Erwägungen:
1.
Das Appellationsgericht Basel-Stadt liess A._ in verschiedenen Verfahren mehrere Verfügungen zukommen. Im Revisionsverfahren gegen ein Urteil des Appellationsgerichts Basel-Stadt stellte A._ ein Ausstandsgesuch gegen die Instruktionsrichterin Liselotte Henz. Am 24. August 2018 verfügte das Appellationsgericht in dieser Angelegenheit folgendes:
"1. Die Eingabe von Appellationsgerichtspräsidentin lic. iur. Liselotte Henz vom 23. August 2018 geht an die Parteien zur Kenntnisnahme.
2. Als neue Instruktionsrichterin im Revisionsverfahren wird Appellationsgerichtspräsidentin lic. iur. Gabriella Matefi eingesetzt.
3. Das vorliegende Ausstandsverfahren wird als gegenstandslos ohne Kosten abgeschrieben."
Am 28. August 2018 verfügte das Appellationsgericht betreffend eine Anklageschrift der Staatsanwaltschaft folgendes:
"Die Eingabe vom Dr. A._ vom 21. August 2018 geht an die Strafgerichtspräsidentin lic. iur. Felicitas Lenzinger mit der Bitte um Stellungnahme bis 24. September 2018."
Am 29. August 2018 erliess das Appellationsgericht in den Verfahren BES.2018.22, BES.2018.108, BES.2018.109, DG.2018.21, BES. 2017.47, BES.2017.85, BES.2017.148, BES.2018.5, BES.2018.11 und BES.2017.44 folgende zehn gleichlautende Verfügungen:
"Über die Zuständigkeit des Beschwerderichters wird im Beschwerdeentscheid entschieden. Die vom Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 23. August 2018 ("Ausstandsgesuch") aufgeworfenen Fragen sind nicht Gegenstand eines Ausstandsverfahrens gemäss Art. 56 ff StPO."
Am 30. August 2018 verfügte das Appellationsgericht folgendes:
"Die Eingabe von Dr. A._ vom 23. August 2018 geht an den Strafgerichtspräsidenten lic. iur. Dominik Kiener zur Stellungnahme mit Frist bis 1. Oktober 2018".
2.
A._ führt mit Eingabe vom 28. September 2018 Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügungen des Appellationsgerichts Basel-Stadt vom 24., 28., 29. und 30. August 2018. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Der Beschwerdeführer macht in seiner Eingabe, die nach seinen eigenen Angaben "ganz verschiedene Verfahren" betrifft, u.a. Rechtsverzögerung im Sinne von <ref-law> geltend. Die "NochNichtBehandlung" gehe "aus den multiplen Verfügungen mit Zustellung 04.09.2018 hervor." Gegen das Verweigern und Verzögern eines Entscheides kann jederzeit Beschwerde geführt werden (<ref-law>). Indes gelten auch für Rechtsverzögerungsbeschwerden die Voraussetzungen von <ref-law>. Die vorliegend angefochtenen dreizehn Verfügungen sind dem Beschwerdeführer alle am 4. September 2018 zugestellt worden. Auch aus der Beschwerde selbst ergibt sich nicht nachvollziehbar, in welchen Verfahren eine Rechtsverzögerung erfolgt sein sollte. Weiter fehlen konkrete Ausführungen zum Verfahrensablauf, die auf eine Rechtsverzögerung schliessen liessen. Die Rechtsverzögerungsbeschwerde erweist sich insoweit als offensichtlich nicht hinreichend begründet, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht eingetreten werden kann.
4.
Sämtliche angefochtenen Verfügungen schliessen das jeweilige Verfahren nicht ab. Es handelt sich somit um Zwischenentscheide. Mit Verfügung vom 24. August 2018 hat das Appellationsgericht unter Ziffer 3 das vom Beschwerdeführer beantragte Ausstandsverfahren gegen die Instruktionsrichterin Liselotte Henz als gegenstandslos ohne Kosten abgeschrieben. Insoweit fehlt dem Beschwerdeführer ein Rechtsschutzinteresse an der Anfechtung dieser Verfügung. In den beiden anderen Ziffern dieser Verfügung sowie in den anderen Verfügungen vom 28., 29. und 30. August 2018 hat das Appellationsgericht weder über die Zuständigkeit noch über ein Ausstandsbegehren befunden. Dabei spielt es entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers keine Rolle, dass diese Verfügungen (teilweise) im Rahmen der Beurteilung der Zuständigkeit bzw. eines Ausstandsbegehrens ergangen sind. Es handelt sich bloss um prozessleitende Verfügungen und nicht um Entscheide über die Zuständigkeit und über Ausstandsbegehren im Sinne von <ref-law>.
5.
Die Beschwerde gegen die vorliegend selbständig eröffneten Zwischenentscheide ist somit zulässig, wenn diese einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn, was vorliegend von vornherein nicht zutrifft, die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Die Eintretensvoraussetzungen von <ref-law> sollen das Bundesgericht entlasten; dieses soll sich möglichst nur einmal mit einer Sache befassen (<ref-ruling> E. 1.3.2 S. 34). Gegen einstweilen nicht anfechtbare Zwischenentscheide steht die Beschwerde daher erst im Anschluss an den Endentscheid offen (vgl. <ref-law>).
Nach konstanter Rechtsprechung hat der Beschwerdeführer im Einzelnen darzulegen, inwiefern die Beschwerdevoraussetzungen nach <ref-law> erfüllt sind, ansonsten auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 4; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer macht zwar Ausführungen zu einem Rechtsnachteil, dies jedoch vor allem im Zusammenhang mit <ref-law>. Inwiefern ihm jedoch durch die angefochtenen Verfügungen ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> entstehen sollte, der auch durch einen für ihn günstigen späteren Entscheid nicht mehr behoben werden könnte, ergibt sich nicht nachvollziehbar aus seinen Ausführungen; im Übrigen ist ein solcher Nachteil auch nicht ersichtlich. Da die Beschwerdevoraussetzungen von <ref-law> offensichtlich weder dargetan noch ersichtlich sind, ist insoweit im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> auf die Beschwerde nicht einzutreten.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache selbst ist das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen gegenstandslos geworden.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer und dem Appellationsgericht Basel-Stadt, Präsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Oktober 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli