Sachverhalt:
A.
Das Sekretariat der Eidgenössischen Spielbankenkommission ESBK führt ein Verwaltungsstrafverfahren gegen A._ wegen Verdachts auf Widerhandlungen gegen das Geldspielgesetz vom 29. September 2017 (BGS; SR 935.51). Am 17./18. Juni 2020 führte es gestützt auf einen Hausdurchsuchungsbefehl seines Direktors vom 15. Juni 2020 gemeinsam mit der Stadtpolizei Zürich eine Hausdurchsuchung in gewissen Räumlichkeiten der Liegenschaft an der X._strasse "..." in Zürich durch. Dabei wurden im Büro im Obergeschoss ein PC der Marke HP, ein Videorecorder mit Netzteil, vier AntePAY-Karten sowie Notizzettel mit Zahlen und Nummern sichergestellt und vom Sekretariat der ESBK mit Verfügung vom 18. Juni 2020 umgehend beschlagnahmt.
B.
Gegen die Beschlagnahmeverfügung reichte A._, mutmasslicher Mieter der durchsuchten Räumlichkeiten, beim Direktor des Sekretariats der ESBK Beschwerde zuhanden der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts ein. Er beantragte die Aufhebung der Verfügung und die Herausgabe der beschlagnahmten Gegenstände, eventuell die Feststellung des Zeitwerts des beschlagnahmten PCs und Videorecorders mit Netzteil per 18. Juni 2020. Der Direktor leitete die Beschwerde mit Antrag auf Abweisung, soweit darauf eingetreten werden könne, an die Beschwerdekammer weiter. Mit Beschluss vom 14. August 2020 wies diese das Rechtsmittel ab, soweit sie darauf eintrat.
C.
Mit Beschwerde in Strafsachen vom 16. September 2020 an das Bundesgericht beantragt A._, den Beschluss der Beschwerdekammer und die Beschlagnahmeverfügung aufzuheben und die beschlagnahmten Gegenstände herauszugeben.
Der Direktor des Sekretariats der ESBK schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdekammer verweist auf ihren Beschluss vom 14. August 2020 und hält an dessen Begründung fest. A._ hat keine weitere Stellungnahme eingereicht.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Entscheid der Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts über eine Zwangsmassnahme im Sinne von Art. 45 ff. des Bundesgesetzes vom 22. März 1974 über das Verwaltungsstrafrecht (VStrR; SR 313.0). Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht grundsätzlich offen (<ref-law>; Urteil 1B_497/2017 vom 20. Dezember 2017 E. 1.1). Der angefochtene Entscheid schliesst das Verwaltungsstrafverfahren nicht ab; es handelt sich um einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid, gegen den die Beschwerde in Strafsachen zulässig ist, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 94 f.). Dies ist nach der Rechtsprechung bei der Beschlagnahme von Gegenständen der Fall, weil die betroffene Person daran gehindert wird, frei über diese zu verfügen (vgl. Urteile 1B_66/2014 vom 28. April 2014 E. 1; 1B_69/2012 vom 26. April 2012 E. 1 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer, der auch am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat, ist entsprechend zur Beschwerdeführung berechtigt (<ref-law>). Auch sonst steht einem Eintreten auf die Beschwerde grundsätzlich nichts entgegen.
2.
Das Bundesgericht überprüft Entscheide über strafprozessuale Zwangsmassnahmen mit freier Kognition. Die in <ref-law> für vorsorgliche Massnahmen vorgeschriebene Beschränkung der Rügegründe ist nicht anwendbar (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 59 f.; Urteil 1B_243/2016 vom 6. Oktober 2016 E. 2.1). Gerügt werden kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht (<ref-law>). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), prüft die bei ihm angefochtenen Entscheide aber grundsätzlich nur auf Rechtsverletzungen hin, welche die beschwerdeführende Person geltend macht und begründet (vgl. <ref-law>). Erhöhte Anforderungen an die Begründung gelten namentlich, soweit die Verletzung von Grundrechten gerügt wird (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil weiter den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, deren Sachverhaltsfeststellung sei offensichtlich unrichtig, das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62), oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer bringt gegen die strittige Beschlagnahme vor, sie sei anlässlich einer unzulässigen Hausdurchsuchung erfolgt. Der Direktor des Sekretariats der ESBK habe die Hausdurchsuchung vom 17./18. Juni 2020 erst am 15. Juni 2020 angeordnet, mithin mehr als fünf Monate nachdem die Stadtpolizei Zürich mit Bericht vom 7. Januar 2020 darum ersucht habe. Nach dieser langen Zeit sei der Tatverdacht entgegen der unzutreffenden und teilweise willkürlichen Beurteilung der Vorinstanz nicht mehr aktuell bzw. hinreichend gewesen. Mangels eines entsprechenden Verdachts seien der Hausdurchsuchungsbefehl und damit auch die Hausdurchsuchung vom 17./18. Juni 2020 als bundesrechtswidrig bzw. sei Letztere als klassische (verpönte) "fishing expedition" zu qualifizieren.
3.2. Die in Art. 48 f. VStrR geregelte Hausdurchsuchung setzt als strafprozessuale Zwangsmassnahme namentlich einen hinreichenden Tatverdacht voraus (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 248; PIPOZ/SCHENK, in: Basler Kommentar Verwaltungsstrafrecht, 2020, N. 10 ff. zu Art. 48 VStrR). Die Stadtpolizei Zürich führte im Bericht vom 7. Januar 2020, mit dem sie die ESBK um den Erlass eines Hausdurchsuchungsbefehls ersuchte, aus, anlässlich einer Hausdurchsuchung am 5. Dezember 2019 in den fraglichen Räumlichkeiten an der X._strasse "..." in Zürich seien im Hauptraum der Wohnung im Parterre zehn Glücksspielautomaten sichergestellt worden. Im Büro im Obergeschoss sei ein weiterer solcher Automat sichergestellt worden. Schon einen Tag nach der Hausdurchsuchung habe sie Hinweise erhalten, dass in den Räumlichkeiten bereits wieder dem illegalen Glücksspiel nachgegangen werde. Gemäss Aussagen mehrerer Personen seien die beschlagnahmten Geräte durch neue des gleichen Typs ersetzt worden. Ein entsprechendes Foto, das ihr zugespielt worden sei und auf dem ein Glücksspielautomat in Betrieb sowie die durch den Polizeieinsatz vom 5. Dezember 2019 verbogene Tür zum Hauptraum zu sehen seien, liege dem Bericht bei. Aus den genannten Gründen dränge sich eine erneute, zeitnahe Kontrolle auf.
3.3. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid zunächst festgehalten, die Stadtpolizei Zürich habe in ihrem Bericht den hinreichenden Tatverdacht betreffend mögliche Widerhandlungen gegen das BGS dargelegt. Der Beschwerdeführer stellt diese Beurteilung zu Recht nicht in Frage. Die Vorinstanz hat weiter ausgeführt, die Stadtpolizei habe der ESBK, soweit aus den Akten ersichtlich, nach dem Bericht vom 7. Januar 2020 keine weiteren Mitteilungen mehr zur Kenntnis gebracht. Unter Berücksichtigung der vom Bundesrat am 16. März 2020 erklärten ausserordentlichen Lage im Zusammenhang mit dem Coronavirus habe die ESBK annehmen können, dass sich gegenüber den Ausführungen im Bericht keine wesentlichen Änderungen ergeben hätten. Unter den konkreten Umständen habe sie im Juni 2020 davon ausgehen dürfen, der im Bericht dargelegte Tatverdacht - auf den sich der Hausdurchsuchungsbefehl vom 15. Juni 2020 bezog - liege weiterhin vor.
Dass diese Beurteilung der Vorinstanz auf einer offensichtlich unrichtigen Sachverhaltsfeststellung beruhen (vgl. vorne E. 2) oder die Anforderungen an das Bestehen eines hinreichenden Tatverdachts verkennen würde (vgl. dazu <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 90; <ref-ruling> E. 3.2 S. 126), geht aus der Beschwerde nicht hervor. Der Beschwerdeführer bringt nichts vor, was im Zeitpunkt der Anordnung der Hausdurchsuchung am 15. Juni 2020 darauf hingedeutet hätte, dass sich die aktuelle Situation wesentlich von der im Bericht der Stadtpolizei vom 7. Januar 2020 beschriebenen unterscheiden und der seinerzeit bestehende hinreichende Tatverdacht nicht mehr vorliegen könnte. Solches ergab sich insbesondere nicht aus der Ausrufung der ausserordentlichen Lage im März 2020. Dieser Umstand mag zwar nicht für unveränderte Verhältnisse gesprochen haben, wie die Begründung des angefochtenen Entscheids nahelegt; er sprach jedoch auch nicht dagegen. Namentlich musste wegen des Lockdowns und der schwierigen finanziellen Situation für Bars, Pubs, Restaurants und Hotels nicht davon ausgegangen werden, die Lokalität an der X._strasse "..." sei geschlossen worden, in Konkurs gefallen oder existiere nicht mehr, wie der Beschwerdeführer vorbringt. Da gemäss den polizeilichen Ermittelungen in den betreffenden Räumlichkeiten illegales Glücksspiel betrieben worden sein soll, war die Lokalität nicht mit Betrieben des Gastgewerbes zu vergleichen. Auch die Feststellung der Stadtpolizei im Bericht vom 7. Januar 2020, es dränge sich eine zeitnahe Kontrolle auf, legte keine veränderten Verhältnisse nahe. Sie machte deutlich, dass die Stadtpolizei rasch gegen die mutmassliche Wiederaufnahme des illegalen Spielbetriebs in den entsprechenden Räumlichkeiten vorgehen wollte, nicht jedoch, dass sie eine rasche Veränderung der Situation erwartete. Auch sonst ist aus den Vorbringen des Beschwerdeführers nicht ersichtlich, dass das Sekretariat der ESBK bzw. dessen Direktor im Zeitpunkt der Anordnung der Hausdurchsuchung nicht von einem hinreichenden Tatverdacht hätte ausgehen dürfen. Ebenso wenig geht daraus hervor, dass der Hausdurchsuchungsbefehl vom 15. Juni 2020 aus einem anderen Grund bundesrechtswidrig gewesen wäre.
3.4. Soweit der Beschwerdeführer gegen die strittige Beschlagnahme vorbringt, sie sei anlässlich einer unzulässigen Hausdurchsuchung erfolgt, ist dies somit unzutreffend. Auf die Folgen einer entsprechenden Hausdurchsuchung für die Beschlagnahme ist daher nicht einzugehen. Dass diese entgegen den Ausführungen der Vorinstanz im angefochtenen Entscheid Bundesrecht verletzen würde, weil die Voraussetzungen für eine Beschlagnahme der erwähnten sichergestellten Gegenstände nicht erfüllt wären, namentlich kein hinreichender Tatverdacht bestünde, macht der Beschwerdeführer zu Recht nicht geltend. Damit besteht kein Grund für die Aufhebung der strittigen Beschlagnahme. Die Beschwerde erweist sich daher ungeachtet der Frage, inwiefern sie den Begründungsanforderungen genügt, als unbegründet.
4.
Demnach ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Parteientschädigungen sind keine zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Eidgenössischen Spielbankenkommission und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. November 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur