Sachverhalt:
A.
Am 8. März 2019 erstattete das Amt für Wirtschaft und Arbeit des Kantons Aargau (AWA) Strafanzeige gegen A._. Es warf ihm vor, er habe aufgrund unwahrer Angaben zu Unrecht Leistungen der Arbeitslosenversicherung im Betrag von Fr. 25'895.05 bezogen und sich damit nach <ref-law> strafbar gemacht. Gleichentags erklärte das AWA, sich am Strafverfahren als Strafkläger, nicht hingegen als Zivilkläger beteiligen zu wollen.
Am 15. März 2019 eröffnete die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten (im Folgenden: Staatsanwaltschaft) eine Strafuntersuchung gegen A._.
B.
Mit Verfügung vom 16. Juli 2019 stellte die Staatsanwaltschaft fest, das AWA könne sich nicht als Strafkläger konstituieren und es komme ihm deshalb keine Parteistellung zu.
Die vom AWA dagegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Aargau (Beschwerdekammer in Strafsachen) am 15. August 2019 ab.
C.
Das AWA führt Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, den Entscheid des Obergerichts aufzuheben.
D.
Die Staatsanwaltschaft und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau haben auf Vernehmlassung ausdrücklich verzichtet; stillschweigend ebenso A._. Das Obergericht hat Gegenbemerkungen eingereicht mit dem sinngemässen Antrag, die Beschwerde abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Gegen den angefochtenen Entscheid ist gemäss <ref-law> die Beschwerde in Strafsachen gegeben. Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit nach <ref-law> zulässig. Der Beschwerdeführer macht geltend, er müsse als Strafkläger zum Verfahren zugelassen werden. Er hat insoweit ein rechtlich geschütztes Interesse an der Änderung des angefochtenen Entscheids und ist nach <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Mit dem vorinstanzlichen Entscheid wird er vom Strafverfahren ausgeschlossen. Dieser stellt für ihn daher einen gemäss <ref-law> anfechtbaren Endentscheid dar (<ref-ruling> E. 1 S. 312).
Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids. Er beschränkt sich auf einen kassatorischen Antrag. Das ist im bundesgerichtlichen Verfahren grundsätzlich unzulässig (<ref-ruling> E. 1.3 S. 317 mit Hinweisen). Aus der Begründung der Beschwerde ergibt sich jedoch klar, dass der Beschwerdeführer die Zulassung zum Verfahren als Strafkläger anstrebt. In einem derartigen Fall auf die Beschwerde mangels reformatorischen Antrags nicht einzutreten, stellte einen übertriebenen Formalismus dar (Urteil 1B_22/ 2019 vom 17. April 2019 E. 1.4 mit Hinweis).
Der Beschwerdeführer bringt vor, die öffentliche Arbeitslosenkasse des Kantons sei Geschädigte. Gemäss Art. 79 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 25. Juni 1982 über die obligatorische Arbeitslosenversicherung und die Insolvenzentschädigung (AVIG; SR 837.0) haben die Kassen keine eigene Rechtspersönlichkeit, handeln jedoch nach aussen im eigenen Namen und können vor den Organen der Rechtsprechung als Partei auftreten. Ob unter diesen Umständen nicht die öffentliche Arbeitslosenkasse als Partei hätte auftreten müssen, kann dahingestellt bleiben, da die Beschwerde aus folgenden Erwägungen jedenfalls unbegründet ist.
2.
2.1. Partei im Strafverfahren ist unter anderem die Privatklägerschaft (<ref-law>). Als Privatklägerschaft gilt die geschädigte Person, die ausdrücklich erklärt, sich am Strafverfahren als Straf- oder Zivilklägerin oder -kläger zu beteiligten (<ref-law>). Als geschädigte Person gilt die Person, die durch die Straftat in ihren Rechten unmittelbar verletzt worden ist (<ref-law>).
Nach der Rechtsprechung geht die Umschreibung der unmittelbaren Verletzung in eigenen Rechten vom Begriff des Rechtsguts aus. Unmittelbar verletzt und damit Geschädigter im Sinne von <ref-law> ist, wer Träger des durch die verletzte Strafnorm geschützten oder zumindest mitgeschützten Rechtsguts ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 495 mit Hinweis).
2.2. Die Vorinstanz stützt ihren Entscheid auf das Urteil 1B_158/2018 vom 11. Juli 2018 (in: Pra 2018 120 1106), in welchem es um den unrechtmässigen Bezug von Leistungen der Sozialhilfe und damit ebenfalls um <ref-law> ging.
Das Bundesgericht verneinte die Geschädigtenstellung der Fürsorgebehörde und beurteilte deren Nichtzulassung als Privatklägerin zum Strafverfahren daher als rechtmässig. Nach den bundesgerichtlichen Erwägungen verlangt die Geschädigtenstellung des Staates, dass dieser durch die Straftat nicht nur in den öffentlichen Interessen beeinträchtigt, sondern in seinen persönlichen Rechten unmittelbar verletzt worden ist, respektive dass er durch die Straftat in seinen Rechten wie ein Privater verletzt worden ist. Nicht als geschädigt im Sinne von <ref-law> gelten in der Regel die Verwaltungsträger des Gemeinwesens, wenn sich die Straftat gegen Rechtsgüter richtet, für welche sie zuständig sind, wie dies etwa auf das Sozialamt bei Sozialhilfebetrug zutrifft. In solchen Fällen handelt der Staat hoheitlich, d.h. er nimmt bei der Verrichtung der öffentlichen Aufgabe ausschliesslich öffentliche und keine eigenen individuellen Interessen wahr, womit er von der Straftat auch nicht in seinen persönlichen Rechten unmittelbar betroffen und verletzt ist. Der Verwaltungsträger kann, soweit er hoheitlich wirkt, nicht gleichzeitig Träger des Rechtsguts sein, für dessen Schutz, Kontrolle und Verwaltung gerade er, kraft seiner ihm auferlegten öffentlichen Aufgaben, einstehen muss und entsprechend selber dafür verantwortlich ist (E. 2.5). Die öffentlichen Interessen an der strafrechtlichen Verfolgung und Verurteilung des Beschuldigten werden im Strafverfahren durch die Staatsanwaltschaft wahrgenommen. Weitere Verwaltungseinheiten wie die Fürsorgebehörde sind nur ausnahmsweise bei entsprechender gesetzlicher Grundlage zuzulassen. So können gemäss <ref-law> Bund und Kantone zusätzlich zur Staatsanwaltschaft weiteren Behörden, die öffentliche Interessen zu wahren haben, volle oder beschränkte Parteirechte einräumen. Dies erfordert eine klare gesetzliche Grundlage und hat mit der Frage der Geschädigteneigenschaft nichts zu tun. Die Behörde tritt als Partei sui generis, nicht aber als Privatklägerin im Strafprozess auf. Im zu beurteilenden Fall räumten unstreitig weder Bund noch Kanton der Fürsorgebehörde eine spezielle Parteistellung im Sinne von <ref-law> ein (E. 2.6).
Diese Rechtsprechung bestätigte das Bundesgericht im Urteil 1B_576/ 2018 vom 26. Juli 2019 (E. 2.4 f.).
2.3. Darauf zurückzukommen besteht kein Anlass. Der vorliegende Fall liegt - was der Beschwerdeführer nicht substanziiert bestreitet - gleich. Gemäss <ref-law> besteht in jedem Kanton eine öffentliche Kasse (Abs. 1). Deren Träger ist der Kanton (Abs. 2). Die öffentliche Arbeitslosenkasse stellt somit wie die Fürsorgebehörde einen hoheitlich handelnden Verwaltungsträger dar. Die Erwägungen im Urteil 1B_158/2018 vom 11. Juli 2018 gelten daher auch hier.
2.4. Folgendes kommt hinzu: Gemäss <ref-law> ist mit der Durchführung der Versicherung nebst den Arbeitslosenkassen unter anderem die Ausgleichsstelle der Versicherung mit dem Ausgleichsfonds beauftragt. Die Ausgleichsstelle führt das SECO (<ref-law>). Die Ausgleichsstelle weist den Kassen nach den Vorschriften dieses Gesetzes und der Verordnung die nötigen Mittel aus dem Ausgleichsfonds zu (<ref-law>). <ref-law> regelt das Betriebskapital der Kassen. Danach sorgt die Ausgleichsstelle dafür, dass jeder Kasse ein Betriebskapital aus dem Ausgleichsfonds zur Verfügung steht, das ihrer Belastung angemessen ist. Die Kasse verwaltet ihr Betriebskapital treuhänderisch (Abs. 1). Bei Bedarf können die Kassen bei der Ausgleichsstelle Vorschüsse beantragen (Abs. 2). Die Ausgleichsstelle stellt somit der Kasse das nötige Betriebskapital aus dem Ausgleichsfonds zur Verfügung. Die Kasse verwaltet es lediglich treuhänderisch. Eigentümer des Betriebskapitals bleibt der Ausgleichsfonds (BORIS RUBIN, Commentaire de la loi sur l'assurance-chômage, 2014, N. 1 ff., insb. N. 6 zu <ref-law>). Die Kasse ist somit bei einem unrechtmässigen Bezug von Leistungen nicht nach <ref-law> unmittelbar in ihren eigenen Rechten verletzt.
Wie das damalige Eidgenössische Versicherungsgericht in <ref-ruling>, wo es um die Berechtigung der Arbeitslosenkassen zur Verwaltungsgerichtsbeschwerde ging, unter Hinweis auf <ref-law> entsprechend erwog, haben die Arbeitslosenkassen keine eigenen finanziellen Interessen (E. 2a S. 152).
2.5. Der Beschwerdeführer beruft sich auf <ref-ruling>. Dort hatte das Bundesgericht darüber zu befinden, ob gemäss <ref-law> der unterliegenden Arbeitslosenkasse, wie nach früherem Recht, Gerichtskosten auferlegt werden dürfen. Es bejahte dies. Dabei erwog es, die Arbeitslosenkassen verfolgten eigene Vermögensinteressen (E. 4.6 S. 639).
Insoweit ging es um die Auslegung des Begriffs "ihr Vermögensinteresse" im Sinne von <ref-law>. Liegt ein solches Vermögensinteresse vor, sind nach dieser Bestimmung unter anderem die Kantone und mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisationen von Gerichtskosten nicht befreit. Die dargelegte Erwägung des Bundesgerichts - in der es sich mit <ref-law> und <ref-ruling> nicht auseinandersetzte -erging somit in anderem Zusammenhang. Sie darf deshalb, worauf die Vorinstanz zu Recht hinweist, nicht unbesehen auf den vorliegenden Fall übertragen werden, wo es darum geht, ob die öffentliche Arbeitslosenkasse bei unrechtmässigem Bezug von Leistungen im Sinne von <ref-law> unmittelbar in ihren Rechten verletzt ist und daher als Privatklägerin zum Strafverfahren zuzulassen ist. Die oben (E. 2.2-2.4) dargelegten Sachgesichtspunkte sprechen gegen eine solche Zulassung. Dies ist entscheidend. <ref-ruling> ändert daran nichts.
2.6. Gemäss <ref-law> i.V.m. Art. 25 Abs. 1 f. des Bundesgesetzes vom 6. Oktober 2000 über den Allgemeinen Teil des Sozialversicherungsrechts (ATSG; SR 830.1) sind unrechtmässig bezogene Leistungen zurückzuerstatten. Der Rückforderungsanspruch erlischt mit dem Ablauf eines Jahres, nachdem die Versicherungseinrichtung davon Kenntnis erhalten hat, spätestens aber mit dem Ablauf von fünf Jahren nach der Entrichtung der einzelnen Leistung. Wird der Rückerstattungsanspruch aus einer strafbaren Handlung hergeleitet, für welche das Strafrecht eine längere Verjährungsfrist vorsieht, so ist diese Frist massgebend.
Der Beschwerdeführer bringt vor, mit Blick darauf sei es für ihn wesentlich, über Strafentscheide informiert zu werden. Zu den für ihn insoweit notwendigen Informationen gelangt er jedoch auch, wenn ihm im Strafverfahren keine Parteistellung zuerkannt wird. Gemäss <ref-law> i.V.m. <ref-law> geben die Verwaltungs- und Rechtspflegebehörden insbesondere des Bundes, der Kantone und Bezirke den Organen der einzelnen Sozialversicherung auf schriftliche und begründete Anfrage im Einzelfall kostenlos diejenigen Daten bekannt, die namentlich für die Rückforderung von Leistungen erforderlich sind. Die Strafbehörden haben somit dem Beschwerdeführer die für die Beurteilung der Verjährung des Rückforderungsanspruchs massgeblichen Informationen zu geben. Ob sich aus <ref-law>, der auch dem blossen Strafanzeiger Informationsrechte einräumt, dasselbe ergäbe, braucht nicht geprüft zu werden.
3.
Die Beschwerde ist deshalb abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Gerichtskosten werden keine erhoben (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten werden kann.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau, A._ und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Mai 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Härri