Sachverhalt:
A.
Am 1. April 2021 entzog das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich A._ vorsorglich den Führerausweis. Dagegen legte diese bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich Rekurs ein. Diesen verband sie mit dem Verfahrensantrag, dem Rekurs sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Zwischenentscheid vom 15. April 2021 wies die Sicherheitsdirektion diesen Verfahrensantrag ab.
A._ erhob dagegen am 22. April 2021 Beschwerde ans Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und stellte folgende Anträge:
1. Dringender Verfahrensantrag
Es sei die prozessleitende Anordnung der Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich betreffend die Abweisung des Antrages der Beschwerdeführerin auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung des Rekurses vom 15. April 2021 (Rekurs Nr. 2021.0269) aufzuheben und diesem Rekurs für die Dauer dieses Rekursverfahrens die aufschiebende Wirkung zu erteilen sowie die Beschwerdegegnerin anzuweisen, der Beschwerdeführerin den eingezogenen Führerausweis wieder auszuhändigen.
2. Eventualantrag
Evtl. sei die prozessleitende Anordnung der Rekursabteilung der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich betreffend die Abweisung des Antrages der Beschwerdeführerin auf Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung des Rekurses vom 15. April 2021 (Rekurs Nr. 2021.0269) aufzuheben und die Beschwerdegegnerin anzuweisen, diesem Rekurs für die Dauer dieses Rekursverfahrens die aufschiebende Wirkung zu erteilen sowie der Beschwerdeführerin den eingezogenen Führerausweis wieder auszuhändigen.
3. Antrag betreffend Kostenfolgen
[...]
B.
Mit Verfügung vom 26. April 2021 wies das Verwaltungsgericht zunächst den dringenden Verfahrensantrag ab (Dispositiv-Ziffer 1) und setzte gleichzeitig dem Strassenverkehrsamt und der Sicherheitsdirektion eine Frist zur Einreichung der Akten (Dispositiv-Ziffern 2 und 3).
Gegen diese Verfügung erhebt A._ mit Eingabe vom 6. Mai 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht. Sie beantragt im Wesentlichen, die Verfügung sei aufzuheben und ihrem Rekurs an die Sicherheitsdirektion die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Eventualiter sei dem Verwaltungsgericht eine entsprechende Anweisung zu erteilen. Sie rügt eine Verletzung von § 25 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Zürich vom 24. Mai 1959 (VRG; LS 175.2) betreffend die aufschiebende Wirkung und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Verfahren 1C_255/2021).
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Strassenverkehrsamt schliesst auf deren Abweisung. Die Beschwerdeführerin hat dazu Stellung genommen.
C.
Nach Eingang der mit der Verfügung vom 26. April 2021 einverlangten Akten wies das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 10. Mai 2021 auch die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es setzte die Gerichtskosten auf Fr. 1'570.-- fest und auferlegte sie der Beschwerdeführerin, der es zudem keine Parteientschädigung zusprach (Dispositiv-Ziffern 2-4).
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ans Bundesgericht vom 10. Juni 2021 beantragt A._ im Wesentlichen, das Urteil des Verwaltungsgerichts ersatzlos aufzuheben. Sie habe dieses Urteil nicht angestrebt. Falls das Bundesgericht das Urteil trotzdem prüfen sollte, berufe sie sich auch insofern auf eine Verletzung von § 25 VRG und des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Verfahren 1C_363/2021).
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, während das Strassenverkehrsamt auf seine Vernehmlassung im Verfahren 1C_255/2021 verweist.
D.
In der Folge teilte das Bundesgericht den Verfahrensbeteiligten mit, das Verfahren 1C_255/2021 scheine mit dem Urteil des Verwaltungsgerichts vom 10. Mai 2021 gegenstandslos geworden zu sein, und räumte ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme ein. Das Strassenverkehrsamt hält in seiner Antwort fest, es habe keine Einwände gegen eine Abschreibung des Verfahrens, während die Beschwerdeführerin die Auffassung vertritt, es liege keine Gegenstandslosigkeit vor.

Erwägungen:
1.
Die angefochtenen Entscheide des Verwaltungsgerichts hängen inhaltlich eng zusammen. Es rechtfertigt sich, die Beschwerdeverfahren zu vereinigen und die Sache in einem einzigen Urteil zu behandeln.
2.
Angefochten war vor Verwaltungsgericht der Zwischenentscheid der Sicherheitsdirektion betreffend die aufschiebende Wirkung des vor ihr hängigen Rekurses. Das Verwaltungsgericht interpretierte den "dringenden Verfahrensantrag" der Beschwerdegegnerin als Gesuch um vorsorgliche Massnahmen, das es gestützt auf § 6 Satz 2 und § 25 Abs. 3 i.V.m. §§ 55 und 70 VRG sofort und ohne Beizug der Akten in Form einer Verfügung behandelte. Sein Urteil fällte es später nach Beizug der Akten. Wenn die Beschwerdeführerin behauptet, dieses Urteil nicht angestrebt zu haben, verkennt sie, dass sie gegen den Zwischenentscheid der Sicherheitsdirektion Beschwerde erhoben hatte und das Verwaltungsgericht somit verpflichtet war, darüber einen Entscheid zu fällen.
3.
Das die Verfügung vom 26. April 2021 betreffende Beschwerdeverfahren 1C_255/2021 ist aufgrund des Urteils vom 10. Mai 2021 gegenstandslos geworden (vgl. Urteil 5A_332/2012 vom 25. Juni 2012). Erklärt das Bundesgericht einen Rechtsstreit als gegenstandslos, entscheidet es mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (<ref-ruling> E. 8.2; <ref-ruling> E. 2a; je mit Hinweisen). Allerdings erübrigen sich im vorliegenden Fall separate Erwägungen hierzu, denn die beiden Beschwerden betreffen den gleichen Gegenstand und enthalten dieselben Rügen. Zudem hatte die vorinstanzliche Verfügung vom 26. April 2021 keine Kostenfolgen.
4.
4.1. Das Urteil vom 10. Mai 2021 ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, gegen den nach <ref-law> die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist. Es schliesst das Verfahren nicht ab und ist daher als Zwischenentscheid zu qualifizieren. Dieser kann direkt angefochten werden, weil die Verweigerung der Rückgabe des Führerausweises während des Rekursverfahrens vor der Sicherheitsdirektion einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken kann (Urteil 1C_458/2019 vom 25. März 2020 E. 1.1. mit Hinweis). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde im Verfahren 1C_363/2021 grundsätzlich einzutreten.
4.2. Beim vorsorglichen Führerausweisentzug handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme im den Sicherungsentzug betreffenden Hauptverfahren. In Beschwerden gegen solche Entscheide kann nach <ref-law> nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Diese Verletzung ist nach <ref-law> in der Beschwerde vorzubringen und zu begründen; es gilt insofern eine qualifizierte Rügeobliegenheit (<ref-ruling> E. 1.2.2 mit Hinweisen). Dies gilt ebenso bzw. umso mehr, wenn wie hier noch nicht der vorsorgliche Führerausweisentzug selbst, sondern erst die aufschiebende Wirkung eines Rechtsmittels nach kantonalem Recht in Frage steht.
4.3. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von § 25 VRG. Sie ist der Auffassung, nach dieser Bestimmung müsse ihrem Rekurs aufschiebende Wirkung gegeben werden. Allerdings macht sie insofern keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend, weshalb darauf nicht einzutreten ist (<ref-law>; vgl. auch Urteil 1C_372/2018 vom 24. Oktober 2018 E. 2). Im Übrigen ist darauf hinzuweisen, dass das Verwaltungsgericht in seinem Entscheid die bundesgerichtliche Praxis zum vorsorglichen Entzug des Führerausweises korrekt wiedergegeben hat. Wie im Nachfolgenden darzulegen ist, ist es auch auf die konkreten Umstände des vorliegenden Falls eingegangen (vgl. E. 5 hiernach). Gestützt darauf erscheint es nicht als willkürlich, von besonderen Gründen im Sinne von § 25 Abs. 3 VRG auszugehen, die den Entzug der aufschiebenden Wirkung rechtfertigen.
5.
Die Beschwerdeführerin kritisiert indessen, die Vorinstanz habe nicht dargelegt, aus welchen besonderen Gründen im Sinne von § 25 Abs. 3 VRG der Entzug der aufschiebenden Wirkung gerechtfertigt sei. Der angefochtene Entscheid verletze deshalb die Begründungspflicht.
Das Verwaltungsgericht legte dar, ein ärztlicher Bericht vom 9. März 2021 verneine die Fahreignung der Beschwerdeführerin. Eine Haaranalyse habe eine EtG-Konzentration von 90 pg/mg ergeben, was der untersuchende Arzt als chronisch starken Alkoholkonsum und als Missachtung der früher angeordneten Alkoholabstinenz beurteilt habe. Da damit erhebliche Zweifel an der Fahreignung der Beschwerdeführerin bestünden, komme die Gewährung der aufschiebenden Wirkung nicht in Frage. Besondere Umstände, die einen anderen Entscheid rechtfertigten, gebe es nicht.
Diese Ausführungen genügen der Begründungspflicht (<ref-law>). Es reicht aus, dass die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid die für sie wesentlichen Überlegungen aufgeführt hat. Die Beschwerdeführerin war gestützt darauf ohne Weiteres in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2).
6.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_255/2021 ist somit als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abzuschreiben. Die Beschwerde im Verfahren 1C_363/2021 ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Es ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1C_255/2021 und 1C_363/2021 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_255/2021 wird als gegenstandslos geworden vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 1C_363/2021 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Abteilungspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. September 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold