Faits :
A.
A.a. A._ a été engagée avec effet au 1 er septembre 2016 par le Conseil administratif de la Ville de Genève (ci-après: le Conseil administratif) en tant qu'agente de police municipale pour une période initiale d'essai de deux ans. À sa sortie du centre de formation de la police, elle a été affectée à compter du 27 mars 2017 au poste de U._ puis transférée le 9 août 2017 au poste de V._. Elle a fait l'objet le 28 août 2017 d'un entretien d'évaluation par le caporal B._, qui a estimé qu'elle ne répondait pas aux exigences de la fonction. Lors d'un nouvel entretien d'évaluation qui a eu lieu le 1 er décembre 2017, le caporal C._ a estimé qu'elle ne répondait aux attentes d'aucun des critères d'appréciation. Par note du 11 décembre 2017 au commandant ad interim du service de la police municipale, A._ a contesté, sur quatorze pages, les griefs qui lui avaient été adressés. Le 16 décembre 2017, le caporal C._ a adressé au sergent D._, en mettant par erreur en copie l'ensemble de l'équipe, un courriel dans lequel il mentionnait notamment "Chaud les quatorze pages de A._, cette personne est vraiment mythomane et joue à fond la victime seule contre tous".
A.b. Le 31 janvier 2018, le Conseil administratif a informé l'intéressée qu'il envisageait de résilier son engagement pendant la période d'essai. Le 12 mars 2018, A._ a été entendue par la nouvelle commandante du service de la police municipale; elle a fait état des pressions psychologiques dont elle s'estimait victime sur son lieu de travail, tant par le caporal B._ que par le caporal C._. Ce dernier a reçu un avertissement en raison du courriel précité du 16 décembre 2017 et A._ a en outre déposé plainte pénale contre lui le 15 mars 2018 pour diffamation, calomnie et injures. Par décision du 7 mai 2018, le Conseil administratif a résilié les rapports de service de A._ avec effet au 31 juillet 2018.
B.
B.a. A._ a recouru le 7 juin 2018 contre cette décision devant la chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la chambre administrative). Elle a conclu à ce que le licenciement soit annulé et à ce qu'il soit ordonné au Conseil administratif de la réintégrer dans ses fonctions d'agente de police municipale ou dans un poste similaire; en cas de refus de l'intimé, celui-ci devait être condamné à lui payer une indemnité de 157'117 fr. 20, équivalant à vingt-quatre mois de son dernier traitement brut; en outre, il devait être constaté qu'elle avait été atteinte dans sa personnalité et l'intimé devait être condamné à lui payer une indemnité de 78'558 fr. 60 pour tort moral. La Ville de Genève a conclu à l'irrecevabilité du recours en tant qu'il portait sur l'existence d'une atteinte à la personnalité et à son rejet pour le surplus.
B.b. Lors de l'audience de comparution personnelle du 28 février 2019, A._ a déclaré qu'elle ne connaissait pas l'existence de la procédure spécifique en protection de la personnalité avant qu'un psychologue auprès de l'entité psychologie du travail de la ville lui en parle alors qu'elle était en poste à V._, mais c'était "trop tard". Par ailleurs, elle n'avait appris que récemment en quels termes ses collègues parlaient d'elle sur un groupe WhatsApp auquel elle ne participait pas.
B.c. Le 12 mars 2019, la Ville de Genève a sollicité le prononcé d'une décision sujette à recours s'agissant de l'irrecevabilité des conclusions de la recourante en constatation d'une atteinte à sa personnalité et en paiement d'une indemnité pour tort moral, au motif que la contestation de la résiliation des rapports de service et la constatation d'une éventuelle atteinte à la personnalité étaient des procédures qui pouvaient donner lieu à des procès séparés. La recourante a conclu au rejet de cette requête, soutenant que la chambre administrative, saisie d'une action en contestation d'un licenciement, était compétente pour se saisir simultanément d'une demande en constatation d'une atteinte à la personnalité d'un fonctionnaire et en paiement d'une indemnité pour le tort moral subi par ce dernier.
B.d. Par jugement du 21 mai 2019, la chambre administrative a déclaré irrecevables les conclusions en constatation de l'atteinte à la personnalité ainsi que celles tendant au paiement d'une indemnité de 78'558 fr. 60 pour tort moral et a réservé la recevabilité du recours contre la décision de résiliation des rapports de service ainsi que la suite de la procédure.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant principalement à sa réforme en ce sens que les conclusions jugées irrecevables par l'autorité précédente soient déclarées recevables, et subsidiairement à son annulation, la cause étant renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'autorité cantonale déclare s'en remettre à justice sur la recevabilité du recours et persister dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'intimé conclut principalement à l'irrecevabilité du recours et subsidiairement à son rejet. La recourante a déposé une brève réplique.

Considérant en droit :
1.
Le jugement entrepris déclare irrecevables une partie des conclusions prises par la recourante - soit celles tendant à la constatation de l'atteinte à la personnalité et au paiement d'une indemnité pour tort moral - et réserve la recevabilité du recours contre la décision de résiliation des rapports de service ainsi que la suite de la procédure. Il s'agit dès lors d'une décision partielle, par laquelle l'autorité a statué définitivement sur une partie des conclusions qui lui étaient soumises, alors que cette partie aurait pu faire l'objet d'un procès séparé et qu'il n'y a pas de risque de contradiction avec ce qui reste à juger. Le recours contre une telle décision partielle est recevable au regard de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 398 s.; <ref-ruling> consid. 1.2.2 et 1.2.3 p. 217 s.; arrêt 8C_55/2010 du 6 août 2010, consid. 2.3.2 non publié à l'<ref-ruling>).
Le jugement entrepris a été rendu dans une contestation en matière de rapports de travail de droit public revêtant un caractère pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion prévu par l'art. 83 let. g LTF ne s'applique pas. La valeur litigieuse atteint manifestement le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 1 let. a et 85 al. 1 let. b LTF). Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>), le recours en matière de droit public est ainsi recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si les faits ont été établis de manière manifestement inexacte - c'est à dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 313) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références).
2.2. En l'espèce, la recourante indique qu'elle n'entend pas revenir sur les faits constatés par l'autorité précédente, auxquels elle prie le Tribunal fédéral de se référer. Elle indique toutefois vouloir "rappeler et/ou préciser certains éléments de fait dès lors que les juges cantonaux ne semblent pas les avoir intégrés dans l'état de fait, ou alors de manière incomplète et/ou erronée", à savoir en substance qu'elle avait fait l'objet de propos gravement injurieux dont elle n'avait eu finalement la connaissance et/ou la confirmation formelle qu'après son licenciement et après le dépôt de son recours. La recourante ne démontre toutefois pas en quoi l'autorité cantonale aurait établi les faits de manière arbitraire, cela d'autant moins que les faits en question - pour autant qu'ils puissent être considérés comme pertinents - ont en substance été retenus dans l'état de fait du jugement entrepris (cf. lettre B.b supra).
3.
Sauf dans les cas cités expressément à l'<ref-law>, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres principes constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2 p. 149 s.; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 145). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain (<ref-ruling> consid. 5.2 p. 61). En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale n'est pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la loi, elle sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible (<ref-ruling>7 consid. 2.1 p. 168 et l'arrêt cité).
4.
4.1. Selon l'art. 32 du Statut du personnel de la Ville de Genève du 29 juin 2010 (LC 21 151) (ci-après: SPVG), pendant la première année de la période d'essai, l'engagement peut être librement résilié de part et d'autre, un mois à l'avance pour la fin d'un mois. Ce délai est porté à deux mois dès la deuxième année (al. 1). La résiliation par l'employeur (licenciement) fait l'objet d'une décision motivée du Conseil administratif (al. 2). L'<ref-law> est applicable en cas de licenciement abusif (al. 3). Selon l'art. 37 SPVG, la procédure de licenciement est régie par les art. 96 ss SPVG, ainsi que par la loi sur la procédure administrative du 12 septembre 1985 (LPA/GE; RS/GE E 5 10).
Aux termes de l'art. 77 SPVG, dans sa teneur en vigueur jusqu'au 5 juin 2018, les membres du personnel ont droit à la protection de leur personnalité (al. 1). Les supérieures et supérieurs hiérarchiques sont tenus d'examiner avec diligence toutes plaintes relatives à l'atteinte à la personnalité d'un ou d'une membre du personnel et de prendre des mesures pour faire cesser l'atteinte; l'art. 100 SPVG est réservé (al. 6). Selon l'art. 100 SPVG (en vigueur jusqu'au 31 octobre 2018), les litiges concernant la protection de la personnalité, en particulier le harcèlement psychologique ou sexuel, qui n'ont pas pu être réglés au sein d'un service ou d'un département peuvent faire l'objet d'une plainte auprès de la direction des ressources humaines (al. 1 in limine). L'autorité qui reçoit la plainte prend toutes mesures propres à faire cesser l'atteinte, sans délai (al. 2). Si l'atteinte persiste et sur demande de la personne plaignante, le Conseil administratif, sur préavis de la direction des ressources humaines ou du directeur général ou la directrice générale de la Ville de Genève, ouvre immédiatement une enquête (al. 3). La procédure d'enquête vise à établir l'existence ou non d'un cas d'atteinte à la personnalité et, le cas échéant, à proposer des mesures aptes à y remédier (al. 4). L'enquête doit être diligentée dans un délai qui, en principe, ne doit pas dépasser trente jours (al. 7). Le Conseil administratif communique, à bref délai, sa décision à la personne mise en cause et à la personne plaignante. Cette décision peut faire l'objet d'un recours auprès de la chambre administrative de la Cour de justice (al. 8).
4.2. En l'espèce, la cour cantonale a rappelé qu'elle examinait d'office sa compétence (art. 1 al. 2, 6 al. 1 let. c et 11 al. 2 LPA/GE), laquelle est déterminée par la loi et ne peut pas être créée par accord entre les parties (art. 11 al. 1 LPA/GE). Elle a considéré que conformément à l'art. 100 al. 8 SPVG, elle n'était compétente en matière d'atteinte à la personnalité qu'ensuite d'une décision du Conseil administratif. Or comme la procédure idoine n'avait pas été entreprise par l'intéressée, la chambre administrative n'était pas compétente pour se prononcer sur l'existence d'une atteinte à la personnalité de la recourante. Celle-ci ne pouvait pas être suivie lorsqu'elle indiquait qu'elle ne disposait pas des éléments relatifs à une éventuelle atteinte à sa personnalité avant le dépôt de l'action judiciaire. En effet, il ressortait de ses déclarations en audience qu'elle était allée consulter l'entité psychologie du travail de la ville au milieu de la période passée au poste des V._, soit au mois de novembre 2017 environ. En outre, le témoin Brodard avait déclaré qu'elle avait informé la recourante au plus tard courant mai 2017 des termes dans lesquels son supérieur parlait d'elle ("djihadiste"; "grise"). La recourante ne pouvait pas davantage être suivie lorsqu'elle alléguait que la procédure en protection de sa personnalité serait subsidiaire à toute autre démarche ouverte sur le plan légal et qu'il appartiendrait à la chambre administrative d'instruire la problématique dans sa globalité. En effet, outre que cette affirmation ne reposait sur aucune base légale, elle s'avérait contraire à la définition de l'objet du litige, dès lors qu'en procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent être examinés et jugés que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement sous la forme d'une décision qui détermine l'objet de la contestation. Les conclusions tendant à la constatation d'une atteinte à la personnalité et au paiement d'une indemnité pour tort moral devaient dès lors être déclarées irrecevables.
4.3. La recourante ne démontre pas en quoi ces considérations relèveraient d'une application arbitraire du droit cantonal ou communal (cf. consid. 3 supra), voire des dispositions du code des obligations applicables à titre de droit cantonal supplétif, dont la violation ne peut elle aussi être invoquée que sous l'angle restreint de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 3.3 p. 322).
En effet, en procédure juridictionnelle administrative, ne peuvent être examinés et jugés, en principe, que les rapports juridiques à propos desquels l'autorité administrative compétente s'est prononcée préalablement, d'une manière qui la lie sous la forme d'une décision. Dans cette mesure, la décision détermine l'objet de la contestation qui peut être déféré en justice par voie de recours. En revanche, dans la mesure où aucune décision n'a été rendue, la contestation n'a pas d'objet et un jugement sur le fond ne peut pas être prononcé par la juridiction de recours. Celle-ci n'entre donc pas en matière, en règle générale, sur des conclusions qui vont au-delà de l'objet de la contestation (<ref-ruling> consid. 5.2.1 p. 426; <ref-ruling> consid. 1a p. 414 et les arrêts cités). Or en l'espèce, il n'est pas contesté que la recourante n'a pas entrepris la procédure prévue par la loi en matière de protection de la personnalité qui aurait pu déboucher sur une décision du Conseil administratif susceptible de recours devant la chambre administrative de la Cour de justice selon l'art. 100 al. 8 SPVG. C'est donc sans arbitraire que la chambre administrative - qui est une juridiction administrative au sens de la LPA/GE (art. 6 al. 1 let. c LPA/GE) et est en principe saisie par voie de recours contre une décision d'une autorité administrative (cf. art. 5 et 57 ss LPA/GE; art. 132 al. 2 LOJ/GE [loi sur l'organisation judiciaire du 26 septembre 2010; RS/GE E 2 05]) et non par voie d'action, sauf exceptions n'entrant pas en considération en l'espèce (art. 132 al. 3-5 LOJ/GE) - a déclaré irrecevables les conclusions tendant à la constatation d'une atteinte à la personnalité et au paiement d'une indemnité pour tort moral, lesquelles sortaient de l'objet de la contestation tel que défini par la décision de résiliation des rapports de service du 7 mai 2018.
La recourante ne peut rien tirer en sa faveur de l'arrêt ATA/147/2018 rendu le 20 février 2018 par la chambre administrative, dans lequel celle-ci avait considéré que le fait que l'art. 100 SPVG prévoyait une procédure spécifique de plainte en cas de harcèlement psychologique, donnant le droit d'obtenir une décision en constatation du Conseil administratif, ne privait pas une éventuelle victime de s'en plaindre dans le cadre d'une procédure de licenciement, faute de quoi un employé qui serait licencié avant d'avoir formellement pu déposer une plainte en matière d'atteinte à la personnalité se verrait forclos de s'en prévaloir dans la procédure de licenciement. En effet, le Tribunal fédéral n'a pas eu à se prononcer sur cet arrêt et doit se borner à examiner si la solution retenue dans l'arrêt présentement attaqué est arbitraire. Or tel n'est pas le cas, pour les motifs exposés plus haut, étant rappelé qu'il ne suffit pas pour qu'il y ait arbitraire qu'une autre solution soit envisageable, voire préférable (cf. consid. 3 supra).
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté.
6.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Bien qu'il obtienne gain de cause, l'intimé n'a pas droit à des dépens (<ref-law>; arrêt 8C_151/2010 du 31 août 2010 consid. 6.2 et les références).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative.
Lucerne, le 16 décembre 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Fretz Perrin