Sachverhalt:
A.
Die Region Basel des Schweizerischen Verbandes des Personals öffentlicher Dienste (vpod region basel) ist Teil des Schweizerischen Verbandes des Personals öffentlicher Dienste (VPOD; <ref-law>). Mit Schreiben vom 14. November 2017 und 28. Juni 2018 ersuchte der vpod region basel das Arbeitsinspektorat Basel-Stadt um Überprüfung eines vom 5. August 2015 datierten Arbeitsvertrags, der zwischen der A._ AG (ehemals B._ AG) als Arbeitgeberin und einer Arbeitnehmerin abgeschlossen wurde. Gemäss diesem Vertrag wurde die Arbeitnehmerin zum Zweck des Tätigwerdens beim Kunden für die Aufgabe als "Seniorenbetreuerin 24h"-Begleitung in einem Turnus von jeweils 21 Tagen eingestellt. Der Vertrag sah zudem vor, dass die Arbeitnehmerin für die Dauer von jeweils 21 Tagen (inkl. Wochenende) beim zu betreuenden Kunden wohnen und danach von einer anderen Mitarbeiterin für die Dauer von 21 Tagen abgelöst werden sollte (<ref-law>). Der vpod region basel vertrat dabei die Ansicht, dass der Arbeitsvertrag die arbeitsgesetzlichen Höchstarbeits- und Ruhezeitvorschriften nicht einhalte.
Mit Verfügung vom 2. August 2018 stellte das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt des Kantons Basel-Stadt (WSU; nachfolgend: Departement) fest, dass das Arbeitsgesetz und dessen Verordnungen auf Arbeitnehmende der A._ AG, welche zu 24-Stunden-Betreuung in Privathaushalten beschäftigt werden, keine Anwendung finde und die beantragte Überprüfung des Arbeitsvertrags auf die Einhaltung der arbeitsgesetzlichen Höchstarbeits- und Ruhezeitvorschriften deshalb entfalle.
B.
Eine gegen diese Verfügung gerichtete Beschwerde des VPOD an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt überwies das Präsidialdepartement am 14. Januar 2019 dem Verwaltungsgericht zum Entscheid. Mit Urteil vom 10. April 2020 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, die Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 4. Juni 2020 reicht der VPOD Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein. Er beantragt, das Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 10. April 2020 sei aufzuheben, und es sei festzustellen, dass das Arbeitsgesetz (und dessen Verordnungen) auf Arbeitnehmende der A._ AG, welche zur 24-Stunden-Betreuung in Privathaushalten beschäftigt werden, anwendbar sei. Ferner sei das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Basel-Stadt anzuweisen, die Einhaltung der arbeitsgesetzlichen Höchst- und Ruhezeiten bei dieser Firma zu prüfen.
Das Appellationsgericht und das Departement für Wirtschaft, Soziales und Umwelt des Kantons Basel-Stadt schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die A._ AG verzichtet auf Vernehmlassung. Das Eidgenössische Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung lässt sich nicht vernehmen.
Der Beschwerdeführer hat repliziert. Das Departement hat dupliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>) in Anwendung des Bundesgesetzes vom 13. März 1964 über die Arbeit in Industrie, Gewerbe und Handel (Arbeitsgesetz, ArG; SR 822.11). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario BGG; vgl. Urteil 2C_922/2011 vom 29. Mai 2012 E. 1.1).
1.2. Gemäss <ref-law> sind Personen, Organisationen und Behörden, denen ein anderes Bundesgesetz dieses Recht einräumt zur Beschwerde legitimiert. Es handelt sich um die so genannte ideelle Verbandsbeschwerde, da die Beschwerdeberechtigten kein selbständiges persönliches Interesse, sondern öffentliche Interessen verfolgen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.2). Eine solche spezialgesetzliche Grundlage findet sich in <ref-law>. Danach sind zur Beschwerde gegen Verfügungen der kantonalen Behörden und der Bundesbehörden auch die Verbände der beteiligten Arbeitgeber und Arbeitnehmer berechtigt. Dabei kommt es insbesondere nicht darauf an, ob die betroffenen Arbeitnehmer oder einzelne von ihnen Verbandsmitglieder sind oder selbst ein Interesse an der Beschwerdeführung bekunden. Hingegen ist Voraussetzung, dass der beschwerdeführende Verband die Verteidigung beruflicher, wirtschaftlicher, sozialer oder kultureller Interessen seiner Mitglieder bezweckt (vgl. <ref-ruling> E. 1b; Urteil 2C_344/2008 und 2C_345/2008 vom 26. März 2009 E. 3.2 mit zahlreichen Hinweisen).
Beschwerdeführer vor Bundesgericht (wie auch vor dem Appellationsgericht) ist der Schweizerische Verband des Personals öffentlicher Dienste (VPOD). Die unrichtige Bezeichnung im angefochtenen Urteil (vpod region basel) kann von Amtes wegen berichtigt werden, da jede Gefahr einer Verwechslung ausgeschlossen werden kann (vgl. <ref-ruling>, nicht publ. E. 3.1.1; <ref-ruling> E. 3.4.1; <ref-ruling> E. 2.2). Der VPOD ist eine als Verein i.S.v. <ref-law> im Handelsregister eingetragene Gewerkschaft mit Sitz in Zürich. Er umfasst gemäss seinen Statuten das Personal von Verwaltungen, Anstalten und Betrieben der Gemeinden, der Kantone und des Bundes sowie von gemischtwirtschaftlichen und privaten öffentliche Aufgaben erfüllenden Unternehmungen und Institutionen (Art. 2 Abs. 1 der Statuten des Schweizerischen Verbands des Personals öffentlicher Dienste 2016 [nachfolgend: Statuten VPOD]; vgl. auch E. 1.1 des angefochtenen Urteils). Zweck des VPOD ist, das im öffentlichen Dienst tätige Personal im Sinne seines Arbeitsprogramms in beruflicher, wirtschaftlicher, sozialer, politischer und kultureller Hinsicht zu schützen und zu fördern; er erfüllt diese Aufgabe in seinem Verbandsgebiet insbesondere durch Vertretung der Interessen der Mitglieder gegenüber den Arbeitgebern und der Öffentlichkeit (Art. 3 Abs. 1 lit. b Statuten VPOD).
Gemäss den unbestrittenen vorinstanzlichen Feststellungen handelt es sich bei der A._ AG um eine privatrechtliche Aktiengesellschaft mit Sitz in Basel. Sie bezweckt insbesondere die Betreuung von pflegebedürftigen Menschen, namentlich die spitalexterne Haus-, Kranken- und Gesundheitspflege für die Einwohner in der gesamten Schweiz in der Form eines Spitex-Dienstes sowie das Erbringen aller damit zusammenhängender Dienstleistungen. Die Vorinstanz führt unter Hinweis auf die kantonale Rechtsprechung aus, dass hauswirtschaftliche Spitex-Leistungen öffentliche Aufgaben des Kantons darstellten und kommt zum Schluss, dass Arbeitnehmende der A._ AG, die zu 24-Stunden-Betreuung in Privathaushalten beschäftigt werden, als Personal eines im Kanton wirkenden privaten Unternehmens, das öffentliche Aufgaben erfüllt, zu qualifizieren seien (vgl. E. 1.1 des angefochtenen Urteils).
Da vorliegend von keiner Seite eine willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts geltend gemacht wird (vgl. E. 2.1 und 2.2 hiernach), besteht kein Anlass, von der diesbezüglichen vorinstanzlichen Beurteilung abzuweichen.
Damit erfüllt der Beschwerdeführer die Legitimationsvoraussetzungen gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law>. Gestützt auf diese Bestimmungen kann auch gegen Entscheide, mit welchen die Anwendbarkeit des Arbeitsgesetzes verneint wurde, Beschwerde erhoben werden.
1.3. Im Übrigen wurde die Beschwerde frist- und formgerecht eingereicht (Art. 100 Abs. 1 und Art. 42 BGG), sodass darauf einzutreten ist.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5) und verfügt es über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 2).
2.2. Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>) und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2).
3.
Strittig und zu prüfen ist vorliegend die Frage, ob das Arbeitsgesetz auf Arbeitnehmende der A._ AG, die zu 24-Stunden-Betreuung in Privathaushalten beschäftigt werden, anwendbar ist.
3.1. Soweit der Beschwerdeführer zunächst vorbringt, der hier strittige Arbeitsvertrag enthalte in Ziff. 5 eine Rechtswahlklausel zugunsten des Arbeitsgesetzes, ist folgendes festzuhalten:
Ausgangspunkt des vorliegenden Verfahrens bildet die Departementsverfügung vom 2. August 2018, mit welcher festgestellt wurde, dass das ArG auf die vorliegend interessierenden Arbeitsverhältnisse nicht anwendbar sei. Diese Verfügung wurde gestützt auf <ref-law> im Rahmen der kantonalen Vollzugskompetenzen erlassen. Dabei können die kantonalen Behörden lediglich feststellen, ob ein nicht-industrieller Betrieb oder ein Arbeitnehmer unter Art. 2-3 ArG fällt (ROLAND A. MÜLLER/CHRISTIAN MADUZ, ArG, Kommentar, 8. Aufl. 2017, N. 4 zu <ref-law>; GABRIEL KASPER/ISABELLE WILDHABER, in: Blesi/Pietruszak/Wildhaber [Hrsg.], Arbeitsgesetz, Basel 2018, N. 22 zu <ref-law>), nicht aber, ob die Bestimmungen des ArG gestützt auf einen Verweis in einem privatrechtlichen Einzelarbeitsvertrag als ergänzendes Recht zur Anwendung gelangen. Somit bildet die Frage, ob das ArG aufgrund eines Verweises in einem privatrechtlichen Arbeitsvertrag anwendbar sei, nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens. Auf die diesbezüglichen Vorbringen des Beschwerdeführers ist nicht weiter einzugehen.
3.2. Der Beschwerdeführer macht insbesondere geltend, der hier strittige Arbeitsvertrag falle unter das Arbeitsgesetz. Zur Begründung führt er im Wesentlichen aus, die Auslegung von <ref-law>, wonach das Arbeitsgesetz auf private Haushaltungen nicht anwendbar sei, ergebe, dass diese Ausnahmebestimmung nicht auf Dreiparteienverhältnisse, namentlich auf Personalverleih, anzuwenden sei. Er beruft sich hierfür auf ein Parteigutachten (vgl. KURT PÄRLI, Rechtsgutachten "Zur Anwendbarkeit des Arbeitsgesetzes auf Arbeitstätigkeiten in privaten Haushaltungen", 2018, N. 52 und 62 [nachfolgend: Gutachten PÄRLI]).
3.3. Vorliegend ist unbestritten, dass es sich bei dem zur Diskussion stehenden 24-Stunden-Betreuungsmodell um ein Dreiparteienverhältnis zwischen der A._ AG, einer Arbeitnehmerin und dem zu betreuenden Kunden handelt.
3.3.1. Beim Vorliegen von Dreiecksverhältnissen kann die Tätigkeit der jeweiligen Betreuungsorganisation Personalverleih i.S.v. Art. 12 des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 1989 über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih (Arbeitsvermittlungsgesetz, AVG: SR 823.11) sein. Unter Umständen kann es sich um ein anderes Vertragsverhältnis, namentlich um einen Auftrag (<ref-law>), handeln (vgl. GABRIELA NAEMI MEDICI, Migrantinnen als Pflegehilfen in Schweizer Privathaushalten, Diss. Zürich 2015, S. 99; zur Abgrenzung von Personalverleih und Auftrag vgl. auch MANUEL VOGLER, Haushaltshilfen im schweizerischen Arbeitsrecht, Diss. Zürich/St. Gallen 2016, S. 12 ff.).
3.3.2. Als Personalverleih werden Dreiecksverhältnisse zwischen einem Arbeitgeber (Verleiher), einem Einsatzbetrieb (Entleiher) und einem Arbeitnehmer bezeichnet (Urteil 2C_132/2018 vom 2. November 2018 E. 4.3.2; THOMAS GEISER/ROLAND MÜLLER, Arbeitsrecht in der Schweiz, 3. Aufl. 2015, S. 67).
Die Arbeitsvermittlungsverordnung definiert Personalverleih sinngemäss als das Überlassen eines Arbeitnehmers an einen Einsatzbetrieb, wobei der Verleiher bzw. Arbeitgeber dem Einsatzbetrieb wesentliche Weisungsbefugnisse gegenüber dem Arbeitnehmer abtritt (Art. 26 der Verordnung vom 16. Januar 1991 über die Arbeitsvermittlung und den Personalverleih [Arbeitsvermittlungsverordnung, AVV; SR 823.111]; Urteile 2C_132/2018 vom 2. November 2018 E. 4.3.1; 2C_543/2014 vom 26. November 2014 E. 2.1; 4C.360/2004 vom 19. Januar 2005 E. 4.3; vgl. auch CHRISTIAN DRECHSLER, Personalverleih: unscharfe Grenzen, in AJP 2010 S. 314 ff., S. 315). Das Abtreten wesentlicher Weisungsbefugnisse an den Einsatzbetrieb stellt ein zentrales Qualifikationsmerkmal des Personalverleihs sowie ein wichtiges Abgrenzungskriterium von anderen Vertragsverhältnissen, namentlich vom Auftrag, dar (vgl. Urteile 2C_132/2018 vom 2. November 2018 E. 4.3.3; 2C_543/2014 vom 26. November 2014 E. 2.6; FABIAN LOOSER, Der Personalverleih, Diss. Basel 2015, N. 64; MICHAEL KULL, SHK Arbeitsvermittlungsgesetz [AVG], 2. Aufl. 2014, N. 21 zu Art. 12 AVG; MEDICI, a.a.O., S. 99 f.; GEISER/MÜLLER, a.a.O., S. 67; Weisungen und Erläuterungen des Staatssekretariats für Wirtschaft [SECO] zum Arbeitsvermittlungsgesetz, zur Arbeitsvermittlungsverordnung und der Gebührenverordnung zum Arbeitsvermittlungsgesetz, 2007, S. 62 ff. [nachfolgend: SECO-Weisungen AVG]; so auch Gutachten PÄRLI, N. 42).
Dabei muss die Weisungsbefugnis nicht vollständig beim Dritten liegen; vielmehr kann das Weisungsrecht auch zwischen dem rechtlichen Arbeitgeber (Personalverleiher) und dem Einsatzbetrieb aufgespalten werden (Urteile 2C_132/2018 vom 2. November 2018 E. 4.3.2 f.; 2C_543/2014 vom 26. November 2014 E. 2.1; jeweils mit Hinweisen; vgl. zum Ganzen auch MEDICI, a.a.O., S. 100 f.; VOGLER, a.a.O., S. 13).
Als weitere Kriterien für das Vorliegen von Personalverleih nennt die Arbeitsvermittlungsverordnung namentlich den Umstand, dass der Arbeitnehmer in persönlicher, organisatorischer, sachlicher und zeitlicher Hinsicht in die Arbeitsorganisation des Einsatzbetriebes eingebunden wird, dass er seine Arbeit mit Werkzeugen, Material oder Geräten des Einsatzbetriebes ausführt und dass der Einsatzbetrieb die Gefahr für die Schlechterfüllung des Vertrages trägt (Art. 26 Abs. 1 AVV; vgl. auch SECO-Weisungen AVG, a.a.O., S. 66 f.).
3.3.3. Ob eine Dienstleistung als Personalverleih zu qualifizieren ist oder ob es sich dabei um andere Arten von Dienstleistungen handelt, die einem Dritten erbracht werden, ergibt sich aus einer Abgrenzung im Einzelfall. Massgeblich ist hierbei der Inhalt des Vertrags und die Umschreibung der konkreten Tätigkeit im Einsatzbetrieb ("le contenu du contrat, la description du poste et la situation du travail concrète dans l'entreprise locataire"; Urteile 2C_132/2018 vom 2. November 2018 E. 4.1 mit weiteren Hinweisen; 2C_543/2014 vom 26. November 2014 E. 2.4). Das Bundesgericht hat bereits entschieden, dass auch Betreuungs- und Hausdienste unter bestimmten Voraussetzungen als Personalverleiher vom Arbeitsvermittlungsgesetz erfasst werden können (vgl. Urteile 2C_132/2018 vom 2. November 2018 E. 6.3; 2C_543/2014 vom 26. November 2014 E. 2.5; 2C_356/2012 vom 11. Februar 2013 E. 4.4).
3.4. Das Arbeitsgesetz ist, unter Vorbehalt der Art. 2 bis 4, anwendbar auf alle öffentlichen und privaten Betriebe (<ref-law>).
3.4.1. Ein Betrieb im Sinne des Arbeitsgesetzes liegt vor, wenn ein Arbeitgeber dauernd oder vorübergehend einen oder mehrere Arbeitnehmer beschäftigt, unabhängig davon, ob bestimmte Einrichtungen oder Anlagen vorhanden sind. Wenn die Voraussetzungen für die Anwendbarkeit des Gesetzes nur für einzelne Teile eines Betriebes gegeben sind, ist das Gesetz nur auf diese anwendbar (<ref-law>).
Der Begriff des Betriebes ist im Gesetz bewusst sehr weit gefasst. Als Betrieb gilt jede Arbeitsorganisation, in der mindestens ein Arbeitnehmer dauernd oder vorübergehend beschäftigt wird. Daraus darf nicht geschlossen werden, dass der Betrieb im Sinne des ArG mit dem Arbeitgeber identisch ist. Es ist sehr wohl möglich, dass das Arbeitsverhältnis nicht mit dem Betriebsinhaber, sondern mit einem Dritten besteht. Der Betrieb ist dann jeweils derjenige Unternehmensträger, der die Direktionsgewalt ausübt und die Arbeit konkret organisiert (Urteil 2C_703/2015 vom 20. Juni 2016 E. 2.1 mit Hinweisen; ROLAND BACHMANN, in: Blesi/Pietruszak/Wildhaber [Hrsg.], Arbeitsgesetz, Basel 2018, N. 9 zu <ref-law>; THOMAS GEISER, in: Geiser/von Kaenel/Wyler [Hrsg.], Arbeitsgesetz, Kommentar, Bern 2005, N. 7 zu <ref-law> [nachfolgend: GEISER, Arbeitsgesetz]). So kann insbesondere bei Leiharbeit das Arbeitsverhältnis zum Verleiher bestehen, während in der Regel der Einsatzbetrieb als Betrieb i.S.v. <ref-law> zu betrachten ist (BACHMANN, a.a.O., N. 10 zu <ref-law>).
3.4.2. Gemäss der Ausnahmebestimmung von <ref-law> ist das Arbeitsgesetz auf private Haushaltungen nicht anwendbar. Eine Gegenausnahme gilt nur für die Bestimmungen des Arbeitsgesetzes und seiner Verordnungen über das Mindestalter (<ref-law>). Anstelle des öffentlich-rechtlichen Arbeitnehmerschutzes tritt hier gemäss <ref-law> ein Schutz durch Normalarbeitsverträge der Kantone (vgl. Urteil 4A_96/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 4.1.3, in: SJ 2018 I 325; für den Kanton Basel-Stadt vgl. den Normalarbeitsvertrag für Arbeitnehmende im Haushalt einschliesslich der 24-Stunden-Betreuung [NAV Haushalt BS; SG/BS 215.700], in der im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils geltenden Fassung vom 20. November 1990). Zudem haben die dem Normalarbeitsvertrag des Bundes vom 20. Oktober 2010 für Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer in der Hauswirtschaft unterstellten Arbeitnehmer Anspruch auf einen Mindestlohn (vgl. Art. 5 der Verordnung vom 20. Oktober 2010 über den Normalarbeitsvertrag für Arbeitnehmerinnen und Arbeitnehmer in der Hauswirtschaft [NAV Hauswirtschaft; SR 221.215.329.4]; vgl. MÜLLER/MADUZ, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>).
3.4.3. Liegt Personalverleih vor, geht die Lehre mehrheitlich davon aus, dass der Einsatzbetrieb gemäss Art. 12 Abs. 1 AVG und Art. 26 Abs. 1 AVV mit dem Betriebsbegriff i.S.v. <ref-law> übereinstimme (vgl. REMO WAGNER, Die rund-um-die-Uhr-Betreuung in der Pflege, in: AJP 2016 S. 768 ff., 774; LOOSER, a.a.O., N. 260; MEDICI, a.a.O., S. 101 f.). Ob in solchen Konstellationen bzw. Mehrparteienverhältnissen die Ausnahme gemäss <ref-law> greift, wird nachstehend durch Auslegung zu ermitteln sein (vgl. E. 4 hiernach).
Besteht zwischen der Betreuungsorganisation und der zu betreuenden Person hingegen ein Vertragsverhältnis (Auftrag bzw. Werkvertrag), untersteht das Unternehmen, welches mit seinen Angestellten einem privaten Haushalt Betreuungs- und Pflegedienstleistungen erbringt, grundsätzlich dem Arbeitsgesetz und stellt es den Betrieb nach <ref-law> dar. Die Ausnahme gemäss <ref-law> gelangt in solchen Fällen nicht zur Anwendung (vgl. LOOSER, a.a.O., N. 262; WAGNER, a.a.O., S. 774; THOMAS GEISER, Rechtsprechungspanorama Arbeitsrecht, in: AJP 2020 S. 1446 ff., S. 1456 [nachfolgend: GEISER, AJP 2020]; so auch Gutachten PÄRLI, a.a.O., N. 57 und THOMAS GEISER, Kurzstellungnahme zur Anwendbarkeit des ArG bei 24-Stunden-Betreuung, N. 2 f. [ nachfolgend: Kurzgutachten GEISER]).
Wie bereits ausgeführt, liegt hier kein Zweiparteien-, sondern ein Dreiparteienverhältnis vor (vgl. E. 3.3 hiervor). Ob die Vorinstanz dieses Verhältnis zu Recht als Personalverleih qualifiziert habe (vgl. E. 5 des angefochtenen Urteils) oder ob es sich um ein anders zu qualifizierendes Dreiparteienverhältnis handelt, kann angesichts der nachfolgenden Erwägungen offenbleiben.
4.
Denn es ist vorliegend bloss zu prüfen, ob die Ausnahme gemäss <ref-law> nicht nur bei Zweiparteien -, sondern auch bei Dreiparteienverhältnissen wie dem vorliegenden im Bereich von Betreuungs- und Hausdiensten zur Anwendung gelangen kann. Dies ist durch Auslegung zu ermitteln.
4.1. Das Gesetz muss in erster Linie aus sich selbst heraus, das heisst nach dem Wortlaut, Sinn und Zweck und den ihm zugrunde liegenden Wertungen auf der Basis einer teleologischen Verständnismethode ausgelegt werden (<ref-ruling> E. 2.7; <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 3a). Auszugehen ist vom Wortlaut, doch kann dieser nicht allein massgebend sein. Besonders wenn der Text unklar ist oder verschiedene Deutungen zulässt, muss nach seiner wahren Tragweite gesucht werden, unter Berücksichtigung der weiteren Auslegungselemente, wie namentlich der Entstehungsgeschichte der Norm und ihrem Zweck (<ref-ruling> E. 2.5.1; <ref-ruling> E. 5). Wichtig ist auch der Sinn, der einer Norm im Kontext zukommt, und das Verhältnis, in welchem sie zu anderen Gesetzesvorschriften steht (systematische Auslegung; vgl. <ref-ruling> E. 5; <ref-ruling> E. 6.6).
4.2. Ob <ref-law>, wie der Beschwerdeführer behauptet, "eng" auszulegen sei, ist in der Lehre umstritten (für eine restriktive Auslegung vgl. THOMAS GEISER, in: Portmann/von Kaenel [Hrsg.], Fachhandbuch Arbeitsrecht, Kapitel 16 Arbeitsgesetz, 2018, N. 16.36; differenzierter ders., Arbeitsgesetz, a.a.O., N. 6 zu <ref-law> und MÜLLER/MADUZ, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>). Die Rechtsprechung legt Ausnahmebestimmungen indessen in der Regel restriktiv aus (vgl. <ref-ruling> E. 5.6; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2b mit Hinweis; <ref-ruling> E. 4). So hat das Bundesgericht namentlich im Zusammenhang mit dem Verbot der Nacht- bzw. Sonntagsarbeit erwogen, dass Ausnahmebestimmungen des Arbeitsgesetzes und dessen Verordnungen eng auszulegen sind (vgl. <ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 5.5; <ref-ruling> E. 5a; Urteil 2C_358/2020 und 2C_359/2020 vom 24. März 2021 E. 4.3). Bei der Auslegung ist ferner dem Willen des Gesetzgebers, der in <ref-law> zum Ausdruck kommt, Rechnung zu tragen, den Betriebsbegriff möglichst weit zu fassen (vgl. THOMAS GEISER/JEAN-JACQUES LÜTHI, in: Thomas Geiser/Adrian von Kaenel/Rémy Wyler [Hrsg.], Commentaire de la loi sur le travail, 2005, N. 6 zu <ref-law>; vgl. auch E. 3.4.1 hiervor). Der Grund liegt im Bestreben, den Schutz des Gesetzes möglichst allen Arbeitnehmern zukommen zu lassen (HANS PETER TSCHUDI, Schweizerisches Arbeitsschutzrecht, 1985, S. 25; BACHMANN, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>). Dies spricht dafür, in Zweifelsfällen von der Anwendbarkeit des Arbeitsgesetzes auszugehen (so auch BACHMANN, a.a.O., N. 1 zu <ref-law>).
4.3. Nach dem Wortlaut von <ref-law> ist das Arbeitsgesetz auf private Haushaltungen nicht anwendbar. Das Gesetz definiert den Begriff der privaten Haushaltung nicht. Nach Rechtsprechung und Lehre liegt eine private Haushaltung im Sinne dieser Bestimmung vor, wenn jemand für seine privaten Bedürfnisse und nicht zu geschäftlichen Zwecken Personen in seiner Wohnung beschäftigt (vgl. Urteil 4A_96/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 4.1.3, in: SJ 2019 I S. 325; GEISER/LÜTHI, a.a.O., N. 39 zu <ref-law>), wobei irrelevant ist, ob der Arbeitnehmer zusammen mit dem Arbeitgeber in einem gemeinsamen Haushalt wohnt oder nicht (BACHMANN, a.a.O., N. 71 zu <ref-law>). Dies sagt indessen nichts darüber aus, ob die hier interessierende Ausnahmebestimmung nur bei Zweiparteien- oder auch bei Dreiparteienverhältnissen greift.
Als Beispiele für Arbeitnehmer im Hausdienst, die unter die Ausnahme gemäss <ref-law> fallen können, nennen die Lehre sowie das SECO unter anderem Haushaltshilfen, Chauffeure, Reinigungspersonal, Köche, Gärtner oder Privatlehrer (vgl. GEISER, Arbeitsgesetz, a.a.O., N. 39 zu <ref-law>; BACHMANN, a.a.O., N. 69 zu <ref-law>; MÜLLER/MADUZ, a.a.O., N. 19 zu <ref-law>; GEISER/LÜTHI, a.a.O., N. 39 zu <ref-law>; Wegleitung des Staatssekretariats für Wirtschaft [SECO], zum Arbeitsgesetz und zu den Verordnungen 1 und 2, Dezember 2020, S. 002-3). Daraus kann geschlossen werden, dass grundsätzlich auch Pflege- und Betreuungsdienstleistungen in privaten Haushaltungen von dieser Ausnahmebestimmung erfasst werden können. Die aufgeführten Beispiele deuten sodann eher auf ein Verständnis hin, wonach es sich typischerweise um Zweiparteienverhältnisse handelt (vgl. WAGNER, a.a.O., S. 773), bei denen ein Vertragsverhältnis zwischen dem privaten Haushalt und dem Arbeitnehmer besteht.
4.4. In historisch-teleologischer Hinsicht ist festzuhalten, dass die hier interessierende Ausnahme privater Haushalte vom betrieblichen Geltungsbereich des Arbeitsgesetzes in den Materialien zum Arbeitsgesetz insbesondere mit dem fehlenden Bedürfnis, solche Arbeitnehmer dem Arbeitsgesetz zu unterstellen und den Schwierigkeiten, derartige Vorschriften durchzusetzen, begründet wurde (vgl. Botschaft des Bundesrates vom 30. September 1960 zum Entwurf eines Bundesgesetzes über die Arbeit in Industrie, Gewerbe und Handel [Arbeitsgesetz], BBl 1960 II 909, S. 945). Insbesondere wollte der Gesetzgeber vermeiden, dass staatliche Inspektoren in privaten Haushaltungen Kontrollen durchführen (vgl. GEISER, AJP 2020, a.a.O., S. 1456).
4.4.1. Der Schutz der Privatsphäre und des Privatlebens des Inhabers des privaten Haushaltes, auf welchen auch die Vorinstanz hinweist (vgl. E. 3.5 des angefochtenen Urteils), ist insbesondere bei Zweiparteienverhältnissen von Bedeutung. In solchen Fällen liegt es nahe, dass die Kontrolle der Einhaltung der Arbeitsgesetzgebung in der Regel den Zutritt zum privaten Haushalt voraussetzt. Wird der jeweilige Arbeitnehmer zudem direkt vom Inhaber des privaten Haushalts angestellt, ist ferner davon auszugehen, dass zwischen den Parteien ein besonderes Vertrauensverhältnis besteht, welches die Ausnahme vom Geltungsbereich des Arbeitsgesetzes ebenfalls rechtfertigen kann.
4.4.2. Wie der Beschwerdeführer zutreffend ausführt, ist die Kontrolle der Einhaltung der Vorschriften des Arbeitsgesetzes und dessen Verordnungen über die Arbeits- und Ruhezeiten bei der Betreuungsorganisation möglich. So kann die Arbeitszeit namentlich digital, mit Hilfe webbasierter Zeiterfassungssysteme, erfasst werden. Der Zugang zum Privathaushalt ist hierfür nicht zwingend nötig. Zu denken ist ferner an Rapportierungspflichten der Betreuungskräfte gegenüber dem Verleiher. Damit erscheint naheliegend, dass in Fällen von Mehrparteienverhältnissen - anders als bei Zweiparteienverhältnissen - die Möglichkeit besteht, die Einhaltung des Arbeitsgesetzes beim Verleiher bzw. bei der Betreuungsorganisation zu kontrollieren. Bei Dreiparteienverhältnissen fallen der Schutz der Privatsphäre des Haushaltsinhabers sowie die Kontroll- und Durchsetzungsschwierigkeiten somit von vornherein weniger stark ins Gewicht.
Daher kann der Argumentation der Vorinstanz, wonach die Einhaltung der Arbeitszeiten nur am tatsächlichen Arbeitsort bzw. nur beim privaten Haushalt überprüft werden könne, sodass entsprechende Kontrollen einen übermässigen Eingriff in die Privatsphäre der zu betreuenden Personen darstellen würden, in dieser Absolutheit nicht gefolgt werden (vgl. E. 3.6 und 4.8 des angefochtenen Urteils).
4.4.3. Würde es sich sodann um Personalverleih handeln, so würde zwischen dem Arbeitnehmer und dem privaten Haushalt keine vertragliche Beziehung vorliegen (vgl. Urteil 2C_132/2018 vom 2. November 2018 E. 4.3.2; vgl. auch E. 3.3.2 hiervor). Die jeweilige Arbeitskraft wäre nicht direkt vom privaten Haushalt, sondern vom Verleiher angestellt, welchem zumindest ein geteiltes Weisungsrecht zukäme. So könnte es je nach Geschäftsmodell vorkommen, dass der Verleiher an der Organisation der Arbeit mitwirkt, indem er dem Arbeitnehmer Fachanweisungen erteilt, dessen Einsatz (mit) definiert oder ihm Schulungen anbietet. Auch könnte eine Rapportierungspflicht des Arbeitnehmers gegenüber dem Verleiher vorgesehen sein (vgl. VOGLER, a.a.O., S. 13; MICHAEL KULL, Die Abgrenzung des einfachen Auftrags zum Personalverleih am Beispiel der hauswirtschaftlichen Tätigkeit, in: AJP 2013 S. 1485 ff., 1488). Zudem könnte der Arbeitnehmer - wie vorliegend (vgl. vorne Sachverhalt A) - schnell durch einen anderen ersetzt werden. So ist davon auszugehen, dass in solchen Dreiparteien-Konstellationen in der Regel kein derart ausgeprägtes Vertrauensverhältnis zwischen dem Arbeitnehmer und dem privaten Haushalt besteht, wie dies bei reinen Zweiparteienverhältnissen der Fall ist.
4.4.4. Im Ergebnis spricht die historisch-teleologische Auslegung eher gegen die Anwendung der Ausnahme gemäss <ref-law> auf Dreiecksverhältnisse.
4.5. Dieses Ergebnis wird schliesslich dadurch erhärtet, dass <ref-law>, wie bereits ausgeführt, nur dann zur Anwendung gelangt, wenn jemand für seine privaten Bedürfnisse Personen in seinem Haushalt beschäftigt (vgl. E. 4.3 hiervor).
Im Fall von Dreiparteienverhältnissen dient die Betreuungsarbeit zwar zunächst den privaten Bedürfnissen der zu betreuenden Person. Wie der Beschwerdeführer unter Hinweis auf das Gutachten PÄRLI zu Recht ausführt, bewirkt das Arbeitsergebnis aber auch die Erfüllung des Dienstleistungsvertrags zwischen der Betreuungsorganisation und der zu betreuenden Person und kommt - wirtschaftlich betrachtet - der Betreuungsorganisation zugute.
Die im Rahmen des Arbeitsvertrags zwischen der Betreuungsorganisation und dem Arbeitnehmer erbrachte Arbeitsleistung dient somit (auch) der Erfüllung der Leistungspflicht der Betreuungsorganisation gegenüber der zu betreuenden Person aus dem jeweiligen Vertrag, sodass in diesem Fall nicht nur private Bedürfnisse des Haushaltsinhabers befriedigt werden. Dies spricht ebenfalls gegen die Anwendung von <ref-law> in Fällen von Dreiparteienverhältnissen.
4.6. Im Ergebnis ist Folgendes festzuhalten: Aus der Auslegung von <ref-law> ergibt sich, dass diese Bestimmung auf Zweiparteienverhältnisse zugeschnitten ist, d.h. auf Konstellationen, in welchen die Arbeitskraft direkt vom privaten Haushalt angestellt wird und ihre Anweisungen ausschliesslich von diesem bezieht (so auch Gutachten PÄRLI, a.a.O., N. 52 und 62 und Kurzgutachten GEISER, a.a.O., N. 3). In solchen Fällen rechtfertigt sowohl die besondere Vertrauensbeziehung zwischen dem Arbeitnehmer und dem Inhaber des privaten Haushalts als auch der Schutz der Privatsphäre des Letzteren eine Ausnahme vom Geltungsbereich des Arbeitsgesetzes.
Demgegenüber ist bei Dreiparteien-Konstellationen, so namentlich in Fällen von Personalverleih, möglich, die Einhaltung der Arbeits- und Ruhezeiten bei der Betreuungsorganisation zu kontrollieren. Der Wille des historischen Gesetzgebers, der sich - wie es die in der Lehre aufgeführten Beispiele (Köche, Chauffeure, Gärtner; vgl. E. 4.3 hiervor) zeigen - vor allem auf die Intimität der Verhältnisse stützt, erstreckt sich nicht auf Mehrparteienverhältnisse wie den vorliegenden. Zudem dient die Arbeitsleistung der Betreuungskraft in Fällen von Mehrparteienverhältnissen nicht nur der Erfüllung privater Bedürfnisse der zu betreuenden Person, sondern auch dem kommerziellen Zweck der Betreuungsorganisation.
Diese Argumente sprechen - unter Berücksichtigung des Zwecks des Arbeitsgesetzes, einen umfassenden Schutz möglichst vieler Arbeitnehmenden zu gewährleisten (vgl. E. 4.2 hiervor) - für eine restriktive Handhabung von <ref-law> und damit gegen die Anwendung dieser Ausnahmebestimmung auf Fälle von Mehrparteienverhältnissen.
Dass diese Ausnahmebestimmung ohnehin nicht zur Anwendung gelangt, wenn zwischen der Betreuungsorganisation und dem privaten Haushalt ein Vertragsverhältnis im Sinne eines Auftrags oder eines Werkvertrags vorliegt, wurde im Übrigen bereits erwogen (vgl. E. 3.4.3 hiervor).
Vor diesem Hintergrund ist zusammenfassend festzuhalten, dass <ref-law> nur in Fällen greift, in welchen die jeweilige Arbeitskraft direkt vom privaten Haushalt angestellt wird, nicht aber beim Vorliegen von Dreiparteienverhältnissen.
5.
5.1. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde gutzuheissen und das angefochtene Urteil aufzuheben. Es wird festgestellt, dass <ref-law> auf Dreiparteienverhältnisse nicht anwendbar ist. Bei diesem Ergebnis erübrigt es sich, auf die weiteren Vorbringen des Beschwerdeführers einzugehen.
5.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat dem anwaltlich vertretenen Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht vom 10. April 2020 wird aufgehoben. Es wird festgestellt, dass <ref-law> auf Dreiparteienverhältnisse nicht anwendbar ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'500.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht und dem Eidgenössischen Departement für Wirtschaft, Bildung und Forschung, mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov