Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Nidwalden führt gegen A._ mehrere Strafuntersuchungen wegen Verdachts auf versuchte Erpressung, versuchte schwere Körperverletzung, Freiheitsberaubung, Entführung etc. Aktuell befindet sich A._ im vorzeitigen Strafvollzug. Mit Verfügungen vom 7. November 2018 und 26. August 2019 wurde Rechtsanwältin Dr. iur. B._ als dessen (notwendige) amtliche Verteidigerin eingesetzt. Diese Verfügungen erwuchsen unangefochten in Rechtskraft.
Am 14. April 2020 ersuchte A._ um Widerruf der amtlichen Verteidigung durch Rechtsanwältin Dr. iur. B._ und Einsetzung von Rechtsanwältin lic. iur. Kim Mauerhofer als seine amtliche Verteidigerin. Die Staatsanwaltschaft Nidwalden wies das Gesuch mit Verfügung vom 10. Juni 2020 ab.
Dagegen reichte A._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Nidwalden, Beschwerdeabteilung in Strafsachen, ein, welches die Beschwerde mit Urteil vom 14. Juli 2020 abwies, soweit darauf einzutreten war.
B.
Gegen dieses Urteil des Obergerichts gelangt A._ mit Eingabe vom 11. September 2020 an das Bundesgericht und beantragt dessen Aufhebung. Das Mandat der amtlichen Verteidigung von Rechtsanwältin Dr. iur. B._ sei zu widerrufen und an ihrer Stelle sei, rückwirkend ab 14. April 2020, Rechtsanwältin lic. iur. Kim Mauerhofer als amtliche Verteidigerin einzusetzen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zu neuem Entscheid. Weiter sei die Vorinstanz zu verpflichten, der Unterzeichneten für das obergerichtliche Beschwerdeverfahren eine Entschädigung auszurichten.
Das Obergericht und die Oberstaatsanwaltschaft Nidwalden beantragen im Rahmen ihrer Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde (soweit darauf einzutreten sei). Die amtliche Verteidigerin bestreitet in ihrer Vernehmlassung die geltend gemachten Pflichtverletzungen. Der Beschwerdeführer reichte zu diesen Eingaben eine Stellungnahme ein, welche den anderen Verfahrensbeteiligten zugestellt wurde.

Erwägungen:
1.
1.1. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Zwischenentscheid in Strafsachen (Art. 78 ff. BGG). Gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG ist die Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid unter anderem dann zulässig, wenn dieser einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann. Dies trifft im Fall der Ablehnung eines Gesuchs um Wechsel der amtlichen Verteidigung insbesondere dann zu, wenn diese ihre Pflichten erheblich vernachlässigt oder zwischen ihr und der beschuldigten Person keine Vertrauensbasis mehr besteht (<ref-ruling> E. 1.1 f. S. 115 ff.; Urteil 1B_397/2018 vom 16. Oktober 2018 E. 1.1; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer legt dar, weshalb die amtliche Verteidigerin nach seiner Auffassung ihre Pflichten erheblich vernachlässigt hat und das Vertrauensverhältnis zerrüttet ist. Damit ist die Sachurteilsvoraussetzung gemäss Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG erfüllt. Das aktuelle Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers ist gegeben. Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, weshalb auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. Mit der Beschwerde in Strafsachen kann die Verletzung von Bundesrecht, Völkerrecht und interkantonalem Recht gerügt werden (Art. 95 lit. a, b und e BGG). Zulässig ist auch die Rüge der Verletzung von kantonalen verfassungsmässigen Rechten sowie von kantonalen Bestimmungen über die politische Stimmberechtigung der Bürger und Bürgerinnen und über Volkswahlen und -abstimmungen (Art. 95 lit. c und d BGG). Abgesehen davon überprüft das Bundesgericht die Anwendung des kantonalen Rechts nicht als solche. Jedoch kann gerügt werden, diese Anwendung widerspreche dem Bundesrecht, namentlich dem Willkürverbot gemäss Art. 9 BV (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372 mit Hinweis). Rechtsprechungsgemäss verstösst ein Entscheid gegen dieses Verbot, wenn er im Ergebnis offensichtlich unhaltbar ist, weil er zum Beispiel eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 7.1 S. 124; <ref-ruling> E. 2.2 S. 72; je mit Hinweisen).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft es allerdings nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Hierzu gelten qualifizierte Begründungsanforderungen: In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 133; <ref-ruling> E. 3.2 S. 579; je mit Hinweis).
1.4. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; je mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer rügt das vorinstanzliche Verfahren in verschiedener Hinsicht.
2.1.
2.1.1. Er habe im Rahmen seiner Beschwerde an die Vorinstanz um die Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels ersucht, was die Vorinstanz abgelehnt habe. Damit habe er keine Möglichkeit gehabt, sich auch zu jenen Akten zu äussern, zu denen ihm die Staatsanwaltschaft nur verspätet Einsicht gewährt habe und die daher nicht in die Begründung seiner Beschwerdeschrift hätten einfliessen können. Der diesbezügliche Verweis der Vorinstanz auf das Beschleunigungsgebot sei verfehlt, da es sich nicht um eine Haftsache handle. Er sei somit in seinem Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss Art. 29 Abs. 2 BV verletzt.
2.1.2. Dem vorinstanzlichen Urteil ist in diesem Zusammenhang zu entnehmen, dass die angefochtene Verfügung der Staatsanwaltschaft ausführlich und der Standpunkt der amtlichen Verteidigerin bekannt seien. Unter Nachachtung des Beschleunigungsgebots könne somit ohne Gehörsverletzung darauf verzichtet werden, diese abermalig anzuhören. Indem keine Stellungnahmen einzuholen seien, mithin überhaupt kein Schriftenwechsel stattfinde, falle der mit dem Beschleunigungsgebot nicht verträgliche Antrag des Beschwerdeführers auf Gewährung des Replikrechts in einem zeitraubenden zweiten Schriftenwechsel als gegenstandslos dahin.
Ergänzend führte die Vorinstanz im Rahmen ihrer Vernehmlassung an das Bundesgericht aus, aufgrund des Umfangs der beschwerdeführerischen Vorbringen habe in antizipierter Würdigung auf zeitraubende weitere Stellungnahmen und zusätzliche Schriftenwechsel verzichtet werden können. Die antizipierte Würdigung werde durch die Vorbringen in der Beschwerde an das Bundesgericht bestätigt, die zwar deutlich umfangreicher ausfalle, inhaltlich indes nichts wesentlich Neues enthalte.
2.1.3. Gemäss Art. 397 Abs. 1 StPO wird die Beschwerde in einem schriftlichen Verfahren behandelt, welches in Art. 390 StPO geregelt ist. Demzufolge hat, wer ein Rechtsmittel ergreifen will, für welches ein schriftliches Verfahren vorgeschrieben ist, eine Rechtsmittelschrift einzureichen (Abs. 1). Ist das Rechtsmittel nicht offensichtlich unzulässig oder unbegründet, stellt die Verfahrensleitung den anderen Parteien und der Vorinstanz die Rechtsmittelschrift zur Stellungnahme zu. Kann die Rechtsmittelschrift nicht zugestellt werden oder bleibt eine Stellungnahme aus, so wird das Verfahren gleichwohl weitergeführt (Abs. 2). Wenn nötig ordnet die Rechtsmittelinstanz einen zweiten Schriftenwechsel an (Abs. 3). Sie fällt ihren Entscheid auf dem Zirkularweg oder in einer nicht öffentlichen Beratung aufgrund der Akten und der zusätzlichen Beweisabnahmen (Abs. 4). Sie kann von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei eine Verhandlung anordnen (Abs. 5).
2.1.4. Wie aus der oben wiedergegebenen, vorinstanzlichen Erwägung hervorgeht (vgl. E. 2.1.2), verzichtete die Vorinstanz darauf, die Beschwerde den anderen Verfahrensbeteiligten zuzustellen, ohne dass sie dies mit deren offensichtlicher Unzulässigkeit oder Unbegründetheit begründet hätte. Damit aber wurde nicht der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör verletzt, sondern allenfalls jener der anderen Verfahrensbeteiligten, die ihrerseits jedoch keine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör geltend machen. Der Beschwerdeführer seinerseits ist grundsätzlich nicht zur Rüge befugt, die Vorinstanz habe den Anspruch auf rechtliches Gehör von Drittpersonen verletzt (vgl. Urteil 1C_188/2017 vom 18. Juli 2017 E. 2.3 mit Hinweis). Nachdem die Rechtsmittelinstanz gemäss Art. 397 Abs. 1 i.V.m. Art. 390 Abs. 3 StPO ausserdem nur wenn nötig einen zweiten Schriftenwechsel anordnet, tut der Beschwerdeführer mit seinen Vorbringen nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt sein soll, weil die Vorinstanz keinen zweiten Schriftenwechsel angeordnet hat (vgl. oben E. 1.3). Infolgedessen vermag der Beschwerdeführer auch kein rechtsmissbräuchliches, gegen Treu und Glauben oder das Fairnessgebot verstossendes Handeln der Vorinstanz darzutun. Es ist daher nicht weiter darauf einzugehen.
2.2.
2.2.1. Weiter macht der Beschwerdeführer geltend, er habe vor der Vorinstanz um den Beizug der Akten ersucht. Zwar habe die Vorinstanz diesen Antrag nicht ausdrücklich abgewiesen, jedoch ergebe sich aus der Art und Weise der Begründung des angefochtenen Urteils, dass sie auf den Aktenbeizug verzichtet habe. Zudem habe sie ihm gegenüber auf seine entsprechende Nachfrage hin schriftlich bestätigt, dass keine Aktenedition bei der Staatsanwaltschaft veranlasst worden sei. Die Vorinstanz habe sich somit allein auf seine Vorbringen und die angefochtene Verfügung der Staatsanwaltschaft gestützt und damit den Sachverhalt willkürlich (nicht) festgestellt. Es liege eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes gemäss Art. 6 StPO und des Willkürverbots gemäss Art. 9 BV vor.
2.2.2. Mit Blick auf die Vorakten ergibt sich, dass die Beschwerde vom 29. Juni 2020, samt ihrer Beilagen, am 1. Juli 2020 bei der Vorinstanz eingegangen ist ("amtl. Beleg 1"). Am 2. Juli 2020 zeigte diese den Beschwerdeeingang gegenüber der Staatsanwaltschaft Nidwalden an und hielt gleichzeitig fest, dass prozessleitende Anordnungen soweit nötig folgen würden ("amtl. Beleg 2"). Die Staatsanwaltschaft bescheinigte den Erhalt der Eingangsanzeige am 3. Juli 2020 schriftlich ("amtl. Beleg 2a"). Der "amtl. Beleg 3" besteht sodann im Schreiben des Beschwerdeführers vom 25. Juli 2020, welches dieser nach Erhalt des Urteils vom 14. Juli 2020 an die Vorinstanz richtete.
Akten der Staatsanwaltschaft Nidwalden sind denn auch in den vom Bundesgericht beigezogenen Vorakten der Vorinstanz nicht enthalten.
2.2.3. Mithin hat die Vorinstanz weder die staatsanwaltlichen Akten des Verfahrens betreffend den Wechsel der amtlichen Verteidigung noch jene der Strafverfahren beigezogen und ihren Entscheid alleine auf die Beschwerde (samt Beilagen) gestützt. Ob sie damit gegen den Untersuchungsgrundsatz gemäss Art. 6 StPO verstossen und den Sachverhalt im Sinne von Art. 97 bzw. Art. 105 BGG unrichtig festgestellt hat, wie dies der Beschwerdeführer geltend macht, kann mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen offenbleiben.
3.
Vorab ist die vom Beschwerdeführer aufgeworfene Frage zu klären, ob die amtliche Verteidigerin an den Einvernahmen vor den Strafverfolgungsbehörden Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten hat einsetzen dürfen.
3.1.
3.1.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, gemäss Art. 127 Abs. 5 StPO gelte im Strafprozess das Anwaltsmonopol; vorbehalten seien einzig Übertretungsstrafverfahren, für welche die Kantone eine abweichende Regelung vorsehen könnten. Seien hingegen Vergehen und Verbrechen betroffen, sei der Einsatz von Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten per se unzulässig und bundesrechtswidrig. Im Fall der notwendigen Verteidigung gelte darüber hinaus ein Anwaltszwang. Ausserdem liege bei einem amtlichen Mandat ein Sonderstatusverhältnis vor. Weder die interkantonalen Vereinbarungen noch die kantonalen Anwaltsgesetze dürften den Praktikantinnen und Praktikanten darüber hinausgehende Vertretungsbefugnisse einräumen.
3.1.2. Vorliegend ist unbestritten, dass eine gemäss Anwaltsgesetz vom 23. Juni 2000 zur Vertretung von Parteien vor Gerichtsbehörden berechtigte Rechtsanwältin als amtliche Verteidigerin des Beschwerdeführers eingesetzt wurde (und nicht deren Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten). Dass die eingesetzte amtliche Verteidigung eine Rechtspraktikantin oder einen Rechtspraktikanten einsetzt, steht Art. 127 Abs. 5 StPO grundsätzlich nicht entgegen (vgl. Urteile 6B_659/2017 vom 6. März 2018 E. 2.1; 6B_856/2014 vom 10. Juli 2015 E. 2.1; MAURICE HARARI, in: Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2. Aufl. 2019, N. 63 zu Art. 127 StPO; NIKLAUS RUCKSTUHL, in: Basler Kommentar, Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 20 zu Art. 127 StPO) und ist - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - weder per se unzulässig noch bundesrechtswidrig.
3.2.
3.2.1. Sowohl die Vorinstanz als auch der Beschwerdeführer setzen sich ausführlich mit der "Vereinbarung über die gegenseitige Anerkennung der kantonalen Rechtspraktikantenbewilligungen der Kantone Luzern, Nidwalden, Obwalden und Uri" auseinander, welche folgenden Inhalt aufweist:
"Die Obergerichtspräsidenten der Kantone Luzern, Nidwalden, Obwalden und Uri haben vereinbart, dass die Praktikumsbewilligungen des Ursprungskantons gegenseitig anzuerkennen sind. Die Anwaltskommission Nidwalden hat diese Vereinbarung für den Kanton Nidwalden genehmigt. Den Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten aus den genannten Kantonen ist daher bei Auftreten vor den Nidwaldner Gerichten Gegenrecht zu gewähren. Die Praktikumszulassung ist ohne Aufforderung vorzuweisen. Wer in einem der an dieser Vereinbarung beteiligten Kantone als Rechtspraktikantin oder als Rechtspraktikant zur Vertretung von Parteien vor Gericht zugelassen ist, ist befugt, ohne weitere Bewilligung auch in den anderen Kantonen Parteien vor Gericht zu vertreten. Es gelten jedoch folgende Einschränkungen:
Im Kanton Nidwalden sind Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten erst ab drittem Praktikumsmonat zur Prozessführung zugelassen.
-..]"
3.2.2. Der Beschwerdeführer betrachtet die Vereinbarung als dem kantonalen Recht übergeordnetes interkantonales Recht und bringt vor, dem Wortlaut der Vereinbarung zufolge dürften ausserkantonale Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten Parteien lediglich vor Gericht, nicht aber vor Strafverfolgungsbehörden vertreten. Durch die Zulassung der Luzerner Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten vor den Nidwaldner Strafverfolgungsbehörden liege ein Verstoss gegen interkantonales Recht vor. Eine anderslautende Nidwaldner Praxis vermöge daran nichts zu ändern.
3.2.3. Die Vorinstanz ist der Auffassung, es handle sich um eine informell getroffene Vereinbarung zwischen Obergerichtspräsidien verschiedener Kantone, die das kantonale Anwaltsgesetz mangels gesetzlicher Delegation und Genehmigung durch den Landrat nicht zu derogieren vermöge. Es gehe bei dieser Vereinbarung nicht um formelle Gesetzgebung, sondern um Harmonisierung der Rechtsanwendung extra legem; daran vermöge auch die Schriftlichkeit der Vereinbarung nichts zu ändern. Die Vereinbarung beruhe auf dem Gedanken, dass die Praktikantenbewilligungen der Kantone Luzern, Uri, Obwalden und Nidwalden grundsätzlich gleichwertig seien. Gemäss Kantonalem Anwaltsgesetz berechtige die Nidwaldner Praktikantenbewilligung zur Vertretung von Parteien sowohl vor den Gerichten als auch vor den Strafverfolgungsbehörden, was folglich auch für eine im Kanton Luzern, Uri oder Obwalden ausgestellte Praktikantenbewilligung gelte. Mithin habe die amtliche Verteidigung die Rechtspraktikantinnen im Rahmen ihres Ermessens einsetzen dürfen, ohne rechts- oder pflichtwidrig zu handeln.
3.2.4. Vorliegend kann offenbleiben, ob die Vereinbarung als informelle Absprache zwischen den Kantonen Luzern, Nidwalden, Obwalden und Uri (vgl. WALDMANN/SCHNYDER VON WARTENSEE, in: Basler Kommentar, Bundesverfassung, 2015, N. 18 zu Art. 48 BV; STEPHAN C. BRUNNER, Möglichkeiten und Grenzen regionaler interkantonaler Zusammenarbeit, Untersucht am Beispiel der Ostschweiz, 2000, S. 110 f.) oder als interkantonaler Vertrag zwischen den genannten Kantonen zu qualifizieren ist. Wie sich aus den nachfolgenden Ausführungen ergibt, steht dem Einsatz von Luzerner Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten im Kanton Nidwalden auch inhaltlich nichts entgegen.
Während in der Vereinbarung von der Vertretung von Parteien "vor Gericht" die Rede ist, regelt Art. 5 des Gesetzes des Kantons Nidwalden vom 4. Februar 2004 über die Ausübung des Anwaltsberufes (Kantonales Anwaltsgesetz, AnwG/NW; NG 267.1) die Vertretung "vor den Gerichten und den Strafuntersuchungsbehörden" (Abs. 1). Jedoch ist nicht ersichtlich und geht auch aus der Argumentation des Beschwerdeführers nicht hervor, weshalb eine Rechtspraktikantin oder ein Rechtspraktikant Parteien zwar vor Gericht, nicht aber vor den Strafverfolgungsbehörden vertreten können sollte. Vielmehr ist eine Person, welche zur Vertretung vor Gericht befugt ist, in maiore minus auch zur Vertretung vor den Strafverfolgungsbehörden berechtigt. Dass bei der Formulierung in der Vereinbarung diesbezüglich von einem qualifizierten Schweigen auszugehen wäre, wie dies der Beschwerdeführer geltend macht, ist nicht nachvollziehbar. Insofern ist zwischen der Vereinbarung und dem Kantonalen Anwaltsgesetz kein Widerspruch erkennbar. Diese Regelung ist bundesrechtlich nicht zu beanstanden.
Dies gilt auch mit Blick auf die für die Erteilung der Praktikantenbewilligung vorausgesetzte Praxiserfahrung: Während das Kantonale Anwaltsgesetz in Art. 5 Abs. 2 Ziff. 2 voraussetzt, dass die Gesuchstellerin oder der Gesuchsteller zwei Monate bei der verantwortlichen Anwältin bzw. dem Anwalt oder in der Rechtspflege tätig war, wurde in der Vereinbarung die Regelung getroffen, dass Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten im Kanton Nidwalden erst ab dem dritten Praktikumsmonat zur Prozessführung zugelassen sind. Dass diese Praktikumszeit sodann zwingend bei einer Anwältin oder einem Anwalt absolviert worden sein muss, lässt sich daraus nicht ableiten und vermag der Beschwerdeführer mit seinem Verweis auf ein Telefonat mit der kantonalen Anwaltskommission auch nicht (rechtsgenüglich) darzutun. Der Argumentation des Beschwerdeführers, wonach die Formulierung in Art. 5 Abs. 2 Ziff. 2 AnwG/NW "[...] oder in der Rechtspflege tätig war" entgegen der vorinstanzlichen Auffassung so zu verstehen sei, dass die Gesuchstellerin oder der Gesuchsteller zuvor über längere Zeit bei einem Rechtspflegeorgan als fest angestellte Juristin oder fest angestellter Jurist und nicht als Praktikantin oder Praktikant tätig gewesen sein muss, kann nicht gefolgt werden. Die Vorinstanz hat sich zu diesem Punkt ausführlich geäussert, worauf verwiesen werden kann.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer begründet sein Begehren um Wechsel der amtlichen Verteidigung sodann mit folgenden angeblichen Pflichtverletzungen seiner amtlichen Verteidigerin: Bei mindestens einer der beiden ersten polizeilichen Einvernahmen vom 13. März 2020 und vom 21. August 2019 habe sie ihn nicht vertreten. Weiter habe sie an vier haftrelevanten Einvernahmen von Mitbeschuldigten im Zeitraum vom 22.-25. August 2019 nicht teilgenommen und ihn über deren Stattfinden und sein Teilnahmerecht auch nicht informiert. Ausserdem habe sie an 19 Einvernahmen insgesamt vier verschiedene Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten eingesetzt. Zudem sei er im Zusammenhang mit dem Rückzug der Haftbeschwerde sowie der drohenden Landesverweisung juristisch falsch beraten und schlecht verteidigt worden.
4.2. Ist die amtliche Verteidigung an wichtigen Einvernahmen abwesend, kann dies eine Verletzung der allgemein anerkannten Verteidigungspflichten darstellen (vgl. Urteile 1B_166/2020 vom 25. Juni 2020 E. 3.1.2; 6B_909/2018 vom 23. Januar 2019 E. 1.2; je mit Hinweisen). Zwar hat sich die Vorinstanz zu den oben erwähnten Rügen geäussert, jedoch geht aus dem angefochtenen Urteil insbesondere nicht hervor, um welche Art von Einvernahmen es sich gehandelt hat (z.B. ob die Staatsanwaltschaft die entsprechenden Verfahren zum damaligen Zeitpunkt schon eröffnet hatte) oder inwiefern zwischen der amtlichen Verteidigerin einerseits und den Strafbehörden sowie dem Beschwerdeführer andererseits im Vorfeld der Einvernahmen eine Kommunikation stattgefunden hat. Ohne die verbindliche Feststellung der tatsächlichen Umstände, unter welchen die amtliche Verteidigerin an den besagten Einvernahmen nicht anwesend gewesen sein soll, ist dem Bundesgericht die Überprüfung der Rechtsanwendung auf ihre Rechtmässigkeit nicht möglich. Ausserdem enthält das angefochtene Urteil keine sachverhaltlichen Feststellungen zum Einsatz der Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten (z.B. ob sie über eine Rechtspraktikantenbewilligung verfügten, wie viele verschiedene Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten an welchen und wie vielen Einvernahmen weshalb eingesetzt wurden, ob der Beschwerdeführer damit einverstanden war, inwiefern die amtliche Verteidigerin den Beschwerdeführer und/oder ihre Rechtspraktikantinnen und Rechtspraktikanten instruiert hat und wann die amtliche Verteidigerin selber anwesend war; vgl. Urteile 1B_192/2017 vom 3. Juli 2017 E. 4.3; 1B_375/2012 vom 15. August 2012 E. 1.2). Des Weiteren lässt sich dem angefochtenen Urteil auch nicht entnehmen, in welchem Verfahrensstadium und aus welchen Gründen es zum Rückzug der Haftbeschwerde kam. Zudem bleibt namentlich unklar, in welchen Zusammenhang die erwähnte E-Mail, auf welche sich sowohl der Beschwerdeführer als auch die Vorinstanz bei ihrer Argumentation betreffend die Schlechtverteidigung hinsichtlich der drohenden Landesverweisung stützen, und die darin enthaltenen Erörterungen zu setzen sind.
4.3. Gemäss Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG müssen Entscheide, die der Beschwerde an das Bundesgericht unterliegen, die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art, insbesondere die Angabe der angewendeten Gesetzesbestimmungen, enthalten. Aus dem Entscheid muss klar hervorgehen, von welchem festgestellten Sachverhalt die Vorinstanz ausgegangen ist und welche rechtlichen Überlegungen sie angestellt hat (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 245 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 84; <ref-ruling> E. 8.2 S. 153). Die Begründung ist insbesondere mangelhaft, wenn der angefochtene Entscheid jene tatsächlichen Feststellungen nicht trifft, die zur Überprüfung des eidgenössischen Rechts notwendig sind oder wenn die rechtliche Begründung des angefochtenen Entscheids so lückenhaft oder unvollständig ist, dass nicht geprüft werden kann, wie das eidgenössische Recht angewendet wurde. Die Begründung ist ferner mangelhaft, wenn einzelne Tatbestandsmerkmale, die für die Subsumption unter eine gesetzliche Norm von Bedeutung sind, von der Vorinstanz nicht oder nicht genügend abgeklärt wurden (vgl. BGE <ref-ruling> E. 8.2 S. 153; <ref-ruling> E. 5b S. 287; Urteil 6B_1101/2017 vom 30. Mai 2018 E. 5.4.4; je mit Hinweisen). Genügt ein Entscheid den Anforderungen gemäss Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG nicht, so kann das Bundesgericht ihn in Anwendung von Art. 112 Abs. 3 BGG an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben. Hingegen steht es ihm nicht zu, sich an die Stelle der Vorinstanz zu setzen, die ihrer Aufgabe nicht nachgekommen ist (<ref-ruling> E. 1.2.1 S. 245 f.; Urteile 8C_742/2016 vom 5. Januar 2017 E. 1; 5A_6/2016 vom 15. September 2016 E. 5.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4.4. Nachdem aus dem angefochtenen Urteil der rechtserhebliche Sachverhalt weitestgehend nicht hervorgeht, ist das Bundesgericht nicht in der Lage, das Recht anzuwenden (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 1 BGG). Der angefochtene Entscheid genügt den Anforderungen gemäss Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG nicht. Vor diesem Hintergrund erübrigt es sich, auf die im Zusammenhang mit den geltend gemachten Pflichtverletzungen vorgebrachten Rügen des Beschwerdeführers einzugehen. Dies gilt auch, soweit dieser eine "weitergehende irreparable Zerrüttung des Vertrauensverhältnisses" geltend macht: Mit Blick auf die diesbezüglichen Vorbringen lässt sich diese Rüge nicht unabhängig von den geltend gemachten Pflichtverletzungen beurteilen. Das angefochtene Urteil ist aufzuheben (Art. 112 Abs. 3 BGG) und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit diese einen den Anforderungen gemäss Art. 112 Abs. 1 lit. b BGG genügenden Entscheid treffe.
5.
Demnach ist die Beschwerde gutzuheissen, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen. Damit wird das Ausstandsgesuch des Beschwerdeführers gegenstandslos; er hat es gegebenenfalls bei der zuständigen kantonalen Instanz zu stellen. Das Obergericht wird dabei auch über die Verlegung der Kosten und Entschädigungen im vorinstanzlichen Verfahren zu entscheiden haben. Vor diesem Hintergrund erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers einzugehen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Der Kanton Nidwalden hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Auf das Einholen einer detaillierten Kostennote kann verzichtet werden. Da die Eingabe des Beschwerdeführers übermässig lang war, könnte darauf nicht abgestellt werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Obergerichts des Kantons Nidwalden vom 14. Juli 2020 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Nidwalden hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Nidwalden und dem Obergericht des Kantons Nidwalden, Beschwerdeabteilung in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Dezember 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Die Gerichtsschreiberin: Dambeck