Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
B.A._ und A.A._ (nachfolgend: Gesuchsteller) erhoben Einsprache gegen das Baugesuch von C._ vom 21. Oktober 2015. An der Sitzung vom 15. September 2016 wies der Gemeinderat von D._ diese Einsprache ab und erteilte im Grundsatz die Baubewilligung für den Abbruch und Umbau eines Gasthauses in ein Einfamilienhaus. Der damalige Gemeindepräsident X._ trat für dieses Geschäft in den Ausstand. Die effektive Baubewilligung wurde erst am 19. Januar 2017 versandt und an diesem Datum von X._ als Gemeindepräsident mitunterzeichnet, obwohl er seit 1. Januar 2017 nicht mehr Gemeindepräsident war.
Am 1. März 2017 reichten die Gesuchsteller Strafanzeige wegen Urkundenfälschung und Amtsanmassung ein.
2.
Das Untersuchungsamt Altstätten des Kantons St. Gallen nahm mit Verfügung vom 4. April 2017 keine Strafuntersuchung an die Hand. Die dagegen erhobene Beschwerde der Gesuchsteller wies die Anklagekammer des Kantons St. Gallen am 9. August 2017 ab.
Auf die gegen den Entscheid der Anklagekammer von den Gesuchstellern erhobene Beschwerde in Strafsachen trat das Bundesgericht am 24. April 2018 (Urteil 6B_1131/2017) nicht ein.
3.
Am 1. Juni 2018 gelangen die Gesuchsteller erneut an das Bundesgericht. Sie beantragen, das Urteil 6B_1131/2017 vom 24. April 2018 sei in Revision zu ziehen, der Entscheid der Anklagekammer sowie die Verfügung des Untersuchungsamts Altstätten seien aufzuheben und das Untersuchungsamt Uznach sei anzuweisen, eine Strafuntersuchung gegen X._ wegen Urkundenfälschung und Amtsanmassung zu eröffnen.
Die Gesuchsteller stützen ihr Revisionsgesuch auf Art. 121 lit. d BGG und rügen eine formelle Rechtsverweigerung. Sie bringen zusammengefasst vor, es habe sich im Verfahren 6B_1131/2017 aus den Akten ergeben, dass sie Strafanzeige eingereicht und danach keine Gelegenheit gehabt hätten, Zivilansprüche geltend zu machen. Ihnen seien nie Parteirechte eingeräumt worden. Das Bundesgericht habe dies aus Versehen nicht berücksichtigt. Mangels Möglichkeit, bei der Staatsanwaltschaft einen Schaden geltend zu machen, hätten sie auch vor Bundesgericht weder einen Schaden belegen noch auf Tatsachen in den Akten verweisen können, aus denen ein solcher hätte abgeleitet werden können. Eine formelle Rechtsverweigerung liege zudem vor, weil sie gegen das Untersuchungsamt Altstätten nie die Einrede der Voreingenommenheit hätten erheben können. Zu berücksichtigen sei auch, dass die der Nichtanhandnahme zugrunde liegenden mutmasslichen Straftaten Offizialdelikte und als solche von Amtes wegen zu untersuchen seien.
4.
Gemäss Art. 121 lit. d BGG kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts namentlich verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Die Revision dient nicht der Korrektur einer angeblich unrichtigen rechtlichen Würdigung oder Rechtsauffassung des Bundesgerichts (vgl. <ref-ruling> E. 3; NIKLAUS OBERHOLZER, in: Seiler/von Werdt/Güngerich/Oberholzer, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 21 zu Art. 121 BGG; DOMINIK VOCK, in: Spühler und andere [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 5 zu Art. 121 BGG; ELISABETH ESCHER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 9 zu Art. 121 BGG). Allfällige Versäumnisse bei der Begründung der Beschwerde an das Bundesgericht können nicht mittels Revision nachgeholt werden. Die Revision darf nicht dazu missbraucht werden, frühere Prozessfehler wiedergutzumachen (NIKLAUS OBERHOLZER, a.a.O., N. 26 zu Art. 121 BGG; DOMINIK VOCK, a.a.O., N. 5 zu Art. 121 BGG; ELISABETH ESCHER, a.a.O., N. 9 zu Art. 121 BGG; zum Ganzen: Urteil 6F_5/2018 vom 20. Juni 2018 E. 4 mit Hinweis).
5.
Die Gesuchsteller verkennen, dass das Bundesgericht auf ihre Beschwerde in Strafsachen nicht etwa aus versehentlicher Nichtberücksichtigung in den Akten liegender Tatsachen, sondern mangels Begründung der Legitimation, an welche es hohe Anforderungen stellt (vgl. bereits Urteil 6B_1131/2017 vom 24. April 2018 E. 1.3.1 mit Hinweis), nicht eintrat. Dem entsprechenden Nichteintretensentscheid ist zu entnehmen, dass sich aus der Beschwerdeschrift nicht ergab, ob die Gesuchsteller im angestrebten Strafverfahren adhäsionsweise Zivilforderungen gegen X._ geltend machen wollten. Es war auch nicht ohne Weiteres ersichtlich, welche Zivilforderungen aus der beanstandeten Mitunterzeichnung der Baubewilligung durch X._ resp. den angezeigten Straftaten hervorgegangen sein könnten. Demzufolge konnte das Bundesgericht infolge fehlender Beschwerdelegitimation nicht auf die entsprechenden materiellen Rügen der Gesuchsteller eintreten.
Die Gesuchsteller bestreiten in ihrem Revisionsgesuch zu Recht nicht, dass sie es in ihrer damaligen Beschwerde unterlassen hatten, einen Willen zur Geltendmachung von Zivilforderungen gegen X._ zu erklären. Es liegt regelmässig keine versehentliche Nichtberücksichtigung in den Akten liegender Tatsachen im Sinne von Art. 121 lit. d BGG vor, wenn das Bundesgericht auf eine Beschwerde mangels (hinreichender) Begründung nicht eintritt (vgl. Urteil 6F_26/2017 vom 21. Februar 2018 E. 5.1 mit Hinweis). Ob und aus welchen Gründen die Gesuchsteller bei der Staatsanwaltschaft noch keine Zivilansprüche geltend gemacht hatten und ob sich solches aus den Akten ergibt, ändert am Versäumnis der Darlegung eines rechtlich geschützten Interesses vor Bundesgericht nichts. Mangels entsprechenden Erfordernisses ist auch nicht nachvollziehbar, weshalb die Gesuchsteller vorbringen, sie hätten nicht auf Tatsachen in den Akten verweisen können, aus denen der Eintritt eines Schadens hätte abgeleitet werden können.
Die Rügen formeller Natur waren im Beschwerdeverfahren sodann ebenfalls nicht zu hören, da diese nicht von der Prüfung der Sache getrennt werden konnten und im Ergebnis gleicherweise auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielten (vgl. Urteil 6B_1131/2017 vom 24. April 2018 E. 1.3.2). Die Gesuchsteller äussern sich zu den Erwägungen hinsichtlich Rügen formeller Natur nicht. Inwiefern das Bundesgericht im Sinne des einzig geltend gemachten Revisionsgrunds versehentlich in den Akten liegende erhebliche Tatsachen nicht berücksichtigt haben könnte (vgl. Art. 121 lit. d BGG), ist auch diesbezüglich nicht ersichtlich. Die im vorliegenden Gesuch teilweise erstmalig vorgebrachten Begründungen formeller Rechtsverweigerungen beschlagen als Rechtsfragen keine Revisionsgründe. Soweit sich die Gesuchsteller mit ihren diesbezüglichen Ausführungen implizit gegen die genannten Erwägungen des Bundesgerichts wenden, verkennen sie, dass die Revision ihnen nicht die Korrektur einer angeblich unrichtigen rechtlichen Würdigung oder Rechtsauffassung des Bundesgerichts ermöglicht (vgl. E. 4 hiervor).
6.
Das Revisionsgesuch ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten den Gesuchstellern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Revisionsgesuch wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden den Gesuchstellern je zur Hälfte unter solidarischer Haftung auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2018
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Weber