Sachverhalt:
A.
Der 1994 geborene A._ war seit dem 22. August 2016 als Automobil-Mechatroniker bei der B._ GmbH angestellt und im Rahmen dieses Arbeitsverhältnisses bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) gegen die Folgen von Unfällen versichert. Aufgrund eines für drei Monate bis Anfang Juni 2017 geplanten Sprachaufenthaltes in den USA hatte er letztmals am 10. März 2017 im Betrieb gearbeitet. Am 13. Mai 2017 zog er sich bei einem Zusammenstoss mit einem Gegner beim Fussballspielen in den USA eine Verletzung des rechten Knies zu. Die Suva anerkannte ihre Leistungspflicht und erbrachte für das Ereignis vom 13. Mai 2017 die gesetzlichen Leistungen in Form von Taggeldern und Heilbehandlung. Nachdem sie verschiedene Abklärungen getroffen hatte, gelangte die Suva zum Schluss, dass A._ im Zeitpunkt des fraglichen Unfalls nicht bei ihr versichert gewesen sei. Mit Verfügung vom 10. Januar 2018, bestätigt mit Einspracheentscheid vom 31. Juli 2018, stellte sie ihre Leistungen mit Wirkung für die Zukunft ein.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Entscheid vom 6. Mai 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es seien die Ziffern 1 und 3 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und ihm eine Invalidenrente sowie eine Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren zuzusprechen. Eventualiter sei Ziffer 1 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Neuanhandnahme zurückzuweisen.
Während die Suva auf Abweisung der Beschwerde schliesst, sieht das Bundesamt für Gesundheit von einer Vernehmlassung ab.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 252). Das Bundesgericht prüft grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen; es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu prüfen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen wurden. Es kann die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder der Unfallversicherung ist das Bundesgericht - anders als in den übrigen Sozialversicherungsbereichen (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG) - grundsätzlich nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG). Im Streit, ob für ein Unfallereignis Versicherungsdeckung besteht, kommt diese Ausnahmeregelung allerdings ungeachtet dessen, dass von der Beurteilung der Streitfrage auch Ansprüche auf Geldleistungen der obligatorischen Unfallversicherung abhängen können, nicht zur Anwendung (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 414). Das Bundesgericht kann daher die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung im vorliegenden Fall nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.3. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung weist damit die Tragweite von Willkür auf. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erscheint. Eine Sachverhaltsfeststellung ist etwa dann offensichtlich unrichtig, wenn das kantonale Gericht den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich falsch eingeschätzt, ohne sachlichen Grund ein wichtiges und für den Ausgang des Verfahrens entscheidendes Beweismittel nicht beachtet oder aus den abgenommenen Beweisen unhaltbare Schlüsse gezogen hat. Solche Mängel sind in der Beschwerde aufgrund des strengen Rügeprinzips (vgl. <ref-law>) klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; Urteil 9C_752/2018 vom 12. April 2019 E. 1.2).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht in Bestätigung des Einspracheentscheids vom 31. Juli 2018 eine Leistungspflicht der Suva für das Ereignis vom 13. Mai 2017 verneinte. Dabei steht die Frage im Zentrum, ob der Beschwerdeführer im Zeitpunkt des Unfalls bei der Suva versichert war.
2.2. Das kantonale Gericht hat die gesetzlichen Bestimmungen über das Ende der obligatorischen Unfallversicherung von Arbeitnehmern (<ref-law>) zutreffend dargelegt (vgl. nachfolgend E. 6.1). Gleiches gilt für die Ausführungen zur Untersuchungspflicht des Versicherungsträgers (<ref-law>) und für den im Sozialversicherungsrecht üblichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 5b S. 360). Ebenfalls richtig sind die allgemeinen Erörterungen der Vorinstanz zu den rechtlichen Grundlagen der Aktenführungspflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 8.1.2 S. 223; Urteil 8C_322/2010 vom 9. August 2010 E. 3) und zur Heilung einer damit verbundenen Gehörsverletzung (<ref-ruling> E. 5.1 S. 390; <ref-ruling> E. 3d/aa S. 437 f.). Darauf wird verwiesen.
3.
3.1. In formeller Hinsicht führte das kantonale Gericht in Bezug auf die geltend gemachte Verletzung der Aktenführungspflicht aus, die Suva habe eingeräumt, dass die Anfragen, auf die die Arbeitgeberin des Beschwerdeführers mit E-Mails vom 24. Mai und 27. Juni 2017 geantwortet habe, fälschlicherweise in den Akten nicht erfasst worden seien. Aus den Antworten lasse sich aber ohne Weiteres auf den Inhalt der beiden in den Akten nicht erfassten Anfragen schliessen. Insoweit und aufgrund des Umstands, dass die Suva offenbar gar nicht mehr in der Lage sei, die beiden Anfragen zu dokumentieren, sei von der beantragten Rückweisung abzusehen.
3.2. In materieller Hinsicht erwog die Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe aufgrund verschiedener Widersprüche nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad dargetan, dass er im Zeitpunkt des Unfalls vom 13. Mai 2017 gegenüber seiner Arbeitgeberin einen Lohnanspruch gehabt habe. Folglich sei davon auszugehen, dass der Lohnanspruch am 10. März 2017 und die Nachdeckungsfrist dementsprechend am 10. April 2017 geendet habe. Somit sei der Beschwerdeführer im Zeitpunkt des Unfalls vom 13. Mai 2017 nicht bei der Suva versichert gewesen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer rügt auch vor Bundesgericht eine Verletzung der Aktenführungspflicht durch die Suva, was für sich allein zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führen müsse. Indem die Vorinstanz von einer Heilung des Mangels ausgegangen sei, habe sie den Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) sowie <ref-law> und Art. 6 EMRK verletzt. Zudem macht er geltend, die Verletzung der Aktenführungspflicht habe eine Umkehr der Beweislast zur Folge, was die Vorinstanz verkannt habe.
4.2. Grund der Beanstandungen des Beschwerdeführers bilden zwei Anfragen der Suva an die Arbeitgeberin, welche sich nicht in den Akten befinden. Eine nicht heilbare Verletzung des rechtlichen Gehörs, welche mit der Kassation des vorinstanzlichen Entscheids und des Einspracheentscheids der Suva zu ahnden wäre (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 390; <ref-ruling> E. 3d/aa S. 437), ist darin aber entgegen der Betrachtungsweise des Beschwerdeführers nicht zu erblicken. Wie die Vorinstanz nämlich richtig erkannte, ergibt sich aus den aktenkundigen E-Mails der Arbeitgeberin vom 24. Mai und 27. Juni 2017, um welche Informationen die Suva in ihren Anfragen ersucht hatte. So habe die am 24. Mai 2017 beantwortete Anfrage offenkundig die Fragen umfasst, seit wann der Beschwerdeführer bei der B._ GmbH angestellt sei und ob er stets Lohn erhalten habe. Mit der am 27. Juni 2017 beantworteten Anfrage habe die Suva sodann offensichtlich noch fehlende Dokumente (Arbeitsvertrag; Lohnabrechnungen; Zahlungsbelege) verlangt. Dass diese vorinstanzlichen Feststellungen offensichtlich unrichtig sein sollen, macht der Beschwerdeführer nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Sie bleiben für das Bundesgericht somit verbindlich (vgl. E. 1.2 hiervor). Wenn das kantonale Gericht in der Folge zum Schluss gelangte, die geringfügigen Unzulänglichkeiten bei der Dossierverwaltung würden keine Rückweisung der Sache an die Suva rechtfertigen, so hat sie dabei weder Bundesrecht noch Völkerrecht verletzt. Im Übrigen ist nicht erkennbar, was der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang aus einer Umkehr der Beweislast im konkreten Fall zu seinen Gunsten ableiten will.
5.
5.1. In der Sache selbst macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Rechts auf Beweis und der Regeln über die Beweislastverteilung (<ref-law> und Art. 6 EMRK) geltend. Entgegen der Annahme der Vorinstanz sei aufgrund der Akten ein Lohnanspruch während des Sprachaufenthalts in den USA ausgewiesen.
5.2. In diesem Zusammenhang stellte die Vorinstanz fest, im Arbeitsvertrag vom 11. Juli 2016 sei kein Anspruch auf Lohnfortzahlung während eines Sprachaufenthaltes vereinbart worden. Die eingereichten Lohnabrechnungen und die für den 27. Juni 2017 ausgewiesene Lohnzahlung (Fr. 3'978.95) würden sodann belegen, dass die Arbeitgeberin dem Beschwerdeführer üblicherweise den Lohn Ende des Monats auf dessen Konto überwiesen habe. Auf die Frage des zuständigen Mitarbeiters der Suva, weshalb ihm die Löhne für die Monate März bis Mai 2017 nicht ebenfalls auf das Konto überwiesen worden seien, habe der Beschwerdeführer erklärt, er habe die Schule im Voraus bezahlt. Vom in bar erhaltenen Geld habe er ca. Fr. 3'500.- "gewechselt". Den Rest habe er auf sein Konto einbezahlt. Dem vom Beschwerdeführer als Beleg dafür eingereichten Kontoauszug sei aber lediglich eine Gutschrift aus einer "MultimatVergütung" in Höhe von Fr. 10'000.- zu entnehmen. Diese Einzahlung vom 18. April 2017 könne aber nicht vom Beschwerdeführer stammen, da er sich zu diesem Zeitpunkt in den USA befunden habe. Ausserdem übersteige dieser Betrag den angeblich einbezahlten Betrag um rund Fr. 1'500.-. Angesichts dieser Widersprüche sei der Nachweis nicht erbracht, dass der Beschwerdeführer im Zeitpunkt des Unfalls vom 13. Mai 2017 gegenüber seiner Arbeitgeberin einen Lohnanspruch gehabt habe. Daran würden auch die im Beschwerdeverfahren eingereichten Unterlagen (Lohnausweis 2017; Auszug aus dem Lohnkonto 2017; Lohnbescheinigung 2017) nichts ändern. Dasselbe gelte in Bezug auf die E-Mail vom 24. Mai 2017, worin die Arbeitgeberin, deren Geschäftsführer und einziger Gesellschafter der Vater des Beschwerdeführers sei, bestätigte, dass dieser den Lohn immer erhalten habe und ihn auch weiterhin erhalte.
5.3. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, aus verschiedenen Urkunden, wie etwa den Lohnbestätigungen oder der eingereichten Steuererklärung, seien die Lohnzahlungen ersichtlich. Zudem habe die Arbeitgeberin mit E-Mail vom 24. Mai 2017 die Lohnzahlungen bestätigt. Mit diesen Vorbringen vermag der Beschwerdeführer indessen nicht substanziiert darzutun, inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung (vgl. E. 5.2 hiervor) im Ergebnis offensichtlich unrichtig (unhaltbar, willkürlich: <ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 8.1 S. 153; vgl. auch <ref-law>) sei oder auf einer Rechtsverletzung beruhen soll. Steuerunterlagen für das hier relevante Jahr 2017 liegen keine bei den Akten. Sodann hat das kantonale Gericht berücksichtigt, dass der Lohn dem Beschwerdeführer üblicherweise jeweils Ende Monat auf sein Konto überwiesen worden ist. In Bezug auf die behauptete Barzahlung der Löhne vom März bis Mai 2017 hat es zudem auf die verschiedenen Widersprüche hingewiesen. Es trug im Weiteren dem Umstand Rechnung, dass der Geschäftsführer und einzige Gesellschafter der B._ GmbH der Vater des Beschwerdeführers ist. Entsprechend hat es die Lohnabrechnungen und die Bestätigung der Arbeitgeberin als nicht massgeblich erachtet. Ferner sah die Vorinstanz auch im Arbeitsvertrag keine Grundlage für einen Lohnanspruch des Beschwerdeführers gegenüber seiner Arbeitgeberin. Abschliessend hielt sie zudem fest, dass die übrigen im Beschwerdeverfahren vorgelegten Unterlagen ebenfalls keinen Lohnanspruch belegen würden. Sie begründete dies zwar nicht weiter, bezog die Beweise aber in ihre Beurteilung mit ein. Ihre konkrete Beweiswürdigung kann vor diesem Hintergrund nicht als geradezu unhaltbar und willkürlich bezeichnet werden (vgl. E. 1.3 hiervor). Sie bleibt demnach für das Bundesgericht verbindlich (vgl. E. 1.2 hiervor). Folglich ist davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer im Zeitpunkt des Unfalls vom 14. Mai 2017 gegenüber seiner Arbeitgeberin keinen Lohnanspruch hatte. Mithin handelte es sich beim Sprachaufenthalt in den USA um einen unbezahlten Urlaub.
6.
6.1. Während des unbezahlten Urlaubs ruht das weiterhin bestehende Arbeitsverhältnis. Der Bezug von unbezahltem Urlaub hat daher zur Folge, dass die Hauptpflichten aus dem Arbeitsverhältnis, d.h. die Arbeitspflicht des Arbeitnehmers sowie die Lohnzahlungspflicht des Arbeitgebers, ausgesetzt werden, wobei damit auch gewisse Nebenpflichten aus dem Arbeitsverhältnis (z.B. das Weisungsrecht und die Fürsorgepflicht des Arbeitgebers sowie die Treuepflicht des Arbeitnehmers) eingeschränkt werden (Urteil 8C_472/2018 vom 22. Januar 2019 E. 5.1.1). Der unbezahlte Urlaub wirkt sich auch in sozialversicherungsrechtlicher Hinsicht aus. So endet gemäss <ref-law> (in der seit 1. Januar 2017 geltenden und hier anwendbaren Fassung [vgl. Übergangsbestimmung in <ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1 S. 287]) die obligatorische Unfallversicherung mit dem 31. Tag nach dem Tag, an dem der Anspruch auf mindestens den halben Lohn aufhört.
6.2. Nach dem bisher Gesagten (vgl. E. 5.3 hiervor) steht fest, dass der Beschwerdeführer während seines Auslandaufenthalts keinen Lohnanspruch hatte. Die Versicherung endete demnach mit dem 31. Tag nachdem der Lohnanspruch aufgehört hatte. Dies scheint der Beschwerdeführer zu übersehen, wenn er behauptet, auch während eines unbezahlten Urlaubs dauere der Versicherungsschutz an, da hierfür bereits ein gültiges Arbeitsverhältnis genüge. Soweit er im Übrigen vorträgt, es bestehe jedenfalls für die Zeit nach dem unbezahlten Urlaub Versicherungsschutz, weshalb er zumindest für die Zukunft Anspruch auf Versicherungsleistungen habe, kann ihm ebenfalls nicht gefolgt werden. Die Versicherung hat nicht für Unfallfolgen aufzukommen, wenn das Unfallereignis während einer Periode ohne Versicherungsdeckung eingetreten ist (URS CH. NEF, Arbeitsrechtliche und sozialversicherungsrechtliche Aspekte des Bildungsurlaubs, SZS 1993 p. 75 mit Hinweis). Der angefochtene Entscheid verletzt demnach weder <ref-law> noch <ref-law>.
7.
Zusammenfassend ist die Vorinstanz zu Recht zum Schluss gelangt, der Beschwerdeführer sei im Zeitpunkt des Unfalls vom 13. Mai 2017 nicht bei der Suva gegen die Folgen von Unfällen versichert gewesen. Beim angefochtenen Entscheid hat es somit - auch hinsichtlich der verweigerten Parteientschädigung - sein Bewenden.
8.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. August 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest