Sachverhalt:
A.
Am 30. November 2016 wurde im Konkursverfahren der C._ AG der Schuldenruf publiziert. In der Folge meldete unter anderem die D._ AG namens der B._ AG eine Forderung über Fr. 4'280.05 an. Diese Forderung wurde, nachdem der Forderungsbetrag zunächst auf Fr. 4'445.75 und dann auf Fr. 3'942.-- korrigiert worden ist, als faustpfandgesicherte Forderung in den Kollokationsplan aufgenommen.
B.
Am 7. November 2017 erhob A._ beim Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt gegen die B._ AG eine (negative) Kollokationsklage. Mit Entscheid vom 11. April 2018 wies das Zivilgericht die Kollokationsklage ab.
C.
Gegen den Entscheid des Zivilgerichts erhob A._ am 13. Juli 2018 beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde. Mit Entscheid vom 10. Dezember 2018 wies das Appellationsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Am 1. Februar 2019 (Postaufgabe) ist A._ mit einer als Beschwerde in Zivilsachen bezeichneten Eingabe an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt dem Bundesgericht, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben. Ferner stellt er ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid über eine Kollokationsklage, konkret eine Wegweisungsklage nach <ref-law> betreffend eine Forderung nach Bundeszivilrecht, die der Beschwerde in Zivilsachen zugänglich ist (Urteil 5A_859/2015 vom 18. November 2015 E. 1.1). Die gesetzliche Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- wird nicht erreicht (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 1.2). Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung wird nicht geltend gemacht und ist auch nicht ersichtlich (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist somit unzulässig und die Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln.
1.2. Obwohl Begehren in der Sache zu stellen sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.3), begnügt sich der Beschwerdeführer mit Aufhebungsanträgen. Indessen ergibt sich aus der Beschwerdebegründung in Verbindung mit dem angefochtenen Entscheid, dass die Kollokation der (pfandgesicherten) Forderung der Beschwerdegegnerin in der Höhe von Fr. 3'942.-- aufgehoben werden soll (vgl. zur Auslegung: <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 6.2; <ref-ruling> E. 1.2).
1.3. Mit Beschwerde nach <ref-law> kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte geltend gemacht werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 2.4).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat erwogen, der Einwand des Beschwerdeführers, die Forderung der Beschwerdegegnerin sei im Konkursverfahren von E._, Verwaltungsratsmitglied und Geschäftsführerin der Konkursitin, beim Konkursamt bestritten worden, gehe an der Sache vorbei. Im Kollokationsklageverfahren stünden sich der klagende Gläubiger und ein anderer Gläubiger gegenüber. Das Zivilgericht habe daher prüfen müssen, ob der klagende Gläubiger (d.h. der Beschwerdeführer) den Bestand der Forderung der beklagten Gläubigerin (d.h. der Beschwerdegegnerin) bestritten habe. Dies werde aber vom Beschwerdeführer nicht substanziiert behauptet. Der Beschwerdeführer habe in seiner Kollokationsklage ausschliesslich ausgeführt, dass der Mietzins Juni 2016 bereits bezahlt worden sei. In der erstinstanzlichen Verhandlung habe er festgehalten, dass die Mietzinsen bezahlt seien. Wenn es sich bei den Ausständen um Nebenkosten handeln würde, würde es sich nicht mehr um pfandgesicherte Forderungen handeln. Mit Bezug auf die detaillierten Ausführungen der Beschwerdegegnerin zur mietrechtlichen Forderung über Fr. 3'942.-- aus offenen Heiz- und Betriebskostenabrechnungen und Reparaturkosten habe der Beschwerdeführer ausgeführt, dass solche Heiz- und Nebenkostenforderungen und auch die Reparaturkosten in die dritte Klasse kommen würden. Das Zivilgericht sei daher zu Recht zum Schluss gelangt, dass die kollozierte Forderung im Kollokationsplan zwar falsch bezeichnet, aber in ihrem Bestand nicht bestritten worden sei. Diese Feststellung des Zivilgerichts sei entgegen den Ausführungen in der Beschwerde somit nicht zu beanstanden. Im Beschwerdeverfahren seien neue Tatsachenbehauptungen gemäss <ref-law> unzulässig, weshalb der Beschwerdeführer mit solchen nicht mehr gehört werden könne. Das Zivilgericht habe sodann ausgeführt, dass das Mietzinskautionskonto der Sicherstellung sämtlicher Ansprüche aus dem Mietvertrag diene und dass die Forderung somit trotz falscher Bezeichnung zu Recht als faustpfandgesicherte Forderung in den Kollokationsplan aufgenommen worden sei. Da der Beschwerdeführer seine Forderung, wonach das Faustpfand zu löschen sei, in der Beschwerde nicht begründe und sich mit den Ausführungen im erstinstanzlichen Entscheid nicht auseinandersetze, sei nicht weiter darauf einzugehen.
2.2. In seiner Eingabe an das Bundesgericht setzt sich der Beschwerdeführer nicht verfassungsbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinander. In der Beschwerde werden keine verfassungsmässigen Rechte als verletzt angerufen, geschweige denn erfolgen substanziierte Rügen, wie sie zur Begründung von Verfassungs-, insbesondere Willkürrügen erforderlich wären (E. 1.3). Vielmehr beschränkt sich der Beschwerdeführer auf eine Wiederholung des bereits vor der Vorinstanz Ausgeführten oder eine appellatorische Kritik an der Art und Weise, wie die Vorinstanz das Gesetz angewendet hat. Damit genügt die Beschwerde den gesetzlichen Begründungsanforderungen an eine subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht, weshalb auf sie nicht eingetreten werden kann.
3.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers ist abzuweisen. Die Beschwerdegegnerin wurde nicht zur Vernehmlassung eingeladen, weshalb sie keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung hat.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Oktober 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss