Sachverhalt:
A.
A.a. Der 2009 geborene C._ besuchte seit dem Schuljahr 2015/2016 die Primarschule B._ in Basel. Mit Schreiben vom 5. Januar 2016 sprach der Schulpsychologische Dienst für C._ eine Empfehlung für das Förderangebot für Hochbegabte (Pull-Out) aus. Am 8. Januar 2016 teilte die Schulleitung der Mutter von C._, A._, mit, dass ihr Sohn mangels freier Plätze erst ab dem zweiten Schuljahr an diesem Programm teilnehmen könne. Die Schulleitung zog die Anmeldung für das Pull-Out Angebot jedoch zurück, nachdem C._ auf Verlangen seiner Mutter das Überspringen der zweiten Klasse bewilligt worden war.
A.b. Im Januar 2017 beantragte A._ erneut die Teilnahme ihres Sohns an einem Pull-Out Angebot. Nachdem sich die Schulleitung geweigert hatte, mittels Verfügung über den Antrag zu entscheiden, erhob A._ am 27. März 2017 Rekurs an das Erziehungsdepartement des Kantons Basel-Stadt, mit dem sie eine Rechtsverweigerung geltend machte. Im Sinne vorsorglicher Massnahmen beantragte sie zudem, ihren Sohn sofort für die Teilnahme an einem Pool-Out Angebot anzumelden und ihm unter der Voraussetzung eines freien Platzes die Teilnahme zu bewilligen.
Mit Verfügung vom 5. April 2017 lehnte die Schulleitung den Antrag auf Teilnahme von C._ am Pull-Out Angebot ab.
A.c. Gegen die Verfügung der Schulleitung erhob A._ am 13. April 2017 Rekurs an das Erziehungsdepartement. Mit Zwischenentscheid vom 7. Juni 2017 wies dieses das im Rahmen des Rechtsverweigerungsrekurses eingereichte Gesuch um Anordnung vorsorglicher Massnahmen ab. Einen dagegen erhobenen Rekurs wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht (nachfolgend: Verwaltungsgericht), mit Urteil vom 1. November 2017 ab. Auf eine dagegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 2C_1041/2017 vom 11. Dezember 2017).
Mit Entscheid vom 17. August 2017 wies das Erziehungsdepartement den Rekurs gegen die Verfügung der Schulleitung vom 5. April 2017 in der Hauptsache ab.
B.
Gegen den Entscheid des Erziehungsdepartements vom 17. August 2017 reichte A._ am 31. August 2017 Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Basel-Stadt ein. Am 27. November 2017 überwies das Präsidialdepartement den Rekurs dem Verwaltungsgericht zum Entscheid. Mit Urteil vom 30. Mai 2018 trat das Verwaltungsgericht auf das Rechtsmittel nicht ein.
C.
Mit Eingabe vom 12. Juli 2018 reicht A._ sinngemäss Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein und beantragt, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 30. Mai 2018 sei aufzuheben und die Vorinstanz sei anzuweisen, auf den Rekurs einzutreten. Eventualiter seien die Kosten neu zu verteilen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt sie, es sei die Teilnahme ihres Sohnes am Pull-Out Angebot im Schuljahr 2018/2019 vorsorglich anzuordnen.
Das Verwaltungsgericht und das Erziehungsdepartement schliessen in ihren Vernehmlassungen auf Abweisung der Beschwerde. Der Regierungsrat und die Schulleitung der Primarschule B._ verzichten auf Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 23. August 2018 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts das Gesuch der Beschwerdeführerin um vorsorgliche Massnahmen abgewiesen.
Mit Replik vom 24. Oktober 2018 hat sich die Beschwerdeführerin zur Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (<ref-law>). Die Ausnahme gemäss Art. 83 lit. t BGG greift nicht, da es vorliegend nicht um eine Fähigkeitsbewertung geht, sondern um den Anspruch auf einen den Fähigkeiten angepassten Unterricht (Urteile 2C_10/2016 vom 18. Juli 2016 E. 1.1; 2C_249/2014 vom 27. März 2015 E. 1.1; 2C_971/2011 vom 13. April 2012 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Die Beschwerdeführerin, die am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat und mit ihren Anträgen unterlegen ist, hat ein berechtigtes Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Urteils durch das Bundesgericht (<ref-law>). Auf die im übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist daher einzutreten (Art. 100 Abs. 1 und Art. 42 BGG).
1.2. Vor Bundesgericht kann der Streitgegenstand gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren weder geändert noch erweitert werden (<ref-law>). Ficht die beschwerdeführende Partei einen Nichteintretensentscheid oder einen Rechtsmittelentscheid an, der einen solchen bestätigt, haben sich ihre Rechtsbegehren und deren Begründung zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten bzw. zur Bestätigung des Nichteintretens geführt haben (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in einem solchen Fall nur, ob die betreffende Instanz zu Recht auf das Rechtsmittel nicht eingetreten ist. Ist dies zu bejahen, entscheidet es reformatorisch und bestätigt den Nichteintretensentscheid. Andernfalls urteilt es kassatorisch, weist die Sache an die Vorinstanz zurück und sieht von einer Beurteilung in der Sache selbst ab (Urteil 2C_694/2017 vom 13. Februar 2018 E. 1.2).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und verfügt über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2 S. 149).
2.2. Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 372). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
3.
Die Beschwerdeführerin ist der Auffassung, die Vorinstanz habe zu Unrecht das Vorliegen eines Rechtsschutzinteresses verneint und dadurch die Rechtsweggarantie (<ref-law>) sowie ihren Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) verletzt. Sie stellt sich im Wesentlichen auf den Standpunkt, es genüge, wenn das Rechtsschutzinteresse im Zeitpunkt des Verfügungserlasses vorliege. Zudem macht sie in diesem Zusammenhang eine "fehlerhafte Anwendung des Schulgesetzes" geltend. Zur Begründung führt sie aus, der Begriff "Regelschule" nach § 63 Abs. 1 [recte: § 63b Abs. 1] des Schulgesetzes vom 4. April 1929 des Kantons Basel-Stadt (Schulgesetz/BS; SG 410.100) sei nicht gleich lautend mit jenem der "staatlichen Schule" im Sinne von § 2 Schulgesetz/BS. Daraus schliesst sie, dass eine Teilnahme ihres Sohnes am Pull-Out Programm auch möglich wäre, wenn er nicht die staatliche Schule besucht. Ferner sei es nicht klar, unter welche Bestimmung des Schulgesetzes das Pull-Out Programm falle. Eine willkürliche Anwendung des kantonalen Verfahrensrechts auf Gesetzesstufe macht sie hingegen nicht geltend.
3.1. Gemäss <ref-law> hat jede Person bei Rechtsstreitigkeiten, von hier nicht massgebenden Ausnahmen abgesehen, Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Garantiert wird der effektive Zugang zum Gericht. Die Rechtsweggarantie besteht jedoch nur im Rahmen der jeweils geltenden Prozessordnung und verbietet es nicht, das Eintreten auf einen formellen Rechtsbehelf von der Einhaltung der üblichen Sachurteilsvoraussetzungen abhängig zu machen (<ref-ruling> E. 4.2 S. 411; <ref-ruling> E. 4.3 S. 328; Urteile 2C_1038/2017 vom 18. Juli 2018 E. 4.2; 2C_703/2009 und 2C_22/2010 vom 21. September 2010 E. 4.4.2). Der Anspruch auf effektiven Zugang zum Gericht wird jedoch verletzt, wenn das anwendbare Verfahrensrecht den Zugang durch ungerechtfertigte Sachurteilsvoraussetzungen versperrt, was unter Umständen auch auf das hier fragliche Erfordernis eines aktuellen Rechtsschutzinteresses zutreffen könnte (vgl. Urteil 2C_599/2010 vom 11. März 2011 E. 2.3).
Das rechtliche Gehör gemäss <ref-law> verlangt, dass die Behörde die Vorbringen der Parteien tatsächlich hört, prüft und in der Entscheidfindung berücksichtigt. Die Begründung muss deshalb zumindest kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich das Gericht hat leiten lassen und auf die es seinen Entscheid stützt. Dagegen wird nicht verlangt, dass sich die Begründung mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt (<ref-ruling> E. 3.2 S. 270; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236; je mit Hinweisen).
3.2. Aus <ref-law> ergibt sich zudem, dass die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen dürfen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist (<ref-ruling> E. 2.1.1 S. 164; <ref-ruling> E. 5 S. 149). Zur Beurteilung der Frage, ob die Vorinstanz die Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführerin zu Recht verneint hat, ist daher vorliegend die Beschwerdeberechtigung nach den Grundsätzen von <ref-law> zu prüfen (vgl. Urteil 2C_599/2010 vom 11. März 2011 E. 2.4).
3.3.
3.3.1. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung ist ein Interesse nur dann schutzwürdig, wenn der Beschwerdeführer noch im Zeitpunkt der Urteilsfällung ein aktuelles praktisches Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 276 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 1.1 S. 93 f.). Fehlt ein solches Interesse bereits bei Erhebung der Beschwerde, führt das zu einem Nichteintreten. Fällt das schutzwürdige Interesse an einer Beschwerde im Laufe des Verfahrens dahin, so wird die Sache als gegenstandslos erklärt. Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise auf das Erfordernis des aktuellen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 81; <ref-ruling> E. 1.2 S. 674; <ref-ruling> E. 1b S. 36; Urteil 2C_599/2010 vom 11. März 2011 E. 3.1).
3.3.2. Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass das kantonale Recht dieselben Anforderungen an die Beschwerdelegitimation stellt wie <ref-law>. So verlangt § 13 Abs. 1 des Gesetzes vom 14. Juni 1928 über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege des Kantons Basel-Stadt (VRPG/BS; SG 270.100) ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung der angefochtenen Verfügung. Gemäss den Ausführungen der Vorinstanz muss dieses Interesse aktuell sein. Dies sei dann der Fall, wenn die Anfechtung für den Rekurrenten sowohl beim Einreichen des Rekurses als auch im Zeitpunkt der Urteilsfällung eine praktische Bedeutung habe und die Gutheissung des Rechtsmittels ihm einen gegenwärtigen und praktischen Nutzen eintrage (vgl. E. 1.2.1 des angefochtenen Urteils). Auf das Erfordernis des aktuellen Rechtsschutzinteresses könne ausnahmsweise verzichtet werden, wenn sich die gerügte Rechtsverletzung jederzeit wiederholen könnte und eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung wegen der Dauer des Verfahrens kaum je möglich wäre (vgl. E. 1.2.3 des angefochtenen Urteils).
3.3.3. Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens war unbestrittenermassen die Teilnahme des Sohnes der Beschwerdeführerin am Pull-Out Programm für Hochbegabte für das Schuljahr 2016/2017 (vgl. E. 1.2.2 des angefochtenen Urteils). Die Vorinstanz verneinte das Vorliegen eines aktuellen Rechtsschutzinteresses der Beschwerdeführerin mit der Begründung, sie habe am 24. August 2017 - und somit am Tag der Zustellung des Entscheids des Erziehungsdepartements - erklärt, dass ihr Sohn die staatliche Schule nicht mehr besuchen werde (vgl. E. 1.2.2 des angefochtenen Urteils). Weil die betreffenden Pull-Out Angebote gemäss der kantonalen Schulgesetzgebung nur Schülern offen stünden, welche die staatliche Schule besuchten, sei eine Teilnahme des Sohnes der Beschwerdeführerin an einem solchen Programm selbst im Falle einer Gutheissung der Beschwerde nicht mehr möglich gewesen. Ergänzend führt das Verwaltungsgericht im bundesgerichtlichen Verfahren aus, das Schuljahr 2016/2017 sei im Zeitpunkt der Einreichung des Rekurses bereits beendet gewesen. Folglich hätte eine allfällige Gutheissung des Rekurses nur mittelbar für die Beschwerdeführerin und ihren Sohn von praktischem Nutzen sein können, nämlich dann, wenn die Beschwerdeführerin für das Schuljahr 2017/2018 einen Antrag auf Teilnahme ihres Sohns am Pull-Out Angebot gestellt hätte. Schliesslich kam die Vorinstanz im angefochtenen Urteil zum Schluss, eine rechtzeitige gerichtliche Überprüfung der Voraussetzungen eines Pull-Out Angebots wäre ohne Weiteres möglich gewesen, wenn die Beschwerdeführerin ihren Sohn nicht während des laufenden Verfahrens aus der staatlichen Schule genommen hätte. Folglich sah sie keinen Anlass, ausnahmsweise vom Erfordernis des aktuellen Rechtsschutzinteresses abzusehen (vgl. E. 1.2.2 und 1.2.3 des angefochtenen Urteils).
Die Ausführungen des Verwaltungsgerichts sind nicht zu beanstanden. Die Beschwerdeführerin bringt nichts vor, was geeignet wäre, diese Auffassung zu entkräften. Vielmehr schildert sie ihre eigene Sicht der Dinge, ohne substanziiert zu rügen, inwiefern die Vorinstanz Bundesrecht verletzt haben soll. Soweit sie die Anwendung des kantonalen Schulgesetzes durch die Vorinstanz beanstandet, vermag sie nicht substantiiert aufzuzeigen, inwiefern diese gegen Bundesrecht, namentlich gegen das Willkürverbot, verstösst. Folglich genügen ihre Ausführungen der qualifizierten Rügepflicht hinsichtlich der Verletzung von kantonalem Recht nicht (<ref-law>; vgl. E. 2.1 hiervor).
3.4. Im Ergebnis ist festzuhalten, dass die Vorinstanz zu Recht das Vorliegen eines aktuellen Rechtsschutzinteresses der Beschwerdeführerin verneint hat. Somit waren im vorinstanzlichen Verfahren nicht alle Sachurteilsvoraussetzungen erfüllt und die Beschwerdeführerin kann sich nicht mit Erfolg auf die Rechtsweggarantie (<ref-law>) berufen (vgl. E. 3.1 hiervor). Auch begründet die Vorinstanz ausreichend, weshalb das aktuelle Rechtsschutzinteresse bei Einreichung der Beschwerde sowie im Zeitpunkt der Urteilsfällung vorliegen muss, so dass auch keine Verletzung des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) vorliegt.
3.5. Die Beschwerdeführerin macht ferner Verletzungen von Art. 8 EMRK, 13 BV und 11 BV geltend. Zur Begründung führt sie lediglich aus, das Erfordernis des Vorliegens eines aktuellen Rechtsschutzinteresses im Urteilszeitpunkt zwinge praktisch ihren Sohn, solange die staatliche Schule zu besuchen, bis eine endgültige Entscheidung im Rechtsstreit getroffen wurde. Damit genügen ihre Ausführungen der qualifizierten Rüge- und Begründungspflicht hinsichtlich Verletzungen von Grundrechten nicht (vgl. E. 2.2 hiervor), so dass auf diese Rüge nicht weiter einzugehen ist.
4.
Die Beschwerdeführerin beanstandet schliesslich die Kostenverteilung durch die Vorinstanz. Dabei wirft sie dem Verwaltungsgericht im Wesentlichen eine willkürliche Beurteilung der Prozessaussichten vor. Dieses habe zentrale Argumente der Beschwerdeführerin, die für eine Gutheissung der Beschwerde gesprochen hätten, nicht in die Beurteilung einbezogen, sondern einzig die nachteiligen Aspekte berücksichtigt.
4.1. Ein Entscheid ist willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn er offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz klar verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 7.1 S. 51).
4.2. Für die Auferlegung der Gerichtskosten im vorinstanzlichen Verfahren ist das kantonale Recht massgebend. Gemäss den Ausführungen der Vorinstanz richten sich die Kosten im Fall eines Nichteintretensentscheids infolge Fehlens des aktuellen Rechtsschutzinteresses praxisgemäss nach dem mutmasslichen Ausgang des Verfahrens. Dabei erfolge die Prüfung der Prozessaussichten summarisch (vgl. E. 2.1 des angefochtenen Urteils). Aufgrund einer solchen summarischen Prüfung ist die Vorinstanz - unter Verweis auf den Entscheid des Erziehungsdepartements - zum Schluss gekommen, die Rekursbegründung der Beschwerdeführerin sei nicht geeignet, den besagten Entscheid als unrichtig erscheinen zu lassen. Insbesondere erkannte die Vorinstanz keine Verletzung des rechtlichen Gehörs der Beschwerdeführerin durch das Erziehungsdepartement (vgl. E. 2.2.2 des angefochtenen Urteils). Dem angefochtenen Urteil kann zudem entnommen werden, dass sich die Vorinstanz mit den von der Beschwerdeführerin offerierten Beweisanträgen auseinandersetzte und zum Schluss gelangte, auf deren Abnahme könne in antizipierter Beweiswürdigung verzichtet werden (vgl. E. 2.2.3 des angefochtenen Urteils). Die Beschwerdeführerin setzt sich mit der Begründung im angefochtenen Urteil nicht auseinander und zeigt nicht substantiiert auf, inwiefern die Ausführungen der Vorinstanz willkürlich sind oder sonstwie gegen Bundesrecht verstossen (vgl. auch E. 2.1 hiervor). Folglich verletzt die vorinstanzliche Kostenverteilung das Willkürverbot (<ref-law>) nicht.
5.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die unterliegende Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov