Faits :
A.
En 2017, une procédure pénale a été ouverte contre B._, né le 11 août 2000, du chef d'actes commis contre un dénommé C._ en mai de cette même année (P/10963/2017).
Au mois de juillet 2018, une seconde procédure (P/12434/2018) a été initiée contre B._ et jointe à la procédure précitée (P/10963/2017). Il lui est reproché d'avoir:
- le 28 juin 2018, de concert avec son frère majeur, D._, alors qu'ils s'étaient rendus dans l'épicerie de A._, menacé ce dernier et un tiers de mort, en affirmant qu'ils les " planteraient ", le mineur ayant, simultanément, montré un couteau qu'il portait sur lui;
- dans la nuit du 1er au 2 juillet 2018, tenté de tuer A._ en lui assénant plusieurs coups de couteau, notamment au niveau du thorax, alors que D._ le frappait, la victime ayant été en danger de mort.
Une expertise a été réalisée le 19 avril 2019, dont il résulte que B._ possédait, au moment d'agir, pleinement la faculté d'apprécier le caractère illicite de ses actes; toutefois, sur le plan volitif, sa capacité de se déterminer d'après cette appréciation était restreinte " en raison de son fonctionnement psychologique ".
A._ a reçu, le 2 juillet 2019, une copie de nombreuses pièces de la procédure, pour certaines caviardées, en particulier l'expertise rendue le 19 avril 2019 concernant B._, ce document comprenant les informations précitées.
Parallèlement, une procédure pénale a été ouverte contre D._ du chef des faits décrits ci-dessus. A._ s'est constitué partie plaignante dans ce cadre. Le 30 septembre 2019, D._ a été reconnu coupable, par le Tribunal criminel, de menaces et tentative d'assassinat - pour avoir agi en qualité de coauteur avec son frère mineur -; il a notamment été condamné à une peine privative de liberté de 12 ans. D._ a formé appel contre ce jugement devant la Chambre d'appel et de révision de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
B.
Par acte d'accusation du 21 novembre 2019, le Ministère public a renvoyé B._ en jugement devant le Tribunal des mineurs pour les actes commis au détriment de C._ et A._. Chacun des prénommés a reçu un extrait dudit acte, soit la partie le concernant, l'enquête relative aux infractions perpétrées contre ces derniers ayant été menée séparément.
Le 17 janvier 2020, la direction de la procédure du Tribunal des mineurs a rejeté la demande de A._ tendant à ce qu'il lui délivre une copie intégrale de l'acte d'accusation (non caviardé) ainsi que de l'entier de la procédure, respectivement l'autorise à participer aux débats.
La Chambre pénale de recours de la Cour de justice de la République et canton de Genève a, par arrêt du 16 juin 2020, rejeté le recours formé par l'intéressé contre cette décision.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt, concluant, à titre de mesures provisionnelles, à ce qu'aucune audience de jugement n'ait lieu dans le cadre de la procédure le concernant jusqu'à droit jugé sur le présent recours. Au fond, il demande que le Tribunal des mineurs soit enjoint de lui délivrer une copie non caviardée de l'intégralité de la procédure pénale, y compris l'acte d'accusation du 21 novembre 2019, et requiert le droit de participer à l'audience de jugement avec son conseil. Il sollicite également l'assistance judiciaire.
Invitée à se déterminer, la cour cantonale s'en est remise à justice sur les mesures provisionnelles et n'a pas présenté d'observations sur le fond. Le Tribunal des mineurs, acquiesçant à la requête de mesures provisionnelles, a indiqué qu'aucune audience de jugement ne serait convoquée avant droit jugé par le Tribunal fédéral; sur le fond, il s'est notamment référé à l'arrêt attaqué. B._ a conclu au rejet des conclusions provisionnelles ainsi qu'à l'irrecevabilité, respectivement au rejet du recours sur le fond; il a également sollicité l'assistance judiciaire et la nomination de son avocat pour la défense de ses intérêts. A._ a déposé des dernières observations.
Par ordonnance du 5 août 2020, le Président de la I re Cour de droit public, qui a pris acte de la position du Tribunal des mineurs, a jugé que la demande d'effet suspensif était sans objet.

Considérant en droit :
1.
La décision attaquée a été rendue dans le cadre d'une procédure pénale par une juridiction cantonale statuant en dernière instance (<ref-law>) et peut donc faire l'objet d'un recours en matière pénale au sens de l'<ref-law>. Le recourant a la qualité de partie plaignante (<ref-law>) et invoque à ce titre son droit d'accéder à l'intégralité du dossier, respectivement de participer aux débats, de sorte que la qualité pour agir doit lui être reconnue (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 5; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 79 s.).
La limitation imposée au recourant dans la consultation du dossier pénal, respectivement le refus de le faire participer aux débats constituent des décisions incidentes, qui ne mettent pas fin à la procédure. Toutefois, il apparaît d'emblée que ces décisions sont susceptibles de lui causer un préjudice irréparable (cf. <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 287). La jurisprudence considère en effet qu'un refus partiel d'accès au dossier remplit les conditions de l'<ref-law> lorsqu'il est opposé à une partie qui peut en principe se prévaloir d'un droit de le consulter sur la base de l'<ref-law> (arrêts 1B_225/2020 du 6 août 2020 consid. 1; 1B_474/2019 du 6 mai 2020 consid. 1.2). Tel est en l'occurrence le cas. Le refus de le laisser participer aux débats constitue également une décision incidente susceptible de lui causer un préjudice irréparable, puisqu'il en est définitivement privé.
Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Les pièces nouvelles produites par le recourant dans le cadre de la présente procédure, qui sont postérieures à l'arrêt attaqué, sont irrecevables (cf. <ref-law>); il en va de même des faits mentionnés en relation avec ces pièces.
3.
3.1. En matière de procédure pénale applicable aux mineurs, l'art. 15 al. 1 let. c de la loi fédérale du 20 mars 2009 sur la procédure pénale applicable aux mineurs (PPMin; RS 312.1) prévoit que dans l'intérêt du prévenu mineur, le droit de consulter des informations sur sa situation personnelle peut être restreint pour la partie plaignante. Cette restriction, qui s'ajoute à celles déjà envisagées par les art. 101 al. 1, 102 al. 1 et 108 CPP (AURÉLIEN STETTLER, in Commentaire Droit pénal et justice des mineurs en Suisse, 2018, no 78 ad <ref-law>), se justifie par le souci de protéger le mineur, ce d'autant plus que le contenu des dossiers peut être particulièrement sensible. En effet, ceux-ci, outre les rapports de police, les documents judiciaires, les procès-verbaux, contiennent souvent - en tous les cas dans les affaires dans lesquelles une mesure éducative est envisagée - de nombreux renseignements émanant de psychiatres, psychologues, travailleurs sociaux, enseignants ou employeurs, relatifs à la personne de l'auteur de l'infraction, à sa sphère familiale et des considérations sur son comportement. S'il y a un droit légitime des parties à accéder à une version du dossier contenant tous les éléments factuels permettant, d'une part au mineur de connaître les charges qui pèsent sur lui et d'autre part aux autres parties de se faire une idée objective de la situation, il y a aussi un intérêt légitime à restreindre l'accès aux informations d'ordre personnel. Cette disposition est également une lex specialis par rapport à l'<ref-law>. En effet, certains rapports d'expertise pourront ne pas être transmis au prévenu mineur ou à d'autres parties (Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 1345 ch. 3.3; dans ce sens également CHRISTOPH HUG/PATRIZIA SCHLÄFLI, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, 2e éd. 2014, no 4 ad <ref-law>; DIETER HEBEISEN, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung/Jugendstrafprozessordnung, op. cit., no 11 ad <ref-law>).
Quant à l'art. 20 PPmin, il prévoit que la partie plaignante peut participer à l'instruction si les intérêts du prévenu mineur ne s'y opposent pas (al. 1). Elle ne participe pas aux débats, sauf si des circonstances particulières l'exigent (al. 2). Cette exclusion n'est qu'une conséquence du principe du huis clos prévu par l'<ref-law> (arrêt 6B_1410/2019 du 17 juin 2020 consid. 2.5; DIETER HEBEISEN, op. cit., n o s 9 et 14 ad <ref-law>; LOÏC PAREIN/JONATHAN RUTSCHMANN, in Commentaire Droit pénal et justice des mineurs en Suisse, op. cit., no 168 ad <ref-law>).
3.2. En l'espèce, la cour cantonale a jugé que les demandes du recourant se heurtaient à l'intérêt du prévenu. Elle a retenu que le juge des mineurs avait mené une enquête approfondie sur la situation personnelle du prénommé pour déterminer au mieux ses besoins; le dossier comportait de nombreux éléments sensibles le concernant, données qui seraient évoquées et discutées lors de l'audience de jugement, en vue de fixer, dans l'hypothèse où la commission d'un acte illicite était retenue, la sanction la plus appropriée: une mesure éducative (art. 10 de la loi fédérale du 20 juin 2003 régissant la condition pénale des mineurs [DPMin; RS 311.1]) et/ou une peine (<ref-law>). L'autorité précédente a jugé qu'aucune particularité du cas d'espèce ne commandait de s'écarter des principes ancrés aux art. 15 et 20 PPMin, ce d'autant que le prévenu présentait, aux dires de l'expert, des troubles dans son " fonctionnement psychique ".
L'autorité précédente a en outre examiné si l'intérêt du recourant justifiait néanmoins de donner suite à sa demande tendant à la consultation de l'intégralité du dossier pénal. Elle a relevé à cet égard que la PPMin conférait à la victime la possibilité d'obtenir une décision sur la responsabilité pénale du mineur et ses conclusions civiles. Or, les pièces dont le recourant sollicitait une copie (non caviardée) étaient pertinentes pour statuer, non sur la culpabilité du prévenu, mais sur la mesure éducative et la peine, stade de la procédure où un éventuel risque de récidive était pris en compte. Selon l'autorité précédente, le recourant ne disposait d'aucune prérogative sur ces aspects, rappelant encore qu'un extrait de l'expertise portant sur l'éventuelle (ir) responsabilité du prévenu lui avait été communiqué. L'autorité précédente a encore ajouté que le recourant n'alléguait pas que l'accès auxdites pièces lui serait nécessaire pour chiffrer ses prétentions civiles.
3.3. De son côté, le recourant ne prétend pas qu'il n'aurait pas eu accès aux documents relatifs aux faits proprement dits (cf. DIETER HEBEISEN, op. cit., no 10 ad <ref-law>), respectivement qu'il n'aurait pas pu faire valoir ses droits en raison des restrictions qui lui ont été imposées. Il allègue qu'il aurait le " droit de connaître, sans réserve, la personnalité de celui qui lui a donné huit coups de couteau, sans scrupules et gratuitement, qui lui ont fait perdre 4,2 litres de sang et frôler la mort ". Ce faisant, il ne discute pas vraiment l'argumentation de la cour cantonale, qui a procédé à une pesée d'intérêts, respectivement expliqué de manière convaincante les raisons qui justifiaient de ne pas le laisser consulter l'intégralité du dossier, en particulier les pièces relatives à la situation personnelle du prévenu. Quant aux souffrances évoquées par le recourant, qui ne sont pas remises en cause, elles ne sont pas de nature à faire apparaître une violation de l'<ref-law>. On ne peut en effet reprocher aux juges précédents d'avoir privilégié, dans la pesée des intérêts effectuée, les impératifs de protection, d'éducation et de resocialisation du prévenu qui revêtent ici une importance particulière (AURÉLIEN STETTLER, op. cit., no 76 ad <ref-law>). La majorité du prénommé intervenue moins de six semaines après les faits litigieux n'est pas propre à modifier cette appréciation: comme l'a relevé la cour cantonale, le droit des mineurs confère en effet une place centrale à l'éducation et à l'émancipation de ces derniers ayant agi avant l'âge de 18 ans (cf. <ref-law>; NICOLAS QUELOZ, in Commentaire Droit pénal et justice des mineurs en Suisse, op. cit., no 15 ad <ref-law>), pour lesquels les mesures instaurées, respectivement les peines prononcées prennent fin lorsqu'ils ont atteint l'âge de 25 ans (art. 19 al. 2 et 37 al. 2 DPMin), l'intéressé étant aujourd'hui âgé de 20 ans.
En ce qui concerne les documents se rapportant aux prétendus actes délictueux commis à l'encontre de C._ (y compris la partie de l'acte d'accusation correspondante), la cour cantonale a jugé qu'il n'y avait pas lieu de revenir sur cet aspect de la décision déférée; selon elle, le recourant n'exposait nullement les raisons pour lesquelles la restriction afférente à ces pièces contreviendrait aux <ref-law>, respectivement serait injustifiée sous l'angle de la protection des intérêts du prénommé. Là encore, le recourant, qui s'est vu notifier un extrait de l'acte d'accusation portant sur les actes commis à son détriment (cf. <ref-law>), ne discute pas spécifiquement l'argumentation cantonale à ce sujet. Il ne précise pas concrètement quelles pièces en relation avec les prétendues infractions perpétrées à l'encontre de C._ devraient lui être accessibles, ni son intérêt à pouvoir les consulter pour faire valoir ses droits, que l'on ne distingue au demeurant pas.
Quant à sa requête tendant à participer aux débats, le recourant se prévaut de plusieurs circonstances qui ne sont toutefois pas de nature à contrebalancer la nécessité de protéger le prévenu dans sa personnalité en lui épargnant la publicité d'un jugement pénal voulue par l'<ref-law> (arrêt 6B_1410/2019 du 17 juin 2020 consid. 2.5; cf. aussi LOÏC PAREIN/JONATHAN RUTSCHMANN, op. cit., no 168 ad <ref-law> qui relèvent que la pratique est extrêmement restrictive quant aux " circonstances particulières " qui pourraient exiger la participation du plaignant; dans ce sens également DIETER HEBEISEN, op. cit., no 14 ad <ref-law>). On ne peut en outre reprocher à la cour cantonale d'avoir tenu compte du fait que les infractions concernées n'avaient pas été commises " entre quatre yeux ", respectivement que le recourant avait déjà été entendu, pour en conclure que sa présence aux débats n'apparaissait nullement indispensable. Pour le reste, il peut être renvoyé à ce qui a déjà été dit précédemment s'agissant de l'argument du recourant en lien avec la majorité du prévenu intervenue dans l'intervalle. La manière de procéder des autorités précédentes n'a ainsi pas conduit à une violation de l'<ref-law>.
4.
Il s'ensuit que le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
L'intimé, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'un avocat, a droit à des dépens à la charge du recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF), indépendamment de la question de savoir si ce dernier bénéficie de l'assistance judiciaire (cf. arrêt 1C_422/2019 du 1er septembre 2020 consid. 5).
Tant le recourant que l'intimé, tous deux indigents, ont demandé l'assistance judiciaire (<ref-law>). Le recours n'étant pas d'emblée dénué de chances de succès, la demande du recourant doit être admise. Il en va de même de celle de l'intimé, étant donné le risque qu'il ne puisse pas recouvrer les dépens auxquels il a droit. Il y a dès lors lieu de leur désigner leurs conseils respectifs en qualité de défenseurs d'office. Une indemnité, supportée par la caisse du Tribunal fédéral, est en outre allouée au mandataire du recourant à titre d'honoraires d'avocat d'office (<ref-law>). Une telle indemnité sera également versée au mandataire de l'intimé par la caisse du Tribunal fédéral, au cas où les dépens alloués ne pourraient être recouvrés (cf. arrêts 1C_422/2019 du 1er septembre 2020 consid. 5; 1B_593/2019 du 24 juin 2020 consid. 4). Il n'est pas perçu de frais judiciaires.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité.
2.
La demande d'assistance judiciaire du recourant est admise. Me Robert Assaël lui est désigné en tant qu'avocat d'office et une indemnité de 1'500 fr. lui est allouée à titre d'honoraires, à payer par la caisse du Tribunal fédéral. Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de dépens, fixée à 1'500 fr., est allouée à l'intimé, à la charge du recourant.
4.
La demande d'assistance judiciaire déposée par l'intimé est admise, dans la mesure où elle n'est pas sans objet, et Me Baptiste Favez lui est désigné comme avocat d'office. Pour le cas où les dépens dus par le recourant ne pourraient pas être recouvrés, la caisse du Tribunal fédéral versera au mandataire de l'intimé une indemnité de 1'500 fr. à titre d'honoraires.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties, au Ministère public de la République et canton de Genève, au Tribunal des mineurs de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 16 octobre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Nasel