Faits :
A.
A.a. L'Union Cycliste Internationale (UCI), sise à Aigle, est une association de droit suisse ayant pour membres les fédérations nationales de cyclisme, notamment la Fédération Cycliste Italienne ( Federazione Ciclistica Italiana).
L'UCI a édicté des statuts et règlements, dont un article 1.2.081 contenant la prescription suivante, dans sa teneur en vigueur en 2008:
"Les coureurs doivent défendre sportivement leur propre chance. Toute entente ou comportement tendant à fausser ou nuire à l'intérêt de la compétition est défendu".
A.b. Le 15 janvier 2008, l'UCI a notamment accepté l'inscription des deux équipes féminines suivantes pour la saison 2008:
- A._ (ci-après: équipe A._), et
- B._ (ci-après: équipe B._).
Membres de la Fédération Italienne, ces associations de droit italien avaient entre elles des liens administratifs et commerciaux découlant de la façon dont avait été constituée l'équipe B._. Elles étaient cependant organisées de façon indépendante et autonomes dans leur gestion financière.
A.c. Le 27 mars 2008, C._, qui était coordinateur sportif auprès de l'UCI, a adressé à la Fédération Italienne un courrier concernant ces deux équipes, auxquelles il était reproché de collaborer trop étroitement et de contrevenir à l'article 1.2.081 précité. Aussi l'UCI s'opposait-elle à ce que ces équipes s'alignent en même temps dans des courses internationales UCI.
Le 7 avril 2008, le président de l'UCI a confirmé l'interdiction de concourir ensemble.
A.d. Le 31 mars 2009, l'Office des poursuites d'Aigle a notifié à l'UCI des commandements de payer sur réquisitions des deux équipes italiennes. La poursuivie a formé opposition.
B.
Le 3 août 2009, les équipes ont déposé une demande commune contre l'UCI devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois.
Elles concluaient au paiement de CHF 532'497.10 en faveur de l'équipe A._ et de CHF 228'213.05 pour l'équipe B._. Etait en outre exigée la mainlevée définitive des oppositions formées dans les poursuites en cours.
En substance, les demanderesses reprochaient à l'UCI d'avoir pris à leur encontre une décision contraire à ses statuts et règlements et d'avoir trahi la confiance qu'elle avait suscitée en acceptant leurs inscriptions.
A lire leurs allégations, les équipes avaient subi un dommage consistant d'une part en des dépenses que la décision litigieuse avait rendues inutiles, chiffrées à 326'083.72 euros (EUR), montant arrondi à EUR 327'000, et d'autre part en du gain manqué consécutif à des pertes de sponsoring estimées à EUR 173'000. Elles précisaient comment ventiler ces montants entre les deux équipes (EUR 350'000 pour A._ et EUR 150'000 pour B._) et opéraient une conversion en francs suisses (CHF), apparemment selon le taux de change en vigueur lors du dépôt de la demande. Les conclusions étaient libellées uniquement en francs suisses.
L'UCI a conclu au rejet et pris des conclusions reconventionnelles en "radiation" des poursuites.
Par jugement du 25 janvier 2021, la Cour civile a rejeté la demande et ordonné l'annulation des poursuites.
Les équipes ont fait appel de cette décision et déposé une expertise juridique privée établie par un professeur de droit italien enseignant dans une université romaine (Prof. D._).
La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a renoncé à recueillir les déterminations de la partie adverse dans une cause qu'elle jugeait manifestement infondée (art. 312 al. 1 i.f. CPC). Statuant le 16 août 2021, elle a confirmé la décision entreprise (quant aux motifs, cf. consid. 3.1 infra).
C.
Agissant par la voie du recours en matière civile, les deux équipes cyclistes ont invité le Tribunal fédéral à admettre leur demande.
L'UCI a conclu au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité, réponse qui a été suivie d'une réplique des recourantes, puis d'une duplique de l'intimée.
L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité grevant l'exercice du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celles imposant un délai de recours de 30 jours (<ref-law>) et une valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (<ref-law>).
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le recourant peut objecter que les faits ont été constatés de façon manifestement inexacte (c'est-à-dire arbitraire selon l'art. 9 Cst.) ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>; encore faut-il que la correction du vice puisse influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
2.2. Le recours peut être formé entre autres pour violation du droit fédéral (<ref-law>) ou pour inapplication du droit étranger désigné par le droit international privé suisse (<ref-law>).
Le recourant ne peut pas dénoncer une violation du droit cantonal comme telle, mais peut plaider que l'application de ce droit contrevient au droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 3; <ref-ruling> consid. 1.2). Un tel grief, qui met en cause un droit constitutionnel, doit être motivé de façon stricte: le justiciable doit désigner le droit dont il se prévaut, en expliquant par le détail en quoi consiste la violation (principe de l'allégation, <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
Les moyens doivent être exposés dans le mémoire de recours; un renvoi à d'autres écritures, en particulier à celles produites en instance cantonale, n'est pas admissible (ATF <ref-ruling> consid. 3.2 i.f.; <ref-ruling> consid. 2.3).
3.
3.1. Les juges vaudois ont en substance effectué le raisonnement suivant:
- Le litige présentait des éléments d'extranéité justifiant d'appliquer la loi fédérale sur le droit international privé (LDIP; RS 291).
- Les demanderesses reprochaient à l'UCI, constituée en association de droit suisse, d'avoir engagé sa responsabilité en prenant à leur encontre une décision contraire à sa réglementation interne.
Le droit suisse était applicable au regard des art. 155 let. g et 133 al. 3 LDIP (en lien avec l'<ref-law>). Dans le système helvétique, la réparation devait être exprimée dans la même valeur que celle dans laquelle la diminution de patrimoine s'était produite. Les demanderesses ne contestaient pas que la perte s'était réalisée en Italie, pays appartenant à la zone euro. Partant, elles devaient formuler leur prétention dans cette monnaie étrangère. Or, elles avaient libellé leurs conclusions en francs suisses.
La première instance était encore régie par l'ancienne procédure civile vaudoise (CPC-VD), qui ne permettait pas au juge de s'écarter de conclusions exprimées à tort en francs suisses. Partant, la demande devait être rejetée.
- L'application de l'<ref-law> conduisait au même résultat. Cette disposition renvoyait au droit régissant la dette. Pour les obligations extracontractuelles, était en principe décisive la monnaie de la résidence habituelle du créancier, soit l'euro. L'expertise privée de droit italien n'entrait pas en considération dès lors qu'elle concernait l'<ref-law>, qui était inapplicable en l'espèce.
3.2. Certains pans de cette analyse suscitent quelques interrogations. On observe notamment qu'aucun lien de sociétariat direct n'existe entre les équipes demanderesses et l'UCI: elles relèvent de la Fédération Cycliste Italienne qui, elle, est membre de l'association suisse. Il ne semble guère concevable d'interpréter leur démarche judiciaire comme une action des associés ou des créanciers d'une personne morale tombant sous le coup de l'art. 155 let. g LDIP.
Ceci dit, les équipes italiennes se sont prévalues de la responsabilité fondée sur la confiance déçue. Cette création prétorienne se situe entre le contrat et le délit (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 88; <ref-ruling> consid. 4.3.2 p. 395). Il est difficile de la rattacher strictement à l'une ou l'autre catégorie, et la solution la plus appropriée est sans doute d'effectuer une approche au cas par cas, en fonction de la question litigieuse (cf. ATF <ref-ruling> consid. 4.3.2; HAUSHEER/AEBI-MÜLLER, in Berner Kommentar, 2012, nos 143-144 et 193 ad <ref-law>). Le caractère hybride de cette institution pose problème en droit international privé, marqué par la distinction fondamentale entre le statut contractuel et le statut délictuel (JOLANTA KREN KOSTKIEWICZ, Vertrauenshaftung im schweizerischen IPR, RSJB 2001 p. 184, elle-même favorable à un rattachement contractuel [p. 199 i.f.]). La proposition d'instituer une catégorie d'obligations extra-contractuelles, plutôt que délictuelles, est restée sans suite (MAX BAUMANN, in Zürcher Kommentar, 3e éd. 1998, no 220 ad <ref-law>, qui suggère de s'inspirer de l'<ref-law> régissant la responsabilité du fait des produits [n os 225 s.]).
Dans le cas d'espèce, on relèvera tout au plus le monopole dont jouit l'UCI, aux dires des juges vaudois (cf. jugement de I re instance, p. 65 § 1 i.f.). Telle est d'ailleurs la règle en matière sportive, comme l'a déjà constaté la cour de céans. Or, cette position fonde un lien particulier entre la fédération et les sportifs concernés, qui génère pour celle-là certains devoirs envers ceux-ci, dont la fidélité aux actes. Aussi peut-elle engager sa responsabilité lorsqu'elle cause un dommage à l'athlète en contrevenant aux règles de la bonne foi, par exemple lorsqu'elle modifie les critères de sélection peu avant une compétition et impose une épreuve supplémentaire à un athlète déjà qualifié selon les précédentes règles (<ref-ruling> consid. 6d). Le fait que l'athlète n'ait guère d'autre choix que de se soumettre à une telle entité est peut-être un facteur d'éloignement des rives de la responsabilité contractuelle.
Point n'est besoin, cependant, d'approfondir cette esquisse de réflexion, ni d'examiner tous les tenants et aboutissants de la décision attaquée. Car les recourantes ne contestent pas que leur créance soit due en euros et doive être payée en Italie; or, ce point d'entente suffit à résoudre le litige tel que circonscrit par les griefs soulevés (voir ci-dessous consid. 4.3 in principio).
4.
4.1.
4.1.1. Différents régimes de droit entrent en considération lorsqu'une dette pécuniaire présente des éléments d'extranéité (VISCHER/MONNIER, in Zürcher Kommentar zum IPRG, vol. II, 3e éd. 2018, n° 1 ad <ref-law>; BALZ GROSS, in Kurzkommentar Obligationenrecht [KuKo], 2014, n° 23 ad <ref-law>; ROLF WEBER, Berner Kommentar, 2e éd. 2005, no 284 ad <ref-law>) :
- La lex causae qui gouverne l'obligation ( Schuldstatut) résout toutes les questions concernant l'étendue de l'obligation et détermine entre autres dans quelle monnaie celle-ci est due (cf. <ref-law>; VISCHER/MONNIER, op. cit., n° 7 ad <ref-law>; WEBER, op. cit., nos 289 s. ad <ref-law>).
- Le droit du lieu de paiement de l'obligation pécuniaire indique dans quelle monnaie le paiement doit être fait (cf. <ref-law>). On parle de lex loci solutionis ( Zahlungsstatut).
4.1.2. En droit matériel suisse, l'<ref-law> traite de la monnaie de paiement des obligations pécuniaires, qu'elles soient de nature contractuelle ou délictuelle (<ref-ruling> consid. 3.1). Il n'indique cependant pas dans quelle monnaie est due l'obligation. Les parties sont en principe libres de la définir (tout comme celle du paiement; cf. ATF 54 II 257 consid. 2 p. 266; PIERRE ENGEL, Traité des obligations en droit suisse, 2e éd. 1997, p. 637). A défaut d'accord, cette question est réglée par la jurisprudence, qu'il n'est pas nécessaire de présenter vu la position adoptée par les recourantes (cf. ci-dessus consid. 3.2 i.f.).
La jurisprudence déduit de l'<ref-law> les principes suivants:
- Le créancier d'une obligation pécuniaire a une prétention en exécution dans la monnaie de l'obligation - qu'elle soit suisse ou étrangère.
Quand bien même le paiement doit se faire en Suisse, le créancier ne peut exiger des francs suisses si l'obligation est due en euros ou en une autre monnaie étrangère.
Le fait qu'il doive formuler l'éventuelle réquisition de poursuite en francs suisses n'y change rien: cette conversion imposée par l'<ref-law> (RS 281.1) n'entraîne pas une novation de l'obligation (<ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 5a).
- Le jugement doit lui aussi allouer les conclusions dans la monnaie (le cas échéant étrangère) de la dette (voir entre autres ATF <ref-ruling> consid. 2.4 in principio p. 155; arrêts 4A_251/2021 du 16 juillet 2021 consid. 2.1, 4A_200/2019 du 17 juin 2019 consid. 4 et 4A_39/2017 du 19 juillet 2017 consid. 2; GAUCH ET ALII, OR AT, Schweizerisches Obligationenrecht - Allgemeiner Teil, vol. II, 11e éd. 2020, n. 2309; MARIUS SCHRANER, Zürcher Kommentar, 3e éd. 2000, n° 186 ad <ref-law>; ENGEL, op. cit., p. 638 s.).
Si le juge doit prononcer une condamnation en monnaie étrangère tout en levant simultanément l'opposition formée dans une poursuite en cours, il mentionnera le montant de la poursuite en francs suisses (ATF <ref-ruling> consid. 2.4; arrêt 4A_152/2013 du 20 septembre 2013 consid. 3.2).
- En revanche, le débiteur tenu d'acquitter en Suisse une dette due en monnaie étrangère a la faculté de payer valablement en francs suisses, "au cours du jour de l'échéance, à moins que l'exécution littérale du contrat n'ait été stipulée par les mots 'valeur effective' ou par quelqu'autre complément analogue" (<ref-law>; cf. aussi art. 1031 al. 1 et 1122 al. 1 CO). Cette possibilité qui remonte au Moyen-Âge existe dans la plupart des pays européens (WEBER, op. cit., n° 323 ad <ref-law>; SCHRANER, op. cit., n° 187 ad <ref-law>). Il s'agit d'une simple modalité de paiement; la dette fixée en devise étrangère n'est pas novéeen une dette de francs suisses (VISCHER/MONNIER, op. cit., n° 29 ad <ref-law>).
Le juge suisse peut-il prononcer une condamnation dans la monnaie due alors qu'il est saisi de conclusions libellées dans une monnaie erronée? Cette question relève de la procédure civile, jadis du ressort des cantons et désormais domaine de la Confédération (art. 122 al. 1 Cst.; cf. ATF <ref-ruling> consid. 2.4 p. 156). Selon la jurisprudence, l'<ref-law> - qui consacre la maxime de disposition - proscrit un tel procédé, le juge ne pouvant allouer un aliud (cf., entre autres, arrêts 4A_251/2021 précité consid. 2.1 i.f.; 4A_200/2019 précité consid. 4 i.f.; 4A_265/2017 du 13 février 2018 consid. 5; 4A_391/2015 du 1er octobre 2015 consid. 3).
Cette pratique n'échappe pas aux remarques et critiques doctrinales (voir par exemple ALFRED KOLLER, Schadenersatzpflicht als Fremdwährungsschuld? in Jusletter du 6 mai 2013; en matière de litiges bancaires, OLLIVIER/GEISSBÜHLER, La monnaie des conclusions dans les litiges bancaires, in PJA 2017 spéc. p. 1441 et 1444). Un auteur suggère que le juge devrait être délié des conclusions lorsque le demandeur, comme en l'espèce, a allégué dans la "bonne" monnaie le montant auquel il prétend, puis l'a converti à tort en une autre monnaie qu'il a seule reprise dans ses conclusions (PHILIPP CARR, Klage in falscher Währung - ergo Klageabweisung?, in PJA 2021 p. 164).
La résolution du cas d'espèce n'impose pas de prendre position à l'égard d'une jurisprudence bien ancrée.
4.1.3. De l'exposé qui précède, on retiendra essentiellement que le droit matériel définit dans quelle monnaie est due l'obligation litigieuse, respectivement dans quelle monnaie le créancier peut en exiger le paiement, et le débiteur se libérer valablement. Tandis que le droit de procédure décide si le juge peut convertir dans la "bonne monnaie" (i.e. celle de la dette pécuniaire) des conclusions libellées dans une monnaie erronée (voir ATF <ref-ruling> consid. 2.3 in principioet 2.4 i.f.).
4.2. Dans le cas concret, deux équipes cyclistes sises en Italie réclament à l'UCI, établie à Aigle, des dommages-intérêts pour les dépenses inutiles et le gain manqué occasionnés par une prétendue violation des règlements UCI et par une trahison de la confiance suscitée auprès des demanderesses/recourantes.
Les parties se disputent quant à l'application du droit suisse ou du droit italien.
Les recourantes admettent que l'obligation est due en euros et doit être payée en Italie; la cour de céans peut ainsi se dispenser d'examiner ces questions.
Or, les recourantes ne démontrent pas que le droit matériel italien permettrait au créancier sis en Italie d'exiger le paiement en francs suisses d'une obligation due en euros. La logique qui entoure une règle telle que l'<ref-law>, répandue en Europe, est d'autoriser le débiteur à payer dans la monnaie du lieu d'exécution, alors que l'obligation est due dans une autre monnaie. N'en déplaise aux recourantes, le droit italien énonce une règle très similaire à l'art. 1278 CCit., qu'elles invoquent au demeurant (" Se la somma dovuta è determinata in una moneta non avente corso legale nello Stato, il debitore ha facoltà di pagare in moneta legale, al corso del cambio nel giorno della scadenza e nel luogo stabilito per il pagamento "). L'intimée en fait la même lecture dans sa réponse, que les recourantes n'ont pas contredite. Quant à l'expertise privée, elle ne leur est d'aucun secours, pour le motif déjà que les recourantes ne signalent pas quel passage topique, dans cet avis long de 25 pages, conforterait leur position; le renvoi pur et simple à leur mémoire d'appel est tout aussi inopérant (cf. consid. 2.2 supra). De toute façon, elles dénoncent un problème autre.
4.3. Le noeud du litige se situe au niveau de la formulation des conclusions. Pour citer les recourantes, "la question litigieuse est la suivante: formulées en francs suisses et non en euros, les prétentions [...] doivent-elles, de ce seul fait, être rejetées?".
Point n'est besoin de s'intéresser au droit italien sur ce point. Car les recourantes méconnaissent un élément primordial: la loi du for est déterminante pour la qualification des institutions (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 515) et pour la procédure ( forum regit processum; arrêt 4C.94/2005 du 14 septembre 2005 consid. 3 ab initio). A ce titre, la lex fori régit entre autres la forme et les modalités de l'action, ainsi que la maxime applicable, notamment la maxime officielle ou de disposition (LORENZ DROESE, in Basler Kommentar, Internationales Privatrecht, 4e éd. 2020, nos 8, 10 et 17 des Remarques précédant l'<ref-law>; VISCHER/WIDMER LÜCHINGER, in Zürcher Kommentar, op. cit., vol. I, n° 57 ad <ref-law>). Des exceptions sont envisageables lorsque le droit matériel est étroitement imbriqué avec la procédure d'exécution (VISCHER/WIDMER LÜCHINGER, op. cit., n° 58 ad <ref-law>).
En l'occurrence, il s'agissait de déterminer à l'aune du droit suisse, en tant que lex fori, si la possibilité de s'écarter des conclusions relevait de la procédure ou du fond. Or, dans notre pays, cette question est d'ordre procédural. Il revenait donc bel et bien au droit formel suisse de décider si le juge pouvait, ou non, prononcer une condamnation dans une monnaie autre que celle adoptée dans les conclusions.
Ce constat scelle le sort du grief des recourantes, qui voudraient faire appliquer le droit italien. En réalité, il fallait consulter l'ancienne procédure vaudoise gouvernant encore la première instance (<ref-law> et arrêt 4A_555/2014 du 12 mars 2015 consid. 4.1), singulièrement l'art. 3 aCPC-VD. Selon celui-ci, le juge était " lié par les conclusions des parties. Il p[ouvai]t les réduire, mais non les augmenter ni les changer". Aux yeux des magistrats vaudois, cette règle excluait de prononcer une condamnation en euros alors que les conclusions avaient été libellées en francs suisses. Les recourantes, sous l'emprise d'une erreur, ont dénoncé une inapplication du droit étranger plutôt qu'une application arbitraire du droit cantonal; elles se sont par là même privées d'un contrôle par l'autorité de céans (cf. consid. 2.2 supraet arrêt précité 4A_555/2014 consid. 4.2).
5.
En définitive, le recours doit être rejeté aux frais de ses auteurs, qui supporteront solidairement les frais de justice (art. 66 al. 1 et 5 LTF) et verseront à leur adverse partie une indemnité pour ses frais d'avocat (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais de justice, arrêtés à 9'000 fr., sont mis à la charge des recourantes, solidairement entre elles.
3.
Les recourantes sont condamnées solidairement à verser 10'000 fr. de dépens à l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal vaudois.
Lausanne, le 25 avril 2022
Au nom de la I re Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Monti