Faits :
A.
A.a. En 2011, A._ (ci-après: l'assuré, le demandeur ou le requérant) a souscrit deux polices d'assurance de protection juridique auprès d'une société dont B._ S.A. (ci-après: l'assureur, la défenderesse ou l'intimée) a ultérieurement repris les actifs et les passifs.
La couverture d'assurance s'étend notamment aux frais de défense dans une procédure pénale. Si un délit intentionnel est reproché à l'assuré, les prestations d'assurance sont versées au terme de la procédure, notamment lorsque celui-ci a été acquitté par une décision définitive. Les participations aux frais accordées par voie judiciaire à l'assuré sont acquises à l'assureur à concurrence de ses prestations.
A.b. En 2012, l'assuré a été mis en prévention pour tentative d'instigation à assassinat sur un agent de police. Peu après, il a également été mis en prévention pour blanchiment d'argent, puis pour tentative d'instigation à des lésions corporelles graves contre ledit agent ainsi que pour emploi d'étrangers sans autorisation.
A.c. Les 23 mai et 3 août 2012, l'assuré a déposé plainte pénale contre plusieurs policiers. Ses plaintes ont fait l'objet d'ordonnances de classement, l'assuré étant pour partie renvoyé à agir par la voie civile.
A.d. Le 17 décembre 2012, la procédure pénale dirigée à l'encontre de l'assuré a été classée s'agissant de l'infraction de blanchiment d'argent. L'indemnisation en raison du classement a été fixée à 5'994 fr.
Par arrêt du 24 septembre 2013, la Chambre d'appel et de révision de la Cour de justice du canton de Genève a confirmé l'acquittement de l'assuré du chef d'accusation de tentative d'instigation à assassinat prononcé en première instance, l'a acquitté du chef d'accusation de tentative d'instigation à lésions corporelles graves et l'a uniquement reconnu coupable d'emploi d'étrangers sans autorisation. Pour ses frais de défense, l'assuré a réclamé le montant de 201'312 fr. (complètement selon l'<ref-law>). Au vu notamment de l'imprécision des notes d'honoraires qu'il avait produites (complètement selon l'<ref-law>), la Cour de justice a fixé l'indemnité pour ses frais de défense à 100'000 fr.
A.e. Lors de ces procédures pénales, l'assuré a été représenté par Me Homayoon Arfazadeh, avocat, ainsi que par d'autres personnes de l'étude de celui-ci, sans avoir sollicité l'accord préalable de l'assureur.
B.
B.a. Par demande du 12 septembre 2014, l'assuré a notamment conclu à ce que la défenderesse soit condamnée à lui verser 281'064 fr. 60, 36'768 fr. 90 et 800 fr., intérêts en sus, sous déduction de la somme de 107'500 fr. correspondant aux indemnités déjà reçues.
Par jugement du 17 mai 2017, le Tribunal de première instance a entièrement débouté le demandeur.
B.b. Par arrêt du 9 février 2018, la Cour de justice a annulé ce jugement et a renvoyé la cause au tribunal pour nouvelle décision dans le sens des considérants. En substance, elle a jugé que, contrairement à ce qu'avait retenu le tribunal, l'indemnisation du demandeur sur la base de l'<ref-law> ne réglait pas de manière définitive ses prétentions et que, dans la mesure où les autorités pénales ne lui avaient pas alloué la totalité de ses frais de défense allégués, le fondement de ses prétentions envers la défenderesse devait être examiné. Elle a précisé que les frais liés aux plaintes pénales déposées par le demandeur les 25 mai et 3 août 2012 ne devaient toutefois pas être couverts par la défenderesse, dans la mesure où la procédure dirigée contre le demandeur et celle qu'il avait initiée contre les agents de police étaient indépendantes et où il pouvait être attendu de lui qu'il effectuât une déclaration de sinistre pour chacune de ces situations, ce qu'il avait omis d'effectuer s'agissant de la procédure relative à ses plaintes pénales.
B.c. Par arrêt 4A_218/2018 du 5 juin 2018, le Tribunal fédéral a jugé que le recours déposé par le demandeur à l'encontre de l'arrêt de la cour cantonale était irrecevable parce qu'il s'agissait d'une décision incidente et que les conditions de l'<ref-law> n'étaient pas remplies.
B.d. Par jugement du 20 mai 2019, le Tribunal de première instance a, en substance, condamné la défenderesse à verser au demandeur le montant de 55'307 fr. 40, intérêts en sus.
B.e. Par arrêt du 5 février 2020, la Cour de justice a, sur appel des parties, annulé ce jugement et condamné la défenderesse au paiement de 800 fr., intérêts en sus. Ce montant, à propos duquel l'intimée n'avait pas présenté de griefs, correspond aux frais judiciaires auxquels le demandeur avait été condamné par le Tribunal fédéral pour la procédure fédérale.
B.f. Contre cet arrêt, le demandeur a formé un recours en matière civile auprès du Tribunal fédéral, concluant à l'annulation des arrêts des 9 février 2018 et 5 février 2020 et à la confirmation du montant retenu par le tribunal de première instance, sous réserve d'une erreur de calcul, à la reconnaissance de son droit à une couverture d'assurance par l'intimée s'agissant des plaintes pénales qu'il avait déposées à l'encontre d'agents de police et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par arrêt 4A_194/2020 du 29 juillet 2020 notifié au demandeur le 20 août 2020, le Tribunal fédéral a rejeté ledit recours, dans la mesure où il était recevable.
C.
Le 21 septembre 2020, le demandeur a formé une demande de révision contre cet arrêt. Il conclut, principalement, à l'annulation de l'arrêt entrepris et à la condamnation de l'intimée au paiement de 14'986 fr. 75, intérêts en sus, et, subsidiairement, à son annulation et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimée n'a pas été invitée à se déterminer sur la demande de révision.

Considérant en droit :
1.
1.1. Les arrêts du Tribunal fédéral acquièrent force de chose jugée le jour où ils sont prononcés (<ref-law>). Ils ne peuvent pas être attaqués par une voie de droit ordinaire et un nouvel examen du litige par le Tribunal fédéral est, en principe, exclu. Le Tribunal fédéral peut seulement revenir sur un arrêt lorsque l'un des motifs de révision exhaustivement prévus aux art. 121 à 123 LTF est réalisé (arrêt 4F_7/2020 du 22 février 2021 consid. 1.1, destiné à la publication).
1.2. La procédure de révision auprès du Tribunal fédéral se déroule en plusieurs phases.
1.2.1. Tout d'abord, le Tribunal fédéral examine les conditions de recevabilité de la demande, comme le respect du délai pour la déposer. Pour les questions qui ne sont pas traitées dans le chapitre 7 de la LTF relatif à la procédure de révision, les dispositions générales de la LTF s'appliquent. Sont notamment applicables les exigences de motivation de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF. Si les conditions de recevabilité ne sont pas remplies, le Tribunal fédéral n'entre pas en matière (arrêt 4F_7/2020 précité consid. 1.2.1 et les arrêts cités, destiné à la publication; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 218).
1.2.2. Si le Tribunal fédéral estime la demande de révision recevable, il entre alors en matière et examine si le motif de révision allégué est réalisé. La question de savoir s'il existe un motif de révision n'est dès lors pas une condition de recevabilité mais une question matérielle (arrêt 4F_7/2020 précité consid. 1.2.2 et les arrêts cités, destiné à la publication).
1.2.3. Si le Tribunal fédéral arrive à la conclusion que le motif de révision invoqué n'est pas rempli, il rejette la demande de révision. S'il considère qu'il est rempli, il rend successivement deux décisions distinctes, même s'il le fait, en règle générale, dans un seul arrêt.
Par la première décision, dénommée le rescindant, il annule l'arrêt qui est l'objet de la demande de révision. Cette décision d'annulation met un terme à la procédure de révision proprement dite et entraîne la réouverture de la procédure antérieure.
Par la seconde décision, appelée le rescisoire, il statue sur le recours dont il avait été précédemment saisi (cf. <ref-law>). Elle sortit un effet ex tunc, si bien que le Tribunal fédéral et les parties sont replacés dans la situation dans laquelle ils se trouvaient au moment auquel l'arrêt annulé a été rendu, la cause devant être tranchée comme si cet arrêt n'avait jamais existé (arrêt 4F_7/2020 précité consid. 1.2.3 et les arrêts cités, destiné à la publication; <ref-ruling> consid. 1.2 p. 218 s.).
2.
À l'appui de sa demande de révision, fondée sur l'art. 121 let. d LTF, le requérant invoque, en substance, que le Tribunal de céans aurait omis de tenir compte d'une partie de son recours et d'éléments retenus par les autorités précédentes et n'aurait, pour cette raison, pas condamné l'intimée à lui verser des dommages-intérêts correspondant à la part de la rémunération de son avocat non couverte par les indemnités déjà perçues de l'État.
2.1. Aux termes de l'art. 121 let. d LTF, la révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut être demandée si, par inadvertance, le tribunal n'a pas pris en considération des faits pertinents qui ressortent du dossier. Ce motif de révision vise le cas où le Tribunal fédéral a statué en se fondant sur un état de fait incomplet ou différent de celui qui résultait du dossier (arrêts 2F_3/2020 du 24 juin 2020 consid. 2.2; 4F_15/2017 du 30 novembre 2017 consid. 2.1).
L'inadvertance implique une erreur et consiste soit à méconnaître soit à déformer un fait ou une pièce. Elle doit se rapporter au contenu même du fait, à sa perception par le tribunal, mais non pas à son appréciation juridique. Les faits doivent ressortir du dossier. L'inadvertance doit, en outre, porter sur un fait susceptible d'entraîner une décision différente, plus favorable à la partie requérante (arrêts 4F_15/2017 précité consid. 2.1; 4F_4/2015 du 2 avril 2015 consid. 2.1 et l'arrêt cité; cf. <ref-ruling> consid. 3 p. 280).
Encore faut-il, pour que l'on puisse parler d'inadvertance, que le Tribunal fédéral ait pu prendre en considération le fait important dont on lui reproche de ne pas avoir tenu compte. Or, lorsqu'il connaît d'un recours, le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), à moins que le recourant ne parvienne à lui démontrer qu'une constatation déterminante de l'autorité cantonale a été établie de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). Dès lors, hormis ces exceptions, le Tribunal fédéral, lorsqu'il est saisi d'un recours, ne peut pas revoir l'état de fait de la décision attaquée. Partant, lorsque l'une de ces exceptions n'a pas été invoquée dans la procédure de recours, il ne saurait se voir reprocher, dans la procédure de révision subséquente, de ne pas avoir rectifié par inadvertance une erreur affectant une constatation faite par les juges cantonaux (arrêts 4F_15/2017 précité consid. 2.1; 4F_4/2015 précité consid. 2.1 et l'arrêt cité).
La révision d'un arrêt du Tribunal fédéral peut aussi être demandée en raison de l'ignorance d'une pièce essentielle que l'autorité précédente a conservée à tort au lieu de la transmettre au Tribunal fédéral. Pareille situation est assimilée à une inadvertance du Tribunal fédéral, étant donné que, sans cette possibilité, la partie lésée serait privée de tout moyen de se prévaloir de l'erreur commise à son insu par l'autorité précédente (arrêt 4F_15/2017 précité consid. 2.1 et les références citées).
2.2. En l'espèce, le Tribunal fédéral a, en substance, retenu que c'était à bon droit que la Cour de justice avait considéré que le demandeur n'avait pas dûment établi le montant qu'il réclamait à son assurance de protection juridique pour la rémunération de son avocat. Seules les prestations directement liées à la procédure pénale qui était dirigée contre le recourant pouvant être remboursées, il n'avait pas satisfait à la diligence particulière qui lui incombait, s'agissant notamment de la précision dans l'allégation et la preuve des activités déployées par ses conseils, au vu des spécificités du cas d'espèce. Par ailleurs, dans la mesure où le recourant n'avait pas critiqué une des motivations indépendantes de l'autorité précédente, ses développements relatifs à l'estimation des heures passées à la rédaction des plaintes pénales, qui constituent selon la cour cantonale un fait nouveau irrecevable (<ref-law>), étaient irrecevables (arrêt 4A_194/2020 précité consid. 5.3.2.2).
2.3. Le requérant invoque que le Tribunal de céans aurait omis de tenir compte du fait que le Tribunal de première instance et la Cour de justice avaient retenu que " l'exécution du mandat [par ses conseils] n'avait pas été défectueuse et [que] la convention d'honoraires les fixant à 450 fr. pour un avocat breveté et à 150 fr. pour un avocat-stagiaire était correcte ".
En substance, le requérant considère qu'il avait, en tout état de cause, le droit à un pourcentage des indemnités qui lui avaient été octroyées par l'État. Dites indemnités ayant été fixées sur la base d'un tarif horaire de 400 fr. pour un avocat breveté, il avance qu'il aurait droit à un pourcentage s'élevant à 12,5 % (soit (450-400) /400) sur l'ensemble des indemnités de défense et des dépens perçus (soit 113'494 fr.), pour un montant total de 14'986 fr. 75, intérêts en sus.
Le montant total de 113'494 fr. résulte de l'addition des indemnités de 5'994 fr. et de 100'000 fr. susmentionnées (cf. supra consid. A.d), de deux indemnités pour dépens de 3'000 fr. chacune octroyées par le Tribunal fédéral et la Chambre pénale de recours de la Cour de justice et d'une indemnité de 1'500 fr. accordée par le Tribunal fédéral.
2.4. Le requérant ne conteste pas, ou du moins pas suffisamment (cf. supra consid. 1.2.1), qu'il a failli à apporter la preuve de son dommage en présentant des allégués et des pièces qui auraient permis à l'intimée de se déterminer sur ses prétentions alléguées.
En l'occurrence, les développements qui étaient contenus dans le recours du requérant et qu'il invoque dans sa demande de révision ne pouvaient être pris en considération, de sorte que la Cour de céans n'a pas fait preuve d'inadvertance en ne les examinant pas (cf. supra consid. 2.1). En effet, certaines des indemnités qu'invoque le requérant, et notamment celle s'élevant à 100'000 fr., ont été octroyées sur la base de l'<ref-law>. Or, de telles indemnités peuvent comprendre tant la rémunération de l'avocat de choix, pour autant que le recours à celui-ci ait été nécessaire, que d'éventuels débours (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 335; <ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 209). Le raisonnement du requérant, soit l'application d'un pourcentage à l'ensemble des indemnités qu'il a perçues, est par trop schématique pour établir le dommage; il n'a pas prouvé les prétentions auxquelles il avait droit en alléguant et prouvant les activités de ses conseils avec la précision que les circonstances exigeaient de lui.
Le motif de révision n'est pas établi.
3.
Au vu de ce qui précède, la demande de révision doit être rejetée.
La demande de révision étant manifestement dépourvue de chances de succès, l'une des conditions pour l'octroi de l'assistance judiciaire n'est pas remplie (<ref-law>). Il convient dès lors de rejeter la demande d'assistance judiciaire du requérant, sur laquelle il n'était par ailleurs pas nécessaire de se prononcer préalablement au vu des circonstances du cas d'espèce (cf. arrêt 4A_20/2011 du 11 avril 2011 consid. 7.2.2).
Les frais judiciaires seront mis à la charge du requérant, qui succombe (<ref-law>). Dans la mesure où l'intimée n'a pas été invitée à se déterminer, il ne lui sera pas accordé de dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge du requérant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 17 mars 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
Le Greffier : Douzals