Sachverhalt:
A.
Der 1952 geborene A._, zuletzt bei der X._ AG angestellt und dadurch bei der GastroSocial Pensionskasse berufsvorsorgeversichert, bezieht seit 1. Juni 2001 eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Zudem erhielt er nach seiner Heirat am 10. Februar 2011 seit 1. Juni 2013 Kinderrenten für die beiden Kinder seiner Ehefrau (B._ und C._) (Verfügungen der IV-Stelle für Versicherte im Ausland vom 22. Dezember 2016).
Parallel dazu zahlte ihm die GastroSocial Pensionskasse seit dem 6. Juni 2002 eine volle Invalidenrente aus, die mit Erreichen des ordentlichen Rücktrittsalters per 1. Februar 2017 durch eine lebenslängliche Altersrente abgelöst wurde. Hingegen lehnte die Pensionskasse die Auszahlung von Kinderrenten der beruflichen Vorsorge für die beiden Stiefkinder des Versicherten ab (Schreiben der Pensionskasse vom 13. März 2017, 7. April 2017 und 5. Juli 2017).
B.
Mit Entscheid vom 17. Juli 2019 wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage des A._ vom 10. Januar 2018 gegen die GastroSocial Pensionskasse ab, mit welcher dieser gefordert hatte, die Beklagte sei zu verpflichten, für B._ und C._ rückwirkend ab 1. Juni 2013 Kinderrenten auszurichten.
C.
A._ lässt Bes chwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, der angefochtene Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und die GastroSocial Pensionskasse zu verpflichten, ihm rückwirkend ab 1. Juni 2013 Kinderrenten für B._ und C._ zuzusprechen und zu bezahlen (nebst Zins zu 5 % seit Klageerhebung). Eventualiter sei die Sache in Aufhebung des kantonalen Entscheids an die Vorinstanz zu ergänzenden Abklärungen zurückzuweisen.
Die GastroSocial Pensionskasse schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Eventualiter seien dem Beschwerdeführer frühestens ab Mai 2017 Alterskinderrenten zuzusprechen.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen). Die Begründung hat in der Rechtsschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 4 S. 421; <ref-ruling> E. 3.1 S. 400). Diese Anforderungen gelten auch für die Beschwerdeantwort (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2 S. 89). Insoweit ist auf Letztere nicht weiter einzugehen.
2.
Strittig und zu prüfen ist, ob der Beschwerdeführer, der bei der Beschwerdegegnerin umhüllend vorsorgeversichert ist, ab 1. Juni 2013 Anspruch auf Kinderrenten für die Kinder seiner Ehefrau (Heirat 10. Februar 2011) hat.
2.1. Der Anspruch auf reglementarische Invaliden-Kinderrenten beurteilt sich nach dem (einzigen) Reglement, obligatorische berufliche Vorsorge, gültig ab 1. Januar 1999 (nachfolgend Reglement 1999). Für den Anspruch auf Alters-Kinderrenten ist das Reglement UNO 2017, Berufliche Vorsorge nach L-GAV, gültig ab 1. Januar 2017 (nachfolgend: Reglement 2017), massgebend, nachdem die Invalidenrente des Beschwerdeführers per 1. Februar 2017 durch eine Altersrente abgelöst wurde (vgl. <ref-ruling> E. 2b S. 44; <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3 S. 124; SVR 2016 BVG Nr. 25 S. 105, 9C_615/2014 E. 5.2; Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts B 2/00 vom 23. März 2001 E. 1b).
Die reglementarischen Bestimmungen, die in beiden Reglementen für die hier massgebenden Belange im Wesentlichen übereinstimmen, lauten wie folgt:
Für jedes Kind besteht ein Anspruch auf eine Invaliden-Kinderrente von 10 % des koordinierten Lohns bis zu seinem 20. Geburtstag. Der Anspruch besteht weiter für Kinder in Ausbildung, bzw. für Kinder, die zumindest 2/3 invalid sind, längstens aber bis zum 25. Geburtstag (Art. 13 Abs. 6 Reglement 1999). Nach Art. 12 Abs. 4 Reglement 2017 besteht für jedes Kind ein Anspruch auf eine Alters-Kinderrente von 20 % der Altersrente bis zu seinem 20. Geburtstag. Der Anspruch besteht weiter für Kinder in Ausbildung, bzw. für Kinder, die zu mindestens 70 % invalid sind, längstens aber bis zum 25. Geburtstag.
2.2. Im obligatorischen Bereich haben Versicherte denen eine Alters- resp. Invalidenrente zusteht, für jedes Kind, das im Falle ihres Todes eine Waisenrente beanspruchen könnte, Anspruch auf eine Kinderrente in der Höhe der Waisenrente (Art. 17 Abs. 1 und Art. 25 Abs. 1 Satz 1 BVG). Art. 20 BVG bestimmt sodann, dass Kinder des Verstorbenen Anspruch auf Waisenrenten haben, Pflegekinder nur, wenn der Verstorbene für ihren Unterhalt aufzukommen hatte.
3.
3.1. Die Auslegung eines Reglements einer privatrechtlichen Vorsorgeeinrichtung als vorformulierter Inhalt des Vorsorgevertrags geschieht nach dem Vertrauensprinzip. Dabei sind jedoch die in Bezug auf die Allgemeinen Versicherungsbedingungen geltenden Besonderheiten zu beachten, namentlich die sogenannten Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregeln. Nach diesen Auslegungsgrundsätzen gilt es, ausgehend vom Wortlaut und unter Berücksichtigung des Zusammenhangs, in dem eine streitige Bestimmung innerhalb des Reglements als Ganzes steht, den objektiven Vertragswillen zu ermitteln, den die Parteien mutmasslich gehabt haben. Dabei hat das Gericht zu berücksichtigen, was sachgerecht ist, weil nicht angenommen werden kann, dass die Parteien eine unvernünftige Lösung gewollt haben (<ref-ruling> E. 2.2 S. 51 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 181; <ref-ruling> E. 2.2 S. 29; Urteile 9C_85/2017 vom 24. Mai 2017 E. 2.3 und 9C_771/2016 vom 4. Mai 2017 E. 2.3).
3.2. Das Bundesgericht prüft das Ergebnis der Auslegung nach dem Vertrauensprinzip und in Anwendung der Unklarheits- und Ungewöhnlichkeitsregel als Rechtsfrage frei. Dabei ist es an die Feststellungen der Vorinstanz über die äusseren Umstände im Rahmen von Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG gebunden (<ref-ruling> E. 2.3 S. 52 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 67; Urteile 9C_85/2017 vom 24. Mai 2014 E. 2.4 und 9C_771/2016 vom 4. Mai 2017 E. 2.4).
4.
4.1. Die Vorinstanz erwog, in der reglementarischen Bestimmung werde der Begriff "Kind" nicht näher spezifiziert. In Anwendung der Unklarheitsregel werde dieser zu Lasten der Beschwerdegegnerin im Sinne von Art. 17 Abs. 1 bzw. Art. 25 Abs. 1 Satz 1 i.V.m. Art. 20 BVG ausgelegt. In einem nächsten Schritt prüfte das kantonale Gericht, unter welchen Voraussetzungen Art. 20 BVG einen Anspruch auf Waisenrenten begründet und kam zum Schluss, dass diese nicht erfüllt seien.
4.2. Der Beschwerdeführer bringt dagegen zusammengefasst vor, Art. 20 BVG sei im Sinne des umfassenden Kinderbegriffs der AHV auszulegen, worunter auch ein Stiefkind fallen könne.
4.3. Unter nicht weiterer Beachtung des Verweises der Beschwerdegegnerin auf ihre Ausführungen in der vorinstanzlichen Klageantwort und Duplik (vgl. E. 1.1) ist festzuhalten, dass sie auf die vorinstanzlichen Erwägungen zum Kinderbegriff verweist und im Wesentlichen darlegt, der Gesetzgeber habe mit Art. 20 BVG in der 2. Säule nicht denselben Begriff wie in der 1. Säule verwenden wollen.
5.
5.1. Die Vorsorgeeinrichtung ist im Rahmen des Gesetzes sowie der verfassungsmässigen Schranken (wie Rechtsgleichheit, Verhältnismässigkeit und des Willkürverbots; <ref-ruling> E. 2.1 S. 350) in der Gestaltung ihrer Leistungen im weitergehenden Bereich grundsätzlich frei (Art. 49 BVG; <ref-ruling> E. 2.1 S. 378). Eine umhüllende Vorsorgeeinrichtung kann demnach im Reglement den Anspruch auf eine Kinderrente als Alters- oder Invalidenrente zwar vorsehen, ist aber nicht gehalten die Regelungen von Art. 17 und Art. 25 in Verbindung mit Art. 20 BVG zu wählen (vgl. SVR 2006 BVG Nr. 6 S. 22, B 84/03 E. 4.3 und 4.5.1 ff.).
5.2. Nach den Reglementen besteht als Invaliden- bzw. Altersleistung "für jedes Kind" Anspruch auf eine Kinderrente. Aus diesem Wortlaut allein geht nicht klar hervor, ob der Anspruch eine besondere Qualität/Verbindung zwischen Kind und versicherter Person voraussetzt. Dies stellte auch die Vorinstanz fest und wird von den Parteien nicht gerügt. Entgegen dem vorinstanzlichen Entscheid führt dies - im Sinne der Unklarheitsregel - jedoch nicht direkt zur Anwendung von Art. 20 BVG resp. von dessen Regelungsinhalt. Neben dem Wortlaut sind auch die weiteren Umstände und Tatsachen zu berücksichtigen, die auf den mutmasslichen Parteiwillen schliessen lassen. Falls alsdann gleichwohl mehrere Deutungen möglich sind, so ist jener Auslegung der Vorzug zu geben, welche für jene Vertragspartei ungünstiger ist, welche die unklare Vertragsbestimmung verfasst hat (vgl. E. 3.1 vorne; SVR 2019 KV Nr. 9 S. 61, 4A_499/2018 E. 1 mit Hinweisen).
5.3. Bei der Durchsicht der genannten Reglemente fällt auf, dass in den fraglichen Bestimmungen - zulässigerweise (vgl. E. 5.1 vorne) -vom BVG abgewichen wurde, indem eine Unterscheidung betreffend den Anspruch auf Kinder- und Waisenrente gemacht wurde. Allein beim Waisenrentenanspruch wird nämlich - dem BVG folgend (vgl. E. 2.2 vorne) - von "jede (m) Kind der verstorbenen versicherten Person" gesprochen (Art. 14 Abs. 6 Reglement 1999, Art. 14 Abs. 7 Reglement 2017). Diese Differenzierung legt nahe, dass "nur" bei den Todesfallleistungen - anders als bei den Invaliden- und Altersleistungen - eine qualifizierte resp. familienrechtliche Verbindung zwischen dem Kind und der versicherten Person bestehen muss (vgl. Art. 252 Abs. 2 und 3 ZGB). Dass dies auf ein Versehen (Vertragslücke) zurückzuführen ist, ist weder ersichtlich noch wird dies geltend gemacht.
Anders gesagt fehlen - auch nur ansatzweise - Anhaltspunkte dafür, dass in den fraglichen Reglementen die BVG-Systematik zum Kinder- bzw. Waisenrentenanspruch integral übernommen werden sollte. Vielmehr wird der Anspruch auf Kinderrenten als Invaliden- und Altersleistung in den Reglementen erkennbar und deutlich losgelöst vom BVG formuliert. In den Reglementen wird beim Kinderrentenanspruch keinerlei Bezug zum Waisenrentenanspruch genommen oder ein anderweitiges "Abgrenzungsmerkmal" (wie etwa eine Unterstützungspflicht) aufgeführt, das auf einen "engen" Kinderbegriff schliessen liesse. Auch ist den unter dem Titel "Allgemeine Bestimmungen oder Begriffe" aufgeführten Regelungen kein Verweis auf das Gesetz für eine allfällige Lücken- resp. Begriffsfüllung zu entnehmen.
5.4. Mit Blick darauf, dass das Überobligatorium über die Deckung des blossen Existenzbedarfs hinausgeht, erscheint es zudem nicht von vornherein sinnlos, dem versicherten Invaliden- und Altersrentner eine Kinderrente für die Stiefkinder zuzusprechen, für welche er (nachweislich) freiwillig aufkommt. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdegegnerin im vorinstanzlichen Verfahren das (nachgeschobene) "Maintenance Agreement" vom 6. Mai 2017 als rechtsmissbräuchlich betrachtete; die (behaupteten) seit 2011 geleisteten Unterhaltszahlungen des Beschwerdeführers zugunsten seiner Stiefkinder werden als solche nicht bestritten. Eine Ungleichbehandlung von Pflege- und Stiefkind liesse sich in der weitergehenden beruflichen Vorsorge zwar rechtfertigen (vgl. SVR 2006 BVG Nr. 6 S. 22, B 84/03 E. 4.5; vgl. auch E. 5.3 hiervor), nachdem das Reglement darauf aber verzichtet und "für jedes Kind" eine Invaliden- bzw. Alters-Kinderrente gewährt, ist die Vorsorgeeinrichtung bei dieser grosszügigen Regelung, wie sie vom Versicherten verstanden wurde und nach dem Gesagten grundsätzlich auch verstanden werden durfte, zu behaften.
6.
Der Beschwerdeführer hat somit aufgrund der Reglemente der Beschwerdegegnerin Anspruch auf Kinderrenten für seine beiden Stiefkinder. Die Frage, ob und inwieweit Art. 20 BVG (worauf Art. 17 Abs. 1 und Art. 25 Abs. 1 BVG Bezug nehmen) auch für Stiefkinder gilt, stellt sich (hier) nicht.
7.
Der Beschwerdeführer beantragt auf die Rentenbetreffnisse sei ihm ab Klageerhebung ein Verzugszins von 5 % zuzusprechen. Einen Verzugszins hat er jedoch im vorinstanzlichen Verfahren nie geltend gemacht. Es handelt sich somit um ein neues Begehren nach <ref-law>, worauf nicht einzutreten ist (vgl. Urteil 9C_108/2018 vom 30. Januar 2019 E. 2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2019 BVG Nr. 24 S. 97).
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Sie hat dem Beschwerdeführer überdies eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 17. Juli 2019 wird aufgehoben. Die Klage des Beschwerdeführers vom 10. Januar 2018 wird gutgeheissen und die Beschwerdegegnerin verpflichtet, dem Beschwerdeführer ab 1. Juni 2013 die reglementarischen Invaliden- bzw. Alters-Kinderrenten für B._ und C._ auszurichten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 25. September 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli