Sachverhalt:
A.
Die Bezirksgemeinde Einsiedeln behandelte am 12. Dezember 2017 unter anderem die Genehmigung des Voranschlags der Laufenden Rechnung und der Investitionsrechnung 2018. Im Rahmen der Budgetdebatte stellte Ueli Brügger im Namen der SVP Einsiedeln den Antrag, die Position 869.361.00, Bezirksbeitrag Gebäudeprogramm von Fr. 75'000.--, zu streichen. Der Antrag wurde "mit grossem Mehr" abgelehnt. Die Bezirksgemeinde genehmigte den vom Bezirksrat vorgelegten Voranschlag mit einem Aufwand von Fr. 90'681'600.-- und einem Ertrag von Fr. 87'496'400.-- bzw. einem Aufwandüberschuss von Fr. 3'185'200.--.
B.
Am 22. Dezember 2017 erhob Oswald Rohner Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz mit dem Antrag, die Position 869.361.00 im Voranschlag des Bezirks Einsiedeln für das Jahr 2018 aufzuheben. Zur Begründung machte er im Wesentlichen geltend, die Bezirksgemeinde sei vom Bezirksrat über die Tragweite des Budgetpostens irregeführt worden. Den Stimmberechtigten sei fälschlicherweise weisgemacht worden, dass vom Bund ein zusätzlicher Betrag von Fr. 1'500'000.-- erhältlich sei, wenn alle Bezirke des Kantons Schwyz anstelle des Kantons einer Ausgabe von fünf Franken pro Einwohner zustimmten. Für eine Ausschüttung eines solchen Betrags fehle es jedoch an der erforderlichen gesetzlichen Grundlage. Mit Entscheid vom 24. April 2018 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab.
C.
Mit Eingabe vom 25. Mai 2018 an das Bundesgericht beantragt Oswald Rohner, den Entscheid des Verwaltungsgerichts und die Position 869.361.00 im Voranschlag des Bezirks Einsiedeln für das Jahr 2018 aufzuheben; eventuell sei die Sache im Sinne der Erwägungen zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen.
Die Bezirksgemeinde Einsiedeln schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht verzichtete auf eine Stellungnahme. Oswald Rohner äusserte sich am 2. August 2018 nochmals zur Sache.

Erwägungen:
1.
1.1. <ref-law> regelt die sog. Stimmrechtsbeschwerde als besondere Form der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Damit kann beim Bundesgericht die Verletzung von politischen Rechten geltend gemacht werden. Dazu zählt die Rüge, das an einer Gemeindeversammlung durchgeführte Verfahren sei mangelhaft gewesen, was eine zuverlässige und unverfälschte Willensbildung und -äusserung der Stimmberechtigten im Sinne von <ref-law> verhindert habe. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in einer kommunalen Stimmrechtssache. Damit steht die Stimmrechtsbeschwerde an das Bundesgericht offen (vgl. <ref-law> und <ref-law>; Urteil des Bundesgerichts 1C_596/2017 vom 19. April 2018 E. 1.1 und 1.2 mit Hinweisen). Auf die ergänzend vom Beschwerdeführer angerufene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach nicht einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer ist als Stimmberechtigter des Bezirks Einsiedeln zur Beschwerde legitimiert (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3.3 S. 176).
1.3. Nach <ref-law> kann in Stimmrechtssachen in rechtlicher Hinsicht insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden. Der Beschwerdeführer macht im Wesentlichen einen Verstoss gegen Art. 34 Abs. 2 und <ref-law> geltend. Das Bundesgericht prüft dies frei (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 190; <ref-ruling> E. 2d/aa S. 178; je mit Hinweisen).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG). Nach <ref-law> dürfen sodann neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (sog. Novenverbot).
2.
Der Beschwerdeführer wirft in seiner nachträglichen Eingabe vom 2. August 2018 die Frage auf, ob die Beschwerde eventuell gegenstandslos geworden sein könnte, nachdem sich inzwischen ergeben habe, dass die vom Bezirk Einsiedeln zusammen mit den anderen Bezirken des Kantons Schwyz angestrebten Bundesgelder nicht erhältlich und damit auch die Bezirksbeiträge hinfällig geworden seien. Ob der gesprochene Budgetkredit damit obsolet geworden ist, der Beschwerdeführer kein Rechtsschutzinteresse mehr an der Beurteilung seiner Beschwerde hat und die Angelegenheit wegen Gegenstandslosigkeit vom Geschäftsverzeichnis abzuschreiben ist, braucht nicht näher untersucht zu werden und kann dahingestellt bleiben. Auch bei Gegenstandslosigkeit wären die nachfolgenden Überlegungen erforderlich, um über die Kostenfolgen zu befinden. Hierfür ist auf die Sachlage bzw. die Prozesschancen vor Eintritt des Erledigungsgrundes abzustellen (<ref-law> i.V.m. <ref-law>).
3.
Der Beschwerdeführer rügt eine offensichtlich unrichtige bzw. willkürliche Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz.
3.1. Eine offensichtlich unrichtige bzw. im Sinne von <ref-law> willkürliche Sachverhaltsfeststellung liegt vor, wenn diese widersprüchlich oder aktenwidrig ist oder auf einem offensichtlichen Versehen beruht bzw. klarerweise den tatsächlichen Verhältnissen widerspricht (vgl. etwa <ref-ruling> E. 4.1.2 S. 62).
Was der Beschwerdeführer insofern vorträgt, belegt keine willkürliche Sachverhaltsfeststellung oder Beweiswürdigung, sondern läuft im Wesentlichen auf Wortklauberei hinaus. Vielmehr ist es ohne Weiteres nachvollziehbar, wenn die Vorinstanz mit Verweis auf das und mit Zitaten aus dem Sitzungsprotokoll sinngemäss ausführt, der Bezirksrat habe darauf hingewiesen, die Bezirke würden mit ihren anstelle des Kantons gesprochenen Beiträgen versuchen, auf den Bezug von Bundesgeldern zur Verdoppelung dieser Beiträge hinzuwirken; allerdings gebe es unterschiedliche Meinungen dazu, ob dies funktioniere. Gestützt auf die zitierten Voten ist die massgebliche Feststellung der Vorinstanz nicht offensichtlich unrichtig, es sei an der Bezirksgemeinde ausreichend klar erläutert worden, dass der "Bezirksbeitrag Gebäudeprogramm" in der Höhe von Fr. 75'000.-- im Kontext mit dem Bundesprogramm stehe, damit Bundesgelder ausgelöst werden sollten und dafür die Zustimmung aller Bezirke notwendig sei, aber die Umsetzung noch fraglich und nicht garantiert sei.
3.2. Zur Untermauerung seines Standpunktes reichte der Beschwerdeführer dem Bundesgericht neue Unterlagen ein. Bei den mit der Stellungnahme vom 2. August 2018 eingegebenen bzw. angerufenen neuen Dokumenten handelt es sich um solche, die nach dem Zeitpunkt des angefochtenen Entscheids entstanden sind. Sie sind höchstens für die Frage des Eintretens von Belang, soweit sie Gegenstandslosigkeit bzw. einen Wegfall des Rechtsschutzinteresses des Beschwerdeführers zu belegen vermögen. In der Sache stellen sie sog. echte Noven dar, weshalb sie insofern nicht zu berücksichtigen sind (vgl. <ref-law>). Diejenigen Unterlagen, die der Beschwerdeführer neu in seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht vom 25. Mai 2018 anruft, stammen demgegenüber aus der Zeit, bevor der angefochtene Entscheid erging, lagen dem Verwaltungsgericht aber noch nicht vor. Ob deren Nachreichung zulässig ist, erscheint fraglich. Jedenfalls beziehen sie sich ausschliesslich auf die Frage, ob der vom Bezirk Einsiedeln zusammen mit den anderen Bezirken des Kantons Schwyz angestrebte Bezug von Bundesgeldern rechtmässig gewesen wäre. Das könnte nur dann von Belang sein, wenn der Bezirksrat Einsiedeln die Stimmberechtigten darüber getäuscht hätte, was hingegen nicht zutrifft (vgl. nachfolgende E. 4). Die Zulässigkeit der Nachreichung dieser Unterlagen kann daher offenbleiben.
4.
4.1. Die in <ref-law> als Grundrecht verankerte Abstimmungsfreiheit gibt den Stimmberechtigten Anspruch darauf, dass kein Abstimmungsergebnis anerkannt wird, das nicht den freien Willen der Stimmberechtigten zuverlässig und unverfälscht zum Ausdruck bringt. Es soll garantiert werden, dass jeder Stimmberechtigte seinen Entscheid gestützt auf einen möglichst freien und umfassenden Prozess der Meinungsbildung treffen und entsprechend mit seiner Stimme zum Ausdruck bringen kann. Die Abstimmungsfreiheit gewährleistet die für den demokratischen Prozess und die Legitimität direktdemokratischer Entscheidungen erforderliche Offenheit der Auseinandersetzung (<ref-ruling> E. 6.2 S. 13 f.; <ref-ruling> E. 6.2 S. 82; <ref-ruling> E. 2 S. 293, je mit Hinweisen). Sie wird insbesondere verletzt, wenn die Stimmberechtigten durch die Behörden zu den ihnen zur Abstimmung unterbreiteten Vorlagen getäuscht werden.
4.2. Der Beschwerdeführer versucht in weiten Teilen seiner Beschwerdeschrift darzulegen, dass der vom Bezirk Einsiedeln zusammen mit den anderen Bezirken des Kantons Schwyz angestrebte Bezug von Fördergeldern des Bundes unzulässig gewesen wäre, worüber der Bezirksrat irregeführt habe. Ob das fragliche Vorgehen im Ergebnis tatsächlich, wie vom Beschwerdeführer behauptet, mangels ausreichender gesetzlicher Grundlage von Vornherein undurchführbar bzw. aussichtslos war, kann jedoch offenbleiben. Der Bezirksrat verschwieg die dazu bestehenden unterschiedlichen Meinungen und namentlich die Möglichkeit nicht, dass die Bundesgelder nicht erhältlich sein könnten. Vielmehr hielt er ausreichend verständlich fest, dass die Umsetzung des geplanten Bezugs von Fördergeldern des Bundes nicht gewährleistet sei, dass bei einem Ausbleiben der Bundesgelder aber auch die vom Bezirk gesprochenen Beiträge hinfällig würden. Damit ist die Bezirksgemeinde nicht über die Tragweite des ihr zur Annahme unterbreiteten Budgetpostens getäuscht worden. Die Abstimmungsfreiheit des Beschwerdeführers wurde mithin nicht verletzt. Daran ändert auch nichts, sollte sich im Nachhinein tatsächlich herausgestellt haben, dass die fraglichen Bundesgelder nicht erhältlich sind, wie der Beschwerdeführer nachträglich geltend gemacht hat.
5.
Soweit sie nicht gegenstandslos geworden ist und darauf eingetreten werden kann, erweist sich die Beschwerde daher als unbegründet und ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang bzw. angesichts der für den Beschwerdeführer ungünstigen Prozesschancen vor Eintritt des Erledigungsgrundes gilt dieser als unterliegend und wird kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1, Art. 65 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten und sie nicht gegenstandslos geworden ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Bezirksgemeinde Einsiedeln und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer III, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax