Erwägungen:
1.
Am 16. Oktober 2019 erhob die Staatsanwaltschaft des Kantons Uri vertreten durch Staatsanwalt Damian Graf Anklage gegen A._ wegen mehrfacher Widerhandlung gegen das Gesetz gegen den unlauteren Wettbewerb, gewerbsmässigen Betrugs, mehrfacher Geldwäscherei sowie mehrfacher Urkundenfälschung. Im Rahmen der Hauptverhandlung vor dem Landgericht Uri vom 16. Juni 2020 brachte A._ vor, es seien die Protokolle aller Einvernahmen absolut unverwertbar und inklusive der dazugehörigen Beilagen aus den Akten zu entfernen. Das Landgericht unterbrach die Hauptverhandlung und stellte einen schriftlichen Entscheid über die gestellten Vorfragen in Aussicht.
Mit Beschluss vom 18. Juni 2020 wies das Landgericht die Anklage zur Ergänzung bzw. Wiederaufnahme der Untersuchung an die Staatsanwaltschaft zurück. Es hielt unter anderem fest, dass das Protokoll zu einer delegierten Einvernahme der beschuldigten Person samt Beilagen unverwertbar und aus den Strafakten zu entfernen sei. Sodann dürften die Protokolle weiterer Einvernahmen insofern nicht verwertet werden, als sie sich auf Aussagen bzw. Informationen beziehen würden, die ihren Ursprung in der unverwertbaren Einvernahme samt Beilagen hätten.
2.
A._ reichte beim Landgericht am 19. Juni 2020 ein Ausstandsgesuch ein, mit welchem er beantragte, Damian Graf habe bei den noch durchzuführenden Beweisergänzungen in Ausstand zu treten. Das Landgericht überwies das Ausstandsgesuch an das Obergericht des Kantons Uri. Mit Verfügung vom 17. August 2020 wies das Obergericht das Ausstandsgesuch ab.
3.
Gegen die Verfügung des Obergerichts vom 17. August 2020 hat A._ am 23. Sepbember 2020 Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht erhoben. Er hat beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und das Ausstandsgesuch vom 19. Juni 2020 gutzuheissen. Eventualiter sei die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Mit Verfügung vom 13. Oktober 2020 hat der Präsident der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Am 25. Februar 2021 hat die Staatsanwaltschaft dem Bundesgericht mitgeteilt, dass das Strafverfahren gegen den Beschwerdeführer zufolge Ausscheidens des Beschwerdegegners aus der Staatsanwaltschaft per Ende Mai 2021 einem anderen Staatsanwalt oder einer anderen Staatsanwältin zur Bearbeitung übertragen werde, womit das Ausstandsverfahren gegen Damian Graf gegenstandslos geworden sei. Der Beschwerdeführer hat sich dazu mit Eingabe vom 26. April 2021 geäussert und beantragt, die Beschwerde sei als gegenstandslos abzuschreiben.
4.
Mit der Übertragung der Strafuntersuchung gegen den Beschwerdeführer an einen anderen Staatsanwalt oder eine andere Staatsanwältin ist das Rechtsschutzinteresse des Beschwerdeführers an seiner Beschwerde dahingefallen und das Beschwerdeverfahren gegenstandslos geworden. Demzufolge ist die Beschwerde vom Instruktionsrichter als Einzelrichter (vgl. Art. 32 Abs. 2 BGG) als gegenstandslos geworden abzuschreiben.
5.
Bei Entfallen des Rechtsschutzinteresses bzw. Gegenstandslosigkeit des Verfahrens entscheidet das Bundesgericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 71 BGG in Verbindung mit Art. 72 BZP [SR 273]). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (vgl. <ref-ruling> E. 2a).
5.1. Der Beschwerdeführer hat in seiner Beschwerde an das Bundesgericht eine Verletzung von Art. 56 lit. f StPO sowie Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK gerügt. Er hat den Beschwerdegegner als für die weitere Strafuntersuchung im Sinne von Art. 56 lit. f StPO voreingenommen erachtet, weil dieser bereits Anklage erhoben habe und weil in der Strafuntersuchung gravierende Verfahrensfehler begangen worden seien.
Wird der Ausstandsgrund von Art. 56 lit. f StPO aus materiellen oder prozessualen Rechtsfehlern abgeleitet, so sind diese nur wesentlich und begründen nur dann einen hinreichenden Anschein der Befangenheit, wenn sie besonders krass sind und wiederholt auftreten, sodass sie einer schweren Amtspflichtsverletzung gleichkommen und sich einseitig zulasten einer der Prozessparteien auswirken (vgl. <ref-ruling> E. 3.2.3; <ref-ruling> E. 2.3). Ansonsten sind primär die zur Verfügung stehenden Rechtsmittel gegen beanstandete Verfahrenshandlungen auszuschöpfen (vgl. <ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3b/bb; je mit Hinweisen).
Die Ausführungen der Vorinstanz, wonach allein der Umstand, dass der Beschwerdegegner vor der Unterbrechung der Hauptverhandlung durch das Strafgericht bereits Anklage erhoben habe, im Hinblick auf die weitere Strafuntersuchung keine ausstandsbegründende Voreingenommenheit begründe, sind nicht zu beanstanden, zumal Art. 339 Abs. 5 StPO ausdrücklich vorsieht, dass das Strafgericht die Hauptverhandlung vertagen kann, um die Akten oder die Beweise zu ergänzen oder durch die Staatsanwaltschaft ergänzen zu lassen. Sodann lassen die Ausführungen des Beschwerdeführers zum prozessualen Verhalten des Beschwerdegegners jedenfalls nicht auf besonders krasse und wiederholt auftretende Rechtsfehler schliessen, die einer schweren Amtspflichtsverletzung gleichkommen würden. Dies gilt umso mehr, als der Beschwerdegegner die Strafuntersuchung von einem Vorgänger übernommen hat und der Beschwerdeführer das Ausstandsgesuch in erster Linie mit Verfahrensfehlern begründet hat, die noch vor der Übernahme der Strafuntersuchung geschehen sind.
5.2. Nach dem Ausgeführten würde der Beschwerdeführer an sich kostenpflichtig. Er beantragt jedoch unentgeltliche Rechtspflege inklusive Verbeiständung. Dem Gesuch kann entsprochen werden, zumal der Beschwerdeführer glaubhaft dargelegt hat, dass er im Sinne von Art. 64 Abs. 1 BGG bedürftig ist, die Beschwerde nicht als geradezu aussichtslos bezeichnet werden kann und auch die weiteren Voraussetzungen von Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG erfüllt sind. Unter Berücksichtigung der Wichtigkeit und Schwierigkeit der Sache sowie des Arbeitsaufwands erscheint eine Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistands in der Höhe von Fr. 1'500.-- gerechtfertigt (vgl. Art. 6 und Art. 10 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht [SR 173.110.210.3]). Der nicht anwaltlich vertretene Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (vgl. Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach verfügt der Einzelrichter:
1.
Die Beschwerde wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen:
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Fabian Zuberbühler wird zum unentgeltlichen Rechtsbeistand ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 1'500.-- entschädigt.
3.
Diese Verfügung wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Uri, Strafprozessuale Beschwerdeinstanz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Müller
Der Gerichtsschreiber: Mattle