Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ AG (Gesuchsgegnerin, Beschwerdeführerin) ist eine Aktiengesellschaft mit Sitz in U._. Ihr Aktienkapital von Fr. 600'000.-- ist in 600 Namenaktien zu je Fr. 1'000.-- gestückelt. Aktionäre sind unter anderem B.B._ (Gesuchsteller 1, Beschwerdegegner 1), der 67 Aktien hält, sowie C.B._ (Gesuchsteller 2, Beschwerdegegner 2), der 2 Aktien hält.
Die D._ AG ist eine 100%ige Tochtergesellschaft der A._ AG.
B.B._ war lange Geschäftsführer sowie Mitglied des Verwaltungsrats der D._ AG und überdies Mitglied des Verwaltungsrats der A._ AG. Am 25. August 2016 wurde er als Geschäftsführer der D._ AG entlassen. Seit diesem Zeitpunkt bestehen Unstimmigkeiten zwischen den Parteien, die auch in Gerichtsverfahren mündeten. In der Folge schied B.B._ auch aus den Verwaltungsräten der D._ AG und der A._ AG aus.
A.b. Am 25. Juni 2019 fand eine ordentliche Generalversammlung der A._ AG statt. An dieser stellte C.B._ verschiedene Fragen. Unter anderem erkundigte er sich, weshalb der Personalaufwand im Geschäftsjahr 2018 im Vergleich zum Vorjahr um Fr. 177'000.-- gestiegen sei. Die Präsidentin des Verwaltungsrats erläuterte, dass "weiterhin keine 10 Vollzeitstellen" bestünden, indes insbesondere "Löhne/Renten/Personalvorsorge und Personalversicherung" mitenthalten seien. Ausserdem sei der Saldo "durch Jubiläen und Ein- und Austritte" etwas höher.
A.c. Am 4. November 2019 führte die A._ AG eine ausserordentliche Generalversammlung durch. B.B._ und C.B._ formulierten verschiedene Auskunftsbegehren, unter anderem ersuchten sie (erneut) um eine Erklärung für die Zunahme des Personalaufwands. Der Verwaltungsrat verwies wiederum auf "Löhne/Renten/Personalvorsorge und Personalversicherung" sowie auf "Jubiläen und Ein- und Austritte". Ausserdem stellten B.B._ und C.B._ einen Antrag auf Durchführung einer Sonderprüfung bezüglich der im Auskunftsbegehren "dargelegten Sachverhalte". Dieser Antrag wurde von der Generalversammlung mit 507 zu 79 Stimmen abgelehnt.
B.
Am 3. Februar 2020 reichten B.B._ und C.B._ beim Handelsgericht des Kantons Bern ein gegen die A._ AG gerichtetes Gesuch im summarischen Verfahren ein. Sie beantragten gestützt auf <ref-law> die Einsetzung eines Sonderprüfers und listeten in ihren Rechtsbegehren sieben Themenkomplexe auf, zu denen der Sonderprüfer Bericht zu erstatten habe (Rechtsbegehren-Ziffer. 2.1/a bis 2.1/c sowie 2.2 bis 2.5). In Rechtsbegehren-Ziffer 2.2 verlangten sie was folgt:
"Die Sonderprüfung sei zu folgenden Gegenständen durchzuführen, und der Sonderprüfer habe zu folgenden Fragen Bericht zu erstatten:
[...]
2.2 Über die Zusammensetzung des Personaletats der A._ AG (Angabe in Personen und Stellenprozenten) per 31. Dezember 2017 und 31. Dezember 2018 sowie die Gründe der markanten Veränderung des Personalaufwandes im Vergleich dieser Jahre."
Mit Entscheid vom 12. Mai 2020 hiess das Handelsgericht das Gesuch in Bezug auf Rechtsbegehren-Ziffer 2.2 teilweise gut. Es beschränkte den Gegenstand der Sonderprüfung auf "die Gründe für die Veränderung bzw. für die Zunahme des Personalaufwandes der Gesuchsgegnerin im Geschäftsjahr 2018 um CHF 177'092.25 im Vergleich zum Geschäftsjahr 2017". Im Übrigen wies die Vorinstanz das Gesuch ab.
C.
Die A._ AG verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen die vollständige Abweisung des Gesuchs um Durchführung einer Sonderprüfung.
Das Handelsgericht verzichtete auf Vernehmlassung, unter Hinweis auf den angefochtenen Entscheid. B.B._ und C.B._ beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

Erwägungen:
1.
Im angefochtenen Entscheid ordnete die Vorinstanz im Grundsatz eine Sonderprüfung an, ohne jedoch die Person des Sonderprüfers zu bestimmen und ohne über "die damit zusammenhängenden weiteren Anordnungen" (insbesondere über den Kostenvorschuss) zu entscheiden. Darüber - so führte das Handelsgericht aus - werde in einem gesonderten Verfahren befunden.
Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts gilt die grundsätzliche Anordnung einer Sonderprüfung im Sinne von <ref-law> mit abschliessender Bestimmung der zu klärenden Fragen als Teilentscheid nach <ref-law>, da über diesen Grundsatz wie bei objektiv gehäuften Begehren unabhängig von der Person des Sonderprüfers und von der Höhe des Kostenvorschusses entschieden werden kann (Urteile 4A_203/2019 vom 11. Mai 2020 E. 2.1.5.2, zur Publikation vorgesehen; 4A_180/2017 vom 31. Oktober 2017 E. 1.2; 4A_260/2013 vom 6. August 2013 E. 1). Die Beschwerde ist mithin zulässig, ohne dass die Voraussetzungen der Art. 92 f. BGG erfüllt sein müssten.
Der Entscheid betrifft eine Zivilsache (vgl. <ref-law>). Das Handelsgericht hat als einzige kantonale Instanz gemäss <ref-law> entschieden, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen unabhängig vom Streitwert offen steht (<ref-ruling> E. 1.2; siehe auch <ref-ruling> E. 1.1, 2 E. 1.2.2 S. 5).
2.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe zu Unrecht einen Sonderprüfer eingesetzt.
2.1. Jeder Aktionär kann der Generalversammlung beantragen, bestimmte Sachverhalte durch eine Sonderprüfung abklären zu lassen, sofern dies zur Ausübung der Aktionärsrechte erforderlich ist und er das Recht auf Auskunft oder das Recht auf Einsicht bereits ausgeübt hat (<ref-law>). Entspricht die Generalversammlung dem Antrag nicht, so können Aktionäre, die zusammen mindestens 10 Prozent des Aktienkapitals oder Aktien im Nennwert von 2 Millionen Franken vertreten, innert dreier Monate den Richter ersuchen, einen Sonderprüfer einzusetzen (<ref-law>). Die Gesuchsteller haben Anspruch auf Einsetzung eines Sonderprüfers, wenn sie glaubhaft machen, dass Gründer oder Organe Gesetz oder Statuten verletzt und damit die Gesellschaft oder die Aktionäre geschädigt haben (<ref-law>). Den Gesuchstellern obliegt es, nicht nur die Verletzung von Gesetz oder Statuten, sondern auch einen Zusammenhang zwischen den von ihnen anvisierten Aktionärsrechten und dem Thema der beantragten Untersuchung glaubhaft zu machen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; Urteile 4A_107/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 4.1; 4A_180/2017 vom 31. Oktober 2017 E. 5.1).
2.2. Die Beschwerdegegner möchten - soweit hier von Interesse - sinngemäss abgeklärt haben, ob die Organe der Beschwerdeführerin übersetzte Leistungen bezogen haben. Diese Information sei insbesondere für die Erhebung einer Rückerstattungsklage im Sinne von <ref-law> erforderlich.
2.3. Die Vorinstanz erwog, die vom Verwaltungsrat erteilten Auskünfte (vorstehend Sachverhalt Bst. A.b und A.c) seien für die Beschwerdegegner unbrauchbar und erklärten die grosse Zunahme des Personalaufwands im Jahr 2018 um Fr. 177'092.25 oder um 37.4 % im Vergleich zum Vorjahr nicht. Es verstehe sich von selbst, dass die vom Verwaltungsrat angeführten Posten "Löhne, Renten, Personalvorsorge und Personalversicherung" auch schon früher im Konto "Personalaufwand" enthalten gewesen seien. Die Diskrepanz könne bei weniger als 10 Mitarbeitern auch nicht mit Jubiläumsgeschenken erklärt werden. Wenn der Verwaltungsrat schliesslich allgemein auf die Ein- und Austritte verweise, sei damit nicht gesagt, ob der Anstieg beim Personalaufwand auf die Zahl der beschäftigten Personen oder auf die Höhe der (Lohn-) Bezüge zurückzuführen sei. Die grundlose, beharrliche Verweigerung sachdienlicher Auskünfte an zwei Generalversammlungen in demselben Jahr begründe zusammen mit der markanten Zunahme des Personalaufwands den Verdacht, dass die Beschwerdeführerin in Missachtung der Vorschriften über die Gewinnausschüttung Leistungen im Sinne von <ref-law> erbracht haben könnte, die an die Gesellschaft zurückzuerstatten seien.
Hinzu komme, dass bei einem geschlossenen Aktionariat, das sich - wie vorliegend - weitgehend aus unter sich verwandten Personen zusammensetze und das in zwei gegnerische Gruppen aufgeteilt sei, die Gefahr verdeckter Gewinnausschüttungen höher erscheine als in einer Gesellschaft mit offener Aktionärsstruktur. Dies gelte umso mehr, als der Beschwerdegegner 1 offenbar seine Aktien verkaufen möchte, was einen Anreiz für die herrschende Gruppe darstellen könne, thesaurierte Gewinne verdeckt wegzuschaffen.
2.4. Die Beschwerdeführerin ist mit diesen Überlegungen nicht einverstanden. Sie moniert, die Durchführung einer Sonderprüfung sei für die Ausübung von Aktionärsrechten nicht erforderlich (dazu Erwägung 3). Ausserdem ist sie der Auffassung, dass die Beschwerdegegner weder eine Verletzung von Gesetz oder Statuten noch eine Schädigung der Gesellschaft oder der Aktionäre hinreichend glaubhaft gemacht hätten (dazu Erwägung 4). Schliesslich wirft sie dem Beschwerdegegner 1 querulatorisches und rechtsmissbräuchliches Verhalten vor (dazu Erwägung 5).
3.
(Erforderlichkeit für die Ausübung von Aktionärsrechten)
3.1. Die abzuklärenden Informationen müssen nach dem Gesagten der Ausübung von Aktionärsrechten dienen. Die Beschwerdegegner verlangen die Sonderprüfung mit Blick auf eine allfällige Rückerstattungsklage nach <ref-law>. Mitglieder des Verwaltungsrats sind gemäss dieser Bestimmung zur Rückerstattung "anderer Leistungen" - das heisst nicht formaler Gewinnausschüttungen im Sinne von <ref-law> - verpflichtet, soweit diese in einem offensichtlichen Missverhältnis zur Gegenleistung und zur wirtschaftlichen Lage der Gesellschaft stehen. Damit zielt <ref-law> auf verdeckte Gewinnausschüttungen an Aktionäre, Mitglieder des Verwaltungsrats und diesen nahe stehende Personen (<ref-ruling> E. 4).
3.2. Die Beschwerdeführerin spricht den Beschwerdegegnern zunächst das Rechtsschutzinteresse ab, da diese ohnehin keine Aktionärsrechte mehr geltend machen könnten.
3.2.1. Im Einzelnen bringt sie vor, dass die Jahresrechnung 2018 an der Generalversammlung vom 25. Juni 2019 ohne Gegenstimme genehmigt worden sei (angenommen mit 508 Stimmen bei 81 Enthaltungen). Dieser Genehmigungsbeschluss sei nicht angefochten worden. Mit dem rechtsgültigen Abschluss des Geschäftsjahrs 2018 seien alle Aktionärsrechte verwirkt, so auch hinsichtlich der Rückerstattung allfälliger im Jahre 2018 getätigter Bezüge.
3.2.2. Dies trifft, zumindest in dieser Allgemeinheit, nicht zu. Dies ergibt sich schon daraus, dass ungerechtfertigt ausgerichtete Leistungen im Sinne von <ref-law> in der Regel auf einem nichtigen Geschäft beruhen (vgl. etwa Urteil 4A_645/2017 vom 22. August 2018 E. 6.4, nicht publiziert in: <ref-ruling>; HANS-UELI VOGT, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht II, 5. Aufl. 2016, N. 26 und 34 zu <ref-law>; VON DER CRONE/MAUCHLE, Rückerstattung von Leistungen nach <ref-law>, SZW 2015, S. 204 f.; je mit Hinweisen). Abgesehen davon ist jedenfalls im vorliegenden Fall nicht erkennbar, inwiefern die blosse Genehmigung der Jahresrechnung (die wohl den Personalaufwand insgesamt [vgl. <ref-law>], nicht aber die einzelnen Vergütungen an die Organe ausweist, und die in erster Linie Informationsfunktionen erfüllt [vgl. <ref-law>]) im Sinne von <ref-law> die Rückerstattung von Leistungen, die trotz offensichtlichem Missverhältnis zur Gegenleistung und zur wirtschaftlichen Lage der Gesellschaft ausgerichtet wurden, per se ausschliessen soll (siehe auch CHENAUX/GACHET, in: Commentaire romand, Code des obligations II, 2. Aufl. 2017, N. 54 zu <ref-law>; VOGT, a.a.O., N. 26 <ref-law>; vgl. ferner Urteil 4A_195/2014 und 4A_197/2014 vom 27. November 2014 E. 6.1 f., nicht publiziert in: <ref-ruling>; MARTIN WALDBURGER, Verwaltungsratshonorare und aktienrechtliche Rückforderungsklage [<ref-law>], GesKR 2015, S. 147 f.). Nach der Lehre und kantonalen Rechtsprechung können ungerechtfertigte Gewinnentnahmen höchstens dann durch einen nachträglichen Beschluss der Generalversammlung "geheilt" werden, wenn die Gewinnausschüttung formelle Regeln verletzt (insbesondere, wenn es an einem formellen Ausschüttungsbeschluss mangelt), nicht aber dann, wenn materielle Ausschüttungssperren missachtet werden (CHRISTOPH SCHMID, in: Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 6 zu <ref-law>; VOGT, a.a.O., N. 26 zu <ref-law>; Beschluss und Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich LB120095 vom 22. Juli 2013 E. 3.4). Zur Diskussion stehen vorliegend verdeckte Gewinnausschüttungen in Form übersetzter Gehälter und damit materiell ungerechtfertigte Bezüge.
Die Beschwerdeführerin verweist zur Begründung einzig auf das Urteil 4A_107/2018 vom 29. Oktober 2018, E. 5.2 und E. 7.3. Aus diesem Entscheid ergibt sich aber im Gegenteil, dass einem Begehren um Durchführung einer Sonderprüfung trotz Genehmigung der Jahresrechnung stattgegeben werden kann, sofern im Gesuch - den allgemeinen Voraussetzungen entsprechend - hinreichend dargetan wird, weshalb die Gesuchsteller auf die Informationsbeschaffung mittels Sonderprüfung (etwa für die Erhebung einer Rückerstattungsklage) angewiesen sind.
Die Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
3.3. Sodann beklagt sie, dass die Bekanntgabe von "Löhnen" für die Geltendmachung von Aktionärsrechten auch aus offenlegungsrechtlichen Gründen nicht erforderlich sei.
3.3.1. Konkret führt die Beschwerdeführerin aus, die Vorinstanz habe gegen den "Grundsatz" verstossen, "dass nach Schweizer Aktienrecht keine AG verpflichtet [sei], Löhne der Geschäftsleitung und des Verwaltungsrats bekannt zu geben". Selbst börsenkotierte Gesellschaften müssten gemäss <ref-law> einzig die Gesamtsumme der Vergütungen, die Mitgliedern des Verwaltungsrats sowie der Geschäftsleitung ausgerichtet würden, offen legen. Es gehe nicht an, den Beschwerdegegnern darüber hinausgehende Rechte einzuräumen. Sie werde zu Unrecht zu "individuelle[n] Offenlegungen" einzelner Gehälter verpflichtet.
3.3.2. Anders, als die Beschwerdeführerin meint, sollen mit der Sonderprüfung nicht ohnehin offenlegungspflichtige Sachverhalte abgeklärt werden. Es geht im Gegenteil darum, bestimmte, noch nicht bekannte gesellschaftliche Vorgänge zu untersuchen: Die Sonderprüfung ist ein Mittel der Informationsbeschaffung des Aktionärs über interne Vorgänge der Gesellschaft, das dem Informationsdefizit der Minderheitsaktionäre abhelfen soll (<ref-ruling> E. 3.4 S. 183; <ref-ruling> E. 2a; <ref-ruling> E. 4). Bereits bekannte Sachverhalte sind dagegen einer Abklärung mittels Sonderprüfung nicht zugänglich (<ref-ruling> E. 3.1 S. 257; <ref-ruling> E. 3a S. 266; Urteil 4C.179/2005 vom 2. November 2005 E. 4.1).
Gegenstand der Klage nach <ref-law> können - neben Verträgen mit einem Missverhältnis von Leistung und Gegenleistung - namentlich stark übersetzte, klar marktunübliche Saläre oder andere direkte oder indirekte Vergütungen sein (Urteil 4A_195/2014 und 4A_197/2014 vom 27. November 2014 E. 6.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Die Beschwerdegegner verlangen eine Sonderprüfung betreffend die Zusammensetzung des Personalaufwands beziehungsweise die Gründe für dessen Zunahme. Dass diese Angaben - zumindest nach dem Massstab eines vernünftigen Durchschnittsaktionärs - für eine allfällige Rückerstattungsklage nach <ref-law> erforderlich sind, liegt auf der Hand. Unerheblich ist dagegen der Umstand, dass diese Informationen nicht von Gesetzes wegen im Geschäftsbericht zu publizieren sind. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerde beschränkt sich der angefochtene Entscheid nicht auf eine "Pro-Forma-Argumentation" und auch nicht darauf, "Allgemeinplätze" breit zu schlagen. Die Erforderlichkeit des abzuklärenden Sachverhalts für die Erhebung einer Klage nach <ref-law> ist hinreichend dargetan.
3.3.3. Im Übrigen kritisiert die Beschwerdeführerin in diesem Zusammenhang, die Vorinstanz habe die Beweislast unrichtig verteilt. In der Tat liegt die Behauptungs- und Beweislast dafür, dass die verlangte Auskunft im Hinblick auf die Ausübung der Aktionärsrechte erforderlich ist, beim Aktionär (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 76; Urteil 4A_655/2016 vom 15. März 2017 E. 4.2). Inwiefern die Vorinstanz diese Regel missachtet haben soll, ist indes nicht erkennbar und wird von der Beschwerdeführerin auch nicht nachvollziehbar dargelegt.
4.
(Glaubhaftmachung von Gesetzes- oder Statutenverletzung und einer Schädigung)
4.1. Im Erfordernis der Glaubhaftmachung einer Schädigung, die auf Gesetzes- oder Statutenverletzungen von Organen zurückzuführen ist, liegt der Angelpunkt des Sonderprüfungsrechts. Bei übertriebenen Anforderungen könnte der Anspruch auf Sonderprüfung toter Buchstabe bleiben. Bei zu grosszügiger Handhabung entstünde dagegen ein Widerspruch zum Regelungsgedanken des Gesetzgebers, wonach die zwangsweise Sonderprüfung nicht leichthin zuzulassen sei. Das Glaubhaftmachen betrifft sowohl Tat- wie Rechtsfragen. In tatsächlicher Hinsicht sind bestimmte Handlungen oder Unterlassungen von Gründern oder Organen und der damit zusammenhängende Schaden glaubhaft zu machen. In Bezug auf diese Tatsachen darf das Gericht weder blosse Behauptungen genügen lassen, noch einen stringenten Beweis verlangen. Ziel der Sonderprüfung ist es, die Informationslage der Gesuchsteller zu verbessern. Das Gericht darf deshalb von den Gesuchstellern nicht diejenigen Nachweise verlangen, die erst der Sonderprüfer erbringen soll. Auf der anderen Seite hat es aber die von den Gesuchstellern vorgebrachten Verdachtsmomente auf ihre Plausibilität hin zu prüfen. Aufgrund dieser Verdachtsmomente müssen gewisse Elemente dafür sprechen, dass Handlungen oder Unterlassungen von Gründern oder Organen in der Tat Schaden angerichtet haben könnten, wobei das Gericht durchaus noch mit der Möglichkeit rechnen darf, dass sich die Vorwürfe nicht verwirklicht haben könnten. Entsprechendes gilt hinsichtlich der Rechtsfragen, wie sie sich namentlich im Zusammenhang mit den von den Gesuchstellern behaupteten oder vermuteten Pflichtverletzungen von Gründern oder Organen stellen. Auch hier hat das Gericht die Rechts- oder Statutenwidrigkeit nicht abschliessend zu beurteilen. Dem Gesuch um Einsetzung eines Sonderprüfers ist vielmehr bereits dann zu entsprechen, wenn sich die rechtlichen Vorbringen zu den Anspruchsvoraussetzungen nach <ref-law> bei summarischer Prüfung als einigermassen aussichtsreich oder doch zum Mindesten als vertretbar erweisen (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 4.3.3 S. 614; <ref-ruling> E. 3.1 S. 257; <ref-ruling> E. 4c; Urteile 4A_260/2013 vom 6. August 2013 E. 4.2; 4A_215/2010 vom 27. Juli 2010 E. 3.1.3 und 3.2.4; 4A_359/2007 vom 26. November 2007 E. 2.3; 4C.64/2003 vom 18. Juli 2003 E. 5.4; zum Beweismass: <ref-ruling> E. 3.3).
Die Frage, ob eine Schädigung infolge des Verhaltens von Gründern oder Organen aufgrund der tatsächlichen Vorbringen der Parteien und aufgrund der von ihnen beigebrachten beweismässigen Anhaltspunkte hinreichend glaubhaft erscheint, betrifft die Beweiswürdigung. Sie kann daher vom Bundesgericht nur unter dem Blickwinkel der Willkür überprüft werden (Urteile 4A_260/2013 vom 6. August 2013 E. 4.2; 4A_129/2013 vom 20. Juni 2013 E. 6.1; 4A_359/2007 vom 26. November 2007 E. 2.4).
4.2. Die Beschwerdeführerin führt an verschiedenen Stellen ihrer Beschwerdeschrift aus, die Beschwerdegegner hätten im Gesuch gar nicht behauptet, dass unangemessene Entgelte ausgerichtet worden seien. Damit setzt sie sich in Widerspruch zu den Feststellungen im angefochtenen Entscheid. Darin erwog die Vorinstanz etwa, dem Gesuch könne entnommen werden, dass "durch ungerechtfertigte Bezüge bzw. indirekte Leistungen des Verwaltungsrats" Vorschriften verletzt sein sollen. Da die Beschwerdeführerin in diesem Punkt keine (hinreichend begründete) Willkürrüge erhebt, hat es damit sein Bewenden (vgl. <ref-law>).
4.3. Das Handelsgericht ging zutreffend davon aus, dass Gesetzes- oder Statutenverletzung sowie Schädigung glaubhaft zu machen seien. Dies stellt die Beschwerdeführerin an sich nicht in Abrede. Sie meint aber, die "Anforderungen an das Glaubhaftmachen" seien von der Vorinstanz "in willkürlicher Weise herabgesetzt" worden. So hätten die Beschwerdegegner nicht dargelegt, "worin" die Gesetzes- oder Statutenverletzung bestehe. An anderer Stelle moniert sie, im Gesuch sei nicht mit Indizien aufgezeigt worden, dass "tatsächlich ein Salär bezahlt" werde, "das wesentlich über dem branchenüblichen Salär" liege. Damit macht es sich die Beschwerdeführerin zu einfach. Denn eine Klage auf Einsetzung eines Sonderprüfers setzt gerade voraus, dass dem Gesuchsteller die Sachverhalte, deren Abklärung er verlangt, noch nicht bekannt sind, andernfalls ihm ein Rechtsschutzinteresse fehlen würde (Erwägung 3.3.2 mit Nachweisen). Ein allzu hoher Detaillierungsgrad der Ausführungen im Gesuch kann und darf daher nicht erwartet werden. Umgekehrt ist einem Gesuch um Durchführung einer Sonderprüfung - zur Verhinderung querulatorischer Begehren oder solcher zur reinen Ausforschung - auch nicht ohne jede Anhaltspunkte für Pflichtverletzung und Schädigung stattzugeben. Die Lösung dieses nicht leicht zu bewältigenden Spannungsverhältnisses hat die Rechtsprechung darin gefunden, dass die gesuchstellerischen Vorbringen auf ihre Plausibilität untersucht werden (Erwägung 4.1). Dass das Handelsgericht vor diesem diffizilen Hintergrund von einem unrichtigen Beweismass ausgegangen wäre, zeigt die Beschwerdeführerin nicht auf.
Im Einzelnen ist Folgendes anzufügen:
4.4.
4.4.1. Die Vorinstanz ist zum Schluss gelangt, dass die in <ref-law> vorausgesetzte Gesetzes- oder Statutenverletzung - nämlich der Bezug von Leistungen in Missachtung der Vorschriften über die Gewinnausschüttung - zumindest glaubhaft gemacht worden sei. Sie stützte sich dabei auf verschiedene Indizien: beharrliche, mehrfache Verweigerung sachdienlicher Auskünfte; markante Zunahme des Personalaufwands; zweigeteiltes Aktionariat; besondere Gefahr der Wegschaffung thesaurierter Gewinne.
4.4.2. In ihren Einwänden, welche die Beschwerdeführerin dagegen vorträgt, scheint sie zu übersehen, dass das Handelsgericht (auch) in rechtlicher Hinsicht eine blosse Vertretbarkeitskontrolle vorgenommen hat. Die Vorinstanz untersuchte nicht, ob effektiv in unzulässiger (verdeckter) Weise Gewinne ausgeschüttet worden sind, und sie prüfte nicht, ob Organe tatsächlich unangemessene Entgelte bezogen haben. Ihre Kognition war auf die Frage beschränkt, ob bei summarischer Betrachtung plausible, ernst zu nehmende Indizien für eine Gesetzesverletzung sprechen. Dies hat sie zu Recht bejaht. Dass die Ausführungen der Vorinstanz - in den Worten der Beschwerdeführerin - "im nebulösen Bereich" blieben, ist nicht zu beanstanden, sondern vielmehr dem Umstand geschuldet, dass in diesem Stadium keine definitiven Aussagen über allfällige Gesetzes- und Statutenverletzungen zu treffen sind.
4.5.
4.5.1. Im Hinblick auf die glaubhaft zu machende Schädigung hält die Beschwerdeführerin dem Handelsgericht vor, es habe vom Nachweis eines "aktuellen" Schadens abgesehen. Sie verweist auf eine Publikation von URS SCHENKER (Die Sonderprüfung - ein schwieriges Instrument, GesKR 2019, S. 18 ff.), wonach die diesbezügliche Praxis des Bundesgerichts streng sei; es müsse eine "aktuelle und nicht bloss eine drohende Schädigung" vorliegen (S. 24).
Was die Beschwerdeführerin daraus für den vorliegenden Fall ableiten will, ist nicht ohne Weiteres klar. Es geht nicht um eine künftige Schädigung, welche die Beschwerdegegner mit der Sonderprüfung zu verhindern suchen, sondern um (möglicherweise) im Jahr 2018 ausgerichtete Vergütungen. Dass eine Gesellschaft durch den Bezug übersetzter Leistungen geschädigt sein kann, bestreitet die Beschwerdeführerin nicht. Daran knüpft denn auch die Rückerstattungsklage nach <ref-law> an.
4.5.2. Das Handelsgericht hat seiner Beurteilung ein zutreffendes Beweismass (Glaubhaftmachen) zugrunde gelegt (Erwägung 4.3). Dementsprechend bliebe nur die Rüge, es habe in Würdigung der vorhandenen beweismässigen Anhaltspunkte zu Unrecht geschlossen, dass eine Schädigung im Sinne vom <ref-law> zumindest glaubhaft gemacht worden sei. Dass diese Beweiswürdigung geradezu willkürlich wäre, wie die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht (einzig) rügen könnte (Erwägung 4.1), zeigt sie nicht hinreichend auf (siehe zum Willkürbegriff und den entsprechenden Begründungsanforderungen <ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
4.6. Folglich ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz zum Ergebnis gelangte, die Beschwerdegegner hätten sowohl eine Gesetzesverletzung als auch eine Schädigung glaubhaft gemacht.
5.
(Rechtsmissbrauchsverbot)
5.1. Die Beschwerdeführerin meint, der Beschwerdegegner 1 handle rechtsmissbräuchlich und querulatorisch. Er führe "einen eigentlichen Rachefeldzug", sammle "Unterschriften gegen die Tochterunternehmung", betreibe diese und verwende die Sonderprüfung "zweckwidrig". Er habe sich [wohl während der Zeit, in der er Verwaltungsratsmitglied der Beschwerdeführerin war] verschiedene "Unregelmässigkeiten" zuschulden kommen lassen, "durch Belastung mit (privaten) Grund-Krankenkassenprämien" und "durch stetige monatliche Geldüberweisungen (von CHF 3'730.00) an seine betagte, gut betuchte Mutter". Indem er jetzt den Verantwortlichen, "welche die Konsequenzen für sein Handeln gezogen" hätten, eine verdeckte Gewinnausschüttung anlaste, handle er schikanös. Ausserdem seien der Rechtsvertreter der Beschwerdegegner und der Beschwerdegegner 1 selbst (jedenfalls bis vor Kurzem) Mitglieder von Verwaltungsräten konkurrierender Unternehmen (gewesen). "Geschäftsinterna[...]" gingen die Beschwerdegegner daher nichts an.
5.2. Es trifft zu, dass der Anspruch auf Durchführung einer Sonderprüfung unter dem Vorbehalt des Rechtsmissbrauchsverbots (<ref-law>) steht. Sie darf insbesondere nicht für sachfremde Zwecke missbraucht werden, etwa zur Befriedigung von Informationsinteressen der Konkurrenz oder zur absichtlichen Schädigung der Gesellschaft (siehe Urteile 4A_129/2013 vom 20. Juni 2013 E. 7.2.2; 4A_36/2010 vom 20. April 2010 E. 3.1; 4C.165/2004 vom 30. Juli 2004 E. 5.3; 4C.234/2002 und 4C.246/2001 vom 4. Juni 2003 E. 3.1 f. und 4.2.4).
Hierfür bestehen indes im - für das Bundesgericht massgebenden (vgl. <ref-law>) - vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt keine Anhaltspunkte; die Vorwürfe, welche die Beschwerdeführerin gegen den Beschwerdegegner 1 erhebt, finden darin zu grossen Teilen keine Stütze. Fest steht immerhin, dass der Beschwerdegegner 1 eine "Unterschriftensammlung" bei Kunden der D._ AG (der Tochtergesellschaft der Beschwerdeführerin) durchgeführt hat. Diese sollten offenbar eine "Erklärung" unterzeichnen, in welcher der Verwaltungsrat der D._ AG aufgefordert wurde, auf die Entlassung des Beschwerdegegners 1 als Geschäftsführer zurückzukommen, "ansonsten die Vertragsbeziehungen überdacht werden müssten". Aus dieser isoliert herausgegriffenen Begebenheit kann aber jedenfalls nicht geschlossen werden, die Beschwerdegegner hätten an der Sonderprüfung keine legitimen Interessen.
Im Kern scheint es der Beschwerdeführerin um etwas anderes zu gehen: Sie stützt sich auf den Umstand, dass sie (die Beschwerdeführerin) - beziehungsweise ihre Organe - einerseits und die Beschwerdegegner andererseits zerstritten sind und unterschiedliche Interessen verfolgen. Sie versucht, daraus auf ein rechtsmissbräuchliches Verhalten der Beschwerdegegner zu schliessen. Sie übergeht, dass dem Institut der Sonderprüfung regelmässig solche Interessenkollisionen zugrundeliegen. Ein Sonderprüfer kann denn auch erst eingesetzt werden, wenn der Verwaltungsrat nicht hinreichend Auskunft erteilte (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 611) und die Mehrheit der an der Generalversammlung vertretenen Stimmen einen entsprechenden Antrag ablehnte (<ref-law>). Während die Sonderprüfung den Minderheitsaktionären die erforderlichen Informationen zur Ausübung ihrer Rechte verschaffen soll, stellt sie für die Gesellschaft eine Belastung dar, da sie stets mit der Offenlegung vertraulicher Informationen verbunden ist, den normalen Geschäftsablauf behindert und unproduktive Arbeit verursacht. Den divergierenden Interessen trägt das Gesetz dadurch Rechnung, dass im Falle der Ablehnung einer Sonderprüfung durch die Generalversammlung nur eine qualifizierte Minderheit der Aktionäre die Einsetzung eines Sonderprüfers gegen den Willen der Mehrheit beim Gericht durchsetzen kann und die Glaubhaftmachung zusätzlicher Voraussetzungen (Gesetzes- oder Statutenverletzung; Schädigung) verlangt wird (siehe <ref-ruling> E. 3.4 S. 183). Dieser gesetzgeberische Interessenausgleich kann nicht durch eine Berufung auf das Rechtsmissbrauchsverbot unterlaufen werden; treuwidriges Verhalten lässt sich in diesem Kontext nicht allein mit gegenläufigen Interessen begründen.
5.3. Insgesamt sind die Vorbringen der Beschwerdeführerin nicht geeignet, einen offenbaren Missbrauch eines Rechts auszuweisen.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit insgesamt Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle