Erwägungen:
1.
1.1. Am 11. Dezember 2017 zeigte A._ Dr. med. X._, Leitender Arzt an der Augenklinik des Spitals Y._, wegen falschen Gutachtens (<ref-law>) und Begünstigung (<ref-law>) an. Im Rahmen eines Strafverfahrens gegen einen anderen Arzt (Dr. Z._), welcher am 9. Juni 2015 eine Kataraktoperation vorgenommen hat, hatte die Staatsanwaltschaft Basel-Landschaft den Beschuldigten mit einem Gutachten beauftragt. Dieses wurde am 27. Juni 2017 erstattet und am 29. Oktober 2017 mit einer Stellungnahme ergänzt. A._ wirft dem Gutachter unter anderem vor, Fakten erfunden und die wahren Gründe des Scheiterns der Operation nicht beurteilt zu haben. Die Staatsanwaltschaft nahm das Strafverfahren gegen Dr. X._ nicht an die Hand. Die beiden fraglichen Tatbestände seien jeweils eindeutig nicht erfüllt (<ref-law>; Verfügung vom 12. Januar 2018). Das Kantonsgericht Basel-Landschaft wies die dagegen erhobene Beschwerde ab (Beschluss vom 6. März 2018).
1.2. A._ erhob Beschwerde. Mit Urteil 6B_597/2018 vom 24. September 2018 trat das Bundesgericht (Einzelrichterin nach <ref-law>) auf die Beschwerde nicht ein.
Das Bundesgericht erwog, die Sachurteilsvoraussetzung des rechtlich geschützten Interesses des Privatklägers gemäss <ref-law> sei nur gegeben, wenn erhobene Zivilansprüche direkt im nicht an die Hand genommenen Verfahren selber verfolgt werden können. Unter Hinweis auf die einschlägige Rechtsprechung legte es dar, dass der Privatkläger vor Bundesgericht konkret ausführen muss, inwiefern er in diesem Verfahren selber Zivilansprüche verfolgen möchte (E. 2.1 von Urteil 6B_597/2018). Daran fehle es: Der (damalige) Beschwerdeführer mache geltend, der angefochtene Beschluss vom 6. März 2018 blockiere nicht nur alle Schadenersatzforderungen aus der begutachteten Operation, "sondern auch diejenigen (weit wichtigeren) aus der ursächlich zum Folgeschaden führenden Operation/Fehlbehandlung". Damit bezog er sich auf in anderen Verfahren erhobene Haftpflichtforderungen gegen den Operateur. Inwiefern er im nicht an die Hand genommenen Strafverfahren gegen den Gutachter einen Zivilanspruch geltend gemacht hätte, legte er nicht dar (E. 2.2). Bereits dieser Umstand führte zum Nichteintretensentscheid. Zusätzlich wies das Bundesgericht darauf hin, dass der von der Staatsanwaltschaft beauftragte Gutachter, den der Beschwerdeführer ins Recht fassen möchte, in einem öffentlich-rechtlichen Verhältnis zum Staat steht. Ein persönlicher Anspruch des Geschädigten gegen staatlich bestellte Experten ist in der Regel ausgeschlossen. Öffentlich-rechtliche Ansprüche aus Haftungsrecht gegen den Staat zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (E. 2.3). Abschliessend hielt das Bundesgericht fest, soweit der Beschwerdeführer die Verletzung von Verfahrensrechten (Verletzung des rechtlichen Gehörs durch die Vorinstanz, Rechtsverweigerung) rüge, könne auch unter dem Gesichtspunkt der Verfahrensrechte nicht auf das Rechtsmittel eingetreten werden, weil die betreffenden Rügen im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielten (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen; E. 2.4).
1.3. A._ reicht ein Revisionsgesuch ein mit dem Rechtsbegehren, die Beschwerde, auf welche das Bundesgericht mit Urteil 6B_597/2018 nicht eingetreten ist, sei materiell zu beurteilen. Der "indirekte Freispruch von Dr. X._ (und kausal Dr. Z._) " sei vorläufig aufzuheben und das Recht auf ein faires Verfahren wiederherzustellen. Ausserdem stellt er für das Revisionsverfahren ein Ausstandsgesuch des Inhalts, der bundesgerichtliche Spruchkörper sei mit Richtern zu besetzen, die keinem Serviceklub angehörten.
2.
2.1. Entscheide des Bundesgerichts werden am Tag ihrer Ausfällung rechtskräftig (<ref-law>). Das Gericht kann auf seine Urteile nur zurückkommen, wenn einer der in den <ref-law> abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt. Ein solcher Grund ist im Revisionsgesuch unter Angabe der Beweismittel ausdrücklich geltend zu machen. Es ist aufzuzeigen, weshalb der angeführte Revisionsgrund erfüllt und inwiefern deswegen das Dispositiv des früheren Urteils abzuändern sein soll (Urteil 6F_12/2017 vom 4. September 2017 E. 2; <ref-law>).
2.2. Der Gesuchsteller begründet das Revisionsbegehren einmal damit, das Urteil 6B_597/2018 beruhe auf unvollständigen (übersehenen) Tatsachen (<ref-law>). Das Nichteintreten sei nur "dank einer Rechtsbeugung" zustandegekommen, was die Anwendung von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG betreffe. Konkret sei übersehen worden, dass er bereits im Strafantrag gegen den Operateur darauf hingewiesen habe, dass die betreffende Klinik im Zivilverfahren unter anderem die offensichtlich entscheidende Octopus-Messung vertuscht habe. Das Strafverfahren gegen Dr. X._ sei kausal mit dem Strafverfahren gegen Dr. Z._ verbunden und beeinflusse daher die darin verfolgten Zivilansprüche direkt. Zudem könnten gegen den "Gefälligkeitsgutachter" Dr. X._ selbst noch keine konkreten Zivilforderungen geltend gemacht werden, da die Verjährung im Fall Dr. Z._ noch lange nicht eintrete und damit durch das Gutachten noch kein wesentlicher Schaden eingetreten sei. Der Hinweis im Urteil 6B_597/2018 (E. 2.2) darauf, dass die Schadenersatzforderungen in anderen Verfahren gestellt würden, ziele an der Tatsache vorbei, dass Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG nur davon spreche, dass sich der angefochtene Entscheid auf die Beurteilung der Zivilansprüche auswirken könne. Die Nichtanhandnahme verletze den Grundsatz der Rechtsgleichheit, weil damit ein Offizialdelikt (Falschaussage) ungesühnt bleibe.
Gemäss <ref-law> kann die Revision eines bundesgerichtlichen Entscheids verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Dies trifft zu, wenn das Gericht eine Tatsache oder ein bestimmtes Aktenstück übersehen oder mit einem falschen Wortlaut wahrgenommen hat (<ref-ruling> E. 3 S. 18 f.; Urteil 6F_20/2017 vom 4. Dezember 2017 E. 3). Inwiefern das Bundesgericht hier in den Akten liegende erhebliche Tatsachen im Sinne von <ref-law> aus Versehen nicht berücksichtigt haben könnte, ist indes nicht ersichtlich. Im Nichteintretensentscheid 6B_597/2018 E. 2.1 wurde mit Hinweis auf das Urteil 6B_1163/2017 vom 10. April 2018 E. 1.4 ("des prétentions civiles découlant directement de l'infraction invoquée à faire valoir contre l'intimé, au jour du dépôt de son recours en matière pénale") bereits dargelegt, dass das Bundesgericht nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 auf eine Beschwerde der Privatklägerschaft nur eintreten darf, wenn die fraglichen Zivilansprüche im nicht an die Hand genommenen Verfahren selbst ("directement") verfolgt werden. Eine je nach Ausgang dieses Strafverfahrens zu erzielende indirekte Besserstellung im Zivilpunkt eines Drittprozesses genügt ebensowenig wie etwa eine bei Verjährung der Primärforderung später allenfalls zu erhebende Ersatzforderung gegen den Beschuldigten des nicht an die Hand genommenen Verfahrens. Der Gesuchsteller wendet sich gegen diese Sichtweise unter Berufung auf E. 1.2 des Urteils 6B_810/2017 vom 9. November 2017. Dort wird die ständige Rechtsprechung wiedergegeben, wonach grundsätzlich von der Privatklägerschaft verlangt wird, dass sie bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat, indes ausnahmsweise, bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens, auf dieses Erfordernis zu verzichten ist. Das Urteil 6B_597/2018, gegen welches sich das Revisionsgesuch richtet, weicht von diesen Grundsätzen nicht ab. Das vom Gesuchsteller zusätzlich angerufene Urteil 1B_21/2015 vom 1. Juli 2015 betrifft sodann eine andere Fragestellung (Sistierung des Strafverfahrens nach <ref-law>). Als einzige Tatsache im Sinne von <ref-law> nennt der Gesuchsteller den Umstand, dass Messungen vertuscht worden seien. Dies war aber für die Beurteilung der Eintretensfrage nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG unerheblich. Denn diese entschied sich nach dem Gesagten einzig danach, ob sich im nicht an die Hand genommenen Strafverfahren selbst direkt Zivilansprüche gestellt hätten. Das trifft unbestrittenermassen nicht zu. Deshalb kann auch weiterhin offen bleiben, ob die Eintretensvoraussetzung des Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG noch aus einem weiteren, eigenständigen Grund nicht gegeben war (vgl. Urteil 6B_597/2018 E. 2.3; oben E. 1.2). Insoweit ist das Revisionsgesuch abzuweisen.
Im Übrigen handelt es sich bei den Vorbringen um Kritik an den Erwägungen des revisionsweise angefochtenen Urteils resp. an der zugrundeliegenden bundesgerichtlichen Rechtsprechung als solcher. Die betroffene Person kann indes einen Entscheid, den sie für unrichtig hält, nicht auf diesem Weg neu beurteilen lassen (Urteil 6F_39/2018 vom 22. Januar 2019 E. 5 mit weiteren Hinweisen). Insoweit ist auf das Gesuch nicht einzutreten.
2.3. Weiter bringt der Gesuchsteller vor, die im Verfahren 6B_597/2018 erkennende Richterin sei als Ehefrau eines Mitglieds des Clubs C._ auf diesem Wege mit den vom Strafverfahren betroffenen Ärzten verbunden. Gemäss <ref-law> kann die Revision eines bundesgerichtlichen Entscheids verlangt werden, wenn Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind. Die geltend gemachte allfällige Mitgliedschaft eines Gerichtsmitglieds oder dessen Ehegatten beim Club C._ oder einer anderen Wohltätigkeitsvereinigung wäre als solche von vornherein kein Ausstandsgrund im Sinne von <ref-law>. Nach der Rechtsprechung begründet allein die Zugehörigkeit zu einem solchen Verband oder Verein ohne besondere zusätzliche Umstände aus objektiver Sicht keine Gefahr der Voreingenommenheit (Urteil 4A_306/2011 vom 19. Januar 2012 E. 3.3). Derartige besondere Umstände sind nicht ersichtlich.
3.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Gesuchsteller wird ausgangsgemäss kostenpflichtig (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen, soweit auf es einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Strafrecht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Traub