Faits :
A.
Les époux A._ se sont mariés en 2008. Ils sont les parents de jumeaux nés en 2014.
Par jugement du 19 mars 2018, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après : le Tribunal), statuant sur mesures protectrices de l'union conjugale, a notamment réservé au père un droit aux relations personnelles sur les enfants, lequel devait s'exercer, sauf accord contraire des parties, de la manière suivante : jusqu'à ce qu'il dispose de son propre appartement, un week-end sur deux du vendredi soir au dimanche soir, ainsi que durant cinq semaines par année n'excédant pas quinze jours d'affilée; dès qu'il disposerait de son propre appartement, un week-end sur deux du vendredi soir au lundi matin, ainsi qu'une nuit par semaine et cinq semaines de vacances par année; enfin, dès que les enfants seraient scolarisés, durant la moitié des vacances scolaires, en sus des jours de semaine et des week-ends précités. Par arrêt du 4 septembre 2018, la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après : la Cour de justice) a notamment confirmé le droit aux relations personnelles tel que fixé par le jugement précité.
B.
B.a. Statuant par jugement du 3 juillet 2019 sur requête du père, le Tribunal a ordonné l'exécution du jugement du 19 mars 2018 confirmé par arrêt de la Cour de justice du 4 septembre 2018, en tant qu'il réservait au père un droit aux relations personnelles sur les enfants, à exercer à raison " d'un week-end sur deux du vendredi soir au dimanche soir, ainsi que durant cinq semaines par année n'excédant pas quinze jours d'affilée et dès que les enfants seraient scolarisés, durant la moitié des vacances scolaires en sus des jours de semaines de vacances par année " (chiffre 1); dit que l'exécution du chiffre 1 dudit jugement était ordonnée sous la menace faite à la mère de la peine prévue par l'<ref-law>, à savoir l'amende (chiffre 2); dit qu'en sus de la mesure de contrainte indirecte visée au chiffre 2 du dispositif, l'exécution visée au chiffre 1 du dispositif était ordonnée sous la menace d'une amende d'ordre de 800 fr., laquelle pouvait être infligée à chaque violation du droit de visite par la mère (chiffre 3); arrêté les frais judiciaires à 1'500 fr. qu'elle a compensés avec l'avance de 500 fr. versée par le père et mis à la charge de la mère (chiffre 4); condamné celle-ci à payer au père 500 fr. en remboursement des frais judiciaires (chiffre 5); condamné la mère à verser à l'Etat de Genève la somme de 1'000 fr. (chiffre 6); enfin condamné la mère à verser au père 1'000 fr. à titre de dépens (chiffre 7).
B.b. Par acte du 18 juillet 2019, la mère a formé recours contre le jugement du Tribunal du 3 juillet 2019, concluant principalement à ce que la Cour de justice ordonne la suspension de l'exécution du jugement du Tribunal jusqu'à droit connu dans la procédure de modification des relations personnelles pendante devant le Tribunal de protection des enfants et de l'adulte (ci-après : TPAE), et à ce que les dépens soient compensés.
B.c. Par ordonnance du 30 juillet 2019, le TPAE a principalement modifié les modalités du droit de visite du père sur les enfants telles que fixées par jugement du 19 mars 2018 et confirmées par arrêt de la Cour de justice du 4 septembre 2018, en ce sens que le droit de visite devait s'exercer, notamment et en substance: jusqu'à fin octobre 2019, un week-end sur deux du vendredi à 18h00 jusqu'au lundi matin à la reprise de l'école, ainsi que, en alternance une semaine sur deux, du lundi à 18h00 au pied de leur immeuble jusqu'au mardi matin à la reprise de l'école; dès le 1er novembre 2019, un week-end sur deux du vendredi à la sortie de l'école jusqu'au mardi à la reprise de l'école; durant la moitié des vacances scolaires.
B.d. Le jugement du Tribunal du 3 juillet 2019 a été rectifié par jugement du 13 août 2019. Le Tribunal a précisé que le droit aux relations personnelles réservé au père s'exercerait à raison d'un week-end sur deux du vendredi soir au lundi matin, ainsi que durant une nuit par semaine et cinq semaines par année, et dès que les enfants seraient scolarisés, durant la moitié des vacances scolaires, en sus des jours par semaine et des week-ends définis plus haut.
B.e. Par arrêt du 29 octobre 2019, la Cour de justice a constaté que le recours de B.A._ était devenu sans objet, en tant qu'il était dirigé contre les chiffres 1 à 3 du dispositif du jugement du 3 juillet 2019, annulé les chiffres 4 à 7 dudit dispositif, débouté les parties de toutes autres conclusions et rayé la cause du rôle. Elle a arrêté les frais judiciaires de première instance et de recours à 1'000 fr., les a mis à la charge de chacune des parties par moitié et les a compensés avec les avances effectuées par celles-ci, avances qui demeuraient acquises à l'Etat de Genève à due concurrence. Elle a pour le surplus invité les Services financiers du Pouvoir judiciaire à restituer à la mère la somme de 500 fr. et dit que chaque partie supportait ses propres dépens de première instance et de recours.
C.
Par acte du 9 décembre 2019, A.A._ interjette un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 29 octobre 2019. Il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision.
Des observations au fond n'ont pas été requises.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) concernant l'exécution forcée d'un jugement exécutoire (art. 72 al. 2 let. b ch. 1 LTF; arrêt 5A_262/2010 du 31 mai 2012 consid. 1.1), rendue par une juridiction cantonale de dernière instance ayant statué sur recours (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Il s'agit d'une contestation de nature non pécuniaire dès lors qu'elle porte sur l'exécution du droit aux relations personnelles du père sur ses enfants. Le recours a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Le recourant a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (<ref-law>). En tant qu'il s'en prend à la question des frais et dépens cantonaux, son intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (<ref-law>) est donné. En revanche, son intérêt digne de protection au recours est douteux, en tant qu'il conteste une décision qui déclare sans objet le recours interjeté par son épouse contre le jugement du 3 juillet 2019, lui-même n'ayant formé aucun recours contre ce jugement. La question peut toutefois souffrir de reste indécise, dès lors que le recours doit en tout état être déclaré irrecevable pour d'autres motifs.
2.
2.1. L'arrêt attaqué a été rendu dans le cadre d'une procédure relative à l'exécution forcée d'une décision réservant au recourant, par voie de mesures protectrices de l'union conjugale, un droit aux relations personnelles sur ses enfants et en fixant les modalités (<ref-law>). A l'instar du prononcé dont l'exécution est demandée, il constitue une mesure provisionnelle au sens de l'<ref-law> (s'agissant de la nature provisionnelle des mesures protectrices de l'union conjugale, voir <ref-ruling> consid. 5; à propos de la cognition limitée du Tribunal fédéral dans le cadre d'un recours visant une décision sur l'exécution forcée d'un jugement exécutoire, voir arrêt 5A_262/2010 du 31 mai 2012 consid. 2.1 et les références). Seule peut donc être invoquée à son encontre la violation de droits constitutionnels (<ref-law>). Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation ", <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3.2 et les arrêts cités). Le recourant qui se plaint de la violation d'un droit fondamental ne peut donc se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en instance d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition; il ne peut, en particulier, se contenter d'opposer sa thèse à celle de l'autorité cantonale, mais doit démontrer ses allégations par une argumentation précise (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 3.2). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 10.1 et les arrêts cités).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision. Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références; <ref-ruling> consid. 1.4.3).
3.
Le recourant s'est limité à une conclusion en annulation, ce qui n'est en principe pas admissible, le Tribunal fédéral ayant un pouvoir de réforme (cf. art. 117 et 107 al. 2 LTF; cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 135; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383). A titre exceptionnel, il est toutefois admis que la partie recourante puisse prendre des conclusions cassatoires lorsque le Tribunal fédéral, s'il accueillait le recours, ne serait pas en mesure de statuer lui-même sur le fond (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 135 s.; <ref-ruling> consid. 1.3 p. 383). Tel est le cas en l'espèce, dès lors que le recourant fait valoir que la cause n'est pas devenue sans objet, ce qui, s'il devait lui être donné raison, conduirait à l'annulation de l'arrêt entrepris et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale.
4.
Le recourant conteste que la procédure soit devenue sans objet.
L'autorité cantonale a jugé que les modalités du droit de visite dont l'exécution avait été ordonnée par jugement du 3 juillet 2019 n'étaient plus en vigueur depuis le prononcé de l'ordonnance du TPAE du 30 juillet 2019. Elle a retenu que le TPAE avait relevé dans son ordonnance qu'il appartiendrait aux curatrices des enfants de saisir à nouveau le TPAE en vue de mesures d'exécution si nécessaire, ce qui confirmait que les effets du jugement prononçant les mesures d'exécution litigieuses ne sauraient s'étendre à l'ordonnance du 30 juillet 2019. Elle a ainsi considéré que le jugement du 3 juillet 2019 ne pouvait concerner que la période du mardi 9 au lundi 29 juillet 2019; or, d'entente entre les parties, les enfants avaient été avec leur père du vendredi 12 au lundi 29 juillet 2019. Par ailleurs, il ne résultait pas de la procédure que le père aurait mis en demeure la mère de lui laisser les enfants la nuit des mardi 9, mercredi 10 ou jeudi 11 juillet 2019. Au contraire, le père avait déclaré que la mère, après le 3 juillet 2019, avait respecté les modalités du droit de visite convenues. De surcroît, l'exécutabilité du jugement du 19 mars 2018 était en tout état douteuse, en tant que celui-ci ne fixait pas la nuit de la semaine que les enfants devaient passer avec leur père, seul aspect litigieux dans la procédure d'exécution. Pour ces motifs, la Cour de justice a retenu que les parties n'avaient plus d'intérêt à la poursuite du procès.
Invoquant une " violation manifeste " de l'<ref-law> et se plaignant de " l'établissement inexact des faits " et d'arbitraire dans l'appréciation des preuves, le recourant fait valoir que l'autorité cantonale a arbitrairement retenu que le chiffre 6 du jugement du 19 mars 2018 avait été expressément modifié par l'ordonnance du TPAE du 30 juillet 2019. Selon lui, le TPAE se serait contenté de préciser que la nuit en semaine serait celle du lundi. La question de l'exécution forcée du droit de visite se poserait dès lors toujours. Force est de constater qu'une telle critique ne satisfait nullement aux exigences de motivation de l'<ref-law> (cf. supra consid. 2.1), partant, qu'elle est irrecevable. Il convient d'ailleurs de relever que le recourant admet lui-même que le jugement du 19 mars 2018 ne mentionnait pas quelle nuit de la semaine les enfants devaient passer chez leur père. Au surplus, il ne remet pas en cause la constatation selon laquelle l'exécutabilité dudit jugement était problématique. Il ne prétend pas non plus qu'il serait insoutenable d'avoir considéré que le jugement du 3 juillet 2019 ne pouvait concerner que la période du mardi 9 au lundi 29 juillet 2019, ni ne conteste les constatations de fait relatives à cette période.
5.
Le recourant conteste la répartition des frais et dépens de première et deuxième instance.
5.1. Les frais - qui comprennent les frais judiciaires et les dépens (<ref-law>) - sont en principe mis à la charge de la partie qui succombe (<ref-law>). Le tribunal est toutefois libre de s'écarter de ces règles et de les répartir selon sa libre appréciation, en statuant selon les règles du droit et de l'équité (<ref-law>), dans les hypothèses prévues par l'<ref-law>, notamment lorsque la procédure est devenue sans objet (art. 107 al. 1 let. e CPC; cf. arrêt 5A_78/2018 du 14 mai 2018 consid. 2.3) ou lorsque des circonstances particulières rendent la répartition en fonction du sort de la cause inéquitable (art. 107 al. 1 let. f CPC; <ref-ruling> consid. 4.2 et les références; cf. aussi arrêt 5D_69/2017 du 14 juillet 2017 consid. 3.3.1 et les références).
5.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a jugé que compte tenu notamment du fait que la nuit durant laquelle les enfants devaient être chez leur père n'était pas précisée dans le jugement à exécuter et du caractère familial du litige, il était inéquitable de mettre l'intégralité des frais à la charge de l'intimée. En conséquence, elle a réparti les frais judiciaires de première et de deuxième instance par moitié entre les parties et décidé que chaque partie supporterait ses propres dépens.
Invoquant une " violation manifeste " des art. 106 et 107 CPC et se plaignant de " l'établissement inexact des faits " et d'arbitraire dans l'appréciation des preuves, le recourant fait valoir que l'autorité cantonale a arbitrairement retenu qu'il était inéquitable de mettre à la charge de l'intimée l'intégralité des frais. Selon lui, il était en outre arbitraire de répartir les frais judiciaires par moitié et de dire que chaque partie devait supporter ses propres dépens de première instance et d'appel, puisque ce serait en raison de l'attitude de l'intimée qu'il a été contraint de déposer une requête en exécution. Ce faisant, le recourant se contente d'exposer sa propre appréciation de la cause, si bien que son argumentation se réduit à une critique purement appellatoire, partant irrecevable (cf. supra consid. 2.1 et 2.2).
6.
En définitive, le recours est irrecevable. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (<ref-law>), qui succombe. Il n'y a pas lieu d'octroyer une indemnité de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 25 mars 2020
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Dolivo