Erwägungen:
1.
1.1. Die A._ AG hat statutarischen Sitz in B._/ZH. Zur Steuerperiode 2016 reichte sie trotz Mahnung keine Steuererklärung ein. In der Folge wurde sie vom Steueramt des Kantons Zürich (KStA/ZH; die Veranlagungsbehörde) nach pflichtgemässem Ermessen veranlagt (Veranlagungsverfügungen vom 14. Februar 2019), dies sowohl für die direkte Bundessteuer als auch die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich. Auf die dagegen gerichteten Einsprachen trat die Veranlagungsbehörde nicht ein, da die Steuerpflichtige nach wie vor keine Steuererklärung vorgelegt hatte (Einspracheentscheide vom 10. April 2019). Das Steuerrekursgericht des Kantons Zürich wies die Rechtsmittel der Steuerpflichtigen ab, soweit es darauf eintrat (Entscheide vom 16. September 2019).
1.2.
1.2.1. Mit Beschwerden vom 28. Oktober 2019 beantragte die Steuerpflichtige beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich sinngemäss, die angefochtenen Entscheide seien aufzuheben. In prozessualer Hinsicht stellte sie das Gesuch, es sei ihr das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen. Mit Verfügung vom 31. Oktober 2019 im Verfahren SB.2019.00106 / SB.2019.00107 wies das Verwaltungsgericht das Gesuch ab, was es damit begründete, dass das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege einer juristischen Person grundsätzlich nicht zustehe. Darüber hinaus setzte es der Steuerpflichtigen eine nicht erstreckbare Nachfrist von zehn Tagen, um eine verbesserte Beschwerdeschrift nachzureichen, ansonsten auf die Beschwerden nicht eingetreten würde.
1.2.2. Die prozessleitende Verfügung wurde der Steuerpflichtigen am 4. November 2019 zugestellt, worauf der Fristenlauf am Donnerstag, 14. November 2019, endete. Die Steuerpflichtige lieferte mit Schreiben vom 17. November 2019 (Postaufgabe: Dienstag, 19. November 2019) eine Beschwerdebegründung nach und stellte ein Fristwiederherstellungsgesuch. Die Begründung ging hinsichtlich des Gesuchs dahin, dass C._, einziges Mitglied des Verwaltungsrates und Geschäftsführer der Steuerpflichtigen, vom 13. November bis zum 18. November 2019 an einer Krankheit gelitten habe. Die Steuerpflichtige erneuerte ferner ihr Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Rechtsverbeiständung).
1.2.3. Mit einzelrichterlicher Verfügung vom 26. November 2019 wies das Verwaltungsgericht das Fristwiederherstellungsgesuch ab und trat es auf die Beschwerden nicht ein. Das Verwaltungsgericht erkannte im wesentlichen, die Beschwerdeschrift sei verspätet eingereicht worden. C._, dessen Verhalten der Steuerpflichtigen zuzurechnen sei, habe seine angebliche Krankheit in keiner Weise substantiiert. Insbesondere habe er es unterlassen, ein Arztzeugnis vorzulegen. Mit Blick auf die kurze Dauer der Krankheit stehe zu vermuten, dass die Folgen nicht derart tiefgreifend gewesen seien, um C._ davon abzuhalten, fristgerecht zu handeln oder eine Drittperson beizuziehen.
1.3. Mit Eingabe vom 7. Januar 2020 (Postaufgabe: 8. Januar 2020) erhebt die Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt, die angefochtene Verfügung sei aufzuheben und es sei ihr für das bundesgerichtliche Verfahren das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege (unentgeltliche Prozessführung und unentgeltliche Rechtsverbeiständung) zuzuerkennen.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (<ref-law> [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Rechtsschriften an das Bundesgericht haben einen Antrag, eine Begründung und die Beweismittel zu enthalten. Die Begründung hat sich auf den Streitgegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens zu beziehen. Darin ist in gedrängter Form darzulegen, dass und inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286). Das Bundesgericht untersucht im bundesrechtlichen Bereich grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern eine Rechtsverletzung nicht geradezu offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 2.1 S. 156; <ref-ruling> E. 1.1 S. 305 f.). Enthält eine Eingabe keine hinreichende Begründung, tritt das Bundesgericht darauf nicht ein (<ref-ruling> E. 5.2 S. 167). Dies alles gilt umso mehr im Bereich des rein kantonalen und kommunalen Rechts, wo eine qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit herrscht (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 1.1 S. 305 f.).
2.2. Die Steuerpflichtige äussert sich in ihrer Eingabe hauptsächlich zum bisherigen Verlauf des Verfahrens und macht geltend, sie habe ihre steuerrechtlichen Mitwirkungspflichten erfüllt. Am 8. November 2017 habe sie der Veranlagungsbehörde mitgeteilt, dass die Gesellschaft in der Steuerperiode 2016 inaktiv gewesen sei und weder über Aktiven noch Umsätze verfügt habe. Dies sei im kantonalen Verfahren zu Unrecht unbeachtet geblieben. Wie es sich damit verhält, hatte die Vorinstanz freilich nicht zu prüfen, da es lediglich darum ging, ob die versäumte Frist wiederhergestellt werden könne. Der Streitgegenstand kann vor Bundesgericht, verglichen mit dem vorinstanzlichen Verfahren, zwar eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 22). Die Kritik der Steuerpflichtigen geht daher von vornherein fehl. Sie ist nicht zu hören.
2.3. Betreffend die Fristwiederherstellung bringt die Steuerpflichtige lediglich vor, C._ habe im fraglichen Zeitraum an einer schweren Erkältung gelitten. Keinem Menschen sei es in einer solchen Lage möglich, eine Prozesshandlung vorzunehmen. Aus finanziellen Gründen sei die Steuerpflichtige zudem ausserstande gewesen, eine Drittperson zu beauftragen. Auf die hier zentrale Frage, ob ein Arztzeugnis vorzulegen oder die krankheitsbedingte Verhinderung auf andere Weise zu dokumentieren gewesen wäre (dazu Urteil 2F_25/2019 vom 6. November 2019 E. 2.2.3), geht die Steuerpflichtige mit ihren kurzen, pauschalen Ausführungen auch nicht ansatzweise ein. Dadurch kann sie der ihr obliegenden Begründungspflicht weder im bundesrechtlichen, geschweige denn im kantonal- und kommunalrechtlichen Bereich genügen.
2.4. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung, weshalb darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter nicht einzutreten ist (<ref-law>).
3.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Das für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist infolge Aussichtslosigkeit abzuweisen (<ref-law>). Auch dies kann einzelrichterlich geschehen (<ref-law>). Dem Kanton Zürich, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2016, wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Zürich, Steuerperiode 2016, wird nicht eingetreten.
3.
3.1. Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.2. Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher