Erwägungen:
1.
Die Beschwerdeführerin reichte am 8. Oktober 2020 beim Bezirksgericht Bülach eine Klage gegen die weitere Verfahrensbeteiligte, ihre eigene Motorfahrzeugversicherung, ein, mit der sie beantragte, diese sei zur Zahlung eines nach richterlichem Ermessen festzusetzenden Betrages von mindestens Fr. 30'000.-- nebst Zins an sie zu verpflichten. Sie ersuchte um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Diesem Gesuch gab das Bezirksgericht mit Beschluss vom 6. November 2020 statt. Mit Verfügung vom 28. September 2021 entzog das prozessleitende Mitglied des Bezirksgerichts der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege per 21. August 2021.
Dagegen erhob die Beschwerdeführerin beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde und ersuchte auch für das Beschwerdeverfahren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege und um Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands. Das Obergericht hiess die Beschwerde mit Urteil vom 16. November 2021 gut und hob die Verfügung vom 28. September 2021 auf (Urteilsdispositiv Ziffer 1). Ferner erkannte es, dass die Entscheidgebühr für das Beschwerdeverfahren ausser Ansatz falle (Urteilsdispositiv Ziffer 2) und keine Parteientschädigungen gesprochen würden (Urteilsdispositiv Ziffer 3). Mit gleichzeitig gefälltem Beschluss bestimmte das Obergericht u.a., dass Rechtsanwalt lic.iur. Michael Ausfeld als unentgeltlicher Rechtsbeistand der Beschwerdeführerin für das Beschwerdeverfahren bestellt werde (Beschlussdispositiv Ziffer 2) und dass der unentgeltliche Rechtsbeistand mit separatem Beschluss entschädigt werde (Beschlussdispositiv Ziffer 3).
Mit Eingabe vom 9. Dezember 2021 erhob die Beschwerdeführerin Beschwerde gegen das Urteil und den Beschluss vom 16. November 2021 und beantragte, es seien die Dispositiv Ziffer 3 des Erkenntnisses sowie die Dispositiv Ziffern 2 und 3 des Beschlusses aufzuheben und die Vorinstanz sei zu verpflichten, der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zulasten des Bezirksgerichts zuzusprechen. Ferner ersuchte sie für das bundesgerichtlichen Verfahren um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege, unter Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands.
Auf die Einholung von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde vorliegend verzichtet.
2.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig gegen Endentscheide, worunter solche Entscheide zu verstehen sind, die den Prozess beenden, sei es insgesamt (<ref-law>), sei es hinsichtlich eines Teils der gestellten Begehren, die unabhängig von den anderen beurteilbar sind (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 256), sei es nur für einen Teil der Streitgenossen (<ref-law>). Ebenfalls zulässig ist die Beschwerde gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide, welche die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (<ref-law>). Gegen andere selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide ist die sofortige Beschwerde nur unter den alternativen Voraussetzungen nach Art. 93 Abs. 1 lit. a und b BGG zulässig (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
2.1. Bei den angefochtenen Entscheiden des Obergerichts handelt es sich unbestrittenermassen um selbständig eröffnete Zwischenentscheide im Sinne von <ref-law>, mit denen das vor dem Bezirksgericht hängige Verfahren weder vollständig (<ref-law>) noch teilweise (<ref-law>) abgeschlossen wird (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1 und 604 E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2, 329 E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweis; s. auch <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.4).
2.2. Solche Zwischenentscheide können nur direkt mit Beschwerde beim Bundesgericht angefochten werden, wenn sie entweder einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>).
Die selbständige Anfechtbarkeit von Zwischenentscheiden aus prozessökonomischen Gründen bildet eine Ausnahme vom Grundsatz, dass sich das Bundesgericht mit jeder Angelegenheit nur einmal befassen soll (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 81; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1). Diese Ausnahme ist restriktiv zu handhaben, zumal die Parteien keiner Rechte verlustig gehen, wenn sie einen Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> nicht selbständig anfechten, können sie ihn doch mit dem Endentscheid anfechten, soweit er sich auf dessen Inhalt auswirkt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2 S. 95; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 3.2).
2.3. Ein Eintreten auf die Beschwerde gestützt auf <ref-law> fällt vorliegend von vornherein ausser Betracht, da das Bundesgericht bei Gutheissung der Beschwerde keinen Endentscheid fällen könnte.
2.4. Die Beschwerdeführerin beruft sich denn auch einzig auf die Eintretensvoraussetzung nach <ref-law>.
2.4.1. Ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> muss nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung rechtlicher Natur sein, was voraussetzt, dass er durch einen späteren günstigen Entscheid nicht oder nicht mehr vollständig behoben werden kann (<ref-ruling> E. 1.2 S. 479; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 4 S. 95; <ref-ruling> E. 2.1 S. 190; <ref-ruling> E. 2.3.1, je mit Hinweisen). Rein tatsächliche Nachteile wie die Verlängerung oder Verteuerung des Verfahrens reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 2.2 S. 801; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 6 S. 192; <ref-ruling> E. 1.2.1 mit Hinweisen).
2.4.2. Die Beschwerdeführerin obsiegte vor der Vorinstanz mit ihrem Rechtsmittel, das sich gegen den Entzug der unentgeltlichen Rechtspflege durch die erstinstanzliche Verfügung vom 28. September 2021 richtete. Ihre Beschwerde richtet sich denn auch einzig dagegen, dass ihr für das Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz keine Parteientschädigung zugesprochen, Rechtsanwalt Ausfeld als unentgeltlicher Rechtsbeistand für das Verfahren bestellt und dessen Entschädigung mit separatem Beschluss in Aussicht gestellt wurde. Sie macht geltend, der Entscheid, womit grundsätzlich die anwaltlichen Bemühungen von der Staatskasse übernommen würden, sei geeignet, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu bewirken; mit der Zahlung durch die Gerichtskasse eröffne die zuständige Inkassostelle des Obergerichts zu ihren Lasten ein Konto zwecks Geltendmachung einer Rückforderung für den Fall, dass verbesserte finanzielle Verhältnisse eintreten sollten. So werde beispielsweise im Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. März 2021 unmissverständlich festgehalten, dass einmal durch ein Gericht festgesetzte Entschädigungen nicht weiter diskutiert werden könnten, konkret, dass eine spätere Korrektur durch die Organe des Inkasso grundsätzlich nicht möglich sei.
2.4.3. Die Beschwerdeführerin verkennt damit, dass der in einem Zwischenentscheid enthaltene Entschädigungspunkt, wie er hier angefochten ist, nur im Rahmen einer Beschwerde gegen den Zwischenentscheid im Hauptpunkt an das Bundesgericht weitergezogen werden kann, soweit der Rechtsweg nach <ref-law> im Hauptpunkt offensteht. Der in einem Zwischenentscheid enthaltene Entscheid über Kosten- und Entschädigungsfolgen kann nicht selber einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil gemäss <ref-law> bewirken, so dass dagegen eine selbständige Beschwerde im Anschluss an den Zwischenentscheid nicht zulässig ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 333 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 648). Soweit nicht zulässigerweise eine Anfechtung des Kostenentscheides im Rahmen einer Beschwerde gegen den Zwischenentscheid im Hauptpunkt erfolgt ist, kommt nur eine Anfechtung im Rahmen von <ref-law> mit Beschwerde gegen den Endentscheid in Betracht (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.3 S. 96; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 334) oder mit selbständiger Kostenbeschwerde im Anschluss an einen Endentscheid, falls derselbe die betreffende Partei nicht belastet und sie keinen Anlass hat, diesen mitanzufechten (Urteile 4D_16/2015 vom 9. April 2015 E. 1.2; 4A_307/2014 vom 17. September 2014 E. 1.4; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 556; <ref-ruling> E. 2.3 in fine).
Die Beschwerdeführerin hat mit der vorliegenden Beschwerde den vorinstanzlichen Entscheid hinsichtlich des aufgehobenen Entzugs der unentgeltlichen Rechtspflege für das Hauptverfahren vor dem Bezirksgericht zu Recht nicht angefochten. Es würde ihr insoweit denn auch, nachdem sie mit ihrem Rechtsmittel vollumfänglich durchgedrungen ist, offensichtlich an der Beschwerdeberechtigung fehlen, da sie durch diesen Entscheid nicht beschwert ist (<ref-law>). Zudem wäre dieser Entscheid von vornherein nicht geeignet, einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law> zu bewirken. Die Berufung der Beschwerdeführerin auf das Urteil 4A_104/2019 vom 22. Mai 2019 E. 1.1, in welchem festgehalten wurde, dass Entscheide, mit denen dem Rechtssuchenden die unentgeltliche Rechtspflege entzogen wird, in der Regel einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken, geht fehl, da hier gerade ein gegenteiliger Entscheid des Obergerichts vorliegt.
Auch mit ihrem Hinweis auf den Beschluss der Verwaltungskommission des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. März 2021 vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen, dass ihr durch den angefochtenen Entscheid über die Entschädigungsfolgen des Beschwerdeverfahrens vor dem Obergericht ein nicht wieder gutzumachender Nachteil droht. Nach ihren Ausführungen geht es in diesem Beschluss bloss darum, dass die Inkassoorgane des Obergerichts die von einem Gericht festgesetzte Höhe der Entschädigung für einen unentgeltlichen Rechtsvertreter nicht mehr korrigieren können. Wird indessen die in den hier angefochtenen Entscheiden gesprochene Entschädigungsregelung vom Bundesgericht später auf eine nach Ergehen eines Endentscheides in der Hauptsache gestützt auf <ref-law> eingereichte Beschwerde hin aufgehoben, wird der Beschwerdeführerin verbindlicherweise eine Parteientschädigung für das kantonale Rechtsmittelverfahren nach den kantonalen Tarifen zuzusprechen und eine aufgrund der aufgehobenen Regelung allenfalls bereits geleistete Entschädigung an Rechtsanwalt Ausfeld für seine Tätigkeit als unentgeltlicher Rechtsbeistand zurückzuerstatten sein.
2.5. Die Beschwerde erweist sich demnach als offensichtlich unzulässig, weshalb darauf im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
3.
Der Vollständigkeit halber ist sodann festzuhalten, dass auf die Beschwerde auch nicht eingetreten werden kann, weil in der Beschwerdeschrift kein bezifferter Antrag gestellt wird.
Bei Rechtsmitteln an das Bundesgericht hat die Beschwerdeschrift ein Rechtsbegehren zu enthalten (<ref-law>) und darf sich der Beschwerdeführer grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen. Vielmehr muss er einen Antrag in der Sache stellen und angeben, welche Punkte des Entscheids angefochten und welche Abänderungen beantragt werden (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3, 133 III 489 E. 3.1);
Rechtsbegehren, die auf einen Geldbetrag lauten, müssen beziffert werden (<ref-ruling> E. 2 S. 236 f. mit Hinweis), was auch gilt, wenn die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens selbständig angefochten werden (Urteil 4A_113/2016 vom 19. Januar 2016 mit Hinweisen), da das Bundesgericht auch insoweit die Kompetenz hat, reformatorisch zu entscheiden (Urteile 4A_171/2017 vom 26. September 2017 E. 7; 4A_13/2016 vom 19. Januar 2016, je mit Hinweisen). Es genügt zwar, wenn aus der Beschwerdebegründung klar hervorgeht, in welchem Sinne der angefochtene Entscheid abgeändert werden soll (<ref-ruling> E. 2 S. 236 f. mit Hinweis). Im vorliegenden Fall wird indessen aus der Beschwerde in Verbindung mit dem angefochtenen Urteil nicht klar, welche Entscheidung durch das Bundesgericht die Beschwerdeführerin beantragt.
4.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist abzuweisen, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (<ref-law>), wobei darüber unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden musste (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2).
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens sind dem Ausgang des Verfahrens entsprechend der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und der B._ AG schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2022
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied : Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer