Erwägungen:
1.
A._, ein 1965 geborener Staatsangehöriger der Republik Kongo, reiste im Mai 1996 in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, welches am 14. November 1996 abgewiesen wurde (bestätigt durch Urteil der Schweizerischen Asylrekurskommission vom 21. März 1997). Nachdem er vorübergehend verschwunden war, heiratete er am 25. November 2000 eine Schweizer Bürgerin, worauf er eine Aufenthaltsbewilligung erhielt. Die eheliche Gemeinschaft wurde Ende April 2004 aufgegeben, die Ehe am 22. Dezember 2006 geschieden. Die Aufenthaltsbewilligung von A._ wurde in der Folge mehrmals verlängert. Seit 2004 bezog A._, mit kürzeren Unterbrüchen, Sozialhilfe. Am 16. Februar 2015 wurde er deswegen (nach 2010 und 2012 zum dritten Mal) ausländerrechtlich verwarnt. Mit Verfügung vom 7. Oktober 2016 lehnte das Migrationsamt des Kantons Zürich eine weitere Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und verfügte die Wegweisung. Der dagegen erhobene Rekurs an die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich blieb erfolglos, und mit Urteil vom 2. März 2018 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die gegen den Rekursentscheid vom 27. Oktober 2017 erhobene Beschwerde ab; es setzte die Ausreisefrist neu auf den 30. April 2018 an.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 20. April 2018 beantragt A._ dem Bundesgericht hauptsächlich, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich sei aufzuheben und es sei ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen (Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten) bzw. es die Verletzung verfassungsmässiger Rechte festzustellen und die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die kantonale Behörde zurückzuweisen (Verfassungsbeschwerde).
2.
2.1. Es wird sowohl Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wie auch subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit eines Rechtsmittels gemäss <ref-law> von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 476; <ref-ruling> E. 1, 471 E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1). Ist jedoch die Zulässigkeit eines Rechtsmittels zweifelhaft, beschlägt die die Beschwerde führende Partei obliegende Begründungspflicht gemäss Art. 42 Abs. 2 (bzw. Art. 106 Abs. 2) BGG grundsätzlich auch die Eintretensvoraussetzungen; die für deren Vorliegen massgeblichen Aspekte müssen diesfalls aufgezeigt werden (vgl. <ref-ruling> E. 2.2.3 S. 48; <ref-ruling> E. 1.1 S. 251, 353 E. 1 S. 356, 400 E. 2 S. 404; s. auch BGE <ref-ruling> E. 1.2 S. 47). Hängt die Zulässigkeit des Rechtsmittels vom Bestehen eines Rechtsanspruchs ab, ist ein potenzieller Anspruch in vertretbarer Weise geltend zu machen (<ref-ruling> E. 1.1 S. 332; <ref-ruling> E. 1.1 S. 179; Urteil 2C_1046/2017 vom 12. Dezember 2017 E. 2.1).
2.2. Gemäss <ref-law> ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt.
2.3. Einen gesetzlichen Anspruch auf Verlängerung der Bewilligung hat der Beschwerdeführer nicht: Wie das Verwaltungsgericht zutreffend darlegt (E. 3.1), kommt das Bundesgesetz vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (Ausländergesetz, AuG; SR 142.20) nicht zur Anwendung. Dieses trat auf den 1. Januar 2008 in Kraft, als die Ehe des Beschwerdeführers längst geschieden war. Damit kann sich der Beschwerdeführer, entgegen seiner Auffassung, nicht auf die Anspruchsbestimmungen von Art. 42 bzw. Art. 50 AuG berufen. Der Beschwerdeführer macht sodann - zu Recht - keinen Anspruch nach dem bis Ende 2007 geltenden Bundesgesetz vom 26. März 1931 über Aufenthalt und Niederlassung der Ausländer (ANAG) geltend. Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG, auf den sich das Bewilligungsverlängerungsgesuch auch stützt, verschafft keinen den Weg zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten öffnenden Anspruch (<ref-ruling> E. 3.2.1 S. 348 e contrario, wobei in Bezug auf eine derartige Bewilligung zusätzlich der Ausschlussgrund von <ref-law> zum Tragen kommt; Urteil 2D_40/2017 vom 13. November 2017 E. 2.1 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer erwähnt Art. 8 EMRK. Diese Konventionsnorm garantiert das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens. Angesprochen wird hier sinngemäss der Aspekt Privatleben. Um daraus einen Rechtsanspruch auf Erteilung einer ausländerrechtlichen Bewilligung ableiten zu können, bedarf es besonders vertiefter, über eine normale Integration hinausgehender Bindungen gesellschaftlicher oder beruflicher Natur bzw. vertiefter sozialer Beziehungen zum ausserfamiliären bzw. ausserhäuslichen Bereich; hierfür genügen eine lange Anwesenheit und die damit normalerweise verbundenen Beziehungen nicht; erforderlich ist eine eigentliche Verwurzelung in die hiesigen Verhältnisse (<ref-ruling> E. 3.2; Urteile 2C_949/2017 vom 23. März 2018 E. 3; 2C_1046/2017 vom 12. Dezember 2017 E. 2.2; 2C_837/2016 vom 23. Dezember 2016 E. 1.2; mit weiteren Hinweisen).
Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz (vgl. Art. 105 Abs. 1 und 2 sowie <ref-law>) reiste der Beschwerdeführer 1996 im Alter von über 30 Jahren in die Schweiz ein und durchlief erfolglos ein Asylverfahren. Nach dessen Abschluss blieb er verschwunden und es fehlt an einem zu berücksichtigenden Aufenthalt in der Schweiz. Eine geregelte Anwesenheit liegt erst seit seiner Heirat Ende 2000, als er gut 35 Jahre alt war, vor, d.h. seit 17 1⁄2 Jahren. Ab 2004 bezog er Sozialhilfe, bis Ende August 2017 belief sie sich auf Fr. 243'944.--, wobei seit 2014 ein markanter Anstieg zu verzeichnen war; der Sozialhilfebezug lief auch nach dem August 2017 zumindest vorerst noch weiter. Auf dem ersten Arbeitsmarkt war der Beschwerdeführer nur sporadisch tätig, wobei keine medizinischen Gründe gegeben sind, die ihn über längere Zeit davon abgehalten hätten (s. E. 4.4 des angefochtenen Urteils). Seine Deutschkenntnisse sind mangelhaft. In seiner Heimat leben drei volljährige Kinder, zu denen er Kontakt zu pflegen scheint. Abgesehen von der blossen Tatsachenbehauptung, der Sozialhilfebezug sei unfallbedingt und unverschuldet, beschränken sich die Äusserungen in der Beschwerdeschrift, die Bezug zu Art. 8 EMRK haben, auf Folgendes: "Il est étonnant que son autorisation de séjour n'ait jamais été menacée depuis lors. En prolongeant sans problème son autorisation, le séjour de mon client s'est prolongé en Suisse de manière considérable de sorte que son retour risque de constituer pour lui un déracinement complet mettant en danger son droit à la vie privée (art. 8 chiffre 1 CEDH). Depuis un certain temps mon client travaille et ne touche plus l'assistance sociale et le motif évoqué par l'autorité de dernière instance ne se justifie pas. Le recourant est bien intégré en Suisse. Il parle l'allemand et exerce pour le moment une activité lucrative malgré son âge et son état de santé et ce fait n'a pas été pris en compte par le Tribunal adminstratif zurichois, ce qui constitue la violation du droit d'être entendu de mon client (art. 29 al. 2 Constitution fédérale). Mon client ne figure pas sur le casier judiciaire et n'est pas aussi fiché dans le registre des poursuites." Diese Schilderungen stehen weitgehend im klaren Widerspruch zu den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz, auf die der Beschwerdeführer nicht näher eingeht. Angesichts der Kriterien, die für die Anerkennung eines Bewilligungsanspruchs aus Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privatlebens) massgeblich sind, und der konkreten Verhältnisse des Beschwerdeführers, wie sie sich aus den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz ergeben, enthält die Beschwerdeschrift nichts, was auch nur ansatzweise geeignet wäre, eine wirkliche Integration, geschweige denn eine Verwurzelung in der Schweiz darzutun. Ein Bewilligungsanspruch nach Art. 8 EMRK wird so nicht in vertretbarer Weise dargetan (s. namentlich <ref-law>), sodass die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach <ref-law> ausgeschlossen ist.
2.4. Als bundesrechtliches Mittel kommt allein die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht (<ref-law>). Mit diesem Rechtsmittel kann die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Zur Verfassungsbeschwerde ist berechtigt, wer ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat.
Da unter keinem Titel ein Anspruch auf Erteilung der beantragten Bewilligungsverlängerung besteht, ist der Beschwerdeführer durch deren Verweigerung nicht in rechtlich geschützten Interessen betroffen, sodass er hinsichtlich der materiellen Bewilligungsfrage nicht zur Verfassungsbeschwerde legitimiert ist (<ref-ruling>). Trotz fehlender Legitimation in der Sache selbst ist der Ausländer allerdings zur Rüge berechtigt, ihm zustehende Verfahrensgarantien seien verletzt worden. Nicht zu hören sind dabei aber Vorbringen, die im Ergebnis auf die Überprüfung des Sachentscheids abzielen, wie die Behauptung, dass die Begründung des angefochtenen Entscheids unvollständig oder zu wenig differenziert ausgefallen sei oder sich nicht mit sämtlichen Argumenten auseinandersetze oder dass die Parteivorbringen willkürlich gewürdigt worden seien; ebenso wenig ist der Vorwurf zu hören, der Sachverhalt sei unvollständig oder sonst wie willkürlich festgestellt worden (vgl. <ref-ruling> E. 3c S. 313; <ref-ruling> E. 1.4 S. 222; <ref-ruling> E. 7b S. 94; <ref-ruling> E. 1c S. 236; zur Weiterführung dieser so genannten "Star-Praxis" unter der Herrschaft des Bundesgerichtsgesetzes s. <ref-ruling> E. 3.2 S. 436 f.; s. auch <ref-ruling> E. 1.3 S. 80; spezifisch zum Ausländerrecht <ref-ruling> E. 6.2 S. 198 f. und <ref-ruling> E. 2 S. 308). Der Beschwerdeführer rügt die Verletzung des rechtlichen Gehörs insofern, als das Verwaltungsgericht gewisse für ihn sprechende Umstände nicht in Betracht gezogen habe. Diese Rüge zielt auf die Überprüfung des Sachentscheids ab und ist nicht zu hören. Auch die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig.
2.5. Die Beschwerde erweist sich sowohl als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wie auch als subsidiäre Verfassungsbeschwerde als offensichtlich unzulässig (<ref-law>). Es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
2.6. Da die Beschwerde aussichtslos erschien, kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden (<ref-law>). Damit sind dem Beschwerdeführer als unterliegende Partei die Gerichtskosten (<ref-law>) aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Migrationsamt des Kantons Zürich, der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Mai 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller