Sachverhalt:
A.
A.a. Der im Jahr 1972 geborene A.A._ stammt aus Russland (Tschetschenien). Nach seiner Einreise in die Schweiz am 29./ 30. August 2004 ersuchte er erfolglos um Asyl. Am 17. November 2004 wurde er wegen Unzumutbarkeit des Wegweisungsvollzugs vorläufig aufgenommen. Am 27. Oktober 2009 erteilte ihm der Migrationsdienst des Amtes für Migration und Personenstand des Kantons Bern (nachfolgend: Migrationsdienst) eine Aufenthaltsbewilligung, welche in der Folge mehrfach und zuletzt bis am 31. Oktober 2015 verlängert wurde.
Mit Verfügung vom 14. März 2016 verweigerte der Migrationsdienst wegen Sozialhilfeabhängigkeit eine von A.A._ beantragte weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung und wies ihn unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg.
A.b. B.A._ mit Jahrgang 1978, ebenfalls russische Staatsangehörige tschetschenischer Herkunft, reiste am 30. September 2013 in die Schweiz ein und stellte ohne Erfolg ein Asylgesuch. Das Bundesamt für Migration (heute Staatssekretariat für Migration) wies sie unter Ansetzung einer Ausreisefrist bis zum 18. Juni 2014 aus der Schweiz weg. Seit letzterem Zeitpunkt galt B.A._ als verschwunden.
Am 22. Mai 2014 ersuchte A.A._ beim Migrationsdienst um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an B.A._ zwecks Vorbereitung der Heirat. Der Migrationsdienst wies dieses Gesuch ab.
Am 2. Dezember 2014 reiste B.A._ mit einem in Estland ausgestellten Schengenvisum erneut in die Schweiz ein. Am 9. Dezember 2014 kam in U._ als gemeinsames Kind von A.A._ und B.A._ C.A._ zur Welt.
A.c. Am 7. Januar 2015 beantragte A.A._ erneut die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung an B.A._ zur Vorbereitung der Heirat. Mit Verfügung vom 17. Dezember 2015 verweigerte der Migrationsdienst die Erteilung einer Kurzaufenthaltsbewilligung an B.A._; zugleich wies er B.A._ und C.A._ unter Ansetzung einer Ausreisefrist aus der Schweiz weg.
B.
B.a. Gegen die letztgenannte Verfügung des Migrationsdienstes erhoben A.A._, B.A._ und C.A._ am 18. Januar 2016 Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern, und zwar mit dem Antrag, B.A._ und C.A._ seien Aufenthaltsbewilligungen zwecks Vorbereitung der Heirat "bzw. anschliessendem Familiennachzug" zu erteilen.
B.b. Gegen die Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung (Verfügung vom 14. März 2016) erhob A.A._ am 14. April 2016 Beschwerde bei der Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern.
B.c. Die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern vereinigte die beiden Verfahren. Während der Hängigkeit der Verfahren wurde am 23. August 2016 in U._ als zweiter gemeinsamer Sohn von A.A._ und B.A._ D.A._ geboren. Ferner stellte B.A._ am 14. November 2016 ein zweites Asylgesuch, welches das Staatssekretariat für Migration (Staatssekretariat) mit Verfügung vom 15. Februar 2017 ablehnte. Das in der Folge angerufene Bundesverwaltungsgericht wies die Sache am 19. Mai 2017 zur Neubeurteilung an das Staatssekretariat zurück.
Am 1. Juni 2017 heirateten A.A._ und B.A._ in U._ _. Dort kam am 18. Oktober 2017 der dritte gemeinsame Sohn, E.A._, zur Welt.
B.d. Mit Entscheid vom 9. Mai 2018 wies die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern die allein von A.A._ erhobene Beschwerde ab und setzte ihm eine Ausreisefrist bis zum 22. Juni 2018 an (Dispositiv-Ziff. 1 und 3). Das mit Beschwerde vom 18. Januar 2016 eingeleitete Verfahren schrieb die Polizei- und Militärdirektion zugleich unter Hinweis auf das hängige Asylgesuch von B.A._ als gegenstandslos ab (Dispositiv-Ziff. 2). Sie führte dabei aus, dass das Familiennachzugsgesuch materiell unbegründet sei.
B.e. Am 11. Juni 2018 erhoben A.A._, B.A._, C.A._, D.A._ und E.A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern. Sie stellten den Antrag, es sei ihnen unter Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 1-3 des angefochtenen Entscheids je eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen bzw. die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern. Gleichzeitig ersuchten sie um unentgeltliche Rechtspflege unter Beiordnung ihrer Rechtsvertreterin als amtliche Anwältin.
B.f. Mit Verfügung vom 21. Juni 2018 wies das Staatssekretariat auf die Rückweisung durch das Bundesverwaltungsgericht hin das Asylgesuch von B.A._ ab und ordnete an, dass sie vorbehältlich einer Überprüfung je nach Ausgang des A.A._ betreffenden Bewilligungsverfahrens vorläufig aufgenommen werde. Gegen diesen Asylentscheid erhob B.A._ wiederum Beschwerde beim Bundesverwaltungsgericht; das entsprechende Verfahren wurde mit einem beim Bundesverwaltungsgericht hängigen Verfahren betreffend die übrigen Kinder von A.A._ und B.A._ vereinigt.
B.g. Am 18. September 2019 brachte B.A._ ein viertes gemeinsames Kind namens F.A._ zur Welt. Dieses Kind wurde in das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit einbezogen.
B.h. Mit Urteil vom 28. November 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Bern die bei ihm eingereichte Beschwerde ab (Dispositiv-Ziff. 1). Ferner hiess es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gut (Dispositiv-Ziff. 2) und ordnete Rechtsanwältin Evelyne Suter als amtliche Anwältin bei (Dispositiv-Ziff. 4). Mit Dispositiv-Ziff. 3 des Urteils ordnete das Verwaltungsgericht Folgendes an:
"Die Kosten des Verfahrens vor dem Verwaltungsgericht, bestimmt auf eine Pauschalgebühr von Fr. 3'000.--, werden den Beschwerdeführenden auferlegt. Die Kosten trägt vorerst der Kanton Bern. Vorbehalten bleibt die Nachzahlungspflicht der Beschwerdeführenden."
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, eventualiter mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, vom 17. Januar 2020 lassen A.A._, B.A._, C.A._, D.A._, E.A._ und F.A._ beim Bundesgericht beantragen, Dispositiv-Ziff. 1 und 3 des Urteils des Ver waltungsgerichts des Kantons Bern vom 28. November 2019 seien aufzuheben. Ferner beantragen sie, es sei ihnen für das Verfahren vor dem Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und Rechtsanwältin Evelyne Suter sei als amtliche Anwältin beizuordnen.
Mit Präsidialverfügung vom 21. Januar 2020 erteilte das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung.
Der Migrationsdienst, die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern und das Staatssekretariat verzichten auf Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern beantragt, die Beschwerde sei in der Sache abzuweisen. Hinsichtlich des Gesuches um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verzichtet es auf Vernehm lassung.
Mit Eingabe vom 13. März 2020 halten die Beschwerdeführer an ihrem Rechtsmittel fest.
Der Migrationsdienst reichte am 25. Mai 2020 ein am 6. Mai 2020 ergangenes Urteil des Bundesverwaltungsgerichts ein. Mit diesem Urteil hat das Bundesverwaltungsgericht die Abweisung der Asylgesuche B.A._s und ihrer Kinder bestätigt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Vorliegend behauptet der Beschwerdeführer 1, er habe aufgrund seiner langen Aufenthaltsdauer in der Schweiz von über 15 Jahren einen aus dem Recht auf Schutz des Privatlebens von Art. 8 Ziff. 1 EMRK (bzw. <ref-law>) abgeleiteten "faktischen" Aufenthaltsanspruch sowie einen aus dem Recht auf Schutz des Familienlebens (Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. <ref-law>) abgeleiteten Anspruch auf Nachzug seiner mit ihm Beschwerde führenden Familienangehörigen. Damit werden in vertretbarer Weise aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK (bzw. <ref-law>) abgeleitete potentielle Aufenthaltsansprüche geltend gemacht (vgl. Urteil 2C_666/2019 vom 8. Juni 2020 E. 4.1). Deshalb und infolge Erfüllung der übrigen Sachurteilsvoraussetzungen ist auf die Beschwerde als solche in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten. Ob entsprechende Aufenthaltsansprüche bestehen, ist Gegenstand der materiellen Beurteilung (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1.1 S. 332; Urteil 2C_821/2016 vom 2. Februar 2018 E. 1.1, nicht publ. in: <ref-ruling>).
Für die hilfsweise erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde bleibt grundsätzlich kein Raum (vgl. <ref-law>; siehe dazu auch sogleich E. 1.2).
1.2. Soweit sich der Beschwerdeführer 1 sinngemäss gegen die ihm gegenüber angeordnete Wegweisung wenden sollte, spielt der Ausschlussgrund von <ref-law>. Ein entsprechender Antrag könnte auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegengenommen werden, zumal sich der Beschwerdeführer 1 im Zusammenhang mit seiner Wegweisung nicht auf besondere verfassungsmässige Rechte beruft (vgl. <ref-ruling> E. 3.3 S. 310; Urteil 2C_636/2017 vom 6. Juli 2018 E. 1.3 mit Hinweisen).
Entgegen der Darstellung in der Beschwerde nicht geprüft werden kann im Übrigen auch, inwieweit die kantonalen Behörden den Beschwerdeführern wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls (vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG [seit 1. Januar 2019 AIG, SR 142.20; zur intertemporalrechtlichen Massgeblichkeit des AuG vgl. <ref-law>]) Aufenthaltsbewilligungen hätten erteilen müssen. Die Zu ständigkeit des Bundesgerichts ist auf sog. Anspruchsbewilligungen beschränkt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348; Urteile 2C_746/2018 vom 11. März 2019 E. 1.2; 2D_14/2018 vom 13. August 2018 E. 1.1). Bei der Erteilung der mit dem Härtefall verbundenen Bewilligung geht es um einen kantonalen Ermessensentscheid (vgl. Art. 96 Abs. 1 AuG), gegen den auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde nur insoweit zulässig ist, als eine Verletzung verfahrensrechtlicher Vorschriften gerügt wird, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen kann ("Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 2 und 4; Urteil 2C_643/2018 vom 8. Januar 2019 E. 1.1). Solche Rügen ergeben sich aus der Beschwerdeschrift (und der Eingabe der Beschwerdeführer vom 13. März 2020) nicht.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung ist von Amtes wegen (<ref-law>) oder auf Rüge hin (<ref-law>) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig (d.h. willkürlich) sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.).
Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung. Die Sachverhaltsfeststellung bzw. Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 f.; Urteil 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsdar stellung bzw. Beweiswürdigung der Vorinstanz geht das Gericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 10.1 S. 444 f.).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren lediglich insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt (<ref-law>). Das Vorbringen von Tatsachen, die sich erst nach dem angefochtenen Entscheid ereignet haben oder entstanden sind (echte Noven), ist unzulässig (<ref-ruling> E. 1.2 S. 22 f. mit Hinweisen).
Das vom Migrationsdienst eingereichte Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 6. Mai 2020 erging nach dem Zeitpunkt des Erlasses des angefochtenen Urteils vom 28. November 2019. Es ist deshalb als echtes Novum nicht zu berücksichtigen.
3.
Im Streit liegt vorliegend zunächst, ob dem Beschwerdeführer 1 aufgrund des Anspruchs auf Schutz des Privatlebens nach Art. 8 EMRK (bzw. <ref-law>) ein Aufenthaltsanspruch zusteht, da davon der Status der Familie abhängt.
3.1. Im Lichte der mehrjährigen Dauer der vorläufigen Aufnahme des Beschwerdeführers 1 (vom 17. November 2004 bis 26. Oktober 2009) und der daran anschliessenden Erteilung sowie Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung bis am 31. Oktober 2015 erscheint es nicht als von vornherein ausgeschlossen, dass sich dieser Beschwerdeführer auf das nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK (bzw. <ref-law>) geschützte Recht auf Achtung des Privatlebens berufen kann (vgl. <ref-ruling> E. 3.8 und 3.9 S. 277 ff.; Urteile 2C_666/2019 vom 8. Juni 2020 E. 4.1; 2C_326/2019 vom 3. Februar 2020 E. 2.2.4; 2C_360/2016 vom 31. Januar 2017 E. 5.2; 2C_639/2012 vom 13. Februar 2013 E. 1.2.2). Ob der Beschwerdeführer 1 aus dem Anspruch auf Achtung des Privatlebens grundsätzlich einen Aufenthaltsanspruch ableiten kann, braucht aber, wie im Folgenden ersichtlich wird, nicht entschieden zu werden.
3.2. Tangiert eine ausländerrechtliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme den Schutzbereich von Art. 8 Ziff. 1 EMRK, ist diese Massnahme nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK rechtfertigungsbedürftig. Dazu ist eine umfassende Interessenabwägung vorzunehmen und das Interesse der betroffenen Person, im Land zu verbleiben, den entgegenstehenden Interessen gegenüberzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 3.7 S. 276; Urteil 2C_666/2019 vom 8. Juni 2020 E. 4.1). Die Interessenabwägung im Rahmen von Art. 8 Ziff. 2 EMRK deckt sich mit jener nach Art. 96 AuG bzw. nach Art. 13 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 36 Abs. 2 und 3 BV (vgl. Urteile 2C_458/2019 vom 27. September 2019 E. 4.2; 2C_813/2018 vom 5. April 2019 E. 4.2; 2C_633/2017 vom 2. Mai 2018 E. 3.2).
Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung zu berücksichtigen sind nach der Praxis des Bundesgerichts, wenn der betroffenen Person - wie vorliegend - Sozialhilfeabhängigkeit vorgeworfen wird, namentlich die Ursachen der Sozialhilfeabhängigkeit, die bisherige Anwesenheitsdauer der betroffenen Person sowie der Grad ihrer Integration in der Schweiz. Ob und gegebenenfalls inwieweit die betroffene Person ein Verschulden an der Sozialhilfeabhängigkeit trifft, bildet ebenfalls eine Frage der Verhältnismässigkeit der aufenthaltsbeendenden Massnahme (vgl. Urteile 2C_666/2019 vom 8. Juni 2020 E. 4.2; 2C_1058/2013 vom 11. September 2014 E. 2.5; 2C_958/2011 vom 18. Februar 2013 E. 2.3). In die Interessenabwägung einzubeziehen sind ferner die konkreten Verhältnisse im Land, in das die betroffene Person auszureisen hätte, und die sich daraus für sie ergebenden Auswirkungen auf ihre künftigen Lebensumstände (Urteil 2C_120/2015 vom 2. Februar 2016 E. 3.2). Allgemein gebietet der Grundsatz der Verhältnismässigkeit, dass die Aufenthaltsbeendigung im öffentlichen Interesse geeignet, erforderlich und zumutbar erscheint, d.h. es muss ein sachgerechtes Verhältnis zwischen Mittel und Zweck bestehen (<ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; <ref-ruling> E. 2.2; Urteile 2C_458/2019 vom 27. September 2019 E. 4.3; 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 3.3.2).
4.
4.1. Wie die Vorinstanz zutreffend ausgeführt hat, ist im Lichte des Umfangs der erhaltenen Unterstützungsleistungen (Fr. 160'337.-- im Zeitraum von Januar 2012 bis Januar 2018) und der vorliegenden Umstände die Sozialhilfeabhängigkeit des erwerbslosen Beschwerdeführers 1 als dauerhaft und erheblich einzustufen, so dass der Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG erfüllt ist (vgl. E. 4.5.1 ff. des angefochtenen Urteils; zum Widerrufsgrund von Art. 62 Abs. 1 lit. e AuG vgl. Urteile 2C_13/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2; 2C_775/2017 vom 28. März 2018 E. 3.1). Diese Sozialhilfeabhängigkeit ist als selbstverschuldet zu qualifizieren:
Nach den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Urteil wurde seitens des zuständigen Sozialdienstes Ende Februar 2015 eine "Vermittlungsphase" mit der Begründung beendet, der Beschwerdeführer 1habe trotz mehrmaliger Aufforderung zu wenige Inserate und Adressen geliefert, teilweise nicht auf die Rückmeldung der Vermittlung reagiert und zu wenig Motivation gezeigt, eine bezahlte Stelle zu finden (E. 4.5.3 des angefochtenen Urteils). Diese Ausführungen im angefochtenen Urteil und der danach seitens des Sozialdienstes erhobene Vorwurf ungenügender Bemühungen im Rahmen der Stellensuche wurden nicht in hinreichend substanziierter Weise (vgl. E. 2.2 hiervor) bestritten, weshalb mit der Vorinstanz davon auszugehen ist, dass der Beschwerdeführer 1 nicht alles Zumutbare unternommen hat, um den Bezug von Sozialhilfe zu vermeiden oder zu verringern.
Zwar rügt der Beschwerdeführer 1, die Vorinstanz habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt, indem sie festgehalten habe, er habe offenbar nie in Betracht gezogen, sich auf unqualifizierte, ihm persönlich weniger zusagende Tätigkeiten einzu lassen. Es ist aber nicht substanziiert dargelegt, dass die entsprechende Feststellung der Vorinstanz angesichts der soeben genannten Ausführungen zur Beendigung der "Vermittlungsphase" des Sozialdienstes für den Ausgang des vorliegenden Verfahrens entscheidend sein kann. Damit ist auf diesen Punkt nicht weiter einzugehen (vgl. E. 2.2 hiervor).
Dahingestellt bleiben kann im Übrigen, ob die im angefochtenen Entscheid erwähnten, weiter zurückliegenden Spannungen zwischen dem Beschwerdeführer 1 zum einen und dem Sozialdienst sowie den Arbeitsintegrationsbetrieben zum anderen - wie in der Beschwerde suggeriert wird - im Zusammenhang mit der Frage nach dem Verschulden an der Sozialhilfeabhängigkeit zu Unrecht zu stark zu Ungunsten des Beschwerdeführers 1 gewürdigt wurden. Selbst wenn diese Span nungen vorliegend überhaupt nicht in die Beurteilung mit einzubeziehen wären, würde sich dadurch nämlich nichts am rechtserheblichen Umstand ändern, dass der Beschwerdeführer 1 nicht alles Zumutbare unternommen hat, um den Bezug von Sozialhilfe zu vermeiden oder zu verringern (vgl. in diesem Sinne etwa auch Urteil 2C_83/2018 vom 1. Februar 2019 E. 4.2.3).
Angesichts der selbstverschuldeten Sozialhilfeabhängigkeit des Beschwerdeführers 1 besteht ein erhebliches öffentliches Interesse an der Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung.
4.2.
4.2.1. Aus seiner langen Anwesenheit in der Schweiz kann der Beschwerdeführer 1 im Zusammenhang mit der vorzunehmenden Interessenabwägung nichts zu seinen Gunsten ableiten. Denn angesichts der konkreten Umstände drängt sich der Schluss auf, dass die lange Aufenthaltsdauer nicht mit der wirtschaftlichen und sozialen Integration des Beschwerdeführers 1 korreliert. Wie bereits erwähnt, ist er dauerhaft und erheblich von der Sozialhilfe abhängig. Zwar kann sich der Beschwerdeführer 1 in deutscher Sprache verständigen, doch erscheinen seine Sprachkenntnisse nicht als Indiz für eine fortgeschrittene Integration, war die Arbeitsintegration doch nach den im angefochtenen Entscheid wiedergegebenen Feststellungen des Sozialdienstes unter anderem wegen mangelnder Deutschkenntnisse gescheitert (E. 4.6.1 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer 1 macht sodann auch nicht geltend, dass er (abgesehen von Kontakten im Zusammenhang mit seiner freiwilligen Mitarbeit im Markt G._ in U._) Kontakte zur einheimischen Bevölkerung pflege. Es darf deshalb davon ausgegangen werden, dass sich seine sozialen Beziehungen weitgehend auf seine Familie beschränkten.
4.2.2. Das private Interesse des Beschwerdeführers 1 an einem Verbleib in der Schweiz gründet seiner Ansicht nach in erster Linie auf dem (geltend gemachten) Umstand, dass ihm eine Rückkehr ins Heimatland nicht zumutbar ist. Indessen hat die Vorinstanz im angefochtenen Urteil festgestellt, dass zurzeit in Tschetschenien keine Situation allgemeiner Gewalt bestehe und damit eine Rückkehr dorthin in der Regel zumutbar ist. Auch führte die Vorinstanz aus, dass an der bei der vorläufigen Aufnahme im Jahr 2004 vorgenommenen Würdigung des damaligen Bundesamtes für Flüchtlinge festzuhalten sei. Danach ist die Darstellung des Beschwerdeführers 1, er sei mit Rebellen in Verbindung gebracht und deshalb vom russischen Militär sowie von Gefolgsleuten von H._ gesucht worden, nicht glaubhaft. Mit seinen Vorbringen vor dem Bundesgericht vermag der Beschwerdeführer 1 nicht hinreichend darzutun, dass die Vorinstanz in diesem Punkt die Beweise offensichtlich unrichtig gewürdigt hätte. Ebenso wenig kann er schlüssig aufzeigen, dass er allein schon wegen seiner langjährigen Anwesenheit in Europa und des von der Schweiz gewährten Schutzes im Heimatland als verdächtig erscheint und deshalb dort schwere Nachteile zu befürchten hat. Der Beschwerdeführer 1 wurde nach den Feststellungen im angefochtenen Urteil im Jahr 2004 aufgrund der damaligen Situation im Heimatland vorläufig aufgenommen und nicht etwa aus Gründen, die in seiner Person liegen. Die Sicherheitslage in Tschetschenien hat sich aber seither - auch gemäss dem im angefochtenen Entscheid erwähnten Bericht der Schweizerischen Flüchtlingshilfe vom 13. Mai 2016 - insgesamt verbessert.
4.2.3. Nicht als stichhaltig erscheint auch das Vorbringen des Beschwerdeführers 1, eine Rückkehr nach Tschetschenien sei ihm wegen mangelnder Möglichkeit der Beschaffung gültiger Ausweispapiere nicht zumutbar. Wie die Vorinstanz zutreffend darlegt, lässt sich allein aus der von der Botschaft der Russischen Föderation erteilten Information, in den russischen Registern sei der Beschwerdeführer 1 nicht aufgeführt, nicht darauf schliessen, dass er keine Dokumente vorlegen könnte, welche für die Ausstellung eines Reisepasses oder für eine Neuregistrierung genügen. Auch erscheint seine Behauptung, allfällige zur Papierbeschaffung beigezogene Hilfspersonen (wie etwa die in Tschetschenien lebende Mutter des Beschwerdeführers 1) würden in Tschetschenien willkürlichen Behandlungen in Form von Korruption und der Verweigerung der Ausstellung von Dokumenten ausgesetzt, nicht als entscheidend, da damit nicht dargetan ist, dass der Versuch einer Papierbeschaffung über Hilfspersonen von vornherein aussichtslos ist. Aus dem vom Beschwerdeführer 1 angerufenen Umstand, dass das Regionalgericht Bern-Mittelland in seinem Entscheid vom 22. Oktober 2014 implizit angenommen hat, dass ihm die Beschaffung der Ausweispapiere unmöglich oder unzumutbar ist, lässt sich im vorliegenden Kontext im Übrigen ebenfalls nichts zu seinen Gunsten ableiten.
4.3. Es ist zwar nicht zu verkennen, dass dem Beschwerdeführer 1 die Rückkehr nach Tschetschenien nicht leicht fallen wird. Indessen überwiegt aufgrund der erheblichen Sozialhilfeabhängigkeit das öffentliche Interesse an der Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung. Die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers 1 bzw. die Nichterteilung einer neuen Aufenthaltsbewilligung an den Beschwerdeführer 1 verletzt Art. 8 EMRK (und <ref-law>) nach dem Gesagten nicht.
Es ist sodann weder geltend gemacht noch ersichtlich, dass der Beschwerdeführer 1 allein gestützt auf das landesinterne Recht über einen Aufenthaltsanspruch verfügen würde.
4.4. Vor diesem Hintergrund ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten in Bezug auf die sinngemäss beantragte Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers 1 bzw. die Neuerteilung einer Aufenthaltsbewilligung an diesen Beschwerdeführer abzuweisen.
5.
Zu klären bleibt, ob die übrigen Beschwerdeführer Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung haben.
5.1. Es kann das in Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> geschützte Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens beeinträchtigen, wenn eine ausländische Person, deren Familienangehörige sich rechtmässig in der Schweiz aufhalten, die Anwesenheit untersagt und damit das Zusammenleben vereitelt wird (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 145, 153 E. 2.1 S. 154 f.). Das Verfassungs- (Art. 13 in Verbindung mit <ref-law>) und das Konventionsrecht (Art. 8 EMRK) gebieten in diesem Fall, dass die individuellen Interessen an der Erteilung bzw. am Erhalt des Anwesenheitsrechts und die öffentlichen Interessen an dessen Verweigerung gegeneinander abgewogen werden, wenn zumindest eine der beteiligten Personen über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht im Land verfügt (<ref-ruling> E. 6.1 S. 46 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 6; <ref-ruling> E. 3 S. 357 ff.; Urteil 2C_674/2013 vom 23. Januar 2014 E. 2.1 mit Hinweisen).
5.2. Der Beschwerdeführer 1 hat - wie dargelegt - keinen Anspruch auf Verlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung (E. 4 hiervor). Damit fehlt es ihm an einem gefestigten Anwesenheitsrecht im Sinne der Rechtsprechung, welches seinen Familienangehörigen gestützt auf Art. 8 EMRK bzw. <ref-law> einen Aufenthaltsanspruch vermitteln könnte.
Eine anderweitige Anspruchsgrundlage für ein Aufenthaltsrecht der Beschwerdeführer 2-6 ist nicht ersichtlich.
5.3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit auch hinsichtlich des damit sinngemäss gestellten Antrages auf Erteilung von Aufenthaltsbewilligungen an die Beschwerdeführer 2-6 abzuweisen.
6.
Die Beschwerdeführer fordern ergänzend (mit ihrem Antrag auf Aufhebung von Dispositiv-Ziff. 3 des angefochtenen Urteils) sinngemäss die Aufhebung der vorinstanzlichen Anordnung, wonach sie für den Fall verbesserter wirtschaftlicher Verhältnisse zur Nachzahlung der Kosten des Beschwerdeverfahrens vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern verpflichtet werden. Zur Begründung, weshalb in diesem Punkt eine vom angefochtenen Urteil abweichende Kostenregelung hätte getroffen werden müssen, machen die Beschwerdeführer aber im Wesentlichen einzig geltend, die bei der Vorinstanz erhobene Beschwerde hätte im Hauptpunkt gutgeheissen werden müssen. Letz teres trifft gemäss dem hiervor Ausgeführten nicht zu. Auch ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz mit der Anordnung der erwähnten Nachzahlungspflicht kantonales Recht willkürlich angewendet oder auf andere Weise Bundesrecht verletzt haben sollte (vgl. zur Nachzahlungspflicht bei Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege Art. 113 Abs. 1 des Gesetzes [des Kantons Bern] vom 23. Mai 1989 über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG; BELEX 155.21]). Es kann ergänzend auf die zutreffenden Ausführungen zu den Kostenfolgen im angefochtenen Urteil verwiesen werden (E. 9.2 und 9.3 des angefochtenen Urteils).
Nach dem Gesagten ist der genannte Antrag der Beschwerdeführer unbegründet und somit abzuweisen.
7.
7.1. Gemäss dem Dargelegten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist dieses Rechtsmittel abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten.
7.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend werden die unterliegenden Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>).
Die vorstehenden Erwägungen zeigen, dass der Beschwerde - namentlich aufgrund der erheblichen und dauernden Sozialhilfeabhängigkeit des Beschwerdeführers 1 - von Anfang an kein Erfolg beschieden sein konnte und sie somit als aussichtslos zu gelten hat. Damit man gelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren (vgl. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.
Der finanziellen Lage der Beschwerdeführer ist mit einer Herabsetzung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (vgl. <ref-law>).
Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftung auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: König