Erwägungen:
1.
Das Staatssekretariat für Migration (SEM) wies am 23. August 2016 das Asylgesuch des chinesischen Staatsangehörigen A._ ab und wies ihn aus der Schweiz weg; die Verfügung erwuchs nach dem Nichteintretensurteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 28. Oktober 2016 in Rechtskraft. Nachdem der Betroffene ein Wiedererwägungsgesuch gestellt hatte, erliess das SEM am 28. Mai 2018 eine Verfügung. Es trat auf ein Ausstandsbegehren nicht ein, ebenso wenig trat es auf ein Begehren um Sozialhilfe (statt blosser Nothilfe) und Einzelunterkunft nicht ein, weil hierfür der Kanton zuständig sei. Das Wiedererwägungsgesuch wies es ab. Zudem stellte es fest, dass der Asyl- und Wegweisungsentscheid vom 23. August 2016 rechtskräftig und vollstreckbar sei. A._ ist der Auffassung, dass die für die Unterbringung, Betreuung und für den Unterhalt (Sozial- bzw. Nothilfe) zuständigen Amtsstellen des Kantons Bern ihm durch ihr Verhalten Schädigungen (namentlich solche gesundheitlicher [körperlicher und psychischer] Natur) zugefügt hätten. Er will dafür entschädigt werden, wobei sich seine Forderung aktuell auf Fr. 4'457'280.-- beläuft.
Das SEM erklärte mit Schreiben vom 10. Oktober 2018 seine Unzuständigkeit für die Beurteilung der Forderung, ebenso das Regionalgericht Berner Jura-Seeland mit Schreiben vom 1. November 2018. Mit Entscheid vom 13. November 2018 trat sodann die Schlichtungsstelle Berner Jura-Seeland auf das am 8. November 2018 gestellte Schlichtungsgesuch, das sich gegen den Migrationsdienst des Kantons Bern sowie Asyl Region Biel ABR richtete, nicht ein; es hielt dafür, es gehe nicht um die klageweise Geltendmachung eines zivilrechtlichen Anspruchs; die geltend gemachten Forderungen seien öffentlich-rechtlicher Natur, und für deren Durchsetzung sei nach den Vorgaben des Berner Personalgesetzes vom 16. September 2004 (PG) vorzugehen; über die Forderung erlasse die zuständige Direktion bzw. die unmittelbar mit der Durchführung öffentlichen Aufgabe betraute Organisation eine mit Beschwerde beim kantonalen Verwaltungsgericht anfechtbare Verfügung (Art. 100 ff. PG). Mit Entscheid vom 20. Dezember 2018 trat das Obergericht des Kantons Bern auf die gegen den Entscheid der Schlichtungsstelle erhobene Berufung nicht ein. Es hielt dafür, der Betroffene zeige in den Berufungsbegründungen (Eingaben vom 10. und 14. Dezember 2018) nicht auf, inwiefern der angefochtene Entscheid als fehlerhaft erachtet werde, er mache weder eine unrichtige Rechtsanwendung noch eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz geltend; er bringe nicht vor, dass (und aus welchen Gründen) die Schlichtungsbehörde sich hätte mit der Sache befassen müssen, und behaupte auch nicht, dass eine zivilrechtliche Streitigkeit vorliege; eine Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid fehle gänzlich.
A._ gelangte am 28. Januar 2019 an das Bundesgericht. Er beantragt u.a., die Entscheidung des Berner Ober (landes) gerichts sei abzulehnen.
2.
Als Anfechtungsobjekt kommt einzig der Entscheid des Obergerichts vom 20. Dezember 2018 in Betracht (s. <ref-law> bzw. <ref-law>).
Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung muss sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen und beschränken. Ist ein Nichteintretensentscheid angefochten, hat die Beschwerde führende Partei in gezielter Auseinandersetzung mit dessen Erwägungen darzutun, inwiefern das Nichteintreten auf das Rechtsmittel rechtsverletzend sei. Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht (vorliegend auf kantonalem Verfahrensrecht), kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss <ref-law> besonderer Geltendmachung und Begründung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen). Besonderes gilt sodann hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Diese sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Mängel sind spezifisch geltend zu machen und zu begründen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62 mit Hinweisen), sofern sie nicht ins Auge springen (vgl. <ref-law>).
Das Obergericht hält fest, dass der Beschwerdeführer es unterlassen habe aufzuzeigen, dass und inwiefern die Auffassung der Schlichtungsstelle, es liege nicht ein zivilrechtlicher Anspruch im Streit, unzutreffend sei. Abgesehen von der Behauptung des Gegenteils bringt der Beschwerdeführer nichts vor, was geeignet wäre, diese Beschreibung des Inhalts seiner Berufungsschrift als offensichtlich unzutreffend bzw. willkürlich erscheinen zu lassen. Dasselbe gilt hinsichtlich der verfahrensrechtlichen Konsequenzen, die das Obergericht aus dieser Gegebenheit zieht. Die Eingabe des Beschwerdeführers an das Bundesgericht enthält offensichtlich weder hinsichtlich der vom Obergericht getroffenen Feststellungen noch dessen Rechtsanwendung eine den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. <ref-law> genügende Begründung (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
Die Beschwerde erschien als aussichtslos, sodass dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden kann (<ref-law>). Damit sind die Gerichtskosten (<ref-law>) dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern, Asyl Biel und Region ABR, dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller