Faits :
A.
A._s'est présenté à un examen de la session d'examens de janvier/février 2018 de la Faculté de droit de l'Université de Neuchâtel (ci-après: la Faculté de droit) et a obtenu la note de 3,5.
B.
Par décision du 16 février 2018, la Faculté de droit lui a signifié son échec définitif et son élimination du cursus Bachelor of Law. Par décision sur recours du 25 octobre 2019, la Commission de recours en matière d'examens de l'Université de Neuchâtel a confirmé la décision du 16 février 2018. A._a contesté ce prononcé auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) qui, par arrêt du 11 février 2020, a rejeté le recours. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral l'a rejeté par arrêt du 25 mai 2020 (arrêt 2C_239/2020).
C.
Par acte du 24 août 2020, A._demande au Tribunal fédéral la révision de l'arrêt 2C_239/2020 du 25 mai 2020. Il conclut en outre à être autorisé à se présenter à une prochaine session d'examens en remplacement de la session de janvier/février 2018 et à ce qu'il soit constaté que le premier semestre de l'année académique 2017/2018 ne compte pas dans son cursus.

Considérant en droit :
1.
La demande de révision fondée, comme en l'espèce, sur l'art. 121 let. d LTF doit être déposée dans les 90 jours qui suivent la découverte du motif de révision, mais au plus tôt cependant dès la notification de l'expédition complète de l'arrêt (art. 124 al. 1 let. d LTF). Elle est soumise aux exigences de motivation découlant de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (arrêt 2F_3/2019 du 23 juillet 2019 consid. 1 et les références).
La présente demande de révision a été déposée en temps utile et est fondée sur des motifs prévus par la loi. Elle est donc recevable au regard de ces dispositions.
2.
Aux termes de l'art. 121 let. d LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier. Ce motif de révision vise le cas où le Tribunal fédéral a statué en se fondant sur un état de fait incomplet ou différent de celui qui résultait du dossier. L'inadvertance implique une erreur et consiste soit à méconnaître soit à déformer un fait ou une pièce. Elle doit se rapporter au contenu même du fait, à sa perception par le tribunal, mais non pas à son appréciation juridique. Les faits doivent ressortir du dossier, à savoir non seulement de la décision attaquée, mais aussi de l'ensemble des actes de procédure comprenant le dossier complet de l'autorité cantonale ou inférieure et les mémoires et pièces adressés au Tribunal fédéral dans la mesure où ils sont recevables (arrêt 2F_8/2017 du 19 septembre 2017 consid. 3.2 et les références). L'inadvertance doit, en outre, porter sur un fait pertinent, c'est-à-dire susceptible d'entraîner une décision différente, plus favorable à la partie requérante (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 19). Encore faut-il, pour que l'on puisse parler d'inadvertance, que le Tribunal fédéral ait pu prendre en considération le fait important dont on lui reproche de ne pas avoir tenu compte. Or, lorsqu'il connaît d'un recours, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que le recourant ne parvienne à lui démontrer qu'une constatation déterminante de l'autorité cantonale a été établie de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Dès lors, hormis ces exceptions, le Tribunal fédéral, lorsqu'il est saisi d'un recours, ne peut pas revoir l'état de fait de la décision attaquée. Partant, lorsque l'une de ces exceptions n'a pas été invoquée dans la procédure de recours, le Tribunal fédéral ne saurait se voir reprocher, dans la procédure de révision subséquente, de ne pas avoir rectifié par inadvertance une erreur affectant une constatation faite par les juges précédents (arrêt 4F_15/2017 du 30 novembre 2017 consid. 2.1 et les références).
3.
3.1. Dans l'arrêt 2C_239/2020 du 25 mai 2020, le Tribunal fédéral a tout d'abord constaté que le requérant se prévalait de son incapacité de discernement, respectivement d'un état de santé déficient lors de l'examen ayant abouti à la note de 3,5, pour prétendre à l'annulation de celui-ci. Le Tribunal fédéral a ensuite relevé que le Tribunal cantonal avait à sa disposition un certificat médical, mais que celui-ci ne permettait pas d'invalider la décision d'échec définitif à l'examen. En effet, l'avis médical se bornait à établir que le patient avait pu présenter un symptôme de réapparition de troubles dissociatifs, mais sans toutefois l'affirmer et ne mentionnait pas d'impossibilité objective de faire valoir immédiatement le motif d'empêchement. Dans sa motivation, le Tribunal fédéral a jugé qu'il n'était pas arbitraire de déduire de l'avis médical, tel qu'il était rédigé, que la médecin psychiatre n'affirmait pas de manière catégorique qu'il s'agissait d'une réapparition des troubles dissociatifs. Il a ajouté que le recourant ne démontrait pas qu'il aurait dûment demandé en procédure de recours cantonale l'audition de sa psychiatre traitante et qu'il n'était par conséquent pas établi que, procédant à une appréciation anticipée de la preuve, le Tribunal cantonal aurait "renoncé" à entendre la médecin, contrairement à ce qu'affirmait le recourant.
3.2. Dans sa demande, le requérant estime qu'il ressortait clairement de son recours du 29 novembre 2019 au Tribunal cantonal qu'il demandait l'audition de sa psychiatre. Il en déduit l'existence d'une inadvertance de la part du Tribunal fédéral, qui n'a pas pris en compte cet élément avant d'affirmer qu'il n'était pas établi que, procédant à une appréciation anticipée de la preuve, le Tribunal cantonal aurait "renoncé" à entendre la médecin.
3.3. Le requérant se plaint de ce que sa psychiatre n'a pas été entendue par le Tribunal cantonal à propos de ses problèmes de santé et, surtout, de ce que celui-ci n'a pas donné suite à sa demande d'audition, formulée dans son recours interjeté devant cette autorité. Toutefois, il méconnaît le contenu de l'arrêt 2C_239/2020 du 25 mai 2020 en relation avec cette demande de preuve. En effet, le Tribunal fédéral ne lui reprochait pas d'avoir omis de demander l'audition de cette médecin devant le Tribunal cantonal, mais bien de ne pas avoir démontré devant lui avoir formulé cette demande d'audition, respectivement l'absence de suite donnée à celle-ci par l'autorité cantonale. Dans ces conditions, il ne saurait être question d'inadvertance de la part du Tribunal fédéral. Pour cette raison la demande de révision doit être rejetée.
4.
Succombant, le requérant supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du requérant, à la Faculté de droit et à la Commission de recours en matière d'examens de l'Université de Neuchâtel, ainsi qu'à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 14 septembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette