Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Baden führt eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen des Verdachts der Drohung, Gewalt und Drohung gegen Behörden und Beamte, Beschimpfung, Sachbeschädigung und Widerhandlung gegen das Waffengesetz. Er wurde am 1. Juli 2019 vorläufig festgenommen und mit Verfügung vom 4. Juli 2019 des Zwangsmassnahmengerichts des Kantons Aargau (bis am 1. Oktober 2019) in Untersuchungshaft versetzt.
B.
Am 10. Juli 2019 beauftragte die Staatsanwaltschaft einen Sachverständigen mit der Erstellung eines forensich-psychiatrischen Kurzgutachtens ("Gefährlichkeitsexpertise") über den Beschuldigten. Das Gesuch vom 8. Juli 2019 des amtlichen Verteidigers, es sei ihm die Teilnahme an der psychiatrischen Exploration zu ermöglichen, wies die Staatsanwaltschaft mit Verfügung vom 11. Juli 2019 ab. Über die vom Beschuldigten dagegen erhobene Beschwerde entschied das Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, am 13. September 2019 ebenfalls abschlägig.
C.
Gegen den Entscheid des Obergerichtes gelangte der Beschuldigte mit Beschwerde vom 28. Oktober 2019 an das Bundesgericht. Er beantragt in der Hauptsache, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und dem amtlichen Verteidiger sei (künftig) die Teilnahme an psychiatrischen Explorationen zu ermöglichen.
Die Staatsanwaltschaft beantragt mit Stellungnahme vom 31. Oktober 2019 die Abweisung der Beschwerde, während die kantonale Oberstaatsanwaltschaft und das Obergericht am 4. November bzw. 31. Oktober 2019 auf Vernehmlassungen je verzichtet haben. Am 6. November 2019 verzichtete auch der Beschwerdeführer auf eine Replik.

Erwägungen:
1.
Anfechtungsobjekt der Beschwerde ist ein letztinstanzlicher kantonaler Entscheid über die Nichtzulassung des amtlichen Verteidigers zu einer psychiatrischen Exploration des Beschuldigten.
Bei Begutachtungsfällen wie dem vorliegenden ist ein drohender nicht wieder gutzumachender Rechtsnachteil im Sinne von Artikel 93 Abs. 1 lit. a BGG grundsätzlich zu bejahen (vgl. nicht amtl. publ. E. 1.2 von <ref-ruling>). Auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen von Artikel 78 ff. BGG sind erfüllt.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von Grundrechten (Art. 32 Abs. 2 BV, Art. 6 Ziff. 3 lit. c EMRK) und weiteren Vorschriften des Bundesrechtes (insbes. Art. 107 Abs. 1 lit. b und c StPO), indem die Vorinstanz einen Anspruch seines amtlichen Verteidigers auf Teilnahme an psychiatrischen Explorationen verneinte. Ausserdem habe sie sein rechtliches Gehör verletzt, indem sie sich mit seinen Vorbringen zur Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte nicht auseinandergesetzt habe. Auf die betreffenden substanziierten Rügen ist nachfolgend näher einzugehen.
3.
Die Vorinstanz verweist im Wesentlichen auf den einschlägigen Leitentscheid <ref-ruling>. Darin erwägt das Bundesgericht (zusammengefasst) Folgendes:
3.1. Das Verhör des Beschuldigten und die Beweisaussagen der Parteien erfüllen andere gesetzliche Funktionen als eine medizinisch-forensische Begutachtung. Bei ihren förmlichen Einvernahmen (Art. 157-161 StPO) erhält die beschuldigte Person auf allen Stufen des Strafverfahrens die Gelegenheit, sich zu den ihr vorgeworfenen Straftaten - im Sinne einer Beweisaussage als Partei - umfassend zu äussern (Art. 157 StPO). Diese Einlassungen im Verhör können der beschuldigten Person als Beweismittel vorgehalten werden. Die Verteidigung hat hier den gesetzlich gewährleisteten Anspruch, anwesend zu sein und nach den Befragungen Ergänzungsfragen zu stellen (Art. 158 f. i.V.m. Art. 147 StPO). Das Explorationsgespräch von forensisch-psychiatrischen Sachverständigen erfüllt demgegenüber einen anderen gesetzlichen Zweck. Es bildet Bestandteil der gutachterlichen Sachverhaltsermittlung und soll dem Experten ermöglichen, sich ein von den übrigen Verfahrensbeteiligten möglichst unbeeinflusstes Bild über die (laut Gutachtensauftrag) zu prüfenden medizinisch-psychiatrischen Fachfragen zu verschaffen (<ref-ruling> E. 3.7 S. 260; s.a. <ref-ruling> E. 3.5 S. 446 f.; <ref-ruling> E. 6b-c S. 261-263). Die sachverständige Person nimmt ausschliesslich fachspezifische Erhebungen vor, "die mit dem Auftrag in engem Zusammenhang stehen" (Art. 184 Abs. 4 StPO). Eine eigene Befragung des Beschuldigten durch die sachverständige Person ist somit eng gutachtensorientiert. Folglich dürfen die Strafbehörden Äusserungen des Beschuldigten bei einem psychiatrischen Explorationsgespräch diesem auch nicht wie Beweisaussagen zum inkriminierten Sachverhalt (im Verhör) vorhalten (<ref-ruling> E. 3.7 S. 260 f.; s.a. Botschaft StPO, BBl 2006 1212).
Eine klare Unterscheidung dieser Untersuchungshandlungen drängt sich umso mehr auf, als beim psychiatrischen Explorationsgespräch die gesetzlichen Erfordernisse an ein justizkonformes Verhör des Beschuldigten regelmässig nicht erfüllt sind, etwa betreffend die Justizperson, welche zur Durchführung der Einvernahme berechtigt ist (Art. 142 StPO), die Teilnahmerechte der Verteidigung (Art. 147 und Art. 158 f. StPO), die Belehrungen über die Rechte des Beschuldigten (Art. 158 StPO) oder die gesetzlichen Protokollierungsvorschriften (Art. 143 Abs. 2 i.V.m. Art. 78 StPO). Für die Ausarbeitung des psychiatrischen Gutachtens (inklusive Explorationsgespräch und allenfalls weitere auftragsspezifische Erhebungen) ist die forensische sachverständige Person persönlich verantwortlich (Art. 185 Abs. 1 StPO). Das Gesetz sieht keinen Anspruch der Verteidigung oder anderer Parteivertreter vor, die Begutachtung (im Rahmen einer Anwesenheit bei der psychiatrischen Exploration des Beschuldigten oder gar mittels direkter Interventionen) unmittelbar zu "kontrollieren" und zu ergänzen. Ein entsprechender gesetzlicher Anspruch ergibt sich auch nicht aus Art. 147 Abs. 1 StPO. Bei der fachlichen Exploration der beschuldigten Person durch den psychiatrischen Gutachter handelt es sich nicht um Beweiserhebungen "durch die Staatsanwaltschaft und die Gerichte" (Wortlaut von Art. 147 Abs. 1 StPO). Dementsprechend sieht Art. 185 Abs. 5 StPO auch nur den Hinweis auf das Recht der beschuldigten Person vor, die Aussage gegenüber der sachverständigen Person zu verweigern, nicht aber - und dies im Gegensatz zu den Bestimmungen zum Verhör (Art. 158 Abs. 1 lit. c bzw. Art. 159 Abs. 1 StPO) - einen Hinweis auf das Recht zur Verbeiständung durch einen Verteidiger (<ref-ruling> E. 3.7 S. 261 f.).
3.2. Ein voraussetzungsloser Anspruch auf Zulassung der Verteidigung an der psychiatrischen Exploration lässt sich auch aus der Bundesverfassung (Art. 29 Abs. 1-2 und Art. 32 Abs. 2 BV) und der EMRK (Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 EMRK) nicht entnehmen. Ein entsprechendes Anwesenheits- und Mitwirkungsrecht (im Sinne von Art. 147 und Art. 158 f. StPO) bei der Erstellung des forensischen Gutachtens (Art. 185 StPO) könnte sich höchstens in sachlich begründeten Ausnahmefällen aufdrängen, falls die grundrechtlich garantierten Verteidigungs- und Gehörsrechte des Beschuldigten anders nicht wirksam wahrgenommen werden könnten (<ref-ruling> E. 3.8 S. 262 und S. 264 f.). Nach der Praxis des Bundesgerichtes drängt sich dabei allerdings Zurückhaltung auf:
Insbesondere ist der Gefahr Rechnung zu tragen, dass gesetzlich nicht vorgesehene direkte Einflussnahmen auf den psychiatrischen Expertisevorgang durch Personen, die nicht als Sachverständige bestellt wurden (zumal durch medizinisch nicht fachkundige Personen), den Zweck einer fachgerechten forensischen Begutachtung beeinträchtigen oder gar vereiteln könnten (<ref-ruling> E. 3.8 S. 263; s.a. <ref-ruling> E. 3.5 S. 446 f.). Eine "parteiöffentliche" Exploration würde die psychiatrische Begutachtung im Übrigen noch zusätzlich stark komplizieren und erschweren. Insbesondere wäre unter dem Gesichtspunkt des Gleichbehandlungsgebotes (Art. 3 Abs. 2 lit. c StPO) nur schwer zu begründen, weshalb ein entsprechendes "Teilnahmerecht" dann nicht auch allen übrigen Parteien einzuräumen wäre, etwa den Rechtsvertretern der Privatklägerschaft sowie von allfälligen Mitbeschuldigten. Dies wiederum würde zu schweren Konflikten mit dem Persönlichkeitsschutz und der Menschenwürde der psychiatrisch zu begutachtenden Person führen (<ref-ruling> E. 3.8 S. 263; s.a. <ref-ruling> E. 3.6 S. 447).
Zudem wäre ein "Teilnahmerecht" konsequenterweise auch auf alle übrigen selbstständigen Erhebungen des Gutachters (Art. 185 Abs. 4-5 StPO) auszudehnen. Solche Konsequenzen wären sachlich nicht vertretbar. Die strafprozessuale Begutachtung und insbesondere die auftragsspezifischen Sachverhaltsermittlungen des forensischen Gutachters erfolgen - nach der klaren gesetzlichen Regelung - weder parteiöffentlich, noch im Rahmen einer kontradiktorischen Parteiverhandlung: Im Falle einer förmlichen Einvernahme des Beschuldigten (durch Polizei, Staatsanwaltschaft oder Gerichte) oder z.B. bei Augenscheinen der Strafbehörden wäre die Verteidigung durchaus berechtigt, bei der Beweiserhebung unmittelbar anwesend zu sein, die juristisch gesetzeskonforme Durchführung des Verhörs bzw. der Befragungen oder des Augenscheins zu kontrollieren und Ergänzungsfragen zu stellen (Art. 157-161 bzw. Art. 193 i.V.m. Art. 147 StPO). Nach einer gesetzeskonformen (kontradiktorischen) Ernennung und Instruktion der forensischen sachverständigen Person unter Teilnahme der Parteien (Art. 183-184 StPO) hat die Verteidigung auf materielle Begutachtungsvorgänge (Art. 185 StPO) durch die rechtsgültig ernannte medizinisch-psychiatrische Fachperson hingegen bis zum Vorliegen der Expertise (Art. 187 StPO) keinen direkten Einfluss mehr zu nehmen. Der Verteidiger hat weder den fachlich-methodischen Ablauf der Expertise unmittelbar zu "kontrollieren", noch die Exploration des Beschuldigten durch die sachverständige Person mit eigenen Fragen direkt zu ergänzen bzw. zu beeinflussen. Die Durchführung einer fachkonformen medizinisch-psychiatrischen Begutachtung ist vielmehr die Aufgabe der forensischen sachverständigen Person (vgl. Art. 185 Abs. 1 und Abs. 4-5 StPO). Nach Vorliegen des Gutachtens steht es den Parteien frei, nötigenfalls Kritik am methodischen Vorgehen oder an den fachlichen Schlussfolgerungen des Gutachters im Rahmen ihrer gesetzlich vorgesehenen Stellungnahmen zu äussern und entsprechende Beweis- und Ergänzungsanträge zu stellen (Art. 188-189 und Art. 318 StPO). Auf die materielle Begutachtung selbst haben die Parteien aber - über das Dargelegte hinaus - keinen direkten Einfluss zu nehmen (<ref-ruling> E. 3.8 S. 263 f.).
4.
Der Beschwerdeführer räumt ein, dass sich der Leitentscheid <ref-ruling> sowohl mit den tangierten grundrechtlichen Verfahrensgarantien (Art. 29 und Art. 32 Abs. 2 BV, Art. 6 Ziff. 1 und Ziff. 3 EMRK) als auch mit Einwänden aus der einschlägigen Fachliteratur ausdrücklich befasst hat. Er stellt sich jedoch auf den Standpunkt, das Bundesgericht habe sich dabei mit der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) nicht auseinandergesetzt. Ausserdem seien nach Erlass des Leitentscheides weitere kritische Stimmen der Doktrin laut geworden, insbesondere in einer Dissertation aus dem Jahre 2019.
4.1. Der Beschwerdeführer verweist zunächst auf Urteile des EGMR, wonach aus Artikel 6 Ziffer 3 lit. c EMRK ein grundrechtlicher Anspruch der beschuldigten Person und ihrer Rechtsvertretung fliesse, an der "Einvernahme von Zeugen und Auskunftspersonen" und "bei der mündlichen Verhandlung" mitzuwirken. Um solche spezifischen Mitwirkungsrechte (die schon in der StPO ausdrücklich verankert sind) geht es im vorliegenden Fall allerdings nicht. Weiter stellt sich der Beschwerdeführer zwar auf den Standpunkt, aus drei Urteilen des EGMR sei ein "ausnahmsloser" grundrechtlicher Anspruch ableitbar auf Anwesenheit der Verteidigung bei "allen strafprozessualen Untersuchungshandlungen", an welchen die beschuldigte Person teilnehmen muss. Eine Konsultation der fraglichen Entscheide zeigt jedoch, dass auch diese sich nicht mit der persönlichen Teilnahme der Verteidigung an psychiatrischen Explorationen der beschuldigten Person befassen, sondern mit dem rechtlichen Gehör von Angehörigen einer verstorbenen Patientin im Verwaltungsgerichtsverfahren (vgl. EGMR vom 18. März 1997 i.S. Mantovanelli gegen Frankreich, Nr. 21497/93) bzw. mit dem Recht der Verteidigung auf kontradiktorische Instruktion (mit schriftlichen Ergänzungsfragen) und nachträgliche Befragung von medizinischen Sachverständigen, welche die Leiche bzw. den Körper von mutmasslichen Verbrechensopfern zu untersuchen hatten (vgl. EGMR vom 8. Januar 2009 i.S. Laryagin und Aristov gegen Russland, Nrn. 38697/02 und 14711/03, Ziff. 43-45; EGMR vom 2. Juni 2005 i.S. Cottin gegen Belgien, Nr. 48386/99, Ziff. 29-33). Diese Entscheide befassen sich auch sonst nicht mit Untersuchungshandlungen, an denen die beschuldigte Person hätte teilnehmen müssen.
Entgegen der Interpretation des Beschwerdeführers lässt sich aus den von ihm genannten Urteilen des EGMR kein Grundrecht auf (voraussetzungslose) Mitwirkung der Verteidigung an psychiatrischen Explorationsgesprächen ableiten.
4.2. Im bundesgerichtlichen Leitentscheid wird sodann ausführlich auf die einschlägige Doktrin eingegangen. Dabei werden einzelne Lehrmeinungen erwähnt, welche einen gesetzlichen Anspruch auf Zulassung der Verteidigung zur gutachterlichen Exploration bejahen; gleichzeitig wird (unter Hinweis auf diverse Belegstellen) darauf hingewiesen, dass die überwiegende Lehre einen solchen Anspruch verneint (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 257 f.). Das Bundesgericht hat auch Lehrmeinungen mitberücksichtigt, welche sich für einen grundrechtlichen Mitwirkungsanspruch in besonderen Konstellationen aussprechen (vgl. <ref-ruling> E. 3.8 S. 262).
Der Beschwerdeführer macht geltend, der Autor einer unterdessen erschienenen Dissertation (Thierry Urwyler, Das Teilnahmerecht der Verteidigung am Explorationsgespräch des psychiatrischen Sachverständigen mit der beschuldigten Person im Lichte der EMRK, Diss. Luzern 2019) vertrete die Auffassung, es werde "klar", dass die psychiatrische Exploration mit einem Teilnahmerecht der Verteidigung zu verbinden sei, wenn "man es mit den effektiven Menschenrechten und dem Prinzip des fairen Verfahrens ernst" meine. Eine nachträgliche Überprüfung der Exploration sei nämlich "unmöglich", und ohne Mitwirkung der Verteidigung bestünden für die beschuldigte Person "Selbstbelastungsgefahren". "Zentral" sei die Schlussfolgerung der Dissertation, wonach "die Methodenfreiheit der sachverständigen Person keinen Grund für den Verteidigerausschluss" darstelle. "Noch wünschenswerter" als eine Praxisänderung sei freilich (auch nach der Ansicht von Urwyler), "wenn der Gesetzgeber" die fragliche Problematik erkennen und eine sachgerechte "Lösung in die Strafprozessordnung einfügen" würde.
4.3. Auch daraus ergeben sich keine wesentlichen neuen Gesichtspunkte, die eine Praxisänderung nahelegen würden. Mit den fraglichen grundrechtlichen Aspekten hat sich das Bundesgericht in <ref-ruling> ausdrücklich befasst. Insbesondere wurde im Leitentscheid erwogen, dass zwischen ärztlicher Begutachtung und Beweisaussagen der beschuldigten Person zu differenzieren ist. Selbstbelastende Äusserungen des Beschuldigten bei einem psychiatrischen Explorationsgespräch dürfen diesem nicht wie Beweisaussagen zum inkriminierten Sachverhalt im Verhör (Art. 157 StPO) vorgehalten werden (<ref-ruling> E. 3.7 S. 260 f.). Auch zu den gesetzlich verankerten Ansprüchen auf Ernennung und Instruktion der forensischen sachverständigen Person unter Teilnahme der Parteien (Art. 183-184 StPO) und auf kontradiktorische Überprüfung des Gutachtens (Art. 188-189 und Art. 318 StPO) äussert sich der Leitentscheid ausführlich (vgl. <ref-ruling> E. 3.8 S. 263 f.). Der Beschwerdeführer setzt sich mit den betreffenden Erwägungen nicht erkennbar auseinander.
4.4. Nach dem Gesagten besteht (de lege lata) kein sachlicher Anlass, von den in <ref-ruling> entwickelten Grundsätzen abzuweichen.
4.5. Wie schon im vorinstanzlichen Verfahren legt der Beschwerdeführer keine stichhaltigen besonderen Motive dar, die - im Sinne der oben zusammengefassten Rechtsprechung - ausnahmsweise einen grundrechtlichen Anspruch auf Mitwirkung der Verteidigung an der psychiatrischen Exploration sachlich begründen könnten (vgl. <ref-ruling> E. 3.8 S. 262 f.). Insbesondere führt er nicht nachvollziehbar aus, weshalb hier eine effiziente methodische und inhaltliche Kontrolle des psychiatrischen Kurzgutachtens durch die Verteidigung auf dem gesetzlich vorgesehenen Weg (Art. 183-189 StPO) nicht möglich wäre (vgl. <ref-ruling> E. 3.8 S. 263-265).
4.6. Der Beschwerdeführer rügt schliesslich noch eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, da sich das Obergericht mit seinen Vorbringen zur Praxis des EGMR nicht auseinandergesetzt habe.
Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid auf <ref-ruling>, den sie zunächst in den Grundzügen kurz zusammenfasst. Sie argumentiert sodann, der Beschwerdeführer habe sich mit den Erwägungen des einschlägigen Leitentscheides nicht nachvollziehbar befasst und nicht dargetan, weshalb hier (im Sinne dieser Praxis) ausnahmsweise ein Teilnahmerecht des amtlichen Verteidigers bestünde. Die vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Fragen (insbesondere zur Tragweite der EMRK) würden im Leitentscheid ausführlich erörtert. Zur Vermeidung von Wiederholungen könne diesbezüglich auf die Erwägungen in <ref-ruling> verwiesen werden (vgl. angefochtener Entscheid, E. 2.2).
Die Rüge der Gehörsverletzung erweist sich als unbegründet. Der knappen Begründung des angefochtenen Entscheides lassen sich die wesentlichen Erwägungen entnehmen, weshalb das Obergericht die vorinstanzliche Beschwerde (gestützt auf die amtlich publizierte Praxis des Bundesgerichtes) abgewiesen hat. Dabei musste es sich von Verfassungs wegen (Art. 29 Abs. 2 BV) nicht mit sämtlichen Vorbringen des Rechtsuchenden ausdrücklich und im Einzelnen befassen. Dies gilt insbesondere für allgemeine Ausführungen des Beschwerdeführers zur Praxis des EGMR. In <ref-ruling> wurde ein auf die Bundesverfassung oder die EMRK gestützter Anspruch auf Zulassung des Offizialverteidigers zur psychiatrischen Exploration nur bei Vorliegen qualifizierter Voraussetzungen grundsätzlich bejaht. Der Beschwerdeführer hat schon im Verfahren vor dem Obergericht nicht dargelegt, dass die Praxis des EGMR einen solchen Anspruch voraussetzungslos anerkennen würde. Ebenso wenig hat er besondere Umstände dargetan, die im vorliegenden Fall eine solche Verbeiständung ausnahmsweise als grundrechtlich geboten erscheinen liessen. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs ist in diesem Zusammenhang nicht erkennbar. Der Beschwerdeführer legt denn auch nicht dar, inwiefern die Begründung des angefochtenen Entscheides es ihm faktisch verunmöglicht hätte, den Rechtsweg ans Bundesgericht wirksam zu beschreiten.
4.7. Für die Prüfung der Beschwerde gegen den hier angefochtenen strafprozessualen Zwischenentscheid sind die gesetzlichen Voraussetzungen des vom Beschwerdeführer gewünschten förmlichen "Meinungsaustauschverfahrens" (zwischen der für Zwischenentscheide zuständigen I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichtes und allfälligen weiteren "betroffenen Abteilungen") nicht erfüllt (Art. 23 Abs. 2 BGG). Wie oben dargelegt, wurden die sich stellenden Rechtsfragen bereits im Leitentscheid <ref-ruling> ausführlich erörtert, und es besteht kein sachlicher Anlass, von der gefestigten Rechtsprechung abzuweichen.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Der Beschwerdeführer stellt ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Da die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, ist das Gesuch zu bewilligen (Art. 64 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Kenad Melunovic Marini wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt, und es wird ihm für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren ein Honorar von Fr. 1'500.-- (pauschal, inkl. MWST) aus der Bundesgerichtskasse entrichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. August 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Forster