Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Entscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 29. April 2016 wurde die Ehe der in U._ lebenden Eheleute B._ (Mutter) und A._ (Vater) geschieden. Die Kinder der Parteien, C._ (2004) und D._ (2008), wurden unter der gemeinsamen elterlichen Sorge belassen. Die Parteien regelten die Nebenfolgen der Scheidung in einer Vereinbarung. Die Mutter wohnte fortan weiterhin mit den Kindern in U._.
A.b. In der Folge beabsichtigte die Mutter, mit den Kindern nach Schottland auszuwandern und beantragte daher am 16. Dezember 2016 die Zustimmung zum Wechsel des Aufenthaltsortes der Kinder. Nach Anhörung der Parteien und der betroffenen Kinder hiess die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde des Kantons Basel-Stadt (KESB) mit Entscheid vom 1. Juni 2017 das Gesuch der Mutter gut mit der zusätzlichen Feststellung, dass die Kinder weiterhin in häuslicher Gemeinschaft mit ihr wohnen. Sodann regelte die KESB die Betreuung der Kinder und entzog gestützt auf <ref-law> einer allfälligen Beschwerde die aufschiebende Wirkung.
B.
B.a. Mit Beschwerde vom 7. Juni 2017 gelangte der Vater an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht mit den Begehren, den Entscheid der KESB vom 1. Juni 2017 aufzuheben und der Mutter die Zustimmung zum Wechsel des Aufenthaltsortes der Kinder zu verweigern. Überdies beantragte er superprovisorisch die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung. Mit Verfügung vom 8. Juni 2017 wies der Instruktionsrichter des Verwaltungsgerichts das Gesuch ab.
B.b. Im Anschluss an diese Verfügung zog die Mutter zusammen mit den Kindern nach Schottland.
B.c. Der Vater hat die Verfügung vom 8. Juni 2017 am 10. Juli 2017 beim Bundesgericht der Rechtsmittelbelehrung entsprechend mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten. Er beantragt, die angefochtene Verfügung aufzuheben und der Beschwerde gegen den Entscheid der KESB vom 1. Juni 2017 aufschiebende Wirkung zu verleihen (5A_520/2017). Es sind keine Vernehmlassungen, aber die Verfahrensakten eingeholt worden.
C.
C.a. Mit Urteil vom 27. August 2017 trat das Verwaltungsgericht auf die gegen den Entscheid der KESB vom 1. Juni 2017 erhobene Beschwerde nicht ein.
C.b. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 6. Oktober 2017 gelangt der Vater an das Bundesgericht mit den Begehren, den Entscheid der KESB vom 1. Juni 2017 aufzuheben und die Sache zur erneuten Beurteilung und Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventuell sei das Urteil des Verwaltungsgerichts aufzuheben und das Gesuch um Zustimmung zum Wechsel des Aufenthaltsortes der Kinder abzuweisen (5A_782/2017). Im Weiteren stellt er den Antrag, die Verfahren 5A_520/2017 und 5A_782/2017 zu vereinigen. Es wurden keine Vernehmlassungen eingereicht.

Erwägungen:
1.
Angefochten sind zwei Entscheide des Verwaltungsgerichts in einem Verfahren betreffend Zustimmung zum Wechsel des Aufenthaltsortes der Kinder (<ref-law>). Zum einen geht es um den Entscheid betreffend Verweigerung der Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung im kantonalen Beschwerdeverfahren. Betroffen ist sodann das Urteil des Verwaltungsgerichts in der Sache. Beide Entscheide betreffen das gleiche Verfahren und die gleichen Parteien. Von daher rechtfertigt es sich, beide Verfahren antragsgemäss zu vereinigen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Zu beurteilen ist als Erstes die Beschwerde gegen den Sachentscheid.
2. Beschwerde 5A_782/2017
2.1. In der Hauptsache angefochten ist ein das Verfahren abschliessender Entscheid eines oberen kantonalen Gerichts in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz (Art. 75 Abs. 2, Art. 90 BGG). Entgegen der Rechtsmittelbelehrung handelt es sich beim angefochtenen Akt um einen öffentlich-rechtlichen Entscheid in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 6 BGG), weshalb dieser mit der Beschwerde in Zivilsachen anzufechten ist. Die Eingabe des Beschwerdeführers ist als solche entgegen zu nehmen. Der Beschwerdeführer erfüllt die Voraussetzungen von <ref-law> und die Beschwerde ist fristgerecht eingereicht worden (<ref-law>).
2.2. Das Verwaltungsgericht hat im Wesentlichen erwogen, sowohl die Schweiz als auch das vereinigte Königreich seien Vertragsstaaten des Haager Kindesschutzübereinkommens (HKsÜ; SR 0.211.231.011), gemäss dessen Art. 5 Abs. 1 bei einem Wechsel des gewöhnlichen Aufenthalts des Kindes in einen anderen Vertragsstaat die Behörden des Staates des neuen gewöhnlichen Aufenthalts zuständig seien; dies gelte auch für das mit einem Rechtsmittel befasste Gericht; vorbehalten sei einzig ein widerrechtliches Verbringen oder Zurückhalten des Kindes im Sinne von <ref-law>. Gemäss den Ausführungen des Beschwerdeführers habe die Mutter im Anschluss an die Verfügung des Instruktionsrichters vom 8. Juni 2017 die Schweiz zusammen mit den Kindern verlassen und sei nach Schottland gereist, wo ihre Familie lebe. Da dem Entscheid der KESB vom 1. Juni 2017 die aufschiebende Wirkung entzogen und die dagegen gerichtete Beschwerde abgewiesen worden sei, liege ein rechtmässiger Wegzug der Kinder vor. Damit sei die Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte weggefallen.
Der erläuterte Wegfall der Zuständigkeit der schweizerischen Gerichtsbarkeit stelle auch keine Verletzung der Rechtsweggarantie (<ref-law>) dar, zumal das HKsÜ bewusst auf das Prinzip der perpetuatio fori verzichte und bezüglich Sorgerechtsfragen die Behörden mit der sachlich grössten Nähe zum Kind für örtlich zuständig erkläre. Zuständig seien daher die Behörden am neuen gewöhnlichen Aufenthalt. Dem Beschwerdeführer bleibe weiterhin die Möglichkeit, ein im Sinne von Art. 6 Ziff. 1 EMRK unabhängiges Gericht in Schottland mit der Frage des gewöhnlichen Aufenthaltsortes der Kinder zu befassen. Auch im Zusammenhang mit Art. 13 i.V.m. Art. 8 EMRK sei der Wechsel des Aufenthaltsortes der Kinder nicht zu beanstanden. Schliesslich seien weder ein aktuelles noch ein virtuelles Interesse gegeben, zumal eine materielle Gutheissung der Beschwerde durch die schweizerischen Gerichte aufgrund von <ref-law> in Schottland nicht anerkennbar sei. Ein virtuelles Interesse wäre vorliegend allenfalls für die Prüfung der Eintretensvoraussetzungen auf ein Feststellungsbegehren von Belang, sei aber hier zu verneinen, zumal der Beschwerdeführer kein entsprechendes Begehren stelle.
2.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Beschwerdegegnerin habe die Schweiz widerrechtlich zusammen mit den Kindern verlassen. Ferner rügt er auch vor Bundesgericht eine Verletzung der Rechtsweggarantie (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK) sowie eine Verletzung von Art. 13 i.V.m. Art. 8 Ziff. 1 EMRK. Bei der KESB handle es sich nicht um ein Gericht. Mit seinem Entscheid, auf seine Beschwerde nicht einzutreten, habe das Verwaltungsgericht somit die entsprechenden Garantien verletzt.
2.4. Die Schweiz und das Vereinigte Königreich sind unbestrittenermassen Vertragsstaaten des Haager Kindesschutzübereinkommens (HKsÜ; SR 0.211.231.011), sodass sich das vorliegende Verhältnis mit internationalem Bezug nach diesem Abkommen beurteilt (<ref-law>; SR 291). Die Behörden, seien es Gerichte oder Verwaltungsbehörden, des Vertragsstaats, in dem das Kind seinen gewöhnlichen Aufenthalt hat, sind zuständig, Massnahmen zum Schutz der Person oder des Vermögens des Kindes zu treffen (<ref-law>). Vorbehaltlich des Artikels 7 sind bei einem Wechsel des gewöhnlichen Aufenthalts des Kindes in einen anderen Vertragsstaat die Behörden des Staates des neuen gewöhnlichen Aufenthalts zuständig (<ref-law>). Wie das Verwaltungsgericht zu Recht betont, schliesst <ref-law> eine perpetuatio fori unter Vorbehalt von <ref-law> aus (<ref-ruling> E. 2 S. 193 f.). Die KESB hat mit Entscheid vom 1. Juni 2017 dem Gesuch der Beschwerdegegnerin gestützt auf <ref-law> entsprochen und ihr die Zustimmung zum Wechsel des Aufenthaltsortes der gemeinsamen Kinder der Parteien bewilligt. Überdies wurde einer allfälligen Beschwerde gegen diesen Entscheid die aufschiebende Wirkung entzogen. Zwar gelangte der Beschwerdeführer gegen den Entscheid der KESB an das Verwaltungsgericht und ersuchte dort um superprovisorische Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung. Dieses Gesuch wurde indes mit Verfügung des Instruktionsrichters des Verwaltungsgerichts vom 8. Juni 2017 abgewiesen. Der Beschwerdeführer hat die Verfügung vom 8. Juni 2017 mit Eingabe vom 10. Juli 2017 beim Bundesgericht angefochten, hat aber in der Beschwerde nicht um aufschiebende Wirkung bzw. um Erlass vorsorglicher Massnahmen gestützt auf <ref-law>, d.h. um superprovisorische Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung ersucht. Die Beschwerdegegnerin hat die Schweiz bereits im Anschluss an die Verfügung vom 8. Juni 2017 zusammen mit den Kindern verlassen. Dass die Kinder in Schottland, im Land ihrer Mutter, wo auch deren Familie lebt, einen neuen gewöhnlichen Aufenthalt begründet haben, wird vom Beschwerdeführer nicht substanziiert in Frage gestellt. Insgesamt betrachtet liegt damit kein widerrechtliches Verbringen der Kinder ins Ausland im Sinn von <ref-law> vor. War aber die örtliche Zuständigkeit der schweizerischen Gerichte zum Zeitpunkt des Entscheides des Verwaltungsgerichts vom 27. August 2017 nicht mehr gegeben, ist der Nichteintretensentscheid nicht zu beanstanden. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung verstösst das angefochtene Urteil unabhängig von der Ausgestaltung der KESB als unabhängiges Gericht oder als Verwaltungseinheit weder gegen die Rechtsweggarantie (<ref-law>, Art. 6 Ziff. 1 EMRK; <ref-ruling> E. 5.1-5.4 S. 198 ff.) noch gegen den Anspruch auf eine wirksame Beschwerde (Art. 13 EMRK i.V.m. Art. 8 Ziff. 1 EMRK i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 6 S. 201 ff.).
3. Beschwerde 5A_520/2017
3.1. Angefochten ist sodann die Verfügung des Instruktionsrichters des Verwaltungsgerichts vom 8. Juni 2017, mit der ein Gesuch des Beschwerdeführers, der Beschwerde gegen die Verfügung vom 8. Juni 2017 superprovisorisch die aufschiebende Wirkung zu gewähren, verweigert worden ist. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinn von <ref-law>. Da die Beschwerdegegnerin, wie dargelegt (E. 2.4) rechtmässig zusammen mit den Kindern nach Schottland ausgereist und die schweizerische Zuständigkeit damit entfallen ist, besteht kein aktuelles Interesse an der Behandlung der entsprechenden Beschwerde (zum aktuellen Interesse bei Beschwerden gegen Zwischenentscheide: z.B. Urteil 5A_499/2014 vom 18. November 2014 E. 2). Der Beschwerdeführer hat überdies weder vor dem Verwaltungsgericht noch vor Bundesgericht ein Begehren um Feststellung der Verletzung von Garantien der Bundesverfassung bzw. der EMRK durch die Verfügung vom 8. Juni 2017 gestellt, womit auch kein virtuelles Interesse gegeben ist. Es genügt der Hinweis, dass diesbezüglich unter den Voraussetzungen von <ref-law> Klage auf Feststellung der Widerrechtlichkeit der Verfügung vom 8. Juni 2017 erhoben werden kann (<ref-ruling> E. 1-3 S. 93 ff.; vgl. zudem Urteil 5A_377/2015 vom 13. Juli 2015 E. 2, den Fall der Gegenstandslosigkeit betreffend). Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
3.2. Ergänzend gilt es jedoch darauf hinzuweisen, dass der Entzug der aufschiebenden Wirkung in diesen Fällen unbedingt die Ausnahme bilden muss, wies dies bereits in <ref-ruling> mit Nachdruck betont worden ist. Es kann nicht angehen, dass mit einem Entzug der aufschiebenden Wirkung durch die KESB bzw. mit einer Abweisung des Gesuchs um Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung durch die Rechtsmittelinstanz vollendete Tatsachen geschaffen werden und auf diese Weise eine Beurteilung durch das ursprünglich zuständige schweizerische Gericht verhindert wird.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Er hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da den Prozessgegnern kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_520/2017 und 5A_782/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde 5A_782/2017 wird abgewiesen. Auf die Beschwerde 5A_520/2017 wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde KESB Basel-Stadt, C._, D._, dem Appellationsgericht Basel-Stadt, der Präsident, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht Dreiergericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden