Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1996 geborene A._ absolvierte bei der B._ AG eine Lehre als Produktionsmechaniker EFZ (vom 12. August 2013 bis 11. August 2016). Im Dezember 2016 meldete er sich bei der Invalidenversicherung zur Früherfassung an, unter Hinweis darauf, dass er an einer paranoiden Schizophrenie (Erstpsychose) leide und sich seit 5. Dezember 2016 in der Klinik C._ aufhalte.
A.b. Nach Abklärung der gesundheitlichen und der erwerblichen Verhältnisse erteilte die IV-Stelle Schwyz A._ im Rahmen von Integrationsmassnahmen Kostengutsprache für ein Aufbautraining bei der D._ Stiftung welches ursprünglich für die Zeit vom 16. August 2018 bis 15. Februar 2019 (Mitteilung vom 7. September 2018) und nach Verlängerung bis 15. August 2019 vorgesehen war (Mitteilung vom 7. Februar 2019; vgl. auch Eingliederungsvereinbarung vom 10. Juli 2018). Weiter sprach ihm die Verwaltung entsprechende Taggelder zu.
Vom 16. bis 25. Juli 2019 war A._ erneut in der Klinik C._ hospitalisiert (Bericht der Klinik C._ vom 25. Juli 2019). In der Folge wurde die Eingliederungsmassnahme mit Wirkung auf 16. Juli 2019 abgebrochen (Mitteilung vom 25. Juli 2019; vgl. auch Schlussbericht der D._ Stiftung vom 19. August 2019). Die Verwaltung richtete A._ bis zum Abbruch der Massnahme am 16. Juli 2019 Taggelder aus.
A.c. In einer Mitteilung vom 27. November 2019 erteilte die IV-Stelle A._ erneut Kostengutsprache für ein Aufbautraining, dies in der Stiftung E._ für die Zeit vom 25. November 2019 bis 24. Mai 2020 (vgl. auch Eingliederungsvereinbarung vom 20. November 2019). Weiter sprach sie ihm Taggelder während der Massnahme zu.
A.d. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens sprach die IV-Stelle A._ mit Wirkung ab 1. Mai 2020 eine ganze Invalidenrente zu (Verfügung vom 13. Januar 2021).
B.
Beschwerdeweise liess A._ beantragen, die Verfügung vom 13. Januar 2021 sei insofern aufzuheben, als ihm die ganze Rente ab 1. November 2017 (und nicht ab 1. Mai 2020) auszurichten sei. Mit Entscheid vom 17. Mai 2021 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz die Beschwerde im Sinne der Erwägungen ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und die Aufhebung des Entscheides vom 17. Mai 2021 beantragen sowie das im kantonalen Verfahren gestellte Rechtsbegehren erneuern.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig und zu prüfen ist allein der Beginn des Rentenanspruchs, welcher nach der Vorinstanz (in Übereinstimmung mit der IV-Stelle) auf 1. Mai 2020 und nach dem Beschwerdeführer auf 1. November 2017 festzusetzen ist.
3.
Anspruch auf eine Rente haben nach <ref-law> Versicherte, die ihre Erwerbsfähigkeit oder die Fähigkeit, sich im Aufgabenbereich zu betätigen, nicht durch zumutbare Eingliederungsmassnahmen wieder herstellen, erhalten oder verbessern können (lit. a), während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens 40 % arbeitsunfähig (<ref-law>) gewesen sind (lit. b) und nach Ablauf dieses Jahres zu mindestens 40 % invalid (<ref-law>) sind. Gemäss <ref-law> entsteht der Rentenanspruch frühestens nach Ablauf von sechs Monaten nach Geltendmachung des Leistungsanspruchs nach <ref-law>, jedoch frühestens im Monat, der auf die Vollendung des 18. Altersjahres folgt (Abs. 1). Der Anspruch entsteht nicht, solange die versicherte Person ein Taggeld nach Art. 22 beanspruchen kann (Abs. 2). Die Rente wird vom Beginn des Monats an ausbezahlt, in dem der Rentenanspruch entsteht (Abs. 3).
4.
Die Vorinstanz erwog, die Ärzte der Klinik C._ seien in ihren Berichten vom 23. Januar und 27. März 2017 davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer nach Klinikaustritt (23. März 2017) bei konsequenter Cannabisabstinenz im Rahmen einer beruflichen Neuorientierung (stufenweise) eingliederungsfähig sei. Der Versicherte selber habe im Juni 2017 geltend gemacht, eine andere Berufsausbildung (im Detailhandel) anzustreben. Vor entsprechenden Eingliederungsschritten habe die IV-Stelle indessen seine Suchtmittelabstinenz abklären müssen (Bericht des Instituts für Rechtsmedizin der Universität G._ vom 21. Juni 2017). Weiter habe sie bei Dr. med. F._, Facharzt für Neurologie FMH, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, ein Gutachten eingeholt, welches am 11. April 2018 erstattet worden sei. Der Gutachter habe berufliche Massnahmen als dringend indiziert erachtet und empfohlen, mit der beruflichen Wiedereingliederung sofort zu beginnen. Vor diesem Hintergrund sei die IV-Stelle (im Rahmen der angeordneten Integrationsmassnahmen) zu Recht von der Eingliederungsfähigkeit des Beschwerdeführers ausgegangen. Dass sie für den Beginn des Rentenanspruchs das Ende des zweiten Aufbautrainings als massgebend betrachtet und die Rente ab 1. Mai 2020 zugesprochen habe, sei damit nicht zu beanstanden.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer stellt sich demgegenüber auf den Standpunkt, er habe gestützt auf Art. 28 und 29 Abs. 1 IVG bereits ab 1. November 2017 Anspruch auf eine Rente, weil er nach Ablauf des Wartejahres Ende Oktober 2017 keine Taggelder bezogen habe. Damit lässt er unberücksichtigt, dass nach den zutreffenden vorinstanzlichen Erwägungen für die Entstehung des Rentenanspruchs vorliegend das Ende der Eingliederungsmassnahmen massgebend ist: Die IV-Stelle hat nach dem Grundsatz "Eingliederung vor Rente" zuerst abzuklären, ob die Erwerbsfähigkeit der versicherten Person (oder die Fähigkeit, sich im Aufgabenbereich zu betätigen) voraussichtlich durch zumutbare Eingliederungsmassnahmen wieder hergestellt, erhalten oder verbessert werden kann (vgl. <ref-law>). Nur wenn sie zum Schluss gelangt, dass keine entsprechenden Massnahmen (mehr) in Frage kommen, kann ein Rentenanspruch bejaht werden; andernfalls sind vorab geeignete Eingliederungsmassnahmen anzuordnen (Urteile 9C_108/2012 vom 5. Juni 2012 E. 2.2.1 und 9C_99/2010 vom 6. Dezember 2010 E. 3.1, je mit Hinweis auf die Botschaft vom 22. Juni 2005 zur Änderung des Bundesgesetzes über die Invalidenversicherung [5. IV-Revision], BBl 2005 4459 ff., 4521 ff., 4531 und 4568). Nach der gesetzlichen Konzeption kann deshalb eine Rente vor der Durchführung von Eingliederungsmassnahmen (allenfalls auch rückwirkend) nur zugesprochen werden, wenn die versicherte Person wegen ihres Gesundheitszustandes nicht oder noch nicht eingliederungsfähig war (Urteil 9C_108/2012 vom 5. Juni 2012 E. 2.2.1; <ref-ruling> E. 4a; MEYER/REICHMUTH, Rechtsprechung des Bundesgerichts zum IVG, 3. Aufl. 2014, N. 16 zu <ref-law>). Diese Grundsätze finden auch Anwendung auf Integrationsmassnahmen (wie sie dem Beschwerdeführer zugesprochen worden waren), bei welchen es sich um eine besondere Form von Eingliederungsmassnahmen handelt (vgl. dazu Art. 8 Abs. 3 lit. a bis und <ref-law> sowie <ref-law> [je in der bis 31. Dezember 2021 gültig gewesenen, hier anwendbaren Fassung]; vgl. Urteil 9C_689/2019 vom 20. Dezember 2019 E. 3.1 und 3.2) : Solange Integrationsmassnahmen in Betracht fallen können, ist der Anspruch auf eine Rente deshalb nicht zu prüfen und kann eine Rente nicht zugesprochen werden (Urteile 8C_951/2010 vom 30. Mai 2011 E. 3.3 und 9C_99/2010 vom 6. Dezember 2010 E. 3.1). Dass der Rentenanspruch grundsätzlich erst nach Beendigung der Eingliederungsmassnahmen entstehen kann, gilt dabei selbst im Fall, dass diese nur einen Teilerfolg brachten oder scheiterten (Urteile 9C_689/2019 vom 20. Dezember 2019 E. 3.1 und 9C_450/2019 vom 14. November 2019 E. 3.3.1, je mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 4c, d und e; MEYER/REICHMUTH, a.a.O., N. 7 zu <ref-law>). Anders verhält es sich nach Abklärungsmassnahmen, die zeigen sollen, ob der Versicherte überhaupt eingliederungsfähig ist, und die dann ergeben, dass dies nicht zutrifft; diesfalls kann eine Rente rückwirkend zugesprochen werden (<ref-ruling> E. 4d).
Im Rahmen von Integrationsmassnahmen (und nicht etwa im Rahmen von Abklärungsmassnahmen zur Prüfung der Frage der Eingliederungsfähigkeit) absolvierte der Beschwerdeführer vom 16. August 2018 bis zum vorzeitigen Abbruch am 16. Juli 2019 und vom 25. November 2019 bis am 24. Mai 2020 zwei Aufbautrainings zwecks Ermittlung und Verbesserung seiner Belastbarkeit und Einsatzfähigkeit (Eingliederungsvereinbarungen vom 10. Juli 2018 und 20. November 2019). Dass die Vorinstanz erkannte, eine Rente könne erst nach Abschluss der Eingliederungsmassnahmen, mithin ab 1. Mai 2020, zugesprochen werden, steht im Einklang mit den soeben dargelegten, von der Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen.
5.2. Selbst eine Anwendung der in E. 5.1 erwähnten Praxis ergibt nach dem Beschwerdeführer allerdings einen Rentenbeginn am 1. November 2017, weil entgegen dem angefochtenen Entscheid bei Ablauf des Wartejahres keine Eingliederungsfähigkeit bestanden habe, wie insbesondere auch die Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 7. September 2020 klar zeige. Diese Vorbringen lassen die vorinstanzlichen Feststellungen im Zusammenhang mit seiner Eingliederungsfähigkeit, welche sich auf die Berichte der Klinik C._ vom 23. Januar und 27. März 2017 sowie das Gutachten des Dr. med. F._ vom 11. April 2018 stützen, nicht als offensichtlich unrichtig oder sonstwie bundesrechtswidrig erscheinen. Aufgrund der von ihm gestellten Diagnosen (sonstige näher bezeichnete organische psychische Störungen aufgrund einer Schädigung oder Funktionsstörung des Gehirns oder einer körperlichen Krankheit im Sinne einer drogeninduzierten Psychose [ICD-10 F06.8]; Differentialdiagnose: paranoide Schizophrenie, unter der Behandlung mit hochpotenten Antipsychotika remittiert [ICD-10 F20.0]) äusserte sich Dr. med. F._ in seinem Gutachten vom 11. April 2018 dahingehend, dass Eingliederungsvorkehren, welche er für erfolgversprechend hielt, dringend empfohlen würden. Bei dieser Sachlage war von den Integrationsmassnahmen prognostisch ein Erhalt bzw. eine Verbesserung der Eingliederungsfähigkeit des Beschwerdeführers zu erwarten. Daran vermag auch nichts zu ändern, dass der RAD-Arzt am 7. September 2020 (d.h. etwa dreieinhalb Monate nach Beendigung des zweiten Aufbautrainings) zum Ergebnis gelangte, aufgrund der zwischenzeitlich diagnostizierten paranoiden Schizophrenie sei (rückblickend) von einer seit 2016 bestehenden vollständigen Arbeitsunfähigkeit auszugehen. Im Übrigen schloss auch der RAD-Arzt zu diesem Zeitpunkt eine Eingliederungsfähigkeit nicht per se aus, sondern empfahl eine erneute Prüfung entsprechender Massnahmen in etwa einem Jahr.
6.
Zusammenfassend ergibt sich, dass der angefochtene Entscheid, welcher den von der IV-Stelle auf 1. Mai 2020 festgesetzten Rentenbeginn bestätigte, bundesrechtskonform ist. Dies führt zur Abweisung der Beschwerde.
7.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann entsprochen werden (<ref-law>). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Anna Willi wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 31. Januar 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann