Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich führte eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Ehrverletzung. In diesem Verfahren bestellte sie ihm Rechtsanwalt B._ als amtlichen Verteidiger im Sinne einer notwendigen Verteidigung nach <ref-law>. In der Folge forderte A._ die Staatsanwaltschaft auf, den amtlichen Verteidiger aus seinem Mandat zu entlassen, da er sich selber verteidigen könne. Nachdem es zu keiner solchen Verfügung kam, erhob A._ Beschwerde wegen Rechtsverweigerung beim Obergericht des Kantons Zürich. Im Strafverfahren stellte er erfolglos weitere Verfahrensanträge, denen die Staatsanwaltschaft nicht stattgab. Insoweit erhob er beim Obergericht Beschwerde wegen Rechtsverzögerung. Mit Beschluss und Verfügung vom UV200011 vom 28. Juli 2020 wies das Obergericht die Beschwerden ab, soweit es darauf eintrat. Die dagegen erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Urteil 1B_413/2020 vom 21. Januar 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
B.
Im Rahmen einer weiteren Strafuntersuchung gegen A._ wegen Drohung bestellte ihm die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich mit Verfügung vom 14. Januar 2021 gestützt auf <ref-law> erneut Rechtsanwalt B._ als amtlichen Verteidiger. Gegen diese Verfügung erhob A._ am 28. Januar 2021 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies das Rechtsmittel mit Beschluss vom 8. Februar 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 10. Februar 2021 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss des Obergerichts vom 8. Februar 2021 aufzuheben und Rechtsanwalt B._ aus dem Mandat als amtlichen Verteidiger zu entlassen. Zudem beantragt er eine Parteientschädigung von Fr. 1'000.-- sowie eine Entschädigung wegen angeblicher Menschenrechtsverletztung in der Höhe von Fr. 7'000.--. Ausserdem ersucht er um die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Staatsanwaltschaft beantragt die Abweisung der Beschwerde. A._ äussert sich mit weiteren Eingaben zur Sache und beantragt mit Schreiben vom 14. März 2021 gegenüber der Präsidentin des Bundesgerichts den Ausstand der Bundesrichter François Chaix und Thomas Müller sowie der Bundesrichterin Monique Jametti in den ihn betreffenden strafprozessualen Beschwerdeverfahren.

Erwägungen:
1.
Auf die im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren eingereichten aber nicht näher begründeten Ausstandsgesuche gegen die Bundesrichter François Chaix und Thomas Müller sowie die Bundesrichterin Monique Jametti ist nicht einzutreten. Die Tatsache, dass der Beschwerdeführer in mehreren bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren erfolglos blieb, an welchen die genannten Mitglieder der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung mitgewirkt haben, stellt für sich alleine keinen zulässigen Ausstandsgrund dar (<ref-law>). Daran vermag auch der Umstand nichts zu ändern, dass der Beschwerdeführer wegen der für ihn nachteiligen Urteile unterdessen gegen die genannten Gerichtspersonen Strafanzeige eingereicht hat (vgl. Urteile 1B_401/2019 vom 4. Oktober 2019 E. 3.5, 1B_236/2019 vom 9. Juli 2019 E. 2.1; 6B_385/2015 vom 12. Mai 2015 E. 2). Bei unzulässigen Ausstandsgesuchen ist kein Verfahren nach <ref-law> durchzuführen. Auf die Gesuche ist vielmehr nicht einzutreten.
2.
Der angefochtene Entscheid ist ein selbstständig eröffneter Zwischenentscheid in einem Strafverfahren, der für den Beschwerdeführer hinsichtlich der Frage der amtlichen Verteidigung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Die Beschwerde in Strafsachen nach 78 ff. BGG erweist sich damit als zulässig (vgl. <ref-law>), soweit der Beschwerdeführer den Entscheid des Obergerichts im Streitpunkt der notwendigen amtlichen Verteidigung anficht. Grundsätzlich ebenfalls zulässig ist es, im Rahmen der Beschwerde in Strafsachen erstmals einen Ausstandsgrund geltend zu machen, sofern dieser erst nach der Fällung des letztinstanzlichen kantonalen Urteils, aber vor Ablauf der Beschwerdefrist beim Bundesgericht entdeckt worden ist (<ref-ruling> E. 3.4; Urteil 2C_455/2020 vom 2. Dezember 2020 E. 4.1.1, zur Publikation vorgesehen).
3.
3.1. Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2). Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten besteht eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rüge nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 2.5).
3.2. Diesen Anforderungen genügt die Beschwerdeschrift über weite Teile nicht. Wegen der Verletzung der gesetzlichen Begründungspflicht nicht einzutreten ist deshalb insbesondere auf das im bundesgerichtlichen Verfahren erstmals vorgebrachte Ausstandsbegehren gegen den Kammerpräsidenten der III. Strafkammer des Obergerichts. Die pauschale, nicht näher ausgeführte und zudem unbelegte Rüge, der Kammerpräsident hätte wegen schweren Amtspflichtverletzungen in den Ausstand treten müssen, stellt im Lichte der zitierten Rechtsprechung keine hinreichende Beschwerdebegründung dar. Ebenfalls nicht einzutreten ist auf die Vorbringen, mit denen der Beschwerdeführer lediglich seine bereits im vorinstanzlichen Verfahren vorgebrachte Kritik an der Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 14. Januar 2021 wiederholt, wonach diese nicht hinreichend begründet worden sei. Insoweit setzt sich der Beschwerdeführer nicht ansatzweise mit den entsprechenden Erwägungen im angefochtenen Beschluss auseinander.
4.
4.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Antrag hin oder von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Neue Tatsachen dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
4.2. Der Beschwerdeführer macht in tatsächlicher Hinsicht geltend, es sei willkürlich (<ref-law>) und unzutreffend, wenn die Vorinstanz angenommen habe, er sei am Tag seiner Verhaftung seitens der Staatsanwaltschaft darüber informiert worden, dass er im laufenden Strafverfahren anwaltlich vertreten sein müsse. Diese Kritik ist unbegründet. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, hat der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren selber ausgeführt, er habe dem Staatsanwalt am 5. Januar 2021, dem Tag seiner Verhaftung, gesagt, er könne sich selber verteidigen. Unter diesen Umständen ist es bundesrechtlich haltbar, wenn die Vorinstanz davon ausgegangen ist, der Beschwerdeführer sei seitens der Staatsanwaltschaft am 5. Januar 2021 über die Thematik der Notwendigkeit einer anwaltlichen Verteidigung informiert worden. Bestätigt wird diese Annahme überdies durch das sich in den Akten befindliche Protokoll der Hafteinvernahme vom 5. Januar 2021. Auch sonst sind keine Mängel bei den Sachverhaltsfeststellungen des Obergerichts ersichtlich oder sie werden vom Beschwerdeführer nicht ausreichend dargetan. Soweit er sich sodann im Zusammenhang mit der Beurteilung der Frage, ob die Voraussetzungen für die Bestellung einer notwendigen amtlichen Verteidigung nach <ref-law> erfüllt sind, auf ein im bundesgerichtlichen Verfahren eingereichtes Arztzeugnis mit Datum vom 12. April 2021 beruft, kann dieses bei der Entscheidfindung nicht berücksichtigt werden. Das Arztzeugnis entstand erst nach dem angefochtenen Beschluss, weswegen es sich um ein vor Bundesgericht unzulässiges echtes Novum nach <ref-law> handelt (<ref-ruling> E. 1.2).
5.
5.1. In formeller Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> verletzt, indem sie von einem Schriftenwechsel abgesehen und ihm auch keine Akteneinsicht gewährte habe.
5.2. Der Beschwerdeführer ersuchte die Vorinstanz mit Schreiben vom 9. Februar 2021 und damit erst nach dem angefochtenen Beschluss vom 8. Februar 2021 um Akteneinsicht. Soweit er deshalb geltend macht, der angefochtene Beschluss sei aufzuheben, da ihm die Vorinstanz die Akteneinsicht verwehrt habe, ist die Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs nicht zu hören.
5.3. Zutreffend ist, dass die Vorinstanz in Anwendung von <ref-law> von einem Schriftenwechsel abgesehen hat. Inwieweit dem Beschwerdeführer jedoch durch den Verzicht auf Einholung einer Beschwerdevernehmlassung der Staatsanwaltschaft unter dem Aspekt des rechtlichen Gehörs ein Nachteil erwachsen sein soll, legt er nicht dar. Dies ist auch nicht ersichtlich. Vielmehr konnte der Beschwerdeführer seine eigenen Standpunkte auch ohne Schriftenwechsel hinreichend in das Verfahren einbringen und zudem beschränkten sich die vorinstanzlichen Verfahrensakten mangels Stellungnahmen der weiteren Parteien auf seine eigenen Eingaben. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist damit auch insoweit zu verneinen.
6.
6.1. In der Sache macht der Beschwerdeführer geltend, das Obergericht sei unter den gegebenen Umständen zu Unrecht davon ausgegangen, dass die Voraussetzungen für eine notwendige Verteidigung gemäss <ref-law> erfüllt seien. Nicht näher einzugehen ist in diesem Zusammenhang auf das Vorbringen, die notwendige Verteidigung sei zunächst gar nicht gestützt auf <ref-law>, sondern auf <ref-law> angeordnet worden. Nicht nur finden sich hierfür in den Akten keine Anhaltspunkte. <ref-law> ist auch nicht einschlägig, da sich vorliegend gar nie die Frage nach einer länger als 10 Tage dauernden Untersuchungshaft stellte.
6.2. Im erst kürzlich ergangenen Urteil 1B_413/2020 vom 21. Januar 2021 hat sich das Bundesgericht bereits ausführlich zur Frage geäussert, ob beim Beschwerdeführer die Voraussetzungen für die Bestellung einer notwendigen Verteidigung gemäss <ref-law> erfüllt sind. Es hat dies bejaht und zur Begründung im Wesentlichen ausgeführt, die unzähligen, teilweise unklaren und sich auf nicht einschlägige Rechtsgrundsätze berufenden Eingaben des Beschwerdeführers an die verschiedenen beteiligten Instanzen unter Einschluss des Bundesgerichts belegten, dass er nicht fähig sei, eine in sich konsistente Verteidigungsstrategie zu definieren und zu verfolgen. Daran ändere auch die Tatsache nichts, dass er im Sommersemester 2020 an einer Fernuniversität eingeschrieben gewesen sei (Urteil 1B_413/2020 vom 21. Januar 2021 E. 4.7). Dem zitierten Urteil lag zwar ein anderes Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer zugrunde als im vorliegenden Fall. Die Beschwerdeschrift sowie die Strafakten bestätigen jedoch, dass die damaligen Erwägungen nach wie vor ihre Gültigkeit behalten, weshalb grundsätzlich darauf verwiesen werden kann. Gemäss den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz kommt vorliegend noch erschwerend hinzu, dass der Beschwerdeführer Strafanzeigen gegen verschiedene Mitglieder der Staats- und Oberstaatsanwaltschaft erstattet hat. Auch wenn die Gründe der Strafanzeigen nicht abschliessend bekannt sind, durfte die Vorinstanz diesen Sachumstand als Hinweis werten, dass der Beschwerdeführer den Strafverfolgungsbehörden kaum unbefangen gegenüber treten kann, was seine Fähigkeiten zur eigenen Strafverteidigung zusätzlich beeinträchtigt. Es ist deshalb bundesrechtlich nicht zu beanstanden, wenn dem Beschwerdeführer im vorliegenden Strafverfahren gestützt auf <ref-law> ein notwendiger Verteidiger zugeordnet und dieser durch die Vorinstanz nicht aus seinem Mandat entlassen worden ist. An dieser Beurteilung ändert auch das Vorbringen des Beschwerdeführers nichts, er habe in einem Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich teilweise und vor der "Rekursabteilung" gänzlich obsiegt, was zeige, dass er sich auch in einem Strafverfahren selber verteidigen könne. Der Beschwerdeführer hat als Beleg hierfür nur das entsprechende Urteilsdispositiv des Verwaltungsgerichts zu den Akten gereicht. Rückschlüsse auf die Verfahrenskomplexität und die sich konkret stellenden Rechtsfragen lassen sich damit nicht ziehen. Zudem ergibt sich alleine aus dem Dispositiv auch nicht, in welchen Punkten der Beschwerdeführer obsiegt hat. Betreffend das Verfahren vor der "Rekursabteilung" befinden sich keine Belege in den Akten und überdies ist auch nicht klar, welche kantonale Behörde der Beschwerdeführer damit meint.
6.3. Soweit der Beschwerdeführer schliesslich sinngemäss moniert, sein Recht auf Privatleben nach <ref-law> und 8 EMRK sei verletzt worden, indem seinem eingesetzten notwendigen Verteidiger entgegen seinem ausdrücklichen Willen Verfahrensakten der laufenden Strafverfahren zugestellt worden seien, erweist sich die Kritik ebenfalls als unbegründet. Solange ein notwendiger amtlicher Verteidiger nicht formell von seinem Mandat entbunden worden ist, ist es sachgerecht und unerlässlich, ihm prozessuale Entscheide und Unterlagen zuzustellen, andernfalls er seine Aufgabe nicht wahrnehmen könnte (Urteil 1B_395/2020 vom 21. Januar 2021 E. 8.3).
6.4. Nach dem Dargelegten verstösst der angefochtene Beschluss nicht gegen Bundesrecht unter Einschluss der Grund- und Menschenrechte. Damit entfällt auch die beantragte Zusprechung einer Entschädigung wegen Menschenrechtsverletzung, zumal dieses Begehren ohnehin nicht im vorliegenden Verfahren behandelt werden könnte.
7.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Diesem Verfahrensausgang entsprechend wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig. Da die Beschwerde aussichtslos war, kann die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gemäss <ref-law> nicht bewilligt werden. Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Ausstandsgesuche gegen drei Mitglieder der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Hahn