Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 17. Oktober 2014 stellte die Eidgenössische Finanzmarktaufsicht (FINMA) fest, dass die B._ AG ohne Bewilligung beziehungsweise ohne Anschluss an eine anerkannte Selbstregulierungsorganisation finanzintermediäre Tätigkeiten im Sinne von Art. 2 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 10. Oktober 1997 über die Bekämpfung der Geldwäscherei und der Terrorismusfinanzierung (GwG; SR 955.0) vorgenommen und damit aufsichtsrechtliche Bestimmungen schwer verletzt habe. Aus diesem Grund ordnete sie die Auflösung und Liquidation der B._ AG an.
Am 25. Februar 2015 eröffnete der Konkursrichter des Bezirksgerichts Meilen über die bereits aufgelöste B._ AG in Liquidation den Konkurs. Mit Urteil vom 24. Juni 2015 stellte er das Konkursverfahren mangels Aktiven ein. Nachdem kein begründeter Einspruch gegen die Löschung erhoben worden war, wurde die B._ AG in Liquidation am 9. Januar 2017 im Handelsregister gelöscht.
B.
Mit Gesuch vom 14. August 2018 verlangte der ehemalige Verwaltungsrat der B._ AG, A._ (Beschwerdeführer), beim Bezirksgericht Pfäffikon gestützt auf Art. 164 Abs. 1 lit. a und b der Handelsregisterverordnung vom 17. Oktober 2007 (HRegV; SR 221.411) die Wiedereintragung der Gesellschaft im Handelsregister unter der Firma "B._ AG in Liquidation". Ferner ersuchte er darum, zur Wiederherstellung der rechtmässigen Organisation der Gesellschaft als Liquidator eingetragen zu werden. Er begründete das Gesuch mit Forderungen, die in einem Staatshaftungsprozess gegen die FINMA zu erstreiten seien, wozu nur die inzwischen gelöschte B._ AG in Liquidation aktivlegitimiert sei.
Das Einzelgericht im summarischen Verfahren am Bezirksgericht wies das Gesuch mit Urteil vom 25. März 2019 ab. Das Obergericht wies die von A._ dagegen erhobene Berufung mit Urteil vom 5. Juni 2019 ab und bestätigte das Urteil des Bezirksgerichts.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und dem Wiedereintragungsgesuch sei stattzugeben. Es sei ihm "eine für die Wiedereintragung der B._ AG in Liquidation zu bezahlende Gebühr in Höhe von maximal CHF 1'600.00 aufzuerlegen".
Das Obergericht hat auf Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Gegen den Entscheid über die Wiedereintragung einer Aktiengesellschaft in das Handelsregister steht nach <ref-law> die Beschwerde in Zivilsachen offen (siehe Urteil 4A_467/2018 vom 9. Mai 2019 E. 1 mit weiteren Hinweisen). Das Obergericht hat als letzte kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> entschieden. Es hat den Streitwert ausgehend vom Schaden, welcher der B._ AG in Liquidation mindestens entstanden sein soll, auf Fr. 500'000.-- bemessen, womit der Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- gemäss <ref-law> deutlich übertroffen wird. Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten, unter Vorbehalt zulässiger und hinlänglich begründeter Rügen (siehe Erwägung 2).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
Demnach kann der Beschwerdeführer nicht gehört werden, soweit er in seiner Beschwerde unter dem Titel "1.1 Vorbemerkungen" den Sachverhalt frei aus eigener Sicht darstellt und dabei von den verbindlichen Feststellungen des Obergerichts abweicht, ohne hinreichend begründete Sachverhaltsrügen gemäss den eben dargelegten Grundsätzen zu formulieren.
3.
3.1. Nach <ref-law> kann das Gericht auf Antrag die Wiedereintragung einer gelöschten Rechtseinheit ins Handelsregister anordnen, sofern glaubhaft gemacht wird, dass: a. nach Abschluss der Liquidation der gelöschten Rechtseinheit Aktiven vorliegen, die noch nicht verwertet oder verteilt worden sind; b. die gelöschte Rechtseinheit in einem Gerichtsverfahren als Partei teilnimmt; c. die Wiedereintragung der gelöschten Rechtseinheit für die Bereinigung eines öffentlichen Registers erforderlich ist; oder d. die Wiedereintragung für die Beendigung des Konkursverfahrens der gelöschten Rechtseinheit erforderlich ist. Zum Antrag ist gemäss Abs. 2 desselben Artikels berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Wiedereintragung der gelöschten Rechtseinheit hat.
3.2. Die Vorinstanz stellte fest, im August 2015 habe die B._ AG in Liquidation, vertreten durch den Beschwerdeführer, bei der FINMA eine Staatshaftungsklage eingereicht und schwerwiegende Pflichtverletzungen der Beauftragten der FINMA geltend gemacht, namentlich der C._ AG als Liquidatorin sowie der davor eingesetzten Untersuchungsbeauftragten. Sie erwog, aufgrund dieser Staatshaftungsklage gegen die FINMA sei glaubhaft, dass die B._ AG in Liquidation im Sinne von <ref-law> in einem Gerichtsverfahren als Partei teilnehme. Der mit der Wiedereintragung verfolgte Zweck bestehe darin, im Staatshaftungsprozess Geld zu erstreiten. Neben dem Wiedereintragungsgrund habe der Beschwerdeführer deshalb auch den Bestand der Forderung der B._ AG in Liquidation gegenüber der FINMA glaubhaft zu machen gehabt, was ihm nach der zutreffenden Ansicht der Erstinstanz nicht gelungen sei. Das schutzwürdige Interesse des Beschwerdeführers an der Wiedereintragung sei deshalb zu verneinen und das Bezirksgericht habe das Gesuch zu Recht abgewiesen.
Entgegen dem Beschwerdeführer ist diese Beurteilung jedenfalls im Ergebnis nicht zu beanstanden:
3.3. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts fehlt es an einem schutzwürdigen Interesse an der Wiedereintragung, wenn zum vornherein feststeht, dass der Ansprecher durch die Wiedereintragung einer Firma und durch sein Vorgehen gegen sie nichts erreicht oder doch keinesfalls mehr als auf einem andern, ihm zumutbaren Weg. Die Wiedereintragung ist als Rechtsbehelf somit subsidiär (Urteile 4A_467/2018 vom 9. Mai 2019 E. 4.2; 4A_16/2010 vom 6. April 2010 E. 5.1; je mit weiteren Hinweisen).
Gemäss <ref-law> (Einstellung des Konkursverfahrens mangels Aktiven) verfügt das Konkursgericht auf Antrag des Konkursamtes die Einstellung des Konkursverfahrens, sofern die Konkursmasse voraussichtlich nicht ausreicht, um die Kosten für ein summarisches Verfahren zu decken (Abs. 1). Das Konkursamt macht die Einstellung öffentlich bekannt. In der Publikation weist es darauf hin, dass das Verfahren geschlossen wird, wenn nicht innert zehn Tagen ein Gläubiger die Durchführung des Konkursverfahrens verlangt und die festgelegte Sicherheit für den durch die Konkursmasse nicht gedeckten Teil der Kosten leistet (Abs. 2). Die Einstellung mangels Aktiven ist dem Handelsregisteramt zu melden (<ref-law>) und im Handelsregister einzutragen (<ref-law>). Die Rechtseinheit wird von Amtes wegen gelöscht, wenn innert drei Monaten nach der Publikation der Eintragung kein begründeter Einspruch erhoben wurde (<ref-law>). Gegen die Löschung kann jeder Einspruch erheben, der ein schützenswertes Interesse daran hat, dass die Rechtseinheit weiter im Handelsregister eingetragen bleibt (Urteil 4A_467/2018 vom 9. Mai 2019 E. 5.1). Mit dem Einspruch gegen die Löschung kann namentlich geltend gemacht werden, die Gesellschaft verfüge noch über Aktiven (siehe Urteil 4A_163/2014 vom 16. Juni 2014 E. 2.1 mit weiteren Hinweisen).
Aus dem angefochtenen Entscheid geht nicht hervor und der Beschwerdeführer tut auch nicht dar, weshalb er angesichts der Möglichkeit, gegen die Löschung der B._ AG in Liquidation im Handelsregister Einspruch zu erheben, auf deren Wiedereintragung angewiesen sein soll, zumal er den Staatshaftungsprozess im Zeitpunkt der Löschung der B._ AG in Liquidation bereits in deren Namen bei der FINMA anhängig gemacht hatte. Demzufolge fehlt es jedenfalls an der Voraussetzung der Subsidiarität und somit bereits unter diesem Gesichtspunkt am schutzwürdigen Interesse des Beschwerdeführers an der Wiedereintragung.
3.4. Soweit sich der Beschwerdeführer aber darauf beruft, im Staatshaftungsprozess Ansprüche geltend machen zu wollen, die erst nach der Löschung der B._ AG in Liquidation im Handelsregister entstanden sind oder entdeckt wurden, ist nicht erkennbar, inwiefern es gegen Art. 164 Abs. 1 und 2 HRegV verstossen würde, von ihm als gesuchstellender Partei zu verlangen, dass er den Bestand der Forderung glaubhaft macht. Vielmehr entspricht dieses Vorgehen der bundesgerichtlichen Praxis vor Inkrafttreten der neuen Handelsregisterverordnung am 1. Januar 2008, wonach der Gläubiger einer nach ihrem Konkurs gelöschten Gesellschaft deren Wiedereintragung verlangen kann, wenn er eine Schadenersatzforderung der Gesellschaft gegen ihre Organe glaubhaft macht (<ref-ruling> E. 3.3). An dieser Rechtslage hat die ausdrückliche Regelung der Voraussetzungen der Wiedereintragung in <ref-law> nichts geändert. Allein der blosse Umstand, dass bereits ein Klageverfahren anhängig gemacht wurde, vermag das schutzwürdige Interesse nicht zu begründen, solange nicht wenigstens glaubhaft gemacht ist, dass die eingeklagte Forderung Bestand hat.
Das Bezirks- und das Obergericht prüften eingehend, ob der Beschwerdeführer das Bestehen von Haftungsansprüchen der B._ AG in Liquidation gegenüber der FINMA glaubhaft machen konnte, und verneinten die Frage übereinstimmend. Dabei gingen sie im Einzelnen und nachvollziehbar auf die vom Beschwerdeführer gegenüber der FINMA (respektive ihren Beauftragten) erhobenen Vorwürfe ein. Der Beschwerdeführer - so das Fazit des Obergerichts - habe sich im erstinstanzlichen Gesuch "mit dem blossen Behaupten angeblicher Rechts- und Pflichtverletzungen" begnügt, und sein Gesuch sei zu Recht abgewiesen worden.
Der Beschwerdeführer kann diese Beurteilung nicht als bundesrechtswidrig ausweisen, indem er pauschal behauptet, er habe die Forderungen "sehr wohl so gut als möglich glaubhaft gemacht", seine Behauptungen aber nicht mit mehr Dokumenten belegen können, da "ihm selbst momentan noch gar nicht alle Akten zur Verfügung stehen" würden. Die Vorinstanz hielt es für nicht nachvollziehbar, warum die dem Beschwerdeführer von der FINMA verweigerte Akteneinsicht im Zusammenhang mit dem Staatshaftungsverfahren es ihm verunmöglicht haben solle, seine Behauptungen im vorliegenden Wiedereintragungsverfahren durch objektive Anhaltspunkte zu stützen, insbesondere, wenn man bedenke, dass der Beschwerdeführer Partei im abgeschlossenen FINMA-Verfahren betreffend die Liquidation der B._ AG gewesen und über die jeweiligen Verfahrensschritte informiert worden sei. Der Beschwerdeführer kann dieses Argument nicht entkräften, wenn er dazu lediglich anmerkt, dass er "trotz damaliger Parteistellung schlicht nicht über die entsprechenden Dokumente" verfüge.
Im Übrigen kann der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang aus <ref-law> nichts zu seinen Gunsten ableiten, zumal er selbst davon ausgeht, der Untersuchungsgrundsatz bei Anordnungen der freiwilligen Gerichtsbarkeit wolle das Fehlen einer Gegenpartei ausgleichen, welcher ansonsten die Funktion zukomme, Gegenargumente gegen die Forderungen des Klägers vorzutragen (siehe dazu Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 S. 7350 f. zu Art. 248-252; vgl. bereits GULDENER, Grundzüge der freiwilligen Gerichtsbarkeit in der Schweiz, 1954, S. 55, der ausführt, die Entscheidung dürfe sich nur auf solche Tatsachen stützen, von deren Vorhandensein sich die Behörde überzeugt habe, und weiter, allfälligen Tatsachen, die der Zulässigkeit der Amtshandlung entgegenstehen könnten, sei im Rahmen der Prüfungspflicht von Amtes wegen nachzuforschen). Angesichts dessen kann dem (anwaltlich vertretenen) Beschwerdeführer nicht gefolgt werden, wenn er meint, er hätte als gesuchstellende Partei im erstinstanzlichen Verfahren darauf hingewiesen werden müssen, dass dem Bezirksgericht "noch weitere Beweismittel zur Glaubhaftmachung der behaupteten Forderungen gegenüber der FINMA als notwendig erscheinen würden".
3.5. Die Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich als unbegründet.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss <ref-law> dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Es ist keine Parteientschädigung zu sprechen (siehe <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz