Faits :
A.
X._, ressortissant mauricien né en 1984, s'est rendu à plusieurs reprises en Suisse dès 2005, afin d'y visiter sa mère. Il est père d'un enfant, ressortissant mauricien né en 2007, sur lequel il a la garde. En 2012, lors d'un séjour en Suisse, il a rencontré une ressortissante de Bosnie-Hezégovine, née en 1982 et au bénéfice d'une autorisation d'établissement, avec laquelle il s'est fiancé. Il lui a confié la garde de son fils, pour que celui-ci soit scolarisé en Suisse dès le mois d'août 2013. L'intéressé est revenu dans ce pays le 5 juin 2014, afin de se marier avec sa fiancée. Ayant mis un terme à sa relation au mois de juillet 2014, X._ ne s'est pas marié et a quitté la Suisse le 18 août 2014, laissant toujours son enfant à la charge de son amie. Le 31 mars 2014, cette dernière a donné naissance à un fils, enfant que l'intéressé a reconnu le 30 avril 2015 à l'occasion d'un bref séjour en Suisse. X._ est revenu dans ce pays le 20 août 2015 et s'est établi avec son fils aîné. Il a demandé une autorisation de séjour au titre du regroupement familial avec son fils cadet, sur lequel il dispose de l'autorité parentale conjointe. Le 30 juin 2016, l'autorité de protection de l'enfant et de l'adulte compétente a institué une curatelle aux relations personnelles à l'égard du fils cadet de l'intéressé.
B.
Par décision du 15 août 2016, le Service des migrations de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Service des migrations) a refusé d'octroyer une autorisation de séjour à X._ et son fils aîné. Le 21 mars 2017, sur recours, le Département de l'économie et de l'action sociale de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Département) a confirmé la décision du Service des migrations. X._ a contesté ce prononcé auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal). Par arrêt du 29 septembre 2017, le Tribunal cantonal a rejeté le recours de X._.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et celle, subsidiaire, du recours constitutionnel, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif et des mesures provisionnelles, d'annuler l'arrêt du Tribunal cantonal du 29 septembre 2017 et de lui octroyer, ainsi qu'à son fils, une autorisation de séjour; subsidiairement, d'annuler l'arrêt précité et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il se plaint d'établissement inexact de faits et de violation du droit international.
Par ordonnance du 24 novembre 2017, le Président de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a rejeté les requêtes d'effet suspensif et de mesures provisionnelles.
Le Tribunal cantonal, le Département et le Service des migrations concluent tous trois au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte. La question de savoir si les conditions d'un tel droit sont effectivement réunies relève du fond (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 332 et les références citées). En l'occurrence, le recourant se prévaut de la relation avec son fils cadet pour prétendre à l'octroi d'une autorisation de séjour fondé sur l'art. 8 CEDH. Le droit de séjour en Suisse de cet enfant ne ressort cependant pas de l'arrêt entrepris. Néanmoins, au stade de la recevabilité, on peut admettre que, sa mère étant au bénéfice d'une autorisation d'établissement, l'enfant, né en 2014, doit également bénéficier d'une telle autorisation (cf. art. 43 al. 3 LEtr [RS 142.20]). Par conséquent, c'est de manière soutenable que le recourant invoque une violation de l'art. 8 CEDH (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 145 s.). La présente cause ne tombe ainsi pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, ni d'aucune autre clause d'irrecevabilité figurant à l'<ref-law>. Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte, ce qui conduit à l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (<ref-law> a contrario).
1.2. Aux termes de l'<ref-law>, a qualité pour former un recours en matière de droit public quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a), est particulièrement atteint par la décision ou l'acte normatif attaqué (let. b), et a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (let. c). Ces conditions sont cumulatives (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 43).
En l'espèce, le fils aîné du recourant ne figure pas comme recourant sur l'arrêt entrepris. Le recours transmis au Tribunal fédéral ne fait pas non plus expressément mention de sa volonté de recourir contre l'arrêt de l'autorité précédente. Dans ces conditions, il conviendrait de se poser la question de sa qualité pour recourir. Celle-ci peut toutefois demeurer indécise, dans la mesure où l'enfant mineur du recourant ne peut a priori pas faire valoir un droit propre à une autorisation de séjour et que son sort suit de toute façon celui de son père qui en a la garde (<ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 251; arrêt 2G_1/2014 du 1 er mai 2014 consid. 3.2).
1.3. Au surplus, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), le présent recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), est recevable.
2.
Le Tribunal fédéral statue en principe sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6 p. 358). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
Le recourant se prévaut d'un établissement inexact des faits. Il ne fait cependant que présenter ses vision et appréciation des faits de manière appellatoire, sans expliquer à suffisance en quoi le Tribunal cantonal aurait établi certains faits pertinents de manière manifestement inexacte. Dans ces conditions, le Tribunal fédéral vérifiera la correcte application du droit sur la seule base des faits retenus par l'autorité précédente.
3.
Le recourant invoque une violation de l'art. 8 CEDH, estimant que c'est à tort que le Tribunal cantonal a jugé qu'il n'entretenait pas de lien affectifs particulièrement forts avec son fils cadet.
3.1. L'art. 8 CEDH ne confère en principe pas un droit à séjourner dans un Etat déterminé. Le fait de refuser un droit de séjour à un étranger dont la famille se trouve en Suisse peut toutefois entraver sa vie familiale et porter ainsi atteinte au droit au respect de la vie privée et familiale garanti par cette disposition. Il n'y a cependant pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des membres de la famille qu'ils réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est a priori pas violé si le membre de la famille jouissant d'un droit de présence en Suisse peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour. En revanche, si le départ du membre de la famille pouvant rester en Suisse ne peut d'emblée être exigé sans autres difficultés, il convient de procéder à la pesée des intérêts prévue par l'art. 8 par. 2 CEDH. Celle-ci suppose de tenir compte de l'ensemble des circonstances et de mettre en balance l'intérêt privé à l'obtention d'un titre de séjour et l'intérêt public à son refus (arrêt 2C_821/2016 du 2 février 2018 consid. 4.2 et les références citées, destiné à la publication).
3.2. Dans un arrêt récent (arrêt 2C_821/2016 du 2 février 2018, destiné à la publication), le Tribunal fédéral a rappelé la jurisprudence relative à l'application de l'art. 8 CEDH pour le parent étranger qui n'a pas l'autorité parentale ni la garde d'un enfant mineur disposant d'un droit durable de résider en Suisse. Ce parent ne peut d'emblée entretenir une relation familiale avec son enfant que de manière limitée, en exerçant le droit de visite dont il bénéficie. Il n'est en principe pas nécessaire que, dans l'optique de pouvoir exercer son droit de visite, il soit habilité à résider durablement dans le même pays que son enfant. Sous l'angle du droit à une vie familiale (cf. art. 8 par. 1 CEDH et 13 al. 1 Cst.), il suffit en règle générale que le parent vivant à l'étranger exerce son droit de visite dans le cadre de séjours brefs, au besoin en aménageant ses modalités quant à la fréquence et à la durée ou par le biais de moyens de communication moderne. Le droit de visite d'un parent sur son enfant ne doit en effet pas nécessairement s'exercer à un rythme bimensuel et peut également être organisé de manière à être compatible avec des séjours dans des pays différents (arrêt 2C_821/2016 du 2 février 2018 consid. 5.1 et les références citées, destiné à la publication).
Selon la jurisprudence constante du Tribunal fédéral, rappelée au consid. 5.2 de l'arrêt 2C_821/2016 du 2 février 2018 destiné à la publication, un droit plus étendu ne peut le cas échéant exister qu'en présence 1) de relations étroites et effectives avec l'enfant d'un point de vue affectif et 2) d'un point de vue économique, 3) de l'impossibilité pratique à maintenir la relation en raison de la distance qui sépare le pays de résidence de l'enfant du pays d'origine de son parent et 4) d'un comportement irréprochable. Ces exigences doivent être appréciées ensemble et faire l'objet d'une pesée des intérêts globale. Dans le cadre de l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. art. 8 par. 2 CEDH), il faut aussi tenir compte de l'intérêt fondamental de l'enfant (art. 3 de la Convention relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]) à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec ses deux parents, étant précisé que, sous l'angle du droit des étrangers, cet élément n'est pas prépondérant par rapport aux autres et que l'art. 3 CDE ne saurait fonder une prétention directe à l'octroi ou au maintien d'une autorisation (arrêt 2C_821/2016 du 2 février 2018 consid. 5.2 et les références citées, destiné à la publication). Sous l'angle temporel, comme cela a déjà été souligné par la jurisprudence, ce qui est déterminant lors de l'examen de la proportionnalité, c'est la réalité et le caractère effectif des liens qu'un étranger a tissés avec le membre de sa famille qui bénéficie d'un droit de résider en Suisse au moment où le droit est invoqué, quand bien même, par définition, des liens familiaux particulièrement forts impliquent un rapport humain d'une certaine intensité qui ne peut s'épanouir que par l'écoulement du temps. En d'autres termes, les carences de l'étranger dans les relations étroites qu'il allègue entretenir avec son enfant revêtent moins de poids dans la pesée des intérêts à mesure qu'elles sont plus anciennes et qu'en raison de ce même écoulement du temps se renforce la relation entre l'étranger et son enfant (arrêt 2C_821/2016 du 2 février 2018 consid. 5.2 et les références citées, destiné à la publication).
4.
En l'occurrence, le Tribunal cantonal a uniquement examiné l'existence de relations étroites et effectives d'un point de vue affectif entre le recourant et son fils cadet. Niant leur existence, il ne s'est pas prononcé sur les autres conditions.
4.1. Le lien affectif particulièrement fort est tenu pour établi lorsque les contacts personnels sont effectivement exercés dans le cadre d'un droit de visite usuel selon les standards d'aujourd'hui (il s'agit d'un droit de visite d'un week-end toutes les deux semaines et durant la moitié des vacances); seuls importent les liens personnels, c'est-à-dire l'existence effective de liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif et non pas seulement les décisions judiciaires ou les conventions entre parents se répartissant l'autorité parentale et la garde des enfants communs ou encore l'introduction de l'autorité parentale conjointe en cas de divorce résultant de la modification du code civil entrée en vigueur le 1 er juillet 2014 (<ref-ruling> consid. 5.5.4 p. 31 s.; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 319 s.). A noter que lorsque l'étranger qui entend se prévaloir de l'art. 8 CEDH sous l'angle de sa vie familiale réside en Suisse sans disposer au préalable d'un droit de séjour, un droit de visite usuel ne suffit pas pour admettre l'existence d'un lien affectif particulièrement fort au sens exigé par la jurisprudence; il faut dans ce cas établir des relations personnelles d'une intensité particulière avec l'enfant en question (cf. ATF <ref-ruling> consid. 2.5 p. 321 s.; arrêt 2C_821/2016 du 2 février 2018 consid. 5.2.1 et les références citées, destiné à la publication).
4.2. Selon le Tribunal cantonal, le recourant n'entretenait pas avec son fils cadet des liens familiaux particulièrement forts d'un point de vue affectif, dès lors que ce n'est qu'en avril 2016 que le recourant a cherché à obtenir un droit de visite sur son enfant, né le 31 mars 2014. Aux termes de l'arrêt entrepris, la demande du recourant semble motivée par son intérêt à obtenir un permis de séjour par regroupement familial. L'autorité précédente a en outre retenu que ce n'est que depuis le 3 août 2016 que le recourant entretient des contacts réguliers avec son fils en le recevant plusieurs jours successifs et qu'elle a constaté que la relation entre le recourant et son fils cadet semble harmonieuse. Le Tribunal cantonal a toutefois considéré que cela ne suffisait pas à établir un lien affectif particulièrement fort, en particulier car le recourant avait laissé son fils aîné auprès de sa fiancée pendant presque une année et qu'il n'avait pas assisté à la naissance de son fils cadet, qu'il n'a reconnu que le 30 avril 2015 lors d'un bref passage en Suisse du 18 avril au 13 mai 2015. L'autorité précédente a conclu en jugeant que l'ensemble des circonstances ne démontrait pas une volonté d'entretenir dans la durée des contacts avec son fils cadet, les visites actuelles semblant bien plutôt motivées par le souhait d'obtenir une autorisation de séjour en Suisse.
4.3. En l'occurrence, on doit en premier lieu relever que le recourant ne dispose d'aucun droit de séjour en Suisse, pays dans lequel il séjourne illégalement depuis le mois d'août 2015. Ainsi, en application de la jurisprudence précitée (cf. consid. 4.1 ci-dessus), et contrairement à ce que semble penser le recourant, un droit de visite usuel permettant d'admettre l'existence d'un lien affectif particulièrement fort ne suffit pas. C'est l'établissement de relations personnelles d'une intensité particulière avec l'enfant que le recourant aurait dû démontrer devant l'autorité précédente. Or, il ressort des constatations effectuées par celle-ci que le recourant ne saurait même pas se prévaloir d'un droit de visite usuel. A fortiori, il ne saurait pas non plus être question de liens plus intenses. Rien dans l'arrêt contesté, ni même dans les allégations figurant dans le recours, ne permet de retenir une relation d'une telle intensité. Le fait, comme l'avance le recourant, de " s'intéresser à la problématique " de son enfant et de " se soucier des intérêts financiers " de celui-ci ne constitue pas une relation personnelle d'une intensité suffisante au sens de la jurisprudence. C'est bien plus la continuation d'une relation familiale étroite que l'étranger doit chercher à maintenir en Suisse. Or, par sa demande d'autorisation de séjour, le recourant ne cherche pas à faire perdurer une telle relation avec son fils cadet séjournant en Suisse. Au contraire, les liens développés avec celui-ci ont uniquement été créés au moyen du séjour illégal du recourant, par lequel ce dernier a mis les autorités devant le fait accompli et porté atteinte au principe de l'égalité de traitement par rapport aux nombreux étrangers qui respectent les procédures établies pour obtenir un titre de séjour en Suisse (arrêts 2C_736/2017 du 28 novembre 2017 consid. 4.2; 2C_616/2012 du 1 er avril 2013 consid. 1.4.2).
4.4. Dans ces conditions, c'est à juste titre que le Tribunal cantonal a nié l'existence de relations personnelles étroites et effectives avec l'enfant d'un point de vue affectif et, partant, le droit à une autorisation de séjour fondé sur l'art. 8 CEDH. On ne saurait lui reprocher d'avoir renoncé à examiner les autres conditions posées par cette disposition, dans la mesure où le recourant se trouve en Suisse de manière illégale, que les liens existant avec son fils n'ont été créés que grâce à ce séjour et que ces liens ne sont de toute façon pas d'une intensité suffisante. En outre, rien n'empêche le recourant de retourner vivre dans son pays d'origine, où il a vécu pratiquement toute sa vie et où, selon ses déclarations, il y a exploité une entreprise. Il pourra par ailleurs continuer de voir son fils, soit par le biais d'Internet, soit lors de visites semblables à celles qu'il a déjà effectuées pour voir sa mère.
5.
Sur le vu des considérants qui précèdent, le recours en matière de droit public doit être rejeté. Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service des migrations, au Département de l'économie et de l'action sociale et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 16 mai 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette