Sachverhalt:
A.
A._ erstattete am 1. Januar 2019 Strafanzeige bei der Staatsanwaltschaft See/Oberland gegen B._. Diese habe im Eheschutzverfahren ein Gutachten erstellt, welches Fehldarstellungen enthalte, ihn diskriminiere und "seinem Ruf in der Gemeinschaft durch Verleumdung" schade. Am 9. April 2019 leitete die Staatsanwaltschaft ein Verfahren betreffend die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._ ein und ersuchte das Obergericht des Kantons Zürich via die Oberstaatsanwaltschaft, über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Selbst beantragte die Staatsanwaltschaft, von einer solchen Ermächtigung abzusehen, da nach summarischer Prüfung kein deliktsrelevanter Anfangsverdacht vorliege.
Am 11. Juli 2019 beschloss die III. Strafkammer des Obergerichts, die Ermächtigung zur Strafverfolgung nicht zu erteilen. Im Wesentlichen hielt sie dazu fest, es liege kein strafrechtlich relevantes Verhalten und damit auch kein entsprechender Anfangsverdacht auf Seiten der angezeigten B._ vor.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 16. September 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, die Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids sei aufzuheben und stattdessen sei der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung zur Strafverfolgung gegen die Beschwerdegegnerin zu erteilen. Eventualiter sei die Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und das Verfahren zur Ermächtigungserteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin liess sich nicht vernehmen. Das Obergericht sowie die Oberstaatsanwaltschaft verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach Art. 7 Abs. 2 lit. b StPO in Verbindung mit § 148 des Zürcher Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess vom 10. Mai 2010 (GOG [LS 211.1]) entscheidet das Obergericht über die Eröffnung oder Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen Beamte im Sinn von Art. 110 Abs. 3 StGB wegen im Amt begangener Vergehen oder Verbrechen. Mit dem angefochtenen Entscheid hat das Obergericht abgelehnt, die Staatsanwaltschaft zur Strafverfolgung der angezeigten Personen zu ermächtigen. Damit fehlt es an einer Prozessvoraussetzung für die Durchführung des Strafverfahrens, womit das Verfahren abgeschlossen ist. Angefochten ist demnach ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG), gegen den nach der Rechtsprechung die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.3.1).
1.2. Der Beschwerdeführer war am kantonalen Verfahren als Partei beteiligt. Seine Strafanzeige kann nicht mehr weiterbehandelt werden. Er ist als möglicher Geschädigter, der allenfalls Zivilansprüche geltend machen könnte (Art. 115, Art. 118 und Art. 122 Abs. 1 i.V.m. Art. 104 Abs. 1 lit. b StPO), zur Beschwerdeerhebung befugt (Art. 89 Abs. 1 BGG).
2.
Das Ermächtigungserfordernis dient insbesondere dem Zweck, Behördenmitglieder und Beamte vor mutwilliger Strafverfolgung zu schützen und damit das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherzustellen. Ein Strafverfahren soll erst durchgeführt werden können, wenn die zuständige Behörde vorher ihre Zustimmung erteilt hat. Der förmliche Entscheid über die Eröffnung oder die Nichtanhandnahme obliegt kraft ausdrücklicher bundesrechtlicher Regelung der Staatsanwaltschaft (Art. 309 und 310 StPO; <ref-ruling> E. 2.3 S. 277; Urteil 1C_393/2019 vom 29. Oktober 2019 E. 2.1; je mit Hinweisen).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung dürfen im Ermächtigungsverfahren grundsätzlich nur strafrechtliche und keine politischen Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 278 f.). Über die Ermächtigung zur Strafverfolgung darf insbesondere nicht nach Opportunität entschieden werden. Das schliesst aber nicht aus, für die Erteilung der Ermächtigung genügende minimale Hinweise auf strafrechtliches Verhalten zu verlangen. Dass eine Behörde einen unliebsamen Entscheid gefällt hat oder nicht wunschgemäss im Sinne eines Gesuchstellers aktiv wird, begründet noch keine Pflicht, die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen. Vielmehr ist dafür vorauszusetzen, dass eine Kompetenzüberschreitung oder ein gemessen an den Amtspflichten missbräuchliches Verhalten oder ein sonstiges Verhalten, das strafrechtliche Konsequenzen zu zeitigen vermag, in minimaler Weise glaubhaft erscheint, mithin genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen (vgl. Urteil 1C_393/2019 vom 29. Oktober 2019 E. 2.2 mit Hinweis).
3.
3.1. Die Vorinstanz kam im angefochtenen Entscheid zum Schluss, der Vorwurf des Amtsmissbrauchs sei unbegründet, da mit der Erstattung eines Gutachtens kein Zwang ausgeübt und keine Verfügung erlassen werde. Der Tatbestand des Amtsmissbrauchs könne mit dem vom Beschwerdeführer angezeigten Verhalten der Beschwerdegegnerin nicht erfüllt werden. Weiter seien auch keine Anhaltspunkte für eine Begünstigung zu erkennen. Im Gutachten gehe es nicht um die strafrechtliche Verfolgung einer Person, weshalb ein solches ohnehin ungeeignet sei, jemanden der Strafverfolgung zu entziehen. Weiter zeige der Beschwerdeführer auch nicht konkret auf, inwiefern die im Gutachten gemachten Ausführungen ihm ein sittlich vorwerfbares, unehrenhaftes Verhalten zuschreiben würden. Unter diesen Umständen sei die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung nicht zu erteilen.
3.2. Der Beschwerdeführer ist indessen der Auffassung, die Vorinstanz verletze Bundesrecht, wenn sie das vorliegende Gutachten nicht als taugliches "Amtsmissbrauchsmittel" erachte. Mittels des Gutachtensergebnisses bzw. der im Gutachten geäusserten Empfehlung werde jedenfalls mittelbar klarerweise etwas hoheitlich angeordnet. Demnach stelle das Gutachten eine taugliche Amtshandlung dar, um Amtsmissbrauch zu begehen. Sodann hätte die Vorinstanz von Amtes wegen zufolge des Untersuchungsgrundsatzes gemäss Art. 6 StPO sowie des Verfolgungszwangs nach Art. 7 StPO prüfen müssen, ob nicht eine Verletzung von Art. 307 StGB (falsches Gutachten) vorliege. Indem sie diese Prüfung unterlassen habe, obschon sich der Vorwurf aufgedrängt habe, habe sie ebenfalls Bundesrecht verletzt.
3.3. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Vorinstanz hätte von Amtes wegen prüfen müssen, ob ein falsches Gutachten vorliege, kann ihm nicht gefolgt werden. Zwar hat er in seiner Stellungnahme an die Vorinstanz vom 17. Mai 2019 der Beschwerdegegnerin vorgeworfen, sie habe im Rahmen ihrer Begutachtung "fehlerhaft gehandelt", und in der zum Bestandteil der Stellungnahme erklärten Eingabe an das Bezirksgericht Meilen vom 11. Februar 2019 erklärt, das Gutachten sei "enttäuschend und untauglich", und es sei in verschiedener Hinsicht mangelhaft und unstimmig. Indessen hat er weder in der erwähnten Stellungnahme noch in der Eingabe an das Bezirksgericht den Vorwurf der falschen Abgabe eines Gutachtens erhoben. Stattdessen hat er einzig erklärt, im Raum stünden "Amtsmissbrauch und Begünstigung", und in der "offensichtlichen Fehlerhaftigkeit des Gutachtens" komme "Amtsmissbrauch zum Ausdruck". Bei dieser Sachlage und angesichts des Umstands, dass die falsche Abgabe eines Gutachtens einen entsprechenden Vorsatz voraussetzt, den der Beschwerdeführer in seinen Eingaben nicht thematisiert hat, hatte die Vorinstanz keinen Anlass, auch eine Verletzung von Art. 307 StGB zu prüfen.
Im Übrigen lassen aber auch die weiteren Ausführungen der Vorinstanz keine Bundesrechtsverletzung erkennen. Insbesondere kann im Erstatten eines Gutachtens - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - keine unrechtmässige Ausübung von Machtbefugnissen gesehen werden (vgl. E. 5 des angefochtenen Entscheids). Abgesehen davon fehlt es ohnehin am Erfordernis eines entsprechenden Vorsatzes, ein solcher ist weder ersichtlich noch dargetan. Die Vorinstanz hat zutreffend dargelegt, dass und weshalb die Vorwürfe des Beschwerdeführers keinen Anfangsverdacht zu begründen vermögen, wonach sich die Beschwerdegegnerin des Amtsmissbrauchs bzw. der Begünstigung und der üblen Nachrede schuldig gemacht haben könnte. Auf ihre diesbezüglichen Ausführungen kann verwiesen werden.
3.4. Nach dem Gesagten verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht.
4.
Die Beschwerde erweist sich mithin als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind dem Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens aufzuerlegen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft See/Oberland, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Dezember 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier