Faits :
A.
A.a. Le 27 mai 2002, A._, ressortissant tunisien né en 1975, a épousé la ressortissante suisse B._ et a été mis au bénéfice d'une autorisation de séjour pour regroupement familial, régulièrement renouvelée par la suite. Le 4 juin 2002, le couple a eu un enfant, C._, ressortissant suisse.
Le 28 août 2004, A._ et B._ ont pris un domicile séparé. Le divorce des époux a été prononcé le 15 mai 2008. Les droits parentaux sur C._ ont été attribués à la mère. A._ a été mis au bénéfice d'un droit de visite usuel sur son fils et il a été condamné à verser à B._ une contribution d'entretien.
A.b. Sur le plan professionnel et financier, A._ a occupé plusieurs emplois, notamment comme manoeuvre ou dans le domaine de la sécurité. Par décision du 20 novembre 2018, l'office cantonal compétent lui a alloué une rente de l'assurance-invalidité (taux d'invalidité de 100 %) à compter du 1er juin 2013.
Au 3 décembre 2020, l'intéressé faisait l'objet de poursuites pour un montant de 8'128.90 fr. et d'actes de défaut de biens s'élevant à 107'146 fr. 15. Il a bénéficié de l'aide sociale entre le 1er février 2011 et le 31 octobre 2011, entre le 1er avril 2015 et le 30 novembre 2018, ainsi qu'entre le 1er décembre 2019 et le 30 juin 2020, pour un montant total de 55'210 fr. 80.
A.c. Le 9 août 2016, A._ été condamné (sur appel) à une peine privative de liberté de trois ans (avec sursis partiel) pour lésions corporelles graves. Cette condamnation a été confirmée par arrêt du Tribunal fédéral du 23 mars 2018 (6B_1131/2016). L'intéressé a été incarcéré le 19 novembre 2018 et il a été libéré le 13 septembre 2019.
A.d. Pendant son séjour en Suisse, A._ s'est rendu régulièrement - pour des périodes d'une durée de 1 à 3 mois - en Tunisie, pays dans lequel résident ses parents, ses frères, ses soeurs, ainsi que ses deux filles mineures.
B.
Le 23 avril 2012, A._ a requis la prolongation de son autorisation de séjour. Par décision du 26 août 2019, l'Office cantonal de la population et des migrations du canton de Genève (ci-après: l'Office cantonal) a refusé de renouveler l'autorisation de séjour de l'intéressé et prononcé son renvoi de Suisse.
Le 18 septembre 2019, A._ a recouru contre cette décision devant le Tribunal administratif de première instance du canton de Genève (ci-après: le TAPI), concluant à l'annulation de la décision attaquée, à l'octroi d'une autorisation d'établissement et, subsidiairement, à la prolongation de son autorisation de séjour. Le 29 décembre 2020, le TAPI a rejeté le recours.
Le 17 février 2021, A._ a formé un recours contre le jugement du TAPI auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Par arrêt du 29 juin 2021, cette autorité a rejeté le recours.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 29 juin 2021, A._ dépose auprès du Tribunal fédéral un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à l'annulation de l'arrêt entrepris et à l'octroi d'une autorisation de séjour. Subsidiairement, il requiert le renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
La Cour de justice renonce à se déterminer et se réfère aux considérants de son arrêt. L'Office cantonal conclut au rejet du recours.
Par ordonnance du 7 septembre 2021, la Juge présidant de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a accordé l'effet suspensif au recours.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. Aux termes de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions relatives à une autorisation de droit des étrangers à laquelle ni le droit fédéral, ni le droit international ne donnent droit. Selon la jurisprudence, il suffit, sous l'angle de la recevabilité, qu'il existe un droit potentiel à l'autorisation, étayé par une motivation soutenable, pour que cette clause d'exclusion ne s'applique pas et que, partant, la voie du recours en matière de droit public soit ouverte (cf. <ref-ruling> consid. 1.1).
En l'espèce, le recourant invoque notamment l'art. 8 CEDH. Son séjour légal de plus de dix ans en Suisse est potentiellement de nature à lui conférer un droit à l'obtention d'une autorisation de séjour sous l'angle du droit au respect de sa vie privée (cf. <ref-ruling> consid. 3.9). Le recours échappe donc au motif d'irrecevabilité prévu à l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, étant précisé que le point de savoir si le recourant remplit les conditions pour obtenir l'autorisation requise relève du fond et non de la recevabilité (cf. <ref-ruling> consid. 1.1). La voie du recours en matière de droit public est ainsi ouverte - sous réserve de ce qui suit -, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire formé en parallèle par l'intéressé (art. 113 LTF a contrario).
1.2. En revanche, dans la mesure où le recourant, qui invoque l'art. 83 al. 4 LEI, entendait se plaindre de son renvoi de Suisse et requérir son admission provisoire, le recours en matière de droit public n'est pas ouvert (art. 83 let. c ch. 3 LTF; cf. arrêt 2C_844/2019 du 28 février 2020 consid. 1.2). En outre, du moment que, sur ce point, l'intéressé ne fait pas valoir de griefs formels équivalant à un déni de justice en lien avec cette disposition, son recours est également irrecevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire (cf. arrêt 2C_529/2020 du 6 octobre 2020 consid. 3.2). Par ailleurs, la critique dépasse de toute façon l'objet de la présente procédure, qui porte sur le renouvellement de l'autorisation de séjour par les autorités cantonales, alors que l'admission provisoire relève de la compétence du Secrétariat d'Etat aux migrations (art. 83 al. 1 LEI; cf. arrêts 2C_145/2019 du 24 juin 2019 consid. 1.3; 2C_116/2018 du 21 décembre 2018 consid. 1.4; 2D_10/2018 du 16 mai 2018 consid. 1.3).
1.3. Au surplus, l'arrêt attaqué constitue une décision finale (art. 90 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF). Déposé en temps utile, compte tenu des féries (art. 46 al. 1 let. b et 100 al. 1 LTF), et dans les formes requises (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (art. 89 al. 1 LTF), le recours en matière de droit public est recevable.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF), alors qu'il n'examine la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 LTF). Dans ce cas, l'acte de recours doit contenir un exposé succinct des droits fondamentaux violés et préciser en quoi consiste la violation (cf. <ref-ruling> consid. 2.1).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6; <ref-ruling> consid. 1.6). Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (cf. arrêt 2C_300/2019 du 31 janvier 2020 consid. 2.2, non publié in <ref-ruling>).
3.
Le recourant invoque une constatation arbitraire des faits au sujet du lien de dépendance avec son fils C._. Se référant à une attestation médicale du 28 septembre 2020 produite en cours de procédure, selon laquelle la relation avec son fils était "un vecteur de sa réparation psychique et de sa stabilisation sociale", l'intéressé affirme que la Cour de justice serait tombée dans l'arbitraire en refusant de reconnaître ce "lien de dépendance entre le père et l'enfant majeur" (recours, p. 5).
3.1. S'agissant de l'appréciation des preuves et des constatations de fait, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 1.1).
3.2. En l'espèce, on peut sans autre déduire de l'attestation susmentionnée que le rapport avec son fils est bénéfique pour le recourant. Cette attestation n'indique toutefois pas que l'intéressé souffrirait d'un handicap (physique ou mental) ou d'une maladie grave - au sens exigé par la jurisprudence (cf. arrêts 2C_27/2020 du 13 janvier 2020 consid. 5 et 2C_153/2017 du 27 juillet 2017 consid. 3.1.1) - qui le placerait dans un état de dépendance particulier par rapport à son fils. Dans ces conditions, c'est sans arbitraire que la Cour de justice n'a pas admis l'existence d'un lien de dépendance entre le recourant et son fils. Le grief tiré de l'établissement arbitraire des faits doit partant être écarté. Le Tribunal fédéral se fondera exclusivement sur les faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
4.
Le divorce des époux ayant été prononcé le 15 mai 2008, le recourant ne peut, ce qu'il ne fait d'ailleurs pas, se prévaloir de l'art. 42 al. 1 LEI pour en déduire un droit de séjour en Suisse. Il n'est en outre pas contesté que la cohabitation effective des époux en Suisse (cf. <ref-ruling> consid. 4.1) a duré moins de trois ans, les époux ayant pris un domicile séparé le 28 août 2004. L'intéressé ne peut dès lors rien déduire de l'art. 50 al. 1 let. a LEI, de sorte que seul l'art. 50 al. 1 let. b LEI peut entrer en ligne de compte en l'espèce.
5.
Le recourant estime que la Cour de justice a nié à tort l'existence de raisons personnelles majeures au sens de l'art. 50 al. 1 let. b LEI. Il se prévaut à ce sujet de la "relation étroite avec son fils" et de son "état de santé précaire".
5.1. L'art. 50 al. 1 let. b LEI permet au conjoint étranger de demeurer en Suisse après la dissolution de l'union conjugale, lorsque la poursuite de son séjour s'impose pour des raisons personnelles majeures. En vertu de l'ancien art. 51 al. 2 let. b LEtr (cf. art. 126 al. 1 LEI), "les droits prévus aux art. 43, 48 et 50 s'éteignent [...] s'il existe des motifs de révocation au sens de l'art. 62 al. 1". A ce sujet, l'ancien art. 62 let. b LEtr (cf. art. 126 al. 1 LEI) prévoit notamment que l'autorité compétente peut révoquer une autorisation, à l'exception de l'autorisation d'établissement, lorsque la personne étrangère a été condamnée à une peine privative de liberté de longue durée, soit - selon la jurisprudence - d'une durée supérieure à une année (<ref-ruling> consid. 2.1).
5.2. En l'espèce, le recourant a été condamné à une peine privative de liberté de trois ans et, en application de l'art. 51 al. 2 let. b LEtr, il ne peut pas invoquer l'art. 50 al. 1 let. b LEI pour en déduire un droit de séjour en Suisse. Dans ces conditions, le grief de violation de l'art. 50 al. 1 let. b LEI ne peut qu'être rejeté, indépendamment de la question de savoir s'il existe des raisons personnelles majeures imposant la poursuite du séjour de l'intéressé en Suisse.
6.
Le recourant se prévaut d'une violation de l'art. 8 CEDH et invoque le "principe de proportionnalité" (recours, p. 5).
6.1. Sur le plan familial, aucun élément de fait ne permet de retenir que l'intéressé puisse se prévaloir de l'art. 8 CEDH. En particulier, son fils C._ (ressortissant suisse) est désormais majeur et le recourant ne se trouve pas dans un état de dépendance particulier par rapport à celui-ci (cf. supra consid. 3.2).
Sous l'angle du droit au respect de sa vie privée, au vu de son séjour légal de dix ans en Suisse, il y a lieu de partir de l'idée que les liens sociaux que l'intéressé a développés dans ce pays sont suffisamment étroits pour qu'il puisse en principe se prévaloir de l'art. 8 CEDH et que le refus de prolonger son autorisation de séjour ne peut être prononcé, sous cet angle, que pour des motifs sérieux (cf. <ref-ruling> consid. 3; arrêts 2C_670/2020 du 28 décembre 2020 consid. 4.1; 2C_674/2020 du 20 octobre 2020 consid. 3.1; 2C_755/2019 du 6 février 2020 consid. 5.1). Le recourant peut donc prétendre valablement qu'un renvoi risquerait de porter atteinte au respect de sa vie privée protégée par l'art. 8 CEDH.
6.2. Une ingérence dans l'exercice du droit au respect de la vie privée garanti par l'art. 8 par. 1 CEDH est possible aux conditions de l'art. 8 par. 2 CEDH. L'examen de la proportionnalité imposé par cette disposition se confond avec celui prévu par l'ancien art. 96 al. 1 LEtr (cf. art. 126 al. 1 LEI). Il y sera donc procédé simultanément.
6.3. De jurisprudence constante, la question de la proportionnalité du non-renouvellement d'une autorisation de séjour doit être tranchée au regard de toutes les circonstances du cas d'espèce. Dans ce cadre, il y a lieu de prendre en considération la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, son degré d'intégration, la durée de son séjour en Suisse et les conséquences d'un renvoi (cf. <ref-ruling> consid. 2.4; arrêt 2C_20/2019 du 13 mai 2019 consid. 7.3). En outre, lorsqu'il existe des signes que la personne concernée serait exposée à un danger concret en cas de retour dans le pays d'origine en raison d'une guerre, de violence généralisée ou de nécessité médicale, il appartient à l'autorité d'en tenir compte déjà au stade de l'examen de la proportionnalité de la mesure, même si ces éléments peuvent aussi constituer des obstacles à l'exécution du renvoi au sens de l'art. 83 al. 4 LEI (cf. arrêts 2C_811/2018 du 13 mai 2019 consid. 2.2; 2C_459/2018 du 17 septembre 2018 consid. 5.1; 2C_396/2017 du 8 janvier 2018 consid. 7.6).
6.4. En l'occurrence, en faveur du recourant, on peut retenir que celui-ci est arrivé en Suisse en 2002, que son fils C._ (avec lequel il entretient des liens étroits) vit dans ce pays, et qu'il semble pouvoir se prévaloir d'une bonne intégration sociale (attestée par des lettres de soutien).
Ces éléments sont contrebalancés, en premier lieu, par la condamnation pénale à une peine privative de liberté de trois ans (avec sursis partiel) pour lésions corporelles graves prononcée à l'encontre du recourant en 2016 et confirmée par le Tribunal fédéral en 2018. Cette condamnation se fonde sur des actes portant atteinte à l'intégrité corporelle, soit à un bien juridique important (cf. <ref-ruling> consid. 3.3; arrêt 2C_974/2015 du 5 avril 2016 consid. 3.3). Il ressort en effet de l'arrêt entrepris que l'intéressé a été condamné pour s'en être violemment pris à l'intégrité corporelle d'un inconnu, lui causant des séquelles lourdes et irréversibles sur le plan neurologique, neuropsychologique et psychiatrique, qui ont porté notamment à une incapacité de travail de 100 %, à une importante dépendance pour les activités de la vie quotidienne (nécessitant un encadrement infirmier et des soins à domicile), ainsi qu'à une perte totale des facultés et des capacités civiques, civiles et administratives de la victime. Certes, l'intéressé n'a plus fait l'objet de condamnations depuis 2016 et ses agissements criminels remontent à 2012. Cependant, cette circonstance ne saurait à elle seule minimiser la gravité des actes commis par le recourant, exprimée par la lourde peine encourue. C'est même le moins que l'on puisse attendre de lui compte tenu du sursis partiel dont était assortie la peine privative de liberté de trois ans prononcée à son encontre (cf. arrêt 2C_1002/2015 du 14 septembre 2016 consid. 3.3). L'intéressé insiste sur le fait que la Cour de justice a "admis l'absence d'un risque de récidive" (recours, p. 6). Il perd toutefois de vue que, contrairement à ce que retient la jurisprudence relative aux étrangers bénéficiant d'un titre de séjour fondé sur l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses Etats membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681), le risque de récidive ne joue pas un rôle déterminant pour les mesures d'éloignement prises sur la base du droit interne; il ne constitue qu'un facteur parmi d'autres dans la pesée des intérêts, où la gravité des actes commis est le premier élément à prendre en considération (cf. arrêts 2C_100/2020 du 14 avril 2020 consid. 5.2 et 2C_157/2018 du 28 mai 2018 consid. 5.3).
Le recourant fait en outre l'objet de poursuites à concurrence de 8'128.90 fr. et d'actes de défaut de biens s'élevant à 107'146 fr. 15. Il a bénéficié de l'aide sociale pendant plusieurs années, pour un montant total de 55'210 fr. 80. L'arrêt entrepris constate aussi que, avant la survenance de son invalidité, il n'a occupé que des emplois peu qualifiés. Sur le plan professionnel, son intégration en Suisse est donc médiocre.
Concernant les possibilités de réintégration de l'intéressé dans son pays d'origine, le retour en Tunisie exigera, dans un premier temps, un effort d'adaptation, compte tenu de la longue durée du séjour en Suisse du recourant (presque 20 ans). Une réintégration ne paraît toutefois pas d'emblée insurmontable, étant précisé que le simple fait que la personne étrangère doive retrouver des conditions de vie qui sont usuelles dans son pays de provenance ne saurait suffire à maintenir son titre de séjour, même si ces conditions de vie sont moins avantageuses que celles dont cette personne bénéficie en Suisse (cf. arrêts 2C_814/2020 du 18 mars 2021 consid. 6.4 et 2C_110/2020 du 9 juin 2020 consid. 5). En effet, le recourant est entré en Suisse à 27 ans et a passé toute son enfance et sa jeunesse en Tunisie, de sorte qu'il connaît bien ce pays et en maîtrise la langue. Il a suivi sa scolarité en Tunisie, pays dans lequel il se rend en outre régulièrement (pour des périodes d'une durée de 1à 3 mois) et où résident ses parents, ses frères, ses soeurs, ainsi que ses deux filles mineures. Il ne fait ainsi pas de doute qu'il y a conservé des attaches culturelles et sociales. L'éloignement de l'intéressé ne l'empêchera du reste pas d'avoir des contacts avec son fils qui réside en Suisse. Finalement, quant aux problèmes de santé du recourant, dont celui-ci se prévaut pour s'opposer à son renvoi, la Cour de justice a constaté, d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (cf. art. 105 al. 1 LTF), qu'une prise en charge médicale de l'intéressé en Tunisie (bien que pas dans la région où réside sa famille) est possible (cf. arrêt entrepris, p. 24). Bien qu'il soit en mauvaise santé, le renvoi dans son pays d'origine ne l'expose donc pas à un danger grave. Il est précisé qu'un tel constat ne dispense pas les autorités chargées de l'exécution du renvoi de vérifier que le recourant remplit toujours les conditions propres à son retour sur le plan médical (en ce sens, cf. arrêt 2C_844/2019 du 28 février 2020 consid. 6).
Dans ces conditions, sur la base d'une approche globale, il n'apparaît pas qu'en faisant primer l'intérêt public à éloigner le recourant de Suisse sur l'intérêt privé à ce que celui-ci puisse continuer d'y demeurer, la Cour de justice ait méconnu l'art. 8 CEDH et l'art. 96 al. 1 LEtr. Cette autorité a au contraire pris en considération tous les éléments imposés par la jurisprudence du Tribunal fédéral et de la CourEDH pour procéder à la pesée des intérêts. Considérant l'ensemble de ces circonstances, elle a retenu à bon droit que la mesure d'éloignement du recourant n'était pas disproportionnée.
7.
Compte tenu de ce qui précède, le recours constitutionnel subsidiaire doit être déclaré irrecevable et le recours en matière de droit public doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à l'Office cantonal de la population et des migrations du canton de Genève, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section, ainsi qu'au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 20 décembre 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti