Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) reichte am 12. Mai 2020 eine Klage am Handelsgericht Zürich ein. Mit Beschluss vom 27. Mai 2020 beurteilte das Handelsgericht die Klageschrift als mangelhafte Eingabe im Sinne von <ref-law> und trat auf diese ohne Nachfristansetzung nicht ein.
Der Kläger erhob gegen diesen Beschluss Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Mit Urteil 4A_351/2020 vom 13. Oktober 2020 hiess das Bundesgericht die Beschwerde gut und hob den Beschluss des Handelsgerichts vom 27. Mai 2020 auf. Das Bundesgericht kam zum Schluss, dass das Handelsgericht durch den Verzicht auf die Ansetzung einer Nachfrist zur Verbesserung der Eingabe den Anspruch des Klägers, die als mangelhaft eingestufte Eingabe zu verbessern, verletzt und gegen <ref-law> verstossen habe.
In der Folge setzte das Handelsgericht mit Verfügung vom 16. November 2020 dem Kläger in Nachachtung von <ref-law> eine Nachfrist zur Verbesserung der Klageschrift an. Am 9. Dezember 2020 reichte der Kläger die als "Verbesserte Klage" bezeichnete Eingabe vom 8. Dezember 2020 am Handelsgericht ein.
Das Handelsgericht kam mit Beschluss vom 23. Dezember 2020 zum Ergebnis, dass auch die nachgebesserte Klageschrift mangelhaft im Sinne von <ref-law> sei und trat auf die Klage nicht ein.
B.
Gegen diesen Beschluss erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragte, der Beschluss des Handelsgerichts vom 23. Dezember 2020 sei aufzuheben und die Sache sei unter Festsetzung des Streitwertes auf Fr. 40'000.-- zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Beurteilung zurückzuweisen. Subeventualiter sei die Dispositivziffer 2 des Beschlusses aufzuheben und wie folgt neu zu fassen: "2. Die Gerichtsgebühr wird festgesetzt auf CHF 1'600.--."
Nachdem das Bundesgericht den Beschwerdeführer aufgefordert hatte, einen Kostenvorschuss für das bundesgerichtliche Verfahren zu leisten, verlangte dieser am 1. Februar 2021 weitere Informationen über die Höhe des einverlangten Kostenvorschusses. Mit Schreiben vom 4. Februar 2021 wurde ihm diesbezüglich geantwortet.
Am 2., 5. und 21. Februar 2021 reichte der Beschwerdeführer weitere Eingaben ein. Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1).
1.2. Unter Berücksichtigung des Fristenstillstands über Weihnachten und Neujahr (<ref-law>) ist die dreissigtägige Beschwerdefrist (<ref-law>) gegen den angefochtenen Entscheid am 1. Februar 2021 abgelaufen. Diese Frist ist für die am 27. Januar 2021 der Schweizerischen Post übergebene Beschwerdeschrift eingehalten. Die nach dem 1. Februar 2021 der Post überbrachten Eingaben sind demgegenüber verspätet und bleiben unberücksichtigt.
Nur der Vollständigkeit halber sei klargestellt, dass daran nichts ändert, dass sich der Beschwerdeführer in den verspäteten Eingaben auf den Standpunkt stellt, dass die Eingaben zulässig seien, weil es sich bei den darin erwähnten Studien um echte Noven handle "i.S.v. neuen wissenschaftlich fundierten Tatsachen, welche im Verfahren Nr. 4A_55/2021 vor dem Schweizerischen Bundesgericht direkt relevant" seien. Tatsachen oder Beweismittel, die sich auf das vorinstanzliche Prozessthema beziehen, jedoch erst nach dem angefochtenen Entscheid eingetreten oder entstanden sind (sog. echte Noven), sind vor Bundesgericht unbeachtlich (<ref-ruling> E. 1.2 S. 23).
1.3. Im Übrigen sind die Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt und geben zu keinen weiteren Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (vgl. Erwägung 2) ist daher auf die Beschwerde einzutreten.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
3.
3.1. Die Vorinstanz kam im angefochtenen Beschluss zum Schluss, die nachgebesserte Eingabe des Beschwerdeführers vom 8. Dezember 2020 bestehe (wie schon die frühere Klage datierend vom 28. Februar 2020) aus teilweise nur schwer oder gänzlich unverständlichen Sätzen und weitschweifigen Ausführungen, in welchen verschiedenste Argumente, Tatsächliches und Rechtliches vermischt würden. Das Lesen der Eingabe erweise sich als äusserst mühsam. Der Leser könne nicht ohne grosse Mühe die relevanten Tatsachen herausschälen bzw. ergründen, auf welchen Sachverhalt sich die Klage stütze. Einhergehend damit erweise sich die "verbesserte" Klage insgesamt als unübersichtlich und weitgehend unverständlich, sodass für den Leser unklar bleibe, was mit der Klage genau gefordert und wie dies konkret begründet werde. Eine solche Mühe bei der Lektüre einer Klagebegründung sei weder dem Gericht noch der Gegenpartei zumutbar.
In diesem Zusammenhang sei erneut darauf hinzuweisen, dass der Beschwerdeführer am Handelsgericht bereits drei Prozesse geführt habe (HG150050, HG170204 und HG 190213). Mit Verfügung vom 20. Oktober 2017 im Prozess-Nr. HG170204 sei ihm eine Nachfrist zur Verbesserung seiner damaligen Klage und des Rechtsbegehrens angesetzt worden; jene Klage sei - wie die vorliegende - aufgrund der Darstellung nicht ohne grosse Mühe zu lesen gewesen. Dasselbe gelte auch für das Verfahren mit der Prozess-Nr. HG190213, indem die betreffende Klage als ungenügend qualifiziert und entsprechend auf diese nicht eingetreten worden sei. Obwohl der Beschwerdeführer somit genau um die hier in Frage stehenden Anforderungen an eine Klageschrift gewusst habe, sei er mit Verfügung vom 16. November 2020 nochmals ausdrücklich und unmissverständlich darauf hingewiesen worden, dass er klar und bestimmt ausführen müsse, was er wolle. Die Begründung des behaupteten Anspruches habe in der Klagebegründung zu erfolgen. In Bezug auf die Verständlichkeit des Rechtsbegehrens und der Klagebegründung sei zudem festzuhalten, dass unter anderem neben der Satzlänge und der Struktur der Rechtsschrift auch die Struktur der Sätze entscheidend sei. Je mehr Argumente und Informationen ineinander verwoben sowie Einschübe gemacht würden, desto unverständlicher seien die Sätze. An diese Vorgaben habe sich der Beschwerdeführer auch in seiner neuen "verbesserten" Klage nicht gehalten. Demgemäss sei auf die mangelhafte Klage nicht einzutreten.
3.2. Dagegen macht der Beschwerdeführer eine Verletzung von <ref-law> geltend. Seine verbesserte Eingabe vom 8. Dezember 2020 sei nicht mangelhaft. Es sei ihm in überspitzt formalistischer Weise und mit einer extensiven Formstrenge der Rechtsweg versperrt worden. Die Vorinstanz habe sodann seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt und willkürlich geurteilt.
Seine nachgebesserte Klageschrift erfülle sämtliche Vorgaben der Verfügung des Handelsgerichts vom 16. November 2020 und der dpa-Vorgabe für Pressetexte sowie sämtliche Kriterien der deutschen Wortliga für leicht lesbare und sehr gut verständliche deutsche Texte. Die nachgebesserte Eingabe bestehe aus 3'614 klaren und sehr gut lesbaren Sätzen geringer Komplexität und einer (mittleren) Satzlänge von sieben Wörtern. Diese könnten von einem Sekundar- oder Berufsschüler durchschnittlich gut verstanden werden. Ein Mittelschüler müsse für ein gutes Verständnis der Eingabe lediglich 2'154 dieser 3'614 Sätze lesen, was bei einer durchschnittlichen Lesegeschwindigkeit einer Bearbeitungszeit von 1 3⁄4 Stunden entspreche. Die "unabhängige konto- und buchführende Stelle" habe in seinem Auftrag die Eingabe "praktisch vollständig neu und insgesamt in 'leichter Sprache' verfasst". Die Satzlänge sei um 69% reduziert worden, die Bearbeitungszeit für einen Mittelschüler um 75%. Langatmige Ausführungen und Wiederholungen seien um 78% vermindert und Tatsächliches und Rechtliches seien vollständig voneinander getrennt worden. Die Satzkomplexität sei von "mittel" auf "gering" gesenkt worden. Die Lesbarkeit sei von "mittel" auf "sehr gut" und die Satz- bzw. Schriftklarheit von "nicht unklar" auf "klar" erhöht worden. Die Verständlichkeit bleibe für einen Sekundar- oder Berufsschüler "durchschnittlich" und für einen Mittelschüler "gut". Es bestünden keine weiteren linguistischen Optimierungsmöglichkeiten der Eingabe vom 8. Dezember 2020 - und deren weitere linguistische Optimierung sei auch nicht notwendig.
Es treffe zwar zu, dass die Eingabe vom 8. Dezember 2020 mit 78 Seiten auf den ersten Blick eine beträchtliche Länge aufweise. Der Beschwerdeführer müsse aber alle Umstände, die für die geltend gemachten Ansprüche sprechen und die dessen Abschätzung erlauben oder erleichtern würden, soweit möglich und zumutbar behaupten und auch beweisen. Beim Handelsgericht handle es sich auch um die einzige gerichtliche Instanz, die den gesamten Sachverhalt umfassend und uneingeschränkt würdigen könne. Aufgrund der klaren Strukturierung und übersichtlichen Gliederung lasse sich der Eingabe vom 8. Dezember 2020 unschwer entnehmen, wo und wann sich der Beschwerdeführer im Einzelnen mit dem massgeblichen Sachverhalt der Klage auseinandersetze.
4.
Nach <ref-law> sind Mängel einer Eingabe wie fehlende Unterschrift und fehlende Vollmacht innert einer gerichtlichen Nachfrist zu verbessern, andernfalls die Eingabe als nicht erfolgt gilt (Abs. 1). Gleiches gilt für unleserliche, ungebührliche, unverständliche oder weitschweifige Eingaben (Abs. 2).
4.1.
4.1.1. Der Begriff der unverständlichen Eingabe wird weder in <ref-law> noch sonstwo in der Zivilprozessordnung weiter umschrieben. In der Botschaft wird für die Bestimmung von <ref-law> nur ausgeführt, dass die Regelung derjenigen der Bundesrechtspflege, Art. 42 Abs. 5 und 6 BGG, entspreche (Botschaft zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO] vom 28. Juni 2006, BBl 2006, S. 7221 ff., S. 7306 zu Art. 130 E-ZPO).
Im bundesgerichtlichen Verfahren können nach <ref-law> "unverständliche" Rechtsschriften zur Änderung zurückgewiesen werden, wobei auch dort dieser Begriff nicht konkretisiert wird. In der Botschaft zum Bundesgerichtsgesetz wird für die Absätze 5 - 7 von <ref-law> einzig erklärt, dass die Regelung Art. 30 Abs. 2 und 3 sowie Art. 36a Abs. 2 des Bundesrechtspflegegesetzes entspreche (Botschaft zur Totalrevision der Bundesrechtspflege vom 28. Februar 2001, BBl 2001, S. 4202 ff., S. 4296 zu Art. 39 E-BGG; vgl. auch Laurent Merz, Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 103 zu <ref-law>). Im früheren Bundesrechtspflegegesetz (Bundesgesetz über die Organisation der Bundesrechtspflege vom 16. Dezember 1943; SR 173.110) wurde der Begriff der unverständlichen Eingabe nicht verwendet (vgl. Art. 30 Abs. 3 OG). Das frühere Recht sah in Art. 108 Abs. 3 OG aber eine Nachfristansetzung vor, wenn die Begehren oder die Begründung "die nötige Klarheit vermissen" liessen. Das Bundesgericht verstand darunter, dass die Begehren oder die Begründung mehrdeutig waren (<ref-ruling> E. 1.3, 470 E. 1.3; <ref-ruling> E. 6b/bb S. 369; <ref-ruling> E. 2 S. 136) oder kein vernünftiger Sinn erkennbar war (<ref-ruling> E. 2b S. 96).
4.1.2. Vor diesem Hintergrund ist auch der Begriff der unverständlichen Eingaben nach <ref-law> zu verstehen: Unverständlich ist die Eingabe, wenn deren Begehren oder Begründung unklar ist, d.h. mehrdeutig oder widersprüchlich oder darin kein vernünftiger Sinn erkennbar ist (Julia Gschwend, in: Karl Spühler et al [Hrsg.], Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 28 zu <ref-law>; Adrian Staehelin, in: Thomas Sutter-Somm et al [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N. 3 zu <ref-law>; Michael Kramer / Nadja Erk, in: Alexander Brunner et al [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung ZPO, 2. Aufl. 2016, N. 12 zu <ref-law>; Nina J. Frei, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 14 zu <ref-law>). Unverständlich kann auch eine unübersichtliche oder unstrukturierte Eingabe sein (François Bohnet, in: Commentaire romand, Code de procédure civile, 2. Aufl. 2019, N. 21 zu <ref-law> "une demande présentée comme un torrent de récriminations désordonné").
Das Gericht hat dabei die Eingabe nach Treu und Glauben auszulegen (<ref-ruling> E. 2a; Urteile 5A_164/2019 vom 20. Mai 2020 E. 4.3, nicht publ. in <ref-ruling>; 4A_312/2019 vom 12. Mai 2020 E. 3.2). Die Eingabe ist erst unverständlich nach <ref-law>, wenn das Gericht auch durch Auslegung des in der gesamten Eingabe Dargelegten nicht ermitteln kann, was die Partei genau fordert oder wie sie das konkret begründet (Roger Weber, in: Paul Oberhammer et al [Hrsg], Kurzkommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 14 zu Art. 130 - 132 ZPO; Gschwend, a.a.O.; Kramer/Erk, a.a.O.; Frei, a.a.O.).
Klarzustellen ist schliesslich, dass keine Unverständlichkeit vorliegt, wenn diese auf eine ungenügende Begründung zurückzuführen ist. Die in <ref-law> vorgesehene Nachfristansetzung dient nicht dazu, eine inhaltlich ungenügend begründete Eingabe zu ergänzen und zu vervollständigen (Urteile 5A_49/2017 vom 18. Juli 2017 E. 3.2; 5A_736/2016 vom 30. März 2017 E. 4.3; 5A_206/2016 vom 1. Juni 2016 E. 4.2.2; je mit Hinweisen).
4.2. Mangelhaft nach <ref-law> ist auch die weitschweifige Eingabe. Ob eine Eingabe weitschweifig ist, hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalls ab. Weitschweifigkeit wird etwa angenommen bei langatmigen Ausführungen und Wiederholungen bezüglich einzelner Tat- oder Rechtsfragen, die zur Beurteilung eines Anspruchs nicht erforderlich sind und/oder sich in keiner Weise auf das Prozessthema beziehen. Weitschweifigkeit kann ferner auch darin gesehen werden, dass eine Partei zahlreiche Beilagen zu einer Rechtsschrift einreicht, die nicht in erkennbarer Weise mit der konkreten Streitfrage im Zusammenhang stehen. Die Darlegung komplizierter Sachverhalte und komplexer Rechtsverhältnisse erfordert unter Umständen jedoch ausführliche Erörterungen. Solche Ausführungen sind nicht als weitschweifig zurückzuweisen, da sie sachlich geboten sind. Auch in derartigen, grundsätzlich zulässigen Fällen darf aber eine Beschränkung auf das Wesentliche erwartet werden. Das Erfordernis der Verständlichkeit verlangt sodann nach einer nachvollziehbaren Struktur der Eingabe (Urteile 2C_469/2018 vom 6. Februar 2019 E. 4.2; 2C_676/2017 vom 20. März 2018 E. 3.2.2; 9C_440/2017 vom 19. Juli 2017 E. 5.2; je mit Hinweisen).
Neben solchen inhaltlichen Abschweifungen vom Prozessthema können zur Beurteilung der Weitschweifigkeit insbesondere der Umfang früherer oder gegnerischer Rechtsschriften und im Rechtsmittelverfahren derjenige des angefochtenen Entscheids berücksichtigt werden (vgl. Urteile 2C_469/2018 vom 6. Februar 2019 E. 4.2; 2C_676/2017 vom 20. März 2018 E. 3.2.2; 9C_440/2017 vom 19. Juli 2017 E. 5.2; je mit Hinweisen).
5.
Vor dem Hintergrund dieser Grundsätze, auf welche sich auch die Vorinstanz stützte, qualifizierte diese die nachgebesserte Klageschrift des Beschwerdeführers vom 8. Dezember 2020 zu Recht als mangelhaft nach <ref-law>.
Der Beschwerdeführer machte mit seiner Klage als "Entwickler und Urheber" der Software "X._" im Rahmen einer Stufenklage einen Informations- und einen Schadenersatzanspruch gegen die Beschwerdegegnerin "als vorsätzliche und gewerbsmässige Verletzerin seiner Rechte und seines Eigentums an der Software" geltend. Er reichte dafür am 12. Mai 2020 eine 91-seitige Klageschrift ein, die er nach der Ansetzung einer Nachfrist auf 78 Seiten kürzte. Es handelt sich in der Sache zwar um eine nicht ganz einfache Forderungsstreitigkeit. Dennoch ist nicht ersichtlich, dass es sich um eine besonders komplexe Angelegenheit handeln würde, bei welcher ausführlichste Erörterungen auf rund 80 eng bedruckten Seiten in einer ersten Rechtsschrift notwendig wären.
Vielmehr besteht die Klageschrift aus zahlreichen Wiederholungen und langatmigen Ausführungen zum behaupteten Informations- und Schadenersatzanspruch gegenüber der Beschwerdegegnerin. Es ist zum Teil äusserst schwierig, den voller Wiederholungen steckenden Textpassagen zu entnehmen, was der Beschwerdeführer genau fordert und wie er seine Ansprüche begründet. Darüber hinaus fehlt es der Klageschrift an einer klaren Struktur und sie spricht sich in schwer überblickbarer Weise zu den behaupteten Ansprüchen aus, auch wenn der Beschwerdeführer vor Bundesgericht anderes behauptet. Der Beschwerdeführer vermischt in seiner nachgebesserten Klageschrift die verschiedensten Argumente miteinander, sodass seine Erörterung der Sachlage über weite Strecken nicht nachvollziehbar ist, wie die Vorinstanz zu Recht erkannte.
Darüberhinaus schildert der Beschwerdeführer seinen Standpunkt in der Klageschrift in grössenteils schwer verständlichen Sätzen mit vielen Einschüben, was die Lektüre äusserst mühsam gestaltet. Daran ändert auch nichts, dass der Beschwerdeführer mit Hinweis auf eine "computerlinguistische" Analyse der Klageschrift Gegenteiliges behauptet. Ob die Eingabe mangelhaft ist, bemisst sich nicht aufgrund einer rein linguistischen Textanalyse durch ein Computerprogramm. Vielmehr beurteilt dies das Gericht nach pflichtgemässem Ermessen aufgrund der gesamten Umstände. In casu ist die Vorinstanz zu Recht zum Schluss gekommen, dass die nachgebesserte Klageschrift des Beschwerdeführers vom 8. Dezember 2020 weitschweifig und (zumindest teilweise) unverständlich im Sinne von <ref-law> ist. Die Vorinstanz ist damit zulässigerweise nach einer Nachfristansetzung, in der sie den Beschwerdeführer ausdrücklich auf die Mängel seiner Eingabe hinwies, auf die Klage nicht eingetreten. Die dagegen vom Beschwerdeführer erhobenen Rügen sind unbegründet.
Da die Vorinstanz auf die Klage nicht eingetreten ist, besteht keine res iudicata. Der Beschwerdeführer könnte daher seine behaupteten Ansprüche gegen die Beschwerdegegnerin erneut an einem Gericht geltend machen. Ihm ist aber zu empfehlen, dafür anwaltlichen Rat in Anspruch zu nehmen, vorzugsweise von einer schweizerischen Rechtsvertretung.
6.
Der Beschwerdeführer verlangt in verfahrensrechtlicher Hinsicht den Beizug der Verfahrensakten aus seinen früheren Verfahren vor der Vorinstanz und dem bundesgerichtlichen Verfahren 4A_351/2020. Er legt aber nicht rechtsgenüglich dar, aus welchen Gründen das Bundesgericht diese beizuziehen hätte (Erwägung 2). Solches ist auch nicht ersichtlich, geht es doch vorliegend einzig um die Beurteilung der nachgebesserten Klage des Beschwerdeführers vom 8. Dezember 2020 und nicht um die Qualifizierung seiner früheren Rechtsschriften. Der Verfahrensantrag wird abgewiesen.
7.
Der Beschwerdeführer behauptet, dass bei einem "ohne jede Zweifel (und zu Recht) " vom ihm festgesetzten Streitwert von Fr. 40'000.-- die korrekte Gerichtsgebühr Fr. 1'600.-- betrage. Die Streitwertfestsetzung durch die Vorinstanz sei offensichtlich unrichtig.
Die Vorinstanz begründete in Erwägung 3 des angefochtenen Beschlusses die Festsetzung des Gesamtstreitwerts "auf mindestens" Fr. 80'000.--. Mit diesen Erwägungen setzt sich der Beschwerdeführer nicht hinreichend auseinander. Darüberhinaus zeigt er nicht rechtsgenüglich auf, inwiefern die Vorinstanz diesbezüglich willkürlich geurteilt oder sonstwie Bundesrecht verletzt haben soll, indem er bloss behauptet, dass die Streitwertfestsetzung offensichtlich unrichtig sei (Erwägung 2). Darauf ist nicht einzutreten.
8.
Der Beschwerdeführer ersucht für das kantonale Verfahren um Zusprechung einer Umtriebsentschädigung gemäss <ref-law> für die Dienstleistungen des Anwaltskollegiums "Y._" aus U._. Die fakturierten Dienstleistungen seien für die materielle Wahrung eines Rechtsschutzinteresses offensichtlich notwendig gewesen.
Der Beschwerdeführer ist im kantonalen Verfahren durch den Nichteintretensentscheid vollständig unterlegen (<ref-law>), sodass die Zusprechung einer Umstriebsentschädigung im Sinne von <ref-law> von vornherein entfällt. Die Rüge geht fehl.
9.
Die Beschwerde ist nach dem Gesagten abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Zufolge Unterliegens hat der Beschwerdeführer keinen Anspruch auf Ersatz der Parteikosten (<ref-law>), weshalb auf sein Gesuch um Zusprechung einer Umtriebsentschädigung für das bundesgerichtliche Verfahren nicht weiter einzugehen ist. Der obsiegenden Beschwerdegegnerin sind mangels Einholens einer Vernehmlassung keine entschädigungspflichtigen Kosten entstanden. Es ist daher keine Parteientschädigung zu sprechen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. März 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Brugger