Sachverhalt:
A.
A._ erstattete am 21. Juli 2017 Strafanzeige gegen B._ wegen Urkundenfälschung, ungetreuer Geschäftsbesorgung und Betrug.
B.
Mit Verfügung vom 31. Oktober 2017 nahm die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn das Strafverfahren nicht an die Hand. Sie begründete dies damit, dass die angezeigten Straftatbestände offensichtlich nicht erfüllt seien bzw. dass die Strafanzeige keinen hinreichenden Tatverdacht zu begründen vermöge.
Die dagegen erhobene Beschwerde von A._ wies das Obergericht des Kantons Solothurns am 23. Mai 2018 ab.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 23. Mai 2018 sei aufzuheben und die Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn sei anzuweisen, gegen B._ eine Strafuntersuchung wegen Urkundenfälschung, ungetreuer Geschäftsbesorgung und Betrug zu eröffnen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Entscheidung an das Obergericht des Kantons Solothurn zurückzuweisen.
D.
Das Obergericht des Kantons Solothurn beantragt in ihren Gegenbemerkungen die Abweisung der Beschwerde. Die Staatsanwaltschaft verzichtet auf eine Vernehmlassung. B._ lässt sich vernehmen und beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. A._ repliziert und hält an seinen Anträgen und Rechtsauffassungen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer bringt vor, das angefochtene Urteil sei in Dreierbesetzung durch die Beschwerdekammer gefällt worden. Gemäss Homepage des Obergerichts des Kantons Solothurn habe diese zum fraglichen Zeitpunkt aus Marianne Jeger (Präsidentin), Frank-Urs Müller (Vizepräsident) und Beat Frey (Mitglied) bestanden. Entsprechend seien die prozessleitenden Verfügungen im Beschwerdeverfahren auch von diesen drei Personen erlassen worden. Am angefochtenen Urteil habe Marianne Jeger jedoch nicht mitgewirkt, sondern sei durch den Vizepräsidenten des Verwaltungsgerichts Beat Stöckli ersetzt worden. Die Mitglieder des Spruchkörpers und auch deren Funktionen seien nicht im Voraus benennbar gewesen. Die Umbesetzung sei den Parteien nie mitgeteilt worden, was eine Verletzung des rechtlichen Gehörs nach <ref-law> darstelle. Sodann seien keine Gründe ersichtlich, wonach eine ausserordentliche Spruchkörperbildung notwendig gewesen sein soll. Dem Beschwerdeführer erschliesse sich nicht, gestützt auf welche Kriterien der Beizug eines Ersatzrichters erfolgt sei. Die Bildung des Spruchkörpers verletze damit neben seinem Anspruch auf rechtliches Gehör, seinen Anspruch auf ein verfassungsmässiges Gericht gemäss <ref-law> und Art. 6 Ziff. 1 EMRK, was zur Aufhebung des Urteils führen müsse. Im Weiteren gehe weder aus den Verfahrensakten, noch aus den kantonalen Bestimmungen bzw. der Praxis hervor, weshalb die Wahl ausgerechnet auf Beat Stöckli gefallen sei und wer diese Wahl getroffen habe. Die Kriterien für die Spruchkörperbildung seien damit nicht hinreichend klar.
1.2. Die Privatklägerschaft kann mit Beschwerde in Strafsachen ungeachtet der Legitimation in der Sache im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG eine Verletzung ihrer Parteirechte rügen, die ihr nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung auf eine formelle Rechtsverweigerung hinausläuft. Zulässig sind Rügen, die formeller Natur sind und von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Das nach <ref-law> erforderliche rechtlich geschützte Interesse ergibt sich diesfalls aus der Berechtigung, am Verfahren teilzunehmen (sog. "Star-Praxis"; <ref-ruling> E. 1.1 S. 5; Urteil 6B_827/2014 vom 1. Februar 2016 E. 1.1; nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Die Rüge des Beschwerdeführers, die Vorinstanz habe sein rechtliches Gehör und seinen Anspruch auf ein verfassungsmässiges Gericht verletzt, ist zulässig, da formeller Natur. Auf die Beschwerde ist insofern einzutreten.
1.3.
1.3.1. <ref-law> räumt den Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör ein.
1.3.2. Nach <ref-law> hat jede Person, deren Sache in einem gerichtlichen Verfahren beurteilt werden muss, Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Ausnahmegerichte sind untersagt. Die Regelung will verhindern, dass Gerichte eigens für die Beurteilung einer Angelegenheit gebildet werden. Die Rechtsprechung soll auch nicht durch eine gezielte Auswahl der Richterinnen und Richter im Einzelfall beeinflusst werden können. Jede Besetzung, die sich nicht mit sachlichen Gründen rechtfertigen lässt, verletzt die Garantie des verfassungsmässigen Richters gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.1 S. 38 f.; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 342 f.; je mit Hinweisen).
Von einem sachlichen Grund ist immer dann auszugehen, wenn diesem Schritt vernünftige Überlegungen zugrundeliegen, die einer sach- und zeitgerechten Fallerledigung dienen. Sachliche Gründe sind vereinbar mit persönlichen Motiven, die in der Person der Richterin oder des Richters liegen. Sie stehen bloss in Widerspruch zu sachwidrigen Beweggründen, die nicht dem Anliegen einer korrekten Verfahrensführung entspringen und bezwecken, in manipulativer Weise einen ganz bestimmten Spruchkörper für einen konkreten Fall einzurichten, um damit das gewünschte Ergebnis herbeizuführen (vgl. JOHANNES REICH, in: Basler Kommentar zur Bundesverfassung, N. 15 f. zu <ref-law>). Der verfassungsmässige Anspruch darauf, dass die Behörde richtig zusammengesetzt ist, schliesst ein gewisses Ermessen bei der Besetzung des Spruchkörpers sowie beim Entscheid über den Beizug von Ersatzrichtern nicht aus. Allerdings soll die Besetzung, wenn immer möglich, nach sachlichen Kriterien erfolgen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 39 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 343 mit Hinweis).
1.3.3. Art. 6 Abs. 1 EMRK verlangt unter dem Aspekt des auf Gesetz beruhenden Gerichts einen justizförmigen, unabhängigen und unparteiischen Spruchkörper, der über Streitfragen auf der Grundlage des Rechts und in einem gesetzlich vorgesehenen Verfahren mit rechtsstaatlichen Garantien entscheidet. Erforderlich sind insbesondere Vorschriften über die Einrichtung, Zusammensetzung, Organisation und Zuständigkeit des Gerichts. Der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte prüft zwar die Einhaltung staatlichen Rechts, stellt aber die Auslegung durch die Gerichte nur in Frage, wenn sie das Recht eindeutig verletzt oder willkürlich ist. Er stellt darauf ab, ob das staatliche Gericht vernünftige Gründe hatte, seine Zuständigkeit anzunehmen. Nicht nur das Gericht, sondern auch der zur Entscheidung berufene Spruchkörper muss auf Gesetz beruhen. Voraussetzung ist eine entsprechende, die Gerichtsbesetzung regelnde gesetzliche Vorschrift. Gerichte, die aufgrund der Verfassung oder von Gesetzen - wobei die Strassburger Organe Gesetze in einem materiellen Sinn verstehen - eingerichtet wurden, entsprechen den Anforderungen von Art. 6 Abs. 1 EMRK. Details lassen sich im Wege der Delegation regeln. Demgegenüber ist Art. 6 EMRK verletzt, wenn Vorschriften des staatlichen Rechts über die Zusammensetzung des Spruchkörpers missachtet worden sind (<ref-ruling> E. 2.1 S. 39 f. mit Hinweisen).
1.3.4. Ob ein Gericht in ordnungsgemässer Zusammensetzung entschieden hat, beurteilt sich in erster Linie nach dem einschlägigen kantonalen Organisations- und Verfahrensrecht, dessen Auslegung und Anwendung das Bundesgericht - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - nur unter dem Gesichtswinkel der Willkür prüft (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f. mit Hinweisen). Demgegenüber prüft es frei, ob die willkürfreie Anwendung des kantonalen Rechts mit dem verfassungsmässigen Anspruch auf ein gesetzmässiges Gericht im Einklang steht (<ref-ruling> E. 2.1.2.1 S. 34 f. mit Hinweisen).
1.4. Die Vorinstanz führt in ihren Gegenbemerkungen aus, <ref-law>, wonach die Verfahrensleitung den Parteien unter anderem mitteile, in welcher Besetzung das Gericht tagen werde, beziehe sich auf die erstinstanzliche Hauptverhandlung und könne nicht auf das schriftliche Beschwerdeverfahren übertragen werden. Sodann legt sie unter Hinweis auf § 10 des Geschäftsreglements des Obergerichts des Kantons Solothurn und der ihm angegliederten Spezialgerichte vom 11. September 1998 (BGS 125.71; nachfolgend "Geschäftsreglement des Obergerichts") die Gründe für das Nichtmitwirken von Oberrichterin Marianne Jeger dar und weist zum Schluss auf eine vom Obergericht am 10. Mai 2019 beschlossene Änderung des kantonalen Rechts zur Spruchkörperbildung hin.
Der Beschwerdegegner 2 macht in seiner Vernehmlassung im Wesentlichen geltend, der Beizug von Oberrichter Beat Stöckli, sei gesetzeskonform erfolgt. Eine Rechtsverletzung sei nicht ersichtlich.
1.5.
1.5.1. Das Obergericht umfasst 9 - 12 Richterstellen (§ 23 des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation [GO/SO; BGS 125.12]). Der Kantonsrat wählt die Oberrichter (§ 23 Abs. 1biserster Satz GO/SO). Das Obergericht tagt als Gesamtgericht oder in Dreierbesetzung (§ 24 Abs. 1 GO/SO). Es bestellt aus seiner Mitte folgende dreigliedrige Kammern: Zivilkammer, Strafkammer, Schuldbetreibungs- und Konkurskammer, Beschwerdekammer (§ 24 Abs. 2 GO/SO). Die Beschwerdekammer beurteilt die Beschwerden, die gemäss der Schweizerischen Strafprozessordnung sowie der Schweizerischen Jugendstrafprozessordnung in die Zuständigkeit der Beschwerdeinstanz fallen (§ 33bis Abs. 1 GO/SO). Das Obergericht teilt die Richter für die Dauer einer Amtsperiode dem Verwaltungsgericht zu; dieses konstituiert sich selbst (§ 47 Abs. 1 GO/SO).
Die Beschwerdekammer bestand zum fraglichen Zeitpunkt gemäss Homepage aus Marianne Jeger (Präsidentin), Franz-Urs Müller (Vizepräsident) und Beat Frey (Mitglied), welche zusammen die Normalbesetzung der Beschwerdekammer bildeten. Wie der Beschwerdeführer zu Recht vorbringt, wurde das angefochtene Urteil durch einen von der Normalbesetzung der Beschwerdekammer abweichenden Spruchkörper gefällt. Zu prüfen ist vorliegend, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer diesen Spruchkörper vorgängig hätte anzeigen müssen und ob der vorinstanzliche Spruchkörper verfassungs- und konventionskonform gebildet wurde.
1.5.2. Das verfassungsmässige Recht auf einen unabhängigen und unparteiischen Richter umfasst auch den Anspruch auf Bekanntgabe, welche Richter am Entscheid mitwirken (Urteil 1B_491/2018 vom 11. Januar 2019 E. 2.2). Die Vorinstanz kommt diesem Anspruch nach, indem es die Namen der am Entscheid mitwirkenden Personen und deren Funktionen im Rubrum seines Urteils aufführt. Ein Anspruch auf vorgängige Mitteilung der am Entscheid beteiligten Richter besteht nicht. Wie die Vorinstanz in ihren eingereichten Gegenbemerkungen zutreffend ausführt, bezieht sich <ref-law>, wonach die Verfahrensleitung den Parteien unter anderem mitteilt, in welcher Besetzung das Gericht tagen wird, auf die erstinstanzliche Hauptverhandlung und kann nicht unbesehen auf das schriftliche Beschwerdeverfahren übertragen werden (vgl. Urteil 6B_503/2013 vom 27. August 2013 E. 2.2). Sodann ist darauf hinzuweisen, dass selbst wenn vorliegend eine vorgängige Bekanntgabe des mitwirkenden Richters Beat Stöckli zu erwägen gewesen wäre, eine entsprechende Unterlassung für sich allein nicht zur Aufhebung des angefochtenen Urteils (etwa wegen Verletzung von <ref-law>) führen würde. Eine solche Unterlassung hat in der Regel bloss zur Folge, dass eine allfällige Befangenheit des am Urteil Mitwirkenden bzw. eine verfassungswidrige Zusammensetzung des Spruchkörpers noch im Beschwerdeverfahren vor Bundesgericht gültig gerügt werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 8.4.3 S. 275; <ref-ruling> E. 3.2.1 f. S. 124 f.; Urteil 5A_463/2017 vom 10. Juli 2018 E. 3.3; nicht publ. in <ref-ruling>; Urteil 4A_62/2014 vom 20. Mai 2014 E. 3.1; nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen).
1.5.3. Der Beschwerdeführer macht vorliegend keine Befangenheit des gegen den anstelle von Oberrichterin Marianne Jeger eingesetzten Oberrichter Beat Stöckli geltend. Er ist jedoch der Auffassung, die Zusammensetzung des Spruchkörpers im angefochtenen Entscheid sei verfassungs- bzw. konventionswidrig, wobei er sich offenbar daran stösst, dass der vorinstanzliche Spruchkörper von der Normalbesetzung der Beschwerdekammer abweicht.
Die Vorinstanz hat das Abweichen von der üblichen Zusammensetzung der Beschwerdekammer in dem vor ihr geführten Beschwerdeverfahren nicht begründet. Eine Begründung wurde jedoch im Rahmen der Gegenbemerkungen vor Bundesgericht nachgeliefert. So führt die Vorinstanz darin aus, dass die damalige Präsidentin der Beschwerdekammer, Oberrichterin Marianne Jeger, sich im besagten Verfahren in den Ausstand begeben hat, da sie, wie der Beschwerdegegner 2, dem Club C._ angehöre. Gestützt auf den zum Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils massgeblichen § 10 Abs. 1 des Geschäftsreglements des Obergerichts, wonach Mitglieder einer Kammer, die verhindert oder zu entlasten sind, durch andere Mitglieder des Obergerichts oder durch Ersatzmitglieder ersetzt werden können, sei sie durch Oberrichter Beat Stöckli, ersetzt worden.
Dem Beschwerdeführer wurde vor Bundesgericht die Möglichkeit eingeräumt, zu diesen Ausführungen der Vorinstanz Stellung zu nehmen. Damit wurde sein Gehörsanspruch hinreichend gewahrt (vgl. 1B_311/2016 vom 10. Oktober 2016 E. 2.2 f. mit Hinweisen). Dass die von der Vorinstanz in den Gegenbemerkungen dargelegten Gründe ein Abweichen von der Normalbesetzung der Beschwerdekammer nicht rechtfertigen würden, macht der Beschwerdeführer zu Recht nicht geltend. Auch ist nicht ersichtlich, inwiefern die Kammerpräsidenten von dieser Regelung ausgeschlossen sein sollten. Der Vorinstanz kann jedenfalls keine Willkür vorgeworfen werden, wenn sie diese Bestimmung auch auf die Kammerpräsidentin anwendet, zumal diese gleich wie ein Mitglied der Kammer verhindert sein kann.
Zu der Frage, aus welche Gründen die Wahl ausgerechnet auf den Vizepräsidenten des Verwaltungsgerichts Beat Stöckli gefallen ist und wer diese Wahl getroffen hat, äussert sich die Vorinstanz jedoch weder in ihrem Entscheid vom 23. Mai 2018 noch in ihren Gegenbemerkungen. Auch den Verfahrensakten lässt sich - soweit ersichtlich - nichts Weiterführendes entnehmen. Aus § 9 Abs. 1 des Geschäftsreglements des Obergerichts geht indes hervor, dass der Kammerpräsident bzw. die Kammerpräsidentin die Prozessleitung besorgt und für jeden Fall ein referierendes Mitglied bestimmt. Diesem kann die Prozessleitung übertragen werden. Sodann hält § 10 des Geschäftsreglements des Obergerichts fest, dass verhinderte oder zu entlastende Mitglieder einer Kammer, durch andere Mitglieder des Obergerichts ersetzt werden können. Dies deutet darauf hin, dass bei einer von der Normalbesetzung der Beschwerdekammer abweichenden Spruchkörperbildung, zumindest der Belastung und Verfügbarkeit des neu einzusetzenden Gerichtsmitglieds Rechnung zu tragen ist. Wie das Bundesgericht in den Urteilen 6B_1458/2017 vom 21. Juni 2018 in E. 3.2.3 und 1C_187/2017 vom 20. März 2018 in E. 7.3 festgehalten hat, vermögen die Kriterien der Verfügbarkeit bzw. der Geschäftslast alleine die Zusammensetzung des Spruchkörpers indes nur unvollkommen steuern. Eine Spruchkörperbildung, welche abgesehen von der Verfügbarkeit bzw. der Geschäftslastverteilung keine abstrakten, im Voraus definierten transparenten und nachprüfbaren Kriterien, die das Ermessen des Zuständigen bei der Spruchkörperbesetzung in sachlicher Weise einschränken, berücksichtigt, erscheint nach der genannten Rechtsprechung des Bundesgerichts als problematisch und kann nur (aber immerhin) als Übergangslösung genügen (Urteile 6B_1458/2017 vom 21. Juni 2018 E. 3.2.3 und 1C_187/2017 vom 20. März 2018 E. 8). Dies scheint auch die Vorinstanz erkannt zu haben, zumal sie in den von ihr eingereichten Gegenbemerkungen auf geplante und in Zwischenzeit auch in Kraft getretene Änderungen bzw. Ergänzungen des Geschäftsreglements des Obergerichts hinweist, welches neu Zuständigkeit und Kriterien zur Bildung des Spruchkörpers detailliert festgelegt.
Im Ergebnis ist die Beschwerde damit in diesem Punkt abzuweisen.
2.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens wegen Urkundenfälschung, ungetreuer Geschäftsbesorgung und Betrug.
2.1. Soweit die "Star-Praxis" (vgl. dazu vorstehend E. 1.2) nicht zur Anwendung gelangt, ist die Privatklägerschaft zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG). In erster Linie geht es um Ansprüche auf Schadenersatz und Genugtuung gemäss <ref-law>, die üblicherweise vor den Zivilgerichten geltend gemacht werden. Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich die Absicht ihrer Beteiligung am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin erklärt hat (<ref-law>). Geschädigt ist, wer durch die Straftat in seinen Rechten unmittelbar verletzt worden ist, das heisst wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsguts ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 78).
Richtet sich die Beschwerde gegen die Einstellung oder Nichtanhandnahme eines Verfahrens, hat die Privatklägerschaft nicht notwendigerweise bereits vor den kantonalen Behörden Zivilansprüche geltend gemacht. In jedem Fall muss sie im Verfahren vor Bundesgericht jedoch darlegen, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken kann. Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (<ref-ruling> E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
2.2. Der Beschwerdeführer trägt zu seiner Legitimation vor, er habe sich am Verfahren vor Vorinstanz als Privatkläger und Beschwerdeführer beteiligt. Zivilansprüche habe er noch nicht substanziieren können. In dem zur Anzeige gebrachten Sachverhalt habe er jedoch geltend gemacht, vom Beschwerdegegner 2 beim Abschluss eines Aktienkaufvertrags betrogen und in seiner zivilrechtlichen Stellung als Aktionär von A.A._ AG getäuscht und geschädigt worden zu sein, unter anderem, da ihm der Liquidationsanteil aus dem rechtswidrigen Verkauf eines Unternehmensteils vorenthalten werde.
2.3. Der Beschwerdegegner 2 erachtet die Legitimation des Beschwerdeführers mangels hinreichender Begründung als nicht gegeben (vgl. Vernehmlassung Beschwerdegegner 2 Rz. 5).
2.4.
2.4.1. Die Ausführungen des Beschwerdeführers zur Legitimation sind äusserst knapp gehalten. Aus der Beschwerde ergibt sich jedoch, dass er dem Beschwerdegegner 2 vorwirft, ihn durch Vorspiegeln falscher Tatsachen dazu veranlasst zu haben, 95 seiner 100 Namenaktien an der A.A._ AG zu einem Preis zu verkaufen, der weit unter dem tatsächlichen Wert der Aktien lag. Er leitet den Schaden bzw. seine Forderung in Bezug auf den Vorwurf des Betrugs damit offensichtlich aus der Differenz zwischen Verkaufspreis und dem marktkonformen Preis der Aktien ab. Auf die Beschwerde kann insoweit eingetreten werden.
2.4.2. Anders verhält es sich jedoch hinsichtlich der Vorwürfe der ungetreuen Geschäftsbesorgung und der Falschbeurkundung. Der Beschwerdeführer wirft dem Beschwerdegegner 2 in diesem Zusammenhang vor, als einziges Mitglied des Verwaltungsrats der A.A._ AG, in Verletzung der mit ihm abgeschlossenen Verträge sowie unter Verstoss gegen die aktienrechtliche Kompetenzordnung, den rentablen Unternehmensteil D._fabrik veräussert zu haben. Dadurch habe er die A.A._ AG teilliquidiert und ihm, der weiterhin 5% der Aktien des Unternehmens halte, den ihm zustehenden Liquidationsanteil vorenthalten. Um den generierten Verkaufserlös gegenüber den Aktionären nicht offenlegen zu müssen, habe der Beschwerdegegner 2 in der Jahresrechnung das Bruttoprinzip verletzt und damit über den wahren finanziellen Status der A.A._ AG nach dem Verkauf der D._fabrik getäuscht. Damit sei es ihm gelungen, den für die Veräusserung der D._fabrik erzielten Verkaufserlös zu verheimlichen.
Mit diesen beschwerdeführerischen Vorbringen wird die Legitimation nicht hinreichend belegt. Dass das Vorenthalten des Liquidationsanteils und damit die vom Beschwerdeführer geltend gemachte Zivilforderung direkt kausale Folge einer angeblichen ungetreuen Geschäftsbesorgung oder einer Urkundenfälschung sein sollte, erschliesst sich nicht. Andere Zivilforderungen, welche dem Beschwerdeführer unmittelbar aufgrund dieser beiden zur Anzeige gebrachten Vorhalte zustehen könnten, werden von diesem sodann nicht genannt. Solche sind aufgrund der Natur des behaupteten deliktischen Verhaltens auch nicht ohne Weiteres ersichtlich. Der Beschwerdeführer erscheint damit weder durch die beanzeigte ungetreue Geschäftsbesorgung noch durch die behauptete Urkundenfälschung als unmittelbar verletzt bzw. geschädigt. Der Hinweis, dass der Verkauf eines rentablen Unternehmensteils unter Wert einen Schaden darstellen könne, vermag daran ebenfalls nichts zu ändern. Bei Vermögensdelikten zum Nachteil einer Aktiengesellschaft sind weder die Aktionäre noch die Gesellschaftsgläubiger unmittelbar verletzt (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 158 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer erschiene als Aktionär und Anteilseigner der direkt geschädigten A.A._ AG höchstens als mittelbar betroffen, was für die Begründung seiner Beschwerdelegitimation nicht ausreicht.
Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Nichtanhandnahme des Strafverfahrens wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung und Urkundenfälschung richtet, ist darauf folglich nicht einzutreten.
2.5.
Nachfolgend ist zu prüfen, ob die Vorinstanz die von der Staatsanwaltschaft verfügte Nichtanhandnahme des Strafverfahrens in Bezug auf den angezeigten Betrug zu Recht geschützt hat.
2.5.1. Der Beschwerdeführer rügt in diesem Zusammenhang eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro duriore" gemäss <ref-law>. Er macht zusammengefasst geltend, er habe dem Beschwerdegegner 2 eine Aktienmehrheit an der A.A._ AG weit unter dem wirklichen Wert der Aktien verkauft, da sich jener vertraglich dazu verpflichtet habe, das Unternehmen und die Arbeitsverhältnisse langfristig weiterzuführen. Kurz nachdem er selbst aus dem Verwaltungsrat der A.A._ AG ausgeschieden sei, habe der Beschwerdegegner 2 begonnen, die mit ihm abgeschlossenen Verträge (Aktienkaufvertrag und Aktionärsbindungsvertrag) zu verletzen, indem er den Hauptunternehmensteil D._fabrik an die Konkurrenz veräussert und die vom Verkauf der D._fabrik betroffenen Arbeitsverhältnisse aufgelöst habe. Diese Vertragsverletzungen wie auch die weiteren Verhaltensweisen des Beschwerdegegners 2 würden den Verdacht begründen, dass jener nie die Absicht gehabt habe, die D._fabrik vertragsgemäss weiterzuführen. Es sei nicht auszuschliessen, dass der Beschwerdegegner 2 den Beschwerdeführer beim Kauf der Aktien über seine wahren Absichten getäuscht habe, um die Aktien zu einem Preis weit unter dem wirklichen Wert kaufen zu können. Die von ihm geäusserten Verdachtsgründe würden ausreichen, um einen Anfangsverdacht des Betrugs zu begründen, der nach Massgabe von <ref-law> untersucht werden müsse. Indem die Vorinstanz diese Untersuchung verhindere, verletze sie das strafprozessuale Legalitätsprinzip. Die Vorinstanz habe sich mit seinen Ausführungen und den gesetzlichen Voraussetzungen für die Nichtanhandnahme nicht auseinandergesetzt, weshalb ein Anwendungsfall von <ref-law> vorliege. Der Beschwerdeführer hätte Anspruch auf Begründung, warum die von ihm begründeten Verdachtsmomente nicht nachvollziehbar sein sollen. Indem die Vorinstanz keinerlei Ausführungen dazu mache, habe sie auch sein rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt.
2.5.2. Die Staatsanwaltschaft eröffnet unter anderem dann eine Strafuntersuchung, wenn sich aus den Informationen und Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt (<ref-law>). Sie verzichtet auf eine Eröffnung, wenn sie sofort eine Nichtanhandnahmeverfügung oder einen Strafbefehl erlässt (<ref-law>). Die zur Eröffnung einer Strafuntersuchung erforderlichen tatsächlichen Hinweise auf eine strafbare Handlung müssen erheblich und konkreter Natur sein. Blosse Gerüchte oder Vermutungen genügen nicht. Der Anfangsverdacht soll eine plausible Tatsachengrundlage haben, aus der sich die konkrete Möglichkeit ergibt, dass eine Straftat begangen worden ist (Urteile 6B_1104/2018 vom 17. Mai 2019 E. 4.1 und 6B_178/2017 vom 25. Oktober 2017 E. 2.2.2). Steht aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports fest, dass die fraglichen Straftatbestände eindeutig nicht erfüllt sind, verfügt die Staatsanwaltschaft die Nichtanhandnahme (<ref-law>).
Die Frage, ob die Strafverfolgungsbehörde ein Strafverfahren durch Nichtanhandnahme erledigen kann, beurteilt sich nach dem aus dem strafprozessualen Legalitätsprinzip abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro duriore" (<ref-law> und <ref-law> i.V.m. Art. 319 Abs. 1 und Art. 324 Abs. 1 StPO; <ref-ruling> E. 4.2 S. 91). Danach darf die Nichtanhandnahme gestützt auf <ref-law> nur in sachverhaltsmässig und rechtlich klaren Fällen ergehen, so bei offensichtlicher Straflosigkeit, wenn der Sachverhalt mit Sicherheit nicht unter einen Straftatbestand fällt, oder bei eindeutig fehlenden Prozessvoraussetzungen. Die Strafverfolgungsbehörde und die Beschwerdeinstanz verfügen in diesem Rahmen über einen gewissen Ermessensspielraum, in welchen das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift. Im Zweifelsfall, wenn die Nichtanhandnahmegründe nicht mit absoluter Sicherheit gegeben sind, muss das Verfahren eröffnet werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 243; <ref-ruling> E. 4.1 S. 90 f.; <ref-ruling> E. 7 S. 226 f.).
2.5.3. Aus dem in <ref-law> garantierten Anspruch auf rechtliches Gehör folgt die Pflicht der Behörden, ihren Entscheid zu begründen. Die Begründung muss kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt. Die Behörde darf sich aber auf die wesentlichen Gesichtspunkte beschränken und muss sich nicht ausdrücklich mit jeder tatsächlichen Behauptung und jedem rechtlichen Einwand auseinandersetzen und diese widerlegen. Es genügt, wenn sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f.; <ref-ruling> E. 3.2.4 S. 41; je mit Hinweisen).
2.5.4. Die Vorinstanz erwägt, in vorliegendem Fall seien keine konkreten Anhaltspunkte oder Belege ersichtlich, welche dafür sprechen würden, dass der Beschwerdegegner 2 bereits bei Vertragsschluss im Jahr 2010 Verhandlungen über einen späteren Verkauf des Unternehmensteils D._fabrik mit der Konkurrenz geführt habe. Dass der Beschwerdegegner 2 den Beschwerdeführer durch Vorspiegeln falscher Tatsachen zum Verkauf seiner bei der A.A._ AG gehaltenen Namenaktien veranlasst habe, sei nicht nachvollziehbar. Die Vorinstanz schützt damit die Auffassung der Staatsanwaltschaft, wonach das vom Beschwerdeführer behauptete vertragswidrige Verhalten des Beschwerdegegners 2 fünf Jahre nach Abschluss des Aktienkaufvertrags im Jahr 2010 keinen hinreichenden Verdacht dafür zu begründen vermag, dass jener bereits beim besagten Vertragsschluss die Absicht hegte, die D._fabrik zu veräussern. Dies ist nicht zu beanstanden. Soweit die Vorinstanz den Straftatbestand des Betrugs infolge fehlender Hinweise auf eine tatbestandsmässige Handlung als eindeutig nicht erfüllt ansieht, verletzt sie kein Bundesrecht. Ebensowenig ist eine Verletzung des rechtlichen Gehörs (Begründungspflicht) zu erblicken. Aus den Erwägungen der Vorinstanz ergibt sich, weshalb diese die Nichtanhandnahme der Staatsanwaltschaft geschützt hat. Dass dem Beschwerdeführer eine sachgerechte Anfechtung nicht möglich gewesen wäre, ist nicht ersichtlich.
Die Beschwerde ist insoweit ebenfalls abzuweisen.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Gerichtskosten werden in der Regel der unterliegenden Partei auferlegt (<ref-law>). Da der unterliegende Beschwerdeführer erst aufgrund der Anrufung des Bundesgerichts die tatsächlichen Gründe für die von der Normalbesetzung abweichenden Spruchkörperbildung erfahren hat, rechtfertigt es sich ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer hat dem obsiegenden und anwaltlich vertretenen Beschwerdegegner 2 für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Diese wird entsprechend der vom Beschwerdegegner 2 eingereichten Honorarnote auf Fr. 1'882.90 festgesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Beschwerdeführer hat dem Beschwerdegegner 2 eine Parteientschädigung von Fr. 1'882.90 zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Rohrer