Sachverhalt:
A.
Die Stiftung A._ reichte dem Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Aargau (AWA) am 3. April 2020 eine Voranmeldung von Kurzarbeit "aufgrund von behördlichen Massnahmen infolge Pandemie Covid-19" ein und gab an, es seien für die voraussichtliche Dauer vom 16. März 2020 bis auf Weiteres bei einem zu erwartenden prozentualen Arbeitsausfall von 55 % pro Monat/Abrechnungsperiode 144 Arbeitnehmende von Kurzarbeit betroffen. Mit Verfügung vom 4. Mai 2020 erhob das AWA keinen Einspruch gegen die Auszahlung von Kurzarbeitsentschädigung und legte den Beginn des (bei Erfüllung der weiteren Voraussetzungen bestehenden) Anspruchs auf den 3. April 2020 und das Ende auf den 2. Oktober 2020 fest. Diese Verfügung wurde durch die Verfügung vom 16. Juli 2020, worin das Anspruchsende neu auf den 31. August 2020 festgelegt wurde, "ersetzt". Mit einer weiteren Verfügung vom 31. Oktober 2020 kam das AWA wiedererwägungsweise auf die Verfügung vom 16. Juli 2020 zurück. Es "annullierte" diese und erhob nunmehr Einspruch gegen die Auszahlung von Kurzarbeitsentschädigung. Die dagegen erhobene Einsprache wies es mit Einspracheentscheid vom 28. Januar 2021 ab.
B.
Die von der Stiftung A._ hiergegen geführte Beschwerde wies das Versicherungsgericht des Kantons Aargau mit Urteil vom 12. Mai 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt die Stiftung A._ beantragen, das angefochtene Urteil und der Einspracheentscheid des AWA seien aufzuheben und ihr grundsätzlicher Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung für ihre Betriebsabteilung "Arbeiten" sei für die Dauer vom 3. April bis 31. August 2020 vollumfänglich anzuerkennen.
Das AWA, die Vorinstanz und das Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.2. Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
1.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>), was in der Beschwerde näher darzulegen ist (<ref-ruling> E. 3; Urteil 9C_221/2016 vom 21. Juni 2016 E. 1.1).
Die Beschwerdeführerin legt erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren E-Mails des Leiters der Abteilung Sonderschulung, Heime und Werkstätten vom Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau (BKS) vom 13. März und 17. April 2020 ins Recht. Diese bleiben vorliegend indessen als unzulässige unechte Noven unbeachtlich (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin legt mit keinem Wort dar, inwiefern erst der angefochtene Entscheid zur Einreichung der Dokumente Anlass gegeben haben soll bzw. dass ihr die Geltendmachung vorinstanzlich trotz hinreichender Sorgfalt prozessual unmöglich und objektiv unzumutbar gewesen wäre (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; JOHANNA DORMANN, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 40 zu <ref-law>).
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie die Voraussetzungen der Wiedererwägung der Verfügung vom 16. Juli 2020 bejahte und einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf Kurzarbeitsentschädigung verneinte.
2.2. Die Vorinstanz hat die Bestimmungen und Grundsätze zum Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung (<ref-law>), zum anrechenbaren Arbeitsausfall (Art. 31 Abs. 1 lit. b und d, <ref-law>) und zu den Härtefällen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Ausführungen zu den Voraussetzungen der Wiedererwägung einer rechtskräftigen Verfügung (<ref-law>). Darauf wird verwiesen.
2.3. Zu betonen ist Folgendes:
Nach <ref-law> kann der Versicherungsträger auf formell rechtskräftige Verfügungen oder Einspracheentscheide zurückkommen, wenn diese nach damaliger Sach- und Rechtslage zweifellos unrichtig sind und wenn ihre Berichtigung von erheblicher Bedeutung ist. Die erstgenannte Voraussetzung meint, dass kein vernünftiger Zweifel an der (von Beginn weg bestehenden) Unrichtigkeit der Verfügung möglich, also einzig dieser Schluss denkbar ist. Das Erfordernis der zweifellosen Unrichtigkeit ist in der Regel erfüllt, wenn eine Leistungszusprechung aufgrund falsch oder unzutreffend verstandener Rechtsregeln erfolgt war oder wenn massgebliche Bestimmungen nicht oder unrichtig angewandt wurden (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 3.3). Anders verhält es sich, wenn der Wiedererwägungsgrund im Bereich materieller Anspruchsvoraussetzungen liegt, deren Beurteilung notwendigerweise Ermessenszüge aufweist. Erscheint die Beurteilung einzelner Schritte bei der Feststellung solcher Anspruchsvoraussetzungen (Invaliditätsbemessung, Arbeitsunfähigkeitsschätzung, Beweiswürdigung, Zumutbarkeitsfragen) vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich im Zeitpunkt der rechtskräftigen Leistungszusprechung darbot, als vertretbar, scheidet die Annahme zweifelloser Unrichtigkeit aus.
3.
Der vorliegend geltend gemachte Arbeitsausfall geht nicht auf wirtschaftliche Gründe (im Sinne eines Rückgangs der Nachfrage) gemäss <ref-law> zurück. Als Anspruchsgrundlage kommt daher nur die Härtefallklausel von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> in Frage. Diese Bestimmung erfasst Sachverhalte, die nicht unmittelbar auf wirtschaftliche Gründe zurückzuführen sind, jedoch die wirtschaftliche Tätigkeit erschweren oder verunmöglichen. Es muss sich um aussergewöhnliche Umstände handeln (THOMAS NUSSBAUMER, Arbeitslosenversicherung, in: Schweizerisches Bundesverwaltungsrecht [SBVR], Soziale Sicherheit, 3. Aufl. 2016, N. 482 S. 2411). <ref-law> nennt bestimmte Sachverhalte, welche unter die Härtefallklausel fallen. Die entsprechende Aufzählung ist jedoch nicht abschliessend (<ref-ruling> E. 4).
4.
4.1. Das kantonale Gericht erwog, die Beschwerdeführerin habe die Voranmeldung von Kurzarbeit mit der Weisung des Vorstehers des Departements Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau (BKS) vom 13. März 2020 begründet. Bei diesem Schreiben handle es sich bereits dem Wortlaut nach ("sollen nach Möglichkeit") nicht um eine verbindliche behördliche Anordnung. Diese Auslegung werde durch das Informationsschreiben des Departementsvorstehers vom 13. März 2020 bestätigt. Dort werde ausgeführt, die Erwachseneneinrichtungen seien angewiesen worden, ihr Angebot weiter zu betreiben. Ausserdem sei der Entscheid zur Aussetzung der Arbeit in das Ermessen der Betroffenen gestellt worden. Demnach sei das Fernbleiben vom Arbeitsplatz durch Mitarbeitende an geschützten Arbeitsplätzen nicht auf eine behördliche Massnahme im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zurückzuführen; ebenso wenig auf andere vom Arbeitgeber nicht zu vertretende Umstände, zumal eine Weiterbeschäftigung der Mitarbeitenden im Betrieb grundsätzlich möglich gewesen wäre. Ferner fehle es bei einer Aussetzung der Arbeit aufgrund eigener Entscheidung an der Unvermeidbarkeit eines allfälligen Arbeitsausfalls. Damit seien auch die Voraussetzungen der Anrechenbarkeit eines Arbeitsausfalls nach <ref-law> nicht erfüllt. Mangels eines anrechenbaren Arbeitsausfalls sei ein Anspruch auf Kurzarbeitsentschädigung für die aufgrund eigener Entscheidung von ihrer Arbeit ferngebliebenen Mitarbeitenden der Beschwerdeführerin gestützt auf <ref-law> zu verneinen. Bei diesem Ergebnis seien die Quellen der Finanzierung der Beschwerdeführerin irrelevant. Schliesslich erkannte die Vorinstanz, der Verzicht auf Erhebung eines Einspruchs durch den Beschwerdegegner mit Verfügung vom 16. Juli 2020 stelle zweifellos eine gesetzeswidrige Leistungszusprache infolge falscher Rechtsanwendung dar. Da auch die zweite Voraussetzung der Wiedererwägung (erhebliche Bedeutung der Berichtigung) gegeben sei, sei der Beschwerdegegner zu Recht auf seine Verfügung vom 16. Juli 2020 zurückgekommen.
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law>. Sie macht geltend, die Weisung des Departements vom 13. März 2020 resp. das Schreiben des Departementsvorstehers vom gleichen Tag seien als Anordnungen im Sinne einer behördlichen Massnahme zu qualifizieren, weshalb ein darauf zurückführender Arbeitsausfall anrechenbar sei. Ausserdem seien die Voraussetzungen der Wiedererwägung nach <ref-law> nicht gegeben. Jedenfalls bestehe gestützt auf <ref-law> Anspruch auf Schutz des berechtigten Vertrauens in das behördliche Verhalten.
5.
5.1. Bei der Beschwerdeführerin handelt es sich um eine Stiftung nach Schweizer Recht, welche im Wesentlichen die soziale und arbeitsmässige Eingliederung von Menschen mit insbesondere geistiger Behinderung bezweckt. Zu diesem Zweck erstellt und betreibt sie Einrichtungen wie Werkstätten und Wohnhäuser, in denen Menschen mit Behinderung arbeiten, sich beschäftigen und wohnen können.
5.2. Nachdem der Bundesrat am 13. März 2020 die Verordnung 2 über Massnahmen zur Bekämpfung des Coronavirus (COVID-19-Verordnung 2; AS 2020 773) erlassen hatte, wandte sich der Vorsteher des BKS gleichentags mit einem als Weisung betitelten Schreiben an die Einrichtungen nach Betreuungsgesetz des Kantons Aargau (SAR 428.500). Darin wird unter dem Titel "2.4 Tagesstrukturen für Erwachsene, die nicht in einem Heim wohnen (Geschützte Arbeit, Tagesstätten) " Folgendes festgehalten:
- Die Erwachsenen sollen nach Möglichkeit durch ihre Angehörigen betreut werden.
- Der Betrieb in den Werk- und Tagesstätten steht für die anderen Personen weiterhin zur Verfügung."
Ausserdem informierte der Departementsvorsteher die "Klientinnen und Klienten von Erwachsenenangeboten und ihre Angehörigen" mit Schreiben vom 13. März 2020 darüber, dass das BKS die Erwachseneneinrichtungen angewiesen habe, ab Montag, 16. März 2020 ihre Angebote weiter zu betreiben. Um die Gefahr einer Ansteckung mit dem Coronavirus zu vermindern und auch die Einrichtungen - wenn nötig - zu entlasten, sollten Klientinnen und Klienten möglichst zu Hause bleiben können. Die Verantwortlichen der stationären Angebote würden zusammen mit den Klientinnen und Klienten sowie ihren Angehörigen entscheiden, ob ein Aussetzen der Arbeit oder der Beschäftigung vorzusehen und die erforderliche Begleitung zu Hause sichergestellt sei.
5.3. Die Beschwerdeführerin bringt zu Recht vor, dass es sich beim Schreiben des Departementsvorstehers an die verschiedenen Einrichtungen vom 13. März 2020 nicht bloss um eine Empfehlung handelte, sondern - wie sich bereits aus dem Titel des Schreibens ergibt - um eine Weisung des Vorstehers des für die Aufsicht über die Einrichtungen für Menschen mit besonderen Betreuungsbedürfnissen zuständigen Departements (vgl. § 10 der Verordnung über die Einrichtungen für Menschen mit besonderen Betreuungsbedürfnissen; SAR 428.511). Mit dieser Weisung wurde angeordnet, dass die Erwachsenen nach Möglichkeit durch ihre Angehörigen betreut werden sollen und der Betrieb in den Werk- und Tagesstätten für die anderen Personen weiterhin zur Verfügung stehen solle. Die Wendung "nach Möglichkeit" trägt dabei lediglich dem Umstand Rechnung, dass für einige Beschäftige eine Betreuung durch Angehörige allenfalls nicht möglich ist. Die Anordnung hatte zum Ziel, die Gefahr einer Ansteckung mit dem Coronavirus zu verhindern und die jeweiligen Einrichtungen zu entlasten, wie aus dem Schreiben des Departementsvorstehers vom 13. März 2020 hervorgeht. Die Anordnung des Departements erging aufgrund der vom Bundesrat am 13. März 2020 ergriffenen Massnahmen zur Bekämpfung des Coronavirus. Diese dienten unter anderem dazu, die Häufigkeit von Übertragungen zu reduzieren, Übertragungsketten zu unterbrechen und lokale Ausbrüche zu verhindern oder einzudämmen (lit. b) sowie besonders gefährdete Personen zu schützen (lit. c). Verboten waren unter anderem Präsenzveranstaltungen in Schulen, Hochschulen und übrigen Ausbildungsstätten. Vor diesem Hintergrund und gerade auch mit Blick auf die damals herrschenden Unsicherheiten kann das Fernbleiben der Mitarbeitenden vom Arbeitsplatz nicht als freie Entscheidung der Betroffenen verstanden werden (vgl. <ref-ruling> E. 4a, wo unter den gegebenen Umständen auch eine behördliche Empfehlung unter die behördlichen Massnahmen subsumiert wurde, da von einem freiwilligen Verzicht auf die angebotene Dienstleistung keine Rede sein konnte). Vielmehr ist davon auszugehen, dass der Entscheid über das Fernbleiben von der Arbeit in Nachachtung der Weisung des Departementsvorstehers getroffen wurde. Insoweit erscheint die damalige Beurteilung des Beschwerdegegners, wonach der geltend gemachte Arbeitsausfall auf eine behördliche Massnahme im Sinne von <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> zurückzuführen war, vor dem Hintergrund der Sach- und Rechtslage, wie sie sich im Zeitpunkt der rechtskräftigen Verfügung vom 16. Juli 2020 darbot, als vertretbar (vgl. E. 2.3 hiervor).
5.4. Aus den vorangehenden Erwägungen folgt, dass die Verfügung vom 16. Juli 2020 jedenfalls nicht deshalb als zweifellos unrichtig betrachtet werden kann, weil der von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Arbeitsausfall nicht auf eine behördliche Massnahme zurückzuführen gewesen und die Verfügung damit in falscher Rechtsanwendung ergangen sei. Das angefochtene Urteil verletzt insofern Bundesrecht (<ref-law>).
5.5. Es fragt sich aber, ob die zweifellose Unrichtigkeit aus einem anderen Grund gegeben ist. In seiner Verfügung vom 31. Oktober 2020 und in seinem Einspracheentscheid vom 28. Januar 2021 begründete der Beschwerdegegner die zweifellose Unrichtigkeit der Verfügung vom 16. Juli 2020 in erster Linie damit, dass die Beschwerdeführerin zu rund 50 % aus Mitteln der öffentlichen Hand finanziert werde und sie nicht glaubhaft dargetan habe, dass bei den geschützten Arbeitsplätzen ein unmittelbares, konkretes Kündigungsrisiko bestehe. Wie es sich damit verhält, liess die Vorinstanz offen, da sie die Verfügung vom 16. Juli 2020 aus einem anderen Grund als zweifellos unrichtig erachtete (vgl. E. 3.1 hiervor), womit sie nach dem Gesagten indessen Bundesrecht verletzt hat. Damit bleibt die Frage der zweifellosen Unrichtigkeit unter dem Gesichtspunkt zu prüfen, ob es sich bei den von der Kurzarbeit Betroffenen um Mitarbeitende einer Erbringerin einer öffentlichen Leistung handelt, welche einem unmittelbaren und konkreten Kündigungsrisiko ausgesetzt sind (vgl. <ref-ruling>; ARV 1997 Nr. 22 S. 123, C 8/96). Die Sache ist zwecks dieser Prüfung und anschliessender neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen (<ref-law>).
6.
Die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz mit noch offenem Ausgang gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen. Das Verfahren ist grundsätzlich kostenpflichtig (<ref-law>), doch sind dem in seinem amtlichen Wirkungskreis und nicht in seinem eigenen Vermögensinteresse handelnden AWA keine Gerichtskosten aufzuerlegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4; Urteil 8C_468/2020 vom 27. Oktober 2020 E. 8). Aufgrund des Verfahrensausgangs hat der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Versicherungsgerichts des Kantons Aargau vom 12. Mai 2021 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Oktober 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest