Sachverhalt:
A.
B.E._ (geb. 1963; Beschwerdegegnerin) und A.E._ (geb. 1964; Beschwerdeführer) heirateten am 25. August 1989. Sie sind die Eltern der beiden Kinder C.E._ (geb. 1998) und D.E._ (geb. 2000). Seit Februar 2017 leben die Ehegatten getrennt und am 17. März 2017 ersuchte B.E._ das Bezirksgericht Brugg um Erlass von Eheschutzmassnahmen.
Nachdem das Bezirksgericht das Verfahren zwischenzeitlich sistiert hatte, fand am 2. Juni 2017 eine mündliche Verhandlung mit Anhörung der Tochter und Befragung der Parteien statt. Mit Teilentscheid von demselben Datum verpflichtete das Bezirksgericht soweit hier interessierend A.E._ zur Zahlung von Kindesunterhalt von Fr. 550.-- vom 15. bis 28. Februar 2017 sowie von monatlich Fr. 1'105.-- im März und April 2017, Fr. 900.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 1'060.-- im August und September 2017 und Fr. 1'440.-- von Oktober 2017 bis November 2018. Ausserdem verurteilte es ihn zur Zahlung der Kosten der Ausbildung der Tochter von Fr. 5'800.--. Den an B.E._ zu leistenden Ehegattenunterhalt legte das Bezirksgericht fest auf Fr. 1'760.-- vom 15. bis zum 28. Februar 2017 sowie auf monatlich Fr. 3'105.-- im März und April 2017, Fr. 2'175.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 2'165.-- im August und September 2017, Fr. 4'355.-- von Oktober 2017 bis November 2018 und Fr. 4'915.-- ab Dezember 2018. Ausserdem hielt das Bezirksgericht die Grundlagen fest, auf denen diese Unterhaltsbeiträge beruhten.
B.
Gegen diesen Entscheid reichte A.E._ am 22. August 2017 Berufung beim Obergericht des Kantons Aargau ein. Er beantragte eine Reduktion der Unterhaltsbeiträge und die Neufestlegung von deren Grundlagen sowie die Anrechnung bereits geleisteter Zahlungen an die Unterhaltspflicht. Ausserdem ersuchte er darum, die Verhandlung vom 2. Juni 2017 zu wiederholen.
Mit Entscheid vom 5. Dezember 2017 (eröffnet am 21. Dezember 2017) hiess das Obergericht das Rechtsmittel teilweise gut und legte den von A.E._ für die Tochter zu bezahlenden Unterhalt neu fest auf Fr. 550.-- vom 15. bis zum 28. Februar 2017 und auf monatlich Fr. 1'102.-- im März und April 2017, Fr. 828.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 875.-- von August bis Dezember 2017 sowie Fr. 1'437.-- von Januar bis und mit 24. November 2018. Den Ehegattenunterhalt bestimmte es neu wie folgt: Fr. 1'605.-- vom 15. bis zum 28. Februar 2017 sowie monatlich Fr. 2'796.-- im März und April 2017, Fr. 1'900.-- von Mai bis Juli 2017, Fr. 1'663.-- im August und September 2017, Fr. 1'275.-- von Oktober bis Dezember 2017, Fr. 3'612.-- von Januar bis April 2018, Fr. 3'770.-- von Mai bis November 2018 und Fr. 4'329.-- ab Dezember 2018. Ausserdem passte es die Grundlagen an, auf denen dieser Unterhalt beruhte (alles Dispositivziffer 1.1). Im Übrigen wies es die Berufung ab (Dispositivziffer 1.3).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen gelangt A.E._ am 22. Januar 2018 mit den folgenden Anträgen in der Sache an das Bundesgericht:
"1. Es sei Ziffer 1.1 des Dispositivs des Entscheides des Obergerichts Aargau [...] aufzuheben und es sei [A.E._] zu verpflichten, [B.E._] an den Unterhalt der Tochter monatlich vorschüssig folgende Beiträge zuzüglich allfällige bezogene Kinderzulagen zu bezahlen:
5.1 - Fr. 550.00 ab 15. Februar 2017 bis und mit 28. Februar 2017
(unverändert)
- Fr. 990.00 von März 2017 bis und mit April 2017 (unverändert)
- Fr. 650.00 von Mai 2017 bis und mit Juli 2017
- Fr. 460.60 von August 2017 bis und mit September 2017
- Fr. 339.35 von Oktober 2017 bis und mit Januar 2018
- Fr. 1'414.25 von Februar 2018 bis und mit 24. November 2018
Es sei festzustellen, dass die Unterhaltsbeiträge bis 31. März 2017 infolge Verrechnung getilgt sind.
6. Es sei Ziffer 6 des Dispositivs des vorinstanzlichen Entscheids [...] aufzuheben und es sei [A.E._] zu verpflichten, [B.E._] an den persönlichen Unterhalt monatlich vorschüssig folgende Beiträge zu bezahlen:
- Fr. 1'350.00 ab 15. Februar 2017 bis und mit 28. Februar 2017
- Fr. 2'377.00 von März 2017 bis und mit April 2017
- Fr. 1'466.00 von Mai 2017 bis und mit Juli 2017
- Fr. 0.00 von August 2017 bis und mit September 2017
- Fr. 0.00 von Oktober 2017 bis und mit Januar 2018
- Fr. 1'601.00 von Februar 2018 bis und mit April 2018
- Fr. 1'813.15 [von] Mai 2018 bis und mit November 2018
- Fr. 2'741.00 ab Dezember 2018
Es sei festzustellen, dass die Unterhaltsbeiträge bis 31. März 2017 infolge Verrechnung getilgt sind.
8. [Feststellung des Bedarfs und des Einkommens der Parteien.]
1.3 Es sei Ziffer 1.3 aufzuheben und es sei der formelle Antrag [von A.E._] betreffend Aufhebung und erneuter Durchführung der Verhandlung vor dem Bezirksgericht Brugg vom 2. Juni 2017 gutzuheissen.
1. Eventuell sei die Angelegenheit zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen."
Am 29. Januar 2018 hat das Obergericht unaufgefordert mitgeteilt, auf eine Vernehmlassung zu verzichten, und am 15. Oktober 2018 beantragt B.E._, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Für den Fall, dass die Sache aus formellen Gründen an die kantonalen Gerichte zurückgewiesen werde, beantragt sie ausserdem, die Gerichts- und Parteikosten dem Kanton Aargau aufzuerlegen. Diese Eingaben wurden A.E._ zur Kenntnisnahme zugestellt.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über den Kindesunterhalt sowie den ehelichen Unterhalt während des Getrenntlebens der Parteien entschieden hat. Strittig ist damit eine vermögensrechtliche Zivilsache (<ref-law>), wobei der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist (Art. 74 Abs. 1 Bst. b i.V.m. Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG). Der Beschwerdeführer ist nach <ref-law> zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt. Auf die auch fristgerecht erhobene Beschwerde (vgl. Art. 46 Abs. 1 Bst. c und <ref-law>) ist einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer ersucht um Feststellung, dass die Unterhaltsbeiträge zufolge Verrechnung bis am 31. März 2017 getilgt seien. Feststellungsbegehren sind im bundesgerichtlichen Verfahren nur zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges Interesse besteht und dieses nicht ebenso gut mit einem Leistungs- oder Gestaltungsbegehren gewahrt werden kann (<ref-ruling> E. 1.7; <ref-ruling> E. 3.1; <ref-ruling> E. 2.2). Das Feststellungsinteresse ist von der beschwerdeführenden Partei zu begründen und nachzuweisen. Der Beschwerdeführer tut dies nicht. Aus der Beschwerdebegründung, die zur Auslegung der Rechtsbegehren beizuziehen ist (<ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.3), ergibt sich indes, dass es dem Beschwerdeführer mit seinen Begehren um die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils bezüglich der Unterhaltspflicht im fraglichen Zeitraum geht. Die Beschwerde ist entsprechend entgegenzunehmen (vgl. Urteil 5A_708/2017 vom 13. März 2018 E. 1.3).
1.3. Eheschutzentscheide unterstehen <ref-law> (<ref-ruling> E. 5), weshalb nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden kann. Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz solche Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>. Die rechtsuchende Partei muss daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darlegen, inwiefern ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sein soll (<ref-ruling> E. 1.3). Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266).
1.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Hiervon erfasst sind unechte Noven, also Tatsachen, die im bisherigen Verfahren bereits hätten vorgebracht werden können, aber nicht vorgebracht wurden. Echte Noven, d.h. Tatsachen, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind, sind im Verfahren vor Bundesgericht demgegenüber grundsätzlich unbeachtlich (<ref-ruling> E. 3.1.2; <ref-ruling> E. 2.1).
Der Beschwerdeführer glaubt nach dem Ausgeführten zu Unrecht, er könne im bundesgerichtlichen Verfahren Tatsachen und Beweismittel vorbringen, die erst nach dem vorinstanzlichen Entscheid entstanden sind. Auch irrt die Beschwerdegegnerin, wenn sie meint, echte Noven könnten als "Reaktion auf die Beschwerde" in das Verfahren eingebracht werden. Die von den Parteien verschiedentlich angerufenen neuen Tatsachen und Beweismittel bleiben vielmehr unbeachtlich.
1.5. Das Bundesgericht selbst nimmt zudem keine Beweise ab (statt vieler: Urteile 5A_151/2018 vom 11. Juli 2018 E. 1.4; 5A_673/2017 vom 22. März 2018 E. 1.3). Eine Befragung der Parteien, wie diese sie verschiedentlich beantragen, kommt im vorliegenden Verfahren daher nicht in Betracht. Die entsprechenden Beweisanträge werden abgewiesen.
2.
2.1. In der Sache strittig ist der Ehegatten- und der Kindesunterhalt während der Trennung der Parteien. Der Beschwerdeführer rügt vorab allerdings eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Das Bezirksgericht habe ihn nicht ordnungsgemäss zu der Verhandlung vom 2. Juni 2017 (zu dieser vorne Bst. A) vorgeladen und das Obergericht habe die hierin liegende Gehörsverletzung zu Unrecht als geheilt betrachtet. Diese Rüge ist praxisgemäss vorab zu behandeln (vgl. <ref-ruling> E. 5.1).
Das Obergericht hält dazu fest, der Beschwerdeführer sei nicht rechtzeitig zu der fraglichen Verhandlung vorgeladen worden, weshalb das Bezirksgericht seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt habe. Die Beschwerdegegnerin fragt sich zwar, ob die Vorladung nicht doch rechtzeitig erfolgt sei. Sie begründet dieses Vorbringen aber nicht, womit es nicht weiter zu beachten ist (dazu vorne E. 1.3). Für das Bundesgericht besteht damit kein Anlass, sich mit der Frage auseinanderzusetzen, ob der Gehörsanspruch des Beschwerdeführers zufolge ungehöriger Vorladung verletzt wurde (vgl. BGE 142III 364 E. 2.4 mit Hinweisen; allgemein zum Recht auf gehörige Vorladung vgl. <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 2b/bb; <ref-ruling> E. 2c; vgl. auch <ref-ruling> E. 5.2). Weiterungen hierzu erübrigen sich aber auch mit Blick auf das nachfolgend Ausgeführte.
2.2. Die Vorinstanz erachtet den (allfälligen) Verfahrensmangel als genehmigt, weil der Beschwerdeführer vorbehaltslos an der fraglichen Verhandlung teilgenommen und insbesondere nicht geltend gemacht habe, dass er sich nicht genügend habe vorbereiten oder aufgrund der zu kurzen Vorbereitungszeit keinen Anwalt habe mandatieren können. Damit sei die Gehörsverletzung geheilt. Auch die Beschwerdegegnerin hält einen (allfälligen) Mangel bei der Vorladung für durch Einlassung geheilt. Die abweichenden Vorbringen des Beschwerdeführers seien appellatorisch und zeigten keine Willkür auf. Das Verhalten des Beschwerdeführers insgesamt verstosse gegen Treu und Glauben. Er sei kein unbeholfener Laie und habe sich selbst vertreten wollen. Eine Rückweisung der Sache an die erste Instanz sei sodann sinnlos, da der Beschwerdeführer sich im Vorfeld der Verhandlung umfassend habe äussern können und der Beschwerdeführer genügend Zeit zur Vorbereitung gehabt habe. Ohnehin bezahle dieser entgegen seiner derzeit bestehenden Pflicht keinen Unterhalt an Frau und Tochter und könne nicht auf seine formellen Rechte pochen.
Der Beschwerdeführer bestreitet unter Hinweis auf die erstinstanzlichen Akten, vorbehaltslos an der Verhandlung teilgenommen zu haben. An der Verhandlung habe er die nicht ordnungsgemässe Vorladung gerügt und sinngemäss geltend gemacht, nicht genügend Zeit zur Vorbereitung und zur Wahrung seiner Rechte gehabt zu haben. Er sei nicht anwaltlich vertreten und nicht über seine Rechte betreffend die fehlerhafte Vorladung informiert gewesen. Die Vorsitzende des Bezirksgerichts habe es entgegen der richterlichen Fragepflicht, die bei nicht anwaltlich Vertretenen verstärkt zur Anwendung gelange, unterlassen, ihn auf seine Rechte aufmerksam zu machen. Erst nach der Verhandlung habe er erfahren, dass er die Teilnahme hätte verweigern können, was aus seinem Schreiben vom 12. Juni 2017 hervorgehe. Eine Heilung der Gehörsverletzung komme nicht in Frage.
2.3. Alle am Zivilprozess beteiligten Personen haben nach Treu und Glauben zu handeln (<ref-law>; vgl. weiter <ref-law>). Sie sind daher gehalten, verfahrensrechtliche Einwendungen so früh wie möglich vorzubringen, mithin bei erster Gelegenheit nach Kenntnisnahme des Mangels. Ansonsten können sie diese nicht mehr erheben (<ref-ruling> E. 4.3; <ref-ruling> E. 8.4.3; <ref-ruling> E. 2.2). Dies gilt auch für die Rüge der Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.2; Urteile 1C_114/2016 vom 9. Juni 2016 E. 2.1; 5A_121/2013 vom 2. Juli 2013 E. 4.2). Die Lehre zu <ref-law> - diese Bestimmung regelt die Frist zur gerichtlichen Vorladung einer Partei im Zivilprozess - geht denn auch davon aus, dass eine Missachtung der Vorladungsfrist "geheilt" bzw. "genehmigt" wird, wenn die betroffene Person trotz verspäteter Vorladung zu einer Verhandlung erscheint und vorbehaltslos an dieser teilnimmt. Keine vorbehaltslose Teilnahme liege vor, wo die Partei zu Beginn der Verhandlung zu Protokoll gebe, sie habe sich nicht genügend vorbereiten können und behalte sich weitere Stellungnahmen vor (vgl. etwa BRÄNDLI/BÜHLER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Auflage 2017, N. 12 zu <ref-law>; NINA J. FREI, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 9 zu <ref-law>; LUKAS HUBER, in: Brunner et al. [Hrsg.], Schweizerische Zivilprozessordnung, 2. Aufl. 2016, N. 10 zu <ref-law>; MARIO KUMSCHICK, in: Handkommentar Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], 2010, N. 4 zu <ref-law>; ADRIAN STAEHELIN, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 4 zu <ref-law>).
2.4. Der Beschwerdeführer beruft sich auf das vom Bezirksgericht erstellte Protokoll der Verhandlung vom 2. Juni 2017 (Vorakten Bezirksgericht, pag. 81 ff.). Diesem lässt sich entnehmen (S. 2; a.a.O., pag. 82), dass er die Frage der Gerichtspräsidentin verneinte, ob Einwendungen gegen den Ablauf der Verhandlung bestünden. Im Sinne einer prozessualen Vorbemerkung gab er indes zu Protokoll, es habe ihn "sehr erstaunt, dass [er] so kurzfristig aufgeboten wurde". Es sei "reiner Zufall, dass [er] hier [sei]". Damit hat der Beschwerdeführer zwar kund getan, dass die Vorladung seiner Ansicht nach sehr kurzfristig erfolgte. Anders als er dies geltend macht, kann hierin aber nicht die (sinngemässe) Rüge erblickt werden, er habe sich nur ungenügend auf die Verhandlung vorbereiten können und er würde sich weitere Stellungnahmen vorbehalten: Eine genügende Vorbereitung kann auch dort möglich sein, wo die Vorladung kurzfristig erfolgt. Das Gericht durfte die Äusserung des Beschwerdeführers daher so verstehen, dass er mit der Weiterführung der Verhandlung einverstanden war, zumal er ausdrücklich keine Einwände gegen den in Aussicht gestellten Verfahrensablauf erhob. Wie der Beschwerdeführer selbst ausführt, sah er es sodann als notwendig an, sich kurz nach der Verhandlung an das Gericht zu wenden und die fehlerhafte Vorladung zu rügen (vgl. Schreiben vom 12. Juni 2017 [Akten Bezirksgericht, pag. 175 ff.], S. 1). Dies wäre nicht notwendig gewesen, wäre er der Ansicht gewesen, den Verfahrensfehler bereits anlässlich der Verhandlung geltend gemacht zu haben.
Dementsprechend ist es unter Verfassungsgesichtspunkten nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht zum Schluss gelangt, der Beschwerdeführer habe die Gehörsverletzung am 2. Juni 2017 nicht geltend gemacht und vorbehaltslos an der Verhandlung teilgenommen. Fraglich bleibt, ob der Beschwerdeführer deswegen sein Recht verwirkt hat, sich auf einen (allfälligen) Verfahrensmangel zu berufen, was die Vorinstanz bejaht. Insoweit macht der Beschwerdeführer geltend, er sei nicht anwaltlich vertreten und nicht über seine Rechte informiert gewesen. Aus seiner Rechtsunkenntnis kann er indes keine Vorteile für sich ableiten (vgl. <ref-ruling> E. 4.2.3.1; Urteil 5A_240/2011 vom 6. Juli 2011 E. 6.5, in: FamPra.ch 2011 S. 1002), womit sein Einwand unbehelflich bleibt. Weiter kann der Beschwerdeführer sich nicht mit Erfolg auf die richterliche Fragepflicht (<ref-law>) berufen: Auch bei nicht anwaltlich vertretenen Parteien dient diese nicht dazu, prozessuale Nachlässigkeiten auszugleichen (vgl. Urteile 4A_228/2018 vom 5. November 2018 E. 4.3). Damit ist es nicht zu beanstanden, wenn das Obergericht zum Schluss gelangte, der Beschwerdeführer habe sich nach der Verhandlung nicht mehr auf den (allfälligen) Verfahrensmangel berufen dürfen. Folglich hilft dem Beschwerdeführer auch das vorerwähnte Schreiben vom 12. Juni 2017 nicht weiter, da dieses nach der Verhandlung datiert und allfällig damit vorgebrachte Einwände bereits verspätet erfolgten. Ohnehin hat der Beschwerdeführer auch in diesem Schreiben nicht geltend gemacht, er habe sich nur ungenügend auf die Verhandlung vorbereiten können, wie dies notwendig wäre.
2.5. Soweit die Verletzung von <ref-law> betreffend erweist sich die Beschwerde zusammenfassend als unbegründet.
3.
3.1. Die Beurteilung des strittigen Unterhalts hat das Obergericht unter Berücksichtigung der den Kindesunterhalt betreffenden Änderung des Zivilgesetzbuches vom 20. März 2015 vorgenommen, die am 1. Januar 2017 in Kraft getreten ist (AS 2015 4299). Dies ist nicht bestritten und auch nicht zu beanstanden (<ref-law>). Mit Blick auf den Grundsatz des Vorrangs der Unterhaltspflicht gegenüber einem minderjährigen Kind (<ref-law>) erwog das Obergericht, dass zuerst der Kindesunterhalt (inkl. Betreuungsunterhalt) festzusetzen sei. Nur falls genügend Mittel vorhanden seien, sei danach ehelicher Unterhalt zuzusprechen. Betreuungsunterhalt sei vorliegend aufgrund des Alters der Tochter allerdings keiner geschuldet. Entsprechend erstellte das Obergericht vorab die zahlenmässigen Grundlagen des Unterhaltsanspruchs, d.h. die den Parteien anzurechnenden Einkommen sowie deren Bedarf und den Bedarf der Tochter. Anschliessend berechnete es den zur Verfügung stehenden Überschuss und teilte diesen unter den Beteiligten auf. Hieraus errechnete es den der Tochter und der Ehefrau zukommenden Unterhalt. Kein Anlass sah die Vorinstanz, frühere Zahlungen des Beschwerdeführers an die Unterhaltspflicht anzurechnen. Der Beschwerdeführer habe nicht nachgewiesen, dass er die Zahlungen an den Unterhalt von Frau und Tochter geleistet habe.
3.2. Die Beschwerdegegnerin erachtet den Standpunkt des Obergerichts nicht als willkürlich. Dem Beschwerdeführer wirft sie vor, vor Bundesgericht weitgehend appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid zu üben. In einzelnen Punkten rügt freilich auch die Beschwerdegegnerin den angefochtenen Entscheid als fehlerhaft. Insoweit ist zu bemerken, dass sie selbst keine Beschwerde erhoben hat und im Verfahren vor Bundesgericht auch keine Anschlussbeschwerde möglich ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.5). Mit ihren - zulässigen (vgl. <ref-ruling> E. 2, 456 E. 2.2.2; <ref-ruling> E. 2.3) - Vorbringen kann die Beschwerdegegnerin damit einzig erreichen, dass es beim Ergebnis des kantonalen Entscheids bleibt (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2 [einleitend] und 2.1; <ref-ruling> E. 4a). Sie kann aber nicht bewirken, dass der angefochtene Entscheid zu ihren Gunsten geändert wird (vgl. <ref-ruling> E. 4.1), was gegen das Verschlechterungsverbot (Verbot der reformatio in peius) verstossen würde (<ref-law>; vgl. zum Verschlechterungsverbot im Allgemeinen <ref-ruling> E. 2.1.1; <ref-ruling> E. 3a; zum Verschlechterungsverbot im Unterhaltskontext vgl. Urteil 5A_165/2018 vom 25. September 2018 E. 3.4; zum Ganzen vgl. Urteil 5A_894/2017 vom 20. August 2018 E. 4.2).
3.3. Der Beschwerdeführer stellt nicht in Frage, dass er grundsätzlich zur Leistung von Unterhalt an Frau und Tochter verpflichtet ist. Auch wendet er sich nicht gegen die Art und Weise, wie das Obergericht die Unterhaltsleistungen berechnet hat. Auf diese Fragen ist daher nicht einzugehen (vgl. vorne E. 2.1). Allerdings ist der Beschwerdeführer nicht mit der Bestimmung der Leistungsfähigkeit der Parteien (hinten E. 5 und 6) und des Bedarfs der Tochter (hinten E. 7) sowie seines eigenen Bedarfs (hinten E. 8) einverstanden. Diesbezüglich wirft er dem Obergericht verschiedentlich vor, in Willkür (<ref-law>) verfallen zu sein. Ausserdem erachtet er den angefochtenen Entscheid als qualifiziert unrichtig, soweit die Vorinstanz es ablehnte, frühere Zahlungen an den Unterhalt anzurechnen (hinten E. 9). Wie es sich mit diesen Punkten verhält, ist nachfolgend zu klären.
4.
4.1. Die Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung durch ein Gericht ist willkürlich, wenn dieses den Sinn und die Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat. Dass die Schlüsse nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmen, begründet keine Willkür (<ref-ruling> E. 4.4). Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung liegt insbesondere vor, wenn diese widersprüchlich oder aktenwidrig ist oder auf einem offensichtlichen Versehen beruht bzw. klarerweise den tatsächlichen Verhältnissen widerspricht (Urteil 5A_964/2016 vom 19. Februar 2018 E. 4, in: FamPra.ch 2018 S. 471).
4.2. Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht. Zudem ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.2; <ref-ruling> E. 2.1).
5.
5.1. Das Obergericht rechnete der Beschwerdegegnerin ab dem 1. Oktober 2017 ein hypothetisches Einkommen an und erachtete es als dieser möglich und zumutbar, bei einem halben Arbeitspensum ein Nettoeinkommen von monatlich Fr. 1'330.60 zu erzielen.
Der Beschwerdeführer erachtet die Berechnung dieses hypothetischen Einkommens als willkürlich. Im Gastronomiebereich - die Beschwerdegegnerin kann nach den Feststellungen der Vorinstanz als Hilfskraft in einem Restaurant arbeiten - würden bei einem vollen Pensum üblicherweise 185 Stunden gearbeitet. Damit könne die Beschwerdeführerin bei einer halbzeitlichen Tätigkeit einen Verdienst von monatlich netto Fr. 1'645.88 erzielen. Ohnehin sei die Annahme des Obergerichts unzutreffend, er habe erst im vorinstanzlichen Verfahren und damit verspätet vorgebracht, die Beschwerdegegnerin spreche Deutsch und Englisch. Bereits vor Bezirksgericht habe er dargelegt, dass seine Ehefrau mehrere Deutschkurse besucht und ein Diplom erworben habe, was unbestritten geblieben sei. Die Beschwerdegegnerin könne sodann ohne Übersetzung mit ihrem Rechtsvertreter kommunizieren. Mangelnde Sprachkenntnisse könnten auch nicht aus dem Umstand abgeleitet werden, dass für die Verhandlung vor Bezirksgericht eine Übersetzerin beigezogen worden sei. Dies sei vielmehr aufgrund der verwendeten Fachsprache üblich. Die Beschwerdegegnerin sei aufgrund ihrer Sprachkenntnisse auf dem Arbeitsmarkt wesentlich leichter zu vermitteln als angenommen, und könne auch in einem "ungelernten Beruf" bei einem Pensum von 50 Prozent ein Entgeld von Fr. 2'000.-- erzielen.
5.2. Die Ausführungen des Beschwerdeführers erschöpfen sich weitgehend darin, in appellatorischer Art und Weise seinen eigenen Standpunkt darzulegen. Der Beschwerdeführer beschränkt sich darauf, seine Sicht der Dinge bzw. die eigene Würdigung der Beweismittel derjenigen des Obergerichts entgegenzustellen und Letztere als willkürlich zu bezeichnen. Damit genügt er den an die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Recht zu stellenden Begründungsanforderungen nicht (vgl. vorne E. 1.3). Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten.
6.
6.1. Das Einkommen des Beschwerdeführers bis zum 31. Juli 2017 betrug nach den Berechnungen der Vorinstanz monatlich Fr. 8'080.75. Der Beschwerdeführer war bei einem Personaldienstleister eingestellt und sein Einkommen unterlag starken Schwankungen. Aus diesem Grund berücksichtigte das Obergericht den Durchschnittswert der Monate September 2016 bis April 2017. Da es in seine Berechnung auch Monate einbezog, in denen das Einkommen namentlich aufgrund bezogener Ferien tiefer ausfiel, verzichtete die Vorinstanz darauf, einen Ferienabzug vorzunehmen.
Dies beanstandet der Beschwerdeführer als "nicht nachvollziehbar und folglich willkürlich". Unter Hinweis auf die Berufung vom 22. August 2017 führt er aus, er sei im Stundenlohn angestellt gewesen. Deswegen habe er eine zusätzliche Ferienentschädigung erhalten, die zum Ausgleich der Ferienzeit gedient habe, während der er keinen Lohn erhalten habe. Der Lohn stundenweise angestellter Arbeitnehmer sei aus diesem Grund in der Regel höher als derjenige von Arbeitnehmern mit einem bestimmten Arbeitspensum, was zu berücksichtigen sei. Wie sich aus seinen eigenen Ausführungen ergibt, wiederholt der Beschwerdeführer damit im Wesentlichen den im vorinstanzlichen Verfahren eingenommenen Standpunkt. Mit den Überlegungen des Obergerichts setzt er sich in keiner Weise auseinander, womit er den Begründungsanforderungen auch insoweit nicht genügt (vgl. vorne E. 1.3). Auf die Beschwerde ist diesbezüglich folglich nicht einzutreten. Gleiches gilt, soweit der Beschwerdeführer einzig unter Hinweis auf seine Ausführungen vor Obergericht geltend macht, sein durchschnittliches Einkommen im relevanten Zeitraum habe tatsächlich nur Fr. 7'945.95 betragen.
6.2. Zwischen dem 1. August und dem 31. Dezember 2017 war der Beschwerdeführer nach den insoweit unbestrittenen Feststellungen des Obergerichts arbeitslos. Die Entschädigung der Arbeitslosenversicherung (ALV) betrug gemäss dem angefochtenen Entscheid Fr. 6'464.60 im Monat.
Für den Beschwerdeführer ist nicht nachvollziehbar, dass die Vorinstanz bei der Berechnung der Arbeitslosenentschädigung sein Einkommen im Monat Juli 2017 in der Höhe von Fr. 1'256.70 nicht berücksichtigte. Ihm stünden während der Arbeitslosigkeit monatlich daher nur Fr. 5'173.60 zur Verfügung. Ebenfalls habe das Obergericht nicht berücksichtigt, dass ihm "Sperrtage angerechnet" würden. Wiederum setzt der Beschwerdeführer sich in keiner Weise mit dem angefochtenen Entscheid auseinander. Er begnügt sich erneut damit, seinen eigenen Standpunkt darzulegen, den er im Übrigen nicht weiter begründet. Insbesondere geht er nicht auf die Ausführungen des Obergerichts dazu ein, weshalb bei der Berechnung der Arbeitslosenentschädigung der Lohn des Monats Juli 2017 nicht zu berücksichtigen und auch keine Wartezeit oder Einstellung in der Anspruchsberechtigung anzunehmen war. Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten (vgl. vorne E. 1.3).
6.3. Wie vorne in E. 1.4 ausgeführt, sind die vom Beschwerdeführer angerufenen echten Noven nicht zu berücksichtigen. Dies gilt auch im Zusammenhang mit der Berechnung seines Einkommens. Die auf die neu vorgebrachten Tatsachen und Beweismittel gestützten Ausführungen erweisen sich damit von vornherein als unbegründet.
6.4. Ab dem 1. Januar 2018 rechnete das Obergericht dem Beschwerdeführer ein hypothetisches Erwerbseinkommen von Fr. 11'543.90 im Monat an. Für die Berechnung dieses Einkommens ging es vom Verdienst des Beschwerdeführers vor dem 31. Juli 2017 aus (dazu E. 6.1 hiervor). Da der Beschwerdeführer damals aber nur zu 70 % erwerbstätig war, rechnete es diesen Erwerb auf ein volles Arbeitspensum auf. Den Einwand des Beschwerdeführers, mit einer Neuanstellung gehe eine Lohneinbusse einher, erachtete das Obergericht nicht als glaubhaft.
Der Beschwerdeführer beanstandet die Anrechnung eines hypothetischen Einkommens ebensowenig, wie die Feststellung, dass ihm eine volle Erwerbstätigkeit möglich und zumutbar ist. Er macht allerdings geltend, ein hypothetisches Einkommen könne ihm erst ab dem 1. Februar 2018 angerechnet werden. Hierbei stützt er sich jedoch wiederum auf unbeachtliche neue Tatsachen und Beweismittel, sodass die Beschwerde insoweit unbegründet ist (vgl. vorne E. 1.4 und 6.3). Weiter erachtet der Beschwerdeführer das ihm angerechnete Einkommen als zu hoch. Die Anknüpfung an sein früheres Einkommen zur Berechnung des hypothetischen Einkommens sei nicht nachvollziehbar. Die Vorinstanz hätte auf die Lohnstrukturerhebungen des Bundesamtes für Statistik (BFS) oder seine vor der Vorinstanz eingereichten Berechnungen abstellen müssen. Es sei ihm einzig möglich, ein Einkommen von Fr. 7'200.-- zu erzielen. Wiederum muss dem Beschwerdeführer vorgehalten werden, dass er sich damit begnügt, seine eigene Sicht der Dinge jener des Obergerichts gegenüberzustellen, ohne sich weiter um dessen Überlegungen zu kümmern. Namentlich äussert er sich nicht zur Einschätzung des Obergerichts, wonach Lohneinbussen nicht zu erwarten sind. Damit genügt die Beschwerde auch insoweit den Begründungsanforderungen nicht und es ist nicht auf sie einzutreten (vgl. vorne E. 1.3).
7.
Bezüglich der Berechnung des Bedarfs der Tochter führt der Beschwerdeführer aus, das Obergericht habe Fr. 97.25 für Verpflegung berücksichtigt. In der Berufung vom 22. August 2017 habe er die Berücksichtigung von Kosten für die auswärtige Verpflegung unter anderem mit der Begründung bestritten, dass die Beschwerdegegnerin keine Kosten unter diesem Titel geltend gemacht habe. Weder erhebt der Beschwerdeführer damit in diesem Zusammenhang die Rüge der Verletzung eines verfassungsmässigen Rechts noch setzt er sich mit den massgeblichen Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinander. Auf die Beschwerde ist auch insoweit nicht einzutreten (vgl. vorne E. 1.3).
8.
8.1. Bei der Berechnung des Bedarfs des Beschwerdeführers berücksichtigte die Vorinstanz für die Zeit von dessen Arbeitslosigkeit (d.h. zwischen 1. August und 31. Dezember 2017; vgl. vorne E. 6.2) keine Kosten für auswärtige Verpflegung und Arbeitsweg, sondern ein Betrag von monatlich Fr. 150.-- für die Stellensuche. Der Beschwerdeführer vermag dies nicht nachzuvollziehen. Ihm seien für Reisen zu Bewerbungsgesprächen, auswärtige Verpflegung, das Zusammenstellen der Bewerbungsunterlagen usw. höhere Kosten angefallen und es rechtfertige sich, hierfür entsprechend den zuvor für Verpflegung und Arbeitsweg berücksichtigten Kosten einen Betrag von Fr. 220.-- einzusetzen. Auch hier zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, weshalb die Berechnung der Vorinstanz nicht verfassungsmässig sein sollte und stellt einzig seine eigene Sicht der Dinge jener des Obergerichts entgegen. Auf die Beschwerde ist insoweit nicht einzutreten (vgl. vorne E. 1.3).
8.2. In der Bedarfsberechnung ab Januar 2018 ist der Vorinstanz nach Ansicht des Beschwerdeführers ein Irrtum unterlaufen. Es seien die Fahrkosten sowie die auswärtige Verpflegung wieder zum vollen Betrag einzusetzen. Ausserdem seien Wohnkosten von Fr. 1'660.-- zu berücksichtigen, da diese gemäss dem angefochtenen Entscheid erst ab Mai 2018 zu reduzieren seien. Dies ergebe ein Existenzminimum von Fr. 3'728.65 und nicht von Fr. 3'558.65. Gleiches gelte für den Bedarf ab Mai 2018, ausser dass die Vorinstanz dort den korrekten Betrag für die Wohnung eingesetzt habe. Sein Existenzminimum in dieser Zeit betrage Fr. 3'468.65. Das Obergericht ging von einem Betrag von Fr. 3'358.65 aus.
In seinen Ausführungen bleibt der Beschwerdeführer vage und er legt nicht unter Hinweis auf die seines Erachtens relevanten Zahlen dar, wie der Bedarf im Einzelnen zu berechnen gewesen wäre. Auch mit Blick auf die Sachverhaltsfeststellung hebt das Bundesgericht einen Entscheid sodann nur auf, wenn dieser sich nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis als willkürlich erweist (vgl. <ref-ruling> E. 6.3.2 am Ende). Selbst wenn dem Obergericht bei der Berechnung des Bedarfs des Beschwerdeführers ein Fehler unterlaufen wäre, ist noch nichts dazu gesagt, ob dieser sich derart auf die Unterhaltsberechnung auswirken würde, dass diese als geradezu unhaltbar zu qualifizieren wäre. Der Beschwerdeführer legt zwar dar, welchen Unterhalt er als rechtmässig ansieht. Hierbei weicht er allerdings in verschiedenen Punkten (z.B. beim Einkommen der Parteien) ohne Grund von den vorinstanzlichen Berechnungen ab (dazu vorne E. 5 ff.). Seinen Berechnungen kann daher nicht entnommen werden, wie sich der gerügte Rechnungsfehler auf die Unterhaltsberechnung auswirkt. Auf die Beschwerde ist insoweit mangels Begründung nicht einzutreten (vgl. vorne E. 1.3).
9.
9.1. Strittig ist zuletzt, ob zwei Zahlungen des Beschwerdeführers vom März 2017 über insgesamt Fr. 12'000.-- an die Unterhaltspflicht anzurechnen sind. Das Obergericht erachtete es als glaubhaft, dass der Beschwerdeführer dieses Geld auf ein auf den Namen beider Parteien lautendes Konto eingezahlt habe. Mit Geld von diesem Konto seien gewisse Rechnungen bezahlt worden. Dabei habe es sich aber um Rechnungen beider Parteien und beider Kinder gehandelt. Es bleibe damit unklar, in welchem Umfang der Beschwerdeführer tatsächlich an den Unterhalt von Frau und Tochter beigetragen habe. Auch bei Geltung des Untersuchungsgrundsatzes habe es dem Beschwerdeführer oblegen, in Anwendung seiner Mitwirkungspflicht genau aufzulisten und zu belegen, welche Zahlungen für diesen Unterhalt erfolgt seien. Dies habe er nicht getan, weshalb keine Zahlungen bei der Unterhaltsregelung berücksichtigt werden könnten.
Unter Hinweis auf den Untersuchungsgrundsatz rügt der Beschwerdeführer dies als nicht nachvollziehbar. Das Bezirksgericht sei verpflichtet gewesen, ihn anlässlich der Verhandlung vom 2. Juli 2017 zu den eingereichten Kontoauszügen zu befragen. Unverständlich sei es weiter, wenn das Obergericht eine Mitwirkungspflichtverletzung annehme. Aus den vor der Vorinstanz eingereichten Belegen - diese listet der Beschwerdeführer einzeln auf - sei ersichtlich, dass er von dem gemeinsamen Konto Zahlungen an den Unterhalt von Frau und Tochter geleistet habe. Auch aus verschiedenen von der Beschwerdegegnerin eingereichten Belegen ergebe sich, dass der Beschwerdeführer für deren Lebensunterhalt aufgekommen sei.
9.2. Auch hier muss dem Beschwerdeführer entgegengehalten werden, dass er einzig seine Sicht der Dinge den Ausführungen des Obergerichts entgegenstellt und Letztere als willkürlich bezeichnet. Dies gilt sowohl hinsichtlich der Mitwirkungspflichtverletzung als auch der Beweiswürdigung. Der Beschwerdeführer bestreitet sodann nicht, dass die laufenden Rechnungen von einem gemeinsamen Konto bezahlt wurden und macht auch nicht geltend, dass mit Geld von diesem Konto nur Leistungen an die Ehefrau und die Tochter erbracht worden seien.
Nichts für sich abzuleiten vermag der Beschwerdeführer sodann aus der Rüge, das Bezirksgericht hätte ihn zu den eingereichten Unterlagen befragen müssen: Entsprechend dem Prinzip der materiellen Erschöpfung des Instanzenzuges muss der Beschwerdeführer sämtliche rechtserheblichen Einwände bereits vor der Vorinstanz vorbringen und darf sie nicht erst nach dem Ergehen eines ungünstigen Entscheids im anschliessenden Rechtsmittelverfahren erheben (vgl. <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2). Auch darf er vor Bundesgericht keine neuen Tatsachen vorbringen (<ref-law>, dazu vorne E. 1.4). Das Obergericht äusserte sich im vorliegenden Zusammenhang nicht zur Fragepflicht der Erstinstanz. Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, er habe seine Rüge auch im vorinstanzlichen Verfahren vorgebracht oder das Obergericht habe seine entsprechende Eingabe unbeachtet gelassen. Damit legt er entgegen der ihn auch insoweit treffenden Begründungspflicht (vgl. vorne E. 1.3) nicht dar, dass die Voraussetzungen gegeben sind, damit das Bundesgericht auf sein Vorbringen eingehen könnte.
Nach dem Ausgeführten erweist sich die Beschwerde hinsichtlich der Anrechnung früherer Zahlungen an die Unterhaltspflicht als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist.
10.
Zusammenfassend ist die Berechnung des Ehegatten- und Kindesunterhalts durch das Obergericht unter Verfassungsgesichtspunkten nicht zu beanstanden.
11.
Soweit auf sie einzutreten ist, erweist sich die Beschwerde damit insgesamt als unbegründet und ist abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Kosten dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>) und hat dieser der Beschwerdegegnerin die Parteikosten zu ersetzen (<ref-law>). Die Entschädigung ist direkt an deren Rechtsvertreter auszurichten. Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren (<ref-law>) wird gegenstandslos und ist abzuschreiben.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'500.-- zu entschädigen. Die Entschädigung ist direkt ihrem Rechtsvertreter Gino Keller auszurichten.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Zivilgericht, 5. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Dezember 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber