Erwägungen:
1.
A._ führt mit Eingabe vom 13. August 2018 Beschwerde gegen den "willkürlichen, verfassungswidrigen Entscheid VD.2016.234" und gegen den "willkürlichen, verfassungswidrigen Entscheid VD.2016.236". Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
2.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht wies mit den Urteilen VD.2016.234 und VD.2016.236 vom 15. August 2017 je einen Rekurs von A._ ab, soweit es darauf eintrat. Gegen beide Urteile ist die Beschwerdefrist längst abgelaufen bzw. der Beschwerdeführer hat die beiden Urteile bereits erfolglos beim Bundesgericht angefochten (Urteil 1C_561/2017 vom 4. Mai 2018 bezüglich Urteil des Appellationsgerichts VD.2016.234 und Urteil 1C_563/2017 vom 4. Mai 2018 bezüglich Urteil des Appellationsgerichts VD.2016.236). Eine erneute Anfechtung dieser Urteile ist daher von vornherein nicht möglich.
3.
Das Appellationsgericht wies mit den Verfügungen VD.2016.234 und VD.2016.236 vom 27. Juni 2018 zwei Gesuche von A._ um Erlass der Kosten des entsprechenden verwaltungsgerichtlichen Verfahrens ab. Beide Verfügungen befinden sich in den umfangreichen Beschwerdebeilagen des Beschwerdeführers. Soweit sich seine Beschwerde vom 13. August 2018 auch gegen diese Verfügungen richten sollte, genügt die weitschweifige und nicht sachbezogene Eingabe den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht. Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Appellationsgerichts, die zur Abweisung der Kostenerlassgesuche führte, überhaupt nicht auseinander. Er legt somit nicht ansatzweise dar, inwiefern die Begründung bzw. die beiden Verfügungen selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollten.
4.
In der seine gesamten Erfahrungen mit Justiz- und Polizeiorganen kommentierenden und kaum verständlichen Eingabe macht der Beschwerdeführer ausserdem Revisionsgründe gemäss <ref-law> geltend. Er nennt indessen kein bundesgerichtliches Urteil, gegen das sich ein allfälliges Revisionsgesuch richten sollte. Gegen kantonale Erlasse kann beim Bundesgericht nicht Revision verlangt werden. Auf ein sinngemäss gestelltes Revisionsgesuch kann daher von vornherein nicht eingetreten werden.
5.
Die Beschwerde erweist sich somit als offensichtlich unzulässig bzw. genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>). Der Beschwerdeführer wird jedoch darauf aufmerksam gemacht, dass inskünftig ähnliche Eingaben Kostenfolgen nach sich ziehen werden.

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. September 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli