Sachverhalt:
A.
C._ lebte aufgrund einer behördlichen Anordnung in einem sozialpädagogischen Heim für Kinder und Jugendliche im Kanton Thurgau, wo sie auch in A._ (TG) ihren Wohnsitz hatte. Ihre Mutter war im Kanton St. Gallen wohnhaft und bezog eine ganze Rente der Invalidenversicherung (IV) sowie Ergänzungsleistungen (EL). Ab 1. Februar 2015 wurde eine IV-Kinderrente für ihre Tochter ausgerichtet.
Im Juni 2015 meldeten die Sozialen Dienste der Gemeinde A._ C._ bei der Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, Ausgleichskasse (nachfolgend: EL-Durchführungsstelle), zum Bezug von Ergänzungsleistungen an. Mit Verfügung vom 15. Juli 2016 wies diese das Leistungsbegehren ab. Der gesonderten Anspruchsberechnung hatte sie eine Heimtaxe von Fr. 33.- im Tag zugrundegelegt, dies bei effektiven Monatspauschalen von Fr. 6'900.- (2015) und Fr. 7'320.- (2016). Mit Einspracheentscheid vom 17. November 2016 hielt die EL-Durchführungsstelle an der angefochtenen Verfügung fest.
B.
In Gutheissung der Beschwerde der Politischen Gemeinde A._ wies das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 12. November 2018 die Sache zur Neuberechnung der Ergänzungsleistungen im Sinne der Erwägungen an die EL-Durchführungsstelle zurück.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Sozialversicherungsanstalt des Kantons St. Gallen, Ausgleichskasse, der Entscheid des kantonalen Versicherungsgerichts vom 12. November 2018 sei aufzuheben, und der Einspracheentscheid vom 17. November 2016 sei zu bestätigen.
Die Politische Gemeinde A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz hat die Beschwerdelegitimation nach Art. 59 ATSG der am Recht stehenden thurgauischen Gemeinde unter Hinweis auf <ref-ruling> E. 4.4.1 S. 193 bejaht, weil die fremdplatzierte Tochter, deren Mutter eine ganze IV-Rente und EL bezieht, durch sie sozialhilferechtliche Unterstützungen bekomme. Die Beschwerdeführerin bestreitet diesen Sachverhalt nicht. Es besteht kein Anlass zu Weiterungen (vgl. auch <ref-ruling> E. 3 S. 294, wonach der Begriff des schutzwürdigen Interesses für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht gleich auszulegen ist wie derjenige nach Art. 89 Abs. 1 lit. c BGG für das Verfahren der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vor dem Bundesgericht).
2.
Streitgegenstand bildet die jährliche Ergänzungsleistung nach Art. 7 Abs. 1 lit. c und Abs. 2 ELV (i.V.m. Art. 9 Abs. 5 lit. a ELG) für die Zeit vom 1. Februar 2015 bis zum 31. März 2016 für die Tochter, die eine IV-Kinderrente bezieht, deren Mutter Anspruch auf eine ganze IV-Rente und auf Ergänzungsleistungen hat. Dabei stellt sich einzig die Frage, ob in der gesonderten Berechnung eine Heimtaxe von Fr. 205.- als Ausgaben nach Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG anzuerkennen ist, wie die Vorinstanz erkannt hat, oder lediglich Fr. 33.-, wie die Beschwerdeführerin dafürhält. Im zweiten Fall besteht kein EL-Anspruch, was unbestritten ist.
3.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht und interkantonalem Recht gerügt werden (Art. 95 lit. a und e BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz auf Rüge hin oder von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht, und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es prüft die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; qualifizierte Rügepflicht: <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53).
Ausserhalb des Anwendungsbereichs von Art. 95 lit. c-e BGG stellt die Verletzung von kantonalem Recht nur dann einen zulässigen Beschwerdegrund dar, wenn sie einen Verstoss gegen Bundesrecht oder gegen Völkerrecht im Sinne von Art. 95 lit. a und b BGG zur Folge hat (<ref-ruling> E. 2.2 S. 412; <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 251). Dementsprechend prüft das Bundesgericht die Handhabung der als verletzt gerügten kantonalen Vorschriften nur unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (Art. 9 BV; <ref-ruling> E. 3.1 S. 473). Dagegen prüft es grundsätzlich frei, ob das willkürfrei ausgelegte kantonale Recht im Ergebnis zu einer Verletzung von Bundes- oder Völkerrecht führt (<ref-ruling> E. 4.1 S. 354 f.; Urteil 9C_459/2016 vom 13. Januar 2017 E. 3.1-2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2017 EL Nr. 2 S. 3).
4.
4.1. Bei Personen, die dauernd oder längere Zeit in einem Heim oder Spital leben, werden unter anderem die Tagestaxe als Ausgabe anerkannt; die Kantone können die Kosten begrenzen, die wegen des Aufenthaltes in einem Heim oder Spital berücksichtigt werden; sie sorgen dafür, dass durch den Aufenthalt in einem anerkannten Pflegeheim in der Regel keine Sozialhilfe-Abhängigkeit begründet wird (Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG). Diese Bestimmung ist sinngemäss auch bei Kindern anwendbar, welche unter Art. 7 Abs. 1 lit. c ELV fallen (Urteil 9C_334/2014 vom 10. November 2014 E. 4.1).
Als Heim im Sinne von Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG gilt jede Einrichtung, die entweder von einem Kanton als Heim anerkannt wird oder über eine kantonale Betriebsbewilligung verfügt (Art. 25a Abs. 1 ELV i.V.m. Art. 9 Abs. 5 lit. h ELG; <ref-ruling> E. 2.3 S. 260; <ref-ruling>). Beide Voraussetzungen treffen auf das im Kanton Thurgau gelegene sozialpädagogische Heim zu, in welchem die Tochter der im Kanton St. Gallen wohnhaften IV-Rentenbezügerin im massgebenden Zeitraum aufgrund einer kindesschutzrechtlichen Fremdplatzierung untergebracht war.
4.2. Art. 1a Abs. 2 der st. gallischen Verordnung vom 4. Dezember 2007 über die nach Ergänzungsleistungsgesetz anrechenbare Tagespauschale (sGS 351.52; in der Fassung gemäss II. Nachtrag vom 20. Dezember 2012) bestimmt Folgendes: "Bei Aufenthalt im Kinder- oder Jugendheim von Kindern, die einen Anspruch auf eine Kinderrente der Alters- oder Invalidenversicherung begründen, entspricht die anrechenbare Tagespauschale höchstens dem Ansatz für Verpflegung und Unterkunft nach Art. 11 Abs. 1 der Verordnung über die Alters- und Hinterlassenenversicherung vom 31. Oktober 1947 [AHVV]". Nach dieser Vorschrift werden Verpflegung und Unterkunft der Arbeitnehmer im Betrieb und Hausdienst mit 33 Franken im Tag bewertet (Satz 1). Im Urteil 9C_334/2014 vom 10. November 2014 E. 4.2 entschied das Bundesgericht bei einem innerkantonalen Heimaufenthalt, dass Art. 1a Abs. 2 der Verordnung vom 4. Dezember 2007 über die nach Ergänzungsleistungsgesetz anrechenbare Tagespauschale vor Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG standhält.
5.
Die Beschwerdeführerin legte der gesonderten EL-Berechnung für die Tochter der eine ganze IV-Rente und EL beziehenden Mutter mit Wohnsitz im Kanton St. Gallen in Anwendung von Art. 1a Abs. 2 der kantonalen Verordnung vom 4. Dezember 2007 über die nach Ergänzungsleistungsgesetz anrechenbare Tagespauschale eine Heimtaxe von Fr. 33.- zugrunde. Nach Auffassung der Vorinstanz widerspricht diese Bestimmung Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG sowie Art. 8 BV, soweit darin nicht danach differenziert werde, ob das (anerkannte) Kinder- oder Jugendheim im Kanton liegt oder nicht. Im zweiten Fall sei daher - lückenfüllend - das Recht des Standortkantons des Heims heranzuziehen, im vorliegenden Fall somit § 6 Abs. 1 Ziff. 1 der thurgauischen Verordnung des Regierungsrates vom 11. Dezember 2007 zum Gesetz über Ergänzungsleistungen zur Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung (TG ELV; RB 831.31). Danach wird bei einem Aufenthalt in einem (anderen) inner- oder ausserkantonal anerkannten Kinderheim für Hotellerie und Betreuung eine Tagestaxe von höchstens Fr. 205.- angerechnet. Dieser Tarif sei zwar tiefer als die tatsächliche Monatspauschale von Fr. 6'900.- (2015) bzw. Fr. 7'320.- (2016; Sachverhalt lit. A), so die Vorinstanz, jedoch namentlich aus Gründen der Gleichbehandlung mit anderen Heimbewohnern, deren Eltern - im Unterschied zur EL-Bezügerin - im selben Kanton wohnten, anwendbar.
6.
Die Beschwerdeführerin hält daran fest, dass eine Heimtaxe von Fr. 33.- rechtmässig sei. Zur Begründung stützt sie sich in erster Linie auf <ref-ruling>. In diesem Urteil hat das Bundesgericht entschieden, "dass Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG die Kantone nicht verpflichtet, die Tagestaxen auch bei anderen Einrichtungen als anerkannten Pflegeheimen nach Art. 39 Abs. 3 KVG so festzusetzen, dass die dort lebenden EL-Bezüger - in der Regel - nicht Sozialhilfe beantragen müssen. Umgekehrt stellt es keinen Verstoss gegen Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG dar, wenn die Taxen für Heime und Spitäler, die nicht Pflegeheime sind, nicht existenzsichernd im EL-rechtlichen Sinne sind (...), sodass sich allenfalls der Gang zur Sozialhilfe als unumgänglich erweist (E. 6.1 S. 14). "Die vom Gesetzgeber mit Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG getroffene Regelung, wonach bei in Heimen oder Spitälern lebenden Personen die Schranke der Verhinderung von Sozialhilfe-Abhängigkeit lediglich für vom Kanton anerkannte Pflegeheime nach Art. 39 Abs. 3 KVG gilt, hingegen jedenfalls nicht für andere nach kantonalem Recht (i.V.m. Art. 25a Abs. 1 ELV) anerkannte Einrichtungen (...), ist für das Bundesgericht (und die anderen rechtsanwendenden Behörden) massgebend (Art. 190 BV) und somit anzuwenden (...). Ebenfalls ist hinzunehmen, dass eine die tatsächlichen Heimkosten (bei Weitem) nicht deckende Tagestaxe dazu führen kann, dass kein Anspruch auf eine jährliche Ergänzungsleistung (Art. 3 Abs. 1 lit. a ELG) besteht (..."; E. 6.2 S. 15 f.).
Das sozialpädagogische Heim, in welchem die Tochter im hier interessierenden Zeitraum vom 1. Februar 2015 bis 31. März 2016 wohnte, ist kein anerkanntes Pflegeheim nach Art. 39 Abs. 3 KVG, was unbestritten ist.
7.
Entgegen der Auffassung der Vorinstanz gilt die Rechtsprechung gemäss <ref-ruling> nicht nur bei innerkantonalen Sachverhalten, d.h. wenn das Heim im selben Kanton liegt, wo die eine Rente der AHV oder IV beziehende Person ihren Wohnsitz hat. In diesem Präjudiz ging es denn auch neben der Berechnung des EL-Anspruchs einer Mutter um die gesonderte Berechnung des Anspruchs für ihre in einem anderen Kanton fremdplatzierten drei Kinder. Es besteht kein Anlass, im vorliegenden Fall von der vom kantonalen Versicherungsgericht in Frage gestellten Rechtsprechung abzuweichen (zu den Voraussetzungen für eine Praxisänderung <ref-ruling> E. 5.5.1 S. 303; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 422; je mit Hinweisen).
7.1.
7.1.1. Aus den Materialien zu Art. 10 Abs. 2 lit. a ELG ergibt sich, dass nach dem Willen des Gesetzgebers die Schranke der Verhinderung von Sozialhilfe-Abhängigkeit lediglich bei Aufenthalt in einem Pflegeheim nach Art. 39 Abs. 3 KVG (absolut) gelten soll, darüber hinaus nicht (unnötigerweise) in die Kompetenzen der Kantone im alters- und sozialpolitischen Bereich eingegriffen werden wollte (<ref-ruling> E. 6.1 S. 13 f.). Diese haben nebst einer Beteiligung an den jährlichen Ergänzungsleistungen (Art. 13 Abs. 1 ELG) vollständig die Verantwortung für diejenigen Bereiche der EL zu übernehmen, welche in einem Zusammenhang mit Heim- oder Gesundheitskosten stehen. Von Verfassungs wegen hat der Bund (lediglich) sicherzustellen, "dass zu Hause und im Heim lebende Personen hinsichtlich des Grundbedarfs gleich behandelt werden". Darüber hinaus haben die Kantone die Heimkosten alleine zu übernehmen (vgl. Art. 13 Abs. 2 ELG und <ref-ruling> E. 5.4.1 S. 206), wobei sie "zwischen Subjekthilfe (individuelle, d.h. personenbezogene Hilfe) und Objekthilfe (Subventionierung von Institutionen) frei wählen" können (<ref-ruling> E. 6.2 S. 15).
7.1.2. Wie die Vorinstanz sodann festhält, sind nach dem st. gallischen Recht bei einer zivilrechtlichen Unterbringung in einem anerkannten Kinder- oder Jugendheim die Kosten, welche die Leistungen anderer gesetzlicher Kostenträger (Unterhaltspflichtige, Versicherungen) übersteigen, voll durch die politische Gemeinde (zwei Drittel) und durch den Kanton gedeckt. Dabei handelt es sich bei rechtmässigem Leistungsbezug um nicht rückerstattungspflichtige Staatsbeiträge (vgl. Art. 42 f. des kantonalen Sozialhilfegesetzes vom 27. September 1998 [sGS 381.1]). Durch diese Kostenübernahmegarantie der öffentlichen Hand für die durch die Tagestaxe und den Betrag für persönliche Auslagen nach Art. 10 Abs. 2 lit. a und b ELG nicht gedeckten Kosten des Heimaufenthalts wird Sozialhilfe-Abhängigkeit verhindert. Die im Heim wohnenden Personen (oder deren Eltern für sie) müssen somit nicht um Sozialhilfe nachsuchen (Urteil 9C_334/2014 vom 10. November 2014 E. 3 und E. 4.2.3). Diese Regelung gilt indessen nur für im gleichen Kanton gelegene Heime. Der Kanton St. Gallen kann nicht andere Kantone oder deren Gemeinden zur Übernahme von nicht gedeckten Heimkosten verpflichten, es sei denn, es bestehe eine entsprechende interkantonale Vereinbarung. Die von der Vorinstanz gleichsam zur Kompensation getroffene Lösung, bei der (gesonderten) Berechnung der EL die im Kanton Thurgau geltende höhere Heimtaxe anzuwenden, läuft im Ergebnis darauf hinaus, dem Kanton St. Gallen eine Kostenübernahmegarantie für die durch die Tagestaxe und den Betrag für persönliche Auslagen nach Art. 10 Abs. 2 lit. a und b ELG nicht gedeckten Kosten des Heimaufenthalts im Rahmen der EL aufzuerlegen. Dafür besteht indes nach dem Gesagten (vgl. E. 6) keine bundesrechtliche Grundlage.
7.2.
7.2.1. Des Weitern gehört zur gesetzlichen Konzeption, dass der Kanton, in welchem die eine Rente der AHV oder IV beziehende Person Wohnsitz hat, (auch) für deren in einem ausserkantonalen Heim lebenden Kinder, welche einen Anspruch auf eine Kinderrente begründen, Ergänzungsleistungen zu erbringen hat, wenn die (gesonderte) Berechnung einen Ausgabenüberschuss ergibt (Art. 9 Abs. 1 ELG; <ref-ruling> E. 4.3 S. 160). Dabei erscheint es namentlich unter dem Gesichtspunkt des Gleichbehandlungsgebots nicht bundesrechtswidrig, wenn sie die Tagestaxe anwenden, welche für die im eigenen Kantonsgebiet gelegenen Heime gilt. Im Übrigen besteht hier keine mit Art. 41 Abs. 2, 3 und 3bis KVG vergleichbare Regelung.
7.2.2. Schliesslich ist zu beachten, dass Kinder, welche unter Art. 7 Abs. 1 lit. c ELV fallen, keinen eigenen EL-Anspruch haben (<ref-ruling> E. 3 S. 157). Das bedeutet, dass nicht der Kanton, in welchem sie Wohnsitz haben, sondern derjenige des eine Rente der AHV oder IV beziehenden Elternteils allenfalls (auch) für sie Ergänzungsleistungen zu erbringen hat. Im vorliegenden Fall kann die Anwendung der st. gallischen Tagestaxe von Fr. 33.- zwar zu Sozialhilfebedürftigkeit der im Heim lebenden Tochter führen, wofür aufgrund ihres Wohnsitzes der Kanton Thurgau zuständig ist. Umgekehrt hat dieser Kanton keine Ergänzungsleistungen, (gesondert) berechnet auf der Grundlage einer Heimtaxe von Fr. 205.-, auszurichten, welchen Gesichtspunkt die Vorinstanz völlig ausgeblendet hat.
Im Sinne des Vorstehenden kann weder von einer unzulässigen Überwälzung nicht gedeckter Kosten auf den Kanton Thurgau gesprochen werden, noch liegt eine Verletzung des Rechtsgleichheitsgebots nach Art. 8 Abs. 1 BV vor, welche ein Eingreifen des Bundesgerichts, soweit zulässig (Art. 190 BV), in kantonales Recht erforderte oder rechtfertigte.
7.3. Die Vorbringen der Beschwerdegegnerin in ihrer Vernehmlassung gehen insofern an der Sache vorbei, als sie im Wesentlichen auf einem im Kontext unzutreffenden Verständnis vom Begriff des Existenzbedarfs beruhen. Taxen für Heime und Spitäler, die nicht Pflegeheime sind, gelten erst dann nicht als existenzsichernd im EL-rechtlichen Sinne, wenn "die Beträge für den allgemeinen Lebensbedarf nach Artikel 10 Absatz 1 Buchstabe a Ziffer 1, für den höchstmöglichen Mietzins nach Artikel 10 Absatz 1 Buchstabe b Ziffer 1 und für die anerkannten Ausgaben nach Artikel 10 Absatz 3 durch die anrechenbaren Einnahmen nicht gedeckt sind" (Art. 13 Abs. 2 ELG; <ref-ruling> E. 6.1 S. 14; Urteil 9C_334/2014 vom 10. November 2011 E. 4.2.2).
8.
Nach dem Gesagten verletzt die vorinstanzliche Auslegung von Art. 1a Abs. 2 der kantonalen Verordnung vom 4. Dezember 2007 über die nach Ergänzungsleistungsgesetz anrechenbare Tagespauschale Bundesrecht (E. 3). Der angefochtene Entscheid hebt somit zu Unrecht den Einspracheentscheid vom 17. November 2016 auf, welcher zu bestätigen ist. Damit besteht auch kein Anspruch der Beschwerdegegnerin auf Ersatz der Parteikosten für das Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht (Art. 61 lit. g ATSG). Die Beschwerde ist auch in diesem Punkt begründet.
9.
Ausgangsgemäss hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 12. November 2018 aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, C._ und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 1. Mai 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler