Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Beschwerdeführer) und B._ (Beschwerdegegnerin) heirateten 2001. Sie sind die Eltern der Söhne C._ (geb. 2002) und D._ (geb. 2004).
A.b. Mit Entscheid vom 18. November 2008 übertrug das Amtsgericht Augsburg/D die alleinige Sorge über die beiden Kinder der Mutter. Eine hiergegen erhobene Beschwerde des Ehemannes blieb erfolglos. Noch im November 2008 zog B._ mit den Kindern in die Schweiz.
Am 23. Februar 2009 reichte A._ beim Bezirksgericht March ein Gesuch um Schutz der ehelichen Gemeinschaft ein und beantragte die Regelung des persönlichen Verkehrs mit den Söhnen. Mit Verfügung vom 5. März 2010 räumte ihm das Bezirksgericht ein begleitetes Besuchsrecht ein. Auf einen hiergegen erhobenen Rekurs von B._ trat das Kantonsgericht Schwyz nicht ein.
Am 7. Mai 2009 klagte B._ beim Bezirksgericht gestützt auf <ref-law> auf Scheidung der Ehe. Nachdem sie ein auf Abweisung der Klage lautendes Urteil erfolgreich beim Kantonsgericht angefochten hatte, zog sie am 30. November 2011 das Scheidungsbegehren zurück, woraufhin das Bezirksgericht das Verfahren abschrieb.
B.
B.a. Ebenfalls am 30. November 2011 reichte B._ beim Bezirksgericht gestützt auf <ref-law> erneut eine Scheidungsklage ein. Im Rahmen dieses Verfahrens stellten die Parteien verschiedene Begehren im Zusammenhang mit der vorsorglichen Regelung der elterlichen Sorge, der Betreuung der Söhne sowie des persönlichen Verkehrs des Vaters mit diesen. Das Bezirksgericht gewährte A._ am 20. Dezember 2012 und am 27. Februar 2013 superprovisorisch erst ein begleitetes Besuchsrecht einmal im Monat und anschliessend ein unbegleitetes Besuchsrecht jedes zweite Wochenende. Im Mai 2013 verweigerten die Kinder den Kontakt zum Vater und am 20. Juni 2013 sistierte das Bezirksgericht das Besuchsrecht. Soweit die Parteien gegen diese Verfügungen Berufung erhoben, blieben sie damit erfolglos. Am 6. Mai 2014 wurden die Kinder angehört und am 28. Mai 2015 traf ein vom Gericht eingeholtes Gutachten des Zentrums für Forensik des Kinder- und Jugenspsychiatrischen Dienstes St. Gallen ein. Im Zusammenhang mit weiteren Anträgen um vorsorgliche Massnahmen gelangte A._ zweimal erfolglos bis ans Bundesgericht (vgl. Urteile 5A_56/2016 vom 25. Januar 2016 und 5A_696/2016 vom 23. September 2016). Ebenfalls erfolglos blieb er mit einem gegen den Vizepräsidenten des Bezirksgerichts gerichteten Ausstandsbegehren (Urteil 5A_980/2016 vom 26. Januar 2017).
B.b. Mit Urteil vom 30. Dezember 2016 schied das Bezirksgericht die Ehe. Soweit hier interessierend übertrug es dabei die alleinige elterliche Sorge über die Kinder der Mutter. Diese betraute es auch mit der Betreuung der Söhne, ohne dem Vater ein Besuchsrecht einzuräumen. Eine bereits früher angeordnete Besuchsrechtsbeistandschaft führte es in dem Sinne fort, als der Beistand für einen gehörigen Informationsaustausch zwischen Kindern und Vater sorgt und als Ansprechsperson für allfällige Kontaktwünsche der Kinder dient. Weiter verpflichtete das Bezirksgericht A._ dazu, an B._ für die Kinder bis zu deren Mündigkeit Unterhalt von je Fr. 350.-- im Monat zuzüglich allfälliger in der Schweiz bezogener Kinder- oder Ausbildungszulagen zu bezahlen.
C.
Die von A._ hiergegen erhobene Berufung und die Anschlussberufung von B._ hiess das Kantonsgericht mit Entscheid vom 19. Dezember 2017 (A._ eröffnet am 22. Dezember 2017) jeweils teilweise gut. Soweit hier interessierend änderte es das Urteil des Bezirksgerichts insoweit ab, als es den von A._ für die Kinder zu bezahlenden Unterhalt auf Fr. 490.-- pro Kind im Monat erhöhte (Dispositivziffer 1.7).
D.
Mit "Rechtsmittel" vom 12. Januar 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt und hat die folgenden Anträge gestellt:
"1. Das Urteil des Kantonsgerichts Schwyz vom 19. Dezember 2017 sei bis auf die Dispositivziffern 1.6, 1.10, 1.13 und 1.14 des kantonsgerichtlichen Urteils aufzuheben. Im Übrigen wird an den Anträgen aus der Berufung festgehalten. Vor allem an der Zuteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge und Obhut der Kinder C._ [...] und D._ [...] unter Antrags-Ziff.: 2.2.1 und der Umgang zwischen den Kindern und dem Vater sei neu zu regeln.
2. Dem Beschwerdeführer sei ein unentgeltlicher Rechtsvertreter bzw. Pflichtverteidiger einzusetzen. Dem Beklagten + Beschwerdeführer sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ihm sei der Kostenvorschuss zu erlassen.
3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge zu Lasten der Gerichtskasse bzw. der Beschwerdegegnerin + Klägerin.
4. Behalte mir das Recht vor, meine Anträge nach Einsetzung eines Rechtsvertreters[...] zu erweitern, kürzen und zurück zu nehmen."
Ausserdem hat A._ beantragt, das Bundesgericht habe Kindesschutzmassnahmen und Weisungen zur "sofortigen Aufnahme des Umgangs zwischen den Kindern mit ihrem Vater" zu erlassen.
Am 16. Januar 2018 hat das Bundesgericht auf einen Kostenvorschuss verzichtet. Den Antrag um Erlass von Kindesschutzmassnahmen und Weisungen für die sofortige Kontaktaufnahme mit den Söhnen hat es als Gesuch um vorsorgliche Massnahmen entgegengenommen, welches es abgewiesen hat. Ausserdem hat das Bundesgericht den Beschwerdeführer darauf aufmerksam gemacht, dass es keine Rechtsanwälte vermittelt und dass kein Recht auf Ergänzung der Beschwerde nach Ablauf der Beschwerdefrist besteht. Ein Gesuch um vorgängige Entscheidung über die unentgeltliche Rechtspflege hat es abgewiesen.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Rechtsmittel richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über die Scheidung der Ehe und deren Nebenfolgen und damit eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach <ref-law> entschieden hat (vgl. Urteil 5A_305/2018 vom 15. Mai 2018 E. 1.1 mit Hinweis). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und er hat diese fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. c BGG). Auf die Beschwerde ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
Unproblematisch ist im Übrigen die Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte (Art. 59 Bst. b IPRG), die denn auch nicht bestritten wird.
1.2. Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens kann nur sein, was bereits Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war oder allenfalls hätte sein sollen; er kann hierüber nicht hinausgehen (<ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 5, 457 E. 4.2). Entsprechend dürfen vor Bundesgericht keine neuen Begehren gestellt und darf nicht mehr oder anderes verlangt werden als im vorinstanzlichen Verfahren (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.4.2). Vor Kantonsgericht strittig war die Scheidung der Ehe der Parteien und die Regelung der Scheidungsnebenfolgen. Nicht Gegenstand des Verfahrens war eine vom Beschwerdeführer behauptete Entführung der Kinder von Deutschland in die Schweiz durch die Beschwerdegegnerin im Jahr 2008 (vgl. vorne Bst. A.b). Diese Frage kann damit auch vor Bundesgericht nicht aufgeworfen werden und auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
1.3. Der Beschwerdeführer wirft den Mitgliedern des Bezirksgerichts weiter Beihilfe zur Kindesentführung vor und leitet daraus deren Befangenheit ab. Ein Ausstandsgesuch muss umgehend gestellt werden, ansonsten das Recht zur Geltendmachung des Ausstandsgrunds verwirkt (<ref-ruling> E. 8.4.3; <ref-ruling> E. 3.2.1). Der Beschwerdeführer bringt nicht vor, den Ausstandsgrund schon früher geltend gemacht oder hierzu keine Möglichkeit gehabt zu haben (vgl. <ref-law> und dazu hinten E. 2.1). Damit kann er sich heute nicht mehr darauf berufen und hierauf ist nicht weiter einzugehen.
1.4. Im Verfahren vor Bundesgericht sind Beweisanträge zulässig, mit denen Tatsachen bewiesen werden sollen, die im Zusammenhang mit den Eintretens- und Zulässigkeitsvoraussetzungen stehen. Unzulässig sind dagegen Beweisanträge, die bezwecken, den entscheidrelevanten Sachverhalt zu ergänzen, zumal das Bundesgericht seinem Urteil grundsätzlich den Sachverhalt zugrunde legt, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; vgl. Urteil 5A_217/2016 vom 1. September 2016 E. 1.3). Entsprechend werden die zahlreichen Beweisanträge des Beschwerdeführers abgewiesen, die allesamt auf Ergänzung oder Änderung des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts zielen, zumal sie nicht im Zusammenhang mit hinreichenden Sachverhaltsrügen erhoben werden (vgl. hinten E. 2).
2.
2.1. Rechtsschriften haben die Begehren und deren Begründung zu enthalten (<ref-law>). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken. Die beschwerdeführende Person hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte und Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll. Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten, die willkürliche (<ref-law>) oder sonst verfassungswidrige Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung geltend gemacht wird (vgl. <ref-law>). Die Beschwerdeschrift muss diesbezüglich die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.2. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Urteils auch bezüglich der Regelung des persönlichen Verkehrs sowie der Besuchsrechtsbeistandschaft. In der Beschwerdeschrift findet sich keine Begründung dieser Anträge, sodass insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist.
Ebenfalls nicht einzugehen ist auf die nicht in der Beschwerdeschrift, sondern in der Berufung an das Kantonsgericht gestellten Anträge des Beschwerdeführers (vgl. Rechtsbegehren, Ziffer 1).
2.3. Der Beschwerdeführer ist sodann nicht mit dem durch das Bezirksgericht eingeholten Gutachten (vorne Bst. B.a) einverstanden. Dieses sei nach nur unvollständigen Abklärungen und in Verletzung der (Menschen-) Rechte der Eltern erstellt worden sowie fachlich nicht überzeugend. Die Vorinstanz habe das Gutachten sodann bewusst zu seinen Ungunsten interpretiert und sei in ihrer Handhabung eines vom Beschwerdeführer eingereichten Berichts des Pädagogen E._ in Willkür verfallen.
Der Beschwerdeführer beschränkt sich in seinen teilweise kaum entzifferbaren Ausführungen darauf, die eigene Sicht der Dinge darzulegen. Auf die ausführlichen Erwägungen des Kantonsgerichts zum Gutachten und dazu, weshalb der Stellungnahme E._ kein grösseres Gewicht beizumessen ist, geht er nicht ein. Von vornherein unbeachtlich bleiben die in der Berufungsschrift und der Stellungnahme von E._ enthaltenen Ausführungen. Die Beschwerde genügt insoweit den Begründungsanforderungen nicht und auf sie ist diesbezüglich nicht einzutreten.
2.4. Hinsichtlich der ebenfalls angefochtenen vorinstanzlichen Kostenregelung bringt der Beschwerdeführer einzig vor, diese könne "nicht nachvollzogen werden". Da sowohl Berufung als auch Anschlussberufung gutgeheissen worden seien, seien die Gerichtskosten hälftig aufzuteilen und die Anwaltskosten wettzuschlagen. Hierin liegt ebenso wenig eine hinreichende Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid wie in dem weiteren Hinweis, der Beschwerdeführer könne die ihm auferlegten Kosten nicht bezahlen. Auf die Beschwerde ist auch diesbezüglich nicht einzutreten.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beantragt die gemeinsame elterliche Sorge und Obhut über die beiden Söhne. Er bringt vor, es greife zu kurz, wenn die Gerichte sich diesbezüglich einfach an dem Entscheid des Amtsgerichts Augsburg orientierten (vgl. vorne Bst. A.b). Dieses Vorgehen verunmögliche einen Neuanfang und sei nicht gesetzmässig. Es gehe nicht an, dass keine Annäherung zwischen den Parteien stattfinden könne, weil ein Elternteil sich folgenlos dagegen sperren könne. "Konfliktgeladene Eltern" würden durch die gemeinsame Sorge erst an den Gesprächstisch gezwungen. Anders als das Kantonsgericht meine, entstünden durch das gemeinsame Sorgerecht keine neuen Konfliktsituationen, jedenfalls bei Begleitung durch einen Mediator. Auch die gemeinsame Obhut wirke sich konfliktmindernd aus, weil keiner der Elternteile mehr Macht über den anderen ausüben könne, wie die Beschwerdegegnerin dies derzeit tue. Die Kinder hätten bisher auch keine Möglichkeit gehabt, sich zu entscheiden, wo sie leben wollten.
3.2. Es fragt sich, ob der Beschwerdeführer mit diesen Ausführungen, die kaum auf das angefochtene Urteil eingehen, den Begründungsanforderungen genügt. Jedenfalls vermag er dieses Urteil damit nicht in Frage zu stellen:
Die gemeinsame elterliche Sorge von Vater und Mutter ist nach dem Gesetz die Regel (<ref-law>), welche auch im Scheidungsfall aufrechterhalten und von der nur ausnahmsweise zur Wahrung des Kindeswohls abgewichen wird (<ref-law>). Eine Alleinzuteilung des Sorgerechts rechtfertigt sich insbesondere, wenn ein schwerwiegender elterlicher Dauerkonflikt oder eine anhaltende Kommunikationsunfähigkeit vorliegt und sich der Mangel negativ auf das Kindeswohl auswirkt (<ref-ruling> E. 3.3, 197 E. 3.5; <ref-ruling> E. 4.6). Die elterliche Sorge schliesst das Recht ein, den Aufenthaltsort des Kindes zu bestimmen (<ref-law>). Die Bedeutung der "Obhut über das Kind" reduziert sich damit auf die "faktische Obhut", das heisst die Befugnis zur täglichen Betreuung des Kindes und zur Ausübung der Rechte und Pflichten im Zusammenhang mit seiner Pflege und laufenden Erziehung. Bei Scheidung oder Trennung der Eltern rechtfertigt sich die Anordnung einer alternierenden Obhut nur, wenn dies mit dem Kindeswohl vereinbar ist. Das ist dann regelmässig nicht der Fall, wenn zwischen den Eltern ein offensichtlicher und anhaltender Konflikt in Fragen der Kinderbelange besteht, Schwierigkeiten bei der Kooperation vorhersehbar sind und das Kind immer wieder Konfliktsituationen ausgesetzt wäre (<ref-ruling> E. 4.1-4.3, 617 E. 3.2.2 und 3.2.3).
Das Kantonsgericht hielt unter Verweis auf das Urteil des Bezirksgerichts (vgl. zur Zulässigkeit solcher Verweise Urteil 5A_369/2016 vom 27. Januar 2017 E. 3.1) fest, dass zwischen den Parteien ein derart festgefahrener Konflikt bestehe, dass es ihnen nicht möglich sei, in adäquater Weise miteinander zu kommunizieren und Erziehungsmassnahmen zu besprechen. Es fehle an einem Mindestmass an Übereinstimmung in den Kinderbelangen. Die Kinder würden stark in den Konflikt der Eltern einbezogen, in dem es um Macht, Ehre und monetäre Aspekte gehe, wodurch ihr Wohl gefährdet sei. Der Beschwerdeführer bestreitet diese Sachverhaltsdarstellung nicht. Er gibt vielmehr selbst an, dass die Beziehung zwischen den Eltern "konfliktgeladen" sei. Seiner Ansicht nach soll die gemeinsame elterliche Sorge wie auch die alternierende Obhut aber zur Konfliktminderung und Versöhnung zwischen den Eltern beitragen. Dies trifft nicht zu: Das gemeinsame Sorgerecht und die alternierende Obhut setzen vielmehr voraus, dass die Eltern wenigstens in einem gewissen Mindestmass zusammenarbeiten können, woran es vorliegend fehlt. Damit ist nicht zu beanstanden, dass das Kantonsgericht die alleinige Sorge und Obhut verfügte und diese der Beschwerdegegnerin übertrug, zumal der Beschwerdeführer letzteres nicht beanstandet und nicht beantragt, diese Rechte seien ihm zu übertragen. Unter diesen Umständen liegt im Vorgehen des Kantonsgerichts auch keine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots (<ref-law>). Die Beschwerde erweist sich damit auch in diesem Punkt als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die vom Kantonsgericht getroffene Regelung des Unterhalts beanstandet der Beschwerdeführer insoweit, als in die Berechnung seines Bedarfs keine Kosten für die Hausratversicherung und keine Fahrkosten (Personenkraftwagen) einbezogen wurden.
Bezüglich der Kosten der Hausratversicherung begründet der Beschwerdeführer seinen Antrag nicht weiter, womit insoweit auf die Beschwerde nicht einzutreten ist. Hinsichtlich der Fahrkosten bringt er vor, entgegen der Darstellung der Vorinstanz habe er diese belegt. Damit geht er indes nicht auf die Argumentation des Kantonsgerichts ein, wonach nicht hinreichend dargetan sei, dass der Beschwerdeführer für den Arbeitsweg überhaupt auf ein Fahrzeug angewiesen ist. Auch diesbezüglich ist die Beschwerde daher ungenügend begründet und ist nicht auf sie einzutreten. Als unbegründet erweist sich die Beschwerde sodann insoweit, als der Beschwerdeführer in die Bedarfsberechnung nicht nur die Kosten für den Arbeitsweg, sondern auch diejenigen für die Ausübung des Besuchsrechts einbeziehen will, zumal ihm ein solches nicht zusteht (vgl. vorne Bst. B.b und C sowie E. 2.3; Urteile 5A_565/2016 vom 16. Februar 2017 E. 6; 5A_693/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 3.2; 5A_390/2012 vom 21. Januar 2013 E. 6.4, in: FamPra.ch 2013 S. 463). Ohnehin bringt der Beschwerdeführer nicht vor, dass er diese Frage bereits im vorinstanzlichen Verfahren thematisiert hätte, was notwendig wäre, um sie vor Bundesgericht aufwerfen zu können (vgl. <ref-ruling> E. 1.1).
5.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Entsprechend diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen, wobei mit Blick auf dessen aktenkundigen finanziellen Verhältnisse von einem reduzierten Ansatz auszugehen ist (Art. 65 Abs. 2 und Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin und den weiteren Verfahrensbeteiligten sind keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden. Parteientschädigungen sind daher keine zu sprechen (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, da die Beschwerde mit Blick auf das vorstehend Ausgeführte als von Anfang an aussichtslos qualifiziert werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Parteientschädigungen werden keine gesprochen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, D._ und dem Kantonsgericht Schwyz, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Juli 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber