Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Testament vom 22. Oktober 2014 schloss D._ (Erblasser; geb. 1933) sämtliche Verwandten von der Erbfolge aus. Als Erben setzte er B._ (Beschwerdegegner 1) sowie C._ (Beschwerdegegner 2) ein. Ausserdem richtete er mehrere Vermächtnisse aus. Dabei bedachte er unter anderem A._ (Beschwerdeführer) mit "Franken 20'00 20000". Den "Hausrat" "wie Auto, Wanduhr" hinterliess er A._ sowie dessen Ehefrau E._, verbunden mit der ergänzenden Anordnung, dass Verbleibendes an die Brockenstube des F._ in U._ gehen solle. D._ verstarb am 4. September 2015. Gestützt auf das Testament erhielt A._ Fr. 20'000.-- ausbezahlt.
A.b. In der Folge entbrannte ein Streit darüber, ob A._ mit Fr. 20'000.-- oder mit Fr. 40'000.-- bedacht worden war. A._ und E._ leiteten deshalb im September 2016 beim Friedensrichteramt Winterthur das Schlichtungsverfahren ein. Im Wesentlichen stellten sie das Begehren, B._ und C._ seien zur Zahlung von Fr. 20'000.-- an A._ zu verpflichten. Da keine Einigung möglich war, erteilte das Friedensrichteramt ihnen am 16. Januar 2017 die Klagebewilligung.
A.c. Am 28. April 2017 reichte A._, vertreten durch E._, beim Bezirksgericht Winterthur Klage gegen B._ sowie C._ ein und beantragte, diese unter solidarischer Haftung zur Zahlung von Fr. 20'000.-- nebst Zins zu verpflichten. An der Hauptverhandlung vom 17. Oktober 2017 stellte A._ ausserdem die Begehren, es seien ihm die noch vorhandenen Schriften von D._ zu übergeben und B._ sowie C._ seien zu verpflichten, ihm Genugtuung von Fr. 10'000.-- zu bezahlen, wobei Fr. 5'000.-- an F._ zu leisten seien. Mit Urteil vom 6. Dezember 2017 trat das Bezirksgericht auf die nachträglich gestellten Begehren nicht ein und wies die Klage im Übrigen ab. Die Prozesskosten auferlegte es A._.
B.
Hiergegen gelangte A._ mit Berufung an das Obergericht des Kantons Zürich. Nebst der Aufhebung des Urteils des Bezirksgerichts und der Gutheissung seiner Begehren ersuchte er um Feststellung, dass das Bezirksgericht seinen Anspruch auf ein faires Verfahren verletzt habe. Mit Urteil vom 7. Juni 2018 (eröffnet am 11. Juni 2018) wies das Obergericht die Berufung ab, soweit es darauf eintrat. In einem gleichzeitig gefassten Beschluss wies es ausserdem ein von A._ gestelltes Gesuch um Verfahrenseinstellung ab. Bereits zuvor war A._ mit einer Beschwerde gegen die Verweigerung der Berichtigung des Protokolls der Hauptverhandlung vom 17. Oktober 2017 erfolglos geblieben.
C.
Mit Beschwerde vom 11. Juli 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt und hat in der Sache die folgenden Rechtsbegehren gestellt:
"1. Es sei der Beschluss und das Urteil des Obergerichts [...] vom 7. Juni 2018 aufzuheben.
2. Es sei in Gutheissung der Beschwerde die Verfügung und das Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 6. Dezember 2017 [...] aufzuheben und dem mit der Berufung gestellten Rechtsbegehren [von A._] um die vorläufige Sistierung des Berufungsverfahrens stattzugeben.
3. Eventualiter sei in Gutheissung der Beschwerde die Verfügung und das Urteil des Bezirksgerichts Winterthur vom 6. Dezember 2017 [...] aufzuheben und den mit der Klage gestellten Rechtsbegehren
1. Es seien [B._ und C._] in solidarischer Verbindung zur Zahlung von fehlenden CHF 20'000.00 zuzüglich Zins zu 5% seit 6. September 2016 an [A._] zu verpflichten.
2. Es seien [A._] die Schriften von Herrn D._ zu übergeben.
3. Es seien [B._ und C._] zu verpflichten, [A._] eine Genugtuung (im Sinne einer Entschädigung) in der Höhe von CHF 10'000.00 auszurichten.
4. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu Lasten [von B._ und C._]
stattzugeben.
4. Eventualiter sei - falls es in der Kompetenz des Bundesgerichtes liegt - einem Teil der Begehren stattzugeben, die das Bundesgericht als richtig erachtet.
5. Eventualiter sei der vorinstanzliche Entscheid aufzuheben und die Sache zur Abnahme der Beweise und zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
6. Es seien - falls es in der Kompetenz des Bundesgerichtes liegt - [B._ und C._] (inkl. Willensvollstrecker und Herr G._) aufzufordern, alle testamentarischen Schriften beim Gericht einzureichen.
7. Es sei - falls es in der Kompetenz des Bundesgerichtes liegt - [A._] die Anhörung der Tonaufnahmen der Hauptverhandlung xxx zwecks Protokollberichtigung bzw. richtiger Darstellung des Sachverhalts zu erlauben.
8. Eventualiter sei - falls die Kompetenz des Bundesgerichts es umfasst - das ganze Erbschaftsverfahren in Sachen von Herrn D._ durch das Bundesgericht zu überprüfen oder durch die Beschwerdeinstanz an eine kompetente, faire Instanz zur Prüfung weiterzuleiten.
9. Es sei - falls die Kompetenz des Bundesgerichts es umfasst - der vorliegenden Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu verleihen.
10. Gleichzeitig stellt [A._] dem Bundesgericht den Antrag, das Beschwerdeverfahren vorläufig zu sistieren, weil aufgrund der neuen Erkenntnisse die drei Kläger (inkl. [A._]) ein neues Verfahren betreffend Ungültigkeitsklage des angefochtenen Testaments beim Bezirksgericht Winterthur eingeleitet haben.
11. Falls es möglich ist, stellt [A._] den Antrag, keinen Kostenvorschuss von ihm zu verlangen.
12. Es sei die Entschädigung [B._ und von C._] nicht [A._] aufzuerlegen - wenn er unterliegen sollte - weil sie unsubstantiiert dargelegt wird."
Mit Eingabe vom 16. Juli 2018 verzichtet das Obergericht auf eine Vernehmlassung zu den Gesuchen um aufschiebende Wirkung und Einstellung des Verfahrens. B._ und C._ teilen am 26. Juli 2018 mit, die Ungültigkeitsklage von A._ sei erfolglos geblieben, womit diesen Gesuchen die Grundlage entzogen sei. Im Übrigen beantragen sie die Abweisung der Beschwerde. Am 26. August 2018 reicht A._ ein in einer "besser verständlichen Form" verfasstes Exemplar der Beschwerde ein. Darin sei auch die Antwort auf die Eingaben von B._ und C._ enthalten. Am 29. August 2018 hat A._ den zwischenzeitlich einverlangten Kostenvorschuss bezahlt. Mit Verfügung vom 4. September 2018 weist der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung die Gesuche um Einstellung des Verfahrens und Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über vermögensrechtliche Zivilsachen (<ref-law>) entschieden hat, wobei der Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 Bst. b und Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG; betreffend Auskünfte in einer erbrechtlichen Streitigkeit vgl. Urteil 5A_56/2017 vom 7. März 2017 E. 1). Damit ist die Beschwerde in Zivilsachen, die im Übrigen fristgerecht eingereicht wurde (<ref-law>), das zutreffende Rechtsmittel. Der Beschwerdeführer ist sodann grundsätzlich nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt, womit auf diese unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen eingetreten werden kann.
1.2. An einem hinreichenden aktuellen und praktischen Interesse an der Beschwerdeführung (vgl. Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG; <ref-ruling> E. 3.2.2.2) fehlt es dem Beschwerdeführer insoweit, als er anbegehrt, seinem Antrag auf Sistierung des vorinstanzlichen Verfahrens sei stattzugeben (Rechtsbegehren, Ziffer 2). Das vorinstanzliche Verfahren ist abgeschlossen und der Beschwerdeführer vermag die von ihm gewünschte Verfahrenseinstellung nicht mehr zu erreichen. Der Beschwerdeführer legt auch nicht dar, weshalb er aus anderen Gründen an der Behandlung seines Begehrens heute noch ein schutzwürdiges Interesse haben sollte (<ref-law>; hinten E. 2.1). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
1.3. Anfechtungsobjekt im bundesgerichtlichen Verfahren ist allein der vorinstanzliche Entscheid (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.2), mithin das Urteil des Obergerichts vom 7. Juni 2018. Auf die Beschwerde ist daher insoweit nicht einzutreten, als sie sich gegen das Urteil des Bezirksgerichts vom 6. Dezember 2017 richtet. Unbeachtlich bleiben damit auch die entsprechenden Ausführungen in der Begründung der Beschwerde. Dies gilt namentlich im Zusammenhang mit der Feststellung des Sachverhalts durch das Bezirksgericht. Insoweit fehlt es ohnehin an einer hinreichenden Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil (hinten E. 2.2).
1.4. Nicht einzutreten ist weiter auf den Antrag, es sei "das ganze Erbschaftsverfahren" zu prüfen bzw. durch eine nicht näher bezeichnete Instanz prüfen zu lassen (Rechtsbegehren, Ziffer 8). Der Beschwerdeführer begründet dieses Begehren mit verschiedenen Unregelmässigkeiten sowie Fehlleistungen von Behörden und Gerichten im bisherigen Verfahren. Angesprochen ist damit eine aufsichtsrechtliche Problematik, die zu beurteilen im Rahmen des vorliegenden Beschwerdeverfahrens kein Platz ist (vgl. <ref-law>; §§ 79 ff. des Gesetzes [des Kantons Zürich] über die Gerichts- und Behördenorganisation im Zivil- und Strafprozess [GOG/ZH; LS 211.1]).
1.5. Beschwerde ans Bundesgericht ist grundsätzlich innert einer Frist von 30 Tagen zu erheben (<ref-law>; zur Berechnung der Frist vgl. <ref-law>). Innert dieser Frist ist die Beschwerde mit einem Antrag und der vollständigen Begründung einzureichen (<ref-law>). Abgesehen von hier nicht einschlägigen Ausnahmen (vgl. <ref-law>) ist eine Ergänzung der Beschwerdebegründung nach Fristablauf nicht zulässig (Urteile 5A_705/2018 vom 16. Januar 2019 E. 1.3; 2C_1066/2015 vom 18. Januar 2016 E. 2.3). Folglich bleibt die vom Beschwerdeführer am 26. August 2018 und damit nach Fristablauf eingereichte verbesserte Beschwerde unbeachtlich (vgl. vorne Bst. C). Zu diesem Zeitpunkt konnte er sich zulässigerweise einzig zu den von den Beschwerdegegnern eingereichten Vernehmlassungen betreffend aufschiebende Wirkung und Verfahrenseinstellung äussern (<ref-law>). Insoweit er dies tat, ist die fragliche Eingabe folglich zu den Akten zu erkennen. Dies betrifft, wie der Beschwerdeführer selbst angibt (act. 14 S. 2), deren Ziffer 2.8.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (vgl. <ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2, 115 E. 2). Die Begründung muss zudem in der Beschwerde an das Bundesgericht selbst enthalten sein; ein Verweis auf frühere Rechtsschriften genügt nicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 258). Unbeachtlich bleiben damit die verschiedenen Hinweise des Beschwerdeführers auf die Klage- und die Berufungsschrift.
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (vgl. <ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Bundesrechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen. In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und 105 Abs. 2 BGG). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik am Sachverhalt nicht eintritt (<ref-ruling> E. 1.3.1, 317 E. 5.4; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Dieselben Rügevoraussetzungen gelten für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2).
Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht verschiedentlich vor, den Sachverhalt unrichtig bzw. unvollständig festgestellt zu haben. Freilich beschränkt er sich darauf, den obergerichtlichen Feststellungen seine Sicht der Dinge entgegenzustellen. Seine Ausführungen erschöpfen sich in rein appellatorischer Kritik. Der Beschwerdeführer nennt sodann keine (Verfassungs-) Bestimmung, wie etwa das Willkürverbot (<ref-law>), die durch das Obergericht verletzt worden sein soll (vgl. dazu etwa Urteil 5A_218/2010 vom 30. Juli 2010 E. 3 a.E.). Zuletzt bleibt verschiedentlich unklar und wird vom Beschwerdeführer auch nicht weiter begründet, inwiefern die Behebung der von ihm geltend gemachten Mängel sich auf den Ausgang des Verfahrens auswirken könnten. Dies gilt beispielsweise hinsichtlich der Rüge, der Erblasser hätte zwei und nicht nur einen Willensvollstrecker ernannt. Die Beschwerde genügt damit mit Blick auf die Sachverhaltskritik den Begründungsanforderungen nicht und es kann insoweit nicht darauf eingetreten werden. Unter diesen Umständen besteht auch kein Anlass zur Berichtigung des Protokolls der Hauptverhandlung vom 17. Oktober 2017. Der entsprechende Antrag (Rechtsbegehren, Ziffer 7) wird abgewiesen, ohne dass dessen Zulässigkeit weiter zu prüfen wäre.
3.
3.1. In der Sache strittig sind wie bereits vor Obergericht die Begehren um Verurteilung der Beschwerdegegner auf Zahlung von Fr. 20'000.-- aus Vermächtnis (vgl. Rechtsbegehren, Ziffer 3.1) und einer Genugtuung bzw. Entschädigung von Fr. 10'000.-- (vgl. Rechtsbegehren, Ziffer 3.3) sowie auf Herausgabe der Schriften des Erblassers (vgl. Rechtsbegehren, Ziffer 3.2). Der Beschwerdeführer beanstandet weiter die Verlegung der Prozesskosten im kantonalen Verfahren (Rechtsbegehren, Ziff. 3.4 und 12). Das Obergericht hat bezüglich der Rechtsbegehren Ziffer 3.2 und 3.3 aus formellen Gründen den Nichteintretensentscheid des Bezirksgerichts geschützt (Unzulässigkeit der Klageänderung; vgl. vorne Bst. A.c und B). In der Folge setzte es sich aber auch materiell mit diesen Begehren auseinander und kam zum Schluss, dass sie nicht begründet wären, wenn darauf hätte eingetreten werden können. Ebenso verfuhr das Obergericht mit dem Antrag um Feststellung, es sei kein faires Verfahren durchgeführt worden: Vorab verneinte es das Vorliegen eines Feststellungsinteresses; danach behandelte es im Sinne einer Eventualbegründung die materielle Rechtslage.
Stützt sich der angefochtene Entscheid auf mehrere selbständige Begründungen, die jede für sich das kantonale Erkenntnis zu begründen vermögen, muss in der Beschwerde in einer den Begründungserfordernissen (vgl. vorne E. 2) genügenden Art und Weise dargelegt werden, dass jede dieser Begründungen Recht verletzt. Andernfalls kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (<ref-ruling> E. 2.4 mit zahlreichen Hinweisen).
3.2. Der Beschwerdeführer macht mehrfach geltend, die Vorinstanzen hätten die Grundsätze eines fairen Verfahrens (vgl. Art. 6 Ziff. 1 EMRK; <ref-law>) verletzt. Soweit er auch vor Bundesgericht vorbringt, die Erstinstanz habe kein faires Verfahren durchgeführt, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden: Wie ausgeführt hat das Obergericht insoweit das Nichteintreten der Erstinstanz auf die Klage geschützt. Hiermit setzt der Beschwerdeführer sich nicht auseinander. Auch soweit der Beschwerdeführer dem Obergericht selbst vorwirft, die Bestimmungen zum fairen Verfahren verletzt zu haben, genügt die Beschwerde den Begründungserfordernissen nicht, da die Beschwerdeschrift sich in allgemeinen Hinweisen auf die Europäische Menschenrechtskonvention in ihrer Gesamtheit erschöpft und in ihr nicht anhand der einschlägigen Rechtsgrundlagen aufgezeigt wird, inwieweit eine Konventions- oder Verfassungsverletzung vorliegt (vgl. vorne E. 2.2). Anzumerken bleibt, dass die richterliche Fragepflicht (<ref-law>) - auf diese beruft der Beschwerdeführer sich sinngemäss - auch bei anwaltlich nicht vertretenen Parteien nicht dazu dient, prozessuale Nachlässigkeiten auszugleichen (Urteile 5A_75/2018 vom 18. Dezember 2018 E. 2.4; 4A_228/2018 vom 5. November 2018 E. 4.3). Die Vorinstanzen waren daher nicht gehalten, Versäumnisse des Beschwerdeführers zu beheben. Auch kann der Beschwerdeführer sich nicht erfolgreich auf Rechtsunkenntnis berufen (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.3.1; Urteil 5A_240/2011 vom 6. Juli 2015 E. 6.5, in: FamPra.ch 2011 S. 1002).
3.3. Mit dem angefochtenen Entscheid setzt der Beschwerdeführer sich sodann auch insoweit nicht auseinander, als das Obergericht es für rechtmässig befunden hat, dass das Bezirksgericht soweit die Begehren um Herausgabe der Schriften des Erblassers sowie Ausrichtung einer Genugtuung bzw. Entschädigung betreffend auf die Klage nicht eingetreten ist. Zwar äussert der Beschwerdeführer sich materiell auch zu diesen Themenkreisen. Er legt jedoch nicht dar, weshalb dem Obergericht mit Blick auf das Nichteintreten eine relevante Rechtsverletzung vorzuwerfen wären. Ganz im Gegenteil lässt sich der Beschwerde entnehmen, dass der Beschwerdeführer die Unzulässigkeit der Klageänderung als solche nicht in Frage stellt, indessen der Ansicht ist, die Vorinstanzen hätten - was nicht zutrifft (E. 3.2 hiervor) - insoweit die Grundsätze eines fairen Verfahrens missachtet. Der Beschwerdeführer stellt die formellen Überlegungen des Obergerichts, welche den angefochtenen Entscheid für sich alleine zu begründen vermögen, folglich nicht rechtsgenüglich in Frage, womit auf die Beschwerde insoweit nicht einzutreten ist.
4.
4.1. Das Begehren auf Verurteilung der Beschwerdegegner zur Zahlung von Fr. 20'000.-- ist vor dem Hintergrund des Streits darüber zu sehen, ob der Beschwerdeführer mit Fr. 20'000.-- oder Fr. 40'000.-- bedacht wurde (vgl. vorne Bst. A.b). Hierzu hielt das Obergericht fest, der Wortlaut des Testaments vom 22. Oktober 2014 sei unklar und deshalb auslegungsbedürftig. Dabei finde das Textverständnis des Beschwerdeführers, ihm seien zweimal Fr. 20'000.-- zugewendet worden, nach richtiger Ansicht des Bezirksgerichts im Wortlaut des Testaments keine Stütze. Äussere Umstände, die für die Interpretation des Beschwerdeführers sprächen, seien ebenfalls nicht ersichtlich. Vielmehr sei anzunehmen, der Erblasser habe sich verschrieben und dem Beschwerdeführer Fr. 20'000.-- zuwenden wollen. Alles in allem erweise es sich als "lebensnah und überzeugend", dass der Beschwerdeführer ebenso viel habe erhalten sollen wie seine Ehefrau und ein gewisser H._, denen der Erblasser ebenfalls je Fr. 20'000.-- ausrichtete. Unzutreffend sei der Vorwurf, das Bezirksgericht habe zu Unrecht keine Beweise erhoben und die Beweislast falsch verteilt. Der Beschwerdeführer weiche vom objektiv verstandenen Sinn und Wortlaut des Testaments ab, weshalb er für seinen Standpunkt sprechende Umstände vorzutragen und nachzuweisen habe. Der Beschwerdeführer lege in der Berufung nicht dar, dass er dem vor Bezirksgericht nachgekommen sei. Folglich habe das Bezirksgericht mangels entsprechender Parteibehauptungen kein Beweisverfahren durchführen müssen und in der Folge zum Schluss kommen dürfen, es liesse sich kein anderer Wille des Erblassers als den im Text des Testaments zum Ausdruck kommenden erschliessen. Die Auslegung des Bezirksgerichts sei sodann auch nach dem Grundsatz favor testamenti nicht zu beanstanden.
4.2. Der Beschwerdeführer wirft dem Obergericht vor, es lege nicht dar, weshalb der Erblasser Fr. 20'000.-- geschrieben haben solle. Vielmehr spreche es von einem Verschreiber, erkläre aber nicht, weshalb der Erblasser einen Fehler im Testament nicht hätte korrigieren sollen, wie er dies etwa bei bedeutsamen Privatbriefen stets getan habe. Sofern der Erblasser den "Verschreiber" als Fehler wahrgenommen hätte, wäre daher zu erwarten gewesen, dass er ihn durchstreiche. Die Interpretation des Beschwerdeführers sei ebenso wahrscheinlich wie die Darstellung der Beschwerdegegner, wonach die zweite Zahl der Klarstellung der ersten gedient habe. Der Beschwerdeführer wirft weiter die Frage auf, ob das Verhalten des Erblassers darauf hindeute, dass das Testament aufgrund von dessen psychischen Gesundheit für ungültig zu erklären sei. Zuletzt verstehe das Obergericht die Ausführungen des Bezirksgerichts zur Gleichbehandlung der Vermächtnisnehmer falsch.
Mit diesen Ausführungen beschränkt der Beschwerdeführer sich auf die Darlegung, weshalb die von ihm vertretene Auslegung des Testaments ebenso möglich sei wie diejenige des Obergerichts. Weiter wirft er verschiedene Fragen zum Verhalten bzw. Gesundheitszustand des Erblassers auf und rügt die Interpretation des bezirksgerichtlichen Urteils durch das Obergericht als fehlerhaft. Hierin liegt auch nicht ansatzweise eine sachbezogene Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Urteil und der Beschwerdeführer legt nicht dar, welche Rechte oder Rechtsnormen das Obergericht verletzt haben soll. Damit genügt die Beschwerde insoweit den Begründungserfordernissen nicht (vgl. vorne E. 2.1).
4.3. Der Beschwerdeführer führt weiter aus, der Wortlaut des Testaments sei hinsichtlich der Höhe des ihm ausgerichteten Vermächtnisses unklar. Hierin seien sich alle beteiligten Behörden und Gerichte einig. Damit stelle sich gerade die Frage nach dem objektiven Willen des Erblassers; einen feststehenden objektiven Sinn des Testaments bestehe nicht. Unter diesen Umständen verstosse es gegen <ref-law>, wenn die Beweislast dem Beschwerdeführer allein auferlegt werde. Beweisbelastet seien tatsächlich die Beschwerdegegner. Zum Nachweis des objektiven Willens des Erblassers seien sodann ausserhalb des Testaments liegende Beweismittel notwendig. Dennoch hätten die Gerichte es trotz mehrfacher Anträge unterlassen, die Beschwerdegegner zur Einreichung der "testamentarischen Schriften" (Begleitbrief zum Testament, Testamentsentwurf, frühere Testamente, Tagebücher des Erblassers) aufzufordern. Eine Schriftprobe hätte angeordnet und Zeugen hätten befragt werden müssen. Das Obergericht wolle diesen Beweismassnahmen aus dem Weg gehen und dadurch die Feststellung des wahren Sachverhalts verhindern, was gegen <ref-law> verstosse.
Wie dargelegt konnte das Obergericht ohne Bundesrechtsverletzung den Wortlaut des Testaments so verstehen, dass dem Beschwerdeführer ein Vermächtnis von (nur) Fr. 20'000.-- ausgerichtet worden ist. Zu Recht bestreitet der Beschwerdeführer nicht, dass er in dieser Situation den behauptet abweichenden Willen des Erblassers nachzuweisen hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.2; Urteil 5A_914/2013 vom 4. April 2014 E. 2.1). An der Beweisführungslast des Beschwerdeführers würde sich freilich auch nichts ändern, wenn mit diesem davon ausgegangen würde, das Testament sei unklar formuliert: Gemäss <ref-law> hat er das Vorhandensein der Tatsachen nachzuweisen, aus denen er Rechte ableitet, mithin die Zuwendung von Fr. 40'000.-- (vgl. DANIEL ABT, in: Abt/Weibel [Hrsg.], Praxiskommentar Erbrecht, 3. Aufl. 2015 N. 37 f. vor <ref-law>, mit zahlreichen Hinweisen). Zur Beweiserhebung hat das Obergericht sodann festgehalten, der Beschwerdeführer habe im vorinstanzlichen Verfahren nicht dargelegt, welche Tatsachenbehauptungen zu welchen konkreten Umständen er gemacht habe, aus denen sich die behauptete Zuwendung ergebe. Der Beschwerdeführer hält dem zwar entgegen, er habe die Edition verschiedener Unterlagen beantragt. Indes legt er nicht unter Angabe der einschlägigen Aktenstellen dar, welche Anträge er im Einzelnen gestellt hat. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, in den Akten nach den entsprechenden Hinweisen zu suchen (vgl. Urteile 5A_424/2018 vom 3. Dezember 2018 E. 5.3; 5A_439/2018 vom 31. Oktober 2018 E. 2.2). Auch zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, inwieweit das Obergericht mit seinem Vorgehen (Verfassungs-) Recht verletzt haben soll, was mit Blick auf die Begründungspflicht nach <ref-law> notwendig wäre (vgl. vorne E. 2.3; <ref-ruling> E. 8.1). Damit ist auf die Vorbringen des Beschwerdeführers nicht weiter einzugehen und der Antrag um Edition der "testamentarischen Schriften" (Rechtsbegehren, Ziffer 6) wird abgewiesen.
4.4. Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde hinsichtlich des Begehrens um Bezahlung von Fr. 20'000.-- als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
5.
Zuletzt ersucht der Beschwerdeführer darum, die ihm zugunsten der Beschwerdegegner auferlegte Parteientschädigung aufzuheben, da diese nicht hinreichend substanziiert worden sei (vgl. Rechtsbegehren, Ziffer 3.4 und 12). Insoweit betroffen sind nur die Prozesskosten des erstinstanzlichen Verfahrens, da den Beschwerdegegnern vor Obergericht keine Parteientschädigung zugesprochen wurde. Diesbezüglich hielt die Vorinstanz fest, die Festsetzung der Prozesskosten durch das Bezirksgericht werde in der Berufung nicht näher beanstandet. Der Beschwerdeführer bestreitet diese Feststellung nicht, die für das Bundesgericht daher verbindlich ist (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 8.1; vorne E. 2.2). Dem Beschwerdeführer ist es daher mangels materieller Erschöpfung des Instanzenzuges verwehrt, diesen Punkt im bundesgerichtlichen Verfahren neu aufzuwerfen (vgl. <ref-ruling> E. 1.1). Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten.
6.
Zusammenfassend ist die Beschwerde insgesamt unbegründet und abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Dies betrifft sowohl die Kosten für das Beschwerdeverfahren als auch des Gesuchsverfahrens betreffend aufschiebende Wirkung und Verfahrenseinstellung. Für Letzteres hat der Beschwerdeführer den Beschwerdegegnern ausserdem die Parteikosten zu ersetzen. In der Hauptsache sind diesen dagegen mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden (<ref-law>). Das Gesuch des Beschwerdeführers um Befreiung von der Bezahlung eines Kostenvorschusses (Rechtsbegehren, Ziffer 11) ist zwischenzeitlich gegenstandslos geworden und abzuschreiben. Soweit der Beschwerdeführer damit sinngemäss ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege stellt, ist dieses abzuweisen, weil die Beschwerde nach dem Ausgeführten als von Anfang an aussichtlos beurteilt werden muss (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um Befreiung von der Zahlung eines Kostenvorschusses wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit je Fr. 250.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Februar 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber