Faits :
A.
A._ a été engagée en qualité d'intérimaire par C._SA (société dont les actifs et passifs ont été repris par B._ SA en 2013) le 21 juin 2004. Dès le 6 janvier 2005, elle a travaillé comme employée fixe en tant qu'opératrice sur presses.
Son travail consistait à placer, avec sa main gauche, une pièce à étamper sur la matrice, à nettoyer la matrice et la pièce au moyen d'une soufflette tenue dans la main droite, à actionner la presse en appuyant sur une pédale, à retirer la pièce étampée avec la main gauche et à répéter le processus.
Le 2 juillet 2008, l'employée a été victime d'un accident sur son lieu de travail. Alors qu'elle procédait aux travaux d'étampage, elle s'est piquée au pouce gauche à plusieurs reprises jusqu'à saigner. Elle s'est rendue à l'infirmerie pour y faire poser un pansement. Lorsqu'elle est revenue à son poste de travail, elle a voulu récupérer la pièce qui était tombée derrière l'outillage de la machine à étamper lors de la dernière manoeuvre exécutée. Elle a alors tendu la main droite dans la machine et s'est profondément coupée à l'annulaire droit avec la cale de compensation.
Il n'y a eu aucun autre accident de cette nature dans l'entreprise, ni avant, ni après cet événement.
Le 31 janvier 2009, l'employée a été licenciée.
L'assurance-invalidité lui a reconnu un degré d'invalidité de 100 % dès le 2 juillet 2009, puis de 53 % dès le 13 juin 2011. La CNA/Suva (Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents) lui a alloué une rente d'invalidité de 22 % dès le 1 er juillet 2011 et une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 30 %.
B.
B.a. A l'issue d'une procédure de conciliation infructueuse, l'employée a porté sa demande, le 31 mai 2017, devant le Conseil de prud'hommes du Tribunal de première instance de Porrentruy, concluant à ce que l'employeuse soit condamnée à lui payer 30'000 fr. avec intérêts et précisant qu'il s'agissait d'une action partielle.
Avec l'accord des parties, les débats ont été limités à la question du principe de la responsabilité de l'employeuse.
Par jugement du 5 septembre 2018, le Tribunal de première instance a débouté l'employée. Les premiers juges ont laissé ouverte la question de la recevabilité de l'action partielle. Ils ont considéré que l'accident, aux conséquences graves et invalidantes pour l'employée, n'était pas imputable à une violation du devoir de diligence de l'employeuse. L'imprudence commise par l'employée était inhabituelle et lui était imputable. Malgré le sort de la demande, l'employée n'était pas redevable de dépens vu le rapport de force inégal avec l'employeuse.
B.b. Le Tribunal cantonal du canton du Jura a été saisi d'un appel de l'employée et d'un appel joint de l'employeuse (ce dernier sur la question des dépens de première instance). Par arrêt du 14 mars 2019, il a rejeté l'appel et admis l'appel joint, condamnant l'employée à verser à l'employeuse une indemnité de dépens de 13'901 fr. pour la procédure de première instance et de 3'781 fr. pour celle de deuxième instance. Ses motifs seront évoqués ci-dessous dans la mesure utile à la discussion.
C.
L'employée a interjeté un recours en matière civile contenant les mêmes conclusions que dans sa demande.
L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.
L'employeuse a pour sa part conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
La recourante a déposé une réplique suscitant le dépôt d'une duplique de la partie adverse, tous mémoires par lesquels elles ont confirmé leurs conclusions respectives.

Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, sachant notamment qu'il est dirigé contre une décision qui a mis fin à la procédure (<ref-law>), que la valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. est atteinte dans ce conflit de droit du travail (<ref-law>) et que le délai pour recourir a été respecté (<ref-law>). L'intimée soulève le problème de la recevabilité des conclusions principales de la recourante, lesquelles tendent au paiement en ses mains de la somme de 30'000 fr., alors que la procédure a été limitée au principe de la responsabilité de l'employeuse. Il n'est toutefois pas nécessaire de trancher ce moyen, compte tenu du sort du recours au fond.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être exercé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), y compris le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 313). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Compte tenu de l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter, comme le ferait une autorité de première instance, toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 2). Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, il n'examine la violation d'un droit constitutionnel que si le grief a été invoqué et motivé de façon détaillée (principe de l'allégation, <ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.4 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>) La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe de l'allégation évoqué ci-dessus (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références).
La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes en conformité avec les règles de procédure les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18). Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (<ref-law>).
La recourante méconnaît largement ces principes lorsqu'elle prétend récapituler les faits déterminants en s'écartant de ceux établis par la cour cantonale sans même faire valoir qu'ils l'auraient été arbitrairement. Il n'en sera donc pas tenu compte.
3.
Le litige porte sur la prétention en dommages-intérêts émise par l'employée en raison d'une prétendue violation de l'<ref-law> par l'employeuse. La cour cantonale a considéré que cette dernière n'était pas responsable de la blessure subie par son employée, selon un raisonnement qui peut se résumer comme il suit:
- Premièrement, l'employée n'avait pas prouvé avoir signalé à son chef d'équipe que la cale de la machine à étamper sur laquelle elle travaillait dépassait de l'outillage. Ce fait n'étant pas établi, on ne pouvait reprocher à l'employeuse d'avoir violé son devoir de diligence en s'abstenant de réparer l'outil après le prétendu signalement.
- Deuxièmement, les directives de l'employeuse prescrivaient aux ouvriers sur machines à étamper de se lever, d'ouvrir la porte latérale de celles-ci et de récupérer par l'arrière les pièces tombées à l'intérieur - procédure que l'employée n'avait pas suivie -, et l'employeuse veillait à leur respect, contrairement à ce qu'affirmait l'employée. Des contrôles intermittents plus fréquents n'auraient pas suffi à empêcher que des employés négligent la procédure de récupération d'une pièce et passent la main à travers la machine.
- Troisièmement, à supposer même qu'une violation de son obligation de diligence pût être reprochée à l'employeuse, la cause de l'accident dont l'employée avait été victime serait imputable à sa seule imprudence. Elle était en effet consciente du risque de coupure que pouvait présenter la cale de compensation pour s'être, selon ses propres dires, piquée sur celle-ci plusieurs fois au pouce gauche peu avant sa blessure à l'annulaire droit; elle avait, malgré tout, passé sa main à travers la machine en violation des directives de l'employeuse pour récupérer la pièce tombée à l'intérieur, faute grave qui était propre à interrompre le lien de causalité.
4.
L'<ref-law> astreint l'employeur à prendre, pour protéger la vie et la santé du travailleur, les mesures commandées par l'expérience, applicables en l'état de la technique et adaptées aux conditions de l'exploitation, dans la mesure où les rapports de travail et la nature du travail permettent équitablement de l'exiger de lui. Selon la jurisprudence, il lui appartient notamment de doter les machines et installations dont les travailleurs se servent de dispositifs de sécurité suffisants pour empêcher la réalisation des risques avec lesquels on peut compter (<ref-ruling> consid. 2a; <ref-ruling> consid. 2a p. 354; arrêt 4C.545/1996 du 17 juillet 1997 consid. 3a). Pour satisfaire à son obligation, l'employeur doit également informer le travailleur des risques inhabituels que celui-ci ne connaît pas, et des mesures à prendre pour les éviter, puis veiller à l'application scrupuleuse de ces mesures (<ref-ruling> consid. 3b p. 142; <ref-ruling> consid. 1 p. 19 et les arrêts cités). En matière de prévention, il doit compter avec les accidents que l'on peut prévoir selon le cours ordinaire des choses, eu égard à l'inattention, voire à l'imprudence du travailleur. L'obligation de sécurité que la loi impose à l'employeur comprend ainsi la prévention de tout accident qui n'est pas dû à un comportement imprévisible et constitutif d'une faute grave de la victime (<ref-ruling> consid. 3b p. 142; <ref-ruling> consid. 2 p. 140).
Font notamment partie des mesures que l'employeur est tenu de respecter celles qui sont mentionnées dans l'ordonnance sur la prévention des accidents (OPA, RS 832.30), en particulier l'obligation de veiller à ce que l'efficacité des mesures et des installations de protection ne soit pas entravée (art. 3 al. 2), l'obligation de veiller à ce que les travailleurs soient informés des risques auxquels ils sont exposés dans l'exercice de leur activité et soient instruits sur les mesures à prendre pour les prévenir et, enfin, l'obligation de faire en sorte que ces mesures soient observées (art. 6).
5.
5.1. L'employée reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en refusant de tenir pour prouvé le signalement à son chef d'équipe du fait que la cale de compensation dépassait de l'outillage.
Apparemment, elle entend ainsi démontrer que la machine présentait une défectuosité que l'employeuse n'avait pas réparée et qui était la cause de l'accident. Ce moyen ne saurait toutefois prospérer. En effet, la cour cantonale a retenu en fait que, au fur et à mesure de l'exécution des pièces en séries, la cale de compensation s'écrase et a tendance à dépasser de son emplacement, si bien qu'elle peut se trouver à un endroit dangereux. Ce point n'est dès lors plus à démontrer. La recourante ne s'est pas blessée à l'annulaire droit lors du processus classique d'étampage, tel qu'il a été décrit plus haut (supra let. A). La question n'est dès lors pas de savoir si ce dépassement de la cale devait être réparé immédiatement pour que ce processus puisse être mené à bien sans que l'employée ne se blesse. La recourante s'est blessée lors d'un geste destiné à récupérer une pièce tombée derrière l'outillage de la machine à étamper. Pour ce faire, elle a passé la main à travers cette machine. Or, l'employeuse avait émis des prescriptions de sécurité, lesquelles enjoignaient aux employés de se lever de leur place de travail, d'ouvrir la porte latérale de la machine et de sortir la pièce par derrière, afin de parer à tout risque de blessure. Au moyen de ces prescriptions, elle entendait précisément parer le risque d'un contact de la main avec la cale de compensation. Ce n'est donc pas la dangerosité indéniable de la machine qui est la cause du dommage, mais le geste de l'employée qui a enfreint les prescriptions de sécurité.
Il s'ensuit que le grief d'arbitraire dans la constatation des faits peut demeurer indécis, le fait en question n'étant pas déterminant.
5.2. La recourante soutient que l'employeuse ne pouvait se borner à édicter des règles de sécurité orales, mais devait les spécifier par écrit. Il ressort des constatations souveraines de la cour cantonale qu'elle connaissait pertinemment ces prescriptions. Dans cette mesure, l'on ne discerne guère pour quelle raison celles-ci auraient dû revêtir la forme écrite, respectivement en quoi cette forme aurait conduit à ce qu'elle les respecte davantage.
Elle prétend également que l'employeuse tolérait des comportements à risque en "se contentant de rappeler une règle non écrite de sécurité lors de situations avérées". Certes, en présence d'installations dangereuses sur lesquelles l'employée doit travailler quotidiennement, l'employeuse doit veiller de manière suffisamment diligente au respect, dans l'entreprise, des consignes de sécurité, en s'assurant régulièrement de leur respect et en les rappelant au moins par intervalles, sous peine de méconnaître son obligation de sécurité et d'engager sa responsabilité. Cela étant, tel n'est pas le cas ici, comme l'a constaté la cour cantonale d'une manière qui lie le Tribunal fédéral (cf. supra consid. 2.2). La recourante ne démontre pas l'arbitraire de ces constatations de fait.
5.3. Finalement, la recourante voit une violation du droit dans le raisonnement tenu par la cour cantonale s'agissant de la rupture du lien de causalité entre une hypothétique violation par l'employeuse de son obligation de diligence et le dommage. Elle fonde son raisonnement sur le caractère prévisible de son comportement à risque, puisque - selon elle - nombre d'employés procédaient de cette manière, et en déduit que son geste n'était pas de nature à rompre le lien de causalité. La recourante fait fausse route en voulant assimiler son comportement fautif à un événement imprévisible et extraordinaire: il s'agit-là de deux facteurs interruptifs de la causalité adéquate lesquels existent indépendamment l'un de l'autre. Au demeurant, la jurisprudence souligne que l'intensité de chacune des causes en présence est déterminante: si la faute du lésé apparaît lourde au point de presque supplanter le fait imputable à la partie recherchée, le lien de causalité adéquate est alors rompu (<ref-ruling> consid. 5.4 p. 188; <ref-ruling> consid. 4b). Il n'y a dès lors nulle violation du droit dont la recourante serait fondée à se plaindre.
6.
Partant, le recours ne peut qu'être rejeté dans la mesure où il est recevable. La recourante supportera les frais de procédure fixés à 1'000 fr. selon le tarif réduit étant donné la valeur litigieuse ici en cause (art. 65 al. 4 let. c LTF; cf. arrêt 4A_287/2017 du 13 octobre 2017 consid. 5; <ref-ruling> consid. 5b) et versera à son adverse partie une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais de procédure, fixés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée une indemnité de 2'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Jura.
Lausanne, le 9 mars 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
La greffière : Monti