Sachverhalt:
A.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sprach A._ mit Urteil vom 10. August 2018 infolge Schuldunfähigkeit im Sinne von <ref-law> von den Vorwürfen der versuchten vorsätzlichen Tötung, der Gefährdung des Lebens und des Vergehens gegen das Waffengesetz frei. Es ordnete eine stationäre therapeutische Behandlung von psychischen Störungen an. Bezüglich des in Rechtskraft erwachsenen erstin stanzlichen Schuldspruchs wegen versuchter einfacher Körperverletzung (mit gefährlichem Gegenstand) verurteilte es ihn zu einer Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu Fr. 10.--. A._ befindet sich seit dem 12. Februar 2019 zum Vollzug der stationären therapeutischen Massnahme in der Klinik B._.
B.
Das Amt für Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt, Straf- und Massnahmenvollzug (nachfolgend: SMV), ordnete auf das Gesuch der Klinik B._ hin am 22. August 2019 eine Zwangsmedikation an, dies ab 5. September 2019 für die Dauer von 30 Tagen bzw. bis zum 4. Oktober 2019.
Der hiergegen geführte Rekurs von A._ an das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: JSD) blieb ebenso ohne Erfolg wie jener an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt, welcher den Rekurs dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht zum Entscheid überwies. Dieses wies den Rekurs am 25. Januar 2021 ab, soweit es darauf eintrat. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege hiess es gut.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen/subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 11. Mai 2021, das appellationsgerichtliche Urteil, der Entscheid des JSD sowie die Verfügung des SMV seien aufzuheben und die beantragte Zwangsbehandlung, insbesondere die Zwangsmedikation, sei zu untersagen. Der Vollzug der stationären therapeutischen Massnahme sei in eine andere, geeignete Institution zu verlegen, eventualiter sei eine unabhängige Fachperson zur Begleitung im Rahmen einer Supervision der behandelnden Ärzte beizuziehen. Eventualiter sei ein unabhängiges medizinisches Gutachten anzuordnen und es seien die Umstände, unter denen eine Zwangsmedikation erfolgen dürfe, sowie deren Dauer und Dosierung vorzuschreiben, wobei die Zwangsmedikation von einem unabhängigen, durch das Gericht zu bestimmenden Facharzt zu genehmigen sei. A._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung und beantragt, seiner Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zu gewähren.
D.
Die Präsidentin der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts erteilte der Beschwerde am 12. Mai 2021 bis zum Entscheid über das Gesuch superprovisorisch die aufschiebende Wirkung. Das Appellationsgericht, die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und der SMV verzichten darauf, sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Anordnung einer Zwangsmedikation während eines strafrechtlichen Massnahmenvollzugs ist ein Entscheid über den Vollzug von Massnahmen im Sinne von <ref-law>. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig. Zu ihrer Beurteilung ist die Strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts zuständig (Urteile 6B_1075/2020 vom 14. Oktober 2020 E. 1; 6B_824/2015 vom 22. September 2015 E. 1.1; je mit Hinweisen). Mit dieser kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (<ref-law>). Für die subsidiäre Verfassungsbeschwerde besteht kein Raum (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerde in Strafsachen setzt u.a. ein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Aufhebung des angefochtenen Entscheids voraus. Von diesem Erfordernis sieht das Bundesgericht ausnahmsweise ab, wenn sich die mit der Beschwerde aufgeworfenen grundsätzlichen Fragen jeweils unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen können, ohne dass im Einzelfall rechtzeitig eine bundesgerichtliche Prüfung möglich wäre (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
Der Zeitraum, für welchen der SMV die Zwangsmedikation angeordnet hat (vom 5. September bis zum 4. Oktober 2019), ist verstrichen, sodass der Beschwerdeführer kein aktuelles Rechtsschutzinteresse an der Beurteilung seiner Beschwerde mehr hat. Die Frage der Zulässigkeit einer Zwangsmedikation kann sich angesichts der konkreten Umstände auch in Zukunft wieder stellen, wobei eine rechtzeitige Überprüfung aufgrund der zeitlichen Abläufe des Rechtsmittelverfahrens kaum je möglich sein wird. Der Beschwerdeführer hat daher grundsätzlich ein rechtlich geschütztes Interesse an der Beurteilung seiner Beschwerde. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bleibt die Frage der Zulässigkeit der vom SMV gestützt auf den Antrag der Klinik B._ für den Zeitraum vom 5. September bis zum 4. Oktober 2019 konkret angeordneten Zwangsmedikation (vgl. Beschwerde S. 8).
Nicht einzutreten ist jedoch auf den Antrag des Beschwerdeführers, er sei in eine andere Vollzugseinrichtung zu versetzen. Bereits die Vorinstanz tritt auf dieses Begehren nicht ein, da ihm der Bezug zum Streitgegenstand fehlt (Urteil S. 5). Dies kritisiert der Beschwerdeführer nicht.
1.3. Der Beschwerdeführer bzw. sein Rechtsvertreter ersucht mit Hinweis auf <ref-law> darum, dass ihm eine Frist zur vollständigen Absprache mit dem Beschwerdeführer mit der Möglichkeit zur Ergänzung der Beschwerde gesetzt wird. Mit seiner Begründung, der Beschwerdeführer habe sich kurz vor Ablauf der Beschwerdefrist entschieden, Beschwerde gegen das vorinstanzliche Urteil zu erheben, macht er keinen in <ref-law> genannten Grund für eine Frist zur Ergänzung der Beschwerdebegründung geltend. Der Rechtsvertreter hat den Beschwerdeführer bereits im kantonalen Verfahren vertreten und ist mit dem Verfahrensgegenstand, der weder einen aussergewöhnlichen Umfang noch eine besondere Schwierigkeit aufweist, vertraut. Sein Antrag ist daher abzuweisen.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Zwangsmedikation verstosse gegen die BV und die EMRK (insbesondere das Willkürverbot, die Pflicht zum Handeln nach Treu und Glauben, das Recht auf persönliche Unversehrtheit und das Folterverbot). Ferner würden Art. 398 Abs. 1 und 2 OR, § 15 des Gesundheitsgesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 21. September 2011 (SG 300.100) respektive Art. 13 des Patientinnen- und Patientengesetzes des Kantons Zürich vom 5. April 2004 (LS 813.13) verletzt, da die ärztlich nicht abgesicherte Diagnose unbesehen übernommen werde.
2.2. Die Vorinstanz erwägt zusammengefasst, beim Beschwerdeführer liege eine paranoide Schizophrenie mit kontinuierlichem Verlauf und ein Substanzmissbrauch von Cannabis und Kokain vor. Die Beigabe von Neuroleptika stelle bei Schizophrenie-Patienten grundsätzlich ein taugliches Instrument dar, um eine Krankheitseinsicht zu erreichen und damit das Therapieziel zu sichern bzw. die Legalprognose langfristig zu verbessern. Die Zwangsmedikation sei eine zur Erreichung der im öffentlichen Interesse liegenden Zielsetzung geeignete Massnahme, zumal der Beschwerdeführer in der Vergangenheit bereits positiv auf verschiedene Neuroleptika reagiert habe. Die Notwendigkeit einer antipsychotischen Zwangsmedikation ergebe sich aus dem Störungsbild des Beschwerdeführers und der im aktuellen Zustand nicht zu erreichenden therapeutischen Ansprechbarkeit. Die Verabreichung von antipsychotischen Medikamenten gehöre beim Vorliegen einer Schizophrenie zu einer sorgfältigen ärztlichen Behandlung und es bestehe keine alternative Behandlungsmethode. Die medikamentöse Behandlung sei explizit geboten und es bestehe keine mildere, gleich geeignete Massnahme zur Verbesserung der Legalprognose. Die angestrebte Behandlung erscheine auch als zumutbar, zumal der Beschwerdeführer an keiner der gemäss Fachliteratur sehr häufig auftretenden und auf physischer Ebene sehr einschneidenden Nebenwirkungen leide. Die bei ihm bisher aufgetretenen Nebenwirkungen - konkret Sehstörungen bzw. Einbussen in der Lesefähigkeit - seien zwar unangenehm und einschneidend, jedoch nicht derart schwer, dass deren Duldung dem Beschwerdeführer nicht zumutbar wäre. Auch werde die Zwangsmassnahme für den begrenzten Zeitraum von einem Monat angeordnet und in engen zeitlichen Abständen geprüft, ob die Medikation die gewünschte Wirkung erziele und ob deren Weiterführung hinsichtlich der Nebenwirkungen weiterhin zumutbar sei. Angesichts der bisherigen Erfahrungen sei zu erwarten, dass sich die psychotischen Symptome des Beschwerdeführers auch unter einer erneuten Therapie mit antipsychotischen Medikamenten rückläufig zeigen werden. Sobald es zu dieser Verbesserung der Psychopathologie komme, könnten die notwendigen therapeutischen Massnahmen geplant und eine Zukunftsperspektive etabliert werden. Im Falle einer Nichtbehandlung bestehe die Gefahr, dass sich die Prognose der psychischen Erkrankung angesichts der progressiv verlaufenden Krankheit verschlechtere und angesichts der (in Freiheit) bestehenden Fremdgefährlichkeit keine Vollzugslockerungen möglich seien. Insgesamt erscheine die Zwangsmedikation verhältnismässig. Eine Begleitung bzw. Supervision der weiteren Therapie durch einen externen Psychiater sei nicht angezeigt, da keinerlei Anhaltspunkte dafür bestünden, dass die Ärzte der Klinik B._ die Regeln der ärztlichen Kunst und Ethik nicht beachten bzw. die Behandlung nicht nach dem aktuellen Stand der Wissenschaft ausrichten würden. Aus dem gleichen Grund brauche es auch keine Vorschriften bezüglich der Umstände, unter denen eine Zwangsmedikation erfolgen dürfe und keine diesbezügliche Genehmigung durch einen Facharzt.
2.3.
2.3.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (<ref-law>). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei hat mit ihrer Kritik bei der als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägung der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 1.2). Die Begründung muss in der Beschwerde selbst enthalten sein, Verweise auf andere Rechtsschriften oder auf die Akten reichen nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2). Die Begründung muss sachbezogen sein und erkennen lassen, dass und weshalb nach Auffassung der beschwerdeführenden Partei Recht im Sinne von <ref-law> verletzt ist (<ref-ruling> E. 1.7.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.2). Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich im Sinne von <ref-law> ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1, 88 E. 1.3.1). Für Rügen der Verletzung von Grundrechten, inklusive Willkür bei der Beweiswürdigung, gelten erhöhte Begründungsanforderungen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Auf ungenügend begründete Rügen am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.1, 88 E. 1.3.1).
2.3.2. Die medikamentöse Zwangsbehandlung stellt einen schweren Eingriff in die körperliche und geistige Integrität (<ref-law> und Art. 8 Ziff. 1 EMRK) dar; sie betrifft die menschliche Würde (<ref-law>) zentral (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 5). Nebst der mit Blick auf den schweren Grundrechtseingriff erforderlichen formellgesetzlichen Grundlage verlangt der Eingriff nach der Rechtsprechung daher eine vollständige und umfassende Interessenabwägung. Zu berücksichtigen sind dabei die öffentlichen Interessen, die Notwendigkeit der Behandlung, die Auswirkungen einer Nichtbehandlung, die Prüfung von Alternativen sowie die Beurteilung von Selbst- und Fremdgefährdung (<ref-ruling> E. 4 und 5; Urteile 6B_1075/2020 vom 14. Oktober 2020 E. 2.1; 6B_821/2018 vom 26. Oktober 2018 E. 4.4). In diese Interessenabwägung miteinzubeziehen sind nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung insbesondere auch langfristige Nebenwirkungen einer zwangsweise vorgesehenen Neuroleptika-Behandlung (<ref-ruling> E. 5.3; Urteil 6B_821/2018 vom 26. Oktober 2018 E. 4.4).
2.4.
2.4.1. Der Beschwerdeführer setzt sich kaum mit den ausführlichen vorinstanzlichen Erwägungen auseinander. Auf den Verweis auf seine Rekursbegründung ist nicht weiter einzugehen (vgl. E. 2.3.1). Soweit er die Diagnose der paranoiden Schizophrenie in Frage stellt, legt er nicht dar, dass die Vorinstanz die entsprechenden Ausführungen sowie Schlussfolgerungen im forensisch-psychiatrischen Gutachten vom 23. April 2018 willkürlich als schlüssig bezeichnet und darauf abstellt. Die Vorinstanz zeigt auf, dass die Sachverständigen im Gutachten vom 23. April 2018 auch differenzialdiagnostische Überlegungen anstellen und sich mit der Einschätzung im Gutachten aus dem Jahr 2015 auseinandersetzen sowie begründen, weshalb sie zu einer abweichenden Diagnose gelangen. Dem aktuellen Gutachten sei zu entnehmen, dass weniger eindeutige Kernsymptome einer schizophrenen Erkrankung bereits bei der Erstellung des Gutachtens im Jahr 2015 vorgelegen hätten. Weitere für die Diagnosestellung relevante Symptome hätten sich aber erst nach der Erstellung dieses Gutachtens langsam verstärkt (insbesondere nach dem Absetzen der antipsychotischen Medikation), weshalb die Beschwerden des Beschwerdeführers in einem neuen diagnostischen Licht erschienen seien (Urteil S. 10 f.). Die Vorinstanz legt in der Folge dar, dass die Einschätzung der Sachverständigen durch weitere Fachpersonen bestätigt werde und der Beschwerdeführer auch im Massnahmenvollzug Symptome einer Schizophrenie zeige (Urteil S. 12 ff.). Der Beschwerdeführer geht auf diese vorinstanzlichen Ausführungen nicht ein und genügt damit den qualifizierten Begründungsanforderungen an die Willkürrüge nicht. Es reicht nicht aus, wenn er rein appellatorisch ausführt, frühere Fachpersonen seien zu einer abweichenden Diagnose gelangt. Darauf ist nicht einzutreten.
Die Diagnose der paranoiden Schizophrenie beruht entgegen dem Einwand des Beschwerdeführers auch auf der Einschätzung eines unabhängigen Facharztes für forensische Psychiatrie. Die Vorinstanz zeigt auf, dass einer der behandelnden Ärzte anlässlich der vorinstanzlichen Verhandlung anschaulich die beim Beschwerdeführer bestehenden Symptome einer paranoiden Schizophrenie darlegte und diese von Symptomen einer dissozialen Persönlichkeitsstörung abgrenzte (vgl. Urteil S. 13 f.; Akten Vorinstanz, Verhandlungsprotokoll vom 25. Januar 2021, S. 3 f.). Soweit der Beschwerdeführer die Unabhängigkeit seiner behandelnden Ärzte in Frage stellt, genügen seine Ausführungen wiederum den Begründungsanforderungen nicht. Ferner begründet die Vorinstanz überzeugend, weshalb die Vorgesetztenstellung des Sachverständigen für das Vertrauensverhältnis zwischen dem Beschwerdeführer und den behandelnden Ärzten nicht abträglich sei (Urteil S. 9). Hierauf geht der Beschwerdeführer mit keinem Wort ein.
2.4.2. Im Übrigen zeigt der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen nicht auf, dass die gesetzlichen Anforderungen an eine Zwangsmedikation nicht erfüllt sind. Die Zwangsmassnahme beruht auf einer formellgesetzlichen Grundlage (vgl. § 15 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 13. November 2019 über den Justizvollzug [SG 258.200] und <ref-law> [vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2; <ref-ruling> E. 3.3; Urteile 6B_1091/2019 vom 16. Oktober 2019 E. 4.1; 6B_821/2018 vom 26. Oktober 2018 E. 4.4; je mit Hinweisen]). Nach dem Gesagten muss die Vorinstanz an der gutachterlichen Diagnose oder dem gutachterlich attestierten hohen Risiko für die erneute Begehung von schweren Gewalt- sowie Betäubungsmitteldelikten (vgl. Akten SMV, Gutachten vom 23. April 2018, S. 91 und 96) nicht zweifeln. Der Beschwerdeführer begab sich mit einem geladenen Revolver zu einer Poststelle und traf auf dem Nachhauseweg zufällig auf einen von einer Drittperson begleiteten Bekannten, mit dem er vor dem Hintergrund eines seit längerer Zeit schwelenden, sich immer weiter zuspitzenden Konflikts die Konfrontation suchte und in kurzer Abfolge insgesamt drei Schüsse auf diesen abgab (Urteil S. 2). Die Zwangsbehandlung dient dem Massnahmenzweck, womit ein öffentliches Interesse daran besteht. Der Beschwerdeführer trägt nichts vor, das die Zwangsmedikation als unverhältnismässig erscheinen liesse. Die Vorinstanz zeigt überzeugend auf, dass er trotz therapeutischer Bemühungen bisher keine Krankheits- und Behandlungseinsicht entwickelt habe und eine medikamentöse Behandlung zwingend notwendig sei, um überhaupt mit einer geordneten Psychotherapie beginnen zu können. Gemäss den Sachverständigen und den behandelnden Ärzten ist die Zwangsmedikation im Hinblick auf die Legalprognose indiziert, was der Beschwerdeführer nicht widerlegt. Ohne entsprechende Therapie würde sich die Prognose gemäss den behandelnden Ärzten mit zunehmendem Krankheitsverlauf verschlechtern, womit die psychische Gesundheit des Beschwerdeführers und die Verbesserung seiner Legalprognose gefährdet würden (Urteil S. 16). Insgesamt nimmt die Vorinstanz eine umfassende und detaillierte Interessenabwägung vor, wobei sie auch den möglichen Nebenwirkungen einer zwangsweise vorgesehenen medikamentösen Behandlung hinreichend Rechnung trägt (vgl. Urteil 19 f.). Sie gelangt ohne Rechtsverletzung zum Schluss, dass die konkret vom SMV angeordnete Zwangsmedikation verhältnismässig ist. Auch weist sie die weiteren Rechtsbegehren des Beschwerdeführers mit zutreffender Begründung, auf die der Beschwerdeführer nicht eingeht, ab. Darauf kann verwiesen werden (vgl. Urteil S. 20).
2.4.3. Unbegründet ist schliesslich die Kritik des Beschwerdeführers, dass die Vorinstanz über die Zwangsmedikation entschieden habe, ohne den Behandlungsplan zu kennen. Zutreffend ist, dass kein detaillierter Plan zur beabsichtigten medikamentösen Behandlung vorliegt. Allerdings hat die Klinik B._ in ihrem dem vorliegenden Verfahren zugrunde liegenden Antrag auf Anordnung einer antipsychotischen Behandlung vom 12. Juni 2019 die beabsichtigte medikamentöse Behandlung des Beschwerdeführers unter Angabe der Wirkstoffe bzw. Medikamente sowie deren Maximaldosierung dargelegt (Akten SMV, Antrag vom 12. Juni 2019, S. 2). Ferner wurde die Zwangsbehandlung auf den Zeitraum von 30 Tagen beschränkt. Gestützt darauf fällt die Vorinstanz ihr Urteil, was nicht zu beanstanden ist.
Wie einleitend ausgeführt, ist der Zeitraum, für den die Zwangsmassnahme angeordnet wurde, bereits verstrichen (vgl. E. 1.2). Sollten die behandelnden Ärzte der Klinik B._ wieder zur Ansicht gelangen, es sei gegen den Willen des Beschwerdeführers eine medikamentöse Behandlung anzuordnen, haben sie einen neuen Behandlungsplan zu erstellen und dem SMV einen entsprechenden Antrag zu unterbreiten.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Mit dem Entscheid in der Sache ist das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos geworden.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist infolge Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren abzuweisen (<ref-law>). Dem Beschwerdeführer sind reduzierte Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Dem Beschwerdeführer werden Gerichtskosten in Höhe von Fr. 1'200.-- auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Juni 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Andres