Erwägungen:
1.
Die Privatkläger A._ und B._ erhoben am 13. Mai 2019 Beschwerde gegen eine Verfügung der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und ersuchten um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Mit Verfügung vom 17. Mai 2019 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab und forderte A._ und B._ auf, bis zum 11. Juni 2019 einen Kostenvorschuss (Sicherheitsleistung im Sinne von <ref-law>) zu leisten, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde. Zur Begründung führte das Appellationsgericht zusammenfassend aus, dass die Beschwerde keine stichhaltigen Rügen enthalte und deshalb als aussichtslos erscheine. Auch eine Rechtsverzögerung sei angesichts einer dreimonatigen Untätigkeit der Untersuchungsbehörde bei summarischer Prüfung des Anzeigeinhalts (angeblicher Einbruch in Festnetztelefon und E-Mailadressen) nicht zu erkennen.
2.
A._ und B._ führen mit Eingabe vom 23. Mai 2019 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Die Beschwerdeführer beanstanden die angefochtene Verfügung in allgemeiner Weise. Sie legen indessen nicht konkret und im Einzelnen dar, inwiefern das Appellationsgericht die Erfolgsaussichten ihrer Beschwerde in rechtswidriger Weise beurteilt hätte. Aus ihrer Beschwerde ergibt sich nicht nachvollziehbar, inwiefern die Begründung des Appellationsgerichts, die zur Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege führte, bzw. die Verfügung des Appellationsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Beschwerdeführern und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsidentin, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli