Erwägungen:
1.
Am 4. März 2020 machte der Beschwerdeführer am Bezirksgericht Winterthur eine Klage anhängig. Mit Verfügung vom 29. April 2020 erwog das Bezirksgericht Winterthur, Arbeitsgericht, es fehle bei jedem der Rechtsbegehren des Beschwerdeführers an mindestens einer Prozessvoraussetzung, weshalb auf seine Klage nicht einzutreten sei.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Das Obergericht erwog mit Urteil vom 18. August 2020 vorab, die Berufung erweise sich als offensichtlich unbegründet. Das Obergericht kam sodann zum Ergebnis, es mangle sämtlichen erstinstanzlichen Rechtsbegehren des Beschwerdeführers an mindestens einer Prozessvoraussetzung. Entsprechend wies das Obergericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat, und bestätigte die Verfügung des Arbeitsgerichts.
Gegen das Urteil des Obergerichts erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 6. September 2020 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Am 15. Oktober 2020 reichte er dem Bundesgericht eine weitere Eingabe ein.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Ausgleichskasse des Kantons Wallis sei vor Bundesgericht "zur Einsitznahme" zu verpflichten.
Was der Beschwerdeführer mit einer "Einsitznahme" genau meint und aus welchen Gründen dies geschehen soll, führt er offensichtlich nicht hinreichend aus (Erwägung 2.1). Sollte er damit sinngemäss den Antrag stellen, der Ausgleichskasse sei der Streit zu verkünden, wäre dieser abzuweisen. Vor Bundesgericht ist eine Streitverkündung nicht mehr zulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 275; <ref-ruling> E. 4.5.2).
3.2. Der Beschwerdeführer stellt sodann ein Sistierungsgesuch. Das bundesgerichtliche Verfahren sei zu sistieren, bis das Obergericht des Kantons Zürich in einem anderen Verfahren über seine Berufung gegen den Entscheid des Bezirksgerichts Dielsdorf entschieden habe.
Der Beschwerdeführer begründet dieses Gesuch offensichtlich nicht hinreichend (Erwägung 2.1) und es ist im Übrigen auch nicht ersichtlich, aus welchen Gründen das bundesgerichtliche Verfahren sistiert werden soll. Der Sistierungsantrag ist deshalb abzuweisen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer moniert, das angefochtene Urteil sei "insgesamt (...) inakzeptabel sachverhaltswidrig". Er rügt in seiner Beschwerdeschrift an mehreren Stellen eine unrichtige Sachverhaltsdarstellung der Vorinstanz, wobei seine diesbezüglichen Ausführungen die Begründungsanforderungen an Sachverhaltsrügen offensichtlich nicht erfüllen (Erwägung 2.2). Im Weiteren schildert er an anderen Orten seiner Eingabe den Sachverhalt aus eigener Sicht und geht dabei frei über den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt hinaus, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge zu erheben. Auf diese tatsächlichen Elemente kann er sich im bundesgerichtlichen Verfahren nicht stützen.
4.2. Auch im Übrigen erfüllen die Eingaben des Beschwerdeführers die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht.
Er wirft der Vorinstanz zwar vor, sie setze sich nicht mit dem "elementaren Klagegegenstand" einer ungerechtfertigten Bereicherung auseinander und verletze damit <ref-law> und <ref-law>. Im Weiteren beruft er sich unter anderem darauf, der Vorinstanz sei eine Rechtsverweigerung, eine Verletzung der Untersuchungsmaxime und des Anspruchs auf rechtliches Gehörs vorzuwerfen. Sodann habe die Vorinstanz gegen die Bestimmungen von <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>, <ref-law>, Art. 5 und 8 BV, gegen den Grundsatz von Treu und Glauben und eine Vielzahl von EMRK-Normen verstossen sowie willkürlich geurteilt. Der Beschwerdeführer legt aber diesbezüglich bloss in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge dar, ohne indessen auf die Erwägungen der Vorinstanz hinreichend konkret einzugehen, geschweige denn nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern diese die genannten Bestimmungen verletzt haben soll, als sie zum Schluss kam, dass es allen erstinstanzlichen Rechtsbegehren des Beschwerdeführers an mindestens einer Prozessvoraussetzung fehle.
4.3. Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
5.
5.1. Der Beschwerdeführer beruft sich für die Kostenfolgen des bundesgerichtlichen Verfahrens darauf, dass es sich in der vorliegenden Streitsache um eine "arbeitsrechtliche Sozialversicherungssache" handle. Aus einem solchen Verfahren dürfe ihm nach <ref-law> kein Nachteil erwachsen; insbesondere seien ihm keine Kosten aufzuerlegen. Wenn besondere Gründe vorliegen würden, könne das Bundesgericht gestützt auf <ref-law> auf die Erhebung des Kostenvorschusses verzichten.
5.2. Der Beschwerdeführer legt mit Letzterem offensichtlich nicht hinreichend dar (Erwägung 2.1), und es ist auch nicht ersichtlich, dass vorliegend besondere Gründe vorliegen würden, die es ausnahmsweise erlauben würden, auf die Erhebung eines Kostenvorschusses ganz oder teilweise zu verzichten (<ref-law>), zumal das Bundesgericht mit Verfügung vom 30. September 2020 bereits einen Kostenvorschuss vom Beschwerdeführer einforderte und dieser den Vorschuss bezahlte.
Ebensowenig legt der Beschwerdeführer nachvollziehbar dar, warum ihm gestützt auf Art. 49 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) bei Unterliegen im bundesgerichtlichen Verfahren keine Gerichtskosten auferlegt werden könnten (Erwägung 2.1).
Nur der Vollständigkeit halber sei aber klargestellt: Richtig ist zwar, dass nach <ref-law> der betroffenen Person aufgrund eines Fehlers bei der Eröffnungeiner Verfügung keine Nachteile erwachsen dürfen. So dürfen der betroffenen Person beispielsweise keine Nachteile entstehen, wenn die Behörde die Verfügung an die falsche Adresse zustellt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3). Die Bestimmung, welche die mangelhafte Eröffnung einer erstinstanzlichen Verfügung betrifft, bestimmt aber offensichtlich nicht, dass der betroffenen Person im Verfahren vor Bundesgericht bei Unterliegen keine Gerichtskosten auferlegt werden können.
5.3. Es kommt damit für das bundesgerichtliche Verfahren die gewöhnliche Kostenregelung zum Tragen, d.h. dem Beschwerdeführer sind aufgrund seines Unterliegens die Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Oktober 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger