Faits :
A.
A._, née en 1981 et mariée depuis 2011, a contacté le Centre de consultation LAVI (loi fédérale sur l'aide aux victimes d'infractions) le 10 mai 2016 et a obtenu un rendez-vous avec une intervenante le 18 mai 2016. Celle-ci l'a orientée vers une avocate, qui l'a informée des possibilités qui s'offraient à elle sur le plan légal.
Par l'intermédiaire de cette dernière, A._ a déposé, le 31 mai 2016, une demande d'indemnisation et de réparation morale, en raison d'abus sexuels commis à son encontre entre 1985 et 2010.
A l'appui de sa demande, la prénommée a notamment produit une chronologie des événements: en 1985 ou 1986 (à l'âge de 4 ou 5 ans), une femme, proche de la famille, lui a mis un doigt dans le vagin alors qu'elle se trouvait dans la maison de cette dernière; entre 1992 et 1996 (11-15 ans), elle a subi à plusieurs reprises des attouchements (baisers sur la bouche et attouchements sur les seins) de la part de son orthodontiste (aujourd'hui décédé); entre 1996 et 2001 ou 2002 (15-20 ou 21 ans), elle a subi à plusieurs reprises des attouchements de la part de son médecin généraliste, ce dernier lui touchant les seins et à une occasion le sexe; en mars 2010, lors d'un voyage en train tard le soir entre Bienne et Neuchâtel, elle s'est réveillée brusquement et un homme était allongé sur le sol à côté d'elle, les mains sous sa jupe, l'une sur sa cuisse et l'autre sur sa culotte.
Dans ce document, A._ expose également les nombreuses difficultés qu'elle a rencontrées dans sa vie et dans sa santé à la suite des faits susmentionnés (migraines chroniques, maux d'estomac, insomnies, manque total de confiance en soi et en la gente masculine, cervicalgies, peur d'aller chez le gynécologue, peur panique de l'accouchement, tensions lorsqu'elle passait devant le cabinet de ses anciens médecins ou devant le Centre hospitalier universitaire vaudois [CHUV]).
La demande d'indemnisation fait également état du suivi thérapeutique de l'intéressée depuis 2012, moment à partir duquel son état a commencé à empirer, et la manière dont elle a progressivement, à compter de 2013, retrouvé la mémoire des abus dont elle a été victime.
Par décision du 4 juillet 2017, l'autorité d'indemnisation LAVI a rejeté la demande de A._ au motif que les délais pour former une telle action étaient échus.
B.
Le 4 août 2017, A._ a recouru contre la décision de l'autorité LAVI devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud, concluant principalement à l'allocation d'un montant minimum de 120'000 fr. à titre d'indemnisation du dommage subi et un montant minimum de 15'000 fr. à titre de réparation morale.
Le dossier constitué par le Tribunal cantonal contient notamment les avis médicaux suivants. Dans son rapport du 30 mai 2016, la Dresse B._ (FMH médecine interne) indique notamment que les révélations de A._ sont cohérentes et ne se contredisent pas; à ses yeux, ses déclarations apparaissent tout à fait crédibles et assez typiques d'un vécu d'abus dans le cadre proche et familial dès l'enfance. Quant à la Dresse C._, psychothérapeute (rapport du 6 juin 2016), elle mentionne notamment que la répétition de violences sexuelles à des moments charnières du développement psycho-sexuel de l'intéressée a généré de graves conséquences sur le plan psychique, fragilisant sa structure narcissique-identitaire. Dans son rapport du 4 août 2016, le Dr D._, spécialiste en psychothérapie FSP, rappelle qu'au regard de l'anamnèse, il a lui-même suggéré à A._ de consulter un centre LAVI pour obtenir une aide sur les plans administratif et juridique. S'agissant plus particulièrement de l'anamnèse, le Dr D._ retient que celle-ci confirme un historique de plusieurs abus sexuels durant l'enfance et l'adolescence, ainsi que la présence de signes cliniques caractéristiques de stress post-traumatique chronique; la symptomatologie, principalement caractérisée par des troubles anxio-dépressifs et sexuels, d'intensité moyenne à grave est concomitante avec l'anamnèse présentée. A._ enfin produit un rapport établi le 15 mars 2017 par E._, psychothérapeute, dont il ressort notamment que le travail entrepris avec sa patiente se révèle difficile car il réactive des douleurs importantes (buccales, cervicales et vaginales) et provoque des tensions globales du corps; selon son expérience, de telles réactions sont liées et réactionnelles aux abus sexuels subis par A._.
Le dossier contient encore des témoignages écrits des parents de l'intéressée ainsi que de son époux.
Le Tribunal cantonal a statué par arrêt du 27 novembre 2017. Après avoir rappelé que les événements à l'origine de la demande d'indemnisation n'avaient pas fait l'objet d'une enquête pénale, il a estimé que, en l'absence de tout autre élément, les rapports médicaux versés au dossier ne permettaient pas de prouver, au degré de la vraisemblance prépondérante, la qualité de victime de la recourante. Rejetant pour ce motif le recours, l'instance précédente a laissé indécise la question du respect du délai pour déposer une demande devant l'autorité LAVI.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande principalement au Tribunal fédéral de réformer l'arrêt attaqué en ce sens que la demande d'indemnisation et de réparation morale LAVI est accordée, un montant minimum de 120'000 fr. lui étant versé au titre d'indemnisation du dommage subi et un montant minimum de 15'000 fr. au titre de réparation morale. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'autorité qu'il plaira au Tribunal fédéral de désigner pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt. Le Service juridique et législatif cantonal conclut au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité. Egalement invité à se prononcer, l'Office fédéral de la justice (OFJ) s'abstient de prendre position. La recourante a renoncé à répliquer.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les <ref-law>, aucune des exceptions mentionnées à l'<ref-law> n'étant réalisée. La recourante a un intérêt à obtenir l'annulation ou la modification de l'arrêt attaqué qui confirme le rejet de sa demande d'indemnité LAVI (<ref-law>).
Les autres conditions formelles de recevabilité énoncées aux <ref-law> étant au surplus réunies, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
A titre préliminaire, il convient, à l'instar du Tribunal cantonal, de préciser que la loi fédérale du 23 mars 2007 sur l'aide aux victimes d'infractions (LAVI; RS 312.5), entrée en vigueur le 1 er janvier 2009, a abrogé et remplacé l'ancienne loi fédérale du 4 octobre 1991 sur l'aide aux victimes d'infractions (aLAVI; RO 1992 2465). Selon l'<ref-law>, l'ancien droit demeure applicable aux faits qui se sont déroulés avant l'entrée en vigueur de la nouvelle loi. En l'espèce, les infractions dont la recourante allègue avoir été victime auraient été commises essentiellement avant le 1 er janvier 2009, mais aussi partiellement après cette date. C'est dès lors à juste titre que l'instance précédente a appliqué tantôt l'ancien droit, tantôt le droit positif, selon les faits considérés.
3.
Il est constant que les infractions alléguées par la recourante n'ont fait l'objet d'aucune procédure pénale. La cour cantonale a considéré que cela n'excluait pas en soi l'octroi d'une indemnisation au sens de la LAVI. Elle a précisé que, dans un tel cas de figure, la preuve de la qualité de victime devait atteindre le degré de la vraisemblance prépondérante au sens de la jurisprudence en matière d'assurances sociales. Dans le cas particulier, le Tribunal cantonal a toutefois jugé que ce degré de preuve n'était pas atteint; les seules déclarations de la recourante, même jugées crédibles et vraisemblables par des thérapeutes, étaient à cet égard insuffisantes.
La recourante conteste cette appréciation. Elle se plaint à cet égard d'un établissement inexact des faits et d'arbitraire ainsi que d'une violation de différentes dispositions de la LAVI. Cela étant, avant de passer à l'analyse de ces griefs, il convient d'examiner si c'est à bon droit que le Tribunal cantonal a considéré que la réalisation d'une ou plusieurs infractions - et le statut de victime qui en découle - pouvait être établie au degré de la vraisemblance prépondérante, en l'absence de procédure pénale.
3.1. Selon la jurisprudence, l'échec de la procédure pénale n'exclut pas nécessairement le droit à l'aide aux victimes telle que la définit l'<ref-law> (cf. arrêt 1A.170/2001 du 18 février 2002 consid. 3.1; Conférence suisse des offices de liaison de la LAVI [CSOL-LAVI], Recommandations du 21 janvier 2010, ch. 2.8.1 p. 15; STÉPHANIE CONVERSET, Aide aux victimes d'infractions et réparation du dommage, thèse 2009, p. 326 in fine); l'<ref-law> précise du reste que ce droit existe, que l'auteur de l'infraction ait ou non été découvert (let. a), qu'il ait eu un comportement fautif ou non (let. b) ou qu'il ait agi intentionnellement ou par négligence (let. c). Le Tribunal fédéral a pour l'heure cependant laissé indécise la question de savoir si, dans un tel cas de figure, dans le cadre de l'examen de la demande d'indemnisation LAVI, la preuve de l'infraction, respectivement du statut de victime au sens de l'<ref-law>, était soumise à des exigences moins strictes qu'en procédure civile ou pénale (cf. <ref-ruling> consid. 3d in fine, p. 216; <ref-ruling> consid. 2c/aa, p. 270; arrêt 1B_278/2007 du 29 janvier 2008 consid. 3.1).
D'un point de vue général, en matière civile et dans le domaine des assurances sociales notamment, lorsque par la nature même de l'affaire, une preuve stricte n'est pas possible ou ne peut être raisonnablement exigée ( Beweisnot), le degré de preuve requis se limite à la vraisemblance prépondérante (cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 612; arrêt 5A_113/2018 du 12 septembre 2018, destiné à publication, consid. 6.2.2.1 et les arrêts cités, en particulier <ref-ruling> consid. 4.2.2-4.2.3 p. 88 s.; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Tome I: introduction et théorie générale, 2016, n. 1884 ss, PRIBNOW/GUYAZ, La pratique de l'avocat, 1 ère partie, Responsabilité civile: dommages corporels, 2007, p. 374 s.; NGUYEN/DE QUATTRO PFEIFFER/PFEIFFER, La procédure administrative par la jurisprudence, 2015, n. 195 et les références, p. 128 s.; JELENA RINIKER, Opferrechte des Tatzeugen, 2011, p. 86).
Dans le domaine de l'aide aux victimes, au regard de la nature juridique des prestations prévues par la LAVI - lesquelles englobent des éléments propres à la sécurité sociale (cf. PETER GOMM, Opferhilfegesetz, 3 e éd. 2009, n. 16 ad <ref-law>) -, la doctrine se prononce également en faveur de la vraisemblance prépondérante, telle que développée par la jurisprudence en matière d'assurances sociales, non seulement lorsqu'il s'agit d'établir le lien entre l'infraction et l'atteinte à la santé, mais également pour arrêter le statut de victime, en cas d'absence ou d'échec de la procédure pénale (cf. GOMM, op. cit., n. 16 s. ad <ref-law>; CONVERSET, op. cit., p. 326 s.; JELENA RINIKER, op. cit., p. 88). Cette opinion est également partagée par la CSOL-LAVI (cf. Recommandations précitées, ch. 2.8.1 p. 14), de même que, plus récemment, par le Conseil fédéral (cf. Message du 4 décembre 2015 concernant l'initiative sur la réparation et son contre-projet indirect [loi fédérale sur les mesures de coercition à des fins d'assistance et les placements extrafamiliaux antérieurs à 1981], FF 2016 ch. 3.3 p. 112). Cette règle sur le degré de preuve exigé dans le cadre de la procédure LAVI doit ainsi être confirmée, quand bien même elle pourrait avoir pour conséquence de soumettre la victime, dont les prétentions sont en premier lieu examinées dans le cadre de la procédure pénale, à des exigences plus strictes en matière de preuve, que celles auxquelles est soumis le demandeur renonçant à la participation ou à l'ouverture d'une procédure pénale (cf. GOMM, op. cit., n. 17 ad <ref-law>).
3.2. Il s'ensuit que c'est à bon droit que le Tribunal cantonal a retenu que le statut de victime LAVI devait en l'occurrence être établi au degré de la vraisemblance prépondérante (pour la définition jurisprudentielle de cette notion, cf. <ref-ruling> consid. 4.1 p. 612 s.).
4.
Comme cela a été évoqué précédemment, la recourante se plaint d'un établissement inexact des faits. Selon elle, la cour cantonale aurait fautivement ignoré certains moyens de preuve versés au dossier en jugeant que ses déclarations, confirmées par des certificats médicaux, étaient insuffisantes, "en l'absence de tout autre élément", à établir les infractions alléguées; l'instance précédente aurait en particulier fait abstraction des témoignages écrits de ses père et mère et de son époux. La recourante soutient par ailleurs que, si les autorités précédentes estimaient ces éléments insuffisants à établir son statut de victime, il leur appartenait, en vertu de la maxime inquisitoire (<ref-law>), d'ordonner de plus amples mesures d'instruction.
4.1. Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). La partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 6.3 p. 375; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 266).
4.2. La cour cantonale a en l'espèce estimé que les déclarations de la recourante, qualifiées de crédibles et vraisemblables par les différents certificats médicaux versés en cause, ne permettaient pas, "en l'absence de tout autre élément", de considérer les faits comme prouvés, à tout le moins au degré de la vraisemblance prépondérante. Il faut concéder à la recourante que l'instance précédente a, ce faisant, ignoré, sans aucune forme de motivation, les autres moyens de preuve figurant au dossier. L'arrêt attaqué ne renferme en effet aucune considération quant aux différents témoignages écrits de l'entourage familial de la recourante. C'est ainsi, en particulier, sans tenir compte de ces déclarations que le Tribunal cantonal a considéré que les problèmes de santé de la recourante pourraient avoir été provoqués par d'autres événements que ceux allégués. Pourtant, ces différents témoignages, en particulier celui de la mère de la recourante, qui livre une chronologie des troubles rencontrés par sa fille, n'apparaissent de prime abord pas incompatibles avec l'historique des abus allégués.
Il est vrai par ailleurs que, dans le domaine de la LAVI, l'autorité établit les faits d'office (art. 16 al. 2 aLAVI et <ref-law>); cela n'exclut cependant pas un devoir de collaboration ( Mitwirkungspflicht) de la partie requérante. Or, en l'occurrence, l'arrêt attaqué ne retient pas une violation de ce devoir ni n'indique, au demeurant, quelles autres démarches supplémentaires on eût été en droit d'attendre de l'intéressée. Dans ces circonstances, il incombait à la cour cantonale, en conformité avec la maxime inquisitoire, d'obtenir de plus amples informations (cf. arrêt 1A.170/2001 du 18 février 2002 consid. 3.4 - 3.5; CONVERSET, op. cit., p. 322 s.; GOMM, op. cit., n. 8 ss ad <ref-law>), par exemple en mettant en oeuvre une expertise de crédibilité - à laquelle la recourante s'est déclarée prête à se soumettre -, ou à tout le moins de motiver son refus de procéder à une telle instruction complémentaire, sous peine, à défaut, de violer l'<ref-law>. De telles démarches n'apparaissent en l'occurrence pas incompatibles avec l'exigence d'une procédure simple et rapide prévue à l'<ref-law> (cf. CONVERSET, op. cit., p. 315 ss).
4.3. Les critiques liées à l'établissement des faits et à la violation de la maxime inquisitoire apparaissent ainsi en définitive fondées et conduisent à l'admission du recours. La cause doit par conséquent être renvoyée au Tribunal cantonal pour qu'il procède à un examen circonstancié de l'ensemble des moyens de preuve versés au dossier et procède, le cas échéant, à un complément d'instruction. Il appartiendra préalablement à la cour cantonale de statuer sur la question de la tardiveté éventuelle de la demande d'indemnisation, ce point n'ayant pas formellement été jugé dans le cadre du recours cantonal; le Tribunal fédéral ne saurait, à ce stade, examiner cette question, faute de disposer d'un état de fait propre à déterminer si les conditions d'une restitution du délai définies par la jurisprudence (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 411; <ref-ruling> consid. 3f p. 244 s.; arrêts 1A.217/1997 du 8 décembre 1997 publié in Plädoyer 1998 n o 1 p. 64 consid. 5; 1C_99/2015 du 18 novembre 2015 consid. 3.1) sont en l'espèce réunies.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants. Le canton de Vaud est dispensé des frais judiciaires (<ref-law>; cf. également <ref-ruling> consid. 3 p. 132). Il versera en revanche une indemnité de dépens à la recourante qui obtient gain de cause avec l'assistance d'une avocate (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 2'000 fr. à payer à la recourante à titre de dépens est mise à la charge du canton de Vaud.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, au Département des institutions et de la sécurité du canton de Vaud, Service juridique et législatif, Autorité d'indemnisation LAVI, ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à l'Office fédéral de la justice.
Lausanne, le 26 novembre 2018
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Merkli
Le Greffier : Alvarez