Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1961 geborene A._ reiste 1985 aus Italien in die Schweiz ein und arbeitete hernach als angelernter Gipser. Daneben war er als Hauswart tätig. Am 18. Juli 2011 meldete er sich unter Hinweis auf eine Polyarthritis (entzündliche Gelenkerkrankung an mehreren Gelenken), einen Status nach mehreren Knieoperationen, eine Arthrose sowie eine Psoriasis-Arthritis erstmals bei der IV-Stelle Schaffhausen zum Leistungsbezug an. Am 5. April 2012 verneinte diese einen Leistungsanspruch, da in der angestammten Tätigkeit eine vollumfängliche Arbeitsfähigkeit bestehe.
A.b. Am 21. Januar 2014 ersuchte A._ erneut um Invalidenleistungen. Die IV-Stelle zog insbesondere eine im Auftrag der Krankentaggeldversicherung erstellte orthopädische Expertise der Dr. med. B._ vom 15. August 2014 hinzu und tätigte erwerbliche Abklärungen. Mit Verfügung vom 16. März 2015 wurde dem Versicherten mitgeteilt, dass eine Arbeitsvermittlung zurzeit nicht möglich sei. Bereits zuvor hatte die Verwaltung ein rheumatologisches Gutachten bei Dr. med. C._ veranlasst, das vom 22. April 2015 datiert. Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren verfügte die IV-Stelle am 19. Oktober 2015 die Abweisung des Leistungsbegehrens (Invaliditätsgrad: 33 %).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 5. Dezember 2017 ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, es sei ihm eine Invalidenrente gestützt auf einen Invaliditätsgrad von mindestens 40 % zuzusprechen. Das Gutachten der Dr. med. C._ sei vollständig aus dem Recht zu weisen. Eventualiter sei die Sache zwecks Einholung eines Gerichtsgutachtens, subeventualiter eines versicherungsmedizinischen Administrativgutachtens, an die Vorinstanz bzw. die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über Tatfragen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat. Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine frei überprüfbare Rechtsfrage (statt vieler: <ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei prüft (<ref-law>; Urteil 9C_150/2012 vom 30. August 2012 E. 4.2.2).
1.3. Der Beschwerdeführer reicht letztinstanzlich verschiedene medizinische Unterlagen ein. Nicht bereits bei den Akten befindlich und insofern neu ist die ärztliche Stellungnahme des behandelnden Psychiaters Prof. Dr. med. D._ vom 15. Dezember 2015. Diese ist vor dem angefochtenen Entscheid erstellt worden. Mit Blick auf das Folgende (E. 5.2) kann offen bleiben, ob - wie dies der Beschwerdeführer vorbringt - erst der angefochtene Entscheid ihn dazu veranlasst hat, die ärztliche Bestätigung zur Untermauerung seines Standpunktes vorzulegen (vgl. <ref-law>).
2.
Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen und Grundsätze über die Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>), die Invalidität (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) sowie den Rentenanspruch bzw. dessen Umfang (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Ausführungen zur Neuanmeldung (Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV) und zum Beweiswert medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3 S. 352 ff. mit Hinweisen). Darauf wird verwiesen.
3.
Strittig ist insbesondere die Frage, ob die medizinischen Abklärungen rechtmässig erfolgten.
3.1. Das kantonale Gericht ist zum Schluss gelangt, der Beschwerdeführer sei in seiner Arbeits- und Erwerbsfähigkeit zwar eingeschränkt, für angepasste Tätigkeiten aber vollumfänglich arbeitsfähig. Wegen der Schulterbeschwerden könne er nur noch leichte Überkopfarbeiten verrichten, das Heben von Lasten (von mehr als 10 kg) oder längere repetitive Arbeiten über Kopfhöhe seien ihm nicht mehr zumutbar. Sodann verunmögliche die Knieproblematik häufiges Treppen- und Leiternsteigen ebenso wie rein stehende Arbeiten und Tätigkeiten mit Bücken, Kauern oder Knien. Zumutbar seien hingegen rein sitzende und wechselbelastende sowie mit Rotation im Sitzen/Stehen verbundene Arbeiten.
3.2. Hierbei hat sich die Vorinstanz auf das rheumatologische Gutachten der Dr. med. C._ vom 22. April 2015 sowie die Darlegungen des behandelnden Orthopäden Dr. med. E._ gestützt (vgl. Berichte vom 4. November, 13. März und 11. August 2014). Sie hat erwogen, deren Einschätzungen stimmten weitgehend überein, weshalb kein massiver Widerspruch zwischen den gutachterlichen Ausführungen und den übrigen medizinischen Akten bestehe. Soweit die behandelnden Ärzte überhaupt zu erheblich anderen Beurteilungen gelangt seien, müsse bei der Beweiswürdigung zudem dem Umstand Rechnung getragen werden, dass einem Administrativgutachten praxisgemäss erhöhter Beweiswert zukomme. Davon könne nur abgewichen werden, wenn Widersprüche vorlägen oder gegensätzliche Aussagen anderer Fachärzte triftig genug erschienen, um die Schlüssigkeit des Gutachtens in Frage zu stellen (vgl. statt vieler: <ref-ruling> E. 4 S. 467 ff.). So verhalte es sich hier jedoch nicht.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst in formeller Hinsicht, die Vorinstanz habe den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) verletzt, indem sie keine Erhebungen zum Umfang der Gutachtertätigkeit der Dr. med. C._ getätigt habe.
4.2. Das Bundesgericht hat mehrfach entschieden, der regelmässige Beizug eines Experten oder einer Expertin, die Anzahl der beim selben Arzt oder der selben Ärztin in Auftrag gegebenen Gutachten und Berichte sowie das daraus resultierende Honorarvolumen schafften für sich alleine keine als Ausstandsgrund zu qualifizierende Abhängigkeit von den IV-Stellen (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 226 f. mit Hinweisen). An diesem Grundsatz hat es auch in Bezug auf die konkret ins Feld geführten Auftragszahlen der Dr. med. C._ festgehalten (vgl. Urteil 8C_354/2016 vom 25. Oktober 2016 E. 5.2 mit Hinweis). Wie das kantonale Gericht zutreffend ausgeführt hat, anerkennt das Bundesgericht, dass eine stark überproportionale Berücksichtigung einzelner Fachärzte im Rahmen von mono- und bidisziplinären Expertisen der Gutachtensakzeptanz abträglich ist (Urteil 9C_793/2015 vom 19. August 2016 E. 4.2). Um die Akzeptanz der von der IV-Stelle eingeholten Gutachten zu erhöhen, ist eine ausgewogene Verteilung der Aufträge und die Transparenz über die Auftragsvergabe erwünscht. Dessen ungeachtet ist in concreto kein Ausstandsgrund gegeben, womit auch keine Veranlassung besteht, das Gutachten der Dr. med. C._ aus dem Recht zu weisen (vgl. erwähntes Urteil 8C_354/2016 E. 5.2).
Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang auf die Rechtsprechung zu Art. 6 Ziff. 1 EMRK verweist und geltend macht, Dr. med. C._ sei wegen ihrer wirtschaftlichen Abhängigkeit von den Sozialversicherungsträgern befangen, dringt er nicht durch. Vielmehr hat das Bundesgericht der EGMR-Praxis zu dieser Frage Rechnung getragen (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 258 ff.). Triftige Gründe für eine Praxisänderung vermag der Beschwerdeführer nicht zu benennen (zu den Voraussetzungen vgl. <ref-ruling> E. 5.5.1 S. 303; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 422).
4.3. Nach dem Gesagten ist dem kantonalen Gericht insoweit beizupflichten, als die beantragten Erhebungen zur Gutachtertätigkeit der Dr. med. C._ zu keinem anderen Ergebnis führen. Es ist unbestritten, dass die genannte Gutachterin von der IV-Stelle des Kantons Zürich viele Aufträge erhält und damit in ausgedehnter Weise für Sozialversicherungsträger tätig ist. Die Kenntnis der genauen Zahl der Begutachtungsaufträge aus dem Kanton Schaffhausen liesse die Frage des Ausstandes jedoch nicht in einem anderen Licht erscheinen. Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, was auf eine Befangenheit der Dr. med. C._ hindeuten sollte. Die Rechtsprechung, wonach der regelmässige Beizug einer Expertin für sich alleine keinen Ausstandsgrund darstellt, findet im Übrigen nicht nur hinsichtlich der MEDAS als Institution, sondern auch in Bezug auf einzelne Gutachter Anwendung (<ref-ruling> E. 1.3.3 S. 227). Auf weitere Erhebungen zum Umfang der Gutachtertätigkeit kann deshalb ohne Weiteres verzichtet werden (antizipierende Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 4b S. 94).
5.
5.1. Aus materieller Sicht wird in der Beschwerde geltend gemacht, auf das Gutachten der Dr. med. C._ dürfe nicht abgestellt werden, weil sich der Gesundheitszustand des Beschwerdeführers zwischen der gutachterlichen Untersuchung vom 30. März 2015 und dem Verfügungserlass (19. Oktober 2015) massiv verschlechtert habe. Bereits am 24. September 2015 habe der Versicherte den behandelnden Orthopäden Dr. med. E._ wegen starker Knieschmerzen konsultiert. In der Folge habe er am 16. November 2015 eine unikompartimentäre mediale Teilprothese am rechten Knie erhalten. Damit sei eine Verschlechterung im relevanten Zeitraum erstellt.
Das kantonale Gericht hat in diesem Zusammenhang darauf hingewiesen, dass der Beschwerdeführer bereits seit längerer Zeit an erheblichen (beidseitigen) Knieschmerzen gelitten habe, welche operative Eingriffe erfordert hätten. Daher seien die behandelnden Ärzte und die Gutachterin Dr. med. B._ von einer erheblich verminderten Belastbarkeit der unteren Extremitäten ausgegangen. Vor diesem Hintergrund sei nicht überwiegend wahrscheinlich, dass eine Verschlimmerung der Beschwerden im rechten Knie zwischen der Begutachtung und dem Verfügungserlass die Arbeitsfähigkeit (soweit eine solche überhaupt attestiert worden sei) in einer angepassten Tätigkeit weiter limitiert habe. Es bestehe somit weder ein Grund für weitere Abklärungen, noch könne darin ein Umstand gesehen werden, der gegen die Beweiskraft des Gutachtens der Dr. med. C._ spreche.
Die rheumatologische Expertin führte denn auch aus, der Beschwerdeführer sei durch die eingeschränkte Funktion beider Knie limitiert. Diese funktionellen Einschränkungen wurden anhand der Empfehlungen der Swiss Insurance Medicine (SIM) umschrieben (vgl. Gutachten S. 47 f.). Die Tatsache, dass sich zwischen der Begutachtung und dem Verfügungserlass hinsichtlich des rechten Knies eine gesundheitliche Veränderung ergab, führt nicht zwangsläufig zu einer gesteigerten Arbeitsunfähigkeit. Eine solche wäre nur dann anzunehmen, wenn der Versicherte vor der Exploration nicht an Kniebeschwerden gelitten hätte und diese bei der Einschätzung der Arbeitsfähigkeit durch die Gutachterin nicht berücksichtigt worden wären, was nicht der Fall ist. Dies gilt umso mehr, als nach dem Einsetzen einer Knieteilprothese eher damit zu rechnen ist, dass sich die Beschwerden zurückbilden und die Funktionalität zumindest teilweise wieder erlangt werden kann. Die Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, wonach die Beschwerden im rechten Knie nicht zu einer (zusätzlichen) Limitierung der Arbeitsfähigkeit führen, ist jedenfalls nicht willkürlich oder sonstwie bundesrechtswidrig.
5.2. Sodann moniert der Beschwerdeführer (erneut), er leide nicht nur an somatischen sondern auch an psychischen Einschränkungen. Dr. med. B._ habe bereits in ihrem Gutachten vom 15. August 2014 eine ambulante (psychiatrische) Abklärung postuliert. Das kantonale Gericht habe in willkürlicher Beweiswürdigung festgestellt, in den bisherigen Akten fehle es an Indizien für eine psychische Problematik. Dementsprechend habe es auch keinen Bericht des behandelnden Psychiaters Prof. Dr. med. D._ - bei dem der Versicherte seit 12. November 2015 wegen einer schweren depressiven Erkrankung (ICD 10 F32.2) in Behandlung stehe - eingeholt, was den Untersuchungsgrundsatz nach <ref-law> verletze.
Die vom Beschwerdeführer zitierten Ausführungen der Dr. med. B._ lassen nicht auf einen abklärungsbedürftigen psychischen Gesundheitsschaden schliessen. Deren wenige Aussagen zu diesem Punkt, auf welche in der Beschwerde Bezug genommen wird, finden sich lediglich im Kapitel "Allgemeine Anamnese" (vgl. orthopädisches Gutachten vom 15. August 2014, S. 3). Dort fasste die Gutachterin zusammen, der Beschwerdeführer stehe nicht in psychiatrischer Therapie. Es sei nicht zu erfragen, ob er an Depressionen oder Ängsten leide. Schlafstörungen bestünden, wobei derzeit keine Medikation erfolge. Der Schwager des Exploranden berichte, der Versicherte habe "schwache Nerven", werde schnell ungeduldig und zum Teil auch aggressiv, was Probleme im häuslichen Bereich schaffe. Zwar wies Dr. med. B._ am Ende des Gutachtens darauf hin, dass ihrer Ansicht nach in Anbetracht der psychischen Veränderungen eine ambulante psychiatrische Behandlung in die Wege geleitet werden sollte. Indessen erörterte sie - als Fachärztin für orthopädische Chirurgie und Traumatologie des Bewegungsapparats - die psychische Situation nicht näher. Vor diesem Hintergrund ist keine Rechtsverletzung des kantonalen Gerichts erkennbar. Sollte sich zwischenzeitlich eine schwere psychische Erkrankung entwickelt haben, so wäre diese Gegenstand einer Neuanmeldung (vgl. Art. 87 Abs. 2 und 3 IVV). Die Aussagen des Prof. Dr. med. D._ (vgl. Bericht vom 15. Dezember 2015) betreffen denn auch ausnahmslos Umstände, die nach dem massgeblichen Verfügungszeitpunkt (19. Oktober 2015) datieren; diese bleiben hier unberücksichtigt (vgl. Urteil 9C_540/2015 vom 15. Oktober 2015 E. 3.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1b in fine S. 366).
5.3. Wenn der Beschwerdeführer weiter rügt, das kantonale Gericht sei zu Unrecht davon ausgegangen, dass die rheumatologische Gutachterin Dr. med. C._ den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit weitgehend gleich eingeschätzt habe wie die behandelnden Ärzte, verfängt dies ebenfalls nicht. Vielmehr erfolgte diese Einschätzung in einlässlicher Würdigung der medizinischen Akten und wird durch die gegenteiligen Einwände in der Beschwerde nicht in Frage gestellt. Hinzu kommt, dass - wie der Beschwerdeführer selber einräumt - auch der behandelnde Orthopäde Dr. med. E._ davon ausging, dass neben sitzenden auch wechselbelastende Tätigkeiten zumutbar seien (vgl. Bericht vom 4. November 2014, S. 5). Dies entspricht der Aktenlage. Dass Dr. med. E._ im Gegensatz zu Dr. med. C._ einzig eine sitzende Tätigkeit für möglich gehalten haben soll, trifft folglich nicht zu.
5.4. Schliesslich bringt der Beschwerdeführer gegen den Beweiswert des Gutachtens vom 22. April 2015 vor, die medizinische Expertin Dr. med. C._ sei nicht konkret auf die geschilderten Beschwerden eingegangen. Sie habe die Auswirkungen des Gesundheitsschadens auf die Arbeitsfähigkeit einzig durch Verweis auf die Empfehlungen der Swiss Insurance Medicine (SIM) in allgemeiner Form umschrieben, was nicht genüge.
Das kantonale Gericht hat erwogen, das blosse Zitieren der SIM-Empfehlungen könne die unabdingbare Einzelfallbeurteilung nicht ersetzen. Es hat ferner zu Recht darauf verwiesen, dass sich Dr. med. C._ konkret zur gesundheitlichen Situation des Beschwerdeführers geäussert habe. So legte die rheumatologische Expertin dar, die Arthritis sowie die Veränderungen an beiden Knien und an den Schultern wirkten sich auf die Leistungsfähigkeit des Versicherten aus. In diesem Zusammenhang schätzte sie die Arbeitsfähigkeit für angepasste Tätigkeiten auf 100 % ein (vgl. Gutachten, S. 46). Im Einzelnen finden sich unter dem Titel "Beurteilung der Arbeitsfähigkeit" einerseits die SIM-Empfehlungen, welche die Auswirkungen gesundheitlicher Einschränkungen am Kniegelenk, am Schultergelenk und durch die rheumatische Arthritis umschreiben. Andererseits wird das Belastungsniveau in Bezug auf das Hantieren mit Lasten konkret auf 10 kg beschränkt und ausgeführt, dass Tätigkeiten, welche diesem Profil entsprechen, zu 100 % ausgeübt werden könnten (vgl. Gutachten S. 47 f.). Eine fallbezogene Beurteilung fand demzufolge zweifellos statt. Dr. med. C._ verstand die Empfehlungen denn auch explizit als "Spezifikationen der adaptierten Tätigkeiten" (Gutachten, S. 48 unten). Einzig bei der SIM-Empfehlung betreffend die Auswirkungen der rheumatoiden Arthritis werden konkrete Ausführungen zu Lokalisation und Schweregrad der Erkrankung verlangt, weil sich je nach Krankheit unterschiedliche Einschränkungsmuster ergeben können. Diese Angaben sind in der rheumatologischen Expertise der Dr. med. C._ ebenfalls enthalten (vgl. Gutachten, S. 45 f.), geht doch daraus eindeutig hervor, die im Mai 2008 festgestellte Psoriasis-Arthritis stehe aufgrund der bildgebenden, der klinischen und der Laborbefunde bei adäquater Basistherapie in Remission. Auch Dr. med. E._ diagnostizierte in seinem Bericht vom 12. Oktober 2015 keine Arthritis mehr, was diese Auffassung stützt.
6.
Hinsichtlich des für die Ermittlung des Invaliditätsgrades massgeblichen Einkommensvergleichs (<ref-law>) kann auf die in allen Teilen zutreffenden Ausführungen des kantonalen Gerichts verwiesen werden (vgl. vorinstanzliche Erwägung 5). Insbesondere liegt im Verzicht auf einen Abzug vom Tabellenlohn keine Verletzung von Bundesrecht: Wie das kantonale Gericht zutreffend erwogen hat, rechtfertigen das Alter und die mangelhaften Sprachkenntnisse des Beschwerdeführers angesichts der Verwendung des niedrigsten Kompetenzniveaus 1 gemäss den vom Bundesamt für Statistik (BfS) periodisch herausgegebenen Lohnstrukturerhebungen (LSE) 2012 keinen Abzug (vgl. Urteil 9C_418/2017 vom 30. Oktober 2017 E. 4.5.2). Weitere abzugsrelevante Kriterien werden in der Beschwerde nicht dargetan und sind auch nicht ersichtlich. Ebenso wenig ist zu beanstanden, dass die Vorinstanz zur Bestimmung des Valideneinkommens den vom Beschwerdeführer zuletzt in seiner angestammten Tätigkeit als Gipser erzielten Lohn herangezogen hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 30. August 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Meyer
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder