Sachverhalt:
A.
A.a. Am 3. Dezember 2019 lehnte die Universität Zürich, Abteilung Studierende, ein Gesuch A._ um Zulassung zum Studiengang "Master of Arts in Business and Economics" ab, weil dieser bereits über einen "Master of Science in Economics, Major in Economic Policy" der Universität Neuenburg verfüge. Dies bestätigte die Universität Zürich mit Einspracheentscheid vom 20. Dezember 2019. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel wurden von Rekurskommission der Zürcher Hochschulen am 20. Mai 2020 und vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich am 15. August 2020 abgewiesen.
A.b. Auf eine von A._ gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_705/2020 vom 14. September 2020 nicht ein. Dabei auferlegte es A._ Verfahrenskosten von Fr. 500.--.
B.
B.a. Zu einem späteren Zeitpunkt erhob A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde betreffend Erteilung einer Niederlassungsbewilligung und ersuchte in diesem Zusammenhang um unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 19. Januar 2021 wies das Verwaltungsgericht dieses Gesuch wegen Aussichtslosigkeit ab und setzte A._ eine Frist bis zum 8. Februar 2021 an, um einen Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu bezahlen.
Auf eine gegen die Verfügung vom 19. Januar 2021 erhobene Beschwerde A._ trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_71/2021 vom 1. Februar 2021 nicht ein, wobei es auf die Erhebung von Verfahrenskosten verzichtete.
B.b. Nachdem A._ den vom Verwaltungsgericht Solothurn eingeforderten Kostenvorschuss auch innert Nachfrist nicht bezahlt hatte, trat das Verwaltungsgericht auf dessen Beschwerde betreffend Niederlassungsbewilligung mit Urteil vom 15. März 2021 nicht ein.
Gegen diesen Entscheid gelangte A._ wiederum mit Beschwerde an das Bundesgericht. Mit Urteil 2C_260/2021 vom 24. März 2021 trat das Bundesgericht darauf nicht ein. Es auferlegte A._ Verfahrenskosten von Fr. 300.--.
C.
C.a. Mit Verfügung vom 30. April 2021 trat das Staatssekretariat für Migration (SEM) auf ein Gesuch A._ um Anerkennung der Staatenlosigkeit nicht ein. Diese Verfügung focht A._ beim Bundesverwaltungsgericht an, wobei er sinngemäss um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersuchte. Mit Zwischenverfügung der zuständigen Instruktionsrichterin vom 18. Mai 2021 wies das Bundesverwaltungsgericht dieses Gesuch mit Hinweis auf die Aussichtslosigkeit der Beschwerdebegehren ab; zudem erhob es einen Kostenvorschuss von Fr. 1'200.--.
C.b. Mit Eingabe vom 19. Mai 2021 gelangte A._ gegen die Zwischenverfügung des Bundesverwaltungsgerichts vom 18. Mai 2021 an das Bundesgericht. Auf diese Eingabe trat das Bundesgericht mit Urteil 2C_454/2021 vom 1. Juni 2021 nicht ein; zudem auferlegte es A._ Verfahrenskosten in der Höhe von Fr. 300.--.
D.
Mit Eingabe vom 10. Juni 2021 stellt A._ beim Bundesgericht ein "Schutzgesuch gegen Bundesrichter Hans Georg Seiler". Er beantragt unter anderem, ihm das Geld zurückzugeben, das Bundesrichter Seiler ihm willkürlich aufgezwungen habe; zudem seien alle Akten, in denen Bundesrichter Seiler ein Urteil erlassen habe, einem anderen Bundesrichter zur Stellungnahme zu übergeben.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (<ref-law>). Das Bundesgericht kann auf seine Entscheide nur unter den Voraussetzungen der Revision zurückkommen (<ref-law>). Der Eingabe von A._ vom 10. Juni 2021 kann sinngemäss entnommen werden, dass er sich insbesondere gegen die Bundesgerichtsurteile 2C_705/2020 vom 14. September 2020, 2C_260/2021 vom 24. März 2021 und 2C_454/2021 vom 1. Juni 2021 zur Wehr setzen möchte, mit welchen auf seine jeweiligen Beschwerden nicht eingetreten wurde und er zur Bezahlung von Verfahrenskosten von Fr. 500.--, Fr. 300.-- und Fr. 300.-- verpflichtet wurde; der Antrag auf "Übergabe der Dossiers" bezieht sich ferner aber auch auf das Urteil 2C_71/2021 vom 1. Februar 2021. Inhaltlich beruft sich A._ zur Begründung seiner Anträge (sinngemäss) auf den Revisionsgrund von <ref-law>. Nach dieser Bestimmung kann die Revision eines bundesgerichtlichen Urteils verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind.
2.
Der Gesuchsteller hat ein Ausstandsbegehren zu begründen, indem er die dem Ausstand zugrunde liegenden Tatsachen glaubhaft macht (<ref-law>). Hierfür ist es unzureichend bloss vorzubringen, Bundesrichter Seiler, der die vom vorliegenden Revisionsgesuch betroffenen Urteile als Einzelrichter erlassen hat, "missbrauche seine Gerichtsbarkeit" gegen den Gesuchsteller, wofür mutmasslich "religiöse oder politische Gründe" bestünden. Ohne jede Substanz bleibt auch der Vorwurf, Bundesrichter Seiler wolle den Gesuchsteller "finanziell zerstören, damit [er] aufhöre, [s]eine Rechte einzufordern" bzw. Bundesrichter Seiler wolle die Zukunft des Gesuchstellers beeinträchtigen. Die entsprechenden Vorhaltungen bleiben - genauso wie der Vorwurf des "Psychoterrors" - vollständig unbelegt.
Das Vorliegen eines Revisionsgrunds gemäss <ref-law> ist damit nicht glaubhaft gemacht, wobei es der Eingabe offensichtlich an einer hinreichenden Begründung fehlt (<ref-law>). Auf das Revisionsgesuch ist deshalb nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Gesuchsteller aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Gesuchsteller auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesverwaltungsgericht, Abteilung VI, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Aubry Girardin
Der Gerichtsschreiber: Brunner