Sachverhalt:
A.
A.a. B.A._ stellte beim Bezirksgericht Winterthur das Begehren, es sei ihr in der gegen A.A._ eingeleiteten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts U._ (Zahlungsbefehl vom 8. Februar 2019) gestützt auf das Eheschutzurteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 14. November 2017 definitive Rechtsöffnung zu erteilen für Fr. 84'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. Juni 2016 sowie für Fr. 4'500 nebst Zins zu 5 % seit 1. Juni 2016.
A.b. Mit Verfügung vom 21. Februar 2019 setzte das Bezirksgericht A.A._ Frist an, um zum Rechtsöffnungsbegehren schriftlich Stellung zu nehmen. Innert Frist reichte A.A._ mit Eingabe vom 1. März 2019 seine Stellungnahme ein. Er verwies darin pauschal auf diverse Beilagen. Mit Schreiben vom 5. März 2019 teilte das Bezirksgericht A.A._ mit, dass substanziierte Behauptungen mit Hinweis auf die zugehörigen Beweismittel in der Gesuchsantwort selber anzuführen sind und setzte diesem Frist an, um seine Eingabe in diesem Sinne zu ergänzen; im Säumnisfall werde aufgrund der Akten entschieden. A.A._ holte das Einschreiben vom 5. März 2019 bei der für ihn zuständigen Poststelle innert der Abholfrist nicht ab.
A.c. Mit Urteil vom 2. April 2019 erteilte das Bezirksgericht B.A._ definitive Rechtsöffnung für Fr. 84'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 8. Februar 2019 und für Fr. 4'500.-- nebst Zins zu 5 % seit 20. Februar 2018 sowie für die Kosten und Entschädigungen gemäss den Dispositivziffern 2 bis 4 des Urteils. Im Mehrbetrag (Zinslauf) wurde das Begehren abgewiesen.
A.d. Mit Verfügung vom 18. April 2019 wies das Bezirksgericht das Wiederherstellungsgesuch des Gesuchsgegners betreffend die ihm mit Schreiben vom 5. März 2019 angesetzte Frist ab.
B.
Mit Eingabe vom 12. April 2019 erhob A.A._ gegen das Urteil vom 2. April 2019 beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde mit dem Antrag, es sei das bezirksgerichtliche Urteil aufzuheben und das Rechtsöffnungsbegehren abzuweisen. Eventuell sei ihm die durch das Bezirksgericht mit Schreiben vom 5. März 2019 angesetzte Frist wiederherzustellen. Das Obergericht wies die Beschwerde am 7. Mai 2019 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Gegen den obergerichtlichen Entscheid hat A.A._ am 20. Mai 2019 (Postaufgabe) eine mit Einsprache betitelte Beschwerde erhoben. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht die Wiederherstellung der mit Schreiben des Bezirksgerichts vom 5. März 2019 angesetzten Frist, um eine Substanziierung seines Tilgungseinwands vorzunehmen. Ausserdem stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Bezug auf das obergerichtliche Urteil ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache mit Fr. 30'000.-- übersteigendem Streitwert angefochten. Insoweit ist die Beschwerde in Zivilsachen gegeben (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 Abs. 2 und Art. 90 BGG).
1.2. Die Beschwerde hat ein Begehren und eine Begründung zu enthalten (<ref-law>). Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 116). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) gelten strengere Anforderungen. Gemäss dem Rügeprinzip (<ref-law>) prüft das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene Rügen. Es genügt nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Auf solche rein appellatorische Kritik tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer verlangt die Wiederherstellung der mit Schreiben des Bezirksgerichts vom 5. März 2019 angesetzten Frist bzw. beanstandet die Nichtwiederherstellung derselben durch die Vorinstanzen.
Auf dieses Vorbringen ist nicht einzutreten. Soweit die (vor Obergericht nicht angefochtene) Verfügung des Bezirksgerichts vom 18. April 2019 beanstandet wird, fehlt es an der Letztinstanzlichkeit im Sinne von <ref-law> und soweit sich die Rüge gegen das angefochtene Urteil richtet, ist sie ungenügend begründet (<ref-law>). Der Beschwerdeführer geht mit keinem Wort auf die vorinstanzliche Begründung ein, wonach ein begründetes Fristwiederherstellungsgesuch im Sinne von <ref-law> bei dem Gericht einzureichen sei, vor dem die Säumnis stattgefunden hat, wobei dies auch gelte, sofern der erstinstanzliche Entscheid bereits ergangen ist. Im Übrigen liegt die beantragte Wiederherstellung der im erstinstanzlichen Verfahren versäumten Frist auch nicht in der Kompetenz des Bundesgerichts.
3.
Weitere Anträge enthält die Beschwerde nicht. Ausserdem lässt sie jegliche Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid vermissen. Damit genügt die Beschwerde den gesetzlichen Anforderungen (s. vorne E. 1.2) nicht.
4.
Aus den dargelegten Gründen kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen. Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Buss