Faits :
A.
A.a. Le 14 février 2021, A._, qui se dit ressortissant d'un pays d'Afrique du nord né en 2004, a été interpellé, puis libéré par le Juge des mineurs de la République et canton de Genève. A._ a été à nouveau appréhendé le 1er mars suivant et placé en détention provisoire, mesure prolongée notamment le 14 juin 2021 jusqu'au 26 juillet 2021.
A._ est mis en prévention, entre autres, pour vol (<ref-law>) - commis à réitérées reprises entre le 13 février et le 1er mars 2021 -, pour entrée illégale et séjour illégal dès début janvier 2021 jusqu'au 2 mars 2021 (art. 115 al. 1 let. a et b de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration [LEI; RS 142.20]) et pour obtention illicite de prestations de l'aide sociale (<ref-law>) entre le 11 février et le 2 mars 2021.
Au dossier d'instruction pénale figure un courrier adressé le 10 février 2021 par le Secrétariat d'État aux migrations (ci-après : SEM) à la mandataire de A._ dans le cadre de la procédure d'asile entamée par ce dernier. Il en ressort en substance les éléments suivants :
- lors de son audition du 3 février 2021, A._ avait indiqué être né le 19 janvier 2004, étant ainsi mineur;
- il n'avait pas été en mesure de prouver son âge au moyen d'un quelconque document d'identité; ses explications sur l'absence de tels documents étaient stéréotypées et peu convaincantes, étant étonnant qu'il n'ait toujours pas produit pour le moins une copie de son certificat de naissance du pays d'Afrique du nord concerné puisqu'il avait affirmé être en contact avec sa grand-mère, chez qui se trouverait ledit acte;
- les indications de l'intéressé en lien avec son parcours de vie dans son pays d'origine et sur l'itinéraire suivi pour venir en Suisse étaient restées vagues, stéréotypées, illogiques, voire contradictoires sur certains points, laissant dans l'ensemble planer un doute sur l'âge allégué;
- le parcours de vie exposé par A._ ne se recoupait pas avec celui indiqué lors de son audition en tant que prévenu par la police bernoise le 14 janvier 2021 et les explications données à cet égard (tentative de raccourcir l'audition) ne paraissaient pas convaincantes;
- le comportement adopté par A._ depuis son départ de son pays d'origine était empreint d'une débrouillardise et d'une attitude qui ne correspondait pas à celle d'une personne mineure, puisqu'il aurait été âgé de moins de 12 ans au moment de prendre contact avec des passeurs, lesquels lui auraient de surcroît permis de traverser la mer gratuitement;
- l'apparence physique du requérant ne correspondait pas à l'âge avancé;
- de manière globale, le SEM estimait avoir suffisamment d'éléments pour considérer que A._ n'avait pas été en mesure de rendre vraisemblable la minorité alléguée, si bien qu'il était renoncé à mandater le Centre universitaire romand de médecine légale (ci-après : CURML) pour procéder à une expertise médicale d'estimation de l'âge; A._ serait considéré comme majeur et une date de naissance fictive au 1er janvier 2003 serait inscrite dans le système d'information central sur la migration (ci-après : SYMIC);
- sur la question de l'âge, ainsi que sur celle de la compétence de l'Espagne ou de la France pour traiter sa demande d'asile, A._ disposait d'un délai au 15 février 2021 pour exercer son droit d'être entendu.
Lors de l'audition du 2 mars 2021 de A._ par le Juge des mineurs, ce dernier lui a notifié une ordonnance de dessaisissement. Se fondant sur l'état du SYMIC à la date de sa décision, le Juge des mineurs a indiqué ne pas entendre s'écarter de l'appréciation du SEM; la date retenue par celui-ci (le 1er janvier 2003) correspondait à l'apparence physique du prévenu, alors que celle avancée par ce dernier était fantaisiste et non documentée.
A._ a été entendu le 3 mars 2021 par le Ministère public de la République et canton de Genève relevant de la juridiction pénale ordinaire; le prévenu a indiqué être né le 19 janvier 2004.
Selon une dénonciation du Service de protection des mineurs (ci-après : SPMi) adressée le 4 mars 2021 au Ministère public, A._ avait déclaré à ce service être né le 4 janvier 2004. Le dossier du SPMi - versé à la procédure pénale - fait état de deux dates de naissance, soit le 4 et le 19 janvier 2004.
A.b. Le 8 avril 2021 (ACPR_1), la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale de recours) a rejeté le recours formé par A._ contre l'ordonnance de dessaisissement du 2 mars 2021 rendue par le Juge des mineurs. Ce même jour, A._ a transmis, de manière spontanée, le dossier du SEM à la cour cantonale.
Le 4 mai 2021 (cause 1B_199/2021), le Tribunal fédéral a annulé l'arrêt de la Chambre pénale de recours précité, faute de compétence de celle-ci pour statuer sur la décision de dessaisissement. Le 7 mai 2021 (ACPR_2), la cour cantonale s'est déclarée incompétente et a transmis la cause au Procureur général de la République et canton de Genève (ci-après : le Procureur général).
A.c. A la suite du mandat du 13 avril 2021 du Ministère public donné à la Professeure B._, en tant que directrice du CURML, pour effectuer une "expertise d'âge", un rapport a été remis le 6 mai 2021. Il en ressort (i) que, sur la base d'un orthopantomogramme et d'un examen odontostomatologique, l'âge minimum de A._ serait de 18.11 ans; (ii) que, sur la base d'un examen radiologique des articulations sternoclaviculaires, son âge minimum serait de 19 ans; et (iii) qu'en conclusion, l'âge probable de A._ était entre 19 et 24 ans, avec un âge minimum de 18.5 ans en date du l'examen du 20 avril 2021. Les experts ont exclu les dates de naissance invoquées (4 ou 19 janvier 2004) et ont considéré que celle fixée par le SEM (1 er janvier 2003) était possible.
Une copie de cette expertise a été adressée le 8 juin 2021 à A._. Dans le délai imparti au 15 suivant, celui-ci a déposé des observations, contestant en substance le caractère d'expertise du rapport du CURML. Le prévenu soutenait notamment n'avoir pas été entendu sur ce rapport et requérait l'application de la présomption de minorité. Il a encore indiqué avoir recouru contre le mandat adressé au CURML, ainsi qu'avoir demandé la récusation de l'experte.
Le 8 juillet 2021, le Procureur général a rejeté le recours déposé le 12 mars 2021 par A._ contre l'ordonnance de dessaisissement du 2 mars 2021 du Juge des mineurs.
B.
Par acte du 11 août 2021, A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cette décision, concluant à son annulation et en substance au maintien de la compétence du Juge des mineurs pour la procédure P_1. Le recourant sollicite également l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Juge des mineurs a renoncé à se déterminer, dès lors qu'il avait déjà déposé des déterminations le 26 avril 2021 dans la cause 1B_199/2021 et que le présent recours ne justifiait pas de nouvelles observations. Le Procureur général a renvoyé aux considérants de sa décision. Le Ministère public a conclu au rejet du recours, relevant notamment que, par arrêts du 18 août 2021, la Chambre pénale de recours avait déclaré (i) irrecevable le recours intenté contre le mandat d'expertise et (ii) sans objet la demande de récusation formée contre la Professeure B._. Le 27 septembre 2021, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le recours porte sur une question de compétence entre la juridiction pénale ordinaire et celle pour les mineurs. Dans un tel cas, le recours en matière pénale est en principe immédiatement ouvert au Tribunal fédéral en application des art. 78 et 92 al. 1 LTF (<ref-ruling> consid. 1 p. 230). Le recourant, prévenu qui se prétend mineur, a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision entreprise, qui, en le considérant comme majeur, le prive en substance de pouvoir bénéficier des aménagements prévus par le droit pénal des mineurs (cf. art. 81 al. 1 let. a et b ch. 1 LTF). Pour le surplus, le recours électronique a été déposé en temps utile (art. 45 al. 1, 46 al. 1 let. b, 48 al. 2 et 100 al. 1 LTF) contre une décision rendue par une autorité statuant en tant qu'instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF en lien avec les art. 40 al. 1, 41 et 380 CPP; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 231 s.) et les conclusions qui y sont prises sont recevables (<ref-law>).
Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Les faits ultérieurs à l'arrêt attaqué sont irrecevables (<ref-law>). Il en va ainsi notamment du recours du 28 juillet 2021 déposé au Tribunal administratif fédéral contre le refus du SEM de rouvrir la procédure d'asile (cf. ad II/2 et 3 p. 3 du recours), des arrêts du 18 août 2021 de la Chambre pénale de recours relatifs à la demande de récusation déposée par le recourant contre la Professeure B._ et à son recours contre le mandat d'expertise (cf. ad B p. 3 des observations du Ministère public), de l'ordonnance pénale rendue le 18 août 2021 par le Ministère public, ainsi que de l'opposition formée à son encontre le 30 suivant par le recourant (cf. p. 2 des déterminations du 27 septembre 2021).
3.
Dans la mesure où le recourant semble se plaindre de violations de son droit d'être entendu dans le cadre de la procédure d'asile instruite par le SEM (cf. ad III/c p. 24 du recours), ces griefs sont irrecevables, faute d'être l'objet du litige. Pour ce même motif, il n'appartient pas non plus au Tribunal fédéral de contrôler dans le cadre de la présente cause l'appréciation effectuée par le SEM (voir au demeurant l'art. 83 let. d ch. 1 LTF).
En tout état de cause, le recourant ne prétend pas avoir été empêché, dans le cadre pénal, de faire valoir ses arguments en lien avec le courrier du 10 février 2021 du SEM.
4.
Invoquant des violations des art. 3 et 37 let. b de la Convention relative aux droits de l'enfant du 20 novembre 1989 (CDE; RS 0.107), 3, 5 par. 1 let. c et d et 8 CEDH, 9 et 11 Cst., 4, 5 et 12 de la loi fédérale du 19 juin 1992 sur la protection des données (LPD; RS 235.1), 3 de la loi fédérale du 20 juin 2003 régissant la condition pénale des mineurs (DPMin; RS 311.11), ainsi que 1 de la loi fédérale du 20 mars 2009 sur la procédure pénale applicable aux mineurs (PPMin; RS 312.1), le recourant fait grief à l'autorité précédente d'avoir confirmé le dessaisissement du Juge des mineurs en se référant au courrier du 10 février 2021 du SEM; cette manière de procéder serait arbitraire dès lors que le raisonnement du SEM ne se fonderait que sur son apparence physique. Se prévalant notamment des <ref-law>, le recourant remet en cause la valeur probante de l'expertise d'âge réalisée; elle aurait en outre été mise en oeuvre en violation de son droit d'être entendu, puisqu'il n'avait pas été interpellé sur le choix de l'expert.
4.1. La détermination de l'âge réel du prévenu est une question qui relève de l'établissement des faits (arrêt 1B_45/2020 du 20 février 2020 consid. 2.2). Dans ce domaine, le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 91 s.). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables. Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux, dont l'interdiction de l'arbitraire, que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 81; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 92).
Selon la jurisprudence, le juge apprécie en principe librement une expertise (cf. <ref-law>) et n'est pas lié par les conclusions de l'expert. Toutefois, il ne peut s'en écarter que lorsque des circonstances ou des indices importants et bien établis en ébranlent sérieusement la crédibilité; il est alors tenu de motiver sa décision de ne pas suivre le rapport d'expertise. Inversement, si les conclusions d'une expertise judiciaire apparaissent douteuses sur des points essentiels, le juge doit recueillir des preuves complémentaires pour tenter de dissiper ses doutes. A défaut, en se fondant sur une expertise non concluante, il pourrait commettre une appréciation arbitraire des preuves et violer l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.1.3 p. 53; <ref-ruling> consid. 6.6.1 p. 315; arrêt 6B_651/2018 du 17 octobre 2018 consid. 1.3.2).
Savoir si une expertise est convaincante est une question d'interprétation des preuves, que le Tribunal fédéral ne revoit que sous l'angle de l'arbitraire. Lorsque l'autorité cantonale juge l'expertise concluante et en fait sien le résultat, le Tribunal fédéral n'admet le grief d'appréciation arbitraire que si l'expert n'a pas répondu aux questions posées, si ses conclusions sont contradictoires ou si, d'une quelconque autre façon, l'expertise est entachée de défauts à ce point évidents et reconnaissables, même sans connaissances spécifiques, que le juge ne pouvait tout simplement pas les ignorer (<ref-ruling> consid. 6.1 p. 373). Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de vérifier si toutes les affirmations de l'expert sont exemptes d'arbitraire. Sa tâche se limite bien plutôt à examiner si l'autorité intimée pouvait, sans arbitraire, se rallier au résultat de l'expertise (<ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 391; arrêt 6B_525/2021 du 25 octobre 2021 consid. 1.1; pour des exemples en matière d'expertise d'âge dans le cadre pénal, arrêts 6B_651/2018 du 17 octobre 2018 consid. 1, 1B_206/2017 du 12 juillet 2017 consid. 3, 1B_30/2013 du 3 avril 2013 consid. 2.3).
4.2. En matière d'asile, l'expertise d'âge ne constitue que l'un des éléments entrant en considération dans l'appréciation des indices (PROGIN-THEUERKAUF/SIRONI/TARONI/VUILLE, L'estimation de l'âge des jeunes personnes migrantes en Suisse et dans l'Union européenne : perspectives juridiques et scientifiques, in ASYL 1/2020 p. 3 ss, ad III p. 5).
En effet, l'autorité se fonde en premier lieu sur les pièces d'identité authentiques déposées et, à défaut de telles pièces, sur les conclusions qu'il peut tirer d'une audition portant en particulier sur l'environnement du requérant dans son pays d'origine, l'entourage familial de l'intéressé et sa scolarité, voire sur les résultats d'éventuelles analyses médicales visant à déterminer son âge (cf. art. 17 al. 3bis et 26 al. 2 de la loi fédérale du 26 juin 1998 sur l'asile [LAsi; RS 142.31]); ces indices n'ont pas tous la même valeur : documents d'identité authentiques (indice fort), appréciation des déclarations sur l'âge avancé (indice fort), appréciation des déclarations portant sur les raisons de la non-production de documents d'identité (indice fort), appréciation du résultat d'une radiographie osseuse de base (indice faible) et appréciation de l'apparence physique du requérant (indice très faible, selon l'arrêt du Tribunal administratif fédéral E-3013/2020 du 8 juillet 2020 consid. 4.3.2; SEM, Manuel Asile et retour, article C9, Requérants d'asile mineurs non accompagnés [RMNA, état au 10 février 2020; ci-après : le Manuel Asile et retour], ad ch. 2.4.2 p. 10; voir également les avis du Conseil fédéral du 30 août 2017 [interpellation 17.3454], du 24 août 2016 [interpellation 16.3598 et 16.3613] et du 5 novembre 2014 [interpellation 14.3874]). En matière d'asile, si la minorité alléguée ne peut pas être prouvée par pièces, il convient alors de procéder à une appréciation globale de tous les autres éléments plaidant en faveur et en défaveur de la minorité alléguée, étant précisé qu'il incombe au requérant de rendre sa minorité vraisemblable (au sens de l'<ref-law>), sous peine d'en supporter les conséquences juridiques (arrêt du Tribunal administratif fédéral E-6471/2018 du 12 octobre 2020 consid. 4.3.1 et les références citées; PROGIN-THEUERKAUF/SIRONI/TARONI/VUILLE, op. cit., ad III p. 5; LIVIA MATTER, Das Altersgutachten im schweizerischen Asylrecht im Lichte des Grundrechts auf informationelle Selbstbestimmung, in ASYL 1/2020 p. 14 ss, ad I p. 14; le Manuel Asile et retour, ad ch. 2.4.2 p. 9 s.; sur cette dernière conséquence, a contrario cependant dans les arrêts antérieurs du Tribunal administratif fédéral A-1987/2016 du 6 septembre 2016 consid. 7.7, A-7588/2015 du 26 février 2016 consid. 4.2, JOËL OLIVIER MÜLLER, « Nichts Genaues » weiss man nichts : Altersbestimmung im schweizerischen Asylverfahren, Unter besonderer Berücksichtigung der Verfassungskonformität medizinisch-forensischer Altersgutachten, in Jusletter 20 mars 2017, p. 1 ss, ad III/2.3 p. 16 et l'avis du Conseil fédéral du 5 novembre 2014 [interpellation 14.3874], lesquels laissent sous-entendre qu'en cas de doute en matière d'asile, la minorité serait supposée).
S'agissant en particulier de l'expertise d'âge, la méthode scientifique - dite des "trois piliers" (examen clinique médical, examen du développement du système dentaire et examen par radiographie de la main gauche, respectivement si le développement du squelette de celle-ci est terminé, par scanner des clavicules) peut, selon ses résultats, se voir reconnaître une valeur probante élevée (ATAF 2018 VI/ 3 consid. 4.2.2; arrêt du Tribunal administratif fédéral E-7184/2018 du 7 août 2020 consid. 5.5; MATTER, op. cit., ad II/2 p. 15; le Manuel Asile et retour, ad ch. 2.4.2 p. 10; voir également arrêt 1C_710/2017 du 12 février 2019 consid. 4.4).
Quant à la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après : CourEDH), elle ne dénie pas non plus tout pouvoir d'appréciation aux autorités, respectivement ne nie pas tout fardeau de la preuve à charge des requérants d'asile. En effet, s'agissant du règlement de la preuve pour les demandeurs d'asile, la CourEDH a estimé que, eu égard à la situation particulière dans laquelle ils se trouvaient, il convenait dans de nombreux cas de leur accorder le bénéfice du doute lorsque l'on appréciait la crédibilité de leurs déclarations et des documents soumis à l'appui de celles-ci; toutefois, lorsque des informations soumises donnaient de bonnes raisons de douter de la véracité des déclarations du demandeur d'asile, celui-ci était tenu de fournir une explication satisfaisante pour les incohérences de son récit, respectivement une explication suffisante pour écarter d'éventuelles objections pertinentes quant à l'authenticité des documents qu'il avait produits (arrêt CourEDH Mugenzi c. France du 10 juillet 2014, requête n° 52701/09, § 47). Dans ce même arrêt, la CourEDH a reconnu que les autorités nationales se trouvaient devant une tâche délicate lorsqu'elles devaient évaluer l'authenticité d'actes d'état civils, qu'elles étaient en principe mieux placées pour établir les faits sur la base des preuves recueillies par elles ou produites devant elles et que, par conséquent, il fallait leur réserver un certain pouvoir d'appréciation à cet égard; il en était de même à l'égard de la décision de pratiquer un examen médical des enfants (arrêt CourEDH Mugenzi c. France du 10 juillet 2014, requête n° 52701/09, § 51). La CourEDH impose cependant de prendre en compte - notamment au niveau du fardeau de la preuve - la vulnérabilité dans laquelle un requérant d'asile se trouve et qui impose, le cas échéant, une protection particulière (cf. notamment arrêts CourEDH Tarakhel c. Suisse du 4 novembre 2014, requête n° 29217/12, § 97; M.S.S c. Belgique et Grèce du 21 janvier 2011, requête n° 30696/09, § 251); il en va a fortiori de même s'agissant de mineurs (arrêt CourEDH Khan c. France du 28 février 2019, requête n° 12267/16, § 74).
4.3. Le recourant se plaint tout d'abord d'une violation de son droit d'être entendu lors de la mise en oeuvre de l'expertise; en particulier, il soutient n'avoir pas été interpellé préalablement sur le choix des experts.
Le recourant n'explique toutefois pas, même brièvement, quels auraient pu être les éléments qu'il aurait avancés contre l'attribution du mandat dans la présente cause au CURML. Il ne remet en particulier pas en cause les constatations de l'autorité précédente à cet égard, à savoir le caractère standard quant au contenu de l'expertise d'âge et le fait, pour ce motif, que le CURML, en tant qu'entité composée de spécialistes reconnus comme experts permanents et officiels (cf. <ref-law> et 25 let. a de la loi genevoise du 27 août 2009 d'application du code pénal suisse et d'autres lois fédérales en matière pénale [LaCP; RS/GE E 4 10]), puisse être mandaté dans ce cadre particulier et limité sans formalité préalable particulière. Le recourant ne prétend en outre pas que sa demande de récusation concernerait l'un ou l'autre des signataires de l'expertise. En tout état de cause, le recourant ne soutient pas avoir été empêché de formuler des observations sur les résultats de cette expertise préalablement au prononcé attaqué (cf. le courrier du Procureur général du 8 juin 2021 et les observations du recourant du 15 juin 2021 en découlant), respectivement que l'autorité précédente ne disposerait pas d'une pleine cognition en fait et en droit, lui permettant, le cas échéant, de réparer un éventuel vice sur ce point.
Si le recourant, assisté par un mandataire professionnel, développe une longue argumentation sur le consentement à obtenir pour réaliser une expertise (cf. notamment ad III/c p. 7 s. du recours), il ne prétend pas s'être opposé à celle réalisée dans le cas d'espèce; il peut d'ailleurs être relevé qu'il a su manifester son opposition à certains examens et que celle-ci a été respectée par les experts (cf. le rapport d'expertise p. 4).
Partant, ces premiers griefs peuvent être écartés.
4.4. Sur le fond, la décision attaquée relève qu' "au-delà de l'impression donnée par l'apparence du recourant, mise en évidence tant par l[e Juge des mineurs] que par le recourant" [recte le SEM], il existait deux éléments de preuve de la majorité du recourant, soit :
1. l'analyse contenue dans le courrier du 10 février 2021 du SEM et
2. l'expertise d'âge du CURML.
Selon le Procureur général, le premier élément était convaincant, dès lors que même dans un contexte différent (procédure d'asile), les éléments analysés - en particulier sous l'angle du parcours de vie - restaient pertinents; cette lettre n'était certes pas une décision entrée en force, mais le recourant n'avait pas démontré être parvenu - notamment par la production de pièce (s) - à renverser l'appréciation émise par le SEM, le SIMYC indiquant toujours le 1er janvier 2003 comme date de naissance. Quant à la seconde expertise, le Procureur général a relevé qu'elle concluait sans ambiguïté à l'impossibilité que le recourant soit mineur. Indépendamment du recours contre le mandat d'expertise et de la demande de récusation formée contre l'experte, le Procureur général a considéré que la valeur probante de l'expertise était élevée vu sa réalisation par le CURML, entité composée de spécialistes reconnus comme experts permanents et officiels. L'autorité précédente a encore relevé qu'en sus des deux éléments précités et malgré ses promesses, le recourant n'était pas parvenu à fournir le moindre document attestant de sa date de naissance.
4.5. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique, notamment sous l'angle de l'arbitraire.
Contrairement tout d'abord à ce que soutient le recourant, l'avis émis par le SEM le 10 février 2021 pour retenir que le recourant n'avait pas rendu vraisemblable la minorité alléguée ne repose pas sur sa seule apparence physique. En effet, le SEM a relevé l'absence de documents d'identité, le parcours de vie du recourant - lequel ne concordait pas avec celui invoqué lors de son audition le 14 janvier 2021 par la police bernoise -, la débrouillardise lors de sa prétendue fuite de son pays d'origine qu'il semblait démontrer - laquelle ne paraissait pas correspondre aux agissements d'une personne de moins de 12 ans -, ainsi que l'apparence physique du recourant.
En outre le Procureur général ne s'est pas contenté de cette seule appréciation. Il ne s'est pas non plus limité à renvoyer à la date de naissance mentionnée au SYMIC; à ce propos, le recourant ne prétend pas qu'il n'y figurerait pas la mention indiquant son caractère litigieux (cf. <ref-law>; voir l'invocation y relative en p. 4 du courrier du 10 février 2021 du SEM) et/ou qu'il aurait obtenu la modification de cette indication dans le cadre d'une procédure de rectification (cf. sur cette possibilité, arrêt 1C_44/2021 du 4 août 2021 consid. 4; MATTHIEU CORBAZ, Les mineurs non accompagnés en droit d'asile, Étude du droit suisse à la lumière du droit international des droits de l'enfant, thèse 2019, ad IV/C p. 298 s). Dans la présente cause, le Procureur général s'est en effet également référé à une expertise d'âge, laquelle a été ordonnée dans le cadre pénal. Or, les conclusions de l'expertise viennent appuyer l'avis émis par le SEM.
Certes, des critiques sont émises à l'encontre de ce type d'expertise d'âge (voir par exemple, CORBAZ, op. cit., ad II/C p. 285 ss; M ÜLLER, op. cit., ad IV/4 p. 35). Il n'en résulte cependant pas qu'elle serait nécessairement dénuée de toute valeur probante. Cela vaut en particulier lorsque, comme en l'occurrence, l'expertise d'âge ne constitue pas le seul élément entrant en considération pour apprécier le cas d'espèce (cf. le courrier du SEM et l'apparence physique du recourant). Les résultats des experts ne se fondent pas non plus sur un seul examen médical - par exemple osseux -, mais reposent (a) sur un entretien et un examen médico-légal du recourant (cf. ch. 2 p. 2 ss), (b) sur un examen odontostomatologique et un orthopantomogramme (cf. ch. 3 p. 5 s.), ainsi que (c) sur des examens radiographiques de la main gauche et des articulations sternoclaviculaires (cf. ch. 4 et 5 p. 6). Enfin, dans leurs conclusions retenant un âge probable du recourant situé entre 19 et 24 ans et un âge minimum de 18.5 ans, les experts ont relevé qu'il fallait prendre en compte le processus biologique qui peut varier d'un individu à un autre et le fait que l'expertisé ne provient pas forcément de la même population que les échantillons de référence (cf. ch. 6 p. 7 s.). Vu ces considérations - dont l'âge minimum indiqué supérieur à 18 ans -, on ne se trouve en outre pas dans un cas limite où une marge d'incertitude ou d'erreur aurait éventuellement dû être prise en compte (arrêt 1P.792/2005 du 21 mars 2006 consid. 3.4), respectivement où il y aurait de telles doutes qu'il s'imposerait - dans la mesure où cela serait applicable - de supposer la minorité.
Partant, l'appréciation des éléments de preuve effectuée par le Procureur général - fondée sur différents indices qui se corroborent - n'apparaît pas arbitraire et, partant, ce grief peut être écarté.
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Le recourant a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (<ref-law>). Dans la mesure où les conditions sont réalisées, cette requête doit être admise et il y a lieu de désigner Me Philippe Currat en tant qu'avocat d'office du recourant et de lui allouer une indemnité à titre d'honoraires, laquelle sera supportée par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires, ni alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est admise. Me Philippe Currat est désigné comme avocat d'office du recourant et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Juge des mineurs de la République et canton de Genève, au Ministère public de la République et canton de Genève et au Procureur général de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 17 novembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Kropf