Fatti:
A.
A.a. La B._ Ltd aveva invano inviato alla D._ SA una fattura, datata 9 luglio 2002, di euro 317'093.96 per la vendita di legname africano. Essa ha quindi incoato una causa innanzi al Pretore del distretto di Lugano, sfociata nella sentenza del 17 luglio 2008 con cui la D._ SA è stata condannata a pagare all'attrice B._ Ltd fr. 510'521.30, oltre interessi, e rigettata definitivamente l'opposizione interposta al relativo precetto esecutivo. Tale giudizio non è stato impugnato.
Sia l'amministratore unico della D._ SA, A._, sia il suo ufficio di revisione, C._ AG, hanno rassegnato le loro dimissioni nel corso del predetto processo. Nella successiva procedura di fallimento della D._ SA la B._ Ltd si è fatta cedere, il 15 ottobre 2010, dalla seconda assemblea dei creditori il diritto di agire in responsabilità contro gli ex organi societari. Il 22 novembre 2010 la B._ Ltd ha ricevuto un attestato di carenza beni di fr. 705'219.15 per il credito oggetto della menzionata sentenza pretorile a cui sono stati aggiunti interessi, tasse, spese varie e ripetibili.
A.b. La B._ Ltd ha, con petizione 24 ottobre 2011, chiesto al Pretore di Lugano di condannare A._ e la C._ AG, nella loro qualità di ex organi societari, a pagarle con vincolo di solidarietà fr. 705'219.15, oltre interessi. Il Pretore ha parzialmente accolto la petizione con sentenza 20 maggio 2014 e ha condannato i convenuti a versare all'attrice in solido fr. 273'441.90, oltre interessi al 5 % dal 15 ottobre 2010. Con riferimento ai presupposti che giustificano la corresponsione di un risarcimento del danno derivante dalla procrastinazione del fallimento, egli ha in particolare rilevato che l'attrice aveva focalizzato la pretesa sul suo credito originario, senza quindi presentare il "corretto mezzo di prova ossia la perizia relativa a questi due valori, ovvero il valore di liquidazione al momento in cui l'avviso al giudice avrebbe dovuto aver luogo, e il valore al momento della liquidazione del fallimento ", ma ha reputato di poter procedere a una stima del danno societario in applicazione dell'<ref-law> " sulla base degli elementi agli atti ", giungendo alla conclusione che questo ammonta a fr. 273'441.90 (fr. 78'744.05 di erosione del capitale proprio e fr. 194'697.85 di aumento - causato da interessi, spese e ripetibili - del debito derivante dal menzionato acquisto di legname).
B.
Con sentenza 9 settembre 2016 la II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino ha, in parziale accoglimento dell'appello di A._, riformato la sentenza pretorile limitatamente agli interessi, che ha posto unicamente a carico dell'ufficio di revisione. La Corte di appello ha dapprima ritenuto che il convenuto non poteva più rimettere in discussione la sentenza del 17 luglio 2008. Richiamati gli art. 717, 754 e 757 CO, ha indicato che l'amministratore doveva essere consapevole della fondatezza della pretesa derivante dall'acquisto di legname africano e depositare i bilanci, invece di continuare l'attività della società fino alla metà del 2007, generando costi e debiti. Ha poi ritenuto che si era verificato un danno di procrastinazione del fallimento, il cui ammontare era stato correttamente calcolato dal Pretore. Ha infine liberato l'appellante dal pagamento degli interessi perché, in sede di replica, l'attrice aveva dichiarato di rinunciarvi.
C.
Con ricorso in materia civile del 14 ottobre 2016 A._ postula, previa concessione dell'effetto sospensivo all'impugnativa, la riforma della sentenza di appello nel senso che la petizione sia respinta. In estrema sintesi il prolisso gravame può essere riassunto come segue. Dopo aver spiegato perché non ha effettuato alcun accantonamento per la citata pretesa, il ricorrente afferma che l'attrice si era prevalsa di un danno diretto prescrittosi al più tardi nel corso della presente causa e che la società non ha subito alcun danno dal mancato deposito dei bilanci. Insiste pure sull'assenza di bilanci a valori di liquidazione, asseverando che l'opponente non ha, in violazione dell'<ref-law>, fornito alcuna prova del danno societario e che il giudice non poteva supplire a tale omissione applicando l'<ref-law>.
Con decreto del 23 novembre 2016 la Presidente della Corte adita ha conferito effetto sospensivo al ricorso.
La B._ Ltd propone, con risposta 13 dicembre 2016, la reiezione del gravame.

Diritto:
1.
Il ricorso è presentato dalla parte - parzialmente - soccombente nella sede cantonale (<ref-law>), è tempestivo (<ref-law>) ed è volto contro una sentenza finale (<ref-law>) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (<ref-law>) in una causa civile (<ref-law>) con un valore di lite superiore alla soglia prevista dall'<ref-law>. Il rimedio esperito si rivela pertanto in linea di principio ammissibile.
2.
Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti accertati dall'autorità inferiore (<ref-law>). A questi appartengono sia le constatazioni concernenti le circostanze relative all'oggetto del litigio sia quelle riguardanti lo svolgimento della procedura innanzi all'autorità inferiore e in prima istanza, vale a dire gli accertamenti che attengono ai fatti procedurali (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con riferimenti). Il Tribunale federale può unicamente rettificare o completare l'accertamento dei fatti dell'autorità inferiore, se esso è manifestamente inesatto o risulta da una violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestamente inesatto" significa in questo ambito "arbitrario" (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.5). L'eliminazione del vizio deve inoltre poter essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-law>). La parte che critica la fattispecie accertata nella sentenza impugnata deve sollevare la censura e motivarla in modo preciso, come esige l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3, con rinvii). Essa deve spiegare in maniera chiara e circostanziata in che modo queste condizioni sarebbero soddisfatte (<ref-ruling> consid. 1.3.1 con rinvii).
3.
3.1. Alla luce delle argomentazioni ricorsuali e per situare la presente vertenza appare innanzi tutto opportuno ricordare che per danno diretto di un creditore della società la giurisprudenza intende il pregiudizio causato al creditore personalmente dall'agire di un organo di una società senza che quest'ultima abbia subito un danno (art. 41 segg. CO; <ref-ruling> consid. 5.2.1 pag. 516; <ref-ruling> consid. 3.1.1). Un creditore societario può però anche subire una perdita, perché il comportamento di un organo ha impoverito la società in modo tale che egli non riesce a recuperare totalmente o in parte un suo credito. Il suo danno è quindi solo indiretto, visto che sgorga dall'insolvibilità della società. Fintanto che la società rimane solvibile, il danno causato dall'organo resta unicamente nella sfera della società e non tocca i creditori sociali, che possono essere integralmente soddisfatti. Solo se le manchevolezze degli organi causano prima l'insolvenza della società e poi il suo fallimento, il creditore societario subisce una perdita che costituisce, quale riflesso del danno causato alla società, un danno indiretto (<ref-ruling> consid. 5.2.2 pag. 517; <ref-ruling> consid. 3.1.2 pag. 568). Dopo il fallimento della società, la pretesa risarcitoria di cui quest'ultima avrebbe potuto prevalersi nei confronti dell'organo responsabile spetta all'insieme dei creditori e va fatta valere in primo luogo dall'amministrazione del fallimento (<ref-law>). Se questa rinuncia all'azione sociale di responsabilità, un creditore societario può chiedere la riparazione del danno subito dalla società. Questi esercita quindi l'azione della comunione dei creditori, ma l'eventuale provento del processo servirà innanzi tutto a coprire le sue pretese collocate nella graduatoria. Nell'ambito di un fallimento, tale meccanismo è disciplinato dall'<ref-law>. Il creditore societario che ha ottenuto la cessione dei diritti della massa in applicazione della predetta norma agisce sulla base di un mandato procedurale, che gli permette di agire contro l'organo responsabile per chiedere la riparazione del danno subito dalla società (DTF <ref-ruling> consid. 3.2.2).
3.2. Dai vincolanti accertamenti di fatto della sentenza impugnata risulta che l'opponente aveva ottenuto la cessione delle pretese di risarcimento della società ex <ref-law> dopo che la seconda assemblea dei creditori aveva rinunciato ad agire contro gli organi societari. Il ricorrente medesimo riconosce che l'opponente si era prevalsa di una violazione dell'<ref-law>. Egli afferma quindi a torto, basandosi sull'importo, corrispondente a quello indicato sull'attestato di carenza beni domandato nella petizione, che in realtà l'opponente avrebbe inoltrato un'azione fondata sull'<ref-law> per il risarcimento del danno diretto. Quale creditrice di una fattura non pagata, l'opponente ha subito un danno indiretto derivante dall'insolvibilità della società di cui ha chiesto, con limitato successo, il risarcimento tramite un'azione sociale. Qui di seguito verrà esaminato se il parziale accoglimento dell'azione è conforme al diritto federale.
4.
Giusta l'<ref-law> gli amministratori e tutti coloro che si occupano della gestione o della liquidazione sono responsabili, sia verso la società sia verso i singoli azionisti e creditori della stessa, del danno loro cagionato mediante la violazione, intenzionale o dovuta a negligenza, dei doveri loro incombenti. La responsabilità degli amministratori verso la società fondata sulla citata norma presuppone che siano soddisfatte le quattro seguenti condizioni generali: la violazione di un dovere, una colpa, un danno e un rapporto di causalità adeguata tra la violazione e il danno. È compito dell'attore provare la realizzazione di queste condizioni cumulative (DTF <ref-ruling> consid. 4.2).
Secondo la giurisprudenza il danno consiste nell'aumento dello scoperto fra il momento in cui il fallimento avrebbe dovuto essere pronunciato se l'organo avesse adempiuto i suoi doveri e il momento (comportante una perdita maggiore) in cui il fallimento è stato effettivamente dichiarato (danno da procrastinazione, <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.3.3 pag. 348). Nel calcolo del danno entrano unicamente in linea di conto i valori di liquidazione dei beni della società, poiché il fallimento della società ne comporta lo scioglimento (<ref-law>) e la sua liquidazione in conformità alle norme del diritto fallimentare (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 3.2.1). Il valore di liquidazione è determinante non solo per fissare lo scoperto alla data in cui il fallimento è stato pronunciato, ma anche per definire il deficit alla data in cui il fallimento avrebbe dovuto essere pronunciato (<ref-ruling> consid. 3.2). Esso permette di far emergere eventuali riserve latenti. Spetta all'attore sollecitare il tribunale affinché questo faccia allestire una perizia in cui vengono stabiliti i valori di liquidazione nei due predetti momenti determinanti (sentenze 4A_97/2017 del 4 ottobre 2017 consid. 4.1.2; 4A_270/2016 del 7 ottobre 2016 consid. 2.2.2), poiché è solo in questo modo che è possibile stabilire se il danno totale (subito dalla società) è almeno equivalente alle conclusioni prese dall'attore. A tal fine è irrilevante che l'incartamento della causa contenga tutti i documenti (segnatamente quelli contabili) disponibili. Non compete infatti al giudice ricostituire lo stato del patrimonio della società, atteso che in linea di principio solo un perito dispone delle necessarie conoscenze tecniche (sentenza 4A_97/2017 loc. cit.). Se l'attore non riesce a provare il danno il giudice deve in applicazione dell'<ref-law> (e dell'<ref-law>) statuire in suo sfavore (<ref-ruling> consid. 4.5 pag. 701; <ref-ruling> consid. 2b).
L'<ref-law> prevede che se l'ammontare esatto del danno non può essere provato, il giudice lo determina secondo il suo prudente criterio avuto riguardo all'ordinario andamento delle cose e alle misure prese dal danneggiato. Questa norma instaura una prova facilitata in favore del leso; essa non lo libera tuttavia dall'onere di fornire al giudice, nella misura in cui ciò è possibile o da lui esigibile, tutti gli elementi che costituiscono degli indizi per l'esistenza del pregiudizio e che permettono o facilitano la sua stima; essa non accorda al danneggiato la facoltà di semplicemente formulare delle imprecisate pretese di risarcimento (<ref-ruling> consid. 5.1, con rinvii). Di conseguenza se egli non adempie interamente il suo dovere di fornire gli elementi utili alla stima, una delle condizioni da cui dipende l'applicazione dell'<ref-law> non è soddisfatta, e ciò anche nell'eventualità in cui l'esistenza di un danno sia certa (sentenza 4A_431/2015 del 19 aprile 2016consid. 5.1.2)
4.1. La Corte cantonale ha ritenuto infondata la tesi del convenuto secondo cui in assenza di bilanci di liquidazione il danno non poteva essere quantificato e quindi nemmeno preteso. Essa ha indicato che per supplire all'assenza di tali bilanci il Pretore aveva la facoltà di procedere a una stima del danno sulla base degli elementi agli atti in applicazione dell'<ref-law>, atteso segnatamente che " nella determinazione del danno egli gode di un ampio margine di apprezzamento ".
4.2. Il ricorrente lamenta una violazione degli <ref-law> e 42 cpv. 2 CO, perché l'opponente, omettendo di chiedere l'allestimento di bilanci a valori di liquidazione, non ha dimostrato il danno e afferma che il giudice non poteva d'ufficio supplire a tale mancanza, basandosi su bilanci a valori d'esercizio.
4.3. In concreto alla luce della summenzionata giurisprudenza la predetta critica ricorsuale si rivela fondata. Il Tribunale di appello ha infatti violato il diritto federale, disattendendo la tesi del ricorrente secondo cui in mancanza di valori di liquidazione il danno non poteva essere accertato e confermando l'operato del giudice di prima istanza che, constatata tale mancanza, ha proceduto a una stima del danno fondandosi sui documenti agli atti e cioè sui bilanci a valori d'esercizio e sull'attestato di carenza beni rilasciato dopo che la pretesa riconosciuta nella sentenza pretorile del 17 luglio 2008 per la vendita di legname non era stata soddisfatta nel fallimento. Giova poi rilevare che nemmeno la <ref-ruling> citata nelle pronunzie di primo e secondo grado e nella risposta al ricorso è di soccorso all'opponente: tale sentenza non esonera la parte attrice dall'allegare il danno e dal fornire, nella misura in cui ciò è possibile ed esigibile, gli elementi che dimostrano la sua esistenza e che ne permettono o facilitano la stima né consente al giudice di rimediare alle mancanze procedurali delle parti. Poiché il primo presupposto (l'esistenza e l'ammontare del danno) per pronunciare un risarcimento è stato riconosciuto in violazione del diritto federale, non occorre esaminare le critiche dirette contro le altre condizioni previste dall'<ref-law>.
5.
Da quanto precede discende che il ricorso si rivela fondato e la sentenza impugnata va annullata e riformata nel senso che la petizione è respinta. La causa va rinviata all'autorità inferiore per una nuova fissazione delle spese e delle ripetibili di prima e seconda istanza. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>), mentre non si giustifica assegnare ripetibili al ricorrente, che non essendosi più avvalso del patrocinio di un avvocato, non è incorso in spese per la procedura innanzi al Tribunale federale.

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto, la sentenza impugnata annullata e riformata nel senso che la petizione è respinta.
2.
La causa è rinviata alla II Camera civile del Tribunale di appello del Cantone Ticino per nuova fissazione delle spese processuali e delle ripetibili di prima e seconda istanza.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 6'000.-- sono poste a carico dell'opponente.
4.
Comunicazione alle parti, alla C._ AG in Liquidation e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.