Sachverhalt:
A.
A._ reiste am 27. März 2017 zusammen mit einer weiteren Person am Grenzübergang Ramsen in die Schweiz ein. Bei der Kontrolle seines Autos wurden unter anderem 200 g einer weissen Substanz und ca. 1'600 Pillen gefunden. A._ wurde festgenommen und am 30. März 2017 vom Zwangsmassnahmengericht Schaffhausen in Untersuchungshaft versetzt. Die Haft wurde in der Folge mehrmals verlängert.
Mit Urteil vom 1. Juni 2018 sprach das Kantonsgericht Schaffhausen A._ der einfachen und qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der Förderung der rechtswidrigen Einreise und des rechtswidrigen Aufenthalts sowie der mehrfachen Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes schuldig. Es verurteilte ihn, als Zusatzstrafe zu einer mit Urteil des Tribunal de police de Lausanne vom 9. August 2017 verhängten Freiheitsstrafe von 6 Monaten, zu 26 Monaten Freiheitsstrafe und einer Busse von Fr. 300.--. Er wurde zudem für 5 Jahre des Landes verwiesen.
A._ wurde am 17. September 2018 der vorzeitige Strafvollzug bewilligt. Am 9. April 2019 wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen seine Berufung gegen das Urteil des Kantonsgerichts ab. Nachdem er in den vergangenen Monaten bereits mehrfach ein Entlassungsgesuch gestellt hatte, verlangte er mit Eingabe vom 26. April 2019 erneut, er sei aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen. Mit Verfügung vom 10. Mai 2019 wies das Obergericht das Gesuch ab.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht vom 17. Mai 2019 beantragt A._, die Verfügung des Obergerichts sei aufzuheben und er selbst aus dem vorzeitigen Strafvollzug zu entlassen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Obergericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Beschwerdeführer hält in seiner Stellungnahme dazu an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist die Beschwerde in Strafsachen nach <ref-law> gegeben. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Auf sein Rechtsmittel ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer befindet sich im vorzeitigen Strafvollzug. Dies hindert ihn nicht daran, ein Gesuch um Haftentlassung zu stellen. Auf Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug hin ist zu prüfen, ob die Haftvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 2.3 S. 163 f.; <ref-ruling> E. 4.1 f. S. 194; <ref-ruling> E. 1d S. 79 f.; je mit Hinweisen).
2.2. Nach <ref-law> sind Untersuchungs- und Sicherheitshaft unter anderem zulässig, wenn die beschuldigte Person eines Verbrechens oder Vergehens dringend verdächtig ist und ernsthaft zu befürchten ist, dass sie sich durch Flucht dem Strafverfahren oder der zu erwartenden Sanktion entzieht (Abs. 1 lit. a). An ihrer Stelle sind Ersatzmassnahmen anzuordnen, wenn sie den gleichen Zweck wie die Haft erfüllen (Art. 212 Abs. 2 lit. c und Art. 237 ff. StPO).
2.3. Der Beschwerdeführer bestreitet das Vorliegen eines dringenden Tatverdachts nicht. Während er im vorinstanzlichen Verfahren offenbar auch die Fluchtgefahr nicht bestritt, macht er in seiner Beschwerde an das Bundesgericht beiläufig geltend, es sei nicht einzusehen, weshalb diese noch bejaht werden sollte. Diese Rüge wird jedoch nicht weiter begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist (<ref-law>). Einzugehen ist dagegen auf die Vorwürfe, es liege Überhaft vor (E. 3 hiernach) und das Obergericht habe das Beschleunigungsgebot verletzt (E. 4 hiernach).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 3 EMRK hat eine in strafprozessualer Haft gehaltene Person Anspruch darauf, innerhalb einer angemessenen Frist richterlich abgeurteilt oder während des Strafverfahrens aus der Haft entlassen zu werden. Eine übermässige Haftdauer stellt eine unverhältnismässige Beschränkung dieses Grundrechts dar. Nach <ref-law> dürfen deshalb Untersuchungs- und Sicherheitshaft nicht länger dauern als die zu erwartende Freiheitsstrafe, wobei nach ständiger Praxis bereits zu vermeiden ist, dass die Haftdauer in grosse Nähe zur zu erwartenden Freiheitsstrafe rückt. Diese Grenze ist insbesondere deshalb bedeutsam, weil das erkennende Gericht dazu neigen könnte, die Dauer der erstandenen Haft bei der Strafzumessung mitzuberücksichtigen (zum Ganzen: zur Publ. bestimmtes Urteil 1B_116/2019 vom 11. April 2019 E. 3.1 mit Hinweisen).
3.2. Das Bundesgericht hat im soeben erwähnten, ebenfalls den Beschwerdeführer betreffenden Urteil dargelegt, dass die Möglichkeit einer bedingten Entlassung aus dem Strafvollzug im Grundsatz nicht zu berücksichtigen sei und dass gestützt auf die Akten kein Anlass bestehe, von diesem Grundsatz ausnahmsweise abzuweichen. Auf die betreffende Erwägung kann verwiesen werden (a.a.O., E. 3.4 mit Hinweisen).
3.3. Im gleichen Urteil hat das Bundesgericht dargelegt, dass nicht das Verhältnis der erstandenen Haftdauer zur zu erwartenden Freiheitsstrafe als solches entscheidend ist, sondern vielmehr auf die Umstände des Einzelfalls abzustellen ist (a.a.O., E. 3.5 mit Hinweisen). Mit Bezug auf den konkreten Fall hielt es fest, dass dem Beschwerdeführer 32 Monate Freiheitsentzug drohten und bei einem verbleibenden Strafrest von 8 Monaten keine Überhaft anzunehmen sei. Das Obergericht geht zu Recht davon aus, dass derselbe Schluss bei einem Strafrest von mittlerweile etwas weniger als 7 Monaten angezeigt ist und damit nach wie vor keine Überhaft vorliegt.
4.
Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, sich nicht mit dem Beschleunigungsgebot auseinandergesetzt zu haben. Er warte nun schon über zwei Jahre auf das begründete Berufungsurteil. Diese Kritik geht offensichtlich fehl. Das an der Hauptverhandlung vom 9. April 2019 gefällte Urteil wurde mit einer Begründung versehen am 22. Mai 2019 versandt. Damit hielt sich das Obergericht an die Vorgaben von <ref-law>, wonach das vollständig begründete Urteil innert 60 Tagen, ausnahmsweise 90 Tagen, zuzustellen ist. Soweit der Beschwerdeführer sodann die Gesamtdauer des Strafverfahrens rügt, ist eine besonders schwer wiegende Verfahrensverzögerung, welche geeignet wäre, die Rechtmässigkeit der Haft in Frage zu stellen und zu einer Haftentlassung zu führen, nicht ersichtlich, weshalb nicht weiter darauf einzugehen ist.
5.
Die Beschwerde ist aus den genannten Erwägungen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Rechtsverbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, kann dem Gesuch entsprochen werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Eric Stern wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'000.-- entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Schaffhausen und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold