Sachverhalt:
A.
Am 6. August 2018 verfasste Dr. B._ im Auftrag einer Taggeldversicherung ein forensisch-psychiatrisches Gutachten über einen Patienten von Dr. A._. Dabei stellte Dr. B._ eine andere Diagnose als Dr. A._. In einem in der Folge verfassten Schreiben hielt er fest, Dr. A._ sei "Teil des Problems" und bei dessen Diagnosen handle es sich um "Gefälligkeitsdiagnosen". Daraufhin erstattete Dr. A._ Strafanzeige gegen Dr. B._ wegen Verleumdung. Mit Schreiben vom 19. Februar 2020 lehnte Dr. B._ einen von der Staatsanwaltschaft unterbreiteten Vergleichsvorschlag ab, woraufhin es zu einer Verfahrenseinstellung kam. Auf die dagegen erhobene Beschwerde trat die Anklagekammer mit Entscheid vom 3. November 2020 nicht ein.
Am 29. September 2020 stellte Dr. A._ einen weiteren Strafantrag gegen Dr. B._ wegen Verdachts auf Ehrverletzung. Er warf Dr. B._ vor, im Schreiben vom 19. Februar 2020 sei erneut von "Gefälligkeitsdiagnosen" und davon die Rede gewesen, dass Dr. A._ "Teil des Problems" sei.
B.
Das Untersuchungsamt Altstätten erliess am 28. Dezember 2020 eine Nichtanhandnahmeverfügung betreffend die von Dr. A._ am 29. September 2020 erstattete Strafanzeige gegen Dr. B._ wegen Verdachts der üblen Nachrede beziehungsweise Verleumdung.
C.
Die Anklagekammer des Kantons St. Gallen wies die von Dr. A._ gegen die Nichtanhandnahmeverfügung erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 31. März 2021 ab.
D.
Dr. A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Entscheid der Anklagekammer sei aufzuheben und die Sache sei zu neuer Beurteilung an diese zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG ist der Privatkläger zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann. Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat der Privatkläger nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden eine Zivilforderung geltend gemacht. Indessen muss er in jedem Fall im Verfahren vor Bundesgericht darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen Begründungsanforderungen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderungen es geht (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
Als Zivilansprüche im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. In erster Linie handelt es sich um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung nach <ref-law>. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus öffentlichem Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG.
Nach <ref-law> ist eine Genugtuung nur geschuldet, sofern die Schwere der Verletzung dies rechtfertigt. Der Eingriff muss aussergewöhnlich schwer sein und in seinen Auswirkungen das Mass einer Aufregung oder einer alltäglichen Sorge klar übersteigen (Urteile 6B_1105/2021 vom 11. Oktober 2021 E. 3; 6B_559/2021 vom 29. Juni 2021 E. 1.4; 6B_326/2021 vom 19. April 2021 E. 2.1; je mit Hinweisen). Leichte Persönlichkeitsverletzungen, wie beispielsweise unbedeutende Ehrverletzungen, rechtfertigen keine finanzielle Genugtuung (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.). Inwiefern die Persönlichkeitsverletzung objektiv und subjektiv schwer wiegt, ist in der Beschwerde an das Bundesgericht darzulegen (Urteile 6B_559/2021 vom 29. Juni 2021 E. 1.4; 6B_736/2020 vom 28. Mai 2021 E. 1.2; je mit Hinweisen).
1.2. Der Beschwerdeführer weist darauf hin, er fühle sich durch die Rechtsprechung des Kantons St. Gallen tief verletzt. Damit legt er nicht hinreichend dar, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Dass er eine genugtuungsbegründende Persönlichkeitsverletzung erlitten hat, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf und ist angesichts des angezeigten Sachverhalts auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Ferner äussert sich der Beschwerdeführer nicht dazu, dass und weshalb allfällige Ansprüche gegen den beschuldigten Sachverständigen zivilrechtlicher Natur sein sollen. Der beschuldigte Sachverständige wurde bei seiner Tätigkeit als Ersteller des von der kantonalen IV-Stelle in Auftrag gegebenen medizinischen Gutachtens mit einer öffentlich-rechtlichen Aufgabe betraut und hatte damit eine beamtenähnliche Stellung inne (vgl. <ref-ruling> E. 3.3; Urteile 6B_151/2020 vom 23. April 2020 E. 5; 1C_614/2015 vom 5. Februar 2016 E. 3.1; je mit Hinweisen; siehe auch Urteil 1C_506/2019 vom 28. Februar 2020 E. 2). Privatrechtliche Auswirkungen aufgrund des Vorwurfs und des Adressaten der Strafanzeige ergeben sich insofern nicht ohne Weiteres aus den Akten und der Beschwerdeführer äussert sich nicht dazu, inwiefern von einer zivil- und nicht öffentlich-rechtlichen Natur allfälliger Ansprüche auszugehen wäre. Auf die Beschwerde kann mangels hinreichender Begründung der Legitimation nicht eingetreten werden.
2.
Formelle Rügen, zu deren Geltendmachung der Beschwerdeführer unbesehen der fehlenden Legitimation in der Sache befugt wäre (sog. "Star-Praxis"; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen), erhebt er nicht.
3.
Auf die Beschwerde ist im Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner 2 steht keine Parteientschädigung zu, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. November 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Bianchi