Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 1968, ist gelernter Schuhmacher. Er arbeitete seit 1990 als Maurer und später bis 2010 als Gipser-Vorarbeiter. Am 13. Juli 2010 meldete er sich wegen seit Oktober 2009 anhaltender Rückenschmerzen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach erwerblichen und medizinischen Abklärungen sowie Durchführung des Vorbescheidverfahrens verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt (nachfolgend: IV-Stelle oder Beschwerdeführerin) bei einem ermittelten Invaliditätsgrad von 31 % einen Rentenanspruch (Verfügung vom 30. April 2013). Auf Beschwerde des Versicherten hin hob das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt die Verfügung vom 30. April 2013 auf und wies die Sache zur weiteren Abklärung und Neuverfügung an die IV-Stelle zurück (Entscheid vom 16. Dezember 2013).
A.b. Gestützt auf die Ergebnisse der ergänzenden Abklärungen hielt die IV-Stelle bei einem neu auf 22 % bzw. ab März 2013 auf 34 % ermittelten Invaliditätsgrad an der Verneinung eines Rentenanspruchs fest (Verfügung vom 19. Oktober 2018).
B.
Die hiegegen erhobene Beschwerde des A._ hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gut, indem es dem Versicherten mit Wirkung ab 1. März 2013 eine Viertelsrente der Invalidenversicherung zusprach (Entscheid vom 7. Mai 2019).
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Bestätigung der Verfügung vom 19. Oktober 2018. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ lässt die Abweisung der Beschwerde beantragen und ersucht um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Die Vorinstanz und das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichten auf eine Vernehmlassung.
Mit Verfügung vom 11. Dezember 2019 gewährte das Bundesgericht der Beschwerde die aufschiebende Wirkung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 389). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie dem Beschwerdegegner ab 1. März 2013 eine Viertelsrente zusprach. Die IV-Stelle ermittelte ab diesem Zeitpunkt ohne Berücksichtigung eines leidensbedingten Tabellenlohnabzuges einen Invaliditätsgrad von 34 % und verneinte folglich einen Rentenanspruch. Demgegenüber berücksichtigte das kantonale Gericht einen Abzug von 10 %, so dass ein anspruchsbegründender Invaliditätsgrad von (gerundet) 41 % resultierte.
3.
Die Vorinstanz hat die gesetzlichen Bestimmungen und Grundsätze zur Invalidität und Erwerbsunfähigkeit (Art. 7 f. ATSG), zum Rentenanspruch bzw. dessen Umfang (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG) sowie zur Invaliditätsbemessung bei im Gesundheitsfall voll Erwerbstätigen nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>) zutreffend dargelegt. Richtig sind auch die Ausführungen zur Praxis betreffend Festsetzung des Invalideneinkommens anhand statistischer Durchschnittswerte (vgl. <ref-ruling> E. 5.2 S. 301 mit Hinweisen), zum massgebenden Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6 S. 221) sowie zum Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten (<ref-ruling> E. 4.4 S. 470, 125 V 351 E. 3a S. 352). Darauf wird verwiesen.
4.
4.1. Mit dem Abzug vom Tabellenlohn nach <ref-ruling> soll der Tatsache Rechnung getragen werden, dass persönliche und berufliche Merkmale, wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität oder Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben können und je nach Ausprägung die versicherte Person deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.2.1 S. 70) nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301). Der Abzug soll aber nicht automatisch erfolgen. Er ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen und darf 25 % nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 301; <ref-ruling> E. 5.2 S. 327 f.; <ref-ruling> E. 5b/bb-cc S. 80). Die Rechtsprechung gewährt insbesondere dann einen Abzug auf dem Invalideneinkommen, wenn eine versicherte Person selbst im Rahmen körperlich leichter Hilfsarbeitertätigkeit in ihrer Leistungsfähigkeit eingeschränkt ist (<ref-ruling> E. 5a/bb S. 78). Zu beachten ist jedoch, dass allfällige bereits in der Beurteilung der medizinischen Arbeitsfähigkeit enthaltene gesundheitliche Einschränkungen nicht zusätzlich in die Bemessung des leidensbedingten Abzugs einfliessen und so zu einer doppelten Anrechnung desselben Gesichtspunkts führen dürfen (Urteil 8C_378/2019 vom 18. Dezember 2019 E. 4.1 mit Hinweis, zur amtlichen Publikation vorgesehen).
4.2. Ob ein (behinderungsbedingt oder anderweitig begründeter) Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen ist, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (<ref-ruling> E. 5.1 S. 72). Dagegen ist die Höhe des (im konkreten Fall grundsätzlich angezeigten) Abzugs eine Ermessensfrage, die letztinstanzlich nur bei Ermessensüberschreitung, -missbrauch oder -unterschreitung seitens der Vorinstanz korrigierbar ist (<ref-ruling> E. 2.4 S. 297; Urteil 8C_378/2019 vom 18. Dezember 2019 E. 4.1 mit Hinweis, zur amtlichen Publikation vorgesehen).
5.
5.1. Laut angefochtenem Entscheid sei die Vornahme eines leidensbedingten Abzuges deshalb gerechtfertigt, weil der Gesundheitsschaden des Versicherten dessen Leistungsfähigkeit auch im Rahmen einer geeigneten leichteren Tätigkeit beeinträchtige. Da den gesundheitlichen Einschränkungen jedoch bereits durch die Reduktion des Arbeitspensums um 20 % teilweise Rechnung getragen worden sei, könne zusätzlich nur noch ein Abzug in Höhe von 10 % berücksichtigt werden. Andere Merkmale, welche praxisgemäss gegebenenfalls einen leidensbedingten Abzug begründen könnten, schloss die Vorinstanz aus.
5.2. Demgegenüber macht die Beschwerdeführerin geltend, bei bundesrechtskonformer Anwendung der Praxis zu den leidensbedingten Tabellenlohnabzügen sei die Rechtsfrage, ob ein Abzug vorzunehmen sei, zu verneinen. Das kantonale Gericht sei aktenwidrig davon ausgegangen, dem Beschwerdegegner sei ab März 2013 nur noch eine 80%-ige Verweistätigkeit zumutbar, wobei nur noch körperlich leichte Tätigkeiten in Frage kämen, allerdings ohne spezifische Belastung der Lendenwirbelsäule, ohne repetitiv oder ständig vornüber geneigte oder reklinierte Positionen und ohne wiederholte Bück- oder Torsionsbewegungen. Der psychiatrische Gutachter Dr. med. B._, habe laut Expertise vom 9. Februar 2015 wegen leichter depressiver Episoden mit somatischem Syndrom eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 10 % in jeder Verweistätigkeit bescheinigt. Der rheumatologische Gutachter Dr. med. C._, sei in seiner Expertise vom 19. Januar 2015 zur Überzeugung gelangt, dass dem Versicherten aus rheumatologischer Sicht eine leichte und rückenadaptierte Tätigkeit weiterhin uneingeschränkt im Sinne eines 8,5-stündigen Arbeitspensums pro Tag zumutbar sei. In der bidisziplinären medizinischen Gesamtbeurteilung hätten sich die beiden Gutachter dann auf eine seit März 2013 anhaltende 20%-ige Arbeitsunfähigkeit in einer körperlich leichten und rückenadaptierten Tätigkeit geeinigt. Dabei hätten sie klar zum Ausdruck gebracht, dass die seither aus psychiatrischer Sicht auf neu 20 % festgelegte generelle Einschränkung der Arbeitsfähigkeit "nicht additiv zur rheumatologischerseits begründeten Arbeitsunfähigkeit zu verstehen" sei.
5.3. Die Vorbringen der Beschwerde führenden IV-Stelle sind stichhaltig. Abgesehen von der ab März 2013 festgestellten psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit wegen verminderter Energie und Konzentrationsfähigkeit im Umfang von 20 % besteht aus bidisziplinärer Sicht in Bezug auf eine körperlich leichte und rückenadaptierte Tätigkeit keine Einschränkung der Leistungsfähigkeit. In Übereinstimmung mit der Verwaltung stellte das kantonale Gericht nach eingehender Würdigung der medizinischen Aktenlage gestützt auf die unbestritten beweiskräftigen Angaben der Gutachter Dres. med. B._ und C._ zunächst zutreffend fest, "für körperlich leichte und rückenadaptierte Tätigkeiten [sei] seit März 2013 von einer 80%-igen Arbeitsfähigkeit auszugehen" (angefochtener Entscheid S. 12). Seite 13 führte die Vorinstanz dann aber aus, die Leistungsfähigkeit sei zufolge des Gesundheitsschadens auch im Rahmen einer geeigneten leichteren Tätigkeit beeinträchtigt. Deshalb seien die Voraussetzungen für einen leidensbedingten Abzug von 10 % erfüllt.
5.3.1. Dass dem Beschwerdegegner nur noch leichte Tätigkeiten zumutbar sind, ist praxisgemäss kein Grund für einen leidensbedingten Abzug, zumal der Tabellenlohn auf dem hier zugrunde gelegten Kompetenzniveau 1 bereits eine Vielzahl von körperlich leichten Tätigkeiten umfasst (vgl. statt vieler: Urteile 9C_447/2019 vom 8. Oktober 2019 E. 4.3.2 und 8C_219/2019 vom 30. September 2019 E. 5.2, je mit Hinweisen). Die nähere Umschreibung der leichten Tätigkeit im Sinne der hier zumutbaren "körperlich leichten und rückenadaptierten" Tätigkeit führt daher zu keinem lohnrelevanten Nachteil (vgl. Urteil 9C_447/2019 vom 8. Oktober 2019 E. 4.3.2).
5.3.2. Eine doppelte Anrechnung desselben Gesichtspunktes sowohl bei der Arbeitsfähigkeitsschätzung als auch bei der Bemessung des leidensbedingten Abzuges ist unzulässig (vgl. hievor E. 4.1 i.f. sowie u.a. SVR 2018 IV Nr. 20 S. 63, 9C_535/2017 E. 4.6 sowie Urteile 8C_219/2019 vom 30. September 2019 E. 5.2, 9C_837/2018 vom 6. Mai 2019 E. 4.3.3 und 8C_570/2018 vom 10. April 2019 E. 4.3.1, je mit Hinweisen). Die laut bidisziplinärem Gutachten aus psychiatrischer Sicht attestierte Einschränkung der Leistungsfähigkeit beschränkt sich auf eine Verminderung der Arbeitsfähigkeit um 20 %. Es wird nicht geltend gemacht und ist nicht ersichtlich, dass der Versicherte nicht in der Lage wäre, eine leichte rückenadaptierte Tätigkeit in zeitlicher Hinsicht - trotz seiner verminderten Energie und Konzentrationsfähigkeit (E. 5.3) - mit einem Vollpensum vollschichtig zu absolvieren. Demnach trägt die gemäss bidisziplinärem Gutachten begründete Reduktion der Arbeitsfähigkeit um 20 % den gesundheitlich bedingten Einschränkungen umfassend Rechnung. Die zusätzliche Berücksichtigung eines leidensbedingten Abzuges würde unter diesen Umständen eine unzulässige doppelte Anrechnung desselben Faktors bedeuten.
5.3.3. Ist der Beschwerdegegner in einer leichten rückenadaptierten Tätigkeit bei einer vollschichtig verwertbaren Arbeitsfähigkeit von 80 % aus gesundheitlichen Gründen nicht zusätzlich eingeschränkt, ist unter den gegebenen Umständen kein Tabellenlohnabzug gerechtfertigt. Bei freier Prüfung der Rechtsfrage und bundesrechtskonformer Beweiswürdigung bestand für das kantonale Gericht folglich keine Veranlassung, vom ermittelten Invalideneinkommen der IV-Stelle gemäss Verfügung vom 19. Oktober 2018 zusätzlich 10 % in Abzug zu bringen.
5.4. Nach dem Gesagten verletzt der von der Vorinstanz gewährte Tabellenlohnabzug Bundesrecht. Folglich ist der angefochtene Entscheid, gemäss welchem der Versicherte ab 1. März 2013 Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung hat, als bundesrechtswidrig aufzuheben. Es bleibt daher bei der von der IV-Stelle am 19. Oktober 2018 verfügten Verneinung eines Rentenanspruchs mangels eines Invaliditätsgrades von mindestens 40 %.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner grundsätzlich die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Seinem Gesuch um unentgeltliche Prozessführung und Verbeiständung kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Er hat der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. Mai 2019 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle Basel-Stadt vom 19. Oktober 2018 bestätigt.
2.
Dem Beschwerdegegner wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Dr. Marco Chevalier wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 24. Januar 2020
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Hochuli