Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1950; Beschwerdeführer) befindet sich seit dem 30. März 2017 im Rahmen einer fürsorgerischen Unterbringung in der Stiftung U._ in V._. Zuletzt bestätigte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Oberaargau (KESB) die Unterbringung mit Entscheid vom 14. März 2019. Die hiergegen von A._ erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, mit Entscheid vom 4. April 2019 ab.
A.b. Am 28. Oktober 2019 hiess das Bundesgericht die von A._ gegen diesen Entscheid eingereichte Beschwerde in Zivilsachen mit Urteil 5A_407/2019 (teilweise publ. in: <ref-ruling>) in Aufhebung des Entscheids des Obergerichts gut und wies die Sache zum erneuten Entscheid an die KESB zurück. Dabei hielt es fest, dass die Voraussetzungen für eine fürsorgerische Unterbringung von A._ nicht erfüllt seien. Mit Blick auf die konkreten Umstände könne dieser aber nicht ohne weiteres aus der Unterbringung entlassen werden. Die KESB habe daher Massnahmen zur Gestaltung der Übergangszeit und zur Vorbereitung der definitiven Entlassung zu treffen.
Zur Regelung der Kostenfolgen des kantonalen Verfahrens wies das Bundesgericht die Sache an das Obergericht zurück.
B.
Mit Entscheid vom 22. Dezember 2019 (eröffnet am 6. Januar 2020) entschied das Obergericht, dass erst- und oberinstanzlich weder Verfahrenskosten erhoben werden noch ein Parteikostenersatz zugesprochen wird.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 3. Februar 2020 gelangt A._ ans Bundesgericht. Er beantragt, der Entscheid des Obergerichts sei aufzuheben und es sei ihm für das Beschwerdeverfahren vor dem Kindes- und Erwachsenenschutzgericht ein Parteikostenersatz in der Höhe von Fr. 4'077.30 zuzusprechen.
Am 5. Februar 2020 hat das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die KESB hat sich nicht vernehmen lassen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als Rechtsmittelbehörde entschieden hat (Art. 75 BGG). Das Obergericht beurteilte auf Rückweisung des Bundesgerichts hin die Kosten des kantonalen Verfahrens betreffend eine fürsorgerische Unterbringung neu. Als Teil des Hauptentscheids kann die Kostenfrage mit dem gleichen Rechtsmittel wie dieser an das Bundesgericht weitergezogen werden (Urteil 5A_155/2016 vom 7. Juni 2016 E. 1 mit Hinweis auf <ref-ruling>; vgl. ausserdem zu einem auf Rückweisung des Bundesgerichts hin ergangenen Entscheid Urteil 5A_539/2017 vom 3. April 2018 E. 1.2). Der Hauptentscheid betraf eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht ohne Streitwert (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG; Urteil 5A_407/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (Art. 76 Abs. 1 BGG). Auf die auch fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) erhobene Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des gesamten Entscheids des Obergerichts. Seinen weiteren Anträgen sowie der Begründung der Beschwerde - diese ist zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3) - lässt sich jedoch entnehmen, dass er mit dem kantonalen Erkenntnis nur insoweit nicht einverstanden ist, als das Obergericht ihm für das kantonale Rechtsmittelverfahren keine Parteientschädigung zugesprochen hat. Die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen.
2.
2.1. Anlass zur Beschwerde gibt die Entschädigung des Beschwerdeführers im kantonalen Rechtsmittelverfahren. Hierüber hat das Obergericht richtigerweise in Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen entschieden (Art. 450f ZGB i.V.m. Art. 70 Abs. 1 des Gesetzes vom 1. Februar 2012 über den Kindes- und Erwachsenenschutz [KESG/BE; BSG 213.316] sowie Art. 108 Abs. 3 des Gesetzes vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG/BE; BSG 155.21]).
2.2. Mit der Beschwerde in Zivilsachen kann die Verletzung von Bundesrecht, einschliesslich des Verfassungsrechts, sowie von Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 Bst. a und b BGG). Abgesehen von den hier nicht einschlägigen Ausnahmen von Art. 95 Bst. c-e BGG ist die fehlerhafte Anwendung des kantonalen Rechts kein Beschwerdegrund vor Bundesgericht. Vielmehr kann auch hinsichtlich des kantonalen Rechts nur gerügt werden, dessen Anwendung führe zu einer Rechtsverletzung nach Art. 95 Bst. a oder b BGG, namentlich einem Verstoss gegen das Willkürverbot oder einer Verletzung anderer verfassungsmässiger Rechte (<ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1.2).
Vorliegend steht allein die willkürliche Anwendung der einschlägigen kantonalen Bestimmungen in Frage (vgl. hinten E. 3.1). Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist ( vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Notwendig ist, dass in der Beschwerde klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt wird, inwieweit die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 1.3).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wirft dem Kantonsgericht vor, bei seinem Entscheid über die Parteientschädigung in Willkür (Art. 9 BV) verfallen zu sein. Zwar rügt er eine qualifiziert falsche Feststellung des Sachverhalts. Indes sind die tatsächlichen Grundlagen, auf welche die Vorinstanz sich in ihrem Entscheid gestützt hat, namentlich aber das Ergebnis des bundesgerichtlichen Verfahrens in der Hauptsache (vgl. zum sog. Prozesssachverhalt <ref-ruling> E. 1.3.1), nicht strittig. Der Beschwerdeführer legt freilich auch mit hinreichender Genauigkeit dar, weshalb das Obergericht in seinem Entscheid die einschlägigen kantonalen Bestimmungen qualifiziert fehlerhaft angewandt haben soll, insbesondere dass es das dort verankerte Unterliegerprinzip gemessen am massgebenden Prozessausgang willkürlich zur Anwendung gebracht habe. Auf die Beschwerde ist daher auch unter diesem Gesichtspunkt einzutreten.
3.2. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offenbar unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (<ref-ruling> E. 4.3).
3.3. Zur Verlegung der Parteikosten hielt das Obergericht fest, in erster Linie gelte das Unterliegerprinzip. Das Bundesgericht habe im Hauptsacheverfahren festgehalten, die Voraussetzungen für eine fürsorgerische Unterbringung des Beschwerdeführers seien nicht gegeben. Weiter habe es aber erwogen, dieser könne mit Blick auf die Umstände (lange Dauer der Unselbständigkeit, Gesundheitszustand, Rückfallrisiko, unklare Wohnsituation) nicht ohne Vorbereitung aus der Unterbringung entlassen werden. Daher sei die Sache zur Prüfung der geeigneten Massnahmen und zur Gestaltung der Übergangszeit bis zur Entlassung an die KESB zurückgewiesen worden. Bis die neuen Anordnungen vorlägen, habe der Beschwerdeführer in der Stiftung zu verbleiben. Folglich habe das Bundesgericht die fürsorgerische Unterbringung trotz Aufhebung des Entscheids vom 4. April 2019 gerade nicht aufgehoben. Vielmehr habe die KESB vor der Entlassung weitere Massnahmen zu prüfen. Damit habe das Bundesgericht den vom Beschwerdeführer im obergerichtlichen Verfahren gestellten Antrag auf Entlassung aus der Stiftung nicht gutgeheissen. Auch dem Eventualantrag auf Anordnung einer ambulanten Behandlung sei nicht entsprochen worden. Damit sei der Beschwerdeführer im obergerichtlichen Verfahren unterlegen. Gründe für ein Abweichen vom Unterliegerprinzip seien keine gegeben, weshalb keine Parteientschädigung zuzusprechen sei.
4.
4.1. Gemäss Art. 108 Abs. 3 VRPG/BE (vgl. vorne E. 2.1) hat die unterliegende Partei der Gegenpartei die Prozesskosten zu ersetzen, sofern nicht deren prozessuales Verhalten oder die besonderen Umstände eine andere Teilung oder die Wettschlagung gebieten oder die Auflage der Parteikosten an das Gemeinwesen als gerechtfertigt erscheint. Die obsiegende Partei hat damit im Beschwerdeverfahren grundsätzlich Anspruch auf Entschädigung ihrer Kosten, und zwar gegebenenfalls auch gegenüber dem Gemeinwesen (MERKLI/ AESCHLIMANN/HERZOG, Kommentar zum Gesetz über die Verwaltungsrechtspflege im Kanton Bern, 1997, N. 13 zu Art. 108 VRPG/BE; vgl. auch BVR 2012 S. 424 E. 5.4; 2009 S. 433 E. 3.2). Wichtigstes Kriterium für die Kostenliquidation ist die Frage des Unterliegens bzw. Obsiegens (sog. Unterliegerprinzip). Als unterliegend gilt, wer mit seinen Anträgen, wie sie im Zusammenhang mit der Begründung zu verstehen sind, nicht durchdringt. Dabei sind die gestellten Begehren am Prozessergebnis zu messen. Das Unterliegerprinzip kann als besondere Form des Verursacherprinzips verstanden werden: Wer im Beschwerdeverfahren unterliegt, hat dieses bzw. die oberinstanzliche Beurteilung durch sein Festhalten an einem unrichtigen Rechtsstandpunkt erforderlich gemacht (MERKLI/AESCHLIMANN/HERZOG, a.a.O., N. 2 und 12 zu Art. 108 VRPG/BE). Die Bestimmung des Umfangs des Unterliegens bzw. Obsiegens ist keine mathematisch exakte Operation. Sie hängt auch von einer qualitativen Einschätzung der Bedeutung und des Umfangs des Unterliegens bzw. Obsiegens im Vergleich zum gesamten Streitgegenstand ab (Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 6. November 2013, VGE 2013/174, E. 5.2 und 5.4; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.3).
4.2. Das Hauptsacheverfahren betraf die Verlängerung der fürsorgerischen Unterbringung des Beschwerdeführers (vgl. vorne Bst. A). Dabei hat dieser nach der (verbindlichen; Art. 105 Abs. 1 BGG) Feststellung des Obergerichts im Beschwerdeverfahren im Hauptantrag seine Entlassung verlangt (vgl. vorne E. 3.3). Das Ergebnis des Beschwerdeverfahrens richtete sich - dies ist nicht bestritten - nach dem Ergebnis des bundesgerichtlichen Verfahrens 5A_407/2019 (vgl. auch MERKLI/AESCHLIMANN/HERZOG, a.a.O., N. 2 zu Art. 108 VRPG/BE a.E.). Wie das Obergericht diesbezüglich im Prinzip richtig festhält, ist der Beschwerdeführer entgegen seinem Antrag nicht unverzüglich aus der Unterbringung entlassen worden (vgl. vorne Bst. A.b [auch zum Folgenden]). Mit gutem Grund wendet der Beschwerdeführer aber ein, dass das Bundesgericht die Voraussetzungen für eine Fortführung der fürsorgerischen Unterbringung als nicht gegeben erachtete (vgl. Urteil 5A_407/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 8 und insbes. E. 8.5, teilweise publ. in: <ref-ruling>, publ. in: FamPra.ch 2020 S. 277). Von einer sofortigen Entlassung des Beschwerdeführers hat das Bundesgericht nur abgesehen, damit die KESB die nötigen Begleit-, Vorbereitungs- und Übergangsmassnahmen treffe. Dies erscheint insgesamt aber als nebensächlich, zumal die vom Beschwerdeführer angestrebte Entlassung gesetzlich vorgesehene Folge davon ist, dass die Voraussetzungen der Unterbringung nicht mehr erfüllt sind (Art. 426 Abs. 3 ZGB).
4.3. Damit verkennt das Obergericht die Bedeutung der Rückweisung der Sache an die KESB zur Prüfung weiterer Massnahmen in klarer Weise, wenn sie hieraus ableitet, der Beschwerdeführer sei im Beschwerdeverfahren unterlegen. Vor Bundesgericht hat sich im Hauptverfahren denn auch nicht der Rechtsstandpunkt des Beschwerdeführers als unrichtig erwiesen, sondern jener der Behörden (vgl. auch Urteil 5A_407/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 8.1, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: FamPra.ch 2020 S. 227). Damit kann diesem auch nicht vorgeworfen werden, er habe die obergerichtliche Beurteilung durch ein Festhalten an einem unrichtigen Rechtsstandpunkt verursacht. Die vollständige Verweigerung einer Parteientschädigung erscheint auch vor diesem Hintergrund in keiner Weise gerechtfertigt. Hinzu kommt, dass die KESB im Rahmen der ihr auferlegten Prüfung des weiteren Vorgehens selbstverständlich auch zu klären haben wird, ob und welche ambulanten Massnahmen ergriffen werden können. Damit ist auch der weitere Schluss des Obergerichts wenig nachvollziehbar, dem Eventualantrag des Beschwerdeführers auf ambulante Begutachtung sei in keiner Weise entsprochen worden.
4.4. Alles in allem erweist sich der Entscheid der Vorinstanz gemessen an den vom Beschwerdeführer im Beschwerdeverfahren gestellten Begehren als offensichtlich unhaltbar. Auch ist unbestritten, dass sich eine vom Unterliegerprinzip abweichende Kostenverlegung nicht aufgrund besonderer Umstände rechtfertigen lässt. Insgesamt muss es daher als willkürlich bezeichnet werden, dem Beschwerdeführer zufolge vollständigen Unterliegens im Beschwerdeverfahren keine Parteientschädigung auszurichten.
4.5. Die Beschwerde erweist sich nach dem Ausgeführten als begründet und die Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids ist soweit die Parteikosten im Verfahren vor Obergericht betreffend aufzuheben. Anders als der Beschwerdeführer meint, kann nach dem Ausgeführten aber auch nicht ohne weiteres auf sein vollständiges Obsiegen im vorinstanzlichen Hauptverfahren geschlossen werden. Dies würde dem vom Obergericht angeführten Umstand keine Rechnung tragen, dass der Beschwerdeführer nicht ohne weiteres aus der Unterbringung entlassen werden konnte. Wie dieser Umstand sich im Einzelnen auf die Kostenverlegung auswirkt, ist aber nicht im Rahmen des vorliegenden Verfahrens zu prüfen, in welchem das Bundesgericht über eine bloss beschränkte Kognition verfügt (vgl. vorne E. 2.2). Es ist denn auch nicht seine Aufgabe, die dem Beschwerdeführer auszurichtende Parteientschädigung in Anwendung der kantonalen Bestimmungen festzulegen. Die Sache ist daher entsprechend dem Eventualantrag des Beschwerdeführers zum erneuten Entscheid an das Obergericht zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
5.
Die Rückweisung der Angelegenheit gilt im Hinblick auf die Gerichtskosten und die Parteientschädigung als Obsiegen des Beschwerdeführers (vgl. <ref-ruling> E. 11.1). Damit sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG) und hat der Kanton Bern den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Entschädigung ist direkt dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers auszurichten (vgl. Urteil 5A_407/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 10, nicht publ. in: <ref-ruling>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und Ziffer 2 des Entscheids des Obergerichts des Kantons Bern vom 22. Dezember 2019 wird soweit den Parteikostenersatz im obergerichtlichen Verfahren betreffend aufgehoben. Die Sache wird zum erneuten Entscheid über diesen an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung ist an den Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Ernst Reber, auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Oberaargau, dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, und der Stiftung U._, V._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. April 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber