Sachverhalt:
A.
Mit Mietvertrag vom 6. Dezember 1983 übernahm die C._ AG die Ladenflächen des damals von der B._ AG (Beschwerdegegnerin) geführten Warenhauses an der Strasse X._ in U._. Im Jahr 2002 wurde das Vertragsverhältnis einvernehmlich auf die A._ AG (Beschwerdeführerin) übertragen. Der vorerst bis zum 31. Januar 2004 befristete Mietvertrag verlängerte sich durch die Ausübung einer Option durch die A._ AG bis zum 31. Januar 2014.
Am 5. November 2001 schlossen die Vertragsparteien einen Nachtrag I zum Mietvertrag ab, der unter anderem die folgende Bestimmung enthielt:
"5. Dauer des Mieterverhältnisses
Mit Bezug auf die Dauer des Mietverhältnisses, Kündigungsfristen und -termine sowie gewährte Optionsrechte gelten für die zusätzlich vermieteten Mieträumlichkeiten die gleichen Bestimmungen, wie sie gemäss Vertrag vom 6. Dezember 1983 massgebend sind. Entsprechend der ausgeübten Option endigt das Mietverhältnis frühestens auf 31. Januar 2014 (Ziff. 4.3 des Vertrages vom 6. Dezember 1983).
Bezüglich des Vormietrechtes wird Ziff. 4.4. des Mietvertrages vom 6. Dezember 1983 wie folgt geändert:
Die Vermieterin verpflichtet sich, der Mieterin eine Offerte zur Fortführung des Vertragsverhältnisses nach 1. Februar 2014 für eine weitere Dauer von mindestens 5 Jahren zu dannzumal marktüblichen Vertragskonditionen zu unterbreiten. Die Offerte hat dabei bis spätestens 31. Januar 2011 zu erfolgen.
Können sich die Parteien in der Folge nicht bis spätestens 31. Juli 2012 über eine Fortführung des Vertragsverhältnisses und die dabei massgebenden Vertragskonditionen einigen, so endigt das Vertragsverhältnis, ohne dass es einer Kündigung bedarf, am 31. Januar 2014 definitiv."
Zwischen der A._ AG und der B._ AG entstand Streit über die Weitervermietung ab dem 31. Januar 2014.
B.
B.a. Die A._ AG leitete am 5. Mai 2011 bei der Schlichtungsbehörde des Bezirks Zürich ein Schlichtungsverfahren ein und erhob sodann am 14. März 2012 beim Mietgericht des Bezirks Zürich Klage gegen die B._ AG, mit der sie im Wesentlichen verlangte, es sei "der für die Verlängerung des Vertragsverhältnisses vertraglich vereinbarte massgebliche Mietzins für die gemieteten Räumlichkeiten (Liegenschaft Strasse X._ Nr. x/y/z, U._) " gerichtlich (eventualiter: auf 6.5% des jährlich erzielten Umsatzes der A._ AG) festzulegen, und die B._ AG sei zu verpflichten, gegenüber der A._ AG "innert 14 Tagen ab Rechtskraft eine Willenserklärung im Sinne einer verbindlichen auf 30 Tage befristeten Offerte abzugeben, wonach der gerichtlich festgelegte Mietzins [...] für das Mietverhältnis ab 1. Februar 2014 für eine Dauer von mindestens fünf Jahren zur Anwendung gelangt [...]."
Nach Durchführung von zwei Schriftenwechseln fand am 23. April 2013 eine Instruktionsverhandlung für Vergleichsgespräche statt. Nachdem keine Einigung zustande kam, wurde am 29. August 2013 die Hauptverhandlung durchgeführt, anlässlich derer die Parteien je einen weiteren Parteivortrag hielten. Nach Fortsetzung des Verfahrens inklusive Beweisabnahmen, wurde den Parteien mit Präsidialverfügung vom 29. September 2014 Frist angesetzt, um unter anderem zur Frage der sachlichen Zuständigkeit des Mietgerichts Stellung zu nehmen. In den Eingaben vom 8. und 23. Oktober 2014 vertraten beide Parteien die Ansicht, das Mietgericht habe auch unter dem Gesichtspunkt der sachlichen Zuständigkeit auf die Klage einzutreten.
Das Mietgericht bejahte mit Urteil vom 22. Dezember 2014 seine Zuständigkeit. Das Mietgericht ging zusammengefasst davon aus, es seien die Voraussetzungen einer handelsrechtlichen Streitigkeit im Sinne von <ref-law> erfüllt. Unter diesen Umständen sei gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (<ref-ruling> und <ref-ruling>) das Handelsgericht zwingend und ausschliesslich zuständig. Für eine weitere (abweichende) Zuständigkeitsregelung durch den Kanton bleibe kein Raum, weshalb sich § 126 des Gesetzes des Kantons Zürich vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG/ZH; LS 211.1) als bundesrechtswidrig erweise. Damit fehle es an der sachlichen Zuständigkeit (des Mietgerichts). Weil die Prozessvoraussetzungen in jedem Verfahrensstadium zu prüfen seien, wäre deshalb ein Nichteintretensentscheid zu fällen. Allerdings könne das Vertrauensschutzargument gebieten, eine Praxisänderung nicht auf ein hängiges Verfahren anzuwenden. Die Voraussetzungen dazu seien erfüllt. Denn insbesondere mit der Durchführung der zahlreichen Zeugeneinvernahmen im Juli und September 2014 sei ein schützenswertes Vertrauen der Parteien in die Zuständigkeit des Mietgerichts begründet worden. Daran ändere nichts, dass sowohl die Parteien als auch das Mietgericht nach Bekanntwerden von <ref-ruling> die Unzuständigkeit hätten erkennen können. Ein Nichteintreten in diesem späten Verfahrensstadium würde das Vertrauensschutz prinzip und den Grundsatz der Prozessökonomie verletzen, weshalb das nicht zuständige Mietgericht in der Sache ein Urteil zu fällen habe.
Das Mietgericht fällte entsprechend einen Entscheid in der Sache und verpflichtete die B._ AG, der A._ AG innert 30 Tagen ab Rechtskraft "für die Liegenschaften Strasse X._ Nr. x und z eine verbindliche auf 30 Tage befristete Offerte zur Fortführung des Vertragsverhältnisses ab dem 1. Februar 2014 für eine weitere Dauer von mindestens fünf Jahren zu marktüblichen Vertragskonditionen für ein Warenhaus zu unterbreiten". Die weiteren Begehren der A._ AG wies es ab.
B.b. Gegen dieses Urteil erhob die B._ AG mit Eingabe vom 30. Januar 2015 Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Am 2. Februar 2015 erhob auch die A._ AG Berufung gegen das Urteil des Mietgerichts. Mit Verfügung vom 17. Februar 2015 wurden die beiden Berufungsverfahren vereinigt. Das Obergericht setzte mit Verfügung vom 9. März 2015 den Parteien Frist an, sich zur sachlichen und funktionellen Zuständigkeit zu äusseren. Die Parteien nahmen mit Eingaben vom 23. März 2015 und 15. April 2015 dazu Stellung. Mit Urteil vom 4. Mai 2015 kam das Obergericht zum Schluss, die sachliche Zuständigkeit des Mietgerichts des Bezirks Zürich sei nicht gegeben, und trat daher auf die Klage nicht ein.
B.c. Die gegen den Nichteintretensentscheid des Obergerichts von beiden Parteien erhobenen Beschwerden wies das Bundesgericht mit Urteil 4A_291/2015 und 4A_301/2015 vom 3. Februar 2016 ab.
C.
Mit Eingabe vom 8. Juni 2015 machte die A._ AG beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage anhängig mit demselben Rechtsbegehren wie vor dem Mietgericht. Mit Verfügung vom 3. Februar 2017 wurde das Verfahren einstweilen auf die Frage der Anwendbarkeit von <ref-law> sowie die Rechtsfolgen einer allfälligen Nichtanwendung dieser Bestimmung auf die materiellrechtliche Beurteilung der Streitsache beschränkt.
Mit Urteil vom 26. Mai 2017 wies das Handelsgericht die Klage mit der Begründung ab, der Anspruch der A._ AG auf Stellung einer Offerte sei verwirkt.
D.
D.a. Parallel zu diesen Verfahren machte die A._ AG am 11. November 2013 bei der Schlichtungsbehörde des Bezirks Zürich eine ebenfalls gegen die B._ AG gerichtete Klage auf Erstreckung des Mietverhältnisses anhängig. Nach Ausstellung der Klagebewilligung reichte die A._ AG am 1. September 2014 beim Mietgericht des Bezirks Zürich Klage ein.
Mit Präsidialverfügung vom 9. Oktober 2015 sistierte das Mietgericht das Verfahren, "bis ein rechtskräftiger Entscheid betreffend Offertstellungspflicht" vorliegt. Das Obergericht des Kantons Zürich hiess die von der B._ AG hiergegen erhobene Beschwerde mit Urteil vom 30. November 2015 gut und hob die angefochtene Sistierungsverfügung auf. Auf die dagegen von der A._ AG geführte Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 4A_5/2016 vom 20. Juli 2016 nicht ein.
In der Folge kam das Mietgericht mit Beschluss vom 26. Januar 2017 zum Ergebnis, die vorfrageweise Prüfung habe ergeben, dass die B._ AG bislang keine vertragskonforme Offerte abgegeben habe. Die A._ AG verfüge daher nach wie vor über einen Realerfüllungsanspruch auf die Unterbreitung der Offerte, und als Ausfluss dieses Anspruchs auch über ein (vertragliches) Benutzungsrecht an der Mietsache. Es stehe damit nicht fest, dass das Mietverhältnis am 31. Januar 2014 zu Ende gegangen sei und am Erstreckungsbegehren bestünde kein Rechtsschutzinteresse, sodass darauf nicht einzutreten sei.
Aufgrund des hängigen Verfahrens vor dem Handelsgericht (oben Sachverhalt C) brachte das Mietgericht einen Rechtskraftvorbehalt an ihrem Entscheid an. Die A._ AG wurde für berechtigt erklärt, innert 30 Tagen seit der Zustellung des entsprechenden letztinstanzlichen Entscheids die Fortsetzung des Erstreckungsverfahrens zu verlangen, wenn sich im handelsgerichtlichen Verfahren ergeben sollte, dass aus dem Nachtrag I vom 5. November 2011 keine Offertpflicht der B._ AG bezüglich einer Verlängerung des Mietvertrages bis 31. Januar 2019 im Sinne der Erwägungen des vorliegenden Entscheids fliesse.
D.b. Die B._ AG erhob gegen diesen Entscheid Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Das Berufungsverfahren ist zurzeit am Obergericht hängig.
Im Rahmen dieses Berufungsverfahrens stellte die A._ AG mit Eingabe vom 22. März 2017 ein Ausstandsbegehren, welches das Obergericht mit Beschluss vom 18. April 2017 abwies, soweit es darauf eintrat. Die dagegen von der A._ AG erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 4A_271/2017 vom 7. September 2017 ab.
E.
Die Beschwerdeführerin verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts vom 26. Mai 2017 sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin verpflichtet sei, eine Offerte für die Fortführung des Warenhausmietvertrags mit vertragsgemässen Konditionen für die Benutzung als Warenhaus für eine Dauer von mindestens fünf Jahren ab 1. Februar 2014 zu stellen. Für die Feststellung des vereinbarten Mietzinses sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei das Verfahren an die Vorinstanz zurückzuweisen zwecks Fortführung des erstinstanzlichen Verfahrens.
Das Handelsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. Die Beschwerdegegnerin begehrt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin replizierte.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil des Handelsgerichts ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert (<ref-ruling> E. 1.2).
1.2. Die Beschwerdegegnerin beanstandet, dass die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht in Rechtsbegehren Ziffer 1 neu ein Feststellungsbegehren bezüglich der Offertpflicht stelle, wohingegen sie vor Vorinstanz ein Leistungsbegehren gestellt habe. Es handle sich um ein unzulässiges, neues Begehren im Sinne von <ref-law>.
Es ist zwar zutreffend, dass die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht in Rechtsbegehren Ziffer 1 beantragt, dass "festzustellen [sei], dass die [Beschwerdegegnerin] verpflichtet ist, eine Offerte (...) zu stellen". Rechtsbegehren sind aber nach Treu und Glauben und insbesondere im Lichte der dazu gegebenen Beschwerdebegründung auszulegen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 136; Urteil 4A_116/2015 vom 9. November 2015 E. 2.2.1, nicht publ. in <ref-ruling>). In der Beschwerdeschrift bringt die Beschwerdeführerin mehrfach vor, dass sich ihr Anspruch auf "die Abgabe einer Offerte richtet". Aus dieser Beschwerdebegründung ergibt sich nach Treu und Glauben, dass die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nach wie vor die Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Abgabe einer solchen Offerte begehrt, mithin an ihrer Leistungsklage festhält. Es handelt sich damit entgegen der Auffassung der Beschwerdegegnerin nicht um ein neues Begehren im Sinne von <ref-law>.
1.3. Im Übrigen sind die Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Es ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2.
In der Sache vertreten die Parteien folgende Standpunkte: Die Beschwerdeführerin stützt ihren geltend gemachten Anspruch auf eine bindende Offerte zur Verlängerung des Mietvertrages für die Liegenschaften Strasse X._ Nr. x/y/z auf den Nachtrag I vom 5. November 2001 zum Mietvertrag. Sie stellt sich auf den Standpunkt, zwischen den Parteien sei vereinbart worden, dass die Offerte zu marktüblichen Konditionen erfolgen müsse, womit marktübliche Konditionen für ein Warenhaus gemeint gewesen seien.
Die Beschwerdegegnerin beruft sich demgegenüber darauf, sie habe eine Offerte unterbreitet für die Mietflächen in den Häusern x und z zu marktüblichen Konditionen für Verkaufsflächen an der Strasse X._. Diese Offerte sei rechtzeitig erfolgt und habe der vertraglichen Vereinbarung entsprochen. Die Beschwerdeführerin habe sie nicht angenommen und es sei auch in der Verhandlungsphase zu keiner Einigung gekommen. Demzufolge sei das Mietverhältnis beendet worden.
3.
3.1. Das Handelsgericht prüfte zunächst, ob <ref-law> anwendbar ist. Dies verneinte es mit folgender Begründung: Aus dem Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich vom 4. Mai 2015 ergebe sich, dass dieses auf die ursprüngliche Klage nicht eingetreten sei, weil es das Mietgericht des Bezirks Zürich für nicht zuständig erachtet habe. Die Klage am Handelsgericht habe die Beschwerdeführerin am 8. Juni 2015 eingereicht und damit die Verwirkungsfrist von <ref-law> von einem Monat eingehalten. Damit bleibe lediglich zu prüfen, ob die Beschwerdeführerin am Handelsgericht die gleiche Klage wie am Mietgericht eingereicht habe. Unbestrittenermassen handle es sich bei der von der Beschwerdeführerin am Handelsgericht eingereichten Klage nicht um diejenige Rechtsschrift, welche die Beschwerdeführerin bereits beim Mietgericht eingereicht habe, und zwar nicht bloss in formeller, sondern - und dies sei primär entscheidend - auch nicht in inhaltlicher Hinsicht. In welchen Teilen sich die vorliegende Klageschrift von derjenigen im Erstverfahren [vor dem Mietgericht] unterscheide, spiele keine Rolle. Es sei eine veränderte Fassung der Klageschrift eingereicht worden. Die klare bundesgerichtliche Rechtsprechung lasse in diesem Punkt keinerlei Zweifel offen, dass eine solche Eingabe nicht die Wirkungen von <ref-law> nach sich ziehe. Vorausgesetzt sei nach der bundesgerichlichen Rechtsprechung nämlich, dass der Ansprecher die gleiche Rechtsschrift, die er ursprünglich bei einem unzuständigen Gericht eingegeben habe, fristgerecht im Original bei der von ihm neu für zuständig gehaltenen Behörde einreiche (<ref-ruling>).
Die Beschwerdeführerin könne auch aufgrund des bisherigen Verfahrensablaufes die Klageschrift nicht neu fassen, noch sei sie dazu nach Treu und Glauben verpflichtet gewesen. Dass <ref-ruling> erst ergangen sei, nachdem die Beschwerdeführerin ihre Klage im vorliegenden Verfahren eingereicht habe, ändere an diesem Resultat nichts. Das Handelsgericht handle sodann weder überspitzt formalistisch, noch verletze es Treu und Glauben. Es liege auch keine Rechtsverweigerung vor und das Handelsgericht habe der Beschwerdeführerin keine Nachfrist anzusetzen. Zusammenfassend erfülle die Beschwerdeführerin mit der Neufassung der Klage die Voraussetzungen von <ref-law> nicht. Entsprechend könne sie sich für den Zeitpunkt der Rechtshängigkeit nicht darauf berufen. Die Beschwerdeführerin sei folglich prozessual so zu behandeln, als hätte sie die Klage beim Mietgericht nie eingereicht, sondern erstmals am 8. Juni 2015 eine Klage erhoben. Das Handelsgericht prüfte in der Folge einzig die Klage vom 8. Juni 2015 und stellte für die Rechtshängigkeit auf dieses Datum, das Datum der Einreichung der Klage am Handelsgericht, ab.
3.2. Das Handelsgericht erwog sodann, dass aufgrund der fehlenden Anwendbarkeit von <ref-law> und der damit verbundenen Rechtshängigkeit der vorliegenden Klage am 8. Juni 2015 in erster Linie zu prüfen sei, ob die Klage rechtzeitig erfolgt sei. Zu diesem Zweck rechtfertige es sich - ohne damit eine Aussage zum Anspruch der Beschwerdeführerin in materieller Hinsicht zu machen - einstweilen vom grundsätzlichen Bestand des Anspruchs, wie er von der Beschwerdeführerin behauptet werde (bindende Offerte, zu Marktpreisen für Warenhäuser, inklusive Haus Nr. y), auszugehen. Die Beschwerdegegnerin habe sich im Nachtrag I vom 5. November 2001 zum Mietvertrag verpflichtet, die Offerte bis am 31. Januar 2011 abzugeben. Sodann sei eine Verhandlungsfrist bis zum 31. Juli 2012 vereinbart worden. Innert welcher Frist die Beschwerdeführerin ihren Anspruch geltend machen könne, wenn die Beschwerdegegnerin keine Offerte stellte, sei im Vertrag hingegen nicht ausdrücklich festgehalten worden. Die Parteien seien sich nicht darüber einig, innert welcher Frist die Beschwerdeführerin ihren "Anspruch" auf Abgabe einer Offerte durchsetzen müsse. Während die Beschwerdeführerin davon ausgehe, dass sie unabhängig vom Bestand des Vertrages einen Anspruch auf die versprochene Offerte habe, stelle sich die Beschwerdegegnerin auf den Standpunkt, dass dieser innert einer bestimmten Frist hätte geltend gemacht werden müssen. Damit seien sich die Parteien über den Inhalt des Vertrages, im Speziellen über die Verlängerungsmodalitäten, nicht einig, weshalb sich dieser Inhalt als auslegungsbedürftig erweise. Nachdem vorliegend "keine Partei substanziiert und mit Beweismitteln unterlegt" einen tatsächlich übereinstimmenden Parteiwillen behauptet habe, gelange nur die normative Auslegung zum Zuge.
Das Handelsgericht kam zusammengefasst zum Ergebnis, unter Würdigung sämtlicher Umstände, die mit dem Vertragsschluss und der Vereinbarung des Verlängerungsmechanismus einhergingen, hätten die Parteien eine Verwirkungsfrist für die Wahrnehmung der mit der Verlängerung verbundenen Rechte vereinbart. Als Zeitpunkt, in dem der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Offerte verwirke, kämen theoretisch drei verschiedene Termine in Betracht. Neben dem 31. Januar 2011, dem Datum, bis zu welchem eine Offerte hätte abgegeben werden müssen, seien dies das Ende der Verhandlungspflicht am 31. Juli 2012 und das Vertragsende am 31. Januar 2014. Da selbst die Beschwerdegegnerin davon ausgehe, dass die Beschwerdeführerin bis zum 31. Januar 2014 hätte klagen müssen und dies für die Beschwerdeführerin die günstigere Frist darstelle, sei davon auszugehen, dass die Parteien dieses Datum als Verwirkungsfrist vereinbart hätten.
3.3. Das Handelsgericht führte weiter aus, Verwirkungsfristen könnten regelmässig dadurch gewahrt werden, dass eine bestimmte Erklärung in der von den Parteien gewählten Form vor Ablauf der Frist abgegeben werde. Dies genüge bei der Ausübung von Gestaltungsrechten. Im vorliegenden Fall könnten die Voraussetzungen zur Ausübung eines Gestaltungsrechts jedoch nicht angewandt werden. Vielmehr sei auf die Regelung der Verjährungsfristen zurückzugreifen. Der Beschwerdeführerin hätten in Anwendung der Bestimmungen über die Verjährung nach <ref-law> lediglich zwei Behelfe zur Verfügung gestanden, nämlich einerseits die unbedingte Anerkennung des Anspruchs durch die Gegenseite bzw. eine einvernehmliche Verlängerung der Verwirkungsfrist und andererseits die gerichtliche Klage.
Die Beschwerdeführerin habe ihre Klage auf Abgabe einer Offerte ursprünglich am 5. Mai 2011 mit der Stellung eines Schlichtungsgesuchs bei der Schlichtungsbehörde des Bezirks Zürich anhängig gemacht und in der Folge die Klage am 14. März 2012 am Mietgericht des Bezirks Zürich angehoben. Mit Urteil vom 22. Dezember 2014 sei das Obergericht des Kantons Zürich im Rahmen eines Rechtsmittelsverfahrens gegen das Urteil des Mietgerichts auf die Klage nicht eingetreten. Mit Eingabe vom 8. Juni 2015 sei die Beschwerdeführerin an das Handelsgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin habe aber mit ihrer (neuen) Klage die Voraussetzungen nach <ref-law> nicht erfüllt, weshalb die Rechtshängigkeit der vorliegenden Klage nicht auf die vorangegangene Klage zurückbezogen werden könne. Daraus ergebe sich, dass der Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Verlängerung des Mietvertrages aufgrund der vertraglichen Vereinbarung spätestens am 31. Januar 2014 verwirkt sei.
4.
Ob das Handelsgericht mit dieser fraglichen Argumentation Bundesrecht verletzt, insbesondere wie die Beschwerdeführerin vorbringt, gegen Art. 63 und 52 ZPO, Art. 1, 18, 22, 156 OR und <ref-law> sowie Art. 9, 29 und 36 BV verstossen hat, braucht nicht beurteilt zu werden, da das Urteil aus anderen Gründen aufzuheben ist:
4.1. Das Handelsgericht bejahte seine Zuständigkeit für die vorliegende Klage. Es erwog aber, die sachliche Zuständigkeit sei angesichts der neusten Rechtsprechung des Bundesgerichts (<ref-ruling>) durchaus diskutabel gewesen und ein entsprechender Vorbehalt sei auch in den verfahrensleitenden Verfügungen erfolgt. Mit Blick auf das vorhergehende Urteil des Bundesgerichts in der gleichen Sache, mit dem der Nichteintretensentscheid des Obergerichts des Kantons Zürich bestätigt worden sei, sei die Zuständigkeit des Handelsgericht für das vorliegende Verfahren jedoch zu bejahen.
4.2. Diese Auffassung verkennt die Tragweite des vorangegangenen Urteils 4A_291/2015 und 4A_301/2015 vom 3. Februar 2016. Dazu ist klarzustellen: Das Bundesgericht stellte nicht fest, dass das Mietgericht des Bezirks Zürich für die vorliegende Streitigkeit unzuständig wäre. Es erwog lediglich, dass das Obergericht die sachliche Zuständigkeit des Mietgerichts von Amtes wegen prüfen durfte und verwarf die von der damals beklagten Beschwerdegegnerin gegen den Entscheid des Obergerichts vorgebrachten Rügen, wonach dieses in einen "rechtkräftigen Zwischenentscheid" des Mietgerichts eingegriffen habe und nach mehrjähriger Verfahrensdauer kein Nichteintretensentscheid mehr ergehen könne. Die damals klagende Beschwerdeführerin wandte sich nicht gegen die vom Obergericht verneinte Zuständigkeit des Mietgerichts, sondern einzig gegen den Kostenentscheid des Obergerichts. Angesichts dieser prozessualen Ausgangslange sprach sich das Bundesgericht nicht abschliessend zur Zuständigkeitsfrage aus und stellte namentlich nicht fest, dass das Handelsgericht des Kantons Zürich für die vorliegende Streitsache zuständig ist.
4.3. Das ist denn auch nicht der Fall: Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist der Begriff "Kündigungsschutz" im Sinne von <ref-law> weit zu verstehen. Allgemein liegt ein Fall von Kündigungsschutz dann vor, wenn das Gericht über die Beendigung des Mietverhältnisses befinden muss ("dès que l'autorité saisie doit se prononcer sur la fin du bail"), sei es zufolge einer (ordentlichen oder ausserordentlichen) Kündigung, sei es aufgrund des Ablaufs der vereinbarten Dauer des Mietvertrags. Eine abweichende prozessuale Behandlung der Beendigung befristeter Mietverhältnisse ist mit Blick auf das gesetzgeberische Ziel des Mieterschutzes nicht gerechtfertigt (<ref-ruling> E. 3.1; Urteile 4A_340/2017 vom 24. Juli 2017 E. 2.2; 4A_300/2016 vom 5. Oktober 2016 E. 2.3; je mit Hinweisen; zustimmend zum weiten Begriff des Kündigungsschutzes: Thomas Koller / Manfred Strik, Die mietrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahr 2016, ZBJV 154 [2018], S. 264 ff.).
4.4. Die Beschwerdeführerin verlangt mit ihrem Hauptbegehren die gerichtliche Festlegung des für die Verlängerung des Mietvertrages massgeblichen Mietzinses und die Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Abgabe einer Offerte für die Verlängerung des Mietverhältnisses. Würde ihrer Auffassung gefolgt und würde diese Offerte in der Folge von ihr angenommen werden, führte dies nach der Auffassung der Beschwerdeführerin dazu, dass sich der Mietvertrag der Parteien rückwirkend ab dem 1. Februar 2014 um fünf Jahre, mithin bis ins Jahre 2019, verlängerte. Würde demgegenüber der Position der Beschwerdegegnerin gefolgt, wonach sie bereits eine vertragskonforme Offerte unterbreitet habe, die Beschwerdeführerin diese aber nicht angenommen habe und es auch in der Verhandlungsphase zu keiner Einigung gekommen sei, bedeutete dies nach ihrer Meinung, dass der Mietvertrag bereits am 31. Januar 2014 geendet hätte (vgl. oben Erwägung 2). Damit hat das mit der Streitsache befasste Gericht darüber zu befinden, ob der Mietvertrag zwischen den Parteien (bereits) beendet wurde. Entsprechend fällt die vorliegende Auseinandersetzung unter den Begriff des Kündigungsschutzes gemäss <ref-law>, die im vereinfachten Verfahren zu behandeln ist.
Da für die Klage somit das vereinfachte Verfahren gilt, ist die Zuständigkeit des Handelsgericht nicht bloss "diskutabel", sondern das Handelsgericht ist für diese Klage gemäss ausdrücklicher Gesetzesbestimmung (<ref-law>) nicht zuständig und es trat zu Unrecht auf die Klage ein (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen). Für die vorliegende Streitigkeit ist vielmehr das Mietgericht des Bezirks Zürich zuständig (<ref-law>; <ref-law>; § 21 GOG/ZH).
4.5. Dass die Parteien vor Bundesgericht keinen Unzuständigkeitseinwand erhoben, ändert nichts: Das Bundesgericht hat jedenfalls festgehalten, eine obere kantonale Instanz habe die sachliche Zuständigkeit ihrer Vorinstanz auch ohne entsprechende Rügen zu prüfen; Einlassung ist bezüglich sachlicher Zuständigkeit nicht statthaft (Urteile 4A_229/2017 vom 7. Dezember 2017 E. 3.2; 4A_100/2016 vom 13. Juli 2016 E. 2.1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; 4A_488/2014 vom 20. Februar 2015 E. 3.1 f., nicht publ. in: <ref-ruling>). Demgegenüber prüft das Bundesgericht, abgesehen von Fällen der Nichtigkeit, die jederzeit und von sämtlichen staatlichen Instanzen (und damit auch vom Bundesgericht) von Amtes wegen zu beachten ist (<ref-ruling> E. 2.4.3 S. 226; Urteil 4A_229/2017 vom 7. Dezember 2017 E. 3.2), die Zuständigkeit der Vorinstanz grundsätzlich einzig auf Rüge hin (<ref-law>).
Vorliegend stellte die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid ihre Zuständigkeit aufgrund eines publizierten Bundesgerichtsentscheids in Frage (dazu: Erwägung 4.1), trat aber infolge eines unzutreffenden Verständnisses des Urteils 4A_291/2015 und 4A_301/2015 vom 3. Februar 2016 (dazu: Erwägung 4.2) dennoch auf die Klage ein und fällte einen Entscheid in der Sache. Unter diesen speziellen Umständen konnte das Bundesgericht die Zuständigkeit auch ohne entsprechendes Parteivorbringen prüfen.
4.6. Entsprechend ist die Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Handelsgerichts aufzuheben und auf die Klage der Beschwerdeführerin am Handelsgericht ist mangels sachlicher Zuständigkeit nicht einzutreten.
Dies bedeutet für den vorliegenden, speziell gelagerten Fall was folgt: Zuständig für die vorliegende Klage ist das Mietgericht des Bezirks Zürich im vereinfachten Verfahren (vgl. oben Erwägung 4.4). Das Mietgericht hat bereits mit Urteil vom 22. Dezember 2014 nach Durchführung eines Beweisverfahrens materiell über die Klage entschieden (vgl. oben Sachverhalt B.a). Angesichts dieser speziell gelagerten Situation ist es aus prozessökonomischen Gründen nicht angebracht, dass die Parteien das erstinstanzliche Verfahren erneut durchlaufen müssen.
Denn gegen den Entscheid des Mietgerichts erhoben beide Parteien Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses beurteilte die von den Parteien eingereichten Rechtsmittel nicht materiell, sondern es erachtete das Mietgericht als nicht zuständig und trat mit Urteil vom 4. Mai 2015 auf die Klage mangels sachlicher Zuständigkeit des Mietgerichts nicht ein (vgl. oben Sachverhalt B.b). Dieses vom Bundesgericht mit Urteil 4A_291/2015 und 4A_301/2015 vom 3. Februar 2016 geschützte Nichteintreten kann unter den gegebenen, besonderen Umständen des vorliegenden Einzelfalls nicht als in materielle Rechtskraft erwachsen gelten (vgl. <ref-ruling> E. 6 S. 481 f.). Die Parteien können daher die Weiterführung des Berufungsverfahrens am Obergericht des Kantons Zürich verlangen, weshalb das Verfahren zur weiteren Behandlung an das Obergericht überwiesen wird.
Das Obergericht hat erforderlichenfalls das Berufungsverfahren in der Sache zu instruieren und die gegen das Urteil des Mietgerichts vom 22. Dezember 2014 eingereichten Berufungen materiell zu prüfen. Ferner ist im Rahmen der Prozessleitung eine Koordination mit dem bereits am Obergericht hängigen Berufungsverfahren betreffend Erstreckung des Mietverhältnisses in Betracht zu ziehen, in dem sich die hier strittige Frage als Vorfrage stellt (vgl. oben Sachverhalt D.b).
5.
Im Ergebnis ist damit die Beschwerde teilweise gutzuheissen. Die Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Mai 2017 ist aufzuheben, und auf die Klage der Beschwerdeführerin ist mangels sachlicher Zuständigkeit des Handelsgerichts nicht einzutreten. Auf die Aufhebung der Kosten- und Entschädigungsfolgen (Dispositiv-Ziffern 2 bis 4) des Urteils des Handelsgerichts kann verzichtet werden, weil ein Nichteintreten auf die Klage am Unterliegen der Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren nichts ändert (<ref-law>). Hingegen besteht kein hinreichender Anlass, die Höhe der Gerichtsgebühr des Handelsgerichts von Amtes wegen zu ändern.
6.
Im bundesgerichtlichen Verfahren obsiegt nach dem Ausgeführten keine Partei vollständig. Die Beschwerdeführerin beantragte in ihrem Hauptbegehren die Aufhebung des Urteils des Handelsgerichts und die Gutheissung ihrer Klage. Die Beschwerdegegnerin begehrte die Abweisung der Beschwerde. Für die Beschwerdeführerin stellt ein Nichteintreten auf ihre Klage weniger dar als deren Gutheissung. Für die Beschwerdegegnerin bedeutet ein Nichteintreten auf die Klage weniger als deren Abweisung. Mit Blick auf die gegebenen besonderen Umständen des vorliegenden Verfahrens wird aber ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Die Parteikosten werden wettgeschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffer 1 des Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 26. Mai 2017 wird aufgehoben und auf die Klage am Handelsgericht wird nicht eingetreten.
Das Verfahren wird zur weiteren Behandlung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht des Kantons Zürich überwiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskostenerhoben.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Mai 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger