Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1976) ist türkischer Staatsangehöriger. Er kam am 18. Oktober 1991 als Fünfzehnjähriger im Rahmen eines Familiennachzugs in die Schweiz. Von 1993 bis 2005 arbeitete er temporär als Hilfsarbeiter, Dachdecker sowie Lager- und Betriebsmitarbeiter; dabei handelte es sich zum Teil um vom Regionalen Arbeitsvermittlungszentrum (RAV) organisierte Einsätze in Betrieben einer sozialen Institution (2. Arbeitsmarkt). A._ wurde wiederholt straffällig. Seit 2005 lebt er von der Sozialhilfe. Das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt ermahnte und verwarnte A._ wiederholt und erneuerte seine Bewilligung teilweise nur provisorisch.
B.
Am 7. August 2009 weigerte sich das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern; wegen dessen damaligen gesundheitlichen Problemen kam es am 17. Dezember 2010 hierauf zurück. Da A._ weiterhin von der Sozialhilfe abhängig blieb, sich zusätzlich verschuldete und wiederum straffällig wurde, lehnte das Migrationsamt am 9. August 2016 ein weiteres Gesuch von A._ ab, seine Bewilligung zu erneuern. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg (Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements vom 27. September 2019 und Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt [als Verwaltungsgericht] vom 24. Mai 2020).
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht) aufzuheben. Das Migrationsamt sei anzuweisen, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gegebenenfalls sei die Sache zur Ergänzung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. Im Falle des Unterliegens sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. A._ macht geltend, die aufenthaltsbeendende Massnahme sei unverhältnismässig und eine Rückkehr in die Türkei unzumutbar.
Das Appellationsgericht (als Verwaltungsgericht) und das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich nicht vernehmen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheid ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 50 AuG («Auflösung der Familiengemeinschaft»; seit 1. Januar 2019: AIG). Zu Unrecht: Er legt weder in vertretbarer Weise dar (vgl. <ref-ruling> E. 1), inwiefern er gestützt auf diese Bestimmung einen Bewilligungsanspruch hätte, noch setzt er sich in der Beschwerdeschrift materiell mit einer Anwendung dieser Bestimmung auseinander.
1.2. Der Beschwerdeführer kann jedoch - im Hinblick auf die Dauer seiner Anwesenheit in der Schweiz - in vertretbarer Weise geltend machen, die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung verletze sein Recht auf Achtung des Privatlebens (Art. 8 EMRK und <ref-law>; <ref-ruling> ff.; vgl. auch das Urteil 2C_668/2018 vom 28. Februar 2020 E. 2). Ob die Bewilligung unter diesem Titel zu Recht nicht verlängert wurde, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung und nicht des Eintretens (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1 S. 179 f.; Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 1). Da alle übrigen Prozessvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (vgl. Art. 42, Art. 82 lit. a i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>); es prüft jedoch unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) nur die vorgebrachten Rügen, falls weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.5 S. 144). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.5 S. 314). Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254).
2.2. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung und die Sachverhaltsfeststellung klarerweise unhaltbar sein sollen, muss in der Beschwerdeschrift detailliert aufgezeigt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.). Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn sie offensichtlich unhaltbar oder aktenwidrig ist, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; Urteile 2C_1072/2014 vom 9. Juli 2015 E. 1.4 und 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2).
2.3. Der Beschwerdeführer beanstandet das angefochtene Urteil teilweise nur appellatorisch, d.h. er wiederholt seine Sicht der Dinge und stellt diese derjenigen der Vorinstanz gegenüber, ohne sich in gezielter Auseinandersetzung mit deren für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form sachbezogen auseinanderzusetzen; er legt nur punktuell dar, inwiefern das Appellationsgericht die Beweise in Verletzung von <ref-law> (Willkür) gewürdigt oder den Sachverhalt offensichtlich fehlerhaft festgestellt hat. Zur Beschwerdebegründung im bundesgerichtlichen Verfahren genügt eine rein appellatorische Kritik nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/ Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law>). Das Bundesgericht behandelt im Folgenden bloss jene Vorbringen, welche der Beschwerdeführer den gesetzlichen Anforderungen entsprechend begründet.
3.
3.1. Gemäss Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG kann die zuständige Behörde die Bewilligung widerrufen bzw. eine Verlängerung verweigern, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist. Der Beschwerdeführer wird seit Februar 2005 von der Sozialhilfe unterstützt. Der von ihm bezogene Betrag beläuft sich auf Fr. 425'764.80 (Stand: 12. Juni 2019) bzw. Fr. 444'960.90 (Stand 2. Januar 2020). Der Widerrufsgrund ist somit erfüllt, was der Beschwerdeführer auch nicht ernsthaft infrage stellt (vgl. zum Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG: die Urteile 2C_709/2019 vom 17. Januar 2020 E. 4 ff.; 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2 und 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.1). Eine Verbesserung der Situation ist nicht in Sicht: Der Beschwerdeführer hat seit 2005 auf dem 1. Arbeitsmarkt nie Fuss fassen können; dies obwohl ihm die kantonalen Behörden wiederholt Chancen hierzu geboten haben. Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass er sich in absehbarer Zeit von der Unterstützung durch die öffentliche Hand wird lösen können.
3.2. Liegt - wie hier - der Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG vor, ist zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme auch verhältnismässig ist (vgl. <ref-law>; Art. 8 Ziff. 2 EMRK; vgl. auch Art. 96 Abs. 1 AuG). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sind dabei namentlich die Schwere des Verschuldens an der Sozialhilfeabhängigkeit, der Grad der Integration und die Dauer der bisherigen Anwesenheit sowie die der betroffenen Person und ihrer Familie drohenden Nachteile zu berücksichtigen. Zu beachten ist zudem die Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen sowohl im Gastland als auch im Heimatstaat (vgl. Urteile 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.3; 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.2; 2C_1085/2015 vom 23. Mai 2016 E. 4.4).
4.
Wenn die Vorinstanz davon ausgeht, dass die Sozialabhängigkeit des Beschwerdeführers weitgehend selbstverschuldet sei, erweist sich die dieser Einschätzung zugrunde liegende Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung nicht als offensichtlich unhaltbar (vgl. die vorstehende E. 2.2). Im Gegenteil:
4.1. Die IV-Stelle Basel-Stadt hat am 1. März 2017 das Leistungsbegehren des Beschwerdeführers abgewiesen; sie begründete dies damit, dass gemäss fachärztlicher Beurteilung «kein Gesundheitsschaden mit Auswirkungen auf die Erwerbsfähigkeit» bestehe. Aufgrund der medizinischen Unterlagen sei von einer vollumfänglichen Zumutbarkeit in jeglichen Tätigkeiten auszugehen. Eine Invalidität liege nicht vor. Es bestehe deshalb kein Anspruch auf Leistungen der Invalidenversicherung (inklusive Arbeitsvermittlung). Die entsprechende Verfügung ist unangefochten in Rechtskraft erwachsen. Die am 20. August 2019 geltend gemachte Arbeitsunfähigkeit und die damit verbundenen psychischen Krisen sind ärztlich nicht belegt. Die behandelnden Psychiater gingen in ihren Berichten vom 2. Dezember 2009 bzw. 18. Januar 2016 - trotz der Diagnose eines chronisch depressiven Syndroms mit soziophober Begleitsymptomatik sowie manifester Suizidalität - nicht davon aus, dass der Beschwerdeführer arbeitsunfähig und seine Integration auf dem 1. Arbeitsmarkt ausgeschlossen wäre. Ob der Beschwerdeführer sich weiter in ärztlicher Behandlung befindet, ist nicht ersichtlich; auf jeden Fall geht auch er davon aus, dass zum Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids keine konkrete Suizidgefährdung bestand; die Depression kann auch in der Türkei behandelt werden.
4.2.
4.2.1. Der Beschwerdeführer war wiederholt auf dem 2. Arbeitsmarkt tätig, wobei es aber zu Unterbrüchen kam, da er einen Kollegen bedroht bzw. er sich aggressiv verhalten haben soll. Auch wenn er keine berufliche Ausbildung abgeschlossen hat, wäre es ihm - mit gutem Willen - möglich gewesen, eine Stelle auf dem 1. Arbeitsmarkt - anfänglich allenfalls auch in einer Tieflohnbranche - zu finden; seine Leistungen auf dem 2. Arbeitsmarkt wurden nicht nur negativ bewertet, wie er zu Recht einwendet; dies hätte es ihm aber gerade erlauben müssen, sich erfolgreich um eine Erwerbstätigkeit auf dem 1. Arbeitsmarkt zu bemühen. Dass ihm der Wechsel während 15 Jahren nicht möglich gewesen sein soll, ist nicht nachvollziehbar. Die Sozialhilfe Basel-Stadt erklärte im Oktober 2014, dass der Beschwerdeführer keine ernsthaften Arbeitsbemühungen unternehme und seine Mitwirkung bei der Sozialhilfe ungenügend sei. Trotz seiner Erklärung gesundheitlich schwer angeschlagen zu sein, bemühte der Beschwerdeführer sich nur um ärztliche Betreuung, wenn er im Bewilligungsverfahren jeweils behördlich angehalten wurde, über seine gesundheitlichen Schwierigkeiten und deren Behandlung Auskunft zu geben.
4.2.2. Auf die Aufforderung hin, seine Arbeitssuche zu belegen, reichte der Beschwerdeführer gerade einmal fünf nicht unterzeichnete Bewerbungsschreiben ein; dies obwohl er geltend gemacht hatte, «hunderte» von Bewerbungen geschrieben zu haben. Absagen von potentiellen Arbeitgebern brachte er ebenfalls nicht bei. Der zuständige Personalberater erklärte, dass der Beschwerdeführer aufgrund seines jungen Alters und seiner guten Deutschkenntnisse jederzeit eine Anstellung als Lagermitarbeiter finden würde, doch fehle es ihm am entsprechenden Interesse. Unter diesen Umständen durfte die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht zum Schluss kommen, dass die Bemühungen des Beschwerdeführers, Arbeit zu finden, ungenügend gewesen sind und die langjährige Sozialhilfeabhängigkeit damit als selbstverschuldet zu gelten hat, auch wenn teilweise - wie der Beschwerdeführer einwendet - davon die Rede war, dass es für ihn schwierig sein würde, in einem normalen Rahmen einer Arbeit nachzugehen. Weshalb es widersprüchlich sein soll, wenn die Vorinstanz einerseits davon ausgegangen ist, dass er sich ungenügend psychiatrisch habe betreuen lassen, weshalb er sich nicht von der Sozialhilfe habe lösen können, und er sich andererseits ungenügend um eine Stelle auf dem 1. Arbeitsmarkt bemüht habe, ist entgegen der Kritik des Beschwerdeführers nicht ersichtlich.
4.3. Die Bundesgericht teilt die Ansicht der Vorinstanz, dass der Beschwerdeführer in der Schweiz - obwohl er gut Deutsch spricht - nur als unterdurchschnittlich integriert gelten kann: Obwohl der Beschwerdeführer Sozialhilfegelder bezog, verschuldete er sich weiter. Es bestehen gegen ihn - soweit ersichtlich - heute 29 Verlustscheine über Fr. 47'689.65. Seit der Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung war es trotz der Sozialhilfegelder zu weiteren Betreibungen gekommen. Der Beschwerdeführer machte sich schliesslich hier auch wiederholt strafbar: Am 16. März 1999 verurteilte das Strafgericht Basel-Stadt ihn wegen Raubes zu einer bedingten Freiheitsstrafe von sechs Monaten; das Strafgericht Basel-Landschaft sprach ihn am 1. Juni 2005 des Diebstahls für schuldig und verurteilte ihn zu einer bedingten Freiheitsstrafe von zwölf Monaten. Wegen Missbrauchs einer Fernmeldeanlage (mutwillige telefonische Belästigung einer Ex-Freundin Tag und Nacht) wurde der Beschwerdeführer am 8. Oktober 2013 zu einer Busse von Fr. 300.-- und am 18. September 2014 wegen eines Vergehens gegen das Waffengesetz (Besitz eines Stellmessers) zu einer bedingten Geldstrafe und einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt.
4.4.
4.4.1. Fraglich bleibt die Zumutbarkeit der Rückkehr in die Türkei, nachdem der Beschwerdeführer sich bis zum angefochtenen Entscheid nun schon seit 28 Jahren in der Schweiz aufhält. Dieser lange Zeitraum fällt zu seinen Gunsten ins Gewicht, ist aber insofern zu relativieren, als die kantonalen Behörden ihm über Jahre hinweg verschiedene Chancen geben wollten, sich hier persönlich, beruflich und sozial doch noch zu integrieren. Sie haben mit der Nichtverlängerung der Bewilligung zugewartet, bis klar erschien, dass der Beschwerdeführer sämtliche Hilfestellungen, Mahnungen und Verwarnungen nicht nutzen wollte oder konnte, um sich eines Besseren zu besinnen und eine Erwerbstätigkeit auf dem 1. Arbeitsmarkt zu suchen.
4.4.2. Der Beschwerdeführer kam erst im Alter von 15 Jahren in die Schweiz. Er hat somit die prägenden Kinder- und Jugendjahre in seiner Heimat verbracht. Auch wenn er seit seiner Einreise in die Schweiz nie mehr in der Türkei gewesen sein will, spricht er doch - nach eigenen Angaben - Türkisch als Muttersprache. Trotz seiner langen Anwesenheit in der Schweiz dürfte er mit der heimatlichen Kultur und den entsprechenden Gebräuchen nach wie vor vertraut sein, ist doch erfahrungsgemäss davon auszugehen, dass in der Familie die türkische Kultur weiter gepflegt und nicht von einem Tag auf den anderen durch die hiesige ersetzt wurde. Die Rückkehr dürfte dem Beschwerdeführer sicher nicht leicht fallen; im Hinblick auf sein Alter, die hier gemachten Erfahrungen auf dem 2. Arbeitsmarkt und die guten Deutschkenntnisse wird es ihm aber möglich sein, in der Heimat ein Auskommen zu finden. Eine allfällige IV-Rente von mindestens 50 % würde ihm gegebenenfalls auch in der Heimat ausbezahlt, womit für seinen Lebensunterhalt kaufkraftbereinigt gesorgt wäre (vgl. Art. 10 Abs. 1 und 2 des Abkommens zwischen der Schweiz und der Republik Türkei über soziale Sicherheit [SR 0.831.109.763.1]; vgl. das Urteil 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 5.3.1).
4.4.3. Der Beschwerdeführer verfügt in der Heimat noch über eine Tante; auch wenn er mit dieser keine Kontakte mehr gepflegt haben will, ist es ihm zumutbar, solche wieder aufzunehmen. Die Beziehungen zu seinen in der Schweiz lebenden Familienangehörigen wird er besuchsweise und über die neuen Kommunikationsmittel aufrecht erhalten können. Seine Angehörigen können ihm ihrerseits von der Schweiz aus helfen, sich in der Heimat wieder zurechtzufinden und dort Fuss zu fassen. Sollte eine psychologische Behandlung erforderlich erscheinen, ist eine solche - wie der Beschwerdeführer inzwischen einräumt - auch in der Türkei möglich (vgl. das Urteil 2C_573/2014 vom 4. Dezember 2014 E. 4.2.2).
5.
5.1. Die Beweiswürdigung der Vorinstanz, wonach der Beschwerdeführer in relevanter Weise sozialhilfeabhängig geworden ist und keine konkreten Anzeichen auszumachen sind, welche kurz- oder mittelfristig zu einer Änderung der Situation führen könnten, ist nicht offensichtlich unhaltbar und der Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG damit erfüllt. Die Vorinstanz durfte ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, es bestehe mit der vorwerfbaren, jahrelangen Sozialhilfeabhängigkeit im Hinblick auf die öffentlichen Finanzen ein relevantes - vom EGMR anerkanntes - öffentliches Interesse daran, dass er das Land verlässt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 339; Urteile 2C_9/2020 vom 29. Juni 2020 E. 5.3.2 und 2C_870/2018 vom 13. Mai 2019 E. 5.3.5; Urteil des EGMR Hasanbasic gegen Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 sowie Palanci gegen Schweiz vom 25. März 2014 [Nr. 2607/08] § 58). Die aufenthaltsbeendende Massnahme dient dazu, weitere Belastungen der Sozialhilfe zu verhindern (vgl. Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 2.3), nachdem sämtliche Bemühungen der Behörden den Beschwerdeführer nicht dazu veranlassen konnten, sich um eine Erwerbstätigkeit auf dem 1. Arbeitsmarkt zu bemühen. Die Kritik des Beschwerdeführers, dass das Migrationsamt ihm in Kenntnis seiner finanziellen Lage während Jahren seine Bewilligung jeweils verlängert habe, weshalb die angefochtene Nichtverlängerung heute widersprüchlich erscheine, überzeugt nicht: Die kantonalen Behörden haben den Beschwerdeführer wiederholt auf die Problematik seiner Sozialhilfeabhängigkeit und die Anforderungen an seine Integrationsbemühungen hingewiesen; sie gaben ihm dementsprechend mehrmals Gelegenheit, sich doch noch zu integrieren. Dies kann ihnen heute nicht zum Vorwurf gemacht werden.
5.2. Die aufenthaltsbeendende Massnahme ist - nach den wiederholten Ermahnungen und Verwarnungen durch die Basler Behörden - verhältnismässig. Aufgrund des langandauernden selbstverschuldeten Sozialhilfebezugs, den bestehenden Schulden und der strafrechtlichen Vorkommnisse überwiegt das öffentliche Interesse daran, dass der ledige Beschwerdeführer, der nicht geltend macht, hier über eine Kernfamilie zu verfügen, die Schweiz verlässt, das private Interesse, hier verbleiben und die Lebenshaltungskosten - zumindest teilweise - durch die öffentliche Hand bestreiten lassen zu können.
6.
6.1. Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist deshalb abzuweisen; ergänzend wird auf die zutreffenden Darlegungen im angefochtenen Urteil des Appellationsgerichts (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt verwiesen. Eine Rückweisung an die Vorinstanz rechtfertigt sich nicht.
6.2. Der Beschwerdeführer ersucht, ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren. Das Gesuch ist abzuweisen: Gestützt auf die Begründung im Entscheid der Justiz- und Sicherheitsdirektion sowie jene im Urteil des Appellationsgerichts (als Verwaltungsgericht) des Kantons Basel-Stadt hatte die vorliegende Beschwerde keine ernsthaften Aussichten auf Erfolg (vgl. <ref-law>). Der Beschwerdeführer wird dementsprechend kostenpflichtig. Bei der Festlegung der Gerichtsgebühr wird dem Umstand Rechnung getragen, dass das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht vorweg beurteilt worden ist, was es dem Beschwerdeführer allenfalls noch erlaubt hätte, seine Beschwerde zurückzuziehen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
2.2. Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt (als Verwaltungsgericht), Dreiergericht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar