Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1970 geborene A._ arbeitete zuletzt bei der B._ AG, wo sie im Büro und im Weinlager eingesetzt wurde. Aufgrund dieser Tätigkeit war sie bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Am 26. Januar 1998 verlor sie beim Herunterholen einer Weinkiste das Gleichgewicht und verletzte sich beim darauf folgenden Sturz am Rücken. Da sie anschliessend die bisherige Tätigkeit nur noch teilweise ausüben konnte, kündigte die Arbeitgeberin das Anstellungsverhältnis auf Ende Januar 1999. Die Suva richtete Taggelder aus und kam für die Heilbehandlung auf. Mit Verfügung vom 6. April 2000 stellte sie ihre Leistungen per 1. Juni 2000 ein.
A.b. Am 19. Juni 2002 stolperte A._ bei ihrer Tätigkeit im Service mit einem Tablett in der Hand auf einer Treppe und verdrehte sich dabei den Oberkörper. Daraufhin klagte sie über akute Rückenschmerzen. Zu jenem Zeitpunkt war sie aufgrund ihrer damaligen Anstellung bei der Schweizerischen Mobiliar Versicherungsgesellschaft AG (nachfolgend: Mobiliar) unfallversichert. Diese erbrachte die gesetzlichen Leistungen. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2003 stellte sie ihre Leistungen ein. Nachdem die Suva vorsorglich Einsprache erhoben hatte, teilte die Mobiliar dieser am 12. November 2003 mit, sie werde auf die Einsprache nicht eintreten. Die Einsprachen der Versicherten und der Swica Krankenversicherungen AG wies die Mobiliar mit Einspracheentscheid vom 11. Februar 2004 ab. Die von A._ und der Swica dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen - nach zwischenzeitlicher Sistierung des Verfahrens - mit Entscheid vom 15. Oktober 2008 gut. Es hob den Einspracheentscheid vom 11. Februar 2004 auf und wies die Sache zur Abklärung und Festlegung der weiteren Leistungen aufgrund des Unfalls vom 26. Januar 1998 an die Mobiliar zurück. Auf die von der Suva dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil vom 2. März 2009 nicht ein (8C_969/2008).
A.c. Die Mobiliar liess im Zentrum C._ AG eine funktionsorientierte medizinische Abklärung (FOMA) durchführen. Gestützt auf das Gutachten vom 17. August 2010 verneinte die Mobiliar mit Verfügung vom 15. März 2012 einen Anspruch auf Invalidenrente. Gleichzeitig sprach sie der Versicherten eine Integritätsentschädigung entsprechend einer Integritätseinbusse von 25 % und ein Unfalltaggeld von 30 % für die Zeit vom 17. November 2009 bis 5. Dezember 2011 und von 100 % vom 6. Dezember 2011 bis 29. Februar 2012 zu. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. Mai 2013 fest. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 23. Dezember 2014 ab, was das Bundesgericht mit Urteil 8C_123/2015 vom 29. April 2015 bestätigte.
A.d. Zwischenzeitlich reichte eine damalige Arbeitgeberin der Versicherten, die D._ AG, der Suva am 26. September 2011 eine Schadenmeldung ein. Es sei am 17. November 2009 zu einem Rückfall gekommen, als die Versicherte im Keller gestürzt sei. Die Suva verneinte mit Schreiben vom 27. September 2011 eine Leistungspflicht, da es sich um Folgen einer nicht bei ihr versicherten Gesundheitsschädigung handle.
A.e. Mit Rückfallmeldung vom 23. Juli 2015 machte A._ bei der Mobiliar eine Verschlechterung seit März 2012 geltend. Die Mobiliar leitete die Meldung an die Suva weiter. Diese holte eine medizinische Beurteilung der Dr. med. E._, Fachärztin für Chirurgie, Kompetenzzentrum für Versicherungsmedizin der Suva, ein (Bericht vom 21. Februar 2017). Gestützt darauf verneinte die Suva mit Verfügung vom 8. März 2017 ihre Leistungspflicht für die Folgen der am 23. Juli 2015 gemeldeten Verschlechterung, da kein sicherer oder wahrscheinlicher Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 26. Januar 1998 und der gemeldeten Verschlechterung bestehe. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 3. August 2017 fest.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 21. Oktober 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der angefochtene Entscheid aufzuheben und die Suva zu verpflichten, für die am 23. Juli 2015 gemeldete Verschlechterung die gesetzlichen Leistungen zu erbringen. Eventualiter sei die Sache zur ordentlichen Abklärung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Es wird kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht im Beschwerdeverfahren (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280). Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie einen Rückfall zum Unfall vom 26. Januar 1998 und damit einen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfallereignis und den von der Beschwerdeführerin mit Meldung vom 23. Juli 2015 geltend gemachten Beschwerden verneinte.
2.2. Das kantonale Gericht hat richtig erkannt, dass das bis Ende 2016 geltende Recht zur Anwendung gelangt (vgl. Abs. 1 der Übergangsbestimmungen zur Änderung des UVG vom 25. September 2015, AS 2016 4375, 4387). Weiter hat es die Bestimmungen und Grundsätze über die Leistungsvoraussetzung des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (<ref-ruling> E. 1 S. 438; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181), insbesondere auch bei Rückfällen und Spätfolgen von Unfällen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2c S. 296 f.; Urteil 8C_181/2019 vom 2. Mai 2019 E. 3 mit Hinweisen), zutreffend dargelegt. Ebenfalls richtig sind die vorinstanzlichen Ausführungen zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 ff., je mit Hinweisen), insbesondere von versicherungsinternen Ärzten (<ref-ruling> E. 4.4 S. 469). Darauf wird verwiesen.
Zu betonen ist, dass der Unfallversicherer bei der Leistungspflicht gemäss <ref-law> für Rückfälle und Spätfolgen nicht auf der Anerkennung des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs beim Grundfall oder bei früheren Rückfällen behaftet werden kann, weil die unfallkausalen Faktoren durch Zeitablauf wegfallen können. Es obliegt dem Leistungsansprecher, das Vorliegen eines Kausalzusammenhangs zwischen dem als Rückfall oder Spätfolge geltend gemachten Beschwerdebild und dem Unfall nachzuweisen. Nur wenn die Unfallkausalität mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt ist, entsteht eine erneute Leistungspflicht des Unfallversicherers; dabei sind an den Wahrscheinlichkeitsbeweis umso strengere Anforderungen zu stellen, je grösser der zeitliche Abstand zwischen dem Unfall und dem Auftreten der gesundheitlichen Beeinträchtigung ist (SVR 2016 UV Nr. 18 S. 55, 8C_331/2015 E. 2.2.2; SVR 2010 UV Nr. 31 S. 125, 8C_816/2009 E. 6, je mit Hinweis).
3.
3.1. Das kantonale Gericht wies zunächst darauf hin, dass es mit Entscheid vom 15. Oktober 2008 festgehalten habe, die noch bestehenden Beschwerden seien kausal auf den Unfall vom 26. Januar 1998 zurückzuführen und die Mobiliar sei aufgrund der Koordinationsregeln weiterhin leistungspflichtig. Zur Abklärung und Festlegung der weiteren Leistungen aufgrund des erwähnten Unfalls habe es die Streitsache an die Mobiliar zurückgewiesen. In seinem Entscheid vom 23. Dezember 2014 habe es sodann erwogen, es könne weiterhin auf die im früheren Verfahren vorgenommene Beurteilung und die dort festgestellte Unfallkausalität der Diskushernie L5/S1 abgestellt werden. Die Vorinstanz erkannte, sie sei an ihre frühere Beurteilung im Rückweisungsentscheid vom 15. Oktober 2008 gebunden. Dies sei aber aufgrund der nachfolgenden Erwägungen für das vorliegende Verfahren nicht relevant. Die Vorinstanz erwog weiter, die Rückfall- resp. Spätfolgenmeldung vom 23. Juli 2015 beziehe sich im Wesentlichen auf die Operation vom 25. Juni 2014 und deren Folgen. Die Beschwerdeführerin habe sich damals einer ventralen interkorporellen und dorsolateralen Spondylodese L3/4 und L4/5 mit Femurring Allograft und Eigenspongiosa sowie einer Metallentfernung der translaminären Schrauben L5/S1 unterzogen. Da die Suva bezüglich der Diskushernien L3/4 und L4/5 nie eine Leistungspflicht anerkannt habe, liege die Beweislast bei der Beschwerdeführerin resp. trage diese die Folgen einer allfälligen Beweislosigkeit. Nach Würdigung der medizinischen Akten kam die Vorinstanz zum Schluss, dass die Diskushernien L3/4 und L4/5 nur möglicherweise, nicht aber überwiegend wahrscheinlich als unfallkausal zu betrachten seien. Die Beschwerdeführerin habe die Folgen dieser Beweislosigkeit zu tragen.
3.2. Hinsichtlich der anlässlich des Eingriffs vom 25. Juni 2014 durchgeführten Metallentfernung der translaminären Schrauben L5/S1 stellte das kantonale Gericht schliesslich fest, diese habe nach Aktenlage beim ohnehin notwendigen Eingriff nicht im Vordergrund gestanden. Sie habe nur einen kleinen Anteil an der Operation ausgemacht, der überwiegend wahrscheinlich kostenmässig nicht abgrenzbar sei. Jedenfalls sei sie nicht erheblich ins Gewicht gefallen. Es sei ausserdem unwahrscheinlich, dass die Metallentfernung Folgekosten verursacht habe, welche über die der nicht unfallkausalen Folgekosten der Spondylodesen L3/4 und L4/5 hinausgingen. Weitere Abklärungen würden sich erübrigen.
4.
Was die Beschwerdeführerin gegen die vorinstanzliche Beurteilung vorbringt, verfängt nicht, wie sich aus dem Folgenden ergibt:
4.1. In Bezug auf die Berichte von versicherungsinternen Ärzten ist zu beachten, dass rechtsprechungsgemäss bei auch nur geringen Zweifeln zusätzlich die Meinung versicherungsexterner Experten einzuholen ist (<ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f. mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1d S. 162). Von weiteren Erhebungen durfte die Vorinstanz hier jedoch absehen, da es ihr im Rahmen ihrer pflichtgemäss vorgenommenen Beweiswürdigung gelungen ist, allenfalls verbliebenen Unsicherheiten mit schlüssigen Erklärungen zu begegnen und allfällige Ungereimtheiten - in auch das Bundesgericht überzeugender Weise - auszuräumen (vgl. Urteil 8C_213/2017 vom 6. Juni 2017 E. 2.1 mit Hinweis). Sie legte dabei einleuchtend dar, dass der Bericht des behandelnden Arztes Dr. med. F._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie, Wirbelsäulenzentrum G._, vom 13. Oktober 2014 nicht ausreicht, um die Degenerationen L3/4 und L4/5 sowie die deshalb nötig gewordene Operation als überwiegend wahrscheinlich unfallkausal zu betrachten. So habe er einerseits festgehalten, die aktuelle Behandlung sei zumindest in einem Zusammenhang mit dem Unfall zu sehen. Andererseits habe er darauf hingewiesen, dass degenerative Veränderungen bei Personen über 40 Jahren und auch Fusionsoperationen in diesem Alter nichts Ungewöhnliches seien. Die Äusserungen des Dr. med. F._ seien demnach (zu) vage. Sodann spreche die Beurteilung der Suva-Ärztin Dr. med. E._ vom 21. Februar 2017 gegen eine Unfallkausalität. Diese habe befunden, bei der Beschwerdeführerin liege ein krankhaft bedingtes, degeneratives Verschleissleiden der Lendenwirbelsäule vor, welche am 26. Januar 1998 traumatisiert worden sei. Dieses Leiden sei in den folgenden 20 Jahren erwartungsgemäss fortgeschritten. Die Unfallfolgen seien spätestens am 1. Juni 2000 abgeheilt gewesen. Eine Rückfallkausalität bestehe nicht. Sodann berücksichtigte die Vorinstanz auch die Einschätzung des Suva-Arztes Dr. med. H._, Facharzt für Orthopädische Chirurgie, vom 5. November 2008. Dieser habe bereits damals über die deutliche Degeneration der Bandscheibe L3/4 berichtet, welche gemäss seiner Beurteilung in keinem Zusammenhang zu den Unfällen vom 26. Januar 1998 und 19. Juni 2002 gestanden habe.
4.2. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung Bundesrecht verletzen soll, ist nicht ersichtlich. So ist mit Blick auf die vagen Aussagen des Dr. med. F._ in seinem Bericht vom 13. Oktober 2014 nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz seinem Bericht hinsichtlich der Kausalitätsfrage keine Beweiskraft beimass. Insoweit vermag die Beschwerdeführerin aus dem Umstand, dass sich die Suva-Ärztin Dr. med. E._ nicht mit dem erwähnten Bericht des behandelnden Arztes auseinandergesetzt hat, nichts zu ihren Gunsten abzuleiten. Sodann ist weder hinreichend dargetan noch ersichtlich, weshalb die Aussage der Suva-Ärztin, wonach der Status quo sine bereits am 1. Juni 2000 erreicht gewesen sei, Zweifel an ihrer Beurteilung der Rückfallkausalität in Bezug auf die im Bereich der L3/4 und L4/5 geklagten Beschwerden aufkommen lassen soll.
4.3. Nach dem Gesagten ist die Vorinstanz in bundesrechtskonformer Würdigung der vorhandenen Akten davon ausgegangen, dass eine Unfallkausalität der mit Rückfallmeldung vom 23. Juli 2015 geltend gemachten Beschwerden nicht erstellt ist und die Versicherte die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen hat (vgl. E. 2.2 hiervor). Sie durfte dabei ohne Bundesrecht zu verletzen auf weitere Beweismassnahmen verzichten.
5.
Die Beschwerde ist demnach unbegründet und abzuweisen.
6.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten sind von der unterliegenden Beschwerdeführerin zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. März 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest