Der Präsident zieht in Erwägung:
1.
Mit Entscheid vom 23. Juni 1982 erklärte die Jugendstrafkammer des Kantons Basel-Stadt den Beschwerdeführer der fortgesetzten Brandstiftung für schuldig und wies ihn in das bürgerliche Waisenhaus Basel ein. Diese Massnahme wurde mit Entscheid des Präsidenten der Jugendstrafkammer vom 23. Dezember 1982 vorsorglich abgeändert und der Beschwerdeführer auf seinen eigenen Antrag hin im Sinne eines Versuchs nach Hause zu den Eltern entlassen. Da sich dieser Versuch nicht als erfolgreich herausstellte, änderte die Jugendstrafkammer am 21. März 1984 die Massnahme erneut ab und entschied, dass der Beschwerdeführer bei einer Fremdfamilie oder in einem geeigneten Erziehungsheim untergebracht werden soll, wobei es die genaue Ausgestaltung der Massnahme dem Jugendamt überliess.
Der Beschwerdeführer gelangte am 17. Juni 2019 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und beantragte, es sei festzustellen, dass die Jugendstrafkammer bzw. deren Präsident im Zusammenhang mit den erwähnten Entscheiden aus den Jahren 1982 und 1984 Recht falsch angewendet und gegen diverse Konventionsbestimmungen, insbesondere Art. 5 Ziff. 1 lit. d, Art. 6 Ziff. 1, Art. 8 sowie Art. 17 und Art. 18 EMRK, verstossen hätten.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt trat am 14. August 2019 auf die Beschwerde nicht ein.
Der Beschwerdeführer wendet sich an das Bundesgericht. Er macht geltend, ein Angehöriger eines Mitgliedstaats müsse jederzeit Beschwerde führen können, wenn es um die Verletzung seiner in der Konvention garantierten Rechte gehe. Das Erfordernis eines aktuellen und praktischen Rechtsschutzinteresses bedürfe keiner Berücksichtigung.
2.
Gemäss <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt.
3.
Das Appellationsgericht hat einen Nichteintretensentscheid gefällt und diesen insbesondere mit der längst abgelaufenen Beschwerdefrist begründet. Mit den vorinstanzlichen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht bzw. nicht hinreichend auseinander. Er verkennt zudem, dass das Recht auf eine wirksame Beschwerde nach Art. 13 EMRK nicht von der Ausschöpfung des innerstaatlichen Rechtswegs und der Einhaltung von Beschwerdefristen befreit. Die (angefochtenen) Entscheide der Jugendstrafkammer vom 23. Juni 1982 und 21. März 1984 enthalten Rechtsmittelbelehrungen nach § 41 aJUStG. Gemäss Verteiler wurden sie u.a. dem Beschwerdeführer und seinen Eltern eröffnet. Dass die Entscheide weder ihm noch seinen Eltern zugestellt wurden, macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht geltend. Er zeigt ebenso wenig auf, dass und weshalb es ihm bzw. seinen Eltern allenfalls unzumutbar oder unmöglich gewesen sein soll, innert Frist Beschwerde gegen die erwähnten Entscheide einzulegen. Aus seinen Ausführungen ergibt sich mithin nicht, dass und inwiefern der angefochtene Nichteintretensentscheid fehlerhaft sein und gegen das Recht im Sinne von <ref-law> verstossen könnte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (<ref-law>). Darauf kann im Verfahren nach <ref-law> nicht eingetreten werden.
4.
Auf eine Kostenauflage kann ausnahmsweise verzichtet werden (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Dezember 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill