Sachverhalt:
A.
A._ ist Eigentümerin des Grundstücks Nr. 316, Grundbuch Altishofen, welches in der Landwirtschaftszone liegt. Am 3. September 2014 erteilte der Gemeinderat Altishofen A._ unter Bedingungen und Auflagen die Baubewilligung für verschiedene auf dem genannten Grundstück geplante Bauvorhaben, nämlich den Umbau der Pferdestallungen des Gebäudes Nr. 92c (Pferdestall West) mit Anbau von Pferdeboxen und dazugehörigen Ausläufen, den Umbau der Pferdestallungen beim Gebäude Nr. 92 (Pferdestall Ost) mit Anbau von Ausläufen sowie die Überdachung der Mistmulde. Gleichzeitig eröffnete der Gemeinderat den für das Bauen ausserhalb der Bauzone erforderlichen zustimmenden Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft des Kantons Luzern vom 18. August 2014.
A._ reichte am 1. Dezember 2014 ein das Bauvorhaben beim Gebäude Nr. 92 (Pferdestall Ost) betreffendes Planänderungsgesuch ein, worin unter anderem vorgesehen war, das Gebäude bis zur Bodenplatte zurückzubauen und durch einen Holzelementbau neu zu erstellen. Nachdem ihr die Dienststelle Raum und Wirtschaft mitgeteilt hatte, dass für das so geänderte Bauvorhaben keine Bewilligung in Aussicht gestellt werden könne, reichte A._ am 26. Januar 2015 noch einmal neue Planunterlagen ein, welche noch die Umnutzung der Jauchegrube im Untergeschoss des bestehenden Pferdestalls Ost sowie verschiedene bauliche Massnahmen am Pferdestall Ost vorsahen. Der Gemeinderat bewilligte die mit den am 26. Januar 2015 eingereichten Planunterlagen beantragte Planänderung am 22. April 2015 und eröffnete gleichzeitig den entsprechenden zustimmenden Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft vom 18. Februar 2015.
B.
Mit Verfügung vom 13. August 2015 stellte der Gemeinderat fest, dass die Bauarbeiten am Gebäude Nr. 92 (Pferdestall Ost) nicht nach den bewilligten Unterlagen ausgeführt wurden. Er forderte A._ auf, weitere Bauarbeiten an diesem Gebäude zu unterlassen und für die tatsächlich bereits ausgeführten bzw. beabsichtigten Arbeiten ein neues Baugesuch einzureichen. A._ reichte am 17. September 2015 ein nachträgliches Planänderungsgesuch ein, welches wieder den Abbruch und Wiederaufbau des Daches sowie der Mauern des Gebäudes Nr. 92 (Pferdestall Ost) vorsah. Mit Entscheid vom 29. Juni 2016 bewilligte der Gemeinderat das Planänderungsgesuch vom 17. September 2015 und stellte fest, die Bauarbeiten dürften nach Rechtskraft dieses Entscheids wieder aufgenommen werden.
Mit Entscheid vom 26. September 2016 kam die Dienststelle Raum und Wirtschaft zum Schluss, das vom Gemeinderat am 29. Juni 2016 bewilligte Bauvorhaben sei nicht zonenkonform. Gleichzeitig verweigerte sie die Erteilung einer Ausnahmebewilligung nach Art. 24 ff. RPG. Die Dienststelle stellte ihren Entscheid dem Gemeinderat zu, damit dieser ihn der Baugesuchstellerin eröffne. Mit Entscheid vom 22. März 2017 stellte der Gemeinderat fest, sein Entscheid vom 29. Juni 2016 betreffend Bewilligung der Planänderung sei innert der vorgesehenen Rechtsmittelfrist nicht angefochten worden und somit rechtswirksam.
C.
Am 3. April 2017 erhob das Bundesamt für Raumentwicklung (ARE) Verwaltungsgerichtsbeschwerde ans Kantonsgericht mit dem Antrag, der Feststellungsentscheid des Gemeinderats vom 22. März 2017 sei aufzuheben, soweit er sich nicht mangels Zuständigkeit als nichtig erweise. Mit Urteil vom 25. August 2017 hiess das Kantonsgericht die Beschwerde des ARE gut. Es stellte fest, dass die Entscheide des Gemeinderats vom 29. Juni 2016 sowie vom 22. März 2017 nichtig seien. Es wies die Sache an den Gemeinderat zurück, damit dieser den Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft vom 26. September 2016 der Baugesuchstellerin eröffne, das Baubewilligungsverfahren damit abschliesse und die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands prüfe. Die Kosten für das Verfahren vor Verwaltungsgericht in der Höhe von Fr. 3'000.-- auferlegte es je zur Hälfte (je Fr. 1'500.--) A._ sowie der Gemeinde Altishofen.
D.
Gegen das Urteil des Kantonsgerichts vom 25. August 2017 haben einerseits der Gemeinderat Altishofen am 5. Oktober 2017 (Verfahren 1C_530/2017) sowie A._ am 9. Oktober 2017 (Verfahren 1C_540/2017) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Der Gemeinderat beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und seine Entscheide vom 29. Juni 2016 sowie 22. März 2017 seien zu bestätigen. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben, soweit der Gemeinde Altishofen für das vorinstanzliche Verfahren Kosten auferlegt worden seien. Die Beschwerdeführerin im Verfahren 1C_540/2017 beantragt, das angefochtene Urteil sei aufzuheben. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet und beantragt die Abweisung der Beschwerden. Das ARE als Beschwerdegegner beantragt ebenfalls, die Beschwerden seien abzuweisen. Sinngemäss beantragt sodann auch die Dienststelle Raum und Wirtschaft die Abweisung der Beschwerden. Mit Eingaben vom 19. Januar 2018 bzw. vom 22. Januar 2018 halten der Gemeinderat im Verfahren 1C_530/2017 sowie die Beschwerdeführerin im Verfahren 1C_540/2017 je an ihrer Beschwerde fest.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerden in den Verfahren 1C_530/2017 und 1C_540/2017 richten sich beide gegen das Urteil des Kantonsgerichts vom 25. August 2017. Es rechtfertigt sich, die beiden Verfahren zu vereinigen.
2.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vgl. Art. 82 lit. a sowie Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG). Mit dem angefochtenen Urteil wurde die Sache von der Vorinstanz an den Gemeinderat zurückgewiesen, damit dieser das Baubewilligungsverfahren abschliesse. Obwohl der Gemeinde im Baubewilligungsverfahren kein Entscheidungsspielraum mehr verbleibt, handelt es sich beim vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid nicht um einen das Baubewilligungsverfahren abschliessenden Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern um einen selbstständig eröffneten Vor- und Zwischenentscheid, zumal der Gemeinderat damit angewiesen wird, den Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft vom 26. September 2016 den Verfahrensbeteiligten zu eröffnen, was bisher nicht geschehen ist.
3.
Zwischenentscheide sind - von den hier nicht gegebenen Ausnahmen gemäss <ref-law> abgesehen - beim Bundesgericht nur unter den Voraussetzungen von <ref-law> anfechtbar, d.h. wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b). Es obliegt der beschwerdeführenden Partei, detailliert darzutun, inwiefern die Voraussetzungen von <ref-law> erfüllt sind, soweit diese nicht offensichtlich vorliegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81; je mit Hinweisen). Ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid gemäss <ref-law> nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, bleibt der Zwischenentscheid im Rahmen einer Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, sofern er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>).
4.
Die Beschwerdeführer legen nicht dar, inwiefern ihnen mit dem angefochtenen Urteil ein konkreter Nachteil im Sinne von <ref-law> drohen sollte, der auch durch einen für sie günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte. Die private Beschwerdeführerin wird Gelegenheit haben, den ihr mutmasslich nicht genehmen Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft vom 26. September 2016 bei der zuständigen Rechtsmittelinstanz anzufechten, nachdem ihr dieser eröffnet worden ist (vgl. Art. 33 Abs. 2 RPG). Auch die Gemeinde Altishofen ist berechtigt, den Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft vom 26. September 2016 bei der zuständigen Rechtsmittelinstanz anzufechten, nachdem sie ihn den Verfahrensbeteiligten eröffnet hat (vgl. <ref-law> i.V.m. <ref-law> und Art. 34 Abs. 2 RPG). Zusammen mit einem allfälligen nicht in ihrem Sinne ausfallenden kantonal letztinstanzlichen Endentscheid könnten die Beschwerdeführer das Urteil der Vorinstanz vom 25. August 2017 gemäss <ref-law> beim Bundesgericht anfechten, sofern es sich auf dessen Inhalt auswirkt.
5.
Die Beschwerdeführerin im Verfahren 1C_540/2017 macht geltend, sie würde über eine rechtswirksame Baubewilligung verfügen, falls das Bundesgericht ihre Beschwerde gutheisse. Damit würde ein weiteres Baubewilligungsverfahren vermieden. Unter diesen Umständen seien die Voraussetzungen für eine Anfechtung des Urteils der Vorinstanz vom 25. August 2017 gemäss <ref-law> erfüllt.
Auch wenn das Bundesgericht die Beschwerden der Beschwerdeführer gutheissen und die Entscheide des Gemeinderats vom 29. Juni 2016 und vom 22. März 2017 bestätigen würde, wäre noch zu klären, welche Bedeutung dem den Verfahrensbeteiligten bisher nicht eröffneten Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft vom 26. September 2016 zukäme. Namentlich erschiene es diesfalls nicht von vornherein ausgeschlossen, im genannten Entscheid der Dienststelle Raum und Wirtschaft eine den Verfahrensbeteiligten noch zu eröffnende Wiedererwägung der nach Ansicht der Beschwerdeführer zuvor bereits erteilten Baubewilligung zu erblicken. Damit erscheint zumindest fraglich, ob eine Gutheissung der Beschwerden sofort einen das Baubewilligungsverfahren abschliessenden Endentscheid herbeiführen würde. Aber selbst wenn man davon ausginge, mit einer Gutheissung der Beschwerden durch das Bundesgericht würde die private Beschwerdeführerin - ungeachtet des Entscheids der Dienststelle Raum und Wirtschaft vom 26. September 2016 - sofort über eine rechtskräftige Baubewilligung verfügen, würde damit nicht im Sinne von <ref-law> ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren vermieden, zumal die Dienststelle Raum und Wirtschaft in der Sache bereits entschieden hat und nicht ersichtlich ist, inwiefern in einem allfälligen Beschwerdeverfahren neben dem Beizug der bereits vorhandenen Akten ein besonders aufwändiges Beweisverfahren nötig würde.
6.
Nach dem Ausgeführten ist auf die Beschwerden nicht einzutreten. Die Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 2'000.-- sind zur Hälfte der Beschwerdeführerin im Verfahren 1C_540/2017 zu auferlegen (vgl. <ref-law>). Von der Gemeinde Altishofen sind keine Kosten zu erheben (vgl. <ref-law>). Parteientschädigungen sind keine auszurichten.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 1C_530/2017 und 1C_540/2017 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Der Beschwerdeführerin im Verfahren 1C_540/2017 werden Gerichtskosten in der Höhe von Fr. 1'000.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern, dem Bundesamt für Raumentwicklung (ARE), dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement, Dienststelle Raum und Wirtschaft, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern, dem Gemeinderat Altishofen und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Mattle