Fatti:
A.
Il 18 luglio 2016, la Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni del Cantone Ticino ha negato a A._, cittadino italiano, il rilascio di un permesso di domicilio e il rinnovo del permesso di dimora.
Tale decisione è stata confermata dal Consiglio di Stato. Rappresentato dal legale che già aveva interposto ricorso davanti al Governo ticinese, egli si è allora rivolto al Tribunale cantonale amministrativo.
B.
Con scritto del 19 gennaio 2018, A._ ha chiesto alla Corte cantonale una dilazione in tre rate del pagamento dell'anticipo spese. In parziale accoglimento di tale domanda, il 22 gennaio 2018 il Giudice delegato gli ha permesso di procedere al versamento in due rate: la prima, con scadenza il 31 gennaio 2018; la seconda, con scadenza il 28 febbraio 2018. A domanda del patrocinatore di A._ del 30 gennaio 2018, il termine per pagare la prima rata è stato poi prolungato fino al 15 febbraio 2018. Sia la decisione di proroga, del 31 gennaio 2018, che quella del 22 gennaio precedente (relativa alla rateazione), indicavano che in caso di mancato pagamento nel termine assegnato il ricorso sarebbe stato dichiarato inammissibile.
Il 15 febbraio 2018, giorno in cui scadeva il termine (prorogato) per versare la prima rata dell'anticipo spese, il patrocinatore di A._ ha chiesto, via fax, di potere corrispondere l'intero anticipo entro la fine del mese di febbraio 2018. Il 26 febbraio successivo, ha inoltrato al Tribunale un'istanza di gratuito patrocinio.
C.
Con giudizio del 2 marzo 2018, la Corte cantonale ha rilevato: che gli allegati devono essere firmati dalle parti (art. 10 della legge sulla procedura amministrativa del 24 settembre 2013 [LPamm/TI; RL/TI 3.3.1.1]); che, facendo difetto la firma, la richiesta di proroga formulata il 15 febbraio 2018 via fax non poteva essere presa in considerazione; che chi trasmette un atto giudiziario via fax non compie un'omissione involontaria, che richiede l'assegnazione di un breve termine per ripresentare l'atto debitamente sottoscritto (art. 12 LPamm/TI), ma è consapevole che lo stesso non rispetta i requisiti legali formali e deve sopportarne le conseguenze.
Detto ciò, ha quindi constatato che la prima rata dell'anticipo spese non era stata versata entro il termine impartito e che, conformemente alla comminatoria contenuta nelle proprie precedenti decisioni, il ricorso doveva essere dichiarato inammissibile.
D.
Con ricorso in materia di diritto pubblico e, in subordine, ricorso sussidiario in materia costituzionale del 24 aprile 2018, A._ ha impugnato il citato giudizio d'inammissibilità davanti al Tribunale federale postulandone l'annullamento e il rinvio dell'incarto all'istanza precedente, affinché fissi un nuovo termine per il pagamento dell'anticipo spese rispettivamente si pronunci sull'istanza di assistenza giudiziaria formulata il 26 febbraio 2018, del tutto ignorata. Nel contempo, ha chiesto al Tribunale federale di dispensarlo dal pagamento delle spese giudiziarie e dalla presentazione di garanzie per le spese ripetibili.
Chiamati ad esprimersi, i Giudici ticinesi si sono riconfermati nelle motivazioni e nelle conclusioni della loro sentenza. Ad essa ha fatto in sostanza rinvio anche la Sezione della popolazione. Il Consiglio di Stato si è invece rimesso al giudizio di questa Corte.

Diritto:
1.
1.1. Presentata nei termini (art. 46 cpv. 1 lett. a e 100 cpv. 1 LTF) dal destinatario della decisione querelata e con il necessario interesse (<ref-law>), l'impugnativa è ammissibile quale ricorso in materia di diritto pubblico (art. 82 segg. LTF).
Già perché chi insorge può di principio richiamarsi ai diritti garantiti dall'ALC, l'art. 83 lett. c n. 2 LTF, che in base al principio dell'unità della procedura vale anche in casi come quello in esame (sentenze 2C_1185/2013 del 2 maggio 2014 consid. 1 e 2D_37/2010 del 23 novembre 2010 consid. 1.2), non osta infatti a un'entrata nel merito (sentenze 2C_968/2016 dell'8 marzo 2017 consid. 2.1 e 2C_468/2016 dell'11 agosto 2016 consid. 1.1). Il riferimento al ricorso sussidiario in materia costituzionale è di conseguenza irrilevante (<ref-law>; sentenza 2C_968/2016 dell'8 marzo 2017 consid. 2.3).
1.2. Come indicato nell'impugnativa, la procedura davanti al Tribunale federale può riguardare solo la questione dell'inammissibilità del ricorso al Tribunale cantonale amministrativo, a causa del mancato pagamento in tempo utile della prima rata dell'anticipo spese, quindi l'eventuale applicazione incostituzionale del diritto procedurale cantonale. In questo contesto, l'<ref-law> impone di specificare quali diritti di carattere costituzionale sono considerati lesi e di esporre le relative censure in modo chiaro, circostanziato ed esaustivo (<ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246; <ref-ruling> consid. 1.4.2 pag. 254).
Le critiche contenute nell'impugnativa adempiono alle condizioni di motivazione esposte solo in parte. Nella misura in cui non le rispettano, non possono pertanto essere approfondite.
2.
In primo luogo, il ricorrente rimprovera alla Corte cantonale un comportamento contraddittorio.
Ritiene infatti che, siccome al riguardo il Tribunale cantonale amministrativo non aveva in precedenza mai avuto nulla da obiettare, sulla validità della richiesta di proroga presentata il 15 febbraio 2018 solo via fax non potevano nutrire dubbi né lui né il suo patrocinatore.
2.1. L'<ref-law> istituisce un diritto fondamentale del cittadino ad essere trattato secondo il principio della buona fede da parte degli organi dello Stato. In questo contesto, esso può tra l'altro tutelare la fiducia riposta in un'informazione ricevuta dall'autorità o in un suo determinato comportamento (<ref-ruling> consid. 2.5.1 pag. 72 seg.; <ref-ruling> consid. 6.1 pag. 636 seg.; <ref-ruling> consid. 8.1 pag. 60 con ulteriori rinvii; sentenze 2C_241/2012 del 28 giugno 2012 consid. 5 e 2D_59/2010 del 28 febbraio 2011 consid. 4).
2.2. Già perché la Corte cantonale non aveva fin lì mai accettato una richiesta di proroga presentata unicamente via fax, un suo comportamento contraddittorio nel giudicare irrita quella del 15 febbraio 2018 va in casu tuttavia escluso. Come risulta dagli atti e come è stato sottolineato anche dal Tribunale amministrativo nella risposta al ricorso, la domanda di rateazione del 19 gennaio 2018, firmata di suo pugno dall'insorgente, non è in effetti stata presentata per fax, bensì per posta; quella di proroga del pagamento della prima rata, sottoscritta dal patrocinatore del ricorrente il 30 gennaio 2018, è stata invece anticipata via fax ma è stata trasmessa ai Giudici ticinesi - il giorno stesso, con recapito il giorno seguente, ultimo giorno utile per il pagamento dell'anticipo - anche per invio raccomandato.
3.
In secondo luogo, l'insorgente lamenta il modo in cui la Corte cantonale ha applicato l'art. 10 LPamm/TI.
In questo contesto, essa avrebbe infatti confuso un allegato di merito (istanza o ricorso) con una mera domanda di proroga, la quale potrebbe essere validamente inoltrata tramite fax al numero telefonico che è ben visibile sulla carta intestata del Tribunale. Anche in questo caso, la critica non può però essere seguita.
3.1. Formulandola, egli si limita in effetti a esprimere una propria opinione ed a contrapporla a quella della Corte cantonale; ciò tuttavia non basta, poiché l'arbitrio non è ravvisabile già nella possibilità che un'altra soluzione - in casu, un'altra lettura di un disposto di diritto cantonale - sembri possibile o addirittura preferibile, ma solo quando la decisione impugnata è manifestamente insostenibile, gravemente lesiva di una norma o di un principio giuridico indiscusso, o in contraddizione urtante con il sentimento di giustizia ed equità, e questo sia per quanto attiene alla motivazione che al risultato al quale essa giunge (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 155; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 211; sentenza 2C_826/2015 del 5 gennaio 2017 consid. 4.4).
3.2. Sia come sia, nell'art. 10 LPamm/TI il legislatore ticinese usa termini assai generici quali "allegati" e "atti scritti". Una sussunzione sotto questi termini e, in particolare, sotto quello di "atti scritti" di un'istanza di proroga appare quindi tutt'altro che improponibile e invero del tutto condivisibile.
4.
Oltre a non dimostrare l'insostenibilità del giudizio reso in relazione all'art. 10 LPamm/TI, il ricorrente non ne prova nemmeno altrimenti l'incostituzionalità.
4.1. Egli solleva una censura d'arbitrio anche in relazione all'art. 12 cpv. 1 LPAmm/TI; in particolare, rileva che la sua mancata applicazione violerebbe "un'interpretazione chiara e indiscussa" dello stesso. A quale interpretazione "indiscussa" si riferisca in concreto, l'insorgente tuttavia non lo spiega.
4.2. D'altra parte, la rinuncia all'assegnazione di un termine per presentare un atto che rispetta le forme richieste dalla legge non viola nemmeno il divieto del formalismo eccessivo, che viene desunto dall'<ref-law> quale aspetto specifico del diniego di giustizia.
4.2.1. Come rettamente indicato dalla Corte cantonale, in una fattispecie come quella in esame, dove in discussione non è una semplice dimenticanza, bensì la scelta dell'avvocato del ricorrente di formulare la propria richiesta di proroga unicamente via fax, l'assegnazione di un ulteriore termine per ripresentare l'atto debitamente sottoscritto non è infatti dovuta (<ref-ruling> consid. 1.3.5 pag. 306; <ref-ruling> consid. 4.5 e 4.6 pag. 159 seg., quest'ultima con riferimento già alla <ref-ruling> consid. 4b seg. pag. 255; sentenze 2C_610/2010 del 21 gennaio 2011 consid. 2.4; 8C_259/2015 del 24 febbraio 2016 consid. 4.5; KATHRIN AMSTUTZ/PETER ARNOLD, Basler Kommentar - Bundesgerichtsgesetz, 2a ed. 2011, n. 6 ad art. 48; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, COMMENTAIRE DE LA LTF, 2a ed. 2014, n. 53 ad art. 42).
4.2.2. Sempre in questo contesto, a diversa conclusione non conduce nemmeno il richiamo alla sentenza A-2664/2012 del 17 dicembre 2012, del Tribunale amministrativo federale. La questione da giudicare non è infatti quella a sapere se altri Tribunali adottino parametri meno restrittivi, bensì se il giudizio impugnato resista a un esame di costituzionalità ciò che, per le ragioni esposte, risulta appunto essere il caso.
5.
A maggiore fortuna non è infine destinata la denuncia del mancato esame dell'istanza di gratuito patrocinio, che il ricorrente ha presentato, sempre per il tramite del suo patrocinatore, il 26 febbraio 2018.
5.1. Lamentandosene, egli non si richiama in effetti a nessuna norma di diritto cantonale; ancora una volta, non presenta nel contempo una critica conforme all'<ref-law>, che dimostri una violazione della Costituzione federale.
5.2. Pure in questo caso, il procedere della Corte ticinese appare ad ogni modo condivisibile e va tutelato. Al momento della presentazione della menzionata istanza da parte del patrocinatore del ricorrente, il termine per versare la prima rata dell'anticipo era infatti scaduto da oltre una settimana e detta richiesta non poteva quindi avere più influsso alcuno (a titolo di paragone cfr. le sentenze 2C_568/2010 del 27 settembre 2010 consid. 2 e 2C_413/2010 del 12 luglio 2010 consid. 2 con ulteriori rinvii, dalle quali risulta che anche il Tribunale federale considera salvaguardato il termine impartito e poi prorogato per il pagamento dell'anticipo richiesto ed entra nel merito di un'istanza di assistenza giudiziaria soltanto se essa viene presentata - in maniera completa e nelle dovute forme - prima che esso venga a scadere e non successivamente).
5.3. Constatato il mancato versamento della prima rata dell'anticipo spese entro il termine impartito del 15 febbraio 2018, alla Corte cantonale non restava pertanto che fare quello che ha fatto, ovvero constatare l'irricevibilità del rimedio davanti ad essa interposto, in conformità alla comminatoria contenuta sia nella decisione del 22 gennaio 2018 che nella decisione del 31 gennaio successivo.
6.
Per quanto precede, il ricorso va respinto, poiché infondato. Dato che doveva apparire sin dall'inizio privo di probabilità di successo, l'istanza di assistenza giudiziaria presentata col gravame va parimenti respinta (art. 64 cpv. 1 e 2 LTF). Nell'addossare le spese giudiziarie al ricorrente, viene comunque tenuto conto delle circostanze e fissato un importo ridotto (art. 65 cpv. 1 e 2, <ref-law>). Non vengono assegnate ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
La domanda di assistenza giudiziaria è respinta.
3.
Le spese giudiziarie di fr. 1'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
4.
Comunicazione al patrocinatore del ricorrente, alla Sezione della popolazione del Dipartimento delle istituzioni, al Consiglio di Stato e al Tribunale amministrativo del Cantone Ticino, nonché alla Segreteria di Stato della migrazione.