Erwägungen:
1.
Das Einzelgericht des Bezirks Zürich verurteilte A._ mit Urteil vom 11. Dezember 2019 wegen fahrlässigen Lenkens eines Motorfahrzeugs in fahrunfähigem Zustand unter Alkoholeinwirkung zu einer Busse von Fr. 600.--. Am 30. Dezember 2019 erhob A._ Beschwerde und "Mängelrüge". Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich trat mit Verfügung vom 16. Januar 2020 auf ein Gesuch um Bestellung einer amtlichen Verteidigung für das Strafverfahren nicht ein, schrieb das Beschwerdeverfahren betreffend eine Verfügung des Einzelgerichts des Bezirks Zürich vom 10. Dezember 2019 zufolge Gegenstandslosigkeit als erledigt ab und trat im Übrigen auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass ein Sachurteil eines erstinstanzlichen Gerichts mit Berufung anzufechten sei. A._ habe denn auch eine Berufungserklärung abgegeben. Somit sei mangels Zuständigkeit der Beschwerdekammer auf die Beschwerde bzw. "Mängelrüge" nicht einzutreten. Auch komme der Beschwerdekammer keine Disziplinarkompetenz zu, weshalb auf den Antrag, das Bezirksgericht und das Statthalteramt seien zu rügen, ebenfalls nicht einzutreten sei. Ein Gesuch um Bestellung einer amtlichen Verteidigung sei bei der im jeweiligen Verfahrensstadium zuständigen Verfahrensleitung, somit vorliegend beim Sachgericht, zu stellen. Sein Gesuch um "Akteneinsicht beim Bezirksgericht Zürich" sei direkt bei diesem zu stellen, welches die Akten momentan zur Begründung seines Entscheids benötige.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 26. Februar 2020 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 16. Januar 2020. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Die III. Strafkammer legte dar, weshalb sie sich für die Behandlung der vom Beschwerdeführer eingereichten Eingabe als unzuständig erachtete. Damit setzt sich der Beschwerdeführer überhaupt nicht auseinander und vermag mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die III. Strafkammer seine Beschwerde rechts- bzw. verfassungswidrig behandelt haben sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Statthalteramt Bezirk Zürich, dem Bezirksgericht Zürich, 10. Abteilung, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli