Sachverhalt:
A.
A.a. A._ wurde mit Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 28. Januar 1998 der mehrfachen sexuellen Handlungen mit Kindern sowie eines unvollendeten Versuchs dazu, der mehrfachen Schändung, der mehrfachen Pornographie, der Verletzung der Fürsorge- und Erziehungspflichten sowie der mehrfachen Übertretung des BetmG schuldig gesprochen, zu 4 1⁄2 Jahren Zuchthaus verurteilt und gemäss Art. 42 aStGB verwahrt.
A.b. Die Verwahrung wurde bis am 6. Februar 2003 in der Interkantonalen Strafanstalt Bostadel (nachfolgend IKS Bostadel) und von da an im Massnahmenzentrum St. Johannsen (heute Justizvollzugsanstalt St. Johannsen; nachfolgend JVA St. Johannsen) vollzogen, wo A._ zunächst in der geschlossenen Abklärungsabteilung platziert wurde und am 26. August 2003 in eine halboffene Abteilung übertreten konnte.
A.c. Das Amtsgericht Bucheggberg-Wasseramt wandelte die Verwahrung am 21. September 2007 in eine stationäre therapeutische Massnahme gemäss <ref-law> um.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 2. Februar 2011 versetzte das Amt für Justizvollzug A._ vom halboffenen in den geschlossenen Vollzug. Seit 1. März 2011 befindet er sich wieder in der IKS Bostadel. Das Amt für Justizvollzug hob am 23. September 2011 die stationäre therapeutische Massnahme wegen Aussichtslosigkeit auf. Das Amtsgericht Bucheggberg-Wasseramt ordnete mit Entscheid vom 8./14. März 2013 die Verwahrung an, die vom Obergericht des Kantons Solothurn am 23. Oktober 2013 bestätigt wurde.
B.b. Am 2. September 2015 wies das Amt für Justizvollzug den Antrag des A._ um Versetzung in die JVA St. Johannsen ab. Die dagegen erhobenen Beschwerden wurden am 8. Januar 2016 vom Departement des Innern des Kantons Solothurn und am 20. Juli 2016 vom Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn abgewiesen.
B.c. Das Departement des Innern verfügte am 7. Dezember 2016, die Verwahrung weiterzuführen. Das Verwaltungsgericht wies am 23. Mai 2017 die Beschwerde von A._ ab. Gleiches tat das Bundesgericht mit Urteil vom 10. August 2017 (Verfahren 6B_755/2017).
C.
Mit Schreiben vom 13. September 2018 ersuchte A._ darum, in eine halboffene Institution beziehungsweise eine betreute Wohngemeinschaft, konkret in das Foyer Schöni, eventualiter in die JVA St. Johannsen, subeventualiter in eine andere geeignete Massnahmeneinrichtung, versetzt zu werden. Ferner seien ihm bereits für die Dauer der Abklärungsphase jährlich zwei begleitete Ausgänge zu gewähren. Das Amt für Justizvollzug wies die Anträge mit Verfügung vom 8. April 2019 ab.
Dagegen führte A._ zunächst Beschwerde an das Departement des Innern und nach deren Abweisung am 3. Juni 2019 an das Verwaltungsgericht mit den Anträgen, die angefochtene Verfügung beziehungsweise der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und er sei in die JVA St. Johannsen, eventualiter in eine andere geeignete Massnahmeneinrichtung zu versetzen. Eventualiter sei die Sache im Sinne der nachfolgenden Ausführungen an die erste Instanz oder die Vorinstanz zur weiteren Abklärung zurückzuweisen. Im Fall des weiteren Verbleibs in der IKS Bostadel seien jährlich zumindest zwei begleitete Ausgänge zu fünf Stunden zu gewähren. Das Verwaltungsgericht wies die Beschwerde mit Urteil vom 26. September 2019 ab.
D.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das verwaltungsgerichtliche Urteil sei aufzuheben und er sei in die JVA St. Johannsen, eventualiter in eine andere geeignete Massnahmeneinrichtung zu versetzen. Eventualiter sei die Sache im Sinne der nachfolgenden Ausführungen an die erste Instanz oder die Vorinstanz zur weiteren Abklärung und neuerlichen Entscheidung bezüglich einer möglichen Versetzung zurückzuweisen. Ohnehin seien per sofort jährlich zwei begleitete Ausgänge zu fünf Stunden zu gewähren, eventualiter sei das Amt für Justizvollzug anzuweisen, hierfür unverzüglich die nötigen Voraussetzungen im Vollzugsplan zu schaffen und entsprechende Ausgänge anzuordnen. A._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz verkenne, dass er nicht die sofortige, sondern lediglich die mittelfristige Verlegung in eine halboffene oder betreute Einrichtung beantrage. Da sie sich nicht mit seinem begründeten Begehren um kurzfristige Versetzung in die geschlossene Abteilung der JVA St. Johannsen auseinandersetze, verletze sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör. Gleiches gelte, soweit die Vorinstanz die Abweisung seines Versetzungsantrags mit dem formalen Argument begründe, der Vollzugsplan sei bei ihm nicht auf die Gewährung von Vollzugsöffnungen ausgerichtet. Im Übrigen sei dies überspitzt formalistisch im Sinne von <ref-law>. Die Vorinstanz hätte sich gestützt auf Art. 75 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> inhaltlich mit dem Antrag befassen müssen. Diesbezüglich hätte die Vorinstanz berücksichtigen müssen, dass im Therapiebericht eine Versetzung in die JVA St. Johannsen befürwortet werde. Sie hätte dieser Empfehlung der Experten entweder folgen oder weitere Abklärungen treffen müssen. Er habe in den nun 22 Jahren seiner Inhaftierung keine Fluchtversuche unternommen, sein Vollzugsverhalten sei tadellos und er erweise sich als zuverlässig sowie absprachefähig. Damit stehe fest, dass er sich auch in einem halboffenen beziehungsweise betreuten Setting korrekt und regelkonform verhalten werde. Als mildere Vollzugsform im Sinne des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes (<ref-law>) komme vorliegend mittelfristig ein halboffenes Setting in Kombination mit einem Rayonverbot für Orte, die von Kindern frequentiert werden, oder ein gänzliches Kontaktverbot mit Kindern in Frage. In Anbetracht der gesamten Umstände sei eine Versetzung in die JVA St. Johannsen zur Entwicklung einer realen Perspektive in Richtung Freiheit, zumindest aber in Richtung Lockerung indiziert.
1.2. Die Vorinstanz gibt zunächst die Argumente des Departements des Innern sowie des Beschwerdeführers wieder und zeigt die rechtlichen Grundlagen auf. In der Folge weist sie darauf hin, dass der Beschwerdeführer bereits im Jahr 2014 um Versetzung in die JVA St. Johannsen ersucht habe. Dieser Antrag sei letztinstanzlich durch das Verwaltungsgericht abgewiesen worden. Dieses sei aufgrund der ihm vorliegenden Akten zum Schluss gelangt, dass der Rückfall- und Fluchtgefahr des Beschwerdeführers in der JVA St. Johannsen nicht genügend entgegengewirkt werden könne. Die privaten Interessen des Beschwerdeführers an der Verlegung in die JVA St. Johannsen wiegten klar weniger schwer als das öffentliche Sicherheitsinteresse an der Verhinderung von Sexualstraftaten gegenüber Kindern. Die Gutachter hätten eine hohe Rückfallgefahr im Bereich schwerer Delinquenz und hochwertige Rechtsgüterverletzungen bejaht. Fest stehe, dass beim Beschwerdeführer aus momentaner Sicht eine erfolgreiche Behandlung und eine damit einhergehende Verminderung der Rückfallgefahr sehr unwahrscheinlich erscheine. Betreffend Fluchtgefahr sei zu berücksichtigen, dass der Beschwerdeführer mittlerweile seit fast 20 Jahren im Vollzug sei, so dass ausserhalb der Vollzugsinstitution kein geeigneter sozialer Empfangsraum ersichtlich sei. Der Beschwerdeführer sei verwahrt, womit ein Freiheitsentzug von unbestimmter Dauer zu vollziehen sei. Des Weiteren sprächen auch das weitgehend fehlende Deliktsbewusstsein und die Persönlichkeitsstruktur des Beschwerdeführers für das Bestehen einer Fluchtgefahr. Der Umstand, dass es während der vorherigen Platzierung in der JVA St. Johannsen zu keinem Fluchtversuch gekommen sei, vermöge an dieser Einschätzung nichts zu ändern. Die Vorinstanz legt im Weiteren dar, welche Dokumente sie bei ihrem Entscheid berücksichtigt und gibt deren Inhalt zusammengefasst wieder. Dabei handelt es sich um den Vollzugsbericht der IKS Bostadel vom 10. April 2018, die Therapieverlaufsberichte vom 16./26. April und 11. Oktober 2018, der E-Mail des Therapeuten des Beschwerdeführers vom 23. April 2018, das Protokoll der Vollzugskoordinationssitzung vom 10. September 2018 und das forensisch-psychiatrische Gutachten vom 20. November 2012.
Gestützt darauf erwägt die Vorinstanz, das Gutachten, wonach beim Beschwerdeführer von einem hohen Rückfallrisiko für erneute pädosexuelle Delikte auszugehen sei, habe aufgrund der gemäss Therapiebericht klar eingeschränkten Behandlungsfähigkeit bis heute nichts an Aktualität eingebüsst. Beim Beschwerdeführer habe sich in legalprognostischer und therapeutischer Sicht seit der letzten Beurteilung von Vollzugslockerungen nicht viel geändert. Entsprechend seien Rückfall- und Fluchtgefahr weiterhin gegeben. Gegenteiliges mache auch der Beschwerdeführer nicht geltend. In den Therapieberichten werde festgehalten, dass aus therapeutischer Sicht einer Versetzung des Beschwerdeführers in die geschlossene Abteilung der JVA St. Johannsen zugestimmt werden könne; allenfalls könne dort die "Begleitung von Öffnungszeiten oder Ausgängen" angemessen umgesetzt und reflektiert werden. Die IKS Bostadel erachte das gegebene Setting derzeit als sinnvoll. Darüber, dass der Beschwerdeführer nicht aus der Verwahrung entlassen werden könne, seien sich die Fachleute einig. Eine Entlassung sei denn auch nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Auch die Versetzung in eine geschlossene Abteilung der JVA St. Johannsen sei vorliegend nicht Verfahrensgegenstand, verlange der Beschwerdeführer doch die Versetzung in einen halboffenen Vollzug. Der Vollständigkeit halber sei zu erwähnen, dass ein Aufenthalt in der geschlossenen Abteilung der JVA St. Johannsen auf sechs Monate begrenzt sei. Eine Aufnahme komme nur in Frage, wenn innerhalb von sechs Monaten Aussicht auf einen Übertritt in den offenen Vollzug bestehe. Der Vollzugsplan sei beim Beschwerdeführer aber nicht auf die Gewährung von Vollzugsöffnungen im Verwahrungsvollzug ausgerichtet. Das Departement des Innern habe ein halboffenes Setting derzeit zu Recht abgelehnt. Dies sei nicht zu beanstanden, da sich seit der letzten Beurteilung die Verhältnisse betreffend Rückfall- und Fluchtgefahr nicht geändert hätten. Diese seien nach wie vor gegeben. Ein halboffener Vollzug widerspreche derzeit dem öffentlichen Sicherheitsinteresse an der Verhinderung von Sexualstraftaten gegenüber Kindern (Urteil S. 4 ff.).
1.3.
1.3.1. Für den Straf- und Massnahmenvollzug sind die Kantone zuständig, soweit das Gesetz nichts anderes vorsieht (<ref-law>). <ref-law> regeln die Grundzüge des Straf- und Massnahmenvollzugs. Die Einzelheiten des Vollzugs richten sich nach kantonalem Recht und den für den einzelnen Kanton jeweils massgebenden Konkordatsrichtlinien.
1.3.2. Gemäss <ref-law> gilt <ref-law> für die Einweisung in eine offene Einrichtung und für die Bewilligung von Vollzugsöffnungen des Massnahmenvollzugs sinngemäss. <ref-law> schreibt bei Lockerungen im Freiheitsentzug, wie namentlich der Verlegung in eine offene Anstalt, der Gewährung von Urlaub, der Zulassung zum Arbeits- oder Wohnexternat und der bedingten Entlassung (<ref-law>) besondere Sicherheitsmassnahmen vor. Die Kommission nach <ref-law> beurteilt in diesen Fällen die Gemeingefährlichkeit des Täters, wenn dieser ein Verbrechen nach <ref-law> begangen hat (<ref-law>) und die Vollzugsbehörde die Frage der Gemeingefährlichkeit nicht eindeutig beantworten kann (<ref-law>). Gemeingefährlichkeit ist anzunehmen, wenn die Gefahr besteht, dass der Gefangene flieht und eine weitere Straftat begeht, durch die er die physische, psychische oder sexuelle Integrität einer anderen Person schwer beeinträchtigt (<ref-law>).
1.3.3. Die Einweisungsbehörde hat mithin bei Personen, die wegen einer Straftat verurteilt wurden, durch welche die physische, psychische oder sexuelle Integrität einer anderen Person grundsätzlich schwer beeinträchtigt werden kann oder bei denen aus anderen Gründen Hinweise auf eine Gefahr für Dritte bestehen, die Gefährlichkeit nötigenfalls unter Beizug der Kommission genauer abzuklären. Ob eine Vollzugsöffnung im Einzelfall bewilligt werden kann, ist aufgrund einer Analyse des konkreten Risikos für eine Flucht oder eine neue Straftat in Berücksichtigung des Zwecks und der konkreten Modalitäten der geplanten Öffnung sowie der aktuellen Situation der eingewiesenen Person zu entscheiden (vgl. Merkblatt der Konferenz der Kantonalen Justiz- und Polizeidirektorinnen und -direktoren [KKJPD] zu den Vollzugsöffnungen im Straf- und Massnahmenvollzug vom 29. März 2012, Ziff. 5.1 f.). Die Anforderungen an das Verhalten des Eingewiesenen im Strafvollzug und die Risiken einer Flucht- oder Rückfallgefahr definieren sich dabei grundsätzlich nach den Massstäben, wie sie bei der bedingten Entlassung nach <ref-law> gelten (Urteile 6B_240/2018 vom 23. November 2018 E. 2.3; 6B_1028/2014 vom 17. Juli 2015 E. 3.4; 6B_349/2008 vom 24. Juni 2008 E. 3.2; je mit Hinweis).
1.3.4. Flucht- und Rückfallgefahr müssen im Einzelfall sorgfältig geprüft werden. Die Beurteilung der Fluchtgefahr beinhaltet keine psychiatrische Fragestellung. Die Gemeingefährlichkeit ist Rechtsfrage. Allerdings lassen sich psychiatrische und juristische Fragestellungen in der Praxis häufig nicht säuberlich trennen. Denn die psycho-physische Konstitution präfiguriert die Flucht- und Rückfallgefahr. Klar ist, dass der forensischen Begutachtung die zentrale Aufgabe zukommt, die psychische Verfassung des Betroffenen als wesentliche tatsächliche Entscheidgrundlage abzuklären und prognostisch einzuschätzen. Von dieser gutachterlichen Beurteilung darf nicht ohne triftige Gründe abgewichen werden (Urteile 6B_240/2018 vom 23. November 2018 E. 2.3; 6B_708/2015 vom 22. Oktober 2015 E. 3.3 mit Hinweisen, nicht publ. in <ref-ruling>; 6B_1028/2014 vom 17. Juli 2015 E. 3.5; 6B_664/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 2.4; je mit Hinweisen).
1.3.5. Die Nichtbewilligung von Vollzugslockerungen muss sich auf ernsthafte und objektive Gründe stützen. Die kantonalen Behörden verfügen im Bereich des Straf- und Massnahmenvollzugs über ein weites Ermessen. Das Bundesgericht greift auf Beschwerde in Strafsachen hin nur ein bei Ermessensüberschreitung bzw. -unterschreitung oder Ermessensmissbrauch (Urteile 6B_240/2018 vom 23. November 2018 E. 2.3; 6B_1028/2014 vom 17. Juli 2015 E. 3.5; je mit Hinweisen).
1.4. Unbegründet ist zunächst der Einwand des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe sich nicht mit seinem Begehren einer Versetzung in die geschlossene Abteilung der JVA St. Johannsen befasst. Der Beschwerdeführer beantragte der Vollzugsbehörde, in eine halboffene Institution beziehungsweise eine betreute Wohngemeinschaft, konkret in das Foyer Schöni, eventualiter in die JVA St. Johannsen, subeventualiter in eine andere geeignete Massnahmeneinrichtung, versetzt zu werden. Im Rechtsmittelverfahren formulierte er seinen Antrag um und ersuchte darum, in die JVA St. Johannsen, eventualiter in eine andere geeignete Massnahmeneinrichtung versetzt zu werden. Die JVA St. Johannsen ist eine offene Strafvollzugsanstalt, in die nur Straftäter aufgenommen werden können, die sich für den offenen Vollzug eignen. In der Regel tritt ein Eingewiesener direkt in die Grundstufe des offenen Massnahmenvollzugs ein. Bestehen Zweifel, ob ein Eingewiesener für den offenen Vollzug geeignet ist, ist eine Einweisung in die Beobachtungs- und Triagestation möglich. Dabei handelt es sich um eine geschlossene Abteilung mit umfassenden Sicherheitsvorkehrungen, die eine sechsmonatige Abklärung erlaubt (Broschüre JVA St. Johannsen, S. 8). Indem der Beschwerdeführer um Verlegung in die JVA St. Johannsen ersuchte, beantragte er eine Versetzung in eine offene Anstalt und damit in den (halb-) offenen Vollzug. Er kann daher der Vorinstanz nicht vorwerfen, sie nehme irrtümlich an, er begehre eine sofortige Versetzung in eine offene Anstalt (vgl. Beschwerde S. 4). Da es sich bei der JVA St. Johannsen um eine offene Anstalt handelt, ist eine Versetzung dorthin nur möglich, wenn die gesetzlichen Voraussetzungen für eine Verlegung in den (halb-) offenen Vollzug erfüllt sind beziehungsweise - wie es die Vorinstanz ausdrückt - wenn innerhalb von sechs Monaten Aussicht auf einen Übertritt in den offenen Vollzug besteht. Diese Aussicht verneint die Vorinstanz zumindest sinngemäss, ohne ihr Ermessen zu verletzen.
Entgegen der Kritik des Beschwerdeführers begründet die Vorinstanz ihren Entscheid nicht nur damit, dass sein Vollzugsplan nicht auf eine offene Institution ausgerichtet sei. Vielmehr verweist sie zur Begründung auf ihr Urteil vom 20. Juli 2016, indem sie ausführt, die Verhältnisse betreffend Rückfall- und Fluchgefahr hätten sich seither nicht geändert. Sie stellt fest, dass Flucht- und Rückfallgefahr nach wie vor gegeben seien. Sie gelangt zum Schluss, dass ein halboffener Vollzug derzeit dem öffentlichen Sicherheitsinteressen an der Verhinderung von Sexualstraftaten gegenüber Kindern widersprechen würde. Damit befasst sich die Vorinstanz inhaltlich mit der Sache. Die Rügen der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und des überspitzen Formalismus sind unbegründet.
Materiell wendet sich der Beschwerdeführer sinngemäss gegen die vorinstanzlichen Feststellungen zur Fluchtgefahr und macht geltend, die Verweigerung seiner Versetzung verletze den Verhältnismässigkeitsgrundsatz. Soweit er bemängelt, dass die Vorinstanz der Empfehlung seines Therapeuten, ihn in die geschlossene Abteilung der JVA St. Johannsen zu versetzen, weder folge noch weitere Abklärungen treffe, setzt er sich nicht mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinander. Er zeigt folglich nicht auf, dass die Vorinstanz in Willkür verfällt, wenn sie erwägt, das forensisch-psychiatrische Gutachten vom 20. November 2012 sei weiterhin aktuell, und bei ihrer Beurteilung der Rückfall- und Fluchtgefahr darauf abstellt. Mangels genügend substanziierter Vorbringen (vgl. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) ist auf die Beschwerde in diesem Punkt nicht einzutreten. Hinsichtlich der Beurteilung der Fluchtgefahr belässt es der Beschwerdeführer dabei, seine Ausführung im vorinstanzlichen Verfahren zu wiederholen. Damit zeigt er nicht auf, dass die vorinstanzlichen Ausführungen zur Fluchtgefahr Bundesrecht verletzen. Die Vorinstanz verweist diesbezüglich auf ihr Urteil vom 20. Juli 2016, worin sie erwog, ausserhalb der Vollzugsinstitution sei kein geeigneter sozialer Empfangsraum des Beschwerdeführers ersichtlich. Ferner sei zu bedenken, dass er verwahrt und damit einen Freiheitsentzug von unbestimmter Dauer zu volllziehen habe. Des Weiteren sprächen auch sein weitgehend fehlendes Deliktsbewusstsein und seine Persönlichkeitsstruktur für das Bestehen einer Fluchtgefahr. Daran vermöge nichts zu ändern, dass es bisher zu keinem Fluchtversuch gekommen sei (Urteil S. 7).
Auch eine Verletzung des Verhältnismässigkeitsgrundsatzes ist nicht ersichtlich. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen in ihrem Urteil vom 20. Juli 2016, die ihrer Ansicht nach weiterhin Bestand haben, ist beim Beschwerdeführer von einer hohen Rückfallgefahr im Bereich schwerer Delinquenz und hochwertiger Rechtsgüter auszugehen. Dieser Rückfallgefahr könne in der JVA St. Johannsen nicht genügend entgegengewirkt werden. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz die Interessen des Beschwerdeführers an der Verlegung in die JVA St. Johannsen weniger schwer gewichtet als das öffentliche Sicherheitsinteresse an der Verhinderung von Sexualstraftaten gegenüber Kindern, und sie die Verweigerung der Versetzung als verhältnismässig bezeichnet (vgl. Urteil S. 7 und 10 f.; Urteil des Verwaltungsgerichts vom 20. Juli 2016 S. 10).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer bemängelt ferner, dass die Vorinstanz der Vollzugsbehörde zwar dringend empfehle, einen jährlichen doppelbegleiteten Ausgang in den Vollzugsplan aufzunehmen, seinen entsprechenden Antrag jedoch mit dem rein formalen Argument abweise, der Vollzugsplan sehe keine Vollzugsöffnungen vor. Damit verletze sie Art. 56 Abs. 2 und Art. 75 Abs. 1 StGB sowie Art. 29 Abs. 1 und 2 BV.
2.2. Die Vorinstanz zeigt zunächst die Argumente des Departements des Innern und des Beschwerdeführers auf und legt die rechtlichen Grundlagen dar. Gestützt darauf erwägt sie, die Vollzugslockerungsentscheide müssten im Vollzugsplan eingebettet sein. Der Vollzugsplan sei beim Beschwerdeführer nicht auf die Gewährung von Vollzugsöffnungen im Verwahrungsvollzug ausgerichtet. Entsprechend habe das Departement das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung von Ausgängen zu Recht abgewiesen. Nachdem aber sowohl im Therapie- als auch im Vollzugsbericht begleitete Ausgänge befürwortet worden seien und die IKS Bostadel sich bereit erklärt habe, einmal jährlich einen Ausgang in Doppelbegleitung durchzuführen, sei der Vollzugsbehörde dringend zu empfehlen, einen solchen Ausgang in den Vollzugsplan aufzunehmen und dem Beschwerdeführer spätestens ab nächstem Jahr zu gewähren (Urteil S. 11 f.).
2.3.
2.3.1. Gemäss <ref-law> gilt für die Beziehung des Eingewiesenen zur Aussenwelt <ref-law> sinngemäss, sofern nicht Gründe der stationären Behandlung weitergehende Einschränkungen gebieten. <ref-law> bestimmt, dass dem Gefangenen zur Pflege der Beziehungen zur Aussenwelt, zur Vorbereitung seiner Entlassung oder aus besonderen Gründen in angemessenem Umfang Urlaub zu gewähren ist, soweit sein Verhalten im Strafvollzug dem nicht entgegensteht und keine Gefahr besteht, dass er flieht oder weitere Straftaten begeht. Unter Urlaub aus besonderen Gründen versteht der Gesetzgeber namentlich Urlaub zur Verrichtung unaufschiebbarer persönlicher, existenzerhaltender oder rechtlicher Angelegenheiten, für welche die Anwesenheit des Eingewiesenen ausserhalb der Anstalt unerlässlich ist (Botschaft vom 21. September 1998 zur Änderung des Schweizerischen Strafgesetzbuches und des Militärstrafgesetzes sowie zu einem Bundesgesetz über das Jugendstrafrecht, BBl 1999 2119 Ziff. 214.201).
2.3.2. <ref-law> enthält die Rahmenbedingungen zum Urlaub. Die Einzelheiten der Urlaubsgewährung richten sich nach kantonalem Recht und den für den Kanton jeweils massgebenden Konkordatsrichtlinien (Urteil 6B_664/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 2.3 mit Hinweisen). Dies ist vorliegend gestützt auf § 2 des Gesetzes des Kantons Solothurn über den Justizvollzug vom 13. November 2013 (JUVG; BSG 311.11) die Richtlinie der Konkordatskonferenz des Strafvollzugskonkordats Nordwest- und Innerschweiz betreffend die Ausgangs- und Urlaubsgewährung vom 19. November 2012. Die Richtlinie unterscheidet zwischen Sach- und Beziehungsurlaub sowie Ausgängen. Letztere dienen gemäss Art. 23 der Richtlinie der Kontaktpflege mit Personen ausserhalb der Vollzugseinrichtung, der Aufrechterhaltung des Bezugs zur Aussenwelt und therapeutischen Zwecken. Es handelt sich wie beim Urlaub um Vollzugslockerungen im Hinblick auf die Vorbereitung auf das Leben in Freiheit, weshalb für die Gewährung von Ausgängen auch jene Voraussetzungen erfüllt sein müssen, welche für die Gewährung von Urlaub erforderlich sind (Urteil 6B_664/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 2.3.2). Die Bewilligungsvoraussetzungen sind Art. 18 der Richtlinie zu entnehmen.
2.3.3. "Humanitäre Ausgänge" als solche kennen weder das Bundes- noch das Konkordatsrecht (BENJAMIN F. BRÄGGER, Vollzugslockerungen und Beurlaubungen bei sog. gemeingefährlichen Straftätern, in: Schweizerische Zeitschrift für Kriminologie, 1/2014, S. 58). Urlaub darf nur in der gesetzlich bestimmten Form bewilligt werden. Entsprechend unterliegen "Ausgänge" den Voraussetzungen von <ref-law> (Urteile 6B_619/2015 vom 18. Dezember 2015 E. 2.4; 6B_664/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 2.3.3). Das Gesetz definiert die drei Urlaubsgründe in <ref-law> abschliessend. Die Urlaubsgewärung ist nur in diesem gesetzlichen Rahmen zulässig (Urteile 6B_619/2015 vom 18. Dezember 2015 E. 2.4). Nach der Rechtsprechung dürfen Anstaltsverlassungen, die nur dem sogenannten "Lüften" des Insassen dienen oder aus humanitären Gründe gewährt werden, nicht aber in eine realistische Lockerungsperspektive eingebettet sind, nicht bewilligt werden, da sie ein zu grosses Risiko für die öffentliche Sicherheit darstellen (Urteil 6B_619/2015 vom 18. Dezember 2015 E. 2.7; BRÄGGER, a.a.O., S. 61). Die Gewährung einer Vollzugsöffnung ist nur dann in Betracht zu ziehen, wenn diese sich klar in das Gesamtkonzept der individuellen Resozialisierungsplanung einbettet und darüber hinaus keine Indizien für die Gefährdung der öffentlichen Sicherheit bestehen (BRÄGGER, a.a.O., S. 60; vgl. auch Urteile 6B_619/2015 vom 18. Dezember 2015 E. 2.7; 6B_664/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 2.7).
2.4. Dem angefochtenen Urteil lässt sich nicht entnehmen, welche der drei Grundformen des Urlaubs mit den beantragten Ausgängen gemeint ist. Der Beschwerdeführer beantragt, ihm seien per sofort jährlich zwei begleitete Ausgänge zu fünf Stunden zu gewähren. Eventualiter sei das Amt für Justizvollzug anzuweisen, hierfür unverzüglich die nötigen Voraussetzungen im Vollzugsplan zu schaffen und entsprechende Ausgänge anzuordnen. In der Begründung seiner Beschwerde weist der Beschwerdeführer einzig daraufhin, die Ausgänge würden gemäss Ansicht seiner Therapeuten therapeutische Reflexionsmöglichkeiten unterstützen. Es ist fraglich, ob der Beschwerdeführer damit genügend darlegt (vgl. <ref-law>), welchem Zweck die begleiteten Ausgänge überhaupt dienen sollen (vgl. Urteil 6B_254/2019 vom 12. Juni 2019 E. 1.4). Hierzu äussert sich indessen auch die Vorinstanz nicht. Sie belässt es vielmehr bei der Feststellung, Vollzugsöffnungen seien im Vollzugsplan nicht vorgesehen. Ob dieses Vorgehen zulässig ist, ist ebenfalls fraglich, kann jedoch offen gelassen werden. Insgesamt ist nicht hinreichend konkret dargelegt, welchem Zweck die Ausgänge dienen sollen und unter welchen Umständen sie erfolgen sollen. Das Bundesgericht hat entschieden, dass der Urlaub nicht in pauschaler Weise angeordnet werden kann. Einerseits muss jeder Urlaub für sich genommen zulässig sowie begründet sein und andererseits kann nicht zum Vornherein die Anzahl sowie Dauer der Urlaube festgeschrieben werden. Das lässt sich erst nach Kenntnis von Zweck und Umständen beurteilen (Urteil 6B_664/2013 vom 16. Dezember 2013 E. 2.4). Das Bundesgericht hat nicht über abstrakte Fragestellungen zu urteilen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist gutzuheissen. Seine Bedürftigkeit ist ausgewiesen und seine Beschwerde war nicht von vornherein aussichtslos. Es sind daher keine Kosten zu erheben (Art. 64 Abs. 1 und Art. 66 Abs. 4 BGG). Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Stephan Bernard, wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Andres