Sachverhalt:
A.
Vor dem Regionalgericht Berner Jura-Seeland wurde ein Verfahren betreffend Verlängerung der mit Urteil vom 28. Mai 2014 angeordneten stationären therapeutischen Behandlung von A._ durchgeführt. Das Bundesgericht wies mit Urteil 1B_64/2020 vom 28. Februar 2020 eine von ihm erhobene Beschwerde gegen die Verlängerung der Sicherheitshaft ab, soweit es darauf eintrat.
Mit Verfügung vom 20. Mai 2020 wies der verfahrensleitende Gerichtspräsident Markus Gross die von A._ am 7. Mai 2020 im Hinblick auf die Hauptverhandlung vom 4. Juni 2020 vor dem Regionalgericht gestellten Beweisanträge mehrheitlich ab. Anlässlich der Hauptverhandlung stellte A._ den Antrag, der verfahrensleitende Gerichtspräsident Markus Gross habe in den Ausstand zu treten. Zur Begründung führte A._ aus, der Gerichtspräsident habe seine Beweisanträge mehrheitlich abgelehnt, was er ausführlich begründet habe. Dabei habe er keinen Vorbehalt angebracht, dass das Kollegialgericht die gestellten Beweisanträge womöglich anders würdigen könnte. Dieser fehlende Vorbehalt stelle einen Befangenheitsgrund dar. Es gehe nicht an, dass einzelne Richter selbst über die gestellten Beweisanträge entscheiden würden. Nach Beratung über diesen Antrag beschloss das Gericht, bis zum Entscheid des für das Ausstandsgesuch zuständigen Obergerichts des Kantons Bern trete der abgelehnte Richter nicht in den Ausstand. Das Regionalgericht tagte weiter und beschloss am selben Tag die Verlängerung der stationären therapeutischen Massnahme. Mit Schreiben vom 8. Juni 2020 überwies der verfahrensleitende Gerichtspräsident Markus Gross das Ausstandsgesuch dem Obergericht und stellte Antrag auf Abweisung.
Am 16. Juni 2020 beschloss das Obergericht, auf das Ausstandsgesuch wegen verspäteter Erhebung nicht einzutreten. Die dagegen von A._ an das Bundesgericht erhobene Beschwerde hiess dieses am 11. September 2020 wegen einer Gehörsverletzung gut. Das Bundesgericht hob den angefochtenen Entscheid auf und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurück (Urteil 1B_376/2020).
B.
Nach Erhalt des bundesgerichtlichen Entscheids teilte das Obergericht den Parteien mit Verfügung vom 7. Oktober 2020 mit, es werde auf einen zweiten Schriftenwechsel verzichtet, da die Stellungnahme des Gerichtspräsidenten Markus Gross A._ bereits am 10. Juni 2020 zugestellt worden sei. Allfällige abschliessende Bemerkungen seien unverzüglich, d.h. innert einer frist von fünf Tagen ab Zustellung dieser Verfügung einzureichen. A._ nahm am 13. Oktober 2020 Stellung.
Mit Beschluss vom 2. November 2020 trat das Obergericht wiederum nicht auf das Ausstandsgesuch ein, da es verspätet eingereicht worden sei.
C.
Mit Eingabe vom 3. Dezember 2020 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, der Beschluss des Obergerichts vom 2. November 2020 sei aufzuheben. Das Obergericht sei anzuweisen, auf das Ausstandsgesuch einzutreten und dieses gutzuheissen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Begründung und Entscheidung an die Vorinstanz zurück zuweisen.
Das Obergericht sowie die Bewährungs- und Vollzugsdienste Bern verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein selbstständig eröffneter Zwischenentscheid über ein Ausstandsbegehren in einer Strafsache, den die Vorinstanz als letzte und einzige kantonale Instanz gefällt hat. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen offen (Art. 78 Abs. 1 und Art. 92 Abs. 1 BGG, <ref-law> i.V.m. <ref-law>). Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt. Er hat nach wie vor ein aktuelles praktisches Interesse an der Behandlung der Beschwerde, auch wenn das Regionalgericht bereits unter Mitwirkung des Beschwerdegegners entschieden hat, die stationäre therapeutische Behandlung des Beschwerdeführers zu verlängern. Nach <ref-law> sind Amtshandlungen, an denen eine zum Ausstand verpflichtete Person mitgewirkt hat, aufzuheben und zu wiederholen, sofern dies eine Partei innert fünf Tagen verlangt, nachdem sie vom Entscheid über den Ausstand Kenntnis erhalten hat. Der Beschwerdeführer kann somit bei Gutheissung der Beschwerde die Aufhebung und Wiederholung von Amtshandlungen verlangen, an denen der Beschwerdegegner mitgewirkt hat (vgl. das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 1B_376/2020 vom 11. September 2020 E. 1 mit Hinweis). Da auch die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde grundsätzlicheinzutreten.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend. Zur Begründung führt er aus, die Vorinstanz habe sich nicht mit seiner bereits mehrfach vorgetragenen Argumentation auseinandergesetzt, wonach ihm die Beweisanträge ablehnende Verfügung am 25. Mai 2020 und somit vor dem Pfingstwochenende zugestellt worden sei. Aus diesem Grund und weil ihm zudem am 29. Mai 2020 ein ca. 100 Seiten umfassendes Gutachten zugestellt worden sei, mit welchem er sich vor der Hauptverhandlung am 4. Juni 2020 habe auseinandersetzen müssen, habe er das Ausstandsgesuch erst anlässlich der Hauptverhandlung stellen können.
2.2. Die Rüge ist unbegründet. Die Vorinstanz hat dargelegt, weshalb sie der Auffassung war, der Beschwerdeführer hätte trotz dem Pfingstwochenende die Möglichkeit gehabt, das Ausstandsgesuch früher, d.h. spätestens am Dienstag nach dem Pfingstmontag vom 1. Juni 2020 einzureichen. Es kann sodann keine Gehörsverletzung darin erblickt werden, dass sich die Vorinstanz nicht ausdrücklich zum Gutachten geäussert hat, welches angeblich ebenfalls einen Grund für das Vorbringen des Ausstandsgesuchs (erst) anlässlich der Hauptverhandlung dargestellt habe. Es ist nicht erforderlich, dass sich die Behörde mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen). Diesen Voraussetzungen genügen die vorinstanzlichen Ausführungen. Eine Verletzung der Begründungspflicht ist nicht ersichtlich. Im Übrigen verletzt lediglich der Umstand, dass die Vorinstanz der Argumentation des Beschwerdeführers materiell nicht gefolgt ist, ohnehin nicht sein rechtliches Gehör.
Soweit der Beschwerdeführer in der angeblichen Nichtbeachtung des Pfingstwochenendes bzw. des ihm kurz vor der Hauptverhandlung zugestellten Gutachtens zudem eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung erkennen will, kann ihm ebenfalls nicht gefolgt werden. Bei der Frage, ob das Ausstandsgesuch rechtzeitig bzw. verspätet gestellt wurde, handelt es sich um eine Rechtsfrage (vgl. E. 3 hiernach). Inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt unrichtig festgestellt haben soll, ist weder ersichtlich noch vom Beschwerdeführer dargetan (vgl. Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Darauf ist nicht einzutreten. Es ist mithin vom vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt auszugehen (<ref-law>).
3.
3.1. Will eine Partei den Ausstand einer in einer Strafbehörde tätigen Person verlangen, so hat sie gemäss <ref-law> der Verfahrensleitung ohne Verzug ein entsprechendes Gesuch zu stellen, sobald sie vom Ausstandsgrund Kenntnis hat. Nach der Rechtsprechung muss der Gesuchsteller den Ausstand in den nächsten Tagen nach Kenntnis des Ausstandsgrundes verlangen. Andernfalls verwirkt er den Anspruch (<ref-ruling> E. 4.3 S. 69 mit Hinweisen). Ein sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrundes gestelltes Ausstandsgesuch ist rechtzeitig. Wartet der Gesuchsteller damit zwei Wochen zu, ist es dagegen verspätet (Urteil 1B_18/2020 vom 3. März 2020 E. 3.1 mit Hinweis). Bei der Annahme der Verwirkung des Rechts, den Ausstand zu verlangen, ist Zurückhaltung geboten (Urteil 1B_236/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 2.2 mit Hinweis).
3.2. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK verletzt, indem sie sein Ausstandsgesuch, das innerhalb von sieben Arbeitstagen gestellt worden sei, als verspätet qualifiziert habe. Ein Ausstandsgesuch müsse lediglich ohne Verzug gestellt werden, d.h. so früh wie möglich. Diese Voraussetzung sei vorliegend erfüllt. Er habe unverzüglich gehandelt, indem er das Ausstandsgesuch vorgängig zur nächsten Prozesshandlung und vorgängig zur Hauptverhandlung eingereicht habe. Anders als die bundesgerichtliche Rechtsprechung, wonach das Ausstandsgesuch innert sechs bis sieben Tage nach Kenntnis des Ausstandsgrundes einzureichen sei, lege der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) keine zeitlichen Grenzen für ein Ausstandsgesuch fest. Stattdessen analysiere der EGMR den konkreten Einzelfall und das prozessuale Verhalten der Parteien. Im Übrigen gäbe es ohnehin keinen sachlichen Grund für eine solche "Hast", zumal es rechtsmissbräuchlich sei, ein Gutachten 2,5 Arbeitstage vor der Hauptverhandlung den Parteien zu eröffnen und danach geltend zu machen, diese habe in Bezug auf das Ausstandsgesuch verspätet gehandelt.
4.
4.1. Der Argumentation des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausführlich dargelegt, dass konkrete Umstände vorgelegen haben, die eine schnelle Reaktion des Beschwerdeführers erfordert hätten, weshalb sein zehntägiges Zuwarten bis zur Hauptverhandlung am 4. Juni 2020 unzulässig gewesen sei. Die Vorinstanz verwies in diesem Zusammenhang zu Recht darauf, dass die Hauptverhandlung unter der Leitung des Beschwerdegegners kurz bevorstand. Wenn die Vorinstanz aus diesem Umstand folgerte, der Beschwerdeführer hätte sein Ausstandsgesuch folglich vor und nicht erst anlässlich der Hauptverhandlung stellen müssen, überzeugt dies. Damit hätte der Beschwerdeführer dem Gericht ermöglicht, allenfalls den vom Gesuch betroffenen Beschwerdegegner auszutauschen bzw. die Verhandlung zu verschieben. Mithin bestand, anders als vom Beschwerdeführer gerügt, vorliegend durchaus eine gewisse Dringlichkeit.
4.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hätte er denn auch die Möglichkeit gehabt, das Gesuch früher und somit rechtzeitig zu stellen. Gemäss den unbestritten gebliebenen vorinstanzlichen Feststellungen erhielt er die seines Erachtens ausstandsbegründende Verfügung vom 20. Mai 2020 am 25. Mai 2020. Die Hauptverhandlung fand zehn Tage später am 4. Juni 2020 statt. Wie die Vorinstanz ausführte, erschliesst sich nicht, weshalb der Beschwerdeführer das Ausstandsgesuch nicht spätestens am 2. Juni 2020 und damit - aufgrund des Feiertags vom 1. Juni 2020 (Pfingstmontag) - noch innert der siebentägigen Frist seit Erhalt der Verfügung, gestellt hat (vgl. E. 3.1 hiervor).
Sein Einwand, wonach am 29. Mai 2020 und somit kurz vor der Hauptverhandlung noch ein 100-seitiges Gutachten eingegangen sei, das er habe studieren müssen, ändert daran jedenfalls nichts. Zum einen gab nicht dieses Gutachten Anlass zum Ausstandsgesuch, sondern die Verfügung vom 20. Mai 2020, zum anderen hätte sich der Beschwerdeführer nebst dem Studium des Gutachtens auch Zeit für ein Ausstandsgesuch nehmen müssen und können. Wie dem aktenkundigen Protokoll der Hauptverhandlung entnommen werden kann, fiel sein Ausstandsgesuch anlässlich der Hauptverhandlung vom 4. Juni 2020 nicht derart ausführlich aus, dass von einem immensen Arbeitsaufwand ausgegangen werden müsste. Der Beschwerdeführer hatte zudem nach Erhalt der Verfügung am Montag, den 25. Mai 2020, vier Arbeitstage Zeit bis zum Erhalt des Gutachtens, in welchen er das Ausstandsgesuch bereits hätte verfassen können. Unbehelflich ist deshalb auch sein Einwand, der 1. Juni 2020 sei ein Feiertag (Pfingstmontag) gewesen, was ebenfalls für die Rechtzeitigkeit des Gesuchs anlässlich der Hauptverhandlung spreche. Gründe, weshalb sich ausnahmsweise eine längere Frist von über einer Woche gerechtfertigt hätte, liegen entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nach dem Gesagten folglich keine vor. Der Beschwerdeführer hat sein Gesuch weder bei erster Gelegenheit gestellt noch so früh als möglich gehandelt.
4.3. Daran ändert im Übrigen auch sein Verweis auf die noch im Vorentwurf zur StPO (Art. 64 Abs. 2 VE) vorgesehene zehntägige Frist zur Einreichung des Ausstandsbegehrens nichts. Wenn der Beschwerdeführer argumentiert, dass sich der Entwurf der StPO nicht weitergehend dazu äussere, weshalb kein Grund vorliege, vom Vorentwurf bzw. der zehntägigen Frist abzuweichen, kann ihm nicht gefolgt werden. Das geltende Recht legt keine konkrete Frist fest. Entscheidend sind mithin gemäss der von der Vorinstanz korrekt angewandten bundesgerichtlichen Rechtsprechung grundsätzlich die erwähnten sechs bis sieben Tage (vgl. E. 3.1 hiervor). Demzufolge steht die kantonale Praxis, wonach ein Ausstandsgrund innerhalb der nächsten Tage seit Kenntnisnahme, sicher aber innerhalb einer Frist unter einer Woche geltend zu machen sei, ebenfalls nicht im Widerspruch zur bundesgerichtlichen Praxis. Ebenso lässt sich der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wie von der Vorinstanz erwogen, auch nicht entnehmen, dass es bei den sechs bis sieben Tagen um Arbeitstage handle. Im Übrigen lagen mit der unmittelbar bevorstehenden Hauptverhandlung unter der Leitung des Beschwerdegegners, wie bereits erwähnt (vgl. E. 4.1 hiervor), konkrete Umstände vor, weshalb, selbst wenn allenfalls eine Frist von zehn Tagen gerade noch als rechtzeitig betrachtet werden könnte, eine schnellere Reaktion des Beschwerdeführers erforderlich gewesen wäre (vgl. auch JEAN-MARC VERNIORY, in: Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2. Aufl. 2019, N. 8 zu <ref-law>).
4.4. Schliesslich trifft auch die vorinstanzliche Erwägung zu, wonach die Verspätung des Ausstandsgesuchs nicht in den Hintergrund trete, weil der Anschein der Befangenheit des Beschwerdegegners derart offensichtlich sei, dass er aus eigenem Antrieb in den Ausstand hätte treten müssen. Das Ausstandsgesuch erweise sich nämlich ohnehin als materiell unbegründet. Es sei gesetzlich vorgesehen, dass vorgängig zur Hauptverhandlung gestellte Beweisanträge abgewiesen werden können. Zudem lasse sich auch aus der Begründung der Abweisung der Beweisanträge nicht auf eine Befangenheit des Beschwerdegegners schliessen. Andere Hinweise auf Voreingenommenheit liessen sich den Akten nicht entnehmen. Darauf kann verwiesen werden.
4.5. Obschon mithin gemäss der bundesgerichtlichen Rechtsprechung bei der Annahme der Verwirkung des Rechts, den Ausstand zu verlangen, Zurückhaltung geboten ist (vgl. E. 3.1 hiervor), wäre der Beschwerdeführer vorliegend aufgrund der unmittelbar bevorstehenden Hauptverhandlung mit dem von ihm als befangen bezeichneten Beschwerdegegner verpflichtet gewesen, das Ausstandsgesuch innert sechs bis sieben Tagen, d.h. bis spätestens am 2. Juni 2020, einzureichen.
Die Vorinstanz hat nach dem Gesagten weder Bundesrecht noch die EMRK verletzt, wenn sie auf das Ausstandsgesuch mit der Begründung nicht eingetreten ist, dieses sei verspätet eingereicht worden.
5.
Die Beschwerde erweist sich demzufolge als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Da sie aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nach <ref-law> nicht bewilligt werden. In Anbetracht der finanziellen Verhältnisse des Beschwerdeführers werden ihm jedoch keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Amt für Justizvollzug des Kantons Bern, Bewährungs- und Vollzugsdienste, und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier