Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1988) ist Staatsangehöriger Pakistans. Im Studienjahr 2011/2012 erwarb er an der Universität Peshawar einen Bachelorabschluss in Geologie. Am 2. Februar 2014 reiste er für ein Masterstudium in Erdwissenschaften an der Universität Bern in die Schweiz ein und erhielt sodann zu Studienzwecken eine zuletzt bis zum 16. Januar 2019 verlängerte Aufenthaltsbewilligung. Am 23. Januar 2019 schloss er sein Studium mit dem Titel "Master of Science in Earth Sciences der Universitäten Bern und Freiburg" ab. Nachdem er gegenüber den kantonalen Behörden die Absicht kundgetan hatte, eine Stelle oder ein Praktikum in der Schweiz zu suchen, erteilte ihm die Einwohnergemeinde Bern (nachfolgend: die Einwohnergemeinde) am 21. Februar 2019 eine bis zum 23. Juli 2019 befristete Kurzaufenthaltsbewilligung. Am 1. Juli 2019 erinnerte die Einwohnergemeinde A._ daran, dass die erteilte Kurzaufenthaltsbewilligung zur Stellensuche nur noch bis zum 23. Juli 2019 gültig und nicht verlängerbar sei; sofern er bis dahin keine Arbeitsstelle mit entsprechender Zustimmung des Amtes für Wirtschaft des Kantons Bern vorweisen könne, müsse er die Schweiz verlassen.
1.2. Mit Gesuch vom 19. Juli 2019 beantragte A._ bei der Einwohnergemeinde die Verlängerung seines Aufenthalts; er habe sich in der Zwischenzeit für den Studiengang "Master of Environmental Science, Natural Hazards and Risk" an der Universität Lausanne beworben. Die Einwohnergemeinde stellte ihm am 26. Juli 2019 in Aussicht, dieses Gesuch abzulehnen, da die Zulassungskriterien für einen neuerlichen Aufenthalt zu Studienzwecken nicht erfüllt seien, und gewährte ihm hierzu das rechtliche Gehör. Am 5. bzw. 15. August 2019 informierte A._ die Einwohnergemeinde darüber, dass er nunmehr zum "Master in Health Sciences" an der Universität Luzern zugelassen worden sei.
1.3. Mit Verfügung vom 25. September 2019 wies die Einwohnergemeinde das Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zu Aus- und Weiterbildungszwecken ab und wies A._ unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg. Dieser Entscheid wurde durch die kantonalen Instanzen unter Ansetzung neuer Ausreisefristen geschützt (vgl. Entscheid der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vom 14. Januar 2020, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 7. Januar 2021).
1.4. Mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 11. Februar 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt die Aufhebung des Urteils des Verwaltungsgerichts vom 7. Januar 2021; die Einwohnergemeinde sei anzuweisen, sein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung gutzuheissen und dem Staatssekretariat für Migration zur Zustimmung zu unterbreiten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Einwohnergemeinde zurückzuweisen, und es sei ihm eine Härtefallbewilligung auszustellen. Prozessual ersucht A._ um Erteilung der aufschiebenden Wirkung, Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege (s. S. 8 der Beschwerdeeingabe) und Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses.
2.
2.1. Gemäss Art. 83 lit. c BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Ziff. 2), und betreffend Wegweisung (Ziff. 4).
2.2. Der Beschwerdeführer ersucht um eine Bewilligung zu Ausbildungszwecken gemäss Art. 27 AIG (SR 142.20). Diese Norm und die Vollzugsbestimmungen dazu (Art. 23 f. der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit, VZAE; SR 142.201) verschaffen jedoch keinen Anspruch auf Bewilligungserteilung (vgl. Urteile 2C_626/2018 vom 24. Juli 2018 E. 2 und 2C_1065/2017 vom 15. Juni 2018 E. 1.3). Dasselbe gilt für die vom Beschwerdeführer eventualiter beantragte Härtefallbewilligung (Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG; vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1; Urteil 2C_996/2020 vom 28. Dezember 2020 E. 2.2.1 m.w.H.). Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten steht zur Anfechtung des verwaltungsgerichtlichen Urteils damit nicht zur Verfügung, sodass als bundesrechtliches Rechtsmittel allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde (Art. 113 ff. BGG) in Betracht fällt, wovon der Beschwerdeführer zu Recht ausgeht.
2.3. Mit Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (Art. 116 BGG), was spezifischer Geltendmachung und Begründung bedarf (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). Zur Verfassungsbeschwerde ist gemäss Art. 115 lit. b BGG berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Da der Beschwerdeführer nicht über einen Bewilligungsanspruch verfügt (vgl. E. 2.2 hiervor), wird er durch die Bewilligungsverweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, und es fehlt ihm zur Beschwerdeführung in der Sache selbst weitgehend die Legitimation; namentlich kann nicht gerügt werden, die Bewilligungsverweigerung sei willkürlich (grundlegend <ref-ruling>; s. auch <ref-ruling> E. 2 S. 308). Der Beschwerdeführer nimmt von dieser Einschränkung nicht Kenntnis und diskutiert diesen Aspekt von Art. 115 lit. b BGG nicht (s. aber zur Pflicht, das Vorliegen nicht evidenter Eintretensvoraussetzungen nach Massgabe von Art. 42 Abs. 2 BGG zu begründen: <ref-ruling> E. 1.2 S. 47; <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 141; <ref-ruling> E. 2.4.2 S. 633). Insbesondere zur Willkürrüge im Zusammenhang mit der vorinstanzlichen Handhabung von Art. 27 AIG (in Verbindung mit Art. 23 f. VZAE) bzw. Art. 30 Abs. 1 lit. b AIG (in Verbindung mit Art. 31 VZAE) ist er nicht legitimiert. Andere Rügen substanziiert er nicht (auf S. 3 der Eingabe ist zwar erwähnt, Art. 8 EMRK und Art. 13 BV würden den Beschwerdeführer zur Beschwerde legitimieren; inwiefern dies der Fall sein könnte, wird sodann jedoch nicht näher erläutert, und ist auch nicht ersichtlich).
2.4. Auf die damit offensichtlich unzulässige Beschwerde (Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
3.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ist mit vorliegendem Urteil gegenstandslos geworden, ebenso das Gesuch um Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses. Dem Antrag auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann aufgrund der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gesuche um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und um Verzicht auf die Erhebung eines Kostenvorschusses werden als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Sicherheitsdirektion des Kantons Bern (SID), der Einwohnergemeinde Bern, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Februar 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner