Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Verfügung vom 20. Dezember 2018 setzte die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich, Zusatzleistungen zur AHV/IV, die Ergänzungsleistungen und Prämienpauschale Krankenversicherung von A._ ab Januar 2019 auf total Fr. 898.- fest. Dagegen liess die Versicherte Einsprache erheben, wobei sie forderte, der Anspruch auf Zusatzleistungen sei neu zu berechnen (Antrag 1) und ihr sei eine Parteientschädigung von Fr. 405.85, einschliesslich Fr. 0.85 Barauslagen für Briefporto, zuzusprechen (Antrag 2). Ferner ersuchte sie um unentgeltliche Rechtsverbeiständung, soweit dies durch die Zusprechung einer Parteientschädigung in beantragter Höhe nicht gegenstandslos werde (Antrag 3). Die Verwaltung berechnete in der Folge mit Verfügung vom 22. März 2019 die Ergänzungsleistungen im Sinne der Anträge der Versicherten neu und schrieb mit gleichentags erlassenem Einspracheentscheid das Einspracheverfahren infolge Gegenstandslosigkeit ab.
A.b. Die hiergegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 21. August 2019 in dem Sinne gut, dass es den angefochtenen Einspracheentscheid aufhob und die Verwaltung anwies, die Anträge gemäss Ziff. 2 und 3 der Einsprache beförderlich zu prüfen und darüber baldmöglichst zu entscheiden (Dispositiv-Ziff. 1). Das Verfahren sei kostenlos (Dispositiv-Ziff. 2). Der Beschwerdeführerin werde keine Prozessentschädigung zugesprochen (Dispositiv-Ziff. 3).
A.c. Daraufhin entschied die Verwaltung mit unangefochten gebliebenem Einspracheentscheid vom 30. Oktober 2019, die Einsprache werde gutgeheissen. Die Verfügung vom 22. März 2019 ersetze jene vom 20. Dezember 2018. Das Begehren um Ausrichtung einer Parteientschädigung und jenes um Einsetzung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands würden abgewiesen.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheit (vom 28. November 2019 [Postaufgabe]) lässt A._ folgende Anträge stellen:
"1. 2. 3. 4. 5. 6. Die Ziffer 3 des Dispositivs des Urteils ZL.2019.00025 des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 21. August 2019 ist aufzuheben. Die Sache ist an die Vorinstanz mit der Anweisung, der Beschwerdeführerin das rechtliche Gehör zu gewähren und neu über den Anspruch auf eine Parteientschädigung für das Beschwerdeverfahren vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zu entscheiden, zurückzuweisen. Eventualiter ist die Sache an die Vorinstanz mit der Anweisung, der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung für das Beschwerdeverfahren vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zuzusprechen, zurückzuweisen. Subeventualiter ist der Beschwerdeführerin nach Einsicht in die der Beschwerde vom 25. April 2019 beigelegte Aufstellung des Aufwands des Rechtsvertreters und Schätzung des Aufwands für die Stellungnahme vom 1. Juli 2019 zur Vernehmlassung der Beschwerdeführerin vom 3. Juni 2019 und für das Lesen der Verfügungen der Vorinstanz eine angemessene Parteientschädigung für das Beschwerdeverfahren vor dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zuzusprechen. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen. Eventualiter ist darauf zu verzichten Gerichtskosten zu erheben. Subeventualiter ist die Beschwerdeführerin von der Bezahlung de Gerichtskosten zu befreien. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit einer Parteientschädigung in der praxisgemässen Höhe angemessen zu entschädigen. Eventualiter ist der Beschwerdeführerin aus der Gerichtskasse eine angemessene Parteientschädigung auszurichten."

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 555 mit Hinweisen).
1.1. Angefochten ist die Verweigerung einer Prozessentschädigung im Entscheid vom 21. August 2019, mit dem der Einspracheentscheid vom 22. März 2019 aufgehoben und die Beschwerdegegnerin angewiesen wurde, die Anträge gemäss Ziff. 2 und 3 der Einsprache beförderlich zu prüfen und darüber baldmöglichst zu entscheiden (Sachverhalt lit. A.b). Dieser Entscheid stellt einen Zwischenentscheid dar (<ref-ruling> E. 3.2 S. 607; <ref-ruling> E. 2 S. 647 f.; Urteil 8C_477/2019 vom 19. September 2019 E. 2.3), der gemäss <ref-law> im Nachgang zu dem aufgrund des Rückweisungsentscheids neu ergehenden Endentscheids in der Sache angefochten werden kann (<ref-ruling> E. 3.3.2 S. 557 f. mit Hinweisen).
1.2. Im vorliegenden Fall hat die Beschwerdegegnerin mit - für die Kostenfolge fristauslösenden und in der Sache unangefochten gebliebenen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3 S. 366 f.; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 558) - Einspracheentscheid vom 30. Oktober 2019 über den Leistungsanspruch und die Parteientschädigung für das Einspracheverfahren entschieden. Damit ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten betreffend die Parteientschädigung gemäss dem Entscheid vom 21. August 2019 rechtzeitig erfolgt, weshalb darauf einzutreten ist.
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>).
3.
3.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdegegnerin habe das mit der Einsprache gestellte Begehren um Zusprache einer Parteientschädigung und das Gesuch um unentgeltliche Rechtsvertretung nicht beurteilt. Das Untätigbleiben der Beschwerdegegnerin in dieser Sache stelle eine formelle Rechtsverweigerung dar. Das kantonale Gericht hob deshalb den Einspracheentscheid vom 22. März 2019 auf und wies die Beschwerdegegnerin an, über diese Anträge zu befinden. Sie sprach der Beschwerdeführerin mit Blick auf § 7 Abs. 1 und § 34 Abs. 3 des kantonalzürcherischen Gesetzes über das Sozialversicherungsgericht vom 7. März 1993 (GSVGer; LS 212.81) aber keine Parteientschädigung zu, denn es gehe aus einer Telefonnotiz der Beschwerdegegnerin vom 7. Mai 2019 hervor, dass die Beschwerdeführerin einzig darauf abzielte, vom kantonalen Gericht eine Rückweisung bezüglich der nicht beurteilten Begehren zu erhalten und eine Prozessentschädigung zu kassieren. Dieses Vorgehen verdiene keinen Rechtsschutz, habe doch der Beschwerdeführerin von Anfang an klar sein müssen, dass ihre Anträge - selbst wenn sie richtigerweise im Einspracheverfahren behandelt worden wären - chancenlos gewesen wären. Entsprechende Begehren seien in früheren Verfahren zwischen denselben Prozessparteien und Rechtsvertretung vom Bundesgericht und kantonalen Gericht abgewiesen worden.
3.2. Die Beschwerdeführerin bringt dagegen zunächst vor, das kantonale Gericht habe den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es ihr die ihr unbekannte Notiz vom 7. Mai 2019 nicht zugestellt habe. Sie habe keine Möglichkeit gehabt, dazu Stellung zu nehmen. Weiter habe die Vorinstanz ihr trotz Obsiegens keine Parteientschädigung zugesprochen und damit gegen <ref-law> verstossen. Der Anspruch auf Parteientschädigung richte sich ausschliesslich nach Bundesrecht. Ihre Beschwerde sei zudem nicht rechtsmissbräuchlich gewesen, denn diese habe nicht einzig auf eine Parteientschädigung abgezielt. Die Erfolgsaussichten in der Sache, welche auf Mutmassungen der Vorinstanz beruhten, bildeten keinen Grund eine Parteientschädigung zu verweigern.
4.
4.1. Gemäss <ref-law> haben die Parteien in Verfahren vor Gerichts- und Verwaltungsinstanzen Anspruch auf rechtliches Gehör. Das rechtliche Gehör dient einerseits der Sachaufklärung, andererseits stellt es ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht beim Erlass eines Entscheides dar, welcher in die Rechtsstellung des Einzelnen eingreift. Dazu gehört insbesondere das Recht des Betroffenen, sich vor Erlass des Entscheides zur Sache zu äussern, Einsicht in die Akten zu nehmen und an der Erhebung wesentlicher Beweise entweder mitzuwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis zu äussern, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen. Der Anspruch auf rechtliches Gehör umfasst als Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (Urteil 8C_158/2009 vom 2. September 2009 E. 5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; <ref-ruling> E. 3.2 S. 494; <ref-ruling> E. 2.2 S. 504 f., je mit Hinweisen). Aus Inhalt und Funktion des Akteneinsichtsrechts als Teil des Anspruchs auf rechtliches Gehör folgt nach der Rechtsprechung, dass grundsätzlich sämtliche beweiserheblichen Akten den Beteiligten gezeigt werden müssen. Denn es gehört zum Kerngehalt des rechtlichen Gehörs, dass der Adressat eines Entscheids vor Erlass eines für ihn nachteiligen Verwaltungsaktes zum Beweisergebnis Stellung nehmen kann. Das Akteneinsichtsrecht ist somit eng mit dem Äusserungsrecht verbunden, gleichsam dessen Vorbedingung. Der Betroffene kann sich nur dann wirksam zur Sache äussern und geeignete Beweise führen oder bezeichnen, wenn ihm die Möglichkeit eingeräumt wird, die Unterlagen einzusehen, auf welche sich die Behörde gestützt hat. Das Akteneinsichtsrecht bezieht sich somit auf sämtliche verfahrensbezogenen Akten, die geeignet sind, Grundlage des Entscheids zu bilden (<ref-ruling> E. 3.1 und 3.2 S. 388 f.).
4.2. Das kantonale Gericht stellte der Beschwerdeführerin die Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin, worin diese ihr vorwarf, die Beschwerde sei rechtsmissbräuchlich, mit Verfügung vom 4. Juni 2019 zur Stellungnahme zu. Zudem wies es die Beschwerdeführerin darauf hin, sie könne die vollständigen Prozessakten am Gericht einsehen. Aus der Vernehmlassung geht hervor, dass die Beschwerdegegnerin verschiedene Akten (act. 1-70 und Einlegerakten 3/3-6) ins Recht gelegt hat. Aufgrund der konkreten Nennung der Anzahl der eingereichten Dokumente in der Vernehmlassung hätte die rechtskundig nicht anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin erkennen müssen, dass sie nicht über sämtliche Unterlagen verfügte. Bei dieser Ausgangslage durfte von ihr verlangt werden, dass sie aktiv wird (vgl. SVR 2013 IV Nr. 30 S. 87, 8C_978/2012 E. 3.3). Von ihrem Recht auf Akteneinsicht machte sie, soweit ersichtlich, aber dennoch keinen Gebrauch. Die Beschwerdeführerin hat es somit ihrem eigenen passiven Verhalten zuzuschreiben, dass sie nicht sämtliche Prozessakten, inkl. der Aktennotiz der Beschwerdegegnerin vom 7. Mai 2019 kannte und sich entsprechend auch nicht dazu äussern konnte. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör durch das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich ist darin nicht zu erblicken.
5.
Weiter ist strittig, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung zusprach, obwohl diese im Verfahren obsiegt hat.
5.1.
5.1.1. Das Bundesgericht prüft frei, ob die vorinstanzliche Festsetzung der Parteientschädigung den in <ref-law> statuierten bundesrechtlichen Anforderungen genügt, darüber hinaus nur, ob die Anwendung des kantonalen Rechts zu einer in der Beschwerde substanziiert gerügten (<ref-law>) Verfassungsverletzung geführt hat, wegen seiner Ausgestaltung oder aufgrund des Ergebnisses im konkreten Fall.
5.1.2. Gemäss <ref-law> hat die obsiegende beschwerdeführende Partei Anspruch auf Ersatz der Parteikosten. Diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen. Im Übrigen ist die Bemessung der Parteientschädigung für das erstinstanzliche Beschwerdeverfahren in Sozialversicherungsangelegenheiten dem kantonalen Recht überlassen (Art. 61 Ingress ATSG). Laut § 34 Abs. 3 GSVGer bemisst sich die Höhe der gerichtlich festzusetzenden Entschädigung nach der Bedeutung der Streitsache, der Schwierigkeit des Prozesses und dem Mass des Obsiegens, jedoch ohne Rücksicht auf den Streitwert.
5.1.3. Die Zusprache einer Parteientschädigung seht unter dem Vorbehalt des allgemeinen sozialversicherungsrechtlichen Verfahrensgrundsatzes, dass eine Partei nicht in Mutwilligkeit oder Leichtsinn verfallen ist (<ref-ruling> E. 1a S. 323; Urteil 9C_148/2011 vom 29. April 2011 E. 2).
Die Begriffe der Mutwilligkeit und des Leichtsinns gehören dem Bundesrecht an. Ihre Tatbestände können als erfüllt betrachtet werden, wenn eine Partei Tatsachen wider besseres Wissen als wahr behauptet oder ihre Stellungnahme auf einen Sachverhalt abstützt, von dem sie bei der ihr zumutbaren Sorgfalt wissen müsste, dass er unrichtig ist. Mutwillig ist ferner das Festhalten an einer offensichtlich gesetzwidrigen Auffassung. Leichtsinnige oder mutwillige Prozessführung liegt aber so lange nicht vor, als es der Partei darum geht, einen bestimmten, nicht als willkürlich erscheinenden Standpunkt durch das Gericht beurteilen zu lassen. Dies gilt auch dann, wenn das Gericht die Partei im Laufe des Verfahrens von der Unrichtigkeit ihres Standpunktes überzeugen und zu einem entsprechenden Verhalten (Beschwerde- oder Klagerückzug) veranlassen will. Die Erhebung einer aussichtslosen Beschwerde darf einer leichtsinnigen oder mutwilligen Beschwerdeführung nicht gleichgesetzt werden. Das Merkmal der Aussichtslosigkeit für sich allein lässt einen Prozess noch nicht als leichtsinnig oder mutwillig erscheinen. Vielmehr bedarf es zusätzlich des subjektiven - tadelnswerten - Elements, dass die Partei die Aussichtslosigkeit bei der ihr zumutbaren vernunftgemässen Überlegung ohne weiteres erkennen konnte, den Prozess aber trotzdem führt. Mutwillige Prozessführung kann ferner darin begründet liegen, dass eine Partei eine ihr in dieser Eigenschaft obliegende Pflicht (Mitwirkungs- oder Unterlassungspflicht) verletzt (<ref-ruling> E. 1b S. 324; Urteil 8C_387/2017 vom 18. Dezember 2017 E. 4.2 mit Hinweis auf Urteil 8C_903/2008 vom 27. März 2009 E. 4.1, zusammengefasst in Anwaltsrevue 6-7/2009 S. 333).
5.2.
5.2.1. Der Beschwerdeführerin und ihrem Vertreter wurden in Bestätigung und Präzisierung von <ref-ruling> im Urteil 9C_877/2017 vom 28. Mai 2018 E. 8 eröffnet, dass eine Parteientschädigung für das Einspracheverfahren nach <ref-law> einer obsiegenden, mittellosen Partei zu gewähren ist, welche im Falle des Unterliegens die unentgeltliche Verbeiständung (<ref-law>) hätte beanspruchen können. Als unentgeltlicher Rechtsbeistand im Sinne dieser Bestimmung seien nur patentierte Anwältinnen und Anwälte zugelassen, die - soweit sie nicht bei einer anerkannten gemeinnützigen Organisation angestellt seien - sinngemäss die persönlichen Voraussetzungen für einen Registereintrag im Sinne von Art. 8 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA) erfüllten. Das Bundesgericht hielt in diesem Urteil weiter fest, der Vertreter der Beschwerdeführerin erfülle diese Voraussetzungen unstreitig nicht und entsprechend verneinte es einen Entschädigungsanspruch der Beschwerdeführerin betreffend ihres Vertreters Georg Merkel für das Einspracheverfahren.
5.2.2. Die Beschwerdeführerin und ihr Vertreter ignorierten diesen Entscheid in ihrer Einsprache vom 1. Februar 2019. Sie begründeten losgelöst davon, dass nach dem Verursacherprinzip eine Entschädigung geschuldet sei. Diese Begründung ist v or der klaren Rechtsprechung untauglich, weshalb die Anträge der Beschwerdeführerin auf Parteientschädigung und unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das Einspracheverfahren als aussichtslos zu qualifizieren waren.
5.2.3. Die weitere Argumentation, mit welcher die Beschwerdeführerin die Rechtsprechung in appellatorischer Weise in Frage stellt, hatte sie in der Einsprache noch nicht vorgebracht. Sie scheint prozesstaktisch motiviert, nachdem ihr die Beschwerdegegnerin Rechtsmissbrauch vorwarf.
Diese nachgeschobenen Ergänzungen zur Rechtslage in der vor Vorinstanz erstatteten Replik und vor Bundesgericht eingereichten Beschwerde führen jedoch auch zu keinem anderen Ergebnis. Entgegen der Beschwerdeführerin hat das Bundesgericht bereits darüber entschieden, dass als unentgeltlicher Rechtsbeistand im Sinne von <ref-law> ausschliesslich patentierte Anwältinnen und Anwälte bestimmt werden können, welche - soweit sie nicht bei einer anerkannten gemeinnützigen Organisation angestellt sind - sinngemäss die persönlichen Voraussetzungen für einen Registereintrag im Sinne von <ref-law> erfüllen (<ref-ruling> E. 5.1.4 S. 205 f.; SVR 2019 IV Nr. 76 S. 243, 9C_315/2018 E. 9.3.2). Darauf wurde die Beschwerdeführerin und ihr Vertreter im sie betreffenden Urteil 9C_877/2017 vom 28. Mai 2018 E. 8.1 auch aufmerksam gemacht. Soweit die Beschwerdeführerin Bundesgerichtsurteile anruft, in denen ein im Ausland (EU) zugelassener Anwalt als unentgeltlicher Rechtsvertreter vor Bundesgericht bestellt worden war, ist dies unbehelflich, macht die Beschwerdeführerin doch nicht geltend, dass bezüglich ihres Vertreters - abgesehen des Vertrauensverhältnisses - eine vergleichbare Situation vorliegt. Die Beschwerdeführerin hatte daher keinen Anlass davon auszugehen, die Verwaltung oder die Gerichte würde ihren Anträgen auf Parteientschädigung oder unentgeltliche Rechtsverbeiständung für das Einspracheverfahren stattgeben. Wie sie selbst darlegte, hat die Verwaltung zuvor ihre entsprechenden Anträge auch stets abgelehnt, was vom kantonalen Gericht mehrfach und vom Bundesgericht im obgenannten Urteil als gesetzmässig bestätigt worden war. Die vorinstanzlichen Erwägungen zu den Erfolgsaussichten beruhen somit nicht bloss auf Spekulationen. Vielmehr hätten auch die Beschwerdeführerin und ihr rechtskundiger Vertreter die Aussichtslosigkeit ihrer Anträge erkennen müssen.
5.2.4. Inwiefern vor diesem Hintergrund und der Aktennotiz vom 7. Mai 2019 die vorinstanzliche Feststellung, die Beschwerde der Beschwerdeführerin an das kantonale Gericht habe einzig darauf abgezielt, eine Prozessentschädigung erhältlich zu machen, willkürlich sein soll, zeigt die Beschwerdeführerin - auch wenn sie diese auf Tatsachen beruhende Schlussfolgerung bestreitet - nicht rechtsgenüglich auf (<ref-law>; Urteil 8C_31/2007 vom 25. September 2007 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>). Dies ist auch nicht ersichtlich. Diese Tatsachenfeststellung ist deshalb für das Bundesgericht verbindlich.
5.2.5. An einer gerichtlichen Rückweisung an die Verwaltung zur Beurteilung von aussichtslosen Anträgen besteht für eine beschwerdeführende Person objektiv betrachtet kein berechtigtes Interesse (vgl. Urteil 2P.83/2003 vom 27. März 2003 E. 2.1 mit Hinweisen). Vielmehr hat die Beschwerdeführerin mit ihrem Vorgehen versucht, eine der Beschwerdegegnerin unterlaufene Panne in treuwidriger Weise für ihre Zwecke im Sinne des Erstreitens einer Prozessentschädigung im kantonalen Gerichtsverfahren auszunutzen. Ein derartiges Prozessieren ist mutwillig und verdient, wie die kantonale Instanz zutreffend feststellte, keinen Rechtsschutz. Entsprechend fehlte es der Beschwerde an das kantonale Gericht (vgl. Sachverhalt lit. A.b) von vornherein an einem schutzwürdigen Interesse, was zu einem Nichteintreten führt, der unmittelbar anfechtbar gewesen wäre. Im Ergebnis ändert sich jedoch nichts: Der angefochtene Entscheid mit Verweigerung einer Parteientschädigung für das kantonale Verfahren verletzt kein Bundesrecht.
6.
Die Beschwerdeführerin unterliegt, weshalb sie die Gerichtskosten zu tragen hat. Umständehalber wird auf eine Erhebung verzichtet (<ref-law>).
Ausgangsgemäss hat sie keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>), die im vorliegenden Fall herangezogene Rechtsanwendung zum mutwilligen Prozessieren rechtfertigt entgegen dem in der Beschwerde Dargelegten kein Abweichen vom Grundsatz.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 5. Mai 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli