Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ (geb. 1969; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1970; Beschwerdeführer) sind die verheirateten Eltern der beiden Töchter C.A._ (geb. 2006) und D.A._ (geb. 2007).
A.b. Am 1. April 2018 trennten sich die Ehegatten und mit Eingabe vom 18. Dezember 2018 ersuchte B.A._ das Bezirksgericht Meilen um die Regelung des Getrenntlebens. Am 26. August 2019 schlossen die Parteien im Rahmen des Eheschutzverfahrens eine Trennungsvereinbarung. Demnach sollte die gemeinsame elterliche Sorge bestehen bleiben und sollten die Eltern die Töchter bei geteilter Obhut je hälftig betreuen. Der gesetzliche Wohnsitz der Kinder befindet sich bei der Mutter, welche die eheliche Liegenschaft zur Benutzung zugewiesen erhielt. Zum Kindesunterhalt ab dem 1. September 2019 bis zum Abschluss einer angemessenen Erstausbildung vereinbarten die Ehegatten in Ziffer 4 der Vereinbarung, was folgt:
"Die Eltern übernehmen diejenigen Kosten der Kinder, die während der Zeit anfallen, die sie beim betreuenden Elternteil verbringen (insb. Verpflegung, Alltagskleidung etc.) jeweils selber.
Darüber hinaus verpflichtet sich der Vater, die übrigen Kinderkosten wie folgt zu übernehmen:
- Die Kosten für das Wohnen der Kinder bei der Mutter (Anrechnungswert CHF 375.-- pro Kind; vgl. Ziff. 5), die Kommunikationskosten, die Krankenkassenbeiträge (KVG und VVG), die zusätzlichen Gesundheitskosten, die Kosten für Hobbies, die Kosten für auswärtige Verpflegung, die Fremdbetreuungskosten, die Kosten für öffentlichen Verkehr.
- Die Familienzulagen werden vom Vater bezogen und von ihm für den Unterhalt der Kinder verwendet.
- D.A._ wird von der Mutter für den Mittagstisch angemeldet. Sie lässt dem [Vater] die Rechnung zur Bezahlung zukommen.
Der Vater verpflichtet sich, ab 1. September 2019, der Mutter - neben den Wohnkosten - monatliche Beiträge an die Kinderkosten in der Höhe von CHF 600.-- (Unterhaltsbeitrag total; ohne Familienzulagen) zu bezahlen, nämlich CHF 300.-- (Unterhaltsbeitrag pro Kind). Die Unterhaltsbeiträge dienen zur Deckung des Grundbedarfs der Kinder. Betreuungsunterhalt ist nicht geschuldet. Die Beiträge an die Kinderkosten für jedes der Kinder sind im Voraus zahlbar, und zwar auf den Ersten jedes Monats, erstmals ab 1. September 2019.
Jeder Elternteil übernimmt die Kosten für die Kinder, die während den 6,5 Wochen Schulferien bei ihm/ihr anfallen, seien es die Kosten für den Ferienhort oder Ferienaufenthalte bzw. Ausflüge selber."
In Ziffer 5 der Vereinbarung verpflichtete sich A.A._ ausserdem, ab dem 1. September 2019 für die weitere Dauer des Getrenntlebens an B.A._ monatliche Ehegattenunterhaltsbeiträge von Fr. 950.-- zu bezahlen. Ziffer 6 der Vereinbarung sah sodann vor, dass A.A._ an B.A._ für die Zeit vom 1. April 2018 bis 31. August 2019 einen pauschalen Kindesunterhaltsbeitrag von Fr. 4'000.-- bezahlt. Die Grundlagen der Unterhaltsberechnung legten die Ehegatten in Ziffer 7 der Vereinbarung wie folgt fest:
"Dieser Vereinbarung liegen die folgenden finanziellen Verhältnisse zugrunde:
Einkommen netto pro Monat, inkl. Anteil 13. Monatslohn, Familienzulagen separat:
Ehefrau: CHF 2'000.--
Ehemann: CHF 6'300.--
C.A._: CHF 250.--
D.A._: CHF 200.--
familienrechtlicher Notbedarf:
Ehefrau: CHF 2'700.--
Ehemann: CHF 3'000.--
C.A._ (Barbedarf bei Mutter) : CHF 675.--
D.A._ (Barbedarf bei Mutter) : CHF 675.--
C.A._ (Barbedarf bei Vater) : CHF 1'300.--
D.A._ (Barbedarf bei Vater) : CHF 1'300.--
A.c. Mit Urteil vom 27. August 2019 nahm das Bezirksgericht davon Vormerk, dass die Ehegatten getrennt leben. Für die Dauer des Getrenntlebens stellte es die Töchter unter die alternierende Obhut der Eltern (Wohnsitz bei der Mutter), denen es die gemeinsame elterliche Sorge beliess. Weiter genehmigte das Bezirksgericht die Vereinbarung vom 26. August 2019 bezüglich der übrigen Kinderbelange und schrieb das Eheschutzverfahren als durch Vergleich erledigt ab.
B.
Gegen dieses Urteil reichte A.A._ mit dem Antrag Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein, es seien die Ziffern 4 und 5 der Vereinbarung vom 26. August 2019 nicht zu genehmigen und der Kindesunterhalt neu festzusetzen. Mit Beschluss und Urteil vom 20. November 2019 (eröffnet am 25. November 2019) wies das Obergericht die Berufung ebenso ab wie das ausserdem gestellte Gesuch von A.A._ um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 12'000.-- und eventuell Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 18. Dezember 2019 gelangt A.A._ ans Bundesgericht und stellt in der Sache den folgenden Antrag:
"Das Urteil des Obergerichts [...] sei aufzuheben, und es seien Ziff. 4 und 5 der Vereinbarung vom 26. August 2019 nicht zu genehmigen und durch folgende Fassung zu ersetzen:
«Die Eltern übernehmen diejenigen Kosten für die Kinder, die während der Zeit anfallen, die sie beim betreuenden Elternteil verbringen (insb. Verpflegung, Alltagsbekleidung etc.) jeweils selber.
Darüber hinaus verpflichtet sich der Vater, der Mutter für die Pflege und Erziehung der Kinder einen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 230.--, inkl. Kinderzulagen, zu bezahlen, zahlbar im Voraus auf den Ersten eines jeden Monats, erstmals auf den 1. September 2019.
[Zahlungsmodalitäten]»"
Mit Verfügung vom 9. Januar 2020 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung nach Anhörung der übrigen Verfahrensbeteiligten das ausserdem gestellte Gesuch um (teilweise) Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde abgewiesen.
Am 19. Dezember 2019 verzichtet das Obergericht auf eine Vernehmlassung und mit Beschwerdeantwort vom 19. Mai 2020 beantragt B.A._ die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werden könne. Die Ehefrau schliesst sich in ihrer Eingabe im Wesentlichen den Ausführungen des angefochtenen Entscheids an, weshalb hierauf in der Folge nur noch wo nötig explizit Bezug genommen wird. Replik ist keine eingegangen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz (<ref-law>) über Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Kindes- und Ehegattenunterhalt) entschieden hat. Im Streit steht damit eine vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> (vgl. Urteil 5A_493/2017 vom 7. Februar 2018 E. 1). Der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5), weshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sein soll. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Wird eine Verletzung des Willkürverbots nach <ref-law> geltend gemacht (vgl. zu diesem <ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 2.1), reicht es nicht aus, die Lage aus der eigenen Sicht darzulegen und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich zu bezeichnen. Es ist im Einzelnen darzutun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2).
1.3. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des gesamten Urteils des Obergerichts. Unangefochten geblieben ist dagegen der gleichzeitig gefasste Beschluss betreffend Prozesskostenvorschuss und unentgeltliche Rechtspflege (vgl. vorne Bst. B). Auf diesen ist folglich nicht weiter einzugehen.
1.4. Die Beschwerdeschrift hat ein Begehren zu enthalten (<ref-law>). Da die Beschwerde in Zivilsachen ein reformatorisches Rechtsmittel ist (vgl. <ref-law>), muss dieses Begehren grundsätzlich reformatorisch gestellt werden. Die rechtsuchende Partei hat daher einen Antrag in der Sache zu stellen. Rechtsbegehren, die eine Geldsumme zum Gegenstand haben, müssen ausserdem beziffert werden (vgl. zum Ganzen <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2, 379 E. 1.3). Diese Erfordernisse gelangen praxisgemäss auch in Verfahren zur Anwendung, in denen Vereinbarungen über die Scheidungsfolgen bzw. deren Auswirkungen strittig sind (vgl. Urteile 5A_980/2018 vom 5. Juni 2019 E. 1.2; 5A_477/2012 und 5A_482/2012 vom 11. Januar 2013 E. 4.1.1). Die Beschwerdegegnerin beantragt damit zu Unrecht, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, weil der Beschwerdeführer ein reformatorisches Begehren gestellt hat und sich nicht darauf beschränkte, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Rückweisung der Sache an die kantonale Instanz zu beantragen.
2.
2.1. Sowohl über den Kindesunterhalt wie auch über den Ehegattenunterhalt haben sich die Parteien im Eheschutzverfahren einvernehmlich verständigt. In der Folge genehmigte das zuständige Bezirksgericht die entsprechende Vereinbarung, was die Vorinstanz bestätigte (vorne Bst. A.c und B). Der Beschwerdeführer ist damit nicht einverstanden. Zusammengefasst bringt er vor, die Genehmigung der Vereinbarung sei willkürlich, weil sein Existenzminium nicht beachtet werde. Er, der Beschwerdeführer, sei bei Vergleichsabschluss sodann nicht in der Lage gewesen, einen Entscheid nach freiem Willen und reiflicher Überlegung zu treffen.
2.2. Wie über die Scheidungsfolgen eine genehmigungsbedürftige Konvention geschlossen werden kann (<ref-law>), können auch die Unterhaltsregelungen im Eheschutzverfahren (<ref-law>) auf Vereinbarung beruhen, wobei auch in diesem Fall eine gerichtliche Genehmigung vorausgesetzt ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.5; Urteil 5A_30/2019 vom 8. Mai 2019 E. 3.2.1). Folglich genehmigt das Gericht eine im Eheschutzverfahren geschlossene Unterhaltsvereinbarung, wenn es sich davon überzeugt hat, dass die Ehegatten sie aus freiem Willen und nach reiflicher Überlegung geschlossen haben und sie klar, vollständig und nicht offensichtlich unangemessen ist (vgl. Art. 279 Abs. 1 erster Halbsatz ZPO [analog]). Diejenigen Materien, über welche die Parteien nicht verfügen können, unterliegen dieser Regelung jedoch nicht (BÄHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 1c zu <ref-law>; SUTTER-SOMM/GUT, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 7 zu <ref-law>). So die Kinderbelange: Über diese entscheidet das Gericht ohne Bindung an die Parteianträge (Offizialgrundsatz; <ref-law>). Eine Übereinkunft der Eheleute in diesem Bereich verpflichtet das Gericht daher nicht. Ihr kommt der Charakter eines gemeinsamen Antrags zu, den das Gericht in seine Entscheidung einfliessen lässt (vgl. Art. 285 Bst. d ZPO und <ref-law>; zum Ganzen <ref-ruling> E. 7.3.1; Urteil 5A_915/2018 vom 15. Mai 2019 E. 3.3; vgl. auch Urteil 5A_418/2019 vom 29. August 2019 E. 3.5.3).
Mit Blick hierauf gilt es auch vorliegend zu unterscheiden und ist nachfolgend vorab auf den Ehegattenunterhalt (hinten E. 3 und 4) und anschliessend - soweit noch nötig - den Kindesunterhalt (hinten E. 5) einzugehen.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht vorab geltend, durch die Vereinbarung vom 26. August 2019 werde er zu Unterhaltszahlungen verpflichtet, die seine Leistungsfähigkeit bei weitem übersteigen und in erheblichem Umfang in sein Existenzminimum eingreifen würden. Bereits aufgrund der von der Vorinstanz selbst festgehaltenen Zahlen ergebe sich ein Manko von Fr. 1'150.-- im Monat. Die Genehmigung verletze daher <ref-law> in krasser Weise, verstosse gegen einen klaren Rechtsgrundsatz (Schutz des Existenzminimums des Unterhaltsschuldners) und sei willkürlich. Entgegen dem Obergericht ändere hieran nichts, dass die Parteien der Vereinbarung zugestimmt haben. Die Zustimmung verhindere die Prüfung nach <ref-law> gerade nicht, sie sei vielmehr deren Voraussetzung. Ohne Einigung der Parteien liege keine Vereinbarung vor, die geprüft werden könnte. Das bestehende Manko werde unter Berücksichtigung des Umstands noch deutlicher, dass dem Beschwerdeführer nicht die tatsächlichen Mietkosten von Fr. 2'690.--, sondern nur solche von Fr. 2'000.-- angerechnet worden seien. Die höheren tatsächlichen Wohnkosten seien begründet und angemessen, was vor der Vorinstanz auch nachgewiesen worden sei. Das Obergericht habe die entsprechenden Beweismittel ausser Acht gelassen, sei so in Willkür verfallen und habe dadurch den seinerseits willkürlichen Eingriff in das Existenzminimum verschärft. Auch in diesem Zusammenhang dürfe dem Beschwerdeführer die Zustimmung zur Vereinbarung nicht vorgehalten werden.
3.2. Das Gericht nimmt nach <ref-law> wie ausgeführt insoweit eine inhaltliche Kontrolle der von den Ehegatten geschlossenen Vereinbarung vor, als diese nicht offensichtlich unangemessen sein darf (vgl. vorne E. 2.2). Über die (Un-) Angemessenheit der Vereinbarung entscheidet es aufgrund eines Vergleichs der in dieser getroffenen Regelung mit dem Entscheid, den es träfe, wenn keine Vereinbarung vorläge. Die Vereinbarung ist offensichtlich unangemessen, wenn sie in sofort erkennbarer und eklatanter Art und Weise von der gesetzlichen Regelung abweicht und sich diese Abweichung aus Billigkeitsüberlegungen nicht rechtfertigen lässt (Urteil 5A_980/2018 vom 5. Juni 2019 E. 4.1 mit zahlreichen Hinweisen, in: FamPra.ch 2019 S. 1180). Nach ständiger Rechtsprechung ist der unterhaltsverpflichteten Partei bei der hoheitlichen Festlegung des Unterhalts für alle familienrechtlichen Unterhaltskategorien und in Abweichung vom Gleichbehandlungsgrundsatz stets das betreibungsrechtliche Existenzminimum zu belassen, mit der Folge, dass die unterhaltsberechtigte Partei in Mangellagen das gesamte Manko zu tragen hat (<ref-ruling> E. 4.3 mit zahlreichen Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 4.1). Nach bestimmten Lehrmeinungen liegt jedoch im Umstand, dass die Parteien eine von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung abweichende Mankoteilung vereinbaren, keine offensichtliche Unbilligkeit nach <ref-law> (VAN DE GRAAF, in: Kurzkommentar Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 11 zu <ref-law>; STEIN-WIGGER, in: FamKomm Scheidung, Band II, 3. Aufl. 2017, N. 29 zu <ref-law>). Nur weil der Beschwerdeführer seiner Darstellung nach das vorhandene Manko alleine zu tragen hat und deshalb in sein Existenzminimum eingegriffen wird und nicht in dasjenige der Beschwerdegegnerin, lässt die Genehmigung der Vereinbarung folglich noch nicht als willkürlich erscheinen (vgl. <ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 3b; Urteil 5A_954/2014 vom 4. Juni 2015 E. 4.2).
3.3. Zusätzlich macht der Beschwerdeführer indes geltend, dass die Beschwerdegegnerin bereits gestützt auf das vorinstanzliche Urteil einen Überschuss ausweise. Bei richtiger Betrachtung hätte ihr ausserdem ein höheres Einkommen angerechnet werden müssen, als sie es derzeit tatsächlich erziele. Der Eingriff in sein Existenzminimum sei auch vor diesem Hintergrund willkürlich.
3.3.1. Mit Blick auf das vorstehend in E. 3.2 Ausgeführte erscheint die Vereinbarung eines Eingriffs in das Existenzminimum des Schuldnerehegatten jedenfalls dann als unhaltbar, wenn der Gläubigerehegatte gleichzeitig einen Überschuss erwirtschaftet oder bei zumutbarer Anstrengung erwirtschaften könnte bzw. ihm durch die Unterhaltszahlungen die Erwirtschaftung eines solchen ermöglicht wird. Nicht nur lässt sich unter diesen Umständen der Eingriff in das Existenzminimum des einen Ehegatten keinesfalls rechtfertigen. Der Gläubigerehegatte würde bei den gegebenen knappen Verhältnissen vielmehr im Ergebnis auch davon entbunden, im Rahmen seiner Leistungsfähigkeit an den Unterhalt der Familie beizutragen (<ref-law> und dazu <ref-ruling> E. 2a; Urteil 5A_592/2018 vom 13. Februar 2019 E. 3.1). Schliesslich besteht auch die Gefahr, dass die dadurch gegebenenfalls möglich werdende Vermögensbildung (jedenfalls teilweise) zu Lasten des Gemeinwesens erfolgt (vgl. zu dieser Problematik TAPPY, in: Commentaire Romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 22a zu <ref-law>).
3.3.2. Der Beschwerdeführer bringt sodann zu Recht vor, dass er gestützt auf die von der Vorinstanz festgehaltenen Grundlagen einen Eingriff in sein Existenzminimum hinzunehmen hat (vgl. dazu vorne Bst. A.b) : Das Obergericht stellt den Notbedarf des Beschwerdeführers mit Fr. 3'000.-- und die bei ihm anfallenden und folglich von ihm zu übernehmenden notwendigen Kinderkosten mit insgesamt Fr. 2'600.-- im Monat fest. Dem steht ein Einkommen von monatlich Fr. 6'300.-- und Familienzulagen von insgesamt Fr. 450.-- gegenüber. Bei Unterhaltszahlungen (Kindes- und Ehegattenunterhalt) von monatlich insgesamt Fr. 2'300.-- (Ziffern 4 und 5 der Vereinbarung) ergibt dies das vom Beschwerdeführer geltend gemachte Defizit von Fr. 1'150.-- im Monat.
3.3.3. Zu klären ist folglich, wie es sich mit dem geltend gemachten Überschuss der Beschwerdegegnerin verhält. Dazu führt das Obergericht aus, mit dem Abschluss der Vereinbarung hätten die Parteien zugunsten einer raschen Streiterledigung auf eine detaillierte gerichtliche Abklärung des Sachverhalts verzichtet. Immerhin sei der Offizialmaxime Nachachtung zu verschaffen, weshalb das Gericht beim Bedarf der Kinder eine überschlagsmässige Rechnung anzustellen habe. Auch wenn einzelne Bedarfspositionen nicht den tatsächlichen Auslagen entsprechen würden, so hätten die Parteien diesem Vorgehen doch zugestimmt. Der Beschwerdeführer mache sodann zwar geltend, die Beschwerdegegnerin könne ein höheres Einkommen als das ihr angerechnete erzielen. Letztlich habe er aber auch hier der Anrechnung eines Einkommens von Fr. 2'000.-- zugestimmt, worauf er nun nicht mehr zurückkommen könne. Der Beschwerdeführer verweist darauf, dass das Vorliegen einer Vereinbarung Voraussetzung für deren Prüfung sei. Trotz der Zustimmung der Parteien zur getroffenen Regelung habe das Gericht diese zu überprüfen. Die Tatsache der Zustimmung spiele daher beim Entscheid über die Genehmigung keine Rolle.
Richtig verweist der Beschwerdeführer darauf, dass trotz Vorliegens einer Vereinbarung zwischen den Parteien und damit deren Zustimmung zur in Frage stehenden Regelung im Rahmen von <ref-law> eine gerichtliche Prüfung Ersterer stattzufinden hat (vgl. E. 3.2 hiervor). Allein die Tatsache der Zustimmung entbindet das Gericht daher auch ausserhalb des Anwendungsbereichs der Offizialmaxime nicht von jeglicher Kontrolle der getroffenen Regelung. Dennoch ist nicht gänzlich zu vernachlässigen, dass eine Parteivereinbarung vorliegt: Eine solche wurde gerade auch deswegen geschlossen, damit keine umfassende Prüfung der Sach- und Rechtslage erfolgen muss (vgl. Urteil 5A_683/2014 vom 18. März 2015 E. 5.1 mit Hinweisen). Entsprechend greift das Gericht im Rahmen von <ref-law> nur in eine Vereinbarung ein, wenn diese offensichtlich unangemessen im in E. 3.2 vorstehend dargelegten Sinn ist. Auch eine Prüfung der tatsächlichen Grundlagen der Vereinbarung hat folglich nur in diesem Rahmen zu erfolgen, mithin in einem Umfang, der dem Gericht den Entscheid über die offensichtliche Unangemessenheit erlaubt. Das Obergericht war daher nicht gehalten, eine erschöpfende Prüfung des der Vereinbarung zugrunde liegenden Sachverhalts vorzunehmen. Allerdings konnte sie sich einer Prüfung der vom Beschwerdeführer unstrittig auch im Berufungsverfahren aufgeworfenen Frage, ob der Beschwerdegegnerin ein hypothetisches Einkommen anzurechnen ist, mit dem Hinweis auf die Vereinbarung nicht vollständig entziehen: Hierbei handelt es sich allgemein um ein für die Unterhaltsbemessung entscheidendes Element (statt vieler: <ref-ruling> E. 3.2) und ein Eingriff in das Existenzminimum des Beschwerdeführers würde sich wie dargelegt auch unter Willkürgesichtspunkten verbieten, wenn die Ehefrau bei zumutbarer Anstrengung ein höheres Einkommen erzielen könnte.
3.3.4. Gemäss den obergerichtlich festgehaltenen Grundlagen (vorne Bst. A.b) beträgt das monatliche Einkommen der Ehefrau inkl. den strittigen Unterhaltsbeiträgen (Kindes- und Ehegattenunterhalt) insgesamt Fr. 4'300.--. Dem steht ein Notbedarf von Fr. 2'700.-- und Kinderkosten von Fr. 1'350.-- (2x Fr. 675.--) im Monat gegenüber. Dies ergibt einen monatlichen Überschuss von Fr. 250.--. Nichts entnehmen lässt sich dem angefochtenen Urteil sodann zu einem allfälligen der Ehefrau anrechenbaren hypothetischen Einkommen. Wie dargelegt hat die Vorinstanz vielmehr unter Hinweis auf die von den Parteien geschlossene Vereinbarung auf die Prüfung dieser Frage verzichtet, was nach dem Ausgeführten nicht angeht. Zusammenfassend erweist sich der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Beschwerdegegnerin erziele einen Überschuss, als begründet, wobei aufgrund der unvollständigen Sachverhaltsfeststellung durch das Obergericht nicht ermittelt werden kann, in welchem Umfang dies der Fall ist. (Nur) In diesem Umfang erweist sich mit Blick auf den Ehegattenunterhalt der Willkürvorwurf des Beschwerdeführers aber als begründet (vgl. E. 3.3.1 hiervor). Die erstmalige Klärung dieser Frage unter Vervollständigung der tatsächlichen Grundlagen ist indes nicht Sache des Bundesgerichts. Damit ist das angefochtene Urteil in teilweiser Gutheissung der Beschwerde aufzuheben und die Angelegenheit zum erneuten Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
3.3.5. Unter diesen Umständen braucht auf die vom Beschwerdeführer ebenfalls aufgeworfene Rüge, ihm sei ein höherer Mietzins anzurechnen, nicht weiter eingegangen zu werden. Je nach dem Ergebnis der weiteren Abklärungen zum Einkommen der Beschwerdegegnerin wird die Vorinstanz sich aber auch mit dieser Frage befassen müssen. Von vornherein unbeachtlich sind die in diesem Zusammenhang stehenden Ausführungen des Beschwerdeführers zum in der Begründung des bezirksgerichtlichen Entscheids angesprochenen Vermögensverzehr, zumal die Vorinstanz das entsprechende Argument nicht übernommen hat (<ref-ruling> E. 4.1).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer ist weiter der Ansicht, die Vereinbarung vom 26. August 2019 hätte auch deshalb nicht genehmigt werden dürfen, weil er diese nicht nach reiflicher Überlegung und nach freiem Willen habe abschliessen können. Der Beschwerdeführer habe sich bereits vor der Verhandlung in einer Stresssituation befunden bzw. an einem Überlastungssyndrom (beruflicher Druck, finanzielle Schwierigkeiten, Burnout) gelitten und sich in psychiatrischer Behandlung befunden. Weiter erwähnt er Schlafstörungen und dass er vor der Verhandlung nur sehr wenig habe schlafen können. Die lange Dauer der Verhandlung habe ihn sodann in seiner Konzentrationsfähigkeit behindert und er sei während der Verhandlung unter grossen Druck geraten, immer mehr in eine Stresssituation gekommen und von Reizen überflutet worden. Die Vereinbarung habe er in Panik unterzeichnet, nur um sich vermeintlich aus dieser Stresssituation zu befreien. Indem das Obergericht Erstere dennoch genehmigt habe, sei es verschiedentlich in Willkür verfallen. Die damit aufgeworfene Problematik ist von der sich vorne in E. 3 stellenden Frage unabhängig und vermag gegebenenfalls eine Gutheissung der Beschwerde zu rechtfertigen. Sie ist daher trotz des vorstehend Ausgeführten zu behandeln.
4.2. Gemäss <ref-law> (analog) genehmigt das Gericht eine Vereinbarung über die Regelung des Getrenntlebens nur dann, wenn es sich davon überzeugt hat, dass die Ehegatten diese aus freiem Willen und nach reiflicher Überlegung geschlossen haben (vgl. vorne E. 2.2). Mit Blick auf den ebenfalls zur Diskussion stehenden Kindesunterhalt hielt das Obergericht dazu fest, die Parteien könnten nicht nur die üblichen Ungültigkeits- oder Widerrufsgründe wie Urteilsunfähigkeit, Übervorteilung oder Willensmängel geltend machen. Vielmehr könne auch beanstandet werden, der Vereinbarung hätte die Genehmigung nicht erteilt werden dürfen, wobei sich der Kontrollmassstab für den Kindesunterhalt aus <ref-law> ergebe. Dies beinhalte eine materielle Prüfungspflicht, ob die Vereinbarung insbesondere den quantitativen und qualitativen Aspekten sowie dem freien Willen und reiflicher Überlegung entspreche. Auch soweit den Ehegattenunterhalt betreffend könne eine Anfechtung der Vereinbarung aufgrund des engen Sachzusammenhangs und der Gefahr sich widersprechender Entscheide im Rahmen des vorliegenden Verfahrens erfolgen. In der Folge unterscheidet das Obergericht für die hier interessierende Frage nicht mehr zwischen den beiden Unterhaltsarten.
Unter diesen Umständen erweist sich vorab der Vorwurf des Beschwerdeführers als unbegründet, das Obergericht sei in Willkür verfallen, weil es einen Willensmangel oder die Urteilsunfähigkeit des Beschwerdeführers verlangt und nicht geprüft habe, ob die streitbetroffene Vereinbarung aus freiem Willen und nach reiflicher Überlegung abgeschlossen worden sei. Daran ändert nichts, dass das Obergericht in seinen Erwägungen zum Gesundheitszustand des Beschwerdeführers teilweise vom Fehlen von Willensmängeln oder der Urteilsfähigkeit spricht.
4.3.
4.3.1. Zum Nachweis seines Gesundheitszustands während der Verhandlung vom 26. August 2019 reichte der Beschwerdeführer im Berufungsverfahren einen Bericht seiner Psychiaterin vom 7. November 2019 ein. Diesbezüglich hält das Obergericht fest, der Beschwerdeführer habe sich erst am Folgetag der Verhandlung notfallmässig telefonisch bei der Ärztin gemeldet und dieser von einem "Black-Out" und der Unterzeichnung einer existenzbedrohenden Vereinbarung berichtet. Gestützt auf die Beschreibung des Beschwerdeführers sei die Psychiaterin zur Vermutung gelangt, dieser sei nicht mehr urteilsfähig gewesen und habe die Vereinbarung daher nicht aus freiem Willen und nach reiflicher Überlegung unterzeichnen können. Dabei habe die Ärztin sich aber nicht auf eigene Wahrnehmungen stützen können, sondern ausschliesslich aufgrund von Schilderungen und Erklärungen des Beschwerdeführers am Folgetag der Verhandlung auf eine mögliche psychiatrische Diagnose geschlossen. Der Arztbericht könne daher nicht als Mittel zur Glaubhaftmachung dienen, dass der Beschwerdeführer tatsächlich urteilsunfähig gewesen sei oder an einem Willensmangel gelitten habe.
4.3.2. Diese Einschätzung beanstandet der Beschwerdeführer als willkürlich. Jede psychiatrische Beurteilung stütze sich auf die Schilderungen des Patienten. Dies würde auch gelten, wenn die Psychiaterin den Beschwerdeführer noch während der Verhandlung gesehen hätte. Denn die vorhandene Symptomatik sei nicht offensichtlich gewesen und weder das Bezirksgericht noch der Anwalt des Beschwerdeführers hätten etwas von dessen Zustand bemerkt. Sein Gesundheitszustand wäre daher ohnehin bloss aus Schilderungen erschliessbar gewesen. Die Vorinstanz stelle folglich auf ein Kriterium ab, dass der psychiatrischen Behandlung bzw. Begutachtung immanent sei. Ebenso sei es systemimmanent, dass die Beurteilung erst am Ende der Verhandlung habe erfolgen können; eine Begutachtung während dieser sei nicht möglich gewesen.
4.3.3. Geltend gemacht ist damit Willkür in der Würdigung des bei den Akten liegenden Arztberichts, mithin Willkür in der Beweiswürdigung. Willkürlich ist die Beweiswürdigung insbesondere dann, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkennt (<ref-ruling> E. 4.4). Mit seiner Darstellung stellt der Beschwerdeführer im Ergebnis seine Ansicht zur Würdigung des betreffenden Berichts den Erwägungen der Vorinstanz gegenüber und bezeichnet letztere als willkürlich. Dies genügt der geltenden strengen Begründungspflicht grundsätzlich nicht (vorne E. 1.2). Ohnehin vermag der Beschwerdeführer aber nicht zu überzeugen: Der psychiatrische Befund beschreibt das Querschnittsbild der seelischen Verfassung der betroffenen Person zum Untersuchungszeitpunkt (vgl. betreffend eine psychiatrische Begutachtung Urteil 6P.174/1998 vom 28. Januar 1999 E. 4b). Dieses ergibt sich aus dem Verhalten der betroffenen Person, das der Sachverständige beobachtet, und aus dem Erleben, von dem die Person berichtet. Die Verhaltensbeobachtung umfasst dabei die Wiedergabe aller Beobachtungen und Feststellungen, die der Sachverständige während der Untersuchung macht. So der Gesamteindruck, die äussere Erscheinung und Auffälligkeiten im Verhalten (vgl. VENZLAFF/FOERSTER/DREISSING/HABERMEYER, Psychiatrische Begutachtung, Ein praktisches Handbuch für Juristen, 6. Aufl. 2015, Ziff. 2.6 [einleitend] und 2.6.1 S. 20). Vor diesem Hintergrund ist die Einschätzung der Vorinstanz nachvollziehbar, wonach es bessere Rückschlüsse auf den Zustand des Beschwerdeführers erlaubt hätte, wenn dieser am Behandlungstag selbst durch die Psychiaterin untersucht worden wäre. Dies muss umso mehr gelten, als der Beschwerdeführer sich gerade auf einen (kognitiven) Ausnahmezustand beruft. Hieran vermag auch der Einwand nichts zu ändern, weder der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers noch die Gerichtsmitglieder hätten etwas von seinem Zustand bemerkt. Bei diesen handelt es sich gerade nicht um psychiatrische bzw. psychologische Fachpersonen. Rückschlüsse auf die ärztlichen Wahrnehmungen lassen sich hieraus daher nicht ziehen. Unter diesen Umständen ist es jedenfalls nicht geradezu willkürlich, hat das Obergericht aufgrund der zeitlichen Verzögerung in der Untersuchung des Beschwerdeführers nicht auf den Bericht vom 7. November 2019 abgestellt.
4.4.
4.4.1. Weitergehend hält die Vorinstanz fest, es sei am 26. August 2019 zwar von 08:15 bis 14:30 Uhr verhandelt worden. Dennoch habe die Verhandlung nicht ununterbrochen sechs Stunden gedauert. Vielmehr hätten auch Verhandlungspausen stattgefunden, anlässlich derer der Beschwerdeführer sich mit seinem Anwalt hätte beraten und die Auswirkungen der Vereinbarung überdenken können. Auch habe das Gericht vorgängig darüber informiert, dass für die Verhandlung der ganze Tag vorgesehen sei, weshalb deren Dauer nicht habe überraschen können. Der Beschwerdeführer bringe weiter nicht vor, seinen Vertreter oder das Gericht auf gesundheitliche Probleme aufmerksam gemacht oder um eine Unterbrechung oder den Abbruch der Verhandlung gebeten zu haben. Er sei anwaltlich vertreten und ihm sei hinreichend klar gewesen, dass eine Regelung des Getrenntlebens erfolgen sowie insbesondere der Unterhalt festgelegt werden solle. Es habe in der Verantwortung des Beschwerdeführers gelegen, seinen Rechtsvertreter oder das Gericht vorgängig oder doch in einer Verhandlungspause über seinen Gesundheitszustand zu informieren.
Der Inhalt der Vereinbarung sei zwar, so das Obergericht weiter, nicht ganz einfach zu verstehen. Dennoch habe es sich um einen für den Beschwerdeführer lebensnahen Bereich gehandelt und habe Ersterer sich schon länger mit den Konsequenzen des Getrenntlebens befasst und sich auch im gerichtlichen Verfahren umfassend geäussert. Zwar seien die Unterlagen der Berechnung vom Gericht nicht schriftlich ausgehändigt worden. Es sei aber Aufgabe des Anwalts des Beschwerdeführers, diesem die entsprechenden Punkte zu erläutern und ihn über die Tragweite der Vereinbarung aufzuklären. Dass dies nicht erfolgt sei, werde nicht geltend gemacht. Damit sei nicht glaubhaft, dass der Beschwerdeführer anlässlich der Unterzeichnung der Vereinbarung einem Willensmangel unterlegen sei.
4.4.2. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz zweifle an der psychiatrischen Einschätzung seines weitgehend unbestrittenen Zustandes als Dissoziation, womit sie sich medizinische Kenntnisse anmasse und in Willkür verfalle. Tatsächlich habe sich die vorbestehende Stresssituation während der Verhandlung verschärft, da der Beschwerdeführer zuvor kaum geschlafen und im Laufe der Verhandlung den Bezug zur Realität verloren habe. Dadurch sei sein freier Wille beeinträchtigt worden und keine reifliche Überlegung mehr möglich gewesen. Bei willkürfreier Würdigung der tatsächlichen Feststellungen (Burnout, kaum Schlaf vor der Verhandlung, lange Verhandlungsdauer, Verlust des Realitätsbezugs) hätte die Vorinstanz erkennen müssen, dass der Beschwerdeführer der Vereinbarung nicht habe rechtsgenüglich zustimmen können. Auch wenn dieser sich habe auf die Verhandlung vorbereiten können, sei er nicht in der Lage gewesen, den Realitätsverlust während derselben zu verhindern. Die (selbständige) Vorbereitung der Verhandlung habe den Stresspegel im Gegenteil sehr erhöht. Die Vorbereitung habe aufgrund der Entwicklung an der Verhandlung an Bedeutung verloren, womit sich die Vorinstanz auf ein Element stützte, das offensichtlich keine Rolle habe spielen dürfen, und daher in Willkür verfalle. Auch eine Information des Rechtsvertretens oder des Gerichts sei dem Beschwerdeführer während der Verhandlung aufgrund seines Zustands nicht mehr möglich gewesen. Solches hätte gerade eine Analyse der eigenen Befindlichkeit vorausgesetzt, die nicht mehr möglich gewesen sei.
4.4.3. Vorab geht der Beschwerdeführer mit dem Vorwurf fehl, die Vorinstanz habe sich willkürlich medizinische Kenntnisse angemasst, indem sie nicht auf eine Dissoziation geschlossen habe. Vorab wäre die Einschätzung der Psychiaterin für das Obergericht selbst dann nicht verbindlich, wenn es den Bericht vom 7. November 2019 hätte berücksichtigen müssen, was gerade nicht der Fall ist (vgl. vorne E. 4.3). Ganz im Gegenteil ist ein Gericht selbst bei Vorliegen eines Gutachtens nicht an dessen Schlussfolgerungen gebunden, sondern berufen, dieses grundsätzlich frei zu würdigen (<ref-ruling> E. 2.1.3; <ref-ruling> E. 4.3.1; eingängig Urteil 5A_90/2016 vom 16. August 2016 E. 1.2). Dies gilt umso mehr, wo wie hier ein blosser Arztbericht in Frage steht. Das Vorgehen des Obergerichts lässt sich somit nicht beanstanden. Mit seinen weiteren Ausführungen zu seinem Zustand legt der Beschwerdeführer im Ergebnis sodann einzig seine eigene Sicht der Dinge und Interpretation der Geschehnisse dar, stellt diese den Würdigungen des Obergerichts entgegen und bezeichnet letztere als willkürlich. Damit vermag er den Begründungsanforderungen nicht zu genügen (vorn E. 1.2).
4.5. Soweit diesbezüglich überhaupt auf die Beschwerde einzutreten ist, erweist sie sich zusammenfassend mit Blick auf den Ehegattenunterhalt hinsichtlich des Vorwurfs als unbegründet, die Vorinstanz sei willkürlich von einer mit freiem Willen und nach reiflicher Überlegung abgeschlossenen Vereinbarung ausgegangen.
5.
5.1. Die Vereinbarung vom 26. August 2019 unterliegt der Genehmigung wie ausgeführt (vorne E. 2.2) nur hinsichtlich des Ehegattenunterhalts. Was den Kindesunterhalt anbelangt ist in ihr allein ein gemeinsamer Antrag der Eltern zu sehen, den das Gericht aber in seine Entscheidung einfliessen lässt. Für die Kinderbelange gelten sodann der uneingeschränkte Untersuchungsgrundsatz und die Offizialmaxime nach Art. 296 Abs. 1 und 3 ZPO, die nicht nur zugunsten des Kindes, sondern auch des unterhaltspflichtigen Elternteils zur Anwendung gelangen (vgl. Urteil 5A_841/2018 und 5A_843/2018 vom 12. Februar 2020 E. 5.2). Hiervon ausgehend geht in diesem Bereich ein Abweichen vom in der Rechtsprechung gefestigten Grundsatz, dass ein Eingriff in das Existenzminimum des Unterhaltsschuldners nicht zulässig ist (vgl. vorne E. 3.2), auch unter Willkürgesichtspunkten nicht an. Dies hat das Obergericht, das zwischen Kindes- und Ehegattenunterhalt nicht unterschieden hat (vgl. vorne E. 4.2), nicht berücksichtigt. Der absolute Schutz des Existenzminimums des Unterhaltsschuldners gilt in vorliegender Konstellation freilich nur hinsichtlich der Unterhaltspflicht gegenüber dem minderjährigen Kind, die den anderen familienrechtlichen Unterhaltspflichten vorgeht (<ref-law>). Die vom Beschwerdeführer angerufene Tatsache allein, dass er den Kindes- und Ehegattenunterhalt zusammen nicht zu tragen vermöge, begründet daher noch keine Willkür. Solche läge nur vor, wenn das Existenzminimum bereits durch den Kindesunterhalt allein berührt würde. Wie es sich hiermit im Einzelnen verhält, braucht freilich nicht geklärt zu werden: Die Angelegenheit ist wie dargelegt ohnehin zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen (vorne E. 3.3.4), womit diese dem Ausgeführten im Rahmen ihrer neuen Entscheidung Rechnung tragen kann.
5.2. Wie vorne in E. 4 ausgeführt, hat die Beschwerde sich sodann als unbegründet erwiesen, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Trennungsvereinbarung habe nicht auf seinem freien Willen und reiflicher Überlegung beruht. Auf diese Problematik ist daher im Zusammenhang mit dem Kindesunterhalt nicht mehr einzugehen.
6.
6.1. Zusammenfassend erweist sich die Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, als teilweise begründet, ist das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Ergänzung der tatsächlichen Grundlagen und zum erneuten Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird auch erneut über die Kosten des kantonalen Verfahrens zu entscheiden haben. Nicht aufzuheben ist dagegen der mit dem angefochtenen Urteil zusammen ausgefällte Beschluss (vorne E. 1.3).
6.2. Die Rückweisung der Angelegenheit zum erneuten Entscheid gilt im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als Obsiegen des Beschwerdeführers. Unerheblich bleibt, dass er die Rückweisung nicht beantragt hat (vgl. <ref-ruling> E. 11.1). Mit Blick auf den Ausgang des Verfahrens sind daher die Gerichtskosten (inkl. den Kosten für das Verfahren betreffend aufschiebende Wirkung) den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (<ref-law>) und die Parteikosten wettzuschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich vom 20. November 2019 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an das Obergericht zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber