Sachverhalt:
A.
A._ befindet sich aufgrund eines gegen ihn geführten Strafverfahrens wegen Freiheitsberaubung etc. in Sicherheitshaft. Im Zeitraum vom 17. Dezember 2020 bis 21. Mai 2021 wandte er sich in mehreren Schreiben an die Staatsanwaltschaft des Kantons Zug sowie die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich. In seinen Eingaben beantragte er die Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen namentlich nicht genannte Mitarbeitende der kantonalen Strafvollzugsbehörden und der Staatsanwaltschaft wegen des rechtswidrigen Umgangs mit seiner Briefpost sowie mangelhafter medizinischer Betreuung während seiner Inhaftierung.
Am 27. Januar 2021 nahm die Staatsanwaltschaft II das Verfahren an die Hand. Mit Verfügung vom 16. Juni 2021 überwies sie die Sache an das Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag, über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen die angezeigten Behördenmitglieder zu entscheiden. Mit Beschluss vom 30. August 2021 verweigerte das Obergericht die Ermächtigung zur Strafverfolgung.
B.
Mit einer als Beschwerde in Ermächtigungssachen bezeichneten Eingabe vom 30. September 2021 an das Bundesgericht beantragt A._, der Beschluss des Obergerichts vom 30. August 2021 sei aufzuheben und stattdessen sei der Staatsanwaltschaft II die Ermächtigung zur Strafverfolgung zu erteilen.
Die Vorinstanz sowie die Staatsanwaltschaft II haben auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Nach <ref-law> in Verbindung mit § 148 des Zürcher Gesetzes über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess vom 10. Mai 2010 (GOG [LS 211.1]) entscheidet das Obergericht über die Eröffnung oder Nichtanhandnahme einer Strafuntersuchung gegen Beamte im Sinne von <ref-law> wegen im Amt begangener Vergehen oder Verbrechen. Mit dem angefochtenen Entscheid hat es das Obergericht abgelehnt, die Staatsanwaltschaft II zur Strafverfolgung der angezeigten, namentlich nicht genannten, aber eruierbaren Personen - alles Beamte im Sinne von <ref-law> - zu ermächtigen. Damit fehlt es an einer Prozessvoraussetzung für die Durchführung des Strafverfahrens, womit das Verfahren abgeschlossen ist. Angefochten ist demnach ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), gegen den nach der Rechtsprechung die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.3.1). Der Beschwerdeführer, der am kantonalen Verfahren teilgenommen hat und dessen Strafanzeige nicht mehr weiterbehandelt werden kann, ist als möglicher Geschädigter, der allenfalls Zivilansprüche geltend machen könnte (Art. 115, Art. 118 und Art. 122 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>), zur Beschwerdeerhebung befugt (<ref-law>; vgl. Urteile 1C_490/2021 vom 19. November 2021 E. 1.1; 1C_345/2019 vom 11. November 2019 E. 1.2).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann von hier nicht interessierenden weiteren Möglichkeiten nur die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Verletzung von kantonalem Recht beurteilt das Bundesgericht lediglich soweit, als damit ein Verstoss gegen Bundesrecht, insbesondere gegen das Willkürverbot nach <ref-law>, einhergeht. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an, behandelt aber grundsätzlich nur in der Beschwerdeschrift behauptete und ausreichend in Auseinandersetzung mit den vorinstanzlichen Erwägungen begründete Rechtsverletzungen, wobei hinsichtlich angeblicher Grundrechtsverletzungen eine qualifizierte Rügepflicht gilt (vgl. <ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.7).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen können von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 und Art. 97 Abs. 1 BGG). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 3). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1).
Soweit der Beschwerdeführer die tatsächlichen Feststellungen des Obergerichts in Frage stellen will, was nicht ganz klar ist, genügen seine Ausführungen jedenfalls nicht für eine ausreichende Beschwerdebegründung. Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.4. Der Beschwerdeführer hat vor Bundesgericht neue Dokumente ins Recht gelegt, die vor dem angefochtenen Beschluss datieren. Da diese Dokumente ohnehin nicht entscheidwesentlich sind, kann offenbleiben, ob es sich dabei überhaupt um zulässige sog. unechte Noven im Sinn von <ref-law> handelt (vgl. zum Novenrecht <ref-ruling> E. 1.2).
2.
Nach <ref-law> sind die Strafbehörden verpflichtet, im Rahmen ihrer Zuständigkeiten ein Verfahren einzuleiten und durchzuführen, wenn ihnen Straftaten oder auf Straftaten hinweisende Verdachtsgründe bekannt werden. Wie erwähnt entscheidet im Kanton Zürich das Obergericht über die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung gegen Beamte (vgl. vorne E. 1.1). Für den Entscheid über die Ermächtigung zur Strafverfolgung sind einzig strafrechtliche Gesichtspunkte massgeblich. Diese darf insbesondere nicht aus Gründen der Opportunität verweigert werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.4). Die Eröffnung einer Strafuntersuchung setzt einen hinreichenden Tatverdacht voraus (<ref-law>). Da das Ermächtigungserfordernis Behördenmitglieder und Beamte namentlich vor mutwilliger Strafverfolgung schützen und dadurch das reibungslose Funktionieren staatlicher Organe sicherstellen soll, muss für die Erteilung der Ermächtigung vorausgesetzt werden, dass genügende Anhaltspunkte für eine strafbare Handlung vorliegen bzw. eine gewisse minimale Wahrscheinlichkeit besteht, dass eine solche verübt wurde (vgl. Urteile 1C_165/2021 vom 15. April 2021 E. 3; 1C_501/2020 vom 1. Dezember 2020 E. 4.2).
3.
3.1. Das Obergericht kam im angefochtenen Entscheid zum Schluss, gestützt auf die Verfahrensakten lägen keinerlei Hinweise vor, dass Briefe des sich in Haft befindenden Beschwerdeführers in Missbrauch der Amtsgewalt vorsätzlich geöffnet oder ohne entsprechende Mitteilung nicht weitergeleitet worden wären, wie dies der Beschwerdeführer behaupte. Die in diesem Zusammenhang erhobenen Strafvorwürfe gegen namentlich nicht genannte Mitarbeitende der kantonalen Strafverfolgungs- und Strafvollzugsbehörden seien deshalb nicht geeignet, die Tatbestände des Amtsmissbrauchs (<ref-law>), der Verletzung des Schriftgeheimnisses (<ref-law>) oder der Sachentziehung (<ref-law>) zu erfüllen. Gleich verhalte es sich bezüglich der vom Beschwerdeführer geltend gemachten mangelhaften medizinischen Versorgung während des Haftvollzugs. Auch insoweit sei ein Amtsmissbrauch, ein Delikt gegen Leib und Leben oder ein anderes strafbares Verhalten durch Mitarbeitende der kantonalen Strafverfolgungs- und Strafvollzugsbehörden nicht erkennbar. Insbesondere bestünden gestützt auf die Akten keine Anhaltspunkte, dass es bei der Medikamentenabgabe an den Beschwerdeführer oder im Zusammenhang mit Arzt- und Spitalterminen zu strafrechtlich relevanten Handlungen gekommen sei. Mangels eines Anfangsverdachts für ein strafbares Verhalten sei deshalb eine Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung nicht zu erteilen.
3.2. Mit diesen Erwägungen der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Seine Ausführungen beschränken sich vielmehr darauf, unter detaillierter Schilderung des Sachverhalts aus seiner Sicht seine Auffassung zu wiederholen, wonach es während seiner Inhaftierungen zu strafbaren Handlungen durch Beamte gekommen sei. Ob diese Beschwerdebegründung hinreichend ist (vgl. vorne E. 1.2), erscheint fraglich, kann aber offenbleiben, da die Beschwerde aus nachfolgenden Gründen ohnehin abzuweisen ist.
3.3. Amtsmissbrauch nach <ref-law> begeht rechtsprechungsgemäss, wer die Machtbefugnisse, die ihm sein Amt verleiht, unrechtmässig anwendet, das heisst kraft seines Amtes verfügt oder Zwang ausübt, wo dies nicht geschehen dürfte (<ref-ruling> E. 1a/aa; Urteil 1C_175/2021 vom 16. Juni 2021 E. 5.2.1). In subjektiver Hinsicht ist (Eventual-) Vorsatz erforderlich. Daran fehlt es etwa, wenn der Amtsträger im Glauben handelt, er übe seine Machtbefugnisse pflichtgemäss aus. Vorausgesetzt ist zudem die Absicht, sich oder einem Dritten einen unrechtmässigen Vorteil zu verschaffen oder einem anderen einen Nachteil zuzufügen. Dabei genügt Eventualabsicht (vgl. Urteil 1C_422/2019 vom 1. September 2020 E. 4.2 mit Hinweisen).
3.4.
3.4.1. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, kann gestützt auf Art. 235 Abs. 3 und 4 StPO die Post einer sich in Sicherheitshaft befindenden Person, mit Ausnahme der Korrespondenz mit Aufsichts- und Strafbehörden sowie der Verteidigung, kontrolliert werden. Dabei kann insbesondere die Weiterleitung von Briefen verweigert werden, wenn diese das laufende Strafverfahren zum Gegenstand haben und der Briefinhalt geeignet sein kann, den Haftzweck zu vereiteln (vgl. MATTHIAS HÄRRI, in: Basler Kommentar StPO, 2. Aufl. 2014, N. 47 zu Art. 235). Wenn die Briefpost des Beschwerdeführers angesichts dieser klaren gesetzlichen Grundlage geöffnet und teilweise nicht weitergeleitet wurde, haben die damit befassten Beamten weder verfügt noch Zwang ausgeübt, wo dies nicht geschehen durfte. Mit Blick auf Art. 235 Abs. 3 und 4 StPO liegt auch kein unbefugtes Öffnen eines Briefes zwecks Kenntnisnahme von dessen Inhalt im Sinne von <ref-law> vor. Dass die Zurückbehaltung oder Öffnung von Briefen in einzelnen Fällen diskutabel erscheinen kann, mag zutreffen, genügt für die Annahme von Amtsmissbrauch jedoch nicht. Wie die Vorinstanz zu Recht ausführte, hat der Beschwerdeführer insoweit die Möglichkeit, gegen Verfügungen betreffend die Nichtweiterleitung von Post Beschwerde zu erheben, wovon er gemäss den Akten auch schon Gebrauch machte. Ein zweckentfremdeter Einsatz staatlicher Macht liegt somit nicht vor. Es verletzt daher kein Bundesrecht, wenn die Vorinstanz im Zusammenhang mit dem behördlichen Umgang der Briefpost des Beschwerdeführers jegliche Hinweise auf Amtsmissbrauch, eine Verletzung des Schriftgeheimnisses oder weitere Delikte verneint hat.
3.4.2. Wie die Vorinstanz richtig ausführte, enthalten die Verfahrensakten sodann keine ärztlichen Belege, die bestätigen würden, dass der Beschwerdeführer aufgrund strafbarer Handlungen von Beamten einen Arzttermin verpasst oder er in einer Notfallsituation zu spät in ein Spital eingeliefert worden wäre. In den Akten finden sich auch keine Hinweise, dass es im Zusammenhang mit der Medikamenten- oder Nahrungsabgabe an den Beschwerdeführer zu strafrechtlich relevanten Fehlern kam. Entgegen den pauschalen und unbelegten Behauptungen des Beschwerdeführers hält es folglich vor Bundesrecht stand, wenn die Vorinstanz darauf schloss, es lägen auch im Zusammenhang mit seiner medizinischen Versorgung während des Haftvollzugs keine Hinweise auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten vor.
3.5. Bestehen nach dem Dargelegten keine Anhaltspunkte für strafbare Handlungen von Beamten, verletzt der angefochtene Entscheid kein Bundesrecht.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Da sie aussichtslos war, kann das sinngemäss gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht bewilligt werden (<ref-law>). Unter den gegebenen Umständen rechtfertigt es sich jedoch, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine auszurichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Januar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Hahn