Sachverhalt:
A.
Die miteinander verheirateten A._ (Beschwerdeführerin 1) und C._ (Beschwerdegegner 1) sind die Eltern der beiden minderjährigen Kinder D._ und E._. Die Ehegatten leben getrennt.
Im Rahmen des hängigen Verfahrens auf Änderung einer früheren Regelung des Ehegattenunterhalts verurteilte das Zivilkreisgericht Basel-Landschaft Ost den Ehemann am 5. März 2020 dazu, der Ehefrau für die beiden Kinder ab dem 1. Januar 2020 für die Dauer des Verfahrens monatlich einen Unterhaltsbeitrag von je Fr. 211.-- zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 200.-- zu bezahlen. Über die definitive Höhe des Unterhaltsbeitrags werde anlässlich der anstehenden Verhandlung befunden.
B.
A._ gelangte mit einer als Berufung/Beschwerde bezeichneten Eingabe ans Kantonsgericht Basel-Landschaft und beantragte die Aufhebung der Verfügung vom 5. März 2020. Dabei wurde sie durch Advokatin B._ (Beschwerdeführerin 2) vertreten. Mit Entscheid vom 5. Mai 2020 (eröffnet am 3. Juni 2020) trat das Kantonsgericht auf das Rechtsmittel nicht ein (Dispositivziffer 1) und wies das ebenfalls eingereichte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab (Dispositivziffer 2). Die Kosten des oberinstanzlichen Verfahrens von Fr. 500.-- auferlegte das Kantonsgericht B._, die es ausserdem dazu verpflichtete, an C._ eine Parteientschädigung von Fr. 3'770.60 (inkl. Auslagen und MWSt) zu bezahlen (Dispositivziffer 3).
C.
A._ und B._ gelangen mit Beschwerde vom 1. Juli 2020 ans Bundesgericht. Sie beantragen unter Kosten- und Entschädigungsfolge, es sei der Entscheid des Kantonsgerichts aufzuheben und dieses sei anzuweisen, die bei ihm eingereichte Berufung/Beschwerde zu behandeln. Ausserdem ersuchen sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für A._.
Mit Verfügung vom 2. Juli 2020 hat das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen. In der Vernehmlassung vom 13. Juli 2020 schliesst das Kantonsgericht im Ergebnis auf Abweisung der Beschwerde und am 20. Juli 2020 beantragt C._, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventuell sei diese abzuweisen. Ausserdem ersucht auch C._ um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren. Mit Replik vom 5. August 2020 und Duplik vom 14. August 2020 haben die Parteien an ihren jeweiligen Begehren festgehalten. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
Mit dem angefochtenen Entscheid ist das Kantonsgericht nicht nur auf das bei ihm gegen den Erlass vorsorglicher Massnahmen während eines Eheschutzverfahrens (Abänderungsverfahren) gerichtete Rechtsmittel nicht eingetreten. Vielmehr hat es auch die Prozesskosten des oberinstanzlichen Verfahrens der Beschwerdeführerin 2 auferlegt und das Gesuch der Beschwerdeführerin 1 um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen. Die Beschwerdeführerinnen gelangen gegen alle drei Anordnungen mit nur einer Eingabe ans Bundesgericht. Dies ist nicht zu beanstanden, da in allen Fällen dasselbe Urteil angefochten ist und dieselben Verhältnisse betroffen sind (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; vgl. <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1). Hinsichtlich der Zulässigkeit des vor Bundesgericht erhobenen Rechtsmittels gilt es indes zwischen den drei Fallkonstellationen zu unterscheiden.
2.
2.1. Strittig ist vorab der von der Vorinstanz ausgefällte Nichteintretensentscheid.
Bei einem Entscheid über vorsorgliche Massnahmen während des Eheschutzverfahrens (zur Möglichkeit der Anordnung derartiger Massnahmen im Kontext von Unterhaltsklagen vgl. Urteil 5A_590/2019 vom 13. Februar 2020 E. 3.4, in: RSPC 2020 S. 345, mit Hinweisen [Frage offen gelassen]) handelt es sich praxisgemäss unabhängig darum um einen Zwischenentscheid nach <ref-law>, ob eine Massnahme angeordnet oder deren Anordnung verweigert wird (betreffend Kindes- und Ehegattenunterhalt vgl. Urteil 5A_541/2019 vom 8. Mai 2020 E. 1.1; vgl. weiter Urteile 5A_229/2020 vom 13. Juli 2020 E. 1; 5A_369/2018 vom 14. August 2018 E. 1.2). Dasselbe gilt auch dort, wo vor Bundesgericht ein eine solche Massnahme betreffender Nichteintretensentscheid angefochten ist (Urteil 2C_888/2016 vom 15. Oktober 2018 E. 1.2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Gegen einen derartigen Zwischenentscheid ist die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren sparen würde (Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG). Vorliegend kommt von vornherein allein die erste dieser Varianten in Frage. Dabei obliegt es der beschwerdeführenden Person, das Vorliegen dieser Eintretensvoraussetzung darzutun. Unterlässt sie dies, kann auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung (<ref-law>) nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2).
2.2. Die Beschwerdeführerin 1 äussert sich nicht ausdrücklich zur Eintretensvoraussetzung nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG. Immerhin verweist sie in anderem Zusammenhang darauf, dass die in der Sache strittige Herabsetzung der Kindesunterhaltsbeiträge (vgl. vorne Bst. A) eine "massive Unterdeckung in ihrem Bedarf" zur Folge habe. Diese sei auch durch eine nachträgliche Wiederanhebung der geschuldeten Beiträge nicht wieder gutzumachen, da ein Nachzahlungsanspruch nicht oder nur schwer einbringlich sei.
Unbesehen darum, ob die Beschwerdeführerin 1 der Begründungspflicht genügt, vermag sie damit jedenfalls keinen ihr durch den angefochtenen Entscheid drohenden nicht wieder gutzumachenden Nachteil darzulegen: Dieser Nachteil muss rechtlicher Natur sein, was nur der Fall ist, wenn er auch durch einen günstigen Endentscheid nicht oder nicht vollumfänglich behoben würde. Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile nicht aus (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.5). Der blosse Umstand, zu einer Geldleistung verpflichtet zu werden, stellt nach konstanter Rechtsprechung grundsätzlich keinen rechtlichen Nachteil im beschriebenen Sinn dar. Eine Ausnahme ist dort am Platz, wo die beschwerdeführende Person nachweist, dass sie bei Weitergeltung der Massnahme ernsthaften finanziellen Schwierigkeiten ausgesetzt wäre oder im Falle eines Obsiegens in der Hauptsache die Rückerstattung der geleisteten Geldbeträge nicht werde erwirken können (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.2; Urteil 5A_147/2020 vom 24. August 2020 E. 2.3). Zwar beruft die Beschwerdeführerin 1 sich auf diese Ausnahmekonstellationen, wobei das zur Rückerstattung geleisteter Geldbeträge Ausgeführte sinngemäss auch für den hier betroffenen Fall der Nachzahlung nicht erhaltener Leistungen gilt. In ihren Ausführungen bleibt sie indes äusserst pauschal und sie legt auch nicht ansatzweise unter Hinweis auf die konkret in Streit stehenden Beiträge dar, dass und in welchem Ausmass sie eine Unterdeckung erleidet und sie einen ihr allfällig später in grösserem Umfang zugesprochenen Beitrag nicht nachfordern könnte. Dies reicht nicht, um das Vorliegen der Voraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG aufzuzeigen (vgl. Urteil 5A_813/2017 vom 31. Mai 2018 E. 1.4).
2.3. Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerde gegen das Nichteintreten auf das bei der Vorinstanz erhobene Rechtsmittel nicht einzutreten. Dies gilt nicht nur mit Blick auf die Beschwerde in Zivilsachen, sondern auch bezüglich der eventuell erhobenen subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführerin 1 bleibt es unbenommen, den Entscheid des Kantonsgerichts unter den Voraussetzungen von <ref-law> mit Beschwerde gegen den Endentscheid anzufechten.
3.
Angefochten ist weiter die Auferlegung der Prozesskosten des vorinstanzlichen Rechtsmittelverfahrens an die Beschwerdeführerin 2, welche insoweit allein zur Beschwerde ans Bundesgericht berechtigt ist (Urteile 4A_208/2018 vom 22. August 2018 E. 6; 5D_56/2018 vom 18. Juli 2018 E. 4).
Der in einem Zwischenentscheid enthaltene Entscheid über die Kosten- und Entschädigungsfolge ist ebenfalls als Zwischenentscheid nach <ref-law> zu qualifizieren und rechtsprechungsgemäss nicht geeignet, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG zu bewirken. Er kann unmittelbar nur im Rahmen einer Beschwerde gegen den Zwischenentscheid ans Bundesgericht weitergezogen werden, falls dort der Rechtsweg nach <ref-law> offen steht. Ansonsten können die Kosten- und Entschädigungsfolgen nur gemäss <ref-law> mit Beschwerde gegen den Endentscheid angefochten werden (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> Regeste und E. 1.2). Vorliegend steht gegen den Entscheid über die vorsorglichen Massnahmen im Eheschutzverfahren wie dargelegt derzeit kein Rechtsmittel ans Bundesgericht zur Verfügung (vorne E. 2). Damit ist es der Beschwerdeführerin 2 auch verwehrt, zum jetzigen Zeitpunkt den zugehörigen Kostenentscheid durch das Bundesgericht überprüfen zu lassen. Auf ihre Beschwerde ist nicht einzutreten.
4.
4.1. Zuletzt wendet sich die Beschwerdeführerin 1 gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren vor Kantonsgericht.
Der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege und die Beiordnung einer unentgeltlichen Rechtsvertretung ist praxisgemäss ein Zwischenentscheid nach <ref-law>, der regelmässig einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil nach Abs. 1 Bst. a dieser Bestimmung bewirken kann (<ref-ruling> E. 1.1; jüngst etwa Urteile 5A_508/2020 vom 6. Oktober 2020 E. 1.1; 5A_610/2020 vom 4. August 2020 E. 1; allgemein zu diesem Nachteil vgl. vorne E. 2.2). Dennoch droht nicht bei jedem Entscheid, mit dem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert wird, der Eintritt eines derartigen Nachteils. Keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil vermag der Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege zu bewirken, wenn die rechtsuchende Partei nicht Gefahr läuft, ihre Rechte wegen der Verweigerung der Rechtswohltat nicht gehörig geltend machen zu können. Zu denken ist namentlich daran, dass der Kostenvorschuss, von dem der Eintritt auf die Eingabe abhängt, bereits bezahlt ist oder dass die beauftragte Rechtsvertretung bereits alle nötigen Eingaben verfasst hat. Diesfalls ist nur noch die Frage zu regeln, wer die angefallenen Kosten letztlich zu bezahlen hat, und der gesuchstellenden Partei verbleibt die Möglichkeit, die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nach Massgabe von <ref-law> im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anzufechten (zum Ganzen: Urteil 5A_988/2019 vom 3. Juni 2020 E. 3.1 mit Hinweisen). Es ist von der beschwerdeführenden Partei darzulegen, dass der vor Bundesgericht angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. vorne E. 2.1).
4.2. Die Beschwerdeführerin 1 äussert sich nicht zur Frage des nicht wieder gutzumachenden Nachteils, womit sie ihrer Begründungspflicht nicht genügt. Weshalb der angefochtene Entscheid einen solchen Nachteil sollte bewirken können, ist denn auch nicht ersichtlich: Das Kantonsgericht ist auf das bei ihm eingereichte Rechtsmittel zusammengefasst nicht eingetreten, weil die Berufung nicht zur Verfügung steht und die Beschwerdeführerin 1 die an sich mögliche Beschwerde nur bedingt eingereicht habe, was nicht zulässig sei (vgl. auch vorne E. 2). Unter diesen Umständen läuft die Beschwerdeführerin 1 nicht Gefahr, dass sie ihre Rechte wegen der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht geltend machen könnte. Vielmehr stellt sich allein die Frage danach, wer die bisher angefallenen Gerichts- und Parteikosten zu tragen hat. Dies mag sich zwar ändern, falls der vorinstanzliche Nichteintretensentscheid dereinst aufgehoben werden sollte. Der Beschwerdeführerin 1 ist es unter den Voraussetzungen von <ref-law> indes unbenommen, dannzumal auch die Abweisung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege prüfen zu lassen.
4.3. Zusammenfassend ist auf die Beschwerde der Beschwerdeführerin 1 auch soweit die unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren betreffend nicht einzutreten.
5.
5.1. Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerden nicht einzutreten. Bei diesem Ergebnis braucht auf die von den Parteien verschiedentlich gestellten Gesuche um Beizug von Akten und darum, bestimmte Eingaben der Gegenpartei als unzulässige Noven aus dem Recht zu weisen, nicht mehr eingegangen zu werden.
5.2. Ausgangsgemäss sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens zu zwei Dritteln der Beschwerdeführerin 1 und zu einem Drittel der Beschwerdeführerin 2 aufzuerlegen. Die der Beschwerdeführerin 1 auferlegten Kosten sind aufgrund der besonderen Umstände des Falls aber nicht zu erheben (<ref-law>). Die unterliegenden Beschwerdeführerinnen haben dem Beschwerdegegner 1 ausserdem die ihm angefallenen Parteikosten je zur Hälfte zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Dagegen hat der Kanton Basel-Landschaft keinen Anspruch auf Ausrichtung einer Parteientschädigung (<ref-law>).
Sowohl die Beschwerdeführerin 1 als auch der Beschwerdegegner 1 ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren indes um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung ihrer Anwälte als unentgeltliche Rechtsvertreter. Diese Gesuche werden gegenstandslos, soweit die Parteien keine Verfahrenskosten zu tragen haben. Gegenstandlos wird weiter das Gesuch des Beschwerdegegners 1, soweit er zu Lasten der Beschwerdeführerin 2 eine Parteientschädigung zugesprochen erhält. Nicht gegenstandslos wird sein Gesuch hingegen hinsichtlich der Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands, soweit die Beschwerdeführerin 1 verpflichtet wird, ihm eine Parteientschädigung zu bezahlen. Angesichts der wirtschaftlichen Verhältnisse der Beschwerdeführerin 1 ist nicht anzunehmen, dass der Beschwerdegegner 1 die ihm zustehende Entschädigung wird erhältlich machen können (vgl. zum Ganzen Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit Hinweisen). Soweit es nicht gegenstandslos wird, ist das Gesuch des Beschwerdegegners 1 um unentgeltliche Rechtspflege gutzuheissen, da die entsprechenden Voraussetzungen erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Dagegen ist das Gesuch der Beschwerdeführerin 1 abzuweisen, soweit es noch zu behandeln ist, weil ihre Beschwerden nach dem vorstehend Ausgeführten als von vornherein aussichtslos bezeichnet werden müssen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner 1 wird darauf hingewiesen, dass er der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, falls er dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch der Beschwerdeführerin 1 um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
2.2. Das Gesuch des Beschwerdegegners 1 um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihm Advokat Diego Stoll als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten werden im Umfang von Fr. 1'000.-- der Beschwerdeführerin 2 auferlegt. Die restlichen Kosten werden nicht erhoben.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin 1 hat den Beschwerdegegner 1 für das Bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Advokat Stoll wird aus dieser mit Fr. 1'200.-- entschädigt.
4.2. Die Beschwerdeführerin 2 hat den Beschwerdegegner 1 für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Zivilrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber