Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ und B.A._ schlossen am 13. April 2010 im Eheschutzverfahren eine Vereinbarung, die unter anderem den Unterhalt betraf und am 14. April 2010 gerichtlich genehmigt wurde. In Bezug auf die Steuern enthält sie Folgendes:
" 5. Der Beklagte [A.A._] verpflichtet sich, der Klägerin [B.A._] einen monatlichen Unterhaltsbeitrag (...) zu leisten. Dieser setzt sich wie folgt zusammen: • Der Beklagte bezahlt die der Klägerin als selbständiges Steuersubjekt effektiv anfallenden Steuern (Gemeinde-, Bezirks-, Kantons- und Bundessteuern);"
A.b. Mit Urteil des Einzelrichters am Bezirksgericht Höfe vom 5. September 2011 wurden die Parteien geschieden und ihre Scheidungskonvention vom 31. August bzw. 1. September 2011 genehmigt. Diese Konvention enthält unter anderem die nachstehende Bestimmung zur Unterhaltsregelung im Eheschutzverfahren (Ziffer 5) und folgende Saldoklausel (Ziffer 10) :
" 5. (...) Bis zum Ablauf von 30 Tagen ab Rechtskraft des Scheidungsurteils gilt die Unterhaltsregelung gemäss Verfügung vom 14. April 2010 im Verfahren E3 09 18 betreffend Eheschutz weiter. 10. Mit Erfüllung der vorliegenden Konvention erklären sich die Ehegatten in güter-, vorsorge- und unterhaltsrechtlicher Hinsicht als vollständig auseinandergesetzt. Diese Saldoklausel tangiert die Verpflichtung des Ehemannes aus der eheschutzrichterlichen Verfügung vom 14. April 2010 nicht."
A.c. In der Folge verlangte B.A._ von A.A._ die Zahlung ihrer Steuern für die Jahre 2008-2011, die er jedoch verweigerte. B.A._ setzte die Forderung in Betreibung und A.A._ erhob Rechtsvorschlag gegen den Zahlungsbefehl.
B.
B.a. Nach erfolgloser Schlichtung erhob B.A._ beim Bezirksgericht Höfe am 26. November 2013 eine Forderungsklage gegenüber A.A._ auf Zahlung ihrer Steuern für die Jahre 2008-2011 und Beseitigung des Rechtsvorschlags. Sie stützte sich hierfür auf die genehmigte Eheschutzvereinbarung und die genehmigte Scheidungskonvention und machte geltend, dass sich daraus eine grundsätzliche Zahlungspflicht von A.A._ für die eingeklagten Steuern ergebe.
B.b. A.A._ beantragte in seiner Klageantwort vom 31. Januar 2014, es sei auf die Klage nicht einzutreten, eventuell sei sie abzuweisen. Materiell stützte er sich namentlich auf die Saldoklausel, mit der auch die Steuerforderungen aus dem Eheschutzverfahren erledigt worden seien. In prozessualer Hinsicht erhob er diverse Einreden gegen das Eintreten auf die Klage, die teilweise Gegenstand von Entscheiden wurden.
B.c. Mit Verfügung vom 18. August 2014 trat der Präsident des Bezirksgerichts Höfe auf die Klage nicht ein, weil dieser die materielle Rechtskraft des Vergleichs entgegen stehe. Die Sache gehöre auf den Vollstreckungsweg. Habe B.A._ einen unklaren oder unvollständigen Rechtsöffnungstitel, dann müsse sie gegebenenfalls dessen Erläuterung verlangen.
B.d. Mit Beschluss vom 22. Juli 2015 hiess das Kantonsgericht die von B.A._ erhobene Berufung gut, hob den Entscheid auf und wies die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen zurück (Rückweisungsentscheid). Im Wesentlichen verneinte das Kantonsgericht eine res iudicata. B.A._ mache Steuern geltend für die Jahre 2008-2011, mithin für die Zeit des Getrenntlebens, die in der Eheschutzverfügung vom 14. April 2010 abschliessend geregelt worden sei. Mit dem Scheidungsurteil und der Saldoklausel in der Scheidungskonvention seien jedoch Tatsachen eingetreten, aus denen A.A._ neue Einwände gegen seine Zahlungspflicht erhebe. Die Streitfrage, ob A.A._ die eingeklagten Steuern trotz der Saldoklausel in der Scheidungskonvention zu bezahlen habe bzw. wie diese Klausel auszulegen sei, sei im Eheschutzverfahren nicht beurteilt worden (Verweis auf <ref-ruling> E. 2). Deshalb sei der Streitgegenstand der Klage anders und liege keine res iudicata vor. Die Sache gehe zur Neubeurteilung, insbesondere der noch geklärten Zuständigkeit, an das Bezirksgericht Höfe.
Diesen Rückweisungsentscheid hat A.A._ nicht angefochten.
B.e. Mit Verfügung vom 2. Dezember 2015 trat der Präsident des Bezirksgerichts Höfe auf die Klage ein, unter Berücksichtigung der Erwägungen des Kantonsgerichts im Beschluss vom 22. Juli 2015 zur Verneinung der res iudicata. Ferner bejahte er die Zuständigkeit des angerufenen Bezirksgerichts als Gesamtgericht. Auf eine dagegen von A.A._ erhobene Berufung trat das Kantonsgericht am 13. September 2016 nicht ein mit der Begründung, dass ihm das Rechtsschutzinteresse an der sofortigen Beurteilung der Zuständigkeit fehle, nachdem der Gerichtspräsident diese nicht abschliessend beurteilen könne, weil dafür das Bezirksgericht als Gesamtgericht zuständig sei.
B.f. Mit Zwischenentscheid vom 14. Dezember 2016 trat das Bezirksgericht als Gesamtgericht auf die Klage ein. Für die Verneinung einer res iudicata hielt es an der Begründung in der Präsidialverfügung vom 2. Dezember 2015 fest. Ferner bejahte es sinngemäss seine Zuständigkeit als Gesamtgericht.
B.g. Mit Beschluss vom 28. Juli 2017 wies das Kantonsgericht die dagegen von A.A._ erhobene Berufung ab. Es bejahte die Zuständigkeit des angerufenen Bezirksgerichts als Gesamtgericht nach kantonalem Recht für die Klage und verwies bezüglich der Einrede der res iudicata auf seinen früheren Rückweisungsentscheid vom 22. Juli 2015 (Bst. B.d).
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. September 2017 beantragt A.A._ (Beschwerdeführer), der Beschluss des Kantonsgerichts vom 28. Juli 2017 sei aufzuheben und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne des Nichteintretens auf die von B.A._ (Beschwerdegegnerin) erhobene Klage an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei auf diese Klage nicht einzutreten.
C.b. Es wurden die vorinstanzlichen Akten eingeholt, nicht aber eine Vernehmlassung der Beschwerdegegnerin.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Entscheid über die innerkantonale Zuständigkeit der Erstinstanz (<ref-law>). Insoweit liegt ein Zwischenentscheid vor, der später nicht mehr angefochten werden kann (<ref-law>), auch wenn es um eine kantonale Zuständigkeit geht (vgl. Nicolas von Werdt, in: Bundesgerichtsgesetz (BGG), 2007, N. 13 zu <ref-law>; zur Kognition: E. 2.1.3). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1 S. 382). Dort geht es um eine vermögensrechtliche Zivilsache im Sinne von <ref-law>, deren Streitwert Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich auch gegen den Zwischenentscheid gegeben. Der Beschwerdeführer ist gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Soweit die Beschwerde die innerkantonale Zuständigkeit der Erstinstanz betrifft, kann darauf eingetreten werden.
1.3. Nicht einzutreten ist demgegenüber auf die Beschwerde, soweit der Beschwerdeführer darin rügt, es liege eine res iudicata vor. Er behauptet diesbezüglich, dass die genehmigte Saldoklausel in der Scheidungskonvention bereits rechtskräftig regle, dass er die eingeklagten Steuern nicht zahlen müsse.
Die Vorinstanz hat im vorliegend angefochtenen Zwischenentscheid nicht über die Einrede der res iudicata befunden, sondern lediglich auf ihren früheren Beschluss vom 22. Juli 2015 hierzu verwiesen (Bst. B.g). Dieser Beschluss war ein Rückweisungsentscheid und damit ein Zwischenentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.4; Urteile 4A_66/2016 vom 22. August 2016 Bst. B sowie E. 1 und 4; 4A_341/2013 vom 18. November 2013 E. 1.2 f.), den der Beschwerdeführer nicht sofort anfechten musste (<ref-law>). Nachdem er die sofortige Anfechtung unterlassen hat (Bst. B.d), kann er seine Rügen zur res iudicata am Bundesgericht erst wieder mit der Anfechtung des vorinstanzlichen Endentscheids vortragen, falls es zu einem solchen kommt (<ref-law>; Urteile 8C_24/2014 vom 12. Juni 2014 E. 2.2; 4A_458/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 1.2).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine fehlerhafte Beurteilung der innerkantonalen Zuständigkeit des angerufenen Bezirksgerichts.
2.1.1. Gemäss <ref-law> regelt das kantonale Recht die sachliche und funktionelle Zuständigkeit der Gerichte, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt. Die ZPO enthält diverse Vorschriften zu den familienrechtlichen Verfahren, bestimmt jedoch nicht, welche Behörde innerhalb eines Kantons für eine Familiensache zuständig ist und ob es ein Einzel- oder Kollegialgericht ist. Die sachliche und funktionelle Zuständigkeit hierfür richtet sich daher nach kantonalem Recht, hier dem Justizgesetz des Kantons Schwyz (JG; SRSZ 231.110), das die Vorinstanz angewendet hat.
2.1.2. Das Kantonsgericht erwog, dass keine Familiensache gemäss § 31 Abs. 2 Bst. a JG vorliege, weil die Ehe der Parteien bereits geschieden sei und weil es weder um die Regelung der Scheidungsnebenfolgen noch um deren Ergänzung oder Abänderung gehe. Im Streit sei vielmehr eine Forderungsklage mit der Besonderheit, dass sich diese auf eine im Eheschutzverfahren getroffene Vereinbarung stütze. Dafür sei auf Grund des Streitwerts [der ein vereinfachtes Verfahren ausschliesse - § 31 Abs. 2 Bst. c JG] nicht der Einzelrichter, sondern das Bezirksgericht [als Gesamtgericht] zuständig.
2.1.3. Das Bundesgericht prüft die Anwendung kantonalen Rechts - von hier nicht gegebenen Sonderfällen (Art. 95 Bst. c-e) abgesehen - nur insofern, als diese eine Verletzung von Bundesrecht (Art. 95 Bst. a BGG) oder von Völkerrecht (Art. 95 Bst. b BGG) darstellt (<ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2). Dabei steht die willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts (<ref-law>) sowie die Verletzung anderer Grundrechte (<ref-law>) im Vordergrund (<ref-ruling> E. 3.1). Deren Verletzung prüft es nur insofern, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Darin ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern die angerufenen Rechte verletzt worden sein sollen (BGE <ref-ruling> E. 2.1).
2.1.4. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe die Zuständigkeit des Bezirksgerichts als Gesamtgericht zu Unrecht bejaht, weil eine Familiensache vorliege, zu deren Beurteilung zwingend der Einzelrichter zuständig sei. Er bezeichnet die Erwägungen, mit denen die Vorinstanz das Vorliegen einer Familiensache nach dem JG verneint hat, als absurd und unverständlich, denn es gehe um eine Familiensache, nämlich um die Erläuterung einer Eheschutzverfügung und des Scheidungsurteils (Saldoklausel). Er legt aber nicht klar und detailliert dar, weshalb die Würdigung der Vorinstanz willkürlich sein oder andere Grundrechte verletzen soll. Insbesondere vermisst man hier eine eingehende Auseinandersetzung mit der vorinstanzlichen Ansicht, es liege eine gewöhnliche Forderungsklage vor, deren einzige Besonderheit darin bestehe, dass sie auf einer Vereinbarung im Eheschutzverfahren beruhe (E. 2.1.2). In diesem Punkt ist mangels ausreichender Begründung auf die Beschwerde nicht einzutreten.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer erhebt neben der Einrede der res iudicata (E. 1.3) und der fehlenden kantonalen Zuständigkeit (E. 2) drei weitere Einreden, welche die Wahl der Verfahrensart und die Zuständigkeit der Erstinstanz betreffen. Er macht geltend, dass es der Beschwerdegegnerin um eine Geldvollstreckung nach SchKG gehe, für die der Rechtsöffnungsrichter zuständig sei. Ansonsten sei auf Grund des Grundsatzes der Einheit des Scheidungsurteils (<ref-law>) der Scheidungsrichter im Scheidungsverfahren zur Beurteilung der Klage zuständig. Wenn die Saldoklausel in der Scheidungskonvention unklar sei, gehe es um eine Erläuterung, die ebenfalls der Scheidungsrichter, der die Konvention genehmigt habe, beurteilen müsse (<ref-law>). Der Beschwerdeführer bemängelt, dass diese weiteren Einreden nicht geprüft worden seien und dass die Vorinstanz damit seinen Gehörsanspruch (<ref-law>) verletzt habe.
3.2. Zutreffend ist, dass die Vorinstanz die weiteren Einreden des Beschwerdeführers nicht beurteilt hat. Das musste sie aber auch nicht, weil es im angefochtenen Zwischenentscheid lediglich um die kantonale Zuständigkeit ging. Grundsätzlich liegt es im Ermessen der Erstinstanz, welche Prozessvoraussetzungen sie zum Gegenstand eines Zwischenentscheids gemäss <ref-law> machen will; ein Anspruch der Parteien auf Vorabprüfung der Klagevoraussetzungen in einem Zwischenentscheid besteht nicht (Urteil 5A_73/2014 vom 18. März 2014 E. 2.3). Vorbehalten bleiben allfällige Ermessensfehler des Gerichts (Urteil 4A_142/2014 vom 2. Oktober 2014 E. 2), die der Beschwerdeführer hier nicht rügt.
Indem sich die Vorinstanz auf Erwägungen zur kantonalen Zuständigkeit beschränkte, verneinte sie implizit die Relevanz der weiteren Einreden für den angefochtenen Zwischenentscheid (<ref-ruling> E. 3.2.1; Urteil 2C_1065/2014 vom 26. Mai 2016 E. 3.2, nicht publ. in <ref-ruling>). Dagegen wendet der Beschwerdeführer nichts ein. Seine Gehörsrüge ist daher nicht ausreichend begründet.
Weil die Rügen des Beschwerdeführers zu den weiteren Einreden ausserhalb des Streitgegenstands (kantonale Zuständigkeit) liegen und die Rüge der Gehörsverletzung nicht ausreichend begründet ist, kann auch in diesem Punkt auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.3. Wie es sich mit den weiteren Einreden des Beschwerdeführers zur Verfahrensart und Zuständigkeit (E. 3.1) materiell verhält, kann offen bleiben. Die Einreden werden hier nicht beurteilt, nachdem sie schon nicht Gegenstand des angefochtenen Zwischenentscheids waren. Sie können daher später noch geprüft werden. Für die Rügen betreffend die Einrede der res iudicata gilt das in E. 1.3 Erwähnte.
4.
Aus den erwähnten Gründen ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Februar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu