Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1962 geborene A._ arbeitete ab Februar 2006 beim Hilfswerk B._ und war bei der Pensionskasse Stadt Zürich (nachfolgend: PK Stadt Zürich) berufsvorsorgeversichert. In der Folge bezog A._ verschiedentlich Arbeitslosentaggelder. Während dieser Zeit war sie bei der Stiftung Auffangeinrichtung BVG (nachfolgend: Auffangeinrichtung) angeschlossen.
A.b. Im Januar 2010 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern sprach ihr vom 1. Januar bis 31. Juli 2011 eine ganze und ab 1. August 2011 eine halbe Invalidenrente zu (Verfügungen vom 16. Juli 2013).
A.c. Nachdem die PK Stadt Zürich die Ausrichtung von Invalidenleistungen abgelehnt hatte (Einspracheentscheid vom 30. August 2013), erbrachte die Auffangeinrichtung die gesetzlichen Vorleistungen (Schreiben vom 16. März 2015).
A.d. Am 6. September 2016 bestätigte die IV-Stelle die Ausrichtung der bisherigen halben Invalidenrente. Die Auffangeinrichtung bestritt wie bereits zuvor ihre Leistungspflicht und forderte die erbrachten Vorleistungen samt Zins von 5 % zurück. Mit Schreiben vom 8. Juni 2018 hielt die PK Stadt Zürich an ihrem Standpunkt fest.
B.
Am 18. September 2018 erhob die Auffangeinrichtung Klage und beantragte, die PK Stadt Zürich sei zu verpflichten, ihr Fr. 59'317.57 zu bezahlen, zuzüglich Zins von 2,75 % vom 20. März bis Ende 2015, von 2,25 % für 2016 und von 2 % für 2017 bis Datum der Klageeinreichung, zuzüglich Zins von 2 % seit 18. September 2018, Mehrforderung vorbehalten. Vorfrageweise sei festzustellen, dass die PK Stadt Zürich gegenüber ihrer ehemaligen Versicherten, A._, im Sinne von Art. 23 BVG leistungspflichtig sei.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die Klage mit Entscheid vom 6. Dezember 2019 insoweit gut, als es die PK Stadt Zürich verpflichtete, der Auffangeinrichtung die seit dem 20. März 2015 erbrachten Vorleistungen zurückzuerstatten. Hingegen lehnte das kantonale Gericht die Ausrichtung eines Verzugszinses sowie die Verzinsung der Vorleistung (Vergütungszins) ab.
C.
Die Auffangeinrichtung führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in teilweiser Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei die PK Stadt Zürich zu verpflichten, zusätzlich zu den zurückzuerstattenden Vorleistungen einen Zins von 2,75 % vom 20. März bis Ende 2015, von 2,25 % für 2016 und von 2 % für 2017 bis 18. September 2018, zuzüglich Zins von 2 % seit 18. September 2018 (Datum der Klageeinreichung) bis Rückerstattung der Vorleistung zu bezahlen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung des Rechtsbegehrens betreffend Verzinsung des Rückforderungsanspruches an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die PK Stadt Zürich schliesst auf Abweisung der Beschwerde. A._ und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Am 10. März 2020 reicht die Auffangeinrichtung eine weitere Eingabe ein.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
2.
Es steht fest, dass die Beschwerdegegnerin der Versicherten Invalidenleistungen auszurichten (vgl. Art. 23 BVG) und folglich die von der Beschwerdeführerin erbrachten Vorleistungen nach Art. 26 Abs. 4 Satz 2 BVG zurückzuerstatten hat.
Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie auf den vorgeleisteten Betrag keinen Zins gewährte.
2.1. Das kantonale Gericht hat diesbezüglich erwogen, Art. 26 Abs. 4 BVG enthalte keine Regelung. Ebenso wenig seien den dazugehörigen Materialien entsprechende Anhaltspunkte zu entnehmen. Damit beschränke sich der Umfang des Rückgriffs mangels anders lautender gesetzlicher Grundlage auf die erbrachten Vorleistungen. Ein Zins sei demzufolge ebenso wenig geschuldet wie gemäss <ref-ruling> ein Verzugszins.
2.2. Die Beschwerdeführerin bringt im Wesentlichen vor, die Vorleistungspflicht sei in Art. 26 Abs. 4 BVG unvollständig geregelt. Bei der Frage nach der Verzinsung der Rückgriffsforderung müsse daher von einer echten Gesetzeslücke ausgegangen werden. Aufgrund ihrer Funktion als Vorsorgeeinrichtung für arbeitslose Personen erbringe die Beschwerdeführerin besonders oft Vorleistungen. Diesfalls sei ihr die Möglichkeit einer gewinnbringenden Anlage im Umfang der Mittel entzogen, die sie für die Gewährung von Vorleistungen verwenden müsse. Würde von der Unverzinslichkeit der Vorleistung ausgegangen, so käme dies einer Bestrafung der vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung für die Erfüllung ihrer gesetzlichen Pflicht gleich. Umgekehrt profitiere die definitiv leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung, welche einen Anreiz habe, die Leistungsfälle ihrer Versicherten primär abzuweisen. Ein solches Vorgehen sei treuwidrig, widerspreche dem Schutzgedanken der Vorleistungspflicht und könne nicht die Absicht des Gesetzgebers gewesen sein. Ein Vergütungszins rechtfertige sich sodann, weil der vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung nach <ref-ruling> ein Regressanspruch gegen die definitiv leistungspflichtige zustehe. Zu diesem Regressanspruch gehöre ein Anspruch auf Schadens- bzw. Regresszins als Nebenleistung. Nachdem sich Art. 26 Abs. 4 BVG nicht zur Zinspflicht äussere, seien die bereicherungsrechtlichen Grundsätze nach <ref-law> analog anwendbar. Zur Bestimmung der Höhe des geschuldeten Vergütungszinses könne Art. 7 FZV herangezogen werden, womit der BVG-Mindestzinssatz plus ein Prozent angemessen erscheine.
3.
3.1. Art. 26 Abs. 4 BVG (in Kraft seit 1. Januar 2005) lautet wie folgt:
"4 Befindet sich der Versicherte beim Entstehen des Leistungsanspruchs nicht in der leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung, so ist jene Vorsorgeeinrichtung vorleistungspflichtig, der er zuletzt angehört hat. Steht die leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung fest, so kann die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung auf diese Rückgriff nehmen."
3.2. Zur hier interessierenden Frage, ob die letztlich leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung die Vorleistung zu verzinsen hat, kann - soweit der klassischen Auslegung folgend - dem blossen Wortlaut (auch in der französisch- und italienischsprachigen Version) nichts entnommen werden. Art. 26 Abs. 4 BVG wurde von beiden Räten gemäss Vorlage der Kommission kommentarlos angenommen (AB 2002 N 546; AB 2002 S 1045); ebenso wenig lässt sich aus der Entstehungsgeschichte eine direkte Antwort ableiten (dazu: MARC HÜRZELER, Zum Rückgriffsrecht der gemäss Art. 26 Abs. 4 BVG vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung im Invaliditätsfall [nachfolgend: Rückgriffsrecht], SZS 2006 S. 325 ff. sowie UELI KIESER, Vorleistungspflichten der Pensionskassen nach BVG und ATSG - Fragen und einige Antworten, in: Schaffhauser/Schlauri [Hrsg.], Die 1. BVG-Revision, 2005, S. 112 ff.). Dabei hat es nicht sein Bewenden, steht hier nämlich das Rechtsinstitut des Rückgriffs im Fokus.
4.
4.1. Verzugszins und der eigentliche Zins sind zu unterscheiden (vgl. zu den Zinsarten u.a. <ref-ruling> E. 5.2-5.4 S. 43-46; als weitere Kategorie ist zusätzlich der Schadenszins zu nennen [<ref-ruling> E. 9.1 S. 22]).
4.2. Art. 26 Abs. 4 BVG entbehrt einer bereicherungsrechtlichen Natur im Sinne von <ref-law>. Mit Blick auf seine (spezial) gesetzlich festgelegte (Vor-) Leistungsordnung resp. (Vor-) Leistungspflicht entfallen die entsprechenden Voraussetzungen (vgl. <ref-ruling> E. 5.1 S. 431 mit Hinweisen). Eine darauf basierende Zinsforderung ist deshalb zum Vornherein ausgeschlossen.
4.3.
4.3.1. Indessen verleiht Art. 26 Abs. 4 BVG der Vorsorgeeinrichtung, welche Vorleistungen erbracht hat, unmittelbar von Gesetzes wegen in diesem Umfang einen Regressanspruch gegen die letztlich leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung. Es bestehen keine Anhaltspunkte, dass der Begriff "Rückgriff" in Art. 26 Abs. 4 Satz 2 BVG eine andere Bedeutung haben sollte als sonst überall in der Rechtsordnung (<ref-ruling> E. 3.4 f. S. 138 f.; bestätigt in <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 21 f.).
4.3.2. Regress steht allgemein für Schadloshaltung im Sinne einer Ausgleich- und Korrekturfunktion (<ref-ruling> E. 3.4 S. 138; WALTER FELLMANN, Regress und Subrogation: Allgemeine Grundsätze, in: Alfred Koller (Hrsg.), Haftpflicht und Versicherungsrechtstagung 1999, S. 13). Dies bedeutet im Kontext von Art. 26 Abs. 4 Satz 2 BVG, dass die vorleistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung nach Ausübung ihres Regressrechts so gestellt sein soll, wie wenn sie nie eine Vorleistung bezahlt hätte (vgl. HÜRZELER, Rückgriffsrecht, S. 335 ["Schadenstragung"]). Sind vorleistende und definitiv leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung - wie hier - nicht identisch, so beläuft sich der Schaden der Ersteren auf sämtliches Kapital, das sie durch die Vorleistungspflicht nicht zur Verfügung hat, wohingegen die eigentlich leistungspflichtige Vorsorgeträgerin das entsprechende Guthaben in dieser Zeit gewinn- resp. zinsbringend anlegen kann (vgl. <ref-ruling> E. 9.1 S. 22). Dieser Zinsverlust der vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung ist auf dem Regressweg auszugleichen (DERSELBE, Intrasystemische Vorleistungspflichten in der beruflichen Vorsorge [nachfolgend: Intrasystemische Vorleistungspflichten], in: Schaffhauser/Kieser [Hrsg.], Das prekäre Leistungsverhältnis im Sozialversicherungsrecht, 2008, S. 163). Mit anderen Worten: zum Schaden gehört ein Schadens- oder Regresszins (GHISLAINE FRÉSARD-FELLAY, in: Kommentar zum Schweizerischen Sozialversicherungsrecht, BVG und FZG, 2. Aufl. 2019, N. 232 zu Art. 34b BVG; SYLVIA LÄUBLI ZIEGLER, Zeit ist Geld II - oder die Funktion der Zinsen im Haftpflichtrecht, in: HAVE 4/2005, S. 320). Dieser ist ab dem Zeitpunkt geschuldet, in welchem sich das schädigende Ereignis finanziell ausgewirkt hat, und endet am Tag der Zahlung des Schadenersatzes resp. der Rückzahlung der Vorleistung (<ref-ruling> E. 4 S. 599; <ref-ruling> E. 4a S. 54; vgl. auch Urteil 4A_301/2016 vom 15. Dezember 2016 E. 10.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
4.3.3. Abgesehen davon liegt eine zu Art. 50 f. OR ähnliche Situation vor. So hat Art. 26 Abs. 4 Satz 2 BVG vergleichbar die Auflösung des Innenverhältnisses zwischen zwei oder mehreren Vorsorgeeinrichtungen als Schuldnerinnen zum Gegenstand, welche im Aussenverhältnis mit der versicherten Person als Gläubigerin durch Anspruchskonkurrenz verbunden sind. Anspruchskonkurrenz besteht allgemein, wenn die geschädigte Person einen Leistungsanspruch gegenüber mehreren Ersatzpflichtigen hat (Schuldnermehrheit), wobei die verschiedenen Leistungen in sachlicher, ereignisbezogener, personeller sowie zeitlicher Hinsicht kongruent sein müssen. Davon ist in concreto ohne Weiteres auszugehen, geht es doch um den Anspruch ein und derselben Person auf Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge in der gleichen Zeitperiode (vgl. Art. 23 BVG). Nachdem die versicherte Person die vorleistungspflichtige Trägerin gemäss Art. 26 Abs. 4 BVG ins Recht gefasst hat, erlischt ihr Anspruch im Umfang der Vorleistung gegenüber der effektiv leistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung (Anspruchskonkurrenz). Gleichzeitig erlangt die vorleistungspflichtige Einrichtung einen Regressanspruch, den sie, wie erwähnt (vgl. E. 4.3.1), direkt gegen die definitiv leistungspflichtige Vorsorgeeinrichtung durchsetzen kann (HÜRZELER, Intrasystemische Vorleistungspflichten, S. 159; DERSELBE, Rückgriffsrecht, S. 332 f.). Der Anspruch entsteht im Moment der (Vor-) Leistung der regressierenden Vorsorgeeinrichtung an die versicherte Person und wird ab dann auch fällig (<ref-ruling> E. 5.3.3 S. 25; Urteil 4A_656/2011 vom 12. März 2012 E. 4.2). Gleichzeitig fällt Regress- resp. Schadenszins zu Gunsten der vorleistungspflichtigen Vorsorgeeinrichtung an (CHRISTOPH K. GRABER, in: Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 7. Aufl. 2020, N. 11 zu <ref-law>).
4.4. Eine Zinspflicht ist demnach angesichts der gesetzlichen Konzeption zu bejahen. Nachdem die Verzugszinsfrage bereits negativ beantwortet ist (<ref-ruling>), steht der Umsetzung nichts im Wege (zum Verbot von Zinseszinsen bzw. Schadenszins und Verzugszins vgl. <ref-ruling> E. 9.3 S. 23).
5.
Zu klären bleibt die Höhe der Verzinsung. Diesbezüglich erweist es sich als sachgerecht, vom BVG-Mindestzinssatz (Art. 15 Abs. 2 BVG in Verbindung mit Art. 12 der Verordnung über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [BVV 2; SR 831.441.1]) auszugehen, da von der Vorleistungspflicht einzig die obligatorischen Leistungen der beruflichen Vorsorge betroffen sind (KIESER, a.a.O., S. 121; HÜRZELER, Intrasystemische Vorleistungen, S. 163). Mit dem Vermögensertrag müssen jedoch weitergehende Aufwendungen als nur die Verzinsung des Kapitals gedeckt werden. Daher erscheint der von der Beschwerdeführerin verlangte Zuschlag von einem Prozent ebenfalls sachdienlich (vgl. auch Art. 7 der Verordnung über die Freizügigkeit in der beruflichen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [FZV; SR 831.425]). Eine zeitlich ausgedehntere oder höhere Verzinsung fällt mit Blick auf die Bindung des Bundesgerichts an die Anträge der Parteien ohnehin ausser Betracht (<ref-law>). Insgesamt resultiert unbestritten ein Zins von 2,75 % vom 20. März bis Ende 2015, von 2,25 % für 2016 und von 2 % für 2017 bis 18. September 2018, zuzüglich Zins von 2 % seit 18. September 2018 bis Rückerstattung der Vorleistung.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde begründet.
7.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauter Organisation ist der Beschwerdeführerin keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und Dispositiv-Ziffer 1 des Entscheides des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 6. Dezember 2019 wie folgt abgeändert:
"In Gutheissung der Klage vom 18. September 2018 wird die Beklagte verpflichtet, der Klägerin die seit dem 20. März 2015 an die Beigeladene erbrachten Vorleistungen zurückzuerstatten, samt Zins zu 2,75 % vom 20. März bis Ende 2015, von 2,25 % für 2016 und von 2 % für 2017 bis 18. September 2018, zuzüglich Zins von 2 % seit 18. September 2018 bis Rückerstattung der Vorleistung."
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6000.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, A._, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Januar 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder