Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Entscheid vom 14. Juni 2021 verweigerte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Obwalden (im Folgenden: KESB) einer Ver-einbarung zwischen B._ und A._ betreffend die Neuregelung der Obhut und des Unterhalts ihres Sohns C._ die Zustimmung.
A.b. Gegen diesen Entscheid erhob B._ am 16. August 2021 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Obwalden.
A.c. Am 17. August 2021 holte der Gerichtspräsident II des Verwaltungsgerichts Vernehmlassungen bei den Verfahrensbeteiligten ein. Mit Schreiben vom 6. September 2021 teilte A._ dem Verwaltungsgericht mit, sie werde nunmehr anwaltlich vertreten. Gleichzeitig ersuchte sie um Verlängerung der Frist zur Vernehmlassung bis zum 27. September 2021, die ihr mit Verfügung vom 7. September 2021 gewährt wurde. Ebenfalls am 7. September 2021 zog B._ seine Beschwerde ohne Begründung und Bedingungen zurück.
A.d. Mit Entscheid vom 9. September 2021 schrieb das Verwaltungsgericht das Beschwerdeverfahren infolge Rückzugs der Beschwerde als erledigt ab (Dispositiv-Ziff. 1) und auferlegte B._ reduzierte Gerichtskosten von Fr. 200.-- (Dispositiv-Ziff. 2).
B.
A._ (Beschwerdeführerin) gelangt am 21. Oktober 2021 mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde ans Bundesgericht. Sie stellt unter Kosten- und Entschädigungsfolge die folgenden Anträge:
"1. Ziff. 2 des Entscheids des Verwaltungsgerichts Obwalden vom 9. September 2021 sei dahingehend zu ergänzen, dass der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung in der Höhe von CHF 1'471.30 zugesprochen wird.
2. Eventualiter sei der Entscheid des Verwaltungsgerichts Obwalden vom 9. September 2021 aufzuheben und insofern abzuändern, dass der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung in der Höhe von CHF 1'471.30 zugesprochen wird.
3. Subeventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung der Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Vorinstanz sei zudem anzuweisen, über das Gesuch der Beschwer deführerin um unentgeltliche Rechtspflege vom 16. September 2021 zu entscheiden, der Beschwerdeführerin die vollumfängliche unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, [ihr] die Unterzeichnende als unentgeltlichen Rechtsbeistand beizugeben und der unentgeltlichen Rechtsbeiständin eine angemessene Kostenentschädigung zuzusprechen."
Auch für das Verfahren vor dem Bundesgericht stellt die Beschwerdeführerin ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
In seiner Vernehmlassung vom 28. Oktober 2021 beantragt B._ (Beschwerdegegner 1) unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten der Beschwerdeführerin die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Einwohnergemeinde U._ sieht sich nicht legitimiert und zuständig und verzichtet daher auf eine Vernehmlassung (Schreiben vom 3. November 2021). Das Verwaltungsgericht (Beschwerdegegner 2) kritisiert mit Eingabe vom 11. November 2021 die als weitschweifig bezeichneten Ausführungen der Beschwerdeführerin und beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Auf Einzelheiten ist im Sachzusammenhang einzugehen.
Mit Eingabe vom 24. November 2021 nimmt die Beschwerdeführerin zu den Vernehmlassungen der Beschwerdegegner Stellung und hält an ihren bisherigen Anträgen fest.
Am 14. Dezember 2021 lässt das Verwaltungsgericht dem Bundesgericht den zwischenzeitlich getroffenen Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren zukommen. Das Verwaltungsgericht heisst das Gesuch der Beschwerdeführerin gut und räumt der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin die Gelegenheit ein, für das bereits abgeschlossene Verfahren ihre Kostennote einzureichen.
In der Eingabe vom 16. Dezember 2021 informiert auch die Beschwerdeführerin das Bundesgericht über den Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Beschwerdeverfahren. Sie überlässt dem Bundesgericht die Beurteilung, was dies für das vorliegende Beschwerdeverfahren bedeutet, und erwähnt lediglich, dass sie den Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 9. November 2021 nicht angefochten hätte, wenn dieses von sich aus über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden hätte.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen erfüllt sind (<ref-ruling> E. 1).
2.
Die Beschwerdeführerin wehrt sich zum einen dagegen, dass ihr die Vorinstanz in ihrem Entscheid vom 9. September 2021 keine Parteientschädigung zugesprochen hat. Zum andern beklagt sie sich darüber, dass die Vorinstanz ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht behandelt hat und sich damit eine Rechtsverweigerung bzw. Rechtsverzögerung (<ref-law>; <ref-law>) zuschulden kommen liess. Mittlerweile ist dieser Entscheid ergangen (vgl. vorne Bst. C), weshalb die Beschwerde diesbezüglich als gegenstandslos geworden abzuschreiben ist (Art. 32 Abs. 2 und Art. 71 BGG i.V.m. <ref-law>; vgl. Urteil 5A_153/2020 vom 2. April 2020 E. 2).
3.
3.1. Vor Bundesgericht ist strittig, ob der Beschwerdeführerin im abgeschriebenen Beschwerdeverfahren betreffend die Genehmigung einer Unterhalts- und Obhutsvereinbarung eine Parteientschädigung auszurichten ist. Die Zulässigkeit der Beschwerde gegen diesen Nebenpunkt richtet sich nach der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 3; Urteile 4A_33/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 1.1; 5A_285/2020 vom 9. Juni 2020 E. 1). Dort ist mit dem Entscheid, das Beschwerdeverfahren infolge Rückzugs der Beschwerde abzuschreiben, eine Endentscheid angefochten (<ref-law>; Urteil 5A_703/2013 vom 6. Februar 2014 E. 1). Bei der Genehmigung einer Vereinbarung betreffend Unterhalt und Obhut handelt es sich um eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Angelegenheit des Kindes- und Erwachsenenschutzrechts, die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Beschwerdeführerin hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ein schützenswertes Interesse daran, dass der angefochtene Entscheid aufgehoben oder ergänzt wird (<ref-law>).
3.2. Entgegen der Annahme des Beschwerdegegners 2 ist die Beschwerde an das Bundesgericht rechtzeitig erfolgt (<ref-law>). Unbestritten ist, dass der angefochtene Entscheid versehentlich zuerst der Beschwerdeführerin geschickt wurde und erst anschliessend, und zwar mit Schreiben vom 21. September 2021, ihrer Rechtsvertreterin. Auf die Eröffnung an die Vertreterin ist abzustellen (vgl. <ref-law> i.V.m. Art. 15 der Verordnung des Kantons Obwalden vom 9. März 1973 über das Verwaltungsgerichtsverfahren [VGV/OW; GDB 134.14] und <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.1). Spekulationen darüber, ob die Vertreterin allenfalls bereits früher vom angefochtenen Entscheid Kenntnis hatte, erübrigen sich.
3.3. Auf die Beschwerde in Zivilsachen ist einzutreten. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (<ref-law>). Unter Vorbehalt von E. 2 hiervor ebenfalls unzulässig bleiben Hinweise der Parteien auf nach dem angefochtenen Entscheid eingetretene Tatsachen (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.1.2).
4.
4.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>) und ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden Rechtsfragen zu untersuchen, soweit solche nicht (mehr) vorgetragen werden. In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2).
4.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft daher nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3).
Dieselben Rüge- und Begründungsvoraussetzungen gelten für das Vorbringen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 1.2.2).
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) und damit verbunden eine lückenhafte und willkürliche Feststellung des Sachverhalts vor (<ref-law>). So habe sie erst mit dem Abschreibungsentscheid Kenntnis davon erhalten, dass der Beschwerdegegner 1 seine Beschwerde zurückgezogen habe. Entsprechend habe sie sich auch nicht dazu äussern können, welche Kostenfolgen daraus resultierten. Die Feststellung, es seien ihr keine Kosten entstanden, sei angesichts der von ihr in der Hauptsache eingereichten Vernehmlassung offensichtlich unrichtig.
5.2. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Aus dieser verfassungsmässigen Garantie folgt unter anderem das Recht einer Partei, vor dem Erlass eines Abschreibungsentscheids insbesondere zur Kosten- und Entschädigungsregelung angehört zu werden (<ref-ruling> E. 4.2; Urteil 5D_21/2021 vom 20. Dezember 2021 E. 2.2).
5.3. Vorliegend steht fest und ist unbestritten, dass die Vorinstanz den Abschreibungsbeschluss fällte, ohne der Beschwerdeführerin Gelegenheit zu geben, sich dazu zu äussern. Sie hat damit das rechtliche Gehör der Beschwerdeführerin verletzt (<ref-law>). Nicht entscheidend sind die Gründe für diese Unterlassung, so die Einschätzung der Vorinstanz, der Beschwerdeführerin seien ohnehin keine Kosten entstanden.
5.4. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde gutzuheissen und die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie nach Anhörung der Parteien über die Entschädigung der Beschwerdeführerin befindet. Ein reformatorischer Entscheid entsprechend dem Haupt- und Eventualantrag der Beschwerdeführerin scheidet aus. Mit der Festlegung der Parteientschädigung sind Fragen strittig, die das Bundesgericht zum vornherein nicht mit voller Kognition überprüfen kann, womit eine Heilung der Gehörsverletzung nicht in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 4.4). Auf die weiteren Vorbringen der Beschwerdeführerin ist unter diesen Umständen nicht mehr einzugehen.
6.
Zusammenfassend ist die Rechtsverzögerungsbeschwerde als gegenstandslos geworden abzuschreiben, im Übrigen aber ist die Beschwerde gutzuheissen. Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden im Umfang von Fr. 1'000.-- dem Beschwerdegegner 1 auferlegt (Art. 66 Abs. 1 und 2 BGG). Dem Gemeinwesen sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Es hat aber die Beschwerdeführerin zusammen mit dem Beschwerdegegner 1 zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ist in der Folge als gegenstandslos geworden abzuschreiben (<ref-law>). Die Beschwerdegegner werden mit Blick auf die wirtschaftlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin angewiesen, die Entschädigung direkt deren Rechtsvertreterin auszurichten (vgl. Urteile 5A_229/2020 vom 13. Juli 2020 E. 3; 5A_91/2020 vom 8. April 2020 E. 5).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben. Im Übrigen wird die Beschwerde gutgeheissen und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinn der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3.
Dem Beschwerdegegner 1 werden die Gerichtskosten im Umfang von Fr. 1'000.-- auferlegt. Die restlichen Kosten werden nicht erhoben.
4.
Die Beschwerdegegner 1 und 2 haben die Beschwerdeführerin mit je Fr. 1'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung ist der Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin, Rechtsanwältin Brigitte Scheuber, auszurichten.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der KESB Obwalden und der Einwohnergemeinde U._ mitgeteilt.
Lausanne, 28. April 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber