Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ und den Mitbeschuldigten D._ wegen Betrugs, UWG-Vergehens und Urkundenfälschung. Anlässlich der in diesem Zusammenhang angeordneten Hausdurchsuchungen wurden diverse Gegenstände sichergestellt. Mit Schreiben vom 14. September 2020 verlangte A._ deren Siegelung. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2020 stellte die Staatsanwaltschaft den Antrag auf Entsiegelung und Durchsuchung der sichergestellten Gegenstände. Mit Teilurteil und Verfügung vom 23. März 2021 beschloss das Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, hinsichtlich der sichergestellten, nicht ausschliesslich dem Mitbeschuldigten D._ zugeordneten Gegenstände mit Blick auf die dem Anwaltsgeheimnis unterstehende Korrespondenz zwischen A._ und Rechtsanwalt Horst Weber eine Triage durchzuführen.
B.
Mit Eingabe vom 21. April 2021 erhebt A._ gegen diese Verfügung Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt, das Teilurteil mit Verfügung vom 23. März 2021 des Bezirksgerichts Zürich, Zwangsmassnahmengericht, aufzuheben; das Entsiegelungsgesuch der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich sei abzuweisen, eventuell sei darauf nicht einzutreten, subeventuell sei die Streitsache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei ihm eine Parteientschädigung für das vorinstanzliche Entsiegelungsverfahren zuzuerkennen, allenfalls sei die Streitsache zur Festsetzung der Parteientschädigung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Staatsanwaltschaft beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Das Bezirksgericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. B._ und C._ beantragen sinngemäss die Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Die Vorinstanz hat gemäss Art. 248 Abs. 3 lit. a i.V.m. <ref-law> als einzige kantonale Instanz entschieden. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt.
1.2. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbstständig eröffneten Vor- oder Zwischenentscheid, der weder die Zuständigkeit noch den Ausstand zum Gegenstand hat (vgl. <ref-law>). Nach <ref-law> ist gegen einen solchen Entscheid die Beschwerde zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (lit. a) oder unter der doppelten Voraussetzung, dass die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Da das Bundesgericht eine Sache grundsätzlich nur einmal beurteilen soll, ist die zweite Voraussetzung einschränkend zu verstehen (<ref-ruling> E. 1.4). In Strafsachen schliesst das Bundesgericht die Anwendbarkeit von <ref-law> grundsätzlich sogar ganz aus, da diese Bestimmung auf Zivilprozesse zugeschnitten ist und im Strafprozess einen Fremdkörper bildet, der darin kaum je Anwendung findet (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 3.2).
Nach konstanter Rechtsprechung haben die Rechtssuchenden im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4; je mit Hinweisen). Ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law> nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, bleibt der Zwischenentscheid im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>).
1.3. Der Beschwerdeführer macht einzig das Vorliegen eines Anwendungsfalls von <ref-law> geltend. Seiner Ansicht nach hat die Staatsanwaltschaft das Entsiegelungsgesuch verspätet gestellt, weshalb ein entsprechendes Urteil des Bundesgerichts das Entsiegelungsverfahren beenden würde. Wie mit einer bundesgerichtlichen Gutheissung der Beschwerde sofort ein Endentscheid herbeigeführt würde, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer nicht dargelegt. Entsprechende Ausführungen unterlässt er auch in Bezug auf die Frage, inwieweit dies ein weitläufiges Beweisverfahren sowie einen damit verbundenen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten ersparen würde. Die Beschwerde ist somit ungenügend substanziiert.
2.
Die Beschwerde erweist sich als unzulässig, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Kosten (<ref-law>). Er hat zwar ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt, welches indes abzuweisen ist, da die Beschwerde aussichtslos war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, B._, C._ und dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Oktober 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Bisaz