Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen eine Verfügung der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt vom 21. November 2018 Beschwerde, auf welche das Appellationsgericht Basel-Stadt mit Verfügung vom 20. Dezember 2018 nicht eintrat. Zur Begründung führte das Appellationsgericht aus, dass A._ auch innert der Nachfrist seine Beschwerde nicht rechtsgenüglich begründet habe, weshalb gestützt auf <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten sei.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 7. Januar 2019 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Appellationsgerichts Basel-Stadt. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe.
Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, vermag mit seinen Ausführungen nicht nachvollziehbar aufzuzeigen, dass das Appellationsgericht Recht im Sinne von <ref-law> verletzt hätte, als es auf die Beschwerde nicht eintrat. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die Begründung des Appellationsgerichts, die zum Nichteintreten auf die Beschwerde führte, bzw. die Verfügung des Appellationsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Januar 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli