Faits :
A.
A._ percevait une rente de vieillesse de l'assurance-vieillesse et survivants assortie des rentes complémentaires pour son fils et sa fille. La Caisse cantonale genevoise de compensation (ci-après: la caisse) a mis fin au paiement de la rente complémentaire pour le fils dès le 1er juillet 2018 à défaut de la production d'une attestation d'étude valable et a réclamé à l'assuré la restitution de 940 fr. versés à tort pour le mois de juillet 2018 (décision du 20 août 2018). Elle a confirmé sa décision et a supprimé l'effet suspensif à un éventuel recours (décision sur opposition du 10 avril 2019). A._ a recouru contre cette décision auprès de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève le 2 mai 2019. Il a en outre requis de la caisse qu'elle restitue l'effet suspensif à son recours le 6 mai 2019. Etant donné le retard pris par celle-ci pour statuer sur sa requête, il a saisi l'autorité judiciaire d'un recours pour déni de justice le 23 septembre 2019. L'instruction des deux causes a été confiée au Juge B._, juge titulaire de la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice genevoise. L'assuré a demandé la récusation du prénommé le 16 mars 2020.
B.
La Délégation des Juges de la Cour de justice de la République et canton de Genève en matière de récusation a rejeté la demande en récusation (décision du 30 octobre 2020).
C.
Par écriture datée du 2 décembre 2020 (déposée une seconde fois hors délai par l'intermédiaire du Consulat général suisse de Barcelone), A._ interjette un recours en matière de droit public. Il requiert du Tribunal fédéral qu'il prononce la récusation du Juge B._ dans les deux procédures le concernant.

Considérant en droit :
1.
La décision prise par la Délégation des Juges de la Cour de justice genevoise en matière de récusation le 30 octobre 2020 peut faire l'objet d'un recours immédiat au Tribunal fédéral, dans la mesure où il s'agit d'une décision incidente qui porte sur une demande en récusation d'un juge cantonal genevois dans le cadre d'une procédure en matière d'assurance-vieillesse et survivants (cf. art. 82 let. a et art. 92 LTF). Le recourant a qualité pour recourir, dès lors qu'il est l'auteur de la demande en récusation (cf. <ref-law>). Le recours a en outre été interjeté en temps utile (cf. <ref-law>) contre une décision prise par une autorité cantonale de dernière instance (cf. art. 86 al. 1 let. d LTF). Il contient également une motivation suffisante (cf. art. 42 al. 1 et 2 et <ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière sur le recours.
2.
En l'occurrence, est litigieux le bien-fondé de la décision du 30 octobre 2020 par laquelle l'autorité compétente en matière de récusation a rejeté la demande en récusation du Juge B._.
3.
La Délégation des Juges de la Cour de justice genevoise en matière de récusation a abouti à la conclusion que le recourant n'avait invoqué devant elle aucun motif valable de récusation au sens de l'art. 15A de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA; RSG E 5 10). Elle a d'abord considéré que l'éventuelle participation du Juge B._ à une procédure prud'homale au début des années 2000 en qualité d'avocat de la partie adverse à celle représentée par le recourant aurait été un motif de récusation irrecevable car présenté tardivement. Elle a aussi jugé que l'octroi à la caisse d'une double prolongation de délai (représentant moins de cinq semaines en tout) pour répondre au recours était un procédé usuel ne constituant pas une faute procédurale; le dépôt de la réponse deux jours après l'échéance du second délai n'en était pas davantage une dans la mesure où il s'agissait de délais d'ordre dont le non-respect n'était pas sanctionné par la loi. Elle a encore retenu que la convocation à une audience de comparution personnelle ne constituait toujours pas une telle faute dès lors qu'il appartenait à l'autorité de recours d'ordonner les mesures d'instruction qu'elle jugeait utiles à la résolution du litige. Elle a finalement considéré que le retard pris pour statuer sur le recours pour déni de justice n'était pas un indice de partialité. Seule pouvait être imputée au juge instructeur la durée de la procédure à compter du dépôt de ce recours qui présentait un lien de connexité étroit avec le recours ordinaire. Par ailleurs, le retard pris pour trancher ces deux recours n'avantageait pas l'administration au détriment du recourant.
4.
4.1. L'art. 15A al. 1 let. f LPA a la portée d'une clause générale et prévoit que les juges doivent se récuser s'ils peuvent être prévenus de toute autre manière [que les motifs énumérés à l'art. 15A al. 1 let. a à e LPA], notamment en raison d'un rapport d'amitié ou d'inimitié avec une partie ou son représentant.
4.2. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 6 par. 1 CEDH et 30 al. 1 Cst., qui ont de ce point de vue la même portée (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 222; <ref-ruling> consid. 2.2 in fine p. 441), permet de demander la récusation d'un magistrat dont la situation ou le comportement est de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Elle vise à éviter que des circonstances extérieures à la cause ne puissent influencer le jugement en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit ainsi que ces circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat; seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération, les impressions purement individuelles des parties n'étant pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 144).
5.
5.1.
5.1.1. Le recourant reconnaît en premier lieu que le fait que le Juge B._ avait représenté au début des années 2000 la partie adverse de celle qu'il avait lui-même représentée dans un procès particulier ne constitue pas un motif de récusation. Il soutient toutefois que le fait que celui-ci avait adopté à cette époque une "attitude inutilement agressive" est un élément dont il faut tenir compte dans l'appréciation générale bien qu'il ne l'ait jamais invoqué comme grief de récusation.
5.1.2. Cette argumentation est infondée. On ne voit effectivement pas en quoi le fait de ne pas tenir compte d'un argument déclaré en l'occurrence irrecevable et qui n'était au demeurant pas invoqué comme motif de récusation relèverait d'une application arbitraire de l'art. 15A LPA par l'autorité compétente en matière de récusation. De surcroît, l'activité antérieure d'un juge comme avocat ne constituerait un motif de récusation que dans des circonstances particulières que le recourant ne met pas en évidence en l'espèce (cf. arrêt 5P.165/2006 du 21 juillet 2006 consid. 2.4).
5.2.
5.2.1. Le recourant soutient ensuite que l'absence de décision relative à la rente complémentaire pour son fils jusqu'au mois de mars 2020 est un indice de partialité. L'argumentation qu'il développe à ce sujet porte sur une éventuelle méconnaissance du droit de fond par la Délégation des Juges de la Cour de justice genevoise en matière de récusation, lorsqu'elle prétend qu'il pourrait conserver le montant de la rente due à son fils pour le mois de juillet 2018 en cas d'admission du recours. Elle concerne aussi le fait que ladite autorité aurait établi les faits de façon lacunaire en ignorant que ses conclusions portaient sur le droit à la rente complémentaire pour les mois d'août à octobre 2018 et pas seulement sur le remboursement des prestations reçues pour le mois de juillet 2018.
5.2.2. Cet argument n'est pas pertinent. Si des décisions ou des actes de procédure, se révélant ensuite erronés, peuvent fonder une apparence de prévention, seules les erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat et dénotant en outre objectivement que celui-ci est prévenu, justifient de retenir sa partialité (ATF <ref-ruling> consid. 2.3 p. 146 et les références). Or les circonstances invoquées par le recourant - pour autant qu'elles soient fondées ou susceptibles d'influer d'une quelconque manière sur le sort du litige - sont tout à fait étrangères à un comportement possiblement partial du Juge B._. Elles concernent les considérations de l'autorité compétente en matière de récusation à propos du droit ou des faits du litige sur le fond. Elles ne démontrent en tout cas pas que ladite autorité aurait appliqué l'art. 15A LPA de façon arbitraire en retenant que la durée de la procédure ne fondait pas une apparence de prévention dans le cas particulier.
5.3.
5.3.1. L'assuré soutient encore que sa convocation à une audience de comparution personnelle constitue une démarche dilatoire, contraire à l'art. 29 al. 1 Cst., démontrant la prévention du Juge B._ envers lui puisque les documents produits pendant la procédure permettaient de trancher la question litigieuse en quelques minutes et qu'aucun autre fait juridiquement pertinent n'aurait pu être établi par la mesure d'instruction ordonnée.
5.3.2. Ce grief est infondé. A supposer même que la comparution personnelle des parties ne soit pas nécessaire ni même utile à la solution du litige, cela ne signifie pas forcément que la mesure d'instruction est dilatoire et que le juge instructeur qui l'a ordonnée a fait preuve de partialité. A l'instar de ce qui a déjà été dit précédemment (cf. consid. 5.2.5 supra), il faudrait encore qu'il existe des circonstances telles qu'une violation grave des devoirs du magistrat dénotant objectivement la partialité de celui-ci puisse être mise en évidence. Or le seul fait que le recourant estime que le juge instructeur disposait des éléments lui permettant de trancher le litige en quelques minutes ne suffit pas pour admettre une violation des devoirs du magistrat de la gravité requise. Outre le fait qu'il ne s'agit que d'une opinion ou d'une impression personnelle, qui ne permet en soi pas de démontrer un cas de partialité (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162 et les références), on relèvera que les éléments en question avaient déjà été déposés durant la procédure administrative et n'avaient pas été jugés suffisants pour prouver la poursuite des études, de sorte qu'une audition du bénéficiaire du droit à la rente complémentaire - quoi que dise l'assuré à cet égard - pouvait apporter des éclaircissements utiles et favorables à une liquidation plus rapide du litige. On ne saurait dès lors reprocher à la Délégation des Juges de la Cour de justice genevoise en matière de récusation d'avoir arbitrairement appliqué l'art. 15A LPA en refusant d'assimiler la citation à comparaître du recourant à un comportement dilatoire démontrant la prévention du Juge B._ à son encontre.
5.4.
5.4.1. Le recourant soutient enfin que le retard pour statuer sur le recours pour déni de justice, qui portait lui-même sur le retard pris par la caisse pour trancher sa requête de restitution de l'effet suspensif, est un indice supplémentaire de la prévention du Juge B._, d'autant plus que la loi impose à l'autorité de statuer sans délai sur une telle requête.
5.4.2. Ce dernier argument n'est pas plus fondé que les précédents. On relèvera une fois encore que le recourant n'invoque aucune circonstance particulière, objective, qui démontrerait que c'est en raison de son caractère prévenu que le juge instructeur aurait sciemment tardé à statuer. Ce faisant il n'établit pas en quoi l'autorité compétente en matière de récusation aurait appliqué arbitrairement l'art. 15A LPA.
5.5. On précisera encore que, puisque chaque grief pris séparément ne peut démontrer la partialité du Juge B._ et, par conséquent, une application arbitraire de l'art. 15A LPA par la Délégation des Juges de la Cour de justice genevoise en matière de récusation, le fait de les considérer dans leur ensemble ne permet pas d'aboutir à la conclusion inverse. En l'absence de circonstances objectives dénotant que le juge est prévenu, une telle conclusion repose sur les seules impressions du recourant. Or, comme cela a déjà été indiqué (cf. consid. 5.3.2 supra), ces impressions ne sont pas décisives. Le recours est donc entièrement mal fondé.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'assuré (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Délégation des Juges de la Cour de justice de la République et canton de Genève en matière de récusation, à la Caisse cantonale genevoise de compensation et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
Le Greffier : Cretton