Sachverhalt:
A.
A._ wird zusammengefasst vorgeworfen, nach erfolgter Kündigung als Lehrer mit diversen Blogeinträgen verschiedene mit seiner Angelegenheit befasste Personen aus dem Umfeld des kantonalen Erziehungsdepartements, unter anderem den damaligen Regierungsrat B._, Anwälte und Angestellte der Justiz beleidigt sowie in ihrer Ehre verletzt zu haben. Im Weiteren wird ihm angelastet, durch die Einreichung von diversen Strafanzeigen habe er sich der falschen Anschuldigung und der Irreführung der Rechtspflege schuldig gemacht. Sodann erhob die Staatsanwaltschaft Anklage wegen Rassendiskriminierung und harter Pornografie.
B.
B.a. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt stellte am 24. Februar 2017 fest, dass das erstinstanzliche Urteil bezüglich der Abweisung der von B._ geltend gemachten Parteientschädigung im Betrag von Fr. 13'939.--, der Einziehung der beschlagnahmten Gegenstände und der Entschädigung der amtlichen Verteidigung für das erstinstanzliche Verfahren in Rechtskraft erwachsen war. Es verurteilte A._ wegen mehrfacher (planmässiger) Verleumdung, mehrfacher Verleumdung, mehrfacher falscher Anschuldigung und Irreführung der Rechtspflege zu einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 15 Monaten. Von den Anklagen der mehrfachen falschen Anschuldigung hinsichtlich der zwischen April und August 2007 gegen diverse Betroffene eingereichten Strafanzeigen, der mehrfachen harten Pornografie und der Rassendiskriminierung sprach es ihn frei. Das Verfahren wegen mehrfacher Verleumdung zum Nachteil von C._ stellte es bezüglich der Blogeinträge vom 16. Juni 2010, vom 20. März 2010 sowie 18. März 2010 zufolge Eintritts der Verjährung ein.
Das Bundesgericht hiess am 14. November 2018 die von A._ gegen das Urteil vom 24. Februar 2017 erhobene Beschwerde in Strafsachen teilweise gut, soweit es darauf eintrat. Es hob das angefochtene Urteil auf und wies die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurück (Urteil 6B_976/2017).
B.b. Mit Urteil vom 13. August 2019 stellte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt fest, dass das erstinstanzliche Urteil vom 6. Februar 2015 bezüglich der Abweisung der von B._ geltend gemachten Parteientschädigung im Betrag von Fr. 13'939.--, der Einziehung der beschlagnahmten Gegenstände und der Entschädigung der amtlichen Verteidigung für das erstinstanzliche Verfahren in Rechtskraft erwachsen ist. Es verurteilte A._ wegen mehrfacher (planmässiger) Verleumdung, mehrfacher Verleumdung, mehrfacher falscher Anschuldigung und Irreführung der Rechtspflege zu einer bedingt vollziehbaren Freiheitsstrafe von 10 Monaten. Von den Anklagen der mehrfachen falschen Anschuldigung hinsichtlich der zwischen April und August 2007 gegen diverse Betroffene eingereichten Strafanzeigen, der mehrfachen harten Pornografie und der Rassendiskriminierung sprach es ihn frei. Die Verfahren wegen mehrfacher Verleumdung (teilweise planmässig) für die Zeit vor dem 7. Februar 2011 stellte es zufolge Eintritts der Verjährung ein. Das Verfahren wegen mehrfacher planmässiger Verleumdung zum Nachteil von B._ stellte es für den Zeitraum vom 7. Februar 2011 bis zum 3. Februar 2012 mangels rechtsgültigem Strafantrag ein. Das Appellationsgericht verpflichtete A._, B._ eine Entschädigung von Fr. 8'927.35 zu bezahlen. Es auferlegte ihm die Kosten von Fr. 41'335.05 und eine reduzierte Urteilsgebühr von Fr. 3'600.-- für das erstinstanzliche Verfahren. Die Mehrkosten von Fr. 2'000.-- seien vom Staat zu tragen. Schliesslich auferlegte das Appellationsgericht A._ die Kosten des zweitinstanzlichen Verfahrens mit Einschluss einer reduzierten Urteilsgebühr von Fr. 600.--. Die Kosten für die Befragung des Sachverständigen Dr. H._ anlässlich der ersten Berufungsverhandlung in der Höhe von Fr. 1'023.-- nahm es auf die Gerichtskasse.
C.
A._ führt Beschwerde in Strafsachen mit den Anträgen, er sei vom Vorwurf der mehrfachen (planmässigen) Verleumdung, der mehrfachen falschen Anschuldigung und der Irreführung der Rechtspflege freizusprechen und es seien demgemäss die Urteile vom 24. Februar 2017 und vom 13. August 2019 in diesen Punkten aufzuheben. Es seien die gesamten Verfahrens- und Gerichtskosten dem Kanton Basel-Stadt aufzuerlegen. Die beschlagnahmten Gegenstände seien ihm herauszugeben. Für die ausgestandene Untersuchungshaft sei er angemessen zu entschädigen. Eventualiter sei das Urteil bezüglich der Art der Strafe und deren Höhe, der Zusprechung der Entschädigung an B._, der Auferlegung der Verfahrens- und Gerichtskosten sowie der Beschlagnahme von Gegenständen aufzuheben. Demgemäss sei er mit einer bedingt vollziehbaren Geldstrafe von höchstens 90 Tagessätzen, bei einer Probezeit von einem Jahr, zu bestrafen. Die Parteientschädigung von B._ sei abzuweisen, die Auferlegung der Verfahrens- und Gerichtskosten sei entsprechend der nunmehr erfolgten weiteren Freisprüche bzw. Einstellungen angemessen, mindestens im Umfang von 2/3, zu reduzieren. Die beschlagnahmten Gegenstände seien ihm herauszugeben. A._ ersucht darum, ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
D.
Das Appellationsgericht und die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt wurden zur Vernehmlassung, beschränkt auf die Strafzumessung sowie die Kostenfolgen, eingeladen. Die Staatsanwaltschaft verzichtet unter Verweis auf das angefochtene Urteil auf eine Stellungnahme. Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde und verweist zur Begründung auf die Erwägungen im angefochtenen Entscheid.

Erwägungen:
1.
Anfechtungsobjekt der vorliegenden Beschwerde ist das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 13. August 2019 als letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (vgl. Art. 80 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde kann damit nicht eingetreten werden, sofern die Aufhebung des Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 24. Februar 2017 beantragt wird (Beschwerde S. 2).
2.
Im Falle eines bundesgerichtlichen Rückweisungsentscheids hat die mit der neuen Entscheidung befasste Instanz ihrem Urteil die rechtliche Beurteilung, mit der die Rückweisung begründet wird, zugrunde zu legen. Jene bindet auch das Bundesgericht, falls ihm die Sache erneut unterbreitet wird. Aufgrund dieser Bindungswirkung ist es den erneut mit der Sache befassten Gerichten wie auch den Parteien - abgesehen von allenfalls zulässigen Noven - verwehrt, der Überprüfung einen anderen als den bisherigen Sachverhalt zugrunde zu legen oder die Sache unter rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, die im Rückweisungsentscheid ausdrücklich abgelehnt oder überhaupt nicht in Erwägung gezogen worden sind. Die neue Entscheidung der kantonalen Instanz ist demnach auf diejenige Thematik beschränkt, die sich aus den bundesgerichtlichen Erwägungen als Gegenstand der neuen Beurteilung ergibt. Das Verfahren wird nur insoweit neu in Gang gesetzt, als dies notwendig ist, um den verbindlichen Erwägungen des Bundesgerichts Rechnung zu tragen (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 220; <ref-ruling> E. 2 S. 335 f.; Urteil 6B_280/2020 vom 17. Juni 2020 E. 1.2; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht hat die Rügen des Beschwerdeführers in Bezug auf die Zuordnung der Blogs sowie deren rechtliche Qualifikation im Rückweisungsentscheid vom 14. November 2018 ausführlich behandelt und als unbegründet erachtet, soweit es darauf eintrat (vgl. Urteil 6B_976/2017 vom 14. November 2018 E. 2 f.). Die Frage der Urheberschaft der fraglichen Blogs und deren rechtliche Qualifikation, wie auch die grundsätzliche Bejahung der Planmässigkeit des Vorgehens, waren somit nicht mehr Gegenstand des Rückweisungsverfahrens und sind einer erneuten Überprüfung durch das Bundesgericht daher nicht mehr zugänglich (Beschwerde S. 6 ff., S.10 ff. und S. 14). Weiter hat das Bundesgericht die Schuldsprüche wegen Irreführung der Rechtspflege und mehrfacher falscher Anschuldigung nicht kassiert (vgl. Urteil 6B_976/2017 vom 14. November 2018 E. 5). Sie waren damit ebenfalls nicht mehr Gegenstand des Rückweisungsverfahrens und können vom Bundesgericht somit auch nicht wieder überprüft werden (Beschwerde S. 8 ff., S. 12 f. und S. 15 f.). Gleich verhält es sich hinsichtlich der beschlagnahmten Gegenstände (Beschwerde S. 17 f.; vgl. Urteil 6B_976/2017 vom 14. November 2018 E. 7). Soweit sich der Beschwerdeführer in seiner Beschwerde in Strafsachen trotzdem auf diese Punkte bezieht und deren Neubeurteilung verlangt, ist er nicht zu hören. Er verkennt die Tragweite und Funktion bundesgerichtlicher Rückweisungsentscheide.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, er sei von allen Ehrverletzungsdelikten auch deshalb freizusprechen, weil kein einziger gültiger Strafantrag vorliege. Entweder seien die Fristen verpasst worden oder die Strafanträge seien verjährt oder sie genügten den inhaltlichen Anforderungen an einen gültigen Strafantrag nicht. Für Letzteres sei erforderlich, dass der Sachverhalt, der verfolgt werden solle, zweifelsfrei umschrieben werde. Aus den vorliegenden Strafanträgen sei nicht ersichtlich, welche Äusserungen die Ehre verletzt haben sollen. Es heisse da lapidar, er sei wegen aller in Frage kommenden Antragsdelikte zu bestrafen (Beschwerde S. 13 f.).
3.2. Die Vorinstanz hält fest, gestützt auf die bundesgerichtlichen Erwägungen im Rückweisungsentscheid seien die in der Anklageschrift aufgeführten Blogeinträge und Veröffentlichungen auf Facebook und Youtube, deren Publikation im Verhältnis zum erstinstanzlichen Entscheid vom 6. Februar 2015 mehr als vier Jahre zurück liegen würden, verjährt. Das Strafverfahren sei in Bezug auf den Vorwurf der (teilweisen) planmässigen Verleumdung für die Zeit vor dem 7. Februar 2011 somit zufolge Eintritts der Verjährung einzustellen (Urteil S. 8 E. 3.2). Bei den späteren Veröffentlichungen sei zu prüfen, ob gültige Strafanträge vorliegen würden (Urteil S. 8 E. 3.3). Da die Beschwerdegegner 2-7 jeweils zuvor eine Strafanzeige gemacht und auf die ehrverletzenden Einträge im Internet hingewiesen hätten, liege eine genügende Umschreibung des zu verfolgenden Sachverhalts vor (Urteil S. 9 E. 3.3.2). Weiter prüft die Vorinstanz für jede einzelne Veröffentlichung, ob sie in zeitlicher Hinsicht von einem gültigen Strafantrag erfasst wird. Sie stellt fest, die Beschwerdegegner 2-7 hätten zunächst jeweils eine Strafanzeige oder einen Strafantrag gegen Unbekannt gemacht, da die Urheberschaft der beanstandeten Blogs nicht offengelegt gewesen sei. Im November 2010 habe die Beschwerdegegnerin 1 den Beschwerdegegner 2 und die Beschwerdegegnerin 3 darüber informiert, dass sie die Urheberschaft des Beschwerdeführers für die gemeldeten Blogs mit ehrverletzendem Inhalt als erwiesen erachte. Daraufhin habe der Beschwerdegegner 2 am 16. November 2010 und die Beschwerdegegnerin 3 am 25. November 2010 Strafantrag gegen den Beschwerdeführer wegen übler Nachrede und Missbrauch einer Fernmeldeanlage erhoben. Im gleichen Sinn seien die Beschwerdegegnerin 4 im Oktober 2011 und die Beschwerdegegner 5-7 im November 2011 von der Beschwerdegegnerin 1 darüber informiert worden, dass diese die Urheberschaft des Beschwerdeführers für die Einträge im fraglichen Blog als erwiesen erachte. In der Folge hätten auch die Beschwerdegegnerin 4 am 17. Oktober 2011, die Beschwerdegegnerin 5 am 8. November 2011, der Beschwerdegegner 6 am 9. November 2011 sowie der Beschwerdegegner 7 am 17. November 2011 Strafantrag gegen den Beschwerdeführer wegen übler Nachrede und Missbrauch einer Fernmeldeanlage erhoben. Da der Beschwerdeführer die Urheberschaft für die zur Anklage gebrachten Blogs bestritten habe und diese in den Blogs auch nicht erkennbar gewesen sei, könne für den Zeitpunkt vor der vorgenannten Information durch die Beschwerdegegnerin 1 noch nicht davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdegegner die Täterschaft des Beschwerdeführers gekannt hätten. Die Strafanträge seien jeweils innerhalb von drei Monaten nach der genannten Kenntnisnahme der Täterschaft des Beschwerdeführers erfolgt, womit für den Zeitraum vor deren Einreichung gültige Strafanträge vorliegen würden (Urteil S. 10 f. E. 3.3.3 f.). Für die nach diesen ersten Strafanträgen erfolgten weiteren Publikationen, die dem Beschwerdeführer zur Last gelegt würden, sei ebenfalls von einem wirksamen Strafantrag auszugehen. Denn alle Beschwerdegegner hätten im Februar 2014 auf ein entsprechendes Schreiben der Beschwerdegegnerin 1 hin unverzüglich erneut Strafantrag gegen den Beschwerdeführer wegen aller in Frage kommenden Antragsdelikte gestellt. Es lägen keine Hinweise dafür vor, dass die Beschwerdegegner 2-7 vor diesem Schreiben Kenntnis der jeweiligen Taten gehabt hätten. Davon auszunehmen seien einzig in Bezug auf den Beschwerdegegner 2 die Blogs aus der Zeit zwischen dem Strafantrag im November 2010 und dem Schreiben seines damaligen Rechtsvertreters vom 3. Februar 2012, welches auch dem Beschwerdegegner 2 zugegangen sei. Es stehe fest, dass dieser die in der Anklageschrift aufgeführten Blogeinträge bis zum 3. Februar 2012 gekannt und die Täterschaft des Beschwerdeführers angenommen habe. Damit sei beim Beschwerdegegner 2 davon auszugehen, dass die Blogeinträge bis zum Februar 2012 nicht vom erst im Februar 2014 erneut gestellten Strafantrag gedeckt seien. Deshalb sei das Strafverfahren in Bezug auf den Vorwurf der Verleumdung zum Nachteil des Beschwerdegegners 2 auch betreffend den nicht verjährten Blogeinträgen bis zum Februar 2012 zufolge fehlenden Strafantrags einzustellen. Hingegen lägen keine Hinweise dafür vor, dass der Beschwerdegegner 2 auch nach dem Februar 2012 die weiteren Blogeinträge des Beschwerdeführers zur Kenntnis genommen habe. Deshalb habe auch für ihn die Frist zur Antragstellung gemäss Art. 31 StGB für die nach dem Februar 2012 erfolgten Blogeinträge nicht vor dem Schreiben der Beschwerdegegnerin 1 vom 6. Februar 2014 zu laufen begonnen. Für den Zeitraum nach dem Februar 2012 liege somit ein gültiger Strafantrag vor (Urteil S. 11 f. E. 3.3.5 f.). Zusammengefasst bedeute dies, dass folgende, nicht verjährte Blogeinträge durch einen gültigen Strafantrag erfasst seien:
Der Beschwerdegegner 2: alle Einträge vom 4. Februar 2012 bis zum 6. Februar 2014.
Die Beschwerdegegnerin 3: alle Einträge vom 7. Februar 2011 bis zum 25. Februar 2014.
Die Beschwerdegegnerin 4: alle Einträge vom 7. Februar 2011 bis zum 6. Februar 2014.
Die Beschwerdegegnerin 5: alle Einträge vom 7. Februar 2011 bis zum 19. Februar 2014.
Der Beschwerdegegner 6: alle Einträge vom 7. Februar 2011 bis zum 21. Februar 2014.
Der Beschwerdegegner 7: alle Einträge vom 7. Februar 2011 bis zum 19. Februar 2014 (Urteil S. 12 f. E. 3.3.8).
3.3. Die Vorinstanz behandelt die Frage, ob es sich bei der planmässigen Verleumdung überhaupt um ein Strafantragsdelikt handelt, nicht. Dies kann vorliegend indessen offenbleiben, sofern mit der Vorinstanz von gültigen Strafanträgen auszugehen ist und sich die Beschwerde in dieser Hinsicht als unbegründet erweisen sollte.
3.4. Ist eine Tat nur auf Antrag strafbar, so kann jede Person, die durch sie verletzt worden ist, die Bestrafung des Täters beantragen (Art. 30 Abs. 1 StGB). Das Antragsrecht erlischt nach Ablauf von drei Monaten. Die Frist beginnt mit dem Tag, an welchem der antragsberechtigten Person der Täter bekannt wird (Art. 31 StGB).
Mit dem Strafantrag erklärt der Verletzte seinen bedingungslosen Willen zur Strafverfolgung des Täters (<ref-ruling> E. 2.3.4 S. 387; <ref-ruling> E. 3.1 S. 98; je mit Hinweisen). Der Strafantrag richtet sich gegen den Schädiger, dessen Bestrafung verlangt wird, wobei der Strafanspruch nach ständiger Praxis allein dem Staat zusteht (<ref-ruling> E. 2.3.4 S. 387 mit Hinweisen). Der Strafantrag muss sich auf einen bestimmten Sachverhalt beziehen (BGE <ref-ruling> E. 3.1 S. 98 und E. 3.3 S. 99 f.). Verlangt wird, dass der zur Anzeige gebrachte Sachverhalt zweifelsfrei umschrieben wird. Die Strafverfolgungsbehörden müssen wissen, für welchen Sachverhalt der Strafantragsteller eine Strafverfolgung verlangt (Urteil 6B_1237/2018 vom 15. Mai 2019 E. 1.2, nicht publ. in <ref-ruling>). Die rechtliche Würdigung der Handlung obliegt der Behörde. Nennt der Antragsteller den Straftatbestand, der seines Erachtens erfüllt worden ist, so ist die Behörde an diese Qualifikation nicht gebunden (BGE <ref-ruling> E 3.1 S. 98).
3.5. Die Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbegründet, soweit sie den Begründungsanforderungen überhaupt zu genügen vermögen. Die vorinstanzliche Feststellung betreffend die jeweiligen Zeitpunkte, in denen die Beschwerdegegner 2-7 sichere Kenntnis von der Urheberschaft des Beschwerdeführers für die gemeldeten Blogs mit ehrverletzendem Inhalt erhalten haben, ist tatsächlicher Natur. Der Beschwerdeführer zeigt nicht auf und es ist auch nicht ersichtlich, dass diese Feststellungen schlechterdings nicht vertretbar sein sollten (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; zum Begriff der Willkür <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 92; <ref-ruling> E. 4.1 S. 566; je mit Hinweisen). Auf seine pauschale Kritik, die Strafanträge seien in zeitlicher Hinsicht ungültig, weil die Fristen verpasst worden seien, ist daher nicht weiter einzugehen. Im Übrigen kann auf die entsprechenden Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (Urteil S. 9 ff. E. 3.3). Diesen ist nichts beizufügen. Gleich verhält es sich in Bezug auf ihre Erwägungen zur Verjährung (vgl. Urteil S. 8 E. 3.2 f.). Sodann ist dem Beschwerdeführer zwar beizupflichten, dass sich aus den letzten Strafanträgen (vom Februar 2014) der zu verfolgende Sachverhalt nicht in einem ausreichenden Umfang ergibt (kantonale Akten S. 94, S. 3786, S. 3957, S. 4432, S. 4825, S. 5224). Allerdings weisen die Beschwerdegegner in ihren ersten Strafanzeigen/Strafanträgen jeweils auf die ehrverletzenden Einträge im Internet hin bzw. fügen diesbezügliche Beilagen hinzu (Urteil S. 9 E. 3.3.2; kantonale Akten S. 1780 ff., S. 2157, S. 3598 ff., S. 3790 ff., S. 3964 ff., S. 3971, S. 4439 ff., S. 4445, S. 4831 ff., S. 4841). Dass im zuletzt eingereichten Strafantrag nur noch erklärt wird, der Strafantrag beziehe sich auf alle in Frage kommenden Antragsdelikte gegen den Beschwerdeführer, ändert nichts daran, dass gesamthaft genügend klar zum Ausdruck kommt, dass die Beschwerdegegner gestützt auf die Internetveröffentlichungen des Beschwerdeführers unmissverständlich die Strafverfolgung verlangen und dass insgesamt der zu verfolgende Sachverhalt hinreichend umschrieben ist. Damit ist das Vorbringen des Beschwerdeführers unbegründet.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer kritisiert die Strafzumessung. Er macht zusammengefasst geltend, die Vorinstanz gelange zu Unrecht zum Schluss, eine Geldstrafe sei nicht angemessen. Der Gesetzgeber habe im Rahmen der erneuten Revision des Sanktionenrechts am Vorrang der Geldstrafe festgehalten. In Anbetracht der nun erfolgten massiven Freisprüche bzw. Einstellungen sei eine Reduktion der Strafe um lediglich vier Monate unhaltbar und willkürlich. Werde sodann der langen Verfahrensdauer Rechnung getragen, verletze die von der Vorinstanz als adäquat erachtete Freiheitsstrafe von zehn Monaten die Grundsätze einer schuldangemessenen Strafe. Angemessen wäre eine Strafe von höchstens 90 Tagessätzen (Beschwerde S. 18 f.).
4.2. Das Bundesgericht hat die Grundsätze der Strafzumessung nach Art. 47 ff. StGB wiederholt dargelegt (<ref-ruling> E. 6.1.1 S. 66 f.; <ref-ruling> E. 5.4 ff. S. 59 ff.; je mit Hinweisen). Das gilt auch in Bezug auf die Wahl der Strafart (<ref-ruling> E. 5.2 S. 122 f.; <ref-ruling> E. 4.1 S. 84 f.). Darauf kann verwiesen werden.
Die Bildung einer Gesamtstrafe im Sinne von Art. 49 Abs. 1 StGB ist nur bei gleichartigen Strafen möglich. Geldstrafe und Freiheitsstrafe sind keine gleichartigen Strafen im Sinne von Art. 49 Abs. 1 StGB. Ungleichartige Strafen sind kumulativ zu verhängen. Das Gericht kann auf eine Gesamtfreiheitsstrafe nur erkennen, wenn es im konkreten Fall für jeden einzelnen Normverstoss eine Freiheitsstrafe ausfällen würde (sog. konkrete Methode). Dass die anzuwendenden Strafbestimmungen abstrakt gleichartige Strafen vorsehen, genügt nicht (<ref-ruling> E. 1.1.1 S. 316, 217 E. 2.2 S. 219 f.; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 267 f.; <ref-ruling> E. 5.2 S. 122 f.; je mit Hinweisen).
4.3. Die Vorinstanz hält fest, der Beschwerdeführer sei der mehrfachen planmässigen Verleumdung, der mehrfachen Verleumdung, der mehrfachen falschen Anschuldigung und der Irreführung der Rechtspflege schuldig zu sprechen. Weiter trägt sie den Freisprüchen von den Anklagen der mehrfachen falschen Anschuldigung hinsichtlich der zwischen April und August 2007 gegen diverse Betroffene eingereichten Strafanzeigen, der mehrfachen harten Pornografie sowie der Rassendiskriminierung und der Einstellung der Verfahren wegen mehrfacher (teilweise planmässiger) Verleumdung für die Zeit vor dem 7. Februar 2011 zufolge Eintritts der Verjährung und den Verfahrenseinstellungen in Bezug auf den Beschwerdegegner 2 Rechnung (Urteil S. 40 E. 5.1).
Die Vorinstanz bildet eine Gesamtstrafe und fällt für sämtliche Delikte eine Freiheitsstrafe von zehn Monaten aus. Sie erwägt, es sei vom Strafrahmen der falschen Anschuldigung, die eine Freiheitsstrafe oder eine Geldstrafe nicht unter 30 Tagessätze vorsehe, auszugehen. Das Verschulden des Beschwerdeführers stuft sie als nicht mehr leicht ein und setzt die Einsatzstrafe auf zwei Monate fest. Hinzu komme die Verurteilung wegen mehrfacher planmässiger Verleumdung, mehrfacher Verleumdung und Irreführung der Rechtspflege. Angesichts des schweren Verschuldens des Beschwerdeführers sei die Einsatzstrafe wegen der Verleumdungsdelikte um zehn Monate zu erhöhen. Mit dieser im Vergleich zum (ersten) aufgehobenen Berufungsurteil erfolgten Reduktion um vier Monate sei die Verjährung/Einstellung eines Teils des Verfahrens genügend berücksichtigt. Wegen der Irreführung der Rechtspflege sei die Strafe um einen weiteren Monat auf insgesamt 13 Monate zu erhöhen. Dem Asperationsprinzip sei durch eine Reduktion um zwei Monate Rechnung zu tragen. Ein gegenüber dem ersten Urteil des Berufungsgerichts neuer, weiterer Abzug um einen Monat sei wegen der inzwischen doch recht langen Verfahrensdauer vorzunehmen. Allgemeine Täterkomponenten, die zu einer Erhöhung oder Herabsetzung der Strafe führen würden, seien nicht ersichtlich (Urteil S. 42 ff. E. 5.5 f.). Hinsichtlich der Wahl der Strafart führt die Vorinstanz aus, auf den Umstand, dass dem Beschwerdeführer der bedingte Vollzug gewährt worden sei, sei im Rückweisungsverfahren zwar nicht mehr zurück zu kommen. Bei der Wahl der angemessenen Strafart dürfe dies jedoch berücksichtigt werden. Das Schlusswort des Beschwerdeführers habe die bei der Vorinstanz bereits anlässlich der ersten Berufungsverhandlung geäusserten Bedenken hinsichtlich einer günstigen Prognose bestärkt. In dieser Situation reiche unter präventiven Gesichtspunkten eine Geldstrafe nicht aus, sondern es brauche eine Freiheitsstrafe. Nur eine solche vermöge es vielleicht noch, dem Beschwerdeführer den Ernst der Lage vor Augen zu führen. Dieser sei deshalb zu einer bedingten Freiheitsstrafe von zehn Monaten zu verurteilen (Urteil S. 44 E. 5.7).
4.4. Bei der Strafzumessung geht die Vorinstanz in methodischer Hinsicht nicht korrekt vor und verletzt damit Bundesrecht. Aus ihren Erwägungen ergibt sich insbesondere nicht, ob die Voraussetzungen für eine Gesamtfreiheitsstrafe gegeben sind. Sie nimmt zwar zu Recht an, dass vorliegend die falsche Anschuldigung - aufgrund des weiten abstrakten Strafrahmens, Freiheits- oder Geldstrafe (allerdings ohne einem Minimum von 30 Tagessätzen; Urteil S. 42 E. 5.5) - als schwerste Straftat im Sinne von Art. 49 Abs. 1 StGB gilt (BGE <ref-ruling> E. 2.4.4 S. 271 f. mit Hinweisen), und mithin in einem ersten Schritt die Einsatzstrafe für dieses Delikt festzusetzen ist. Das weitere Vorgehen entspricht indessen nicht der jüngsten bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Die Vorinstanz setzt die "Einsatzstrafe" für alle falschen Anschuldigungen gesamthaft auf zwei Monate fest und bestimmt damit nicht für jede einzelne Tat eine Strafe. Sodann erhöht sie diese "Einsatzstrafe" für alle Verleumdungsdelikte auf zwölf Monate (Urteil S. 42 f. E. 5.6) und fasst insofern auch die mehrfachen planmässigen Verleumdungen sowie die mehrfachen Verleumdungen zusammen. Obwohl die Vorinstanz in ihren Erwägungen mit Verweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung die konkrete Methode als für anwendbar erkennt (Urteil S. 41 E. 5.4; zur Anwendung der konkreten Methode vgl. <ref-ruling> E. 1.1.1 S. 316, 217 E. 3.5.4 S. 235 f.; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 267 f.; je mit Hinweisen), wendet sie diese nicht an.
Bei der Bemessung der hypothetischen Gesamtstrafe müssen die einzelnen Straftaten in einem selbstständigen Schritt gewürdigt werden. Dies bezieht sich jeweils auch auf die Wahl der Strafart. Entgegen der vorinstanzlichen Meinung bzw. ihrer Vorgehensweise ist der Frage, ob eine Geld- oder eine Freiheitsstrafe auszusprechen ist, sodann nicht erst nachzugehen, wenn die Dauer der (Gesamt-) Strafe feststeht (siehe Urteil S. 41 f. E. 5.4). Vielmehr ist dies bereits bei der Würdigung der einzelnen Straftat zu bestimmen. Denn erst nachdem das Gericht sämtliche Einzelstrafen (gedanklich) festgesetzt hat, kann es beurteilen, ob und welche Einzelstrafen gleichartig sind (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 239 mit Hinweisen).
Sodann erwägt die Vorinstanz, eine Gesamtstrafe erscheine auch angesichts des sehr engen sachlichen Zusammenhangs zwischen den durch den Beschwerdeführer verübten Delikten angemessen (Urteil S. 41 E. 5.4). Dieser habe die falsche Anschuldigung mehrfach begangen. Aufgrund des inneren Zusammenhangs, den seine diesbezüglichen Taten aufweisen würden, sei eine Gesamtbetrachtung vorzunehmen. Eine solche Gesamtbetrachtung sei vom Bundesgericht in ähnlich gelagerten Fällen nicht beanstandet worden (vgl. Urteil 6B_499/2013 vom 22. Oktober 2013 E. 1.8). Die falschen Anschuldigungen seien Teil der Diffamierungskampagne gewesen, die der Beschwerdeführer geführt habe (Urteil S. 42 E. 5.5). Diesen vorinstanzlichen Ausführungen kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz weist zwar zutreffend darauf hin, dass die frühere Rechtsprechung zur Bildung einer Gesamtstrafe Ausnahmen zur vorerwähnten konkreten Methode zuliess, dies beispielsweise bei zeitlich und sachlich eng miteinander verknüpften Straftaten, die sich nicht sinnvoll auftrennen und für sich allein beurteilen lassen, oder wenn nicht eine deutlich schwerere Tat zusammen mit einer oder wenigen weiteren, leichter wiegenden Nebentat (en) zu sanktionieren war und bei einer Gesamtbetrachtung nur eine 360 Einheiten übersteigende Sanktion als angemessen erschien (<ref-ruling> E. 1.1.2 S. 317, 217 E. 2.4 S. 222 f.; Urteil 6B_112/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 3.2 mit entsprechenden Hinweisen). Solche Ausnahmen von der konkreten Methode sind aber nicht mehr zulässig (<ref-ruling> E. 1.1.2 S. 318, 217 E. 3.5.4 und E. 3.6 S. 235 ff.; je mit Hinweisen; vgl. allerdings Urteile 6B_112/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 3.2 und 6B_1186/2019 vom 9. April 2020 E. 2.2 und E. 2.4). Auf diese erst kürzlich geänderte Rechtsprechung ist denn auch nicht zurückzukommen (Urteil 6B_619/2019 vom 11. März 2020 E. 3.4 mit Hinweisen).
Bei der neu vorzunehmenden Strafzumessung wird die Vorinstanz zunächst über die einzelnen Delikte des Beschwerdeführers befinden müssen. Insofern wird die Vorinstanz zu überprüfen haben, für welche Straftaten allenfalls eine Geldstrafe auszufällen ist. Erachtet sie bei jenen Delikten, bei denen sowohl eine Geld- als auch eine Freiheitsstrafe ausgesprochen werden kann, was bei allen vom Beschwerdeführer verübten Straftaten der Fall ist, unter präventiven Gesichtspunkten eine Freiheitsstrafe als einzig zweckmässige Sanktion, so hat sie dies im Hinblick auf das Verhältnismässigkeitsprinzip zu begründen. Sollte die Vorinstanz neu auf eine Geldstrafe erkennen, wird sie die Frage der lex mitior zu prüfen haben, d.h., ob der am 1. Januar 2018 in Kraft getretene Art. 34 Abs. 1 Satz 1 StGB, welcher vorsieht, dass die Geldstrafe höchstens 180 Tagessätze beträgt, hier milder ist als aArt. 34 Abs. 1 StGB, nach welchem die (Gesamt-) Geldstrafe maximal 360 Tagessätze beträgt.
4.5. Die weiteren Erwägungen der Vorinstanz betreffend Strafzumessung lassen nicht erkennen, dass sie sich von sachfremden Kriterien hätte leiten lassen oder das ihr zustehende Ermessen überschritten hätte (Urteil S. 40-44 E. 5).
4.6. Bei diesem Verfahrensausgang erübrigt es sich grundsätzlich auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers einzugehen. Aus prozessökonomischen Gründen erscheint es jedoch angezeigt, einzelne Vorbringen zu prüfen.
5.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die Zusprechung der Parteientschädigung an den Beschwerdegegner 2 sei sachlich unhaltbar und verletze Art. 433 Abs. 1 lit. a StPO (Beschwerde S. 17), kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Zum einen wiederholt er seine Vorbringen, die das Bundesgericht bereits im Rückweisungsentscheid vom 14. November 2018 behandelt und als unbegründet erachtet hat, soweit es darauf eingetreten ist (vgl. Urteil 6B_976/2017 vom 14. November 2018 E. 8). Sie waren daher nicht mehr Gegenstand des Rückweisungsverfahrens bei der Vorinstanz und können vom Bundesgericht auch nicht wieder überprüft werden (E. 2). Zum anderen stützt der Beschwerdeführer seine Rügen auf die unzutreffende Behauptung, in casu seien keine strafrechtlich relevanten Vorgänge mehr vorhanden. Darauf ist nicht weiter einzugehen. Im Übrigen setzt er sich auch nicht bzw. nicht hinreichend mit den zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz auseinander (Urteil S. 44 f. E. 6).
6.
Der Beschwerdeführer beantragt eine angemessene Entschädigung im Sinne einer Genugtuung und begründet dies mit dem beantragten Freispruch (Beschwerde S. 2 und S. 18). Da es bei den vorinstanzlichen Schuldsprüchen bleibt, kann auf sein Begehren nicht eingetreten werden.
7.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen, das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren im Umfang seines Obsiegens zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Entschädigung ist praxisgemäss seinem Rechtsvertreter auszurichten. Insofern wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos. Soweit der Beschwerdeführer mit seiner Beschwerde unterliegt, ist es abzuweisen, da die geltend gemachte Mittellosigkeit nicht nachvollziehbar belegt ist (Art. 42 Abs. 2 i.V.m. Art. 64 BGG; <ref-ruling> E. 4a S. 164 f.). Entsprechend sind ihm Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Kanton Basel-Stadt trägt keine Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 13. August 2019 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten von Fr. 2'700.-- auferlegt.
4.
Der Kanton Basel-Stadt hat den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Advokat Christian Kummerer, für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 300.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. November 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini