Sachverhalt:
A.
A.a. Die kinderlosen Ehegatten B.A._ (geb. 1963; Beschwerdegegnerin) und A.A._ (geb. 1962; Beschwerdeführer) leben seit dem 9. Februar 2015 getrennt.
Mit Eheschutzentscheid vom 4. Juli 2016 stellte das Bezirksgericht Rheinfelden fest, dass die Ehegatten einander keinen Unterhalt schulden. Die von A.A._ dagegen erhobene Berufung wies das Obergericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 21. November 2016 ab.
A.b. Am 10. Februar 2017 klagte A.A._ auf Scheidung der Ehe und mit Eingabe vom 8. Juni 2017 ersuchte er das Bezirksgericht darum, ihm in Abänderung des Eheschutzentscheids Ehegattenunterhalt zuzusprechen. Mit Entscheid vom 31. Oktober 2017 wies das Bezirksgericht dieses Gesuch ab. Das Obergericht hiess am 22. Januar 2018 die dagegen von A.A._ erhobene Berufung gut und wies die Sache zur Neubeurteilung an das Bezirksgericht zurück.
Gegen den erneuten Entscheid des Bezirksgerichts erhoben beide Ehegatten Berufung. Am 19. Juni 2018 hiess das Obergericht die Berufung von A.A._ teilweise gut und verurteilte B.A._ zur Zahlung folgender monatlicher Unterhaltsbeiträge:
Fr. 5'000.-- vom 8. Juni bis 31. August 2017 Fr. 6'180.-- vom 1. September bis 31. Dezember 2017 Fr. 6'880.-- vom 1. Januar bis 31. Dezember 2018 Fr. 1'000.-- ab 1. Januar 2019
Von diesen Beträgen sei allfällig von A.A._ erzieltes Einkommen abzuziehen. Ausserdem traf das Obergericht eine Regelung für der Ehefrau gegebenenfalls ausbezahlte Boni und Beteiligungsrechte.
A.c. Am 31. Oktober 2018 ersuchte A.A._ das Bezirksgericht um Änderung des Entscheids vom 19. Juni 2018 im Unterhaltspunkt. Dabei beantragte er im Wesentlichen, es sei ihm auch ab Januar 2019 Ehegattenunterhalt von monatlich Fr. 6'880.-- auszurichten. B.A._ beantragte am 22. Februar 2019 ihrerseits, es sei in Aufhebung des Entscheids des Obergerichts festzustellen, dass sie ab dem 8. Juni 2017 keinen Unterhalt schulde und der Ehemann sei zur Rückzahlung der bereits bezogenen Beiträge zu verpflichten.
Bereits am 21. Januar 2019 hatte das Obergericht A.A._ wegen versuchter vorsätzlicher Tötung seiner Ehefrau zu einer Freiheitsstrafe von acht Jahren verurteilt. Die von A.A._ hiergegen erhobene Beschwerde in Strafsachen wies das Bundesgericht mit Urteil 6B_902/2019 vom 8. Januar 2020 ab.
Mit Entscheid vom 17. Juli 2019 stellte das Bezirksgericht in Abänderung des obergerichtlichen Entscheids vom 19. Juni 2018 fest, dass die Ehefrau ab dem 8. Juni 2017 keinen Unterhalt schuldet und verpflichtete A.A._ zur Rückzahlung von zu Unrecht bezogenen Unterhaltsbeiträgen im Umfang von Fr. 130'313.--. Die Prozesskosten des Abänderungsverfahrens auferlegte es A.A._, dem es die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gewährte.
B.
Mit Entscheid vom 2. März 2020 (eröffnet am 10. März 2020) wies das Obergericht die von A.A._ hiergegen eingereichte Berufung unter Kostenfolge ab, soweit es darauf eintrat (Dispositivziffern 1-3). Die von A.A._ des Weiteren gestellten Gesuche um Verurteilung der Ehefrau zur Bezahlung eines Prozesskostenvorschusses sowie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wies es ebenfalls ab (Dispositivziffer 4 und 5).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 9. April 2020 gelangt A.A._ ans Bundesgericht. Er beantragt unter Kostenfolgen, es seien die Ziffern 1-3 und 5 des Urteils des Obergerichts aufzuheben und es sei festzustellen, dass B.A._ ihm ab dem 22. Februar 2019 keinen persönlichen Unterhalt mehr schulde. Die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 1'500.-- seien zu zwei Dritteln ihm und zu einem Drittel der Ehefrau aufzuerlegen und er sei zu verpflichten, dieser eine Parteientschädigung von Fr. 546.-- (inkl. Auslagen und MWSt) zu bezahlen. Ausserdem sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Eventuell sei das Urteil des Obergerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann ersucht A.A._ auch für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Beiordnung der ihn vertretenden Rechtsanwältin als unentgeltliche Rechtsvertreterin.
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über die Abänderung vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens (Ehegattenunterhalt; <ref-law> i.V.m. <ref-law>) sowie die unentgeltliche Rechtspflege im Abänderungsverfahren und damit vermögensrechtliche Zivilsachen nach <ref-law> entschieden hat (vgl. Urteil 5A_451/2019 vom 28. Januar 2020 E. 1.1). Der massgebende Streitwert von Fr. 30'000.-- ist erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b, Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 sowie <ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht eingereicht hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 2 BGG). Auf die Beschwerde ist daher einzutreten.
1.2. Massnahmeentscheide, die gestützt auf <ref-law> ergehen, unterstehen <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 5). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur infrage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
2.
Das Verfahren betrifft die Unterhaltspflicht der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer während des Scheidungsverfahrens. Nach anfänglicher Verneinung einer solchen (vorne Bst. A.a) sprach das Obergericht dem Ehemann mit Entscheid vom 19. Juni 2018 Unterhalt zu (vorne Bst. A.b). Dieser Entscheid erging vor dem Hintergrund des erstinstanzlichen Freispruchs des Beschwerdeführers vom Vorwurf der versuchten vorsätzlichen Tötung der Ehefrau (vgl. Urteil 6B_902/2019 vom 8. Januar 2010 Bst. B). Nach der in zweiter Instanz erfolgten und durch das Bundesgericht bestätigten Verurteilung des Beschwerdeführers im Strafverfahren verneinten die kantonalen Instanzen jeglichen Anspruch des Beschwerdeführers auf Unterhalt (vorne Bst. A.c und B), was vor Bundesgericht für die Zeit nach dem 22. Februar 2019 - Zeitpunkt der Einreichung des Abänderungsbegehrens durch die Ehefrau (vorne Bst. A.c) - nicht mehr strittig ist.
Uneinig sind sich die Verfahrensbeteiligten aber darüber, wie es sich mit den dem Beschwerdeführer vom 8. Juni 2017 bis zum 22. Februar 2019 ausgerichteten Unterhaltsbeiträgen im Umfang von insgesamt Fr. 130'313.-- verhält. Die Vorinstanzen verpflichteten den Beschwerdeführer zur Rückerstattung dieser Beiträge. Dabei gingen sie im Ergebnis richtig davon aus, dass die Erstattung des bereits bezahlten Ehegattenunterhalts - diese ist ansonsten nicht strittig - nur in Frage kommt, wenn zuvor das rechtskräftige Urteil des Obergerichts vom 19. Juni 2018 beseitigt wird (grundlegend dazu: <ref-ruling> E. 3; zur Rechtskraftwirkung von Entscheiden betreffend vorsorgliche Massnahmen im Scheidungsverfahren vgl. <ref-ruling> E. 3 [insbes. E. 3.4]). Entsprechend ist nachfolgend zu klären, ob das Obergericht verfassungsmässige Rechte verletzte (vgl. vorne E. 1.2), indem es gestützt auf das von der Beschwerdegegnerin am 22. Februar 2019 gestellte Begehren sein Urteil vom 19. Juni 2018 nicht nur für die Zukunft, sondern (rückwirkend) ab Beginn der Unterhaltspflicht am 8. Juni 2017 anpasste.
3.
3.1. Nach Ansicht des Obergerichts kann der Erstinstanz im Zusammenhang mit der (rückwirkenden) Aufhebung der Unterhaltspflicht der Beschwerdegegnerin keine fehlerhafte Ermessensausübung vorgeworfen werden. Die Rechtsprechung anerkenne bei Vorliegen besonderer Gründe und insbesondere bei Treuwidrigkeit die ausnahmsweise Rückwirkung eines Abänderungsentscheids über den Zeitpunkt der Einreichung des Abänderungsgesuchs hinaus. Beim Versuch, den Ehepartner zu töten, liege zweifellos Treuwidrigkeit vor. Sodann habe der Beschwerdeführer sich nicht mit den erstinstanzlichen Erwägungen zur Rückerstattung der bezahlten Unterhaltsbeiträge bei Wegfall der Unterhaltspflicht auseinandergesetzt. Diesbezüglich sei auf die Berufung daher nicht einzutreten.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt vorab eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>).
3.2.1. In der Berufungsschrift habe der Beschwerdeführer vorgebracht, weshalb eine rückwirkende Aufhebung der Unterhaltsbeiträge nicht zulässig sei. Dabei habe er dargetan, inwiefern das Element der Treuwidrigkeit abweichend von der erstinstanzlichen Interpretation zu verstehen sei und auf diese Weise die rechtliche Grundlage des Vorgehens des Bezirksgerichts bestritten. Zu diesen Ausführungen habe das Obergericht sich nicht geäussert. Vielmehr habe es unzutreffend festgehalten, der Beschwerdeführer setze sich nicht mit den erstinstanzlichen Erwägungen zur Rückzahlung der Alimente auseinander. Sodann habe das Obergericht pauschal die Ausführungen der Erstinstanz übernommen. In diesem Vorgehen liege eine Verletzung des Gehörsanspruchs. Der Beschwerdeführer könne unmöglich abschätzen, ob seine Ausführungen betreffend rückwirkende Aufhebung der Unterhaltspflicht überhaupt in den angefochtenen Entscheid eingeflossen seien und wie das Obergericht dazu stehe.
3.2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör verlangt, dass das Gericht die Vorbringen der vom Entscheid in seiner Rechtsstellung betroffenen Personen tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 5.2). Daraus folgt die Verpflichtung des Gerichts, seinen Entscheid zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass es sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann es sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich die betroffene Person über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die sich sein Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 3.2.4).
3.2.3. In seiner Kritik am Obergericht bezieht der Beschwerdeführer sich vorab auf dessen Feststellung, er habe sich zur Rückerstattungspflicht bei Wegfall der Unterhaltsverpflichtung nicht geäussert. Wie sich dem angefochtenen Entscheid entnehmen lässt, unterschied die Vorinstanz zwischen der Rückerstattungspflicht - nach Ansicht des Bezirksgerichts ist ein Bereicherungsanspruch (<ref-law>) gegeben - und dem Wegfall der Unterhaltsverpflichtung als deren Voraussetzung (vgl. auch vorne E. 2). Die Feststellung, der Beschwerdeführer habe sich nicht zur Rückerstattung des Unterhalts geäussert, bezieht sich auf die (weiteren) Voraussetzungen der Pflicht zur Erstattung der Unterhaltsbeiträge. Sämtliche Vorbringen, welche der Beschwerdeführer erhoben haben will, betreffen dagegen die Aufhebung der Unterhaltspflicht als Grundlage einer Rückerstattung. Zur Problematik der Rückerstattung als solcher hat der Beschwerdeführer sich demgegenüber auch nach eigener Darstellung vor Obergericht nicht geäussert. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur rückwirkenden Aufhebung der Unterhaltspflicht hat das Obergericht sodann zur Kenntnis genommen, wie sich der E. 3.1.1 des angefochtenen Entscheids entnehmen lässt. Damit verhält die Rüge des Beschwerdeführers nicht, das Obergericht habe seine Ausführungen nicht gehört.
3.2.4. Soweit der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid weitergehend als ungenügend begründet erachtet, ist ihm entgegenzuhalten, was folgt: Dem angefochtenen Entscheid lässt sich entnehmen, aus welchen Gründen die Vorinstanz einen nachträglichen Wegfall der Unterhaltspflicht der Beschwerdegegnerin angenommen hat. Der Beschwerdeführer war denn auch ohne weiteres in der Lage, sich über die Tragweite des vorinstanzlichen Entscheids Rechenschaft zu geben und diesen effizient anzufechten. Selbst wenn der Vorwurf zutreffen sollte, dass das Obergericht sich nicht mit allen Argumenten und Vorbringen des Beschwerdeführers auseinandersetzte, wäre dies vor diesem Hintergrund daher unschädlich. Auch eine Verletzung der Begründungspflicht kann nicht festgestellt werden.
3.2.5. Der Vorwurf der Gehörsverletzung erhärtet sich somit nicht.
3.3. Weiter macht der Beschwerdeführer eine willkürliche Anwendung der Art. 268 sowie 276 Abs. 1 und 2 ZPO i.V.m. <ref-law> dadurch geltend, dass das Obergericht die Unterhaltspflicht der Beschwerdegegnerin rückwirkend über den Zeitpunkt der Einreichung des Abänderungsgesuchs vom 22. Februar 2019 hinaus aufgehoben hat.
3.3.1. Unhaltbar sei es, der Erstinstanz einen (weiten) Ermessensspielraum einzuräumen. Ermessen bestehe nur, wo das Gesetz dies vorsehe (<ref-law>). Dies sei zwar bei der Unterhaltsfestsetzung der Fall, nicht jedoch bezüglich der sich hier stellenden Fragen der Beachtung der Rechtskraft des Massnahmeentscheids und der Klageänderung. Die Vorinstanz verkenne sodann den Begriff der Treuwidrigkeit, welche nach der Rechtsprechung eine rückwirkende Aufhebung einer Unterhaltspflicht zulasse. Die Treuwidrigkeit beziehe sich allein auf das Verhalten, welches verhindere, dass die Abänderungsklage früher eingereicht werde, nicht jedoch auf das Verhalten, das Gegenstand des Strafverfahrens gewesen sei. Zur Vermeidung unbilliger Ergebnisse hätten sodann andere Möglichkeiten als die rückwirkende Aufhebung der Unterhaltspflicht offengestanden: In dem den Unterhalt zusprechenden Urteil hätte etwa vorbehalten werden können, dass im Falle einer Verurteilung die Unterhaltsbeiträge zu erstatten sind. Weder der Beschwerdeführer noch seine Gläubiger hätten diesfalls auf die Endgültigkeit der Unterhaltsleistungen vertraut. Ein rechtskräftiger Unterhaltsentscheid sei denn auch regelmässig mit weiteren Folgen (z.B. Rückzahlung von Sozialhilfeleistungen; Steuern) verknüpft. In der Regel dürften die erhaltenen Beiträge in guten Treuen verbraucht sein. Nicht eingegangen sei das Obergericht auf das Vorbringen, die Beschwerdegegnerin habe die Aufnahme eines Rektifikationsvorbehalts in das Unterhaltsurteil (i.S. einer Klageänderung) zu spät vorgebracht. Die Klageänderung dürfe nun nicht über den Umweg der Abänderung des Unterhaltsurteils nachgeholt werden.
3.3.2. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 2.1).
3.3.3. Ein Entscheid über die Abänderung vorsorglicher Massnahmen im Unterhaltspunkt (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law> und <ref-law>) wirkt nach der Rechtsprechung grundsätzlich nur für die Zukunft, d.h. ab Eintritt seiner formellen Rechtskraft. Die Änderung kann jedoch auf den Zeitpunkt der Einreichung des entsprechenden Gesuches zurückbezogen werden. Eine weitergehende Rückwirkung ist nur aus ganz besonderen Gründen möglich, namentlich bei unbekanntem Aufenthalt oder Landesabwesenheit der unterhaltspflichtigen Person, bei schwerer Krankheit der unterhaltsberechtigten Person oder treuwidrigem Verhalten einer der Parteien. Nach ständiger Rechtsprechung liegt die Anordnung einer solchen Rückwirkung im Ermessen des Massnahmegerichts (vgl. <ref-ruling> E. 4; Urteile 5A_745/2015 vom 15. Juni 2016 E. 5.2.3; 5A_274/2015 vom 25. August 2015 E. 3.5, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_597/2013 vom 4. März 2014 E. 3.4, in: FamPra.ch 2014 S. 725). Als unbegründet erweist sich damit der Vorwurf der Willkür, weil die Vorinstanz dem Bezirksgericht einen Ermessensspielraum eingeräumt hat.
3.3.4. Weitergehend ist zu bemerken, dass die Verweigerung eines Unterhaltsanspruchs des Beschwerdeführers in der versuchten vorsätzlichen Tötung der Ehefrau gründet und nach Dafürhalten der Vorinstanzen an das Verbot des Rechtsmissbrauchs (Art. 2 Abs. 2 bzw. <ref-law> [analog]) anknüpft. Dies ist vor Bundesgericht nicht strittig (vorne E. 2). Zumal der Tötungsversuch vor der Trennung der Ehegatten erfolgte (Urteil 6B_902/2019 vom 8. Januar 2010 Bst. A), beschlägt das fragliche Verhalten des Ehemanns in zeitlicher Hinsicht das gesamte Eheschutzverfahren und somit jeglichen (potentiellen) Anspruch auf Ehegattenunterhalt. Unterhalt wurde dem Beschwerdeführer tatsächlich nur aufgrund des zwischenzeitlichen und später wieder aufgehobenen Freispruchs durch das erstinstanzliche Strafgericht zugesprochen (vgl. vorne E. 2). Unter diesen Umständen ist es jedenfalls nicht willkürlich, es als treuwidrig im Sinne der vorstehend wiedergegebenen Rechtsprechung zu qualifizieren, wenn der Beschwerdeführer, der von Anfang an um seine Tat und damit - jedenfalls sinngemäss - auch um die Unbilligkeit der Unterhaltsbeiträge wusste, solche erst erhältlich machte und alsdann auf deren Rückbehalt beharrt (ähnlich: Urteil 5A_101/2013 vom 25. Juli 2013 E. 6.2; CZITRON, Die vorsorglichen Massnahmen während des Scheidungsprozesses unter Berücksichtigung des am 1. Januar 1988 in Kraft getretenen neuen Eherechts, des in Revision begriffenen Scheidungsrechts sowie des Prozessrechts und der Praxis im Kanton Zürich, 1995, S. 46).
Wenig einleuchtend ist, weshalb im vorliegenden Kontext einzig ein Verhalten sollte berücksichtigt werden können, welches den Zeitpunkt der Einreichung des Abänderungsbegehrens beschlägt, wie der Beschwerdeführer dies möchte. Auch BÜHLER/SPÜHLER (Berner Kommentar, 1980, N. 126 zu <ref-law>), auf welche der Beschwerdeführer sich bezieht, nennen als Grund für eine weitergehende Rückwirkung denn auch ebenfalls Verhaltensweisen, die sich auf die Anspruchsgrundlage als solche beziehen (z.B. Täuschung über die wahren ökonomischen Verhältnisse). Ohnehin muss im vorliegenden Kontext ein Verhalten als umso treuwidriger eingestuft werden, wenn es nicht nur die berechtigte Person zeitweise an der Durchsetzung ihrer Rechtsposition hindert, sondern sich auf die Grundlage des strittigen Anspruchs bezieht. Unter den gegebenen Umständen kann der Beschwerdeführer sich aufgrund seines Verhaltens auch nicht in guten Treuen darauf berufen, er habe sich auf die Rechtskraft des Entscheids vom 19. Juni 2018 verlassen dürfen und müsse zufolge der rückwirkenden Aufhebung der Unterhaltspflicht nachteilige Folgen gewärtigen. Ebenfalls kann er nichts aus dem Umstand zu seinen Gunsten ableiten, dass dem Obergericht gegebenenfalls andere Vorgehensweisen offengestanden hätten und es auf einen Antrag der Beschwerdegegnerin zur Vormerkung einer allfälligen Rückerstattungspflicht für den Fall der Verurteilung des Beschwerdeführers nicht eingetreten ist. Die Vorinstanz hat in seinem Urteil vom 19. Juni 2018 für den nunmehr eingetretenen Fall vielmehr gerade auf das Abänderungsverfahren verwiesen (E. 11; vgl. Beschwerdebeilage 3), was von beiden Parteien nicht hinterfragt wurde. Damit ist es auch nicht zu beanstanden, sollte das Obergericht auf die entsprechenden Ausführungen des Beschwerdeführers nicht im Einzelnen eingegangen sein, wie dieser geltend macht (zur Begründungspflicht vgl. vorne E. 3.2.4).
3.3.5. Nach dem Ausgeführten kann der Vorinstanz keine Willkür in der Anwendung der massgebenden Bestimmungen vorgeworfen werden.
3.4. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, was die zeitlichen Folgen der Abänderung der Unterhaltspflicht betrifft. Vor diesem Hintergrund rechtfertigt sich auch die vom Beschwerdeführer ausserdem beantragte Anpassung der vorinstanzlich angeordneten Kostenfolge nicht (vgl. <ref-law>). Gründe, weshalb die Kostenverlegung durch das Obergericht aus mit dem Ausgang des Berufungsverfahrens nicht in Zusammenhang stehenden Umständen geradezu verfassungswidrig sein sollte, bringt der Beschwerdeführer sodann keine vor (vgl. vorne E. 1.2).
4.
4.1. Strittig ist weiter die unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren. Das Obergericht erachtete die vom Beschwerdeführer in diesem Verfahren gestellten Begehren als aussichtslos. Bei Gesuchseinreichung sei der Beschwerdeführer bereits zweitinstanzlich wegen versuchter vorsätzlicher Tötung verurteilt gewesen. Damit habe dieselbe Ausgangslage wie beim jeglichen Unterhalt verneinenden Entscheid vom 21. November 2016 vorgelegen (vgl. vorne Bst. A.a), womit die Prozesschancen sehr gering gewesen seien. Der Beschwerdeführer bringe sodann vor, er sei prozessbedürftig. Zwar mache er hierzu verschiedene Ausführungen. Auf seine "vagen und grösstenteils unbelegten Spekulationen" sei jedoch nicht weiter einzugehen.
In der Einstufung der Berufung als aussichtslos erblickt der Beschwerdeführer eine willkürliche Anwendung von Art. 117 Bst. b ZPO. Tatsächlich habe dem zweitinstanzlichen Schuldspruch ein erstinstanzlicher Freispruch gegenüber gestanden. Damit sei alles andere als klar gewesen, wie in der Strafsache entschieden würde. Er, der Beschwerdeführer, habe daher Berufung einlegen müssen, um sich nicht dem Vorwurf auszusetzen, er habe es verpasst, die nötigen Rechtsmittel zu ergreifen und an seiner ursprünglichen Forderung festzuhalten. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung habe er nicht die Rechtshängigkeit des Strafverfahrens abwarten können, um dann allenfalls erneut und rückwirkend Unterhaltszahlungen zu fordern. Ausserdem sei die von der Erstinstanz vorgenommene rückwirkende Aufhebung der rechtskräftig festgelegten Unterhaltszahlungen äusserst problematisch gewesen.
4.2. Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint. Soweit zur Wahrung ihrer Rechte notwendig, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand. Mit <ref-law> wird der als verfassungsrechtliche Minimalgarantie in <ref-law> verankerte Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung auf Gesetzesstufe geregelt (<ref-ruling> E. 4.1). Die Voraussetzungen der unentgeltlichen Rechtspflege nach der Zivilprozessordnung stimmen dabei mit denjenigen des Verfassungsanspruchs überein, dessen Einhaltung das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht frei prüft (<ref-ruling> E. 4.1). Damit bleibt unerheblich, dass der Beschwerdeführer einzig eine willkürliche Anwendung der Gesetzesbestimmung geltend macht und sich nicht auf die ebenfalls einschlägige Verfassungsbestimmung bezieht.
Praxisgemäss sind Prozessbegehren als aussichtslos anzusehen, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Von Aussichtslosigkeit darf hingegen nicht gesprochen werden, wenn Gewinnaussichten und Verlustgefahren sich ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde. Eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestehen, beurteilt sich aufgrund einer vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten, wobei die Verhältnisse im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs massgebend sind (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.2).
4.3. Der Beschwerdeführer verweist richtig darauf, dass im Berufungsverfahren die rückwirkende Aufhebung der Unterhaltspflicht strittig war. Anders als er meint, ist das diesbezügliche Vorgehen der Vorinstanzen vor dem Hintergrund seiner strafrechtlichen Verurteilung jedoch nicht zu beanstanden (vorne E. 3.3). Ganz im Gegenteil kann der Vorinstanz unter dieser Prämisse auch mit Blick auf <ref-law> kein Vorwurf gemacht werden: Sobald die strafrechtliche Verurteilung des Beschwerdeführers feststand, durfte sie dessen Begehren im Zivilverfahren als aussichtslos qualifizieren.
Entscheidend ist damit, wie es sich im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege bei der Vorinstanz mit der strafrechtlichen Beurteilung des Verhaltens des Beschwerdeführers verhielt. Diesbezüglich ist in sachverhaltlicher Hinsicht unbestritten, dass der Beschwerdeführer erstinstanzlich zwar freigesprochen, zweitinstanzlich aber wegen versuchter vorsätzlicher Tötung verurteilt worden war. Die Beurteilung des obergerichtlichen Urteils durch das Bundesgericht stand indes noch aus (vgl. E. 4.1 hiervor). Nach der Rechtsprechung handelt es sich bei der Beschwerde in Strafsachen um ein ausserordentliches Rechtsmittel, das grundsätzlich allein kassatorische Tragweite aufweist (<ref-ruling> E. 2.8; Urteil 6B_1065/2017 vom 17. Mai 2019 E. 7, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: Pra 109/2020 Nr. 6 mit zahlreichen Hinweisen). Ihr Einreichen wirkt sich nicht auf die formelle Rechtskraft des kantonalen Erkenntnisses aus, sondern schiebt in Fällen wie dem vorliegenden (vgl. Art. 103 Abs. 2 Bst. b BGG) allein dessen Vollstreckbarkeit auf (Urteile 6B_811/2010 vom 23. August 2012 E. 1; 6B_440/2008 vom 11. November 2008 E. 3.3). Damit wurde das obergerichtliche Urteil mit seiner Eröffnung rechtskräftig (anschaulich für die Beschwerde in Zivilsachen: Urteil 5A_714/2019 vom 3. Juni 2020 E. 2.3.1, zur Publ. vorgesehen) und stand die Verurteilung des Beschwerdeführers wegen versuchter vorsätzlicher Tötung seiner Ehefrau vor Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren fest. Folglich ist es auch nicht zu beanstanden, hat die Vorinstanz das vom Beschwerdeführer in diesem Verfahren eingelegte Rechtsmittel zum damaligen Zeitpunkt als aussichtslos angesehen. Hierin liegt auch kein Verstoss gegen die Unschuldsvermutung, die einzig bis zur rechtskräftigen Verurteilung gilt (<ref-law> und dazu Urteil 6B_121/2019 vom 12. Juni 2019 E. 2 mit Hinweisen).
4.4. Die Beschwerde ist damit auch hinsichtlich der Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren unbegründet. Auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers zur Frage der Bedürftigkeit und insbesondere die in diesem Zusammenhang erhobene Rüge der Verletzung des rechtlichen Gehörs braucht nicht mehr eingegangen zu werden.
5.
Zusammenfassend ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten grundsätzlich dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>) und hat er keinen Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Der obsiegenden Beschwerdegegnerin sind mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden, womit auch ihr keine Entschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Der Beschwerdeführer ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren allerdings um unentgeltliche Rechtspflege. Da die diesbezüglichen Voraussetzungen erfüllt sind (<ref-law>), ist der Beschwerdeführer von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien und ist ihm seine Vertreterin als unentgeltliche Rechtsbeiständin beizuordnen. Der Beschwerdeführer wird darauf hingewiesen, dass er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er dazu später in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwältin Esther Küng als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwältin Küng wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'500.-- entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Sieber