Faits :
A.
L'Hospice général a déposé, le 13 mars 2020, une plainte pénale contre A._, née en 1971, pour escroquerie (<ref-law>) et obtention illicite de prestations d'une assurance sociale ou de l'aide sociale (<ref-law>). Il lui est en substance reproché d'avoir omis d'annoncer sa prise de domicile en France afin de pouvoir continuer à percevoir, entre le 1er juillet et le 30 novembre 2018, des prestations d'aide sociale d'un montant total de 10'659 fr. 70. L'Hospice général a notamment produit sa décision du 5 février 2020 exigeant la restitution des prestations indues.
A._ a été entendue, sans l'assistance d'un avocat, par la police le 26 août 2020.
Le 1er octobre 2020, l'avocate Lucie Bouldin s'est constituée pour la défense des intérêts de A._; le formulaire de demande d'assistance judiciaire, dûment complété par la prévenue, a été transmis au Ministère public de la République et canton de Genève. Selon le rapport du greffe de l'assistance juridique du 7 octobre 2020, la situation financière de A._ ne lui permettait pas d'assumer par ses propres moyens les honoraires d'un avocat. Par ordonnance du 16 octobre 2020, le Ministère public a refusé de désigner un avocat d'office à la prévenue, considérant que la cause ne présentait pas de difficultés juridiques ou factuelles particulières et que l'intéressée pouvait se défendre efficacement seule; la cause était en outre de peu de gravité. A._ n'a pas recouru contre cette décision.
Par ordonnance pénale du 16 octobre 2020, le Ministère public a reconnu A._ coupable d'obtention illicite de prestations d'une assurance sociale ou de l'aide sociale (art. 148a al. 1 et 2 CP); elle a été condamnée à une peine pécuniaire de 60 jours-amende à 30 fr. le jour-amende - peine assortie d'un sursis pendant trois ans -, ainsi qu'au paiement d'une amende de 500 francs.
Le 2 novembre 2020, A._, agissant par l'intermédiaire de son conseil, a déposé une opposition motivée à cette ordonnance; elle a également réitérée sa demande d'assistance judiciaire, soutenant que sa situation personnelle n'avait été que partiellement prise en compte. A l'appui de sa requête, A._ a produit le certificat médical daté du 27 octobre 2020 du docteur B._, psychiatre, l'attestation du 22 mars 2018 de la doctoresse C._, psychiatre, ainsi que son courrier du 19 novembre 2018 adressé à l'Hospice général relatif à sa situation personnelle.
La prévenue, assistée par son avocate, a été entendue le 13 novembre 2020 par le Ministère public; en particulier, elle a déclaré rembourser les prestations d'aide sociale indues à concurrence de 100 fr. par mois, grâce à l'aide financière de son frère et d'un ami.
Par ordonnance sur opposition du 24 novembre 2020, le Ministère public a maintenu l'ordonnance pénale du 16 octobre 2020 et a transmis la procédure au Tribunal de police. Ce même jour, le Ministère public a refusé d'ordonner une défense d'office en faveur de A._, retenant que la cause ne présentait pas de difficultés particulières en fait et en droit, de sorte que la prévenue était à même de se défendre efficacement seule; la cause était également de peu de gravité et n'exigeait pas la désignation d'un défenseur d'office (peine pécuniaire inférieure à 120 jours-amende).
B.
Le 15 mars 2021, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale de recours) a rejeté le recours formé par A._ contre cette décision, considérant que la prévenue ne se trouvait pas dans un cas de défense obligatoire (cf. consid. 2.3 p. 7) et que les conditions d'une défense d'office n'étaient pas réalisées (cf. consid. 3.2 p. 8 s.).
C.
Par acte du 3 mai 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à son annulation, à la désignation de l'avocate Lucie Bouldin en tant qu'avocate d'office, avec effet rétroactif au 1er octobre 2020. A titre subsidiaire, elle demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants. La recourante sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à se déterminer, l'autorité précédente s'est référée à son arrêt sans formuler d'observation. Quant au Ministère public, il a conclu au rejet du recours. Le 17 juin 2021, la recourante a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière pénale est ouvert contre une décision incidente par laquelle l'assistance judiciaire est refusée à une partie à la procédure pénale (<ref-law>). Un tel refus est susceptible de causer un préjudice irréparable à son destinataire, au sens de l'<ref-law>, de sorte qu'il peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338; arrêt 1B_119/2021 du 22 juillet 2021 consid. 1). La recourante, prévenue se prévalant d'un cas de défense obligatoire (cf. <ref-law>) ou subsidiairement d'une situation justifiant la désignation d'un défenseur d'office (cf. <ref-law>), a un intérêt juridique à obtenir l'annulation ou la modification de l'arrêt entrepris (<ref-law>). Le recours a été déposé en temps utile (cf. art. 45, 46 al. 1 let. a et 100 al. 1 LTF) contre un prononcé rendu en dernière instance cantonale (<ref-law>).
La recourante n'a pas recouru contre l'ordonnance du 16 octobre 2020 rejetant sa - première - demande d'assistance judiciaire du 1er octobre 2020. On peut dès lors se demander si sa conclusion tendant à une défense d'office avec effet rétroactif à cette date est recevable, surtout si l'on ne se trouve pas d'entrée de cause dans un cas de défense obligatoire. Eu égard à l'issue du litige, cette problématique de recevabilité peut cependant rester indécise.
2.
Dans un premier grief, la recourante reproche à l'autorité précédente une constatation arbitraire des faits dans la mesure où elle a retenu que la recourante aurait reconnu les faits; il en découlerait notamment une violation de la présomption d'innocence (cf. <ref-law>).
2.1. Le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 91 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 81; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503). Le Tribunal fédéral n'entre ainsi pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 81; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 118).
2.2. En l'occurrence, il ressort des propos tenus à la police que la recourante a expliqué avoir résidé entre juillet et novembre 2018 en France ("J'ai vécu chez mon frère jusqu'à début juillet 2018 [...]. Étant donné qu'on ne trouvait aucune solution de logement, les seules options qui s'offraient à moi étaient soit de dormir dans ma voiture, soit de dormir chez mon ami, lequel habite en France. Au vu de la situation, j'ai décidé d'aller chez mon ami en France" [cf. le procès-verbal du 26 août 2020 p. 2]). Ces éléments ont été repris dans son opposition du 2 novembre 2020 rédigée par son avocate ("Lorsque [son frère] a dû déménager de son appartement à D._ pour intégrer un plus petit logement à l'été 2018, [la recourante] s'est retrouvée face à deux possibilités : vivre dans la rue ou séjourner temporairement chez son compagnon en France" [cf. ladite écriture p. 2]). La recourante, alors assistée, a enfin confirmé ses précédentes déclarations devant le Ministère public (cf. le procès-verbal du 13 novembre 2020 p. 1). Elle ne prétend pas non plus dans son mémoire au Tribunal fédéral que la période indiquée ou le lieu de logement durant celle-ci serait erroné, respectivement qu'elle n'aurait pas reçu des prestations de la part de l'Hospice général durant les mois litigieux. La cour cantonale pouvait ainsi, sans arbitraire, considérer que la recourante avait admis les faits.
En outre, la recourante reconnaît que l'évaluation sous l'angle juridique - dont l'examen de la condition subjective de l'intention (sur les conditions de l'<ref-law>, voir MATTHIAS JENAL, in Basler Kommentar, Strafrecht, 4e éd. 2019, nos 6 ss ad <ref-law>P; GARBARSKI/BORSODI, in Commentaire romand, Code pénal II, 2017, nos 10 ss ad <ref-law>) - ne relève pas de la compétence de l'autorité précédente (cf. ad V/C/1 p. 10 du recours). Cette dernière ne se prononce d'ailleurs pas sur les conséquences pouvant découler des déclarations de la recourante (dont l'admission des faits et/ou les explications données), notamment quant à une éventuelle culpabilité. Les constatations émises dans l'arrêt attaqué ne violent ainsi pas la présomption d'innocence.
Partant, ces premiers griefs peuvent être écartés.
3.
Invoquant les art. 29 Cst., 6 par. 3 CEDH et 130 CPP, la recourante soutient qu'elle se trouverait dans un cas de défense obligatoire vu sa situation personnelle et médicale. Elle reproche en particulier à l'autorité précédente une appréciation arbitraire des certificats médicaux présentés, respectivement d'avoir retenu, sans autre instruction, que sa dépendance aux médicaments ne serait pas démontrée.
3.1. Selon l'<ref-law>, le prévenu a notamment droit à un défenseur si, en raison de son état physique ou psychique ou pour d'autres motifs, il ne peut pas suffisamment défendre ses intérêts dans la procédure et ses représentants légaux ne sont pas en mesure de le faire (let. c).
Selon la jurisprudence, la question de la capacité de procéder doit être examinée d'office. Cependant, des indices de limitation ou d'absence d'une telle capacité doivent exister pour qu'il puisse être attendu de l'autorité qu'elle obtienne des éclaircissements à ce sujet. Une incapacité de procéder n'est ainsi reconnue que très exceptionnellement, soit en particulier lorsque le prévenu se trouve dans l'incapacité de suivre la procédure, de comprendre les accusations portées à son encontre et/ou de prendre raisonnablement position à cet égard (arrêts 6B_1331/2020 du 18 janvier 2021 consid. 2.2.3; 6B_508/2020 du 7 janvier 2021 consid. 2.1.1; 1B_493/2019 du 20 décembre 2019 consid. 2.1; 1B_285/2016 du 1er septembre 2016 consid. 2.1 et les références citées).
Dans la doctrine, l'hypothèse prévue à l'art. 130 let. c CPP est notamment réalisée lorsque le prévenu n'est plus à même - de façon temporaire ou permanente - d'assurer, intellectuellement ou physiquement, sa participation à la procédure, à l'image des cas visés par l'art. 114 al. 2 et 3 CPP (HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, n° 26 ad <ref-law>; SCHMID/JOSITSCH, Schweizerische Strafprozessordnung [StPO], Praxiskommentar, 3e éd. 2019, n° 9 ad 130 CPP; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, Petit commentaire CPP, 2016, n° 15 ad <ref-law>). A titre d'incapacités personnelles, il peut s'agir de dépendances à l'alcool, aux stupéfiants ou à des médicaments susceptibles d'altérer les capacités psychiques (VIKTOR LIEBER, in DONATSCH/LIEBER/SUMMERS/WOHLERS [édit.], Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung, 3e éd. 2020, vol. I, n° 19 ad <ref-law>; HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, op. cit., n° 26 ad <ref-law>; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, op. cit., n° 16 ad <ref-law>), ainsi que de troubles mentaux sévères (cf. HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, op. cit., n° 26 ad <ref-law>). S'agissant plus particulièrement des empêchements psychiques, il n'est pas nécessaire que le prévenu souffre de troubles d'ordre psychiatrique, mais il suffit de pouvoir établir qu'il ne saisit pas ou plus les enjeux auxquels il est confronté dans la procédure pénale (LIEBER, op. cit., n° 19 ad <ref-law>; HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, op. cit., n° 26 ad <ref-law>; MOREILLON/PAREIN-REYMOND, op. cit., n° 17 ad <ref-law>).
La direction de la procédure dispose d'une marge d'appréciation pour déterminer si le prévenu frappé d'une incapacité personnelle peut suffisamment se défendre ou non; au vu du but de protection visé par ce cas de défense obligatoire, l'autorité devra cependant se prononcer en faveur de la désignation d'un défenseur d'office en cas de doute ou lorsqu'une expertise psychiatrique constate l'irresponsabilité du prévenu ou une responsabilité restreinte de celui-ci (arrêts 6B_508/2020 du 7 janvier 2021 consid. 2.1.1; 1B_285/2016 du 1er septembre 2016 consid. 2.1; 1B_279/2014 du 3 novembre 2014 consid. 2.1 et 2.2 in SJ 2015 I p. 172). Le fait que le requérant soit sous curatelle ou qu'il suive une thérapie dans un centre de réhabilitation pour personnes dépendantes à l'alcool et aux stupéfiants ne suffit pas à démontrer une prétendue incapacité psychique de procéder (arrêts 6B_508/2020 du 7 janvier 2021 consid. 2.1.1; 1B_493/2019 du 20 décembre 2019 consid. 2.1; 1B_314/2015 du 23 octobre 2015 consid. 2.2; LIEBER, op. cit., n° 19a ad <ref-law>; HARARI/JAKOB/SANTAMARIA, op. cit., n° 26 ad <ref-law>).
3.2. La cour cantonale a considéré que le certificat médical du docteur B._ - attestant d'un suivi en raison d'un trouble du déficit de l'attention avec hyperactivité (TDAH) et estimant que l'état de santé de la recourante justifierait une assistance par un tiers dans le cadre de ses démarches administratives et juridiques - n'établissait pas que le trouble évoqué serait de nature à empêcher la recourante de saisir les enjeux de la présente procédure, d'y participer et de prendre raisonnablement position; quant à l'attestation de la doctoresse C._ - mentionnant une symptomatologie dépressive et une fragilité psychologique -, elle datait de 2018 et avait été établie dans le cadre d'une demande d'aide au logement, n'en ressortant ainsi pas de maux dont souffrirait la recourante qui l'empêcheraient de saisir les enjeux de la présente procédure. L'autorité précédente a ensuite retenu que la dépendance aux médicaments - en particulier aux benzodiazépines - invoquée n'était pas établie, respectivement que son éventuel impact sur les capacités cognitives de la recourante n'était pas étayée; les procès-verbaux démontraient que la recourante avait pu s'exprimer de manière cohérente et compréhensible sur les faits, sur sa situation personnelle, y compris sans l'assistance d'un avocat. La Chambre pénale de recours a dès lors estimé que la recourante ne rencontrait aucun problème d'ordre psychique l'empêchant de défendre ses intérêts, une défense obligatoire ne se justifiant ainsi pas.
3.3. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique. Une appréciation différente de celle à laquelle aspire la recourante - notamment eu égard aux deux certificats médicaux produits - ne suffit pas pour considérer que celle émise par l'autorité précédente serait arbitraire. Si les deux attestations établissent que la recourante souffre de troubles psychiques, celle-ci, qui suit certes a priori un traitement, n'est cependant pas au bénéfice d'une mesure de protection de l'adulte (cf. au demeurant l'exclusion y relative mentionnée dans l'attestation du docteur B._). Sans autre élément, il ne saurait donc être nécessairement retenu que ses troubles affecteraient sa capacité de compréhension dans la présente cause. La recourante ne fait d'ailleurs état d'aucune incohérence qui le démontrerait, notamment par exemple entre les déclarations tenues devant la police - alors qu'elle procédait sans avocat - et celles émises lors de l'audience devant le Ministère public. Elle semble au contraire avoir eu des propos constants (cf. notamment ses explications en lien avec ses difficultés pour se loger; voir également ci-dessus consid. 2.2); devant le Tribunal fédéral, elle affirme en outre avoir "toujours indiqué qu'elle n'avait jamais eu l'intention de tromper l'Hospice général" (cf. ad V/C/2 p. 16 de son recours). En tout état de cause, sa confusion ne saurait être démontrée par le fait que les autorités pénales apprécieraient de manière différente les déclarations effectuées. Pour ces mêmes motifs - en particulier l'absence d'indice de confusion et/ou de contradiction ressortant des éléments du dossier -, la cour cantonale pouvait donc, sans arbitraire, considérer que la cause était suffisamment instruite et procéder à une appréciation anticipée des preuves à disposition (sur cette notion voir arrêt 6B_211/2021 du 2 août 2021 consid. 3.1 et les arrêts cités).
A cela s'ajoute aussi le fait que si la recourante soutient souffrir de symptômes dépressifs depuis près de 30 ans (cf. ad V/C/2 p. 15 du recours) et qu'elle avait déjà évoqué suivre un "lourd traitement médical" lors de son audition de police (cf. p. 3 du procès-verbal de l'audition du 26 août 2020), sa première requête d'assistance judiciaire - rédigée par le biais de sa mandataire - n'invoquait pas expressément de tels motifs; il n'y était en effet ni fait référence à l'art. 130 let. c CPP, ni expliqué pourquoi la recourante n'était pas en mesure de se défendre, notamment en raison de ses problèmes médicaux. La recourante ne prétend pas non plus que son état de santé se serait aggravé ultérieurement à l'ordonnance de refus d'une défense d'office du 16 octobre 2020. Une telle conclusion ne s'impose en outre pas à la lecture du certificat médical du 27 octobre 2020, lequel permet tout au plus de confirmer les troubles existants; s'il y est aussi constaté que la recourante bénéficie d'un "traitement avec posologie maximale", il n'en ressort pas que ce suivi aurait débuté ou aurait été modifié de manière importante après le 16 octobre 2020, ce que la recourante - qui invoque une addiction aux médicaments - ne prétend au demeurant pas. Faute de modification des circonstances, une appréciation différente ne s'imposait ainsi pas non plus lors de l'examen de la seconde requête d'assistance judiciaire.
Partant, au regard de l'ensemble des éléments précités, la cour cantonale pouvait, sans violer le droit fédéral, l'interdiction de l'arbitraire ou le droit d'être entendu, considérer que la recourante ne se trouvait pas dans un cas de défense obligatoire selon l'<ref-law>.
4.
La recourante reproche également à l'autorité précédente d'avoir considéré que les conditions permettant une défense d'office n'étaient pas réalisées.
4.1. A teneur de l'<ref-law>, la direction de la procédure ordonne une défense d'office si le prévenu ne dispose pas des moyens nécessaires et que l'assistance d'un défenseur est justifiée pour sauvegarder ses intérêts. La défense d'office aux fins de protéger les intérêts du prévenu se justifie notamment lorsque l'affaire n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois ou d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende (<ref-law>).
Les critères énoncés par l'art. 132 al. 1, let. b, 2 et 3 CPP reprennent largement la jurisprudence du Tribunal fédéral en matière d'assistance judiciaire, rendue sur la base des art. 29 al. 3 Cst. et 6 ch. 3 let. c CEDH (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 174). Si les deux conditions mentionnées à l'<ref-law> doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe "notamment"), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il encourt une révocation de l'autorisation d'exercer sa profession ou s'il risque de perdre la garde de ses enfants (arrêts 1B_194/2021 du 21 juin 2021 consid. 3.1). La désignation d'un défenseur d'office peut ainsi s'imposer selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées, qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul. En revanche, lorsque l'infraction n'est manifestement qu'une bagatelle, en ce sens que son auteur ne s'expose qu'à une amende ou à une peine privative de liberté de courte durée, la jurisprudence considère que l'auteur n'a pas de droit constitutionnel à l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 174; arrêt 1B_157/2021 du 31 mars 2021 consid. 3.2).
Pour évaluer ensuite si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. La nécessité de l'intervention d'un conseil juridique doit ainsi reposer sur des éléments objectifs, tenant principalement à la nature de la cause, et sur des éléments subjectifs, fondés sur l'aptitude concrète du requérant à mener seul la procédure (arrêt 1B_194/2021 du 21 juin 2021 consid. 3.1 et les arrêts cités).
S'agissant de la difficulté objective de la cause, à l'instar de ce qu'elle a développé en rapport avec les chances de succès d'un recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 397; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 135 s.), la jurisprudence impose de se demander si une personne raisonnable et de bonne foi, qui présenterait les mêmes caractéristiques que le requérant mais disposerait de ressources suffisantes, ferait ou non appel à un avocat (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 537). La difficulté objective d'une cause est admise sur le plan juridique lorsque la subsomption des faits donne lieu à des doutes, que ce soit de manière générale ou dans le cas particulier. Pour apprécier la difficulté subjective d'une cause, il faut tenir compte des capacités du prévenu, notamment de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, de sa maîtrise de la langue de la procédure, ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (arrêts 1B_194/2021 du 21 juin 2021 consid. 3.1 et les arrêts cités).
4.2. En occurrence, l'indigence de la recourante n'est pas contestée. Quant à la seconde condition, la recourante ne prétend pas qu'elle serait réalisée eu égard à la peine encourue ou en raison du stade de la procédure; en particulier, elle ne se prévaut pas de difficultés procédurales, que ce soit au moment de déposer son opposition - laquelle n'a pas à être motivée s'agissant du prévenu (cf. <ref-law>) - ou en vue de l'audience de jugement devant le Tribunal de police. Il s'agit donc d'examiner s'il existe d'autres motifs justifiant la désignation d'un avocat d'office.
La recourante invoque des difficultés particulières eu égard aux faits et au droit. Elle n'apporte cependant pas la moindre démonstration des points qui pourraient susciter - sur un plan objectif - des controverses, notamment juridiques. En particulier, elle ne prétend pas que cela pourrait résulter de la détermination de la période temporelle litigieuse et/ou de son lieu de séjour durant celle-ci. Elle semble également avoir su faire valoir des circonstances afin d'expliquer les faits reprochés (cf. notamment ses difficultés de logement); ces explications ont en outre déjà été avancées devant la police alors que la recourante n'était pourtant pas assistée par une mandataire professionnelle et connaissait a priori déjà des difficultés de santé. La recourante ne donne pas non plus d'indication sur les "nuances des conditions objectives et subjectives" de l'infraction pénale examinée qu'elle ne comprendrait pas, notamment en l'absence de connaissances juridiques et/ou de l'assistance d'un avocat. La cause ne présente ainsi aucune difficulté en fait ou en droit que la recourante ne serait pas à même de résoudre seule.
Dans la mesure où l'Hospice général - en parallèle du dépôt de la plainte pénale - a rendu une décision de restitution des prestations indues à charge de la recourante - prononcé que celle-ci n'a pas contesté -, on ne saurait considérer qu'une éventuelle condamnation pénale remettrait à elle seule en cause la bonne foi de la recourante dans le cadre de ses prochaines démarches auprès de cette institution. En tout état de cause, la recourante n'indique aucune disposition du droit cantonal qui refuserait ou réduirait, de manière significative, les prestations dues par l'Hospice général en cas de condamnation pénale, en particulier pour l'infraction examinée dans le cas d'espèce (cf. la loi genevoise du 22 mars 2007 sur l'insertion et l'aide sociale individuelle [LIASI; RS/GE J 4 04]). Les éventuelles - au demeurant hypothétiques - difficultés administratives que pourrait rencontrer la recourante à l'avenir ne suffisent ainsi pas non plus pour justifier l'assistance d'un avocat dans le cadre pénal.
Par conséquent, la cour cantonale pouvait, sans violer le droit fédéral, considérer que les conditions de l'art. 132 al. 1 let. b, 2 et 3 CPP n'étaient pas réalisées.
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante a demandé l'assistance judiciaire (<ref-law>). Son recours était cependant d'emblée dénué de chances de succès et cette requête doit être rejetée. Eu égard à sa situation financière précaire, il y a lieu cependant de statuer sans frais (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 9 septembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Kropf