Sachverhalt:
A.
A.C._ (geb. 1955) und seine Ehefrau B.C._ (geb. 1965), kosovarische Staatsangehörige, erhielten am 10. Oktober 1991 bzw. am 24. Mai 1993 je eine Aufenthaltsbewilligung. Diese wurden bis 2014 jeweils verlängert. Die heute erwachsenen Kinder des Ehepaars (geb. 1985, 1986, 1988 und 1996) verfügen ebenfalls über die Aufenthaltsbewilligung.
Seit September 1996 mussten die Eheleute C._ über weite Strecken von der Sozialhilfe unterstützt werden. Am 19. April 2012 belief sich die Summe der Beiträge auf knapp Fr. 310'000.--. Mit Verfügungen vom 25. April 2012 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Zürich die Aufenthaltsbewilligungen und sprach wegen des Sozialhilfebezugs je eine ausländerrechtliche Verwarnung aus.
Am 2. Mai 2013 belief sich die Summe der Sozialhilfebeiträge auf Fr. 375'000.--. Das Migrationsamt des Kantons Zürich verlängerte die Aufenthaltsbewilligungen am 28. Oktober 2013 um ein weiteres Jahr und sprach wiederum je eine Verwarnung aus.
B.
Nachdem die Sozialhilfebeiträge am 12. März 2015 den Betrag von Fr. 440'000.-- erreicht hatten, wies das Migrationsamt am 24. März 2015 die Gesuche um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies die Eheleute C._ aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich vom 29. August 2017, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. Dezember 2017).
C.
A.C._ und B.C._ erheben am 29. Januar 2018 Beschwerde beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und ihre Aufenthaltsbewilligungen zu verlängern. Eventuell sei von der Wegweisung abzusehen; subeventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion und das Staatssekretariat für Migration haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Mit Präsidialverfügung vom 31. Januar 2018 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt. Auf die Erteilung bzw. Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung besteht bundesrechtlich ausserhalb des Familiennachzugs kein Anspruch. Indessen können sich die Beschwerdeführer auf das Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 Ziff. 1 EMRK berufen, da sie sich seit über 27 bzw. fast 25 Jahren bewilligt in der Schweiz aufhalten und hier vier Kinder grossgezogen haben (Urteil 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 1). Die Beschwerde ist somit zulässig, soweit sie sich auf die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligungen bezieht. Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen (Form, Frist und Legitimation gemäss Art. 42, Art. 100 Abs. 1 und Art. 89 Abs. 1 BGG) sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten, soweit damit die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen angestrebt wird.
1.2. Soweit sich die Beschwerdeführer gegen die Wegweisung wenden, steht grundsätzlich einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>, <ref-law>). Die Beschwerdeführer erheben jedoch keine Rügen im Sinn von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 310; Urteil 2C_338/2017 vom 11. Juni 2018 E. 1.2). Die Eingabe kann insoweit auch nicht als Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 10.1 S. 445 f.).
3.
3.1. Die Aufenthaltsbewilligung kann widerrufen bzw. deren Verlängerung kann verweigert werden, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (Art. 62 lit. e AuG in der hier noch anwendbaren Fassung vom 16. Dezember 2005 [aArt. 62 lit. e AuG; AS 2007 5455, in Kraft bis 30. September 2016; heute: <ref-law> {SR 142.20}; Fassung materiell unverändert]). Der Widerrufsgrund ist erfüllt, wenn konkret die Gefahr einer fortgesetzten Sozialhilfeabhängigkeit besteht; blosse finanzielle Bedenken genügen nicht. Für die Beurteilung der Gefahr der Sozialhilfeabhängigkeit ist von den aktuellen Verhältnissen auszugehen; die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung ist aber auf längere Sicht abzuwägen. Ausschlaggebend ist eine Prognose zur voraussichtlichen Entwicklung der finanziellen Situation in Berücksichtigung der realisierbaren Einkommensaussichten sämtlicher Familienmitglieder (Urteile 2C_851/2014 vom 24. April 2015 E. 3.4; 2C_31/2012 vom 15. März 2012 E. 2.2 in fine). Beim Widerrufsgrund von aArt. 62 lit. e AuG geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Wohlfahrt zu vermeiden. Der auf diese Bestimmung gestützte Widerruf der Bewilligung (bzw. deren Nichtverlängerung) fällt grundsätzlich in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt sorgen wird (Urteil 2C_949/2017 vom 23. März 2018 E. 4.1).
3.2. Liegt der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit vor, ist zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme verhältnismässig erscheint. Nach der bundesgerichtlichen Praxis sind für die Beurteilung, ob dies der Fall ist, namentlich die Schwere des Verschuldens an der Sozialhilfeabhängigkeit, der Grad der Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der betroffenen Person und ihrer Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen; zu beachten ist auch die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen sowohl im Gast- wie im Heimatland. Ob und inwieweit die betroffene Person ein Verschulden an der Sozialhilfebedürftigkeit trifft, bildet praxisgemäss nicht eine Frage des Widerrufsgrundes, sondern eine solche der Verhältnismässigkeitsprüfung (Urteil 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.2).
4.
4.1. Angesichts der Summe von Fr. 440'000.-- ist der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit im Sinn von aArt. 62 lit. e AuG zweifellos erfüllt. Zwar hat der Beschwerdeführer 1 im Mai 2015 - nach Erlass der streitigen Verfügung - eine 50 %-Stelle im Unternehmen seines Sohnes angenommen und beziehen die Beschwerdeführer seither keine Sozialhilfe mehr. Die Vorinstanz hat aber zu Recht erwogen, der Beschwerdeführer 1 stehe am Ende seines Berufslebens und habe keine Aussicht auf eine existenzsichernde Altersrente. Da die Beschwerdeführerin 2 nicht berufstätig ist, wären die Beschwerdeführer auch unter Berücksichtigung der Invalidenrente der Unfallversicherung von monatlich Fr. 600.--, welche der Beschwerdeführer 1 anscheinend erhält, im AHV-Alter aller Voraussicht nach auf Ergänzungsleistungen angewiesen. Es kann nicht damit gerechnet werden, dass sich die Beschwerdeführer jemals dauerhaft von der Sozialhilfe bzw. der Unterstützung durch die öffentliche Hand lösen können.
4.2. Die Beschwerdeführer machen geltend, die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung sei nicht verhältnismässig i.S.v. <ref-law> und Art. 8 Ziff. 2 EMRK.
4.2.1. Die Vorinstanz hat sich eingehend mit den gesundheitlichen Beeinträchtigungen der Beschwerdeführer befasst.
Der Beschwerdeführer 1 war zunächst als Hilfsarbeiter bzw. Hilfsgipser angestellt. Im Nachgang eines Arbeitsunfalls vom 12. Dezember 1994 sprach ihm die Suva eine Invalidenrente zu, befristet vom 1. Dezember 1995 bis 20. Juni 1996. Am 18. Juli 2002 sprach die Suva dem Beschwerdeführer 1 basierend auf einer Erwerbsunfähigkeit (nicht gleichbedeutend mit Arbeitsunfähigkeit) von 15 % eine Invalidenrente zu; der Anspruchsbeginn wird im angefochtenen Urteil nicht genannt. Die Höhe der monatlichen Rente betrug Fr. 600.--. Anscheinend stellte der Beschwerdeführer 1 auch ein Rentengesuch bei der Invalidenversicherung; dieses wurde am 26. August 2004 abgewiesen. Nachdem der Beschwerdeführer 1 am 1. Juli 2008 eine Stelle als Chauffeur angetreten hatte, erlitt er am 25. Februar 2009 einen weiteren Arbeitsunfall. In der Folge wurde ihm eine Integritätsentschädigung zugesprochen; deren Anlass geht aus dem angefochtenen Urteil nicht hervor. Nach diesem Unfall war der Beschwerdeführer 1 über lange Zeit nicht mehr auf dem ersten Arbeitsmarkt tätig und musste nach der Einstellung der Unfalltaggelder, d.h. ab Juli 2011 (wieder) Sozialhilfe beziehen. Zur Dauer der unfallbedingten Arbeitsunfähigkeit existieren sich widersprechende Angaben des damaligen Hausarztes des Beschwerdeführers 1: Am 23. Mai 2011 bescheinigte ihm der Hausarzt eine volle Arbeitsunfähigkeit auf unbestimmte Zeit. Am 7. Mai 2013 und am 6. Juli 2013 gab jedoch derselbe Arzt an, der Beschwerdeführer 1 sei bereits ab August 2009 wieder zu 50 % arbeitsfähig gewesen. In diesem Umfang sei dieser auch weiterhin arbeitsunfähig. Seit Mai 2015 ist der Beschwerdeführer 1 in einem 50 %-Pensum als Reinigungskraft und Chauffeur in der Firma eines seiner Söhne angestellt.
Die Beschwerdeführerin 2 war zuletzt Vollzeit in einer Bäckerei beschäftigt, bis sie am 6. Februar 2010 einen Verkehrsunfall erlitt. Danach kehrte sie nicht an den Arbeitsplatz zurück und verlor ihre Stelle per Ende März 2011. Ein Gesuch um Zusprechung einer Invalidenrente wies die Suva am 23. September 2011 wegen mangelnder Mitwirkung der Gesuchstellerin ab. Diese Verfügung ist in Rechtskraft erwachsen. Nach dem Unfall wurde der Beschwerdeführer in 2 von ihrem Hausarzt durchgängig eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert. Zudem wurde die Beschwerdeführerin 2 vom 31. März 2010 bis 31. Mai 2010 in einer Klinik psychiatrisch behandelt. Gemäss ärztlichem Zeugnis einer Praxis für Psychiatrie und Psychotherapie vom 9. April 2015 stand die Beschwerdeführerin 2 seit dem 11. Dezember 2014 in psychotherapeutischer und medikamentöser Behandlung und war bis auf weiteres arbeitsunfähig. Gemäss Bescheinigung ihres Hausarzts, Dr. med. D._, vom 10. April 2015 leidet die Beschwerdeführerin 2 seit dem Autounfall im Jahr 2010 an einer schweren posttraumatischen Belastungsstörung, einem chronifizierten Schmerzsyndrom im Lendenwirbelbereich und erheblichen Beinbeschwerden. Sie leide an schweren Depressionen und sei nicht mehr in der Lage zu arbeiten.
4.2.2. Die Vorinstanz anerkennt, dass die Beschwerdeführerin 2 gesundheitliche Probleme hat, die sie an einer Arbeitstätigkeit hindern könnten. Sie weist aber darauf hin, dass die Bescheinigung der Arbeitsunfähigkeit vom 10. April 2015 vom Hausarzt stamme und entsprechend zu würdigen sei, zumal dieser als Facharzt FMH für Innere Medizin keine besondere Qualifikation für die Behandlung oder Beurteilung psychischer Leiden aufweise. Von psychiatrischer Seite - so die Vorinstanz weiter - sei der Beschwerdeführerin 2 bislang keine dauerhafte Arbeitsunfähigkeit attestiert worden; jedenfalls werde im erwähnten Zeugnis einer Praxis für Psychiatrie und Psychotherapie vom 9. April 2015 kein Zeitrahmen für die bescheinigte Arbeitsunfähigkeit angegeben. Dies ist korrekt; allerdings wurde - soweit ersichtlich - nie seriös abgeklärt, inwieweit die gesundheitlichen Beeinträchtigungen der Beschwerdeführerin 2 eine Arbeitstätigkeit verunmöglichen. Die Beschwerdeführer beanstanden dies nicht, sondern machen pauschal geltend, sie seien "nach ärztlicher Einschätzung krank". Das Vorbringen genügt den Anforderungen an eine Sachverhaltsrüge im Verfahren vor dem Bundesgericht nicht (vgl. E. 2.2), weshalb nicht weiter darauf einzugehen ist. Die Frage kann mit Blick auf das Verschulden des Beschwerdeführers 1 (vgl. E. 4.2.3) ohnehin offenbleiben.
4.2.3. Die Vorinstanz wirft dem Beschwerdeführer 1 zu Recht vor, er habe sich nicht ausreichend um Arbeit bemüht. Spätestens nach der zweiten Verwarnung vom 28. Oktober 2013 hätte er eine Erwerbstätigkeit aufnehmen müssen, zumal er nach Angaben seines Hausarztes vom 7. Mai 2013 und vom 6. Juli 2013 schon wenige Monate nach seinem Unfall, ab August 2009, wieder zu 50 % arbeitsfähig war. Der Einwand, gemäss Einschätzungen der Sozialen Dienste der Stadt Winterthur vom 14. Juli 2014 und vom 12. März 2015 seien die Beschwerdeführer ihrer Schadenminderungspflicht im Rahmen ihrer Möglichkeiten nachgekommen, geht fehl: Wenn die Beschwerdeführer aus Sicht der Sozialhilfebehörde Anspruch auf Unterstützungsleistungen hatten, ohne erwerbstätig zu sein, bedeutet dies nicht, dass migrationsrechtlich der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit ausgeschlossen wäre (vgl. Urteil 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 4.2.2). Der Entzug der Bewilligung kann auch dann verhältnismässig sein, wenn die Betroffenen ihrer Schadenminderungspflicht im Fürsorgeverhältnis nachgekommen sind. Im Rahmen des ausländerrechtlichen Verfahrens gilt ein strengerer Masstab. Es geht darum zu prüfen, ob die betroffenen Personen alles Zumutbare unternommen haben, um den Sozialhilfebezug zu vermeiden oder zu verringern. Dies muss in Bezug auf den Beschwerdeführer 1 klar verneint werden, zumal er - wie auch die Beschwerdeführerin 2 - nicht an Beschäftigungsprogrammen teilgenommen hat. Die Vorinstanz hat zu Recht erwogen, dass der langjährige Sozialhilfebezug verschuldet ist.
4.2.4. Unbehelflich ist schliesslich das Vorbringen, wonach der Beschwerdeführer 1 im Jahr 2018 voraussichtlich "frühpensioniert" werde, weshalb das öffentliche Interesse an einer Wegweisung "praktisch inexistent" sei. Abgesehen davon, dass ein vorzeitiger Bezug der AHV-Rente eine lebenslange Kürzung derselben zur Folge hat, wären die Beschwerdeführer im Rentenalter ohnehin auf Ergänzungsleistungen angewiesen, welche die öffentliche Hand weiterhin belasten (vgl. Urteile 2C_1018/2016 vom 22. Mai 2017 E. 6.2; 2C_562/2016 vom 14. Dezember 2016 E. 3.1.2). An diesem Zustand würde sich nichts mehr ändern, so dass in Verbindung mit der Höhe der bereits bezogenen Sozialhilfebeiträge ein erhebliches öffentliches Interesse an der Beendigung des Aufenthalts resultiert.
4.2.5. Die Beschwerdeführer leben seit Anfang der neunziger Jahre in der Schweiz. Die Aufenthaltsdauer korreliert indessen nicht mit der Integration, die als mangelhaft bezeichnet werden muss. Beide Beschwerdeführer benötigten anlässlich der Befragung, welche am 18. September 2014 im Rahmen der Gewährung des rechtlichen Gehörs durchgeführt wurde, einen Dolmetscher. Die Beschwerdeführer haben sich auch nicht um die Verbesserung ihrer Deutschkenntnisse bemüht; nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz haben sie - mit Ausnahme eines Alphabetisierungskurses - keine Deutschkurse besucht. Dass ihre Kinder gut integriert sind, wie sie behaupten, hilft in diesem Zusammenhang nichts; im Gegenteil: Durch die Kinder hätte die Integration der Eltern gefördert oder zumindest erleichtert werden können. Die Beschwerdeführer pflegen nach eigenen Angaben auch kaum Kontakte zur einheimischen Bevölkerung. Der Grad ihrer sozialen Integration erscheint damit sehr gering.
Auf der anderen Seite verfügen die Beschwerdeführer in ihrem Herkunftsland, dem Kosovo, über persönliche Kontakte, da sie dort regelmässig Ferien verbringen. Nachdem sie sich in der Schweiz weder sozial noch wirtschaftlich integriert haben, dürfte es ihnen nicht schwerfallen, sich im Kosovo wieder zurechtzufinden. Einer Reintegration könnte einzig das leicht fortgeschrittene Alter des Beschwerdeführer s 1 entgegenstehen. Nachdem er aber immerhin zu 50 % arbeitsfähig ist und keine gegenteiligen Anhaltspunkte vorliegen, durfte die Vorinstanz davon ausgehen, dass ihm - wie auch der Beschwerdeführerin 2 - eine Rückkehr in den Kosovo zugemutet werden kann.
4.2.6. Das private Interesse an einem Verbleib in der Schweiz erscheint insgesamt relativ gering; es vermag das öffentliche Interesse an der Beendigung des Aufenthalts, welches erheblich ist, bei weitem nicht aufzuwiegen. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligungen erweist sich als verhältnismässig.
Bei diesem Ergbnis ist auch der Subeventualantrag auf Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung abzuweisen.
5.
Aus dem Gesagten ergibt sich, dass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten abzuweisen ist.
5.1. Entgegen der Mitteilung des Bundesgerichts vom 1. Februar 2018 haben die Beschwerdeführer die unentgeltliche Prozessführung nicht beantragt. Ihnen als der unterliegenden Partei sind die Gerichtskosten unter solidarischer Haftbarkeit aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).
5.2. Es ist keine Parteientschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Migrationsamt des Kantons Zürich, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner