Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1978) ist nigerianischer Staatsbürger. Er lebte ab 2005 in der Schweiz. Von 2010 bis 2017 wohnte er mit der hier niederlassungsberechtigten kamerunischen Staatsangehörigen B._ zusammen. Aus der Beziehung gingen die Kinder A.B._ (geb. 2013), B.B._ (geb. 2015) und C.B._ (geb. 2019) hervor. A._ ist zudem Vater der aus der früheren - inzwischen aufgelösten - Ehe mit einer Schweizer Bürgerin stammenden Tochter A.C._ (geb. 2003 [Schweizer Bürgerin]).
A.b. Am 25. Mai 2018 lehnte das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt es ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern (Verschuldung [Verlustscheine über Fr. 181'334.20]; Sozialhilfebezüge [Fr. 115'550.10; Stand Februar 2019]; Nichteinhalten der Integrationsvereinbarung). Das Amt hielt ihn gleichzeitig an, die Schweiz zu verlassen. Den dagegen erhobenen Rekurs wies das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt am 22. Mai 2019 ab. Das Migrationsamt forderte A._ in der Folge am 17. Juni 2019 erneut auf, das Land nunmehr bis zum 16. September 2019 zu verlassen; es drohte ihm andernfalls die Anordnung von Zwangsmassnahmen an.
A.c. Auf das gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements gerichtete Rechtsmittel trat die Regierungspräsidentin am 9. September 2019 nicht ein, wogegen A._ am 17. September 2019 beim Appellationsgericht Basel-Stadt (Verwaltungsgericht) Rekurs anmeldete und diesen am 12. Oktober 2019 begründete. Der Präsident des Appellationsgerichts wies am 28. Oktober 2019 das Gesuch von A._ um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit seiner Begehren ab. A._ hätte den Rekurs gegen den Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements - so das Appellationsgericht - bis zum 3. Juni 2019 anmelden müssen; dies habe er aber erst am 26. August 2019 - und damit verspätet - getan. Eine Wiedereinsetzung in den vorigen Stand sei nicht möglich, da A._ kein unverschuldetes Hindernis für seine verspätete Anmeldung dartgetan habe.
A.d. Das Bundesgericht trat auf die gegen den Entscheid des Präsidenten des Appellationsgerichts vom 28. Oktober 2019 gerichtete Beschwerde mangels rechtsgenügender Begründung der Eingabe am 2. Dezember 2019 nicht ein (Urteil 2C_995/2019), womit die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und der damit verbundene Wegweisungsentscheid in Rechtskraft erwuchsen. Die Eingaben an die Regierungspräsidentin und an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hatten jeweils keine aufschiebende Wirkung.
B.
Das Migrationsamt und die Polizei des Kantons Basel-Stadt nahmen A._ gestützt auf einen Fahndungsauftrag vom 16. Oktober 2019 anlässlich einer Vorsprache bei der Ausländerbehörde am 15. November 2019 fest. Das Migrationsamt ordnete gleichentags die Ausschaffungshaft für 3 Monate bis zum 14. Februar 2020 an. Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht (im Folgenden auch als Haftrichter bezeichnet) bestätigte die angeordnete ausländerrechtliche Festhaltung am 18. November 2019.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 18. Dezember 2019 beantragt A._ vor Bundesgericht, das Urteil des Haftrichters aufzuheben und ihn umgehend aus der Ausschaffungshaft zu entlassen. Eventuell sei das Urteil der Vorinstanz aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an diese zurückzuweisen. Zusätzlich sei ihm, sollte er im bundesgerichtlichen Verfahren unterliegen, die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung zu gewähren.
C.b. Der Abteilungspräsident lehnte am 19. Dezember 2019 das Gesuch von A._ ab, ihn im Rahmen einer vorsorglichen Massnahme mit sofortiger Wirkung aus der Ausschaffungshaft zu entlassen; er verzichtete auf die Erhebung eines Kostenvorschusses.
C.c. Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und das Migrationsamt des Kantons Basel-Stadt beantragen, die Beschwerde abzuweisen. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) verzichtet darauf, sich am bundesgerichtlichen Verfahren zu beteiligen.

Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen richterlichen Entscheid über eine Zwangsmassnahme im Ausländerrecht kann der Betroffene mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangen (Art. 82 i.V.m. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 89 Abs. 1 BGG; Urteil 2C_496/2016 vom 21. Juni 2016 E. 1 mit weiteren Hinweisen). Wegen des mit der Anordnung ausländerrechtlicher Administrativhaft verbundenen schweren Eingriffs in die persönliche Freiheit kommt dem administrativen Freiheitsentzug eigenständige Bedeutung zu; die Haft erscheint nicht als bloss untergeordnete Vollzugsmassnahme zur Wegweisung, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> keine Anwendung findet (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 5.5 S. 101 f.). Auf die grundsätzlich frist- und formgerecht eingereichte Eingabe des Beschwerdeführers ist einzutreten (vgl. Art. 42, Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1, Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 203 f.)
2.
2.1. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Es ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr formell korrekt (Begründungs- und Mitwirkungspflicht) vorgebracht werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nur insoweit, als der Betroffene die entsprechenden Rügen präzis und in Auseinandersetzung mit den Ausführungen der Vorinstanz begründet (<ref-law>; <ref-ruling> E. 3 S. 415)
2.2. Das Bundesgericht ist an den Sachverhalt gebunden, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E.1.4.3 S. 254 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 351 f.). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_402/2015 vom 11. November 2016 E. 2.2.2). Auf die in diesem Zusammenhang lediglich appellatorisch formulierte Kritik des Beschwerdeführers geht das Bundesgericht im Folgenden nicht weiter ein (vgl. <ref-ruling> E. 10.1 S. 445 mit Hinweisen).
2.3.
2.3.1. Die Haftprüfung dient praxisgemäss nicht der Kontrolle des Wegweisungsentscheids oder von anderen den Ausländer zur Ausreise verpflichtenden Anordnungen. Der Haftrichter hat sich grundsätzlich nur zu vergewissern, ob (überhaupt) ein Weg- oder Ausweisungsentscheid vorliegt. Einwände bezüglich deren Rechtmässigkeit sind im Asyl-, Bewilligungs- oder Wegweisungsverfahren durch die jeweils zuständigen Behörden zu prüfen, nicht (erstinstanzlich) durch den Haftrichter (vgl. die Urteile 2C_749/2012 vom 28. August 2012 E. 2.1; 2C_304/2012 vom 1. Mai 2012 E. 2.1 und 2C_455/2009 vom 5. August 2009 E. 2.3, je mit Hinweisen). Der Betroffene muss nötigenfalls mit einem Wiedererwägungs- oder Revisionsgesuch an die zuständigen Behörden gelangen und hernach den entsprechenden Rechtsweg beschreiten (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 220 f.).
2.3.2. Nur wenn der Wegweisungs- bzw. der diesem zugrunde liegende Bewilligungsentscheid offensichtlich unzulässig, d.h. praktisch geradezu willkürlich, erscheint darf bzw. muss die Haftgenehmigung verweigert werden, da der Vollzug einer in diesem Sinn rechtswidrigen Anordnung nicht mit einer ausländerrechtlichen Zwangsmassnahme sichergestellt werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 58; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 198 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2c S. 61 f.; Urteil 2C_915/2017 vom 24. November 2017 E. 5.2.3). Einer potentiellen Verletzung von Art. 3 EMRK bzw. <ref-law> (drohende unmenschliche oder erniedrigende Behandlung bzw. Strafe) muss der Haftrichter Rechnung tragen, soweit der entsprechende Einwand konkret und auf den Einzelfall bezogen substanziiert begründet wird und eine tatsächliche Beeinträchtigung von Leib und Leben im Sinne eines "real risk" nicht ausgeschlossen werden kann (Urteile 2C_263/2019 vom 27. Juni 2019 E. 3.4.2; 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 4.2 und 2C_915/2017 vom 24. November 2017 E. 5, je mit Hinweisen).
2.3.3. Der Beschwerdeführer kritisiert die Sachverhaltsfeststellung durch den Haftrichter als offensichtlich unhaltbar, legt aber nicht vertieft dar, inwiefern die Vorinstanz dabei <ref-law> (Willkür) verletzt haben soll: Der Haftrichter anerkannte, dass der Beschwerdeführer inzwischen Vater von vier Kindern ist; er ging jedoch davon aus, dass dies nicht geeignet war, die Zulässigkeit der Ausschaffungshaft infrage zu stellen. Es wäre am Beschwerdeführer gewesen, darauf hinzuweisen, dass er im Juni 2019 einer Arbeitstätigkeit nachgegangen ist, die auf Intervention des Migrationsamts hin gestoppt werden musste. Es liegt auch insofern keine Verletzung von Bundesrecht vor. Das Appellationsgericht lehnte es ab, der Eingabe des Beschwerdeführers in der Sache aufschiebende Wirkung beizulegen, womit der Beschwerdeführer zu diesem Zeitpunkt über keine Aufenthaltsbewilligung mehr verfügte. Die Regierungspräsidentin trat am 9. September 2019 auf seinen Rekurs nicht ein; der Präsident des Appellationsgerichts sah am 28. Oktober 2019 davon ab, vorsorglich für die Dauer seines Verfahrens die Anwesenheit des Beschwerdeführers zu gestatten. Wenn der Haftrichter gestützt hierauf zum Schluss gekommen ist, dass weder der zu vollziehende Wegweisungsentscheid noch der ihm zugrunde liegende Bewilligungswiderruf als offensichtlich unzulässig gelten könnten, ist dies vertretbar; die der Haftanordnung zugrunde liegenden ausländerrechtlichen Entscheide durfte der Haftrichter nur beschränkt überprüfen (vgl. vorstehende E. 3.2 [offensichtliche Unzulässigkeit]). Dass der Vollzug der inzwischen rechtskräftigen und vollziehbaren Wegweisung gegen Art. 3 EMRK oder <ref-law> verstossen würde, wird nicht gerügt.
3.
Der Beschwerdeführer macht geltend, es bestehe bei ihm keine Untertauchensgefahr (vgl. nachstehende E. 4), zudem sei seine Ausschaffungshaft unverhältnismässig (vgl. nachstehend E. 5 und 6); der Haftrichter habe die Wirksamkeit milderer Massnahmen überhaupt nicht geprüft. Alle weiteren Voraussetzungen für die Ausschaffungshaft sind unbestritten (Vorliegen eines erstinstanzlichen Wegweisungsentscheids [inzwischen rechtskräftig und vollziehbar], Einhaltung des Beschleunigungsgebots, Absehbarkeit des Wegweisungsvollzugs, Haftbedingungen, Sorgfaltspflichten der Behörden usw.); es wird im Folgenden nur auf die noch strittigen Punkte eingegangen.
4.
4.1. Nach der Rechtsprechung kann zur Sicherung des Vollzugs eines erstinstanzlichen Weg- oder Ausweisungsentscheids oder einer erstinstanzlichen Landesverweisung eine ausländische Person in Ausschaffungshaft genommen werden, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass sie sich der Ausschaffung entziehen will, insbesondere weil sie ihren Mitwirkungspflichten nicht nachkommt (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 AuG: seit 1. Januar 2019 AIG). Dasselbe gilt, wenn ihr bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass sie sich behördlichen Anordnungen widersetzt (Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 4 AIG). Die beiden Haftgründe werden in der Praxis zum Haftgrund der "Untertauchensgefahr" zusammengefasst (vgl. das Urteil 2C_871/2012 vom 28. Januar 2013 E. 4.1 mit Hinweisen). Eine solche liegt nach der Rechtsprechung vor, wenn konkrete Anzeichen befürchten lassen, dass sich die ausländische Person der Ausschaffung entziehen will, insbesondere weil ihr bisheriges Verhalten darauf schliessen lässt, dass sie sich den Anordnungen der Ausländerbehörde im Zusammenhang mit ihrer Ausschaffung widersetzen wird. Dies ist regelmässig der Fall, wenn sie bereits einmal untergetaucht ist, durch erkennbare unglaubwürdige und widersprüchliche Angaben die Vollziehungsbemühungen zu erschweren versucht oder sonst klar zu erkennen gibt, dass sie nicht bereit ist, in ihre Heimat zurückzukehren (<ref-ruling> E. 3.1 S. 58 f.).
4.2.
4.2.1. Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht ist davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer den Haftgrund der Untertauchensgefahr erfüllt: Er habe die ihm am 17. Juni 2019 bis 16. September 2019 angesetzte Ausreisefrist nicht genutzt, um das Land zu verlassen, obwohl ihm für diesen Fall Zwangsmassnahmen in Aussicht gestellt worden seien. Der Beschwerdeführer sei bis zum 15. November 2019 illegal in der Schweiz verblieben und habe keinerlei Anstalten getroffen, sich auch nur um eine Erneuerung seines Reisepasses zu bemühen. Angesichts seiner langjährigen Anwesenheit in der Schweiz und den familiären Bindungen sei nicht davon auszugehen, dass er sich in Freiheit für den Wegweisungsvollzug zur Verfügung halten werde; auch wenn er über eine Wohnung verfüge, die er inzwischen offenbar aber aufgelöst habe. Seine strafrechtlichen Verurteilungen "von nicht unerheblicher Schwere", die auf das Jahr 2009 (Verurteilung zu 9 Monaten Freiheitsstrafe bedingt unter anderem wegen mehrfacher Hehlerei, mehrfacher Fälschung von Ausweisen und Geldwäscherei) und früher zurückgingen, könnten zwar nicht mehr als selbständiger Haftgrund herangezogen werden (vgl. Art. 75 Abs. 1 lit. g und h i.V.m. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 AIG), sie rundeten das Bild über das Verhalten des Beschwerdeführers aber ebenso ab wie dessen bisheriger Umgang mit anderen Behörden (Nichtbeachtung von Abmachungen mit der Sozialhilfe; Nichteinhalten der Integrationsvereinbarung von 2013; unaufhörliches Anhäufen von Schulden parallel zum Sozialhilfebezug). Der Beschwerdeführer halte sich - so der Haftrichter weiter - offensichtlich an keinerlei behördliche Anordnungen, weshalb Untertauchensgefahr gegeben sei.
4.2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass er sich den Behörden im Wissen um einen drohenden behördlichen Zugriff während längerer Zeit an einem festen Ort zur Verfügung gehalten habe. Er sei den Behörden gegenüber immer kooperativ gewesen; seinen Mitwirkungspflichten sei er bis zu seiner Verhaftung nachgekommen. Er habe sich den Behörden nie entzogen und sich immer auf dem Rechtsmittelweg für den Verbleib in der Schweiz eingesetzt. Trotz des Wissens, dass er im Falle des Unterliegens im Rechtsmittelverfahren jederzeit in Ausschaffungshaft genommen werden könnte, habe er bis zu seiner Festhaltung am 15. November 2019 kooperiert und sich an einem festen Ort - bei seiner Familie und den Kindern - aufgehalten. Er sei nie untergetaucht. Nach der bundesgerichtlichen Praxis spreche der Umstand, dass sich die betroffene Person - in Kenntnis der drohenden Zwangsmassnahmen - während längerer Zeit ununterbrochen den Behörden zur Verfügung gehalten habe, gegen das Risiko, dass sie untertauchen wird (vgl. Urteile 2C_871/2012 vom 28. Januar 2013 E. 4.2 und 2C_478/2012 vom 14. Juni 2012 E. 2.2 am Ende).
4.2.3. Die Umstände weisen - trotz Kenntnis des Aufenthaltsorts des Beschwerdeführers - daraufhin, dass er sich beim Vorliegen der Reisepapiere der Ausschaffung entziehen könnte: Er ist der Aufforderung, seinen Pass zu erneuern, nicht nachgekommen und hat insofern seine Mitwirkungspflicht verletzt (<ref-law>). Hinzukommt, dass er bei der Befragung vom 22. November 2019 - auf den Hinweis hin, er könne bei einer Mitarbeit die Beschaffung der Reisepapiere beschleunigen - erklärte: "Nein, ich gehe nicht nach Nigeria zurück, auch wenn sie mich 20 Jahre im Gefängnis behalten". Gestützt hierauf und unter Berücksichtigung des Umstands, dass der Beschwerdeführer seiner Ausreisepflicht nicht freiwillig nachgekommen ist, durfte der Haftrichter ohne Verletzung von Bundesrecht davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer sich unkooperativ zeigt. Er ist seinen Mitwirkungspflichten nicht nachgekommen (Ausreise innerhalb der angesetzten Frist; Erneuerung des Passes usw.) und es besteht deshalb Untertauchensgefahr.
5.
Fraglich bleibt im Rahmen einer Gesamtwürdigung, ob die Ausschaffungshaft als Ganzes verhältnismässig erscheint und ob nicht mildere Massnahmen ebenso wirksam sicherstellen könnten, dass der Beschwerdeführer sich bei Vorliegen der Reisepapiere für seine Ausschaffung zur Verfügung halten wird (vgl. das Urteil 2C_871/2012 vom 28. Januar 2013 E. 5).
5.1. Das Verhältnismässigkeitsprinzip (<ref-law>) gebietet, jeweils im Einzelfall das mildeste, gerade noch wirksame Mittel einzusetzen und eine Verletzung des Übermassverbots zu vermeiden, d.h. ein sachgerechtes, zumutbares Verhältnis von Mittel und Zweck zu wahren (Urteile 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 3.3.2 und 2C_304/2012 vom 1. Mai 2012 E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2.3.2 S. 97; WIEDERKEHR/RICHLI, Praxis des allgemeinen Verwaltungsrechts, Bd. I, 2012, N. 1735 mit Hinweisen, N. 1745, N. 1793 ff., N. 1830 ff. und N. 1844 ff.; RHINOW/SCHEFER/UEBERSAX, Schweizerisches Verfassungsrecht, 3. Aufl. 2016, N. 1221 ff.).
5.2.
5.2.1. Die entsprechenden Anforderungen ergeben sich aus dem Haftzweck, aus Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK und dem Verhältnismässigkeitsgrundsatz (Art. 5 Abs. 2 und Art. 36 Abs. 3 i.V.m. <ref-law>) sowie aus der für die Schweiz im Rahmen des Schengen-Besitzstands relevanten "Rückführungsrichtlinie" (Richtlinie 2008/115/EG des Europäischen Parlaments und des Rats vom 16. Dezember 2008 über gemeinsame Normen und Verfahren in den Mitgliedstaaten zur Rückführung illegal aufhältiger Drittstaatsangehöriger, ABl. L 348 vom 24. Dezember 2008 S. 98 ff.; vgl. ANDRÉ EQUEY, Änderungen im Bereich der Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht aufgrund der Übernahme der EG-Rückführungsrichtlinie durch die Schweiz, AJP 2011 S. 924 ff., dort S. 934). Diese geht grundsätzlich vom Vorrang der freiwilligen Ausreise aus (vgl. Art. 7 RL 2008/115/EG; Urteil 2C_787/2014 vom 29. September 2014 E. 2.2).
5.2.2. Machen die Mitgliedstaaten - als "letztes Mittel" - von Zwangsmassnahmen zur Durchführung der Abschiebung von Widerstand leistenden Drittstaatsangehörigen Gebrauch, so müssen die entsprechenden Massnahmen verhältnismässig sein und dürfen nicht über die Grenzen des Erforderlichen hinausgehen. Sie müssen nach dem einzelstaatlichen Recht im Einklang mit den Grundrechten und unter gebührender Berücksichtigung der Menschenwürde und der körperlichen Unversehrtheit der betroffenen Personen erfolgen (Art. 8 Abs. 4 RL 2008/115/EG). Drittstaatsangehörige, gegen die ein Rückkehrverfahren hängig ist, können nur in Haft genommen werden, wenn im konkreten Fall keine anderen, milderen Zwangsmassnahmen wirksam erscheinen (Art. 15 Abs. 1 Satz 1 der Rückführungsrichtlinie; vgl. EQUEY, a.a.O., S. 936). Die Haftdauer hat so kurz wie möglich zu sein; sie darf sich nur auf die Dauer der laufenden Abschiebungsvorkehrungen erstrecken, soweit diese mit der gebotenen Sorgfalt vorangetrieben werden (vgl. Art. 15 Abs. 1 RL 2008/115/EG; Urteile 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 3.3.3; 2C_915/2017 vom 24. November 2017 E. 4.2 und 2C_787/2014 vom 29. September 2014 E. 2.2).
5.3.
5.3.1. Im Rahmen der Verhältnismässigkeitsprüfung sieht <ref-law> (in der Fassung vom 18. Juni 2010) als mildere Massnahme unter anderem vor, dass die zuständige Behörde die ausländische Person nach der Eröffnung der Wegweisungsverfügung - statt zu inhaftieren - verpflichten kann, sich regelmässig bei einer Behörde zu melden (vgl. das Urteil 2C_263/2019 vom 27. Juni 2019 E. 4.3.1; DANIÈLE REVEY, in: Nguyen/Amarelle [Editeurs], Code annoté de droit des migrations, Volume II: Loi sur les étrangers [LEtr], N. 2 u. 3 zu Art 64e LEtr; MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 5. Aufl. 2019, N. 1 zu <ref-law>). Denkbar ist auch eine Eingrenzung auf ein bestimmtes Gebiet, falls - wie hier - ein rechtskräftiger Wegweisungsentscheid vorliegt, dessen Vollzug noch nicht möglich ist (vgl. <ref-law>). Im Rahmen der Kontrolle der Verhältnismässigkeit muss der Haftrichter die Möglichkeit milderer Massnahmen tatsächlich prüfen und jeweils bezogen auf den Einzelfall darlegen, weshalb diese nicht genügen, um den Wegweisungsvollzug auch ohne Haft sicherstellen zu können (vgl. die Urteile 2C_263/2019 vom 27. Juni 2019 E. 4.3.2 und 2C_466/2018 vom 21. Juni 2018 E. 5.2).
5.3.2. Der Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht hat die Voraussetzungen milderer Massnahmen in seinem Entscheid nicht geprüft, obwohl er dies nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung hätte tun müssen (vgl. das Urteil 2C_466/2018 vom 21. Juni 2018 E. 5). Der Haftrichter muss einzelfallbezogen darlegen, warum sich mildere Massnahmen zur Sicherung des Wegweisungsvollzugs nicht eignen. In seiner Vernehmlassung erklärt er, dass Ersatzmassnahmen wie die vorgeschlagene Meldepflicht oder eine Eingrenzung nicht geeignet gewesen seien, den Wegweisungsvollzug sicherzustellen. Er begründet indessen auch an dieser Stelle nicht, weshalb dem so sein soll. In Anbetracht der Schwere des durch die Festhaltung begründeten Eingriffs in die persönliche Freiheit des Beschwerdeführers ist der angefochtene Entscheid diesbezüglich ungenügend bzw. gar nicht begründet; der Haftrichter hat seine Prüfungsbefugnis in unzulässiger Weise beschränkt (vgl. <ref-ruling> S. 303; Urteil 2C_466/2018 vom 21. Juni 2018 E. 5).
6.
Der Entscheid trägt aber auch materiell der spezifischen Situation des sich seit Jahren mit seinen Kindern in der Schweiz aufhaltenden Beschwerdeführers zu wenig Rechnung (vgl. <ref-law>) :
6.1. Der Beschwerdeführer ist nie untergetaucht. Er hat sich während des Verfahrens, nach Aufgabe seiner Wohnung, bei seiner Lebensgefährtin und den Kindern aufgehalten. Seine Identität ist gestützt auf den abgelaufenen Pass bekannt. Würde er bei der Beschaffung von Reisepapieren mitarbeiten, wäre eine Anerkennung anlässlich eines telefonischen Interviews mit der nigerianischen Botschaft möglich, andernfalls muss er entweder von der Botschaft oder einer nigerianischen Delegation im SEM befragt werden. Eine nächste Gelegenheit hierzu besteht im Frühjahr 2020 (so die E-Mail des zuständigen Fachspezialisten Rückkehr im SEM vom 18. November 2019). Die Vorinstanz legt weder dar noch weist sie nach, weshalb der Beschwerdeführer seine Ausschaffung bis zu diesem Zeitpunkt bzw. dem Erhalt der Reisepapiere zwingendermassen in Ausschaffungshaft verbringen müsste.
6.2. Der Beschwerdeführer ist seit mehr als zehn Jahren straffrei; trotz der früheren Straftaten geht von ihm keine unmittelbare Gefahr für die Öffentlichkeit aus. Seine Festhaltung erfolgte anlässlich einer Vorsprache auf dem Migrationsamt, wo er sich zur Verfügung der Behörden gehalten hatte. Der Vollzug seiner Wegweisung kann unter diesen Umständen mit milderen Massnahmen sichergestellt werden. Die Haft - als ultima ratio - ist im konkreten Fall nicht erforderlich, um die Wegweisung vollziehen zu können. Die Präsenz des Beschwerdeführers kann mit einer Meldepflicht und/oder einer Eingrenzug im Sinne von <ref-law> sichergestellt werden. Das Migrationsamt weist darauf hin, dass der Beschwerdeführer eventuell nicht "komplett" untertauchen und sich mehrheitlich "an bekanntem Ort" aufhalten werde; jedoch würde er sich bestimmt nicht an dem Tag, an dem die Heimreise stattfinden soll, den Behörden zur Verfügung halten, weshalb die Wegweisung nur vollzogen werden könne, wenn er in Haft sei.
6.3. Selbst wenn dem so wäre, ist nicht ersichtlich, warum der Beschwerdeführer bereits im November 2019 verhaftet worden ist, nachdem allfällige Vorführungen vor den nigerianischen Behörden frühestens anfangs 2020 möglich sind. Zur Verbringung in die Lokalitäten des SEM genügt eine kurzfristige Festhaltung, die gerade diesem Zweck dient (<ref-law>). Liegen die Papiere vor und ist der Flug organisiert, ist es immer noch früh genug, den Beschwerdeführer in eine Ausschaffungshaft nach Art. 76 oder 77 AIG (Ausschaffungshaft wegen fehlender Mitwirkung bei der Beschaffung der Reisedokumente) zu nehmen. Eine allfällige Missachtung der Ein- oder Ausgrenzung könnte für den Beschwerdeführer eine Freiheitsstrafe von bis zu drei Jahren oder eine Geldstrafe nach sich ziehen (<ref-law>; Urteil 2C_787/2014 vom 29. September 2014 E. 3.1 mit Hinweis); zusätzlich setzte er damit einen neuen Haftgrund (Art. 75 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 76 Abs. 1 lit. b Ziff. 1 AIG). Greift die mildere Massnahme nicht, ist der Freiheitsentzug dannzumal die logische Folge seines Verhaltens.
7.
7.1. Nach dem Dargelegten erweist sich die Ausschaffungshaft zum jetzigen Zeitpunkt - und einzig dies ist vorliegend zu beurteilen - als unverhältnismässig (Verletzung des Übermassverbots); der Entscheid des Einzelrichters für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 18. November 2019 ist demnach aufzuheben und der Beschwerdeführer unverzüglich aus der Ausschaffungshaft zu entlassen (vgl. <ref-ruling> E. 2.4). Es steht dem kantonalen Migrationsamt frei, ihm eine Meldepflicht aufzuerlegen und/oder ihn auf ein bestimmtes Gebiet einzugrenzen (vgl. <ref-ruling> ff.; <ref-ruling> ff.).
7.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend sind keine Kosten geschuldet (<ref-law>). Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung (<ref-law>) wird damit gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Einzelrichters für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 18. November 2019 aufgehoben. Der Beschwerdeführer ist umgehend aus der Ausschaffungshaft zu entlassen.
2.
2.1. Es werden keine Kosten erhoben.
2.2. Der Kanton Basel-Stadt hat die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
2.3. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Einzelrichter für Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht am Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Januar 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar