Faits :
A.
A._ occupait un poste à responsabilité auprès de l'administration cantonale des finances du canton du Valais (ci-après: ACF). Par décision du 12 avril 2017, le Chef de l'ACF a prononcé un blâme écrit à son encontre. Ultérieurement, les rapports de service ont été résiliés avec effet immédiat pour justes motifs par décision du 9 juin 2017 du Chef du Département des finances et des institutions du canton du Valais (actuellement le Département des finances et de l'énergie). Saisi de recours contre ces deux décisions, le Conseil d'État du canton du Valais les a rejetés par décision du 20 décembre 2017.
A._ a recouru devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan, en concluant à l'annulation de la décision relative au blâme écrit et de la décision de licenciement. Il a été débouté de ses conclusions par jugement du 14 septembre 2018.
B.
Par écriture du 19 octobre 2018, A._ a formé un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire contre ce jugement. Le 17 octobre 2019, il a déposé une requête de mesures provisionnelles tendant à ce que la Ire Cour de droit social traite "l'acte d'accusation de délit imaginaire" à la base de son renvoi en jugement devant le Tribunal B._ et qu'elle ordonne la suspension de la procédure pénale jusqu'à droit connu sur son recours. Le juge instructeur Abrecht a rejeté cette requête par ordonnance du 25 octobre 2019.
Par arrêt du 17 décembre 2019 (cause 8C_719/2018), rendu par voie de circulation, la Ire Cour de droit social, composée des juges Maillard, Président, Viscione et Abrecht, a déclaré irrecevable le recours constitutionnel et a rejeté le recours en matière de droit public dans la mesure où il était recevable.
Dans une écriture du 23 décembre 2019, A._ a requis la révision de l'ordonnance du 25 octobre 2019 et la récusation du juge Abrecht. Le 20 janvier 2020, la chancellerie du Tribunal fédéral, par ordre du Président de la Ire Cour de droit social, lui a répondu que la cause 8C_719/2019 avait été jugée le 17 décembre 2019 et qu'il recevrait l'arrêt prochainement. En conséquence, son écriture du 23 décembre 2019 ne pouvait pas être prise en considération; par ailleurs, dans la cause précitée, les délais de recours avaient expiré le 22 octobre 2018.

Dans l'intervalle, le 14 janvier 2019, A._ a requis du Conseil d'État qu'il révoque ou reconsidère sa décision du 20 décembre 2017. Cette demande a été portée jusqu'au Tribunal fédéral qui, par arrêt du 17 décembre 2019 (8C_531/2019), a déclaré irrecevable, respectivement rejeté, le recours constitutionnel et le recours en matière de droit public dont il était saisi.
C.
Le 19 février 2020, A._, par l'intermédiaire de son mandataire, forme un "recours pour déni de justice" et une "demande en révision" de l'arrêt du 8C_719/2018 du 17 décembre 2019. A titre préalable, il requiert la récusation in corpore de la Ire Cour de droit social du Tribunal fédéral. A titre de mesure provisionnelle, il demande la suspension de l'arrêt précité. Enfin, il sollicite le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Ultérieurement, sous sa propre signature, A._ a envoyé, respectivement fait parvenir par porteur au Tribunal fédéral, à l'attention du Président et du Secrétaire général, plusieurs courriers (datés des 19 mai, 6, 12 et 26 juin, 31 juillet, 8 et 16 août, 25 septembre 2020) ainsi que des courriels (datés des 8, 9, 11 et 14 juillet, 6, 8, 9, 10 et 12 octobre 2020). Les 16 juillet et 14 octobre 2020, il a été accusé réception de ces envois qui ont été transmis à la cour concernée avec la précision que les courriels reçus sans signature électronique (Signature numérique conforme à la SCSE) n'étaient pas valables. Par la suite, cinq autres courriers du même type sont encore parvenus au Tribunal fédéral.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le requérant demande préalablement la récusation des juges de la Ire Cour de droit social "pour des raisons évidentes". Ceux-ci auraient refusé de statuer sur sa requête de récusation du juge Abrecht alors même que cette requête, formulée le 23 décembre 2019 dans la cause 8C_719/2019, était "irréfutablement" antérieure à la notification et à la réception de l'arrêt rendu dans cette cause.
1.2. Le requérant n'invoque concrètement aucun des motifs de récusation prévus par l'art. 34 al. 1 let. a à e LTF et on ne voit pas en quoi la communication de la Ire Cour de droit social l'informant que sa requête de récusation du 23 décembre 2019 ne pouvait pas être prise en considération du fait qu'elle avait été formée postérieurement à la date du prononcé de l'arrêt final dans sa cause démontrerait que les juges de cette cour seraient prévenus à son égard. On ajoutera que la participation à une procédure antérieure devant le Tribunal fédéral - quelle qu'en soit l'issue - ne constitue pas à elle seule un motif de récusation (cf. <ref-law>). Ainsi, la composition de la cour qui s'est prononcée dans l'arrêt initial peut être la même que celle qui statue sur une demande de révision (arrêt 6F_10/2013 du 30 août 2013 consid. 1.3). Il s'ensuit que la présente demande de récusation en bloc de la Ire Cour de droit social est manifestement mal fondée et abusive. Elle peut être écartée par la cour visée (<ref-ruling> consid. 4.2.2 p. 464).
2.
2.1. La révision des arrêts du Tribunal fédéral ne peut être requise que pour l'un des motifs énoncés de manière exhaustive aux <ref-law> et dans les délais fixés à l'<ref-law>. Les exigences de motivation découlant de l'<ref-law> s'appliquent également aux demandes de révision (arrêt 1F_11/2021 du 17 mars 2021 consid. 2). Il incombe ainsi au requérant de mentionner le motif de révision dont il se prévaut et d'expliquer en quoi ce motif serait réalisé, sous peine de voir sa demande déclarée irrecevable.
2.2. Le requérant invoque l'<ref-law>, au terme duquel la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si les dispositions concernant la composition du tribunal ou la récusation n'ont pas été observées.
Selon lui, le Tribunal fédéral n'aurait à tort pas traité la requête de récusation qu'il avait formulée le 23 décembre 2019 alors que celle-ci était parvenue audit tribunal avant la date de notification et de réception de l'arrêt final rendu dans la cause 8C_719/2019. De plus, la cour fédérale n'aurait pas pris la peine de notifier et d'adresser la communication d'un dispositif le 17 décembre 2019, alors qu'elle devait s'attendre à recevoir d'autres écritures du recourant après que l'ordonnance du 25 octobre 2019 eut été rendue. Ce faisant, le Tribunal fédéral aurait violé les règles sur la récusation (art. 36 et 37 LTF) et aurait commis un déni de justice. Même si, par hypothèse, la procédure 8C_ 719/2019 devait être tenue pour close le 17 décembre 2019, le Tribunal fédéral aurait dû envisager la demande de récusation comme une demande de révision en application de l'<ref-law>.
2.3.
2.3.1. Aux termes de l'<ref-law>, la partie qui sollicite la récusation d'un juge ou d'un greffier doit présenter une demande écrite au Tribunal fédéral dès qu'elle a connaissance du motif de récusation. La jurisprudence précise que même si la loi ne prévoit aucun délai particulier, il y a lieu d'admettre que la récusation doit être formée aussitôt, c'est-à-dire dans les jours qui suivent la connaissance de la cause de récusation (arrêts 6B_695/2014 du 22 décembre 2017 consid. 3.1; 1B_390/2017 du 31 octobre 2017 consid. 2.1). A défaut, la partie peut voir son droit se périmer (<ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités).
Par ailleurs, en vertu de l'<ref-law>, les arrêts du Tribunal fédéral acquièrent force de chose jugée le jour où ils sont prononcés. Cette date correspond, en cas d'arrêts rendus par voie de circulation, à celle du jour où le Président de la Cour constate que la proposition a obtenu l'unanimité (JEAN-MAURICE FRÉSARD, Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 21 ad <ref-law>). L'entrée en force immédiate résulte du fait que ces arrêts ne sont soumis à aucun recours ordinaire. Il n'est pas possible de demander la suspension de l'entrée en force d'un arrêt du Tribunal fédéral.
Quant à la notification des arrêts du Tribunal fédéral, l'al. 1 de l'<ref-law> prévoit qu'une expédition complète de l'arrêt est notifiée aux parties, à l'autorité précédente et aux éventuels autres participants à la procédure. C'est la règle lorsque l'arrêt a été rendu par voie de circulation. Ce n'est que si l'arrêt a été rendu en audience publique qu'un dispositif est notifié sans retard aux participants (cf. <ref-law>).
2.3.2. Selon les principes exposés ci-dessus, dont le requérant ne prétend pas qu'ils n'auraient pas été respectés en l'espèce, le Tribunal fédéral a prononcé son arrêt dans la cause 8C_719/2019 le 17 décembre 2019. C'est cette date qui est déterminante pour l'entrée en force de chose jugée dudit arrêt, et non sa date de notification ou de réception par les parties. Il est indifférent à cet égard que le Tribunal fédéral n'ait pas procédé à l'envoi d'un dispositif avant l'expédition complète de l'arrêt. On peut encore souligner que si l'<ref-law> n'exclut pas cette possibilité même lorsque l'arrêt a été rendu par voie de circulation, par exemple dans des situations où il y aurait urgence à communiquer l'arrêt sans attendre la rédaction définitive des motifs, le Tribunal fédéral n'est pas tenu d'envoyer un dispositif aux parties, sauf à la suite d'une délibération publique (voir JEAN-MAURICE FRÉSARD, op. cit., n° 6 ad <ref-law>).
Il s'ensuit que le grief de déni de justice soulevé par le requérant n'a aucun fondement dès lors qu'il est constant que sa requête de récusation du 23 décembre 2019 a été déposée après le 17 décembre 2019, soit après la clôture de la procédure fédérale dans la cause précitée. La Cour de céans n'avait donc pas à entrer en matière sur cette requête. Elle n'avait pas davantage à la traiter, dès réception de celle-ci, comme une demande de révision de son arrêt final pour les motifs exposés ci-après.
2.3.3. En vertu de l'<ref-law>, si un motif de récusation n'est découvert qu'après la clôture de la procédure, les dispositions sur la révision sont applicables. La clôture de la procédure correspond au jour où l'arrêt du Tribunal fédéral est prononcé et acquiert force de chose jugée. En l'occurrence, comme cela ressort de son écriture du 23 décembre 2019, le requérant voyait un motif de récusation du juge Abrecht dans les considérants de l'ordonnance du 25 octobre 2019 rejetant la requête de mesures provisionnelles qu'il avait déposée le 17 octobre 2019. Or cette ordonnance a été notifiée au requérant le 7 novembre 2019. En tant que ce dernier fonde son motif de récusation sur cette ordonnance, il ne fait donc valoir aucun motif de récusation dont la découverte serait postérieure à l'arrêt final. Il lui aurait bien plutôt incombé de présenter sans délai une demande de récusation (consid. 2.3.1 supra).
2.4. En définitive, aucune hypothèse visée par l'<ref-law> n'est réalisée et les reproches du requérant, si tant est qu'ils constituent un motif de révision recevable, sont mal fondés et doivent être rejetés. Le recours pour déni de justice et la demande de révision étaient dénués de chance de succès, ce qui conduit au refus de l'assistance judiciaire (<ref-law>). Le recourant succombe. Il supportera les frais de la procédure, qui seront fixés en tenant compte de sa situation (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). La demande de mesures provisionnelles tendant à la suspension de l'arrêt 8C_719/2019 du 17 décembre 2019 est sans objet pour les motifs déjà exposés (cf. consid. 2.3.1 supra).
3.
Le requérant est rendu attentif au fait que toute nouvelle écriture ou requête manifestement irrecevable, infondée ou abusive en lien avec la cause ayant donné lieu à l'arrêt 8C_719/2019 sera classée sans suite.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de récusation est rejetée.
2.
Le recours pour déni de justice et la demande de révision sont rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
3.
La demande de mesures provisionnelles est sans objet.
4.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
5.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1500 fr., sont mis à la charge du requérant.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal valaisan.
Lucerne, le 10 mai 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl