Sachverhalt:
A.
Die 1960 geborene, bis September 2008 in einem Pensum von 50 % als Reinigungsangestellte tätig gewesene, A._ meldete sich im Januar 2009 unter Verweis auf Depressionen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Aargau (fortan: IV-Stelle) traf erwerbliche und medizinische Abklärungen. Insbesondere veranlasste sie eine polydisziplinäre Begutachtung in den Disziplinen Psychiatrie, Orthopädie und Neurologie durch die MEDAS Oberaargau AG, Langenthal (Expertise vom 21. Dezember 2012). Die Experten diagnostizierten u.a. eine depressive Episode sowie eine Benzodiazepinabhängigkeit. Eine verlässliche Beurteilung der Ausprägung der depressiven Symptomatik und der Arbeitsfähigkeit konnten sie aufgrund der im Begutachtungszeitpunkt erheblichen Sedation nicht vornehmen. Am 20. März 2013 hielt die IV-Stelle die Versicherte an, sich einem stationären oder teil-stationären Entzug mit periodischen Laborkontrollen zu unterziehen, mit dem sich nach Feststellung ihres Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) die Erwerbsfähigkeit verbessern lasse. Erst danach könne beurteilt werden, ob ein versicherungsmedizinisch bedeutsames Leiden vorliege, das (auch rückblickend) eine Arbeitsunfähigkeit begründe. Nachdem A._ von der IV-Stelle insbesondere die Kostenübernahme im Rahmen des <ref-law> verlangt hatte, verfügte die Verwaltung am 27. Mai 2013, es handle sich beim verlangten Entzug nicht um eine Abklärungsmassnahme, sondern um eine Vorstufe zum Abklärungsverfahren, d.h. um eine Voraussetzung, damit das Vorliegen eines Gesundheitsschadens überhaupt geprüft werden könne. Die dafür anfallenden Kosten seien deshalb nicht durch die Invalidenversicherung zu tragen. Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau schützte diese Verfügung auf Beschwerde hin mit (rechtskräftigem) Entscheid vom 20. Mai 2014 mit der Begründung, es handle sich beim angeordneten Entzug nicht um eine Abklärungsmassnahme, sondern um Leidensbehandlung.
Stationäre Aufenthalte fanden vom 19. September bis zum 16. Oktober 2013 in der Klinik B._ sowie vom 10. März bis zum 4. Juni 2015 in der Psychiatrischen Klinik C._ statt, führten aber nicht zu einem gänzlichen Absetzen der Benzodiazepine (Bericht vom 3. November 2013; Bericht vom 8. Juni 2015). Nach erneuter psychiatrischer Begutachtung (Expertise des Dr. med. E._ vom 29. Dezember 2016) trat die Verwaltung am 11. April 2018 auf das Leistungsbegehren nicht ein.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 19. März 2019 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, es seien der vorinstanzliche Entscheid vom 19. März 2019 und die Verfügung der IV-Stelle vom 11. April 2018 aufzuheben, und es sei ihr eine ganze Invalidenrente (zuzüglich Verzugszins zu 5 % ab wann rechtens) auszurichten. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz bzw. die Verwaltung zurückzuweisen damit diese auf die Sache eintrete und einen materiellen Leistungsentscheid fälle, subeventualiter zur erneuten Durchführung des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens und neuem Entscheid.
Die IV-Stelle beantragt die Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), ohne Bindung an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente oder die Erwägungen der Vorinstanz. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft das Bundesgericht indes grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern eine Rechtsverletzung nicht geradezu offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 23 f. mit Hinweisen).
2.
2.1. Strittig ist, ob die Vorinstanz zu Recht die Verfügung vom 11. April 2018 bestätigte, worin die IV-Stelle eine Verletzung der Mitwirkungspflichten durch die Versicherte feststellte und auf das Leistungsbegehren nicht eintrat, nachdem kein vollständiger Entzug von Benzodiazepinen stattgefunden hatte und sich die Verwaltung folglich nicht imstande sah, den Gesundheitszustand abschliessend und differenziert abzuklären.
2.2. Soweit die Beschwerdeführerin letztinstanzlich die Ausrichtung einer Rente verlangt, zielt dieses Rechtsbegehren über den gegebenen Anfechtungs- und Streitgegenstand hinaus (vgl. <ref-ruling> E. 1 S. 414; hier: Nichteintreten auf das Leistungsgesuch). Darauf ist nicht einzutreten (vgl. etwa Urteil 9C_24/2019 vom 14. Mai 2019 E. 2.1).
3.
Die Beschwerdeführerin rügt einerseits als bundesrechtswidrig, dass ihr als Mitwirkungspflicht die Durchführung einer Behandlung auferlegt und im Verweigerungsfall das Nichteintreten angedroht worden sei (Mitteilung vom 27. Mai 2013). Seit dem Inkrafttreten von <ref-law> seien für die Verletzung von Schadenminderungs- sowie Mitwirkungspflicht (<ref-law> bzw. <ref-law>) einzig die dort genannten Sanktionen, und nicht mehr die in <ref-law> vorgesehenen, zulässig. Anderseits erblickt sie im Verhalten der Verwaltung eine Verletzung von Treu und Glauben (Art. 5 Abs. 3 sowie Art. 9 BV). Diese habe mit Mitteilung vom 14. Januar 2016 trotz Kenntnis des bis dahin nicht gelungenen vollständigen Entzugs eine neuerliche psychiatrische Begutachtung - ohne (neue) Auflage bezüglich der Benzodiazepinabstinenz - angeordnet, anstatt die angedrohte Sanktion (Nichteintreten) zu verhängen. Bei diesem Verhalten der IV-Stelle habe die Versicherte nicht damit rechnen müssen, nach Absolvierung der Begutachtung bei Dr. med. E._ und Empfang von dessen Gutachten dennoch sanktioniert zu werden. Im Übrigen macht sie geltend, sie habe vor Erlass der Verfügung vom 11. April 2018 ihre Abstinenz mit Laborbefunden vom 18. Januar und 16. März 2018 nachgewiesen. Diese Nachweise als ungenügend zu qualifizieren, ohne sie zur Durchführung weiterer Spiegelbestimmungen aufzufordern, sei überspitzt formalistisch im Sinne von Art. 6 EMRK und verstosse gegen das Gebot von Treu und Glauben, den Grundsatz der Verhältnismässigkeit sowie die Aufklärungs- und Beratungspflicht der Verwaltung (<ref-law>).
4.
4.1. Mit <ref-ruling> änderte das Bundesgericht seine Rechtsprechung dahingehend, dass inskünftig auch eine primäre Abhängigkeit von psychotropen Substanzen grundsätzlich als invalidisierender Gesundheitsschaden in Frage kommt, dessen Auswirkungen nach dem strukturierten Beweisverfahren gemäss <ref-ruling> zu beurteilen sind (a.a.O., E. 5 f. S. 221 ff.; vgl. auch SUSANNE BOLLINGER, Der Gesundheitsschaden im Sozialversicherungsrecht, in: Sachenrecht, Obligationenrecht und mehr [...], 2019, S. 284 ff.). Eine neue Rechtsprechung ist im Grundsatz sofort und überall anwendbar und gilt nicht nur für künftige, sondern für alle im Zeitpunkt der Änderung hängigen Fälle (vgl. etwa Urteil 8C_313/2018 vom 10. August 2018 E. 8 mit Hinweis).
4.2.
4.2.1. Die IV-Stelle forderte die Versicherte mit Schreiben vom 20. März 2013 sowohl im Sinne einer der Abklärung des Gesundheitsschadens vorgelagerten Mitwirkungspflicht als auch im Sinne der Schadenminderung zu einem Benzodiazepin-Entzug auf. In der Folge der stationären Aufenthalte und der neuen Begutachtung (vgl. Sachverhalt lit. A i.f. hiervor) trat sie am 11. April 2018 auf das Leistungsgesuch gestützt auf <ref-law> nicht ein.
4.2.2. Im Rahmen der Abklärung durch den Versicherungsträger sieht <ref-law> vor, was folgt: "Kommen die versicherte Person oder andere Personen, die Leistungen beanspruchen, den Auskunfts- oder Mitwirkungspflichten in unentschuldbarer Weise nicht nach, so kann der Versicherungsträger auf Grund der Akten verfügen oder die Erhebungen einstellen und Nichteintreten beschliessen. Er muss diese Personen vorher schriftlich mahnen und auf die Rechtsfolgen hinweisen; ihnen ist eine angemessene Bedenkzeit einzuräumen."
Die bisherige Rechtsprechung zu den primären Suchterkrankungen bejahte grundsätzlich die Möglichkeit der Anordnung einer Entzugsbehandlung unter dem Titel der Abklärungsmassnahme, wo es darum ging, die erwerblichen Auswirkungen einer - invaliditätsfremden - primären Abhängigkeit von denjenigen eines invalidisierenden Gesundheitsschadens abzugrenzen (vgl. Urteil 9C_370/2013 vom 22. November 2013 E. 4.2; vgl. ausserdem TOBIAS BOLT, Folgen einer Mitwirkungspflichtverletzung, in: Ueli Kieser/Miriam Lendfers [Hrsg.], Jahrbuch zum Sozialversicherungsrecht 2016, S. 169 ff., Fn. 1 S. 171). Hingegen kam eine solche Massnahme bei - invalidenversicherungsrechtlich beachtlicher - sekundärer Abhängigkeit unter dem Titel der Schadenminderungspflicht in Frage (vgl. zit. Urteil 9C_370/2013 E. 4.2.1 a.a.O.). Nach geänderter Rechtsprechung sind auch primäre Abhängigkeiten von psychotropen Substanzen als - potenziell - invalidisierende Gesundheitsschäden abzuklären (oben E. 4.1). Wie bei den sekundären Suchtgeschehen ist demnach neu auch bei primären Abhängigkeitssyndromen die Anordnung einer Entzugsbehandlung im Vorfeld einer Begutachtung unter dem Titel der Mitwirkungspflicht im Abklärungsverfahren nicht statthaft, würde damit doch die Qualifikation des Suchtgeschehens und seiner erwerblichen Auswirkungen als zum vornherein invalidenversicherungsrechtlich irrelevant und deshalb auszuscheiden vorweggenommen. Wie es sich damit verhält, ist indes nach dem Gesagten im Abklärungsverfahren erst zu untersuchen.
Demgegenüber darf eine Entzugsbehandlung als Behandlungsmassnahme (zur Qualifikation als Leidensbehandlung vgl. Urteil 9C_218/2007 vom 19. November 2007 E. 2.4) - sofern im konkreten Fall zumutbar - selbstredend (unverändert) jederzeit zur Schadenminderung angeordnet werden (<ref-ruling> E. 8.2 S. 230; 9C_370/2013 E. 4.2.1; sowie Urteil 9C_914/2010 vom 2. Dezember 2010 E. 3; ausserdem HANSJÖRG SEILER, Vom Umgang mit Leistungskürzungen - ein Blick auf <ref-law>, in: René Schaffhauser/Ueli Kieser [Hrsg.], Sozialversicherungsrechtstagung 2010, S. 91 ff., 126). Eine Verletzung von Schadenminderungspflichten berechtigt die Verwaltung indes nicht zum Nichteintreten auf das Leistungsersuchen, sondern allenfalls zur Kürzung oder Verweigerung von Leistungen (Art. 7 Abs. 1 sowie Abs. 2 lit. d IVG i.V.m. <ref-law>). Demnach verletzt das von der Vorinstanz geschützte Nichteintreten gestützt auf <ref-law> Bundesrecht.
4.2.3. Ob in casu der Versicherten überhaupt eine Verletzung der ihr auferlegten Pflichten vorzuwerfen ist, kann im jetzigen Verfahrensstadium offen bleiben. Ein solcher Schluss lässt sich jedenfalls angesichts der erfolgten Entzugsbehandlungen (vgl. Sachverhalt lit. A oben) sowie der Stellungnahme des Facharztes für Psychiatrie des RAD vom 23. Mai 2017, wonach eine Entzugsbehandlung allenfalls als sehr langfristige und vorsichtige Dosisreduktion angestrebt werden könne, nicht ohne weiteres allein mit einem (zunächst) ausgebliebenen Behandlungserfolg begründen.
4.2.4. Es erübrigen sich Weiterungen zum Verhältnis zwischen den <ref-law> und <ref-law>, die - entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin - grundsätzlich nebeneinander anwendbar sind (vgl. explizit etwa zit. Urteil 9C_370/2013 E. 3; SVR 2012 IV Nr. 32 S. 127, 9C_776/2010 E. 3.1 und 4; 9C_744/2011 vom 30. November 2011 E. 5.1; ausserdem Kreisschreiben des BSV über Invalidität und Hilflosigkeit in der Invalidenversicherung [KSIH], Ziff. 7013; URS MÜLLER, Das Verwaltungsverfahren in der Invalidenversicherung, 2010, Rz. 1228).
4.3. Nach dem Gesagten ist die Sache an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese einen materiellen Leistungsentscheid nach den Grundsätzen gemäss <ref-ruling> fälle.
4.3.1. In diesem Zusammenhang ist daran zu erinnern, dass ein Rentenanspruch entstehen kann, wenn die versicherte Person nach Ablauf der einjährigen Wartezeit (<ref-law>) nicht oder noch nicht eingliederungsfähig ist (vgl. Urteil 8C_787/2014 vom 5. Februar 2015 E. 3.2 mit zahlreichen Hinweisen; dazu, dass insbesondere die grundsätzliche Behandelbarkeit einer Gesundheitsbeeinträchtigung in der Invalidenversicherung einen Anspruch nicht per se ausschliesst vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 414 f. sowie grundlegend <ref-ruling> E. 4 S. 294 ff.). Dies auch angesichts der in <ref-law> in der ab 1. Januar 2008 geltenden Fassung aufgestellten (negativen) Anspruchsvoraussetzung der fehlenden Eingliederungsfähigkeit. Wie es sich damit in concreto verhält, wird die IV-Stelle im Rahmen ihrer materiellen Anspruchsprüfung zu beurteilen haben.
4.3.2. Mit Blick darauf, dass das Gutachten des Dr. med. E._ vom 29. Dezember 2016 eine schlüssige Beurteilung im Lichte der nach <ref-ruling> und 143 V 409 massgeblichen Indikatoren nicht zu erlauben scheint (vgl. auch die kritische Stellungnahme des RAD-Arztes vom 25. Mai 2017), und die Expertise der MEDAS Oberaargau vom 21. Dezember 2012 ihrerseits nicht nur die Suchtproblematik als zum vornherein invaliditätsfremd ausklammert, sondern auch naturgemäss zum Gesundheitszustand nach 2012 keine Angaben enthält, scheint sich als medizinische Grundlage des materiellen Entscheids eine neue Begutachtung aufzudrängen. Eine solche scheint auch angesichts des - letztinstanzlich wiederholten - Vorbringens der Versicherten angezeigt, sie habe bereits während laufendem Abklärungsverfahren Belege für ihre Abstinenz beigebracht. Zwar hat die Vorinstanz - nicht offensichtlich unrichtig, und für das Bundesgericht deshalb verbindlich (oben E. 1.1) - festgestellt, dass die eingereichten Labornachweise einzig für das zuletzt verschriebene Benzodiazepin Werte unter dem Referenzbereich belegen (gemäss psychiatrischem Gutachten vom 29. Dezember 2016: Psychopax mit dem Wirkstoff Diazepam; Medikamentenspiegel vom 18. Januar, 16. März und 11. April 2018). Hinweise für einen Konsum von anderen als den ärztlich verschriebenen Benzodiazepinen sind indes weder aus dem vorinstanzlichen Entscheid noch aus den Akten (vorne E. 1.1) ersichtlich. Dementsprechend stellten die ins Recht gelegten Nachweise gewichtige Indizien für eine Sistierung des Benzodiazepinkonsums ab dem Jahr 2018 dar, aufgrund derer es der Verwaltung bzw. dem Versicherungsgericht oblegen hätte, in Nachachtung des Untersuchungsgrundsatzes weitere Abklärungen zum dadurch allenfalls veränderten Gesundheitszustand zu treffen (Art. 43 Abs. 1 bzw. 61 lit. c ATSG).
5.
Die Rückweisung der Sache an die Verwaltung zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung mit noch offenem Ausgang gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten und den Anspruch auf Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie überhaupt beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder Eventualantrag gestellt wird (vgl. <ref-ruling> E. 7.1 S. 271). Entsprechend sind die Gerichtskosten der unterliegenden Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>), die der Beschwerdeführerin überdies eine angemessene Parteientschädigung zu entrichten hat (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 19. März 2019 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Aargau vom 11. April 2018 werden aufgehoben. Die Sache wird zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung an die IV-Stelle des Kantons Aargau zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons Aargau zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, dem Bundesamt für Sozialversicherungen und der Pensionskasse D._, schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. November 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Oswald