Sachverhalt:
A.
A._ hat am 29. Juni 2018 vor dem Bezirksgericht Brig, Östlich-Raron und Goms auf Abänderung des Scheidungsurteils geklagt und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nachgesucht. Das Bezirksgericht wies dieses Gesuch am 12. September 2018 ab. Es erachtete die Klage als aussichtslos und den Kläger nicht als bedürftig.
B.
Gegen diesen Entscheid gelangte A._ am 25. September 2018 an das Kantonsgericht Wallis, welches die Beschwerde wie auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren abwies (Entscheid vom 5. März 2019).
C.
Mit Eingabe vom 8. April 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, ihm sei für das Verfahren auf Abänderung des Scheidungsurteils die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren, die Kosten des oberinstanzlichen Verfahrens dem Kanton Wallis aufzuerlegen und ihm für das oberinstanzliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- zuzusprechen.
Am 17. Mai 2019 stellte der Beschwerdeführer ausserdem ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das bundesgerichtliche Verfahren.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen eine Verfügung einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit der diese sowohl eine gegen die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bezirksgericht gerichtete Beschwerde als auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung für das oberinstanzliche Verfahren abgewiesen hat (vgl. zur Ausnahme vom Erfordernis der double instance <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Der Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ist ein Zwischenentscheid, der praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1.1; siehe auch Urteil 5A_734/2015 vom 17. Dezember 2015 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
1.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Dort geht es um die Abänderung von Unterhaltsbeiträgen. Es handelt sich um eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>), deren Streitwert den für die Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Betrag (<ref-law>) überschreitet (<ref-law>).
1.3. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Erhebung der Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.4. In rechtlicher Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft dessen Anwendung frei, allerdings unter Vorbehalt der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) und grundsätzlich nur für die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling>4 E. 2.4). Hinsichtlich der Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gilt eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>). Eine Verfassungsrüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (<ref-ruling> E. 3.2). Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen).
1.5. Im Übrigen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Der Beschwerdeführer kann die Feststellung des Sachverhalts und damit die Beweiswürdigung nur rügen, wenn diese offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.5). Auf rein appellatorische Kritik ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Vorbringen zu einem Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, sind nicht zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 1.3.1).
2.
2.1. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (lit. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (lit. b). Sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, umfasst die unentgeltliche Rechtspflege die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistandes (<ref-law>). Als bedürftig gilt eine Person dann, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation des Rechtsuchenden im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.5.1; je mit Hinweisen).
Die gesuchstellende Person hat nach <ref-law> ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen und sich zur Sache sowie über ihre Beweismittel zu äussern. Es trifft sie eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit (Urteil 4A_270/2017 vom 1. September 2017 E. 4.2 mit Hinweisen). Insofern gilt im Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege ein durch die Mitwirkungspflicht eingeschränkter Untersuchungsgrundsatz (Urteil 4A_274/2016 vom 19. Oktober 2016 E. 2.3 mit Hinweisen). An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch die gesuchstellende Person selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer diese Verhältnisse sind (<ref-ruling> E. 4a; <ref-ruling> E. 3a). Das Gericht hat den Sachverhalt aber immerhin dort weiter abzuklären, wo Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, und es hat allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auf die Angaben hinzuweisen, die es zur Beurteilung des Gesuchs benötigt. Bei einer anwaltlich vertretenen Partei ist das Gericht nach <ref-law> nicht verpflichtet, eine Nachfrist anzusetzen, um ein unvollständiges oder unklares Gesuch zu verbessern. Wenn der anwaltlich vertretene Gesuchsteller seinen Obliegenheiten nicht (genügend) nachkommt, kann das Gesuch mangels ausreichender Substanziierung oder mangels Bedürftigkeitsnachweises abgewiesen werden (Urteile 4A_44/2018 vom 5. März 2018 E. 5.3 mit zahlreichen Hinweisen; 5A_549/2018 vom 3. September 2018 E. 4.2).
2.2. Das Kantonsgericht erwog, aus den Akten ergebe sich, dass aus der Versteigerung der Eigentumswohnung ein Erlös von Fr. 49'389.70 zu Gunsten des Beschwerdeführers resultiert habe. Dieser behaupte zwar, es seien ihm letztlich nur Fr. 10'709.95 zugeflossen, aber über den Verbleib der restlichen Fr. 38'679.75 habe er sich weder vor Bezirksgericht noch vor dem Kantonsgericht geäussert. Diese Summe sei mehr als ausreichend, um einen Abänderungsprozess zu führen. Daher sei die Beschwerde abzuweisen, ohne dass auf die Frage der Prozessaussichten eingegangen werden müsse.
2.3. Der Beschwerdeführer wendet ein, das Kantonsgericht habe den Sachverhalt aktenwidrig und damit willkürlich festgestellt. Unzutreffend sei namentlich, dass er sich über den Verbleib der restlichen Fr. 38'679.75 ausgeschwiegen haben soll. Er habe bereits beim Bezirksgericht neben seinen Ausführungen in der Beschwerde Belege über die Auszahlung des Betreibungsamtes zu den Akten gegeben. Dort sei unmissverständlich und für jedermann unschwer zu ersehen, dass dieser Betrag mit hängigen Betreibungen verrechnet worden sei.
Sodann macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes geltend, das Bezirksgericht, aber jedenfalls das Kantonsgericht habe darauf hinweisen müssen, dass aufgrund der sprachlichen Komplexität die eingereichte Abrechnung des Betreibungsamtes in Bezug auf den "Verbleib der restlichen Fr. 38'679.75" nicht hinreichend verständlich sei. Dies hätte dem Beschwerdeführer bzw. dessen Anwalt ermöglicht, die Abrechnung sprachlich detailliert zu erläutern.
2.4. Die Einwendungen des Beschwerdeführers treffen offensichtlich nicht zu. In der Beschwerde an das Kantonsgericht hat der Beschwerdeführer lediglich ausgeführt, "dass zwar in der Tat durch den Verkauf der Eigentumswohnung ein Erlös in der Höhe von CHF 47'901.99 pro Partei erzielt werden konnte; gleichwohl wurde dem Beschwerdeführer indes lediglich ein Restbetrag in der Höhe von CHF 10'709.95 ausgezahlt. Dieser Restbetrag entspricht - ungeachtet der Frage ob der Betrag heute als Vermögenswert in gleicher Höhe überhaupt noch vorhanden ist - einem « Notgroschen »." Eine Erklärung, weshalb nur Fr. 10'709.95 ausbezahlt wurden, lieferte der Beschwerdeführer nicht. Von Aktenwidrigkeit kann keine Rede sein.
Ebenso wenig hat das Kantonsgericht den Untersuchungsgrundsatz verletzt. Nachdem das Bezirksgericht die fehlende Mittellosigkeit mit dem Erlös aus dem Verkauf der Eigentumswohnung begründet und der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde an das Kantonsgericht keinerlei Ausführungen zur Verwendung des Verkaufserlöses getätigt hatte, gab es für das Kantonsgericht keine Veranlassung, weitergehende Abklärungen zu tätigen bzw. sich nach dem Verbleib der Differenz zu erkundigen.
3.
Aus den dargelegten Gründen hat das Kantonsgericht kein Bundesrecht verletzt, wenn es die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers verneinte und die Beschwerde gegen den erstinstanzlichen Entscheid wie auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das oberinstanzliche Verfahren abwies. Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen (<ref-law>). Bei diesem Verfahrensausgang hätte der Beschwerdeführer grundsätzlich für die Gerichtskosten aufzukommen, jedoch rechtfertigen es die konkreten Umstände, ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Dem Kanton Wallis ist keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Wallis, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Scheiwiller