Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1986), ägyptischer Staatsangehöriger, reiste am 16. Dezember 2010 in die Schweiz ein und heiratete am 12. Januar 2011 eine Schweizerin. Gestützt auf diese Ehe erhielt er eine Aufenthaltsbewilligung, welche zuletzt bis am 5. Januar 2015 verlängert wurde. Am 11. Februar 2011 wurde der gemeinsame Sohn geboren. Spätestens seit 2014 leben die Eheleute getrennt. Am 19. Juni 2015 verurteilte das Regionalgericht Bern-Mittelland A._ wegen Vergewaltigung und sexueller Nötigung (begangen am 5. August 2014) sowie Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer bedingten Freiheitsstrafe von 24 Monaten. Am 15. September 2015 verweigerte die Einwohnergemeinde Thun die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies diesen aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos. Zuletzt wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die gegen den Beschwerdeentscheid der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vom 16. März 2017 erhobene Beschwerde mit Urteil vom 21. Februar 2018 ab, setzte eine neue Ausreisefrist auf den 6. April 2018 an und verweigerte die unentgeltliche Rechtspflege.
B.
B.a. A._ erhebt am 26. März 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit den Anträgen, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei hauptsächlich die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventualiter sei ihm für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; die vorinstanzlichen Gerichtskosten seien dem Kanton Bern aufzuerlegen und es sei ihm eine Parteientschädigung für das vorinstanzliche Verfahren auszurichten. Zudem lehnt er die von der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts bestimmte Besetzung des Spruchkörpers ab (Rechtsbegehren Ziff. 8), lehnt er die Bundesrichter Seiler, Zünd und Haag sowie Gerichtsschreiber Hugi Yar ab (Rechtsbegehren Ziff. 9) und lehnt er die Bundesrichter Seiler und Donzallaz ab (Rechtsbegehren Ziff. 10).
B.b. Mit Verfügung vom 5. April 2018 trat die II. öffentlich-rechtliche Abteilung des Bundesgerichts in der Zusammensetzung Bundesrichter Zünd (als präsidierendes Mitglied), Stadelmann und Haag sowie Gerichtsschreiber Feller auf das Ausstandsgesuch in Bezug auf die Ablehnungsbegehren Ziff. 8 und 9 nicht ein und wies sie das Ablehnungsgesuch gegen Bundesrichter Seiler und Donzallaz (Ziff. 10) ab.
B.c. Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 9. April 2018 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
B.d. Am 11. April 2018 stellte der Beschwerdeführer ein erneutes Ausstandsgesuch gegen die Bundesrichter Seiler, Zünd, Haag, Stadelmann und Gerichtsschreiber Hugi Yar. Auf dieses Ausstandsbegehren trat das Bundesgericht in der Zusammensetzung von Bundesrichter Seiler (Präsident), Bundesrichterin Aubry Girardin und Bundesrichter Haag sowie Gerichtsschreiber Feller mit Verfügung vom 17. April 2018 nicht ein.
B.e. Das Verwaltungsgericht und die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern beantragen Abweisung der Beschwerde, die Stadt Thun verzichtet auf Vernehmlassung. Der Beschwerdeführer hat von der Möglichkeit, sich zu den Vernehmlassungen zu äussern, Gebrauch gemacht.

Erwägungen:
1.
Mit der Ablehnung bzw. dem Nichteintreten auf die vom Beschwerdeführer gestellten Ausstandsbegehren steht einer Beteiligung der mitwirkenden Richter am vorliegenden Urteil nichts entgegen.
2.
Der Beschwerdeführer macht in vertretbarer Weise einen Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK geltend, sodass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG). Sie erweist sich jedoch als offensichtlich unbegründet (<ref-law>).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat bezweifelt, dass die Voraussetzungen für einen Aufenthaltsanspruch nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG erfüllt seien (Zweifel am dreijährigen Zusammenleben; Integrationserfordernis kaum erfüllt), dies aber nicht abschliessend beurteilt, da die Ansprüche nach Art. 50 AuG gemäss Art. 51 Abs. 2 lit. b AuG erlöschen, wenn Widerrufsgründe nach Art. 62 Abs. 1 AuG vorliegen, was sie bejaht hat. Der Beschwerdeführer setzt sich nicht mit Art. 50 AuG auseinander, sondern beruft sich einzig auf Art. 8 EMRK. Er bestreitet nicht, dass mit seiner Verurteilung zu einer Freiheitsstrafe von 24 Monaten ein gesetzlicher Grund für eine Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung vorliegt (Art. 33 Abs. 3 und Art. 62 Abs. 1 lit. b AuG). Er beanstandet einzig die Verhältnismässigkeit der Massnahme und damit eine Verletzung von Art. 8 EMRK.
3.2. Die Vorinstanz hat zunächst die Rechtsprechung zu der im Rahmen von Art. 8 Abs. 2 EMRK vorzunehmenden Interessenabwägung wiedergegeben. Der Beschwerdeführer beanstandet die Aussage im angefochtenen Urteil, wonach in diese Prüfung die nach der Kinderrechtekonvention und <ref-law> "zu berücksichtigenden Interessen im Zusammenhang mit dem Kindeswohl einzubeziehen" seien; er bringt vor, das Kindeswohl sei von grundlegender Bedeutung und nicht ein "zu berücksichtigendes Interesse". Die vorinstanzliche Formulierung sagt indessen nichts aus über die Gewichtung, die dem Kindeswohl zukommt und ist jedenfalls nicht falsch. Wie das Kindswohl zu gewichten ist, ist im Rahmen der Interessenabwägung zu würdigen.
3.3. Die Vorinstanz hat sodann eine ausführliche Interessenabwägung vorgenommen.
3.3.1. Sie geht aufgrund des Strafmasses und der konkreten Tatumstände von einem schweren Verschulden und einem entsprechend bedeutenden Interesse an der Entfernungsmassnahme aus, auch angesichts der verfassungsmässigen (<ref-law>) und gesetzlichen (<ref-law> in der hier allerdings noch nicht anwendbaren Fassung vom 20. März 2015) Wertungen. Neben dem schweren Sexualdelikt hat sie auf weitere Verurteilungen des Beschwerdeführers hingewiesen, welche zwar nicht vergleichbar schwer wiegen, aber dem sicherheitspolizeilichen Interesse an der Entfernungsmassnahme zusätzliches Gewicht verleihen. Sie schliesst angesichts der fehlenden Einsicht und Reue auch auf eine gewisse Rückfallgefahr.
3.3.2. In Bezug auf die entgegenstehenden Interessen des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz erwogen, ihm sei die Integration in die hiesigen Verhältnisse nicht gelungen (verschiedene, meist temporäre Arbeitseinsätze, dazwischen Arbeitslosigkeit, Verlust der Arbeitsstellen wegen Nichterscheinens am Arbeitsplatz; Sozialhilfebezug seit 1. Oktober 2015; keine konkreten gefestigten sozialen Kontakte zur einheimischen Bevölkerung; unzureichende Deutschkenntnisse); er habe bis ins Alter von 24 Jahren im Heimatland gelebt und sei mit diesem kulturell, sprachlich und familiär nach wie vor sehr verbunden; es seien auch in beruflicher und wirtschaftlicher Hinsicht keine unüberwindbaren Hindernisse für eine Wiedereingliederung im Heimatland ersichtlich; er sei zu 100 % arbeitsfähig; ein Arztzeugnis, das nach einer Armverletzung eine Arbeitsunfähigkeit belegen würde, liege nicht vor; sowohl das Strafgericht als auch die psychologische Gutachterin hätten keine körperliche Beeinträchtigung des Arms feststellen können; vielmehr bestehe der Verdacht, dass der Beschwerdeführer seine Armverletzung in betrügerischer Absicht ins Feld führe. Einer Wiedereingliederung in Ägypten stehe auch in wirtschaftlicher Hinsicht nichts im Wege.
3.3.3. In familiärer Hinsicht berücksichtigte die Vorinstanz die Beziehung des Beschwerdeführers zu seinem sechsjährigen Sohn; weder habe er über diesen das Obhutsrecht noch lebe er mit ihm zusammen. Die Zuteilung der elterlichen Sorge sei Gegenstand des hängigen Scheidungsverfahrens, doch stehe offenbar für beide Elternteile fest, dass die Obhut auch künftig bei der Mutter bleiben soll. Er sehe seinen Sohn nur selten (früher an zwei Nachmittagen pro Monat für etwa drei Stunden, jetzt noch weniger) und nehme keine Erziehungsfunktion wahr. Aus Sicht der psychologischen Gutachterin wäre das Kindswohl im Fall der gemeinsamen elterlichen Sorge gefährdet und es werde empfohlen, der Mutter die alleinige Obhut zu übertragen und Kontakte zwischen Kind und Vater nur unter Begleitung einer Drittperson zuzulassen. Die Beziehung des Beschwerdeführers zu seinem Sohn sei schon in affektiver Beziehung erheblich zu relativieren. Zudem habe auch die väterliche Verantwortung den Beschwerdeführer nicht von seiner erheblichen Delinquenz abhalten können. Es sei nicht von der Hand zu weisen, dass für den Sohn die örtliche Trennung vom Vater nicht einfach sein dürfte, doch sei nach Einschätzung der Psychologin der Verbleib des Beschwerdeführers in der Schweiz nicht zwingend notwendig; aufgrund der Beziehungsentwicklung in der Vergangenheit werde der Sohn nicht als einschneidende Verlusterfahrung verinnerlichen, dass die Kontakte noch seltener stattfinden; der Kontakt könne auch aus dem Ausland aufrecht erhalten bleiben, was auch seitens der Ehefrau und der Psychologin befürwortet werde. Schliesslich sei auch zu berücksichtigen, dass es in wirtschaftlicher Beziehung an einer engen Verbundenheit zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn fehle.
3.4. Der Beschwerdeführer bringt gegen diese Interessenabwägung einerseits vor, die Ausführungen der Vorinstanz zu dem anlässlich der psychologischen Begutachtung erhärteten Verdacht auf betrügerische Geltendmachung der Armverletzung seien willkürlich, da es sich um eine psychologische und nicht um eine physiologische Begutachtung handle. Indessen können sich auch aus einer psychologischen oder psychiatrischen Begutachtung Anzeichen für Simulationen oder Aggravationen ergeben (vgl. Urteile 8C_1025/2010 vom 28. März 2011 E. 3.2; 9C_164/2008 vom 7. August 2008 E. 4.3). Zudem hat die Vorinstanz ihre Erwägung zur geltend gemachten Arbeitsunfähigkeit auf verschiedene Elemente gestützt. Willkür ist nicht ersichtlich.
3.5. Zum andern wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, den Aspekt des Kindswohls ungenügend berücksichtigt und damit Art. 8 EMRK verletzt zu haben. Ein Familienleben zwischen Vater und Sohn bestehe "ipso iure". Die Vorinstanz habe den Schutzbereich von Art. 8 EMRK verkannt, wenn sie darauf abstelle, dass die Vater-Sohn-Beziehung zu relativieren sei. Der Beschwerdeführer verkennt mit dieser Argumentation, dass zwar jede familiäre Beziehung zwischen Vater und Sohn in den Schutzbereich von Art. 8 EMRK fällt, dass sich daraus allein aber noch nicht ein Anspruch auf eine ausländerrechtliche Aufenthaltsbewilligung ergibt (Urteil 2C_821/2016 vom 2. Februar 2018 E. 4.2, zur Publikation bestimmt; <ref-ruling> E. 5.1), zumal diese Ansprüche gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK auch eingeschränkt werden können. Nach der ständigen Rechtsprechung des Bundesgerichts, welche auch die Kinderrechtekonvention berücksichtigt, kann der nicht sorge- bzw. hauptsächlich betreuungsberechtigte ausländische Elternteil die familiäre Beziehung mit seinem Kind in der Regel so oder anders nur in beschränktem Rahmen leben, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Rechts auf angemessenen persönlichen Verkehr und die damit verbundenen Betreuungsanteile. Damit ein Anspruch auf Aufenthalt zwecks Ausübung der familiären Beziehung zu einem hier gefestigt anwesenheitsberechtigten Kind besteht, ist erforderlich (1) eine in affektiver und (2) in wirtschaftlicher Hinsicht besonders enge Eltern-Kind-Beziehung; (3) der Umstand, dass diese wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Staat, in welchen die ausländische Person oder Personen mutmasslicherweise auszureisen hätten, praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte; und (4) dass sich die ausreisepflichtige Person hier weitgehend tadellos verhalten hat (Urteil 2C_821/2016 vom 2. Februar 2018 E. 5.2, zur Publikation bestimmt; <ref-ruling> E. 5.2 und 5.3 S. 27 f.). Nach den nicht substantiiert bestrittenen und für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (<ref-law>) fehlt es vorliegend sowohl an einer engen affektiven als auch einer engen wirtschaftlichen Beziehung; von einem tadellosen Verhalten kann angesichts der erheblichen Straffälligkeit des Beschwerdeführers ohnehin keine Rede sein. Im Übrigen kann auf die ausführliche vorinstanzliche Interessenabwägung verwiesen werden (<ref-law>), die der ständigen Rechtsprechung des Bundesgerichts entspricht und nicht zu beanstanden ist.
4.
Der Beschwerdeführer rügt, dass die Vorinstanz sein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege abgewiesen hat. Er begründet dies nur damit, "unter Verweis auf das Vorstehende" seien "die Erfolgsaussichten... nicht als von vornherein aussichtslos" gewesen. Ob dies eine hinreichende Rüge (<ref-law>) darstellt, ist fraglich, kann aber offen bleiben: Denn jedenfalls hatte bereits die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern als Rekursinstanz unter Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege eine sorgfältige Interessenabwägung vorgenommen und dabei alle wesentlichen Gesichtspunkte rechtsprechungsgemäss gewürdigt. Die Beschwerde an das Verwaltungsgericht konnte ohne Verfassungsverletzung als aussichtslos bezeichnet werden.
5.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor Bundesgericht ist abzuweisen, da die Beschwerde aussichtslos war (<ref-law>). Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des Beschwerdeverfahrens (<ref-law>). Die Kosten der beiden Ausstandsentscheide sind zur Hauptsache zu schlagen. Sie sind dem Rechtsvertreter persönlich aufzuerlegen, der damit unnötige Kosten verursacht hat (<ref-law>) : Er stellt in zahlreichen Gerichtsverfahren immer wieder ähnliche Ausstands- und Ablehnungsgesuche, die einerseits querulatorisch und offensichtlich unzulässig sind oder vom Bundesgericht wiederholt als unbegründet beurteilt wurden (grundlegend <ref-ruling> E. 2 [Urteil 6B_1356/2016 vom 5. Januar 2018]; vgl. auch Urteil 5D_50/2018 vom 26. April 2018 E. 2, mit weiteren Hinweisen) oder das verfassungsrechtlich vorgesehene System der Gerichtswahl (Art. 145, Art. 157 Abs. 1 lit. a, Art. 168 Abs. 1 BV) überhaupt in Frage stellen. Es ist zwar legitim, das schweizerische System der Gerichtswahl und -verwaltung im Sinne eines Musterprozesses mit einer Beschwerde beim EGMR zur Diskussion zu stellen. Hingegen dient es weder den vom Anwalt zu wahrenden Interessen des Klienten noch der Wahrung der rechtsstaatlichen Ordnung, sondern stellt im Gegenteil das Funktionieren des Justizsystems in Frage, in jedem Verfahren immer wieder die gleichen Begehren zu stellen, die bereits mehrmals vom Bundesgericht als unbegründet qualifiziert wurden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des Beschwerdeverfahrens von Fr. 1'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Die Kosten der Ausstandsverfahren von Fr. 1'500.- werden Rechtsanwalt Oliver Lücke auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller