Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Beschluss vom 17. September 2007 errichtete der Bürgerrat Baar für C._ (geb. 1923) eine Beiratschaft auf eigenes Begehren nach aArt. 395 Abs. 1 und 2 ZGB und ernannte lic. iur. A._ zur Beirätin mit den Aufgaben, die finanziellen sowie administrativen Angelegenheiten der Verbeirateten zu regeln und deren Vermögen zu verwalten. A._ liess sich zusätzlich zur Beiratschaft von C._ eine allgemeine "Generalvollmacht" ausstellen.
A.b. Zwei Kinder von C._ stellten am 22. April 2008 ein Amtsenthebungsgesuch gegen A._.
A.c. Am 22. März 2011 ersuchte A._ den Bürgerrat um Genehmigung einer umfassenden Mandatsvereinbarung zwischen ihr und C._.
A.d. Der Regierungsrat des Kantons Zug enthob A._ am 31. Mai 2011 ihres Amtes als Beirätin und entzog einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zug am 25. Oktober 2012 rechtskräftig ab. Die Amtsenthebung wurde unter anderem damit begründet, dass die Beirätin dadurch, dass sie sich mit einer "Generalvollmacht" neben ihrem Amt auch noch privat habe mandatieren lassen, "den durch die Beiratschaft gesetzten Rahmen überschritten" und eigene wirtschaftliche Interessen mit jenen der verbeirateten Person vermengt habe.
A.e. Der Bürgerrat behandelte in der Folge das Gesuch von A._ vom 22. März 2011 nicht mehr. Diese stellte daraufhin bei der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Zug (KESB) den Antrag, es sei ein formeller Verzichtsbeschluss in Bezug auf ihr Gesuch vom 22. März 2011 zu erlassen. Eventualiter sei festzustellen, dass die Zustimmung zum ergänzenden Privatmandat bereits erfolgt sei; subeventualiter sei der Mandatsvereinbarung die Zustimmung zu erteilen. Die KESB trat auf die Anträge mit Entscheid vom 18. Oktober 2016 nicht ein und die dagegen gerichteten Beschwerden von A._ wiesen sowohl das Verwaltungsgericht (Urteil vom 27. April 2017) als auch das Bundesgericht ab (Urteil 5A_410/2017 vom 4. Mai 2018).
B.
B.a. Nach erfolgter Schlichtung klagte A._ am 9. Februar 2015 beim Kantonsgericht Zug gegen die mittlerweile nach neuem Recht verbeiständete C._ auf Zahlung von Fr. 47'639.55 zzgl. Zins zu 5 % seit 18. Januar 2013. Im Wesentlichen begründete sie ihre Klage damit, sie habe im Auftrag der Beklagten jahrelang rechtliche, organisatorische und administrative Dienstleistungen erbracht, die sie zwar laufend in Rechnung gestellt habe, die bisher aber nicht entschädigt worden seien.
B.b. C._ beantragte mit Klageantwort vom 3. Juni 2015 die Abweisung der Klage, soweit darauf einzutreten sei, und erhob ihrerseits Widerklage. Es sei festzustellen, dass die Klägerin keine Ansprüche aus Auftrag ihr gegenüber habe, insbesondere für Leistungen zwischen dem 1. Februar 2008 und dem 1. November 2011 sowie zwischen dem 29. November 2011 und dem 25. Juni 2013. Zudem sei die Klägerin zu verpflichten, ihr Fr. 36'500.-- zzgl. Zins zu bezahlen. Diese Forderung reduzierte sie im Verlaufe des Verfahrens infolge Verrechnung auf Fr. 6'772.90.
B.c. Am 29. August 2017 verstarb C._. Das Kantonsgericht ordnete mit Entscheid vom 3. Dezember 2019 die amtliche Liquidation der Erbschaft der Verstorbenen nach <ref-law> an. In der Folge setzte das zuständige Erbschaftsamt Baar D._ als Erbschaftsliquidator ein.
B.d. An der Hauptverhandlung vom 14. Mai 2020 bestätigte der Erbschaftsliquidator die bisherigen Vorbringen von C._ sel. und hielt an ihren Rechtsbegehren fest.
B.e. Mit Entscheid vom 13. August 2020 wies das Kantonsgericht die Klage ab. Mit Bezug auf die Widerklage hiess es das Feststellungsbegehren gut, schrieb die Leistungsklage infolge Rückzugs im Umfang von Fr. 29'727.10 ab und wies diese im Übrigen ab, soweit es darauf eintrat. Es auferlegte A._ die Gerichtskosten von Fr. 20'000.-- sowie eine Parteientschädigung von Fr. 40'185.--. Die Gerichtskosten verrechnete es mit den geleisteten Kostenvorschüssen, wobei es A._ dazu verpflichtete, dem Erbschaftsliquidator den von ihm geleisteten Kostenvorschuss von Fr. 13'000.-- zu ersetzen.
C.
Auf die dagegen von A._ erhobene Berufung trat das Obergericht des Kantons Zug mit Präsidialverfügung vom 13. Oktober 2020 nicht ein und es wies ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab. Die Verfügung wurde am 21. Oktober 2020 zugestellt.
D.
D.a. Mit Beschwerde vom 20. November 2020 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und die Vorinstanz sei anzuweisen, auf die Berufung einzutreten, ihr Armenrechtsgesuch materiell zu behandeln und das Berufungsverfahren ordnungsgemäss fortzuführen. Ferner stellt sie ein Gesuch um aufschiebende Wirkung ihrer Beschwerde sowie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren.
D.b. D._ teilte mit Eingabe vom 11. Dezember 2020 mit, dass aufgrund eines Personalwechsels beim Erbschaftsamt neu B._ (Beschwerdegegner) als Erbschaftsliquidator zuständig sei, und widersetzte sich der Erteilung der aufschiebenden Wirkung.
D.c. Der Präsident der urteilenden Abteilung verweigerte der Beschwerde mit Verfügung vom 15. Dezember 2020 die aufschiebende Wirkung. Diese Verfügung änderte der Instruktionsrichter am 23. März 2021 auf Gesuch der Beschwerdeführerin ab und gewährte der Beschwerde die aufschiebende Wirkung, nachdem sich aufgrund der zwischenzeitlich vom Beschwerdegegner gegen die Beschwerdeführerin eingeleiteten Betreibung für die ihm zugesprochenen Entschädigungen für das erstinstanzliche Verfahren (vgl. vorne lit. B.e) und des damit im Zusammenhang stehenden drohenden Konkurses veränderte Verhältnisse ergeben hatten.
D.d. Mit Eingabe vom 1. April 2021 legte der Beschwerdegegner den Gemeinderatsbeschluss vom 24. März 2021 ins Recht, mit welchem er neu zum Erbschaftsliquidator im Nachlass der C._ sel. ernannt worden war.
D.e. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, mit welchem diese auf das Rechtsmittel der Beschwerdeführerin nicht eintrat (<ref-law>). In der Hauptsache dreht sich der Streit um privatrechtliche Forderungen im Zusammenhang mit einer Beiratschaft. Der Streitwert für diese vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>) ist erreicht (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und hat diese rechtzeitig erhoben (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>). Die Beschwerde nach <ref-law> ist unter Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen zulässig.
1.2. Im Verfahren vor Vorinstanz stand der Beschwerdeführerin als Beschwerdegegner der Erbschaftsliquidator des Nachlasses von C._ sel. gegenüber. Die zuständige Behörde hat diesen während des hiesigen Beschwerdeverfahrens ausgewechselt. Ein Parteiwechsel ist nur mit Zustimmung der Gegenpartei gestattet; die Rechtsnachfolge auf Grund von Gesamtnachfolge sowie kraft besonderer gesetzlicher Bestimmungen gilt nicht als Parteiwechsel (<ref-law> i.V.m. Art. 17 Abs. 1 und 3 BZP [SR 273]). Der amtliche Erbschaftsliquidator ist in eigenem Namen zur Prozessführung befugt (<ref-ruling> E. 2.3), d.h. als Prozessstandschafter (LÖTSCHER, Die Prozessstandschaft im schweizerischen Zivilprozess, 2016, Rz. 1049; NONN, in: Praxiskommentar Erbrecht, 4. Aufl. 2019, N. 16 zu <ref-law>). Seine Prozessführungsbefugnis leitet das Bundesgericht aus <ref-law> ab (vgl. <ref-ruling> E. 2.2; LÖTSCHER, a.a.O.). Die Frage, ob der Wechsel in der Person des Erbschaftsliquidators als zustimmungsbedürftiger Parteiwechsel zu gelten hätte, muss vorliegend nicht beantwortet werden. Die Beschwerdeführerin hat in diesem Zusammenhang keine Einwände erhoben (vgl. GELZER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 4 zu <ref-law>), nachdem ihr wie verlangt der Ernennungsbeschluss zugestellt wurde. Als Beschwerdegegner wird deshalb im Rubrum B._ aufgeführt.
1.3. Die Beschwerdeführerin begründet das Begehren, die Vorinstanz habe ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege materiell zu behandeln, in ihrer Beschwerdeschrift nicht. Darauf ist mithin nicht einzutreten (<ref-ruling> E. 1.2.2).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht in diesem Bereich von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Das Bundesgericht befasst sich aber grundsätzlich nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden. In der Begründung ist deshalb in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen. Der blosse Verweis auf Ausführungen in anderen Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweis). Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten - wozu auch die in der EMRK enthaltenen Garantien zählen (<ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen) - geltend gemacht wird. Das Bundesgericht prüft deren Verletzung nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; Rügeprinzip). Es prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.2. Die angerufene Verletzung von Art. 6 Ziff. 1 EMRK wird in der Beschwerdeschrift nicht begründet. Ebenfalls nicht substanziiert wird die behauptete Verletzung des Verbots des überspitzten Formalismus (<ref-law>). Es genügt nicht, die Rechtstheorie hierzu wiederzugeben und zu behaupten, die dargelegten Voraussetzungen seien vorliegend erfüllt, ohne konkret aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz überspitzt formalistisch gehandelt haben soll. Schliesslich ist auch die Rüge, die Vorinstanz habe den Grundsatz von Treu und Glauben verletzt, nicht ausreichend substanziiert. Die Beschwerdeführerin beschränkt sich auf die pauschale Erklärung, der angefochtene Entscheid kehre den Grundsatz tendenziell um, indem er ihre Rechtsschrift von vornherein so auszulegen trachte, dass sich das gewünschte Ergebnis des Nichteintretens ergebe. Mit diesen Ausführungen wird die Beschwerdeführerin ihrer Rügepflicht nicht gerecht, sodass darauf nicht einzugehen ist. Soweit die Beschwerdeführerin eine willkürliche Auslegung von <ref-law> [ recte: ZPO] geltend macht, kommt ihrer Rüge keine eigenständige Bedeutung zu, zumal das Bundesgericht die behauptete Bundesrechtsverletzung frei prüfen kann.
3.
Anlass zur Beschwerde gibt, dass die Vorinstanz auf die Berufung der Beschwerdeführerin nicht eintrat.
3.1. Soweit hier noch von Belang, erkannte das Kantonsgericht im Wesentlichen, die Widerklage sei rechtzeitig erhoben und genehmigt worden, und erachtete das Feststellungsinteresse für das Feststellungsbegehren als gegeben. Ferner schloss es, C._ sei bezüglich der privaten Mandatierung der Beschwerdeführerin jedenfalls seit dem 1. Februar 2008 urteilsunfähig gewesen und es sei auch keine Zustimmung der Aufsichtsbehörde zur privaten Mandatierung erfolgt. Die Vorinstanz fasste die Erwägungen des Kantonsgerichts im angefochtenen Entscheid einleitend zusammen. Anschliessend erwog sie, das Kantonsgericht habe die Schlüsse, zu denen es in seinem Urteil gelangt sei, einlässlich und zutreffend begründet, weshalb ohne weiteres auf die erstinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden könne. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringe, genüge den Anforderungen an eine hinreichende Begründung der Berufung offenkundig nicht. In den nachfolgenden Erwägungen zeigte sie im Einzelnen auf, weshalb sie die Berufungsbegründung als unzureichend erachtete. Namentlich hielt sie der Beschwerdeführerin vor, nicht auf die Erwägungen des erstinstanzlichen Urteils eingegangen zu sein und stattdessen in weitschweifigen Ausführungen ihre Sicht der Dinge dargelegt zu haben, wobei sich ihre oft nur schwer verständlichen und über weite Strecken irrelevanten Vorbringen grösstenteils auf unbegründete Bestreitungen und Behauptungen sowie allgemeine Kritik am Urteil des Kantonsgerichts beschränkten. Zusammenfassend schloss die Vorinstanz, die Berufung erweise sich als offensichtlich nicht hinreichend begründet, weshalb darauf nicht einzutreten sei.
3.2. Die Beschwerdeführerin wirft der Vorinstanz vor, ihre Begründungspflicht verletzt zu haben. Entgegen ihrer Auffassung ist der Verweis auf die Begründung der ersten Instanz in E. 1 (S. 5-8) des angefochtenen Entscheids nicht zu beanstanden, zumal die Vorinstanz ihr Nichteintreten in den nachfolgenden E. 2-4 (S. 8-12) mit eigenen Erwägungen begründet (vgl. ohnehin <ref-ruling> E. 2c; <ref-ruling> E. 3a; Urteil 4A_477/2018 vom 16. Juli 2019 E. 3.2.1 in fine mit Hinweis).
3.3. Sodann macht sie eine Verletzung von <ref-law> geltend. Allein die Formulierung im angefochtenen Entscheid zeige, dass das gesetzliche Erfordernis der offensichtlichen Unbegründetheit nicht erfüllt sei, denn die Vorinstanz spreche von einer offensichtlich nicht hinreichend begründeten Berufung.
3.4. Nach <ref-law> stellt die Rechtsmittelinstanz die Berufung der Gegenpartei zur schriftlichen Stellungnahme zu, es sei denn, die Berufung sei offensichtlich unzulässig oder offensichtlich unbegründet. Diese Bestimmung regelt mithin die Zustellung der Berufung an die Gegenpartei, nicht jedoch die Frage, unter welchen Voraussetzungen auf eine Berufung einzutreten ist. Die Vorinstanz begründete ihr Nichteintreten damit, die Berufung sei nicht hinreichend begründet. Die Berufungsbegründung ist eine in <ref-law> vorgesehene Prozessvoraussetzung (Urteile 4A_218/2017 vom 14. Juli 2017 E. 3.1.2, publ. in: SJ 2018 I S. 22; 5A_438/2012 vom 27. August 2012 E. 2.2). Eine fehlende oder mangelhafte Berufungsbegründung ist nicht mit der (materiellen) Unbegründetheit des Rechtsmittels gleichzusetzen, von der in <ref-law> die Rede ist (Urteil 5A_438/2012 vom 27. August 2012 E. 2.3). Nachfolgend gilt es deshalb zu prüfen, ob die Vorinstanz <ref-law> falsch angewandt hat, zumal die Beschwerdeführerin geltend macht, ihre Berufungsschrift habe den Minimalanforderungen an die Begründungspflicht sehr wohl genügt.
3.5. Nach <ref-law> muss die Berufung eine Begründung enthalten. Begründen im Sinne der genannten Bestimmung bedeutet aufzeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid als fehlerhaft erachtet wird. Dieser Anforderung genügt die Berufungsklägerin nicht, wenn sie lediglich auf die vor erster Instanz vorgetragenen Vorbringen verweist oder den angefochtenen Entscheid in allgemeiner Weise kritisiert. Die Begründung muss hinreichend genau und eindeutig sein, um von der Berufungsinstanz mühelos verstanden werden zu können. Dies setzt voraus, dass die Berufungsklägerin im Einzelnen die vorinstanzlichen Erwägungen bezeichnet, die sie anficht, und die Aktenstücke nennt, auf denen ihre Kritik beruht (<ref-ruling> E. 2.3.3; <ref-ruling> E. 4.3.1). Sie kann sich nicht darauf beschränken, ihre in erster Instanz vorgebrachten Tatsachenbehauptungen oder rechtlichen Argumente zu wiederholen, sondern muss anhand der erstinstanzlich festgestellten Tatsachen oder der daraus gezogenen rechtlichen Schlüsse aufzeigen, inwiefern sich die Überlegungen des erstinstanzlichen Richters nicht aufrecht erhalten lassen (Urteile 4A_610/2018 vom 29. August 2019 E. 5.2.2.1 mit Hinweisen; 4A_218/2017 vom 14. Juli 2017 E. 3.1.2, publ. in: SJ 2018 I S. 22; 4A_376/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 3.2.1).
3.6. Die Beschwerdeführerin nennt zahlreiche Stellen ihrer Berufungsschrift, welche ihrer Auffassung zufolge den Begründungsanforderungen genügten.
3.6.1. Dabei begnügt sie sich mehrfach mit lediglich pauschalen Verweisen auf die Berufung. Sie führt etwa aus, es folgten "weitere rechtliche Ausführungen zur Urteilsfähigkeit" in Rz. 35. In den Rz. 51 ff. folgten "weitere konkrete Rügen, welche genau bestimmte Erwägungen des erstinstanzlichen Entscheids betreffen". In beiden Fällen nennt sie keine spezifischen Rügen, im letzteren Fall bezeichnet sie nicht einmal präzise Aktenstellen. Soweit sie auf die Rz. 38 und 39 verweist, wo sie Willkür, falsche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts und Rechtsverletzung gerügt habe, detailliert sie ihre Ausführungen in der Berufungsschrift nicht weiter. An anderer Stelle bringt sie vor, in den Rz. 40 ff. folgten weitere Rügen, etwa die willkürliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhaltes, soweit die erste Instanz in E. 4.6.5 festhalte, der gesundheitliche Zustand von C._ habe sich im Verlaufe der Jahre 2009 bis 2013 verschlechtert. Die Kritik an E. 4.6.5 des erstinstanzlichen Urteils, mithin die "detaillierte Begründung", auf welche die Beschwerdeführerin hinweist, erstreckt sich in der Berufungsschrift auf über fünf Seiten (Rz. 42-50 S. 14-18). Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, in der kantonalen Rechtsschrift nach Textpassagen zu forschen, welche den Begründungsanforderungen genügen könnten (vgl. Urteil 5A_917/2018 vom 20. Juni 2019 E. 4.5 mit Hinweisen). Mit ihren allgemein gehaltenen Ausführungen tut die Beschwerdeführerin nicht dar, inwiefern die verwiesenen Stellen den Begründungsanforderungen genügt haben sollen (vgl. vorne E. 2.1), und dies ist auch nicht ersichtlich.
3.6.2. Das in der dreizeiligen Rz. 33 enthaltene Vorbringen, das Kantonsgericht hätte aArt. 17 ZGB anwenden müssen und C._ sei weder urteilsunfähig, unmündig noch entmündigt, geht entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin nicht über eine blosse, unbegründete Behauptung hinaus. An mehreren verwiesenen Stellen beschränkte sich die Beschwerdeführerin ferner darauf, ihren bereits vor Kantonsgericht vorgetragenen Standpunkt zu wiederholen, ohne sich mit den Erwägungen des erstinstanzlichen Urteils auseinanderzusetzen. So etwa dort, wo sie die Auffassung vertrat, es habe die Zustimmung der KESB im Sinne von <ref-law> zur Erhebung der Widerklage gefehlt, weshalb es an einer Prozessvoraussetzung mangle (Rz. 24 und 27). Weshalb das Kantonsgericht (in E. 2.3 S. 8 seines Urteils) zu Unrecht davon ausgegangen sein soll, dass ein formeller Beschluss im Sinne von <ref-law> nicht notwendig gewesen sei, erläutert sie nicht. Ebenso wenig äussert sie sich dort, wo sie das Vorliegen eines Feststellungsinteresses für die negative Feststellungswiderklage bestritt (Rz. 21), zu den (namentlich in E. 2.2.3 S. 7 beschriebenen) das erstinstanzliche Urteil tragenden Argumenten. Dasselbe gilt, wo sie ausführt, C._ sei nicht bevormundet, sondern freiwillig verbeiratet gewesen, wozu sie urteilsfähig habe sein müssen (Rz. 34), zumal das Kantonsgericht dieser Rüge eine eigene Erwägung (E. 4.8.1 S. 17 f.) widmete. Derartige Kritik genügt den Begründungsanforderungen an die Berufungsschrift nicht (vgl. vorne E. 3.5).
3.6.3. Unter Verweis auf Rz. 45 hält die Beschwerdeführerin dafür, sie habe eine falsche Feststellung des Sachverhaltes gerügt. Entgegen ihren Ausführungen bemängelte sie an besagter Stelle allerdings nicht unrichtige Sachverhaltsfeststellung, sondern beantragte, einen Teil der Sachverhaltsfeststellungen im erstinstanzlichen Urteil - den zweiten Absatz von E. 4.6.5 - zu streichen, da der in der beanstandeten Erwägung thematisierte Gesundheitszustand von C._ ab 2013 "ein falsches Bild für die hier zu beurteilende Periode" vom 1. Februar 2008 bis zum 31. Dezember 2012 vermittle. Mit anderen Worten verlangte sie, die entsprechenden Feststellungen seien bei der Entscheidfindung nicht zu berücksichtigen. Dass der Sachverhalt falsch festgestellt worden wäre, behauptete sie an jener Stelle indes nicht. Ebenso wenig erläuterte sie, weshalb nur die Periode bis 31. Dezember 2012 relevant sein solle, wenn doch die Feststellungswiderklage auch die Zeitspanne bis 25. Juni 2013 betraf. Schliesslich legte sie auch nicht dar, inwiefern das erstinstanzliche Urteil anders hätte ausfallen müssen, wenn ihrem Anliegen entsprochen worden wäre. Es ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz diese Ausführungen als ungenügend betrachtete.
3.6.4. Alsdann bringt die Beschwerdeführerin vor, sie habe sich in Rz. 36 ihrer Berufung mit E. 4.5 des erstinstanzlichen Urteils auseinandergesetzt und unter Verweis auf das Urteil 5A_410/2017 vom 4. Mai 2018 E. 3 damit argumentiert, dass für die Beurteilung der Gültigkeit des Mandatsvertrags nicht die KESB oder ein Verwaltungsgericht, sondern die Zivilgerichte zuständig seien. Die für die Beurteilung zuständige erste Instanz habe sich [für die Frage der Urteilsfähigkeit von C._] ausschliesslich auf die [Entscheide von] sachlich unzuständigen Verwaltungsbehörden gestützt. Damit nahm die Beschwerdeführerin auf den Hinweis des Kantonsgerichts Bezug, die Urteils (un) fähigkeit von C._ sei bereits von der KESB, dem Verwaltungsgericht, ihm selbst und dem Obergericht thematisiert worden, sowie auf dessen Verweis auf die Urteile des Verwaltungsgerichts vom 25. Oktober 2012 und 27. April 2017 (vgl. vorne Sachverhalt lit. A.d und A.e), in welchen sich dieses detailliert zur Urteilsfähigkeit von C._ in Bezug auf die private Mandatierung der Beschwerdeführerin geäussert habe (E. 4.5 S. 13).
3.6.4.1. In der Tat geht aus der besagten Aktenstelle in für das Gericht erkennbarer Weise hervor, inwiefern die Beschwerdeführerin die Erwägungen des erstinstanzlichen Urteils beanstandete. Daher rührt wohl auch die vorinstanzliche Erwägung, wonach die Beschwerdeführerin nicht überzeugend zu erklären vermöge, warum das Kantonsgericht nicht auf die Urteile des Verwaltungsgerichts hätte abstellen dürfen (auf welche infolge Rechtskraft nicht zurückzukommen sei), und nicht nachvollziehbar darlege, inwiefern das Kantonsgericht in diesem Zusammenhang das Recht falsch angewandt bzw. den Sachverhalt falsch festgestellt haben solle (E. 4 S. 12). Damit äusserte sich die Vorinstanz, obwohl sie auf das Rechtsmittel nicht eintrat, zur materiellen Begründetheit der entsprechenden Rüge.
3.6.4.2. Grundsätzlich wäre die Angelegenheit an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie in diesem Punkt auf die Berufung eintrete. Aufgrund der Ausführungen im angefochtenen Entscheid ist allerdings bekannt, wie die Vorinstanz materiell über die Rüge entscheiden würde. Bei dieser Ausgangslage ist aus prozessökonomischen Gründen von einer Rückweisung der Angelegenheit an die Vorinstanz abzusehen, denn eine solche würde zu einem prozessualen Leerlauf führen. Vielmehr hat das Bundesgericht vorliegend über die genannte Rüge materiell selbst zu entscheiden (vgl. Urteile 2C_780/2018 vom 1. Februar 2021 E. 4.5; 5A_117/2019 vom 6. Dezember 2019 E. 4).
3.6.4.3. Zutreffend weist die Beschwerdeführerin darauf hin, dass für die Beurteilung der Gültigkeit des privaten Mandatsvertrags nicht das Verwaltungsgericht zuständig war. Das Kantonsgericht gab zwar die Erwägung im Urteil des Verwaltungsgerichts vom 27. April 2017 wieder, wonach die Urteilsunfähigkeit von C._ eine Rechtsgültigkeit der Mandatsvereinbarung mit der Beschwerdeführerin verunmöglicht habe. Nichts lässt indessen darauf schliessen, dass es sich für seinen Entscheid als durch diese Einschätzung gebunden betrachtete. Es durfte die Erkenntnisse des Verwaltungsgerichts zur Urteilsfähigkeit von C._, welche dieses aus dem Amtsenthebungsverfahren (Urteil vom 25. Oktober 2012) und dem Verfahren betreffend die Genehmigung des Privatmandats (Urteil vom 27. April 2017) gewonnen hatte, beweiswürdigend berücksichtigen (vgl. das bereits die Beschwerdeführerin betreffende Urteil 5A_663/2013 vom 5. November 2013 E. 4.2.1, wo es ebenfalls um die Berücksichtigung von Feststellungen aus dem Amtsenthebungsverfahren ging). Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin stützte das Kantonsgericht sein Urteil sodann nicht ausschliesslich darauf ab (E. 4.5 S. 13), sondern auch auf seine eigene, eingehende Beweiswürdigung diverser Gegebenheiten und Aktenstücke (E. 4.6 und E. 4.6.1-4.6.5 S. 13-17). Die diesbezüglichen tatsächlichen Feststellungen des Kantonsgerichts vermochte die Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren nicht in Frage zu stellen (vgl. vorne E. 3.6.1 und 3.6.3). Mithin ist es nicht zu beanstanden, wenn das Kantonsgericht zum Schluss kam, C._ habe die Urteilsfähigkeit gefehlt, um mit der Beschwerdeführerin ein gültiges Privatmandat abzuschliessen. Die im Berufungsverfahren erhobene Rüge der Beschwerdeführerin erweist sich als unbegründet.
4.
Im Ergebnis ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Beschwerdeführerin wird kostenpflichtig (<ref-law>). Die Parteientschädigungen für den im Zusammenhang mit den Gesuchen betreffend die aufschiebende Wirkung entstandenen Aufwand werden wettgeschlagen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das erste Gesuch wurde abgewiesen und das zweite gutgeheissen, wobei die Beschwerdeführerin die Kosten für letzteres unnötig verursachte, soweit dieses nicht mit ihrer Noveneingabe vom 22. Januar 2021 begründet war. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden, zumal die Voraussetzungen hierfür erfüllt sind (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Ihrem Rechtsvertreter wird eine reduzierte Entschädigung aus der Bundesgerichtskasse ausgerichtet (Art. 10 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Die Beschwerdeführerin hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihr Rechtsanwalt Manuel Brandenberg als unentgeltlicher Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
4.
Die Parteientschädigungen werden wettgeschlagen.
5.
Rechtsanwalt Manuel Brandenberg wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'000.-- ausgerichtet.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zug, I. Zivilabteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller