Sachverhalt:
A.
B._ erstattete als Vertreter der A._ AG bei der Kantonspolizei Zürich telefonisch Strafanzeige gegen unbekannte Verantwortungsträger des Hochbaudepartements der Stadt Zürich und der "Immobilien Stadt Zürich (IMMO) ". Am 7. Dezember 2018 wurde er polizeilich befragt. Im Zusammenhang mit der Anzeige reichte er verschiedene Unterlagen ein.
Im Zentrum der Strafanzeige steht der Vorwurf, die unbekannten Verantwortungsträger der Stadt Zürich hätten im Zeitraum 2007 bis 2018 Aufträge über mindestens 932 Kaltluft-Turbinentrockner freihändig und ohne Durchführung des gesetzlich vorgesehenen Submissionsverfahrens an die C._ SA (Geräte) und die D._ AG (Installation) vergeben. Dadurch sei diesen Unternehmen ein unrechtmässiger Wettbewerbs-, Vertrags- und Gewinnvorteil verschafft worden und der A._ AG, welche die Stadt Zürich während Jahren mit Stoffhandtuchrollen-Spendern beliefert habe, ein Schaden entstanden. Dieses Vorgehen erfülle die Straftatbestände des Amtsmissbrauchs, der ungetreuen Geschäftsbesorgung durch Missbrauch einer Ermächtigung und der ungetreuen Amtsführung. Zusätzlich zum Hauptvorwurf werden verschiedene weitere Anschuldigungen erhoben, insbesondere der Drohung, Veruntreuung, Sachentziehung und Erpressung sowie des Betrugs.
B.
Mit Verfügung vom 15. August 2019 überwies die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich die Strafanzeige samt den dazugehörigen Akten zum Entscheid über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung an das kantonale Obergericht. Sie hielt fest, bei sämtlichen beanzeigten Vorwürfen liege nach summarischer Prüfung kein deliktsrelevanter Verdacht vor, weshalb beantragt werde, die Ermächtigung nicht zu erteilen. Mit Beschluss vom 18. Oktober 2019 erteilte das Obergericht die Ermächtigung nicht.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 25. November 2019 beantragt die A._ AG, den Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Staatsanwaltschaft zu ermächtigen, gegen die unbekannten Verantwortungsträger der Stadt Zürich eine Strafuntersuchung zu eröffnen, wobei diese an eine ausserkantonale Staatsanwaltschaft zu delegieren sei. Eventuell sei der Beschluss aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückzuweisen.
Die Stadt Zürich beantragt Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werde. Die Staatsanwaltschaft II und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich sowie das Obergericht haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die A._ AG hat am 5. März 2020 eine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
Mit dem angefochtenen Beschluss hat das zuständige Obergericht die Erteilung der Ermächtigung verweigert, deren es nach dem Recht des Kantons Zürich für die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen die unbekannten Verantwortungsträger der Stadt Zürich in Bezug auf die diesen vorgeworfenen Straftaten bedarf (vgl. § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess des Kantons Zürich [GOG/ZH; OS 211.1]). Der Beschluss kann als kantonal letztinstanzlicher Endentscheid grundsätzlich mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden, betrifft die Strafanzeige doch nicht Mitglieder der obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> nicht zur Anwendung kommt (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 f. S. 272 f.).
2.
2.1. Gemäss <ref-law> ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Das Rechtsschutzinteresse muss aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen). Die beschwerdeführende Partei muss aus dem beantragten Verfahrensausgang einen praktischen Nutzen dergestalt ziehen, dass ihre tatsächliche oder rechtliche Situation beeinflusst werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 312; <ref-ruling> E. 2.1 S. 218).
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Möglichkeit, bei erfolgreicher Beschwerdeführung an der Strafuntersuchung teilzunehmen und Parteirechte auszuüben, ein praktischer Nutzen der genannten Art. Eine Strafanzeige erstattende Person ist deshalb zur Beschwerde gegen einen Entscheid, mit dem die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung verweigert wird, legitimiert, soweit sie hinsichtlich der beanzeigten Straftaten als geschädigte Person im Sinne von <ref-law> gilt. Insoweit könnte sie sich bei einer Gutheissung der Beschwerde in der erwähnten Weise an der Strafuntersuchung beteiligen. Dies ist hingegen nicht der Fall, soweit ihr in Bezug auf eine beanzeigte Straftat die Geschädigtenstellung fehlt (Art. 301 Abs. 2 und 3 StPO). Insoweit mangelt es ihr daher am Rechtsschutzinteresse nach Art. 89 Abs. 1 lit. b und c BGG und ist auf die Beschwerde nicht einzutreten (zum Ganzen: Urteile 1C_3/2017 vom 14. März 2017 E. 1.2.2 f.; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.1 ff.; 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.1 ff.).
2.2. Als geschädigte Person gilt nach <ref-law> die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist. Die zur Stellung eines Strafantrags berechtigte Person gilt in jedem Fall als geschädigte Person (<ref-law>). Unmittelbar verletzt ist, wer Träger des Rechtsguts ist, das durch die fragliche Strafbestimmung vor Verletzung oder Gefährdung geschützt oder zumindest mitgeschützt werden soll. Im Zusammenhang mit Strafnormen, die nicht primär Individualrechtsgüter schützen, gelten praxisgemäss nur diejenigen Personen als Geschädigte, die durch die darin umschriebenen Tatbestände in ihren mitgeschützten Rechtsgütern beeinträchtigt werden, sofern diese Beeinträchtigung unmittelbare Folge der tatbestandsmässigen Handlung ist. Werden durch Delikte, die (nur) öffentliche Rechtsgüter verletzen, private Interessen auch, aber bloss mittelbar beeinträchtigt, ist die betroffene Person nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law> (zum Ganzen: <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 457; <ref-ruling> E. 2.3 S. 263; je mit Hinweisen).
2.3.
2.3.1. Die Beschwerdeführerin erhebt im Zusammenhang mit ihrem Hauptvorwurf (freihändige Beschaffung von mindestens 932 Kaltluft-Turbinentrockern ohne Durchführung des gesetzlich vorgesehenen Submissionsverfahrens) wie erwähnt die Tatvorwürfe des Amtsmissbrauchs (<ref-law>), der ungetreuen Geschäftsbesorgung durch Missbrauch einer Ermächtigung (<ref-law>) und der ungetreuen Amtsführung (<ref-law>). Sie äussert sich allerdings nur zu letzterem Tatbestand näher. Dieser ist erfüllt, wenn Mitglieder einer Behörde oder Beamte bei einem Rechtsgeschäft die von ihnen zu wahrenden öffentlichen Interessen schädigen, um sich oder einem anderen einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen. Die Strafbestimmung dient dem Schutz öffentlicher Interessen, insbesondere des öffentlichen Vermögens. Geschädigt ist nur das betroffene Gemeinwesen (vgl. Urteile 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.4; 6B_602/2017 vom 28. November 2017 E. 2.2; 6B_761/2016 vom 16. Mai 2017 E. 3.4.1; MAZZUCHELLI/POSTIZZI, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 85 zu <ref-law>). Insoweit ist die Beschwerdeführerin daher von vornherein nicht Geschädigte im Sinne von <ref-law> (vgl. Urteil 6B_761/2016 vom 16. Mai 2017 E. 3.4.1).
2.3.2. Den Tatbestand von <ref-law> erfüllt, wer in der Absicht, sich oder einen anderen unrechtmässig zu bereichern, die ihm durch das Gesetz, einen behördlichen Auftrag oder ein Rechtsgeschäft eingeräumte Ermächtigung, jemanden zu vertreten, missbraucht und dadurch den Vertretenen am Vermögen schädigt. Als geschädigte Person gilt der Inhaber des geschädigten Vermögens (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.1 S. 158; MAZZUCHELLI/POSTIZZI, a.a.O., N. 56 zu <ref-law>). Auch hier ist die Beschwerdeführerin somit von vornherein nicht geschädigte Person, geht ihr Vorwurf doch dahin, die unbekannten Verantwortungsträger hätten die ihnen von der Stadt Zürich eingeräumte Ermächtigung missbraucht.
2.3.3. Der Straftatbestand von <ref-law> setzt voraus, dass Mitglieder einer Behörde oder Beamte ihre Amtsgewalt missbrauchen, um sich oder einem anderen einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen. Die Strafbestimmung schützt zum einen und primär das Interesse des Staates an zuverlässigen Beamten, die mit der ihnen anvertrauten Machtposition pflichtbewusst umgehen, zum anderen und sekundär das Interesse der Bürger, nicht unkontrollierter und willkürlicher staatlicher Machtentfaltung ausgesetzt zu werden (<ref-ruling> E. 1b S. 212 f.; Urteile 6B_214/2019 vom 15. Mai 2019 E. 4.7; 6B_1318/2017 vom 9. Februar 2018 E. 7.2.3 und 7.3). Als Geschädigte im Sinne von <ref-law> gelten Personen, die durch die tatbestandsmässige Handlung unmittelbar beeinträchtigt worden sind (vgl. Urteile 6B_297/2018 vom 6. September 2018 E. 4.6.3; 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.2; vorne E. 2.2). Soweit diese Beeinträchtigung nicht offensichtlich ist, hat sie die betroffene Person - als Voraussetzung ihrer Beschwerdelegitimation - darzulegen (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 287; Urteil 1C_270/2016 vom 16. Februar 2017 E. 1.2.2).
Die Beschwerdeführerin bringt zwar vor, sie sei durch die Machenschaften in der Stadtverwaltung direkt und indirekt geschädigt worden. Aus ihren Ausführungen ergibt sich jedoch nicht, dass sie durch die als Amtsmissbrauch kritisierte freihändige Beschaffung der Kaltluft-Turbinentrockner ohne Durchführung eines Submissionsverfahrens unmittelbar beeinträchtigt worden wäre. Ebenso wenig ist solches offensichtlich. Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Umsatzeinbusse wäre die Folge davon, dass die Stadt Zürich aufgrund eines Strategiewechsels grundsätzlich auf derartige Trockner setzte und diese den von der Beschwerdeführerin angebotenen und während Jahren gelieferten Stoffhandtuchrollen-Spendern vorzog. Sie wäre daher auch dann eingetreten, wenn die Stadt Zürich - wie sie es im Jahr 2017 schliesslich tat - ein Submissionsverfahren für Kaltluft-Händetrockner durchgeführt hätte, stünde mithin in keinem direkten Zusammenhang mit der angeblichen tatbestandsmässigen Handlung.
Daran ändert nichts, dass die Beschwerdeführerin in der Replik nunmehr geltend macht, sie hätte als langjährig im Hygienebereich tätiges Unternehmen in einem Submissionsverfahren auch ein Angebot für solche Geräte machen können, was für sie durchaus interessant gewesen wäre. Dieses Vorbringen erscheint - ungeachtet der Frage, ob es verspätet ist (vgl. <ref-law>) - vorgeschoben, steht es doch im Widerspruch dazu, dass sich die Beschwerdeführerin am Submissionsverfahren im Jahr 2017 gerade nicht mit einem entsprechenden Angebot beteiligte. Vielmehr erhob sie gegen die Vergabe des Auftrags an die C._ SA Beschwerde bei der Vorinstanz mit dem Begehren, den Zuschlag wegen Diskriminierung (der Anbieter anderer Handtrocknungssysteme) aufzuheben, und focht den vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid erfolglos beim Bundesgericht an (Urteil 2C_126/2018 vom 16. Februar 2018). Auch in Bezug auf den beanzeigten Amtsmissbrauch gilt die Beschwerdeführerin demnach nicht als geschädigte Person im Sinne von <ref-law>.
2.3.4. Nach dem Gesagten mangelt es der Beschwerdeführerin in Bezug auf die im Zusammenhang mit dem Hauptvorwurf beanzeigten Straftaten an der Geschädigtenstellung gemäss <ref-law> und damit an der Beschwerdelegitimation. Insoweit kann daher nicht auf die Beschwerde eingetreten werden.
2.4. In Bezug auf die weiteren beanzeigten Straftaten (vgl. vorne lit. A) gilt die Beschwerdeführerin jedenfalls teilweise als Geschädigte. Mit Blick auf die nachfolgenden Erwägungen ist darauf jedoch nicht weiter einzugehen.
3.
3.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person vorbringt und begründet (vgl. <ref-law>). Die Begründung muss sich mit dem angefochtenen Entscheid auseinandersetzen und erkennen lassen, dass und weshalb die Vorinstanz Recht verletzt haben soll; rein appellatorische Kritik ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.7.1 S. 106; <ref-ruling> E. 2 S. 89; <ref-ruling> E. 1.2 S. 308 f.). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106 mit Hinweisen). Soweit die Beschwerdeschrift den Begründungsanforderungen nicht genügt, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106; <ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.1 S. 138).
3.2. Die Vorinstanz hat sich im angefochtenen Entscheid mit den weiteren Tatvorwürfen der Beschwerdeführerin, insbesondere den Anschuldigungen der Drohung, Veruntreuung, Sachentziehung und Erpressung sowie des Betrugs eingehend auseinandergesetzt und ist zum Schluss gekommen, die Voraussetzungen für die Erteilung der Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung seien auch insoweit nicht erfüllt. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den entsprechenden Ausführungen der Vorinstanz in keiner Weise auseinander. Insoweit mangelt es daher an einer rechtsgenüglich begründeten Beschwerdeschrift und kann - unabhängig davon, inwieweit die Beschwerdeführerin als geschädigte Person im Sinne von <ref-law> gilt und beschwerdelegitimiert ist - ebenfalls nicht auf die Beschwerde eingetreten werden.
3.3. Mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht auf die Beschwerde einzutreten ist auch, soweit die Beschwerdeführerin zusätzlich zu ihren Vorbringen in der Sache rügt, der zuständige Staatsanwalt sowie die (gesamte) Staatsanwaltschaft des Kantons Zürich seien befangen. Die Beschwerdeführerin begnügt sich im Wesentlichen damit, die Befangenheit zu behaupten. Inwiefern diese vorliegen soll, erschliesst sich aus ihren Vorbringen in keiner Weise. Sie hat im Übrigen im Verfahren im Kanton auch kein Ausstandsgesuch gestellt.
4.
4.1. Soweit die Beschwerdeführerin ausserdem in verschiedener Hinsicht eine Gehörsverletzung rügt, ist dies unter Eintretensgesichtspunkten insofern unproblematisch, als im Ermächtigungsverfahren die allgemeinen Verfahrensgrundsätze der BV und der EMRK zur Anwendung kommen und die Beteiligten somit insbesondere Anspruch auf rechtliches Gehör nach <ref-law> haben (<ref-ruling> E. 2.6 S. 278 mit Hinweisen). Die Beschwerdeführerin macht unter diesem Titel, im Rahmen ihrer den Hauptvorwurf betreffenden Ausführungen, allerdings zum einen geltend, es seien zwei wesentliche Zeugen nicht befragt worden, und zum anderen, die Staatsanwaltschaft und die Vorinstanz seien auf gewisse von ihr eingereichte Unterlagen nicht eingegangen, was zum absolut stossenden Ergebnis führe, dass trotz klarer Beweislage nicht einmal die Einleitung einer Strafuntersuchung erwogen werde. Diese Rügen (und die damit teilweise verbundene Willkürrüge) liefen in Bezug auf den Hauptvorwurf auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids hinaus, obschon die Beschwerdeführerin insoweit nicht beschwerdelegitimiert ist. Sie sind daher auch nach der sog. Star-Praxis des Bundesgerichts (<ref-ruling> E. 3c S. 312 f.) unzulässig. Danach kann zwar unabhängig von der Legitimation in der Sache die Verletzung von Parteirechten geltend gemacht werden, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt; Rügen, die auf eine direkte oder mittelbare inhaltliche Kontrolle des angefochtenen Entscheids hinauslaufen, sind jedoch ausgeschlossen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 5 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 253; Urteil 1C_700/2013 vom 11. März 2014 E. 3 mit Hinweisen). In Bezug auf die beiden erwähnten Rügen kann demnach ebenfalls nicht auf die Beschwerde eingetreten werden.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt ferner als Gehörsverletzung (und stossende Ungleichbehandlung), dass sie keine Gelegenheit erhalten habe, dem zuständigen Staatsanwalt unter Berücksichtigung der Aussagen der von diesem einvernommenen Beschuldigten ihren Standpunkt darzulegen. Massgebliche Anhaltspunkte dafür, dass die Staatsanwaltschaft städtische Beamte befragt hätte, obschon sich dies nicht aus den Akten ergibt, nennt die Beschwerdeführerin allerdings keine. Letztlich begründet sie ihre Rüge vielmehr damit, der zuständige Staatsanwalt habe es abgelehnt, ihren Geschäftsführer anzuhören, obschon sie mehrfach darum ersucht habe, ohne darzutun, inwiefern darin eine Gehörsverletzung liegen soll. Ihre Rüge erscheint daher als unzureichend begründet. Auch insoweit ist deshalb nicht auf die Beschwerde einzutreten.
5.
Nach dem Gesagten kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, den unbekannten Verantwortungsträgern der Stadt Zürich, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur