Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1957 geborene A._ bezieht seit dem 1. September 1994 eine ganze Invalidenrente der Invalidenversicherung. Dementsprechend entrichtete die Bâloise-Sammelstiftung für die obligatorische berufliche Vorsorge (nachfolgend: Bâloise) A._ eine (vierteljährlich vorschüssig zu zahlende) ganze Invalidenrente aus beruflicher Vorsorge von jährlich Fr. 16'900.80. Weil die frühere Arbeitgeberin des A._ die Vorsorgeeinrichtung wechselte, übernahm die Sammelstiftung BVG der Allianz Suisse Lebensversicherungs-Gesellschaft (nachfolgend: Allianz) ab dem 1. Januar 2017 die betroffenen Rentenverpflichtungen von der Bâloise.
A.b. Die IV-Stelle Luzern hatte 2015 ein Revisionsverfahren eröffnet und A._ mit Vorbescheid vom 24. November 2016 die rückwirkende Rentenaufhebung auf den 1. Dezember 2011 in Aussicht gestellt. Die Allianz stellte deshalb am 8. Mai 2017 die Rente aus beruflicher Vorsorge "per sofort" (d.h. mit Wirkung auf Ende Juni 2017) ein. Das Revisionsverfahren der Invalidenversicherung endete - nach entsprechender "Mitteilung Beschluss" vom 25. September 2018 - mit der Verfügung vom 11. Oktober 2018. Darin kam die IV-Stelle Luzern zum Schluss, dass von Unverwertbarkeit des wiedergewonnenen Leistungspotenzials auszugehen sei, weshalb weder weitere medizinische Abklärungen noch Eingliederungsmassnahmen veranlasst würden. Dem Versicherten sei weiterhin eine vollständige Erwerbsunfähigkeit anzurechnen. Er habe darum auch weiterhin Anspruch auf die bisherige Invalidenrente bei einem Invaliditätsgrad von 100 %. Die Allianz hielt an ihrer Leistungseinstellung fest.
B.
Mit Klage vom 29. Januar 2020 beantragte A._, die Allianz sei zu verpflichten, ihm ab dem 1. Juli 2017 eine "volle BVG-IV-Rente" von monatlich Fr. 1408.80 (d.h. jährlich Fr. 16'900.80) zuzüglich Zins zu 1 % ab 1. November 2019 und 5 % ab Klageeinleitung auszurichten. Das Kantonsgericht Luzern hiess die Klage mit Entscheid vom 1. Februar 2021 weitgehend gut. Es wies sie lediglich insoweit ab, als es den Verzugszins durchgehend auf 1 % festlegte.
C.
Die Allianz beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, der Entscheid vom 1. Februar 2021 sei aufzuheben und die Klage des A._ sei abzuweisen; eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und Neubeurteilung der Klage an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Umstritten ist, ob die Allianz die dem Beschwerdegegner bis Ende Juni 2017 ausgerichtete ganze Invalidenrente aus obligatorischer beruflicher Vorsorge aufheben durfte.
2.2.
2.2.1. Ein Entscheid der IV-Stelle oder - im Beschwerdefall - des kantonalen Sozialversicherungsgerichts (<ref-law>) resp. des Bundesgerichts ist für eine Einrichtung der beruflichen Vorsorge verbindlich, sofern sie in das invalidenversicherungsrechtliche Verfahren einbezogen wurde, die konkrete Fragestellung für die Beurteilung des Rentenanspruchs gegenüber der Invalidenversicherung entscheidend war und die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtungsweise aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheint. Diese Bindungswirkung findet ihre positivrechtliche Grundlage in den Art. 23, 24 Abs. 1 und 26 Abs. 1 BVG, welche an die Regelung des IVG anknüpfen oder diese übernehmen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.3.2; Urteil 9C_552/2020 vom 1. Dezember 2020 E. 3.2).
2.2.2. Eine Rente nach BVG (d.h. aus obligatorischer beruflicher Vorsorge) ist unter denselben materiellen Voraussetzungen wie eine Rente der Invalidenversicherung revisionsweise anzupassen oder aufzuheben, was sich für den Fall der Aufhebung bereits aus Art. 26 Abs. 3 BVG (in der aktuellen Version und in den älteren Fassungen) ergibt (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.3.1).
Ändert sich der Invaliditätsgrad eines Rentenbezügers erheblich, so wird die Rente der Invalidenversicherung von Amtes wegen oder auf Gesuch hin für die Zukunft entsprechend erhöht, herabgesetzt oder aufgehoben (<ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.3).
3.
3.1. Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren steht fest und ist unbestritten, dass die IV-Stelle sowohl den Vorbescheid ("Mitteilung Beschluss") vom 25. September 2018 als auch die - unangefochten gebliebene - Verfügung vom 11. Oktober 2018 der Allianz eröffnet hatte. Das kantonale Gericht hat die erwähnte Verfügung der IV-Stelle (weiterhin bestehender Rentenanspruch) als nicht offensichtlich unhaltbar qualifiziert, eine Bindung daran bejaht und eine "davon losgelöste, gleichsam autonome Leistungsüberprüfung" für unzulässig gehalten. Folglich hat es die Klage des Versicherten - in der Hauptsache - gutgeheissen.
3.2. Dass die Verfügung der IV-Stelle vom 11. Oktober 2018 offensichtlich unhaltbar sein soll, ist nicht ersichtlich und macht die Beschwerdeführerin auch nicht ansatzweise geltend. Diese begründet auch nicht näher, weshalb die fehlende Verwertbarkeit der hinzugewonnenen Arbeitsfähigkeit (wie von der IV-Stelle angenommen; vgl. Sachverhalt lit. A.b) nur für die Invalidenversicherung, nicht aber für die obligatorische berufliche Vorsorge von Bedeutung sein soll. Solches leuchtet denn auch nicht ein (vgl. vorangehende E. 2.2.2), zumal der genannte Aspekt massgeblich für die Bemessung und Entwicklung des Invaliditätsgrads ist.
3.3. Soweit sich die Beschwerdeführerin für eine freie Überprüfung des umstrittenen Rentenanspruchs auf die Urteile 9C_118/2012 vom 13. Februar 2013 (dortige E. 2.1) und 9C_889/2009 vom 2. Februar 2010 (dortige E. 2.2) beruft, ergibt sich nichts zu ihren Gunsten. Einerseits betrifft diese Rechtsprechung die weitergehende und nicht die obligatorische berufliche Vorsorge; anderseits ist sie durch <ref-ruling> und 141 V 405 ohnehin überholt (<ref-ruling> E. 3.4.2).
3.4. Sodann hilft der Hinweis der Beschwerdeführerin auf das Vorliegen einer "altrechtlichen" Invalidenrente (vgl. Art. 23 BVG in der bis zum 31. Dezember 2004 geltenden Fassung [AS 1983 797]) und auf lit. f der Übergangsbestimmungen der Änderung vom 3. Oktober 2003 (1. BVG-Revision) BVG nicht weiter. Zwar setzt der Rentenanspruch gemäss aArt. 23 BVG einen minimalen Invaliditätsgrad von 50 % voraus, während gemäss der aktuellen Fassung der Bestimmung ein solcher von 40 % genügt. Dieser Umstand ändert aber nichts am Grundsatz, dass die Rentenaufhebung den Voraussetzungen von <ref-law> unterliegt und diesbezüglich eine Bindung an die invalidenversicherungsrechtliche Betrachtung besteht (vgl. vorangehende E. 2.2). In beiden Versionen von Art. 23 BVG ist denn auch explizit die Invalidität "im Sinne der IV" ("au sens de l'AI"; "nel senso dell'AI") entscheidend.
3.5. Schliesslich bringt die Allianz vor, die Weiterausrichtung der Rente der Invalidenversicherung beruhe nicht auf dem Gesundheitsschaden, der die ursprüngliche Leistungspflicht der Vorsorgeeinrichtung begründet habe; der sachliche Konnex (vgl. dazu <ref-ruling> E. 6.2, Urteil 9C_450/2020 vom 26. November 2020 E. 2.1.2) sei unterbrochen. Indessen zielt auch dieser Einwand ins Leere. Zum einen steht hier nicht die Entstehung, sondern die Aufhebung der (zuvor anerkannten) Leistungszuständigkeit zur Diskussion. Zum andern begründete die IV-Stelle das Weiterbestehen des Rentenanspruchs einzig mit der fehlenden Verwertbarkeit der verbesserten Arbeitsfähigkeit. Es besteht kein Anhaltspunkt für einen von der ursprünglichen Beeinträchtigung unabhängigen, neu hinzugetretenen und für sich invalidisierenden Gesundheitsschaden. Somit ist ein neuer Versicherungsfall, der allenfalls die Allianz ihrer Leistungspflicht entheben könnte (vgl. <ref-ruling> E. 6.3), ausgeschlossen.
3.6. Es gibt keinen Hinweis darauf, dass sich nach Abschluss des invalidenversicherungsrechtlichen Revisionsverfahrens (am 11. Oktober 2018) ein Revisionstatbestand im Sinne von <ref-law> verwirklicht haben soll (vgl. <ref-ruling> E. 3.3). Nach dem Gesagten hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, indem sie eine Bindung an die Verfügung der IV-Stelle vom 11. Oktober 2018 bejaht und dementsprechend - ohne die Verwertbarkeit der Arbeitsfähigkeit zu überprüfen - die Voraussetzungen für die Aufhebung der Rente aus beruflicher Vorsorge verneint hat. Die Beschwerde ist unbegründet.
4.
Mit diesem Urteil wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der obsiegende Beschwerdegegner hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. April 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann