Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1985) ist türkische Staatsangehörige. Sie heiratete am 24. April 2002 den in der Schweiz niederlassungsberechtigten Landsmann B.A._ (geb. 1972). Das Migrationsamt des Kantons Solothurn erteilte ihr am 18. Dezember 2002 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei ihrem Gatten. Aus der Beziehung ging am 28. Oktober 2003 der gemeinsame Sohn C.A._ hervor.
A.b. Das Richteramt Solothurn-Lebern schied die Ehe A._ am 3. Juni 2008. C.A._ wurde unter die elterliche Sorge seiner Mutter gestellt; der Kindsvater verfügt über ein gerichtsübliches Besuchsrecht; er wurde zudem angehalten, für seinen Sohn einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 850.-- sowie für seine Gattin einen nachehelichen Unterhalt von Fr. 1'000.-- zu bezahlen. Bereits am 23. Mai 2004 hatte B.A._, der wiederholt gegenüber seiner Gattin gewalttätig geworden ist, den gemeinsamen Sohn zu seinen Eltern in die Türkei verbracht.
A.c. Am 20. September 2006 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Solothurn die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ um ein Jahr, um ihr Gelegenheit zu geben, ihre Lebensumstände (Arbeits-, Wohn- und Ehesituation sowie Kindesbetreuung) zu stabilisieren. Bei gleichbleibenden oder verschlechterten Verhältnissen wurde ihr die Wegweisung in Aussicht gestellt.
A.d. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn verlängerte am 22. Dezember 2011 die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls (physische und psychische eheliche Gewalt). Es hielt A.A._ indessen an, sich weiter um ihre Integration zu bemühen, insbesondere einer Erwerbstätigkeit nachzugehen, ihre Deutschkenntnisse zu verbessern, keine Schulden (mehr) anzuhäufen und auch sonst zu keinen Klagen Anlass zu geben.
B.
Am 21. November 2014 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Solothurn die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ letztmals bis zum 31. Dezember 2015. Das Amt sah in der Folge am 3. April 2019 davon ab, die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ ein weiteres Mal zu verlängern; es hielt sie an, das Land zu verlassen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 18. November 2019 ab. A.A._ habe über Jahre hinweg von der Sozialhilfe gelebt; sie habe heute als nicht mehr vermittelbar zu gelten.
C.
A.A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 18. November 2019 aufzuheben und ihre Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. In der Verhältnismässigkeitsprüfung sei ihrer Situation (Opfer ehelicher Gewalt; Trennung vom Kind durch dessen Verbringung durch den Vater in die Heimat; beschränkte kognitive Fähigkeiten, psychische und physische Beeinträchtigungen usw.) zu wenig Rechnung getragen worden. Da keine medizinische Gutachten eingeholt worden seien, sei der Sachverhalt ungenügend erstellt und der angefochtene Entscheid nicht hinreichend begründet.
Das Migrationsamt und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat keine Stellungnahme eingereicht. A.A._ gab am 26. Februar 2020 ein Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 3. Februar 2020 zu den Akten, worin dieses die Beschwerde von A.A._ gutheisst und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons Solothurn vom 22. März 2019 aufhebt und die Sache zu ergänzenden medizinischen Abklärungen und neuem Entscheid an die IV-Stelle zurückweist.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hält sich seit 16 Jahren in der Schweiz auf; sie kann sich in vertretbarer Weise auf den Schutz ihres Anspruchs auf Privatleben berufen (Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law>) : Das Bundesgericht hat in <ref-ruling> ff. (dort E. 3.8 und 3.9) erwogen, dass nach einer rechtmässigen Aufenthaltsdauer von zehn Jahren regelmässig davon auszugehen sei, dass die sozialen Bindungen zur Schweiz sich derart entwickelt hätten, dass besondere Gründe erforderlich erschienen, um den Aufenthalt einer ausländischen Person zu beenden (vgl. die Urteile 2C_549/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 1.1 und 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 5.1). Ob die Bewilligung zu Recht nicht verlängert wurde, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332 mit Hinweisen; Urteil 2C_549/2019 vom 9. Dezember 2019 E. 1.1). Da auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen gegeben sind, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an die Hand zu nehmen (vgl. Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>); es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die vorgebrachten Rügen, falls weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.2. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sind, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.). Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt liess oder es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 f.; Urteile 2C_1072/2014 vom 9. Juli 2015 E. 1.4 und 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2).
2.3. Die Beschwerdeführerin beanstandet das angefochtene Urteil weitgehend appellatorisch, d.h. sie wiederholt ihre Sicht der Dinge und stellt diese derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne sich in gezielter Auseinandersetzung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form sachbezogen auseinanderzusetzen; sie legt nur punktuell dar, inwiefern das Verwaltungsgericht die Beweise in Verletzung von <ref-law> (Willkür) gewürdigt oder den Sachverhalt offensichtlich fehlerhaft festgestellt hätte. Zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren genügt eine rein appellatorische Kritik nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/ Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Das Bundesgericht behandelt im Folgenden nur die Rügen, welche die Beschwerdeführerin den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet hat (<ref-law>).
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt (<ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind (echte Noven), ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen). Nur weil das Verwaltungsgericht die rechtliche Einschätzung der Beschwerdeführerin nicht geteilt hat, gibt sein Entscheid nicht bereits Anlass dazu, im bundesgerichtlichen Verfahren die Beweismittel zu ergänzen. Hierfür müsste die Vorinstanz materielles Recht derart angewendet haben, das bestimmte Sachumstände neu und erstmals - durch den angefochtenen Entscheid - Rechtserheblichkeit erhielten (vgl. das Urteil 2C_270/2020 vom 14. April 2020 E. 2.4). Dies ist hier nicht der Fall: Das nachträglich eingereichte Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Solothurn vom 3. Februar 2020 ist im Folgenden deshalb nicht zu berücksichtigen.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin kritisiert, das Verwaltungsgericht habe ihre Ausführungen nicht hinreichend gewürdigt und den angefochtenen Entscheid unzulänglich begründet, was ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletze (<ref-law>). Die Kritik ist unberechtigt: Das Verwaltungsgericht hat sich mit den entscheidrelevanten Darlegungen der Beschwerdeführerin auseinandergesetzt und sein Urteil hinreichend begründet, zumal bereits das Migrationsamt die von der Beschwerdeführerin aufgeworfenen Fragen eingehend geprüft hatte.
3.2. Das Verwaltungsgericht konnte sein Urteil kurz fassen. Die Beschwerdeführerin war dennoch in der Lage, dieses sachgerecht anzufechten. Praxisgemäss genügt, dass die Begründung eines Entscheids die wesentlichen Überlegungen nennt, von denen die Behörde sich hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt; es ist nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten ausführlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 236, 184 E. 2.2.1 S. 188; je mit weiteren Hinweisen).
3.3. Soweit die Beschwerdeführerin kritisiert, das Migrationsamt und die Vorinstanz hätten zu ihrem gesundheitlichen Zustand bzw. zu ihrer möglichen Erwerbsfähigkeit zu Unrecht keinen ärztlichen Bericht eingeholt, ist die Kritik ebenfalls unberechtigt (vgl. nachstehende E. 5.2.4 und E. 5.2.5). Grundsätzlich darf auf die Abnahme beantragter Beweise verzichtet werden, wenn die Vorinstanz gestützt auf die Aktenlage oder aufgrund bereits abgenommener Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und willkürfrei davon ausgehen darf, dass weitere Beweiserhebungen hieran nichts mehr zu ändern vermögen ("antizipierte Beweiswürdigung"; vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157 f.; 2C_167/2018 vom 9. August 2018 E. 3.2). Aufgrund der bereits bei den Akten liegenden medizinischen Unterlagen war dies hier der Fall.
4.
4.1. Gemäss Art. 33 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (Ausländer- und Integrationsgesetz, AIG; SR 142.20; in Kraft seit dem 31. Dezember 2018) ist die Aufenthaltsbewilligung befristet; sie kann verlängert werden, wenn keine Widerrufsgründe nach <ref-law> vorliegen. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung der Beschwerdeführerin erfolgte gestützt auf den Widerrufsgrund von <ref-law>. Da die Beschwerdeführerin ihr Gesuch um Erneuerung der Aufenthaltsbewilligung vor dem 1. Januar 2019 gestellt hat, gilt die altrechtliche Regelung (vgl. <ref-law>; Urteil 2C_167/2018 vom 9. August 2018 E. 2 mit Hinweisen); so oder anders bestehen in den hier umstrittenen Punkten im Übrigen keine relevanten Unterschiede.
4.2. Die BV bzw. die EMRK umfassen in Art. 13 Abs. 1 bzw. Art. 8 praxisgemäss keine vorbehaltlosen Ansprüche auf Einreise und Aufenthalt bzw. auf Wahl des von der betroffenen Person gewünschten Wohnorts (vgl. <ref-ruling> E. 6.1 S. 46; <ref-ruling> E. 2 S. 335 ff.; je mit Hinweisen). Soweit ein Bewilligungsanspruch besteht, gilt er nicht absolut: Liegt eine aufenthaltsbeendende oder -verweigernde Massnahme im Schutz- und Anwendungsbereich von Art. 8 EMRK, erweist sich diese dennoch als zulässig, falls sie - wie hier - gesetzlich vorgesehen ist (<ref-law> [Fassung vom 16. Dezember 2005] AIG), einem legitimen Zweck dient und sich in einer demokratischen Gesellschaft als notwendig erweist (<ref-ruling> E. 6.1 S. 46 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 336).
4.3.
4.3.1. Die zuständige Behörde kann unter anderem die Aufenthaltsbewilligung widerrufen bzw. nicht verlängern, wenn die Ausländerin oder der Ausländer oder eine Person, für die sie oder er zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (a<ref-law>). Dabei geht es in erster Linie darum, eine zusätzliche und damit künftige Belastung der öffentlichen Finanzen zu vermeiden. Es muss auf die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung bei der ausländischen Person abgestellt werden; erforderlich ist eine konkrete Gefahr des Fortbestehens der Sozialhilfeabhängigkeit. Dabei ist neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht hin in die Beurteilung miteinzubeziehen.
4.3.2. Der auf <ref-law> gestützte Widerruf der Bewilligung fällt in Betracht, wenn eine Person hohe finanzielle Unterstützungsleistungen erhalten hat und nicht damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt wird aufkommen können (<ref-ruling> E. 4.1 u. 4.2; <ref-ruling> E. 3c S. 8 f.; Urteile 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2; 2C_395/2017 vom 7. Juni 2018 E. 3.1 und 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5). Liegt der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit vor, ist in einem zweiten Schritt zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme auch verhältnismässig erscheint (Urteil 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 5.1 mit Hinweisen).
4.3.3. Nach der bundesgerichtlichen Praxis sind für die Beurteilung, ob dies der Fall ist, namentlich die Schwere des Verschuldens an der Sozialhilfeabhängigkeit, der Grad der Integration bzw. die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der betroffenen Person und ihren Angehörigen drohenden Nachteile zu berücksichtigen; zu beachten ist zudem die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Bindungen sowohl im Gast- wie im Heimatstaat (vgl. das Urteil 2C_1040/2017 vom 21. Dezember 2018 E. 4.2 mit Hinweisen).
4.3.4. Ob der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit nach Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG gegeben ist, wird objektiv - ohne Rücksicht auf das Verschulden - beurteilt. Massgeblich ist die Höhe der ausgerichteten Beträge und die prognostische Beurteilung, ob mit einer Ablösung von der Sozialhilfe (noch) gerechnet werden kann. Ob die Fürsorgeabhängigkeit selbstverschuldet ist, was den Widerruf bzw. die Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung erst rechtfertigt, bildet Teil der Prüfung der Verhältnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin bezog bis zum 22. März 2019 Sozialhilfeleistungen im Umfang von insgesamt Fr. 330'320.60; dies obwohl das Migrationsamt sie bei der Bewilligungsverlängerung in den Jahren 2006 und 2011 angehalten hatte, sich hier zu integrieren, eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen, ihre Deutschkenntnisse zu verbessern, keine Schulden (mehr) anzuhäufen und auch nicht anderweitig zu Klagen Anlass zu geben. Per 17. Januar 2019 bestand - gemäss der Verfügung des Migrationsamts vom 3. April 2019 - gegen die Beschwerdeführerin eine Betreibung mit Rechtsvorschlag in der Höhe von Fr. 1'310.67 sowie 35 Verlustscheine über Fr. 25'924.25. Auch nach der Erteilung der Härtefallbewilligung musste es für die Beschwerdeführerin klar sein, dass sie alles ihr Zumutbare vorzukehren hatte, um sich von der Fürsorge lösen zu können. Die Beschwerdeführerin hat sich in den letzten acht Jahren zwar um Arbeit bemüht, doch brach sie ihre Erwerbstätigkeit jeweils kurzfristig wieder ab. Es wurde wiederholt versucht, die Beschwerdeführerin beruflich bzw. wirtschaftlich zu integrieren, doch scheiterten alle Bemühungen; selbst auf dem zweiten Arbeitsmarkt vermochte sie im Rahmen von Arbeitsprogrammen nicht Fuss zu fassen. Ihre Bemühungen haben sich erst intensiviert, als bereits absehbar war, dass ihre Bewilligung nicht verlängert werden könnte. Die Beschwerdeführerin gilt heute als nicht mehr vermittelbar. Es wurde wegen ihres Verhaltens auf weitere Eingliederungsmassnahmen verzichtet. Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass unter diesen Umständen das Risiko eines weiteren Sozialhilfebezugs fortbesteht.
5.2. Zu prüfen bleibt, ob die aufenthaltsbeendende Massnahme auch als verhältnismässig gelten kann (vgl. vorstehende E. 4.2; vgl. das Urteil 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 6) :
5.2.1. Die Beschwerdeführerin macht geltend, ihre Sozialhilfeabhängigkeit könne gestützt auf ihre gesundheitliche Situation nicht als selbstverschuldet bezeichnet werden. Aufgrund des langjährigen Aufenthalts in der Schweiz, den Eingliederungsschwierigkeiten durch ihre psychischen und physischen Leiden, welche in der Türkei erschwert bestehen würden, der bevorstehenden Abklärung im versicherungsrechtlichen Verfahren, der Ansiedlung des freundschaftlichen Beziehungsnetzes in der Schweiz und der unbestrittenen Verbesserung ihrer Deutschkenntnisse habe sie ein gewichtiges Interesse daran, im Land verbleiben zu können.
5.2.2. Die Beschwerdeführerin wurde über Jahre hinweg Opfer physischer und psychischer (Entzug des Sohns) Gewalt seitens ihres Gatten; dies hat ihr gesundheitlich zugesetzt, wie die Vorinstanz feststellt. Es ist auch unbestritten, dass der Ex-Ehemann seinen Unterhaltsverpflichtungen ihr gegenüber nicht nachgekommen ist und sich ins Ausland abgesetzt hat. Trotz der schwierigen Situation bezüglich ihres Kindes und den Problemen mit ihrem früheren Gatten, hätte sie eine Erwerbstätigkeit ins Auge fassen können. Auch wenn die Ausgangslage für sie zu diesem Zeitpunkt schwierig war, ist ihre Abhängigkeit von der Sozialhilfe nicht unverschuldet und ihr deshalb vorwerfbar.
5.2.3. Um so mehr wäre es der Beschwerdeführerin in der Folge möglich gewesen, sich in die hiesigen Verhältnisse zu integrieren und sich um eine Arbeitsstelle zu bemühen. Das Migrationsamt hat ihr dies sowohl 2006 als auch 2011 für eine weitere Bewilligungsverlängerung zur Auflage gemacht. Die Beschwerdeführerin ist seit 2008 von ihrem Ehemann geschieden; dieser übte letztmals im Jahr 2009 Gewalt gegen sie aus. Bis zum Entscheid des Migrationsamts, die Bewilligung nicht mehr zu verlängern, vergingen fast 10 Jahre, in denen es ihr kaum gelungen ist, hier Fuss zu fassen. Zwar hat die Beschwerdeführerin - wie sich aus einem ärztlichen Bericht vom 7. August 2017 ergibt - an Arbeitsprogrammen teilgenommen; aufgrund ihres Verhaltens hätten diese aber immer wieder abgebrochen werden müssen. Heute würden der Beschwerdeführerin deshalb keine Arbeitsprogramme mehr angeboten.
5.2.4. Entscheidend ist die Frage, ob und inwieweit die Fürsorgeabhängigkeit, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, gesundheitlich bedingt ist. Mit der Vorinstanz ist diesbezüglich davon auszugehen, dass es sich die Beschwerdeführerin selber zuzuschreiben hat, wenn sich ihr psychischer Zustand nicht verbessert hat und diesbezüglich keine Diagnose gestellt werden konnte: Die in den Jahren 2011 und 2016 begonnen Therapien brach die Beschwerdeführerin jeweils kurzfristig wieder ab; dies, obwohl sie geltend machte, an schweren psychischen Beschwerden zu leiden. Zwar kommt der ärztliche Bericht vom 7. August 2017 zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin eine verminderte Intelligenz habe und ein "kindliches Verhalten" an den Tag lege. Es sei bei ihr nie klar, ob sie überhaupt verstehe bzw. begreife, was ihr gesagt werde. Anscheinend habe der Vorfall mit ihrem Kind, welches vom Ehemann in die Türkei gebracht worden ist, bei ihr ein Trauma ausgelöst. Ob allenfalls schon früher psychische Probleme bestanden hätten, könne zum heutigen Zeitpunkt aufgrund der fehlenden psychiatrischen Diagnose nicht gesagt werden.
5.2.5. Es wäre an der Beschwerdeführerin gewesen, dazu beizutragen, dass ihr Zustand im ausländerrechtlichen Verfahren hätte abgeklärt werden können. Entsprechende Berichte wurden von ihr in Aussicht gestellt, indessen nicht eingereicht. Dem Arztbericht vom 7. August 2017 kann entnommen werden, dass die Beschwerdeführerin sich psychisch besser fühlte und begonnen hatte, sich regelmässig sportlich zu betätigen. Ihr Appetit sei gesteigert. Sie schlafe gut und eine innere Unruhe und Nervosität verspüre sich nicht mehr. Ihre Stimmung sei deutlich besser geworden. Dies bestätigte die Beschwerdeführerin selber, indem sie am 12. September 2018 erklärte, sie sei ein "ganz anderer Mensch" geworden, seit sie vor knapp vier Jahren mit einem neuen Lebenspartner zusammengekommen sei; sie fühle sich endlich wieder glücklich und denke wieder positiv.
5.2.6. Vor diesem Hintergrund ist nicht nachvollziehbar, weshalb sie sich nicht um eine Erwerbstätigkeit gekümmert hat, nachdem ihr Lebenspartner nicht für sie aufkommen konnte oder wollte. Gestützt auf die in den Akten liegenden ärztlichen Berichte durfte die Vorinstanz in antizipierter Beweiswürdigung willkürfrei davon ausgehen, dass es sich für das ausländerrechtliche Verfahren erübrigte, ein weiteres Gutachten einzuholen oder den Ausgang des IV-Verfahrens abzuwarten (vgl. vorstehende E. 3.3). Die Beschwerdeführerin hat ihre psychische Beeinträchtigung nicht glaubhaft gemacht, und nicht belegt, dass ihre Fürsorgeabhängigkeit wegen ihrer gesundheitlichen Problemen entstanden ist und deshalb nicht (auch nicht teilweise) als selbstverschuldet gelten kann; aufgrund der Akten war im Urteilszeitpunkt der Vorinstanz vom Gegenteil auszugehen. Wie die Vorinstanz willkürfrei feststellen durfte, besteht bei ihr die Gefahr, dass die Sozialhilfeabhängigkeit fortdauern wird, nachdem die Beschwerdeführerin über Jahre hinweg den wiederholten Aufforderungen der Behörden, sich um eine Arbeitsstelle zu bemühen und sich von der Sozialhilfe zu lösen, nicht nachgekommen ist. Sie hat wiederholt und über eine lange Zeitdauer eine Chance erhalten, der behördlichen Aufforderung nachzukommen, doch tat sie dies nicht.
5.3.
5.3.1. Das Bundesgericht schliesst sich der Auffassung der Vorinstanz an, dass die Nichterneuerung der Aufenthaltsbewilligung sich auch anderweitig nicht als unverhältnismässig erweist: Die Beschwerdeführerin lebte bis zu ihrem 17. Lebensjahr in der Heimat. Sie kennt die dortigen Sitten und Gebräuche und spricht Türkisch. Es wird ihr möglich sein, sich dort wieder ein soziales Netz aufzubauen. Gemäss der Verfügung des Migrationsamts leben die Eltern, ihre Schwester sowie zwei ihrer Brüder nach wie vor in der Türkei. Soweit sie geltend macht, dass ihre Familie sie verstossen habe, belegt sie dies nicht weiter; sie weist lediglich darauf hin, dass es nach der Verbringung des Sohns in die Türkei durch den ehemaligen Gatten zum Zerwürfnis gekommen sei. Die Beschwerdeführerin ist indessen unbestrittenermassen 2008 und 2009 in ihre Heimat zurückgereist, um sich unter anderem um ihre Mutter zu kümmern, was dagegen spricht, dass sie gänzlich verstossen worden wäre; im Übrigen haben offenbar die Eltern der Beschwerdeführerin Kontakt mit ihrem Enkelkind; eine Aussöhnung scheint nicht ausgeschlossen. Soweit eine psychische Beeinträchtigung besteht, ist diese - wie die (gutartige) Tumorerkrankung - in der Türkei behandelbar. Es besteht dort eine genügende psychiatrische sowie onkologische Versorgung. Eine allfällige IV-Rente von mindestens 50 % würden ihr auch in der Heimat ausbezahlt, womit für ihren Lebensunterhalt kaufkraftbereinigt sehr gut gesorgt wäre (vgl. Art. 10 Abs. 1 und 2 des Abkommens zwischen der Schweiz und der Republik Türkei über soziale Sicherheit [SR 0.831.109.763.1]). Trotz ihrer langen Aufenthaltsdauer in der Schweiz von 17 Jahren ist die Beschwerdeführerin hier nicht derart integriert, wie dies aufgrund der hier verbrachten Zeitspanne zu erwarten wäre.
5.3.2. Die Beweiswürdigung der Vorinstanz, wonach die Beschwerdeführerin dauerhaft und in erheblichem Mass sozialhilfeabhängig geworden ist und keine konkreten Anzeichen auszumachen sind, welche kurz- oder mittelfristig zu einer Änderung der Situation führen könnten, ist nicht offensichtlich unhaltbar und der Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG damit erfüllt. Die Vorinstanz durfte ohne Verletzung von Bundesrecht auch davon ausgehen, es bestehe mit der vorwerfbaren, jahrelangen Sozialhilfeabhängigkeit im Hinblick auf die öffentlichen Finanzen ein relevantes - auch vom EGMR anerkanntes - öffentliches Interesse daran, dass sie das Land verlässt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 339; Urteil 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 5.3.5; Urteil des EGMR Hasanbasic gegen Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 mit zahlreichen Hinweisen sowie Palanci gegen Schweiz vom 15. März 2014 [Nr. 2607/08] § 58). Die aufenthaltsbeendende Massnahme dient dazu, weitere Belastungen der Sozialhilfe zu verhindern, nachdem sämtliche Bemühungen der Behörden die Beschwerdeführerin nicht dazu veranlassen konnten, sich um eine Erwerbstätigkeit zu bemühen, und mildere Massnahmen (vgl. die Vorgaben in den Verfügungen vom 20. September 2006 und 22. Dezember 2011) keine Verhaltensänderung zu bewirken vermochten. Die aufenthaltsbeendende Massnahme ist - nach den wiederholten Ermahnungen durch die Behörden - auch verhältnismässig.
5.3.3. Die Beschwerdeführerin macht im Zusammenhang mit dem Gesuch um aufschiebende Wirkung geltend, dass sie seit mehreren Jahren mit ihrem Freund zusammenlebe. Sie beruft sich indessen in der Interessenabwägung nicht weiter auf diese Beziehung. Zu Recht: Das Bundesgericht hat entschieden, dass sich aus einem Konkubinat ein Bewilligungsanspruch dann ergibt, wenn die partnerschaftliche Beziehung seit Langem eheähnlich gelebt wird. Die Beziehung der Konkubinatspartner muss bezüglich Art und Stabilität in ihrer Substanz einer Ehe gleichkommen. Dabei ist wesentlich, ob die Partner in einem gemeinsamen Haushalt leben; zudem ist der Natur und Länge ihrer Beziehung sowie ihrem Interesse und ihrer Bindung aneinander, etwa durch Kinder oder andere Umstände wie die Übernahme von wechselseitiger Verantwortung, Rechnung zu tragen (vgl. das Urteil 2C_880/2017 vom 3. Mai 2018 E. 3, mit zahlreichen Hinweisen). Die Beschwerdeführerin lebt seit dem 25. Oktober 2017 mit ihrem Partner zusammen. Dieser übernimmt ihr gegenüber keine finanziellen Verpflichtungen, sodass nicht gesagt werden kann, die Beziehung werde eheähnlich gelebt.
6.
6.1. Die Beschwerde ist nach dem Dargelegten unbegründet und deshalb abzuweisen.
6.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend hätte die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten zu tragen (<ref-law>). Da die Voraussetzungen für die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung erfüllt sind (<ref-law>), werden keine solchen erhoben; die Rechtsvertreterin der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen.
2.2. Es werden keine Kosten erhoben.
2.3. Der Beschwerdeführerin wird Rechtsanwältin Clivia Wullimann, Grenchen, als unentgeltliche Rechtsbeiständin beigegeben; diese wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'800.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Juni 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar