Sachverhalt:
A.
A._ beschwerte sich bei der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn über den Pfändungsvollzug vom 26. Februar 2018. Die Pfändung wurde unter anderem für eine Forderung der Gemeinde U._ über Fr. 1'711.-- vollzogen, für welche am 2. April 1986 ein Verlustschein ausgestellt worden ist.
B.
Mit Urteil vom 23. April 2018 wies die Aufsichtsbehörde die Beschwerde ab, soweit sie darauf eintrat.
C.
Dagegen ist A._ mit Eingabe vom 2. Mai 2018 an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, die Forderung der Gemeinde U._ von Fr. 1'711.-- sei wegen Verjährung zurückzuweisen. Mit Eingabe vom 14. Mai 2018 ersucht er zudem um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist der Entscheid einer kantonalen Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen über die Berechnung des Existenzminimums. Die Beschwerde in Zivilsachen ist unabhängig eines Streitwertes gegeben (<ref-law> i.V.m. Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c und Art. 75 Abs. 1 BGG).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2).
2.
Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz eine Verletzung seines betreibungsrechtlichen Existenzminimums gerügt. Er geht indes nicht auf die diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz ein und stellt hinsichtlich der Festsetzung seines Existenzminimums auch keine Anträge.
Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, die in Betreibung gesetzte Forderung sei verjährt, ignoriert er den zutreffenden Hinweis der Vorinstanz darauf, dass der Aufsichtsbehörde die Beurteilung dieser materiellrechtlichen Frage nicht zusteht (<ref-law>) und er mit diesem Vorbringen im vorliegenden Verfahren deshalb von vornherein nicht gehört werden kann. Die gleichwohl erfolgten Darlegungen der Vorinstanz zur Verjährung von Forderungen, für welche ein Verlustschein ausgestellt worden ist, bzw. zum genauen Zeitpunkt des Eintritts der Verjährungsunterbrechung (Absenden des Betreibungsbegehrens) waren für den Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens nicht entscheidend. Es erübrigt sich damit auf die weitere selbständige Begründung einzugehen, die Verjährung sei rechtzeitig unterbrochen worden. Dass der Beschwerdeführer diese Schlussfolgerung beanstandet, ändert daran nichts; blosse Erwägungen bedeuten keine Beschwer (<ref-ruling> E. 3; <ref-ruling> E. 6).
3.
Aus den dargelegten Gründen kann auf die Beschwerde insgesamt nicht eingetreten werden. Der Beschwerdeführer hat für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Wie die vorstehenden Erwägungen aufzeigen, muss die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos betrachtet werden. Damit mangelt es an einer materiellen Voraussetzung für die unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>). Das entsprechende Gesuch ist abzuweisen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Betreibungsamt Thal-Gäu und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Oktober 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss