Faits :
A.
Par acte d'accusation du 8 août 2019 (procédure P_1), le Ministère public de la République et canton de Genève (ci-après : le Ministère public) a renvoyé A._, B._ et C._ en jugement devant le Tribunal correctionnel du Tribunal pénal de la République et canton de Genève (ci-après : le Tribunal correctionnel) pour corruption d'agents publics étrangers (<ref-law>) et pour faux dans les titres (<ref-law>).
Le 11 septembre 2019, les parties ont été informées de la date des débats (mars 2020), ainsi que de la composition du Tribunal correctionnel, laquelle incluait Timothée Reymond, Greffier-juriste délibérant. Les débats ont été reportés en raison de la requête de récusation formée par les trois prévenus contre le représentant du Ministère public; cette demande a été rejetée par la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après : la Chambre pénale de recours) le 7 février 2020 (ACPR_1), décision confirmée le 27 juillet suivant par le Tribunal fédéral (cause 1B_118/2020).
Les débats du Tribunal correctionnel se sont tenus du 11 au 18 janvier 2021; le Ministère public était notamment représenté par le Premier Procureur de la section des affaires complexes. Par jugement du 22 janvier 2021, le Tribunal correctionnel a acquitté A._ du chef de prévention de faux dans les titres et l'a reconnu coupable de corruption d'agents publics étrangers; A._ a été condamné à une peine privative de liberté de trois ans et six mois, ainsi qu'au paiement d'une créance compensatrice de 5 millions de francs. Quant à B._, il a été reconnu coupable de corruption d'agents publics étrangers, ainsi que de faux dans les titres en lien avec certains faits, respectivement acquitté des chefs de prévention susmentionnés pour d'autres faits; il a été condamné à une peine privative de liberté de cinq ans, ainsi qu'au paiement d'une créance compensatrice de 50 millions francs. C._ a également été condamnée, pour certains faits, à deux ans de peine privative de liberté - avec l'octroi du sursis -, ainsi qu'au paiement d'une créance compensatrice de 50'000 fr. pour les deux chefs de prévention précités (<ref-law>). Le jugement motivé a été adressé aux parties le 1er mars 2021.
Les trois prévenus ont formé appel contre ce jugement et la cause est actuellement pendante devant la Chambre pénale d'appel et de révision de la République et canton de Genève.
B.
B.a. Le 1er février 2021, A._ a demandé à la direction de la procédure du Tribunal correctionnel la récusation du Greffier Timothée Reymond (ci-après : le Greffier intimé), voire celle de l'ensemble du tribunal de première instance, ainsi que l'annulation du jugement du 22 janvier 2021. A l'appui de cette requête, A._ a invoqué le possible engagement - à une date inconnue - du greffier précité par la section des affaires complexes du Ministère public; si cette information était exacte, le fait d'être embauché - respectivement d'espérer l'être - par une partie au procès, avant/en cours d'audience et/ou lors de la rédaction du jugement était de nature à faire suspecter une prévention de Timothée Reymond. A._ a également relevé que le Tribunal correctionnel n'avait pas communiqué cette information; s'il s'avérait que cette autorité connaissait ce changement de juridiction, cela la rendrait également suspecte de prévention.
Dans son courrier du 9 février 2021, Timothée Reymond a expliqué avoir été engagé le 1er décembre 2017 par le Tribunal pénal en qualité de greffier-juriste; dès septembre 2019, en collaboration avec les magistrats du Tribunal correctionnel, il avait travaillé sur la cause P_1. Le Greffier intimé a indiqué avoir, le 12 décembre 2020, postulé pour un emploi similaire au sein de la section des affaires complexes du Ministère public; durant le processus de recrutement, il n'avait eu aucun contact avec les Procureurs et, le 21 décembre 2020, il avait été reçu par les collaborateurs administratifs du Ministère public qui l'avaient informé que sa candidature avait été retenue avec une entrée en fonction prévue le 15 mars 2021; ce même jour, Timothée Reymond avait informé le Tribunal pénal de son engagement. Le Greffier intimé a mentionné avoir assisté aux débats dans la cause P_1 en janvier 2021 et avoir pris part à la délibération, avec voix consultative. Déclarant avoir oeuvré fidèlement pour le Tribunal pénal, il a notamment ajouté qu'interdire sa démarche reviendrait à proscrire tout transfert d'un collaborateur ou magistrat du Tribunal pénal vers le Ministère public, lequel revêtait systématiquement le statut de partie devant ce tribunal. Timothée Reymond a encore relevé que le Tribunal correctionnel s'était écarté des réquisitions du Ministère public en acquittant A._ de l'infraction de faux dans les titres.
Ce même jour, la Présidente du Tribunal correctionnel a conclu au rejet de la demande, indiquant en particulier que Timothée Reymond lui avait annoncé le 21 décembre 2020 sa postulation, ainsi que son engagement auprès du Ministère public.
A._, Timothée Reymond et la Présidente du Tribunal correctionnel ont répliqué, persistant dans leurs conclusions respectives. Le Ministère public a conclu à l'irrecevabilité de la demande, faute pour A._ d'avoir rendu vraisemblable le moment où il avait découvert le motif de récusation invoqué, et, subsidiairement, à son rejet. A._ a précisé les circonstances entourant la prise de connaissance du changement de juridiction de Timothée Reymond : information apprise le 26 janvier 2021 par un membre de l'étude de son avocat lors d'un événement privé, renseignement donné à celui-ci le 29 suivant, puis transmis à A._ deux jours plus tard par message téléphonique et dépôt de la requête le 1er février 2021.
Les deux co-prévenus - B._ et C._ - ont spontanément appuyé, par courriers séparés du 17 février 2021 (<ref-law>), la demande de récusation.
B.b. Le 15 juin 2021, la Chambre pénale de recours a considéré que la demande de récusation formée par A._ avait été déposée en temps utile (cf. consid. 1.2.2 p. 5) et a déclaré irrecevables les écritures formées sans invitation de la direction de la procédure par B._ et C._ (cf. consid. 1.3 p. 5). La cour cantonale a ensuite rejeté la requête de récusation concernant le Greffier Timothée Reymond (cf. consid. 2.5 p. 7 s.), ainsi que celle relative aux Juges du Tribunal correctionnel (cf. consid. 2.6 p. 8).
C.
C.a. Par acte du 17 août 2021 (cause 1B_436/2021), A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant à son annulation, à la récusation du Greffier Timothée Reymond et de l'ensemble des membres du Tribunal correctionnel ayant siégé dans le cadre de la cause P_1, ainsi qu'à l'annulation de l'intégralité des actes auquel le Greffier intimé et le Tribunal correctionnel ont participé dans la procédure précitée dès le 21 décembre 2020. A titre subsidiaire, le recourant demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente.
La cour cantonale s'est référée aux considérants de sa décision, sans déposer d'observations. La Présidente du Tribunal correctionnel, le Greffier intimé et le Ministère public ont en substance conclu au rejet du recours. Invité à se déterminer, B._ a appuyé le recours, sans formuler d'observations. La Chambre pénale de recours, la Présidente du Tribunal correctionnel, le Ministère public et B._ ont renoncé à déposer d'autres déterminations. Quant au recourant, il a persisté, le 27 octobre 2021, dans ses conclusions.
C.b. Le 18 août 2021 (cause 1B_448/2021), B._ forme également un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 15 juin 2021 de la Chambre pénale de recours, concluant à la constatation de la violation de son droit d'être entendu, à l'annulation de l'arrêt attaqué, à la récusation de Timothée Reymond et des membres du Tribunal correctionnel ayant siégé dans la cause P_1, ainsi qu'à l'annulation des actes auxquels ceux-ci ont participé dans cette procédure à compter du 21 décembre 2020. A titre subsidiaire, il demande le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision au sens des considérants.
La Présidente du Tribunal correctionnel a conclu en substance à l'irrecevabilité du recours, faute de qualité pour recourir et de dépôt en temps utile d'une requête de récusation de la part du recourant; à titre subsidiaire, elle a conclu au rejet du recours. L'autorité précédente a renoncé à se déterminer, se référant aux considérants de sa décision. Quant au Greffier intimé, il a en particulier indiqué que le recourant avait pris connaissance du motif allégué à son encontre le 2 février 2021, mais ne s'était adressé aux autorités que le 17 suivant. Le Ministère public a conclu au rejet du recours. A._ a appuyé le recours. Le 1er novembre 2021, le recourant a persisté dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours sont formés contre une même décision et les deux recourants entendent obtenir sur le fond la récusation du Greffier intimé, ainsi que des Juges du Tribunal correctionnel. Le recourant B._ appuie le recours formé par le recourant A._ (1B_436/2021), lequel fait de même pour le premier précité (1B_448/2021). Partant, il se justifie de joindre les deux causes et de statuer dans un seul arrêt (<ref-law>, applicable par analogie vu le renvoi de l'<ref-law>).
2.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision prise en instance cantonale unique relative à la récusation d'un magistrat dans une procédure pénale peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale, malgré son caractère incident. Cela vaut également en principe dans la configuration particulière du cas d'espèce puisque le jugement au fond du tribunal de première instance - dont la composition est contestée - n'a été rendu qu'oralement au moment du dépôt de la demande de récusation formée par le recourant A._ (1 er février 2021), qu'une autre autorité que la juridiction d'appel est compétente lorsqu'une requête de récusation est formée contre les membres d'un tribunal de première instance (cf. <ref-law>; arrêt 1B_36/2020 du 8 mai 2020 consid. 2.2) et qu'une décision motivée sur la récusation a été adressée de manière séparée aux deux recourants (arrêt 1C_282/2008 du 7 avril 2009 consid. 2.3; FÉLIX UHLMANN, in Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3e éd. 2018, n° 11 ad <ref-law>; BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, nos 17 et 20 ad <ref-law>). Cette solution s'impose d'autant plus eu égard aux principes de célérité et d'économie de procédure; en effet, selon l'issue de la procédure de récusation, la rédaction du jugement motivé de première instance, la déclaration d'appel et la procédure qui s'ensuit pourraient s'avérer inutiles.
2.1. S'agissant du recours dans la cause 1B_436/2021, le recourant A._ est l'auteur de la demande de récusation qui a été rejetée, disposant ainsi de la qualité pour recourir (cf. <ref-law>). Pour le surplus, les autres conditions de recevabilité relatives à ce recours étant réunies - dont le dépôt en temps utile (cf. art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF) -, il y a lieu d'entrer en matière.
2.2. Le recourant B._ (cause 1B_448/2021) soutient disposer de la qualité pour recourir dès lors qu'il aurait été privé de la possibilité de prendre part à la procédure devant l'instance précédente (cf. <ref-law>). Le recourant soutient également disposer d'un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée, puisque si la récusation demandée - qu'il soutenait - prenait effet, elle s'imposerait également à son égard (cf. <ref-law>).
Vu l'issue du litige, ainsi que notamment la violation des droits de procédure invoquée, les questions de recevabilité en lien avec le recours dans la cause 1B_448/2021 peuvent rester indécises. Il est cependant relevé qu'en ce qui concerne le recourant B._, la décision attaquée est un prononcé d'irrecevabilité, ce qui permet de ne pas entrer en matière sur les griefs qu'il a développés en lien avec le fond de la cause dans son recours au Tribunal fédéral.
3.
Dans le cadre de la cause 1B_448/2021, le recourant B._ reproche à l'autorité précédente des violations de son droit d'être entendu; elle lui aurait en substance dénié la qualité de partie à la procédure de récusation alors qu'il était concerné par celle-ci, ce qui aurait dû induire la recevabilité de ses écritures du 17 février 2021, ainsi que le droit de se déterminer sur les observations déposées par les autres parties au cours de la procédure de récusation. Selon le recourant, la cour cantonale ne lui aurait pas non plus notifié formellement l'arrêt attaqué.
3.1. Les communications des autorités pénales sont notifiées en la forme écrite (<ref-law>). Celles-ci notifient leurs prononcés par lettre signature ou par tout autre mode de communication impliquant un accusé de réception, notamment par l'entremise de la police (<ref-law>). La violation de ces règles de forme n'entraîne cependant aucune conséquence si la partie concernée a pu sauvegarder ses droits (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 253 s.; arrêts 6B_138/2021 du 23 septembre 2021 consid. 3.1; 1B_11/2017 du 26 avril 2017 consid. 1.2). Selon les circonstances, notamment si la communication peut être démontrée, invoquer ultérieurement un tel vice de forme peut ainsi s'avérer contraire au principe de bonne foi (<ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 63; arrêt 1B_41/2016 du 24 février 2016 consid. 2.2).
Le recourant ne développe aucune argumentation tendant à démontrer qu'il aurait subi un quelconque préjudice du fait de l'absence de notification formelle de la décision attaquée. Il ne conteste pas l'avoir reçue, respectivement avoir pu en prendre connaissance. En outre, il a pu déposer un acte de recours au Tribunal fédéral en se fondant notamment sur le calcul du délai prévalant pour le recourant A._ (cf. une notification au mandataire de celui-ci en date du 17 juin 2021; art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF); le recours dans la cause 1B_448/2021 n'est en tout état de cause pas déclaré irrecevable en raison d'un éventuel dépôt tardif.
Partant, ce grief, dénué de toute pertinence, peut être écarté.
3.2. S'agissant du droit allégué de participer à la procédure de récusation, il semble tout d'abord douteux que le recourant ait déposé lui-même en temps utile une requête de récusation (cf. <ref-law>; sur cette disposition, voir arrêt 1B_367/2021 du 29 novembre 2021 consid. 2.1 et les arrêts cités). En effet, il a reçu une copie du courrier du 1er février 2021 de A._ (cf. ad ch. 14 p. 5 du recours [1B_448/2021]); dans son recours au Tribunal fédéral, le recourant précise d'ailleurs que A._ a formé à cette date sa requête de récusation "[a]fin de respecter les délais" (cf. ad ch. 15 p. 5 du recours [1B_448/2021]). Le recourant ne soutient pas s'être adressé dans les jours suivants au Tribunal correctionnel et/ou à la Chambre pénale de recours. Ce n'est en effet qu'à la suite de la réception de la copie des déterminations de A._ du 15 février 2021 confirmant sa demande de récusation (cf. ad ch. 19 p. 6 du recours [1B_448/2021]) que le recourant a envoyé le courrier du 17 février 2021 à la Chambre pénale de recours; il y a déclaré "fai[re] siennes les conclusions de M. A._ des 1er et 15 février 2021" (cf. ad ch. 20 p. 6 du recours [1B_448/2021]). Si le recourant n'indique aucune date de réception s'agissant de la copie de la requête de récusation du 1er février 2021, il ne prétend pas non plus que les courriers des 1er et 15 février 2021 lui auraient été communiqués en même temps. Il en découle qu'il avait connaissance d'un possible motif de récusation dès la réception de la copie du courrier du 1er février 2021. Il n'a pourtant agi formellement que le 17 février suivant. Dans la mesure où ce courrier constituerait une demande de récusation, cette manière de procéder n'est pas conforme aux exigences de célérité qui prévalent en matière de récusation; le recourant n'a d'ailleurs pas remis formellement en cause les critiques émises à cet égard au cours de la procédure fédérale (cf. notamment les observations du Greffier intimé du 16 septembre 2021).
A cela s'ajoute que le principe de la bonne foi impose à la partie qui constate un prétendu vice de procédure - soit en l'occurrence le droit allégué de participer à la procédure de récusation - de le signaler immédiatement, soit à un moment où ce vice pourrait être corrigé, et lui interdit de demeurer passive et d'attendre d'être devant l'autorité de recours pour s'en prévaloir (cf. art. 5 al. 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 69; arrêts 6B_1258/2021 du 8 novembre 2021 consid. 7; 6B_828/2020 du 1er septembre 2021 consid. 1.1; 2C_946/2020 du 18 février 2021 consid. 5.4; 1B_450/2020 du 14 janvier 2021 consid. 3.3; 1B_118/2020 du 27 juillet 2020 consid. 3.2 et 3.4; 4A_544/2018 du 29 août 2019 consid. 4.2; 2C_125/2018 du 21 décembre 2018 consid. 2.1 et 2.2). Il apparaît en l'occurrence qu'à la suite du courrier du 17 février 2021 - qui ne contient au demeurant aucune demande formelle et claire de participation à la procédure -, le recourant, assisté par un mandataire professionnel, ne s'est plus manifesté auprès de la Chambre pénale des recours de quelque manière que ce soit. En particulier, il n'a pas formulé, respectivement réitéré, une demande d'admission à la procédure et/ou de transmission des observations des parties. Or, il savait que la procédure de récusation n'était pas terminée puisque son avocat a reçu des copies des courriers de A._ des 26 février et 22 mars 2021 en lien notamment avec les observations du 24 février et du 15 mars 2021 du Ministère public (cf. ad ch. 23 et 25 p. 7 du recours [1B_448/2021]). Le recourant ou son avocat n'ont pourtant pas estimé utile d'interpeller à nouveau la Chambre pénale de recours, que ce soit pour demander son admission à la procédure et/ou obtenir un délai pour se déterminer; ils n'ont pas non plus déposé d'autres observations spontanées afin d'étayer par exemple les arguments soulevés par A._. Le recourant ne saurait en outre prétendre n'avoir pas eu le temps de procéder, puisque l'arrêt attaqué n'a finalement été rendu que le 15 juin 2021. Le recourant - qui n'ignorait pas l'existence de la procédure de récusation - a donc attendu de connaître l'issue du litige pour revendiquer, en outre auprès du Tribunal fédéral, un droit de participer à la procédure devant la cour cantonale, manière de procéder qui n'appelle aucune protection. Partant, ces premiers griefs d'ordre formel peuvent être écartés.
Cette conclusion s'impose d'autant plus que le recourant ne prétend pas qu'il aurait fait valoir sur le fond des griefs différents de ceux soulevés par A._ contre les magistrats intimés ou que l'autorité précédente n'aurait pas traité ceux invoqués par ce dernier. On rappellera en outre que le recourant n'a ni déposé, ni étayé une prétendue requête de récusation, dès lors que le courrier du 17 février 2021 ne comporte aucune motivation; il semble ainsi tardif et contraire encore une fois au principe de la bonne foi de le faire pour la première fois devant le Tribunal fédéral. En l'absence de motivation, il n'est ainsi pas démontré en quoi le défaut de participation du recourant à la procédure de récusation - cela constituerait-il une violation de son droit d'être entendu - aurait pu influer sur la décision attaquée, le renvoi de la cause à l'autorité précédente apparaissant dans le cas d'espèce comme une vaine formalité (<ref-ruling> consid. 1.4.1 p. 386; arrêt 6B_249/2021 du 13 septembre 2021 consid. 6.1).
4.
Invoquant les art. 6 par. 1 CEDH, 30 Cst. et 56 let. f CPP, le recourant A._ reproche à l'autorité précédente d'avoir considéré que la future fonction du Greffier intimé auprès de la section des affaires complexes du Ministère public - décidée préalablement à la tenue des débats du tribunal de première instance dans la cause le concernant - ne constituerait pas une circonstance propre à fonder un soupçon de partialité du Greffier intimé en faveur de l'accusation.
4.1. Les garanties découlant de l'art. 30 al. 1 Cst. s'appliquent également aux greffiers d'une autorité judiciaire dans la mesure où ils participent à la formation de la décision; tel est le cas lorsqu'en relation avec leur activité de rédaction, ils assistent à la délibération et peuvent exprimer leur position, même s'ils n'ont pas le droit de vote (<ref-ruling> consid. 8.4.1 p. 273 s.; arrêts 1C_533/2019 du 10 juillet 2020 consid. 3.3; 1B_90/2019 du 20 février 2020 consid. 2.2; 6B_695/2014 du 22 décembre 2017 consid. 3.3).
Il n'est pas contesté en l'occurrence que le Greffier intimé, en tant que greffier-juriste délibérant, exerçait de telles fonctions auprès du Tribunal correctionnel (cf. <ref-law> et 6 al. 1 du Règlement genevois du 27 juin 2014 du Tribunal pénal [RS/GE E 2 05.42]).
4.2. Un magistrat est récusable, selon l'art. 56 let. f CPP, lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil juridique, sont de nature à le rendre suspect de prévention. Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 74; arrêt 1B_430/2021 du 22 octobre 2021 consid. 2.1 et les arrêts cités).
De jurisprudence constante, des liens d'amitié ou une inimitié peuvent créer une apparence objective de partialité à condition qu'ils soient d'une certaine intensité. En revanche, des rapports de voisinage, des études ou des obligations militaires communes ou des contacts réguliers dans un cadre professionnel ne suffisent en principe pas. Plus généralement, pour être à même de trancher un différend avec impartialité, un juge ne doit pas se trouver dans la sphère d'influence des parties (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 162 s.). Un rapport d'obligation, notamment de subordination ou de dépendance, voire des liens particuliers entre le juge et une personne intéressée à l'issue de la procédure, telle qu'une partie ou son mandataire, peuvent, selon leur nature et leur intensité, fonder un soupçon de partialité (arrêts 1B_338/2021 du 23 novembre 2021 consid. 2.3; 9C_366/2013 du 2 décembre 2013 consid. 5.2.1; 5A_756/2008 du 9 septembre 2009 consid. 2.1). Dans le monde judiciaire restreint des cantons, il est inévitable que juges et avocats se connaissent et se fréquentent; les exigences en matière d'apparence objective d'impartialité entre juges et mandataires des parties ne sauraient être poussées à un point tel que le fonctionnement normal de la justice en soit entravé (arrêts 5A_636/2015 du 26 novembre 2015 consid. 4.2.1.2; 4A_519/2014 du 8 janvier 2015 consid. 5.2).
Quant à la Cour européenne des droits de l'homme (ci-après : CourEDH), elle a en particulier rappelé que des liens notamment hiérarchiques avec un autre acteur de la procédure suscitent des doutes objectivement justifiés quant à l'impartialité du tribunal (arrêt CourEDH Kyprianou c. Chypre, requête n° 73797/01, du 15 décembre 2005, § 121; voir également l'ensemble des principes rappelés dans l'arrêt CourEDH Donev c. Bulgarie, requête n° 72437/11, du 26 octobre 2021, § 81 ss); tel est également le cas de la confusion des rôles entre le procureur et le juge, respectivement des rôles de plaignant, témoin, procureur et juge (arrêt Kyprianou précité, § 126 s.; voir également en matière de lien notamment de subordination, arrêt CourEDH F indlay c. Royaume-Uni, requête n° 22107/93, du 25 février 1995, § 73 ss; Sramek c. Autriche, requête n° 8790/79, du 22 octobre 1984, § 42). En revanche, l'impartialité d'un tribunal n'est pas remise en cause par le fait qu'un juré soit l'employé subalterne du cabinet où est associé l'un des témoins à charge; le juré en cause n'avait pas travaillé sur le projet litigieux, avait reçu son préavis de licenciement trois jours avant l'ouverture du procès et il fonctionnait parmi quinze jurés (arrêt CourEDH Pullar c. Royaume-Uni, requête n° 22399/93, du 10 juin 1996, § 37 ss).
4.3. Selon l'art. 36 al. 1 let. a de de la loi genevoise du 26 septembre 2010 sur l'organisation judiciaire (LOJ; RS/GE E 2 05), les juridictions - dont le Ministère public et le Tribunal correctionnel du Tribunal pénal (cf. art. 1 let. a et c ch. 3 LOJ) - peuvent être dotées de greffiers-juristes. Après consultation des magistrats titulaires de la juridiction, le président choisit les collaborateurs scientifiques et arrête leur cahier des charges (art. 36 al. 2 LOJ). Les collaborateurs scientifiques sont assermentés par le président de la juridiction à laquelle ils sont rattachés (art. 36 al. 3 LOJ). En cas de besoin, le Ministère public et les tribunaux peuvent recourir aux services des collaborateurs scientifiques rattachés à une autre juridiction (art. 36 al. 4 LOJ).
Le personnel du pouvoir judiciaire est rattaché hiérarchiquement à la commission de gestion, soit par délégation au secrétaire général (art. 52 al. 1 LOJ).
4.4. La cour cantonale a considéré que le futur changement de juridiction du Greffier intimé était impropre à faire redouter une attitude partiale de celui-ci pour quatre motifs.
Premièrement, un intérêt à favoriser une partie ne pouvait être conçu que s'il existait un enjeu personnel pour celle-ci; or, l'Etat - représenté par le Ministère public - n'était pas personnellement touché par le verdict de culpabilité/d'acquittement, seules les éventuelles conséquences économiques accessoires du jugement (frais, indemnités dues aux parties, etc.) pouvant l'affecter directement; ce caractère accessoire, ainsi que l'étendue des ressources dont disposait la collectivité limitaient toutefois sensiblement l'enjeu de telles conséquences et l'incidence de ces dernières apparaissaient donc insuffisantes pour créer, du point de vue de l'Etat, un intérêt à ce qu'il soit statué en sa faveur; dans de telles circonstances, il n'était guère envisageable que le Greffier intimé ait pu songer à avantager l'accusation au détriment de la défense. Deuxièmement, la procédure de recrutement au sein du Ministère public s'était achevée le 21 décembre 2020, date à laquelle le Greffier intimé avait été informé que sa candidature était retenue; il n'était ainsi plus, au moment des débats, dans l'attente d'une réponse favorable à sa postulation et il n'existait donc aucun rapport de dépendance du Greffier intimé envers le Ministère public propre à fonder un soupçon de partialité. Troisièmement, l'entrée en fonction du Greffier intimé avait été arrêtée au 15 mars 2021; avant cette date, le précité ne pouvait pas recevoir de quelconques directives des Procureurs de la section des affaires complexes; nul conflit de loyauté, susceptible de faire douter de l'indépendance du Greffier intimé, n'était donc à redouter. Enfin, aux éléments précédents, s'ajoutait le fait - à titre de quatrième motif - que le Tribunal correctionnel était composé, non pas de juges laïcs, mais de magistrats professionnels; partant, les possibilités que le Greffier intimé influe de façon déterminante sur le prononcé du jugement final étaient ténues.
4.5. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique.
En particulier et contrairement à ce que semble soutenir le recourant A._ (cf. en particulier ad ch. 14 ss p. 8 ss du recours [1B_436/2021], voire également ad IV/B/b/ii p. 21 s. du recours [1B_448/2021]), les considérations émises par la cour cantonale ne remettent pas en cause la qualité de partie du Ministère public au cours des débats (cf. art. 104 al. 1 let. c CPP). Dans ce cadre, il lui appartient de défendre l'intérêt public, respectivement de faire valoir, le cas échéant, les prétentions de l'Etat contre les prévenus (cf. notamment l'éventuelle condamnation au paiement d'une créance compensatrice au sens de l'<ref-law>). S'agissant de la configuration ordinaire d'un procès pénal, le fait que le Ministère public plaide devant un tribunal, y compris de manière engagée, ne constitue pas en soi un motif de récusation des membres de cette autorité judiciaire.
Il sied donc uniquement d'examiner si des circonstances objectives permettent de retenir qu'il existe des liens particuliers et/ou d'une telle intensité entre le Greffier intimé et le Ministère public qu'ils seraient susceptibles de démontrer une apparence de favorisation du premier précité en faveur du second. A cet égard, le recourant soutient en substance qu'au vu de la fonction future du Greffier intimé auprès du Ministère public au moment notamment des débats du tribunal de première instance, le Greffier intimé pourrait être "d'ores et déjà voué à l'idéal partial défendu par le Ministère public ou [...] serait tenté, si l'occasion s'en présentait pendant les débats ou lors de la rédaction du jugement, d'agir d'une façon propre à maintenir son futur supérieur hiérarchique dans des dispositions favorables envers lui" (cf. en particulier ad ch. 53 p. 15, ch. 63, ch. 66, ch. 71 p. 17 s. du recours, ainsi qu'ad ch. 17 p. 4 et ch. 33 p. 7 des observations du 27 octobre 2021 [1B_436/2021]; voir également ad IV/B/b/ii p. 21 du recours [1B_448/2021]). Le recourant ne conteste cependant pas qu'au moment des débats, des délibérations, ainsi que de la rédaction du jugement, (1) la procédure d'engagement du Greffier intimé était terminée, (2) l'issue en était connue et (3) l'entrée en fonction n'était prévue qu'au 15 mars 2021. Cette chronologie permet d'exclure l'hypothèse - serait-elle crédible - que le Greffier intimé ait pu se sentir dans une position de dépendance ou de subordination - même de fait - par rapport au Ministère public; aucun motif objectif ne permet donc de retenir qu'il ait pu tenter, par le biais du jugement à intervenir ou de la motivation à rendre, d'influencer sa candidature auprès du Ministère public ou les dispositions de ce dernier à son égard.
Cette constatation s'impose d'autant plus que les magistrats du Tribunal correctionnel - soit l'autorité pour laquelle le Greffier intimé exerçait alors - sont des professionnels; dans de telles circonstances, la connaissance certainement approfondie du dossier par le Greffier intimé ne suffit pas pour établir, y compris sous l'angle de l'apparence, qu'il aurait eu des possibilités d'influencer de manière prépondérante, voir déterminante, le prononcé du jugement final (<ref-ruling> consid. 5c/aa p. 265; arrêt 4A_29/2007 du 30 mai 2007 consid. 4.1 et 4.2; dans un autre sens lorsque le tribunal n'est composé que d'un magistrat professionnel et de quatre juges laïcs, <ref-ruling> consid. 7b/bb p. 230). Une telle appréciation semble d'autant plus s'imposer que le jugement du Tribunal correctionnel n'a pas suivi toutes les réquisitions du Ministère public.
Dans la mesure où le dossier judiciaire peut ne pas correspondre à l'ensemble des pièces et informations confiées à l'avocat par son client dans le cadre de la relation de confiance les unissant, la configuration d'espèce concernant un membre d'une autorité judiciaire ayant uniquement postulé auprès d'une autre juridiction au moment du jugement litigieux ne s'apparente pas à celle qui prévalait dans l'<ref-ruling>. Dans cette cause, il était question d'une avocate, collaboratrice, ayant déjà débuté une activité au sein d'un cabinet représentant la partie adverse dans une affaire dont elle avait eu connaissance dans son emploi précédent; dans ce cadre, elle avait notamment rencontré le client concerné (cf. lettre B des faits p. 220 et consid. 2.3 p. 225 de l'arrêt précité). Eu égard à ses obligations en matière de fidélité et de diligence envers son client, l'avocat se doit d'éviter des situations où il pourrait être amené, y compris de manière inconsciente, à utiliser les connaissances acquises - dont certaines peuvent avoir été maintenues confidentielles - auprès d'une partie adverse lors d'un mandat antérieur au détriment de celle-ci (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 222). On rappellera en tout état de cause que le Greffier intimé, dans le cadre de ses activités auprès du Ministère public, reste lié par le secret de fonction, respectivement est soumis au respect de l'<ref-law> (sur cette disposition, voir ATF <ref-ruling> consid. 3.1 p. 73 s.; arrêts 1B_331/2021 du 7 octobre 2021 consid. 2.2; 1B_269/2021 du 12 août 2021 consid. 2.3 et les arrêts cités; voir pour des exemples, arrêt 1B_491/2017 du 5 avril 2018 consid. 3.6), disposition dont le recourant a expressément écarté l'application (cf. ad ch. 25 ss p. 6 s. des observations du 27 octobre 2021 [1B_436/2021]); peu importe donc les prétendus faits nouveaux invoqués par le Ministère public, à savoir que le Greffier intimé ne travaillerait pas avec les Procureurs en charge de la cause du recourant (cf. ad ch. 34 ss p. 7 s. des observations précitées [1B_436/2021]). Eu égard à ces considérations et à la configuration d'espèce, il n'y a pas lieu d'examiner plus en avant si la connaissance du contenu du dossier judiciaire - dont disposent tant le Ministère public que les avocats de la défense - par le Greffier intimé suffirait pour avoir une autre appréciation sous l'angle de l'art. 56 let. f CPP s'il avait postulé, non pas auprès du Ministère public, mais auprès de l'étude du défenseur du recourant (cf. ad ch. 68 p. 17 s. du recours [1B_436/2021]).
Partant, aucune circonstance objective ne permet de craindre une intervention en faveur du Ministère public au cours de la procédure de première instance du fait que, préalablement au jugement du Tribunal correctionnel relatif au recourant, le Greffier intimé ait postulé avec succès auprès du Ministère public. La Chambre pénale de recours n'a donc pas violé le droit fédéral en rejetant la demande de récusation du 1er février 2021.
5.
Le recourant A._ demande également la récusation des Juges du Tribunal correctionnel, respectivement de la Présidente de cette autorité, dès lors qu'ils auraient en substance permis au Greffier intimé de siéger malgré son prochain changement de juridiction et qu'ils n'auraient pas non plus communiqué cette information aux parties (cf. ad ch. 85 ss p. 20 s. du recours [1B_436/2021]; voir aussi ad IV/B/b/ii p. 22 du recours [1B_448/2021]).
Cette requête - ainsi que l'a relevé l'autorité précédente - part cependant de la prémisse erronée que les motifs de récusation invoqués contre le Greffier intimé devraient être admis. Or, il découle des considérations précédentes que tel n'est pas le cas (cf. consid. 4.5 ci-dessus). Partant, il ne saurait être reproché aux Juges du Tribunal correctionnel et/ou à sa Présidente de ne pas avoir indiqué aux parties le futur changement de juridiction du Greffier intimé, respectivement de ne pas avoir demandé à un autre greffier de prendre sa place.
6.
Il s'ensuit que le recours dans la cause 1B_436/2021 est rejeté et que celui formé dans la cause 1B_448/2021 est rejeté dans la mesure où il est recevable.
Les deux recourants, qui succombent, supportent chacun les frais judiciaires relatifs à la cause les concernant (<ref-law>). B._ a appuyé le recours dans la procédure 1B_436/2021; il en va de même de A._ dans la cause 1B_448/2021. Quant aux autres parties, elles ont agi, dans ces deux procédures, dans le cadre de leurs attributions officielles. Partant, il n'y a pas lieu d'allouer de dépens dans les deux causes (art. 68 al. 1, 2 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1B_436/2021 et 1B_448/2021 sont jointes.
2.
Le recours dans la cause 1B_436/2021 est rejeté.
3.
Le recours dans la cause 1B_448/2021 est rejeté dans la mesure où il est recevable.
4.
Les frais judiciaires de la cause 1B_436/2021, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant A._.
5.
Les frais judiciaires de la cause 1B_448/2021, arrêtés à 2'000 fr., s ont mis à la charge du recourant B._.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal correctionnel de la République et canton de Genève, au Ministère public de la République et canton de Genève et à la Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 6 janvier 2022
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Kneubühler
La Greffière : Kropf