Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1955 geborene A.A._, sri-lankischer Staatsangehöriger mit Niederlassungsbewilligung B, bezog Ergänzungsleistungen zu seiner Invalidenrente. Am 2. März 2018 heiratete er B.A._ (Jahrgang 1975), welche im Rahmen des Familiennachzugs eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die Ausgleichskasse des Kantons Bern, Abteilung Ergänzungsleistungen (nachfolgend: Ausgleichskasse), legte die Ergänzungsleistungen in der Folge neu fest, zuletzt ab 1. Februar 2019 auf Fr. 3566.- monatlich (Verfügung vom 12. Juli 2019).
A.b. Mit Verfügung vom 3. Februar 2020 widerrief das Amt für Bevölkerungsdienste, Migrationsdienst, des Kantons Bern (nachfolgend: AVBE) die Aufenthaltsbewilligung für B.A._ und ordnete deren Wegweisung aus der Schweiz bis zum 30. April 2020 an. Dagegen liessen die Eheleute Beschwerde führen.
A.c. Die Ausgleichskasse überprüfte den Leistungsanspruch und reduzierte die Ergänzungsleistungen für A.A._ ab 1. Mai 2020 auf Fr. 2234.- im Monat, da sich B.A._ ab diesem Zeitpunkt illegal in der Schweiz aufhalte und somit in der Berechnung auszuklammern sei (Verfügung vom 15. April 2020). Auf Einsprache des A.A._ hin sistierte die Ausgleichskasse das Verfahren mit prozessleitender Verfügung vom 12. Mai 2020 bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen ausländerrechtlichen Entscheides. Der Einsprache entzog sie die aufschiebende Wirkung.
B.
Auf die dagegen gerichtete Beschwerde des A.A._ und der B.A._ trat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 14. August 2020 nicht ein.
C.
A.A._ und B.A._ lassen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die Ausgleichskasse anzuweisen, innert dreissig Tagen nach dem Urteil des Bundesgerichts einen Endentscheid in der Sache zu fällen. Sodann ersuchen sie um unentgeltliche Rechtspflege.
Die Ausgleichskasse beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde, eventualiter deren Abweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Zulässigkeit eines Rechtsmittels von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 6 Ingress S. 320 mit Hinweis; Urteil 9C_831/2019 vom 3. Februar 2020 E. 1 mit Hinweisen).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Ebenfalls zulässig ist nach <ref-law> die Beschwerde gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren. Gegen andere selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten demgegenüber nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Ist die Beschwerde nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so bleibt ein Zwischenentscheid im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, sofern er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>).
Damit ein Entscheid der Vorinstanz als Endentscheid im Sinne von <ref-law> qualifiziert werden kann, muss er das Verfahren vor der ersten Instanz abschliessen. Befindet das kantonale Gericht über einen Zwischenentscheid einer unteren Instanz, so stellt der Rechtsmittelentscheid regelmässig ebenfalls einen Zwischenentscheid dar. Mit einem solchen Entscheid wird nicht über ein Rechtsverhältnis endgültig entschieden, sondern nur über einen Schritt auf dem Weg zum Endentscheid. Anders verhält es sich lediglich, wenn durch den Entscheid der letzten kantonalen Instanz ein Zwischenentscheid der ersten Instanz umgestossen und das Verfahren vor erster Instanz damit abgeschlossen wird (<ref-ruling> E. 3.2 S. 341; Urteil 8C_393/2014 vom 24. September 2014 E. 3.2.1, je mit Hinweisen).
2.2. Mit der vorinstanzlichen Bestätigung der verfügten Verfahrenssistierung (im Sinne des Nichteintretens auf die gegen die Sistierungsverfügung der Beschwerdegegnerin vom 12. Mai 2020 gerichtete Beschwerde) wurde das zugrunde liegende Verfahren betreffend Ergänzungsleistungen nicht abgeschlossen. Es handelt sich somit um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Sinne von <ref-law> grundsätzlich nur eingeschränkt zulässig ist.
3.
3.1. Bei der Anfechtung einer Verfahrenssistierung sind zwei Konstellationen zu unterscheiden: Entweder wird (qualifiziert substanziiert) die dadurch verursachte Verfahrensverzögerung gerügt (Verletzung des Beschleunigungsgebots [vgl. <ref-law>]); diesfalls erfordert das Eintreten keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>. Oder es werden anderweitige Gründe angeführt wie beispielsweise das Argument, die Sistierung bis zum Abschluss eines anderen Verfahrens erweise sich als nicht gerechtfertigt. Wird ein derartiger Einwand vorgebracht, so setzt das Eintreten auf die Beschwerde einen irreversiblen Nachteil voraus, der auf Grund der materiellrechtlichen Gegebenheiten zu beurteilen ist (<ref-ruling> E. 5 f. S. 191 f.; <ref-ruling> E. 1.1 S. 261; <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 2 S. 44 ff.; Urteil 9C_831/2019 vom 3. Februar 2020 E. 2.2.2 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 129).
3.2. Eine überlange Verfahrensdauer liegt vor, wenn eine im Gesetz festgelegte Behandlungsfrist überschritten wird. Enthält das Gesetz keinen Massstab für eine rasche Verfahrenserledigung, so entscheidet eine Behörde gemäss Rechtsprechung nicht innert angemessener Frist, wenn sie länger benötigt, als dies nach der Natur der Sache und nach der Gesamtheit der übrigen Umstände als adäquat erscheint (<ref-ruling> E. 1.1 S. 409; <ref-ruling> E. 3.1 S. 273; Urteil 9C_831/2019 vom 3. Februar 2020 E. 4.2 mit Hinweisen).
Grundsätzlich ist eine Verfahrenssistierung mit Blick auf <ref-law> nur ausnahmsweise zulässig und muss sich auf sachliche Gründe stützen. Insbesondere gilt die Hängigkeit eines anderen Verfahrens, dessen Ausgang von präjudizieller Bedeutung ist, als zureichender Grund für eine Sistierung (<ref-ruling> E. 5 S. 95 mit Hinweis; Urteil 9C_831/2019 vom 3. Februar 2020 E. 5.2 mit Hinweisen).
4.
Die Vorinstanz hat im Wesentlichen erwogen, der Aufenthaltsstatus der Beschwerdeführerin bilde Gegenstand eines laufenden Verfahrens. Dessen Ausgang sei für die Beurteilung des Ergänzungsleistungsanspruchs massgeblich. Zumindest einstweilen bestehe kein affirmativ festgestellter rechtmässiger Aufenthalt im Sinne von Art. 5 Abs. 1 erster Satz ELG, auch wenn die Beschwerdeführerin für die Dauer des ausländerrechtlichen Rechtsmittelverfahrens (vorerst) in der Schweiz verbleiben dürfe. Der Beschwerdeführer erleide zudem durch die Sistierung keinen irreparablen finanziellen Schaden, da die Beschwerdegegnerin erst im noch ausstehenden Einspracheentscheid über den Ergänzungsleistungsanspruch entscheiden werde. Mithin führe die Sistierung zu keiner vollständigen Leistungseinstellung und könnten später zugesprochene Ergänzungsleistungen von der Sozialhilfe bevorschusst werden. Das Interesse der Beschwerdegegnerin, die Uneinbringlichkeit allenfalls unrechtmässig ausgerichteter Ergänzungsleistungen zu vermeiden, sei denn auch höher zu gewichten als dasjenige des Beschwerdeführers, solche weiterhin ungeschmälert beziehen zu können. Die infolge der Nichtberücksichtigung der Beschwerdeführerin in der Berechnung erfolgte Herabsetzung bedeute zudem keine Verschlechterung im ausländerrechtlichen Verfahren. Gestützt darauf hat das kantonale Gericht einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil und damit die selbstständige Anfechtbarkeit der Sistierungssverfügung vom 12. Mai 2020 verneint.
5.
5.1. Gemäss Art. 43 Abs. 1 lit. e des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz; SR 142.20 [nachfolgend: AlG]), in der revidierten, seit 1. Januar 2019 in Kraft stehenden Fassung, haben ausländische Ehegatten von Personen mit Niederlassungsbewilligung Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn die nachziehende Person - im Sinne einer negativen Grundvoraussetzung - keine jährlichen Ergänzungsleistungen nach ELG bezieht oder wegen des Familiennachzugs beziehen könnte.
5.2.
5.2.1. Die Aufenthaltsbewilligung ist befristet und kann verlängert werden, wenn keine Widerrufsgründe nach Art. 62 Abs. 1 AlG vorliegen (Art. 33 Abs. 3 AlG). Sie erlischt grundsätzlich mit dem Ablauf ihrer Gültigkeitsdauer (<ref-law>) respektive - wie hier - bei Widerruf (Art. 62 AlG). Die betroffene Person kann allerdings während der Dauer des Verlängerungsverfahrens und damit auch nach Erlöschen der Bewilligung in der Schweiz bleiben, sofern die zuständige Behörde im Sinne vorsorglicher Massnahmen keine abweichenden Verfügungen trifft (Art. 59 Abs. 2 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). Dabei handelt es sich zwar nur um ein prozessuales Aufenthaltsrecht. Indessen gelten die durch die Bewilligung verschafften Rechte (insbesondere hinsichtlich Aufenthalt und Erwerbstätigkeit) nach Ablauf der Gültigkeitsdauer der Aufenthaltsbewilligung weiterhin (statt vieler: Urteil 2C_1154/2016 vom 25. August 2017 E. 2.3 mit Hinweisen).
5.2.2. Die Wirksamkeit des Widerrufs einer Bewilligung oder Verfügung lässt sich je nach Widerrufsgrund auf einen unterschiedlichen Zeitpunkt beziehen. Die ausländerrechtliche Praxis geht dahin, dass die mit der Bewilligung eingeräumte Rechtsstellung mit der Rechtskraft eines Widerrufsentscheids endet und eine ordentliche Wegweisung (Art. 64 AlG) sowie unter gegebenen Voraussetzungen ein Einreiseverbot angeordnet werden können (Art. 67 AlG). Ist im Falle einer ordentlichen Wegweisung eine angemessene Ausreisefrist anzusetzen (Art. 64d AlG), so wird der Widerruf erst pro futuro (ex nunc) wirksam (Urteil 2C_493/2008 vom 28. Juli 2008 E. 4.2). Bei ursprünglich fehlerhaften Verfügungen, deren Fehlerhaftigkeit durch den Verfügungsadressaten zu verantworten ist, wird die Änderung hingegen regelmässig ex tunc wirksam, d.h. die bis zum Zeitpunkt der Rechtskraft der Änderung eingetretenen Folgen der Verfügung werden rückgängig gemacht (vgl. Urteile 2C_243/2008 vom 18. Juni 2008 E. 1.1, 2A.595/2006 vom 6. Februar 2007 E. 3 und 2A.420/2006 vom 29. November 2006 E. 2.3).
6.
6.1. Mit Blick auf diese Rechtslage entschied das Bundesgericht im Urteil 9C_378/2020 vom 25. September 2020 unlängst, dass die Ehefrau des Ergänzungsleistungsbezügers während des hängigen ausländerrechtlichen Verfahrens betreffend Widerruf respektive Nichtverlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung über ein prozessuales Aufenthaltsrecht verfügt, durch welches sie ihre mittels Bewilligung verschafften Rechte beibehält. Sollte es letztlich beim Widerruf bleiben, so verwirklichen sich dessen Rechtswirkungen - wie soeben erwähnt - erst pro futuro. Ist die Fehlerhaftigkeit der ursprünglichen Aufenthaltsbewilligung nicht der Ehefrau anzulasten, sondern liegt in der auf 1. Januar 2019 mit <ref-law> in Kraft getretenen Gesetzesänderung begründet, so kann nicht von einer Wirksamkeit des Widerrufs ex tunc ausgegangen werden. Folglich ändert der Ausgang des ausländerrechtlichen Prozesses an der grundsätzlichen Rechtmässigkeit des Aufenthalts in der Schweiz während des entsprechenden Verfahrens nichts. Einer nachträglichen Anpassung der ergänzungsleistungsrechtlichen Berechnungsgrundlage und allfälliger Rückforderungen bedarf es so oder anders nicht. Ein unmittelbarer Konnex zwischen dem ausländer- und dem ergänzungsleistungsrechtlichen Verfahren ist dergestalt zu verneinen, womit ein zureichender Grund für eine Sistierung des EL-Einspracheverfahrens entfällt (Erwägung 5.4).
6.2. Inwieweit es sich hier anders verhalten sollte, ist nicht ersichtlich. Insbesondere kann die Beschwerdeführerin nicht dafür verantwortlich gemacht werden, dass ihr (allenfalls ungerechtfertigt) eine Aufenthaltsbewilligung erteilt wurde. Das AVBE bestätigte im ausländerrechtlichen Verfahren denn auch explizit, die Beschwerdeführerin behalte ihren bisherigen Aufenthaltsstatus bis zur Rechtskraft der ausländerrechtlichen Verfügung (vgl. Schreiben vom 6. Februar 2020). Damit liegt offenkundig eine identische Rechtslage vor wie im Urteil 9C_378/2020 vom 25. September 2020, worauf vollumfänglich verwiesen werden kann. Der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid verletzt demnach Bundesrecht und ist samt der Sistierungsverfügung vom 12. Mai 2020 aufzuheben. Die Sache ist zur beförderlichen Wiederaufnahme des Einspracheverfahrens an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen. Die Beschwerde ist begründet.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Sie hat den Beschwerdeführern überdies eine Parteientschädigung (gemäss Honorarnote ihrer Rechtsvertreterin vom 3. November 2020) zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 14. August 2020 und die Sistierungsverfügung der Ausgleichskasse des Kantons Bern vom 12. Mai 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird zur Fortführung des angehobenen Einspracheverfahrens an die Ausgleichskasse des Kantons Bern zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2324.25 zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Sozialversicherungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Januar 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder