Erwägungen:
1.
A._ hat einen Entscheid vom 4. Dezember 2019 der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt angefochten. Da sie den Kostenvorschuss nicht fristgerecht geleistet hatte, schrieb der Instruktionsrichter das Verfahren am 10. Januar 2020 als erledigt ab. A._ ersuchte hierauf um Wiedereinsetzung in die versäumte Frist. Der Präsident des Appellationsgerichts Basel-Stadt lehnte dies am 20. Januar 2020 ab: Der geltend gemachte Stress - so die Begründung - im Zusammenhang mit dem Gesundheitszustand der Mutter könne nicht als unverschuldeter Wiedereinsetzungsgrund gelten. Die von A._ dargestellte Verwechslung ihrer Zahlungen mit jener der Mutter sei nicht nachvollziehbar; es werde aus ihren Schilderungen nicht klar, welche Umstände sie konkret an der Anwendung der notwendigen Sorgfalt bei der Abgabe des Zahlungsauftrags gehindert hätte. A._ beantragt mit Eingabe vom 18. Februar 2020 vor Bundesgericht, die Verfügung des Präsidenten des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt aufzuheben und sie wieder in die Zahlungsfrist einzusetzen.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die Beschwerde führende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Vorgaben nicht: Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den Ausführungen der Vorinstanz nicht weiter auseinander. Sie schildert ihren Stress, dem sie sich aufgrund der Pflege ihrer Mutter ausgesetzt sieht; gestützt hierauf und aufgrund der Medikamente, die sie nehmen müsse, leide sie unter einer verminderten Konzentrationsfähigkeit (Müdigkeit/Schläfrigkeit) im Übrigen hätten sie die jüngsten Vorkommnisse im Libanon stark belastet. Die Beschwerdeführerin legt damit nicht dar, inwiefern der Entscheid des Präsidenten des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt Recht verletzen würde. Sie schilderte zudem neu Aspekte, die sie bereits im vorinstanzlichen Verfahren hätte vorbringen müssen (<ref-law>). Aus ihren Ausführungen geht nicht hervor, inwiefern sie trotz aller Sorgfalt daran gehindert worden wäre, den Kostenvorschuss rechtzeitig zu leisten oder eine andere Person damit zu beauftragen. Da die Beschwerde offensichtlich keine rechtsgenügende Begründung enthält, ist mit Entscheid des Präsidenten im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> darauf nicht einzutreten, nachdem die Beschwerdefrist inzwischen abgelaufen ist und die Eingabe nicht mehr verbessert werden kann. Es rechtfertigt sich, keine Kosten zu erheben (<ref-law>) und keine Parteientschädigungen (<ref-law>) zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Präsidenten des Appellationsgerichts Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar