Sachverhalt:
A.
A._ (Klägerin, Beschwerdeführerin) arbeitete als Pflegefachfrau im Spital B._ (Beklagter 1, Beschwerdegegner 1), einem öffentlichen Spital des Kantons Basel-Stadt (Beklagter 2, Beschwerdegegner 2). Am Abend des 8. März 2010 erlitt sie während der Arbeit in der Küche ihrer Station einen Unfall: Als sie einen Einbauschrank öffnete, kamen ihr nach ihren Aussagen ein ungefähr fünf Kilogramm schweres Regalbrett und ein Gitter aus Überkopfhöhe entgegen und trafen sie am Kopf. Am folgenden Tag wurden in der Notfallstation des Universitätsspitals Basel eine Hirnerschütterung und eine Kontusion der Halswirbelsäule festgestellt. Der Heilungsprozess verlief ungünstig, worauf der Beklagte 1 das Arbeitsverhältnis mit der Klägerin per Ende September 2011 aus gesundheitlichen Gründen kündigte. Am 4. November 2012 stürzte die Klägerin erneut - ihrer Ansicht nach aufgrund der unfallbedingten neurologischen Ausfälle - und verletzte sich am Knie. Die Schweizerische Unfallversicherungsanstalt (SUVA) sprach ihr in der Folge eine Invalidenrente von 25 % und eine Integritätsentschädigung von 5 % zu. Die Invalidenversicherung (IV) gewährte der Klägerin ab Juni 2011 eine volle und ab Oktober 2011 noch eine halbe Invalidenrente, bevor sie die Rentenleistungen ab Juli 2012 einstellte.
B.
Am 13. März 2017 reichte die Klägerin beim Zivilgericht Basel-Stadt eine Teilklage ein und beantragte, der Beklagte 1 und der Beklagte 2 seien zu verpflichten, ihr Fr. 30'000.-- nebst Schadenszins zu 5 % seit Eintritt des Schadens zu bezahlen. Das Zivilgericht beschränkte das Verfahren auf die Frage der grundsätzlichen Haftung. Mit Entscheid vom 14. März 2018 wies es (Einzelrichter) die Klage ab.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, wies die von der Klägerin gegen diesen Entscheid erhobene Berufung mit Entscheid vom 20. März 2019 ab. Es hielt fest, das Gesetz des Kantons Basel-Stadt vom 17.11.1999 über die Haftung des Staates und seines Personals (Haftungsgesetz, SG 161.100) verweise auf das Zivilrecht und verneinte sodann einen Anspruch aus Werkeigentümerhaftung gemäss <ref-law>. Die beweispflichtige Klägerin habe nicht nachgewiesen, dass der Einbauschrank einen Werkmangel aufgewiesen habe. Ein Gitter, welches im Schrank gelagert worden sei, wie auch anderer möglicher Schrankinhalt seien nicht Bestandteil des Werks. Es sei auch nicht zu beanstanden, dass das Zivilgericht den von der Klägerin behaupteten Unfallhergang als nicht erwiesen erachtet habe. Auch eine Haftung des Arbeitgebers aufgrund einer Verletzung der Fürsorgepflicht sei nicht gegeben.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. Mai 2019 beantragt die Klägerin dem Bundesgericht, der Entscheid des Appellationsgerichts Basel-Stadt sei kostenfällig aufzuheben und es sei eine Haftung der Beschwerdegegner zu bejahen. Eventuell sei die Teilklage gutzuheissen und die Beschwerdegegner zur Bezahlung von Fr. 30'000.-- zuzüglich Schadenszins zu verurteilen, wobei eine Mehrforderung vorbehalten sei. Subeventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung an das Appellationsgericht zurückzuweisen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1. 3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 362). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 246).
4.
Die Beschwerdeführerin kritisiert in ihrer Beschwerde nur noch die Ausführungen der Vorinstanz zur Werkeigentümerhaftung. Auf die Beurteilung der Arbeitgeberhaftung ist somit mangels Rüge (vgl. E. 1 hiervor) nicht mehr einzugehen.
5.
Als Werk im Sinn von <ref-law> gilt nur eine stabile, durch Menschenhand künstlich hergestellte oder angeordnete, bauliche oder technische Anlage, die mit dem Erdboden direkt oder indirekt sowie dauerhaft verbunden ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 740; <ref-ruling> E. 2a S. 449 mit Hinweisen). Zum Werk gehören auch Teile und Zugehör, wenn sie mit dem Werk fest verbunden sind (<ref-ruling> E. 2 S. 203).
5.1. Die Vorinstanz führte aus, es sei unbestritten, dass der Einbauschrank als solcher den Werkbegriff erfülle. Beim Gitter, das im Schrank gelagert und der Beschwerdeführerin entgegengefallen sein solle, handle es sich aber - ebenso wie bei weiterem Schrankinhalt - nicht um einen Bestandteil des Werks, der für sich die Mangelhaftigkeit des Werks begründen könnte. Nur die fest montierten Regalbretter seien als Werkbestandteil zu qualifizieren. Um diesbezüglich einen Werkmangel zu begründen, müsste die Beschwerdeführerin nachweisen, dass ein Herausrutschen eines solchen Regalbretts (Tablars) überhaupt möglich gewesen wäre. Dazu habe die Beschwerdeführerin nichts substanziiert. Hierfür hätte aber umso mehr Anlass bestanden, als die Schlichterin nach dem von der Schlichtungsbehörde durchgeführten Augenschein im Protokoll der Schlichtungsverhandlung festgehalten habe, das Tablar werde "durch die Türe blockiert". Zudem habe der Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am Augenschein die Situation nachgestellt, wenn ein Auflieger ("Stöpsel") vorne links fehle. Er habe dazu festgehalten, dass das "Tablar" dann kippe. Dazu werde im Protokoll unmittelbar anschliessend angemerkt, das Regalbrett werde dann "rechts durch den Anschlag der Türe blockiert". Sinngemäss verneinte die Vorinstanz aufgrund dieser Angaben, dass ein Herausrutschen eines montierten Regalbretts überhaupt möglich gewesen wäre.
Die blosse Möglichkeit, dass ein nicht montiertes Regalbrett oder sonstiger Schrankinhalt herausgerutscht sei, genüge für den Nachweis eines Werkmangels nicht, so die Vorinstanz weiter. Damit bezog sie sich auf die Rüge der Beschwerdeführerin gegenüber einer Feststellung des Zivilgerichts; dieses hatte unter Hinweis auf das Protokoll des Augenscheins und die dort gemachten Fotos festgehalten, beim Augenschein seien auch kleinere Tablare vorgefunden worden, die offenbar für andere Schränke vorgesehen waren und im fraglichen Schrank nicht hätten montiert werden können.
5.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine falsche Auslegung von <ref-law>. Die Vorinstanz habe mit ihrer Begründung verlangt, sie müsste nachweisen, dass ein montiertes Regalbrett herausgerutscht sei. Das sei eine unmögliche Forderung. Ein Regalbrett könne nicht herausrutschen, wenn es korrekt montiert sei. Ein schlecht oder nicht montiertes Teil eines Werks, das Zugehör im Sinn von <ref-law> bilde, gehöre auch dann zum Werk, wenn es herausrutsche oder hinunterfalle. Es sei ein Mangel, wenn ein Regalbrett herausrutsche, das eigentlich montiert sein müsste.
5.2.1. Die Vorinstanz hat mit ihrem Hinweis, ein Herausrutschen sei nicht möglich, wenn ein Auflieger ("Stöpsel") fehle, auch das Herausrutschen eines schlecht montierten Regalbrettes ausgeschlossen. Wenn die Beschwerdeführerin ausführt, auch ein schlecht montiertes Regalbrett könne herausfallen, beanstandet sie daher sinngemäss die Beweiswürdigung der Vorinstanz; ihr pauschaler Hinweis erfüllt aber die Anforderungen an eine Willkürrüge (E. 3 hiervor) offensichtlich nicht. Darauf ist nicht einzutreten.
5.2.2. Ob ein Regalbrett, das montiert sein müsste, weil zum Schrank gehörend, aber nicht montiert ist, einen Werkmangel darstellen würde, kann offenbleiben. Denn die Vorinstanz hat in tatsächlicher Hinsicht nicht festgehalten, dass Regalbretter im Schrank waren, die hätten montiert werden können bzw. müssen. Sie ging unter Hinweis auf die Feststellungen des Zivilgerichts vielmehr davon aus, beim Augenschein seien auch kleinere Tablare vorgefunden worden, die offenbar für andere Schränke vorgesehen gewesen seien. Damit ein Regalbrett montiert werden kann, muss es das entsprechende Format für den Schrank haben. Vorinstanzlich hatte die Beschwerdeführerin gemäss den Feststellungen im angefochtenen Entscheid zwar noch geltend gemacht, auch kleinere Regalbretter könnten durchaus im Schrank montiert werden. Zu Recht behauptet sie das im Beschwerdeverfahren nicht mehr. Damit stösst ihr Einwand, auch ein nicht montiertes Regalbrett sei Zugehör im Sinn von <ref-law> und daher Bestandteil des Werks, ins Leere. Ein kleineres Tablar, welches nicht das zum besagten Schrank passende Format hat und deshalb nicht montiert werden kann, bildet zum vornherein kein Zugehör. Aufgrund dessen bestand für die Vorinstanz, entgegen der Beschwerdeführerin, auch kein Anlass, auf die an der erstinstanzlichen Hauptverhandlung gemachte Aussage der Zeugin C._, welche "das Problem der losen Regalbretter" bestätigt habe, weiter einzugehen. Von einer willkürlichen Beweiswürdigung, weil ein entscheidwesentliches Beweismittel nicht berücksichtigt worden wäre (vgl. E. 3 hiervor), kann daher nicht die Rede sein.
5.2.3. Schliesslich ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz nichts daraus ableitete, dass die SUVA der Beschwerdeführerin Leistungen erbracht hatte. Vielmehr hielt die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich fest (vgl. E. 2 hiervor), die SUVA habe in ihrem Bericht vom 16. August 2011 ebenfalls keine Mängel an den Küchenschränken festgestellt. Die Beschwerdeführerin erhebt keine rechtsgenügliche Willkürrüge (vgl. E. 3 hiervor), wenn sie ausführt, der Bericht der SUVA belege, dass "der Küchenschrank wohl in einem mangelhaften Zustand war".
5.3. Das Zivilgericht und mit ihm die Vorinstanz stützten sich auf den Augenschein, welche die Schlichtungsbehörde durchgeführt hatte bzw. das dazu erstellte Protokoll und die Fotos.
5.3.1. Die Beschwerdeführerin rügt unter Hinweis auf E. 3.1 der vorinstanzlichen Erwägungen, ihre eigenen Wahrnehmungen und jene der Vorinstanzen würden auseinandergehen. Die Interpretation des technischen Sachverhalts durch die Vorinstanzen werde bestritten. Dies hätte die Vorinstanz veranlassen müssen, selbst einen Augenschein gemäss <ref-law> durchzuführen. Die Interpretation des Augenscheinprotokolls könne den eigenen Augenschein durch das Gericht nicht ersetzen.
5.3.2. Das Gericht kann zur unmittelbaren Wahrnehmung von Tatsachen oder zum besseren Verständnis des Sachverhalts auf Antrag einer Partei oder von Amtes wegen einen Augenschein durchführen (<ref-law>). Der Augenschein ist also einerseits klassisches Beweismittel, andererseits dient er dem Gericht auch nur zum besseren Verständnis des Sachverhalts und ist insofern Informations- und Aufklärungsmittel (Urteil 5A_723/2017 vom 17. Dezember 2018 E. 6.5.2; Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7323 Ziff. 5.10.3 zu Art. 178 und 179). Aus der Botschaft geht hervor, dass der Augenschein soweit ihm Beweismittelfunktion zukommt, zur Durchführung im Bereich der Verhandlungsmaxime einen Parteiantrag erfordert. Wo er als Informationsmittel hingegen nur dem besseren Verständnis dienen soll, kann er auch von Amtes wegen angeordnet werden (zit. Urteil 5A_723/2017 E. 6.5.2).
Es ist unklar, was die Beschwerdeführerin mit ihren Vorbringen genau rügen will und fraglich, ob daher die Anforderungen an eine rechtsgenügliche Rüge (vgl. E. 1 hiervor) erfüllt sind. Aber auch wenn dem so wäre, könnte dem Einwand nicht gefolgt werden. Mit dem Hinweis auf die " Interpretation" des Augenscheinprotokolls scheint es der Beschwerdeführerin wohl darum zu gehen, dass die Vorinstanz sich hätte einen eigenen unmittelbaren Eindruck verschaffen sollen, also einen Augenschein im Sinn eines Aufklärungsmittels hätte durchführen müssen. Sie behauptet nicht (und Entsprechendes ergibt sich auch nicht aus dem angefochtenen Entscheid), dass sie im erstinstanzlichen Verfahren einen Antrag auf Wiederholung des von der Schlichtungsbehörde durchgeführten Augenscheins gestellt bzw. dies im Berufungsverfahren erneut gerügt hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 293 mit Hinweisen). Der Vorwurf läuft somit darauf hinaus, dass die Vorinstanz von Amtes wegen im Sinn eines Aufklärungsmittels einen zweiten Augenschein hätte durchführen müssen. Als Aufklärungs- bzw. Informationsmittel ist der Augenschein mit der gerichtlichen Fragepflicht gemäss <ref-law> verwandt (so zutreffend: HEINRICH ANDREAS MÜLLER, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Alexander Brunner und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 11 zu <ref-law>). Das Gericht hat einen solchen nach pflichtgemässem Ermessen durchzuführen (MÜLLER, a.a.O., N. 11 und N. 14 zu <ref-law>. Ebenso betreffend die vergleichbare Fragestellung bei der Wiederholung von Abklärungen der sachverständigen Person: THOMAS WEIBEL, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Thomas Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 11 zu <ref-law>; SVEN RÜETSCHI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N. 11 zu <ref-law>). Wenn die anwaltlich vertretene Partei selber keinen Antrag auf Wiederholung des Augenscheins stellt und zu einer - wie die Beschwerdeführerin selber schreibt - eher technischen Fragestellung Fotos und Protokolle vorhanden sind, welche den Sachverhalt als solchen festhalten, missbraucht ein Gericht sein Ermessen offensichtlich nicht, wenn es nicht von Amtes wegen nochmals einen Augenschein durchführt.
5.4. Hat die Vorinstanz somit einen Werkmangel zu Recht verneint, braucht auf die weiteren Rügen der Beschwerdeführerin (u.a. betreffend den Unfallhergang) nicht weiter eingegangen zu werden.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegner haben keinen Anspruch auf Parteientschädigung, da sie sich nicht vernehmen lassen mussten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Gross