Faits :
A.
L'employeur de A._ avait contracté pour cette dernière une assurance d'indemnités journalières en cas de maladie auprès de B._ SA. Le 25 janvier 2016, il a annoncé à cette société d'assurances que A._ était en incapacité de travail totale depuis le 21 janvier 2016. L'incapacité a tout d'abord été attestée par le Dr M._, spécialiste FMH en médecine interne générale, puis à compter du 15 mars 2016 par le Dr N._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Ces derniers ont, dans leurs rapports respectifs, diagnostiqué un état anxio-dépressif sévère.
La société d'assurances a chargé la Clinique X._ d'établir une expertise qui a été effectuée par la Dresse Y._, psychiatre auprès de cet établissement. Le 18 juin 2016, ce médecin a indiqué à la société d'assurances que A._ (ci-après: l'assurée) disposait d'une pleine capacité de travail. Elle a diagnostiqué un trouble de l'adaptation avec une prédominance de la perturbation d'autres émotions, en cours de rémission.
La société d'assurances, qui avait commencé à verser des indemnités journalières dès le 21 mars 2016, a interrompu ses prestations après le 21 juin 2016. Par courrier du 20 juillet 2016, elle a informé l'assurée que, vu le rapport de la Dresse Y._, les conditions pour la prise en charge de son cas n'étaient plus remplies.
Le Dr M._ a attesté d'une totale incapacité de travail pour une durée d'un mois dès le 28 juin 2016 en raison de douleurs lombaires et cervicales, avec des difficultés à se mobiliser. Mandaté par la compagnie d'assurances, le Dr Z._, spécialiste en médecine interne et pneumologie auprès de la Clinique X._, a pour sa part retenu une incapacité de travail de dix jours pour cet épisode de cervico-dorso-lombalgies, tout en soulignant que l'examen clinique était strictement normal.
Le Dr N._, dans un rapport du 9 août 2016, a confirmé son premier diagnostic, non sans relever une péjoration de l'état de l'assurée. Il l'a ensuite complété le 19 octobre 2016 en contestant les conclusions de la Dresse Y._.
Le Dr M._, dans un avis du 28 octobre 2016 faisant suite à un questionnaire de la société d'assurances, a également confirmé son diagnostic et répété que l'assurée était en totale incapacité de travail. Il a joint un rapport d'imagerie par résonance magnétique.
B.
B.a. Le 15 novembre 2016, l'assurée a saisi la Cour de justice genevoise d'une demande contre la compagnie d'assurances. En dernier lieu, elle a conclu au paiement de 206'770 fr. 20 avec intérêts à 5% l'an dès le 20 mars 2017, date moyenne.
La société d'assurances a conclu au rejet de la demande.
Le 29 mars 2017, l'assurée a informé la Cour que l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (OAI) lui avait reconnu une incapacité de travail totale dès le 1er janvier 2016. Une rente entière d'invalidité devait lui être octroyée dès le 1er janvier 2017.
La Cour de justice a chargé la Dresse E._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, de réaliser une expertise judiciaire. Dans un rapport du 8 octobre 2018, cette dernière a retenu les diagnostics de dépression sévère sans symptômes psychotiques et de personnalité anankastique. Elle a notamment procédé à un examen neuropsychologique. Elle s'est ralliée à l'avis du Dr N._ quant à la capacité de travail de l'assurée, jugeant que celle-ci avait été réduite à néant depuis le mois de janvier 2016. Elle a également exposé les raisons pour lesquelles les conclusions de la Dresse Y._ ne pouvaient à son sens être suivies.
La société d'assurances a indiqué qu'elle se ralliait aux conclusions de l'expertise judiciaire et reconnaissait ainsi le droit de l'assurée aux indemnités journalières querellées.
B.b. Par arrêt du 20 décembre 2018, la Cour de justice a admis la demande. Elle a retenu que l'assurée était incapable de travailler dès le 21 janvier 2016 et en tout cas jusqu'au 19 janvier 2018, terme de la couverture de 730 jours prévue par l'assurance. Elle a condamné la société d'assurances à verser un montant de 170'885 fr. à l'assurée, portant intérêts dès le 6 novembre 2018. Les motifs qui l'ont guidée seront exposés ci-après dans la mesure utile.
C.
L'assurée a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile à l'encontre de cet arrêt. Elle conclut à sa réforme en ce sens que l'intimée soit condamnée à lui verser des intérêts à 5% l'an à compter du 19 novembre 2016 sur le montant de 48'040 fr. 80, respectivement à compter du 20 juin 2017 sur le montant de 122'844 fr. 20.
La société d'assurances a requis le rejet du recours. L'autorité précédente a renoncé à se déterminer. Chaque partie a encore successivement déposé des observations.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte sur une obligation de prestation résultant d'une assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale, régie par la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1; cf. art. 2 al. 2 de la loi fédérale sur la surveillance de l'assurance-maladie sociale [LSAMal; RS 832.12]). Ce type de conflit ressortit à la matière civile au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 4A_228/2019 du 2 septembre 2019 consid. 1).
Au surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue par la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise, statuant en qualité d'instance cantonale unique au sens de l'<ref-law> et de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.1). Il s'ensuit que le présent recours est ouvert sans égard à la valeur litigieuse (<ref-law>). Interjeté par la demanderesse qui a succombé partiellement dans ses conclusions (<ref-law>), déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF) et la forme (<ref-law>) requis par la loi, le recours est de ce point de vue recevable; l'examen des griefs particuliers est réservé.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.3). Il n'est cependant limité ni par les arguments soulevés par le recourant, ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut ainsi admettre un recours pour un autre motif que ceux invoqués par le justiciable, ou le rejeter en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 2 p. 89).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). «Manifestement inexactes» signifie ici «arbitraires» (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références).
La société d'assurances requiert, dans sa duplique, que l'état de fait soit complété, au motif que la cour cantonale aurait arbitrairement omis deux éléments de fait. Or, la duplique a essentiellement pour but de répondre à d'éventuels nouveaux arguments décisifs que contiendrait la réplique. Elle ne donne en aucun cas à l'intimée l'occasion de présenter de nouveaux arguments qui auraient déjà pu être avancés dans la réponse (cf. BERNARD CORBOZ, in COMMENTAIRE DE LA LTF, 2E ÉD. 2014, nos 45 s. ad <ref-law>). Le grief est dès lors irrecevable.
3.
A ce stade, le litige concerne exclusivement le dies a quo de l'intérêt moratoire afférent à la somme que la société d'assurances a été condamnée à verser (170'885 fr.), et qu'elle ne conteste plus.
3.1. Devant l'autorité précédente, l'assurée avait indiqué comme point de départ le 20 mars 2017 (échéance moyenne). Les juges cantonaux ont retenu le 6 novembre 2018 en articulant les raisons suivantes: c'était seulement à réception du rapport d'expertise judiciaire que la société d'assurances avait pu se convaincre du droit de l'assurée à toucher des indemnités journalières au-delà du 21 juin 2016 - date à laquelle les versements avaient été interrompus. Après cette date, différents certificats d'arrêt de travail avaient été établis; toutefois, leurs conclusions étaient diamétralement opposées à celles des experts de la Clinique X._, à savoir la Dresse Y._ et le Dr Z._. La société d'assurances pouvait ainsi concevoir des doutes sur l'étendue de ses obligations et ce, jusqu'à l'obtention du rapport d'expertise judiciaire, dont on pouvait admettre qu'il avait été reçu le 9 octobre 2018. La créance était échue quatre semaines plus tard par l'effet de l'<ref-law>, soit le 6 novembre 2018.
3.2. L'assurée dénonce une violation des art. 41 et 100 LCA, ainsi que des art. 102 à 104 CO. La cour cantonale ne serait pas fondée à retenir la date correspondant à la prise de connaissance par l'intimée du rapport d'expertise judiciaire, celui-ci ne faisant que confirmer les diagnostics qu'elle avait déjà invoqués à l'appui de sa demande en paiement. S'agissant des indemnités journalières dues pour la période du 22 juin au 15 novembre 2016 (date du dépôt de la demande en justice), qui totalisent 48'040 fr. 80, le point de départ de l'intérêt moratoire correspondrait au lendemain de la réception de ladite demande, soit le 19 novembre 2016. Celle-ci vaudrait en effet interpellation au sens de l'<ref-law>, applicable par renvoi de l'<ref-law>. Quant aux indemnités journalières afférentes à la période du 16 novembre 2016 au 19 janvier 2018 totalisant 122'844 fr. 20, l'intérêt moratoire devrait selon elle être calculé à compter d'une date moyenne fixée au 20 juin 2017.
3.3. Avant tout examen au fond, il faut s'interroger sur la recevabilité des conclusions au regard de l'<ref-law>, qui proscrit les conclusions nouvelles.
Dans leur dernière teneur, les conclusions prises devant l'autorité précédente après réception du rapport d'expertise judiciaire tendaient au versement de 206'770 fr. 20 avec intérêts à 5% l'an dès le 20 mars 2017. Désormais, la recourante requiert le paiement de 48'040 fr. 80 avec intérêts à 5% l'an dès le 19 novembre 2016 et de 122'844 fr. 20 plus intérêts à 5% l'an dès le 20 juin 2017. Pour s'assurer qu'il n'y a pas d'accroissement des conclusions, il faut comparer le montant en capital augmenté des intérêts tel que réclamé devant la cour cantonale d'une part, avec le montant en capital augmenté des intérêts tel qu'il est désormais revendiqué d'autre part (cf. arrêt 4P.322/2005 du 27 mars 2006 consid. 3.2.2, in RSPC 2006 p. 253). La recourante réclame actuellement une somme en capital moindre (170'885 fr., soit une différence de - 35'885 fr. 20), dont une partie (48'040 fr. 80) générerait un intérêt moratoire sur un laps de temps un peu plus long, le dies a quo étant reculé de quelques mois (19 novembre 2016 au lieu du 20 mars 2017); le dies a quo serait en revanche avancé au 20 juin 2017 s'agissant de l'intérêt afférent au solde (122'844 fr. 20). Il est patent que de telles conclusions s'inscrivent en-deçà des limites tracées par les précédentes.
4.
Cela étant, il s'agit d'examiner si l'autorité précédente a violé le droit fédéral en fixant au 6 novembre 2018 le dies a quo de l'intérêt moratoire.
4.1. Aux termes de l'<ref-law>, la créance qui résulte du contrat d'assurance est échue quatre semaines après le moment où l'assureur a reçu les renseignements de nature à lui permettre de se convaincre du bien-fondé de la prétention. Les "renseignements" au sens de l'<ref-law> visent des questions de fait, qui doivent permettre à l'assureur de se convaincre du bien-fondé de la prétention de l'assuré (cf. l'intitulé de l'<ref-law>). Ils correspondent aux devoirs de déclaration et de renseignement institués par les art. 38 et 39 LCA (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 512; arrêts 4A_489/2017 du 26 mars 2018 consid. 4.3; 4A_122/2014 du 16 décembre 2014 consid. 3.5; ROLAND BREHM, Le contrat d'assurance RC, 1997, nos 512 et 515 s.). Le délai de délibération de quatre semaines laissé à l'assureur ne court pas tant que l'ayant droit n'a pas suffisamment fondé sa prétention; tel est par exemple le cas lorsque, dans l'assurance contre les accidents, l'état de santé véritable de l'ayant droit n'est pas éclairci parce que ce dernier empêche le travail des médecins (ARRÊT 4A_307/2008 DU 27 NOVEMBRE 2008 CONSID. 6.3.1; JÜRG NEF, in Basler Kommentar, Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, 2001, n° 15 ad <ref-law>).
Le débiteur d'une obligation exigible est mis en demeure par l'interpellation du créancier (<ref-law> en lien avec l'<ref-law>). L'intérêt moratoire de 5% l'an (<ref-law>) est dû à partir du jour suivant celui où le débiteur a reçu l'interpellation, ou, en cas d'ouverture d'une action en justice, dès le lendemain du jour où la demande en justice a été notifiée au débiteur (arrêt 5C.177/2005 du 25 février 2006 consid. 6.1). Toutefois, lorsque l'assureur refuse définitivement, à tort, d'allouer des prestations, on admet, par analogie avec l'<ref-law>, qu'une interpellation n'est pas nécessaire; l'exigibilité et la demeure sont alors immédiatement réalisées (arrêt 4A_16/2017 du 8 mai 2017 consid. 3.1; arrêt précité 4A_122/2014 consid. 3.5; arrêts 4A_206/2007 du 29 octobre 2007 consid. 6.3; 5C.18/2006 du 18 octobre 2006 consid. 6.1 in fine; cf. NEF, op. cit., n° 20 in fine ad <ref-law>, et GROLIMUND/VILLARD, in Basler Kommentar, Nachführungsband 2012, n° 20 ad <ref-law>).
4.2. La recourante fait valoir que les rapports établis par le Dr N._ les 27 avril 2016, 9 août 2016 et 19 octobre 2016 fournissaient tous les renseignements nécessaires à la société d'assurances pour qu'elle puisse se convaincre du bien-fondé de ses prétentions. L'expertise judiciaire de la Dresse E._ ne faisait que confirmer le diagnostic déjà posé par ce médecin. La société d'assurances était ainsi en demeure bien avant d'en prendre connaissance. Celle-ci objecte que seule l'experte judiciaire aurait mis en oeuvre un examen neuropsychologique révélant " une atteinte de l'attention, une altération de la mémoire à court terme, des vitesses de traitement et exécutives diminuées, une flexibilité mentale à la limite inférieure de la norme, ainsi qu'une fatigabilité et une thymie très basse " de l'assurée. Il s'agirait-là d'éléments nouveaux qui ont emporté son adhésion.
4.3. Est donc litigieux le moment à compter duquel l'assureur a reçu les renseignements de nature à lui permettre de se convaincre du bien-fondé des prétentions de l'assurée.
Les rapports des Dr M._ et Dr N._ attestaient d'un état anxio-dépressif sévère et d'une incapacité de travail totale. Qui plus est, dans son exposé du 27 avril 2016, le Dr N._ a effectué une anamnèse précise du contexte dans lequel a surgi l'état maladif, décrit les symptômes et le traitement en cours. L'assurée s'est soumise sans discuter à l' "expertise" requise par la société d'assurances en juin 2016. Ses médecins traitants ont encore confirmé leur premier diagnostic et l'incapacité de travail totale. Force est d'admettre que ce faisant, l'assurée s'est acquittée à satisfaction du devoir de transmettre à la compagnie d'assurances tous les renseignements de nature à lui permettre de se convaincre du bien-fondé de ses prétentions. Si cette dernière a choisi de mandater la Dresse Y._ afin de réaliser un contre-rapport, on ignore tout des motifs ayant déterminé ce choix. En particulier, il n'apparaît pas que les rapports produits par l'assurée aient été incomplets ou contradictoires, que l'anamnèse fondée sur les renseignements de l'intéressée ait été lacunaire ou inexacte. On ne tiendra pas rigueur à la société d'assurances de s'être tournée vers un établissement auquel de graves manquements ont ensuite été reprochés (cf. <ref-ruling> consid. 2.3), puisque la médiatisation de cette affaire est intervenue ultérieurement. Il n'en demeure pas moins que l' "expertise" de la Dresse Y._ banalisait voire occultait certains signes cliniques et anamnésiques, selon l'experte judiciaire, reproches qui avaient déjà été formulés par le Dr N._. La compagnie d'assurances s'est du reste enferrée dans sa position même après que l'OAI eut décidé d'octroyer une rente AI. Or, l'assureur ne peut pas retarder à loisir l'exigibilité de la créance en prétextant qu'il n'est lui-même pas convaincu du bien-fondé des prétentions émises par l'assuré (cf. arrêt 5C.97/1989 du 22 novembre 1990 consid. 4, in RBA XVIII no 7 p. 35 litt. b; cf. ROELLI/KELLER, Kommentar zum Schweizerischen Bundesgesetz über den Versicherungsvertrag, t. I, 2e éd. 1968, p. 588). On ne saurait suivre la thèse de la société d'assurances selon laquelle l'expertise judiciaire aurait apporté des éléments nouveaux qui seuls lui auraient permis d'acquérir une conviction. En effet, la Dresse E._ n'a fait que confirmer le diagnostic du Dr N._. Certes, elle a étayé ce diagnostic par les résultats d'un examen neuropsychologique. Toutefois, si elle considérait vraiment que la réalisation d'un tel examen était cruciale, la société d'assurances aurait dû le requérir d'emblée, ce qu'elle n'a pas fait (cf. NEF, op. cit., n° 13 ad <ref-law>; ROELLI/KELLER, op. cit., p. 566 in fine et s.). Elle a beau jeu, a posteriori, d'invoquer qu'il serait prétendument incontournable, de sorte qu'elle ne saurait être suivie sur ce point. Partant, dans cette constellation particulière, l'autorité précédente ne pouvait pas inférer que les renseignements propres à convaincre du bien-fondé de la prétention auraient été obtenus à réception seulement du rapport d'expertise judiciaire en octobre 2018. Il faut bien plutôt retenir que la société d'assurances était déjà en demeure avant d'en prendre connaissance.
S'agissant des indemnités journalières afférentes à la période du 22 juin au 15 novembre 2016, la recourante estime que le dies a quo des intérêts moratoires correspond au lendemain de la réception par la société d'assurances de la demande en justice, soit le 19 novembre 2016. L'on pourrait se demander s'ils ne courent pas à partir d'une date antérieure, mais ce débat n'a pas lieu d'être puisque le Tribunal fédéral est lié par les conclusions de la recourante.
Quant aux indemnités journalières relatives à la période du 16 novembre 2016 au 19 janvier 2018, la recourante conclut au versement d'intérêts moratoires à compter d'une date moyenne, soit le 20 juin 2017. La société d'assurances ne s'y oppose pas en soi, puisque son unique argument tient au rapport d'expertise judiciaire qui, seul, lui aurait permis de se forger une conviction. Cette date peut donc également être retenue.
5.
En définitive, le recours doit être admis et l'arrêt attaqué réformé, en ce sens que la société d'assurances est condamnée à payer à l'assurée des intérêts à 5 % l'an sur la somme de 48'040 fr. 80 dès le 19 novembre 2016 et des intérêts à 5 % l'an sur le montant de 122'844 fr. 20 dès le 20 juin 2017. Il n'est pas nécessaire de renvoyer la cause à l'autorité précédente, l'arrêt attaqué ayant statué sur les frais lato sensuen considérant la gratuité de la procédure (art. 114 let. e CPC) et le fait que l'assurée avait obtenu gain de cause pour l'essentiel.
Dans la présente procédure, l'intimée qui succombe supportera les frais judiciaires et versera à son adverse partie une indemnité de dépens fixée à 1'000 fr., vu les circonstances d'espèce (recours rédigé par une association de défense des assurés, réplique établie par une avocate) (art. 66 al. 1, art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et le ch. 3 du dispositif de l'arrêt attaqué est réformé dans le sens suivant:
B._ SA est condamnée à payer à A._ les montants de 48'040 fr. 80 avec intérêts à 5% l'an dès le 19 novembre 2016 et de 122'844 fr. 20 avec intérêts à 5% l'an dès le 20 juin 2017.
L'arrêt querellé est confirmé pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera à la recourante une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 13 janvier 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Kiss
La greffière: Monti