Sachverhalt:
A.
A.a. Die sich seit dem 21. Januar 2016 in Liquidation befindende C._ AG (Verkäuferin) teilte im Jahr 2011 ihr Grundstück sss in U._ in 7 Stockwerkeigentumsanteile (ttt, uuu-zzz) auf. Diese Parzellen waren mit folgenden Gesamtpfandrechten belastet: einem Namenschuldbrief im ersten Rang über Fr. 1'200'000.--, einem Inhaberschuldbrief im zweiten Rang über Fr. 338'000.--, einem Inhaberschuldbrief im dritten Rang über Fr. 90'000.-- und einem Inhaberschuldbrief im vierten Rang über Fr. 572'000.--. Gläubigerin der grundpfändlich sichergestellten Forderungen war die Bank D._.
E._ (Käufer), Aktionär und einziger Verwaltungsrat der Verkäuferin, beabsichtigte den Erwerb der Parzellen vvv-xxx (drei Wohnungen) und schloss zu diesem Zweck drei Vorverträge mit der Verkäuferin ab. Öffentlich beurkundet wurden diese Vorverträge von A._ (Beklagter und Beschwerdeführer), Advokat und Notar im Kanton Basel-Stadt. Finanziert werden sollte der Kauf der drei Parzellen von der Bank B._ (Klägerin und Beschwerdegegnerin).
Die drei vom Beklagten beurkundeten Vorverträge sahen jeweils vor, dass die Parzellen pfandrechtsfrei übergeben werden sollten. Weiter sollte der Kaufpreis an den Beklagten gezahlt und von diesem nach Abzug des verkäuferseitigen Kostenanteils unverzüglich an die Verkäuferin weitergeleitet werden. In Bezug auf die Parzellen vvv und www - nicht jedoch auf die Parzelle xxx - wurde zudem jeweils ein Hauptvertrag abgeschlossen, der von einem basellandschaftlichen Notar öffentlich beurkundet wurde.
A.b.
A.b.a. Der Kaufpreis für die Parzelle vvv wurde auf Fr. 650'000.-- festgelegt. Gemäss dem Hauptvertrag sollte der Kaufpreis durch eine bereits geleistete Anzahlung von Fr. 125'000.--, die Übernahme des Schuldbriefes im zweiten Rang von Fr. 338'000.-- und eine Restzahlung von Fr. 162'000.-- getilgt werden. Festgehalten wurde, dass die Restzahlung an den Beklagten zu erfolgen habe. Ferner wurde der Beklagte beauftragt, für die Entlassung der Parzelle aus der Pfandhaft der darauf lastenden Schuldbriefe im ersten, dritten und vierten Rang zu sorgen.
A.b.b. Für die Parzelle www wurde ein Kaufpreis von Fr. 500'000.-- vereinbart, der sich aus einer bereits geleisteten Anzahlung von Fr. 120'000 und einer Restzahlung von Fr. 380'000.-- zusammensetzte. Wie in Bezug auf die Parzelle vvv wurde im Hauptvertrag festgehalten, die Restzahlung habe an den Beklagten zu erfolgen. Weiter habe der Beklagte für die Entlassung der Parzelle aus der Pfandhaft der darauf lastenden Schuldbriefe zu sorgen.
A.b.c. Der Kaufpreis der Parzelle xxx wurde auf Fr. 650'000.-- festgelegt. Mit Schreiben vom 4. Juli 2011 informierte die Klägerin den Beklagten, gestützt auf den Vorvertrag habe sie ihm den Restkaufpreis von Fr. 500'000.-- zu überweisen. Diese Überweisung erfolge unter den Voraussetzungen der Beurkundung des Hauptvertrages und der Aushändigung des Inhaberschuldbriefes im vierten Rang über Fr. 572'000.--.
A.c. Insgesamt überwies die Beschwerdegegnerin Fr. 1'360'000.-- an den Beschwerdeführer (Fr. 338'000.-- und Fr. 142'000.-- in Bezug auf die Parzelle vvv, Fr. 380'000.-- für die Parzelle www und Fr. 500'000.-- bezüglich der Parzelle xxx). An die Bank D._ überwies der Beklagte insgesamt Fr. 291'000.-- (Fr. 136'000.-- in Zusammenhang mit der Ablösung des Inhaberschuldbriefs im zweiten Rang und Fr. 155'000.-- für die Ablösung der Schuldbriefe im dritten und vierten Rang).
Infolge der Überweisungen des Beklagten liess sich die Bank D._ als Gläubigerin der Inhaberschuldbriefe im zweiten, dritten und vierten Rang löschen. Sie ist aber weiterhin Inhaberin des Namenschuldbriefes im ersten Rang über Fr. 1'200'000.--, der insbesondere auch die Parzellen vvv, www und xxx belastet. Die diesem Schuldbrief zugrunde liegende Forderung der Bank D._ beträgt Fr. 608'727.30 zuzüglich Zins auf Fr. 600'000 seit dem 1. Januar 2014. Eigentümerin der drei Parzellen ist weiterhin die Verkäuferin.
B.
B.a. Mit Klage vom 13. August 2014 beantragte die Klägerin beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt, es sei der Beklagte zu verpflichten, innert richterlich anzusetzender Frist die Entlassung der Stockwerkeigentumsanteile Nr. vvv, www, xxx aus der Pfandhaft des darauf lastenden Namenschuldbriefs Nr. ttt im ersten Rang über Fr. 1'200'000.-- (Gesamtpfand) zu erwirken. Sollte er dieser Anforderung nicht nachkommen, sei der Beklagte zur Zahlung von Fr. 608'727.30 zuzüglich Zins auf Fr. 600'000.-- seit dem 1. Januar 2014 an die Bank D._ zwecks Entlassung der drei Parzellen aus der Pfandhaft des darauf lastenden Namenschuldbriefs im ersten Rang über Fr. 1'200'000.-- zu verurteilen. Der Beklagte sei zudem aufzufordern, über die Verwendung des ihm von der Klägerin in Zusammenhang mit dem Vorvertrag über den Verkauf der Parzelle xxx überwiesenen Betrages von Fr. 500'000.--, abzüglich der an die Bank D._ weitergeleiteten Fr. 155'000.--, Rechenschaft abzulegen.
Mit Entscheid vom 10. Juni 2016 hiess das Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt die Klage gut.
B.b. Dagegen erhob der Beklagte am 30. September 2016 Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Er beantragte, der erstinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und die Klage abzuweisen.
Mit Entscheid vom 9. November 2017 wies das Appellationsgericht die Berufung ab.
C.
Der Beklagte beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 9. November 2018 sei aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zu Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz beantragen die Abweisung der Beschwerde.
Die Parteien haben repliziert und dupliziert.
D.
Mit Verfügung vom 27. Februar 2018 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt, soweit sie sich gegen die Bestätigung der Dispositiv-Ziffern 1 und 2 des Zivilgerichts des Kantons Basel-Stadt im angefochtenen Entscheid richtet.
Mit Verfügung vom 3. April 2018 wurde ein Gesuch der Beschwerdegegnerin um Anordnung vorsorglicher Massnahmen abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1).
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das in einer Zivilsache (<ref-law>) als Rechtsmittelinstanz entschieden (<ref-law>) und die Anträge des Beschwerdeführers abgewiesen hat (<ref-law>). Der Streitwert in der vorliegenden Streitigkeit (<ref-law>) ist erreicht und die Beschwerdefrist (<ref-law>) ist eingehalten.
Auf die Beschwerde ist - vorbehältlich zulässiger Anträge und einer hinreichenden Begründung (Art. 42 i.V.m. <ref-law>) - einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Mit Blick auf die Begründungspflicht der beschwerdeführenden Partei (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind; es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht prüft eine solche Rüge nur insofern, als sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, so muss sich die Beschwerde mit jeder einzelnen auseinandersetzen, sonst wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Verweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4 S. 44).
1.3. Unerlässlich ist im Hinblick auf Art. 42 Abs. 2 und <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus. Für die Beschwerdeantwort gelten dieselben Begründungsanforderungen (<ref-ruling> E. 2 S. 116).
1.4. Der Beschwerdeführer verfehlt die gesetzlichen Anforderungen an eine hinreichende Rüge, wenn er der Vorinstanz eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots vorwirft, ohne jedoch rechtsgenüglich darzulegen, inwiefern eine Verletzung dieses Grundrechtes vorliege.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2 S. 117; 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.2.
2.2.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, die Annahme der Vorinstanz, die Bezahlung des Kaufpreises habe über ihn zu erfolgen, sei offensichtlich falsch. Zuständig dafür sei der mit der öffentlichen Beurkundung der Hauptverträge befasste basellandschaftliche Notar.
Unbestritten ist die Feststellung der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe die erhaltenen Fr. 1'089'000.-- nicht zurückbezahlt, sondern (teilweise) für die Ablösung der Schuldbriefe weiterverwendet. Ebenfalls unbestritten ist, dass die Beschwerdegegnerin mit Schreiben vom 4. Juli 2011 den Beschwerdeführer darüber informierte, sie habe ihm gestützt auf den Vorvertrag den Restkaufpreis von Fr. 500'000.-- überwiesen. Vor diesem Hintergrund erscheint die Annahme der Vorinstanz nicht als willkürlich, der Beschwerdeführer sei in den Vorverträgen als Zahlstelle eingesetzt worden. Wenn - wie der Beschwerdeführer vorbringt - der Kaufpreis nicht an ihn, sondern an den für die öffentliche Beurkundung der Hauptverträge zuständigen basellandschaftlichen Notar zu überweisen gewesen wäre, liesse sich nicht erklären, weshalb der Beschwerdeführer das erhaltene Geld nicht umgehend an die Beschwerdegegerin retournierte bzw. sie über dieses Versehen nicht in Kenntnis setzte. Indem er die erhaltenen Gelder unbestrittenerweise teilweise an die Bank D._ weiterleitete, gleichzeitig aber vorbringt, die Bezahlung des Kaufpreises habe nicht über ihn zu erfolgen, verhält sich der Beschwerdeführer widersprüchlich. Der Vorwurf der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung ist unbegründet.
Zudem kann dem Beschwerdeführer nicht gefolgt werden, wenn er behauptet, die Vorinstanz leite aus seiner vermeintlichen Einsetzung als Zahlstelle in den Vorverträgen ab, er müsse sich das Wissen aus diesen Vorverträgen anrechnen lassen. Er verkennt, dass die Anrechnung des Wissens aus den Vorverträgen sich nach den Erwägungen der Vorinstanz vielmehr aus dem Umstand ergibt, dass der Beschwerdeführer diese notariell beurkundete.
2.2.2. Der Beschwerdeführer macht zudem geltend, die Vorinstanz habe zu Unrecht angenommen, die Fremdfinanzierung der fraglichen Käufe sei aus seiner Sicht erkennbar gewesen. Dies sei von der Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren nie behauptet worden.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers kann aus der Aussage der Beschwerdegegnerin in ihrer Duplik ("Der Umstand, dass die Kaufpreise an einen Notar statt direkt an die Verkäuferin bezahlt wurden, konnte im damaligen Kontext nur die Bedeutung haben, dass die finanzierende Bank sich vor einer Zweckentfremdung absichern wollte. Diese Absicht konnte dem Beklagten nicht verborgen bleiben ") sehr wohl abgeleitet werden, dass die Transaktionen fremdfinanziert waren und dass dieser Umstand für den Beschwerdeführer erkennbar war. Mit der Behauptung, aus dieser Aussage könne einzig die Absicherungsabsicht der Beschwerdegegnerin als Bank abgeleitet werden, nicht jedoch der Umstand, dass die Käufe fremdfinanziert seien, vermag der Beschwerdeführer keine Willkür aufzuzeigen. Es liegt auf der Hand, dass die Beschwerdegegnerin ein derartiges Absicherungsinteresse nur insofern hatte, als sie die Transaktionen selber (mit-) finanzierte. Somit erübrigt sich auch die Prüfung einer im gleichen Zusammenhang gerügten Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör bzw. des Rechts auf Beweis.
2.2.3. Der Beschwerdeführer bringt zudem vor, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unrichtig festgestellt, indem sie festhielt, die Beschwerdegegnerin habe erst nach dem Abschluss des Hauptvertrags bezüglich der Parzelle xxx Gelder an den Beschwerdeführer überwiesen. Diese Rüge hat unbeachtet zu bleiben, zeigt doch der Beschwerdeführer nicht auf, inwiefern die Behebung dieses angeblichen Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein soll (<ref-law>).
2.3. Nach dem Ausgeführten ist vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat; der Beschwerdeführer kann nicht gehört werden, soweit er seine Vorbringen auf davon abweichende Sachverhaltselemente stützt.
3.
Die Vorinstanz führt aus, im Dreiecksverhältnis zwischen dem Käufer, der Beschwerdegegnerin und dem Beschwerdeführer bestehe eine Anweisung im Sinne von <ref-law>, wobei der Käufer Anweisender, die Beschwerdegegnerin Angewiesene und der Beschwerdeführer Anweisungsempfänger seien. Diese Anweisung schliesse jedoch ein Auftragsverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin nicht aus. Die Vorinstanz erblickt - angesichts des Kenntnisstandes des Beschwerdeführers als Notar infolge seiner Beurkundung der Vorverträge - in der Überweisung von Geldern an ihn und den entsprechenden Vermerken eine Offerte. Indem der Beschwerdeführer das erhaltene Geld nicht zurückgab, sondern es teilweise zur Ablösung der Schuldbriefe verwendete, nahm er diese Offerte an. Auch dies sei wiederum vor dem Hintergrund zu würdigen, dass er infolge der Beurkundung der drei Vorverträge wusste, dass die Stockwerkeigentumsanteile pfandrechtsfrei zu übergeben waren.
Die Vorinstanz gelangt zum Schluss, zwischen den Parteien sei in Bezug auf jeden der drei Stockwerkeigentumsanteile ein Auftrag zustande gekommen. Inhalt dieser Aufträge sei nicht nur die Ablösung der Schuldbriefe im zweiten, dritten und vierten Rang, sondern auch die Ablösung des Namensschuldbriefes im ersten Rang über Fr. 1'200'000.--.
4.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe Bundesrecht verletzt, indem sie das Bestehen eines Rechtsverhältnisses zwischen den Parteien bejahte. Nicht bestritten ist vorliegend die Nichtanwendung des kantonalen öffentlichen Rechts durch die Vorinstanz (vgl. zur Unterscheidung zwischen amtlichen und privatrechtlichen Verrichtungen des Notars und zu den entsprechenden Haftungsgrundlagen <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer bestreitet jedoch das Bestehen eines Auftragsverhältnisses (<ref-law>) zwischen den Parteien und rügt eine Verletzung von Art. 1 und Art. 466 OR.
4.1. Ob ein natürlicher Konsens vorliegt, ist eine Tatfrage, die das Bundesgericht nicht frei überprüft. Ob ein normativer Konsens vorliegt, ist zwar eine Rechtsfrage; bei ihrer Prüfung ist das Bundesgericht jedoch an die vorinstanzlichen Feststellungen zu den tatsächlichen Umständen des Vertragsschlusses gebunden (<ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 2.3.2, je mit Hinweisen).
4.2. Der Beschwerdeführer stützt seine Ausführungen zum (angeblichen) Nichtzustandekommen von Auftragsverhältnissen mit der Beschwerdegegnerin auf Tatsachen, die von den verbindlichen vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen abweichen. Somit haben seine Vorbringen, wonach die Bezahlung des Kaufpreises nicht über ihn zu erfolgen habe, kein Honorar für seine Tätigkeit als Zahl- und Treuhandstelle vereinbart worden sei, er das Zahl- und Treuhandstellenmandat ausdrücklich abgelehnt habe, und er vor den Überweisungen der Beschwerdegegnerin an ihn jeweils entsprechende Mitteilungen des Käufers erhalten habe, unbeachtet zu bleiben. Dasselbe gilt hinsichtlich seiner Behauptung, der Käufer habe aus der Unerfahrenheit der Beschwerdegegnerin einen Vorteil ziehen wollen, indem er ihr gegenüber die Rolle des Beschwerdeführers als diejenige einer Treuhandstelle dargestellt habe. Auch insofern er vorbringt, es wäre deutlich einfacher gewesen, den Kaufpreis direkt an die Verkäuferbank zu überweisen, kann er nicht gehört werden, stellte doch die Vorinstanz fest, er sei als Zahl- und Treuhandstelle eingesetzt worden.
Diese Sachverhaltselemente haben unbeachtet zu bleiben (<ref-law>, vgl. E. 2.1 hiervor). Wird ausschliesslich auf den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt abgestellt, ist aus den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht erkennbar, inwiefern das Bundesrecht durch den angefochtenen Entscheid verletzt sein soll. Folglich vermag er die vorinstanzliche Erwägung, wonach zwischen den Verfahrensparteien Auftragsverhältnisse zustande gekommen seien, nicht als bundesrechtswidrig auszuweisen.
5.
Für den Fall, dass entgegen seinen Ausführungen das Bestehen eines Auftrages bejaht werden sollte, macht der Beschwerdeführer eventualiter geltend, dieser beinhalte keine Pflicht des Beschwerdeführers, den Namensschuldbrief im ersten Rang über Fr. 1'200'000.-- abzulösen. Weiter könne die Verpflichtung zur Erwirkung der Entlassung der Stockwerkeigentumsanteile nicht Gegenstand eines Auftrages sein.
5.1.
5.1.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, den direkten Instruktionen der Beschwerdegegnerin an ihn sei über die Ablösung des Schuldbriefes im ersten Rang nichts zu entnehmen. Da sie nicht Vertragspartei der Vorverträge sei, könne die Beschwerdegegnerin keinen über ihre Instruktionen an den Beschwerdeführer hinausgehenden Willen zum Ausdruck gebracht haben.
5.1.2. Dass die Beschwerdegegnerin als finanzierende Bank nicht Vertragspartei der Vorverträge war, ist unbestritten. Entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers ist dieser Umstand jedoch ohne Belang. Als entscheidend erachtete die Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer aufgrund seiner Kenntnis des Inhaltes der Vorverträge wusste, dass die Kaufgegenstände pfandrechtsfrei zu übergeben waren. Darauf hat die Identität der Vertragsparteien der Vorverträge keinen Einfluss.
5.2.
5.2.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Beschwerdegegnerin habe die Folgen ihrer mangelhaften Instruktionen selbst zu tragen. Es könne nicht von ihm erwartet werden, dass er diese Instruktionen selber ergänze, vor allem angesichts der grossen Erfahrung der Beschwerdegegnerin im Hypothekargeschäft. Weiter hätten die von der Beschwerdegegnerin überwiesenen Mittel nicht ausgereicht, um sämtliche Schuldbriefe abzulösen.
5.2.2. Der Beauftrage ist dazu verpflichtet, die Interessen des Auftraggebers sorgfältig und treu zu wahren. Wurde dem Beauftragten eine unzweckmässige bzw. sinnlose Weisung erteilt, so hat er den Auftraggeber darüber aufzuklären und dessen Stellungnahme zu erwirken. Sobald er die Unzweckmässigkeit bzw. Sinnlosigkeit der Weisung erkennt, so muss er, um seinen Sorgfaltspflichten zu genügen, die erforderlichen Abklärungen ohne Verzug vornehmen und bei Bedarf den Auftraggeber sofort orientieren. Als Fachmann hat er von sich aus über die Zweckmässigkeit des Auftrages und der Weisungen Auskunft zu geben (<ref-ruling> E. 3a; <ref-ruling> E. 2a; je mit Hinweisen).
Es trifft zu, dass die von der Beschwerdegegnerin erhaltenen Instruktionen die Ablösung des Namensschuldbriefes im ersten Rang nicht erfassten. Es liegt jedoch auf der Hand, dass die Ablösung der Schuldbriefe im zweiten, dritten und vierten Rang von begrenztem Nutzen ist, solange ein Schuldbrief im ersten Rang über Fr. 1'200'000.-- zugunsten der Bank D._ die drei Grundstücke weiterhin belastet. Ob die Instruktionen der Beschwerdegegnerin als "sinnlos" oder bloss als "unzweckmässig" aufzufassen sind, ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers dabei ohne Bedeutung, zumal der Beschwerdeführer aufgrund seiner Sorgfalts- und Treuepflicht jedenfalls verpflichtet gewesen wäre, durchentsprechende Abklärungen bzw. Rückfragen die nötige Klarheit zu schaffen. Dies gilt umso mehr, als er infolge der Beurkundung der Vorverträge wusste, dass die drei Stockwerkeigentumsanteile pfandrechtsfrei zu übergeben waren.
Nichts anderes gilt hinsichtlich der Höhe der zur Ausführung des Auftrages erhaltenen Gelder. Nach der verbindlichen Feststellung der Vorinstanz erhielt der Beschwerdeführer insgesamt Fr. 1'089'000.-- von der Beschwerdegegnerin überwiesen. Da allein der Kapitalausstand des Schuldbriefes im ersten Rang zum damaligen Zeitpunkt Fr. 1'200'000.-- betrug, reichte diese Summe zu seiner Ablösung nicht aus. Daraus kann jedoch, entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers, nicht abgeleitet werden, die Aufträge erfassten nur die Ablösung der drei übrigen Schuldbriefe, ergibt sich doch ihr Inhalt vielmehr aus den vom Beschwerdeführer beurkundeten Vorverträgen. Wie bereits dargelegt, sehen diese die pfandrechtsfreie Übertragung der Stockwerkeigentumsanteile vor. Da die an ihn überwiesenen Gelder nicht ausreichten, wäre der Beschwerdeführer aufgrund seiner auftragsrechtlichen Sorgfalts- und Treuepflicht verpflichtet gewesen, die Beschwerdegegnerin auf den Fehlbetrag hinzuweisen.
5.3.
5.3.1. Der Beschwerdeführer rügt, Ziffer 1 des Dispositivs des von der Vorinstanz geschützten erstinstanzlichen Entscheides verpflichte ihn in unzulässiger Weise zu einem Erfolg. Als Beauftragter schulde er jedoch keinen Erfolg, sondern nur eine sorgfältige Tätigkeitsausübung. Zudem könne er nicht dazu verpflichtet werden, eigene Mittel für die Erfüllung des erteilten Auftrages einzusetzen.
5.3.2. Nach Dispositivziffer 1 des erstinstanzlichen Entscheides wurde der Beschwerdeführer dazu verpflichtet, innert einer Frist von zwei Monaten die Entlassung der fraglichen drei Stockwerkeigentumsanteile aus der Pfandhaft des darauf lastenden Namenschuldbriefs im ersten Rang über Fr. 1'200'000.-- zu erwirken. Falls er dieser Aufforderung nicht innert Frist nachkommt, hat der Beschwerdeführer gemäss der zweiten Dispositivziffer Fr. 608'727.30 zzgl. Zins an die Bank D._ zwecks Entlassung der Parzellen aus der Pfandhaft zu zahlen.
Dem Beschwerdeführer ist darin beizupflichten, dass der Beauftragte keinen Erfolg, sondern ein sorgfältiges Tätigwerden im Interesse des Auftraggebers schuldet. Insofern erstaunt es, wenn der Beschwerdeführer in Ziffer 1 des Entscheiddispositivs zum Erwirken der Pfandablösung verpflichtet wird. Bei genauer Betrachtung wird jedoch keine Erfolgshaftung des Beschwerdeführers begründet, ist doch die erste Dispositivziffer in Zusammenhang mit der zweiten zu lesen. Falls der Beschwerdeführer der Aufforderung nach Ziffer 1 nicht nachkommt, hat er nicht etwa für den ausgebliebenen Erfolg zu haften, sondern wird lediglich dazu verpflichtet, einen Teil der von der Beschwerdegegnerin erhaltenen Gelder zwecks Entlassung der Parzelle aus dem Schuldbrief im ersten Rang zu verwenden. Dabei handelt es sich nicht etwa, wie der Beschwerdeführer anzunehmen scheint, um Schadenersatz, sondern um eine vom Gericht im Hinblick auf die Vollstreckung festgesetzte Geldleistung im Sinne von <ref-law>.
5.3.3. Insofern der Beschwerdeführer geltend macht, er könne nicht zum Einsatz von persönlichen Mitteln zur Erfüllung des Auftrages verpflichtet werden, kann er nicht gehört werden. Nach der - von ihm nicht bestrittenen - Feststellung der Vorinstanz überwies der Beschwerdeführer von den erhaltenen Fr. 1'089'000.-- nur Fr. 291'000.-- an die Bank D._ weiter. Folglich geht es nicht darum, eigene Mittel zur Ablösung des Schuldbriefes einzusetzen; die von der Beschwerdegegnerin bevorschussten Mittel reichen zum angeordneten Zweck vollkommen aus.
6.
Der Beschwerdeführer bringt vor, er sei nicht zur Rechenschaft verpflichtet. Da er dies einzig damit begründet, zwischen ihm und der Beschwerdegegnerin bestehe kein Vertragsverhältnis, dies sich aber als unzutreffend herausstellte, erübrigt es sich angesichts des Ausgeführten, auf seine entsprechenden Vorbringen einzutreten.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung zugesprochen (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer beantragt, die Kosten des Zwischenverfahrens auf Erlass von vorsorglichen Massnahmen seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers werden diese Kosten grundsätzlich nach dem Ausgang des Hauptverfahrens verteilt. Inwiefern die Beschwerdegegnerin mit ihrem Gesuch unnötige Kosten (<ref-law>) verursachte, legt er nicht dar.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 9'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 10'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Curchod