Sachverhalt:
A.
Die Klinik A._ AG betreibt die im Kanton Thurgau gelegene Klinik A._ und ist (für die Behandlung bestimmter psychischer Störungen) in der ab 1. Januar 2012 gültigen Spitalliste des Kantons Thurgau mit einer limitierten Anzahl von Plätzen aufgeführt. In Bezug auf diese Kapazitätslimite entschied die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich mit Verfügung vom 17. Oktober 2013 über den "Umfang der Mitfinanzierung von ausserkantonalen Wahlbehandlungen" und beschränkte dabei ab 1. Oktober 2013 die Finanzierungsbeiträge des Kantons Zürich für Zürcher Patienten der Klinik A._. Daran hielt sie mit Einspracheentscheid vom 28. Oktober 2013 fest.
B.
Dagegen erhob die Klinik A._ AG Beschwerde. Nach Klärung der sachlichen Zuständigkeit (Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 2. Dezember 2013; Urteil des Bundesgerichts 9C_905/2013 vom 4. Februar 2014; Beschluss des Regierungsrates des Kantons Zürich vom 17. Februar 2016; Beschluss des Kantonsrates des Kantons Zürich vom 22. Mai 2017; Urteil des Bundesgerichts 1C_357/2017 vom 31. Januar 2018) wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich das Rechtsmittel mit Entscheid vom 29. Mai 2018 ab.
C.
Die Klinik A._ AG lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 29. Mai 2018 sei aufzuheben und die Sache sei zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich zurückzuweisen.
Die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich schliesst auf Abweisung, das Bundesamt für Gesundheit auf Gutheissung der Beschwerde. Die Klinik A._ AG und die Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich reichen je zwei weitere Eingaben ein.

Erwägungen:
1.
1.1. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Unter Berücksichtigung der Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft es nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236; <ref-ruling> E. 1.6 S. 280).
1.2. Das Bundesgericht prüft in Bezug auf das vorinstanzliche Verfahren die Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition. Die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht) prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde substanziiert vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 4 S. 26; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; SVR 2014 KV Nr. 4 S. 11, 9C_905/2013 E. 1 und 3.1.4 mit weiteren Hinweisen).
Die Vorinstanz hat für die vorliegende Tarifstreitigkeit zwischen Leistungserbringerin und Kanton gestützt auf kantonales Recht (vgl. SVR 2014 KV Nr. 4 S. 11, 9C_905/2013 E. 3.1.2 bis 3.1.4) ein Feststellungsinteresse bejaht und den Einspracheentscheid vom 28. Oktober 2013 als zulässiges Anfechtungsobjekt betrachtet. Dass damit Bundes (verfassungs) recht verletzt sein soll, ist nicht ersichtlich und wird auch nicht geltend gemacht.
2.
2.1. Die versicherte Person kann für die stationäre Behandlung unter den Spitälern frei wählen, die auf der Spitalliste ihres Wohnkantons oder jener des Standortkantons aufgeführt sind (Listenspital). Der Versicherer und der Wohnkanton übernehmen bei stationärer Behandlung in einem Listenspital die Vergütung anteilsmässig nach Artikel 49a höchstens nach dem Tarif, der in einem Listenspital des Wohnkantons für die betreffende Behandlung gilt (Art. 41 Abs. 1bis KVG). Diese Bestimmung trat mit der Änderung vom 21. Dezember 2007 des Bundesgesetzes über die Krankenversicherung (KVG; Spitalfinanzierung; AS 2008 2049) auf den 1. Januar 2009 in Kraft und ist, laut den entsprechenden Übergangsbestimmungen, seit 1. Januar 2012 umzusetzen. Nach Art. 49a Abs. 1 und 2 KVG werden die Vergütungen zur Abgeltung der stationären Leistungen vom Kanton und den Versicherern anteilsmässig übernommen, wobei der kantonale Anteil mindestens 55 Prozent beträgt.
2.2. Anstalten oder deren Abteilungen, die der stationären Behandlung akuter Krankheiten oder der stationären Durchführung von Massnahmen der medizinischen Rehabilitation dienen (Spitäler), sind zugelassen, wenn sie u.a. der von einem oder mehreren Kantonen gemeinsam aufgestellten Planung für eine bedarfsgerechte Spitalversorgung entsprechen, wobei private Trägerschaften angemessen in die Planung einzubeziehen sind (Art. 39 Abs. 1 lit. d KVG), und auf der nach Leistungsaufträgen in Kategorien gegliederten Spitalliste des Kantons aufgeführt sind (Art. 39 Abs. 1 lit. e KVG). Die Kantone koordinieren ihre Planung (Art. 39 Abs. 2 KVG); der Bundesrat erlässt einheitliche Planungskriterien auf der Grundlage von Qualität und Wirtschaftlichkeit (Art. 39 Abs. 2ter KVG).
3.
Es steht fest, dass die Klinik A._ resp. die Beschwerdeführerin auf der Spitalliste des Kantons Thurgau, nicht aber auf jener des Kantons Zürich aufgeführt ist. Sodann steht weder die Spitalplanung noch die Spitalliste (in der ab 1. Januar 2012 oder 1. Januar 2014 geltenden Version) des Kantons Thurgau zur Disposition. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob der Kanton Zürich sich auf die Mengenbeschränkung, die für die Leistungserbringerin in der Spitalliste des Standortkantons vermerkt ist, berufen und aus diesem Grund die (anteilmässige) Vergütung von sogenannten "ausserkantonalen Wahlbehandlungen" seiner Einwohnerinnen und Einwohner (im Sinne von Art. 41 Abs. 1bis KVG) verweigern kann. Dies hat die Vorinstanz bejaht.
4.
4.1. Im Urteil 9C_151/2016, 9C_153/2016, 9C_155/2016 und 9C_507/2016 (nachfolgend vereinfacht: 9C_151/2016) vom 27. Januar 2017 befasste sich das Bundesgericht mit Mengenbeschränkungen in Leistungsaufträgen, die zwischen dem Kanton Genf und verschiedenen Genfer Privatkliniken abgeschlossen worden waren. Dabei rief es in Erinnerung, dass die ausserkantonale Wahlbehandlung unter dem seit 1. Januar 2009 geltenden Recht als Pflichtleistung der obligatorischen Krankenpflegeversicherung (OKP) zu qualifizieren ist (<ref-ruling> E. 3.3 S. 212 ff.) und dass es im Rahmen der Spitalplanung zulässig ist, in der Spitalliste resp. in Leistungsaufträgen eine quantitative Beschränkung der Leistungen vorzunehmen (<ref-ruling> E. 3 S. 408 ff.). Sodann analysierte es den Begriff des "Leistungsauftrags" und verwies auf die enge Verknüpfung von Spitalplanung, Erteilung von Leistungsaufträgen und Erstellung der Spitalliste. Weiter stellte es fest, dass sich die Genfer Spitalplanung und die entsprechenden Leistungsaufträge nur auf Leistungen im Rahmen der OKP für im Kanton Genf wohnende Versicherte bezogen und nur deren Bedarf deckten. Daraus schloss das Bundesgericht, dass die vom Kanton Genf festgelegten Mengenbeschränkungen für die ausserkantonale Wahlbehandlung der im Kanton Waadt wohnenden Versicherten in den betroffenen Genfer Privatkliniken keine Geltung hatten, mit anderen Worten sich der Kanton Waadt nicht darauf berufen konnte, um seine Leistungspflicht zu verneinen (SVR 2017 KV Nr. 11 S. 49, 9C_151/2016 E. 6.1-7.3). Diese Rechtsprechung bestätigte das Bundesgericht für die umgekehrte Konstellation (umstrittene Leistungspflicht des Kantons Genf bei Leistungsaufträgen mit Mengenbeschränkung des Standortkantons Waadt; SVR 2018 KV Nr. 26 S. 131, 9C_617/2017 E. 5.2).
4.2. Aus der ab 1. Januar 2012 gültigen Spitalliste des Kantons Thurgau geht klar hervor, dass sich die darin festgehaltenen Kapazitätslimiten einzig auf die stationäre Behandlung von Einwohnern und Einwohnerinnen des Kantons Thurgau beziehen. Gegenteiliges ergibt sich auch nicht aus dem vom Beschwerdegegner neu (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG) angerufenen Versorgungs- und Strukturbericht mit Spitallisten ab 1. Januar 2012 des Thurgauer Departements für Finanzen und Soziales vom 20. September 2011.
Der Beschwerdegegner stellt diesen Umstand denn auch nicht in Abrede. Vielmehr bestreitet er die präjudizierende Bedeutung der soeben dargelegten Rechtsprechung (E. 4.1) für den vorliegenden Fall, weil in jenen Urteilen die Mengenbeschränkungen Leistungen des Akutbereichs beschlugen und in den jeweiligen Leistungsaufträgen festgelegt wurden. Hier hingegen betreffe die Limitierung Kapazitäten im Psychiatriebereich, zudem sei sie in der publizierten Spitalliste des Standortkantons Thurgau festgehalten. Somit sei die Klinik A._ nur mit x Betten zur Leistungserbringung im Rahmen der OKP zugelassen, welche Grenze stets und gleichermassen auch für ausserkantonale Patienten zu beachten sei. Andernfalls werde die Spitalplanung (mit Mengensteuerung bezüglich des Angebots) der anderen Kantone unterlaufen und sinnlos.
4.3. Inwiefern es im hier interessierenden Kontext von Bedeutung sein soll, ob sich die Mengenbeschränkung auf Leistungen (Fallzahlen) oder Kapazitäten (Pflegeplätze) resp. auf den Akut- oder Psychiatriebereich bezieht (vgl. Art. 58c KVV [SR 832.102]), wird nicht (substanziiert) begründet und leuchtet auch nicht ein. So oder anders geht es um die Begrenzung des medizinischen Angebots und deren Tragweite. Angesichts der engen Verknüpfung von Spitalplanung, Erteilung von Leistungsaufträgen und Erstellung der Spitalliste (vgl. E. 2.2 und 4.1; <ref-ruling> E. 7.1.1 S. 139) kann auch nicht entscheidend sein, ob die Mengenbeschränkung formell (nur) in einem Leistungsauftrag oder (auch) in der Spitalliste festgehalten wird. Daran ändert auch nichts, dass die Thurgauer Spitalliste - anders als der Leistungsauftrag an die Klinik A._ AG - auf der Webpage des Thurgauer Amtes für Gesundheit aufgeschaltet ist (https://gesundheit.tg.ch/ institutionen/spitalversorgung/spitallisten.html/5636). Der Beschwerdegegner legt denn auch nicht dar, weshalb er aus diesem Umstand etwas für sich ableiten will. Ein anderer Grund, warum die in E. 4.1 dargelegte bundesgerichtliche Praxis - die von der Vorinstanz nicht beachtet wurde - im konkreten Fall nicht einschlägig sein soll, ist nicht ersichtlich.
4.4. Die Änderung einer Rechtsprechung muss sich auf ernsthafte sachliche Gründe stützen können, die - vor allem im Hinblick auf das Gebot der Rechtssicherheit - umso gewichtiger sein müssen, je länger die als falsch oder nicht mehr zeitgemäss erkannte Rechtsanwendung für zutreffend erachtet worden ist. Eine Praxisänderung lässt sich grundsätzlich nur begründen, wenn die neue Lösung besserer Erkenntnis des Gesetzeszwecks, veränderten äusseren Verhältnissen oder gewandelten Rechtsanschauungen entspricht (<ref-ruling> E. 5.5.1; <ref-ruling> E. 4.5 S. 541; je mit Hinweisen).
4.5. Das Bundesverwaltungsgericht hielt in E. 5.3.4 des vom Beschwerdegegner angerufenen Entscheids C-2112/2009 vom 31. Juli 2012 fest, dass eine Kapazitätsbeschränkung die Zulassung zur Erbringung von OKP-Leistungen als solche betreffe. Daraus ergibt sich nichts für die hier im Fokus stehende Frage (E. 2.2); in diesem Entscheid ging es nicht um die ausserkantonale Wahlbehandlung, sondern um einen rein "innerkantonalen" Sachverhalt. Zwar erwog das Bundesgericht in <ref-ruling> E. 8.2 S. 67, dass für stationäre Behandlungen ausserhalb seines Leistungsauftrags ein Spital als nicht zugelassener Leistungserbringer gilt. In diesem Fall war aber die Zulassung als Leistungserbringer nicht hinsichtlich der Leistungsmenge, sondern nur in Bezug auf das Leistungsspektrum fraglich, weshalb die erwähnte Erwägung des <ref-ruling> hier ebenfalls nicht relevant ist. Die Auffassung, dass bei Überschreitung einer Mengenbeschränkung die Leistungserbringung zu Lasten der OKP gänzlich ausgeschlossen sein soll, steht im Übrigen im Widerspruch zur Rechtsprechung des Bundesgerichts im Zusammenhang mit der ausserkantonalen Wahlbehandlung einerseits (vgl. E. 4.1) und der "innerkantonalen" Überschreitung einer Mengenbeschränkung anderseits (vgl. <ref-ruling> E. 3.10.3 S. 427, wonach die degressive Abgeltung von Leistungen, die eine kantonal vorgegebene Limite überschreiten, zulässig ist; vgl. auch SVR 2018 KV Nr. 26 S. 131, 9C_617/2017 E. 5.2.2).
Zwar ist eine Mengenbeschränkung wie jene des Kantons Thurgau im Rahmen der kantonalen Spitalplanung zulässig (vgl. E. 4.1 mit Hinweis auf <ref-ruling> E. 3.3 S. 212 ff.), indessen wird nicht (substanziiert) eine bundesrechtliche Vorgabe geltend gemacht, wonach eine quantitative Beschränkung überhaupt festgelegt werden müsste (vgl. GEBHARD EUGSTER, Krankenversicherung, in: Soziale Sicherheit, SBVR Bd. XIV, 3. Aufl. 2016, S. 657 Rz. 808, der eine solche Verpflichtung verneint). Ebenso wird nicht dargelegt, dass bei der kantonalen Versorgungsplanung zwecks Vermeidung einer Versorgungslücke der Bedarf der ausserkantonalen Bevölkerung im Rahmen von Art. 41 Abs. 1bis KVG zwingend einzurechnen sein soll (vgl. Art. 58b KVV, insbesondere dessen Abs. 3, wonach bei der Versorgungsplanung die ausserkantonale Wahlbehandlung der eigenen Bevölkerung vom Versorgungsbedarf abzuziehen ist). Vielmehr liegt es in der Natur der Sache, dass die den Kantonen obliegende Spitalplanung - mangels einer gemeinsam mit einem anderen Kanton aufgestellten Planung (vgl. Art. 39 Abs. 1 lit. d KVG) - auf die Versorgung der eigenen Wohnbevölkerung zielt (wobei die Frage, ob ein Kanton eine Mengenbeschränkung auch gegenüber ausserkantonalen Patienten festlegen darf, weiterhin offenbleiben kann; vgl. <ref-ruling> E. 3.8.1.3 S. 424; SVR 2017 KV Nr. 11 S. 49, 9C_151/2016 E. 8). Die unterschiedlichen Auswirkungen einer Kapazitätslimite auf inner- und ausserkantonale Patienten ist somit sachlich gerechtfertigt und verstösst nicht gegen Art. 8 BV.
Sodann berücksichtigte das Bundesgericht bereits in <ref-ruling>, dass sich der Gesetzgeber bei der Einführung von Art. 41 Abs. 1bis KVG bewusst war, dass zwischen der Spitalplanung nach Art. 39 KVG und der freien Spitalwahl nach Art. 41 Abs. 1bis KVG ein gewisser Widerspruch besteht und letztere die Planung erschwert, und dass er trotzdem an beiden Instituten festhielt. Es erwog, dass unter diesen Umständen die Wirksamkeit einer quantitativen Beschränkung zwar mehr als zweifelhaft ist. Die freie Spitalwahl macht aber eine solche Limitierung nicht völlig unmöglich und sinnlos. Nach der allgemeinen Erfahrung gehen die Patienten mehrheitlich in die Spitäler in ihrer Nähe. Wenn wegen der quantitativen Beschränkung eine Behandlung innerhalb des Kantons (resp. der kantonalen Spitalliste) unmöglich ist, impliziert dies nicht, dass die Personen in jedem Fall ein ausserkantonales Spital aufsuchen (<ref-ruling> E. 3.7.3 und 3.7.4 S. 422 f.). Das angesprochene Spannungsverhältnis akzentuiert sich umso mehr, als sich der bundesrechtliche Grundsatz der freien Spitalwahl auf die ganze Schweiz erstreckt, während die Spitalplanung Sache der einzelnen Kantone ist, auch wenn das Bundesrecht eine Koordination vorschreibt und eine gemeinsam aufgestellte Planung zulässt (E. 2.2). Dieser Problematik war sich das Bundesgericht auch beim Erlass der Urteile 9C_151/2016 und 9C_617/2017 (vgl. E. 4.1) bewusst. Indessen entspricht es dem vom Gesetzgeber implementierten System, dass die ausserkantonale Wahlbehandlung ausserhalb der kantonalen Spitalplanung stattfindet (<ref-ruling> E. 3.3.3 S. 214; vgl. auch <ref-ruling> E. 7.1.2 und 7.2 S. 139 f.). Dabei gilt aber weder der Grundsatz der freien Spitalwahl noch die Aufnahmepflicht eines Listenspitals im Rahmen eines Leistungsauftrags uneingeschränkt (vgl. Art. 41 Abs. 1bis und Art. 41a KVG). Inwiefern die ausserkantonale Wahlbehandlung, mit der der interkantonale Wettbewerb gefördert werden sollte (vgl. <ref-ruling> E. 6.2.1 S. 337; <ref-ruling> E. 3.3.2 S. 213), angesichts der kantonalen Befugnis zur Planung (samt Mengensteuerung) sinnvoll ist oder zu krasser Wettbewerbsverzerrung führt, ist im Wesentlichen eine politische Frage.
4.6. Nach dem Gesagten ist kein ernsthafter Grund für die Änderung der in E. 4.1 dargelegten Rechtsprechung ersichtlich. Demnach kann der Kanton Zürich seine anteilmässige Vergütung von ausserkantonalen Wahlbehandlungen nicht unter Berufung auf die Mengenbeschränkung, die für die Beschwerdeführerin in der Spitalliste 2012 des Kantons Thurgau vermerkt ist, verweigern. Die Beschwerde ist begründet. Mit der Aufhebung des angefochtenen Entscheids und des entsprechenden Einspracheentscheids hat es sein Bewenden; eine Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid erübrigt sich.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 29. Mai 2018 und der Einspracheentscheid der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich vom 28. Oktober 2013 werden aufgehoben.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, dem Bundesamt für Gesundheit und dem Regierungsrat des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. August 2019
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann