Sachverhalt:
A.
Mit Eingabe vom 8. März 2021 reichte B._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage gegen 18 Genossenschaften ein mit dem Rechtsbegehren, es sei festzustellen, dass die Beschlüsse der Vorstandssitzungen der beklagten Genossenschaften vom 15. November 2018 betreffend die Einräumung der Einzelzeichnungsberechtigung an A._ (Gesuchsteller, Beschwerdeführer) nichtig sind (Antrags-Ziffer 1). Zudem seien die Handelsregisterämter der Kantone Zürich, Bern, Aargau, Luzern und Schwyz gerichtlich anzuweisen, die Zeichnungsberechtigung im jeweiligen Handelsregister zu löschen (Antrags-Ziffer 2).
B.
Mit Verfügung vom 12. April 2021 setzte das Handelsgericht den beklagten Genossenschaften Frist zur Klageantwort an, die ungenutzt verstrich.
Mit Eingabe vom 14. Juni 2021 stellte A._, der für die beklagten Genossenschaften jeweils eine Organfunktion ausübt, ein Gesuch um Zulassung als (unabhängiger) Nebenintervenient zugunsten der beklagten Genossenschaften und erstattete in eigenem Namen die Klageantwort.
Mit Verfügung vom 15. Juni 2021 setzte das Handelsgericht der Klägerin Frist an, um zum Interventionsgesuch Stellung zu nehmen. Zugleich setzte es den säumigen Genossenschaften Nachfrist zur Klageantwort an, wobei A._ als Zustellungsempfänger aufgenommen wurde. Die Stellungnahme der Klägerin erfolgte innert Frist. Die beklagten Genossenschaften blieben säumig.
Mit Verfügung vom 12. August 2021 wies das Handelsgericht das Gesuch von A._ um Zulassung als (unabhängiger) Nebenintervenient zugunsten der beklagten Genossenschaften ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Gesuchsteller dem Bundesgericht, es sei die Verfügung des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 12. August 2021 aufzuheben und es sei die beantragte (unabhängige) Nebenintervention hinsichtlich der Klagebegehren der Beschwerdegegnerin zuzulassen.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die Parteien haben repliziert und dupliziert.
D.
Mit Verfügung vom 1. November 2021 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
Beim angefochtenen Entscheid, mit dem das Gesuch um (unabhängige) Nebenintervention abgewiesen wurde, handelt es sich um einen Teilentscheid im Sinne von <ref-law>, da damit dem Beschwerdeführer die Teilnahme am Prozess endgültig verwehrt wird, was für ihn zum Abschluss des Verfahrens führt (<ref-ruling> E. 1.1; Urteile 4A_147/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 1; 4A_352/2015 vom 4. Januar 2016 E. 1.1, nicht publ. in <ref-ruling>). Dagegen ist die Beschwerde zulässig. Daran vermag auch der Einwand der Beschwerdegegnerin nichts zu ändern, die Beschwerde richte sich einzig gegen sie und nicht auch gegen die beklagten Genossenschaften. Diese haben sich am vorinstanzlichen Zwischenverfahren über die Zulassung der (unabhängigen) Nebenintervention nicht beteiligt, weshalb sie im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht nicht als Parteien aufgeführt, jedoch über den Ausgang des Verfahrens informiert werden.
Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, ihn zu Unrecht nicht als (unabhängigen) Nebenintervenient zugelassen und damit die bundesrechtlichen Bestimmungen zur Nebenintervention (<ref-law>) verletzt zu haben.
2.1. Nach <ref-law> kann, wer ein rechtliches Interesse daran glaubhaft macht, dass eine rechtshängige Streitigkeit zugunsten der einen Partei entschieden werde, im Prozess jederzeit als Nebenpartei intervenieren und zu diesem Zweck beim Gericht ein Interventionsgesuch stellen. Ein rein faktisches oder wirtschaftliches Interesse reicht dabei nicht aus. Der Nebenintervenient hat ein rechtliches Interesse, wenn im Falle eines Prozessverlusts seine eigenen Rechte verletzt oder beeinträchtigt werden können; das zu erlassende Urteil muss sich daher auf die Rechte und Pflichten des Nebenintervenienten auswirken (BGE <ref-ruling> E. 4.1.2 mit Hinweisen).
<ref-law> bezieht sich nicht nur auf die abhängige, sondern auch auf die - hier beantragte - unabhängige Nebenintervention. Hat das Urteil, das zwischen den Hauptparteien gefällt wird, nur indirekte Auswirkungen auf das Verhältnis zwischen der intervenierenden Person und der Partei, die sie unterstützt, so wird die Nebenintervention als abhängige Nebenintervention bezeichnet. Ist das zwischen den Hauptparteien ergehende Urteil aufgrund des materiellen Rechts auch in Bezug auf das Rechtsverhältnis des Nebenintervenienten zum Prozessgegner der unterstützten Partei direkt wirksam, wird die Nebenintervention als unabhängige (oder streitgenössische) Nebenintervention bezeichnet (<ref-ruling> E. 2.3.4; Urteile 4A_147/2021 vom 27. Oktober 2021 E. 3.3.2, zur Publ. vorgesehen; 4A_499/2019 vom 25. März 2020 E. 1.2.2). Entfaltet ein Urteil nicht nur mittelbare Interventionswirkung, sondern kraft materiellen Rechts direkte Wirkungen (Rechtskraft, Gestaltungswirkung oder Vollstreckbarkeit) gegenüber dem Nebenintervenienten, kann es diesem nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung nicht verwehrt sein, sich zu den Handlungen der unterstützten Hauptpartei in Widerspruch zu setzen; <ref-law> findet in solchen Konstellationen keine Anwendung (<ref-ruling> E. 2.3.6).
2.2. Die Vorinstanz wies darauf hin, dass das Interventionsgesuch von einer aussenstehenden Drittpartei zu stellen sei. Sie führte zudem unter Bezugnahme auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 2.3.4 ff.) grundsätzlich zutreffend aus, die gestärkte Verfahrensstellung werde dem streitgenössischen Nebenintervenienten zuerkannt, sofern er vom Ausgang des Hauptprozesses in verstärktem Masse betroffen sei; entsprechend sei neben den Voraussetzungen der einfachen Nebenintervention erforderlich, dass das Urteil auch gegenüber dem Nebenintervenienten direkte Wirkung entfalte, die nicht mit den Einreden gemäss <ref-law> beseitigt oder wenigstens abgemildert werden könne.
Der Vorinstanz kann jedoch nicht gefolgt werden, soweit sie unter Hinweis auf das in der Literatur mitunter angeführte Beispiel der Personengesellschaften (Kollektiv- oder Kommanditgesellschaft) und die entsprechende Lehrmeinung, nach der geschäftsführende Kollektivgesellschafter ihren Einfluss über die Geschäftsführung geltend zu machen hätten (so etwa E. STAEHELIN/SCHWEIZER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 39 zu <ref-law>; vgl. auch MICHAEL GRABER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 10 zu <ref-law>), allgemein - mithin auch für juristische Personen - davon ausgehen will, eine Organperson mit Geschäftsführungsbefugnis falle von vornherein als Drittpartei ausser Betracht, die in einem Verfahren gegen die juristische Person nach <ref-law> ein Interventionsgesuch stellen könne. Die Rechtsverhältnisse bei der Kollektiv- und Kommanditgesellschaft, denen keine Rechtspersönlichkeit zukommt, lassen sich nicht ohne Weiteres auf juristische Personen übertragen. Der Umstand, dass der Beschwerdeführer dem Vorstand der beklagten Genossenschaften angehört und er über das Hauptverfahren in Kenntnis gesetzt wurde, macht ihn nicht zur Hauptpartei, die bereits in das Verfahren involviert ist (vgl. dazu GRABER, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>). Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer daher zu Unrecht die Eigenschaft eines aussenstehenden Dritten abgesprochen, der als Nebenintervenient in Frage kommt.
Die Vorinstanz hat zudem bei der Prüfung des rechtlichen Interesses des Beschwerdeführers an der Nebenintervention zu Unrecht darauf abgestellt, er habe nicht glaubhaft gemacht, unbeschränkt haftender Genossenschafter zu sein. Eine solche Haftung nach <ref-law> kann allenfalls bei der Beurteilung des rechtlichen Interesses eines Genossenschafters an der Nebenintervention in einem Verfahren gegen die Genossenschaft über deren Verbindlichkeiten von Bedeutung sein. Derartige Verbindlichkeiten sind jedoch nicht Gegenstand des vorliegenden Zivilprozesses. Vielmehr liegt dem Verfahren eine Streitigkeit innerhalb einer juristischen Person zugrunde (dazu etwa E. STAEHELIN/SCHWEIZER, a.a.O., N. 41 f. zu <ref-law>). Die für die Zulassung der streitgenössischen Nebenintervention vorausgesetzte direkte Wirkung des Urteils gegenüber dem Nebenintervenienten (<ref-ruling> E. 2.3.6) wäre bei der Beurteilung des rechtlichen Interesses in diesem gesellschaftsrechtlichen Kontext zu prüfen gewesen, was die Vorinstanz unterlassen hat.
Die Sache ist daher zur Prüfung des rechtlichen Interesses des Beschwerdeführers an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen und die Sache ist zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, die Verfügung des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 12. August 2021 wird aufgehoben und die Sache wird zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 7'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 8'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich, der Baugenossenschaft C._, der Baugenossenschaft D._, der Baugenossenschaft E._, der Baugenossenschaft F._, der Baugenossenschaft G._, der Baugenossenschaft H._, der Baugenossenschaft I._, der Baugenossenschaft J._, der Baugenossenschaft K._, der Baugenossenschaft L._, der Ferienhausgenossenschaft M._, der Ferienwohnungsgenossenschaft N._, der Ferienwohnungsgenossenschaft O._, der Ferienwohnungsgenossenschaft P._, der Baugenossenschaft Q._, der Ferienwohnungsgenossenschaft R._, der Ferienwohnungsgenossenschaft S._, und der Ferienwohnungsgenossenschaft T._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Januar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann