Sachverhalt:
A.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt verurteilte A._ am 30. Oktober 2017 als Berufungsinstanz wegen mehrfacher ungetreuer Geschäftsbesorgung mit Bereicherungsabsicht, mehrfacher Urkundenfälschung und mehrfachen Vergehens gegen das Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer sowie gegen das Gesetz über die direkten Steuern des Kantons Basel-Stadt zu einer bedingten Geldstrafe. Mit Urteil 6B_383/2018 vom 15. November 2018 hiess das Bundesgericht eine von A._ gegen das Berufungsurteil erhobene Beschwerde in Strafsachen gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurück. Es kam zum Schluss, der Spruchkörper des Berufungsgerichts sei unrechtmässig besetzt worden. Nach der Rückweisung durch das Bundesgericht wurde der Spruchkörper des Berufungsgerichts neu bestimmt und das Berufungsverfahren wieder aufgenommen (vgl. auch das Urteil 1B_269/2019 vom 9. Dezember 2019).
B.
A._ hat mit Eingabe vom 31. Juli 2019 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht erhoben. Er beantragt, es sei festzustellen, dass im gegen ihn geführten Strafverfahren das Beschleunigungsgebot verletzt worden sei bzw. dass seit dem 18. September 2013 eine Rechtsverzögerung vorliege. Eventualiter sei festzustellen, dass das Beschleunigungsgebot zu einem späteren Zeitpunkt verletzt worden sei. Das Appellationsgericht sei anzuweisen, den Fall an ein unabhängiges Gericht zu überweisen.
C.
Das Appellationsgericht teilt mit, es habe nach der Rückweisung der Sache durch das Bundesgericht umgehend die notwendigen Schritte zur Neubeurteilung unternommen. Es beantragt die Abweisung der Beschwerde vom 31. Juli 2019, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und das Strafgericht Basel-Stadt haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Mit Eingabe vom 13. September 2019 hat der Beschwerdeführer an seinen Anträgen festgehalten.

Erwägungen:
1.
Mit seiner Beschwerde vom 31. Juli 2019 rügt der Beschwerdeführer in einem hängigen Berufungsverfahren eine Verletzung des Beschleunigungsgebots. Seine Beschwerde richtet sich somit nicht gegen einen Entscheid im Sinne von Art. 78 Abs. 1 i.V.m. Art. 80 Abs. 1 und Art. 90 BGG. Gemäss <ref-law> kann indessen auch gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines anfechtbaren Entscheids Beschwerde an das Bundesgericht geführt werden. Die Rechtsverweigerungs- bzw. Rechtsverzögerungsbeschwerde nach <ref-law> kann sich nicht gegen das Verweigern oder Verzögern eines beliebigen, sondern nur eines anfechtbaren Entscheids richten. Mit anderen Worten muss der Entscheid, dessen Verweigerung oder Verzögerung gerügt wird, unmittelbar beim Bundesgericht angefochten werden können, d.h. sich gegen das Untätigwerden einer Vorinstanz gemäss <ref-law> richten (vgl. Urteil 2C_543/2016 vom 18. August 2016 E. 2.1).
2.
Der Beschwerdeführer kritisiert in erster Linie die Dauer des Verfahrens vor der Staatsanwaltschaft bzw. vor dem erstinstanzlichen Strafgericht und die Dauer des ersten Berufungsverfahrens, welches mit dem vom Beschwerdeführer angefochtenen Urteil des Appellationsgerichts vom 30. Oktober 2017 abgeschlossen wurde. Insoweit richtet sich seine Beschwerde vom 31. Juli 2019 nicht gegen das unrechtmässige Verweigern oder Verzögern eines beim Bundesgericht anfechtbaren Entscheids und ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Ebenfalls nicht einzutreten ist mangels eines anfechtbaren Entscheids im Sinne von Art. 78 Abs. 1 i.V.m. <ref-law> auf das Begehren, das Appellationsgericht sei anzuweisen, den Fall an ein unabhängiges Gericht zu überweisen.
3.
Grundsätzlich steht dem Beschwerdeführer hingegen die Rechtsverzögerungsbeschwerde nach <ref-law> offen, soweit er geltend machen will, das Appellationsgericht verzögere das hängige Berufungsverfahren unrechtmässig.
Bei der Rechtsverweigerungs- und Rechtsverzögerungsbeschwerde gemäss <ref-law> handelt es sich nicht um eine eigene Beschwerdeart. Die Beschwerde muss grundsätzlich die formellen Voraussetzungen für Beschwerden an das Bundesgericht gemäss dem BGG erfüllen. Sie hat die Begehren und deren Begründung zu enthalten, wobei in der Begründung darzutun ist, inwiefern Recht verletzt sei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. Urteil 2C_543/2016 vom 18. August 2016 E. 2.1). Die Verletzung von Grundrechten untersucht das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und genügend begründet worden ist (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer macht zwar geltend, das gegen ihn geführte Strafverfahren dauere insgesamt schon zu lange. Er begründet aber nicht, inwiefern das Appellationsgericht das Verfahren seit der Rückweisung der Sache durch das Bundesgericht am 15. November 2018 unrechtmässig verzögert haben sollte. Eine vom Appellationsgericht zu verantwortende unrechtmässige Verfahrensverzögerung im Sinne von <ref-law> bzw. <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK seit dem genannten Zeitpunkt ist auch nicht ersichtlich. Soweit der Beschwerdeführer seine Rechtsverzögerungsbeschwerde überhaupt genügend begründet, dringt er damit nicht durch.
4.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, dem Strafgericht Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Mattle