Sachverhalt:
A.
Mit Klage vom 10. Februar 2021 beantragte die B._ AG (Klägerin, Beschwerdegegnerin) dem Handelsgericht des Kantons Zürich im Wesentlichen, C._, D._ und A._ (Beklagte) zu verbieten, als Verwaltungsräte der Klägerin aufzutreten. Sie prosequierte damit die vom Handelsgericht am 24. Juni 2020 angeordneten vorsorglichen Massnahmen. Dagegen hatten die Beklagten Beschwerde an das Bundesgericht erhoben, das am 1. Dezember 2020 nicht darauf eintrat (4A_403/2020 und 4A_405/2020). Die Klägerin macht einen Unterlassungsanspruch gemäss <ref-law> geltend.
B.
Den Beklagten wurde Frist zur Klageantwort angesetzt. Daraufhin stellten sie ein Gesuch um Sicherstellung der Parteientschädigung sowie Editionsbegehren.
Mit Verfügung vom 1. Oktober 2021 wies der Präsident den Antrag auf Leistung einer Sicherheit für die Parteientschädigung ab (Dispositivziffer 1), ebenso das Begehren auf vorzeitige Edition (Dispositivziffer 2) und setzte den Beklagten Frist zur Einreichung der Klageantwort an (Dispositivziffer 3).
C.
A._ (Beschwerdeführer) erhebt Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, die Dispositivziffern 1 und 2 der Verfügung vom 1. Oktober 2021 seien aufzuheben. Die Sache sei an die Vorinstanz zurückzuweisen, wobei den Beklagten vor einem neuen Entscheid Gelegenheit zur Stellungnahme zur Eingabe der Klägerin vom 30. September zu geben sei.
Eventualiter sei die Sache zur Durchführung eines Beweisverfahrens zurückzuweisen, wobei insbesondere die im Rechtsbegehren genannten Beweise abzunehmen seien bzw. die Beschwerdegegnerin zu verpflichten sei, die genannten Dokumente zu edieren.
Subeventualiter se i die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, eine angemessene Sicherheit für die Parteientschädigung zu leisten.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
C._ und D._ haben ebenfalls Beschwerde erhoben (Verfahren 4A_567/2021).

Erwägungen:
1.
Die angefochtene Verfügung des Handelsgerichts, mit der einerseits ein Sicherstellungsgesuch und andererseits Editionsbegehren abgewiesen wurden, schliesst das Verfahren nicht ab, sondern stellt einen Zwischenentscheid dar.
Da er weder die Zuständigkeit noch den Ausstand zum Gegenstand hat, ist die Beschwerde dagegen nach <ref-law> nur zulässig, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Abs. 1 lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Es obliegt dem Beschwerdeführer darzutun, dass die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer beruft sich auf <ref-law>. Er macht geltend, durch die Weiterführung des Verfahrens ohne Sicherheitsleistung entstünden ihm Kosten, die möglicherweise uneinbringlich seien. Dieser Nachteil sei rechtlicher Natur und wegen der potentiellen Nichteinbringlichkeit nicht wieder gutzumachen.
Der nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von <ref-law> muss rechtlicher Natur sein, der auch durch einen für die beschwerdeführende Partei günstigen Entscheid in der Zukunft nicht mehr behoben werden kann. Rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2; je mit Hinweisen).
Gemäss Rechtsprechung des Bundesgerichts kann die vollständige oder teilweise Abweisung eines Gesuchs um Sicherstellung der Parteientschädigung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> bewirken (Urteil 4A_497/2020 vom 19. Oktober 2021 E. 1.1.1, zur Publ. bestimmt; 4A_121/2018 vom 10. September 2018 E. 5). Demnach ist auf die Beschwerde einzutreten, soweit sie sich gegen Dispositivziffer 1 der angefochtenen Verfügung richtet.
Mit den Ausführungen der Beschwerde, die sich ausschliesslich auf die Abweisung des Sicherstellungsgesuchs beziehen, begründet der Beschwerdeführer nicht, weshalb ihm auch durch die Abweisung der Editionsbegehren ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht. Indessen haben die Beklagten die Editionsbegehren im Hinblick auf den Entscheid über die Leistung der Sicherheit gestellt, weshalb es sich bei Dispositivziffer 2 der angefochtenen Verfügung nicht um eine von der Frage der Sicherheitsleistung unabhängige Beweisverfügung handelt. Es ist daher auch insoweit auf die Beschwerde einzutreten.
Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Insbesondere schadet nicht, dass das Sicherstellungsbegehren nicht beziffert ist (<ref-ruling>).
Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung des Gehörsanspruchs (<ref-law>), weil ihm die letzte Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 30. September 2021 nicht vor, sondern erst mit der Verfügung vom 1. Oktober 2021 zugestellt worden sei. Damit habe die Vorinstanz sein unbedingtes verfassungsrechtlich garantiertes Replikrecht verletzt.
2.1. Die Wahrnehmung des sogenannten (unbedingten) Replikrechts, das vom Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst wird, setzt voraus, dass jede dem Gericht eingereichte Stellungnahme sowie jedes Aktenstück den Beteiligten zugestellt wird, so dass die Prozesspartei sich dazu umgehend unabhängig davon äussern kann, ob die eingereichte Eingabe neue wesentliche Vorbringen enthält und ob sie im Einzelfall geeignet ist, den richterlichen Entscheid zu beeinflussen. Dabei ist es Sache der Parteien und nicht des Gerichts zu beurteilen, ob eine neue Eingabe oder ein neues Beweismittel Bemerkungen erfordert (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.1; <ref-ruling> E. 4.1.1; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 2.1).
2.2. Zum Gesuch der Beklagten um Sicherstellung der Parteientschädigung und Edition fand ein doppelter Schriftenwechsel statt: Die Beschwerdegegnerin nahm dazu Stellung, worauf die Beklagten am 17. September 2021 replizierten. Dazu äusserte sich die Beschwerdegegnerin mit Eingabe vom 30. September 2021. Diese Eingabe wurde den Beklagten zusammen mit der Verfügung vom 1. Oktober 2021 zugestellt. Laut Vorinstanz bekräftigte die Beschwerdegegnerin darin im Wesentlichen ihre bisherigen Ausführungen.
Es ist dem Beschwerdeführer zuzugestehen, dass das unbedingte Replikrecht nach <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK geboten hätte, die Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 30. September 2021 den Beklagten vorgängig zur angefochtenen Verfügung zuzustellen, damit sie selbst hätten prüfen können, ob darin Neues vorgebracht wird, wozu sie sich äussern möchten. Soweit der Beschwerdeführer unter Hinweis auf die formelle Natur des Gehörsanspruchs ohne weitere Begründung vorbringt, die angefochtene Verfügung sei deshalb aufzuheben, kann ihm lediglich insoweit gefolgt werden, als eine Verletzung dieser Verfahrensgarantie grundsätzlich ungeachtet der Erfolgsaussichten in der Sache selbst zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.6.1). Diese Rechtsprechung darf indes nicht darüber hinwegtäuschen, dass auch die Wahrung des rechtlichen Gehörs keinen Selbstzweck darstellt. Wenn nicht ersichtlich ist, inwiefern die Verletzung des rechtlichen Gehörs einen Einfluss auf das Verfahren haben könnte, besteht kein Interesse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids (<ref-ruling> E. 1.4.1; Urteile 4A_216/2021 vom 2. November 2021 E. 4.1; 4A_166/2021 vom 22. September 2021 E. 5.2.1, zur Publ. bestimmt; 4A_424/2018 vom 29. Januar 2019 E. 5.2.2; 4A_247/2017 vom 18. April 2018 E. 5.1.3). In casu legt der Beschwerdeführer mit keinem Wort dar, worin sein Interesse an der Aufhebung der angefochtenen Verfügung wegen der unterlassenen vorgängigen Zustellung der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 30. September 2021 bestehen soll und was er bei rechtzeitiger Kenntnis derselben in das Verfahren hätte einbringen wollen. Namentlich widerlegt er die Ausführung der Vorinstanz nicht, die Beschwerdegegnerin habe mit der besagten Eingabe im Wesentlichen lediglich ihre bisherigen Ausführungen bekräftigt. Mithin ist nicht ersichtlich, inwiefern die Gehörsverletzung den Ausgang des Verfahrens beeinflusst hätte. Die Gehörsrüge ist abzuweisen.
3.
3.1. Nach <ref-law> hat die klagende Partei auf Antrag der Beklagten Partei für deren Parteientschädigung Sicherheit zu leisten, sofern die in Absatz 1 lit. a-d ZPO aufgezählten Gründe vorliegen, so namentlich, wenn sie keinen Wohnsitz oder Sitz in der Schweiz hat (lit. a), zahlungsunfähig erscheint (lit. b) oder wenn andere Gründe für eine erhebliche Gefährdung der Parteientschädigung bestehen (lit. d).
Die Vorinstanz hat in einlässlicher Würdigung der Vorbringen und eingereichten Unterlagen geprüft, ob diese Voraussetzungen vorliegend erfüllt sind. Dabei gelangte sie zum Ergebnis, den Beklagten gelinge es nicht, die Voraussetzungen von Art. 99 Abs. 1 lit. a, b oder d ZPO glaubhaft zu machen, weshalb sie den Antrag auf Leistung einer Sicherheit abwies.
3.2. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine Verletzung von <ref-law> vor. Sie habe überrissene Anforderungen an das Glaubhaftmachen gestellt und de facto das Beweismass des strikten Beweises angewendet. Er vermag indessen diesen Vorwurf nicht überzeugend zu begründen, indem er bloss aufzählt, was er geltend gemacht habe und die Beschwerdegegnerin nicht detailliert bestritten habe und dann folgert, vor diesem Hintergrund hätte die Überschuldung bzw. Gefährdung der Parteientschädigung (auch zum heutigen Zeitpunkt) für glaubhaft erachtet werden müssen.
Ebensowenig gelingt es ihm, Willkür in der Beweiswürdigung aufzuzeigen, indem er der vorinstanzlichen Würdigung lediglich seine eigene gegenüberstellt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1, 264 E. 2.3; je mit Hinweisen). Für das Bundesgericht besteht daher keine Handhabe, in die Würdigung der Vorinstanz einzugreifen.
4.
Betreffend die Abweisung der Editionsbegehren macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law> und <ref-law> geltend.
4.1. Die Vorinstanz führte aus, die Beklagten verlangten im Hinblick auf den Entscheid über die Leistung der Sicherheit die unverzügliche Edition zahlreicher Dokumente, ohne dies zu begründen. In der Stellungnahme vom 17. September 2021 machten sie geltend, es seien alle Voraussetzungen für die Gutheissung der Editionsbegehren gegeben (hinreichende Tatsachenbehauptung, hinreichend bestimmte Editionsanträge, rechtliche Erheblichkeit der Tatsachenbehauptungen). Die Editionsbegehren seien die Beweisofferten zum hinreichend dargelegten Tatsachenfundament. Dieser Darlegung vermochte die Vorinstanz allerdings nicht zu folgen. Sie erkannte, die Editionsanträge der Beklagten dienten nicht dem eigentlichen Beweis, sondern der Aufklärung des Sachverhalts. Die Bestätigung von Mutmassungen sei jedoch nicht Sinn und Zweck der zivilprozessualen Editionspflicht. Jedenfalls in der vorliegenden Konstellation sei keine Bestimmung ersichtlich, welche den Beklagten einen solchen Anspruch verleihen könnte.
4.2. Inwiefern die Vorinstanz mit dieser Erkenntnis <ref-law>, <ref-law> oder <ref-law> verletzt haben soll, vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen.
<ref-law> verleiht der Partei das Recht, dass das Gericht die von ihr form- und fristgerecht angebotenen tauglichen Beweismittel abnimmt. Die Parteien und Dritte haben bei der Beweiserhebung mitzuwirken und insbesondere Urkunden herauszugeben (<ref-law>). Ein Editionsbegehren darf kein "Fischzug" sein, mithin allgemein der Abklärung des Sachverhalts dienen, sondern muss hinreichend spezifiziert sein. Es ist exakt anzugeben, welche Tatsachen die zu edierenden Urkunden belegen sollen (Gasser/Rickli, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kurzkommentar, 2. Aufl. 2014, N. 7 zu <ref-law>).
Diese Erfordernisse vermochte die Vorinstanz in den Editionsbegehren der Beklagten nicht als erfüllt zu erkennen. Namentlich fehlte es an den konkreten Behauptungen, welche die zur Edition verlangten Urkunden hätten beweisen sollen. Laut Vorinstanz dienten die Editionsbegehren nicht dem Beweis von konkreten Behauptungen, sondern der Abklärung der in Mutmassungen bestehenden Darstellung. Wenn der Beschwerdeführer dem entgegenhält, die Beklagten hätten spezifische Behauptungen und nicht blosse Mutmassungen aufgestellt, zumal eine weitere Spezifizierung von den Beklagten nicht erwartet werden könne, da sie ja gerade keinen Zugang zu den entsprechenden internen Informationen der Beschwerdegegnerin hätten, greift er den von der Vorinstanz verbindlich festgestellten Prozesssachverhalt an, ohne indessen eine hinlängliche Sachverhaltsrüge zu erheben (vgl. <ref-ruling> E. 2). Darauf kann nicht abgestellt werden.
Es bleibt daher dabei, dass die Editionsbegehren nicht dem Beweis von konkreten Behauptungen, die gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz fehlten, sondern allgemein der Aufklärung des Sachverhalts betreffend die Voraussetzungen der Sicherstellungspflicht dienten. Die vorinstanzliche Ablehnung der Editionsbegehren verletzte demnach weder <ref-law> und <ref-law> noch liegt darin eine unzutreffende Anwendung von <ref-law>.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand erwachsen, weshalb ihr keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, D._ und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Leemann