Erwägungen:
1.
1.1. Der ukrainische Staatsangehörige A._ (geb. 1998) reiste am 28. Juni 2016 im Rahmen des Familiennachzuges zu seiner hier aufenthaltsberechtigten Mutter in die Schweiz ein und erhielt eine bis zum 25. Juni 2017 befristete Aufenthaltsbewilligung. Am 28. Juni 2016 reiste er bereits wieder in die Ukraine zurück. Nach einer 2017 erfolgten Wiedereinreise stellte das Amt für Migration und Personenstand des Kantons Bern (MIP) fest, die Aufenthaltsbewilligung von A._ sei erloschen, und wies ihn aus der Schweiz weg. Am 10. Januar 2018 stellte dieser beim MIP ein Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zwecks Aus- und Weiterbildung. Mit Verfügung vom 9. Februar 2018 lehnte das MIP dieses Gesuch ab und wies A._ ein weites Mal aus der Schweiz weg. Die kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos (Entscheid der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern [POM] vom 7. September 2018, Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 19. März 2019).
1.2. Mit Eingabe vom 24. April 2019 führt A._ subsidiäre Verfassungsbeschwerde beim Bundesgericht mit dem Hauptantrag, das letztgenannte Urteil aufzuheben und ihm - dem Beschwerdeführer - eine Aufenthaltsbewilligung zu Aus- und Weiterbildungszwecken zu erteilen. Gleichzeitig wird um Gewährung der aufschiebenden Wirkung - auch superprovisorisch - ersucht.
Ein Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen sind nicht durchgeführt worden.
Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil werden die Gesuche um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer hat keinen Anspruch auf die streitige Aufenthaltsbewilligung, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig ist (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BG) und als bundesrechtliches Rechtsmittel allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zur Verfügung steht (<ref-law>), welches Rechtsmittel der Beschwerdeführer denn auch ausdrücklich erhebt.
2.2. Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>); solche Rügen bedürfen spezifischer Geltendmachung und Begründung (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit <ref-law>). Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (<ref-law>). Steht dem Ausländer kein Anspruch auf die beantragte ausländerrechtliche Bewilligung zu, ist er durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, weshalb ihm die Legitimation zur Anfechtung des negativen Bewilligungsentscheids bzw. eines diesen bestätigenden Rechtsmittelentscheids in der Sache selbst fehlt; namentlich kann er nicht die Verletzung des Willkürverbots rügen (<ref-ruling>). Das gilt auch in Bezug auf das allgemeine Rechtsgleichheitsgebot gemäss <ref-law> (Urteil 2D_49/2010 vom 22. September 2010 E. 2 mit Hinweisen). Beim ebenfalls angerufenen Verhältnismässigkeitsgrundsatz handelt es sich bloss um ein verfassungsmässiges Prinzip, nicht aber um ein mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde selbstständig anrufbares verfassungsmässiges Recht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 156).
Der Beschwerdeführer ist, was die materielle Bewilligungsfrage betrifft, unter keinem Titel zur Beschwerde legitimiert. Die Beschwerde erschöpft sich in der Rüge einer willkürlichen Anwendung von Bestimmungen, die keinen Rechtsanspruch gewähren, was wie soeben erwähnt unzulässig ist.
2.3. Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Ausländer zur Rüge berechtigt, ihm zustehende Verfahrensgarantien seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien; ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonst wie willkürlich festgestellt oder Beweisanträge seien wegen willkürlicher antizipierter Beweiswürdigung abgelehnt worden (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; s. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; spezifisch zum Ausländerrecht <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f. und <ref-ruling> E. 2 S. 308). Der Beschwerdeführer rügt, das angefochtene Urteil verletzte seinen Anspruch auf rechtliches Gehör. Was er dazu vorbringt, läuft auf eine im beschriebenen Sinn unzulässige Kritik am vorinstanzlichen Sachentscheid hinaus; andere, im Sinne der "Star-Praxis" unabhängige Rügen enthält die Beschwerde nicht (vgl. dazu Urteile 2D_340/2018 vom 23. Mai 2018 E. 2.4 und 2C_138/2016 vom 9. Februar 2016 E. 2.4). Auf die Verfassungsbeschwerde ist mangels zulässiger Rügen (vgl. <ref-law>) mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.
Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 65 und 66 BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein