Faits :
A.
A.a. A._, né en 1961 et titulaire d'une licence en chimie délivrée par l'Université de Genève, a travaillé dès septembre 1989 au service de la société genevoise... SA, dans laquelle il a atteint le poste de directeur exécutif, puis de directeur général.
Comme l'ensemble du personnel, il était couvert par l'assurance collective d'indemnités journalières en cas de maladie que son employeuse avait souscrite auprès de la compagnie Z._ SA. La police d'assurance prévoyait le versement d'indemnités pendant 730 jours, après un délai d'attente de 60 jours. L'indemnité équivalait à 80% du salaire assuré, plafonné à 250'000 fr. par an. Les conditions générales d'assurance (CGA) excluaient tout versement en cas d'incapacité de travail inférieure à 25%.
A.b. Le 21 avril 2016, l'employeuse a licencié le prénommé pour le 31 juillet 2016 en le libérant immédiatement de son obligation de travailler.
En juin 2016, l'employé congédié (ci-après: l'assuré) a annoncé un cas de maladie à la compagnie d'assurances précitée en lui transmettant deux certificats établis par son médecin traitant, le docteur M._, spécialiste FMH en cardiologie et médecine interne. Ce dernier attestait d'une incapacité de travail totale à compter du 25 mai 2016.
Après l'écoulement du délai d'attente, la compagnie d'assurances a versé à l'assuré dès le 24 juillet 2016 des indemnités journalières calculées sur la base d'une incapacité de travail à 100%.
A compter de la mi-août 2016, l'assuré a été suivi par la doctoresse P1._, spécialiste FMH en psychiatrie, qui a attesté d'une incapacité de travail à 100%.
A la demande de la compagnie d'assurances, le Dr M._ a établi le 21 septembre 2016 un rapport faisant état d'un épisode dépressif de nature réactionnelle, induisant une incapacité de travail à 100%; le pronostic était bon avec un suivi psychologique (psychothérapie).
Le 29 septembre 2016, la compagnie d'assurances a invité l'assuré, conformément aux CGA, à se présenter à la consultation du docteur X._, spécialiste FMH en neurologie, psychiatrie et psychothérapie. Ce dernier a procédé à l'examen psychiatrique de l'assuré le 18 octobre 2016. Dans son rapport du 24 octobre 2016, le médecin a conclu que l'assuré était capable de reprendre immédiatement une activité professionnelle à 50%, puis à 80% dès le 15 novembre 2016, et enfin à 100% dès le 1 er décembre 2016.
Sur la base de cette analyse, la compagnie d'assurances a informé l'assuré par courrier du 3 novembre 2016 qu'elle mettrait fin à sa participation financière le 14 novembre 2016. L'intéressé a contesté la position de l'assurance par courrier du 7 novembre 2016.
Dans le courant du même mois, il a débuté une psychothérapie auprès de la doctoresse P2._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie.
Le 5 décembre 2016, la compagnie d'assurances a transmis le rapport du Dr X._ à l'assuré qui, dans une missive du 19 décembre 2016, a déploré les nombreuses erreurs entachant ledit rapport; il n'a toutefois cité qu'un exemple, contestant avoir déclaré être prêt à reprendre un travail à 100% dès le 1er novembre 2016.
La Dresse P2._ a attesté mensuellement d'une incapacité de travail à 100% dès le mois de décembre 2016 jusqu'à la fin mai 2017, puis d'une incapacité de 50% dès juin 2017, ayant pris fin le 31 août 2017.
A.c. Parallèlement, l'Office genevois de l'assurance-invalidité (OAI) a été saisi d'une demande de prestations signée par l'assuré le 10 octobre 2016. Par décision du 13 novembre 2017, il a refusé toute rente d'invalidité, de même que des mesures professionnelles.
B.
B.a. Dans l'intervalle, soit le 9 mars 2017, l'assuré a déposé une demande en paiement contre la compagnie d'assurances auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise. Il concluait au versement de 81'106 fr. plus intérêts, prétention qu'il a ensuite portée à 133'700 fr. à l'audience du 26 avril 2018. Il sollicitait la mise en oeuvre d'une expertise médicale pour déterminer son aptitude au travail.
B.b. Plusieurs rapports médicaux ont été produits; les doctoresses P1._ et P2._ ont été entendues comme témoins. Un résumé succinct conduit à mettre en évidence les éléments suivants:
- Dans son rapport du 24 octobre 2016, le Dr X._ a retenu un trouble de l'adaptation avec prédominance de la perturbation d'autres émotions (F 42.23 CIM-10), consécutif à des conflits répétés sur le lieu de travail et à un licenciement signifié à la fin du mois d'avril 2016, chez un sujet dépourvu de tout antécédent psychiatrique. Sur les deux tests psychométriques effectués, l'échelle de Hamilton n'indique qu'un état dépressif léger, tandis que l'échelle de dépression M.A.D.R.S [Montgomery-Åsberg Depression Rating Scale, réd.] exclut même tout état dépressif (cf. aussi infra let. A.b).
- La Dresse P1._ a vu l'assuré neuf fois entre le 11 août et le 17 novembre 2016. Deux rapports de sa plume ont été produits (17 novembre 2016, destiné à l'OAI, et 8 février 2017); elle a en outre été auditionnée par la Cour de justice.
Ce médecin a expliqué s'être tout d'abord orientée vers un trouble de l'adaptation, pour ensuite retenir un épisode dépressif d'intensité modérée à forte, eu égard à l'évolution et à la durée des symptômes, consistant en des troubles du sommeil, de l'anxiété, une baisse de l'élan vital et un manque d'énergie. L'état du patient, d'abord stable, s'était péjoré durant la seconde moitié de septembre 2016, avec une thymie plus dépressive, davantage de difficultés de concentration, des troubles mnésiques et plus de fatigabilité. La Dresse P1._ a contesté l'appréciation portée par son confrère X._ quant à la capacité de travail de l'assuré.
- La Dresse P2._ a commencé à suivre l'assuré dans le courant du mois de novembre 2016, à raison d'une fois par semaine, puis d'une fois tous les quinze jours. Elle a également été entendue par la Cour de justice et deux de ses rapports ont été fournis (13 février 2017 et 7 mars 2017, à l'attention de l'OAI).
Selon ce médecin, l'assuré a initialement souffert d'un trouble de l'adaptation, qui s'est cependant accompagné de réactions anxieuses et dépressives de façon suffisamment durable pour engendrer un épisode dépressif d'intensité même sévère.
- Le Dr X._ s'est déterminé par écrit sur les témoignages des doctoresses P1._ et P2._, après que l'assuré eut précisé ne pas s'y opposer. Le médecin a notamment reproché à ses consoeurs d'avoir répété avec peu de recul critique les plaintes que l'assuré avait également présentées lors de l'examen d'expertise, en s'abstenant d'appliquer des échelles psychométriques standardisées pour objectiver la symptomatologie. Or, l'assuré avait pu maintenir un bon rythme journalier durant son arrêt de travail et avait même pu partir une semaine aux Etats-Unis, voyage peu compatible avec une symptomatologie dépressive moyenne à sévère, tout comme le fait de jouer au tennis une fois par semaine. Eu égard à son niveau d'activités dès la fin de l'année 2016, il était évident que sa symptomatologie anxio-dépressive n'était que d'intensité légère à moyenne au maximum, avec au demeurant un soutien pharmacologique minimal.
L'assuré s'est déterminé le 9 juillet 2018, en déniant toute force de conviction aux propos du Dr X._. Il a contesté avoir pu maintenir un bon rythme journalier et avoir déclaré s'être rendu régulièrement à son club de tennis.
B.c. Statuant par arrêt du 25 septembre 2018, la Cour de justice a rejeté la demande de l'assuré.
En substance, la Cour a jugé que la preuve d'une incapacité de travail d'au moins 25% dès le 15 novembre 2016 n'était pas rapportée. Le rapport du Dr X._ effectuait une analyse consciencieuse et objective du cas de l'assuré. Tous les médecins s'accordaient à dire que la symptomatologie était uniquement imputable aux conflits professionnels et au licenciement de l'assuré, et partant de nature purement réactionnelle. A cet élément, qui plaidait en faveur du diagnostic du Dr X._, s'ajoutaient trois éléments. Premièrement, l'assuré - nonobstant quelques problèmes de motivation, notamment pour se lever le matin et sortir de chez lui - avait été capable de respecter une bonne structure journalière, d'assumer certaines tâches administratives, d'entretenir des contacts sociaux et de se lancer dans des activités (recherches d'emploi; voyage aux Etats-Unis; pratique du tennis, etc.). Deuxièmement, les tests psychométriques n'attestaient au pire que d'une symptomatologie anxio-dépressive d'intensité légère. Troisièmement, l'assuré présentait une blessure narcissique importante, le tout alors qu'il n'était au bénéfice que d'un soutien psychopharmaceutique minimal. Les doctoresses P1._ et P2._ n'avaient pas étayé leurs dires sur des tests psychométriques et n'avaient pas décrit de symptômes qui n'aient déjà été pris en compte par le Dr X._. Dans l'intervalle avait été établi le rapport médical de ce dernier, ressenti négativement par l'assuré en tant qu'il le privait de l'assise médicale requise pour obtenir le versement des indemnités journalières. Qui plus est, les deux doctoresses avaient qualité de médecins traitants; par la relation de confiance qui s'était tissée avec l'assuré, elles étaient enclines à soutenir peu objectivement les démarches visant à bénéficier de prestations au-delà de l'échéance retenue par la défenderesse.
C.
L'assuré a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile dans lequel il requiert principalement que la compagnie d'assurances soit condamnée à lui payer 133'700 fr. plus intérêts, subsidiairement que la cause soit renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer.
La compagnie d'assurances a déposé une réponse concluant au rejet du recours.
L'assuré a répliqué, suscitant une duplique de la partie adverse.

Considérant en droit :
1.
Le litige porte sur une obligation de prestation résultant d'une assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale, régie par la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1; cf. art. 2 al. 2 de la loi fédérale sur la surveillance de l'assurance-maladie sociale [LSAMal; RS 832.12]). Ce type de conflit ressortit à la matière civile au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 4A_228/2019 du 2 septembre 2019 consid. 1).
Au surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue par la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise, statuant en instance cantonale unique au sens de l'<ref-law> et de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.1), de sorte que le présent recours est ouvert sans égard à la valeur litigieuse (<ref-law>). Interjeté par le demandeur qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>), le recours est recevable sur le principe, puisqu'il a été déposé en temps utile (art. 45 al. 1 et art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prévues par la loi (art. 42 al. 1 et 2 LTF).
2.
Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation qu'impose l'<ref-law>, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), l'autorité de céans n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes (<ref-ruling> consid. 2 p. 116). Une exigence de motivation accrue prévaut pour la violation des droits constitutionnels tels que la prohibition de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Selon le principe d'allégation, le recourant doit indiquer quel droit constitutionnel a été violé, en expliquant de façon circonstanciée en quoi consiste la violation (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
3.
Il n'est pas contesté que le recourant/assuré s'est trouvé en incapacité de travail à 100% dès le 25 mai 2016 et a touché de ce fait des indemnités d'assurance du 24 juillet 2016 au 14 novembre 2016. Le litige porte sur le point de savoir si une incapacité de travail d'au moins 25% a perduré au-delà de cette date.
L'assuré, qui prétend au versement d'indemnités journalières, doit établir la persistance d'une telle incapacité de travail à l'aune de la vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 3.1; arrêt 4A_516/2014 du 11 mars 2015 consid. 4.1). Sa position est facilitée dans la mesure où il n'est pas contesté qu'il s'est trouvé en incapacité de travail jusqu'à une certaine date. Cela étant, ce n'est pas à la compagnie d'assurances de prouver un recouvrement total ou partiel de la capacité de travail. Dans le cadre de son droit à la contre-preuve, elle doit tout au plus apporter des éléments propres à instiller des doutes et à ébranler la vraisemblance prépondérante que l'assuré s'efforce d'établir; ce genre de doutes peut découler déjà d'allégations de partie, respectivement d'expertises privées (<ref-ruling> consid. 3.4; arrêt 4A_85/2017 du 4 septembre 2017 consid. 2.3).
4.
4.1. En l'occurrence, l'autorité précédente a jugé que la preuve de la persistance d'une incapacité de travail d'au moins 25% n'était pas rapportée.
N'en déplaise au recourant, dont les arguments vont être présentés ci-dessous, l'explication circonstanciée sous-tendant cette appréciation des preuves n'est pas entachée d'arbitraire. Ce vice présuppose que le juge se soit manifestement mépris sur le sens et la portée d'un moyen de preuve, ait omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée, ou encore ait tiré des déductions insoutenables à partir des éléments recueillis. On rappellera encore que l'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 4.2).
4.2. Le recourant s'en prend tout d'abord aux constatations factuelles sur le comportement qu'il a adopté aux alentours de la période considérée. On ne voit pas d'arbitraire en la matière, étant précisé que la Cour de justice s'est montrée nuancée sur la question du maintien d'un bon rythme journalier, concédant que l'assuré avait quelques problèmes de motivation, en particulier pour se lever le matin et sortir de chez lui. Quant à la pratique du tennis, l'intéressé a contesté s'être rendu régulièrement à son club, mais ne prétend pas avoir complètement cessé ce sport. Il a au surplus admis avoir participé à une conférence organisée par l'office cantonal de l'emploi le 26 septembre 2016 et avoir répondu dans ce contexte à quelques brèves questions posées par U._. Il a en outre mentionné la fondation d'une société de conseils (V._ Sàrl) en précisant qu'il avait eu quelques mandats postérieurement à la période litigieuse; la fondation remonte au mois de janvier 2017 - les statuts datant du... janvier 2017, selon le Registre du commerce.
4.3. Le recourant tente ensuite de tirer argument du fait que le Dr X._ ne l'a reçu qu'une seule fois, tandis que ses deux psychiatres l'ont suivi régulièrement et ont ainsi pu attester d'une péjoration de son état de santé, qui se serait produite après la consultation du médecin précité.
La consultation en question s'est tenue le 18 octobre 2016. Or, la Dresse P1._, qui suivait à l'époque le recourant, a situé l'aggravation de son état au mois d'octobre 2016 (rapport du 8 février 2017), respectivement à la mi-septembre 2016 (audition du 26 avril 2018). Comme le met en exergue le recourant dans sa réplique, le rapport du Dr X._ évoque une augmentation de la dose d'antidépresseurs deux semaines avant la consultation précitée. L'argument d'une aggravation postérieure à la consultation du Dr X._ apparaît ainsi privé d'assise. Qui plus est, l'arrêt attaqué retient que les deux psychiatres n'ont mis en avant aucun nouveau symptôme qui n'aurait pas déjà été décrit par le Dr X._, affirmation que le recourant ne contredit pas de manière sérieuse. L'arrêt attaqué pointe par ailleurs, sans susciter de critique consistante, le fait que dans l'intervalle, le rapport du Dr X._ a été ressenti négativement, en tant qu'il privait l'assuré de l'assise médicale nécessaire pour obtenir le versement des indemnités journalières.
4.4. Le recourant objecte en outre que la Cour de justice n'avait pas les connaissances nécessaires pour apprécier la pertinence de l'argument tiré des deux tests psychométriques et qu'elle aurait même dû ordonner une expertise.
C'est toutefois méconnaître que ni les deux doctoresses, ni le médecin du service régional de l'AI n'ont critiqué la pertinence de ces tests, dont la littérature scientifique accessible sur Internet semble au demeurant admettre qu'ils restent très répandus, nonobstant les critiques qu'appellent immanquablement les tentatives de mesurer une affection psychique (cf. par ex. HELLEM, SCHOLL ET AL., Preliminary Psychometric Evaluation of the Hamilton Depression Rating Scale in Methamphetamine Dependence, in Journal of Dual Diagnosis 2017 p. 305 ss; CARNEIRO ET AL., Hamilton Depression Rating Scale and Montgomery-Åsberg Depression Rating Scale in Depressed and Bipolar I Patients [...], in Health and Quality of Life Outcomes 2015 13:42; RACHEL SHARP, The Hamilton Rating Scale for Depression, in Occupational Medicine 2015 65:340).
4.5. Le recourant argue enfin du fait que ses deux psychiatres ont été auditionnées comme témoins et ont, à ce titre, été exhortées à dire la vérité, tandis que le Dr X._ s'est contenté de commenter leurs déclarations dans un rapport écrit. Sa probité serait sujette à caution, dans la mesure où il a annoncé au tribunal qu'il refuserait de donner suite à son éventuelle assignation en produisant au besoin un certificat médical de complaisance.
Cette dernière assertion paraît crédible au regard d'une note du greffe de la Cour de justice datée du 6 avril 2018. Cela étant, si peu reluisante soit la menace de recourir à un tel certificat, elle ne conduit pas encore à priver de poids l'avis émis par ce médecin, d'autant qu'il ne s'agit pas de prouver le rétablissement d'une capacité de travail (cf. consid. 3 supra). En outre, le recourant lui-même ne s'était pas opposé au procédé des réponses écrites.
4.6. En définitive, l'autorité précédente pouvait clairement exclure sans arbitraire la haute vraisemblance d'une incapacité de travail supérieure à 25%, des doutes suffisants s'opposant à un tel constat.
Dans ce cas de figure, le demandeur a encore la possibilité de rapporter la preuve par la mise en oeuvre d'une expertise judiciaire. Toutefois, dans sa réplique, l'intéressé concède avoir renoncé à requérir une telle expertise qui lui paraissait dépourvue de pertinence plus de deux ans après les faits (sur cette problématique, cf. arrêt 4A_66/2018 du 15 mai 2019 consid. 2.6.2). Cela suffit à clore toute discussion.
5.
En définitive, le recours doit être rejeté. En conséquence, le demandeur et recourant supportera les frais de la procédure fédérale (<ref-law>). En revanche, il n'aura pas à verser de dépens à la défenderesse et intimée, qui a procédé avec l'aide de son service juridique et n'a pas fait valoir de frais particuliers.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 novembre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Kiss
La greffière: Monti