Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 4. August 2020 wies das Bezirksgericht Meilen das Rechtsöffnungsgesuch der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes U._ ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 26. August 2020 eine Beschwerde, mit der er eine Prozessentschädigung von Fr. 500.-- forderte. Mit Beschluss vom 10. September 2020 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf die Beschwerde infolge Verspätung nicht ein. Ergänzend hielt es fest, dass ein Rechtsöffnungsgesuch nicht zur Stellungnahme zugestellt werden müsse, wenn es als offensichtlich unzulässig oder unbegründet erscheine. In diesen Fällen falle der Gegenpartei regelmässig kein relevanter Aufwand an, weshalb keine Grundlage für die Zusprechung einer Parteientschädigung bestehe.
Gegen diesen Beschluss hat der Beschwerdeführer am 19. Oktober 2020 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. In der gleichen Eingabe hat er zudem eine Rechtsverweigerungsbeschwerde in einer anderen Angelegenheit erhoben (dazu Verfahren 5D_275/2020).
2.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (Art. 113 ff. BGG). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe die Beschwerdefrist im kantonalen Verfahren eingehalten. Er behauptet, die Frist habe am 17. August 2020 zu laufen begonnen. Nach den obergerichtlichen Feststellungen, die für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich sind (Art. 118 Abs. 1 BGG), ist ihm das bezirksgerichtliche Urteil jedoch am 14. August 2020 zugestellt worden. Weder behauptet und belegt er, dass dieses Zustelldatum nicht zutrifft, noch legt er dar, inwieweit das Obergericht den Fristenlauf falsch berechnet haben soll. Sodann erhebt er Vorwürfe gegen das Bezirksgericht, das kein Verfahren durchgeführt habe. Auf die Eventualerwägungen des Obergerichts zum Verzicht auf die Einholung einer Gesuchsantwort geht er nicht ein. Soweit er die Begründung des Bezirksgerichts für die Verweigerung der Rechtsöffnung kritisiert, ist darauf nicht einzutreten. Das Urteil des Bezirksgerichts kann vor Bundesgericht nicht angefochten werden (Art. 114 i.V.m. Art. 75 BGG) und im Übrigen ist der Beschwerdeführer insofern nicht beschwert und deshalb nicht zur Beschwerdeführung berechtigt (Art. 115 BGG).
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung an den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren fällt ausser Betracht (Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg