Faits :
A.
X._ est domicilié à Genève. Le 15 juillet 2015, l'Administration fiscale cantonale (ci-après: l'Administration cantonale) lui a accordé un délai de dix jours pour lui faire parvenir sa déclaration fiscale pour la période fiscale 2014. N'ayant rien reçu du contribuable dans le délai imparti, l'Administration cantonale lui a accordé, le 12 août 2015, un nouveau délai de dix jours pour déposer sa déclaration fiscale, en l'avisant qu'à défaut, il s'exposait à une taxation d'office. Le 2 septembre 2015, le contribuable a obtenu de l'Administration cantonale un ultime délai au 30 septembre 2015 pour transmettre sa déclaration fiscale, qu'il n'a pas respecté.
B.
B.a. Par bordereaux du 28 octobre 2015, l'Administration cantonale a procédé à la taxation d'office du contribuable. Son revenu imposable était fixé à 100'000 fr., tant pour l'impôt fédéral direct (ci-après: IFD) que pour l'impôt cantonal et communal (ci-après: ICC). Le contribuable était par ailleurs amendé à hauteur de 1'000 fr. pour avoir omis de déposer une déclaration fiscale.
Le 27 novembre 2015, X._ a formé réclamation contre ces bordereaux, concluant à leur annulation. Le revenu de 100'000 fr. qui lui avait été imputé était manifestement inexact, dès lors que les seuls revenus qu'il avait réalisés en 2014 étaient constitués d'indemnités d'assurance-chômage qui lui avaient été versées jusqu'en juillet. Il joignait à sa réclamation une décision de sa Caisse de chômage datée du 14 août 2014, l'informant que son droit à percevoir des indemnités s'était épuisé le 4 juillet 2014. Ce document ne mentionnait pas les montants d'indemnités que X._ avait reçus jusqu'alors.
Le contribuable a aussi contesté l'amende de 1'000 fr., qu'il jugeait disproportionnée dans son principe et sa quotité.
Le 2 décembre 2015, l'Administration cantonale a informé X._ qu'elle avait besoin, pour examiner sa réclamation, de recevoir une déclaration fiscale, dont elle joignait le formulaire à son courrier. Elle lui a imparti un délai au 8 janvier 2016 pour s'exécuter. Sans réponse du contribuable, l'Administration cantonale a réitéré sa demande le 14 janvier 2016, en lui fixant un délai au 3 février 2016 et en précisant qu'à défaut, sa taxation d'office serait maintenue, le cas échéant modifiée en sa défaveur. Le contribuable n'y a pas donné suite.
Par décisions sur réclamation du 25 février 2016, l'Administration cantonale a déclaré la réclamation de X._ irrecevable.
B.b. Le 31 mars 2016, le contribuable a recouru contre ces décisions sur réclamation auprès du Tribunal administratif de première instance du canton de Genève (ci-après: le Tribunal administratif), concluant à l'annulation des décisions du 25 février 2016. Il reprochait aussi à l'Administration cantonale d'avoir agi de manière disproportionnée en lui infligeant une amende de 1'000 francs.
Par jugement du 6 février 2017, le Tribunal administratif a partiellement admis le recours. L'Administration cantonale avait déclaré à bon droit la réclamation du 27 novembre 2015 du contribuable irrecevable. Elle aurait en revanche dû examiner les griefs du contribuable concernant la quotité de l'amende et lui a dès lors renvoyé le dossier pour nouvelle décision sur ce point. Le nom des juges qui avaient siégé, parmi lesquels figurait celui de Y._, présidente, était mentionné dans le jugement.
B.c. Le 14 février 2017, X._ a saisi la Cour de justice, Chambre administrative, du canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) pour demander la récusation de Y._ et l'annulation des opérations auxquelles elle avait participé. Il exposait que cette magistrate était prévenue à son encontre en raison d'un différend qui les avait opposés en 2010, alors qu'il était employé du Tribunal administratif.
Sur invitation de la Cour de justice, X._ a complété son recours le 24 mars 2017, concluant à l'annulation du jugement entrepris, à ce qu'il soit constaté que les taxations d'office étaient manifestement inexactes et au renvoi du dossier à l'Administration cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Par arrêt du 20 février 2018, la Cour de justice a rejeté le recours. X._ avait invoqué tardivement un motif de récusation à l'encontre de Y._. Par ailleurs, c'était à juste titre que l'Administration cantonale avait déclaré irrecevable la réclamation qu'il avait formée à l'encontre de la taxation d'office 2014. Dans ces circonstances, il n'y avait pas lieu d'examiner les critiques que le contribuable formulait concernant la taxation d'office elle-même.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public et du recours constitutionnel subsidiaire, le recourant demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, de constater le doute sur l'impartialité de Y._, de constater que l'arrêt attaqué viole les art 95 let. a, b et c LTF, 97 al. 1 LTF et 106 al. 2 LTF, notamment le droit international, constitutionnel fédéral et cantonal, d'annuler l'arrêt attaqué et le jugement du Tribunal administratif et de lui renvoyer la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants; subsidiairement, de constater que la taxation d'office était manifestement inexacte et que l'arrêt attaqué viole les art 95 let. a, b et c LTF, 97 al. 1 LTF et 106 al. 2 LTF, notamment le droit international, constitutionnel fédéral et cantonal, d'annuler l'arrêt attaqué et le jugement du Tribunal administratif et de lui renvoyer la cause pour nouvelle décision dans le sens des considérants; en tout état de cause, d'autoriser le recourant à prouver par tous moyens de droit les faits allégués.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Dans sa réponse, l'Administration cantonale s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et se rallie aux considérants de l'arrêt attaqué. Le recourant a dupliqué.

Considérant en droit :
1.
1.1. La décision attaquée est finale (<ref-law>) et a été rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF), dans une cause de droit public (<ref-law>) qui ne tombe sous le coup d'aucune des exceptions prévues à l'<ref-law>.
Les restrictions à la recevabilité du recours en matière de droit public qui figurent à l'<ref-law> ne concernent que les décisions rendues en matière de responsabilité étatique et de rapports de travail de droit public (cf. <ref-law>). C'est partant en vain que le recourant soutient que sa cause pose des questions juridiques de principe au sens de l'<ref-law> pour justifier la recevabilité de son recours.
1.2. Le Tribunal fédéral étant un juge du droit et non du fait (cf. <ref-law>), il n'ordonne des mesures probatoires qu'à titre exceptionnel lorsqu'il est saisi sur recours (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 104) et il n'y a pas de motif d'y procéder en l'espèce. Les conclusions du recours tendant à ce que le recourant soit acheminé à prouver les faits qu'il allègue sont partant irrecevables.
1.3. En raison de l'effet dévolutif du recours devant la dernière instance cantonale (cf. <ref-ruling> consid. 1.2 p. 543), la conclusion en annulation du jugement du Tribunal administratif est aussi irrecevable.
1.4. Au surplus, le recours a été déposé en temps utile (cf. art. 100 al. 1 et 46 al. 1 let. a LTF) et dans les formes requises (<ref-law>) par le destinataire de la décision entreprise, qui a qualité pour recourir (cf. <ref-law>). Il convient donc d'entrer en matière sur le recours dans la mesure de sa recevabilité, ce qui entraîne l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire également formé par le recourant (art. 113 a contrario LTF).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). En vertu de l'<ref-law> toutefois, il n'examine la violation de droits fondamentaux ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant.
2.2. L'examen du Tribunal fédéral se fonde sur les faits constatés par l'autorité précédente (cf. <ref-law>), à moins que ceux-ci n'aient été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (cf. <ref-law>).
3.
Invoquant l'<ref-law>, le recourant se plaint d'abord d'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves.
3.1. En vertu de cette disposition, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 244; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 62) - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law>, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 1.5 p. 129 s.). Lorsque le recourant s'en prend à l'appréciation des preuves et à l'établissement des faits, la décision n'est arbitraire que si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a procédé à des déductions insoutenables (cf. ATF 137 III consid. 4.2 p. 234; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 560; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 62).
3.2. En l'espèce, le recourant se plaint de plusieurs omissions et erreurs dans les constatations de fait de l'arrêt attaqué, en lien avec l'estimation d'office de ses revenus, le déroulement des événements qui ont suivi le dépôt de sa réclamation et l'existence d'un conflit passé entre lui et Y._. Or, aucune de ces prétendues omissions ou erreurs ne sont propres à influer sur le sort de la cause. S'agissant d'abord de la demande de récusation du recourant, les juges précédents ont uniquement établi son caractère tardif. L'existence ou non d'une prévention de la magistrate concernée à l'encontre du recourant n'est partant pas de nature à modifier la décision attaquée sur ce point. Concernant la réclamation, la Cour de justice a uniquement confirmé son irrecevabilité et n'a dès lors pas examiné la taxation d'office elle-même. Les événements qui se sont déroulés postérieurement au dépôt de la réclamation ne sont par ailleurs pas pertinents pour juger de la recevabilité d'une réclamation (cf. aussi sur ce point infra consid. 5).
Le grief d'arbitraire dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves est partant rejeté.
4.
Le recourant soutient que les juges précédents ont violé l'art. 40 al. 1 de la Constitution genevoise, l'art. 30 Cst., l'art. 6 par. 1 CEDH et l'art. 15A al. 1 let. f de la loi cantonale genevoise sur la procédure administrative (LPA; RS/GE E 5 10) en jugeant qu'il avait agi tardivement en soulevant pour la première fois devant eux un motif de récusation à l'encontre de Y._. Il fait valoir qu'il ignorait l'identité du juge en charge de l'instruction de son dossier au Tribunal administratif et qu'il ne savait pas non plus que cette magistrate, qu'il avait connue alors qu'elle était greffière-juriste à la Cour de justice, siégeait désormais comme juge au Tribunal administratif. Ce n'était ainsi qu'au moment de la réception du jugement de cette instance qu'il avait réalisé qu'elle y avait participé, de sorte qu'il n'avait pas agi tardivement en soulevant ce moyen devant la Cour de justice.
4.1. A moins de revêtir un caractère pénal, ce qui n'est pas le cas en l'espèce, l'art. 6 CEDH ne s'applique pas aux causes fiscales (<ref-ruling> consid. 9.2 p. 74). Le recourant ne soutient par ailleurs pas que les dispositions cantonales légales et constitutionnelles genevoises qu'il invoque lui offrent une protection supérieure à celles découlant de l'art. 30 al. 1 Cst. Son grief sera donc examiné à la lumière des principes déduits de l'art. 30 al. 1 Cst.
4.2. La garantie d'un tribunal indépendant et impartial découlant de l'art. 30 al. 1 Cst. permet d'exiger la récusation d'un juge dont la situation ou le comportement sont de nature à susciter des doutes quant à son impartialité. Selon un principe général, si un justiciable entend faire valoir un motif de récusation en relation avec la composition irrégulière d'une autorité judiciaire, il doit invoquer ce motif dès qu'il en a connaissance, sous peine d'être déchu du droit de s'en prévaloir ultérieurement. Il est, en effet, contraire aux règles de la bonne foi de garder en réserve le moyen tiré de la composition irrégulière du tribunal pour ne l'invoquer qu'en cas d'issue défavorable de la procédure. Cela ne signifie toutefois pas que la composition concrète de la Cour amenée à statuer doive nécessairement être communiquée de manière expresse au justiciable. Il suffit que l'information ressorte d'une publication générale facilement accessible, en particulier sur internet, par exemple l'annuaire officiel. Selon la jurisprudence, la partie assistée d'un avocat est en tout cas présumée connaître la composition régulière du tribunal (<ref-ruling> consid. 8.1.3 p. 275; <ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 124 et les références).
4.3. En l'espèce, l'arrêt attaqué constate de manière à lier le Tribunal fédéral (<ref-law>) que tant l'accusé de réception du recours que la correspondance ultérieure mentionnent que le dossier du recourant a été attribué à la cinquième Cour du Tribunal administratif, et que si le nom de Y._ ne figurait pas dans cette correspondance, le fait qu'elle préside cette Cour était une information aisément accessible au recourant, avocat de profession et ancien stagiaire du Tribunal administratif, par le biais du site internet du Pouvoir judiciaire genevois. Sur la base de ces faits, et conformément à la jurisprudence rappelée ci-dessus, force est de constater que le recourant était présumé connaître la composition du tribunal. C'est partant sans violer l'art. 30 al. 1 Cst. que la Cour de justice a jugé qu'il avait soulevé tardivement un motif de récusation en ne le faisant valoir qu'après avoir reçu le jugement.
Le grief du recourant est partant rejeté.
5.
Le recourant semble reprocher aux juges précédents d'avoir retenu à tort que les conditions pour procéder à une taxation d'office étaient remplies (recours p. 13 Bba). Dans la mesure où il n'a pas contesté ce point dans son recours à la Cour de justice, il n'est pas fondé à soulever ce grief devant le Tribunal fédéral, parce qu'il élargit ainsi de manière inadmissible l'objet du litige (interdiction des conclusions nouvelles; cf. <ref-law> et BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n° 30 et 31 ad <ref-law>). Il n'y a donc pas lieu d'examiner ce point.
6.
Le recourant soutient que c'est à tort que la Cour de justice a confirmé l'irrecevabilité de sa réclamation.
6.1. Le contribuable qui a été taxé d'office peut déposer une réclamation contre cette taxation uniquement pour le motif qu'elle est manifestement inexacte. La réclamation doit être motivée et indiquer, le cas échéant, les moyens de preuve (art. 132 al. 3 de la loi fédérale sur l'impôt fédéral direct [LIFD; RS 642.11] pour l'impôt fédéral direct; art. 48 al. 2 de la loi fédérale sur l'harmonisation des impôts directs des cantons et des communes [LHID; RS 642.14] et art. 39 al. 2 de la loi de procédure fiscale genevoise [LPFisc; RS/GE D 37] pour l'impôt cantonal et communal genevois).
Par la voie de la réclamation, le contribuable taxé d'office peut donc contester la réalisation des conditions qui ouvrent à l'autorité fiscale le droit de taxer d'office ainsi que le montant des éléments imposables, pour autant qu'il prouve le caractère manifestement inexact de la taxation. Cela signifie que le contribuable doit se prêter d'entrée de cause à la collaboration qu'il a négligée jusqu'ici et communiquer tous les renseignements utiles à sa taxation. Le contribuable ne peut se limiter à une contestation globale ou à une contestation partielle de positions uniques, car cela ne permet pas d'examiner d'emblée si la taxation d'office est manifestement inexacte. Il doit bien plus exposer en quoi celle-ci ne correspond pas à la situation réelle et mentionner les moyens de preuve y relatifs. Ce n'est qu'ainsi que toute incertitude quant à l'état des faits peut être écartée. Cette preuve doit en outre être complète, de simples preuves partielles ne suffisant pas. Il s'agit là d'une exigence formelle, dont la violation entraîne l'irrecevabilité de la réclamation (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 551; <ref-ruling> consid. 4c p. 557; arrêts 2C_930/2018 du 25 octobre 2018 consid. 5.3; 2C_435/2018 du 24 mai 2018 consid. 6.2). Si la production de la déclaration d'impôt non déposée n'est pas une condition de recevabilité de la réclamation, il appartient toutefois au réclamant de présenter les faits de manière suffisamment détaillée et de mentionner les moyens de preuve y relatifs (arrêts 2C_509/2015 du 2 février 2016 consid. 6.1, in RDAF 2016 II 168, RF 71/2016 p. 455; 2C_579/2008 du 29 avril 2009 consid. 2.1 et 2.2, in StE 2009 B. 95.1 Nr. 14).
6.2. En l'espèce, lorsqu'il a formé réclamation le 27 novembre 2015, le recourant y a uniquement joint une décision de sa Caisse de chômage du 14 août 2014, qui indiquait que son droit à percevoir des indemnités s'était épuisé le 4 juillet 2014. Contrairement à ce qu'il soutient, ce document n'était pas suffisant pour démontrer le caractère manifestement inexact de la taxation 2014. Il incombait bien plus au recourant de détailler l'intégralité des revenus qu'il avait perçus durant l'ensemble de la période fiscale 2014 et de communiquer le montant des indemnités de chômage qui lui avaient été effectivement versées, ce qu'il n'a pas fait, ne produisant ni déclaration fiscale, ni du reste l'attestation chiffrée qu'il a finalement fournie au Tribunal administratif alors que ce document est daté du 6 janvier 2015. A cela s'ajoute que le recourant n'a pas profité des deux possibilités de compléter sa réclamation que lui avait offertes l'Administration cantonale (courriers des 2 décembre 2015 et 14 janvier 2016), alors que cette autorité aurait pu d'emblée déclarer sa réclamation irrecevable. Dans ces circonstances, les arguments que le recourant développe pour justifier son inaction malgré les opportunités que lui a offertes l'Administration cantonale, qui vont jusqu'à en imputer la responsabilité à cette autorité, confinent à la témérité.
Il découle de ce qui précède que la Cour de justice pouvait, sans violer le droit, confirmer l'irrecevabilité de la réclamation formée par le recourant.
7.
Le recourant fait finalement valoir, en substance, que le montant de 100'000 fr. qui a été estimé d'office l'a été de manière abusive, au titre de représailles et sur la base de faits non avérés, notamment le fait qu'il n'était pas encore inscrit comme avocat indépendant en 2014.
7.1. Lorsque, comme en l'espèce, l'autorité qui doit statuer sur réclamation n'est pas entrée en matière pour des raisons formelles, faute de motivation suffisante, l'autorité de recours doit uniquement examiner si c'est à bon droit que celle-ci a prononcé une décision d'irrecevabilité. Si tel est le cas, l'autorité de recours doit rejeter le recours déposé devant elle sans examiner elle-même le détail de la taxation (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 551; <ref-ruling> consid. 4e p. 558; 2C_930/2018 du 25 octobre 2018 consid. 5.3; arrêt 2C_435/2018 du 24 mai 2018 consid. 6.2).
7.2. En l'espèce, dès lors que la Cour de justice a confirmé à juste titre l'irrecevabilité de la réclamation, il n'y a pas lieu d'aborder le contenu matériel de cette taxation.
8.
Ce qui précède conduit au rejet du recours dans la mesure de sa recevabilité, concernant tant l'IFD que l'ICC. Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant (<ref-law>). Le canton n'a pas droit à des dépens (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité en tant qu'il concerne l'impôt fédéral direct.
2.
Le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité en tant qu'il concerne l'impôt cantonal et communal.
3.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Administration fiscale cantonale du canton de Genève, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 4ème section, et à l'Administration fédérale des contributions.
Lausanne, le 29 novembre 2018
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Vuadens