Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt gegen A._ ein Strafverfahren wegen Geldwäscherei. Geschädigte und Anzeigeerstatterin ist die B._ Ltd. In diesem Zusammenhang sind zwischen den Parteien weltweit diverse weitere Verfahren hängig.
Mit Verfügung vom 19. Dezember 2019 erliess die Staatsanwaltschaft gegenüber den Parteien, ihren Rechtsvertretern sowie deren Hilfspersonen unter der Strafandrohung von <ref-law> ein Verbot, Akten aus dem Strafverfahren bzw. Erkenntnisse daraus an Dritte im In- oder Ausland weiterzuleiten, Dritten Akteneinsicht zu gewähren oder diesen Mitteilungen über Verfahrensakten zu machen. Eine gegen dieses Verbot gerichtete Beschwerde hiess das Obergericht des Kantons Zürich mit Beschluss vom 26. Januar 2021 teilweise gut und befristete das Verbot bis zum 26. Juli 2021, längstens jedoch bis zum Entscheid über das Rechtshilfeersuchen der thailändischen Behörden vom 17. Juni 2020.
In der Folge erteilte die Staatsanwaltschaft den Parteien auf entsprechende Ersuchen hin diverse Ausnahmebewilligungen mit Bezug auf die Verwendung bestimmter Aktenstücke aus den Untersuchungsakten in ausländischen Verfahren. Mit E-Mail vom 23. September 2020 ersuchte die B._ Ltd. die Staatsanwaltschaft um Erteilung einer Ausnahmebewilligung für die Verwendung bestimmter Aktenstücke in zwei von ihr in Thailand geführten Verfahren. Mit Verfügung vom 24. September 2020 gab die Staatsanwaltschaft dem Ersuchen statt und erlaubte den Parteien die weltweite Verwendung der betreffenden Dokumente, darunter diverse Belastungsanzeigen und weitere Bankdokumente.
Auf eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde trat das Obergericht mit Beschluss vom 20. Juli 2021 nicht ein. Zur Begründung hielt es fest, ein rechtlich geschütztes Interesse im Sinne von <ref-law> sei nicht ersichtlich. Dabei stützte es sich auf ein in der Zwischenzeit ergangenes Urteil des Bundesgerichts betreffend die Entsiegelung von Bankunterlagen zweier Gesellschaften, an denen A._ wirtschaftlich berechtigt ist. Das Bundesgericht hatte unter anderem dargelegt, dass die beiden Gesellschaften rechtlich gesehen Dritte seien, die ihre Geheimnisrechte selbst geltend machen können und müssen. Da eigene gesetzlich geschützte Geheimnisrechte von A._ nicht geltend gemacht worden und auch sonst nicht ersichtlich waren, trat das Bundesgericht auf dessen Beschwerde nicht ein (Urteil 1B_563/2020 vom 29. Januar 2021).
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen ans Bundesgericht vom 16. August 2021 beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts vom 20. Juli 2021 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Die weiteren Verfahrensbeteiligten haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Nichteintretensentscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), der im Rahmen eines Strafverfahrens ergangen ist. Dagegen kann grundsätzlich Beschwerde in Strafsachen erhoben werden (<ref-law>).
Angefochten ist ein Zwischenentscheid, der grundsätzlich nur unter der Voraussetzung von <ref-law> angefochten werden kann. Soweit sich die Beschwerde wie hier jedoch auf die Frage der Zulässigkeit einer kantonalen Beschwerde bezieht und somit eine formelle Rechtsverweigerung geltend gemacht wird, tritt das Bundesgericht unabhängig vom Erfordernis eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils im Sinne dieser Bestimmung auf das Rechtsmittel ein (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 1B_197/2021 vom 12. Januar 2022 E. 1.2; je mit Hinweisen).
Gemäss den Angaben des Beschwerdeführers verlängerte die Staatsanwaltschaft das Weiterleitungsverbot mit Verfügung vom 26. Juli 2021 bis am 26. Januar 2022. Ob seither eine weitere Verlängerung erfolgte, ist nicht bekannt. Das Fortbestehen eines aktuellen Rechtsschutzinteresses (<ref-law>) ist deshalb nicht erstellt. Angesichts des Verfahrensausgangs kann die Frage jedoch offen bleiben.
Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist mit dem genannten Vorbehalt grundsätzlich einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>, weil das Obergericht ohne vorgängige Mitteilung in einer anderen Besetzung als in seiner Verfügung vom 14. Oktober 2020 angekündigt entschieden habe.
Erst wenn der Partei die Motive für die Besetzungsänderung bekannt gegeben worden sind, ist sie in der Lage und liegt es an ihr, die Sachlichkeit der Gründe substanziiert zu bestreiten (<ref-ruling> E. 8.2 mit Hinweisen). Daraus folgt, dass es sinnvoll ist, eine Besetzungsänderung bereits vor dem Entscheid mitzuteilen und zu begründen. Zwingend erforderlich ist dies jedoch nicht. Das Bundesgericht hat es auch zugelassen, dass eine Vorinstanz die Begründung erst im Rahmen des Schriftenwechsels im bundesgerichtlichen Verfahren nachlieferte, diesen Umstand allerdings bei den Kosten- und Entschädigungsfolgen berücksichtigt (Urteil 1B_79/2017 vom 21. September 2017 E. 2.1 mit Hinweisen). Es war somit ausreichend, wenn das Obergericht die Änderung seiner Besetzung im angefochtenen Beschluss selbst bekanntgegeben und begründet hat.
3.
Weiter ist der Beschwerdeführer der Auffassung, das Obergericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt. Es habe sich mit seinem zentralen Argument, wonach er ein privates Interesse an der Verhinderung der Umgehung des Rechtshilfewegs durch die informelle Weiterleitung von Erkenntnissen aus den Verfahrensakten habe, nicht auseinandergesetzt.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen auch tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Daraus folgt die Verpflichtung der Behörde, ihren Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen).
Das Obergericht legte unter Bezugnahme auf das Urteil 1B_563/2020 vom 29. Januar 2021 dar, dass der Beschwerdeführer aus seiner Stellung als im schweizerischen und in den (gemäss seinen eigenen Aussagen) weltweit gegen ihn geführten Strafverfahren keine Beschwerdelegitimation herleiten könne. Herrinnen der zur Diskussion stehenden Geschäftsgeheimnisse seien die betroffenen Gesellschaften. Gleich wie im Entsiegelungsverfahren könne sich der Beschwerdeführer nicht auf deren Geheimnisrechte berufen. Er sei deshalb durch die angefochtene Ausnahmebewilligung nicht in eigenen schutzwürdigen Interessen betroffen.
Auch wenn das Obergericht sich nicht zur Frage der Umgehung des Rechtshilfewegs äusserte, geht aus seinen Ausführungen klar hervor, weshalb es auf die Beschwerde nicht eintrat. Der Beschwerdeführer wurde dadurch ohne Weiteres in die Lage versetzt, den Entscheid des Obergerichts sachgerecht anzufechten. Die Rüge ist somit unbegründet.
4.
4.1. Indem das Obergericht auf die Beschwerde nicht eintrat, verletzte es in den Augen des Beschwerdeführers <ref-law>. Auf das Betroffensein in gesetzlich geschützten Geheimnisinteressen komme es - anders als im Entsiegelungsverfahren - nicht an. Der Hinweis des Obergerichts auf das Urteil 1B_563/2020 vom 29. Januar 2021 gehe deshalb fehl. Nach <ref-law> reiche ein privates Interesse aus. Dieses liege hier in seinem Bestreben begründet, die Umgehung des Rechtshilfewegs zu verhindern. Er sei nämlich noch immer in diverse ausländische Verfahren involviert und bereits zu Beginn der Strafuntersuchung sei klar geworden, dass die Geschädigte das Strafverfahren vor allem eingeleitet habe, um an nicht öffentliche Informationen heranzukommen. Indem das Obergericht fehlende Geheimhaltungsinteressen und private Interessen kurzerhand gleichsetzte, habe es zudem den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Offensichtlich falsch sei auch die Feststellung der Vorinstanz, wonach das Weiterleitungsverbot ursprünglich mit privaten Interessen des Beschwerdeführers begründet worden sei. Das Verbot habe nicht bloss ursprünglich, sondern durchwegs seinen privaten Interessen gedient, indem es die Einhaltung des Rechtshilfewegs garantieren sollte.
4.2. Die Rüge, das Obergericht habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt (<ref-law>), ist unbegründet. Ob private Interessen und Geheimhaltungsinteressen dasselbe sind, ist nicht eine Frage des Sachverhalts, sondern der Rechtsanwendung. Ob es falsch ist zu schreiben, das Weiterleitungsverbot sei "ursprünglich" mit privaten Interessen begründet worden, wenn dies doch durchwegs der Fall gewesen sei, kann dahingestellt bleiben. Nach <ref-law> sind nur diejenigen Mängel in der Sachverhaltsfeststellung von Bedeutung, die für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können, was auf den vom Beschwerdeführer behaupteten Mangel offensichtlich nicht zutrifft.
4.3. Nach <ref-law> kann jede Partei, die ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheids hat, ein Rechtsmittel ergreifen. Ein rechtlich geschütztes Interesse liegt nur vor, wenn der Beschwerdeführer selbst in seinen eigenen Rechten unmittelbar und direkt betroffen ist. Eine blosse Reflexwirkung genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 6B_942/2016 vom 7. September 2017 E. 2.3, nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
Eine direkte Betroffenheit in eigenen Rechten hat das Bundesgericht etwa verneint für die Familienmitglieder der beschuldigten Person, gegen die eine Landesverweisung ausgesprochen wurde (<ref-ruling>); für den an einem Konto bloss wirtschaftlich Berechtigten, der sich gegen eine Kontosperre oder Beschlagnahme wehrt (Urteil 1B_498/2017 vom 27. März 2018 E. 4 mit Hinweisen), hinsichtlich Überwachungen, die nicht gegen den Beschwerdeführer persönlich, sondern gegen andere Personen angeordnet wurden (Urteil 1B_259/ 2019 vom 25. Februar 2020 E. 2 mit Hinweisen), und hinsichtlich der Siegelung, die den Beschwerdeführer nicht in eigenen gesetzlich geschützten Geheimnisinteressen tangiert (Urteil 1B_563/2020 vom 29. Januar 2021 E. 1.3 mit Hinweisen).
Vor diesem Hintergrund kam das Obergericht zu Recht zum Ergebnis, dass der Beschwerdeführer nicht aufgezeigt habe, inwiefern er selbst in direkter Weise in seinen von <ref-law> geschützten privaten Interessen betroffen ist. Zu diesen Interessen gehört z.B. das Persönlichkeitsrecht, das durch Indiskretionen verletzt werden könnte (vgl. Urteil 1B_315/2014 vom 11. Mai 2015 E. 4.3 mit Hinweisen). Die Möglichkeit, dass die Strafverfahrensakten für Verfahren im Ausland verwendet werden könnten, genügt dagegen nicht. Auch im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist denn auch der bloss wirtschaftlich an einem Bankkonto, Banksafe oder Wertschriftendepot Berechtigte im Gegensatz zum Inhaber grundsätzlich nicht legitimiert, Rechtshilfemassnahmen anzufechten, welche die Bankverbindung betreffen (<ref-ruling> E. 2.1.1; Urteil 1C_345/2020 vom 24. Juni 2020 mit Hinweisen auf eine hier nicht interessierende Ausnahme).
5.
Die Beschwerde ist aus diesen Erwägungen abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Dold