Sachverhalt:
A.
A.a. Am 9. März 2021 reichte B._ beim Zivilgericht des Seebezirks Klage gegen ihren Sohn A._ (geb. 2000) gemäss <ref-law> auf Feststellung ein, dass die von A._ gegen sie in Betreibung gesetzte Forderung auf Unterhaltszahlungen von Fr. 5'600.-- nebst Zins zu 5 % seit 15. Januar 2021 nicht bestehe.
A.b. Am 31. März 2021 stellte A._ ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und beantragte die Ernennung von Rechtsanwalt Christoph Spahr als unentgeltlichen Rechtsbeistand, welches das Zivilgericht des Seebezirks am 26. April 2021 abwies.
B.
Hiergegen erhob A._ am 20. Mai 2021 (Postaufgabe) Beschwerde beim Kantonsgericht Freiburg. Mit Urteil vom 22. Juni 2021 trat das Kantonsgericht Freiburg auf die Beschwerde wegen Verspätung nicht ein.
C.
Gegen diesen Entscheid erhob A._ am 22. Juli 2021 Beschwerde in Zivilsachen und subsidiäre Verfassungsbeschwerde am Bundesgericht. Er beantragt, es sei das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg aufzuheben und diesem die Beschwerde zur neuen Beurteilung zurückzuweisen. Ausserdem ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Ernennung von Christoph Spahr als unentgeltlichen Rechtsbeistand.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen. Das Zivilgericht des Seebezirks hat sich mit Eingabe vom 25. August 2021 vernehmen lassen. Das Kantonsgericht Freiburg hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit welchem auf die Beschwerde gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht eingetreten worden ist. Dabei handelt es sich - entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers - um einen Zwischenentscheid. Der Zwischenentscheid, mit welchem die unentgeltliche Rechtspflege verweigert worden ist, kann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2; <ref-ruling> E. 1.1; siehe auch Urteile 5A_653/2021 vom 10. November 2021 E. 1.1; 5A_517/2021 vom 1. Juli 2021 E. 1).
1.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Bei dieser handelt es sich um eine Klage gemäss <ref-law> auf Feststellung des Nichtbestehens einer in Betreibung gesetzten Unterhaltsforderung in Höhe von Fr. 5'600.-- und damit um eine vermögensrechtliche Angelegenheit (<ref-law>). Der gesetzliche Mindeststreitwert wird somit nicht erreicht (<ref-law>). Da auch eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) nicht geltend gemacht wird (<ref-law>), erweist sich die Beschwerde in Zivilsachen als unzulässig.
1.3. Zulässig ist hingegen die vom Beschwerdeführer ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde: Das angefochtene Urteil ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>) und lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (<ref-law>). Wie ausgeführt handelt es sich zudem um einen anfechtbaren Zwischenentscheid (Art. 93 Abs. 1 lit. a i.V.m. <ref-law>). Gerügt werden kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet dabei das Recht nicht von Amtes wegen an, sondern prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (Art. 106 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.5; <ref-ruling> E. 2.1).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt unter anderem eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, namentlich des Replikrechts (<ref-law>). Zusammengefasst macht er das Folgende geltend: Er habe in seiner Beschwerdeschrift an die Vorinstanz (belegt u.a. mittels Eingangsstempel und Zustellungsbescheinigung der Post) dargelegt, dass der angefochtene Entscheid am 10. Mai 2021 eröffnet und entsprechend die zehntägige Frist mit Beschwerdeerhebung vom 20. Mai 2021 eingehalten worden sei. Die Vorinstanz habe sich zur Begründung der angeblichen Fristversäumnis einzig auf eine (mittels Aktennotiz festgehaltene) telefonische Auskunft des erstinstanzlichen Gerichts abgestützt. Dieses habe behauptet, dass der Entscheid betreffend unentgeltliche Rechtspflege bereits am 29. April 2021 zusammen mit der Mitteilung einer anderen Eingabe versandt und am 3. Mai 2021 zugestellt worden sei. Die Vorinstanz habe dem Beschwerdeführer zu dieser Behauptung keine Möglichkeit der Stellungnahme eingeräumt und deshalb den Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt.
2.2.
2.2.1. Gemäss <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Teilgehalt dieser verfassungsmässigen Garantie ist unter anderem das Recht einer Partei, sich im Rahmen eines Gerichtsverfahrens zu den Stellungnahmen und Vernehmlassungen der anderen Verfahrensparteien, unteren Instanzen und weiteren Stellen zu äussern. Die Wahrnehmung dieses Äusserungsrechts setzt voraus, dass die fragliche Eingabe der Partei vor Erlass des Urteils zugestellt wird, damit sie sich darüber schlüssig werden kann, ob sie sich dazu äussern will (<ref-ruling> E. 3.4.1; <ref-ruling> E. 4.1.1; <ref-ruling> E. 2.3.1). In diesem Sinne ist der Prozesspartei die konkrete Möglichkeit zur Replik einzuräumen (<ref-ruling> E. 4.3-4.6 mit Hinweisen; Urteil 5A_242/2020 vom 30. Juni 2020 E. 3.2.1). Hierzu genügt es grundsätzlich, den Parteien die Eingabe zur Information zuzustellen (<ref-ruling> E. 2.4; Urteil 5A_242/2020 vom 30. Juni 2020 E. 3.2.1).
2.2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör bildet eine formelle Verfahrensgarantie, womit seine Verletzung grundsätzlich ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids führt (<ref-ruling> E. 2.8.1; <ref-ruling> E. 2.2; je mit Hinweisen; Urteil 5A_120/2019 vom 21. August 2019 E. 2.3), wenn eine Heilung in oberer Instanz ausser Betracht fällt. Eine nicht besonders schwerwiegende Verletzung des rechtlichen Gehörs kann ausnahmsweise dann als geheilt gelten, wenn die betroffene Person die Möglichkeit erhält, sich vor einer Rechtsmittelinstanz zu äussern, die sowohl den Sachverhalt wie auch die Rechtslage frei überprüfen kann (vgl. <ref-ruling> E. 2.8.1; <ref-ruling> E. 2.3.2).
2.2.3. Wie vom Beschwerdeführer dargelegt ergibt sich aus den Akten (<ref-law>), dass die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die vom Gericht des Seebezirks erhaltene Auskunft bzw. die diesbezügliche Aktennotiz nicht zur Kenntnis gebracht hat. Die Vorinstanz hat damit das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt. Die Möglichkeit einer Heilung des Mangels scheidet vorliegend aus. Die Sache ist daher zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.
Bei diesem Ausgang erübrigt sich eine Prüfung der weiteren Vorwürfe des Beschwerdeführers, insbesondere hinsichtlich der angeblich willkürlichen Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz. In diesem Zusammenhang ist aber immerhin auf die vom Zivilgericht des Seebezirks beim Bundesgericht eingereichte Vernehmlassung hinzuweisen, wonach nicht auszuschliessen sei, dass der Entscheid tatsächlich erst später versandt worden sei. Auch deuteten gewisse Umstände (insbesondere die nicht chronologisch erfolgte Klassierung) auf einen Versand erst am 7. Mai 2021.
4. Dem unterliegenden Gemeinwesen werden keine Gerichtskosten auferlegt (<ref-law>). Hingegen hat es dem obsiegenden Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung zu leisten (<ref-law>), wobei die Entschädigung praxisgemäss dem Anwalt auszurichten ist (Urteil 5A_734/2015 vom 17. Dezember 2015 E. 3 mit Hinweisen). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist, das Urteil des Kantonsgerichts Freiburg vom 22. Juni 2021 aufgehoben und die Sache zu neuem Entscheid unter Wahrung des rechtlichen Gehörs (Replikrecht) an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Der Kanton Freiburg hat Rechtsanwalt Christoph Spahr für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Freiburg, II. Zivilappellationshof, und B._, mitgeteilt.
Lausanne, 14. Januar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Lang