Sachverhalt:
A.
A.a. Am 15. bzw. am 26. Februar 2016 reichte die B._ AG beim Gemeinderat Morschach ein Gesuch um Erlass des Gestaltungsplans "Axenfels Mitte" und ein Baugesuch für fünf Mehrfamilienhäuser auf dem Gestaltungsplangebiet "Axenfels Mitte" ein. Neben Dritten erhoben A.A._ und B.A._ Einsprache sowohl gegen den Gestaltungsplan als auch gegen das Baugesuch.
A.b. Der Gemeinderat Morschach erliess mit Beschluss vom 28. November 2017 den revidierten Gestaltungsplan "Axenfels Mitte" und wies die Einsprache von A.A._ und B.A._ ab. Die dagegen von diesen erhobene Beschwerde wies der Regierungsrat des Kantons Schwyz mit unangefochten in Rechtskraft erwachsenem Beschluss ab, soweit er darauf eintrat und genehmigte den Gestaltungsplan "Axenfels Mitte".
A.c. Am 2. Juli 2018 reichte die B._ AG ein neues Baugesuch (Projektänderung) für fünf Mehrfamilienhäuser auf dem Gestaltungsplangebiet "Axenfels Mitte" (KTN 374 und KTN 717 bis 724) ein. Dagegen erhoben A.A._ und B.A._ erneut Einsprache.
A.d. Mit Gesamtentscheid vom 6. Juni 2019 erteilte das Amt für Raumentwicklung des Kantons Schwyz (ARE-SZ) die kantonale Baubewilligung unter Auflagen und Nebenbestimmungen. Unter gleichzeitiger Eröffnung dieses Gesamtentscheides wies der Gemeinderat Morschach mit Beschluss vom 30. Juli 2019 die Einsprache und die Ausstandsbegehren von A.A._ und B.A._ ab, soweit er darauf eintrat, und erteilte die nachgesuchte Baubewilligung unter Auflagen, Bedingungen und Vorbehalten.
B.
Eine dagegen von A.A._ und B.A._ erhobene Beschwerde hiess der Regierungsrat mit Beschluss vom 17. Dezember 2019 im Sinne der Erwägungen gut, soweit er darauf eintrat. Er hob den Gesamtentscheid des ARE-SZ vom 6. Juni 2019 und die angefochtene Baubewilligung des Gemeinderats Morschach vom 30. Juli 2019 auf und wies die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung und zur Neubeurteilung an die Vorinstanzen zurück.
C.
Gegen diesen Regierungsratsbeschluss erhoben sowohl A.A._ und B.A._ wie auch die B._ AG Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Mit Entscheid vom 18. Juni 2020 vereinigte dieses die beiden Verfahren und wies die Beschwerde von A.A._ und B.A._ ab, soweit es darauf eintrat. Die Beschwerde der B._ AG hiess es im Sinne der Erwägungen gut und hob den Regierungsratsbeschluss vom 17. Dezember 2019 auf, soweit damit die Sache zur ergänzenden Sachverhaltsabklärung und zur Neubeurteilung an die Vorinstanzen zurückgewiesen worden war. Es bestätigte den Gesamtentscheid des ARE-SZ vom 6. Juni 2019 und den Beschluss des Gemeinderats Morschach vom 30. Juli 2019.
D.
Mit Eingabe vom 24. Juli 2020 führen A.A._ und B.A._ gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Schwyz vom 18. Juni 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanzen zurückzuweisen. Eventualiter sei der Kosten- und Entschädigungspunkt des angefochtenen Entscheids aufzuheben. Sie stellen ausserdem ein Gesuch um aufschiebende Wirkung.
Die B._ AG beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie eingetreten werde, sowie des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Das Amt für Raumentwicklung des Kantons Schwyz äusserte sich zur Beschwerde, stellt jedoch keine Anträge. Der Gemeinderat Morschach beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Eventuell sei diese abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Auch das Gesuch um aufschiebende Wirkung sei abzuweisen. Das Verwaltungsgericht und das Sicherheitsdepartement des Kantons Schwyz verzichten auf eine Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 8. September 2020 wies der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab.
Die Beschwerdeführenden äusserten sich in der Folge noch mehrmals spontan zur Sache. Die Gemeinde Morschach hat auf ein solches Schreiben reagiert.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 82 lit. a i.V.m. 86 Abs. 1 lit. d und 90 BGG). Ihm liegt ein Beschwerdeverfahren über ein Baugesuch und damit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts zugrunde. Es liegt kein Ausnahmetatbestand im Sinne von <ref-law> vor.
Die Beschwerdeführenden haben am Verfahren vor der Vorinstanz teilgenommen und sind als Eigentümerin bzw. Eigentümer dreier in unmittelbarer Nähe des Bauvorhabens situierter Parzellen in ihren schutzwürdigen Interessen besonders betroffen. Damit sind sie zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>).
Auf die form- und fristgerecht erhobene Beschwerde ist somit unter Vorbehalt der nachfolgenden Erwägungen einzutreten.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht haben nebst den Begehren die Begründung zu enthalten; darin ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Die Begründung braucht nicht zutreffend zu sein; verlangt wird aber, dass sich die Beschwerde mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzt. Das Begründungserfordernis bezieht sich auf die gestellten Begehren. Enthält die Beschwerde mehrere unterschiedliche Rechtsbegehren, aber nur zu einigen davon eine hinreichende Begründung, so ist auf die begründeten Begehren einzutreten, aber auf die anderen nicht. Sodann prüft das Bundesgericht die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Es gilt insofern eine gesteigerte Rügepflicht. Wird eine solche Verfassungsrüge nicht vorgebracht, kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn eine Verfassungsverletzung tatsächlich vorliegt. Stützt sich der angefochtene Entscheid auf kantonales Recht, so ist eine solche, erhöhten Anforderungen genügende Begründung Voraussetzung für das Eintreten auf die Beschwerde bzw. die einzelnen Beschwerdeanträge (zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2.2 mit Hinweisen).
2.2. Die Beschwerdeführenden erheben verschiedene Rügen, ohne diese jedoch zu begründen. So machen sie etwa eine willkürliche Verweigerung der Einsicht in Baukommissions- und Gemeinderatsprotokolle geltend, ohne zu spezifizieren, um was für Protokolle es sich dabei handelt und inwiefern diese für das vorliegende Verfahren einschlägig sein sollten. Auch zu den Einsprachen verschiedener Personen, welche die Gemeinde Morschach ihnen angeblich hätten zustellen sollen, machen sie keine nähere Angaben. Weiter rügen sie, die "Kontrolle der Buchungen in Sachen Wasser" sei ihnen willkürlich verweigert worden und "die grundbuchlichen Eintragungen zum alten Bahnhöfli" ohne ihre Einwilligung aufgehoben worden, ohne dies näher zu begründen oder auch nur den Zusammenhang mit dem vorliegenden Verfahren aufzuzeigen. Sodann behaupten sie - wiederum ohne nähere Begründung -, die Grundbucheintragungen bezüglich der "natürlichen Rechte für eine gesicherte Versorgung im Areal Axenfels" seien nicht übertragen worden und ein Beschluss der Schätzungskommission von 1995 sei durch den Gemeinderat Morschach nicht umgesetzt worden. Auf all diese weder belegten noch begründeten Rügen kann nicht eingetreten werden.
2.3. Soweit die Beschwerdeführenden den Baubeginn auf den Grundstücken KTN 357 und KTN 356 bzw. die Nichtanordnung eines Baustopps rügen, liegt dies klarerweise ausserhalb des Streitgegenstands. Auf diese Rüge ist nicht einzutreten.
2.4. Die Beschwerdeführenden stellen zudem verschiedene verfahrensrechtliche Anträge. Soweit sie die Durchführung einer öffentlichen Verhandlung beantragen, ist festzuhalten, dass die gesetzlichen Voraussetzungen hierfür nicht gegeben sind (<ref-law>). Weiter verlangen sie Einsicht in die Bauamts- und Gemeinderatsprotokolle, geben jedoch nicht an, um welche Protokolle es sich dabei handelt, und begründen diesen Antrag auch nicht. Schliesslich beantragen die Beschwerdeführenden die Durchführung eines Augenscheins. Die entscheidrelevanten Umstände ergeben sich vorliegend jedoch ohne Weiteres aus den Akten; auf eine Durchführung eines bundesgerichtlichen Augenscheins kann verzichtet werden.
3.
Die Beschwerdeführenden sehen eine Verletzung des rechtlichen Gehörs im Umstand, dass die Vorinstanz entgegen ihrem Antrag keinen Augenschein durchgeführt hat. Die Vorinstanz hat dies damit begründet, es sei nicht erkennbar, welchen rechtserheblichen Gewinn ein solcher im verwaltungsrechtlichen Verfahren hätte verschaffen sollen. Die Beschwerdeführenden rügen zwar diese Unterlassung, zeigen jedoch nicht auf, aus welchen Gründen ein Augenschein hätte durchgeführt werden müssen und solche Gründe liegen auch nicht auf der Hand. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt somit nicht vor.
4.
Materiellrechtlich bestreiten die Beschwerdeführenden das Vorliegen der Erschliessungsvoraussetzungen der Bauparzellen.
4.1. Das Verwaltungsgericht hat dazu ausgeführt, dass die Zufahrtsstrasse "Axenfels" die Anforderungen an eine Erschliessungsstrasse im Sinne von Art. 36 Abs. 2 des Baureglements der Gemeinde Morschach vom 26. September 1997 (BauR) erfülle und die Vorinstanzen im Rahmen ihres Ermessens gehandelt hätten.
Bezüglich die Einfahrtsbewilligung der Strasse "Axenfels" für die Morschachstrasse hat das Verwaltungsgericht festgestellt, dass diese nicht vorliegt, obwohl es in verschiedenen Verfahren entschieden habe, eine Erschliessung einer Überbauung über eine Privatstrasse, durch welche ein wesentlich grösserer oder andersartiger Verkehr in eine öffentliche Strasse geleitet werden solle, erfordere eine Bewilligung. Es hat sodann ausgeführt, dass keine Anhaltspunkte bestehen würden, wonach die Einmündung aus der Strasse "Axenfels" in die Morschacherstrasse nicht entsprechend den Vorgaben einer einschlägigen Baubewilligung aus dem Jahr 2006 plangetreu ausgeführt worden seien; es seien somit keine zusätzlichen planerischen Darstellungen erforderlich. Da auch bei Annahme einer ungünstigen Verkehrsentwicklung nicht fraglich sei, dass die Strasse bei Weitem ausreiche, den Mehrverkehr ab dem Baugebiet "Axenfels" aufzunehmen, seien die Voraussetzungen für die Erteilung einer Einfahrtsbewilligung offensichtlich gegeben. Gemäss der Rechtsprechung sei es sodann möglich, auf eine implizite Erteilung der Einfahrtsbewilligung zu erkennen, wenn eine Rückweisung einen verfahrensökonomischen Leerlauf bedeuten würde. Dies sei vorliegend der Fall, zumal der Bezirk unmissverständlich kundgetan habe, die Einfahrtsbewilligung sei zu bestätigen.
4.2. Was die Beschwerdeführenden dagegen vorbringen, überzeugt nicht: Sie machen geltend, die Vorinstanz sei zu Unrecht nicht auf die Frage der Enteignung der Parzelle KTN 810, welche die Zufahrts- und somit Erschliessungsstrasse "Axenfels" umfasst, eingetreten. Sie habe überdies auch das "unbeschränkte Fuss- und Fahrwegrecht vom Bahnhöfli und der Landstrasse her zu" nicht berücksichtigt. Dabei verkennen sie jedoch, dass diese grundbuchrechtliche Frage gar nicht Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens ist. Darüber hinaus bringen sie keine Argumente vor, wieso die Zufahrtsstrasse "Axenfels" die Anforderungen an eine Erschliessungsstrasse im Sinne von Art. 36 Abs. 2 BauR nicht erfüllen sollte; dies ist auch nicht ersichtlich.
Soweit diese Rüge überhaupt zulässig ist, gelingt es den Beschwerdeführenden somit in keiner Weise aufzuzeigen, dass die vorinstanzliche Begründung rechtswidrig ist.
5.
Schliesslich bringen die Beschwerdeführenden bezüglich der Kosten sinngemäss vor, die unteren Instanzen hätten keine Verfahrenskosten erheben dürfen bzw. diese ermässigen müssen, da sie sich mit der Beschwerde für die gute Ordnung im Quartier Axenfels und für dessen Bewohnerinnen und Bewohner einsetzen würden und somit nicht wirtschaftlich interessiert seien. Sie berufen sich dabei jedoch auf keine rechtliche Grundlage, die eine solche Regel aufstellen würde. Eine solche Rechtsgrundlage ist auch nicht ersichtlich, womit die Beschwerdeführenden nicht aufzuzeigen vermögen, inwiefern der Kostenentscheid rechtswidrig sein sollte. Überdies ist entgegen der Ansicht der Beschwerdeführenden die Kostenauflage der Vorinstanz auch nicht willkürlich, zumal die unteren kantonalen Instanzen - soweit für das Bundesgericht ersichtlich - keine formellen Rechtsverweigerungen begangen haben.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten den unterliegenden Beschwerdeführenden aufzuerlegen (<ref-law>). Diese haben der anwaltlich vertretenen privaten Beschwerdegegnerin eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführenden auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführenden haben die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Gemeinderat Morschach, dem Amt für Raumentwicklung des Kantons Schwyz, dem Regierungsrat des Kantons Schwyz, dem Bezirksrat Schwyz und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni