Sachverhalt:
A.
A.a. Die österreichische Staatsangehörige B.C._ (geb. 1981; Beschwerdegegnerin) und der Brite A.C._ (Beschwerdeführer; geb. 1970) heirateten am 4. Dezember 2015. Sie sind die Eltern des 2016 geborenen Sohnes D._.
Am 28. Oktober 2016 begründete das Ehepaar gemeinsamen Haushalt in U._ (GB). Die Ehefrau und der Sohn hatten zuvor in V._ (CH) gelebt. Den gemeinsamen Haushalt lösten die Eheleute am 17. Dezember 2016 wieder auf, als B.C._ zu ihren Eltern nach W._ (AUT) zog. Seit Juli 2017 leben Ehefrau und Kind wieder in V._, wo Erstere bereits mit Eingabe vom 3. Februar 2017 beim Bezirksgericht Zürich ein Eheschutzverfahren anhängig gemacht hatte.
A.b. Mit Urteil vom 17. April 2018 teilte das Bezirksgericht soweit hier noch interessierend die Obhut über D._ der Mutter zu. Ausserdem verpflichtete es A.C._ zur Zahlung von Unterhalt für D._ von monatlich Fr. 550.-- vom 1. Januar bis 1. Juni (recte: 30. Juni) 2017 und Fr. 2'000.-- vom 1. Juli 2017 für die weitere Dauer des Getrenntlebens. Den für B.C._ persönlich zu bezahlenden Unterhalt setzte das Bezirksgericht fest auf Fr. 2'560.-- pro Monat von 1. Januar bis 1. Juni (recte: 30. Juni) 2017 und monatlich Fr. 3'000.-- vom 1. Juli 2017 für die weitere Dauer des Getrenntlebens.
B.
Auf Berufung von A.C._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 20. Februar 2019 (eröffnet am 25. Februar 2019) das bezirksgerichtliche Erkenntnis hinsichtlich der Obhut über D._ (Dispositivziffer 1). Weiter verpflichtete das Obergericht A.C._ zur Zahlung von Unterhalt für D._ von monatlich Fr. 550.-- vom 1. Januar bis 30. Juni 2017, Fr. 3'144.-- vom 1. Juli 2017 bis 31. August 2018, Fr. 3'104.-- vom 1. September 2018 bis 31. Mai 2019 und Fr. 2'772.-- ab. 1. Juni 2019 für die weitere Dauer des Getrenntlebens (Dispositivziffer 2). Den für B.C._ persönlich zu bezahlenden Unterhalt setzte das Bezirksgericht fest auf monatlich Fr. 2'560.-- vom 1. Januar bis 30. Juni 2017, Fr. 1'282.-- vom 1. Juli 2017 bis 31. August 2018, Fr. 1'202.-- vom 1. September 2018 bis 31. Mai 2019 und Fr. 1'368.-- ab 1. Juni 2019 für die weitere Dauer des Getrenntlebens (Dispositivziffer 3). Ferner auferlegte es die Kosten des Berufungsverfahrens zu einem Drittel der Ehefrau und zu zwei Dritteln dem Ehemann (Dispositivziffer 7). Letzteren verpflichtete es ausserdem, an Erstere für dieses Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung zu bezahlen (Dispositivziffer 8).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 27. März 2019 gelangt A.C._ ans Bundesgericht und stellt in der Sache die folgenden Anträge:
"1. Es seien in Gutheissung der vorliegenden Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich [...] folgende Dispositivziffern des angefochtenen Urteils aufzuheben:
1.1. Ziff. 1 mit Verweis auf Dispositivziffer 1 des Urteils des Bezirksgerichts Zürich [...] sei wie folgt neu zu beurteilen:
Die Obhut über D._ [...] wird [A.C._] zugeteilt.
1.2. Ziff. 2 sei aufzuheben und im Sinne der nachfolgenden Begründung zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
1.3. Ziff. 3 sei wie folgt neu zu beurteilen:
Es sind gegenseitig keine persönlichen Unterhaltsbeiträge geschuldet.
1.4. Ziff. 7 sei wie folgt neu zu beurteilen:
Die Gerichtskosten für das zweitinstanzliche Verfahren werden [B.C._] auferlegt und mit dem [von A.C._] geleisteten Kostenvorschuss von CHF 5'500.-- verrechnet. [B.C._] wird verpflichtet, [A.C._] den geleisteten Vorschuss von CHF 5'500.-- zu ersetzen.
1.5. Ziff. 8 sei wie folgt neu zu beurteilen:
[B.C._] wird verpflichtet, [A.C._] für das zweitinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von CHF 6'000.-- zu bezahlen.
2. Eventualiter seien in Gutheissung der vorliegenden Beschwerde Dispositiv Ziffern 1, 3, 7 und 8 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich [...] aufzuheben und es sei das Verfahren zur Neubeurteilung im Sinne der Ausführungen [von A.C._] an die Vorinstanz zurück zu weisen."
Ausserdem ersucht A.C._ darum, der Beschwerde in Bezug auf den ehelichen Unterhalt die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Am 10. Mai 2019 schliesst B.C._ auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und beantragt, der Beschwerde sei keine aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Eingabe vom 13. Mai 2019 verzichtet das Obergericht auf eine Vernehmlassung zum Gesuch um aufschiebende Wirkung. Der Instruktionsrichter hat der Beschwerde mit Verfügung vom 21. Mai 2019 für den bis und mit Februar 2019 geschuldeten Ehegattenunterhalt die aufschiebende Wirkung erteilt und das Gesuch weitergehend abgewiesen.
Am 29. Juli 2019 verzichtete das Obergericht auf eine Vernehmlassung und mit Beschwerdeantwort vom 7. August 2019 wiederholt B.C._ ihre bereits am 10. Mai 2019 gestellten Anträge. Hierzu hat A.C._ sich nicht mehr vernehmen lassen.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Betreuung des Kindes, Kindes- und Ehegattenunterhalt) entschieden hat. Im Streit steht eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>; vgl. etwa Urteil 5A_721/2018 vom 6. Juni 2019 E. 1.1). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Die Beschwerde in Zivilsachen ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Daher muss auch das Rechtsbegehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die beschwerdeführende Partei darf sich praxisgemäss nicht darauf beschränken, einen rein kassatorischen Antrag zu stellen, ausser wenn das Bundesgericht ohnehin nicht reformatorisch entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3.1), oder wenn eine belastende Anordnung in Streit steht, sodass mit deren Aufhebung die Belastung beseitigt wird (Urteil 2C_122/2019 vom 6. Juni 2019 E. 1.1).
Zum Kindesunterhalt stellt der Beschwerdeführer allein einen kassatorischen Antrag (Rechtsbegehren, Ziffer 1.2). In der Beschwerdebegründung legt er indes dar, dass seiner Ansicht nach ein reformatorischer Entscheid nicht möglich sei, weil der Barbedarf des Kindes ohne weitere Abklärungen zu den Fremdbetreuungskosten nicht bestimmt werden könne. Wie es sich hiermit verhält, ist nachfolgend zu prüfen; das kassatorische Begehren erweist sich unter diesen Umständen als zulässig (vgl. <ref-ruling> E. 6.1).
1.3. Betreffend Ehegattenunterhalt beantragt der Beschwerdeführer, es sei festzuhalten, dass die Parteien sich gegenseitig keine Unterhaltsbeiträge schulden (Rechtsbegehren, Ziffer 1.3). Aus der Begründung der Beschwerde - diese ist zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3) - ergibt sich freilich, dass er die Gerichte des Kantons Zürich als zur Beurteilung des Ehegattenunterhalts nicht zuständig erachtet und ausserdem der Ansicht ist, keinen Unterhalt zu schulden. Folgerichtig führt er aus, das Begehren um Ehegattenunterhalt sei abzuweisen, "sofern das Bundesgericht die Auffassung vertritt, es sei [darauf] einzutreten". Die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
2.
Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5), weshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sein soll (<ref-ruling> E. 1.3). Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht (vgl. zu diesem <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 2.1), reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
3.
3.1. Umstritten ist vorab die Zuständigkeit der Gerichte in der Schweiz zur Regelung des Ehegattenunterhalts. Nach Ansicht des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz die einschlägigen Vorschriften willkürlich angewandt, indem es die (internationale und örtliche) Zuständigkeit der Zürcher Gerichte bejahte. Wie dargelegt lebt der Beschwerdeführer in Grossbritannien und hat die Beschwerdegegnerin Wohnsitz in V._, wobei sie das Eheschutzverfahren anhängig machte, als sie sich noch in W._ aufhielt (vorne Bst. A.a). Strittig ist folglich das Gesuch um Regelung des Getrenntlebens in einem internationalen Verhältnis im Sinne von <ref-law> (SR 201). Die Zuständigkeit bestimmt sich dabei nach diesem Gesetz, sofern keine völkerrechtlichen Verträge zur Anwendung gelangen (vgl. Art. 1 Abs. 2 IRPG).
3.2. Das Obergericht bejahte die Zuständigkeit der Gerichte in Zürich für die Regelung des Ehegattenunterhalts gestützt auf Art. 5 Ziff. 2 Bst. c des Übereinkommens vom 30. Oktober 2007 über die gerichtliche Zuständigkeit und die Anerkennung und Vollstreckung von Entscheidungen in Zivil- und Handelssachen (Lugano-Übereinkommen, LugÜ; SR 0.275.12). Zum gleichen Schluss gelangt die Beschwerdegegnerin. Die Anwendbarkeit des Lugano-Übereinkommens ist nicht bestritten und nicht zu beanstanden: Es erfasst auch Unterhaltssachen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7.1.1; <ref-ruling> E. 4b), wobei unter Ehegatten dann eine Unterhaltsklage vorliegt, wenn die beanspruchte Leistung dazu bestimmt ist, den Unterhalt des anderen Ehegatten zu sichern (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.1; Urteile 5A_161/2008 vom 3. Juni 2008 E. 2.1, in: Pra 2009 Nr. 9 S. 59; 5P.252/2003 vom 18. März 2004 E. 4.2). Dies ist vorliegend der Fall. Gleichzeitig besteht für die interessierende Zuständigkeitsfrage kein vorgehendes Übereinkommen nach <ref-law> (HOFMANN/KUNZ, in: Basler Kommentar, Lugano-Übereinkommen, 2. Aufl. 2016, N. 378 zu <ref-law>).
Gemäss Art. 5 Ziff. 2 Bst. c LugÜ kann eine Person, die ihren Wohnsitz im Hoheitsgebiet eines durch das Übereinkommen gebundenen Staates hat, in einem anderen durch das Übereinkommen gebundenen Staat verklagt werden: Im Falle einer Unterhaltssache, über die im Zusammenhang mit einem Verfahren in Bezug auf die elterliche Verantwortung zu entscheiden ist, vor dem nach seinem Recht für dieses Verfahren zuständigen Gericht, es sei denn, diese Zuständigkeit beruht lediglich auf der Staatsangehörigkeit einer der Parteien.
3.3. Über den Ehegattenunterhalt ist vorliegend im Rahmen des zwischen den Parteien hängigen Eheschutzverfahrens zu entscheiden. In diesem Verfahren ist namentlich auch die Frage strittig, welche Partei die tägliche Betreuung des gemeinsamen Kindes (im Sinne der faktischen Obhut; vgl. <ref-ruling> E. 4.2) übernimmt. Da im Eheschutzverfahren folglich über elterliche Verpflichtungen zu entscheiden ist, handelt es sich um ein Verfahren in Bezug auf die elterliche Verantwortung i.S. von Art. 5 Ziff. 2 Bst. c LugÜ (vgl. HOFMANN/AFFOLTER, a.a.O., N. 424 zu <ref-law>). Zur Beurteilung dieser Streitigkeit waren die Vorinstanzen mit Blick auf den gewöhnlichen Aufenthalt des Kindes in V._ gestützt auf Art. 1 Abs. 1 Bst. a, Art. 3 Bst. b und d sowie Art. 5 Abs. 1 des Haager Kindesschutzübereinkommens (HKsÜ; SR. 0.211.231.011; vgl. dazu PAUL LAGARDE, Explanatory Report, 1997, Rz. 19 und 38 f.; abrufbar unter www.hcch.net, Rubriken: Publications & Studies, Explanatory Reports) sowie <ref-law> zuständig. Ausreichend war dabei, dass das Kind im Entscheidzeitpunkt seinen gewöhnlichen Aufenthalt in V._ hatte (allgemein dazu: <ref-ruling> E. 4.2.4; <ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2b/bb), zumal das HKsÜ jedenfalls bei Verlegung des Aufenthalts in einen anderen Vertragsstaat während Hängigkeit eines Verfahrens keine sog. perpetuatio fori kennt, mithin die am neuen Aufenthalt oder Wohnsitz gelegenen Gerichte und Behörden zuständig werden (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 2.1). Es schadet damit nicht, dass die Beschwerdegegnerin und der Sohn sich im Zeitpunkt der Klageeinreichung in W._ befanden. Ferner hat der Beschwerdeführer Wohnsitz in einem Vertragsstaat des Lugano-Übereinkommens und beruht die Zuständigkeit der Gerichte in Zürich für die Beurteilung der Kinderbelange nicht allein auf der Staatsangehörigkeit einer der Parteien. Folglich konnte das Obergericht die Zuständigkeit der Zürcher Gerichte gestützt auf Art. 5 Ziff. 2 Bst. c LugÜ auch für die Beurteilung der Klage auf Ehegattenunterhalt bejahen, sofern zwischen der Unterhaltsfrage und der Frage der Betreuung von D._ ein hinreichender Zusammenhang besteht.
3.4. Nach Ansicht des Beschwerdeführers kann ein derartiger Zusammenhang zwischen Ehegattenunterhalt und Kinderbetreuung ohne Willkür nicht bejaht werden. Dies gelte spätestens seit der Einführung des Betreuungsunterhalts, weil nach <ref-law> alle betreuungsbedingten Nachteile des betreuenden Ehegatten mit dem Kindesunterhalt abgegolten würden. Das Obergericht bejahte den Zusammenhang zwischen Ehegattenunterhalt und der Regelung betreffend die Betreuung des Sohnes, ohne dies ausführlich zu thematisieren.
Der nötige Zusammenhang ist nach bestimmten Lehrmeinungen bereits gegeben, wenn nach dem einschlägigen Recht - vorliegend gelangt unbestritten schweizerisches Recht zur Anwendung - über die Unterhaltssache zusammen mit der Hauptsache entschieden werden muss oder kann (RAINER HAUSMANN, in: unalex Kommentar, Brüssel I-Verordnung, 2012, N. 20 zu Art. 5 Nr. 2 EuGVVO; vgl. weiter Urteil 5A_461/2010 vom 30. August 2010 E. 3, in: FamPra.ch 2010 S. 919; ANDREAS BUCHER, in: Commentaire romand, Loi sur le droit international privé, Convention de Lugano, 2011, N. 102 zu <ref-law>) bzw. wenn sich Letztere auf Erstere auszuwirken vermag (HOFMANN/KUNZ, a.a.O., N. 425 zu <ref-law>). Im vorliegenden Eheschutzverfahren ist das Gericht gehalten, sowohl über die Kinderbelange, als auch den Ehegattenunterhalt zu entscheiden (<ref-law>). Ausserdem wirkt sich die Frage, wie bzw. durch wen ein Kind betreut wird, auf den Ehegattenunterhalt aus (vgl. Art. 163 Abs. 1 und 2 ZGB; <ref-ruling> E. 2.2; Urteil 5A_493/2017 vom 7. Februar 2018 E. 3), was entgegen dem Beschwerdeführer auch nach Inkrafttreten der Änderung des Zivilgesetzbuches betreffend Kindesunterhalt vom 20. März 2017 (AS 2015 S. 4299) noch der Fall ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.8; Urteil 5A_727/2018 vom 22. August 2019 E. 4; dazu auch hinten E. 7.3 am Ende). Damit ist das Obergericht jedenfalls nicht in Willkür verfallen, indem es einen hinreichenden Zusammenhang angenommen hat.
3.5. Nach dem Ausgeführten konnte das Obergericht ohne Willkür die Zuständigkeit der Gerichte in Zürich zur Beurteilung des Ehegattenunterhalts bejahen.
Unter diesen Umständen spielt keine Rolle, ob diese Gerichte zur Beurteilung des Ehegattenunterhalts (auch) gestützt auf Art. 5 Ziff. 2 Bst. a LugÜ zuständig wären, nachdem die Beschwerdegegnerin sich im Zeitpunkt der Klageeinreichung noch in W._ aufhielt (vgl. dazu: HOFMANN/KUNZ, a.a.O., N. 412 zu <ref-law>; allgemein vgl. <ref-ruling> E. 5, S. 209 E. 2b/bb; Urteil 5A_903/2013 vom 29. Januar 2014 E. 2.2). Die diesbezüglichen Ausführungen des Beschwerdeführers bleiben folglich unbehelflich.
4.
Damit ist das Obergericht ebenso wenig wie das Bezirksgericht in Willkür verfallen, als es über das gesamte Eheschutzgesuch der Beschwerdegegnerin entschieden hat. Nicht umstritten ist wie ausgeführt die Anwendung des Schweizerischen Rechts. Nachfolgend ist folglich bezüglich der strittig gebliebenen Punkte zu prüfen, ob das Obergericht mit der getroffenen Regelung verfassungsmässige Rechte des Beschwerdeführers verletzte. Dies betrifft die Betreuung des gemeinsamen Sohnes der Parteien (sogleich E. 5 und 6) sowie den Ehegatten- und Kindesunterhalt (hinten E. 7-9).
5.
5.1. Im Zusammenhang mit dem Entscheid über die Betreuung des Sohnes sieht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) darin, dass die kantonalen Instanzen kein Gutachten zur Frage der Obhutszuteilung bzw. der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin eingeholt haben. Das Obergericht kam zum Schluss, das Bezirksgericht habe auf die Einholung eines Gutachtens verzichten dürfen, weil es mit Blick auf die Umstände des Falles hinsichtlich sämtlicher vom Beschwerdeführer aufgeworfener Fragen nicht angezeigt gewesen sei, einen Sachverständigen beizuziehen. Derselben Ansicht wie die Vorinstanz ist die Beschwerdegegnerin.
5.2. Sind in familienrechtlichen Angelegenheiten Kinderbelange zu beurteilen, erforscht das Gericht den Sachverhalt von Amtes wegen (sog. Untersuchungsmaxime; <ref-law>). Dennoch kann es das Beweisverfahren schliessen, wenn es aufgrund der bereits abgenommenen Beweismittel seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 2b; Urteile 5A_470/2016 vom 13. Dezember 2016 E. 4.1.2; 5A_265/2015 vom 22. September 2015 E. 2.2.2; allgemein zur antizipierten Beweiswürdigung vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2). Unter diesen Umständen liegt im Verzicht auf weitere Beweismassnahmen auch keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-ruling> E. 6.3.1). In Eheschutzverfahren ist bezüglich der Einholung von kinderpsychologischen Gutachten praxisgemäss Zurückhaltung angebracht. Im Gegensatz zur Scheidung steht im Eheschutz nicht eine definitive und dauerhafte Lösung der Kinderbelange im Vordergrund. Das Gericht hat vielmehr in erster Linie rasch eine optimale Situation für das Kind zu schaffen, wobei langwierige Abklärungen - von gewissen Ausnahmen (z.B. sexueller Missbrauch von Kindern) abgesehen - nicht die Regel bilden sollten (vgl. Urteile 5A_470/2016 vom 13. Dezember 2016 E. 4.1.2; 5A_280/2016 vom 18. November 2016 E. 3.3.2; 5A_265/2015 vom 22. September 2015 E. 2.2.2; 5P.157/2003 vom 30. Juni 2003 E. 4.4, in: FamPra.ch 2003 S. 951).
5.3. Der Beschwerdeführer verweist auf das seiner Ansicht nach "pathologische" Verhalten der Beschwerdegegnerin, die seit der Geburt des Sohnes den Kontakt des Vaters zum Kind nach Möglichkeit verhindert habe (z.B. langes Zuwarten mit der Begründung des gemeinsamen Haushalts, Auszug nach nur kurzer Zeit, Vorenthalten des Kindes während des Aufenthalts in W._, Hintertreiben der begleiteten Besuche in V._). Dies lasse erheblich an der Bindungstoleranz der Mutter und damit an deren Erziehungsfähigkeit zweifeln und begründe besondere Umstände, welche eine Begutachtung notwendig machten.
Darin, dass die Eltern zerstritten sind und die bisher hauptbetreuende Mutter sich den Kontakten des Vaters mit dem Kind entgegenstellt, liegen indes keine Umstände, welche zwingend eine Begutachtung erfordern würden. Zwar mag sein, dass die bestehenden Probleme aufgrund der Wohnsituation der Parteien und der sprachlichen Schwierigkeiten verschärft werden. Der Beschwerdeführer verweist in diesem Zusammenhang denn auch darauf, dass die Beschwerdegegnerin die Englischkenntnisse des Sohnes nicht fördere, welche indessen für die Kommunikation mit ihm, dem Vater, entscheidend seien, weil er kein Deutsch spreche. Auch unter Beachtung dieser Umstände erscheint der Entscheid der Vorinstanz, keine Begutachtung vorzunehmen, indes nicht geradezu willkürlich. Im Übrigen belässt es der Beschwerdeführer dabei, seine Einschätzung der Sachlage jener des Obergerichts gegenüberzustellen und diese als unhaltbar zu bezeichnen. Dies gilt insbesondere auch insoweit, als er die Einschätzung der Vorinstanz zur Bindungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin in Frage stellt und deren Erziehungsfähigkeit sowie die Feststellung, wonach keine Entfremdung zwischen Vater und Sohn vorliege, in Zweifel zieht. Entsprechend gelingt ihm der Nachweis nicht, dass das Obergericht die vorhandenen Beweismittel zu dieser Frage willkürlich gewürdigt und daher zu Unrecht kein Gutachten angeordnet hat. Die Beschwerde erweist sich insoweit als unbegründet.
6.
6.1. Als in verschiedener Hinsicht verfassungswidrig, namentlich willkürlich, rügt der Beschwerdeführer auch die vom Obergericht getroffene Betreuungsregelung.
Das mit der Regelung des Getrenntlebens befasste Eheschutzgericht trifft nach den Bestimmungen über die Wirkungen des Kindesverhältnisses die nötigen Massnahmen, wenn die Ehegatten minderjährige Kinder haben (<ref-law>). Für die Zuteilung der Obhut an einen Elternteil gelten dabei grundsätzlich dieselben Kriterien wie im Scheidungsfall. Nach der Rechtsprechung hat dabei das Wohl des Kindes Vorrang vor allen anderen Überlegungen, insbesondere vor den Wünschen der Eltern (vgl. <ref-ruling> E. 5.4). Vorab muss die Erziehungsfähigkeit der Eltern geklärt werden. Ist diese bei beiden Elternteilen gegeben, sind vor allem Kleinkinder und grundschulpflichtige Kinder demjenigen Elternteil zuzuteilen, der die Möglichkeit hat und dazu bereit ist, sie persönlich zu betreuen. Erfüllen beide Elternteile diese Voraussetzung ungefähr in gleicher Weise, kann die Stabilität der örtlichen und familiären Verhältnisse ausschlaggebend sein. Schliesslich ist - je nach Alter der Kinder - ihrem eindeutigen Wunsch Rechnung zu tragen. Diesen Kriterien lassen sich die weiteren Gesichtspunkte zuordnen, namentlich die Bereitschaft eines Elternteils, mit dem anderen in Kinderbelangen zusammenzuarbeiten, oder die Forderung, dass eine Zuteilung der Obhut von einer persönlichen Bindung und echter Zuneigung getragen sein sollte (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 4a; Urteile 5A_848/2018 vom 16. November 2018 E. 5.1.1; 5A_379/2016 vom 1. Dezember 2016 E. 3.1; vgl. auch das <ref-ruling> E. 4.4).
6.2. Das Obergericht ging in seinen Überlegungen davon aus, dass beide Elternteile willens und in der Lage seien, den Sohn zu betreuen. Insbesondere bestünden keine Hinweise, dass durch die Obhut der Beschwerdegegnerin das Kindeswohl gefährdet werde. Nach Ansicht des Beschwerdeführers steht diese Feststellung im Widerspruch zur tatsächlichen Situation. Die Mutter fördere den Kontakt zwischen Vater und Kind nicht und verunmögliche es damit dem Sohn, eine tragfähige Beziehung zum Vater aufzubauen. Für die Schaffung einer solchen Beziehung brauche es mehr als die auf dem Vollstreckungsweg erstrittenen Kontakte. Folglich spricht der Beschwerdeführer der Kindsmutter die Bindungstoleranz und damit die Erziehungsfähigkeit ab (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.7 S. 495). Weil das Kind aufgrund des Verhaltens der Mutter ohne genügenden Kontakt zum Vater aufwachse, sei das Kindeswohl gefährdet.
Zwar begünstigt die Beschwerdegegnerin auch nach den Feststellungen des Obergerichts den Kontakt zwischen Vater und Sohn nicht. Weiter stellt die Vorinstanz fest, dass die Mutter nicht gewillt sei, die Englischkenntnisse des Sohnes zu fördern. Auch unter Berücksichtigung dieser Umstände kommt das Obergericht jedoch zum Schluss, es bestünden keine aussergewöhnlichen Umstände, welche die Entwicklung des Kindes gefährden würden. Der Beschwerdeführer habe ausserdem eine Beziehung zum Sohn aufbauen können, welche es nun zu festigen gelte. Entsprechend sah das Obergericht keinen Anlass, die Bindungstoleranz und damit die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin in Frage zu stellen oder hierzu ein Gutachten zu veranlassen, was unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden ist (vgl. vorne E. 5). Entgegen dem Beschwerdeführer liegt in dieser Argumentation kein Widerspruch. Vielmehr nahm die Vorinstanz eine Würdigung der Umstände des Einzelfalls vor und gelangte in Abwägung sämtlicher Elemente zu ihren Schlussfolgerungen. Letztlich ist es diese Würdigung der vorhandenen Beweise, welche der Beschwerdeführer in Frage stellt. Er setzt sich mit den Ausführungen der Vorinstanz aber nicht näher auseinander, sondern begnügt sich im Ergebnis damit, seine eigene Interpretation der tatsächlichen Umstände derjenigen des Obergerichts entgegenzustellen und Letztere als widersprüchlich bzw. willkürlich zu bezeichnen. Dabei geht er von einem für ihn selbst optimalen Szenario aus. Dies reicht nicht aus, um den angefochtenen Entscheid unter Verfassungsgesichtspunkten in Frage zu stellen (vgl. vorne E. 2).
6.3. Nach dem Ausgeführten konnte das Obergericht ohne Verfassungsverletzung davon ausgehen, beide Elternteile seien gleichermassen willens und fähig, den Sohn zu betreuen. Gemessen an der Rechtsprechung ist damit auch nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz der Stabilität der Verhältnisse entscheidendes Gewicht beimass (vgl. E. 6.1 hiervor). Dabei verweisen das Obergericht und ihm folgend die Beschwerdegegnerin zu Recht darauf, dass seit der Geburt des Sohnes die Mutter dessen Hauptbezugs- und -betreuungsperson ist.
Demgegenüber beruft sich der Beschwerdeführer auf die speziellen Gegebenheiten des Falles, namentlich den Umstand, dass Vater und Sohn keine gemeinsame Sprache sprechen und die Eltern in verschiedenen Ländern wohnen. Unter diesen Umständen würden bereits im Eheschutzverfahren die Weichen für das spätere Leben des Kindes gestellt; der Kontakt zu dem im Ausland lebenden Elternteil werde immer eingeschränkter sein als in Binnensachverhalten. Dies habe die Vorinstanz zu wenig berücksichtigt. Damit verkennt der Beschwerdeführer, dass im vorliegenden Eheschutzverfahren einzig eine vorläufige Regelung getroffen wird, mit welcher der endgültige Entscheid des Sachgerichts nicht vorweggenommen werden soll. Wie die Vorinstanz richtig festgehalten hat, ist das Kind daher grundsätzlich in seiner bisherigen Umgebung zu belassen, falls dies ohne Gefährdung des Kindeswohls möglich ist (<ref-ruling> E. 3; Urteil 5A_972/2013 vom 23. Juni 2014 E. 6.2.4, in: FamPra.ch 2014 S. 1024). Zwar mag vorliegend aufgrund der grossen örtlichen Distanz zwischen den Wohnorten der Eltern und der bestehenden Sprachproblematik auch die Belassung der bisherigen Situation in gewisser Weise auf den Hauptsacheentscheid präjudizierend wirken. Zu einer identischen Vorwegnahme des Endergebnisses käme es indes, wenn entsprechend dem Wunsch des Beschwerdeführers bereits heute ein Umzug des Sohnes von V._ nach Grossbritannien angeordnet würde. Dabei ist der Beschwerdeführer sehr optimistisch, wenn er davon ausgeht, ein derartiger Wechsel sei für den Sohn "überhaupt kein Problem". Insoweit gilt es daran zu erinnern, dass das Kind noch sehr klein und dementsprechend mehr personen- denn umgebungsbezogen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.7 S. 493). Der Wechsel in der Betreuung wird damit umso mehr spürbar. Auch gilt es im jetzigen Verfahrensstadium ein "Hin und Her" in der Betreuung zu vermeiden bzw. kommt dem Grundsatz, die bisher gelebte Lösung aufrecht zu erhalten, ein höherer Stellenwert zu. Hinzu kommt, dass der Beschwerdeführer als hauptsächlichen Vorteil der von ihm favorisierten Lösung den Umstand sieht, dass er im Gegensatz zur Beschwerdegegnerin den Kontakt zum anderen Elternteil nicht einschränken oder hindern werde, der Sohn mit einem Aufenthalt bei ihm folglich den Kontakt zu beiden Elternteilen besser wahren könne. Das Verhalten der Mutter ist wie dargelegt indes nicht als geradezu kindeswohlgefährdend einzustufen, womit dieser vom Beschwerdeführer genannte Vorteil relativiert wird.
6.4. Zusammenfassend ist der angefochtene Entscheid unter Verfassungsgesichtspunkten hinsichtlich der Obhutszuteilung nicht zu beanstanden.
In diesem Zusammenhang rügt der Beschwerdeführer ausserdem eine Verletzung des Beschleunigungsgebots (<ref-law>), da das bisherige Verfahren zu lange gedauert habe. Gerade in "Fällen von Entfremdung der Kinder von ihren Eltern" seien rasche Abklärungen und Entscheide vonnöten. Eine Gehörsverletzung liege ausserdem darin, dass das Obergericht im Berufungsverfahren auf seine entsprechende Rüge nicht eingegangen sei. Aus der Beschwerde ergibt sich nicht, was der Beschwerdeführer mit diesem Vorbringen erreichen möchte. Die Dauer des vorinstanzlichen Verfahrens - dieses ist zwischenzeitlich abgeschlossen - ist für sich genommen im Zusammenhang mit der Frage, durch welches Elternteil das Kind betreut werden soll, kein entscheidendes Kriterium (vgl. E. 6.1 hiervor), und auch aus der (angeblichen) Verletzung des Beschleunigungsgebots vermag der Beschwerdeführer in der Sache nichts zu seinen Gunsten abzuleiten (vgl. <ref-ruling> E. 6.5; <ref-ruling> E. 3.4). Sodann beantragt der Beschwerdeführer weder die Feststellung einer Rechtsverletzung noch die Berücksichtigung der (angeblichen) Rechtsverzögerung bei den Kostenfolgen. Auf das Vorbringen zur Rechtsverzögerung ist daher nicht weiter einzugehen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.3; Urteil 4A_271/2015 vom 29. September 2015 E. 4, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Unter diesen Umständen vermag der Beschwerdeführer auch nicht darzutun, weshalb dem Obergericht ein Vorwurf daraus erwachsen sollte, dass es nicht auf das Vorbringen der Rechtsverzögerung eingegangen ist (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2).
7.
7.1. Nach Ansicht des Beschwerdeführers erweist es sich als willkürlich, dass das Obergericht das Bestehen eines Anspruchs der Beschwerdegegnerin auf Ehegattenunterhalt bejahte.
Ist die Auflösung des gemeinsamen Haushaltes begründet, so muss das Gericht auf Begehren eines Ehegatten die Unterhaltsbeiträge an die Kinder und den Unterhaltsbeitrag an den Ehegatten festlegen (<ref-law>). Grundlage des Unterhaltsanspruchs des Ehegatten ist <ref-law>, und zwar auch dann, wenn mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushalts nicht mehr zu rechnen ist (<ref-ruling> E. 4.2.1). Demnach sorgen die Ehegatten gemeinsam, ein jeder nach seinen Kräften, für den gebührenden Unterhalt der Familie (<ref-law>). Sie verständigen sich über den Beitrag, den jeder von ihnen leistet (Art. 163 Abs. 2 1. Teilsatz ZGB), und berücksichtigen die Bedürfnisse der ehelichen Gemeinschaft und ihre persönlichen Umstände (<ref-law>). Für die Bestimmung der Unterhaltspflicht der Ehegatten ist daher von deren bisherigen, ausdrücklichen oder stillschweigenden Vereinbarungen über Aufgabenteilungen und Geldleistungen auszugehen. Im Falle der Aufhebung des gemeinsamen Haushalts ist jeder Ehepartner verpflichtet, nach seinen Kräften an die Bestreitung der Mehrkosten beizutragen, die das Getrenntleben verursacht. Dadurch kann eine Anpassung der von den Eheleuten geschlossenen Vereinbarungen an die neuen Lebensverhältnisse notwendig werden. Ist dabei in tatsächlicher Hinsicht erstellt, dass mit einer Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushalts nicht mehr ernsthaft gerechnet werden kann, hat das Eheschutzgericht hierbei die für den nachehelichen Unterhalt geltenden Kriterien (<ref-law>) miteinzubeziehen und aufgrund der neuen Lebensverhältnisse zu prüfen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.2.1).
Haben die Ehegatten sich während der Ehe über eine völlige Unabhängigkeit verständigt, kam also jeder Ehegatte für seine eigenen Bedürfnisse auf und führte er in jeder Hinsicht ein vom anderen Ehegatten unabhängiges Leben, rechtfertigt sich die Zusprechung eines Unterhaltsbeitrages im Falle der Trennung nach dem Gesagten nicht. Die Trennung schafft diesfalls auch keine neue Sachlage, welche eine Anpassung der ehelich gelebten Vereinbarung nötig machen würde. Eine derartige Situation liegt namentlich vor, wenn die Eheleute nie zusammen gelebt haben, nie eine Lebensgemeinschaft in welcher Form auch immer bildeten und kein Ehegatte mit Geld- oder Sicherheitsleistungen zum Unterhalt des anderen beigetragen hat (zum Ganzen: BGE <ref-ruling> E. 3.2 [betreffend Scheinehe]; ROLF BRUNNER, in: Hausheer et al. [Hrsg.], Handbuch des Unterhaltsrechts, 2. Aufl. 2010, Rz. 04.07 S. 176 ["fehlende gemeinsame Lebenshaltung"]; JANN SIX, Eheschutz, 2. Aufl. 2014, Rz. 2.54a S. 99 f.; vgl. auch Urteil 5A_409/2015 vom 13. August 2015 E. 3.4 [betreffend Überschussverteilung]).
7.2. Den unbestritten gebliebenen tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz lässt sich entnehmen, dass die Parteien vor der Trennung während nur weniger Wochen zusammengelebt und grundsätzlich getrennte Kassen geführt haben. Wie der Beschwerdeführer im Grundsatz richtig vorbringt, ist dies ein Hinweis auf eine hohe Unabhängigkeit der Ehegatten voneinander bzw. auf einen Fall fehlender gemeinsamer Lebenshaltung (zu eben dieser Fallkonstellation vgl. BRUNNER, a.a.O.). Das Obergericht berücksichtigte indes zu Recht den gemeinsamen Sohn der Parteien, worauf auch die Beschwerdegegnerin verweist. Dessen Betreuung macht es der hauptbetreuenden Beschwerdegegnerin grundsätzlich unzumutbar, nach der Trennung einer (vollen) Erwerbstätigkeit nachzugehen (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.7). Damit durfte das Obergericht zum Schluss gelangen, es liege gerade kein Fall vor, in welchem die Ehegatten während der Ehe in jeder Hinsicht unabhängig voneinander geblieben seien. Wie die Vorinstanz sodann unbestritten feststellte, war die Beschwerdegegnerin allein deshalb in der Lage, ihr Leben in der Zeit zwischen der Geburt des Sohnes und der Begründung des gemeinsamen Haushalts selbst zu finanzieren, weil sie aufgrund von Überstunden noch Abgeltungsansprüche aus ihrem (früheren) Arbeitsverhältnis geltend machen konnte. Folglich war sie nicht mehr in der Lage, ihren laufenden Lebensunterhalt durch eine Erwerbsarbeit zu verdienen. Unter diesen Umständen ist es jedenfalls nicht willkürlich, wenn das Obergericht vom grundsätzlichen Bestehen eines Unterhaltsanspruchs nach <ref-law> ausging.
7.3. Hieran ändert auch das Vorbringen des Beschwerdeführers nichts, beide Parteien hätten beabsichtigt, auch nach der Geburt des Sohnes ihre Karrieren weiterzuführen. Jedenfalls der Beschwerdegegnerin ist dies nach der Trennung und ohne Mithilfe bei der Kinderbetreuung wie dargelegt nicht möglich. Das Obergericht hält denn auch richtig fest, dass im Falle gemeinsamer Kinder in der Regel eine lebensprägende Ehe vorliegt (<ref-ruling> E. 3.1; für Ausnahmen vgl. etwa Urteil 5A_177/2010 vom 8. Juni 2010 E. 6.5, in: FamPra.ch 2010 S. 914). Dem Beschwerdeführer hilft damit auch der Hinweis darauf nicht weiter, eine Wiederaufnahme des gemeinsamen Haushalts sei nicht mehr zu erwarten und es seien die für den nachehelichen Unterhalt entwickelten Kriterien zu berücksichtigen. Soweit er die Lebensprägung der Ehe als solche in Abrede stellt, belässt der Beschwerdeführer es sodann dabei, seine eigene Sicht der Dinge darzutun, was den vorliegend massgebenden strengen Begründungserfordernissen nicht genügt (vgl. vorne E. 2). Anders als der Beschwerdeführer meint, kann dem Obergericht ferner kein Widerspruch in der Argumentation vorgeworfen werden, wenn es aufgrund des gemeinsamen Sohnes trotz des kurzen Zusammenlebens und der getrennten Kasse eine gemeinsame Lebenshaltung angenommen hat. Beim Umstand, dass die Parteien ein gemeinsames Kind haben, handelt es sich vielmehr um ein Sachverhaltselement, welches das Obergericht in seinen Entscheid einzubeziehen hatte, und das wie dargelegt geeignet ist, in Abwägung mit den in eine andere Richtung weisenden Umständen einen Unterhaltsanspruch zu begründen. Zuletzt verkennt der Beschwerdeführer das Verhältnis zwischen dem Kindes- und dem Ehegattenunterhalt, wenn er (zumindest sinngemäss) geltend macht, die durch die Geburt des Sohnes eingetretenen Nachteile seien allein durch den Kindesunterhalt abzugelten. Zwar werden bestimmte sich aus der Kinderbetreuung ergebende Nachteile seit Inkrafttreten des neuen Rechts zum Kindesunterhalt (vgl. vorne E. 3.4) nunmehr durch den Betreuungsunterhalt abgedeckt. Als Themata des ehelichen Unterhalts verbleiben aber jedenfalls diejenigen Nachteile, welche durch die Kinderbetreuung entstehen und quantitativ nicht durch den Betreuungsunterhalt abgedeckt sind (vgl. betreffend nachehelichen Unterhalt <ref-ruling> E. 4.8.3).
7.4. Zusammenfassend ist unter Willkürgesichtspunkten nicht zu beanstanden, dass das Obergericht einen Unterhaltsanspruch der Beschwerdegegnerin bejaht hat.
8.
8.1. Als in verschiedener Hinsicht willkürlich und auch ansonsten verfassungswidrig erachtet der Beschwerdeführer sodann die Berechnung des Kindes- sowie des Ehegattenunterhalts. Dies betrifft einerseits die Berechnung seines Einkommens (nachfolgend E. 8) und andererseits die Bestimmung des Bedarfs des Sohnes (hinten E. 9).
8.2. Zum Einkommen des Beschwerdeführers hielt das Obergericht fest, dieser habe bei der E._ Ltd. in den Jahren 2015 bis 2017 ein monatliches Nettoeinkommen nach Steuern von umgerechnet Fr. 11'287.-- erzielt. Dem Einwand des Beschwerdeführers, er werde in den kommenden Jahren weniger verdienen, weil er in den ersten drei Jahren spezielle Einstiegsboni erhalten habe, die nunmehr wegfielen, folgte das Obergericht nicht. Dabei hielt es fest, der Beschwerdeführer habe nach Ablauf des ersten und des zweiten Jahres einen "Anniversary Bonus" von je GBP 32'500.-- erhalten. Hinzu komme ein "one-time restricted cash award" von GBP 65'000.--, der nach Ablauf von drei Jahren ausbezahlt werde. Zuletzt sei ein "discretionary annual performance bonus" vorgesehen. Dabei handle es sich um einen ordentlichen Bonus, der jährlich ausbezahlt werde und von der erbrachten Arbeitsleistung abhängig sei. Entsprechend sei dem Beschwerdeführer 2016 ein Anniversary Bonus von GBP 32'500.-- sowie ein Discretionary Bonus von GBP 2'500.-- und 2017 ein Anniversary Bonus von GBP 32'500.-- und ein Discretionary Bonus von GBP 8'100.-- ausbezahlt worden. Das Arbeitsverhältnis habe 2015 begonnen. Damit sei glaubhaft, dass der Beschwerdeführer ab dem Jahr 2018 keinen Anniversary Bonus mehr erhalte. Allerdings sei davon auszugehen, dass im dritten Anstellungsjahr, d.h. 2018, die Bezahlung des Cash Awards von GBP 65'000.-- anfalle. Für dieses Jahr sei daher nicht mit einem tieferen Einkommen zu rechnen. Ohnehin sei davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer auch in diesem Jahr zusätzlich den ordentlichen Bonus erhalte. Ferner sei auch das Bruttoeinkommen des Beschwerdeführers mit zunehmender Dauer seiner Anstellung von monatlich GBP 10'833.34 im Jahr 2015 auf monatlich GBP 12'095.75 im Jahr 2017 gestiegen. Damit sei insgesamt nicht zu beanstanden, dass die Erstinstanz auch hinsichtlich des künftigen Einkommens auf die Durchschnittswerte gemäss Steuerbescheinigung der Jahre 2015/2016 sowie 2016/2017 von umgerechnet monatlich (netto) Fr. 11'287.-- abgestellt habe.
Auch die Beschwerdegegnerin verweist auf das steigende Einkommen des Beschwerdeführers - dieser habe die Lohnentwicklung im vorinstanzlichen Verfahren nicht bestritten - und die zunehmenden ordentlichen Boni, weshalb auch künftig auf das früher erzielte Durchschnittseinkommen abgestellt werden könne.
8.3. Der Beschwerdeführer ist mit der Berechnung seines Einkommens für die Jahre 2016 bis 2018 einverstanden. Nicht nachvollziebar sei indes, wie ihm auch für die Zeit danach ein entsprechendes Einkommen angerechnet werden könne. Das Obergericht sei von der unbegründeten Annahme ausgegangen, der Beschwerdeführer werde auch in Zukunft Boni in der Höhe der Einstiegsboni erhalten. Mit Blick auf die bisher ausbezahlten ordentlichen Boni von durchschnittlich GBP 5'300.-- pro Jahr sei dies nicht realistisch. Wie der Beschwerdeführer die Differenz zwischen dem nachgewiesenen Fixlohn von umgerechnet Fr. 8'991.50 im Monat und dem von der Vorinstanz angenommenen Monatslohn von Fr. 11'287.-- soll erzielen können, begründe das Obergericht nicht. Dieses habe sein Einkommen damit willkürlich berechnet.
8.4. Fraglich ist, ob der Beschwerdeführer trotz des unbestrittenen Wegfalls der Einstiegsboni ("Anniversary Bonus"; "one-time restricted cash award") auch ab dem Jahr 2019 ein (tatsächliches) Nettoeinkommen in der Grössenordnung der vergangenen drei Jahre wird erzielen können. Das Obergericht bejahte dies mit Hinweis auf den dem Beschwerdeführer weiterhin zustehenden ordentlichen Bonus (zur Berücksichtigung von Boni bei der Einkommensberechnung vgl. Urteil 5A_17/2016 vom 26. Juli 2016 E. 3.2) sowie die zu erwartende Erhöhung seines Grundeinkommens. Richtig weist der Beschwerdeführer dagegen darauf hin, dass die in den ersten drei Anstellungsjahren ausbezahlten Einstiegsboni insgesamt GBP 130'000.-- betrugen. Dies ergibt einen durchschnittlichen Jahresbonus von GBP 43'333.35 oder einen Bonus von GBP 3'611.10 im Monat. Die vom Obergericht angeführte Erhöhung des Grundlohnes des Beschwerdeführers betrug gemäss dem angefochtenen Urteil nach den ersten zwei Anstellungsjahren GBP 1'262.41 im Monat, mithin jedes Jahr monatlich GBP 631.20. Damit lässt sich folglich nur ein kleiner Teil der weggefallenen Einstiegsboni auffangen bzw. dauert es, gleichbleibende Lohnerhöhungen vorausgesetzt, rund sechs Jahre, bis der Beschwerdeführer den Wegfall wettgemacht hat. Das Obergericht verweist weiter auf die ordentlichen Boni, welche der Beschwerdeführer nach wie vor ausbezahlt erhält. Solche hat er bereits in den Jahren 2016 und 2017 erhalten, und zwar in der Höhe von durchschnittlich GBP 5'300.-- im Jahr oder GBP 441.65 im Monat. Eine Kompensation der Einstiegsboni kann folglich nur mittels hierüber hinausgehender ordentlicher Boni erfolgen. Dafür, dass der Beschwerdeführer ab dem Jahr 2019 ordentliche Boni in ausreichender Höhe erhalten würde (d.h. von rund GBP 2'500.-- im Monat über die bisher bezogenen Boni hinaus), vermag die Vorinstanz indes ebenso wenig Anhaltspunkte zu nennen wie die Beschwerdegegnerin. Ganz im Gegenteil verweist das Obergericht selbst auf ein Schreiben des Vorgesetzten des Beschwerdeführers vom 17. Mai 2018, wonach Letzterer in diesem Jahr oder in mittlerer Zukunft keine ordentlichen Boni erwarten dürfe. Hierauf geht die Vorinstanz nicht weiter ein. Selbst wenn entgegen diesem Schreiben mit einem weiteren Bonusanstieg wie bisher zu rechnen wäre - d.h. von GBP 5'300.-- im Jahr bzw. GBP 441.65 im Monat - vermag der Beschwerdeführer den Wegfall der Einstiegsboni gestützt auf den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt in unmittelbarer Zukunft weder mit den ordentlichen Lohnerhöhungen noch dem ordentlichen Bonus aufzufangen. Das Obergericht geht sodann nicht davon aus, dass der Beschwerdeführer ein anderweitiges Einkommen erzielen würde.
8.5. Das im angefochtenen Urteil ab dem Jahr 2019 angenommene Einkommen des Beschwerdeführers findet damit keine Stütze in den Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts. Ersteres erweist sich insoweit als offensichtlich unhaltbar (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2; Urteil 5A_964/2016 vom 19. Februar 2018 E. 4, in: FamPra.ch 2018 S. 471). Da eine Einkommensdifferenz von bis zu ca. GBP 2'500.-- im Monat in Frage steht, wirkt sich dies auch auf die Festsetzung der fraglichen Unterhaltsbeiträge aus (vgl. <ref-law>). Die Beschwerde erweist sich diesbezüglich als begründet.
9.
9.1. Bezüglich der im Bedarf des Kindes angerechneten Fremdbetreuungskosten rügt der Beschwerdeführer, diese seien nicht hinreichend nachgewiesen worden. Wie bereits die Erstinstanz habe die Vorinstanz entgegen seinen Anträgen nie alle bezahlten Rechnungen der Kindertagesstätte edieren lassen, aus welchen die effektiven Kosten ersichtlich gewesen wären. Stattdessen habe das Obergericht auf einen von der Beschwerdegegnerin eingereichten und nicht unterzeichneten Betreuungsvertrag abgestellt. Auch wenn ein summarisches Verfahren vorliege, gehe es nicht an, dass das Obergericht sich mit Mutmassungen begnügt, wenn es die tatsächlich bezahlten Rechnungen einverlangen könnte. Dieses Vorgehen sei willkürlich und verletze den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör.
9.2. Mit diesen Ausführungen legt der Beschwerdeführer seine Sicht der Dinge zum Nachweis der Fremdbetreuungskosten dar. Er geht aber nicht auf die Feststellung der Vorinstanz ein, wonach mit den vorhandenen Beweismitteln die regulären (nicht subventionierten) Betreuungskosten glaubhaft gemacht seien, und zeigt nicht auf, weshalb diese Schlussfolgerung geradezu unhaltbar sein soll. Damit kommt er den ihn treffenden (strengen) Begründungserfordernissen nicht nach (vgl. vorne E. 2), womit auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist.
10.
10.1. Zusammenfassend erweist sich die Berechnung des Einkommens des Beschwerdeführers und damit die Bestimmung der geschuldeten Ehegatten- und Kindesunterhaltsbeiträge als nicht haltbar und sind die Ziffern 2 und 3 des angefochtenen Entscheids in teilweiser Gutheissung der Beschwerde aufzuheben. Es ist indessen nicht Sache des Bundesgerichts, die Unterhaltsbeiträge unter Vervollständigung der tatsächlichen Grundlagen erneut festzusetzen, weshalb die Angelegenheit entsprechend dem Antrag bzw. Eventualantrag des Beschwerdeführers an das Obergericht zurückzuweisen ist (<ref-law>). Dieses wird auch erneut über die Verlegung der Prozesskosten des Berufungsverfahrens zu entscheiden haben, weshalb auch die Ziffern 7 und 8 des angefochtenen Entscheids aufzuheben sind. Weitergehend ist die Beschwerde abzuweisen.
10.2. Die Rückweisung der Angelegenheit zum erneuten Entscheid gilt im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als Obsiegen des Beschwerdeführers (vgl. <ref-ruling> E. 11.1). Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens sind daher die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>) und die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Sache in Aufhebung der Ziffern 2, 3, 7 und 8 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. Februar 2019 zur erneuten Beurteilung des Ehegattenunterhalts und des Kindesunterhalts und zur Verlegung der Prozesskosten des Berufungsverfahrens an das Obergericht zurückgewiesen. Weitergehend wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. September 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber