Sachverhalt:
A.
Der 1986 geborene A._ arbeitete ab dem 1. August 2008 im Zentrum B._, einer Fachagentur der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Erziehungsdirektoren (EDK). Ab 1. Januar 2012 war er als Leiter des Vertriebs tätig. Mit Blick auf die mit der Vertriebsleitung verbundenen Aufgaben absolvierte er von 2014 bis 2017 berufsbegleitend eine Weiterbildung. Gestützt auf die Weiterbildungsvereinbarung vom 11. Juni 2014 beteiligte sich das Zentrum B._ an den Kurskosten. Zudem leistete es bei einem Arbeitspensum von 80 % Lohnzahlungen im Umfang eines 90 %-Pensums. A._ verpflichtete sich im Gegenzug dazu, nach Beendigung der Weiterbildung noch während mindestens dreier Jahre für das Zentrum B._ tätig zu bleiben. Am 4. Juni 2018 und damit rund ein Jahr nach Abschluss der Weiterbildung kündigte er das Arbeitsverhältnis auf den 30. September 2018. Mit Verfügung vom 27. Juni 2019 forderte das Zentrum B._ zwei Drittel der insgesamt an die Weiterbildung geleisteten Unterstützung, d.h. Fr. 19'039.45, zurück. Die dagegen erhobene Beschwerde wies der Vorstand der EDK mit Beschluss vom 3. September 2020 ab.
B.
B.a. Gegen den Beschluss des Vorstands der EDK vom 3. September 2020 führte A._ - entsprechend der Rechtsmittelbelehrung im Beschluss - beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern Beschwerde. Dieses übergab die Beschwerdeschrift zuständigkeitshalber der Rekurskommission der EDK und der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Gesundheitsdirektorinnen und -direktoren (GDK; im Folgenden: Rekurskommission EDK/GDK) zur weiteren Behandlung. Letztere hielt sich ebenfalls für unzuständig und schickte das Dossier an das Verwaltungsgericht zurück. Nachdem das Verwaltungsgericht den Parteien das rechtliche Gehör zur Frage der Zuständigkeit gewährt und auch ein Meinungsaustausch zur Bereinigung des negativen Kompetenzkonflikts zwischen dem Gericht und der Rekurskommission EDK/GDK keine Einigung gebracht hatte, verneinte das Verwaltungsgericht mit Urteil vom 16. Februar 2021 seine Zuständigkeit. Gleichzeitig bejahte es die Zuständigkeit der Rekurskommission EDK/GDK und leitete dieser das Dossier zur weiteren Behandlung weiter. Auf die von der EDK hiergegen erhobene Beschwerde trat das Bundesgericht wegen verspäteter Eingabe nicht ein (Urteil 8C_249/2021 vom 12. April 2021). Ein dagegen gerichtetes Revisionsgesuch wies das Bundesgericht ab (Urteil 8F_5/2021 vom 15. Juni 2021).
B.b. Die Rekurskommission EDK/GDK verneinte mit Entscheid vom 20. Oktober 2021 ihre Zuständigkeit und trat auf die Beschwerde des A._ nicht ein.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, es sei der Entscheid der Rekurskommission EDK/GDK vom 20. Oktober 2021 aufzuheben und diese unter Feststellung ihrer Zuständigkeit anzuweisen, das Verfahren unverzüglich an die Hand zu nehmen und ohne weitere Verzögerung zum Abschluss zu bringen. Eventualiter sei die Beschwerde vom 8. Oktober 2020 gegen den Beschluss des Vorstands der EDK vom 3. September 2020 an die zuständige Beschwerdeinstanz weiterzuleiten. Subeventualiter sei ein förmliches Meinungsaustauschverfahren anzuordnen.
Die Vorinstanz verzichtete unter Verweis auf die Ausführungen im vorinstanzlichen Urteil auf einen förmlichen Antrag. Die EDK schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Eventualiter sei das Verwaltungsgericht des Kantons Bern als zuständig zu bezeichnen. Subeventualiter sei ein förmliches Meinungsaustauschverfahren anzuordnen.
In seiner Replik hält A._ an seinen bisherigen Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit der (rechtzeitig) gegen den Nichteintretensentscheid der Rekurskommission EDK/GDK vom 20. Oktober 2021 eingereichten Beschwerde gilt auch das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 16. Februar 2021, mit welchem dieses seine Zuständigkeit verneinte, als (rechtzeitig) angefochten (vgl. Art. 100 Abs. 1 und 5 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 1.1 und 1.2; vgl. auch <ref-ruling> E. 6; Urteil 8C_750/2018 vom 6. Mai 2019 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling> E. 1, aber in: SVR 2019 UV Nr. 32 S. 119; Urteile 8C_652/2021 vom 26. Januar 2022 E. 1; 9C_293/2013 vom 12. August 2013 E. 1). Entsprechend ist bei Verneinung der Zuständigkeit in einem Nichteintretensentscheid des zweiten Gerichts im Rahmen des dagegen eingeleiteten Beschwerdeverfahrens die Zuständigkeit beider in Frage kommenden Gerichte vom Bundesgericht ohne Bindung an den Nichteintretensentscheid des ersten kantonalen Gerichts zu prüfen. Da bei fehlender Zuständigkeit des zweiten Gerichts keine Instanz zur Verfügung stünde, kann bei einer solchen Verfahrenskonstellation der Nichteintretensentscheid des ersten kantonalen Gerichts nicht rechtskräftig werden (vgl. <ref-ruling> E. 2 mit Hinweisen).
1.2. Sowohl das Verwaltungsgericht des Kantons Bern als auch die Rekurskommission EDK/GDK verneinten ihre Zuständigkeit. Bei ihren Entscheiden handelt es sich um Endentscheide im Sinne von Art. 90 BGG. Dagegen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a und Art. 90 BGG; <ref-ruling> E. 1 mit Hinweisen).
1.3. Mit Verfügung vom 27. Juni 2019 forderte das Zentrum B._ vom Beschwerdeführer einen Betrag von Fr. 19'039.45 zurück. Der Beschwerdeführer anerkannte bereits im Verfahren vor dem Verwaltungsgericht einen Rückforderungsbetrag von Fr. 7617.60. Der Streitwert beläuft sich demnach auf Fr. 11'421.85 (vgl. Art. 51 Abs. 1 lit. a BGG) und unterschreitet den Betrag von Fr. 15'000.- gemäss Art. 85 Abs. 1 lit. b BGG, was auch der Beschwerdeführer einräumt. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist folglich nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 85 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdeführer rügt ausschliesslich Verfassungsverletzungen. Insoweit entspricht die Kognition des Bundesgerichts bei der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten derjenigen bei der subsidiären Verfassungsbeschwerde (Art. 116 BGG), weshalb der Beschwerdeführer insoweit nicht auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angewiesen ist, und es liegt bei dieser Konstellation auch keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vor (<ref-ruling> E. 1.3.3; Urteil 8C_177/2012 vom 20. März 2012 E. 1.4). Damit kann die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde behandelt werden (vgl. Urteile 8C_595/2020 vom 15. Februar 2021 E. 1.3; 8C_20/2017 vom 19. Juni 2017 E. 1.2; 8C_769/2012 vom 30. April 2013 E. 1.2).
1.4. Beim Verwaltungsgericht des Kantons Bern handelt es sich um eine letzte kantonale Instanz gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG. Desgleichen erfüllt die Rekurskommission EDK/GDK grundsätzlich die Anforderungen an ein oberes Gericht im Sinne der genannten Bestimmungen (<ref-ruling> E. 1.1; Urteil 2C_399/2018 vom 26. März 2021 E. 1.2).
1.5. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht gilt eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG [in Verbindung mit Art. 117 BGG]; <ref-ruling> E. 1.6 mit Hinweisen). Das Bundesgericht untersucht nicht von sich aus, ob solche Rechtsverletzungen vorliegen, sondern prüft nur rechtsgenügend vorgebrachte, klar erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid geht es nicht ein (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.3; Urteil 8C_444/2020 vom 23. März 2021 E. 2.1.2).
2.
2.1. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern verneinte mit Urteil vom 16. Februar 2021 seine Zuständigkeit mit der Begründung, es bestehe keine hinreichende Rechtsgrundlage, um sich mit der Beschwerde vom 8. Oktober 2020 zu befassen. Vielmehr sei die Rekurskommission EDK/GDK dazu berufen, das Rechtsmittel an die Hand zu nehmen. Sie sei zwar ursprünglich nicht dazu eingesetzt worden, um personalrechtliche Streitigkeiten zu beurteilen. Nichtsdestotrotz sollten Auseinandersetzungen mit dem eigenen Personal von Organen behandelt werden, die der jeweiligen Hoheitsstufe zugehören würden, im vorliegenden Fall also von Rechtspflegebehörden der interkantonalen und nicht der kantonalen Ebene. Daran ändere auch die grössere Sachnähe des Verwaltungsgerichts zum bernischen Personalrecht nichts.
2.2. Die Rekurskommission EDK/GDK verneinte ihre Zuständigkeit demgegenüber mit der Begründung, dass sie bei Angelegenheiten der EDK allein auf dem Gebiet der Diplomanerkennungen und der Liste der Unterrichtsverbote zuständig sei, wie sich aus dem klaren Wortlaut der einschlägigen Bestimmungen ergebe. Entsprechend bestehe die Rekurskommission zum überwiegenden Teil aus Fachrichterinnen und Fachrichtern. Für die hier im Raum stehenden personalrechtlichen Fragen existiere denn auch keine Praxis.
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt zunächst in Bezug auf den Entscheid der Rekurskommission EDK/GDK vom 20. Oktober 2021 eine Verletzung der Begründungspflicht und damit des rechtlichen Gehörs (Art. 29 Abs. 2 BV). Mit Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 16. Februar 2021 habe dieses verbindlich entschieden, dass die Rekurskommission EDK/GDK zur Behandlung seiner Beschwerde zuständig sei. Die Rekurskommission EDK/GDK habe nicht begründet, weshalb sie nicht an das Urteil des Verwaltungsgerichts gebunden sein soll.
3.2. Damit dringt der Beschwerdeführer nicht durch. Die Rekurskommission EDK/GDK begründete die fehlende Bindungswirkung damit, dass das Verwaltungsgericht nicht die Kompetenz habe, über die Zuständigkeit einer auf gleicher Stufe stehenden anderen Instanz zu entscheiden. Eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Entscheids war somit möglich und eine Verletzung der Begründungspflicht ist demnach zu verneinen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen; Urteil 9C_255/2020 vom 13. August 2020 E. 3.1). Im Übrigen ist der Rekurskommission EDK/GDK in der Sache darin beizupflichten, dass das Verwaltungsgericht nicht mit bindender Wirkung über die Zuständigkeit einer anderen ihm nicht untergeordneten Justizbehörde entscheiden kann. Die Gerichte haben ihre (eigene) Zuständigkeit von Amtes wegen zu prüfen (vgl. Art. 3 Abs. 4 des Gesetzes vom 23. Mai 1989 des Kantons Bern über die Verwaltungsrechtspflege [VRPG; BSG 155.21]: "Die Behörden prüfen ihre Zuständigkeit von Amtes wegen."). Insoweit war auch die Rekurskommission EDK/GDK berechtigt, ihre Zuständigkeit - ohne Bindung an das Urteil des Verwaltungsgerichts - zu prüfen.
4.
Weiter macht der Beschwerdeführer eine Verletzung der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV) geltend. Seine darüber hinaus erhobene Willkürrüge (Art. 9 BV) bezieht sich auf die Rechtsweggarantie, weshalb ihr keine eigenständige Bedeutung zukommt.
4.1. Die Rechtsweggarantie nach Art. 29a BV zählt zu den Verfahrensgrundrechten. Sie vermittelt einen individualrechtlichen Anspruch auf gerichtlichen Rechtsschutz, mithin auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde mit voller Sachverhalts- und Rechtskontrolle, und zwar unter der Voraussetzung, dass eine Rechtsstreitigkeit vorliegt. Das Bundesgericht legt den Begriff der Rechtsstreitigkeit dahin aus, dass sie im Zusammenhang mit einer individuellen, schützenswerten Rechtsposition stehen muss (<ref-ruling> E. 5.3.2.1 mit Hinweisen; vgl. auch Urteil 8D_5/2017 vom 20. August 2018 E. 7.2 f. hinsichtlich Mitarbeiterbeurteilung).
4.2. Art. 30 Abs. 1 BV garantiert den Anspruch auf ein durch Gesetz geschaffenes, zuständiges, unabhängiges und unparteiisches Gericht. Zur Verhinderung von Missbrauch und Manipulation bzw. zum Ausschluss jeglichen entsprechenden Anscheins oder Verdachts sollen Gerichte und ihre Zuständigkeiten (in persönlicher, zeitlicher, örtlicher und sachlicher Hinsicht) durch generell-abstraktes Verfahrensrecht im Voraus bestimmt sein. Nach dem Wortlaut der Verfassungsbestimmung muss sich die Gerichtsorganisation auf ein formelles Gesetz stützen (vgl. auch Art. 164 BV). Untergeordnete Fragen können aber der Exekutive oder der Justizbehörde zur Regelung delegiert werden (<ref-ruling> E. 3.3 mit Hinweisen; Urteil 2C_381/2010 vom 17. November 2011 E. 2.2, publ. in: ZBl 113/2012 S. 268 f.).
5.
5.1. Vorliegend geht es um den Rechtsschutz gegen die Verfügung des Zentrums B._ vom 27. Juni 2019 resp. den Entscheid des Vorstands der EDK vom 3. September 2020. Das Zentrum B._ ist eine Fachagentur der EDK. Es erbringt im Auftrag der Kantone Vollzugs- und Entwicklungsaufgaben in den Bereichen Berufsbildung und Berufs-, Studien- und Laufbahnberatung. Bei der EDK handelt es sich um ein interkantonales Organ (zur Entstehung und Entwicklung der EDK vgl. JÜRG MARCEL TIEFENTHAL, Die Erziehungsdirektorenkonferenz [EDK], in: Jusletter 24. Januar 2005). Sie fördert eine gesamtschweizerische Bildungspolitik und vollzieht im Besonderen die Aufgaben, die ihr in interkantonalen Vereinbarungen zugeteilt werden (vgl. Art. 2 des Statuts der Schweizerischen Konferenz der kantonalen Erziehungsdirektoren [EDK-Statut] vom 3. März 2005). Die Zusammenarbeit der Kantone im Bildungsbereich und die EDK beruhen auf dem Konkordat vom 29. Oktober 1970 über die Schulkoordination (im Folgenden: Schulkonkordat), dem der Kanton Bern mit Beschluss des Grossen Rates vom 22. November 1998 beigetreten ist (BGS 439.13; vgl. für den Konkordatstext BSG 439.13-1). Dabei handelt es sich um eine interkantonale Vereinbarung im Sinne von Art. 48 Abs. 1 BV. Derartige Verträge dürfen den Rechten anderer Kantone sowie dem Recht und den Interessen des Bundes nicht zuwiderlaufen (Art. 48 Abs. 3 Satz 1 BV). In diesem Rahmen können sie interkantonale Orane durch interkantonalen Vertrag zum Erlass rechtsetzender Bestimmungen ermächtigen, die einen interkantonalen Vertrag umsetzen, sofern der Vertrag nach dem gleichen Verfahren, das für die Gesetzgebung gilt, genehmigt worden ist (Art. 48 Abs. 4 lit. a BV) und sofern er die inhaltlichen Grundzüge der Bestimmungen festlegt (Art. 48 Abs. 4 lit. b BV). Anfang der 1990er-Jahre wurde das Schulkonkordat mit weiteren interkantonalen Vereinbarungen ergänzt, die sich mit der gesamtschweizerischen Anerkennung von Diplomen befassen und eine gesamtschweizerische Bildungsmobilität gewährleisten sollen (so z.B. die Interkantonale Vereinbarung vom 14. Juni 2007 über die Harmonisierung der Volksschule [HarmoS-Konkordat], für den Kanton Bern in Kraft seit dem 1. August 2009; BSG 439.60 resp. 439.60-1).
5.2. Die einschlägigen interkantonalen Verträge sehen keine Zuständigkeit des Berner Verwaltungsgerichts vor, die der kantonalen Ordnung vorginge (vgl. Art. 1 Abs. 2 VRPG). Sie enthalten zudem keine Bestimmungen zu den Anstellungsbedingungen des mit den Verwaltungsaufgaben betrauten Personals oder zum Rechtsschutz bei Hoheitsakten der EDK oder ihrer Agenturen. Das Schulkonkordat weist lediglich darauf hin, dass bei Streitigkeiten, die sich aus dem Konkordat zwischen den Kantonen ergeben, auf Klage hin das Bundesgericht entscheidet (Art. 7 EDK-Statut). Gestützt auf Art. 12 Abs. 2 lit. d des EDK-Statuts hat der Vorstand der EDK das Personalreglement der EDK vom 6. September 2012 erlassen (Rechtssammlung EDK Nr. 2.1.3). Danach richten sich die Dienstverhältnisse der Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter unter anderem des Zentrums B._ grundsätzlich nach den Bestimmungen des Personalrechts des Kantons Bern, sofern und soweit das Reglement keine anderslautenden Regelungen enthält (Art. 1 Personalreglement). Bei Streitigkeiten aus dem Arbeitsverhältnis erlässt die zuständige Behörde eine Verfügung, sofern keine Einigung zustande kommt (Art. 8 Abs. 2 Personalreglement). Das Personalreglement äussert sich aber nicht zum Rechtsschutz und zum Instanzenzug. Durch den Verweis auf das Personalrecht des Kantons Bern kommt das bernische Personalgesetz vom 16. September 2004 (PG; BSG 153.01) als interkantonales Recht zur Anwendung. Das PG verweist seinerseits für die Rechtspflege auf das VRPG, soweit das Gesetz nichts anderes bestimmt (Art. 108 Abs. 1 PG).
5.3. Zu prüfen ist zunächst die Zuständigkeit der Rekurskommission EDK/GDK.
5.3.1. Die Interkantonale Vereinbarung vom 18. Februar 1993 über die Anerkennung von Ausbildungsabschlüssen (Diplomanerkennungsvereinbarung; BGS 439.18-1) sieht vor, dass die EDK das Anerkennungsreglement erlässt (Art. 4 Abs. 1 i.V.m. Art. 6 Abs. 2). Weiter regelt Art. 10 Abs. 2 der Diplomanerkennungsvereinbarung den Rechtsschutz. Danach können Privatpersonen gegen Entscheide der Anerkennungsbehörden innert 30 Tagen seit Eröffnung bei einer vom Vorstand der jeweiligen Konferenz eingesetzten Rekurskommission Beschwerde erheben. Der Vorstand der jeweiligen Konferenz regelt die Zusammensetzung und die Organisation der Rekurskommission in einem Reglement (Art. 10 Abs. 3). Gestützt auf diese Delegationsnorm haben die beiden Vorstände der EDK und der GDK das Reglement vom 6. September 2007 über die Rekurskommission EDK/GDK erlassen (Rechtssammlung EDK 4.1.1.2). Die Rekurskommission entscheidet insbesondere über Beschwerden gegen Entscheide der GDK und der Anerkennungsbehörden der EDK betreffend die Anerkennung von ausländischen Ausbildungsabschlüssen sowie über Beschwerden gegen Zulassungs- und Prüfungsentscheide der interkantonalen Prüfungskommission für Osteopathinnen und Osteopathen. Sie ist zuständig für Beschwerden gegen andere Entscheide im Sinne der Diplomanerkennungsvereinbarung, sofern diese beschwerdefähig sind (Art. 1 Abs. 2 des Reglements über die Rekurskommission EDK/GDK).
Bei der Diplomanerkennungsvereinbarung handelt es sich um einen interkantonalen Vertrag, der von den Kantonen nach dem gleichen Verfahren, das für die Gesetzgebung gilt, genehmigt worden ist. Die inhaltlichen Grundzüge betreffend Diplomanerkennung und Rechtsschutz sind darin geregelt. Insoweit sind im Bereich der Diplomanerkennung die Anforderungen von Art. 48 Abs. 4 BV erfüllt. Die Bundesverfassung sieht denn auch ausdrücklich vor, dass die Kantone gemeinsame richterliche Behörden einsetzen können (vgl. Art. 191b Abs. 2 BV). Das Bundesgericht hat im Zusammenhang mit Streitigkeiten betreffend Diplomanerkennung wiederholt bestätigt, dass die Rekurskommission EDK/GDK den Anforderungen an eine letztinstanzliche obere gerichtliche Behörde im Sinne von Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 BGG genügt (<ref-ruling> E. 1.1; Urteile 2C_775/2018 vom 21. März 2019 E. 1.1; 2C_345/2014 vom 23. September 2014 E. 1.3.2; 2C_654/2011 vom 2. Dezember 2011 E. 1; 2C_332/2011 vom 22. Juli 2011 E. 1).
5.3.2. Im Gegensatz zum Bereich der Diplomanerkennung findet sich für den Bereich des Personalrechts in den interkantonalen Vereinbarungen keine Rechtsetzungskompetenz der EDK. Auch eine vergleichbare Regelung zum Instanzenzug fehlt komplett. Die Grundsätze über Zuständigkeit, Stellung, Organisation und Wahl der Rechtspflegebehörde müssten aber in einer wenigstens von den Parlamenten genehmigten interkantonalen Vereinbarung festgeschrieben sein (vgl. Art. 48 Abs. 4 BV; AUGUST MÄCHLER, Individualrechtsschutz bei interkantonaler Aufgabenerfüllung, in: Individuum und Verband, Festgabe zum Schweizerischen Juristentag 2006, S. 468). Damit genügt die Rekurskommission EDK/GDK im Bereich der personalrechtlichen Auseinandersetzungen den Anforderungen von Art. 30 Abs. 1 BV nicht (vgl. E. 4.2 hiervor).
5.4. Damit gelangt die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern in den Blick.
5.4.1. Für Beschwerden gegen Entscheide interkantonaler Organisationen ist die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts im VRPG nicht vorgesehen. Das Verwaltungsgericht erkannte insoweit willkürfrei, dass es sich bei der EDK resp. beim Vorstand der EDK nicht um eine kantonale Behörde im Sinne von Art. 2 Abs. 1 lit. a VRPG handelt. Die Generalklausel in Art. 74 VRPG, wonach das Verwaltungsgericht als letzte kantonale Instanz Beschwerden gegen Verfügungen und Entscheide beurteilt, die sich auf öffentliches Recht stützen, vermag die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts somit nicht zu begründen. Dessen Zuständigkeit müsste sich demnach aus dem interkantonalen Recht ergeben.
5.4.2. Das vom Vorstand der EDK erlassene Personalreglement mit Verweis auf das Personalrecht des Kantons Bern und den darin geregelten Rechtsschutz erfüllt die Anforderungen von Art. 48 Abs. 4 BV nicht (vgl. auch E. 5.3.2 hiervor). Vorausgesetzt ist nämlich zum einen, dass die inhaltlichen Grundzüge der Bestimmungen im interkantonalen Vertrag selbst festgelegt sind (vgl. 48 Abs. 4 lit. b BV; vgl. auch ULRICH HÄFELIN/WALTER HALLER/HELEN KELLER/DANIELA THURNHERR, Schweizerisches Bundesstaatsrecht, 10. Aufl. 2020, S. 399; FELIX UHLMANN/VITAL ZEHNDER, Rechtsetzung durch Konkordate, LeGes 2011/1 S. 23; V ITAL ZEHNDER, Die interkantonale öffentlich-rechtliche Körperschaft als Modellform für die gemeinsame Trägerschaft, Luzerner Beiträge zur Rechtswissenschaft [LBR], 2007, S. 312). Das ist vorliegend nicht der Fall. Zum anderen muss die Ermächtigung eines interkantonalen Organs zum Erlass rechtsetzender Bestimmungen im gleichen Verfahren beschlossen werden, das nach kantonalem Recht auch für den Erlass von Gesetzen zur Anwendung kommt (vgl. Art. 48 Abs. 4 lit. a BV; URSULA ABDERHALDEN, Verfassungsrechtliche Überlegungen zur interkantonalen Rechtsetzung, LeGes 2006/1, S. 11). Auch diese Voraussetzung ist hier in Bezug auf den Rechtsschutz bei hoheitlichen Akten der EDK oder dessen Agenturen im Bereich des Personalrechts nicht erfüllt. Mithin ergibt sich die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern auch nicht aus einem den Anforderungen von Art. 48 Abs. 4 BV genügenden interkantonalen Vertrag.
6.
6.1. Ein negativer Kompetenzkonflikt, wie er vorliegend zur Beurteilung steht, läuft für den betroffenen Rechtssuchenden auf eine formelle Rechtsverweigerung (Art. 29 Abs. 1 BV) hinaus (vgl. Urteil 1B_141/2020 und 1B_142/2020 vom 20. August 2020 E. 7.1). Überdies wird dem Beschwerdeführer die Rechtsweggarantie gemäss Art. 29a BV verweigert. Diese verlangt die gerichtliche Beurteilung von Rechtsstreitigkeiten auch in der interkantonalen Zusammenarbeit (ZEHNDER, a.a.O., S. 310 f.). Die Rüge des Beschwerdeführers auf Verletzung seines verfassungsmässigen Anspruches auf gerichtliche Beurteilung des Rechtsstreits ist somit begründet.
6.2. Damit ist freilich noch nicht darüber entschieden, welche (inter) kantonale Behörde bzw. welches kantonale Gericht als bundesgerichtliche Vorinstanz für die Beurteilung des Streits betreffend Rückerstattung von Weiterbildungsbeiträgen zuständig sein soll. Es ist zu betonen, dass es Sache der Konkordatskantone ist, den Rechtsschutz gegen Entscheide der EDK oder ihrer Agenturen verfassungskonform (vgl. Art. 48 Abs. 4 BV) auszugestalten und ein Gericht einzusetzen, das den Vorgaben von Art. 30 Abs. 1 BV gerecht wird. Im hier zu beurteilenden Fall ist der Rechtsweggarantie dadurch zum Durchbruch zu verhelfen, dass im Sinne einer unpräjudiziellen Übergangsregelung eine Justizbehörde zu bestimmen ist, die bis zur Klärung der Rechtslage durch die Konkordatskantone die Einhaltung des Verfassungsrechts zu gewährleisten hat (vgl. <ref-ruling> E. 4c; Urteile 1B_141/2021 vom 20. August 2020 E. 7.3; 6B_1313/2019 vom 29. November 2019 E. 4.3; zum provisorischen Charakter richterlicher Ersatznormierung vgl. BERNHARD RÜTSCHE, Rechtsfolgen von Normenkontrollen, ZBI 6/2005 S. 290 f.). Für die Beurteilung von personalrechtlichen Streitigkeiten der hier gegebenen Art drängt es sich auf, das Verwaltungsgericht des Kantons Bern als zuständige Justizbehörde zu betrachten. Dies rechtfertigt sich im Wesentlichen aus folgenden Gründen:
Obschon das Personalreglement des Vorstands der EDK auf keiner hinreichenden formellgesetzlichen Grundlage beruht, ergibt sich daraus, dass sich die Dienstverhältnisse nach dem Personalrecht des Kantons Bern richten sollen (vgl. Art. 1, Art. 4 und Art. 6 ff. des Personalreglements). Entsprechend stützte sich das Zentrum B._ bei seiner Verfügung vom 27. Juni 2019 auf das bernische Personalrecht. Die Berechnung des Rückforderungsbetrags erfolgte sodann durch das Personalamt des Kantons Bern. Gemäss Art. 108 Abs. 1 PG gilt für die Rechtspflege das VRPG, sofern das PG nichts anderes bestimmt. Nach der Generalklausel von Art. 74 Abs. 1 VRPG beurteilt das Verwaltungsgericht als letzte kantonale Instanz Beschwerden gegen Verfügungen und Entscheide, die sich - wie hier - auf öffentliches Recht stützen. Diese Zuständigkeit im Sinne einer Übergangsregelung rechtfertigt sich auch aufgrund der Sachnähe des Verwaltungsgerichts zum bernischen Personalrecht. Ferner hat die EDK ihren Sitz in Bern (Art. 1 Abs. 3 EDK-Statut), was ebenfalls für die Anwendung des bernischen (Verfahrens) rechts und die Zuständigkeit des Verwaltungsgerichts spricht. So geht auch BERNHARD RÜTSCHE davon aus, dass - sollte kein den Anforderungen von Art. 86 Abs. 2 BGG genügendes interkantonales Rechtspflegeorgan bestehen - das Verwaltungsgericht des Sitzkantons ersatzweise als Beschwerdeinstanz für zuständig zu erklären sei (vgl. BERNHARD RÜTSCHE, Bemerkungen zum Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 16. Februar 2021, in: BVR 2021 S. 354). Eine solche Konstellation liegt hier vor: Da die Rekurskommission EDK/GDK in keinem interkantonalen Vertrag für die Beurteilung personalrechtlicher Streitigkeiten vorgesehen ist, genügt sie in diesem Bereich - anders als im Bereich der Diplomanerkennung (vgl. E. 5.3.1 hiervor) - den Anforderungen an eine letzte kantonale Instanz im Sinne von Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. Art. 86 Abs. 2 BGG nicht.
7.
Zusammenfassend ist die Beschwerde wegen Verletzung der Rechtsweggarantie begründet. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern hat auf die Beschwerde vom 8. Oktober 2020 einzutreten und in der Sache zu entscheiden. Die Konkordatskantone sind indessen gehalten, den oben gezeigten Unzulänglichkeiten Abhilfe zu schaffen.
8.
Der Beschwerdeführer obsiegt, weshalb der Kanton Bern ihn für das Verfahren vor Bundesgericht zu entschädigen hat (Art. 68 Abs. 4 in Verbindung mit Art. 66 Abs. 3 BGG; vgl. Urteil 8C_750/2018 vom 6. Mai 2019 E. 6, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2019 UV Nr. 32 S. 119; Urteil 4A_405/2015 vom 26. Januar 2016 E. 5, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 7 a.E.; Urteil 9C_18/2017 vom 28. November 2017 E. 6). Gerichtskosten werden keine erhoben (Art. 66 Abs. 4 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird in dem Sinne gutgeheissen, dass das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 16. Februar 2021 aufgehoben und die Sache an dieses zurückgewiesen wird, damit es auf die Beschwerde vom 8. Oktober 2020 eintrete und darüber materiell entscheide. Soweit sich die Beschwerde gegen den Entscheid der Rekurskommission EDK/GDK vom 20. Oktober 2021 richtet, wird sie abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Bern hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und der Rekurskommission EDK/GDK schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. April 2022
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Wirthlin
Der Gerichtsschreiber: Wüest