Sachverhalt:
A.
Mit Strafbefehl vom 12. Juni 2020 wurde A._ von der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich wegen mehrfacher Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte schuldig gesprochen und mit einer bedingten Geldstrafe von 80 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- sowie einer Busse von Fr. 300.-- bestraft. Die Staatsanwaltschaft auferlegte A._ die Verfahrenskosten, wobei sie festhielt, dass die Gebühr für das Vorverfahren Fr. 1'000.-- betrage und allfällige weitere Verfahrenskosten vorbehalten seien. Mit Entscheid vom 6. Juli 2020 stellte die Staatsanwaltschaft fest, dass A._ verpflichtet worden sei, die Kosten der Untersuchung zu tragen und dass er daher auch die nachträglichen Kosten für das Gutachten in der Höhe von Fr. 12'490.-- zu tragen habe.
A._erhob Einsprache gegen den Strafbefehl respektive den Entscheid vom 6. Juli 2020 und stellte bezüglich der Gutachterkosten ein Gesuch um Kostenerlass.
B.
Mit Entscheid vom 3. März 2021 auferlegte das Bezirksgericht Bülach, Einzelgericht, die Verfahrenskosten des Strafbefehls vom 12. Juni 2020A._. Weiter wurden die A._ mit Verfügung vom 6. Juli 2020 auferlegten Kosten von Fr. 12'490.-- für das forensisch-psychiatrische Gutachten der Staatsanwaltschaft zur Abschreibung überlassen und es wurde festgestellt, dass der Strafbefehl vom 12. Juni 2020 im Übrigen in Rechtskraft erwachsen sei.
C.
A._ focht den Entscheid vom 3. März 2021 beim Obergericht des Kantons Zürich an und stellte gleichzeitig ein Ausstandsgesuch gegen sämtliche Mitglieder der III. Strafkammer des Obergerichts. Das Obergericht trat am 7. Dezember 2021 auf das Ausstandsgesuch nicht ein und wies die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen und beantragt, das Verfahren gegen ihn sei einzustellen und es sei auf einen Strafregistereintrag zu verzichten. Weiter beantragt er, die kantonalen Verfahrenskosten seien auf die Staatskasse zu nehmen. Mit separater Eingabe vom 3. März 2022 stellt A._ für das bundesgerichtliche Verfahren sinngemäss ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer führt vorab aus, es sei ihm nicht möglich, auf die im angefochtenen Entscheid genannten Urkunden einzugehen. Sein Pflichtverteidiger habe ihm diese nicht weitergeleitet, obwohl er die Unterlagen herausverlangt habe. Der Beschwerdeführer kann aus dieser Argumentation nichts für sich ableiten. Aus dem Schreiben seines amtlichen Verteidigers, auf welches der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang verweist (vgl. Urkunde 1), ergibt sich hinsichtlich der von ihm geübten Kritik nichts. Auch legt der Beschwerdeführer nicht dar, bei der Vorinstanz Akteneinsicht verlangt zu haben. Insofern kann er sich vorliegend nicht auf fehlende Aktenkenntnis berufen.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer begründet seine Beschwerde im Wesentlichen damit, sein Recht auf eine wirksame Verteidigung und somit auf ein faires Verfahren sei verletzt worden, da sein amtlicher Verteidiger das Mandat niedergelegt habe. Nur deshalb habe der Strafbefehl bzw. die damit einhergehende Verurteilung wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte in Rechtskraft erwachsen können. Der Beschwerdeführer wirft seinem amtlichen Verteidiger zudem vor, sich illoyal und treuwidrig verhalten zu haben.
2.2. Gemäss dem angefochtenen Entscheid war es der Beschwerdeführer selbst, der die Vertretung durch seinen amtlichen Verteidiger nicht mehr wünschte. Die Vorinstanz verweist hierzu auf die Urkunden 21 und 24, woraus sich Entsprechendes ergibt. Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer könne seinen amtlichen Verteidiger nicht aus dem Amt entlassen. Er mache denn auch nicht geltend, keinen Verteidiger mehr zu benötigen. Im Gegensatz zum Verfahren vor der ersten Instanz habe er im Rahmen des Beschwerdeverfahrens weiter auch keinen Wechsel der amtlichen Verteidigung beantragt. Dementsprechend erübrigten sich diesbezüglich Weiterungen, zumal der derzeitige amtliche Verteidiger auf Wunsch des Beschwerdeführers von der ersten Instanz eingesetzt worden sei. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, den Einwand, sein amtlicher Verteidiger habe das Mandat niedergelegt, bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgetragen zu haben. Insofern ist fraglich, ob das Vorbringen im bundesgerichtlichen Verfahren noch zulässig ist und ob diesbezüglich der kantonale Instanzenzug ausgeschöpft wurde (vgl. Urteil 6B_208/2022 vom 10. März 2022 E. 4.1 mit Hinweisen). Abgesehen davon begründet und belegt der Beschwerdeführer seinen Standpunkt aber auch ungenügend. Soweit er geltend macht, er sei bereits am 3. März 2021 nicht mehr verteidigt gewesen, kann ihm nicht gefolgt werden, vertrat Rechtsanwalt B._ den Beschwerdeführer an jenem Tag doch an der erstinstanzlichen Gerichtsverhandlung und stellte Anträge. Weiter verweist der Beschwerdeführer auf ein Schreiben an das Bezirksgericht Bülach vom 11. Februar 2021 (Urkunde 12). Aus dem Schreiben ergibt sich jedoch nicht, dass der amtliche Verteidiger sein Amt niedergelegt hat. Vielmehr äusserte der Beschwerdeführer darin in allgemeiner Weise seinen Unmut über die amtliche Verteidigung und verlangte einen Verteidigerwechsel. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers ignorierte das erstinstanzliche Gericht seine Beanstandungen nicht. Vielmehr ging es in seinem Entscheid vom 3. März 2021 darauf ein und wies das Gesuch um Wechsel der amtlichen Verteidigung ab, wogegen der Beschwerdeführer sich wiederum mittels Beschwerde an die Vorinstanz hätte wenden können. Weiter verweist der Beschwerdeführer auf eine E-Mail seines amtlichen Verteidigers vom 4. März 2021, woraus hervorgehen soll, dass dieser das Mandat niedergelegt hat (Urkunde 13). Allerdings legt der Beschwerdeführer nicht dar und es ergibt sich auch nicht aus den Akten, dass diese E-Mail bereits im kantonalen Verfahren vor Erlass des vorinstanzlichen Entscheids zu den Akten gereicht wurde. Insofern handelt es sich hierbei um ein unechtes Novum (vgl. <ref-law>), das im bundesgerichtlichen Verfahren nicht berücksichtigt werden kann, zumal der Beschwerdeführer auch nicht darlegt, weshalb er die E-Mail nicht bereits zu einem früheren Zeitpunkt ins Verfahren hätte einbringen können. Somit ist die Beschwerde unbegründet, soweit der Beschwerdeführer eine Verletzung des Rechts auf eine wirksame Verteidigung geltend macht.
3.
Die Beschwerde in Strafsachen ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (<ref-law>). Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde bildet damit einzig der vorinstanzliche Entscheid vom 7. Dezember 2021. Nur die darin behandelten Themen wie etwa das Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers gegen sämtliche Mitglieder der III. Strafkammer des Obergerichts sowie die Frage der Beschränkung des Verfahrens auf den Kostenpunkt können somit Gegenstand einer bundesgerichtlichen Überprüfung bilden. Der Beschwerdeführer geht auf die genannten Punkte jedoch in seiner Beschwerde ans Bundesgericht nicht ein. Vielmehr erschöpft sich die Beschwerde in weitschweifigen Ausführungen zu verschiedenen anderen Themenbereichen wie etwa zur Vorgeschichte, zur persönlichen Situation des Beschwerdeführers und zur Untersuchungshaft. Weiter äussert der Beschwerdeführer Kritik an der Staatsanwaltschaft, der Richterin im erstinstanzlichen Verfahren, der Verfahrensführung insgesamt und am Gutachten. Darauf kann vorliegend nicht eingegangen werden.
4.
Nachdem die Verurteilung wegen Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte nicht mehr überprüft werden kann, kann auch den Anträgen auf Einstellung des Verfahrens und Löschung des Strafregistereintrags nicht entsprochen werden. Seinen Antrag um Neuverlegung der kantonalen Verfahrenskosten begründet der Beschwerdeführer nicht bzw. ausgehend von der Prämisse der Gutheissung der vorliegenden Beschwerde. Nachdem es beim vorinstanzlichen Entscheid bleibt, kann auf den Antrag nicht eingetreten werden.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und zumindest sinngemäss um Beiordnung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Im bundesgerichtlichen Verfahren ist es grundsätzlich an der beschwerdeführenden Person, für eine Vertretung besorgt zu sein. Die Beigabe eines Anwalts kommt nach <ref-law> nur in Betracht, wenn die betroffene Person offensichtlich nicht imstande ist, ihre Sache selbst zu führen. Der Beschwerdeführer ist imstande, seine Sache selbst zu führen, kann er doch verständlich machen, was er mit dem Verfahren erreichen will. Von der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters nach <ref-law> muss schon deshalb abgesehen werden, weil der Beschwerdeführer sein Gesuch nach Ablauf der Beschwerdefrist eingereicht hat, womit allfällige Begründungsmängel in der Beschwerdeschrift von vornherein nicht mehr rechtzeitig hätten behoben werden können. Abgesehen davon ist auch nicht erkennbar, inwiefern sich der angefochtene Entscheid, welcher plausibel erscheint und prima vista keine Angriffsflächen bietet, mit formgerechten Rügen erfolgreich hätte anfechten lassen. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Festsetzung der Höhe der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. April 2022
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Schär