Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1950) und B._ (geb. 1947) sind die Söhne des 2015 verstorbenen C._. Dessen Ehefrau und Mutter der Parteien war bereits 2002 verstorben. Der Erblasser hinterliess drei als letztwillige Verfügungen bezeichnete Dokumente. In der letztwilligen Verfügung vom 8. April 1994 setzte er seine Ehefrau als Alleinerbin ein, wobei für den Fall, dass diese vor ihm versterben sollte, die gesetzliche Erbfolge gelten sollte. Im Übrigen befreite der Erblasser die Nachkommen von der Ausgleichungspflicht. Sodann errichtete der Erblasser am 12. Januar 1998 zwei letztwillige Verfügungen. In der einen setzte er erneut seine Ehefrau als Alleinerbin sowie als Willensvollstreckerin ein und hob sämtliche früheren letztwilligen Verfügungen auf. In der anderen setzte der Erblasser für den Fall des Vorversterbens seiner Ehefrau seinen älteren Sohn (B._) als Alleinerben und Willensvollstrecker ein.
A.b. A._ gelangte am 14. April 2016 ohne anwaltliche Vertretung an das Bezirksgericht Horgen, dem er folgende Rechtsbegehren unterbreitete:
"1. Ziffer 3 der letztwilligen Verfügung des Erblassers C._ 'mein letzter Wille' vom 8. April 1994 sei insofern für ungültig zu erklären, als sie den Beklagten von der Ausgleichspflicht befreien soll.
Die dritte der eigenhändigen letztwilligen Verfügungen des Erblassers C._, welche das Datum vom 12. Januar 1998 trägt, jene welche den Fall regelt, dass der Erblasser gleichzeitig oder nach seiner Ehefrau versterben sollte, sei insofern als ungültig zu erklären, als sie den Beklagten zum Alleinerben ernennt.
2. Es sei festzustellen, dass der Kläger als gesetzlicher Erbe am Nachlass beteiligt ist.
3. Demzufolge sei der Beklagte zu verpflichten, dem Kläger einen durch das Gericht zu ermittelnden Betrag zuzüglich Zins von 5 % seit Verzug zu bezahlen.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten des Beklagten."
Im Rahmen seiner Replik nahm A._ in seinem Rechtsbegehren Ziff. 1 eine redaktionelle Korrektur vor, und an der Hauptverhandlung vom 25. Mai 2018 formulierte A._ sein Rechtsbegehren Ziff. 3 wie folgt (Hervorhebungen hinzugefügt) :
"3. Demzufolge sei der Beklagte zu verpflichten, dem Kläger einen durch das Gericht zu ermittelnden Betrag - und zwar mindestens den Pflichtteil - zuzüglich Zins von 5 % seit Verzug zu bezahlen."
Mit Entscheid vom 19. Juni 2018 wies das Bezirksgericht die Klage kostenfällig ab.
B.
A._ gelangte am 3. Dezember 2018 mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Seine Rechtsbegehren lauteten wie folgt:
"1. Das Urteil des Bezirksgerichts Horgen vom 19. Juni 2018, Geschäfts-Nr. CP160001-F/UB/EB, sei aufzuheben und die Sache zur Fortsetzung des Prozesses im Sinne der obergerichtlichen Erwägungen, insbesondere zur rechtsgenüglichen Abklärung des Sachverhalts und Durchführung eines Beweisverfahrens bezüglich des dem Kläger von Gesetzes wegen zustehenden Erbanspruchs an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2. Eventualiter habe das angerufene Gericht das Urteil des Bezirksgerichts Horgen vom 19. Juni 2018, Geschäfts-Nr. CP160001-F/UB/EB, aufzuheben und selbst - allenfalls nach ergänzend durchgeführtem Beweisverfahren - aufgrund der Akten
a) den folgenden Satz in der eigenhändigen letztwilligen Verfügung vom 12. Januar 1998 des 2015 verstorbenen C._, wohnhaft gewesen in U._ (nachfolgend Erblasser), für ungültig zu erklären:
"1. Ungeachtet allfälliger weiterer bei meinem Ableben vorhandenen pflichtteilsgeschützten Erben setze ich meinen Sohn B._ geb. 1947 wohnhaft (...) als Alleinerben ein."
sowie
b) dem Kläger seinen gesetzlichen Erbanspruch zuzusprechen und den Beklagten zur Zahlung von Fr. 527'204.00 zuzüglich 5% Verzugszins seit 15. April 2016 (Klageeinleitung) an den Kläger zu verpflichten.
3. Subeventualiter habe das angerufene Gericht das Urteil des Bezirksgerichts Horgen vom 19. Juni 2018, Geschäfts-Nr. CP160001-F/UB/EB, aufzuheben und selbst - allenfalls nach ergänzend durchgeführtem Beweisverfahren - aufgrund der Akten
a) festzustellen, dass der Pflichtteil des Klägers im Nachlass des Erblassers drei Achtel (3/8) beträgt und der Kläger demzufolge einen rechtlichen Anspruch auf 3/8 am Nachlass hat, sowie
b) die oben unter Ziff. 2. a) des Rechtsbegehrens zitierte Ziff. 1 der Verfügung des Erblassers vom 12. Januar 1998 entsprechend herabzusetzen und den Beklagten zur Zahlung des dem Kläger zustehenden Pflichtteils von CHF 186'732.00 zuzüglich 5% Verzugszins seit 15. April 2016 (Klageeinleitung) zu verpflichten.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (zuzüglich Mehrwertsteuern) zulasten des Beklagten."
Das Obergericht erachtete die Berufung als unbegründet und bestätigte den Entscheid des Bezirksgerichts (Entscheid vom 3. Juli 2019).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. September 2019 wendet sich A._ an das Bundesgericht, dem er folgende Rechtsbegehren unterbreitet:
"1. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 3.7.2019 (LB180066-O/U) sei vollumfänglich aufzuheben.
2. Es sei festzustellen, dass der Pflichtteil des Beschwerdeführers im Nachlass des 2015 verstorbenen C._, wohnhaft gewesen in U._ (nachfolgend "Erblasser"), drei Achtel (3/8) beträgt und der Beschwerdeführer demzufolge einen rechtlichen Anspruch auf 3/8 am Nachlass hat, und es sei die Sache zur Weiterführung des Verfahrens an die Vorinstanz, eventualiter an das Bezirksgericht Horgen als erste Instanz zurückzuweisen.
3. Eventualiter sei festzustellen, dass der Pflichtteil des Beschwerdeführers im Nachlass des 2015 verstorbenen C._, wohnhaft gewesen in U._ (nachfolgend "Erblasser"), drei Achtel (3/8) beträgt und der Beschwerdeführer demzufolge einen rechtlichen Anspruch auf 3/8 am Nachlass hat; auf weitere Rechtsbegehren sei nicht einzutreten.
4. Subeventualiter sei das Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 3.7.2019 (LB180066-O/U) aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
5. Unter Kosten- und Entschädigungsfolgen (zuzüglich Mehrwertsteuern) zulasten des Beschwerdegegners.
In seiner Vernehmlassung vom 25. Februar 2020 beantragt B._ (Beschwerdegegner) die Abweisung der Beschwerde. Das Obergericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Ausserdem hat das Bundesgericht die kantonalen Akten eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil betrifft eine Zivilsache (<ref-law>) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit, deren Streitwert gemäss den Feststellungen des Obergerichts Fr. 527'204.-- beträgt und den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Es ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (<ref-law>), lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>) und schliesst das Verfahren ab (<ref-law>). Auf die - im Weiteren fristgerecht erhobene (<ref-law>) - Beschwerde in Zivilsachen kann im Grundsatz eingetreten werden.
2.
Der Beschwerdegegner wendet ein, die in der Beschwerde an das Bundesgericht formulierten Rechtsbegehren seien neu und damit unzulässig. In der Tat können im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht keine neuen Begehren gestellt werden (<ref-law>). Die vorinstanzlich gestellten Begehren können vor Bundesgericht eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet oder geändert werden (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 3.4.2; <ref-ruling> E. 2). Der Beschwerdegegner übersieht, dass der Beschwerdeführer mit Ziff. 2 ein Begehren stellt, das zwar nicht dem Wortlaut, aber immerhin dem Inhalt nach mit dem im Berufungsverfahren unter Ziff. 3.a gestellten (Sub-) Eventualbegehren übereinstimmt. Verzichtet ein Beschwerdeführer auf sein ursprünglich gestelltes Hauptbegehren und beschränkt er sich vor Bundesgericht auf sein bereits vor Vorinstanz gestelltes Eventualbegehren, weitet er den Streitgegenstand nicht aus und liegt kein Anwendungsfall von <ref-law> vor. Der Einwand des Beschwerdegegners ist unbegründet.
3.
Streitig ist, ob die Herabsetzung der letztwilligen Verfügung des Erblassers vom 12. Januar 1998 Teil des Streitgegenstandes ist, den der Beschwerdeführer dem Bezirksgericht Horgen zur Beurteilung unterbreitet hat.
3.1.
3.1.1. Wer vor Gericht gegenüber einem Dritten einen Anspruch geltend macht, hat die für den Zuspruch der beantragten Rechtsfolge (Rechtsbegehren) relevanten Tatsachen zu behaupten (Art. 221 Abs. 1 Bst. d ZPO) und die Beweismittel zu bezeichnen, mit denen er die behaupteten Tatsachen zu beweisen beabsichtigt (Art. 221 Abs. 1 Bst. e ZPO). Die Rechtsanwendung ist alsdann Sache des Gerichts ( da mihi facta, dabo tibi ius). Rechtsanwendung von Amtes wegen bedeutet, dass das Gericht das Recht von sich aus anzuwenden hat ( iura novit curia; <ref-law>). Die Parteien brauchen das Recht nicht zu kennen (Baumgartner/Dolge/Markus/Spühler, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 10. Aufl. 2018, Kap. 5 Rz. 48) und können auf die rechtliche Würdigung keinen Einfluss nehmen (<ref-ruling> E. 3b: «Savoir sur quelle base juridique une indemnité est due à la demanderesse en raison de la résiliation du contrat de travail est une question de droit soumise au libre examen du Tribunal fédéral. Ce dernier peut rechercher librement dans quelle mesure et en vertu de quelles dispositions le montant total de 21'000 fr. est fondé.»). Selbst wenn die Klage rechtliche Ausführungen enthalten kann (<ref-law>), spielt es keine Rolle, ob sich die Parteien bei der Begründung ihrer Begehren auf die richtigen Rechtsnormen berufen oder nicht (Guldener, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 156; Leuenberger/Uffer-Tobler, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2016, Rz 4.49). Der kantonale Richter ist nie an eine unvollständige oder irrige rechtliche Begründung seitens der Parteien gebunden (<ref-ruling> E. 2 und die seitherige Rechtsprechung: <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4, 95 II 242 E. 3, 92 II 305 E. 5, 91 II 63 E. 2, <ref-ruling> E. 6b).
3.1.2. Allerdings ziehen die Rechtsbegehren der Parteien die Grenzen, innerhalb derer sich das Gericht mit seiner rechtlichen Beurteilung bewegen darf (Dispositionsgrundsatz; <ref-law>). Entsprechend darf das Gericht ausserhalb des durch die Rechtsbegehren bestimmten Streitgegenstandes nach dem Grundsatz ne eat iudex ultra petita partium keine Gesichtspunkte heranziehen und beurteilen. Demgegenüber muss es den von einer Partei erhobenen Anspruch auf alle möglichen Entstehungsgründe hin beurteilen (Guldener, a.a.O.; Staehelin/ Staehelin/Grolimund, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 24 Rz. 17; Gehri, in: Basler Kommentar, Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 4 zu <ref-law>), d.h. das Gericht muss sich auch mit einem von den Parteien nicht eingenommenen Rechtsstandpunkt befassen (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 2).
3.2. Im vorliegenden Fall geht es also nicht um die Frage, ob der Beschwerdeführer Ungültigkeit im Sinn von Art. 519 oder Art. 520 ZGB oder aber (auch) die Herabsetzung der letztwilligen Verfügung nach <ref-law> geltend gemacht hat, sondern darum, ob die vom Kläger behaupteten bzw. bewiesenen Tatsachen die gestellten Begehren zu tragen vermögen; auf welchem rechtlichen Fundament der eingeklagte Anspruch allenfalls zugesprochen wird, ist für die vorliegend zu beantwortende Frage nicht massgebend.
3.3. Aus den unbestritten gebliebenen Tatsachenbehauptungen ergibt sich, dass der Beschwerdeführer der Sohn und damit Nachkomme des Erblassers ist, dass dieser den Beschwerdegegner zum Alleinerben erklärt hat und der Beschwerdeführer somit leer ausgehen würde. Im Raum steht damit die gesetzliche Erbenqualität (<ref-law>), die Pflichtteilsberechtigung (<ref-law>) und die Überschreitung der Verfügungsbefugnis (<ref-law>). Dies alles gehört zum Streitgegenstand, den der Beschwerdeführer dem Bezirksgericht zum Entscheid unterbreitet hat.
3.4. Zu prüfen bleibt, ob der Beschwerdeführer den Streitgegenstand mit seinen Rechtsbegehren eingeschränkt hat (E. 3.1.2).
3.4.1. Ein Rechtsbegehren muss so bestimmt formuliert sein, dass es bei Gutheissung der Klage zum Urteil erhoben werden kann (<ref-ruling> E. 5.3.1). Bei Klagen auf Geldzahlung muss es grundsätzlich beziffert werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.3); ist es der klagenden Partei unmöglich oder unzumutbar, ihre Forderung zu Beginn des Prozesses zu beziffern, kann sie eine unbezifferte Forderungsklage erheben (<ref-law>).
3.4.2. Im Rechtsbegehren Ziff. 1 beanstandet der Beschwerdeführer die Einsetzung des Beschwerdegegners als Alleinerben ("... sei insofern ungültig zu erklären, als sie den Beklagten zum Alleinerben ernennt."). Auch der Klagebegründung ist klar zu entnehmen, dass der Beschwerdeführer mit der testamentarisch verfügten Einsetzung des Beschwerdegegners als Alleinerbe nicht einverstanden ist. Dass er dabei den Begriff "ungültig" verwendet, schadet ihm nicht. Weil es keine Rolle spielt, ob sich die Parteien bei der Begründung ihrer Begehren auf die richtigen Rechtsnormen berufen oder nicht (E. 3.1.1), kann daraus nicht abgeleitet werden, der Beschwerdeführer habe (ausschliesslich) eine Ungültigkeitsklage erhoben. Ebenso wenig ist erheblich, ob er in seiner Klagebegründung den Begriff "Herabsetzung" oder "herabsetzen" verwendet, so dass aus einer solchen Unterlassung - entgegen der Auffassung des Obergerichts - nicht der Schluss gezogen werden kann, der Beschwerdeführer habe die Herabsetzung im Sinn von <ref-law> nicht verlangt. Auch schadet ihm die vor Bezirksgericht zu Protokoll gegebene Aussage, auf welche der Beschwerdegegner hinweist, wonach der Beschwerdeführer nicht gewusst habe, dass er eine Herabsetzungsklage einreichen müsse, nicht, denn auch diesbezüglich geht es um die Rechtsanwendung. Weiter unterschlägt das Obergericht, worauf der Beschwerdeführer zutreffend hinweist, die ebenfalls protokollierte Aussage des Beschwerdeführers, er halte das Testament nicht für richtig, "weil mein Pflichtteil verletzt worden ist (...) " (Prot. I S. 24). Schliesslich geht aus dieser Ziffer (und der Begründung) eindeutig hervor, dass die letztwillige Verfügung vom 12. Januar 1998, welche den Beschwerdeführer von der Erbfolge ausschliesst, Anfechtungsobjekt ist. Mithin kann der Auffassung des Obergerichts, wonach die klägerischen Anträge vorliegend mangels Bezeichnung einer herabsetzbaren Zuwendung unter keinen Umständen als Herabsetzungsklage interpretiert werden könnten, nicht gefolgt werden.
3.4.3. Das Rechtsbegehren Ziff. 2 ("Es sei festzustellen, dass der Kläger als gesetzlicher Erbe am Nachlass beteiligt ist.") bedeutet, dass der Beschwerdeführer gesetzlicher Erbe sein will und somit Erbenstellung beansprucht. Daraus lässt sich nicht ableiten, er habe ausschliesslich eine Ungültigkeitsklage erhoben, denn: Der Erblasser hat den Beschwerdeführer nicht im Sinn von <ref-law> enterbt, sondern den Beschwerdegegner als Alleinerben eingesetzt. Damit überging der Erblasser den Beschwerdeführer vollständig, und dieser ist von der Erbschaft ausgeschlossen. In der vorliegenden Konstellation muss der Beschwerdeführer (vorab) die Erbenstellung erlangen, damit er die Herabsetzung durchsetzen kann.
3.4.4. Mit dem Rechtsbegehren Ziff. 3 ("Demzufolge sei der Beklagte zu verpflichten, dem Kläger einen durch das Gericht zu ermittelnden Betrag zuzüglich Zins von 5 % seit Verzug zu bezahlen.") hat der Beschwerdeführer ein unbeziffertes Leistungsbegehren gestellt. In dieser Phase des Prozesses war dies, worauf auch das Obergericht verweist und vom Beschwerdegegner nicht bestritten wird, ohne Weiteres zulässig (<ref-law>; E. 3.4.1). Freilich strebte er damit in erster Linie die hälftige Beteiligung am Nachlass an. Im Verlauf des Verfahrens hat er indes seine Forderung eventualiter auf seinen Pflichtteil, d.h. auf 3/8 des Nachlassvermögens reduziert. Das Obergericht hält dies nicht für eine unzulässige Klageänderung. Der Beschwerdegegner verweist zwar auf das im Schlichtungsverfahren gestellte Begehren ("Es sei festzustellen, dass der Kläger als gesetzlicher Erbe zur Hälfte am Nachlass beteiligt ist."), behauptet aber ebenfalls nicht, mit dem anlässlich der Hauptverhandlung eingeführten Zusatz (" - und zwar mindestens den Pflichtteil - ") eine unzulässige Klageänderung vorgenommen zu haben. Das (Eventual-) Ziel erreicht der Beschwerdeführer, wenn erstellt ist, dass der Erblasser seine Verfügungsbefugnis überschritten hat (<ref-law>).
3.4.5. Zusammengefasst ist nicht erkennbar, dass der Beschwerdeführer mit seinen Begehren den Streitgegenstand (E. 3.3) auf eine reine Ungültigkeitsklage im Sinn von <ref-law> reduziert hat.
4.
Gestützt auf die vorstehenden Ausführungen erweist sich die Beschwerde als begründet. Somit ist der angefochtene Entscheid aufzuheben. Da bereits das Bezirksgericht bundesrechtswidrig entschied, hat es den erforderlichen Sachverhalt nicht festgestellt. Damit drängt es sich auf, die Sache an das Bezirksgericht Horgen zurückzuweisen, damit dieses die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen trifft und gestützt darauf neu entscheidet (<ref-law>). Sodann wird das Obergericht neu über die Kostenfolgen des Berufungsverfahrens zu befinden haben (Art. 67 und 68 Abs. 5 BGG). Ausgangsgemäss hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu tragen (<ref-law>) und schuldet dem Beschwerdeführer eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Gutheissung der Beschwerde wird der Entscheid des Obergerichts des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, vom 3. Juli 2019 (LB180066-O/U) aufgehoben und die Sache an das Bezirksgericht Horgen zur Ergänzung der Sachverhaltsfeststellung und neuem Entscheid zurückgewiesen. Das Obergericht des Kantons Zürich hat neu über die Kostenfolgen des Berufungsverfahrens zu befinden.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller