Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1979) und B._ (geb. 1975) sind verheiratet und Eltern der Kinder C._ (geb. 2000), D._ (geb. 2005) und E._ (geb. 2008). Die Parteien leben seit dem 2. August 2016 getrennt.
Mit Eheschutzentscheid vom 22. Dezember 2016 regelte das Bezirksgericht Horgen das Getrenntleben der Ehegatten und hiess deren Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege gut.
B.
B._ focht den Entscheid beim Obergericht des Kantons Zürich an, soweit er ihn zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen für die Ehefrau und die drei gemeinsamen Kinder verpflichtete. A._ beantragte im Wesentlichen die Abweisung der Berufung sowie mit Eingabe vom 4. April 2017 die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren.
Mit Urteil vom 25. August 2017 legte das Obergericht die Unterhaltsbeiträge neu fest. Soweit vor Bundesgericht relevant, auferlegte es die Kosten des Berufungsverfahrens von Fr. 5'500.-- zu 70 % dem Ehemann und zu 30 % der Ehefrau. Letzterer wurde eine reduzierte Parteientschädigung zugesprochen. Mit Beschluss vom selben Tag wies das Obergericht die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren ab.
C. Mit Beschwerde vom 19. September 2017 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolge, der Beschluss des Obergerichts vom 25. August 2017 sei dahingehend abzuändern, dass ihr die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren gewährt werde. Für das bundesgerichtliche Verfahren stellt sie ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten eingeholt. Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist binnen Frist (<ref-law>) der Beschluss, mit dem das Obergericht das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren abgewiesen hat. Das Obergericht hat seinen Beschluss zusammen mit dem Endentscheid in der Sache gefällt (vgl. vorne Sachverhalt Bst. B). Die Beschwerde richtet sich damit gegen einen Endentscheid (vgl. Urteil 5A_202/2013 vom 12. Juni 2013 E. 1.2 mit Hinweisen). Allein der Umstand, dass das Obergericht nicht als Rechtsmittelinstanz im Sinne von <ref-law> entschieden hat, steht der Zulässigkeit der Beschwerde nicht entgegen (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 S. 144 mit Hinweisen).
1.2. In der Hauptsache stehen Eheschutzmassnahmen betreffend Ehegatten- und Kinderunterhaltsbeiträge in Frage (vgl. vorne Sachverhalt Bst. B), womit eine vermögensrechtliche Angelegenheit vorliegt. Der Streitwert von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG) ist erreicht (Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4 BGG) und die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Die Beschwerde gemäss <ref-law> ist damit gegen den Beschluss vom 25. August 2017 grundsätzlich zulässig. Auf formelle Einzelfragen wird im Sachzusammenhang zurückzukommen sein.
1.3. Der angefochtene Beschluss wurde dem Rechtsvertreter der Beschwerdeführerin am 30. August 2017 zugestellt. Die dreissigtägige Beschwerdefrist lief am 29. September 2017 ab (<ref-law>). Die Eingaben vom 11. Januar und 19. März 2018, mit welchen die Beschwerdeführerin neue Beweismittel einreicht, sind unbeachtlich, da eine Ergänzung der Beschwerde nach Ablauf der Beschwerdefrist nicht möglich ist.
2.
2.1. Soweit im Hauptverfahren - wie hier im Verfahren betreffend Eheschutzmassnahmen (<ref-ruling> E. 5 S. 396 f.) - die Beschwerdegründe gemäss <ref-law> auf die Geltendmachung verfassungsmässiger Rechte beschränkt wären, gilt diese Einschränkung der Prüfungsbefugnis auch im Beschwerdeverfahren gegen den Armenrechtsentscheid (Urteil 5A_174/2016 vom 26. Mai 2016 E. 1). Die Beschwerdeführerin kann somit nur rügen, dass der angefochtene Entscheid ihre verfassungsmässigen Rechte verletzt.
2.2. Für die Rüge der Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin muss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte in der Beschwerde präzise vorbringen und begründen. Im Schriftsatz ist im Einzelnen substanziiert darzulegen, worin die Verletzung besteht (<ref-ruling> E. 2.5 S. 210). Dies setzt voraus, dass sich die Beschwerde mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 579 mit Hinweis). Das Bundesgericht beurteilt nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen; auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (<ref-ruling> E. 2.4 S. 368 mit Hinweis). Sind die Anforderungen des Rügeprinzips erfüllt, so prüft das Bundesgericht frei, ob die angerufenen verfassungsmässigen Rechte verletzt sind (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 31 mit Hinweisen).
2.3. Sodann ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (<ref-law>). Eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt in Verfahren nach <ref-law> nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (<ref-ruling> E. 4.1 S. 588 f. mit Hinweisen).
2.4. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>). Neu im Sinne dieser Bestimmung sind Tatsachen und Beweismittel, die weder im vorangegangenen Verfahren vorgebracht noch von der Vorinstanz festgestellt worden sind (<ref-ruling> E. 3.3.1 S. 364). Echte Noven, das heisst Tatsachen, die erst nach dem Ergehen des angefochtenen Entscheids aufgetreten sind, sind unzulässig (<ref-ruling> E. 3.1.2 S. 123 mit Hinweis). Dasselbe gilt für Tatsachen, die nach dem Zeitpunkt eingetreten sind, in welchem zuletzt Noven vor der Vorinstanz vorgebracht werden konnten (Urteil 5A_524/2017 vom 9. Oktober 2017 E. 2.3 mit Hinweis). In der Beschwerde ist darzutun, inwiefern die Voraussetzungen für eine nachträgliche Einreichung von Tatsachen und Beweismitteln erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 3 S. 346).
Die Beschwerdeführerin beruft sich in ihrer Beschwerde darauf, am 19. August 2017 noch einmal Mutter eines Sohnes geworden zu sein. Mit Verfügung vom 26. Juli 2017 teilte die Vorinstanz den Parteien mit, dass das Verfahren spruchreif und in die Phase der Urteilsberatung übergegangen sei. Ab diesem Zeitpunkt konnten Noven im Berufungsverfahren nicht mehr vorgebracht werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.6 S. 418 f.), weshalb die Geburt des vierten Kindes der Beschwerdeführerin bei der Beurteilung der vorliegenden Beschwerde unberücksichtigt zu bleiben hat.
3.
3.1. Was die unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren angeht, dreht sich der Streit um die Frage, ob die Beschwerdeführerin über die erforderlichen Mittel verfügt, um ihre Prozesskosten zu bestreiten. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zu <ref-law> gilt eine Person als bedürftig, wenn sie die Kosten eines Prozesses nicht aufzubringen vermag, ohne jene Mittel anzugreifen, die für die Deckung des eigenen notwendigen Lebensunterhalts und desjenigen ihrer Familie erforderlich sind (<ref-ruling> E. 4.1 S. 371 mit Hinweisen). Prozessarmut ist mithin gegeben, wenn die betreffende Person nicht über die notwendigen Mittel (Einkommen und Vermögen) verfügt, um ohne erhebliche Beeinträchtigung ihrer Existenz für die Prozesskosten aufzukommen (vgl. Urteil 5D_79/2015 vom 15. September 2015 E. 2.1). Die unentgeltliche Rechtspflege kann demgegenüber verweigert werden, wenn der monatliche Einkommensüberschuss es der gesuchstellenden Partei ermöglicht, die Prozesskosten bei weniger aufwendigen Prozessen binnen eines Jahres und bei anderen binnen zweier Jahre zu tilgen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 372 mit Hinweis).
3.2. Die Bedürftigkeit ist grundsätzlich anhand der wirtschaftlichen Situation der gesuchstellenden Partei im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu beurteilen (Urteil 5D_79/2015 vom 15. September 2015 E. 2.2 mit Hinweis). Es obliegt grundsätzlich der Gesuchstellerin, sowohl ihre Einkommens- und Vermögensverhältnisse als auch alle ihre finanziellen Verpflichtungen vollständig anzugeben und soweit möglich zu belegen. Diesbezüglich trifft sie eine umfassende Mitwirkungspflicht. Die mit dem Gesuch befasste Behörde ist weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen (Urteil 5A_62/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 5.3, nicht publ. in <ref-ruling>). Sie muss den Sachverhalt nur dort (weiter) abklären, wo noch Unsicherheiten und Unklarheiten bestehen, sei es, dass sie von einer Partei auf solche - wirkliche oder vermeintliche - Fehler hingewiesen wird, sei es, dass sie solche selbst feststellt (Urteil 5A_380/2015 vom 1. Juli 2015 E. 3.2.2 mit Hinweisen, in: SJ 2016 I S. 128).
3.3. Das Bundesgericht prüft in rechtlicher Hinsicht frei, ob die Kriterien zur Bestimmung der Bedürftigkeit im Sinne von <ref-law> zutreffend gewählt worden sind. Soweit es um tatsächliche Feststellungen der kantonalen Instanz geht, ist seine Prüfungsbefugnis auf Willkür beschränkt (<ref-ruling> E. 2.3 S. 14 mit Hinweis; zum Begriff der Willkür vgl. <ref-ruling> E. 4.4 S. 444 mit Hinweisen).
4.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law>.
4.1. Die Vorinstanz legte ihrer Bedürftigkeitsrechnung Einkünfte von Fr. 6'565.-- (Fr. 775.-- [Einkommen Beschwerdeführerin] + Fr. 450.-- [Kinderzulagen] + Fr. 4'595.-- [Unterhaltsbeiträge Kinder; davon Fr. 1'910.-- Betreuungsunterhalt E._] + Fr. 445.-- [Unterhaltsbeitrag Beschwerdeführerin] + Fr. 300.-- [Beitrag C._]) sowie Auslagen von Fr. 5'530.-- (Fr. 1'200.-- [Grundbetrag Beschwerdeführerin] + Fr. 600.-- [Grundbetrag C._] + Fr. 600.-- [Grundbetrag D._] + Fr. 400.-- [Grundbetrag E._] + Fr. 1'850.-- [Mietzins; davon Fr. 923.-- Anteil Beschwerdeführerin] + Fr. 433.-- [Krankenkasse Beschwerdeführerin] + Fr. 272.-- [Krankenkasse Kinder] + Fr. 26.-- [Hausrat-/Haftpflichtversicherung] + Fr. 106.-- [Kommunikation; davon Fr. 66.-- Anteil Beschwerdeführerin] + Fr. 43.-- [Zahnpflegeversicherung]) zugrunde. Sie verweigerte der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege mit der Begründung, dass sie für die Zeit ab dem 1. April 2017 über einen monatlichen Überschuss von Fr. 1'035.-- (Fr. 6'565.-- [Einkünfte] - Fr. 5'530.-- [Auslagen]) verfüge, welcher es ihr (selbst unter Berücksichtigung allfälliger Steuern) ermöglichen sollte, die Prozesskosten des Berufungsverfahrens innert eines Jahres zu tilgen. Die anwaltlichen Kosten dürften überschaubar bleiben, nachdem die Mandatsführung diesbezüglich weder aufwendig noch besonders anspruchsvoll gewesen sei. Eine effektive Abzahlung von Schulden habe die Beschwerdeführerin nicht belegt, weshalb keine solchen in ihrem Bedarf berücksichtigt worden seien.
4.2. Soweit die Beschwerdeführerin der Vorinstanz zusammenfassend "sowohl in faktischer als auch in rechtlicher Hinsicht" Willkür vorwirft, ist ihre Rüge nicht genügend substanziiert. Die blosse Behauptung, die Vorinstanz habe willkürlich gehandelt, genügt nicht (vgl. vorstehend E. 2.2). Auf die Rüge wird deshalb nicht eingetreten. Dasselbe gilt, wo die Beschwerdeführerin behauptet, ihr werde der Zugang zum Gericht verweigert.
4.3. Im Einzelnen beanstandet die Beschwerdeführerin, für die Beurteilung der Prozessarmut sei nicht auf den richtigen Zeitpunkt abgestellt worden.
4.3.1. Sie stellt sich auf den Standpunkt, die Vorinstanz hätte ihre Berechnung nicht ausschliesslich für die Phase ab dem 1. April 2017 vornehmen dürfen, sondern eine Gesamtbetrachtung seit der Trennung im August 2016 durchführen müssen. Inwiefern das Vorgehen der Vorinstanz <ref-law> verletzt haben soll, legt die Beschwerdeführerin indessen nicht dar. Wie bereits ausgeführt (vgl. vorstehend E. 3.2), ist für die Beurteilung der Bedürftigkeit auf den Zeitpunkt der Gesuchseinreichung abzustellen. Die Beschwerdeführerin macht keine Umstände geltend, welche ein Abweichen von diesem Grundsatz gebieten würden.
4.3.2. Soweit die Beschwerdeführerin zudem moniert, die Vorinstanz hätte ihre finanzielle Situation nicht gestützt auf die Verhältnisse im Urteilszeitpunkt beurteilen dürfen, geht ihre Rüge ebenfalls fehl. Im angefochtenen Beschluss werden die Bedarfs- und Einkommenszahlen aufgeführt, welche für die Zeit ab dem 1. April 2017 ermittelt wurden. Die Beschwerdeführerin legt nicht dar, woraus sich ergeben soll, dass die Vorinstanz auf die Verhältnisse im Urteilszeitpunkt (25. August 2017) statt auf jene im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung (4. April 2017) abgestellt hätte.
4.4. Weiter wirft die Beschwerdeführerin der Vorinstanz vor, ihre Einkünfte fehlerhaft beurteilt zu haben.
4.4.1. In diesem Zusammenhang rügt sie zunächst, die Vorinstanz habe in ihrem Einkommen zu Unrecht die Kinderunterhaltsbeiträge berücksichtigt. Die Vorinstanz hat zum Einkommen der Beschwerdeführerin die Kinderzulagen und Unterhaltsbeiträge der Kinder sowie den Beitrag der ältesten Tochter hinzugerechnet. Streitig ist somit, ob die Vorinstanz die richtige Berechnungsmethode angewendet hat. Dies ist eine Rechtsfrage, die bei gegebener Rüge der freien Prüfung unterliegt (vgl. vorstehend E. 3.3; Urteil 5C.38/2007 vom 28. Juni 2007 E. 2.8 mit Hinweis).
4.4.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung darf bei der Abklärung der Bedürftigkeit eines obhutsberechtigten Elternteils im Zusammenhang mit der Behandlung seines Gesuchs um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege - ausser in wenigen Ausnahmefällen - nur sein eigenes Einkommen berücksichtigt werden. Das hat zur Folge, dass die Kinderunterhaltsbeiträge, abgesehen von einem angemessenen Beitrag an die Familienunterhaltskosten, ausser Acht zu bleiben haben, in der Notbedarfsrechnung aber auch die Kinderzuschläge wegzulassen sind. Dies gilt auch dort, wo infolge der guten wirtschaftlichen Verhältnisse des Unterhaltspflichtigen höhere als die üblichen Kinderalimente geleistet werden, welche über die erweiterten Bedürfnisse hinausgehen, da die Überschüsse grundsätzlich für den allfälligen Eintritt ausserordentlicher Umstände zugunsten der Kinder zurückgelegt werden müssen. Ausnahmen hierzu sind allenfalls denkbar, wenn die Kinderunterhaltsbeiträge das übliche Mass bei weitem übersteigen (<ref-ruling> E. 3b und c S. 328 f.; vgl. auch <ref-ruling> E. 2.3 S. 39 mit Hinweis).
4.4.3. Die Vorinstanz hat für die Zeit ab dem 1. April 2017 den Barbedarf von C._ mit Fr. 755.-- beziffert, jenen von D._ mit Fr. 780.-- und jenen von E._ mit Fr. 555.--. Sie hat C._ einen Unterhaltsbeitrag von Fr. 950.-- zugesprochen, D._ einen solchen von Fr. 980.-- und E._ einen solchen von Fr. 2'665.-- (davon Fr. 1'910.-- Betreuungsunterhalt). Dabei hat sie den Kindern einen Überschussanteil von je Fr. 197.-- zukommen lassen. Dass die Kinderalimente das übliche Mass bei weitem übersteigen, kann angesichts der festgestellten Bedarfszahlen nicht gesagt werden. Dem Einkommen der Beschwerdeführerin ist somit lediglich der für den Betreuungsunterhalt von E._ bestimmte Betrag anzurechnen, da dieser zwar rechtlich einen Anspruch des Kindes darstellt, wirtschaftlich aber dem betreuenden Elternteil zukommen soll (vgl. Botschaft zu einer Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Kindesunterhalt], BBl 2014 554 und 556 Ziff. 1.5.2). Die übrigen Kinderunterhaltsbeiträge sowie die Kinderzulagen sind für die Bedürftigkeitsprüfung aus den Einkünften der Beschwerdeführerin auszuklammern.
4.4.4. Die Beschwerdeführerin führt noch aus, ihr Ehemann sei seiner Unterhaltspflicht nur unvollständig nachgekommen. Sinngemäss rügt sie damit, im Zeitpunkt März bis Anfang Mai 2017 seien ihr der Betreuungs- und der Ehegattenunterhalt nicht vollständig ausbezahlt worden; die gegenteilige vorinstanzliche Beurteilung sei im Ergebnis willkürlich. Inwiefern Willkür gegeben sein soll, legt die Beschwerdeführerin indes nicht dar. Sie verweist zwar mit Bezug auf die ungenügenden Zahlungen konkret auf die kantonalen Akten. Hier rügt sie jedoch nicht, die Vorinstanz habe die genannten Aktenstücke nicht bzw. falsch gewürdigt. Ihre appellatorische Kritik ist damit unzulässig (vgl. vorstehend E. 3.3). Soweit sie aus den unvollständigen Unterhaltszahlungen und dem Akkordlohn des Ehemannes ableitet, die Vorinstanz hätte die künftige vollständige Bezahlung der Unterhaltsbeiträge nicht als gegebene Tatsache voraussetzen dürfen, ist sie mit ihrer Rüge ebenfalls nicht zu hören, da sie hier Willkür nicht einmal behauptet.
4.4.5. Somit sind der Beschwerdeführerin im Rahmen der Bedürftigkeitsprüfung Einkünfte von insgesamt Fr. 3'130.-- (Fr. 775.-- [Einkommen] + Fr. 1'910.-- [Betreuungsunterhalt E._] + Fr. 445.-- [Ehegattenunterhalt]) anzurechnen. Der Beitrag von C._ (Fr. 300.--) wird nicht berücksichtigt, da er der Deckung des Bedarfs der Tochter dient.
4.5. Die Beschwerdeführerin beanstandet überdies den Bedarf, wie ihn die Vorinstanz für sie berechnet hat.
4.5.1. Zunächst stösst sie sich an der Feststellung der Vorinstanz, die effektive Abzahlung von Schulden sei nicht belegt worden. Die Beschwerdeführerin beruft sich darauf, die Zahlungsrückstände für die Wohnungsmiete seien aktenkundig gemacht worden (act. 36/11), was nichts mit der Abzahlung von Schulden zu tun habe. Sie rügt indessen nicht, die vorinstanzliche Feststellung sei willkürlich, und zeigt auch keine Willkür auf. Insbesondere behauptet sie nicht, dass die konkrete Abzahlung der Zahlungsrückstände (etwa in monatlichen Raten) aktenkundig gemacht worden sei und die Vorinstanz sich ohne sachlichen Grund darüber hinweggesetzt hätte. Auf ihre appellatorische Kritik ist nicht einzutreten (vgl. vorstehend E. 3.3).
4.5.2. Überdies macht die Beschwerdeführerin geltend, deutlich weniger als den von der Vorinstanz errechneten Überschuss von Fr. 1'035.-- zur Verfügung zu haben, da die Steuern und Mobilitätskosten im Bedarf nicht aufgeführt worden seien. Es sei lediglich eine geringfügige Spesenentschädigung an denjenigen Tagen, an welchen sie erwerbstätig sei, berücksichtigt worden. Steuern seien nur dann aus der Bedarfsrechnung auszuklammern, wenn ein Mankofall vorliege, was für die Zeit ab April 2017 nicht der Fall sei.
4.5.3. Was die Mobilitätskosten anbelangt, nennt die Beschwerdeführerin weder deren Höhe, noch zeigt sie auf, dass sie diese im Berufungsverfahren ausgewiesen und belegt hätte (vgl. vorstehend E. 3.2). Ihrer Rüge ist deshalb in diesem Punkt kein Erfolg beschieden.
4.5.4. Laufende und verfallene Steuerschulden sind im Rahmen der Bedürftigkeitsprüfung zu berücksichtigen, sofern sie effektiv bezahlt werden (<ref-ruling> E. 5.2.1 S. 224). Die Beschwerdeführerin führt aus, einen - mittels Unterhaltsberechnungsprogramm errechneten - Steuerbetrag von Fr. 500.-- geltend gemacht zu haben, wobei ihr Ehemann einen solchen von Fr. 300.-- als korrekt anerkannt habe. Natürlich sei die Höhe der Steuern aber von der Höhe des letztendlich zugesprochenen Unterhaltsbeitrags abhängig. Wie die Beschwerdeführerin zutreffend vorbringt, konnte sie keine effektiv bezahlten (separat veranlagten) Steuern ausweisen, da sie bis anhin gemeinsam mit ihrem Ehemann besteuert wurde. Dies bedeutet aber nicht, dass keine Steuern in ihrem Bedarf zu berücksichtigen wären. Der Umstand, dass im Zeitpunkt der Gesuchstellung noch keine konkreten Steuerzahlen vorlagen, ist nicht gleichzusetzen mit der (selbst verschuldeten) Nichtbezahlung der Steuern.
4.5.5. Der von der Vorinstanz berechnete Bedarf von Fr. 2'691.-- (Fr. 1'200.-- [Grundbetrag] + Fr. 923.-- [Miete] + Fr. 433.-- [Krankenkasse] + Fr. 26.-- [Hausrat-/Haftpflichtversicherung] + Fr. 66.-- [Kommunikation] + Fr. 43.-- [Zahnpflegeversicherung]) ist somit um die mutmassliche Steuerlast der Beschwerdeführerin zu ergänzen. Die Auslagen für die Kinder bleiben hingegen unberücksichtigt (vgl. vorstehend E. 4.4.2).
4.6. Die Beschwerdeführerin macht geltend, der aus dem Abzug ihres Bedarfs von ihren Einkünften resultierende Überschuss reiche nicht aus, um die hohen Gerichtsgebühren und Anwaltskosten in vernünftiger Zeit zu decken.
4.6.1. In diesem Zusammenhang moniert sie die vorinstanzliche Erkenntnis, dass die anwaltlichen Kosten überschaubar bleiben dürften, da die Mandatsführung weder aufwendig noch besonders anspruchsvoll gewesen sei. Die Beschwerdeführerin argumentiert, allein die hohe Entscheidgebühr von Fr. 5'500.-- deute darauf hin, dass ihr Fall nicht besonders einfach sei. Zudem habe sie drei Eingaben machen und die Unterhaltsberechnungen auf der Basis des neuen Kindesunterhaltsrechts vollständig neu durchführen müssen.
4.6.2. Inwiefern das - ohne Verhandlung durchgeführte - Berufungsverfahren aufwendig oder besonders anspruchsvoll gewesen sein soll, vermag die Beschwerdeführerin damit nicht aufzuzeigen. Sie führt nicht weiter aus, weshalb die Höhe der Gerichtsgebühr eine besondere Schwierigkeit des Verfahrens indizieren soll. Diesbezüglich macht sie etwa nicht geltend, die Gebühr sprenge den üblichen, durch den Streitwert vorgegebenen Rahmen. Ebenso wenig ist ersichtlich, inwiefern allein das Inkrafttreten des neuen Kindesunterhaltsrechts (Änderung des Zivilgesetzbuches [Kindesunterhalt] vom 20. März 2015; AS 2015 4299 ff.) einen besonderen Aufwand hätte begründen sollen, wo doch lediglich neues Recht angewandt, nicht aber ein aufwendiges Beweisverfahren geführt werden musste. Weshalb die anwaltlichen Kosten sich nicht in einem überschaubaren Rahmen halten sollten, ist damit nicht erstellt.
4.6.3. Es ist somit vorliegend von einem weniger aufwendigen Prozess auszugehen, wobei für die Beurteilung der Mittellosigkeit massgebend ist, ob die Beschwerdeführerin die Verfahrenskosten innert eines Jahres hätte tilgen können oder nicht (vgl. vorstehend E. 3.1). Werden im Bedarf der Beschwerdeführerin Steuern in der Höhe von Fr. 500.-- berücksichtigt, resultiert kein Überschuss, sondern ein monatliches Manko von Fr. 61.-- (Fr. 3'130.-- [Einkünfte] - Fr. 3'191.-- [Bedarf = Fr. 2'691.-- + Fr. 500.--]). Diesfalls wäre die unentgeltliche Rechtspflege vollumfänglich zu gewähren. Werden hingegen Steuern im Betrag von Fr. 300.-- berücksichtigt, resultiert ein monatlicher Überschuss von Fr. 139.-- (Fr. 3'130.-- [Einkünfte] - Fr. 2'991.-- [Bedarf = Fr. 2'691.-- + Fr. 300.--]). Mit einem solchen könnten die auf die Beschwerdeführerin entfallenden Gerichtskosten des Berufungsverfahrens von Fr. 1'650.-- (30 % von Fr. 5'500.--) innerhalb eines Jahres getilgt werden (Fr. 139.-- x 12 = Fr. 1'668.--), nicht jedoch ihre Anwaltskosten. Es bestünde Anspruch auf teilweise unentgeltliche Rechtspflege, d.h. auf unentgeltlichen Rechtsbeistand, soweit das Honorar des Rechtsvertreters nicht bereits durch die der Beschwerdeführerin zugesprochene teilweise Parteientschädigung von Fr. 1'296.-- gedeckt ist.
4.6.4. Der angefochtene Beschluss äussert sich zur Höhe der (mutmasslichen) Steuern nicht. Die Vorinstanz wird festlegen müssen, welcher Betrag konkret in die Bedarfsrechnung einzusetzen ist. Da der Anspruch der Beschwerdeführerin auf unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren je nach Höhe der zu berücksichtigenden Steuerlast unterschiedlich zu beurteilen ist, kann das Bundesgericht in der Sache nicht selbst entscheiden. Der angefochtene Beschluss ist somit wegen Verletzung von <ref-law> aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen, damit sie die mutmassliche Steuerlast in den Bedarf der Beschwerdeführerin aufnehme und über ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Berufungsverfahren neu entscheide.
5.
Die Rückweisung der Sache zu erneuter Abklärung gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt und ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312). Es werden deshalb keine Gerichtskosten erhoben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Damit wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Ziff. 2 des Beschlusses des Obergerichts Zürich, I. Zivilkammer, vom 25. August 2017 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- (inkl. Auslagen und MWSt) zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Horgen, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller