Sachverhalt:
A.
Die ROLEX SA (Klägerin, Beschwerdeführerin) ist eine Uhrenmanufaktur mit Sitz in Genf. Sie ist Inhaberin diverser im schweizerischen Markenregister eingetragener Marken, die je auch für Uhren Schutz beanspruchen.
Im April 2018 hielt die Eidgenössische Zollverwaltung, Zollinspektorat Zürich, (EZV) unter dem Aktenzeichen xxx eine aus China kommende, an A._ (Beklagter, Beschwerdegegner) adressierte Sendung mit elf mutmasslich gefälschten, mit dem Zeichen "ROLEX" versehene Uhren zurück. A._ hatte zuvorelf Uhren im Internet über die Website Z._ bei einem Anbieter in China bestellt.
Die EZV informierte die ROLEX SA mit Schreiben vom 5. April 2018 über die zurückbehaltene Ware. Die ROLEX SA beauftragte in der Folge den Verband der Schweizerischen Uhrenindustrie mit einer Analyse. Dieser erkannte die zurückbehaltenen Uhren als Fälschungen der Uhrenmodelle "ROLEX Cosmograph Daytona" (dreimal), "ROLEX Datejust" (einmal) und "ROLEX Submariner Date" (siebenmal).
B.
Am 3. Mai 2018 reichte die ROLEX SA beim Handelsgericht des Kantons Zürich Klage ein. Sie stellte - neben einem Antrag auf Anordnung vorsorglicher Massnahmen - folgende Rechtsbegehren:
"1. Die von der Eidg. Zollverwaltung, Zollstelle Zürich-Flughafen unter Aktenzeichen xxx zurückbehaltene Sendung, beinhaltend elf Uhren (inkl. Verpackungen und allfällige Begleitpapiere), sei einzuziehen und zu vernichten;
2. Dem Beklagten sei, unter Androhung der Bestrafung im Falle einer jeden Widerhandlung gemäss <ref-law> (Busse), zu verbieten, Uhren, Uhrenteile (insbesondere Zifferblätter, Uhrenarmbänder und Uhrenbeweger) und Accessoires (insbesondere Uhrenetuis), welche mit einer oder mehreren der Marken
ROLEX (CH P-569 821),
(CH P-404 024),
(CH 2P-320 568),
(CH 2P-357 812),
(CH 2P-341 171),
(CH 2P-340 928),
OYSTER (CH 2P-344 913),
OYSTER PERPETUAL (CH 2P-298 061),
COSMOGRAPH (CH P-404 407),
DAYTONA (CH 702 447),
SUBMARINER (CH P-404 411)
und/oder
DATEJUST (CH 2P-336 648)
gekennzeichnet sind und die nicht von der Klägerin stammen, d.h. weder durch die Klägerin selbst noch durch Dritte mit Zustimmung der Klägerin hergestellt wurden, also Nachmachungen sind,
a) in die Schweiz einzuführen, d.h. körperlich vom Ausland in die Schweiz zu verbringen, oder über Dritte in die Schweiz einführen zu lassen, oder sich selbst oder sich über Dritte vom Ausland her auf dem Postweg in die Schweiz zusenden zu lassen oder bei einer dieser Handlungen mitzuwirken;
b) in der Schweiz anzubieten, in Verkehr zu bringen oder zu diesem Zweck zu lagern oder bei einer dieser Handlungen mitzuwirken.
3. Der Beklagte sei, unter Androhung einer Ordnungsbusse gemäss <ref-law> von CHF 1'000.-- für jeden Tag der Nichterfüllung, zu verpflichten, der Klägerin zu den Gegenständen der unter Aktenzeichen xxx von der Eidg. Zollverwaltung, Zollstelle Zürich-Flughafen zurückbehaltenen Sendung sowie zu sämtlichen in seinem Besitz befindlichen Gegenständen, die mit einer oder mehreren der unter Rechtsbegehren 2 genannten Marken gekennzeichnet sind und die nicht von der Klägerin stammen, d.h. weder durch die Klägerin selbst noch durch Dritte mit Zustimmung der Klägerin hergestellt wurden, also Nachmachungen sind, folgende Angaben innert 15 Tagen schriftlich zukommen zu lassen:
- Herkunftsland und Zeitpunkt der Einfuhr;
- Name und Adresse der Hersteller, Lieferanten, Kontaktpersonen und Vorbesitzer dieser Gegenstände;
- Kaufpreis;
- (soweit der Gegenstand nicht mehr im Besitze des Beklagten ist) Name und Adresse der Person oder des Unternehmens, an die bzw. das der Gegenstand zu gewerblichen Zwecken weitergegeben wurde sowie die jeweils erhaltenen Gegenleistungen, insbesondere - soweit vereinbart - Verkaufspreis oder andere entgeltliche Gegenleistungen.
Mit Urteil vom 5. Juni 2019 ordnete das Handelsgericht die Einziehung und Vernichtung der von der EZV unter Aktenzeichen xxx zurückbehaltenen Sendung an (Dispositiv-Ziffer 1). Die in Rechtsbegehren-Ziffer 2 und -Ziffer 3 erhobene Unterlassungs- und Auskunftsklage wies es ab (Dispositiv-Ziffer 2 und 3).
C.
Die ROLEX SA verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben. In der Sache wiederholt sie ihre vor Handelsgericht gestellten Anträge. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde bezogen auf Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Urteils, vorab superprovisorisch, die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Handelsgericht verzichtete auf Vernehmlassung. A._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Mit Präsidialverfügung vom 15. August 2019 wurde der Beschwerde bezogen auf die Anordnung in Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Urteils superprovisorisch die aufschiebende Wirkung erteilt und die EZV superprovisorisch angewiesen, die Sendung weiterhin zurückzubehalten. Die mit dieser Verfügung angeordnete aufschiebende Wirkung beziehungsweise die damit erfolgte Anweisung an die EZV wurde mit Präsidialverfügung vom 2. Oktober 2019 bestätigt.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid des Handelsgerichts hat eine Zivilrechtsstreitigkeit im Zusammenhang mit geistigem Eigentum gemäss <ref-law> zum Gegenstand. Es ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert.
1.2.
1.2.1. Die Beschwerdeführerin beantragt ohne Einschränkung, das angefochtene Urteil sei aufzuheben. Die Vorinstanz ordnete in Dispositiv-Ziffer 1 die Einziehung und Vernichtung der zurückbehaltenen Sendung an und entschied damit in diesem Punkt wie von der Beschwerdeführerin in Rechtsbegehren-Ziffer 1 ihrer Klage beantragt. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Beschwerdeführerin ein Rechtsschutzinteresse daran hätte, das Urteil auch diesbezüglich anzufechten. Das Gleiche gilt, soweit sie den Antrag auf Einziehung und Vernichtung der zurückbehaltenen Sendung in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht in Rechtsbegehren-Ziffer 2.1 erneut erhebt. Insoweit kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
1.2.2. Der Beschwerdegegner meint, die Beschwerdeführerin habe auch an ihrem Auskunftsbegehren (Rechtsbegehren-Ziffer 3 der Klage) kein schutzwürdiges Interesse. Er habe im Schriftenwechsel vor Vorinstanz "eingehend dargetan, wo und wie" er Uhren im Internet bestellt habe. Gestützt auf diese - ohne Aktenhinweis - vorgetragene Behauptung kann allerdings nicht auf ein mangelndes Interesse der Beschwerdeführerin an der Bekanntgabe der von ihr verlangten Informationen geschlossen werden.
1.3. Der Beschwerdegegner kritisiert, das Bundesgericht sei nicht unabhängig und nicht unparteiisch. Er rügt eine Verletzung von Art. 6 in Verbindung mit Art. 18 EMRK sowie von Art. 17 in Verbindung mit Art. 35 EMRK.
1.3.1. Zur Begründung nennt er im Wesentlichen eine "politische Beeinflussung" des Bundesgerichts. Dieses ignoriere Rügen, die im Zusammenhang mit der EMRK stünden, oder erwäge diese "bestenfalls nur selektiv". Er zählt Urteile des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte auf, die das bundesgerichtliche "Vorgehen" belegen sollen, und wirft dem Bundesgericht vor, durch "systematisches und absichtliches Vorgehen [...] die Konvention ausser Kraft zu setzen" und "das Beschwerderecht systematisch als Ganzes" zu vereiteln.
Der Anwalt des Beschwerdegegners trägt diese Kritik regelmässig in seinen Beschwerden an das Bundesgericht vor und dieses hat sich in zahlreichen Urteilen bereits ausführlich und abschlägig damit auseinandergesetzt. Es kann an dieser Stelle auf die ergangene Rechtsprechung verwiesen werden (statt vieler Urteile 6B_547/2019 vom 18. September 2019 E. 1.2.3; 5D_154/2018 vom 17. Januar 2019 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.3.2. Der Beschwerdegegner führt weiter aus, die Beschwerdeführerin sei eine schweizerische Uhrenherstellerin. Es sei "denkbar", dass das Verfahren "aus politischer Sicht dazu genutzt werden könnte, durch die Verurteilung des Beschwerdeführers [recte: des Beschwerdegegners] prophylaktisch andere Internetnutzer vom Erwerb von Uhren abzuhalten". Diese Mutmassung ist nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit oder der Voreingenommenheit der im konkreten Fall mitwirkenden Gerichtspersonen zu erwecken.
1.3.3. Auf das offensichtlich untauglich begründete Ausstandsbegehren ist nicht einzutreten, wobei die vom Ablehnungsbegehren (mit-) betroffenen Gerichtspersonen mitwirken können (vgl. <ref-ruling> E. 1c).
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Diese Begründungsanforderungen gelten auch für die Beschwerdeantwort, wenn darin Erwägungen der Vorinstanz beanstandet werden, die sich für die im kantonalen Verfahren obsiegende Partei ungünstig auswirken können (<ref-ruling> E. 2 S. 89 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
2.3. Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4.2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE <ref-ruling> E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2.3 S. 266 f.; <ref-ruling> E. 2b).
3.
Die Beschwerdeführerin beanstandet eine offensichtlich unrichtige Feststellung des Sachverhalts.
3.1. Die Vorinstanz erwog in Bezug auf das Begehren um Einziehung und Vernichtung der beschlagnahmten Sendung was folgt:
"Der nicht zu gewerblichen Zwecken handelnde Beklagte ist [...] für den geltend gemachten Beseitigungsanspruch auf Einziehung und Vernichtung hingegen nicht passivlegitimiert, hat er sich doch auch nie der Vernichtung widersetzt. Ein Vernichtungsantrag gemäss <ref-law> wurde nämlich gar nicht erst gestellt."
Im Ergebnis ordnete sie - wie von der Beschwerdeführerin verlangt - die Einziehung und Vernichtung der Sendung an. Mangels Passivlegitimation des Beschwerdegegners auferlegte sie die Prozesskosten indes vollumfänglich der Beschwerdeführerin.
3.2. Die Beschwerdeführerin kritisiert, die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung, wonach sie keinen Vernichtungsantrag gestellt habe, sei aktenwidrig. Die Vernichtung der Ware sei von ihr beantragt worden, was sie prozesskonform dargetan habe. Dies sei für den Ausgang des Verfahrens deshalb entscheidend, weil der Beschwerdegegner "dann [...] (auch) für den von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Beseitigungsanspruch (Einziehung und Vernichtung der Sendung) passivlegitimiert wäre".
3.3. Nachdem aber die Einziehung und Vernichtung von der Vorinstanz verfügt wurde, wäre die aufgeworfene Frage höchstens für die Kosten- und Entschädigungsfolgen von Bedeutung. Soweit die Beschwerdeführerin diese anfechten will - was sich aus ihrer Beschwerdeschrift nicht ausdrücklich ergibt -, fehlt es bereits an einem entsprechenden, bezifferten Antrag (vgl. <ref-ruling> E. 1.2 mit Hinweisen).
3.4. Auf die Sachverhaltsrüge der Beschwerdeführerin ist folglich nicht einzutreten.
4.
4.1. Im 4. Abschnitt des 1. Kapitels des 1. Titels des MSchG (SR 232.11) ist der Inhalt des Markenrechts geregelt. Demnach verleiht das Markenrecht dem Inhaber das ausschliessliche Recht, die Marke zur Kennzeichnung der Waren oder Dienstleistungen, für die sie beansprucht wird, zu gebrauchen und darüber zu verfügen (<ref-law>). Der Markeninhaber kann anderen verbieten, ein Zeichen zu gebrauchen, das nach <ref-law> vom Markenschutz ausgeschlossen ist (<ref-law>). Er kann anderen insbesondere verbieten, unter dem Zeichen Waren ein-, aus- oder durchzuführen (<ref-law>). Dieser markenrechtliche Ausschliesslichkeitsanspruch ist grundsätzlich auf den gewerbsmässigen Bereich beschränkt und hindert den bloss privaten Gebrauch eines Kennzeichens nicht (siehe Urteil 4C.376/2004 vom 21. Januar 2005 E. 3.5; sog. "gewerblicher Rechtsschutz"). Eine Ausnahme sieht <ref-law> vor. Nach dieser Bestimmung stehen die Ansprüche gemäss <ref-law> dem Markeninhaber auch dann zu, wenn die Ein-, Aus- oder Durchfuhr von gewerblich hergestellten Waren zu privaten Zwecken erfolgt.
4.2. Der 3. Titel des MSchG beschlägt den Rechtsschutz.
Dazu gehört der zivilrechtliche Schutz (1. Kapitel; <ref-law>). Gemäss <ref-law> kann, wer in seinem Recht an der Marke oder an einer Herkunftsangabe verletzt oder gefährdet wird, vom Richter unter anderem verlangen: eine drohende Verletzung zu verbieten (lit. a); den Beklagten zu verpflichten, Herkunft und Menge der in seinem Besitz befindlichen Gegenstände, die widerrechtlich mit der Marke oder der Herkunftsangabe versehen sind, anzugeben und Adressaten sowie Ausmass einer Weitergabe an gewerbliche Abnehmer zu nennen (lit. c). <ref-law> behält die Klagen nach dem Obligationenrecht auf Schadenersatz, auf Genugtuung sowie auf Herausgabe eines Gewinns entsprechend den Bestimmungen über die Geschäftsführung ohne Auftrag vor. <ref-law> hält weiter fest, dass der Richter die Einziehung von Gegenständen, die widerrechtlich mit einer Marke oder einer Herkunftsangabe versehen sind, oder der vorwiegend zu ihrer Herstellung dienenden Einrichtungen, Geräte und sonstigen Mittel anordnen kann.
Während das 2. Kapitel (des 3. Titels) Strafbestimmungen enthält, regelt das 3. Kapitel (des 3. Titels) schliesslich die Hilfeleistung der Zollverwaltung. Dazu gehört insbesondere ein vereinfachtes Verfahren zur Vernichtung von Waren, die von der Zollverwaltung zurückbehalten wurden (<ref-law>).
5.
5.1. Die Vorinstanz hielt einleitend fest, die in Frage stehenden, gefälschten "ROLEX"-Uhren stellten "unbestritten eine Markenrechtsverletzung" dar. Sodann erwog sie was folgt:
5.2. Im Grundsatz erfasse das markenrechtliche Ausschliesslichkeitsrecht nur den gewerbsmässigen Gebrauch einer Marke. Dabei habe die Beschwerdeführerin als Markeninhaberin zu beweisen, dass der Gebrauch einer Marke gewerbsmässig erfolgt sei. Dies sei ihr nicht gelungen. Der Umstand, dass elf Uhren geliefert worden seien, indiziere zwar eine Bestellung zu gewerblichen Zwecken. Indes erscheine nicht abwegig, dass der Beschwerdegegner die verschiedenen Uhren - die grösstenteils ein unterschiedliches Design aufwiesen - jeweils abwechselnd mit entsprechender Kleidung tragen wolle. Zudem sei plausibel, dass er eine solche Anzahl Uhren mit Blick auf die nur einmal anfallenden Versandkosten zusammen bestellt habe. Es lägen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass der Beschwerdegegner bereits zu einem früheren Zeitpunkt in ähnlicher oder gleicher Weise entsprechende Uhrenfälschungen in die Schweiz eingeführt habe.
Art. 13 Abs. 2 bis MSchG erfasse auch den zu privaten Zwecken tätigen Konsumenten. Indes habe es nicht dem Willen des Gesetzgebers entsprochen, in diesem Zusammenhang sämtliche zivilrechtlichen Klageansprüche zuzulassen. Die bundesrätliche Botschaft spreche nur vom "Verbietungsrecht", der Möglichkeit, die Waren gegebenenfalls einziehen zu lassen, sowie von den "Rechtsbehelfen im Bereich der Hilfeleistung der Zollbehörden". In Bezug auf die zivilrechtlichen Klagen gemäss <ref-law> sowie die Einziehung im Zivilverfahren nach <ref-law> sei der zu privaten Zwecken handelnde Konsument indes nicht passivlegitimiert.
5.3. In Frage komme daher - so die Vorinstanz weiter - einzig ein Vorgehen nach <ref-law>. Wenn sich ein Konsument einem vom Markeninhaber gestellten Vernichtungsantrag gemäss <ref-law> widersetze, könne über die Vernichtung in einem zivilrechtlichen Verfahren entschieden werden. Nur in diesem Fall sei die Passivlegitimation des zu privaten Zwecken handelnden Konsumenten zu bejahen und stünde die Beseitigungsklage gemäss <ref-law> auf Einziehung und Vernichtung offen.
5.4. Die Vorinstanz schliesst, es müsse ihr "nun aber dennoch möglich sein, über das Schicksal der in Frage stehenden markenrechtsverletzenden und nach wie vor an der Grenze sichergestellten Uhren zu entscheiden". Die Uhren seien "folglich" einzuziehen und - da weder Unkenntlichmachen der Marken noch eine bestimmte gesetzmässige Verwendung in Frage komme - zu vernichten. Die von der Beschwerdeführerin erhobenen Leistungsklagen im Sinne von <ref-law> wies sie indes ab.
6.
Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von Art. 13 Abs. 2 bis MSchG. Sie meint, auch bei einer Handlung, die unter Art. 13 Abs. 2 bis MSchG falle, weil die Ein-, Aus- oder Durchfuhr von gewerblich hergestellten Waren zu privaten Zwecken erfolge, stünden dem Markeninhaber die Klagen gemäss <ref-law> zur Verfügung.
7.
7.1. Art. 13 Abs. 2 bis MSchG wurde im Rahmen der im Jahr 2007 verabschiedeten Revision des Patentgesetzes als Massnahme zur Bekämpfung von Fälschung und Piraterie beschlossen. Zu den Hintergründen lässt sich der Botschaft des Bundesrats die Feststellung entnehmen, dass Piraterieprodukte nicht nur im Rahmen grosser Lieferungen den Weg ins Inland fänden, sondern vermehrt auch in geringen Mengen von Einzelpersonen eingeführt würden (sog. Kapillarimporte), etwa im Reisegepäck. Auch wenn es im Einzelfall jeweils um geringe Mengen gehe, fielen diese Kapillarimporte in ihrer Gesamtheit durchaus ins Gewicht. Ausserdem stimuliere die Nachfrage von Einzelpersonen nach Piraterieprodukten das Angebot zusätzlich, was eine Bekämpfung des Phänomens weiter erschwere (Botschaft vom 23. November 2005 zur Änderung des Patentgesetzes und zum Bundesbeschluss über die Genehmigung des Patentrechtsvertrags und der Ausführungsordnung [nachfolgend: Botschaft], BBl 2006 37 Ziff. 1.4.2). Aus diesem Grund solle das in <ref-law> verankerte Ausschliesslichkeitsrecht des Markeninhabers auf gewerblich hergestellte Waren ausgedehnt werden, die zu privaten Zweckenein-, aus- oder durchgeführt würden (Botschaft, BBl 2006 132 Ziff. 2.4.4.3).
Das Verbietungsrecht sei dabei - so die Überlegungen des Bundesrats - auf Vorgänge an der Grenze zu beschränken. Dadurch werde erreicht, dass Piraterieprodukte vom schweizerischen Markt ferngehalten beziehungsweise von den Zollbehörden gegebenenfalls eingezogen werden könnten. Private, die im Besitz widerrechtlich hergestellter Waren seien, müssten jedoch nicht befürchten, auch im Inland jederzeit vom Markeninhaber belangt werden zu können (Botschaft, BBl 2006 132 Ziff. 2.4.4.3).
7.2. Die vom Bundesrat vorgeschlagene Regelung stiess noch während des gesetzgeberischen Verfahrens auf Kritik in der Lehre (vgl. CALAME/THOUVENIN, Revision des Patentgesetzes, in: Jusletter 13. März 2016, Rz. 56 f.; BENDICHT LÜTHI, Der markenrechtliche Wolf im Schafspelz der Patentrechtsrevision - Gedanken zur Ausdehnung der Ausschliesslichkeitsrechte auf den privaten Gebrauch, in: sic! 2007, S. 144 ff.), die sich auch nach Inkraftsetzung der Gesetzesänderung fortsetzte (etwa bei DAVID RÜETSCHI, Die Einfuhr markenverletzender Ware zum privaten Gebrauch [Art. 13 Abs. 2 bis MSchG] - Rechtsfolgen einer atypischen Verletzungshandlung, in: sic! 2010, S. 475 ff.; THOUVENIN/DORIGO, in: Noth/Bühler/Thouvenin [Hrsg.], Markenschutzgesetz [MSchG], 2. Aufl. 2017, Rz. 88 ff. zu <ref-law>).
Diese Autoren beanstandeten, dass mit dem Verbot von Kapillarimporten erstmals rein private Tätigkeiten markenrechtlich erfasst würden. Dies sei im - auf gewerblichen Rechtsschutz zielenden - Markenrecht systemwidrig, zumal in Art. 9 Abs. 1 lit. a des (dannzumal in Revision begriffenen) Patentgesetzes (SR 232.14) die Zulässigkeit privater Handlungen gerade ausdrücklich normiert werde. Es sei zudem inkonsequent, allein auf den Grenzübertritt abzustellen, den privaten Gebrauch im Inland indes zuzulassen. Die Bestimmung führe weiter zum stossenden Resultat, dass ein Käufer, der bei Erwerb eines Produkts im Ausland nicht um die Markenrechtsverletzung wisse, beim Grenzübertritt die Vernichtung der Ware entschädigungslos hinnehmen müsse. Faktisch müsse ein Käufer von mit Marken versehenen Waren im Ausland daher sämtliche schweizerische Marken (und die Rechtsprechung zur Beurteilung der Verwechslungsgefahr) kennen, um das Risiko einer Vernichtung auszuschliessen (vgl. CALAME/ THOUVENIN, a.a.O., Rz. 57; LÜTHI, a.a.O., S. 146 f.).
Schliesslich wurde auf Beweisprobleme hingewiesen, welche die vorgeschlagene Regelung nach sich zöge, insbesondere mit Bezug auf das Tatbestandsmerkmal der "gewerblich hergestellten" Ware. Die Markeninhaberin werde regelmässig keine Kenntnis davon haben können, wer die eingeführte (gefälschte) Ware hergestellt habe, zumal der Hersteller oft im Ausland ansässig sei. In der Praxis werde sich daher eine natürliche Vermutung bilden, wonach gekonnte Produktenachahmungen als gewerblich hergestellt vermutet würden. Es sei dann am Einführenden, dies zu widerlegen, was ihm kaum je gelingen werde (siehe hierzu insbesondere LÜTHI, a.a.O., S. 148 f.).
7.3. In den parlamentarischen Debatten wurde Art. 13 Abs. 2 bis MSchG nicht im Einzelnen thematisiert, in der Eintretensdebatte indes die Bedeutung wirksamer Massnahmen zur Bekämpfung der Piraterie hervorgehoben (Votum Kommissionssprecher Hess, AB 2007 S 435). Die Bestimmung ist in der vom Bundesrat vorgeschlagenen Fassung Gesetz geworden.
Eine Art. 13 Abs. 2 bis MSchG entsprechende Regel fand im Zuge der gleichen Revision in Art. 9 Abs. 1 bis Aufnahme ins DesG (SR 232.12).
8.
8.1. Das Verhältnis von Art. 13 Abs. 2 bis MSchG zu den im MSchG vorgesehenen zivilrechtlichen Rechtsbehelfen und insbesondere zu <ref-law> ist durch Auslegung zu ermitteln (siehe dazu <ref-ruling> E. 6.6, 109 E. 5.1; je mit Hinweisen).
8.1.1. Wortlaut und Systematik sprechen für die von der Beschwerdeführerin postulierte Lösung:
Art. 13 Abs. 2 bis MSchG hält einschränkungslos fest, dass die Ansprüche nach <ref-law> dem Markeninhaber auch dann zustehen, wenn die Ein-, Aus- oder Durchfuhr von (gewerblich hergestellten) Waren zu privaten Zwecken erfolgt. Damit wird das Verbietungsrecht gemäss <ref-law> - mithin das Recht des Markeninhabers, anderen zu verbieten, ein Zeichen zu gebrauchen - generell auf Kapillarimporte ausgedehnt. Es ist daher auch notwendig, solche Handlungen in <ref-law> ausdrücklich von der Strafbarkeit auszunehmen. Eine entsprechende Einschränkung findet sich in Bezug auf die zivilrechtlichen Rechtsbehelfe nicht, was den Umkehrschluss nahe legt, dass diese auch bei Handlungen im Sinne von Art. 13 Abs. 2 bis MSchG greifen.
<ref-law> setzt weiter ganz allgemein eine Verletzung des Rechts an der Marke voraus und schützt folglich den in <ref-law> definierten Inhalt des Markenrechts, wozu - jedenfalls bei gesetzessystematischer Betrachtung - das Verbot von Kapillarimporten nach Abs. 2 bis gehört (siehe bereits Botschaft vom 21. November 1990 zu einem Bundesgesetz über den Schutz von Marken und Herkunftsangaben, BBl 1991 I 43 zu Art. 52 [heute: Art. 55] MSchG). Dies räumt denn auch die Vorinstanz ein.
8.1.2. Anders als die Vorinstanz argumentiert, stützen auch die Materialien und teleologische Überlegungen diesen Schluss:
Der Gesetzgeber war sich bewusst, dass das schweizerische Immaterialgüterrecht bisher keine Handhabe gegen Handlungen vorsah, welche Privatpersonen zu nicht gewerblichen Zwecken vornahmen. Mit der - in den Dienst einer wirksamen Bekämpfung von Fälschung und Piraterie gestellten - Revision sollte das Ausschliesslichkeitsrecht des Markeninhabers ausdrücklich auf Waren ausgedehnt werden, die zu privaten Zwecken ein-, aus- oder durchgeführt werden (Botschaft, BBl 2006 132 Ziff. 2.4.4.3).
Es ist nicht ohne Weiteres klar, was die Vorinstanz meint, wenn sie ausführt, mit <ref-law> habe der Gesetzgeber "nur" auf den "Verbietungsanspruch", die Einziehungsmöglichkeit und die Hilfeleistung der Zollbehörden gezielt. Zunächst ist in der Botschaft nicht die Rede von einer abschliessenden Aufzählung der Handlungsmöglichkeiten gegen die private Einfuhr von Piraterieprodukten; die Ausführungen werden im Gegenteil durch die Begriffe "insbesondere" und "namentlich" relativiert. Sodann wird in der Botschaft mehrfach die Ausdehnung des Verbietungsrechts - le "droit d'interdiction" beziehungsweise il "diritto di divieto" in den anderen Amtssprachen - auch auf Kapillarimporte betont (Botschaft, BBl 2006 132 Ziff. 2.4.4.3). Damit ist der Inhalt des Markenrechts, wie er in <ref-law> umschrieben wird, gemeint. Dieses "Verbietungsrecht" als solches gibt dem Markeninhaber indes keine Instrumente zur Durchsetzung seiner Rechte in die Hand. Diese ergeben sich erst im Zusammenspiel mit den <ref-law>. Wenn die Vorinstanz einem Markeninhaber einzig einen "Verbietungsanspruch" zuerkennen will, ohne daran Rechtsdurchsetzungsrechte zu knüpfen, wählt sie ein Konstrukt, das dem Markeninhaber nichts nützt. Es kann vom Gesetzgeber nicht gewollt sein.
Wenn die Vorinstanz weiter ausführt, der Gesetzgeber habe "nicht die Bestrafung von Privatpersonen" bezweckt, sondern nur verhindern wollen, dass "Piraterieprodukte den Weg über die Grenze auf den schweizerischen Markt" fänden und es folglich "nicht dem Willen des Gesetzgebers entsprochen" haben könne, die zu privaten Zwecken tätigen Konsumenten den zu gewerblichen Zwecken handelnden Personen gleichzustellen, marginalisiert sie die vom Gesetzgeber festgestellte Problematik der Kapillarimporte. Die Gesetzesrevision war auf Konstellationen wie die vorliegende zugeschnitten: Der Gesetzgeber erkannte, dass es im Einzelfall zwar jeweils um geringe, in der Summe indes bedeutsame Mengen gefälschter Waren geht. Gerade weil nicht gewährleistet werden kann, dass derart importierte Waren in privaten Händen bleiben und nicht doch schliesslich den Weg auf den schweizerischen Markt finden, wurde der Schutz an der Grenze ausgebaut (siehe Botschaft, BBl 2006 37 Ziff. 1.4.2; vgl. auch FRANÇOIS DESSEMONTET, La propriété intellectuelle et les contrats de licence, 2. Aufl. 2011, S. 383 f. Rz. 473). Der - von der Vorinstanz für ihre Lösung angeführte - Umstand, dass das Verbietungsrecht nicht mehr greift, wenn die sich bereits im Inland befindliche Ware privat gebraucht wird, ist damit der Grund der vom Gesetzgeber gewählten Regelung. Dass davon nicht nur physisch (etwa im Reisegepäck) in die Schweiz verbrachte, sondern namentlich auch im Internet bestellte und postalisch versandte Waren erfasst sind, wird von der Lehre - soweit ersichtlich - einhellig bejaht (vgl. PHILIPPE GILLIÉRON, in: Commentaire romand, Propriété intellectuelle, 2013, N. 13 zu <ref-law> und dort in Fn. 14; EUGEN MARBACH, Markenrecht, in: SIWR Bd. III/1, 2. Aufl. 2009, S. 450 Rz. 1530). Die für den Importeur damit verbundenen Nachteile sind bei der Schaffung von <ref-law> erkannt worden, wie nicht nur die Botschaft, sondern auch die vor Abschluss des Gesetzgebungsverfahrens erschienenen Publikationen (siehe Erwägung 7.2) zeigen.
8.1.3. Es bleibt daher dabei: Der mit <ref-law> gewährte zivilrechtliche Rechtsschutz knüpft an die Verletzung eines Rechts an der Marke an, die darin besteht, dass ohne Zustimmung des Markeninhabers eine der in <ref-law> umschriebenen Handlungen vorgenommen wird. Dies entspricht auch der herrschenden Lehre (siehe LUCAS DAVID UND ANDERE, Der Rechtsschutz im Immaterialgüter- und Wettbewerbsrecht, SIWR Bd. I/2, 3. Aufl. 2011, S. 507 Rz. 1399 und dort in Fn. 2694; MARKUS R. FRICK, in: Basler Kommentar, Markenschutzgesetz/Wappenschutzgesetz, 3. Aufl. 2017, N. 27 zu <ref-law>; JÜRG HERREN, Das Recht des Marken- und Designrechtsinhabers, die Einfuhr rechtsverletzender Gegenstände auch durch Privatpersonen zu verbieten - eine Entgegnung, in: sic! 2011, S. 27 f.; MICHAEL ISLER, in: Basler Kommentar, Markenschutzgesetz/ Wappenschutzgesetz, 3. Aufl. 2017, N. 46 zu <ref-law>; SIMON JENNI, Rechte und Massnahmen zur Bekämpfung des grenzüberschreitenden Verkehrs mit Markenfälschungen, Bern 2015, S. 49 ff.; ROGER STAUB, in: Noth/Bühler/Thouvenin [Hrsg.], Markenschutzgesetz [MschG], 2. Aufl. 2017, N. 8 und 23 zu <ref-law>; TISSOT/ KRAUS/SALVADÉ, Propriété intellectuelle, Bern 2019, S. 364 Rz. 1135; anderer Ansicht: RÜETSCHI, a.a.O., S. 476 f.; RALPH SCHLOSSER, in: Commentaire romand, Propriété intellectuelle, 2013, N. 4 zu <ref-law>). Die Klagen nach <ref-law> setzen dabei kein Verschulden voraus (vgl. FRICK, a.a.O., N. 5 zu <ref-law>; siehe auch DAVID UND ANDERE, a.a.O., S. 109 Rz. 258; SCHLOSSER, a.a.O., N. 6 zu <ref-law>). Auch der zu privaten Zwecken tätige Importeur kann daher grundsätzlich ohne subjektiv vorwerfbares Verhalten ins Recht gefasst werden (soweit nicht eine Klage ein Verschulden voraussetzt, wie namentlich in den Fällen von Art. 55 Abs. 2MSchG). Auch darauf wurde im Rahmen der Schaffung von <ref-law> aufmerksam gemacht (vgl. LÜTHI, a.a.O., S. 146 f.). Es hilft dem Beschwerdegegner daher in diesem Zusammenhang nicht, wenn er wiederholt behauptet, es sei ihm nicht nachgewiesen worden, "wissentlich und willentlich" gefälschte "ROLEX"-Uhren in die Schweiz eingeführt zu haben.
8.2. <ref-law> setzt weiter voraus, dass die ein-, aus- oder durchgeführten Waren gewerblich hergestellt worden sind. Ausweislich der Botschaft sollen damit "Privatkopien", das heisst von Privaten ohne gewerbliche Absicht zum Eigengebrauch hergestellte Kopien ausgeklammert werden (Botschaft, BBl 2006 132 Ziff. 2.4.4.3). Damit fallen im Wesentlichen selbst hergestellte Waren und nicht auf Vorrat produzierte spontane Einzelanfertigungen ausser Betracht (ISLER, a.a.O., N. 48 zu <ref-law>; siehe auch LÜTHI, a.a.O., S. 148; nach JENNI, a.a.O., S. 49, und THOUVENIN/DORIGO, a.a.O., N. 93 zu <ref-law>, handelt es sich um eine "marginale Einschränkung"). Mit Blick auf die Sachverhaltsfeststellungen des Handelsgerichts und die Vorbringen des Beschwerdegegners im vorinstanzlichen Verfahren steht nicht in Frage, dass die zurückbehaltenen Uhren - des Herstellers B._ (so der Beschwerdegegner) - gewerblich hergestellt wurden.
8.3. Die Kritik der Beschwerdeführerin am angefochtenen Urteil ist insoweit begründet. Damit erübrigt es sich, zu ihrem Einwand Stellung zu nehmen, wonach die Vorinstanz auch das Vorliegen von gewerbsmässigem Gebrauch der Marke zu Unrecht verneint habe. Denn der Anwendungsbereich von <ref-law> ist gestützt auf <ref-law> ohnehin eröffnet. Zu prüfen bleibt, wie es sich mit den von der Beschwerdeführerin geltend gemachten Ansprüchen im Einzelnen verhält.
9.
9.1. Die Beschwerdeführerin verlangt, eine drohende Verletzung zu verbieten (Rechtsbegehren-Ziffer 2 der Klage) und den Beschwerdegegner zur Auskunftserteilung zu verurteilen (Rechtsbegehren-Ziffer 3 der Klage). Das Unterlassungsbegehren wies das Handelsgericht mangels schutzwürdigen Interesses und mangels Passivlegitimation ab. Das Auskunftsbegehren wies es mit der Begründung ab, der Beschwerdegegner sei nicht passivlegitimiert.
9.2. Zur Passivlegitimation verwies die Vorinstanz auf ihre Ausführungen zu <ref-law>, wonach einem Markeninhaber die zivilrechtlichen Klageansprüche gegen einen zu privaten Zwecken handelnden Konsumenten nicht offen stünden. Nachdem sich diese Begründung als bundesrechtswidrig erwies (Erwägung 8.1), trägt sie auch zur Abweisung der Unterlassungs- und Auskunftsklage nicht.
9.3. Betreffend das Unterlassungsbegehren verneinte die Vorinstanz auch das Vorliegen eines schutzwürdigen Interesses.
9.3.1. Die Anordnung eines Verbots nach <ref-law> setzt ein Rechtsschutzinteresse voraus. Ein rechtlich geschütztes Interesse an einer Unterlassungsklage besteht nur, wenn eine Verletzung droht, das heisst wenn das Verhalten des Beklagten die künftige Rechtsverletzung ernsthaft befürchten lässt. Indiz für einen bevorstehenden Eingriff kann sein, dass gleichartige Eingriffe in der Vergangenheit stattgefunden haben und eine Wiederholung zu befürchten ist. Wiederholungsgefahr kann regelmässig angenommen werden, wenn der Verletzer die Widerrechtlichkeit des beanstandeten Verhaltens bestreitet, ist doch in einem solchen Fall zu vermuten, dass er es im Vertrauen auf dessen Rechtmässigkeit weiterführen wird (<ref-ruling> E. 2e; <ref-ruling> E. 2a S. 74; Urteil 4A_38/2014 vom 27. Juni 2014 E. 2.3.1, nicht publ. in: <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Die Vermutung der Wiederholungsgefahr kann durch den Verletzer widerlegt werden, wenn er Umstände dartut, die eine Wiederholung im konkreten Fall ausschliessen oder als unwahrscheinlich erscheinen lassen. An die Beseitigung der Vermutung sind jedoch strenge Anforderungen zu stellen. Sie wird weder durch die Einstellung der Verletzung umgestossen noch durch die blosse Erklärung des Beklagten, von künftigen Verletzungen Abstand zu nehmen, wenn nicht gleichzeitig der Anspruch des Klägers anerkannt wird (<ref-ruling> E. 2b; Urteil 4A_529/2008 vom 9. März 2009 E. 4.1).
9.3.2. Die Vorinstanz erwog, es könne dem Beschwerdegegner nicht nachgewiesen werden, dass er mit seiner Bestellung gefälschte "ROLEX"-Uhren in die Schweiz habe einführen wollen, insbesondere da die im Internet angebotenen Uhren ohne Markenbezeichnung abgebildet gewesen seien und er nicht damit habe rechnen müssen, dass Uhren mit den in Frage stehenden Wort- und Bildmarken geliefert werden würden. Dass die Einfuhr gefälschter "ROLEX"-Uhren eine Markenrechtsverletzung darstelle, werde von ihm denn auch nicht bestritten. Es lägen keine Anhaltspunkte dafür vor, dass der Beschwerdegegner weitere Bestellungen dieser Art tätigen werde.
9.3.3. Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt und gestützt darauf das Vorliegen einer Wiederholungsgefahr zu Unrecht verneint. Die vom Beschwerdegegner bestellten Uhren seien offensichtlich gefälscht, was diesem bereits bei der Bestellung habe klar sein müssen. Die Beschwerdeführerin nennt hierfür drei Gründe: Erstens ergebe sich aus den vom Beschwerdegegner selbst eingereichten Belegen, dass die bestellten Uhren auf der Online-Plattform Z._ als Luxusuhren und "Simulation", indes zum Preis von je rund EUR 7.-- angepriesen worden seien. Zweitens trügen die Uhren gemäss den vom Beschwerdegegner ins Recht gelegten Fotografien auf dem Zifferblatt den Hinweis "SWISS MADE". Drittens fänden sich auf der Online-Plattform Z._ unter dem vom Beschwerdegegner erwähnten Herstellernamen B._ Kundenbewertungen, aus denen explizit hervorgehe, dass die angebotenen Uhren Falsifikate von "ROLEX"-Uhren seien. Indem der Beschwerdegegner aber bestreite, gefälschte Uhren bestellt zu haben, bestreite er auch die Widerrechtlichkeit des von ihr beanstandeten Verhaltens.
9.3.4. Der Beschwerdegegner stellt sich dagegen - wie schon im vorinstanzlichen Verfahren - auf den Standpunkt, er habe nicht "gefälschte Uhren der Marke ROLEX", sondern "Uhren ohne Markennamen" auf dem Zifferblatt bestellt. Für den Umstand, dass sich im beschlagnahmten Paket schliesslich doch gefälschte "ROLEX"-Uhren befunden hätten, sei er "nicht verantwortlich". Er meint, die Auffassung der Beschwerdeführerin habe zur Folge, dass einem Internetnutzer faktisch verboten werde, Armbanduhren zu bestellen, da damit immer das Risiko verbunden sei, unwissentlich gefälschte Uhren zu erhalten.
9.3.5. Zunächst ist nicht zu beanstanden, wenn das Handelsgericht in seinen Erwägungen zur Wiederholungsgefahr berücksichtigte, ob der Beschwerdegegner um die Rechtsverletzung wusste. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin knüpfte es damit das - grundsätzlich verschuldensunabhängig gewährte - Klagerecht in <ref-law> nicht an ein Verschulden des Verletzers, sondern zog aus dessen bisherigem Verhalten Rückschlüsse auf die Wiederholungsgefahr. Dies ist grundsätzlich zulässig (siehe Urteil 4C.238/2003 vom 2. Juni 2004 E. 2.3).
Die Vorinstanz stellte zu diesem Punkt - wie erwähnt - fest, der Beschwerdegegner habe nicht wissen können, dass Uhren mit den Wort- und Bildmarken der Beschwerdeführerin geliefert werden würden. Dies hält einer Überprüfung unter Willkürgesichtspunkten stand. Die Vorinstanz räumte zwar selbst ein, es könne "nicht ernsthaft in Abrede gestellt werden", dass die auf Z._ angebotenen Uhren Merkmale einer Fälschung aufwiesen. In der Tat fragt sich mit Blick auf die Vorbringen der Beschwerdeführerin im vorinstanzlichen Verfahren, ob nicht eher ihre Sachdarstellung vorzuziehen gewesen wäre. Als geradezu willkürlich ist die Würdigung der Vorinstanz gleichwohl nicht zu bezeichnen. Aus den Ausführungen der Beschwerdeführerin ergibt sich in erster Linie, dass der Beschwerdegegner nicht mit der Lieferung einer von ihr hergestellten Uhr rechnen durfte. Umgekehrt ist es nicht offensichtlich unhaltbar, wenn die Vorinstanz daraus nicht den Schluss gezogen hat, der Beschwerdegegner habe bewusst Uhren bestellt, auf denen Marken der Beschwerdeführerin angebracht sind. Daran ändert auch das Vorbringen nichts, auf Z._ seien betreffend den vom Beschwerdegegner erwähnten Hersteller B._ "unzählige Kundenbewertungen" mit Fotografien der tatsächlich ausgelieferten Uhren zu finden, auf denen Marken der Beschwerdeführerin zu sehen seien.
Entscheidend ist aber ohnehin die Feststellung der Vorinstanz, es lägen keine Anhaltspunkte vor, die weitere Bestellungen des Beschwerdegegners indizierten. Dies weist die Beschwerdeführerin nicht als willkürlich aus, wenn sie auf verschiedene vom Beschwerdegegner ins Recht gelegte Bestellbestätigungen und Fotografien verweist und daraus schliesst, er habe schon mehrfach "entsprechende Bestellungen" vorgenommen. Hinzu kommt, dass der Beschwerdegegner gemäss den (für das Bundesgericht verbindlichen) Feststellungen des Handelsgerichts zum Prozesssachverhalt die Rechtswidrigkeit des von der Beschwerdeführerin vorgeworfenen Verhaltens - die "Einfuhr gefälschter Uhren" - im vorinstanzlichen Verfahren nicht bestritten, sondern geltend gemacht hat, er habe Uhren ohne Markenbezeichnungen bestellt.
9.3.6. Die Beschwerdeführerin erhebt in diesem Zusammenhang auch die Rüge, das Handelsgericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör und <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> sowie <ref-law> verletzt. Sie führt aus, der Beschwerdegegner habe im vorinstanzlichen Verfahren behauptet, die Uhren auf der Online-Plattform Z._ bestellt zu haben. Dies sei von ihr bestritten worden. Dennoch habe die Vorinstanz diese Behauptung ihren Erwägungen zugrunde gelegt, statt richtigerweise davon auszugehen, dass der Beweis hierfür misslungen sei. In "Anwendung der allgemeinen Beweisregel von <ref-law>" sei vielmehr davon auszugehen, dass "dem Beschwerdegegner tatsächlich gesendet wurde, was er bestellt hat, also die zurückbehaltenen Uhren". Damit kritisiert die Beschwerdeführerin unter dem Vorwand der Gehörsverletzung die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz, ohne aber Willkür darzutun. Darauf ist nicht einzutreten.
9.3.7. Es ist zusammenfassend nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz der Beschwerdeführerin ein Rechtsschutzinteresse am Unterlassungsbegehren abgesprochen hat.
9.4. Zu den weiteren Voraussetzungen des Auskunftsbegehrens hat sich die Vorinstanz nicht geäussert und keine Feststellungen getroffen. Die Angelegenheit ist daher in diesem Punkt in Anwendung von <ref-law> zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Beschwerdeführerin beantragt für diesen Fall, die Rückweisung sei zu verbinden "mit Erwägungen, die der Vorinstanz als Leitlinie dienen, wie das neue Urteil auszufallen" habe. Hierfür besteht vorliegend kein Raum.
10.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Die Dispositiv-Ziffer 3 des Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 5. Juni 2019, in der über das Auskunftsbegehren entschieden wurde, ist aufzuheben. Die Vorinstanz wird zu entscheiden haben, ob die Voraussetzungen der Auskunftsklage erfüllt sind. Zudem sind die Dispositiv-Ziffern 4, 5 und 6 des angefochtenen Urteils aufzuheben; die Vorinstanz wird über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens erneut zu befinden haben. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Angesichts des Verfahrensausgangs rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen und keine Parteientschädigungen zu sprechen (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Dispositiv-Ziffern 3, 4, 5 und 6 des Urteils des Handelsgerichts des Kantons Zürich vom 5. Juni 2019 werden aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Beurteilung des Auskunftsbegehrens an die Vorinstanz zurückgewiesen.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Handelsgericht des Kantons Zürich und der Eidgenössischen Zollverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Dezember 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle