Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1957 geborene A._ arbeitete von Juli 1998 bis Dezember 2014 als Präger bei der Buchbinderei B._, wobei er zuerst als Teilzeit-Aushilfe und ab 1. Mai 2007 in einem Pensum von 80 % angestellt war. Im Juli 2013 meldete er sich wegen der Folgen eines Krebsleidens bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Zürich klärte die medizinischen und die erwerblichen Verhältnisse ab. Vorbescheidweise stellte sie A._ die Zusprache einer Dreiviertelsrente mit Wirkung ab 1. März 2014 in Aussicht, wogegen der Versicherte am 20. Juni 2014 Einwand erhob (ergänzt am 29. Juli 2014). Mit Verfügung vom 28. August 2014 sprach ihm die IV-Stelle mit Wirkung ab 1. September 2014 eine ganze Invalidenrente zu.
A.b. Im August 2015 leitete die IV-Stelle eine revisionsweise Prüfung des Rentenanspruches ein. Sie nahm Berichte der behandelnden Ärzte sowie einen IK-Auszug zu den Akten und gab bei der ABI Ärztliches Begutachtungsinstitut GmbH, Basel, ein polydisziplinäres Gutachten in Auftrag, welches am 6. Juni 2016 erstattet wurde. Des Weitern liess sie den Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD) Stellung nehmen (Bericht vom 23. Juni 2016). Mit Vorbescheid vom 4. August 2016 kündigte sie die Einstellung der Invalidenrente an, wogegen der Versicherte Einwand erhob. Nachdem sich der RAD erneut geäussert hatte (Stellungnahme vom 3. Januar 2017), verfügte die IV-Stelle am 24. Januar 2017, wie vorbeschieden, die Einstellung der Rente auf das Ende des der Zustellung der Verfügung folgenden Monats.
B.
Beschwerdeweise liess A._ die Aufhebung der Verfügung vom 24. Januar 2017 und die Weiterausrichtung der Invalidenrente beantragen. Eventualiter sei die Angelegenheit zur weiteren Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen. Mit Entscheid vom 23. Mai 2018 hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Beschwerde gut, hob die Verfügung vom 24. Januar 2017 auf und stellte fest, dass A._ aufgrund eines Invaliditätsgrades von 40 % ab 1. März 2017 Anspruch auf eine Viertelsrente hat.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben und ihre Verfügung vom 24. Januar 2017 zu bestätigen. Eventualiter sei dem Versicherten ab Januar 2018 eine Viertelsrente zuzusprechen. In prozessualer Hinsicht beantragt sie, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ lässt die Abweisung der Beschwerde und die Bestätigung des kantonalen Entscheides beantragen. Eventualiter sei ihm in Abänderung desselben eine Viertelsrente mit Wirkung ab Januar 2018 zuzusprechen. Die aufschiebende Wirkung sei dem Rechtsmittel zu entziehen. Das in der Vernehmlassung gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Prozessführung, Verbeiständung) zog A._ mit Schreiben vom 22. November 2018 zurück.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, als sie die (einen weiteren Rentenanspruch verneinende) Verfügung der IV-Stelle vom 24. Januar 2017 aufhob und dem Beschwerdegegner für die Zeit ab 1. März 2017 eine Viertelsrente zusprach.
3.
3.1. Es steht fest und ist unbestritten, dass sich der Gesundheitszustand des Versicherten anspruchserheblich verbessert hat und die seit 1. September 2014 bezogene ganze Rente aus diesem Grund einer Revision im Sinne von <ref-law> zu unterziehen ist.
3.2. Die Beteiligten sind sich uneinig, wie die Invalidität des Beschwerdegegners zu bemessen ist. Zu keinen Diskussionen Anlass gibt dabei die Statusfrage, welche übereinstimmend dahingehend beantwortet wird, dass der Versicherte als Teilerwerbstätiger (80 %-Pensum) ohne einen Aufgabenbereich zu qualifizieren ist.
3.2.1. In ihrer Verfügung vom 24. Januar 2017 stützte sich die IV-Stelle für die Invaliditätsbemessung auf die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling>. Sie ging von einem Valideneinkommen von Fr. 58'135.-. (entsprechend einem 80 %-Pensum) und einem Invalideneinkommen von Fr. 36'335.- (entsprechend einem 50 %-Pensum) aus. Die aus der Gegenüberstellung der beiden Vergleichseinkommen resultierende prozentuale Erwerbseinbusse (38 %) gewichtete sie anhand des im Gesundheitsfall hypothetisch ausgeübten 80 %-Pensums. Damit gelangte sie zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad von gerundet 30 %.
3.2.2. Das kantonale Gericht erwog, die der rentenaufhebenden Verfügung zugrunde liegende Rechtsprechung (<ref-ruling>) beruhe auf keiner gesetzlichen Grundlage und sei seit der Einführung eines neuen Berechnungsmodells für die Teilerwerbstätigen mit einem Aufgabenbereich in Art. 27bis Abs. 2-4 IVV (auf den 1. Januar 2018) auch nicht mehr notwendig. Aus diesem Grund sei mit sofortiger Wirkung davon abzuweichen und stattdessen die neue Methode auch auf die Teilerwerbstätigen ohne einen Aufgabenbereich analog anzuwenden. Auf diese Weise ermittelte die Vorinstanz aus der Gegenüberstellung der beiden Vergleichseinkommen - eines Validenlohnes von Fr. 58'135.- (übereinstimmend mit der IV-Stelle) und eines Invalidenlohnes von Fr. 34'852.- (entsprechend einem Pensum von 47.96 statt 50 % geringfügig nach unten korrigiert) - einen Invaliditätsgrad von 40 %, welcher Anspruch auf eine Viertelsrente verleiht.
3.2.3. Beschwerdeweise setzt sich die IV-Stelle für eine Anwendung von <ref-ruling> und eine Bestätigung ihrer sich darauf stützenden rentenaufhebenden Verfügung ein. Sie legt dar, dass ihre Berechnungsmethode selbst unter Zugrundelegung des von der Vorinstanz leicht reduzierten Invalideneinkommens (Fr. 34'852.-) zu einem rentenausschliessenden Invaliditätsgrad (32 statt 30 %) führe. Des Weitern zeigt sie auf, dass die seit 1. Januar 2018 geltende Rechtslage, entgegen dem angefochtenen Entscheid, nichts an der Notwendigkeit einer proportionalen Gewichtung entsprechend der bisherigen Betrachtungsweise ändere: Neu werde zwar das Valideneinkommen anhand eines 100 %-Pensums berechnet (was hier einem Wert von Fr. 72'669.- entspreche), doch könne im Erwerbsbereich nach wie vor maximal ein (Teil-) Invaliditätsgrad in der Höhe des ausgeübten Pensums resultieren (wozu es die proportionale Gewichtung brauche); dies ergäbe hier einen Invaliditätsgrad von 42 %. Allerdings könnte eine allfällige Praxisänderung in diesem Sinne erst ab 1. Januar 2018 berücksichtigt werden, weshalb der Versicherte frühestens ab diesem Zeitpunkt Anspruch auf eine Viertelsrente hätte. Das davon abweichende Vorgehen des kantonalen Gerichts, die neue Berechnungsmethode bereits vorher anzuwenden, stelle eine unzulässige Vorwirkung dar.
3.2.4. Der Beschwerdegegner teilt die im angefochtenen Entscheid vertretene Auffassung, wonach für die Praxis gemäss <ref-ruling> keine Notwendigkeit mehr bestehe. Er macht geltend, nachdem der Gesetzgeber von der früheren Berechnungsmethode mit doppelter Gewichtung des Erwerbsbereichs der Teilerwerbstätigen mit einem Aufgabenbereich Abstand genommen habe, sei es nicht haltbar, diese Berechnung bei Teilerwerbstätigen ohne einen Aufgabenbereich fortzuführen.
4.
4.1. Die Rechtsprechung zur Invaliditätsbemessung Teilerwerbstätiger ohne einen Aufgabenbereich wurde in <ref-ruling> dahingehend präzisiert, dass die anhand der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law>) zu ermittelnde Einschränkung im allein versicherten erwerblichen Bereich proportional - im Umfang der hypothetischen Teilerwerbstätigkeit - zu berücksichtigen ist. Der Invaliditätsgrad entspricht auf diese Weise der proportionalen Einschränkung im erwerblichen Bereich. Er kann den versicherten Bereich, welcher durch das hypothetische Teilzeitpensum definiert wird, nicht übersteigen, weil andernfalls indirekt unzulässigerweise eine Einschränkung in den weder Erwerbs- noch Aufgabenbereich darstellenden, nicht versicherten Freizeitaktivitäten mitabgegolten würde (E. 7.3 S. 298). Grundlage bildet der Gedanke, dass auch eine teilerwerbstätige versicherte Person ohne einen Aufgabenbereich eine gesundheitlich bedingte Erwerbseinbusse lediglich im Rahmen des versicherten Bereichs erleidet, welcher dem (hypothetischen) Beschäftigungsgrad entspricht, so dass auch bei ihr maximal ein dem versicherten Bereich entsprechender Invaliditätsgrad resultieren kann (E. 7.1 S. 297). Des Weitern stützt sich die Präzisierung auf das Rechtsgleichheitsgebot bzw. eine verfassungskonforme Auslegung der Bestimmung des <ref-law>, indem unter dem Gesichtspunkt der Gleichbehandlung die Einbusse, die eine versicherte Person in einem bestimmten (hypothetischen) erwerblichen Teilpensum erleidet, in diesem Bereich zum selben Invaliditätsgrad führen muss, unabhängig davon, ob sie daneben (d.h. im verbleibenden, in der Differenz zu 100 % bestehenden Teil) keinen Aufgabenbereich hat, in einem Aufgabenbereich tätig ist oder ein weiteres erwerbliches Teilpensum hat und damit als vollerwerbstätig gilt. Eine Gleichbehandlung rechtfertigt sich, weil die drei genannten Versichertenkategorien bei vollständiger Arbeitsunfähigkeit im bei ihnen übereinstimmenden erwerblichen Teilpensum denselben Einkommensverlust erleiden (E. 7.2 S. 297 f.).
4.2. Mit Blick darauf, dass die Praxispräzisierung in <ref-ruling> E. 7 S. 297 f. ausführlich und unter Bezugnahme auf die einschlägigen Bestimmungen begründet wurde, kann der von der Vorinstanz pauschal erhobene Vorwurf, sie beruhe auf keiner gesetzlichen Grundlage, nicht nachvollzogen werden. Das kantonale Gericht vermag auch keinen sachlichen Grund zu nennen, weshalb die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> aufzugeben wäre. Insbesondere will es offenbar nicht zur Kenntnis nehmen, dass sich die damit vorgenommene Korrektur aufdrängte, um eine unter der bisherigen Praxis (<ref-ruling>) bestehende Privilegierung der Teilerwerbstätigen ohne einen Aufgabenbereich zu beseitigen, hatte diese doch zum stossenden Ergebnis geführt, dass sich allein der Ersatz des versicherten Aufgabenbereiches (Haushaltführung) durch nicht versicherte Freizeit rentenerhöhend auswirkte (<ref-ruling> E. 6.2 S. 295; vgl. auch Urteil 9C_897/2017 vom 4. Mai 2018 E. 3.2.1.2). So hätte im Sachverhalt, der <ref-ruling> zugrunde lag, bei einer Versicherten, die unverändert 60 % erwerbstätig gewesen wäre und weiterhin vollständig arbeitsunfähig war, allein der Wegfall eines Aufgabenbereiches und die damit einhergehende Verminderung des versicherten Bereiches von 100 % (Erwerbs- und Aufgabenbereich) auf 60 % (Erwerbsbereich) zu einer Erhöhung des Invaliditätsgrades von 63 auf 100 % geführt (<ref-ruling> E. 6.2 S. 295). An der diese Unstimmigkeit korrigierenden Rechtsprechung, welche das Bundesgericht in mehreren Entscheiden zumindest implizit bestätigt hat, ist festzuhalten (SVR 2017 IV Nr. 53 S. 158, 9C_615/2016 E. 5.5 und 5.6; Urteile 8C_458/2017 vom 6. August 2018 E. 3 und 6; 9C_897/2017 vom 4. Mai 2018 E. 3.2.1.2; 9C_374/2017 vom 17. August 2017 E. 2.2.3; 9C_222/2016 vom 19. Dezember 2016 E. 6.3 und 6.4; 9C_700/2015 vom 18. Juli 2016 E. 3.2; 8C_113/2016 vom 6. Juli 2016 E. 3.3.3; 9C_17/2016 vom 14. Juni 2016 E. 2.2 und 2.3; 8C_846/2015 vom 3. Juni 2016 E. 6.3 und 7).
4.3. Entgegen den Erwägungen im angefochtenen Entscheid rechtfertigt auch das am 1. Januar 2018 für die Invaliditätsbemessung Teilerwerbstätiger mit einem Aufgabenbereich neu eingeführte Berechnungsmodell (neu in Kraft getretene Absätze 2-4 von <ref-law>) keine andere Betrachtungsweise (vgl. bereits Urteil 9C_897/2017 vom 4. Mai 2018 E. 3.2.1.2) : Die von der Vorinstanz propagierte analoge Anwendung der Art. 27bis Abs. 2-4 IVV fällt schon deshalb ausser Betracht, weil nach allgemein gültigen Grundsätzen die Rechtsgrundlagen Anwendung finden, die bei der Erfüllung des zu Rechtsfolgen führenden Sachverhaltes galten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 478), und das Sozialversicherungsgericht den Rentenanspruch des Versicherten bis zum Verfügungserlass, d.h. hier bis zum 24. Januar 2017, zu beurteilen hat (<ref-ruling> 6 S. 397; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220 mit Hinweisen). Hatte die Invaliditätsbemessung teilerwerbstätiger Versicherter mit einem Aufgabenbereich bis Ende 2017 nach der "alten" gemischten Methode zu erfolgen, musste diese auch die Grundlage bilden für die sich an Gleichheitsgrundsätzen orientierende (vgl. dazu <ref-ruling> E. 7.2 S. 297 f.), präzisierte Methode der Invaliditätsbemessung teilerwerbstätiger Versicherter ohne einen Aufgabenbereich. Auch in dieser Hinsicht kann dem angefochtenen Entscheid deshalb nicht beigepflichtet werden. Soweit sich die Vorinstanz daran zu stören scheint, dass der Beschwerdegegner zuerst (ab 1. September 2014) einen Rentenanspruch hatte, ihn sodann (auf Ende Februar 2017) verlor und schliesslich allenfalls (in der Zeit nach dem 1. Januar 2018) wiederbekommt, ist darauf hinzuweisen, dass die verbesserten gesundheitlichen Verhältnisse die Grundlage für die (hier allein zu beurteilende) revisionsweise Rentenaufhebung bei einem Invaliditätsgrad von 30 bzw. 32 % bildeten (E. 3.1 vorne), während eine allfällige Wiedererlangung eines Rentenanspruches (in der hier nicht zu beurteilenden Zeit nach dem 1. Januar 2018) die Folge der Verordnungsänderung wäre, mit welcher die Rechtsstellung teilerwerbstätiger Versicherter verbessert wurde, so dass der Invaliditätsgrad des Versicherten die Erheblichkeitsschwelle von 40 % (<ref-law>) wieder (knapp) erreichen könnte.
4.4. Zusammenfassend ergibt sich, dass der vorinstanzliche Entscheid, in welchem dem Versicherten mit Wirkung ab 1. März 2017 eine Viertelsrente (aufgrund eines Invaliditätsgrades von 40 %) zugesprochen wurde, Bundesrecht verletzt. Die von der IV-Stelle am 24. Januar 2017 verfügte Rentenaufhebung (aufgrund eines Invaliditätsgrades von 30 bzw. 32 %), welche sich auf die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> stützt, ist rechtens.
4.5. Die richterliche Überprüfungsbefugnis (<ref-ruling> 6 S. 397; <ref-ruling> E. 3.1.1 S. 220 mit Hinweisen) reicht nicht so weit, dass bereits in diesem Urteil über einen allfälligen Rentenanspruch des Beschwerdegegners in der Zeit ab 1. Januar 2018 zu befinden wäre. Indessen ist der Versicherte darauf hinzuweisen, dass es ihm unbenommen bleibt, sich bei der IV-Stelle neu anzumelden (in diesem Sinne auch der Eventualantrag der IV-Stelle; vgl. für die Teilerwerbstätigen mit einem Aufgabenbereich auch die Übergangsbestimmungen zur Änderung der IVV vom 1. Dezember 2017).
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Entsprechend dem Prozessausgang sind die Gerichtskosten dem unterliegenden Beschwerdegegner aufzuerlegen (<ref-law>). Die obsiegende Beschwerdeführerin hat als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Institution keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. Mai 2018 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Zürich vom 24. Januar 2017 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hat die Gerichtskosten und die Parteientschädigung für das vorangegangene Verfahren neu festzusetzen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. Dezember 2018
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann