Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland vom 4. Januar 2021 Beschwerde. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich forderte A._ mit Verfügung vom 18. Januar 2021 auf, zur Deckung der allfällig ihn treffenden Prozesskosten eine Prozesskaution von einstweilen Fr. 1'500.-- zu leisten. Mit einer weiteren Verfügung vom 11. Februar 2021 forderte die III. Strafkammer A._ auf, eine weitere Sicherheitsleistung im Sinne von <ref-law> von Fr. 2'000.-- zu leisten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte sie aus, dass die Beschwerdegegnerin nunmehr durch einen Rechtsanwalt verteidigt werde. Im Falle des Unterliegens müsste A._ nebst den Gerichtskosten auch die Prozessentschädigung für die Beschwerdegegnerin begleichen. Die bisher geleistete Kaution von Fr. 1'500.-- würde dazu kaum ausreichen.
2.
Mit Eingabe vom 9. März 2021 führt A._ Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 11. Februar 2021. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der sich mit der Begründung der III. Strafkammer nicht auseinandersetzt, nennt keinen zulässigen Beschwerdegrund. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht ansatzweise, inwiefern die Verfügung der III. Strafkammer rechts- bzw. verfas-sungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Ausnahmsweise kann davon abgesehen werden, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli