Faits :
A.
A._ a demandé son immatriculation à la faculté des sciences de l'Université de Genève (ci-après: la faculté) en vue de suivre le cursus du baccalauréat universitaire en biologie dès le semestre d'automne 2016. L'intéressé a été admis de façon conditionnelle en raison d'un précédent échec dans un autre cursus, puis, après avoir passé la première année, de manière définitive.
Le 16 juillet 2019, à l'issue d'une session d'examens de deuxième année, l'intéressé s'est retrouvé en situation d'élimination du baccalauréat en biologie. Le 14 août 2019, le doyen de la faculté, à titre exceptionnel, a décidé de lever l'élimination et d'accorder à A._ une dernière tentative pour valider sa deuxième année. Celui-ci a présenté des examens lors de la session de janvier-février 2020, notamment un examen de programmation le 21 janvier 2020. Le 25 février 2020, après la publication des résultats, il a fait parvenir à la faculté un certificat médical indiquant une incapacité de travail totale du 21 au 27 janvier 2020.
B.
Par décision du 4 mars 2020, le doyen de la faculté a constaté l'élimination de A._ du baccalauréat universitaire en biologie, notamment en raison d'une note de 2 obtenue à l'examen de programmation du 21 janvier 2020. A._ s'est opposé à cette décision le 31 mars 2020, invoquant la survenance d'une maladie durant l'examen, ainsi que d'autres problèmes de santé intervenus par la suite et produisant une attestation médicale. Le 27 mai 2020, le doyen de la faculté a rejeté l'opposition et retiré l'effet suspensif à un éventuel recours. A._ a contesté ce prononcé le 27 juin 2020 auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) qui, après avoir refusé à l'intéressé le droit de continuer à suivre sa formation durant la procédure, par décision incidente du 27 juillet 2020, a rejeté le recours au fond, par arrêt du 13 octobre 2020.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'assistance judiciaire, de réformer l'arrêt de la Cour de justice du 13 octobre 2020 et de le réintégrer dans les plus brefs délais dans son cursus universitaire.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Université de Genève, par sa faculté des sciences, conclut au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
1.1. En vertu de l'art. 83 let. t LTF, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert à l'encontre des décisions sur le résultat d'examens ou d'autres évaluations des capacités, notamment en matière de scolarité obligatoire, de formation ultérieure ou d'exercice d'une profession. Un recours en matière de droit public est donc exclu lorsque la décision attaquée porte matériellement sur l'évaluation des aptitudes intellectuelles ou physiques du candidat et que celle-ci demeure litigieuse devant le Tribunal fédéral (cf. <ref-ruling> consid. 1; arrêts 2C_212/2020 du 17 août 2020 consid. 1.1; 2C_769/2019 du 27 juillet 2020 consid. 1.2.1).
Selon la jurisprudence, les décisions d'exmatriculation d'une université ou d'une haute école ou celles d'élimination d'une faculté ou d'un programme d'études tombent sous le coup de l'art. 83 let. t LTF lorsque la décision d'exmatriculation ou d'élimination est en lien avec une évaluation des capacités de l'étudiant évincé (<ref-ruling> consid. 1; arrêt 2D_73/2015 du 30 juin 2016 consid 1.2). Tel n'est pas le cas en l'espèce, puisque l'arrêt contesté porte, au fond, sur la reconnaissance d'une incapacité médicale (survenue lors de la session d'examens, mais reconnue postérieurement à celle-ci) du recourant à effectuer un examen de la session de janvier-février 2020(cf. arrêt 2C_1054/2014 du 4 décembre 2014 consid. 4). Partant, la voie du recours en matière de droit public est ouverte.
1.2. Au surplus, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le présent recours, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), est recevable.
2.
2.1. Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal ou communal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation d'une norme de rang constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de manière précise (<ref-law>).
Le principe de la légalité, consacré à l'art. 5 al. 1 Cst., selon lequel le droit est la base et la limite de l'activité de l'Etat, ne constitue pas un droit constitutionnel distinct, mais uniquement un principe constitutionnel. Le recours en matière de droit public permet de se plaindre directement et indépendamment d'un droit fondamental de la violation de ce principe, au même titre que du principe de proportionnalité ancré à l'art. 5 al. 2 Cst. Toutefois, à part les restrictions des droits fondamentaux (art. 36 al. 1 Cst.), le Tribunal fédéral n'intervient en cas de violation du principe de la légalité et de la proportionnalité que si la mesure de droit cantonal viole simultanément l'interdiction de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 4.3; arrêt 2C_441/2017 du 23 août 2017 consid. 3.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3). Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 6). Conformément à l'<ref-law>, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 2 et la référence). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (<ref-law>).
En l'occurrence, en tant que le recourant présente à plusieurs reprises des faits qui ne ressortent pas de l'arrêt entrepris, sans expliquer en quoi les conditions posées par l'<ref-law> seraient réunies, il procède d'une manière qui n'est pas admissible. Le Tribunal fédéral appliquera donc le droit sur la seule base des faits retenus par l'autorité précédente.
3.
Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu, le recourant, citant l'art. 29 al. 2 Cst., se plaint d'une violation de son droit d'être entendu en ce que la Cour de justice n'aurait pas pris en compte certains moyens de preuves et n'aurait pas examiné l'ensemble de ses griefs.
3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'avoir accès au dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre. L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 4.1 et les références).
Le droit d'être entendu impose également à l'autorité judiciaire de motiver ses décisions, afin que le justiciable puisse les comprendre et exercer son droit de recours à bon escient. Pour satisfaire à cette exigence, il suffit que l'autorité mentionne au moins brièvement les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision. Elle n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (<ref-ruling> consid. 4.2 et les références). Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 et les références).
3.2. Le recourant est d'avis que l'autorité précédente a faussement refusé de prendre en compte ses moyens de preuves et arguments ayant figuré dans sa réplique du 10 septembre 2020. La Cour de justice n'aurait ainsi pas traité de la mauvaise application d'une disposition du règlement d'étude, ni de divers griefs constitutionnels. Le recourant demande au Tribunal fédéral de constater et de réparer cette violation du droit d'être entendu.
3.3. En l'occurrence, il est des plus douteux que la motivation du recourant remplisse les conditions de l'<ref-law>. Dans la mesure où il reproche à l'autorité précédente d'avoir refusé de prendre en compte des moyens de preuves, il n'explique en effet ni de quels moyens il s'agirait, ni en quoi ce refus, dont on ne connaît pas la teneur, serait constitutif de violation du droit d'être entendu. Quand bien même, dans la mesure où il ressort de l'arrêt entrepris que la Cour de justice a effectivement procédé à une appréciation anticipée de l'audition d'un témoin, c'est bien plus une appréciation arbitraire de ce moyen de preuve que le recourant aurait dû invoquer, ce qu'il n'a pas fait.
Ses explications ne réunissent pas non plus les conditions de l'<ref-law> en tant que le recourant se prévaut, à tout le moins implicitement, d'une motivation insuffisante de l'arrêt entrepris. En tout état de cause, l'autorité précédente a clairement présenté les motifs qui l'ont guidée et sur lesquels elle a fondé sa décision, étant rappelé qu'elle n'avait pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuves et griefs invoqués par le recourant. D'ailleurs, celui-ci a bel et bien compris les motifs de l'arrêt entrepris, puisqu'il a valablement pu les contester.
Pour le surplus, dans la mesure où le recourant se plaint de l'appréciation juridique effectuée par la Cour de justice, en particulier en relation avec le principe de proportionnalité ou de la violation d'une disposition réglementaire, il n'est aucunement question de violation de son droit d'être entendu, mais d'une mauvaise application, respectivement d'une application arbitraire du droit.
Finalement, il convient encore de signaler au recourant qu'il méconnaît la jurisprudence relative à la réparation du droit d'être entendu, respectivement le pouvoir de cognition du Tribunal fédéral, puisqu'une telle réparation n'est possible, lorsqu'elle porte sur des questions de fait, que devant une autorité de recours jouissant d'un plein pouvoir d'examen (cf. <ref-ruling> consid. 2.8.1 et les références), ce qui n'est pas le cas du Tribunal fédéral.
3.4. Sur le vu de ce qui précède, il convient d'écarter le grief de violation du droit d'être entendu.
4.
Le recourant fait ensuite valoir une violation du principe de la légalité, en tant que la Cour de justice se serait méprise sur la portée de l'art. 13 al. 5 du règlement d'études général de la faculté des sciences de l'Université de Genève (ci-après: REG).
4.1. Selon la jurisprudence, une décision est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable; pour que cette décision soit annulée, encore faut-il qu'elle se révèle arbitraire non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 7.3 et les références), ce qu'il appartient à la partie recourante de démontrer en vertu de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 6.2 et les références).
4.2. A teneur de l'art. 13 al. 5 REG, lorsqu'un étudiant ne se présente pas à une évaluation pour laquelle il est inscrit ou ne rend pas un travail dans le délai imparti, il est considéré avoir échoué à cette évaluation (note 0) à moins que l'absence ne soit due à un juste motif. Sont notamment considérés comme des justes motifs les cas de maladies et d'accidents. L'étudiant doit en aviser le doyen de la faculté par écrit immédiatement, soit en principe dans les 3 jours au maximum qui suivent la non-présentation. Le doyen de la faculté ou le vice-doyen en charge des étudiants décide s'il y a juste motif. Il peut demander à l'étudiant de produire un certificat médical ainsi que tout autre renseignement jugé utile.
4.3. En tout premier lieu, il convient de constater que c'est bien plus d'une application arbitraire de la disposition précitée dont le recourant désirait se plaindre et pas d'une violation du principe de la légalité. Il est ici également douteux que sa motivation remplisse les conditions de l'<ref-law>.
On relèvera néanmoins que la Cour de justice a considéré que le recourant n'avait présenté un certificat médical d'incapacité qu'après avoir reçu les résultats de l'examen et de surcroît bien après le délai réglementaire de trois jours prévu par l'art. 13 al. 5 REG. Or, c'est sans conteste de manière arbitraire que l'autorité précédente a appliqué sans autre explication cette disposition. Le recourant s'est en effet présenté à l'examen du 21 janvier 2020, puisqu'il a obtenu la note 2. Il n'est donc aucunement question d'une absence de présentation et d'une évaluation de 0 en l'espèce, conditions posées à l'application de l'art. 13 al. 5 REG. Toutefois, comme on le verra ci-après (cf. consid. 5.4 ci-dessous), si l'application de cette disposition par la Cour de justice est arbitraire, en particulier parce que celle-ci n'explique aucunement en quoi il conviendrait d'appliquer l'art. 13 al. 5 REG à la présente cause, le résultat auquel cette autorité arrive ne l'est pas. Dans ces conditions, les explications du recourant, relatives à un prétendu formalisme excessif et à une violation de la bonne foi, sont sans incidence sur la procédure, celles-ci se rapportant au délai de trois jours prévu par l'art. 13 al. 5 REG, inapplicable en l'espèce.
5.
En définitive, le recourant semble se prévaloir d'une application arbitraire du droit cantonal par la Cour de justice, estimant que celle-ci a faussement appliqué la jurisprudence relative à la prise en compte d'un certificat médical déposé après que l'examen a été passé.
5.1. Selon la jurisprudence cantonale telle que présentée par l'autorité précédente, un motif d'empêchement ne peut, en principe, être invoqué par le candidat qu'avant ou pendant l'examen. La production ultérieure d'un certificat médical ne peut remettre en cause le résultat obtenu lors d'un examen. Des exceptions à ce principe, permettant de prendre en compte un certificat médical présenté après que l'examen a été passé, ne peuvent être admises que si cinq conditions sont cumulativement remplies. Il faut que la maladie n'apparaisse qu'au moment de l'examen, sans qu'il ait été constaté de symptômes auparavant, le candidat à l'examen acceptant, dans le cas contraire, un risque de se présenter dans un état déficient, ce qui ne saurait justifier après coup l'annulation des résultats d'examens (1); qu'aucun symptôme ne soit visible durant l'examen (2); que le candidat ait consulté un médecin immédiatement après l'examen (3); que le médecin ait immédiatement constaté une maladie grave et soudaine qui, malgré l'absence de symptômes visibles, permette à l'évidence de conclure à l'existence d'un rapport de causalité avec l'échec à l'examen (4); et que l'échec ait une influence sur la réussite ou non de la session d'examens dans son ensemble (5).
5.2. En l'occurrence, il ressort de l'arrêt entrepris que le recourant est tombé malade durant l'examen de programmation du 21 janvier 2020 et que, selon lui, son état de santé ne lui aurait pas permis de prendre la décision de renoncer à continuer l'examen, un assistant l'ayant par ailleurs encouragé à continuer. Il a ainsi terminé l'examen et obtenu la note 2. Durant la même session d'examen, le recourant s'est encore présenté à deux autres examens et à un "cours à choix restreint" auxquels il a obtenu les notes de respectivement 5,25, 5,5 et 5. A la suite de la publication en ligne des résultats, c'est-à-dire environ un mois après l'examen de programmation, le recourant a produit un certificat médical n'indiquant pas, selon l'autorité précédente, qu'il "n'avait pas le discernement nécessaire pour participer à l'examen en raison de sa maladie, mais uniquement que la crise de panique survenue lors de l'examen précité était peut-être en lien avec ses capacités de répondre convenablement aux questions demandées".
5.3. Le recourant est d'avis que l'autorité précédente a fait une mauvaise application de sa jurisprudence. Il estime en bref que sa maladie est apparue au moment de l'examen, qu'il a consulté un médecin immédiatement après cet examen et que ce médecin a constaté une maladie grave et soudaine permettant de conclure à l'existence d'un rapport de causalité avec l'échec à l'examen. Finalement, il explique encore en substance que la condition de l'absence de présence de symptômes visibles durant l'examen ne saurait s'appliquer, sauf à rendre ladite jurisprudence inapplicable.
5.4. En premier lieu, il convient de relever que l'ensemble de la motivation du recourant se fonde sur des faits qui n'ont pas été retenus par l'autorité précédente. Celui-ci ne fait au demeurant pas valoir que la Cour de justice aurait établi les faits de manière inexacte (cf. <ref-law>; consid. 2.2 ci-dessus). Le recourant n'explique pas non plus en quoi la jurisprudence appliquée par l'autorité précédente serait arbitraire. En critiquant directement la décision du doyen de la faculté et en méconnaissant ainsi le principe de l'effet dévolutif complet du recours à la Cour de justice (cf. arrêt 2C_133/2020 du 15 juillet 2020 consid. 3.3 et la référence), il fait bien plus valoir ses griefs comme il l'aurait fait devant une instance d'appel, ce qui n'est pas admissible devant le Tribunal fédéral.
On peut néanmoins relever que cette jurisprudence n'est en rien arbitraire et qu'en l'espèce, elle n'a pas non plus été appliquée de manière insoutenable par la Cour de justice. En effet, selon l'arrêt attaqué, le recourant a bel et bien présenté des symptômes maladifs durant l'examen et n'a pas mis un terme à celui-ci. En outre, si le recourant a certes consulté un médecin après son examen, il n'a néanmoins aucunement fait parvenir à la faculté le certificat directement à la suite de la consultation, mais a bien plus attendu de passer ses autres examens et les résultats de l'ensemble de ceux-ci pour se décider à transmettre ledit certificat. Un tel comportement, tendant à garder en réserve le moyen tiré de l'état maladif pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable des examens, est contraire au principe de la bonne foi (cf. en lien avec la demande de récusation <ref-ruling> consid. 8.4.3 et les références). Dans la présente cause, cela est d'autant plus flagrant que le recourant a relativement facilement passé les examens ayant suivi celui du 21 janvier 2020 et que ce n'est qu'en raison de la note 2, éliminatoire, obtenue à l'examen de programmation, qu'il n'a pas réussi la session. Il n'est par ailleurs pas arbitraire de considérer que le certificat médical produit n'est aucunement suffisant pour admettre l'existence d'un rapport de causalité entre la maladie et l'échec de l'examen, puisqu'il y est uniquement écrit que la crise de panique survenue lors de l'examen est "peut-être" en lien avec les capacités du recourant de répondre convenablement aux questions demandées. Outre que cette formulation ne permet pas de retenir l'existence d'un lien de causalité, elle amène bien plus à penser que c'est l'absence de connaissances du recourant dans la matière de l'examen qui a induit son état maladif, ce qui ne saurait logiquement constituer une excuse valable. Par conséquent, même si l'arrêt de la Cour de justice est critiquable quant à l'application faite de l'art. 13 al. 5 REG (cf. consid. 4.3 ci-dessus), on doit retenir qu'il n'est aucunement arbitraire dans son résultat. C'est de manière pleinement soutenable que l'autorité précédente est arrivée à la conclusion que le recourant avait annoncé tardivement son motif d'empêchement et qu'il ne réunissait pas les conditions jurisprudentielles permettant de prendre en compte un certificat médical déposé après l'examen.
On ajoutera encore qu'en tant que le recourant se prévaut d'une violation du principe de proportionnalité ou d'une mauvaise application de l'art. 13 al. 6 REG, qui dispose que lorsque le doyen ou le vice-doyen en charge des étudiants le juge nécessaire, il peut faire appel à un médecin conseil, il n'invoque pas l'arbitraire et sa motivation ne remplit en rien les conditions posées par l'<ref-law> (cf. consid. 2.1 ci-dessus). On mentionnera tout de même qu'on ne voit pas en quoi l'arrêt entrepris constituerait une application arbitraire du principe de proportionnalité. Le recourant estime qu'il existe une incohérence entre le REG (datant de 2018) et le règlement précédent (datant de 2015). Or, et pour autant que l'on discerne un problème de proportionnalité, la Cour de justice a expliqué à satisfaction que, quel que soit le règlement que l'on appliquait au recourant, celui-ci devait être considéré comme ayant échoué à la session d'examen, puisqu'avec une note de 2 en troisième tentative, il était dans les deux cas question d'échec définitif.
5.5. Pour le surplus, les éventuelles autres critiques contenues dans le mémoire de recours, faute de se fonder sur des faits retenus par l'autorité précédente ou d'être motivées conformément aux exigences de l'<ref-law>, doivent d'emblée être écartées.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (<ref-law>). Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Université de Genève et à la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 18 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette