Fatti:
A.
A.a. L'avvocato A.A._ è stato amministratore unico (1993-2000) e poi liquidatore (2000-2001) della B._ AG (di seguito: la Società), sulla base di un mandato conferitogli dallo zio C.A._ (ora defunto), azionista unico della Società. Il 9 luglio 1999, in veste di amministratore unico della B._ AG, A.A._ ha venduto a nome della stessa un fondo situato a X._ a D._, (seconda) moglie di C.A._.
A.b. Il 12 marzo 2018, l'avvocata E.A._, figlia di C.A._ e D._, nonché cugina di A.A._, ha inoltrato alla Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino (di seguito: la Commissione) una segnalazione in cui sosteneva che A.A._ si sarebbe trovato in una situazione di conflitto d'interessi relativa a un mandato da lui assunto per conto di F.A._, figlio di C.A._ e della sua prima moglie. Secondo la denunciante, nell'ambito di tale mandato, A.A._ avrebbe segnatamente contestato davanti alle competenti autorità civili proprio i termini della vendita da lui stesso effettuata nel 1999 a nome della B._ AG, incorrendo così in un palese conflitto d'interessi.
A.c. Il 14 marzo 2018, a seguito della segnalazione di E.A._, la Commissione ha aperto nei confronti di A.A._ un procedimento disciplinare per presunta violazione del segreto professionale e del divieto del conflitto d'interessi. Chiamato a pronunciarsi in merito, l'interessato ha respinto ogni addebito.
B.
B.a. Con decisione del 18 luglio 2018, la Commissione ha inflitto a A.A._ una multa disciplinare di fr. 1'000.-- per aver utilizzato informazioni coperte dal segreto professionale, inerenti ai suoi precedenti mandati in seno alla Società, al fine di avvantaggiare il suo attuale cliente F.A._.
B.b. Il 7 agosto 2019, adito su ricorso di A.A._, il Tribunale amministrativo del Cantone Ticino (di seguito: il Tribunale amministrativo) ha confermato la decisione della Commissione. I Giudici cantonali hanno ritenuto, in sostanza, che il mandato assunto dall'interessato per conto di F.A._ si rivelava problematico, nell'ottica del divieto del conflitto d'interessi, non solo per l'utilizzo da parte di A.A._ di informazioni apprese durante i suoi precedenti incarichi presso la B._ AG, ma anche e soprattutto perché tale mandato contrapponeva gli interessi del suo nuovo cliente (F.A._) a quelli del defunto C.A._, del quale egli era stato per oltre dieci anni l'avvocato di fiducia e per il quale aveva assunto in passato svariati mandati. L'autorità precedente ha inoltre rilevato che, nell'ambito del (nuovo) mandato svolto per conto di F.A._, A.A._ aveva contestato alcuni atti da lui stesso effettuati, su istruzione di C.A._ e a nome della B._ AG, in particolar modo la precitata vendita del fondo situato a X._ (supra lett. A.a). Secondo i Giudici ticinesi, ciò avrebbe potuto pregiudicare la qualità delle prestazioni fornite dall'interessato al suo nuovo cliente, in quanto il suo agire avrebbe potuto essere dettato (anche) dalla volontà di difendere sé stesso e il suo precedente operato in seno alla Società. Il Tribunale amministrativo ha infine confermato l'entità della sanzione inflitta, ritenendola adeguata e rispettosa del principio di proporzionalità.
C.
Il 16 settembre 2019, A.A._ ha inoltrato dinanzi al Tribunale federale un "ricorso di diritto pubblico" con cui postula, protestate tasse, spese e ripetibili, la riforma della sentenza del Tribunale amministrativo del 7 agosto 2019 nel senso che alla segnalazione del 12 marzo 2018 non sia dato seguito. In via subordinata, A.A._ chiede l'annullamento della sentenza del 7 agosto 2019 precitata e il rinvio degli atti al Tribunale amministrativo, rispettivamente alla Commissione, "affinché decida di non dar seguito alla segnalazione".
La Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino non si è pronunciata. La Corte cantonale ha presentato delle osservazioni e si è riconfermata nelle motivazioni e nelle conclusioni della propria sentenza. Il ricorrente ha replicato il 9 dicembre 2019, producendo nel contempo un nuovo documento.

Diritto:
1.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio la sua competenza (<ref-law>) e verifica con piena cognizione l'ammissibilità dei gravami che gli vengono sottoposti (<ref-ruling> consid. 1 pag. 282).
1.1. Il ricorrente ha intitolato la sua impugnativa "ricorso di diritto pubblico", rimedio giuridico che non esiste più dall'entrata in vigore, il 1 o gennaio 2007 (RU 2006 1241), della legge federale del 17 giugno 2005 sul Tribunale federale (LTF; RS 173.110). Tale imprecisione non comporta comunque alcun pregiudizio per l'interessato, nella misura in cui il gravame adempie le esigenze formali del tipo di ricorso effettivamente esperibile (<ref-ruling> consid. 1.1 pag. 370; sentenza 2C_624/2019 del 28 ottobre 2019 consid. 1.1).
1.2. L'impugnativa concerne una causa di diritto pubblico che non ricade sotto nessuna delle eccezioni previste dall'<ref-law> ed è diretta contro una decisione finale (<ref-law>) resa in ultima istanza cantonale da un tribunale superiore (art. 86 cpv. 1 lett. d e cpv. 2 LTF). Essa è stata presentata nei termini (art. 46 cpv. 1 lett. b cum <ref-law>) e nelle forme richieste (<ref-law>) dal destinatario del giudizio impugnato, con interesse a insorgere (<ref-law>), ed è quindi ricevibile come ricorso in materia di diritto pubblico ex art. 82 segg. LTF.
1.3. Giusta l'<ref-law>, davanti al Tribunale federale possono essere addotti nuovi fatti e nuovi mezzi di prova soltanto se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore. Dal momento che le condizioni per un richiamo all'<ref-law> non sono né date né sostanziate, il documento "D" allegato al ricorso, che non fa parte dell'incarto cantonale, non può essere vagliato. Quanto al documento "E" allegato al ricorso e al documento "F" allegato alla replica del 9 dicembre 2019, essi sono posteriori al giudizio impugnato e non possono quindi in nessun caso essere presi in considerazione.
2.
Con il ricorso in materia di diritto pubblico è tra l'altro possibile censurare la violazione del diritto federale (<ref-law>), nozione che comprende i diritti costituzionali dei cittadini (<ref-ruling> consid. 3.1 pag. 447; sentenza 2C_180/2019 dell'11 marzo 2019 consid. 2). Salvo che nei casi citati dall'<ref-law>, con questo rimedio non può invece essere criticata la violazione del diritto cantonale, di cui è semmai possibile denunciare un'applicazione lesiva del diritto federale e, segnatamente, del divieto d'arbitrio (<ref-ruling> consid. 2.3 pag. 466). Di principio, il Tribunale federale applica il diritto federale d'ufficio (<ref-law>). Esigenze più severe valgono tuttavia in relazione alle censure di violazione di diritti fondamentali, esaminate solo se l'insorgente le ha sollevate con precisione (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.2 pag. 246).
3.
3.1. Il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sulla base dei fatti accertati dall'autorità precedente (<ref-law>), eccezion fatta per i casi contemplati dall'<ref-law>. Giusta l'<ref-law>, il ricorrente può censurare l'accertamento dei fatti soltanto se è stato svolto in modo manifestamente inesatto - ovvero arbitrario - o in violazione del diritto ai sensi dell'<ref-law> e se l'eliminazione del vizio può essere determinante per l'esito del procedimento (<ref-ruling> consid. 6 pag. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 pag. 377). In conformità all'<ref-law>, chi ricorre deve motivare, con precisione e per ogni accertamento di fatto censurato, la realizzazione di queste condizioni. Se ciò non avviene, il Tribunale federale non può tener conto di uno stato di fatto divergente da quello esposto nella sentenza impugnata (<ref-ruling> consid. 5.1 pag. 356; sentenza 2C_793/2018 del 13 marzo 2019 consid. 2).
3.2. Nella fattispecie, il ricorrente invoca un accertamento arbitrario dei fatti relativo alla motivazione adottata dalla Commissione nella decisione del 18 luglio 2018 con la quale tale autorità gli ha inflitto una multa disciplinare di fr. 1'000.--. A mente dell'insorgente, tale decisione avrebbe escluso "categoricamente la violazione del divieto di conflitto d'interessi ex <ref-law>" (ricorso, pag. 4; si veda anche la replica del 9 dicembre 2019, pag. 2) e lo avrebbe sanzionato unicamente per "violazione dell'<ref-law> ovvero [la] norma che tutela il segreto professionale" (ricorso, pag. 7). Secondo l'interessato, il Tribunale amministrativo sarebbe dunque incorso in arbitrio ritenendo che la decisione della Commissione era invece fondata sull'esistenza di un conflitto d'interessi.
3.3. A tal proposito giova rilevare che, contrariamente a quanto sostenuto dall'insorgente, la precitata decisione della Commissione, pur ritenendo esplicitamente una "violazione delle norme deontologiche a tutela del segreto professionale" (decisione della Commissione del 18 luglio 2018, pag. 5), non esclude affatto in modo categorico (anche) una violazione del divieto del conflitto d'interessi. Già solo per questo motivo, un accertamento arbitrario dei fatti su questo punto da parte del Tribunale amministrativo appare quanto meno dubbio. Sia come sia, questo aspetto può rimanere indeciso nella fattispecie, in quanto non ha influenza alcuna sull'esito della presente causa. Come già osservato poc'anzi (cfr. supra consid. 3.1), la critica di accertamento arbitrario dei fatti deve infatti portare su elementi fattuali determinanti per l'esito del procedimento. Ora, come si vedrà più avanti, le censure sollevate dal ricorrente in relazione al tipo di infrazione alla LLCA effettivamente ritenuta dalla Commissione (violazione del segreto d'ufficio o del divieto del conflitto d'interessi), ovvero la pretesa violazione del diritto di essere sentito (<ref-law>; infra consid. 4), dell'art. 86 cpv. 5 della legge ticinese sulla procedura amministrativa del 24 settembre 2013 (LPAmm/TI; RL/TI 165.100; infra consid. 5) e del principio " ne eat iudex ultra ed extra petita partium " (infra consid. 6), sono in effetti da scartare indipendentemente dai motivi per i quali egli è stato sanzionato dalla Commissione. Non essendo determinante per l'esito del procedimento, la critica di accertamento arbitrario dei fatti sollevata dall'insorgente in merito a tale questione non deve essere vagliata oltre.
3.4. Per il resto, siccome non sono validamente messi in discussione, i fatti che risultano dal giudizio querelato vincolano il Tribunale federale (<ref-law>; sentenza 2C_624/2019 del 28 ottobre 2019 consid. 2). Questa Corte fonderà dunque il proprio giudizio sui fatti constatati dall'autorità precedente.
4.
Il ricorrente invoca una violazione del suo diritto di essere sentito (<ref-law>), in quanto il Tribunale amministrativo avrebbe adottato una motivazione diversa da quella della Commissione, "addebitandogli arbitrariamente anche il conflitto di interessi" (ricorso, pag. 8), senza prima concedergli la possibilità di esprimersi in merito.
4.1. Il diritto di essere sentito garantito dall'<ref-law> assicura alle parti la facoltà di esprimersi prima che sia presa una decisione che le tocca nella loro situazione giuridica e comprende il diritto di consultare l'incarto, di offrire mezzi di prova su punti rilevanti e di partecipare alla loro assunzione, o perlomeno di potersi esprimere sui risultati in quanto possano influire sul giudizio che dovrà essere preso (<ref-ruling> consid. 4.1 pag. 170 seg.; <ref-ruling> consid. 2.3 pag. 222). In linea di massima, dal diritto di essere sentito non deriva la facoltà per le parti di esprimersi preventivamente sull'argomentazione giuridica prospettata dall'autorità (<ref-ruling> consid. 3.4 pag. 495). Soltanto quando l'autorità prevede di fondare la sua decisione su una norma o un motivo giuridico non evocato nella procedura anteriore e di cui nessuna delle parti si è prevalsa e poteva presupporre la pertinenza, il diritto di essere sentito esige che sia data loro la possibilità di esprimersi al riguardo (<ref-ruling> consid. 4.1 pag. 171; <ref-ruling> consid. 5.4.1 pag. 26; sentenza 2C_356/2017 del 10 novembre 2017 consid. 4.3).
4.2. Nella fattispecie, il Tribunale amministrativo ha considerato che, accettando di patrocinare F.A._, il ricorrente era incorso in un conflitto d'interessi in violazione dell'art. 12 lett. c LLCA e ha per questo motivo confermato la decisione della Commissione. In quest'ultima, tale autorità aveva esplicitamente fatto riferimento all'art. 12 lett. c LLCA e alla problematica legata al conflitto d'interessi (cfr. decisione della Commissione del 18 luglio 2018, pag. 3 seg.). Il relativo procedimento era del resto stato aperto, il 14 marzo 2018, (anche) per presunta violazione del divieto del conflitto d'interessi (sentenza impugnata, pag. 2). In siffatte circostanze, indipendentemente dal tipo di infrazione alla LLCA poi effettivamente ritenuta dalla Commissione (violazione del segreto d'ufficio o del divieto del conflitto d'interessi; cfr. supra consid. 3.3), l'interessato poteva chiaramente aspettarsi che il Tribunale amministrativo, tenuto ad applicare d'ufficio il diritto (cfr. art. 31 LPAmm/TI), avrebbe esaminato la causa anche nell'ottica del conflitto d'interessi (art. 12 lett. c LLCA). L'autorità precedente non ha quindi violato il diritto di essere sentito del ricorrente non accordandogli la possibilità di esprimersi preventivamente sull'argomentazione giuridica (perfettamente prevedibile) da essa prospettata. La censura va dunque scartata.
5.
Sempre in relazione alla motivazione adottata dal Tribunale amministrativo, l'insorgente invoca un'applicazione arbitraria del diritto cantonale e sostiene che l'autorità precedente avrebbe operato una reformatio in peius della decisione della Commissione, senza prima informarlo né dargli la possibilità di esprimersi, in crassa violazione dell'art. 86 cpv. 5 LPAmm/TI.
5.1. Una decisione è arbitraria (<ref-law>) quando è in manifesta contraddizione con la situazione di fatto, è gravemente lesiva di una norma o di un principio giuridico chiaro e indiscusso, oppure quando urta in modo scioccante il sentimento di giustizia ed equità. La decisione deve inoltre essere arbitraria nel suo risultato e non solo nella sua motivazione. Il semplice fatto che un'altra soluzione, diversa da quella adottata dall'autorità precedente, potrebbe entrare in linea di conto o sarebbe addirittura preferibile non costituisce arbitrio (<ref-ruling> consid. 5.4 pag. 326 seg.).
5.2. Giusta l'art. 86 cpv. 5 LPAmm/TI, " se il Tribunale cantonale amministrativo intende modificare la decisione impugnata a pregiudizio di una parte, deve informarla della sua intenzione e darle la possibilità di esprimersi ".
5.3. Nella fattispecie, come del resto rilevato a ragion veduta anche dal Tribunale amministrativo nella sua risposta del 10 ottobre 2019, nella sentenza querelata tale autorità ha respinto il ricorso interposto dall'interessato e tutelato la decisione della Commissione del 18 luglio 2018, confermandone dunque il dispositivo. Dato che la sentenza impugnata non è stata modificata "a pregiudizio di una parte" (art. 86 cpv. 5 LPAmm/TI), non si vede come, indipendentemente dai motivi sui quali i Giudici cantonali hanno fondato la loro decisione (cfr. supra consid. 3.3), il Tribunale amministrativo possa avere operato una reformatio in peius o applicato in modo arbitrario l'art. 86 cpv. 5 LPAmm/TI. Le critiche sollevate del ricorrente a tal proposito non possono dunque che essere respinte.
6.
Quanto all'asserita violazione del principio " ne eat iudex ultra ed extra petita partium " (ricorso, pag. 8), tale critica sembra confondersi - per quanto è dato di comprendere - con le censure fondate sugli <ref-law> e 86 cpv. 5 LPAmm/TI esaminate (e scartate) poc'anzi. Il ricorrente sembra inoltre perdere di vista che il Tribunale amministrativo ha semplicemente confermato la decisione della Commissione. Del resto, l'insorgente si limita ad affermare perentoriamente che il Tribunale amministrativo avrebbe "giudica[to] oltre quanto gli era stato chiesto" (ricorso, pag. 6), senza menzionare né invocare alcuna disposizione legale (oltre a quelle appena citate) che sarebbe stata disattesa dall'autorità precedente.
In siffatte circostanze, la censura - anche a supporre che sia sufficientemente motivata (cfr. art. 42 e 106 cpv. 2 LTF) - non può che essere respinta.
7.
Per il resto, l'insorgente (ricorso, pag. 8 segg.) si dilunga in argomentazioni relative a questioni che esulano dall'oggetto del presente procedimento (criticando ad esempio una decisione di sospensione presa dall'autorità competente nella causa civile da lui intentata a nome di F.A._), rifacendosi tra l'altro a documenti posteriori al giudizio impugnato (in particolare un reclamo inoltrato da E.A._ davanti alla Corte dei reclami penali del Tribunale d'appello il 26 agosto 2019 e una sentenza della Terza camera civile del Tribunale d'appello del 21 novembre 2019) che non possono essere vagliati (cfr. supra consid. 1.3), senza al contempo confrontarsi chiaramente con la questione della violazione della LLCA alla base della presente procedura.
Sia come sia, alla luce dei fatti constatati - senza arbitrio (cfr. supra consid. 3) - dal Tribunale amministrativo e della giurisprudenza relativa all'art. 12 lett. c LLCA, correttamente esposta dall'autorità precedente e a cui qui si rimanda (cfr. <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 221 segg.; <ref-ruling> consid. 9.1 pag. 154 seg.; sentenza 2A.594/2004 del 28 ottobre 2004 consid. 1.2; si veda anche <ref-ruling> consid. 3 pag. 109 segg.), è senza violare il diritto federale che i Giudici cantonali hanno ritenuto che il ricorrente era incorso in un chiaro conflitto d'interessi proscritto dall'art. 12 lett. c LLCA. Come emerge dal giudizio impugnato, infatti, l'insorgente ha accettato di patrocinare F.A._ in una causa che lo ha portato a rimettere in questione atti da lui stesso effettuati in passato a nome della B._ AG su istruzione di C.A._, del quale egli era oltretutto stato per oltre dieci anni l'avvocato di fiducia (a dispetto delle critiche puramente appellatorie da lui sollevate a tal proposito). In tali circostanze, l'interessato non era evidentemente in grado di rispettare appieno il suo obbligo di fedeltà e di diligenza nei confronti dei propri clienti (cfr. <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 222; <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 260; <ref-ruling> consid. 9.1 pag. 154), obbligo che - giova ricordarlo - non è limitato nel tempo e concerne dunque anche procedure che sono già concluse (cfr. <ref-ruling> consid. 2.1 pag. 223; <ref-ruling> consid. 3 pag. 110; sentenze 2C_45/2016 dell'11 luglio 2016 consid. 2.2 e 5A_967/2014 del 27 marzo 2015 consid. 3.3.2).
8.
Infine, la sanzione inflitta (multa disciplinare di fr. 1'000.--), che non è peraltro oggetto di specifica contestazione, appare nel caso concreto adeguata e rispettosa del principio di proporzionalità e va pertanto confermata.
9.
Per quanto precede, il ricorso è infondato e va respinto. Le spese giudiziarie seguono la soccombenza (<ref-law>). Non vengono assegnate ripetibili (<ref-law>).

Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è respinto.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 2'000.-- sono poste a carico del ricorrente.
3.
Comunicazione al ricorrente, al Tribunale amministrativo e alla Commissione di disciplina degli avvocati del Cantone Ticino.