Sachverhalt:
A.
A.a. A._ bezog ab 1. Oktober 2011 Sozialhilfe von der Gemeinde U._. Am 4. März 2016 wurde die Sozialhilfe eingestellt. A._ wurde vorgeworfen, in U._ keinen Wohnsitz zu haben und auch keinen Aufenthalt mit tatsächlicher Anwesenheit. A._ wurde verpflichtet, unrechtmässig bezogene Leistungen von Fr. 94'552.20 nebst Zins zurückzuerstatten. Dies bestätigte das Bundesgericht letztinstanzlich (Urteil 8C_277/2017 vom 8. Mai 2017).
A.b. Die Gemeinde U._ stellte am 8. Dezember 2017 ein Richtigstellungsbegehren nach Art. 28 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 24. Juni 1977 über die Zuständigkeit für die Unterstützung Bedürftiger (Zuständigkeitsgesetz, ZUG; SR 851.1). Damit beabsichtigte sie, die vom Beschwerdeführer zu Unrecht bezogenen Leistungen beim Kanton V._ zurückzufordern. Das Departement für Finanzen und Soziales des Kantons Thurgau lehnte das Richtigstellungsbegehren mit Entscheid vom 12. April 2019 ab. Aus dessen Erwägungen ergibt sich, dass der Kanton V._ keine Sozialhilfe an den Beschwerdeführer ausgerichtet hat.
A.c. Am 19. Juni 2017 erhob die Gemeinde U._ gegen A._ Strafanzeige wegen Betrugs. Die Staatsanwaltschaft erhob am 24. Juli 2019 Anklage und warf A._ zusammengefasst vor, der Gemeinde U._ durch Vorspiegelung eines inexistenten Wohnsitzes ungerechtfertigte Nettoausgaben von ungefähr Fr. 150'000.-- verursacht zu haben.
B.
Das Obergericht des Kantons Thurgau verurteilte A._ am 19. April 2021 zweitinstanzlich wegen Betrugs. Es verhängte eine bedingte Geldstrafe von 330 Tagessätzen zu Fr. 20.-- und eine Busse von Fr. 1'320.--, dies als Zusatzstrafe zum Strafbefehl der Staatsanwaltschaft V._ vom 11. April 2018.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben. Er sei vom Vorwurf des Betrugs freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.
Er ersucht um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Verurteilung wegen Betrugs.
1.1. Nach <ref-law> macht sich des Betrugs schuldig, wer in der Absicht, sich oder einen andern unrechtmässig zu bereichern, jemanden durch Vorspiegelung oder Unterdrückung von Tatsachen arglistig irreführt oder ihn in einem Irrtum arglistig bestärkt und so den Irrenden zu einem Verhalten bestimmt, wodurch dieser sich selbst oder einen andern am Vermögen schädigt.
Angriffsmittel beim Betrug ist die Täuschung des Opfers. Als Täuschung gilt jedes Verhalten, das darauf gerichtet ist, bei einem andern eine von der Wirklichkeit abweichende Vorstellung hervorzurufen (<ref-ruling> E. 2.3.2; <ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen). Die Täuschung im Sinne von <ref-law> kann durch konkludentes Handeln erfolgen (<ref-ruling> E. 2.3.2 mit Hinweis). Eine Täuschung durch Unterlassen setzt eine qualifizierte Rechtspflicht des Täters zum Handeln im Sinne einer Garantenpflicht voraus (<ref-ruling> E. 6.3.1.2; <ref-ruling> E. 2.3.2). Wer als Bezüger von Sozialhilfe oder Sozialversicherungsleistungen falsche oder unvollständige Angaben zu seinen Einkommens- oder Vermögensverhältnissen macht, täuscht nach ständiger Rechtsprechung durch zumindest konkludentes Handeln aktiv (vgl. <ref-ruling> E. 6.3.1.3; <ref-ruling> E. 2.4.6 in fine S. 18; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 2b; Urteile 6B_741/2017 und 6B_742/2017 vom 14. Dezember 2017 E. 6.2.2; 6B_791/2013 vom 3. März 2014 E. 3.1.1; 6B_542/2012 vom 10. Januar 2013 E. 1.3).
Die Täuschung muss zudem arglistig sein. Arglist ist nach ständiger Rechtsprechung gegeben, wenn der Täter ein ganzes Lügengebäude errichtet oder sich besonderer Machenschaften oder Kniffe bedient. Bei einfachen falschen Angaben ist das Merkmal erfüllt, wenn deren Überprüfung nicht oder nur mit besonderer Mühe möglich oder nicht zumutbar ist, sowie dann, wenn der Täter den Getäuschten von der möglichen Überprüfung abhält oder nach den Umständen voraussieht, dass dieser die Überprüfung der Angaben aufgrund eines besonderen Vertrauensverhältnisses unterlassen werde. Arglist scheidet aus, wenn der Getäuschte den Irrtum mit einem Mindestmass an Aufmerksamkeit hätte vermeiden können. Auch unter dem Gesichtspunkt der Opfermitverantwortung erfordert die Erfüllung des Tatbestands indes nicht, dass das Täuschungsopfer die grösstmögliche Sorgfalt walten lässt und alle erdenklichen Vorkehren trifft. Arglist ist lediglich zu verneinen, wenn das Opfer die grundlegendsten Vorsichtsmassnahmen nicht beachtet. Die zum Ausschluss der Strafbarkeit des Täuschenden führende Opfermitverantwortung kann nur in Ausnahmefällen bejaht werden (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.2.; <ref-ruling> E. 5.2 mit Hinweisen).
Nach der im Bereich der Sozialhilfe ergangenen Rechtsprechung handelt eine Behörde leichtfertig, wenn sie eingereichte Belege nicht prüft oder es unterlässt, die um Sozialhilfe ersuchende Person aufzufordern, die für die Abklärung der Einkommens- und Vermögensverhältnisse relevanten Unterlagen einzureichen (Urteile 6B_1168/2016 vom 17. März 2017 E. 3.1; 6B_988/2015 vom 8. August 2016 E. 2.3, nicht publ. in: <ref-ruling>; 6B_125/2012 vom 28. Juni 2012 E. 5.3.3 mit Hinweisen).
1.2. Die Vorinstanz stellt fest, der Beschwerdeführer habe seinen Wohnsitz in U._ Anfang 2012 faktisch aufgegeben. Dennoch habe er vom 1. Oktober 2011 bis 4. März 2016 von der Gemeinde U._ Sozialhilfe bezogen. In diesem Zeitraum habe er in U._ eine 1-Zimmer-Wohnung für Fr. 500.-- pro Monat gemietet, wobei es in den Jahren 2014 und 2015 zu Mietzinsausständen von je Fr. 3'500.-- gekommen sei. Gemäss Auskunft der örtlichen Energieversorgung habe der Beschwerdeführer für diese Wohnung bis 31. Dezember 2011 in üblicher Menge Strom bezogen. Danach sei der Verbrauch eingebrochen. Zwischen 2012 und 2015 sei dem Beschwerdeführer noch 1 kWh verrechnet worden. Ein durchschnittlicher Schweizer Haushalt mit vier Personen verbrauche im Jahr zwischen 4'500 bis 5'000 kWh.
Die Sozialbehörde sei durch die Bankauszüge des Beschwerdeführers auf dessen Wohnsituation aufmerksam geworden. Sie habe festgestellt, dass der Beschwerdeführer in V._ regelmässig Geld bezogen habe. Deshalb habe sie den Beschwerdeführer aufgefordert, Bankauszüge zu den Gesprächen mit ihr mitzubringen. Ein weiteres Indiz für die faktische Aufgabe des Wohnsitzes in U._ erblickt die Vorinstanz in den Therapiesitzungen, die der Beschwerdeführer in V._ wahrgenommen habe, ohne bei der Sozialbehörde je Fahrspesen geltend zu machen.
1.3. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, es liege keine arglistige Täuschung vor.
1.3.1. Die Vorinstanz erwägt dazu, die Angaben des Beschwerdeführers seien nicht leicht zu überprüfen gewesen. Denn die Absicht dauernden Verbleibens an einem bestimmten Ort sei eine innere Tatsache. Die Enttarnung des Beschwerdeführers sei nur mit erheblichem Aufwand möglich gewesen.
Die Vorinstanz hält dem Beschwerdeführer zugute, dass er keine eigentliche Inszenierung veranstaltet habe. Doch habe er der Sozialbehörde immer wieder konkludent zu verstehen gegeben, sein Wohnsitz sei in U._. Zwar habe der Beschwerdeführer dies nicht ausdrücklich gesagt, dennoch habe er diesen Anschein erweckt. Er sei regelmässig zu den Gesprächen mit der Sozialbehörde erschienen und habe immer wieder zu verstehen gegeben, nach wie vor in U._ wohnhaft zu sein. So habe er gegenüber der Sozialbehörde mehrfach einen möglichen Wohnsitzwechsel weg von U._ thematisiert. Seinen angeblichen Wohnsitz in U._ habe er gegenüber der Sozialbehörde auch durch die Angabe bekräftigt, er bezahle die Miete für die Wohnung regelmässig.
Die Vorinstanz hält fest, der Beschwerdeführer habe allfällige Verdachtsmomente entkräftet. Sein langjähriges täuschendes Verhalten habe er stets den Vorwürfen der Sozialbehörde angepasst. So sei er spätestens im Jahr 2013 mit den Geldbezügen in V._ konfrontiert worden. Darauf habe er diese reduziert und in den Jahren 2014 und 2015 wieder vermehrt Geld in U._ abgehoben. Als er auf den gesunkenen Stromverbrauch angesprochen worden sei, habe er erklärt, er spare Strom, indem er Kerzen benutze und kalte Speisen esse.
Nach den Erwägungen der Vorinstanz kann der Sozialbehörde keine Leichtfertigkeit vorgeworfen werden. Zwar habe es zwischen den ersten Verdachtsmomenten im Jahr 2012 und der Einstellung der Sozialhilfe im Jahr 2016 relativ lang gedauert. Allerdings müsse berücksichtigt werden, dass die Sozialbehörde ihrem Verdacht stufenweise nachgegangen sei. Zudem habe der Beschwerdeführer sein Verhalten stetig angepasst.
Die Sozialbehörde habe den Beschwerdeführer im Jahr 2012 angewiesen, seine Kontoauszüge vorzulegen. Dadurch sei sie auf Geldbezüge in V._ aufmerksam geworden. Im Jahr 2013 seien diese Bezüge thematisiert worden. Diese zeitliche Verzögerung sei dem Umstand geschuldet, dass die Gespräche mit dem Beschwerdeführer nur zwei Mal im Jahr stattgefunden hätten. Durch die Anpassung seines Verhaltens habe der Beschwerdeführer die Sozialbehörde in ihrem Irrtum über seine Wohnverhältnisse bestärkt. Erst als der Beschwerdeführer für die Sozialbehörde nicht mehr greifbar gewesen sei, habe er erneut deren Verdacht geweckt. Darauf habe die Sozialbehörde seinen Stromverbrauch überprüft. Das Ergebnis habe sie schliesslich zu einer Observation veranlasst.
1.3.2. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, dringt nicht durch.
Der Beschwerdeführer erklärt, seine Behauptung, in U._ regelmässig Miete zu bezahlen, sei in keiner Weise geeignet, einen sozialhilferechtlichen Wohnsitz vorzutäuschen. Dies trifft nicht zu. Wenn jemand gegenüber einer Sozialbehörde erklärt, regelmässig Miete für eine Wohnung in ihrer Gemeinde zu bezahlen, dann ist diese Erklärung geeignet, die Sozialbehörde in der Annahme zu bestärken, dass die erklärende Person in dieser Gemeinde seinen Wohnsitz hat.
Der Beschwerdeführer trägt vor, beim Wohnsitz nach <ref-law> gehe es um eine rechtliche Qualifikation. Eine solche könne man nicht vortäuschen, sondern lediglich die tatsächlichen Umstände, welche darauf schliessen lassen. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers blendet die Vorinstanz dies keineswegs aus. Sie wirft dem Beschwerdeführer vor, eine Reihe von tatsächlichen Umständen vorgetäuscht zu haben, um seinen wahren Wohnsitz zu verschleiern.
Der Beschwerdeführer behauptet, aus dem angefochtenen Urteil gehe nicht hervor, inwiefern er sein Verhalten den Vorwürfen der Sozialbehörde angepasst und er dadurch die Sozialbehörde in ihrem Irrtum bestärkt hätte. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz habe er selbst die Übernachtungen bei seiner ehemaligen Lebenspartnerin sowie die Therapiebesuche als Grund für die Geldbezüge in V._ angegeben. Inwiefern darin ein angepasstes Verhalten liegen solle, erschliesse sich nicht. Damit übergeht der Beschwerdeführer die überzeugende vorinstanzliche Erwägung, dass er wieder vermehrt Geld in U._ abgehoben habe, nachdem er mit den Geldbezügen in V._ konfrontiert worden sei. Zudem gab der Beschwerdeführer an, er übernachte gelegentlich in V._ bei einer Kollegin. Mit dieser Erklärung wollte er den Verdacht zerstreuen, den seine Geldbezüge in V._ geweckt hatten.
Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz eine arglistige Täuschung des Beschwerdeführers bejahte.
1.4. Der Beschwerdeführer macht geltend, er habe Anspruch auf Sozialhilfe gehabt und nirgends sonst Leistungen bezogen.
1.4.1. Dazu erwägt die Vorinstanz, durch sein arglistig täuschendes Verhalten habe der Beschwerdeführer die Auszahlung von Sozialhilfe veranlasst, obschon seine Anspruchsberechtigung in der Gemeinde U._ erloschen sei. Er sei denn auch rechtskräftig zur Rückzahlung von Fr. 94'552.20 nebst Zins verpflichtet worden. Die Gemeinde U._ sei in diesem Umfang geschädigt.
1.4.2. Was der Beschwerdeführer dagegen vorträgt, überzeugt nicht.
Die Vorinstanz erwägt, strafrechtlich sei es irrelevant, dass der Beschwerdeführer grundsätzlich Anspruch auf Sozialhilfe hatte. Das Tatbestandsmerkmal der Bereicherung beziehe sich auf den Täter und die geschädigte Person. Ob dem Täter ein kongruenter Anspruch gegenüber einer Drittperson zustehe, sei für die Tatbestandsmässigkeit nicht bedeutend. Auf diese Frage ist nicht näher einzugehen. Denn unabhängig davon besteht eine Bereicherung des Beschwerdeführers. Diese sieht die Vorinstanz zu Recht darin, dass der Beschwerdeführer in U._ von einem bereits laufenden Verfahren mit fast keinen Verpflichtungen profitierte. Insbesondere habe er keine Arbeitspflicht gehabt. Eine neues Anmeldeverfahren in V._ hätte ihm Mehraufwand verursacht. Zudem hätte er keine Garantie gehabt, dass er wie in U._ von Auflagen und Weisungen verschont bleiben würde. Dass diese Bereicherung nur schwer zu beziffern ist, ändert daran nichts.
Zudem ist es der Beschwerdeführer, der ausführt, dass ein tieferer sozialhilferechtlicher Grundbedarf anerkannt wird, wenn man in einer Wohngemeinschaft lebt und nicht allein. Der Beschwerdeführer selbst rechnet in seiner Beschwerde vor, dass er sich auf diese Weise von Januar 2012 bis März 2016 um ungefähr Fr. 5'000.-- bereichert hätte. Hingegen trifft es entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers nicht zu, dass die Vorinstanz von einer Bereicherung im Umfang von Fr. 94'552.20 ausgeht. Vielmehr hält sie ausdrücklich fest, seine Absicht habe sich nicht auf eine Bereicherung in diesem Betrag bezogen, da er am neuen Wohnort wohl ebenfalls anspruchsberechtigt gewesen wäre. Folgerichtig berücksichtigt die Vorinstanz dies auch bei der Strafzumessung. Dort erwägt sie, es liege kein typischer Sozialhilfebetrug vor, da der Beschwerdeführer nicht unrechtmässig Sozialhilfe bezogen habe, indem er etwa nebenbei erwerbstätig gewesen wäre oder doppelte Sozialhilfe bezogen hätte. Die Vorinstanz hält ausdrücklich fest, dass der Beschwerdeführer vermutlich einen anderen Anspruch am neuen Wohnort gehabt hätte. Deshalb könne der Schaden der Gemeinde U._ von Fr. 94'552.20 nicht seiner Bereicherung gleichgesetzt werden.
Im Ergebnis ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz eine Bereicherung des Beschwerdeführers bejaht, obwohl er allenfalls anderswo Anspruch auf Sozialhilfe gehabt hätte.
1.5. Der Beschwerdeführer macht geltend, der subjektive Tatbestand des Betrugs sei nicht erfüllt.
1.5.1. Die Vorinstanz erwägt dazu, vom Beschwerdeführer als Laie könne nicht gefordert werden, die sozialhilferechtliche Bedeutung eines Wohnsitzwechsels zu kennen. Allerdings habe der Beschwerdeführer gewusst, dass er der Sozialbehörde jede wichtige Änderung melden musste, so auch einen Wegzug oder Umzug. Dies ergebe sich aus den Hinweisen im Fragebogen für Sozialhilfeunterstützung aus dem Jahr 2010 und aus der Erinnerung an seine Meldepflichten im Jahr 2014. Sodann habe die Sozialbehörde den Beschwerdeführer im Jahr 2012 auf die Wohnsitzfrage aufmerksam gemacht, als es um die Geldbezüge in V._ ging.
Gemäss Vorinstanz ist auch die Bereicherungsabsicht zu bejahen, da der Beschwerdeführer in der Absicht gehandelt habe, von den Vorteilen aus dem bereits laufenden Verfahren zu profitieren, weiterhin Sozialhilfegelder von der Gemeinde U._ zu beziehen und hiermit seinen Lebensunterhalt zu bestreiten.
1.5.2. Was der Beschwerdeführer dagegen vorträgt, ist unbegründet.
Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, musste dem Beschwerdeführer die sozialhilferechtliche Bedeutung des Wohnsitzes bewusst gewesen sein. So erwog er einen Kantonswechsel, um eine Neuanmeldung bei der Invalidenversicherung zu lancieren. Wenn der Beschwerdeführer trotz dieses Wissens konkludent zu erkennen gab, in U._ zu wohnen, so handelte er, wie die Vorinstanz überzeugend ausführt, mit der erforderlichen Wissenskomponente. Er nahm damit zumindest in Kauf, bei der Sozialbehörde eine irrige Vorstellung über seinen Wohnsitz zu verstärken und die Gemeinde U._ am Vermögen zu schädigen.
2.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Die Kosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Der Gerichtsschreiber: Matt