Sachverhalt:
A.
A.a. B._ (geb. 1981) und A._ (geb. 1968) sind die unverheirateten und getrennt lebenden Eltern von C._ (geb. 2016).
A.b. Seit dem 1. Juni 2017 stehen sich die Parteien in einem gerichtlichen Verfahren betreffend Regelung der Kinderbelange sowie des Kindesunterhalts gegenüber. Für die Dauer des Verfahrens wurde C._ unter die alleinige Obhut von B._ gestellt und A._ wurde ein Betreuungsrecht von zweimal sechs Stunden pro Woche gewährt. Mit Urteil vom 12. Juli 2019 erliess das Bezirksgericht Meilen soweit vorliegend relevant Folgendes: Es beliess C._ unter der gemeinsamen elterlichen Sorge, stellte sie per 1. Juli 2020 unter die geteilte Obhut und setzte in etwa gleich hohe Betreuungsanteile der Eltern fest. Darüber hinaus ordnete das Bezirksgericht unter anderem die Weiterführung der bereits zuvor angeordneten Erziehungsbeistandschaft an und verpflichtete A._ zur Leistung von Unterhaltsbeiträgen für C._.
B.
B.a. Gegen diesen Entscheid erhob B._ Berufung am Obergericht des Kantons Zürich. Insbesondere beantragte sie die alleinige Obhut unter Festlegung eines Besuchsrechts für den Vater sowie die Zusprechung von (höheren) Bar- und Betreuungsunterhaltsbeiträgen. A._ beantragte die Bestätigung des vorinstanzlichen Entscheids. Eventualiter erhob er Anschlussberufung, beantragte die alleinige Obhut über C._ unter Einräumung eines Besuchsrechts für B._ und die Zusprechung von Kinderunterhaltsbeiträgen. Ferner beantragte er die Einholung eines (neuen) Gutachtens. Beide Parteien stellten überdies diverse Anträge um den Erlass vorsorglicher bzw. superprovisorischer Massnahmen. Auf die Anschlussberufung trat das Obergericht in der Folge nicht ein.
B.b. Das Obergericht entschied mit Beschluss und Urteil vom 18. Mai 2021. Soweit vorliegend interessierend, wies das Obergericht die Anträge betreffend die Einholung eines Gutachtens ab (Beschluss Dispositiv-Ziffer 2). Darüber hinaus teilte es B._ die alleinige Obhut zu, regelte das Besuchsrecht von A._ und verpflichtete diesen zur Leistung von monatlichen Unterhaltsbeiträgen (Urteil Dispositiv-Ziffern 1 bis 3). Ausserdem entschied es, die Erziehungsgutschriften seien vollumfänglich B._ gutzuschreiben (Urteil Dispositiv-Ziffer 6). Schliesslich regelte es die Kosten- und Entschädigungsfolgen betreffend die Verfahren vor dem Bezirksgericht und dem Obergericht (Urteil Dispositiv-Ziffern 7, 8, 11 und 12).
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 30. Juni 2021 gelangt A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung der Beschluss Dispositiv-Ziffer 2 sowie der Urteils Dispositiv-Ziffern 1 bis 3, 6-8, 11 und 12. Die Sache sei zur Einholung eines Gutachtens und Durchführung eines Beweisverfahrens sowie zur Ausfällung eines neuen Urteils an die Vorinstanz zurückzuweisen. Darüber hinaus beantragt der Beschwerdeführer die Erteilung der aufschiebenden Wirkung betreffend die angefochtenen Dispositiv-Ziffern sowie die Anordnung vorsorglicher Massnahmen.
C.b. Mit Verfügung vom 5. Juli 2021 trat der Präsident der urteilenden Abteilung auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung mangels Begründung nicht ein. Auf das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen trat er mit derselben Verfügung ebenfalls nicht ein, da die beantragten Massnahmen ausserhalb des Anfechtungsgegenstands stehen bzw. über diesen hinausgehen. Das diesbezügliche Eventualbegehren wies er ab.
C.c. Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) betreffend die elterliche Sorge bzw. Obhut, die Betreuungsanteile bzw. den persönlichen Verkehr, Unterhaltsbeiträge und weitere Kinderbelange entschieden hat. Das sind Zivilsachen im Sinne von <ref-law>. Da sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Punkte umstritten sind, gilt insgesamt kein Streitwerterfordernis (<ref-ruling> E. 1.1). Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Die rechtzeitig (<ref-law>) eingereichte Beschwerde ist zulässig.
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde an das Bundesgericht ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>). Der Beschwerdeführer muss einen Antrag in der Sache stellen (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen), also angeben, welche Punkte des kantonalen Entscheids er anficht und inwiefern das Bundesgericht den angefochtenen Entscheid abändern soll (<ref-ruling> E. 3.1; Urteil 5A_346/2016 vom 29. Juni 2017 E. 2.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Ausnahmsweise reicht ein gestelltes Begehren um Rückweisung an die Vorinstanz aus, wenn das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung in der Sache naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweis). Für die Auslegung der Rechtsbegehren kann das Bundesgericht die Begründung der Beschwerde heranziehen (<ref-ruling> E. 1.2).
1.2.2. Der Beschwerdeführer stellt lediglich den Antrag auf Aufhebung bestimmter Dispositiv-Ziffern des vorinstanzlichen Entscheids sowie Rückweisung zwecks Einholung eines Gutachtens, Durchführung eines Beweisverfahrens und neuem Entscheid. Wie sich aus seinen Anträgen und aus der Beschwerdeschrift ergibt, ist der Beschwerdeführer der Ansicht, die Vorinstanz habe den Sachverhalt in verschiedener Weise falsch bzw. unvollständig festgestellt bzw. sei die Einholung eines Gutachtens erforderlich. Sollten die Rügen des Beschwerdeführers begründet sein, hätte das Bundesgericht die Sache daher zur Ergänzung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der rein kassatorisch gestellte Antrag erweist sich vor diesem Hintergrund als genügend.
2.
2.1. Mit der Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>) und prüft mit freier Kognition, ob der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Es befasst sich aber nur mit formell ausreichend begründeten Einwänden (<ref-law>). In der Beschwerdebegründung ist daher in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid rechtswidrig sein soll. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2.4). Für Vorbringen betreffend die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gilt ausserdem das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen, während es auf ungenügend substanziierte Rügen und rein appellatorische Kritik nicht eintritt (<ref-ruling> E. 2.4; <ref-ruling> E. 2.2).
2.2. Was den Sachverhalt angeht, legt das Bundesgericht seinem Urteil die vorinstanzlichen Feststellungen zugrunde (<ref-law>). Diesbezüglich kann die rechtsuchende Partei nur vorbringen, die vorinstanzlichen Feststellungen seien offensichtlich unrichtig (<ref-law>), das heisst willkürlich, oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinn von <ref-law> (z.B. Verletzung von <ref-law> oder <ref-law>) beruhen (<ref-ruling> E. 2.3; Urteil 5A_393/2021 vom 17. Dezember 2021 E. 2.3). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der gerügten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.2.2). Es gilt das strenge Rügeprinzip nach <ref-law>.
2.3. Wie im jeweiligen Sachzusammenhang zu zeigen sein wird, erfüllt die Beschwerdeschrift diese Voraussetzungen über weite Strecken nicht.
2.4. Beim Entscheid über die Anordnung einer alternierenden Obhut und über andere Kinderbelange ist der Sachrichter, der die Parteien und die weitere Umgebung des Kindes am besten kennt, in vielfacher Hinsicht auf sein Ermessen verwiesen (<ref-ruling> E. 4.5 mit Hinweisen). Bei der Überprüfung solcher Ermessensentscheide schreitet das Bundesgericht nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (<ref-ruling> E. 4.5 mit Hinweisen).
3.
Der Streit dreht sich hauptsächlich um die Obhutszuteilung. Die Vorinstanz erwog dazu zusammengefasst das Folgende:
3.1. Zunächst prüfte sie in Bezug auf die vom Beschwerdeführer beantragte alternierende Obhut die Erziehungsfähigkeit. Sie erwog, die Erziehungsfähigkeit beider Eltern werde durch das von der Erstinstanz eingeholte Gutachten vom 26. Mai 2018 bestätigt. Die Gutachterin weise allerdings auf Einschränkungen bezüglich der Kooperationsfähigkeit und der Bindungstoleranz beider Eltern hin. Im Ergebnis sei aber weder bei der Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin noch bei derjenigen des Beschwerdeführers von relevanten Einschränkungen auszugehen. Insbesondere hätten die angeordneten Besuche bis auf wenige (krankheits- bzw. quarantänebedingte) Ausnahmen immer stattgefunden und habe die Beschwerdegegnerin die noch vor der Erstinstanz geäusserten Ängste abbauen können. Die Befürchtungen des Beschwerdeführers seien sodann weitgehend hypothetischer Natur. Daher sei - auch mit dem Kindsvertreter - davon auszugehen, dass beim Kind keine Hinweise auf ein Entfremdungssyndrom zu erkennen seien. Insbesondere seien keine Verhaltensauffälligkeiten ersichtlich, welche einen derartigen Schluss nahelegen würden, wobei auch die vom Beschwerdeführer erwähnten Aussagen des Kindes für sich genommen wie auch in der Summe nicht geeignet seien, die Bindungstoleranz und damit die Erziehungsfähigkeit der Beschwerdegegnerin ernsthaft in Frage zu stellen.
3.2. Die Vorinstanz prüfte sodann die Kriterien der Kontinuität und Stabilität sowie der persönlichen Beziehung. Es erwog, dass die bisherige Betreuungssituation gegen eine alternierende Obhut spreche. Auch die Gutachterin halte fest, dass Kontinuität ein wichtiger Aspekt für die ruhige Entwicklung des Kindes sei. Ferner erachtete die Vorinstanz beide Elternteile als wichtige Bezugspersonen, wobei die Beschwerdegegnerin eindeutig die Hauptbezugsperson für das Kind sei. Betreffend die Möglichkeit der persönlichen Betreuung schloss es, dass diese für eine alternierende Obhut sprechen würde. Auch die geographischen Gegebenheiten seien für eine alternierende Obhut optimal.
3.3. Letztlich ausschlaggebend gegen die alternierende Obhut spräche allerdings die Kommunikations- und Kooperationsfähigkeit der Parteien. Bereits die Gutachterin habe festgehalten, dass die Voraussetzungen für eine alternierende Obhut nicht gegeben seien, da die andauernden Konflikte über alle Belange einen ruhigen Austausch verhindern würden und das konflikthafte Klima das Kind stark belasten würde. Es gäbe vorliegend keine triftigen Gründe, von diesem Gutachten abzuweichen. Die zahlreichen Konflikte seien aus den Akten ersichtlich, wobei sich die Parteien auch über Kleinigkeiten und alltägliche Belange gestritten hätten und sich jeweils nur sehr beschränkt kompromissfähig zeigten. Auch die Beiständin habe geäussert, dass sich die Beschwerdegegnerin ihr gegenüber sehr kooperativ zeige, der Beschwerdeführer hingegen zwar zu den Terminen komme, ihren Empfehlungen und Anweisungen jedoch nicht folgen würde und die für eine alternierende Obhut unabdingbare Absprachefähigkeit beim Beschwerdeführer nur eingeschränkt vorhanden sei. Die Vorinstanz kommt schliesslich zum Schluss, dass sich die Ursache und Dynamik des elterlichen Konflikts seit der Begutachtung nicht verändert hätten und ein sachlicher persönlicher Austausch zwischen den Eltern nicht möglich sei. Daher sei von einem schwerwiegenden Dauerkonflikt und von anhaltenden Kommunikationsschwierigkeiten auszugehen. Die Einschätzung der Gutachterin, wonach den Parteien nicht zugetraut werden könne, die im Rahmen einer alternierenden Obhut zu treffenden zahlreichen Absprachen innert nützlicher Frist zu treffen, erweise sich daher weiterhin als aktuell. Aus diesem Grund sei von einer akuten Gefahr auszugehen, dass das Kind durch die Anordnung einer alternierenden Obhut aufgrund des hochstrittigen Elternkonflikts in seinem Wohlbefinden beeinträchtigt würde, da die Parteien voraussichtlich hinsichtlich der zu regelnden zahlreichen Alltagsfragen in Streit geraten würden. Demgegenüber ergäben sich auch aus den Angaben der Beiständin keine konkreten Hinweise auf eine Kindeswohlgefährdung bei der Zuteilung der alleinigen Obhut an eine der Parteien.
3.4. Für die Zuteilung der alleinigen Obhut an die Beschwerdegegnerin ausschlaggebend sei schliesslich das Kriterium der Stabilität. Die Beschwerdegegnerin sei die bisherige Hauptbezugsperson für das Kind und habe dieses zu einem weit überwiegenden Teil betreut. Dies sei beizubehalten. Die Obhut sei daher entsprechend den gutachterlichen Überlegungen der Beschwerdegegnerin zuzuteilen.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer erhebt zunächst diverse Rügen im Zusammenhang mit der Feststellung der Vorinstanz, die alternierende Obhut gefährde das Wohl des Kindes. Zum einen sei ihm zu dieser - überraschenden - Feststellung das rechtliche Gehör nicht gewährt worden (<ref-law>). Zum anderen habe die Vorinstanz den Sachverhalt nicht im Sinne von <ref-law> erforscht, weswegen es für diese gravierende Tatsachenfeststellung an einer jeden Begutachtung fehle. Die Vorinstanz habe gestützt auf willkürliche Annahmen ein Urteil gefällt.
4.2. Wird eine Verletzung des rechtlichen Gehörs gerügt, so ist mindestens vorausgesetzt, dass die beschwerdeführende Partei auf die Erheblichkeit der angeblichen Verfassungsverletzung eingeht und in der Begründung des Rechtsmittels angibt, welche Vorbringen sie in das kantonale Verfahren bei Gewährung des rechtlichen Gehörs eingeführt hätte und inwiefern diese hätten erheblich sein können (Urteile 5A_221/2021 vom 7. Dezember 2021 E. 3.2; 5A_85/2021 vom 26. März 2021 E. 6.2). Der Beschwerdeführer äussert sich dazu jedoch nicht. Auf diese Rüge ist daher nicht weiter einzugehen. Ohnehin wären die Voraussetzungen zur Annahme eines Überraschungsentscheids nicht gegeben, denn der Beschwerdeführer musste mit der Erheblichkeit der Beurteilung einer Kindeswohlgefährdung im Rahmen einer alternierenden Obhut (mindestens nach der entsprechenden gutachterlichen Einschätzung) rechnen.
4.3. Die Rüge, es fehle für die "gravierende Tatsachenfeststellung" an jeder Begutachtung, trifft offensichtlich nicht zu: Wie aufgezeigt, (E. 3.3) stützt sich die Vorinstanz in ihrer Einschätzung auf das von der Erstinstanz eingeholte Gutachten. Dieses führt gemäss für das Bundesgericht verbindlicher, vom Beschwerdeführer im Übrigen auch nicht als offensichtlich unrichtig gerügten, Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz aus, dass im Falle einer Anordnung der alternierenden Obhut von einer akuten Gefahr für das Wohlbefinden des Kindes auszugehen sei. Gestützt auf welche willkürliche Annahmen die Vorinstanz geurteilt haben soll, legt der Beschwerdeführer sodann nicht dar. Auch darauf ist daher nicht weiter einzugehen.
5.
5.1. Im Zusammenhang mit der Feststellung der Vorinstanz, wonach das Kind bei einer alleinigen Obhut der Klägerin nicht gefährdet sei, rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe diverse seiner (vielen, substanziierten und detaillierten) Ausführungen betreffend eine konkrete Kindeswohlgefährdung ignoriert. Auch sei die Vorinstanz auf die Vorwürfe, welche der Beschwerdeführer gegenüber dem Kindsvertreter geäussert und jener dem Gericht akten- und prozesskundig gemacht habe, nicht eingegangen, mit der Begründung, der Beschwerdeführer habe sie nicht selbst gegenüber der Vorinstanz kommuniziert. Ohnehin sei diese Feststellung offensichtlich tatsachenwidrig und willkürlich (<ref-law>), verletze die Verfahrensgarantien und das Prinzip der Gerechtigkeit gemäss <ref-law>. Vielmehr bestünde eine konkrete Kindeswohlgefährdung bei alleiniger Obhut der Beschwerdegegnerin. Die Vorinstanz habe diese aber nicht weiter abklären wollen, weder durch die Befragung von offerierten Zeugen noch mittels eines (Ober-) Gutachtens. Im Übrigen argumentiere die Vorinstanz widersprüchlich und willkürlich, wenn sie zunächst feststelle, es sei zutreffend, dass das Kind die Konflikte der Parteien zunehmend mitbekomme, dann aber annehme, es gäbe gegenwärtig keine konkreten Hinweise betreffend eine Kindeswohlgefährdung. Vielmehr bestünden beim Kind psychische Auffälligkeiten. Dieses dürfe nicht in dieser bekannten und konkreten Gefährdung belassen werden. Wenn die Vorinstanz aber davon ausgehe, die konkrete Kindeswohlgefährdung verschwinde, wenn das Kind bei der Beschwerdegegnerin in Alleinobhut verbleibe, sei dies willkürlich.
5.2. Diese Rügen vermögen den Anforderungen an das strenge Rügeprinzip gemäss <ref-law> bzw. die Begründungspflicht gemäss <ref-law> (E. 2.1) allesamt nicht zu genügen. Den Ausführungen des Beschwerdeführers mangelt es an einer konkreten Auseinandersetzung mit den angeblich verletzten Ansprüchen, sodass letztlich unklar bleibt, worin der Beschwerdeführer konkret eine Verletzung welcher verfassungsmässiger Rechte zu erkennen meint. Insbesondere führt er nicht aus, welche (angeblich substanziierten) Ausführungen die Vorinstanz konkret ignoriert und welchen Einfluss dies auf den Entscheid der Vorinstanz gehabt haben soll. Soweit er diesbezüglich seitenlang lediglich seine Ausführungen aus der Berufungsantwort zitiert, genügt er der Begründungspflicht bereits deshalb nicht, weil er sich gar nicht mit dem Entscheid der Vorinstanz auseinandersetzt. Diese hält nämlich gerade fest, dass die Ausführungen des Beschwerdeführers (insbesondere auch in Bezug auf die angebliche Kindeswohlgefährdung) weitgehend unsubstanziiert sind und beispielsweise auch keine Verhaltensauffälligkeiten ersichtlich seien, welche den Schluss auf ein Entfremdungssyndrom zulassen würden (siehe oben E. 3.1). Vielmehr lasse der funktionierende Kontakt zwischen dem Beschwerdeführer und dem Kind derartige Verhaltensweisen nicht vermuten. Mit diesen Ausführungen der Vorinstanz setzt sich der Beschwerdeführer nicht ansatzweise auseinander und legt auch nicht dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt in Bezug auf eine angebliche Kindeswohlgefährdung willkürlich festgestellt haben soll. Auch hier konkretisiert er nicht, welche angeblichen psychischen Auffälligkeiten das Kind denn haben soll und zitiert erneut lediglich seitenlang seine vorinstanzlichen Ausführungen. Damit ergeht er sich in rein appellatorischer Kritik und beschränkt sich darauf, den Sachverhalt aus seiner Sicht zu schildern. Das genügt nicht. In Bezug auf die angebliche Kindeswohlgefährdung geht das Obergericht sodann gar nicht davon aus, diese bereits konkret bestehende Gefährdung würde bei einer alleinigen Obhut verschwinden. Vielmehr sieht es eine Kindeswohlgefährdung im Falle einer alternierenden Obhut, wohingegen es bei einer alleinigen Obhut gerade nicht von einer Kindeswohlgefährdung ausgeht. Auch darauf geht der Beschwerdeführer nicht (substanziiert) ein und auf diese Rügen ist daher nicht weiter einzugehen.
Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss geltend macht, von ihm offerierte Zeugen seien nicht befragt worden bzw. seine Beweisführung und damit sein Recht auf einen fairen Prozess gemäss <ref-law> seien mit der Ablehnung des Antrags auf Erstellung eines Obergutachtens verletzt worden, so kann er bezüglich dieser antizipierten Beweiswürdigung ausschliesslich Willkür rügen (<ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweis; Urteil 4A_153/2020 vom 19. Mai 2020, E. 2.4). Dies tut der Beschwerdeführer nicht, weswegen hier nicht weiter darauf einzugehen ist (<ref-law>; siehe betreffend Gutachten zudem nachfolgend E. 7).
Auch soweit die Rügen des Beschwerdeführers nicht den angefochtenen Entscheid, sondern Erwägungen in einem anderen Beschluss des Obergerichts betreffen, kann darauf nicht weiter eingegangen werden.
6.
6.1. Weiter rügt der Beschwerdeführer die Feststellungen der Vorinstanz bezüglich der Bindungstoleranz der Beschwerdegegnerin als willkürlich und falsch. Auch hier habe sich die Vorinstanz mit diversen seiner Vorbringen nicht auseinandergesetzt. Insgesamt verletze die Vorinstanz mit der festgestellten Bindungstoleranz der Beschwerdegegnerin <ref-law>, Art. 29 Abs. 1 und 2 BV sowie Art. 298b Abs. 3ter und Art. 274 ZGB.
6.2. Auch diese Rügen vermögen den Anforderungen an das Rügeprinzip gemäss <ref-law> bzw. die Begründungspflicht gemäss <ref-law> (E. 2.1) nicht zu genügen. Soweit der Beschwerdeführer hier erneut seitenlang seine Ausführungen vor der Vorinstanz hineinkopiert, sei auf bereits Vorgetragenes verwiesen (E. 5.2). Damit fehlt es an jeder Auseinandersetzung mit dem angefochtenen Entscheid und den angeblich verletzten Verfassungsnormen. Betreffend eine angebliche Verletzung von <ref-law> sowie Art. 298b Abs. 3ter und Art. 274 ZGB fehlt es ebenfalls an einer rechtsgenüglichen Begründung. Auch auf diese Rügen ist daher nicht weiter einzugehen.
7.
7.1. Ferner rügt der Beschwerdeführer sinngemäss, es hätte ein Obergutachten erstellt werden müssen. Dies müsse nun nachgeholt werden. Die Vorinstanz habe in diesem Zusammenhang insbesondere die Abklärung versäumt, ob bei einer alleinigen Obhutszuteilung an ihn die aktuell und konkret bestehende Kindeswohlgefährdung beseitigt werden könne. Auch solle die vorinstanzliche Tatsachenfeststellung überprüft werden, ob die alternierende Obhut für das Kind gefährdend wäre. Der Beschwerdeführer führt sodann weitere Aspekte bzw. konkrete Fragen aus, die seiner Ansicht nach in einem solchen Obergutachten geprüft bzw. beantwortet werden müssten. Seinen Ausführungen ist auch zu entnehmen, dass er das bisherige Gutachten für veraltet hält.
7.2. Auch hier setzt sich der Beschwerdeführer mit den Erwägungen der Vorinstanz betreffend die Frage, ob ein zusätzliches Gutachten einzuholen ist, mit keinem Wort auseinander, sondern schildert lediglich seine Sicht der Dinge bzw. was alles noch abgeklärt werden müsse. Die Vorinstanz hat aber gerade ausgeführt, dass eine sich ohnehin nur ausnahmsweise aufdrängende zweite Begutachtung vorliegend unterbleiben kann, weil sich die Ausgangslage bis auf das Alter des Kindes nicht verändert habe. Dies thematisiert der Beschwerdeführer nicht. Im Übrigen ist die Erstellung der tatsächlichen Grundlagen und insbesondere die Frage, ob ein (weiteres) Gutachten eingeholt werden soll, weitgehend dem Ermessen der Vorinstanz überlassen (Urteile 5A_345/2020 vom 30. April 2021 E. 5.7; 5A_28/2020 vom 13. November 2020 E. 3.1). Das Vorliegen der Voraussetzungen, unter welchen das Bundesgericht in diesem Zusammenhang eingreift (vgl. E. 2.4), wird vom Beschwerdeführer nicht einmal behauptet, geschweige denn rechtsgenüglich begründet und ist auch nicht ersichtlich. In diesem Zusammenhang ist insbesondere darauf hinzuweisen, dass die Vorinstanz die auch seit Erstellung des Gutachtens bestehenden Konflikte zwischen den Parteien ausführlich analysiert hat und aufgrund der insoweit unveränderten Verhältnisse zum Schluss gekommen ist, dass kein weiteres Gutachten eingeholt werden müsse.
8.
8.1. Schliesslich rügt der Beschwerdeführer, die Anordnung der alleinigen Obhut der Beschwerdegegnerin sei unbillig bzw. in stossender Weise ungerecht und verletze daher Art. 9 und <ref-law> bzw. das Rechtsgleichheitsgebot gemäss <ref-law> (gemeint ist wohl <ref-law>). Sinngemäss rügt der Beschwerdeführer, die Vorinstanz habe den ihr zustehenden Ermessensspielraum bei der Anordnung der Obhut über- oder unterschritten oder missbraucht, weil es insbesondere auch das Kriterium der Stabilität selbst geschaffen habe. Dies sei unbillig. Auch handle die Beschwerdegegnerin gegen Treu und Glauben, dem gemeinsamen Kinderwunsch und der Absprache mit dem Beschwerdeführer betreffend eine gemeinsame elterliche Sorge im Nachhinein zuwider und degradiere diesen zum blossen Samenspender.
8.2. Auch hier erschöpfen sich die Ausführungen des Beschwerdeführers in appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid. Wiederum legt er nicht dar, worin konkret die angebliche Verletzung von Art. 9, Art. 29 Abs. 1 und <ref-law> (worauf sich der Beschwerdeführer mangels Drittwirkung in den Beziehungen zwischen Privatpersonen grundsätzlich ohnehin nicht berufen kann, <ref-ruling> E. 4.1) denn bestehen soll, sondern stellt lediglich seine Sicht der Dinge dar. Soweit er der Beschwerdegegnerin und nicht der Vorinstanz sodann eine Verletzung von Treu und Glauben vorwirft, zielen seine Ausführungen ohnehin ins Leere.
9.
Nachdem es dem Beschwerdeführer nicht gelingt, den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt als willkürlich auszuweisen, macht er nicht geltend bzw. zeigt er nicht auf, dass die Vorinstanz bei der Obhutszuteilung von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Dies ist denn auch nicht ersichtlich.
10.
Die Beschwerde ist daher abzuweisen, soweit auf sie einzutreten ist. Soweit der Beschwerdeführer auch eine Aufhebung des angefochtenen Entscheids hinsichtlich der Unterhaltsbeiträge, Erziehungsgutschriften sowie den Kosten des erst- und vorinstanzlichen Verfahrens beantragt, bleibt dafür nach dem Gesagten kein Raum. Dies gilt insbesondere, nachdem es beim vorinstanzlichen Entscheid betreffend Obhut bleibt und der Beschwerdeführer nicht begründet, weshalb die Unterhaltsbeiträge unabhängig von der Obhutszuteilung neu festgelegt werden müssten. Da bei diesem Ergebnis auch die vorinstanzlichen Kosten nicht anders zu verteilen sind, fehlt es auch im Hinblick auf eine Neuverteilung der erstinstanzlichen Kosten an jeglicher Begründung.
11.
Bei diesem Ausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Eine Parteientschädigung ist mangels entschädigungspflichtiger Kosten nicht zu sprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2022
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Die Gerichtsschreiberin: Lang