Sachverhalt:
A.
A.a. Die B._ AG (Beklagte, Beschwerdegegnerin) gehört zur börsenkotierten B._-Gruppe, die Geräte zur Regulierung des Klimas und der Pflege der Luftqualität in Räumen entwickelt und weltweit vertreibt. Ihre Tochtergesellschaft C._ GmbH ist auf die Entwicklung, Herstellung und Vermarktung von Enthalpie-Wärmetauscher spezialisiert.
Ab September 2009 arbeitete die Beklagte mit dem in U._ wohnhaften A._ (Kläger, Beschwerdeführer) zusammen. Abgesehen von einer zwischen der Beklagten und der vom Kläger beherrschten D._ Ltd. abgeschlossenen Geheimhaltungsvereinbarung bestand für diese Zusammenarbeit keine schriftliche vertragliche Grundlage. Aufgrund von erheblichen Differenzen zwischen den Parteien wurden insbesondere die schriftlichen Entwürfe eines "Consulting Agreement" sowie eines "Cooperation Agreement" nie unterzeichnet.
Im November 2011 schlossen die Parteien einen mündlichen Beratungsvertrag ab. Gemäss diesem sollte der Kläger für seine im Rahmen der Zusammenarbeit erbrachten Leistungen eine monatliche Vergütung von EUR 16'500 sowie ein Erfolgshonorar für die erfolgreiche Vermittlung von Übernahmekandidatenerhalten. Darüber hinaus wurde vereinbart, dass der Kläger Lizenzgebühren für das eingebrachte geistige Eigentum erhalten sollte.
Von November 2011 bis Juni 2013 war der Kläger für die Beklagte beratend tätig und seine Leistungen wurden von der D._ Ltd. in Rechnung gestellt. Die in diesem Zeitraum vom Kläger bzw. von der D._ Ltd. erhaltene Vergütung betrug insgesamt EUR 386'000.
A.b. Am 20. Januar 2012 reichte eine Gesellschaft der B._-Gruppe die Anmeldung für das am 24. Juli 2013 publizierte Europäische Patent EP X ein, das Enthalpie-Wärmetauscher betrifft. Während diese Gesellschaft zur Anmeldung im eigenen Namen berechtigt war, ist unumstritten der Kläger der Alleinerfinder der in der Patententschrift offenbarten technischen Lehre.
Am 6. Mai 2013 schlug der Kläger der Beklagten vor, eine weitere Patentanmeldung einzureichen. Dazu übermittelte er dem damaligen geschäftsführenden Direktor einer niederländischen Gesellschaft der B._-Gruppe, E._, einen entsprechenden Entwurf. In der Folge fanden Arbeitstreffen zwischen dem Kläger und E._ bzw. dem Patentanwalt der Beklagten F._ statt. Darauf entschloss sich die Beklagte, zwei Patentanmeldungen einzureichen. Die beiden Patente EP Y und EP Z trugen denselben Titel (" Enthalpy exchanger element and method for the production") und wurden am 22. Juli 2013 angemeldet. Wie EP X betreffen EP Y und EP Z Enthalpie-Wärmetauscher bzw. das Verfahren zu deren Herstellung.
A.c. Ende Juni 2013 forderte der Kläger durch seinen Rechtsanwalt die Beklagte zur Übertragung von EP X auf ihn sowie zur Bestätigung auf, dass die Beklagte keine Rechte an der zweiten Erfindung des Klägers geltend mache. Nachdem die Parteien erfolglos versuchten, ihre Differenzen beizulegen, teilte der Kläger der Beklagten mit, er erachte die Verhandlungen als gescheitert, und verlangte die Übertragung der drei europäischen Patentanmeldungen EP X, EP Y und EP Z auf ihn. Daraufhin erklärte sich die Beklagte bereit, die Patentanmeldung EP X bedingungslos zu übertragen. Zur Übertragung von EP Y und EP Z erklärte sich hingegen die Beklagte nur unter der Voraussetzung bereit, dass die Lizenzierung zu für sie annehmbaren Bedingungen möglich ist ("if licensing is possible for B._ in an acceptable manner").
Am 20. Mai 2014 wurde ein Vertrag abgeschlossen ("Agreement for Assignment of Intellectual Property Rights"), gemäss welchem alle Rechte an EP X an den Kläger abgetreten wurden. Gemäss Artikel 2 dieses Vertrages sind EP Y und EP Z von diesem nicht erfasst.
B.
Am 25. Juni 2015 erhob der Kläger gegen die Beklagte Klage beim Bundespatentgericht. Die massgebenden Rechtsbegehren des Klägers, die mit Replik vom 4. Juli 2016 angepasst wurden, lauten wie folgt:
"1. Die Beklagte sei zu verpflichten, die Patentanmeldungen EP Y (Anmelde-Nr. xxx) "enthalpy exchanger and element and method for the production" und EP Z (Anmelde-Nr. yyy) "enthalpy exchanger element and method for the production" innert zehn Tagen ab Rechtskraft des Urteils auf den Kläger zu übertragen.
2. Eventualiter, im Falle der Abweisung von Rechtsbegehren 1, sei festzustellen, dass der Anspruch auf Erteilung der Patente aus den Patentanmeldungen gemäss Rechtsbegehren 1 alleine dem Kläger zusteht.
3. Die Beklagte sei zu verpflichten, bei allen nationalen Anmeldebehörden, wo die Beklagte gestützt auf die PCT-Anmeldungen XX und YY nationale Anmeldungen einreichte, die Bezugnahme auf das Prioritätsdatum der Patentanmeldungen EP Y (Anmelde-Nr. xxx) und EP Z (Anmelde-Nr. yyy) zu widerrufen, und die entsprechenden Widerrufsschreiben innert zehn Tagen ab Rechtskraft des Urteils dem Kläger in Kopie vorzulegen.
4.a. Die Beklagte sei zu verpflichten, innert 30 Tagen ab Rechtskraft des Urteils für jede einzelne aus den PCT-Anmeldungen XX und YY hervorgegangene nationale Anmeldung die schriftliche Einverständniserklärung von G._ zu seiner Löschung als Miterfinder einzuholen und, soweit diese Einverständniserklärung abgegeben wird, die Löschung von G._ als Miterfinder bei allen zuständigen nationalen Anmeldestellen mit Kopie an den Kläger anzumelden.
4.b. Die Beklagte sei zu verpflichten, innert 30 Tagen ab Rechtskraft des Urteils für jede einzelne aus den PCT-Anmeldungen XX und YY hervorgegangene nationale Anmeldung die schriftliche Einverständniserklärung von F._ zu seiner Löschung als Miterfinder einzuholen und, soweit diese Einverständniserklärung abgegeben wird, die Löschung von F._ als Miterfinder bei allen zuständigen nationalen Anmeldestellen mit Kopie an den Kläger anzumelden.
4.c. Für den Fall des Verweigerns der Einverständniserklärung gemäss Rechtsbegehren 4a. und 4b. durch F._ und/oder G._ sei die Beklagte zu verpflichten, dem Kläger dies innert 30 Tagen ab Rechtskraft des Urteils schriftlich zur Kenntnis zu bringen.
5. Die Beklagte sei zu verpflichten, dem Kläger innert zehn Tagen ab Rechtskraft des Urteils alle im Zusammenhang mit den Patentanmeldungen gemäss Rechtsbegehren 1 und 3 stehende Korrespondenz mit den zuständigen Anmeldestellen auszuhändigen, insoweit diese nicht öffentlich über ein Patentregister zugänglich ist."
Den mit der Klage gestellten vorsorglichen Massnahmebegehren auf Verbot der Übertragung der Rechte an oder aus den Patentanmeldungen bzw. der Vornahme von inhaltlichen Änderungen an diesen wurde mit Urteil vom 5. August 2015 entsprochen.
Mit Urteil vom 21. März 2018 hiess das Bundespatentgericht die Klage teilweise gut. Es stellte fest, die Parteien seien an den EP Y und EP Z gemeinsam berechtigt, und wies im weiteren Umfang die Klage ab, soweit auf sie einzutreten sei.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt der Kläger, das Urteil des Bundespatentgerichts vom 21. März 2018 sei aufzuheben. Im Übrigen wiederholt er seine vor dem Bundespatentgericht gestellten Rechtsbegehren auf Übertragung der Patentanmeldungen, Feststellung der Alleinberechtigung an diesen sowie auf Widerruf der Bezugnahme auf das Prioritätsdatum. Subeventualiter verlangt er die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in dieser Zivilrechtsstreitigkeit (<ref-law>) richtet sich gegen einen Endentscheid (<ref-law>) des Bundespatentgerichts (<ref-law>), der Beschwerdeführer ist mit seinen Anträgen teilweise unterlegen (<ref-law>) und eines Streitwerts bedarf es nicht (<ref-law>). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist unter Vorbehalt einer hinreichenden Begründung (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG) einzutreten.
2.
Der Beschwerdeführer rügt in mehrfacher Hinsicht die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei der Vorinstanz prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Auf eine Kritik an den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, die diesen Anforderungen nicht genügt, ist nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.4.3).
2.2. Der Beschwerdeführer bringt vor, die vorinstanzliche Beweiswürdigung stütze sich auf einen offensichtlich unrichtigen und unvollständigen Sachverhalt. Er nennt verschiedene Sachverhaltselemente, die seines Erachtens von der Vorinstanz völlig unberücksichtigt geblieben seien.
2.2.1. Nicht berücksichtigt worden sei zuerst der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin EP Y und EP Z zunächst ohne Erfindernennung eingereicht habe. Erst zwei Monate später, als die amtlichen Anmeldenummern vorgelegen hätten, sei der Beschwerdeführer als Erfinder genannt worden. Ebenfalls unberücksichtigt sei die Tatsache, dass der Beschwerdeführer als Alleinerfinder eingetragen worden sei, und dass F._ und G._ nie als Miterfinder nachgenannt worden seien. Während der rund zwei Jahre, die zwischen dem Anmeldedatum und der Klageeinreichung durch den Beschwerdeführer verstrichen seien, seien ausser dem Kläger keine weiteren Erfinder genannt worden. Erst dann seien F._ und G._ von der Beschwerdegegnerin als Miterfinder genannt worden. Weiter habe die Vorinstanz nicht berücksichtigt, dass die Beschwerdegegnerin erst am 14. April 2014 - d.h. nach dem Beizug eines Anwaltes - behauptet habe, an EP Y und EP Z erfinderisch beigetragen zu haben.
Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers sind diese Sachver-haltselemente von der Vorinstanz berücksichtigt worden. Das Bundespatentgericht hat ausdrücklich festgehalten, dass der Kläger in den Patentanmeldungen EP Y und EP Z als einziger Erfinder genannt wurde und entsprechend als einziger Erfinder im Europäischen Patentregister eingetragen wurde. Daraus leitete es ab, der Kläger sei einer der Erfinder der offenbarten technischen Lehren. Aus dieser Nennung könne jedoch nicht abgeleitet werden, der Kläger sei deren einziger Erfinder. Ob die Erfindernennung sofort oder erst zwei Monate später erfolgt sei, ist für die vorinstanzliche Argumentation irrelevant, erachtete doch die Vorinstanz es ausdrücklich für unschädlich, dass (Mit-) Erfinder auch Monate nach der Anmeldung genannt werden. Die Vorinstanz stellte fest, dass G._ und F._ erst im Rahmen der internationalen (PCT) Anmeldungen neben dem Kläger als Miterfinder genannt wurden. Diese PCT-Anmeldungen seien am 17. Juli 2014 erfolgt und am 29. Januar 2015 publiziert worden. Dass die beiden Angestellten schon früher als Miterfinder von der Beschwerdegegnerin angegeben bzw. erwähnt worden seien, ist dem angefochtenen Entscheid nicht zu entnehmen.
2.2.2. Der Beschwerdeführer rügt weiter, die Vorinstanz habe nicht berücksichtigt, dass eine per E-Mail vom Anwalt des Beschwerdeführers gemachte Behauptung von der Beschwerdegegnerin unwidersprochen geblieben sei. In dieser E-Mail habe der Anwalt behauptet, es sei anerkannt, dass der Beschwerdeführer der Erfinder der der zweiten Patentanmeldung zugrunde liegenden Erfindung sei. Von der Vorinstanz unbeachtet geblieben sei auch der Vorbehalt in Art. 2 des am 20. Mai 2014 abgeschlossenen "Agreement for Assignment of Intellectual Property Rights", wonach "it is acknowledged that patent applications covering inventions made by Inventor other than the Patent Applications (hereinafter "Other Inventions") have been filed in the name of Assignor, B._ Group or one of its affiliates."
Diese Rügen sind aktenwidrig. Die Vorinstanz hat die vom Anwalt des Beschwerdeführers an die Beschwerdegegnerin versendete E-Mail gewürdigt und dabei erwogen, aus der unterlassenen ausdrücklichen Bestreitung könne nicht auf eine Willensäusserung der Beklagten geschlossen werden, die Behauptungen des Anwaltes gegen sich gelten zu lassen. Auch den im "Agreement for Assignment of Intellectual Property Rights" enthaltenen Vorbehalt hat die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid berücksichtigt. Sie erwog an mehreren Stellen ausdrücklich, aus der Formulierung dieses Vorbehalts könne entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers eine Anerkennung seiner Stellung als Alleinerfinder nicht abgeleitet werden.
2.2.3. Die zwei übrigen von der Vorinstanz angeblich nicht berücksichtigten Sachverhaltselemente betreffen das "Memorandum of Understanding" vom 24. Januar 2012. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe den Umstand unberücksichtigt gelassen, dass die Beschwerdegegnerin sich gegenüber dem Europäischen Patentamt auf dieses Dokument berufen habe, um darzulegen, wie sie das Recht auf die EP Y und EP Z erlangt habe. In diesem Memorandum sei ausdrücklich festgehalten, dass der Beschwerdeführer Eigentümer des geistigen Eigentums ("legitimate owner of the IP") sei. Weiter enthalte dieses Dokument die Verpflichtung der Beschwerdegegnerin, den Namen des Patentanmelders von der Beschwerdegegnerin auf den Beschwerdeführer zu wechseln, wenn die in diesem Memorandum erwähnten und noch zwischen den Parteien zu verhandelnden Verträge betreffend das fragliche geistige Eigentum nicht bis am 20. Februar 2012 zustande kommen ("should any of these two agreements fail to materialize before February 20, B._ commit to have the registration name of the Patent Application changed from B._ to A._").
Die Argumentation des Beschwerdeführers in seiner Beschwerde ist treuwidrig. Sowohl in seiner Sachverhaltsdarstellung wie auch in seiner Sachverhaltsrüge und einer weiteren die Nichtberücksichtigung des Memorandums betreffenden eigenständigen Rüge, unterstellt der Beschwerdeführer, dieses Dokument beziehe sich auf die streitgegenständlichen Patentanmeldungen. Wie er jedoch - nachdem seine diesbezüglichen Ausführungen von der Beschwerdegegnerin in ihrer Berufungsantwort bestritten wurden - in seiner Replik ausdrücklich erkennt, wurde dieses Dokument aus dem Jahr 2012 nicht in Zusammenhang mit EP Y und EP Z, sondern mit EP X ausgestellt. Daraus, dass die Beschwerdegegnerin als Berechtigungsnachweis für EP Y und EP Z ein Dokument eingereicht habe, in welchem der Beschwerdeführer als legitimer Eigentümer ("legitimate owner ") von EP X bezeichnet werde, kann nicht geschlossen werden, der Beschwerdeführer sei auch Eigentümer von EP Y und EP Z, hat doch die Vorinstanz festgestellt, dass die Gegenstände von EP Y und EP Z nicht in EP X offenbart seien. Dass dieses Dokument im Rahmen der Patentanmeldungen EP Y und EP Z als Beleg eingereicht wurde, heisst entgegen der treuwidrigen Ausführungen des Beschwerdeführers noch nicht, dass die in diesem Dokument erwähnte Anmeldung ("this application ") sich auf EP Y und EP Z bezieht. Daher kann der Vorinstanz nicht vorgeworfen werden, das fragliche Memorandum in ihrem Urteil nur in Zusammenhang mit EP X erẅahnt zu haben.
2.3. Die meisten Sachverhaltselemente, die nach Ansicht des Beschwerdeführers von der Vorinstanz nicht berücksichtigt worden seien, sind im angefochtenen Entscheid ausdrücklich behandelt worden. Sofern der Beschwerdeführer einen unrichtigen und unvollständigen Sachverhalt rügt, lässt er folglich eine sachbezogene Auseinandersetzung mit diesem vermissen. In Bezug auf die Berücksichtigung des "Memorandum of Understanding" vom 24. Januar 2012 ist dessen Nichterwähnung durch die Vorinstanz in Zusammenhang mit EP Y und EP Z nicht willkürlich, sondern sachgerecht. Die vom Beschwerdeführer erhobenen Sachverhaltsrügen sind folglich unbegründet; es ist im bundesgerichtlichen Verfahren vom Sachverhalt auszugehen, der von der Vorinstanz festgestellt wurde.
3.
Der Beschwerdeführer bringt vor, die Vorinstanz habe sich mit dem Übertragungsanspruch des Beschwerdeführers aus vertraglicher Zusicherung nicht auseinandergesetzt. Er rügt eine Verletzung von <ref-law>, <ref-law> und <ref-law>.
3.1. Nach der Auffassung des Beschwerdeführers habe die Vorinstanz ihre Prüfung zu Unrecht auf nur zwei Fragen beschränkt. Sie habe erstens geprüft, ob der Beschwerdeführer seine Alleinerfinderstellung zu beweisen vermochte, und zweitens, ob er sein Recht als Erfinder der beiden Patente rechtsgeschäftlich auf die Beschwerdegegnerin übertragen habe. Von der Vorinstanz trotz seiner Vorbringen ausser Acht gelassen worden sei eine weitere Anspruchsgrundlage für die Übertragung der Patentanmeldungen: die Abgabe einer entsprechenden Zusicherung der Beschwerdegegnerin. Unter den Parteien habe stets darüber Einigkeit geherrscht, dass die Beschwerdegegnerin die Patente nur unter dem Vorbehalt zur Anmeldung bringen durfte, dass zwischen den Parteien noch umfassendere Verträge über ihre Zusammenarbeit abgeschlossen würden. Da sie selbst entsprechende Zusagen und Erklärungen abgegeben habe, sei die Beschwerdegegnerin folglich zur Übertragung der Patentanmeldungen verpflichtet.
3.2. Die Beschwerde lässt auch in diesem Punkt eine sachbezogene Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid vermissen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat sich die Vorinstanz mit einer allfälligen Verpflichtung der Beschwerdegegnerin zur Übertragung der fraglichen Patentanmeldungen aufgrund von entsprechenden Zusicherungen auseinandergesetzt. In E. 6.5 des angefochtenen Urteils erwähnte dabei das Bundespatentgericht die klägerische Auffassung, wonach sich die Beklagte zur Übertragung der Patentanmeldungen verpflichtet habe, und behandelte anschliessend diesen Punkt. Es wäre Aufgabe des Beschwerdeführers gewesen, sich mit der diesbezüglichen vorinstanzlichen Argumentation auseinanderzuseten.
Auf die Rüge des Beschwerdeführers ist nicht einzutreten. Es kann daher offenbleiben, ob ein Übertragungsanspruch an der fehlenden Einhaltung des Schriftformerfordernisses nach Art. 72 des Europäischen Patentübereinkommens vom 5. Oktober 1973, revidiert in München am 29. November 2000 (EPÜ 2000; SR 0.232.142.2) scheitert.
4.
Eine weitere Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> rügt der Beschwerdeführer in seiner Replik. Er bringt vor, die Vorinstanz hätte die Beschwerdegegnerin verpflichten müssen, die Bezugnahme auf das Prioritätsdatum von EP Y und EP Z zu widerrufen. Diese Rüge ist verspätet; entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist in seinen summarischen Ausführungen zu dem Prioritätsdatum keine eigenständige Rüge zu erblicken. Inwiefern das angefochtene Urteil in diesem Punkt Recht verletzen sollte, legt der Beschwerdeführer zudem nicht dar. Auf die Rüge ist nicht einzutreten (<ref-law>).
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Er hat der Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das Verfahren vor Bundesgericht zu ersetzen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Bundespatentgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Oktober 2018
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Curchod