Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 21. März 2018 erteilte das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt dem Beschwerdegegner gegenüber der Beschwerdeführerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Basel-Stadt provisorische Rechtsöffnung für Fr. 25'000.-- nebst Zins sowie Fr. 20'000.-- nebst Zins, abzüglich Teilzahlungen von insgesamt Fr. 2'500.--.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin am 13. August 2018 (Postaufgabe) Beschwerde an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Entscheid vom 18. Februar 2019 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
Gegen diesen Entscheid hat die Beschwerdeführerin am 8. April 2019 (Postaufgabe) Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Mit Verfügung vom 9. April 2019 hat das Bundesgericht die Beschwerdeführerin zur Bezahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 2'500.-- aufgefordert. Am 6. Mai 2019 hat die Beschwerdeführerin um Fristerstreckung ersucht. Mit Verfügung vom 7. Mai 2019 hat das Bundesgericht dieses Gesuch abgewiesen, der Beschwerdeführerin jedoch von Gesetzes wegen eine Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses bis zum 20. Mai 2019 angesetzt (unter Androhung des Nichteintretens auf die Beschwerde bei nicht rechtzeitiger Bezahlung; <ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat den Kostenvorschuss nicht bezahlt.
Androhungsgemäss ist demnach mit Entscheid des Abteilungspräsidenten auf die Beschwerde nicht einzutreten (Art. 62 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>). Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat zum Gesuch um aufschiebende Wirkung Stellung genommen. Da er nicht anwaltlich vertreten ist, ist er für die nutzlos gewordenen Aufwendungen jedoch nicht zu entschädigen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg