Faits :
A.
Le 2 juillet 2020, B._ a déposé une requête de faillite à l'encontre de A._ devant le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers (ci-après: Tribunal civil).
A l'audience du 21 août 2020, A._ a indiqué ne pas être en mesure de régler sur le champ sa dette, soit 80'002 fr. 85. Elle a présenté une requête d'ajournement de faillite, respectivement de sursis concordataire. Le Tribunal civil a rejeté cette requête et a prononcé la faillite par jugement du même jour. Il en a fixé l'ouverture à 14h45.
B.
B.a. Le 31 août 2020, A._ a recouru contre le jugement de faillite devant l'Autorité de recours en matière civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: ARMC).
Le 2 septembre 2020, le Président de l'ARMC a suspendu l'exécution du jugement attaqué.
Par acte du 10 septembre 2020, B._ a conclu au rejet du recours.
B.b. A la demande de l'ARMC, l'office des poursuites a déposé un extrait du registre des poursuites et des " informations débiteur ".
Le 14 septembre 2020, A._ a fait parvenir à l'ARMC ses observations sur l'état des poursuites diligentées à son encontre. Elle s'est encore déterminée le 25 septembre 2020, reprenant en substance la teneur de son mémoire de recours. Le 2 octobre 2020, B._ s'est prononcé sur ces dernières observations.
B.c. Le 13 octobre 2020, B._ a fait parvenir à l'ARMC une copie d'une convention conclue par les parties, en indiquant qu'elles étaient parvenues à un accord et que, conformément à celui-ci, il retirait sa requête de faillite du 2 juillet 2020 ainsi que le commandement de payer et la commination de faillite correspondants, selon un courrier qu'il avait adressé à l'office des poursuites. A._ a également fait parvenir une copie de ces documents à l'ARMC le 16 octobre 2020.
B.d. Le 21 octobre 2020, le Président de l'ARMC a ordonné le classement de la procédure. Le lendemain, il a annulé cette ordonnance, au motif que la convention conclue entre les parties tendait à permettre à A._ d'obtenir l'annulation du jugement de faillite et qu'il y avait lieu de se prononcer sur le fond à cet égard.
B.e. Par arrêt du 6 novembre 2020, l'ARMC a notamment rejeté le recours formé le 31 août 2020 par A._ et fixé l'ouverture de la faillite de cette dernière au 6 novembre 2020 à 12h00.
C.
Par acte posté le 30 novembre 2020, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 6 novembre 2020, avec requête d'effet suspensif. Elle conclut principalement à l'annulation du jugement de faillite du 21 août 2020. Subsidiairement, elle sollicite le renvoi de la cause à l'ARMC pour nouvelle décision dans ce sens.
Des observations sur le fond n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance présidentielle du 18 décembre 2020, l'effet suspensif a été attribué au recours en ce sens que le prononcé de la faillite reste en force mais qu'aucun acte d'exécution de la décision attaquée ne doit être entrepris, les éventuelles mesures conservatoires déjà prises par l'office en vertu des art. 162 ss, 170, 174 al. 3 et 221 ss LP demeurant toutefois en vigueur.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours a été déposé à temps (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2) qui confirme, en dernière instance cantonale et sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF), la faillite de la recourante (<ref-law>). Il est ouvert quelle que soit la valeur litigieuse (art. 74 al. 2 let. d LTF). La recourante, qui a pris part à la procédure devant la juridiction précédente et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt attaqué, a qualité pour recourir (<ref-law>).
1.2. Par courrier de son conseil du 11 décembre 2020, la recourante s'est étonnée de ce que B._ soit considéré par le Tribunal de céans comme un " autre participant à la procédure " et qu'un délai lui ait été octroyé pour se déterminer sur la requête d'effet suspensif: ayant retiré sa réquisition de faillite, ce dernier n'était plus partie à la procédure. Dès lors que le retrait de la réquisition de faillite n'a pas été produit en instance cantonale dans le délai de recours de 10 jours de l'<ref-law> (cf. supra let. B.c et infra consid. 3) et qu'il ne peut de toute manière être invoqué devant le Tribunal fédéral pour mettre fin à la procédure collective (cf. arrêts 5A_354/2016 du 22 novembre 2016 consid. 2.2.1; 5A_300/2016 du 14 octobre 2016 consid. 2.2), la critique de la recourante apparaît dénuée de toute pertinence.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit, sous peine d'irrecevabilité, satisfaire au principe d'allégation (cf. supra consid. 2.1).
En l'espèce, la partie " En fait " du recours (p. 4-8) sera ignorée en tant que les éléments qui y sont exposés s'écartent de ceux contenus dans l'arrêt attaqué et que la recourante n'invoque, ni a fortiori ne démontre, leur établissement arbitraire ou que leur correction influerait sur le sort de la cause, étant précisé que le grief de constatation arbitraire des faits qu'elle soulève dans la partie de son recours consacrée à la démonstration de la vraisemblance de sa solvabilité est sans pertinence pour l'issue du litige (cf. infra consid. 3.4).
2.3. Contrairement à ce que prévoit l'<ref-law> pour la procédure de recours cantonale, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>; arrêt 5A_243/2019 du 17 mai 2019 consid. 2.3 et les références). Cette exception, dont il appartient aux parties de démontrer que les conditions sont remplies (<ref-ruling> consid. 1.2 et la référence; arrêt 5A_904/2015 du 29 septembre 2016 consid. 2.3, non publié in <ref-ruling>, et les références), vise les faits qui sont rendus pertinents pour la première fois par la décision attaquée, par exemple concernant le déroulement de la procédure devant l'instance précédente afin d'en contester la régularité, ou des faits postérieurs à l'arrêt attaqué permettant d'établir la recevabilité du recours ou encore qui sont propres à contrer une argumentation de l'autorité précédente objectivement imprévisible pour les parties avant la réception de la décision (arrêt 5A_904/2015 précité loc. cit.). En dehors de ces cas, les nova ne sont pas admissibles, qu'il s'agisse de faits ou moyens de preuve survenus postérieurement à la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 5.2.4; <ref-ruling> consid. 1.2 et les références), ou d'éléments que les parties ont négligé de présenter aux autorités cantonales (<ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 4.4.3; arrêt 5A_1000/2018 du 3 mai 2019 consid. 2.3).
En l'occurrence, quoi qu'en dise la recourante, les pièces nouvelles qu'elle a produites à l'appui de son recours n'entrent pas dans l'exception susmentionnée. Elles sont donc irrecevables, tout comme les allégations y relatives.
3.
La recourante se plaint d'une violation de l'<ref-law>, qui aurait été appliqué de manière contraire au principe de l'interdiction du formalisme excessif (déni de justice formel, art. 29 al. 1 Cst.) et à celui de l'égalité de traitement (art. 8 al. 1 Cst.). En substance, elle considère que l'autorité cantonale aurait dû considérer que le retrait de la réquisition de faillite, produit dans un délai octroyé pour formuler des observations, était intervenu " en temps suffisamment utile " pour qu'il puisse être retenu que la condition fixée par l'<ref-law> était en l'occurrence réalisée.
3.1.
3.1.1. En vertu de l'<ref-law>, l'autorité de recours peut annuler l'ouverture de la faillite lorsque le débiteur rend vraisemblable sa solvabilité et établit par titre que la dette, intérêts et frais compris, a été payée (ch. 1) ou que la totalité de la somme à rembourser a été déposée auprès de l'autorité judiciaire supérieure à l'intention du créancier (ch. 2), ou encore que celui-ci a retiré sa réquisition de faillite (ch. 3). Ces deux conditions, soit le paiement de la dette à l'origine de la faillite, le dépôt de la totalité de la somme à rembourser ou le retrait de la requête de faillite et la vraisemblance de la solvabilité, sont cumulatives (arrêt 5A_801/2014 du 5 décembre 2014 consid. 6.1 et les arrêts cités).
3.1.2. Aux termes de l'art. 174 al. 1 2ème phr. LP, les parties peuvent faire valoir devant l'instance de recours des faits nouveaux lorsque ceux-ci se sont produits avant le jugement de première instance. Cette disposition spéciale de la loi, au sens de l'<ref-law>, vise les faits nouveaux improprement dits (faux nova ou pseudo- nova), à savoir ceux qui existaient déjà au moment de l'ouverture de la faillite et dont le premier juge n'a pas eu connaissance pour quelque raison que ce soit; ces faits peuvent être invoqués sans restriction et prouvés par pièces, pour autant qu'ils le soient dans le délai de recours (<ref-ruling> consid. 4.4; arrêt 5A_243/2019 du 17 mai 2019 consid. 3.1 et l'autre référence, publié in SJ 2019 I p. 376). Aux termes de l'<ref-law>, le failli peut aussi invoquer de vrais nova, à savoir les faits, intervenus après l'ouverture de la faillite en première instance, qui sont énumérés aux chiffres 1 à 3; selon la jurisprudence, ces vrais nova doivent également être produits avant l'expiration du délai de recours (<ref-ruling> consid. 4.4; <ref-ruling> consid. 3; arrêts 5A_243/2019 précité loc. cit.; 5A_899/2014 du 5 janvier 2015 consid. 3.1, publié in SJ 2015 I p. 437). En vertu de la lettre claire de l'<ref-law>, aucun autre novum n'est admissible (arrêts 5A_252/2020 du 18 juin 2020 consid. 4.1.2; 5A_243/2019 précité loc. cit. et les références). L'octroi d'un délai pour se déterminer sur l'extrait du registre des poursuites et des actes de défaut de biens requis d'office et joint au dossier n'a pas pour effet de prolonger le délai de recours ni d'instituer un délai supplémentaire pour produire des pièces (arrêts 5A_1009/2017 du 16 février 2018 consid. 2.3; 5A_681/2016 du 24 novembre 2016 consid. 3.1.3 et 3.3.2). Il doit a fortiori en aller de même dans l'hypothèse où d'autres délais pour se déterminer seraient encore octroyés par l'autorité de recours.
3.2. L'autorité cantonale a considéré que la question de la solvabilité de la recourante - brièvement examinée à titre liminaire - pouvait demeurer indécise, dès lors que la première condition fixée par l'<ref-law> n'était de toute façon pas remplie. La recourante ne démontrait pas, ni même ne prétendait, avoir, dans le délai de 10 jours à compter de la notification du jugement de première instance, établi par titre que la dette ayant conduit à sa faillite (intérêts et frais compris) aurait été payée (<ref-law>) ou que, dans le même délai, le créancier concerné aurait retiré sa réquisition de faillite (<ref-law>). Elle ne soutenait pas non plus avoir - toujours dans le même délai et, par précaution, dans l'attente d'une éventuelle transaction ultérieure prévoyant le retrait de la réquisition de faillite - déposé la totalité du montant à rembourser auprès de l'autorité judiciaire supérieure à l'intention du créancier (<ref-law>). Ce n'était finalement que le 12 octobre 2020 que les parties avaient conclu une convention et le 13 octobre 2020 que l'intimé avait adressé un courrier à l'office des poursuites pour retirer sa poursuite, alors que le délai de recours courrait jusqu'au 7 septembre 2020.
L'autorité cantonale a encore rappelé que, selon sa pratique, elle tolérait que certaines pièces soient produites dans le délai fixé à la partie recourante pour faire parvenir des observations et qu'elle n'admettait une extension de ce délai, " pour permettre à la partie d'établir la réalisation de la seconde condition de l'art. 174 al. 2 (ch. 1-3) LP ", que de manière restrictive. Le cas d'espèce ne pouvait toutefois être comparé aux situations exceptionnelles ayant justifié une (légère) extension du délai, de telles exceptions apparaissant de toute façon " aujourd'hui " exclues par l'<ref-law>.
3.3. La recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir refusé de prendre en compte la convention passée entre les parties le 12 octobre 2020 ainsi que le retrait de la réquisition de faillite du 13 octobre 2020 au motif que ceux-ci étaient postérieurs à l'échéance du délai de recours contre le prononcé de faillite. Elle relève que les pièces litigieuses avaient été produites dans le délai de 10 jours qui lui avait été imparti pour formuler des observations sur celles de l'intimé du 2 octobre 2020. En les considérant comme tardives, l'autorité cantonale n'avait pas appliqué sa propre jurisprudence, consacrant ainsi une inégalité de traitement, et, dans le même temps, violé l'<ref-law> en faisant montre d'un formalisme excessif dans l'application de cette norme. Le refus de prendre en compte le retrait de la réquisition de faillite, produit dans un délai octroyé par l'autorité cantonale pour déposer des observations, n'était justifié par aucun intérêt digne de protection. Les effets désastreux engendrés par l'arrêt querellé - qui avait notamment compromis les négociations menées avec C._ sur le point d'aboutir à une convention de paiement permettant de solder l'ensemble de ses dettes - apparaissaient totalement disproportionnés par rapport à l'intérêt que l'autorité cantonale pouvait avoir in casu " de faire preuve d'un excès de rigueur dans l'application de l'<ref-law> ".
3.4. C'est à tort que la recourante prétend qu'elle pouvait valablement se prévaloir du fait que le créancier avait retiré sa réquisition de faillite. Selon la jurisprudence bien établie du Tribunal fédéral, seule pertinente, même interprété largement, l'<ref-law> ne saurait être compris en ce sens qu'il autoriserait le débiteur à produire des pièces et à faire valoir des moyens une fois échu le délai de recours de l'<ref-law> (cf. supra consid. 3.1.2; voir en outre l'arrêt 5A_681/2016 du 24 novembre 2016 consid. 3.1.3). Or il est en l'espèce constant que le retrait de la réquisition de faillite n'est pas intervenu dans le délai de recours. Il apparaît ainsi, comme l'autorité cantonale l'a constaté à bon droit, que l'une des deux conditions cumulatives posées par la loi pour pouvoir annuler la faillite n'est pas réalisée, la recourante ne contestant par ailleurs pas qu'elle n'a pas établi avoir réglé, depuis le jugement prononçant sa faillite, la poursuite à l'origine de celle-ci. Dans ces conditions, l'arrêt querellé ne peut qu'être confirmé et il est inutile d'examiner les griefs que la recourante fait valoir en lien avec la motivation des juges cantonaux relative à sa solvabilité (recours, ch. 3 p. 13-16).
4.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité. La recourante, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimé, qui a renoncé à se déterminer sur effet suspensif et qui n'a pas été invité à se prononcer sur le fond (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
L'octroi de l'effet suspensif ne se rapporte qu'aux mesures d'exécution, ce qui dispense de fixer à nouveau la date de l'ouverture de la faillite (arrêts 5A_181/2018 du 30 avril 2018 consid. 4; 5A_93/2018 du 18 avril 2018 consid. 5 et les références).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à l'Office des faillites du canton de Neuchâtel, à l'Office du Registre du commerce du canton de Neuchâtel, à l'Office des poursuites du canton de Neuchâtel, à la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage, au Service de la géomatique et du registre foncier et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 19 janvier 2021
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Hildbrand