Sachverhalt:
A.
Zwischen dem Verein B._ sowie C._ einerseits und A._ (Beschwerdeführer) andererseits ist ein Verfahren wegen Persönlichkeitsverletzung hängig. Mit Urteil vom 20. November 2018 entschied das Bezirksgericht Münchenwilen als erste Instanz über die strittigen Ansprüche, wobei es eine durch A._ begangene Verletzung der Persönlichkeit des Vereins B._ sowie von C._ annahm.
B.
Gegen dieses Urteil reichte A._ am 1. Februar 2019 beim Obergericht des Kantons Thurgau Berufung ein. Am 4. Februar 2019 forderte das Obergericht A._ zur Zahlung eines Kostenvorschusses von Fr. 4'000.-- auf und am 6. Februar 2019 ersuchten der Verein B._ sowie C._ um Sicherstellung ihrer Parteikosten. Mit Eingabe vom 18. Februar 2019 stellte A._ daher ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Mit Verfügung vom 4. April 2019 (eröffnet am 8. April 2019) wies die Vizepräsidentin des Obergerichts das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und setzte A._ eine neue Frist zur Bezahlung des Kostenvorschusses an. Am 26. April 2019 wies sie ausserdem ein Gesuch von A._ um Wiedererwägung des Entscheids über die unentgeltliche Rechtspflege ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 8. Mai 2019 gelangt A._ ans Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts vom 4. April 2019 sei aufzuheben und das Obergericht sei anzuweisen, ihm für das laufende Verfahren in der Hauptsache die unentgeltliche Rechtspflege zu bewilligen. Ausserdem sei der Beschwerde in Zivilsachen die aufschiebende Wirkung zu erteilen und es sei ihm auch für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Am 9. Mai 2019 hat das Obergericht auf Antrag von A._ die diesem angesetzte Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses einstweilen bis zum Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgenommen. In der Folge erklärte der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung nach Anhörung des Obergerichts das Gesuch um aufschiebende Wirkung für gegenstandslos geworden. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassung in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit welchem dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege im Rechtsmittelverfahren verweigert wurde. Das Obergericht hat den Entscheid im Rahmen eines Berufungsverfahrens getroffen, weshalb unerheblich bleibt, dass es nicht auf Rechtsmittel hin (<ref-law>), sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.2). Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Zwischenentscheid, der praxisgemäss einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2a). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Dort steht eine Persönlichkeitsverletzung und damit eine Zivilsache nach <ref-law> im Streit (Urteil 5A_712/2017 vom 30. Januar 2018 E. 1.2), die in der Regel keinen Streitwert aufweist (Urteil 5A_652/2018 vom 12. Dezember 2018 E. 1.2.1). Im Übrigen ist der Beschwerdeführer nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, die er auch fristgerecht erhoben hat (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG).
1.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. <ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2).
Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (<ref-law>), oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.3). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.3).
1.3. Vor Bundesgericht angefochten ist die Verfügung vom 4. April 2019, mit welchem das Obergericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen hat. Nicht Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist demgegenüber der Entscheid vom 26. April 2019 über das Wiedererwägungsgesuch (vgl. vorne Bst. B; zum Streitgegenstand vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2; <ref-ruling> E. 5). Auf die Beschwerde ist damit von vornherein nicht einzutreten, soweit darin auf den Entscheid vom 26. April 2019 Bezug genommen wird.
2.
2.1. Das Obergericht äusserte sich vorab zum Einkommen und Bedarf des Beschwerdeführers. Dabei hielt es fest, dass dessen Angaben aufgrund der Aktenlage verschiedentlich nicht überprüfbar seien, zumal er bestimmte Unterlagen trotz Aufforderung nicht nachgereicht habe. Nach einer Würdigung der vorhandenen Unterlagen bezifferte das Obergericht das Einkommen des Beschwerdeführers zusammenfassend mit Fr. 2'835.-- im Monat und sein Existenzminimum mit Fr. 1980.--. Damit liege ein Überschuss von monatlich Fr. 855.-- vor, der es dem Beschwerdeführer erlaube, die Kosten des Berufungsverfahrens und eine Parteientschädigung zu finanzieren. Zudem verfüge der Beschwerdeführer nach eigenen Angaben über Wertschriften von ungefähr Fr. 12'000.-- und eine Rechtsschutzversicherung. Zwar bringe der Beschwerdeführer auch vor, Schulden zu haben. Diese Schulden seien aber ebenso unbelegt geblieben wie die ausserdem behaupteten Ausstände aus früheren Straf- und Zivilverfahren. Letztere seien auch nach Aufforderung durch das Gericht nicht substanziiert und belegt worden.
2.2. Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung von <ref-law> (recte: <ref-law>) und <ref-law>. Vorab sei die Annahme unzutreffend, er verfüge über Wertschriften von Fr. 12'000.-- und habe eine Rechtsschutzversicherung. Wie er im Wiedererwägungsgesuch nachgewiesen habe, weise sein Konto ein Guthaben von Fr. 1'200.-- auf und bestehe keine Versicherung. Sodann sei ein Grossteil der Anwaltskosten aus verschiedenen Verfahren noch offen. Bei dieser Ausgangslage müsse er sich um seine Schuldensituation kümmern und habe keine Möglichkeit, einen monatlichen Überschuss zu erzielen. Für die Kosten des erstinstanzlichen Strafverfahrens habe er bereits eine Teilzahlung von Fr. 8'000.-- geleistet. Bei der Abklärung der Bedürftigkeit gelte sodann der Untersuchungsgrundsatz. Zwar obliege es den Parteien, dem Gericht die in Betracht fallenden Tatsachen zu unterbreiten und Beweismittel zu nennen. Dies habe der Beschwerdeführer aber getan. Bei Unklarheiten hätte er aufgefordert werden müssen, weitere Beweismittel einzureichen. Dagegen sei es unzulässig, einfach vom Vorliegen von Unklarheiten zu sprechen, zumal die Schulden des Beschwerdeführers mittels eines bei den Akten liegenden Betreibungsregisterauszuges ausgewiesen seien. Damit sei klar, dass der Beschwerdeführer den Kostenvorschuss über Fr. 4'000.-- nicht bezahlen könne und bedürftig sei.
2.3. Nach <ref-law> hat eine Person Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, wenn sie nicht über die erforderlichen Mittel verfügt (Bst. a) und ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Bst. b). Die unentgeltliche Rechtspflege umfasst die Befreiung von Vorschuss- und Sicherheitsleistungen (Art. 118 Abs. 1 Bst. a ZPO) und, sofern es zur Wahrung der Rechte notwendig ist, die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands (Art. 118 Abs. 1 Bst. c ZPO). Mit diesen Bestimmungen wird der verfassungsmässige Anspruch nach <ref-law> auf Gesetzesstufe konkretisiert (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.1). Als bedürftig gilt eine Person dann, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind. Die prozessuale Bedürftigkeit beurteilt sich nach der gesamten wirtschaftlichen Situation im Zeitpunkt der Einreichung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege (BGE <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 5.1).
Die gesuchstellende Person hat nach <ref-law> ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse darzulegen und sich zur Sache sowie über ihre Beweismittel zu äussern. Es trifft sie eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit (Urteil 4A_270/2017 vom 1. September 2017 E. 4.2). Insofern gilt im Verfahren betreffend die unentgeltliche Rechtspflege ein durch die Mitwirkungspflicht eingeschränkter Untersuchungsgrundsatz (Urteil 4A_274/2016 vom 19. Oktober 2016 E. 2.3). An die klare und gründliche Darstellung der finanziellen Situation durch die gesuchstellende Person selbst dürfen umso höhere Anforderungen gestellt werden, je komplexer die Verhältnisse sind (<ref-ruling> E. 4a). Das Gericht hat den Sachverhalt aber immerhin dort weiter abzuklären, wo Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, und es hat allenfalls unbeholfene Rechtsuchende auf die Angaben hinzuweisen, die es zur Beurteilung des Gesuchs benötigt. Bei einer anwaltlich vertretenen Partei ist das Gericht nach <ref-law> jedoch nicht verpflichtet, eine Nachfrist anzusetzen, um ein unvollständiges oder unklares Gesuch zu verbessern. Wenn die anwaltlich vertretene Partei ihren Obliegenheiten nicht (genügend) nachkommt, kann das Gesuch mangels ausreichender Substanziierung oder mangels Bedürftigkeitsnachweises abgewiesen werden (Urteil 5A_300/2019 vom 23. Juli 2019 E. 2.1).
2.4. Das Obergericht erachtete die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Schulden (inkl. Kosten aus früheren Gerichtsverfahren) als nicht erwiesen, weshalb es sie nicht berücksichtigte. Soweit die Be-schwerde sich gegen diese tatsächliche Feststellung richtet, begnügt der Beschwerdeführer sich damit, seine eigene Darstellung der Sachlage jener des Obergerichts gegenüber zu stellen. Weder wirft er dem Gericht vor, den Sachverhalt offensichtlich unrichtig oder in Verletzung von Bundesrecht festgestellt zu haben, noch zeigt er solches in einer seiner Begründungspflicht genügenden Art und Weise auf (vgl. dazu vorne E. 1.2). Der nicht weiter substanziierte Hinweis auf den Untersuchungsgrundsatz oder auf einzelne sich angeblich bei den Akten befindlichen Unterlagen genügt hierzu nicht. Auch ist der Beschwerdeführer daran zu erinnern, dass die Begründung in der Beschwerdeschrift selbst enthalten sein muss (<ref-ruling> E. 1.2.4; <ref-ruling> E. 2). Der Hinweis auf das im Verfahren um Wiedererwägung des hier angefochtenen Entscheids eingereichte Gesuch bleibt daher unbeachtlich. Das Ausgeführte gilt entsprechend auch bezüglich der Rüge, das Obergericht habe die beim Beschwerdeführer vorhandenen Vermögenswerte unrichtig festgestellt.
Unbesehen des soeben Ausgeführten erweist sich der Hinweis des Beschwerdeführers, er müsse sich um seine Schuldensituation kümmern und könne keinen Überschuss erwirtschaften, aber als unbehelflich: Schulden sind bei der Ermittlung der finanziellen Verhältnisse zur Feststellung der Prozessbedürftigkeit nach der Rechtsprechung nur zu berücksichtigen, soweit sie effektiv bezahlt werden (BGE <ref-ruling> E. 5.1). Der Beschwerdeführer erwähnt zwar in diesem Zusammenhang eine Zahlung von Fr. 8'000.--. Damit zeigt er aber nicht hinreichend klar auf (vgl. vorne E. 1.2), dass die - angeblichen - Schulden vorliegend berücksichtigt werden könnten.
2.5. Mit den weiteren Überlegungen des Obergerichts zur Berechnung seines Einkommens und seines Bedarfs setzt der Beschwerdeführer sich sodann nicht auseinander. Unbehelflich bleibt auch hier der ohnehin allzu pauschale Hinweis auf den Untersuchungsgrundsatz und eine daraus fliessende Pflicht des Gerichts, Unklarheiten auszuräumen. Der Beschwerdeführer war anwaltlich vertreten und daher gehalten, sein Gesuch von Anfang an hinreichend klar zu begründen (vgl. E. 2.3 hiervor). Das Obergericht trifft damit keinen Vorwurf, wenn es das Gesuch ohne weitere Abklärungen abgewiesen hat, zumal es den Beschwerdeführer unbestritten zumindest einmal aufforderte, weitere Unterlagen nachzureichen (vorne E. 2.1).
3.
Zusammenfassend erweist die Beschwerde sich als unbegründet und ist sie abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten ist.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (inkl. den Kosten des Verfahrens betreffend aufschiebende Wirkung) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigung ist keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren ist zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. November 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber