Sachverhalt:
A.
Die IV-Stelle des Kantons Zürich sprach A._ mit Verfügung vom 24. Mai 2013 rückwirkend ab Dezember 2010 eine Invalidenrente zu. Bereits am 16. April 2013 hatte diese sich beim Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich (Amt für ZL) zum Leistungsbezug angemeldet. In der Folge erliess das Amt für ZL diverse Verfügungen und Einspracheentscheide, u.a. den Einspracheentscheid vom 16. Januar 2018 betreffend den Leistungsanspruch für das Jahr 2016 sowie die unentgeltliche Rechtsverbeiständung/Parteientschädigung für das Einspracheverfahren, den Einspracheentscheid vom 30. Januar 2018 betreffend den Leistungsanspruch ab November 2015 sowie die unentgeltliche Rechtsverbeiständung/Parteientschädigung für das Einspracheverfahren, den Einspracheentscheid vom 22. Februar 2018 betreffend den Leistungsanspruch für das Jahr 2018 sowie die unentgeltliche Rechtsverbeiständung/Parteientschädigung für das Einspracheverfahren und den Einspracheentscheid vom 13. März 2018 betreffend die Auszahlung von Verzugszins.
B.
Gegen diese Einspracheentscheide erhob A._ getrennte Beschwerden beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Dieses vereinigte die Verfahren. Mit Entscheid vom 21. Juni 2019 hob es den Einspracheentscheid vom 16. Januar 2018 auf und wies die Sache zu neuer Berechnung und Verfügung unter Berücksichtigung zusätzlicher Schulden im Betrag von Fr. 500.35 an die Verwaltung zurück (Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 1). Den Einspracheentscheid vom 13. März 2018 hob es ebenfalls auf und wies die Angelegenheit zu neuer Berechnung an das Amt für ZL mit der Feststellung zurück, es sei auf dem Nachzahlungsbetrag ab 1. Dezember 2012 ein Verzugszins geschuldet (Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 2). Im Übrigen wies es die Beschwerden ab (Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 3).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, über die Höhe des Verzugszinses, der Parteientschädigungen bzw. die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für die Einspracheverfahren und die Parteientschädigung des kantonalen Beschwerdeverfahrens neu zu entscheiden. Es sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zuzusprechen. Bei Unterliegen sei auf Gerichtskosten zu verzichten, eventualiter sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Am 13. Dezember 2019 gelangte die Beschwerdeführerin mit einer weiteren Eingabe an das Bundesgericht.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit dem vorinstanzlichen Entscheid befand das kantonale Gericht über die Rechtmässigkeit von vier verschiedenen Einspracheentscheiden; es hat die Beschwerdeverfahren vereinigt. Damit beinhaltet der angefochtene Entscheid verschiedene Teilentscheide, die grundsätzlich selbständig anfechtbar sind (<ref-law>). Im Nachfolgenden wird - von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 4.1 S. 144 mit Hinweisen) -, insbesondere da die Vorinstanz die Angelegenheit teilweise auch an die Verwaltung zurückgewiesen hat, jeweils einzeln geprüft, inwiefern auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. wegen Verletzung von Bundesrecht erhoben werden (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig (willkürlich; <ref-ruling> E. 10.1 S. 445) ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. auch <ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
1.3. Die Eingabe vom 13. Dezember 2019 folgte nach Ablauf der Beschwerdefrist und somit verspätet; sie bleibt deshalb unberücksichtigt.
2.
Streitig ist u.a. der Anspruch auf Verzugszinsen.
2.1. Diesem Streitpunkt liegt eine längere Vorgeschichte zugrunde: Das Amt für ZL verfügte am 7./10. April 2014 über den Leistungsanspruch auf Ergänzungsleistungen, kantonale Beihilfen und Gemeindezuschüsse der Beschwerdeführerin. Es sprach ihr für den Zeitraum von Dezember 2010 bis April 2014 eine Nachzahlung von Fr. 44'474.- und ab Mai 2014 einen monatlichen Anspruch auf Fr. 1'544.- zu. Die dagegen erhobene Einsprache hiess die Verwaltung am 3. Juli 2014 teilweise gut ( vgl. auch Verfügung vom 2. Juli 2014). Die von der Beschwerdeführerin dagegen eingereichte Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich teilweise gut, hob den angefochtenen Einspracheentscheid auf und wies die Angelegenheit zu neuer Berechnung und Verfügung an die Verwaltung zurück (kantonaler Entscheid ZL.2014.00092 vom 7. September 2015). Betreffend den Anspruch auf kantonale Beihilfen vom 1. Dezember 2010 bis 31. März 2013 erhob die Beschwerdeführerin beim Bundesgericht Beschwerde, welche abgewiesen wurde (Urteil 8C_832/2015 vom 18. Januar 2016). In einem (separaten) Verfahren betreffend den Leistungsanspruch für das Jahr 2015 hob das kantonale Gericht den vom Amt für ZL in dieser Sache erlassenen Einspracheentscheid ebenfalls auf und wies die Angelegenheit zur Neuberechnung im Sinne der Erwägungen an die Verwaltung zurück (Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich ZL.2015.00023 vom 7. September 2015).
In der Folge berechnete die Verwaltung die Leistungen aufgrund der gerichtlichen Vorgaben neu und ermittelte einen Anspruch vom 1. Dezember 2010 bis 31. Mai 2016 von Fr. 94'948.-. Dem stellte das Amt für ZL die bereits ausbezahlten Leistungen von Fr. 87'992.- gegenüber und ermittelte mit Verfügung vom 23. Mai 2016 eine Nachzahlung für den Zeitraum von Dezember 2010 bis Mai 2016 von Fr. 6956.-. Zudem setzte es den laufenden monatlichen Anspruch ab Januar 2016 auf Fr. 1805.- fest. Gleichentags stellte es der Beschwerdeführerin eine Verfügung über die Verzugszinsen in Aussicht.
Mit Verfügung vom 29. Januar 2018 sprach die Verwaltung der Beschwerdeführerin auf den "Nachzahlungsbetrag" von Fr. 8672.- (Dezember 2010 bis Ende Juni 2016: Fr. 6956.- + Fr. 1805.- = Fr. 8761.- - Fr. 89.- [Differenz auf bereits ausgerichteten Leistungen für die Zeit von November 2015 bis Ende Januar 2016]) einen Verzugszins in der Höhe von 5 %, nämlich Fr. 542.- zu (15 Monate von Januar bis Ende Oktober 2015 und von Februar bis Ende Juni 2016). Die dagegen erhobene Einsprache wies die Verwaltung mit Einspracheentscheid vom 13. März 2018 ab.
2.2. Das kantonale Gericht stellte im Dispositiv des angefochtenen Entscheids fest, dass "auf dem Nachzahlungsbetrag ab 1. Dezember 2012 Verzugszins geschuldet ist". Zur Berechnung wies es die Sache an das Amt für ZL zurück.
Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe sich am 30. April 2013 (Gesuchseingang) bei der Verwaltung angemeldet. Mit Verfügung vom 10. April 2014 habe das Amt für ZL den monatlichen Anspruch ab Mai auf Fr. 1544.- und einen Nachzahlungsbetrag von Dezember 2010 bis April 2014 von Fr. 44'474.- festgehalten. Der Beschwerdeführerin sei keine Verletzung der Mitwirkungspflicht vorzuwerfen und auch während der hängigen Gerichtsverfahren sei ein Verzugszins geschuldet. Mit dem Urteil des Bundesgerichts vom 18. Januar 2016 (damit wurde ein rückwirkender Anspruch auf kantonale Beihilfen ab Dezember 2010 bis Ende März 2013 in Übereinstimmung mit dem kantonalen Entscheid ZL.2014.00092 vom 7. September 2015 verneint) habe festgestanden, dass ein Nachzahlungsanspruch bestehe, wobei die Höhe erst mit der Verfügung vom 23. Mai 2016 festgesetzt worden sei. Nachdem der Anspruch ab Dezember 2010 entstanden sei, sei die 24-monatige Frist im Sinne von <ref-law> Ende November 2012 abgelaufen, so dass Anspruch auf Verzugszinsen ab 1. Dezember 2012 bestehe. Das kantonale Gericht kam zum Schluss, die diesbezügliche Beschwerde sei gutzuheissen, der angefochtene Einspracheentscheid aufzuheben und die Sache zur entsprechenden Umsetzung an das Amt für ZL zurückzuweisen.
2.3.
2.3.1. Formell handelt es sich beim angefochtenen Entscheid um einen Rückweisungsentscheid. Solche gelten grundsätzlich als Zwischenentscheide, welche nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 oder 93 BGG beim Bundesgericht anfechtbar sind, auch wenn damit über materielle Teilaspekte der Streitsache entschieden wird. Dient der Rückweisungsentscheid nur noch der frankenmässigen Berechnung, handelt es sich um einen Endentscheid nach <ref-law> (vgl. statt vieler Urteil 9C_808/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.1).
2.3.2. Soweit die Beschwerdeführerin die Verzugszinspflicht in Nachachtung von <ref-law> auf den 1. April 2014 bzw. 1. April 2015 bestimmt haben will, so ist sie nicht beschwert, hat die Vorinstanz in grundsätzlicher Hinsicht doch einen Verzugszinsanspruch ab 1. Dezember 2012 bejaht. Einer Korrektur zu Lasten der beschwerdeführenden Person ist der vorinstanzliche Entscheid nicht zugänglich (vgl. Urteil 9C_749/2009 vom 12. November 2009 E. 2.3 in fine).
2.3.3. Im Weiteren beziehen sich die Rügen der Beschwerdeführerin hauptsächlich auf die konkrete Berechnung der Verzugszinsen. Diesbezüglich liegt (noch) kein Anfechtungsgegenstand vor, weshalb auf die Beschwerde auch insoweit nicht einzutreten ist.
2.3.4. Der Beschwerdeführerin ist zuzustimmen, dass das vorinstanzliche Dispositiv (E. 2.2) durchaus so verstanden werden kann, dass auf dem 2016 (summenmässig) noch ausstehenden Nachzahlungsbetrag als ungeteiltes Ganzes Verzugszins geschuldet ist. Aus den vorinstanzlichen Erwägungen, insbesondere der vorinstanzlichen E. 5.5, erschliesst sich solches aber nicht eindeutig. Darin werden Eckwerte festgestellt, ohne dass eine bestimmte Berechnungsformel vorgegeben wird. Der Klarheit halber rechtfertigt sich an dieser Stelle folgende Darlegung: Die Ergänzungsleistung wird - abgesehen von Anpassungen (<ref-law> und Art. 25 ELV) - grundsätzlich jährlich berechnet (Art. 3 Abs. 1 lit. a ELG und Art. 23 Abs. 1 ELV; <ref-ruling> E. 1.3 S. 258 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3b S. 40 f.). Mit Blick auf <ref-law>, wonach sich im Ergänzungsleistungsbereich der Betrag, welcher der Verzugszinspflicht unterliegt, nach der jeweiligen Fälligkeit der Leistung richtet, steht demnach fest, dass nicht der 2016 noch ausstehende Nachzahlungsbetrag (Fr. 6956.- bzw. Fr. 8672.- [vgl. E. 2.1 vorne]) als integrale Grösse in die Verzugszinsberechnung einzufliessen hat. Wenn die Vorinstanz - nachdem der Beschwerdeführerin keine Verletzung der Mitwirkungspflicht vorzuwerfen ist (vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 560 und E. 3.3 S. 561) - festhielt, es sei (grundsätzlich) ab 1. Dezember 2012 ein Verzugszins geschuldet, bedeutet dies nicht mehr und nicht weniger, als dass für alle in diesem Zeitpunkt noch nicht ausgerichteten EL-Leistungen die Verzugszinspflicht eintritt (vgl. <ref-ruling> E. 3.6 S. 13; vgl. auch Ueli Kieser, ATSG-Kommentar, 3. Aufl. 2015, N. 48 zu <ref-law>). Es wird Aufgabe der Verwaltung sein, die jeweiligen Fälligkeitstermine der übrigen Ansprüche (bis Juni 2016 [vgl. E. 2.1 vorne]) zu ermitteln und allfällige Ausstände nachvollziehbar aufzuzeigen. In diesem Sinne ist die vorinstanzliche Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 2 zu verdeutlichen.
3.
3.1. Sodann ist strittig, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie den Einspracheentscheid vom 22. Februar 2018 bestätigte, worin das am 27. September 2017 geborene Kind der Beschwerdeführerin in der Anspruchsberechnung für das Jahr 2018 noch nicht berücksichtigt wurde.
Die Beschwerdeführerin bringt vor allem vor, es sei unzulässig in einem Einspracheentscheid Abklärungsbedarf festzustellen. Ein solch kassatorischer Einspracheentscheid sei aufzuheben und die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen.
3.2.
3.2.1. Mit Einspracheentscheid vom 22. Februar 2018 entschied das Amt für ZL - zumindest gemäss gewählter Formulierung - instanzenabschliessend über den Leistungsanspruch der Beschwerdeführerin für das Jahr 2018. Es erfolgte eine teilweise Gutheissung der Einsprache, und zwar insoweit, als das anzurechnende bewegliche Vermögen im Sinne der Versicherten korrigiert wurde. Eine Aufhebung der vorausgegangenen Verfügung wegen weiteren Abklärungsbedarfs in Bezug auf den neugeborenen Sohn erfolgte nicht. Die Einsprache wurde in diesem Punkt - dem Wortlaut nach - klar abgewiesen. Die Verwaltung anerkannte indessen erwägungsweise, dass rückwirkend auf den Zeitpunkt der Geburt des Kindes eine neue Berechnung der Leistungen vorzunehmen sei, sobald die notwendigen Daten erhoben worden und vorhanden seien. Ob der Einspracheentscheid in diesem Punkt in Wirklichkeit (teil-) kassatorischer Natur ist (vgl. dazu <ref-ruling>) oder einfach auf einer vorläufigen Grundlage basiert, letzteres Vorgehen - mit "Rückgriff" auf <ref-law> (Revision formell rechtskräftig zugesprochener Dauerleistungen) - vor allem in der Invalidenversicherung anzutreffen ist (so beispielsweise Urteil 8C_162/2015 vom 30. September 2015 E. 3.1.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> nicht publizierte E. 3.2 des Urteils 9C_342/2008 vom 20. November 2008) und auch hinsichtlich der Ergänzungsleistung als periodische Dauerleistung (Urteil 9C_482/2009 vom 19. Februar 2010 E. 3.4.3) grundsätzlich denkbar wäre (vgl. Urteil 9C_480/2018 vom 30. Januar 2019 E. 2.3), kann offen bleiben:
3.2.2. In concreto hat die Verwaltung mit aktenkundigen Verfügungen vom 2. bzw. 14. August 2018 (ergänzend) über den Leistungsanspruch betreffend des Kindes und über die daraus resultierende Nachzahlung (neuer Anspruch./. bisheriger Anspruch) entschieden; dies nach Stellungnahme im Beschwerdeverfahren (vgl. Sachverhalt lit. B). Diesfalls ist es der Verwaltung verwehrt, weitere oder zusätzliche Abklärungen vorzunehmen, die den hängigen Streitgegenstand - die Ansprüche für das Jahr 2018 (vorinstanzliche E. 4.1 und 4.3) - betreffen und auf eine allfällige Änderung des angefochtenen Einspracheentscheids durch Erlass eines neuen abzielen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 5). Formellrechtlich sind diese pendente lite ergangenen Anpassungsverfügungen rechtsprechungsgemäss aufgrund des Devolutiveffekts nichtig, womit ihnen lediglich die Bedeutung eines Antrags an das Gericht zukommt (<ref-ruling> E. 2 S. 532; <ref-ruling> E. 4.2 S. 142 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 236 f.). Diesem Umstand wurde nicht Rechnung getragen und es gebietet sich, auf der Grundlage einer vervollständigten Aktenlage neu über den Leistungsanspruch ab Januar 2018 zu befinden. Da die Geburt des Kindes auch das Jahr 2017 berührt, über das noch kein Gericht befunden hat, rechtfertigt es sich, die Sache zum neuen Entscheid an die Verwaltung zurückzuweisen.
4.
Schliesslich ist der Anspruch auf Parteientschädigung bzw. unentgeltliche Rechtsverbeiständung für die hier im Fokus stehenden Einspracheverfahren (vgl. Sachverhalt lit. A) strittig. Die Beschwerdeführerin macht in diesem Zusammenhang in erster Linie eine Verletzung des rechtlichen Gehörs geltend.
Nachdem selbst bei einer schwerwiegenden Verletzung des rechtlichen Gehörs von einer Rückweisung der Sache an die Vorinstanz abgesehen werden kann, wenn und soweit die Rückweisung zu einem formalistischen Leerlauf und damit zu unnötigen Verzögerungen führen würde, die mit dem (der Anhörung gleichgestellten) Interesse der betroffenen Partei an einer beförderlichen Beurteilung der Sache nicht zu vereinbaren wären (<ref-ruling> E. 2.8.1 S. 226; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 204 f.; Urteil 4A_27/2018 vom 3. Januar 2019 E. 3.2.4), ist Folgendes festzuhalten: Dem Vertreter der Beschwerdeführerin wurde im Urteil 9C_877/2017 vom 28. Mai 2018 eröffnet, dass er mangels eines Anwaltspatents bzw. Erfüllung der persönlichen Voraussetzungen für einen Registereintrag im Sinne von Art. 8 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA) nicht als unentgeltlicher Vertreter im Sinne von <ref-law> bestellt werden kann (erwähntes Urteil E. 8.1.1) und der von ihm vertretenen Person aus diesem Grund bei Obsiegen auch kein Anspruch auf eine Parteientschädigung nach <ref-law> zusteht (erwähntes Urteil E. 8.2). Bei dieser eindeutigen und bekannten Rechtslage ist der vorinstanzliche Entscheid somit im Ergebnis (indem der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung für die Einspracheverfahren zugesprochen und ihr für diese Verfahren auch die unentgeltliche Rechtsverbeiständung verweigert wurde) zu schützen.
5.
Auf einen Schriftenwechsel wird aus Gründen der Prozessökonomie verzichtet, zumal der Verfahrensausgang einen formellen Hintergrund aufweist (<ref-law>; Urteil 9C_240/2019 vom 18. Juni 2019 E. 6 mit weiteren Hinweisen).
6.
Die Beschwerdeführerin obsiegt teilweise, weshalb sie Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung hat (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Honorar für das bundesgerichtliche Verfahren bestimmt sich nach dem Reglement vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (SR 173.110.210.3; nachfolgend: Reglement), welches vorliegend sinngemäss angewendet wird, da der Rechtsvertreter kein patentierter Anwalt ist (Art. 9 Reglement; Urteil 9C_527/2018 vom 25. Januar 2019 E. 4.2). Die Streitsache ist in rechtlicher Hinsicht nicht als besonders schwierig einzustufen. Zudem bestand dasselbe Vertretungsverhältnis bereits im Verwaltungs- und vorinstanzlichen Verfahren, womit der Rechtsvertreter mit der Angelegenheit bestens vertraut war. Aufgrund dessen erscheint eine reduzierte Entschädigung für den in der Sache notwendigen Aufwand in der Höhe von Fr. 700.- als angemessen. Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird umständehalber verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 2 des Entscheids des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 21. Juni 2019 wird im Sinne von E. 2.3.4 bestätigt. Dispositiv-Ziffer 1 Abs. 3 und Dispositiv-Ziffer 3 werden bezüglich des Einspracheentscheids der Beschwerdegegnerin vom 22. Februar 2018 aufgehoben. In dessen Aufhebung wird die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen, damit sie über den Leistungsanspruch ab 1. Januar 2018 neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 700.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 20. Dezember 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Möckli