Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 11. August 2016 informierte die Feldschützengesellschaft Reute den Gemeinderat Reute, dass sie die am östlichen Siedlungsrand von Reute gelegene, in den 1990er-Jahren unter Gewährung von Erleichterungen lärmsanierte 300m-Schiessanlage für die Durchführung des 12. Appenzell Ausserrhoder Kantonalschützenfests 2019 zur Verfügung stellen möchte, und ersuchte um Bewilligung des Vorhabens. Mit Verfügung vom 20. April 2017 erteilte der Gemeinderat die Bewilligung unter Auflagen. Er hielt fest, die Schiesszeiten des Schützenfestes seien vollumfänglich in die maximal 16 Schiesshalbtage pro Jahr gemäss dem Sanierungsprogramm einzurechnen. Damit im Jahr 2019 dennoch ein Vereins-Schiessbetrieb möglich sei, könnten sie in den Jahren 2018, 2019 und 2020 kompensiert werden. Diese Kompensationslösung stehe unter Vorbehalt der Zustimmung der drei Liegenschaftsbesitzer, die mit Erleichterungen gemäss der Lärmschutz-Verordnung vom 15. Dezember 1986 (LSV; SR 814.41) leben müssten. Auf Rekurs der Feldschützengesellschaft hob das Departement Bau und Volkswirtschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden am 6. Dezember 2017 die vom Gemeinderat verfügten Auflagen auf.
B.
Gegen den Rekursentscheid des Departements gelangte der Gemeinderat an das Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden. Mit Urteil vom 30. August 2018 hiess das Gericht das Rechtsmittel teilweise gut und bestätigte die Auflagen des Gemeinderats mit Ausnahme des Zustimmungsvorbehalts. Im Zusammenhang mit diesem führte es aus, der Gemeinderat werde nicht umhin kommen, die betroffenen Anwohner der Schiessanlage im Vorfeld über die Durchführung des Kantonalschützenfests zu informieren und ihnen eine Einsprachemöglichkeit einzuräumen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 15. November 2018 an das Bundesgericht beantragt die Feldschützengesellschaft, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und den Rekursentscheid des Departements zu bestätigen.
Der Gemeinderat schliesst auf Abweisung der Beschwerde, das Obergericht auf Abweisung, soweit darauf einzutreten sei. Das Departement hat sich nicht geäussert. Das Bundesamt für Umwelt BAFU hat sich vernehmen lassen, die Schweizer Armee, Schiesswesen und ausserdienstliche Tätigkeiten SAT, hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Feldschützengesellschaft und die Gemeinde haben je eine zweite Stellungnahme eingereicht.
Mit Schreiben vom 17. Januar 2020 hat der Instruktionsrichter die Abschreibung des Verfahrens in Aussicht gestellt, da dieses wohl gegenstandslos geworden sei. Der Gemeinderat und die Feldschützengesellschaft haben sich am 7. Februar bzw. 18. März 2020 zur Frage der Gegenstandslosigkeit und zur Kostenregelung geäussert.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Lärmschutzauflagen). Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offen (vgl. Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG); ein Ausschlussgrund nach <ref-law> liegt nicht vor. Die Beschwerdeführerin ist zudem frist- und formgerecht an das Bundesgericht gelangt.
1.2. Für das Beschwerderecht gilt <ref-law>. Danach ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (lit. c). Das Rechtsschutzinteresse muss aktuell und praktisch sein (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer muss aus dem beantragten Verfahrensausgang einen praktischen Nutzen dergestalt ziehen, dass seine tatsächliche oder rechtliche Situation beeinflusst werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 6.2 S. 312; <ref-ruling> E. 2.1 S. 218). An einem entsprechenden Interesse mangelt es insbesondere, wenn der angefochtene Hoheitsakt im Zeitpunkt der Beurteilung durch das Bundesgericht bereits vollstreckt oder sonst gegenstandslos geworden ist (vgl. Urteil 1C_453/2008 vom 12. Februar 2009 E. 1.2). Ausnahmsweise verzichtet das Bundesgericht auf ein aktuelles praktisches Interesse, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen).
Mit dem angefochtenen Urteil werden mit einer Ausnahme die Auflagen bestätigt, die der Gemeinderat Reute für die Zurverfügungstellung der Schiessanlage in Reute für das 12. Appenzell Ausserrhoder Kantonalschützenfest verfügte. Da dieses Fest im Juni 2019 bereits stattgefunden hat und die Beschwerdeführerin nicht vorbringt, sie habe die Schiessanlage dafür zur Verfügung gestellt, ist die vom Gemeinderat beschlossene Regelung obsolet. Die Beschwerdeführerin zöge aus der beantragten Aufhebung des angefochtenen Urteils und Bestätigung des Entscheids des Departements - wonach sie die Schiessanlage ohne Auflagen für das Kantonalschützenfest hätte zur Verfügung stellen dürfen - daher keinen praktischen Nutzen mehr. Damit mangelt es ihr nunmehr an einem aktuellen praktischen Interesse bzw. ist dieses während des vorliegenden Verfahrens dahingefallen.
Die Beschwerdeführerin macht denn auch nicht geltend, sie habe ein aktuelles praktisches Interesse. Vielmehr bringt sie vor, ausnahmsweise könne auf ein solches verzichtet werden. Dem kann nicht gefolgt werden. Vorliegend ist strittig, ob die Schiessanlage in Reute zusätzlich zum Schiessbetrieb gemäss den seinerzeit gewährten Sanierungserleichterungen für ein seltenes (alle 12 Jahre stattfindendes) und grosses Schützenfest hätte genutzt werden dürfen. Diese und für andere Schiessanlagen eine entsprechende Frage kann sich zwar auch in Zukunft stellen; dass sie kaum je rechtzeitig überprüft werden könnte, ist wegen des Zeitabstands zwischen den betreffenden Schiessanlässen jedoch nicht zu erwarten. Aufgrund ihrer Einzelfallbezogenheit ist sie zudem nicht von grundsätzlicher Bedeutung, ihre Beantwortung daher, zumal vor dem Hintergrund der bundesgerichtlichen Rechtsprechung zur Lärmsanierung von Schiessanlagen (vgl. unten E. 2.2), nicht im öffentlichen Interesse. Es rechtfertigt sich deshalb nicht, ausnahmsweise trotz des weggefallenen aktuellen praktischen Interesses auf die Beschwerde einzutreten. Das Verfahren ist demnach vom Einzelrichter (<ref-law>) als gegenstandslos abzuschreiben (<ref-law> i.V.m. <ref-law> [SR 273]; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 143 mit Hinweisen).
2.
2.1. Bei Gegenstandslosigkeit des Verfahrens entscheidet der Einzelrichter mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). In erster Linie ist somit auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen. Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen. Vielmehr soll es bei einer knappen, summarischen Beurteilung der Aktenlage sein Bewenden haben. Auf dem Weg über den Kostenentscheid soll nicht ein materielles Urteil gefällt werden (vgl. <ref-ruling> E. 8.2 S. 568 mit Hinweisen).
2.2. Im Rahmen der seinerzeitigen Lärmsanierung der Schiessanlage im Reute zeigte sich, dass die vorgesehenen Massnahmen nicht ausreichten, um bei allen betroffenen Liegenschaften die Einhaltung der Immissionsgrenzwerte zu gewährleisten. Um dennoch den Weiterbetrieb der Anlage zu ermöglichen, gewährte der Gemeinderat Reute in seinem Beschluss vom 14. Februar 1997, mit dem er eine Einsprache gegen das Sanierungsprogramm abwies, Erleichterungen gemäss <ref-law>. Unter Verweis auf die später abgelöste Schiessordnung vom 27. Februar 1991 (AS 1991 662) und eine auf deren Art. 3 Abs. 1 in der damals geltenden Fassung (AS 1996 760) gestützte Berechnung des Eidgenössischen Schiessoffiziers (vgl. Ziff. 3 des Beschlusses) bewilligte er in Ziff. 4a des Beschlusses insgesamt maximal 16 Schiesshalbtage pro Jahr für das obligatorische Bundesprogramm, das Feldschiessen, Vereinstrainings, Vorübungen zu Bundesübungen, Wettkämpfe und Jungschützenkurse. In Ziff. 4b-e des Beschlusses verfügte er zudem Auflagen betreffend die Schiesszeiten, die maximale Schusszahl pro Jahr, den einzureichenden Schiessplan und ausserordentliche Schiessen. Diese Regelung wurde in letzter Instanz vom damaligen Verwaltungsgericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden bestätigt (Urteil vom 24. Juni 1998). Sie kann bei summarischer Beurteilung sinnvoll nur so ausgelegt werden, dass auf der Schiessanlage Schiessübungen und Ausbildungskurse im Interesse der Landesverteidigung gemäss Art. 3 Abs. 1 Schiessordnung in der erwähnten Fassung bzw. heute dem im Wesentlichen damit übereinstimmenden Art. 4 Abs. 1 der Schiessverordnung vom 5. Dezember 2003 (SR 512.31) durchgeführt werden dürfen, nicht jedoch rein zivile, sportliche Schiessen, und für die zulässigen Schiessen nicht über die bewilligten maximal 16 Schiesshalbtage pro Jahr hinausgegangen werden darf. Daran ändert nichts, dass in Ziff. 4e des Beschlusses von ausserordentlichen Schiessen die Rede ist, erscheint doch die Auslegung der Vorinstanz, diese Bestimmung beziehe sich auf Ziff. 4d des Beschlusses und lasse einzelfallweise ein Abweichen von dem danach Anfang Jahr einzureichenden Schiessplan zu, als plausibel.
Dass die Schiessanlage zusätzlich zum Schiessbetrieb gemäss den seinerzeit gewährten Sanierungserleichterungen für das - nach dem angefochtenen Entscheid - zehntägige 12. Appenzell Ausserrhoder Kantonalschützenfest mit 17 Schiesshalbtagen hätte genutzt werden dürfen, wie die Beschwerdeführerin vorbringt, ist bei summarischer Prüfung nicht ersichtlich. Die bundesgerichtliche Rechtsprechung zur Lärmsanierung von Schiessanlagen deutet nicht darauf hin, dass für dieses Schiessen eine zusätzliche Sanierungserleichterung gemäss <ref-law> zu gewähren gewesen wäre, sondern spricht dagegen (vgl. <ref-ruling> E. 7.1; <ref-ruling> E. 5-7 S. 467 ff.; je mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5 S. 25 ff.). Nicht nachvollziehbar ist ferner, wieso aus Anhang 7 Ziff. 321 Abs. 2 LSV - wonach bei zivilen Schiessanlagen für die Berechnung der Pegelkorrektur (nur) die innerhalb von drei Jahren regelmässig stattfindenden Schiessen zu berücksichtigen sind - folgen sollte, die seinerzeit gewährten Sanierungserleichterungen mit den genannten Beschränkungen hätten für die Schiesshalbtage im Rahmen des alle 12 Jahre stattfindenden Kantonalschützenfestes keine Geltung. Es bestehen keine Anhaltspunkte, dass der Gemeinderat Reute nebst den mit den bewilligten maximal 16 Schiesshalbtagen pro Jahr einhergehenden Lärmimmissionen auch die aus ausserordentlichen Schiessanlässen resultierende Lärmbelastung tolerieren wollte. Die durch derartige Anlässe bewirkten Lärmemissionen sind zudem lärmschutzrechtlich nicht irrelevant (vgl. Art. 11 und 12 des Umweltschutzgesetzes vom 7. Oktober 1983 [USG; SR 814.01]). Dem Begehren der Beschwerdeführerin auf Aufhebung des angefochtenen Urteils und Bestätigung des Entscheids des Departements - der ihr ermöglicht hätte, die Schiessanlage im Jahr 2019 zusätzlich zu den bewilligten maximal 16 Schiesshalbtagen auch für die Schiesshalbtage im Rahmen des Kantonalschützenfestes zu nutzen - hätte demnach mutmasslich nicht stattgegeben werden können.
Damit hat die Beschwerdeführerin die Kosten des vorliegenden Beschwerdeverfahrens zu tragen (<ref-law>). Bei deren Festsetzung ist zu berücksichtigen, dass das Verfahren ohne eingehende materielle Prüfung als gegenstandslos abzuschreiben ist (<ref-law>). Dem Gemeinderat Reute ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, hat er doch in seinem amtlichen Wirkungskreis prozessiert (<ref-law>; <ref-ruling> E. 7 S. 118 f.).

Demnach verfügt der Einzelrichter:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Diese Verfügung wird der Beschwerdeführerin, dem Gemeinderat Reute, dem Departement Bau und Volkswirtschaft des Kantons Appenzell Ausserrhoden, dem Obergericht des Kantons Appenzell Ausserrhoden, 4. Abteilung, dem Bundesamt für Umwelt und dem Eidgenössischen Departement für Verteidigung, Bevölkerungsschutz und Sport VBS, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. April 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Einzelrichter: Haag
Der Gerichtsschreiber: Baur