Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1976), serbische Staatsangehörige, heiratete am 12. Januar 1995 in Serbien ihren Landsmann C.A._ (geb. 1975), welcher bereits am 11. Oktober 1992 in die Schweiz eingereist war und über eine Aufenthaltsbewilligung verfügte. Nachdem dessen Familiennachzugsgesuch für seine Ehefrau zunächst abgelehnt worden war, erhielt letztere schliesslich nach ihrer Einreise in die Schweiz am 1. Januar 1998 am 4. Januar 1998 eine entsprechende Aufenthaltsbewilligung. Aus der Ehe ging die am 20. August 2001 in der Schweiz geborene B.A._ hervor, welche ebenfalls eine Aufenthaltsbewilligung zwecks Verbleib bei den Eltern erhielt und über die serbische Staatsbürgerschaft verfügt. Das Migrationsamt des Kantons St. Gallen (Migrationsamt) verlängerte die Aufenthaltsbewilligungen von C.A._, A.A._ und B.A._ mehrmals, jene von A.A._ zuletzt am 4. Januar 2012 mit Gültigkeit bis zum 3. Januar 2013, und zwar unter der Bedingung, bestehende Schulden im Rahmen der Möglichkeiten zu tilgen, keine neuen Schulden zu verursachen und einer geregelten Erwerbstätigkeit nachzugehen.
A.b. Mit Verfügung vom 27. März 2014 verweigerte das Migrationsamt die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligungen von A.A._ und B.A._, nachdem zulasten A.A._ offene Verlustscheine im Betrag von Fr. 41'318.30 und Betreibungen im Umfang von Fr. 3'199.35 zu verzeichnen gewesen waren. Mit separater Verfügung gleichen Datums wurde ebenfalls die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung des Ehemannes C.A._ verweigert, nachdem gegen diesen unter anderem offene Verlustscheine im Betrag von Fr. 82'855.58 und Betreibungen im Umfang von Fr. 37'822.75 registriert worden waren. Sämtliche Betroffenen wurden gemäss den genannten Verfügungen per 5. Juni 2014 aus der Schweiz weggewiesen. Die gegen die genannten Verfügungen von einerseits A.A._ und B.A._ und andererseits C.A._ erhobenen Rekurse wurden durch Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen (Sicherheits- und Justizdepartement) vom 10. April 2015 abgewiesen. Die dagegen von allen Betroffenen erhobene Beschwerde blieb gemäss Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 28. Juni 2016 erfolglos. Auf ein am 25. Oktober 2016 gestelltes Wiedererwägungsgesuch trat das Migrationsamt mit Verfügung vom 3. November 2016 nicht ein. Die diesbezüglich erhobenen Rechtsmittel blieben ebenfalls erfolglos. Nachdem der verwaltungsgerichtliche Entscheid vom 28. Juni 2016 in Rechtskraft erwachsen war, setzte das Migrationsamt C.A._, A.A._ und B.A._ eine Ausreisefrist bis 2. November 2016, welche bis zum 25. November 2016 erstreckt wurde. Am 26. November 2016 reisten A.A._ und B.A._ nach Serbien aus.
A.c. Im Dezember 2016 wurde die Ehe zwischen C.A._ und A.A._ geschieden und die elterliche Sorge für B.A._ der Mutter übertragen, während der Vater zu Unterhaltszahlungen verpflichtet und ihm ein Besuchsrecht eingeräumt wurde. Nach der Ankunft in Serbien erlitt B.A._ einen psychischen Zusammenbruch, der sich unter anderem in chronischer Schlaflosigkeit, starken Kopfschmerzen und Rückzug in sich selbst äusserte und mit Medikamenten behandelt wurde.
B.
Am 7. März 2017 stellten A.A._ und B.A._ ein Gesuch um Gewährung einer Härtefallbewilligung. Mit Verfügung vom 27. April 2017 wies das Migrationsamt das Gesuch ab und verweigerte die Unterbreitung des Falles beim Staatssekretariat für Migration (SEM). Der dagegen erhobene Rekurs blieb gemäss Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements vom 22. Januar 2018 erfolglos. Die dagegen von A.A._ und B.A._ erhobene Beschwerde wurde mit Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 8. August 2018 abgewiesen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht vom 17. September 2018 beantragen A.A._ (Beschwerdeführerin 1) und B.A._ (Beschwerdeführerin 2) die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides. Das Gesuch von A.A._ und B.A._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wegen Vorliegens eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls sei gutzuheissen, respektive es sei das Migrationsamt anzuweisen, das Gesuch dem Staatssekretariat für Migration zur Zustimmung zu unterbreiten. Für das bundesgerichtliche Verfahren wird die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege beantragt. Zudem sei im Falle einer Abweisung der Beschwerde im Hauptpunkt den Beschwerdeführerinnen für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Die Vorinstanz und das Sicherheits- und Justizdepartement beantragen in ihren Vernehmlassungen die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels gemäss <ref-law> von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476).
1.1. Die Beschwerdeführerinnen stützen ihr Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung bzw. ihre Beschwerde einerseits auf <ref-law> (schwerwiegender persönlicher Härtefall) und andererseits auf Art. 8 EMRK. Die Beschwerdeführerin 1 beruft sich auf das entsprechende Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens, während die Beschwerdeführerin 2 dasselbe Recht (gemäss EMRK) in Kombination mit ihren Rechten aus der UN-Kinderrechtskonvention (Übereinkommen vom 20. November 1989 über die Rechte des Kindes [KRK]; SR 0.107) heranzieht, wobei letztere ebenfalls ihr Privatleben schütze. Sollte die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht zulässig sein, so wird beantragt, dass sie als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen genommen wird.
1.2. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide im Zusammenhang mit ausländerrechtlichen Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>) oder bei denen von den Zulassungsvoraussetzungen abgewichen wird (<ref-law>). Bei einer Aufenthaltsbewilligung gestützt auf <ref-law> handelt es sich nicht um eine Anspruchs-, sondern um eine Ermessensbewilligung. Abgesehen davon geht es um ein Abweichen von den Zulassungsvoraussetzungen. Das Bundesgericht kann deshalb die Verweigerung der Aufenthaltsbewilligung nicht unter dem Titel von <ref-law> überprüfen (Urteil 2C_873/2013 vom 25. März 2014, E. 1.2, nicht publ. in: <ref-ruling>).
1.3. Art. 8 EMRK verschafft praxisgemäss keinen Anspruch auf Einreise und Aufenthalt oder auf einen Aufenthaltstitel. Er hindert die Konventionsstaaten nicht daran, die Anwesenheit auf ihrem Staatsgebiet zu regeln und den Aufenthalt ausländischer Personen unter Beachtung überwiegender Interessen des Privat- und Familienlebens auch wieder zu beenden (<ref-ruling> E. 6.1 S. 12; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 250). Vorliegend wurde der Aufenthalt der Beschwerdeführerinnen bereits rechtskräftig beendet und sie sind aus der Schweiz ausgereist. Einen Anspruch auf Wiedereinreise zwecks Aufenthalt vermittelt das Recht auf Achtung des Privatlebens gemäss Art. 8 EMRK nicht. Ebenso wenig ergibt sich ein solches Recht aus dem Schutz des Familienlebens aufgrund Art. 8 EMRK, denn diesbezüglich müssten sich die Beschwerdeführerinnen auf eine tatsächlich gelebte familiäre Beziehung zu einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person berufen können (<ref-ruling> E. 6.1 S. 12 mit Hinweisen). Zum geschützten Familienkreis gehört diesbezüglich in erster Linie die Kernfamilie, d. h. die Eltern mit ihren minderjährigen Kindern. Die Kernfamilie, nämlich die Beschwerdeführerinnen 1 und 2 und der Vater der Beschwerdeführerin 2, befinden sich jedoch nicht mehr in der Schweiz. Dass über den Kreis der Kernfamilie hinausgehende Familienangehörige vorhanden sind, welche in der Schweiz über ein gefestigtes Aufenthaltsrecht verfügen und zu den Beschwerdeführerinnen in einer besonderen Beziehung (vgl. zu den Anforderungen <ref-ruling> E. 6.1 S. 12 f.) stehen, wird von den Beschwerdeführerinnen nicht geltend gemacht.
Wohl ist festzuhalten, dass dem Leitgedanken von Art. 3 Abs. 1 KRK, wonach das Kindeswohl bei allen Massnahmen, welche Kinder betreffen, vorrangig zu berücksichtigen ist, angemessen Rechnung zu tragen ist (<ref-ruling> E. 5.5.1 und 5.5.2 S. 29 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_221/2019 vom 25. Juli 2019 E. 3.4). Allerdings begründet auch die KRK für sich genommen keinen über die Garantien von Art. 8 EMRK hinausgehenden, eigenständigen Aufenthaltsanspruch (<ref-ruling> E. 5.2 S. 97 f.; <ref-ruling> E. 5.5.2 S. 30 in fine). Mangels Anspruchsgrundlage, auf welche sich die Beschwerdeführerinnen zwecks Einreise und Aufenthalt berufen könnten, ist auf die vorliegende Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheit nicht einzutreten.
1.4. Ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig, steht unter bestimmten Voraussetzungen die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerinnen beantragen denn auch für diesen Fall, die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen zu nehmen. Mit dieser kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>), wobei die Beschwerdeberechtigung ein rechtlich geschütztes Interesse der Beschwerdeführerinnen an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Urteils erfordert (<ref-law>). Da die Beschwerdeführerinnen bezüglich Bewilligungserteilung keine Rechte aus Art. 8 EMRK oder der KRK ableiten können, fehlt es vorliegend an einem rechtlich geschützten Interesse, und zwar selbst dann, wenn die Beschwerdeführerinnen die Verletzung des Willkürverbots (<ref-law>) anrufen würden (<ref-ruling> E. 6.2, 6.3 und 7 S. 198 ff.; Urteil 2D_46/2019 vom 14. Januar 2020 E. 3.3 und 4.1). Verfahrensfehler, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommen und die das Bundesgericht im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde losgelöst von der Sache selber prüfen könnten (sog. "Star"-Praxis; <ref-ruling> E. 1.1 und 2 S. 307 f.; Urteile 2C_1035/2017 vom 20. Juli 2018 E. 1.1; 2C_873/2013 vom 25. März 2014 E. 1.2), werden von den Beschwerdeführerinnen nicht gerügt. Demzufolge kann auf die vorliegende Beschwerde auch nicht als subsidiäre Verfassungsbeschwerde eingetreten werden.
2.
Die Beschwerde erweist sich somit in jedem Fall als unzulässig, weshalb auf sie nicht einzutreten ist. Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (<ref-law>). Ebensowenig kann aufgrund der Ausgangslage dem Antrag, im Falle einer Abweisung der Beschwerde im Hauptpunkt den Beschwerdeführerinnen für das vorinstanzliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, zugestimmt werden (wobei es aufgrund des Nichteintretensentscheides nicht erforderlich ist, diesen Punkt im nachfolgenden Dispositiv zu erwähnen). Allerdings wird vorliegend auf die Erhebung von Gerichtskosten für das bundesgerichtlichen Verfahren verzichtet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Februar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Quinto