Sachverhalt:
A.
Die Strafbehörden der Ukraine führen eine Strafuntersuchung gegen mehrere ukrainische Staatsangehörige wegen des Verdachts von Vermögensdelikten und Geldwäscherei. Am 18. November 2020 ersuchte die ukrainische Generalstaatsanwaltschaft die Schweizer Behörden um Rechtshilfe in Strafsachen. Mit Schreiben vom 14. Januar 2021 übertrug das Bundesamt für Justiz (BJ) die Ausführung des Ersuchens an die Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Kantonales Untersuchungsamt. Mit Eintretensverfügung vom 8. Februar 2021 entsprach die Staatsanwaltschaft dem Rechtshilfegesuch, indem sie die darin beantragten strafprozessualen Massnahmen anordnete.
B.
Am 16. Februar 2021 liess die Staatsanwaltschaft an der Sitzadresse der A._ AG (nachfolgend: Gesellschaft) eine Hausdurchsuchung vollziehen, bei der diverse Unterlagen und elektronische Datenträger sichergestellt wurden. Eine Person wurde gleichentags als Zeuge befragt. Zuvor schon hatte die Staatsanwaltschaft von den zuständigen Behörden die die Gesellschaft betreffenden Handelsregister- und Steuerakten beigezogen.
C.
Am 20. April 2021 erliess die Staatsanwaltschaft die Schlussverfügung. Sie bewilligte insbesondere die rechtshilfeweise Herausgabe des Protokolls der Zeugeneinvernahme sowie der Akten des Handelsregisteramtes des Kantons St. Gallen und der Korrespondenz mit dem Steueramt des Kantons St. Gallen, welche je die Gesellschaft betreffen. Ebenso wurde die Herausgabe diverser sichergestellter Geschäfts-, Steuer- und Buchhaltungsunterlagen der Gesellschaft (auf elektronischen Datenträgern und in Schriftform) bewilligt. Eine von der Gesellschaft am 20. Mai 2021 dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, mit Entscheid vom 18. Januar 2022 ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Gegen den Entscheid des Bundesstrafgerichts gelangte die Gesellschaft mit Beschwerde vom 31. Januar 2022 an das Bundesgericht. Sie beantragt in ihren Hauptstandpunkten die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Abweisung des Rechtshilfeersuchens.
Die Vorinstanz liess sich am 7. Februar 2022 vernehmen. Die Staatsanwaltschaft und das BJ beantragen, je mit Stellungnahmen vom 8. Februar 2002, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten. Die Beschwerdeführerin replizierte - innert einmalig erstreckter Frist - am 1. März 2022.

Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist gemäss <ref-law> berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und zudem ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c).
1.2. Zu prüfen sind zudem die Sachurteilsvoraussetzungen von <ref-law>. Zwar geht es im vorliegenden Fall um die rechtshilfeweise Beschlagnahme und Herausgabe von Gegenständen bzw. um die Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten - gemäss <ref-law> - insoweit zulässig wäre (<ref-ruling> E. 1.4; 132 E. 1.3). Zu prüfen ist jedoch zusätzlich noch, ob es sich hier um einen besonders bedeutenden Fall handelt:
Ein besonders bedeutender Fall liegt gemäss <ref-law> "insbesondere" vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist. Das Gesetz enthält eine nicht abschliessende, nur beispielhafte Aufzählung von möglichen besonders bedeutenden Fällen. Darunter fallen nicht nur Beschwerdesachen, die Rechtsfragen von grundsätzlicher Tragweite aufwerfen, sondern überdies auch solche, die aus anderen Gründen besonders bedeutsam sind (<ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen; vgl. Donatsch/Heimgartner/Meyer/Simonek, Internationale Rechtshilfe, 2. Aufl., Zürich 2015, S. 155-157; Marc Forster, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, Art. 84 N. 29-32d; Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl., Bern 2015, Art. 84 N. 14; Spühler/Aemisegger/Dolge/Vock, Praxiskommentar BGG, 2. Aufl., Zürich 2013, Art. 84 N. 9).
1.3. <ref-law> bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen). Gerade im Bereich der sogenannten "kleinen" (akzessorischen) Rechtshilfe kann ein besonders bedeutender Fall nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich namentlich keine wichtigen bzw. erstmals zu beurteilenden Rechtsfragen, die einer Klärung durch das Bundesgericht bedürften (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.3.4; vgl. Forster, a.a.O., Art. 84 N. 29; Spühler/Aemisegger/Dolge/Vock, a.a.O., Art. 84 N. 7, 10; Alain Wurzburger, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl., Bern 2014, Art. 84 N. 8).
1.4. Nach der Praxis des Bundesgerichtes kann auch die drohende Verletzung elementarer Verfahrensgrundsätze im schweizerischen Rechtshilfeverfahren einen besonders bedeutenden Fall begründen. Diesbezüglich sind die Gesetzeswortlaute von <ref-law> auf Deutsch und Italienisch massgeblich (<ref-ruling> E. 1.3; vgl. Forster, a.a.O., Art. 84 N. 31; Wurzburger, a.a.O., Art. 84 N. 14). Das blosse pauschale Vorbringen des Rechtsuchenden, die Behörden hätten elementare Verfahrensgrundsätze verletzt, lässt einen Rechtshilfefall indessen noch nicht als besonders bedeutend erscheinen. Vielmehr müssen dafür ernsthafte Anhaltspunkte objektiv vorliegen (<ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.4; je mit Hinweisen).
2.
Die Beschwerdeführerin ist nicht legitimiert, die rechtshilfeweise Herausgabe des Einvernahmeprotokolls eines Zeugen anzufechten, der weder ihr Organ noch ihr Angestellter ist. Ebenso wenig ist sie befugt, die Herausgabe von behördlichen Akten anzufechten, deren Inhaberin sie nicht ist. Diesbezüglich kann (sinngemäss) auf die zutreffenden Erwägungen des angefochtenen Entscheides verwiesen werden. Schon aus diesem Grund ist auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten (<ref-law>).
Das Bundesstrafgericht hat offen gelassen, ob die Beschwerdeführerin Mieterin oder Eigentümerin der Räumlichkeiten ist, in denen auf sie lautende Geschäftsunterlagen beschlagnahmt wurden. Wie aus den nachfolgenden Erwägungen hervorgeht, kann offen bleiben, ob die Beschwerde auch insofern schon mangels Legitimation unzulässig wäre.
3.
3.1. Zur Begründung der Sachurteilsvoraussetzung von <ref-law> bringt die Beschwerdeführerin zunächst vor, die ersuchende Behörde habe in Ihrem Gesuch "dreist verschwiegen", dass das ukrainische Strafverfahren für politische Zwecke bzw. zur Verfolgung eines Staatsverrats-Vorwurfes missbraucht werde. Eine Verletzung elementarer Verfahrensrechte sei auch darin zu sehen, dass das Bundesstrafgericht auf Vorbringen der Beschwerdeführerin zu schweren Mängeln des ausländischen Verfahrens nicht eingegangen sei und es statt dessen bei "appellatorischer Kritik" an ihren Rügen habe bewenden lassen. Die Vorinstanz habe dabei verkannt, dass jene Person, deren Geschäftsunterlagen beschlagnahmt wurden, "sehr wohl beschwerdelegitimiert" sein müsse.
3.2. Diese Vorbringen lassen keinen besonders bedeutenden Fall im Sinne der oben (E. 1.2-1.4) dargelegten Praxis erkennen. Soweit die Beschwerdeführerin geltend macht, gewisse Beteiligte würden von der ukrainischen Strafjustiz nicht wegen Wirtschaftsdelikten und Geldwäscherei verfolgt, sondern aus politischen Motiven, setzt sie sich mit der anderslautenden Sachdarstellung des Ersuchens und den betreffenden Erwägungen der Vorinstanz (angefochtener Entscheid, S. 8 f. E. 4) nicht nachvollziehbar auseinander.
Auch bezüglich des Umfangs der vorinstanzlichen Beschwerdelegitimation bestehen keine Anhaltspunkte für eine Verletzung elementarer Verfahrensrechte im inländischen Rechtshilfeverfahren. Das Bundesstrafgericht hat die Frage aufgeworfen, ob die Beschwerdeführerin als reine Briefkastenfirma anzusehen sei, ohne Eigentum oder Mietverhältnis an den Räumlichkeiten, in denen die Beschlagnahmungen erfolgten. Wie oben bereits dargelegt (E. 2), hat das Bundesstrafgericht diese Frage ausdrücklich offen gelassen und die Beschwerdeführerin als grundsätzlich legitimiert angesehen, die rechtshilfeweise Herausgabe von auf sie lautenden Geschäftsunterlagen anzufechten. Dass die Vorinstanz auf Vorbringen der im ukrainischen Verfahren nicht beschuldigten Beschwerdeführerin nicht eintrat, wonach spezifische Verteidigungsrechte oder andere Interessen von beschuldigten Personen verletzt worden seien, begründet weder eine formelle Rechtsverweigerung noch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs. Diese Eintretenspraxis steht vielmehr im Einklang mit der konstanten Rechtsprechung des Bundesgerichtes (vgl. <ref-ruling> E. 8.2).
3.3. Als Verletzung elementarer Verfahrensrechte beanstandet die Beschwerdeführerin sodann, dass sie nicht in sämtliche Verfahrensakten Einsicht erhalten habe. Die Staatsanwaltschaft als ausführende Behörde habe mit dem BJ ausführlich über das Rechtshilfeersuchen korrespondiert. Dies ergebe sich aus der vorinstanzlichen Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft. Diese habe dort geäussert, dass sie auf eigene materielle Ausführungen in der Sache verzichte und statt dessen auf die vom BJ "zu erwartende und in Aussicht gestellte Beschwerdeantwort" verweise.
Entgegen der Ansicht der Beschwerdeführerin ergeben sich daraus keine Anhaltspunkte für eine Verletzung elementarer Verfahrensrechte. Der genannten Vernehmlassung der Staatsanwaltschaft lässt sich nicht entnehmen, dass zwischen ihr und dem BJ eine eigentliche separate Korrespondenz geführt worden wäre. Darüber hinaus bestreitet die Beschwerdeführerin die Feststellungen im angefochtenen Entscheid nicht, wonach ihr die Vorinstanz die Gelegenheit einräumte, zu den fraglichen Stellungnahmen der Staatsanwaltschaft und des BJ zu replizieren. Ebenso wenig behauptet die Beschwerdeführerin, dass sie in ihrer vorinstanzlichen Replik vom 6. August 2021 das Gesuch gestellt hätte, in eine von ihr vermutete Separat-Korrespondenz zwischen der Staatsanwaltschaft und dem BJ Akteneinsicht nehmen zu wollen, und dass ein solches Begehren von der Vorinstanz zu Unrecht abgewiesen worden wäre.
3.4. Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin noch vor, es sei bewiesen, dass das ukrainische Verfahren schwere Mängel aufweise. Einer der Beschuldigten werde im Strafprozess bloss "vorgeschoben" und habe "keine Verfahrensbeteiligung". Damit wird kein besonders bedeutender Rechtshilfefall ausreichend dargetan. Dies umso weniger, als die Vorbringen in der Beschwerdeschrift nicht substanziiert werden, sondern statt dessen pauschal auf private Parteigutachten ("zur Expertise") verwiesen wird (vgl. <ref-law>). Was die gegenteilige Sachdarstellung des Ersuchens zu den strafrechtlichen Vorwürfen gegen die beschuldigten Personen betrifft, setzt sich die Beschwerdeführerin im Übrigen mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheides nicht nachvollziehbar auseinander.
Auch sonst ist hier kein Fall im Sinne von <ref-law> ersichtlich, mit dem sich das Bundesgericht materiell zu befassen hätte.
4.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Kantonales Untersuchungsamt, Wirtschaftsdelikte, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. März 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Forster