Sachverhalt:
A.
A._ setzt sich gegen den Ausschluss aus der Baugenossenschaft B._ zur Wehr. Anlässlich der Generalversammlung vom 12. Mai 2016, an der die Baugenossenschaft über seinen Ausschluss befand, soll ihm eigener Darstellung zufolge Rechtsanwalt C._ vorgeworfen haben, den objektiven Tatbestand der Erpressung erfüllt zu haben. A._ beanstandet das als Verletzung seiner Persönlichkeit.
B.
B.a. Nach erfolgloser Schlichtungsverhandlung reichte A._ am 17. Januar 2017 beim Bezirksgericht Zürich gegen die Baugenossenschaft B._ Klage wegen Persönlichkeitsverletzung ein. Für diesen Prozess ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege.
B.b. In seinem Beschluss vom 6. Februar 2017 bejahte das Bezirksgericht die Bedürftigkeit des Beschwerdeführers, hielt die Klage aber für aussichtslos und forderte A._ deshalb auf, binnen zehn Tagen einen Kostenvorschuss von Fr. 4'000.-- zu leisten.
B.c. Die von A._ gegen diesen Beschluss eingereichte Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich blieb ohne Erfolg. Die Beschwerde wurde abgewiesen, ebenso das Armenrechtsgesuch, das A._ für das kantonale Beschwerdeverfahren gestellt hatte, und die Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- A._ auferlegt (Urteil vom 4. September 2017).
C.
Mit "Beschwerde und subsidiärer Verfassungsbeschwerde" vom 11. September 2017 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, den vorinstanzlichen Entscheid aufzuheben und ihm die unentgeltliche Prozessführung vor den Vorinstanzen zu gewähren. Ferner sei ihm auch im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bezeichnen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist binnen Frist (<ref-law>) zum einen der Entscheid, mit dem das Obergericht die Abweisung des Armenrechtsgesuchs des Beschwerdeführers für den Zivilprozess vor dem Bezirksgericht bestätigt. Das ist ein Entscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht auf Rechtsmittel hin entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG). Zum andern wehrt sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht auch gegen die Abweisung seines Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren. Allein unter dem Blickwinkel von <ref-law> ist seine Beschwerde auch in dieser Hinsicht zulässig (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f. mit Hinweisen).
1.2. Der selbständig eröffnete Beschluss des Bezirksgerichts ist ein Zwischenentscheid, der einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG bewirken kann (Urteil 5D_158/2013 vom 24. September 2013 E. 1 mit Hinweisen). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg demjenigen der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647 f.). Dort geht es um eine Persönlichkeitsverletzung (<ref-law>), wobei der Beschwerdeführer von der Baugenossenschaft B._ auch Schadenersatz ("jedenfalls über Fr. 25'000.--) und Genugtuung (Fr. 5'000.--) fordert. Steht - wie hier - der Streit um die Feststellung der vermeintlich erlittenen Persönlichkeitsverletzung im Vordergrund, so unterliegt diese Zivilsache (<ref-law>) dem Streitwerterfordernis gemäss Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG nicht (Urteil 5A_658/2014 vom 6. Mai 2015 E. 1 mit Hinweisen). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit auch gegen den Zwischenentscheid gegeben und auf die gleichzeitig erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten (<ref-law>).
2.
Der prozessuale Antrag des Beschwerdeführers, ihm für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren einen Rechtsbeistand zu bestellen, wird abgewiesen. Das Bundesgericht bestellt einen solchen nur in Fällen, in denen ein Beschwerdeführer offensichtlich unfähig zur Prozessführung ist (<ref-law>; Urteil 6B_13/2015 vom 11. Februar 2015 E. 3). Dies ist nicht der Fall, wenn ein Beschwerdeführer in der Lage ist, sein Anliegen selbst vorzutragen, oder wenn er zumindest die Möglichkeit hat, einen Rechtsvertreter mit der Wahrnehmung seiner Interessen zu beauftragen.
3.
Zulässig sind im hiesigen Verfahren rechtliche Vorbringen im Sinne von Art. 95 f. BGG. Hingegen ist die obergerichtliche Sachverhaltsfeststellung für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (<ref-law>). Will der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung beanstanden, so muss er in der Beschwerdeschrift mit klar und detailliert erhobenen und soweit möglich belegten Rügen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 246) dartun, inwiefern diese Feststellung offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist und inwiefern die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 1.5 S. 129 f.). Zum Sachverhalt gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Das Rügeprinzip gilt auch, soweit der Beschwerdeführer die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend macht (<ref-law>).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz eine formelle Rechtsverweigerung bzw. eine Verletzung der Art. 29 und 30 BV sowie Art. 6 und 13 EMRK vor, weil er keine Möglichkeit gehabt habe, gegen Richter der Erstinstanz ein Ausstandsbegehren zu stellen. Die Vorinstanz habe seine diesbezügliche Rüge willkürlich (<ref-law>) als ein bei der Vorinstanz anhängig gemachtes Ausstandsbegehren missverstanden.
4.2. Die Vorwürfe sind unbegründet. Der Beschwerdeführer hatte keinen Anspruch darauf, im Vorfeld des Entscheids darüber informiert zu werden, welche Richter in erster Instanz sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung behandeln (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 124 f.; Urteil 4A_62/2014 vom 20. Mai 2014 E. 3.1). Im Gegenzug blieb er frei, gegen diese Richter beschwerdeweise ein Ausstandsbegehren zu stellen. Entsprechende Ausstandsgründe tut der Beschwerdeführer weder dar noch springen sie in die Augen.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, ihm keinen Vertreter nach <ref-law> bestellt zu haben, ihm gleichzeitig aber eine "Litanei von Verfahrensfehlern" vorzuhalten.
5.2. Auch die kantonalen (Zivil-) Gerichte sind gestützt auf <ref-law> nur dann gehalten, einer Partei eine Rechtsvertretung zu bestellen, wenn diese offensichtlich nicht im Stande ist, den Prozess selbst zu führen oder eine Vertretung zu bestellen. Eine solche Unfähigkeit ist nicht leichthin anzunehmen; grundsätzlich ist jede Partei selbst dafür verantwortlich, dass ihre Eingabe den gesetzlichen Anforderungen genügt (s. Urteil 5A_618/2012 vom 27. Mai 2013 E. 3.1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-law> und dazu Urteil 5A_368/2014 vom 19. November 2014 E. 5.2). Die Vorinstanz kommt zum Schluss, dass der Beschwerdeführer offenkundig in der Lage gewesen wäre, eine Vertretung zu suchen und zu mandatieren. Mit dieser Erkenntnis setzt sich der Beschwerdeführer nicht näher auseinander. Auf den Vorwurf einer möglichen Verletzung von <ref-law> ist daher nicht einzutreten.
6.
6.1. Im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege erwägt die Vorinstanz, dass eine für das Bezirksgericht wesentliche Frage gewesen sei, ob die angeblichen Äusserungen von Rechtsanwalt C._ der Baugenossenschaft B._ zuzurechnen seien. Der Beschwerdeführer beharre darauf, dass eine juristische Person durch natürliche Personen handeln müsse; daher sei sie immer verantwortlich für das Handeln ihrer Organe und eines von ihr bestellten Rechtsvertreters. Das Bezirksgericht habe dem Beschwerdeführer vorgehalten, dass er nicht spezifiziere, ob Rechtsanwalt C._ die beanstandete Äusserung als Genossenschafter, als Organ der Beklagten oder als extern beauftragter Rechtskonsulent tat. Darauf komme es aber an. Mit diesem Punkt setze sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Neue Behauptungen und Beweismittel seien in diesem Stadium des Verfahrens ebenso wenig zulässig wie der Antrag auf Beiziehung von Akten.
Des Weiteren erinnert die Vorinstanz daran, dass das Bezirksgericht in der Klage auch notwendige Elemente für die Klage vermisst habe, wie Ausführungen zu einer fortdauernden Störung durch eine Verletzung in der Persönlichkeit bzw. zu einem Feststellungsinteresse, ferner eine Begründung für die Höhe des geltend gemachten Schadens und der Genugtuung. Warum das falsch sein sollte, tue der Beschwerdeführer im kantonalen Rechtsmittelverfahren nicht dar. Die Bemerkung, das Bezirksgericht sei an dieser Stelle "nicht nur juristisch (unglaublich) inkompetent, sondern auch willkürlich", enthalte keine Kritik, die das Obergericht würdigen könne. Darauf sei nicht einzutreten.
6.2. Der Beschwerdeführer bestreitet, sich in seiner Beschwerde nicht mit der Frage auseinandergesetzt zu haben, in welcher Eigenschaft der Anwalt der Beklagten an der Generalversammlung vom 12. Mai 2016 gehandelt habe. Er macht ferner geltend, mit dem Protokoll der Generalversammlung vom 12. Mai 2016 den liquiden Beweis dafür erbracht zu haben, in welcher Eigenschaft der Anwalt gehandelt habe. Die Vorinstanz erachte mit <ref-ruling> einen Fall für einschlägig, der überhaupt nicht zum vorliegenden Sachverhalt passe. Dies verletze Art. 9, 29 und 30 BV und Art. 6 EMRK. Im Ergebnis habe die Vorinstanz damit einen aktenwidrigen Sachverhalt festgestellt. <ref-law> sowie Art. 8, 13 und 14 EMRK würden dazu verpflichten, seine Persönlichkeit zu schützen. Dies sei im vorliegenden Fall nicht geschehen, indem die ihm verweigerte unentgeltliche Rechtspflege ihn daran hindere, sich erfolgreich gegen die erfolgte Diffamierung zu wehren.
7.
7.1. Eine Person hat Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Art. 117 Bst. a ZPO) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 117 Bst. b ZPO). Als aussichtslos im Sinn von Art. 117 Bst. b ZPO (und von <ref-law>) sind Begehren anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese (zuletzt <ref-ruling> E. 9.1 S. 537; <ref-ruling> E. 2.2 S. 476 f.). Geht es um die Frage, ob die unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren gewährt wird, ist massgebend, ob das Rechtsmittel aus Sicht einer vernünftigen Partei hinreichend erfolgversprechend war. Die Prognose ist vom Inhalt des angefochtenen Entscheides sowie davon abhängig, in welchen Punkten sowie mit welchen Rügen und (allenfalls neuen) Tatsachen der Gesuchsteller sich gegen diesen Entscheid wendet und ob die Vorbringen im Rechtsmittel zulässig sind. Wird dem erstinstanzlichen Urteil nichts Substanzielles entgegengesetzt, besteht die Gefahr, dass das Rechtsmittel als aussichtslos beurteilt wird (Urteile 5D_164/2015 vom 11. Januar 2016 E. 5; 5D_76/2015 vom 5. Oktober 2015 E. 4.3; 4A_193/2012 vom 20. August 2012 E. 2.2; 5A_145/2010 vom 7. April 2010 E. 3.3). Niemand soll bloss deshalb prozessieren, weil er dies zu Lasten des Staates tun kann.
7.2. Die Kritik, die der Beschwerdeführer am Urteil der Vorinstanz übt, ist insofern nachvollziehbar, als das Obergericht das bezirksgerichtliche Urteil tatsächlich etwas verkürzt wiedergibt. Dem erstinstanzlichen Entscheid zufolge blieb aufgrund der Vorbringen des Beschwerdeführers unklar, unter welchen näheren Umständen Rechtsanwalt C._ anlässlich der Generalversammlung der Baugenossenschaft B._ die streitige Äusserung von sich gab. Entgegen dem, was der angefochtene Entscheid unterstellt, war dies für das Bezirksgericht aber nicht ausschlaggebend. Im Vordergrund stand vielmehr die Erkenntnis, dass einzelne Voten von Teilnehmern bzw. des Verwaltungsrats im Rahmen einer internen Abstimmung an der Generalversammlung nicht als Voten der Genossenschaft zu qualifizieren seien, zumal die Genossenschaft keine Verpflichtung habe, solche Voten im Voraus zu kontrollieren und zu prüfen. Ausgehend davon befand das Bezirksgericht, eine Verantwortlichkeit der Baugenossenschaft B._ lasse sich weder aufgrund der Akten noch der pauschalen Behauptungen des Beschwerdeführers ersehen, weshalb die Klage "derzeit als aussichtslos betrachtet werden" müsse. Diese Einschätzung ist im Hinblick darauf, dass beim Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege die Rechtslage im Streit um die Hauptsache nur summarisch geprüft wird, nicht zu beanstanden. Daran ändert nichts, dass es in <ref-ruling>, wie bereits die Vorinstanz feststellte, um eine andere Frage ging. Dazu kommt, dass der Beschwerdeführer im hiesigen Verfahren auch nicht auf die Erkenntnis der kantonalen Instanzen eingeht, wonach er weitere wesentliche Elemente des Klagefundaments nicht substantiiert habe (s. E. 6.1). Auch unter diesem Gesichtspunkt vermag er den angefochtenen Rechtsmittelentscheid nicht ins Wanken zu bringen.
7.3. Was das Armenrechtsgesuch für das kantonale Beschwerdeverfahren angeht, fusst der angefochtene Entscheid sinngemäss auf der Erkenntnis, dass sich der Beschwerdeführer nicht hinreichend mit dem erstinstanzlichen Entscheid auseinandersetze. Soweit sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht dagegen wehrt, beruft er sich im Wesentlichen darauf, dass ja schon das Bezirksgericht sachverhaltsmässig "präjudiziert" habe, in welcher Eigenschaft Rechtsanwalt C._ aufgetreten sei. Wie die vorigen Erwägungen (E. 7.2) zeigen, trifft dies gerade nicht zu. An der vom Beschwerdeführer zitierten Stelle resümiert das Bezirksgericht lediglich die Vorbringen des Beschwerdeführers. Im Übrigen äussert sich der Beschwerdeführer im hiesigen Verfahren auch nicht zur vorinstanzlichen Erkenntnis, wonach er in seiner kantonalen Beschwerde nicht auf die erstinstanzliche Einschätzung eingegangen sei, dass seine Klage auch hinsichtlich weiterer Elemente ungenügend begründet war. Entsprechend muss es auch mit der Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren sein Bewenden haben.
8.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Damit wird der nicht von einem Anwalt vertretene Beschwerdeführer kosten-, aber nicht entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 3 BGG). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (<ref-law>) kann nicht entsprochen werden. Die Beschwerde muss von Beginn weg als aussichtslos gelten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bezirksgericht Zürich, 10. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn