Faits :
A.
Le 26 avril 2016, A._ a déposé plainte pénale en raison du vol notamment de neuf montres de luxe qui lui appartenaient, d'une valeur totale de 90'000 à 100'000 francs. Il a en substance expliqué avoir été contacté, le jour précédent, par un bijoutier. Ce dernier lui avait rapporté avoir été approché par X._, lequel lui avait proposé sept montres de luxe, parmi lesquelles il avait reconnu un objet qu'il avait vendu à A._ en 2009. Ce dernier avait alors réalisé que le coffre-fort de son appartement - dans lequel étaient déposées les montres en question, leur certificat d'authenticité et les boîtes d'origine - avait disparu.
Le 26 avril 2016, alors qu'il se trouvait dans les locaux de la police pour son dépôt de plainte, A._ a reçu un coup de téléphone d'un homme annonçant être en possession de sept montres de luxe, qu'il souhaitait lui rendre afin de ne pas avoir "d'histoires avec la police", contre une somme de 10'000 francs. Un rendez-vous a été fixé pour le lendemain dans un bar genevois, où l'homme en question, X._, a été interpellé par la police. Entendu par la police, le prénommé, brocanteur professionnel, a déclaré qu'il avait été contacté par un individu - lequel s'est par la suite révélé être un ami du fils de A._ - qui lui avait proposé sept montres. X._ a indiqué avoir alors acquis ces objets pour un prix de 4'000 francs.
Le 27 avril 2016, les montres concernées ont été restituées à A._.
Le 20 février 2018, A._ a retiré sa plainte pénale. La procédure pénale dirigée contre son fils et l'ami de ce dernier a, en conséquence, été classée.
B.
Par ordonnance du 20 septembre 2018, le Ministère public de la République et canton de Genève a classé la procédure dirigée contre X._ en raison de ces événements, a mis les frais de procédure à sa charge et a refusé de lui allouer une indemnité à titre de l'<ref-law>.
C.
Par arrêt du 30 avril 2019, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice genevoise a rejeté - dans la mesure de sa recevabilité - le recours formé par X._ contre cette ordonnance.
D.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 30 avril 2019, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens que les frais de procédure sont laissés à la charge de l'Etat, qu'une indemnité de 23'014 fr. 60 lui est allouée à titre de dépens et que les montres saisies le 27 avril 2016 lui sont restituées. Subsidiairement, il conclut à sa réforme en ce sens que les frais de la procédure sont laissés à la charge de l'Etat, qu'une indemnité de 23'014 fr. 60 lui est allouée à titre de dépens, qu'une indemnité de 10'438 fr. 45 lui est accordée à titre de réparation du "dommage supplémentaire qu'il a subi en raison de sa participation à la présente procédure pénale", et qu'une somme de 100'000 fr. lui est versée à titre de réparation du dommage subi ensuite de la "perte des montres". Plus subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.

Considérant en droit :
1.
Le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir versé au dossier l'enregistrement ayant été réalisé lors de son entretien avec A._ le 27 avril 2016.
Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que l'administration d'une telle preuve aurait été requise auprès de la cour cantonale. Aucun grief correspondant n'a été traité dans ledit arrêt, sans que le recourant se plaigne, à cet égard, d'un déni de justice formel. Son grief s'avère donc irrecevable faute d'épuisement des instances cantonales (cf. <ref-law>). Au demeurant, force est de constater que l'argumentation du recourant ne satisfait aucunement aux exigences de motivation découlant des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF en matière de violation du droit d'être entendu concernant l'éventuelle appréciation anticipée d'un moyen de preuve (cf. à cet égard <ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 435), puisque l'intéressé ne précise nullement quel élément décisif il entendait déduire de l'enregistrement concerné.
2.
Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir mis les frais de procédure à sa charge et d'avoir refusé de lui accorder une indemnité pour ses dépens.
2.1. Conformément à l'<ref-law>, lorsque la procédure fait l'objet d'une ordonnance de classement ou que le prévenu est acquitté, tout ou partie des frais de procédure peuvent être mis à sa charge s'il a, de manière illicite et fautive, provoqué l'ouverture de la procédure ou rendu plus difficile la conduite de celle-ci.
La condamnation d'un prévenu acquitté à supporter tout ou partie des frais doit respecter la présomption d'innocence, consacrée par les art. 32 al. 1 Cst. et 6 par. 2 CEDH. Celle-ci interdit de rendre une décision défavorable au prévenu libéré en laissant entendre que ce dernier serait néanmoins coupable des infractions qui lui étaient reprochées. Une condamnation aux frais n'est ainsi admissible que si le prévenu a provoqué l'ouverture de la procédure pénale dirigée contre lui ou s'il en a entravé le cours. A cet égard, seul un comportement fautif et contraire à une règle juridique, qui soit en relation de causalité avec les frais imputés, entre en ligne de compte. Pour déterminer si le comportement en cause est propre à justifier l'imputation des frais, le juge peut prendre en considération toute norme de comportement écrite ou non écrite résultant de l'ordre juridique suisse pris dans son ensemble, dans le sens d'une application par analogie des principes découlant de l'<ref-law>. Le fait reproché doit constituer une violation claire de la norme de comportement. Selon la jurisprudence, un comportement immoral ou contraire au principe de la bonne foi au sens de l'<ref-law> ne peut en principe suffire pour justifier l'intervention des autorités répressives et, partant, entraîner l'imputation des frais au prévenu acquitté (cf. arrêts 6B_1011/2018 du 11 décembre 2018 consid. 1.2; 6B_301/2017 du 20 février 2018 consid. 1.2.2 et les références citées). Une condamnation aux frais ne peut se justifier que si, en raison du comportement illicite du prévenu, l'autorité était légitimement en droit d'ouvrir une enquête. Elle est en tout cas exclue lorsque l'autorité est intervenue par excès de zèle, ensuite d'une mauvaise analyse de la situation ou par précipitation. La mise des frais à la charge du prévenu en cas d'acquittement ou de classement de la procédure doit en effet rester l'exception (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 204 s. et les références citées).
Selon l'<ref-law>, l'autorité pénale peut réduire ou refuser l'indemnité ou la réparation du tort moral prévues par l'<ref-law>, lorsque le prévenu a provoqué illicitement et fautivement l'ouverture de la procédure ou a rendu plus difficile la conduite de celle-ci. L'<ref-law> est le pendant de l'<ref-law> en matière de frais. La question de l'indemnisation (art. 429 à 434 CPP) doit être traitée après celle des frais (arrêts 6B_565/2019 du 12 juin 2019 consid. 5.1; 6B_373/2019 du 4 juin 2019 consid. 1.2). Dans cette mesure, la décision sur les frais préjuge de la question de l'indemnisation (<ref-ruling> consid. 1.8.2 p. 211; <ref-ruling> consid. 2.4.2 p. 357).
2.2. La cour cantonale a exposé que le recourant avait omis, en sa qualité de brocanteur, de respecter les principes découlant de l'<ref-law> au moment de l'achat de sept montres de luxe pour un prix de 4'000 fr. seulement. Le prix demandé par un jeune vendeur aurait dû fonder, chez l'intéressé, un soupçon concret concernant l'origine douteuse des objets vendus. Un examen plus approfondi aurait été nécessaire pour lever tout doute sur l'existence d'un défaut juridique. A ce titre, la seule remise par le vendeur - qui prétendait avoir reçu les montres en héritage - de sa carte d'identité et des certificats d'authenticité n'était pas suffisante. Il n'était pas extraordinaire de conserver des certificats d'authenticité avec les objets correspondants. L'âge du vendeur, soit 23 ans au moment des faits, aurait également dû inciter le recourant, brocanteur de métier, à la prudence. L'intéressé aurait dû procéder à des recherches concernant le pouvoir de disposer du jeune homme, cela d'autant que le nom du propriétaire - qui ne concordait pas avec celui du vendeur - figurait sur certaines factures. Le comportement du recourant, contraire aux obligations découlant de l'<ref-law>, avait provoqué l'ouverture de la procédure pénale pour recel, ce qui justifiait de mettre les frais de procédure correspondants à la charge de celui-ci. Partant, il convenait également de refuser au recourant toute indemnité à titre de l'<ref-law>.
2.3. L'<ref-law>, évoqué par la cour cantonale, interdit à chacun d'invoquer sa bonne foi si celle-ci est incompatible avec l'attention que les circonstances permettaient d'exiger de lui. La jurisprudence a notamment déduit de cette norme une obligation, pour un acquéreur, de vérifier que l'aliénateur d'une chose a le pouvoir d'en disposer, lorsqu'il y a lieu de se méfier au vu des circonstances. Un tel devoir d'attention accrue existe dans toutes les branches d'activité exposées plus particulièrement à l'offre de marchandises de provenance douteuse, comme le commerce d'antiquités (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.2 p. 308 s.; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 422). La mesure de l'attention exigée par les circonstances, au sens de l'<ref-law>, est une notion soumise à l'appréciation du juge (cf. <ref-law>). A cet égard, le juge doit prendre en considération l'ensemble de la situation concrète et appliquer des critères objectifs. Cette question relève du droit, mais le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec retenue cette appréciation juridique et n'intervient que si l'autorité cantonale a abusé de ce pouvoir (cf. <ref-ruling> consid. 4.3.3 p. 662).
En l'occurrence, il convient tout d'abord de relever que les considérations développées par la cour cantonale concernant l'attention dont aurait dû faire preuve le recourant dans le cadre de l'achat des montres ne prêtent pas le flanc à la critique. L'autorité précédente n'a pas excédé son pouvoir d'appréciation en estimant que le recourant aurait dû, compte tenu du caractère insolite de l'offre qui lui était faite - portant sur l'achat de montres de luxe pour un prix largement inférieur à la valeur des objets, alors que le nom figurant sur certaines factures ne concordait pas avec celui du vendeur -, s'assurer que ce dernier avait bien le pouvoir d'en disposer. Contrairement à ce que soutient le recourant, on ne voit pas en quoi le fait d'avoir demandé au vendeur les boîtes et les certificats d'authenticité des montres, ou encore d'avoir "insisté sur le fait qu'il ne voulait pas que ce soit des montres volées", aurait constitué une précaution concernant le pouvoir de l'intéressé d'aliéner les objets en question. De même, le fait d'avoir conservé une trace de l'identité du vendeur pouvait servir, comme le relève le recourant, à "se protéger en cas de mauvaise intention" de celui-ci, mais ne lui permettait pas d'inférer que l'intéressé était bien le propriétaire des montres prétendument reçues en héritage.
Compte tenu de ce qui précède, on doit admettre que le recourant a violé l'obligation d'attention accrue déduite de l'<ref-law> en matière de commerce dans sa branche d'activité. Cette violation était fautive, le recourant admettant d'ailleurs qu'il exerce son métier depuis de nombreuses années. Le comportement illicite du recourant s'est trouvé en relation de causalité avec l'ouverture de l'instruction, puisque l'intéressé s'est trouvé en possession d'objets dérobés à leur propriétaire, qu'il a acquis pour un prix dérisoire, laissant ainsi apparaître qu'il avait pu receler le butin en question.
En définitive, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en mettant les frais de procédure correspondants à la charge du recourant ni, partant, en refusant d'allouer à ce dernier une indemnité à titre de l'<ref-law>. Le grief doit être rejeté.
3.
Le recourant conteste la restitution des montres accordée à A._.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, s'il est incontesté que des objets ou des valeurs patrimoniales ont été directement soustraits à une personne déterminée du fait de l'infraction, l'autorité pénale les restitue à l'ayant droit avant la clôture de la procédure (al. 2). Si plusieurs personnes réclament des objets ou des valeurs patrimoniales à libérer, le tribunal peut statuer sur leur attribution (al. 4). L'autorité pénale peut attribuer les objets ou les valeurs patrimoniales à une personne et fixer aux autres réclamants un délai pour intenter une action civile (al. 5).
La possibilité de statuer sur l'attribution des objets ou des valeurs patrimoniales à libérer, conférée au tribunal par l'<ref-law>, n'entre en considération que lorsque la situation juridique est claire. Si tel n'est pas le cas, le tribunal doit procéder selon l'<ref-law>, soit attribuer les objets ou des valeurs patrimoniales concernées à une personne et impartir aux autres personnes ayant émis des prétentions à cet égard un délai pour agir devant le juge civil (arrêts 6B_54/2019 du 3 mai 2019 consid. 5.1; 6B_247/2018 du 11 juin 2018 consid. 4.1 et les références citées). Concernant la décision à prendre sur l'attribution d'un objet, l'autorité pénale doit s'inspirer des règles du droit civil. L'attribution au possesseur doit être envisagée en premier lieu, celui-ci étant présumé propriétaire de l'objet en vertu de l'<ref-law>. En présence d'indications claires sur l'inexistence de ce droit réel, l'attribution doit être ordonnée en faveur de la personne qui apparaît la mieux légitimée (<ref-ruling> consid. 1b p. 122; arrêts 6B_54/2019 précité consid. 5.1; 6B_247/2018 précité consid. 4.1 et les références citées).
3.2. La cour cantonale a exposé que la police avait été, en sa qualité d'autorité de poursuite pénale, habilitée à restituer immédiatement les montres concernées à la personne à laquelle celles-ci avaient été dérobées, conformément à l'<ref-law>. Le recourant ne pouvait se prévaloir d'un droit préférable et ne s'était pas opposé à la restitution litigieuse lorsque celle-ci avait été opérée.
3.3. Le recourant soutient qu'il serait devenu propriétaire des montres concernées en les acquérant auprès de l'ami du fils de A._, qu'aucun séquestre valable n'aurait été prononcé sur ces objets et que ceux-ci auraient dû lui être restitués.
On peut tout d'abord relever que la restitution des montres à A._, fondée sur l'<ref-law>, aurait dû prendre la forme d'une décision ou d'une ordonnance au sens de l'<ref-law> (cf. BOMMER/GOLDSCHMID, in Basler Kommentar, Strafprozessordnung, 2e éd. 2014, n° 29 ad <ref-law>; STEFAN HEIMGARTNER, in Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], 2e éd. 2014, n° 4 ad <ref-law>). Celle-ci aurait dû être notifiée au détenteur des objets concernés, soit au recourant, lequel aurait dû pouvoir, le cas échéant, l'attaquer par la voie d'un recours. Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué qu'une décision formelle aurait été rendue sur ce point, mais uniquement que la police a restitué les montres à A._.
Dès lors que le recourant n'a pas eu l'occasion de s'opposer à la restitution des objets concernés au prénommé, on ne saurait considérer que celle-ci fût incontestée au sens de l'<ref-law>. L'application de cette disposition n'aurait donc pas dû entrer en ligne de compte, seul l'art. 267 al. 4 à 6 CPP pouvant régler la situation (cf. Message du 21 décembre 2005 relatif à l'unification du droit de la procédure pénale, FF 2006 1229 ad art. 266).
Cependant, dans le cadre de l'arrêt attaqué, la cour cantonale a répondu au grief du recourant en la matière - en indiquant que ce dernier ne "pouvait se prévaloir d'un droit préférable" - et a confirmé que les montres devaient être attribuées à A._. On peut, dans cette mesure, considérer que l'autorité précédente a implicitement fait application de l'<ref-law> en attribuant des objets réclamés par plusieurs personnes.
Il reste donc à examiner si une telle décision était fondée.
3.4. Le recourant prétend avoir acquis, de bonne foi, les montres concernées, dont il était possesseur au moment de son appréhension.
En tant que possesseur des objets en question, le recourant devait, en principe, en être présumé propriétaire (cf. <ref-law>). Cependant, le recourant ne pouvait, au regard de l'<ref-law>, se prévaloir de sa bonne foi dans le cadre de l'acquisition des montres (cf. consid. 2.3 supra). Partant, l'intéressé n'a pas pu devenir propriétaire de ces objets, qu'il pouvait être contraint de restituer en tout temps (cf. art. 714 al. 2 a contrario, 934 al. 1 et 936 al. 1 CC). De ce point de vue, la cour cantonale pouvait considérer que A._ - auquel les montres avaient été volées - était la personne la mieux légitimée pour en revendiquer la propriété.
Ainsi, l'autorité précédente pouvait, sans violer le droit fédéral, attribuer les objets concernés au prénommé (cf. <ref-law>). Il convient par ailleurs de considérer que la situation juridique était claire, puisque la seule question à résoudre était celle de l'éventuelle bonne foi du recourant au moment de l'acquisition des montres. Partant, il ne se justifiait pas de faire application de l'<ref-law>. Le grief doit ainsi être rejeté.
4.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supporte les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 4 septembre 2019
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa