Faits :
A.
A.a. A.A._, ressortissant turc né en 1957, vit en Suisse depuis le 10 septembre 1972. Il est titulaire d'une autorisation d'établissement. Le 30 octobre 2010, l'intéressé a épousé en Turquie B.A._, ressortissante turque née en 1971. Celle-ci a rejoint son mari en Suisse le 27 février 2011 et a été mise au bénéfice d'une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, laquelle a été régulièrement renouvelée jusqu'en février 2017. Aucun enfant n'est issu de cette union.
A.b. A.A._ n'exerce plus aucune activité lucrative depuis le début de l'année 2011. L'intéressé s'est inscrit en décembre 2017 auprès de l'Office régional de placement et a suivi un programme de réinsertion professionnelle entre les mois de février et de mai 2018. B.A._, hormis une activité de femme de ménage qu'elle n'a exercée que pendant trois jours en avril 2018, n'a jamais travaillé en Suisse. En 2012, elle a suivi un cours intensif de français pour débutants.
Sur le plan financier, A.A._ et B.A._, qui résident à X._, ont bénéficié depuis le 1er avril 2011 de subsides provenant de l'aide sociale. Leur dette sociale s'élevait à 247'156 fr. 10 le 23 février 2018.
B.
Par décision du 12 mars 2018, après avoir adressé à B.A._ deux mises en garde en lien avec sa situation financière et lui avoir donné la possibilité d'exercer son droit d'être entendue, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service cantonal) a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de l'intéressée et prononcé son renvoi de Suisse.
Par arrêt du 8 janvier 2019, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A.A._ et B.A._ contre cette décision. Les juges cantonaux ont retenu, en substance, que les intéressés étaient dépendants de l'aide sociale depuis 2011 et que, dans ces conditions, B.A._ ne pouvait pas se prévaloir d'un droit de séjour en Suisse.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 8 janvier 2019, A.A._ (le recourant 1) et B.A._ (la recourante 2) déposent un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Ils concluent à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renouvellement de l'autorisation de séjour de la recourante 2. Ils demandent en outre au Tribunal fédéral de renoncer à percevoir "toute avance de frais".
Le Service cantonal et le Tribunal cantonal renoncent à se déterminer. Le Secrétariat d'Etat aux migrations ne s'est pas prononcé.
Par ordonnance du 28 janvier 2019, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. Le recours ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, dès lors que les art. 43 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20; avant le 1er janvier 2019: LEtr [RO 2007 5437]) et 8 CEDH, dont se prévalent les recourants, sont potentiellement de nature à conférer à la recourante 2 un droit à une autorisation de séjour pour vivre avec son mari, titulaire d'une autorisation d'établissement. La voie du recours en matière de droit public est donc ouverte, étant précisé que le point de savoir si l'intéressée remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. arrêt 2C_14/2014 du 27 août 2014 consid. 1, non publié in <ref-ruling>).
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). En outre, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites (<ref-law>), par les destinataires de l'arrêt attaqué qui ont un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>). Il est donc recevable.
1.3. Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>). La lettre du centre social régional de la Ville de X._ du 14 janvier 2019, que les recourants ont annexée à leur recours, est un moyen de preuve nouveau et par conséquent ne peut être prise en considération. Quant à la décision du 4 octobre 2018 octroyant au recourant 1 une rente-pont à partir du 1er juillet 2018, également annexée au recours, elle sera examinée dans le cadre de la critique de violation de la maxime inquisitoire formulée à ce sujet par les intéressés (cf. infra consid. 3).
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377 s.). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_479/2018 du 15 février 2019 consid. 2).
3.
Les recourants invoquent une "constatation inexacte des faits pertinents au sens de l'<ref-law>" (recours, p. 2). Or, ils reprochent en réalité au Tribunal cantonal de ne pas avoir instruit sur un point qui serait selon eux essentiel pour l'issue de la cause, en violation notamment de la "maxime d'office". C'est donc sous cet angle qu'il convient d'examiner leur grief.
3.1. Les intéressés affirment que le Tribunal cantonal, informé du fait qu'une demande de rente-pont avait été déposée par le recourant 1 au cours de l'été 2018, aurait omis de les interpeller au sujet de l'issue de la demande en question, en violation de la maxime d'office (recte: inquisitoire; cf. arrêt 2C_1007/2011 du 12 mars 2012 consid. 4.4). Cet élément aurait pourtant été déterminant pour l'examen de leur dépendance de l'aide sociale. De l'avis des recourants, si l'autorité précédente avait instruit la cause sur ce point, elle aurait pu constater qu'ils n'étaient plus à la charge de l'aide sociale, pouvant subvenir à leurs besoins grâce à une rente-pont octroyée au recourant 1 le 4 octobre 2018, ce qui aurait conduit à l'admission du recours.
3.2. Selon la maxime inquisitoire, qui prévaut en particulier en droit public (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298), l'autorité définit les faits pertinents et ne tient pour existants que ceux qui sont dûment prouvés; cette maxime oblige notamment les autorités compétentes à prendre en considération d'office l'ensemble des pièces pertinentes qui ont été versées au dossier (arrêts 2C_633/2018 du 13 février 2019 consid. 5.1.1 et 2C_207/2017 du 2 novembre 2017 consid. 3.1). Elle ne dispense pas pour autant les parties de collaborer à l'établissement des faits; il incombe à celles-ci d'étayer leurs propres thèses, de renseigner le juge sur les faits de la cause et de lui indiquer les moyens de preuves disponibles, spécialement lorsqu'il s'agit d'élucider des faits qu'elles sont le mieux à même de connaître (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298 s.; arrêt 2C_207/2017 du 2 novembre 2017 consid. 3.1). En matière de droit des étrangers, l'art. 90 LEI met un devoir spécifique de collaborer à la constatation des faits déterminants à la charge de l'étranger ou des tiers participants (arrêts 2C_787/2016 du 18 janvier 2017 consid. 3.1 et 2C_777/2015 du 26 mai 2016 consid. 3.3, non publié in <ref-ruling>).
3.3. En l'espèce, il ressort des faits constatés dans l'arrêt attaqué que le recourant 1 avait déposé au cours de l'été 2018 une demande de rente-pont auprès des autorités compétentes. Le Tribunal cantonal a considéré que ce fait ne permettait pas de "retenir l'existence d'une rente" et qu'il paraissait de toute manière exclu que la rente en question puisse assurer l'entretien des intéressés (arrêt entrepris, p. 7).
Avant d'examiner si c'est en violation de la maxime inquisitoire que l'autorité précédente n'a pas instruit la question de savoir si le recourant 1 avait ou non obtenu la rente-pont requise en 2018, il y a lieu d'examiner si cette question est pertinente pour l'issue de la cause, ce qui implique un examen au fond de celle-ci (consid. 3.4 ci-dessous).
3.4. Les juges cantonaux ont retenu que les recourants étaient dépendants de l'aide sociale et que la recourante 2 ne pouvait donc pas se prévaloir d'un droit de séjour en Suisse. Les intéressés affirment que, grâce à l'octroi de la rente-pont précitée, lorsque l'arrêt entrepris a été rendu ils étaient en mesure de subvenir seuls à leurs besoins, de sorte que la recourante 2 aurait eu droit au renouvellement de son autorisation de séjour.
3.4.1. En vertu de l'ancien art. 43 al. 1 LEtr (cf. art. 126 al. 1 LEI; arrêt 2C_1041/2018 du 21 mars 2019 consid. 3.1), le conjoint étranger du titulaire d'une autorisation d'établissement a droit à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité, à condition de vivre en ménage commun avec lui. Toutefois, à teneur de l'ancien art. 51 al. 2 let. b LEtr, le droit prévu à l'ancien art. 43 LEtr s'éteint s'il existe des motifs de révocation au sens de l'ancien art. 62 al. 1 LEtr, soit notamment lorsque l'étranger lui-même ou une personne dont il a la charge dépend de l'aide sociale (art. 62 al. 1 let. e LEI, dont la teneur est la même que sous l'empire de l'ancien droit).
La révocation ou le non-renouvellement de l'autorisation de séjour d'un étranger pour des raisons de dépendance à l'aide sociale suppose qu'il existe un risque concret d'une telle dépendance. De simples préoccupations financières ne suffisent pas. Pour évaluer ce risque, il faut non seulement tenir compte des circonstances actuelles, mais aussi considérer l'évolution financière probable à plus long terme, compte tenu des capacités financières de tous les membres de la famille (arrêts 2C_1041/2018 du 21 mars 2019 consid. 4.2; 2C_633/2018 du 13 février 2019 consid. 6.2; 2C_184/2018 du 16 août 2018 consid. 2.3; 2C_923/2017 du 3 juillet 2018 consid. 4.2; 2C_854/2015 du 2 mars 2016 consid. 4.2). Une révocation ou un non-renouvellement entrent en considération lorsqu'une personne a reçu des aides financières élevées et qu'on ne peut s'attendre à ce qu'elle puisse pourvoir à son entretien dans le futur. A la différence de l'art. 63 al. 1 let. c LEI, qui concerne les autorisations d'établissement, l'art. 62 al. 1 let. e LEI n'exige pas que l'étranger lui-même ou une personne dont il a la charge dépende "durablement et dans une large mesure" de l'aide sociale (arrêts 2C_1041/2018 du 21 mars 2019 consid. 4.2; 2C_633/2018 du 13 février 2019 consid. 6.2; 2C_923/2017 du 3 juillet 2018 consid. 4.2; 2C_1053/2017 du 13 mars 2018 consid. 4.2; 2C_547/2017 du 12 décembre 2017 consid. 3.1; 2C_834/2016 du 31 juillet 2017 consid. 2.1).
3.4.2. La notion d'aide sociale doit être interprétée dans un sens technique. Elle comprend l'aide sociale traditionnelle et les revenus minima d'aide sociale, à l'exclusion des prestations d'assurances sociales, comme les indemnités de chômage, les prestations complémentaires à l'AVS et à l'AI prévues par la loi fédérale du 6 octobre 2006 sur les prestations complémentaires (LPC; RS 831.30) et les réductions des primes pour l'assurance obligatoire des soins (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 404 s.; arrêt 2C_268/2011 du 22 juillet 2011 consid. 6.2.2; voir aussi [avant l'entrée en vigueur de la LEtr] arrêts 2C_362/2009 du 24 juillet 2009 consid. 3.1; 2C_315/2008 du 27 juin 2008 consid. 3.2; 2C_448/2007 du 20 février 2008 consid. 3.4; 2C_210/2007 du 5 septembre 2007 consid. 3.1).
3.4.3. La rente-pont vaudoise a pour but de couvrir dans une mesure appropriée les besoins vitaux des personnes proches de l'âge de la retraite n'ayant pas droit ou ayant épuisé leur droit aux indemnités de chômage (cf. art. 16 al. 1 de la loi vaudoise du 23 novembre 2010 sur les prestations complémentaires cantonales pour familles et les prestations cantonales de la rente-pont [LPCFam/VD; RS/VD 850.053]). Elle permet notamment à ces personnes d'éviter de prendre une retraite anticipée ou de recourir à l'aide sociale (revenu d'insertion) (cf. Conseil d'Etat du canton de Vaud, exposé de motifs sur la stratégie cantonale de lutte contre la pauvreté, in Bulletin du Grand Conseil du canton de Vaud 2007-2012, tome 17, p. 476 ss [ci-après: exposé de motifs], p. 480). Les prestations cantonales de la rente-pont sont calculées "conformément aux critères de la prestation complémentaire annuelle au sens de la LPC" (art. 18 al. 1 LPCFam/VD; cf. aussi art. 35a du règlement d'application de la LPCFam/VD du 17 août 2011 ([RLPCFam/VD; RS/VD 850.053.1]).
3.4.4. Dans ces circonstances, force est de constater que la rente-pont prévue par la LPCFam/VD ne tombe pas dans la notion d'aide sociale au sens de l'art. 62 al. 1 let. e LEI. En effet, le système de la rente-pont a notamment été mis en place pour éviter aux personnes proches de l'âge de la retraite n'ayant pas ou plus de droit aux indemnités de chômage de devoir recourir au revenu d'insertion (cf. exposé de motifs, p. 480), dans le but de "faire sortir ces personnes de l'aide sociale", respectivement "d'éviter qu'elles y aient recours" (Grand Conseil du canton de Vaud, premier débat sur la stratégie cantonale de lutte contre la pauvreté et les projets de loi y relatifs, in Bulletin du Grand Conseil du canton de Vaud 2007-2012, tome 17, p. 83 ss, p. 99). Il ne s'agit donc pas d'une forme d'aide sociale, mais d'une alternative à celle-ci, étant précisé que la notion d'aide sociale de l'art. 62 al. 1 let. e LEI doit être interprétée dans un sens technique et comprend l'aide sociale traditionnelle et les revenus minima d'aide sociale (cf. supra consid. 3.4.2). Au demeurant, pour le calcul du montant de la rente-pont, l'art. 18 al. 1 LPCFam/VD renvoie aux critères applicables en matière de prestations complémentaires à l'AVS et à l'AI, lesquelles - de jurisprudence constante - ne sont pas considérées comme de l'aide sociale et sont exclues du champ d'application de l'art. 62 al. 1 let. e LEI (cf. supra consid. 3.4.2).
3.5. Il ressort de ce qui précède que la question de savoir si le recourant 1 avait ou non obtenu la rente-pont requise en 2018 était déterminante pour l'issue du litige, dans la mesure où ladite rente aurait pu être propre à permettre aux intéressés de subvenir à leurs besoins sans avoir recours à l'aide sociale. Or, les recourants avaient informé le Tribunal cantonal du fait qu'une demande de rente-pont était pendante depuis l'été 2018 et avaient ainsi rendu plausible une sortie à court terme de l'aide sociale. Dans ces circonstances, l'autorité précédente aurait dû prendre en considération cet élément et vérifier l'issue de la demande en question, étant précisé que, pour évaluer le risque de dépendance à l'aide sociale sous l'angle de l'art. 62 al. 1 let. e LEI, il faut non seulement tenir compte des circonstances actuelles, mais aussi considérer l'évolution financière probable à plus long terme (cf. supra consid. 3.4.1). Le Tribunal cantonal ne pouvait ainsi pas se contenter d'affirmer que l'existence d'une rente-pont n'avait pas été prouvée et que, de toute manière, celle-ci n'aurait pas permis d'assurer l'entretien des intéressés. Au contraire, il lui incombait d'instruire plus avant la question de l'existence d'une telle rente et du montant de celle-ci et d'examiner, au vu de ces éléments, si les recourants "dépend[aient] de l'aide sociale" au sens de l'art. 62 al. 1 let. e LEI.
Les intéressés ont transmis au Tribunal fédéral la preuve qu'une rente-pont avait été attribuée au recourant 1 à partir du 1er juillet 2018 (cf. aussi supra consid. 1.3). Il n'appartient toutefois pas à la Cour de céans d'examiner en première instance cette pièce et les conséquences juridiques qui en découlent, s'agissant notamment de la dépendance de l'aide sociale des recourants. Il se justifie partant de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour instruction complémentaire sur ce point et nouvelle décision.
3.6. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de traiter les autres griefs soulevés par les recourants (recours, p. 4).
4.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours et à l'annulation de l'arrêt attaqué. La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Compte tenu de l'issue du litige, il ne sera pas perçu de frais judiciaires (<ref-law>). La requête tendant à ce qu'il soit renoncé à la perception de "toute avance de frais" formulée par les recourants, interprétée comme une demande d'assistance judiciaire, devient donc sans objet. Ayant obtenu gain de cause avec l'aide d'une représentante professionnelle qui n'est pas avocate (cf. art. 9 du règlement du 31 mars 2006 sur les dépens alloués à la partie adverse et sur l'indemnité pour la représentation d'office dans les causes portées devant le Tribunal fédéral [RS 173.110.210.3]; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd., 2014, n. 17 ad <ref-law> p. 577), les recourants ont droit à des dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF), à charge du canton de Vaud.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis.
2.
L'arrêt rendu le 8 janvier 2019 par le Tribunal cantonal du canton de Vaud est annulé et la cause renvoyée à cette autorité pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le canton de Vaud versera aux recourants une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la représentante des recourants, au Service de la population du canton de V aud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 13 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti