Fatti:
A.
A.A._ e B.A._ sono comproprietari del fondo part. n. 156 di Vernate, situato nella zona residenziale Ra del piano regolatore comunale. Sulla particella sorge una casa unifamiliare su due livelli edificata nel 1968 e da allora utilizzata quale abitazione secondaria.
B.
Il 3 giugno 2009 il Municipio di Vernate ha rilasciato alla precedente proprietaria una licenza edilizia per la ricostruzione di un ripostiglio, l'ampliamento della terrazza e l'edificazione di un nuovo muro di sostegno.
C.
Il 28 agosto 2015 il Municipio di Vernate ha rilasciato ad A.A._, frattanto divenuto comproprietario del fondo con la moglie B.A._, una licenza edilizia per la ristrutturazione dell'abitazione, qualificata come residenza secondaria. Il progetto prevedeva la posa di un cappotto isolante, la demolizione di alcune pareti interne, la ridefinizione delle aperture al livello superiore, oltre all'edificazione di una costruzione accessoria verso il confine nord, adibita a ripostiglio, locale tecnico, posteggio coperto per due veicoli e porticato, nonché di una scala di collegamento e di un nuovo servizio igienico. Il progetto comprendeva inoltre la costruzione di una piscina esterna e di un muro di sostegno lungo il confine nord-ovest, nonché la sistemazione del giardino e del piazzale.
D.
Il 29 febbraio 2016 il Municipio ha rilasciato al comproprietario un'ulteriore licenza edilizia per la formazione al piano inferiore di un locale cantina interrato per lo stoccaggio di vini, di 31 m2, accessibile dall'interno.
E.
Il 1° aprile 2016 A.A._ ha presentato una domanda di costruzione in variante riguardante la ricostruzione e il consolidamento degli elementi portanti dell'abitazione. Essa prevedeva il parziale rifacimento delle murature del piano terreno con una nuova struttura portante in calcestruzzo, ferro e laterizio, la sostituzione totale del tetto a falde con copertura in tegole, il rinforzo strutturale della soletta al piano terreno e il consolidamento degli elementi al piano inferiore come pure il miglioramento energetico dell'involucro, comprese le opere di scavo necessarie. Il 17 giugno 2016 l'Esecutivo comunale ha rilasciato la licenza edilizia richiesta, confermando la destinazione dell'immobile quale residenza secondaria.
F.
Il 12 agosto 2016 A.A._ ha presentato al Municipio un'ulteriore domanda di costruzione in sanatoria relativa a una seconda variante per il consolidamento dello stabile. Secondo la relazione tecnica allegata alla domanda, durante l'esecuzione dei lavori di demolizione sarebbero emersi ulteriori problemi strutturali, tali da compromettere la sicurezza dello stabile e da rendere necessarie la demolizione e la ricostruzione di una parte delle pareti del piano cantina e della soletta del piano terreno. Acquisito il preavviso favorevole dell'autorità cantonale, il 13 gennaio 2017 il Municipio ha rilasciato la licenza edilizia, assoggettando tuttavia la destinazione dell'immobile al vincolo di abitazione primaria in applicazione dell'art. 44 delle norme di attuazione del piano regolatore comunale (NAPR). Con decisione del 27 ottobre 2017 il Municipio ha inoltre disposto il divieto di utilizzare l'edificio in questione quale residenza secondaria.
G.
Adito da A.A._, con un'unica decisione del 28 febbraio 2018 il Consiglio di Stato ha respinto il ricorso contro il vincolo di abitazione primaria contenuto nella licenza edilizia del 13 gennaio 2017, che ha confermato, ed ha evaso ai sensi dei considerandi il gravame contro il divieto pronunciato il 27 ottobre 2017.
H.
Con sentenza del 4 maggio 2020, il Tribunale cantonale amministrativo ha respinto un ricorso di A.A._ contro la decisione governativa. La Corte cantonale ha confermato la conclusione dell'autorità comunale secondo cui l'importanza degli interventi edilizi eseguiti non consentiva più di mantenere la destinazione di residenza secondaria dell'edificio conformemente all'art. 44 NAPR.
I.
A.A._ impugna questa sentenza con un ricorso in materia di diritto pubblico del 5 giugno 2020 al Tribunale federale. Chiede di riformarla nel senso di annullare la decisione governativa del 28 febbraio 2018, di annullare contestualmente il vincolo di abitazione primaria imposto dal Municipio nella licenza edilizia del 13 gennaio 2017 e di confermare la destinazione di residenza secondaria dell'abitazione. Il ricorrente fa valere l'accertamento inesatto dei fatti e la violazione del diritto federale.
Non è stato ordinato uno scambio di scritti, ma è stato richiamato l'incarto cantonale.

Diritto:
1.
Presentato tempestivamente contro una decisione finale dell'ultima istanza cantonale, il ricorso in materia di diritto pubblico è di massima ammissibile sotto il profilo degli art. 82 lett. a, art. 86 cpv. 1 lett. d, art. 90 e art. 100 cpv. 1 LTF. Il ricorrente, comproprietario del fondo dedotto in edificazione, è legittimato giusta l'<ref-law> ad aggravarsi in questa sede contro il predetto giudizio.
2.
2.1. Il ricorrente critica il rifiuto della Corte cantonale di esperire un sopralluogo. Adduce che tale prova consentirebbe di accertare che l'edificio oggetto delle varie domande di costruzione avrebbe conservato la volumetria e la struttura originarie, come pure che gli interventi si sarebbero resi necessari per garantire la stabilità e la sicurezza dell'immobile. A suo dire, questa circostanza non emergerebbe con sufficiente chiarezza dai piani e dalla documentazione fotografica agli atti. Chiede altresì che il sopralluogo sia svolto dal Tribunale federale.
2.2. Il diritto di essere sentito, sancito dall'<ref-law>, comprende il diritto per l'interessato di consultare l'incarto, di offrire mezzi di prova su punti rilevanti e di esigerne l'assunzione, di partecipare alla stessa e di potersi esprimere sulle relative risultanze nella misura in cui possano influire sulla decisione (<ref-ruling> consid. 2.2). La garanzia del diritto di essere sentito non impedisce all'autorità di procedere a un apprezzamento anticipato delle prove richieste e rinunciare ad assumerle, se è convinta che non potrebbero condurla a modificare il suo giudizio. Nell'ambito di questa valutazione, le spetta un vasto margine di apprezzamento e il Tribunale federale interviene solo in caso di arbitrio (<ref-ruling> consid. 3.1.3 pag. 435; <ref-ruling> consid. 3.3).
2.3. La Corte cantonale ha rilevato che la situazione dei luoghi e dell'oggetto della contestazione emergeva con sufficiente chiarezza dagli atti, segnatamente dai piani del progetto e dalla documentazione fotografica. Ha altresì spiegato che la circostanza secondo cui i lavori oggetto della licenza edilizia del 13 gennaio 2017 non abbiano modificato la volumetria dell'edificio e si siano resi necessari a causa delle sue precarie condizioni strutturali non era determinante, ponendosi in concreto delle altre questioni, di carattere essenzialmente giuridico. La Corte cantonale ha quindi ritenuto superfluo, sulla base di un apprezzamento anticipato della sua irrilevanza, l'esperimento di un sopralluogo.
Il ricorrente non fa al riguardo valere una violazione del suo diritto di essere sentito con una motivazione conforme alle esigenze di motivazione dell'<ref-law>, in particolare non si confronta con gli atti delle domande di costruzione spiegando puntualmente perché non sarebbero sufficienti per valutare la portata degli interventi edilizi. Egli ribadisce in questa sede che il sopralluogo permetterebbe di accertare che la volumetria e la struttura esistenti sarebbero conservati, come pure di constatare che i lavori eseguiti sarebbero stati necessari. Disattende tuttavia che in concreto è litigiosa la questione di sapere se gli interventi edilizi realizzati oltrepassano o meno una manutenzione corrente ai sensi dell'art. 44 NAPR. Al riguardo, gli atti delle domande di costruzione e la documentazione dell'incarto permettono di determinare la portata degli interventi e di eseguire tale valutazione. Come rettamente rilevato dalla Corte cantonale, il mantenimento della volumetria e le pretese necessità di consolidare la costruzione non sono decisivi per statuire sull'oggetto del litigio. Rinunciando ad un sopralluogo, i giudici cantonali non hanno quindi violato il diritto di essere sentito del ricorrente. Di conseguenza, la domanda di assumere la prova in questa sede deve parimenti essere respinta.
3.
3.1. Il ricorrente lamenta un accertamento inesatto dei fatti. Adduce che non sarebbero state realizzate aggiunte e che l'edificio avrebbe mantenuto la sua volumetria originaria e la sua identità. Rileva che sarebbe stato possibile avvedersi della precarietà delle strutture portanti soltanto dove le demolizioni oggetto delle prime licenze edilizie.
3.2. Il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sull'accertamento dei fatti svolto dall'autorità inferiore (<ref-law>). Secondo l'<ref-law>, il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto, vale a dire arbitrario (<ref-ruling> consid. 2.2), o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento. Il ricorrente può quindi censurare l'arbitrio nell'accertamento dei fatti e nella valutazione delle prove, ma deve motivare la censura in modo chiaro e preciso, conformemente alle esigenze poste dall'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Per motivare l'arbitrio non basta criticare semplicemente la decisione impugnata contrapponendole una versione propria, ma occorre dimostrare per quale motivo l'accertamento dei fatti o la valutazione delle prove sono manifestamente insostenibili, si trovano in chiaro contrasto con la fattispecie, si fondano su una svista manifesta o contraddicono in modo urtante il sentimento della giustizia e dell'equità (<ref-ruling> consid. 2.3.1 e rinvii; <ref-ruling> consid. 3.1, 8 consid. 2.1).
3.3. La Corte cantonale ha accertato che le domande di costruzione inoltrate dal ricorrente hanno progressivamente toccato sempre diverse e maggiori porzioni dell'edificio, fino ad interessarlo completamente anche nei suoi elementi portanti e strutturali. Ha rilevato che dai piani di costruzione risulta che l'abitazione è stata oggetto di modifiche consistenti, di aggiunte e di rifacimenti che la rendevano in sostanza un'opera nuova. Questi accertamenti non sono censurati d'arbitrio con una motivazione conforme all'<ref-law> e sono quindi vincolanti per il Tribunale federale (<ref-law>). Il ricorrente si limita infatti a sminuire genericamente la portata degli interventi edilizi, ma non spiega concretamente con quali specifici atti delle domande di costruzione tali accertamenti sarebbe in chiaro contrasto. Non si confronta puntualmente con determinati piani di costruzione e documenti fotografici esponendo le ragioni per cui quanto accertato dalla Corte cantonale sarebbe manifestamente insostenibile o in chiaro contrasto con gli atti. Il ricorrente nega che sarebbero state realizzate delle aggiunte. Disattende tuttavia che con la licenza edilizia del 28 agosto 2015 è stata autorizzata l'edificazione di una costruzione accessoria sul fronte nord e che con la licenza edilizia del 29 febbraio 2016 è stata approvata la formazione di un nuovo vano di 31 m2 adibito a cantina. Contrariamente a quanto egli sembra ritenere, i giudici cantonali non hanno poi accertato che avrebbe dovuto avvedersi prima della precarietà delle strutture portanti. Non gli hanno infatti rimproverato di non avere previamente verificato la stabilità dell'edificio, ma di avere eseguito nel complesso degli interventi edilizi rilevanti, eccedenti una semplice manutenzione e tali da non più consentire il mantenimento della destinazione di residenza secondaria dell'immobile.
4.
4.1. Il ricorrente sostiene che, valutati nel loro insieme, gli interventi edilizi oggetto delle licenze edilizie, non raggiungono ancora gli estremi di un "intervento edilizio importante" giusta l'art. 44 NAPR. Ritiene che i lavori in questione potrebbero essere qualificati di "manutenzione straordinaria"e sarebbero quindi suscettibili di permettere di continuare ad utilizzare l'abitazione quale residenza secondaria conformemente alla citata norma comunale.
4.2. L'art. 44 NAPR, applicato dalle precedenti istanze, prevede che le residenze secondarie esistenti al momento dell'entrata in vigore del piano regolatore possono mantenere questa destinazione, eccettuato il caso in cui vi sia intervento edilizio importante, quale il riattamento, la ricostruzione o ampliamento rilevante, ad eccezione delle semplici opere di manutenzione corrente. La Corte cantonale ha rilevato che la norma impone in sostanza l'utilizzo quale abitazione primaria se l'immobile è oggetto di ricostruzione o di interventi edilizi che ne modificano in modo non trascurabile lo stato originario (cfr. l'art. 42 NAPR, secondo cui le costruzioni residenziali devono essere utilizzate prevalentemente come abitazioni primarie).
4.3. Trattandosi dell'applicazione di una norma del diritto comunale, la sua eventuale lesione è esaminata dal Tribunale federale sotto il profilo ristretto dell'arbitrio (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 579; <ref-ruling> consid. 1.2.1 pag. 251 seg.).
Il ricorrente si limita a sminuire la portata degli interventi edilizi eseguiti, adducendo che anche la manutenzione straordinaria potrebbe rientrare nella nozione di "opere di manutenzione corrente" giusta l'art. 44 NAPR. Egli ribadisce nuovamente l'assenza di aggiunte all'edificio, facendo astrazione dalle rilevanti demolizioni, dagli scavi e dalle costruzioni concretamente accertati. Si scosta dai fatti accertati dalla precedente istanza, vincolanti per il Tribunale federale (<ref-law>), e non sostanzia un'applicazione arbitraria dell'art. 44 NAPR. Comunque, sulla base dei citati accertamenti, risulta chiaramente che gli interventi edilizi sono considerevoli: è pertanto in modo sostenibile che la Corte cantonale ha negato una semplice manutenzione ai sensi dell'art. 44 NAPR dell'edificio esistente.
5.
5.1. Il ricorrente sostiene che la criticata interpretazione dell'art. 44 NAPR comporterebbe un'illecita violazione della garanzia della proprietà (<ref-law>), disattendendo il suo diritto acquisito di continuare ad utilizzare l'abitazione come residenza secondaria.
5.2. La protezione della situazione acquisita, che la giurisprudenza ha dedotto dalla garanzia della proprietà (<ref-law>) e dal principio della non retroattività delle leggi, consente di mantenere costruzioni edificate secondo un diritto abrogato o modificato, ma non più conformi alle norme della zona in cui si trovano, unicamente se essi conservano la loro identità (<ref-ruling> consid. 2a pag. 122; sentenza 1P.451/2003 del 15 marzo 2004 consid. 2.2 in: RtiD II-2004 pag. 148 segg.).
5.3. In concreto, l'edificio del ricorrente è come visto stato oggetto di interventi edilizi importanti, che hanno comportato la realizzazione di un'opera sostanzialmente nuova, e ne hanno quindi alterato l'identità. In tali circostanze, l'obbligo di adeguare l'utilizzazione dell'abitazione alla destinazione primaria prevista prioritariamente dal piano regolatore comunale non viola l'invocata garanzia.
6.
6.1. Il ricorrente sostiene che l'art. 44 NAPR sarebbe contrario al diritto federale, siccome l'ammissibilità delle modifiche edilizie e dei cambiamenti di destinazione di abitazioni esistenti nei Comuni in cui la quota di abitazioni secondarie supera il 20 per cento sarebbe ora disciplinata esclusivamente dalla legge federale sulle abitazioni secondarie, del 20 marzo 2015 (LASec; RS 702). Secondo il ricorrente, la riserva dell'<ref-law> a favore di norme più restrittive del diritto cantonale o comunale riguarderebbe solo i cambiamenti di destinazione da abitazione primaria a secondaria, non le modifiche edilizie di residenze secondarie già esistenti.
6.2. La Corte cantonale ha rilevato che la quota di abitazioni secondarie nel Comune di Vernate era di circa il 37 % al 31 dicembre 2019, sicché la LASec era applicabile. Ha nondimeno osservato che la LASec riserva le limitazioni d'uso esistenti o future del diritto cantonale o comunale. Ritenuto che quest'ultime possono essere più restrittive, ha concluso che l'art. 44 NAPR continuava a trovare applicazione, perseguendo sempre l'obiettivo di ridurre l'alta percentuale di abitazioni secondarie esistenti nel Comune di Vernate. I giudici cantonali hanno puntualmente spiegato la genesi della disposizione comunale, rilevando che una normativa in questa materia è stata adottata dal Comune già a partire dal 1988, dopo che un censimento del 1985 aveva evidenziato una percentuale di residenze secondarie del 53 %.
6.3. Il ricorrente si limita a richiamare genericamente gli art. 1, 11 e 12 LASec, adducendo essenzialmente che le norme cantonali più restrittive potrebbero disciplinare solo gli aspetti edificatori e i cambiamenti di destinazione da abitazione primaria a secondaria. È tuttavia già stato chiarito che l'uso abitativo di abitazioni costruite secondo il diritto anteriore, ossia che già esistevano o beneficiavano di un'autorizzazione con decisione passata in giudicato prima dell'11 marzo 2012, data in cui è stata accettata l'iniziativa popolare "Basta con la costruzione sfrenata di abitazioni secondarie!" (<ref-ruling>), è libero soltanto nella misura in cui non sussistano limitazioni d'uso, rispettivamente restrizioni delle modifiche edilizie ammissibili, previste dal diritto cantonale o comunale, come nella fattispecie. Le conclusioni contrarie del ricorrente non sono deducibili dal testo degli art. 11 e 12 LASec (sentenza 1C_536/2017 del 1° dicembre 2017 consid. 3.3; Messaggio del 19 febbraio 2014 del Consiglio federale concernente la legge federale sulle abitazioni secondarie, in: FF 2014 2065, in particolare pag. 2077 e pag. 2086 segg.; ARON PFAMMATTER, in: Zweitwohnungsgesetz (ZWG) - unter Einbezug der Zweitwohnungsverordnung (ZWV), 2017, Stephan Wolf/Aron Pfammatter (ed.), n. 4 e 5 ad art. 11, nonché FABIAN MÖSCHING, n. 6 ad art. 12). La Corte cantonale ha quindi ritenuto a ragione che l'art. 44 NAPR, più restrittivo rispetto alla LASec, rimaneva in concreto applicabile anche dopo l'entrata in vigore della normativa federale.
7.
7.1. Il ricorrente lamenta una violazione del principio della buona fede, rimproverando all'autorità comunale un comportamento contraddittorio. Rileva che, approvando con la licenza edilizia del 17 giugno 2016 la variante in sanatoria, l'Esecutivo comunale ha confermato espressamente la destinazione dell'immobile quale residenza secondaria. Sostiene che sulla base di tale autorizzazione, nonché delle licenze edilizie rilasciate in precedenza, egli non avrebbe potuto prevedere che ulteriori interventi edilizi potevano condurre a una modifica dell'utilizzazione dell'abitazione da secondaria a primaria.
7.2. L'<ref-law> istituisce un diritto fondamentale del cittadino ad essere trattato secondo il principio della buona fede da parte degli organi dello Stato. In materia di diritto amministrativo, tale principio tutela l'amministrato nei confronti dell'autorità, quando, assolte determinate condizioni, il medesimo abbia agito conformemente alle istruzioni e alle dichiarazioni di quest'ultima. Il principio tutela in particolare la fiducia riposta in un'informazione ricevuta dall'autorità o in un suo determinato comportamento suscettibile di destare un'aspettativa legittima, quando l'autorità sia intervenuta in una situazione concreta riguardo a determinate persone, quand'essa era competente a rilasciare l'informazione o il cittadino poteva ritenerla competente sulla base di fondati motivi, quando affidandosi all'esattezza dell'informazione egli abbia preso delle disposizioni non reversibili senza subire un pregiudizio e quando non siano intervenuti mutamenti legislativi posteriori al rilascio dell'informazione stessa (<ref-ruling> consid. 3.6.2 pag. 193 e rinvii).
7.3. Richiamando semplicemente le precedenti licenze edilizie, il ricorrente non fa tuttavia valere, né dimostra, che l'autorità comunale gli avrebbe rilasciato concrete assicurazioni vincolanti riguardo al fatto che gli sarebbe stata garantita la destinazione di residenza secondaria anche nel caso di ulteriori interventi edilizi successivi. Il fatto che il Municipio non abbia vincolato prima l'uso dell'immobile quale abitazione primaria non poteva essere riconosciuto dal ricorrente come un'assicurazione vincolante secondo cui la destinazione di residenza secondaria gli sarebbe stata confermata dall'Esecutivo comunale anche in futuro, in occasione di rilevanti interventi edilizi supplementari. Nella misura in cui può essere ritenuta rispettosa dei requisiti di motivazione dell'<ref-law>, la censura risulta perciò infondata.
8.
Ne segue che, in quanto ammissibile, il ricorso deve essere respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza e sono pertanto poste a carico del ricorrente (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 4'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, al Municipio di Vernate, all'Ufficio delle domande di costruzione del Dipartimento del territorio, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino.