Sachverhalt:
A.
A.a. Der in der Schweiz niedergelassene italienische Staatsangehörige A._, geb. "...", lenkte am 7. April 2019 kurz nach 08.40 Uhr seinen Personenwagen auf der Autobahn A3 in Oberrieden in Fahrtrichtung Zürich mit einer Geschwindigkeit von ungefähr 120 km/h. Dabei fiel er einer zivilen Polizeipatrouille wegen seiner unsicheren Fahrweise auf. Bei der anschliessenden Kontrolle erklärte A._, seine Haare gekämmt und dabei in den Rückspiegel geschaut zu haben.
A.b. Mit Strafbefehl vom 9. Mai 2019 verurteilte das Statthalteramt des Bezirks Horgen A._ wegen einer einfachen Verkehrsregelverletzung aufgrund des Vornehmens einer Verrichtung, welche die Bedienung des Fahrzeuges beeinträchtigt, zu einer Busse von Fr. 500.--. Es begründete diese mit ausführlich umschriebenen Sachverhaltsfeststellungen. Nachdem sich A._ dagegen zur Wehr gesetzt hatte, bestrafte ihn das Statthalteramt mit neuem Strafbefehl vom 25. Juni 2019 in Anwendung derselben Strafnorm gestützt auf deutlich kürzere tatsächliche Feststellungen zu einer Busse von Fr. 300.--. Dieser Strafbefehl wurde rechtskräftig.
A.c. Parallel zum Strafverfahren leitete das Verkehrsamt des Kantons Schwyz ein Administrativverfahren ein, das es am 6. Mai 2019 bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Strafurteils sistierte. Nach der Wiederaufnahme des Verfahrens ordnete es am 9. Juli 2019 den Entzug des Führerausweises von A._ für einen Monat an.
B.
Dagegen erhob A._ am 30. Juli 2019 Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz. Mit Urteil vom 25. September 2019 wies dieses die Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 28. Oktober 2019 an das Bundesgericht beantragt A._, den Entscheid des Verwaltungsgerichts aufzuheben und auf eine Administrativmassnahme aufgrund des Bagatellcharakters der Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz zu verzichten; eventuell sei ihm gegenüber lediglich eine Verwarnung auszusprechen. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Zur Begründung beruft er sich im Wesentlichen darauf, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt offensichtlich falsch festgestellt, indem es die tatsächlichen Feststellungen des ersten statt des zweiten Strafbefehls übernommen habe, und es handle sich um einen besonders leichten Fall, in dem auf eine Massnahme zu verzichten sei bzw. es bei einer Verwarnung sein Bewenden haben müsse.
Das Verkehrsamt des Kantons Schwyz reichte keine Stellungnahme ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz verzichtete auf eine Vernehmlassung. Das Bundesamt für Strassen ASTRA schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
D.
Mit Verfügung vom 19. November 2019 erteilte der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
1.1. Gemäss <ref-law> beurteilt das Bundesgericht Beschwerden in Angelegenheiten des öffentlichen Rechts. Dieses Rechtsmittel steht auch gegen Entscheide über administrative Massnahmen im Strassenverkehrsrecht offen. Ein Ausnahmetatbestand liegt nicht vor (vgl. Art. 83 f. BGG). Beim angefochtenen Urteil handelt es sich um einen anfechtbaren kantonal letztinstanzlichen Endentscheid einer gerichtlichen Behörde (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 und Art. 90 BGG; Urteil des Bundesgerichts 1C_136/2017 vom 13. Dezember 2017 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.2. Der Beschwerdeführer nahm am vorinstanzlichen Verfahren teil und ist als Inhaber des entzogenen Führerausweises sowie als direkter Adressat des angefochtenen Entscheids gemäss <ref-law> zur Beschwerde legitimiert.
1.3. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann, von hier nicht interessierenden Möglichkeiten abgesehen, nur die Verletzung von Bundesrecht (vgl. <ref-law>) sowie die offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts (vgl. <ref-law>; vgl. auch <ref-law>) gerügt werden. Im Übrigen legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>).
2.
2.1. Verstösse gegen das Strassenverkehrsrecht können sowohl straf- als auch verwaltungsrechtliche Folgen zeitigen.
2.2. In strafrechtlicher Hinsicht enthält das Strassenverkehrsgesetz in <ref-law> mehrere Strafbestimmungen mit unterschiedlichen Strafandrohungen, die von Busse bis zu einer Freiheitsstrafe von einigen Jahren reichen. Namentlich wird gemäss <ref-law> mit Busse bestraft, wer ohne qualifizierendes Element gegen die Verkehrsregeln verstösst (sog. einfache Verkehrsregelverletzung; <ref-law>); mit Freiheitsstrafe bis zu drei Jahren oder Geldstrafe wird bestraft, wer durch grobe Verletzung der Verkehrsregeln eine ernstliche Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (sog. grobe Verkehrsregelverletzung; <ref-law>). Nach Art. 100 Ziff. 1 zweiter Satz SVG kann in besonders leichten Fällen von der Strafe Umgang genommen werden.
2.3. In administrativer Hinsicht wird gemäss <ref-law> unter anderem nach Widerhandlungen gegen die Strassenverkehrsvorschriften der Führerausweis entzogen oder eine Verwarnung ausgesprochen (Abs. 2); bei der Festsetzung der Dauer des Entzugs sind die Umstände des Einzelfalls zu berücksichtigen, namentlich die Gefährdung der Verkehrssicherheit, das Verschulden, der Leumund als Motorfahrzeugführer sowie die berufliche Notwendigkeit, ein Motorfahrzeug zu führen, wobei die Mindestentzugsdauer nicht unterschritten werden darf (Abs. 3). Das Gesetz unterscheidet zwischen der leichten, mittelschweren und schweren Widerhandlung (Art. 16a-c SVG). Gemäss <ref-law> begeht eine leichte Widerhandlung, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine geringe Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft, sofern ihn dabei nur ein leichtes Verschulden trifft (Abs. 1 lit. a). Nach einer leichten Widerhandlung wird die fehlbare Person abgesehen von erschwerenden Umständen verwarnt (vgl. Abs. 2 und 3); in besonders leichten Fällen wird auf jegliche Massnahme verzichtet (Abs. 4). Eine mittelschwere Widerhandlung begeht, wer durch Verletzung von Verkehrsregeln eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorruft oder in Kauf nimmt (<ref-law>). Nach einer mittelschweren Widerhandlung wird der Führerausweis für mindestens einen Monat entzogen (Abs. 2 lit. a). Leichte und mittelschwere Widerhandlungen werden von <ref-law> als einfache Verkehrsregelverletzungen erfasst (<ref-ruling> E. 2.4 S. 143 f.).
2.4. Nach der Rechtsprechung stellt die mittelschwere Widerhandlung nach <ref-law> einen Auffangtatbestand dar. Sie liegt vor, wenn nicht alle privilegierenden Elemente einer leichten Widerhandlung nach <ref-law> und nicht alle qualifizierenden Elemente einer schweren Widerhandlung nach <ref-law> gegeben sind. Die Annahme einer schweren Widerhandlung setzt kumulativ eine qualifizierte objektive Gefährdung und ein qualifiziertes Verschulden voraus. Ist die Gefährdung gering, aber das Verschulden hoch, oder umgekehrt die Gefährdung hoch und das Verschulden gering, liegt eine mittelschwere Widerhandlung vor. Gleiches gilt bei einer mittelgrossen Gefährdung und einem mittelschweren oder schweren Verschulden. Eine Gefahr für die Sicherheit anderer im Sinne von Art. 16a-c SVG ist bei einer konkreten oder auch bei einer erhöhten abstrakten Gefährdung zu bejahen. Eine erhöhte abstrakte Gefahr besteht, wenn die Möglichkeit einer konkreten Gefährdung oder Verletzung naheliegt. Welche Art der Gefährdung vorliegt, ist anhand der jeweiligen Verhältnisse im Einzelfall zu beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 452; Urteil des Bundesgerichts 1C_650/2017 vom 28. März 2018 E. 2.1, mit Hinweisen).
2.5. Strafrechtlich wurde der Beschwerdeführer wegen einer einfachen Verkehrsregelverletzung aufgrund des Vornehmens einer Verrichtung, welche die Bedienung des Fahrzuges beeinträchtigt, zu einer Busse von Fr. 300.-- verurteilt. Im Verwaltungsverfahren wurde ihm der Führerausweis wegen einer mittelschweren Verkehrsregelverletzung in Anwendung von Art. 16b Abs. 1 lit. a in Verbindung mit Abs. 2 lit. a SVG, also weil er durch sein Verhalten eine Gefahr für die Sicherheit anderer hervorgerufen oder in Kauf genommen hat, für die Mindestdauer von einem Monat entzogen. Die straf- und verwaltungsrechtlichen Sanktionen verfügen über unterschiedliche Abstufungen. Dass strafrechtlich nicht von einer qualifizierten, d.h. groben, Verletzung der Verkehrsregeln ausgegangen wurde, hindert nach der geschilderten Rechtsprechung die Annahme eines mittelschweren Verkehrsregelverstosses im Administrativverfahren nicht.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Sie habe auf den Sachverhalt abgestellt, wie er im ersten Strafbefehl vom 9. Mai 2019 festgestellt worden sei; dagegen habe er jedoch Einsprache erhoben, da er den ihm darin vorgeworfenen Sachverhalt nicht anerkannt habe. Im zweiten, rechtskräftig gewordenen Strafbefehl vom 25. Juni 2019 werde der Sachverhalt massgeblich anders geschildert, woraus sich ergebe, dass er durch sein Verhalten keine wesentliche Gefahr für andere hervorgerufen habe. Überdies stimmten die von der Vorinstanz angenommenen zeitlichen Verhältnisse nicht und sei die Verkehrssicherheit ständig gewährleistet gewesen, da er lediglich in den mittleren Rückspiegel geschaut und dabei den rückwärtigen Verkehr immer in Sicht gehabt habe.
3.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist die Verwaltungsbehörde grundsätzlich an die Tatsachenfeststellungen des Strafgerichts gebunden. Sie darf davon nur abweichen, wenn sie Tatsachen feststellt und ihrem Entscheid zugrunde legt, die dem Strafrichter unbekannt waren, wenn sie zusätzliche Beweise erhebt oder wenn der Strafrichter bei der Rechtsanwendung auf den Sachverhalt nicht alle Rechtsfragen abgeklärt, namentlich die Verletzung bestimmter Verkehrsregeln übersehen hat (vgl. <ref-ruling> E. 3 S. 237). Nicht gebunden ist die Verwaltungsbehörde an die rechtliche Beurteilung, namentlich des Verschuldens, des Strafgerichts. Der Warnungsentzug ist eine der Strafe ähnliche, aber von ihr unabhängige Verwaltungsmassnahme mit präventivem Charakter, die primär die Erziehung des fehlbaren Fahrzeuglenkers im Interesse der Verkehrssicherheit und nicht dessen Bestrafung bezweckt, auch wenn sie mitunter vom Betroffenen als Strafe empfunden wird. Die straf- und die verwaltungsrechtliche Beurteilung der Schwere eines strassenverkehrsrechtlich massgeblichen Fehlverhaltens müssen sich daher nicht zwingend decken (vgl. <ref-ruling> E. 6.4 S. 350 und 136 II 447 E. 3.1 S. 451; <ref-ruling> E. 4.2 und 4.3 S. 336 f.; <ref-ruling> E. 3b und 3c S. 175 ff.; Urteil des Bundesgerichts 1C_263/2019 vom 25. Februar 2020 E. 3.2).
3.3. Dem Beschwerdeführer wird im rechtskräftigen Strafbefehl vorgeworfen, sich während der Fahrt mit der Hand die Haare gekämmt und dabei die Bedienung des Fahrzeuges beeinträchtigt zu haben. Dieses habe dabei Schlangenlinie gefahren. Überdies habe er beim Wechsel vom Überhol- auf den rechten Fahrstreifen die Richtungsanzeige unterlassen. Die im ersten Strafbefehl enthaltenen tatsächlichen Feststellungen geben den Ablauf der Fahrbewegungen gestützt auf die entsprechenden Polizeirapporte detaillierter wieder, was vom Beschwerdeführer allerdings nicht im vollen Umfang anerkannt wurde. Auch das Verwaltungsgericht beruft sich im angefochtenen Entscheid auf die Schilderungen in den Polizeirapporten. Wieweit dies im Detail zulässig war, kann hier jedoch offenbleiben. Im Wesentlichen lässt sich mit dem rechtskräftigen Strafbefehl festhalten, dass sich der Beschwerdeführer während der Fahrt mit der Hand die Haare kämmte und sein Fahrzeug dabei Schlangenlinie fuhr, wobei das Ausmass dieser Schlangenlinienfahrt umstritten ist. Dieser Vorgang geschah auf der Autobahn bei einer Geschwindigkeit von ungefähr 120 km/h, was nicht bestritten wird.
3.4. Der Beschwerdeführer macht geltend, lediglich in den mittleren Rückspiegel geschaut und dabei ständig die Verkehrssicherheit gewährleistet zu haben. Es entspricht der Lebenserfahrung und kann als gerichtsnotorisch gelten, dass bei einer normalen Einstellung des Fahrzeugführersitzes und des mittleren Rückspiegels der Kopf des Fahrers darin nicht sichtbar ist, da der Spiegel ja bewusst auf die Kontrolle des Verkehrs hinter dem Fahrzeug ausgerichtet ist. Um das Kämmen der Haare zu prüfen, ist es erforderlich, entweder den Spiegel zu verstellen oder die Sitzposition so zu verändern, dass der Kopf im Rückspiegel erscheint. Beim ersten Vorgang ginge die Kontrolle über den rückwärtigen Verkehr verloren, beim zweiten die Kontrolle über das Lenkrad und den Verkehr vor dem Fahrzeug, da mit der veränderten Kopfstellung auch der Blickwinkel von der Strasse weg gedreht wird. Entscheidend ist aber so oder so, dass die Konzentration von der Verkehrssituation und der Führung des Fahrzeuges auf die Prüfung des Haarekämmens verlagert wird. Selbst soweit die Verkehrslage aus den Augenwinkeln noch ersichtlich bliebe, wird sie nicht mehr primär wahrgenommen und entzieht sich dadurch gleichermassen wie die Fahrzeuglenkung der Kontrolle durch den Fahrer. Dass das Automobil im vorliegenden Fall in Schlangenlinienfahrt verfiel, ist dafür kennzeichnend.
3.5. Der Beschwerdeführer bestreitet sodann die Feststellungen der Vorinstanz über die zeitlichen Verhältnisse. Das Verwaltungsgericht stützte sich dabei auf die von der Polizeipatrouille aufgezeichneten Videosequenzen, wonach die schlangenlinienförmigen Spurwechsel in der Zeit von 08:42:08 und 08:44:17 Uhr vorgekommen seien. Weshalb die Verwertung dieser Videoaufnahmen nicht zulässig sein sollte, ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht nachvollziehbar dargetan. Überdies vermag er nicht ausreichend zu belegen, dass er im Verwaltungsverfahren nicht im erforderlichen Mass die Parteirechte hätte wahrnehmen können. Allerdings mag es zwar zutreffen, dass die Annahme des Verwaltungsgerichts, er habe während mindestens 129 Sekunden die gebotene Aufmerksamkeit vermissen lassen, etwas gewagt erscheint. Selbst wenn es aber nach den Berechnungen des Beschwerdeführers bei zwei Phasen des Schlangenlinienfahrens von 33 und 20 Sekunden sein Bewenden haben sollte, würde sich dieses insgesamt noch immer über einen Zeitraum von 53 Sekunden erstrecken. Der Beschwerdeführer anerkennt dazu auch, dass es sich zwar nach seiner Auffassung "nur um wenige Schwenker" gehandelt habe, dass er dabei die Spurlinien aber doch mehrmals überschritten hat, auch wenn er teilweise die Vornahme eigentlicher Spurwechsel bestreitet.
3.6. Auch wenn also auf die Darstellung des Sachverhalts durch den Beschwerdeführer selbst abgestellt wird, vermag ihm das nicht zu helfen. Es bleibt dabei, dass er bei einer Geschwindigkeit von 120 km/h auf der Autobahn während längerer Zeit die vollständige Kontrolle über sein Fahrzeug verloren hat, weil er sich die Haare kämmte und diesen Vorgang im Rückspiegel überprüfte. Das führte dazu, dass sein Fahrzeug in zwei Intervallen während insgesamt mindestens 53 Sekunden Schlangenlinie fuhr und dabei Spurlinien überquerte. Der Sachverhalt ist damit für das bundesgerichtliche Verfahren in ausreichendem Masse festgestellt und braucht darüber hinaus weder ergänzt noch korrigiert zu werden.
4.
4.1. In rechtlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, die Beurteilung seines Falles als mittelschwere Verkehrsregelverletzung nach <ref-law> widerspreche dem Strassenverkehrsgesetz. Vielmehr sei gemäss <ref-law> von einem besonders leichten, allenfalls leichten Verstoss auszugehen mit der Folge, dass von einer Massnahme abzusehen sei (Abs. 4 der Bestimmung) bzw. dass es bei einer Verwarnung sein Bewenden haben müsse (Abs. 3 der Bestimmung).
4.2. Nach <ref-law> hat der Fahrzeuglenker sein Fahrzeug ständig so zu beherrschen, dass er seinen Vorsichtspflichten nachkommen kann. Dabei muss er seine Aufmerksamkeit der Strasse und dem Verkehr zuwenden und darf dabei keine Verrichtung vornehmen, welche die Bedienung des Fahrzeugs erschwert (Art. 3 Abs. 1 der Verkehrsregelnverordnung vom 13. November 1962, VRV; SR 741.11). Das Mass der Aufmerksamkeit richtet sich nach den gesamten konkreten Umständen, namentlich der Verkehrsdichte, den örtlichen und zeitlichen Verhältnissen, der Sicht und den voraussehbaren Gefahrenquellen (vgl. <ref-ruling> E. 3.6 S. 295). Dass der Beschwerdeführer mit seiner Aktion des Haarekämmens seinen Vorsichtspflichten nicht nachgekommen ist und dadurch die Verkehrsregeln verletzte, ist grundsätzlich unbestritten und durch die strafrechtliche Verurteilung belegt.
4.3. Das Verwaltungsgericht hat sich im angefochtenen Entscheid eingehend mit der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Einordnung von Widerhandlungen ins gesetzliche System der Schwere der Verkehrsregelverletzungen befasst. Es hat namentlich eine Vielzahl von Urteilen beschrieben, in denen das Bundesgericht in ähnlichen Sachverhalten wie im vorliegenden Fall über die Abgrenzung von leichten und mittelschweren Regelverstössen urteilen musste. Der Beschwerdeführer setzt sich in der Beschwerdeschrift mit verschiedenen dieser Urteile auseinander und versucht dabei Parallelen oder Unterschiede zum vorliegenden Fall herauszuarbeiten. Es kann darauf verzichtet werden, darauf im Detail einzugehen. Aus der Rechtsprechung geht jedenfalls hervor, dass es wesentlich auf die konkreten Umstände des Einzelfalles ankommt. Insofern fällt hier ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer bei einer Geschwindigkeit von rund 120 km/h auf der Autobahn während längerer Zeit in zwei Phasen die uneingeschränkte Kontrolle über sein Fahrzeug verloren hat, weil er sich die Haare kämmte und dabei von der Führung seines Fahrzeuges abgelenkt war bzw. sich nicht im erforderlichen Mass darauf konzentrierte. Der Beschwerdeführer rief mit diesem Regelverstoss eine zumindest erhöhte abstrakte Gefahr für die Sicherheit anderer hervor bzw. nahm eine solche in Kauf. Angesichts des Tempos, mit dem sich das Fahrzeug bewegte, der verursachten Schlangenlinienfahrt und der Dauer des Regelverstosses handelt es sich nicht mehr um eine geringe Gefahr im Sinne von <ref-law>. Es liegt aber auch nicht eine grobe Verkehrsregelverletzung mit einer ernstlichen Gefahr für die Sicherheit anderer vor, die als schwere Widerhandlung gemäss <ref-law> einzustufen wäre. Vielmehr ist von einer mittleren Gefahrensituation bei einem mittelgrossen Verschulden des Beschwerdeführers und daher mit dem Verwaltungsgericht von einer mittelschweren Widerhandlung gemäss <ref-law> auszugehen.
4.4. Die Vorinstanzen haben es in Anwendung von <ref-law> bei einer für eine mittelschwere Widerhandlung minimalen Entzugsdauer von einem Monat bewenden lassen. Das ist nicht unverhältnismässig. Der Beschwerdeführer macht auch nicht geltend und legt nicht dar, dass und weshalb es zulässig und im vorliegenden Fall erforderlich wäre, trotz Annahme einer mittelschweren Widerhandlung von der gesetzlichen Minimaldauer abzuweichen.
4.5. Der angefochtene Entscheid verletzt demnach Bundesrecht nicht.
5.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der unterliegende Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Verkehrsamt des Kantons Schwyz, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, und dem Bundesamt für Strassen ASTRA, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax