Erwägungen:
1.
Am 18. November 2020 lud das Bezirksgericht Uster in einem von der Verfahrensbeteiligten gegen die Beschwerdeführerin erhobenen Forderungsprozess diese beiden Parteien zur Hauptverhandlung am 16. Februar 2021 vor.
Mit Eingabe vom 14. Februar 2021 ersuchte die Beschwerdeführerin um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und beantragte die Sistierung des Verfahrens, eventualiter die Verschiebung der Verhandlung.
Mit Verfügung vom 15. Februar 2021 wies das Bezirksgericht die Anträge der Beschwerdeführerin ab und setzte ihr Frist an, um hinsichtlich ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend zu belegen.
Mit Schreiben vom 1. März 2021 ersuchte die Beschwerdeführerin um Erstreckung der mit Verfügung vom 15. Februar 2021 angesetzten Frist.
Am 4. März 2021 gewährte das Bezirksgericht der Beschwerdeführerin eine letztmalige Fristerstreckung bis am 12. März 2021. Die entsprechende Verfügung wurde der Beschwerdeführerin wegen eines Postrückbehaltungsauftrags erst am 1. April 2021 zugestellt.
Mit Entscheid vom 30. März 2021 hiess das Bezirksgericht die Klage gut und wies das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Mit Verfügung vom 20. April 2021 wies das Bezirksgericht ein von der Beschwerdeführerin gestelltes Gesuch um Wiederherstellung der mit Verfügung vom 4. März 2021 bis am 12. März 2021 erstreckten Frist zur Einreichung von Belegen zu ihren Einkommens- und Vermögensverhältnissen ab.
Mit Eingabe vom 9. Mai 2021 focht die Beschwerdeführerin die bezirksgerichtliche Verfügung vom 20. April 2021 beim Obergericht des Kantons Zürich mit Beschwerde an. Mit Entscheid vom 1. Juni 2021 wies das Obergericht die Beschwerde ab; das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wies es ebenfalls ab.
Mit Eingabe vom 30. Mai 2021 erhob die Beschwerdeführerin zudem Beschwerde gegen die mit Entscheid des Bezirksgerichts Uster vom 30. März 2021 erfolgte Abweisung ihres Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren. Mit Beschluss vom 11. Juni 2021 trat das Obergericht auf die Beschwerde nicht ein; das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das Beschwerdeverfahren wies es ab.
Mit Schreiben vom 4. Juli 2021 erklärte die Beschwerdeführerin dem Bundesgericht, die Entscheide des Obergerichts vom 1. Juni 2021 (Verfahren 4D_45/2021) und vom 11. Juni 2021 (Verfahren 4D_47/2021) mit Beschwerde anfechten zu wollen.
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
2.1. Die Beschwerden in den Verfahren 4D_45/2021 und 4D_47/2021, die denselben Rechtsstreit betreffen, werden gemeinsam behandelt.
2.2. Ein Verfahren vor Bundesgericht kann aus Gründen der Zweckmässigkeit ausgesetzt werden (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Vorliegend besteht kein Anlass für eine Sistierung; die Beschwerdeführerin legt auch nicht hinreichend dar, weshalb das Verfahren sistiert werden müsste. Das Sistierungsgesuch ist abzuweisen.
3.
Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
3.1. Der Streitwert erreicht die Streitwertgrenze für eine Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> nicht. Diese ist daher nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (<ref-law>).
Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und es ist auch nicht ersichtlich, inwiefern sich eine solche stellen könnte. Unter diesen Umständen ist die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig, sondern es steht die subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der Art. 113-119 BGG offen.
3.2. Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (<ref-law>). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Das Bundesgericht prüft die Verletzung von Grundrechten nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit <ref-law>). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).
Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen und der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 1.2.3; <ref-ruling> E. 2).
4.
Die Eingabe der Beschwerdeführerin vom 4. Juli 2021 erfüllt die genannten Begründungsanforderungen offensichtlich nicht. Sie zeigt nicht unter Bezugnahme auf die Erwägungen der angefochtenen Entscheide des Obergerichts des Kantons Zürich vom 1. und 11. Juni 2021 auf, inwiefern der Vorinstanz eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte vorzuwerfen wäre. Vielmehr verweist sie in unzulässiger Weise auf ihre Rechtsmitteleingabe an das Obergericht.
Auf die Beschwerden ist somit mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten (<ref-law>).
5.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist bereits wegen Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin wird bei diesem Verfahrensausgang kostenpflichtig (<ref-law>). Dem Beschwerdegegner und der Verfahrensbeteiligten stehen keine Parteientschädigungen zu (Art. 68 Abs. 2 und 3 BGG).

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Die Beschwerden in den Verfahren 4D_45/2021 und 4D_47/2021 werden gemeinsam behandelt.
2.
Das Gesuch um Verfahrenssistierung wird abgewiesen.
3.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
6.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
7.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und der Verfahrensbeteiligten schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Leemann