Faits :
A.
A.a. X._, ressortissant suisse né en 1967, a quitté Genève pour le Kenya le 1er avril 1989. En juillet 1995, il a créé la société X._ Services Sàrl, dont le siège est à Y._ (GE). X._ est l'unique associé de X._ Services Sàrl. La société est actuellement en liquidation.
Entre 1995 et 2007, X._ Services Sàrl a versé des montants à X._ à titre de salaire. Etant donné que l'intéressé résidait au Kenya, ceux-ci ont été soumis à l'impôt à la source.
A.b. Le 15 décembre 2005, l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève (ci-après: l'Administration cantonale) a informé X._ de l'ouverture d'une procédure en rappel d'impôt et en soustraction d'impôt à son encontre concernant l'impôt fédéral direct (ci-après: IFD) 1995 à 2004 et les impôts cantonal et communal (ci-après: ICC) 2000 à 2004. L'intéressé était invité à remplir, signer et retourner à l'Administration cantonale ses déclarations fiscales 1993 à 2004 avant le 13 janvier 2006 (cf. <ref-law>). Le 26 janvier 2006, le contribuable a retourné à l'Administration cantonale les déclarations fiscales en question, qu'il n'avait pas remplies, considérant n'être pas domicilié à Genève.
A.c. Par décision du 29 septembre 2008, confirmée en dernière instance par le Tribunal fédéral le 12 mai 2015 (cause 2C_924/2014), l'Administration cantonale a fixé le domicile fiscal de X._ à Genève à partir du 1er janvier 2001.
A.d. Le 22 juillet 2009, l'Administration cantonale a notifié à X._ un bordereau de taxation d'office pour l'IFD et l'ICC 2008. Le 14 août 2009, le contribuable a formé réclamation contre ce bordereau. La suite de cette procédure est inconnue.
A.e. Le 8 juillet 2015, faisant suite à l'arrêt du Tribunal fédéral du 12 mai 2015 précité, l'Administration cantonale a informé X._ que, en complément à la lettre du 15 décembre 2005 (cf. supra let. A.b), elle avait décidé d'ouvrir à son encontre une procédure en rappel d'impôt et en soustraction d'impôt concernant l'IFD et l'ICC 2005 à 2008. Le contribuable était invité à transmettre à l'Administration cantonale ses déclarations fiscales 2000 à 2008. Le 30 octobre 2015, X._ a remis à cette autorité ses déclarations d'impôt 2005 à 2008. Le 5 février 2016, il a déposé ses déclarations fiscales pour les années 2000 à 2004.
B.
B.a. Le 29 février 2016, l'Administration cantonale a notifié à X._, tant pour l'IFD que l'ICC, des bordereaux de taxation et des bordereaux d'amende pour tentative de soustraction d'impôt (années 2001 à 2004), ainsi que des bordereaux de rappel d'impôt et des bordereaux d'amende pour soustraction d'impôt (années 2005 à 2008). Cette autorité a retenu que, en dissimulant son domicile fiscal a Genève, le contribuable n'avait pas été imposé sur sa réelle capacité contributive et qu'il en résultait ainsi une soustraction d'impôt intentionnelle. L'Administration cantonale a arrêté la quotité de l'amende pour tentative de soustraction d'impôt aux deux tiers des montants d'impôt que X._ avait tenté de soustraire pour les années 2001 à 2003 et au montant de l'impôt pour l'année 2004. S'agissant de la soustraction d'impôt consommée (années 2005 à 2008), l'amende correspondait au montant de l'impôt soustrait.
Le 31 mars 2016, X._ a formé réclamation contre le bordereau de rappel d'impôt du 29 février 2016 relatif à l'ICC 2005, demandant sa modification (cf. <ref-law>), ainsi que contre les bordereaux d'amende (IFD et ICC) 2001 à 2008 du 29 février 2016, concluant à leur annulation. Il n'a pas contesté les autres bordereaux établis le 29 février 2016.
Par décisions sur réclamation du 23 septembre 2016, l'Administration cantonale a modifié la taxation ICC 2005 du contribuable en tenant compte des remarques de celui-ci et a maintenu la quotité de l'amende y relative, le montant de celle-ci étant toutefois calculé sur la base de la nouvelle taxation. L'autorité fiscale a également rectifié une erreur dans les bordereaux d'amende IFD et ICC 2004, arrêtant la quotité de l'amende aux deux tiers des montants d'impôt que X._ avait tenté de soustraire, comme pour les années 2001 à 2003 (cf. <ref-law>). Pour le surplus, elle a maintenu inchangés les autres bordereaux d'amende querellés et a relevé que les bordereaux de taxation 2001 à 2004 et les bordereaux de rappel d'impôt 2006 à 2008 n'avaient pas été contestés, s'agissant tant de l'IFD que de l'ICC, de sorte qu'ils étaient entrés en force.
B.b. Le 25 octobre 2016, X._ a recouru contre les décisions sur réclamation du 23 septembre 2016 devant le Tribunal administratif de première instance du canton de Genève (ci-après: le TAPI). Le 2 octobre 2017, après avoir implicitement joint les causes, le TAPI a admis le recours. Cette autorité a notamment considéré que le contribuable, qui avait refusé de remplir ses déclarations fiscales car il contestait son assujettissement en Suisse, n'avait pas adopté un comportement illicite.
B.c. Le 10 novembre 2017, l'Administration cantonale a interjeté recours contre le jugement du TAPI auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice), en concluant à son annulation et à la confirmation des décisions sur réclamation du 23 septembre 2016, sous réserve de celles relatives à l'année fiscale 2005, qui devaient être annulées pour cause de prescription.
Par arrêt du 10 avril 2018, la Cour de justice a admis le recours et annulé le jugement entrepris, ainsi que les bordereaux d'amende ICC et IFD 2005. Pour le reste, elle a confirmé les décisions sur réclamation du 23 septembre 2016. L'autorité précédente a considéré, en substance, que l'action pénale n'était prescrite pour aucune des années fiscales en cause (hormis 2005), que les conditions objectives et subjectives des infractions reprochées au contribuable (soustraction fiscale et tentative de soustraction fiscale) étaient réunies et que la procédure menée par l'Administration cantonale n'était affectée d'aucun vice de forme.
C.
A l'encontre de l'arrêt du 10 avril 2018, X._ dépose un recours en matière de droit public auprès du Tribunal fédéral. Il conclut, sous suite de frais et dépens, à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que les bordereaux d'amende 2001 à 2004 et 2006 à 2008 sont annulés. Subsidiairement, le contribuable requiert le renvoi de la cause à la Cour de justice ou à l'Administration cantonale "pour complément éventuel et nouvelle décision dans le sens des considérants". Plus subsidiairement encore, il demande à la Cour de céans de réformer l'arrêt entrepris et de "réduire la quotité des amendes ICC et IFD infligées pour les années 2001 à 2004 et 2006 à 2008".
La Cour de justice renonce à déposer une réponse et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. L'Administration cantonale formule des observations et conclut au rejet du recours. L'Administration fédérale des contributions se rallie à l'arrêt attaqué et propose le rejet du recours.

Considérant en droit :
I. Recevabilité
1.
La Cour de justice a rendu un seul arrêt valant tant pour l'ICC que pour l'IFD du recourant, ce qui est en principe admissible, dès lors qu'il ressort clairement dudit arrêt et du recours que le litige porte sur les deux catégories d'impôts (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1 et 1.3.2 p. 262 ss; arrêt 2C_576/2016 du 6 mars 2017 consid. 1.1, non publié in <ref-ruling>).
2.
L'arrêt attaqué, qui annule le jugement du TAPI du 2 octobre 2017 et rétablit les décisions sur réclamation du 23 septembre 2016 relatives aux bordereaux d'amende ICC et IFD 2001 à 2004 et 2006 à 2008, est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), dans une cause de droit public (<ref-law>) qui ne tombe pas sous le coup des exceptions de l'<ref-law>. La voie du recours en matière de droit public est donc en principe ouverte (cf. également les art. 146 de la loi fédérale sur l'impôt fédéral direct du 14 décembre 1990 [LIFD; RS 642.11] et 73 al. 1 de la loi fédérale du 14 décembre 1990 sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes [LHID; RS 642.14]).
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes requises (<ref-law>) par le contribuable destinataire de l'acte attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification, de sorte qu'il faut lui reconnaître la qualité pour recourir (<ref-law>), le présent recours est recevable.
II. Pouvoir d'examen du Tribunal fédéral
3.
3.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377 s.). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; arrêt 2C_665/2017 du 9 janvier 2018 consid. 2.1).
En l'occurrence, le recourant invoque une constatation manifestement inexacte des faits au sujet de la taxation 2008. Cette critique sera examinée ci-dessous (infra consid. 5). Pour le reste, l'intéressé avance des éléments de fait ne ressortant pas de l'arrêt attaqué, sans exposer en quoi les conditions qui viennent d'être rappelées seraient réunies. Partant, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt entrepris.
3.2. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral, ainsi que la conformité du droit cantonal harmonisé et de sa mise en pratique par les instances cantonales aux dispositions de la LHID (art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF; arrêt 2C_797/2017 du 19 mars 2018 consid. 2).
III. Prescription
4.
Avant de traiter les griefs soulevés par le recourant à l'encontre de l'arrêt attaqué, il convient de vérifier la question de la prescription de la poursuite pénale, que le Tribunal fédéral examine d'office (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 171; arrêt 2C_12/2017 du 23 mars 2018 consid. 4, non publié in <ref-ruling>) tant pour l'IFD que pour l'ICC (arrêt 2C_333/2017 du 12 avril 2018 consid. 8). A ce sujet, il y a lieu de préciser que le présent litige porte uniquement sur les bordereaux d'amende ICC et IFD 2001 à 2004 (tentative de soustraction d'impôt) et 2006 à 2008 (soustraction d'impôt) du contribuable. En effet, les bordereaux de taxation 2001 à 2004 et les bordereaux de rappel d'impôt 2006 à 2008 n'ayant pas été contestés, s'agissant tant de l'IFD que de l'ICC, ils sont entrés en force et le recourant ne peut plus les remettre en question dans le cadre de la présente procédure.
4.1. Dans l'examen de la prescription de la poursuite pénale, il sied de distinguer entre la période fiscale 2001-2004, pour laquelle le recourant s'est vu infliger des amendes pour tentative de soustraction fiscale (infra consid. 4.2), et la période fiscale 2006-2008, qui porte sur des amendes pour soustraction fiscale consommée (infra consid. 4.3).
III/a. Tentative de soustraction fiscale (2001-2004)
4.2.
4.2.1. En matière d'IFD, l'<ref-law>, modifié le 26 septembre 2014, dans sa teneur en vigueur depuis le 1er janvier 2017 (cf. la loi fédérale du 26 septembre 2014 sur l'adaptation de la LIFD et de la LHID aux dispositions générales du code pénal [RO 2015 779]), prévoit notamment que, en cas de tentative de soustraction d'impôt, la poursuite pénale se prescrit par six ans à compter de la clôture définitive de la procédure au cours de laquelle la tentative de soustraction a été commise. Sous l'ancien droit, le délai de prescription était de huit ans (cf. <ref-law> [dans sa version en vigueur jusqu'au 31 décembre 2016] cum <ref-law>). Conformément au principe de la lex mitiorexprimé à l'<ref-law>, le nouveau droit de la prescription est applicable aux infractions commises au cours de périodes fiscales précédant l'entrée en vigueur de la modification du 26 septembre 2014, s'il est plus favorable que le droit en vigueur au cours de ces périodes fiscales (cf. arrêt 2C_12/2017 du 23 mars 2018 consid. 4.1 non publié in <ref-ruling>).
4.2.2. En l'espèce, les bordereaux de taxation IFD 2001 à 2004 ont été notifiés au recourant le 29 février 2016. N'ayant pas été contestés, ils sont entrés en force à la fin du délai de réclamation. Selon le nouveau droit, le délai de prescription de six ans a commencé à courir à ce moment-là. Il en va de même du délai de prescription de huit ans prévu par l'ancien droit (consid. 4.2.1 ci-dessus), qui n'a également commencé à courir qu'à compter de la clôture définitive de la procédure au cours de laquelle la tentative de soustraction a été commise (cf. arrêt 2C_722/2017 du 13 décembre 2017 consid. 8.5).
La poursuite pénale pour tentative de soustraction fiscale en matière d'IFD concernant les périodes fiscales 2001 à 2004 n'est donc prescrite ni sous l'angle de l'ancien droit ni sous l'angle du nouveau droit.
4.2.3. S'agissant de la prescription de la poursuite pénale pour tentative de soustraction d'impôt en matière d'ICC, l'<ref-law>, également modifié avec effet au 1er janvier 2017, a une teneur identique à l'<ref-law>. Il est directement applicable si les cantons n'ont pas adapté leur législation au 1er janvier 2017 (<ref-law>), ce qui est le cas du canton de Genève (cf. art. 77 de la loi genevoise de procédure fiscale du 4 octobre 2001 [LPFisc/GE; RS/GE D 3 17]). Avant cette date également, le délai de prescription pour l'ICC (art. 77 al. 1 let. a LPFisc/GE et art. 58 al. 1 aLHID) était le même que pour l'IFD et courait à partir de la clôture définitive de la procédure au cours de laquelle la tentative de soustraction avait été commise. Le principe de la lex mitior s'applique (cf. <ref-law>), de sorte que les considérations développées pour l'IFD (consid. 4.2.1 et 4.2.2 ci-dessus) sont transposables au domaine de l'ICC.
4.2.4. En l'occurrence, les bordereaux de taxation ICC 2001 à 2004, notifiés au recourant le 29 février 2016, n'ont pas été contestés et sont entrés en force à la fin du délai de réclamation. Le délai de prescription (huit ans selon l'ancien droit, six ans selon le nouveau droit) a commencé à courir à ce moment-là, tant sous l'empire de l'ancien que du nouveau droit. Comme pour l'IFD, la poursuite pénale de la tentative de soustraction fiscale en matière d'ICC commise par le recourant au cours des périodes fiscales 2001 à 2004 n'est donc pas prescrite.
III/b. Soustraction fiscale (2006-2008)
4.3.
4.3.1. Les dispositions sur la prescription de la poursuite pénale en cas de soustraction consommée ont également été modifiées le 26 septembre 2014, avec effet au 1er janvier 2017 (cf. la loi fédérale du 26 septembre 2014 sur l'adaptation de la LIFD et de la LHID aux dispositions générales du code pénal [RO 2015 779]). Ainsi, avant le 1er janvier 2017, la poursuite pénale de la soustraction consommée se prescrivait dans tous les cas par quinze ans à compter de la fin de la période fiscale pour laquelle la taxation n'avait pas été effectuée ou l'avait été de façon incomplète, ce délai ne pouvant être prolongé (art. 184 al. 1 let. b aLIFD cum <ref-law>, en relation avec l'<ref-ruling>; cf. aussi, en ce sens, SIEBER/MALLA, in ZWEIFEL/ BEUSCH [éd.], Kommentar zum schweizerischen Steuerrecht - Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer, 3e éd., 2017, n. 4a ad <ref-law> p. 2939).
Depuis le 1er janvier 2017, la poursuite pénale se prescrit, en cas de soustraction d'impôt consommée, au plus tôt, par dix ans à compter de la fin de la période fiscale pour laquelle la taxation n'a pas été effectuée ou l'a été de façon incomplète (art. 184 al. 1 let. b ch. 1 LIFD). Selon le nouvel <ref-law>, la prescription ne court plus si une décision a été rendue par l'autorité cantonale compétente avant l'échéance du délai de prescription.
4.3.2. L'ancien art. 58 al. 2 et al. 3 aLHID, également modifié avec effet au 1er janvier 2017, correspondait à l'ancien art. 184 al. 1 let. b et al. 2 aLIFD. De même, l'<ref-law>, actuellement en vigueur, a une teneur identique à l'art. 184 al. 1 let. b ch. 1 et al. 2 LIFD. Il est directement applicable si les cantons n'ont pas adapté leur législation au 1er janvier 2017 (<ref-law>; cf. art. 77 LPFisc/GE dont l'al. 2 diffère de l'<ref-law>).
4.3.3. En vertu des <ref-law> et 78f LHID, le nouveau droit est applicable au jugement des infractions commises au cours de périodes fiscales précédant le 1er janvier 2017 s'il est plus favorable que le droit en vigueur au cours de ces périodes fiscales (cf. arrêts 2C_760/2017 du 15 juin 2018 consid. 4.2 et 2C_333/2017 du 12 avril 2018 consid. 8.2). Dans la mesure où il empêche la prescription de courir, en particulier durant la procédure devant le Tribunal fédéral, le nouveau droit se révèle être en principe moins favorable aux contribuables que l'ancien droit. Il est en revanche plus favorable si aucune décision n'a été rendue dans les dix ans à compter de la fin de la période fiscale (arrêt 2C_333/2017 du 12 avril 2018 consid. 8.2).
4.3.4. En l'occurrence, l'Administration cantonale a notifié au contribuable les bordereaux d'amende pour soustraction d'impôt relatifs à l'IFD et à l'ICC 2006 à 2008 le 29 février 2016. Selon le nouveau droit (<ref-law> et 58 al. 3 LHID), la prescription - qui n'était pas encore acquise (art. 184 al. 1 let. b ch. 1 LIFD et 58 al. 2 let. a LHID) - a donc été suspendue à cette date.
De même, sous l'empire de l'ancien droit (art. 184 aLIFD, 58 aLHID et 77 LPFisc/GE), la prescription absolue (quinze ans à compter de la fin de la période fiscale pour laquelle la taxation n'a pas été effectuée ou l'a été de façon incomplète) n'est pas atteinte.
4.3.5. En conclusion, la poursuite pénale pour soustraction fiscale consommée concernant tant l'IFD que l'ICC du contribuable pour les périodes fiscales 2006 à 2008 n'est prescrite ni sous l'angle de l'ancien droit ni sous l'angle du nouveau droit.
IV. Grief relatif aux faits
5.
Le recourant invoque une constatation manifestement inexacte des faits s'agissant de l'annulation de la taxation d'office IFD et ICC 2008, notifiée le 22 juillet 2009 (cf. supra let. A.d). Il soutient que, contrairement à ce qu'a retenu la Cour de justice, ladite taxation d'office aurait été maintenue (recours, p. 21 s.). De l'avis de l'intéressé, ce fait serait en outre "déterminant en vue de l'annulation de l'amende 2008" (recours, p. 22).
La question de savoir si la taxation d'office IFD et ICC 2008 du 22 juillet 2009 a été annulée ou non pourrait être pertinente pour déterminer si c'est à juste titre que la Cour de justice a confirmé l'amende infligée au recourant pour soustraction d'impôt consommée. Au vu de l'issue du litige sur ce point (cf. infra consid. 8 et 9), elle souffre toutefois de demeurer indécise.
V. Impôt fédéral direct
6.
Sans distinguer clairement entre ces deux questions, le recourant critique sa condamnation pour tentative de soustraction fiscale (années 2001 à 2004) et soustraction fiscale consommée (années 2006 à 2008). Il convient d'examiner séparément les conditions de réalisation de ces infractions.
V/a. Soustraction fiscale (2006-2008)
7.
Aux termes de l'<ref-law>, est notamment puni d'une amende le contribuable qui, intentionnellement ou par négligence, fait en sorte qu'une taxation ne soit pas effectuée alors qu'elle devrait l'être, ou qu'une taxation entrée en force soit incomplète.
Pour que cette disposition trouve application, il faut donc qu'il y ait soustraction d'un montant d'impôt en violation d'une obligation légale incombant au contribuable et une faute de ce dernier (arrêts 2C_814/2017 du 17 septembre 2018 consid. 9.2; 2C_508/2014 du 20 février 2015 consid. 5.1; 2C_276/2014 du 22 janvier 2015 consid. 4.1; 2C_664/2008 du 4 février 2009 consid. 2, non publié in <ref-ruling> mais in RDAF 2009 II 140), ainsi qu'un lien de causalité entre le comportement illicite et la perte fiscale subie par la collectivité (arrêt 2C_1018/2015 du 2 novembre 2017 consid. 9.2; SANSONETTI/ HOSTETTLER, in NOËL/AUBRY GIRARDIN [éd.], Commentaire romand - Impôt fédéral direct, 2e éd., 2017, n. 14 ss ad <ref-law> p. 1987 s.; HENRI TORRIONE, Les infractions fiscales en matière d'impôts directs et dans le domaine de l'impôt anticipé, des droits de timbre et de la TVA, in Les procédures en droit fiscal, 3e éd., 2015, p. 951 ss, p. 1078; PETER LOCHER, Kommentar zum Bundesgesetz über die direkte Bundessteuer, vol. III, 2015, n. 9 ad <ref-law> p. 1122).
8.
Le recourant soutient que la condition relative à la soustraction d'un montant d'impôt ne serait pas réalisée. Il affirme que, lorsque son domicile fiscal pour les années en cause (2006 à 2008) a été fixé de manière définitive à Genève par le Tribunal fédéral, c'est-à-dire le 12 mai 2015, le droit de l'Administration cantonale de procéder à la taxation pour ces années n'était pas prescrit. L'intéressé relève que, une taxation ordinaire étant encore possible pour les années en question, toute soustraction consommée serait exclue, faute de perte fiscale pour la collectivité. A son avis, dans ces conditions, seule une amende pour tentative de soustraction aurait pu, le cas échéant, lui être infligée.
8.1. Lorsqu'une taxation n'a pas été effectuée alors qu'elle aurait dû l'être (<ref-law>, première hypothèse), la soustraction fiscale n'est consommée que si le droit de procéder à une taxation (ordinaire) est prescrit (cf. SIEBER/MALLA, op. cit., n. 20 ad <ref-law> p. 2817 et n. 3 ad <ref-law> p. 2840 s.; SANSONETTI/HOSTETTLER, op. cit., n. 13 ad <ref-law> p. 1987; DIANE MONTI, Les contraventions fiscales en droit fiscal harmonisé, 2001, p. 49 s.). De même, si une décision de taxation a été rendue, mais que la taxation est "incomplète" (<ref-law>, deuxième hypothèse), il ne peut y avoir de soustraction fiscale que si cette décision est entrée en force, car, si l'autorité de taxation peut encore la modifier (en procédure ordinaire), seule une tentative de soustraction peut entrer en ligne de compte (cf. arrêts 2C_722/2017 du 13 décembre 2017 consid. 9.2 et 2C_908/2011 du 23 avril 2012 consid. 3.1; SIEBER/MALLA, op. cit., n. 3 ad <ref-law> p. 2840 s.; HENRI TORRIONE, op. cit., p. 1103).
8.2. En l'espèce, il sied donc de déterminer si et le cas échéant quand le droit de l'Administration cantonale de procéder à la taxation (ordinaire) pour les années 2006 à 2008 a été atteint par la prescription (consid. 8.3 ci-dessous). Il y a lieu de préciser que cette question ne sera examinée que sous l'angle des conditions objectives de l'infraction reprochée à l'intéressé (soustraction d'impôt), les bordereaux de rappel d'impôt IFD et ICC 2006 à 2008 du contribuable n'ayant pas été contestés et étant en force depuis 2016 (cf. supra consid. 4).
8.3.
8.3.1. Selon l'art. 120 al. 1 première phrase LIFD, le droit de procéder à la taxation se prescrit par cinq ans à compter de la fin de la période fiscale. La prescription ne court cependant pas ou est suspendue pendant les procédures de réclamation, de recours ou de révision (<ref-law>). La prescription du droit de procéder à la taxation est acquise dans tous les cas quinze ans après la fin de la période fiscale (<ref-law>).
8.3.2. La présente affaire a ceci de particulier que, alors qu'aucune décision de taxation n'avait été rendue par l'Administration cantonale pour les années fiscales en cause (2006 à 2008), la question de l'assujettissement fiscal du recourant - qui avait annoncé être parti pour le Kenya en 1989 - a fait l'objet d'une procédure ad hoc. Ainsi, après avoir contesté être domicilié en Suisse (26 janvier 2006), l'intéressé s'est vu notifier une décision fixant son domicile fiscal de manière illimitée à Genève (29 septembre 2008), contre laquelle il a formé réclamation (17 octobre 2008; cf. arrêt 2C_924/2014 du 12 mai 2015 let. C). Cette procédure s'est terminée le 12 mai 2015, lorsque le Tribunal fédéral a confirmé que, depuis le 1er janvier 2001, le domicile fiscal du contribuable était à Genève.
La Cour de justice a considéré que, dans ces conditions, le droit de procéder à la taxation (ordinaire) pour les années 2006 à 2008 s'était prescrit cinq ans après la fin de chaque période fiscale concernée (<ref-law>), car la suspension de la prescription prévue par l'<ref-law> ne trouvait pas application en l'espèce. L'autorité précédente a retenu, en effet, que la procédure en contestation de l'assujettissement fiscal n'avait pas le même objet que la procédure de taxation, de sorte que la réclamation formée dans le cadre de celle-là n'avait pas eu pour effet de suspendre la prescription du droit de taxer.
Selon le recourant, en revanche, la question de l'assujettissement ferait partie de la procédure de taxation au sens large. A son avis, la prescription du droit de taxer aurait donc été suspendue pendant la procédure en fixation du domicile fiscal, en application de l'<ref-law>.
8.3.3. La solution retenue par l'arrêt attaqué ne peut être confirmée. En effet, l'<ref-law> a pour but d'éviter que la prescription du droit de taxer ne continue à courir lorsque l'autorité fiscale n'a pas la maîtrise de la procédure et est donc dans l'impossibilité de faire avancer la taxation (cf. MASMEJEAN-FEY/VIANIN, in NOËL/AUBRY GIRARDIN [éd.], Commentaire romand - Impôt fédéral direct, 2e éd., 2017, n.11a ad <ref-law> p. 1620). En d'autres termes et de manière plus générale, la loi prévoit une suspension de la prescription du droit de taxer lorsque l'autorité ne peut faire valoir ses droits (LOCHER, op. cit., n. 20 ad <ref-law> p. 372; cf. aussi THOMAS MEIER, Verjährung und Verwirkung öffentlich-rechtlicher Forderungen, 2013, p. 178, ATTILIO GADOLA, Verjährung und Verwirkung im öffentlichen Recht, in PJA 1995 47, p. 54, ainsi que, avant l'entrée en vigueur de la LIFD, MARKUS BINDER, Die Verjährung im schweizerischen Steuerrecht, 1985, p. 201), ce qui est précisément le cas lorsque - comme en l'espèce - le contribuable conteste être assujetti à l'impôt en Suisse et qu'une procédure en fixation de son domicile fiscal est entamée. Il y a dès lors lieu d'interpréter la notion de "procédures de réclamation, de recours ou de révision" de l'<ref-law> en ce sens qu'elle comprend aussi la procédure relative à l'assujettissement en Suisse du contribuable, lorsque cet élément est contesté. Dans un tel cas, en effet, l'autorité doit en principe attendre que le domicile fiscal de l'intéressé soit fixé de manière définitive avant de poursuivre la procédure de taxation. Aussi longtemps que cette question est litigieuse, la prescription du droit de taxer est suspendue, car il ne serait pas concevable que celle-ci puisse être atteinte alors que l'autorité n'est pas en mesure de faire avancer la taxation.
Il découle de ce qui précède que, en l'occurrence, la prescription de cinq ans (<ref-law>) du droit de procéder à la taxation du recourant a été suspendue (périodes fiscales 2006 et 2007), respectivement n'a pas commencé à courir (période fiscale 2008), entre le moment où le contribuable a formé réclamation contre la décision fixant son domicile fiscal (17 octobre 2008) et l'arrêt du Tribunal fédéral du 12 mai 2015 (cause 2C_924/2014) confirmant que, depuis le 1er janvier 2001, ledit domicile fiscal était à Genève. Lorsque l'Administration cantonale, le 29 février 2016, a notifié à l'intéressé les bordereaux de rappel d'impôt 2006 à 2008, le droit de taxer n'était donc prescrit pour aucune des années fiscales en cause (cf. supra consid. 8.1). Dans ces conditions, faute de perte fiscale pour la collectivité, c'est en violation de l'<ref-law> que la Cour de justice a retenu que les conditions d'une soustraction consommée étaient réalisées.
9.
Il sied encore d'examiner si, s'agissant toujours des années fiscales 2006 à 2008, le recourant s'est rendu coupable d'une tentative de soustraction fiscale au sens de l'<ref-law>.
9.1. Selon l'<ref-law>, celui qui tente de se soustraire à l'impôt sera puni d'une amende. La tentative de soustraction (<ref-law>) se situe entre les actes préparatoires d'une soustraction, qui ne sont pas punissables, et la soustraction consommée (<ref-law>), qui l'est. Le comportement illicite réprimé correspond, sur le plan objectif, à celui de la soustraction fiscale au sens de l'<ref-law> (arrêts 2C_32/2016 du 24 novembre 2016 consid. 15.1; 2C_1221/2013 du 4 septembre 2014 consid. 3.1; 2C_898/2011 du 28 mars 2012 consid. 2.2).
9.2. Sur le plan subjectif, la tentative de soustraction fiscale suppose, contrairement à la soustraction consommée qui peut être commise par négligence (cf. <ref-law>), un agissement intentionnel de l'auteur. Le dol éventuel suffit (arrêts 2C_32/2016 du 24 novembre 2016 consid. 15.2; 2C_1221/2013 du 4 septembre 2014 consid. 3.2; 2C_1007/2012 du 15 mars 2013 consid. 5.1; 2C_533/2012 du 19 février 2013 consid. 3.2; 2C_908/2011 du 23 avril 2012 consid. 3.1; 2C_898/2011 du 28 mars 2012 consid. 2.2; SIEBER/MALLA, op. cit., n. 5 ad <ref-law> p. 2841).
9.3. Au vu de l'issue du litige sur ce point, il se justifie de traiter en premier lieu l'élément subjectif de l'infraction.
9.3.1. En l'espèce, le 26 janvier 2006, le recourant a communiqué à l'Administration cantonale son refus de remplir les déclarations fiscales reçues le 15 décembre 2005, indiquant qu'il considérait n'être pas domicilié à Genève. Cette autorité a ainsi notifié à l'intéressé, le 29 septembre 2008, une décision fixant son domicile fiscal de manière illimitée à Genève. Le contribuable a contesté cette décision, ce qui - après épuisement des voies de recours cantonales - a conduit le Tribunal fédéral à trancher la question de manière définitive le 12 mai 2015. Depuis 2006, l'Administration cantonale était donc au courant du fait que le recourant s'opposait à la fixation de son domicile fiscal à Genève.
9.3.2. Dans ces conditions, on ne discerne aucune volonté de soustraire un montant d'impôt à la collectivité. En contestant son assujettissement en Suisse, le recourant n'a fait qu'utiliser les voies de droit à sa disposition pour faire valoir son point de vue quant à la détermination de son domicile fiscal. Faute de procéder d'un agissement intentionnel du recourant visant à échapper à l'imposition, le refus de celui-ci de déposer ses déclarations d'impôt, qui était connu par l'Administration cantonale depuis 2006, ne peut donc pas être constitutif d'une tentative de soustraction d'impôt au sens de l'<ref-law>. En retenant que la condition subjective de la soustraction était réalisée, sans au demeurant distinguer clairement entre soustraction consommée (<ref-law>) et tentative de soustraction (<ref-law>) et sans examiner si l'intéressé avait agi intentionnellement ou par négligence (arrêt attaqué, p. 16), la Cour de justice a donc violé le droit fédéral.
9.4. En conclusion, s'agissant des années fiscales 2006 à 2008, le comportement du recourant ne remplit ni les conditions de l'<ref-law> (soustraction d'impôt), ni celles de l'<ref-law> (tentative de soustraction). Le recours doit dès lors être admis sur ce point et les bordereaux d'amende 2006 à 2008 doivent être annulés.
V/b. Tentative de soustraction fiscale (2001-2004)
10.
Tel qu'il a été exposé ci-dessus (consid. 9.1 et 9.2), les conditions objectives de la tentative de soustraction (<ref-law>) correspondent à celles de la soustraction fiscale (<ref-law>), alors que, sur le plan subjectif, l'<ref-law> exige un agissement intentionnel de la part de l'auteur.
10.1. Il est établi que, pour ce qui concerne les années 2001 à 2004, l'intéressé était assujetti de manière illimitée à Genève (arrêt 2C_924/2014 précité). Le recourant n'a déposé ses déclarations pour les périodes fiscales en cause que le 5 février 2016 (cf. supra let. A.e). Si l'Administration cantonale n'avait rien entrepris afin de procéder à la taxation du contribuable, celui-ci aurait échappé à toute imposition en Suisse pour les années en question. La condition objective de la (tentative) de soustraction d'un montant d'impôt (cf. supra consid. 7) est donc réalisée en l'espèce.
10.2. Pour ce qui est de la question de savoir si le recourant a agi en violation d'une obligation légale lui incombant (ibid.), elle doit également être résolue par l'affirmative. En effet, selon l'<ref-law>, les contribuables sont invités par publication officielle ou par l'envoi de la formule à remplir et à déposer une formule de déclaration d'impôt; les contribuables qui n'ont pas reçu de formule doivent en demander une à l'autorité compétente (al. 1). En outre, le contribuable doit remplir la formule de déclaration d'impôt de manière conforme à la vérité et complète; il doit la signer personnellement et la remettre à l'autorité compétente avec les annexes prescrites dans le délai qui lui est imparti (al. 2). Cet article prévoit l'obligation légale, pour les contribuables assujettis à l'impôt, de déposer une déclaration d'impôt conforme à la vérité et complète. Le contribuable qui ne se conforme pas à cette obligation commet une (tentative de) soustraction, puisque le non-dépôt de la déclaration peut avoir pour effet d'empêcher le fisc de déterminer l'impôt (TORRIONE, op. cit., p. 1084; cf. aussi SIEBER/ MALLA, op. cit., n. 8 ad <ref-law> p. 2813 et SANSONETTI/ HOSTETTLER, op. cit., n. 11 ad <ref-law> p. 1987) ou conduire à une taxation d'office insuffisante (cf. PETER LOCHER, op. cit., n. 8 ad <ref-law> p. 1121).
La deuxième condition objective de l'infraction est donc remplie, étant précisé que cela ne préjuge en rien de la question de savoir si l'élément subjectif de l'infraction est également réalisé, laquelle sera examinée ci-dessous (consid. 10.4).
10.3. Le comportement reproché au recourant, soit le fait de ne pas avoir déposé de déclaration, était propre à conduire à une perte fiscale pour la collectivité. La condition relative au lien de causalité (cf. supra consid. 7; arrêt 2C_1018/2015 du 2 novembre 2017 consid. 9.2; SIEBER/MALLA, op. cit., n. 23 ss ad <ref-law> p. 2818 ss; SANSONETTI/HOSTETTLER, op. cit., n. 14 ss ad <ref-law> p. 1987 s.; TORRIONE, op. cit., p. 1078; DIANE MONTI, op. cit., p. 51 ss) est donc également remplie.
10.4. Reste à examiner l'élément subjectif de l'infraction.
10.4.1. L'<ref-law> exige un agissement intentionnel de la part de l'auteur (cf. supra consid. 9.2). A ce sujet, il convient de distinguer entre deux cas de figure. Dans l'hypothèse où le contribuable a déposé sa déclaration fiscale pour l'année en cause, la preuve d'un comportement intentionnel doit être considérée comme apportée lorsqu'il est établi avec une sécurité suffisante que l'intéressé était conscient du caractère erroné ou incomplet des indications fournies. Si cette conscience est établie, il faut admettre qu'il a volontairement cherché à induire les autorités fiscales en erreur, afin d'obtenir une taxation moins élevée ou du moins qu'il a agi par dol éventuel (arrêts 2C_814/2017 du 17 septembre 2018 consid. 9.3 et 2C_508/2014 du 20 février 2015 consid. 5.4.1). En revanche, lorsque - comme en l'espèce - le contribuable n'a pas transmis de déclaration d'impôt pour la période concernée, alors qu'il était tenu de le faire, l'examen de l'intentionnalité revient à se demander si l'intéressé était conscient de son obligation de déposer une déclaration d'impôt ou s'il pouvait, de bonne foi, considérer qu'il n'était pas assujetti à l'impôt en Suisse. Si, au vu de sa situation et des circonstances concrètes, tel n'était pas le cas, il faut admettre qu'il a volontairement cherché à échapper à toute imposition, ou du moins qu'il a agi par dol éventuel.
10.4.2. Déterminer ce qu'une personne a su, envisagé, voulu ou accepté relève des constatations de faits, qui lient le Tribunal fédéral, à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte (<ref-law> et supra consid. 3.1; cf. <ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 4 s.; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 156; arrêt 2C_508/2014 du 20 février 2015 consid. 5.4.1).
10.4.3. La Cour de justice a laissé ouverte la question de savoir si le recourant avait agi intentionnellement ou par négligence (arrêt attaqué, p. 16). Il sied d'examiner cet élément sur la base des circonstances du cas d'espèce.
Il ressort de l'arrêt attaqué que le contribuable, qui affirmait avoir vécu au Kenya et en France, n'avait versé, pendant la période sous examen (2001 à 2004), aucune contribution fiscale dans ces deux pays. Quant à la Suisse, jusqu'au 15 décembre 2005, jour de l'ouverture d'une procédure en rappel d'impôt et en soustraction d'impôt à son encontre, le recourant n'avait rien entrepris pour que la question de son domicile fiscal soit tranchée. L'autorité précédente a également constaté que, pendant les années fiscales en cause, l'intéressé, qui était employé d'une société genevoise qu'il avait lui-même créée, travaillait essentiellement en Suisse. A ce sujet, il ressort de l'arrêt du Tribunal fédéral 2C_924/2014 précité que le recourant était "l'âme" de la société en question, laquelle avait été créée pour que celui-ci "puisse non seulement travailler [...] mais aussi s'épanouir socialement" (arrêt 2C_924/2014 du 12 mai 2015 consid. 5.3). Cet arrêt retient que le centre des intérêts privés et professionnels du contribuable était dans le canton de Genève, le recourant n'ayant pas pu démontrer avoir déplacé ceux-ci en France comme il le prétendait. En outre, l'intéressé logeait en Suisse "le plus souvent" dans des appartements de "trois ou quatre pièces", qui étaient loués en son nom et qui - contrairement à ce que soutenait le recourant - ne pouvaient être considérés comme de simples "logements de fonction" (arrêt 2C_924/2014 du 12 mai 2015 consid. 5.3).
Dans ces circonstances, force est de constater que, s'agissant des années fiscales 2001 à 2004, le recourant ne pouvait considérer de bonne foi que son assujettissement illimité à l'impôt en Suisse était exclu. Tel que le relève à juste titre l'arrêt entrepris, la création d'une entreprise implique en effet des connaissances et une pratique du monde des affaires, alors que la situation du contribuable, qui présentait une dimension internationale, aurait dû inciter celui-ci à se renseigner sur ses obligations fiscales en Suisse, pays dans lequel il déployait l'essentiel de son activité et où se trouvait le centre de ses intérêts. Cette conclusion s'imposait d'autant plus que l'intéressé était conscient qu'il ne versait aucune contribution fiscale en France ou au Kenya. Dans ces conditions, le recourant, qui ne s'est pas informé sur la question de son assujettissement fiscal en Suisse et n'a rien entrepris pour que cette question soit clarifiée, a - à tout le moins par dol éventuel - cherché à échapper à toute imposition dans ce pays. L'élément subjectif de l'infraction est donc également réalisé.
10.5. En conclusion, s'agissant des périodes fiscales 2001 à 2004, la Cour de justice n'a pas violé l'<ref-law> en confirmant la condamnation du recourant pour tentative de soustraction fiscale. Sur ce point, le recours doit donc être rejeté.
V/c. Quotité des amendes
11.
Il sied encore de vérifier la quotité des amendes infligées au recourant pour tentative de soustraction d'impôt en relation avec les années fiscales 2001 à 2004.
11.1. Le Tribunal fédéral n'examine le montant de l'amende pour tentative de soustraction d'impôt que sous l'angle de l'excès ou de l'abus du pouvoir d'appréciation. Par conséquent, il n'annule une amende fiscale que si l'instance précédente a abusé ou excédé le cadre pénal, s'est écartée de considérations juridiques ou a arbitrairement fixé une peine trop légère ou trop lourde (arrêt 2C_173/2015 du 22 avril 2016 consid. 9.3.1 et les arrêts cités).
11.2. L'instance précédente a fixé la quotité des amendes pour tentative de soustraction aux deux tiers des montants d'impôt que le contribuable avait tenté de soustraire.
Cette solution ne prête pas le flanc à la critique, dans la mesure où il s'agit de ce qui est prévu en règle générale par la loi (<ref-law>; cf. arrêt 2C_173/2015 du 22 avril 2016 consid. 9.3.1). En outre, il ressort de l'arrêt entrepris, que l'intéressé ne remet pas en question sur ce point sous l'angle de l'arbitraire (<ref-law>; cf. supra consid. 3.1), que, contrairement à ce qu'il affirme de manière appellatoire (recours, p. 22 s.), sa collaboration durant la procédure n'a pas été exemplaire (arrêt attaqué, p. 16 s.). On ne voit ainsi pas en quoi la quotité des amendes procéderait d'un excès ou d'un abus du pouvoir d'appréciation.
11.3. Dans ces circonstances, le recours doit être rejeté en ce qu'il concerne les amendes pour tentative de soustraction d'impôt (périodes fiscales 2001 à 2004) prononcées en lien avec l'IFD.
VI. Impôts cantonal et communal
12.
Les dispositions légales applicables en matière d'ICC ont un contenu analogue aux art. 120, 124, 175 et 176 LIFD (cf. art. 42, 47 al. 1 et 56 LHID, ainsi qu'art. 22, 26 ss et 69 s. LPFisc/GE). Les considérations développées ci-dessus en matière d'IFD s'appliquent donc mutatis mutandis à l'ICC (cf. aussi arrêt 2C_476/2014 du 21 novembre 2014 consid. 12). Partant, pour ce qui est de l'ICC, le recours devra également être admis s'agissant des amendes pour soustraction d'impôt (périodes fiscales 2006 à 2008) et rejeté en ce qu'il concerne les amendes pour tentative de soustraction d'impôt (périodes fiscales 2001 à 2004).
VII. Issue du litige; frais et dépens
13.
13.1. En résumé, tant en ce qui concerne l'IFD que l'ICC, le recours doit être rejeté pour les années fiscales 2001 à 2004 (amendes pour tentative de soustraction d'impôt). Il doit en revanche être admis pour les années fiscales 2006 à 2008 (amendes pour soustraction d'impôt). L'arrêt attaqué sera ainsi réformé, en ce sens que les amendes pour soustraction fiscale en matière d'IFD et d'ICC pour la période 2006 à 2008 sont supprimées. Il sera confirmé pour le surplus.
13.2. Compte tenu de l'issue du litige, le recourant supportera des frais réduits dans la mesure où il obtient gain de cause (<ref-law>); le solde sera supporté par l'autorité intimée, soit pour elle le canton de Genève, dont l'intérêt patrimonial est en cause (<ref-law>). Le recourant, représenté par des mandataires professionnels, aura droit à des dépens dans la même proportion (<ref-law>), à charge du canton de Genève. Aucun dépens ne sera alloué à l'autorité intimée (<ref-law>). L'affaire sera également renvoyée à la Cour de justice pour qu'elle statue à nouveau sur les frais et dépens de la procédure suivie devant elle (cf. art. 67 et 68 al. 5 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis en tant qu'il concerne l'IFD. L'arrêt de la Cour de justice du 10 avril 2018 est réformé en ce sens que les amendes pour soustraction fiscale pour les périodes 2006 à 2008 sont supprimées. L'arrêt attaqué est confirmé pour le surplus.
2.
Le recours est partiellement admis en tant qu'il concerne l'ICC. L'arrêt de la Cour de justice du 10 avril 2018 est réformé en ce sens que les amendes pour soustraction fiscale pour les périodes 2006 à 2008 sont supprimées. L'arrêt attaqué est confirmé pour le surplus.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'500 fr., sont mis à raison de 2'500 fr. à la charge du recourant et de 3'000 fr. à la charge du canton de Genève.
4.
Le canton de Genève versera au recourant une indemnité de 4'000 fr. à titre de dépens réduits.
5.
La cause est renvoyée à la Cour de justice pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, à l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 4ème section, ainsi qu'à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 31 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Ermotti