Faits :
A.
En 1999, A._, ressortissante yvoirienne, née en 1971, a rencontré à U._ A.B._, ressortissant suisse, né en 1965. Elle était mère d'une petite fille, C._, de nationalité française, née en 1997. Elle a donné naissance à leur premier enfant commun, B.B._, en 2000 à V._. En 2002, A._ est venue à W._ (France), à proximité de la frontière suisse, afin de rejoindre son compagnon qui travaillait à U._. Le 5 avril 2003, ils se sont mariés en Valais. Le 20 mars 2004, A._ a mis au monde un deuxième enfant commun, C.B._.
Le 6 juin 2010, A._ a déposé une demande de naturalisation facilitée fondée sur son mariage avec un Suisse de l'étranger. En juillet 2010, elle a fait part de sa volonté d'inclure sa fille C._ dans ladite demande. Le 5 juillet 2010, la prénommée et son époux ont contresigné une déclaration écrite au terme de laquelle ils confirmaient vivre en communauté conjugale effective et stable et n'envisageaient ni séparation, ni divorce. L'attention de l'intéressée était en outre attirée sur le fait que la naturalisation facilitée ne pouvait être octroyée lorsque, avant ou pendant la procédure de naturalisation, l'un des conjoints demandait le divorce ou la séparation ou que la communauté conjugale effective n'existait pas. Si cet état de fait était dissimulé, la naturalisation facilitée pouvait ultérieurement être annulée, conformément au droit en vigueur.
Par décision du 8 août 2011, entrée en force le 16 septembre 2011, l'intéressée a été mise au bénéfice d'une naturalisation facilitée.
B.
En date du 24 décembre 2012, A.B._ a introduit une requête en divorce, prononcé par jugement du 14 mars 2016. Le 20 septembre 2016, le consulat général de Suisse à Lyon a transmis au Secrétariat d'Etat aux migrations (ci-après: SEM) une copie dudit jugement de divorce.
Par courrier du 6 octobre 2016, le SEM a indiqué à l'intéressée qu'il examinait s'il y avait lieu d'annuler sa naturalisation facilitée, compte tenu notamment du fait qu'elle avait été suivie, depuis 2005 déjà, pour des troubles anxiodépressifs réactionnels à une conjugopathie, qu'elle avait été hospitalisée en urgence pour risque suicidaire en 2008 et, qu'à cette occasion, elle avait évoqué les humiliations verbales répétées dont elle était victime de la part de son époux.
A._ a pris position le 31 octobre 2016 en indiquant que mises à part les violences conjugales qu'elle avait endurées, son ex-mari s'était permis - au courant de l'année 2011 - d'aller rejoindre, avec leurs propres enfants, sa maîtresse habitant à U._.
Par décision du 3 août 2017, le SEM a prononcé, avec l'assentiment des autorités valaisannes, l'annulation de la naturalisation facilitée accordée à A._.
C.
Le Tribunal administratif fédéral a confirmé cette décision dans un arrêt rendu le 8 juillet 2019. Il a considéré en particulier que l'enchaînement chronologique des événements fondait la présomption que les liens conjugaux ne présentaient pas, au moment déterminant, la stabilité et l'intensité suffisantes pour retenir que le couple envisageait réellement une vie future commune, le laps de temps de 22 mois, entre la signature de la déclaration de vie commune et la séparation des époux, se trouvait en dessous du seuil des deux ans; si l'on tenait compte du fait que la naturalisation facilitée avait été accordée plus d'une année après la signature de la déclaration, soit en août 2011, il s'était donc écoulé seulement 10 mois entre l'octroi de la naturalisation facilitée et la séparation des époux; les éléments avancés par l'intéressée n'étaient pas susceptibles de renverser cette présomption.
D.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler cet arrêt, de réformer la décision dans le sens des considérants et, subsidiairement, de renvoyer la cause au SEM pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle requiert en outre l'assistance judiciaire gratuite.
Le Tribunal administratif fédéral renonce à prendre position. Le SEM conclut au rejet du recours et ne s'oppose pas à l'octroi de l'effet suspensif.
Par ordonnance du 18 septembre 2019, le Président de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif.

Considérant en droit :
1.
Dirigé contre la décision du Tribunal administratif fédéral qui confirme l'annulation de la naturalisation facilitée accordée à la recourante, le recours est recevable comme recours en matière de droit public (art. 82 let. a et 86 al. 1 let. a LTF). Le motif d'exclusion de l'<ref-law> n'entre pas en ligne de compte, dès lors qu'il s'agit en l'espèce de naturalisation facilitée et non pas de naturalisation ordinaire. Pour le surplus, la recourante a la qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>. Il convient donc d'entrer en matière sur le recours.
2.
L'entrée en vigueur, au 1 er janvier 2018, de la nouvelle loi sur la nationalité suisse du 20 juin 2014 (LN; RS 141.0) a entraîné l'abrogation de la loi fédérale du 29 septembre 1952 sur l'acquisition et la perte de la nationalité suisse (aLN), conformément à l'art. 49 LN (en relation avec le chiffre I de son annexe). En vertu de la réglementation transitoire prévue par l'art. 50 LN, l'acquisition et la perte de la nationalité suisse sont régies par le droit en vigueur au moment où le fait déterminant s'est produit. Dans la présente cause, tous les faits se sont déroulés sous l'empire de l'ancien droit de sorte que l'aLN s'applique.
3.
La recourante conteste avoir obtenu la naturalisation par des déclarations mensongères. Elle reproche au Tribunal administratif fédéral de s'être livré à une constatation arbitraire des faits et d'avoir rendu une décision contraire à l'art. 41 aLN.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 L TF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Si le recourant entend s'écarter de ces constatations de fait, il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> seraient réalisées et la correction du vice susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 144 s.). A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'arrêt attaqué (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 23; 141 IV 416 consid. 4 p. 421). En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques appellatoires concernant l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves opérée par l'autorité précédente (ATF 137 Il 353 consid. 5.1 p. 356; cf. aussi ATF 140 Ill 264 consid. 2.3).
3.2. La recourante soutient qu'elle n'a fait aucune déclaration mensongère. Elle admet le constat de violences physiques et psychiques infligées par son époux avant la demande de naturalisation facilitée, mais soutient qu'il est arbitraire de déduire de l'existence de ces violences l'absence de volonté matrimoniale au moment de la signature de la déclaration. Ce faisant, elle n'indique toutefois pas en quoi le Tribunal administratif fédéral aurait établi les faits de manière arbitraire. En particulier, l'instance inférieure a souligné que, par décision du 8 août 2011, la nationalité suisse a été accordée à la recourante. Or, moins d'un an plus tard, soit le 14 mai 2012, elle a quitté le domicile conjugal avec ses enfants et déposé plainte contre son époux en raison des graves violences dont elle avait été victime. Elle a toutefois été en mesure de faire face à ces agressions. En outre, la recourante était bien consciente des graves difficultés conjugales puisque, comme l'a relevé l'autorité inférieure, elle a prétendu ne pas avoir dissimulé de faits essentiels aux autorités puisqu'on ne lui avait pas posé de question à ce sujet. Le Tribunal administratif fédéral a également mis l'accent sur le fait que l'attitude tout à fait inadmissible de l'époux constituait une circonstance suffisamment importante pour nier la présence d'un couple tourné vers l'avenir lors de l'octroi de la naturalisation facilitée. Enfin, l'autorité inférieure a indiqué que le fait que les années de mariage précédant la requête se soient déroulées ou non de manière harmonieuse, n'est pas pertinent pour déterminer si, au moment de la déclaration et du prononcé de la naturalisation, le requérant a mensongèrement déclaré vivre en communauté stable avec son époux. Le Tribunal administratif fédéral n'a pas établi les faits de façon arbitraire. La recourante ne conteste dès lors pas réellement l'établissement des faits en tant que tels, mais plutôt leur appréciation juridique. Il s'agit d'une question de droit qui sera examinée avec le fond. Le grief de constatation inexacte des faits est donc infondé.
4.
La recourante conteste avoir obtenu la naturalisation par des déclarations mensongères et soutient que la présomption résultant de l'enchaînement rapide des faits n'est pas applicable car elle est contraire à l'art. 41 al. 1 aLN et viole les principes de la légalité (art. 5 al. 1 Cst., de la présomption de bonne foi de l'administré (art. 9 Cst.), de la présomption d'innocence (art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH) ainsi que du respect de la dignité humaine (art. 7 Cst. et 8 CEDH).
4.1. Conformément à l'art. 41 al. 1 aLN, le SEM peut, avec l'assentiment de l'autorité du canton d'origine, annuler la naturalisation facilitée obtenue par des déclarations mensongères ou par la dissimulation de faits essentiels. Pour qu'une naturalisation facilitée soit annulée, il ne suffit pas qu'elle ait été accordée alors que l'une ou l'autre de ses conditions n'était pas remplie; il faut qu'elle ait été acquise grâce à un comportement déloyal et trompeur. S'il n'est point besoin que ce comportement soit constitutif d'une escroquerie au sens du droit pénal, il est nécessaire que l'intéressé ait donné sciemment de fausses informations à l'autorité ou qu'il l'ait délibérément laissée dans l'erreur sur des faits qu'il savait essentiels (ATF 140 11 65 consid. 2.2 p. 67). Tel est notamment le cas si le requérant déclare vivre en communauté stable avec son conjoint alors qu'il envisage de se séparer une fois obtenue la naturalisation facilitée; peu importe que son mariage se soit ou non déroulé jusqu'ici de manière harmonieuse (cf. arrêts 1C_601/2017 du 1 er mars 2018 consid. 3.1.1; 1C_588/2017 du 30 novembre 2017 consid. 5.1).
La nature potestative de l'art. 41 al. 1 aLN confère une certaine liberté d'appréciation à l'autorité compétente qui doit toutefois s'abstenir de tout abus dans l'exercice de celle-ci. Commet un abus de son pouvoir d'appréciation l'autorité qui se fonde sur des critères inappropriés, ne tient pas compte de circonstances pertinentes ou rend une décision arbitraire, contraire au but de la loi ou au principe de la proportionnalité (ATF 129 Ill 400 consid. 3.1 p. 403). D'après la jurisprudence, la notion de communauté conjugale suppose non seulement l'existence formelle d'un mariage, mais encore une véritable communauté de vie des conjoints; tel est le cas s'il existe une volonté commune et intacte de ceux-ci de maintenir une union conjugale stable; une séparation survenue peu après l'octroi de la naturalisation constitue un indice de l'absence de cette volonté lors de l'obtention de la citoyenneté suisse (ATF 135 Il 161 consid. 2 p. 165; 130 Il 482 consid. 2 p. 484; 128 Il 97 consid. 3a p. 98).
4.2. La procédure administrative fédérale est régie par le principe de la libre appréciation des preuves (art. 40 de la loi fédérale de procédure civile fédérale du 4 décembre 1947 [PCF; RS 273], applicable par renvoi de l'<ref-law> [RS 172.021]). Ce principe vaut également devant le Tribunal administratif fédéral (<ref-law> [RS 173.32]). L'administration supporte le fardeau de la preuve lorsque la décision intervient, comme en l'espèce, au détriment de l'administré. Cela étant, la jurisprudence admet dans certaines circonstances que l'autorité puisse se fonder sur une présomption. C'est notamment le cas pour établir que le conjoint naturalisé a menti lorsqu'il a déclaré former une union stable, dans la mesure où il s'agit d'un fait psychique lié à des éléments relevant de la sphère intime, souvent inconnus de l'administration et difficiles à prouver (ATF 135 Il 161 consid. 3 p. 166; 130 Il 482 consid. 3.2 p. 485). Partant, si l'enchaînement rapide des événements fonde la présomption de fait que la naturalisation a été obtenue frauduleusement, il incombe alors à l'administré de renverser cette présomption en raison, non seulement de son devoir de collaborer à l'établissement des faits (<ref-law>; cf. ATF 135 Il 161 consid. 3 p. 166; 132 Il 113 consid. 3.2 p. 115 s.), mais encore de son propre intérêt (<ref-ruling> cons id. 3.2 p. 485 s.). Le fait de taxer de plus ou moins rapide un enchaînement de circonstances pertinentes pour l'issue d'un litige relève du pouvoir d'appréciation du juge, opération dans le cadre de laquelle le Tribunal fédéral n'intervient qu'en cas d'excès de ce pouvoir (cf. arrêt 1C_172/2012 du 11 mai 2012 consid. 2.3).
S'agissant d'une présomption de fait, qui ressortit à l'appréciation des preuves, elle ne modifie pas le fardeau de la preuve. Certes, la procédure d'annulation est soumise à la procédure administrative fédérale, en particulier au principe de l'instruction d'office (<ref-law>). Lors de l'annulation d'une naturalisation pour défaut de communauté conjugale, comme l'autorité doit déterminer des faits difficiles à établir, il s'agit de se baser sur la vraisemblance des constatations en se fondant sur l'expérience générale de la vie (cf. ATF 135 Il 161 consid. 3 p. 166). L'administré n'a pas besoin, pour la renverser, de rapporter la preuve contraire du fait présumé, à savoir faire acquérir à l'autorité la certitude qu'il n'a pas menti; il suffit qu'il parvienne à faire admettre l'existence d'une possibilité raisonnable qu'il n'ait pas menti en déclarant former une communauté stable avec son conjoint. Il peut le faire en rendant vraisemblable, soit la survenance d'un événement extraordinaire susceptible d'expliquer une détérioration rapide du lien conjugal, soit l'absence de conscience de la gravité de ses problèmes de couple et, ainsi, l'existence d'une véritable volonté de maintenir une union stable avec son conjoint lorsqu'il a signé la déclaration (ATF 135 Il 161 consid. 3 p. 165 s. et les arrêts cités).
4.3. En l'espèce, le Tribunal administratif fédéral a considéré que le laps de temps séparant la déclaration commune (5 juillet 2010), l'octroi de la naturalisation facilitée (8 août 2011), la requête en divorce (24 décembre 2012) était de nature à fonder la présomption que cette naturalisation avait été acquise au moyen de déclarations mensongères. En effet, même si on se trouvait à la limite supérieure, il n'en restait pas moins vrai que ce laps de temps écoulé entre la signature de la déclaration de vie commune et la séparation du couple se trouvait en dessous du seuil de deux ans permettant d'appliquer la présomption jurisprudentielle; cette appréciation s'imposait d'autant plus que la naturalisation facilitée avait été accordée plus d'une année après la signature de la déclaration et qu'il s'était donc écoulé seulement 10 mois entre l'octroi de la naturalisation facilitée et la séparation des époux.
Au demeurant, l'instance précédente n'en est pas restée au constat que l'enchaînement chronologique des faits conduisait à cette présomption. Elle a ajouté que celle-ci était renforcée par de nombreux éléments. Elle a souligné que le couple connaissait de sérieuses difficultés depuis plusieurs années avant la séparation. Elle fait en particulier état du certificat médical du 22 février 2012 de la Dresse D._ - qui suit l'intéressée depuis 2003 - relatant une situation conflictuelle avec son mari depuis 2005. Elle souligne que, cette même année, un traitement à base d'antidépresseurs avait été mis en place pour cause de troubles anxio-dépressifs réactionnels à une conjugopathie. Elle relève également qu'en 2008, la recourante a été hospitalisée en urgence pour risque suicidaire et avait fait part, à cette occasion, des humiliations verbales dont elle était victime et qu'en 2009, plusieurs consultations pour symptômes anxieux majeurs réactionnels avaient eu lie u. Elle s'appuie également sur le fait que, le 3 juin 2009, des coups et blessures avaient été constatés suite à une altercation avec son époux. L'autorité inférieure s'est également fondée sur l'examen médicopsychologique des enfants et des parents mené lors de la procédure de divorce en France. Elle met en exergue les violences verbales et physiques subies de la part de son ex-époux, y compris devant ses enfants, durant de nombreuses années, ainsi que le fait que B.B._ refusait de voir son père en raison du comportement humiliant que ce dernier adoptait envers sa mère en l'insultant devant toute la famille, évoquant aussi des scènes de pugilat. C.B._ refusait également de voir son père pour des motifs identiques. Selon l'instance précédente, il ressort de l'ensemble de ces déclarations que ce comportement gravement répréhensible était constant depuis 2005 déjà.
L'autorité inférieure pouvait, sur la base des éléments précités, arriver à la conclusion que la communauté conjugale des époux n'était ni stable, ni tournée vers l'avenir au moment de la signature de la déclaration de vie commune puis au moment de l'octroi de la nationalité et que le couple était en proie à d'importantes difficultés de longue date (cf. arrêt entrepris consid. 8.4). Ainsi, l'argument défendu par la recourante selon lequel l'autorité inférieure fonderait sa décision sur la base d'une présomption jurisprudentielle violant les principes de la légalité, de la protection de la bonne foi, de la présomption d'innocence et du respect de la dignité humaine tombe à faux. L'instance précédente a pris en compte l'ensemble de ces éléments et n'a pas excédé son pouvoir d'appréciation en considérant que l'union formée par les intéressés n'était ni stable, ni tournée vers l'avenir au moment déterminant (cf. arrêt 1C_588/2017 du 30 novembre 2017 consid. 5.3.1).
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté. Dans la mesure où le recours paraissait d'emblée voué à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée pour la procédure devant le Tribunal fédéral (art. 64 al. 1 et 2 LTF). A titre exceptionnel, il est renoncé à percevoir des frais judiciaires pour tenir compte de la situation financière de la recourante (art. 66 al. 1, 2ème phrase, LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire de la recourante, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour VI.
Lausanne, le 8 juin 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Arn