Sachverhalt:
A.
Im September 2016 publizierte die Einwohnergemeinde (EG) Köniz ein teilweises Fahrverbot auf dem Gurtenweg ab der Einmündung Lochgutweg/Gurtenweg bis zur Zufahrt Lerbermattstrasse xx. Dagegen hat unter anderem A._, der in der Liegenschaft Lerbermattstrasse xx wohnt, Einsprache beim Gemeinderat der EG Köniz erhoben, welche dieser mit Entscheid vom 19. April 2017 abwies. Beschwerden an das Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland und an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern blieben erfolglos (Urteil vom 13. Juni 2018).
B.
Dagegen führt A._ am 16. Juli 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Die kantonalen Behörden beantragen die Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Strassen führt aus, aus Sicht des Strassenverkehrsrechts des Bundes spreche nichts gegen das geplante Regime. Der Beschwerdeführer hat dazu am 9. Oktober und am 17. November 2018 Stellung genommen.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die unter keinen Ausschlussgrund gemäss Art. 82 lit. a und Art. 83 BGG fällt und daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht weitergezogen werden kann (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Der Beschwerdeführer wohnt an der Lerbermattstrasse xx, die in den Gurtenweg einmündet. Durch das Fahrverbot verliert er die kürzeste Autoverbindung zum Ortsteil Spiegel. Er ist folglich durch den angefochtenen Entscheid beschwert und zu dessen Anfechtung befugt (<ref-law>).
1.2. Gemäss <ref-law> haben Rechtsschriften namentlich die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Eingabe des Beschwerdeführers enthält kein förmliches Rechtsbegehren. Allerdings ergibt sich daraus ein klarer Beschwerdewille und, sinngemäss, ein Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids ("Nichtanerkennung" des Urteils der Vorinstanz). Auf die im Übrigen form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
1.3. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet. Sie ist im Verfahren nach <ref-law> mit summarischer Begründung abzuweisen. Dabei kann auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und zudem die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Bei der Rüge der offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in diesem Fall nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2).
2.
2.1. Die EG Köniz hat die strittige Verkehrsanordnung erlassen, nachdem eine erste Neuregelung von der Vorinstanz aufgehoben worden war, weil ein Gutachten der Beratungsstelle für Unfallverhütung erhebliche, fortbestehende Sicherheitsdefizite bemängelt hatte. Bei der jetzt geplanten Regelung liegt es gemäss der Vorinstanz auf der Hand, dass sie auf dem betroffenen Strassenabschnitt eine Reduktion der bisherigen Anzahl Fahrten von Motorfahrzeugen bewirkt. Der Gurtenweg sei steil, unübersichtlich sowie eng und er verfüge über kein Trottoir. Damit bringe die Verkehrsbeschränkung offensichtlich einen Sicherheitsgewinn für die übrigen Verkehrsteilnehmenden mit sich. Gelegentliche Rückwärtsfahrten könnten zwar weiterhin nicht ausgeschlossen werden, doch vermöchte dies das Mehr an Sicherheit nicht in Frage zu stellen.
2.2. Der Beschwerdeführer stellt die örtlichen Gegebenheiten und die Sicherheitsprobleme, die sich aufgrund der angefochtenen Verkehrsanordnung ergeben würden, wesentlich anders dar als die Vorinstanz. Er geht von erheblichem Verkehr von rückwärtsfahrenden Fahrzeugen auf der Lerbermattstrasse bis zum Fahrverbot aus, rechnet mit viel höheren Geschwindigkeiten von Velofahrern und fürchtet eine Zunahme von Verkehrsunfällen.
2.3. Damit genügt der Beschwerdeführer den oben (E. 1.4 hievor) umschriebenen Begründungsanforderungen für Sachverhaltsrügen nicht. Bei seinen Vorbringen handelt es sich um blosse, nicht belegte Behauptungen. Es ist nicht ausreichend, den vorinstanzlichen, für das Bundesgericht nach der gesetzlichen Regelung grundsätzlich verbindlichen Tatsachenfeststellungen eine eigene, davon abweichende Darstellung entgegenzuhalten. Der Beschwerdeführer müsste klar aufzeigen, welche Feststellungen des Verwaltungsgerichts offenkundig falsch sind, und weshalb dies zutrifft. Diesen Anforderungen kommt er nicht nach, so dass das Bundesgericht an den vorinstanzlichen Sachverhalt gebunden ist. Im Übrigen hat das Verwaltungsgericht anerkannt, dass die vom Beschwerdeführer bevorzugte Variante wohl ebenfalls einen Sicherheitsgewinn mit sich bringen würde. Es hat aber auch festgehalten, diese Lösung würde einen baulichen und finanziellen Mehraufwand erfordern und sei deshalb weniger geeignet als die behördliche Regelung (angefochtenes Urteil, E. 4.4).
3.
Rechtliche Rügen erhebt der Beschwerdeführer kaum. Insbesondere setzt er sich nicht mit den gesetzlichen Voraussetzungen für die Anordnung von funktionellen Verkehrsbeschränkungen nach <ref-law> auseinander. Beiläufig moniert er eine rechtsungleiche Behandlung gegenüber der Liegenschaft Gurtenweg yy (bis dorthin ist der Motorfahrzeugverkehr für Zubringer gestattet), doch hat die Vorinstanz in E. 5.2 ihres Urteils die Gründe für eine abweichende Regelung dargestellt; damit setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander. Inwiefern der Nachtdienst, den er als Arzt (nach eigenen Angaben) 28 bis 35 Mal jährlich leistet, zu einer anderen Beurteilung führen könnte, ist nicht ersichtlich, zumal alle Notfalldienste gewissen Verkehrsbeschränkungen unterliegen.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde als unbegründet. Sie ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die EG Köniz hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Einwohnergemeinde Köniz, dem Regierungsstatthalteramt Bern-Mittelland, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Bundesamt für Strassen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. November 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier