Fatti:
A.
Dal 1992 al 2010 A._ ha conferito alla B._SA, rappresentata da C._, diversi mandati fiduciari per la costituzione e l'amministrazione di numerose società e per l'intestazione di azioni, di un conto corrente bancario e di un'automobile. I rapporti contrattuali sono cessati tra ottobre 2011 e marzo 2012.
B.
Il 19 luglio 2012 la B._SA ha convenuto in giudizio A._ davanti alla Pretura di Mendrisio Sud chiedendo che fosse condannato a pagare CHF 38'803.85, EUR 142'173.10, USD 21'623.75 e GBP 176'154.60; importi corrispondenti ai saldi di numerose fatture emesse a copertura delle proprie prestazioni.
A._ si è opposto alla petizione e il 24 luglio 2012 ha avviato a sua volta un'azione di rendiconto contro la B._SAed C._, in seguito dimesso dalla lite, chiedendo la presentazione di un resoconto scritto e una posizione di dare/avere per determinate società nonché un riassunto di tutte le prestazioni effettuate, da lei o da terzi, con il dettaglio di ore e tariffe. La B._SA si è opposta integralmente.
Le due cause sono state congiunte.
C.
Il Pretore si è pronunciato con sentenza del 14 febbraio 2018. Ha accolto parzialmente l'azione di A._, giudicando fondata la domanda di rendiconto nella misura in cui non era divenuta priva d'oggetto. Di quest'azione di rendiconto non si dirà di più, poiché non è oggetto del ricorso al Tribunale federale.
Anche la petizione della B._SAè stata accolta parzialmente, con la condanna di A._ a pagare CHF 28'727.--, EUR 69'306.75, USD 12'021.35 e GBP 118'330.45.
D.
Entrambe le parti si sono appellate al Tribunale di appello ticinese. La B._SA (detta in seguito attrice) ha chiesto che la sua petizione fosse accolta integralmente. A._ (convenuto) ha domandato in via principale l'annullamento della decisione del Pretore sulla petizione della controparte e il rinvio della causa per l'assunzione di altre prove e nuovo giudizio; subordinatamente di essere condannato a pagare soltanto CHF 5'719.57, EUR 6'575.-- e USD 3'305.39.
Con sentenza del 4 novembre 2019 la II Camera civile del Tribunale di appello ticinese ha accolto parzialmente l'appello della B._SA e condannato A._ a pagare CHF 28'727.--, EUR 69'306.75, USD 10'852.25 e GBP 122'226.50. Essa ha invece respinto l'appello di A._.
E.
A._ insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 9 dicembre 2019.Riformula le domande principale e subordinata presentate davanti all'autorità cantonale. Con risposta 30 gennaio 2020 la B._SA propone di respingere il ricorso nella misura in cui fosse ricevibile. Le parti hanno replicato e duplicato rispettivamente il 17 e 26 febbraio 2020. L'autorità cantonale non ha preso posizione.
La domanda di conferimento dell 'effetto sospensivo al ricorsoè statarespinta con decreto presidenziale del 19 febbraio 2020.

Diritto:
1.
Il ricorso in materia civile è ammissibile. È presentato tempestivamente dalla parte soccombente nella procedura cantonale (art. 100 cpv. 1 e 76 cpv. 1 lett. a LTF) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile con valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (art. 72 cpv. 1 e 74 cpv. 1 lett. b LTF).
2.
Il ricorrente contesta prevalentemente gli accertamenti di fatto della Corte d'appello. È pertanto opportuno ricordare le regole di motivazione che vigono in quest'ambito.
2.1. Di principio il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sugli accertamenti di fatto svolti dall'autorità inferiore (<ref-law>), che sono vincolanti. Può scostarsene o completarli solo se sono stati effettuati in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> o in modo manifestamente inesatto (<ref-law>). Il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (<ref-law>).
2.2. Se rimprovera all'autorità cantonale un accertamento dei fatti manifestamente inesatto - arbitrario (<ref-law>) - il ricorrente deve motivare la censura conformemente alle esigenze rigorose poste dall'<ref-law>. Deve indicare chiaramente i diritti costituzionali che si pretendono violati e precisare in cosa consiste la violazione. Non basta opporre il proprio punto di vista alle conclusioni del giudizio impugnato; il Tribunale federale non esamina le critiche di carattere appellatorio. Siccome il giudice cantonale fruisce di un grande potere discrezionale nel campo dell'apprezzamento delle prove (e dell'accertamento dei fatti in genere), chi invoca l'arbitrio deve dimostrare che la sentenza impugnata ignora il senso e la portata di un mezzo di prova preciso, omette senza ragioni valide di tenere conto di una prova importante suscettibile di modificare l'esito della lite, oppure ammette o nega un fatto ponendosi in aperto contrasto con gli atti di causa o interpretandoli in modo insostenibile (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 1.3.1).
2.3. In applicazione di queste regole il Tribunale federale non può tenere conto dell'intero capitolo III "In fatto", nel quale il ricorrente riassume la vicenda basandosi genericamente su quelli che ritiene i "dati acquisiti", i fatti "accertati in istruttoria" o confermati dal perito, che non risultano dal giudizio impugnato (l'opponente evidenzia con ragione le carenze dell'atto di ricorso sotto questo profilo, ma commette il medesimo errore, disseminando a sua volta la risposta di riferimenti agli atti d'istruttoria). Le critiche ai fatti che il ricorrente formula nel successivo capitolo IV "In diritto" possono essere esaminate soltanto nella misura in cui sono motivate correttamente.
3.
La prima censura ha per oggetto la domanda, proposta dal convenuto con l'appello, di rinviare la causa al Pretore affinché assumesse alcune prove (l'edizione di documenti relativi alla D._SA e l'audizione dei dipendenti di tale società).
3.1. La Corte d'appello ha dichiarato la domanda irricevibile in applicazione dell'<ref-law>, poiché il convenuto non si era confrontato con gli argomenti esposti nell'ordinanza sulle prove del Pretore emanata il 7 marzo 2014. Il primo giudice, ha precisato la Corte cantonale, si era espresso con due motivazioni alternative e indipendenti: d'un lato aveva rimproverato al convenuto di avere "disatteso il suo onere di porre il giudice nella possibilità di determinare la pertinenza di un mezzo di prova"; dall'altro aveva ritenuto che quella prova fosse "sproporzionata, dal momento che ogni fattispecie potrà essere chiarita già mediante le audizioni testimoniali e l'interrogatorio delle parti". A mente dell'autorità cantonale il convenuto non "aveva spiegato per quali ragioni di fatto e di diritto" tali argomenti fossero "errati o comunque non condivisibili".
3.2. Il ricorrente obietta di essersi confrontato con le motivazioni del Pretore nei punti 22 e 23 dell'atto di appello, nei quali aveva spiegato l'importanza delle prove in questione in relazione con le altre risultanze istruttorie, e si diffonde sugli scopi perseguiti con la richiesta di prove; osserva che il Pretore avrebbe potuto semplicemente rimandarne l'assunzione, magari in più fasi successive. Il ricorrente conclude che le "valutazioni pretorili e il loro avallo e conferma nella sentenza impugnata costituiscono un errato accertamento dei fatti e un'errata valutazione delle risultanze di istruttoria" che "portano di fatto ad un'illecita inversione del principio di cui all'art. 8 CCS".
3.3. Il ricorrente sembra non avere inteso che la Corte cantonale non ha respinto la domanda di assunzione delle prove per motivi di merito; non si è espressa sulla loro rilevanza. Ha rimproverato al convenuto un'omissione formale, un difetto di motivazione per non avere contestato correttamente le due argomentazioni alternative e indipendenti della sentenza di primo grado.
Orbene, nei punti indicati dell'atto d'appello il convenuto spiegava la "importanza fondamentale e rilevante ai fini del giudizio" delle prove rifiutate, che avrebbero permesso di chiarire i dubbi e le contraddizioni rima ste, ma senza dimostrare né sostenere di averlo fatto già davanti al Pretore. Per di più, non prendeva affatto posizione sull'argomento della sproporzione dell'assunzione di prove, la seconda delle motivazioni del Pretore menzionate nella sentenza impugnata.
La Corte ticinese ha pertanto applicato correttamente la giurisprudenza - che vige anche davanti al Tribunale federale (<ref-ruling> consid. 2.4; <ref-ruling> consid. 3.4) - secondo la quale l'impugnativa volta contro una sentenza o una parte di essa che si fonda su due o più motivazioni alternative e indipendenti può essere accolta soltanto se sono ammissibili e fondate le critiche volte contro ognuna delle motivazioni.
3.4. La censura, nella misura in cui potrebbe essere ammissibile, è pertanto infondata.
4.
Una seconda serie di censure verte sul numero di ore fatturate dall'attrice per prestazioni supplementari.
4.1. La Corte cantonale ha ricordato che il Pretore aveva ritenuto insufficienti le contestazioni generiche mosse a tale riguardo dal convenuto, ma aveva aggiuntoche, in ogni caso, le contestazioni erano infondate, poiché le ore esposte erano state provate dai dettagli risultanti dai documenti prodotti, confermati dalle deposizioni di testimoni e anche dalle considerazioni del perito giudiziario.
I giudici cantonali hanno stabilito che il convenuto non è riuscito a dimostrare l'infondatezza delle due motivazioni del Pretore, anche queste alternative e indipendenti, per cui ha dichiarato irricevibili le censure d'appello. Essi hanno confermato il buon fondamento della prima argomentazione del Pretore, osservando che, mentre l'attrice aveva adempiuto regolarmente il proprio onere di allegazione mediante la produzione di fatture (doc. OO) e di una tabella riassuntiva (doc. PP), il convenuto non aveva formulato contestazioni sulle ore fatturate. Inoltre, ha aggiunto l'autorità cantonale, con l'appello egli non ha preteso che la contestazione fosse stata fatta con la duplica, dopo che nella replica l'attrice aveva fatto riferimento a un "valido rendiconto" prodotto nella causa parallela (doc. 15 e 26).
4.2. Il ricorrente ritiene che le predette conclusioni dell'autorità cantonale costituiscano accertamenti di fatto manifestamente errati e contrari al diritto. Sostiene che l'attrice non aveva fatto fronte al proprio obbligo di allegazione e che di conseguenza lui, con l'appello, aveva evidenziato di non essere in grado di formulare contestazioni puntuali. A suo parere su questo punto il giudizio impugnato è "tautologico", perché "giustifica il contenuto delle fatture con le fatture stesse". Il ricorrente obietta inoltre di avere contestato già al punto 4.1 della risposta del 5 novembre 2012 "gli importi che, ancora in sede di petizione, non vengono per nulla giustificati" e soprattutto di avere in seguito ribadito esplicitamente le contestazioni in diversi punti della duplica del 6 febbraio 2013.
4.3. Queste critiche non sono ammissibili.
Il ricorrente non prende posizione sulle argomentazioni specifiche della sentenza concernenti l'onere di allegazione dell'attrice; non spiega per quali motivi tali allegazioni non fossero deducibili dai documenti OO e PP. Il Tribunale di appello non ha "giustificato" il contenuto delle fatture; ha semplicemente confermato il giudizio del Pretore secondo il quale l'attrice, adducendo che le sue pretese erano state dettagliate nei documenti citati, da lei prodotti, aveva adempiuto il proprio obbligo di allegazione.
Per il resto al ricorrente sfugge che, secondo la sentenza cantonale, egli non ha sostenuto in sede di appello di avere proposto contestazioni nello scritto di duplica. Si tratta dell'accertamento di un fatto procedurale, vincolante per il Tribunale federale (DTF <ref-ruling>consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2e pag. 311). Il ricorrente non lo contesta (lo avrebbe peraltro potuto fare soltanto per arbitrio).
4.4. In merito alle critiche d'appello contro la seconda motivazione del Pretore, la Corte cantonale ha rimproverato al convenuto di avere violato l'<ref-law>, non essendosi egli confrontato con l'argomentazione secondo la quale l'attrice aveva "sufficientemente dato seguito al suo onere probatorio con la produzione dei vari dettagli agli atti (doc. OO e doc. 15 e 25 dell'inc. OR.2012.22), confermati dai testi escussi (testi E._ p. 1, F._ p.2, G._ p. 2, H._ p. 1, I._ p. 1 e J._ p. 3"); tanto più che anche il perito giudiziario aveva "indicato che le ore fatturate potevano essere considerate correnti/ricorrenti e rientrare nel normale svolgimento dell'amministrazione, rispettivamente non esulavano dall'oggetto dei vari mandati".
Per il ricorrente anche questa parte del giudizio è viziata da accertamento dei fatti e apprezzamento degli atti inesatti. Egli sostiene di avere "chiaramente e concretamente contestato che la controparte avesse provato il dispendio orario" ai punti 15, 17, 18 e 19 dell'atto di appello, dei quali riporta il contenuto essenziale.
4.5. Più che l'accertamento dei fatti, la censura riguarda l'applicazione dell'<ref-law>. La norma obbliga l'appellante a dimostrare l'erroneità della decisione impugnata mediante una motivazione sufficientemente esplicita, che possa essere compresa facilmente dall'autorità superiore. Ciò presuppone la designazione precisa dei passaggi contestati e delle prove sulle quali si fondano le critiche. Non basta rinviare alle allegazioni proposte davanti alla prima istanza o rivolgere contro la sentenza impugnata solo delle critiche di carattere generale (<ref-ruling> consid. 4.3.1). In altre parole, l'appellante deve proporre un confronto critico e puntuale con la motivazione del giudizio dell'istanza inferiore (cfr. sentenza 4A_474/2013 del 10 marzo 2014 consid. 3.2).
4.6. Nei passaggi da lui indicati dell'appello il convenuto si è confrontato in modo adeguato con la sentenza di primo grado solo nella misura in cui essa menzionava la perizia giudiziaria a sostegno delle tesi dell'attrice (appello n. 17, 18 e 19). Non ha invece detto nulla dei documenti OO, 15 e 26, considerati in primo luogo dal Pretore. E sulle cinque prove testimoniali - che a mente del Pretore confermavano i documenti e per le quali egli indicava, oltre a nomi e cognomi, le pagine determinanti dei verbali di audizione - il convenuto ha osservato soltanto, come egli stesso scrive nel ricorso, che "la visura delle schede, in sede di interrogatorio dei testi, è avvenuta superficialmente e non posizione per posizione, essendo peraltro impossibile verificare in sede di udienza ogni singola posizione per ogni singolo dipendente" (appello n. 15 ultima frase).
Queste argomentazioni d'appello non adempivano manifestamente le esigenze di un confronto critico e puntuale con la motivazione determinante della sentenza impugnata. Le censure sono pertanto infondate. L'autorità cantonale ha applicato correttamente l'<ref-law>.
5.
Controverse a livello cantonale sono state anche le tariffe orarie applicate dall'attrice.
5.1. La Corte d'appello ricorda che il Pretore, sulla base di un "prudente apprezzamento" delle indicazioni peritali, aveva ritenuto che per un'attività classica di una fiduciaria operativa nel contesto internazionale le tariffe dell'attrice risultavano eccessive per rapporto agli usi del settore. Il primo giudice aveva quindi passato in rassegna le tariffe orarie esposte dall'attrice per ogni collaboratore, quantificando percentualmente le maggiorazioni per rispetto ai minimi e ai massimi di categoria in uso. Per quanto interessa qui, va rilevato che nell'ambito di questo esame il Pretore - sempre secondo quanto riporta la sentenza impugnata - aveva osservato che l'onorario di "H._ (che aveva eseguito dei corsi specialistici in finanza e contabilità, cfr. doc. SS) eccedeva di poco il massimo per la categoria degli impiegati qualificati) ". Per finire, non potendo ricalcolare voce per voce ogni dettaglio delle ore, il Pretore aveva effettuato una riduzione lineare di 1/3 sugli onorari esposti nelle settantacinque fatture dell'attrice.
5.2. Il Tribunale d'appello, davanti al quale entrambe le parti hanno chiesto la riforma di questa parte del giudizio del Pretore - l'attrice per chiedere una riduzione massima del 6.5 %, il convenuto di almeno il 40/50 % - ha rivisto tutti gli apprezzamenti del Pretore e "per semplicità di calcolo" ha attribuito a tutti i dipendenti "la tariffa oraria mediana prevista per la loro rispettiva categoria (il tutto come risultava a p. 4 della perizia) ". In particolare, ha giudicato infondata "la tesi di A._ secondo cui la dipendente H._ dovesse rientrare nella categoria 'collaboratori non qualificati' o 'altri collaboratori' anziché in quella dei 'collaboratori qualificati' (cfr. perizia p. 5) ". Dopo di che la Corte ticinese ha concluso che il Pretore, decidendo una riduzione forfetaria del 33.3 %, non aveva abusato del suo ampio potere di apprezzamento, sebbene "da un punto di vista meramente aritmetico (...) risulterebbe invero una riduzione complessiva di circa il 27 %".
5.3. Il ricorrente ritiene anzitutto arbitrario l'accertamento secondo cui l'impiegata H._ rientrasse nella categoria collaboratori qualificati, non essendovi agli atti nessuna indicazione in tale senso, nemmeno nella perizia giudiziaria. Anzi, lei stessa avrebbe deposto che la sua fosse un'attività "di base, ordinaria e quotidiana in una qualunque fiduciaria svizzera". Per il ricorrente l'impiegata "avrà forse avuto qualifiche superiori a quelle delle altre colleghe, ma certo il lavoro svolto non le rispecchiava".
La censura è inammissibile. Come obietta giustamente l'opponente, il ricorrente non spiega quale sarebbe l'influsso determinante sull'esito della causa che potrebbe avere l'eliminazione del vizio. Più avanti egli si sofferma invero su questo tema, ma espone considerazioni di ordine generale. Non dice in quale misura il cambiamento di categoria della dipendente H._ potrebbe avere un'incidenza concreta sulla percentuale forfetaria di riduzione degli onorari determinata per apprezzamento dall'autorità cantonale.
5.4. A parere del ricorrente la discrepanza ravvisata dal Tribunale cantonale tra la percentuale aritmetica del 27 % e quella confermata del 33.3 %, determinata per apprezzamento, era tale da giustificare il rifacimento di tutti i calcoli. L'argomento, piuttosto singolare (la percentuale aritmetica sarebbe stata meno favorevole al ricorrente), è inammissibile d'entrata, poiché non esprime censure d'arbitrio motivate correttamente.
5.5. Le ultime critiche sono volte contro il considerando 21 della sentenza impugnata, nel quale il Tribunale cantonale ha ricapitolato l'esito delle procedure di appello e quantificato i saldi finali a favore dell'attrice, nelle diverse valute. Il ricorrente afferma che la reiezione del suo appello è "contraria al diritto"; che le pretese per prestazioni supplementari non sono provate; che il giudizio sulle ore fatturate si fonda su testimonianze imprecise e non tiene conto della perizia giudiziaria; e conclude che, sulla base delle risultanze istruttorie e di tutte le circostanze, i giudici cantonali avrebbero dovuto accordargli una "riduzione di almeno il 40 % - 50 %" sul fatturato dell'attrice.
L'esposto è una sorta di riassunto generico e prettamente appellatorio delle argomentazioni svolte in precedenza, per buona parte già trattate. Esso è inammissibile.
6.
Per concludere il ricorso, nella limitata misura in cui è ammissibile, è infondato. Le spese seguono la soccombenza secondo le regole usuali (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF). Contrariamente a quanto sostiene l'opponente, il ricorso non è temerario.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 6'000.-- sono poste a carico del ricorrente, che rifonderà all'opponente fr. 7'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.