Sachverhalt:
A.
Der 1963 geborene A._ meldete sich im November 2004 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich ermittelte einen Invaliditätsgrad von 18 % und wies das Leistungsbegehren mit Verfügungen vom 24. und 25. April 2008 ab. Nach einem am 1. April 2009 erlittenen Arbeitsunfall meldete sich A._ im Februar 2010 erneut zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen und Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle mit Verfügung vom 23. Juni 2015 wiederum einen Rentenanspruch. Zur Begründung führte sie an, im Vergleich zum 24. April 2008 habe sich keine rententangierende Verschlechterung ergeben; in einer leidensangepassten Tätigkeit bestehe weiterhin eine uneingeschränkte Arbeitsfähigkeit. Diese Verfügung wurde durch den Entscheid IV.2015.00768 des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Februar 2017 resp. das Urteil 9C_247/2017 vom 7. August 2017 bestätigt.
Im Juli 2017 ersuchte A._ abermals um Leistungen der Invalidenversicherung. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens wies die IV-Stelle das Gesuch mit Verfügung vom 15. Juni 2018 wiederum ab mit der Begründung, der Gesundheitszustand des Versicherten sei im Wesentlichen unverändert. Eine Wiedererwägung dieser Verfügung lehnte sie am 2. Juli 2018 ab.
B.
Die gegen die Verfügung vom 15. Juni 2018 erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid IV.2018.00652 vom 9. Januar 2020 ab.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, es sei ihm eine Rente nach Gesetz auszurichten; er sei mittels polydisziplinären Gerichtsgutachtens zu untersuchen, eventualiter sei die Angelegenheit zwecks Einholung eines polydisziplinären Gutachtens an die IV-Stelle zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Das kantonale Gericht hat die Verordnungsbestimmungen und von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätze über das Erfordernis des Glaubhaftmachens einer anspruchsrelevanten Erhöhung des Invaliditätsgrades als Voraussetzung für die umfassende Prüfung einer neuen Anmeldung durch die Organe der Invalidenversicherung (Art. 87 Abs. 3 i.V.m. Abs. 2 IVV [SR 831.201]; <ref-ruling> E. 5.2.5 S. 68 f.; <ref-ruling> E. 3a S. 198; <ref-ruling> E. 2b S. 114 f.; Urteil 8C_844/2012 vom 5. Juni 2013 E. 2.3; vgl. auch Urteil 8C_647/2019 vom 31. Januar 2020 E. 2) zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
Ob das kantonale Gericht den Beweisgrad des Glaubhaftmachens richtig angewendet, insbesondere nicht überspannte Anforderungen daran gestellt hat, ist eine frei überprüfbare Rechtsfrage. Ob der erforderliche Beweisgrad erreicht ist, stellt dagegen eine Tatfrage dar. Diesbezügliche Feststellungen des kantonalen Versicherungsgerichts sind somit für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (vgl. E. 1; Urteile 9C_841/2019 vom 30. März 2020 E. 2.2; 9C_92/2020 vom 17. März 2020 E. 2).
3.
Die Vorinstanz hat erwogen, entgegen dem Wortlaut (Abweisung des Leistungsbegehrens) liege mit der Verfügung vom 15. Juni 2018 - nach deren wirklichem rechtlichen Gehalt (vgl. dazu Urteil 9C_76/2020 vom 1. Mai 2020 E. 3.1 mit Hinweisen) - ein Nichteintretensentscheid vor. Entscheidend sei daher, ob der Versicherte eine erhebliche Verschlechterung seines Gesundheitszustandes seit dem 23. Juni 2015 glaubhaft gemacht habe.
Diesbezüglich hat das kantonale Gericht festgestellt, den vom Versicherten im Verwaltungsverfahren aufgelegten medizinischen Akten (Berichte des Universitätsspitals B._ vom 22. Juni 2017, 5. Januar und 17. Mai 2018 sowie des Sanatoriums C._ vom 5. Februar 2018) lasse sich nichts entnehmen, was nicht schon seit Längerem aktenkundig sei. Bereits im neurologisch-psychiatrischen Verlaufsgutachten der Dres. med. D._ und E._ vom 25. November 2013 (das der Verfügung vom 23. Juni 2015 zugrunde lag) sei berücksichtigt worden, dass die behandelnden Ärzte des Sanatoriums C._ und die Therapeuten des Medizinischen Zentrums F._ eine schwergradige depressive Episode postuliert und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert hatten. Weiter hätten auch die geltend gemachten akustischen Halluzinationen, das Restless-Legs-Syndrom (RLS), die geklagten Schlafstörungen sowie Gedächtnis- und Konzentrationsstörungen Eingang in die Einschätzungen des Verlaufsgutachtens gefunden. Anhaltspunkte für eine Verschlechterung des Gesundheitszustandes seien somit nicht erkennbar. Solche ergäben sich auch nicht aus den nach Erlass der angefochtenen Verfügung eingereichten Unterlagen. Der Bericht des Medizinischen Zentrums F._ vom 28. Mai 2018 nenne keine objektiven Befunde und scheine weitgehend die unveränderten subjektiven Klagen des Versicherten wiederzugeben. Die von dessen Ehefrau bereits 2011 angegebenen Beschwerden - er sei zu Hause hilflos, vergesse alles, könne nicht geplant arbeiten und erwache nachts alle zwei Stunden - deckten sich weitgehend mit den im Bericht des Medizinischen Zentrums F._ aufgelisteten. Die Berichte des Universitätsspitals B._ vom 10. September 2018 und des Dr. med. G._ vom 20. November 2018 enthielten nur bekannte Diagnosen und nichts Neues. Demnach habe der Versicherte keine anspruchsrelevante Verschlechterung des Gesundheitszustandes glaubhaft gemacht.
4.
4.1. Das kantonale Gericht hat sich in seinem Entscheid auch mit den nach Erlass der angefochtenen Verfügung eingereichten Unterlagen auseinandergesetzt. Ob diese rechtlich zulässig waren, wie der Beschwerdeführer in Bezug auf den Bericht des Medizinischen Zentrums F._ vom 28. Mai 2018 vorbringt, oder im Rahmen eines weiteren Neuanmeldeverfahrens zu berücksichtigen gewesen wären, kann daher offenbleiben.
4.2. Dass die vorinstanzlichen Feststellungen zweifellos unrichtig (vgl. vorangehende E. 1 und Urteil 9C_247/2017 vom 7. August 2017 E. 1.2) sein sollen, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht dargelegt.
4.3.
4.3.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, das kantonale Gericht habe die Anforderungen an das Glaubhaftmachen überspannt. Er macht im Wesentlichen geltend, eine Aggravation, wie im Verlaufsgutachten vom 25. November 2013 angenommen, liege nicht mehr vor und sei im Bericht des Medizinischen Zentrums F._ vom 28. Mai 2018 explizit ausgeschlossen worden. Ein schweres RLS sei erst den Berichten des Universitätsspitals B._ zu entnehmen und für die früher nicht objektivierten Schlafstörungen liege nun ein Nachweis vor.
4.3.2. Für das Beweismass des Glaubhaftmachens genügt es, dass für das Vorhandensein des behaupteten rechtserheblichen Sachumstands wenigstens gewisse Anhaltspunkte bestehen, auch wenn durchaus noch mit der Möglichkeit zu rechnen ist, bei eingehender Abklärung werde sich die behauptete Änderung nicht erstellen lassen (Urteil 8C_647/2019 vom 31. Januar 2020 E. 2.2). Weder eine im Vergleich zu früheren ärztlichen Einschätzungen ungleich attestierte Arbeitsunfähigkeit noch eine unterschiedliche diagnostische Einordnung des geltend gemachten Leidens genügt per se, um auf einen veränderten Gesundheitszustand zu schliessen; notwendig ist vielmehr eine veränderte Befundlage (SVR 2012 IV Nr. 18 S. 81, 9C_418/2010 E. 4.2; Urteil 9C_346/2019 vom 6. September 2019 E. 2.1.1 mit weiteren Hinweisen).
4.3.3. Zwar führten die Therapeuten des Medizinischen Zentrums F._ im Bericht vom 28. Mai 2018 aus, der Gesundheitszustand des Versicherten habe sich "eindeutig verschlechtert", es sei zu einer "deutlichen Zunahme der Depression" gekommen, es bestehe "kein Zweifel einer schweren Depression ohne die geringsten Anzeichen einer Aggravation oder Verdeutlichung" und handle sich "2018 mit Sicherheit um ein sehr ernst zu nehmendes Krankheitsgeschehen". Dabei handelt es sich aber um blosse Behauptungen ohne Darlegung, welche objektiven Befunde auf eine erhebliche Verschlechterung seit Juni 2015 schliessen lassen sollen. Eine solche ergibt sich insbesondere nicht daraus, dass dem Versicherten bereits 2014 der Führerschein entzogen worden war, oder dass er sich im Januar 2018 erneut zur stationären Behandlung in das Sanatorium C._ begeben hatte. Bereits in das Verlaufsgutachten vom 25. November 2013 war eingeflossen, dass die Therapeuten des Medizinischen Zentrums F._ u.a. "Suizidideen" festgehalten, eine schwergradige depressive Episode diagnostiziert und eine vollständige Arbeitsunfähigkeit attestiert hatten. Aus welchen Gründen die Therapeuten des Medizinischen Zentrums F._ - entgegen den Feststellungen im Verlaufsgutachten (vgl. Urteil 9C_247/2017 vom 7. August 2017 E. 4.2) - Aggravation oder Verdeutlichung ausschlossen, bleibt ebenfalls vollständig im Dunkeln. In den Berichten des Universitätsspitals B._ wurden u.a. ein RLS "seit ca 2007" und ein "motorisches Korrelat einer deutlichen Durchschlafstörung" festgehalten. Auch wenn die RLS-Symptomatik als schwer resp. stark bezeichnet wurde, lässt sich den Berichten auch nicht ansatzweise entnehmen, inwiefern sich die Schlafproblematik mit "Tagesschläfrigkeit und Tagesmüdigkeit multifaktorieller Ursache" bei "schlechter Schlafhygiene mit langen Bettzeiten" (mit Blick auf die Arbeitsfähigkeit) seit Juni 2015 erheblich verschlechtert haben soll. Was schliesslich die medizinischen Behandlungen anbelangt, so hatte der Beschwerdeführer schon bei den Begutachtungen durch die Dres. med. D._ und E._ angegeben, dass diese kaum zu Verbesserungen geführt hatten. Zwar ist die Therapieresistenz ein Indikator - von mehreren - für die Beurteilung der Arbeitsfähigkeit bei psychischen Erkrankungen (<ref-ruling> E. 7.2 S. 429; <ref-ruling> E. 4.3.2.1 S. 299). Es leuchtet aber nicht ein, weshalb das Anhalten der Therapieresistenz auf einen veränderten Sachverhalt schliessen lassen soll.
4.3.4. Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht bei der Feststellung, der Versicherte habe keine anspruchsrelevante Verschlechterung des Gesundheitszustandes glaubhaft gemacht, die Beweisanforderungen nicht überspannt. Diese Feststellung bleibt somit für das Bundesgericht verbindlich (E. 1); die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Juni 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann