Faits :
A.
A.a. Z._ SA, reprise par fusion en 2011 par X._ SA (ci-après: l'assureur ou la compagnie d'assurance) a établi, le 16 août 1994, une police d'assurance couvrant la responsabilité civile de U._ SA (ci-après: l'institut médical ou l'auteur du dommage), société inscrite au registre du commerce le 4 février 1994 ayant notamment pour but de procéder à des interventions médicales et chirurgicales dans le domaine des malformations cardiaques congénitales.
Le contrat conclu entre l'assureur et l'institut médical était lié au contrat conclu antérieurement entre le même assureur et la Clinique V._ SA (l'annulation de celui-ci provoquant automatiquement la fin de celui-là), qui mettait à disposition de l'institut médical des locaux, ce dernier disposant toutefois de son propre personnel.
La police couvrant la responsabilité civile de l'institut médical était notamment régie par des " Conditions générales complémentaires (CGC) pour l'assurance responsabilité civile des hôpitaux, homes et établissements pourvus d'un service médical ". Selon les CGC, l'assurance ne couvrait que la responsabilité civile des médecins figurant sur une liste annexée au contrat, les modifications de la liste devant être annoncées à l'assureur.
Les " Conditions générales d'assurance (CGA) ", également intégrées dans le contrat, prévoyaient en substance, à l'art. 23 CGA (" Règlement des sinistres, procès ") que, dès l'annonce d'un sinistre, l'assuré ne pouvait plus prendre aucune initiative sans l'accord de l'assureur et que seul ce dernier pouvait décider des démarches à entreprendre jusqu'au règlement du sinistre, le cas échéant après avoir mené personnellement une procédure judiciaire (complètement d'office selon l'<ref-law>).
A.b. A._ (ci-après: la lésée ou la victime), qui souffre depuis sa naissance de malformations cardiaque et aortique, a été opérée, le 18 décembre 1995, dans les locaux de la Clinique V._ SA (ci-après: la clinique V._) par le Professeur V._, agissant pour l'institut médical.
Le 23 décembre 1995 au matin, la patiente a fait l'objet d'une extubation qui, malgré la réintubation qui a ensuite été opérée, l'a placée plusieurs jours dans un état léthargique et lui a causé d'importants troubles, notamment neurologiques. La lésée est sortie du service des soins intensifs le 13 janvier 1996. Il résulte toutefois de divers rapports établis entre 1998 et 2003 qu'une évolution favorable sur le plan fonctionnel de l'état de santé de l'enfant n'était que peu probable, qu'il n'y avait aucun espoir qu'elle retrouve une vie " normale " et qu'une aide permanente et des mesures spécifiques seraient toujours nécessaires pour lui accorder une qualité de vie acceptable.
A.c. La faillite de l'institut médical a été prononcée le 13 mars 1998 et clôturée le 24 avril 2001. La société a été radiée du registre du commerce le 27 avril 2001.
Ni le père (B._) ni la mère (C._) de la victime n'ont produit une créance dans cette faillite. Les deux seules productions enregistrées sont celles de la clinique V._ (dommages-intérêts pour rupture de contrat et loyers impayés). Les actifs de la masse se sont élevés à 311'500 fr.80 et un dividende a été distribué à la créancière.
Aucune démarche n'a été entreprise par la famille de la victime (soit, le père, la mère, les deux demi-frères et la demi-soeur de la victime) jusqu'au 29 juin 1998. Ce n'est qu'à cette date que l'avocat M._ a informé la clinique V._ qu'il avait été consulté par le père de la victime et qu'il l'a invitée à lui communiquer les coordonnées de son assureur responsabilité civile ainsi que sa version des faits.
A.d. Le 20 juillet 1998, la compagnie d'assurance de la clinique V._ a informé l'avocat M._ de la faillite de l'institut médical et du fait que celui-ci était couvert en responsabilité civile par l'assureur (Z._).
Par courrier du 5 août 1998, l'assureur a pris contact avec les lésés et, à son tour, il les a notamment informés que l'institut médical avait suspendu ses activités pour cause de faillite (complètement d'office selon l'<ref-law>).
A.e. Le 16 avril 2002, après l'échange de plusieurs courriers - dans lesquels la compagnie d'assurance a notamment renoncé, en son propre nom, à invoquer la prescription -, l'avocat M._ a envoyé un courrier à l'assureur dont la teneur est la suivante:
" (...) Cela étant précisé, je désire que votre compagnie émette formellement une lettre reconnaissant la responsabilité de ses assurés, le second paragraphe contenant les termes "...peut être engagée... " pouvant laisser planer auprès de tout lecteur un doute puisqu'il ne s'agit pas d'une certitude.
Le verbe " être " me paraît être plus adéquat et je désirais le lire, afin que les choses soient bien clairement établies pour un sinistre qui remonte à de nombreuses années déjà.
De même, je souhaite que votre compagnie émette en corollaire de ce qui précède un engagement d'assumer tout dommage justifié de la fillette et de son entourage.
Il serait de surcroît de bon ton que vous renonciez à invoquer la prescription pour une longue durée pour vos deux assurés, votre lettre du 13 décembre 2001 n'en concernant qu'un.
En dernier lieu, je reviendrai à vous sur le choix que vous opérez de l'un de vos deux assurés plutôt que l'autre, ayant en mémoire le fait que [l'institut médical] a disparu mais pas [la clinique V._], et que vous savez parfaitement que ma cliente ne dispose pas d'action directe contre une assurance en ce sens et qu'elle ne veut pas se voir opposer des arguments juridiques de pure forme pour ne pas être dédommagée, dans quelque sens que ce soit. "
A.f. Le 19 avril 2002, la compagnie d'assurance, sous la signature de N._, sous-directeur, et de Q._, mandataire commerciale, a répondu à l'avocat M._ ce qui suit:
" (...) Il s'avère maintenant que seule la responsabilité de [l'institut médical] est engagée dans cette affaire, car les deux médecins présents lors de l'extubation dépendaient exclusivement de cette entreprise.
Au nom de [l'institut médical] et au nom de notre compagnie, nous nous engageons à assumer les dommages consécutifs en causalité adéquate subis par la petite A._ (...) et les membres de sa proche famille.
Compte tenu de la disparition de [l'institut médical], nous sommes d'accord de renoncer à invoquer la prescription aux noms de [la compagnie d'assurance] et de [l'institut médical], et ce jusqu'au 18.12.2005, pour autant, bien entendu, que notre dette ne se trouve pas déjà prescrite. "
Selon les constatations cantonales, qui se basent sur l'audition du sous-directeur, celui-ci avait tout de suite constaté que le Dr P._, médecin ayant participé à l'extubation, ne figurait pas sur la liste des médecins déclarés de l'institut médical ou de la clinique V._. Il a néanmoins rédigé sa déclaration du 19 avril 2002 en toute connaissance de cause, en considérant que dès lors que ce médecin était intervenu sur le site V._, il suffisait qu'il ait agi pour le compte de la clinique ou de l'institut médical pour être couvert. Le fait que le Dr P._ ne figurait pas sur la liste ne lui paraissait pas décisif à cet égard.
La teneur du courrier du 19 avril 2002 n'a pas été discutée par l'assureur et celui-ci n'a en particulier pas invoqué l'erreur, le dol ou la crainte fondée.
A.g. Par courrier du 3 octobre 2002 adressé à l'avocat des lésés, l'assureur - qui n'était alors plus représenté par N._, mais par O._, fondée de pouvoirs - a confirmé que la compagnie d'assurance, " pour faciliter les discussions, avait certes accepté d'assumer les dommages 'en relation de causalité adéquate' avec une responsabilité de ses assurés ", mais pour autant que sa dette ne se trouve pas déjà prescrite à la date du 19 avril 2002, date du courrier en question (complètement d'office selon l'<ref-law>).
B.
Par demande du 17 juin 2005 (précisée le 9 février 2006), les lésés (soit la victime, son père, sa mère, ses deux demi-frères et sa demi-soeur) (ci-après également: les demandeurs) ont ouvert action devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, concluant à ce que l'assurance et la clinique V._ soient condamnées, " conjointement et solidairement entre elles ou dans les proportions que justice dirait ", à leur verser le montant de 3'579'574 fr., intérêts en sus.
Dans sa réponse du 11 août 2006, la clinique V._ a conclu à sa libération et, à toutes fins utiles, elle a invoqué la prescription.
Le 4 décembre 2006, l'assureur (ci-après également: le défendeur) a conclu au rejet de la demande et il a également invoqué la prescription.
Par convention des 5 et 10 mars 2015, les demandeurs ont adhéré aux conclusions libératoires de la clinique V._ (devenue entre-temps W._ SA). Le 16 mars 2015, le juge instructeur a pris acte de cette convention valant jugement entre parties.
Par jugement du 9 octobre 2015, la Cour civile a condamné la compagnie d'assurance à verser aux lésés le montant total de 2'641'413 fr. 55, correspondant aux divers postes du dommage subi par les lésés, intérêts en sus.
Par arrêt du 4 avril 2017, la Cour d'appel civile a rejeté l'appel formé par l'assureur, ainsi que l'appel joint interjeté par les lésés, et confirmé le jugement entrepris.
C.

La compagnie d'assurance exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal du 4 avril 2017. Elle conclut principalement à son annulation et à ce que la demande déposée par les lésés soit rejetée et, subsidiairement, à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale. La recourante invoque une violation des art. 4 ss de l'ancien CPC/VD en lien avec l'<ref-law>, de l'art. 29 Cst. (droit d'être entendu) et de l'art. 9 Cst. (arbitraire dans l'établissement des faits). Elle conteste également sa légitimation passive, soutient que les prétentions émises à son encontre sont dénuées de tout fondement et considère en outre que la cour cantonale a violé le droit en admettant que la mère de la victime pouvait bénéficier d'une indemnité au titre de tort moral.
Les intimés concluent au rejet du recours et ils sollicitent l'assistance judiciaire.
Chacune des parties a encore déposé des observations.
L'effet suspensif sollicité par la recourante lui a été accordé par ordonnance présidentielle du 26 juin 2017.
Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté en temps utile (<ref-law>) par la défenderesse qui a partiellement succombé dans ses conclusions libératoires (<ref-law>) contre une décision finale (<ref-law>) prise sur recours par le tribunal supérieur du canton (<ref-law>) dans une affaire civile portant sur la responsabilité contractuelle et/ou délictuelle (<ref-law>), le recours en matière civile est recevable.
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références).
1.3. Le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (<ref-law>) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal. Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'<ref-law>, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (<ref-ruling> consid. 2 p. 116; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2.2; arrêt 4A_399/2008 du 12 novembre 2011 consid. 2.1 non publié in <ref-ruling>). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (ATF <ref-ruling> consid. 1.4).
2.
2.1. La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois confirme que les lésés pouvaient agir directement contre l'assureur. Pour elle, cela correspond à la volonté réelle des parties, telle qu'elle a été exprimée dans le courrier du 19 avril 2002, qui comporte l'engagement explicite et direct de l'assureur (envers la lésée et les membres de sa famille proche) " à prendre en charge le dommage en relation de causalité adéquate avec l'extubation pratiquée le 23 décembre 1995 ". Les magistrats précédents ont entrepris leur examen sur le plan factuel (volonté réelle), puisqu'ils constatent que les premiers juges " ont fondé leur conviction sans procéder à une appréciation erronée des faits et des moyens de preuves offerts en cours de procédure ". Forte de ce constat, la cour cantonale retient que l'action directe des lésés repose sur une reconnaissance de dette (<ref-law>) " émise en application de l'art. 60 al. 1, 2e phrase, LCA ". Selon elle, l'assureur, qui a la possibilité de s'acquitter de l'indemnité directement entre les mains du lésé (art. 60 al. 1 2e phr. LCA), peut a fortiori s'engager à verser l'indemnité et qu'il l'a fait en l'espèce dans le courrier précité. Elle considère alors qu'il appartenait à l'assureur, qui avait reconnu la dette (<ref-law>) de prouver que l'engagement n'était pas valable (renversement du fardeau de la preuve).
L'autorité précédente considère que, les conditions usuelles étant réalisées, la responsabilité de l'institut médical pour les agissements de ses auxiliaires (<ref-law>) est engagée. Elle confirme les montants alloués aux titres de dommages-intérêts et de tort moral aux demandeurs lésés et retient que leurs créances respectives ne sont pas prescrites.
3.
3.1. Pour la bonne compréhension de la cause, il faut observer que celle-ci implique trois protagonistes (les lésés, l'institut médical - en tant qu'auteur du dommage - et son assureur) et deux relations juridiques indépendantes l'une de l'autre:
Le premier rapport juridique, qui concerne les lésés et l'auteur du dommage, a pour origine un événement dommageable (l'acte médical du 23 décembre 1995) dont l'auteur - l'institut médical qui est également responsable de ses auxiliaires (art. 55 et 101 CO) - doit répondre en vertu d'une responsabilité délictuelle et/ou contractuelle.
Le deuxième rapport juridique s'appuie sur le contrat conclu entre l'institut médical et son assureur: les parties sont convenues que celui-ci, moyennant le paiement de primes par celui-là, couvrirait le dommage subi par l'institut médical pour le cas où sa responsabilité civile serait engagée. Elles ont donc conclu un contrat d'assurance au sens de la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1) qui se caractérise comme une assurance de la responsabilité civile (art. 59 et 60 LCA). Le principe de la relativité des conventions implique que, si une créance prend naissance sur la base de son contrat, l'institut médical, qui est le cocontractant de l'assureur, en sera seul titulaire.
Comme il n'est pas question ici d'une assurance de la responsabilité civile du détenteur d'un véhicule automobile (cf. <ref-law>) ou d'un bateau (cf. <ref-law>), aucune disposition légale (à l'instar de l'<ref-law> ou de l'<ref-law>) ne permet aux lésés d'agir directement (droit d'action directe) contre l'assureur de la responsabilité civile. Il ne ressort en outre pas des constatations cantonales que l'institut médical aurait, par un acte écrit, cédé (sur le principe) sa créance contractuelle aux intimés (cf. art. 164 al. 1 et 165 al. 1 CO). On ne se trouve pas non plus dans un cas de cession légale au sens de l'<ref-law>, c'est-à-dire d'un cas où, à l'instar de l'<ref-law>, une disposition légale prévoirait une subrogation. Enfin, il ne résulte pas de l'arrêt cantonal que les lésés se seraient faits céder les droits de la masse en faillite de l'institut médical (<ref-law>), de sorte que les lésés ne seraient pas légitimés à intenter une action contre l'assureur sur la base de cette cession.
4.
La première question litigieuse est donc de savoir si, sur la base des circonstances concrètes du cas d'espèce, les lésés disposaient d'un fondement leur permettant d'agir directement contre l'assureur.
4.1. Dans la procédure cantonale, les instances précédentes ont recherché si l'assureur, par son courrier du 19 avril 2002 envoyé à l'avocat des lésés, avait pris l'engagement de les indemniser (au moins sur le principe) du dommage qu'ils ont subi suite à l'événement dommageable du 23 décembre 1995.
Les premiers juges, la cour précédente et les lésés sont d'avis que l'assureur a pris cet engagement, qui trouve son fondement à l'<ref-law>, dans son courrier du 19 avril 2002 et que cet engagement reflète la volonté réelle des parties. L'assureur, de son côté, soutient qu'on ne peut rien inférer de tel de ce courrier, dans lequel son sous-directeur de l'époque, ainsi qu'une mandataire commerciale, n'ont rien fait de plus que de confirmer à l'avocat des lésés que la compagnie d'assurance assumerait les engagements contractuels qu'elle avait vis-à-vis de son assuré (institut médical).
4.2. Pour qu'un contrat soit parfait, il suppose un accord des parties - soit des manifestations de volonté réciproques et concordantes au sens de l'<ref-law> - sur tous les points essentiels du contrat qu'elles entendent conclure (<ref-law>).
4.2.1. Si les parties se mettent d'accord sur les éléments essentiels d'un contrat défini par la loi, elles concluent un contrat nommé (cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 55; PETER GAUCH, Von den wesentlichen Vertragspunkten, Recht 1991 p. 46 et les auteurs cités; WALTER SCHLUEP, Innominatverträge, in TDPS VII/2, 1979 p. 770).
Si les éléments sur lesquels les parties se sont mises d'accord n'entrent pas dans la définition d'un contrat nommé, mais qu'ils constituent néanmoins le noyau indispensable d'un acte juridique ( der unentbehrliche Geschäftskern), l'accord constitue un contrat innommé, qui peut se révéler typique (comme le leasing) ou atypique (KRAMER/SCHMIDLIN, Berner Kommentar, 1986, no 172 ad <ref-law> et nos 49 s. ad art. 19-20 CO; THÉVENOZ/DE WERRA, in Commentaire romand, Code des obligations, vol. I, 2e éd. 2012, nos 5, 46 et 51 ad Intro. art. 184-529 CO; CHRISTOPH LEUENBERGER, Dienstleistungsverträge, RDS 1987 II p. 58 ss). Plus précisément, pour réaliser la condition du noyau indispensable d'un acte juridique, les parties doivent se mettre d'accord sur tous les points de l'acte qui nécessitent d'être réglementés par elles sous peine de donner naissance à une lacune qui ne pourra être comblée ni par la loi, ni par le droit coutumier, ni par le droit judiciaire (sur l'ensemble de la question, cf. GAUCH, op. cit., p. 46 ss).
4.2.2. Pour savoir si les parties ont conclu un accord (et, le cas échéant lequel), le juge doit rechercher en priorité leur volonté subjective et, s'il n'y parvient pas, il doit recourir à l'interprétation normative (ou objective).
Si les parties se sont exprimées de manière concordante sur les éléments essentiels d'un contrat, qu'elles se sont effectivement comprises et, partant, ont voulu se lier, il y a accord de fait ( tatsächlicher Konsens). Si au contraire, alors qu'elles se sont comprises, elles ne sont pas parvenues à s'entendre, ce dont elles étaient d'emblée conscientes, il y a un désaccord patent ( offener Dissens) et le contrat n'est pas conclu.
Subsidiairement, si les parties se sont exprimées de manière concordante sur les éléments essentiels d'un contrat, mais que l'une ou les deux n'ont pas compris la volonté interne de l'autre, ce dont elles n'étaient pas conscientes dès le début, il y a désaccord latent ( versteckter Dissens) et le contrat est conclu dans le sens objectif que l'on peut donner à leurs déclarations de volonté selon le principe de la confiance; en pareil cas, l'accord est de droit (normatif) (cf. arrêt 4A_635/2016 du 22 janvier 2018 consid. 5.2.1).
4.2.3. Sur le plan procédural, le juge doit rechercher, dans un premier temps, la réelle et commune intention des parties (interprétation subjective), le cas échéant empiriquement, sur la base d'indices. Constituent des indices en ce sens non seulement la teneur des déclarations de volonté - écrites ou orales -, mais encore le contexte général, soit toutes les circonstances permettant de découvrir la volonté des parties, qu'il s'agisse de déclarations antérieures à la conclusion du contrat ou de faits postérieurs à celle-ci, en particulier le comportement ultérieur des parties établissant quelles étaient à l'époque les conceptions des contractants eux-mêmes (arrêt 4A_635/2016 déjà cité consid. 5.2.2).
L'appréciation de ces indices concrets par le juge, selon son expérience générale de la vie, relève du fait. Si sa recherche aboutit à un résultat positif, le juge parvient à la conclusion que les parties se sont comprises. Cette constatation lie le Tribunal fédéral (<ref-law>), à moins qu'elle ne soit manifestement inexacte (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF), c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (arrêts 4A_635/2016 déjà cité consid. 5.2.2).
Si le juge ne parvient pas à déterminer la volonté réelle et commune des parties - parce que les preuves font défaut ou ne sont pas concluantes - ou s'il constate qu'une partie n'a pas compris la volonté exprimée par l'autre à l'époque de la conclusion du contrat - ce qui ne ressort pas déjà du simple fait qu'elle l'affirme en procédure, mais doit résulter de l'administration des preuves -, il doit recourir à l'interprétation normative (ou objective), à savoir rechercher leur volonté objective, en déterminant le sens que, d'après les règles de la bonne foi, chacune d'elles pouvait et devait raisonnablement prêter aux déclarations de volonté de l'autre (application du principe de la confiance). Selon le principe de la confiance, la volonté interne de s'engager du déclarant n'est pas seule déterminante; une obligation à sa charge peut découler de son comportement, dont l'autre partie pouvait, de bonne foi, déduire une volonté de s'engager. Le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même si celui-ci ne correspond pas à sa volonté intime (arrêts 4A_635/2016 déjà cité consid. 5.2.2).
La détermination de la volonté objective des parties, selon le principe de la confiance, est une question de droit, que le Tribunal fédéral examine librement; pour la trancher, il faut cependant se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, lesquelles relèvent du fait. Les circonstances déterminantes à cet égard sont uniquement celles qui ont précédé ou accompagné la manifestation de volonté, mais non pas les événements postérieurs (arrêts 4A_635/2016 déjà cité consid. 5.2.2).
4.3. L'<ref-law>, désigné par la cour cantonale comme le " fondement " de l'engagement de l'assureur, ne saurait jouer le rôle qu'elle entend lui attribuer.
4.3.1. En tant que tiers lésés, les intimés ont certes un droit de gage légal sur l'indemnité due au preneur (l'institut médical) par l'assurance de la responsabilité civile (art. 60 al. 1 1ère phr. LCA). En cas de faillite du preneur, le droit de gage peut être invoqué dans l'établissement de l'état de collocation (art. 247 et 219 al. 1 LP). Toutefois, l'existence d'un droit de gage sur une créance ne peut être confondue avec la titularité de cette créance. Ce système correspond à l'intention du législateur, qui n'a précisément pas voulu reprendre, à l'<ref-law>, la solution prévue explicitement à l'<ref-law> (cf. arrêt 4A_185/2011 du 15 novembre 2011 consid. 2.1 publié in SJ 2012 I 237 et l'arrêt cité).
Quant à l'art. 60 al. 1 2e phr. LCA, il autorise seulement l'assureur à s'acquitter directement entre les mains des tiers lésés. Il ne s'agit pour lui que d'une faculté, dont on ne peut déduire aucune obligation.
L'<ref-law> ne permet dès lors pas aux tiers lésés d'agir directement contre l'assureur et il ne leur transfère pas davantage la créance appartenant au preneur (arrêt 4A_185/2011 déjà cité consid. 2.1). Les intimés le laissent d'ailleurs entendre lorsqu'ils relèvent que " l'<ref-law> n'[est] nullement la cause de l'obligation de l'assureur " (réponse p. 9 let. B.b).
4.3.2. Cela étant, il résulte des constatations cantonales que les parties ne se sont pas comprises quant à la signification à donner aux déclarations échangées (i.e quant au contrat effectivement conclu) et que les magistrats cantonaux ne sont donc pas parvenus à établir un accord de fait ( tatsächlicher Konsens).
Les parties se sont toutefois exprimées de manière concordante, de sorte que leur désaccord n'est que latent ( versteckter Dissens). Le contrat est donc conclu dans le sens objectif que l'on peut donner à leurs déclarations de volonté selon le principe de la confiance.
4.4. La Cour de céans peut se dispenser de renvoyer la cause à la cour cantonale et déterminer directement elle-même, et librement, la volonté objective des parties par application du principe de la confiance.
Selon les constatations cantonales, le 16 avril 2002, l'avocat des lésés a sollicité de l'assureur l'engagement d'assumer " tout dommage justifié de la fillette et de son entourage " et, le 19 avril 2002, l'assureur s'est engagé à " assumer les dommages consécutifs en causalité adéquate subis par [la lésée] et les membres de sa proche famille ".
En l'occurrence, le courrier du 19 avril 2002 ne peut être considéré comme une " simple " reconnaissance de dette valant promesse d'exécuter une obligation préalable (comme dans les cas jugés dans les arrêts 4A_760/2011 du 23 mai 2012 consid. 2.1 et 4C.326/2004 du 19 avril 2005 consid. 3.2.1).
Force est en effet de constater que l'échange des courriers d'avril 2002 ne peut être réduit à une " simple " déclaration unilatérale de l'une des parties (soit l'assureur); cet échange a au contraire impliqué les deux parties qui ont, réciproquement et de manière concordante, manifesté leur volonté de conclure un accord: il résulte en effet des constatations cantonales, qui lient le Tribunal fédéral (<ref-law>), que l'avocat des lésés a demandé à l'assureur de s'engager à assumer le dommage causé à ceux-ci - ce qui constitue une offre selon l'<ref-law> - et que l'assureur s'y est engagé - ce qui équivaut à une acceptation selon les art. 5 et 10 CO. Comme l'institut médical n'existait alors plus depuis environ une année (ce dont les parties avaient parfaitement conscience), la réponse de l'assureur ne pouvait pas être comprise de bonne foi par les lésés autrement que comme l'expression de sa volonté de les indemniser, indépendamment de la relation contractuelle (contrat d'assurance) qui le liait à son ancienne assurée (disparue).
Si le sens ainsi donné à l'engagement de l'assureur rappelle, au moins sous certains aspects, la novation (<ref-law>) (contrat nommé), les circonstances concrètes de l'espèce ne permettent pas d'emblée de retenir que les parties avaient l'intention de conclure un tel contrat et que le cadre légal (soit les conditions auxquelles ce contrat nommé est subordonné) leur laissait toute latitude à cet égard. Il n'y a toutefois pas lieu d'examiner cette question de manière plus approfondie. Il demeure que l'accord conclu entre les parties, qui comporte l'obligation (indépendante de celle découlant du contrat d'assurance) de l'assureur d'indemniser les lésés, contient les éléments de l'acte juridique qui devaient nécessairement être réglés (i.e. son noyau indispensable) pour rendre possible son exécution, ce qui permet, le cas échéant, de qualifier la relation contractuelle de contrat innommé. Cela étant, d'une manière ou d'une autre, l'obligation de l'assureur repose sur un fondement contractuel.
4.5. La recourante soulève plusieurs critiques sous l'angle de l'arbitraire (art. 9 Cst.) pour tenter de nier la perfection d'un accord. Si la détermination de la volonté objective des parties, selon le principe de la confiance, est une question de droit, que le Tribunal fédéral examine librement, il faut cependant, pour la trancher, se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, lesquelles relèvent du fait.
4.5.1. Contrairement à ce que tente de soutenir la recourante, elle s'est explicitement engagée, dans le courrier du 19 avril 2002, " au nom de [la] compagnie " à " assumer les dommages consécutifs en causalité adéquate subis par [les lésés] ". Cela étant, sous l'angle factuel, on ne voit pas en quoi la cour cantonale se serait écartée de manière insoutenable du texte de ce courrier en constatant que l'assureur avait pris cet engagement.
On ne saurait pas non plus reprocher à la cour cantonale d'avoir exclu, au moment de déterminer la volonté objective des parties (question de droit), que l'assureur ait voulu, en tant que simple représentant, engager exclusivement la responsabilité d'une société qui n'existait plus depuis près d'une année, puisqu'il est établi que l'assureur le savait.
4.5.2. La recourante se fourvoie lorsque, donnant sa propre vision des faits, elle affirme que la promesse figurant dans le courrier du 19 avril 2002 doit être considérée comme l'expression maladroite d'un ancien employé de la compagnie d'assurance qui irait au-delà de la position officielle de celle-ci. Même si l'on admettait la recevabilité du moyen, il serait quoi qu'il en soit infondé puisqu'il s'agit de se demander comment les déclarations contenues dans le courrier pouvaient être de bonne foi comprises par leurs destinataires (principe de la confiance).
4.5.3. Le renvoi à la lettre du 16 avril 2002 notifiée par le mandataire des lésés ne permet pas non plus de démontrer que la cour cantonale aurait apprécié arbitrairement le contenu du courrier du 19 avril 2002. Il en résulte clairement que l'avocat demande à l'assureur de prendre l'engagement d'" assumer tout dommage justifié de la fillette et de son entourage ". Le fait que l'avocat reconnaisse qu'il ne dispose pas d'action directe n'est d'aucune aide à la recourante, puisque c'est précisément pour ce motif que l'avocat a interpellé l'assureur pour qu'il s'engage clairement à assumer le dommage subi par les lésés.
Cela étant, l'argument selon lequel les lésés n'auraient jamais allégué que le sous-directeur de la compagnie d'assurance entendait leur reconnaître un droit d'action directe se révèle sans consistance.
4.5.4. L'argument tiré du contenu du courrier du 3 octobre 2002 (pièce qui mentionne que les lésés ne disposaient " légalement d'aucun droit d'action directe " à l'encontre de l'assureur) tombe à faux puisque, dans la recherche de la volonté objective des parties, les événements postérieurs à la manifestation de la volonté ne peuvent pas être pris en compte.
4.5.5. Quant au fait que l'avocat des lésés, dans son courrier du 16 avril 2002, n'aurait pas sollicité un engagement personnel de l'assureur, il est en contradiction avec le contenu du courrier reproduit dans l'arrêt cantonal.
Les déclarations rétrospectives du sous-directeur lors de son audition du 9 octobre 2015 (soit 13 ans après la rédaction de la lettre du 19 avril 2002), ne permettent pas de démontrer l'arbitraire de la cour cantonale, celle-ci relevant - dans un état de fait qui lie le Tribunal fédéral (<ref-law>) - que ces déclarations ne font que remettre le document dans son contexte de l'époque (arrêt entrepris consid. 3.2.2 p. 26), ce que la recourante ne conteste d'ailleurs pas.
Enfin, c'est en vain que la recourante affirme - sans d'ailleurs se conformer aux exigences strictes posées par les art. 97 al. 1 et 106 al. 2 LTF - que, lors de son audition, " jamais [le sous-directeur] n'a indiqué qu'il aurait entendu, par son courrier du 19 avril 2002, reconnaître un droit d'action directe aux [lésés] ", ou qu'" aucun élément de preuve au dossier " ne permet de le conclure. Le sous-directeur (et la mandataire commerciale), au nom de la compagnie d'assurance, n'ont pas discuté du droit d'action en tant que tel, mais sont convenus, avec les lésés, d'un acte générateur d'obligations leur accordant une prétention de fond (qui les légitime à agir).
4.6. Il n'y a pas lieu de revenir sur la longue discussion menée par les parties quant au statut du Dr P._, notamment en lien avec le contenu du courrier du 19 avril 2002, en vue de déterminer s'il faisait ou non partie des médecins assurés de l'institut médical.
En effet, l'engagement pris par l'assureur le 19 avril 2002 est indépendant des conditions d'assurance qui le liaient à l'institut médical (cf. supra consid. 4.4) et cette partie de l'argumentation de l'assureur se révèle sans pertinence.
Enfin, c'est en vain que la société recourante se plaint de ce que les lésés n'ont pas allégué en procédure qu'ils ont de bonne foi compris, sur la base du courrier du 19 avril 2002, que la couverture d'assurance serait étendue aux médecins non assurés, puisque l'interprétation du courrier selon les règles de la bonne foi est une question de droit.
4.7. Cela étant, la responsabilité de l'assureur fondée sur l'accord interprété selon le principe de la confiance conclu par les parties les 16 et 19 avril 2002 doit être reconnue et la décision prise par la cour cantonale reconnaissant la légitimation passive de l'assureur peut être confirmée, par substitution de motifs.
4.8. Les autres conditions de la responsabilité de l'assureur ne sont plus litigieuses.
La recourante se limite à revenir sur un point spécifique concernant la question de la prescription de l'indemnité pour tort moral à laquelle prétend la mère de la victime (intimée no 3). L'ensemble de son argumentation repose sur la prémisse - erronée - selon laquelle le courrier du 19 avril 2002 ne serait pas susceptible de constituer le fondement d'un rapport contractuel. La critique se révèle dès lors sans consistance.
Cela étant, il n'y a pas lieu, s'agissant de la question de la prescription, de traiter différemment le cas de la victime de celui de sa mère. Le résultat auquel est parvenu la cour cantonale peut dès lors être confirmé, par substitution de motifs.
5.
Il résulte des considérations qui précèdent que le recours en matière civile doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Les frais judiciaires et les dépens sont mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 et 2 LTF).
La requête d'assistance judiciaire déposée par les intimés se révèlent dès lors sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire des intimés est sans objet.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 19'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
La recourante versera aux intimés, créanciers solidaires, une indemnité de 21'000 fr. à titre de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 17 janvier 2018
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Piaget