Erwägungen:
1.
Mit Urteil 4A_348/2019 vom 18. Juli 2019 trat das Bundesgericht auf eine Beschwerde von A._ (Gesuchsteller) mangels hinreichender Begründung im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht ein.
A._ hat mit Eingabe vom 27. Juli 2019 die Revision dieses bundesgerichtlichen Urteils verlangt und am 5. August 2019 um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ersucht. Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Die Revision eines Entscheides des Bundesgerichts kann nur aufgrund der in den Art. 121 - 123 BGG abschliessend aufgezählten Gründe verlangt werden.
Rechtsschriften müssen die Begehren und deren Begründung mit Angabe der Beweismittel enthalten (<ref-law>), ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>).
In einem Revisionsgesuch ist dementsprechend unter Angabe der Beweismittel der Revisionsgrund im Einzelnen darzulegen. Dabei genügt es nicht, das Vorliegen eines solchen einfach zu behaupten; vielmehr muss dargetan werden, weshalb dieser gegeben und inwiefern gestützt darauf das Urteilsdispositiv abzuändern ist (so etwa Urteile des Bundesgerichts 4F_19/2014 vom 20. November 2014; 4F_14/2012 vom 11. Oktober 2012; 8F_10/2008 vom 11. August 2008).
3.
In seiner Eingabe vom 27. Juli 2019 macht der Gesuchsteller keinen Revisionsgrund geltend, geschweige denn legt er einen solchen im Einzelnen dar. Vielmehr kritisiert er frei das Urteil des Bundesgerichts 4A_348/2019 vom 18. Juli 2019, wobei er im Wesentlichen seine - vom Bundesgericht als unzureichend beurteilten - Rügen aus dem Beschwerdeverfahren 4A_348/2019 wiederholt. Das Revisionsgesuch ist somit nicht rechtsgenügend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten ist.
4.
Das Revisionsgesuch erweist sich als aussichtslos, weshalb das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen ist (siehe <ref-law>). Dem Verfahrensausgang entsprechend wird der Gesuchsteller gemäss <ref-law> kostenpflichtig.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. August 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz