Faits :
A.
A.a. A._ fait l'objet d'une enquête pénale pour complicité de traite d'êtres humains, complicité d'usure, complicité d'infraction à la loi fédérale du 16 décembre 2006 sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20) et complicité d'infractions aux législations en matière d'assurances sociales.
Il lui est reproché d'avoir, dès 1997, prêté assistance à ses employeurs - également prévenus - dans l'organisation et la mise sur pied d'un système leur permettant d'employer, dans leur villa à Genève, des travailleurs dépourvus d'autorisation de séjour, engagés et salariés aux conditions prévalant en Inde (salaires plus de dix fois inférieurs aux minimums légaux, horaires trop importants, défaut de paiement des cotisations sociales).
A.b. Par ordonnances du 5 juillet 2018, le Ministère public de la République et canton de Genève a ordonné le séquestre, auprès des établissements bancaires B._ SA, C._ SA, D._, E._ et F._ SA, de toute relation dont l'un ou l'autre des prévenus était ou aurait été titulaire, ayant droit ou fondé de procuration; il était précisé que les titulaires des relations bancaires pouvaient être informés des mesures ordonnées.
Le 11 juillet 2018, le mandataire de A._ a requis la mise sous scellés de toute documentation en lien avec son mandant qui serait transmise par la banque C._ SA.
Par lettre du 27 juillet 2018 - adressée aux conseils des parties -, le Ministère public les a informés avoir "ordonné des séquestres bancaires le 5 juillet 2018 auprès de D._, de B._ SA, du C._ SA, de F._ SA et de E._".
Accusant réception de ce courrier le 2 août suivant, le mandataire de A._ a requis la mise sous scellés des déclarations fiscales, ainsi que des extraits de poursuites et faillite relatives à son mandant. Ce même jour, le Ministère public a demandé au Tribunal des mesures de contrainte (ci-après: le Tmc) "la levée des scellés sur les pièces transmises par B._ SA, relatives aux comptes dont A._ [était] titulaire".
Par requête du 13 août 2018, le mandataire de A._ a notamment sollicité la mise sous scellés de la documentation bancaire à recevoir ou transmise par la banque B._ SA. L'avocat a précisé qu'un confrère avait mis à sa "disposition le dossier de la procédure", "un coursier de l'Étude [étant] allé le chercher vendredi soir", soit le 10 août 2018; le mandataire de A._ avait ainsi "pu parcourir ces dossiers ce matin", à savoir le 13 août 2018.
Le procès-verbal du 13 août 2018 inventoriant les pièces reçues du Ministère public relatives à l'ensemble des prévenus a été transmis par le Tmc dans une version caviardée à A._, afin que celui-ci ne prenne connaissance que de la liste des pièces le concernant, soit les pièces bancaires reçues de B._ SA et de C._ SA.
Par courrier du 7 septembre 2018 adressé au mandataire de A._, le Ministère public a fait valoir que la requête de mise sous scellés du 13 août 2018 était manifestement tardive. Il a également reconnu la commission d'une erreur s'agissant de la documentation ciblée par sa requête de levée des scellés; il en découlait que le Tmc était prié de restituer les pièces du C._ SA concernant A._ à cet établissement et que le séquestre portant sur la relation xxx était levé. Le Ministère public a en revanche confirmé le maintien de cette mesure s'agissant de la banque B._ SA et "par conséquent la demande de levée de scellés sur les pièces B._ SA, quand bien même, à [son] sens, cette levée de scellés [était] sans objet puisqu'aucune demande de scellés n'a[vait] été formée par [A._] avant celle du 13 août 2018, manifestement tardive". Un courrier daté du même jour et contenant des éléments similaires a été adressé au Tmc.
B.
B.a. Par ordonnance du 7 mars 2019, le Tmc a notamment constaté, en relation avec les pièces relatives à A._ remises par la banque B._ SA en exécution de l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018, que la demande de mise sous scellés du susmentionné était tardive, que ces pièces n'étaient pas placées sous scellés et que la demande de levée de scellés du Ministère public du 2 août 2018 était partant sans objet (ch. 1).
Le Tmc a par ailleurs relevé, en relation avec les pièces relatives à A._ remises par C._ SA en exécution de l'ordonnance de séquestre du 5 juillet 2018, qu'aucune demande de levée de scellés n'avait été formée par le Ministère public (ch. 4) et a ordonné leur restitution à son détenteur, soit C._ SA (ch. 5).
B.b. Statuant par arrêt 1B_176/2019 du 17 septembre 2019 sur le recours formé par A._ contre l'ordonnance du 7 mars 2019, le Tribunal fédéral l'a annulée dans la mesure de ce que celle-ci prévoyait au chiffre 1 de son dispositif (cf. let. B.a supra). La cause a été renvoyée au Tmc pour qu'il entre en matière sur la requête de levée des scellés du 2 août 2018.
En substance, le Tmc avait violé l'interdiction du formalisme excessif en considérant que les pièces remises par la banque B._ SA n'avaient pas été placées sous scellés vu la tardiveté de la requête du 13 août 2018 (consid. 2.3 de l'arrêt cité).
B.c. Le 1er juillet 2020, le Tmc a notamment ordonné la levée des scellés sur les pièces remises par B._ SA concernant les relations bancaires de A._ ainsi que la transmission de celles-ci au Ministère public à l'issue de l'éventuelle procédure de recours auprès du Tribunal fédéral (ch. 1); ces pièces devaient rester en mains du Tmc jusqu'à décision définitive et exécutoire dans cette procédure (ch. 2).
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'ordonnance du 1er juillet 2020. Il conclut, avec suite de frais et dépens, à son annulation en tant qu'elle ordonne la levée des scellés sur les pièces remises par B._ SA concernant ses relations bancaires et la transmission de celles-ci au Ministère public à l'issue de la procédure fédérale, la cause étant renvoyée au Tmc pour nouvelle décision.
Le Ministère public et le Tmc renoncent à présenter des observations.

Considérant en droit :
1.
1.1. Conformément à l'art. 393 al. 1 let. c CPP, un recours n'est ouvert contre les décisions du Tmc que dans les cas prévus par ledit code. Aux termes de l'<ref-law>, cette juridiction statue définitivement sur la demande de levée des scellés au stade de la procédure préliminaire. Le code ne prévoit pas de recours cantonal contre les autres décisions rendues par le Tmc dans le cadre de la procédure de levée des scellés. La voie du recours en matière pénale au Tribunal fédéral est ainsi en principe directement ouverte contre de tels prononcés (art. 80 al. 2 in fine LTF; <ref-ruling> consid. 1 p. 465).
1.2. Ne mettant pas un terme à la procédure pénale, la décision attaquée est de nature incidente. Elle est toutefois susceptible de causer au recourant un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law>. En effet, dès lors que les scellés apposés sur la documentation bancaire litigieuse ont été levés par le Tmc, la documentation en cause sera définitivement versée au dossier pénal, ce qui pourrait porter atteinte au secret bancaire invoqué (arrêts 1B_176/2019 du 17 septembre 2019 consid. 1; 1B_273/2015 du 21 janvier 2016 consid. 1.3).
1.3. Selon l'<ref-law>, le mémoire de recours doit contenir les conclusions et les motifs à l'appui de celles-ci, sous peine d'irrecevabilité. Les conclusions doivent indiquer sur quels points la décision est attaquée et quelles sont les modifications demandées (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 489 s.). En l'occurrence, le recours ne tend qu'à l'annulation du chiffre 1 du dispositif de l'ordonnance attaquée et au renvoi de la cause au Tmc. Malgré l'absence de conclusions en réforme, on comprend toutefois que le recours vise le maintien des scellés sur la documentation bancaire remise par B._ SA à la suite du séquestre ordonné le 5 juillet 2018 et la restitution à cette banque des pièces litigieuses.
1.4. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile (<ref-law>).
Partant, il y a lieu d'entrer en matière.
2.
Le recourant conteste la levée des scellés opérée par l'autorité précédente.
2.1. Saisi d'une demande de levée de scellés au sens de l'<ref-law>, le Tmc doit examiner, d'une part, s'il existe des soupçons suffisants de l'existence d'une infraction et, d'autre part, si les documents présentent apparemment une pertinence pour l'instruction en cours (cf. art. 197 al. 1 let. b et d CPP). Il convient aussi de vérifier l'existence d'un secret protégé par la loi (cf. <ref-law>). Enfin, la mesure ne doit pas porter atteinte au principe de la proportionnalité (cf. art. 197 al. 1 let. c CPP).
2.2. La perquisition (<ref-law>), le séquestre (<ref-law>) et l'obligation de dépôt (<ref-law>) ainsi que, le cas échéant, la levée de scellés subséquente (<ref-law>) sont des actes de procédure qui portent atteinte aux droits fondamentaux, en particulier à la sphère privée des personnes intéressées (<ref-law> et 13 al. 1 Cst.). En tant que mesures de contrainte, elles ne peuvent être prononcées que lorsque des soupçons suffisants de la commission d'une infraction pèsent sur le prévenu (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 90; arrêt 1B_394/2017 du 17 janvier 2018 consid. 4.1). Pour constituer des soupçons suffisants d'une infraction, les indices de la commission de cette infraction doivent être sérieux et concrets (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 90). Selon la jurisprudence, il n'appartient cependant pas au juge de la levée de scellés - contrairement au juge du fond, qui applique en outre dans ce cadre le principe in dubio pro reo - de procéder à une pesée minutieuse et complète des éléments à charge et à décharge. Lorsque l'existence de charges est contestée, ce juge doit uniquement examiner si, sur la base des actes d'instruction disponibles, il existe des indices suffisants et concrets de la commission d'une infraction (arrêt 1B_336/2018 du 8 novembre 2018 consid. 4.2 et les arrêts cités). Si le séquestre - mesure conservatoire provisoire - est fondé sur la vraisemblance (cf. <ref-law>), il n'en va pas différemment de l'examen entrant en considération dans le cadre d'une requête de levée des scellés (arrêts 1B_149/2020 du 24 juillet 2020 consid. 6.1; 1B_98/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.2).
Par ailleurs, de manière à préserver au mieux la sphère privée des personnes intéressées, seuls les documents présentant apparemment une pertinence pour l'instruction en cours peuvent faire l'objet d'un ordre de dépôt puis d'une levée de scellés. Peuvent ainsi être exclus de cette procédure les documents personnels, tels que des photographies de voyage ou de la correspondance intime (<ref-ruling> consid. 5.6 p. 87). Dans ce contexte, l'autorité de levée des scellés doit s'en tenir au principe de " l'utilité potentielle" (<ref-ruling> consid. 4.4 p. 66 s.; arrêt 1B_525/2017 du 4 mai 2018 consid. 3.1 et les arrêts cités). Les détenteurs ont l'obligation de désigner les pièces qui, de leur point de vue, ne présentent manifestement aucun lien avec l'enquête pénale (<ref-ruling> consid. 4.3 p. 81 et 5.6 p. 87; <ref-ruling> consid. 7.1 p. 229 et les arrêts cités). Il n'y a toutefois pas lieu de se montrer trop exigeant quant au lien de connexité avec l'infraction : il suffit que le document ait un rapport avec celle-ci et présente une utilité potentielle pour l'enquête en cours (arrêts 1B_612/2019 du 13 mai 2020 consid. 2.1; 1B_492/2017 du 25 avril 2018 consid. 2.2; 1B_103/2012 du 5 juillet 2012 consid. 2.1; voir également <ref-ruling> consid. 7.5 p. 282 s.).
2.3. Le recourant ne revient pas sur l'existence de charges suffisantes pesant à son encontre.
Il suffit à cet égard de relever que, selon le Tmc, l'enquête avait mis en lumière des soupçons portant sur des activités illicites perpétrées par le recourant dans le cadre d'une pratique bien établie d'emploi illégal de personnel de maison, mise en oeuvre depuis de nombreuses années par la famille H._, dont quatre membres étaient également prévenus. Il était apparu que le recourant avait été employé à divers titres par cette famille depuis 1988, en particulier dans la gestion de son important patrimoine depuis 2004, et semblait dès lors avoir été omniprésent dans la conduite des affaires familiales, que ce soit par des responsabilités d'administrateur ou un statut d'actionnaire dans différentes sociétés détenant le patrimoine familial, par la signature d'une multitude de documents et d'attestations, ou encore par la possession d'une carte de crédit au nom de la société G._ SA, laquelle intervenait en qualité de family officeet gérait les affaires familiales à Genève (entretien du domicile, salaires des chauffeurs, frais personnels, etc.; ordonnance attaquée, consid. 10 p. 9). Le recourant aurait ainsi notamment facilité, par la délivrance d'attestations signées de sa main établissant que les personnes concernées n'auraient pas été des employés de la famille, l'octroi d'autorisations de séjour françaises, destinées à permettre leur séjour à Genève en cas de contrôle inopiné (cf. ordonnance attaqué, ad " en fait ", let. A p. 1).
Avec le Tmc, il faut admettre que les éléments qui précèdent traduisent l'existence de soupçons suffisants portant sur la participation du recourant aux infractions faisant l'objet de l'instruction menée par le Ministère public.
2.4. Le recourant se prévaut de l'absence d'utilité potentielle des pièces saisies.
2.4.1. Il ressort de l'ordonnance entreprise que la gestion financière et administrative du patrimoine de la famille H._ était particulièrement obscure. Les perquisitions menées jusqu'alors avaient ainsi démontré que la documentation relative aux employés de maison se trouvait éparpillée entre le domicile de la famille H._ et la multitude d'entités et sociétés que cette dernière avait sous son contrôle (notamment G._ SA, I._ SA ou F._ SA). Les prévenus et leur entourage n'avaient pour leur part que peu collaboré à l'enquête et celle-ci tendait à s'enliser (cf. ordonnance attaquée, consid. 10 p. 9).
Dans ces circonstances, le Tmc a estimé que le Ministère public se devait d'éclaircir le flou entourant la situation, notamment s'agissant des relations financières et de travail du recourant avec la famille H._. Il était ainsi essentiel que l'autorité d'instruction puisse disposer des données bancaires du recourant, que cela soit en définitive à son avantage ou à son détriment, une analyse de celles-ci devant en particulier permettre de reconstituer les mouvements de fonds entre les différentes personnes et entités concernées, respectivement de déterminer si des fonds avaient pu servir à la rémunération des employés. Ces éléments suffisaient à considérer que les pièces mises sous scellés étaient potentiellement utiles à l'enquête (cf. ordonnance attaquée, consid. 10 p. 10).
2.4.2. Le raisonnement du Tmc ne prête pas le flanc à la critique.
En particulier, à partir du moment où existent des soupçons suffisants de la commission d'une infraction à dimension économique, il ne paraît en effet pas hors de tout propos de faire porter l'instruction sur la situation financière effective du recourant. On rappellera à cet égard qu'il n'appartient pas à ce stade au juge de la levée de scellés de spéculer sur l'efficacité de la mesure de contrainte, mais uniquement sur sa pertinence (cf. arrêt 1B_98/2018 du 29 mai 2018 consid. 3.3). En l'occurrence, il suffit de constater que l'analyse de la documentation relative aux comptes bancaires personnels du recourant est susceptible de permettre, outre de déterminer l'existence et, le cas échéant, l'ampleur de transactions financières avec des sociétés liées à la famille H._, de vérifier les allégations du recourant selon lesquelles il ne s'était pas personnellement enrichi au détriment des employés lésés. Aussi, il pourrait s'avérer pertinent, au moment de déterminer le rôle précis du recourant et le degré de participation de ce dernier aux infractions en cause, de contrôler par exemple l'adéquation des tâches effectuées au service de la famille H._ avec les montants par hypothèse reçus sur ses comptes bancaires personnels à titre de rémunération pour son travail.
Par ailleurs, en tant que le recourant se prévaut que le Ministère public n'a pas requis la levée des scellés apposés sur la documentation bancaire remise par C._ SA, il paraît néanmoins, comme l'a relevé le Tmc (cf. ordonnance attaquée, consid. 10 p. 9), que cela pourrait résulter d'une erreur du Ministère public, qui avait demandé au juge des scellés le 7 septembre 2018 la restitution de ces pièces à C._ SA après qu'il avait apparemment omis de les mentionner dans sa demande de levée des scellés du 2 août 2018. Contrairement à ce que soutient le recourant, ces circonstances ne traduisent pas de manière certaine une absence d'intérêt ou un renoncement volontaire de l'autorité d'instruction à l'utilisation de la documentation remise par C._ SA. Quoi qu'il en soit, le recourant ne saurait tirer argument de la non-production au dossier des pièces remises par C._ SA pour justifier l'absence d'utilité potentielle de celles remises par B._ SA, ces dernières pouvant être examinées nonobstant le défaut de documents relatifs à d'autres comptes bancaires détenus par le recourant. On ne voit pas du reste qu'il soit suffisant, pour établir la situation financière du recourant, de se fonder sur la seule documentation bancaire en lien avec la carte de crédit détenue par le recourant au nom de G._ SA, ni qu'il soit déterminant que celui-ci n'aurait jusqu'alors pas encore été interrogé sur sa situation personnelle.
2.5. Le recourant se prévaut encore que le secret bancaire fait obstacle à la levée des scellés.
Si le droit de ne pas s'auto-incriminer permet certes de ne pas collaborer (<ref-law>), de refuser de témoigner (<ref-law>) ou de ne pas donner suite à un ordre de dépôt (cf. <ref-law>), la personne en cause reste néanmoins tenue de tolérer les mesures de contrainte prévues par la loi, soit notamment les séquestres de documents que ceux-ci se trouvent en leurs mains ou en celles de tiers (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 278 s.; <ref-ruling> consid. 8 et 9 p. 213 ss). En l'espèce, les pièces litigieuses ont été remises par une banque, tenue en vertu de l'<ref-law> par l'obligation de déposer et n'ayant a priori pas fait usage de son droit au sens de l'art. 265 al. 2 let. c CPP. Le motif invoqué ne saurait constituer dans ces circonstances un empêchement à la levée des scellés (cf. arrêt 1B_180/2019 du 11 septembre 2019 consid. 3).
En outre, en tant que le recourant se prévaut du lien de connexité entre ses relevés bancaires personnels et le complexe de faits investigué, lien qu'il qualifie de ténu, ses critiques se recoupent avec celles développées en rapport avec l'absence d'utilité potentielle de la documentation litigieuse. Il n'est de surcroît nullement critiquable, compte tenu de la gravité des infractions en cause et de l'absence de mesures de contrainte moins coercitives en vue d'établir la situation financière effective du recourant, de privilégier l'intérêt public à la manifestation de la vérité par rapport à l'intérêt du recourant à la préservation du secret bancaire (cf. <ref-law>; cf. également arrêt 1B_273/2015 du 21 janvier 2016 consid. 5.6).
2.6. Invoquant à cet égard une violation du principe de la proportionnalité, le recourant conteste encore qu'il soit nécessaire que le Ministère public dispose de tous ses relevés bancaires sur une période indéterminée. Ce faisant, il ne prétend pas pour autant que la documentation bancaire remise par B._ SA couvre une période antérieure à 1997, année à partir de laquelle il lui est reproché d'avoir prêté assistance à des membres de la famille H._ dans leurs activités criminelles (cf. ordonnance attaqué, ad " en fait ", let. A p. 1), alors que l'obligation de conservation des pièces comptables porte en principe sur une durée de 10 ans (cf. <ref-law>). Il n'est enfin pas critiquable, sous l'angle du principe de la proportionnalité, que les séquestres ordonnés le 5 juillet 2018 aient visé cinq établissements dans lesquels le recourant était susceptible de disposer de relations bancaires.
2.7. Au vu de ce qui précède, il apparaît que le Tmc n'a pas violé le droit fédéral en ordonnant la levée des scellés apposés sur la documentation bancaire remise par B._ SA.
3.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté.
Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Ministère public de la République et canton de Genève et au Tribunal des mesures de contrainte de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 4 novembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
Le Greffier : Tinguely