Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1977) ist türkischer Staatsangehöriger. Er ersuchte ab Juli 2000 bis Ende August 2007 in der Schweiz und Deutschland dreimal erfolglos um Asyl. In der Folge galt er als verschwunden.
A.b. Am 23. September 2008 heiratete A._ die in St. Gallen niederlassungsberechtigte Landsfrau B._ (geb. 1987). Aus der Beziehung sind drei Kinder hervorgegangen: Die am xx.xx.xxxx geborene Tochter C._ sowie die am yy.yy.yyyy geborenen Zwillinge D._ und E._. Am 27. April 2009 lehnte das Migrationsamt St. Gallen das Gesuch von B._ ab, ihren Ehegatten in die Schweiz nachziehen zu können, und hielt diesen an, in seine Heimat auszureisen. Nachdem B._ Ende Mai 2009 eine Erwerbstätigkeit (100%-Pensum) aufgenommen hatte und auch ihr Gatte erwerbstätig geworden war, erteilte das Migrationsamt St. Gallen A._ am 16. Juli 2009 eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei seiner Familie unter der Bedingung, selbst für deren Lebensunterhalt aufzukommen, keine Sozialhilfe zu beziehen und zu keinerlei Klagen Anlass zu geben. Nach Erteilung der Aufenthaltsbewilligung ging A._ nur kurze Zeit einer Erwerbstätigkeit nach; seine Ehefrau gab ihre Arbeitsstelle ebenfalls wieder auf und bezog vorübergehend Arbeitslosengelder.
A.c. Das Migrationsamt St. Gallen verwarnte A._ am 17. Dezember 2009 wegen Klagen in strafrechtlicher und finanzieller Hinsicht; das Migrationsamt wies A._ darauf hin, dass er damit rechnen müsse, dass seine Bewilligung nicht mehr verlängert werde, wenn er sich künftig nicht in jeder Beziehung klaglos verhalte (keine weiteren Strafen, kein Bezug von Sozialhilfe, keine Schulden, intensive Arbeitsbemühungen). Die Aufenthaltsbewilligung wurde ihm auf Zusehen und Wohlverhalten hin belassen. Das Migrationsamt verlängerte sie am 29. Juli 2011 und 4. Juni 2012.
B.
B.a. Am 5. August 2014 weigerte das Migrationsamt St. Gallen sich, die Aufenthaltsbewilligung von A._ ein weiteres Mal zu verlängern; gleichzeitig wies es ihn weg. Es begründete seine Verfügung damit, dass A._ in strafrechtlicher (zwei Verurteilungen wegen illegalen Aufenthalts während der Zeit seines Untertauchens in der Schweiz) und in finanzieller Hinsicht den ihm gemachten Auflagen nicht nachgekommen sei. Das Sozialamt habe ihn und seine Familie seit Juli 2012 im Umfang von Fr. 83'935.45 unterstützen müssen. Eine Verbesserung der finanziellen Lage des schlecht integrierten Ehepaars sei nicht absehbar.
B.b. Das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen wies den hiergegen gerichteten Rekurs am 30. Mai 2016 ab: A._ und seine Familie hätten bis zum 5. Oktober 2015 in drei Wohngemeinden insgesamt Sozialhilfeleistungen in der Höhe von Fr. 134'681.95 bezogen, was als erheblich und andauernd zu gelten habe. Eine Rückkehr in die Heimat sei A._ und allenfalls auch seinen Angehörigen zumutbar. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies die hiergegen gerichtete Beschwerde am 28. September 2017 mit der Begründung ab, die privaten Interessen vermöchten die öffentlichen Interessen an einer restriktiven Einwanderungspolitik und an der Begrenzung zu leistender Sozialhilfezahlungen nicht zu überwiegen.
C.
C.a. A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten eventuell mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts St. Gallen vom 28. September aufzuheben, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern und das Migrationsamt anzuweisen, ihn noch einmal zu verwarnen. Eventuell sei die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.b. Das Bundesgericht trat am 13. November 2017 auf die Beschwerde nicht ein (Verfahren 2C_964/2017), da es aufgrund der ihm vorliegenden Unterlagen davon auszugehen hatte, dass diese verspätet eingereicht worden war. Am 24. November 2017 hiess es ein in diesem Zusammenhang eingereichtes Revisionsgesuch von A._ gut, nachdem dessen Rechtsvertreter hatte nachweisen können, dass die Eingabe trotz des abweichenden Poststempels rechtzeitig in einen Briefkasten der Schweizerischen Post eingeworfen worden war. Das Bundesgericht hob deshalb das Urteil 2C_964/2017 auf und nahm das Beschwerdeverfahren wieder an die Hand.
C.c. Das Verwaltungsgericht und das Sicherheits- und Justizdepartement St. Gallen beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) liess sich nicht vernehmen.

Erwägungen:
1.
Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten im Zusammenhang mit Bewilligungen ausgeschlossen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Ein solcher besteht im vorliegenden Fall grundsätzlich gestützt auf Art. 43 Abs. 1 AuG (Familiennachzug zu einer niedergelassenen Person) sowie Art. 8 EMRK und Art. 13 Abs. 1 BV (Schutz des Familienlebens). Ob die jeweils erforderlichen Bewilligungsvoraussetzungen gegeben sind, ist eine Frage der materiellen Beurteilung; für das Eintreten genügt, dass - wie hier - ein Anspruch auf Familiennachzug in vertretbarer Weise dargetan wird (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179). Auf die frist- (Art. 100 Abs. 1 BGG) und formgerecht (Art. 42 und Art. 106 BGG) eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (vgl. Art. 82 ff. und Art. 86 lit. d BGG) des in seinem Anspruch auf Schutz des Familienlebens betroffenen Beschwerdeführers (vgl. Art. 89 Abs. 1 BGG) ist einzutreten. Damit ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde unzulässig (vgl. Art. 113 ff. BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich möglicherweise stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr formell korrekt problematisiert werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232) : Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte bekräftigen, die sie bereits im kantonalen Verfahren eingenommen hat, sondern verfassungsbezogen darlegen, warum und inwiefern die Überlegungen der Vorinstanz rechtsfehlerhaft sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 245 f.).
2.2.
2.2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt so zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Sachverhaltsfeststellung kann von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich unrichtig erweist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62; Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung und an der Beweiswürdigung genügt den gesetzlichen Begründungs- bzw. Rügeanforderungen nicht (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen). Das Bundesgericht greift in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur ein, wenn sich diese als willkürlich erweist (BGE 8C_409/2017 vom 21. März 2018 E. 4.2 mit Hinweisen).
2.2.2. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 5.1 S. 22; <ref-ruling> E. 4.1 S. 133; <ref-ruling> E. 2.1 S. 211). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Sachgericht offensichtlich unhaltbare Schlüsse zieht, erhebliche Beweise übersieht oder solche willkürlich ausser Acht lässt (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; <ref-ruling> E. 4b S. 40).
2.2.3. Inwiefern die vorinstanzliche Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerdeschrift klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 8C_409/2017 vom 21. März 2018 E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262); es gilt auch diesbezüglich eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.). Insbesondere ist im Einzelnen darzulegen, dass und weshalb die im angefochtenen Entscheid enthaltene Beweiswürdigung unter gar keinen Umständen zutreffen kann. Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob ihm eine freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. das Urteil 2C_317/2015 vom 1. Oktober 2015 E. 1.2; <ref-ruling> E. 2b S. 88). Dass das angefochtene Urteil mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei nicht übereinstimmt oder auch eine andere Lösung oder Würdigung in Betracht gezogen werden könnte, genügt nach konstanter Rechtsprechung nicht, um ein Beweisergebnis als willkürlich erscheinen zu lassen (<ref-ruling> E. 3.4 und 70 E. 2.2; <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 7.1 und 305 E. 4.3; <ref-ruling> E. 7).
2.3.
2.3.1. Die vorliegende Eingabe entspricht den gesetzlichen Begründungsanforderungen im Zusammenhang mit der Sachverhaltsfeststellung und der Beweiswürdigung nicht in allen Teilen. Der Beschwerdeführer macht in verschiedener Hinsicht geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt unvollständig festgestellt und die Beweise in unhaltbar Weise gewürdigt; soweit sich seine Ausführungen diesbezüglich auf eine rein appellatorische Kritik beschränken, wird darauf nicht weiter eingegangen. Die übrigen formellen Rügen erweisen sich ihrerseits als unbegründet:
2.3.2. Zwar hat sich der Beschwerdeführer im Hinblick auf seine gesundheitliche Situation am 1. Februar 2016 bei der Sozialversicherungsanstalt angemeldet, doch erhält er bis heute keine IV-Leistungen. Gemäss dem Bericht der Psychiatrie-Dienste Süd vom 9. August 2016, ist zu erwarten, dass die Behandlung des Beschwerdeführers wieder zu einer Besserung seines depressiven Zustands führt und dadurch mittelfristig zumindest eine Teilarbeitsfähigkeit gegeben sein wird. Das Behandlungsziel bei einer rezidivierenden depressiven Erkrankung sei grundsätzlich, eine Remission zu erreichen mit einer vollen Arbeitsfähigkeit. Die Vorinstanz durfte gestützt hierauf willkürfrei davon ausgehen, dass zumindest bis zu ihrem Entscheid keine Rente zugesprochen worden war und die Ausrichtung einer solchen nicht als sicher oder sehr wahrscheinlich gelten konnte, nachdem der Beschwerdeführer seine psychischen Probleme im kantonalen Verfahren im Wesentlichen selber auf seine Fürsorgeabhängigkeit zurückgeführt hatte. Hieran ändert der Umstand nichts, dass er sich vom 4. Mai bis zum 6. Juli 2017 in stationärer psychiatrischer Behandlung befand. Gemäss dem entsprechenden Schlussbericht vom 20. Juli 2017 war die weitere Arbeitsfähigkeit durch die "ambulanten Behandler" zu prüfen; aufgrund einer Optimierung der Medikation sei es - so der Bericht weiter - "zu einer erfreulichen Stabilisierung mit einer Verbesserung der depressiven Symptomatik" gekommen. Der Beschwerdeführer habe in einem "deutlich verbesserten Zustand" in die ambulante Weiterbehandlung entlassen werden können. Sollte sich bis zum vorinstanzlichen Urteil diesbezüglich eine IV-relevante Änderung ergeben haben, wäre es am Beschwerdeführer gewesen, diese in das ausländerrechtliche Verfahren einzubringen oder zumindest entsprechende Beweisanträge zu stellen bzw. um eine Sistierung des Verfahrens nachzusuchen (vgl. Art. 99 BGG).
2.3.3. Auch die Rüge des Beschwerdeführers, er sei nicht rechtsgenügend verwarnt worden und die entsprechende Verfügung vom 17. Dezember 2009 habe sich nur auf die untergeordneten strafrechtlichen Vorkommnisse bezogen, weshalb die Vorinstanz den Sachverhalt falsch bzw. unvollständig festgestellt und die Beweise diesbezüglich willkürlich gewürdigt habe, überzeugt nicht. Die Rüge hat als aktenwidrig zu gelten; die entsprechende Verfügung hielt fettgedruckt unter dem Titel "Bedingung der Bewilligung" fest:
"A._ wird angehalten, sich künftig in jeder Beziehung klaglos zu verhalten (keine weiteren Strafen, kein Bezug von Sozialhilfegeldern, keine Schulden, intensive Arbeitsbemühungen, keine sonstigen Klagen), ansonsten muss er damit rechnen, dass das Ausländeramt die Aufenthaltsbewilligung nicht mehr verlängern rsp. widerrufen und ihn zur Ausreise verhalten wird (Art. 33 Abs. 2 AuG in Verbindung mit Art. 62 lit. d AuG) ".
Die Bewilligung wurde dem Beschwerdeführer in diesem Sinn auf "Zusehen und Wohlverhalten hin" belassen bzw. verlängert. Seit der Legalisierung seines Status im Familiennachzug bildeten die Pflicht zu intensiven Arbeitsbemühungen sowie das Erfordernis der finanziellen Unabhängigkeit der Familie seitens der Behörden immer wieder wichtige Bewilligungsvoraussetzungen. Es kann nicht gesagt werden, der Beschwerdeführer sei nicht rechtsgenügend verwarnt bzw. über seine Pflichten ungenügend informiert worden.
2.3.4. Da die weiteren Rügen, wonach der angefochtene Entscheid in verschiedenen zusätzlichen Punkten als willkürlich zu gelten habe, die Rechtsanwendung betreffen, wird auf diese - soweit nötig - im Zusammenhang mit den jeweiligen Rechtsfragen eingegangen.
3.
3.1. Nach Art. 51 AuG erlöschen die Ansprüche gemäss Art. 43 AuG (Familiennachzug von Personen mit Niederlassungsbewilligung), falls ein Widerrufsgrund nach Art. 62 AuG vorliegt (hier noch in seiner ursprünglichen Fassung vom 16. Dezember 2005 [AS 2007 5455 f.]). Dies ist unter anderem der Fall, wenn die ausländische Person oder eine Person, für die sie zu sorgen hat, auf Sozialhilfe angewiesen ist (Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG). Der Widerruf bzw. die Nichtverlängerung der Bewilligung fällt in Betracht, wenn eine Person über einen längeren Zeitraum hinweg hohe finanzielle Fürsorgeleistungen bezogen hat und nicht mehr damit gerechnet werden kann, dass sie in Zukunft für ihren Lebensunterhalt bzw. denjenigen ihrer Familie längerfristig ohne Sozialhilfe wird aufkommen können. Der Widerrufsgrund ist erfüllt, wenn konkret die Gefahr einer Fürsorgeabhängigkeit besteht (vgl. ANDREAS ZÜND/LADINA ARQUINT HILL, § 8 Beendigung der Anwesenheit, Entfernung und Fernhaltung, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser [Hrsg.], Ausländerrecht, 2. Aufl. 2009, N. 8.30); blosse finanzielle Bedenken genügen nicht. Neben den bisherigen und den aktuellen Verhältnissen muss als wesentliches Element auch die wahrscheinliche finanzielle Entwicklung auf längere Sicht hin in die Beurteilung miteinbezogen werden (Urteil 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.3 mit zahlreichen Hinweisen). Hierbei spielt - entgegen der Kritik des Beschwerdeführers - prospektiv auch das bisherige Verhalten der betroffenen Person eine Rolle (Urteile 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3; 2C_851/2014 vom 24. April 2015 E. 3.4 und 2C_31/2012 vom 15. März 2012 E. 2.2 in fine; MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Kommentar Migrationsrecht, 4. Aufl. 2015, N. 11 zu Art. 63 AuG). Die Familie ist als wirtschaftliche Einheit zu betrachten; ist sie unterstützungsbedürftig, gelten praxisgemäss beide Partner als sozialhilfeabhängig, weil sie einander zivilrechtlich finanziellen Beistand schulden (vgl. die Urteile 2C_317/2015 vom 1. Oktober 2015 E. 4.5 und 2C_900/2014 vom 16. Juli 2015 E. 2.4.2).
3.2.
3.2.1. Liegt ein Widerrufsgrund vor, ist zu prüfen, ob die damit verbundene aufenthaltsbeendende Massnahme im Einzelfall auch als verhältnismässig gelten kann (Art. 5 Abs. 2 BV; vgl. auch Art. 96 Abs. 1 AuG). Dabei deckt sich die Interessenabwägung nach Art. 96 Abs. 1 AuG mit jener gemäss Art. 8 Ziff. 2 EMRK bzw. Art. 36 in Verbindung mit Art. 13 Abs. 1 BV. Aus der EMRK oder der BV ergibt sich grundsätzlich weder ein Recht auf Einreise oder Aufenthalt in einem bestimmten Staat noch auf Wahl des für das Familienleben am geeignetsten erscheinenden Orts (<ref-ruling> E. 6.1 S. 12 mit Hinweisen). Verfügt ein Ausländer über nahe Verwandte mit einem gefestigten Anwesenheitsrecht in der Schweiz und wird die intakte familiäre Beziehung tatsächlich gelebt, kann es Art. 8 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV verletzen, wenn ihm die Anwesenheit untersagt und damit sein Familienleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 3.1 S. 285 mit Hinweisen).
3.2.2. Der Anspruch aus Art. 8 EMRK gilt auch in diesem Fall nicht absolut. Vielmehr ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit dieser gesetzlich vorgesehen ist und eine verhältnismässige Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung, das wirtschaftliche Wohl des Landes, zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutz der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Freiheiten anderer erforderlich ist. Die Konvention verlangt im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK, die privaten Interessen der betroffenen Person am Verbleib im Land anhand mehrerer Kriterien zu erfassen (Schwere des Fehlverhaltens; Dauer der Anwesenheit; Verhalten des Betroffenen; Nationalität der beteiligten Personen; Art und Natur der familiären Bindungen; der Familie drohende Nachteile; Qualität der sozialen, kulturellen und familiären Beziehungen zum Gast- und Heimatstaat usw.); das so gewichtete private Interesse ist anschliessend gegen das öffentliche Interesse an der Entfernung bzw. Fernhaltung der betroffenen Person abzuwägen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 147, 153 E. 2.2.1 S. 156; <ref-ruling> E. 2 S. 6 mit Hinweisen).
4.
4.1. Nachdem der Beschwerdeführer ab dem 1. Juni 2011 Arbeitslosenentschädigung bezog und per Ende Mai 2012 ausgesteuert wurde, waren A._ und B._ vom 1. Juli 2012 bis Juni 2013, von Juli 2013 bis September 2013 und vom Februar 2014 bis Ende Oktober 2014, d.h. während insgesamt 20 Monaten, von Leistungen der Sozialhilfe abhängig. Die Abhängigkeit dauert derzeit offenbar an. Die kantonalen Instanzen gehen davon aus, dass bis zum 5. Oktober 2015 ein Sozialhilfesaldo von Fr. 134'681.95 besteht, der Beschwerdeführer kommt zum Schluss, dass es sich - unter Berücksichtigung gewisser Sozialversicherungsleistungen, die nicht als Sozialhilfe gelten könnten - lediglich um Fr. 89'000.-- handle. Wie dem auch sei, der Betrag ist so oder anders von Gewicht. Es ist von einer erheblichen und lange dauernden Sozialhilfeabhängigkeit auszugehen (vgl. das Urteil 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 4.1). Dies gilt insbesondere, wenn zusätzlich dem Umstand Rechnung getragen wird, dass die Gattin - im Hinblick auf das erste, noch ausserehelich geborene Kind - bereits vor der Heirat mit Sozialhilfeleistungen in der Höhe von Fr. 30'112.15 unterstützt werden musste.
4.2. Die Vorinstanz durfte die Sozialhilfeabhängigkeit auch als selbstverschuldet beurteilen (vgl. das Urteil 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 4.2) : Bereits kurz nach der erstmaligen Erteilung der Aufenthaltsbewilligungen an den Beschwerdeführer haben beide Ehegatten ihre Arbeitsstellen wieder aufgegeben oder verloren. Der Familiennachzug war ihnen nach einem ersten negativen Entscheid aber gerade gestattet worden, weil beide Gatten über eine Stelle verfügten, womit ein hinreichendes Auskommen erreicht werden konnte. In der Folge wurde der Beschwerdeführer wiederholt darauf aufmerksam gemacht, dass er sich von der Sozialhilfe zu lösen habe, andernfalls seine Aufenthaltsbewilligung nicht mehr verlängert würde. Sämtliche Mahnungen und Verwarnungen der Behörden blieben ohne Erfolg; der Beschwerdeführer hat die ihm gebotenen Chancen nicht zu nutzen gewusst, um in der hiesigen Arbeitswelt dauerhaft Fuss zu fassen. Zwar war seine Krankheit geeignet, seine Arbeitssuche zu erschweren, doch war er bereits vor deren Ausbruch am 19. Mai 2014 ein Jahr lang arbeitslos und in der Folge während 15 Monaten von der Sozialhilfe abhängig. Zudem erklärte er, dass seine psychischen Probleme mit dem Bezug der Sozialhilfe zusammenhingen. Der Beschwerdeführer und seine Gattin bemühten sich nur punktuell um eine Arbeitsstelle; konnte der Beschwerdeführer - ausserhalb seiner stationären Behandlung - krankheitshalber keiner Arbeit nachgehen, hätte er sich immerhin um die Kinder, die neben dem Schulbetrieb keiner engmaschigen Betreuung mehr bedurften, kümmern können, was es seiner Gattin ermöglicht hätte, stärker zum finanziellen Unterhalt der Familie beizutragen. Die Annahme der Vorinstanz, dass - trotz des hängigen IV-Verfahrens - kaum eine reelle Chance bestehe, dass sich die Eheleute in absehbarer Zeit von der Sozialhilfebedürftigkeit würden lösen und die bestehenden Rückstände ausgleichen können, ist nicht willkürlich: Ende Juni 2016 verdienten der Beschwerdeführer und seine Gattin Fr. 3'883.10 pro Monat, denen Lebenshaltungskosten der Familie von Fr. 5'492.95 gegenüberstanden. Seit dem Verlust des Arbeitsplatzes der Gattin Ende Juli 2016 besteht - nach dem von der Vorinstanz verbindlich festgestellten und durch den Beschwerdeführer nicht bestrittenen Sachverhalt - ein monatlicher Fehlbetrag von Fr. 2'652.10.
4.3. Das staatliche Interesse, nicht jahrelang Leistungen aus der Staatskasse an ausländische Personen erbringen zu müssen, die sich nicht von der Sozialhilfe lösen wollen, bei gutem Willen indessen könnten, ist durch die Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) im Zusammenhang mit dem Familiennachzug als öffentliches Interesse grundsätzlich anerkannt (vgl. die EGMR-Urteile Konstantinov gegen Niederlande vom 26. April 2007 [Nr. 16351/03] § 50 ["wirtschaftliches Wohl des Landes"] und Hasanbasic gegen Schweiz vom 11. Juni 2013 [Nr. 52166/09] § 59 mit weiteren Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.2 S. 339). Die Höhe und die Dauer des Sozialhilfebezugs sowie das (Mit-) Verschulden des Beschwerdeführers an der eigenen sowie an der Sozialhilfeabhängigkeit seiner Familie bilden ein legitimes öffentliches Interesse, um in seinen Anspruch auf Schutz des Familienlebens einzugreifen.
5.
Entgegen den Einwänden des Beschwerdeführers ist die aufenthaltsbeendende Massnahme auch nicht unverhältnismässig:
5.1. Der Beschwerdeführer hält sich zwar seit rund zehn Jahren, davon eines illegal, in der Schweiz auf, reiste aber erst im Alter von 29 Jahren in das Land ein. Er ist mit den Verhältnissen in seiner Heimat noch bestens vertraut, hat er doch die persönlichkeitsprägenden Kinder- und Jugendjahre dort verbracht. Ein Grossteil seiner Familie hält sich nach wie vor in der Türkei auf, womit er bei seiner Heimkehr über ein soziales Beziehungsnetz verfügt, auf welches er sich stützen kann; seine Angehörigen können ihm beruflich, sozial und psychisch zur Seite stehen. Die in der Schweiz erworbenen Kenntnisse sind ihm in der Heimat ebenfalls nützlich; auch seine gesundheitliche Betreuung kann dort als sichergestellt gelten.
5.2. In der Schweiz hat der Beschwerdeführer sich weder sprachlich, sozial noch beruflich vertieft integrieren können. Vor Ausbruch seiner rezidivierenden depressiven Störung am 19. Mai 2014 arbeitete er während nur 20 Monaten als Hilfsarbeiter, Hilfskoch sowie Service- oder Reinigungsmitarbeiter; hernach bezog er nach Ablauf der Ausrichtung der Arbeitslosengelder jeweils Sozialhilfeleistungen; gleichzeitig verschuldete er sich. Seine Sprachkenntnisse sind, wie sich unzweideutig aus dem ärztlichen Bericht vom 20. Juli 2017 ergibt, beschränkt und müssen nach einer Aufenthaltsdauer von zwölf Jahren im deutschsprachigen Raum als minimal bezeichnet werden. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, zu hier lebenden Personen ausserhalb der Familie normale geschweige denn vertiefte Beziehungen zu unterhalten. Es kann unter diesen Umständen nicht davon ausgegangen werden, dass er sich hier verwurzelt hat und seine Bindungen zur Schweiz enger wären als jene zu seinem Heimatstaat. Zwar ergibt sich aus einer Aktennotiz der Amtsbeiständin, dass der Beschwerdeführer gerne einer Vollzeitbeschäftigung nachgegangen wäre, dies aber wegen seiner fehlenden Ausbildung und der mangelhaften Deutschkenntnisse aussichtslos erscheine; es werde deshalb vielmehr versucht, für die Ehefrau eine Arbeit zu finden, um die Sozialhilfeabhängigkeit überwinden zu können. Nachdem der Beschwerdeführer in seiner Heimat während sieben Jahren als Krankenpfleger gearbeitet hat, dürfte es ihm möglich sein, beruflich in der Türkei wieder Fuss zu fassen und zu einem Auskommen zu finden.
5.3. Die hier niederlassungsberechtigte Ehegattin ist mit 10 Jahren in die Schweiz eingereist. Sie lebt seit bald 28 Jahren im Land und hat den Grossteil ihres Lebens in der Schweiz verbracht. Sie vermochte sich hier indessen - wie ihr Gatte - weder beruflich noch gesellschaftlich zu integrieren. Auch sie hat einen Teil ihrer Jugend in der Türkei verbracht und ist durch dortige Aufenthalte, auch wenn diese nicht häufig gewesen sein sollten (2000, 2015 und 2017 je für zwei Wochen), mit Kultur und Sprache vertraut, zumal sie eine erste Ehe in ihrer Heimat eingegangen war. Die Trennung der schulpflichtigen Kinder von ihrem Vater trifft diese sicher schwer, die Beziehungen können aber über die Grenzen hinweg aufrecht erhalten werden. Es bleibt der Familie überlassen, zu entscheiden, ob die Kinder oder ein Teil von ihnen bei der Mutter in der Schweiz verbleiben oder die ganze Familie in die gemeinsame Heimat zurückkehren will. Sämtliche Nachkommen befinden sich noch in einem anpassungsfähigen Alter. Für schulpflichtige Kinder wird ein Umzug in die Heimat zusammen mit den Eltern oder einem Elternteil als zumutbar erachtet, wenn sie durch Sprachkenntnisse, gelegentliche Ferienaufenthalte und eine entsprechende Kulturvermittlung im familiären Rahmen mit den Verhältnissen im Heimatland vertraut sind (vgl. das Urteil 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 6.1). Dies ist hier der Fall. Eine Rückkehr in die Heimat ist ihnen zumutbar. Beim Familiennachzug in die Schweiz kommt es regelmässig vor, dass die nachzugsberechtigten Kinder über keine oder nur beschränkte Kenntnisse einer Nationalsprache und der hiesigen Verhältnisse verfügen, ohne dass dies als unüberwindbares Hindernis wahrgenommen würde. Minderjährige haben grundsätzlich dem Inhaber der elterlichen Sorge oder Obhut in die gemeinsame Heimat zu folgen. Ihre Niederlassungsbewilligung erlischt in diesem Fall mit der Abmeldung bzw. nach einem sechsmonatigen Aufenthalt im Ausland (vgl. Art. 61 Abs. 1 und 2 AuG).
5.4. Mutter und Kindern ist es somit zumutbar, ihr Familienleben mit dem Beschwerdeführer in der Türkei zu führen, selbst wenn die Eltern und Geschwister der Ehefrau ausserhalb der Türkei leben und die Kinder die türkische Sprache zurzeit noch lückenhaft beherrschen sollten. Im Übrigen haben weder die Ehegattin noch die Kinder die Schweiz zurzeit zu verlassen, nachdem sie hier über Niederlassungsbewilligungen verfügen. Die familiären Beziehungen können in diesem Fall über wechselseitige Besuche und regelmässige Kontakte mittels der traditionellen oder der neuen Kommunikationsmittel gepflegt werden. Sollte der Beschwerdeführer künftig über eine Arbeitsstelle oder Sozialversicherungsleistungen verfügen, welche eine Loslösung von der Sozialhilfe ermöglichen, könnte er oder seine Frau - bei fortbestehendem Bewilligungsanspruch - ein neues Gesuch auf Wiedereinreise und Familiennachzug stellen, wobei zu diesem Zeitpunkt geprüft werden müsste, ob wieder sämtliche Nachzugsvoraussetzungen erfüllt sind.
6.
6.1. Die Beschwerde ist unbegründet und deshalb abzuweisen. Für alles Weitere kann ergänzend auf die Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werde.
6.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG); da jedoch die Voraussetzungen von Art. 64 BGG gegeben sind, ist seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu entsprechen. Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Dem Beschwerdeführer wird Rechtsanwalt Atakan Özçelebi als amtlicher Rechtsbeistand beigegeben und diesem aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- ausgerichtet.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juni 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar