Sachverhalt:
A.
A._ erstattete am 21. August 2018 Strafanzeige gegen B._ wegen vorsätzlicher Urkundenfälschung. Dabei machte er u.a. geltend, sie habe als Vorsitzende der Schlichtungsbehörde in Miet- und Pachtsachen des Bezirksgerichts Zürich in einem ihn betreffenden Kündigungsschutzverfahren am 15. Mai 2018 eigenmächtig die Klagebewilligung nur reduziert ausgestellt, obwohl er auf einer kompletten Klagebewilligung beharrt habe. So habe sie seine Willensbekundung an der Schlichtungsverhandlung, die Kündigung des Mietverhältnisses anzufechten, weggelassen und nur eine Klage auf Fristerstreckung des Mietverhältnisses bewilligt.
B.
Mit Verfügung vom 9. Oktober 2018 übermittelte die Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich die Akten dem Obergericht des Kantons Zürich zum Entscheid über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._. Die Staatsanwaltschaft beantragte, die Ermächtigung sei nicht zu erteilen.
Mit Beschluss vom 2. November 2018 lehnte das Obergericht (III. Strafkammer) die Ermächtigung zur Strafverfolgung von B._ ab. Die Strafkammer kam zum Schluss, es fehle an einem deliktsrelevanten Verdacht bezüglich Urkundenfälschung.
C.
A._ legt am 27. November 2018 gegen den Beschluss des Obergerichts Beschwerde beim Bundesgericht ein. Er verlangt die Anordnung und Durchführung einer Strafuntersuchung wegen vorsätzlicher Urkundenfälschung im Amt.
Das Obergericht, die Staatsanwaltschaft II und die Oberstaatsanwaltschaft erklären Verzicht auf eine Vernehmlassung. B._ hat sich nicht vernehmen lassen.
Mit Eingabe vom 18. März 2019 bringt A._ vor, das Mietgericht Zürich habe am 6. März 2019 ein Urteil über die Klage im fraglichen Verfahren gefällt. Er wirft B._ sinngemäss die Verletzung von Verfahrensvorschriften vor. Mit Eingabe vom 6. April 2019 äussert sich der Beschwerdeführer nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den angefochtenen Entscheid ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> gegeben (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 272). Die Beschwerdegegnerin gehört nicht den obersten kantonalen Vollziehungs- und Gerichtsbehörden an. Der Ausschlussgrund von <ref-law> kommt daher nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 272 f.). Der vorinstanzliche Beschluss stellt einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid dar (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Der Deliktsvorwurf des Beschwerdeführers betrifft zur Hauptsache ein Zivilverfahren, an dem er beteiligt ist; insoweit ist er gemäss <ref-law> zur Beschwerde befugt (vgl. Urteil 1C_621/2015 vom 1. März 2016 E. 1.3 mit Hinweis, vgl. auch unten E. 4.6). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben keinen Anlass zu Bemerkungen. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an, behandelt aber grundsätzlich nur in der Beschwerdeschrift behauptete und ausreichend begründete Rechtsverletzungen, wobei angebliche Grundrechtsverletzungen besonders substanziiert werden müssen (vgl. <ref-law> und <ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.4 S. 176 mit Hinweisen).
2.
Gemäss <ref-law> können die Kantone vorsehen, dass die Strafverfolgung der Mitglieder ihrer Vollziehungs- und Gerichtsbehörden wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen von der Ermächtigung einer nicht richterlichen Behörde abhängt. Nach der Rechtsprechung können die Kantone auch eine richterliche Behörde als Ermächtigungsbehörde einsetzen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 276).
Gemäss § 148 des Gesetzes vom 10. Mai 2010 des Kantons Zürich über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess (GOG/ZH; LS 211.1) entscheidet das Obergericht über die Ermächtigung zur Strafverfolgung von Beamten gemäss <ref-law> wegen im Amt begangener Verbrechen oder Vergehen. Vorbehalten bleibt die Zuständigkeit des Kantonsrates. Letztere ist hier nicht gegeben (§ 38 Abs. 1 des Kantonsratsgesetzes vom 5. April 1981 des Kantons Zürich [LS 171.1]). Mit § 148 GOG/ZH sollen Staatsbedienstete vor mutwilliger Strafverfolgung geschützt werden. Das Strafverfahren soll deshalb erst durchgeführt werden können, wenn das Obergericht vorher seine Zustimmung dazu erteilt hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 277).
Da es sich bei der Beschwerdegegnerin um kein Mitglied der obersten Vollziehungs- und Gerichtsbehörden handelt, dürfen im Ermächtigungsverfahren keine politischen, sondern einzig strafrechtliche Gesichtspunkte berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 2.4 S. 277 f.). Für die Erteilung der Ermächtigung müssen minimale Hinweise auf ein strafrechtlich relevantes Verhalten vorliegen. Nicht jeder Fehler eines Beamten begründet die Pflicht zur Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung. Hierfür bedarf es vielmehr genügender Anhaltspunkte für ein strafbares Verhalten (Urteile 1C_427/2017 vom 15. Dezember 2017 E. 2.2; 1C_63/2017 vom 22. Mai 2017 E. 2.2; je mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Staatsanwaltschaft eröffnet gemäss <ref-law> eine Strafuntersuchung, wenn ein hinreichender Tatverdacht besteht. Die Vorinstanz begründet ihren Entscheid mit dem Fehlen eines hinreichenden Anfangsverdachts. Der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht kann sinngemäss die Rüge entnommen werden, die Vorinstanz habe <ref-law> verletzt, indem sie die Ermächtigung zur Eröffnung einer Strafuntersuchung verweigert habe.
Dabei wird in der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht ausdrücklich einzig die Erteilung der Ermächtigung zur Strafverfolgung wegen vorsätzlicher Urkundenfälschung im Amt (<ref-law>) gefordert. Lediglich hierzu hat sich das Bundesgericht zu äussern (vgl. oben E. 1.2).
Ausserdem sind die Vorbringen in den Eingaben vom 18. März 2019 und 6. April 2019 verspätet. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (<ref-law>). Unter Vorbehalt von hier nicht erfüllten Ausnahmen sind ergänzende Vorbringen, die der Beschwerdeführer bereits vor Ablauf der Beschwerdefrist hätte erheben können, ausgeschlossen. Eine Beschwerdeergänzung auf dem Weg der Replik ist nur insoweit statthaft, als die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten dazu Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 21; Urteil 4A_733/2011 vom 16. Juli 2012 E. 1.3). Das ist vorliegend nicht der Fall, weil die andern Verfahrensbeteiligten auf eine Vernehmlassung verzichtet haben.
3.2. Gemäss <ref-law> werden Beamte oder Personen öffentlichen Glaubens, die vorsätzlich eine Urkunde fälschen oder verfälschen oder die echte Unterschrift oder das echte Handzeichen eines andern zur Herstellung einer unechten Urkunde benützen (Abs. 1), oder die vorsätzlich eine rechtlich erhebliche Tatsache unrichtig beurkunden, namentlich eine falsche Unterschrift oder ein falsches Handzeichen oder eine unrichtige Abschrift beglaubigen (Abs. 2), wegen Urkundenfälschung im Amt mit Freiheitsstrafe bis zu fünf Jahren oder Geldstrafe bestraft.
Bei der Urkundenfälschung handelt es sich um ein abstraktes Gefährdungsdelikt. Geschütztes Rechtsgut ist das besondere Vertrauen, das im Rechtsverkehr einer Urkunde als Beweismittel entgegengebracht wird (<ref-ruling> E. 3.2 S. 58). Die Tathandlungen gemäss <ref-law> entsprechen der Urkundenfälschung im engeren Sinn (Abs. 1) und der Falschbeurkundung (Abs. 2) gemäss <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 6b S. 290 f.). Die Urkundenfälschung im engeren Sinn erfasst das Herstellen einer unechten Urkunde, deren wirklicher Aussteller mit dem aus ihr ersichtlichen Urheber nicht identisch ist. Demgegenüber betrifft die Falschbeurkundung die Errichtung einer echten, aber unwahren Urkunde, bei der also der wirkliche und der in der Urkunde enthaltene Sachverhalt nicht übereinstimmen. Die Falschbeurkundung erfordert eine qualifizierte schriftliche Lüge. Eine solche wird nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung angenommen, wenn der Urkunde eine erhöhte Glaubwürdigkeit zukommt und der Adressat ihr daher ein besonderes Vertrauen entgegenbringt (<ref-ruling> E. 8.1 S. 14 f.; <ref-ruling> E. 2.1 S. 133 f.).
3.3. In subjektiver Hinsicht verlangt die Urkundenfälschung im Amt - anders als die Urkundenfälschung gemäss <ref-law> - keine Schädigungs- oder Vorteilsabsicht. Es genügt der Vorsatz hinsichtlich des tatbestandsmässigen Verhaltens. Doch muss der Täter mit dem Willen zur Täuschung im Rechtsverkehr handeln. Die Täuschungsabsicht ergibt sich aus dem Willen des Täters, die Urkunden als echt zu verwenden. Dass eine Person tatsächlich getäuscht wird, ist nicht erforderlich (<ref-ruling> E. 4 S. 223 mit Hinweis). Der Täter muss eine Täuschung im Rechtsverkehr bezwecken oder zumindest in Kauf nehmen (<ref-ruling> E. 3a S. 182). Das Delikt ist bereits mit dem Inverkehrbringen der unechten Urkunden vollendet (vgl. <ref-ruling> E. 4 S. 82).
4.
4.1. Im vorliegenden Fall ist nach den Feststellungen der Vorinstanz in dem von der Beschwerdegegnerin unterzeichneten Protokoll vermerkt, dass das klägerische Rechtsbegehren an der Schlichtungsverhandlung auf den Punkt der Erstreckung reduziert worden ist. Entsprechend wurde nach dem Scheitern der Vergleichsgespräche die Klagebewilligung ausgestellt. Diese Reduktion des Rechtsbegehrens wurde von der Rechtsanwältin, welche den Beschwerdeführer als Kläger an der Verhandlung begleitet und vertreten hat, erklärt. Nach der Vorinstanz ist unklar, ob die Beschwerdegegnerin die Äusserungen des Beschwerdeführers, mit denen er an der Verhandlung seiner Rechtsvertreterin widersprochen haben soll, überhaupt wahrgenommen und zur Kenntnis genommen hat. Die Vorinstanz liess diese Frage offen, weil keine Anhaltspunkte für ein vorsätzliches Handeln der Beschwerdegegnerin im Sinne von <ref-law> erkennbar seien. Der Beschwerdeführer habe zwar geltend gemacht, dass die Beschwerdegegnerin in einem anderen Kündigungsschutzverfahren, an dem er nicht Partei war, zu Unrecht eine Klagereduktion protokolliert habe. Das sei jedoch nicht dargetan und vermöge am vorliegenden Sachverhalt auch nichts zu ändern.
4.2. In der Beschwerde an das Bundesgericht wird erwidert, der Beschwerdeführer habe an der Verhandlung mündlich seinen Willen bekundet, an der Anfechtung der Kündigung seines Mietverhältnisses festzuhalten. Diese Äusserungen seien von der Beschwerdegegnerin und den übrigen Beteiligten an der Schlichtungsverhandlung akustisch einwandfrei verstanden worden. Eine Rechtsvertreterin fungiere an der Schlichtungsverhandlung nur als Begleitperson. Sein Wort sei somit dort über dem seiner Rechtsvertreterin gestanden. Die Beschwerdegegnerin habe ihn an der Verhandlung in Treu und Glauben gelassen, die vollumfängliche Klagebewilligung gemäss der ursprünglich eingereichten Klage zu erteilen, dies habe sie dann aber doch nicht getan. Ebenso habe sie sich gegenüber den klagenden Mietern in einer anderen Schlichtungsverhandlung verhalten. Daher sei von Vorsatz im Hinblick auf eine Falschbeurkundung auszugehen. Die Vorinstanz habe zu Unrecht die von ihm eingereichten Beweismittel, die seine Sachdarstellung stützen, nicht gewürdigt.
4.3. Als Beweismittel werden in der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht unter anderem Plädoyernotizen des Rechtsvertreters der Vermieterin an der späteren Hauptverhandlung vor dem Mietgericht Zürich im Kündigungsschutzverfahren angeführt. Diese Verhandlung fand nach Angaben des Beschwerdeführers am 15. November 2018 und damit nach dem vorliegend angefochtenen Entscheid statt. Beweismittel, die nach dem angefochtenen Entscheid entstehen, sind im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich unzulässig (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.2.2 S. 548; <ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123). Zudem ist nicht ersichtlich, weshalb eine Stellungnahme des Gegenanwalts nicht bereits vor dem angefochtenen Entscheid hätte eingeholt werden können. Auf dieses Beweismittel kann folglich nicht eingegangen werden.
4.4. Als weitere Beweismittel nennt der Beschwerdeführer ein Schreiben seiner Rechtsvertreterin an die Klientschaft vom 22. Mai 2018 und eine eidesstattliche Erklärung vom 20. August 2018, die er über den Ablauf der Schlichtungsverhandlung abgegeben hat.
Im erwähnten Schreiben äussert die Rechtsanwältin, der Beschwerdeführer habe zu ihrem grossen Erstaunen nach der Beratung der Schlichtungsbehörde ohne Absprache mit ihr mitgeteilt, er halte an der Anfechtung der Kündigung fest.
Der Eidesstattlichen Erklärung vom 20. August 2018 lässt sich entnehmen, dass der Beschwerdeführer mit Nein reagiert habe, als die Beschwerdegegnerin nach der von der Rechtsvertreterin geäusserten Klagereduktion festgestellt habe, die Kündigung sei akzeptiert. Nach der Beratung der Schlichtungsbehörde habe er der Beschwerdegegnerin mitgeteilt, er sei mit der Kündigung nicht einverstanden. Nachdem er sich zu Projektunterlagen bezüglich des Mietobjekts geäussert habe, habe die Beschwerdegegnerin gesagt, dann werde sie wohl die Klagebewilligung erteilen müssen. Anschliessend habe der Beschwerdeführer den Rechtsvertreter der Vermieterin gefragt, wann er sein Mandat übernommen habe. Dieser habe ihm geantwortet. Abschliessend habe die Beschwerdegegnerin eine persönliche Bemerkung gegenüber dem Beschwerdeführer angefügt.
Das Schreiben vom 22. Mai 2018 und die Eidesstattliche Erklärung vom 20. August 2018 sind im angefochtenen Entscheid auszugsweise wiedergegeben und ohne nähere Erörterung in die vorinstanzliche Beurteilung eingeflossen.
4.5. Im Ergebnis ist es nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz offengelassen hat, ob die Beschwerdegegnerin den Widerspruch des Beschwerdeführers an der Verhandlung gegen den teilweisen Rückzug des Rechtsbegehrens zur Kenntnis nahm. Selbst wenn sie dies, wie vom Beschwerdeführer behauptet, getan hätte, würde sich am Ausgang des vorliegenden Verfahrens nichts ändern. Wesentlich ist, dass im fraglichen Kündigungsschutzverfahren der Beschwerdeführer gemeinsam mit seiner Lebenspartnerin als Kläger beteiligt ist. Die Klage wurde von der Rechtsanwältin im Namen beider Mieter bei der Schlichtungsbehörde eingereicht. An der Schlichtungsverhandlung waren beide Kläger zusammen mit der Rechtsanwältin anwesend. Auch deren Schreiben vom 22. Mai 2018 ist an beide Kläger adressiert. Der Beschwerdeführer stellt nicht in Abrede, dass die Rechtsvertreterin an der Verhandlung das Rechtsbegehren zur Anfechtung der Kündigung zurückgezogen hat. Diese Willenserklärung haben sich die Kläger anrechnen zu lassen.
Vorliegend muss nicht entschieden werden, ob dieser Rückzug während der Verhandlung rechtsgültig widerrufen werden kann. Die Beschwerdegegnerin durfte annehmen, dass ein solcher Widerruf nicht erfolgt war. Nach der Rechtsprechung bilden gemeinsame Mieter eine notwendige Streitgenossenschaft hinsichtlich der Anfechtung der vom Vermieter ausgesprochenen Kündigung. Wenn sich die Mitmieter untereinander uneinig sind, so ist ein Mitmieter zur alleinigen Anfechtung legitimiert, sofern er neben dem Vermieter auch die Mitmieter ins Recht fasst, welche die Kündigung nicht anfechten wollen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 600 f.). Im Lichte dieser Rechtsprechung genügte es nicht, wenn der Beschwerdeführer der Rückzugserklärung der gemeinsamen Rechtsvertreterin widersprach, denn er konnte nicht ohne Weiteres allein über den Streitgegenstand verfügen. Der von ihm in der Eidesstattlichen Erklärung behauptete Satz der Beschwerdegegnerin, wonach sie wohl die Klagebewilligung erteilen müsse, kann höchstens als Ausdruck für die Möglichkeit eines solchen Zurückkommens gedeutet werden. Hingegen geht der Beschwerdeführer fehl, wenn er daraus ableitet, es sei damit eine Klagebewilligung für die Anfechtung der Kündigung zugesichert worden. Es oblag dem Beschwerdeführer, eine Willensäusserung für den von ihm angestrebten Widerruf unter Einbezug seiner Mitklägerin abzugeben. Dass er letzteres getan hätte, behauptet er nicht substanziiert. Ebenso wenig tut er dar, ob bzw. wie sich die Mitklägerin an der Verhandlung zu einem allfälligen Widerruf äusserte.
Demzufolge dringen die Rügen des Beschwerdeführers zu der ihn betreffenden Schlichtungsverhandlung nicht durch, selbst wenn auf seine Sachdarstellung abgestellt würde.
4.6. Im Hinblick auf den Vorwurf einer Falschbeurkundung bei der Schlichtungsverhandlung in einem Drittverfahren hat der Beschwerdeführer zwei Zeugen benannt. Er legt jedoch nicht dar, dass er an einer Strafuntersuchung über jenes Drittverfahren teilnehmen und in jener Strafuntersuchung Parteirechte ausüben könnte. Somit ist er von einer allfälligen Verweigerung der Ermächtigung zur Strafverfolgung nach <ref-law> in jenem Fall nicht besonders berührt und nicht in schutzwürdigen eigenen Interessen gemäss <ref-law> betroffen (vgl. Urteil 1C_344/2012 vom 31. Oktober 2012 E. 2.4). Deshalb kann in dieser Hinsicht auf die Vorbringen in der Beschwerde nicht eingegangen werden. Darüber hinaus ist nicht ersichtlich, inwiefern die Aussagen der betreffenden Zeugen geeignet sein sollen, etwas Wesentliches am Ergebnis der Sachverhaltsfeststellung zu dem Schlichtungsverfahren, das den Beschwerdeführer betrifft, zu ändern. Der entsprechenden Erwägung der Vorinstanz ist beizupflichten.
4.7. Bei dieser Sachlage sind keine Hinweise ersichtlich, die bei der Beschwerdegegnerin auf ein vorsätzliches Handeln im Sinne von <ref-law> schliessen lassen. Insbesondere kann der Beschwerdegegnerin nicht vorgeworfen werden, anlässlich der Schlichtungsverhandlung betreffend den Beschwerdeführer bewusst rechtlich erhebliche Tatsachen unwahr verurkundet zu haben, von denen sie wusste, dass sie zum Beweis geeignet oder bestimmt sind (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 182). Ausserdem kann ihr keine Absicht vorgeworfen werden, hierbei mit dem Willen zur Täuschung im Rechtsverkehr gehandelt zu haben. Daher durfte die Vorinstanz von der Erteilung der Ermächtigung absehen, ohne gegen Bundesrecht zu verstossen.
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. April 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Kessler Coendet