Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1974) und B.A._ (geb. 1981) sind die Eltern von C.A._ (geb. 2011).
A.b. Mit Entscheid vom 3. Oktober 2013 schied das Kreisgericht Rheintal ihre Ehe, stellte den Sohn unter die Obhut der Mutter und beliess den Eltern die gemeinsame elterliche Sorge. Für das Kind ordnete es eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB an.
A.c. Am 6. Juli 2015 änderte das Kreisgericht sein Scheidungsurteil ab und teilte die Obhut über den Sohn gestützt auf eine Vereinbarung der Eltern dem Vater zu.
B.
B.a. Auf eine Gefährdungsmeldung der damaligen Beiständin vom 7. Juli 2016 hin entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Rheintal (KESB) den Eltern am 12. März 2018 superprovisorisch das Aufenthaltsbestimmungsrecht für ihren Sohn und platzierte diesen in einem Jugendheim. Sie bestätigte ihre Anordnung mit Beschluss vom 4. April 2018, mit welchem sie nebst anderem den Eltern ein Recht auf persönlichen Verkehr einräumte, eine neue Beiständin einsetzte und deren Aufgabenbereich ergänzte.
B.b. Der Vater erhob dagegen Beschwerde an die Verwaltungsrekurskommission. Diese hiess sein Rechtsmittel am 9. August 2018 teilweise gut, hob namentlich den verfügten Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Eltern auf und wies die Angelegenheit zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und neuem Entscheid an die KESB zurück.
B.c.
B.c.a. Letztere entschied anlässlich einer Besprechung mit allen Beteiligten vom 14. August 2018, der Sohn könne für die Dauer der Abklärung wieder beim Vater wohnen.
B.c.b. Am 4. Februar 2019 erging ein Indikationsbericht des internen Abklärungsdienstes der KESB.
B.c.c. Nach Anhörung des Sohnes durch die Abklärerin und der Eltern durch die KESB am 1. März 2019 beschloss Letztere gleichentags, es werde dem Vater gestützt auf <ref-law> das Aufenthaltsbestimmungsrecht über seinen Sohn entzogen und festgestellt, dass sich dieser ab dem 1. März 2019 bei der Mutter aufhalte. Sie ordnete vorerst begleitete Besuchskontakte zwischen Vater und Sohn sowie als Kindesschutzmassnahmen eine sozialpädagogische Familienbegleitung und eine kinder- und jugendpsychiatrische Abklärung des Sohnes an. Den Auftrag der Beiständin erweiterte sie entsprechend. Schliesslich entzog die KESB einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B.c.d. Gleichentags wurde der Umzug des Sohnes der Parteien vom Vater zur Mutter vollzogen.
C.
C.a. Der Vater gelangte gegen den Beschluss der KESB vom 1. März 2019 an die Verwaltungsrekurskommission.
C.b. Diese wies seine Gesuche um superprovisorische und ordentliche Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung am 12. März 2019 bzw. 15. April 2019 ab, was das Kantonsgericht St. Gallen jeweils beides auf Beschwerde hin am 14. März 2019 bzw. 6. August 2019 bestätigte.
C.c. Mit Entscheid vom 16. Juli 2019 wies die Verwaltungsrekurskommission das Rechtsmittel des Vaters ab und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
D.
D.a. Auch gegen diesen Entscheid erhob der Vater Beschwerde.
D.b. Mit Verfügung vom 25. November 2019 verlängerte das Kantonsgericht auf entsprechenden Antrag der Beiständin hin superprovisorisch die sozialpädagogische Familienbegleitung und die begleiteten Besuche, welche ansonsten per Ende November 2019 ausgelaufen wären.
D.c. Am 17. November 2020 fällte das Kantonsgericht seinen Entscheid in der Sache. Es ergänzte die Regelung der KESB über den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Sohn dahingehend, dass diese das Recht auf Besuchskontakte an zwei Samstagen im Monat für jeweils maximal vier Stunden haben. Die Besuche sollten bis Ende März 2021 begleitet und ab April 2021 unbegleitet (jedoch weiterhin mit begleiteten Übergaben) stattfinden. Die sozialpädagogische Familienbegleitung von Mutter und Sohn sei weiterzuführen. Ferner erweiterte das Kantonsgericht den Aufgabenbereich der Beiständin. Im Übrigen liess es den Beschluss der KESB unverändert, regelte die Anrechnung der Erziehungsgutschriften und verpflichtete den Vater, der Mutter den Reisepass des Sohnes auszuhändigen. Die vorsorglichen Massnahmeverfahren, namentlich betreffend Verlängerung der sozialpädagogischen Familienbegleitung und Begleitung der Besuche, schrieb es zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab. Dieser Entscheid wurde dem Vater am 23. November 2020 zugestellt.
E.
E.a. Mit Beschwerde vom 23. Dezember 2020 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und seine Obhut sowie sein Aufenthaltsbestimmungsrecht über seinen Sohn seien wiederherzustellen, eventualiter unter Anordnung von geeigneten milderen Massnahmen. Dabei sei eventualiter gleichzeitig festzustellen, dass die Obhut und das Aufenthaltsbestimmungsrecht des Beschwerdeführers über sein Kind uneingeschränkt bestehen. Eventualiter sei ihm ein unbegleitetes Besuchsrecht einzuräumen an jedem zweiten Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr bis Sonntagabend, 18.00 Uhr.
E.b. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.
E.c. Der Beschwerdeführer hat dem Bundesgericht am 2. März 2021 einen weiteren Schriftsatz samt Beilagen eingereicht. Mit Schreiben vom 21. April 2021 erkundigte er sich nach dem Stand der Dinge und teilte dem Bundesgericht im Übrigen mit, dass "die KESB Region Rheintal weitere Massnahmen aufgegleist und C.A._ ab Sommer 2021 im Schulheim E._ in U._, unterbringen möchte".

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die auf Rechtsmittel hin über den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts, den persönlichen Verkehr und begleitende Kindesschutzmassnahmen entschieden hat (Art. 75 und Art. 90 BGG). Dabei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG) ohne Streitwert. Der Beschwerdeführer ist grundsätzlich zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>) und hat diese fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde nach <ref-law> ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen grundsätzlich zulässig.
1.2. Der Beschwerdeführer verlangt mit seinem Hauptantrag, seine Obhut sowie sein Aufenthaltsbestimmungsrecht über seinen Sohn seien wiederherzustellen. Damit bleibt für das eventualiter formulierte Feststellungsbegehren kein Raum (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7 mit Hinweisen), sodass darauf nicht einzutreten ist. Ohnehin tut der Beschwerdeführer kein entsprechendes Feststellungsinteresse dar (<ref-law>; Urteil 5A_158/2021 vom 19. Mai 2021 E. 1.4 mit Hinweisen).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden. In der Beschwerde ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>), was eine Auseinandersetzung mit dessen Begründung erfordert (<ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2). Erhöhte Anforderungen gelten, wenn verfassungsmässige Rechte als verletzt gerügt werden. Das Bundesgericht prüft deren Verletzung nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.2. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann einzig vorgebracht werden, sie seien offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweis), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (z.B. <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. Ausserdem muss in der Beschwerde aufgezeigt werden, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis).
Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeschrift nicht, soweit der Beschwerdeführer darin auf einen Sachverhalt abstellt, der von den vorinstanzlichen Feststellungen abweicht, ohne diesbezüglich eine Willkürrüge zu erheben (namentlich in Ziff. III.2 S. 4, Ziff. III.4 S. 5 und 6, Ziff. III.6 S. 7, Ziff. III.10 S. 9 und Ziff. III.14 S. 11). Darauf ist nicht einzugehen. Dasselbe gilt für den unsubstanziierten Vorhalt, es sei falsch und willkürlich, wenn die Vorinstanz behaupte, die Kindsmutter nehme im Gegensatz zu ihm Unterstützung und Empfehlungen an.
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 mit Hinweisen). Nach Erlass des angefochtenen Entscheids entstandene (sog. echte) Noven sind vor Bundesgericht unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 mit Hinweis).
Allenfalls zulässige Noven sind innerhalb der Beschwerdefrist einzureichen (vgl. Urteil 4A_86/2013 vom 1. Juli 2013 E. 1.2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Eingaben des Beschwerdeführers vom 2. März 2021 und 21. April 2021 erfolgten nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist und damit verspätet, weshalb diese sowie sämtliche darauf beruhenden Ausführungen in der Beschwerdeschrift unberücksichtigt bleiben.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt zunächst, dass die Vorinstanz auf eine Anhörung des Sohnes verzichtete.
3.1. Der Sohn wurde am 1. März 2019 im Auftrag der KESB von einer Dritten angehört (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.c.c). Anlässlich dieser Anhörung erklärte der Sohn nebst anderem, er wolle beim Vater bleiben, dieser schaue gut auf ihn. Die Mutter arbeite viel und sei oft nicht da (Beschluss der KESB vom 1. März 2019, Sachverhalt lit. S S. 9).
Der Beschwerdeführer moniert, die Vorinstanz habe seinen Sohn nicht angehört, obwohl er dies sowohl in seiner Beschwerde vom 6. September 2020 [recte: 2019] als auch in seiner Stellungnahme vom 18. August 2020 beantragt habe, und folglich den Sachverhalt insgesamt ungenügend und unvollständig abgeklärt. Auf eine Anhörung könne dann verzichtet werden, wenn sie aufgrund des Alters nicht möglich sei oder wenn andere wichtige Gründe dagegen sprächen. Beides sei vorliegend nicht gegeben. Im Gegenteil habe sein Sohn bereits mehrmals geäussert, beim Vater bleiben zu wollen. Die Vorinstanz hat sich nicht zu diesem Antrag geäussert.
3.2. Das Bundesgericht hat sich in <ref-ruling> E. 3.3.2 umfassend mit der Frage der Pflicht zur Anhörung eines Kindes auseinandergesetzt. Während das angegebene Urteil auf der Basis von <ref-law> erging, geht es hier um <ref-law>. Beide Bestimmungen schreiben übereinstimmend vor, dass das Kind durch das Gericht bzw. die Kindesschutzbehörde oder durch eine beauftragte Drittperson in geeigneter Weise persönlich anzuhören ist, soweit nicht sein Alter oder andere wichtige Gründe dagegen sprechen. Daher findet die erwähnte Rechtsprechung uneingeschränkt auch im vorliegenden Sachzusammenhang Anwendung.
Die Anhörung des Kindes ist zum einen Ausfluss seiner Persönlichkeit und dient zum andern der Sachverhaltsfeststellung. Während bei älteren Kindern der persönlichkeitsrechtliche Aspekt im Vordergrund steht und das Kind ein eigenes Mitwirkungsrecht hat, ist die Anhörung bei kleineren Kindern im Sinne eines Beweismittels zu verstehen, weshalb die Eltern sie aufgrund ihrer Parteistellung als Beweismittel beantragen können. Die Anhörung findet jedoch grundsätzlich unabhängig von Anträgen, d.h. von Amtes wegen statt. Soweit entsprechende Anträge vorhanden sind, besteht unter Vorbehalt der vom Gesetz genannten wichtigen Gründe umso mehr eine Verpflichtung, die Anhörung durchzuführen.
Kommt das Gericht zum Schluss, dass eine Anhörung des Kindes bei der gegebenen Ausgangslage überhaupt keinen Erkenntniswert hätte, allfällige Ergebnisse aus der Kindesanhörung mit Blick auf die Feststellung der konkret rechtserheblichen Tatsachen also von vornherein objektiv untauglich bzw. irrelevant sind (sog. unechte antizipierte Beweiswürdigung), entfällt die Pflicht zur Anhörung des Kindes. Daran ändert auch der erwähnte persönlichkeitsrechtliche Aspekt nichts, welcher der Kindesanhörung eignet, denn auch er zwingt das Gericht nicht zur Durchführung einer Anhörung, die angesichts eines fehlenden Erkenntniswertes einer reinen Formsache gleichkäme. Demgegenüber darf das Gericht nicht mit der Begründung auf die Anhörung des Kindes verzichten, dass es seine Überzeugung schon gewonnen habe und sich davon auch durch die Anhörung des Kindes nicht werde abbringen lassen (sog. echte anzitipierte Beweiswürdigung). Soweit das Gericht also nicht davon überzeugt ist, dass die Kindesanhörung keinen Erkenntniswert haben wird, muss es mithin selbst bei erheblichen Zweifeln darüber, ob dieses Beweismittel "etwas bringen wird", eine Anhörung durchführen.
Dass die Anhörung kein Selbstzweck ist, gilt auch mit Blick auf die Frage, wie oft eine Kindesanhörung im selben Verfahren stattfinden soll. Von wiederholten Anhörungen ist abzusehen, wo dies für das Kind eine unzumutbare Belastung bedeuten würde und überdies keine neuen Erkenntnisse zu erwarten wären oder der erhoffte Nutzen in keinem vernünftigen Verhältnis zu der durch die erneute Befragung verursachten Belastung stünde. Um eine solche Anhörung um der Anhörung willen zu vermeiden, besteht die Pflicht, ein Kind anzuhören, in der Regel nur einmal im Verfahren, und zwar grundsätzlich nicht nur auf die einzelne Instanz gesehen, sondern einschliesslich des Instanzenzugs. Ein Verzicht auf eine erneute Anhörung setzt allerdings voraus, dass das Kind zu den entscheidrelevanten Punkten befragt worden und das Ergebnis der Anhörung noch aktuell ist. Schliesslich ist vor dem oberen kantonalen Gericht keine erneute Anhörung erforderlich, wenn sich die tatsächlichen Verhältnisse seit der letzten Anhörung nicht wesentlich verändert haben.
3.3. Äussert sich die Vorinstanz nicht zur Rüge, dass der Wunsch des Kindes im erstinstanzlichen Verfahren ungenügend gehört worden sei, und sieht sie im Berufungsverfahren von der beantragten Kindesanhörung stillschweigend ab, so kann diese Vorgehensweise nicht anders als dahingehend verstanden werden, dass der angefochtene Entscheid auf einer - im beschriebenen Sinne "unechten" - vorweggenommenen Beweiswürdigung beruht: Mit Blick auf die konkreten Umstände spricht die Vorinstanz das Thema einer (erneuten) Kindesanhörung nicht an, weil sie findet, dass die mangelhafte Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers im Streit um das Aufenthaltsbestimmungsrecht bzw. die Obhut den Ausschlag gebe (vgl. dazu E. 4.3 unten) und mit Bezug auf diese Tatsache von einer (erneuten) Anhörung keine weiteren Erkenntnisse zu erwarten seien.
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern diese antizipierte Beweiswürdigung den geschilderten bundesrechtlichen Vorgaben zuwiderlaufen und die Vorinstanz den Sachverhalt unvollständig und damit willkürlich festgestellt haben soll. Was die geforderte erneute Anhörung des Sohnes angeht, versäumt er es darzutun, inwiefern ein allfälliger Wunsch desselben für die Beurteilung des Aufenthaltsbestimmungsrechts bzw. der Obhut überhaupt eine Rolle spielen könnte. Auch auf die Voraussetzungen, unter denen nach der Rechtsprechung eine erneute Anhörung (vor der oberen kantonalen Instanz) ausnahmsweise in Frage kommt, geht der Beschwerdeführer nicht ein, und es ist nicht ersichtlich, dass diese vorliegend erfüllt wären. Es war aufgrund der Anhörung durch die Abklärerin der KESB bereits bekannt, dass der Sohn gerne beim Vater geblieben wäre. Eine erneute Anhörung hätte zudem für den Sohn eine zusätzliche Belastung dargestellt, deren Zumutbarkeit angesichts des durch die Platzierungen, den Obhutswechsel und die bisherigen Abklärungen bereits erfahrenen Stresses fraglich wäre (E. 3.2). Die Rüge des Beschwerdeführers zielt inhaltlich vielmehr darauf ab, dass der Kindeswille für die Entscheidfindung hätte ausschlaggebend sein sollen. Auch so verstanden ist der Einwand unbegründet. Der Kindeswille ist beim Entscheid über Kinderbelange bzw. Kindesschutzmassnahmen nur eines von vielen Entscheidkriterien. Wie die nachfolgenden Ausführungen zeigen, überwiegen die Gründe, welche für den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts des Beschwerdeführers über seinen Sohn und damit seiner Obhut sprechen, den auf Rückkehr zum Vater gerichteten Kindeswillen.
4.
In der Sache bestreitet der Beschwerdeführer den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts und der Obhut über seinen Sohn.
4.1. Er macht geltend, der Entzug (der Obhut und) des Aufenthaltsbestimmungsrechts sei weder gerechtfertigt noch verhältnismässig.
4.2. Kann der Gefährdung des Kindes nicht anders begegnet werden, hat die Kindesschutzbehörde es den Eltern oder, wenn es sich bei Dritten befindet, diesen wegzunehmen und in angemessener Weise unterzubringen (<ref-law>). Die Gefährdung des Kindes, die Anlass zum Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts gibt, muss darin liegen, dass das Kind im Umfeld der Eltern bzw. des Elternteils nicht so geschützt und gefördert wird, wie es für seine körperliche, geistige und sittliche Entfaltung nötig wäre. Unerheblich ist, auf welche Ursachen die Gefährdung zurückzuführen ist: Sie können in den Anlagen oder einem Fehlverhalten des Kindes, der Eltern oder der weiteren Umgebung liegen. Desgleichen spielt keine Rolle, ob die Eltern bzw. den Elternteil ein Verschulden an der Gefährdung trifft. Massgebend sind die Verhältnisse im Zeitpunkt der Entziehung. An die Würdigung der Umstände ist ein strenger Massstab zu legen. Der Entzug ist nur zulässig, wenn andere Massnahmen ohne Erfolg geblieben sind oder von vorneherein als ungenügend erscheinen. Der Entzug des Rechts, den Aufenthaltsort des Kindes zu bestimmen, ist somit nur zulässig, wenn der Gefährdung des Kindes nicht durch andere Massnahmen gemäss Art. 307 und Art. 308 ZGB begegnet werden kann (Grundsätze der Verhältnismässigkeit und Subsidiarität; Urteile 5A_968/2020 vom 3. März 2021 E. 3.1; 5A_403/2018 vom 23. Oktober 2018 E. 5.3; 5A_404/2016 vom 10. November 2016 E. 3; 5A_724/2015 vom 2. Juni 2016 E. 6.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_70/2016 vom 25. April 2016 E. 3.1; je mit Hinweisen).
4.3. Die Vorinstanz begründete ihren Entscheid ausführlich und setzte sich namentlich mit den tatsächlichen Verhältnissen und den Verfahrensakten eingehend auseinander.
4.3.1. Zusammengefasst erwog sie, bereits im Oktober 2017 sei Anlass für eine durch die KESB in Auftrag gegebene Abklärung gewesen, dass der Sohn in der Schule durch chronische Müdigkeit, häufige Absenzen und das von-sich-Geben von seltsamen Geräuschen aufgefallen sei. Die damalige Beiständin habe in ihrem Bericht über die Periode vom 22. Oktober 2015 bis 30. September 2017 ferner festgehalten, der Sohn komme immer wieder zu spät in den Kindergarten, seine Konzentrations- wie auch Leistungskurven seien instabil gewesen und er sei durch sein Verhalten bei seinen Gspänli oft angeeckt.
Die Zusammenarbeit mit dem Beschwerdeführer sei von verschiedener Seite (Behördenmitglieder, Beiständin, Schule) und auch bereits in der Vergangenheit immer wieder als problematisch bzw. bedrohlich beschrieben worden. Der Beschwerdeführer sei im Kontakt sehr laut, ausfällig und beleidigend und lasse eine Konfrontation mit seinem Verhalten und dessen Auswirkungen nicht zu. Sowohl gegenüber der Beiständin als auch der mit der Abklärung beauftragten Mitarbeiterin des Abklärungsdienstes der KESB habe er zeitweise jegliche Kommunikation und Mitwirkung verweigert. Im Indikationsbericht vom 4. Februar 2019 habe Letztere namentlich ausgeführt, anlässlich seiner verbalen Kontrollverluste sei der Beschwerdeführer nicht mehr in der Lage zu differenzieren, ob ein Kind anwesend sei oder nicht. Sein Umgang mit der sozialen Realität stelle für die Entwicklung des Kindes (psychosoziale, intellektuelle und moralisch-ethische Grundbedürfnisse usw.) eine klare Belastung und eine Form von Kindsmisshandlung bzw. -vernachlässigung dar. Im Raum stünden insbesondere das Nichtberücksichtigen von angemessener Ruhe und Sicherheit (Konfliktherd Kindsvater/Schule und Kindsvater/Kindsmutter, unberechenbares Verhalten des Kindsvaters insbesondere in Konfliktsituationen) sowie das ungenügende Befriedigen von Sinn stiftenden Erfahrungen und ein inkonsistenter Erziehungsstil.
Auch der Umstand, dass der Beschwerdeführer den Sohn nach dem Entscheid der Verwaltungsrekurskommission vom 9. August 2018 aus dem Kinderheim geholt bzw. ihn nach dem Wochenendbesuch nicht mehr dorthin zurückgebracht und sein dortiges Zimmer geräumt habe, zeige nicht nur, dass sein Verständnis vom Kindesinteresse erheblich vom tatsächlichen, langfristigen Wohl des Sohnes abweiche, sondern auch, dass er bereit sei, dieses entgegen behördlichen Anordnungen eigenmächtig durchzusetzen.
Die Vorinstanz folgerte, angesichts dessen, dass beim Beschwerdeführer sowohl eine Problemeinsicht als auch eine Veränderungsbereitschaft und die Akzeptanz von Unterstützung fehlten, sei der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts und der Obhut als verhältnismässig und gerechtfertigt zu qualifizieren.
4.3.2. Schliesslich prüfte sie die aktuelle Situation des Beschwerdeführers zur Beantwortung der Frage, ob die Massnahme auch weiterhin notwendig sei. Sowohl die Beiständin am 9. Mai 2019 als auch die Familienbegleiterin am 4. Juli 2019 hätten die Zusammenarbeit mit dem Beschwerdeführer weiterhin als schwierig beschrieben. Zwischen Mitte November 2019 und Juli 2020 habe sich der Beschwerdeführer auf keine begleiteten Besuche mehr eingelassen und nicht mehr respektiert, dass ihm kein unbegleiteter Kontakt zum Sohn gestattet war. Am 9. oder 19. Dezember 2019 sei es zu einem Polizeieinsatz gekommen, nachdem der Beschwerdeführer am Wohnort der Kindsmutter aufgetaucht und die Wohnung ohne ihr Einverständnis betreten habe. Der Kindsmutter zufolge habe der Sohn die darauffolgende Auseinandersetzung miterleben müssen. Am 22. April 2020 habe der Beschwerdeführer zudem ohne Wissen der Kindsmutter den Sohn nach einem Besuch bei einem Spielkameraden abgefangen und ihn mit zu einem Kollegen genommen. Es sei spätabends ein Polizeieinsatz bei der Kindsmutter und bei besagtem Kollegen erfolgt, bei dem der Beschwerdeführer sehr aufgewühlt gewesen sei und sich vehement dagegen gewehrt habe, dass ihm sein Sohn weggenommen und zur Kindsmutter zurückgebracht werde.
Diese Entwicklung bestätige deutlich, dass der Beschwerdeführer offensichtlich nach wie vor nicht fähig sei zu reflektieren, wie sich sein Verhalten auf seinen Sohn auswirke. Namentlich verkenne er völlig, dass er den Sohn mit seinen eigenmächtigen Interventionen in höchstem Mass verunsichert und ihn in einen massiven Loyalitätskonflikt gestürzt habe, was sich auf dessen Wohl negativ auswirke. Insgesamt stellten die unberechenbare, impulsive, oftmals unbeherrschte Verhaltensweise des Vaters auch in Anwesenheit des Sohnes, seine emotionale Instabilität, seine immer wieder mangelnde Zuverlässigkeit, seine Schwierigkeit, dem Sohn aus eigenem Impuls Grenzen und Strukturen zu setzen - bspw. auf regelmässigen Mittagessen zu bestehen -, erhebliche Einschränkungen seiner Erziehungsfähigkeit und Risikofaktoren für das Kindeswohl dar. Seine problematische Verhaltens- und Reaktionsweise habe sich durchgehend und konstant auch schon während der Zeit manifestiert, in der ihm die Betreuung des Sohnes oblegen habe. Sie sei entgegen seiner eigenen Ansicht nicht bloss als "temperamentvolles Verhalten" zu qualifizieren. Es sei keine nachhaltige Entwicklung in seiner Verhaltens- und Reaktionsweise erkennbar, die heute eine günstigere Beurteilung zuliesse: Auch im Berufungsverfahren habe sich erhärtet, dass der Beschwerdeführer nicht bereit bzw. in der Lage sei, Mängel bei sich zu erkennen und Unterstützung von Drittseite bei der Erziehung des Sohnes anzunehmen. Gegenteilige Beteuerungen in Rechtsschriften, punktuell einsichtige Momente oder eingereichte Aussagen von Kollegen vermöchten diese klar ersichtliche Grundeinstellung in keinem anderen Lichte erscheinen lassen.
Aus dieser Kombination aus gravierenden Risikofaktoren in der Verhaltensweise des Beschwerdeführers einerseits und der Ablehnung jeglicher behördlicher Unterstützung andererseits müsse geschlossen werden, dass das Wohl des Sohnes in der Obhut des Beschwerdeführers nach wie vor erheblich gefährdet wäre. Da mildere Massnahmen aufgrund der konstanten Verweigerungshaltung des Beschwerdeführers ausser Betracht fielen, komme die Rückübertragung der Obhut und des Aufenthaltsbestimmungsrechts über den Sohn an ihn nicht in Frage.
4.4. Der Beschwerdeführer bekräftigt, es habe nie eine Sachlage vorgelegen, die es erlaubt hätte, ihm das Aufenthaltsbestimmungsrecht zu entziehen und der Kindsmutter die Obhut über den gemeinsamen Sohn zu erteilen. Er habe den Sohn nicht "einfach mitgenommen" und sei auch nicht "einfach so vor der Wohnung der Kindsmutter aufgetaucht". Wie bereits im vorinstanzlichen Verfahren aufgezeigt, sei er nach Absprache mit der damaligen Besuchsrechtsbegleiterin am 9. Dezember 2019 bei der Kindsmutter gewesen, um Winterschuhe zu übergeben. Die Rücknahme des Sohnes in seine Obhut aus dem Kinderheim sei zudem in Rücksprache mit Letzterem erfolgt, was ebenfalls bereits mehrmals in den vorinstanzlichen Verfahren dargelegt worden sei. Bis heute werde ihm unterstellt, er habe keine Bereitschaft für Veränderungen gezeigt und Unterstützungen nicht akzeptiert. Dies treffe aktenkundig nicht zu. Die gegenteiligen vorinstanzlichen Ausführungen seien sachverhaltswidrig, falsch, unterstellend und willkürlich.
Konkrete Aktenstücke, welche die Vorinstanz unberücksichtigt gelassen oder falsch gewürdigt hätte und die seine Sachverhaltsdarstellung stützen würden, bezeichnet der Beschwerdeführer keine. Vielmehr beschränkt er sich darauf, seine Sicht der Dinge darzulegen und die davon abweichenden Feststellungen als falsch zu bezeichnen. Mit seinen Vorbringen - namentlich mit dem blossen Verweis auf frühere Rechtsschriften - gelingt es ihm nicht, die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz als willkürlich auszuweisen (E. 2.2).
4.5. Ferner moniert der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe es unterlassen, die aktuelle Situation abzuklären, da sie im Wesentlichen auf Umstände aus dem Jahr 2019 abgestellt habe. Sie habe sich keinen persönlichen Eindruck von ihm verschafft, sondern einzig aufgrund von alten Akten entschieden. Es seien, obwohl dies mehrmals beantragt worden sei, wichtige Auskunftspersonen im Verfahren vor der Vorinstanz nicht angehört worden. Diese hätten aber ausnahmslos bestätigen können, dass die Ausführungen des Beschwerdeführers zutreffen würden und die ihm gegenüber formulierten Unterstellungen falsch seien.
Der an die Vorinstanz gerichtete Vorwurf, sie habe die gegenwärtige Situation nicht abgeklärt, ist offensichtlich unbegründet. Die Vorinstanz widmete der aktuellen Situation des Beschwerdeführers eine eigene Erwägung (angefochtener Entscheid, E. 5 S. 14-18). Entgegen seinen Ausführungen betrifft diese nicht nur "Umstände aus dem Jahr 2019", sondern auch das Jahr 2020 (so etwa den Vorfall vom 22. April 2020 und die Verweigerung der Besuchskontakte bis Juli 2020; vgl. vorne E. 4.3.2). Soweit der Beschwerdeführer beanstandet, seinen auf Anhörung verschiedenster Personen gerichteten Beweisanträgen sei nicht stattgegeben worden, geht er nicht auf die vorinstanzliche Erwägung ein, wonach auch Beteuerungen von Kollegen seine klar ersichtliche Grundeinstellung (mangelnde Fehlereinsicht und Akzeptanz von Unterstützungsmassnahmen) nicht in einem anderen Lichte erscheinen lassen würden (vgl. vorne E. 4.3.2). Damit hat die Vorinstanz eine antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen. Inwiefern diese vorliegend unzulässig gewesen sein soll, erläutert der Beschwerdeführer nicht.
4.6. Zusammenfassend gelingt es ihm nicht, die tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid als willkürlich auszuweisen. Diese sind demnach für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>). Gestützt auf das von der Vorinstanz ermittelte Tatsachenfundament ist die Bestätigung des Entzugs des Aufenthaltsbestimmungsrechts und der Obhut des Beschwerdeführers über seinen Sohn nicht zu beanstanden. Aufgrund der bedeutenden Einschränkungen in der Erziehungsfähigkeit des Beschwerdeführers sowie seines Unwillens, Unterstützung von dritter bzw. behördlicher Seite anzunehmen, wäre das Kindeswohl bei einer Rückkehr zum Vater erheblich gefährdet. Die Vorinstanz begründete zwar nicht ausdrücklich, weshalb sie diesen Gegebenheiten nicht bloss mit einer Obhutsumteilung an die Kindsmutter Rechnung trug. Sie gab indessen die Erwägungen der KESB in deren Beschluss vom 1. März 2019 wieder, wonach eine solche als ungenügend erachtet werde, um dem Sohn den notwendigen Schutz zu gewährleisten, könnten doch die Eltern sonst gemeinsam wieder einen Obhutswechsel zum Beschwerdeführer vornehmen. Bereits im Abänderungsverfahren hatten sich die Eltern in diesem Sinne geeinigt (vgl. vorne Sachverhalt lit. A.c). Auch im Rückweisungsverfahren erwirkte der Beschwerdeführer, dass der Sohn vorübergehend wieder zu ihm zog (vgl. vorne Sachverhalt lit. B.c.a), nachdem er dessen Zimmer im Kinderheim geräumt und ihn nicht dorthin zurückgebracht hatte und beide Eltern sich gegenüber der KESB dahingehend äusserten, dass sie sich einig darüber seien, dass der Sohn beim Beschwerdeführer leben und dafür jeweils die Wochenenden bei der Kindsmutter verbringen solle (Beschluss der KESB vom 1. März 2019, Sachverhalt lit. J und K S. 3). Unter diesen Umständen erwies sich der Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts sowohl als notwendig als auch als verhältnismässig, zumal eine blosse Obhutsumteilung nicht zu verhindern vermocht hätte, dass sich die Eltern erneut auf eine Rückkehr des Sohnes zum Beschwerdeführer einigen würden. Sodann ist die Rüge, die Vorinstanz habe keine milderen Massnahmen geprüft, offensichtlich unbegründet. Aus dem angefochtenen Entscheid ergibt sich mit aller Deutlichkeit, dass mildere Massnahmen - etwa die Erziehungsbeistandschaft und die sozialpädagogische Familienbegleitung - bereits in der Vergangenheit scheiterten. Zu Recht führte die Vorinstanz deshalb aus, solche wären aufgrund der Verweigerungshaltung des Beschwerdeführers nicht erfolgversprechend (vgl. vorne E. 4.3.2 in fine).
4.7. Bei diesem Ergebnis erübrigt es sich, auf die Ausführungen des Beschwerdeführers zu den "Verhältnissen bei der Kindsmutter" einzugehen, welche er als besorgniserregend und alarmierend erachtet. Einen Eventualantrag auf Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Kindsmutter und Platzierung des Sohnes bzw. ein Begehren auf Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zwecks Abklärung und Entscheid hierüber formuliert der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer nicht. Eine Rückweisung zu neuem Entscheid in diesem Sinne drängt sich auch nicht auf. Die Vorinstanz stellte zwar fest, dass die Verhältnisse bei der Kindsmutter nicht ideal sind und sich die Schulsituation des Sohnes zeitweise verschlechtert hatte. Sie wies aber auch darauf hin, dass die Kindsmutter im Gegensatz zum Beschwerdeführer Kooperationsbereitschaft zeige, sich die Situation vor Entscheidfällung mit den umgesetzten Unterstützungsmassnahmen (namentlich der Hausaufgabenhilfe) und einer engmaschigen Begleitung der Kindsmutter wieder etwas entspannt habe und dass für den Sohn eine Tagesschulstruktur gesucht werde. Deshalb und angesichts der verschiedenen abrupten Wechsel, denen der Sohn in der Vergangenheit bereits ausgesetzt war, kam sie zum Ergebnis, ein Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Kindsmutter über den Sohn und dessen Platzierung seien (noch) nicht zu vertreten und die getroffene Lösung sei die "am wenigsten schlechte". Diese Einschätzung ist, gestützt auf die tatsächlichen Verhältnisse im damaligen Zeitpunkt, nicht zu beanstanden.
5.
Eventualiter verlangt der Beschwerdeführer ein unbegleitetes Besuchsrecht jedes zweite Wochenende von Freitag- bis Sonntagabend.
5.1. Die Vorinstanz erwog, nach dem mehrmonatigen Unterbruch der Besuchskontakte, welcher für den Sohn schon zusätzlich belastend gewesen sei und während dessen Dauer zudem verschiedene Vorfälle mit Polizeieinsatz stattgefunden hätten, die ihn weiter verunsichert hätten, wäre die sofortige Verfügung unbegleiteter Besuche nicht zu verantworten. Bereits aus diesem Grund bedürfe es des Rahmens der Begleitung. Mittelfristig sei ferner zu berücksichtigen, dass es dem Beschwerdeführer gemäss Familienbegleiterin meist nicht gelungen sei, das Gespräch mit dem Sohn positiv zu gestalten. Es sei ihm schwergefallen, sich auf den Sohn einzulassen und Fragen zu stellen über dessen jetziges Leben und dabei nicht negative und belastende Äusserungen zu machen. Positiv zu werten sei, dass er sich aus eigenem Antrieb im Juli 2020 bereit erklärt habe, die begleiteten Besuche wieder aufzunehmen, da er in den verschiedenen Berichten gelesen habe, dass ihn sein Sohn sehr vermisse. Ob diese Bereitschaft bedeute, dass der Beschwerdeführer auch künftig vermehrt auf die Bedürfnisse seines Sohnes eingehen könne, könne derzeit nicht beurteilt werden. Es erscheine gerechtfertigt, nach einer Weiterführung der begleiteten Besuche für rund vier Monate zu unbegleiteten Kontakten zwischen Vater und Sohn ab April 2021 überzugehen. Die Übergaben sollten aber auch dann weiterhin begleitet durchgeführt werden, könne doch nicht davon ausgegangen werden, dass eine unbelastete Begegnung zwischen den Eltern bis dann möglich sei. Für die Festlegung weiterer persönlicher Kontakte zwischen Vater und Sohn sei die künftige Entwicklung zu ungewiss. Ein zusätzlicher Besuch beim Vater würde für den Sohn derzeit zu viel Unruhe und mögliche Stressmomente bedeuten, zumal er sich gerade erst daran gewöhnt habe, seine freie Zeit unter der Woche in der Tagesbetreuung zu verbringen. Zudem müsste für eine Erweiterung mit ausreichender Sicherheit davon ausgegangen werden können, dass der Beschwerdeführer sein teilweise problematisches Verhalten während der Besuche genügend unter Kontrolle habe. Diese Sicherheit bestehe nicht. Voraussetzung einer Erweiterung wäre auch eine Entspannung des Konflikts mit der Kindsmutter, der gegenwärtig eine begleitete Übergabe notwendig mache. Eine Erweiterung käme erst dann in Frage, wenn solche Begleitungen nicht mehr nötig wären.
5.2. Das Recht auf persönlichem Verkehr wird nach richterlichem Ermessen festgesetzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3; Urteil 5A_755/2020 vom 16. März 2021 E. 5.3, zur Publikation vorgesehen). Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 3.2.5, 336 E. 5.3.2; je mit Hinweisen).
5.3. Im Kontext der Besuchsbegleitung setzt sich der Beschwerdeführer nicht mit den für deren Notwendigkeit angeführten Gründen auseinander, namentlich dass es ihm schwergefallen sei, anlässlich der begleiteten Besuche auf die Bedürfnisse seines Sohnes einzugehen und das Gespräch mit ihm positiv zu gestalten. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz ihr Ermessen falsch ausgeübt haben soll, indem sie darin ausreichend Anlass für eine Strukturierung der Besuche erblickte. Wie der Beschwerdeführer zutreffend moniert, ist hinsichtlich des Umfangs des persönlichen Verkehrs nicht ganz nachvollziehbar, weshalb der Umstand, dass die Übergaben weiterhin begleitet stattzufinden haben, einer Erweiterung der Kontakte entgegenstehen sollte. Indessen begründete die Vorinstanz den Verzicht auf eine Erweiterung der Kontakte nicht nur damit. Sie erwog auch, eine Ausweitung würde für den Sohn derzeit zu viel Unruhe und mögliche Stressmomente bedeuten und die Sicherheit, dass der Beschwerdeführer sein teilweise problematisches Verhalten während der Besuche genügend unter Kontrolle habe, bestehe momentan nicht. Darauf geht der Beschwerdeführer wiederum nicht ein, sodass auch hier eine falsche Ermessensausübung weder dargetan noch ersichtlich ist. Der Beschwerde ist in diesem Punkt ebenfalls kein Erfolg beschieden.
6.
Im Ergebnis wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird kosten- (<ref-law>), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Aus dem vorstehend Ausgeführten ergibt sich, dass die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers von Anfang an aussichtslos waren, sodass sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege des Beschwerdeführers wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Rheintal, B.A._, Beiständin D._ und dem Kantonsgericht St. Gallen, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller