Sachverhalt:
A.
Im Rahmen der Gemeindeversammlung der Einwohnergemeinde der Stadt Solothurn (nachfolgend: Stadt Solothurn) vom 18. August 2020 war unter anderem die Beschlussfassung über die Jahresrechnung 2019 der Stadt Solothurn traktandiert. Im Vorfeld der Gemeindeversammlung hatte die Rechnungsprüfungskommission (RPK) in ihrem Bestätigungsbericht vom 2. April 2020 die Genehmigung der Jahresrechnung 2019 der Stadt Solothurn beantragt, jedoch zwei Vorbehalte zur Bilanzierung der Beteiligung an der B._ AG sowie der Beteiligung an dem selbständigen öffentlich-rechtlichen Unternehmen C._ angebracht.
Im Rahmen der Diskussion der Jahresrechnung 2019 beantragte A._ in seiner Funktion als Präsident der RPK und in deren Namen, die Bilanzierung der Beteiligungen der Stadt Solothurn an der B._ AG und an der C._ sei gemäss den Empfehlungen der RPK in ihrem Bestätigungsbericht vom 2. April 2020 vorzunehmen. Der Antrag wurde von der Gemeindeversammlung mit 214 zu 9 Stimmen bei 16 Enthaltungen abgelehnt. Die Jahresrechnung 2019 der Stadt Solothurn wurde in der Folge von den Stimmberechtigten zur Kenntnis genommen und genehmigt.
B.
Mit Eingabe vom 26. August 2020 erhob A._ beim Regierungsrat des Kantons Solothurn Beschwerde gegen den Beschluss der Gemeindeversammlung der Stadt Solothurn vom 18. August 2020 und verlangte sinngemäss, die Bilanzierung der Jahresrechnung der Stadt Solothurn sei entsprechend dem anlässlich der Gemeindeversammlung abgelehnten Antrag betreffend die Bilanzierung der Beteiligungen an der B._ AG und der C._ vorzunehmen. Mit Beschluss vom 27. April 2021 wies der Regierungsrat die Beschwerde ab, soweit er darauf eintrat.
Auf die von A._ am 10. Mai 2021 gegen den Regierungsratsbeschluss vom 27. April 2021 erhobene Beschwerde trat das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn mit Urteil vom 17. August 2021 nicht ein. Es erwog im Wesentlichen, A._ habe die Beschwerde im allgemeinen öffentlichen Interesse erhoben. Er erachte die Ablehnung seines Antrags betreffend die Bilanzierung der Beteiligungen der Stadt Solothurn an der B._ AG und an der C._ durch die Stimmberechtigten als unrechtmässig. Es sei aber nicht ersichtlich, dass A._ durch den Beschluss der Gemeindeversammlung vom 18. August 2020 gegenüber einer beliebigen Einwohnerin oder einem beliebigen Einwohner der Stadt Solothurn übermässig betroffen sei. Die Gutheissung der Beschwerde wäre somit nicht geeignet, die Situation von A._ als Privatperson in relevanter Weise zu beeinflussen. Es handle sich damit um eine Popularbeschwerde, welche im Verfahren vor Verwaltungsgericht nicht zulässig sei.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. September 2021 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt sinngemäss die Aufhebung des Urteils vom 17. August 2021. Das Verwaltungsgericht sei zu verpflichten, die materielle Beurteilung seiner Beschwerde vom 10. Mai 2021 vorzunehmen.
Die Vorinstanz beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten werde. Die Stadt Solothurn verlangt die Abweisung der Beschwerde, während der Regierungsrat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
Die frist- (<ref-law>) und formgerecht (<ref-law>) eingereichte Eingabe betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (<ref-law>) und richtet sich gegen einen kantonal letztinstanzlichen (<ref-law>), verfahrensabschliessenden (<ref-law>) Nichteintretensentscheid eines oberen Gerichts (<ref-law>). Das Rechtsmittel ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig, da kein Ausschlussgrund vorliegt (<ref-law>). Der Beschwerdeführer ist bereits im vorinstanzlichen Verfahren als Partei beteiligt gewesen und durch den angefochtenen Nichteintretensentscheid besonders berührt (<ref-law>). Wird ein Nichteintretensentscheid angefochten, beschränkt sich der Streitgegenstand des (bundesgerichtlichen) Rechtsmittelverfahrens grundsätzlich auf die Eintretensfrage (vgl. Urteile 2C_887/2017 vom 23. März 2021 E. 3; 2C_1036/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 2.2; 1C_227/2018 vom 25. Januar 2019 E. 1.1). An der Beantwortung der Eintretensfrage hat der Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse (<ref-law>). Er ist somit zur Erhebung des Rechtsmittels legitimiert. Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.
Mit der Beschwerde kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), wobei es - unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (<ref-law>) - grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen prüft, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 1.4.1). Der Verletzung von Grundrechten und kantonalem Recht geht das Bundesgericht nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2; <ref-ruling> E. 2.2). Die Anwendung des kantonalen Rechts wird sodann vom Bundesgericht namentlich daraufhin geprüft, ob dadurch Bundesrecht - mitunter das Willkürverbot - verletzt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2). Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
3.
Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist die Frage, ob der Nichteintretensentscheid der Vorinstanz vom 17. August 2021 rechtmässig erging oder die Vorinstanz auf das Rechtsmittel des Beschwerdeführers vom 10. Mai 2021 hätte eintreten müssen.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt in tatsächlicher Hinsicht vor, ein von der siebenköpfigen RPK in Auftrag gegebener externer Prüfungsbericht vom 21. April 2017 bestätige die Auffassung aller Mitglieder der RPK, dass die Stadt Solothurn die beiden Beteiligungen gesetzeswidrig bilanziere. Die RPK habe deshalb die Jahresrechnung 2019 bloss mit Vorbehalt zur Abnahme empfohlen. Nach Auffassung des Beschwerdeführers hat er als stimmberechtigter Einwohner der Stadt Solothurn und als Präsident der RPK ein besonderes Interesse an der Klärung der Gesetzeskonformität der Bilanzierung. Als Mitglied der RPK sei er dazu angehalten, die Rechnungslegung der Stadt Solothurn auf deren Gesetzeskonformität zu prüfen. Er sei häufig an Fraktionssitzungen eingeladen, um dort Auskunft über die Rechnungsprüfung zu geben. Eine gesetzeswidrige Jahresrechnung stelle seine (persönliche) Glaubwürdigkeit und Integrität infrage. Er habe daher ein schutzwürdiges Interesse an der Beurteilung der Gesetzeskonformität der beiden Bilanzierungen in der Jahresrechnung 2019.
3.2. Nach Auffassung der Vorinstanz ist einzig die materielle Rechtmässigkeit des Beschlusses der Gemeindeversammlung der Stadt Solothurn vom 18. August 2020 mit Blick auf die Bilanzierung der beiden Beteiligungen Streitgegenstand. Der Beschwerdeführer mache keine Verletzung der politischen Rechte - wie die Einladung, die Traktandierung, das Abstimmungsverfahren, die Auszählung oder die Protokollierung - geltend. Entsprechend liege keine Stimmrechtsbeschwerde im Sinne von <ref-law> vor, weshalb lediglich eine Legitimation aufgrund des allgemeinen Beschwerderechts in Betracht falle (vgl. E. 2.3 des angefochtenen Urteils).
Die Vorinstanz erwägt zum allgemeinen Beschwerderecht, gemäss § 12 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 15. November 1970 über den Rechtsschutz in Verwaltungssachen (Verwaltungsrechtspflegegesetz, VRG/SO; BGS 124.11) sei zur Verwaltungs- und Verwaltungsgerichtsbeschwerde legitimiert, wer durch eine Verfügung oder einen Entscheid besonders berührt werde und ein schutzwürdiges Interesse an deren Aufhebung oder Änderung habe. Der Beschwerdeführer erhebe die Verwaltungsgerichtsbeschwerde im öffentlichen Interesse. Es sei aber nicht ersichtlich, dass er durch den Beschluss der Gemeindeversammlung vom 18. August 2020 gegenüber einer beliebigen Einwohnerin oder einem beliebigen Einwohner der Stadt Solothurn übermässig betroffen sei. Die Gutheissung der Beschwerde wäre nicht geeignet, die Situation des Beschwerdeführers zu beeinflussen. Er sei daher nicht zur Beschwerde legitimiert (vgl. E. 2.4 des angefochtenen Urteils).
Der Umstand, so die Vorinstanz abschliessend, dass der Regierungsrat die Beschwerde demgegenüber materiell behandelt habe, ändere an der Beschwerdelegitimation des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren nichts. Bei der Beschwerde an den Regierungsrat gegen Beschlüsse der Gemeindeversammlung oder Urnenbeschlüsse genüge für die Legitimation, in der betreffenden Gemeinde stimmberechtigt zu sein. Jedoch habe der kantonale Gesetzgeber darauf verzichtet, diese gelockerten Legitimationsvoraussetzungen auch im verwaltungsgerichtlichen Verfahren für anwendbar zu erklären. Vielmehr schliesse die kantonale Verfahrensordnung die Verwaltungsgerichtsbeschwerde in den Fällen aus, in denen sie allein im öffentlichen Interesse - als Popularbeschwerde - erhoben werde (vgl. E. 2.5 des angefochtenen Urteils). Mangels Beschwerdelegitimation sei auf die Beschwerde des Beschwerdeführers nicht einzutreten (vgl. E. 3.1 des angefochtenen Urteils).
3.3. Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens im Sinne von <ref-law> dürfen das kantonale Recht und die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde legitimiert, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid oder Erlass besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Ob das kantonale Recht diese Mindestanforderungen einhält, ist als Frage des Bundesrechts im Sinne von <ref-law> vom Bundesgericht frei zu prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 6.1).
Die Beschwerdebefugnis gemäss <ref-law> soll die Popularbeschwerde ausschliessen und den Charakter des allgemeinen Beschwerderechts als Instrument des Individualrechtsschutzes unterstreichen. Die beschwerdeführende Person muss durch den angefochtenen Entscheid daher stärker als ein beliebiger Dritter betroffen sein und in einer besonderen, beachtenswerten, nahen Beziehung zur Streitsache stehen. Neben der spezifischen Beziehungsnähe zur Streitsache muss sie einen praktischen Nutzen aus einer allfälligen Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids ziehen - d.h. ihre Situation muss durch den Ausgang des Verfahrens in relevanter Weise beeinflusst werden können. Das schutzwürdige Interesse besteht darin, einen materiellen oder ideellen Nachteil zu vermeiden, den der angefochtene Entscheid mit sich bringen würde (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.1; <ref-ruling> E. 3.4.1). Eine unzulässige Popularbeschwerde liegt dagegen vor, wenn einzig das allgemeine öffentliche Interesse an der richtigen Anwendung des Rechts verfolgt wird, ohne dass der beschwerdeführenden Person im Falle ihres Obsiegens ein Vorteil erwächst (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 i.f.; <ref-ruling> E. 2.2.3).
3.4. Nach der Vorgabe von <ref-law> ist im Folgenden zu prüfen, ob die Vorinstanz die Beschwerdebefugnis für das verwaltungsgerichtliche Verfahren zu eng gefasst hat.
3.4.1. Die Vorinstanz erwägt, der Beschwerdeführer habe vorliegend keine Stimmrechtsbeschwerde im Sinne von <ref-law> erhoben, womit die Beschwerdelegitimation nach <ref-law> nicht zum Zuge käme (vgl. E. 2.3 des angefochtenen Urteils). Diese Erwägung bestreitet der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht. Der vorinstanzlichen Auffassung ist zu folgen: In der vorliegenden Angelegenheit ist die materielle Gesetzmässigkeit der Bilanzierung der beiden Beteiligungen umstritten, nicht aber die Ausübung eines politischen Rechts. Die blosse Stimmberechtigung als Grundlage für die Beschwerdelegitimation (vgl. <ref-ruling> E. 1.2) ist daher nicht ausreichend. Daher hat der Beschwerdeführer die Voraussetzungen des allgemeinen Beschwerderechts zu erfüllen. Nach den vorinstanzlichen Erwägungen decke sich der Zugang an das kantonale Verwaltungsgericht im Hinblick auf die Beschwerdelegitimation mit der Regelung von <ref-law> (vgl. E. 2.1 des angefochtenen Urteils [§ 12 Abs. 1 VRG/SO "ist weitgehend parallel zu <ref-law> auszulegen"]; vgl. auch E. 3.2 hiervor). Ob der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren ein schutzwürdiges Interesse im Sinne von <ref-law> an der Beschwerdeführung hat, beurteilt sich - da die Stimmberechtigung als Einwohner der Stadt Solothurn hierfür nicht ausreicht - massgeblich anhand der Rolle der RPK, bei der der Beschwerdeführer als Präsident amtet.
3.4.2. Gemäss § 54 Abs. 1 lit. b des Gemeindegesetzes des Kantons Solothurn vom 16. Februar 1992 (GG/SO; BGS 131.1) wählen in den Gemeinden die Stimmberechtigten an der Urne die Mitglieder der RPK (vgl. auch § 89 Abs. 1 lit. c GG/SO; § 103 GG/SO). Die RPK überwacht während des Rechnungsjahrs den Finanzhaushalt, wobei sie dem Gemeinderat Bericht erstattet und ihm Anträge unterbreitet, wie allfällige Mängel zu beheben sind (vgl. § 155 GG/SO). Gemäss § 156 Abs. 1 GG/SO prüft die RPK nach dem vom Departement festgelegten Revisionsmodell, ob die Rechnung richtig und vollständig ist und ob den Vorschriften über den Finanzhaushalt nachgelebt wurde. Die RPK erstattet der Gemeindeversammlung oder dem Gemeindeparlament schriftlich Bericht und beantragt, ob die Jahresrechnung mit oder ohne Einschränkung zu beschliessen oder zurückzuweisen sei (vgl. § 156 Abs. 2 GG/SO). Im Zuge der Rechnungsabnahme nimmt der Gemeinderat zum Bericht und Antrag der RPK Stellung und stellt das Rechnungsergebnis fest (vgl. § 157 Abs. 1 GG/SO), woraufhin bei der ordentlichen Gemeindeorganisation die Gemeindeversammlung und bei der ausserordentlichen Organisation das Gemeindeparlament die Rechnung beschliesst (vgl. § 157 Abs. 2 GG/SO). Laut § 157 Abs. 4 GG/SO sind die von der Gemeindeversammlung beschlossene Jahresrechnung und der Revisionsbericht dem Gemeindeamt bis zum 31. Juli des jeweiligen Jahres einzureichen. Mangelhafte oder nicht ordnungsgemäss erstellte Jahresrechnungen genehmigt das Gemeindeamt gemäss § 157 Abs. 5 GG/SO nicht. Sie sind von der Gemeinde zu korrigieren.
3.4.3. Nach dem soeben dargelegten kantonalen Recht liegt die primäre Aufgabe der RPK darin, zu prüfen, ob die Rechnung der Gemeinde richtig sowie vollständig ist und ob den Vorschriften über den Finanzhaushalt nachgelebt wurde. Das Ergebnis dieser Prüfung mündet in einen schriftlichen Bericht und in entsprechende Anträge, wonach die Jahresrechnung mit oder ohne Einschränkung von der Gemeindeversammlung oder vom Gemeindeparlament zu beschliessen oder zurückzuweisen sei. Die Pflicht der RPK erschöpft sich folglich in einer Beschluss- oder Rückweisungsempfehlung, die auf der von ihr vorgenommenen Prüfung der Jahresrechnung beruht. Die RPK und ihr Präsident tragen indes weder eine Verantwortung für den Beschluss als solcher noch hat sie einer mangelhaften oder nicht ordnungsgemäss erstellten Jahresrechnung die Genehmigung zu verweigern. Für Letzteres ist das kantonale Gemeindeamt zuständig. Im Lichte des Gesagten ist dem Vorbringen des Beschwerdeführers, wonach eine gesetzeswidrige Jahresrechnung seine Glaubwürdigkeit und Integrität infrage stelle, nicht zu folgen. Die Mitglieder der RPK und der Beschwerdeführer als deren Präsident wahren ihre Glaubwürdigkeit und Integrität, indem sie eine Empfehlung abgeben, die eine nach ihrer Auffassung "gesetzeskonforme" Jahresrechnung reflektiert. Ihre Auffassung kann sie im Rahmen des schriftlichen Berichts hinreichend begründen.
3.4.4. Indem der Beschwerdeführer versucht, über die Prüfung, den schriftlichen Bericht sowie die Beschluss- oder Rückweisungsempfehlung hinaus seiner Auffassung einer "gesetzeskonformen" Jahresrechnung Nachdruck zu verleihen, verfolgt er zwar ein (ideelles) Interesse. Aus den dargelegten Gründen (vgl. E. 3.4.3 hiervor) wird der Beschwerdeführer durch die gegebenenfalls rechtswidrige Bilanzierung indes nicht in seinen persönlichen Rechten und Pflichten hinreichend (negativ) berührt. Ihm fehlt es an einer nahen, beachtenswerten Beziehung zur Streitsache. Überdies begründet nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung die blosse Mitgliedschaft in einer Behörde oder die Wahrnehmung einer amtlichen Funktion für sich allein keine Beschwerdelegitimation, solange nicht die Stellung des Behördenmitglieds an sich oder das Amt als solches berührt wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.5.3.4; <ref-ruling> E. 2.2). Dass dem Beschwerdeführer im Falle seines Obsiegens ein Vorteil erwüchse oder ein Nachteil entfiele, ist ausserdem weder ersichtlich noch hinreichend dargetan. Die Situation des Beschwerdeführers wird durch den Ausgang des Verfahrens nicht in relevanter Weise beeinflusst. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde unter dem Blickwinkel von <ref-law> nicht zulässig.
3.5. Es liegt demzufolge keine Verletzung von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> vor. Es ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz auf die Verwaltungsgerichtsbeschwerde nicht eingetreten ist.
Dass das kantonale Recht eine grosszügigere Regelung für den Zugang an das Verwaltungsgericht vorsähe, die die Vorinstanz in willkürlicher Weise nicht angewendet hätte, macht der Beschwerdeführer nicht geltend (vgl. E. 2. hiervor; <ref-law>).
4.
Im Ergebnis erweist sich die Beschwerde als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. November 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zollinger