Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1974), deutsche Staatsangehörige, verheiratete sich am 3. Mai 2008 mit dem Schweizer Bürger B._ (geb. 1969) und erhielt am 7. August 2008 die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib beim Ehemann. Die Ehe wurde am 16. März 2012 geschieden, worauf A._ am 19. April 2012 eine Aufenthaltsbewilligung erhielt.
B.
Im Rahmen der Prüfung eines Anspruchs auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung tätigte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt Abklärungen betreffend die berufliche und gesundheitliche Situation von A._. Am 3. Juli 2015 teilte das Migrationsamt A._ mit, es gedenke ihre Aufenthaltsbewilligung nicht zu verlängern und sie aus der Schweiz wegzuweisen, da sie wegen Arbeitsunfähigkeit dauerhaft keiner Erwerbstätigkeit nachgehe und von der Sozialhilfe unterstützt werde. Am 8. Dezember 2015 verweigerte das Migrationsamt die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies A._ aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben in der Sache erfolglos (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt vom 13. Juni 2017; Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht [nachfolgend: Verwaltungsgericht] vom 6. November 2017).
C.
A._ erhebt am 7. Januar 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil im Umfang der Abweisung aufzuheben und ihr die Aufenthaltsbewilligung zu belassen. Ferner beantragt sie die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung mit Advokatin Dr. Nina Blum als unentgeltliche Rechtsbeiständin.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement schliesst auf Abweisung, während das Staatssekretariat für Migration auf Vernehmlassung verzichtet. A._ hat am 9. März 2018 repliziert.
Am 11. Januar 2018 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung erteilt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen verfahrensabschliessende Entscheide letzter kantonaler Gerichtsbehörden in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Sie ist aber unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG).
1.2. Die Vorinstanz erwog, die Aufenthaltsbewilligung vom 19. April 2012 sei der Beschwerdeführerin gestützt auf Art. 50 Abs. 1 AuG (SR 142.20) erteilt worden. Ob dabei Art. 50 Abs. 1 lit. a oder lit. b AuG zur Anwendung gekommen sei, könne nicht festgestellt werden.
1.2.1. Einleitend ist darauf hinzuweisen, dass der Sachverhalt im angefochtenen Urteil in verschiedener Hinsicht lückenhaft dargestellt worden ist. Er muss deshalb - soweit möglich - gestützt auf Art. 105 Abs. 2 BGG durch das Bundesgericht ergänzt werden.
1.2.2. Den Akten kann entnommen werden, dass die Beschwerdeführerin am 4. Mai 2008 in die Schweiz eingereist ist und eine Aufenthaltsbewilligung mit Gültigkeit bis 3. Mai 2013 erhalten hat. Die Bewilligung selbst befindet sich nicht bei den Akten. Wann die Ehegemeinschaft aufgehoben wurde, ist nicht bekannt, da hierzu keine Akten vorliegen. Die von der Vorinstanz erwähnte Bewilligung vom 19. April 2012, welche im Nachgang der Scheidung erteilt worden ist, befindet sich ebenfalls nicht bei den Akten (zur Aktenführung vgl. E. 3.5.2 und 3.5.3). Das "Zusatzblatt Verfügungsrapport" des Migrationsamts vom 2. Dezember 2015 enthält folgenden Vermerk: "Die Betreffende verfügt weiterhin über eine eigenständige Bewilligung eines nachehelichen Härtefalls, selbst wenn diese zu Unrecht erteilt worden sein mag." In ihrer Stellungnahme vom 17. August 2015 (rechtliches Gehör betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung) hatte die Beschwerdeführerin erwähnt, die kurze Ehe sei von häuslicher Gewalt geprägt gewesen und die Vorfälle seien anhand von Polizeiberichten dokumentiert. Es befinden sich allerdings keine Polizeirapporte bei den Akten. Dessen ungeachtet ist anzunehmen, dass der Beschwerdeführerin am 19. April 2012 eine Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG oder eine Härtefallbewilligung gemäss Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG erteilt worden ist. Das Migrationsamt hatte in der streitigen Verfügung vom 8. Dezember 2015 nämlich Folgendes erwogen: "Bereits am 16. März 2012 wurde A._s Ehe rechtskräftig geschieden, so dass ihr ursprünglicher Aufenthaltszweck des Verbleibs bei ihrem Ehemann nicht mehr gegeben war. Am 19. April 2012 erhielt sie dafür eine weitere Aufenthaltsbewilligung, mit welcher ihr Aufenthalt in der Schweiz nach Auflösung der Ehegemeinschaft geregelt wurde." Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass die Bewilligung vom 19. April 2012 gestützt auf Art. 50 Abs. 1 AuG erteilt worden war. Die Frage nach dem Rechtsgrund (Anwendung von Art. 50 Abs. 1 lit. a oder lit. b AuG) kann im Rahmen des Eintretens offen bleiben; jedenfalls besteht im Grundsatz ein bundesrechtlicher Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung.
1.3. Die Beschwerdeführerin ist Angehörige eines Mitgliedstaates der europäischen Union und lebte seit dem 4. Mai 2008 in der Schweiz. Gemäss ihren Angaben war sie nach der Scheidung von ihrem Ehemann zwischen 2013 und 2015 in einem selbst aufgebauten Erotik-Studio als Masseuse selbständig tätig gewesen. In den Akten befindet sich ein am 14. Februar 2014 unterzeichnetes Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, in dem die Beschwerdeführerin "erotische Massage" als selbständige Erwerbstätigkeit angegeben hatte. Zudem legt sie entsprechende Belege der Ausgleichkasse und die Steuerveranlagung 2014 vor; sofern es sich dabei um Noven handelt, wären diese gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG zulässig. Die Beschwerdeführerin beruft sich demnach in vertretbarer Weise auf einen freizügigkeitsrechtlichen Bewilligungs- bzw. Verbleiberechtsanspruch gemäss Art. 12 bzw. Art. 4 Anhang I FZA (SR 0.142.112.681).
1.4. Nach dem Gesagten ist im Grundsatz sowohl ein bundesrechtlicher als auch ein völkerrechtlicher Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gegeben. Ob und in welchem Umfang diese Ansprüche tatsächlich bestehen, bildet praxisgemäss Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (Urteil 2C_195/2014 vom 12. Januar 2015 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist zulässig. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (Form, Frist und Legitimation gemäss Art. 42, Art. 100 Abs. 1 und Art. 89 Abs. 1 BGG) sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder sie mit einer vom angefochtenen Entscheid abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution, vgl. <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3 S. 415).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Im Fall einer unvollständigen Sachverhaltsfeststellung, welche ebenfalls als Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 lit. a BGG zu behandeln ist, kann das Bundesgericht die Sache gestützt auf Art. 107 Abs. 2 BGG an die Vorinstanz oder eine untere Instanz zur ergänzenden Abklärung der Umstände zurückweisen (Urteile 2C_1046/2014 vom 5. November 2015 E. 2.2; 2C_1102/2013 vom 8. Juli 2014 E. 2.2; 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 2; 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 1.3).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe keinen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, da der Widerrufsgrund nach aArt. 62 lit. e AuG (in der Fassung vom 16. Dezember 2005 [AS 2007 5455, in Kraft bis 30. September 2016]; seit 1. Oktober 2016: Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG [Fassung unverändert]) erfüllt sei. Die Beschwerdeführerin habe insgesamt Fr. 152'514.05 Sozialhilfe bezogen. Die in die erste Phase vom 1. April 2009 bis 30. November 2012 fallenden Bezüge (Fr. 73'241.80) seien durch Eheprobleme und die Trennung bedingt und nicht selbstverschuldet. Hingegen seien die zwischen März 2015 und 4. September 2017 angefallenen Bezüge im Umfang von Fr. 79'272.25 vorwerfbar. Zwar habe die Beschwerdeführerin aufgrund ihrer Erkrankung nicht arbeiten können. Aber wenn sie bei der Aufnahme der selbständigen Tätigkeit eine Krankentaggeldversicherung abgeschlossen hätte, hätte sie während maximal zwei Jahren 80 % ihres Lohns erhalten und so den Bezug von Sozialhilfeleistungen weitgehend vermeiden können. Aufgrund der Unterlassung dieser grundlegenden Vorsichtsmassnahme habe sie den überwiegenden Teil ihrer Sozialhilfeabhängigkeit selbst verschuldet.
3.2. Nach Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG erlöschen die Ansprüche gemäss Art. 50 AuG (Auflösung der Familiengemeinschaft), falls ein Widerrufsgrund nach Art. 62 AuG vorliegt. Dies ist der Fall, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (Art. 62 Abs. 1 lit e AuG). Der Widerrufsgrund ist erfüllt, wenn konkret die Gefahr einer fortgesetzten Sozialhilfeabhängigkeit besteht; blosse finanzielle Bedenken genügen nicht. Für die Beurteilung der Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit ist von den aktuellen Verhältnissen auszugehen; die zu erwartende finanzielle Entwicklung ist aber auf längere Sicht abzuwägen. Ausschlaggebend ist eine Prognose zur voraussichtlichen Entwicklung der finanziellen Situation in Berücksichtigung der realisierbaren Einkommensaussichten sämtlicher Familienmitglieder (Urteile 2C_851/2014 vom 24. April 2015 E. 4; 2C_31/2012 vom 15. März 2012 E. 2.2 in fine). Beim Widerrufsgrund nach Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Der auf diese Bestimmung gestützte Widerruf der Bewilligung (bzw. deren Nichtverlängerung) fällt grundsätzlich in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (Urteile 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 3.1; 2C_949/2017 vom 23. März 2018 E. 4.1). Ob und inwieweit die betroffene Person ein Verschulden an der Sozialhilfebedürftigkeit trifft, beschlägt nicht die Frage des Widerrufsgrundes, sondern die Verhältnismässigkeitsprüfung (Urteile 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.2; 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 3.2).
3.3. Liegt der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit vor, ist zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme verhältnismässig erscheint. Nach der bundesgerichtlichen Praxis sind für die Beurteilung, ob dies der Fall ist, namentlich die Schwere des Verschuldens an der Sozialhilfeabhängigkeit, der Grad der Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der betroffenen Person und ihrer Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen; zu beachten ist auch die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen sowohl im Gast- wie im Heimatland.
3.4. Ob der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit nach Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG erfüllt ist, wird objektiv, ohne Rücksicht auf das Verschulden, beurteilt (vgl. E. 3.2 am Ende). Massgeblich ist die Höhe der ausgerichteten Beträge und die prognostische Beurteilung, ob in absehbarer Zeit eine Ablösung von der Sozialhilfe erfolgen kann.
Per 4. September 2017 hat die Beschwerdeführerin Unterstützungsbeiträge von insgesamt Fr. 152'514.05 erhalten. Diese Summe ist nicht exorbitant, aber dennoch beträchtlich. Aufgrund der Tatsache, dass die Beschwerdeführerin im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils eigenen Angaben zufolge immer noch arbeitsunfähig war, war nicht mit einer baldigen Ablösung von der Sozialhilfe zu rechnen. Die Vorinstanz hat den Widerrufsgrund nach aArt. 62 lit. e AuG zu Recht bejaht.
3.5. Es bleibt zu prüfen, ob und in welchem Mass die Beschwerdeführerin am Bezug der Sozialleistungen im Zeitraum zwischen März 2015 und 4. September 2017 ein Verschulden trifft. Die Vorinstanz stellt nicht in Abrede, dass die Beschwerdeführerin im Frühling 2015 erkrankte und nicht mehr arbeiten konnte. Die näheren Umstände der Erkrankung, insbesondere deren Auswirkungen auf die Arbeitsfähigkeit, werden jedoch im angefochtenen Urteil nicht thematisiert. In den Akten finden sich mehrere Arztberichte, welche sich auf Spitalaufenthalte (11. März 2015 bis 16. März 2015; 8. April 2015 bis 11. April 2015) jeweils nach operativen Eingriffen im urologischen Bereich beziehen. Eine weitere urologische Operation fand am 27. Mai 2015 statt, wobei kein anschliessender Spitalaufenthalt dokumentiert ist. Aus den Berichten zu den Behandlungsterminen, welche die Beschwerdeführerin am 17. Juni 2015, 22. Juni 2015 und 10. Juli 2015 in der urologischen Klinik des Spitals U._ wahrnahm, geht hervor, dass die Behandlung nicht abgeschlossen war. In der Folge scheint eine andere Erkrankung aufgetreten zu sein, wie aus einer E-Mail vom 1. Oktober 2015 des zuständigen Sachbearbeiters der Sozialhilfebehörde an das Migrationsamt hervorgeht. Darin wird ein Arztzeugnis erwähnt, welches eine volle Arbeitsunfähigkeit bis am 30. September 2015 bescheinige; das Attest befindet sich aber nicht bei den Akten des Migrationsamts. Im Rahmen der kantonalen Rekursverfahren wurden anscheinend weitere Arztberichte vorgelegt oder eingeholt. Der letzte Verlaufsbericht der Klinik U._ datiert vom 15. Dezember 2016. Der unterzeichnende Arzt konnte nicht angeben, wann die Arbeitsfähigkeit wieder erreicht sein würde. Aus dem Bericht geht aber hervor, dass die Beschwerden mit Hilfe der neu begonnenen medikamentösen Therapie mittelfristig überwunden werden könnten. Die Vorinstanz stützte sich in ihrem Urteil auf diesen Bericht ab; dieser war allerdings im Zeitpunkt der Urteilsfällung bereits ein Jahr alt. Neuere Arztberichte reichte die Beschwerdeführerin, die im Verfahren vor der Vorinstanz nicht anwaltlich vertreten war, nicht ein, und die Vorinstanz tätigte zu diesem Thema keine Abklärungen.
3.5.1. Nach der Rechtsprechung kann eine Erkrankung bzw. Arbeitsunfähigkeit, welche (auch im Zusammenspiel mit anderen Ursachen) zu der Sozialhilfeabhängigkeit geführt hat, der betroffenen Person nicht unbesehen zum Vorwurf gemacht werden (Urteile 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 3.3 und 3.5; 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 3.2.2 und 3.2.3). Diese Praxis ist auch im vorliegenden Fall gültig. "Nicht unbesehen" meint, dass die Umstände des Einzelfalls gebührend gewürdigt werden müssen. So kann mit Bezug auf die Schadenminderungspflicht im vorliegenden Zusammenhang erwartet werden, dass sich die betroffene Person nach einer gewissen Zeit beruflich umorientiert bzw. sich um eine ihrem Gesundheitszustand angepasste Erwerbstätigkeit bemüht. Es ginge jedoch zu weit, im Rahmen der Schadenminderungspflicht zu verlangen, dass selbständig erwerbstätige Personen vorgängig eine Krankentaggeldversicherung abgeschlossen haben müssen, um hernach den Vorwurf der selbstverschuldeten Sozialhilfeabhängigkeit entkräften zu können.
3.5.2. Die Beschwerdeführerin weist zu Recht darauf hin, dass für den Zeitraum vor 2015 keine Akten vorliegen. Die Behörde ist verpflichtet, ein vollständiges Aktendossier über das Verfahren zu führen, um gegebenenfalls ordnungsgemäss Akteneinsicht gewähren und bei einem Weiterzug diese Unterlagen an die Rechtsmittelinstanz weiterleiten zu können. Die Behörde hat alles in den Akten festzuhalten, was zur Sache gehört und entscheidwesentlich sein kann (<ref-ruling> E. 8.1.2 S. 223; <ref-ruling> E. 4.1 S. 477; <ref-ruling> E. 3b S. 376).
3.5.3. Es fragt sich, ob das Migrationsamt seiner Aktenführungspflicht nachgekommen ist und ob es die Akten dem Justiz- und Sicherheitsdepartement bzw. dem vorinstanzlichen Gericht eingereicht hat. Die vorhandenen Akten sind ohne Aktenverzeichnis, nicht paginiert, ungeordnet und ohne Kennzeichnung von Beilagen aneinandergereiht. Sie datieren frühestens aus dem Jahr 2014; die Beschwerdeführerin ist aber bereits am 4. Mai 2008 in die Schweiz eingereist. Auf der Basis der vorliegenden Akten bzw. des angefochtenen Urteils ist es dem Bundesgericht nicht möglich, den materiellen Sachverhalt zuverlässig nachzuvollziehen. Die Vorinstanz hat ihre Beurteilung über weite Strecken ohne Kenntnis der persönlichen Situation der Beschwerdeführerin und der sie betreffenden fremdenpolizeilichen Vorgänge vorgenommen:
Die Umstände der Auflösung der Ehe (und damit der Rechtsgrund der Bewilligung vom 19. April 2012) liegen im Dunkeln. Die Beschwerdeführerin hatte in ihrer Stellungnahme vom 17. August 2017 gegenüber dem Migrationsamt angegeben, ihr Ehemann habe bei der Trennung alle Konten gesperrt und Kosten auf sie überwälzt. Diese Tatsachen sind nicht aktenkundig bzw. wurden nie verifiziert. Zwar räumte die Vorinstanz ein, der Sozialhilfebezug zwischen 2009 und 2012 sei unverschuldet. Sie wirft aber der Beschwerdeführerin vor, diese sei am 29. Mai 2017 mit 20 Betreibungen im Gesamtbetrag von Fr. 41'755.95 und 22 offenen Verlustscheinen von insgesamt Fr. 30'013.55 verzeichnet gewesen. Ein Teil dieser Schulden sei bereits während der selbständigen Erwerbstätigkeit entstanden. Dadurch sei belegt, dass die Beschwerdeführerin schon damals ihren finanziellen Verpflichtungen nicht nachgekommen sei. Selbst wenn zutreffe, dass einige Forderungen inzwischen bezahlt worden seien, wie die Beschwerdeführerin geltend mache, ändere dies nichts daran, dass die wirtschaftliche Integration nicht gelungen sei. Dieser Vorwurf kann nicht aufrechterhalten werden, wenn es zutrifft, dass der damalige Ehemann der Beschwerdeführerin anlässlich der Trennung Schulden aufgebürdet hat. Für die Beurteilung der Vorwerfbarkeit der zweiten Phase des Sozialhilfebezugs ab März 2015 ist es unerlässlich, die Umstände der Aufhebung der Ehegemeinschaft bzw. die Grundlagen für die Erteilung der Bewilligung vom 19. April 2012 in tatsächlicher Hinsicht aufzuarbeiten.
Das Gleiche gilt für den Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin ab März 2015. Nachdem sie zwischen Dezember 2012 und März 2015 ohne Sozialhilfeunterstützung ausgekommen war, bedarf der gesundheitlich bedingte Erwerbsunterbruch einer vertieften Betrachtung. Dies umso mehr, als das Migrationsamt der Beschwerdeführerin nur wenige Monate nach der Anmeldung zum Sozialhilfebezug, am 3. Juli 2015 - die letzte Operation war am 27. Mai 2015 erfolgt - das rechtliche Gehör betreffend Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung gewährte. Aufgrund der Erkrankung hatte die Beschwerdeführer in keine Gelegenheit, wieder in den Arbeitsmarkt einzusteigen, sei es als selbständig oder als unselbständig Erwerbende. Die Verlängerung der Bewilligung wurde ihr ohne Rücksicht auf ihren krankheitsbedingten Erwerbsausfall und ohne Verwarnung verweigert. Dies ist mit dem Gebot der Verhältnismässigkeit staatlichen Handelns im Sinn von Art. 5 Abs. 2 BV und Art. 96 Abs. 1 AuG nicht vereinbar.
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe weder den Nachweis der Ausübung einer selbständigen noch einer unselbständigen Erwerbstätigkeit erbracht. Demzufolge seien Art. 6 und Art. 12 Anhang I FZA nicht anwendbar.
4.2. Ein Aufenthaltsanspruch aufgrund selbständiger Erwerbstätigkeit setzt den Nachweis der Niederlassung zu diesem Zweck voraus (Art. 12 Abs. 1 Anhang I FZA), was mit qualitativen Anforderungen verbunden ist. In der Lehre ist umstritten, ob dieser Anspruch infolge Sozialhilfeabhängigkeit erlöschen kann (verneinend SILVIA GASTALDI, L'accès à l'aide sociale dans le cadre de l'ALCP, in: Epiney/Gordzielik (Hrsg.), Personenfreizügigkeit und Zugang zu staatlichen Leistungen, 2015, S. 135; ZÜND/HUGI YAR, Staatliche Leistungen und Aufenthaltsbeendigung unter dem FZA, in: Epiney/Gordzielik (Hrsg.), Personenfreizügigkeit und Zugang zu staatlichen Leistungen, 2015, S. 201; bejahend: MARC SPESCHA, in: Spescha u.A., Migrationsrecht, Kommentar, 4. Aufl. 2015, N. 3 zu Art. 12 Anhang I FZA). Es ist jedenfalls nicht ausgeschlossen, dass ein Anspruch gemäss Art. 12 Abs. 1 Anhang I FZA fortbesteht, wenn die Sozialhilfeabhängigkeit erst nach der Wohnsitznahme und als Folge einer Krankheit eingetreten ist (vgl. auch Art. 7 Abs. 3 lit. a i.V.m. Art. 7 Abs. 1 lit. a sowie Art. 14 Abs. 2 und 3 der Richtlinie 2004/38/EG des Europäischen Parlaments und des Rates vom 29. April 2004 über das Recht der Unionsbürger und ihrer Familienangehörigen, sich im Hoheitsgebiet der Mitgliedstaaten frei zu bewegen und aufzuhalten [Unionsbürgerrichtlinie], ABl. L 229 vom 29. Juni 2004 S. 35).
4.3. Selbständigerwerbende können (gleich wie unselbständig Erwerbende) ein Verbleiberecht erwerben: Die Staatsangehörigen einer Vertragspartei und ihre Familienangehörigen haben nach Beendigung ihrer Erwerbstätigkeit ein Recht auf Verbleib im Hoheitsgebiet der anderen Vertragspartei (Art. 4 Abs. 1 Anhang I FZA). Art. 4 Abs. 2 Anhang I FZA verweist auf die Richtlinie des Rates 75/34/EWG vom 17. Dezember 1974 über das Recht der Staatsangehörigen eines Mitgliedstaats, nach Beendigung der Ausübung einer selbständigen Tätigkeit im Hoheitsgebiet eines anderen Mitgliedstaats zu verbleiben (ABl. L 14 vom 20. Januar 1975 S. 10). Die RL 75/34/EWG wurde durch die RL 2004/38/EG (Unionsbürgerrichtlinie) aufgehoben. Gemäss Art. 17 Abs. 1 lit. b RL 2004/38/EG haben Arbeitnehmer oder Selbständige, die sich seit mindestens zwei Jahren ununterbrochen im Aufnahmemitgliedstaat aufgehalten haben und ihre Erwerbstätigkeit infolge einer dauernden Arbeitsunfähigkeit aufgeben, vor Ablauf des Zeitraums von fünf Jahren gemäss Art. 16 Abs. 1 RL 2004/38/EG das Recht auf Daueraufenthalt im Aufnahmemitgliedstaat. Diese Regel entspricht Art. 2 Abs. 1 lit. b der aufgehobenen RL 75/34/EWG. Sofern das Verbleiberecht (d.h. das Recht auf Daueraufenthalt im Sinn des Kapitels IV der RL 2004/38) entstanden ist, entfällt es auch bei Sozialhilfeabhängigkeit nicht mehr (Art. 16 Abs. 4 RL 2004/38/EG; GASTALDI, a.a.O., S. 136 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1 [betreffend unselbständig Erwerbende]).
4.4. Mit Blick auf die unvollständige Aktenlage (vgl. E. 3.5.2 und 3.5.3) kann nicht ausgeschlossen werden, dass die Beschwerdeführerin durch ihre (im Grundsatz unbestrittene) selbständige Erwerbstätigkeit ein Verbleiberecht im Sinn von Art. 4 Abs. 1 Anhang I FZA i.V.m. Art. 17 Abs. 1 lit. b RL 2004/38/EG erworben hat. Damit ein Aufenthaltsanspruch gestützt auf das Verbleiberecht (Recht auf Daueraufenthalt) geprüft werden kann, müssen die Umstände der Erwerbstätigkeit näher abgeklärt werden.
5.
Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz Bundesrecht verletzt, indem sie die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung unter den dargelegten Umständen schützte. Angesichts der Tatsache, dass der Sachverhalt nicht liquid ist, vermag das Bundesgericht nicht zu beurteilen, ob der Beschwerdeführerin der Bezug der Sozialhilfegelder im Zeitraum zwischen März 2015 und Oktober 2017 vorgeworfen werden kann. Auch die Frage, ob ein Verbleiberecht entstanden ist, kann nicht beantwortet werden. Das Migrationsamt hat die Tatsachen, welche im Zusammenhang mit der Sozialhilfeabhängigkeit und der Erwerbstätigkeit der Beschwerdeführer in stehen, zusammenzutragen und das Dossier nachzuführen bzw. zu vervollständigen. Gestützt auf den ergänzten Sachverhalt ist zunächst zu prüfen, ob ein Verbleiberecht nach Art. 4 Abs. 1 Anhang I FZA i.V.m. Art. 17 Abs. 1 lit. b RL 2004/38/EG entstanden ist (vgl. E. 4.3 am Ende), und gegebenenfalls gestützt darauf eine EU/EFTA-Bewilligung zu erteilen. Im negativen Fall ist über die Frage der Bewilligungsverlängerung gemäss Art. 50 Abs. 1 AuG bzw. des Widerrufsgrundes der Sozialhilfeabhängigkeit zu befinden. Dabei ist auch der Tatsache Rechnung zu tragen, dass die Beschwerdeführerin in sozialer Hinsicht sehr gut integriert ist und sich freiwillig in der Kirchgemeindearbeit engagiert hat.
6.
6.1. Die Beschwerde erweist sich als begründet und ist gutzuheissen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben und die Angelegenheit zu weiteren Abklärungen im Sinn der Erwägungen und zu neuem Entscheid an das Migrationsamt zurückzuweisen.
6.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin für das Verfahren vor dem Bundesgericht angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos. Das Verwaltungsgericht wird über die Verlegung der Kosten und Entschädigungen im kantonalen Verfahren neu zu befinden haben (Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, vom 6. November 2017 wird aufgehoben. Die Sache wird zu weiteren Abklärungen im Sinn der Erwägungen und zu neuem Entscheid an das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu bezahlen.
4.
Die Sache geht zur Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen im kantonalen Verfahren an die Vorinstanz.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. November 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner