Sachverhalt:
A.
Der 1970 geborene A._ bezog seit Oktober 2001 eine ganze Rente der Invalidenversicherung. Mit Revisionsverfügung vom 12. Februar 2013 hob die IV-Stelle des Kantons St. Gallen diese Invalidenrente auf Ende März 2013 hin auf, weil kein leistungsbegründender Gesundheitsschaden mehr vorliege. In der Folge bestätigten sowohl das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 5. Mai 2015 als auch das Bundesgericht mit Urteil 9C_423/2015 vom 22. September 2015 die verfügte Rentenaufhebung.
Dennoch zahlte die Schweizerische Ausgleichskasse die monatlichen Rentenbetreffnisse fälschlicherweise weiterhin aus. Erst am 2. Juni 2017 realisierten die beteiligten IV-Organe (IV-Stelle des Kantons St. Gallen, Schweizerische Ausgleichskasse), dass die IV-Stelle ihre leistungsaufhebende Revisionsverfügung vom 12. Februar 2013 der für die Auszahlung der Invalidenrente zuständigen Ausgleichskasse versehentlich nie mitgeteilt hatte. Die weitere Auszahlung wurde umgehend eingestellt. Mit Vorbescheid vom 17. Oktober 2017 forderte die Schweizerische Ausgleichskasse unrechtmässig bezogene Rentenbetreffnisse in Höhe von Fr. 195'657.- vom Versicherten zurück. Im gleichen Sinne verfügte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen am 30. Januar 2018. Diese Verfügung wurde in der Folge widerrufen und durch eine neue Rückerstattungsverfügung vom 16. März 2018 ersetzt. Darin forderte die IV-Stelle die im Zeitraum von April 2013 bis Mai 2017 zu Unrecht ausgerichteten Rentenbetreffnisse (einschliesslich dreier Kinderrenten) im korrigierten Betrag von Fr. 191'814.- von A._ zurück.
B.
Das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 27. August 2019 teilweise gut. Es hob die Rückerstattungsverfügung vom 16. März 2018 auf und reduzierte den von A._ zu leistenden Rückforderungsbetrag auf Fr. 15'372.-, d.h. auf die von Februar bis Mai 2017 unrechtmässig bezogenen Rentenbetreffnisse. Die Rückforderung für die zuvor ausgerichteten Renten sei verwirkt.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und Bestätigung ihrer Rückerstattungsverfügung vom 16. März 2018.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Überdies ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Während das Versicherungsgericht eine Stellungnahme einreicht, ohne einen Antrag zu formulieren, hat sich das Bundesamt für Sozialversicherungen nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>; vgl. auch <ref-law>). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (<ref-law>), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, <ref-law>).
2.
2.1. Unrechtmässig bezogene Leistungen sind zurückzuerstatten (Art. 25 Abs. 1 erster Satz ATSG [SR 830.1]). Gemäss Art. 25 Abs. 2 erster Satz ATSG erlischt der Rückforderungsanspruch mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung. Bei den genannten Fristen handelt es sich um Verwirkungsfristen (<ref-ruling> E. 3.2.2 S. 24; <ref-ruling> E. 2.1 S. 525 mit Hinweisen). Unter der Wendung "nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat", ist der Zeitpunkt zu verstehen, in dem die Verwaltung bei Beachtung der gebotenen und zumutbaren Aufmerksamkeit hätte erkennen müssen, dass die Voraussetzungen für eine Rückerstattung bestehen, oder mit andern Worten, in welchem sich der Versicherungsträger hätte Rechenschaft geben müssen über Grundsatz, Ausmass und Adressat des Rückforderungsanspruchs. Ist für die Leistungsfestsetzung (oder die Rückforderung) das Zusammenwirken mehrerer mit der Durchführung der Versicherung betrauter Behörden notwendig, genügt es für den Beginn des Fristenlaufs, dass die nach der Rechtsprechung erforderliche Kenntnis bei einer der zuständigen Verwaltungsstellen vorhanden ist (BGE <ref-ruling> E. 2.1 S. 525; <ref-ruling> E. 4.1 S. 8, 106 E. 7.2.1; je mit Hinweisen).
2.2. Beruht die unrechtmässige Leistungsausrichtung auf einem Fehler der Verwaltung, wird die einjährige relative Verwirkungsfrist gemäss Art. 25 Abs. 2 erster Satz ATSG nicht durch das erstmalige unrichtige Handeln der Amtsstelle ausgelöst. Vielmehr ist auf jenen Tag abzustellen, an dem das Durchführungsorgan später - beispielsweise anlässlich einer Rechnungskontrolle oder aufgrund eines zusätzlichen Indizes - unter Anwendung der ihm zumutbaren Aufmerksamkeit seinen Fehler hätte erkennen müssen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 572; <ref-ruling> E. 1 S. 382 f.; <ref-ruling> E. 5b/aa S. 275; Ueli Kieser, Kommentar zum ATSG, 4. Aufl. 2020, N. 85 zu <ref-law>; Johanna Dormann, in: Basler Kommentar, Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts, 2020, N. 53 zu <ref-law>; Sylvie Pétremand, in: Commentaire romand, Loi sur la partie générale des assurances sociales, 2018, N. 93 zu <ref-law>).
3.
Unter den Verfahrensbeteiligten ist unbestritten, dass der Beschwerdegegner die trotz rechtskräftiger Rentenaufhebung weiterhin ausgerichtete Invalidenrente an sich vollumfänglich zurückzuerstatten hat. Streitig ist einzig, ob die angeführte einjährige Verwirkungsfrist bereits abgelaufen und der Rückforderungsanspruch der Verwaltung demzufolge (weitgehend) erloschen war, als die IV-Stelle ihre (nachträglich widerrufene und berichtigte) Rückerstattungsverfügung vom 30. Januar 2018 erliess.
3.1. Die Vorinstanz stellt in für das Bundesgericht verbindlicher Weise fest (vgl. E. 1 hievor), dass die IV-Stelle ihre Rentenaufhebungsverfügung vom 12. Februar 2013 der Schweizerischen Ausgleichskasse nicht zugestellt hat, obwohl Letztere unter den verschiedenen Empfängern einer Verfügungskopie ausdrücklich und mit dem Vermerk "zum Vollzug" angeführt wurde. Durch diesen ersten Fehler der Verwaltung, der dazu führte, dass die Ausgleichskasse ihre monatliche Auszahlung der Invalidenrente nicht einstellte, wurde die einjährige Verwirkungsfrist allerdings noch nicht ausgelöst (E. 2.2 hievor). Darin sind sich auch alle Verfahrensbeteiligten einig. Das zweite und somit fristauslösende Fehlverhalten der IV-Stelle erblicken kantonales Gericht und Beschwerdegegner in einer doppelten sorgfaltspflichtwidrigen Unterlassung der kantonalen Amtsstelle. Im Nachgang zu ihrer rentenaufhebenden Verfügung hätte die IV-Stelle gemäss Auffassung der Vorinstanz und des Versicherten nämlich zu prüfen gehabt, ob die Verfügung bei der Schweizerischen Ausgleichskasse auch tatsächlich eingegangen ist ("Quittierungspflicht") und - in der Folge - ob die verfügte Renteneinstellung ordnungsgemäss umgesetzt wurde. Diese zumutbare Kontrolle hätte sich, wiederum nach Auffassung von kantonalem Gericht und Beschwerdegegner, durch Konsultation des Rentenregisters der Zentralen Ausgleichsstelle (ZAS) spätestens Mitte April 2013 mit äusserst geringem Aufwand bewerkstelligen lassen, weshalb die relative einjährige Verwirkungsfrist Ende April 2013 zu laufen begonnen habe und längst verstrichen gewesen sei, als die Durchführungsorgane die unrechtmässige Weiterausrichtung der Rente im Juni 2017 stoppten und anschliessend deren Rückerstattung verlangten.
3.2. Im Zusammenhang mit der Zusprechung von Invalidenrenten sind die Aufgaben zwischen IV-Stellen und Ausgleichskassen gesetzlich aufgeteilt: Die IV-Stellen klären die versicherungsmässigen Voraussetzungen ab, bemessen die Invalidität und verfügen über die Leistungen der Invalidenversicherung (Art. 57 Abs. 1 lit. c, f und g IVG). Die Ausgleichskassen wirken bei der Abklärung der versicherungsmässigen Voraussetzungen mit, berechnen die Renten und zahlen diese aus (Art. 60 Abs. 1 lit. a, b und c IVG). Mit Blick auf diese gesetzlichen und die zugehörigen Verordnungsbestimmungen zieht die Beschwerdeführerin zu Recht in Zweifel, dass den IV-Stellen die vorinstanzlich unterstellte "Quittierungs"-, Kontroll- und Überwachungspflicht obliege. Es ist auch keine Verwaltungspraxis ersichtlich, welche von der zuständigen IV-Stelle unmittelbar nach Erlass einer rentenaufhebenden oder -herabsetzenden Verfügung entsprechende Vorkehrungen verlangen würde (vgl. Kreisschreiben des BSV über das Verfahren in der Invalidenversicherung [KSVI], gültig ab 1. Januar 2010; Wegleitung des BSV über die Renten [RWL] in der Eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung, gültig ab 1. Januar 2003). Ebenso wenig lässt sich solches aus der bisherigen Rechtsprechung ableiten. Im Zusammenhang mit der unrechtmässigen Weiterausrichtung einer Witwerrente an den wiederverheirateten Witwer hat es das Bundesgericht sinngemäss abgelehnt, den Ausgleichskassen eine engmaschigere Abgleichung des zentralen Rentenregisters der ZAS mit den Daten der Zivilstandsbehörden vorzuschreiben (BGE <ref-ruling> E. 5.1 S. 10), obwohl in derartigen Fällen in Übereinstimmung mit den vorinstanzlichen Ausführungen im hier angefochtenen Entscheid "mit einem minimalen Aufwand (...) Schaden im fünf- oder gar sechsstelligen Bereich" abgewendet werden könnte, "weil Rückforderungen in dieser Höhe oft als uneinbringlich abgeschrieben werden müssen".
3.3. Die Frage nach der vom Beschwerdegegner postulierten und vom kantonalen Gericht anerkannten Kontroll- und Überwachungspflicht der IV-Stellen braucht im vorliegenden Fall jedoch nicht abschliessend beantwortet zu werden. Denn wie bereits im Sachverhalt erwähnt, waren hier nicht nur der Versicherungsträger und (jedenfalls bei korrektem Ablauf) die Schweizerische Ausgleichskasse als weiteres Durchführungsorgan mit der Rentenaufhebung konfrontiert, sondern in der Folge auch die Gerichtsbehörden. Für die diesbezüglichen Verfahren hat das BSV im Kreisschreiben über die Rechtspflege in der AHV, der IV, der EO und der EL (KSRP), gültig ab 1. Oktober 2005, zuhanden verschiedener Versicherungseinrichtungen Verwaltungsweisungen erlassen. So wird in Rz. 2048 KSRP festgelegt, dass die zuständige, d.h. die verfügende (vgl. Rz. 2044) IV-Stelle oder Ausgleichskasse in AHV/IV-Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht dem jeweils anderen Durchführungsorgan die Beschwerde und den Beschwerdeentscheid sofort bekannt gibt. Warum diese Handlungsanweisung im Abschnitt über die AHV/IV-Verfahren vor Bundesgericht (Rz. 2049 ff. KSRP) nicht wiederholt wird, ist unverständlich, kann hier aber offenbleiben. Entscheidend ist, dass die im vorliegenden Verfahren beschwerdeführende IV-Stelle seinerzeit im Prozess vor dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen betreffend Rentenaufhebung der Schweizerischen Ausgleichskasse weder die vom Versicherten eingereichte Beschwerde, noch den Entscheid des kantonalen Gerichts vom 5. Mai 2015 übermittelt hat. Hätte indes die IV-Stelle die angeführte Verwaltungsweisung befolgt, wäre die Ausgleichskasse allerspätestens schon im Mai 2015 auf die zu Unrecht weiterhin ausbezahlte Invalidenrente aufmerksam gemacht worden und hätte die Rente umgehend stoppen können. In der Missachtung von Rz. 2048 KSRP liegt der zweite Fehler der IV-Stelle, welcher nach der in E. 2.2 hievor dargelegten Rechtsprechung die einjährige Verwirkungsfrist gemäss Art. 25 Abs. 2 erster Satz ATSG auslöste. Daran ändert nichts, dass bei weisungsgemässem Vorgehen der IV-Stelle im Mai 2015 nicht sie selber, sondern primär die Schweizerische Ausgleichskasse den ursprünglichen Fehler entdeckt hätte. Denn ist - wie hier - für die Festsetzung, Aufhebung und Rückforderung der Invalidenrente das Zusammenwirken von IV-Stelle und Ausgleichskasse nötig, genügt es für den Beginn des Fristenlaufs, wenn die erforderliche Kenntnis über den Rückforderungsanspruch bei einer der zuständigen Durchführungsstellen vorhanden ist (E. 2.1 hievor in fine). Indem die IV-Stelle in ihrer Beschwerde u.a. betont, dass der vorinstanzliche Entscheid vom 5. Mai 2015 der Ausgleichskasse nicht zugestellt worden sei, beruft sie sich nach dem Gesagten auf einen Umstand, den sie durch eigene Pflichtwidrigkeit selber verursacht hat. Insofern ist dem kantonalen Gericht beizupflichten.
3.4. Es stellt sich die Frage nach dem Ablauf der Einjahresfrist. Im Invalidenversicherungsrecht werden die relative einjährige und die absolute fünfjährige Verwirkungsfrist in der Regel durch den Erlass eines Vorbescheids im Sinne von Art. 73bis IVV (SR 831.201) gewahrt (<ref-ruling>; <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 584; <ref-ruling> E. 3c S. 434; SVR 2011 IV Nr. 52 S. 155, 8C_699/2010 E. 2). Hier erging ein "Vorbescheid" erst am 17. Oktober 2017. Weil dieser indes, wie die Vorinstanz zutreffend festhält, nicht von der IV-Stelle, sondern von der dafür nicht zuständigen Schweizerischen Ausgleichskasse erlassen wurde (<ref-law>; vgl. E. 3.2 hievor), bleibt er im vorliegenden Zusammenhang unbeachtlich. Fristenrechtlich massgebend ist demnach die (noch spätere) Rückerstattungsverfügung der IV-Stelle vom 30. Januar 2018. Der Umstand, dass diese Verfügung nachträglich widerrufen und durch die betraglich berichtigte Rückerstattungsverfügung vom 16. März 2018 ersetzt wurde, spielt demgegenüber rechtsprechungsgemäss keine Rolle (SVR 2018 KV Nr. 6 S. 30, 9C_778/2016 E. 5.1; 2010 ALV Nr. 4 S. 9, 8C_616/2009 E. 3.2). Die im Mai 2015 ausgelöste einjährige Verwirkungsfrist (E. 3.3 hievor in fine) war jedenfalls im Zeitpunkt der Rückforderung durch die Verwaltung längst abgelaufen und der Rückerstattungsanspruch hinsichtlich der ab April 2013 unrechtmässig bezogenen Invalidenrenten im Gesamtbetrag von Fr. 191'814.- demzufolge weitgehend, nämlich im Umfang von Fr. 176'442.- erloschen. Etwas anderes gilt nur für die innerhalb eines Jahres vor Erlass der Rückerstattungsverfügung vom 30. Januar 2018 ausgerichteten Rentenbetreffnisse, d.h. diejenigen für die Monate Februar bis Mai 2017: Der diesbezügliche Rückforderungsanspruch in Höhe von insgesamt Fr. 15'372.- konnte solange nicht verwirken, als die einzelnen monatlichen Renten noch gar nicht ausbezahlt waren (BGE <ref-ruling> E. 5.2 in fine S. 11; <ref-ruling> E. 5b/bb S. 276; Urteil 9C_454/2012 vom 18. März 2013 E. 7.3, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2013 IV Nr. 24 S. 66).
Die Beschwerde der IV-Stelle ist mithin unbegründet.
4.
Ausgangsgemäss hat die beschwerdeführende IV-Stelle die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>) und dem Beschwerdegegner eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Mai 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Attinger