Sachverhalt:
A.
A.a. A._ führt ein eigenes Malergeschäft. Aufgrund gesundheitlicher Beschwerden ist er in seiner Erwerbstätigkeit eingeschränkt und bezieht mit einem Invaliditätsgrad von 50 % eine halbe IV-Rente.
A.b. In der Pfändung Nr. xxx gegen A._ pfändete das Betreibungsamt Küssnacht am Rigi dessen Personenwagen Modell "B._". Den Lieferwagen Modell "C._" wurde A._ als Kompetenzgut zur Berufsausübung belassen.
A.c. A._ erhob am 14. September 2020 gegen die Pfändung Beschwerde beim Bezirksgericht Küssnacht am Rigi als untere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs. Er verlangte die Aufhebung der Pfändungsurkunde vom 1. September 2020 sowie namentlich die Feststellung, dass er aus gesundheitlichen Gründen zur Berufsausübung als Maler auf den Beizug eines externen temporären Malers und deshalb berufsnotwendig auf zwei Fahrzeuge angewiesen sei. Das Bezirksgericht wies die Beschwerde mit Verfügung vom 10. Mai 2021 ab.
B.
Mit Eingabe vom 25. Mai 2021 erhob A._ Beschwerde beim Kantonsgericht Schwyz als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs.
Mit Verfügung vom 30. Juni 2021 trat das Kantonsgericht Schwyz auf die Beschwerde nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 13. Juni 2021 ist A._ ans Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung der Verfügung des Kantonsgerichts Schwyz vom 30. Juni 2021 sowie (sinngemäss) im Wesentlichen die Feststellung, dass er zur Ausübung seines Berufs zwei Fahrzeuge benötige.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig eines Streitwertes der Beschwerde in Zivilsachen (<ref-law> i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Die Beschwerde ist fristgerecht erhoben worden (<ref-law>) und grundsätzlich zulässig.
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen und mit freier Kognition an (<ref-law>). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (<ref-law>), wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-ruling> E. 2.4).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Neue Tatsachen und Beweismittel sind nur zulässig, soweit der angefochtene Entscheid dazu Anlass gibt (<ref-law>).
2.
Die Vorinstanz erwog im Wesentlichen, der Beschwerdeführer erfülle die Anforderungen an eine Beschwerde gemäss <ref-law> nicht, da er auf die (Alternativ-) Begründung der Erstinstanz nicht eingehe, worin diese dem zu pfändenden Zweitfahrzeug (B._) mangels Wirtschaftlichkeit des Berufes des Beschwerdeführers den Kompetenzcharakter abgesprochen hatte.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt der angefochtene Nichteintretensentscheid mangels hinreichender Begründung.
3.1. Der Beschwerdeführer macht eine Rechtsverweigerung nach <ref-law> geltend. Er bringt vor, sich seit Jahren um eine gerichtliche Klärung der Frage der Berufsnotwendigkeit seines Fahrzeuges zu bemühen; das Kantonsgericht weigere sich jedoch, ein materielles Urteil zu fällen.
Soweit der Beschwerdeführer der Vorinstanz damit vorwirft, nach dem Rückweisungsentscheid des Bundesgerichts aus dem Jahr 2013 (Urteil 5A_11/2013 vom 28. März 2013) untätig geblieben zu sein, schlägt diese Rüge offensichtlich fehl. Nach besagtem Urteil folgte ein erneuter kantonaler Instanzenzug und schliesslich eine Abweisung durch das Bundesgericht (Urteil 5A_353/2016 vom 7. Juli 2016). Das vorliegende Verfahren geht aus einer neuen Pfändung hervor.
Die Rüge der Rechtsverweigerung erschöpft sich in der Frage, ob die Vorinstanz fälschlicherweise auf die Beschwerde nicht eingetreten ist. Dies beurteilt sich nach dem anwendbaren Verfahrensrecht (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1). Ist kantonales Verfahrensrecht einschlägig, überprüft das Bundesgericht dessen Auslegung und Anwendung - auf entsprechend begründete Rüge hin (<ref-law>; vgl. oben E. 1.2 oben) - nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.2).
3.2. Gemäss <ref-law> regeln - unter Vorbehalt der bundesrechtlichen Vorgaben gemäss <ref-law> und der verfassungsrechtlichen Minimalanforderungen - die Kantone das Verfahren vor den kantonalen Aufsichtsbehörden. Sie können dabei ein eigenes Gesetz erlassen, eine Regelung in der Einführungsgesetzgebung zum SchKG aufstellen, auf das kantonale Verwaltungsverfahrensgesetz verweisen oder die Schweizerische Zivilprozessordnung als anwendbar erklären. Letzternfalls gelten die darin enthaltenen Normen aber nicht etwa als bundesrechtliche, sondern kraft kantonalen Verweises als kantonales Recht (Urteile 5A_616/2017 vom 14. März 2018 E. 4.2; 5A_283/2014 vom 3. September 2014 E. 2; 5A_239/2012 vom 21. Juni 2012 E. 3). Das kantonale Einführungsgesetz zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Schwyz vom 25. Oktober 1974 (EGzSchKG; SRSZ 270.110) enthält zur Begründung des Rechtsmittels keine Bestimmung und verweist in dessen § 18 ergänzend auf die Bestimmungen der Schweizerischen Zivilprozessordnung. Für das Bundesgericht bedeutet dies, dass es die Handhabung der ZPO durch die Vorinstanz nicht frei überprüft, sondern bloss auf Willkür hin (<ref-law>). Dabei gilt das Rügeprinzip (<ref-law>).
3.3. Gemäss <ref-law> ist eine Beschwerde schriftlich und begründet einzureichen.
Nach der Rechtsprechung zur Berufung (<ref-law>) zeichnet sich das zweitinstanzliche Verfahren dadurch aus, dass bereits eine richterliche Beurteilung des Streits vorliegt. Wer den erstinstanzlichen Entscheid mit Berufung anficht, hat deshalb anhand der erstinstanzlich festgestellten Tatsachen oder der daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse aufzuzeigen, inwiefern sich die Überlegungen der ersten Instanz nicht aufrechterhalten lassen. Die Rechtsmittelinstanz ist nicht gehalten, den erstinstanzlichen Entscheid losgelöst von konkreten Anhaltspunkten in der Berufungsbegründung von sich aus in jede Richtung hin auf mögliche Mängel zu untersuchen, die eine Gutheissung des Rechtsmittels ermöglichen könnten (<ref-ruling> E. 4.2.1; Urteil 4A_397/2016 vom 30. November 2016 E. 3.1 mit weiteren Hinweisen). Abgesehen von offensichtlichen Mängeln beschränkt sie sich vielmehr darauf, die Beanstandungen zu beurteilen, welche die Parteien in ihren schriftlichen Begründungen (Art. 311 Abs. 1 und Art. 312 Abs. 1 ZPO) gegen das erstinstanzliche Urteil erheben (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.2.4; je mit weiteren Hinweisen). Der Rechtsmittelkläger muss sich mit den einschlägigen Erwägungen der ersten Instanz auseinandersetzen und darf sich nicht darauf beschränkten, seine vorgetragene Auffassung vor Rechtsmittelinstanz schlicht zu wiederholen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.3 mit zahlreichen Hinweisen; Urteil 4A_572/2019 vom 20. Dezember 2019 E. 2). Auch die soziale Untersuchungsmaxime entbindet den Rechtsmittelkläger nicht davon, seine Berufungsschrift gehörig zu begründen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.3; Urteil 4A_572/2019 a.a.O. E. 2).
Die beschriebenen Anforderungen an die Begründung der Berufung gelten auch für die Beschwerde nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2.1).
3.4. Die Erstinstanz beurteilte im Rahmen einer Alternativbegründung ausführlich die Frage der Wirtschaftlichkeit der beruflichen Tätigkeit des Beschwerdeführers mit Blick auf den Kompetenzcharakter des gepfändeten Fahrzeuges. Sie prüfte dabei im Einzelnen die ihr vorgelegten Unterlagen (Steuerveranlagungen, Erfolgsrechnungen, Monatsblätter über Einnahmen und Ausgaben, AHV-Beitragsverfügungen). Sie wies dabei im Detail auf zahlreiche nicht nachvollziehbare Unstimmigkeiten hinsichtlich Einkommen bzw. Betriebsergebnis hin. Die Vorbringen des Beschwerdeführers zu Umsatz bzw. Gewinn seiner Arbeitstätigkeit beschränkten sich letztlich auf reine Behauptungen ohne jegliche Substanziierung und Beweis; sie seien nicht nur unrealistisch und nicht glaubhaft, sondern aufgrund der geprüften Unterlagen auch klar widerlegt. Die Wirtschaftlichkeit seines Betriebes sei auch deshalb nicht gegeben, da seit seiner letzten Beschwerde neun weitere Betreibungen der Ausgleichskasse und der Mehrwertsteuer eingegangen seien, Verlustscheine von über Fr. 908'803.30 bestünden und der Beschwerdeführer seinen Lebensunterhalt nicht decken könne, ohne weiter Steuer- und Sozialversicherungsschulden anzuhäufen. Er habe seit Jahren keine pfändbare Quote abliefern können. Zudem würden auch Anhaltspunkte dafür bestehen, dass der Beschwerdeführer Einnahmequellen in der Immobilienvermittlung und somit ausserhalb des Malerzwecks seines Betriebes habe, was sich ebenfalls negativ auf seinen Kompetenzanspruch auswirke. Der Kompetenzanspruch am zweiten Fahrzeug falle somit auch mangels Wirtschaftlichkeit des Betriebes ausser Betracht.
3.5. Der Beschwerdeführer rügt den vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid als willkürlich; er habe eingehend zu seiner wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit Stellung genommen und das Nichteintreten mangels Begründung sei somit "aktenkundig falsch".
In seiner Beschwerde vor der Vorinstanz liess der Beschwerdeführer zur Frage der Wirtschaftlichkeit mit beispielhaftem Verweis auf den Geschäftsabschluss 2018 verlauten, in Anbetracht seiner 50 % Arbeitsunfähigkeit sei der ausgewiesene Reingewinn in diesem Jahr von Fr. 40'513.60 "wirtschaftlich vollkommen in Ordnung und nicht zu beanstanden". Ausserdem habe im Jahr 2020 bzw. 2021 eine Mehrwertsteuerrevision für die Geschäftsjahre 2017-2019 stattgefunden, welche die Zweifel der Erstinstanz widerlegten. Sodann sei der Provisionsanspruch aus der Immobilienvermittlung direkt an das Betreibungsamt Küssnacht und nicht auf sein Geschäftskonto überwiesen worden.
Der Beschwerdeführer beschränkte sich in seiner vorinstanzlichen Beschwerdebegründung auf ein Geschäftsjahr, obwohl sich die Erstinstanz umfassend mit seiner finanziellen Situation als Einzelunternehmer und den eingereichten Unterlagen im Zeitraum zwischen 2016 und 2020 auseinandersetzte. Die Erwägungen der Erstinstanz sind sodann mit Eventualbegründungen bestärkt, die auf die Vorbringen des Beschwerdeführers eingehen und denen bereits Sachverhaltshypothesen zu seinen Gunsten zugrunde liegen. Auf diese ausführliche Begründung ging der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde vor der Vorinstanz nicht im Einzelnen ein. Der blosse Verweis des Beschwerdeführers auf die Verfahrensakten ist ebenso unzureichend wie der nicht weiter substanziierte Verweis auf die Mehrwertsteuerrevision. Seine Vorbringen vor der Vorinstanz beschränkten sich auf eine blosse Wiederholung des erstinstanzlichen Standpunkts und auf eine pauschale Kritik am erstinstanzlichen Urteil.
Die Vorinstanz wendete die Anforderungen gemäss <ref-law> nicht willkürlich an, indem sie die Begründung des Beschwerdeführers als unzureichend erachtete und auf die Beschwerde nicht eintrat.
4.
Da die Alternativbegründung der Erstinstanz das Urteil selbständig trägt, hat die Vorinstanz zu Recht die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers zu seinem gesundheitlichen Zustand sowie zur Abgrenzung zwischen Berufstätigkeit und Unternehmung offen gelassen. Die vom Beschwerdeführer vor Bundesgericht diesbezüglich vorgetragenen Rügen zielen vor diesem Hintergrund ebenfalls ins Leere. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
5.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>)

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Küssnacht am Rigi und dem Kantonsgericht Schwyz, Präsident der oberen kantonalen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibung und Konkurs, mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Dürst