Sachverhalt:
A.
Die Regionale Staatsanwaltschaft Emmental-Oberaargau führt ein Strafverfahren gegen A._ wegen Verdachts auf sexuelle Handlungen mit Kindern und Pornographie. Am 8. Juli 2020 befragte sie ihn ein erstes Mal als beschuldigte Person. Anlässlich dieser Einvernahme gab er eine schriftliche Erklärung zu den Akten, machte darüber hinaus aber keine Aussagen zur Sache. Am 17. Februar 2021 folgte eine zweite Einvernahme, an der er sich erstmals auch zur Sache äusserte. Bei der Vorlage eines ihm neuen Beweismittels, dem Snapchat-Nachrichtenaustausch mit einem der mutmasslichen Opfer, beantragte er die Entfernung dieses Beweismittels aus den Akten und verweigerte weitere Aussagen. Die Einvernahme wurde in der Folge abgebrochen.
B.
Im Anschluss daran beabsichtigte die Staatsanwaltschaft eine erneute Einvernahme von A._ durchzuführen, die zugleich als Schlusseinvernahme dienen sollte. Im Rahmen der diesbezüglichen Terminabsprachen verlangte A._, dass ihm vorgängig vollständige Akteneinsicht gewährt werde. Mit Verfügung vom 28. Mai 2021 verweigerte ihm die Staatsanwalt die Akteneinsicht in Bezug auf vier Aktenstücke: den Anzeigerapport vom 17. März 2021, den Snapchat-Nachrichtenaustausch mit einem der mutmasslichen Opfer, die Fotodokumentation zum Instagram-Profil "B._" sowie die Fotodokumentation zum Tatort. Die Staatsanwaltschaft rechtfertigte ihr Vorgehen unter Verweis auf ermittlungstechnische bzw. -taktische Gründe.
C.
Gegen die Verfügung der Staatsanwaltschaft gelangte A._ an das Obergericht des Kantons Bern. Mit Beschluss vom 22. September 2021 wies das Obergericht seine Beschwerde ab.
D.
Mit Eingabe vom 25. Oktober 2021 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Er beantragt, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben und ihm die vollständige Akteneinsicht zu gewähren. Weiter sei die Staatsanwaltschaft anzuweisen, nach der (vollständigen) Gewährung der Akteneinsicht unter Einräumung einer angemessenen Vorbereitungszeit eine Schlusseinvernahme mit ihm durchzuführen.
Die Staatsanwaltschaft und das Obergericht haben auf eine Stellungnahme verzichtet. A._ hat sich nicht mehr geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Beschwerdeentscheid über die (teilweise) Verweigerung der Akteneinsicht in einem strafprozessualen Untersuchungsverfahren. Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht nach <ref-law> grundsätzlich offen (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 BGG). Der Beschwerdeführer ist als beschuldigte Person zur Beschwerde legitimiert (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG).
1.2. Angefochten ist ein Zwischenentscheid, welcher das Strafverfahren nicht abschliesst. Er kann deshalb nur unter den Voraussetzungen von Art. 92 und 93 BGG angefochten werden. Danach ist die Beschwerde insbesondere zulässig, wenn der angefochtene, selbstständig eröffnete Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Bei einer (teilweisen) Verweigerung der Akteneinsicht im Strafverfahren ist diese Voraussetzung nach konstanter bundesgerichtlicher Rechtsprechung dann erfüllt, wenn die beschuldigte Person im gegebenen Verfahrensstadium grundsätzlich über ein Recht auf Akteneinsicht verfügt, namentlich gestützt auf <ref-law> (Urteile 1B_372/2020 vom 16. Oktober 2020 E. 1; 1B_474/2019 vom 6. Mai 2020 E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 1B_491/2019 vom 5. Februar 2020 E. 1.4.1; 1B_144/2016 vom 20. Juni 2016 E. 1; 1B_171/2013 vom 11. Juni 2013 E. 1.2.4; 1B_597/2011 vom 7. Februar 2012 E. 1.2). Dies ist vorliegend der Fall. Ob der angefochtene Entscheid das Recht des Beschwerdeführers auf Akteneinsicht tatsächlich verletzt, ist nicht im Rahmen der Eintretensprüfung, sondern der materiellen Prüfung der Beschwerde zu klären (vgl. Urteil 1B_597/2011 vom 7. Februar 2012 E. 1.2).
1.3. Die weiteren Eintretensvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist demnach grundsätzlich einzutreten.
1.4. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, die Beschwerdegegnerin sei anzuweisen, im Anschluss an die gewährte Akteneinsicht (unter Gewährung von genügend Vorbereitungszeit) die Schlusseinvernahme durchzuführen, handelt es sich um ein neues und damit unzulässiges Begehren (<ref-law>). Diesbezüglich ist auf die Beschwerde daher nicht einzutreten.
2. Der Beschwerdeführer rügt, die (teilweise) Verweigerung der Akteneinsicht verletzte das Akteneinsichtsrecht gemäss <ref-law> sowie Art. 29 Abs. 2 und Art. 32 Abs. 2 Satz 2 BV und Art. 6 Ziff. 1 und 3 EMRK.
2.1. Spätestens nach der ersten Einvernahme der beschuldigten Person und der Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise haben die Parteien unter Vorbehalt von <ref-law> Anspruch auf Akteneinsicht (<ref-law>). Vorliegend ist unstreitig, dass die erste Einvernahme im Sinne von <ref-law> bereits stattgefunden hat. Die Verweigerung der Akteneinsicht bezüglich der erwähnten vier Aktenstücke ist gestützt auf <ref-law> demnach einzig dann zulässig, wenn die Erhebung der wichtigsten Beweise noch nicht abgeschlossen ist.
2.2. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid ausgeführt, unter die Erhebung der wichtigsten Beweise könne neben den Einvernahmen von Tatzeugen oder Opfern auch der erste Vorhalt von mass-geblichen Beweisergebnissen bzw. der erhobenen Beweise fallen. Solange ein möglicherweise entscheidender Vorhalt von Beweismitteln noch nicht stattgefunden habe, sei davon auszugehen, dass die "Erhebung der übrigen wichtigsten Beweise" im Sinne von <ref-law> nicht abgeschlossen sei. Bei den Aktenstücken, bezüglich welcher dem Beschwerdeführer die Akteneinsicht verweigert wurde, handle es sich um massgebliche Beweismittel, deren allenfalls entscheidender Vorhalt gegenüber dem Beschwerdeführer noch nicht habe erfolgen können. Das Vorgehen der Staatsanwaltschaft, welche über ein gewisses Ermessen verfüge, sei mit Blick auf die bloss teilweise Beschränkung der Akteneinsicht weiter verhältnismässig und daher zu schützen.
2.3. Zu den übrigen wichtigsten Beweisen im Sinne von <ref-law> kann, wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, allenfalls auch die (erste) Befragung der beschuldigten Person zu (bereits erhobenen) massgeblichen Beweisergebnissen zählen (Urteil 1B_4/2017 vom 3. März 2017 E. 4.3). Damit eine Einschränkung des Akteneinsichtsrechts gestützt auf <ref-law> zulässig ist, reicht es indessen nicht aus, dass die Beweismittel, deren Vorhalt gegenüber der beschuldigten Person noch erfolgen soll, von erheblicher Bedeutung sind. Vielmehr ist kumulativ vorausgesetzt, dass auch dieser Befragung der beschuldigten Person möglicherweise eine entscheidende Bedeutung zukommt, sie also ein wichtiges Beweismittel im Sinne von <ref-law> darstellt, und die vorzeitige Gewährung der vollständigen Akteneinsicht die Untersuchung diesbezüglich stören könnte (Urteil 1B_597/2011 vom 7. Februar 2012 E. 2.2 in fine).
2.3.1. Gemäss dem für das Bundesgericht von der Vorinstanz verbindlich festgestellten Sachverhalt (<ref-law>) kündigte die Staatsanwaltschaft dem Beschwerdeführer informell den Abschluss der Untersuchung an und setzte ihn darüber in Kenntnis, dass sie beabsichtige, die Schlusseinvernahme durchzuführen. Diese Ankündigung der Schlusseinvernahme und die (teilweise) Beschränkung der Akteneinsicht gestützt auf <ref-law> stehen in einem unauflösbaren Widerspruch: Die Schlusseinvernahme gemäss <ref-law> wird, wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, dann durchgeführt, wenn die Staatsanwaltschaft die Untersuchung im Sinne von <ref-law> für vollständig hält (BOSSHARD/LANDSHUT, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 3. Aufl. 2020, N. 5 zu <ref-law>). Die wichtigsten Beweise im Sinne von <ref-law> wiederum sind Beweismittel, ohne deren Erhebung die materielle Wahrheit nicht erforscht bzw. das Verfahren nicht mit Anklage, Einstellung oder Strafbefehl abgeschlossen werden kann (BRÜSCHWEILER/GRÜNIG, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 3. Aufl. 2020, N. 5 zu <ref-law>). Eine vollständige Untersuchung setzt demnach voraus, dass die wichtigsten Beweismittel im Sinne von <ref-law> erhoben sind. Indem die Staatsanwaltschaft die Schlusseinvernahme ankündigte, brachte sie nach dem Gesagten zum Ausdruck, dass sie die Untersuchung für vollständig und damit - notwendigerweise - auch die wichtigsten Beweise für erhoben hält.
2.3.2. Den vorinstanzlichen Akten lässt sich weiter entnehmen, dass die Staatsanwaltschaft den Beschwerdeführer in ihrer inoffiziellen Ankündigung des Untersuchungsabschlusses aufforderte, seine Verfügbarkeiten im Hinblick auf die Durchführung der Schlusseinvernahme zu kommunizieren. Für den Unterlassungsfall drohte sie ihm an, sie werde auf die Durchführung der Schlusseinvernahme verzichten und das Verfahren ohne eine solche abschliessen. Auch hier liegt ein Widerspruch vor. Einerseits soll der im Rahmen der Schlusseinvernahme geplanten Befragung des Beschwerdeführers zu den Aktenstücken, bezüglich welcher ihm die Akteneinsicht verwehrt worden ist, eine entscheidende Bedeutung zukommen und soll die Befragung deshalb ein wichtiges Beweismittel im Sinne von <ref-law> darstellen. Andererseits ist die Staatsanwaltschaft scheinbar ohne weiteres dazu bereit, vollständig auf diese Befragung zu verzichten und das (Vor-) Verfahren ohne sie abzuschliessen. Auch in dieser Hinsicht lässt das Vorgehen der Staatsanwaltschaft keinen anderen Schluss zu, als dass es sich ihrer Ansicht nach bei dieser Befragung gerade nicht um ein wichtiges Beweismittel im Sinne von <ref-law> handelt, ohne welches das Verfahren nicht abgeschlossen werden könnte.
2.3.3. Zusammenfassend brachte die Staatsanwaltschaft durch ihr Vorgehen zum Ausdruck, dass sie die wichtigsten Beweise im Sinne von <ref-law> für bereits erhoben hält. Entgegen der Vorinstanz erweist sich die auf <ref-law> gestützte Beschränkung des Akteneinsichtsrechts des Beschwerdeführers bezüglich des Anzeigerapports vom 17. März 2021, des Snapchat-Nachrichtenaustauschs mit einem der mutmasslichen Opfer, der Fotodokumentation zum Instagram-Profil "B._" sowie der Fotodokumentation zum Tatort damit als bundesrechtswidrig. Auf die weiteren Rügen und Ausführungen des Beschwerdeführers ist somit nicht einzugehen.
2.4. Nach dem Gesagten ist dem Beschwerdeführer grundsätzlich vollständige Akteneinsicht zu gewähren, wobei <ref-law> vorbehalten bleibt (<ref-law>). Gründe für eine teilweise Einschränkung des Akteneinsichtsrechts gestützt auf diese Bestimmung wurden von der Staatsanwaltschaft (bislang) nicht vorgebracht und deshalb weder im vorinstanzlichen noch im bundesgerichtlichen Verfahren geprüft. Beim Vorliegen solcher Gründe wäre die Akteneinsicht des Beschwerdeführers im entsprechenden Umfang zu beschränken.
3. Nach diesen Erwägungen erweist sich die Beschwerde als begründet und ist gutzuheissen, soweit darauf einzutreten ist. Die Staatsanwaltschaft ist anzuweisen, dem Beschwerdeführer Akteneinsicht im Sinne der Erwägungen zu gewähren. Die Vorinstanz wird über die Kosten- und Entschädigungsfolgen ihres Verfahrens neu zu befinden haben (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Dem Beschwerdeführer ist eine angemessene Parteientschädigung für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschluss des Obergerichts des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, vom 22. September 2021 und Ziff. 1 der Verfügung der Regionalen Staatsanwaltschaft Emmental-Oberaargau vom 28. Mai 2021 werden aufgehoben. Die Staatsanwaltschaft wird angewiesen, dem Beschwerdeführer Akteneinsicht im Sinne der Erwägungen zu gewähren.
2.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorinstanzlichen Verfahrens an das Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, zurückgewiesen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Bern und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2022
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Der Gerichtsschreiber: Schurtenberger