Sachverhalt:
A.
Mit Urteil vom 22. Januar 2018 / 7. Juni 2019 sprach das Bezirksgericht Kreuzlingen A._ der mehrfachen qualifizierten Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz, der Anstiftung zum Raub, der mehrfachen versuchten qualifizierten Erpressung, der versuchten Erpressung, der qualifizierten Förderung der rechtswidrigen Ein- und Ausreise sowie des rechtswidrigen Aufenthalts (Menschenschleuserei), der Nötigung, der Widerhandlung gegen das Waffengesetz, der Sachbeschädigung sowie der groben Verletzung der Verkehrsregeln schuldig und verurteilte ihn zu einer Freiheitsstrafe von 14 Jahren. Sowohl A._ als auch die Staatsanwaltschaft erhoben gegen das Urteil Berufung beim Obergericht des Kantons Thurgau.
B.
B.a. Im Berufungsverfahren wird A._ seit dem 7. Mai 2019 von Rechtsanwalt B._ amtlich verteidigt. Am 21. April 2020 ersuchte er beim Obergericht des Kantons Thurgau um Entlassung von Rechtsanwalt B._ als amtlichen Verteidiger. Zur Begründung machte er im Wesentlichen ein gestörtes Vertrauensverhältnis geltend. Das Obergericht wies das Gesuch mit Entscheid vom 18. Mai 2020 ab.
B.b. Mit Eingabe vom 3. August 2020 beantragte A._ erneut die sofortige Entlassung von Rechtsanwalt B._ als amtlichen Verteidiger, da dieser im Zusammenhang mit einem Kostenvorschuss unrechtmässig Geld zurückbehalten habe. Am 17. September 2020 zeigte A._ dem Obergericht an, dass er sein Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung zurückziehe, woraufhin dieses das Verfahren mit Entscheid vom 21. September 2020 als erledigt abschrieb.
B.c. Mit einem am 3. Dezember 2020 bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau eingegangenen Schreiben beantragte A._ abermals einen Wechsel der amtlichen Verteidigung. Zur Begründung machte er wiederum geltend, das Vertrauensverhältnis zwischen ihm und Rechtsanwalt B._ sei gestört. Nachdem die Staatsanwaltschaft das Schreiben in der Folge zuständigkeitshalber an das Obergericht weitergeleitet hatte, wies dieses das Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung mit Urteil vom 21. Januar 2021 ab. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, dass keine konkreten und objektiven Hinweise auf eine relevante Störung des Vertrauensverhältnisses zwischen A._ und Rechtsanwalt B._ ersichtlich seien und dass diesem im laufenden Berufungsverfahren auch keine Pflichtvernachlässigungen vorgeworfen werden könnten.
C.
Mit Eingabe vom 22. Januar 2021 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht mit dem sinngemässen Antrag, das Urteil des Obergerichts vom 21. Januar 2021 aufzuheben und ihm für das Berufungsverfahren vor dem Obergericht den Wechsel der amtlichen Verteidigung zu gewähren.
Das Obergericht und der amtliche Verteidiger beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Generalstaatsanwaltschaft stellt keinen Verfahrensantrag, führt jedoch aus, dass sie das Vertrauensverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und seinem amtlichen Verteidiger als zerrüttet erachtet. Der Beschwerdeführer und der amtliche Verteidiger replizieren.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer strafrechtlichen Angelegenheit. Dagegen steht die Beschwerde nach <ref-law> offen. Der angefochtene Entscheid schliesst das Verfahren indessen nicht ab; es handelt sich mithin um einen Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 1.2) bewirken könnte (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>; zum Ganzen Urteile 1B_507/2019 vom 24. Juni 2020 E. 1.1; 1B_181/2019 vom 18. April 2019 E. 2.1).
2.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll. Im Zusammenhang mit der Anfechtung von Zwischenentscheiden sind zudem die Tatsachen anzuführen, aus denen sich der nicht wiedergutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> ergeben soll, sofern dies nicht offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 1.3).
3.
Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeschrift nicht. Die Vorbringen des Beschwerdeführers erschöpfen sich in Kritik an seinen Haftbedingungen sowie einer damit zusammenhängenden Anzeige gegen den Leiter der Sicherheitsabteilung des Gefängnisses Pfäffikon, der seiner Ansicht nach zu langen Haftdauer, seiner medizinischen Versorgung sowie seiner bevorstehenden Begutachtung zur Klärung der Frage, ob die Voraussetzungen einer Verwahrung nach <ref-law> erfüllt sind. Diese Umstände sind jedoch nicht Teil des Streitgegenstands des vorliegenden Beschwerdeverfahrens. Konkrete Ausführungen zur Frage, warum der angefochtene Entscheid einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken könnte, fehlen gänzlich. Der Beschwerdeführer setzt sich demzufolge nicht sachgerecht mit dem angefochtenen Entscheid auseinander und legt unter Verletzung seiner gesetzlichen Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2) nicht dar, inwiefern das Obergericht Bundesrecht verletzt hat, indem es sein Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung abwies. Dies ist auch nicht ersichtlich. Das Obergericht hat unter korrekter Berücksichtigung der massgebenden Rechtsprechung des Bundesgerichts sowie unter umfassender Würdigung der konkreten Sachumstände nachvollziehbar dargelegt, dass der amtliche Verteidiger seine Pflichten gegenüber dem Beschwerdeführer nicht vernachlässigt hat und keine konkreten und objektiven Hinweise bestehen, die für die Annahme einer erheblichen Störung des Vertrauensverhältnis sprechen würden (E. 3 lit. c/bb des angefochtenen Entscheids). Hierauf kann verwiesen werden (<ref-law>).
4.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde wegen Verletzung der gesetzlichen Begründungspflicht nicht einzutreten. Umständehalber kann auf die Erhebung von Kosten ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Thurgau und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Hahn