Sachverhalt:
A.
Im Jahr 2013 reichte die damalige Baurechtsinhaberin Real Fund D._ ein Gesuch ein um Bewilligung zur Sanierung und zum Umbau des Hotels D._ und des angrenzenden Leisttrakts sowie zur Umgestaltung und Umnutzung des Innenhofes auf GB Solothurn Nr. 514. Mit Entscheid vom 29. April 2014 erteilte die Baukommission der Stadt Solothurn der Baurechtsinhaberin die Bewilligung für den Umbau des Hotels, für die Veränderungen im Innern des Leisttraktes, für den Anbau des hofseitigen Lift- und Treppenhauses und für die Umgestaltung und Umnutzung des Innenhofs. Nach einer Projektanpassung erteilte die Baukommission der Stadt Solothurn in einem weiteren Entscheid vom 3. Februar 2015 auch die Bewilligung für den Ausbau des Dachgeschosses des Leisttrakts.
Nach Beschwerden von A._, Eigentümer des südlich angrenzenden Nachbargrundstücks GB Solothurn Nr. 515, schlossen dieser und die Real Fund D._ am 4. Mai 2015 einen Vergleich ab. Darin verpflichtete sich Letztere unter anderem, auf die Umnutzung des Innenhofes in einen Parkplatz zu verzichten und diesen weiterhin als Grünbereich zu nutzen, allenfalls als Kinderspielplatz.
B.
Am 12. August 2016 ersuchte die C._, neue Baurechtsinhaberin des Grundstücks GB Solothurn Nr. 514, um Bewilligung und Umgestaltung des Innenhofs. A._ erhob erneut Einsprache. Mit Entscheid vom 4. April 2017 bewilligte die Baubehörde die Umgestaltung des Innenhofs, wobei sie auf das Einholen eines Lärmgutachtens verzichtete. Auf die Vorbringen zum Lärm von der Terrasse trat sie nicht ein, da deren Nutzung bewilligt sei.
Auf eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn nicht ein, soweit es um die Gestaltung und Nutzungsart des Innenhofs gehe. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Mit Eingabe vom 16. September 2019 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn. Es sei ausserdem die Baubehörde der Stadt Solothurn anzuweisen, vor Erteilung einer neuen Baubewilligung ein Lärmgutachten für den gesamten Innenhof mit Garten und Terrasse und die Zustimmung des kantonalen Amts für Umwelt einzuholen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden kann. Die beiden Beschwerdegegnerinnen beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Das Bundesamt für Umwelt BAFU hält in seiner Vernehmlassung fest, der angefochtene Entscheid sei seines Erachtens nicht konform mit der Umweltschutzgesetzgebung.

Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid des Verwaltungsgerichts steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG). Der Beschwerdeführer ist als Eigentümer der südlich an den umstrittenen Innenhof angrenzenden Liegenschaft beschwerdelegitimiert (<ref-law>). Auf die rechtzeitig erhobene Beschwerde ist daher einzutreten.
2.
Das Bundesgericht legt in seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; andernfalls bleibt es prinzipiell beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.2 S. 380; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Im vorliegenden Verfahren geht es im Wesentlichen um die Frage, ob die Baubehörde vor Bewilligung der Umgestaltung des Innenhofs bzw. Hofgartens ein Lärmgutachten gemäss Art. 36 Lärmschutz-Verordnung (SR 814.41; LSV) hätte einholen müssen. Das Verwaltungsgericht hat diese Frage in seinem Entscheid verneint; der Beschwerdeführer ist demgegenüber der Ansicht, ein solches Gutachten hätte eingeholt werden müssen. Da die verschiedenen Sach- und Rechtselemente eng miteinander verknüpft sind, rechtfertigt es sich im Folgenden zunächst die Ausführungen des Verwaltungsgerichts, jene des Beschwerdeführers sowie die Stellungnahme des Bundesamts für Umwelt BAFU zusammengefasst darzustellen. Des guten Verständnisses halber gilt es überdies zu präzisieren, dass der Innenhof des Hotels D._ über eine Restaurantterrasse sowie über einen direkt daran angrenzenden Innenhofgarten verfügt.
3.1. Das Verwaltungsgericht führt in seinem Urteil aus, die Restaurantterrasse sei im Rahmen des Umbauprojekts 2014/2015 rechtskräftig bewilligt worden. Dies gehe aus den Bau- und Ausführungsplänen hervor, die den beiden Bauentscheiden aus den Jahren 2014 und 2015 zugrunde liegen, sowie aus dem abgeschlossenen Vergleich vom 4. Mai 2015. Am 1. Mai 2017 habe das Amt für Wirtschaft und Arbeit ausserdem dem Verantwortlichen des Restaurants die Betriebsbewilligung für die Aussenwirtschaft erteilt. Schliesslich sei die Terrasse bereits im Jahr 2001 nach dem geltenden Lärmschutzrecht bewilligt worden.
Da weder die Ausgestaltung noch die künftige Nutzung des Innenhofs von der bisherigen Nutzung als Hotelgarten abweichen würden, sei baurechtlich nichts (mehr) zu bewilligen oder zu klären und ein schutzwürdiges Interesse des Beschwerdeführers für das vorliegende Verfahren könne somit höchstens noch mit der Einhaltung der Lärmschutzvorschriften begründet werden.
Das Verwaltungsgericht geht sodann davon aus, der Innenhof könne nicht als Anlage im Sinne des Umweltschutzgesetzes beurteilt werden. Falls der Hotelgarten dennoch als Anlage betrachtet werde, seien am ehesten die Regeln anzuwenden, welche nach der Praxis für Restaurantterrassen gelten würden. Die Vollzugshilfe 8.10 zur Ermittlung und Beurteilung des Lärms von öffentlichen Lokalen des cercle bruit, der Vereinigung kantonaler Lärmschutzfachleute (vom 1. Februar 2019) könne zu Hilfe genommen werden. Vorliegend seien keine Musikanlagen vorhanden und es erfolgten im Innenhof auch keine Serviceleistungen, sodass Lärm höchstens durch die Unterhaltung von Personen entstehen könne. Die Nutzung des Innenhofs durch Hotel- bzw. Seminargäste sei neben der zeitlichen Limite (Sommerhalbjahr, zwischen 8 Uhr und 22 Uhr) auch durch den im bepflanzten Innenhof verfügbaren Platz beschränkt: mehr als 30 Gäste fänden im Innenhof gleichzeitig nicht Platz. Während des Restaurantbetriebs auf der Terrasse sei die Benützbarkeit des Innenhofs zudem eingeschränkt, da der Zugang zum Garten ausschliesslich über die Terrasse erfolge. Es sei also davon auszugehen, dass dieser nur bei einigermassen gutem Wetter in der Zeit zwischen 8 Uhr und 12 Uhr sowie zwischen 13 und 19 Uhr von Seminar- und Hotelgästen genutzt werde. Der durch allfällige Unterhaltungen erzeugte Lärm sei offensichtlich nicht geeignet, Störwirkungen im Sinne des Umweltschutzrechtes zu erzeugen, schon gar nicht, Planungswerte der Empfindlichkeitsstufe III zu erreichen oder zu überschreiten. Während den Zeiten der Nutzung der Terrasse seien allfällige Gespräche von Personen im Innenhof erfahrungsgemäss nicht wahrnehmbar, da sie von den Geräuschen der Terrasse bzw. der Personen, die dort essen und servieren, überdeckt würden. Die Baubehörde habe somit zu Recht auf das Einholen eines Lärmgutachtens verzichtet.
3.2. Nach Ansicht des Beschwerdeführers ist es willkürlich, nicht von einer neu errichteten oder wesentlich geänderten Anlage im Sinne der Umweltschutzgesetzgebung auszugehen. Bei einer richtigen Würdigung der Baugesuchsakten der Bauverfahren 2014/2015 sei es zwingend, die Lärmsituation gesamthaft neu zu beurteilen. Die - nach Ansicht des Beschwerdeführers durch die Bauentscheide nicht bewilligte - Restaurantterrasse und deren Gastrobetrieb hätten seit 2001 wesentliche Änderungen erfahren, die deren intensivere Nutzung ermöglichen würden. Insbesondere habe der Lärm aufgrund der baulichen Änderungen nicht mehr die gleichen Ausbreitungswege und es resultierten für seine Liegenschaft ungünstige Reflexionen.
Weiter habe er anhand eines privaten Lärmgutachtens aufgezeigt, dass die Grenzwerte des Umweltrechts durch die Nutzung der Terrasse und des Innenhofs überschritten seien. Trotzdem habe sich die Behörde geweigert, die Lärmsituation abzuklären; dies komme einer Rechtsverweigerung gleich.
Betreffend die Lärmsituation im Innenhof führt der Beschwerdeführer sodann aus, dass im Innenhof - im Gegensatz zu den Ausführungen des Verwaltungsgerichts - bis zu 90 oder sogar bis zu 150 Personen Platz fänden. Es sei nicht ausgeschlossen, dass mindestens 60 Personen gleichzeitig den Innenhof nützen würden, da der grosse Saal des Hotels Platz für 60 Seminargäste habe und der Innenhof als Seminar-Pausenraum benutzt werde. Zudem verfalle die Vorinstanz in Willkür, wenn sie davon ausgehe, der Zugang zum Innenhof erfolge ausschliesslich über die Terrasse; dieser sei zugänglich über den Haupteingang des Hotels und Restaurants D._ und über die Aussentreppe, ohne dass dabei der Gastrobetrieb auf der Terrasse behindert würde. Daraus folge, dass die Voraussetzungen zum zeitgleichen Betrieb des Innenhofgartens und der Innenhofterrasse gegeben seien. Es sei ausserdem unerheblich, ob der Innenhofgarten für Apéros oder als Pausenraum für Seminarteilnehmende benutzt werde; dies ändere nichts an dem durch die Unterhaltungen verursachten Lärm.
3.3. In seiner Stellungnahme führt das BAFU zunächst aus, dass auch reine Umnutzungen der Baubewilligungspflicht unterstünden. Vorliegend habe sich das Nutzungskonzept der Terrasse dahingehend geändert, dass eine Erhöhung der Tischanzahl, eine engere Bestuhlung und ein verbesserter Zugang eine intensivere Nutzung der Terrasse ermöglichten. Bei der Umgestaltung handle es sich deshalb um eine bewilligungspflichtige Nutzungsänderung; aus den Baubewilligungen vom 29. April 2014, 3. Februar 2015 und 4. April 2017 ergebe sich jedoch nicht, dass das geänderte Nutzungskonzept der Restaurantterrasse bereits bewilligt worden sei.
Diese neue Nutzung der Terrasse sowie die intensivere Nutzung des Innenhofs als Pausenraum führten zu einer wahrnehmbaren Erhöhung der Lärmimmissionen. Das Gebäude des Beschwerdeführers, inklusive dessen lärmempfindliche Räume, befänden sich in unmittelbarer Nähe zur Terrasse. Erhebliche Störungen seien sodann insbesondere am Abend und in der Nacht zu erwarten. Dazu komme, dass die Terrasse und der Garten überwiegend von Mauern umgeben seien. Die Fassadenkonstellation und -beschaffenheiten spielten eine wesentliche Rolle bei der Schallausbreitung insbesondere im Zusammenhang mit Reflexionen und dem Halleffekt. Der Umbau und insbesondere der Anbau an den Leisttrakt hätten zu einer Verstärkung der Schallreflexionen geführt, was wiederum zu einer wahrnehmbaren Erhöhung der Lärmimmissionen führen würde. Es könne also nicht davon ausgegangen werden, dass durch die Nutzung des Innenhofs nur geringfügige Störungen verursacht würden, weshalb die Lärmsituation gemäss <ref-law> hätte ermittelt werden müssen.
4.
4.1. Gemäss <ref-law> ermittelt die Vollzugsbehörde die Aussenlärmimmissionen ortsfester Anlagen oder ordnet deren Ermittlung an, wenn sie Grund zur Annahme hat, dass die massgebenden Belastungsgrenzwerte überschritten sind oder ihre Überschreitung zu erwarten ist. Die Frage, ob Grund zur Annahme besteht, dass die Belastungsgrenzwerte überschritten werden, verlangt eine vorweggenommene Würdigung der Lärmsituation. Dabei dürfen - jedenfalls im Kontext von <ref-law> - keine hohen Anforderungen an die Wahrscheinlichkeit einer Überschreitung der Belastungsgrenzwerte gestellt werden (Urteil 1C_534/2011 vom 29. Mai 2012 E. 2.4; <ref-ruling> E. 3.4 S. 36 f.). Es reicht bereits aus, wenn eine Überschreitung der Belastungsgrenzwerte möglich erscheint, d.h. beim aktuellen Kenntnisstand nicht ausgeschlossen werden kann (<ref-ruling> E. 3.4 S. 37). Ist dies der Fall, so ist die Behörde zur Durchführung eines Beweis- und Ermittlungsverfahrens nach den <ref-law> und den Anhängen 2-7 LSV verpflichtet, ohne dass ihr insoweit ein Ermessensspielraum zustünde (<ref-ruling> E. 3.4 S. 36 f.; Urteil 1A.180/ 2006 vom 9. August 2007 E. 5.5).
4.2. Im vorliegenden Fall gilt es somit anhand einer prospektiven Würdigung der Lärmsituation abzuklären, ob Grund zur Annahme besteht, dass die Belastungsgrenzwerte im umstrittenen Innenhof überschritten werden.
Entgegen der Ansicht des Verwaltungsgerichts spielt es dabei zumindest in einem ersten Schritt keine Rolle, ob die Terrasse und deren Nutzung in einem früheren Verfahren bereits bewilligt worden sind oder nicht. Tatsächlich müssen die geltenden Belastungsgrenzwerte für Immissionen nicht nur zum Bewilligungszeitpunkt, sondern grundsätzlich während der gesamten Betriebsdauer einer Anlage eingehalten werden (Urteil 1C_63/2019 vom 29. Januar 2020 E. 5.2). Wenn also Grund zur Annahme besteht, dass der auf der Terrasse und im Hofgarten erzeugte Lärm die Belastungsgrenzwerte überschreitet, ist die Vollzugsbehörde verpflichtet, die Lärmsituation abzuklären. Das Vorliegen einer (vor kurzem erteilten) Baubewilligung schliesst somit nicht aus, dass die effektive Lärmsituation gegen die öffentlich-rechtlichen Vorschriften verstösst - sei es aufgrund mangelhafter Abklärung, Rechnungsfehler, einer nicht richtig vorausgesehener Lärmentwicklung oder anderer Gründe. Die Baubewilligung verleiht keine wohlerworbenen Rechte in Bezug auf die Lärmsituation, wenn diese dem geltenden Recht widerspricht (WOLF, in: USG-Kommentar, 2. Aufl., Art. 25 N. 44; vgl. auch ZAUGG/LUDWIG, Kommentar zum Baugesetz des Kantons Bern, Art. 38-39 N. 15a lit. f). Vielmehr ergeht eine Bewilligung für lärmige Anlagen unter dem (ausdrücklichen oder impliziten) Vorbehalt einer späteren Anordnung oder Ergänzung der Massnahmen zur Emissionsbegrenzung (vgl. Urteil 1C_63/2019 vom 29. Januar 2020 E. 5.2). <ref-law> ist jederzeit anrufbar, auch wenn eine lärmige Anlage bereits bewilligt wurde und auch ausserhalb eines Baubewilligungsverfahrens (ANNE-CHRISTINE FAVRE, La protection contre le bruit dans la loi sur la protection de l'environnement, Diss. 2002, S. 325). Eine gegenteilige Argumentation würde dazu führen, dass eine Überschreitung der Lärmgrenzwerte durch das Vorliegen einer rechtskräftigen Bewilligung legitimiert werden könnte.
Eine (vor kurzem erteilte) Baubewilligung kann jedoch einen Einfluss auf die Anforderungen haben, die bei der Anwendung von <ref-law> an die Wahrscheinlichkeit einer Überschreitung der Belastungsgrenzwerte gestellt werden. Während diese bei einer erstmaligen Beurteilung einer neuen Lärmsituation - im Rahmen von <ref-law> - nicht hoch sind (oben E. 4.1), sind sie unter Umständen höher, wenn eine Anlage vor kurzem bewilligt wurde, deren Lärmimmissionen als rechtskonform erachtet wurden und die allfälligen zusätzlichen Lärmimmissionen nur gering sind. Es sind dabei jedoch immer die Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen.
4.3. Vorliegend führt das Verwaltungsgericht in seinem Entscheid aus, die Restaurantterrasse sei durch die Bauentscheide aus den Jahren 2014 und 2015 sowie dem Vergleich vom Jahr 2015 bewilligt worden. Der Beschwerdeführer bestreitet dies. Diese Frage ist jedoch nicht Verfahrensgegenstand und wie soeben ausgeführt auch nicht direkt entscheidrelevant; sie muss deshalb vorliegend nicht beantwortet werden.
Hingegen ist der durch die Terrasse und deren Gastrobetrieb verursachte Lärm für die Frage, ob die Behörde gemäss <ref-law> die Lärmimmisionen abklären muss, von Bedeutung. Im Folgenden ist abzuklären, ob Grund zur Annahme besteht, dass die Belastungsgrenzwerte überschritten sind.
4.4. Es ist unbestritten, dass die Restaurantterrasse durch die Baubewilligungsverfahren 2014/2015 eine Aufwertung erfahren hat, indem sie nunmehr besser erschlossen ist. Gemäss Nutzungskonzept verfügt die Terrasse nun über einen "direkten attraktiven und hindernisfreien Zugang" von der Hotelhalle aus (vgl. "Hotel D._, Umbau und Sanierung" vom 15. August 2013, Graf Stampfli Jenni Architekten AG).
Es ist des Weiteren unbestritten, dass im Zuge des Umbaus auf der Seite des Innenhofs ein Treppenhaus an den Leisttrakt angebaut wurde. Wie der Beschwerdeführer in überzeugender Weise aufzeigt, sind die Ausbreitungswege des Lärms aufgrund dieser baulichen Veränderungen nicht mehr dieselben. Das BAFU bestätigt in seiner Stellungnahme die wesentliche Rolle, welche die Fassadenkonstellation und -beschaffenheiten bei der Schallausbreitung spielen. Es leuchtet ein, dass der dadurch erzeugte zusätzliche Halleffekt und die Verstärkung der Schallreflexionen zu einer Erhöhung der Lärmimmisionen führen. Ob - wie der Beschwerdeführer behauptet - die Schallreflexionen besonders ungünstig sind für seine Liegenschaft, kann vorliegend offen gelassen werden.
Ferner wurde die Nutzung des Innenhofs als Pausen- und Aufenthaltsraum für Hotel- und Seminargäste bewilligt (jeweils vom 1. März bis zum 31. Oktober). Es besteht also die Möglichkeit, dass sich relativ viele Personen - gemäss dem Verwaltungsgericht ca. 30 Personen - während den Pausen und ausserhalb der Konferenzzeiten gleichzeitig im Innenhof aufhalten und durch ihre Unterhaltungen Lärmimmissionen verursachen. Dem Verwaltungsgericht ist zwar darin zuzustimmen, dass der dadurch verursachte Lärm für sich allein nicht erheblich ist und die Grenzwerte der Empfindlichkeitsstufe III wohl nicht erreichen würde. Wie oben ausgeführt (oben E. 4.2 und 4.3), ist jedoch bei der Abklärung der Lärmimmissionen gemäss LSV der gesamte Lärm - jener von Terrasse und Innenhof - ausschlaggebend.
Schliesslich hat der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz ein privates Lärmgutachten, verfasst am 13. April 2018 durch die Firma MEP Akustik & Bauphysik AG, eingereicht, wonach die Planungswerte massiv überschritten würden, und dies obwohl die Liegenschaft in der Lärm-Empfindlichkeitszone III liegt. Das Lärmgutachten mag zwar - wie das Verwaltungsgericht festhielt - teilweise von ungenauen bzw. falschen Angaben ausgehen; die prognostizierten angeblich massiven Überschreitungen der Belastungswerte verstärken jedoch die Zweifel an der Einhaltung der Planungswerte. Diesem privaten Lärmgutachten kommt im vorliegenden Fall Bedeutung zu, da in den Baubewilligungsverfahren 2014/2015 soweit ersichtlich kein Gutachten bezüglich des Terrassenlärms eingeholt wurde. Das Verwaltungsgericht führt zwar aus, es sei ein Bericht zum Lärm der neuen Lüftungsanlagen eingeholt worden, nicht jedoch einer zum Terrassenlärm.
Angesichts all dieser Elemente, besteht Grund zur Annahme, die Belastungsgrenzwerte könnten vorliegend überschritten sein. Unter diesen Umständen wäre die Erstellung einer Lärmprognose vor Bewilligungserteilung geboten gewesen.
4.5. Nach dem Gesagten ist es nicht mehr nötig abzuklären, ob die Terrasse bereits vor dem Umbau ca. 35 Sitzplätze umfasste oder - wie der Beschwerdeführer behauptet - nur 20 Sitzplätze. Auch die weiteren vom Beschwerdeführer vorgebrachten Sachverhaltsrügen sind nicht zu behandeln, zumal die Lärmsituation nun von der Baubehörde der Stadt Solothurn neu abgeklärt werden muss. Diese wird dem Lärmgutachten ein Betriebskonzept der Restaurantterrasse und des Hofgartens zugrunde legen müssen, das den (längerfristigen) Bedürfnissen des Hotelbetriebs gerecht wird, der gelebten Situation entspricht und sich im Rahmen der (allenfalls) erteilten Bewilligungen bewegt.
Entgegen der Ansicht der Vorinstanz folgt aus den vorstehenden Erwägungen, dass es sich beim Innenhof inkl. Restaurantterrasse um eine ortsfeste Anlage im Sinne der LSV handelt (vgl. <ref-law>). Die Parteien sind sich zudem einig, dass die Restaurantterrasse nicht bereits vor Inkrafttreten des USG bestand und es sich daher um eine neue ortsfeste Anlage handelt (vgl. FAVRE, a.a.O., S. 302). Das Lärmgutachten wird sich somit an den Planungswerten zu orientieren haben.
4.6. Schliesslich ist anzufügen, dass sich das Vorliegen einer rechtskräftigen Bewilligung einer Anlage bzw. eines Teils einer Anlage, die nachträglich auf ihre Lärmemissionen untersucht wird, auf die Rechtsfolgen einer allfälligen Überschreitung der Belastungsgrenzwerte auswirken kann. So kommt eine Beseitigung der Anlage aufgrund des Verhältnismässigkeitsprinzips (<ref-law>) in der Regel nicht in Frage; die entsprechende Bewilligung kann jedoch durch emissionsbegrenzende Massnahmen ergänzt werden (WOLF, a.a.O., Art. 25 N 44; ZAUGG/LUDIWG, a.a.O., Art. 38-39 N. 15a lit. f). Falls das einzuholende Lärmgutachten zum Schluss kommen sollte, die Belastungsgrenzwerte seien überschritten, wird daher zu gegebener Zeit abzuklären sein, ob die Nutzung der Restaurantterrasse rechtskräftig bewilligt wurde oder nicht.
5.
Die Beschwerde wird nach dem Gesagten gutgeheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und die Sache an die Stadt Solothurn zurückzuweisen, um ein Lärmgutachten gemäss <ref-law> einzuholen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdegegnerinnen aufzuerlegen (<ref-law>). Dem nicht anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer ist keine Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren zuzusprechen (<ref-law>). Er macht insbesondere nicht geltend, es handle sich vorliegend um eine komplexe Sache mit hohem Streitwert, die einen übermässigen Arbeitsaufwand verursacht habe (Urteil 2C_807/2008 vom 19. Juni 2009).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Sache wird an die Stadt Solothurn zur Abklärung der Lärmsituation gemäss <ref-law> zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Beschwerdegegnerinnen je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baukommission der Stadt Solothurn, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Umwelt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Hänni