Erwägungen:
1.
Roy Erismann erhob mit Eingabe vom 30. September 2020 Abstimmungsbeschwerde betreffend die eidgenössische Volksabstimmung vom 27. September 2020 in Sachen Volksinitiative "Für eine massvolle Zuwanderung (Begrenzungsinitiative) ". Zur Begründung führte Roy Erismann im Wesentlichen aus, dass die Stimmberechtigten in den Erläuterungen des Bundesrates zur Volksabstimmung einseitig informiert worden seien, was die freie Willensbildung der Stimmbevölkerung beeinträchtigt habe. Der Regierungsrat des Kantons Zürich trat mit Verfügung vom 7. Oktober 2020 auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte er zusammenfassend aus, die Frage der rechtzeitigen Beschwerdeführung könne offen bleiben, weil auf die Beschwerde ohnehin nicht eingetreten werden könne. Der Regierungsrat sei nämlich nicht befugt, die vom Beschwerdeführer geltend gemachten Rügen zu überprüfen.
2.
Roy Erismann führt mit Eingabe vom 16. Oktober 2020 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid des Regierungsrats des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Wegen Unregelmässigkeiten bei eidgenössischen Abstimmungen kann innert drei Tagen seit der Entdeckung des Beschwerdegrundes, spätestens jedoch am dritten Tag nach Veröffentlichung der Ergebnisse im kantonalen Amtsblatt Abstimmungsbeschwerde bei der Kantonsregierung geführt werden (vgl. Art. 77 BRP). Der Entscheid der Kantonsregierung kann in der Folge innert fünf Tagen beim Bundesgericht angefochten werden (<ref-law> in Verbindung mit Art. 88 Abs. 1 lit. b und Art. 100 Abs. 3 lit. b BGG).
Der Regierungsrat hat die Frage der rechtzeitigen Beschwerdeeinreichung thematisiert, jedoch letztlich offen gelassen. Er führte dazu zusammengefasst aus, dass die im Internet abrufbare Fassung der Abstimmungserläuterungen das Datum des 29. Juli 2020 trage. Ausserdem sei gewiss, dass die Zustellung der gedruckten Fassung der Abstimmungserläuterungen an die Stimmberechtigten in der vierten Woche vor dem Abstimmungstermin erfolgt sei. Der Beschwerdeführer macht dazu keine Ausführungen. Es ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern der Beschwerdeführer mit seiner Beschwerdeeinreichung erst nach dem Abstimmungstag das Erfordernis von Art. 77 Abs. 2 BRP beachtet hätte, wonach eine Beschwerde innert drei Tagen seit Entdeckung des Beschwerdegrundes zu erheben ist. Wegen verspäteter Beschwerdeeinreichung ist im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bundeskanzlei und dem Regierungsrat des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli