Faits :
A.
Par jugement du 4 juin 2020, le Tribunal criminel de l'arrondissement de Lausanne a reconnu A._ coupable d'homicide par négligence, de lésions corporelles graves, de lésions corporelles simples qualifiées, d'exposition et de violation du devoir d'assistance ou d'éducation et l'a condamné à une peine privative de liberté de six ans, sous déduction de sept cent soixante-huit jours de détention avant jugement et d'un jour de détention en raison de détention dans des conditions illicites. Il a ordonné le maintien de A._ en détention pour des motifs de sûreté et prononcé son expulsion pour une durée de quinze ans. Sur le plan civil, il a condamné l'intéressé à verser à D._ une indemnité pour tort moral de 15'000 fr., avec intérêt à 5 % l'an dès le 30 mai 2018.
B.
Par jugement du 19 janvier 2021, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a admis partiellement l'appel de A._ et rejeté celui du Ministère public vaudois. Elle a libéré l'appelant du chef de prévention de violation du devoir d'assistance ou d'éducation, l'a reconnu coupable d'homicide par négligence, de lésions corporelles graves, de lésions corporelles simples qualifiées et d'exposition, l'a condamné à une peine privative de liberté de six ans, sous déduction de la détention préventive et de la détention dans des conditions illicites, a prononcé son expulsion pour une durée de sept ans et a alloué une indemnité de 15'000 fr. pour tort moral à D._. Elle a confirmé le jugement attaqué pour le surplus.
En résumé, elle a retenu les faits suivants:
B.a. A._, né le 17 mai 1985 au Congo, pays dont il est ressortissant, et E._, née en février 1993 au Congo, pays dont elle est ressortissante, ont vécu en concubinage dans le courant de l'année 2014. Ils ont eu un enfant, F._, né prématurément en février 2016. L'enfant est demeuré à l'hôpital dès sa naissance et jusqu'au 9 septembre 2016. Pendant ses premiers mois de vie, il a subi des traitements importants à la suite de problèmes assez graves, notamment des hémorragies et une anémie.
B.b. A U._, à des dates indéterminées comprises entre le 9 septembre 2016 et le 1 er janvier 2017, A._ a causé deux fractures au bras gauche de son fils F._, l'une transverse de l'humérus et l'autre en anse de seau de la métaphyse proximale humérale.
A U._, le 16 janvier 2017, vers 14 h 00, E._ a laissé son fils F._ seul avec A._ pour aller faire des tresses à une connaissance.
Dans le courant de l'après-midi, pour une raison qui n'a pas pu être déterminée, A._ a violemment secoué son fils F._. Ensuite de ce geste, l'enfant a perdu connaissance et est devenu hypotonique avec une salivation et des mouvements saccadés des quatre membres. A._ a fait appel au 144 à 17 h 42. Il a procédé à un massage cardiaque sur l'enfant, restant en contact téléphonique avec les secouristes. Sur place, les ambulanciers ont constaté un arrêt cardio-respiratoire, poursuivi le massage cardiaque et pratiqué une ventilation assistée après intubation.
Lors de son admission aux urgences, les médecins ont pratiqué un scanner cérébral qui a notamment révélé la présence d'hémorragies bilatérales des enveloppes du cerveau. L'examen des yeux du nourrisson a en outre révélé la présence d'hémorragies rétiniennes bilatérales étendues.
F._ est décédé le 20 janvier 2017, à 15 h 20, des suites de ses blessures.
B.c. A V._, à l'EMS xxx, le 28 mai 2018, vers 9 h 30, A._, aide-soignant, a déplacé D._ - patiente née en 1928 et atteinte de la maladie d'Alzheimer à un stade relativement avancé - jusqu'à la douche seul, alors que la manipulation aurait dû se faire avec l'aide d'un collègue. Une fois D._ installée dans la douche, A._ a utilisé de l'eau extrêmement chaude et a dirigé le jet sur la tête et le torse de la résidente. Cette dernière a alors poussé des cris, qui ont alerté une assistante en soins communautaires qui passait à proximité. Dans la mesure où des cloques étaient apparues sur la peau de D._ et que sa peau collait aux vêtements et qu'elle partait en lambeaux en divers endroits, il a été fait appel à une ambulance vers 11 h 30.
D._ a souffert de larges brûlures au deuxième degré au niveau du visage, du cou latéralement et postérieurement, de la région interscapulaire, et du décolleté, ainsi que de brûlures au premier degré au niveau de l'abdomen et du flanc gauche.
G._, B._ et C._, respectivement mari, fils et fille de D._, ont déposé une plainte pénale le 1 er juin 2018. D._ a porté plainte le 9 août 2018 et s'est constituée partie plaignante demanderesse au pénal et au civil.
C.
Contre ce dernier jugement, A._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est libéré des chefs d'accusation de lésions corporelles gaves, de lésions corporelles simples qualifiées et d'exposition, qu'il lui est infligé une peine privative de liberté ne dépassant pas quinze mois, avec sursis pendant deux ans, qu'il est libéré avec effet immédiat, qu'il n'est pas expulsé du territoire suisse, qu'une indemnité, réduite à 5'000 fr., est allouée à D._, que la part des frais de justice des procédures de première et deuxième instances cantonales mis à sa charge est réduite d'un quart et qu'une indemnité pour détention injustifiée au sens de l'<ref-law> lui est allouée. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.

Considérant en droit :
1.
Le recourant critique l'établissement des faits qu'il qualifie de manifestement inexact. Il reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant qu'il avait infligé à son fils F._ deux fractures au bras gauche, l'une transverse et l'autre en anse de seau de la métaphyse humérale proximale.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (<ref-law>), à moins qu'elles n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir, pour l'essentiel, de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. Une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 1.1; sur la notion d'arbitraire cf. <ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 2.3.1). Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux, dont l'interdiction de l'arbitraire, que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (<ref-law>; ATF <ref-ruling> consid. 1.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.1).
1.2. La cour cantonale a constaté que deux fractures de l'humérus gauche étaient visibles sur les radiographies effectuées le 1 er janvier 2017 sur l'épaule gauche de la métaphyse proximale. Elle a noté que les médecins légistes avaient déclaré que ces fractures étaient d'origine traumatique et que l'enfant avait dû subir des traumatismes à au moins deux reprises. Le mécanisme à l'origine des fractures métaphysaires humérales " en anse de seau " est généralement une traction/torsion violente ou des secousses. Quant à la fracture diaphysaire transverse, elle est normalement la conséquence d'un choc direct contre la région concernée, étant précisé que l'explication donnée par les parents, à savoir le bras coincé dans les barreaux du lit chez un enfant, est improbable (pièce 45, p. 50). La cour cantonale s'est également référée à l'expertise du Centre H._ (ci-après : H._) (pièce 64, p. 25, 33) et au rapport du Service de pédiatrie de l'Hôpital I._ (pièce 19, p. 3) qui excluent que l'enfant se soit pris le bras dans les barreaux de son lit (jugement attaqué p. 30).
La cour cantonale a écarté l'explication du recourant, selon laquelle l'enfant aurait pu se briser le bras en tombant d'un pouf lors d'une fête de famille. En effet, cette hypothèse avait été évoquée un mois après le début de l'enquête et - si chute il y avait - celle-ci n'était pas grave puisque la fête s'était poursuivie. En outre, dans tous les cas, à dires d'experts, les fractures présentées par l'enfant n'étaient pas compatibles avec une chute (jugement attaqué p. 31).
La cour cantonale a exclu toute responsabilité de la mère de l'enfant. En effet, la mère avait pris des dispositions lorsqu'elle avait constaté que son fils ne bougeait plus son bras, en appelant notamment le médecin de garde et en suivant les instructions d'une infirmière. Pour le surplus, c'était le père qui avait fait part au médecin du fait que l'enfant s'était pris le bras dans les barreaux de son lit, puis plus tard qu'il était tombé d'un pouf (jugement attaqué p. 31 s.).
1.3. En ce qui concerne la fracture en anse de seau, le recourant fait valoir que la cour cantonale n'a pas pu dater précisément la lésion. Il lui reproche de ne pas avoir tenu compte du fait qu'il n'était pas souvent à la maison en raison de son travail, que la mère était tout le temps avec l'enfant et avait une relation fusionnelle avec lui, occultant le père, qu'elle se rendait souvent avec l'enfant dans sa famille, où d'autres personnes manipulaient l'enfant et enfin qu'elle n'avait guère de scrupules à le secouer dans la poussette en descendant les escaliers ou à le déplacer en voiture sans siège approprié. A l'inverse, il fait valoir que la mère de l'enfant a déclaré qu'il s'en occupait bien.
S'agissant de la fracture transverse, le recourant soutient que les deux parents pensaient que la fracture était due à un faux mouvement dans le lit et que ce n'est pas lui qui aurait été à l'origine de cette hypothèse. Il ajoute qu'il croyait de bonne foi que c'était les gigotements de l'enfant dans le lit qui étaient à l'origine de la fracture et que ce n'est qu'après avoir eu connaissance des positions des experts qu'il a fait le lien avec la chute survenue lors d'une fête de famille. Il relève que la chute est compatible avec les appréciations des experts (choc direct contre la région concernée) et que la cour cantonale ne saurait affirmer que la chute n'avait pas été grave puisque la fête s'était poursuivie. Enfin, il fait observer que l'enfant avait les os fragilisés et était donc à risque de fracture spontanée.
1.4. La cour cantonale a fondé ses conclusions sur le rapport des médecins légistes, l'expertise du Centre H._ et le rapport du Service de pédiatrie de l'Hôpital I._, qui sont unanimes pour dire que ce genre de fracture est la conséquence d'un choc direct et exclure en conséquence que l'enfant se soit coincé le bras dans les barreaux du lit. Elle a ensuite examiné la version de la chute, qu'elle a écartée pour des motifs pertinents. Elle a également envisagé une éventuelle responsabilité de la mère, mais a écarté cette éventualité en raison du comportement que cette dernière avait eu avec l'enfant. L'analyse à laquelle a procédé la cour cantonale n'est pas entachée d'arbitraire. A tout le moins, le recourant ne le démontre pas. Par son argumentation, il se borne en effet à avancer, de manière purement appellatoire, différentes hypothèses pour se disculper. Une telle argumentation est irrecevable.
2.
Le recourant conteste sa condamnation pour exposition, en raison du défaut de réalisation de l'élément subjectif. Il soutient qu'il n'a pas envisagé qu'il pouvait exposer son enfant à un danger grave et imminent pour la santé et qu'il ne s'est en aucun cas accommodé de ce résultat. En effet, il n'aurait pas su que le fait de secouer un enfant pouvait avoir de telles conséquences; cela ne serait pas ressorti de la discussion d'avec ses collègues. Il invoque également son état de stress dû à ses troubles psychiques et le fait qu'il a tout de suite appelé des secours lors de l'apparition des symptômes.
2.1.
2.1.1. Aux termes de l'<ref-law>, celui qui, ayant la garde d'une personne hors d'état de se protéger elle-même ou le devoir de veiller sur elle, l'aura exposée à un danger de mort ou à un danger grave et imminent pour la santé, ou l'aura abandonnée en un tel danger, sera puni d'une peine privative de liberté de cinq ans au plus ou d'une peine pécuniaire.
L'infraction est intentionnelle, le dol éventuel s'avérant suffisant (arrêt 6B_565/2019 du 12 juin 2019 consid. 4.2). Le dol éventuel suppose que l'auteur, qui ne veut pas le résultat dommageable pour lui-même, envisage le résultat de son acte comme possible et l'accepte au cas où il se produirait (cf. <ref-law>).
2.1.2. La différence entre le dol éventuel et la négligence consciente réside dans la volonté de l'auteur. Celui qui agit par dol éventuel accepte le résultat dommageable pour le cas où il se produirait, alors que celui qui se rend coupable de négligence consciente escompte que le résultat dont il envisage l'avènement comme possible ne se produira pas (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 16; <ref-ruling> consid. 8.3 p. 61; <ref-ruling> consid. 3c p. 251; arrêt 6B_713/2021 du 2 février 2022 consid. 2.1). La distinction entre le dol éventuel et la négligence consciente peut parfois s'avérer délicate, notamment parce que, dans les deux cas, l'auteur est conscient du risque de survenance du résultat. En l'absence d'aveux de la part de l'auteur, la question doit être tranchée en se fondant sur les circonstances extérieures, parmi lesquelles figurent la probabilité, connue de l'auteur, de la réalisation du risque et l'importance de la violation du devoir de prudence. Plus celles-ci sont élevées, plus l'on sera fondé à conclure que l'auteur a accepté l'éventualité de la réalisation du résultat dommageable (<ref-ruling> consid. 5.3 p. 225 s.; <ref-ruling> consid. 5a p. 3; arrêt 6B_713/2021 précité). Peuvent aussi constituer des éléments extérieurs révélateurs, les mobiles de l'auteur et la manière dont il a agi (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 16; <ref-ruling> consid. 8.4 p. 62; <ref-ruling> consid. 3c p. 252; arrêt 6B_713/2021 précité).
Déterminer ce qu'une personne a su, envisagé, voulu ou accepté relève des constatations de fait, que le Tribunal fédéral n'examine que sous l'angle de l'arbitraire (<ref-ruling> consid. 12 p. 152; <ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Est en revanche une question de droit celle de savoir si l'autorité cantonale s'est fondée sur une juste conception de la notion d'intention et si elle l'a correctement appliquée sur la base des faits retenus et des éléments à prendre en considération (<ref-ruling> consid. 4.2.3 p. 5; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 156; <ref-ruling> consid. 4.1). Toutefois, lorsque l'autorité cantonale a déduit l'élément subjectif du dol éventuel sur la base d'éléments extérieurs, faute d'aveux de l'auteur, les questions de fait et de droit interfèrent sur certains points, de sorte que le Tribunal fédéral peut revoir, dans une certaine mesure, si ces éléments extérieurs ont été correctement appréciés au regard de la notion juridique du dol éventuel (<ref-ruling> consid. 4.1 p. 17; <ref-ruling> consid. 3c p. 252; arrêts 6B_268/2020 précité consid. 1.3; 6B_420/2019 du 17 mai 2019 consid. 3.4.1; 6B_1177/2018 du 9 janvier 2019 consid. 1.1.2; 6B_1080/2013 du 22 octobre 2014 consid. 4.2 et les références citées).
2.2.
2.2.1. La cour cantonale a expliqué que le syndrome du bébé secoué se produisait lorsqu'un adulte secouait violemment un enfant en le tenant par le tronc ou les épaules et non dans le cadre d'un jeu, d'une maladresse ou lors d'une situation de vie commune tel que, par exemple, un enfant que l'on berce. Elle a ajouté que, dans le cas particulier, l'enfant présentait les formes aigües du syndrome et en a conclu que les secousses infligées par le père à F._ avaient été particulièrement violentes. En outre, le recourant savait que son enfant avait une santé fragile compte tenu de sa prématurité et connaissait les risques liés au secouement d'un enfant pour en avoir entendu parler sur son lieu de travail. Au vu de ces éléments, elle a considéré qu'il ne pouvait pas échapper au recourant qu'il mettait en danger la santé de son enfant en le secourant violemment et qu'il ne pouvait donc que s'accommoder du résultat. En revanche, elle a admis, au-delà de tout doute raisonnable, qu'il ne s'était pas accommodé de la mort de son enfant, notamment en raison de son attitude lors de l'apparition des symptômes de son enfant (appel des secours et massage cardiaque), de sorte qu'elle n'a pas retenu le meurtre, mais le délit d'exposition au sens de l'<ref-law>, en concours avec l'homicide par négligence au sens de l'<ref-law> (jugement attaqué p. 42 s.).
2.2.2. La cour cantonale a tenu compte des éléments pertinents pour retenir le dol éventuel (violence de l'acte; connaissance du syndrome des enfants secoués; fragilité de l'enfant). Lorsque le recourant soutient qu'un danger de lésions graves n'a pas été évoqué lors de la discussion avec ses collègues, son argumentation est purement appellatoire et, donc, irrecevable. La cour cantonale n'a pas méconnu que le recourant souffrait de troubles psychiques et que des cris pouvaient provoquer un accès violent en raison d'une situation d'angoisse, mais en a tenu compte, à juste titre, au niveau de la responsabilité pénale. Enfin, elle a considéré que le fait que le recourant a appelé des secours lors de l'apparition des symptômes et pratiqué un massage cardiaque sur l'enfant permettait d'exclure l'acceptation de la mort, mais non celle de graves lésions. L'analyse de la cour cantonale est convaincante. En retenant que le recourant s'était rendu coupable d'exposition par dol éventuel, elle n'a pas versé dans l'arbitraire ni violé le droit fédéral.
3.
Le recourant critique sa condamnation pour lésions corporelles graves en lien avec les brûlures causées à D._. Il ne conteste pas la réalisation des éléments constitutifs objectifs de l'infraction de lésions corporelles graves, mais s'en prend à nouveau à l'élément subjectif, soutenant que seule une négligence devrait lui être imputée.
3.1. Les lésions corporelles graves peuvent être commises intentionnellement (<ref-law>) ou par négligence (<ref-law>). Les notions d'intention et de négligence ont été expliquées au considérant 2 ci-dessous à propos de l'exposition.
3.2. La cour cantonale a retenu, sur la base du rapport du Centre H._, que les brûlures constatées étaient compatibles avec des lésions provoquées par contact de la peau avec un liquide brûlant, comme de l'eau par exemple. Elle a ensuite constaté que la résidente avait poussé des cris qui avaient alerté une assistante en soins communautaires qui passait à proximité. Enfin, elle a exposé qu'après la douche, la résidente avait présenté des rougeurs au torse et au visage et que le recourant avait caché qu'il y ait pu avoir un problème avec la douche, en affirmant à sa collègue que ces atteintes étaient présentes avant la douche et qu'il s'agissait d'une allergie. Au vu de ces éléments, elle a retenu que le recourant avait eu conscience d'utiliser de l'eau très chaude et avait accepté de brûler sa patiente (jugement attaqué p. 48 s.).
La cour cantonale s'est fondée sur des éléments pertinents pour retenir l'intention (nature des lésions; expertise constatant que les lésions ne pouvaient avoir été provoquées que par de l'eau brûlante; cri de la patiente; mensonge du recourant). Lorsque le recourant soutient qu'il a utilisé de l'eau juste un peu trop chaude et que cela aurait suffit à faire apparaître des cloques, car D._ a une peau particulièrement fragile, il présente sa propre version des faits, sans établir l'arbitraire de la version des faits de la cour cantonale; son argumentation est donc irrecevable. A toutes fins utiles, on rappellera que la patiente n'a pas souffert de simples rougeurs, mais de brûlures au deuxième degré sur 6 % du corps et au premier degré sur 9 % du corps, brûlures qui ont été provoquées, selon l'expertise, par de l'eau brûlante. Si un témoin a admis que la patiente pouvait avoir une peau fragile et avoir quelques marques, il a précisé que celles-ci étaient d'un type différent, à la suite d'une chute ou d'un frottement. Au vu de l'ensemble de ces éléments, on ne peut qu'admettre que la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire ni violé le droit fédéral en retenant que le recourant s'était rendu compte que l'eau était extrême-ment chaude et qu'il avait accepté de brûler D._.
4.
Condamné à une peine privative de liberté de six ans, le recourant critique la sévérité de celle-ci.
4.1. Selon l'<ref-law>, le juge fixe la peine d'après la culpabilité de l'auteur. Il prend en considération les antécédents et la situation personnelle de ce dernier ainsi que l'effet de la peine sur son avenir (al. 1). La culpabilité est déterminée par la gravité de la lésion ou de la mise en danger du bien juridique concerné, par le caractère répréhensible de l'acte, par les motivations et les buts de l'auteur et par la mesure dans laquelle celui-ci aurait pu éviter la mise en danger ou la lésion, compte tenu de sa situation personnelle et des circonstances extérieures (al. 2).
4.2. La cour cantonale a rappelé que le recourant devait être condamné pour lésions corporelles simples qualifiées, lésions corporelles graves, homicide par négligence et exposition. A charge, elle a retenu qu'il s'en était pris à des personnes particulièrement vulnérables, sur lesquelles il avait le devoir de veiller et qu'il n'avait manifesté aucun remord, aucun regret, ni aucune prise de conscience. A décharge, elle a retenu une diminution de la responsabilité pénale de moyenne à importante et a retenu en conséquence, par l'effet de l'<ref-law>, une faute très lourde (au lieu d'extrêmement lourde). Elle a écarté l'application de l'<ref-law> au vu de la totale absence de remords et de prise de conscience dont le recourant avait fait preuve. Elle a fixé une peine privative de liberté de deux ans et demi pour les lésions corporelles graves, qui est l'infraction la plus grave, et a augmenté cette peine, par l'effet du concours, de deux ans pour l'exposition, d'un an pour l'homicide par négligence et de six mois pour les lésions corporelles simples qualifiées. En conséquence, elle a prononcé une peine privative de liberté de six ans (jugement attaqué p. 53).
4.3. Le recourant critique cette peine à plusieurs égards:
4.3.1. Dans un premier grief, il fait valoir que cette peine est trop sévère par rapport à d'autres affaires. Compte tenu des nombreux paramètres qui interviennent dans la fixation de la peine, une comparaison avec des affaires concernant d'autres accusés et des faits différents est d'emblée délicate. Il ne suffit d'ailleurs pas que le recourant puisse citer un ou deux cas où une peine particulièrement clémente a été fixée pour prétendre à un droit à l'égalité de traitement (<ref-ruling> consid. 3a p. 142 s. et les arrêts cités; arrêt 6B_776/2020 du 5 mai 2021 non publié in <ref-ruling>). Les disparités en cette matière s'expliquent normalement par le principe de l'individualisation des peines, voulu par le législateur; elles ne suffisent pas en elles-mêmes pour conclure à un abus du pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 193; <ref-ruling> consid. 2e p. 52 s.).
4.3.2. Le recourant fait ensuite grief à la cour cantonale d'avoir refusé d'appliquer l'<ref-law>.
Selon cette disposition, si l'auteur a été directement atteint par les conséquences de son acte au point qu'une peine serait inappropriée, l'autorité compétente renonce à le poursuivre, à le renvoyer devant le juge ou à lui infliger une peine. Une exemption de peine se justifie lorsque l'auteur paraît déjà suffisamment puni et que la fonction compensatrice de la peine est déjà réalisée (<ref-ruling>05 consid. 2.3 p. 108 s.).
Pour déterminer si une peine serait disproportionnée, il convient de mettre en balance les conséquences de l'acte et la faute de l'auteur. Ainsi, l'<ref-law> peut s'appliquer dans le cas où une faute légère a entraîné des conséquences directes très lourdes pour l'auteur et à l'inverse, ne doit pas être appliqué lorsqu'une faute grave n'a entraîné que des conséquences légères pour l'auteur. En cas d'infraction intentionnelle, une réduction de la peine en application de l'<ref-law> est possible, mais ne doit être admise qu'avec retenue (arrêts 6B_515/2019 du 11 juin 2019 consid. 3; 6B_107/2012 du 25 avril 2012 consid. 3.1). Le juge doit prendre sa décision en analysant in concreto les circonstances du cas et il dispose d'un large pouvoir d'appréciation (cf. arrêts 6B_515/2019 du 11 juin 2019 consid. 3; 6B_107/2012 du 25 avril 2012 consid. 3.1; cf. <ref-ruling> consid. 2d p. 175; <ref-ruling> consid. 2a p. 247 s.).
La faute du recourant est très grave. Il a notamment été retenu qu'il avait intentionnellement exposé son enfant à un grave danger pour la santé. Il n'a exprimé aucun remord, aucun regret, ni aucune prise de conscience. Lorsqu'il affirme avoir été gravement touché par le décès de son fils, il présente sa propre version des faits, laquelle est contredite par les constatations cantonales; cette argumentation est donc irrecevable. Au vu des circonstances, la cour cantonale n'a pas outrepassé le large pouvoir d'examen dont elle dispose en refusant d'appliquer l'<ref-law>.
4.3.3. Le recourant soutient enfin qu'une peine de deux ans et demi pour les lésions causées à D._ est excessive au motif que seule une négligence saurait lui être imputée. Selon lui, une peine de neuf mois devrait être infligée pour l'homicide par négligence, laquelle devrait être augmentée, par l'effet du concours de six mois pour les lésions corporelle graves infligées à D._. La peine devrait être donc de quinze mois, dès lors qu'il devrait être libéré des infractions d'exposition et de lésions corporelles simples qualifiées. Cette argumentation est infondée, dès lors qu'elle se fonde sur des condamnations différentes de celles retenues par la cour cantonale et confirmées par la cour de céans.
4.3.4. En conclusion, la peine privative de liberté de six ans apparaît adéquate, de sorte que l'on ne saurait conclure à un abus du large pouvoir d'appréciation accordé à l'autorité cantonale. Cette dernière a motivé de manière détaillée et complète la peine, et le recourant n'invoque aucun élément, propre à modifier la peine, qu'elle aurait omis ou pris en considération à tort. Le grief de violation de l'<ref-law> est dès lors infondé.
4.4. Dans la mesure où la peine privative de liberté est de six ans, tout sursis (complet ou partiel) est exclu (cf. art. 42 et 43 CP).
5.
Le recourant conteste l'expulsion prononcée contre lui, se prévalant d'une relation durable avec sa compagne actuelle, avec qui il a eu un enfant. Il serait en outre exposé à des risques dans son pays d'origine.
5.1.
5.1.1. Selon l'<ref-law>, le juge expulse de Suisse l'étranger qui est condamné pour lésions corporelles graves ou exposition. L'<ref-law> prévoit l'expulsion " obligatoire " de l'étranger condamné pour l'une des infractions ou combinaison d'infractions listées à l'alinéa 1, quelle que soit la quotité de la peine prononcée à son encontre.
5.1.2. Selon l'<ref-law>, le juge peut exceptionnellement renoncer à une expulsion lorsque celle-ci mettrait l'étranger dans une situation personnelle grave et que les intérêts publics à l'expulsion ne l'emportent pas sur l'intérêt privé de l'étranger à demeurer en Suisse. A cet égard, il tiendra compte de la situation particulière de l'étranger qui est né ou qui a grandi en Suisse.
La clause de rigueur permet de garantir le principe de la proportionnalité (cf. art. 5 al. 2 Cst.; <ref-ruling> consid. 3.4.2; <ref-ruling> consid. 3.3.1). Elle doit être appliquée de manière restrictive (<ref-ruling> consid. 3.3.1). Il convient de s'inspirer des critères énoncés à l'art. 31 al. 1 de l'ordonnance relative à l'admission, au séjour et à l'exercice d'une activité lucrative (OASA; RS 142.201) et de la jurisprudence y relative, dans le cadre de l'application de l'<ref-law>. L'art. 31 al. 1 OASA prévoit qu'une autorisation de séjour peut être octroyée dans les cas individuels d'extrême gravité. L'autorité doit tenir compte notamment de l'intégration du requérant selon les critères définis à l'art. 58a al. 1 de la loi fédérale sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20), de la situation familiale, particulièrement de la période de scolarisation et de la durée de la scolarité des enfants, de la situation financière, de la durée de la présence en Suisse, de l'état de santé ainsi que des possibilités de réintégration dans l'État de provenance. Comme la liste de l'art. 31 al. 1 OASA n'est pas exhaustive et que l'expulsion relève du droit pénal, le juge devra également, dans l'examen du cas de rigueur, tenir compte des perspectives de réinsertion sociale du condamné (<ref-ruling> consid. 3.3.2 p. 340 s.; arrêt 6B_1369/2019 du 22 janvier 2020 consid. 2.3.1). En règle générale, il convient d'admettre l'existence d'un cas de rigueur au sens de l'<ref-law> lorsque l'expulsion constituerait, pour l'intéressé, une ingérence d'une certaine importance dans son droit au respect de sa vie privée et familiale garanti par la Constitution fédérale (art. 13 Cst.) et par le droit international, en particulier l'art. 8 CEDH (arrêts 6B_1421/2019 du 12 février 2020 consid. 1.3; 6B_1024/2019 du 29 janvier 2020 consid. 1.3.2; 6B_1299/2019 du 28 janvier 2020 consid. 3.3).
Selon la jurisprudence, pour se prévaloir du droit au respect de sa vie privée au sens de l'art. 8 § 1 CEDH, l'étranger doit établir l'existence de liens sociaux et professionnels spécialement intenses avec la Suisse, notablement supérieurs à ceux qui résultent d'une intégration ordinaire. Le Tribunal fédéral n'adopte pas une approche schématique qui consisterait à présumer, à partir d'une certaine durée de séjour en Suisse, que l'étranger y est enraciné et dispose de ce fait d'un droit de présence dans notre pays. Il procède bien plutôt à une pesée des intérêts en présence, en considérant la durée du séjour en Suisse comme un élément parmi d'autres et en n'accordant qu'un faible poids aux années passées en Suisse dans l'illégalité, en prison ou au bénéfice d'une simple tolérance (arrêt 6B_255/2020 du 6 mai 2020 consid. 1.2.2; cf. <ref-ruling> consid. 4.3; plus récemment arrêt 6B_153/2020 du 28 avril 2020 consid. 1.3.2).
Par ailleurs, un étranger peut se prévaloir de l'art. 8 § 1 CEDH (et de l'art. 13 Cst.), qui garantit notamment le droit au respect de la vie familiale, pour s'opposer à l'éventuelle séparation de sa famille, pour autant qu'il entretienne une relation étroite et effective avec une personne de sa famille ayant le droit de résider durablement en Suisse (<ref-ruling> consid. 6.1). Les relations familiales visées par l'art. 8 § 1 CEDH sont avant tout celles qui concernent la famille dite nucléaire, soit celles qui existent entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant en ménage commun (arrêt 6B_286/2020 du 1er juillet 2020 consid. 1.3.2; cf. <ref-ruling> consid. 6.1; ATF 135 1143 consid. 1.3.2, RDAF 2010 I 344). La présence d'enfants mineurs en Suisse ne justifie pas de renoncer à l'expulsion, en particulier si les contacts avec ceux-ci sont très limités (GRODECKI/STOUDMANN, La jurisprudence fédérale et lémanique en matière d'expulsion judiciaire, JT 2019 III 39, spéc. p. 62 et les références citées). Par ailleurs, il n'y a pas atteinte à la vie familiale si l'on peut attendre des personnes concernées qu'elles réalisent leur vie de famille à l'étranger; l'art. 8 CEDH n'est pas a priori violé si le membre de la famille, jouissant d'un droit de présence en Suisse, peut quitter ce pays sans difficultés avec l'étranger auquel a été refusée une autorisation de séjour (<ref-ruling> consid. 4.2 p. 96; <ref-ruling> consid. 3.1 p. 147).
5.1.3. Le juge doit fixer la durée de l'expulsion dans la fourchette prévue de cinq à quinze ans, en tenant compte du principe de la proportionnalité (arrêt 6B_1043/2017 du 14 août 2018 consid. 3.1.3 et la référence citée). Le critère d'appréciation est la nécessité de protéger la société pendant un certain temps en fonction de la dangerosité de l'auteur, du risque qu'il récidive et de la gravité des infractions qu'il est susceptible de commettre à l'avenir, à l'exclusion de toute considération relative à la gravité de la faute commise (arrêt 6B_183/2020 du 28 octobre 2020 consid. 4.1; GRODECKI/JEANNERET, L'expulsion judiciaire / IV. - VI., Droit pénal - Évolutions en 2018, 2017, p. 149). La durée de l'expulsion n'a pas à être symétrique à la durée de la peine prononcée (arrêts 6B_549/2019 du 29 mai 2019 consid. 2.3; 6B_242/2019 du 18 mars 2019 consid. 1.3).
5.2. En l'espèce, les intérêts présidant à l'expulsion du recourant sont importants, dès lors qu'il a commis des actes de maltraitance à l'endroit de personnes particulièrement vulnérables, sur lesquels il avait le devoir de veiller, allant jusqu'à causer la mort de son enfant. La peine privative de liberté de six ans à laquelle il a été condamné dépasse largement une année, ce qui aurait, cas échéant, pu permettre une révocation de son autorisation de séjour sur la base de l'art. 62 al. 1 let. b LEI (cf. <ref-ruling> consid. 2.1 p. 147, selon lequel constitue une " peine privative de liberté de longue durée " au sens de l'art. 62 al. 1 let. B LEtr [depuis le 1er janvier 2019 : LEI] toute peine dépassant un an d'emprisonnement). Enfin, la cour cantonale a retenu qu'il existait un risque de récidive, en raison de son déni massif, de l'absence de remords et du défaut de prise de conscience.
Contrairement à ce que soutient le recourant, il n'est pas bien intégré dans notre pays. ll est arrivé en Suisse en 2010 et a bénéficié d'une admission provisoire. Le séjour en Suisse du recourant ne peut donc être considéré comme long. Son parcours pénal dénote une mauvaise intégration. Ses chances d'intégration professionnelle en Suisse dans son domaine de compétence, à savoir celui des soins, sont inexistantes, au vu des faits pour lesquels il est aujourd'hui condamné.
C'est en vain que le recourant se prévaut de sa relation avec sa nouvelle compagne et sa fille qui vient d'avoir trois ans. Il est vrai que, après avoir subi une détention préventive de trente et un jours à la suite de l'enquête en relation avec la mort de son fils, le recourant s'est mis en ménage avec une compatriote, avec laquelle il a eu une petite fille née en 2018. En raison de l'enquête liée au décès de son fils, puis de son incarcération, il n'a toutefois jamais vécu ni avec sa fille, ni avec la mère de celle-ci. Ses liens familiaux sont ainsi distendus, de sorte qu'il ne saurait se prévaloir d'un droit au respect de sa vie familiale.
Selon le recourant, les persécutions qu'il a subies au Congo et qui ont justifié son admission provisoire en Suisse empêcheraient qu'il soit expulsé dans son pays d'origine. La possibilité de reporter l'exécution de l'expulsion selon l'<ref-law> ne dispense pas l'autorité de jugement qui ordonne l'exécution d'examiner la situation de l'étranger dans son pays d'origine et d'en prendre compte lors de la pesée d'intérêts (<ref-ruling> consid. 9.4; arrêt 6B_651/2018 consid. 8.3.3). Elle ne peut pas simplement renvoyer la question à l'autorité d'exécution, compétente pour reporter l'expulsion lorsque le principe de non-refoulement ou d'autres règles impératives du droit international s'opposent à l'expulsion (<ref-law>). Selon l'état de fait cantonal, il n'est toutefois pas établi que le recourant serait actuellement en danger dans son pays d'origine ni qu'il y serait encore une fois sa peine exécutée (jugement attaqué p. 61). En prétendant que les persécutions subies au Congo empêcheraient son expulsion au Congo, le recourant présente sa propre version des faits, sans même tenter de l'établir et démontrer que celle de la cour cantonale serait arbitraire. Appellatoire, son argumentation est irrecevable.
Compte tenu de la gravité des infractions commises, du risque de récidive et de la mauvaise intégration en Suisse, l'intérêt public à l'expulsion du recourant l'emporte sur son intérêt privé à demeurer en Suisse. L'expulsion, ordonnée pour une durée de sept ans, s'avère conforme au principe de la proportionnalité découlant des art. 5 al. 2 Cst. et 8 par. 2 CEDH. Les conditions pour l'application de l'<ref-law> n'étant pas réalisées, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en ordonnant l'expulsion du recourant.
6.
Le recourant conteste la quotité de l'indemnité allouée à D._. Il reproche à la cour cantonale de ne pas avoir motivé de manière suffisante sa décision.
6.1. En vertu de l'<ref-law>, le juge peut, en tenant compte de circonstances particulières, allouer à la victime de lésions corporelles une indemnité équitable à titre de réparation morale. Les circonstances particulières évoquées dans la norme consistent dans l'importance de l'atteinte à la personnalité du lésé, l'<ref-law> étant un cas d'application de l'<ref-law> (cf. arrêt 4C.283/2005 du 18 janvier 2006 consid. 3.1.1, in JdT 2006 I p. 476). Les lésions corporelles, qui englobent tant les atteintes physiques que psychiques, doivent donc en principe impliquer une importante douleur physique ou morale ou avoir causé une atteinte durable à la santé. Parmi les circonstances qui peuvent, selon les cas, justifier l'application de l'<ref-law>, figurent avant tout le genre et la gravité de la lésion, l'intensité et la durée des répercussions sur la personnalité de la personne concernée, le degré de la faute de l'auteur ainsi que l'éventuelle faute concomitante de la victime (<ref-ruling> consid. 11.2 p. 98).
L'indemnité allouée doit être équitable. Le juge applique les règles du droit et de l'équité lorsque la loi le charge, comme l'<ref-law>, de prononcer en tenant compte des circonstances (cf. <ref-law>). Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise en dernière instance cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle repose sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle ou, au contraire, lorsqu'elle ignore des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; en outre, le Tribunal fédéral redresse les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 11.2 p. 98).
6.2. La cour cantonale a constaté que l'indemnité de 15'000 fr. fixée en première instance était adéquate au vu des blessures physiques subies, en particulier compte tenu des séquelles psychologiques qu'elles ont engendrées (jugement attaqué p. 63). La nature des blessures et la gravité de la faute sont par ailleurs détaillées à propos de la qualification de l'infraction (jugement attaqué p. 48 s.). Quoique sommaire, la motivation de la cour cantonale est suffisante. Elle ne viole pas le droit d'être entendu du recourant.
6.3. En l'espèce, D._ a gravement souffert du comportement du recourant tant physiquement que psychiquement. Elle a subi des brûlures profondes nécessitant une hospitalisation du 28 mai au 12 juin 2018, d'abord aux urgences puis au service de chirurgie plastique et de la main. Alors qu'elle était de retour dans son EMS, ses blessures ont nécessité un suivi ambulatoire à la consultation de chirurgie plastique pour contrôle et soins des lésions. Lorsque le recourant soutient qu'elle a été hospitalisée pour soigner une infection urinaire et de la sous-nutrition, il s'écarte de l'état de fait cantonal, sans en établir l'arbitraire, de sorte que son argumentation est irrecevable. Sur le plan psychique, D._, âgée de nonante ans et atteinte de manière sévère par la maladie d'Alzheimer, s'est renfermée sur-elle-même; elle n'était plus autonome et il fallait l'alimenter entièrement. Si les brûlures ne sont pas responsables à elles seules de la dégradation de l'état de santé de D._, elles en ont accéléré le processus. Enfin, la faute qui est imputée au recourant ne procède pas d'une négligence, mais d'un geste intentionnel; elle a été qualifiée de très lourde. Au vu de l'ensemble de ces éléments, on peut admettre que l'indemnité de 15'000 fr. due à D._ est adéquate.
7.
Le recourant requiert qu'une indemnité lui soit servie du fait de la durée de la détention provisoire subie, qui dépasserait celle de la peine finalement prononcée (cf. <ref-law>). Le grief soulevé doit être rejeté dans la mesure où la peine finalement prononcée (six ans) excède largement la détention subie.
8.
Le recourant demande enfin à être libéré partiellement des frais en raison de la libération des infractions de lésions corporelles simples qualifiées et d'exposition (art. 426 al. 1 et 2 CPP). La cour de céans a toutefois confirmé la condamnation du recourant pour ces deux infractions, de sorte que celui-ci n'a pas droit à une réduction des frais pour ce motif.
9.
Le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable.
Comme il était dénué de chance de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>) et le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière qui n'apparaît pas favorable.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 21 février 2022
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Jacquemoud-Rossari
La Greffière : Kistler Vianin