Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A.A._ und B.A._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) haben Wohnsitz in C._/AI. Der Ehemann ist einziger Gesellschafter und Geschäftsführer der D._ GmbH mit heutigem Sitz in E._/SG (dazu Urteil 2C_462/2020) und der F._ GmbH (nunmehr in Liquidation), deren Sitz sich in G._/SG befindet.
B.
Mit Schreiben vom 10. Januar 2019 teilte die Steuerverwaltung des Kantons Appenzell Innerrhoden (KSTV/AI; nachfolgend: die Veranlagungsbehörde) den Steuerpflichtigen mit, sie habe aufgrund von Meldungen seitens des Kantons St. Gallen erfahren, dass der Ehemann in den Steuerperioden 2012, 2013 und 2015 geldwerte Leistungen aus der D._ GmbH und der F._ GmbH bezogen habe, die in den rechtskräftigen Veranlagungsverfügungen dieser drei Steuerperioden nicht berücksichtigt worden seien. Daraus ergäben sich für die drei Steuerperioden Nachsteuern von Fr. 145'148.40 (Staats-, Bezirks- und Gemeindesteuern des Kantons Appenzell-Innerrhoden) und Fr. 164'317.85 (direkte Bundessteuer), jeweils nebst einer Busse in gleicher Höhe (vollendete Steuerhinterziehung; Koeffizient 100 Prozent). Den Steuerpflichtigen werde Gelegenheit gegeben, sich hierzu zu äussern. Auf Ersuchen der Steuerpflichtigen kam es am 7. Februar 2019 zu einer Besprechung. Die Veranlagungsbehörde gewährte dabei Akteneinsicht und lud die Steuerpflichtigen ein, bis spätestens Mitte März 2019 Unterlagen nachzureichen, aus welchen die Unrichtigkeit der Feststellungen hervorgehen könnte. Die Steuerpflichtigen reagierten nicht mehr, obwohl sie dies in Aussicht gestellt hatten, worauf die Veranlagungsbehörde am 10. April 2019 die Nachsteuer- und Steuerstrafverfügungen im angekündigten Sinne erliess.
C.
Die Steuerpflichtigen erhoben Einsprache. Darin rügten sie, die Meldungen seitens des Kantons St. Gallen, auf welcher die streitbetroffenen Verfügungen beruhten, seien fehlerhaft. Die Veranlagungsbehörde gab der Steuerpflichtigen bekannt, dass die Einsprache keinerlei Begründung oder Beweismittel enthalte. Entsprechend sei darauf nicht einzutreten, soweit die Steuerpflichtigen nicht innerhalb der angesetzten Nachfrist vollständig ausgefüllte und unterzeichnete Steuererklärungen nachreichten. Mit Einspracheentscheid vom 5. Juni 2019 trat die Veranlagungsbehörde androhungsgemäss auf die Einsprache nicht ein, was sie damit begründete, dass die Steuerpflichtigen sich nicht hätten vernehmen lassen.
D.
Dagegen gelangten die Steuerpflichtigen an das Kantonsgericht des Kantons Appenzell Innerrhoden, das die Beschwerde mit Entscheid V 10-2019 vom 3. März 2020 abwies. Das Kantonsgericht erwog, die Steuerpflichtigen rügten im Wesentlichen nur, dass die Meldung des Kantons St. Gallen auf einem inhaltlichen Fehler fusse. Wie die Veranlagungsbehörde einwende, hätten sie freilich weder Bankauszüge eingereicht noch ihre Buchhaltung oder die vollständigen Steuererklärungen vorgelegt, obwohl sie hierzu mehrfach eingeladen worden seien. Das Kantonsgericht erkannte, das Vorlegen der nötigen Beweismittel bilde eine Gültigkeitsvoraussetzung, wenn eine nach pflichtgemässem Ermessen vorgenommene Veranlagungsverfügung angefochten werde. Die "Beweisbeschaffungspflicht" für die im Rechtsmittelverfahren wesentlichen Sachumstände obliege hier den Steuerpflichtigen. Diese haben es indes damit bewenden lassen, die Meldungen des Kantons St. Gallen als unzutreffend zu bezeichnen, ohne auch nur den Versuch anzutreten, dies in substantiierter Weise nachzuweisen.
E.
Mit Eingabe vom 18. Mai 2020 erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen sinngemäss, der vorinstanzliche Entscheid sei aufzuheben und auf die Erhebung von Nach- und Strafsteuern sei zu verzichten.
F.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen, insbesondere von einem Schriftenwechsel gemäss <ref-law>, abgesehen.

Erwägungen:
I. Formelles
1.
1.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit <ref-law> [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Die Veranlagungsbehörde ist auf die Einsprache der Steuerpflichtigen nicht eingetreten, weil sie der Auffassung war, die gemäss <ref-law> bzw. Art. 143 Abs. 3 StG/AI erforderlichen Voraussetzungen lägen nicht vor. Die Vorinstanz teilt diese Sichtweise. Streitgegenstand kann im bundesgerichtlichen Verfahren daher nur die Frage sein, ob die Vorinstanz bundesrechtskonform angenommen habe, das Nichteintreten der Unterinstanz sei nicht zu beanstanden. Der Streitgegenstand kann im Laufe des Rechtsmittelverfahrens zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 22). Soweit die Steuerpflichtigen beantragen, auf die Erhebung von Nach- und Strafsteuern sei zu verzichten, ist auf ihre Beschwerde nicht einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.2 S. 255) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 241).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 217).
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Auch im Fall einer herkömmlichen Aufrechnung, die nicht unter den Sondertatbestand von <ref-law> fällt, kann die Veranlagungsbehörde einen Ermessenszuschlag vornehmen. Dies ergibt sich ohne Weiteres aus der behördlichen Untersuchungspflicht (<ref-law>) und bedarf im Gesetz keiner weiteren Erwähnung. Zu verlangen ist, dass die Veranlagungsbehörde nach erfolgter Beweiswürdigung und aufgrund objektiver Gesichtspunkte vom Vorliegen eines rechtserheblichen Sachumstandes überzeugt ist ("Regelbeweismass"; Urteil 2C_480/2019 vom 12. Februar 2020 E. 2.3.1). Die erforderliche Überzeugung kann auf Indizien beruhen und bedingt keinen direkten Beweis. Der steuerpflichtigen Person obliegt diesfalls kein Unrichtigkeitsnachweis, wie er gemäss <ref-law> herrscht und dort zur Umkehr der Beweislast führt. Will sie die Aufrechnung anfechten, kann sie den Gegenbeweis antreten, ohne grobe methodische oder rechnerische Fehler der Ermessensbetätigung nachweisen zu müssen, was regelmässig auf den Nachweis der Willkür hinausläuft (Urteil 2C_1067/2017 vom 11. November 2019 E. 3.1). Bestand und Höhe der Aufrechnung hat sie aber detailliert zu bestreiten (Urteil 2C_736/2019 vom 15. Februar 2019 E. 2.2.3).
2.2. Zu zweidimensionalen Sachverhalten hat das Bundesgericht wiederholt festgestellt, dass kein eigentlicher Aufrechnungsautomatismus herrsche. Bestand, Qualifikation und Höhe einer Aufrechnung folgen auf Ebene der Gesellschaft einerseits und des Anteilsinhabers anderseits einer jeweils eigenen Logik. Entsprechend herrscht die übliche Beweislastverteilung (unter vielen Urteil 2C_32/2018 vom 11. November 2019 E. 3.1). Steuerbegründende und steuererhöhende Tatsachen hat die Veranlagungsbehörde, steuermindernde und steuerausschliessende Tatsachen die steuerpflichtige Person zu beweisen (sog. Normentheorie; <ref-ruling> E. 3.8.2 S. 508). In Abweichung von den üblichen Regeln über die Beweislast hat aber ein Gesellschafter, der gleichzeitig Organ und/oder beherrschender Anteilsinhaber der Gesellschaft ist, Bestand und Höhe einer von der Veranlagungsbehörde behaupteten geldwerten Leistung detailliert zu bestreiten. Unterlässt er dies oder beschränkt er sich auf pauschale Ausführungen, darf die Veranlagungsbehörde grundsätzlich annehmen, die auf Gesellschafts-ebene rechtskräftig veranlagte Aufrechnung sei dem Anteilsinhaber gegenüber ebenso berechtigt (Urteil 2C_736/2018 vom 15. Februar 2019 E. 2.2.2 und 2.2.3).
2.3.
2.3.1. Die Steuerpflichtigen wiederholen in ihrer Beschwerde hauptsächlich den - mit Ausnahme der Aufrechnung - unbestrittenen Sachverhalt. Ihre Rügen beschränken sich im Wesentlichen darauf, dass der mit dem Erstellen der Steuererklärungen 2011 und 2012 beauftragte Buchhalter "mit seiner Arbeit masslos überfordert gewesen" sei und es "nie fertiggebracht [habe], eine auch nur annähernd korrekte Jahresrechnung abzuschliessen". Dass die Steuererklärungen der D._ GmbH und der F._ GmbH nicht eingereicht worden seien, sei dem einzigen Gesellschafter und Geschäftsführer erst viel später aufgefallen. Das Geld für die Aufarbeitung der Buchhaltung durch einen externen Treuhänder sei nicht vorhanden; die Gesellschaften (und die Steuerpflichtigen) seien "notorisch knapp bei Kasse". Die Einsprachefrist im Kanton St. Gallen sei tatsächlich verpasst worden. Der Schluss auf eine Steuerhinterziehung beruhe aber auf einer "sehr fadenscheinigen Begründung". Die Behörden hätten "harte Fakten für eine Steuerhinterziehung" nie vorgelegt und sich vielmehr auf das "Hörensagen" und "Pi mal Handgelenk"-Einschätzungen verlassen. Der Blick in die Abschlüsse zeige, dass "unser Buchhalter damit völlig überfordert war". Im Übrigen wäre es gestützt auf <ref-law> ("gerichtliche Fragepflicht"), meinen die Steuerpflichtigen, ohnehin Sache der Behörden gewesen, den Sachverhalt abzuklären.
2.3.2. Der Streitgegenstand im vorinstanzlichen Verfahren war auf die Frage beschränkt, ob die Veranlagungsbehörde bundesrechtskonform auf die Einsprache nicht eingetreten sei (vorne E. 1.2). Ob und gegebenenfalls inwiefern es den vom Ehemann beherrschten beiden Gesellschaften möglich oder unmöglich war, die Jahresabschlüsse und Steuererklärungen zu den Steuerperioden 2011 und 2012 vorzulegen, ist hierfür ohne Belang, zumal es im vorliegenden Verfahren nicht um die Gesellschaften, sondern um den Alleingesellschafter bzw. die gemeinsam veranlagten Eheleute geht (und dies hinsichtlich der Steuerperioden 2012, 2013 und 2015). Ein etwaiges Fehlverhalten einer ihrer Hilfspersonen haben die beiden Gesellschaften zu vertreten, worauf der einzige Gesellschafter und Geschäftsführer das Fehlverhalten der Gesellschaften zu vertreten hat. Die beauftragende Person trifft eine Sorgfaltspflicht betreffend das Auswählen, die Instruktion und die Beaufsichtigung ihrer Hilfsperson (sog. cura in eligendo, instruendo und custodiendo; <ref-ruling> E. 4.5.1 S. 186; <ref-ruling> E. 2.3 S. 201). Dasselbe gilt, soweit ein Arbeitsverhältnis bestanden hätte, was nicht restlos klar wird.
2.3.3. So oder anders bleibt es nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (<ref-law>; vorne E. 1.4) dabei, dass die Steuerpflichtigen in ihrer eigenen Angelegenheit weder eine plausible Begründung noch Beweismittel vorgelegt haben, aus welchen die inhaltliche Unrichtigkeit der Aufrechnung hervorgehen könnte. Im zweidimensionalen Verhältnis, wie es hier besteht, sind Bestand und Höhe einer von der Veranlagungsbehörde behaupteten geldwerten Leistung detailliert zu bestreiten. Unterlässt der Anteilsinhaber dies oder beschränkt er sich auf pauschale Ausführungen, darf die Veranlagungsbehörde im Veranlagungsverfahren grundsätzlich annehmen, die auf Gesellschaftsebene rechtskräftig veranlagte Aufrechnung sei dem Anteilsinhaber gegenüber ebenso berechtigt (vorne E. 2.2). Entsprechend ist eine Einsprache ebenso detailliert zu begründen. Dies haben die Steuerpflichtigen unterlassen.
2.3.4. Der Einwand, es habe im Veranlagungsverfahren eine behördliche Untersuchungspflicht geherrscht, welcher die Veranlagungsbehörde nicht nachgekommen sei, führt zu keinem anderen Schluss. Auch im Nachsteuerverfahren besteht eine Mitwirkungspflicht der steuerpflichtigen Person (Art. 126 Abs. 1 in Verbindung mit <ref-law>; Urteil 2C_1073/2018 vom 20. Dezember 2019 E. 16.3; 2C_509/2019 vom 3. Oktober 2019 E. 2.1). Die Steuerpflichtigen machen in diesem Zusammenhang geltend, die Veranlagungsbehörde hätte richtigerweise eine Bücheruntersuchung vornehmen müssen. Ihnen ist entgegenzuhalten, dass die Bücher - wie sie selbst darlegen - keine verlässliche Grundlage bildeten und ein Ermessenszuschlag unvermeidlich war (<ref-law>; Urteil 2C_261/2019 vom 15. August 2019 E. 2.2.1).
2.3.5. Vor allem aber übersehen die Steuerpflichtigen, dass auch im Einspracheverfahren eine Mitwirkungspflicht der steuerpflichtigen Person besteht. Falls keine Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen vorgenommen worden ist, besteht zwar keine eigentliche Begründungspflicht (<ref-law> e contrario). Wenn die Einsprachebehörde nach Sichtung der Einsprache im Unklaren bleibt, welche Mängel gerügt werden, kommt sie nicht umhin, die Stossrichtung bei der steuerpflichtigen Person in Erfahrung zu bringen. Im vorliegenden Fall haben die Steuerpflichtigen - wie auch die D._ GmbH - lediglich geltend gemacht, die Meldung des Kantons St. Gallen fusse auf einem inhaltlichen Fehler, ohne ihren Einwand in irgendeiner Weise zu substantiieren (Sachverhalt, lit. D). Zur Meldung hat die Vorinstanz festgestellt, dass es um den Verkauf von Liegenschaften gehe (Sachverhalt, lit. B). Dass im Zusammenhang mit Grundstücksgeschäften zahlreiche Sachverhaltselemente eine Rolle spielen und viele potentielle Fehlerquellen bestehen, ist allgemein bekannt. Umso mehr wäre die Einsprachebehörde auf die Mitwirkung der Steuerpflichtigen angewiesen gewesen. Mit Blick auf die gänzliche Untätigkeit der Steuerpflichtigen ist die Vorinstanz auf die Einsprache nicht eingetreten. Wäre sie eingetreten, hätte sie zur Abweisung gelangen müssen.
2.3.6. Zum Hinterziehungspunkt bringen die Steuerpflichtigen im bundesgerichtlichen Verfahren keine näheren Einwände vor. Sie vermögen daher von vornherein nicht aufzuzeigen, dass und weshalb die Veranlagungsbehörde auf die Einsprache hätte eintreten müssen. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
2.4. Die Beschwerde erweist sich, soweit die direkte Bundessteuer betreffend, als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
III. Staats-, Bezirks- und Gemeindesteuern des Kantons Appenzell Innerrhoden
3.
Das harmonisierte Steuerrecht von Kantonen und Gemeinden (StHG) entspricht in allen hier interessierenden Bereichen dem Recht der direkten Bundessteuer. So stimmen namentlich Art. 48 Abs. 2 StHG und <ref-law> überein. Alsdann hat der Kanton Appenzell Innerrhoden das Harmonisierungsrecht zutreffend in Art. 143 Abs. 3 des Steuergesetzes (des Kantons Appenzell Innerrhoden) vom 25. April 1999 (StG/AI; GS 640.000) überführt. Entsprechend kann auf das zur direkten Bundessteuer Dargelegte verwiesen werden. Die Beschwerde erweist sich auch insoweit als unbegründet. Sie ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
IV. Kosten und Entschädigung
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>). Dem Kanton Appenzell Innerrhoden, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2012, 2013 und 2015, wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats-, Bezirks- und Gemeindesteuern des Kantons Appenzell Innerrhoden, Steuerperioden 2012, 2013 und 2015, wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Diese tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftbarkeit.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kant onsgericht Appenzell Innerrhoden, Abteilung Verwaltungsgericht, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher