Erwägungen:
1.
A._ erhob am 23. März 2019 (Poststempel) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. Februar 2019. Der daraufhin eingeforderte Kostenvorschuss ist auch innert gesetzter Nachfrist nicht geleistet worden, weshalb das Bundesgericht mit Urteil 9C_216/2019 vom 13. Mai 2019 auf die Beschwerde nicht eintrat.
Mit Eingaben vom 10. Juli 2019 (Poststempel) und 15. August 2019 (Poststempel) ersucht A._ um Wiederherstellung der Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses. Er macht geltend, er sei am 25. März 2019 nach Südamerika geflogen. Aufgrund einer unvorhergesehenen zahnärztlichen Behandlung habe er dort länger verweilen müssen als geplant. Die Rückkehr in die Schweiz sei ihm erst am 31. Mai 2019 möglich gewesen. Da er unverschuldet davon abgehalten worden sei, fristgerecht zu handeln, ersuche er um Gutheissung seines Gesuchs.
2.
2.1. Gemäss <ref-law> erwachsen Entscheide des Bundesgerichts am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft. Das Gericht kann ein Urteil nicht frei in Wiedererwägung ziehen; es kann im Rahmen einer Revision darauf zurückkommen, wenn einer der gesetzlichen Revisionsgründe (Art. 121 - 123 BGG) geltend gemacht wird. Ebenso kann gemäss <ref-law> eine versäumte Frist wiederhergestellt werden, wenn eine Partei (durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung; <ref-law>) unverschuldeterweise abgehalten worden ist, fristgerecht zu handeln, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Die Wiederherstellung kann auch nach Eröffnung des Urteils bewilligt werden; wird sie bewilligt, so ist das Urteil aufzuheben (<ref-law>).
2.2. Auf Wiederherstellung der Frist ist nur zu erkennen, wenn die Säumnis auf ein unverschuldetes Hindernis, also auf die objektive oder subjektive Unmöglichkeit, rechtzeitig zu handeln, zurückzuführen ist. War die gesuchstellende Person wegen eines von ihrem Willen unabhängigen Umstands verhindert, zeitgerecht zu handeln, liegt objektive Unmöglichkeit vor. Subjektive Unmöglichkeit wird angenommen, wenn zwar die Vornahme einer Handlung objektiv betrachtet möglich gewesen wäre, die betroffene Person aber durch besondere Umstände, die sie nicht zu verantworten hat, am Handeln gehindert worden ist. Die Wiederherstellung ist nach der bundesgerichtlichen Praxis nur bei klarer Schuldlosigkeit zu gewähren (Urteile 5G_2/2016 vom 20. Mai 2016 E. 1.2; 2C_752/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.4; beide mit Hinweisen; KATHRIN AMSTUTZ/PETER ARNOLD, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 5 zu <ref-law>).
3.
3.1. Der Gesuchsteller beruft sich auf eine längere Abwesenheit im Ausland, die es ihm verunmöglicht habe, die entsprechenden Verfügungen des Bundesgerichts mit der Aufforderung zur Bezahlung des Kostenvorschusses abzuholen. Diese Rüge ist unbehelflich. Denn er musste aufgrund der von ihm eingereichten Beschwerde mit umgehend erfolgenden Zustellungen wie namentlich der Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses rechnen. Dass kurz nach Einreichung eines Rechtsmittels regelmässig Frist ansetzende gerichtliche Mitteilungen erfolgen können, liegt in der Natur der Sache; dies muss auch einem juristischen Laien bewusst sein. Er war verpflichtet, für den Abwesenheitsfall die nötigen Massnahmen zu treffen, damit ihm gerichtliche Mitteilungen zukommen konnten (<ref-ruling> E. 3.1 S. 431 f. mit Hinweisen). Wer nach Beschwerdeerhebung vorübergehend abwesend ist und dies weder dem Gericht anzeigt noch jemanden mit der Entgegennahme von Postsendungen betraut, kann sich nicht auf ein unverschuldetes Hindernis im Sinne von <ref-law> berufen, wenn er wegen fehlender Kenntnisnahme einer Fristansetzung nicht rechtzeitig handelt (Urteil 2F_10/2014 vom 27. Juni 2014 E. 2.2.1 in fine mit Hinweis).
3.2. Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von <ref-law> nicht genügt (vgl. Urteil 6B_1086/2017 vom 3. Oktober 2017 E. 3 mit Hinweis). Soweit der Gesuchsteller als Hinderungsgrund eine unvorhergesehene zahnärztliche Behandlung in Südamerika nennt, ist mit Blick auf den von ihm beigelegten Bericht der B._ AG vom 15. August 2019, wonach dem Gesuchsteller ein Implantat eingesetzt worden sei, nicht ersichtlich und wird auch nicht genügend dargelegt (vgl. <ref-law>), weshalb eine Rückkehr in die Schweiz krankheitsbedingt nicht möglich gewesen sein soll.
3.3. Gründe, welche Hand für eine Fristwiederherstellung bieten könnten, sind somit weder dargetan noch ersichtlich. Mithin ist auf die Frage nach der Rechtzeitigkeit des Fristwiederherstellungsgesuchs sowie auf die weitere Voraussetzung gemäss <ref-law>, wonach die versäumte Rechtshandlung innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses nachgeholt werden muss, nicht einzugehen. Das Gesuch ist abzuweisen.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Gesuchsteller die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 27. August 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Huber