Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1965, schwedischer Staatsangehöriger) und B._ (geb. 1972) sind die seit 1999 verheirateten Eltern der Söhne C._ (geb. 2004) und D._ (geb. 2007).
A.b. Mit Eingabe vom 29. Februar 2016 ersuchte die Ehefrau das Bezirksgericht Zürich um die Regelung des Getrenntlebens. In diesem Eheschutzverfahren erging am 5. Februar 2019 ein Entscheid, der durch Beschluss des Obergerichts des Kantons Zürich vom 31. Mai 2019 teilweise geändert wurde. Dem Eheschutzentscheid zufolge sollten die erlassenen Eheschutzmassnahmen nur für die Zeit bis zur Hängigkeit des Scheidungsverfahrens gelten. Dagegen wurden keine Rechtsmittel ergriffen.
A.c. Am 19. April 2018 - und somit noch während des pendenten Eheschutzverfahrens - klagte der Ehemann beim Bezirksgericht auf Scheidung. Mit Verfügung vom 8. Juni 2018 erwog das Bezirksgericht im Scheidungsverfahren, dass Eheschutzmassnahmen nur bis zum Eintritt der Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens getroffen und danach nur noch vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsverfahren angeordnet werden könnten. Ausserdem bestellte es eine Vertretungsbeiständin für die Kinder. Am 2. August 2018 lud das Bezirksgericht die Parteien zur Einigungsverhandlung, Verhandlung betreffend vorsorgliche Massnahmen sowie Verhandlung betreffend Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege auf den 22. Oktober 2018 vor. An dieser Verhandlung plädierten die Parteien zu den hängigen Eheschutz- bzw. vorsorglichen Massnahmen.
A.d. Mit Verfügung vom 29. November 2019 erliess das Bezirksgericht vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsverfahren. Dabei ordnete es eine alternierende Obhut über die Kinder an, wobei C._ beim Vater und D._ bei der Mutter Wohnsitz habe. Weiter regelte es die Betreuungsanteile, errichtete für beide Kinder eine Beistandschaft, wies hingegen den Antrag ab, den Eltern Weisungen zu erteilen, regelte den Kindesunterhalt, wies den Antrag ab, die Ehefrau zur Erstattung von Kinderzulagen zu verpflichten und verpflichtete den Ehemann, der Ehefrau persönliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 500.-- pro Monat zu bezahlen.
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid führte der Ehemann am 12. März 2020 Berufung. Er beantragte, es sei die Obhut über beide Kinder ihm allein zu übertragen und der Wohnsitz beider Kinder bei ihm festzulegen, es sei auf die Regelung des persönlichen Verkehrs zu C._ zu verzichten, es sei für D._ ein abweichender Betreuungsplan festzulegen, es sei keine Beistandschaft zu errichten, es seien keine persönlichen Unterhaltsbeiträge zuzusprechen, es sei die Ehefrau zu verpflichten, ihm von ihr bezogene Kinderzulagen zu erstatten und es sei festzustellen, dass er die Kinderzulagen für die Kinder beziehe. Sodann beantragte er, die Ehefrau sei zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses von Fr. 7'000.-- zu verpflichten, eventualiter sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen.
B.b. Das Obergericht hiess die Berufung des Ehemanns teilweise gut (Entscheid vom 23. November 2020). Es formulierte die Regelung betreffend den Kindesunterhalt um ("Der Kläger wird verpflichtet, sämtliche übrigen Kinderkosten [Bedarf der Kinder abzüglich Grundbetrag und Wohnkostenanteil bei beiden Parteien] zu bezahlen.") und reduzierte die an die Ehefrau zu leistenden Unterhaltsbeiträge rückwirkend ab 29. November 2018 auf Fr. 355.-- pro Monat. Im Übrigen wies es die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. Schliesslich gewährte das Obergericht beiden Eltern die unentgeltliche Rechtspflege.
C.
C.a. Mit als Beschwerde bezeichneter Eingabe vom 4. Januar 2021 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verpflichtung, B._ (Beschwerdegegnerin) rückwirkend ab 29. November 2018 und für die weitere Dauer des Scheidungsverfahrens persönliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 355.-- pro Monat zu bezahlen, sei ersatzlos aufzuheben. Ausserdem ersucht er darum, die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, ihm einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 5'000.-- zu bezahlen; eventualiter sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
C.b. Am 23. April 2021 stellte der Beschwerdeführer nachträglich ein Gesuch um aufschiebende Wirkung seiner Beschwerde, welches der Präsident der urteilenden Abteilung mit Verfügung vom 18. Mai 2021 guthiess.
C.c. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>) über vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens geurteilt hat (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen). Diese zivilrechtliche Streitigkeit (<ref-law>) beschlägt vermögensrechtliche Belange (Unterhaltsbeiträge). Der Streitwert von Fr. 30'000.-- (<ref-law>) ist angesichts der vor Vorinstanz noch streitigen Höhe der Unterhaltsbeiträge und Dauer der Leistungspflicht erreicht (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat die Beschwerdefrist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 2 lit. a und Art. 45 Abs. 1 BGG). Unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen ist die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> grundsätzlich zulässig. Der Beschwerdeführer scheint der Meinung zu sein, das zutreffende Rechtsmittel sei die subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Er irrt, was sich indes nicht zu seinen Lasten auswirkt.
1.2. Massnahmenentscheide, die gestützt auf <ref-law> ergehen, unterstehen <ref-law> (Urteil 5A_592/2018 vom 13. Februar 2019 E. 1.2; vgl. <ref-ruling> E. 5.1 und 5.2). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur infrage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 3.2; je mit Hinweisen). Wird die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Er muss im Einzelnen dartun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweis; Urteil 5A_991/2015 vom 29. September 2016 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>) und auch im Ergebnis in krasser Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 3.4).
Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeschrift nicht, soweit darin die Verletzung des Gebots der Rechtsgleichheit (<ref-law>) geltend gemacht wird. Auf die Rüge ist deshalb nicht einzugehen.
1.3. Beim Gesuch um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses handelt es sich nicht um eine vorsorgliche Massnahme im Sinn von <ref-law>, sondern um einen materiell-rechtlichen Anspruch, der in der familienrechtlichen Unterstützungspflicht gründet. Entsprechend ist er vor dem zuständigen Sachgericht im kantonalen Verfahren einzufordern (<ref-ruling> E. 7 mit Hinweisen). Für die Beurteilung des Gesuchs um Ausrichtung eines Prozesskostenvorschusses ist das Bundesgericht (funktionell) nicht zuständig, sodass auf dieses nicht einzutreten ist (Urteil 5A_561/2020 vom 3. März 2021 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung der Art. 29 Abs. 2 und <ref-law>, weil das Obergericht seinen Einwand, der Beschwerdegegnerin sei ein Unterhaltsbeitrag zugesprochen worden, obwohl sie im erstinstanzlichen Verfahren keinen diesbezüglichen Antrag gestellt habe, und damit die Dispositionsmaxime verletzt worden sei, zu Unrecht nicht behandelt habe.
2.1. Das Obergericht erwog, in seiner Berufung (vom 12. März 2020) habe der Beschwerdeführer keine Verletzung der Dispositionsmaxime gerügt. Das habe er erst in seiner Stellungnahme vom 10. September 2020 zur Berufungsantwort getan. Dort dürfe er seine Berufung nicht verbessern oder ergänzen, die Verletzung der Dispositionsmaxime also nicht nachliefern. Daher sei dieser Einwand nicht zu prüfen.
2.2. Die Berufung ist innert der gesetzlichen Berufungsfrist begründet einzureichen (<ref-law>; Urteile 4A_56/2021 vom 30. April 2021 E. 5.2; 5A_979/2014 vom 12. Februar 2015 E. 2.4). Eine Nachreichung der Begründung nach Ablauf der Rechtsmittelfrist ist unzulässig (vgl. Urteile 5A_488/2015 vom 21. August 2015 E. 3.2.2; 5A_82/2013 vom 18. März 2013 E. 3.4). Selbst ein zweiter Schriftenwechsel, auf dessen Durchführung kein absoluter Anspruch besteht (<ref-ruling> E. 2.1; Urteil 5A_391/2020 vom 2. Dezember 2020 E. 3.3), gestattet nicht, die Berufungsschrift nachzubessern oder gar zu ergänzen. Dasselbe gilt erst recht für die Ausübung des sog. Replikrechts, bei welchem es von vornherein nur darum geht, zu in die Akten des Verfahrens aufgenommenen Eingaben Stellung nehmen zu können (<ref-ruling> E. 4.1.1 mit Hinweisen). Ein - sich im Rahmen des Streitgegenstands bewegendes (vgl. <ref-ruling> E. 4.1) - neues juristisches Argument kann gegebenenfalls vorgetragen werden, wenn der Prozessgegner zulässigerweise neue Tatsachen oder Beweismittel in das Berufungsverfahren eingebracht hat (vgl. Urteile 5A_763/2018 vom 1. Juli 2019 E. 2.1.3.2; 5A_790/2016 vom 9. August 2018 E. 3.1). Ansonsten kommt eine Nachbesserung nur bei behebbaren formalen Mängeln wie der fehlenden Unterschrift infrage (<ref-law>; Urteil 5D_215/2015 vom 16. März 2016 E. 3.1). Sie erlaubt aber niemals die inhaltliche Ergänzung einer Eingabe (Urteile 5A_23/2019 vom 3. Juli 2019 E. 3.2.2 mit Hinweisen; 5A_813/2015 vom 12. Januar 2016 E. 2.3.2; 4A_659/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 5, in: SJ 2012 I S. 233).
2.3. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, die Verletzung der Dispositionsmaxime bereits in seiner Berufungsschrift geltend gemacht zu haben. Dies tat er erst im Rahmen seiner (freiwilligen) Stellungnahme zur Berufungsantwort. Insofern hat er seine Berufung inhaltlich ergänzt, was, wie vorstehend erläutert, unzulässig ist. Indem das Obergericht die Rüge der Verletzung der Dispositionsmaxime als verspätet bezeichnete und aus diesem Grund nicht darauf eintrat, hat es weder <ref-law> verletzt noch die zivilprozessualen Bestimmungen willkürlich angewendet (<ref-law>).
3.
Ferner wirft der Beschwerdeführer dem Obergericht vor, die Dispositionsmaxime verletzt zu haben. Die Beschwerdegegnerin habe im Eheschutz- und Massnahmenverfahren keinen Antrag auf Zusprechung von Ehegattenunterhalt, sondern lediglich auf Kindesunterhalt gestellt. Indem das Obergericht der Beschwerdegegnerin Ehegattenunterhalt zuspreche, habe es etwas anderes zugesprochen als sie verlangt habe. Damit sei die Dispositionsmaxime verletzt. Das sei ein wesentlicher Verfahrensgrundsatz, weshalb dessen Verletzung eine willkürliche Rechtsanwendung darstelle.
3.1. Die Beschwerde ist nach <ref-law> zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen. Entscheiden diese nach dem Grundsatz von <ref-law> als Rechtsmittelinstanzen, ist die Ausschöpfung des kantonalen Instanzenzugs unerlässliche Voraussetzung für die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht. Der Begriff der Letztinstanzlichkeit bedeutet, dass der kantonale Instanzenzug nicht nur formell durchlaufen werden soll, sondern dass die Rügen, die dem Bundesgericht unterbreitet werden, soweit möglich schon vor Vorinstanz vorgebracht werden müssen, ansonsten darauf nicht eingetreten wird (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht denselben Fehler vor, den er im Grunde genommen dem Bezirksgericht vorhält, nämlich dass die Beschwerdegegnerin im erstinstanzlichen Verfahren keinen Ehegattenunterhalt beantragt habe. Die an das Bezirksgericht gerichtete Rüge hat er indes im Berufungsverfahren verspätet vorgebracht, so dass das Obergericht nicht darauf eintreten konnte (E. 2.3). Der Beschwerdeführer behauptet hingegen nicht, die Beschwerdegegnerin sei mit seinem im Berufungsverfahren gestellten Begehren, ihr keinen Ehegattenunterhalt zuzusprechen, einverstanden gewesen und habe sich jenem insofern unterzogen. Nachdem das Obergericht gegenüber dem Bezirksgericht einen tieferen Unterhaltsbeitrag zugesprochen hat, ist auch unter diesem Gesichtspunkt keine Verletzung des Grundsatzes ne eat iudex ultra petitaersichtlich. In ihrer vorgetragenen Form läuft die Rüge, das Obergericht habe die Dispositionsmaxime verletzt, auf eine Umgehung der Pflicht zur Ausschöpfung des Instanzenzuges hinaus. Darauf ist nicht einzutreten.
4.
Umstritten ist die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens zulasten der Beschwerdegegnerin.
4.1. Für den nachehelichen Unterhalt gilt aufgrund des klaren Wortlautes von <ref-law> das Primat der Eigenversorgung und damit eine Obliegenheit zur (Wieder-) Eingliederung in den Erwerbsprozess bzw. zur Ausdehnung einer bestehenden Tätigkeit. Der Zuspruch eines Unterhaltsbeitrages ist subsidiär zur Eigenversorgung und nur geschuldet, soweit der gebührende Unterhalt bei zumutbarer Anstrengung nicht oder nicht vollständig durch Eigenleistung gedeckt werden kann. Die Obliegenheit zur (Wieder-) Eingliederung in den Arbeitsprozess bzw. zur Ausdehnung einer bestehenden Tätigkeit besteht aber als Grundsatz bereits ab dem Trennungszeitpunkt, wenn - wovon das Obergericht ausgegangen ist - keine vernünftige Aussicht auf Wiederaufnahme des Ehelebens mehr besteht (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.2; Urteile 5A_104/2018 vom 2. Februar 2021 E. 5.2; 5A_907/2018 vom 3. November 2020 E. 3.4.4; beide zur Publikation vorgesehen).
4.2. Grundsätzlich ist bei der Festsetzung des in Geld geschuldeten Unterhaltsbeitrages hinsichtlich der Beurteilung der Eigenversorgungskapazität des Unterhalt beanspruchenden Ehegatten von dessen tatsächlich erzieltem Einkommen auszugehen, aber ein höheres hypothetisches Einkommen anzurechnen, wenn die (Wieder-) Eingliederung in den Erwerbsprozess bzw. die Ausdehnung einer bestehenden Erwerbstätigkeit zumutbar und die Erzielung des hypothetisch anzurechnenden Einkommens tatsächlich möglich ist. Dabei handelt es sich um zwei Voraussetzungen, die kumulativ erfüllt sein müssen. Damit ein Einkommen überhaupt oder ein höheres Einkommen als das tatsächlich erzielte angerechnet werden kann, genügt es nicht, dass der betroffenen Partei weitere Anstrengungen zugemutet werden können. Vielmehr muss es auch möglich sein, aufgrund dieser Anstrengungen ein höheres Einkommen zu erzielen. Mit Bezug auf das hypothetische Einkommen ist Rechtsfrage, welche Tätigkeit aufzunehmen als zumutbar erscheint. Tatfrage bildet hingegen, ob die als zumutbar erkannte Tätigkeit möglich und das angenommene Einkommen effektiv erzielbar ist (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.3; zit. Urteile 5A_104/2018 E. 5.6; 5A_907/2018 E. 3.4.4). Im Zusammenhang mit der Zumutbarkeit ist zu bemerken, dass der potentiell anspruchsberechtigte Ehegatte angesichts des Vorrangs der Eigenversorgung zur vollen Ausschöpfung seiner Erwerbskraft angehalten wird. Massgeblich ist eine konkrete Prüfung anhand der im zitierten Urteil 5A_907/2018 E. 3.4.4 genannten Kriterien (Alter, Gesundheit, sprachliche Kenntnisse, bisherige und künftige Aus- und Weiterbildungen, bisherige Tätigkeiten, persönliche und geographische Flexibilität, Lage auf dem Arbeitsmarkt u.ä.m.). Mithin ist generell auf die konkreten Chancen abzustellen, in einem bestimmten Bereich, welcher nicht zwingend dem früheren Tätigkeitsfeld entsprechen muss, einer Erwerbstätigkeit nachzugehen. Dass das Lebensalter oft ein entscheidender Faktor bei der Beurteilung der tatsächlichen Möglichkeit ist, einer Erwerbsarbeit nachzugehen, entspricht einer Tatsache. Zufolge Aufgabe der "45er-Regel" kommt dem Alter nicht (mehr) eine von allen übrigen Faktoren losgelöste abstrakte Bedeutung im Sinn einer Vermutung für oder gegen die Zumutbarkeit einer Erwerbsarbeit zu. "Konkrete Prüfung" meint nicht, dass es ausschliesslich um die Feststellung von Tatsachen geht. Vielmehr ist auf der Basis der erhobenen Tatsachen weiterhin die Rechtsfrage zu prüfen, ob insgesamt und in welchem Umfang die Aufnahme einer Erwerbsarbeit zumutbar ist. Soweit in tatsächlicher Hinsicht die Aufnahme einer Erwerbsarbeit möglich ist, besteht der Grundsatz, dass diese auch zumutbar und unter dem Titel der Eigenversorgung ein entsprechendes (hypothetisches) Einkommen an den gebührenden Unterhalt anzurechnen ist. Von diesem Grundsatz kann aber in begründeten Einzelfällen ausnahmsweise abgewichen werden, beispielsweise bei einem nahe am Pensionsalter stehenden Ehegatten. Eine Unzumutbarkeit - insbesondere zur Aufnahme nicht "standesgemässer" Erwerbsarbeiten - lässt sich namentlich dort begründen, wo die Ehe aufgrund verschiedener Faktoren das Leben eines Ehegatten in entscheidender Weise geprägt hat, indem er auf die (Weiter-) Verfolgung einer eigenen Karriere verzichtet, sich stattdessen aufgrund eines gemeinsamen Entschlusses dem Haushalt und der Erziehung der Kinder gewidmet und dem anderen Ehegatten während Jahrzehnten den Rücken freigehalten hat, so dass dieser sich ungeteilt dem beruflichen Fortkommen und der damit verbundenen Steigerung seines Einkommens widmen konnte und sich mit diesem ohne weiteres auch zwei Haushalte finanzieren lassen; eine "Lebensprägung" im Sinn der bisherigen Rechtsprechung reicht für sich allein betrachtet nicht, um vom Grundsatz abzuweichen (zit. Urteil 5A_104/2018 E. 5.6).
4.3. Nach <ref-law> hat, wo es das Gesetz nicht anders bestimmt, derjenige das Vorhandensein einer behaupteten Tatsache zu beweisen, der aus ihr Rechte ableitet. Demgemäss hat die Partei, die einen Anspruch geltend macht, die rechtsbegründenden Tatsachen zu beweisen, während die Beweislast für die rechtsaufhebenden bzw. rechtsvernichtenden oder rechtshindernden Tatsachen bei der Partei liegt, die den Untergang des Anspruchs behauptet oder dessen Entstehung oder Durchsetzbarkeit bestreitet (<ref-ruling> E. 3.1). Geht es um die (erstmalige) Festsetzung des Unterhalts, obliegt es demnach grundsätzlich der fordernden Partei zu beweisen, wie gross ihre wirtschaftliche Leistungskraft (Eigenversorgungskapazität) ist (vgl. Urteil 5A_96/2016 vom 18. November 2016 E. 3.1). Namentlich trifft den Unterhaltsansprecher die Beweisführungslast, wenn er bestreitet, ein (strittiges) hypothetisches Einkommen tatsächlich erzielen zu können (vgl. Urteil 5A_129/2015 vom 22. Juni 2016 E. 5.4.2).
4.4. Die für die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens erforderlichen Voraussetzungen der tatsächlichen Möglichkeit und der Zumutbarkeit greifen ineinander und können nicht unter allen Titeln klar auseinandergehalten werden, zumal den Kriterien wie Alter, Gesundheit, sprachliche Kenntnisse, bisherige und künftige Aus- und Weiterbildungen, bisherige Tätigkeiten, persönliche und geographische Flexibilität, Lage auf dem Arbeitsmarkt etc. stets ein Aspekt der Zumutbarkeit inhärent ist und es zumindest gedanklich um einen iterativen Prozess geht. Eine an sich mögliche Erwerbstätigkeit kann unzumutbar und umgekehrt eine an sich zumutbare Erwerbstätigkeit tatsächlich nicht möglich sein. Massgebend ist letztlich das Ergebnis des iterativen Prozesses. Damit ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden kann, muss eine als tatsächlich möglich erachtete Erwerbstätigkeit auch zumutbar sein.
5.
5.1. Unter dem Aspekt der tatsächlichen Möglichkeit, das Erwerbspensum aufzustocken, erwog das Obergericht, die Beschwerdegegnerin arbeite als Flight Attendant. Es sei notorisch, dass die Flugreisebranche aufgrund der Covid-19-Pandemie finanziell in erheblicher Bedrängnis sei und eher Mitarbeiter entlasse als die Erhöhung des Arbeitspensums zulasse. Es sei der Ehefrau deshalb nicht möglich, ihre Arbeitstätigkeit zu erhöhen. Sodann verweist das Obergericht auf das kantonale act. 11 und führt aus, daraus ergebe sich, dass Kurzarbeit verordnet und der Lohn der Beschwerdegegnerin um 5 % gekürzt worden sei. Es sei daher weder für die Vergangenheit noch für die Zukunft von einem höheren (hypothetischen) Einkommen der Beschwerdegegnerin auszugehen. Zu Recht habe das Bezirksgericht ein solches von Fr. 3'907.-- angenommen.
5.2. Gegen diese Feststellung erhebt der Beschwerdeführer eine Willkürrüge. Das Obergericht stelle reine Mutmassungen an. Es liege kein Beweis vor, dass die E._ der Beschwerdegegnerin eine Erhöhung des Arbeitspensums in der Vergangenheit und für die Zukunft verweigern würde. Die Beschwerdegegnerin sei eine langjährige Mitarbeiterin. Kinderbetreuende Arbeitnehmer würden bei der E._ bevorzugt behandelt. Die Annahme des Obergerichts, dass eine Erhöhung des Pensums wegen der Pandemie ausgeschlossen sei, sei reine Spekulation und durch nichts belegt. Die Pandemie sei ein vorübergehendes Ereignis. Gestützt darauf die Möglichkeit einer Ausdehnung der Erwerbstätigkeit bis in alle Ewigkeit bzw. bis zum unbestimmten Zeitpunkt der Scheidung auszuschliessen, erscheine willkürlich.
Das Obergericht ist von der Notorietät seiner Tatsachenbasis ausgegangen. Notorisch, d.h. offenkundig sind Tatsachen, die allgemein, jedenfalls aber am Ort des Gerichts verbreitet bekannt sind. Nicht erforderlich ist, dass die Allgemeinheit die notorische Tatsache unmittelbar kennt; es genügt, wenn sie sich aus allgemein zugänglichen Quellen erschliessen lässt (Urteil 5A_774/2017 vom 12. Februar 2018 E. 4.1.1). Der Beschwerdeführer übersieht diese Sichtweise des Obergerichts. Mit seinen Einwendungen, das Obergericht stelle reine Mutmassungen an und seine Ansicht sei durch nichts belegt, vermag er keine Willkür darzutun. Notorische Tatsachen bedürfen keines Beweises (<ref-law>), so dass naturgemäss keine Beweise vorliegen. Vielmehr hätte der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde erklären müssen, weshalb die Annahme des Obergerichts offensichtlich unrichtig ist (<ref-law>), die seinem Entscheid zugrunde gelegten Tatsachen seien allgemein oder zumindest am Ort des Gerichts (Zürich) verbreitet bekannt. Das tut er nicht ansatzweise. Insofern kommt der Beschwerdeführer seinen Begründungsobliegenheiten nicht nach und das Bundesgericht tritt auf seine Kritik nicht ein (E. 1.2).
5.3. Ausserdem wendet der Beschwerdeführer ein, das Obergericht lasse ausser Acht, dass die Beschwerdegegnerin eine zweite Ausbildung abgeschlossen habe, eidgenössisch diplomierte Shiatsu-Therapeutin sei und auf diesem Gebiet schon erwerbstätig gewesen sei. Die Beschwerdegegnerin könne auf ihrem zweiten Standbein als Therapeutin selbständig arbeiten oder sich anstellen lassen. Trotz der Covid-19-Pandemie seien Shiatsu-Behandlungen möglich und würden z.B. online angeboten. Die Beschwerdegegnerin könne jeden Donnerstag arbeiten, wie sie dies schon vor einigen Jahren getan habe. Eine Therapie-Stunde habe sie im Jahr 2016 für Fr. 100.-- auf ihrer Website angeboten. Das habe er am 22. Oktober 2018 im Plädoyer des Massnahmenverfahrens vorgetragen. Die Möglichkeiten der Beschwerdegegnerin, in ihrem Alter und mit ihren Ausbildungen ihre Erwerbstätigkeit zu erhöhen, seien mit Rücksicht auf den Arbeitsmarkt und die Wirtschaftslage intakt. Es stelle eine willkürliche Annahme dar, dass der Beschwerdegegnerin wegen der Pandemie auf unbestimmte Zeit keine Ausdehnung ihrer Arbeitstätigkeit möglich sein solle. Diesbezüglich stelle das Obergericht den Sachverhalt offensichtlich unrichtig fest.
Wie bereits ausgeführt (E. 3.1 oben), ist jede Partei verpflichtet, den kantonalen Instanzenzug materiell auszuschöpfen. Das Plädoyer, auf welches der Beschwerdeführer verweist, hat er im erstinstanzlichen Verfahren gehalten. Demgegenüber behauptet er nicht, im oberinstanzlichen Verfahren geltend gemacht zu haben, die Beschwerdegegnerin könne alternativ zur Erhöhung des Pensums bei der E._ als ausgebildete Shiatsu-Therapeutin mit Shiatsu-Behandlungen Geld verdienen. Im angefochtenen Entscheid findet sich jedenfalls kein Wort dazu. Diesbezüglich hat der Beschwerdeführer also den Instanzenzug nicht ausgeschöpft. Daher ist auf diese Rüge nicht einzutreten.
5.4. Insgesamt vermag der Beschwerdeführer die obergerichtliche Feststellung, wonach es der Beschwerdegegnerin tatsächlich nicht möglich sein soll, ihre Erwerbstätigkeit auszudehnen, nicht umzustossen. Bei diesem Ergebnis erübrigt es sich, zu seinen Rügen betreffend die vom Obergericht verneinte Zumutbarkeit der Ausdehnung der Erwerbstätigkeit Stellung zu nehmen, denn selbst wenn sie sich als begründet erwiesen, änderte dies am Ausgang des Verfahrens nichts.
5.5. Der guten Ordnung halber sei an dieser Stelle klargestellt, dass der angefochtene Entscheid entgegen den diesbezüglich Unklarheit stiftenden Erwägungen des Obergerichts wie jeder andere Massnahmenentscheid bei erheblich und dauernd veränderten Verhältnissen abgeändert werden kann (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
6.
Schliesslich stört sich der Beschwerdeführer daran, dass das Obergericht die Ehegattenunterhaltsbeiträge rückwirkend ab 29. November 2018 festgelegt hat.
6.1. Das Obergericht erwog hierzu, das Eheschutzgericht habe in seinem Entscheid vom 5. Februar 2019 dessen Wirksamkeit auf den Zeitpunkt der Rechtshängigkeit des Scheidungsverfahrens am 19. April 2018 begrenzt. Dagegen hätten Rechtsmittel zur Verfügung gestanden, die aber nicht ergriffen worden seien. Grundsätzlich könnten nach Art. 173 Abs. 2 [sic] ZGB Leistungen für die Zukunft und für ein Jahr zurück verlangt werden. Dies gelte auch für Gesuche um Erlass vorsorglicher Massnahmen für die Dauer eines Scheidungsverfahrens, jedenfalls soweit kein Eheschutzverfahren durchgeführt worden oder ein solches noch hängig sei. Vorliegend habe die Beschwerdegegnerin im Rahmen des hängigen Massnahmenverfahrens am 29. November 2019 Begehren gestellt, weshalb die Ehegattenunterhaltsbeiträge rückwirkend ab 29. November 2018 festzusetzen seien.
6.2. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, es liege ein Zuständigkeitskonflikt zwischen dem Eheschutzgericht und dem Massnahmengericht vor. In der Verhandlung vor dem Bezirksgericht am 22. Oktober 2018 habe er im Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen Anträge auf Feststellung von Kindesunterhaltsbeiträgen und auf Feststellung, dass sich die Parteien gegenseitig keinen Ehegattenunterhalt schuldeten, gestellt. Damit sei der Zuständigkeitskonflikt am 22. Oktober 2018 eingetreten. Im zu diesem Zeitpunkt rechtshängigen Eheschutzverfahren habe der Eheschutzrichter vorsorgliche Massnahmen nur bis zum Zeitpunkt seines Antrags bzw. nur bis 22. Oktober 2018 festlegen dürfen. An der Verhandlung vom 22. Oktober 2018 habe die Beschwerdegegnerin keine Anträge auf Festlegung von Unterhaltsbeiträgen gestellt. Sie habe für die unterhaltsrechtlich relevante Zeit ab 1. Januar 2018 nur eine provisorische Unterhaltsberechnung eingereicht. An der zweiten Massnahmenverhandlung vom 29. November 2019 habe die Beschwerdegegnerin den Antrag auf Zusprechung von Kindesunterhaltsbeiträgen, aber keinen Antrag auf Ehegattenunterhalt gestellt. Am 22. Oktober 2018 habe die Beschwerdegegnerin keinen Antrag auf Ehegattenunterhalt gestellt und damit auf Ehegattenunterhalt verzichtet. Im summarischen Verfahren seien die Parteien befugt, sich einmal umfassend zur Sache zu äussern und Anträge zu stellen. Die Vorschriften über das summarische Verfahren gälten auch für das Verfahren betreffend vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsverfahren. Somit sei die Beschwerdegegnerin mit rückwirkenden Anträgen zum Ehegattenunterhalt ausgeschlossen gewesen. Sie stütze ihre Unterhaltsbeiträge in der zweiten Verhandlung auch nicht auf wesentlich veränderte Verhältnisse, so dass auch die Voraussetzungen für die Zusprechung von Ehegattenunterhalt für die Zukunft offensichtlich nicht erfüllt seien. Indem das Obergericht den erst am 29. November 2019 gestellten Antrag der Beschwerdegegnerin auf Zusprechung von Unterhaltsbeiträgen zulasse und ihr Ehegattenunterhalt für ein Jahr rückwirkend zuspreche, verletze es die Grundsätze des summarischen Verfahrens grob und verfalle in Willkür. Mit Bezug auf die Zusprechung von Ehegattenunterhalt für die Zukunft wende das Obergericht Art. 173 Abs. 3 und Art. 179 ZGB offensichtlich unrichtig an.
6.3. Soweit der Beschwerdeführer wiederum behauptet, die Beschwerdegegnerin habe keinen Antrag auf Ehegattenunterhalt gestellt, ist darauf nicht einzutreten (E. 3.2 oben). Die Rüge, bereits aus prozessualen Gründen habe das Obergericht den Ehegattenunterhalt nicht rückwirkend zusprechen dürfen und insofern habe es die Grundsätze des summarischen Verfahrens grob verletzt, hätte der Beschwerdeführer, nachdem das Bezirksgericht rückwirkend Ehegattenunterhalt zugesprochen hatte, bereits im oberinstanzlichen Verfahren vorbringen können und müssen, was er aber nicht getan hat. Mangels Ausschöpfung des Instanzenzuges ist darauf nicht einzutreten (E. 3.1).
7.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde als unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
7.1. Der Beschwerdeführer ist kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal sich die Beschwerdegegnerin dem Gesuch um aufschiebende Wirkung erfolglos widersetzte und ihr in der Hauptsache kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Kindesvertreterin wird für den ihr im Zusammenhang mit ihrer Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung entstandenen Aufwand aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
7.2. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist deshalb abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Rechtsanwältin Alexandra Gavriilidis Benz wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, D._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. September 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller