Faits :
A.
A.a. A._ est entré dans la gendarmerie genevoise en 1993. A la suite de promotions successives, il a été promu à la fonction de brigadier-chef de groupe avec effet au 1 er avril 2012. Il était alors colloqué en classe 16 de l'échelle des traitements. Parallèlement à ses fonctions au sein de la gendarmerie, il est député au Grand Conseil genevois depuis le 3 novembre 2005 (avec réélections en 2009, 2013 et 2018). A ce titre, il est membre de plusieurs commissions parlementaires, dont celle du contrôle de gestion. Depuis le mois d'octobre 2012, il est administrateur des Transports publics genevois (TPG), en qualité de membre désigné par le Grand Conseil. Il est également membre du conseil municipal de la commune de U._, dont il a de plus été conseiller administratif lors de la législature 2008-2011 (maire en 2009 et 2010). A tout le moins jusqu'au 3 mars 2017, il a également tenu un blog hébergé par le journal E._, dans lequel il se présentait comme "député-maire de [la commune] 2009/2010".
A.b. Au mois d'août 2013, le chef du Département de la sécurité (anciennement Département de la sécurité et de l'économie; ci-après: le département) a demandé à la cheffe de la police de procéder à des investigations sur l'usage que A._ était soupçonné d'avoir fait de sa fonction de policier pour obtenir des TPG un enregistrement vidéo d'un incident survenu dans un tram alors qu'il n'était pas chargé de l'enquête.
Le 16 octobre 2013, la cheffe de la police a dénoncé A._ au Procureur général. Elle relevait qu'en date du 8 mai 2013, le fonctionnaire s'était rendu dans les locaux des TPG en se prévalant de son statut de policier afin de procéder à la consultation des images de vidéosurveillance embarquée dans un tram des TPG, alors même qu'un autre policier était en charge de l'enquête portant sur ces images, à savoir un différend entre un contrôleur des TPG et B._. Selon la cheffe de la police, ces faits étaient susceptibles de constituer un abus d'autorité au sens de l'art. 312 du Code pénal suisse (CP). Une procédure pénale a alors été ouverte (procédure P/15759/2013).
Par lettre du 18 octobre 2013, remise en mains propres, le chef du département a informé A._ de son intention d'ouvrir une enquête administrative à son encontre. Après que le fonctionnaire se fut déterminé sur cette éventualité, le chef du département, par arrêté du 26 novembre 2013, a décidé l'ouverture de cette enquête, en raison des faits susmentionnés, "ainsi que tous autres faits répréhensibles susceptibles d'apparaître au cours de l'enquête". L'enquête était suspendue dans l'attente du résultat de la procédure pénale en cours.
A.c. Par lettre du 19 juin 2014, adressée au département (et reçue par ce dernier le 23 juin 2014), le procureur général a dénoncé le comportement de A._ en lien avec la procédure pénale dirigée contre C._. Il rapportait que les 15 mai, 3 juin et 8 juin 2014, le policier avait publié sur le blog qu'il éditait et qui était hébergé par le journal E._ des billets dans lesquels il avait pris publiquement fait et cause pour le prévenu, respectivement contre la procédure conduite par le premier procureur, personnellement attaqué par le policier. A l'occasion du procès de C._, qui s'était déroulé du 15 mai au 6 juin 2014, A._ s'était cette fois attaqué non seulement au premier procureur, mais également à la présidente du Tribunal criminel. A cette lettre étaient jointes des photocopies des publications tirées du blog. Selon le procureur général, il était parfaitement inadmissible qu'un policier, sous couvert de sa liberté de parole de citoyen, injurie deux magistrats et accuse ouvertement la justice d'être vendue à de sombres intérêts et de comploter pour condamner des innocents.
Par arrêté du 4 mai 2015, le département a étendu l'objet de l'enquête administrative ouverte le 26 novembre 2013 aux faits portés à sa connaissance par le procureur général. Il était précisé que l'enquête demeurait suspendue dans l'attente du résultat de la procédure pénale P/15759/2013 en cours.
A.d. Le 23 juin 2015, le chef du département a reçu du procureur général une ordonnance pénale rendue le 10 juin 2015 dans la cause P/13445/2014. Cette ordonnance faisait suite à une plainte du parti socialiste de U._ (ci-après: PS U._). A._ était déclaré coupable de calomnie et condamné à une peine pécuniaire de 120 jours-amende de 210 fr. chacun, avec mise au bénéfice du sursis et délai d'épreuve de trois ans, ainsi qu'à une amende de 5'000 fr. Cette condamnation concernait une publication de A._ sur son blog d'un billet intitulé "Le poker menteur du PS U._". La publication de ce billet est intervenue le 3 juillet 2014 en période préélectorale à la suite de la décision du PS U._ de faire usage d'une clause dérogatoire statutaire pour permettre à D._, alors conseiller administratif et maire de la Ville de U._, de se présenter aux élections municipales de 2015 pour un quatrième mandat. Ce billet contenait notamment les passages suivants:
Comme l'ont fait avant lui tous les mouvements socialistes, notamment le parti national-socialiste d'Adolf, les socialistes de U._ ont entériné la demande de prolongation de mandat de leur campéone. Ils prouvent ainsi que la seule chose qu'ils savent faire ce sont des promesses, ici celle de la démocratie interne. Permettre à un élu de braver les interdits est une façon de signifier aux membres qu'il est interdit de braver les chefs.
C'est de cette façon que fonctionnent les partis totalitaires. C'est sur cette promesse de proximité avec le peuple que le parti national-socialiste a entamé sa marche vers le succès à partir de 1929 et c'est en phagocytant le pouvoir une fois arrivés aux commandes de l'appareil qu'une poignée de dirigeants ont introduit les dérives qui ont conduit à la catastrophe de 1939. Non sans préciser que ce parti et son leader étaient cités en exemple par le socialistes genevois Léon Nicole, ce qui tout sur cette longue tradition du PS genevois. (sic)
Il est intéressant de constater que Sieur D._ traite volontiers ses adversaires, alors qu'ils tiennent promesse en étant réellement proches du citoyen, de populistes et qu'à la première occasion venue, il pêche par le pire des travers, monopoliser le pouvoir aux mains d'une pseudo élite. (...)
Par arrêté du 26 octobre 2015, le département a étendu l'enquête administrative aux faits ayant donné lieu à l'ordonnance précitée. Il a ordonné la reprise de l'enquête et en a confié la conduite à un ancien juge de la Cour de justice. Il a précisé que l'enquête porterait sur les faits décrits dans les deux arrêtés précédents ainsi que sur les faits ayant donné lieu à l'ordonnance du 10 juin 2015.
A.e. Le 15 mars 2016, l'enquêteur administratif a rendu son rapport.
A.f. Par lettre du 13 mai 2016, la commission de gestion du Pouvoir judiciaire a fait part au chef du département de ce qu'en sa qualité de député au Grand Conseil, A._ avait déposé quinze questions écrites urgentes entre le 14 octobre 2015 et mars 2016, portant toutes sur le fonctionnement du Ministère public, et par extension, du Pouvoir judiciaire. L'intéressé mettait systématiquement et gratuitement en cause le fonctionnement du Ministère public, dénonçant la durée excessive des procédures, l'inefficience de la juridiction, le temps d'attente des avocats ou le mode arbitraire de désignation des avocats d'office ou encore les violations quotidiennes de leur serment par les magistrats.
Le 19 mai 2016, le conseiller d'Etat a informé A._ qu'après avoir pris connaissance de ses observations consécutives au rapport d'enquête administrative et de la lettre précitée de la commission de gestion du Pouvoir judiciaire, il envisageait de proposer sa révocation au Conseil d'Etat.
A.g. Par ordonnance du même jour et transmise au département, le procureur général a ordonné le classement de la procédure P/15759/2013 (affaire dite des TPG). Il a condamné A._ au paiement de la moitié des frais de procédure. D'autre part, par jugement du 20 mai 2016 dans la cause P/13445/2014, faisant suite à la plainte du PS U._, le Tribunal de police a reconnu A._ coupable de calomnie et l'a condamné à une peine pécuniaire de nonante jours-amende au montant de 210 fr. chacun, avec sursis et délai d'épreuve de deux ans, ainsi qu'à une amende de 3'500 fr. Ce jugement a été confirmé par la Chambre pénale d'appel et de révision (arrêt du 7 décembre 2016).
B.
Par arrêté du 31 août 2016, le Conseil d'Etat, se fondant sur le rapport d'enquête du 15 mars 2016, les observations de A._, le courrier de la commission de gestion du Pouvoir judiciaire, ainsi que sur des auditions personnelles de l'intéressé les 14 et 28 juillet 2016, a dégradé l'intéressé en tant que sous-brigadier "fonction située en classe 15, annuités 18, pour une période de quatre ans".
C.
Par arrêt du 6 février 2018, la Cour de justice de la République et canton de Genève (Chambre administrative) a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision.
D.
A._ forme un recours en matière de droit public et, subsidiairement, un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et demande au Tribunal fédéral de constater que les actes qui lui sont reprochés en lien avec les publications relatives à la procédure pénale contre C._ et au PS U._ étaient prescrits au moment de l'arrêté du Conseil d'Etat du 31 août 2016. En tout état de cause, il conclut à l'absence de tout manquement dans ses fonctions de policier. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Le Conseil d'Etat conclut au rejet des recours. A._ a répliqué et persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération. Selon les allégués du recourant, son salaire annuel avant la dégradation était de 113'008 fr. La mesure prise réduit pendant quatre ans son salaire à 111'542 fr. A cette perte, il conviendrait d'ajouter une perte sur son deuxième pilier qui pourrait atteindre 10'000 fr. Le recourant affirme qu'il aurait en outre obtenu un avancement dans sa carrière s'il n'avait pas été dégradé et qu'il serait devenu commissaire (collocation en classe 25). La sanction disciplinaire entraînerait donc selon lui une perte dépassant largement le seuil de 15'000 fr. qui ouvre la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (85 al. 1 let. b LTF).
1.2. La question de savoir s'il faut en l'occurrence prendre en considération d'autres éléments que la seule diminution de traitement pendant quatre ans (cette diminution étant inférieure à 15'000 fr.) peut demeurer indécise. En tout état de cause, si la voie ordinaire du recours en matière de droit public n'était pas ouverte, celle du recours constitutionnel subsidiaire le serait (<ref-law>). En effet, le recourant invoque la violation de droits constitutionnels (<ref-law>) - griefs qui peuvent être soulevés dans ces deux types de recours - et peut se prévaloir d'un intérêt juridique protégé (<ref-law>).
2.
Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 et 118 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.3.3 p. 342; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (art. 105 al. 2 et 118 al. 2 LTF qui renvoie à l'<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368).
3.
La cour cantonale a jugé la cause du recourant en application des dispositions topiques de la législation cantonale, notamment l'ancienne loi du 26 octobre 1957 sur la police (aLPol; abrogée et remplacée au 1 er mai 2016 par la loi du 9 septembre 2014 sur la police [LPol; RS/GE F 1 05]).
Sous le titre "Sanctions", l'art. 36 al. 1 LPol - qui correspond en substance à l'art. 36 al. 1 aLPol - prévoit ceci:
1 Selon la gravité de la faute, les sanctions disciplinaires suivantes peuvent être infligées au personnel de la police:
a) le blâme;
b) les services hors tour;
c) la réduction de traitement pour une durée déterminée;
d) la dégradation pour une durée déterminée;
e) la révocation.
Selon l'art. 37 al. 6 aLPol, applicable au moment des faits litigieux, la responsabilité disciplinaire se prescrit par un an après la découverte de la violation des devoirs de service et en tout cas par cinq ans après la dernière violation; la prescription est suspendue, le cas échéant, pendant la durée de la procédure administrative.
4.
4.1. La juridiction cantonale retient que la responsabilité disciplinaire du recourant n'était pas prescrite, tant pour l'affaire dite des TPG que pour les publications du recourant sur son blog, et ce pour les motifs suivants:
Se référant aux travaux préparatoire relatifs aux modifications (entrées en vigueur en 2007) de la loi générale du 4 décembre 1997 relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux (LPAC; RS/GE B 5 05), modifications qui ont notamment introduit l'art. 37 al. 6 aLPol, la cour cantonale a commencé par rappeler que si l'employeur suspend l'enquête administrative en attendant le résultat, par exemple, d'une enquête pénale, la prescription cesse de courir, ce qui garantit dans tous les cas la possibilité pour l'État de sévir.
Passant à l'examen du cas concret, la juridiction cantonale relève que l'enquête administrative ouverte par l'arrêté du 26 novembre 2013 et portant sur l'affaire des TPG a été suspendue par ce même arrêté dans l'attente du résultat de la dénonciation adressée le 16 octobre 2013 au Ministère public. Par arrêté du 4 mai 2015, le département a étendu l'objet de l'enquête administrative aux faits portés à sa connaissance le 23 juin 2014, à savoir les propos tenus par l'intéressé dans son blog en lien avec la procédure pénale visant C._. Ladite enquête demeurait toutefois suspendue dans l'attente du résultat de la procédure pénale P/15759/2013 (affaire des TPG). Par arrêté du 26 octobre 2015, le département a fait porter l'enquête administrative également aux faits ayant donné lieu à l'ordonnance pénale prononcée le 10 juin 2015 par le procureur général dans l'affaire du PS U._. Il a en même temps ordonné la reprise de l'enquête. Celle-ci a donc été suspendue entre son ouverture, le 26 novembre 2013, et sa reprise, le 26 octobre 2015. Entre la reprise de l'enquête administrative et la remise du rapport de l'enquêteur le 15 mars 2016, la prescription disciplinaire a continué à être suspendue (art. 37 al. 6 aLPol). Or, le conseiller d'Etat a été mis au courant des agissements du recourant dans l'affaire des TPG au mois d'août 2013. Les blogs incriminés ont été quant à eux publiés entre le 15 mai et le 3 juillet 2014, alors que l'enquête administrative était suspendue, cela pour tous les faits répréhensibles susceptibles d'apparaître au cours de celle-ci.
Rappelant que l'arrêté de dégradation attaqué a été prononcé le 31 août 2016 et tenant compte de la suspension de la prescription disciplinaire du 26 novembre 2013 au 15 mars 2016, la cour cantonale retient en définitive que ledit arrêté a été rendu dans un délai d'un peu moins de dix mois s'agissant de l'affaire des TPG (août à novembre 2013 et mars à août 2016) et d'environ cinq mois et demi pour ce qui est des publications incriminées (mars à août 2016).
Sur la base de ces considérations, la juridiction précédente parvient à la conclusion que pour aucune des fautes reprochées, la prescription n'était acquise en août 2016 lorsque le Conseil d'Etat a rendu son arrêté de dégradation.
4.2. Le recourant se plaint d'une application arbitraire de l'art. 37 al. 6 aLPol. Selon lui, il serait arbitraire de considérer que l'arrêté du 26 novembre 2013, qui concernait uniquement l'affaire des TPG, aurait ouvert une enquête administrative s'étendant à des faits survenus ultérieurement et sans aucun lien avec cette affaire. L'interprétation par la Cour de justice de l'art. 37 al. 6 aLPol, manifestement inexacte et choquante aux yeux du recourant, ouvrirait la voie à tous les abus dans le but de détourner les règles claires sur la prescription et le principe de célérité de l'enquête administrative, permettant ainsi le prononcé de sanctions pour des faits manifestement prescrits. Pour le recourant, chaque acte ou manquement commis par un fonctionnaire doit faire l'objet d'une ouverture spécifique d'une enquête administrative. La prescription doit être examinée séparément pour chacune des fautes.
Le recourant fait ainsi valoir que c'est au plus tard à fin mai 2014 que le chef du département ou la cheffe de la police ont été informés du contenu des billets relatifs à la procédure pénale dirigée contre C._ censé être connu dès le moment de la publication sur le blog. Or, le département n'a formellement ouvert une enquête à ce propos que le 4 mai 2015, soit pratiquement onze mois après la découverte des faits litigieux. Cet acte d'ouverture a interrompu le délai de prescription. Selon le recourant, le délai d'un an a donc recommencé à courir le 15 mars 2016 (date de la remise du rapport d'enquête). A son avis, la prescription annale était donc largement acquise pour ces faits au 31 août 2016.
Elle le serait également pour ce qui est de la publication dans le blog du 3 juillet 2014 concernant le PS U._. Partant de l'idée que cette publication a été largement diffusée dans la presse, le recourant fait valoir que l'autorité était censée la connaître au plus tard dans la première dizaine de juillet 2014. Le 23 juin 2015, alors que le délai d'une année était presque échu, le département a reçu du Ministère public l'ordonnance pénale du 10 juin 2015 en lien avec ce blog. Or le département a attendu le 26 octobre 2015 pour ouvrir formellement une enquête administrative à ce sujet. Le recourant conclut qu'à cette date, le délai de prescription avait expiré depuis plus de quatre mois déjà.
En conclusion, le recourant soutient que son éventuelle responsabilité disciplinaire en raison du contenu de ses publications était prescrite.
4.3. Sauf exceptions non réalisées en l'espèce, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être interjeté pour violation du droit cantonal en tant que tel, mais il est possible de faire valoir qu'une mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 387; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 69). Une décision est arbitraire lorsqu'elle viole gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou lorsqu'elle contredit d'une manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité. Le Tribunal fédéral n'a pas à déterminer quelle est l'interprétation correcte que l'autorité cantonale aurait dû donner des dispositions applicables; il doit uniquement examiner si l'interprétation qui a été faite est défendable. Par conséquent, si celle-ci ne se révèle pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation cantonale en cause, elle sera confirmée, même si une autre solution paraît également concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 324; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 516).
4.4. Il convient en premier lieu de constater que, contrairement à ce que soutient le recourant, l'autorité a ouvert une seule procédure administrative pour les faits concernant l'affaire des TPG. Par la suite, le département a étendu à deux reprises l'objet de cette enquête en raison des publications du recourant. Ces faits nouveaux sont survenus alors que la procédure administrative était suspendue. La conclusion des premiers juges selon laquelle cette suspension valait pour l'ensemble des faits reprochés au recourant, même si elle est discutable, ne saurait pour autant être taxée d'arbitraire. Elle ne va pas à l'encontre du texte de la loi, qui est muet sur la question de la prise en compte de faits nouveaux survenus au cours d'une procédure administrative déjà ouverte pour d'autres manquements présumés. Comme le relève l'intimé, l'extension d'une enquête administrative à d'autres faits pouvant survenir au cours de celle-ci peut se justifier par la nécessité d'apprécier globalement les diverses violations des devoirs de service reprochées au fonctionnaire, afin de pouvoir fixer une seule sanction. Suivre la thèse du recourant reviendrait à obliger l'autorité à ouvrir successivement plusieurs procédures administratives, indépendantes les unes des autres et à prononcer des sanctions distinctes et séparées par des intervalles plus ou moins longs. Dans la plupart des cas, un tel procédé ne permettrait pas de tenir compte de l'importance relative de chacun des manquements et, par voie de conséquence, de respecter par une appréciation globale la gradation des sanctions disciplinaires prévues par la loi. Par exemple, en cas de violations multiples des devoirs de service, chaque manquement ne mériterait peut-être pas à lui seul une sanction particulièrement sévère, cependant que leur cumul pourrait justifier une révocation qui est la mesure disciplinaire la plus grave. On ajoutera que le délai de la prescription absolue de cinq ans permet en tout état de cause d'éviter que des sanctions soient prononcées pour des faits anciens dont la preuve est devenue difficile, voire impossible, et pour lesquels, au demeurant, une sanction aurait perdu de son sens (cf. arrêt 8C_621/2015 du 13 juin 2016 consid. 2.5).
4.5. Le grief d'arbitraire soulevé par le recourant est dès lors mal fondé.
5.
5.1. Le recourant invoque - à titre principal pour l'affaire des TPG et à titre subsidiaire pour ce qui est des billets publiés dans son blog, c'est-à-dire dans l'hypothèse d'un rejet de l'exception de prescription - une violation de ses droits politiques, ainsi que la liberté d'opinion et d'expression. Il invoque les art. 10 par. 1 et 14 CEDH, les art. 8 al. 2, 16 et 34 al. 2 Cst., ainsi que les art. 44 al. 2 et 45 al. 2 Cst./GE (RS 131.234) relatif à la garantie des droits politiques. Il conteste en outre les manquements qui lui sont reprochés dans l'affaire des TPG.
S'agissant de sa publication relative à la procédure pénale contre C._, il insiste sur le fait qu'il n'a fait l'objet d'aucune plainte de la part des personnes mises en cause. Dans cette affaire, il aurait agi en tant que politicien et plus précisément de député au Grand Conseil. S'agissant du PS U._, il soutient, également, qu'il s'est exprimé en tant que député, qui plus est dans le contexte d'une période électorale.
5.2. Se référant à la jurisprudence du Tribunal fédéral (arrêt 8C_146/2014 du 26 juin 2014 consid. 5.5; 2P.273/2000 du 11 avril 2001 consid. 3b/bb), la cour cantonale a justement rappelé qu'un fonctionnaire, pendant et hors de son travail, a l'obligation d'adopter un comportement qui inspire le respect et qui est digne de confiance. Sa position exige qu'il s'abstienne de tout ce qui peut porter atteinte aux intérêts de l'Etat, en particulier à la confiance du public dans l'intégrité de l'administration et de ses employés, et qui pourrait provoquer une baisse de confiance envers l'employeur. Il est sans importance que le comportement répréhensible ait été connu ou non du public et ait attiré l'attention. Les exigences liées au comportement d'un policier - qui plus est un brigadier-chef - excèdent celles imposées aux autres fonctionnaires. Sous peine de mettre en péril l'autorité de l'Etat, les fonctionnaires de police, qui sont chargés d'assurer le maintien de la sécurité et de l'ordre publics et exercent à ce titre une part importante de la puissance publique, doivent être eux-mêmes irréprochables.
5.3. Pour ce qui est de l'affaire des TPG, il ressort des constatations du jugement attaqué que le recourant, dans le but d'obtenir des images de vidéosurveillance concernant le cas de B._, a créé à tout le moins une confusion sur la fonction - administrateur des TPG ou gendarme - en qualité de laquelle il s'adressait au "coordinateur sécurité réseau" des TPG. Il a profité de la similitude de la situation avec l'affaire d'une autre usagère (contrôlée sans titre de transport), dont il était cette fois chargé en qualité de gendarme. Selon les premiers juges, il ne pouvait ignorer cet état de confusion. Sur ce point, le recourant s'en prend vainement, par une critique de nature appellatoire et donc irrecevable, aux constatations de l'arrêt attaqué (supra consid. 2). Cela étant, comme l'ont retenu les premiers juges, même si l'intention fait défaut pour retenir un abus d'autorité, l'intéressé a néanmoins commis une faute en entretenant un flou sur son droit d'intervenir, alors même qu'il n'était pas autorisé à visionner l'enregistrement en question, que ce soit en tant que policier ou en tant qu'administrateur (voir l'ordonnance de classement du 19 mai 2016, p. 6). En admettant que cette faute était suffisante pour justifier une sanction disciplinaire, la juridiction cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire.
5.4.
5.4.1. Dans ses publications des 15 mai, 3 et 8 juin 2014, le recourant, en substance, reprochait au premier procureur et à la présidente du Tribunal criminel d'agir, dans le procès de C._, comme des magistrats politisés placés à leurs fonctions respectives par leurs amis politiques et "arrangeants" les faits pour atteindre une issue du procès décidée à l'avance (en l'occurrence la condamnation d'une personne innocente selon le recourant), sans aucune impartialité, mais avec haine et en utilisant si besoin des méthodes mafieuses. De plus, dans ces accusations contre le premier procureur et la présidente du Tribunal criminel, l'intéressé a utilisé des termes incontestablement irrespectueux, insultants et dégradants, par exemple "pas totalement idiot" pour le premier et "arrogante et suffisante, la pom-pom girl socialiste présidente" pour la seconde. Comme le souligne la cour cantonale, ces attaques étaient gratuites et d'une très grande gravité, puisqu'elles tendaient à rendre méprisables aux yeux des lecteurs les deux magistrats visés. Elles étaient d'autant plus graves qu'elles visaient non seulement la présidente d'un tribunal, mais aussi un magistrat du Ministère public, qui est une autorité de poursuite pénale (<ref-law>), comme l'est également la police (<ref-law>), à la surveillance et aux instructions duquel cette dernière est soumise (<ref-law>). Le fait que les personnes visées n'ont pas déposé plainte pénale n'enlève rien à la gravité des attaques et à la responsabilité disciplinaire qui peut en résulter.
5.4.2. En ce qui concerne la publication relative au PS U._, il ressort de l'arrêt attaqué que le recourant a été reconnu coupable de calomnie (<ref-law>). L'arrêt attaqué relève à ce propos qu'un recours du fonctionnaire contre la décision de la Chambre pénale d'appel et de révision du 7 décembre 2016 a été rejeté par le Tribunal fédéral (arrêt 6B_119/2017 du 12 décembre 2017). Dans cet arrêt, le Tribunal fédéral a relevé que le recourant admettait que son texte assimilait le comportement du PS U._ au parti national-socialiste d'Adolf Hitler. Selon le tribunal, un tel soupçon même jeté sur un parti politique et non sur un simple citoyen, dépasse clairement les limites pourtant larges posées à la liberté d'expression et lèse l'honneur de ce parti dans la mesure où il l'expose au mépris (consid. 3.2.1).
5.4.3. La publication par le recourant des billets incriminés n'est à l'évidence pas compatible avec un comportement exemplaire, impartial et digne, respectueux de la personne humaine et des biens, que doit avoir en tout temps et tout lieu un policier (dans ce sens, voir le code de déontologie de la police genevoise du 1 er août 1997; ordre de service DERS I 1.01, mis à jour le 1 er janvier 2013). Ce code vise à arrêter les principes généraux dans lesquels s'inscrit l'action de la police et fixe le contexte éthique de son activité. Le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de se référer à ces règles, qui concrétisent les exigences liées au comportement d'un policier au sens de la jurisprudence susmentionnée (cf. arrêt 8C_740/2017 du 25 juin 2018 consid. 4.3). Elles s'imposent d'autant plus à un brigadier-chef qui est censé les faire appliquer par ses subordonnés.
Certes, si l'élection au Grand Conseil de fonctionnaires cantonaux, notamment de policiers, est admissible selon le droit cantonal, le fonctionnaire doit pouvoir jouir de la liberté d'expression dans le domaine du discours et du débat politique, dans lequel cette liberté revêt la plus haute importance (cf. <ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 323 et l'arrêt 6B_119/2017 du 12 décembre 2017 consid. 3.1). L'Etat-employeur doit tenir compte de cette exigence lorsqu'il est amené à prononcer une sanction disciplinaire pour des propos jugés inadéquats. Le fait que le recourant exerce un mandat de député n'équivaut cependant pas à un blanc-seing en sa faveur qui l'autoriserait, sous couvert de la liberté d'expression et de la garantie de ses droits politiques, de porter aussi gravement atteinte à l'honneur d'autrui. En outre, même si le recourant déclare avoir agi en qualité de député, il n'en reste pas moins qu'une grande partie de ses lecteurs ne pouvait ignorer sa qualité de policier. Comme l'a souligné l'enquêteur dans son rapport du 15 mars 2016, le recourant est une figure du canton bien connue du grand public, aussi bien en tant qu'homme politique, qu'en tant que policier. L'enquêteur observe encore que ses propos ont été diffusés sur son blog hébergé par le journal E._, c'est-à-dire auprès d'un large public se situant dans la sphère géographique d'influence de l'administration à laquelle il est rattaché (rapport p. 37).
5.4.4. On doit donc conclure que de tels propos pouvaient assurément justifier une sanction disciplinaire de la part de l'employeur.
6.
6.1. Le recourant se plaint d'un établissement lacunaire des faits et d'une appréciation arbitraire des preuves versées au dossier (art. 9 Cst.). En particulier, la Cour de justice aurait omis de tenir compte de ses qualités professionnelles, des innombrables félicitations et des remerciements qu'il aurait reçus durant sa carrière professionnelle. Elle n'aurait pas non plus accordé d'importance à la manière dont lui a été notifié le courrier du 18 octobre 2013 (par lequel le chef du département l'a informé de son intention d'ouvrir une enquête administrative). La remise en mains propres de cette communication par le commandant de gendarmerie démontrerait le caractère éminemment politique de l'ouverture d'une enquête administrative à son endroit, en période électorale de surcroît. Enfin, les considérants du jugement attaqué comporteraient d'importantes erreurs sur les faits.
6.2. En l'espèce, la juridiction précédente n'a pas méconnu les états de service du recourant et les félicitations reçues de ses supérieurs (voir p. 37 s. du jugement attaqué). D'autre part, le recourant ne démontre pas en quoi la notification de la communication en question était contraire au droit ou, à tout le moins, était un indice d'une mesure à caractère politique. Sur ce point, le recourant se contente de renvoyer aux pièces du dossier, ce qui n'est pas suffisant au regard des exigences de motivation de l'<ref-law>. Au demeurant, c'est surtout le comportement postérieur à l'ouverture de l'enquête administrative qui a été jugé comme étant particulièrement grave et non pas tant l'affaire des TPG qui est à l'origine de la communication en question. Pour le reste, le recourant s'en prend à nouveau, par une critique de nature appellatoire et donc irrecevable, aux constatations de la cour cantonale.
7.
7.1. Le recourant reproche encore à la cour cantonale de ne pas avoir examiné si le Conseil d'Etat était ou non fondé à le sanctionner, également, pour les faits rapportés par la commission de gestion du Pouvoir judiciaire dans sa lettre du 13 mai 2016, relative aux multiples questions urgentes déposées par le recourant et portant en particulier sur le fonctionnement du Ministère public et de la justice en général. Il fait valoir que le Conseil d'Etat a retenu à ce propos que par ses interventions il avait contrevenu, notamment, à diverses dispositions du règlement du 24 février 1999 d'application de la loi générale relative au personnel de l'administration cantonale, du pouvoir judiciaire et des établissements publics médicaux (RPAC; RS/GE B 5 05.01), en discréditant gravement le pouvoir judiciaire (arrêté du 31 août 2016, p. 17). Or la Cour de justice aurait dû, selon le recourant, se prononcer sur ces reproches et les écarter, car le Conseil d'Etat lui aurait fait encourir une responsabilité pour ses propos, ce qui serait inadmissible au regard de l'art. 85 Cst./GE qui lui garantissait l'immunité en tant que parlementaire.
7.2. Les premiers juges ont considéré à ce propos que les autres fautes (affaire des TPG et publication des billets incriminés) reprochées au recourant étaient suffisantes pour justifier la sanction litigieuse. Cela ressort de manière plus ou moins explicite du considérant 6 in fine de l'arrêt attaqué ("Au regard des considérants qui suivent, la question de savoir si l'intimé était fondé à sanctionner disciplinairement le recourant pour ces faits [dénoncés par la commission judiciaire] pourra souffrir de demeurer indécise"). Dans le recours en matière de droit public comme dans le recours constitutionnel subsidiaire, la partie recourante doit avoir un intérêt actuel et pratique à son recours (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 143; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 24; arrêts 8C_767/2016 du 7 août 2017 consid. 6.2; 8C_236/2010 du 7 décembre 2010 consid. 2.1.1). En l'occurrence, le recourant ne démontre pas qu'il disposerait d'un tel intérêt à faire constater qu'aucun reproche ne peut être formulé à son endroit s'agissant du contenu des questions urgentes déposées en sa qualité de député.
8.
En conclusion, les premiers juges n'ont pas fait preuve d'arbitraire en retenant que l'intervention du recourant dans l'affaire dite des TPG et le contenu de ses billets justifiaient une sanction disciplinaire et en confirmant la mesure prise par le Conseil d'Etat à son encontre.
Il s'ensuit que le jugement attaqué n'est pas critiquable. Le recours se révèle ainsi mal fondé.
9.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lucerne, le 29 janvier 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella