Sachverhalt:
A.
Am 11. Juli 2021 ordnete Dr. med. B._, leitender Arzt der C._ in U._, die fürsorgerische Unterbringung von A._, Jahrgang 1972, in der Luzerner Psychiatrie - Klinik D._ wegen psychischer Störung an. Die fürsorgerische Unterbringung erfolgte für die Dauer von sechs Wochen.
B.
A._ (Beschwerdeführer) rief das Obergericht des Kantons Bern an und verlangte seine Entlassung. An der Verhandlung vor Obergericht beantragte der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer die Einholung eines Gutachtens. Das Obergericht wies den Beweisantrag an der Verhandlung vom 28. Juli 2021 ab. Es wies die Beschwerde mit Entscheid vom 2. August 2021 ab (Dispositiv-Ziff. 1), stellte fest, dass die gesetzliche 6-Wochenfrist am 21. August 2021 abläuft (Dispositiv-Ziff. 2), erhob keine Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziff. 3) und sprach oberinstanzlich keine Parteientschädigung zu (Dispositiv-Ziff. 4).
C.
Mit Eingabe vom 11. August 2021 beantragt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht, Ziff. 1 und 4 des obergerichtlichen Entscheids aufzuheben und die Sache zur Neuentscheidung an das Obergericht zurückzuweisen. Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege für die Gerichtskosten.
Das Obergericht hat die Akten eingereicht und auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der verfügende Arzt hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Schreiben vom 23. August 2021 teilt der Beschwerdeführer dem Bundesgericht mit, dass die KESB Luzern-Land die Verlängerung der ärztlich angeordneten Unterbringung am 20. August 2021 abgelehnt habe und er aus der Klinik habe entlassen werden müssen. Er legt dar, weshalb auf seine Beschwerde gleichwohl einzutreten und auf ein aktuelles praktisches Interesse zu verzichten sei. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers hat seine Honorarnote eingereicht und die Stellungnahme des Obergerichts mitgeteilt erhalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid über die gerichtliche Beurteilung einer ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung (Art. 439 Abs. 1 Ziff. 1 ZGB) unterliegt der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG). Er betrifft eine nicht vermögensrechtliche Angelegenheit (Urteil 5A_173/2007 vom 16. Mai 2007 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>), ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (Art. 75 BGG; Urteil 5A_83/2017 vom 23. Februar 2017 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>) und schliesst das Verfahren ab (Art. 90 BGG). Mit dem Endentscheid kann die Weigerung, über die psychische Störung gestützt auf das Gutachten einer sachverständigen Person zu entscheiden (Art. 450e Abs. 3 ZGB), angefochten werden (Art. 93 Abs. 3 BGG).
1.2. Nach Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG ist zur Beschwerde in Zivilsachen nur berechtigt, wer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Die Beschwerdebefugnis setzt ein aktuelles und praktisches Interesse an der Gutheissung der Beschwerde voraus, das auch im Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils noch vorhanden sein muss (<ref-ruling> E. 3.2.2.2). Ausnahmsweise verzichtet das Bundesgericht auf dieses Erfordernis, namentlich wenn die gerügte Rechtsverletzung sich jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre (sog. virtuelles Interesse: <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.3).
Die angefochtene ärztliche Unterbringung darf höchstens sechs Wochen betragen (Art. 429 Abs. 1 ZGB) und fällt spätestens nach Ablauf der festgelegten Dauer dahin, sofern nicht ein vollstreckbarer Unterbringungsentscheid der Erwachsenenschutzbehörde vorliegt (Art. 429 Abs. 2 ZGB). Die Erwachsenenschutzbehörde hat eine fürsorgerische Unterbringung und damit die Verlängerung der ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung abgelehnt, so dass die sechswöchige Frist am 21. August 2021 abgelaufen ist und der Beschwerdeführer aus der fürsorgerischen Unterbringung entlassen sein muss. Mit Blick darauf ist sein aktuelles Rechtsschutzinteresse weggefallen (<ref-ruling> E. 4.2).
Der Beschwerdeführer macht ein virtuelles Interesse geltend (S. 6 Ziff. 8 der Beschwerdeschrift und Eingabe vom 23. August 2021). Die Voraussetzungen dafür sind erfüllt, da der Beschwerdeführer in der Vergangenheit wiederholt notfallmässig fürsorgerisch untergebracht werden musste und aufgrund seiner psychischen Störung zu befürchten ist, dass Unterbringungen in Zukunft nötig werden könnten (Urteile 5A_355/2014 vom 2. Juni 2014 E. 1.3; 5A_175/2020 vom 25. August 2020 E. 1.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; abweichend z.B. Urteil 5A_675/2013 vom 25. Oktober 2013 E. 3). Namentlich die Frage nach dem Erfordernis einer sachverständigen Begutachtung dürfte sich wiederholt stellen und die Berner Praxis im Falle ärztlich angeordneter fürsorgerischer Unterbringung kaum je rechtzeitig durch das Bundesgericht überprüfbar sein.
1.3. Auf die - im Weiteren rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene - Beschwerde kann eingetreten werden.
2.
2.1. Die ärztlich angeordnete fürsorgerische Unterbringung ist wegen psychischer Störung erfolgt (E. III/3.3 S. 3). Unter Hinweis auf seinen Beschluss vom 5. Dezember 2012 hat das Obergericht festgehalten, dass Art. 450e Abs. 3 ZGB, wonach bei psychischen Störungen gestützt auf das Gutachten einer sachverständigen Person entschieden werden muss, bei ärztlichen fürsorgerischen Unterbringungen nicht anwendbar sei. Das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz sei auf Beschwerden gegen ärztliche fürsorgerische Unterbringungen nur sinngemäss anwendbar (Art. 439 Abs. 3 ZGB). Da Art. 450e Abs. 3 ZGB aus den nachfolgenden Gründen von vornherein nicht auf ärztliche fürsorgerische Unterbringungen zugeschnitten sei, folge bereits aus der sinngemässen Verweisung gemäss Art. 439 Abs. 3 ZGB, dass diese Art. 450e Abs. 3 ZGB nicht umfasse. Selbst wenn aber Art. 450e Abs. 3 ZGB von der Verweisung in Art. 439 Abs. 3 ZGB umfasst wäre, folge aus der Auslegung dieser beiden Bestimmungen, dass Art. 450e Abs. 3 ZGB nicht auf ärztliche fürsorgerische Unterbringungen anwendbar sei.
Bei einer ärztlichen fürsorgerischen Unterbringung sei ein Beschwerdeentscheid gestützt auf ein Gutachten gemäss Art. 450e Abs. 3 ZGB unzweckmässig und in der Praxis nicht umsetzbar (teleologische Auslegung). Weiter stünde dies im Widerspruch zu anderen Bestimmungen (Art. 449 ZGB und Art. 439 Abs. 3 ZGB; systematische Auslegung). Selbst wenn man zu einem anderen Ergebnis käme, wäre den gesetzlichen Anforderungen jedenfalls genüge getan, wenn im Spruchkörper der Beschwerdeinstanz entsprechendes Fachwissen vorhanden sei.
Da der Beschwerdeentscheid innerhalb von fünf Arbeitstagen nach Eingang der Beschwerde zu ergehen habe (Art. 450e Abs. 5 ZGB), sei ein Gutachten, das den gesetzlichen, standesrechtlichen und inhaltlichen Vorgaben genüge, aus zeitlicher Sicht gar nicht möglich. Ein vollständiges Gutachten benötige neben Gesprächen mit der betroffenen Person regelmässig auch deren Beobachtung im Klinikalltag über einen gewissen Zeitraum. Müsste auch bei Beschwerdeentscheiden bei ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringungen gestützt auf ein Gutachten entschieden werden, wäre Art. 449 ZGB seines Gehalts entleert und überflüssig. Regelmässig - was sicher auch vorliegend der Fall sei - dürften nämlich die Betroffenen mit einer stationären Begutachtung gar nicht einverstanden sein. Die Begutachtung eines ärztlich fürsorgerisch Untergebrachten erfolge zwangsläufig stationär, da die Person fürsorgerisch untergebracht sei und der Beschwerde keine aufschiebende Wirkung zukomme (Art. 450e Abs. 2 ZGB). Eine stationäre Begutachtung gegen den Willen des ärztlich untergebrachten Beschwerdeführers bedürfe deshalb von vornherein eines beschwerdefähigen Entscheids der KESB, ansonsten Art. 449 ZGB verletzt und dem Beschwerdeführer die Rechtsmittelmöglichkeit verweigert würde (Art. 449 Abs. 2 i.V.m. Art. 450 ff. ZGB). Es sei offensichtlich, dass dies mit der ärztlichen fürsorgerischen Unterbringung (die immer mit einer gewissen zeitlichen Dringlichkeit verbunden sei) und einem innerhalb sinnvoller Frist (vgl. Art. 450e Abs. 5 ZGB und Art. 429 Abs. 1 Satz 2 ZGB) ergehenden Beschwerdeentscheid nicht vereinbar sei. Schliesslich sei zu berücksichtigen, dass die Praxis, wonach im Spruchkörper immer ein fachkundiges Mitglied (Psychiaterin oder Psychiater) mitwirke, jedenfalls der früheren Rechtsprechung genügt habe. Es seien denn auch heute keine Gründe ersichtlich, die gegen die Fortführung dieser früheren Praxis sprächen (E. IV 4.4.2 S. 5 des angefochtenen Entscheids).
2.2. Der Beschwerdeführer hebt hervor, er habe dem Obergericht schriftlich und an der Verhandlung beantragt, eine Begutachtung durchzuführen, eventuell ihm das rechtliche Gehör zum Votum der Fachrichterin zu gewähren. Der Gerichtspräsident habe die Anträge gleich zu Beginn der Verhandlung abgelehnt. Die Ablehnung stütze sich auf einen Beschluss vom 5. Dezember 2012, dessen Zustellung er verlangt habe, ihm aber verweigert worden sei (S. 3 Ziff. 1 und S. 7 Ziff. 10). Die Praxis im Kanton Bern, dass bei einer ärztlichen fürsorgerischen Unterbringung wegen einer psychischen Störung kein psychiatrisches Gutachten erforderlich sei, rügt der Beschwerdeführer als bundesrechtswidrig. Bundesrechtswidrig sei auch die Auffassung, dass die Mitwirkung einer Fachrichterin in der Entscheidinstanz die Begutachtung durch eine aussenstehende sachverständige Person ersetze (S. 8 ff. Ziff. 13-16 der Beschwerdeschrift).
2.3.
2.3.1. Unter den gesetzlichen Voraussetzungen darf eine Person, die an einer psychischen Störung leidet, fürsorgerisch untergebracht werden (Art. 426 ZGB). Zuständig für die Anordnung sind die Erwachsenenschutzbehörde (Art. 428 ZGB) und nach bernischem Recht in der Schweiz zur Berufsausübung zugelassene Ärztinnen und Ärzte (Art. 429 i.V.m. Art. 27 des kantonalen Gesetzes über Kindes- und Erwachsenenschutz, KESG; BSG 213.316). Bei ärztlich angeordneter Unterbringung schreibt Art. 439 ZGB vor, dass die betroffene oder eine ihr nahestehende Person schriftlich das zuständige Gericht anrufen kann (Abs. 1 Ziff. 1) und dass sich das Verfahren sinngemäss nach den Bestimmungen über das Verfahren vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz richtet (Abs. 3). Zu den Verfahrensbestimmungen vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz zählt Art. 450e Abs. 3 ZGB, wonach bei psychischen Störungen gestützt auf das Gutachten einer sachverständigen Person entschieden werden muss.
2.3.2. Das Obergericht widerspricht erstens der bundesgerichtlichen Gesetzesauslegung, dass ein Fachrichter den Beizug eines unabhängigen Gutachters nicht zu ersetzen vermag (<ref-ruling> E. 2.7; zuletzt: Urteil 5A_128/2021 vom 19. April 2021 E. 3.1.3). Denn nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte ist mit der Unabhängigkeit des Sachverständigen nicht zu vereinbaren, dass ein Mitglied der Entscheidinstanz (Fachrichter) gleichzeitig als Sachverständiger amtet (<ref-ruling> E. 4.4; Urteile 5A_250/2010 vom 14. April 2010 E. 2.4; 5A_716/2011 vom 29. November 2011 E. 3.1.2; 5A_787/2011 vom 24. November 2011 E. 3.4, alle betreffend die fürsorgerische Freiheitsentziehung).
Die bundesgerichtliche Praxis vollzieht das Urteil 27154/95 des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) i.S. D.N. gegen die Schweiz vom 29. März 2001 (veröffentlicht in: Recueil CourEDH 2001-III 21 und VPB 65/ 2001 Nr. 122 S. 1311). Sie wird in den Kantonen - soweit ersichtlich - beachtet und in der seitherigen Lehre anerkannt (YVES DONZALLAZ, Traité de droit médical, Volume III: Le patient, 2021, Rz. 7982 S. 3820; THOMAS GEISER/MARIO ETZENSBERGER, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 49 zu Art. 439 ZGB; ANNA RÜEFLI, Fachrichterbeteiligung im Lichte der Justiz- und Verfahrensgarantien, 2018, S. 484 ff. Rz. 927-937; CAROLINE KUHNLEIN, Le placement à des fins d'assistance au regard de la pratique vaudoise: principes généraux et questions choisies, JdT 165/2017 III 74 ff., S. 86 bei/in Anm. 60; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, Articles 360-456 CC, 2016, S. 644 Rz. 1337; DANIEL STECK, in: Peter Breitschmid/Alexandra Jungo [Hrsg.], Handkommentar zum Schweizerischen Privatrecht, 3. Aufl. 2016, N. 15 zu Art. 450e ZGB).
Seinen gegenteiligen Standpunkt stützt das Obergericht auf ein neu veröffentlichtes Buch zum bernischen Recht. Danach zwingt die Rechtsprechung des EGMR die Schweiz nicht, im Falle einer fürsorgerischen Unterbringung wegen einer psychischen Störung die Begutachtung einer aussenstehenden sachverständigen Person zu übertragen. Sie schliesst nicht aus, dass ein Mitglied der entscheidenden Instanz (Fachrichter) gleichzeitig als sachverständige Person amtet. Die Befürchtung, dass dem sachverständigen Fachrichter eine unzulässige Vorrangstellung zukomme und damit die richterliche Selbständigkeit in Frage stellen könnte, erscheint aus der Praxis kaum berechtigt. Aus dem Wortlaut von Art. 450e Abs. 3 ZGB ergibt sich weder, was unter einem Gutachten im Einzelnen zu verstehen ist, noch, welche Person als Gutachter in Frage kommt. Gutachten ist gemäss Wörterbuch die Aussage eines Sachverständigen in einem Prozess. Ob es sich dabei um eine gerichtsexterne oder um eine gerichtsinterne Person handelt, steht allein gestützt auf den Wortlaut nicht fest. Einzuräumen ist zwar, dass im Verfahrensrecht unter Gutachten in der Regel die fachliche Beurteilung einer gerichtsexternen Person verstanden wird. Allerdings deutet Art. 183 Abs. 3 ZPO auf eine gesetzgeberische Gleichstellung richterlichen und gerichtsexternen Fachwissens mit Gutachten hin, und es wird ein Wertungswiderspruch geschaffen, wenn die KESB gemäss Art. 446 Abs. 2 ZGB auf ein Gutachten verzichten kann, weil sie über genügend Fachwissen verfügt, die Beschwerdeinstanz hingegen nicht, obwohl sie dieselben Voraussetzungen erfüllt. Dass dies dem Gesetzgeber bewusst war, ist nicht anzunehmen und vielmehr davon auszugehen, dass die unterschiedliche Regelung auch auf der (unzutreffenden) Annahme des Gesetzgebers beruht, die Beschwerdeinstanzen verfügten anders als die KESB von vornherein nicht über das erforderliche Fachwissen. Insgesamt sprechen weder der Wortlaut, Sinn und Zweck noch die Rechtsprechung des EGMR dagegen, Art. 450e Abs. 3 ZGB jedenfalls in Verbindung mit Art. 439 Abs. 3 ZGB so auszulegen, dass bei ärztlicher Anordnung kein Gutachten erforderlich ist, sofern das notwendige Fachwissen im Spruchkörper vertreten ist (CHRISTOPH HURNI UND ANDERE, Das Verfahren vor dem Berner Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, 2020, S. 148 ff. Rz. 445-446).
2.3.3. Das Obergericht widerspricht zweitens der bundesgerichtlichen Gesetzesauslegung, dass angesichts des Gesetzeswortlauts und der überwiegenden Lehrmeinungen kein Grund besteht, im Fall der Beschwerde gegen eine ärztliche Einweisung einen weniger strengen Massstab anzulegen und kein Gutachten im Sinn von Art. 450e Abs. 3 ZGB zu verlangen. Insbesondere lässt sich der Verzicht auf ein Gutachten nicht mit dem Hinweis auf den gesetzlichen Begriff "sinngemäss" ("par analogie"; "per analogia") begründen: Dieser besagt einzig, dass die Verfahrensbestimmungen vor der gerichtlichen Beschwerdeinstanz (Art. 450-450e ZGB) ebenso bei der Anrufung des Gerichts (Marginalie zu Art. 439 ZGB) durch den Betroffenen zur Anwendung gelangen. Die Befristung der ärztlich angeordneten Unterbringung lediglich auf maximal sechs Wochen ändert nichts daran, dass es sich dabei um einen schweren Eingriff in die persönliche Freiheit des Betroffenen handelt, der diese strenge Anforderung rechtfertigt (<ref-ruling> E. 3.2).
Die bundesgerichtliche Praxis wurde in Urteilskommentaren ausdrücklich begrüsst (STEPHAN WOLF/TOBIAS BUFF, Die privatrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahr 2017, Familienrecht, Ehe- und Erwachsenenschutzrecht, ZBJV 154/2018 S. 597). Sie wird in den Kantonen - soweit ersichtlich - beachtet und in der seitherigen Lehre anerkannt (DONZALLAZ, a.a.O., Rz. 7979 S. 3818 und Rz. 8058 S. 3857; GEISER/ETZENSBERGER, a.a.O., N. 48 zu Art. 439 ZGB; KUHNLEIN, a.a.O., S. 85 und S. 96).
Seinen gegenteiligen Standpunkt stützt das Obergericht auf das zitierte Buch zum bernischen Recht. Danach ist ein Gutachten nur erforderlich, wenn Entscheide der KESB angefochten sind, während die ärztlich angeordnete fürsorgerische Unterbringung ohne Beizug eines unabhängigen Sachverständigen überprüft werden kann. Denn Art. 450e Abs. 3 ZGB ist gemäss Art. 439 Abs. 3 ZGB nur "sinngemäss" anwendbar. Die Umstände, unter denen der Entscheid ergeht, lassen die Anwendung dieser Bestimmung nicht als zweckmässig erscheinen. In der Regel werden Einweisungsentscheide von Ärzten in einer Krisensituation getroffen. Oft gibt zudem erst die Einweisung Anlass zu einer (stationären) Begutachtung der betroffenen Person, indem die KESB auf Empfehlung der behandelnden Ärzte bei der Klinikleitung ein psychiatrisches Gutachten in Auftrag gibt. Ein vollständiges Gutachten setzt neben Gesprächen mit der betroffenen Person häufig auch deren Beobachtung im Klinikalltag voraus, was genügend Zeit erfordert. In den meisten Fällen fällt der Abgabetermin daher auf einen Zeitpunkt wenige Tage vor Ablauf der ärztlichen fürsorgerischen Unterbringung. Je nach Beurteilung ordnet die KESB gestützt auf das Gutachten daraufhin eine ordentliche fürsorgerische Unterbringung an. Im Zeitpunkt der Beurteilung der Beschwerde der betroffenen Person gegen die ärztliche fürsorgerische Unterbringung ist demnach noch kein Gutachten vorhanden, auf das sich die Beschwerdeinstanz stützen könnte. Trotzdem muss die Beschwerdeinstanz gemäss Art. 450e Abs. 5 ZGB in der Regel innert fünf Arbeitstagen über die Beschwerde entscheiden. Aufgrund dieser zeitlichen Einschränkungen und mit Blick darauf, dass aufgrund der Maximaldauer von sechs Wochen der mit der ärztlichen fürsorgerischen Unterbringung verbundene Freiheitsentzug von vornherein beschränkt ist, ist fraglich, ob der Gesetzgeber mit der Regelung in Art. 450e Abs. 3 ZGB auch die Überprüfung ärztlicher Einweisungen im Auge hatte. Zudem zeichnen sich Kriseninterventionen gerade dadurch aus, dass sich der Gesundheitszustand der betroffenen Person während der Behandlung laufend ändert. Auch ein externer Sachverständiger kann nur die Krankengeschichte konsultieren und gestützt auf sein eigenes Gespräch mit der betroffenen Person eine Beurteilung der aktuellen Situation abgeben. Sein Befund kann somit bereits überholt sein, wenn das Gericht einige Zeit nach Eingang des Gutachtens die Anhörung durchführt. Bei Kriseninterventionen wäre es somit erforderlich, dass der Sachverständige auch an der Verhandlung teilnimmt. Im Kanton Bern würde dies dazu führen, dass zwei unabhängige sachverständige Personen, nämlich das fachkundige Mitglied des Gerichts sowie der gerichtliche Sachverständige, anwesend wären. Dass dies nicht sinnvoll ist, liegt auf der Hand. Schliesslich sind auch keine qualitativen Gesichtspunkte ersichtlich, die eine Beurteilung durch das fachkundige Mitglied des Gerichts im Vergleich zur gutachterlichen Beurteilung als weniger verlässlich erscheinen liessen. Während der Krisenintervention geht es meist allein um die Frage, ob der aktuelle Gesundheitszustand weiterhin die Behandlung in der betreffenden Klinik erfordert. Anders als bei längerfristigen Unterbringungen zur Behandlung und Betreuung sind dazu keine vertieften Abklärungen nötig, sondern es genügt die Konsultation der Krankengeschichte sowie das persönliche Gespräch mit der betroffenen Person. Ein gerichtsexterner Sachverständiger verfügt somit kaum über einen Wissensvorsprung gegenüber dem fachkundigen Mitglied des Gerichts. Diese praktischen Gesichtspunkte sprechen gegen die analoge Anwendung von Art. 450e Abs. 3 ZGB bei einer ärztlich angeordneten fürsorgerischen Unterbringung (HURNI UND ANDERE, a.a.O., S. 146 ff. Rz. 444).
2.4.
2.4.1. Eine Änderung der Praxis lässt sich regelmässig nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis der ratio legis, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelter Rechtsanschauung entspricht, andernfalls ist die bisherige Praxis beizubehalten. Eine Praxisänderung muss sich deshalb auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können, die - vor allem im Interesse der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als falsch oder nicht mehr zeitgemäss erachtete Rechtsanwendung gehandhabt worden ist (<ref-ruling> E. 8.2; <ref-ruling> E. 3.1).
2.4.2. Gegen eine Praxisänderung sprechen die kantonale Umsetzung der bundesgerichtlichen Gesetzesauslegung und deren Anerkennung in der Lehre (E. 2.3 oben). Ein Abweichen ist umso weniger gerechtfertigt, als die Praxis sich auf die Materialien stützen kann. Den Gesetzesmaterialien aber kommt bei der Auslegung insbesondere der Verfahrensbestimmungen im Kindes- und Erwachsenenschutzrecht mitunter erhebliches Gewicht zu (<ref-ruling> E. 3).
Zu den besonderen Bestimmungen bei fürsorgerischer Unterbringung (Art. 450e des Entwurfs) hält die bundesrätliche Botschaft fest, dass Anfechtungsobjekt hier Entscheide der KESB sind, sich aber auch das Verfahren gegen Entscheide, die in die ärztliche Zuständigkeit fallen, danach richtet. Für alle Beschwerden gelten grundsätzlich die gleichen Verfahrensvorschriften. Die Frage, ob die sachverständige Person zwingend eine aussenstehende Person sein muss oder ob sie auch ein Mitglied des entscheidenden Gerichts sein kann, beantwortet die Botschaft gestützt auf das Urteil des EGMR vom 29. März 2001 i.S. D.N. gegen die Schweiz dahin gehend, dass künftig bei psychischen Störungen gestützt auf ein "Gutachten" (Abs. 3) entschieden werden muss. Diese Formulierung mache deutlich, dass die sachverständige Person nicht Mitglied der gerichtlichen Beschwerdeinstanz sein kann (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7001, S. 7087 f.).
Dem Entwurf wurde in den Räten zugestimmt. Die Diskussion drehte sich allein um die Frage, ob die gerichtliche Beschwerdeinstanz "ohne Verzug" (Art. 450e Abs. 5 des Entwurfs) oder "in der Regel innert fünf Arbeitstagen seit Eingang der Beschwerde" (Antrag der Mehrheit im Nationalrat) entscheidet (AB 2007 S 840, AB 2008 N 1539-1540, AB 2008 S 882).
2.4.3. Die Auslegung von Urteilssprüchen hat unter Beizug der Urteilsgründe zu erfolgen (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.3). In seinem Urteil 27154/95 i.S. D.N. gegen die Schweiz vom 29. März 2001 hat der EGMR seine Auffassung wie folgt festgehalten: "La Cour estime toutefois que [...] les experts ne sont désignés que pour assister le tribunal en lui fournissant des avis éclairés grâce à leurs connaissances spécialisées, sans avoir de fonctions juridictionnelles " (§ 53, veröffentlicht in: Recueil CourEDH 2001-III 21 und VPB 2001 Nr. 122 S. 1311; Hervorhebung beigefügt). Daraus lässt sich als Kernaussage schliessen, dass der EGMR als Gutachter nur eine ausserhalb gerichtlicher Funktionen stehende sachverständige Person anerkennt, nicht hingegen ein fachkundiges Mitglied der Entscheidinstanz selber. Darauf stützt sich die bundesgerichtliche Praxis (E. 2.3.2 oben), deren Änderung deshalb nicht in Frage kommt, mögen gemäss der obergerichtlichen Auslegung des Urteils vielleicht auch noch andere Gründe für den EGMR leitend gewesen sein.
Der vom Obergericht heraufbeschworene Wertungswiderspruch ist nicht ersichtlich. Es lässt sich sachlich begründen, weshalb die KESB gemäss Art. 446 Abs. 2 ZGB auf ein Gutachten verzichten kann, die Beschwerdeinstanz hingegen nicht, obwohl beide über genügend Fachwissen verfügen. Zum einen rechtfertigt der schwere Eingriff in die persönliche Freiheit, den die ärztlich angeordnete fürsorgerische Unterbringung verursacht (<ref-ruling> E. 3.2), dass bei psychischen Störungen wenigstens einmal im kantonalen Verfahren das Gutachten einer behörden- und gerichtsunabhängigen sachverständigen Person eingeholt wird. Zum anderen ist die KESB eine Fachbehörde (Art. 440 Abs. 1 ZGB) und nicht zwingend ein Gericht (für den Kanton Bern: <ref-ruling> E. 5.3-5.4), während die Beschwerdeinstanz als Gericht (<ref-ruling> E. 3) ausgestaltet sein muss, so dass unterschiedliche Anforderungen an die Rechtsstaatlichkeit des Verfahrens mit Bezug auf die Einholung von Gutachten ohne Weiteres als zulässig erscheinen.
Schliesslich ist der obergerichtliche Hinweis auf Art. 183 Abs. 3 ZPO nicht hilfreich. Danach hat das Gericht eigenes Fachwissen offen zu legen, damit die Parteien dazu Stellung nehmen können. Im Verfahren der Beschwerde gegen eine fürsorgerische Unterbringung ist nach Berner Praxis das Gegenteil der Fall, teilt doch das fachkundige Mitglied der Beschwerdeinstanz der betroffenen Person seine Beurteilung gerade nicht vorgängig mit (HURNI UND ANDERE, a.a.O., S. 149 f. bei/in Anm. 580). Von einer Gleichstellung gerichtlichen und gerichtsexternen Fachwissens im Verfahren der Beschwerde gegen Entscheide über fürsorgerische Unterbringungen kann deshalb keine Rede sein. Auch unter diesem Blickwinkel ist von der bundesgerichtlichen Gesetzesauslegung nicht abzuweichen, dass die gerichtliche Beschwerdeinstanz bei psychischen Störungen das Gutachten einer gerichtsunabhängigen sachverständigen Person einholt, den Parteien dazu das rechtliche Gehör gewährt und anschliessend entscheidet.
2.4.4. Die vom Obergericht geschilderten praktischen Schwierigkeiten rechtfertigen keine Änderung der Praxis, dass im Verfahren der Beschwerde gegen eine ärztlich angeordnete fürsorgerische Unterbringung bei psychischen Störungen gestützt auf das Gutachten einer sachverständigen Person entschieden werden muss (E. 2.3.3 oben).
Die gerichtliche Beschwerdeinstanz entscheidet in der Regel innert fünf Arbeitstagen seit Eingang der Beschwerde (Art. 450e Abs. 5 ZGB). Die Entscheidungsfrist ist somit dieselbe, ob sich die Beschwerde nun gegen eine ärztlich angeordnete fürsorgerische Unterbringung richtet, die auf maximal sechs Wochen beschränkt ist (Art. 429 Abs. 1 ZGB), oder gegen eine länger dauernde fürsorgerische Unterbringung durch die KESB (Art. 428 Abs. 1 ZGB). Auch die Kurzfristigkeit der Begutachtung ist somit die gleiche, wenn man wie das Obergericht davon ausgeht, dass die KESB als Fachbehörde kein Gutachten einzuholen braucht (Art. 446 Abs. 2 ZGB), auf das sich die Beschwerdeinstanz andernfalls stützen könnte. Dass das Erfordernis der Begutachtung mit dem Beschleunigungsgebot zu kollidieren droht, rechtfertigt es nicht, auf die Begutachtung durch eine gerichtsunabhängige sachverständige Person zu verzichten, sondern macht organisatorische Vorkehren nötig, wie sie in der Lehre vorgeschlagen werden und im Rechtsalltag praktisch umsetzbar sind (GEISER/ETZENSBERGER, a.a.O., N. 50 zu Art. 439 ZGB).
Schliesslich bestehen auch die vom Obergericht behaupteten systematischen Ungereimtheiten nicht. Denn die Einweisung zur Begutachtung gemäss Art. 449 ZGB lässt sich von der fürsorgerischen Unterbringung abgrenzen und ist vorliegend nicht notwendig, da sich der Beschwerdeführer seiner Begutachtung freiwillig unterzieht, hat er sie doch selber beantragt (Urteil 5A_162/2020 vom 28. Februar 2020 E. 2.3; LUCA MARANTA UND ANDERE, Basler Kommentar, 6. Aufl. 2018, N. 4 zu Art. 449 ZGB, mit Hinweisen).
2.4.5. Die Voraussetzungen für eine Praxisänderung sind aus den dargelegten Gründen nicht erfüllt.
2.5. Insgesamt hat das Obergericht als Beschwerdeinstanz über eine ärztlich wegen psychischer Störungen angeordnete fürsorgerische Unterbringung ohne das Gutachten einer sachverständigen Person im Sinne von Art. 450e Abs. 3 ZGB und damit bundesrechtswidrig entschieden.
3.
3.1. Von der Einholung eines Gutachtens hat das Obergericht auch deshalb abgesehen, weil beim Beschwerdeführer im Zusammenhang mit einem cerebralen Geburtsschaden mehrfach eine Minderintelligenz diagnostiziert worden sei (mit Hinweis auf das Gutachten vom 18. Juli 2013, pag. 39, das Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 17. Dezember 2020 S. 19 f., pag. 95 ff., und die Stellungnahme der Klinik D._ vom 27. Juli 2021, pag. 205 und pag. 213). Lasse sich damit die fürsorgerische Unterbringung des Beschwerdeführers auch alleine mit einer geistigen Behinderung begründen, bedürfe es von vornherein keines Gutachtens im Sinne von Art. 450e Abs. 3 ZGB, da diese Bestimmung nur bei psychischen Störungen anwendbar sei (E. IV/4.3 S. 4 des angefochtenen Entscheids).
3.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, das Obergericht behaupte neu, er sei geistig behindert. Die angebliche geistige Behinderung gebe es nicht. In den Verfahren im Kanton Luzern sei die fürsorgerische Unterbringung nicht mit geistiger Behinderung begründet worden. Das Obergericht müsste genau mittels Beweismitteln, beispielsweise mit ärztlichen Unterlagen und mit Gutachten, beweisen, dass eine geistige Behinderung bestehe. Den Nachweis habe das Obergericht nicht erbracht. In gewissen ärztlichen Unterlagen werde von einer Minderintelligenz gesprochen und in anderen die Nebendiagnose einer Intelligenzminderung gestellt. Die Ärzte seien sich also nicht einig. Aufgrund dessen dürfe nicht von einer geistigen Behinderung gesprochen werden, die dazu führte, dass eine fürsorgerische Unterbringung ohne aktuelle psychiatrische Begutachtung angeordnet werden dürfe. Ansonsten könnte bei vielen Personen von einer geistigen Behinderung gesprochen und eine fürsorgerische Unterbringung angeordnet werden. Es sei auch festgehalten, dass in den IV-Verfahren nicht von einer geistigen Behinderung gesprochen bzw. geschrieben werde (S. 7 f. Ziff. 11-12 der Beschwerdeschrift).
3.3. Es trifft zu, dass der Arzt als Grund für die fürsorgerische Unterbringung eine psychische Störung angegeben und beschrieben hat (Art. 430 Abs. 2 Ziff. 3 ZGB; E. III/3.3 S. 3 des angefochtenen Entscheids). Von einer geistigen Behinderung im Sinne von Art. 426 Abs. 1 ZGB als Grund für die fürsorgerische Unterbringung ist in der ärztlichen Verfügung nicht die Rede. Gleichwohl hat der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers in seinem Parteivortrag auf eine "Intelligenzminderung" (pag. 229) Bezug genommen. Es ist deshalb nicht - insbesondere nicht unter dem Blickwinkel des rechtlichen Gehörs (<ref-ruling> E. 1 und 34 E. 2c; <ref-ruling> E. 4d/cc) - zu beanstanden, dass das Obergericht neu geprüft hat, ob die fürsorgerische Unterbringung sich mit einer geistigen Behinderung begründen lasse (MARANTA UND ANDERE, a.a.O., N. 43 zu Art. 446 ZGB; PAUL-HENRI STEINAUER/CHRISTIANA FOUNTOULAKIS, Droit des personnes physiques et de la protection de l'adulte, 2014, S. 493 Rz. 1104).
3.4. Im verwiesenen Bericht der Psychiatrischen Klinik D._ vom 27. Juli 2021 (pag. 205 ff.) heisst es unter " Nebendiagnosen F79.1 Nicht näher bezeichnete Intelligenzminderung: Deutliche Verhaltensstörung, die Beobachtung oder Behandlung erfordert." (pag. 205), und unter dem Titel " Diagnostisch " steht Folgendes geschrieben: "In der Aktenanamnese finden sich Hinweise auf O2 -Mangel bei der Geburt, der Verdacht auf Intelligenzminderung wurde scheinbar nie testpsychologisch abgeklärt. Aufgrund des schulischen und beruflichen Werdegangs ist die Diagnose eher fraglich. Im aktuellen klinischen Eindruck und aktenanamnestisch vermuten wir eine Lernbehinderung, aber keine Intelligenzminderung " (pag. 213; Hervorhebung beigefügt). Im ebenfalls zitierten Gutachten vom 18. Juli 2013 wird für die Hospitalisationen in den Jahren 1998 und 2005 unter anderem eine "Minderintelligenz (ICD-10 F70.1) " bzw. "eine leichte Intelligenzminderung mit Verhaltensstörung (ICD-10 F70.1) " und 2011 eine "Nicht näher bezeichnete Intelligenzminderung: Deutliche Verhaltensstörung, die Beobachtung oder Behandlung erfordert (ICD-10 F79.1) " diagnostiziert (pag. 39 f.) und die " Beurteilung/Diagnose " festgehalten: "... eine ausführliche Intelligenztestung wurde nicht durchgeführt" (pag. 53). Auf dieses Gutachten stützt sich in der Folge das angegebene Urteil des Kantonsgerichts Luzern vom 17. Dezember 2020 (S. 19 f., pag. 95 f.).
3.5. Aufgrund der Tatsachengrundlage, insbesondere des aktuellen Befunds vom 27. Juli 2021 ("keine Intelligenzminderung") erweist sich die Annahme einer geistigen Behinderung im Sinne von Art. 426 Abs. 1 ZGB als willkürlich (Art. 9 BV; vgl. zum Begriff: <ref-ruling> E. 6). Eine Geistesschwäche wurde beim Beschwerdeführer nicht abgeklärt, geschweige denn nachgewiesen. Die daherigen Rügen des Beschwerdeführers sind begründet. Die ärztlich angeordnete fürsorgerische Unterbringung lässt sich folglich nicht mit einer geistigen Behinderung begründen.
4.
Ist die Beschwerde aus den dargelegten verfahrensrechtlichen Gründen gutzuheissen, bedürfen die materiellen Voraussetzungen der fürsorgerischen Unterbringung (Art. 426 ZGB) keiner Erörterung (E. V/5-7 S. 6 ff. des angefochtenen Entscheids und S. 11 f. Ziff. 17-22 der Beschwerdeschrift). Obwohl der Beschwerdeführer inzwischen längst aus der fürsorgerischen Unterbringung entlassen ist, kann nicht ausgeschlossen werden, dass das Obergericht mit Blick auf allfällige Ansprüche aus Verantwortlichkeit (Art. 454 ZGB) ebenfalls ein virtuelles Interesse des Beschwerdeführers annehmen und dessen Beschwerde neu beurteilen wird (E. 1.2 oben). Der angefochtene Entscheid ist deshalb aufzuheben und die Sache an das Obergericht zur Neubeurteilung zurückzuweisen (<ref-ruling> E. 6.5). Das Obergericht wird dabei auch über die Parteientschädigung an den Beschwerdeführer für das oberinstanzliche Verfahren zu entscheiden haben (Art. 68 Abs. 5 BGG).
5.
Bei diesem Verfahrensausgang hat der Kanton Bern keine Gerichtskosten zu bezahlen (Art. 66 Abs. 4 BGG), dem Beschwerdeführer aber eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 3.2). Die eingereichte Honorarnote mit einem Forderungsbetrag von weniger als Fr. 3'000.-- erscheint als angemessen. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 BGG) wird damit gegenstandslos (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, die Dispositiv-Ziff. 1 und 4 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, vom 2. August 2021 werden aufgehoben, und die Sache wird zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'337.65 zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, B._ und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: von Roten