Sachverhalt:
A.
A.a. Am 16. Mai 2017 ersuchte B.A._ (geb. 1976; Beschwerdegegnerin) beim Bezirksgericht Lenzburg um Scheidung ihrer Ehe mit A.A._ (geb. 1967; Beschwerdeführer). Gleichzeitig beantragte sie den Erlass vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens.
Mit Verfügung vom 29. Mai 2017 setzte das Bezirksgericht dem in den Vereinigten Arabischen Emiraten lebenden A.A._ Frist zur Stellungnahme zum Gesuch um Erlass vorsorglicher Massnahmen und forderte ihn auf, ein Zustellungsdomizil in der Schweiz zu bezeichnen. Diese Verfügung und die zugehörigen Akten konnten A.A._ weder postalisch noch mit Hilfe der Schweizerischen Botschaft zugestellt werden. Die Übergabe sämtlicher Gerichtsakten erfolgte schliesslich am 15. April 2018 durch die Kantonspolizei Zürich am Flughafen Zürich, wogegen A.A._ sich mit Eingabe vom 24. April 2018 verwahrte.
A.b. Mit Vorladung vom 29. Mai 2018 lud das Bezirksgericht zur Hauptverhandlung, an welcher A.A._ nicht teilnahm. Am 12. Juli 2018 entschied das Bezirksgericht über die vorsorglichen Massnahmen. Sowohl die Vorladung vom 29. Mai 2018 als auch den Entscheid vom 12. Juli 2018 publizierte das Bezirksgericht im Amtsblatt des Kantons Aargau, letzteren einzig im Dispositiv.
Am 1. Oktober 2018 ersuchte A.A._ um schriftliche Begründung des Entscheids vom 12. Juli 2018 und eventuell darum, die Frist zum Einverlangen einer Entscheidbegründung wiederherzustellen. Mit Entscheid vom 8. Januar 2019 wies das Bezirksgericht sowohl das Gesuch um Begründung des Entscheids als auch jenes um Wiederherstellung der Frist ab.
B.
Die von A.A._ hiergegen eingereichte Berufung wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 25. März 2019 (eröffnet am 3. April 2019) ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 2. Mai 2019 gelangt A.A._ ans Bundesgericht. Er beantragt, es seien der Entscheid des Obergerichts aufzuheben und sein Begehren um Entscheidbegründung, eventuell jenes um Fristwiederherstellung, gutzuheissen. Die Kosten des kantonalen Verfahrens seien B.A._ aufzuerlegen. Ausserdem ersucht A.A._ darum, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Nach Anhörung der weiteren Verfahrensbeteiligten hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassung in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) über ein Gesuch um schriftliche Begründung eines erstinstanzlichen Entscheids (<ref-law>) sowie um Wiederherstellung der Frist, binnen derer eine Partei eine solche Begründung verlangen kann (<ref-law>). Indem das Obergericht die erstinstanzliche Abweisung beider Gesuche bestätigte, beendete es das Wiederherstellungsverfahren und schnitt es dem Beschwerdeführer im Ergebnis den Rechtsmittelweg in der Hauptsache ab. Dort wurde über vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens entschieden und folglich ein Endentscheid ausgefällt (<ref-ruling> E. 2.2). Damit ist auch vorliegend ein Endentscheid nach <ref-law> angefochten (Urteile 5D_160/2014 vom 26. Januar 2015 E. 1.2; 5A_253/2013 vom 12. August 2013 E. 1.1). Dieser steht im Zusammenhang mit einer Zivilsache nach <ref-law>. Dem angefochtenen Urteil lässt sich entgegen Art. 112 Abs. 1 Bst. d BGG nicht entnehmen, welche Massnahmen in der Hauptsache im Einzelnen in Streit stehen. Indes ist nach Angaben der Parteien unter anderem Ehegattenunterhalt über Fr. 37'000.-- im Monat strittig. Der massgebende Streitwert nach Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG ist damit erreicht, womit die Beschwerde in Zivilsachen jedenfalls das zutreffende Rechtsmittel ist. Der Beschwerdeführer ist weiter nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er fristgerecht eingereicht hat (<ref-law>). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen kann folglich auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. In der Hauptsache sind vorsorgliche Massnahmen während des Scheidungsverfahrens strittig. Massnahmeentscheide, die gestützt auf <ref-law> ergehen, unterstehen <ref-law> (vgl. Urteil 5A_49/2017 vom 18. Juli 2017 E. 1.1). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-ruling> E. 1.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Dieselbe Beschränkung der Rügegründe kommt damit auch im vorliegenden Verfahren zum Tragen.
Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.
2.1. Anlass zur Beschwerde gibt die Abweisung des Gesuchs des Beschwerdeführers um schriftliche Begründung des Massnahmeentscheids vom 12. Juli 2018. Nach Dafürhalten der kantonalen Instanzen hat der Beschwerdeführer dieses Gesuch nicht innert der Frist von <ref-law> und damit verspätet gestellt. Verspätet erfolgt sei auch das in diesem Zusammenhang gestellte Gesuch um Fristwiederherstellung nach <ref-law>.
Der Beschwerdeführer bestreitet vorab, die Frist nach <ref-law> verpasst zu haben. Das Bezirksgericht habe ihn nicht rechtsgültig über das Scheidungs- und das Massnahmeverfahren in Kenntnis gesetzt. Im Einzelnen sei ihm das verfahrenseinleitende Schriftstück - in diesem wurde er auch zur Angabe eines Zustellungsdomizils in der Schweiz aufgefordert (vorne Bst. A.a) - nicht korrekt zugestellt worden. Entsprechend hätte keine Publikation des Massnahmeentscheids im Amtsblatt erfolgen dürfen und habe die Frist, innert der eine schriftliche Begründung dieses Entscheids hätte verlangt werden können, erst mit der effektiven Kenntnisnahme zu laufen begonnen. Mit ihrem Vorgehen hätten die kantonalen Instanzen das rechtliche Gehör verletzt.
2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt insbesondere die gehörige Ladung einer Partei zum Verfahren. Diese beinhaltet die Zustellung des verfahrenseinleitenden Schriftstücks, mit welchem die betroffene Person über die Tatsache der Verfahrenseinleitung und die Möglichkeit informiert wird, ihre Verteidigungsmittel geltend zu machen. Massgebend ist dabei, ob die Zustellung gemäss dem anwendbaren Verfahrensrecht regelkonform erfolgte (<ref-ruling> E. 3.3.1; <ref-ruling> E. 2b/bb; Urteil 4A_364/2015 vom 13. April 2016 E. 3.3.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>, aber in: Pra 2017 Nr. 81 S. 808).
Vorliegend fragt sich, ob dem Beschwerdeführer die Verfügung vom 29. Mai 2017 als verfahrenseinleitendes Schriftstück zugestellt wurde. Dabei ist vorab auf die Zustellung am Wohnsitz des Beschwerdeführers in U._ einzugehen (vgl. vorne Bst. A.a). Die Vorinstanz geht mit Blick auf die Haager Übereinkunft vom 1. März 1954 betreffend Zivilprozessrecht (SR 0.274.12) davon aus, diese Zustellung sei erfolgt, nachdem der Beschwerdeführer von der Post an seinem Wohnort zur Abholung der ihm über die Schweizer Botschaft zugestellten Sendung aus seinem Postfach aufgefordert worden sei, was er indes unterlassen habe.
2.3. Die Vereinigten Arabischen Emirate sind weder Vertragsstaat der Haager Übereinkunft betreffend Zivilprozessrecht noch des Haager Übereinkommens vom 15. November 1965 über die Zustellung gerichtlicher und aussergerichtlicher Schriftstücke im Ausland in Zivil- oder Handelssachen (SR 0.274.131). Wie das Obergericht richtig feststellt, besteht auch ansonsten kein einschlägiger Staatsvertrag. Damit beurteilt sich die Zustellung von gerichtlichen Schriftstücken nach dem Recht des Wohnsitzstaats des Beschwerdeführers, mithin der Vereinigten Arabischen Emirate (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.3.; BUCHER/ BONOMI, Droit international privé, 3. Aufl. 2013, S. 75 N. 282; RODRIGUEZ/VOLKEN, in: Zürcher Kommentar zum IPRG, 3. Aufl. 2018, N. 19 zu <ref-law>). Der Beschwerdeführer bringt vor Bundesgericht weder vor, die Zustellung sei nach diesem Massstab unrechtmässig erfolgt, noch macht er geltend, das Obergericht habe das falsche Recht angewandt. Zwar rügt er, ein gescheiterter Zustellungsversuch über den diplomatischen Dienst reiche nicht aus, um die Unmöglichkeit der Zustellung nachzuweisen. Dieses Vorbringen hat aber bloss appellatorischen Charakter, womit nicht weiter darauf einzugehen ist. Damit erhebt der Beschwerdeführer keine Rügen, welche geeignet wären, eine Verletzung der einschlägigen Vorschriften zur Zustellung des verfahrenseinleitenden Schriftstücks aufzuzeigen (vgl. vorne E. 1.2). Folglich ist das Vorgehen der kantonalen Instanzen auch mit Blick auf den Anspruch auf rechtliches Gehör nicht zu beanstanden. Unter diesen Umständen konnte das Bezirksgericht ohne Verfassungsverletzung zu einer Publikation des Entscheids vom 12. Juli 2018 schreiten und wurde dadurch die Frist nach <ref-law> ausgelöst. Unbestritten ist schliesslich, dass der Beschwerdeführer ab dem 12. Juli 2018 nicht innert zehn Tagen reagiert hat. Die Beschwerde erweist sich damit bereits aus diesem Grund als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Auf die Übergabe der Gerichtsakten am Flughafen Zürich, welche der Beschwerdeführer ebenfalls als verfassungswidrig rügt, braucht damit nicht eingegangen zu werden.
2.4. Weiter vermag der Beschwerdeführer auch die tatsächliche Feststellung des Obergerichts nicht in Frage zu stellen, wonach die Gerichtsdokumente an seinem Wohnort in seinem Postfach hinterlegt worden seien, er sie in der Folge aber nicht abgeholt habe und sie deshalb retourniert worden seien:
Vorab kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten aus dem Hinweis ableiten, die Vorinstanz habe zum einen festgehalten, er sei von der Post an seinem Wohnort mehrmals zur Abholung der fraglichen Dokumente aufgefordert worden, und sie zum anderen an anderer Stelle nur von einer Aufforderung spreche. Weshalb hierin ein massgebender Widerspruch in der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung liegen sollte, ist nicht dargetan und auch nicht ersichtlich. Sodann bringt der Beschwerdeführer vor, die Zustellung sei nicht an die korrekte Adresse erfolgt, weil die Nummer des Postfachs nicht genannt worden sei. Er setzt sich mit den diesbezüglichen Ausführungen im angefochtenen Entscheid indes nicht auseinander, weshalb auch hierauf nicht weiter einzugehen ist (vgl. dazu vorne E. 1.2). Weiter trägt der Beschwerdeführer vor, die Beschwerdegegnerin habe die Abholungseinladung aus seinem Postfach entfernt und ihn, den Beschwerdeführer, so an der Abholung der Sendung gehindert. In dieser Form ist diese Darstellung neu und damit unzulässig (<ref-law>). Wie das Obergericht festhält, hat der Beschwerdeführer im kantonalen Verfahren sodann allein den Verdacht geäussert, die Beschwerdegegnerin könnte seine Post abgefangen haben. Dies bestreitet der Beschwerdeführer nicht hinreichend, womit die entsprechende Feststellung für das Bundesgericht verbindlich ist (vgl. vorne E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3.1). In der Äusserung eines Verdachts liegt indes keine Tatsachenbehauptung. Auch tut der Beschwerdeführer nicht dar, dass er die entsprechenden Vorbringen im kantonalen Verfahren nachgewiesen hätte. Damit ist es im Ergebnis auch nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht auf das entsprechende Vorbringen nicht weiter eingegangen ist. Zusammenfassend vermag der Beschwerdeführer die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nicht in Frage zu stellen, womit seinen auf einem abweichenden Sachverhalt aufbauenden Rügen auch aus diesem Grund der Boden entzogen ist.
2.5. Damit erweist die Beschwerde sich bezüglich der Abweisung des Gesuchs um schriftliche Entscheidbegründung als unbegründet und ist sie abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
3.1. Im Zusammenhang mit der Abweisung des Gesuchs um Wiederherstellung der Frist zum Einverlangen einer schriftlichen Entscheidbegründung rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>), des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>), des Rechtsmissbrauchsverbots und des Grundsatzes von Treu und Glauben nach <ref-law> sowie der richterlichen Fürsorgepflicht (<ref-law>). Zum Wiederherstellungsgesuch hielt die Vorinstanz fest, der Beschwerdeführer habe spätestens seit dem 15. April 2018 - Datum der Übergabe der Gerichtsakten durch die Kantonspolizei Zürich - vom hängigen Scheidungsverfahren Kenntnis gehabt, was sich auch aus seiner Eingabe vom 24. April 2018 ergebe (vgl. vorne Bst. A.a). Jedoch habe er nicht dargelegt, was ihn trotz dieses Wissens daran gehindert habe, sich persönlich oder durch einen Vertreter nach dem Stand des Verfahrens zu erkundigen. Von einer unverschuldeten Hinderung an der Wahrung der Frist, welche deren Wiederherstellung rechtfertigen würde, könne unter diesen Umständen nicht gesprochen werden. Denn ein Versäumnis wegen Unkenntnis einer öffentlichen Publikation sei nur entschuldbar, wenn die Partei keine Kenntnis vom Verfahren habe.
Hiergegen bringt der Beschwerdeführer vor, gerade mit dem Schreiben vom 24. April 2018 habe er sich nach dem Stand des Verfahrens erkundigt. In diesem Schreiben habe er um weitere Anweisungen gebeten und deshalb auch davon ausgehen können, dass ihm das Gericht antworte, und sei es nur um ihm mitzuteilen, dass künftige Verfügungen amtlich publiziert würden. Unklar bleibe, welche weiteren Vorkehrungen er sonst hätte treffen können, um über Fristen und Termine informiert zu werden. Stattdessen sei er vom Gericht schlichtweg übergangen worden. Indem das Bezirksgericht sein Schreiben ignoriert und den Entscheid amtlich publiziert habe, habe es geradezu ein Geheimverfahren unter Ausschluss des Beschwerdeführers produziert.
3.2. Von vornherein hilft es dem Beschwerdeführer nicht weiter, wenn er sich auf <ref-law> und <ref-law> beruft, da es sich dabei nicht um verfassungsmässige Rechte handelt, deren Verletzung allein gerügt werden kann (vorne E. 1.2). Nicht ersichtlich und auch nicht dargelegt ist sodann, weshalb sich aus dem Anspruch auf rechtliches Gehör eine erweiterte Fürsorgepflicht des Gerichts ergeben sollte. Auch diese Rüge ist folglich nicht einschlägig. Damit fragt sich allein noch, ob die Vorinstanz in ihrem Entscheid in Willkür verfiel (dazu: <ref-ruling> E. 3.1), was nachfolgend zu prüfen ist.
3.3. Gemäss <ref-law> kann das Gericht auf Gesuch einer säumigen Partei eine Nachfrist gewähren oder zu einem Termin erneut vorladen, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft. Das leichte Verschulden umfasst jedes Verhalten, das - ohne dass es akzeptierbar oder entschuldbar wäre - nicht zum schwerwiegenden Vorwurf gereicht. Schweres Verschulden verlangt demgegenüber die Verletzung elementarer Sorgfaltsregeln, deren Einhaltung sich jeder vernünftigen Person unmittelbar aufdrängt. Dabei ist Tatfrage, wie sich die Partei, die Wiederherstellung begehrt, verhalten hat, während Rechtsfrage ist, wie das tatsächlich festgestellte Verhalten zu qualifizieren ist (Urteile 4A_52/2019 vom 20. März 2019 E. 3.1; 5A_927/2015 vom 22. Dezember 2015 E. 5.1, in: SJ 2016 I 285; 4A_163/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 4.1).
3.4. Unbestritten wusste der Beschwerdeführer spätestens seit dem 15. April 2018 um das hängige Scheidungsverfahren, als ihm die Gerichtsakten mit Hilfe der Polizei übergeben wurden. Zur Kenntnis gebracht wurde ihm auch die Aufforderung zum Einreichen einer Stellungnahme im Massnahmeverfahren und zur Mitteilung eines Zustellungsdomizils (vgl. vorne Bst. A.a).
Da der Beschwerdeführer damit Kenntnis vom laufenden Verfahren hatte, konnte das Obergericht ohne Verfassungsverletzung davon ausgehen, dass dieser die nötigen Vorkehrungen hätte treffen müssen, um allfällige durch die - zulässige (vorne E. 2) - Publikation ausgelöste Fristen und Termine einzuhalten (vgl. NICCOLÒ GOZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 23 zu <ref-law>; NINA J. FREI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 17 zu <ref-law>).
3.5. Der Beschwerdeführer hält freilich dafür, mit seiner Eingabe vom 24. April 2018 das Notwendige vorgekehrt zu haben. Dabei geht er davon aus, er habe das Bezirksgericht mit besagtem Schreiben um Anweisungen gebeten, weshalb dieses gehalten gewesen sei, ihn über das weitere Vorgehen zu informieren.
Mit dem Schreiben vom 24. April 2018 "verwahrte" sich der Beschwerdeführer nach den Feststellungen der Vorinstanz
"gegen die Zustellung der Gerichtsdokumente durch die Flughafenpolizei und teilte mit, er habe einen Teil der zugestellten Dokumente aufgrund erheblichen Alkoholkonsums mutmasslich verloren. Zudem ersuchte er um Zustellung der Unterlagen per Post an seinen Wohnsitz in U._."
Dass der Beschwerdeführer das Gericht um weitere Instruktionen gebeten hätte, ergibt sich aus den für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts folglich nicht. Eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte bei der Feststellung des Sachverhalts (vgl. vorne E. 1.2) macht der Beschwerdeführer sodann nicht geltend. Seine Ausführungen finden damit keine Stütze im massgeblichen Sachverhalt, weshalb ihnen von vornherein nicht gefolgt werden kann.
3.6. Nach dem Ausgeführten konnte das Obergericht ohne Willkür annehmen, das Versäumen der mit der Publikation des Entscheids vom 12. Juli 2018 ausgelösten Fristen sei nicht entschuldbar. Die Beschwerde erweist sich insoweit folglich als unbegründet.
4.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Verfahrenskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Ausserdem hat er der Beschwerdegegnerin die für die Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung angefallenen Parteikosten zu ersetzen. Weitere entschädigungspflichtige Kosten sind der Beschwerdegegnerin mangels Einholens einer Vernehmlassung in der Sache nicht angefallen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 10'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber