Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) war ab dem 1. November 2006 Geschäftsführer der Personalvorsorgestiftung B._ (Beschwerdegegnerin). Per Ende 2013 gab er das Amt als Geschäftsführer ab, blieb aber im 50%-Pensum für das Ressort "Immobilienanlagen" verantwortlich. Am 28. April 2014 kündigte die Personalvorsorgestiftung B._ das Arbeitsverhältnis mit A._ fristlos. Sie warf diesem vor, im Zusammenhang mit der Führung des Projekts "X._", dem Bau und Betrieb eines Rechenzentrums in U._, ihre Interessen grob verletzt zu haben.
B.
Am 9. Januar 2015 klagte A._ beim Regionalgericht Bern-Mittelland gegen die Personalvorsorgestiftung B._ auf Lohnfortzahlung für drei Monate (inkl. Anteil 13. Monatslohn und Ferienguthaben; Fr. 34'260.65 brutto) sowie Entschädigung von mindestens drei bis maximal sechs Monatslöhnen (Fr. 27'346.20 bis Fr. 54'692.30), alles zuzüglich Zins zu 5% seit dem 28. April 2014.
Das Regionalgericht verurteilte die Personalvorsorgestiftung B._ am 27. Januar 2020, A._ den Lohn für Mai bis Juli 2014 von brutto Fr. 27'346.20, den anteilmässigen 13. Monatslohn von Fr. 2'278.75, einen Betrag von Fr. 4'635.70 für Ferienguthaben zu bezahlen, alles zuzüglich Zins zu 5% seit 28. April 2014 sowie zuzüglich der gesetzlichen Soziallasten. Ausserdem wurde A._ eine Entschädigung von netto Fr. 19'750.-- zuzüglich Zins seit 28. April 2014 zugesprochen und ihm wurden die Kosten zu 1/5 auferlegt. Soweit weiter gehend wurde die Klage abgewiesen.
Das Obergericht des Kantons Bern hiess die Berufung der Personalvorsorgestiftung B._ am 17. Mai 2021 gut und wies die Klage unter Kostenfolgen ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt A._, die Personalvorsorgestiftung B._ sei zu Zahlungen gemäss dem erstinstanzlichen Urteil zu verpflichten. Eventualiter sei die Sache an das Obergericht zurückzuweisen. Die Personalvorsorgestiftung B._ beantragt die kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung. A._ wurde das Replikrecht gewährt. Er hat innert Frist keine Replik eingereicht.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und frei, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1).
In arbeitsrechtlichen Streitigkeiten ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig, sofern der Streitwert mindestens Fr. 15'000.-- beträgt (<ref-law>). Da der angefochtene Entscheid ein Endentscheid (<ref-law>) ist, bestimmt sich der Streitwert nach den Begehren, die vor der Vorinstanz strittig geblieben sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2; Urteil 4A_376/2020 vom 28. Dezember 2020 E. 1.1). Der Beschwerdeführe r schloss vorinstanzlich auf Abweisung der Berufung und Bestätigung des erstinstanzlichen Entscheids. Angesichts der strittigen Forderungen aus dem Arbeitsverhältnis ist der erforderliche Streitwert erreicht. Die übrigen Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt gehöriger Begründung (vgl. E. 2 hiernach) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Mit Blick auf die Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt das Bundesgericht aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2; Urteil 4A_74/2021 vom 30. April 2021 E. 1.2).
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
3.
Vorliegend ist streitig, ob die Vorinstanz zu Recht annahm, die fristlose Kündigung gegenüber dem Beschwerdeführer sei rechtens gewesen.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine Verletzung von <ref-law>. Die Beschwerdegegnerin habe in ihrer Duplik vom 20. November 2015 das Beweisthema auf die Frage beschränkt, ob ihm im Zusammenhang mit den Akontozahlungsbegehren der C._ AG im Frühjahr 2014 ein Verhalten vorzuwerfen sei, das eine fristlose Kündigung rechtfertigen würde. Über die weiteren angeführten Gründe für eine Kündigung hätte daher kein Beweis geführt werden dürfen.
3.1.1. Gegenstand des Beweises sind rechtserhebliche, streitige Tatsachen (<ref-law>). Dies setzt entsprechende, substanziierte Tatsachenbehauptungen voraus, die von der Gegenseite genügend substanziiert bestritten werden. Andernfalls besteht vorbehältlich <ref-law> kein Raum für eine Beweisabnahme. Das Beweisverfahren dient also nicht dazu, fehlende Behauptungen zu ersetzen oder zu ergänzen, sondern setzt solche vielmehr voraus. Eine Beweisofferte muss sich dabei eindeutig der damit zu beweisenden Tatsachenbehauptung zuordnen lassen und umgekehrt (<ref-ruling> E. 2.1; Urteile 4A_477/2018 vom 16. Juli 2019 E. 3.7.4; 4A_338/2017 vom 24. November 2017 E. 2.1; je mit Hinweisen).
3.1.2. Der Auffassung des Beschwerdeführers kann nicht gefolgt werden. Wie die Vorinstanz zutreffend erwog, ist nicht ersichtlich, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Duplik vom 20. November 2015 das Beweisthema auf die Frage beschränkt hätte, ob dem Beschwerdeführer im Zusammenhang mit den Akontozahlungsbegehren der C._ AG im Frühjahr 2014 ein Vorwurf zu machen sei. Aus der vom Beschwerdeführer selbst wiedergegebenen Passage der Duplik erhellt vielmehr, dass "hauptsächlich das Verhalten des [Beschwerdeführers] im Zusammenhang mit der Betreuung des Projektes X._ Anlass zur fristlosen Kündigung" gegeben habe. Dies schliesst offensichtlich sämtliche möglichen Verfehlungen des Beschwerdeführers im Rahmen des vorerwähnten Projekts sowie allenfalls gar weitere Verfehlungen ein. Darauf wies die Vorinstanz zutreffend hin. Für die Bestimmung des Beweisthemas kann auch nicht entscheidend sein, welche Kündigungsgründe die Beschwerdegegnerin im Kündigungsschreiben nannte. Das Beweisthema bestimmt sich vielmehr nach Massgabe der Rechtsschriften der Parteien. Es bestand daher kein Anlass, das Beweisthema zu beschränken und es ist nicht zu beanstanden, dass die kantonalen Instanzen über alle von der Beschwerdegegnerin im Rahmen ihrer Rechtsschriften behaupteten Pflichtverletzungen des Beschwerdeführers Beweis abgenommen haben. Von einer unzulässigen Ausweitung des Beweisthemas kann keine Rede sein.
3.2.
3.2.1. Nach <ref-law> kann der Arbeitgeber wie der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis aus wichtigen Gründen jederzeit fristlos auflösen (Abs. 1). Als wichtiger Grund gilt jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf (Abs. 2). Über das Vorhandensein solcher Umstände entscheidet das Gericht nach seinem Ermessen (Abs. 3). Derartige Ermessensentscheide prüft das Bundesgericht an sich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die hätten beachtet werden müssen. Es greift ausserdem in Ermessensentscheide ein, wenn sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.1, 213 E. 3.1; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen).
Gemäss der Rechtsprechung zu <ref-law> ist eine fristlose Kündigung durch den Arbeitgeber nur bei besonders schweren Verfehlungen des Arbeitnehmers gerechtfertigt. Diese müssen einerseits objektiv geeignet sein, die für das Arbeitsverhältnis wesentliche Vertrauensgrundlage zu zerstören oder zumindest so tiefgreifend zu erschüttern, dass dem Arbeitgeber die Fortsetzung des Vertrags nicht mehr zuzumuten ist, und anderseits auch tatsächlich dazu geführt haben. Sind die Verfehlungen weniger schwerwiegend, müssen sie trotz Verwarnung wiederholt vorgekommen sein (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 4.1, 213 E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweisen). Zu berücksichtigen ist auch die verbleibende Zeit bis zur ordentlichen Beendigung des Arbeitsverhältnisses. Ob die dem Arbeitnehmer vorgeworfene Pflichtverletzung die erforderliche Schwere erreicht, lässt sich nicht allgemein sagen, sondern hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalls ab (<ref-ruling> E. 4.2; zum Ganzen: Urteil 4A_7/2018 vom 18. April 2018 E. 4.2.1 f., nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
3.2.2. Eine fristlose Kündigung ist nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ohne Verzug nach Kenntnis des wichtigen Grundes auszusprechen, andernfalls Verwirkung anzunehmen ist (<ref-ruling> E. 2a; Urteil 4A_610/2018 vom 29. August 2019 E. 4.2.2.1; je mit Hinweisen). Eine Frist von zwei bis drei Arbeitstagen zum Nachdenken und Einholen von Rechtsauskünften wird als angemessen erachtet. Eine längere Frist wird nur zugestanden, sofern praktische Erfordernisse des Alltags- und Wirtschaftslebens eine solche als berechtigt erscheinen lassen (<ref-ruling> E. 4.4; <ref-ruling> E. 3b). So wird juristischen Personen, bei denen der Entscheid über die Kündigung in die Kompetenz eines mehrköpfigen Organs fällt, aufgrund des längeren Willensbildungsprozesses eine Entscheidungsfrist von etwa einer Woche zugestanden. Entsprechend hat das Bundesgericht eine Überlegungsfrist von acht Tagen bzw. sechs Arbeitstagen als zulässig erachtet (Urteil 4A_477/2011 vom 27. September 2011 E. 2.1).
Zudem muss bei einem klaren Sachverhalt anders vorgegangen werden als in Fällen, in denen zuerst Abklärungen notwendig sind oder die Verfehlungen erst langsam an den Tag treten. Ist der Vorwurf von Anfang an klar und ist nur zu ermitteln, ob er zutrifft oder nicht, so kann der Arbeitgeber schon während der Abklärung des Sachverhalts überlegen, wie er reagieren will, wenn sich der Vorwurf als zutreffend erweist. In einem solchen Fall kann verlangt werden, dass er die fristlose Entlassung nach Feststellung des Sachverhalts sofort ausspricht, ohne dass ihm noch einmal eine Überlegungsfrist gewährt werden muss. Liegt ein konkreter nennenswerter Verdacht gegen eine individuelle Person vor, bei dessen Erhärtung der Arbeitgeber in Betracht zieht, das Arbeitsverhältnis zum Arbeitnehmer sofort zu beenden, ist zu verlangen, dass der Arbeitgeber unverzüglich alle ihm zumutbaren Massnahmen ergreift, um Klarheit zu gewinnen. Wartet er mit den Abklärungen der gegen den Arbeitnehmer erhobenen Vorwürfe zu, deutet dies darauf hin, dass das gegenseitige Vertrauensverhältnis nicht unwiederbringlich zerstört und es ihm subjektiv zumutbar ist, die ordentliche Kündigungsfrist einzuhalten (Urteile 4A_610/2018 vom 29. August 2019 E. 4.2.2.1; 4C.188/2006 vom 25. September 2006 E. 2; 4C.187/2004 vom 5. Juli 2004 E. 4.1; je mit Hinweisen).
3.3.
3.3.1. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe bis Ende 2013 als Geschäftsführer einer Vorsorgeeinrichtung gemäss BVG und darüber hinaus in seiner Funktion als Inhaber des Ressorts "Immobilienanlagen" der Beschwerdegegnerin einer treuhänderischen Sorgfaltspflicht nach Art. 48 ff. BVG, insbesondere Art. 51b BVG sowie deren Ausführungsbestimmungen unterstanden und in seiner Tätigkeit die Interessen der Versicherten wahren müssen. Die einschlägigen Bestimmungen (insb. die Charta des Schweizerischen Pensionskassenverbands, ASIP-Charta, und verschiedene interne Reglemente und Richtlinien) hätten den Beschwerdeführer namentlich zu Integrität und Loyalität sowie dazu verpflichtet, jährlich und bei besonderen Vorkommnissen den Stiftungsrat zu orientieren, damit dieser über die nötigen Informationen verfüge. Diese Pflichten habe der Beschwerdeführer wie folgt verletzt.
3.3.2. Zunächst habe der Beschwerdeführer der Immobilienkommission der Beschwerdegegnerin am 8. November 2013 ein objektiv wesentlich anderes Modell zur Realisierung und Finanzierung vorgelegt als dasjenige, das der Stiftungsrat am 4. April 2013 genehmigt hatte. Anstelle eines Projekts mit Kostendach von Fr. 60 Mio., einer vermietbaren Fläche von 4'000 m2 und einem Sicherheitsstandard "Tier 2-", habe der Beschwerdeführer der Immobilienkommission am 8. November 2013 ein Projekt mit Kosten von rund Fr. 95 Mio. einschliesslich einer Darlehensgewährung an die designierte Mieterin für Planung und Erstellung des Technikausbaus (über total Fr. 63 Mio.), einer vermietbaren Fläche von 7'200 m2 und einem Sicherheitsstandard "Tier 3+" präsentiert.
Die Vorinstanz erwog, als Geschäftsführer wäre der Beschwerdeführer verpflichtet gewesen, den Stiftungsrat über diese wesentliche Änderung des Projekts und die damit verbunden Konsequenzen ins Bild zu setzen, damit dieser über aussagekräftige Informationen verfügt und die entsprechenden Beschlüsse hätte fassen können. Die Pflichtverletzung wiege indessen nicht derart schwer, dass sie für sich genommen eine fristlose Kündigung rechtfertigen würde. Dabei sei namentlich zu berücksichtigen, dass auch die Immobilienkommission eine erhebliche Mitverantwortung trage, wenn sie einen Beschluss fasse, der nicht in ihre Kompetenz falle. Zudem sei der Stiftungsrat über den Beschluss informiert und dagegen keine Opposition erhoben worden.
3.3.3. Nach Auffassung der Vorinstanz stand sodann fest, dass der Stiftungsrat das Projekt zum Bau und Betrieb des Rechenzentrums am 4. April 2013 grundsätzlich unter der Bedingung genehmigt habe, dass zum Zeitpunkt der Investitionszusage mindestens 2'000 m2 der Datacenter-Fläche zu Fr. 3'600.-- pro m2 und Jahr definitiv vermietet sein würden. Es sei indes nicht erstellt, dass am 8. November 2013 bereits Mietverträge über die vom Stiftungsrat geforderten 2'000 m2 vorgelegen hätten. Die in den Akten befindlichen Vereinbarungen seien entweder unverbindlich, an weitere Bedingungen geknüpft, eher als Garantieversprechen von am Bau beteiligten Unternehmen aufzufassen oder erst nach der Stiftungsratssitzung abgeschlossen worden. Bei einigen Vereinbarungen habe es sich ausserdem um Untermietverträge der vorgesehenen Mieterin C._ AG mit weiteren Parteien oder um Übereinkünfte mit Firmen gehandelt, die ihrerseits Fläche hätten weitervermieten wollen. Diese seien keine "Endmieter" im Sinne des Beschlusses der Immobilienkommission vom 8. November 2013.
Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer hätte die Immobilienkommission der Beschwerdegegnerin über die vorerwähnten Umstände betreffend Mietzusagen aufklären müssen. Zudem sei fraglich, ob die vom Stiftungsrat als Investitionszusage vorausgesetzte Vermietung von 2'000 m2 angesichts der vom Beschwerdeführer vorgenommenen Erhöhung des Bauvolumens von 4'000 m2 auf 7'200 m2 (vgl. oben E. 3.1.2) den Sicherheitsansprüchen des Stiftungsrats noch genügt hätte. Deshalb erscheine das offenbar überzeugende Verhalten des Beschwerdeführers anlässlich der Sitzung vom 8. November 2013 doch recht dreist, jedenfalls aber nicht mit seiner erhöhten Treue- und Sorgfaltspflicht vereinbar. Die strategischen Organe der Beschwerdegegnerin hätten sich auf den geschäftsführenden Beschwerdeführer und dessen Ausführungen verlassen, und er hätte die fehlende Fachkompetenz der Stiftungsorgane nicht ausnützen dürfen. Entgegen seiner Auffassung trage der Beschwerdeführer die Sorgfaltspflicht auch - und gerade - dann, wenn ihm die Organe seiner Arbeitgeberin vertrauen würden sowie, wenn er externe Experten beiziehe. Ferner hätte der Beschwerdeführer angesichts deren Wichtigkeit seine Angaben zum Mietvolumen gegenüber der Immobilienkommission vorgängig verifizieren müssen. Er habe auch insoweit seine Sorgfaltspflicht verletzt, wobei offen bleiben könne, ob dies bewusst oder fahrlässig geschehen sei. Als einzelnes Ereignis hätte die Falschinformation als Anlass für eine fristlose Kündigung gerade noch nicht genügt.
3.3.4. Die Vorinstanz fuhr fort, mit Bezug auf die Darlehensgewährung an die vorgesehene Mieterin zum Erwerb der Betriebseinrichtungen, die C._ AG, habe sich der Beschwerdeführer ein Verhalten zuschulden kommen lassen, das für sich genommen eine fristlose Kündigung rechtfertigen würde. So sei gemäss dem Beschluss der Immobilienkommission für die Betriebseinrichtungen ein Budget von rund Fr. 43 Mio. vorgesehen gewesen. Der Beschwerdeführer habe dieses Budget mit Abschluss eines Darlehensvertrages über rund Fr. 63 Mio. um rund Fr. 20 Mio. überschritten. Dabei handle es sich um keine Kleinigkeit und schon gar nicht um ein "noch zu erarbeitendes Detail". Wenngleich die Beschwerdegegnerin mit einer gewissen Kostenüberschreitung habe rechnen müssen, gelte dies nicht im effektiven Ausmass. Indem der Beschwerdeführer ein derart eigenmächtiges Geschäft, noch dazu in Überschreitung der internen Richtlinien sowie der Vorgaben der Immobilienkommission ohne vorgängige Information der Organe der Beschwerdegegnerin abgeschlossen habe, habe er deren Vertrauen nachhaltig zerstört. Dies gelte umso mehr, als der Darlehensvertrag für die Arbeitgeberin äusserst unvorteilhaft gewesen sei, da der Beschwerdeführer keinerlei Sicherheiten verlangt und sämtliche Kontrolle der Darlehensgeberin über den Geldfluss aus der Hand gegeben habe. Zudem habe er die Beschwerdegegnerin auf Jahrzehnte hinaus verpflichtet. Die unterlassene Information über die Erhöhung des Darlehensbetrages um Fr. 20 Mio. und das Verheimlichen des Vertrages stelle eine besonders schwere Verfehlung des Beschwerdeführers dar, so die Vorinstanz. Daran ändere nichts, dass die Beschwerdegegnerin den Darlehensvertrag erst nach seiner fristlosen Kündigung zu Gesicht bekommen habe. Auch nachträglich zutage getretene Vorkommnisse könnten eine fristlose Kündigung rechtfertigen (<ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen). Ebenso wenig sei arbeitsrechtlich entscheidend, ob das dem Beschwerdeführer vorgeworfene Verhalten strafrechtlich relevant sei.
Sodann habe der Beschwerdeführer seine Sorgfaltspflicht verletzt, indem er den Darlehensvertrag durch einen Stellvertreter (D._) habe unterzeichnen lassen, ohne diesem eine derlei Geschäfte ausdrücklich gestattende Vollmacht auszustellen. Der Beschwerdeführer habe daher zu verantworten, dass Zweifel hinsichtlich der Gültigkeit des Darlehensvertrages bestünden. Auch diese Verfehlung wiege indessen nicht besonders schwer.
3.3.5. Die Vorinstanz erblickte eine Pflichtverletzung des Beschwerdeführers ferner darin, dass der Darlehensvertrag mit der C._ AG keinen Mechanismus vorgesehen habe, mit dessen Hilfe die zweckmässige Verwendung des Darlehens habe gewährleistet werden können. Auf diese Weise sei es möglich gewesen, dass ein Teil der Tranche über Fr. 5.5 Mio. vom 12. April 2014 nicht an die für den Innenausbau zuständige E._ AG geflossen sei. Von den hierfür vorgesehenen Fr. 5'184'000.-- habe die C._ AG Fr. 3'024'000.-- eigenmächtig zurückbehalten und zweckentfremdet. Der an die E._ AG auszubezahlende Betrag habe zudem ein Honorar über rund Fr. 250'000.-- an die F._ AG beinhaltet, für das eine Rechtsgrundlage gefehlt habe. Schliesslich habe der Beschwerdeführer die damalige Geschäftsführerin seiner Arbeitgeberin nicht über diese Zahlung informiert.
Die Vorinstanz beurteilte die erwähnten Pflichtverletzungen als grob und eine fristlose Kündigung rechtfertigend. Sie erwog, aufgrund der Ausgestaltung des Darlehensvertrags habe der Beschwerdeführer bei einem Projekt von Fr. 95 Mio. die Kontrolle über den Geldfluss aus der Hand gegeben. Unter den gegebenen Umständen sei es für den mit der Prüfung der Mittelverwendung befassten, ebenfalls vom Beschwerdeführer hierzu beauftragten G._ unmöglich gewesen, die Rechnungen so zu prüfen, wie dies erforderlich gewesen wäre. Dies gelte umso mehr, als mit der E._ AG kein Vertrag mit Zahlungsplan bestanden habe, was die Arbeit des Beauftragten zusätzlich erschwert habe. Soweit diesen allenfalls ein Verschulden treffe, habe sich der Beschwerdeführer dieses anrechnen zu lassen, da er die Mandatare hätte instruieren und überwachen müssen.
Es sei unverständlich, weshalb sich der Beschwerdeführer nicht an die ihm bekannten Prozesse gehalten habe. Mit seinem Verhalten habe er der zweckwidrigen Mittelverwendung Tür und Tor geöffnet. Der C._ AG werde im Zusammenhang mit dem erwähnten Zahlungsrückbehalt denn auch unredliches Verhalten vorgeworfen. Zudem sei durch das Ausbleiben der Zahlung die operative Führung des Projekts erschwert worden und der Beschwerdeführer ein massives finanzielles Risiko eingegangen. Es sei auch nicht erstaunlich, dass er im April 2014 die Kontrolle über die Geldfüsse tatsächlich verloren habe. Mit Bezug auf das Honorar an die F._ AG von Fr. 250'000.-- habe der Beschwerdeführer einer vertragswidrigen Verwendung des Darlehens auch noch zugestimmt und der Beschwerdegegnerin damit selbst die letzte, faktische Einflussmöglichkeit auf die Mittelverwendung genommen. Er habe zudem gewusst, dass die neue Geschäftsführerin der Beschwerdegegnerin aufgrund schwieriger Vertragsbeziehungen nicht gut auf die F._ AG zu sprechen gewesen sei. Daher habe er deren Involvierung in das Projekt verborgen, obwohl die Geschäftsführerin explizit habe informiert werden wollen.
3.3.6. Eine weitere eklatante Pflichtverletzung im Zusammenhang mit der Darlehensvergabe erblickte die Vorinstanz ferner darin, dass der Beschwerdeführer trotz des Geschäftsvolumens von Fr. 63 Mio. keinerlei Sicherheiten für den Kredit verlangt, sondern im Gegenteil ausdrücklich darauf verzichtet habe. Er hätte wissen müssen, dass er unter den gegebenen Umständen Sicherheiten hätte verlangen müssen, was denn auch üblich sei. Überdies habe der Beschwerdeführer die Anlagevorschriften des BVG sowie der konkretisierenden Verordnungen und Richtlinien gekannt, welche im Interesse der Versicherten einen besonders sorgfältigen Umgang mit den Geldern verlangen würden. Diese Vorgaben habe der Beschwerdeführer missachtet, was ebenfalls für sich genommen eine fristlose Kündigung legitimiere.
3.3.7. Im weiteren habe der Beschwerdeführer die ihm obliegenden Sorgfaltspflichten verletzt, indem er der designierten Mieterin des Rechenzentrums, der C._ AG, die Kompetenz zur Vergabe sämtlicher Aufträge zum Nutzerausbau eingeräumt habe. Damit hätten die Beschwerdegegnerin und der Beschwerdeführer selbst jegliche Einflussmöglichkeit auf die Vergabe der Aufträge verloren, namentlich bezüglich der für den Innenausbau zuständigen E._ AG. Die Beschwerdegegnerin wirft dem Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang vor, mit der E._ AG pflichtwidrig keinen Totalunternehmervertrag (TU-Vertrag) abgeschlossen zu haben. Die Vorinstanz beurteilte das Verschulden des Beschwerdeführers insoweit nicht als besonders schwer, zumal die Immobilienkommission der Beschwerdegegnerin dem Vorgehen am 8. November 2013 zugestimmt habe.
3.3.8. Schliesslich warf die Vorinstanz dem Beschwerdeführer eine Pflichtverletzung aufgrund eines potenziellen Interessenskonflikts vor. Der Beschwerdeführer sei Ende März 2014 Verwaltungsrat einer Firma (H._ AG) geworden, die seinem Bekannten, I._ (F._ AG), nahe gestanden habe und die im Zusammenhang mit dem Projekt "X._" mit der Beschwerdegegnerin in einer Geschäftsbeziehung hätte stehen sollen. Es könne gut sein, dass der Beschwerdeführer damit seinen Absprung vorbereitet habe. Wenngleich es letztlich nicht zum Vertragsschluss zwischen der H._ AG und der E._ AG gekommen sei, hätte der Beschwerdeführer seine Involvierung in die H._ AG der Beschwerdegegnerin melden müssen. Gemäss der einschlägigen Fachrichtlinie zur ASIP-Charta (Ziff. 3.2) löse bereits die Möglichkeit einer Interessenskollision eine Offenlegungspflicht aus. Deren Verletzung sei allerdings nicht gravierend.
3.4. Die vorstehend zusammengefassten Erwägungen der Vorinstanz sind schlüssig. Der Beschwerdeführer legt in seiner teilweise weitschweifigen Rechtsschrift nicht substanziiert dar, dass und weshalb der angefochtene Entscheid willkürlich oder sonst bundesrechtswidrig sein soll.
3.4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet mit Bezug auf die von der Vorinstanz als schwerwiegend beurteilten Pflichtverletzungen betreffend die Darlehensgewährung zum Innenausbau bzw. für die Betriebseinrichtungen nicht, dass das Darlehen Fr. 63 Mio. betrug. Er macht lediglich geltend, es hätten im Beschluss des Stiftungsrats oder der Immobilienkommission keine konkreten Vorgaben für die Aufteilung des Investitionsbudgets von Fr. 95 Mio. auf das Gebäude und den Innenausbau bestanden. Dies trifft jedoch offensichtlich nicht zu. Wie sich aus den vorinstanzlichen Erwägungen sowie denjenigen des Erstgerichts zweifelsfrei ergibt, war gemäss den Angaben des Beschwerdeführers selbst gegenüber der Immobilienkommission vom 8. November 2013 vorgesehen, dass vom Gesamtbudget etwa Fr. 3.282 Mio. auf den Erwerb des Grundstücks, ca. Fr. 49 Mio. auf den Bau des Gebäudes und ca. Fr. 43 Mio. auf die Betriebseinrichtungen entfallen sollten. Für Letztere sollte die Beschwerdegegnerin der designierten Mieterin C._ AG ein verzinsliches Darlehen gewähren.
Vor diesem Hintergrund erwog die Vorinstanz zu Recht, dass die Darlehensgewährung an die C._ AG im Umfang von rund Fr. 63 Mio. für Betriebseinrichtungen massiv, nämlich rund Fr. 20 Mio., höher ausfiel, als vom Beschwerdeführer gegenüber der Immobilienkommission deklariert. Die Vorinstanz nahm ebenfalls zutreffend an, dass Stiftungsrat und Immobilienkommission mit einer derartigen Kostenüberschreitung resp. einer darart hohen Darlehensgewährung für die Betriebseinrichtungen nicht rechnen mussten. Von einem "noch zu erarbeitenden Detail", wie es im Beschluss vorbehalten wurde, kann keine Rede sein. Der Beschwerdeführer räumt zudem ein, dass sich das Budget für den Innenausbau aus der Differenz zwischen dem Kostendach von Fr. 95 Mio. und den Kosten für den Landkauf und den Rohbau ergeben sollte. Es ist indes unerfindlich und der Beschwerdeführer erklärt nicht, wie sich der (nachträglich) genehmigte Kostenrahmen von Fr. 95 Mio. angesichts des für den Innenausbau gewährten Darlehens von Fr. 63 Mio. sowie des budgetierten Betrags für Grundstück und Rohbau von zusammen rund Fr. 46 Mio. hätte einhalten lassen sollen.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist es auch nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz erwog, er hätte die Immobilienkommission ausserhalb des ordentlichen Prozederes über die Erhöhung des Darlehensbetrages und damit des voraussichtlichen Investitionsvolumens um Fr. 20 Mio. informieren müssen und der eigenmächtige Abschluss des Darlehensvertrages stelle eine grobe, das Vertrauen in den Beschwerdeführer nachhaltig erschütternde Pflichtverletzung dar. Dies gilt umso mehr, als der Vertragsschluss offenbar in Überschreitung der internen Richtlinien der Beschwerdegegnerin erfolgte, was der Beschwerdeführer nicht bestreitet. Ebenso wenig behauptet er, die Beschwerdegegnerin informiert oder ihr den Darlehensvertrag vorgelegt zu haben.
3.4.2. Der Beschwerdeführer bestreitet ebenfalls nicht, dass die Beschwerdegegnerin als Darlehensgeberin trotz der Höhe des Darlehensbetrags von Fr. 63 Mio. keinerlei Sicherheiten für den Kredit erhielt, sondern im Gegenteil ausdrücklich darauf verzichtet wurde. Wenn er geltend macht, aufgrund des gewählten Konstrukts, einer Kombination aus Darlehens- und Mietvertrag, habe eine hinreichende Sicherheit für den Kredit bestanden, kann ihm nicht gefolgt werden. Es ist unerfindlich, inwiefern ein gesetzliches Retentionsrecht an Sachen der Mieterin das Darlehen sichern soll. Zum einen kann ein Retentionsrecht von Vornherein nur zum Tragen kommen, wenn und soweit das Darlehen seitens der Mieterin überhaupt für den Erwerb von Betriebseinrichtung verwendet wird. Dass dies im Vertrag mit der Darlehensnehmerin gewährleistet worden wäre, behauptet der Beschwerdeführer nicht. Zum andern gilt das Retentionsrecht nur zur Sicherstellung eines verfallenen Jahreszinses und des laufenden Halbjahreszinses der vermieteten Räume (<ref-law>). Der Vorinstanz ist mithin im Ergebnis zuzustimmen, dass ein Retentionsrecht keine Sicherheit für den Kredit darstellt, wobei offen bleiben kann, ob sie sich zu diesem Argument ausdrücklich hätte äussern müssen. Wie sie ebenfalls zu Recht annimmt, hätte der Mangel an Sicherheit aufgrund eines Retentionsrechts dem Beschwerdeführer klar sein und er hätte angesichts der Höhe des Darlehens und der Dauer der Verpflichtung taugliche Sicherheiten verlangen müssen, zumal dies üblich ist.
Sodann entlastet es den Beschwerdeführer nicht, dass er den Darlehensvertrag nicht selber aushandelte, sondern den vermeintlichen Immobilienfachmann D._ damit betraute. Als Geschäftsführer oder Verantwortlicher für das Ressort "Immobilienanlagen" der Beschwerdegegnerin hätte er dafür sorgen und überprüfen müssen, dass das Darlehen hinreichend gesichert sein würde. Dies gilt, wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, umso mehr, als es sich um eine Verpflichtung der Beschwerdegegnerin in Millionenhöhe und auf Jahrzehnte hinaus handelte. Vor diesem Hintergrund erwog die Vorinstanz ebenfalls zu Recht, dass der Verzicht auf taugliche Sicherheiten eine besonders schwer wiegende Verfehlung darstellt, zumal die Anlagevorschriften des BVG sowie der konkretisierenden Verordnungen und Richtlinien im Interesse der Versicherten einen besonders sorgfältigen Umgang mit den Geldern verlangen. Der in diesem Zusammenhang erhobene Einwand des Beschwerdeführers, wonach er D._ kaum zum "Leiter Immobilien" gemacht hätte, wenn der von ihm erarbeitete und verhandelte Darlehensvertrag tatsächlich eine besonders schwere Verfehlung darstellen würde, ist nicht nachvollziehbar. Nach dem Gesagten steht vielmehr fest, dass entgegen dem üblichen und dem Beschwerdeführer offenbar bekannten Vorgehen zugunsten der Beschwerdegegnerin keinerlei Sicherheiten für den Kredit vereinbart wurden.
3.4.3. Mit seinen Einwänden gegen die Freigabe der nach Auffassung der Vorinstanz durch die Darlehensnehmerin teilweise zweckwidrig verwendeten Darlehenstranche über rund Fr. 5.5 Mio. verkennt der Beschwerdeführer sodann den gegen ihn insoweit erhobenen Vorwurf. Dieser geht dahin, dass im am 31. Dezember 2013 für die Beschwerdegegnerin mit der C._ AG unterzeichneten Darlehensvertrag kein Mechanismus vorgesehen gewesen sei, mit dessen Hilfe die zweckmässige Verwendung des Darlehens gewährleistet werden konnte. Der Beschwerdeführer behauptet einen solchen Mechanismus im Vertrag gar nicht. Er macht lediglich geltend, in der Folge bei den "involvierten Exponenten" interveniert und diese am 28. März 2014 per E-Mail daran erinnert zu haben, dass die Beschwerdegegnerin die Auslösung der Zahlungen überwachen und nur Zahlungen für korrekt erbrachte Leistungen erbringen werde. Ferner habe der Beschwerdeführer am 31. März 2014 von der Darlehensnehmerin eindringlich verlangt, einen "sauberen Zahlungsprozess zu implementieren" und zunächst einen TU-Vertrag mit der E._ AG abzuschliessen. Diese nachträglichen Interventionen vermögen indes einen vertraglichen Kontrollmechanismus für die korrekte Mittelverwendung offensichtlich nicht zu ersetzen, zumal es zum Zeitpunkt der E-Mails des Beschwerdeführers offenbar bereits zu Unstimmigkeiten mit den involvierten Firmen gekommen war.
Das Gesagte gilt ebenso für das E-Mail des mit der Überwachung der Zahlungen beauftragten G._ vom 12. März 2014 an den Beschwerdeführer. Dass G._ jenem gegenüber bestätigte, nur Zahlungen genehmigen zu wollen, wenn er sicher sei, dass diese im vorgesehenen Sinn verwendet würden, belegt gegenüber der Darlehensnehmerin keine effektive Kontrollmöglichkeit der Mittelverwendung und ersetzt nicht deren Vorsehen im Darlehensvertrag. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf, wie die korrekte Mittelverwendung oder eine effektive Kontrolle mangels einer vertraglichen Regelung gegenüber der Darlehensnehmerin hätte durchgesetzt werden sollen. Auch darauf wies die Vorinstanz zutreffend hin. Es ist daher nicht zu beanstanden, wenn sie erwog, der Beschwerdeführer habe aufgrund der Ausgestaltung des Darlehensvertrags für sich und seinen Stellvertreter die rechtliche und faktische Kontrolle über den Geldfluss aus der Hand gegeben. Ebenfalls zutreffend und nach dem Gesagten unbestritten ist ferner, dass mit der E._ AG kein Vertrag mit Zahlungsplan bestand, hätte doch der Beschwerdeführer ansonsten nicht auf eine Regelung dieses Mangels mittels TU-Vertrag drängen müssen. Dies hat, wie die Vorinstanz schlüssig darlegte, die Kontrolle durch den Beauftragten zusätzlich erschwert. Ihr ist auch zuzustimmen, dass der Beschwerdeführer mit seinem Verhalten der zweckwidrigen Mittelverwendung Vorschub geleistet hat. Entgegen seiner Auffassung hat er sich daher gegenüber seiner Arbeitgeberin allfällige betrügerische Machenschaften der C._ AG zumindest insoweit anrechnen zu lassen, als er es unterliess, einen geeigneten Kontrollmechanismus für die Mittelverwendung vertraglich festzulegen. Er kann sich davon weder durch den Hinweis befreien, dass D._ den Darlehensvertrag ausgearbeitet habe, noch dadurch, dass die Darlehensvergabe auf dem Genehmigungsbeschluss der Immobilienkommission vom 8. November 2013 beruhte. Wie bereits dargelegt, war er als Geschäftsführer resp. als Verantwortlicher für das Ressort "Immobilienanlagen" der Beschwerdegegnerin mit der Ausführung und Überwachung des Projekts betraut.
Der Beschwerdeführer bestreitet im Übrigen nicht, dass die C._ AG einen Teil der Darlehenstranche vom 12. April 2012 eigenmächtig zurückbehalten und zweckentfremdet hat. Die Vorinstanz ging willkürfrei von Fr. 3'024'000.-- aus. Sie nahm ebenso überzeugend an, durch das Ausbleiben der Zahlung an die E._ AG zum Innenausbau sei die operative Führung des Projekts erschwert worden und sei der Beschwerdeführer ein massives finanzielles Risiko eingegangen.
3.5. Nach dem in Erwägung 3.4 hievor Gesagten steht bundesrechtskonform fest, dass der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem Projekt "X._" mehrere Pflichtverletzungen begangen hat, wobei die Vorinstanz diese zu Recht als schwer und dazu geeignet beurteilte, die wesentliche Vertrauensgrundlage des Arbeitsverhältnisses zu zerstören oder zumindest tiefgreifend zu erschüttern. Sie verletzte kein Bundesrecht, wenn sie erwog, die erwähnten Pflichtverletzungen würden je für sich genommen, jedenfalls aber zusammen sowie unter Einbezug weiterer, leichterer Verfehlungen, eine fristlose Kündigung rechtfertigen. Daran ändern weder das langjährige Arbeitsverhältnis oder die Fürsorgepflicht des Arbeitgebers noch das Alter des Beschwerdeführers etwas. Dass die Kündigung im Lichte von <ref-law> rechtzeitig erfolgte (vgl. oben E. 3.2.2), bestreitet der Beschwerdeführer nicht.
Es kann offen bleiben, wie es sich mit den von der Vorinstanz als weniger schwerwiegend beurteilten Pflichtverletzungen verhält. Auf die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers braucht nicht eingegangen zu werden.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen und die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Matt