Sachverhalt:
A.
Am 20. November 2014 erhob die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen (Kantonales Untersuchungsamt Wirtschaftsdelikte) beim Kreisgericht Werdenberg-Sarganserland in einem umfangreichen Wirtschaftsstrafverfahren Anklage unter anderem gegen A._ wegen betrügerischen Konkurses und weiterer Delikte (ST.2011.16289); am 10. Mai 2016 eine zusätzliche Anklage wegen mehrfachen Betrugs und weiterer Delikte (ST.2010.32929).
Am 31. Mai 2017 versetzte die Anklagekammer des Kantons St. Gallen auf Gesuch eines Mitangeklagten hin die verfahrensleitende Kreisgerichtspräsidentin Regula Widrig und Gerichtsschreiberin Diana Pitzurra wegen Vorbefassung in den Ausstand. Am 16. Juni 2017 teilte das Kreisgericht den Parteien mit, Kreisrichter Hans Willi übernehme die Verfahrensleitung.
Am 7. Dezember 2017 erhob die Staatsanwaltschaft eine weitere zusätzliche Anklage unter anderem gegen A._ wegen Veruntreuung und weiterer Delikte (ST.2010.32929).
Mit Entscheid vom 24. Mai 2018 wies die Anklagekammer das von einem Mitangeklagten gegen Kreisrichter Hans Willi gestellte Ausstandsgesuch ab. Die vom Mitangeklagten dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht am 1. Oktober 2018 ab (Urteil 1B_338/2018).
B.
Am 5. November 2018 begann die Hauptverhandlung vor dem Kreisgericht. Dieses tagte in der Besetzung mit fünf Richtern. Dazu gehörte Kreisrichter Riccardo Bernasconi.
Gleichentags verlangte A._ den Ausstand von Kreisrichter Bernasconi. Er brachte im Wesentlichen vor, zwischen ihm und Kreisrichter Bernasconi habe eine geschäftliche Beziehung bestanden, welche den Anschein der Befangenheit begründe. Am 9. November 2018 übermittelte das Kreisgericht das Ausstandsgesuch der Anklagekammer zum Entscheid. Es führte die Hauptverhandlung trotz des hängigen Ausstandsgesuchs fort.
Am 30. November 2018 sprach das Kreisgericht sein Urteil gegen die Angeklagten. Es befand A._ schuldig des mehrfachen betrügerischen Konkurses, der mehrfachen Urkundenfälschung, der mehrfachen qualifizierten ungetreuen Geschäftsbesorgung, der mehrfachen Misswirtschaft sowie der mehrfachen Veruntreuung und auferlegte ihm eine Freiheitsstrafe von 5 Jahren, unter Anrechnung der Untersuchungshaft von 51 Tagen.
Am 6. Dezember 2018 versetzte die Anklagekammer Kreisrichter Bernasconi für die Verfahren ST.2011.16289 und ST.2010.32929 in den Ausstand.
C.
Die Staatsanwaltschaft führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid der Anklagekammer vom 6. Dezember 2018 aufzuheben.
D.
Kreisrichter Bernasconi hat sich vernehmen lassen. Er beantragt die Gutheissung der Beschwerde. Die Anklagekammer hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. A._ hat Gegenbemerkungen eingereicht. Er beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei sie abzuweisen. Die Staatsanwaltschaft hat repliziert. Die Beteiligten haben auf weitere Bemerkungen verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben.
Die Vorinstanz hat gemäss Art. 59 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law> als einzige kantonale Instanz entschieden. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig.
1.2. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Staatsanwaltschaft (lit. b Ziff. 3).
Der Beschwerdegegner stellte das Ausstandsgesuch gegen Kreisrichter Bernasconi zu Beginn der kreisgerichtlichen Verhandlung im Rahmen der Erörterung der Vorfragen (<ref-law>). Dazu äusserte sich die Beschwerdeführerin in der Hauptverhandlung. Die Vorinstanz lud die Beschwerdeführerin dagegen nicht zur Stellungnahme ein, weshalb diese im vorinstanzlichen Verfahren nicht zu Wort kam. Die Beschwerdeführerin erhielt damit keine Möglichkeit zur Teilnahme am vorinstanzlichen Verfahren (PIERRE FERRARI, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 9 zu <ref-law>). Die Beschwerde ist deshalb gemäss <ref-law> zulässig.
Auch die Staatsanwaltschaft muss ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids haben (<ref-ruling> E. 4.2 S. 123). Dieses Interesse ist gegeben, da der vorinstanzliche Entscheid den Anspruch der Beschwerdeführerin auf den gesetzlichen Richter nach <ref-law> berührt (<ref-ruling> E. 1 S. 50 mit Hinweisen).
Da es im Kanton St. Gallen weder eine Oberstaatsanwaltschaft noch eine vergleichbare Behörde gibt, ist die Beschwerdeführerin zur Beschwerde befugt (<ref-ruling> E. 15 S. 198 ff.; Urteil 6B_909/2013 vom 12. Februar 2014 E. 2).
1.3. Der angefochtene Entscheid stellt einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren dar. Dagegen ist die Beschwerde gemäss <ref-law> zulässig.
1.4. Der Beschwerdegegner wendet ein, die Beschwerde enthalte keinen rechtsgenüglichen Antrag. Die Beschwerdeführerin stelle lediglich einen kassatorischen Antrag. Nach der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 1.3 S. 317) hätte sie einen reformatorischen Antrag stellen müssen.
Die Vorinstanz hat Kreisrichter Bernasconi in den Ausstand versetzt. Die Beschwerdeführerin beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. In diesem kassatorischen Antrag ist ein reformatorischer mitenthalten (vgl. Urteile 2C_339/2017 vom 24. Mai 2018 E. 1.4; 2C_444/2015 vom 4. November 2015 E. 1.2). Die Beschwerdeführerin verlangt die Aufhebung der Anordnung des Ausstands von Kreisrichter Bernasconi und damit in der Sache die Abweisung des Ausstandsbegehrens.
Wollte man dies anders sehen, änderte sich am Ergebnis nichts. Aus der Begründung der Beschwerde ergibt sich jedenfalls klar, was die Beschwerdeführerin anstrebt. In einem derartigen Fall auf die Beschwerde mangels reformatorischen Antrags nicht einzutreten, stellte einen übertrieben Formalismus dar (vgl. LAURENT MERZ, in: Bundesgerichtsgesetz, Basler Kommentar, 3. Aufl. 2018, N. 18 zu <ref-law>).
1.5. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen sind ebenfalls erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass.
2.
Der angefochtene Entscheid enthält die wesentlichen Sachverhaltselemente, die für die Beurteilung des Ausstandsgesuchs erforderlich sind. Soweit die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unvollständig festgestellt (<ref-law>), ist die Beschwerde unbegründet.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, der Beschwerdegegner habe das Ausstandsgesuch verspätet gestellt.
3.2. Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, so hat sie gemäss <ref-law> der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechende Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat.
Nach der Rechtsprechung muss der Gesuchsteller den Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnis des Ausstandsgrunds verlangen. Andernfalls verwirkt er den Anspruch (<ref-ruling> E. 4.3 S. 69 mit Hinweisen). Ein sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrunds gestelltes Ausstandsgesuch ist rechtzeitig. Wartet der Gesuchsteller damit zwei Wochen zu, ist es dagegen verspätet (Urteil 1B_47/2019 vom 20. Februar 2019 E. 3.3 mit Hinweis). Bei der Annahme der Verwirkung des Rechts, den Ausstand zu verlangen, ist Zurückhaltung geboten (Urteil 1B_418/2014 vom 15. Mai 2015 E. 4.5 mit Hinweis).
3.3. Im Entscheid der Vorinstanz vom 24. Mai 2018, der das Ausstandsgesuch gegen Kreisrichter Willi betraf, bestand folgende Ausgangslage: Nach dem Ausstand von Kreisgerichtspräsidentin Widrig und Gerichtsschreiberin Pitzurra teilte das Kreisgericht den Parteien mit Schreiben vom 16. Juni 2017 mit, Kreisrichter Willi übernehme die Verfahrensleitung. Am 22. August 2017 setzte das Kreisgericht dem damaligen Gesuchsteller eine zehntägige Frist zur Akteneinsicht und Geltendmachung von Beweisanträgen an. Am 30. Januar 2018 erging die Vorladung für die auf den 5. November 2018 angesetzte Hauptverhandlung. Am 12. April 2018 stellte der Gesuchsteller sein Ausstandsgesuch. Dabei machte er im Wesentlichen geltend, er sei am 5. April 2018 beim erstmaligen Studium der in den Strafakten liegenden Konkursakten im Zuge erster Prozessvorarbeiten darauf gestossen, dass sich Kreisrichter Willi früher mehrfach mit eng zusammenhängenden Verfahren befasst habe.
Kreisrichter Willi machte geltend, das Ausstandsgesuch sei verspätet. Die Vorinstanz erwog dazu, gegen den Gesuchsteller laufe ein umfangreiches Wirtschaftsstrafverfahren mit einer Vielzahl von Akten. Die Untersuchung habe mehrere Jahre gedauert. Die beiden Anklagen gegen den Gesuchsteller seien in den Jahren 2014 und 2016 erhoben worden. Ob er bzw. sein Anwalt bereits im Zusammenhang mit den Beweisanträgen vom Ausstandsgrund hätten Kenntnis erhalten müssen bzw. bereits Kenntnis gehabt hätten, lasse sich nicht belegen. Es sei letztlich ein gutes Stück weit den Anwälten überlassen, wie sie ihr Mandat führten und zu welchem Zeitpunkt sie Akten studierten. In einem komplexen Straffall wie dem vorliegenden scheine es zumindest nachvollziehbar, dass allfällige Ausstandsgründe nicht sofort hätten entdeckt werden können. Eine treuwidrige Stellung des Ausstandsgesuchs könne dem Gesuchsteller nicht unterstellt werden, auch wenn die Zeitspanne von rund zehn Monaten (gemeint: von der Mitteilung der Übernahme der Verfahrensleitung durch Kreisrichter Willi bis zum Ausstandsgesuch) recht lang erscheine. Der Gesuchsteller mache geltend, er habe am 5. April 2018 im Zuge der Prozessvorarbeiten Kenntnis vom früheren Wirken von Kreisrichter Willi in anderen Verfahren erhalten. Innert sieben Tagen habe er darauf das Ausstandsgesuch gestellt. Nachdem an die tatsächliche Kenntnis des Ausstandsgrunds und die pflichtgemässe Aufmerksamkeit keine allzu hohen Anforderungen gestellt werden dürften, sei zugunsten des Gesuchstellers von der Rechtzeitigkeit des Ausstandsgesuchs auszugehen (E. 1d).
Im anschliessenden bundesgerichtlichen Verfahren brachte Kreisrichter Willi erneut vor, das Ausstandsgesuch sei verspätet. Das Bundesgericht wies den Einwand zurück. Es befand, die Erwägung der Vorinstanz, es sei nachvollziehbar, dass in einem komplexen Straffall allfällige Ausstandsgründe nicht sofort entdeckt würden und es bis zu einem gewissen Mass den Anwälten überlassen sei, wie sie ihr Mandat führten und zu welchem Zeitpunkt sie die Akten studierten, sei nicht zu beanstanden (Urteil 1B_338/2018 vom 1. Oktober 2018 E. 2).
3.4. Beim hier zu beurteilenden Ausstandsgesuch gegen Kreisrichter Bernasconi verhält es sich, was die Rechtzeitigkeit betrifft, im Wesentlichen gleich wie beim Ausstandsgesuch gegen Kreisrichter Willi. Der Anwalt des Beschwerdegegners macht geltend, er sei bei der Ausarbeitung seines Hauptplädoyers in der Woche vor Prozessbeginn - d.h. vor dem Montag, 5. November 2018 - auf die für das Ausstandsgesuch relevanten Akten gestossen. Dass es sich anders verhalten und der Beschwerdegegner die das Ausstandsgesuch begründenden Tatsachen schon lange vorher gekannt hätte, lässt sich nicht nachweisen. Im Lichte des bundesgerichtlichen Urteils vom 1. Oktober 2018 ist auch hier das Ausstandsbegehren als rechtzeitig zu betrachten, zumal nach der dargelegten Rechtsprechung die Verwirkung des Rechts, den Ausstand zu verlangen, mit Zurückhaltung anzunehmen ist.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin bringt vor, entgegen der Auffassung der Vorinstanz bestehe bei Kreisrichter Bernasconi kein Anschein der Befangenheit.
4.2. Gemäss <ref-law> tritt eine in einer Strafbehörde tätige Person in den Ausstand, wenn sie aus anderen Gründen, insbesondere wegen Freundschaft oder Feindschaft mit einer Partei oder deren Rechtsbeistand, befangen sein könnte. Bei <ref-law> handelt es sich um eine Generalklausel, welche alle Ausstandsgründe erfasst, die in Art 56 lit. a-e StPO nicht ausdrücklich vorgesehen sind. Sie entspricht <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Danach hat jede Person Anspruch darauf, dass ihre Sache von einem unparteiischen, unvoreingenommenen und unbefangenen Richter ohne Einwirken sachfremder Umstände entschieden wird. Die Rechtsprechung nimmt Voreingenommenheit und Befangenheit an, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit des Richters zu erwecken. Dabei ist nicht auf das subjektive Empfinden einer Partei abzustellen. Das Misstrauen in die Unvoreingenommenheit muss vielmehr in objektiver Weise begründet erscheinen. Es genügt, wenn Umstände vorliegen, die bei objektiver Betrachtung den Anschein der Befangenheit und Voreingenommenheit erwecken. Für die Ablehnung ist nicht erforderlich, dass der Richter tatsächlich befangen ist (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236 f. mit Hinweisen).
Der Anschein der Befangenheit kann sich daraus ergeben, dass ein Richter zu einer Prozesspartei in einer besonderen Beziehung - namentlich beruflicher Natur - steht oder stand. Die Garantie des verfassungsmässigen Richters gilt für amtliche und nebenamtliche Richter gleichermassen. Der Umstand, dass beim Einsatz nebenamtlicher Richter die Wahrscheinlichkeit beruflicher Beziehungen zu einer der Verfahrensparteien zunimmt im Vergleich zu vollamtlichen Richtern, die keiner anderen Erwerbstätigkeit nachgehen, rechtfertigt keine unterschiedliche Anwendung der verfassungsrechtlichen Vorgaben. Vielmehr ist der Schutz der Rechtsunterworfenen in diesen Fällen besonders gefordert und hat die Garantie des verfassungsmässigen Richters (<ref-law>) ihren eigentlichen Zweck zu erfüllen, auch in Anbetracht solcher Verbindungen einen korrekten und fairen Prozess sicherzustellen (<ref-ruling> E. 2.1.3 S. 436 f.).
4.3. Nach den Anklageschriften gehörten die im Immobilienbereich tätigen Genossenschaften B._, C._ und D._ sowie die E._ AG zu einer Gruppe von Gesellschaften die miteinander verflochten waren und gegenseitig voneinander abhingen. Der Beschwerdegegner hatte sowohl bei den Genossenschaften als auch bei der E._ AG eine zumindest mitbeherrschende Stellung. Die ihm zur Last gelegten strafbaren Handlungen soll er im Rahmen seiner Tätigkeit für die Genossenschaften und die E._ AG begangen haben.
Die Genossenschaft B._ verfolgte ein grosses Bauprojekt. Kreisrichter Bernasconi ist Geologe. Seine F._ AG führte in den Jahren 2007-2010 für die Genossenschaft B._ Aufträge aus; ebenso für die Genossenschaften C._ und D._. Die F._ AG war als Beraterin für geologische und hydrologische Fragen tätig. Die Honorarsumme zugunsten der F._ AG belief sich auf insgesamt ca. Fr. 40'000.--.
Kreisrichter Bernasconi bzw. seine F._ AG pflegten demnach eine mehrjährige geschäftliche Beziehung insbesondere zur Genossenschaft B._. Die Honorarsumme ist beträchtlich. Kreisrichter Bernasconi unterhielt die geschäftliche Beziehung in den Jahren, in denen der Beschwerdegegner die ihm vorgeworfenen strafbaren Handlungen im Wesentlichen begangen haben soll; dies zudem zeitnah vor dem Konkurs der Genossenschaft B._ im Jahr 2011 und der Eröffnung der Strafverfahren ST.2010.32929 und ST.2011.16289 in den Jahren 2010 und 2011. Im Rahmen seiner Geschäftsbeziehung zur Genossenschaft B._ hatte Kreisrichter Bernasconi direkten Kontakt mit dem Beschwerdegegner. Dies belegen in den Akten liegende Schreiben bzw. E-Mails. Hinzu kommt Folgendes: Kreisrichter Bernasconi legte in seiner Stellungnahme vom 9. November 2018 an die Vorinstanz dar, das Honorar der F._ AG sei restlos beglichen worden. Dies trifft jedoch nicht zu. Wie sich aus dem Kollokationsplan der Genossenschaft B._ ergibt, hat die F._ AG gegen diese noch eine offene Forderung von Fr. 5'828.60, welche aus der früheren geschäftlichen Beziehung herrührt. Zu deren Zeitpunkt war Kreisrichter Bernasconi alleiniger Aktionär der F._ AG. Heute ist er nach wie vor Mitglied ihres Verwaltungsrats. Die enge Beziehung von Kreisrichter Bernasconi zur F._ AG besteht demnach fort, auch wenn er seine Aktien inzwischen an einen Dritten übertragen hat.
Ob - wie die Vorinstanz annimmt - die geschäftliche Beziehung von Kreisrichter Bernasconi zu den Genossenschaften für sich allein für den Anschein der Befangenheit genügt hätte, kann dahingestellt bleiben. Dieser Anschein ist jedenfalls zu bejahen, wenn man zusätzlich die noch offene Forderung der F._ AG gegen die Genossenschaft B._ berücksichtigt, welche Kreisrichter Bernasconi in seiner Stellungnahme an die Vorinstanz überging. Die Anklage wirft dem Beschwerdegegner vor, die Genossenschaft B._ schwer geschädigt zu haben. Damit könnte er für einen finanziellen Verlust der F._ AG verantwortlich sein. Unter diesen Umständen besteht objektiv die Gefahr der Voreingenommenheit von Kreisrichter Bernasconi. Wenn ihn die Vorinstanz in den Ausstand versetzt hat, verletzt das daher kein Bundesrecht.
5.
Die Beschwerde ist demnach abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton hat dem Beschwerdegegner (A._) eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 f. BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton St. Gallen hat dem Beschwerdegegner eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien sowie der Anklagekammer des Kantons St. Gallen und Riccardo Bernasconi schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri