Sachverhalt:
A.
Am 12. Juni 2017 nahm die Kantonspolizei Solothurn A._ den Führerausweis ab. Es wird ihm vorgeworfen, am 3. Juni 2017 in Büsserach die signalisierte Höchstgeschwindigkeit von 50 km/h (innerorts) um 88 km/h überschritten zu haben.
Am 31. August 2017 wies die Motorfahrzeugkontrolle für das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn ein Gesuch von A._ um Wiederaushändigung des Führerausweises ab. Sie begründete dies damit, dass die hohe Geschwindigkeitsüberschreitung ernsthafte Zweifel an seiner Fahreignung hervorrufe, weshalb beabsichtigt werde, seinen Führerausweis bis zur Abklärung der Fahreignung vorsorglich zu entziehen und eine verkehrspsychologische Untersuchung anzuordnen.
B.
Mit Urteil vom 17. Januar 2018 hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn eine dagegen erhobene Beschwerde teilweise gut, stellte fest, dass das Bau- und Justizdepartement das prozessuale Beschleunigungsgebot verletzt habe und wies dieses an, das Administrativmassnahmeverfahren ohne weitere Verzögerung an die Hand zu nehmen und zügig abzuschliessen. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab. Zur Begründung führte es im Wesentlichen aus, der Entscheid über einen vorsorglichen Entzug sei zeitlich offensichtlich überfällig, weshalb eine Rechtsverzögerung vorliege; aufgrund der massiven Geschwindigkeitsüberschreitung, die A._ vorgeworfen werde, und der Begleitumstände bestünden aber ernsthafte Zweifel an seiner Fahreignung, weshalb die am 31. August 2017 verfügte Verweigerung der Rückgabe des Führerausweises rechtmässig sei.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 20. Februar 2018 an das Bundesgericht beantragt A._, das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben oder zumindest teilweise aufzuheben bzw. anzupassen. Er macht im Wesentlichen geltend, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt nicht richtig festgestellt und das Recht nicht korrekt angewendet.
Die Motorfahrzeugkontrolle für das Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn sowie das Bundesamt für Strassen ASTRA schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Beim Bundesgericht gingen keine weiteren Rechtsschriften ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Das angefochtene Urteil ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid, gegen den grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> offen steht.
1.2. Nach <ref-law> ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Beim angefochtenen Urteil handelt es sich jedoch um einen Zwischenentscheid, gegen den gemäss <ref-law> die Beschwerde, von hier nicht interessierenden anderen Möglichkeiten abgesehen, nur zulässig ist, falls er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (vgl. zum vorsorglichen Ausweisentzug <ref-ruling> E. 1 S. 361 f.). Ein solcher Nachteil könnte darin gesehen werden, dass es dem Beschwerdeführer bis zum Entscheid über den vorsorglichen Entzug verwehrt bleibt, ein Fahrzeug zu führen. Allerdings erklärt er in seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht in Ziff. 8 selbst ausdrücklich, "aus freien Stücken und aus Rücksicht der Bevölkerung... zumindest bis zum Abschluss des Strafverfahrens" auf seinen Führerausweis zu verzichten. Damit erscheint fraglich, ob er durch den angefochtenen Entscheid überhaupt einen irreversiblen Nachteil erleidet. Wie es sich damit verhält, kann jedoch offenbleiben.
1.3. Streitgegenstand bildet hier einzig das Administrativverfahren im Zusammenhang mit der vorläufigen polizeilichen Einziehung bzw. Nichtrückgabe des Führerausweises des Beschwerdeführers. Es geht also noch nicht um den Entscheid über den vorsorglichen Ausweisentzug noch um das Strafverfahren. Was der Beschwerdeführer im Zusammenhang mit diesen beiden Verfahren vorträgt, ist mangels massgeblichen Streitobjekts unwesentlich, weshalb darauf nicht eingetreten werden kann. Das gilt insbesondere für sein Anliegen, es sei "langsam an der Zeit", das Strafverfahren einzustellen.
1.4. Der Beschwerdeführer war am vorinstanzlichen Verfahren beteiligt und ist als Inhaber des ihm entgegen seines Gesuchs nicht ausgehändigten polizeilich eingezogenen Führerausweises vom angefochtenen Entscheid betroffen. Damit ist er zur Beschwerdeerhebung gemäss <ref-law> legitimiert.
1.5. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts sowie die offensichtlich unrichtige, d.h. willkürliche, Feststellung des Sachverhalts gerügt werden (Art. 95 lit. a und Art. 97 Abs. 1 BGG).
1.6. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, die von den Beschwerdeführern geltend gemacht und begründet werden (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten, soweit die Verletzung von Grundrechten, unter Einschluss von Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung, gerügt wird (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen).
2.
Der Beschwerdeführer macht hauptsächlich geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt nicht richtig festgestellt. Er behauptet aber nicht, dass die entsprechenden Feststellungen offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich wären, und legt ebenfalls nicht dar, weshalb dies so sein sollte. Auf die Rüge der unrichtigen Sachverhaltsfeststellung ist demnach mangels ausreichender Begründung nicht einzutreten. Das gilt auch für die eigene Darstellung und Würdigung der Sachumstände des Beschwerdeführers im Zusammenhang mit der ihm vorgeworfenen Verkehrsregelverletzung. Ob der fragliche Gesetzesverstoss tatsächlich das Fahrzeug des Beschwerdeführers betraf und ob er selbst am Steuer gesessen hat, wird im noch ausstehenden Verwaltungs- und Strafverfahren zu klären sein. In seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht führt der Beschwerdeführer jedenfalls nicht rechtsgenüglich aus, dass die entsprechende Vermutung wegen offensichtlicher Unrichtigkeit bzw. Willkür unzutreffend ist.
3.
3.1. In rechtlicher Sache legt der Beschwerdeführer weitgehend ebenfalls nicht zureichend dar, welche Bestimmungen oder welche Grundsätze des Bundesrechts verletzt worden sein sollten. Einzugehen ist lediglich auf die folgenden speziellen Gesichtspunkte.
3.2. Der Beschwerdeführer stellt in Frage, dass sein Fall mit demjenigen vergleichbar sei, der im von der Vorinstanz angerufenen Urteil des Bundesgerichts 1C_658/2015 beurteilt wurde. Der Verweis auf diesen Entscheid durch das Verwaltungsgericht ist jedoch angesichts der in beiden Fällen in Frage stehenden klaren Übertretung der Höchstgeschwindigkeit nicht zu beanstanden.
3.3. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts und des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte ergibt sich durch die Parallelität von Straf- und Administrativverfahren wegen derselben Verkehrsregelverletzung keine unzulässige doppelte Bestrafung (vgl. <ref-ruling>; bestätigt durch das Urteil des EGMR Nr. 21563/12 vom 4. Oktober 2016). Wieweit allenfalls die strafrechtlichen Minimalgarantien auch im Verwaltungsverfahren zu beachten wären und weshalb dies im vorliegenden Fall nicht gewährleistet worden sein sollte, legt der Beschwerdeführer nicht ausreichend dar.
4.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement des Kantons Solothurn, Motorfahrzeugkontrolle, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juli 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax