Erwägungen:
1.
1.1. Die Stadtgärtnerei des Kantons Basel-Stadt entzog A.A._ und B.A._ wegen "Nichtbefolgung von Anordnungen der Aufsichtsorgane" sowie "Nichterfüllen der finanziellen Verpflichtungen" den von ihnen betriebenen Freizeitgarten. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid der Freizeitgartenkommission vom 7. September 2018; Urteil des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht vom 10. Juli 2019).
1.2. A.A._ und B.A._ gelangten am 16. September 2019 gegen das Urteil des Appellationsgerichts (als Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt) an das Bundesgericht. Da auf der Rechtsschrift die eigenhändigen Unterschriften fehlten, wurden die Beschwerdeführerinnen mit Verfügung vom 18. September 2019 aufgefordert, diesen Mangel bis spätestens am 3. Oktober 2019 zu beheben, ansonsten ihre Rechtsschrift unbeachtet bleibe.
1.3. A.A._ und B.A._ ersuchten das Bundesgericht am 29. September 2019, ihnen die entsprechende Frist um 30 Tage bis zum 3. November 2019 zu verlängern. Mit Schreiben vom 1. Oktober 2019 wurde Ihnen mitgeteilt, dass die Frist letztmals bis zum 10. Oktober 2019 erstreckt werde, da es nur darum gehe, dass sie ihre Beschwerdeschrift unterschrieben; weitere Verbesserungen der Eingabe seien nicht möglich, da die Beschwerdefrist abgelaufen sei.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 BGG müssen Rechtsschriften eigenhändig unterschrieben sein (vgl. die Urteile 2C_1209/2013 vom 15. Januar 2014 E. 2.1; 2C_610/2010 vom 21. Januar 2011 E. 2.3; 2C_177/2010 vom 14. April 2010; 9C_739/2007 vom 28. November 2007 E. 1.2; ebenso schon unter der Herrschaft des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 1943 über die Organisation der Bundesrechtspflege [OG], s. <ref-ruling> E. 3 S. 255 f.). Fehlt die Unterschrift der Partei, so wird ihr eine angemessene Frist zur Behebung des Mangels angesetzt mit der Androhung, dass die Rechtsschrift andernfalls unbeachtet bleibt (Art. 42 Abs. 5 BGG).
2.2. Die Beschwerdeführerinnen sind der Auflage nicht fristgerecht nachgekommen, ein mit Unterschrift versehenes Exemplar der Beschwerdeschrift einzureichen. Dies führt, wie den Beschwerdeführerinnen am 1. Oktober 2019 in Aussicht gestellt wurde, dazu, dass auf ihre Eingabe nicht eingetreten werden kann, falls ihnen die Verfügung zur Mangelbehebung formgültig eröffnet worden ist.
2.3.
2.3.1. Gemäss Art. 44 Abs. 2 BGG gilt eine Mitteilung, die nur gegen Unterschrift des Adressaten oder der Adressatin oder einer anderen berechtigten Person überbracht wird, spätestens am siebten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellungsversuch als eröffnet. Diese Zustellfiktion greift (auch) dann, wenn die betroffene Partei es in Missachtung der ihr aufgrund des Prozessrechtsverhältnisses obliegenden Pflichten unterlassen hat, dem Bundesgericht die allfällige Änderung der von ihr angegebenen Adresse, eine längere Abwesenheit oder sonstige Zustellungshindernisse bekannt zu geben (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 399; <ref-ruling> E. 3a S. 15; <ref-ruling> E. 2a S. 297 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 189 f.). Voraussetzung bleibt indessen, dass der Adressat mit der entsprechenden Zustellung rechnen musste.
2.3.2. Dies war hier der Fall: Die Beschwerdeführerinnen gelangten am 12./16. September 2019 an das Bundesgericht. Die Mängelbehebungsverfügung wurde ihnen am 18. September 2019 zugestellt, worauf sie am 29. September 2019 um eine Fristverlängerung ersuchten; sie mussten damit rechnen, dass sie auf ihr Gesuch zeitnah eine Antwort erhalten würden. Nach sieben Tagen galt die Verfügung des Bundesgerichts vom 1. Oktober 2019 somit als zugestellt, auch wenn sie das Schreiben auf der Post nicht abgeholt haben sollten.
2.3.3. Der Eingang des bundesgerichtlichen Schreibens wurde ihnen von der Post am 2. Oktober 2019 angezeigt und sie wurden eingeladen, dieses bis zum 9. Oktober 2019 abzuholen. Sie haben hierauf bei der Post um eine Verlängerung der Abholfrist ersucht und damit selber die Zustellung der Verfügung vom 1. Oktober 2019 vereitelt, obwohl sie mit dem Eingang des Fristverlängerungsentscheides rechnen mussten und nicht davon ausgehen durften, die Verlängerung werde ihnen für die beantragte Dauer gewährt.
2.4. Auf die Beschwerde, die ohnehin kaum eine den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügende Begründung enthält (erforderlich wäre eine gezielte Auseinandersetzung mit den Sachverhaltsfeststellungen [mit erhöhten Begründungsanforderungen, s. <ref-ruling> E. 4.1.2] und den rechtlichen Erwägungen der Vorinstanz und keine bloss appellatorische Kritik), ist mit Entscheid des Einzelrichters im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.5. Die Gerichtskosten (Art. 65 BGG) haben dem Ausgang des Verfahrens entsprechend die Beschwerdeführerinnen solidarisch zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG). Da die Eingabe in der vorliegenden Form (ohne Unterschriften) als von Vornherein aussichtslos zu gelten hatte, ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (vgl. zur Zuständigkeit des Einzelrichters hierfür: Art. 64 Abs. 3 BGG sowie das Urteil 2C_423/2007 vom 27. September 2007 E. 3.1). Es sind im Übrigen keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführerinnen unter solidarischer Haftung auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar