Sachverhalt:
A.
A.a. Der Kanton Luzern liess A._ mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamts U._ vom 31. März 2017 für Fr. 27'252.25 nebst 5 % Zins seit 4. Juli 2016 sowie für Fr. 10.-- betreiben. A._ erhob Rechtsvorschlag.
A.b. Mit Entscheid vom 22. August 2017 erteilte der Einzelrichter des Bezirksgerichts Kriens in der oben genannten Betreibung die definitive Rechtsöffnung für den Betrag von Fr. 27'252.25 nebst 5 % Zins seit 1. März 2017.
B.
Gegen diesen Entscheid reichte A._ am 29. September 2017 beim Kantonsgericht Luzern Beschwerde ein und verlangte, das Ge-such vom 21. Juli 2017 um definitive Rechtsöffnung sei abzuweisen. Mit Entscheid vom 19. Dezember 2017 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, nachdem es dieser zuvor mit Verfügung vom 17. Oktober 2017 die aufschiebende Wirkung erteilt hatte.
C.
A._ ist mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 31. Januar 2018 an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt, es sei der kantonsgerichtliche Entscheid aufzuheben und das Gesuch um definitive Rechtsöffnung abzuweisen.
Mit Verfügung vom 7. März 2018 wurde auf das Gesuch der Beschwerdeführerin hin der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, in der Sache jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die Rechtsöffnung, mithin eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache entschieden hat (Art. 113, Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 114 i.V.m. Art. 75 und Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Der Streitwert erreicht Fr. 30'000.-- nicht (<ref-law>). Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist damit grundsätzlich zulässig. Die Beschwerdeführerin ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 117 i.V.m. <ref-law>). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
2.
2.1. Mit Beschwerde nach <ref-law> kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Ob eine solche gegeben ist, prüft das Bundesgericht nur soweit, als eine entsprechende Rüge vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286).
2.2. Macht die beschwerdeführende Partei eine Verletzung des Willkürverbots geltend, genügt es nicht, wenn sie bloss ihre eigene Darstellung derjenigen der Vorinstanz gegenüberstellt und behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich (<ref-ruling> E. 3 S. 352 mit Hinweisen). Sie hat vielmehr im Einzelnen anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern dieser an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (<ref-ruling> E. 1.3 S. 60; <ref-ruling> E. 1.2 S. 234; je mit Hinweisen). Willkür liegt dabei nicht schon vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Der angefochtene Entscheid ist dabei nur aufzuheben, wenn er auch im Ergebnis und nicht nur in der Begründung verfassungswidrig ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.; <ref-ruling> E. 3.2.5 S. 339; je mit Hinweisen).
3.
Gemäss <ref-law> kann der Gläubiger beim Richter die definitive Rechtsöffnung verlangen, wenn die Forderung auf einem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid beruht (Abs. 1); gerichtlichen Entscheiden gleichgestellt sind Verfügungen von schweizerischen Verwaltungsbehörden (Abs. 2 Ziff. 2). Die zulässigen Einreden und Einwendungen ergeben sich aus <ref-law>.
4.
4.1. Wie die Vorinstanz zutreffend festgehalten hat, ist der Kostenentscheid des Veterinärdiensts des Kantons Luzern vom 3. Juni 2016 das einzige vom Betreibungsgläubiger eingereichte Dokument, welches als Rechtsöffnungstitel in Frage kommt. Die Beschwerdeführerin beharrt diesbezüglich auf ihrem Standpunkt, dieser Entscheid hätte von den Vorinstanzen nicht herangezogen werden dürfen, weil sich der Betreibungsgläubiger im Zahlungsbefehl sowie im Rechtsöffnungsbegehren nicht auf diesen, sondern auf die Rechnung vom 3. Juni 2016 bezogen habe. Indem die Vorinstanz toleriert habe, dass die Erstinstanz aus den vom Betreibungsgläubiger eingereichten Belegen von Amtes wegen den richtigen Rechtsöffnungstitel herausgesucht und das Rechtsöffnungsgesuch nicht anhand der Parteivorbringen beurteilt habe, habe sie in willkürlicher Weise den Verhandlungsgrundsatz verletzt. Der Betreibungsgläubiger habe nicht behauptet, dass Rechtsöffnung gestützt auf den Kostenentscheid vom 3. Juni 2016 zu erteilen sei.
4.2. Die vom Veterinärdienst ausgestellte Rechnung enthält den Hinweis "Kostenentscheid Verfügung 05.01.2016". Der naheliegenden Schlussfolgerung der Vorinstanz, dass damit nichts anderes gemeint sein konnte als der Kostenentscheid vom 3. Juni 2016, welcher gleichzeitig mit der Rechnung vom 3. Juni 2016 versandt worden war, vermag die Beschwerdeführerin nichts entgegenzusetzen. Ob die Beschwerde den Anforderungen an eine Willkürrüge (s. oben E. 2.2) in diesem Punkt überhaupt genügt, kann vorliegend offenbleiben. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin durfte die Vorinstanz angesichts des unmittelbar erkennbaren Zusammenhangs zwischen der Rechnung vom 3. Juni 2016 und dem das gleiche Datum aufweisenden Kostenentscheid betreffend die Verfügung vom 5. Januar 2016 jedenfalls willkürfrei annehmen, dass die Erstinstanz den Verhandlungsgrundsatz nicht verletzt hat, wenn sie geprüft hat, ob mit dem eingereichten Kostenentscheid ein zur definitiven Rechtsöffnung berechtigender Titel vorliegt.
5.
Zu beantworten bleibt die Frage, ob die Vorinstanz vorliegend willkürfrei von einem hinreichenden Nachweis der Vollstreckbarkeit des Kostenentscheids vom 3. Juni 2016 ausgehen durfte, was die Beschwerdeführerin verneint.
5.1. Die Vorinstanz hat zum Vorliegen des Erfordernisses der Vollstreckbarkeit erwogen, es finde sich auf der letzten Seite des vom Betreibungsgläubiger ins Recht gelegten Kostenentscheids vom 3. Juni 2016 ein vom Veterinärdienst am 2. Juni 2017 angebrachter Vermerk, dass innert Frist keine Beschwerde eingegangen sei. Das Argument der Beschwerdeführerin, der Veterinärdienst habe dabei nicht wissen können, ob beim Kantonsgericht eine Beschwerde eingereicht wurde, treffe insofern nicht zu, als er sich beim Kantonsgericht danach erkundigen konnte, bevor er die entsprechende Bescheinigung ausstellte. Dass die Beschwerdeführerin eine Beschwerde tatsächlich eingereicht habe, werde von ihr nicht geltend gemacht. Die Erstinstanz sei daher zu Recht von der Vollstreckbarkeit des Kostenentscheids vom 3. Juni 2016 ausgegangen.
5.2. Dem hält die Beschwerdeführerin entgegen, dass gegen den Kostenentscheid vom 3. Juni 2016 das Rechtsmittel der Verwaltungsgerichtsbeschwerde zur Verfügung gestanden habe, welches beim Kantonsgericht einzureichen gewesen sei. Statt vom Veterinärdienst hätte die Rechtskraftbescheinigung deshalb vom Kantonsgericht ausgestellt werden müssen. Dass sich der Veterinärdienst effektiv beim Kantonsgericht erkundigt hätte, mache der Betreibungsgläubiger nicht geltend und ergebe sich auch nicht aus den Akten. Ohne entsprechende Nachfrage könne der Veterinärdienst jedoch nicht wissen und bescheinigen, dass beim Kantonsgericht keine Verwaltungsgerichtsbeschwerde eingegangen ist. Trotz der fehlenden Bestreitung der Vollstreckbarkeit im kantonalen Verfahren hätte die Vorinstanz daher nicht von der Rechtskraft und Vollstreckbarkeit des Kostenentscheids vom 3. Juni 2016 ausgehen dürfen. Der gegenteilige Schluss der Vorinstanz halte vor dem Willkürverbot nicht stand.
5.3. Zur von der Beschwerdeführerin angesprochenen Problematik der Zuständigkeit für Vollstreckbarkeitsbescheinigungen ist festzuhalten, dass es die heute wohl herrschende Lehre, welcher sich das Bundesgericht im Urteil 5A_389/2018 vom 22. August 2018 (E. 2.4) jüngst angeschlossen hat, grundsätzlich genügen lässt, wenn die Vollstreckbarkeit von derjenigen Behörde bescheinigt wird, welche die Verfügung erlassen hat ( vgl. STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 137 zu <ref-law>; DERSELBE, in: Ergänzungsband zur 2. Aufl., 2017, N. 137 zu <ref-law>; ABBET, in: La mainlevée de l'opposition, 2017, N. 149 zu <ref-law>; VOCK/AEPLI-WIRZ, in: Kommentar zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs SchKG, 4. Aufl. 2017, N. 37 zu <ref-law>). Die gegenteilige Auffassung, wonach die Vollstreckbarkeit zwingend von der Rechtsmittelbehörde zu bescheinigen sei, hat das Bundesgericht im zitierten Urteil 5A_389/2018 verworfen. Dass aus der Bescheinigung und dem Rechtsöffnungsbegehren vorliegend nicht hervorgeht, ob sich der Veterinärdienst beim Kantonsgericht vor Ausstellung der Bescheinigung über den Eingang einer Beschwerde erkundigt hat, lässt die Bescheinigung des Veterinärdiensts nicht untauglich erscheinen, zumal zwischen der Zustellung des Kostenentscheids an die Beschwerdeführerin und der Ausstellung der Rechtskraftbescheinigung ein langer Zeitraum liegt und die Beschwerdeführerin gar nicht geltend gemacht hat, beim Kantonsgericht ein Rechtsmittel eingereicht zu haben. Damit ist die Vorinstanz nicht in Willkür verfallen, wenn sie die Vollstreckbarkeit des Kostenentscheids vom 3. Juni 2016 als hinreichend nachgewiesen erachtet und die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung bestätigt hat.
6.
Aus den dargelegten Gründen ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. August 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss