Erwägungen:
1.
1.1. Der Verein A._ mit Sitz in B._/LU wurde im Jahr 2013 gegründet. Er bezweckt die weltweite Förderung wirtschaftlich und sozial benachteiligter und anderweitig verfolgter Personen sowie Organisationen mit demselben Zweck. Am 4. Juli 2018 ersuchte er die Steuerverwaltung des Kantons Luzern (KSTV/LU; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) um Befreiung von der subjektiven Steuerpflicht, was er mit seiner gemeinnützigen Ausrichtung begründete. Die Veranlagungsbehörde wies das Gesuch sowohl für die direkte Bundessteuer als auch die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern ab (Verfügung vom 26. März 2019) und bestätigte dies auf Einsprache hin (Einspracheentscheid vom 1. Juli 2019).
1.2.
1.2.1. Dagegen gelangte der Verein an das Kantonsgericht des Kantons Luzern, das die Beschwerde mit Entscheid 7W 19 43 / 7W 19 44 vom 21. April 2020 abwies, soweit darauf einzutreten war. Das Kantonsgericht trat zunächst auf das Gesuch um "Einsetzung ausserkantonaler Richter" nicht ein, das es als Ausstandsgesuch gegenüber allen Mitgliedern des Kantonsgerichts entgegennahm. Die Begründung ging namentlich dahin, dass das Gesuch verspätet eingereicht worden sei und der pauschale Vorwurf, die Mitglieder des Kantonsgerichts würden Eigeninteressen verfolgen (da es sich um Angestellte des Kantons Luzern handle), von vornherein untauglich sei.
1.2.2. Alsdann teilte das Kantonsgericht zwar die Auffassung des Vereins, dass die Veranlagungsbehörde auf das an sie gerichtete Ausstandsgesuch hätte eintreten müssen. Da das Kantonsgericht in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht über uneingeschränkte Kognition verfüge, lasse sich der Mangel aber durch die kantonsgerichtliche Entscheidfindung heilen und erübrige sich eine Rückweisung an die Vorinstanz. Wenn der Mangel besonders schwer wiege, sei eine Heilung zwar grundsätzlich ausgeschlossen. Von einer Rückweisung der Sache an die Veranlagungsbehörde sei jedoch auch bei einer schwerwiegenden Verletzung abzusehen, wenn und soweit die Rückweisung einem verfahrensrechtlichen Leerlauf gleichkäme. Dem Verein gelinge es freilich nicht, einen gesetzlichen Ausstandsgrund vorzubringen. Namentlich lägen weder Rivalität oder Feindschaft vor noch begründe die Anstellung beim Kanton Luzern rechtserhebliche persönliche Interessen. Sodann sei der Einspracheentscheid zwar knapp ausgefallen, er zeige die wesentlichen Überlegungen aber auf und erlaube eine hinreichende Begründung der Beschwerde. Eine Gehörsverletzung liege mithin nicht vor. Weiter sei nicht zu beanstanden, dass die Veranlagungsbehörde darauf bestanden habe, Bilanzen, Erfolgsrechnungen, Jahresberichte, Reglemente und insbesondere ein unterzeichnetes Exemplar der Statuten einzuverlangen. Dies habe der Verein unterlassen, wodurch er gegen die ihm obliegende Mitwirkungspflicht verstossen habe.
1.2.3. In der Sache selbst fehlten die Voraussetzungen der Befreiung von der subjektiven Steuerpflicht (aufgrund der Verfolgung eines öffentlichen oder gemeinnützigen Zweckes; <ref-law> bzw. Art. 23 Abs. 1 lit. f StHG). Der Verein habe geringfügige Zahlungen im tiefen dreistelligen Bereich an vereinzelte hilfsbedürftige Personen im Ausland (Kuba, Philippinen, Kamerun) nachgewiesen, gleichzeitig falle aber auf, dass die höheren Ausgaben auf die Reisekosten des Präsidenten entfielen. Ein Vergabereglement fehle; die Zahlungen erfolgten gemäss den Angaben des Präsidenten "nach seriösem Studium und genügender Prüfung". Weiter zeige sich, dass der Verein den Neubau eines zweistöckigen Einfamilienhauses mit einer Nettowohnfläche von rund 120 Quadratmetern plane, wozu ein Baugesuch vom April 2020 vorliege. Welchen Zwecken dieses Haus dienen soll, bleibe ungewiss. Die Vereinskonten lauteten auf Privatpersonen (Vereinsmitglieder), was eine jederzeitige Saldierung erlaube. Statutengemäss sei das Liquidationsergebnis im Fall der Auflösung des Vereins nur dann einem anderen steuerbefreiten gemeinnützigen Verein zuzuwenden, wenn der streitbetroffene Verein seinerseits über die Steuerbefreiung verfüge. Dies alles lasse eine Unterstellung unter <ref-law> bzw. Art. 23 Abs. 1 lit. f StHG (Verfolgung eines gemeinnützigen Zweckes, Ausschliesslichkeit der Mittelverwendung, Unwiderruflichkeit der Zweckbindung, Tätigwerden im Sinne der Statuten) nicht zu. Trotz Verfahrensfehlers der Veranlagungsbehörde (aufgrund der ausgebliebenen Behandlung des Ausstandsgesuchs bzw. der Beurteilung der Einsprache durch die Person, die bereits die Veranlagung vorgenommen hatte) seien die Verfahrenskosten dem Verein aufzuerlegen. Diesem sei keine Entschädigung zuzusprechen.
1.3. Mit Eingabe vom 5. Juni 2020 unterbreitet der Verein dem Bundesgericht eine als "Rekurs" bezeichnete Eingabe. Er lässt sich durch seinen Präsidenten, einen ausgebildeten Juristen (MLaw), vertreten und beantragt, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben. Der Kanton Luzern sei anzuweisen, die nachgesuchte Steuerbefreiung auszusprechen. Der Verein lehnt die Bundesrichter Seiler (Präsident), Zünd, Donzallaz und Stadelmann ab. An deren Stelle seien "ausserordentliche private Schiedsrichter" einzusetzen, über deren Berufung Bundesrichterin Aubry Girardin oder die Bundesrichter Haag, Merkli, Fonjallaz oder Kneubühler zu befinden hätten. Dem Verein sei für das bundesgerichtliche Verfahren das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zuzusprechen und ihm ein Anwalt beizuordnen. Weiter sei dem Verein eine Kostenentschädigung von mindestens Fr. 60'000.-- und eine Genugtuung von mindestens Fr. 120'000.-- zuzusprechen. Schliesslich sei die Beschwerdefrist bis zum 20. oder 30. August 2020 zu verlängern.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel (<ref-law>), abgesehen.
2.
2.1. Der "Rekurs" ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen. Deren Voraussetzungen sind gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Für eine individuelle Verlängerung der Frist ("bis zum 20. oder 30. August 2020") besteht kein Anlass, nachdem eine gesetzliche Frist vorliegt (<ref-law>). Die Beurteilung des Schadenersatzes von mindestens Fr. 60'000.-- und der Genugtuung von mindestens Fr. 120'000.--, wie dies dem Verein vorschwebt, liegt ausserhalb des Streitgegenstandes. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 255) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 241).
2.3. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des rein kantonalen und kommunalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 305 f.).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG). "Offensichtlich unrichtig" ist mit "willkürlich" gleichzusetzen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 1 S. 328).
3.
3.1. Der Verein stellt für das bundesgerichtliche Verfahren das Begehren um Ausstand der Bundesrichter Seiler (Präsident), Zünd und Donzallaz. Damit ist er nicht zu hören. Die frühere Mitwirkung an zahlreichen vom Vereinspräsidenten in eigener Sache angestrengten bundesgerichtlichen Verfahren, deren Ausgang allem Anschein nach den Erwartungen des Steuerpflichtigen nicht in allen Teilen entsprach, setzt keinen Ausstandsgrund. Dies hat das Bundesgericht dem Vereinspräsidenten im Laufe der Zeit immer wieder aufs Neue dargelegt (<ref-law>). Auf lediglich pauschal begründete und daher unzulässige Ausstandsgesuche ist, ohne dass das Verfahren nach <ref-law> durchzuführen wäre, nicht einzutreten. Dabei können auch die abgelehnten Gerichtspersonen mitwirken (zuletzt in Sachen des heutigen Vereinspräsidenten etwa Urteil 2C_605/2019 vom 27. Juni 2019 E. 3.1). Dem Begehren des Vereins, die vorliegende Sache möge von (ausserordentlichen) Gerichtsmitgliedern mit "kommunistisch-sozial-christlich-grün-humaner Grundeinstellung" beurteilt werden, kann nicht entsprochen werden.
3.2. Die Vorinstanz ist auf das für das dortige Verfahren gestellte Ausstandsgesuch nicht eingetreten (vorne E. 1.2.1). Inwiefern die Vorinstanz die massgebenden Bestimmungen (<ref-law> bzw. § 14 Abs. 1 des Gesetzes des [Kantons Luzern] vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG/LU; SRL 40]) bundesrechtswidrig bzw. verfassungsrechtlich unhaltbar ausgelegt und angewandt haben könnte, zeigt der Verein nicht auf. Insbesondere tut er nicht dar, dass er vor Kantonsgericht kein bloss pauschales, sondern ein nachvollziehbares, detailliertes Gesuch eingereicht habe. Vorzubringen, die vorinstanzlichen Erwägungen seien "absoluter Mist", reicht hierzu nicht aus. Ebenso wenig behelflich ist der Einwand, die Überlegungen des "verbrecherisch geldgierigen Verwaltungsgerichts" erschöpften sich in "hohlen, leeren, inhaltslosen Floskeln". Die Rüge ist unbegründet.
3.3. Der Verein rügt, die Vorinstanz hätte den von der ersten Instanz begangenen Gehörsfehler (Nichtbehandlung des Ausstandsgesuchs) nicht heilen und daraufhin selber entscheiden dürfen. Dies überzeugt nicht. Die Vorinstanz erkannte, dem Verein gelinge es nicht, einen gesetzlichen Ausstandsgrund vorzubringen. Namentlich lägen weder Rivalität oder Feindschaft vor noch begründe die Anstellung beim Kanton Luzern rechtserhebliche persönliche Interessen (vorne E. 1.2.2). Der Verein hält dem im bundesgerichtlichen Verfahren hauptsächlich nur entgegen, es liege ein Verstoss gegen das "Recht auf unabhängige Entscheidpersonen gem. EMRK 6.1" vor. Dabei übersieht er, dass abgaberechtliche Verpflichtungen - vorbehältlich des abgaberechtlichen Strafrechts - keine "zivilrechtliche Streitigkeit" im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK darstellen, weshalb die Konventionsgarantien hier von vornherein nicht angerufen werden können (<ref-ruling> E. 3.3.5 S. 348). Einen Verstoss gegen <ref-law> bzw. § 14 Abs. 1 VRG/LU bringt der Verein nicht vor, jedenfalls nicht hinreichend begründet (Art. 42 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law> [bezüglich des DBG] bzw. <ref-law> [hinsichtlich des VRG/LU]). Der Rüge ist daher nicht weiter nachzugehen, zumal die Vorinstanz die Rechtslage zutreffend dargelegt hatte (<ref-ruling> E. 6.3.2 S. 417; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 197 f. zum vergleichbaren Gehörsanspruch). Da die Vorinstanz in tatsächlicher und rechtlicher Hinsicht über uneingeschränkte Kognition verfüge, liess sich der Mangel durch die kantonsgerichtliche Entscheidfindung heilen und erübrigte sich eine Rückweisung an die Vorinstanz.
3.4. Zum Einwand, der Einspracheentscheid enthalte eine unzureichende Begründung, hat die Vorinstanz festgehalten, die Begründung sei zwar knapp, sie lasse aber eine wirksame Beschwerde zu (vorne E. 1.2.2). Der Verein macht vor Bundesgericht in diesem Zusammenhang ein gehörsverletzendes Vorgehen der kantonalen Instanzen geltend. Neben recht allgemein gehaltenen Anmerkungen, die im Wesentlichen in einer appellatorischen Kritik steckenbleiben, bringt er Argumente vor, die als gesucht erscheinen und wenig stichhaltig sind. Auch die Beanstandung, dass die Vorinstanz den Kommentar zum Steuergesetz des Kantons Zürich zitiert, vermag die vorinstanzliche Beurteilung nicht als verfassungsrechtlich unhaltbar darstellen. Dies wäre aber unerlässlich, nachdem der Verein ein verfassungsmässiges Individualrecht anruft und daher der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit zu genügen hat (<ref-law>; vorne E. 2.3).
3.5. Nur verhältnismässig kurz geht der Verein auf den Hauptpunkt (Befreiung von der subjektiven Steuerpflicht) ein. Hierzu liegt eine detaillierte Begründung des vorinstanzlichen Entscheids vor (vorne E. 1.2.3), die in allen Teilen in Einklang mit <ref-law> bzw. Art. 23 Abs. 1 lit. f StHG steht. Ob die Vorstandsmitglieder ehrenamtlich arbeiten, was der Präsident für sich und einen gewissen C._ (zu welchem die Vorinstanz nichts festgestellt hat) reklamiert, ist mit Blick auf die Tatbestandselemente bedeutungslos. Wesentlich ist hingegen, dass die Vorinstanz auf die Unterschriftenregelung hinsichtlich der Bankkonti und auf das Vorhaben, ein Einfamilienhaus zu erstellen, aufmerksam machte, um daraus auf die fehlende Gemeinnützigkeit zu schliessen. Die diesbezüglichen Feststellungen sind für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>; vorne E. 2.4), nachdem der Verein nichts vorbringt, was die Beweiswürdigung als verfassungsrechtlich unhaltbar darstellen könnte. Die angebliche Auszonung der Bauparzelle ist in keiner Weise dargetan. Dementsprechend ist auch der rechtliche Schluss auf die fehlende Gemeinnützigkeit nicht zu beanstanden.
3.6. Der Verein wendet sich weiter gegen die vorinstanzliche Auferlegung von Kosten. Er verweist auf den im Geschäftsjahr 2017 eingetretenen Verlust von Fr. 14'280.17 und mutmasst, dass das Defizit im (buchmässig noch nicht abgeschlossenen) Geschäftsjahr 2018 höher ausfallen werde. Die Bauparzelle werde an Wert einbüssen, nachdem die Auszonung drohe. Dass und inwiefern die Vorinstanz verfassungsrechtlich unhaltbar zur Auferlegung von Kosten geschritten ist, zeigt der Verein indes nicht auf. Auch diese Rüge bliebt wirkungslos.
3.7. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Die Sache kann im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 65 in Verbindung mit <ref-law>) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Verein aufzuerlegen. Für diesen Fall stellt er ein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege. Dem Gesuch kann nicht entsprochen werden, nachdem die gestellten Anträge von vornherein aussichtlos waren (<ref-law> e contrario). Entsprechend fällt es auch ausser Betracht, dem Verein einen amtlichen Anwalt beizuordnen, wenngleich der Vereinspräsident vorbringt, "mit eigenen Fällen völlig überlastet" zu sein. Dem Kanton Luzern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Verfahrenskosten und anwaltliche Verbeiständung) wird abgewiesen.
4. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher