Faits :
A.
A.a. A la suite d'un accident survenu le 10 août 1999, A._, née en 1978, mariée et mère de deux enfants, a présenté une demande de prestations de l'assurance-invalidité en janvier 2001. Cette demande a été rejetée par l'Office cantonal AI du Valais, par décision du 11 octobre 2002, au motif qu'au 1er août 2000, date de la survenance de l'invalidité de 100 %, l'assurée ne comptait pas une année au moins de cotisations, ni le même nombre d'années d'assurance que les personnes de sa classe d'âge. Saisi d'une nouvelle demande en juillet 2008, ledit office l'a rejetée (décision du 23 février 2009). En bref, il a considéré qu'aucun élément ne permettait d'admettre l'existence d'un nouveau cas d'assurance postérieurement à la première décision.
A.b. Au mois d'octobre 2014, A._, entre-temps domiciliée dans le canton du Jura, a déposé une troisième demande de prestations. Entre autres mesures d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) a diligenté une expertise pluridisciplinaire auprès du Centre d'Expertises Médicales (CEMed) de Nyon. Dans leur rapport du 27 septembre 2016, les docteurs B._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, ont posé les diagnostics ayant une répercussion sur la capacité de travail de status après traumatisme cranio-cérébral en 1999 avec dysarthrie, troubles de la marche et affaiblissement cognitif, ainsi que de polyarthrite rhumatoïde séropositive avec syndrome de Sjögren dès 2006. Ils ont indiqué qu'une incapacité de travail existait depuis le traumatisme cranio-cérébral de 1999 et ont conclu à une capacité de travail nulle dans toute activité depuis fin 2015 en raison de la polyarthrite rhumatoïde. Dans la mesure où l'atteinte rhumatismale n'était pas stabilisée, ni entièrement contrôlée, ils ont préconisé de réévaluer la capacité de travail de l'assurée et le résultat d'un éventuel traitement de fond dans les six mois. Dans un complément d'expertise rhumatologique du 19 février 2018, le docteur B._ a fait état d'une amélioration de la situation depuis mars 2017; il a conclu à une capacité de travail de l'ordre de 80 % dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles liées à la polyarthrite rhumatoïde, soit 100 % avec une diminution de rendement de 20 %. Par décision du 11 octobre 2018, l'administration a reconnu le droit de l'assurée à une rente entière d'invalidité du 1er décembre 2016 au 28 février 2017 (taux d'invalidité de 100 %), assortie de deux rentes pour enfant. Elle a considéré que la polyarthrite rhumatoïde séropositive constituait un nouveau cas d'assurance et qu'il s'agissait d'une atteinte à la santé qui avait empêché l'intéressée d'exercer toute activité entre le 1er décembre 2015 et le 1er mars 2017, date à laquelle elle avait recouvré une capacité de travail entière dans une activité adaptée, avec une diminution de rendement de 20 %.
B.
Le 15 novembre 2018, A._ a déféré la décision du 11 octobre 2018 devant le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances. Elle a également présenté une demande d'assistance judiciaire. A l'appui de son recours, l'assurée a produit les avis de ses médecins traitants, le docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 18 octobre 2018), ainsi que des docteurs E._, spécialiste en médecine interne générale et en rhumatologie, et F._, spécialiste en médecine interne générale (rapport du 29 novembre 2018, auquel sont joints deux rapports d'IRM des 14 et 16 novembre 2018). Statuant le 2 juillet 2020, la juridiction cantonale a rejeté le recours, ainsi que la demande d'assistance judiciaire.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre cet arrêt dont elle demande l'annulation. Elle conclut principalement à ce que l'office AI soit condamné à lui verser "les prestations légales découlant de la LAI". Subsidiairement, elle requiert le renvoi de la cause à la juridiction cantonale, respectivement à l'administration, pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. L'assurée conclut également à l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours.
L'office AI conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
L'assurée a déposé des observations le 18 février 2021.

Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il statue par ailleurs sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'en écarter doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut pas être pris en considération.
2.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF). L'avis du docteur F._ du 3 février 2021 et celui des docteurs G._ et H._, tous deux médecins au centre de rééducation de l'Hôpital I._, du 27 janvier 2021, produits par la recourante devant la Cour de céans sont des moyens de preuve postérieurs au prononcé du 2 juillet 2020 de l'arrêt entrepris, soit de véritables nova (<ref-ruling> consid. 3.1.2; <ref-ruling> consid. 2.1 et les arrêts cités). Ils ne sont dès lors pas admissibles.
3.
Les constatations de l'autorité cantonale de recours sur l'atteinte à la santé, la capacité de travail de la personne assurée et l'exigibilité - pour autant qu'elles ne soient pas fondées sur l'expérience générale de la vie - relèvent d'une question de fait et ne peuvent donc être contrôlées par le Tribunal fédéral que sous un angle restreint (<ref-ruling> consid. 3.2). On rappellera, en particulier, qu'il n'y a pas arbitraire du seul fait qu'une solution autre que celle de l'autorité cantonale semble concevable, voire préférable (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 6.1). Pour qu'une décision soit annulée pour cause d'arbitraire, il ne suffit pas que sa motivation soit insoutenable; il faut encore que cette décision soit arbitraire dans son résultat (<ref-ruling> consid. 3.4).
4.
4.1. Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité, dans le cadre d'une nouvelle demande de prestations déposée au mois d'octobre 2014. Il s'agit plus particulièrement de déterminer si la juridiction cantonale était en droit de se fonder sur les conclusions des experts du CEMed pour admettre que l'assurée avait recouvré une capacité de travail entière, avec diminution de rendement de 20 %, dans toute activité adaptée depuis mars 2017, avec pour conséquence qu'elle a nié son droit à une rente d'invalidité au-delà de cette date.
4.2. L'arrêt attaqué expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs, notamment, à la notion d'invalidité (art. 7 et 8 al. 1 LPGA en relation avec l'art. 4 al. 1 LAI) et à son évaluation (art. 16 LPGA et art. 28a LAI), ainsi qu'à la valeur probante des rapports médicaux (<ref-ruling> consid. 5.1; <ref-ruling> consid. 3) et à la libre appréciation des preuves (art. 61 let. c LPGA). Il suffit d'y renvoyer.
On rappellera par ailleurs que l'octroi, à titre rétroactif, d'une rente limitée dans le temps doit être examiné à la lumière des conditions de révision du droit à la rente (art. 17 LPGA; art. 88a RAI; <ref-ruling> consid. 5.3; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2d et les références). Dans ce contexte, une amélioration de la capacité de gain ou de la capacité d'accomplir les travaux habituels de l'assuré n'est déterminante pour la suppression de tout ou partie du droit aux prestations qu'à partir du moment où l'on peut s'attendre à ce que l'amélioration constatée se maintienne durant une assez longue période. Il en va de même lorsqu'un tel changement déterminant a duré trois mois déjà, sans interruption notable et sans qu'une complication prochaine soit à craindre (art. 88a al. 1 RAI).
5.
5.1. Dans un premier grief, la recourante se prévaut d'une violation du droit fédéral et critique l'appréciation des preuves et l'établissement des faits opérés par les premiers juges. Elle leur reproche en substance de s'être fondés sur les conclusions des experts du CEMed, dont elle remet en cause la valeur probante, et d'avoir considéré que l'avis du docteur D._ n'apportait aucun élément objectif permettant de remettre en cause les conclusions des experts, pour admettre qu'elle présentait un taux d'invalidité insuffisant pour maintenir son droit à une rente entière de l'assurance-invalidité au-delà du 28 février 2017.
5.2. Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint (consid. 3 supra), il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle de l'autorité judiciaire de première instance serait manifestement inexacte voire incomplète, ou en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure.
5.3. S'agissant d'abord des critiques de la recourante en relation avec la valeur probante de l'expertise du CEMed, l'intéressée soutient que les experts n'auraient pas tenu compte de l'interaction entre les atteintes consécutives à l'accident de 1999, notamment l'affaiblissement cognitif et les différents diagnostics psychiatriques, et son état de santé actuel. Ces critiques ne sont pas fondées. Dans la mesure où l'accident est survenu à une époque où la recourante n'était pas assurée à l'assurance-invalidité, celle-ci n'a pas à prendre en charge les séquelles du traumatisme cranio-cérébral et des troubles post-traumatiques occasionnés par cet accident. Selon la jurisprudence, dûment rappelée par les premiers juges, lorsqu'une première demande de prestations a été rejetée au motif que l'assuré ne remplissait pas les conditions d'assurance, la survenance d'une atteinte à la santé totalement différente de celle qui prévalait au moment du rejet de la première demande et propre, par sa nature et sa gravité, à causer une incapacité de travail de 40 % au moins en moyenne sur une année, est nécessaire. Ce n'est qu'en l'absence de connexité matérielle avec la situation de fait prévalant au moment du refus de la première demande de prestations que la nouvelle atteinte à la santé a pour effet de créer un nouveau cas d'assurance, susceptible d'ouvrir le droit à des prestations de l'assurance-invalidité (<ref-ruling> consid. 3.1 et les références; arrêt 9C_36/2015 du 29 avril 2015 consid. 5.1).
En l'espèce, quoi qu'en dise la recourante, l'expertise diligentée auprès du CEMed en 2016 avait précisément pour but de déterminer ses limitations fonctionnelles et sa capacité de travail en relation avec la polyarthrite rhumatoïde apparue bien après l'accident de 1999, sans tenir compte des séquelles de celui-ci (cf. rapport du Service médical régional de l'assurance-invalidité [SMR] du 12 janvier 2016). Pour cette raison déjà, c'est en vain qu'elle affirme que les experts seraient les seuls à ne pas reconnaître l'importance des troubles cognitifs qu'elle présente depuis plus de 20 ans et qu'ils auraient dû procéder à une réévaluation de ses atteintes neuropsychologiques, pour en déduire que les premiers juges ne pouvaient pas accorder une pleine valeur probante à leurs conclusions.
5.4. Mise à part ensuite la référence à des divergences d'opinion entre le docteur D._ et les experts du CEMed, ainsi que la simple affirmation que la juridiction cantonale ne pouvait pas considérer que le premier n'avait fait qu'opposer son appréciation à celle des seconds, la recourante ne fait pas état d'éléments cliniques ou diagnostiques concrets et objectifs susceptibles de mettre en cause les conclusions suivies par les premiers juges, ni de motifs propres à établir le caractère arbitraire de leur appréciation. La juridiction de première instance a en effet apprécié de manière complète les rapports du docteur D._ et dûment indiqué les motifs pour lesquels elle a accordé une pleine valeur probante aux conclusions des experts du CEMed, ainsi que les raisons pour lesquelles elle a considéré que l'avis du premier ne suffisait pas pour remettre en cause les conclusions des seconds. A cet égard, quoi qu'en dise l'assurée, le diagnostic de modification de la personnalité après une expérience de catastrophe (F62.0) retenu par le docteur D._, notamment dans son rapport du 18 octobre 2018, a été pris en considération. En outre, les premiers juges ont expliqué que ce diagnostic ne pouvait pas fonder un droit à des prestations de l'assurance-invalidité dès lors qu'il trouvait sa cause dans un événement survenu à une époque où l'assurée ne remplissait pas les conditions d'assurance.
5.5. Quant à l'argumentation de la recourante selon laquelle les imageries réalisées en novembre 2018 auraient mis en évidence des lésions somatiques inconnues des experts, elle n'est pas non plus fondée. Comme l'ont expliqué de manière convaincante les premiers juges, le rapport des docteurs E._ et F._ du 29 novembre 2018, et les rapports d'IRM qui y sont joints, mettent en évidence des lésions rachidiennes au niveau cervical et lombaire, soit des lésions qui ne sont pas liées à l'état de fait litigieux. Dans la mesure où ces examens ont eu lieu postérieurement à la période temporelle circonscrivant l'état de fait déterminant pour l'arrêt du 2 juillet 2020 (laquelle s'étendait jusqu'à la date de la décision de l'office AI, rendue le 11 octobre 2018; cf. <ref-ruling> consid. 3.1.1 et les références), les conclusions qu'en ont tirées les médecins traitants de l'assurée n'avaient dès lors pas à être prises en considération par la juridiction cantonale. A la suite de celle-ci, on constate au demeurant que les docteurs E._ et F._ n'ont pas attesté d'incapacité de travail en relation avec les lésions rachidiennes qu'ils ont décrites.
5.6. Pour le surplus, la recourante ne conteste pas les constatations des premiers juges, fondées sur les conclusions de l'expert B._, selon lesquelles son état de santé rhumatologique s'était amélioré depuis mars 2017. Elle ne s'en prend pas non plus au calcul de la perte économique qu'elle subit depuis lors (20 %).
5.7. Compte tenu de ce qui précède, il n'y a pas lieu de s'écarter des constatations de la juridiction cantonale quant au recouvrement d'une pleine capacité de travail sur le plan somatique, avec diminution de rendement de 20 %, dans toute activité adaptée depuis mars 2017. En revanche, en fixant à cette date-là la suppression de la rente, la juridiction cantonale a manqué d'appliquer la règle prévue par l'art. 88a al. 1 RAI, comme du reste l'office intimé avant elle. Conformément à cette disposition, ce n'est qu'au terme d'une période de trois mois que l'amélioration de l'état de santé et donc de la capacité de gain de l'assuré, conduit à une modification du droit à la rente. La suppression du droit à la rente entière de l'assurée ne peut donc intervenir qu'à compter du 31 mai 2017. Dans cette mesure, le recours doit être admis.
6.
6.1. Dans un second grief, la recourante s'en prend au refus des premiers juges de lui accorder l'assistance judiciaire pour la procédure de recours cantonale. Elle leur reproche en substance de n'avoir pas tenu compte, dans la détermination des charges du ménage, d'un montant de 1'200 fr. versé mensuellement par son époux pour les enfants issus d'un précédent mariage, avec pour conséquence qu'ils ont nié que la condition d'indigence fût remplie.
6.2. En matière d'assurance sociale, le droit à l'assistance judiciaire en procédure cantonale est prévu par l'art. 61 let. f LPGA. Les conditions d'octroi en sont réalisées si le requérant est indigent, l'assistance d'un avocat est nécessaire ou du moins indiquée et les conclusions du recours ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec (<ref-ruling> consid. 2.3.1; <ref-ruling> consid. 2.5; <ref-ruling> consid. 4a et les références). La condition de l'indigence est réalisée si la personne concernée ne peut assumer les frais du procès sans entamer les moyens nécessaires à son entretien et à celui de sa famille (ATF <ref-ruling> consid. 2.5.1; <ref-ruling> consid. 3b et les arrêts cités; arrêt 1B_389/2015 du 7 janvier 2016 consid. 5.3). Pour déterminer l'indigence, il y a lieu de tenir compte de la situation financière du requérant dans son ensemble, soit d'une part de ses charges et, d'autre part, de ses ressources effectives ainsi que de sa fortune (arrêt 9C_859/2008 du 15 décembre 2008 consid. 3.1), étant précisé qu'en cas de mariage, sont pris en considération les revenus et la fortune du conjoint (<ref-ruling> consid. 3a; <ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> et les références). En particulier, les contributions d'entretien versées par le requérant (ou son conjoint) en raison d'une obligation légale à des personnes ne vivant pas sous son toit doivent être prises en compte pour apprécier si la condition de l'indigence est remplie (arrêt 2C_274/2020 du 14 mai 2020 consid. 3.4 et 4.3 et les références; arrêt 5A_27/2010 du 15 avril 2010 consid. 3.3; cf. aussi Circulaire n° 14 du 30 septembre 2015 relative à l'octroi de l'assistance judiciaire et à la défense d'office du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, ch. 13 et 31).
En l'espèce, on constate que le calcul de l'indigence auquel a procédé la juridiction cantonale ne comprend apparemment pas les pensions alimentaires dues par l'époux de la recourante pour les enfants qu'il a eus d'un précédent mariage et que celle-ci a mentionnées à titre de charges du couple dans sa requête d'assistance judiciaire. L'autorité cantonale de recours n'a pas non plus indiqué d'éventuels motifs pour lesquels le montant en question ne devait pas être retenu. En conséquence, la cause doit lui être renvoyée afin qu'elle se prononce à nouveau sur la demande d'assistance judiciaire au regard des principes exposés ci-avant. Le recours est bien fondé sur ce point.
7.
Vu l'issue de la procédure, les frais judiciaires y afférents doivent être répartis entre la recourante, qui obtient partiellement gain de cause, et l'intimé (art. 66 al. 1 LTF). La recourante a droit à une indemnité de dépens réduite (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, du 2 juillet 2020 est annulé et la décision de l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura du 11 octobre 2018 est réformée en ce sens que la recourante a droit à une rente entière de l'assurance-invalidité du 1er décembre 2016 au 31 mai 2017, assortie de deux rentes pour enfant.
2.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, pour qu'il statue à nouveau sur les frais et les dépens de la procédure antérieure, ainsi que sur la demande d'assistance judiciaire de la recourante. Le recours est rejeté pour le surplus.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante pour trois quarts, soit 600 fr., et à la charge de l'intimé pour un quart, soit 200 fr.
4.
L'intimé versera à la recourante la somme de 1'000 fr. à titre de dépens réduits pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 16 juin 2021
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Parrino
La Greffière : Perrenoud