Erwägungen:
1.
Am 15. November 2019 reichte A._ (Beschwerdeführer) beim Bezirksgericht Kriens eine Forderungsklage gegen die B._ AG (Beschwerdegegnerin) ein. Mit Entscheid vom 21. Oktober 2020 verpflichtete das Bezirksgericht A._, für die Parteientschädigung der B._ AG Sicherheit in der Höhe von Fr. 10'500.-- zu leisten.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Kantonsgericht Luzern mit Entscheid vom 9. Dezember 2020 ab, soweit es darauf eintrat.
A._ hat mit Eingabe vom 6. Januar 2021 (Postaufgabe am 7. Januar 2021) Beschwerde beim Bundesgericht erhoben und beantragt, der Entscheid des Kantonsgerichts sei "aufzuheben und für rechtsunwirksam zu erklären".
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Auf die Beschwerde ist von vornherein nicht einzutreten, soweit sie sich nicht gegen den kantonsgerichtlichen Entscheid richtet, was namentlich auf den Antrag des Beschwerdeführers zutrifft, die Beschwerdegegnerin sei zur "sofortigen Löschung" von Betreibungen zu verurteilen. Allfällige die Parteien tangierende Betreibungsverfahren waren nicht Gegenstand des vorinstanzlichen Beschwerdeverfahrens (vgl. Art. 75 und Art. 99 BGG).
3.
Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen selbständig eröffneten Vor- und Zwischenentscheid, der weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betrifft und gegen den die Beschwerde nach <ref-law> nur zulässig ist, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 f. mit Hinweisen; die Ausnahme von <ref-law> fällt ausser Betracht).
Es obliegt der beschwerdeführenden Partei, darzutun, dass die Voraussetzungen für eine ausnahmsweise Anfechtbarkeit eines Vor- und Zwischenentscheids erfüllt sind, soweit deren Vorliegen nicht offensichtlich in die Augen springt (<ref-ruling> E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen). Ficht sie einen Entscheid bezüglich eines Kostenvorschusses oder einer Sicherheit für die Parteientschädigung an, die im Gesetz vorgesehen sind, und beruft sie sich darauf, der Zugang zum Gericht sei ihr verwehrt, muss sie in der Beschwerdebegründung aufzeigen, dass ihr dieser Nachteil tatsächlich droht, da sie finanziell nicht in der Lage ist, den Kostenvorschuss oder die Sicherheiten zu leisten (<ref-ruling> E. 2.3 und insbesondere E. 2.3.4).
Der Beschwerdeführer bringt nichts Derartiges vor, sondern moniert, die von ihm zu leistende Sicherheit sei "unangemessen hoch" und die Vorinstanz habe nicht dargelegt, "auf welcher Grundlage die Parteientschädigung in der geforderten Höhe berechnet" worden sei.
Die Beschwerde ist somit offensichtlich unzulässig.
4.
Im Übrigen wäre auf die Beschwerde auch deshalb nicht einzutreten, weil sie offensichtlich keine hinreichende Begründung enthält:
In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Die nicht hinreichend auf die vorinstanzlichen Erwägungen bezogene Begründung in der Beschwerde genügt den erwähnten Anforderungen nicht. Der Beschwerdeführer legt nicht nachvollziehbar dar, welche Rechte inwiefern durch die Vorinstanz verletzt worden sein sollen, indem sie mit der Erstinstanz schloss, er (der Beschwerdeführer) schulde Prozesskosten aus früheren Verfahren, weshalb er nach <ref-law> Sicherheit zu leisten habe. Er beschränkt sich stattdessen darauf, dem Bundesgericht seine eigene Sicht der Dinge zu unterbreiten und der Beschwerdegegnerin vorzuwerfen, "sittenwidrig gehandelt" sowie eine "strafbare Handlung durchgeführt" zu haben.
5.
Folglich ist auf die Beschwerde im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> nicht einzutreten. Ausnahmsweise werden keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Januar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Stähle