Faits :
A.
A.a. A._, né en 1977, travaillait en qualité de monteur en structures métalliques auprès de l'entreprise C._ Sàrl. Le 31 janvier 2013, alors qu'il perçait une pièce en acier sur son lieu de travail, la mèche de sa perceuse s'est cassée et l'a blessé à l'index et au majeur de la main gauche. Il s'est rendu le jour même à l'Hôpital D._ où les plaies ont été suturées. Le 14 février 2013, il a subi une intervention chirurgicale pratiquée par le docteur E._, au cours de laquelle on remarqua que les tendons fléchisseurs et les nerfs collatéraux de l'index et du majeur gauches avaient été gravement sectionnés (protocole opératoire du 20 février 2013). L'accident a provoqué une incapacité de travail oscillant entre 10 %, 50 % et 100 %. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA), auprès de laquelle A._ était assuré obligatoirement contre le risque d'accidents, a pris en charge le cas.
Le 21 janvier 2014, un syndrome douloureux régional complexe (SDRC, en anglais complex regional pain syndrome [CRPS]) de la branche cutanée palmaire du nerf médian gauche avec allodynie mécanique a été diagnostiqué. L'assuré a par la suite développé un syndrome de compression du nerf cubital au coude gauche qui a été traité par neurolyse et transposition antérieure dudit nerf (protocole opératoire du 1er avril 2014). Début 2015, il a été adressé à la Clinique d'anesthésiologie et de thérapie de la douleur de l'Hôpital F._, Les médecins ont mis en place un traitement médicamenteux ainsi qu'une série d'infiltrations parallèlement à un traitement ergothérapeutique et ont adressé l'assuré à la doctoresse G._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, pour un éventuel traitement psychothérapeutique. Celle-ci a diagnostiqué un épisode dépressif moyen réactionnel au fait que l'état de santé somatique ne s'améliorait pas (rapport du 7 septembre 2015). L'assuré a également effectué un séjour à la Clinique H._ du 26 août au 23 septembre 2015 pour des thérapies physiques et fonctionnelles en raison des douleurs et limitations fonctionnelles du membre supérieur gauche, lors duquel les médecins ont posé les diagnostics supplémentaires de probable SDRC de type II et de trouble de l'adaptation avec réaction mixte, anxieuse et dépressive (rapport du 2 octobre 2015).
Le 1er décembre 2015, les docteurs I._ et J._, respectivement spécialiste en chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil locomoteur et spécialiste en chirurgie de la main, ont procédé à une expertise médicale à la demande de l'assurance responsabilité civile Allianz Suisse Société d'Assurances SA. Par ailleurs, le docteur E._, constatant une évolution défavorable à presque trois ans postopératoire avec un SDRC de type II toujours manifeste, a préconisé un deuxième avis spécialisé en chirurgie de la main par le docteur K._, spécialiste en chirurgie orthopédique, lequel a notamment indiqué que la reprise du travail dans l'ancienne activité n'était pas possible mais qu'une activité adaptée devait être envisagée dès maintenant (rapport du 24 mars 2016). La CNA a requis l'avis de son médecin d'arrondissement, la doctoresse L._, spécialiste en neurochirurgie, et de la doctoresse M._, spécialiste en chirurgie générale et traumatologie de son centre de compétence, lesquelles ont établi leurs rapports respectifs les 20 juin 2016 et 25 novembre 2016. Procédant à un examen final, le docteur N._, spécialiste en médecine interne générale et médecin d'arrondissement de la CNA, a retenu une capacité de travail nulle dans l'ancienne activité mais totale dans une activité limitant le port de charges à 5 kg avec le membre supérieur gauche et n'impliquant pas une motricité fine de la main gauche. Il fallait toutefois s'attendre à une diminution de rendement se situant entre 5 et 10 % dans une activité combinant les deux mains (rapports des 11 mai et 11 octobre 2017). De son côté, la doctoresse G._ était d'avis que les troubles psychiques de l'assuré impliqueraient probablement une diminution de rendement de 20 % à 40 % (rapport du 25 août 2017).
A.b. Par décision du 30 octobre 2017, confirmée sur opposition le 15 décembre 2017, la CNA a alloué à l'assuré une rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 15 % à partir du 1er juillet 2017 ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 5 %.
B.
Par jugement du 15 juillet 2019, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal fribourgeois a rejeté le recours formé par A._ contre la décision sur opposition.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant principalement à son annulation suivie du renvoi de la cause à la CNA pour instruction médicale complémentaire et nouvelle décision sur le taux d'invalidité ainsi que sur le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. Subsidiairement, il conclut à sa réforme dans le sens d'une reconnaissance de son droit à une rente d'invalidité fondée sur un taux d'invalidité de 25 % ainsi qu'à une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 %.
La CNA conclut au rejet du recours; l'autorité cantonale a indiqué ne pas avoir de remarques particulières à formuler, tandis que l'Office fédéral de la santé publique ne s'est pas déterminé.

Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le taux de la rente d'invalidité et de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité allouées au recourant à compter du 1er juillet 2017.
S'agissant d'une procédure concernant l'octroi de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par les faits établis par la juridiction précédente (<ref-law>).
3.
3.1. Selon l'<ref-law>, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle.
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout ou ne serait pas survenu de la même manière (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; <ref-ruling> consid. 1 p. 337; <ref-ruling> consid. 1b p. 289 et les références). Il n'est pas nécessaire que l'accident soit la cause unique ou immédiate de l'atteinte à la santé: il suffit qu'associé éventuellement à d'autres facteurs, il ait provoqué l'atteinte à la santé, c'est-à-dire qu'il apparaisse comme la condition sine qua non de cette atteinte. Savoir si l'événement assuré et l'atteinte en question sont liés par un rapport de causalité naturelle est une question de fait que l'administration, ou le cas échéant le juge, examine en se fondant essentiellement sur des renseignements d'ordre médical, et qui doit être tranchée à la lumière de la règle du degré de vraisemblance prépondérante, appliquée généralement à l'appréciation des preuves dans l'assurance sociale (<ref-ruling> consid. 1 p. 438 et les références citées).
Le droit à des prestations de l'assurance-accidents suppose en outre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre l'accident et l'atteinte à la santé. La causalité est adéquate si, d'après le cours ordinaire des choses et l'expérience de la vie, le fait considéré était propre à entraîner un effet du genre de celui qui s'est produit, la survenance de ce résultat paraissant de manière générale favorisée par une telle circonstance (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 181; 402 consid. 2.2 p. 405; <ref-ruling> consid. 5a p. 461 et les références).
3.2. En présence de troubles psychiques consécutifs à un accident, la jurisprudence a dégagé des critères objectifs qui permettent de juger du caractère adéquat du lien de causalité. Elle a tout d'abord classé les accidents en trois catégories, en fonction de leur déroulement: les accidents insignifiants ou de peu de gravité, les accidents de gravité moyenne et les accidents graves. En présence d'un accident de gravité moyenne, il faut prendre en considération un certain nombre de critères, dont les plus importants sont les suivants:
les circonstances concomitantes particulièrement dramatiques ou le caractère particulièrement impressionnant de l'accident;
la gravité ou la nature particulière des lésions physiques, compte tenu notamment du fait qu'elles sont propres, selon l'expérience, à entraîner des troubles psychiques;
la durée anormalement longue du traitement médical;
les douleurs physiques persistantes;
les erreurs dans le traitement médical entraînant une aggravation notable des séquelles de l'accident;
les difficultés apparues au cours de la guérison et des complications importantes;
le degré et la durée de l'incapacité de travail due aux lésions physiques.
Tous ces critères ne doivent pas être réunis pour que la causalité adéquate soit admise (<ref-ruling> consid. 4.4.1; <ref-ruling> consid. 6c/aa et bb p. 140 s., 403 consid. 5c/aa et bb p. 409; arrêt 8C_890/2012 du 15 novembre 2013 consid. 5.2). De manière générale, lorsque l'on se trouve en présence d'un accident de gravité moyenne, il faut un cumul de trois critères sur les sept ou au moins que l'un des critères retenus se soit manifesté de manière particulièrement marquante (SVR 2010 UV n° 25 p. 100 [8C_897/2009] consid. 4.5; arrêt 8C_663/2019 du 9 juin 2020 consid. 3.2).
4.
La cour cantonale a tout d'abord considéré comme établi, au degré de la vraisemblance prépondérante, que le recourant disposait d'une capacité de travail de 100 % dans une activité adaptée sans port de charges avec la seule main gauche et ne nécessitant pas de motricité fine de cette main, avec toutefois une diminution de rendement de 10 % (au maximum) en cas de travail combiné des deux mains, y compris le port de charges. En effet, à l'exception du chirurgien traitant, tous les médecins s'accordaient sur une telle exigibilité dans une activité adaptée; celle-ci paraissait en outre conforme à l'atteinte somatique relativement limitée qui subsistait plus de quatre ans après l'accident du 31 janvier 2013 et tenait compte du SDRC de type II diagnostiqué. Les juges cantonaux ont écarté les doutes émis par le chirurgien traitant sur les douleurs difficilement contrôlables du recourant et sur le fait qu'il lui serait difficile, vu son manque de formation, de retrouver une activité professionnelle. Ils ont en effet considéré que la fréquence et l'intensité des douleurs existant dans le cadre d'un SDRC de type II devaient être relativisées en raison des constatations du docteur N._ dans son rapport du 11 mai 2017. Quant à l'éventuelle difficulté à trouver du travail, elle n'était pas pertinente dans l'évaluation de la capacité de travail. Puis, sans se prononcer sur la question de la causalité naturelle, la juridiction précédente a nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les troubles psychiques du recourant et l'accident du 31 janvier 2013, qu'elle a qualifié de gravité moyenne. Elle a en effet considéré qu'aucun des critères définis par la jurisprudence pour admettre le caractère adéquat du lien de causalité entre une atteinte à la santé psychique et un accident de gravité moyenne n'était réalisé en l'espèce; une réduction du revenu hypothétique exigible à ce titre était dès lors exclue.
La juridiction cantonale a ensuite comparé le revenu hypothétique de 54'438 fr. encore réalisable en tenant compte des limitations fonctionnelles du recourant avec le revenu sans invalidité - non contesté - de 63'958 fr. et est parvenue à la conclusion que le recourant présentait un taux d'invalidité de 14,88 %, ouvrant le droit à une rente de 15 %.
5.
Le recourant se plaint d'une constatation inexacte et incomplète des faits. Il reproche dans un premier temps à la cour cantonale d'avoir sous-évalué la perte de gain provoquée par le SDRC de type II diagnostiqué tant par le médecin d'arrondissement de la CNA que par le docteur E._ et dont il aurait décrit la symptomatologie de façon cohérente lors de ses examens médicaux. Les premiers juges auraient ainsi retenu de manière inconcevable qu'il puisse exercer à plein temps avec un rendement de 90 % une activité nécessitant l'utilisation de sa main et de son bras gauches avec pour seules restrictions l'impossibilité de porter des charges de plus de 5 kg et d'effectuer des tâches nécessitant une motricité fine, d'autant que la doctoresse L._ avait fait état de limitations plus importantes et que ses indications allaient dans le même sens que l'avis du docteur E._ selon lequel l'utilisation du membre supérieur risquait d'entrainer des douleurs importantes même dans un travail léger. Le recourant estime donc qu'ils auraient dû calculer un revenu d'invalidité sur la base d'une situation d'une personne quasiment mono-manuelle en tenant compte d'un abattement de 20 % conformément à la jurisprudence du Tribunal fédéral (arrêt 9C_621/2014 consid. 5.2). Ils seraient ainsi parvenus à un taux d'invalidité de 30 % (revenu avec invalidité de 48'389 fr. 60 comparé au revenu sans invalidité de 63'958 fr.). Dans un deuxième temps, le recourant soutient que cinq des critères visant à déterminer l'existence d'un lien de causalité adéquate entre un accident de gravité moyenne et une affection psychique seraient réalisés en l'espèce et que la cause devrait dès lors être renvoyée à l'intimée afin qu'elle évalue le taux d'invalidité et l'IPAI en tenant compte des troubles psychiques également.
6.
6.1. En l'occurrence, tous les médecins qui ont considéré le recourant comme étant apte à exercer une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles ont tenu compte du CRPS de type II dont il souffre (rapport du 2 octobre 2015 de la Clinique H._, rapport du 24 mars 2016 du docteur K._, rapport du 20 juin 2016 de la doctoresse L._, rapport du 25 novembre 2016 de la doctoresse M._, rapport du 11 mai 2017 du docteur N._). En outre, les premiers juges n'ont nullement retenu que le recourant était apte à exercer une activité adaptée limitant le port de charges à 5 kg avec la main gauche, mais ont considéré que l'activité adaptée ne devait pas impliquer de port de charges du tout avec ce membre seul (cf. jugement cantonal p. 13). Aussi, la divergence d'opinion entre la doctoresse L._, qui a retenu un port de charge limité à 1 kg avec la main gauche, et le docteur N._, qui est d'avis que le port de charges peut aller jusqu'à 5 kg avec ce membre, n'est-elle pas pertinente. Cette divergence d'opinion s'explique au demeurant par l'évolution de la situation médicale, la doctoresse L._ ayant donné son avis sur les limitations fonctionnelles du recourant onze mois avant le docteur N._ alors que le cas a encore évolué par la suite. Enfin, compte tenu du fait que le recourant a la possibilité (moyennant une légère perte de temps) de porter des charges avec les deux mains - ce qu'il n'a pas contesté -, sa situation ne s'apparente pas à celle d'un mono-manuel. Son argument quant à l'abattement tombe par conséquent également à faux.
Compte tenu de ce qui précède, les premiers juges étaient fondés à considérer le recourant comme étant apte, sur le plan somatique, à exercer une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles avec une diminution de rendement de 10 % au maximum.
7.
Il convient à présent d'examiner si l'autorité cantonale a violé le droit fédéral en considérant qu'aucun des critères définis par la jurisprudence pour admettre le caractère adéquat du lien de causalité entre les troubles psychiques du recourant (troubles de l'adaptation avec réaction mixte, anxieuse et dépressive et épisode dépressif moyen, réactionnel aux troubles somatiques) et l'accident du 31 janvier 2013 - dont la classification dans les accidents de gravité moyenne n'est pas contestée - n'était réalisé.
7.1. S'agissant du critère de la durée anormalement longue du traitement médical, il sied de se rallier à l'appréciation de la cour cantonale selon laquelle ce critère n'est pas réalisé en l'espèce. En effet, il y a lieu de prendre en considération dans l'examen de ce critère non seulement l'aspect temporel, mais aussi la nature et l'intensité du traitement. La prise de médicaments et la prescription de traitements par manipulations même pendant une certaine durée ne suffisent pas à fonder ce critère (arrêt 8C_755/2012 du 23 septembre 2013 consid. 4.2.3 et les références). En l'espèce, contrairement à ce que soutient le recourant, l'intensité du traitement médical, sur la durée, n'a pas été telle que l'on puisse parler d'un traitement anormalement long; celui-ci a principalement consisté en deux interventions espacées dans le temps pratiquées en ambulatoire, suivies de mesures conservatrices (une rééducation semi-passive [méthode Kleinert] après la première intervention et, après la deuxième intervention, d'un port du bras en écharpe et d'une mobilisation en physiothérapie "libre en flexion-extension jusqu'à 30 degré pour quatre semaines, puis libre") et d'un seul séjour de moins d'un mois à la Clinique H._. Les infiltrations tout comme les séances de physiothérapie, d'ergothérapie et de rééducation sensitive ne constituent par ailleurs pas un traitement particulièrement pénible et invasif. A titre de comparaison, l'intensité du traitement médical sur la durée n'a pas été reconnue dans le cas d'un traitement d'environ deux ans et demi, consistant principalement en deux interventions chirurgicales espacées dans le temps suivies chacune d'un séjour à la Clinique H._, de séances de physiothérapie puis d'une rééducation en vue d'une troisième intervention, laquelle fut toutefois abandonnée en raison d'un pronostic défavorable (arrêt 8C_755/2012 du 23 septembre 2013 consid. 4.2.3).
7.2. Le critère de l'erreur dans le traitement médical ayant entraîné une aggravation notable des séquelles de l'accident n'apparaît pas non plus réalisé. En effet, si l'on peut admettre que le diagnostic manqué de lésions tendineuses et nerveuses lors de la prise en charge initiale à l'Hôpital D._ puisse constituer une erreur médicale, celle-ci n'a pas donné lieu à une aggravation notable des séquelles puisque le retard de deux semaines dans la prise en charge desdites lésions n'a pas eu en soi d'incidence négative sur l'évolution du cas (cf. expertise médicale du 1er décembre 2015). Quant aux séquelles d'allodynie et de SDRC de type II subséquentes, il n'est pas établi qu'elles soient la conséquence de l'intervention chirurgicale du 14 février 2013. En effet, le seul fait que le docteur J._ a indiqué - sans pouvoir toutefois l'affirmer avec certitude - qu'il était possible que la technique utilisée lors de cette intervention (usage du Neurotube pour la reconnexion nerveuse) ait favorisé la survenue du SDRC ne permet pas encore de conclure que le choix de cette méthode relèverait d'une erreur médicale. Il en va de même de la conclusion de ce médecin selon laquelle "le plus probable est que l'accumulation et la succession d'approximations tant diagnostiques que thérapeutiques aient constitué un contexte favorable à l'apparition et au développement du [SDRC]".
7.3. S'agissant du critère du degré et de la durée de l'incapacité de travail, il doit se rapporter aux seules lésions physiques et ne se mesure pas uniquement au regard de la profession antérieurement exercée par l'assuré. Ainsi, il n'est pas rempli lorsque l'assuré est apte, même après un certain laps de temps, à exercer à plein temps une activité adaptée aux séquelles accidentelles qu'il présente (cf. arrêts 8C_762/2019 du 12 mars 2020 consid. 4.2.6 et la référence citée; 8C_277/2019 du 22 janvier 2020 consid. 5.3). En l'espèce, après que le docteur K._ avait indiqué dans son rapport du 24 mars 2016 que la reprise du travail dans une activité adaptée devait être envisagée dès maintenant, la doctoresse L._ a considéré, dans son rapport du 20 juin 2016, que le recourant était apte à exercer une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles à 100 % avec un rendement de 100 %. Si les avis ultérieurs de certains médecins ont divergé de celui de la doctoresse L._ quant au rendement possible du recourant dans une activité adaptée, aucun d'entre eux ne l'a contredite s'agissant d'une capacité de travail entière attendue dans une telle activité (cf. rapports de la doctoresse M._ du 25 novembre 2016, du docteur N._ des 11 mai et 11 octobre 2017 et de la doctoresse G._ du 25 août 2017). Il s'est donc écoulé 3 ans et 5 mois avant que l'assuré ait pu récupérer une capacité de travail complète (dans une activité adaptée), ce qui peut représenter une durée relativement longue. Il y a toutefois lieu d'en relativiser l'importance puisqu'elle a été entrecoupée par des périodes de capacité de travail partielle (entre 50 % et 90 %) entre le mois d'août 2013 et le mois de décembre 2014. Ce critère ne peut donc pas être retenu (voir a contrario l'arrêt 8C_116/2009 du 26 juin 2009 consid. 4.5 dans lequel le Tribunal fédéral a admis ce critère pour un arrêt de travail de 100 % d'une durée de trois ans sans interruption).
7.4. Les deux seuls critères dont on pourrait se demander s'ils sont réalisés en l'espèce sont ceux des difficultés apparues au cours de la guérison et des douleurs physiques persistantes.
7.4.1. S'agissant du premier critère, la juridiction cantonale a en effet elle-même admis que des difficultés significatives étaient apparues au cours du processus de guérison ayant donné lieu à certaines complications, mais les a relativisées en considérant que le recourant avait toujours bénéficié d'un suivi médical. Ce raisonnement ne permet toutefois pas de nier l'existence de celles-ci. Or d'après l'appréciation du docteur J._ ressortant de l'expertise médicale du 1er décembre 2015, la récupération fonctionnelle du membre supérieur gauche aurait dû être obtenue dans un délai de six mois à compter de la réparation des lésions, avec une prise en charge et des traitements initiaux adéquats. Quant au docteur O._, spécialiste en médecine physique et réadaptation ainsi qu'en rhumatologie et médecin-conseil de la CNA, il avait déjà indiqué, dans une appréciation du 8 août 2014, que les lésions initiales auraient dû permettre une reprise du travail dans l'activité professionnelle de monteur environ une année après l'accident du 31 janvier 2013 mais qu'au vu des complications survenues lors du processus de guérison, une incapacité de travail de 50 % était encore justifiée.
7.4.2. S'agissant du deuxième critère, il n'est pas contesté que le recourant souffre d'un SDRC. Or l'un des critères (dits de Budapest) pour admettre l'existence d'un SDRC est la présence d'une douleur persistante et disproportionnée par rapport à l'événement initial (cf. arrêt 8C_416/2019 du 15 juillet 2020 consid. 5.1).
7.4.3. La question peut toutefois demeurer indécise. En effet, même à admettre que les critères de Budapest précités soient remplis, seuls deux critères (difficultés apparues au cours de la guérison et douleurs physiques persistantes) seraient réalisés en l'espèce, ce qui ne suffirait pas pour admettre l'existence d'un lien de causalité adéquate entre les troubles psychiques du recourant et l'accident 31 janvier 2013 (cf. consid. 3.2 supra). Il n'apparaît au demeurant pas non plus que les difficultés apparues au cours de la guérison se soient manifestées d'une manière particulièrement marquante, et il en va de même pour les douleurs persistantes. En effet, le docteur N._ a notamment constaté dans son rapport du 11 mai 2017 que le recourant était resté souriant durant tout l'entretien, qui avait duré 1h20, et qu'il n'avait à aucun moment montré une quelconque manifestation spontanée d'une douleur, alors qu'il avait expliqué ressentir des décharges de type électrique dans sa main gauche à intervalles de cinq minutes, chiffrées à 7-8/10 sur l'échelle analogique de la douleur.
7.5. Il s'ensuit que la juridiction cantonale n'a pas violé le droit fédéral en niant le droit du recourant à des prestations de l'assurance-accidents en raison des troubles psychiques.
8.
Le jugement attaqué n'est dès lors pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
9.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 27 novembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Paris