Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1968) ist ehemaliger Staatsangehöriger von Serbien und verfügt heute über einen kosovarischen Pass. Er reiste im Jahr 2005 in die Schweiz ein und heiratete die Schweizer Staatsangehörige B._ (geb. 1959). Das Migrationsamt des Kantons Zürich erteilte ihm in der Folge die Aufenthaltsbewilligung.
Die Ehe von A._ mit B._ wurde mit Urteil des Bezirksgerichts Affoltern vom 2. Juni 2015 geschieden.
B.
A._ erwirkte während seiner Anwesenheit drei Strafverdikte, mit denen er zu Geldstrafen und Bussen verurteilt wurde. Dabei ging es um Verstösse gegen das Strassenverkehrsgesetz und die Ausländergesetzgebung. Er wurde deshalb im Jahr 2007 vom Migrationsamt verwarnt. Seither ist er soweit ersichtlich nicht mehr strafrechtlich in Erscheinung getreten und auch nicht mehr verwarnt worden.
Mit Verfügung vom 21. September 2015 wies das Migrationsamt ein Gesuch A._s um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Gewährung des rechtlichen Gehörs ab und setzte ihm Frist zum Verlassen der Schweiz an. Es begründete diesen Entscheid mit der Verschuldung von A._. Ein gegen die Verfügung vom 21. September 2015 angehobener Rekurs bei der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb in der Hauptsache erfolglos (Entscheid vom 28. März 2017). Am 18. Dezember 2017 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid erhobene Beschwerde ebenfalls ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 31. Januar 2018 ersucht der Beschwerdeführer um Aufhebung des angefochtenen Urteils und Rückweisung des Verfahrens zur Neubeurteilung an die Vorinstanz.
Das Verwaltungsgericht und die Sicherheitsdirektion haben ausdrücklich auf Vernehmlassung verzichtet; vom Staatssekretariat für Migration ist keine Stellungnahme eingegangen.
Mit Präsidialverfügung vom 2. Februar 2018 wurde der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Zusammenhang mit Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Ob die jeweiligen Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass ein entsprechender Anwesenheitsanspruch in vertretbarer Weise geltend gemacht wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
Der Beschwerdeführer beruft sich auf <ref-law> (Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung nach Auflösung der Familiengemeinschaft). Jedenfalls nicht ausgeschlossen ist angesichts der Erwägungen der Vorinstanz, dass er vor der Ehescheidung gestützt auf <ref-law> auch einen Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung erworben hat; hierauf könnte er sich gemäss der Rechtsprechung des Bundesgerichts auch nach Beendigung der Ehe berufen (vgl. Urteil 2C_431/2010 vom 25. Juli 2011 E. 1.2 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 1.1.4 S. 149 [noch zur Rechtslage unter Art. 4 des nicht mehr in Kraft stehenden Bundesgesetzes vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer]).
Vor diesem Hintergrund ist der Bewilligungsanspruch des Beschwerdeführers insgesamt in vertretbarer Weise geltend gemacht.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben. Rein kassatorische Begehren sind an sich unzulässig, da das Bundesgericht reformatorisch entscheiden kann (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 415; Urteil 2C_81/2018 vom 14. November 2018 E. 1.4). Aus der Beschwerdeschrift ergibt sich jedoch, dass dem Beschwerdeführer in erster Linie an der Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung gelegen ist. Sein Antrag ist in diesem Sinn zu verstehen. Da die weiteren Eintretensvoraussetzungen für die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben sind, ist darauf einzutreten (Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144).
3.
3.1. Vorliegend steht nicht die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung in Frage, hat sich der Beschwerdeführer im bisherigen Verfahren doch auf den Antrag beschränkt, gestützt auf <ref-law> seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Angesichts der Argumentation der Vorinstanz besteht jedoch die Möglichkeit, dass er gestützt auf <ref-law> zusätzlich Anspruch auf Erteilung einer Niederlassungsbewilligung haben könnte.
Die Aufenthaltsbewilligung vermittelt ein schwächeres Aufenthaltsrecht als die Niederlassungsbewilligung. Aus diesem Grund sind die Anforderungen an deren Erteilung bzw. Verlängerung weniger hoch als die Anforderungen an die Erteilung der Niederlassungsbewilligung. Würde der Beschwerdeführer aufgrund von <ref-law> über einen Anspruch auf Erteilung einer Niederlassungsbewilligung verfügen, könnte ihm die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung deshalb erst recht nicht verweigert werden (<ref-ruling> E. 1.1.4 mit Hinweisen).
3.2. Die Vorinstanz stellt nicht in Frage, dass der Beschwerdeführer mehr als fünf Jahre mit einer Schweizerin verheiratet war und die Voraussetzungen für die Erteilung einer Niederlassungsbewilligung nach <ref-law> grundsätzlich erfüllt wären. Unter dem Vorbehalt des Vorliegens eines Widerrufsgrundes nach <ref-law> hat der Beschwerdeführer deshalb Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (<ref-law>).
3.3. Der Widerruf einer Niederlassungsbewilligung nach <ref-law> ist im Vergleich zum Widerruf einer Aufenthaltsbewilligung (<ref-law>) nur unter qualifizierten Voraussetzungen möglich (vgl. LUC GONIN, N. 3 zu <ref-law>, in: Amarelle/Nguyen [Hrsg.], Pratiques en droit des migrations, Code annoté de droit des migrations, Vol. II, Bern 2017). Daraus folgt im Umkehrschluss, dass bei Vorliegen eines Widerrufsgrunds nach <ref-law> nicht nur der Anspruch auf Erteilung einer Niederlassungsbewilligung erlischt, sondern auch der Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung (vgl. Urteil 2C_682/2012 vom 7. Februar 2013 E. 6.1).
Im vorliegenden Fall ist aufgrund des oben Dargelegten zu prüfen, ob ein Widerrufsgrund nach <ref-law> vorliegt. Wäre diese Frage zu bejahen, fiele auch der Anspruch des Beschwerdeführers auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung dahin. Wäre die Frage hingegen zu verneinen, verfügte der Beschwerdeführer auch weiterhin über einen Anspruch auf Erteilung einer Niederlassungsbewilligung und müsste ihm die Aufenthaltsbewilligung daher verlängert werden.
3.4. Die Vorinstanz stützt die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung auf <ref-law>. Nach dieser Bestimmung kann die Niederlassungsbewilligung widerrufen werden, wenn die ausländische Person in schwerwiegender Weise gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung in der Schweiz oder im Ausland verstossen oder diese gefährdet hat.
Ein Verstoss gegen die öffentliche Sicherheit und Ordnung ist nach Art. 80 Abs. 1 lit. b der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE; SR 142.201) unter anderem bei mutwilliger Nichterfüllung der öffentlich-rechtlichen oder privatrechtlichen Verpflichtungen anzunehmen. Schuldenwirtschaft allein genügt für den Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht. Vorausgesetzt ist zusätzlich Mutwilligkeit der Verschuldung; die Verschuldung muss mit anderen Worten selbst verschuldet und qualifiziert vorwerfbar sein (<ref-ruling> E. 3.3 S. 304). Davon ist nicht leichthin auszugehen (vgl. Urteil 2C_164/2017 vom 12. September 2017 E. 3.1 mit Hinweis). Zudem obliegt der Beweis der Mutwilligkeit der Migrationsbehörde (vgl. Urteil 2C_27/2018 vom 10. September 2018 E. 2.1).
Wurde bereits eine ausländerrechtliche Verwarnung (<ref-law>) ausgesprochen, was in den bundesgerichtlich beurteilten Fällen die Regel bildet, ist entscheidend, ob die ausländische Person danach weiterhin mutwillig Schulden angehäuft hat. Dabei ist zu berücksichtigen, dass zum vornherein keine Möglichkeit hat, ausserhalb des Betreibungsverfahrens Schulden zu tilgen, wer einem betreibungsrechtlichen Verwertungsverfahren (insbesondere der Lohnpfändung) unterliegt. Das kann in solchen Fällen dazu führen, dass im Vergleich zu früher weitere Betreibungen hinzukommen oder der betriebene Betrag anwächst, ohne dass allein deswegen Mutwilligkeit vorliegen würde. Von entscheidender Bedeutung ist dagegen, welche Anstrengungen zur Sanierung unternommen worden sind. Positiv zu würdigen ist etwa, wenn vorbestandene Schulden abgebaut worden sind. Ein Widerruf ist dagegen zulässig, wenn in vorwerfbarer Weise weitere Schulden angehäuft worden sind (vgl. Urteile 2C_164/2017 vom 12. September 2017 E. 3.1 mit Hinweis; 2C_273/2010 vom 6. Oktober 2010 E. 3.4).
3.5. Der eben erwähnte <ref-law> bezieht sich gemäss seiner Marginalie sowohl auf <ref-law> als auch auf <ref-law>. Nichtsdestotrotz müssen für den Widerruf einer Niederlassungsbewilligung höhere Anforderungen gestellt werden, als für die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung, verlangt doch das Gesetz einen schwerwiegenden Verstoss (<ref-law>) und nicht nur einen erheblichen oder wiederholten Verstoss gegen die öffentliche Ordnung (<ref-law>). Es stellt sich jedoch die Frage, worin mit Blick auf den Widerrufsgrund der Verschuldung der Unterschied zwischen schwerem und erheblichem Verstoss auszumachen ist.
Keinen Ansatzpunkt für eine Differenzierung bietet das Erfordernis der Mutwilligkeit. Ob die Verschuldung selbst verschuldet und deshalb qualifiziert vorwerfbar ist, entscheidet sich nicht aufgrund einer graduellen Abstufung: Entweder liegt Mutwilligkeit vor, oder nicht. Auch <ref-law> sieht diesbezüglich keine Differenzierung vor. Der Unterschied zwischen einem schwerwiegenden und einem erheblichen Verstoss gegen die öffentliche Ordnung kann beim Widerrufsgrund der übermässigen Verschuldung daher nur im Umfang der Schulden liegen. Dabei lässt sich keine klare Grenze ziehen, ab wann die Verschuldung nicht mehr nur als erhebliche, sondern als schwerwiegende Gefährdung der öffentlichen Ordnung zu gelten hat. Bisher entschiedenen Fällen lässt sich aber jedenfalls entnehmen, dass bei mutwillig unbezahlt gebliebenen öffentlich- oder privatrechtlichen Schulden von Fr. 188'000.-- (Verlustscheine; vgl. Urteil 2C_517/2017 vom 4. Juli 2018), Fr. 303'732.95 (Verlustscheine; vgl. Urteil 2C_164/2017 vom 12. September 2017) und Fr. 172'543.-- (Verlustscheine, zusätzlich offene Betreibungen im Umfang von Fr. 4'239.--; vgl. Urteil 2C_997/2013 vom 21. Juli 2014) eine schwerwiegende Gefährdung der öffentlichen Ordnung anzunehmen ist.
3.6. Die vorinstanzlichen Erwägungen zum Vorliegen einer schwerwiegenden Gefährdung der öffentlichen Ordnung überzeugen angesichts der aufgezeigten Rechtslage nicht.
3.6.1. Zunächst muss im Lichte der Praxis als unüblich bezeichnet werden, dass der Beschwerdeführer wegen seines Zahlungsgebarens nie ausländerrechtlich verwarnt worden ist, obwohl die Migrationsbehörden spätestens seit 2011 - dem Zeitpunkt des Gesuchs um Erteilung der Niederlassungsbewilligung - von dessen Schulden Kenntnis hatten. Der Verlustschein über Fr. 47'366.30, den die Vorinstanz im angefochtenen Urteil stark gewichtet, stammt aus dem Jahr 2010; seither sind keine weiteren Verlustscheine hinzugekommen. Was sich 2015 änderte, als das Migrationsamt dem Beschwerdeführer nach Gewährung des rechtlichen Gehörs die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung mitteilte, war einzig die Trennung des Beschwerdeführers von seiner Schweizer Ehefrau. Damit erloschen zwar dessen Verlängerungsansprüche nach <ref-law>. Für die Frage, ob ein Widerrufsgrund nach <ref-law> vorliegt, ist der Zivilstand bzw. das Vorliegen einer intakten Familiengemeinschaft jedoch nicht von Belang. Beeinflusst wird dadurch einzig die Abwägung, die bei Vorliegen eines Widerrufsgrunds im Hinblick auf die Beendigung des Aufenthaltsrechts zwischen den öffentlichen Fernhalteinteressen und den privaten Interessen an einem Verbleib in der Schweiz vorzunehmen ist (<ref-law>).
Auch wenn die Behörden nicht verpflichtet sind, vor der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung eine Verwarnung auszusprechen (vgl. Urteil 2C_283/2011 vom 30. Juli 2011 E. 2.3), hätte sich eine solche im vorliegenden Fall schon vor 2015 aufgedrängt, wenn die Migrationsbehörden wirklich der Auffassung gewesen wären, dass der Widerrufsgrund von <ref-law> erfüllt gewesen wäre.
3.6.2. Angesichts der bundesgerichtlich entschiedenen Vergleichsfälle ist weiter zu verneinen, dass aufgrund der von der Vorinstanz festgestellten Tatsachen im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils eine schwere Gefährdung der öffentlichen Ordnung vorlag.
Der Betreibungsregisterauszug des Betreibungsamts U._ vom 6. März 2017, auf den sich die Vorinstanz im Wesentlichen stützt, weist für den Zeitraum zwischen dem 11. Juli 2012 und dem 21. Februar 2017 Betreibungen im Umfang von Fr. 89'254.10 aus. Von den betriebenen Forderungen hat der Beschwerdeführer gemäss dem Registerauszug Fr. 25'997.15 beglichen. Gegen vier Betreibungen im Umfang von Fr. 56'341.55 - davon drei Betreibungen seiner Ex-Frau - hat er Rechtsvorschlag erhoben; über den Bestand der Forderungen lässt sich den Akten nichts entnehmen. Offen bleiben damit Betreibungen im Umfang von Fr. 6'914.60. Ausserdem besteht ein Verlustschein aus dem Jahr 2010 im Umfang von Fr. 47'366.30.
3.6.3. Jedenfalls wenn die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung anhand der beiden letztgenannten Zahlen beurteilt und zudem der Umstand berücksichtigt wird, dass der Verlustschein aus dem Jahr 2010 stammt, kann nicht davon die Rede sein, dass die Schuldenwirtschaft des Beschwerdeführers eine schwere Gefährdung der öffentlichen Ordnung darstellt.
Anders könnte der Fall allenfalls liegen, wenn sich ergäbe, dass die Rechtsvorschläge gegen die Forderungen über Fr. 56'341.55 beseitigt worden wären und damit gesagt werden könnte, dass der Beschwerdeführer seit 2012 neben dem bestehenden Verlustschein und den offenen Betreibungen von Fr. 6'914.60 seit dem Privatkonkurs im Jahr 2012 neue Schulden im genannten Umfang angehäuft hätte. Unter anderem von einem solchen neuen Schuldenzuwachs hängt letztlich auch ab, ob dem Beschwerdeführer im Umgang mit seinen finanziellen Mitteln blosse Liederlichkeit oder aber Mutwilligkeit vorzuwerfen ist. Jedenfalls aufgrund der Akten, die bis zum Urteil der Vorinstanz vorlagen, lässt sich die Frage jedoch nicht beantworten.
3.7. Zusammenfassend ergibt sich, dass der von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellte Sachverhalt nicht auf eine schwere Gefährdung der öffentlichen Ordnung im Sinne von <ref-law> schliessen lässt. Ob sich der Sachverhalt mittlerweile anders präsentiert, liegt nicht in der Prüfungskompetenz des Bundesgerichts. Entsprechend verfügte der Beschwerdeführer im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils grundsätzlich über einen Anspruch auf Erteilung der Niederlassungsbewilligung (<ref-law>), was ausschloss, ihm die Aufenthaltsbewilligung nicht zu verlängern (vgl. oben E. 3.1).
Die Beschwerde ist damit gutzuheissen und dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- auszurichten (<ref-law>). Für die Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen der kantonalen Verfahren ist die Angelegenheit an das Verwaltungsgericht Zürich zurückzuweisen (vgl. Art. 107 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. Dezember 2017 wird aufgehoben.
2.
Das Migrationsamt des Kantons Zürich wird angewiesen, dem Beschwerdeführer die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Zürich hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
5.
Zur Neuregelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens wird die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Januar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner