Sachverhalt:
Mit Schreiben vom 7. Dezember 2020 wandte sich A._ an "die Generaldirektion" des Bundesgerichts und stellte einen Antrag auf Einsicht in alle Urteile des Bundesgerichts vom 3. Quartal 2020. Das Generalsekretariat des Bundesgerichts wies das Einsichtsgesuch mit Schreiben vom 18. Dezember 2020 ab. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies die Rekurskommission des Bundesgerichts mit Urteil 13Y_1/2021 vom 24. Februar 2021 ab.
Mit Schreiben vom 31. Dezember 2020 hat A._ neu um Einsicht in sämtliche nicht anonymisierten Urteilsdispositive des Bundesgerichts aus dem 2. Quartal 2020 ersucht. Unter Verweisung auf obgenanntes Urteil 13Y_1/2021 der Rekurskommission des Bundesgerichts hat das Generalsekretariat mit Schreiben vom 12. März 2021 auch dieses zweite Einsichtsgesuch abgewiesen.
A._ hat gegen diesen Entscheid am 12. April 2021 Beschwerde bei der Rekurskommission des Bundesgerichts erhoben. Er erneuert die im Schreiben vom 31. Dezember 2020 gestellten Begehren, schränkt sie einerseits ein, indem er auf Einsicht in italienischsprachige Urteile und solche, in denen nicht eine natürliche Person Beschwerde führte, verzichtet; andererseits erweitert er sein Gesuch auf die in der Periode vom 1. Januar 2018 bis 31. Mai 2020 ergangenen Urteile. Sodann lehnt er "das Bundesgericht" und "die Präsidenten der kantonalen Obergerichte" in Anwendung von <ref-law> ab. Schliesslich beantragt er, es seien für das Beschwerdeverfahren keine Kosten zu erheben.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Zuständigkeit der Rekurskommission ergibt sich aus Art. 55 lit. c des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht (BGerR; SR 173.110.131) i.V.m. Art. 16 der Verordnung des Bundesgerichts zum Archivierungsgesetz vom 27. September 1999 (VO; SR 152.21). Das Verfahren richtet sich nach den Vorschriften des Bundesgesetzes vom 20. Dezember 1968 über das Verwaltungsverfahren (VwVG; SR 172.021; dazu ausführlicher - den Beschwerdeführer betreffend - zit. Urteil 13Y_1/2021 E. 1.1). Die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist gewahrt (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
1.2. Das Begehren, es seien ihm in nicht anonymisierter Form alle Bundesgerichtsurteile zu zeigen, die in der Zeitspanne zwischen dem 1. Januar 2018 und dem 31. Mai 2020 ergangen sind, ist weiter gefasst, als dasjenige des an das Generalsekretariat des Bundesgerichts gerichteten Gesuchs. Erweiterte Begehren sind jedoch im Verfahren nach dem VwVG grundsätzlich unzulässig (Urteil 4A_489/2018 vom 3. Januar 2019 E. 4.4, nicht veröffentlicht in <ref-ruling>, dafür in sic! 5/2019 S. 307); dass ein Ausnahmefall vorliege, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist im Übrigen auch nicht ersichtlich. Insofern ist daher auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer verlangt zunächst gestützt auf <ref-law> den Ausstand aller Mitglieder des Bundesgerichts. Gleichzeitig wehrt er sich, dass an ihrer Stelle Präsidenten kantonaler Obergerichte amteten.
2.1. Am Bundesgericht tätige Gerichtspersonen können unter Anrufung der in <ref-law> aufgeführten Gründe in den Ausstand treten bzw. abgelehnt werden. Hingegen regelt <ref-law> die Ausstandspflicht nur für das verwaltungsinterne (Beschwerde-) Verfahren (REGINA KIENER/BERNHARD RÜTSCHE/MATHIAS KUHN, Öffentliches Verfahrensrecht, 2. Aufl. 2015 Rz. 1413 S. 343). Ob dies selbst dann zutrifft, wenn das Verfahren sich nach dem VwVG richtet, wie es vorliegend der Fall ist (E. 1.1), kann hier offen bleiben: Beide genannten Gesetzesbestimmungen setzen nämlich die verfassungsrechtliche Vorgabe von <ref-law> (bzw. <ref-law> für das Verwaltungsverfahren) in vergleichbarer Weise um (vgl. zuletzt Urteil 2C_909/2020 vom 8. März 2021 E. 4.2.1 m.w.H.).
2.2. Der Beschwerdeführer beantragt, dass nicht das Bundesgericht, und auch nicht die Präsidenten der kantonalen Obergerichte, über seine Beschwerde entscheiden sollen. Implizit wehrt er sich also gegen eine Besetzung der Rekurskommission gemäss <ref-law>. Zur Begründung führt der Beschwerdeführer aus, das Bundesgericht als Ganzes und jeder einzelne Bundesrichter könnten potentiell direkt und persönlich durch die von ihm betriebene Webseite Forum Bundesgericht betroffen sein. Ihr Wirken würde in der Öffentlichkeit breiter sichtbar, die Kritik gegen die geltende Rechtsprechung "beschleunigt", der Druck zur Änderung der Rechtsprechung in mehreren Gebieten steigen und einen Mehraufwand bewirken; ein potentieller Imageverlust drohe damit dem Bundesgericht und allen seinen Mitgliedern. Zudem könnte jeder Bundesrichter Ziel einer Einzelattacke werden. Als Ersatz für die seiner Ansicht nach nicht praktikable Lösung gemäss <ref-law> schlägt der Beschwerdeführer vor, es sei ein Gutachtergremium von drei Universitätsprofessoren zu bestimmen, bestehend aus mindestens zwei Frauen und je einem Mitglied im Alter von je weniger als 45 Jahren bzw. 50 Jahren; das Präsidium solle Daniel Hürlimann, Assistenzprofessor für Wirtschaftsrecht, Universität St. Gallen, übernehmen.
2.3. Das VwVG enthält keine Bestimmung betreffend Ausstandsbegehren und das gegebenenfalls zu befolgende Verfahren, weshalb es sich rechtfertigt, dafür die einschlägigen bundesgerichtlichen Verfahrensvorschriften anzuwenden (vgl. Stephan Breitenmoser/Marion Spori Fedail, in: Waldmann/Weissenberger [Hrsg.], Praxiskommentar Verwaltungsverfahrensgesetz [VwVG], 2. Aufl. 2016, N. 98 zu <ref-law>, mit Hinweisen in Fn. 178 f.; siehe auch im Allgemeinen KIENER/RÜTSCHE/KUHN, Rz. 1413 S. 343 f.; vgl. ferner den Verweis gemäss Art. 38 des Bundesgesetzes über das Bundesverwaltungsgericht [Verwaltungsgerichtsgesetz, VGG [SR 173.32]). Gemäss Art. 36 Abs. 1 letzter Satz BGG müssen Ausstandsbegehren insbesondere die den Ausstand begründenden Tatsachen glaubhaft machen. Ausstandsbegehren, die mit nicht nachvollziehbaren Motiven begründet werden, sind unzulässig; am Entscheid darüber können die abgelehnten Gerichtspersonen mitwirken, ohne dass gemäss <ref-law> vorzugehen wäre (vgl. dazu auch <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1c S. 204 zu Art. 26 des Ende 2006 ausser Kraft gesetzten Bundesrechtspflegegesetzes [OG], welcher im Wesentlichen mit <ref-law> übereinstimmt sowie Urteile 13Y_1/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 2.1; 5A_965/2018 vom 15. Mai 2019 E. 2.1; 9C_248/2018 vom 19. September 2018 E. 1; 5A_533/2016 vom 7. September 2016 E. 1.1, in RtiD 2017 I 157; 2F_12/2008 vom 4. Dezember 2008 E. 2.1). Unzulässig ist gemäss einhelliger Lehre und ständiger Rechtsprechung unter anderem ein gegen alle Mitglieder einer Abteilung des Bundesgerichts, oder sogar gegen das gesamte Bundesgericht gerichtetes Ausstandsbegehren, ohne dass der Beschwerdeführer plausible Gründe im Einzelnen angibt, warum keine (r) der Bundesrichterinnen und Bundesrichter mitwirken kann. Denn die Ausstandsgründe müssen für jede Person spezifiziert werden, deren Ausstand verlangt wird (zit. Urteil 5A_533/2016 E. 1.2 m.w.H.).
2.4. So verhält es sich im vorliegenden Fall. Die vom Beschwerdeführer dem Bundesgericht insgesamt vorgeworfene Befangenheit und die dabei geäusserten Mutmassungen gegenüber all seinen Mitgliedern sowie unter Einbezug aller theoretisch in Frage kommenden Ersatzpersonen sind allgemein formuliert und nicht gegen eine bestimmte Magistratsperson gerichtet. Soweit der Beschwerdeführer mit der Möglichkeit argumentiert, dass alle abgelehnten Personen einem erhöhten öffentlichen Druck auf Änderung der Rechtsprechung ausgesetzt wären und möglicherweise persönliche Angriffe gewärtigen müssten, ist sein Vorwurf völlig abstrakt und spekulativ und eben gerade nicht konkret und personenbezogen, wie dies Lehre und Rechtsprechung verlangen. Darauf kann nicht eingetreten werden.
Dass es im Übrigen zu den Hauptaufgaben aller Richterinnen und Richter gehört, sich der (fachlichen) Kritik zu stellen und in behutsamer Würdigung derselben an der Weiterentwicklung der Rechtsprechung zu arbeiten, ohne sich von der Möglichkeit von Mehraufwand oder persönlicher Angriffe beeindrucken zu lassen, ist eine Selbstverständlichkeit, die kaum betont zu werden braucht.
2.5. Nach dem Gesagten ist auf das Ausstandsbegehren im Ergebnis nicht einzutreten, was die Rekurskommission in ihrer ordentlichen Besetzung festzustellen befugt ist (vorstehende E. 2.3).
3.
Zu prüfen bleibt die beantragte Akteneinsicht.
3.1. Auf die Einholung einer Vernehmlassung des Generalsekretariats wird verzichtet, weil die Beschwerde auch in der Sache offensichtlich unbegründet bzw. unzulässig ist (<ref-law>), wie sich aus den nachstehenden Erwägungen ergibt.
3.2.
3.2.1. Zur Begründung seines Einsichtsgesuchs beruft sich der Beschwerdeführer zunächst wieder auf den Umstand, dass die Rubra aller Urteile des Bundesgerichts bereits einmal öffentlich gewesen sind und folglich gemäss Art. 8 lit. c VO weiterhin zugänglich bleiben müssen.
3.2.2. Diese Begründungslinie ist bereits im Urteil 13Y_1/2021 vom 24. Februar 2021, den Beschwerdeführer betreffend, diskutiert und verworfen worden. Es wurde nachgewiesen, dass aus der zeitlich und räumlich eingeschränkten Einsehbarkeit aller nicht anonymisierten Urteile (Rubra und Dispositive) gemäss <ref-law> nicht abgeleitet werden darf, dieselben wären nun einmal bereits öffentlich gewesen, weshalb jedermann sie jederzeit uneingeschränkt und ohne jegliche Grundangabe sollte einsehen dürfen (zit. Urteil 13Y_1/2021 E. 3.3). Ihre eingeschränkte Einsehbarkeit in nicht anonymisierter Form dient ausschliesslich als Ersatz für die öffentliche Urteilsverkündung, die nun meistens entfällt: Art. 9 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. Juni 1998 über die Archivierung (BGA; SR 152.1) und Art. 8 Abs. 1 lit. c VO stellen keine Vorgaben bezüglich der Verbreitung gewisser Dokumente auf, sondern wollen lediglich vermeiden, dass öffentlich gewesene Dokumente im Nachgang zu bzw. wegen ihrer Archivierung nicht mehr einsehbar werden (zit. Urteil 13Y_1/2021, E. 3.3.2; zur Zielsetzung des Archivierungsgesetzes und zu seiner Abgrenzung zu anderen Gesetzen siehe auch <ref-ruling> E. 2.2).
3.2.3. Der Beschwerdeführer wiederholt bloss seinen im ersten Verfahren vertretenen Standpunkt, setzt sich mit der soeben zusammengefassten Begründung als solcher aber nicht auseinander, weshalb sich Wiederholungen erübrigen.
3.3. Sodann bemüht sich der Beschwerdeführer, die konkreten Gründe seines Einsichtsgesuches darzulegen.
3.3.1. In der VO hat das Bundesgericht die Archivierung seiner Akten gestützt auf <ref-law> selbständig geregelt. Art. 3 Abs. 1 und 2 VO definieren, was aus den Akten eines Rechtsmittelverfahrens vor Bundesgericht zu archivieren ist, unter Vorbehalt weiter gehender Anordnungen der Präsidenten der jeweiligen Spruchkörper (Art. 3 Abs. 4 VO). Gemäss Art. 6 Abs. 2 VO unterliegen Prozessakten des Bundesgerichts in der Regel einer Schutzfrist von 50 Jahren. Nach Ablauf der Schutzfrist hat grundsätzlich jede Person das Recht auf Einsicht in die Prozessakten (vgl. Art. 11 Abs. 1 VO). Einsicht kann in bestimmten Fällen (z.B. bei vorliegender Einwilligung) schon während der Schutzfrist gewährt werden (Art. 8 Abs. 1 VO); dabei ist aber der Persönlichkeits- und Geheimnisschutz zu wahren (Art. 8 Abs. 2 VO). Wer während der Schutzfrist in archivierte Verfahrensakten des Bundesgerichts Einsicht nehmen will, hat im Gesuch an den Generalsekretär den Grund der Einsichtnahme anzugeben (Art. 12 Abs. 2 lit. c VO). Die Interessenabwägung erfordert, dass der Gesuchsteller in der Gesuchsbegründung sein eigenes schutzwürdiges Interesse an der Einsichtnahme darlegt (Urteile 13Y_1/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 3.2.1 und zit. 13Y_1/2021 E. 2.1).
3.3.2. Nichts anderes ergibt sich aus der verfassungskonformen Auslegung der VO. Zwar räumt <ref-law> den Prozessparteien als allgemeine Verfahrensgarantie und Teil des Anspruchs auf rechtliches Gehör einen verfassungsmässigen Anspruch auf Akteneinsicht ein, der auch die Akten eines abgeschlossenen Verfahrens erfasst. Dieser Anspruch hängt aber davon ab, dass der Rechtsuchende ein besonderes schutzwürdiges Interesse glaubhaft machen kann. Dieses Interesse kann sich aus der Betroffenheit in einem spezifischen Freiheitsrecht wie etwa der persönlichen Freiheit oder aus einer sonstigen besonderen Sachnähe ergeben (<ref-ruling> E. 3). Auch bei verfassungskonformer Auslegung der VO muss der Gesuchsteller daher ein schutzwürdiges Interesse an der Einsicht in die Akten des abgeschlossenen bundesgerichtlichen Verfahrens darlegen (Urteile 13Y_2/2018 vom 3. August 2018 E. 2; zit. 13Y_1/2019 E. 3.2.1 und 13Y_1/2021 E. 2.1).
3.4. In diesem Sinne sind wohl die Ausführungen des Beschwerdeführers über Natur und Funktion der von ihm betriebenen Webseite Forum Bundesgericht zu verstehen: Dieses Forum, das nach eigenen Angaben zu einem nicht näher bezeichneten LegalTech- und CivicTech-Start up Forum Jurisprudence gehören soll, will "der zentrale Ort für eine hochwertige, kritische Auseinandersetzung einer breiten Öffentlichkeit mit der Rechtsprechung des Bundesgerichts [...] werden", ähnlich wie Webseiten in Deutschland und den USA. Um interessierte Bürgerinnen und Bürger über die Existenz dieses Forums zu informieren und um die Webseite über Spenden kostendeckend betreiben zu können, muss der Beschwerdeführer jedoch die Zielgruppe seiner Webseite erreichen können. Dies kann, wie er meint, nur in Briefform erfolgen, was anders als über die Herausgabe der Namen aller Prozessparteien durch das Bundesgericht nicht geschehen kann. Allenfalls soll ein Pro-bono-Betrieb angestrebt werden. Seiner Ansicht nach würde seine Webseite durch die geförderte Diskussion der Urteile und weitere Initiativen wie z.B. eine Buchreihe zu den zehn krassen Fällen aus dem Jahr XY einen Beitrag zur Kontrolle der Rechtsprechung des Bundesgerichts gewährleisten. Er beruft sich sodann auf den Transparenzgrundsatz und allgemeiner auf seine "politische und Versammlungsfreiheit".
3.5. Was der Beschwerdeführer im Einzelnen, unter Hinweis auf seine Grundrechte vorbringt, vermag kein schutzwürdiges Interesse zu begründen.
3.5.1. Dass die Webseite Forum Bundesgericht allenfalls achtenswerte Ziele verfolgt, will nicht in Abrede gestellt werden. Allerdings ist der Umstand an sich, dass ähnliche Webseiten auch im Ausland existieren, für sich genommen kein gültiger Grund, um vom Bundesgericht die Herausgabe der Namen aller Prozessparteien zu verlangen. Jedes Land kennt in Bezug auf die Namensnennung der Parteien andere Grundsätze, so dass auf unterschiedliche Praxen nicht ohne Weiteres zurückgegriffen werden kann - was übrigens auch der Beschwerdeführer nicht verlangt.
3.5.2. Dass ein Forum zunächst einen gewissen Bekanntheitsgrad erreichen muss, damit es zu einer wichtigen Plattform der öffentlichen Diskussion wird, ist klar. Dies rechtfertigt allerdings den Zugriff auf jedes beliebige Mittel nicht: Wie der Beschwerdeführer selber einräumt, sind auch andere Wege denkbar, allfällige Interessierte über die Existenz des Forums aufzuklären - so z.B. Anzeigen im Internet. Die Behauptung, solche Alternativwege seien angesichts der Eigenheiten der Zielgruppe (Alter, technische Bewandtnis) weniger erfolgversprechend, untermauert der Beschwerdeführer in keiner Weise, sondern erweist sich als reine Spekulation.
3.5.3. Als er das BGG verabschiedete, hatte der Gesetzgeber die Förderung der Transparenz öffentlichen Handelns ebenso vor Augen wie die Wahrung der Öffentlichkeit der Urteilsfindung, aus welcher die Lehre übrigens auch die Verpflichtung des Bundesgerichts zur aktiven Information über seine Rechtsprechung ableitet. Es ist anerkannt, dass die gesetzliche Lösung - bestehend aus der Veröffentlichung aller Urteile in anonymisierter Form (<ref-law>) verbunden mit der in zeitlicher und räumlicher Hinsicht eingeschränkten öffentlichen Urteilsverkündung gemäss <ref-law> - eine vollständige Kontrollmöglichkeit der höchstrichterlichen Rechtsprechung, gleichzeitig aber auch den als unumgänglich empfundenen Schutz der Persönlichkeit und der Privatsphäre Beteiligter gewährleistet (zit. Urteil 13Y_1/2021, E. 3.2.1 bis 3.2.4 m.w.H.). Dieses Interesse ist legitim und darf nicht ausser Acht gelassen werden. Damit sollen und wollen Diskussionsgruppen in der Art derjenigen des Beschwerdeführers selbstverständlich nicht unterbunden werden; andererseits gestatten die damit verfolgten, allenfalls achtenswerten Ziele nicht per se ein Abrücken vom gesetzlichen System, und insbesondere vom Persönlichkeitsschutz der betroffenen Personen.
4.
Zusammenfassend ist auf das Ablehnungsbegehren nicht einzutreten und die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Die Verfahrenskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>) : Entgegen seiner Ansicht, wirft er mit der heutigen Beschwerde keine völlig neue Perspektive auf, sondern versucht, mit nachgeschobenen Argumenten das Bundesgericht zu bewegen, auf das ihn betreffende Grundsatzurteil 13Y_1/2021 zurückzukommen. Die Voraussetzungen, die die Rechtsprechung zum Verzicht auf die Erhebung von Verfahrenskosten gemäss <ref-law> entwickelt hat, sind somit vorliegend nicht erfüllt. Parteientschädigungen sind keine geschuldet.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Gesuch um Ablehnung aller Mitglieder des Bundesgerichtes sowie aller in Frage kommenden Ersatzpersonen wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Eine Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- wird dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Generalsekretariat des Bundesgerichts schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2021
Im Namen der Rekurskommission des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Marazzi
Die Gerichtsschreiberin: Polla