Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 12. Dezember 2016 befreite das Amt für Alter und Gesundheit, Abteilung Krankenkasse und AHV, Stadt Frauenfeld, die in Deutschland wohnhafte A._ auf deren Gesuch hin von der Versicherungspflicht für Krankenpflege in der Schweiz.
Am 4. Mai 2018 stellte A._ ein Gesuch um Beitritt zur schweizerischen obligatorischen Krankenversicherung, welches die Abteilung Krankenkasse und AHV mit Verfügung vom 21. August 2018 abwies. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Stadt Frauenfeld, vertreten durch den Stadtrat, mit Entscheid vom 11. Dezember 2018 ebenfalls ab. A._ erhob dagegen am 11. Januar 2019 Rekurs beim Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau, worauf dieses am 18. Januar 2019 nicht eintrat, da der Rekurs nicht fristgerecht erhoben worden sei.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die von A._ gegen den Entscheid vom 18. Januar 2019 erhobene Beschwerde am 28. August 2019 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sowie die Rückweisung der Sache an das Departement für Finanzen und Soziales zur materiellen Beurteilung.
Die Stadt Frauenfeld, Departement für Alter und Gesundheit, sowie das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Das Departement für Finanzen und Soziales trat am 18. Januar 2019 auf den von der Beschwerdeführerin gegen den Entscheid des Stadtrates vom 11. Dezember 2018 erhobenen Rekurs vom 11. Januar 2019 nicht ein mit der Begründung, gemäss § 45 Abs. 1 des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege des Kantons Thurgau vom 23. Februar 1981 (RB 170.1; VRG) müsse der Rekurs innert 20 Tagen seit der Eröffnung des angefochtenen Entscheids eingereicht werden. Anders als das Verfahren vor Verwaltungsgericht kenne das Rekursverfahren keine Gerichtsferien. Der angefochtene Entscheid sei am 12. Dezember 2018 versandt und der Beschwerdeführerin gemäss eigener Angabe am 13. Dezember 2018 zugestellt worden. Die Rekursfrist habe somit am 14. Dezember 2018 zu laufen begonnen und am 3. Januar 2019 geendet. Die Eingabe vom 11. Januar 2019 sei daher verspätet eingegangen, weshalb darauf nicht eingetreten werden könne.
2.2. Das kantonale Gericht schützte diesen Nichteintretensentscheid. Es erwog, Art. 1 Abs. 2 KVG zähle gewisse Bereiche auf, in denen das ATSG nicht zur Anwendung gelange, wobei die Aufzählung nicht abschliessend sei. Das Verfahren im Bereich der Kontrolle der Versicherungspflicht gemäss Art. 6 und 6a KVG werde im Ausnahmenkatalog von Art. 1 Abs. 2 KVG nicht genannt.
Die Vorinstanz führte im Weiteren aus, nach Art. 6 Abs. 1 KVG hätten die Kantone für die Einhaltung der Versicherungspflicht zu sorgen. Bei materiellrechtlichen kantonalen Bestimmungen im Zusammenhang mit der Überwachung der Versicherungspflicht handle es sich um unselbstständiges kantonales Ausführungsrecht zu Bundesrecht. Das Verfahren richte sich jedoch nach kantonalem Recht. Dieses dürfe nicht so geregelt oder gehandhabt werden, dass dadurch die Zielsetzungen des KVG vereitelt würden (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 162/04 vom 23. Mai 2005).
2.3. Die Beschwerdeführerin macht geltend, das kantonale Recht definiere die zuständige Behörde. Das ATSG lege hingegen die verfahrensrechtlichen Mindestanforderungen für den Erlass der Verfügung und deren Überprüfung fest. Da materielles Bundesrecht umzusetzen sei, sei bundesrechtliches Prozessrecht anwendbar. Das Bundesgericht habe im Urteil 9C_923/2015 vom 9. Mai 2016 E. 4.3.1 bestätigt, dass die Bestimmungen des ATSG im Zuweisungsverfahren anwendbar seien. In diesem Verfahren müsse die Gemeinde eine Verfügung ausstellen, da sie in Rechte und Pflichten der Adressatin eingreife. Dadurch gelte die zwangsversicherte Person als Partei im Sinne von Art. 34 ATSG. Die Beschwerdeführerin bringt vor, in Anlehnung an die Bestimmungen des ATSG sei ihre Eingabe rechtzeitig erfolgt. Das Departement für Finanzen und Soziales habe daher ihre materiellen Begehren zu prüfen.
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz zu Recht den Entscheid des Departements für Finanzen und Soziales, auf den Rekurs nicht einzutreten, geschützt hat.
4.
4.1. Art. 1 Abs. 1 KVG erklärt die Bestimmungen des ATSG auf die Krankenversicherung für anwendbar, soweit das KVG nicht ausdrücklich eine Abweichung vorsieht. Unter Art. 1 Abs. 2 KVG werden die Bereiche aufgezählt, in welchen das ATSG keine Anwendung findet: (a) Zulassung und Ausschluss von Leistungserbringern (Art. 35-40 und 59); (b) Tarife, Preise und Globalbudget (Art. 43-55); (c) Ausrichtung der Prämienverbilligung nach den Artikeln 65, 65a und 66a sowie Beiträge des Bundes an die Kantone nach Artikel 66; (d) Streitigkeiten der Versicherer unter sich (Art. 87); (e) Verfahren vor dem kantonalen Schiedsgericht (Art. 89).
Das Eidg. Versicherungsgericht hat in <ref-ruling> E. 5.1 S. 221 festgehalten, dass diese Aufzählung nicht abschliessend sei. Es gebe an anderen Stellen im KVG weitere ausdrücklich vom ATSG abweichende Vorschriften.
4.2. Streitigkeiten über die Frage, ob eine der obligatorischen Krankenpflegeversicherung nicht beigetretene Person der Versicherungspflicht untersteht, sind im kantonalen Zuweisungs- oder Ausnahmegesuchsverfahren zu beurteilen (GEBHARD EUGSTER, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum KVG [nachfolgend: Rechtsprechung], 2. Aufl. 2018, N. 5 zu Art. 6 KVG; DERSELBE, Krankenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV [nachfolgend: Soziale Sicherheit], 3. Aufl. 2016, S. 451 Rz. 147).
4.3. Nach Art. 6 KVG sorgen die Kantone für die Einhaltung der Versicherungspflicht (Abs. 1). Die vom Kanton bezeichnete Behörde weist Personen, die ihrer Versicherungspflicht nicht rechtzeitig nachkommen, einem Versicherer zu (Abs. 2; Art. 6a Abs. 3 KVG). Gemäss Art. 10 Abs. 2 KVV entscheidet die zuständige kantonale Behörde über die in Artikeln 2 Absätze 2-5 und 6 Absatz 3 KVV vorgesehenen Gesuche.
Dabei ist zu beachten, dass das KVG ein bundesweites Versicherungsobligatorium vorsieht (Art. 3 Abs. 1 KVG). Ein eigener Gestaltungsspielraum der Kantone besteht somit nicht. Den Kantonen kommt bloss noch Vollzugs- und Kontrollzuständigkeit zu, indem sie für die Einhaltung der bundesrechtlichen Versicherungspflicht und für die Entscheidung über Ausnahmegesuche zu sorgen haben. Bei materiell-rechtlichen kantonalen Bestimmungen im Zusammenhang mit der Überwachung der Versicherungspflicht und der Zuweisung handelt es sich um unselbstständiges kantonales Ausführungsrecht zu Bundesrecht (Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 130/03 vom 2. November 2005 E. 2.3.3.2).
5.
5.1. Die Vorinstanz hat ihren Entscheid unter anderem in Anlehnung an das Urteil des Eidg. Versicherungsgerichts K 162/04 vom 23. Mai 2005 getroffen. Dort ist in Erwägung 4.1 festgehalten worden, dass die Kantone die Behörde zu bezeichnen hätten, die für die Entscheidung über Gesuche nach Art. 6 KVG und Art. 10 Abs. 2 KVV zuständig sei und die Verfahrensregeln festlegen würden. Aus der Erwägung 2 des entsprechenden Urteils K 162/04 geht jedoch auch hervor, dass sich das Eidg. Versicherungsgericht damals nicht weiter mit den Bestimmungen des ATSG und der Frage, ob diese im Zuweisungs- und Ausnahmegesuchsverfahren anwendbar sind, hat auseinandersetzen müssen. Denn der sich dort zu prüfende Sachverhalt hat sich vor der Inkraftsetzung des ATSG (1. Januar 2003) verwirklicht, weshalb das Urteil K 162/04 für die sich hier stellende Frage nicht herangezogen werden kann.
5.2. In erster Linie ist festzuhalten, dass das im vorliegenden Fall interessierende Verfahren (Zuweisungs- und Ausnahmegesuchsverfahren) keine der in Art. 1 Abs. 2 KVG genannten Ausnahmen darstellt (vgl. E. 4.1 oben), was grundsätzlich für die Anwendung des ATSG-Verfahrens spricht (vgl. bereits erwähntes Urteil 9C_923/2015 E. 4.3.1).
5.3. Der Gesetzgeber hat das ATSG grundsätzlich dort als anwendbar erklärt, wo das Verhältnis Versicherte-Versicherer zu regeln ist. Mit Art. 1 Abs. 2 KVG sollten diejenigen Bereiche vom Geltungsbereich des ATSG ausgenommen werden, für welche das ATSG-Verfahren nicht geeignet ist (<ref-ruling> E. 3.2.3 S. 85 mit Hinweis auf 130 V 215 E. 5.2 S. 221; Bericht der Kommission des Nationalrates für soziale Sicherheit und Gesundheit vom 26. März 1999, Parlamentarische Initiative Sozialversicherungsrecht, BBl 1999 IV 4523 S. 4673 Ziff. 62). Tatbestände, in denen die Krankenversicherer nicht hoheitlich handeln, fallen somit nicht unter die Anwendbarkeit des ATSG (vgl. GEBHARD EUGSTER, ATSG und Krankenversicherung: Streifzug durch Art. 1-55 ATSG, in: SZS 2003 S. 215).
Der vorliegende Fall beschlägt zwar nicht eine Streitigkeit zwischen Versicherer und versicherter Person, da eine Behörde (Stadt resp. Departement) der Beschwerdeführerin gegenübersteht. Dessen ungeachtet handelt die Behörde durch ihren Entscheid jedoch hoheitlich, weshalb das ATSG-Verfahren nach dem zuvor Gesagten grundsätzlich anwendbar ist. Ausserdem geht es hier inhaltlich um die Frage einer Versicherungsunterstellung. Dabei sind die ATSG-Bestimmungen massgebend (vgl. UELI KIESER/KASPAR GEHRING/SUSANNE BOLLINGER, Bundesgesetze über die Krankenversicherung, die Unfallversicherung und den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts [ATSG] mit weiteren Erlassen, N. 4 zu Art. 1 KVG).
5.4. Schliesslich ist festzuhalten, dass das ATSG namentlich im Falle der Anwendung autonomen kantonalen Rechts, wie etwa bei der Ausrichtung der Prämienverbilligung (vgl. Art. 1 Abs. 2 lit. c KVG), nicht greift (UELI KIESER/KASPAR GEHRING/SUSANNE BOLLINGER, a.a.O., N. 8 zu Art. 1 KVG; GABOR P. BLECHTA/DOMINIQUE ROOS, in: Basler Kommentar, Krankenversicherungsgesetz, N. 11 zu Art. 1 KVG). Bei materiell-rechtlichen kantonalen Bestimmungen im Zusammenhang mit der Überwachung der Versicherungspflicht und der Zuweisung handelt es sich nicht um autonomes, sondern um unselbstständiges kantonales Ausführungsrecht zu Bundesrecht (vgl. E. 4.3 oben), was ebenfalls auf die Anwendung des ATSG-Verfahrens schliessen lässt.
5.5. Nach dem Gesagten sprechen diverse Gründe dafür, die Verfahrensbestimmungen des ATSG anzuwenden. Daran ändert auch der Wortlaut von Art. 6 KVG, der bei der Gesetzesauslegung in erster Linie massgebend ist (<ref-ruling> E. 3 S. 331), nichts. Danach haben die Kantone darüber zu wachen, dass die Versicherungspflicht eingehalten wird und sie bestimmen eine dafür zuständige Behörde. Eine Anwendung von kantonalem Recht lässt sich aus diesem Wortlaut, insbesondere mit Blick auf das in den Erwägungen 5.1 bis 5.4 Ausgeführte, nicht ableiten.
5.6. Zusammenfassend ist festzuhalten, dass die Bestimmungen des ATSG im Bereich des Zuweisungs- und Ausnahmegesuchsverfahrens anwendbar sind (so bereits in Urteil 9C_923/2015 E. 4.3.1; vgl. auch GEBHARD EUGSTER, Rechtsprechung, N. 5 zu Art. 6 KVG; UELI KIESER/ KASPAR GEHRING/SUSANNE BOLLINGER, a.a.O., N. 4 zu Art. 1 KVG).
5.7. Die Vorinstanz hat erkannt, sollten die Verfahrensvorschriften des ATSG anwendbar sein, müsste die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 11. Januar 2019 als rechtzeitig erfolgt betrachtet werden, da die Fristen diesfalls vom 18. Dezember 2018 bis 2. Januar 2019 stillgestanden hätten (Art. 38 Abs. 4 lit. c ATSG). Diese Feststellung wird von den Parteien nicht bestritten. Die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 11. Januar 2019 ist somit rechtzeitig eingegangen und das Departement für Finanzen und Soziales zu Unrecht nicht darauf eingetreten. Die Beschwerde ist begründet.
6.
6.1. Gemäss Art. 49 Abs. 1 ATSG hat der Versicherungsträger über Leistungen, Forderungen und Anordnungen, die erheblich sind oder mit denen die betroffene Person nicht einverstanden ist, schriftlich Verfügungen zu erlassen. Gegen Verfügungen kann innerhalb von 30 Tagen bei der verfügenden Stelle Einsprache erhoben werden; davon ausgenommen sind prozess- und verfahrensleitende Verfügungen (Art. 52 Abs. 1 ATSG). Gegen Einspracheentscheide oder Verfügungen, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, kann Beschwerde erhoben werden (Art. 56 Abs. 1 ATSG). Die Beschwerde ist innerhalb von 30 Tagen nach der Eröffnung des Einspracheentscheids oder der Verfügung, gegen welche eine Einsprache ausgeschlossen ist, einzureichen.
Art. 52 ATSG legt somit generell fest, dass gegen eine Verfügung (nur) eine Einsprache eingereicht werden kann (vgl. auch Art. 85 KVG). Ausserdem schliesst die in Art. 56 Abs. 1 ATSG gewährleistete Rechtsmittelgarantie aus, versicherungsinterne Instanzenzüge einzurichten, was der Gesetzgeber für die Krankenversicherung ausdrücklich in Art. 86 KVG festgelegt hat.
6.2. Im vorliegenden Fall hat die Abteilung Krankenkasse und AHV des Amtes für Alter und Gesundheit am 21. August 2018 über das Gesuch der Beschwerdeführerin befunden. Diesen Entscheid hat der Stadtrat überprüft und am 11. Dezember 2018 bestätigt. Damit hätte die Beschwerdeführerin im Sinne von Art. 56 ATSG innerhalb von 30 Tagen (Art. 60 Abs. 1 ATSG) an das Verwaltungsgericht (Art. 57 ATSG) gelangen können. Davon ist im Übrigen auch die Vorinstanz in ihrer Erwägung 2 ausgegangen für den Fall, dass die Bestimmungen des ATSG anwendbar sein sollten. Die Sache ist daher nicht an das Departement für Finanzen und Soziales, sondern an das kantonale Gericht zurückzuweisen, damit es an Stelle des Departements materiell über die rechtzeitig erfolgte Eingabe der Beschwerdeführerin vom 11. Januar 2019 entscheidet.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Diese hat der Beschwerdeführerin überdies für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Entscheide des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 28. August 2019 sowie des Departements für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau vom 18. Januar 2019 werden aufgehoben. Die Sache wird an das Verwaltungsgericht zurückgewiesen, damit dieses über die Eingabe vom 11. Januar 2019 materiell entscheide.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau, dem Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. April 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber