Sachverhalt:
A.
Die 1976 geborene A._ reiste im Januar 2002 aus der Türkei in die Schweiz ein. Im April 2009 meldete sie sich bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 11. Januar 2010 verneinte die IV-Stelle Bern einen Leistungsanspruch mit der (sinngemässen) Begründung, die versicherungsmässigen Voraussetzungen seien nicht erfüllt. Im August 2014 ersuchte A._ erneut um Leistungen der Invalidenversicherung. Mit Verfügung vom 26. März 2015trat die IV-Stelle auf das Gesuch nicht ein. Im Rahmen eines Gesuchs um rentenlose Ergänzungsleistungen und im Auftrag der Ausgleichskasse des Kantons Bern traf die IV-Stelle weitere Abklärungen. Am 21. November 2017 hat sie gegenüber der Ausgleichskasse keine Invalidität der A._ (Invaliditätsgrad 0 %) festgestellt.
Im Oktober 2019 meldete sich A._ wiederum zum Bezug von Leistungen der Invalidenversicherung an. Mit Vorbescheid kündigte die IV-Stelle an, dass sie auf die Neuanmeldung nicht eintreten werde. Mit Verfügung vom 10. Februar 2020 wies die IV-Stelle das im Vorbescheidverfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ab. Mit einer weiteren Verfügung vom 12. Februar 2020 trat sie auf die Neuanmeldung nicht ein, weil die Verhältnisse seit der ersten Anmeldung unverändert seien, somit kein zweiter Versicherungsfall eingetreten sei und in Bezug auf die versicherungsmässigen Voraussetzungen eine abgeurteilte Sache vorliege.
B.
Die gegen die Verfügungen vom 10. und 12. Februar 2020 erhobene Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Entscheid vom 6. August 2020 ab. Zugleich gewährte sie A._ unentgeltliche Rechtspflege für das kantonale Beschwerdeverfahren.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Entscheids vom 6. August 2020 sei ihr mindestens eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zuzusprechen und für das Vorbescheidverfahren die unentgeltliche Verbeiständung zu gewähren; eventualiter sei die Sache an die Verwaltung zurückzuweisen, damit diese auf die Neuanmeldung eintrete, Abklärungen treffe und danach erneut verfüge. Zudem ersucht sie für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Rentenanspruch wurde weder von der IV-Stelle noch von der Vorinstanz materiell beurteilt. Soweit die Beschwerdeführerin in diesem Verfahren die Zusprache einer Rente verlangt, ist auf die Beschwerde von vornherein nicht einzutreten (vgl. <ref-ruling> E. 4.4.2 S. 156; <ref-ruling> E. 2.1 S. 164; <ref-ruling> E. 1 S. 414 f.).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1.
2.1.1. Die Rechtskraft von Verfügungen resp. Einsprache- oder Beschwerdeentscheiden über Dauerleistungen im Bereich der Sozialversicherung, u.a. Renten der Alters- und Invalidenversicherung, ist grundsätzlich zeitlich unbeschränkt. Sie erfasst die Anspruchsvoraussetzungen ebenso wie die Faktoren der Leistungsbemessung, soweit sie im Entscheidzeitpunkt abgeschlossene Sachverhalte betreffen. Es liegt insofern eine abgeurteilte Sache (res iudicata) im Rechtssinne vor. Die betreffenden Anspruchsvoraussetzungen und Leistungsbemessungsfaktoren können daher vorbehältlich einer prozessualen Revision oder Wiedererwägung des rechtskräftigen Entscheids (Art. 53 Abs. 1 und Art. 61 lit. i bzw. <ref-law>) nicht bei jeder neuen Bezugsperiode in Frage gestellt und geprüft werden, es sei denn, das Gesetz sehe ausdrücklich eine andere Regelung vor wie etwa im Bereich der Ergänzungsleistungen (<ref-ruling> E. 3.1.1 S. 373 f. mit zahlreichen Hinweisen; vgl. auch Urteile 8C_378/2020 vom 21. Januar 2021 E. 6.2.2 und 9C_179/2020 vom 16. November 2020 E. 5.1, beide zur Publikation vorgesehen).
2.1.2. Für die Umschreibung der Rechtskraft und der damit verbundenen Rechtsbeständigkeit eines den Anspruch auf eine Dauerleistung verneinenden negativen Entscheids muss auf die Begründungselemente zurückgegriffen werden. Betreffen diese, wie etwa die versicherungsmässigen Voraussetzungen, einen zeitlich abgeschlossenen, späteren Änderungen der Tatsachenlage nicht zugänglichen Sachverhalt, ist eine Überprüfung zufolge Rechtskraft ausgeschlossen, die Anspruchsberechtigung als solche mithin endgültig dahingefallen. Vorbehalten bleibt eine Änderung der den leistungsablehnenden Entscheid tragenden rechtlichen Grundlagen, oder wenn ein neuer Versicherungsfall im Sinne der Erhöhung des Invaliditätsgrades aufgrund einer von der ursprünglichen gesundheitlichen Beeinträchtigung völlig verschiedenen Gesundheitsstörung vorliegt (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 373 f. mit zahlreichen Hinweisen).
2.2. In der Verfügung vom 11. Januar 2010 führte die IV-Stelle aus, die Beschwerdeführerin sei bereits mit einer gesundheitlichen Einschränkung mit wesentlichem Einfluss auf die Arbeits- und Erwerbsfähigkeit in die Schweiz eingereist, weshalb die Voraussetzungen zum Bezug von Rentenleistungen nicht erfüllt seien. Damit ging sie davon aus, dass der Versicherungsfall im Sinne von <ref-law> eingetreten war, und zwar schon vor der Einreise in die Schweiz. Folglich verneinte sie (sinngemäss) die versicherungsmässigen Voraussetzungen gemäss <ref-law>.
2.3. Die Vorinstanz hat erwogen, in der leistungsablehnenden Verfügung vom 11. Januar 2010 sei über die versicherungsmässigen Voraussetzungen rechtskräftig entschieden worden. Deren erneute Überprüfung sei deshalb (grundsätzlich) ausgeschlossen; vorbehalten bleibe lediglich eine Änderung der rechtlichen Grundlagen oder ein neuer Versicherungsfall aufgrund einer völlig verschiedenen Gesundheitsstörung. Die rechtlichen Grundlagen hätten keine Änderung erfahren. Auch wenn sich der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin seit 2010 verschlechtert haben sollte, sei weder in psychischer noch in somatischer Hinsicht eine neue eigenständige Gesundheitsstörung glaubhaft gemacht worden. Mangels eines neuen Versicherungsfalls sei die IV-Stelle zu Recht nicht auf die Neuanmeldung eingetreten.
2.4. Die Beschwerdeführerin macht keine neue eigenständige Gesundheitsstörung geltend. Indessen bestreitet sie (sinngemäss) die Rechtskraft der Verfügung vom 11. Januar 2010: Die IV-Stelle habe nach der Neuanmeldung im Sommer 2014 diverse - auch medizinische - Abklärungen getroffen und (gemäss eigener Kommunikation) die versicherungsmässigen Voraussetzungen resp. die "Sachlage" überprüft. Sodann habe sie nach Erlass der Verfügung vom 26. März 2015, wenn auch im Auftrag der Ausgleichskasse, weitere umfangreiche Untersuchungen vorgenommen und am 21. November 2017 einen Invaliditätsgrad ermittelt. Auf die "Verfügung" von diesem Datum habe die Verwaltung selber im Vorbescheid vom 17. Oktober 2019 Bezug genommen. Mit diesem Verhalten habe sie ihre ursprüngliche Verfügung vom 11. Januar 2010 stillschweigend in Wiedererwägung gezogen resp. durch konkludentes Verhalten widerrufen. Dass sie sich später hinsichtlich der versicherungsmässigen Voraussetzungen auf eine res iudicata berufen habe, sei widersprüchlich und verstosse gegen Treu und Glauben.
2.5.
2.5.1. Vorab ist klarzustellen, dass die IV-Stelle mit der Mitteilung vom 21. November 2017 betreffend den Invaliditätsgrad kein Rechtsverhältnis verbindlich regelte (vgl. BGE <ref-ruling> E. 1a S. 414). Insbesondere entschied sie damit weder über einen Rentenanspruch noch über den Anspruch auf rentenlose Ergänzungsleistungen (für dessen Beurteilung ohnehin die Ausgleichskasse zuständig war). Anders als die Beschwerdeführerin glauben machen will, handelt es sich bei der genannten - an die Ausgleichskasse adressierten - Mitteilung offensichtlich nicht um eine Verfügung im Sinne von <ref-law> resp. <ref-law>. Daran ändert auch nichts, dass die IV-Stelle im Vorbescheid vom 17. Oktober 2019 keine wesentliche Veränderung der tatsächlichen Verhältnisse "seit der letzten Verfügung" feststellte. Ob mit diesem Begriff die Mitteilung vom 21. November 2017 gemeint war, kann offenbleiben: Die blosse Verwendung des Ausdrucks im Vorbescheid (der keine Rechtskraft entfaltet; vgl. <ref-law> und <ref-law>) bedeutet keine rechtliche Qualifikation des fraglichen Dokuments als Verfügung (vgl. auch <ref-ruling> E. 1.2 S. 257; <ref-ruling> E. 2 S. 76; <ref-ruling> E. 1a S. 497; Urteil 9C_76/2020 vom 1. Mai 2020 E. 3.1 zur Bedeutung des Wortlauts von Verfügungen).
Zwar besteht mit der zuhanden der Ausgleichskasse vorgenommenen Invaliditätsbemessung vom 21. November 2017 ein gewichtiger Anhaltspunkt dafür, dass die Verfügung vom 11. Januar 2010 ursprünglich fehlerhaft sein und deshalb in Anwendung von <ref-law> in Wiedererwägung gezogen werden könnte. Indessen kann die Verwaltung dazu nicht verhalten werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 52; Urteil 8C_378/2020 vom 21. Januar 2021 E. 6.2.2, zur Publikation vorgesehen), wie die Vorinstanz zutreffend erkannt hat.
2.5.2. Ob mit Blick auf die Rechtssicherheit eine "stillschweigende" Wiedererwägung einer rechtskräftigen Rentenverfügung überhaupt zulässig wäre (vgl. <ref-law>; vgl. auch Art. 49 Abs. 1 und Art. 51 Abs. 1 ATSG), braucht nicht entschieden zu werden. In der Nichteintretensverfügung vom 26. März 2015 wies die Verwaltung ausdrücklich und unter Bezugnahme auf die Verfügung vom 11. Januar 2010 darauf hin, dass sie die versicherungsmässigen Voraussetzungen nicht erneut prüfen könne, weil keine neue Diagnose vorliege. Sodann kann weder der Umstand, dass die IV-Stelle - im Rahmen der Neuanmeldungen oder im Auftrag der Ausgleichskasse - Sachverhaltsabklärungen traf, noch die entsprechende Kommunikation einer Wiedererwägung der ursprünglichen Verfügung gleichgesetzt werden. Die erfolgten Abklärungen setzten denn auch nicht die vorgängige Aufhebung der ursprünglichen Verfügung voraus.
Dass die IV-Stelle in diesem Zusammenhang durch ihr Verhalten eine Grundlage im Sinne des verfassungsrechtlichen Vertrauensschutzes (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.6.2 S. 103; zur diesbezüglichen qualifizierten Rügeobliegenheit vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4 S. 5) geschaffen haben soll, wird zu Recht nicht geltend gemacht.
2.5.3. Fraglich ist schliesslich, ob auf die ursprüngliche Rentenverfügung resp. auf die darin enthaltene "Rentenzusprache im Grundsatz" (vgl. vorangehende E. 2.2) in sinngemässer Anwendung von <ref-law> zurückgekommen werden und anschliessend, nach auch im Grundsatz rentenloser Zeit, bei entsprechender Sachverhaltsveränderung (z.B. Verschlechterung des Gesundheitszustandes) ein neuer Versicherungsfall eintreten könnte (vgl. Urteil 9C_179/2020 vom 16. November 2020 E. 5.3, zur Publikation vorgesehen; <ref-ruling> E. 1 S. 70). Wie es sich damit verhält, braucht hier ebenfalls nicht beantwortet zu werden. Ein Anhaltspunkt für einen Revisionstatbestand im Sinne einer vorübergehenden, aber grundsätzlich "anspruchsaufhebenden" Veränderung des Sachverhalts (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 10 f.) nach dem 11. Januar 2010 wird auch nicht ansatzweise dargelegt, weshalb sich diesbezügliche Weiterungen erübrigen.
2.6. Nach dem Gesagten liegt mit der (behaupteten) Verschlechterung des Gesundheitszustandes kein neuer Versicherungsfall vor. Die Vorinstanz hat zu Recht die Verfügung vom 11. Januar 2010 resp. die darin enthaltene Verneinung der versicherungsmässigen Voraussetzungen als verbindlich betrachtet und die Nichteintretensverfügung vom 12. Februar 2020 bestätigt. Die Beschwerde ist unbegründet, soweit sie den Rentenanspruch betrifft.
3.
3.1.
3.1.1. Wo die Verhältnisse es erfordern, wird der gesuchstellenden Person für das Verwaltungsverfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand bewilligt (<ref-law>). Kumulative Voraussetzungen für eine solche unentgeltliche Verbeiständung sind Bedürftigkeit, sachliche Gebotenheit der Vertretung sowie Nichtaussichtslosigkeit der Rechtsbegehren (<ref-ruling> E. 4.1 S. 200 f.). Die Notwendigkeit der anwaltlichen Verbeiständung ist im Verwaltungsverfahren, in welchem der Untersuchungsgrundsatz gilt (<ref-law>), nur in Ausnahmefällen zu bejahen. Es müssen sich schwierige Fragen rechtlicher oder tatsächlicher Natur stellen. Zu berücksichtigen sind die konkreten Umstände des Einzelfalls, Eigenheiten der anwendbaren Verfahrensvorschriften sowie weitere Besonderheiten des jeweiligen Verfahrens. Neben der Komplexität der Rechtsfragen und der Unübersichtlichkeit des Sachverhalts fallen auch bei der versicherten Person liegende Gründe in Betracht, etwa ihre Fähigkeit, sich im Verfahren zurechtzufinden. Des Weiteren muss eine gehörige Interessenwahrung durch Verbandsvertreter, Fürsorgestellen oder andere Fach- und Vertrauensleute sozialer Institutionen ausser Betracht fallen (<ref-ruling> E. 4b S. 35; Urteil 9C_29/2017 vom 6. April 2017 E. 1 mit Hinweisen). Grundsätzlich geboten ist die Verbeiständung auch, falls ein besonders starker Eingriff in die Rechtsstellung des Bedürftigen droht; andernfalls bloss, wenn zur relativen Schwere des Falls besondere tatsächliche oder rechtliche Schwierigkeiten hinzukommen, denen der Gesuchsteller oder die Gesuchstellerin auf sich alleine gestellt nicht gewachsen ist (<ref-ruling> E. 2.2 mit Hinweisen; SVR 2020 EL Nr. 10 S. 37, 9C_688/2019 E. 3.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; Urteil 9C_786/2019 vom 20. Dezember 2019 E. 5.1).
3.1.2. Die Frage nach der sachlichen Gebotenheit der anwaltlichen Verbeiständung im Verwaltungsverfahren ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (Urteile 8C_353/2019 vom 2. September 2019 E. 3.2; 9C_167/2015 vom 9. September 2015 E. 2.2).
3.2. Die Vorinstanz hat die Erforderlichkeit einer Vertretung durch einen Rechtsanwalt im Verwaltungsverfahren verneint mit der Begründung, dass der Sozialdienst der Wohngemeinde die Vertretung hätte übernehmen können.
3.3. Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdeführerin selbst fähig gewesen wäre sich im Vorbescheidverfahren zurechtzufinden, oder dass für die Unterstützung eine andere Stelle als der Sozialdienst der Wohngemeinde in Betracht gefallen wäre, sind nicht ersichtlich und werden auch von der Beschwerdegegnerin nicht geltend gemacht.
Die IV-Stelle verneinte mit ihrer Verfügung vom 11. Januar 2010 zwar die versicherungsmässigen Voraussetzungen, jedoch bejahte sie gleichzeitig, wenn auch "nur" im Grundsatz, einen Rentenanspruch (vgl. vorangehende E. 2.2). Am 21. November 2017 negierte sie zuhanden der Ausgleichskasse eine Invalidität, ohne dass in Bezug auf die ursprüngliche (grundsätzliche) "Rentenzusprache" ein Rückkommenstitel (vgl. vorangehende E. 2.5 und 2.6; vgl. auch Urteil 8C_214/2019 vom 27. Juni 2019 E. 4.3) oder auch nur eine entsprechende Erklärung vorlag. Der Inhalt der Mitteilung vom 21. November 2017 lässt sich somit nicht mit jenem der Verfügung vom 11. Januar 2010 in Einklang bringen. Darin liegt ein Widerspruch, auch wenn sich daraus nichts für den im Oktober 2019 geltend gemachten Rentenanspruch ergibt. Soweit er sich im (in diesem Verfahren nicht aktenkundigen) Entscheid betreffend rentenlose Ergänzungsleistungen niederschlug, hatte die Beschwerdeführerin zwar Gelegenheit, diesen anzufechten (vgl. SVR 2018 EL Nr. 12 S. 30, 9C_710/2017 E. 3.3). Indessen war die Widersprüchlichkeit - die allein der IV-Stelle anzulasten ist - ein Faktor, der das hier interessierende Vorbescheidverfahren erheblich erschwerte. Zudem stellten sich Fragen der Rechtskraft einer älteren Verfügung betreffend versicherungsmässige Voraussetzungen, der diesbezüglich möglichen Rückkommenstitel und der Aufgabenteilung zwischen IV-Stelle und Ausgleichskasse. Damit lagen in concreto besondere rechtliche Schwierigkeiten vor, die auch unter Anwendung eines strengen Massstabs den Beizug eines Rechtsanwalts oder einer Rechtsanwältin als geboten erscheinen lassen. Eine gehörige Interessenwahrung durch - in der Regel nicht juristisch geschulte - Mitarbeitende des Sozialdienstes durfte unter diesen Umständen nicht erwartet werden.
3.4. Das kantonale Gericht hat für das vorinstanzliche Verfahren die weiteren Voraussetzungen der unentgeltlichen Verbeiständung (Bedürftigkeit und Nichtaussichtslosigkeit der Rechtsbegehren; vgl. vorangehende E. 3.1.1) bejaht. Weshalb es sich damit im Vorbescheidverfahren anders verhalten haben soll, ist nicht ersichtlich und bringt die IV-Stelle auch nicht vor. Somit hat die Beschwerdeführerin Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand im Vorbescheidverfahren. Insoweit ist die Beschwerde begründet. Die IV-Stelle wird die Entschädigung des Rechtsvertreters festzusetzen haben.
4.
Die Gerichtskosten sind entsprechend dem Ausmass des Obsiegens und Unterliegens aufzuteilen (<ref-law>). Die teilweise obsiegende Beschwerdeführerin hat Anspruch auf eine reduzierte Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Soweit dadurch nicht gegenstandslos geworden, kann ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entsprochen werden (<ref-law>). Sie hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 6. August 2020 und die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 12. Februar 2020 werden aufgehoben, soweit sie den Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand im Vorbescheidverfahren betreffen. Der Beschwerdeführerin wird für das Vorbescheidverfahren die unentgeltliche Verbeiständung gewährt und Rechtsanwalt Dr. Hans-Ulrich Zürcher wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
2.
Die Sache wird zur Festsetzung des Honorars des unentgeltlichen Rechtsvertreters für das Vorbescheidverfahren an die IV-Stelle zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Der Beschwerdeführerin wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Dr. Hans-Ulrich Zürcher wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 800.- werden zu Fr. 400.- der Beschwerdeführerin und zu Fr. 400.- der Beschwerdegegnerin auferlegt. Der Anteil der Beschwerdeführerin wird vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
5.
Die Beschwerdegegnerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1400.- zu entschädigen.
6.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1400.- ausgerichtet.
7.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
8.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 17. März 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann