Faits :
A.
A._ a été condamnée par ordonnance pénale du Ministère public de la République et canton de Genève du 6 juin 2018 pour violence ou menace contre les autorités et les fonctionnaires. Sa demande de défense d'office a été refusée par ordonnance du ministère public du 14 septembre 2018. Après avoir fait opposition, la prénommée ne s'est pas présentée aux audiences et la procédure a été suspendue le 28 juin 2019 (P/--/2018).
Dans le même contexte de faits, A._ a déposé plainte le 6 juin 2018 pour lésions corporelles simples et abus d'autorité. Par ordonnance du 13 mars 2020, le ministère public a classé la procédure (P/---/2018). Dite ordonnance a été expédiée par pli recommandé le même jour, à l'adresse de A._ à U._. Avisée pour retrait du pli le 16 mars 2020, la destinataire a prolongé le délai de garde. L'envoi n'ayant pas été retiré le 20 avril 2020, il a été retourné à son expéditeur. En réponse à plusieurs courriels de A._, le ministère public lui a communiqué, par courriel du 26 mai 2020, à titre exceptionnel et à bien plaire, une copie de l'ordonnance de classement " notifiée à votre dernière adresse connue ", précisant que cette décision était entrée en force. Il a ajouté, s'agissant de l'assistance juridique, qu'elle n'avait jamais sollicité formellement qu'un conseil juridique gratuit lui soit désigné et que, s'il devait statuer aujourd'hui, il rejetterait sa requête dès lors que la procédure était terminée.
B.
Par arrêt du 23 juillet 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a déclaré irrecevable le recours formé par A._ à l'encontre du refus du ministère public de répondre à sa demande d'assistance juridique comme prévenue et plaignante dans les procédures P/---/2018 et P/--/2018. Elle a considéré que ce recours, qui lui avait été adressé par courriel, ne respectait pas la forme écrite prévue par l'art. 110 al. 1 CPP.
C.
Par arrêt du 14 septembre 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice a rejeté, dans la mesure de leur recevabilité, les recours formés par A._ à l'encontre de l'ordonnance de classement rendue le 13 mars 2020 par le ministère public, contre la " décision " du ministère public du 26 mai 2020 ainsi que pour déni de justice de cette autorité.
D.
Par acte du 6 octobre 2020, A._ forme un recours au Tribunal fédéral à l'encontre de l'arrêt de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du 14 septembre 2020. Elle conclut au défraiement de son avocat, à la restitution des délais pour recourir contre l'ordonnance de classement du ministère public du 13 mars 2020, à l'admission de son recours contre ce classement et à la continuation de la procédure. Elle sollicite également le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Par acte daté du 14 octobre 2020, remis à une représentation consulaire suisse le 26 octobre 2020, A._ a déclaré " amplifier " son recours contre l'arrêt du 14 septembre 2020. Elle a également indiqué un domicile de notification en Suisse.
E.
Invités à se déterminer sur le recours, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice y a renoncé, tandis que le ministère public a présenté des observations.

Considérant en droit :
1.
Le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les 30 jours qui suivent la notification de l'expédition complète (art. 100 al. 1 LTF). Les mémoires doivent être remis au plus tard le dernier jour du délai, soit au Tribunal fédéral soit, à l'attention de ce dernier, à La Poste Suisse ou à une représentation diplomatique ou consulaire suisse (art. 48 al. 1 LTF).
La décision de dernière instance cantonale du 14 septembre 2020 a été notifiée à la recourante le 22 septembre 2020, soit à l'issue du délai de garde de 7 jours. Le recours du 6 octobre 2020 a donc été formé dans le respect du délai de 30 jours. En revanche, l'écriture datée du 14 octobre 2020, par laquelle la recourante a déclaré " amplifier " son recours, a été remise à une représentation consulaire suisse le 26 octobre 2020 (pièce 9). Cette écriture est tardive et doit par conséquent être déclarée irrecevable.
2.
Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral, si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles.
Indépendamment de sa qualité pour recourir sur le fond, celui qui se prétend lésé par une infraction peut invoquer la violation de droits que la loi de procédure applicable ou le droit constitutionnel lui reconnaît comme partie à la procédure, lorsque cette violation équivaut à un déni de justice formel (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 5; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 44, 29 consid. 1.9 p. 40; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 232 s. et les références citées).
La cour cantonale a jugé que le recours du 3 juin 2020 dirigé contre l'ordonnance de classement du 13 mars 2020 était irrecevable, faute d'avoir été déposé dans le délai légal. En tant que la recourante discute cette irrecevabilité, elle a, sous cet angle, qualité pour recourir. La recourante dispose également de la qualité pour recourir à l'encontre du refus de la cour cantonale de constater un déni de justice formel du ministère public en relation avec sa demande d'assistance judiciaire, sous la réserve de l'existence d'un intérêt juridique actuel (cf. consid. 4 infra).
3.
La recourante soutient que l'ordonnance de classement ne lui a pas été notifiée valablement. Subsidiairement, la cour cantonale aurait dû admettre que les conditions d'une restitution du délai de recours étaient remplies.
3.1. Selon l'art. 85 al. 2 CPP, les autorités pénales notifient leurs prononcés - dont les ordonnances (cf. art. 80 al. 1 2ème phrase CPP) - par lettre signature ou par tout autre mode de communication impliquant un accusé de réception, notamment par l'entremise de la police. Toute communication doit être notifiée au domicile, au lieu de résidence habituelle ou au siège du destinataire (art. 87 al. 1 CPP); les parties et leur conseil qui ont leur domicile, leur résidence habituelle ou leur siège à l'étranger sont tenus de désigner un domicile de notification en Suisse (art. 87 al. 2 CPP).
Selon l'art. 85 al. 4 let. a CPP, un prononcé est réputé notifié lorsque, expédié par lettre signature, il n'a pas été retiré dans les sept jours à compter de la tentative infructueuse de remise du pli, si la personne concernée devait s'attendre à une telle remise. De jurisprudence constante, celui qui se sait partie à une procédure judiciaire et qui doit dès lors s'attendre à recevoir notification d'actes du juge, est tenu de relever son courrier ou, s'il s'absente de son domicile, de prendre des dispositions pour que celui-ci lui parvienne néanmoins. A ce défaut, il est réputé avoir eu, à l'échéance du délai de garde, connaissance du contenu des plis recommandés que le juge lui adresse. Une telle obligation signifie que le destinataire doit, le cas échéant, désigner un représentant, faire suivre son courrier, informer les autorités de son absence ou leur indiquer une adresse de notification (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 431 s.; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 230 et les références citées).
Dans le recours en matière pénale, le Tribunal fédéral est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), sous les réserves découlant des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, soit pour l'essentiel de l'arbitraire dans la constatation des faits (sur cette notion, v. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs ainsi que, de manière plus générale, tous les moyens qui relèvent de la violation de droits fondamentaux, que s'ils sont invoqués et motivés par le recourant (art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée. Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 155 s.).
3.2. En l'espèce, la cour cantonale a constaté que, selon les registres de l'Office cantonal de la population, la recourante avait quitté U._ pour B._, au Pérou, le 7 novembre 2018. Elle a retenu que, quand bien même elle avait déposé plainte pénale le 6 juin 2018 et se savait donc partie plaignante dans la procédure pénale P/---/2018, il ne ressortait pas du dossier qu'elle ait désigné à l'autorité pénale un domicile de notification en Suisse valable, les correspondances qu'elle avait adressées au ministère public en juin et août 2018 ne mentionnant, en sus de son adresse mail, que des adresse d'hôtels ou d'abris d'urgence - par définition des lieux d'hébergement temporaires ne répondant pas à la définition de domicile de notification au sens de l'art. 87 al. 1 CPP, qui doit être le lieu de résidence habituelle. En l'absence d'un domicile de notification en Suisse, le ministère public pouvait dès lors s'affranchir d'une notification par voie édictale, l'ordonnance de classement étant réputée valablement notifiée (art. 88 al. 4 CPP). La notification de l'ordonnance querellée à la dernière adresse connue de la recourante à U._ n'était ainsi pas critiquable. Il appartenait à la recourante de prendre les dispositions utiles pour recevoir les plis qui lui étaient destinés, le cas échéant en désignant un représentant autorisé à les réceptionner à sa place, étant relevé - quand bien même cela n'aurait pas eu pour effet de prolonger le délai de garde - qu'elle n'avait pas non plus retiré le pli litigieux dans le délai qu'elle avait elle-même prorogé auprès de la Poste. Même si l'on admettait que l'ordonnance de classement du 13 mars 2020 avait été notifiée à la recourante à l'échéance du délai de garde prorogé, soit le 20 avril 2020, son recours, daté du 3 juin 2020 et déposé selon elle au Consulat suisse de B._ le surlendemain, était manifestement tardif.
3.3. Selon les faits constatés dans la décision attaquée, lorsqu'elle a déposé plainte pénale, le 6 juin 2018, la recourante était domiciliée à U._. Dans sa plainte, elle indiquait comme domicile l'adresse précitée. C'est à juste titre que la cour cantonale a considéré que les adresses qu'elle a communiquées par la suite au ministère public, en juin et août 2018, soit celles d'hôtels ou d'abris d'urgence, ne répondaient pas à la définition de domicile de notification au sens de l'art. 87 al. 1 CPP. De même, la désignation d'une simple adresse électronique comme domicile de notification ne répond pas aux exigences des art. 85 ss CP. La recourante a ensuite quitté la Suisse pour le Pérou. Elle prétend avoir communiqué sa nouvelle adresse au ministère public et produit, à l'appui de son recours, un document qu'elle dit avoir adressé par fax à cette autorité dès son arrivée au Pérou. Ce faisant, la recourante se base sur des faits qui ne résultent pas de la décision attaquée et pour lesquels il n'est pas établi qu'ils auraient été arbitrairement omis. Quoi qu'il en soit, à teneur de cette pièce, la recourante indiquait qu'elle avait repris sa résidence au Pérou, que son domicile légal restait à U._, mais que son père refusait de recevoir ses lettres, de sorte que les envois pouvaient lui être communiqués à son adresse email ou à une adresse au Pérou. Aussi, même à tenir compte de ce document, il n'en résulte pas qu'à la suite de son départ à l'étranger, la recourante aurait désigné une autre adresse de notification en Suisse que celle qu'elle avait précédemment communiquée.
Il y a encore lieu de relever que, lorsque le ministère public lui a notifié l'ordonnance de classement le 13 mars 2020 à l'adresse genevoise, la recourante a demandé à la Poste la prolongation du délai de garde. La recourante le conteste, mais ne démontre aucunement en quoi la cour cantonale aurait établi les faits de manière arbitraire sous cet angle, de sorte qu'il n'y a pas lieu de tenir compte de ses dénégations. De surcroît, dans son recours fédéral du 8 septembre 2020 formé à l'encontre de l'arrêt de la cour cantonale du 23 juillet 2020 (6B_--/2020), la recourante continue d'indiquer l'adresse genevoise susmentionnée. Ces éléments tendent à faire douter de la bonne foi de la recourante dans la formulation de son grief.
Quoi qu'il en soit, considérant les circonstances du cas d'espèce, le ministère public n'avait aucune raison de ne pas adresser l'ordonnance de classement à U._. En outre, rien n'imposait au ministère public, à réception du pli recommandé non retiré, de procéder à un nouvel envoi de l'ordonnance de classement, étant encore précisé qu'on comprend des faits constatés que l'ordonnance a été retournée à son expéditeur avec la mention "non réclamé", à l'exclusion de toute indication permettant de penser que le destinataire ne pouvait être atteint à l'adresse indiquée ("introuvable" ou "inconnu à cette adresse").
Il s'ensuit que la notification de l'ordonnance de classement est intervenue valablement, conformément à l'art. 85 al. 4 let. a CPP, au plus tard le 20 avril 2020. Le recours cantonal a donc été déposé tardivement. Le grief soulevé par la recourante sous cet angle est sans fondement.
3.4. La recourante discute le refus de la cour cantonale de lui accorder une restitution du délai pour recourir contre l'ordonnance de classement. L'autorité précédente a considéré que, dans la mesure où la remise de l'acte à une représentation consulaire suisse à l'étranger au plus tard le dernier jour du délai était valable, peu importait que la poste péruvienne ait été, en raison de la pandémie de Covid-19, à l'arrêt entre le 16 mars et le 30 juin 2020 et ait fonctionné ensuite de manière limitée. La recourante, même si l'on admettait qu'elle avait reçu l'ordonnance litigieuse le 20 avril 2020, ne disait en effet mot sur les raisons qui l'auraient empêchée de déposer son acte auprès du Consulat suisse dans le délai de 10 jours à compter de cette date.
Les motifs du recours, au sens de l'art. 42 al. 1 LTF, doivent exposer succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Selon la jurisprudence, pour répondre à cette exigence, la partie recourante est tenue de discuter au moins sommairement les considérants de l'arrêt entrepris (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 367 s. et les arrêts cités); en particulier, la motivation doit être topique, c'est-à dire se rapporter à la question juridique tranchée par l'autorité cantonale (<ref-ruling>; arrêt 6B_970/2017 du 17 octobre 2017 consid. 4).
La recourante se limite à alléguer qu'aucune faute ne peut lui être imputée car elle pouvait légitimement penser que son adresse électronique constituait un domicile de notification suffisant, n'étant pas avocate, alors que le ministère public aurait dû lui désigner un défenseur et, de surcroît, qu'elle n'aurait pas pu donner l'adresse de son hôtel, dans lequel elle ne pouvait pas rester en raison de ses problèmes de santé. En cela, la recourante ne discute nullement la motivation cantonale concernant les conditions de restitution de délai, mais revient sur la notification de l'ordonnance de classement, dont il a déjà été constaté ci-dessus qu'elle était intervenue valablement. Aussi, la recourante ne motive-t-elle pas à satisfaction de droit son grief élevé à l'encontre du refus de la cour cantonale de restituer le délai de recours. Il est par conséquent irrecevable.
3.5. Compte tenu de ce qui précède, les griefs formés par la recourante à l'encontre de la décision d'irrecevabilité de son recours cantonal ayant pour objet l'ordonnance de classement du 13 mars 2020 sont rejetés, dans la mesure de leur recevabilité.
4.
La recourante recourt également contre la décision de la cour cantonale refusant de constater que le ministère public avait commis un déni de justice formel en omettant de statuer sur ses demandes de désignation d'un conseil juridique d'office dans les procédures P/--/2018 et P/---/2018.
4.1. Selon l'art. 81 al. 1 LTF, a qualité pour former un recours en matière pénale quiconque a pris part à la procédure devant l'autorité précédente ou a été privé de la possibilité de le faire (let. a) et a un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (let. b). De jurisprudence constante, cet intérêt doit être actuel et pratique. De cette manière, les tribunaux sont assurés de trancher uniquement des questions concrètes et non de prendre des décisions à caractère théorique, ce qui répond à un souci d'économie de procédure (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 77; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 276). Ainsi, l'existence d'un intérêt de pur fait ou la simple perspective d'un intérêt juridique futur ne suffit pas. Une partie qui n'est pas concrètement lésée par la décision ne possède donc pas la qualité pour recourir et son recours est irrecevable (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 85).
4.2. En l'espèce, la procédure P/---/2018 a été clôturée de manière définitive, l'ordonnance de classement étant entrée en force. Un défaut de statuer sur la demande d'assistance judiciaire de la partie plaignante ne constitue pas un motif de reprise d'une procédure préliminaire (art. 323 al. 1 CPP). Par conséquent, l'admission éventuelle du présent recours formé pour déni de justice ne pourrait de toute façon pas conduire à l'annulation de la décision de classement dont se plaint la recourante.
La prénommée soutient que l'octroi d'un défenseur d'office lui aurait permis d'avoir un représentant qui puisse lui transmettre " les ordonnances pour recourir " et éviter ainsi que le classement ne devienne définitif. Or, il a été constaté ci-dessus que la notification de l'ordonnance de classement est intervenue valablement. La recourante est donc réputée avoir reçu l'acte en question, de sorte qu'il est sans importance qu'elle n'ait pas disposé d'un domicile de notification auprès d'un conseil juridique au sens de l'art. 87 al. 3 CPP. Pour le surplus, même en l'absence d'un conseil juridique, la recourante était en mesure de comprendre les conséquences liées à la notification de l'ordonnance de classement, munie de l'indication des voies de droit, et notamment la nécessité, si elle entendait la contester, de recourir dans les dix jours. Partant, elle ne démontre aucunement avoir subi un préjudice de nature juridique découlant de la violation invoquée.
Enfin, les conditions auxquelles le Tribunal fédéral entre exceptionnellement en matière sur le fond d'une affaire, malgré le défaut d'un intérêt juridique pratique et actuel du recours, ne sont pas réunies (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 25; arrêt 6B_93/2020 du 20 avril 2020 consid. 1.4).
Il s'ensuit que la recourante n'a pas d'intérêt juridique à faire constater que le ministère public aurait omis de statuer sur sa demande de désignation d'un avocat d'office dans la procédure P/---/2018. Le recours est irrecevable sous cet angle.
4.3. En ce qui concerne la procédure P/--/2018, la cour cantonale a constaté que le ministère public avait répondu négativement à la demande d'avocat d'office de la recourante par ordonnance du 14 septembre 2018, de sorte que le grief de déni de justice formel élevé par la recourante était infondé. La prénommée se limite à affirmer qu'elle remplissait les conditions de l'octroi d'un défenseur et que le ministère public avait menti, le 26 mai 2020, en affirmant qu'elle ne l'avait jamais sollicité.
Même à supposer que la recourante ait un intérêt juridique à recourir contre cette décision, ce qui n'apparaît pas être le cas (cf. consid. 4.1), il peut encore être relevé que la recourante ne discute nullement la motivation cantonale niant l'existence d'un déni de justice formel. Insuffisamment motivé, son grief doit être écarté (art. 42 al. 2 LTF)
5.
La recourante se plaint des frais de justice mis à sa charge, par 600 fr., en alléguant son indigence.
La cour cantonale a fixé un émolument réduit de 600 fr. en tenant compte de la situation financière précaire de la recourante, conformément aux art. 428 al. 1 CPP et 13 al. 1 du Règlement cantonal fixant le tarif des frais en matière pénale (RTFMP/GE; E 4 10.03). Dans la mesure où la recourante ne motive nullement une violation de ces dispositions, respectivement l'application arbitraire du droit cantonal, son grief est irrecevable (cf. art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF).
6.
Enfin, en tant que la recourante se rapporte à ses recours cantonaux des 14 et 28 mai 2020, elle méconnaît que ces actes relèvent de la procédure qui ont conduit à l'arrêt cantonal du 23 juillet 2020, lequel fait l'objet de la cause 6B_--/2020, pendante devant le Tribunal fédéral. Ces aspects de son recours sont également irrecevables.
7.
Compte tenu de ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. L'assistance judiciaire doit être refusée (art. 64 al. 1 LTF). La recourante, qui succombe, supporte les frais judiciaires, qui seront fixés en tenant compte de sa situation financière qui n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Une partie des frais judiciaires, arrêtée à 1'200 fr., est mise à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 19 avril 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Musy