Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité de peintre en bâtiment indépendant depuis le 1er juin 2009. Il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité au mois d'août 2014; il y indiquait être en incapacité de travail à des taux oscillant entre 50 % et 70 % depuis le 1er avril 2014.
Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (ci-après: l'office AI) a recueilli des renseignements auprès des médecins traitants de l'assuré (rapports des docteurs B._, spécialiste en rhumatologie et ultrasonographie, du 1er septembre 2014, C._, spécialiste en médecine interne générale et rhumatologie, des 8 septembre 2014 et 29 juin 2015, et D._, spécialiste en médecine interne générale, des 25 septembre 2014 et 13 juillet 2015) qu'il a soumis à la doctoresse E._, médecin au Service médical régional de l'AI (SMR). Celle-ci a confirmé les diagnostics incapacitants de polyarthrite inclassable et de tendinopathie du sous-épineux des deux épaules posés par ses confrères; elle a conclu à une capacité de travail nulle dans l'activité habituelle depuis le mois d'avril 2014, mais entière dans une activité adaptée avec une diminution de rendement de 30 %, à compter du 1er septembre 2015 (rapport du SMR du 31 août 2015). U ne enquête pour activité professionnelle indépendante a également été mise en oeuvre (rapport du 8 décembre 2015), et complétée le 11 février suivant. Celle-ci a permis à l'administration de déterminer que A._ présentait un taux d'invalidité de 41 % dans son activité habituelle. Par décision du 12 janvier 2017, l'office AI a reconnu le droit de A._ à un quart de rente d'invalidité limitée dans le temps pour la période allant du 1er avril au 30 novembre 2015. Il a considéré que le taux d'invalidité de l'assuré était de 30 % à compter du 1er septembre 2015, au vu de la capacité de travail entière dans une activité adaptée existant dès cette date.
B.
Par acte du 13 février 2017, A._ a formé recours contre cette décision. Il concluait, préalablement, à la mise sur pied d'une expertise et, quant au fond, principalement à l'octroi d'une rente d'invalidité - dont la quotité serait déterminée en fonction des résultats de l'expertise à ordonner - à compter du 1er avril 2015; à titre subsidiaire, il demandait le renvoi de la cause à l'administration pour instruction complémentaire. Par jugement du 19 octobre 2017, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a partiellement admis le recours de l'assuré au sens des considérants. Elle a annulé la décision attaquée et reconnu le droit de ce dernier à une rente entière d'invalidité du 1er avril 2015 au 31 mai 2016.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande la réforme en ce sens que l'intimé a droit à un quart de rente d'invalidité du 1er avril 2015 au 31 mai 2016. Il sollicite également l'octroi de l'effet suspensif au recours.
A._ conclut au rejet du recours et demande également le bénéfice de l'assistance judiciaire. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) en propose l'admission.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (<ref-law>) peut être formé pour violation du droit au sens des art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il statue sur la base des faits retenus par la juridiction précédente (<ref-law>), qu'il peut rectifier ou compléter d'office si des lacunes et erreurs manifestes apparaissent aussitôt (<ref-law>). Il n'examine en principe que les griefs allégués et motivés (<ref-law>) surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (<ref-law>). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Le recourant n'est habilité à critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62 et les références).
2.
En instance fédérale, le litige a trait à l'octroi d'une rente d'invalidité limitée dans le temps auquel s'applique par analogie l'<ref-law>. Compte tenu des conclusions du recours, il porte sur l'étendue de la rente de l'assurance-invalidité (un quart de rente au lieu d'une rente entière) du 1er avril 2015 au 31 mai 2016, singulièrement sur la méthode d'évaluation de l'invalidité à appliquer pour cette période.
Le jugement attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'<ref-law>), à son évaluation et au choix de la méthode applicable pour procéder à celle-ci (<ref-law> et <ref-law>; voir aussi <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2 p. 337 s.; arrêt 9C_44/2011 du 1er septembre 2011 consid. 3), ainsi qu'à l'examen des rentes temporaires d'invalidité sous l'angle de la révision du droit aux prestations durables (<ref-law>, art. 29bis et 88a RAI). Il suffit d'y renvoyer.
3.
La juridiction cantonale a considéré que l'administration avait à tort évalué le taux d'invalidité de l'intimé en recourant à la méthode ordinaire et en comparant les résultats d'exploitation avant et après l'invalidité. Elle a jugé qu'il convenait d'appliquer la méthode extraordinaire, et de se référer aux champs d'activité arrêtés dans le rapport d'enquête du 8 décembre 2015. Elle a ainsi constaté que l'assuré était toujours en mesure d'accomplir les tâches de direction et d'administration, ainsi que les travaux légers de peinture, ce qui représentait 30 % de son activité; en revanche, les travaux lourds de peinture, qui correspondaient aux 70 % restants de son activité, ne pouvaient plus du tout être effectués. Les premiers juges ont ensuite déterminé le salaire statistique relatif à chaque champ d'activité selon l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS 2012). En se fondant sur le tableau T17 et en retenant un revenu de 74'928 fr. pour les tâches de direction et d'administration, respectivement de 74'868 fr. pour les travaux légers et lourds de peinture, ils ont fixé le taux d'invalidité de l'intimé à 70 %.
Examinant ensuite à partir de quand la rente devait être limitée dans le temps, l'instance de recours a retenu qu'au regard de l'obligation de diminuer le dommage, un changement d'activité était exigible de la part de l'assuré à partir du 17 février 2016. A ce moment, son taux d'invalidité devait alors être évalué au moyen de la méthode ordinaire de comparaison des revenus, comme l'avait fait l'office recourant; ce procédé revenait à admettre une invalidité de 30 %. En conclusion, les premiers juges ont reconnu le droit de l'intimé à une rente entière d'invalidité du 1er avril 2015 au 31 mai 2016.
4.
L'office recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir reconnu le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité du 1er avril 2015 au 31 mai 2016. Il conteste la méthode appliquée par celle-ci pour calculer le taux d'invalidité de l'intimé pour la période allant du 1er avril 2015 au 17 février 2016. Selon l'administration, les motifs avancés par les premiers juges pour écarter l'application de la méthode ordinaire de comparaison des revenus au profit de la méthode extraordinaire ne sont pas fondés; il était en effet possible de déterminer de manière fiable les revenus avant et après invalidité selon la méthode de la comparaison des revenus. En conséquence, et au vu de la date à laquelle les premiers juges ont considéré qu'un changement d'activité professionnelle était exigible (soit, dès le 17 février 2016), l'intimé devait se voir reconnaître le droit à un quart de rente (et non à une rente entière) limitée dans le temps pour la période allant du 1er avril 2015 au 31 mai 2016.
Pour sa part, l'intimé critique la motivation insuffisante du recours et se rallie entièrement aux considérants du jugement entrepris; il soutient que des facteurs étrangers à l'invalidité ont influencé les résultats de son entreprise.
5.
5.1. On relèvera au préalable que l'argumentation de l'intimé développée à l'appui de l'irrecevabilité du grief de l'office AI, au motif d'une motivation ne satisfaisant pas aux exigences de l'<ref-law>, est mal fondée. Contrairement à ce qu'il soutient, on constate, à la lecture du recours, que la motivation permet de reconnaître en quoi l'application de la méthode ordinaire d'évaluation de l'invalidité conduit au résultat auquel l'administration conclut, soit à la reconnaissance du droit de l'intimé à un quart de rente pour la période allant du 1er avril 2015 au 31 mai 2016.
5.2. Le choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité est une question de droit sur laquelle le Tribunal fédéral se prononce librement (arrêts 9C_403/2016 du 12 janvier 2017 consid. 7.2 et 9C_237/2016 du 24 août 2016 consid. 2.2).
Chez les assurés actifs, le taux d'invalidité doit en principe être déterminé d'après la méthode ordinaire de comparaison des revenus; ainsi, le revenu que l'assuré aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide est comparé avec celui qu'il pourrait obtenir en exerçant l'activité qui peut raisonnablement être exigée de lui après les traitements et les mesures de réadaptation, sur un marché du travail équilibré (<ref-law> et <ref-law>). Lorsque l'assuré est une personne de condition indépendante, la comparaison porte sur les résultats d'exploitation réalisés dans son entreprise avant et après la survenance de l'invalidité. Ce n'est que si ces données comptables ne permettent pas de tirer des conclusions valables sur la diminution de la capacité de gain due à l'invalidité - ce qui est le cas lorsque les résultats de l'exploitation ont été influencés par des facteurs étrangers à l'invalidité - que le taux d'invalidité doit être évalué en application de la méthode extraordinaire. A cet égard, les résultats d'exploitation d'une entreprise dépendent en effet souvent de nombreux paramètres difficiles à apprécier, tels que la situation conjoncturelle, la concurrence, l'aide ponctuelle des membres de la famille, des personnes intéressées dans l'entreprise ou des collaborateurs, lesquels constituent des facteurs étrangers à l'invalidité. Ainsi, il convient, dans chaque cas, afin de déterminer la méthode d'évaluation applicable, d'examiner si les documents comptables permettent ou non de distinguer la part du revenu qu'il faut attribuer aux facteurs étrangers à l'invalidité de celle qui revient à la propre prestation de travail de l'assuré (arrêts 9C_106/2011 du 14 octobre 2011 consid. 4.3, I 83/97 du 16 octobre 1997 consid. 2c, in VSI 1998 p. 121, et I 432/97 du 30 mars 1998 consid. 4a, in VSI 1998 p. 255).
5.3. En l'espèce, le grief de l'office recourant est bien fondé. Contrairement à ce que la juridiction cantonale a retenu, les données comptables de l'entreprise de l'intimé permettaient de distinguer la part du revenu résultant exclusivement de la prestation personnelle de travail de ce dernier de celle qu'il fallait attribuer à des facteurs étrangers à l'invalidité; elles constituaient donc une base valable pour évaluer son incapacité de gain. A cet égard, les premiers juges ne peuvent en effet pas être suivis lorsqu'ils affirment que "l'assuré a [...] été contraint de sous-traiter une partie de ses activités, ce qui a contribué de manière prépondérante à la réalisation du chiffre d'affaires de l'entreprise et, partant, de son bénéfice d'exploitation". Comme le relève à juste titre l'administration, il ressort des comptes d'exploitation de l'entreprise de l'assuré que les frais résultant de la sous-traitance pour les années à compter de la survenance de l'atteinte à la santé (soit, 9'758 fr. en 2014 et 13'157 fr. en 2015) ont été soustraits du chiffre d'affaires de l'entreprise. Or dans la mesure où l'intimé exploitait alors une entreprise individuelle et n'avait plus d'employé à partir de la fin de l'année 2014 (rapport d'enquête du 8 décembre 2015, p. 6: "le contrat de travail n'a pas été reconduit sur l'année 2014"), il faut admettre qu'après déduction de ces frais et des autres frais liés à l'exploitation de l'entreprise (achats de marchandises et frais généraux, notamment), le bénéfice net d'exploitation correspond à la part de revenu résultant de la prestation de travail de l'assuré.
Par ailleurs, à l'inverse de ce que les premiers juges ont retenu, l'intimé n'a pas engagé du personnel temporaire à la suite de ses ennuis de santé. A la lecture du rapport d'enquête pour activité professionnelle indépendante du 8 décembre 2015, on constate effectivement que l'intéressé n'employait plus de personnel; il faisait dorénavant appel à son ancien ouvrier en tant que sous-traitant. Quant à la "perte d'une partie de la clientèle" qui serait étrangère à l'invalidité selon la juridiction cantonale, il s'agit d'une circonstance qui n'est pas non plus déterminante en l'occurrence. Lors de l'enquête économique, l'assuré a indiqué travailler principalement avec un seul client, sans faire état d'une diminution des mandats. Il n'apparaît donc pas que la baisse d'une partie des activités ne soit pas liée à son atteinte à la santé; la diminution de son rendement consécutive à celle-ci a été prise en compte puisqu'elle s'est répercutée sur le montant du chiffre d'affaires de son entreprise. Celui-ci peut donc servir de base pour établir sa perte de gain.
On ajoutera finalement que l'argumentation de l'intimé, selon laquelle l'aide de son fils constitue un facteur étranger à l'invalidité de nature à influencer les résultats de son exploitation, ne peut pas être suivie. Il ressort en effet du rapport d'enquête du 8 décembre 2015 que l'aide apportée par le fils du recourant est somme toute d'une importance minime ("Son fils l'aide à raison d'une heure par semaine, en général, durant le week-end") et qu'elle est prodiguée en raison du fait que le recourant "écrit mal le français et ne maîtrise pas vraiment les outils informatiques". Dans la mesure où le besoin d'aide de l'intéressé ne découle pas de son atteinte à la santé, il apparaît vraisemblable qu'il était déjà aidé par son fils avant la survenance de ses problèmes de santé.
5.4. Compte tenu de ce qui précède, l'invalidité de l'intimé devait être évaluée conformément à la méthode ordinaire de comparaison des revenus appliquée par l'office recourant pour la période en cause. En application de celle-ci et en fonction des résultats de l'enquête économique fondée sur le compte d'exploitation de l'entreprise, le taux d'invalidité de l'intimée devait être fixé à 41 %, soit: (60'000 fr. [revenu sans invalidité, correspondant aux résultats des comptes pertes et profits des années 2011 à 2013] - 35'600 fr. [revenu d'invalide, correspondant au résultat d'exploitation de l'année 2015])./. 60'000 fr. x 100 = 41 %.
6.
Vu le présent arrêt, la requête d'attribution de l'effet suspensif au recours n'a plus d'objet.
7.
Compte tenu de l'issue du litige, les frais de justice doivent être mis à la charge de l'intimé (<ref-law>). L'assistance judiciaire lui est cependant accordée dès lors qu'il en remplit les conditions (art. 64 al. 1 et 2 LTF). Il est rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la caisse du Tribunal fédéral, s'il devient ultérieurement en mesure de le faire (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le chiffre 4 du dispositif de la décision de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 19 octobre 2017 est réformé en ce sens que l'intimé a droit à un quart de rente d'invalidité du 1 er avril 2015 au 31 mai 2016; les chiffres 5 et 6 du dispositif de ladite décision sont annulés.
2.
L'assistance judiciaire est accordée à l'intimé et M e Kevin Saddier lui est désigné comme avocat d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'400 fr. est allouée à l'avocat de l'intimé à titre d'honoraires à payer par la caisse du Tribunal fédéral.
5.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 28 mai 2018
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Perrenoud