Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1976 geborene A._ arbeitete vom 2. November 2010 bis 31. Mai 2011 im Rahmen eines Berufspraktikums mit anschliessender befristeter Anstellung beim Amt B._sowie ab 1. Juni 2011 beim dortigen Amt C._. Zuständige berufliche Vorsorgeeinrichtung war in diesem Zeitraum die Pensionskasse der Stadt Luzern (nachfolgend: PK Stadt Luzern). Nach einvernehmlicher Auflösung des Arbeitsverhältnisses per Ende Februar 2015 (Vereinbarung vom 15. Oktober 2014) bezog A._ vom 16. März bis 13. Dezember 2015 Arbeitslosentaggelder und war bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG berufsvorsorgeversichert.
A.b. Im März 2016 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern veranlasste bei Dr. med. D._, Regionaler Ärztlicher Dienst (nachfolgend: RAD), eine psychiatrische Untersuchung (Bericht vom 11. Januar 2017) und sprach ihr ab 1. September 2016 eine ganze Invalidenrente zu (Verfügung vom 7. April 2017). Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG erbrachte ab diesem Zeitpunkt Vorleistungen aus der beruflichen Vorsorge.
B.
Am 29. November 2019 liess A._ unter Einreichung eines psychiatrischen Aktengutachtens des Dr. med. E._ vom 5. November 2019 Klage gegen die PK Stadt Luzern und die Stiftung Auffangeinrichtung BVG erheben mit den Rechtsbegehren, die PK Stadt Luzern sei zur Ausrichtung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen zuzüglich Zins von 5 % ab Klageanhebung zu verpflichten; eventualiter sei die Stiftung Auffangeinrichtung BVG zur Ausrichtung der obligatorischen und reglementarischen Leistungen zuzüglich Zins von 5 % ab Klageanhebung zu verpflichten; diese sei zudem anzuhalten, im Sinne einer provisorischen Massnahme während des hängigen Verfahrens (weiterhin) Vorleistungen zu erbringen.
Mit Urteil vom 20. Januar 2021 auferlegte das Kantonsgericht Luzern der PK Stadt Luzern, A._ die obligatorischen und reglementarischen Leistungen für Invalidität nebst Zins gemäss Art. 7 der Verordnung über die Freizügigkeit in der beruflichen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge (Freizügigkeitsverordnung [FZV]; SR 831.425) seit Klageerhebung respektive späterem Fälligkeitsdatum auszurichten; im Übrigen wies es die Klage ab.
C.
Die PK Stadt Luzern führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Urteils sei die Klage vom 29. November 2019, soweit gegen sie gerichtet, abzuweisen; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese nach ergänzenden Abklärungen erneut über die Klage befinde. Sodann sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Während die Stiftung Auffangeinrichtung BVG auf Abweisung der Beschwerde mit Gewährung der aufschiebenden Wirkung schliesst, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung. A._ lässt Abweisung der Beschwerde beantragen, soweit darauf eingetreten wird.
Die PK Stadt Luzern reicht eine weitere, vom 10. Mai 2021 datierende Eingabe ein.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über den Anspruch auf eine Invalidenrente der beruflichen Vorsorge und deren Beginn (Art. 23 lit. a und 26 Abs. 1 BVG) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt für die grundsätzliche Bindung der Vorsorgeeinrichtung an den Entscheid der Invalidenversicherung (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 4.3.2). Korrekt wiedergegeben hat die Vorinstanz sodann die Rechtsprechung zum engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während andauerndem Vorsorgeverhältnis (inkl. Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität (<ref-ruling> E. 3.2 und 3.2.1) sowie hinsichtlich der Unterbrechung des zeitlichen Konnexes (<ref-ruling> E. 4.5; Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.2). Richtig sind schliesslich auch die Ausführungen zur freien Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.2.2; Urteil 8C_558/2017 vom 1. Februar 2018 E. 4.1.1) sowie zu Funktion und Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a), insbesondere was Parteigutachten betrifft (BGE <ref-ruling> E. 3b/dd; Urteil 8C_200/2018 vom 7. August 2018 E. 6.2). Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist, dass auch Aktengutachten beweiskräftig sein können, sofern ein lückenloser Befund vorliegt und es im Wesentlichen nur um die Beurteilung eines an sich feststehenden medizinischen Sachverhalts geht, mithin die direkte fachärztliche Befassung mit der versicherten Person in den Hintergrund rückt (statt vieler: SVR 2010 Nr. 46 S. 143, 9C_1063/2009 E. 4.2.1; Urteile 9C_647/2020 vom 26. August 2021 E. 4.2 und 9C_524/2017 vom 21. März 2018 E. 5.1 mit Hinweisen).
2.2. Der Zeitpunkt des Eintritts der berufsvorsorgerechtlich relevanten Arbeitsunfähigkeit muss mit dem im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b mit Hinweisen) nachgewiesen sein (Urteile 9C_52/2018 vom 21. Juni 2018 E. 3.2 und 9C_96/2008 vom 11. Juni 2008 E. 2.2, je mit Hinweisen). Der rechtsgenügliche Nachweis einer berufsvorsorgerechtlich relevanten Einbusse an funktionellem Leistungsvermögen erfordert nicht zwingend eine echtzeitlich ärztlich attestierte Arbeitsunfähigkeit. Nachträgliche erwerbliche oder medizinische Annahmen und spekulative Überlegungen, wie etwa eine erst nach Jahren rückwirkend festgelegte medizinisch-theoretische Arbeitsunfähigkeit, reichen aber nicht aus (Urteil 9C_61/2014 vom 23. Juli 2014 E. 5.1 mit Hinweisen). Um der retrospektiven ärztlichen Attestierung der Arbeitsunfähigkeit zu folgen und auf ein echtzeitliches Arztzeugnis verzichten zu können, müssen die negativen Auswirkungen der Krankheit auf die Arbeitsfähigkeit vielmehr echtzeitlich dokumentiert sein (Urteile 9C_517/2020 vom 28. Januar 2021 E. 3.2 und 9C_851/2014 vom 29. Juni 2015 E. 3.2 mit Hinweis, in: SZS 2015 S. 469).
2.3. Vorinstanzliche Feststellungen zur Art des Gesundheitsschadens (Befund, Diagnose etc.) und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung darstellen, sind für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-ruling> E. 3.2). Tatfrage ist auch jene nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (SVR 2008 BVG Nr. 31 S. 126, 9C_182/2007 E. 4.1.1). Hingegen überprüft das Bundesgericht frei, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung darüber erfolgt (SVR 2009 BVG Nr. 7 S. 22, 9C_65/2008 E. 2.2; Urteil 9C_670/2010 vom 23. Dezember 2010 E. 1.2) und ob diese auf hinreichender Beweisgrundlage beruht (Urteil 9C_100/2018 vom 21. Juni 2018 E. 2.3).
2.4. Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann willkürlich (vgl. dazu: <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler basiert (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.1).
3.
3.1. Die IV-Stelle Luzern setzte den Beginn der einjährigen Wartezeit nach <ref-law> auf Mai 2015 fest. Nachdem die Anmeldung der Versicherten (Beschwerdegegnerin 1) zum IV-Leistungsbezug aber erst Mitte März 2016 und damit verspätet erfolgte (vgl. <ref-law>), hat das kantonale Gericht eine diesbezügliche Bindung verneint und die Leistungspflicht der Beschwerdeführerin frei geprüft, was zu Recht von keiner Seite in Abrede gestellt wird (vgl. statt vieler: Urteil 9C_679/2020 vom 9. Februar 2021 E. 4).
3.2. Die Vorinstanz hat erwogen, eine Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % aus psychischen Gründen sei nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit während des Vorsorgeverhältnisses mit der Beschwerdeführerin eingetreten. Eine erneute psychiatrische Exploration verspreche nur wenig brauchbare Ergebnisse, nachdem bereits echtzeitlich unvoreingenommene Dokumentationen zum Verhalten der Beschwerdegegnerin 1 bei den Akten lägen. Sodann ist das kantonale Gericht vom Vorliegen eines engen sachlichen Zusammenhangs zwischen der gesundheitlichen Problematik ab August 2014 und der späteren Invalidität ausgegangen. Zudem bestehe ab diesem Zeitpunkt aus medizinischer Sicht durchgehend eine vollständig aufgehobene Arbeitsfähigkeit, sodass auch ein ununterbrochener zeitlicher Konnex anzunehmen sei. Dementsprechend hat das kantonale Gericht eine Leistungspflicht der Beschwerdeführerin bejaht.
4.
4.1. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, verfängt nicht. Vielmehr basiert der zentrale vorinstanzliche Schluss, die invalidisierenden psychopathologischen Befunde hätten mit überwiegender Wahrscheinlichkeit bereits während des Arbeitsverhältnisses mit der Stadt Luzern zu einer mindestens 20%igen Arbeitsunfähigkeit geführt, auf einer umfassenden und detaillierten Würdigung der relevanten Akten. Das kantonale Gericht hat vorab einbezogen, dass eine echtzeitlich attestierte Arbeitsunfähigkeit ausgewiesen ist, welche das fragliche Vorsorgeverhältnis betrifft (vgl. E. 2.2 hievor). So war die Beschwerdegegnerin 1 nach verbindlicher (E. 1 hievor) Sachverhaltsfeststellung des kantonalen Gerichts durch ihren Hausarzt Dr. med. F._ bereits ab 28. August 2014 vollumfänglich krank geschrieben (ärztliches Zeugnis vom 16. Oktober 2014). Dieser bestätigte ausdrücklich, die Anstellung beim Amt C._ der Stadt Luzern habe aus gesundheitlichen Gründen aufgegeben werden müssen; eine Fortsetzung sei unmöglich (Zeugnis/Bestätigung vom 20. März 2015). Dass andere als psychische Ursachen für die von Dr. med. F._ attestierte vollumfängliche Arbeitsunfähigkeit bestanden hätten, ist weder ersichtlich noch in der Beschwerde (substanziiert) dargelegt. Ebenso wenig muss die vorinstanzliche Beweiswürdigung, anders als die Beschwerdeführerin meint, als unhaltbar angesehen werden (vgl. E. 2.4 hievor), weil das kantonale Gericht der handschriftlichen Notiz auf dem hausärztlichen Attest vom 16. Oktober 2014, wonach die Arbeitsfähigkeit mit der Trennungsvereinbarung vom 15. Oktober 2014 wieder gegeben sei, im Lichte der gesamten Aktenlage keine nennenswerte Bedeutung beigemessen hat. Vielmehr begründete Dr. med. F._ die von ihm (handschriftlich) attestierte vollständige Genesung mit keinem Wort. Abgesehen davon besteht ein Widerspruch zur übrigen Aktenlage, nachdem - wie das kantonale Gericht willkürfrei festgestellt hat - kein triftiger Anhaltspunkt dafür besteht, dass die Beschwerdegegnerin 1 nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses bei der Stadt Luzern jemals dauerhaft wieder zu über 80 % arbeitsfähig gewesen wäre (dazu: <ref-ruling> E. 4.4).
4.2. Soweit die Beschwerdeführerin der vorinstanzlichen Beweiswürdigung alsdann entgegen hält, die RAD-Psychiaterin Dr. med. D._ habe erst die im Mai 2015 vorgenommene Auswechslung des Bodens in der damaligen Wohnung der Beschwerdegegnerin 1 als "Auslöser" für die psychiatrischen Beschwerden bezeichnet, dringt sie ebenfalls nicht durch. Wohl lassen die Ausführungen im RAD-Untersuchungsbericht vom 11. Januar 2017 darauf schliessen, dass die erwähnten Bauarbeiten die psychiatrische Störung durchaus in dem Sinne triggerte, dass in der Folge eine Verschlechterung des Gesundheitszustands eintrat. Dies vermag aber nicht darüber hinweg zu täuschen, dass Dr. med. D._ selber eine bereits früher eingetretene sinnfällige Auswirkung der Erkrankung auf die Arbeitsfähigkeit nicht ausschloss ("[...] seit Frühling 2015 oder schon früher entwickelte wahnhafte Störung [...]). Diesbezüglich präzisierte die RAD-Psychiaterin, dass bei der Beschwerdegegnerin 1 nicht (erst) die im Zusammenhang mit dem Wohnungsumbau aufgetretene hohe Sensibilität auf Gerüche, Emmissionen und chemische Verbindungen auffällig gewesen seien, sondern die Verarbeitung und Interpretation von Erfahrungen und Ereignissen an sich, was sich schon beim Tod des Haustieres oder des Anwalts gezeigt habe. Als charakteristisch für die schliesslich zur IV-Berentung bei 100%iger Arbeitsunfähigkeit führende wahnhafte Störung (ICD-10 F22.0) benannte Dr. med. D._, dass die Patientin in ihrer Realitätseinschätzung schwer beeinträchtigt sei, sich dergestalt von ihrer Sicht der Realität nicht distanzieren könne und darüber hinaus über keine Krankheitseinsicht verfüge; diesbezüglich reagiere sie vielmehr abwehrend und sogar aufbrausend (RAD-Untersuchungsbericht vom 11. Januar 2017, S. 8).
4.3. Davon ausgehend hat die Vorinstanz eine eigene Würdigung des (echtzeitlichen) Personaldossiers vorgenommen und erst in letzter Linie auf die diese Erkenntnisse - und die von Dr. med. D._ erhobenen psychiatrischen Untersuchungsbefunde - einbeziehenden und in allen Teilen bestätigende fachärztliche Aktenbeurteilung des Dr. med. E._ vom 5. November 2019 abgestellt. Dieser legte, wie die Vorinstanz verbindlich (E. 1) festgestellt hat, anhand der Einträge im Personaldossier die Parallelen zwischen den bereits von Dr. med. D._ beschriebenen Leitsymptomen einer wahnhaften Störung (vgl. E. 4.2 hievor) und dem Verhalten der Beschwerdegegnerin 1 während ihrer Anstellung bei der Stadt Luzern ausführlich dar. Der von Dr. med. E._ aufgrund der Schwierigkeiten am Arbeitsplatz festgelegte Beginn der massgeblichen Arbeitsunfähigkeit stimmt denn auch mit dem von Dr. med. F._ bezeichneten Zeitpunkt - Ende August 2014 - überein. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin trifft es folglich nicht zu, dass im angefochtenen Urteil allein auf die Beurteilung des Dr. med. E._ abgestellt worden wäre. Ebenso wenig ist zu erkennen, dass das kantonale Gericht den hinsichtlich Partei- bzw. Aktengutachten geltenden Grundsätzen nicht Rechnung getragen hätte, beurteilte doch Dr. med. E._ einzig den retrospektiven Eintritt der relevanten Arbeitsunfähigkeit bei an sich feststehendem medizinischem Sachverhalt (vgl. E. 2.1 hievor). Schliesslich hat das kantonale Gericht auch die Berichte der behandelnden Ärzte Dres. med. G._, und H._ und I._ (Berichte vom 17./19. Juni 2015 und 12. Mai 2016) miteinbezogen und begründet, weshalb diese im entscheidenden Punkt nicht weiter helfen. Auch anhand der sonstigen Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin keine Rechtsverletzung aufzuzeigen.
4.4. Demnach können der Vorinstanz keine offensichtlich unrichtige Feststellung oder eine rechtsfehlerhafte Beweiswürdigung hinsichtlich des Eintritts der relevanten Arbeitsunfähigkeit von mindestens 20 % vorgeworfen werden. Dass sie auf weitere Abklärungen, insbesondere die beantragte Einholung eines Gerichtsgutachtens verzichtet hat, ist nicht zu beanstanden (antizipierende Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 6.5; <ref-ruling> E. 5.3). Eine Verletzung des Rechts auf Beweis (<ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK) liegt ebenfalls nicht vor. Die Voraussetzung des engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhangs zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der später eingetretenen Invalidität ist unbestritten geblieben und gibt zu keinen Bemerkungen Anlass. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin 1 hat Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. März 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder