Sachverhalt:
A.
A.a. Der türkische Staatsangehörige A._, geboren am 16. August 1978, reiste am 4. November 1993 in die Schweiz ein und stellte am 17. November 1993 ein erstes Asylgesuch. Am 15. Juni 1994 anerkannte das Staatssekretariat für Migration SEM (damals Bundesamt für Flüchtlinge BFM) seine Flüchtlingseigenschaft und gewährte ihm Asyl. A._ erhielt in der Folge vom Ausländeramt eine Aufenthaltsbewilligung und am 19. Oktober 1999 eine Niederlassungsbewilligung. Am 10. November 2000 verzichtete A._ auf seine Flüchtlingseigenschaft, woraufhin das SEM seinen Asylstatus mit Verfügung vom 16. November 2000 für beendet erklärte.
Am 2. Dezember 2002 heiratete A._ in seinem Herkunftsland seine Landsfrau B._ (geboren am 1. Januar 1985). Diese reiste am 26. Mai 2003 in die Schweiz ein und erhielt eine Jahresaufenthaltsbewilligung, die letztmals bis 25. Mai 2017 verlängert wurde. Aus der Ehe gingen zwei Kinder hervor (C._, geboren am 22. Mai 2004, und D._, geboren am 5. Januar 2010), die ebenfalls türkische Staatsangehörige sind. C._ verfügt über eine Niederlassungsbewilligung und D._ über eine Aufenthaltsbewilligung, die letztmals bis 25. Mai 2017 verlängert wurde.
A.b. Im Jahre 2007 wurde A._ in Deutschland wegen Einschleusens von 26 irakischen Männern zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren und drei Monaten verurteilt und war deswegen seit dem 28. März 2007 in Haft. Nachdem das Migrationsamt des Kantons St. Gallen hiervon erfahren hatte, stellte es mit Verfügung vom 14. Februar 2008 aufgrund des mehr als sechsmonatigen Aufenthalts in Deutschland und mangels Gesuchs um Aufrechterhaltung der Bewilligung das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung fest. Ein späteres Gesuch um Wiedererteilung der Niederlassungsbewilligung bzw. Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung wies das Migrationsamt aufgrund der strafrechtlichen Verurteilung und erheblichen (Sozialhilfe-) Schulden am 3. Juni 2008 ab. Am 30. Mai 2008 wurde A._ von den deutschen Behörden in die Türkei ausgeschafft.
Obschon das SEM am 8. September 2008 ein Gesuch der Ehegattin um Ausstellung einer Einreisebewilligung für einen dreimonatigen Aufenthalt von A._ in der Schweiz abgewiesen hatte, reiste A._ am 15. Mai 2009 erneut in die Schweiz ein und ersuchte am 19. Mai 2009 abermals um Asyl. Mit Verfügung vom 17. Juni 2009 wurde das Gesuch abgewiesen und die Wegweisung aus der Schweiz angeordnet. Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 9. Mai 2012 ab. Am 15. Mai 2012 wurde die Ausreisefrist neu auf den 10. Juni 2012 angesetzt.
A.c. Am 20. Februar 2012 wurde A._ im Zusammenhang mit einem Tötungsdelikt in U._/TG verhaftet und sodann in Untersuchungshaft genommen. Ab dem 20. November 2013 wurde ihm der vorzeitige Strafvollzug bewilligt. Mit Urteil vom 26. März 2015 verurteilte ihn das Bezirksgericht Kreuzlingen im abgekürzten Verfahren wegen Gehilfenschaft zur vorsätzlichen Tötung, Gehilfenschaft zur versuchten qualifizierten Erpressung sowie Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren. Am 13. Juli 2015 wurde er bedingt aus dem Strafvollzug entlassen. Mit Urteil vom 12. November 2015 stellte das Obergericht des Kantons Thurgau die Nichtigkeit der Anklageschrift sowie des Urteils des Bezirksgerichts Kreuzlingen fest. Das Bundesgericht wies eine dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 1B_11/2016 vom 23. Mai 2016). Mit Anklageschrift vom 14. Oktober 2016 wurde A._ beim Bezirksgericht Kreuzlingen im ordentlichen Verfahren angeklagt. Das Gericht sprach ihn der eventualvorsätzlichen Tötung durch Unterlassung schuldig. Gegen das Urteil ist die Berufung angekündigt worden.
A.d. Zusätzlich zu den bereits erwähnten Straftaten ist A._ strafrechtlich wie folgt in Erscheinung getreten:
- Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz (Busse von Fr. 850.--),
- Verletzung von Verkehrsregeln (Busse von Fr. 350.--),
- Widerhandlung gegen das Waffengesetz (Busse von Fr. 120.--),
- Missachtung des Rauchverbots sowie der Schliessungszeit (Bussen von Fr. 400.-- und Fr. 500.--),
- Verletzung von Verkehrsregeln (Busse von Fr. 320.--).
B.
Am 1. Juni 2015 stellte A._ ein weiteres Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltungsbewilligung, da ein Härtefall vorliege. Das Migrationsamt wies das Gesuch am 21. Juli 2015 ab und verweigerte die Unterbreitung der Angelegenheit an das SEM. Gleichzeitig wies es A._ an, die Schweiz bis spätestens am 2. August 2015 zu verlassen. Das Sicherheits- und Justizdepartement wies den Rekurs hiergegen mit Entscheid vom 15. November 2016 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies die Beschwerde gegen den Rekursentscheid mit Entscheid vom 22. Februar 2018 ab.
C.
Mit Beschwerde vom 16. April 2018 beantragt der Beschwerdeführer, dass der Entscheid der Vorinstanz vom 22. Februar 2018 vollumfänglich aufzuheben und die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen sei. Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer, dass der Entscheid der Vorinstanz vom 22. Februar 2018 vollumfänglich aufzuheben und A._ eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen sei. Sodann sei der vorliegende Fall dem SEM zu unterbreiten. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer, dass dem Entscheid des Verwaltungsgerichts (recte: seiner Beschwerde) die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm superprovisorisch, eventualiter provisorisch zu erlauben sei, die rechtskräftige Entscheidung über seinen Aufenthaltsstatus in der Schweiz abzuwarten.
Die Vorinstanz, das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen und das Staatssekretariat für Migration beantragen Abweisung der Beschwerde.
Mit Verfügung vom 15. Mai 2018 hat das Bundesgericht der Beschwerde aufschiebende Wirkung zuerkannt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid betreffend Aufenthaltsbewilligung ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d sowie Art. 90 BGG), soweit das Bundesrecht oder das Völkerrecht einen Anspruch hierauf einräumen (<ref-law>). Sofern die Zulässigkeit der Beschwerde fraglich erscheint, obliegt es der beschwerdeführenden Partei darzutun, dass die gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind, und die entsprechenden Tatsachen zu beweisen. Geht es um die Frage, ob eine Ausnahme nach <ref-law> vorliegt, ist die materielle Streitsache massgeblich, unabhängig davon, welchen prozessualen Fortgang das Verfahren vor den Vorinstanzen genommen hat (Urteil 2C_254/2017 vom 6. März 2018 E. 1.1).
1.2. Der Beschwerdeführer scheint ohne Weiteres von der Zulässigkeit seiner Beschwerde auszugehen. Er übersieht, dass die Erteilung einer Bewilligung nach Art. 30 Abs. 1 lit. b des Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer und über die Integration (AIG; SR 142.20), um die es im angefochtenen Entscheid ging, ein Ermessensentscheid ist, gegen den die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht offen steht (<ref-law>). Auf seine Beschwerde kann als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur eingetreten werden, falls sie sich in vertretbarer Weise auf einen Anspruch des Bundes- oder Völkerrechts beruft (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179).
1.3. Der Beschwerdeführer beruft sich am Rande seiner Ausführungen auch auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK und leitet daraus einen Anspruch auf umgekehrten Familiennachzug ab. Überdies habe er insgesamt über 25 Jahre in der Schweiz verbracht. Ein Anspruch auf Bewilligung aus Art. 8 EMRK ist damit gerade noch in vertretbarer Weise geltend gemacht, was für die Zulässigkeit der Beschwerde ausreicht (vgl. <ref-ruling> E. 2.5 S. 315; Urteil 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 1.1). Die Ausnahme nach <ref-law> greift deshalb nicht.
1.4. Die Beschwerde wurde unter Einhaltung der gesetzlichen Frist (<ref-law>) eingereicht. Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde legitimiert. Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten. Nicht einzutreten ist allerdings auf den Antrag, den Fall dem SEM zu unterbreiten, da der Beschwerdeführer diesen Antrag nicht begründet hat (<ref-law>).
1.5. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft zwar grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist allerdings weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (<ref-ruling> E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft solche Rügen nur, wenn sie in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden sind (<ref-ruling> E. 2.5 S. 314).
1.6. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2 S. 116). Der Beschwerdeführer kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei hat deshalb substanziiert darzulegen, weswegen diese Voraussetzungen gegeben sein sollen; wird sie dieser Anforderung nicht gerecht, bleibt es beim vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.
2.1. In prozessualer Hinsicht rügt der Beschwerdeführer eine Verletzung des rechtlichen Gehörs nach <ref-law> und des darin enthaltenen Anspruchs auf Begründung des Entscheids sowie des Rechts auf ein faires Verfahren nach Art. 6 Ziff. 1 EMRK. Die Vorinstanz habe sich zu Unrecht nicht mit seinem Anspruch auf umgekehrten Familiennachzug auseinandergesetzt.
2.2. Es ist zweifelhaft, ob diese Rügen nach <ref-law> ausreichend begründet sind. Jedenfalls sind sie aber inhaltlich offensichtlich haltlos. Insbesondere lässt sich der Vorinstanz keine Verletzung ihrer Begründungspflicht nach <ref-law> vorwerfen, weil sie den Anspruch auf umgekehrten Familiennachzug nach Art. 8 EMRK bloss kurz thematisiert und im Übrigen auf den ausführlicheren Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements verwiesen hat. Schliesslich hatte sich der Beschwerdeführer vor der Vorinstanz gar nicht auf Art. 8 EMRK berufen, sondern seine Ausführungen auf das Vorliegen eines Härtefalls nach <ref-law> beschränkt.
2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt. Er wiederholt dabei in zumindest stellenweise weitschweifiger Art und Weise den eigenen Standpunkt, wie er ihn weitgehend wortgleich bereits vor der Vorinstanz vorgetragen hatte. An den Feststellungen der Vorinstanz übt er hingegen bloss appellatorische Kritik. Damit ist er nicht zu hören (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 10.1 S. 445). Ebenso unbeachtlich sind seine Ausführungen zum Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements, der nicht Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht ist, sowie zu <ref-law>, soweit sie sich nicht auf die Prüfung seines Anspruchs nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK auswirken.
3.
3.1. Die EMRK verschafft praxisgemäss keinen Anspruch auf Einreise und Aufenthalt oder auf einen besonderen Aufenthaltstitel (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 272; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 250 f.; <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 249; <ref-ruling> E. 3.1 S. 285 f.). Unter dem Aspekt des Familienlebens ist Art. 8 Ziff. 1 EMRK aber berührt, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung einer in der Schweiz gefestigt anwesenheitsberechtigten Person beeinträchtigt, ohne dass es dieser ohne Weiteres möglich bzw. zumutbar wäre, ihr Familienleben andernorts zu pflegen (<ref-ruling> E. 3.3 S. 272 mit Hinweisen). Die Entfernung aus der Schweiz kann überdies den Anspruch auf Achtung des Privatlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK berühren, wenn sich jemand rund zehn Jahre rechtmässig in der Schweiz aufgehalten hat oder wenn der rechtmässige Aufenthalt zwar zehn Jahre noch nicht erreicht hat, aber eine besonders ausgeprägte Integration vorliegt (nebst engen sozialen Beziehungen namentlich auch in sprachlicher, beruflicher und wirtschaftlicher Hinsicht; vgl. <ref-ruling> E. 3.9 S. 278 f.).
3.2. Allerdings gelten die aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK abgeleiteten Rechte nicht absolut. Vielmehr ist nach Art. 8 Ziff. 2 EMRK ein Eingriff in das durch Ziff. 1 geschützte Rechtsgut statthaft, soweit er eine Massnahme darstellt, die in einer demokratischen Gesellschaft für die nationale Sicherheit, die öffentliche Ruhe und Ordnung und zur Verhinderung von strafbaren Handlungen, zum Schutze der Gesellschaft und Moral sowie der Rechte und Pflichten anderer Personen notwendig ist. Die Konvention verlangt insofern eine Abwägung der sich gegenüberstehenden individuellen Interessen an der Erteilung der Bewilligung einerseits und der öffentlichen Interessen an deren Verweigerung andererseits, wobei letztere in dem Sinne überwiegen müssen, dass sich der Eingriff als notwendig erweist (vgl. BGE <ref-ruling> E. 4.1.1 S. 249; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 156; <ref-ruling> E. 2 S. 6; <ref-ruling> E. 3 S. 357 ff.). Das öffentliche Interesse an einer restriktiven Migrationspolitik überwiegt das private Interesse eines ausländischen Elternteils am Verbleib im Land regelmässig, wenn zwischen dem ausländischen Elternteil und seinem im Inland lebenden Kind keine enge Beziehung in affektiver und wirtschaftlicher Hinsicht besteht, sich der um die Bewilligung nachsuchende Elternteil in der Schweiz nicht tadellos verhalten hat oder das Herkunftsland nicht so weit entfernt ist, als dass sich die Beziehung praktisch nicht mehr aufrechterhalten liesse (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 97; Urteil 2C_904/2018 vom 24. April 2019 E. 2.3; je mit Hinweisen).
3.3.
3.3.1. Es ist nicht erwiesen, dass zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn eine wirtschaftlich enge Beziehung besteht, war der Beschwerdeführer in der Vergangenheit doch immer wieder abhängig von der Sozialhilfe, wenn er sich nicht gerade in Haft oder im Strafvollzug befand. Ob zwischen dem Beschwerdeführer und seinem Sohn - dem einzigen Familienmitglied mit gefestigtem Aufenthaltsrecht - überhaupt ein tatsächliches Familienleben besteht und die Entfernung des Beschwerdeführers aus der Schweiz das von Art. 8 Ziff. 1 EMRK garantierte Recht auf Familienleben tangiert, ist im vorliegenden Fall indessen letztlich ohne Belang. Denn jedenfalls kann keine Rede davon sein, dass sich der Beschwerdeführer tadellos verhalten hätte. Seine zahlreichen Delikte und seine fortgesetzte Sozialhilfeabhängigkeit bedeuten, dass sein weiterer Verbleib in der Schweiz die öffentlichen Interessen an der Wahrung der öffentlichen Sicherheit und Ordnung, der Verhütung weiterer Straftaten, dem Schutz der Rechte und Freiheiten anderer Personen und dem wirtschaftlichen Wohl des Landes gravierend beeinträchtigen würde (vgl. Urteile 2C_16/2018 vom 31. Januar 2019 E. 4.3.3; 2C_80/2017 vom 8. September 2017 E. 3.2.3). Die öffentlichen Interessen an der Entfernung des Beschwerdeführers würden die privaten Interessen des Beschwerdeführers und seines Sohnes an seinem Verbleib in der Schweiz auf jeden Fall überwiegen und den Eingriff in das Recht auf Familienleben des Beschwerdeführers und seines Sohnes rechtfertigen. Es kann daher offengelassen werden, ob und inwiefern eine weitere Anwesenheit des Beschwerdeführers in der Schweiz überhaupt noch dem Wohl seines Sohnes dienen würde, welches im Rahmen der Interessenabwägung zu berücksichtigen ist (vgl. <ref-ruling> E. 5.5.1 S. 30; Urteil 2C_16/2018 vom 31. Januar 2019 E. 4.3.3).
3.4. Nichts zu seinen Gunsten kann der Beschwerdeführer aus seiner langjährigen Anwesenheit in der Schweiz ableiten. Seit seiner Wiedereinreise im Jahre 2009 war sein Aufenthalt hierzulande nämlich durchgehend ohne Bewilligung. Überdies hat er einen wesentlichen Teil davon in Haft und Strafvollzug verbracht. Eine besonders ausgeprägte Integration des Beschwerdeführers liegt damit offenkundig nicht vor. Die Nichterteilung der Aufenthaltsbewilligung berührt den Anspruch des Beschwerdeführers auf Schutz seines Privatlebens nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK folglich nicht.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich, dass das Urteil der Vorinstanz weder Bundes- noch Völkerrecht verletzt. Die Beschwerde ist unbegründet und abzuweisen. Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (<ref-law>). Der Kanton St. Gallen hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Seiler