Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1968) und B.B._ (geb. 1973) sind die Eltern zweier Töchter, C.B._ (geb. 2010) und D.B._ (geb. 2012).
B.
Mit Urteil und Verfügung vom 19. September 2018 wies das Bezirksgericht den Antrag der Töchter auf Leistung eines Prozesskostenvorschusses bzw. eines Prozesskostenbeitrages durch den Vater ab, soweit er nicht gegenstandslos geworden war. Weiter verurteilte es A._ zur Bezahlung von Kinderalimenten, deren monatliche Höhe sich (je nach Zeitabschnitt) zwischen Fr. 1'550.-- und Fr. 2'680.-- pro Kind bewegt; dazu kamen verschiedene Modalitäten (Ziffern 1 bis 8). Weiter entschied das Bezirksgericht, die für die Kinder errichtete Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB sowie Art. 325Abs. 1 und 3 ZGB aufrecht zu erhalten (Ziffer 9). Laut Ziffer 10 gelten diese Kindesschutzmassnahmen auch als vorsorgliche Massnahmen für die Verfahrensdauer. Die Entscheidgebühr von Fr. 42'785.50 (Ziffer 12) wurde je zur Hälfte der "verfahrensbeteiligten Kindsmutter" und dem beklagten Vater auferlegt (Ziffer 13).
C.
Beide Parteien erhoben Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich. Die Mutter und die beiden Töchter verlangten (unter anderem), Ziffer 13 des bezirksgerichtlichen Urteils aufzuheben und die Kosten des erstinstanzlichen Prozesses vollumfänglich A._ aufzuerlegen. Weiter stellten sie den prozessualen Antrag, den Vater zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses an die Kinder von einstweilen je Fr. 7'000.-- zu verpflichten. A._ stellte (unter anderem) den prozessualen Antrag, "die Kindsmutter als Verfahrensbeteiligte aus dem Rubrum zu entfernen". Mit Beschluss vom 12. April 2019 wies das Obergericht die Gesuche um Leistung eines Prozesskostenvorschusses ab (Ziffer 1). Weiter ergänzte es "das Rubrum" dahingehend, dass B.B._ nicht nur als "Verfahrensbeteiligte", sondern auch als "Berufungsklägerin" geführt wird (Ziffer 2). Die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen dieses Beschlusses behielt es dem Endentscheid vor (Ziffer 3). Der Entscheid wurde am 16. April 2019 versandt.
D.
Mit Beschwerde vom 6. Mai 2019 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er stellt das Begehren, die Ziffern 2 und 3 des Beschlusses vom 12. April 2019 aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, B.B._ (Beschwerdegegnerin) als Verfahrensbeteiligte und Berufungsklägerin aus dem Rubrum zu streichen, eventualiter die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Weiter verlangt er, der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob die Eintretensvoraussetzungen gegeben sind (<ref-ruling> E. 1 S. 99; <ref-ruling> E. 1 S. 186).
2.
Der Beschwerdeführer wehrt sich binnen Frist (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG) gegen den Entscheid, mit dem das Obergericht in seinem Verfahren das Rubrum betreffend B.B._ ergänzt und den Entscheid über die Prozesskosten des Beschlusses vom 12. April 2019 dem Endentscheid vorbehält. Diese Anordnungen betreffen ausschliesslich die Leitung des obergerichtlichen Rechtsmittelverfahrens, schliessen dieses Verfahren also nicht ab. Angefochten ist also ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382; <ref-ruling> E. 2.2 S. 647). Dort dreht sich der Streit zum einen um den Kinderunterhalt. Zum anderen beantragte der Beschwerdeführer in seiner Berufung die ersatzlose Streichung von Ziffer 9 Bst. e des erstinstanzlichen Entscheids, mit der die Beiständin beauftragt wurde, die Töchter bei Bedarf bei der Kontaktaufnahme zum leiblichen Vater zu unterstützen. Entsprechend wäre die Beschwerde in Zivilsachen nach <ref-law> in der Hauptsache ohne Streitwerterfordernis zulässig (vgl. Urteil 5A_872/2018 vom 27. Februar 2019). Das gleiche Rechtsmittel wäre daher grundsätzlich auch gegen den hier angefochtenen Zwischenentscheid gegeben. Allein der Umstand, dass das Obergericht nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde deshalb nicht entgegen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 426 f.).
3.
3.1. Nach <ref-law> ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide nur zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Bst. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Bst. b). Was die erstgenannte Voraussetzung angeht, muss der Nachteil rechtlicher Natur sein (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 335 mit Hinweisen). Nicht wieder gutzumachen ist der Nachteil nur, wenn ihn auch ein für den Beschwerdeführer günstiger Endentscheid nicht oder nicht vollumfänglich zu beheben vermöchte (<ref-ruling> E. 2.5 S. 399 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 525 mit Hinweisen). Ausschlaggebend ist also, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 383). Die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur genügt. Dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 382; je mit Hinweisen). Die andere, in Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG vorgesehene Voraussetzung setzt im Sinne zweier kumulativer Bedingungen voraus, dass (erstens) das Bundesgericht selbst dem Verfahren ein für allemal ein Ende setzen könnte, falls es der Rechtsauffassung der Beschwerdeführer folgt, und dass sich damit (zweitens) ein langwieriges oder kostspieliges Beweisverfahren vermeiden liesse (<ref-ruling> E. 2.4.1 f. S. 633). Die Möglichkeit, einen Zwischenentscheid aus prozessökonomischen Gründen selbständig anzufechten, stellt eine Ausnahme dar, die restriktiv auszulegen ist (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 430). Dies gilt umso mehr, als die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid nicht selbständig anfechten, können sie ihn doch mit dem Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>; Urteil 4A_109/2007 vom 30. Juli 2007 E. 2.4).
Nach der Rechtsprechung obliegt es der Beschwerde führenden Partei darzutun, dass eine der beiden Voraussetzungen nach <ref-law> erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.1 S. 329; <ref-ruling> E. 1.2 S. 429), es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 1.2 S. 47). Mit Bezug auf Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG hat die rechtsuchende Partei im Einzelnen aufzuzeigen, welche Tatsachen noch umstritten und welche weitläufigen Beweiserhebungen in welchem zeit- und kostenmässigen Umfang erforderlich sind. Zudem hat sie unter Aktenhinweis darzulegen, dass sie die betreffenden Beweise im kantonalen Verfahren bereits angerufen oder entsprechende Anträge in Aussicht gestellt hat (Urteil 4A_273/2015 vom 8. September 2015 E. 2.2 mit Hinweisen).
3.2. Unter dem Titel "Nicht leicht wiedergutzumachender Nachteil" argumentiert der Beschwerdeführer, dass die Fortsetzung des obergerichtlichen Verfahrens mit der Beschwerdegegnerin als Verfahrensbeteiligten und Berufungsklägerin dazu führe, dass das Obergericht den Berufungsantrag betreffend die Aufhebung von Ziffer 13 des erstinstanzlichen Urteils (s. Sachverhalt Bst. B) "materiell beurteilen kann bzw. wird". Durch die Aufnahme der Beschwerdegegnerin als Aktivlegitimierte werde ihm eine zusätzliche Prozessgegnerin "aufoktroyiert". Daraus ergibt sich nach dem Empfinden des Beschwerdeführers der "nicht leicht wieder gutzumachende Nachteil". Die Beschwerdegegnerin erhalte volle Parteirechte und dürfe im eigenen Namen prozessieren. Als Folge davon lasse sich nicht mehr unterscheiden, welche Anträge sie "ad personam" und welche sie als "gesetzliche Vertreterin der Kinder" stellt. Dieser "schleichend herbeigeführte Prozessbeitritt" stelle eine Form der einfachen Streitgenossenschaft dar, deren Voraussetzungen jedoch nicht gegeben seien. Der Beschwerdeführer argumentiert, dass der angefochtene Entscheid insofern präjudizierende Wirkung auf den materiellen Entscheid des Obergerichts habe, als bei Entfernung der Beschwerdegegnerin aus dem Rubrum "richtigerweise auch die Berufungsanträge 1 und 3 ohne weiteres abzuweisen wären".
Die Argumentation des Beschwerdeführers ist von Anfang an zum Scheitern verurteilt. Der Beschwerdeführer übersieht, dass die Beschwerde nach Massgabe von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG nur dann zulässig wäre, wenn der angefochtene Entscheid einen Nachteil bewirken könnte, der überhaupt nicht wieder gutzumachen ist (E. 3.1). Dass der behauptete Nachteil nicht leicht wiedergutzumachen ist, genügt nach dem klaren Wortlaut von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG nicht (Urteil 5A_858/2017 vom 6. April 2018 E. 2.3). Im Übrigen täuscht sich der Beschwerdeführer, wenn er meint, dass sich das Obergericht in präjudizierender Weise zu den Berufungsanträgen äussert, wenn es die Beschwerdegegnerin als "Verfahrensbeteiligte" und "Berufungsklägerin" ins Rubrum des hängigen Verfahrens aufnimmt. Den kantonalen Akten ist ohne Weiteres zu entnehmen, dass die Beschwerdegegnerin den erstinstanzlichen Entscheid sowohl als gesetzliche Vertreterin der Kinder als auch in eigenem Namen anficht. Darüber, ob die gestellten Anträge zulässig und begründet sind und welche Personen sie betreffen, wird das Obergericht grundsätzlich in seinem Endentscheid - einem Sach- oder Nichteintretensentscheid - zu befinden haben (Art. 236 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Geradezu mutwillig ist schliesslich die Behauptung, dass die Vorinstanz Verwirrung stifte, weil unklar sei, welchen Personen die verschiedenen Berufungsanträge zuzuordnen sind. Wie seine Erörterungen vor Bundesgericht belegen, ist der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer sehr wohl in der Lage, gewisse Überlegungen über die Zuordnung der Berufungsanträge anzustellen.
3.3. Der Beschwerdeführer hält seine Beschwerde auch nach Massgabe von Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG für zulässig. Er legt dar, weshalb mit der Gutheissung seiner Anträge sofort ein Endentscheid herbeigeführt würde. So sei die Beschwerdegegnerin im erstinstanzlichen Verfahren nur deshalb als Verfahrensbeteiligte aufgenommen worden, weil das Bezirksgericht auch über Kindesschutzmassnahmen zu entscheiden hatte, die sich gegen die elterliche Sorge der Beschwerdegegnerin richteten. Nachdem die Kindesschutzmassnahmen des erstinstanzlichen Urteils rechtskräftig geworden seien, gebe es keinen Grund mehr, die Beschwerdegegnerin als Verfahrensbeteiligte aufzuführen und sie als aktivlegitimierte Berufungsklägerin in den Berufungsprozess zu "schmuggeln". Seiner Meinung nach hätte die Beschwerdegegnerin den Kostenpunkt mit einer separaten Beschwerde anfechten müssen. Sie sei darauf zu behaften, dass sie den Unterhaltsprozess im Namen der Kinder führte. Indem das Obergericht das prozessuale Versäumnis der Beschwerdegegnerin heile und ihren Prozessbeitritt "herbeischreibe", treffe es eine "ergebnisgetriebene Entscheidung", die unzulässig sei und das Willkürverbot verletze.
Abermals verkennt der Beschwerdeführer die gesetzlichen Voraussetzungen, unter denen ein Zwischenentscheid vor Bundesgericht angefochten werden kann. Soweit sich seine Erörterungen überhaupt nachvollziehen lassen, macht er nur geltend, dass die Gutheissung seiner Beschwerde im Sinne von Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG sofort einen Endentscheid herbeiführen würde. Die zitierte Norm setzt aber auch voraus, dass mit dem bundesgerichtlichen Endentscheid ein bedeutender Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren erspart würde. Dazu äussert sich der Beschwerdeführer mit keinem Wort.
4.
Der Beschwerdeführer beantragt auch die Aufhebung von Ziffer 3 des angefochtenen Beschlusses, wonach die Regelung der Kosten- und Entschädigungsfolgen dem obergerichtlichen Endentscheid vorbehalten bleibt (s. Sachverhalt Bst. C). Dass er dieses Begehren unabhängig vom Streit um die Bezeichnung der Beschwerdegegnerin im Rubrum stellt, macht der Beschwerdeführer aber nicht geltend. Entsprechend erübrigen sich diesbezügliche Erörterungen.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unzulässig. Das Bundesgericht tritt nicht darauf ein. Als unterliegende Partei hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Meilen, Einzelgericht im vereinfachten Verfahren, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn