Sachverhalt:
A.
Mit Schreiben vom 4. März 2020 ersuchte das italienische Justizministerium um Auslieferung des italienischen Staatsangehörigen A._ zur Verbüssung einer Gesamtfreiheitsstrafe von 9 Jahren, 11 Monaten und 4 Tagen. Zur Begründung verwies das italienische Justizministerium auf den A._ mit Haftbefehl vom 27. November 2019 des Gerichts von La Spezia (in Verbindung mit weiteren rechtskräftigen Urteilen des Appellationsgerichts von Bologna vom 1. März 2017, des Appellationsgerichts von Genua vom 15. November 2004 sowie des Gerichts von La Spezia vom 10. November 2017) zur Last gelegten Drogenhandel mit Kokain.
Am 24. August 2020 erliess das Bundesamt für Justiz (BJ) einen Auslieferungshaftbefehl gegen A._. Dieser wurde am 31. August 2020 verhaftet und in Auslieferungshaft versetzt. Anlässlich seiner Einvernahme vom 1. September 2020 erklärte sich A._ mit einer vereinfachten Auslieferung an Italien nicht einverstanden. Die von A._ gegen den Auslieferungshaftbefehl erhobene Beschwerde wies die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts am 23. September 2020 ab.
B.
Mit Schreiben vom 29. September 2020 reichte A._ seine schriftliche Stellungnahme zum Auslieferungsersuchen ein. Das BJ ersuchte das italienische Justizministerium am 27. Oktober 2020 bzw. am 6. November 2020 um Beibringung weiterer Unterlagen. Diese gingen am 9. November 2020 beim BJ ein. Am 16. November 2020 reichte A._ eine ergänzende Stellungnahme ein und beantragte seine sofortige Haftentlassung unter Ersatzmassnahmen. Mit Entscheid vom 24. November 2020 wies das BJ das Haftentlassungsgesuch ab und bewilligte gleichzeitig die Auslieferung von A._ an Italien.
Mit Schreiben vom 1. März 2021 informierten die italienischen Behörden, dass die zu verbüssende Strafe des Beschwerdeführers mit Entscheid des Gerichts von La Spezia vom 17. Februar 2021 um zwei Jahre reduziert worden sei. Die Auslieferung werde nunmehr im Hinblick auf die Verbüssung einer Gesamtfreiheitsstrafe von 7 Jahren und 11 Monaten verlangt.
Am 23. März 2021 wies die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts die von A._ gegen den Entscheid des BJ erhobene Beschwerde sowie seinen Antrag auf Sistierung des Beschwerdeverfahrens ab.
C.
Dagegen führt A._ mit Eingabe vom 6. April 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Er beantragt in prozessualer Hinsicht, den Entscheid aufzuschieben, bis die zuständigen italienischen Gerichte über seine Eingabe vom 11. März 2021 entschieden haben. In materieller Hinsicht stellt er den Antrag, den Entscheid der Vorinstanz bzw. das Auslieferungsbegehren vom 4. März 2020 abzuweisen. Die Bewilligung zur Auslieferung sei zu verweigern und er sei aus der Haft zu entlassen. Eventualiter sei Italien anzuweisen, den Auslieferungsantrag in die vier einzelnen Vorfälle klar zu strukturieren und die entsprechenden Entscheide über die diversen Instanzen hinaus akturiert und in chronologischer Reihenfolge beizulegen. Dabei seien sämtliche entscheidrelevanten Dokumente ins Recht zu legen. Ausserdem sei sicherzustellen, dass die Minimalstandards gemäss EMRK im Falle einer Auslieferung eingehalten würden. Italien sei anzuhalten, entsprechende Garantien abzugeben und den Vollzugsort zu benennen. Subeventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen.
Das BJ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdekammer des Bundesstrafgerichts verweist auf den angefochtenen Entscheid. Der Beschwerdeführer hält an seinen Anträgen fest, stellt jedoch für den Fall, dass der Kostenvorschuss nicht rechtzeitig eingehen sollte, ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beantragt die Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens, da vor dem Gericht von La Spezia noch "Anträge" gegen dessen Entscheid vom 17. Februar 2021 hängig seien. Gemäss Art. 17a IRSG gilt das Gebot der raschen Erledigung. Nach dessen Absatz 1 erledigt die zuständige Behörde die Ersuchen beförderlich. Sie entscheidet ohne Verzug. Diese Bestimmung gilt auch für das Bundesgericht (Urteil 1C_388/2020 vom 13. Juli 2020 E. 1 mit Hinweis). Wie die folgenden Erwägungen zeigen, ist die vorliegende Sache spruchreif. Diesbezüglich kann auch auf die nachvollziehbaren vorinstanzlichen Erwägungen verwiesen werden. Demnach macht der Beschwerdeführer nicht geltend, dass im Falle eines Obsiegens vor dem Gericht von La Spezia die noch zu verbüssende Strafe weniger als vier Monate betragen würde. Folglich wäre auch bei einem Obsiegen die Auslieferung grundsätzlich zulässig. Somit sei aber auch nicht ersichtlich, inwiefern das angeblich im Frühsommer 2021 zu erwartende Urteil des Gerichts von La Spezia präjudizielle Wirkung auf das vorliegende Verfahren haben soll (vgl. angefochtener Entscheid E. 4). Für die beantragte Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens besteht deshalb kein Anlass.
1.2. Gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter den in Art. 84 BGG genannten Voraussetzungen zulässig. Im vorliegenden Fall geht es um eine Auslieferung und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich ist. Weiter ist erforderlich, dass es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
Ein besonders bedeutender Fall liegt insbesondere vor, wenn Gründe für die Annahme bestehen, dass elementare Verfahrensgrundsätze verletzt worden sind oder das Verfahren im Ausland schwere Mängel aufweist (Art. 84 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1 S. 104 ff. mit Hinweisen). Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen. Ein besonders bedeutender Fall ist deshalb mit Zurückhaltung anzunehmen. Dem Bundesgericht steht insofern ein weiter Ermessensspielraum zu (<ref-ruling> E. 1.2 S. 104 f. mit Hinweisen).
Ein besonders bedeutender Fall kann auch bei einer Auslieferung nur ausnahmsweise angenommen werden. In der Regel stellen sich insoweit keine Rechtsfragen, die der Klärung durch das Bundesgericht bedürfen, und kommt den Fällen auch sonst wie keine besondere Tragweite zu (<ref-ruling> E. 1.3.4 S. 161).
1.3. Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Art. 84 BGG vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (<ref-ruling> E. 1.5 S. 107 mit Hinweisen).
1.4. Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet und es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer ist der Auffassung, die notwendige, ausserordentliche Bedeutsamkeit der Angelegenheit ergebe sich bereits aus dem Umstand, dass der angeblich zu verbüssende Strafrest von 9 Jahren, 11 Monaten und 4 Tage auf 7 Jahre und 11 Monate verkürzt worden sei. Diese Tatsache zeuge davon, dass die italienischen Urteile, welche dem Auslieferungsbegehren zugrunde lägen, massive Fehler aufwiesen.
Dieser Auffassung kann indes nicht gefolgt werden. Einzig der Umstand, dass der verbüssende Strafrest mit Urteil vom 17. Februar 2021 um zwei Jahre verkürzt wurde, lässt nicht ohne Weiteres darauf schliessen, die rechtskräftigen italienischen Urteile würden massive Fehler aufweisen bzw. das Verfahren in Italien sei mit schweren Mängeln behaftet. Dem aktenkundigen Urteil vom 17. Februar 2021 kann ausführlich entnommen werden, weshalb eine Verkürzung des zu verbüssenden Strafrests um zwei Jahre erfolgte. Dass das Verfahren in Italien massive Mängel aufweise, lässt sich daraus aber nicht schliessen, zumal der Beschwerdeführer auch nicht aufzeigt, worin die Mängel tatsächlich liegen sollten.
2.2. Sodann verletzte die Vorinstanz auch nicht den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör. Seine Kritik, das Auslieferungsbegehren sei nicht in "kompletter Form" eingereicht worden und es sei eine "lückenlose Dokumentation" für die Beurteilung des Auslieferungsbegehrens notwendig, verfängt nicht. Die Vorinstanz legte ausführlich dar, weshalb sie die Dokumentation der italienischen Behörden für die Beurteilung des Auslieferungsbegehrens als genügend erachtete und das Auslieferungsersuchen den Anforderungen an Art. 12 des Europäischen Auslieferungsübereinkommens vom 13. Dezember 1957 (EAUe; SR 0.353.1) sowie Art. 2 Ziff. 2 lit. a des Vierten Zusatzprotokolls zum EAUe vom 20. September 2012 (SR 0.353.14) gerecht werde. Darauf kann verwiesen werden (angefochtener Entscheid E. 5, insb. E. 5.3).
2.3. Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, es müsse davon ausgegangen werden, dass die Gefängnisse in Italien überbelegt seien. Die Haftverhältnisse hätten sich seit dem Urteil Torreggiani höchstens temporär verbessert, weshalb die Schweizer Praxis "von Grund auf" zu überdenken sei. Die Überbelegung in italienischen Gefängnissen werfe in Pandemiezeiten existenzielle Fragen auf.
Die vorinstanzlichen Erwägungen stützen sich indes auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung und lassen keine Rechtsverletzung erkennen (angefochtener Entscheid E. 9). Das Bundesgericht hat sich seit dem Urteil Torreggiani wiederholt mit der Frage, ob die Haftbedingungen in italienischen Gefängnissen einer Auslieferung entgegenstehen, befasst (vgl. Urteil des EGMR Torreggiani u.a. gegen Italien vom 8. Januar 2013, Nr. 43517/09 u.a.). Es ist unter Berücksichtigung zahlreicher Reformmassnahmen Italiens zur Reduktion der Überbelegung der Gefängnisse zum Schluss gekommen, dass die Auslieferung nicht mehr von Garantien abhängig gemacht werden muss (Urteil 1C_261/2019 vom 21. Mai 2019 E. 1.2 mit Hinweisen). Bei der Beurteilung der Gefahr einer mit Art. 3 EMRK unvereinbaren Behandlung im Zielstaat ist zudem dem Umstand Rechnung zu tragen, dass es sich bei diesem um einen EMRK-Vertragsstaat mit entsprechenden Rechtsmittelmöglichkeiten handelt (Entscheid des EGMR Kaplan gegen Deutschland vom 15. Dezember 2009, Nr. 43212/05). Die Kritik des Beschwerdeführers gibt - auch unter Berücksichtigung der derzeitigen Corona-Pandemie - keinen Anlass, auf diese Rechtsprechung zurückzukommen.
2.4. Schliesslich hat sich die Vorinstanz auch ausführlich mit dem Einwand des Beschwerdeführers auseinandergesetzt, wonach das Urteil des Gerichts von La Spezia vom 10. November 2017 in seiner Abwesenheit erfolgt sei. Gemäss den vorinstanzlichen Ausführungen trifft es zwar zu, dass der Beschwerdeführer selbst nicht anwesend war. Indes war er durch einen Wahlverteidiger bzw. einen Substituten verteidigt. Dieser erhob zudem Berufung gegen das Urteil. Sodann wurde durch einen anderen Verteidiger auch noch gegen das Berufungsurteil beim Kassationshof Beschwerde erhoben. Damit steht fest, dass die minimalen Verteidigungsrechte des Beschwerdeführers nicht verletzt wurden. Darauf kann vollumfänglich verwiesen werden (angefochtener Entscheid E. 7).
2.5. Inwiefern aus einem anderen Grund ein besonders bedeutender Fall gegeben wäre, legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Der Angelegenheit kommt keine aussergewöhnliche Tragweite zu. Für das Bundesgericht besteht deshalb kein Anlass, die Sache an die Hand zu nehmen.
3.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Prozessführung kann wegen Aussichtslosigkeit nicht bewilligt werden (Art. 64 BGG). Unter den gegebenen Umständen erscheint es indessen gerechtfertigt, dem Beschwerdeführer keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Sistierung des bundesgerichtlichen Verfahrens wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Auslieferung, und dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Mai 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier