Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1983; Beschwerdeführerin) und B.A._ (geb. 1977; Beschwerdegegner) sind die miteinander verheirateten Eltern von C.A._ (geb. 2011) und D.A._ (geb. 2013). Ende Juni 2015 haben die Eheleute den gemeinsamen Haushalt aufgehoben. Mit Urteil vom 9. Oktober 2015 stellte das Bezirksgericht Hinwil fest, dass sie zum Getrenntleben berechtigt sind. Die Kinder hat es für die Dauer des Getrenntlebens unter die alleinige Obhut der Mutter gestellt. Im Übrigen genehmigte das Bezirksgericht die Trennungsvereinbarung vom 9. Oktober 2015, in der die Eheleute die weiteren Folgen der Trennung regelten, darunter die Betreuungszeiten des Vaters und den Kindesunterhalt.
A.b. Am 19. Mai 2016 ersuchte B.A._ das Bezirksgericht darum, die Kinder in Abänderung dieses Urteils für die Dauer des Getrenntlebens unter seine alleinige Obhut zu stellen. A.A._ sei ein angemessenes Besuchsrecht einzuräumen und sie sei zu verpflichten, ihm für den Unterhalt der Kinder einen monatlichen Beitrag zu zahlen. Ausserdem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. A.A._ beantragte ihrerseits die Abänderung des Urteils vom 9. Oktober 2015 soweit die Betreuungsregelung und den Kindesunterhalt betreffend. Zudem ersuchte sie darum, B.A._ zur Zahlung eines Prozesskostenbeitrags von Fr. 10'000.-- zu verpflichten und ihr eventuell die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
A.c. Mit Verfügung vom 2. August 2016 entsprach das Bezirksgericht dem Gesuch von A.A._ um Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses und wies dasjenige von B.A._ um unentgeltliche Rechtspflege ab. Hiergegen reichte B.A._ Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein. Mit Beschluss vom 1. November 2016 hob dieses die angefochtene Verfügung soweit den Prozesskostenbeitrag betreffend auf und wies die Sache zur erneuten Entscheidung an das Bezirksgericht zurück.
A.d. Am 11. November 2016 entschied das Bezirksgericht über die Abänderung des Urteils vom 9. Oktober 2016. Dabei beliess es die Kinder für die Dauer des Getrenntlebens unter der Obhut der Mutter und regelte die Betreuungsanteile des Vaters sowie den Kindesunterhalt. Ausserdem verpflichtete das Gericht B.A._ erneut zur Zahlung eines Prozesskostenbeitrags von Fr. 10'000.-- an A.A._.
B.
B.a. Gegen dieses Urteil haben beide Parteien Berufung beim Obergericht eingereicht. B.A._ wiederholte dabei im Wesentlichen seine Anträge betreffend die Obhut über die Kinder, die Betreuungsanteile sowie den Kindesunterhalt. Ausserdem ersuchte er um Aufhebung seiner Verpflichtung zur Zahlung eines Prozesskostenvorschusses. A.A._ war insbesondere mit den durch das Bezirksgericht festgelegten Betreuungszeiten nicht einverstanden. Sodann ersuchte sie auch für das zweitinstanzliche Verfahren darum, B.A._ zur Zahlung von Prozesskostenbeiträgen von insgesamt Fr. 10'000.-- zu verpflichten. Beide Parteien haben um unentgeltliche Rechtspflege ersucht.
B.b. Mit Urteil und Beschlüssen vom 13. Juli 2017 (A.A._ eröffnet am 26. Juli 2017) beliess das Obergericht die Kinder unter der Obhut von A.A._ und regelte die Betreuungsanteile neu (Urteil, Dispositivziffern 1 und 2). Ausserdem wies es die Anträge von A.A._ um Zusprechung von Prozesskostenbeiträgen für das erst- und das zweitinstanzliche Verfahren ebenso ab (Urteil, Dispositivziffern 3 und 4) wie ihre Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege (Beschluss 1, Dispositivziffer 2). Soweit die Unterhaltsbeiträge für die Kinder sowie die erstinstanzlichen Prozesskosten betreffend wies das Obergericht die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und neuen Entscheidung an das Bezirksgericht zurück (Beschluss 2, Dispositivziffer 3).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 25. August 2017 ist A.A._ mit den folgenden Anträgen an das Bundesgericht gelangt:
"1. Es seien Dispositivziffer 2 des Beschlusses [1] des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Juli 2017 [...] sowie Dispositivziffern 3 und 4 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Juli 2017 [...] vollumfänglich aufzuheben.
-..] Der Beschwerdegegner sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin für das erstinstanzliche Verfahren einen Prozesskostenbeitrag von CHF 10'000.00 (zzgl. 8 % Mehrwertsteuer) und für das zweitinstanzliche Verfahren von CHF 10'000.00 (zzgl. 8 % Mehrwertsteuer) zu bezahlen.
2. Eventualiter seien Dispositivziffer 2 des Beschlusses [1] des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Juli 2017 [...] sowie Dispositivziffern 3 und 4 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 13. Juli 2017 [...] vollumfänglich aufzuheben und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolge (zzgl. 8 % Mehrwertsteuer) zu Lasten des Beschwerdegegners."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, indessen keine Vernehmlassung eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das auf Rechtsmittel hin kantonal letztinstanzlich über die Pflicht eines Ehegatten zur Leistung eines Prozesskostenvorschusses (sog. provisio ad litem) sowie die unentgeltliche Rechtspflege in einem Eheschutzverfahren entschieden hat (<ref-law>). Beim Entscheid über den Prozesskostenvorschuss handelt es sich um einen Endentscheid in einer vermögensrechtlichen Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 und 90 BGG; Urteil 5D_135/2010 vom 9. Februar 2011 E. 1.1; vgl. auch <ref-ruling> E. 4; Urteil 5D_83/2015 vom 6. Januar 2016 E. 1.2). Die nämliche Qualifikation gilt für den nicht selbständig eröffneten Entscheid über die unentgeltliche Rechtspflege (Urteile 5A_793/2015 vom 22. Februar 2016 E. 1.1; 5A_811/2013 vom 8. September 2013 E. 1; 5A_740/2012 vom 11. März 2013 E. 1.1). Strittig sind Vorschussleistungen im Umfang von Fr. 20'000.--. Eine Zusammenrechnung mit dem im Übrigen nicht weiter bezifferten Begehren um unentgeltliche Rechtspflege findet nicht statt, da der entsprechende Anspruch demjenigen auf einen Prozesskostenvorschuss nachgeht (<ref-ruling> E. 4.2.1), die beiden Ansprüche sich mithin ausschliessen (<ref-law>). Damit ist die gesetzliche Streitwertgrenze nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG; zur Berechnung des Streitwerts vgl. im Übrigen <ref-ruling> E. 1.2). Die Beschwerdeführerin macht allerdings geltend, es würden sich Fragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen, weshalb die Beschwerde in Zivilsachen dennoch zulässig sei (Art. 74 Abs. 2 Bst. a BGG). Ob dies zutrifft, braucht nicht geklärt zu werden, da die Kognition des Bundesgerichts bei der Prüfung von Eheschutzentscheiden im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen dieselbe ist wie bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (vgl. E. 1.2 hiernach). Im Übrigen ist die Beschwerdeführerin zur Beschwerde berechtigt (Art. 76 Abs. 1 und Art. 115 BGG) und hat sie diese fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 117 BGG). Auf die Beschwerde ist - eine rechtsgenügliche Begründung vorbehalten - einzutreten.
1.2. Entscheide betreffend die Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses im Eheschutzverfahren sind vorsorgliche Massnahmen im Sinn von <ref-law> (Urteil 5A_94/2017 vom 3. Februar 2017 E. 2). Mit Beschwerde gegen Entscheide über solche Massnahmen kann, wie im Verfahren der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law>), nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-ruling> E. 4.1). Die Beschwerdegründe sind damit auch im Streit um die unentgeltliche Rechtspflege beschränkt (Urteil 5A_811/2013 vom 8. September 2014 E. 2). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss präzise angeben, welches verfassungsmässige Recht durch den angefochtenen Entscheid verletzt wurde, und im Einzelnen darlegen, worin die Verletzung besteht. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellung kommt nur in Frage, soweit die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte - namentlich das Willkürverbot - verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1), was die rechtsuchende Partei wiederum in der Beschwerde explizit vorbringen und substanziiert begründen muss (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.1).
2.
Das Obergericht erwog, die Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses setze Bedürftigkeit der ansprechenden und Leistungsfähigkeit der angesprochenen Partei voraus. Dabei fänden die für die unentgeltliche Rechtspflege nach <ref-law> entwickelten Grundsätze analog Anwendung. Es obliege der ansprechenden Partei, ihre Mittellosigkeit glaubhaft zu machen. Im Eheschutzverfahren gelte zwar der Untersuchungsgrundsatz nach <ref-law>. Hierdurch würden die Parteien jedoch nicht davon entbunden, bei der Feststellung des Sachverhalts aktiv mitzuwirken. Vor Bezirksgericht habe die Beschwerdeführerin vorgebracht, sie sei mittellos; ihr noch im Jahre 2015 versteuertes Vermögen von ca. Fr. 45'000.-- sei vollständig aufgebraucht. Diese Vermögensreduktion - sie werde vom Beschwerdegegner bestritten - habe sie nicht belegt. Zwar habe sie verschiedentlich in Aussicht gestellt, im Bestreitungsfalle die entsprechenden Nachweise einzureichen. Dies habe sie trotz ausreichender Gelegenheit indes unterlassen. Eine Fristansetzung durch das Bezirksgericht habe sich zufolge der anwaltlichen Vertretung der Beschwerdeführerin sodann erübrigt. Damit habe die Beschwerdeführerin den Vermögensverbrauch nicht glaubhaft machen können. Weiter erwägt das Obergericht, die Beschwerdeführerin sei unstrittig Miteigentümerin einer Liegenschaft in Moskau. Zwar habe die Beschwerdeführerin geltend gemacht, sie könne den Miteigentumsanteil ohne Zustimmung ihrer Schwester - diese ist die weitere Miteigentümerin - sowie des Staates nicht verkaufen. Das sei aber nicht glaubhaft. Ausserdem sei nicht geltend gemacht, ein Verkauf an die Schwester oder eine weitere Belastung der Liegenschaft sei ausgeschlossen. Die Beschwerdeführerin habe damit nicht hinreichend dargelegt, dass sie die Prozesskosten nicht aus diesem Vermögensteil begleichen könne.
Zusammenfassend habe die Beschwerdeführerin ihre Vermögenslosigkeit nicht glaubhaft machen können. Es bleibe daher unerheblich, ob sie darüber hinaus über ein zur Bestreitung des Prozessaufwandes genügendes Einkommen verfüge. Weder im Verfahren vor dem Bezirksgericht noch in demjenigen vor dem Obergericht habe die Beschwerdeführerin daher einen Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss. Da insoweit von denselben Voraussetzungen auszugehen sei, bestehe auch kein Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege.
3.
Die Beschwerdeführerin verweist darauf, dass ihr das Bezirksgericht am 2. August 2016 aufgrund ihrer Bedürftigkeit einen Prozesskostenvorschuss zugesprochen hatte (vgl. dazu vorne Bst. A.b und A.d [auch zum Folgenden]). Sie habe daher keine Veranlassung gehabt, vor der Erstinstanz weitere Beweismittel zu ihrer Mittellosigkeit oder zum Vermögensverzehr einzureichen. Dies gelte namentlich auch für die Verhandlung vom 3. August 2016. Nachdem gegen den Entscheid der Erstinstanz Berufung eingereicht worden sei, habe die Beschwerdeführerin im obergerichtlichen Verfahren am 19. September 2016 detaillierte und belegte Ausführungen zu ihrem Vermögen und zum Vermögensverzehr gemacht. Sodann habe sie am 9. November 2016 vom Beschluss des Obergerichts erfahren, den erstinstanzlichen Entscheid über den Prozesskostenvorschuss aus formellen Gründen aufzuheben. Bereits am 11. November 2016, d.h. nur zwei Tage später, habe das Bezirksgericht ihr Urteil in der Hauptsache gefällt und erneut über den Prozesskostenvorschuss entschieden. Der Beschwerdeführerin sei es nicht möglich gewesen, in dieser kurzen Zeit weitere Beweismittel einzureichen. Bezüglich der Liegenschaft in Moskau ist die Beschwerdeführerin der Ansicht, im vorliegenden Verfahren sei die Anzehrung des gemeinsamen Vermögens der Ehegatten gegenüber einem Verkauf des Miteigentumsanteils an der Liegenschaft zu favorisieren. Innert nützlicher Frist sei sodann weder der Verkauf der Liegenschaft noch die Aufnahme einer Hypothek möglich. Ohnehin dürften in summarischen familienrechtlichen Verfahren bei Grundstücken im Ausland keine hohen Anforderungen an die Mitwirkung der ansprechenden Person gestellt werden. Dies gelte insbesondere bezüglich des Nachweises der Belastbarkeit eines Grundstückes. Ausserdem sei ein Verkauf der von der Schwester und deren Familie bewohnten Wohnung weder möglich noch zumutbar.
Alles in allem habe die Beschwerdeführerin ihre Mittellosigkeit glaubhaft gemacht und sei sie ihrer Mitwirkungspflicht nachgekommen. Das Obergericht habe mit seinem Urteil sodann die allgemeinen Verfahrensgarantien von <ref-law> verletzt, insbesondere den Anspruch auf rechtliches Gehör, denjenigen auf unentgeltliche Rechtspflege sowie den Grundsatz der Waffengleichheit.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin legt in einiger Länge dar, weshalb das Obergericht ihrer Ansicht nach zu Unrecht eine Verletzung der Pflicht zur Mitwirkung bei der Abklärung des Sachverhalts angenommen und ihre Bedürftigkeit verneint hat. Insoweit macht sie allenfalls einfache Bundesrechtsverletzungen, indessen keine Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend, wie dies notwendig wäre (vgl. vorne E. 1.2). Namentlich rügt sie nicht, die der Vorinstanz vorgeworfenen Rechtsfehler liessen das angefochtene Urteil als geradezu willkürlich erscheinen (<ref-law>). Insoweit bleibt auch der Hinweis darauf unbehelflich, dass die Vorinstanz die Sache soweit den Kindesunterhalt betreffend zur weiteren Klärung des Sachverhalts an das Bezirksgericht zurückgewiesen hat (vgl. vorne Bst. B.b). Das Obergericht sah sich zu diesem Vorgehen veranlasst, weil die Einkommensverhältnisse der Beschwerdeführerin nicht genügend abgeklärt seien. Ausschlaggebend für die Abweisung des Gesuchs um einen Prozesskostenvorschuss waren demgegenüber deren Vermögensverhältnisse (vgl. vorne E. 2). Ein Widerspruch liegt damit nicht vor und die Rückweisung wirkt sich im vorliegenden Kontext nicht aus. Auf die Beschwerde ist damit insoweit nicht einzutreten.
4.2. Bezüglich der geltend gemachten Gehörsverletzung (<ref-law>) ergibt sich, was folgt:
4.2.1. Wie ausgeführt bringt die Beschwerdeführerin vor, nach Abschluss des ersten Berufungsverfahrens bloss zwei Tage zur Verfügung gehabt zu haben, um sich zur Aufhebung des Prozesskostenvorschusses zu äussern und notfalls weitere Beweismittel beizubringen (vgl. vorne E. 3). Damit habe keine genügende Äusserungsmöglichkeit bestanden. Ohnehin habe die Beschwerdeführerin im ersten Berufungsverfahren am 12. September 2016 detaillierte Ausführungen zu ihren Vermögensverhältnissen gemacht und den Vermögensverzehr mittels Unterlagen belegt. Es gehe nicht an, einerseits die im ersten Berufungsverfahren eingereichten Akten nicht zu berücksichtigen und ihr andererseits für die Einreichung der notwendigen Belege nach dem ersten Berufungsentscheid nicht genügend Zeit zu lassen.
4.2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör beinhaltet insbesondere den Anspruch auf Äusserung zur Sache vor Fällung eines für die betroffene Partei nachteiligen Entscheids und auf Abnahme der erheblichen, rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweise (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.3). Das Verfahren auf Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses wurde ebenso wie dasjenige um unentgeltliche Rechtspflege auf Antrag der Beschwerdeführerin eingeleitet (vgl. vorne Bst. A.b und B.a). Die (anwaltlich vertretene) Beschwerdeführerin hatte folglich bereits bei Gesuchseinreichung Gelegenheit, sich zu den geltend gemachten Ansprüchen zu äussern und sämtliche notwendigen Tatsachen und Beweismittel in das Verfahren einzuführen. Damit hatte sie vor Bezirksgericht ausreichend Gelegenheit, sich insbesondere zur Frage der Bedürftigkeit zu äussern und entsprechende Beweismittel beizubringen (vgl. <ref-ruling> E. 2b; Urteile 5A_580/2014 vom 16. Dezember 2014 E. 3.2; 5P.184/2005 vom 18. Juli 2005 E. 2.2). Nach eigenen Angaben hat sie dies mit Eingaben vom 27. Juni und 18. Juli 2016 denn auch getan. An dieser Situation änderte das erste Berufungsverfahren und die anschliessende Rückweisung der Sache an das Bezirksgericht nichts, da das Obergericht sich in dem entsprechenden Entscheid unstrittig nicht zu den materiellen Voraussetzungen des geltend gemachten Anspruchs äusserte (vgl. Urteil des Obergerichts vom 1. November 2016 E. 2). Es bestand anfangs November daher kein Anlass, die Beschwerdeführerin nochmals anzuhören. Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet.
4.2.3. Zu prüfen bleibt der Vorwurf, das Obergericht habe die von der Beschwerdeführerin im ersten Berufungsverfahren am 12. September 2016 vorgelegten Beweismittel nicht berücksichtigt. Selbst wenn dies zutreffen sollte, liegt hierin keine Gehörsverletzung: Mit einem (kassatorisch wirkenden) Rückweisungsentscheid nach Art. 318 Abs. 1 Bst. c ZPO, wie das Obergericht ihn am 1. November 2016 ausfällte, stellt die Berufungsinstanz den Verfahrensstand wieder her, wie er vor Erlass des Entscheids der ersten Instanz bestand (BENEDIKT SEILER, Die Berufung nach ZPO, 2013, Rz. 1519; REETZ/HILBER, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 41 zu <ref-law>). Allerdings bleiben die rechtlichen und tatsächlichen Grundlagen des Rückweisungsentscheids für die erste Instanz verbindlich (<ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 2; Urteil 4A_646/2011, 4A_506/2012 und 4A_532/2012 vom 26. Februar 2013 E. 3.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Die von der Beschwerdeführerin im ersten Berufungsverfahren eingereichten Beweismittel wären im weiteren Verfahrensgang folglich zu berücksichtigen gewesen, wenn sie Grundlage des Entscheids vom 1. November 2016 bildeten oder hätten bilden müssen. Dies würde voraussetzen, dass die Beweismittel für dieses Berufungsverfahren erheblich waren und - mit Blick auf <ref-law> - rechtzeitig vorgebracht wurden (vgl. die Nachweise hiervor in E. 4.2.2 am Anfang). Dass dies der Fall wäre, macht die Beschwerdeführerin nicht hinreichend substanziiert geltend (vgl. dazu Urteil 4A_453/2016 vom 16. Februar 2017 E. 4.2; vgl. auch Urteil 5A_483/2017 und 5A_484/2017 vom 6. November 2017 E. 3.1.2) und ist mit Blick darauf, dass das Obergericht sich damals wie ausgeführt nicht zu den materiellen Voraussetzungen des Prozesskostenvorschusses äusserte, auch nicht offensichtlich. Die Rüge der Gehörsverletzung verfängt damit auch insoweit nicht.
4.3. Die Beschwerdeführerin rügt sodann, durch die Verweigerung des Prozesskostenvorschusses und der unentgeltliche Rechtspflege habe das Obergericht <ref-law> verletzt.
4.3.1. Der Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss gründet als Ausfluss der ehelichen Beistands- und Unterhaltspflicht (Art. 159 Abs. 3 und Art. 163 ZGB) im materiellen Zivilrecht (<ref-ruling> E. 2.3 S. 39; Urteil 5A_857/2016 vom 8. November 2017 E. 7, zur Publikation vorgesehen). Im Zusammenhang mit dem beantragten Prozesskostenvorschuss geht die Rüge der Verletzung von <ref-law> damit von vornherein an der Sache vorbei. Dass das Obergericht in seinem Entscheid anderweitig gegen die Verfassung verstossen hätte, macht die Beschwerdeführerin sodann nicht geltend (vgl. vorne E. 4.1). Die Beschwerde erweist sich damit insoweit als unbegründet.
4.3.2. In der Beschwerdeschrift führt die Beschwerdeführerin nicht bzw. nicht genügend substanziiert aus, weshalb das Obergericht den Sachverhalt geradezu willkürlich (dazu BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 266) oder unter Verletzung eines anderen verfassungsmässigen Rechts festgestellt haben soll (vgl. vorne E. 1.2). Ausgehend von dem durch die Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalt vermag die Beschwerdeführerin auch mit Blick auf den Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nicht hinreichend präzise eine Verletzung von <ref-law> geltend zu machen: Das Vorbringen, sie sei mittellos und habe Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege, bleibt appellatorisch. Auch äussert die Beschwerdeführerin sich nicht dazu, ob die weiteren Voraussetzungen des geltend gemachten Anspruchs erfüllt sind. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
4.4. Unter dem Stichwort der Waffengleichheit rügt die Beschwerdeführerin schliesslich eine Verletzung von <ref-law>. Der Beschwerdegegner könne sich im hängigen Eheschutzverfahren anwaltlich vertreten lassen, während sie als mittellose Partei ohne Zusprechung eines Prozesskostenvorschusses oder Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege diese Möglichkeit nicht habe. Wie ausgeführt stellt die Beschwerdeführerin die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts zu ihrer Bedürftigkeit nicht rechtsgenüglich in Frage. Folglich ist der Schluss nicht zu beanstanden, dass sie den Prozess selbst finanzieren könne. Unter diesen Umständen gehen ihre Ausführungen zu <ref-law> von vornherein an der Sache vorbei. Auf das Verhältnis dieser Bestimmung insbesondere zu <ref-law> braucht damit nicht eingegangen zu werden. Die Beschwerde ist auch insoweit unbegründet.
5.
Soweit auf sie einzutreten ist, ist die Beschwerde nach dem Ausgeführten abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>), die für das bundesgerichtliche Verfahren nicht um unentgeltliche Rechtspflege ersucht hat. Parteikosten sind keine zu sprechen, da vom obsiegenden Beschwerdegegner keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und diesem damit keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Hinwil schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber