Erwägungen:
1.
Mit Entscheid vom 5. Februar 2019 bestätigte das Kantonsgericht Luzern den Entscheid des Bezirksgerichts Luzern vom 30. Juli 2018, der Beschwerdegegnerin in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Luzern gegen die Beschwerdeführerin für drei Forderungen im Betrag von insgesamt Fr. 920'442.60 (nebst Zins) die definitive Rechtsöffnung zu erteilen. Am 12. März 2019 focht die Beschwerdeführerin den kantonsgerichtlichen Entscheid beim Bundesgericht an.
2.
2.1. Mit Schreiben vom 8. bzw. 10. Mai 2019 teilten die Beschwerdegegnerin und das Kantonsgericht mit, dass das Bezirksgericht Luzern am 1. Mai 2019 über die Beschwerdeführerin den Konkurs eröffnet habe; sie reichten dem Bundesgericht den Entscheid des Konkursgerichts und einen Auszug aus dem Luzerner Kantonsblatt ein. In der Folge sistierte das Bundesgericht das Beschwerdeverfahren (Verfügung vom 20. August 2019).
2.2. Am 7. Mai 2020 teilte das Konkursamt Luzern dem Bundesgericht mit, dass das Konkursverfahren durch Verfügung des Konkursgerichts vom 14. November 2019 mangels Aktiven eingestellt wurde und das Verfahren per 10. Dezember 2019 als definitiv eingestellt gelte, nachdem kein Gläubiger binnen Frist die Durchführung des Konkursverfahrens verlangt und den diesbezüglichen Kostenvorschuss geleistet hat. Mit Wirkung per 6. März 2020 wurde die Beschwerdeführerin aus dem Handelsregister gelöscht (SHAB Nr. 49 vom 11. März 2020, Publ. 1004849706).
2.3. Dazu eingeladen, zum Ausgang des Beschwerdeverfahrens Stellung zu nehmen, beantragt die Beschwerdeführerin, das Verfahren mangels Prozessfähigkeit als gegenstandslos abzuschreiben und die Beschwerdegegnerin zu den Gerichtskosten und zu einer Parteientschädigung zu verurteilen (Schreiben vom 25. Mai 2020). Die Beschwerdegegnerin widersetzt sich der Abschreibung zufolge Gegenstandslosigkeit nicht, fordert jedoch ihrerseits, die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen und diese zu einer Parteientschädigung zu verpflichten. Diese Eingabe vom 8. Juni 2020 wurde der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
3.
Gemäss Art. 159 Abs. 5 Bst. a der Handelsregisterverordnung vom 17. Oktober 2007 (SR 211.411) wird eine Rechtseinheit von Amtes wegen aus dem Handelsregister gelöscht, wenn bei der Einstellung des Konkursverfahrens mangels Aktiven binnen dreier Monate nach der Publikation der Eintragung kein begründeter Einspruch erhoben wurde. Mit der Einstellung des Konkurses über sie und mit ihrer Löschung aus dem Handelsregister hat die Beschwerdeführerin ihre Rechtspersönlichkeit verloren (vgl. <ref-law>). Als Folge davon können allfällige Forderungen der Beschwerdegegnerin keiner Schuldnerin mehr zugeordnet werden. Entsprechend besteht kein Rechtsschutzinteresse (<ref-law>) mehr an der Beurteilung der Frage, ob in der erwähnten Betreibung (E. 1), die in den Konkurs der Beschwerdeführerin mündete (E. 2.1), der Rechtsvorschlag der Beschwerdeführerin zu Recht beseitigt wurde (vgl. Urteil 4A_133/2016 vom 18. November 2016). Das bundesgerichtliche Verfahren ist damit zufolge Gegenstandslosigkeit gemäss <ref-law> abzuschreiben.
4.
4.1. Hinsichtlich des Verfahrens vor dem Bundesgericht richtet sich der Entscheid über die Prozesskosten nach <ref-law> in Verbindung mit <ref-law> (SR 273). Dieser Vorschrift zufolge entscheidet das Gericht mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes.
4.2. Beim gegebenen Ausgang des Verfahrens verzichtet das Bundesgericht darauf, Gerichtskosten zu erheben (<ref-law>). Soweit die Beschwerdegegnerin, die sich zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu vernehmen hatte und mit ihren dort gestellten Anträgen durchdrang, noch auf einer Parteientschädigung besteht, ist ihr Begehren abzuweisen. Eine Entschädigungspflicht muss von vornherein entfallen, da sie keinem Rechtssubjekt mehr zugeordnet werden könnte (vgl. Entscheid I 545/04 vom 22. März 2007 E. 4.3 mit Hinweis, in: SVR 2008 IV Nr. 55).

Demnach verfügt der Instruktionsrichter:
1.
Das Verfahren wird zufolge Gegenstandslosigkeit abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Diese Verfügung wird den Parteien dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung und dem Konkursamt Luzern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Instruktionsrichter: Schöbi
Der Gerichtsschreiber: Monn