Ritenuto in fatto e considerando in diritto:
1.
A._, in data 20 settembre 2019, ha inoltrato un'istanza di conciliazione chiedendo di condannare la Società svizzera di radiotelevisione, succursale RSI Radiotelevisione svizzera di lingua italiana, al pagamento della somma di fr. 162'000.-- per " risarcimento del danno e di riparazione morale " risultante dalla messa in onda, il 6 settembre 2018, di un servizio che la riguardava. A._, ricevuta la richiesta di versare l'anticipo delle spese della procedura di conciliazione pari a fr. 300.--, ha chiesto di essere ammessa al beneficio del gratuito patrocinio con la designazione di un patrocinatore d'ufficio.
Con decisione 4 novembre 2019 il Segretario assessore della Pretura del Distretto di Lugano ha respinto la richiesta di gratuito patrocinio e fissato un termine di dieci giorni a A._ per versare l'anticipo spese di fr. 300.--, con la comminatoria di non entrata nel merito dell'istanza di conciliazione in caso di mancato pagamento.
In data 8 novembre 2019 ha avuto luogo l'udienza di conciliazione. In calce al verbale, il Segretario assessore ha indicato che il rilascio dell'autorizzazione ad agire era subordinato al versamento dell'anticipo spese.
A._ ha impugnato il rifiuto del gratuito patrocinio mediante reclamo 13 novembre 2019.
Il 16 dicembre 2019 il Segretario assessore ha rilasciato a A._ l'autorizzazione ad agire, differendo la decisione sulle spese della procedura di conciliazione sino a evasione della predetta procedura di reclamo.
2.
Con sentenza 22 aprile 2020 la III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino ha respinto il reclamo 13 novembre 2019, osservando che il Segretario assessore non era incorso né in un accertamento manifestamente errato dei fatti né in un'applicazione errata del diritto per aver ritenuto insufficientemente comprovata la pretesa indigenza dell'interessata e per aver considerato che la sostanza di quest'ultima (fr. 21'000.-- secondo la decisione di tassazione 2017) le permetteva di far fronte al versamento di fr. 300.-- per la procedura di conciliazione. La Corte cantonale ha anche respinto la domanda di gratuito patrocinio per la procedura di reclamo.
3.
Mediante ricorso datato 25 maggio 2020 A._ ha impugnato la sentenza 22 aprile 2020 dinanzi al Tribunale federale, chiedendo, previo conferimento dell'effetto sospensivo al ricorso, di annullarla e di concederle " la gratuità della procedura e il diritto ad un giudizio senza l'anticipo spese ". La ricorrente postula anche di essere posta al beneficio dell'assistenza giudiziaria per la sede federale.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti, ma è stato richiamato l'incarto cantonale.
4.
Va precisato che in questa sede la ricorrente contesta soltanto la mancata esenzione dall'anticipo e dalle spese processuali (art. 118 cpv. 1 lett. a e b CPC [RS 272]) della procedura di conciliazione, e non la mancata designazione di un patrocinatore d'ufficio (art. 118 cpv. 1 lett. c CPC). Ella inoltre non impugna, perlomeno non in modo sufficientemente puntuale, il rifiuto del gratuito patrocinio per la procedura di reclamo.
5.
5.1. La sentenza impugnata, che statuisce su un rimedio interposto contro una decisione incidentale, costituisce anch'essa una decisione incidentale ai sensi dell'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.1 con rinvii), suscettiva di un ricorso immediato al Tribunale federale unicamente se può causare un pregiudizio irreparabile (<ref-law>; l'ipotesi della lett. b non entra in linea di conto nella presente fattispecie). È irreparabile il pregiudizio di natura giuridica che una successiva decisione finale favorevole al ricorrente non riuscirebbe comunque a sanare completamente (<ref-ruling> consid. 1.3 con rinvii). Incombe al ricorrente allegare e dimostrare l'esistenza di un tale pregiudizio, a meno che esso non sia di palese evidenza (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2 con rinvio). Se il ricorso immediato non è ammissibile, la decisione incidentale può essere impugnata mediante ricorso contro la decisione finale in quanto influisca sul contenuto della stessa (<ref-law>).
La decisione incidentale che rifiuta l'assistenza giudiziaria può causare un pregiudizio irreparabile quando l'istante è invitato a versare un anticipo spese con la comminatoria, in caso di mancato pagamento, di non entrata nel merito della petizione o del ricorso. Se invece la decisione incidentale si limita a porre a carico dell'istante le spese o a respingere la sua richiesta di assistenza giudiziaria per il processo ormai già svolto, essa può essere impugnata con la decisione finale senza che ne risulti un danno irreparabile (sentenza 4A_483/2013 del 1° novembre 2013 consid. 1.5 con rinvii).
5.2. La ricorrente afferma che la sentenza impugnata le causerebbe un "pregiudizio difficilmente riparabile", poiché la priverebbe "della possibilità di accedere ad un tribunale", e meglio "del diritto di ottenere l'autorizzazione ad agire per proseguire l'azione risarcitoria nei riguardi della convenuta", a causa "della mancanza dei mezzi necessari per poter pagare il richiesto anticipo spese".
5.3. In concreto, come detto, con decisione 4 novembre 2019 l'autorità di conciliazione ha respinto la richiesta di gratuito patrocinio della qui ricorrente e le ha fissato un termine di dieci giorni per versare l'anticipo spese con la comminatoria di non entrata nel merito dell'istanza di conciliazione in caso di mancato pagamento. L'udienza di conciliazione si è tenuta l'8 novembre 2019: constatata l'impossibilità di addivenire a un accordo, l'autorità di conciliazione ha precisato che l'autorizzazione ad agire sarebbe stata rilasciata soltanto dopo il pagamento dell'anticipo spese. Il 16 dicembre 2019, tuttavia, essa ha finalmente rilasciato l'autorizzazione ad agire, differendo la decisione sulle spese della procedura di conciliazione; essa ha, in altre parole, levato l'obbligo di versare un anticipo spese e la relativa comminatoria.
Contrariamente a quanto sostiene la ricorrente, la decisione di rifiuto del gratuito patrocinio per la procedura di conciliazione non le impedisce pertanto di introdurre la causa: l'autorizzazione ad agire le è infatti stata rilasciata.
L'esistenza di un pregiudizio irreparabile risultante dal diniego del gratuito patrocinio per la procedura di conciliazione non appare nemmeno manifesta: con l'inoltro della causa la ricorrente può infatti presentare un'altra istanza di assistenza giudiziaria per la procedura principale e inoltre potrà poi impugnare la decisione di rifiuto del gratuito patrocinio per la procedura di conciliazione con la decisione (finale) di merito (v. sentenza 5A_241/2017 del 18 luglio 2017 consid. 1.2 con rinvii).
6.
Da quanto precede risulta che il ricorso, rivolto contro una decisione che non è immediatamente impugnabile dinanzi al Tribunale federale, si rivela inammissibile. Con l'evasione del ricorso, l'istanza di concedere effetto sospensivo allo stesso diventa priva di oggetto.
La domanda di assistenza giudiziaria per la procedura federale, indipendentemente dalla pretesa indigenza della ricorrente, va respinta facendo difetto il requisito delle possibilità di esito favorevole dell'impugnativa (<ref-law>). Le spese giudiziarie sono pertanto poste a suo carico (<ref-law>). Non si giustifica assegnare spese ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è inammissibile.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 300.-- sono poste a carico della ricorrente.
4.
Comunicazione alle parti e alla III Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.