Faits :
A.
A.a. A._ a subi une déchirure méniscale externe au genou droit ensuite d'une glissade survenue le 9 mai 1996. Dans les mois consécutifs à l'accident, une méniscectomie a été pratiquée, suivie de deux autres interventions chirurgicales (une révision arthroscopique avec régularisation du ménisque externe du genou droit ainsi qu'une résection arthroscopique subtotale de la corne postérieure du ménisque du genou droit). L'accident et ses suites ont été pris en charge par Hotela Assurances SA (ci-après: Hotela).
A.b. Le 7 avril 2008, l'assuré a trébuché sur un carrelet en bois et a chuté sur le genou droit. Le diagnostic de contusion du genou a été posé le même jour. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle l'intéressé était assuré contre le risque d'accident, a pris en charge ce second accident. Une IRM (imagerie par résonance magnétique) du genou droit effectuée le 13 mai 2008 a notamment révélé une large déchirure du ménisque externe. Le 28 mai 2008, le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, a procédé à une arthroscopie du genou droit, laquelle a mis en évidence une déchirure complémentaire du ménisque externe, une irrégularité de la corne postérieure du ménisque interne, une plica, une arthrose mineure de la rotule et de la trochlée ainsi qu'une arthrose avancée du compartiment externe (chondropathie II à III du condyle externe et chondropathie III à IV du plateau externe). A cette même date, le docteur B._ a pratiqué une méniscectomie partielle du ménisque interne et du ménisque externe ainsi qu'une résection de la plica. Par la suite, l'assuré s'est prêté à divers examens médicaux.
A.c. Le 13 avril 2011, la CNA a annoncé à l'assuré qu'elle allait mettre un terme à la prise en charge du traitement médical et au versement des indemnités journalières au 31 mai 2011. Par décision du 9 mai 2011, confirmée sur opposition le 19 septembre 2011, elle lui a alloué une rente d'invalidité fondée sur un taux de 18 % à compter du 1 er juin 2011, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité (IPAI) fixée sur un taux de 15 %.
Par arrêt du 2 décembre 2013, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour des assurances sociales) a admis le recours interjeté contre la décision sur opposition du 19 septembre 2011, a annulé celle-ci et a renvoyé la cause à la CNA en vue de la mise en oeuvre d'une expertise orthopédique.
A.d. Le 7 janvier 2015, la CNA a fait savoir à l'assuré - représenté par un mandataire professionnel - qu'elle prévoyait de confier l'expertise ordonnée par la cour cantonale au docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur. Dans sa prise de position du 22 janvier 2015, l'assuré s'est opposé au choix de cet expert, au motif que ce dernier avait travaillé pour la CNA en 2000; son indépendance et son impartialité n'étaient ainsi pas garanties. Le 10 mars 2015, la CNA a répondu à l'assuré que ses objections concernant l'expert proposé ne constituaient pas des motifs valables de récusation, dès lors que ce dernier ne travaillait plus pour le compte de la CNA depuis quinze ans; la CNA précisait que sauf avis contraire de l'assuré dans les dix jours, son accord concernant la désignation du docteur C._ en tant qu'expert serait considéré comme acquis. Par courriel du 17 mars 2015, l'assuré a indiqué à la CNA qu'il attendait la date de l'expertise qui allait se dérouler chez le docteur C._. Ce dernier a rendu son rapport d'expertise le 28 février 2016. Le 1 er juin 2016, la CNA a fait savoir à Hotela qu'elle était disposée à poursuivre le versement transitoire de la rente d'invalidité à l'assuré et qu'un décompte des prestations à rembourser serait adressé à Hotela le moment venu.
A.e. Sur la base de l'expertise du docteur C._, la CNA a, par décision du 18 mars 2019 confirmée sur opposition le 13 août 2019, mis un terme aux prestations accordées à l'assuré au 28 novembre 2008 et nié tout droit à d'autres prestations, au motif que le lien de causalité entre ses affections et l'accident du 7 avril 2008 n'était plus donné au-delà de cette date. Elle a en outre mis fin au versement de la rente d'invalidité - versée de manière transitoire - au 31 mars 2019.
B.
Saisie d'un recours contre la décision sur opposition du 13 août 2019, la Cour des assurances sociales l'a rejeté par arrêt du 15 décembre 2020.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt, en concluant à sa réforme dans le sens de l'annulation de la décision sur opposition et du renvoi de la cause à la juridiction cantonale ou à la CNA en vue de la mise en oeuvre d'une nouvelle expertise médicale et d'une nouvelle décision.
L'intimée conclut au rejet du recours. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer. Le recourant a spontanément répliqué.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Le litige porte sur le point de savoir si la juridiction cantonale a violé le droit fédéral en confirmant la décision sur opposition de l'intimée en tant que cette dernière a refusé d'allouer au recourant des prestations au-delà du 28 novembre 2008 et a mis un terme au versement transitoire d'une rente d'invalidité au 31 mars 2019.
2.2. Lorsque la décision qui fait l'objet d'un recours concerne l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>); le recours peut alors porter sur toute constatation incomplète ou erronée des faits (<ref-law>). Lorsque le jugement entrepris porte à la fois sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets; en revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies aux art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (arrêt 8C_416/2019 du 15 juillet 2020 consid. 2 et les références).
En l'espèce, l'intimée a mis fin à des prestations en espèces et en nature, de sorte que le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente, à tout le moins s'agissant des faits communs à ces deux objets.
3.
3.1. L'arrêt attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs à l'allocation de prestations d'assurance en cas d'accident (<ref-law>), à l'exigence d'un lien de causalité naturelle et adéquate entre l'événement dommageable et l'atteinte à la santé (<ref-ruling> consid. 1; <ref-ruling> consid. 3.1 et 3.2) et aux notions de statu quo ante et de statu quo sine en cas d'état maladif préexistant (<ref-ruling> consid. 5.1). Il en va de même de la notion de lésion assimilée à un accident sous l'empire des <ref-law> et 9 al. 2 OLAA (RS 832.202) dans leur teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2016 (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 3.1), ainsi qu'en matière d'appréciation des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 2.2.2; <ref-ruling> consid. 4.4). Il suffit d'y renvoyer.
3.2. On précisera - à l'instar de l'instance précédente - que le seul fait que des symptômes douloureux se sont manifestés uniquement après la survenance d'un accident ne suffit pas à établir un rapport de causalité naturelle avec cet accident (raisonnement "post hoc, ergo propter hoc"; cf. <ref-ruling> consid. 2b/bb; arrêt 8C_520/2020 du 3 mai 2021 consid. 6.2.3.2 et les références).
3.3. En l'espèce, la cour cantonale a estimé que le recourant avait soulevé tardivement un motif de récusation à l'encontre du docteur C._, dès lors qu'un tel motif n'avait pas été invoqué dans le délai de dix jours accordé à cette fin par l'intimée.
Les juges cantonaux ont ensuite retenu que l'IRM du 13 mai 2008 et l'arthroscopie du 28 mai 2008 avaient mis en évidence des déchirures du ménisque du genou droit, qui constituaient des lésions figurant à l'<ref-law> (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 janvier 2016). Selon le docteur C._, le recourant était déjà atteint d'une gonarthrose droite depuis plusieurs années lors de l'accident du 7 avril 2008. La préexistence de cette pathologie dégénérative était confirmée par l'arthroscopie du 28 mai 2008 et par l'appréciation qu'en avait faite le docteur B._, ainsi que par un ancien rapport du docteur D._, spécialiste en chirurgie, qui avait déjà fait état en 1997 de signes d'une gonarthrose tricompartimentale débutante, mise en évidence par radiographie et aggravée selon lui par la méniscectomie subie en 1996. Le docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, avait quant à lui indiqué que les deux arthroscopies avec méniscectomie externe pratiquées en 1996 étaient certainement la cause de la gonarthrose. Le docteur F._, spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur, avait bien posé le diagnostic de gonarthrose droite post-traumatique en relation avec le second accident de 2008, mais il ne s'était pas prononcé sur le premier accident de 1996, de sorte que son analyse ne permettait pas d'exclure une gonarthrose préexistante à l'accident de 2008.
Le docteur C._ avait considéré que cet accident avait décompensé le cursus dégénératif du genou de manière transitoire et que le statu quo sine était atteint six mois après l'arthroscopie du 28 mai 2008, à savoir le 28 novembre 2008. Aucune pièce médicale au dossier ne permettait de remettre en cause cette appréciation. Selon la juridiction cantonale, l'intimée avait ainsi mis fin à bon droit à ses prestations au 28 novembre 2008, que l'accident du 7 avril 2008 ait occasionné une déchirure méniscale ou une contusion (diagnostic retenu dans certains rapports). L'intimée était également fondée à mettre un terme au versement de la rente - qu'elle avait apparemment poursuivi nonobstant l'arrêt du 2 décembre 2013 - au 31 mars 2019.
4.
4.1. Dans un premier grief, le recourant conteste avoir soulevé de manière tardive un motif de récusation à l'égard du docteur C._. Il aurait fait valoir un motif de récusation patent et flagrant le 22 janvier 2015 et l'intimée ne se serait pas déterminée à ce propos. Le contenu du courrier de l'intimée du 10 mars 2015 n'aurait pas eu pour effet d'annuler l'opposition manifestée le 22 janvier 2015 à la désignation de ce médecin comme expert.
4.2. Selon l'<ref-law> (RS 830.1), si l'assureur doit recourir aux services d'un expert indépendant pour élucider les faits, il donne connaissance du nom de celui-ci aux parties (première phrase); celles-ci peuvent récuser l'expert pour des raisons pertinentes et présenter des contre-propositions (deuxième phrase). Lorsque l'assureur social et l'assuré ne s'entendent pas sur le choix de l'expert, l'administration doit rendre une décision directement soumise à recours (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 3.4.2.6).
4.3. En l'espèce, le recourant a, dans sa détermination du 22 janvier 2015, fait valoir un motif de récusation à l'encontre du docteur C._, désigné par l'intimée pour officier comme expert. Le 10 mars 2015, l'intimée a pris position sur les récriminations du recourant et a maintenu sa volonté de désigner ce spécialiste. Invité expressément à confirmer son opposition dans un délai de dix jours, faute de quoi son accord à la désignation du docteur C._ serait considéré comme acquis, le recourant n'a plus soulevé aucune objection et n'a pas fait de contre-proposition. Il n'a pas non plus demandé qu'une décision formelle de désignation de l'expert soit rendue par l'intimée. Dans le délai imparti, il s'est au contraire mis à disposition du spécialiste en vue de l'accomplissement de l'expertise orthopédique. Son grief tombe ainsi à faux.
5.
5.1. Se plaignant d'un "établissement lacunaire et/ou inexact des faits pertinents" et d'un "abus [...] par la cour cantonale de son pouvoir d'appréciation", le recourant reproche à celle-ci de ne pas avoir tenu compte de la période de douze ans séparant les accidents de 1996 et de 2008, durant laquelle son genou droit n'aurait présenté aucun signe de pathologie ni de dégénérescence. Il aurait pu travailler à temps plein et faire régulièrement du sport pendant ces douze ans, sans se voir prescrire d'antalgiques. Les premiers juges n'auraient ainsi pas pris en considération les éléments de fait qui plaideraient pour l'absence de toute pathologie ou de prédisposition en lien avec son genou droit, à tout le moins avant 2008, au profit des seuls éléments favorisant la thèse d'une atteinte dégénérative préexistante au second accident. Dans ce sens, ils n'auraient en outre pas pris en compte le fait que l'IRM et l'arthroscopie de mai 2008 avaient été effectuées quelques semaines après l'accident du 7 avril 2008. Par ailleurs, un début d'évolution dégénérative fixé en 1996 ne serait pas compatible avec une dégénérescence décrite comme débutante en 2008 et 2010. Les opérations subies en 1996 auraient du reste été peu invasives, alors que l'accident de 2008 aurait provoqué des lésions d'une grande ampleur. Le seul avis du docteur C._ serait insuffisant pour retenir l'existence d'une gonarthrose exclusivement dégénérative, sans évolution traumatique consécutive au second accident de 2008. Dans ces conditions, une nouvelle expertise aurait dû être mise en oeuvre.
5.2. Dans son rapport d'expertise complet et détaillé, le docteur C._ a fait état d'une gonarthrose droite d'origine dégénérative lentement évolutive, mais déjà présente à un stade avancé lors de l'accident du 7 avril 2008. Il a estimé que le lien de causalité entre cette affection et l'accident de 1996 ainsi que ses suites opératoires (en particulier la méniscectomie externe d'envergure pratiquée ensuite de cet accident) était probable. Il a également évoqué une prédisposition naturelle au développement d'une arthropathie dégénérative au genou droit. L'expert a fondé son appréciation notamment sur les résultats de l'arthroscopie pratiquée le 28 mai 2008 par le docteur B._, qui a mis en évidence des atteintes arthrosiques déjà avancées à peine quelques semaines après l'accident du 7 avril 2008. Dans un rapport du 25 février 2010, le docteur B._ a lui-même relevé que les dégâts cartilagineux constatés lors de ladite arthroscopie étaient alors déjà marqués. Au vu de l'état avancé de l'arthrose, le court laps de temps entre le second accident et cet examen parle donc en faveur d'une atteinte déjà présente et marquée avant l'accident, contrairement à ce que semble penser le recourant. Comme relevé par la cour cantonale, l'appréciation du docteur C._ est par ailleurs confirmée par l'analyse d'autres médecins. En 1997, le docteur D._ a ainsi diagnostiqué une gonarthrose tricompartimentale débutante au genou droit, tandis que le docteur E._ a estimé dans un rapport du 12 novembre 2010 que les interventions subies en 1996 étaient "certainement" à l'origine de cette arthropathie.
5.3. Au final, aucun médecin n'impute l'origine de la gonarthrose droite dont souffre le recourant à son second accident du 7 avril 2008, quelles qu'aient été son ampleur et sa gravité, pas même le docteur F._, lequel se limite à mettre cette pathologie en relation avec les interventions arthroscopiques subies par l'intéressé, sans plus de précision. Le seul fait qu'avant 2008, le recourant ne se soit pas plaint de douleurs au genou droit et qu'aucun signe de dégénérescence n'ait été détecté ne permettrait pas d'établir un lien de causalité entre la gonarthrose et l'accident de 2008, si ces allégations devaient être avérées (cf. consid. 3.2 supra). En outre, aucun avis médical au dossier ne mentionne que les atteintes arthrosiques constatées à partir de 2008 ne seraient pas compatibles avec un état dégénératif déjà existant en 1996. Pour le reste, le docteur C._ a fixé de manière convaincante le statu quo sine au 28 novembre 2008 et le dossier ne contient aucun avis médical qui divergerait sur ce point. L'arrêt attaqué échappe ainsi à la critique et le recours doit être rejeté.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 11 juin 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Ourny