Sachverhalt:
A.
Der 1960 geborene A._ war vom 1. Dezember 2007 bis zum 30. September 2012 bei der B._ AG angestellt und bei der PAX, Sammelstiftung BVG (nachstehend: PAX) berufsvorsorgeversichert. Ab dem 22. Oktober 2012 war er als Angestellter der C._ AG bei der Bâloise Sammelstiftung für obligatorische berufliche Vorsorge (nachstehend: Bâloise) versichert. Ab dem 23. Oktober 2012 war A._ aufgrund eines "psychischen Zusammenbruchs" krankgeschrieben; die C._ AG löste daraufhin das Arbeitsverhältnis auf den 11. Dezember 2012 auf.
Nachdem sich A._ im Mai 2013 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug angemeldet hatte, sprach ihm die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 11. September 2018 ab dem 1. November 2013 eine ganze Rente der Invalidenversicherung zu. In der Folge lehnten sowohl die PAX als auch die Bâloise es ab, Invalidenleistungen zu erbringen, da jede Vorsorgeeinrichtung die jeweils andere als leistungspflichtig erachtete.
B.
Am 15. November 2019 erhob A._ Klage vor dem Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt und beantragte, die PAX sei mit Wirkung ab dem 1. November 2013 zur Zahlung einer Invalidenrente in der Höhe von mindestens Fr. 35'496.- pro Jahr zuzüglich Verzugszinsen ab Klageerhebung zu verpflichten. Ausserdem beantragte er die Beiladung der Bâloise und im Sinne eines Eventualbegehrens die Verurteilung derselben zur Ausrichtung einer Rente in der Höhe von mindestens Fr. 35'360.- pro Jahr (ebenfalls mit Wirkung ab dem 1. November 2013 und zuzüglich Verzugszinsen ab Klageerhebung). Das angerufene Gericht lud in der Folge die Bâloise zum Prozess bei und wies die Klage schliesslich mit Urteil vom 14. Dezember 2020 ab, da der Kläger im Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, welche schliesslich zur Invalidität führte, nicht mehr bei der PAX berufsvorsorgeversichert gewesen sei.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen A._ (Verfahren 9C_459/2021) und die Bâloise (Verfahren 9C_450/2021), es sei unter Aufhebung des kantonalen Gerichtsurteils die Klage gegen die PAX gutzuheissen. Zudem stellt A._ für das Verfahren 9C_459/2021 ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Da den Beschwerden in den Verfahren 9C_450/2021 und 9C_459/2021 derselbe Sachverhalt zugrunde liegt, sich die gleichen Rechtsfragen stellen und die Rechtsmittel den nämlichen vorinstanzlichen Entscheid betreffen, rechtfertigt es sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
2.
2.1. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Die Legitimation des Versicherten, welcher im vorinstanzlichen Verfahren mit seinen Anträgen unterlegen ist, ist ohne weiteres zu bejahen.
2.2. Neben dem Versicherten (Verfahren 9C_459/2021) hat auch die Bâloise (Verfahren 9C_450/2021) Beschwerde erhoben. Diese Vorsorgeeinrichtung wurde auf Antrag des Versicherten zum vorinstanzlichen Verfahren beigeladen. Aufgrund der Beiladung müsste sich diese Vorsorgeeinrichtung in einem späteren gegen sie gerichteten Prozess das angefochtene Urteil entgegenhalten lassen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 mit weiteren Hinweisen). Damit hat sie offenkundig ein Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung.
2.3. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG), weshalb auf die Beschwerden einzutreten ist.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.2. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (vgl. <ref-ruling> E. 3.2). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Urteil 9C_182/2007 vom 7. Dezember 2007 E. 4.1.1, in: SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer massgebenden Arbeitsunfähigkeit zu erfolgen hat, und ob die Beweiswürdigung unter Beachtung der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien erfolgte (Urteile 9C_143/2021 vom 25. Juni 2021 E. 1.2).
3.3. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1). Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf (<ref-ruling> E. 8.1). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 2.1). Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat (BGE <ref-ruling> E. 2.1; Urteil 9C_805/2016 vom 21. Juni 2017 E. 1.3 mit Hinweisen).
4.
Streitig ist der Anspruch des Versicherten gegen die PAX auf Ausrichtung einer Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge. Zu prüfen ist in diesem Zusammenhang, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, als es den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, welche später zur Invalidität führte, auf den 23. Oktober 2012 und damit auf einen Zeitpunkt festlegte, in dem der Versicherte nicht mehr bei der PAX berufsvorsorgeversichert war.
5.
5.1. Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG). Der Anspruch setzt einen engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 3.2). Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 6.2).
5.2. Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war, was sich nach der Arbeits (un) fähigkeit in einer der gesundheitlichen Beeinträchtigung angepassten zumutbaren Tätigkeit beurteilt (BGE <ref-ruling> E. 5.3; Urteil 9C_278/2015 vom 2. Februar 2016 E. 2.3.2). Bei der Prüfung dieser Frage sind die gesamten Umstände des konkreten Einzelfalles zu berücksichtigen, namentlich die Art des Gesundheitsschadens, dessen prognostische medizinische Beurteilung sowie die Beweggründe, welche die versicherte Person zur Wiederaufnahme oder Nichtwiederaufnahme der Arbeit veranlasst haben (vgl. Urteil 9C_877/2018 vom 22. August 2019 E. 3.3).
5.3. Eine Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ist dann anzunehmen, wenn während mehr als dreier Monate eine Arbeitsfähigkeit - von über 80 % gemäss <ref-ruling> E. 4.5 - gegeben ist, sofern sich eine dauerhafte Wiedererlangung der Arbeitsfähigkeit als objektiv wahrscheinlich darstellt. Der zeitliche Zusammenhang kann daher auch bei einer länger als drei Monate dauernden Tätigkeit gewahrt sein, wenn eine dauerhafte berufliche Wiedereingliederung unwahrscheinlich war, etwa weil die Tätigkeit (allenfalls auch erst im Rückblick) als Eingliederungsversuch zu werten ist oder massgeblich auf sozialen Erwägungen des Arbeitgebers beruhte (BGE <ref-ruling> E. 3.2.1; Urteil 9C_340/2015 vom 21. November 2016 E. 4.1.2).
6.
6.1. Das kantonale Gericht hat in umfassender Würdigung der medizinischen Akten für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich festgestellt, dass die Arbeitsunfähigkeit aufgrund der psychischen Erkrankung, welche später zur Invalidität des Versicherten geführt hat, am 23. Oktober 2012, mithin am zweiten Arbeitstag des Versicherten bei der C._ AG, eingetreten ist. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Erkrankung, welche später zur Invalidität führte, sei bereits vor diesem Stichtag in Erscheinung getreten. Soweit sie sich in diesem Zusammenhang auf Phasen der Arbeitsunfähigkeit berufen, welche so lange in der Vergangenheit liegen, dass der zeitliche Konnex (vgl. E. 5.2 f. hievor) zur Invalidität unterbrochen wäre, erübrigt sich eine nähere Auseinandersetzung mit ihren Vorbringen, wären diese doch im Vorneherein nicht geeignet, das Ergebnis des angefochtenen Urteils als bundesrechtswidrig erscheinen zu lassen.
6.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, der Versicherte sei zwar ärztlicherseits erst ab dem zweiten Tag seines Arbeitsverhältnisses bei der C._ AG krankgeschrieben worden, in Wahrheit aber bereits bei Beginn des Arbeitsverhältnisses erkrankt gewesen. Soweit sie sich in diesem Zusammenhang auf das Urteil B 01/05 vom 31. August 2005 berufen, ist festzuhalten, dass daraus lediglich folgt, dass bei einer Erkrankung in den ersten Tagen eines Arbeitsverhältnisses zu prüfen ist, ob die versicherte Person das Arbeitsverhältnis überhaupt arbeitsfähig angetreten hat, nicht aber, dass gegenteilige vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellungen in einem Einzelfall notwendigerweise gegen Bundesrecht verstossen würden.
6.3. Es steht im Weiteren fest und ist unbestritten, dass das Arbeitsverhältnis des Versicherten mit der B._ AG bereits am 30. September 2012 endete und eine Aufnahme der Arbeit bei der C._ AG zunächst auf den 15. Oktober 2012 geplant war. Der Eintritt in das neue Arbeitsverhältnis wurde in der Folge auf den 22. Oktober 2012 verschoben. Soweit die Beschwerdeführer geltend machen, diese Verschiebung sei aus gesundheitlichen Gründen erfolgt, ist mit dem kantonalen Gericht festzuhalten, dass echtzeitliche Belege für einen solchen Geschehensablauf fehlen. Dies wird von den Beschwerdeführern nicht bestritten. Sie machen jedoch geltend, der Versicherte habe aufgrund des Umstandes, dass er in diesem Zeitraum nicht in einem Arbeitsverhältnis stand, auf eine ärztliche Krankschreibung verzichtet. Ob diese Sachverhaltsdarstellung, mit der implizit auch ein freiwilliger Lohnverzicht trotz Erkrankung in der Woche des 15. Oktober 2012 geltend gemacht wird, noch als plausibel bezeichnet werden kann, muss vorliegend nicht näher geprüft werden. Gemäss konstanter Rechtsprechung des Bundesgerichts (vgl. E. 3.3 hievor) reicht der Umstand, dass ein von den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen abweichender Geschehensablauf ebenfalls ernsthaft in Betracht gezogen werden kann noch nicht aus, um die vorinstanzlichen Feststellungen als offensichtlich unrichtig bzw. die deren Beweiswürdigung als willkürlich erscheinen zu lassen. Die Beschwerdeführer legen nicht dar, dass das kantonale Gericht ein für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel ohne sachlichen Grund nicht beachtet oder den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt hätte (vgl. E. 3.3 hievor). Insbesondere kann entgegen den Vorbringen der Bâloise aus dem Bericht der Dr. med. D._, Fachärztin Allgemeine Medizin, vom 19. Januar 2013 nicht eindeutig entnommen werden, dass die von ihr beschriebene erneute Entwicklung eines depressiven Zustandsbildes bereits vor dem 23. Oktober 2012 eingesetzt hätte.
6.4. Verletzte das kantonale Gericht demnach kein Bundesrecht, als es den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, welche später zur Invalidität führte, auf den 23. Oktober 2012 und damit auf einen Zeitpunkt festlegte, in dem der Versicherte nicht mehr bei der PAX berufsvorsorgeversichert war, so hat es die Klage gegen die PAX zu Recht abgewiesen. Die Beschwerden des Versicherten und der Bâloise sind somit abzuweisen.
7.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den Beschwerdeführern aufzuerlegen (<ref-law>). Im Verfahren 9C_459/2021 ist dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege stattzugeben, da die entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerden werden abgewiesen.
2.
Im Verfahren 9C_459/2021 wird A._ die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokatin Caroline Franz Waldner wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten des Verfahrens 9C_450/2021 von Fr. 800.- werden der Bâloise auferlegt.
4.
Die Gerichtskosten des Verfahrens 9C_459/2021 von Fr. 800.- werden A._ auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Der Rechtsvertreterin des A._ wird für das Verfahren 9C_459/2021 aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. März 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Nabold