Sachverhalt:
A.
Der Verein A._ betreibt das Pflegeheim B._. Dieses erbringt im Bereich der Langzeitpflege Leistungen der stationären Grund- und Spezialversorgung (Pflegeheimliste für den Kanton Luzern, gültig ab 1. Juli 2017). Nachdem Verhandlungen mit der Stadt Luzern über den massgebenden Vollkostentarif für das Jahr 2019 gescheitert waren, unterzeichneten die Parteien am 28. Januar 2019 eine provisorische Leistungsvereinbarung mit einem Vollkostentarif von Fr. 1.30 pro Pflegeminute. Auf Antrag des Pflegeheims B._ legte die Stadt Luzern anschliessend für das Jahr 2019 einen Vollkostentarif von Fr. 1.30 pro Pflegeminute fest (Stadtratsbeschluss Nr. 267 vom 15. Mai 2019), was sie auf Einsprache hin bestätigte (Stadtratsbeschluss Nr. 556 vom 11. September 2019). Dieser Tarif basierte auf Vollkosten von Fr. 1.33 pro Pflegeminute gemäss letzter abgeschlossener Kostenrechnung des Pflegeheims B._ aus dem Jahr 2017, abzüglich Fr. 0.02 unter dem Titel "Auslastung" und Fr. 0.025 unter dem Titel "KLV-Schlüssel", zuzüglich Fr. 0.015 zum Ausgleich einer Unterdeckung im Jahr 2017.
B.
Die hiergegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 21. August 2020 ab.
C.
Der Verein A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Anträgen, es sei das vorinstanzliche Urteil aufzuheben und für die Leistungen des Pflegeheims B._ im Jahre 2019 ein Pflegeminutentarif von Fr. 1.33 festzusetzen. Eventualiter sei die Sache zur Festsetzung eines Pflegeminutentarifs für das Jahr 2019 an das kantonale Gericht zurückzuweisen.
Die Stadt Luzern beantragt, es sei auf die Beschwerde nicht einzutreten; eventualiter sei diese abzuweisen. Das Bundesamt für Gesundheit (BAG) verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Der vorliegende Streit betrifft der Sache nach einen Tarif, wobei als Beschwerdeführer ein Leistungserbringer am Recht steht, der im Jahr 2019 Pflegeleistungen erbracht hat. Zumindest im Hintergrund sind damit Leistungen der Restfinanzierung (<ref-law>; eingehend unten E. 4) für im Pflegeheim B._ gepflegte Personen strittig. Entsprechend wurde die Beurteilung der Beschwerde der II. sozialrechtlichen Abteilung zugewiesen (Art. 35 lit. d des Reglements vom 20. November 2006 für das Bundesgericht [BGerR; SR 173.11.131]; vgl. in <ref-ruling> nicht publizierte E. 1.2 des Urteils 9C_305/2017 vom 20. Februar 2018; <ref-ruling> E. 1.2).
2.
Das Bundesgericht prüft in Bezug auf das vor- wie letztinstanzliche Verfahren die Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen; zur indes auch in diesem Kontext nur auf substanziierte Rüge hin erfolgende Prüfung der Verletzung von Grundrechten - einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht - vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
2.1. Das Pflegeheim B._ ist eine Institution seines Trägervereins "Verein A._" ohne eigene Rechtspersönlichkeit. Es ist mithin nicht partei- und prozessfähig. Die im Namen des "B._ Pflegeheim[s]" geführte Beschwerde lässt sich indes zwanglos auffassen als solche im Namen dessen Trägervereins zu Gunsten "seines" Pflegeheims, zumal die Anwaltsvollmacht vom 26. März 2019 nicht allein von der Heimleiterin, sondern von dieser zusammen mit dem Präsidenten des Vereins A._ unterzeichnet ist, mithin durch zwei für den Trägerverein kollektiv zu zweien zeichnungsberechtigte Personen. Beschwerdeführer im bundesgerichtlichen Verfahren ist demnach - entgegen der unzutreffenden Bezeichnung in der Beschwerde - der Verein A._.
2.2. Dass das Kantonsgericht Bundes (verfassungs) recht verletzt haben sollte, indem es die Verfügungskompetenz der Stadt Luzern sowie seine eigene Zuständigkeit im vorliegenden Tarifstreit gestützt auf kantonales Recht (§ 16 bzw. 17 Abs. 3 BPG/LU) bejahte, wird weder geltend gemacht noch ist es ersichtlich. Weiterungen dazu erübrigen sich.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG).
3.2. Soweit die Vorinstanz kantonales Recht anzuwenden hatte, kann, abgesehen von den hier nicht massgebenden, in den Art. 95 lit. c-e BGG genannten Fällen, nur geltend gemacht werden, der angefochtene Entscheid verstosse gegen Normen des Bundesrechts oder des Völkerrechts (Art. 95 lit. a und b BGG). Im Übrigen kann die Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts lediglich im Lichte der verfassungsmässigen Rechte und Grundsätze, namentlich des Willkürverbots (<ref-law>), geprüft werden (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4.2.2; <ref-ruling> E. 3). Eine willkürliche Anwendung kantonalen Rechts liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen; vgl. zum Ganzen zuletzt etwa Urteil 8D_13/2020 vom 19. Juli 2021 E. 3.1). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde substanziiert vorgebracht und begründet wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
3.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4).
4.
Seit Inkrafttreten der Neuordnung der Pflegefinanzierung am 1. Januar 2011 leistet einerseits die obligatorische Krankenpflegeversicherung (OKP) einen Beitrag an die Pflegeleistungen, die aufgrund einer ärztlichen Anordnung und eines ausgewiesenen Pflegebedarfs ambulant oder im Pflegeheim erbracht werden (<ref-law>). Andererseits haben sich sowohl die Versicherten (im Umfang von maximal 20 % des höchsten vom Bundesrat festgesetzten Pflegebeitrages, <ref-law>) als auch die öffentliche Hand (Restfinanzierung, <ref-law>) an den Pflegekosten zu beteiligen.
<ref-law> überträgt den Kantonen die Ausgestaltung der konkreten Modalitäten der Restfinanzierung ("Die Kantone regeln die Restfinanzierung", bzw. in den französischen und italienischen Sprachfassungen: "Les cantons règlent le financement résiduel"; "I Cantoni disciplinano il finanziamento residuo"). Dies ändert indes nichts daran, dass der grundsätzliche Anspruch auf Übernahme der ungedeckten Pflegekosten durch die öffentliche Hand (Kanton oder - aufgrund kantonaler Delegation - Gemeinden) bundesrechtlicher Natur ist (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 3.1). Bundesrechtlicher Natur ist damit auch die Frage danach, ob sich der Anspruch auf Deckung der Restkosten der stationären Pflege dem Grundsatz nach nur auf wirtschaftlich erbrachte Leistungen bezieht oder auf die gesamten Vollkosten. Sache des kantonalen Rechts ist hingegen - bei Anwendbarkeit des Wirtschaftlichkeitsgebots im Bereich der Restfinanzierung von Pflegeleistungen - die konkrete Ausgestaltung einer Wirtschaftlichkeitsprüfung.
4.1. Im KVG statuiert Art. 32 Abs. 1 ein allgemein geltendes Wirtschaftlichkeitsgebot. Die Rechtsprechung hat dazu im Zusammenhang mit der Restfinanzierung festgehalten, es sei "die Aufgabe der Kantone, welchen die Restfinanzierung für die Pflegekosten obliegt, die Einhaltung der entsprechenden Vorgaben sicherzustellen, allenfalls in Form von Tarifvorschriften, [...]". Seien diese "im Einzelfall jedoch nicht kostendeckend, erweisen sie sich als mit der Regelung von <ref-law> nicht vereinbar." (<ref-ruling> E. 7.4.3; zur Bedarfsermittlung, die ebenfalls eine Facette der Wirtschaftlichkeitsprüfung bildet, vgl. a.a.O. E. 6.2 und E. 7.4.4.2). Das ist zu präzisieren wie folgt: Der Leistungserbringer hat von Bundesrechts wegen keinen Anspruch auf Entschädigung seiner Vollkosten unbesehen der Wirtschaftlichkeit. Das allgemeine Wirtschaftlichkeitsgebot (<ref-law>) limitiert einerseits den zu deckenden Pflegebedarf (vgl. zur Pflegebedarfsermittlung aktuell <ref-law>; bis 31. Dezember 2019 Art. 8 aKLV; vgl. ausserdem <ref-ruling> E. 7.4.4.2). Anderseits verlangt es, dass der ermittelte Bedarf möglichst kostengünstig gedeckt wird. Das Erfordernis der Wirtschaftlichkeit begrenzt zum vornherein den Umfang der versicherten Leistungen. Sämtliche der im Bereich der obligatorischen Krankenpflegeversicherung involvierten Akteure haben zu gewährleisten, dass das Ziel von <ref-law>, nämlich die Sicherstellung einer effizienten, qualitativ hochstehenden und zweckmässigen Gesundheitsversorgung zu möglichst günstigen Konditionen, erreicht wird (SVR 2017 KV Nr. 13 S. 59, 9C_176/2016 vom 21. Februar 2017 E. 6.2.1; vgl. analog auch den Wortlaut des <ref-law>, der so die Wirtschaftlichkeit definiert). Vor diesem - bundesrechtlichen - Hintergrund ist die Freiheit des kantonalen Gesetzgebers zu verstehen, Tarife, Höchstpreise oder Fallpauschalen vorzusehen, um auf die Kosten der Bedarfsdeckung mässigend einzuwirken (vgl. <ref-ruling> E. 7.4.3; <ref-ruling> E. 5.1; Urteil 2C_727/2011 vom 19. April 2012 E. 6.3.1, nicht publiziert in <ref-ruling>). Dass abstrakte Vorgaben dabei nicht absolut gelten können, sondern nur insoweit, als sie einer Deckung der Kosten wirtschaftlicher Leistungserbringung nicht entgegenstehen, hat die Rechtsprechung unmissverständlich klargestellt: So ist etwa unvereinbar mit der Regelung von <ref-law> eine Vorgabe fixer betraglicher Höchstansätze, die dazu führt, dass unbesehen jeglicher konkreten Wirtschaftlichkeitsprüfung die Kosten eines bestimmten Anteils der "teuersten" Pflegeheime auf einer kantonalen Liste nicht gedeckt werden (<ref-ruling> E. 7.4.2 f.).
4.2. Als Ausfluss der Freiheit der Kantone in der Ausgestaltung der Restfinanzierung steht es dem Kanton Luzern frei, ein Verfahren vorzusehen, bei dem deren Höhe primär auf tarifvertraglichen Vereinbarungen beruht (§ 7 BPG/LU) mit subsidiärer Regelung für den vertragslosen Zustand (hoheitliche Festsetzung im Einzelfall, § 8 BPG/LU i.V.m. <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 5.3 i.V.m. E. 3.1). Ebenso kann der Kanton - wie im Kanton Luzern geschehen - vorsehen, dass das Gemeinwesen bei vertragslosem Zustand - als Basis der (späteren, individuellen) direkten hoheitlichen Festsetzung der Restfinanzierungsbeiträge gemäss § 8 BPG/LU i.V.m. <ref-law> - den für einen bestimmten Leistungserbringer anwendbaren Pflegeminutentarif hoheitlich festlegt. Damit wird eine gewisse Symmetrie hergestellt im Verhältnis zu Leistungserbringern, mit denen ein Tarifvertrag besteht, der den anwendbaren Pflegeminutentarif fixiert. An dessen Stelle tritt dann der verfügte Tarif. In beiden Fällen richtet sich in einem ersten Schritt die Ermittlung der massgeblichen Gesamtkosten grundsätzlich nach den Vorgaben des kantonalen Rechts (vgl. für den Kanton Luzern insbesondere § 3 ff. BPG/LU und § 3a ff. BPV/LU). Dies schliesst die Ausgestaltung der Wirtschaftlichkeitsprüfung mit ein (§ 7 Abs. 2 BPG/LU sowie § 4 Abs. 2 lit. b BPV/LU). Darauf folgt - jedenfalls im Streitfall - in einem zweiten Schritt die Verfügung über die konkreten Leistungen gestützt auf <ref-law> (sowie § 8 BPG/LU) unter Zugrundelegen des zuvor festgelegten Tarifs bzw. Pauschalbetrags.
Konkret berechnet sich der Restfinanzierungsbeitrag im Kanton Luzern - ausgehend vom anwendbaren, hier strittigen, Pflegeminutentarif - wie folgt: Zunächst wird der Pflegeminutentarif (z.B.: Fr. 1.33) multipliziert mit dem durchschnittlichen Minutenaufwand der Pflegestufe gemäss KLV (z.B.: 131 Minuten pro Person und Tag in der Pflegestufe 7). Dies ergibt die Pflegevollkosten pro Tag (im Beispiel: Fr. 1.33/Minute x 131 Minuten = bei Rundung auf zehn Rappen genau Fr. 174.20 pro Person und Tag in der Pflegestufe 7). Von diesen werden die Beiträge der Krankenversicherer gemäss KLV (z.B.: Fr. 63.- in der Pflegestufe 7 gemäss <ref-law> in der bis Ende 2019 geltenden Fassung) sowie der Pflegebedürftigen (bis Ende 2019: Fr. 21.60) abgezogen. Was verbleibt, ist der Restfinanzierungsbeitrag, der im Kanton Luzern nach kantonalem Recht zu Lasten der Gemeinde geht (im Beispiel: Fr. 89.60 pro Person und Tag in der Pflegestufe 7).
5.
Fallbezogen überprüfte das Kantonsgericht im Wesentlichen die hoheitliche Tariffestsetzung der Stadt Luzern für das Pflegeheim B._ im Jahr 2019, indem es an den vom Beschwerdeführer ausgewiesenen Vollkosten der Pflege (im der Berechnung zugrunde liegenden Jahr 2017) den Massstab des Wirtschaftlichkeitsgebots anlegte. Es gelangte zum Schluss, die Berechnungen der Stadt Luzern seien nachvollziehbar und der verfügte Tarif von Fr. 1.30 pro Pflegeminute korrekt.
5.1. Der Beschwerdeführer macht verschiedene Verletzungen seiner verfassungsmässigen Rechte geltend. Soweit er eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs im Sinne der Begründungspflicht (<ref-law>) rügt, ist eine solche nicht erkennbar, hat sich doch die Vorinstanz einlässlich mit seinen Vorbringen befasst und ihren Entscheid ausführlich begründet. Die Rügen einer Verletzung von Treu und Glauben, des Legalitätsprinzips, der Gebote von Rechtsgleichheit und Verhältnismässigkeit sowie der Wirtschaftsfreiheit begründet er nicht in einer den qualifizierten Anforderungen von <ref-law> genügenden Weise. Weiterungen dazu erübrigen sich.
5.2. Weiter rügt der Beschwerdeführer die vorgenommene Wirtschaftlichkeitsprüfung bereits dem Grundsatz nach als unvereinbar mit <ref-law>, was das Bundesgericht mit freier Kognition prüft (<ref-ruling> E. 1.3 und E. 2 Ingress). Damit dringt er nicht durch: Nach dem Gesagten (oben E. 4.1) verschafft <ref-law> entgegen seiner Auffassung keinen unbeschränkten Anspruch auf Deckung der Vollkosten, sondern verpflichtet das Gemeinwesen zur Übernahme der Restkosten nur insoweit, als diesen eine wirtschaftliche Leistungserbringung zugrunde liegt. Der Kanton Luzern unterwirft - wie aus E. 4.2 hiervor sowie der vorinstanzlichen Erwägung 3.2.2 erhellt - die Restfinanzierung keinen abstrakten, fixen Kostenobergrenzen, sondern prüft die Wirtschaftlichkeit der Leistungserbringung im Rahmen der individuellen Tarifvereinbarung mit den einzelnen Pflegeeinrichtungen unter Berücksichtigung deren unterschiedlicher Strukturen und Angebote. Das ist dem Grundsatz nach mit <ref-law> vereinbar. Fehl geht damit auch die Rüge der fehlenden gesetzlichen Grundlage im Sinne von <ref-law> für die vorgenommenen Kürzungen. Das kantonale Gericht vermochte die vorgenommene Wirtschaftlichkeitsprüfung, die zu diesen geführt hat, vielmehr auf <ref-law> sowie die (ausführenden) § 7 Abs. 2 BPG/ LU und § 4 Abs. 2 lit. b BPV/LU zu stützen.
5.3. Der Beschwerdeführer wirft dem kantonalen Gericht sodann vor, den massgeblichen Sachverhalt offensichtlich unrichtig (willkürlich, vgl. zur beschränkten Kognition des Bundesgerichts oben E. 3.2) im Sinne von <ref-law> festgestellt zu haben. Seine Rüge bezieht sich einerseits auf die Feststellung eines markanten realen Kostenanstiegs, anderseits auf die Feststellung, ein hoher KLV-Schlüssel könne auf einen wenig effizienten Einsatz des Pflegepersonals hindeuten, da er bei höheren Lohnkosten und weniger nach KLV abrechenbaren Stunden steige.
5.3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, ein realer Kostenanstieg habe entgegen der Vorinstanz (vgl. deren Erwägung 6) nicht stattgefunden. Die Gesamtkosten seien zufolge einer Darstellungskorrektur in der Kostenrechnung angestiegen. Dies sei für die Kosten im Bereich Pflege und Betreuung, die für die Tarifermittlung relevant seien, weder im Jahr 2017 noch in den Vorjahren massgeblich gewesen. Damit dringt er nicht durch. Inwiefern ein Anstieg der Gesamtkosten - die, soweit nicht direkt einer Hauptkostenstelle (etwa: 110 Pflege und Betreuung) zugewiesen, grundsätzlich auf diese umgelegt werden (vgl. Kostenrechnung 2017) - auf die Höhe der ausgewiesenen Pflege- und Betreuungskosten keinen Einfluss haben soll, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf. Dies leuchtet - mit der Beschwerdegegnerin - auch nicht ein. Selbst wenn aber hinsichtlich der behaupteten Unmassgeblichkeit der Darstellungskorrektur für die Ermittlung der Kosten dem Beschwerdeführer gefolgt würde, könnte er daraus für seinen Standpunkt nichts ableiten: Hätten die Gesamtkosten keinen Einfluss auf die massgeblichen Pflege- und Betreuungskosten, vermöchte ihr Anstieg den geltend gemachten höheren Pflegeminutentarif zum vornherein nicht zu rechtfertigen. Die Vorinstanz verkannte sodann keineswegs die buchhalterische Natur der gestiegenen Miet- und Abschreibungskosten. Sie erwog vielmehr, diese verhindere nicht, dass der damit verbundene Anstieg der Gesamtkosten (und in logischer Folge der vom Beschwerdeführer gestützt darauf verlangte höhere Pflegeminutentarif) von der Stadt Luzern einer Wirtschaftlichkeitsprüfung unterzogen werde. Damit ist sie nicht in Willkür verfallen. Die Wirtschaftlichkeit der erbrachten Pflegeleistungen beurteilt sich anhand der vom Leistungserbringer tatsächlich geltend gemachten Kosten. Dabei kann es keinen Unterschied machen, ob ein ausgewiesener Kostenanstieg auf tatsächlich gestiegene Kosten oder auf eine neue Darstellungsweise zurückzuführen ist (mithin: ob eine allfällige Unwirtschaftlichkeit tatsächlich neu ist oder ob diese bereits seit jeher bestanden hat und erst aufgrund von technischen Änderungen in der Kostenerfassung kostenwirksam wird). Insgesamt ist die vorinstanzliche Feststellung eines relevanten Anstiegs der Betriebskosten des Pflegeheims B._ zwischen 2016 und 2017 nicht offensichtlich unrichtig und bindet demnach das Bundesgericht (oben E. 3.3).
5.3.2. Mit seiner Auffassung, ein höherer KLV-Schlüssel bedeute einen vermehrten Einsatz von Pflegepersonal für tatsächliche Pflegeleistungen, vermag der Beschwerdeführer die gegenteilige vorinstanzliche Feststellung nicht als offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen. Das kantonale Gericht stellte fest, der KLV-Schlüssel werde in zwei Schritten berechnet. Zunächst werde auf der Zeitebene das Verhältnis zwischen der Gesamtheit der Einsatzstunden des Pflege- und Betreuungsteams und den abrechenbaren Pflegestunden nach KLV gemäss jeweiliger Einstufung ermittelt (z.B. resultiert bei total 100 Einsatzstunden des Pflege- und Betreuungsteams und 60 abrechenbaren Pflegestunden ein Zeitschlüssel von 60). Danach werde in einem zweiten Schritt anhand einer Formel der "Grade-and-Skill-Mix" des Betriebs festgelegt. Dabei wird konkret der Anteil der Löhne des Fachpersonals an den totalen Kosten der Kostenstelle ermittelt und zum Zeitfaktor dazugeschlagen, womit den höheren Kosten für Fachpersonal Rechnung getragen wird. Der Schlüssel für die KLV-Leistungen (KLV-Schlüssel) als Umlageschlüssel für den Besoldungsaufwand des Pflege- und Betreuungspersonals auf die Kostenträger Betreuung und Pflege ergibt sich mithin aus der Zusammenrechnung des Zeitfaktors (welcher Anteil der Arbeitsstunden des Pflege- und Betreuungspersonals kann als KLV-pflichtig abgerechnet werden) und einem Zuschlag bzw. Korrekturfaktor für höhere fachliche Qualifikation ("Grade-and-Skill-Mix"), da qualifizierteres Personal pro Zeiteinheit teurer ist. Damit sollen die nicht KLV-pflichtigen Leistungen aus dem Leistungsbündel der Kostenstelle 110 (Besoldung Pflegepersonal) ausgeschieden und mit einem wesentlich tieferen Kostensatz dem Betreuungsbereich zugewiesen werden. Die Vorinstanz stellte weiter fest, der KLV-Schlüssel steige bei höheren Lohnkosten und weniger verrechneten (Pflege-) Stunden, was offensichtlich nicht als effizient zu bezeichnen sei.
Der Beschwerdeführer bezieht den KLV-Schlüssel augenscheinlich einzig auf die Lohnkosten des Pflegepersonals (und verwechselt diesen mithin mit dem Grade-and-Skill-Mix als dessen Teilelement, das vom Anteil des Fachpersonals am Pflegepersonal abhängt), statt richtig auf die gesamten Besoldungskosten des Pflege- und Betreuungspersonals. Wird der KLV-Schlüssel richtig auf diese letztere Grösse bezogen, erhellt, dass bei vermehrtem Einsatz des Pflegepersonals für Pflegeleistungen (statt nicht KLV-pflichtiger Betreuungsleistungen) grundsätzlich entweder (bei steigendem Bedarf an Pflegeleistungen) die Zahl der abrechenbaren Pflegeminuten steigen oder (bei konstant bleibendem oder sinkendem Bedarf an Pflegeleistungen) der Anteil der vom Pflegepersonal gearbeiteten Stunden an der Gesamtheit der Einsatzstunden des Pflege- und Betreuungsteams sinken müsste, da die bisher von diesem erbrachten Betreuungsleistungen von weniger qualifiziertem Personal erbracht werden müssten. In beiden Fällen bliebe der KLV-Schlüssel konstant oder würde sinken, jedenfalls nicht steigen. Auch diesbezüglich hat es mithin bei den vorinstanzlichen Tatsachenfeststellungen sein Bewenden.
5.4. Die Vorinstanz habe - so der Beschwerdeführer weiter - das kantonale Recht - in dem die konkreten Modalitäten der vorgenommenen Wirtschaftlichkeitsprüfung ihre Grundlage finden (E. 4.2 und 5.2 hiervor) - willkürlich angewandt (zur diesbezüglich beschränkten Kognition des Bundesgerichts vgl. etwa <ref-ruling> E. 3.3).
5.4.1. Weder ersichtlich noch substanziiert dargelegt ist zunächst, inwiefern der Verzicht auf einen umfassenden und transparenten Quervergleich der (Stadt-) Luzerner Pflegeheime Resultat einer willkürlichen Anwendung des kantonalen Rechts sein sollte. Dass ein solcher Vergleich im Rahmen der Wirtschaftlichkeitsprüfung zwingend vorzunehmen wäre oder in der Praxis regelmässig vorgenommen würde, lässt sich insbesondere weder § 7 Abs. 2 BPG/LU noch § 4 Abs. 2 BPV/LU entnehmen. Es kommt hinzu, dass der Beschwerdeführer keine Anhaltspunkte dafür vorträgt, dass ein Vergleich mit anderen Leistungserbringern zu einer abweichenden Einschätzung der Wirtschaftlichkeit seiner eigenen Leistungserbringung führen könnte. Dazu hätte umso mehr Anlass bestanden, als die Beschwerdegegnerin bereits vor Vorinstanz darauf hinwies, die Kosten für Pflege und Betreuung in den Stadt-Luzerner Pflegeheimen beliefen sich durchschnittlich pro Tag und Bett auf Fr. 188.-, während der Beschwerdeführer auf Fr. 237.- pro Tag und Bett komme (vorinstanzliche Erwägung 8.8).
5.4.2. Das kantonale Gericht schützte den unter dem Titel "Auslastungsgrad" vorgenommenen Abzug von Fr. 0.02 (von den Vollkosten pro Minute). Dazu erwog es im Wesentlichen, dieser Abzug trage der Tatsache Rechnung, dass das Pflegeheim B._ im Rahmen der Berechnung der Vollkosten pro Pflegeminute bei der Auslastung auch die sogenannten "Reservationstage" berücksichtigt habe. Diese seien aber nicht Bestandteil der relevanten Pflegekosten, sondern durch den Kostenträger Pension abzugelten. Durch die Berücksichtigung der Reservationstage und die Verschiebung der an diesen Tagen angefallenen Kosten in den Pflegebereich würden im Umfang der resultierenden Auslastungsdifferenz Pflegekosten generiert, welche nicht mit einer entsprechenden Leistungserhöhung bzw. mit einer Erhöhung der Anzahl geleisteter Pflegeminuten einhergingen. Mit anderen Worten seien bei einer effektiven Auslastung von 96.42 % nicht die gleichen Kosten als wirtschaftlich zu akzeptieren wie bei einer solchen von 98.35 %. Zu Recht habe die Stadt Luzern demnach den geltend gemachten Tarif im Verhältnis der niedrigeren Auslastung um (gerundet) Fr. 0.02 pro Pflegeminute gekürzt. Es könne nicht Aufgabe des Gemeinwesens sein, ein (Über-) Angebot an Pflegeleistungen abzugelten an Tagen, an denen gar keine solchen Leistungen erbracht worden seien.
5.4.2.1. Der Beschwerdeführer hält dem entgegen, die Reservationstage hätten keinen Einfluss auf die Berechnung des Pflegeminutentarifs, da sich dieser aus den Gesamtkosten dividiert durch die erbrachten Pflegeminuten ergebe. Der "Divisor der Gesamtkosten" bleibe unverändert. Das bedeutet aber umgekehrt, dass sich die Kosten auf weniger Einheiten (Pflegeminuten) aufteilen als bei höherer Auslastung. Werden die Faktoren für die Umlage der Kosten auf die Pflege unter Miteinrechnung der Reservationstage ermittelt, die so zugeteilten Kosten dann aber auf die nach KLV abrechenbaren Pflegeminuten verteilt, führt dies dazu, dass eigentlich auf Reservationstage - und damit den Kostenträger "Pension" - entfallende Kosten den Pflegeminutentarif in die Höhe treiben. Die Beschwerdegegnerin ergänzt diesbezüglich nachvollziehbar, es sei aus Sicht der Pflegefinanzierung unwirtschaftlich, wenn solchermassen bei stagnierenden Erträgen die Vollkosten der Pflege erhöht würden, wie dies vorliegend geschehen sei. Sei der Auslastungsgrad rückläufig, müsse der Aufwand vielmehr reduziert werden, damit das Ergebnis nicht oder nur leicht schlechter ausfalle (vgl. auch DAVID HOFSTETTER/ALEXANDER REY, Restkostenfinanzierung und Wirtschaftlichkeitskontrolle, Pflegerecht 2018 S. 213 f.: Die Autoren warnten im Nachgang zu <ref-ruling> vor Fehlanreizen, die ein Heim verleiten könnten, sein betriebswirtschaftliches Ergebnis zu Lasten des Restkostenfinanzierers zu optimieren, indem es Kosten von Betreuungs- und Hotellerieleistungen in die restkostenfinanzierten Pflegekosten verschiebe, um so auf dem Markt für mögliche Bewohner attraktiver auftreten zu können).
Die Vorinstanz erachtete nicht einen bestimmten prozentualen Auslastungsgrad per se als indikativ für Unwirtschaftlichkeit, sondern eine ineffiziente Bewirtschaftung der Kapazitäten und personellen Mittel. In diesem Zusammenhang sei die Abwälzung der Kosten für Tage, an denen die Bewohner tatsächlich gar nicht anwesend gewesen seien (etwa: wegen Spitalaufenthalten, Ferien, Wechseln, etc.), auf das Gemeinwesen nicht zulässig. Inwiefern sie damit kantonales Recht willkürlich angewandt oder ausgelegt haben soll, ist nicht ersichtlich.
5.4.2.2. Zu keinem anderen Ergebnis führt der Verweis des Beschwerdeführers darauf, er habe auf exogene Faktoren wie Spitalaufenthalte, Ferientage oder Leerstände bei Wechseln der Bewohnerschaft keinen Einfluss und könne hierauf auf Ebene des Personalbestands kaum reagieren. Es ist jedenfalls nicht willkürlich, wenn die kantonale Praxis im Rahmen der Wirtschaftlichkeitsprüfung vom Leistungserbringer - dem mit der Vorinstanz grundsätzlich der effiziente Einsatz der personellen Ressourcen obliegt - verlangt, bei der Ermittlung seiner Auslastung Abwesenheitstage der Bewohnerinnen und Bewohner auszuklammern. Ein solches Vorgehen findet seine Rechtfertigung darin, dass Tage, an denen zufolge Abwesenheiten keine Pflegeleistungen zu erbringen sind, bei der Personalplanung aufgrund von (statistischen) Erfahrungswerten und über das Gesamte betrachtet weitestgehend einzuplanen sind, woran die i.d.R. eher kurze Vorankündigung der jeweiligen konkreten Abwesenheiten nichts ändert. Für die Personalplanung ist der Gesamtbetrieb massgeblich. Aus dessen Sicht ist nicht die Vorhersehbarkeit einzelner Abwesenheiten ausschlaggebend, sondern die Anzahl der in der statistischen Aggregation zu erwartenden Abwesenheitstage, die naturgemäss besser voraussehbar ist. Dies gilt umso mehr, als es bei der Tarifberechnung um eine Durchschnittsbetrachtung geht. Es ist weder ersichtlich noch dargetan, inwiefern sich die verbleibende Planungsunsicherheit nicht auf ein Mass reduzieren liesse, das etwa mit einer rollenden Planung nicht dringender pflegerischer Verrichtungen, der kurzfristigen Leistung bzw. Kompensation von Überstunden und/oder mit dem Einsatz von Personal auf Abruf zu bewältigen wäre. Insofern verfangen die Ausführungen des Beschwerdeführers zu den praktischen Grenzen eines flexiblen Personaleinsatzes nicht, zumal die Vorinstanz feststellte, dass das Pflegeheim B._ keine Aufnahmepflicht trifft und er mithin nicht jederzeit gewisse freie Kapazitäten "vorhalten" muss. Dadurch unterscheidet er sich denn etwa auch von einem Spital, das regelmässig gewisse Vorhalteleistungen zu erbringen hat, um die mit der Erfüllung seines Leistungsauftrages einhergehenden Nachfrageunsicherheiten abdecken zu können (vgl. etwa MICHAEL WALDNER/PHILIPP EGLI, Basler Kommentar Krankenversicherungsgesetz/Krankenversicherungsaufsichtsgesetz, 2020, N. 125 f. zu <ref-law>).
Nicht hinreichend substanziiert (<ref-law>) ist der Vorwurf, die Vorinstanz habe den tatsächlichen Effekt der Reservationstage auf die Kosten ungenügend abgeklärt und willkürlich eine lineare Kürzung vorgenommen, die etwa Skaleneffekte bei den Personalkosten nicht berücksichtige. Weiterungen dazu erübrigen sich.
5.4.3. Bezüglich des von der Stadt Luzern vorgenommenen Abzugs unter dem Titel "KLV-Schlüssel" erwog die Vorinstanz, es sei unwirtschaftlich, dass das Pflegeheim B._ mehr hochqualifiziertes Personal beschäftige als von den Richtstellenplänen vorgesehen und notwendig. Dies führe zum über den Empfehlungen des Branchenverbandes Curaviva liegenden Grade-and-Skill-Mix (dazu oben E. 5.3.2) von 11 % (Empfehlung: maximal 10 %). Im Sinne des Kontinuitätsgrundsatzes seien zudem Schwankungen und Abweichungen der Kosten und Kennzahlen zu den Vorjahren zu begründen. Das gelte insbesondere für eine Anpassung des Grade-and-Skill-Mix und des KLV-Schlüssels. Dem Beschwerdeführer gelinge es nicht, die Kostensteigerung plausibel zu begründen. Vielmehr beschränke er sich darauf, betriebliche Besonderheiten zu behaupten, die allesamt schon in den Vorjahren bestanden hätten. Insbesondere lasse sich das Argument nicht nachvollziehen, das Pflegepersonal sei vermehrt effektiv für Pflegeleistungen und nicht für Betreuungsleistungen eingesetzt worden, zumal die Anzahl der abgerechneten Pflegeminuten nicht zugenommen habe. Weiter sei eine überdurchschnittliche Qualifikation des Pflegepersonals nicht durch die Allgemeinheit zu tragen. Demnach sei (weiterhin) auf den durchschnittlichen KLV-Schlüssel der letzten fünf Jahre von 80 % abzustellen. Dies führe zu einer Differenz (und mithin einem Abzug) von umgerechnet knapp Fr. 0.025 pro Pflegeminute, was in masslicher Hinsicht nicht bestritten werde.
Darauf sowie auf das bereits oben in E. 5.3.2 Gesagte kann verwiesen werden. Dass die Stadt Luzern in ihrer Berechnung des durchschnittlichen KLV-Schlüssels vergangener Jahre das Jahr 2017 ausklammerte, ist - entgegen dem Beschwerdeführer - sachlich vertretbar, war doch die Wirtschaftlichkeit der Betriebsführung im Jahr 2017 gerade strittig. Wie die Stadt Luzern richtig darlegt, basierte weiter die Kürzung von 2 % nicht auf dem um 1 % "zu hohen" Grade-and-Skill-Mix, sondern auf der ermittelten Abweichung des KLV-Schlüssels zum Durchschnitt der Vorjahre.
5.4.4. Der Beschwerdeführer will die Wirtschaftlichkeit des für das Jahr 2019 verlangten, im Vergleich zu den Vorjahren höheren, Tarifs daraus ableiten, dass "die einzige tatsächliche Kostensteigerung auf höhere Lohnkosten zurückzuführen ist" und "im Vergleich zu den Jahren 2014 und 2015" die "Besoldung der Pflege pro Pflegeminute sogar von [Fr.] 1.07 auf [Fr.] 1.04 reduziert werden" konnte. Dabei begründet er weder seinen Verweis einzig auf die Jahre 2014 und 2015, nicht aber auf das unmittelbare Vorjahr 2016, noch belegt er seine Berechnungen. So oder anders ist nicht ersichtlich, inwiefern tiefere Personalkosten pro Pflegeminute einen gegenüber den Vorjahren höheren Tarif pro Pflegeminute als wirtschaftlich rechtfertigen und die vorinstanzliche Wirtschaftlichkeitsprüfung als willkürlich erscheinen lassen sollten. Insbesondere wird dadurch auch ein Nachweis gesteigerter Effizienz nicht ohne Weiteres erbracht.
5.4.5. Was die Überlegungen des Beschwerdeführers zur Ausgleichung der Unterdeckung des Vorjahres und zur Berücksichtigung der Kosten für MiGeL-Produkte in den Jahren 2016 und 2017 betrifft, so geht aus diesen nicht hervor, inwiefern konkret die Vorinstanz mit ihrer diesbezüglichen Erwägung 9 Bundesrecht verletzt oder kantonales Recht willkürlich angewendet haben soll. Vielmehr erschöpfen sich die diesbezüglichen Ausführungen in appellatorischer Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz. Weiterungen erübrigen sich.
5.5. Nicht ersichtlich ist schliesslich, inwiefern die Vorinstanz bei der Überprüfung der Wirtschaftlichkeit der Leistungserbringung durch den Beschwerdeführer eine rechtswidrige Umkehr der Beweislast vorgenommen haben sollte. Das kantonale Gericht ist - wie vom Beschwerdeführer verlangt - von den durch ihn ermittelten Vollkosten ausgegangen und hat alsdann geprüft, ob Unwirtschaftlichkeit in den zu Abzügen hiervon führenden Punkten (überwiegend wahrscheinlich; vgl. zu diesem im Sozialversicherungsrecht regelhaft anwendbaren Beweisgrad etwa <ref-ruling> E. 3.2 mit Hinweis) nachgewiesen war, was sie bejahte. Mangels Beweislosigkeit hing der Prozessausgang damit nicht von der Verteilung der (materiellen) Beweislast ab.
5.6. Insgesamt vermag der Beschwerdeführer angesichts des Missverhältnisses von steigenden Kosten bei sinkenden Einsatzstunden und nahezu gleichgebliebenen äusseren Umständen - ohne nachvollziehbare Erklärung - nicht aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz mit der Qualifikation seiner Betriebsführung im (dem Pflegeminutentarif 2019 zugrunde liegenden) Referenzjahr 2017 als unwirtschaftlich in Willkür verfallen sein sollte. Widersprüchlich ist, wenn er - sowohl hinsichtlich der Gesamtkosten als etwa auch bezüglich der Lohnstückkosten oder der Mietkosten - einen relevanten Kostenanstieg in Abrede stellt, gleichzeitig aber einen höheren Pflegeminutentarif fordert. Damit hat es beim Urteil des Kantonsgerichts vom 21. August 2020 sein Bewenden.
6.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten unbegründet.
7.
Der unterliegende Beschwerdeführer trägt die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 10. September 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Oswald