Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (Auftraggeber, Beschwerdeführer) war seit 1996 Arbeitnehmer der C._ AG. Diese hatte für ihre Angestellten eine kollektive Krankentaggeldversicherung bei der D.D._ AG abgeschlossen. Im Juni 2004 wurde der Auftraggeber zufolge Krankheit zu 100 % arbeitsunfähig. Er meldete seine Arbeitsunfähigkeit im Oktober 2004 der Versicherung und ersuchte um Auszahlung von Taggeldern. In der Folge kam es zu einer jahrelangen Korrespondenz betreffend die geltend gemachten Taggeldansprüche. Im Jahr 2006 mandatierte der Auftraggeber Rechtsanwalt Dr. iur. F._ zur Wahrung seiner Interessen. Im Jahr 2007 zog er Rechtsanwalt G._ bei. In der Folge kam es in diesen Mandatsverhältnissen zu Differenzen betreffend das geschuldete Honorar. Am 2. September 2010 erhob Rechtsanwalt G._ beim Bezirksgericht Zürich Klage gegen den Auftraggeber betreffend offene Honorarforderungen. Letzterer liess sich in diesem Prozess durch Rechtsanwältin B._ (Beauftragte, Beschwerdegegnerin) vertreten. Mit Urteil vom 7. Mai 2012 wies das Bezirksgericht die Klage von Rechtsanwalt G._ ab und hiess die Widerklage des Auftraggebers auf Rückerstattung eines Teils des Honorars gut.
A.b. In der Folge mandatierte der Auftraggeber die Beauftragte mit einer Klage gegen Rechtsanwalt Dr. iur. H._, den Büropartner des inzwischen verstorbenen Rechtsanwalts I._, weil Letzterer es pflichtwidrig unterlassen habe, die zur Unterbrechung der Verjährung der Forderungen aus der Krankentaggeldversicherung gebotenen Massnahmen zu ergreifen. Die Beauftragte bereitete daraufhin eine Klage vor und stellte dafür Rechnungen, welche der Auftraggeber bezahlte.
A.c. Mitte 2013 empfahl die Beauftragte dem Auftraggeber, gestützt auf den zwischenzeitlich ergangenen <ref-ruling> betreffend die Verjährung der Ansprüche auf Taggeldleistungen, zunächst gegen die "D._ Versicherung" auf Leistung von Taggeldern zu klagen. In der Folge unterschrieb der Auftraggeber am 14. Dezember 2013 eine Vollmacht für eine Klage gegen die D.E._ AG. Diese wurde am 18. Dezember 2013 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich eingereicht (nachfolgend auch: Erstprozess). Es wurde eine Forderung in Höhe von Fr. 313'858.60 nebst 5 % Zins seit 24. Januar 2007 geltend gemacht. Die D.E._ AG bestritt in der Duplik erstmals ihre Passivlegitimation und machte geltend, die Versicherungspolice laute auf die D.D._ AG. In der Folge führte das Sozialversicherungsgericht einen weiteren Schriftenwechsel durch und wies die Klage hernach mit Urteil vom 24. Februar 2016 mangels Passivlegitimation der D.E._ AG ab. Es verwarf die Einwendungen des Auftraggebers bzw. der Beauftragten, wonach das Verhalten der D.E._ AG rechtsmissbräuchlich sei und diese solidarisch mit der D.D._ AG hafte. Einem Parteiwechsel habe keine der Gesellschaften zugestimmt. Der Auftraggeber wurde zu einer Parteientschädigung von Fr. 7'931.-- verpflichtet. Die Beauftragte stellte dem Auftraggeber für ihre Arbeiten in diesem Verfahren ein Honorar in Höhe von Fr. 69'656.80 in Rechnung, welches er bezahlte.
A.d. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts wurde von der D.E._ AG beim Bundesgericht wegen der als zu niedrig erachteten Parteientschädigung angefochten (Urteil 4A_220/2016 vom 27. Juli 2016). Es wies die Beschwerde ab und sprach dem Auftraggeber eine Parteientschädigung in Höhe von Fr. 2'500.-- für das bundesgerichtliche Verfahren zu. Diese Entschädigung deckte seine Anwaltskosten im Betrag von Fr. 2'268.-- nicht.
A.e. Die Beauftragte empfahl dem Auftraggeber die Prüfung einer Strafanzeige gegen die D.E._ AG - namentlich wegen möglicher Verstösse gegen das Datenschutzgesetz und unbefugter Verschaffung besonders schützenswerter Personendaten - und schlug ihm für das strafrechtliche Verfahren Rechtsanwalt Dr. iur. J._ vor. In der Folge mandatierte der Auftraggeber Rechtsanwalt Dr. iur. K._ mit der Prüfung, welcher für seine Tätigkeit Rechnung in Höhe von Fr. 2'592.-- stellte.
A.f. Die Beauftragte bot dem Auftraggeber zudem an, eine neue Klage gegen die D.D._ AG unter Zugrundelegung der bisherigen Rechtsschriften kostenlos einzureichen, wollte aber alle weiteren Tätigkeiten ab der Klageantwort nochmals neu verrechnen. Der Auftraggeber forderte hingegen die vollständig kostenlose Führung des neuen Prozesses. Überdies verlangte er die Übernahme der Parteientschädigung, welche er im Prozess gegen die D.E._ AG zu entrichten hatte (vgl. hiervor lit. A.d). Weil die Parteien sich nicht einig wurden, betraute der Auftraggeber Rechtsanwalt L._ mit der Vertretung seiner Interessen im Prozess gegen die D.D._ AG. Dieser reichte die Klage am 26. September 2016 beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ein (nachfolgend auch: Zweitprozess). Mit der Replik betraute der Auftraggeber Rechtsanwalt M._. Mit Urteil vom 16. Oktober 2018 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage im Umfang von Fr. 188'308.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit dem 24. Januar 2007 gut und wies sie im Übrigen ab.
B.
B.a. Am 30. Oktober 2017 reichte der Auftraggeber beim Bezirksgericht Hinwil gegen die Beauftragte Klage ein, wobei er von dieser die Rückerstattung des ihr für das Verfahren gegen die D.E._ AG bezahlten Honorars von Fr. 69'656.80 sowie jenes für ihre Tätigkeiten in Sachen Rechtsanwalt H._ in Höhe von Fr. 11'754.95 begehrte. Weiter verlangte er die Leistung von Schadenersatz für das angeblich pflichtwidrige Verhalten der Beauftragten. Dieses habe sich in der im Verfahren gegen die D.E._ AG zu leistenden Prozessentschädigung von Fr. 7'391.-- sowie im nicht gedeckten Teil seiner Anwaltskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 2'268.--, den Honorarkosten von Rechtsanwalt K._ von Fr. 2'592.-- sowie den Kosten der Betreibungen gegen Rechtsanwalt G._, der N._ AG und gegen die Beauftragte selbst niedergeschlagen. Schliesslich forderte er überdies Schadenersatz von Fr. 216.45, da der Beauftragten in der Widerklage gegen Rechtsanwalt G._ ein Rechenfehler unterlaufen sei, was zu einem tieferen Prozessgewinn geführt habe.
Das Bezirksgericht hiess die Klage mit Entscheid vom 19. Dezember 2019 teilweise gut und verpflichtete die Beauftragte, dem Auftraggeber aufgrund sorgfaltswidriger Auftragsausführung die im Verfahren gegen die D.E._ AG zu leistende Prozessentschädigung (Fr. 7391.--), die nicht gedeckten Anwaltskosten für das bundesgerichtliche Verfahren (Fr. 2'268.--), die Hälfte des Honorars von Rechtsanwalt K._ (Fr. 1'296.--) sowie den entgangenen Betrag im Prozess gegen Rechtsanwalt G._ (Fr. 216.45) zu erstatten. Im Übrigen wies es die Klage ab.
Es hielt fest, die Beauftragte habe eine Sorgfaltspflichtverletzung begangen, indem sie es unterlassen habe, vor Einleitung der Klage gegen die D.E._ AG deren Passivlegitimation zu prüfen. Eine Rückerstattung des auf die mit dieser Klage zusammenhängenden Tätigkeiten der Beauftragten entfallenden Honorars verneinte das Bezirksgericht jedoch mit der Begründung, diese Aufwendungen seien nicht nutzlos gewesen. Diese seien - abgesehen von den Aufwendungen im Zusammenhang mit der Bestreitung der Einrede der fehlenden Passivlegitimation - im Zweitprozess gegen die D.D._ AG von identischem Wert gewesen und hätten sich im Honorar der später beigezogenen Anwälte niederschlagen müssen. Demgegenüber erachtete es die vom Auftraggeber zu leistende Parteientschädigung im Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht sowie seine ungedeckten Anwaltskosten im bundesgerichtlichen Verfahren als völlig unnütz.
Des Weiteren qualifizierte das Bezirksgericht die dem Auftraggeber entstandenen Honorarkosten für die Tätigkeiten von Rechtsanwalt K._ ebenfalls als Folge der Sorgfaltswidrigkeit der Beauftragten. Es reduzierte jedoch den geltend gemachten Schadenersatz um die Hälfte, da dem Auftraggeber habe klar sein müssen, dass durch die Konsultation eines weiteren Anwalts wiederum Kosten entstünden und das Risiko bestehe, dass ein spezialisierter Anwalt ihm von einer Strafanzeige abraten würde. Ebenfalls eine Sorgfaltspflichtverletzung erblickte es im Rechenfehler der Beauftragten im gegen Rechtsanwalt G._ geführten Prozess.
B.b. Gegen diesen Entscheid erhob der Auftraggeber am 13. Februar 2019 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich und beantragte - mit Ausnahme der Kosten für die Betreibung gegen die Beauftragte - die Bezahlung der vom Bezirksgericht nicht zugesprochenen Beträge.
Mit Urteil vom 20. Mai 2020 wies das Obergericht die Berufung ab. Es hielt im Wesentlichen fest, die Beauftragte habe im Verfahren gegen die D.E._ AG zwar eine Sorgfaltspflichtverletzung begangen, doch hätten die Anwälte des Auftraggebers im Zweitprozess gegen die D.D._ AG die Arbeiten der Beauftragten vollumfänglich verwenden können. Demgegenüber fehle es beim in Sachen Rechtsanwalt H._ getätigten Aufwand bereits an einer Sorgfaltspflichtverletzung, da die Beauftragte angesichts des Urteils des Bezirksgerichts Zürich vom 7. Mai 2012 noch im Dezember 2012 davon habe ausgehen dürfen, eine Klage gegen Rechtsanwalt H._ habe Aussicht auf Erfolg, weil die Verjährung der Taggeldansprüche - wie vom Bezirksgericht angenommen - eingetreten sei und Rechtsanwalt I._ sorgfaltswidrig die Unterbrechung der Verjährung unterlassen habe. Ebenfalls keine Sorgfaltspflichtverletzung erblickte das Obergericht im Rat der Beauftragten, einen auf Strafrecht spezialisierten Anwalt beizuziehen. Im Gegenteil sei dies geradezu geboten gewesen, wenn sich die Beauftragte als nicht kompetent genug erachtet habe. Die dem Auftraggeber entstandenen Kosten für die Betreibungen gegen Rechtsanwalt G._ sowie gegen die N._ AG habe er selbst zu verantworten, da er sich aus eigenen Stücken und ohne Rücksprache mit der Beauftragten zu diesen Betreibungen entschlossen habe.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 26. Juni 2020 beantragt der Beschwerdeführer, das Urteil des Obergerichts kostenfällig aufzuheben und die Beschwerdegegnerin zur Bezahlung folgender Beträge (jeweils zuzüglich Zins) zu verpflichten:
- Fr. 69'656.80 (an Beschwerdegegnerin bezahltes Honorar für das Verfahren gegen die D.E._ AG; Sachverhalt A.c);
- Fr. 11'754.95 (an Beschwerdegegnerin bezahltes Honorar für ihre Tätigkeiten in Sachen Rechtsanwalt H._; Sachverhalt A.b);
- Fr. 1'296.00 (von der Vorinstanz nicht zugesprochener Teil [50 %] des an Rechtsanwalt K._ bezahlten Honorars; Sachverhalt A.e);
- Fr. 203.30 (Kosten für die Betreibung gegen Rechtsanwalt G._);
- Fr. 203.30 (Kosten für die Betreibung gegen die N._ AG).
Eventualiter sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdegegnerin trägt auf Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten ist; die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung. Die Parteien replizierten bzw. duplizierten unaufgefordert. Der Beschwerdeführer reichte überdies unaufgefordert eine Triplik ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
1.2.2. Diese Grundsätze verkennt der Beschwerdeführer, wenn er in seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht den Sachverhalt eingehend aus seiner Sicht schildert, ohne substanziierte Rügen vorzutragen. Die entsprechenden Ausführungen haben unbeachtet zu bleiben. Massgebend bleibt der von der Vorinstanz festgestellte Sachverhalt.
1.3. Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 362). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 88).
2.
Umstritten ist zunächst, ob dem Beschwerdeführer ein Anspruch auf Rückerstattung des an die Beschwerdegegnerin bezahlten Honorars für das sozialversicherungsrechtliche Verfahren in Höhe von Fr. 69'656.80 aufgrund einer oder mehrerer Sorgfaltspflichtverletzungen zusteht.
2.1. Wird ein Auftrag nicht sorgfältig ausgeführt, kann dies zu einer Herabsetzung der Vergütung als vertraglicher Gegenleistung im Sinne von <ref-law> führen. Wenn das Ergebnis des unsorgfältigen Beauftragten für den Auftraggeber vollständig unbrauchbar ist, schuldet er diesem gar keine Vergütung (<ref-ruling> E. 4a S. 427; Urteile 4A_412/2019 vom 27. April 2020 E. 8.3.1; 4A_444/2019 vom 21. April 2020 E. 3; 4A_658/2015 vom 30. März 2016 E. 3.1; 4A_364/2013 vom 5. März 2014 E. 14.1; je mit Hinweisen). Die Beweislast für die (teilweise) Unbrauchbarkeit der unsorgfältig erbrachten Leistung des Beauftragten trägt der Auftraggeber (Derendinger Peter, Die Nicht- und die nichtrichtige Erfüllung des einfachen Auftrags, 2. Aufl. 1990, S. 209 Rz. 449; Walter Fellmann, Berner Kommentar, 1992, N. 543 zu <ref-law>). Mithin impliziert das Vorliegen einer Sorgfaltspflichtverletzung nicht die teilweise oder vollständige Unbrauchbarkeit der Leistung. Der eine Herabsetzung des Honorars fordernde Auftraggeber hat folglich neben der Verletzung der Sorgfaltspflicht (DERENDINGER, a.a.O., S. 208 Rz. 448; FELLMANN, a.a.O., N. 541 zu <ref-law>) auch die (teilweise oder vollständige) Unbrauchbarkeit nachzuweisen.
2.2. Vor der Vorinstanz bereits nicht mehr umstritten war, dass die Beschwerdegegnerin durch das Einklagen der falschen Partei eine Sorgfaltspflichtverletzung begangen hatte. Abgesehen von dieser Pflichtverletzung machte der Beschwerdeführer weitere Pflichtverletzungen geltend, welche die Vorinstanz jedoch allesamt verneinte. Wenn der Beschwerdeführer vor Bundesgericht die entsprechenden vorinstanzlichen Erwägungen beanstandet, vermag er indes nicht aufzuzeigen, inwiefern die Bejahung einer oder mehrerer der von ihm vorgebrachten angeblichen Sorgfaltspflichtverletzungen etwas am Ergebnis der Vorinstanz zu ändern vermöchte. Insofern muss auf diese Rügen nicht eingegangen werden.
2.3. Die Vorinstanz hielt fest, die Beschwerdegegnerin habe bei der Klageeinleitung die Passivlegitimation zu wenig genau geprüft, den Beschwerdeführer nicht darüber aufgeklärt und die falsche Partei eingeklagt, doch führe diese Pflichtverletzung weder zur kompletten noch zur teilweisen Rückerstattung des Honorars, da die von der Beschwerdegegnerin in Rechnung gestellten Aufwände nicht nutzlos gewesen seien. Es sei offensichtlich, dass die neuen Anwälte des Beschwerdeführers im Folgeprozess gegen die richtige Partei auf die Argumente im Erstprozess hätten zurückgreifen können. Sie seien dadurch bereits in der ersten Rechtsschrift in der Lage gewesen, Argumente und Gegenargumente aufzuführen, welche im Erstprozess erst aufgrund der Klageantwort provoziert worden seien. Bei der Ausarbeitung der Klage und der Replik im Erstprozess sei die Frage der Passivlegitimation noch kein Thema gewesen, weshalb dem Beschwerdeführer auch kein entsprechender Aufwand verrechnet worden sei.
Was die weiteren Aufwendungen betreffe, welche angefallen seien, nachdem die D.E._ AG den Einwand der fehlenden Passivlegitimation (erstmals) in der Duplik vorgebracht habe, seien diese ebenfalls geschuldet. Der Beschwerdeführer habe sich in Kenntnis der Kosten- und Prozessrisiken entschieden, das Verfahren trotz dieses Einwands fortzusetzen; überdies hätten die Ausführungen in der Triplik teilweise ebenfalls im Folgeprozess verwendet werden können.
2.4. Der Beschwerdeführer erblickt in der Ablehnung der Herabsetzung des Honorars durch die Vorinstanz mehrere Bundesrechtsverletzungen.
2.4.1. Zunächst rügt er, es stehe fest, dass er den Prozess gegen die D.E._ AG deshalb verloren habe, weil die Beschwerdegegnerin die falsche Partei ins Recht gefasst habe. Es existierten daher überhaupt keine Leistungen, welche vertragskonform erbracht worden seien; die Arbeit sei insgesamt nutzlos gewesen. Beim Kriterium der Brauchbarkeit könne es nur um die Brauchbarkeit im Rahmen des der Beschwerdegegnerin konkret erteilten Auftrags gehen. Lasse sich das anvisierte Ziel aufgrund einer Sorgfaltspflichtverletzung in seiner Gänze nicht erreichen, schulde er dafür kein Honorar.
Mit diesem Einwand vermag der Beschwerdeführer nicht durchzudringen: Indem er vorbringt, die Arbeit der Beschwerdegegnerin sei insgesamt nutzlos gewesen, stellt er bloss seine Auffassung jener der Vorinstanz gegenüber, ohne sich mit dieser auseinanderzusetzen, weshalb er den Rügeanforderungen nicht genügt (vgl. E. 1.1 hiervor). Der Verlust des Prozesses gegen die D.E._ AG impliziert keineswegs die vollständige Unbrauchbarkeit der Leistungen der Beschwerdegegnerin. Wenn der Beschwerdeführer einwendet, beim Kriterium der Brauchbarkeit gehe es ausschliesslich um die Brauchbarkeit im Rahmen des dem unsorgfältig handelnden Anwalt konkret erteilten Auftrags, irrt er. Die Brauchbarkeit ist vielmehr mit Blick auf das konkrete Ziel (hier: das Erwirken der Taggeldzahlungen der Versicherung) zu beurteilen. Um dieses zu erreichen, waren die Arbeiten der Beschwerdegegnerin - wie von der Vorinstanz festgestellt - denn auch brauchbar.
2.4.2. Der Beschwerdeführer moniert, ob die Arbeit der Beschwerdegegnerin für einen anderen Anwalt im Rahmen eines anderen Auftrags brauchbar gewesen sei, so dass er diesem weniger Honorar habe bezahlen müssen, beschlage den Einwand der Beschwerdegegnerin, er wäre bei Rückerstattung des vollen Honorars im Umfang des eingesparten Aufwands bereichert. Dass dies der Fall sei, habe die Beschwerdegegnerin substanziiert darzulegen und zu beweisen, was sie indes nicht getan habe. Es sei nicht an ihm, zu behaupten und zu beweisen, dass sich die Leistung der Beschwerdegegnerin später zu nichts haben verwenden lassen. Indem die Vorinstanz dies verkannt habe, habe sie <ref-law> und <ref-law> falsch angewandt.
Mit dieser Argumentation übergeht der Beschwerdeführer die eingangs dargelegte Beweislastverteilung (vgl. E. 2.1 hiervor). Wäre die Vorinstanz nicht zu einem positiven Beweisergebnis gelangt (Brauchbarkeit der Arbeiten) - hätte mithin Beweislosigkeit geherrscht -, wäre es dem Beschwerdeführer oblegen, die vollständige oder teilweise Unbrauchbarkeit der Arbeiten nachzuweisen. Da er einen solchen Nachweis - wie von der Beschwerdegegnerin zutreffend eingewendet - nicht erbrachte, wäre das Begehren des Beschwerdeführers - selbst wenn die vorinstanzliche Feststellung der Brauchbarkeit, wie gerügt, unbewiesen wäre (dazu sogleich) - abzuweisen.
2.4.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, wenn die Vorinstanz festhalte, es sei offensichtlich, dass seine Anwälte im Zweitprozess auf die Argumente der Beschwerdegegnerin im Erstprozess hätten zurückgreifen können, handle es sich um eine Sachverhaltsfeststellung, welche weder durch konkrete Behauptungen der Beschwerdegegnerin noch durch Beweise gestützt werde. Es sei nicht ersichtlich, worauf sich diese angebliche Offensichtlichkeit stützen solle. So sei nämlich keineswegs offensichtlich, dass der Nachfolger bei einem Anwaltswechsel die Vorarbeit seines Nachfolgers ohne Weiteres übernehmen könne. Dies müsse vielmehr anhand der Rechtsschriften der Beschwerdegegnerin und jenen ihres Nachfolgers konkret dargelegt und belegt werden. Die Vorinstanz habe insofern auf eine unbewiesene Tatsache abgestellt und damit unter anderem <ref-law> verletzt. Dabei spiele auch die Qualität der Arbeit ein Rolle. Gerade wenn ein Prozess verloren gegangen sei, müsse der Nachfolger die Arbeit seines Vorgängers überprüfen und könne nicht unbesehen darauf aufbauen. Auch sonst werde er die Argumente nicht unverändert übernehmen, sondern diese in eigene Worte fassen und durch eigene Überlegungen ergänzen. Zudem müsse der neue Anwalt alle Akten lesen und sich in den Fall einarbeiten. Es sei notorisch, dass ein Anwaltswechsel den Klienten immer teuer zu stehen komme.
Dem Beschwerdeführer ist dahingehend beizustimmen, dass die Vorinstanz ihren Schluss (Brauchbarkeit der Arbeiten der Beschwerdegegnerin) - soweit ersichtlich - ohne Verweis auf ein bereits abgenommenes Beweismittel traf noch hierzu ein prozesskonform angebotenes Beweismittel angenommen hätte, sie mithin von einer bekannten Tatsache im Sinne von <ref-law> ausging. Ob diese Qualifikation richtig war, kann vorliegend jedoch offenbleiben, da - sollte diese Frage verneint werden - Beweislosigkeit betreffend die Brauchbarkeit der Arbeiten der Beschwerdegegnerin herrschen würde, welche aufgrund der erwähnten Beweislastverteilung (vgl. E. 2.1 hiervor) den Beschwerdeführer träfe, der in Verkennung der Beweislastverteilung (E. 2.4.2 hiervor) sich zu keinem Zeitpunkt anschickte, die Unbrauchbarkeit der Arbeiten der Beschwerdegegnerin nachzuweisen. Inwiefern die Ausführungen des Beschwerdeführers zum angeblichen Mehraufwand bei einem Anwaltswechsel die Frage der Brauchbarkeit der Arbeiten der Beschwerdegegnerin tangieren würden, ist nicht ersichtlich.
2.4.4. Betreffend die Verweigerung der Rückforderbarkeit jenes Teils des Honorars, der nach Erhebung der Einrede der Passivlegitimation in der Duplik anfiel, weist der Beschwerdeführer darauf hin, es könne nicht angehen, dass er für den Versuch, sich aus der von der Beschwerdegegnerin verschuldeten Lage zu befreien, nur deshalb ein Honorar bezahlen müsse, weil er das Risiko ab diesem Zeitpunkt gekannt habe. Ihm sei gar keine Wahl geblieben, als den Prozess fortzuführen. Denn hätte er entgegen dem Ratschlag der Beschwerdegegnerin gehandelt und die Klage nach der Duplik zurückgezogen, hätte er sich später dem Einwand ausgesetzt, nicht die Sorgfaltspflichtverletzung bei Einleitung der Klage, sondern deren Rückzug sei Grund für die entstehenden Kosten gewesen. Die Erstinstanz habe die Beschwerdegegnerin zur Leistung von Schadenersatz im Umfang der der D.E._ AG im Erstprozess auszurichtenden Parteientschädigung von Fr. 7'391.-- sowie der nicht kostendeckenden Parteientschädigung von Fr. 2'268.--, welche er im bundesgerichtlichen Verfahren erhalten habe, verurteilt. Es könne nicht sein, dass es sich mit dem Honorar anders verhalte als mit dem Schadenersatz. Wenn die Erstinstanz ihn verpflichten wolle, einen Teil des Honorars der Beschwerdegegnerin zu bezahlen, weil das Prozessrisiko nach der Duplik auf ihn übergegangen sei, hätte sie ihm auch für die auf diesen Teil des Prozesses entfallenden Parteientschädigungen keinen Schadenersatz zusprechen dürfen. Schliesslich habe die Beschwerdegegnerin ebenfalls nicht nachgewiesen, dass die Argumente in der Triplik und in den darauf folgenden Eingaben im Folgeprozess hätten verwertet werden können, was die Vorinstanz unbewiesen angenommen und damit erneut <ref-law> verletzt habe.
Mit diesen Argumenten verkennt der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz den Grund für die Ablehnung einer Rückerstattung des auf jenen Teil des Honorars entfallenden Betrags, der nach Erhebung der Einrede der fehlenden Passivlegitimation in der Duplik anfiel, primär in der vom Beschwerdeführer genehmigten Fortführung des Verfahrens erblickte. Wenn der Beschwerdeführer vorbringt, die Vorinstanz habe diese Arbeiten für im Folgeprozess verwertbar erachtet, gibt er die Begründung der Vorinstanz bloss selektiv wieder. Deren Hauptargument für die Verneinung einer Rückerstattungspflicht war die erwähnte Genehmigung durch den Beschwerdeführer. Den Ausführungen der Vorinstanz nicht zu entnehmen ist indes, dass die von der Triplik an geleisteten Arbeiten im Folgeprozess vollumfänglich hätten verwertet werden können. Vielmehr führte sie unter Verweis auf die Akten an, in der Triplik sei auch auf Einwendungen in der Duplik eingegangen worden, welche nunmehr im Zweitprozess bereits mit der ersten Eingabe hätten verwendet werden können. Er sei von der Beschwerdegegnerin über die Kosten- und Prozessrisiken aufgeklärt worden und habe in Kenntnis dieser die Fortführung des Prozesses genehmigt. Da die Vorinstanz in der (genehmigten) Arbeit der Beschwerdegegnerin ab der Triplik (und den Vorarbeiten hierfür) keine Sorgfaltspflichtverletzung erblickte, musste sie die Frage nach der Brauchbarkeit der Arbeiten für den Folgeprozess denn auch nicht prüfen, da insofern keine Herabsetzung des Honorars angezeigt war (vgl. E. 2.1 hiervor). Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, dass ihm nichts anderes übrig geblieben sei, als den Prozess weiterzuführen, da er sich ansonsten später dem Einwand ausgesetzt gesehen hätte, der Rückzug der Klage, und nicht die Sorgfaltspflichtverletzung, sei der Grund für die Kosten gewesen, überzeugt seine Argumentation nicht. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen stiess die Ehefrau des Beschwerdeführers die in der Triplik vertretene Position an, indem sie gegenüber der Beschwerdegegnerin darlegte, wie die D._ die beiden Gesellschaften vermische. Die Beschwerdegegnerin stellte sich namens des Beschwerdeführers sodann auf den Standpunkt, die beiden Versicherungsgesellschaften würden solidarisch haften. Der Beschwerdeführer hiess diese Eingabe ausdrücklich gut. Dies zeigt, dass er von der Prozessstrategie überzeugt war und das Verfahren nicht bloss deshalb weiterführte, um dem erwähnten allfälligen Einwand der Beschwerdegegnerin in einem späteren Prozess zu entgehen.
Soweit der Beschwerdeführer eine Inkonsistenz des vorinstanzlichen Entscheids darin auszumachen glaubt, dass ihm die Erstinstanz Schadenersatz für die von ihm der D.E._ AG zu bezahlende Parteientschädigung im Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht sowie für seine nicht gedeckten Prozesskosten im bundesgerichtlichen Verfahren gegen ebenjene Partei zusprach, die Vorinstanz jedoch eine Reduktion des Honorars ablehnte, ist ihm nicht zu folgen, da beide Anspruchsgrundlagen grundsätzlich voneinander unabhängig sind: So ist durchaus denkbar, dass eine Sorgfaltspflichtverletzung des Beauftragten nicht zu einer Reduktion des Honorars führt, da das Ergebnis für ihn vollends brauchbar ist, die Pflichtverletzung jedoch trotzdem eine Schädigung bewirkte, für welche dem Auftraggeber Schadenersatz zuzusprechen ist. Ob die Erstinstanz der Beschwerdegegnerin - wie vom Beschwerdeführer vorgebracht - mangels Verneinung einer Sorgfaltspflichtverletzung für ihre Arbeiten nach der Duplik entsprechend weniger Schadenersatz hätte zusprechen müssen, hatte die Vorinstanz nicht zu prüfen, da jener Teil des erstinstanzlichen Urteils vor Obergericht nicht angefochten wurde.
3.
Weiter ist umstritten, ob dem Beschwerdeführer ein Anspruch auf Rückerstattung des der Beschwerdegegnerin ausgerichteten Honorars für die Vorbereitung des Prozesses gegen Rechtsanwalt H._ in Höhe von Fr. 11'754.95 nebst Zins zusteht.
3.1. Die Vorinstanz hielt hierzu fest, die Parteien hätten nach dem in Rechtskraft erwachsenen Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 7. Mai 2012 davon ausgehen dürfen, dass die Verjährung, wie vom Bezirksgericht angenommen, eingetreten sei und dass Rechtsanwalt I._ sein Mandat unsorgfältig ausgeführt haben könnte, da er die Verjährung nicht unterbrochen habe. Indem die Beschwerdegegnerin gegen Rechtsanwalt H._ eine Klage vorbereitete, habe sie ihre Sorgfaltspflicht nicht verletzt. Angesichts des erwähnten Urteils des Bezirksgerichts Zürich habe sie von einer aussichtsreichen Klage ausgehen dürfen. Dass die Beschwerdegegnerin dem Beschwerdeführer trotz bereits getätigter Aufwendungen in Sachen Rechtsanwalt H._ letztlich geraten habe, doch noch beim Sozialversicherungsgericht eine Klage gegen die D._ einzureichen, sei nicht zu beanstanden gewesen. Wie der Prozess vor diesem gezeigt habe, hätte eine entsprechende Klage Erfolg gehabt, wäre sie gegen die richtige D._-Gesellschaft eingereicht worden. Wie der Beschwerdeführer selbst geltend mache, hätten die Aufwendungen im Zusammenhang mit Rechtsanwalt H._ in den Prozess gegen die D.D._ AG übernommen werden können. Im Ergebnis liege keine Sorgfaltspflichtverletzung vor, weshalb das Honorar geschuldet sei.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt im Wesentlichen, die Vorinstanz verkenne in willkürlicher Weise, dass die im Rahmen der Vorbereitung der Klage gegen Rechtsanwalt H._ getätigten Aufwendungen nutzlos gewesen seien und die Beschwerdegegnerin einen behaupteten Nutzen nicht nachgewiesen habe. Auch wenn die Aufwendungen für das Verfahren vor dem Sozialversicherungsgericht übernommen worden seien, seien sie für den Ausgang des Prozesses unnütz gewesen, da die Beschwerdegegnerin den prozesstaktisch falschen Weg eingeschlagen habe. Deshalb sei keine Vergütung geschuldet gewesen.
Mit seiner Argumentation übersieht der Beschwerdeführer, dass eine Herabsetzung der Vergütung ausschliesslich dann zur Diskussion stünde, wenn die Beauftragte unsorgfältig tätig geworden wäre (vgl. E. 2.1 hiervor). Führt sie den Auftrag gehörig aus, ist nicht entscheidend, ob das Ergebnis für den Auftraggeber brauchbar ist, ansonsten beispielsweise der Mandant bei einem verlorenen Prozess jeweils die (vollständige oder teilweise) Rückerstattung des Honorars begehren könnte. Da die Vorinstanz eine Sorgfaltswidrigkeit verneinte, musste sie sich nicht mit der Brauchbarkeit des Ergebnisses der Arbeiten der Beschwerdegegnerin auseinandersetzen. Insofern ist in ihrer Argumentation keine Willkür auszumachen. Soweit der Beschwerdeführer überdies eine Sorgfaltspflichtverletzung der Beschwerdegegnerin behauptet, setzt er sich nicht hinreichend mit den diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz auseinander, weshalb er den Rügeanforderungen nicht genügt (vgl. E 1.1 hiervor).
4.
Schliesslich stellt sich die Frage, ob dem Beschwerdeführer Schadenersatzforderungen (Ersatz des Honorars von Rechtsanwalt K._ sowie Ersatz der Kosten der Betreibungen gegen Rechtsanwalt G._ und die N._ AG) gegen die Beschwerdegegnerin zustehen.
4.1. Gemäss <ref-law>, der auf <ref-law> verweist, haftet der Rechtsanwalt für den Schaden, den er dem Klienten absichtlich oder fahrlässig zufügt. Seine Haftung unterliegt somit gemäss <ref-law> den folgenden vier Voraussetzungen (Urteile 4A_2/2020 vom 16. September 2020 E. 3.1; 4A_350/2019 vom 9. Januar 2020 E. 3.1; 4A_175/2018 vom 19. November 2018 E. 4; 4A_588/2011 vom 3. Mai 2012 E. 2.2.2) : (i) eine Verletzung seiner vertraglichen Pflichten, insbesondere eine Verletzung seiner Sorgfalts- und Treuepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3.2.2 S. 537; <ref-ruling> E. 1 S. 359 f.); (ii) einen Schaden; (iii) einen (natürlichen und adäquaten) Kausalzusammenhang zwischen der Vertragsverletzung und dem Schaden; sowie (iv) ein Verschulden. Der Klient trägt gemäss <ref-law> die objektive Behauptungs- sowie die Beweislast für die ersten drei Voraussetzungen (zit. Urteile 4A_350/2019 E. 3.1 und 4A_175/2018 E. 4.1). Im Gegenzug hat der Rechtsanwalt zu beweisen, dass ihm keinerlei Verschulden zur Last fällt ("sofern er nicht beweist [...]").
4.2. Der Beschwerdeführer begehrt zunächst den Ersatz des Honorars von Rechtsanwalt K._ in Höhe von Fr. 1'296.-- zuzüglich Zins.
4.2.1. Die Vorinstanz erwog hierzu, die Erstinstanz habe den Beschwerdeführer zu Recht zur Tragung des hälftigen Honorars von Rechtsanwalt K._ verpflichtet. Die Beschwerdegegnerin habe sich nach Prüfung der Umstände als nicht kompetent genug erachtet, die sich stellenden strafrechtlichen Fragen zu beurteilen, weshalb es geradezu geboten gewesen sei, den Beschwerdeführer an einen Strafrechtsspezialisten zu verweisen. Soweit der Beschwerdeführer geltend mache, die Beschwerdegegnerin habe ihn nicht auf das Kostenrisiko aufmerksam gemacht, das mit dessen Mandatierung verbunden sei, habe sie ebenfalls keine Pflichtverletzung begangen. Jeder Person, welche einen Anwalt konsultiere, sei dieses Risiko bekannt. Zudem habe die Aufklärungspflicht über die Kosten den neu mandatierten Anwalt getroffen und nicht die Beschwerdegegnerin.
4.2.2. Indem der Beschwerdeführer ohne nähere Ausführungen behauptet, die Vorinstanz verletze mit dieser Begründung Bundesrecht und er pauschal auf seine Ausführungen zur Frage nach dem Anspruch auf Rückerstattung des der Beschwerdegegnerin bezahlten Honorars für den Aufwand nach Erhebung der Einrede der Passivlegitimation verweist, genügt er den Rügeanforderungen nicht (vgl. E. 1.1 hiervor), weshalb auf dieses Vorbringen nicht einzutreten ist.
4.3. Weiter verlangt der Beschwerdeführer die Erstattung der ihm entstandenen Kosten für die Betreibungen gegen Rechtsanwalt G._ und die N._ AG von je Fr. 203.30 zuzüglich Zins.
4.3.1. Die Vorinstanz hielt fest, die Beschwerdegegnerin habe dem Beschwerdeführer nicht empfohlen, gegen Rechtsanwalt G._ sogleich persönlich eine Betreibung einzuleiten. Insbesondere mache der Beschwerdeführer nicht geltend, er habe solche Ansprüche selbständig bzw. mittels eines anderen Anwalts verfolgt. Der Beschwerdeführer habe sich offenbar aus eigenen Stücken und ohne Rücksprache mit der Beschwerdegegnerin zu Betreibungen gegen Rechtsanwalt G._ und dessen Anwaltskanzlei entschlossen. Folglich habe die Erstinstanz in diesem Punkt zu Recht eine Schadenersatzpflicht verneint.
4.3.2. Der Beschwerdeführer rügt eine aktenwidrige Sachverhaltsfeststellung. Er habe nicht " sogleich " eine Betreibung eingeleitet, sondern zum spätestmöglichen Zeitpunkt, nämlich kurz vor Ablauf der Verjährungsfrist. Auch habe er nicht geltend machen können, er habe diesbezügliche Ansprüche verfolgt, da er ja das Ergebnis des Prozesses vor dem Sozialversicherungsgericht habe abwarten müssen.
Der Beschwerdeführer legt damit nicht dar, inwiefern die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz willkürlich wäre und inwiefern sich der Sachverhalt, wie er sich aus seiner Sicht korrekt präsentiert, zu einem anderen Ergebnis führen würde, weshalb er den Rügeanforderungen nicht genügt (vgl. E. 1.2.1 hiervor).
5.
Umstritten ist schliesslich, ob es die Vorinstanz zu Recht ablehnte, das von der Beschwerdegegnerin in den Prozess eingeführte psychiatrische Gutachten über den Beschwerdegegner aus den Akten zu weisen sowie jene Passagen, welche auf das Gutachten Bezug nehmen, aus dem erstinstanzlichen Urteil zu entfernen.
5.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdegegnerin habe sich auf den Standpunkt gestellt, dass der Beschwerdeführer überdurchschnittlich prozesserfahren sei und von seiner Ehefrau, einer qualifizierten Rechtsanwältin, beraten worden sei. Die Beschwerdegegnerin hätte die strategischen und prozessualen Schritte in laufender vorgängiger Absprache mit ihnen gemacht. Der Beschwerdeführer und seine Ehefrau hätten insbesondere im Allgemeinen Teil des Obligationenrechts mindestens denselben Wissensstand wie die Beschwerdegegnerin. Er hätte schon sein ganzes Leben lang prozessiert und dies auch gegenüber dem Gutachter geschildert. Mit der Replik im vorinstanzlichen Verfahren habe der Beschwerdeführer seine Prozesserfahrung bestritten. Unter diesen Umständen sei es nicht zu beanstanden, wenn die Beschwerdegegnerin das sich bei ihr befindliche psychiatrische Gutachten eingereicht habe, um die vom Beschwerdeführer bestrittene Tatsache zu beweisen, gebe dieses doch unter anderem die Lebensgeschichte des Beschwerdeführers wieder und führe die Prozesse auf, welche der Beschwerdeführer dem Gutachter geschildert habe.
Im Übrigen habe der Beschwerdeführer mit der Unterzeichnung einer Entbindungserklärung am 8. Juni 2017 einer Offenlegung der Daten, welche der Beschwerdegegnerin aus dem früheren Mandatsverhältnis bekannt waren, im vorliegenden Verfahren ausdrücklich zugestimmt. Somit habe die Beschwerdegegnerin durch das Einreichen des Gutachtens weder die Persönlichkeitsrechte des Beschwerdeführers noch das Datenschutzgesetz verletzt.
Auf den Antrag, gewisse Passagen im Urteil der Erstinstanz zu entfernen, sei mangels gesetzlicher Grundlage nicht einzutreten.
5.2. Der Beschwerdeführer rügt diese Auffassung als willkürlich. Die von der Vorinstanz angeführten Umstände seien frei erfunden. Diese ergäben sich nicht aus den Akten. Die Beschwerdegegnerin habe nie etwas derartiges behauptet. Des Weiteren verstosse die Vorinstanz gegen Bundesrecht, wenn sie einen Verstoss gegen das Datenschutzgesetz verneine. Mit der Unterzeichnung der Einwilligung habe er nicht damit rechnen müssen, dass davon auch besonders schützenswerte Personendaten i.S.v. Art. 3 lit. c Ziff. 2 DSG gemeint seien, welche im Prozess gar keine Rolle spielten.
Soweit der Beschwerdeführer behauptet, die Beschwerdegegnerin habe die von der Vorinstanz wiedergegebenen Aussagen nicht getätigt, kann auf die von der Vorinstanz angeführten Aktenhinweise verwiesen werden, welche allesamt zutreffend sind. Insofern kann nicht von einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung ausgegangen werden. Ebenfalls nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz keinen Verstoss gegen das Datenschutzgesetz annahm, da dieses gemäss dessen Art. 2 Abs. 2 lit. c unter anderem auf hängige Zivilprozesse keine Anwendung findet. Des Weiteren ermächtigte der Beschwerdeführer die Beschwerdegegnerin durch die von ihm unterzeichnete Entbindungserklärung explizit " ihr anvertraute Geheimnisse aus den oben genannten Mandatsverhältnissen gegenüber einem allfälligen Rechtsvertreter, gegenüber den zuständigen Gerichten und Behörden [...] zu offenbaren ". Das erwähnte Gutachten wurde der Beschwerdegegnerin denn auch im Rahmen der zwischen ihr und dem Beschwerdeführer bestehenden Mandatsverhältnisse überlassen, weshalb sich die Entbindungserklärung auch auf dieses Gutachten bezieht. Da Teile der darin enthaltenen Informationen im Verfahren vor der Erstinstanz - wie die Vorinstanz entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nachvollziehbar darlegte - prozessrelevant waren, war die Beschwerdeführerin berechtigt, dieses Gutachten ins Verfahren einzubringen und die Vorinstanzen durften in ihren Urteilsbegründungen folglich auch darauf Bezug nehmen.
6.
Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Erwägungen der Vorinstanz betreffend seinen Eventualantrag auf "Verrechnung" der Honorare von Rechtsanwalt L._ und Rechtsanwalt M._ im Zweitprozess wendet, ist auf seine Vorbringen nicht einzugehen, da er den vor der Vorinstanz gestellten Eventualantrag im bundesgerichtlichen Verfahren nicht aufrechterhält.
7.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 5'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bittel