Sachverhalt:
A.
Das Zivilgericht Basel-Stadt trat mit Entscheid vom 24. November 2019 auf eine Klage der A._ GmbH (Berufungsklägerin; Beschwerdeführerin) gegen die B._ SA (Berufungsbeklagte; Beschwerdegegnerin) nicht ein.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob die Berufungsklägerin Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und ersuchte gleichzeitig um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Berufungsverfahren.
Der Verfahrensleiter des Appellationsgerichts wies dieses Gesuch mit Verfügung vom 30. Juni 2020 ab und forderte die Berufungsklägerin dazu auf, innert 10 Tagen nach Eröffnung der Verfügung einen Kostenvorschuss von Fr. 600.-- zu leisten.
Das dagegen erhobene Wiedererwägungsgesuch wies der Verfahrensleiter mit Verfügung vom 20. Juli 2020 ab. Er setzte der Berufungsklägerin eine Nachfrist von zehn Tagen zur Leistung des Kostenvorschusses an und wies sie darauf hin, dass auf ihre Berufung nicht eingetreten werden könne, wenn der Kostenvorschuss innerhalb der Nachfrist nicht bezahlt werde.
Nachdem die Berufungsklägerin eine weitere Eingabe eingereicht hatte, machte der Verfahrensleiter sie erneut auf diese Säumnisfolge aufmerksam. Die Berufungsklägerin leistete den Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht. Stattdessen reichte sie am 12. und 25. Oktober 2020 weitere Eingaben ein.
Mit Entscheid vom 11. November 2020 trat der Einzelrichter des Appellationsgerichts auf die Berufung nicht ein. Er erwog, die Eingaben vom 12. und 25. Oktober 2020 vermöchten die Berufungsklägerin nicht davon zu dispensieren, den Kostenvorschuss innert der ihr mit Verfügung vom 20. Juli 2020 gesetzten Nachfrist zu leisten um zu verhindern, dass das Gericht auf die Berufung nicht eintrete. Da die Berufungsklägerin den Kostenvorschuss auch innert Nachfrist nicht geleistet habe, sei auf die Berufung nicht einzutreten.
C.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin mit Eingabe vom 15. Januar 2021 Beschwerde beim Bundesgericht. Am 17. Januar 2021 übergab sie der Post eine mit "Zusatzerklärung zur Beschwerdebegründung" betitelte Eingabe.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
1.1. Unter Berücksichtigung des Fristenstillstands über Weihnachten und Neujahr (<ref-law>) ist die dreissigtägige Beschwerdefrist (<ref-law>) gegen den angefochtenen Entscheid am 15. Januar 2021 abgelaufen. Diese Frist ist für die Beschwerdeschrift eingehalten. Die nach diesem Datum der Post überbrachte Beschwerdeergänzung ist demgegenüber verspätet und bleibt unberücksichtigt.
1.2. Der angefochtene Nichteintretensentscheid schliesst das kantonale Verfahren ab. Er stellt einen anfechtbaren Endentscheid dar (<ref-law>) und geht von einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) aus. Der angefochtene Entscheid enthält keine Angaben zur Hauptsache, insbesondere nicht zum Streitwert (entgegen <ref-law>). Es kann daher gestützt auf den vorinstanzlichen Entscheid nicht ermittelt werden, ob der für die Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert (<ref-law>) erreicht wird. Ob der Streitwert für eine Beschwerde in Zivilsachen vorliegend erreicht würde, braucht aber nicht beurteilt zu werden: Selbst wenn die Eingabe als Beschwerde in Zivilsachen entgegen genommen wird, ist sie abzuweisen, soweit darauf überhaupt einzutreten ist, wie nachfolgend gezeigt wird.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.3. Soweit die Beschwerdeführerin diese Anforderungen an Rechts- und Sachverhaltsrügen verfehlt, kann nicht auf ihre Beschwerde eingetreten werden.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe ihr zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Berufungsverfahren nicht bewilligt.
3.2. Die Beschwerdeführerin wendet sich damit gegen die vorgängigen Zwischenverfügungen vom 30. Juni 2020 und vom 20. Juli 2020, mit denen die Vorinstanz das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abwies bzw. das gegen diese Abweisung erhobene Wiedererwägungsgesuch ablehnte und an der Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege festhielt.
Bei diesen Entscheiden handelt es sich um selbständig eröffnete Zwischenentscheide, gegen welche in aller Regel die Beschwerde an das Bundesgericht offen steht (<ref-law>; dazu kürzlich: Urteile 5A_536/2020 vom 23. November 2020 E. 4.1; 5A_988/2019 vom 3. Juni 2020 E. 3.1). Zusammen mit dem Hauptentscheid kann ein Zwischenentscheid, der nicht die Zuständigkeit oder den Ausstand beschlägt, nur angefochten werden, soweit er sich auf den Inhalt des Hauptentscheids auswirkt (<ref-law>). Es obliegt der beschwerdeführenden Partei darzutun, dass diese Voraussetzung erfüllt ist (Urteile 4A_387/2019 vom 5. August 2020 E. 1.1; 5A_654/2019 vom 14. Mai 2020 E. 1.2.2). Bei selbständigen Zwischenentscheiden über die unentgeltliche Rechtspflege fällt diese Voraussetzung indessen weg (Urteil 5A_654/2019 vom 14. Mai 2020 E. 1.2.2 mit Hinweisen), sodass die Beschwerdeführerin vorliegend die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege auch durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechten kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 5A_654/2019 vom 14. Mai 2020 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Immerhin ist darauf hinzuweisen, dass der Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege sofort vollstreckbar ist, solange er nicht angefochten und dem Rechtsmittel aufschiebende Wirkung gewährt wurde (Urteil 4A_170/2016 vom 10. Mai 2016).
3.3. Die Vorinstanz erwog, dass die unentgeltliche Rechtspflege für juristische Personen nur unter sehr restriktiven Bedingungen in Frage komme. Dies wenn das einzige Aktivum im Streit liege und neben der juristischen Person auch die wirtschaftlich Beteiligten mittellos seien. Die Beschwerdeführerin vermöge erstens nicht aufzuzeigen, dass vorliegend das einzige Aktivum im Streit liege. Zweitens sei die Voraussetzung von <ref-law> nicht erfüllt, wonach die Rechtsbegehren nicht aussichtlos erscheinen dürfen.
Dagegen beharrt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht auf ihrer Auffassung, dass das einzige Aktivum im Streit liege. Sie setzt sich aber diesbezüglich offensichtlich nicht hinreichend mit den Ausführungen der Vorinstanz auseinander, noch zeigt sie nachvollziehbar auf, inwiefern diese ihre Rechte verletzt haben soll (Erwägung 2.1). Gleiches gilt für ihre Vorbringen bezüglich der mangelnden Aussichtslosigkeit. Auf die Rügen der Beschwerdeführerin bezüglich der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege ist somit nicht einzutreten.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin moniert, dass sich die Vorinstanz für den Nichteintretensentscheid auf <ref-law> stütze. Nach dem Wortlaut der Bestimmung könne ein Gericht "auf die Klage oder auf das Gesuch" nicht eintreten, wenn der Gerichtskostenvorschuss nicht geleistet werde. Das Rechtsmittelverfahren werde in <ref-law> nicht erwähnt. Die Vorinstanz handle damit willkürlich, wenn sie auf ihre Berufungsschrift gestützt auf <ref-law> nicht eingetreten sei.
4.2. Nach <ref-law> setzt das Gericht eine Frist zur Leistung des Vorschusses. Die fristgerechte Bezahlung ist eine Prozessvoraussetzung (<ref-law>). Wird der Vorschuss nicht geleistet, so darf das Gericht nicht sofort einen Nichteintretensentscheid fällen, sondern es muss zunächst eine Nachfrist ansetzen (vgl. <ref-law>). Wird der Vorschuss auch nicht innert einer Nachfrist geleistet, so tritt das Gericht nach <ref-law> auf die Klage oder auf das Gesuch nicht ein ("le tribunal n'entre pas en matière sur la demande ou la requête"; "il giudice non entra nel merito dell'azione o dell'istanza").
Der Gesetzestext von <ref-law> spricht zwar einzig davon, dass das Gericht "auf die Klage oder auf das Gesuch" nicht eintritt; Rechtsmitteleingaben werden nicht erwähnt. Doch ist auch ohne dies klar, dass sie mitgemeint ist. Bereits im Entwurf des Bundesrates ist die entsprechende Bestimmung von Art. 99 Abs. 3 E-ZPO so (verkürzt) formuliert (BBl 2006, S. 7434). In der Botschaft wird dann aber erläuternd klar ausgeführt, dass das Gericht "auf eine Klage, ein Gesuch oder ein Rechtsmittel nicht ein[tritt]", wenn die Leistung auch nach Ablauf einer Nachfrist nicht erfolgt (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006, S. 7221 ff., S. 7295 zu Art. 99 Abs. 3 E-ZPO). Auf dieser Basis wurde die Bestimmung in den Räten ohne Diskussion angenommen (SR 2007 S. 512, NR 2008 S. 652). Die Entstehungsgeschichte der Norm spricht damit eindeutig dafür, dass <ref-law> auch im Rechtsmittelverfahren anwendbar ist.
Auch die übrigen Auslegungsmittel (dazu <ref-ruling> E. 4.1.3.1 mit Hinweisen) führen zu keinem anderen Ergebnis. Es ist weder aus systematischen (Regelung in den allgemeinen Bestimmungen der Zivilprozessordnung) noch aus teleologischen Überlegungen nachvollziehbar, warum <ref-law> bei der Nichtleistung der Gerichtskosten im Rechtsmittelverfahren nicht anwendbar sein sollte. Vielmehr entspricht es dem Sinn und Zweck des Gerichtskostenvorschusses als Prozessvoraussetzung, dass das Gericht auf jegliche Eingabe nicht eintritt, wenn der Vorschuss auch innert Nachfrist nicht geleistet wird.
Auch die Lehre lässt keinen Zweifel an diesem Ergebnis aufkommen, sondern geht - soweit ersichtlich - einhellig davon aus, dass das Gericht auch im Rechtsmittelverfahren auf das Rechtsmittel nicht eintritt, wenn der Vorschuss nach Ansetzung einer Nachfrist ausbleibt (vgl. nur Denis Tappy, Commentaire Romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 31 zu <ref-law>; Christoph Leuenberger / Beatrice Uffer-Tobler, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2016, Rz. 10.25).
Wird der Vorschuss nicht innert einer Nachfrist geleistet, so tritt das Gericht nach <ref-law> somit auf die Klage, auf das Gesuch oder auf das Rechtsmittel nicht ein.
4.3. Nach dem Ausgeführten ist die Rüge der Beschwerdeführerin unbegründet und die Vorinstanz ist zu Recht auf ihre Berufung mangels Leistung des Kostenvorschusses nicht eingetreten. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin brauchte sich die Vorinstanz damit nicht materiell mit der Sache auseinander zu setzen.
5.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
6.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>). Darüber musste unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger