Erwägungen:
1.
Vor Zivilgericht Basel-Stadt ist ein Revisionsverfahren hinsichtlich des Rechtsöffnungsentscheids V.2018.784 vom 5. September 2018 hängig (Verfahren V.2019.410). Mit Verfügung vom 14. Juni 2019 wies das Zivilgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Revisionsverfahren ab.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin am 23. Juni 2019 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Mit Entscheid vom 3. September 2019 trat das Appellationsgericht auf die Beschwerde nicht ein, da die Beschwerdeführerin den verlangten Kostenvorschuss binnen Nachfrist nicht geleistet hatte.
Gegen diesen Entscheid (sowie drei weitere; dazu Verfahren 5D_184/2019, 5D_186/2019 und 5D_187/2019) hat die Beschwerdeführerin am 21. September 2019 (Postaufgabe) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Am 26. und 29. September 2019 (jeweils Postaufgabe) hat sie die Beschwerde ergänzt. Das Bundesgericht hat die Verfügung vom 14. Juni 2019 und den Rechtsöffnungsentscheid vom 5. September 2018 beigezogen.
2.
Entgegen <ref-law> enthält der angefochtene Entscheid keine Streitwertangabe. Wie sich aus dem Entscheid vom 5. September 2018 ergibt, wird der für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderliche Streitwert nicht erreicht (Art. 74 Abs. 1 lit. b i.V.m. <ref-law>). Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung liegt nicht vor (<ref-law>). Demnach ist nur die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig (<ref-law>). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
3.
Die Beschwerdeführerin geht mit keinem Wort auf die Begründung des angefochtenen Entscheids ein. Soweit überhaupt nachvollziehbar, scheint sie sich zu ihrer angeblichen Bedürftigkeit und zum Revisionsverfahren in der Sache zu äussern. Beides ist nicht Thema des angefochtenen Entscheids.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich mangelhaft begründet. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten (<ref-law>). Sie stellt kein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Ein solches wäre infolge Aussichtslosigkeit ihrer Beschwerde ohnehin abzuweisen gewesen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Oktober 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg