Argumentation des Beschwerdeführers an der Sache vorbei. Ebensowenig ist es so, dass mangels Bezifferung der Höhe des Maximaltarifs in den allgemeinen Versicherungsbedingungen ohne Weiteres auf den üblichen Tarif abzustellen wäre. Vielmehr steht der Beschwerdegegnerin nach der vorliegenden vertraglichen Regelung das Recht zu, die Höhe der zu vergütenden Kosten festzulegen. Inwiefern diese Bestimmung ungewöhnlich wäre, legt der Beschwerdeführer mit seinen pauschalen Vorbringen nicht hinreichend dar, sodass dies nicht beurteilt zu werden braucht.
4.5. Der Beschwerdeführer moniert, dass nach der Auslegung der Vorinstanz die Beschwerdegegnerin die Maximaltarife als Gestaltungsrechte "frei bzw. willkürlich" und ohne Bezug auf die übrigen Umstände festlegen könne. Er würde damit der Willkür der Beschwerdegegnerin ausgeliefert werden.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers erwog die Vorinstanz nicht, dass die Beschwerdegegnerin den Maximaltarif "frei bzw. willkürlich" festsetzen kann. Vielmehr kam die Vorinstanz zum Schluss, dass die Beschwerdegegnerin den Tarif als ein ihr vertraglich eingeräumtes Gestaltungsrecht in den Grenzen von Treu und Glauben festzusetzen hat. Der Beschwerdeführer als Versicherter ist damit nicht der Willkür der Beschwerdegegnerin als Versicherung ausgeliefert. Auch diese Rüge ist unbegründet.
4.6.
4.6.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdegegnerin und die Privatklinik C._ seien bis am 31. Dezember 2016 durch einen Tarifvertrag gebunden gewesen. Dieser habe einen Vollpauschaltarif von Fr. 680.-- für Leistungen der muskuloskelettalen Rehabilitation vorgesehen, der sich aus einem OKP-Tarif von Fr. 500.-- und einem VVG-Zuschlag für die Mehrleistungen der halbprivaten Abteilung von Fr. 180.-- zusammengesetzt habe. Per 1. Januar 2016 habe sich der OKP-Tarif auf Fr. 525.-- erhöht, was zu einer Reduktion des VVG-Zuschlages für die halbprivate Abteilung auf Fr. 155.-- geführt habe. Der von der Beschwerdegegnerin festgelegte Maximaltarif von Fr. 155.-- pro Tag entspreche dem VVG-Zuschlag für die halbprivate Abteilung, der gemäss dem bis am 31. Dezember 2016 bestehenden Tarifvertrag (nach der Erhöhung des OKP-Tarifs) geschuldet gewesen sei. Weshalb dieser Tarif gegen Treu und Glauben (<ref-law>) verstossen solle, werde vom Beschwerdeführer nicht dargelegt. Er mache auch nicht geltend, die Leistungen im Bereich der halbprivaten Abteilung hätten sich seit der Kündigung des Tarifvertrags erhöht, weshalb auch der Tarif hätte erhöht werden müssen. Eine gegen Treu und Glauben verstossende Feststellung des Maximaltarifs durch die Beschwerdegegnerin sei nicht erkennbar.
4.6.2. Dagegen bringt der Beschwerdeführer vor, dass die Tariffestlegung der Beschwerdegegnerin gegen das Erfordernis der strikten Trennung zwischen Grund- und Zusatzversicherung verstosse. Nach der Erhöhung des OKP-Tarifs seien die VVG-Mehrleistungen mit einem tieferen Zuschlag abgegolten worden. Das Mehrleistungspaket, das vertraglich ursprünglich mit Fr. 180.-- entschädigt worden sei, werde nämlich nur noch mit Fr. 155.-- abgegolten. Diese Entlastung der Zusatzversicherung sei sachlich nicht begründet. Wenn die Beschwerdegegnerin nach Ablauf des Tarifvertrags den reduzierten VVG-Zuschlag als Maximaltarif festlege, habe sie sehr wohl gegen Treu und Glauben verstossen und gegen die Interessen der Versicherten gehandelt. Die Vorinstanz habe diese Problematik weder erkannt noch korrekt gewürdigt. Der von der Beschwerdegegnerin festgelegte Maximaltarif entspreche weder den üblicherweise verwendeten Privattarifen noch basiere er auf nachvollziehbaren Kritieren. Er sei nicht angemessen. Es handle sich um eine willkürliche und vertragswidrige Tariffestsetzung durch die Beschwerdegegnerin.
4.6.3. Wie oben dargelegt, ist die Beschwerdegegnerin nicht verpflichtet, dem Beschwerdeführer die üblichen Privattarife zu bezahlen, sondern sie hat das vertraglich eingeräumte Recht, einen Maximaltarif festzusetzen. Das ist nicht vertragswidrig, sondern entspricht vielmehr der vertraglichen Vereinbarung der Parteien. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ging die Vorinstanz auch auf die Problematik der Reduktion des VVG-Zuschlags für die Mehrleistungen der halbprivaten Abteilung ein, und berücksichtigte sie bei ihrer Beurteilung des von der Beschwerdegegnerin festgesetzten Maximaltarifs in vertretbarer Weise.
Die Vorinstanz erwog sodann, die Festlegung des Maximaltarifs durch die Beschwerdegegnerin habe einzig dem Grundsatz von Treu und Glauben zu entsprechen. Das stellt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht in Frage. Er behauptet bloss unsubstanziiert, dass der Tarif die Beschwerdegegnerin unsachlich entlaste und gegen die Interessen der Versicherten gehandelt würde. Weshalb das aber konkret der Fall wäre und der Tarif von Fr. 155.--, welcher der Vergütung des zuletzt anwendbaren Tarifvertrags entspricht, gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstossen soll, legt der Beschwerdeführer damit nicht hinreichend dar (Erwägung 2.1) und ist im Übrigen auch nicht ersichtlich. Gleiches gilt bezüglich dem pauschal vorgetragenen Willkürvorwurf.
5.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin, die nicht durch einen extern mandatierten Anwalt, sondern durch ihren eigenen Rechtsdienst vertreten ist, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger