Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ (1953) und B.A._ geb. B._ (1955) hatten in der hier interessierenden Steuerperiode 2007 ihren steuerrechtlichen Wohnsitz anfänglich in U._/SG. Der Ehemann war Eigentümer je eines Grundstücks in dieser Gemeinde und in V._/SG. Am 8. Mai 2007 veräusserte er das zweitgenannte Grundstück, worauf er das Steueramt des Kantons St. Gallen (KStA/SG; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) am 11. Juli 2007 ersuchte, den erzielten Gewinn von Fr. 274'147.-- mit der Grundstückgewinnsteuer zu erfassen. Die Veranlagungsbehörde lehnte dies am 27. Juli 2007 ab, was sie damit begründete, dass der Ehemann für steuerliche Zwecke als Liegenschaftenhändler geführt werde, weshalb es sich nicht um Privatvermögen handle. In der Folge verlegten die Eheleute ihren steuerrechtlichen Wohnsitz am 13. Dezember 2007 nach W._/AR.
1.2. Die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell Ausserrhoden (KSTV/AR) qualifizierte den erzielten Veräusserungsgewinn von Fr. 274'147.-- als Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit. Die Veranlagungsverfügungen vom 3. Juli 2013 erwuchsen in Rechtskraft (dazu Urteil 2C_489/2018 / 2C_490/2018 vom 13. Juli 2018 betreffend die hier streitbetroffene Steuerperiode 2007, wobei der Veräusserungsgewinn keine Rolle spielte).
1.3.
1.3.1. Der Kanton St. Gallen veranlagte die dort wirtschaftlich zugehörigen Eheleute am 16. Juni 2016 für die Steuerperiode 2007. Dabei beanspruchte er den streitbetroffenen Veräusserungsgewinn für sich und behandelte er diesen als Einkommen aus selbständiger Erwerbstätigkeit. Dies führte zu einem steuerbaren Einkommen von Fr. 293'800.-- zum Steuersatz von Fr. 491'500.--. Die Eheleute erhoben am 11. Juli 2016 Einsprache. Sie machten geltend, aufgrund der Eigenschaft des Ehemannes als ausserkantonaler Liegenschaftenhändler sei der Gewinn mit der Grundstückgewinnsteuer zu erfassen (Art. 130 Abs. 1 Ingress und lit. b des Steuergesetzes [des Kantons St. Gallen] vom 9. April 1998 [StG/SG; sGS 811.1]).
1.3.2. Die weiteren prozessualen Schritte, die sich über knapp fünf Jahre hinzogen, sind hier in gekürzter Weise darzustellen: Am 30. März 2017 eröffnete die Veranlagungsbehörde ein vorsorgliches Nachsteuerverfahren betreffend den Veräusserungsgewinn, worauf sie den Steuerpflichtigen am 25. September 2018 mitteilte, der Gewinn unterliege der Grundstückgewinnsteuer. Für die Einkommens- und Vermögenssteuer des Kantons St. Gallen ergab sich, dem Veranlagungsvorschlag zufolge, ein steuerbares Einkommen von noch Fr. 5'500.-- zum Steuersatz von Fr. 210'600.--, dies nebst dem entsprechenden Vermögen. Nach verschiedenen Korrespondenzen erliess die Veranlagungsbehörde am 6. Mai 2019 für die Zwecke der Grundstückgewinnsteuer eine Nachsteuerverfügung. Die dagegen gerichtete Einsprache der Steuerpflichtigen wies die Veranlagungsbehörde mit Einspracheentscheid vom 21. Januar 2020 ab. Am 23. Januar 2020 erklärten die Steuerpflichtigen den Rückzug der Einsprache vom 11. Juli 2016 gegen die Einkommenssteuerveranlagung vom 16. Juni 2016. Da die Erklärung allem Anschein nach nicht restlos klar gehalten war, ersuchte die Veranlagungsbehörde am 14. Februar 2020 um Bestätigung der Steuerfaktoren, wozu sie den Steuerpflichtigen eine Frist bis zum 28. Februar 2020 setzte. Am Tag des Fristablaufs erklärten die Steuerpflichtigen per E-Mail, die Einsprache werde "im Moment nicht zurückgenommen".
1.3.3. In der Folge widerrief die Veranlagungsbehörde am 31. März 2020 den Einspracheentscheid vom 21. Januar 2020 betreffend Grundstückgewinnsteuer. Die Veranlagungsbehörde begründete die Kehrtwende damit, dass Art. 130 Abs. 1 Ingress und lit. b StG/SG doch nicht zur Anwendung gelangen könnten (weshalb der Veräusserungsgewinn mit der Einkommenssteuer zu erfassen war). Am folgenden Tag teilte die Veranlagungsbehörde den Steuerpflichtigen mit, dass nunmehr die Einsprache vom 11. Juli 2016 zu erledigen sei. Die Steuerpflichtigen stimmten der Erledigung am 2. April 2020 zu, beruhend auf einem steuerbaren Einkommen von Fr. 5'500.-- zum Steuersatz von Fr. 210'600.-- und dem entsprechenden Vermögen. Am 17. April 2020 teilten die Steuerpflichtigen der Veranlagungsbehörde mit, dass die Veranlagung der Steuerperiode 2007 ihres Erachtens rechtskräftig sei, nachdem sie den Veranlagungsvorschlag vom 25. September 2018 anerkannt hätten.
1.4. Mit Einspracheentscheid vom 13. Mai 2020 wies die Veranlagungsbehörde die Einsprache vom 11. Juli 2016 ab. Die Steuerpflichtigen gelangten an die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen, welche den Rekurs am 14. Dezember 2020 abwies. Die Verwaltungsrekurskommission erwog, entgegen den Steuerpflichtigen lasse sich nicht sagen, dass das Einspracheverfahren am 2. April 2020 mit der Unterzeichnung des Veranlagungsvorschlags erledigt worden sei. Ohnehin sei Art. 130 Abs. 1 Ingress und lit. b StG/SG am 1. Januar 2013 aufgehoben worden, weshalb er auch auf Sachverhalte, die sich zuvor ereignet hätten, nicht mehr anwendbar sei.
1.5.
1.5.1. Die Steuerpflichtigen wandten sich am 13. Januar bzw. 9. Februar 2021 an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Mit Entscheid B 2021/9 vom 28. Juni 2021 wies dieses die Beschwerde ab. Das Verwaltungsgericht stellte vorab fest, dass die Erfassung des Veräusserungsgewinns mit der Grundstückgewinnsteuer sich für die Steuerpflichtigen nachteilig ausgewirkt hätte. Bei einer Grundstückgewinnsteuer von rund Fr. 97'000.-- und einer anteiligen Einkommenssteuer von etwa Fr. 56'000.-- ergäbe sich eine Entlastung von über Fr. 40'000.--. Es bestehe daher "grundsätzlich kein Anlass, den im Jahr 2007 erzielten Gewinn [...] nicht mit der Einkommenssteuer abzurechnen" (E. 3.1).
1.5.2. In der Sache selbst sei festzustellen, so das Verwaltungsgericht weiter, dass die Veranlagungsbehörde den Einspracherückzug vom 23. Januar 2020 als inhaltlich offen aufgefasst und die Steuerpflichtigen deshalb um Bestätigung der Steuerfaktoren ersucht habe. Die Steuerpflichtigen hätten am 26. Februar 2020 der Veranlagungsbehörde mitgeteilt, dass die Einsprache "im Moment nicht zurückgenommen" werde. Die von den Steuerpflichtigen bis zum 28. Februar 2020 verlangte Erklärung hätten diese erst am 2. April 2020 abgegeben, weshalb die Steuerpflichtigen nicht hätten davon ausgehen dürfen, dass die Steuerperiode 2007 gemäss dem Veranlagungsvorschlag vom 25. September 2018 abgeschlossen worden sei (E. 3.2). Zu diesem Zeitpunkt habe die Veranlagungsbehörde bereits zweimal - mit Schreiben vom 31. März und vom 1. April 2020 - mitgeteilt gehabt, dass der Veräusserungsgewinn mit der Einkommenssteuer zu erfassen sei. Aufgrund dessen, dass die Steuerpflichtigen die ihnen bis zum 28. Februar 2020 angesetzte Frist nicht wahrgenommen hätten, sei die Veranlagungsbehörde an ihren Veranlagungsvorschlag nicht mehr gebunden gewesen, selbst wenn auf die Folgen der Säumnis nicht ausdrücklich hingewiesen worden sei (E. 3.3). Die Grundlagen für einen Schutz des berechtigten Vertrauens in eine behördliche Zusicherung fehlten, nachdem zumindest feststehe, dass die Steuerpflichtigen keine Dispositionen getroffen hätten, die sich nicht wieder rückgängig machen liessen (E. 4).
1.6. Mit (kurzer) Eingabe vom 29. Juli 2021 (Poststempel: 30. Juli 2021) erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen sinngemäss, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei festzustellen, dass die Veranlagung der Einkommenssteuer aufgrund des am 23. Januar 2020 erklärten Rückzugs der Einsprache vom 11. Juli 2016 rechtskräftig geworden sei. Weitere, nicht selbsterklärende Anträge betreffen die Grundstückgewinnsteuer und die Nachsteuer.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law>) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel gemäss <ref-law>, abgesehen.
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 73 StHG [SR 642.14]) sind gegeben, wenngleich die Beschwerdebegründung ausgesprochen knapp und nicht in allen Teilen nachvollziehbar ausgefallen ist.
2.2. Das Bundesgericht wendet das Bundesgesetzesrecht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.2) und prüft es mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2).
2.3. Im Unterschied zum Bundesgesetzesrecht geht das Bundesgericht der Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (einschliesslich der Grundrechte) und des kantonalen Rechts nur nach, falls und soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.4; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 7.2.3). Die beschwerdeführende Person hat daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 2.1).
2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung, namentlich die antizipierte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 8.2). Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1.2; vorne E. 1.3).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist die Bedeutung der Erklärung der Steuerpflichtigen vom 23. Januar 2021, worin diese den Rückzug ihrer gegen die Veranlagungsverfügung vom 16. Juni 2016 gerichteten Einsprache vom 11. Juli 2016 erklärt haben wollen.
3.2. Hierzu erwog die Vorinstanz, dass die Steuerpflichtigen am 26. Februar 2020 mitteilten, die Einsprache werde im Moment nicht zurückgenommen (vorne E. 1.3.2 und 1.5.2). Diese Feststellung ist für das Bundesgericht verbindlich (<ref-law>; vorne E. 2.4), nachdem die Steuerpflichtigen im bundesgerichtlichen Verfahren keinerlei Beanstandungen vorbringen, die den gesetzlichen Anforderungen genügen könnten (<ref-law>; vorne E. 2.3). Dementsprechend ist auch davon auszugehen, dass die Erklärung vom 23. Januar 2020 keine abschliessende Beurteilung dessen zuliess, ob bzw. in welchem Umfang die Einsprache zurückgezogen werde. Jedenfalls hatte die Veranlagungsbehörde die Steuerpflichtigen am 14. Februar 2020 um Bestätigung der Steuerfaktoren ersucht, wozu sie den Steuerpflichtigen eine Frist bis zum 28. Februar 2020 setzte. In der Folge liessen die Steuerpflichtigen sich am 2. April 2020 vernehmen und erteilten sie ihre Zustimmung zur Erledigung der Einsprache im Sinne des Vorschlags vom 25. September 2018. Die Vorinstanz erachtet dies als verspätet und erwägt, die Veranlagungsbehörde sei aufgrund der verspätet erteilten Zustimmung an den Veranlagungsvorschlag nicht mehr gebunden gewesen. Entsprechend habe sie die Einsprache materiell behandeln (und folglich auch abweisen) dürfen.
3.3. Bei dieser Fragestellung handelt es sich um eine solche der Vereinbarkeit des kantonalen Verfahrensrechts mit den verfassungsmässigen Individualrechten (<ref-law> unter dem Gesichtspunkt von Treu und Glauben). Entsprechend hätte die Beschwerde der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit zu genügen. Die Steuerpflichtigen wenden im Wesentlichen aber nur ein, dass die Veranlagungsbehörde "kein Recht" gehabt habe, dem "Rückzug der Einsprache nicht stattzugeben". Das Schreiben der Veranlagungsbehörde vom 14. Februar 2020 sei, soweit den Steuerpflichtigen gefolgt werden kann, "nicht relevant" und widerspreche "allen Regeln des öffentlichen Rechts". Die im angefochtenen Entscheid zu findenden "Regeln des Vertragsrechts (Offerte und Gegenzeichnung) " seien "weitgehend abzulehnen".
3.4. Die vorgetragenen Einwände bleiben damit höchst allgemein und an der Oberfläche, ohne sich mit der unerlässlichen Verfassungsfrage klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinanderzusetzen (vorne E. 2.3). Damit hat es dabei zu bleiben, dass das Schreiben der Steuerpflichtigen vom 23. Januar 2020 nicht als Rückzug der Einsprache vom 11. Juli 2016 zu würdigen ist, zumal sie später, mit E-Mail vom 26. Februar 2020, die Mitteilung nachreichten, dass die Einsprache "im Moment nicht zurückgenommen" werde. Auch wenn die von der Veranlagungsbehörde geübte Verfahrensführung einige Fragen aufwirft, hat es damit beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt und der Beweiswürdigung sein Bewenden (<ref-ruling> E. 1.3.1). Infolgedessen durfte die Vorinstanz bundesrechtskonform davon ausgehen, dass die Einsprachesache noch nicht rechtskräftig erledigt gewesen sei, als die Veranlagungsbehörde am 13. Mai 2020 zur Abweisung der Einsprache gelangte.
3.5. Nichts Anderes ergibt sich aus den kurzen Ausführungen der Steuerpflichtigen zur Frage des Vertrauensschutzes (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1.1; <ref-ruling> E. 5.2.1; insbesondere zu den Steuerrulings: <ref-ruling> E. 3.1). Die Vorinstanz hatte erkannt, dass die Steuerpflichtigen auf jeden Fall keine irreversiblen Dispositionen getroffen hätten, weshalb die anderen Voraussetzungen offenbleiben konnten. Dies alles lassen die Steuerpflichtigen unbestritten, weshalb die Voraussetzungen von <ref-law> von vornherein fehlen.
3.6. Die Beschwerde erweist sich mithin als offensichtlich unbegründet. Die Sache kann im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> entschieden werden.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 in Verbindung mit <ref-law>), wofür die Eheleute zu gleichen Teilen und solidarisch haften (<ref-law>). Dem Kanton St. Gallen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Sie tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher