Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Entscheiden vom 17. Oktober 2019 trat das Steueramt des Kantons St. Gallen (nachfolgend: das kantonale Steueramt) auf Einsprachen von A._ gegen die Veranlagungen für die Kantons- und Gemeindesteuern sowie die direkte Bundessteuer 2015 bis 2017 zufolge Verspätung nicht ein.
A.b. Mit Eingabe vom 18. November 2019 focht A._ diese Nichteintretensentscheide - vertreten durch Rechtsanwalt Theodor G. Seitz - bei der Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Verwaltungsrekurskommission) an, wobei sie prozessual unter anderem um unentgeltliche Rechtspflege und amtliche Verbeiständung ersuchte. Am 20. November 2019 stellte die Verfahrensleitung der Verwaltungsrekurskommission dem Rechtsvertreter das Formular "unentgeltliche Rechtspflege" zu und verband dies mit der Aufforderung, das Formular innert angesetzter Frist ausgefüllt mit den notwendigen Unterlagen einzureichen. Nachdem am 23. Dezember 2019 ein unvollständig ausgefülltes und auch nur unzureichend dokumentiertes Formular eingereicht worden war, setzte die Verwaltungsrekurskommission am 30. Dezember 2019 zur Einreichung weiterer Unterlagen und eines vollständig ausgefüllten Formulars eine neue Frist an. Diesbezüglich stellte der Rechtsvertreter in der Folge acht Fristerstreckungsgesuche, denen jeweils ganz oder teilweise stattgegeben wurde. Im Zusammenhang mit einer am 15. Juni 2020 gewährten Fristerstreckung wies die Verwaltungsrekurskommission darauf hin, dass keine weitere Erstreckung mehr gewährt werde. Ein weiteres Erstreckungsgesuch des Rechtsvertreters vom 24. Juni 2020 wurde nicht mehr bewilligt.
A.c. Mit Verfügung vom 8. Juli 2020 wies die Verwaltungsrekurskommission das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab, da die Bedürftigkeit A._s nicht erstellt sei. Gleichzeitig setzte sie unter Androhung der Verfahrensabschreibung im Säumnisfall bis 31. Juli 2020 Frist zur Bezahlung von Kostenvorschüssen von je Fr. 600.-- für die beiden Verfahren an. Diese Frist wurde auf Gesuch des Rechtsvertreters vom 31. Juli 2020 hin erstreckt.
B.
Da die eingeforderten Kostenvorschüsse (vgl. Bst. A.c hiervor) auch innert erstreckter Frist nicht bezahlt wurden, schrieb die Verwaltungsrekurskommission die Verfahren mit Präsidialverfügung vom 26. August 2020 ab, wobei Verfahrenskosten von Fr. 300.-- erhoben wurden. Am 7. September 2020 überwies der Rechtsvertreter der Verwaltungsrekurskommission einen Betrag von Fr. 600.-- und verband dies mit dem Antrag, die Verfügung vom 26. August 2020 aufzuheben und die Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses unter angemessener Fristansetzung wiederherzustellen. Dieses Gesuch wies die Verwaltungsrekurskommission mit Präsidialverfügung vom 7. Oktober 2020 ab; gleichzeitig auferlegte sie A._ die Verfügungkosten von Fr. 300.-- und verrechnete die Gebühren der Verfügungen vom 26. August 2020 und vom 7. Oktober 2020 mit der am 7. September 2020 geleisteten Zahlung.
Eine gegen die Verfügung vom 7. Oktober 2020 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen (nachfolgend: Verwaltungsgericht) mit Urteil vom 10. März 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 19. März 2021 ersucht A._ um die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 10. März 2021 und um Gewährung einer erneuten angemessenen Frist zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses in der Höhe von Fr. 600.-- (für das Verfahren vor der Verwaltungsrekurskommission).
Das Verwaltungsgericht und das kantonale Steueramt beantragen die Abweisung der Beschwerde. Die Verwaltungsrekurskommission verzichtet auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den verfahrensabschliessenden Endentscheid des Verwaltungsgerichts ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG). Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42, Art. 100 Abs. 1 BGG) der hierzu legitimierten Beschwerdeführerin (<ref-law>) ist einzutreten. Für die parallel erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum (<ref-law>); darauf ist nicht einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>) und von Völkerrecht (<ref-law>) gerügt werden. Die Verletzung kantonalen Rechts ist einer Überprüfung durch das Bundesgericht für sich genommen (abgesehen von den hier nicht einschlägigen Ausnahmen von Art. 95 lit. c und d BGG) nicht zugänglich. Möglich ist allerdings immerhin die Rüge, dass die Vorinstanz des Bundesgerichts bei der Anwendung kantonalen Rechts Bundes (verfassungs) recht verletzt habe; in Betracht kommt insofern namentlich die Anrufung des Willkürverbots (<ref-law>) und anderer verfassungsmässiger Rechte (z.B. in Form der von der Beschwerdeführerin angerufenen <ref-law>, Art. 6 EMRK und Art. 14 EMRK). Solche Rügen prüft das Bundesgericht freilich nur, wenn sie in der Beschwerde klar und detailliert begründet werden (<ref-law>); insoweit gilt eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.4; Urteil 2C_54/2020 vom 4. Februar 2020, E. 4.1).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil grundsätzlich jenen Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Feststellungen ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen, und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang zudem entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6). Die Partei, die sich auf eine unrichtige Sachverhaltsfeststellung beruft, hat substanziiert darzulegen, inwiefern diese Voraussetzungen gegeben sind; wird sie dieser Anforderung nicht gerecht, bleibt es bei dem von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Beschwerdeführerin durch ihre Erkrankung nicht daran gehindert gewesen sei, die Zahlung des von der Verfahrensleitung der Verwaltungsrekurskommission einverlangten Kostenvorschusses innert erstreckter Frist selber vorzunehmen bzw. vornehmen zu lassen (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Entscheids). Die Beschwerdeführerin beanstandet diese Feststellung als offensichtlich unrichtig: Sie sei seit vielen Jahren körperlich schwer krank und auch psychisch angeschlagen. Ihre Wohnung könne sie überhaupt nicht mehr ohne Hilfe verlassen; ebensowenig sei sie in der Lage, ihre Lebensmittel selber einzukaufen oder Zahlungen termingerecht zu erledigen.
3.2. Soweit die Beschwerdeführerin sich zur Begründung ihrer Rüge auf ein (erst noch nachzureichendes) Arztzeugnis beruft bzw. die Befragung von Mitarbeitern des örtlichen Steueramts B._/SG vorschlägt, möchte sie neue Beweismittel in das Verfahren einführen. Diese Beweismittel beziehen sich zwar auf vorbestehende Tatsachen. Da die Beschwerdeführerin jedoch nicht darlegt, dass erst der angefochtene Entscheid Anlass dazu gegeben hätte, sie in das Verfahren einzuführen, müssen sie für die Entscheidung des Falls ausser Betracht bleiben (<ref-law>).
3.3. Wenn die Beschwerdeführerin vorbringt, dass die Vorinstanz "sich nicht einmal die Mühe genommen [habe], wenigstens eine minimale Überprüfung ihres Gesundheitszustands" vorzunehmen, rügt sie sinngemäss eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes. Tatsächlich gilt an sich auch im Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz der Untersuchungsgrundsatz (Art. 64 in Verbindung mit Art. 12 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons St. Gallen vom 16. Mai 1965 [VRPG/SG; sGS 951.1]). Dem Untersuchungsgrundsatz stehen jedoch aus Treu und Glauben abgeleitete Mitwirkungspflichten der Partei gegenüber (<ref-law>; vgl. Urteil 2C_177/2018 vom 22. August 2019 E. 3.3, m.w.H.). Im Beschwerdeverfahren ist die Partei zudem gehalten, zu begründen, inwiefern der angefochtene Entscheid geändert werden soll (Begründungspflicht; Art. 64 in Verbindung mit Art. 48 Abs. 1 VRPG/SG). Beanstandet die beschwerde-führende Partei, dass die Vorinstanz den Sachverhalt falsch oder unvollständig festgestellt habe, oder will sie neue Tatsachen in das Verfahren einführen, liegt es im Lichte der vorgenannten Grundsätze an ihr, vor der Rechtsmittelbehörde den zutreffenden bzw. vollständigen Sachverhalt zu schildern; insbesondere ist sie gehalten, Sachverhaltsrügen ausreichend zu substanziieren und ein verwertbares Beweisangebot zu machen (vgl. zum Ganzen [am Beispiel insbesondere des Aargauer bzw. des Berner Verwaltungsverfahrensrechts] MARKUS BERGER, Sachverhaltsermittlung im ursprünglichen Verwaltungsverfahren und im Verwaltungsprozess, BVR 2014, S. 550 ff., insbesondere S. 564 ff.). Die Beschwerdeführerin legt nicht dar und es ist auch nicht ersichtlich, dass sie diesen Obliegenheiten im vorinstanzlichen Verfahren nachgekommen wäre. Vor diesem Hintergrund kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, den Sachverhalt unter Verletzung von Verfahrensvorschriften festgestellt zu haben. Die entsprechende Rüge erweist sich als unbegründet.
3.4. Nach dem Gesagten ist die vorliegende Angelegenheit auf Grundlage des vorinstanzlich festgestellten Sachverhalts zu entscheiden (vgl. E. 2.2 hiervor). Es ist mithin davon auszugehen, dass die Beschwerdeführerin durch ihre Erkrankung nicht daran gehindert gewesen ist, die Zahlung des Kostenvorschusses innert erstreckter Frist selber vorzunehmen bzw. vornehmen zu lassen.
4.
4.1. In rechtlicher Hinsicht ist unbestritten, dass die Wiederherstellung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses im Rekurs- und Beschwerdeverfahren vor der Verwaltungsrekurskommission nach Art. 30 ter Abs. 1 VRPG/SG i.V.m. <ref-law> (SR 272) zu entscheiden ist; danach kann bei versäumter Frist auf Gesuch hin eine Nachfrist gewährt werden, wenn die säumige Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden an der Säumnis trifft. Die Vorinstanz erwog, dass vorliegend nicht von unverschuldeter Säumnis bzw. einem nur leichten Verschulden der Beschwerdeführerin und ihres Rechtsvertreters ausgegangen werden könne. Entsprechend sei die Verweigerung der Wiederherstellung der Frist nicht zu beanstanden (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Entscheids).
4.2. Die Beschwerdeführerin erblickt in der Würdigung der Vorinstanz einen Verstoss gegen das Diskriminierungsverbot (<ref-law>) sowie gegen Art. 5, Art. 7, <ref-law> sowie Art. 6 und Art. 14 EMRK. Die entsprechenden Rügen sind kaum rechtsgenüglich begründet (vgl. zu den Begründungsanforderungen E. 2.1 hiervor), so dass darauf an sich nicht weiter einzugehen ist. Der Vollständigkeit halber ist jedoch immerhin darauf hinzuweisen, dass es der Beschwerdeführerin bzw. ihrem Rechtsvertreter offensichtlich möglich gewesen ist, am 31. Juli 2020 um die Verlängerung der Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses zu ersuchen (vgl. Bst. A.c hiervor). Warum es in der Folge nicht möglich gewesen sein soll, auch den Kostenvorschuss fristgerecht zu bezahlen oder zumindest um eine weitere Fristerstreckung zu ersuchen, ist nicht ersichtlich. Untauglich ist in diesem Zusammenhang namentlich der Einwand, der Einzahlungsschein für die Bezahlung der Kostenvorschüsse sei der Beschwerdeführerin und nicht dem Rechtsvertreter zugestellt worden (vgl. angefochtener Entscheid, E. 2.2). Hätte dieser Umstand der Bezahlung des Kostenvorschusses wirklich entgegengestanden, hätte dies schon im Fristerstreckungsgesuch vom 31. Juli 2020 vorgebracht werden können (und vorgebracht werden müssen). Wenn im Übrigen zutreffen mag, dass die Beschwerdeführerin gesundheitlich angeschlagen ist, kann dieser Umstand nicht dazu führen, ihr gegenüber von jeglichen Fristerfordernissen abzusehen; dies gilt umso mehr, als sie einen Rechtsanwalt mandatiert hatte, von dem erwartet werden konnte, selber tätig zu werden bzw. seine Klientin so zu instruieren, dass die fristgerechte Bezahlung des Kostenvorschusses sichergestellt gewesen wäre. Schliesslich ist darauf hinzuweisen, dass die Beschwerdeführerin bis heute nur einen der beiden geschuldeten Kostenvorschüsse bezahlt hat (vgl. Bst. B hiervor).
4.3. Die rechtliche Würdigung der Vorinstanz ist nach dem Gesagten bundes- und völkerrechtlich nicht zu beanstanden.
5.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich nach den vorstehenden Ausführungen (vgl. E. 3 und E. 4 hiervor) als unbegründet; sie ist abzuweisen. Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt kein Raum; darauf ist nicht einzutreten (vgl. E. 1 hiervor).
6.
Bei diesem Verfahrensausgang (vgl. E. 5 hiervor) sind die Verfahrenskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Anspruch auf Parteientschädigung hat der Kanton St. Gallen nicht (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Die Verfahrenskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner