Faits :
A.
A._ a intégré dès le semestre d'automne 2016 le programme de bachelor en sciences politiques dispensé par la Faculté des sciences sociales et politiques de l'Université de Lausanne (ci-après : la Faculté de SSP). Après s'être retrouvé en situation d'échec définitif dans ce cursus, il a requis son admission en programme de bachelor en sciences sociales, toujours au sein de la même faculté. Par décision du 9 octobre 2017, la Faculté des SSP a accepté la demande de transfert de l'intéressé, avisant toutefois ce dernier qu'en raison de son échec définitif lors de son précédent cursus, il ne disposerait que d'une seule tentative aux examens de fin de première année.
Lors de la session d'été 2018, A._ a échoué au contrôle continu du cours "Introduction à la psychologie sociale", obtenant la note finale de 2. Cette note correspondait à la moyenne des résultats obtenus lors du premier, respectivement du deuxième contrôle continu, qui ont eu lieu en décembre 2017, respectivement le 25 mai 2018.
B.
Par décision du 12 juillet 2018, au regard de la note éliminatoire obtenue par A._, la Faculté des SSP a prononcé son échec définitif au programme de bachelor en sciences sociales.
Le 13 août 2018, A._ a contesté cet échec définitif auprès de la Commission de recours de la Faculté des SSP, au motif notamment qu'il avait été induit en erreur par les indications figurant sur la plateforme Moodle du cours "Introduction à la psychologie sociale" et qu'il n'avait appris qu'à la mi-mai 2018 que le deuxième contrôle continu dudit cours, initialement prévu le 1er juin 2018, avait été avancé au 25 mai 2018, ce qui l'avait empêché de préparer son examen dans de bonnes conditions.
Dans le cadre de la procédure, le Professeur du cours litigieux a produit un rapport daté du 21 août 2018, dont la teneur est la suivante:
"Depuis 2008, j'utilise le contrôle continu comme modalité d'examen. (...) En règle générale, les contrôles continus respectifs ont lieu durant le dernier cours des deux semestres, donc avant Noël et à la fin mai.
Les dates des contrôles continus sont annoncées pour la première fois durant le premier cours en septembre. Elles figurent dans la présentation PowerPoint qui est mise en ligne sur la plateforme Moodle au plus tard le jours du cours. La date des contrôles continus est en outre rappelée régulièrement durant le cours, avec ou sans diapositive. C'est d'autant plus important que la présence au contrôle continu est nécessaire pour réussir l'examen, car aucun rattrapage n'est possible durant l'année. Environ un mois avant le contrôle continu, j'ajoute une nouvelle section sur la plateforme Moodle qui contient toutes les informations pour le contrôle continu (date, salle, plan de la salle, emplacement des étudiants dans la salle, consignes du contrôle continu).
En ce qui concerne le cours de l'année 2017-2018, la date du 1er juin pour le deuxième contrôle continu était malencontreusement annoncée dans un premier temps, avant que Mme (...) du décanat SSP me signale au mois d'octobre 2017 que (...) le contrôle continu ne pouvait pas avoir lieu à cette date. (...)
Dès que la nouvelle date du 25 mai 2018 était connue, je l'ai annoncé à de nombreuses reprises au cours, à partir d'octobre 2017. Ce changement de date était par la suite indiqué sur le document de présentation du cours ainsi que sur la section de Moodle consacrée au deuxième contrôle. Si je ne peux pas avancer avec certitude la date exacte de ces deux changements sur Moodle (...), je suis cependant certain que c'était bien avant la date indiquée par A._ dans sa lettre de recours (15 mai). Le changement de date était donc connu par les étudiants qui suivaient le cours depuis le mois d'octobre 2017, et par ceux qui ne le suivaient pas plusieurs semaines à l'avance. (...) ".
Par décision du 30 août 2018, la Commission de recours de la Faculté des SSP a rejeté le recours de l'intéressé.
A._ a interjeté un recours contre la décision précitée auprès de la Direction de l'Université de Lausanne. Dans le cadre de la procédure, il a été établi que le changement de date, sur la plateforme Moodle, du second contrôle continu du cours "Introduction à la psychologie sociale" avait été effectué au plus tard le 4 mai 2018.
Par décision du 10 décembre 2018, la Direction de l'Université de Lausanne a rejeté le recours de l'intéressé. Le 20 décembre 2018, ce dernier a recouru contre ce prononcé auprès de la Commission de recours de l'Université de Lausanne, qui l'a rejeté par arrêt du 12 avril 2019. Le recours formé par A._ contre cette décision auprès de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après : le Tribunal cantonal) a été rejeté par arrêt du 19 août 2019.
C.
Contre l'arrêt du 19 août 2019 du Tribunal cantonal, A._ forme un "recours administratif" auprès du Tribunal fédéral. Il sollicite l'effet suspensif et l'octroi de l'assistance judiciaire. Il se plaint de la violation du droit à la protection de la bonne foi et de son droit d'être entendu.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et s'en remet à justice quant à la requête d'effet suspensif. Dans le délai (prolongé) qui lui a été imparti, la Direction de l'Université de Lausanne se réfère à l'arrêt entrepris et conclut au rejet du recours et de la requête d'effet suspensif. Le recourant formule des observations complémentaires.
Par ordonnance du 18 octobre 2019, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a refusé d'accorder l'effet suspensif au recours. Le 23 octobre 2019, le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à exiger une avance de frais et a indiqué à A._ qu'il serait statué ultérieurement sur l'octroi de l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>). Il contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. Le recourant a formé un "recours administratif" au Tribunal fédéral. Cette voie de droit n'existe cependant plus depuis l'entrée en vigueur, le 1er janvier 2007, de la loi du 17 juin 2005 sur le Tribunal fédéral (LTF; RS 173.110). Cette méprise ne doit néanmoins pas être préjudiciable au recourant si les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté sont réunies (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 382 et les arrêts cités). Il convient dès lors d'examiner si, nonobstant son intitulé, le recours est recevable comme recours en matière de droit public au sens des <ref-law>.
1.2. La présente cause relève du droit public (<ref-law>). Le recours ne tombe par ailleurs pas sous le coup de l'exception prévue à l'art. 83 let. t LTF. En effet, bien que l'échec définitif du recourant découle de la note insuffisante obtenue dans ses contrôles continus et résulte donc d'une évaluation de ses aptitudes intellectuelles (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 44 et les arrêts cités), les griefs ne concernent pas cette évaluation, mais ont trait à la prétendue violation du droit à la protection de la bonne foi et du droit d'être entendu du recourant. La voie du recours en matière de droit public est par conséquent ouverte.
1.3. Selon l'<ref-law>, le mémoire de recours doit indiquer les conclusions, les motifs et les moyens de preuve. En l'occurrence, le recourant n'a pas pris de conclusions formelles, ce qui devrait conduire à l'irrecevabilité de son recours. On comprend toutefois aisément, à la lecture de son écriture, qu'il tend, principalement, à ce que l'arrêt entrepris soit annulé et à ce qu'il puisse se présenter à nouveau au deuxième contrôle continu du cours "Introduction à la psychologie sociale"; subsidiairement, à ce que la note de 3.5 obtenue dans son cours "Sociologie générale", suivi lors de son précédent cursus bachelor en sciences politiques, soit validée à titre exceptionnel et gracieux. Dans ces circonstances, il convient de ne pas se montrer trop formaliste, dès lors que le recourant agit en personne (cf. <ref-ruling> consid. 3.2 p. 52; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 317).
1.4. Pour le surplus, déposé en temps utile (<ref-law>), contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'<ref-law>, le présent recours est recevable en tant que recours en matière de droit public.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Conformément à l'<ref-law>, il ne connaît de la violation des droits fondamentaux et du droit cantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, à savoir exposé de manière claire et détaillée (cf. <ref-ruling> consid. 1.7.2 p. 106; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 41).
2.2. Pour statuer, le Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'instance précédente (<ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244; <ref-ruling> consid. 2 p. 117) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>), ce que le recourant doit démontrer (cf. <ref-law>). Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergeant de celui qui est contenu dans l'acte attaqué. En particulier, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur des critiques de type appellatoire portant sur l'état de fait ou sur l'appréciation des preuves (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375 et les arrêts cités). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>). Il découle notamment de cette règle qu'il n'est pas possible de présenter devant le Tribunal fédéral des pièces que l'on a négligé de produire devant l'autorité précédente (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 129; <ref-ruling> consid. 2.2 p. 629).
En l'occurrence, dans la mesure où le recourant présente et complète dans son mémoire de recours les faits constatés dans l'arrêt attaqué, sans qu'il soit indiqué que ceux-ci seraient manifestement inexacts ou arbitraires au sens de l'art. 9 Cst., en violation des exigences accrues de motivation de l'<ref-law>, les éléments que l'intéressé avance ne seront pas pris en considération. Le Tribunal fédéral statuera donc sur la base des faits retenus dans l'arrêt entrepris. Par ailleurs, hormis deux pièces (n° 5 et 8) figurant déjà au dossier, le recourant produit neuf pièces à l'appui de son recours, sans expliquer ce qui l'aurait empêché de les obtenir et de les produire en temps utile devant l'instance précédente, soulignant au contraire n'avoir pas "pensé les joindre au dossier". La Cour de céans n'en tiendra dès lors également pas compte.
3.
Dans un grief formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant se plaint d'une violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst. et 27 al. 2 Cst./VD).
3.1. Le droit d'être entendu découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. comprend pour le justiciable le droit d'obtenir l'administration des preuves pertinentes et valablement offertes, de participer à l'administration des preuves essentielles et de se déterminer sur son résultat lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 222; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 298 s.). Le recourant ne prétend pas que l'art. 27 al. 2 Cst./VD irait plus loin que les principes déduits de l'art. 29 al. 2 Cst. C'est donc sur le vu de ces seuls principes qu'il y a lieu de statuer.
3.2. L'intéressé soutient tout d'abord qu'il est "victime des déterminations" des autorités précédentes, en tant que celles-ci "se [sont basées] sur le fait [qu'il ne serait] pas allé à tous les cours de psychologie sociale (...) pour estimer qu['il] ne mérit[ait] pas d'être protégé dans [sa] bonne foi". Sous couvert d'une violation de son droit d'être entendu, le recourant critique en réalité l'établissement des faits par les juges précédents. Il méconnaît toutefois que le Tribunal ne revoit l'établissement des faits et l'appréciation des preuves que sous l'angle restreint de l'arbitraire (cf. supra consid. 2.2). Or, comme souligné précédemment, le recourant n'a jamais invoqué l'arbitraire, et encore moins démontré que les faits retenus par le Tribunal cantonal auraient été établis de manière insoutenable ou en violation du droit. Le grief est partant rejeté.
3.3. Le recourant voit ensuite une violation de son droit d'être entendu en tant qu'il affirme avoir encore "d'autres preuves pour démontrer [sa] bonne foi" et souhaite "que [sa] condition d'étudiant soit entendue, respectée et prise en compte". Le grief tombe à faux. Le recourant ne prétend pas avoir été empêché de présenter une preuve, pas plus que la cour cantonale lui aurait refusé l'administration d'une preuve offerte, de sorte que l'on peine à comprendre en quoi son droit d'être entendu aurait été violé. Pour le surplus, force est de constater que l'intéressé ne développe aucune motivation par rapport aux preuves qu'il souhaiterait encore apporter, étant rappelé que celles fournies à l'appui de son recours sont irrecevables (cf. supra consid. 2.2).
3.4. Infondé, le grief de violation du droit d'être entendu est rejeté.
4.
Au fond, le recourant soutient que l'arrêt entrepris viole le principe de la bonne foi (art. 5 al. 3 Cst. et 9 Cst.).
4.1. Conformément à l'art. 5 al. 3 Cst., tant les organes de l'Etat que les particuliers doivent s'abstenir d'adopter un comportement contradictoire ou abusif (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 5.2 p. 261). De ce principe général découle notamment le droit, consacré à l'art. 9 in fine Cst., du particulier d'exiger, à certaines conditions, que les autorités se conforment aux promesses ou assurances précises qu'elles lui ont faites et ne trompent pas la confiance qu'il a légitimement placée dans ces promesses et assurances (<ref-ruling> consid. 8.3.1 p. 53 et les arrêts cités). Parmi les conditions, cumulatives, fixées par la jurisprudence, figure celle voulant que l'administré n'ait pas pu se rendre compte immédiatement de l'inexactitude du renseignement obtenu (<ref-ruling> consid. 6.2 p. 538; pour une énumération complète des conditions de la bonne foi, cf. <ref-ruling> consid. 3.6.2 p. 193 et les références et arrêts cités). En d'autres termes, le droit à la protection de la bonne foi n'est protégé qu'à la condition que son titulaire soit lui-même de bonne foi, ce qui n'est pas le cas s'il pouvait se rendre compte, en faisant preuve de diligence raisonnable, de l'erreur de l'autorité (cf. <ref-ruling> consid. 131 p. 203; arrêt 2C_706/2018 du 13 mai 2019 consid. 3.1. et les références citées).
Le droit à la protection de la bonne foi peut aussi être invoqué en présence simplement d'un comportement de l'administration, pour autant que celui-ci soit susceptible d'éveiller chez l'administré une attente ou une espérance légitime (cf. <ref-ruling> consid. 7.1 p. 381; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 170). La précision que l'attente ou l'espérance doit être "légitime" est une autre façon de dire que l'administré doit avoir eu des raisons sérieuses d'interpréter comme il l'a fait le comportement de l'administration et d'en tirer les conséquences qu'il en a tirées. Tel n'est notamment pas le cas s'il apparaît, au vu des circonstances, qu'il devait raisonnablement avoir des doutes sur la signification du comportement en cause et se renseigner à ce sujet auprès de l'autorité (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 203; arrêt 2C_1013/2015 du 28 avril 2016 consid. 3.1).
4.2. En l'espèce, il est exact que le Professeur du cours "Introduction à la psychologie sociale" a tout d'abord annoncé la date du 1er juin 2017 pour le contrôle continu litigieux, avant de prendre connaissance de la nouvelle date, fixée au 25 mai 2017, au mois d'octobre 2017. Il est tout aussi certain que, quand bien même ledit Professeur a communiqué, à partir de ce moment-là et à de nombreuses reprises lors de ses cours, le changement de date dudit contrôle, la nouvelle date n'a été introduite sur Moodle que le 4 mai 2018 au plus tard, soit trois semaines avant que le contrôle continu n'ait lieu. Pour autant, le recourant ne saurait bénéficier du droit à la protection de la bonne foi.
En effet, il ressort des constatations cantonales, qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>) et que le recourant ne remet pas en question sous l'angle de l'arbitraire (<ref-law>; cf. supra consid. 2.2), que le changement de date d'examen a été régulièrement communiqué durant les cours. L'intéressé reconnaît par ailleurs en avoir pris connaissance à ces occasions, précisant que, s'il n'avait pas assisté à tous les cours, il en avait néanmoins suivi un certain nombre (cf. arrêt entrepris consid. 5b p. 9). Il indique toutefois que, n'ayant plus souvenir du changement intervenu, il s'était fié, vers la fin du mois d'avril 2018, aux indications erronées figurant sur la plateforme Moodle, qui n'avaient pas encore été modifiées (ibid.).
Dans ces conditions, le recourant ne saurait être suivi lorsqu'il allègue qu'aucune négligence ne peut lui être reprochée, au motif notamment que l'information mise sur la plateforme Moodle est "plus fiable que son propre agenda étant donné que c'est le Professeur qui met ses informations". En effet, dans la mesure où il admet avoir été averti de la nouvelle date d'examen lors des cours, mais avoir ensuite oublié le changement intervenu, force est de constater que l'intéressé était en mesure de se rendre immédiatement compte que la date figurant sur Moodle était erronée ou, à tout le moins, s'il avait fait preuve de la diligence que l'on pouvait raisonnablement attendre de lui, d'émettre des doutes quant à son exactitude et, partant, se renseigner à ce sujet auprès de son Professeur ou de ses assistants. Le fait que le recourant, au moment de la consultation de la plateforme en question, ne se rappelait plus de la date exacte de son contrôle relève de sa propre responsabilité.
De la même manière, il n'est pas possible de retenir que l'absence de correction sur la plateforme Moodle, au plus tard jusqu'au 4 mai 2018, de la date erronée de l'examen était susceptible d'éveiller chez le recourant une espérance légitime que le contrôle litigieux allait se dérouler le 1er juin 2018. D'une part, comme souligné précédemment, au vu des annonces de correctif effectuées durant les cours auxquels l'intéressé était présent, ce dernier ne peut avoir eu des raisons sérieuses de se fier uniquement, comme il l'a fait, à la date figurant sur Moodle. D'autre part, il ressort de l'arrêt entrepris que le Professeur ajoutait sur Moodle toutes les informations relatives au contrôle continu "environ un mois avant le contrôle continu" (cf. arrêt entrepris consid. C). A cet égard, la nouvelle date d'examen a été introduite sur Moodle au plus tard trois semaines avant la tenue de l'examen, respectivement quatre semaines avant la date initiale de l'examen dont entend se prévaloir le recourant. Si l'on peut regretter que la mise à jour de la date sur Moodle ne soit pas intervenue plus tôt, en particulier vis-à-vis des étudiants qui n'assistent pas aux cours et dépendent dès lors des informations inscrites sur Moodle, on ne peut toutefois pas considérer que celle-ci ait été effectuée si tardivement qu'elle permettait au recourant de s'attendre légitimement à ce que l'examen ait lieu à une autre date que celle annoncée lors des cours. Le comportement du Professeur ne suffit pas dès lors pas, dans le cas du recourant, dont il a été constaté qu'il avait assisté aux cours, pour en conclure à une violation du principe de la bonne foi.
4.3. Partant, il n'est pas nécessaire d'examiner si, comme le prétend l'intéressé, celui-ci avait pris des dispositions irréversibles auxquelles il n'aurait pu renoncer sans subir de préjudice. Le grief tiré de la bonne foi est donc mal fondé.
5.
Les considérants qui précédent conduisent au rejet du recours, envisagé comme un recours en matière de droit public.
Celui-ci était d'emblée dénué de chances de succès, de sorte que la requête d'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral est également rejetée (<ref-law>). Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires, qui seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Université de Lausanne, Faculté des sciences sociales et politiques SSP, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à la Direction de l'Université de Lausanne.
Lausanne, le 17 janvier 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Rastorfer