Faits :
A.
Par jugement du 6 décembre 2018, le Tribunal de police de l'arrondissement de l'Est vaudois a libéré X._ du chef de prévention d'abus de confiance.
B.
Par jugement du 5 avril 2019, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant sur les appels formés par le ministère public et par A._ contre ce jugement, a réformé celui-ci en ce sens que X._ est condamné, pour abus de confiance, à une peine pécuniaire de 120 jours-amende à 30 fr. le jour, avec sursis durant deux ans, et que le prénommé doit payer à A._ la somme de 21'953 fr. 80, avec intérêts, à titre de réparation civile.
La cour cantonale a retenu les faits suivants.
Entre fin mai et début juin 2017, à B._, A._ a confié à X._, qui était alors son employé, un montant de 22'000 fr., en coupures de 1'000 fr., afin que ce dernier s'acquitte d'une facture de TVA à hauteur de 21'953 fr. 80, montant dû par la société C._ Sàrl. X._ a par la suite prétendu s'être acquitté de cette facture, au moyen d'un paiement effectué à un guichet de l'office postal de B._, puis avoir déposé le récépissé correspondant sur une table de l'établissement C._, à l'endroit où il avait également placé la différence entre le montant confié et celui prétendument payé. Contrairement à cette dernière somme, aucune trace du paiement de la facture de TVA n'a pu être trouvée. X._ s'est approprié le montant de 21'953 fr. 80 au lieu de procéder au paiement prévu.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 5 avril 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que le jugement du 6 décembre 2018 est confirmé et, subsidiairement, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir apprécié les preuves et établi les faits de manière arbitraire. Il se plaint en outre, à cet égard, d'une violation du principe "in dubio pro reo".
1.1. Le Tribunal fédéral est lié par les faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins qu'ils n'aient été constatés en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 98). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 30; <ref-ruling> consid. 2.4 p. 368). L'appréciation des preuves est arbitraire ou manifestement inexacte au sens de l'<ref-law> lorsqu'elle est en contradiction avec le dossier ou contraire au sens de la justice et de l'équité ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des constatations insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 3.6.2 p. 287; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 233 s.). La présomption d'innocence, garantie par les <ref-law>, 32 al. 1 Cst., 14 par. 2 Pacte ONU II et 6 par. 2 CEDH, ainsi que son corollaire, le principe "in dubio pro reo", concernent tant le fardeau de la preuve que l'appréciation des preuves au sens large (<ref-ruling> consid. 2.2.3.1 p. 348 s.; <ref-ruling> consid. 2a p. 40 s.). En tant que règle sur le fardeau de la preuve, elle signifie, au stade du jugement, que le fardeau de la preuve incombe à l'accusation et que le doute doit profiter au prévenu. Comme règle d'appréciation des preuves (sur la portée et le sens précis de la règle sous cet angle, cf. <ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.), la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Lorsque l'appréciation des preuves et la constatation des faits sont critiquées en référence au principe "in dubio pro reo", celui-ci n'a pas de portée plus large que l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.2.3.3 p. 351 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503; <ref-ruling> consid. 7 p. 82).
1.2. La cour cantonale a exposé que la version des événements présentée par le recourant - selon laquelle il aurait procédé au paiement de la facture de TVA à un guichet postal, avant de déposer le solde de 46 fr. 20 ainsi que la quittance dudit paiement sur une table du bureau de l'établissement C._ - aurait impliqué une triple disparition particulièrement insolite, soit, à l'office postal, celle de 22 billets de 1'000 fr., puis celle de l'ordre de versement, enfin celle de la quittance postale dans le bureau de l'établissement C._. Une telle coïncidence ne pouvait résulter du hasard ou d'inadvertances, cela d'autant que les deux documents précités ainsi que les espèces n'avaient jamais été retrouvés. Il était également étrange que le solde de 46 fr. 20 fût trouvé sur la table du bureau sur laquelle le recourant avait prétendu avoir simultanément déposé la quittance postale. S'agissant de l'hypothèse d'une malversation de la part d'un employé postal doublée d'une disparition inexpliquée de la quittance, l'autorité précédente a indiqué que cet individu aurait, le cas échéant, dû procéder à diverses opérations fictives sans que le recourant le remarquât. Cet employé postal aurait ensuite dû subtiliser, après les avoir comptés, 22 billets de 1'000 fr., puis effectuer une soustraction pour remettre au recourant la différence de 46 fr. 20 ainsi que la quittance postale signée de sa main. L'individu en question aurait enfin dû replacer en caisse le montant de 46 fr. 20 tiré de sa poche pour éviter de faire apparaître un manco en fin de service. Selon la cour cantonale, outre que de telles manoeuvres se seraient avérées difficiles, l'employé postal - en remettant au recourant une quittance signée ou paraphée de sa main - aurait été facilement identifiable, ce qui aurait impliqué pour lui un risque considérable. Ainsi, la version des événements présentée par le recourant n'était pas crédible. En outre, l'intéressé connaissait, à l'époque des faits, d'importantes difficultés financières, faisait l'objet de nombreuses poursuites ainsi que de saisies et avait de surcroît été licencié avec effet au 15 juin 2017 pour des motifs économiques. Enfin, avant de procéder au prétendu paiement, le recourant avait évoqué, auprès de l'un de ses collègues, le risque que la somme confiée fût dérobée par un "braqueur". Le recourant avait ainsi mentionné un autre scénario susceptible d'assurer, cas échéant, son enrichissement. La cour cantonale a donc acquis la conviction que le recourant s'était bien approprié le montant de 21'953 fr. 80.
1.3. Le recourant développe une argumentation purement appellatoire et, partant, irrecevable, par laquelle il rediscute l'appréciation des preuves à laquelle s'est livrée l'autorité précédente, sans démontrer en quoi celle-ci serait arbitraire. Il perd de vue qu'une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable dans sa motivation et dans son résultat (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 146; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244). En l'occurrence, l'intéressé ne présente aucun élément propre à faire apparaître comme insoutenable la version des faits de la cour cantonale, mais se borne à discuter l'hypothèse d'une malversation réalisée par un employé postal en affirmant que celle-ci ne serait pas impossible. Les conjectures formulées ne font nullement apparaître l'état de fait de la cour cantonale comme arbitraire. Il en va de même de l'affirmation appellatoire selon laquelle le récépissé du paiement aurait pu être subtilisé dans le bureau de l'établissement C._ - sans que l'on comprenne par qui et dans quel but -, ou des interrogations exprimées par le recourant s'agissant de l'attitude de l'intimée après le prétendu paiement de la facture de TVA concernée. Par ailleurs, contrairement à ce que suggère le recourant, il importe peu que ce dernier n'eût pas procédé à des dépenses inconsidérées à l'époque des faits, que sa situation financière ne se fût pas améliorée après la disparition du montant litigieux ou encore qu'il eût été par ailleurs décrit comme un individu digne de confiance. En effet, l'autorité précédente n'a pas conjecturé sur l'éventuelle utilisation des 21'953 fr. 80, mais a uniquement indiqué que leur subtilisation par le recourant pouvait logiquement s'expliquer par les difficultés financières que celui-ci connaissait alors. En définitive, on ne voit pas en quoi il aurait été insoutenable de retenir que le recourant avait conservé par-devers lui le montant en question et que cette somme n'avait pas été dérobée par un employé postal avant que le récépissé de paiement remis fût perdu dans les locaux de l'établissement C._. Le grief doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Comme il était dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière, laquelle n'apparaît pas favorable. L'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer, ne saurait prétendre à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 10 septembre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa