Sachverhalt:
A.
Am 18. Mai 1995 bzw. 18. September 2008 verstarben die Eheleute B.C._ und D.C._. Sie hinterliessen drei Töchter: E._, F._ und G._. Das Betreibungsamt Bern-Mittelland pfändete in der Folge den Anteil von E._ am ungeteilten Nachlass im Umfang von rund Fr. 110'000.--. Das Obergericht Bern ordnete am 4. Oktober 2013 die Auflösung des Nachlasses an, worauf das Bezirksgericht Kulm am 10. November 2015 seine Zustimmung zu einem Erbteilungsvertrag zwischen E._ einerseits und ihren beiden Schwestern andererseits erteilte. E._ wurde dabei ein Erbanteil von Fr. 1'944'764.80 zugesprochen.
E._, anwaltlich vertreten durch A._, focht den Entscheid des Bezirksgerichts Kulm zunächst am 3. Dezember 2015 beim Obergericht des Kantons Aargau und danach am 6. Juni 2016 beim Bundesgericht erfolglos an (Urteil 5A_434/2016 vom 10. Januar 2017).
Am 21. April 2016 schloss E._ mit der H._ AG eine schriftliche Honorarvereinbarung mit folgendem Wortlaut ab:
1. "Die Parteien kommen überein, das Honorar von H._ AG in den zivilrechtlichen Erbstreitigkeiten von E._ wie folgt zu vereinbaren:
a) 20 % des gerichtlich oder aussergerichtlich zugesprochenen Erbschaftsbetrages (zzgl. MwSt);
b) In jedem Fall mindestens aber CHF 100'000 (zzgl. MwSt).
2. Allfällige von Dritten zu zahlenden Parteientschädigungen stehen H._ AG zu."
Die H._ AG erstellte am 29. Mai 2017 eine Rechnung von Fr. 388'952.95 (exkl. MwSt) bzw. Fr. 420'069.20 (inkl. 8% MwSt) zur Abgeltung der anwaltlichen Leistungen für den Zeitraum zwischen dem 27. November 2015 und 23. Mai 2017.
B.
Am 10. Juli 2017 erstattete E._ bei der Anwaltskammer des Kantons St. Gallen Anzeige gegen A._ wegen mehrfacher Verletzung der Berufsregeln. Am 21. Juli 2017 erhob sie zudem Strafanzeige. Das Untersuchungsamt des Kantons St. Gallen trat darauf nicht ein, übermittelte jedoch die Verfügung der Anwaltskammer des Kantons St. Gallen.
Am 28. September 2017 eröffnete die Anwaltskammer des Kantons St. Gallen ein Disziplinarverfahren gegen A._ und stellte am 22. August 2018 fest, dass A._ sowohl gegen Art. 12 lit. a des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) als auch gegen Art. 12 Iit. e BGFA verstossen habe und verfügte eine Busse von Fr. 10'000.--. Mit Entscheid vom 21. Januar 2019 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen eine gegen diesen Entscheid erhobene Beschwerde ab.
C.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts erhebt A._ am 25. Februar 2019 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit dem Begehren um Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Ausserdem beantragt er die Aufhebung der Ziff. 1 (Verstoss gegen die sorgfältige und gewissenhafte Berufsausübung und gegen das Verbot des Erfolgshonorars), 3 (Busse), 4 (Entscheidgebühr) und 5 (Parteientschädigung) des Dispositivs des Entscheids der Anwaltskammer des Kantonsgerichts St. Gallen, Ziff. 1 nur soweit der Anzeige gegen den Beschwerdeführer Folge gegeben wurde. Er beantragt, der gegen ihn eingereichten Anzeige sei keine Folge zu geben; eventualiter sei er lediglich zu verwarnen; subeventualiter sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Die Anwaltskammer des Kantonsgerichts sowie das Verwaltungsgericht beantragen, die Beschwerde abzuweisen und verzichten auf eine Vernehmlassung.
Der Abteilungspräsident legte der Beschwerde mit Verfügung vom 11. März 2019 antragsgemäss die aufschiebende Wirkung bei.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen letztinstanzliche kantonale Endentscheide auf dem Gebiet der Aufsicht über die Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG; Urteile 2C_980/2016 vom 7. März 2017 E. 1.1; 2C_534/2016 vom 21. März 2017 E. 1.1; 2C_897/2015 vom 25. Mai 2016 E. 1.1). Als Adressat des angefochtenen Entscheids ist der Beschwerdeführer ohne Weiteres zur Ergreifung dieses Rechtsmittels legitimiert (<ref-law>). Auf die fristgerecht am 25. Februar 2019 erhobene Beschwerde gegen den am 24. Januar 2019 zugestellten Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons St. Gallen ist einzutreten.
1.2. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die Anwendung und Auslegung von Bundesrecht (Art. 95 lit. a, Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen umfasst (<ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62); dieses Vorbringen unterliegt der qualifizierten Rügepflicht (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>).
2.
Die Vorinstanz wirft dem Beschwerdeführer vor, mit der Honorarvereinbarung nach Mandatsübernahme, aber vor Abschluss des Rechtsstreits, <ref-law> verletzt zu haben (dazu E. 3). Sodann habe er gegen <ref-law> verstossen, indem er ein krass übersetztes Honorar gefordert habe (dazu E. 4).
3.
3.1. <ref-law> untersagt Erfolgshonorare und bestimmt ausdrücklich, dass Rechtsanwälte vor Beendigung eines Rechtsstreits keine Vereinbarung über die Beteiligung am Prozessgewinn "als Ersatz für das Honorar" mit dem Klienten abschliessen dürfen; weiter wird ihnen auch verboten, sich für den Fall eines ungünstigen Verfahrensausgangs zu verpflichten, auf ihr Honorar zu verzichten. Das Verbot von Erfolgshonoraren soll verhindern, dass der Rechtsanwalt seine Unabhängigkeit verliert, weil er wegen der Erfolgsabrede am Prozessergebnis persönlich interessiert ist. Weiter soll das Verbot der Gefahr begegnen, dass der Rechtsuchende durch seinen Anwalt, der die Prozessaussichten besser beurteilen kann als er, übervorteilt wird (BGE 113 la 279 E. 4a S. 284).
3.2. Die Vereinbarung eines Erfolgshonorars kann im Einzelfall sehr unterschiedlich ausgestaltet sein. Ein solches liegt vor, wenn die Bezahlung des Rechtsanwalts vom Ausgang des ihm übertragenen Mandats abhängt und das endgültige Honorar im Zeitpunkt der Mandatserteilung noch nicht feststeht. Während die Vereinbarung eines reinen Erfolgshonorars ( pactum de quota litis) vor Prozessende verboten ist (Urteil 4A_2/2013 vom 12. Juni 2013 E. 3.1), ist der Abschluss eines (gemischten) Erfolgshonorars, bestehend aus einer erfolgsunabhängigen und einer erfolgsabhängigen Komponente ( pactum de palmario) gemäss dem Urteil des Bundesgerichts vom 13. Juni 2017 unter gewissen Voraussetzungen zulässig: Erstens darf mit dem pactum de palmario das Verbot des (reinen) Erfolgshonorars nicht dadurch unterlaufen werden, dass eine geringfügige erfolgsunabhängige Entschädigung vereinbart wird. Zweitens darf die vom Erfolg abhängige Honorarkomponente im Verhältnis zum in jedem Fall geschuldeten Honorar nicht so hoch sein, dass die Unabhängigkeit des Anwalts beeinträchtigt ist und die Gefahr einer Übervorteilung besteht. Drittens darf es nur zu Beginn des Mandatsverhältnisses oder nach Beendigung des Rechtsstreits abgeschlossen werden, nicht aber während des laufenden Mandats (<ref-ruling> E. 2.7.5 S. 614).
3.3. Die Vorinstanz qualifizierte das von der H._ AG mit Frau E._ (nachfolgend die "Klientin") vereinbarte Erfolgshonorar als pactum de palmario. Da dieses während laufendem Mandat abgeschlossen worden sei, sei es unzulässig und verletze Art. 12 Iit. e BGFA. Keine Rolle spiele dabei die Frage, ob die Initiative für den Abschluss der Vereinbarung von der Klientin oder vom Beschwerdeführer ausgegangen sei, da das Verbot durch den Schutz des öffentlichen Interesses an der Unabhängigkeit des Anwalts gerechtfertigt sei.
3.4. Diese Begründung ist nicht zu beanstanden. Der Einwand des Beschwerdeführers, der Abschluss der Honorarvereinbarung sei vor der Publikation des Urteils des Bundesgerichts vom 13. Juni 2017 (<ref-ruling> ff.) erfolgt, mit welchem das Bundesgericht die Voraussetzungen für die Zulässigkeit eines pactum de palmario präzisierte, weshalb dieses ihm nicht entgegen gehalten werden könne, überzeugt nicht (vgl. dazu schon Urteil 5P.111/1995 vom 18. Juni 1999 E. 6). Bei der Vereinbarung eines Erfolgshonorars besteht grundsätzlich die Gefahr der Übervorteilung des Klienten, da der Anwalt in aller Regel über einen Wissensvorsprung verfügt und die Chancen und Risiken einer Rechtssache besser beurteilen kann als sein Klient. Bei einem noch nicht abgeschlossenen Mandat ist diese Gefahr umso ausgeprägter, als ein Mandatswechsel in dieser Phase üblicherweise mit zusätzlichen Kosten und Verzögerungen verbunden ist und sich auch im Hinblick auf laufende prozessuale Fristen problematisch erweisen kann. Das Risiko einer Übervorteilung kann auch nicht ausgeschlossen werden, wenn die Initiative für den Abschluss eines pactum de palmario vom Klienten ausgeht. Der Beschwerdeführer macht denn auch in keiner Weise geltend, der Abschluss der strittigen Honorarvereinbarung sei im Interesse der Klientin erfolgt, geschweige denn führt er Gründe an, dass damit deren Prozessrisiko habe verringert werden können. Die Vorinstanz hat insofern weder durch die Qualifizierung der Honorarvereinbarung als unzulässigem pactum de palmario gegen Bundesrecht verstossen noch durch ihren Verzicht, Beweisanträge zu den Voraussetzungen des Zustandekommens der Honorarvereinbarung abzunehmen, die Beweise willkürlich antizipiert gewürdigt (vgl. <ref-ruling> E. 5.3. S. 236 f. mit Hinweisen).
Zusammengefasst kann deshalb festgehalten werden, dass mit dem Abschluss einer Honorarvereinbarung während laufendem Mandat die H._ AGein unzulässiges pactum de palmario abgeschlossen hat. Keine Rolle spielt, ob die Initiative zum Abschluss der Honorarvereinbarung von der Klientin ausging.
4.
Die Vorinstanz wirft dem Beschwerdeführer vor, mit der Inrechnungstellung eines Honorars von Fr. 420'069.20 (inkl. 8% MwSt) <ref-law> verletzt zu haben. Damit habe er ein krass übersetztes und somit unzulässiges Honorar gefordert.
4.1. Zu prüfen ist zunächst, ob der Beschwerdeführer überhaupt disziplinarrechtlich in die Verantwortung genommen werden kann für den Abschluss der Honorarvereinbarung. Unstrittig ist, dass diese ausschliesslich mit der H._ AG zustande kam, deren Alleinaktionär und Einzelunterzeichnungsberechtigter der Beschwerdeführer ist. Die Ausübung der Anwaltstätigkeit in Form einer Aktiengesellschaft ist grundsätzlich zulässig (<ref-ruling> E. 23 S. 463). Es war dem Beschwerdeführer insofern nicht verwehrt, die Honorarvereinbarung im Namen der Aktiengesellschaft abzuschliessen. Dies entbindet ihn jedoch nicht von der Beachtung der anwaltsrechtlichen Sorgfaltspflichten. Auch wenn er als Angestellter der Aktiengesellschaft handelt, hat er die spezifisch anwaltsrechtlichen Berufsregeln einzuhalten und untersteht er der disziplinarischen Aufsicht (<ref-ruling> E. 19 S. 459). Der Beschwerdeführer, der die Honorarvereinbarung im Namen der H._ AG unterzeichnet hat, kann insofern disziplinarrechtlich dafür belangt werden.
4.2. Die Bemessung der Höhe des Honorars untersteht grundsätzlich der Vertragsfreiheit. <ref-law> bestimmt nur, dass der Anwalt seine Klientschaft bei Übernahme des Mandates über die Grundsätze seiner Rechnungsstellung aufzuklären und diese periodisch oder auf Verlangen über die Höhe des geschuldeten Honorars zu informieren hat (vgl. Walter Fellmann, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar Anwaltsgesetz, N. 157 zu <ref-law>; Bohnet/Martenet, Droit de la profession d'avocat, 2009, N. 1226 ff.). Die Aufsichtsbehörde schreitet jedoch ein, wenn der Anwalt eine krass übersetzte Honorarforderung stellt (vgl. Brunner/Henni/Kriesi, Anwaltsrecht, Kap. 4 Rz. 29; Urteil 5A_672/2013 vom 24. Februar 2014 E. 6.4; Michel Valticos, in: Valticos/Reiser/Chappuis [Hrsg.], Commentaire romand, Loi sur les avocats, 2009, N. 32 zu <ref-law>). Die Wahrung des Vertrauens in den Anwaltsstand und das öffentliche Interesse daran, dass der Anwalt seine Monopolstellung nicht auf Kosten des rechtsuchenden Publikums ausnützt und übersetzte, vom Laien oft nur schwer als solche erkennbare Honorarforderungen stellt, rechtfertigt diese Begrenzung der Vertragsfreiheit (<ref-ruling> E. 3 S. 96). Bei der Frage, ob die Aufsichtsbehörde einzuschreiten hat, kommt es allerdings nicht nur auf die Höhe der Honorarforderung an, sondern auch auf die gesamten Nebenumstände (vgl. Walter Fellmann, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar Anwaltsgesetz, N. 169 zu <ref-law>).
4.3. Es ist im Einzelfall abzuklären, ob das geltend gemachte Honorar in einem angemessenen Verhältnis zum Aufwand stand. Dabei führt nicht jede Tarifüberschreitung zu einer Disziplinierung; vielmehr bedarf es einer krassen Abweichung nach oben, das heisst einer erheblich übersetzten Honorarforderung des Anwalts, die das dem Anwalt entgegengebrachte Vertrauen zu untergraben vermag (vgl. Urteil A/4096/2013-PROF vom 29. Juli 2014 der Cour de Justice des Kantons Genf E. 4). Dies ist gemäss der Praxis insbesondere dann der Fall, wenn das Honorar das Dreifache des angemessenen Betrags ausmacht (vgl. Walter Fellmann, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar Anwaltsgesetz, N. 169 zu <ref-law>, [mit Hinweisen auf die Praxis von kantonalen Aufsichtskommissionen]).
Fehlt es an einer gültigen Vergütungsvereinbarung über die Höhe des Honorars, richtet sich diese nach der im Verkehr herrschenden Übung (Walter Fellmann, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar Anwaltsgesetz, N. 158 zu <ref-law>). Nebst den zivilrechtlichen Regeln des Auftragsrechts sind auch allfällige Vorschriften der Kantone zu beachten. Diese sind gemäss der Bundesgerichtsrechtsprechung nicht nur berechtigt, Bestimmungen über jene Entschädigungen zu erlassen, deren rechtssatzmässige Regelung (wie das Honorar des unentgeltlichen Rechtsbeistands bzw. des amtlichen Verteidigers) unumgänglich ist, sondern auch allgemeine Vorschriften über die Bemessung des Anwaltshonorars (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 und 2.4, S. 261 ff., Urteil 2P.318/2006 und 2A.733/2006 vom 27. Juli 2007 E. 8.3.; Walter Fellmann, in: Fellmann/Zindel, Kommentar zum Anwaltsgesetz, N. 159 zu <ref-law>).
Beinhaltet der Auftrag die Führung eines Prozesses, dürfte die jeweilige kantonale Gebührenordnung über die Parteientschädigung Ausdruck der im Verkehr herrschenden Übung sein (vgl. Walter Fellmann, a.a.O; N. 160a zu <ref-law>, <ref-ruling> E. 4 S. 283). Es gilt dabei jedoch zu beachten, dass die gemäss <ref-law> geschuldete Parteientschädigung nicht mit dem Honorar gleichzusetzen ist, welche der Klient seinem Anwalt verspricht.
Gemäss den allgemeinen Grundsätzen des Auftragsrechts ist bei der Überprüfung der Angemessenheit des geforderten Honorars nebst dem zeitlichen Aufwand des beauftragten Anwalts auch die mit dem Auftrag übernommene Verantwortung zu beachten (vgl. Walter Fellmann, a.a.O; N. 168 zu <ref-law>). Der Stundenansatz ist entsprechend der Schwierigkeit der Aufgabe, der Dringlichkeit der Ausführung, der Ausbildung sowie dem Können des beauftragten Anwalts zu bestimmen (Walter Fellmann, in: Fellmann/Zindel [Hrsg.], Kommentar Anwaltsgesetz, N. 168 ff. zu <ref-law>). Zudem sind im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichts Ausgaben, die sich im Zusammenhang mit der Weiterbildung der Rechtsanwälte, ihren Generalunkosten sowie dem Streitwert der Angelegenheit ergeben, zu berücksichtigen. Dabei gilt es zu beachten, dass ein Rechtsanwalt sich mit Fällen befassen muss, für die er keine seiner Leistung entsprechende Vergütung verlangen kann (Urteil P.425/1979 vom 20. Februar 1980 E. 2a).
5.
5.1. Die Vorinstanz hat die Angemessenheit der strittigen Honorarforderung sowohl im Lichte der üblicherweise geschuldeten Parteientschädigung als auch des in St. Gallen üblichen Stundenhonorars geprüft. Sie ging dabei davon aus, dass trotz einer etwas aufwändigen Kommunikation mit der Klientin und der Notwendigkeit, gewisse Arbeiten unter Zeitdruck zu erledigen, die Angelegenheit einfach war.
Gestützt auf die einschlägigen Bestimmungen der Gebührenordnungen der Kantone Aargau und St. Gallen sowie des Bundesgerichts hat die Vorinstanz eine Parteientschädigung von höchstens 100'000.-- als angemessen erachtet. Das vom Beschwerdeführer in Rechnung gestellte Honorar von Fr. 420'069.20 müsse in diesem Lichte als klar übersetzt qualifiziert werden.
Zum gleichen Schluss kommt die Vorinstanz, wenn sie den der Honorarvereinbarung zugrundeliegenden Stundensatz mit den Honorarusanzen des Kantons St. Gallen vergleicht. Der sich daraus ergebende Stundenansatz von Fr. 910.-- übersteige den in St. Gallen üblichen Stundenansatz von Fr. 300.-- bis Fr. 400.-- zwei- bis dreimal und müsse deshalb, nicht zuletzt auch angesichts der keine schwierigen rechtlichen oder sachlichen Fragen aufwerfenden Angelegenheit als klar übermässig eingestuft werden.
5.2. Ob das vom Anwalt für gerichtliche Bemühungen geforderte Honorar angemessen ist, ist im wesentlichen eine Tat- und Ermessensfrage. Sie wird vom Bundesgericht nur zurückhaltend und namentlich darauf überprüft, ob die Vorinstanz grundlos von den in Lehre und Rechtsprechung entwickelten Grundsätzen abgewichen ist oder Tatsachen berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen oder umgekehrt Umstände ausser Betracht gelassen hat, die zwingend hätten beachtet werden müssen (<ref-ruling> E. 6a).
5.2.1. Der Beschwerdeführer bestreitet die Einfachheit der Angelegenheit. Die Vorinstanz habe anerkannt, dass die Art der Kommunikation der Klientin sowie die Ansprüche, die sie an die Anwälte stellte, nicht einfach gewesen seien, habe es dann aber unterlassen, daraus die richtigen Schlüsse zu ziehen. Dieser Einwand überzeugt nicht. Die Vorinstanz hat festgestellt, dass die Angelegenheit weder rechtliche noch tatsächliche Schwierigkeiten aufgeworfen habe, der Verfahrensgegenstand habe sich auf die Frage der Mitwirkung des Bezirksgerichts Kulm beschränkt, ein Erbanteil von Fr. 1'900'000.-- sei gesichert und das Risiko insofern überschaubar gewesen. Insoweit der Beschwerdeführer diesen Ausführungen nichts Substantielles entgegen setzt, bleibt seine Kritik appellatorischer Art, weshalb darauf nicht weiter einzugehen ist.
5.2.2. Weiter geht der Einwand des Beschwerdeführers fehl, die Vorinstanz habe zu Unrecht auf die von ihm selbst nachgereichte Zeiterfassung abgestellt, um den der Angelegenheit zugrunde liegenden Stundenansatz zu berechnen. Die Vereinbarung eines Pauschal- bzw. eines Erfolgshonorars entbindet den Anwalt nicht von der Pflicht, den von ihm aufgewendeten Zeitaufwand korrekt zu erfassen. Die Vorinstanz durfte insofern, ohne in Willkür zu verfallen, den Beschwerdeführer auf die von ihm eingereichte Zeiterfassung behaften.
5.2.3. Unbegründet ist ferner die Rüge, die von der Vorinstanz erfolgte Berechnung der Parteientschädigung gemäss den einschlägigen Gebührenordnungen sei willkürlich. Insofern der Beschwerdeführer lediglich appellatorische Kritik übt, ohne sich in hinreichendem Detaillierungsgrad mit den vorinstanzlichen Erwägungen auseinanderzusetzen, verstösst er gegen die ihn treffende qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 346). Mangels ausreichender Substantiierung ist auf diese Rüge nicht weiter einzugehen.
5.2.4. Ungerechtfertigt ist auch der Einwand, der Verzicht auf weitere Beweiserhebungen entspreche einer willkürlichen antizipierten Beweiswürdigung. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verlangt, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich hört, prüft und in ihrer Entscheidfindung berücksichtigt (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236). Dieser Anspruch steht einer vorweggenommenen Beweiswürdigung jedoch nicht entgegen. Das Gericht kann auf die Abnahme von Beweisen verzichten, wenn es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür annehmen kann, diese werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (<ref-ruling> E. 5.3 S. 236; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; Urteil 2C_272/2016 vom 28. April 2016 E. 2.2).
Der Beschwerdeführer vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern weitere Beweiserhebungen, insbesondere die Einvernahme des Beschwerdeführers sowie seines Mitarbeiters, zu entscheiderheblichen Kenntnissen geführt hätten. Die Vorinstanz hat ihren Entscheid auch insofern ausreichend begründet, als sie darauf hinwies, dass die rechtlich zu beurteilende Frage des massgeblichen Stundenaufwands dadurch nicht infrage gestellt werden könnte (vgl. zur Begründungspflicht <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
5.2.5. Ferner überzeugt der Beschwerdeführer nicht, wenn er geltend macht, die Anwendung der St. Galler Honorarusanzen zur Bestimmung des angemessenen Stundenansatzes erfolge willkürlich. Der Beschwerdeführer ist ein in St. Gallen registrierter Anwalt, auf den das St. Galler Anwaltsgesetz 11. November 1993 (sGS 963.70; AnwG/SG) sowie die St. Galler Honorarverordnung für Rechtsanwälte und Rechtsagenten vom 22. April 1994 (sGS 963.75, HonO/SG) zur Anwendung kommen. Der Berücksichtigung der dort verankerten Stundentarife steht auch nicht entgegen, dass die Verfahren vor einem Gericht des Kantons Aargau bzw. dem Bundesgericht geführt worden sind.
5.2.6. Weiter geht der Einwand fehl, es sei aufgrund der Vereinbarung eines Erfolgshonorars von einem höheren Stundenansatz auszugehen, bzw. es sei zu berücksichtigen, dass Prozessfinanzierer bis zu 35 % des Erfolgs vereinnahmen. Das strittige Honorar war unabhängig vom Eintreten eines Erfolgs geschuldet. Die Rüge entbehrt insofern jeglicher Grundlage.
5.3. Der Beschwerdeführer bestreitet schliesslich, dass ein offenbares Missverhältnis zwischen dem von ihm geltend gemachten Honorar und einer üblicherweise geschuldeten Leistung bestehe.
Diese Rüge ist unbegründet. Die Honorarforderung des Beschwerdeführers ist mehr als viermal so hoch als die gemäss den einschlägigen Gebührenordnungen höchstens geschuldete Parteientschädigung und der dem Honorar zugrunde liegende Stundenansatz übersteigt den in St. Gallen üblicherweise zur Anwendung kommenden um einen Faktor zwei bis drei (E. 5.1). Diese Überschreitung lässt sich im vorliegenden Fall weder durch besondere Umstände, wie die Schwierigkeit der Angelegenheit, das erzielte Ergebnis, die besondere Ausbildung oder das Können des Beschwerdeführers, noch durch die von diesem übernommene Verantwortung rechtfertigen. Zudem ist zu berücksichtigen, dass das Bundesgericht zum Schluss kam, die vom Beschwerdeführer eingereichte Beschwerde sei von Anfang an aussichtslos gewesen (vgl. Urteil 5A_434/2016 vom 10. Januar 2017 E. 9), was darauf hindeutet, dass unnötiger Aufwand betrieben worden ist. Die Honorarforderung ist schliesslich auch im Lichte der Rechtsprechung des Bundesgerichts unzulässig, das eine Honorarforderung, die ohne Rechtfertigung 30 % von dem im Kanton Genf üblichen Stundentarif abwich, als übersetzt qualifiziert hatte (vgl. Urteil P.425/1979 vom 20. Februar 1980 E. 3).
Die Schlussfolgerungen der Vorinstanz, wonach von einem offenbaren Missverhältnis zwischen Leistung und Gegenleistung ausgegangen werden müsse, sind insofern nicht zu beanstanden. Die vom Beschwerdeführer gestellte Honorarforderung im Zusammenhang mit der erbrechtlichen Streitigkeit ist krass übersetzt und verstösst somit gegen <ref-law>.
6.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe weder die angeordnete Massnahme noch die Angemessenheit der auferlegten Busse begründet. Zudem beanstandet er, die ausgefällte Busse sei unverhältnismässig, ein Verweis hätte als Sanktion genügt.
6.1. Die Beurteilung der Verhältnismässigkeit einer Disziplinarmassnahme ist vorab Sache der zuständigen Aufsichtsbehörde und des Verwaltungsgerichts. Anders als bei der Frage, ob ein Verstoss gegen die Berufsregeln vorliegt, welche das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, auferlegt sich diese Zurückhaltung, soweit es um die auszufällende Massnahme geht. In diesem Zusammenhang greift das Bundesgericht nur ein, wenn die angefochtene Disziplinarsanktion den Rahmen des pflichtgemässen Ermessens sprengt und damit als klar unverhältnismässig und geradezu willkürlich gewertet werden muss (Urteile 2C_452/2011 E. 6;2C_783/2008 vom 4. Mai 2009 E. 3.1; 2C_344/2007 vom 22. Mai 2008 E. 5).
6.2. Die Vorinstanz hielt fest, dass der Beschwerdeführer die Höhe der gegen ihn ausgefällten Busse von Fr. 10'000.-- nicht infrage gestellt habe und die Summe sich innerhalb des von Art. 17 Abs. 1 Ingress und lit. c BGFA gesteckten Rahmens bewege. Sie kam deshalb zum Schluss, dass die Vorinstanz den ihr zustehenden Ermessensspielraum nicht überschritten habe. Die Rüge, die Vorinstanz habe die Angemessenheit der Busse nicht ausreichend begründet, geht insofern fehl (vgl. zur Begründungspflicht <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
6.3. Die dem Beschwerdeführer auferlegte Sanktion von Fr. 10'000.-- liegt in der Mitte des gesetzlichen Rahmens (<ref-law>). Bei der Festlegung der Sanktion hat die Aufsichtskommission dem Umstand Rechnung getragen, dass der Beschwerdeführer mit dem Abschluss der Honorarvereinbarung primär eigene finanzielle Interessen verfolgte. Angesichts des krass übersetzten Honorars hat sie sein Verschulden als erheblich und den Berufsregelverstoss als mittel bis schwer eingestuft. Zu Gunsten des Beschwerdeführers hat sie berücksichtigt, dass <ref-ruling> ff. im Zeitpunkt des Abschlusses der Honorarvereinbarung noch nicht vorlag und sein anwaltlicher Leumund ungetrübt war. Zu seinen Lasten hat sie hingegen die Tatsache gewertet, dass er in seiner Prozesseingabe verschiedene unsachliche Elemente vorgebracht hatte, die einzig darauf abzielten, die ehemalige Klientin zu kritisieren.
6.4. Diese Ausführungen sind nicht zu beanstanden. Aufgrund der konkreten Umstände ist die Auferlegung einer Busse gerechtfertigt. Zudem sprengt mit Fr. 10'000.-- die Höhe der Busse das pflichtgemässe Ermessen nicht und erscheint weder als klar unverhältnismässig noch als willkürlich. Ergänzend wird für die Begründung auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Urteil verwiesen.
7.
7.1. Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen.
7.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. November 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: de Sépibus