Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 12. Juni 2017 reichte der Beschwerdeführer eine Klage am Arbeitsgericht des Bezirks U._ gegen die Beschwerdegegnerin ein. Er machte dabei im Sinne einer Teilklage verschiedene Ansprüche aus seinem ehemaligen Arbeitsverhältnis mit dem Verein C._ geltend, der seine Aktiven und Passiven per 28. Juni 2013 auf die Beschwerdegegnerin übertrug. Er verlangte - kurz zusammengefasst - die Ausstellung von Lohnausweisen (Ziff. 1), die Bezahlung von zuviel abgerechneten AHV-Arbeitnehmerbeiträgen (Ziff. 2), die Bezahlung von Fr. 24'469.80 nebst Zins für "geleistete Lohnarbeit" (Ziff. 3) und die Übernahme von Auslagen (Ziff. 4), alles unter Entschädigungsfolge zu Lasten der Beschwerdegegnerin (Ziff. 5).
Das Arbeitsgericht schrieb mit Verfügung und Urteil vom 12. Dezember 2019 das Rechtsbegehren Ziff. 1 als gegenstandslos ab, trat auf das Rechtsbegehren Ziff. 2 nicht ein und wies im Übrigen die Klage ab.
Die dagegen erhobene Berufung des Beschwerdeführers wies das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 17. Dezember 2020 ab, soweit es überhaupt darauf eintrat, und bestätigte die Verfügung und das Urteil des Arbeitsgerichts.
Gegen das Urteil des Obergerichts erhob der Beschwerdeführer mit Eingabe vom 25. Januar 2021 Beschwerde an das Bundesgericht. Am 4. Februar und 1. März 2021 liess er dem Bundesgericht eine weitere Eingabe zukommen.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
2.
2.1. Beschwerden an das Bundesgericht sind hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). Dafür muss in der Beschwerdeschrift unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden, inwiefern dieser Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Eine Verletzung von Grundrechten wird vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, dass die Sachverhaltsdarstellung der Vorinstanz "nicht nachvollziehbar" sei und beanstandet an mehreren Stellen in seinen Eingaben die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz. Seine diesbezüglichen Ausführungen genügen aber den oben genannten Begründungsanforderungen an Sachverhaltsrügen offensichtlich nicht (Erwägung 2.2). Im Weiteren schildert der Beschwerdeführer an anderen Orten seiner Eingaben den Sachverhalt aus eigener Sicht und geht dabei frei über den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt hinaus, ohne eine hinreichende Sachverhaltsrüge zu erheben. Auf diese tatsächlichen Elemente kann er sich im bundesgerichtlichen Verfahren nicht stützen.
3.2. Der Beschwerdeführer stellt sich auf den Standpunkt, dass ihm gestützt auf die Bestimmung von <ref-law> des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) im kantonalen Verfahren keine Kosten- und Entschädigungsfolgen hätten auferlegt werden dürfen.
Auch diesbezüglich legt der Beschwerdeführer offensichtlich nicht nachvollziehbar dar, warum er gestützt auf die genannte Bestimmung bei Unterliegen die Kosten- und Entschädigungsfolgen nicht zu tragen hätte (Erwägung 2.1). Dem Beschwerdeführer wurde ausserdem bereits mit Urteil vom 4A_504/2020 vom 29. Oktober 2020 E. 5.2 bezüglich der gleichen Arbeitsstreitigkeit mit der Beschwerdegegnerin dargelegt, dass er aus der genannten Norm des ATSG bezüglich der Kostenfolgen nichts zu seinen Gunsten ableiten könne.
3.3. Auch im Übrigen erfüllen die Eingaben des Beschwerdeführers die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Er rügt darin zwar eine Verletzung einer Vielzahl von Gesetzes- und Verfassungsbestimmungen und moniert, dass die EMRK durch den Entscheid der Vorinstanz verletzt worden sei. Er legt dafür aber bloss in frei gehaltenen Ausführungen seine Sicht der Dinge dar, ohne indessen auf die ausführlichen Erwägungen der Vorinstanz hinreichend konkret einzugehen, geschweige denn nachvollziehbar aufzuzeigen, inwiefern diese seine Rechte verletzt haben soll.
3.4. Auf die Beschwerde ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
4.
Der Beschwerdeführer stützt sich auch für das bundesgerichtliche Verfahren auf die oben genannten Bestimmung von <ref-law> und verlangt, dass die Kosten- und Entschädigungsfolgen der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen sind.
Auch dafür legt er offensichtlich nicht nachvollziehbar dar, warum ihm gestützt auf diese Bestimmung bei Unterliegen im bundesgerichtlichen Verfahren keine Gerichtskosten auferlegt werden könnten. Es hat damit sein Bewenden.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihr aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist (<ref-law>).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. April 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger