Sachverhalt:
A.
A.a. B._ reichte beim Regionalen Betreibungsamt U._ gegen A._ ein Betreibungsbegehren auf Zahlung von Fr. 28'817.60 ein. Dieser erhob gegen den daraufhin in der Betreibung Nr. xxx ausgestellten Zahlungsbefehl vom 21. Juni 2017 Rechtsvorschlag.
A.b. Am 26. Januar 2018 verlangte B._ als Gesuchstellerin beim Bezirksgericht Bremgarten die definitive Rechtsöffnung. Sie stützte sich dabei auf einen Beschluss des Landesgerichts Innsbruck vom 25. November 2016, in welchem A._ verpflichtet wurde, ihr für den Zeitraum vom 1. Mai 2013 bis zum 31. August 2016 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von EUR 728.-- und ab 1. September 2016 einen solchen von EUR 800.-- zu bezahlen.
B.
Mit Entscheid vom 19. April 2018 erteilte das Bezirksgericht Bremgarten B._ die definitive Rechtsöffnung für die in Betreibung gesetzte Forderung (Fr. 28'817.60).
C.
Am 30. April 2018 (Postaufgabe) erhob A._ gegen den Rechtsöffnungsentscheid fristgerecht Beschwerde. Mit Entscheid vom 19. Juni 2018, welcher A._ am 29. Juni 2018 zugestellt wurde, wies das Obergericht des Kantons Aargau die Beschwerde ab.
D.
Mit Eingabe vom 30. Juli 2018 (Postaufgabe) ist A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht gelangt. Am 18. August 2018 (Postaufgabe) bestätigte er dem Bundesgericht, dass er gegen den obergerichtlichen Entscheid Beschwerde erhebe. Die Instruktionsrichterin wies den Beschwerdeführer mit Schreiben vom 21. August 2018 darauf hin, dass die Beschwerdefrist als gesetzliche Frist nicht erstreckt werden kann, er aber die Möglichkeit hat, seine Beschwerde innert der durch die Gerichtsferien verlängerten Frist zu ergänzen. Daraufhin reichte der Beschwerdeführer am 23. August 2018 und am 29. August 2018 eine Beschwerdeergänzung ein. Es folgten zahlreiche weitere Eingaben.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil des Obergerichts als kantonaler Rechtsmittelinstanz über die Rechtsöffnung, mithin ein Entscheid in einer Schuldbetreibungs- und Konkurssache (Art. 72 Abs. 2 lit. a und Art. 75 BGG). Der Streitwert erreicht den für eine Beschwerde in Zivilsachen erforderlichen Betrag von Fr. 30'000.-- nicht (<ref-law>). Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird vom Beschwerdeführer nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit unzulässig und die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (<ref-law>). Die durch die Gerichtsferien verlängerte Beschwerdefrist von dreissig Tagen ist am 30. August 2018 abgelaufen (Art. 117 i.V.m. Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG). Soweit der Beschwerdeführer den angefochtenen Entscheid in späteren Eingaben beanstandet, sind seine Beanstandungen daher nicht mehr zu berücksichtigen.
1.2. In einer subsidiären Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368). Das Bundesgericht legt seinem Entscheid den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>).
2.
Das Obergericht hat erwogen, die Gesuchstellerin habe als Rechtsöffnungstitel einen Beschluss des Landesgerichts Innsbruck als Rekursgericht vom 25. November 2016 eingereicht. Dieser Beschluss sei seit dem 28. Dezember 2016 rechtskräftig und vollstreckbar, könne nach Massgabe des Lugano-Übereinkommens (LugÜ, SR 0275.12) auch in der Schweiz vollstreckt werden und bilde demnach einen definitiven Rechtsöffnungstitel im Sinn von <ref-law> für den gemäss Zahlungsbefehl vom 21. Juni 2017 für den Zeitraum vom 1. Mai 2013 bis 31. August 2016 verlangten Unterhaltsbeitrag von insgesamt Fr. 28'817.60. Der Beschwerdeführer habe zudem weder beanstandet, das Bezirksgericht habe den Beschluss des Landesgerichts Innsbruck vom 25. November 2016 zu Unrecht als definitiven Rechtsöffnungstitel qualifiziert, noch Einwendungen im Sinne von <ref-law> geltend gemacht. Insbesondere habe er nicht vorgebracht, er habe Urkunden eingereicht, die beweisen, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids getilgt oder gestundet worden sei. Seine Vorbringen würden sich vielmehr gegen die materielle Richtigkeit des Beschlusses des Landesgerichts Innsbruck richten. Mit der materiellen Richtigkeit des Beschlusses aber habe sich der Rechtsöffnungsrichter nicht zu befassen. Die Beschwerde sei deshalb abzuweisen.
3.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit diesen Erwägungen nicht auseinander. Soweit er etliche Fragen familienrechtlicher Natur überprüft wissen möchte und eine aussergerichtliche Einigung offeriert, missversteht er den Zweck eines definitiven Rechtsöffnungsverfahrens. Wie ihm bereits die Vorinstanz erörtert hat, ist es dem Rechtsöffnungsrichter verwehrt, das vorgelegte Urteil auf seine materielle Richtigkeit hin zu überprüfen (<ref-ruling> E. 2.3 S. 318 f.). Da der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht den Anforderungen von <ref-law> entsprechend begründet, inwiefern durch die obergerichtliche Bestätigung der Rechtsöffnung seine verfassungsmässigen Rechte verletzt worden sein könnten, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
4.
Ausnahmsweise wird auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Entschädigung zuzusprechen, da sie im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Vernehmlassung eingeladen wurde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juli 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss