Faits :
A.
A.a. A._, né B._, est un ressortissant albanais né en 1983. En 2014, il a épousé, dans son pays d'origine, une compatriote, mère de ses deux enfants, nés respectivement en 2005 et en 2011. Tant son épouse que ses enfants sont titulaires de la nationalité italienne.
A.b. Entre 2015 et 2017, à tout le moins à deux reprises, A._ est entré illégalement en Suisse et y a travaillé sans autorisation. Une interdiction d'entrée en Suisse jusqu'au 25 octobre 2021 a été prononcée à son encontre.
A.c. Durant l'été 2018, la famille A._ s'est installée en Suisse. L'épouse de A._ et les deux enfants ont annoncé leur arrivée le 1er août 2018 et ont obtenu une autorisation de séjour UE/AELE valable jusqu'au 31 juillet 2023. L'intéressée travaille depuis le 1er août 2018 en qualité de nettoyeuse et les deux enfants sont scolarisés.
Le 4 octobre 2018, A._, qui n'avait pas annoncé son arrivée en Suisse, a fait l'objet d'un contrôle par les inspecteurs du marché du travail de la branche de la construction, alors qu'il travaillait sans autorisation sur un chantier.
Le 10 octobre 2018, l'intéressé s'est annoncé auprès des autorités de son lieu de domicile et a sollicité l'octroi d'une autorisation de séjour par regroupement familial auprès du Service de la population du canton de Vaud (ci-après : le Service cantonal). A cette occasion, il a indiqué qu'il était arrivé en Suisse le 29 septembre 2018 et a répondu par la négative à la question portant sur l'existence d'antécédents pénaux en Suisse ou à l'étranger. Ce faisant, il a tu l'existence de six condamnations prononcées à son encontre de 2010 à 2018 par les autorités italiennes et suisses, soit :
- le 15 juillet 2010, par la Corte di Appello di Ancona, pour prostitution de mineurs continue, lésions corporelles, séquestration de personnes et encouragement à la prostitution continue, à une peine privative de liberté de 4 ans et à une amende de 16'000 euros, la peine principale étant notamment assortie d'une expulsion du territoire italien et d'une interdiction perpétuelle d'engagement auprès de structures publiques ou privées fréquentées principalement par des mineurs. Il lui a en substance été reproché d'avoir, en 2006, participé activement à faire venir en Italie, depuis l'Albanie, à tout le moins deux jeunes femmes, dont l'une était mineure, en leur laissant entendre qu'elles pourraient exercer une activité de serveuse, avant de les contraindre à se prostituer durant plusieurs mois et de vivre des revenus réalisés par ses victimes;
- le 2 septembre 2010, par le Tribunale du Pesaro, pour défaut de paiement de cotisations sociales, à une peine privative de liberté de 15 jours et à une amende de 300 euros;
- le 14 septembre 2010, par le Tribunale di Pesaro, pour défaut de paiement de cotisations sociales, à une peine privative de liberté de 20 jours et à une amende de 250 euros;
- le 1er septembre 2016, par le Ministère public de Lausanne, pour séjour illégal et activité lucrative sans autorisation, à une peine pécuniaire de 80 jours-amende avec sursis pendant deux ans (révoqué le 27 juillet 2017) et à une amende de 480 fr.;
- le 27 juillet 2017, par le Ministère public de Lausanne, pour entrée illégale et séjour illégal, à une peine pécuniaire de 40 jours-amende;
- le 19 novembre 2018, par le Ministère public de Lausanne, pour activité lucrative sans autorisation, à une peine pécuniaire de 60 jours-amende.
B.
Par décision du 29 mai 2019, après avoir entendu A._, le Service cantonal a refusé de lui octroyer l'autorisation de séjour sollicitée et a prononcé son renvoi de Suisse. L'autorité a en substance considéré que l'intéressé, qui séjournait illégalement en Suisse depuis 2018, avait fait de fausses déclarations durant la procédure d'autorisation et que, compte tenu des condamnations prononcées à son encontre, l'intérêt public à son éloignement l'emportait largement sur son intérêt privé au regroupement familial et à la poursuite de son séjour en Suisse.
Les 9 juillet 2019 et 13 février 2020, A._ a de nouveau été contrôlé alors qu'il travaillait sans autorisation sur des chantiers. Chacune de ces interpellations a donné lieu à une dénonciation aux autorités pénales.
Par arrêt du 20 mai 2020, le Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par A._ et a confirmé la décision du 29 mai 2019.
C.
A._ dépose un recours en matière de droit public et un recours constitutionnel subsidiaire auprès du Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement à l'octroi d'une autorisation de séjour UE/AELE par regroupement familial; subsidiairement, à l'annulation de l'arrêt rendu le 20 mai 2020 par le Tribunal cantonal et au renvoi de la cause audit Tribunal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Il sollicite également, outre la dispense d'avance de frais, l'assistance judiciaire et la désignation de son conseil à la défense de ses intérêts. Il demande en outre, à titre de mesures provisionnelles, à être autorisé à demeurer en Suisse durant la procédure de recours. Il requiert enfin, à titre de mesures d'instruction, la production de l'entier du dossier de la cause et la traduction en français du jugement rendu le 15 juillet 2010 par la Corte di Appello di Ancona, et à ce qu'un délai lui soit imparti pour déposer un mémoire complémentaire à réception des pièces susmentionnées.
Par ordonnance du 25 juin 2020, le Président de la IIe Cour de droit public a rejeté la requête de mesures provisionnelles formulée par A._. Le 13 août 2020, le Tribunal fédéral a renoncé provisoirement à exiger une avance de frais et informé l'intéressé qu'il serait statué ultérieurement sur l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le Service cantonal et le Tribunal cantonal renoncent à se déterminer sur le recours, le second se référant aux considérants de l'arrêt attaqué. Le Secrétariat d'État aux migrations ne s'est pas prononcé.

Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. En l'espèce, le recourant peut potentiellement tirer un droit de séjourner en Suisse de son mariage avec sa compagne, titulaire de la nationalité italienne, au sens des art. 7 let. d de l'Accord du 21 juin 1999 entre la Confédération suisse, d'une part, et la Communauté européenne et ses États membres, d'autre part, sur la libre circulation des personnes (ALCP; RS 0.142.112.681) en relation avec l'art. 3 par. 1 et 2 Annexe I ALCP. En outre, le recourant invoque également de façon soutenable un droit au regroupement familial fondé sur l'art. 8 CEDH et les relations qu'il entretient avec ses enfants notamment (cf. <ref-ruling> consid. 1.3 p. 145 s.), de sorte que le présent recours n'entre pas dans les motifs d'exclusion de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. La voie du recours en matière de droit public étant ainsi ouverte, celle subsidiaire du recours constitutionnel est exclue (art. 113 a contrario LTF).
1.2. Pour le surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue par un tribunal supérieur de dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes prescrites (art. 42 LTF) par le destinataire de l'arrêt entrepris qui a qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF), le recours est recevable.
1.3. La requête tendant à la production du dossier cantonal est sans objet, le Tribunal cantonal ayant transmis celui-ci au Tribunal fédéral en application de l'art. 102 al. 2 LTF. S'agissant de la demande de traduction en français du jugement rendu le 15 juillet 2010 par la Corte di Appello di Ancona, il est rappelé que le Tribunal fédéral n'ordonne des mesures probatoires (cf. art. 55 LTF) que de manière exceptionnelle (<ref-ruling> consid. 2 p. 104) et à condition que la partie qui les requiert motive sa demande (art. 42 al. 1 LTF), ce que l'intéressé n'a pas fait en l'occurrence. Sa requête ne peut donc qu'être écartée déjà pour cette raison. Au demeurant, on relèvera que le conseil du recourant a, par courrier du 7 septembre 2020 adressé à la Cour de céans, considéré que la cause était " désormais en mesure d'être jugée ", si bien que l'on ne voit pas en quoi la mesure d'instruction sollicitée serait nécessaire.
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral contrôle librement le respect du droit fédéral, qui comprend les droits de nature constitutionnelle (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Sous réserve des cas cités expressément à l'art. 95 LTF, le recours devant le Tribunal fédéral ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine toutefois le moyen tiré de la violation de droits fondamentaux et du droit cantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant, à savoir exposé de manière claire et détaillée (art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 319).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement en se fondant sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 4.4.3 p. 156), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Le recourant ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 314), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 234). Conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, le recourant doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. Les faits et les critiques invoqués de manière appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356). Par ailleurs, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut en principe être présenté devant le Tribunal fédéral (art. 99 al. 1 LTF).
Dans la mesure où le recourant présente une argumentation partiellement appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle du Tribunal cantonal, s'agissant notamment du nombre d'années vécues séparément de sa famille, sans invoquer l'arbitraire en lien avec l'établissement des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué. Il ne saurait en outre être tenu compte des pièces nouvelles produites à l'appui du recours.
3.
Dans un grief formel qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3 p. 563), le recourant, citant l'art. 29 al. 2 Cst., se plaint d'une violation de son droit d'être entendu.
3.1. Le droit d'être entendu garanti par l'art. 29 al. 2 Cst. comprend notamment le droit pour l'intéressé de s'exprimer sur les éléments pertinents avant qu'une décision ne soit prise touchant sa situation juridique, d'avoir accès au dossier, de produire des preuves pertinentes, d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, de participer à l'administration des preuves essentielles ou à tout le moins de s'exprimer sur son résultat, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 4.1.1 p. 52 s.; <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les références). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (ATF <ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les références).
3.2. Le recourant estime en substance que l'autorité précédente, en ne donnant pas suite à sa demande du 15 (recte: 5) mai 2020 tendant à ordonner la traduction du jugement rendu le 15 juillet 2010 par la Corte di Appello di Ancona, ne lui aurait pas permis de se déterminer en toute connaissance de cause sur l'intégralité du dossier, dans la mesure où son conseil ne maîtriserait pas l'italien. Or, selon l'intéressé, l'examen dudit jugement serait primordial pour la résolution du litige, car les faits qui y sont décrits seraient " les seuls permettant d'envisager [qu'il] puisse représenter une menace concrète et d'une certaine gravité pour l'ordre public suisse ". Il est par ailleurs d'avis que rien au dossier ne permettrait d'affirmer que les juges cantonaux aient été " en mesure de prendre connaissance du contenu [dudit] jugement ", qui était toutefois " largement évoqué " dans l'arrêt entrepris.
3.3. Il ressort de l'arrêt attaqué que le Tribunal cantonal a retenu qu'il n'y avait pas lieu de donner suite à la requête d'instruction de l'intéressé, dans la mesure où le jugement litigieux, versé au dossier par le conseil du recourant le 2 mars 2020, était rédigé dans l'une des langues nationales suisses, qu'il concernait en premier lieu le recourant et qu'il ne contenait aucun élément contraire aux faits retenus par la décision du Service cantonal du 29 mai 2019. L'intéressé n'avait par ailleurs pas exposé en quoi l'interprétation dudit jugement aurait conduit à une appréciation différente de sa situation, et n'avait pour le surplus pas jugé utile de consulter le dossier alors que cette possibilité lui avait été offerte plusieurs fois. La cause était dès lors en état d'être jugée.
3.4. En renonçant à procéder à la traduction du jugement litigieux, au motif que celle-ci n'était pas de nature à modifier son opinion, l'autorité précédente a procédé à une appréciation anticipée des preuves, dont il appartenait au recourant de démontrer que celle-ci était arbitraire (art. 106 al. 2 LTF), ce qu'il ne fait nullement. Il ressort par ailleurs du dossier que le conseil du recourant a effectué plusieurs échanges de correspondance en italien, par courriers signés de sa main ou mails envoyés de sa propre adresse électronique, avec la Corte di Appello di Ancona (art. 105 al. 2 LTF), si bien que son incapacité alléguée à comprendre cette langue n'est pas crédible. Il peut en outre paraître pour le moins paradoxal, de la part du recourant, de douter de la capacité de compréhension du jugement litigieux par les juges cantonaux, dans la mesure où il relève que celui-ci est largement évoqué dans l'arrêt entrepris et qu'il reprend, sans les remettre en cause, les faits qui y sont décrits. Pour le surplus, en tant que le recourant estime que les faits contenus dans le jugement litigieux seraient les seuls susceptibles de justifier l'existence d'une menace pour l'ordre public, cette question relève du fond et sera examinée plus loin (cf. infra consid. 6.3). Le grief de violation du droit d'être entendu doit donc être écarté.
4.
Le recourant se plaint d'une application arbitraire de l'art. 26 al. 1 de la loi du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative du canton de Vaud (LPA/VD; RSV 173.36), qui stipule que la procédure se déroule en français.
4.1. Une décision est arbitraire (art. 9 Cst.) lorsqu'elle est manifestement insoutenable, méconnaît gravement une norme ou un principe juridique clair et indiscuté, ou heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité; il ne suffit pas qu'une autre solution paraisse concevable, voire préférable. Pour que cette décision soit censurée, encore faut-il qu'elle s'avère arbitraire, non seulement dans ses motifs, mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.4 p. 53 et les références citées).
4.2. En l'occurrence, le recourant reproche aux juges cantonaux de lui avoir initialement demandé de produire le jugement rendu le 5 juillet 2010 par la Corte di Appello di Ancona, ainsi que sa traduction, avant de renoncer à ladite traduction au cours de la procédure. Il soutient qu'un tel comportement est arbitraire, en ce sens que celui-ci " apparaît être lié " aux frais de traduction dudit jugement, dont il avait demandé que ceux-ci soient mis à la charge de l'État. On ne saurait considérer une telle motivation comme étant suffisante au sens de l'art. 106 al. 2 LTF. Le recourant aurait bien plus dû expliquer en quoi l'art. 26 LPA/VD conférait un droit à la traduction, non pas seulement des actes de procédure, mais également des pièces du dossier, et en quoi le fait de ne plus se voir exiger la traduction litigieuse par le Tribunal cantonal constituait concrètement une application arbitraire du droit cantonal de procédure sur ce point. Dans ces conditions, le grief de violation arbitraire du droit cantonal ne peut qu'être écarté.
5.
Le litige porte sur la question de savoir si c'est à bon droit que les juges précédents ont confirmé la décision refusant l'octroi au recourant d'une autorisation de séjour UE/AELE par regroupement familial. Cela étant, le recourant ne remet à juste titre pas en cause l'existence d'un motif de révocation, a fortiori de refus d'octroi d'une autorisation de séjour, au sens de l'art. 62 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr; RS 142.20; dans sa teneur en vigueur au moment de la demande d'autorisation de séjour litigieuse [RO 2007 537], intitulée depuis le 1er janvier 2019, loi fédérale sur les étrangers et l'intégration [LEI, RO 2017 6521]), cf. art. 126 al. 1 LEI; <ref-ruling> consid. 4.3), qui s'applique au cas d'espèce (art. 2 al. 2 LEtr; cf. arrêt 2C_362/2019 du 10 janvier 2020; art. 23 al. 1 de l'ordonnance fédérale du 22 mai 2002 sur l'introduction progressive de la libre circulation des personnes entre, d'une part, la Confédération suisse et, d'autre part, l'Union européenne et ses États membres, ainsi qu'entre les États membres de l'Association européenne de libre-échange [OLCP; RS 142.203]), sous réserve des exigences figurant à l'art. 5 Annexe I ALCP notamment (cf. infra consid. 6). En particulier, le recourant ne conteste pas avoir dissimulé l'existence d'antécédents pénaux en Suisse et en Italie durant la procédure d'autorisation, comportement frauduleux qui constitue à lui seul un motif de refus d'octroi de l'autorisation sollicitée selon l'art. 62 al. 1 let. a LEtr.
6.
Le recourant reproche en revanche au Tribunal cantonal d'avoir violé l'art. 5 par. 1 Annexe I ALCP en confirmant le refus de lui octroyer une autorisation de séjour UE/AELE. Il conteste représenter une menace actuelle et réelle suffisamment grave pour l'ordre et la sécurité publics permettant de justifier un tel refus.
6.1. Comme l'ensemble des droits octroyés par l'ALCP, celui de demeurer en Suisse ne peut être limité que par des mesures d'ordre ou de sécurité publics, au sens de l'art. 5 par. 1 Annexe I ALCP (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 125 s. et les arrêts cités).
Conformément à la jurisprudence, les limites posées au principe de la libre circulation des personnes doivent s'interpréter de manière restrictive. Ainsi, le recours par une autorité nationale à la notion d' "ordre public " pour restreindre cette liberté suppose, en dehors du trouble de l'ordre social que constitue toute infraction à la loi, l'existence d'une menace réelle et d'une certaine gravité affectant un intérêt fondamental de la société (ibid.). Il faut donc procéder à une appréciation spécifique du cas, portée sous l'angle des intérêts inhérents à la sauvegarde de l'ordre public, qui ne coïncide pas obligatoirement avec les appréciations à l'origine des condamnations pénales. Il n'est pas nécessaire d'établir avec certitude que l'étranger commettra d'autres infractions à l'avenir pour prendre une mesure d'éloignement à son encontre; inversement, ce serait aller trop loin que d'exiger que le risque de récidive soit nul pour que l'on renonce à une telle mesure. En réalité, ce risque ne doit pas être admis trop facilement et il faut l'apprécier en fonction de l'ensemble des circonstances du cas, en particulier au regard de la nature et de l'importance du bien juridique menacé, ainsi que de la gravité de l'atteinte qui pourrait y être portée. A cet égard, le Tribunal fédéral se montre particulièrement rigoureux en présence d'actes de violence criminelle et d'infractions contre l'intégrité sexuelle notamment (ibid.).
6.2. Le recourant fait grief au Tribunal cantonal de s'être " focalis[é] " sur sa condamnation à 4 ans de peine privative de liberté pour prostitution de mineurs continue, lésions corporelles et séquestration notamment, actes commis en Italie en 2006, sans tenir compte du temps écoulé et du comportement qu'il avait adopté depuis lors. Il affirme que, dans la mesure où il n'avait plus fait l'objet de condamnations pour des faits similaires, il ne démontrait plus de dangerosité sous cet angle. Ses condamnations ultérieures en Italie et en Suisse l'avaient été pour des infractions moins graves, si bien qu'il ne représentait aucun danger réel et actuel pour l'ordre public suisse.
6.3. Le recourant perd de vue que le critère de la gravité peut également être réalisé par des actes qui présentent un degré de gravité comparativement moins élevé, mais qui, par leur répétition, démontrent une incapacité à se conformer à l'ordre établi. Or, non seulement l'intéressé a été condamné en 2010 pour des infractions contre l'intégrité sexuelle d'autrui notamment - matière dans laquelle le Tribunal fédéral se montre particulièrement rigoureux (cf. supra consid. 6.1) - à une peine privative de liberté de 4 ans, qui reflète à elle seule la gravité des actes commis, mais il a de plus, dans les huit ans qui ont suivi, été condamné à cinq autres reprises, dont trois fois par les autorités suisses entre 2016 et 2018. L'intéressé a en outre fait l'objet de deux nouvelles dénonciations pénales après avoir été contrôlé, en 2019 et 2020, en train d'exercer une activité lucrative sans autorisation, alors qu'il lui avait été expressément signalé qu'il faisait l'objet d'une interdiction d'entrée en Suisse et qu'il n'était pas autorisé à travailler durant la procédure d'autorisation. Il apparaît ainsi que le recourant n'a pas cessé d'adopter un comportement délictueux, certes comparativement moins grave que par le passé, mais révélant un réel défaut de prise de conscience ainsi qu'un mépris persistant pour l'ordre public. La régularité et la répétition des infractions commises, en dépit des sanctions subies, ne permettent pas d'exclure un risque de récidive, l'écoulement du temps depuis sa première condamnation, dont une partie a, au demeurant, été passée à exécuter la peine prononcée à son encontre, doivent ainsi être relativisé. Enfin, aux condamnations du recourant s'ajoute son comportement frauduleux, par lequel il a, sur la base de fausses déclarations, intentionnellement cherché à obtenir une autorisation de séjour, ce qui constitue un indice supplémentaire en faveur de l'existence d'une menace pour l'ordre et la sécurité publics (arrêt 2C_362/2019 du 10 janvier 2020 consid. 6.2 et les arrêts cités).
C'est dès lors manifestement en vain que le recourant estime que les faits reprochés dans le jugement italien du 15 juillet 2010 étaient " les seuls " permettant d'envisager qu'il représentait une menace concrète et d'une certaine gravité pour l'ordre public, et que leur traduction en français s'avérait déterminante pour l'issue du litige. Du reste, contrairement à ce que prétend l'intéressé, il ne ressort nullement de l'arrêt entrepris que les juges précédents se seraient focalisés sur sa condamnation du 15 juillet 2010, puisqu'ils ont au contraire pris en considération l'ensemble de ses antécédents pénaux, aussi bien à l'étranger qu'en Suisse, pour retenir qu'il représentait, à ce jour, une menace actuelle et réelle d'une certaine gravité pour l'ordre public justifiant le refus d'octroi d'une autorisation de séjour en sa faveur.
6.4. Compte tenu de ce qui précède, c'est à juste titre que les juges cantonaux ont estimé que le refus de l'autorisation de séjour UE/AELE au recourant était conforme à l'art. 5 par. 1 Annexe I ALCP.
7.
Le recourant, invoquant l'art. 8 CEDH, se plaint enfin d'une violation du principe de la proportionnalité. Il reproche en substance au Tribunal cantonal d'avoir omis d'examiner s'il pouvait être exigé de son épouse et de ses enfants qu'ils le suivent en Albanie et de ne pas avoir précisément indiqué quel était l'intérêt public qui l'emportait sur son intérêt privé à vivre en Suisse.
7.1. De jurisprudence constante, lors de l'examen de la proportionnalité d'une révocation, respectivement d'un refus d'octroi d'une autorisation de séjour, il y a notamment lieu de prendre en considération la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, la durée de sa présence en Suisse, le degré de son intégration et le préjudice que l'intéressé et sa famille auraient à subir en raison de la mesure (<ref-ruling> consid. 6.5.1 p. 132; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 381). L'intérêt fondamental de l'enfant à ne pas être séparé de ses parents (art. 3 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant [CDE; RS 0.107]; <ref-ruling> consid. 5.5.1 p. 29) doit également être pris en compte, étant précisé que, sous l'angle du droit des étrangers, cet élément n'est pas prépondérant par rapport aux autres circonstances, la pesée des intérêts devant être globale (cf. <ref-ruling> consid. 5.2).
7.2. En l'occurrence, l'intérêt du recourant à demeurer en Suisse, pays dans lequel il est entré illégalement en août 2018 et où il ne peut pas se prévaloir d'une intégration réussie, repose essentiellement dans la relation qu'il entretient avec son épouse et ses deux enfants.
S'agissant de ces derniers, on doit retenir que, tant l'intérêt du recourant à maintenir des relations avec ses enfants, que l'intérêt de ceux-ci à pouvoir grandir en jouissant d'un contact étroit avec leurs deux parents ne sauraient suffire pour contrebalancer l'intérêt public clair à l'éloignement du recourant de Suisse (cf. supra consid. 6). On relèvera à cet égard qu'il ressort des faits de l'arrêt entrepris que le recourant et ses enfants, ainsi que son épouse, vivent séparés depuis près de treize ans, et ne mènent une vie commune que depuis leur entrée en Suisse, soit depuis un peu plus de deux ans. Ainsi, sans remettre en cause l'intensité des liens unissant l'intéressé à ses enfants, force est néanmoins de constater que ces derniers ont passé l'essentiel de leur vie sans la présence de leur père. Par ailleurs, s'il est vrai que les enfants perdent la possibilité de maintenir une certaine relation avec leur père en Suisse, il n'en demeure pas moins que ladite relation peut aisément être maintenue en cas de renvoi de l'intéressé en Albanie, compte tenu de la distance raisonnable entre ce pays et la Suisse et des moyens de communication actuels. Enfin, il convient de rappeler que le recourant a perpétré l'ensemble des actes qui lui ont été reprochés alors qu'il était déjà père, faisant ainsi passer l'intérêt de sa famille au second plan, ce qui ne peut être ignoré dans la pesée des intérêts.
En ce qui concerne l'épouse de l'intéressé, on soulignera que celle-ci savait, au moment du mariage, que son mari avait fait l'objet d'une condamnation à une longue peine privative de liberté, et qu'elle risquait ainsi de devoir vivre sa vie de famille de manière séparée.
Pour le reste, et quoi qu'en dise l'intéressé, on relèvera que son renvoi dans son pays d'origine ne contraindrait ni son épouse ni ses enfants à le suivre à l'étranger, dans la mesure où tous trois bénéficient d'une autorisation de séjour en Suisse et qu'ils ne dépendent au demeurant pas financièrement de l'intéressé, son épouse subvenant à l'entier des besoins de la famille. Finalement, le recourant ne démontre ni même ne soutient qu'un retour en Albanie lui poserait des problèmes insurmontables pour se réintégrer dans ce pays.
7.3. Compte tenu des motifs qui précèdent, il apparaît que les juges précédents n'ont pas violé l'art. 8 CEDH en faisant primer l'intérêt public à l'éloignement du recourant, puisque c'est de cet intérêt-là qu'il s'agit, ce que l'intéressé avait du reste parfaitement compris, sur son intérêt privé à vivre en Suisse.
8.
Enfin, il convient de relever (art. 106 al. 1 LTF) que la décision attaquée ne va pas à l'encontre des prescriptions applicables en matière d'expulsion pénale (cf. art. 66a ss du Code pénal [CP; RS 311.0] en lien avec l'art. 62 al. 2 LEI), entrées en vigueur le 1er octobre 2016 (RO 2016 2329). En effet, le motif de refus de renouveler l'autorisation de séjour sollicitée par le recourant repose en partie sur la multiplication d'infractions pénales commises en Italie et en Suisse avant le 1er octobre 2016, ainsi que sur les fausses déclarations que l'intéressé a faites durant la procédure d'autorisation. La décision attaquée ne s'est ainsi pas uniquement fondée sur les infractions commises par le recourant après le 1er octobre 2016, qui ont fait l'objet des ordonnances pénales du 27 juillet 2017 et du 16 septembre 2018. A cela s'ajoute que le Ministère public ne pouvait en tout état prononcer une expulsion par le biais d'une ordonnance pénale (art. 352 al. 2 CPP; arrêts 2C_945/2019 du 15 janvier 2020 consid. 2.2.1; 2C_628/2019 du 18 novembre 2019 consid. 7.4). L'art. 62 al. 2 LEtr ne trouve ainsi pas à s'appliquer.
9.
Les considérants qui précèdent conduisent donc au rejet du recours. Ce dernier étant d'emblée dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Succombant, le recourant doit supporter les frais judiciaires, qui seront toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
2.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de la population du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 7 octobre 2020
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Rastorfer