Faits :
A.
A.a. A._ a travaillé pour le compte de B._ SA du 3 juin 1985 au 31 août 2000. A ce titre, il a été assuré pour la prévoyance professionnelle auprès de la Fondation de prévoyance et de secours en faveur du personnel de B._ SA (laquelle a été reprise en 2002 par la Fondation de prévoyance C._, devenue par la suite Fondation de Prévoyance D._ [ci-après: la Caisse de pensions]). Il a ensuite été affilié à la Fondation institution supplétive LPP (ci-après: l'institution supplétive), dans le cadre de l'assurance-chômage (délai-cadre d'indemnisation du 1 er septembre 2000 au 31 août 2002). Le 1er janvier 2003, l'assuré a débuté un emploi en tant qu'horloger au sein de l'entreprise familiale de ses parents.
Au mois de septembre 2003, A._ a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité, à la suite de laquelle l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) lui a reconnu le droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er septembre 2002 (décision du 20 septembre 2011).
A.b. Le 6 mars 2012, A._ s'est adressé à la Fondation de Prévoyance D._ en vue d'obtenir des prestations de la prévoyance professionnelle. Celle-ci a nié toute obligation de prester (courrier du 6 septembre 2012). Par jugement du 4 septembre 2013, la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, a rejeté l'action ouverte par l'assuré contre la Caisse de pensions. Saisi d'un recours de A._, le Tribunal fédéral l'a rejeté (arrêt 9C_736/2013 du 7 avril 2014).
A.c. L'assuré a par la suite sollicité le versement de prestations d'invalidité pour les personnes au chômage auprès de l'institution supplétive (courrier du 8 avril 2015), qui a rejeté la demande au motif que l'incapacité de travail ayant conduit à l'invalidité avait débuté le 31 août 2000 (courrier du 15 mai 2015). Il a ouvert action le 18 mai 2016.
B.
Statuant le 8 mai 2020 sur l'action ouverte le 18 mai 2016 par A._ contre l'institution supplétive, le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, l'a rejetée.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il conclut principalement à la réforme de celui-ci en ce sens que l'institution supplétive est condamnée à lui verser une rente d'invalidité complète à compter du 1 er septembre 2000, dont le montant sera déterminé à dire de justice mais ne saura être inférieur à 8000 fr. par mois, assortie d'une rente pour enfant, avec intérêts moratoires sur les arriérés dès cette date, indexations légales et conventionnelles en sus. Il requiert subsidiairement l'annulation du jugement entrepris et le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle instruction et/ou décision dans le sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Il examine en principe seulement les griefs motivés (<ref-law>) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (<ref-law>). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'<ref-law> sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
1.2. Les constatations de la juridiction cantonale relatives à l'incapacité de travail résultant d'une atteinte à la santé (survenance, degré, durée, pronostic) relèvent d'une question de fait et ne peuvent être examinées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint dans la mesure où elles reposent sur une appréciation des circonstances concrètes (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 et 2 LTF). Les conséquences que tire l'autorité cantonale de recours des constatations de fait quant à la connexité temporelle sont en revanche soumises au plein pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (arrêt 9C_131/2017 du 30 août 2017 consid. 2.2 et les références).
2.
2.1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité entière de la prévoyance professionnelle dès le 1 er septembre 2000. Compte tenu des conclusions et motifs du recours, il s'agit uniquement de déterminer si les premiers juges pouvaient légitimement nier que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité pour laquelle un droit à une rente entière de l'assurance-invalidité a été reconnu à l'assuré à compter du 1er septembre 2002, fût survenue à l'époque où il était affilié auprès de l'intimée, soit entre le 1er septembre 2000 et le 30 septembre 2002.
2.2. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs notamment au droit à des prestations d'invalidité (<ref-law>) ainsi qu'au début et à la fin de ce droit (<ref-law>), et à la notion de survenance de l'incapacité de travail, en relation avec la double condition de la connexité matérielle et temporelle nécessaire pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance (<ref-ruling> consid. 6.2 et 6.3 p. 419 s.; <ref-ruling> consid. 3.2.1 et 5.3 p. 22 s. et 27 et les références). Il rappelle également la jurisprudence relative aux conditions dans lesquelles les décisions de l'assurance-invalidité lient l'institution de prévoyance compétente (<ref-ruling> consid. 2.5 p. 156 s. et les arrêts cités). Il suffit d'y renvoyer.
3.
Les premiers juges ont constaté que l'office AI avait retenu que le recourant présentait une incapacité de travail depuis le 1er janvier 1999. Cette date n'était cependant pas déterminante pour l'examen du droit aux prestations de la prévoyance professionnelle dès lors que l'institution de prévoyance n'avait pas reçu les décisions et communications de l'office AI. En conséquence, la juridiction cantonale a considéré qu'il lui appartenait de procéder à une appréciation du cas au regard des rapports versés au dossier afin de déterminer la survenance de l'incapacité de travail qui a constitué la cause de l'invalidité ayant fondé le droit de l'assuré à une rente de l'assurance-invalidité à compter du 1er septembre 2002. Dans le cadre de son examen, elle a constaté que le recourant s'était inscrit au chômage avec une pleine aptitude au placement, et que les médecins n'avaient pas fait état de périodes d'incapacité de travail significatives durant le délai-cadre d'indemnisation ouvert du 1er septembre 2000 au 31 août 2002. La conclusion que l'assuré disposait d'une pleine capacité de travail était par ailleurs concrètement confirmée par le fait qu'il avait obtenu un diplôme fédéral d'économiste d'entreprise le 18 novembre 2002, à la suite d'une formation prise en charge par l'assurance-chômage. Compte tenu de ces éléments, les premiers juges ont nié que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité constatée par l'office AI le 20 septembre 2011 fût survenue durant la période d'affiliation du recourant auprès de l'intimée, et partant, l'existence d'une obligation à charge de celle-ci de verser des prestations.
4.
Le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir apprécié les faits et les moyens de preuves de manière arbitraire et d'avoir violé le droit fédéral (art. 10 al. 3 et 23 let. a LPP) ainsi que son droit d'être entendu. Selon lui, les premiers juges ont nié à tort que l'incapacité de travail, qui est à l'origine de l'invalidité pour laquelle l'office AI lui a reconnu le droit à une rente entière par décision du 20 septembre 2011, était survenue durant sa période d'affiliation auprès de l'intimée. L'assuré fait à cet égard valoir que la décision de l'office AI, par laquelle il a fixé le début du droit à la rente au 1er septembre 2002, lie l'institution de prévoyance. La juridiction de première instance aurait par ailleurs "arbitrairement écarté" un certain nombre de pièces médicales que le recourant avait produites, dont il ressort pourtant, selon lui, que l'incapacité de travail déterminante est survenue entre le 1er septembre 2000 et le 30 septembre 2002. De surcroît, l'assuré soutient que l'on ne saurait inférer du fait qu'il a pu satisfaire aux prescriptions de contrôle de l'assurance-chômage et suivre des cours en vue d'obtenir un brevet fédéral d'économiste d'entreprise qu'il ne présentait pas déjà une incapacité de travail au sens de l'<ref-law> durant sa période de chômage.
5.
5.1. Dans un premier grief d'ordre formel, le recourant reproche à l'instance cantonale de recours une double violation de son droit d'être entendu. D'une part, elle n'aurait pas indiqué les raisons pour lesquelles la décision de l'office AI du 20 septembre 2011 fixant le début du droit de l'assuré à une rente d'invalidité au 1 er septembre 2002 "serait à ce point insoutenable qu'il y aurait motif de s'en écarter", et donc de retenir que l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité serait survenue postérieurement au 1 er septembre 2002. D'autre part, les premiers juges n'auraient pas suffisamment motivé les raisons pour lesquelles ils n'ont pas suivi les conclusions des experts mandatés par l'office AI ainsi que celles des médecins traitants de l'assuré.
5.2. Contrairement à ce que soutient d'abord le recourant, les premiers juges ont indiqué la raison pour laquelle la décision de l'office AI de septembre 2011 ne peut, en l'espèce, pas lier l'institution de prévoyance. Ils ont en effet expliqué que l'office AI n'avait pas transmis un exemplaire de sa décision du 20 septembre 2011 à l'intimée. La question de la force contraignante de la décision de l'assurance-invalidité pour l'institution de prévoyance a par ailleurs également été examinée par la Cour de céans dans son arrêt du 7 avril 2014, qui a considéré que les constatations et autres appréciations des organes de l'assurance-invalidité faites au-delà de la période de douze mois précédant le dépôt tardif de la demande de prestations du recourant en 2003 n'ont en l'espèce a priori aucune force contraignante pour les organes de la prévoyance professionnelle (arrêt 9C_736/2013 précité, consid. 3.2 et 6.1).
5.3. A l'inverse de ce que soutient ensuite l'assuré, les premiers juges ont en outre pris en compte les différentes pièces médicales auxquelles il se réfère (rapports d'expertise des docteurs E._, spécialiste en médecine interne générale et en gastroentérologie, et F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, des 13 avril et 11 mai 2005, et du docteur G._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 8 novembre 2006, ainsi que rapports de la doctoresse H._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, du 14 octobre 2003, et du docteur I._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, du 13 août 2007) et dûment exposé les raisons pour lesquelles ils ont considéré que celles-ci ne permettaient pas d'établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, qu'une incapacité de travail de 20 % au moins fût survenue entre septembre 2000 et septembre 2002.
On ne saurait donc, à cet égard, reprocher à la juridiction cantonale une violation du droit d'être entendu du recourant.
6.
6.1. Concernant le litige sur le fond, on rappellera que la Cour de céans a considéré que les pièces médicales versées au dossier ne permettent pas au regard des exigences posées par la jurisprudence en matière de valeur probante de documents médicaux de retenir que l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law> serait survenue durant la période antérieure au 1er septembre 2000 (arrêt 9C_736/2013 précité, consid. 6.3). Par ailleurs, c'est en vain que le recourant soutient que la décision de l'office AI du 20 septembre 2011 est en l'espèce contraignante pour l'institution de prévoyance intimée, dès lors que celle-ci n'avait pas reçu un exemplaire de ladite décision (cf. <ref-ruling> consid. 2.5 p. 156 s.; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 75 s.; arrêt 9C_651/2015 du 11 février 2016 consid. 4.1 et les arrêts cités; cf. aussi consid. 5.2 supra). Il convient donc d'examiner si pour nier que l'incapacité de travail à l'origine de l'invalidité constatée en septembre 2011 par l'office AI fût survenue entre le 1er septembre 2000 et le 30 septembre 2002, les premiers juges ont procédé à une appréciation arbitraire des faits et des moyens de preuves.
6.2.
6.2.1. Dans une première argumentation le recourant soutient qu'une "appréciation des preuves dépourvue d'arbitraire" aurait dû conduire la juridiction cantonale à constater que "compte tenu de la nature particulière de son atteinte à la santé affectant avant tout ses capacités sociales mais non ses capacités cognitives", il pouvait satisfaire aux prescriptions de contrôle de l'assurance-chômage et suivre des cours en vue d'obtenir un brevet fédéral d'économiste d'entreprise "tout en étant néanmoins déjà en incapacité de travail au sens de l'<ref-law>" durant sa période d'affiliation auprès de l'intimée.
6.2.2. Certes, comme le relève le recourant, le fait qu'un assuré ait la capacité de satisfaire intégralement aux prescriptions de contrôle de l'assurance-chômage ne signifie pas encore qu'il dispose nécessairement d'une capacité de travail durant la même période (arrêt 9C_162/2013 du 8 août 2013 consid. 2.3.2). Cela étant, selon la jurisprudence, dûment rappelée par les premiers juges, lorsque l'assuré a perçu des indemnités de chômage, il convient de prendre en considération la situation telle qu'elle apparaît de l'extérieur pour apprécier la relation de connexité temporelle entre l'incapacité de travail et l'invalidité au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 22 s.; arrêts B 100/02 du 26 mai 2003 consid. 4.1; B 18/06 du 18 octobre 2006 consid. 4.2.1 in fine et les références).
6.2.3. En l'espèce, il ressort des constatations cantonales, qui ne sont pas remises en cause par le recourant, qu'il s'est inscrit au chômage en qualité de demandeur d'emploi pleinement apte au placement, donnant ainsi aux tiers l'impression de disposer d'une capacité de travail entière. En se référant au jugement cantonal du 4 septembre 2013, l'instance précédente a également relevé que le recourant avait bénéficié, pendant le délai-cadre d'indemnisation ouvert du 1er septembre 2000 au 31 août 2002, de 145 jours d'indemnités de chômage, de 5 jours de maladie et de 193 jours de cours. La conclusion que l'assuré disposait d'une pleine capacité de travail était encore concrètement renforcée par le fait qu'il avait obtenu un diplôme fédéral d'économiste d'entreprise le 18 novembre 2002, à la suite de la formation prise en charge par l'assurance-chômage, soit postérieurement au délai-cadre d'indemnisation. A cet égard, c'est en vain que l'assuré soutient qu'il n'aurait suivi que 322 périodes de cours de 45 minutes réparties sur une période de 4 mois, et que sa "capacité de travail nécessaire à suivre les cours en question" aurait été "arbitrairement surestimée" par les premiers juges. D'une part, il ressort des constatations cantonales, que l'intéressé ne conteste pas, qu'il a perçu 193 indemnités journalières de cours de l'assurance-chômage, ce qui correspond à une période de près de 9 mois (au vu de la moyenne de jours de travail par mois arrêtée à 21,7; cf. <ref-law>). D'autre part, les premiers juges n'ont pas fait preuve d'arbitraire en considérant qu'il s'agissait d'une formation contraignante, dès lors déjà que l'assuré avait lui-même indiqué à la doctoresse H._ que les examens qu'il avait dû passer au terme de la formation étaient complexes.
6.3.
6.3.1. Le recourant affirme ensuite qu'il ressort des rapports médicaux dont la juridiction cantonale "ne tient arbitrairement pas compte" que son incapacité de travail est survenue durant sa période d'affiliation auprès de l'intimée.
6.3.2. S'agissant d'abord des experts E._, F._ et G._, il ressort des constatations cantonales qu'ils n'ont fait état d'aucune consultation durant la période pendant laquelle le recourant a été affilié auprès de l'intimée. On rappellera par ailleurs que dans son arrêt du 7 avril 2014, le Tribunal fédéral a considéré que ces rapports d'expertise n'étaient pas probants (arrêt 9C_736/2013 précité, consid. 6.3).
6.3.3. C'est également en vain que le recourant se réfère aux avis de la doctoresse H._ et du docteur I._ pour tenter d'établir que son incapacité de travail serait survenue "au moment de l'inscription au chômage".
Les premiers juges ont constaté que la doctoresse H._ avait indiqué que les manifestations rhumatologiques et la maladie de Crohn semblaient s'être produites pour la première fois vers 1996, sans attester d'incapacité de travail chez son patient entre le moment où elle l'avait vu pour la première fois, en février 2002, et la date à laquelle elle a établi son rapport, le 14 octobre 2003. A cet égard, le recourant ne peut pas être suivi lorsqu'il affirme que la doctoresse H._ a indiqué que son état de santé s'était "notablement détérioré compte tenu d'une thymie anxieuse et dépressive" en février 2002. A la lecture du rapport du 14 octobre 2003, on constate que la doctoresse H._ a au contraire mentionné que l'état de santé de l'assuré était stationnaire; si elle a constaté que son patient était "déprimé et anxieux face à sa situation professionnelle incertaine" en février 2002, elle a expliqué, qu'au plan rhumatologique, elle n'avait constaté "aucune limitation fonctionnelle susceptible d'entraver ses capacités professionnelles".
Quant au docteur I._, psychiatre traitant depuis 2007, il ressort des constatations cantonales que s'il a indiqué que depuis son licenciement, le 31 août 2000, le recourant présentait une capacité de travail nulle dans sa profession de responsable d'un département de production, et de 50 % dans l'activité d'horloger rhabilleur exercée dans le cadre protégé de l'entreprise familiale, il n'a toutefois justifié l'aggravation de l'état de santé de son patient ("péjoration de son état dépressif et apparition d'idées suicidaires") que par le fait que ses tentatives de reclassement durant la période de chômage s'étaient heurtées à des échecs dus à sa maladie de Crohn (rapport du 13 août 2007).
Aussi, à la suite des premiers juges, faut-il admettre que les rapports de la doctoresse H._ et du docteur I._ ne permettent pas au regard des exigences posées par la jurisprudence en matière de valeur probante de documents médicaux (<ref-ruling> consid. 3a p. 352; <ref-ruling> consid. 1c p. 160 et les références) de retenir que l'incapacité de travail au sens de l'<ref-law> serait survenue entre le 1er septembre 2000 et le 30 septembre 2002.
6.4. Le recourant reproche finalement à la juridiction de première instance de n'avoir pas tenu compte de la nature de son trouble psychique, qui l'aurait longtemps conduit à dissimuler ses problèmes de santé et empêché de rechercher de l'aide auprès des médecins. Cette argumentation ne lui est d'aucun secours. Outre le fait qu'elle n'est étayée par aucune explication circonstanciée, on ne peut que constater, à la suite des premiers juges, que le recourant a été concrètement en mesure de suivre une formation dans le cadre de l'assurance-chômage, sans présenter d'incapacité de travail significative durant sa période d'affiliation auprès de l'intimée (consid. 6.2 et 6.3 supra). Sans nier les difficultés auxquelles l'assuré a pu être confronté en raison de sa maladie, on constate par ailleurs qu'il a ensuite débuté une activité en tant qu'horloger à 100 % dans l'entreprise familiale, dès le 1er janvier 2003, et qu'il n'a présenté aucune absence pour cause de maladie ou d'accident entre janvier et octobre 2003 (questionnaire pour l'employeur daté du 23 octobre 2003). Dans la demande de prestations de l'assurance-invalidité qu'il a déposée au mois de septembre 2003, le recourant a au demeurant lui-même indiqué que "[s]a maladie de Crohn et ses effets secondaires ne [l'avaient] pas empêché de travailler ces dernières années, ni de suivre des études (étant au chômage) mais [l'avaient] par contre empêché d'être performant et [...] perturbé psychiquement".
6.5. En définitive, on ne saurait reprocher à la juridiction cantonale d'avoir fait preuve d'arbitraire lorsqu'elle a nié que l'invalidité constatée par l'office AI le 20 septembre 2011 trouvât sa cause dans une incapacité de travail du recourant qui serait survenue pendant la période durant laquelle il avait été affilié auprès de l'intimée. A défaut d'un lien de connexité temporelle, c'est donc sans violation de l'<ref-law> qu'elle a nié l'obligation de la Fondation institution supplétive LPP de verser des prestations d'invalidité. L'incapacité de travail déterminante doit être survenue après la période d'affiliation du recourant tant à la Fondation de Prévoyance D._ (arrêt 9C_736/2013 précité, consid. 6.3), qu'à la Fondation institution supplétive LPP, c'est-à-dire postérieurement au 30 septembre 2002 (consid. 6.2-6.4 supra). Le recours est mal fondé.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 2 décembre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud