Sachverhalt:
A.
Der 1971 gebore ne A._ arbeitete bei der Stadt Dübendorf. Im Mai 2013 meldete er sich wegen psychischen Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons St. Gallen tätigte daraufhin verschiedene Abklärungen in erwerblicher und medizinischer Hinsicht. Insbesondere wurden, nachdem berufliche Massnahmen gescheitert waren, weitere medizinische Berichte der behandelnden Ärzte eingeholt, wozu der Regionale Ärztliche Dienst (RAD) Stellung nahm (vgl. u.a. Bericht des Sanatoriums B._ vom 7. September 2015, Stellungnahmen des RAD vom 14. September 2015 und 4. Dezember 2015). Anschliessend sprach die IV-Stelle A._ ab 1. Januar 2014 eine ganze Rente zu (Vorbescheid vom 11. November 2015, Verfügung vom 13. Januar 2016).
B.
Auf die von der Pensionskasse der Stadt Dübendorf erhobene Beschwerde trat das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 27. April 2018 nicht ein.
Die Pensionskasse der Stadt Dübendorf führte dagegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, welche das Bundesgericht mit Urteil 9C_431/2018 vom 16. November 2018 guthiess und den kantonalen Entscheid aufhob sowie die Angelegenheiten zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückwies.
Daraufhin entschied das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen am 27. Juni 2019, dass die von der Pensionskasse der Stadt Dübendorf erhobene Beschwerde abgewiesen werde.
C.
Die Pensionskasse der Stadt Dübendorf führt dagegen Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des kantonalen Entscheids sei die Sache zur materiellen Behandlung und zum Entscheid an die IV-Stelle zurückzuweisen.
A._ schliesst auf Nichteintreten der Beschwerde. Eventualiter sei diese abzuweisen.
Die IV-Stelle und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.
Die Pensionskasse der Stadt Dübendorf äussert sich am 27. November 2019 replikweise zur Eingabe von A._, wozu letzterer mit Eingabe vom 11. Dezember 2019 Stellung nimmt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>), weshalb auch ein Rechtsbegehren reformatorisch gestellt sein muss. Ein rein kassatorisches Begehren ist jedoch zulässig, wenn das Bundesgericht ohnehin nicht in der Sache entscheiden könnte. Dies ist namentlich bei einer ungenügenden Sachverhaltsabklärung durch die Vorinstanz der Fall (Urteil 8C_135/2017 vom 4. September 2017 E. 1 mit Hinweisen). Mit der Beschwerde wird gerügt, dass die Vorinstanz auf ärztliche Einschätzungen abgestellt habe, denen kein Beweiswert zukomme. Das kantonale Gericht habe in Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes auf dieser Grundlage entschieden. Die Beschwerdeführerin hält eine Begutachtung des Versicherten für geboten. Auf die Beschwerde, mit der eine ungenügende Sachverhaltsabklärung gerügt wird, ist - entgegen der Ansicht des Versicherten - einzutreten.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.2. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 2.1). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln eine Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil 9C_728/2018 vom 21. März 2019 E. 2.3 mit Hinweisen), die das Bundesgericht im Rahmen der den Parteien obliegenden Begründungs- bzw. Rügepflicht (<ref-law> und <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 und 1.4.2 S. 254) frei überprüfen kann (<ref-law>).
3.
3.1. Strittig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzt hat, indem sie in Bestätigung der Verfügung der IV-Stelle vom 13. Januar 2016 einen Anspruch des Versicherten auf eine ganze Rente ab 1. Januar 2014 bejahte.
3.2. Das kantonale Gericht legte die massgebenden Rechtsgrundlagen zum Anspruch auf eine Invalidenrente (<ref-law>) und zur Ermittlung der Invalidität gestützt auf die Einkommensvergleichsmethode (Art. 28a Abs. 1 i.V.m. <ref-law>) dar. Darauf wird verwiesen.
Zu ergänzen ist, dass es zur Beurteilung sozialversicherungsrechtlicher Leistungsansprüche verlässlicher medizinischer Entscheidsgrundlagen bedarf, wobei hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes entscheidend ist, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Experten begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232; <ref-ruling> E. 3a S. 352 mit Hinweis).
4.
Die Vorinstanz erwog, die Berichte des Sanatoriums B._ enthielten eine ausführliche Darlegung der subjektiven Klagen des Versicherten und davon abgrenzbar die von den behandelnden Fachärzten erhobenen objektiven klinischen Befunde. Die Fachärzte hätten die Diagnosen und die Arbeitsfähigkeitseinschätzung anhand der objektiven Befunde überzeugend begründet. Der RAD-Arzt habe dies ebenfalls eindeutig als überzeugend qualifiziert. Der Umstand, dass die Fachärzte die traumatisierenden Erlebnisse nicht genau beschrieben hätten, spreche nicht gegen die Überzeugungskraft der Berichte des Sanatoriums B._, hätten diese Ärzte doch die Ereignisse als schwer genug qualifiziert, um die typischen Symptome einer posttraumatischen Belastungsstörung erklären zu können. Damit erachtete das kantonale Gericht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als erstellt, dass der Versicherte an einer posttraumatischen Belastungsstörung (PTBS) leidet. Mit dem RAD-Arzt sei auf die Berichte des Sanatoriums B._ abzustellen, wonach der Beschwerdeführer ab Januar 2013 für sämtliche Tätigkeiten vollständig arbeitsunfähig sei.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin rügt zunächst eine Verletzung des rechtlichen Gehörs, da sich die Vorinstanz nicht oder nicht substanziiert mit ihren Vorbringen auseinandergesetzt habe. Es mag zutreffen, dass sich das kantonale Gericht nicht einlässlich mit dem von der Beschwerdeführerin geltend Gemachten befasst hat. Dem vorinstanzlichen Entscheid können jedoch die Überlegungen entnommen werden, von denen sich das kantonale Gericht hat leiten lassen. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liegt daher nicht vor (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 145; <ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
5.2. Entgegen der Beschwerdeführerin entsteht deshalb auch nicht der Eindruck, die Vorinstanz habe sich nicht mit dem Fall befassen wollen. Dies auch wenn das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen an anderer Stelle zum Ausdruck bringt, dass es das Urteil des Bundesgerichts 9C_431/2018 vom 16. November 2018 nicht nachvollziehen könne, wonach es auf die Beschwerde einzutreten habe.
6.
Weiter ist zu prüfen, ob das kantonale Gericht Bundesrecht verletzt hat, indem es auf die Einschätzung des Sanatoriums B._ abstellte.
6.1.
6.1.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet vor allem, dass die Vorinstanz auf die Diagnosen des Sanatoriums B._ abgestellt hat, insbesondere jene einer PTBS. Mit Hinweis auf <ref-ruling> macht die Beschwerdeführerin geltend, ein Gutachter müsse zwingend Angaben zum auslösenden Trauma machen. Bei einem (Krankheits-) Beginn nach der Latenzzeit von bis zu sechs Monaten erfordere diese zudem eine besondere Begründung. Solche Ausführungen fehlten in den Berichten des Sanatoriums B._. Die Diagnose einer PTBS sei daher entgegen der Vorinstanz in keiner Weise nachvollziehbar und schlüssig. Es treffe zudem nicht zu, dass der RAD-Arzt die Diagnose einer PTBS als überzeugend erachtet habe. Wenn die Vorinstanz die Diagnosekriterien als einer Überprüfung nicht zugänglich erachte, verkenne sie die Bedeutung der Diagnose als grundlegende rechtliche Voraussetzung eines IV-Anspruchs.
Weiter bringt die Beschwerdeführerin vor, dass es den Berichten des Sanatoriums B._ an einer Folgenabschätzung und Plausibilitätsüberprüfung fehle, die vor <ref-ruling> standhalte. Damit habe sich das kantonale Gericht nicht auseinandergesetzt.
6.1.2. Der Versicherte ist hingegen der Meinung, die vorhandenen ärztlichen Berichte seien zuverlässig und aufgrund des gescheiterten beruflichen Wiedereingliederungsversuchs seien auch seine Ressourcen bekannt. Des Weiteren wirft der Versicherte der Beschwerdeführerin ein widersprüchliches, gegen <ref-law> verstossendes Verhalten vor, indem diese sein wiederholtes Angebot einer vertrauensärztlichen Untersuchung ignoriert habe und nun nach erfolgter IV-Rentenzusprache darauf bestehe, dass ein Gutachten unentbehrlich sei.
6.2. Der Versicherte begründet ein widersprüchliches Verhalten der Beschwerdeführerin mit einer Bestimmung des Reglements der Pensionskasse der Stadt Dübendorf, die sich auf die Berufsinvalidität bezieht. Dieser Verweis verfängt jedoch zum Vornherein nicht, da das Bundesgericht im Urteil 9C_308/2016 vom 17. August 2016 festgestellt hat, dass der Versicherte gegenüber der Beschwerdeführerin - wegen einer Anzeigepflichtverletzung ohne Prüfung der Anspruchsvoraussetzungen - keinen Anspruch auf eine Berufsinvalidenrente hat. Die Beschwerdeführerin hatte daher keinen Anlass, eigene Abklärungen betreffend eine Berufsinvalidität in die Wege zu leiten.
6.3.
6.3.1. Die Herleitung und Begründung der Diagnose einer PTBS bedarf einer besonderen Achtsamkeit. Dies gilt zunächst für das Belastungskriterium, mithin das auslösende Trauma. Dieses ist nicht in erster Linie und allein von der Gutachterperson bzw. vom Arzt selbst zu klären aber von diesem zwingend zu referieren. Nebst der für die Bejahung einer PTBS bedeutsamen Schwere des Belastungskriteriums erfordert die Latenzzeit zwischen initialer Belastung und Auftreten der Störung eine eingehende Prüfung. Diese beträgt nach ICD-10 wenige Wochen, bis (sechs) Monate. Besondere Begründung braucht es dabei in jenen Fällen, in denen ganz ausnahmsweise aus bestimmten Gründen ein späterer Beginn berücksichtigt werden soll (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 347). Bei der Folgenabschätzung einer PTBS auf das Leistungsvermögen bzw. die Arbeitsfähigkeit ist ein "konsistenten Nachweis" mittels "sorgfältiger Plausibilitätsprüfung" im Rahmen eines strukturierten Beweisverfahrens unter Verwendung der Standardindikatoren notwendig (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 348).
6.3.2. Die Vorinstanz trug diesen Vorgaben nicht Rechnung: Sie stellte auf die Diagnose einer PTBS ab, ohne dass sich die behandelnden Ärzte zum Belastungskriterium differenziert geäussert haben. Im Bericht des Sanatoriums B._ vom 30. April 2015wurde einzig dargelegt, dass es schwerwiegende Traumatisierungen in der Kindheit und Jugend des Versicherten gegeben haben soll. Konkrete Traumata werden aber nicht geschildert, obwohl die behandelnden Ärzte dazu aufgefordert worden sind (vgl. Stellungnahme des RAD vom 16. Februar 2015 und Bericht des Sanatoriums B._ vom 16. März 2015). Entgegen dem vom kantonalen Gericht Erwogenen hat der RAD-Arzt die Diagnosestellung auch nicht "eindeutig als überzeugend qualifiziert", vielmehr hat dieser in seiner Stellungnahme vom 26. Mai 2015 einzig ausgeführt, die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung könne anhand dieses Berichts weitgehend nachvollzogen werden. Es könne erahnt werden, dass der Versicherte Traumatisierungen in den wiederholt erlebten Situationen mit der alkoholabhängigen, depressiven und häufig suizidalen Mutter erlitten habe. Damit ist die Schwere des Belastungskriteriums jedoch nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ausgewiesen, sondern dies lässt sich nur vermuten. Es erklärt zudem nicht, weshalb die vermutete PTBS beim Versicherten erst im Alter von rund 42 Jahren zu einer Einschränkung der Arbeitsfähigkeit geführt hat. Insgesamt lässt sich aufgrund dieser ärztlichen Angaben die Diagnose einer posttraumatischen Belastungsstörung noch nicht hinreichend nachvollziehen. Eine PTBS beim Versicherten ist deshalb beweismässig nicht mit dem erforderlichen Beweismass gesichert, womit dieses Leiden keine rechtsgenügliche Grundlage bildet, um eine mögliche Auswirkung auf die Arbeitsfähigkeit nachzuweisen (vgl. Urteil 9C_81/2019 vom 11. November 2019 E. 3.3.2; zum Beweismass der überwiegenden Wahrscheinlichkeit: <ref-ruling> E. 6 S. 221).
Indem die Vorinstanz aufgrund nicht ausreichend nachvollziehbaren ärztlichen Berichten einen Gesundheitsschaden als ausgewiesen beurteilt hat, verletzte sie Bundesrecht.
Die IV-Stelle, an welche die Sache zurückzuweisen ist, hat daher die Angelegenheit mittels einer Begutachtung des Versicherten abzuklären. Gestützt darauf wird die Verwaltung über den Rentenanspruch erneut zu befinden haben.
7.
Die Beschwerdeführerin fordert eine Parteientschädigung in Anwendung von Art. 68 Abs. 4 i.V.m. <ref-law>. Eine solche ist vorliegend nicht angemessen, rechtfertigt sich dies insbesondere nicht dadurch, dass die Vorinstanz zu einem anderen Ergebnis gelangte und ist im Übrigen nicht ersichtlich, dass das kantonale Gericht der Rechtsprechung zum invalidisierenden Charakter einer posttraumatischen Belastungsstörung geflissentlich die Anwendung versagen und die Justizgewährungspflicht gefährden würde. Die obsiegende Beschwerdeführerin als eine mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation hat daher dem Grundsatz entsprechend keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>; Urteil 9C_135/2019 vom 5. November 2019 E. 6.3; <ref-ruling> E. 5b S. 133).
Die Gerichtskosten sind nach dem Verfahrensausgang der IV-Stelle und dem Versicherten je zur Hälfte aufzuerlegen, gilt doch die Rückweisung der Sache zu ergänzender Abklärung als vollständiges Obsiegen im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 11.1 S. 312; <ref-ruling> E. 7.1 S. 271; <ref-ruling> E. 6.1 S. 235).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 27. Juni 2019 und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 13. Januar 2016 werden aufgehoben. Die Sache wird zu weiterer Abklärung und neuer Verfügung an die IV-Stelle des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin und dem Versicherten je zur Hälfte auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, A._, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Januar 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli