Sachverhalt:
A.
A._ (Arbeitnehmer, Kläger, Beschwerdeführer) und die B._ AG (Arbeitgeberin, Beklagte, Beschwerdegegnerin) schlossen am 17. März 2016 einen Arbeitsvertrag. Der Kläger wurde als Regional Sales Director für den asiatischen Markt angestellt. Gemäss Arbeitsvertrag gehörte er der Kaderstufe an und war dem Senior Vice President Marketing & Sales, Army & Government, C._, unterstellt. Mit diesem verband ihn ein langjähriges freundschaftliches Verhältnis.
Im Jahr 2018 erhielt die Beklagte Hinweise auf mutmasslich ungesetzliches Verhalten von C._ und etwaiger weiterer Beteiligter. Als Teil eines "Collaboration Agreements", zu dem ein U._ Waffenhändler (D._), der ehemalige Repräsentant der Bank E._ in V._ (F._) und dessen V._ Unternehmung (G._) gehörten, soll C._ unrechtmässige Kommissionszahlungen für den Verkauf von B._ AG-Gütern u.a. an V._ erhalten haben. Auf diese Verdachtsmomente hin reichte die Beklagte im Februar 2018 bei der Bundesanwaltschaft Strafanzeige gegen C._ wegen Widerhandlungen gegen das Kriegsmaterialgesetz, ungetreuer Geschäftsbesorgung, Bestechlichkeit etc. ein. In der Folge ordnete die Bundesanwaltschaft Hausdurchsuchungen an, welche das erwähnte "Collaboration Agreement" zu Tage förderten. Parallel zum Strafverfahren liess die Beklagte eine interne Untersuchung durchführen, in deren Verlauf sie durch einen beigezogenen Rechtsanwalt am 3. Mai 2018 den Kläger befragen liess.
Im Nachgang zu dieser Befragung kündigte die Beklagte mit Schreiben vom 8. Mai 2018 den Arbeitsvertrag mit dem Kläger fristlos und "mit sofortiger Wirkung". Zur Begründung verwies sie auf "schwerwiegende Verstösse gegen den B._ AG-Verhaltenskodex". Sie warf dem Kläger vor, die gesetzes- und vertragswidrigen (Neben-) Geschäfte seines Vorgesetzten C._ während seiner gesamten Tätigkeit für die Beklagte gedeckt und Dritten (insbesondere der G._ und H._ in W._) seinerseits Nebengeschäfte zu vermitteln versucht bzw. tatsächlich vermittelt zu haben.
B.
Mit Klage vom 11. Dezember 2018 beim Regionalgericht Oberland bestritt der Kläger diese Vorwürfe und machte Lohnansprüche sowie eine Entschädigung gemäss <ref-law> wegen ungerechtfertigter Entlassung geltend. Im Sinne einer Teilklage beantragte er, die Beklagte sei zu verpflichten, ihm Fr. 30'000.-- nebst Zins zu bezahlen. Mit Entscheid vom 20. Dezember 2019 wies das Regionalgericht die Klage ab.
Mit Entscheid vom 25. August 2020 wies das Obergericht des Kantons Bern die vom Kläger erhobene Berufung ebenfalls ab.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 25. September 2020 beantragt der Kläger dem Bundesgericht, der Entscheid des Obergerichts Bern sei - soweit ihn belastend - kostenfällig aufzuheben und die Klage gutzuheissen; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Berufungs- oder gegebenenfalls an die Erstinstanz zurückzuweisen.
Die Beklagte trägt auf kostenfällige Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten ist. Die Vorinstanz hat auf Vernehmlassung verzichtet.
Mit präsidialer Verfügung vom 9. November 2020 wurde das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
1.3. Zu beachten ist, dass das Bundesgericht in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur eingreift, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 362). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 88).
2.
Die Erstinstanz ging davon aus, der Beschwerdeführer habe erst nach den Hausdurchsuchungen im Frühling 2018 Kenntnis vom "Collaboration Agreement" erlangt, weshalb ihm nicht nachgewiesen werden könne, die Tätigkeiten von C._ gedeckt zu haben. Auch der weitere Vorwurf eines "Kollusionsversuchs" lasse sich nicht erhärten. Diese Punkte waren vor der Vorinstanz nicht mehr umstritten. Jedoch kam die Vorinstanz mit der Erstinstanz zum Schluss, gewisse Vermittlungstätigkeiten des Beschwerdeführers für Dritte seien unzulässig gewesen. Ebenso hätten - wie bereits die Erstinstanz erwogen habe - Aktivitäten des Beschwerdeführers über seinen privaten E-Mail-Account (namentlich fünf E-Mails mit geschäftlichem Bezug) einen schwerwiegenden Verstoss gegen die Treuepflicht resp. die B._ AG-Verhaltenskodizes beinhaltet.
3.
Es ist vorweg zu prüfen, inwiefern die dem Beschwerdeführer vorgeworfenen Verhaltensweisen in tatsächlicher Hinsicht erstellt sind und, falls ja, ob sie Verstösse gegen Arbeitnehmerpflichten darstellen.
3.1.
3.1.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdegegnerin werfe dem Beschwerdeführer vor, er habe im Mai 2017 die I._ Ltd. (Herstellerin von Radarsystemen mit Sitz in X._) und Vertreter des Y._ Staates je an die G._ (konkret: F._ und J._) vermittelt. Der Vorwurf basiere auf einer E-Mail des Beschwerdeführers an F._, der Inhaber der G._. Diesem habe er unter anderem mitgeteilt, einen "potenten Fisch an der Angel" zu haben. Die Vorinstanz verwarf den Einwand des Beschwerdeführers, wonach es sich dabei um branchenübliches "Networking" gehandelt habe. Obgleich es zutreffen möge, dass Kontakte und der Austausch von Informationen zu einem solchen "Networking" gehörten, seien mit der E-Mail vom 1. Mai 2020 (recte: 2017) an F._ und J._ jedoch nicht bloss Kontaktdaten ausgetauscht worden. Vielmehr werde aus dieser Nachricht ersichtlich, dass die in Y._ geknüpften Kontakte ("den Kontakt, den ich bezüglich der Software aufgetan habe [...]") für arbeitgeberfremde Zwecke weiter genutzt werden sollten, namentlich um lukrative Geschäftsbeziehungen für die G._ anzubahnen ("ein potenter Fisch an der Angel"). Diese Tätigkeit habe nicht mit den Aufgaben des Beschwerdeführers als Angestellter der Beschwerdegegnerin zusammengehangen und sei während der Arbeitszeit nicht erlaubt gewesen. Sie hätte deshalb auch nicht via den Geschäftsaccount erfolgen dürfen. Bereits darin liege ein Verstoss gegen das Personalreglement.
3.1.2. Der Beschwerdeführer geht zutreffend davon aus, dass gemäss Art. 4.5 des Personalreglements die Mitarbeiter nicht berechtigt sind, während der Arbeitszeit Arbeiten für sich oder Dritte auszuführen, sowie - ausserhalb der Arbeitszeiten, soweit nicht ausdrücklich erlaubt - Einrichtungen und Arbeitsmittel der B._ AG für Privatzwecke zu verwenden und zu benützen. Er bestreitet jedoch, dass er die in Y._ geknüpften Kontakte privat genutzt habe; es sei nicht erwiesen, dass er mit der G._ Geschäfte getätigt hätte. Mit dieser Argumentation geht der Beschwerdeführer nicht auf die Begründung der Vorinstanz ein, weshalb er bereits den Voraussetzungen für eine genügende Rüge (E. 1.1 hiervor) nicht nachkommt. Die Vorinstanz ging nicht deshalb von einer privaten Nutzung aus, weil der Beschwerdeführer privat Geschäfte mit der G._ getätigt hätte, sondern weil er privat der G._ einen neuen Geschäftspartner habe zuhalten wollen und dies über blosse Kontaktpflege und Networking hinausgegangen sei. Dass die Vorinstanz Letzteres aus der E-Mail vom 1. Mai 2017 ableitete, ist im Übrigen nicht zu beanstanden bzw. stellt offensichtlich keine willkürliche Beweiswürdigung dar.
3.2.
3.2.1. Die Beschwerdegegnerin warf dem Beschwerdeführer vor, im Frühling 2016 (über seinen privaten E-Mail-Account; vgl. dazu E. 3.3 hiernach) versucht zu haben, für die G._ den Verkauf V._ Helikopter und evtl. Flugabwehrraketen an H._ in W._ einzufädeln. Er habe F._ informiert, dass H._ Verbindungen zu K._ (staatlicher Monopol-Exporteur V._ für Rüstungsgüter) suche und im Gegenzug die G._ bei ihren Aktivitäten unterstützen könne. Dabei habe er F._ empfohlen, mit H._ über die private E-Mail-Adresse zu kommunizieren, weil sie "direkt" und ohne "Mitleser" sei. Weil der Kontakt so offenbar nicht zustandegekommen sei, habe er am 4. Mai 2016 bei H._ nachgehakt, unter Hinweis auf seine jahrelange gute Zusammenarbeit und Freundschaft mit F._. Die Vorinstanz erwog, dieses Vorgehen - von welchem sie ausging - habe (erneut) ein normales "Networking" gesprengt. Wäre es dem Beschwerdeführer lediglich darum gegangen, Kontaktdaten auszutauschen, hätte es beispielsweise keines Nachhakens bedurft. Aus dem E-Mail-Verkehr ergebe sich hinreichend deutlich, dass der Beschwerdeführer - aus welchen Motiven auch immer - für die G._ eine lukrative Geschäftsbeziehung anbahnen wollte, habe er doch H._ explizit eine finanziell ergiebige Zusammenarbeit mit der G._ in Aussicht gestellt. Es könne von einer eigentlichen Vermittlungstätigkeit ausgegangen werden. Dem Beschwerdeführer habe auch bewusst sein müssen, dass der Verkauf von Helikoptern als Dual-Use-Produkte (d.h. militärisch und zivil nutzbar) möglicherweise mit dem V._-Embargo hätte in Konflikt geraten können. Ob der Verkauf letztlich zustande gekommen oder unter das Embargo gefallen wäre, sei nicht entscheidend, denn jedenfalls seien seine Aktivitäten geeignet gewesen, das Renommee der Beschwerdegegnerin zu beschädigen. Er habe seine privaten Interessen über jene der Arbeitgeberin gestellt und diesen Interessenkonflikt nicht offengelegt. Daher habe er auch gegen den Verhaltenskodex der Beschwerdegegnerin verstossen, der vorschreibe, "Interessenkonflikte transparent zu machen".
3.2.2. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass er private Interessen und nicht jene der Beschwerdegegnerin verfolgt habe. Ein wie auch immer gearteter Vorteil habe ihm nicht nachgewiesen werden können. Es leuchte daher nicht ein, welchen Interessenkonflikt er hätte transparent machen müssen, handle es sich doch bei der G._ und H._ um Geschäftspartner der Beschwerdegegnerin, welche er mit der Vermittlung von Kontakten hätte zufriedenstellen sollen. Mit Letzterem wiederholt er lediglich erneut sein - bereits vor der Vorinstanz vorgebrachtes - Argument, es habe sich um blosse Kontaktpflege und normales Networking gehandelt, ohne dass er aber auf die Begründung der Vorinstanz eingeht. Damit kommt er den Rügeanforderungen nicht nach (vgl. E. 1.1 hiervor). Dass sich insbesondere aus dem Nachhaken über blosses Networking hinausgehende Vermittlungsbemühungen ergeben, ist im Übrigen offensichtlich.
3.3. Der Beschwerdeführer sandte am 19. April 2016 diverse Pistolen- und Sturmgewehrspezifikationen von Produkten der Unternehmung L._ von seinem privaten E-Mail-Konto an C._.
3.3.1. Die Vorinstanz erwog, gemäss Ziff. 5 lit. a Abs. 3 (recte: Ziff. 5.1 lit. a Abs. 3) der Allgemeinen ICT-Policy der Beschwerdegegnerin sei der Einsatz privater ICT-Mittel - vorbehältlich einer in der Weisung enthaltenen abweichenden Bestimmung - nicht gestattet. Es liege daher auf jeden Fall ein Verstoss gegen die ICT-Policy vor. Ob andere Arbeitnehmer auch dagegen verstossen hätten, wie der Beschwerdeführer geltend mache, sei nicht entscheidend, denn das unzulässige Verhalten Dritter mache das eigene nicht rechtmässig. Ebenso sei der Inhalt der E-Mail irrelevant, das heisst, ob es um vertrauliche Informationen gegangen sei oder nicht. Schliesslich sei der Einwand des Beschwerdeführers, er habe aus technischen Gründen seine private E-Mail-Adresse benutzen müssen, weil der Zugang zum B._ AG-Server blockiert gewesen sei, eine reine Parteibehauptung. Denn seine Begründung, weshalb der Bericht der B._ AG betreffend technische Störung nicht einschlägig sein solle, sei wenig überzeugend. Zwar sei notorisch, dass der E-Mail-Verkehr von gewissen Staaten überwacht werde. Solche Massnahmen behinderten den E-Mail-Verkehr in der Regel aber nicht, sondern blieben unbemerkt, weil sie im Geheimen abliefen.
3.3.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, es sei plausibel, dass eine Verbindung über den B._ AG-Server zu diesem Zeitpunkt nicht möglich gewesen sei, denn sonst hätte er die E-Mail nicht an den Geschäfts-Account von C._ geschickt. Er leitet daraus ab, dass er nichts zu verbergen gehabt habe. Letzteres kann dahingestellt bleiben; jedenfalls ändert das nichts daran, dass er sein privates E-Mail-Konto benutzte und es kann daraus auch nicht abgeleitet werden, dass der B._ AG-Server blockiert gewesen wäre.
Vor allem macht der Beschwerdeführer geltend, seiner Ansicht nach könne ein privater E-Mail-Account nicht als ICT-Mittel im Sinn von Art. 5.1 lit. a Abs. 3 ICT-Policy angesehen werden, da es sich dabei nach der Definition unter Ziffer 3 um Geräte, Einrichtungen und Dienste, die zur elektronischen Bearbeitung von Daten sowie zu internen und externen Telefonkommunikation eingesetzt werden, wie Hardware, Betriebssysteme, Datenbanken, Anwendungen, Netzwerke, Peripheriegeräte, Daten, Dokumentationen und insbesondere mobile Geräte und Speichermedien wie Laptops, PDAs, Smartphones, USB-Sticks, CDs handeln könne, nicht jedoch um einen privaten E-Mail-Account. Tatsächlich sei die Benützung der E-Mail lediglich unter Ziffer 8.5 der ICT-Policy geregelt, wo lediglich das automatische Umleiten von E-Mails von und zu privaten Stellen oder zu Stellen ausserhalb des B._ AG-Konzerns untersagt sei. Zu berücksichtigen sei auch, dass die Regelungen der ICT-Policy offenbar noch aus einer Zeit stammten, wo nicht jeder Mitarbeiter über ein privates E-Mail-Konto verfügt habe. Letzteres habe er anlässlich der erstinstanzlichen Parteibefragung so angegeben, was aber vom Erstgericht in Verletzung der Untersuchungsmaxime zu Unrecht nicht berücksichtigt worden sei.
3.3.3. Die ICT-Policy regelt gemäss ihrem Titel den "Umgang mit Informatik- und Kommunikationsmitteln". Nach den Feststellungen der Vorinstanz wertete bereits die Erstinstanz die Nutzung des privaten E-Mail-Kontos als Verstoss gegen die ICT-Policy. Wäre der Beschwerdeführer der Auffassung gewesen, die Nutzung des privaten E-Mail-Kontos verstosse als solche zum vorneherein gar nicht gegen diese Bestimmungen, da es sachlich um anderes gehe, hätte er dies vor der Vorinstanz geltend machen müssen. Damit das Bundesgericht auf eine Rüge eintreten kann, ist nicht nur erforderlich, dass der kantonale Instanzenzug formell durchlaufen wurde, sondern auch, dass die Rügen, die dem Bundesgericht unterbreitet werden, soweit möglich schon vor Vorinstanz vorgebracht wurden (sog. materielle Erschöpfung des Instanzenzugs; <ref-ruling> E. 1.1 S. 292 f. mit Hinweisen). Dass der Beschwerdeführer dies getan hätte, legt er nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Damit muss nicht weiter auf dieses Vorbringen eingegangen werden. Im Übrigen wird der in Ziffer 5.1 lit. a Abs. 3 der ICT-Policy verwendete Begriff der privaten ICT-Mittel in Ziffer 3 umschrieben. Danach fallen darunter alle Geräte, Einrichtungen und Dienste, die (unter anderem) zur internen und externen Telekommunikation eingesetzt werden. Es liegt denn auch auf der Hand, dass gerade in einem derart heiklen Bereich wie der Rüstungsindustrie die Nutzung des privaten, nicht speziell gesicherten, E-Mail-Kontos vom Arbeitgeber - unter Vorbehalt von Ausnahmen - nicht zugelassen wird.
3.4. Einen weiteren Fall einer Verletzung der ICT-Policy sahen die beiden kantonalen Gerichte darin, dass der Beschwerdeführer von seinem privaten E-Mail-Konto aus eine Endverbleibserklärung ("End User Certificate") der Y._ Marine für diverse Munition (Munitionsbestellung) an seine geschäftliche E-Mail-Adresse weitergeleitet habe. Es sei unerklärlich, wie dieses Zertifikat in seinem höchst unsicheren privaten Postfach gelandet sei.
3.4.1. Die Vorinstanz verwarf den Einwand des Beschwerdeführers, die E-Mail-Korrespondenz mit der Y._ Marine sei unvollständig eingereicht worden und dies könne nicht ihm angelastet werden. Vielmehr müsse es auch einen ersten Teil der Korrespondenz geben, der belege, wie das "End User Certificate" zum Beschwerdeführer gelangt sei. Der Beschwerdeführer behaupte eine Falschzustellung an seine private E-Mail-Adresse, für die er nicht einzustehen habe. Wie und woher die Nachricht in sein privates Postfach gelangt sei, könne jedoch in erster Linie er selbst erklären. Nur er würde über den entsprechenden ersten Teil der E-Mail-Korrespondenz verfügen. Mithin sei davon auszugehen, dass er eine höchst vertrauliche Information (Munitionsbestellung) auf seinem ungesicherten privaten Mailserver abgespeichert habe, was einen Verstoss gegen die ICT-Policy der Beschwerdegegnerin darstelle.
3.4.2. Soweit der Beschwerdeführer erneut geltend macht, eine private E-Mail könne nicht als ICT-Mittel angesehen werden und es liege daher kein Verstoss gegen die ICT-Policy der Beschwerdegegnerin vor, kann auf die vorstehenden Ausführungen (E. 3.3.3) verwiesen werden. Unbehelflich ist auch der bereits zuvor erhobene Einwand, wonach die Verbindung zum Server der Beschwerdegegnerin technisch nicht immer funktioniert habe. Abgesehen davon, dass sich der Beschwerdeführer auch hier nicht mit der Begründung der Vorinstanz auseinandersetzt, wonach diese Blockierung eine blosse Schutzbehaupung sei, ist vor allem nicht ersichtlich, was er aus seinen Vorbringen ableiten will. Er könnte damit nur geltend machen, er habe eine Zustellung auf sein privates E-Mail-Konto veranlassen müssen, weil eine solche auf die Geschäftsadresse nicht möglich gewesen sei. Das aber stünde im offensichtlichen Widerspruch zu seiner vor der Vorinstanz vertretenen These, es müsse sich um eine nicht von ihm zu verantwortende Falschzustellung an seine private Adresse gehandelt haben.
Schliesslich liegt entgegen dem Beschwerdeführer auch keine Verletzung der Beweislastverteilung (<ref-law>) vor. Dass die Munitionsbestellung auf seinem privaten E-Mail-Konto gespeichert war, ist unbestritten. Das würde dem Beschwerdeführer dann nicht zum Vorwurf gereichen, wenn erstellt wäre, dass dies ohne sein Zutun erfolgt wäre. Das erkannte er offensichtlich selbst, berief er sich doch auf eine Falschzustellung. Es wäre daher an ihm gelegen, zumindest die konkreten Umstände dazulegen, wie es zu dieser Falschzustellung gekommen sein soll. Diese Behauptungen hätten dann von der Beschwerdegegnerin wiederum bestritten werden können, woraufhin darüber dann hätte Beweis abgenommen werden können. Wenn die Vorinstanz zufolge vollständigem Fehlen substanziierter Vorbringen eine (ungewollte) Falschzustellung nicht als erstellt sah, liegt darin keine Verletzung von <ref-law>.
3.5. Die Beschwerdegegnerin hatte im kantonalen Verfahren weiter geltend gemacht, am 19. Januar 2017 habe M._ (ehemaliger Key Account Manager für Asien/Südamerika/Europa 1) dem Beschwerdeführer eine Munitionsbestellung an dessen private E-Mail-Adresse weitergeleitet.
3.5.1. Das Erstgericht hatte das vom Beschwerdeführer geltend gemachte Vertippen bei der Adresseingabe als eher unwahrscheinlich qualifiziert. In der Berufung rügte der Beschwerdeführer, die Erstinstanz habe einen anlässlich der Hauptverhandlung gestellten Antrag auf Edition von Unterlagen bei der Beschwerdegegnerin übergangen, mit welchem er habe nachweisen wollen, dass er die fragliche Nachricht umgehend auf seine Geschäftsadresse weitergeleitet und dem potentiellen Kunden eine Absage erteilt habe. Die Vorinstanz verneinte, dass die Erstinstanz einen Beweisantrag des Beschwerdeführers unzulässigerweise übergangen habe. Nachdem der erstinstanzliche Richter festgestellt habe, es würden keine weiteren Beweisabnahmen mehr verlangt, habe der Beschwerdeführer nicht interveniert und die fehlende Beurteilung des (an sich) offenen Beweisantrags gerügt. Er habe es daher selbst zu verantworten, dass möglicherweise relevante Beweismittel fehlten. Selbst wenn es sich bei der Munitionsbestellung um einen "Irrläufer" gehandelt haben sollte, würde dies im Übrigen am Gesamteindruck (keine konsequente Trennung zwischen privatem und geschäftlichem Postfach) wenig ändern, denn der Sachverhalt M._ sei ja nur einer unter mehreren Vorfällen im Zusammenhang mit Aktivitäten des Beschwerdeführers via sein privates Postfach.
3.5.2. Die vom Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang einzig geltend gemachte Verletzung der Untersuchungsmaxime gemäss <ref-law> ist zu verneinen. Dem Gericht obliegt gemäss dieser Maxime einzig eine verstärkte Fragepflicht. Wie unter dem Verhandlungsgrundsatz im ordentlichen Verfahren haben die Parteien dem Gericht den Sachverhalt zu unterbreiten. Das Gericht hilft ihnen lediglich durch sachgemässe Fragen dabei, die notwendigen Behauptungen vorzutragen und die dazugehörigen Beweismittel zu bezeichnen. Wenn die Parteien durch einen Anwalt vertreten sind, darf und soll sich das Gericht, wie im ordentlichen Verfahren, zurückhalten (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 575 mit Hinweisen).
3.6. Ein weiterer Vorwurf der Beschwerdegegnerin bestand darin, dass ein Waffenhändler aus Z._ den Beschwerdeführer über dessen privates Postfach angefragt hatte, ob er Munition liefern könne, idealerweise ohne Begleitrechnung.
3.6.1. Der Beschwerdeführer hatte vor Vorinstanz geltend gemacht, bei diesem Waffenhändler habe es sich um einen Kontakt von früher gehandelt. Das sei auch der Grund, weshalb die Nachricht über seine private E-Mail-Adresse abgewickelt worden sei, wobei er die Nachricht nicht an die Geschäftsadresse weitergeleitet hätte, wenn er etwas hätte verbergen wollen. Dies liess die Vorinstanz nicht gelten. Sie erwog, würde es sich um einen Einzelfall handeln, wäre dieser Vorfall in der Tat als nicht besonders gravierend einzustufen. Hier hätten die Untersuchungen jedoch gleich mehrere Aktivitäten ähnlichen Inhalts (Geschäftspost im privaten Postfach des Beschwerdeführers) zu Tage gefördert, sodass eine gewisse Regelmässigkeit erkennbar sei. Bei dieser Ausgangslage wirkten die Vorbringen des Beschwerdeführers nicht überzeugend.
3.6.2. Der Beschwerdeführer bestreitet, dass von einer Regelmässigkeit gesprochen werden könne. Trotz umfangreicher Untersuchungen habe die Beschwerdegegnerin gerade mal sechs E-Mail-Nachrichten beanstanden können, die entweder von oder an seine private E-Mail-Adresse geschickt worden seien oder einen angeblich verfänglichen Inhalt aufgewiesen hätten. Dies trotz einer grossen Zahl von E-Mails, die jeden Tag verschickt worden seien.
Es ist nicht hinreichend klar, ob der Beschwerdeführer damit bestreiten will, dass die vorgeworfene Nutzung des privaten E-Mail-Kontos (zusammen mit den weiteren Vorwürfen) eine fristlose Entlassung zu rechtfertigen vermöchte (dazu nachfolgend E. 4) oder ob er der Vorinstanz vorwirft, sie hätte (auch) in diesem Fall nicht auf ein (bewusstes) Nutzen der privaten E-Mail-Adresse in Verletzung der ICT-Policy schliessen dürfen. Selbst wenn Letzteres der Fall wäre, ist die Beweiswürdigung der Vorinstanz jedenfalls nicht geradezu willkürlich, auch wenn keine grosse Zahl privater Nutzungen nachgewiesen wurde.
4.
Aus wichtigen Gründen kann der Arbeitgeber wie der Arbeitnehmer das Arbeitsverhältnis jederzeit fristlos auflösen (<ref-law>). Als wichtiger Grund gilt namentlich jeder Umstand, bei dessen Vorhandensein dem Kündigenden nach Treu und Glauben die Fortsetzung des Arbeitsverhältnisses nicht mehr zugemutet werden darf (<ref-law>).
Über das Vorhandensein eines wichtigen Grundes zur fristlosen Kündigung entscheidet das Gericht nach seinem Ermessen (<ref-law>). Ermessensentscheide überprüft das Bundesgericht bei Beschwerden in Zivilsachen grundsätzlich frei. Es übt dabei aber Zurückhaltung und schreitet nur ein, wenn die Vorinstanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Tatsachen berücksichtigt hat, die für den Entscheid im Einzelfall keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen. Ausserdem greift das Bundesgericht in Ermessensentscheide ein, falls sich diese als offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 32; <ref-ruling> E. 2 S. 382; je mit weiteren Hinweisen; Urteile 4A_395/2015 vom 2. November 2015 E. 3.6 und 4A_340/2013 vom 28. März 2014 E. 10).
4.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, der Sanktionskatalog gemäss Ziffer 10.2 der ICT-Policy würde die Möglichkeit der fristlosen Kündigung nicht vorsehen. Die Vorinstanz habe diesen bereits bei ihr vorgebrachten Einwand mit der Bemerkung beiseite gewischt, dass es darauf nicht ankomme und vielmehr massgeblich sei, ob der Angestellte die Grenze der zulässigen Verhaltensweisen genügend (klar) habe erkennen können. Wenn es so wäre, wie die Vorinstanz annehme, hätte der Katalog (der unzulässigen Verhaltensweisen) aber keine rechtliche Relevanz, weil er als nicht abschliessende Aufzählung zu verstehen wäre, was schlicht irreführend und damit nichtig wäre.
Die Vorinstanz begründete jedoch die fristlose Entlassung wie dargelegt nicht allein mit einem Verstoss gegen die ICT-Policy durch Nutzung des privaten E-Mail-Kontos. Vielmehr stützte sie ihre Beurteilung auf die Gesamtheit der vorgeworfenen Handlungen, namentlich auch auf den Verstoss gegen Ziffer 4.5 des Personalreglements im Zusammenhang mit der versuchten Vermittlungstätigkeit zwischen I._ Ltd. und G._ (vgl. E. 3.1 hiervor) und den Verstoss gegen den Verhaltenskodex der Beschwerdegegnerin im Zusammenhang mit dem versuchten Verkauf V._ Helikopter (vgl. E. 3.2 hiervor). Der Einwand des Beschwerdeführers stösst damit ins Leere, wenn er sich einzig auf die in der ICT-Policy erwähnten Sanktionen bezieht. Entscheidend ist, wie die Vorinstanz zutreffend darlegte, ob aus den verschiedenen Reglementen und Weisungen der Beschwerdegegnerin genügend klar hervorging, inwieweit bestimmte Verhaltensweisen von der Arbeitgeberin nicht toleriert würden und ob diese insgesamt so schwer wiegen, dass sie eine fristlose Entlassung rechtfertigen.
4.2. Die Vorinstanz führte aus, der Beschwerdeführer habe nichts vorgetragen, was die erstinstanzliche Würdigung, wonach Art und Schwere der Pflichtverletzung eine fristlose Kündigung rechtfertigen würden, in Frage stellen könnte. Darin will der Beschwerdeführer eine unzulässige Umkehr der Beweislast und eine willkürliche Beweiswürdigung erkennen, denn nicht er müsse beweisen, dass kein wichtiger Grund vorliege, sondern der Beschwerdegegnerin sei es nicht gelungen, ihre fristlose Kündigung zu rechtfertigen.
Damit verkennt er, dass es sich bei der Frage, ob sämtliche gewürdigten Umstände eine fristlose Entlassung rechtfertigten, um eine Rechtsfrage handelt. Die von ihm beanstandete Formulierung bezieht sich denn auch als Einleitung auf solch weitere zu berücksichtigende Umstände wie das Alter des Beschwerdeführers, die Tatsache, dass er eine Vertrauensstellung innehatte und ein Null-Toleranz-Politik im sensiblen Geschäftsbereich der Beschwerdegegnerin wichtig sei. Um den Ermessensentscheid der Vorinstanz umstossen zu können, müsste der Beschwerdeführer darlegen, dass die Vorinstanz massgebliche Umstände nicht berücksichtigt oder nicht massgeblichen Umständen zu Unrecht Rechnung getragen hätte (vgl. E. 4 hiervor). Wenn überhaupt, könnte als Rüge in diesem Sinn einzig der Einwand gesehen werden, die Beanstandung - unter dem Titel der Nutzung des privaten E-Mail-Kontos - von lediglich sechs E-Mail-Nachrichten sei angesichts der grossen Menge täglich versandter oder erhaltener E-Mails geradezu "lächerlich" und es sei von der Vorinstanz (vgl. E. 3.3.1 hiervor) zu Unrecht nicht berücksichtigt worden, dass es sich bei den Informationen zu den Pistolen- und Sturmgewehrspezifiktionen nicht um vertrauliche Mitteilungen gehandelt habe. Dass die Vorinstanz deshalb ihr Ermessen in Würdigung sämtlicher Umstände unzulässig ausgeübt hätte, vermag er damit jedoch nicht dartun.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Bittel