Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 3. Mai 2019 erteilte das Bezirksgericht Küssnacht der Beschwerdegegnerin gegenüber dem Beschwerdeführer in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Küssnacht definitive Rechtsöffnung für Fr. 18'963.60 und Fr. 103.30.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 17. Mai 2019 Beschwerde. Mit Beschluss vom 3. Juli 2019 trat das Kantonsgericht Schwyz auf die Beschwerde nicht ein. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab.
Am 10. August 2019 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer Verfassungsbeschwerde an das Bundesgericht erhoben. Am 12. August 2019 hat das Bundesgericht das Gesuch um aufschiebende Wirkung abgewiesen.
2.
Aufgrund des tiefen Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die subsidiäre Verfassungsbeschwerde das zutreffende Rechtsmittel (<ref-law>). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
Angefochten werden kann vor Bundesgericht einzig der Beschluss des Kantonsgerichts, nicht hingegen die Verfügung des Bezirksgerichts (Art. 114 i.V.m. <ref-law>).
3.
Das Kantonsgericht hat erwogen, die Beschwerde sei verspätet. Der Beschwerdeführer könne nicht glaubhaft machen, dass ihn an der Säumnis kein oder nur ein leichtes Verschulden treffe. Mit den Erwägungen des Bezirksgerichts setze er sich nicht auseinander und er bringe keine Einwendungen oder Einreden nach <ref-law> vor.
Vor Bundesgericht hält der Beschwerdeführer daran fest, dass ihn an der Verspätung nur ein leichtes Verschulden treffe. Er beschränkt sich jedoch darauf, den Sachverhalt aus seiner Sicht zu schildern, ohne sich im Einzelnen mit den Erwägungen des Kantonsgerichts zu befassen und aufzuzeigen, inwiefern diese gegen verfassungsmässige Rechte verstossen sollen. Ebensowenig setzt er sich mit den weiteren Erwägungen des Kantonsgerichts auseinander. Dazu genügt es nicht, zu wiederholen, weshalb nach seiner Auffassung die Rechtsöffnung nicht erteilt werden darf. Die als Rechtsöffnungstitel dienende Verfügung der Beschwerdegegnerin kann im Rechtsöffnungsverfahren schliesslich nicht angefochten werden.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig bzw. offensichtlich mangelhaft begründet. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen zeigen, war die Beschwerde von Anfang an aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ist abzuweisen (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. August 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg