Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1973 geborene A._ war vom 1. Dezember 2009 bis 30. September 2013 als Servicemitarbeiter für die B._ GmbH tätig und in dieser Eigenschaft bei der Vaudoise Allgemeine, Versicherungs-Gesellschaft AG (nachfolgend: Vaudoise), gegen die Folgen von Unfällen und Berufskrankheiten versichert. Am 1. Mai 2010 rutschte er beim Laufen aus und brach sich den kleinen Finger der rechten Hand. Die Vaudoise stellte ihre zunächst erbrachten Versicherungsleistungen per 13. April 2011 wieder ein (Verfügung vom 22. Dezember 2011, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 29. Mai 2012). In Gutheissung der hiergegen geführten Beschwerde hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich den Einspracheentscheid vom 29. Mai 2012 auf und wies die Sache an die Vaudoise zurück, damit diese nach Einholung eines handchirurgischen Gutachtens neu entscheide (Entscheid vom 30. September 2013).
Nach Veranlassung der Expertise des Prof. Dr. med. C._ und des Dr. med. D._, Klinik für Hand-, Plastische- und Wiederherstellungschirurgie, Spital E._, vom 13. Februar 2014 (inklusive Ergänzung vom 16. Mai 2014) lehnte die Vaudoise ihre Leistungspflicht für die Zeit nach dem 13. April 2011 infolge eines fehlenden Kausalzusammenhangs zwischen Unfall und persistierenden Beschwerden erneut ab (Verfügung vom 1. September 2014, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 21. Oktober 2014). Auf Beschwerde hin erkannte das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dass A._ einerseits bis 25. Februar 2013 Anspruch auf Übernahme der Heilbehandlungskosten und auf Taggeldleistungen sowie andererseits auf eine Integritätsentschädigung, basierend auf einer Integritätseinbusse von 15 %, habe (Entscheid vom 19. August 2016).
A.b. Im Januar 2017 reichte A._ der Vaudoise ein Arztzeugnis der Dr. med. F._, Fachärztin FMH für Innere Medizin, vom 16. Januar 2017 ein, in dem ihm wegen des Unfalls (vom 1. Mai 2010) vom 23. bis 31. Januar 2017 eine 50%ige Arbeitsunfähigkeit attestiert wurde. Ausserdem machte er Lohnausfälle wegen einer Operation und ärztlichen Behandlungen im Zeitraum vom 11. März bis 31. Juli 2015 geltend. Nach Abklärungen des medizinischen Sachverhalts, namentlich nach Einholung einer Aktenbeurteilung des Vertrauensarztes Dr. med. G._, Spécialiste FMH Chirurgie Orthopédique, sprach der Unfallversicherer A._ eine Integritätsentschädigung, basierend auf einer Integritätseinbusse von 15 %, zu (entsprechend dem kantonalgerichtlichen Entscheid vom 19. August 2016). Darüber hinaus lehnte sie eine weitere Leistungspflicht ab, da die Handbeschwerden rechts, die in den Jahren 2015 und 2016 eine erneute ärztliche Behandlung erforderlich gemacht hätten, nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit auf das Ereignis vom 1. Mai 2010 zurückgeführt werden könnten (Verfügung vom 16. Mai 2017). Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 17. Oktober 2017 fest.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die gegen den Einspracheentscheid vom 17. Oktober 2017 erhobene Beschwerde ab (Entscheid vom 30. September 2019).
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen mit dem Antrag, der Entscheid des kantonalen Gerichts vom 30. September 2019 sei aufzuheben und es seien ihm ab 2015 die gesetzlichen Versicherungsleistungen auszurichten.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann diese mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 262; <ref-ruling> E. 1.4 S. 140). Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzte, indem es in Bestätigung des Einspracheentscheids vom 17. Oktober 2017 die Leistungspflicht der Vaudoise für die im Januar 2017 gemeldeten gesundheitlichen Beschwerden, die ab Januar 2015 auftraten, verneint hat.
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat richtig erkannt, dass das bis Ende 2016 geltende Recht zur Anwendung gelangt (vgl. Abs. 1 der Übergangsbestimmungen zur Änderung des UVG vom 25. September 2015, AS 2016 4375, 4387). Weiter hat es die Bestimmungen und Grundsätze über die Leistungsvoraussetzung des natürlichen Kausalzusammenhangs zwischen dem Unfallereignis und dem eingetretenen Schaden (<ref-ruling> E. 1 S. 438; <ref-ruling> E. 3.1 S. 181), insbesondere auch bei Rückfällen und Spätfolgen von Unfällen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2c S. 296 f.; Urteil 8C_181/2019 vom 2. Mai 2019 E. 3 mit Hinweisen), zutreffend dargelegt. Ebenfalls richtig sind die vorinstanzlichen Ausführungen zum Beweiswert und zur Beweiswürdigung medizinischer Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 2.2.2 S. 126 f.; <ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 ff., je mit Hinweisen), insbesondere von versicherungsinternen Ärzten (<ref-ruling> E. 4.4 S. 469). Darauf wird verwiesen.
3.2. Zu betonen ist, dass der Unfallversicherer bei der Leistungspflicht gemäss <ref-law> für Rückfälle und Spätfolgen nicht auf der Anerkennung des natürlichen und adäquaten Kausalzusammenhangs beim Grundfall oder bei früheren Rückfällen behaftet werden kann, weil die unfallkausalen Faktoren durch Zeitablauf wegfallen können. Es obliegt dem Leistungsansprecher, das Vorliegen eines Kausalzusammenhangs zwischen dem als Rückfall oder Spätfolge geltend gemachten Beschwerdebild und dem Unfall nachzuweisen. Nur wenn die Unfallkausalität mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt ist, entsteht eine erneute Leistungspflicht des Unfallversicherers; dabei sind an den Wahrscheinlichkeitsbeweis umso strengere Anforderungen zu stellen, je grösser der zeitliche Abstand zwischen dem Unfall und dem Auftreten der gesundheitlichen Beeinträchtigung ist (SVR 2016 UV Nr. 18 S. 55, 8C_331/2015 E. 2.2.2; SVR 2010 UV Nr. 31 S. 125, 8C_816/2009 E. 6, je mit Hinweis).
4.
4.1. Die Vorinstanz stützte sich bei ihrem Entscheid - wie zuvor bereits die Vaudoise - unter anderem auf die Aktenbeurteilung des Vertrauensarztes der Unfallversicherung, Dr. med. G._, vom 4. Mai 2017. Dieser hielt fest, dass die zwei Jahre nach dem 25. Februar 2013 (Einstellung der Versicherungsleistungen im Grundfall gemäss Entscheid des Sozialversicherungsgerichts vom 19. August 2016) erfolgten Konsultationen und Behandlungen nicht auf den bei der Beschwerdegegnerin versicherten Unfall zurückzuführen seien. Die Beschwerdegegnerin sei bezüglich der ab Anfang 2015 erfolgten Behandlungen und des Eingriffs vom 11. März 2015 sowie der sich daraus ergebenden Arbeitsunfähigkeit mangels eines Kausalzusammenhangs zum Unfall nicht leistungspflichtig. Nach der Operation vom 11. März 2015 habe sich ein guter Verlauf ergeben mit - gemäss Stellungnahme des Dr. med. H._, Klinik für Plastische Chirurgie und Handchirurgie, Universitätsspital I._ (nachfolgend: USI), vom 10. September 2015 - kompletter Konsolidierung der Ulnaverkürzungsosteotomie. Allerdings habe der Versicherte damals über zwei andere gesundheitliche Probleme geklagt. Es seien progrediente Schmerzen im Bereich beider Schultern und, bei Belastung mit Gewichten zwischen 15 und 20 kg, thorakale Schmerzen linksseitig aufgetreten. Am 2. Dezember 2015 sei die Behandlung der Handgelenksbeschwerden abgeschlossen worden (Bericht des USI vom 2. Dezember 2015). Der nächste Eintrag in der Krankengeschichte sei erst rund ein Jahr später, am 17. November 2016, erfolgt und habe Kribbelparästhesien an den Fingern IV und V, aber auch an den Fingern I bis III rechts, und elektrisierende Schmerzen auf der ulnaren Seite des Unterarms rechts betroffen. Handgelenksbeschwerden seien nicht beklagt worden. Der beigezogene Dr. med. J._, Facharzt FMH Neurologie, Klinik für Plastische Chirurgie und Handchirurgie, USI, habe die etwas schwierig objektivierbaren rechtsseitigen Armschmerzen am 21. Dezember 2016 in erster Linie als myofaszial bei Status nach oder im Rahmen des chronischen Complex Regional Pain Syndrome (CRPS) interpretiert. Er habe den Versicherten allerdings nicht auf ein CRPS untersucht und aufgrund seines Berichts allein lasse sich das Vorliegen dieses Leidens nicht bestätigen. Die Berichte des Dr. med. H._ sowie diejenigen der übrigen in die Behandlung involvierten Fachpersonen könnten insgesamt keine Zweifel an der Beurteilung des Dr. med. G._ begründen. Daher bestehe auch bezüglich der nach dem operativen Eingriff vom 11. März 2015 aufgetretenen Leiden keine Leistungspflicht der Beschwerdegegnerin. Zusätzliche Abklärungen zu den geltend gemachten Gesundheitsstörungen und deren Ursache seien nicht angezeigt.
4.2. Die Einwendungen des Beschwerdeführers vermögen an diesem Ergebnis nichts zu ändern, wie sich nachfolgend zeigt.
4.2.1. In Bezug auf die Berichte von versicherungsinternen Ärzten - im vorliegenden Fall ist Dr. med. G._ unbestrittenermassen als versicherungsinterner Arzt zu qualifizieren - ist zu beachten, dass rechtsprechungsgemäss bei auch nur geringen Zweifeln zusätzlich die Meinung versicherungsexterner Experten einzuholen ist (<ref-ruling> E. 4.4 S. 469 f. mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1d S. 162). Von weiteren Erhebungen durfte die Vorinstanz hier jedoch absehen, da es ihr im Rahmen ihrer pflichtgemäss vorgenommenen Beweiswürdigung gelungen ist, allenfalls verbliebenen Unsicherheiten mit schlüssigen Erklärungen zu begegnen und allfällige Ungereimtheiten - in auch das Bundesgericht überzeugender Weise - auszuräumen (vgl. Urteil 8C_213/2017 vom 6. Juni 2017 E. 2.1 mit Hinweis). Sie legte insgesamt einleuchtend dar, dass die ab Anfang 2015 beklagten Beschwerden nicht auf das Unfallereignis vom 1. Mai 2010 zurückgeführt werden können.
4.2.1.1. Im Einzelnen macht der Beschwerdeführer eine offensichtlich unrichtige kantonalgerichtliche Feststellung des Sachverhalts geltend mit der Begründung, die Vorinstanz berufe sich auf ihren Entscheid vom 19. August 2016, um Unfallbeschwerden und einen Rückfall zu verneinen. Damals habe sie allerdings die Ursache der Gesundheitsbeschwerden nicht abschliessend klären können und müssen, da die Leistungspflicht der Vaudoise für Heilbehandlungskosten und Taggeldleistungen unbestritten gewesen sei. Die dort offen gelassenen Fragen müssten nun durch einen Handchirurgen beurteilt werden. Namentlich sei nicht erstellt, dass die Ulnaverkürzung rechts und die Exzision des Os pisiforme nicht unfallbedingt seien.
Bei dieser Argumentation übersieht der Versicherte allerdings, dass das aktuelle Verfahren nicht die grundsätzliche Leistungspflicht im Grundfall betrifft. Zu beantworten ist die Frage, ob ein Rückfall oder Spätfolgen vorliegen, welche die Beschwerdegegnerin erneut zu Leistungen verpflichten (vgl. E. 3.2 hiervor). Soweit das kantonale Gericht in seinem früheren Entscheid vom 19. August 2016 offen liess, ob es beim Unfall zu einer Läsion des triangulären fibrokartilaginären Komplexes (TFCC; Zwischengelenksscheibe am Handgelenk) mit nachfolgenden Arthrosen im Handgelenk gekommen sei, ob die Beschwerden bei bestehenden degenerativen Veränderungen im Handgelenk erst aufgrund des Unfalls symptomatisch geworden oder ob die Handgelenksbeschwerden nur teilweise Folge des Unfalles seien, kann der Beschwerdeführer nichts zu seinen Gunsten daraus ableiten. Es lässt sich nicht beanstanden, dass der hier angefochtene Entscheid Bezug nimmt auf den früheren Entscheid vom 19. August 2016, bzw. vielmehr auf das dort besprochene handchirurgische Konsilium des Dr. med. K._, Leitender Arzt, Plastische und Handchirurgie, Rehaklinik L._, vom 28. Februar 2011. Darin wurde festgestellt, dass eine ungünstige Ulna-Neutral- bzw. leichte Ulna-Plus-Variante bestehe, die Ursache der Beschwerden sein könnte. Zusätzlich wird nun aber auch auf den Sprechstundenbericht des Dr. med. H._ vom 15. Januar 2015 hingewiesen, in dem ein Ulna Abutment Syndrome mit einer Läsion auf dem ulnaren Teil der Basis des Capitatums sowie eine (erst über viereinhalb Jahre nach dem Unfall) beginnende distale Radioulnargelenksarthrose diagnostiziert wird. Vor diesem Hintergrund und auch mit Blick darauf, dass eine Verletzung der Ulna anlässlich des Ereignisses vom 1. Mai 2010 nirgends dokumentiert wurde, ist es folgerichtig, dass die Vorinstanz einen Kausalzusammenhang zwischen dem Unfall vom 1. Mai 2010 und der am 11. März 2015 durchgeführten Verkürzung der Ulna sowie der Exzision des Os pisiforme verneint.
4.2.1.2. Der Versicherte rügt zudem, die Experten Prof. Dr. med. C._ und Dr. med. D._ hätten am 13. Februar 2014 ein auf den Unfall zurückzuführendes CRPS diagnostiziert und dieses unmissverständlich als Ursache der Beschwerden angegeben. Damit würden sich auch die Schmerzen im rechten Handgelenk und im Unterarm erklären lassen. Das kantonale Gericht bestreite die gutachterliche Beurteilung mit der Begründung, es ergebe sich schon aus dem Entscheid vom 19. August 2016, dass dieser nicht gefolgt werden könne. Diese Aussage widerspreche den Akten, denn die Vorinstanz habe sich im besagten Entscheid gar nicht zum Beweiswert des Gutachtens geäussert.
Aus dem Entscheid vom 19. August 2016 geht hervor, dass das kantonale Gericht den Gutachtern Prof. Dr. med. C._ und Dr. med. D._ hinsichtlich ihrer Beurteilung eines nach wie vor bestehenden CRPS nicht folgen konnte, weshalb es die Leistungspflicht auf den 25. Februar 2013 beschränkte. Zur Beurteilung, ob ein Rückfall oder Spätfolgen vorliegen, stützt sich die Vorinstanz hier allerdings nicht einzig auf ihre damaligen Erwägungen. Gegen ein - unfallkausales oder nicht unfallkausales - Wiederauftreten eines CRPS spricht für sie auch, dass in den Berichten des USI vor und nach der Operation vom 11. März 2015 nicht von einem solchen Leiden die Rede war. Zudem habe nach dem Abschluss der Behandlung des Handgelenks vom 2. Dezember 2015 erst am 17. November 2016 wieder eine Konsultation stattgefunden. Dr. med. H._ führe in seiner Stellungnahme vom 13. Oktober 2017 ausserdem nicht aus, dass ein unfallbedingtes CRPS vorliege. Er sei aber der Ansicht, dass die Beschwerden im Bereich des Handgelenks sicherlich auf den Unfall zurückgehen würden. Soweit er eine posttraumatische distale Radioulnargelenksarthrose annehme, beweise dies noch keinen rechtsgenüglichen Kausalzusammenhang. Erst aufgrund der CT-Untersuchung vom 15. Januar 2015 habe er eine beginnende distale Radioulnargelenksarthrose feststellen können und er habe nicht ausgeführt, weshalb der Unfall vom 1. Mai 2010 erst Jahre später zum Beginn einer solchen Arthrose geführt haben sollte. Eine nachvollziehbare Begründung für seine Beurteilung liege nicht vor. Inwiefern diese vorinstanzliche Beweiswürdigung Bundesrecht verletzen soll, ist nicht ersichtlich. So ist mit Blick auf die nicht schlüssige Einschätzung des Prof. Dr. med. C._ und des Dr. med. D._, wonach der Versicherte "weiterhin" (also auch nach Februar 2013) an einem CRPS gelitten haben soll, nicht zu beanstanden, dass das kantonale Gericht ihrer Expertise hinsichtlich des weiteren Bestehens eines CRPS keine Beweiskraft beimass. Im Übrigen ist zu betonen, dass es hier um die Frage geht, ob ab Januar 2015 von einem Rückfall oder von Spätfolgen auszugehen ist, weshalb im angefochtenen Entscheid zu Recht auch die Angaben in den Berichten der behandelnden Fachpersonen vor und nach dem operativen Eingriff vom 11. März 2015 berücksichtigt werden.
4.2.2. Aus dem Umstand, dass der Regionale Ärztliche Dienst im zur gleichen Zeit vor dem kantonalen Gericht hängig gewesenen invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren ein zerviko- und oberes thorakovertebrales Syndrom mit spondylogener Ausstrahlung in die vordere Thoraxapertur links und den Arm rechts festgestellt hat, die teils durch degenerative Veränderung und teils durch reaktive muskuläre Dysbalancen bedingt sein sollen, kann nicht geschlossen werden, es handle sich bei den thorakalen Schmerzen linksseitig und bei den beidseitigen Schulterschmerzen um Spätfolgen. Die Vorinstanz hat sich auch mit diesen Beschwerdebildern zuverlässig auseinandergesetzt (vgl. im Übrigen dazu auch <ref-law>, wonach neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden dürfen, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt). Zu weitergehenden medizinischen Abklärungen bestand jedenfalls entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers kein Anlass. Eine gesundheitliche Schädigung gilt beweisrechtlich praxisgemäss nicht schon dann als durch den Unfall verursacht, weil sie nach diesem aufgetreten ist (vgl. zur Unzulässigkeit der Beweismaxime "post hoc ergo propter hoc" <ref-ruling> E. 2b/bb S. 341 f.; SVR 2016 UV Nr. 18 S. 55, 8C_331/2015 E. 2.2.3.1).
4.3. Nach dem Gesagten ist die Vorinstanz in bundesrechtskonformer Würdigung der vorhandenen Akten davon ausgegangen, dass eine Unfallkausalität der mit den Rückfallmeldungen vom Januar 2015 geltend gemachten Beschwerden nicht erstellt ist und der Versicherte die Folgen der Beweislosigkeit zu tragen hat (vgl. E. 3.2 hiervor). Sie durfte dabei ohne Bundesrecht zu verletzen auf weitere Beweismassnahmen verzichten.
5.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 4. August 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Berger Götz