Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Verleumdung etc. Am 5. November 2019 erliess sie einen Hausdurchsuchungs- und Durchsuchungsbefehl. Die Hausdurchsuchung fand am 3. Dezember 2019 statt. Dabei wurden u.a. zwei Laptops sowie ein Mobiltelefon sichergestellt.
A._ erhob gegen den Hausdurchsuchungs- und Durchsuchungsbefehl am 3. Dezember 2019 Beschwerde. Dabei beantragte er eine Fristerstreckung, bis er amtlich verteidigt sei, die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sowie - sinngemäss - die Bestellung einer amtlichen Verteidigung. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich wies mit Verfügung und Beschluss vom 14. Januar 2020 das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ab, trat auf die Beschwerde nicht ein und auferlegte A._ die Gerichtsgebühr von Fr. 500.--. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass die Oberstaatsanwaltschaft mit Verfügung vom 9. Dezember 2019 A._ mit Wirkung auf den 9. Dezember 2019 einen amtlichen Verteidiger bestellt habe. Das Gesuch um Bestellung einer amtlichen Verteidigung sei damit hinfällig geworden. Der amtliche Verteidiger sei innerhalb der laufenden Beschwerdefrist bestellt worden, weshalb es sich erübrige, auf das Fristerstreckungsgesuch einzugehen. Da die Zwangsmassnahme bereits am 3. Dezember 2019 erfolgt sei und naturgemäss nachträglich nicht mehr aufgehoben oder abgeändert werden könne, fehle es A._ an einem aktuellen Interesse, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten sie. Die Beschwerde sei von vornherein aussichtslos gewesen, weshalb das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen sei. Entsprechend dem Verfahrensausgang seien dem Beschwerdeführer die Verfahrenskosten aufzuerlegen.
2.
A._ führt mit Eingaben vom 27. und 28. Januar 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung und den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die III. Strafkammer seinem vier Tage vor Ablauf der Beschwerdefrist ernannten amtlichen Verteidiger nicht eine Fristerstreckung von 10 Tagen gewährt habe, damit dieser ihn hätte beraten oder eine Beschwerdeergänzung erstellen können. Er vermag jedoch nicht konkret aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzt hätte, zumal gemäss Art. 89 Abs. 1 StPO gesetzliche Fristen nicht erstreckt werden können. Bezüglich des Nichteintretensgrundes macht der Beschwerdeführer überhaupt keine Ausführungen. Soweit er sinngemäss die Kostenauflage beanstandet, ergibt sich aus seinen Ausführungen nicht ansatzweise, inwiefern diese rechtswidrig erfolgt sein sollte. Aus seiner Beschwerde ergibt sich nicht, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und Rechtsanwalt B._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Februar 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli