Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1974; nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BS. Er war in den hier interessierenden Steuerperioden 2011 und 2012 Alleingesellschafter und einzeln zeichnungsberechtigter Geschäftsführer der am 23. Juni 2009 ins Handelsregister eingetragenen und am 24. April 2015 zufolge Konkurseinstellung mangels Aktiven gelöschten Restaurant B._ GmbH. Deren Sitz befand sich in U._/BS. Die GmbH betrieb die Restaurants C._ und D._.
B.
Die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Stadt (KSTV/BS) veranlagte den Steuerpflichtigen für die Steuerperioden 2011 und 2012 mit rektifizierten Veranlagungsverfügungen vom 11. Juni 2013 bzw. 17. Juli 2014. Die Verfügungen führten für die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt zu einem steuerbaren Einkommen von Fr. 31'352.-- (zum Satz von Fr. 19'149.--) bzw. Fr. 17'087.-- (zum Satz von Fr. 17'087.--) und für die direkte Bundessteuer zu einem solchen von Fr. 51'600.-- (zum Satz von Fr. 39'400.--) bzw. Fr. 37'700.-- (zum Satz von Fr. 37'700.--). Die Verfügungen sind rechtskräftig geworden.
C.
Am 23. September 2014 unterzog die KSTV/BS die Restaurant B._ GmbH (nunmehr in Liquidation) einer Bücheruntersuchung. Dabei ergab sich, dass die Gesellschaft weder ein Kassabuch geführt noch tägliche Kassenstürze angeordnet hatte, was den lückenlosen Nachvollzug der Geschäftsvorfälle verunmöglichte. In den Monaten Juli und August 2011 war darüber hinaus keinerlei Umsatz verbucht worden. Dies veranlasste die KSTV/BS zu Ermessenszuschlägen auf Stufe der Gesellschaft (die rechtskräftig geworden sind) und zur Eröffnung eines Nachsteuer- und Steuerstrafverfahrens gegenüber dem Steuerpflichtigen. Den Nachsteuerverfügungen vom 20. Oktober 2015 zufolge ergab sich nunmehr gegenüber dem Steuerpflichtigen für die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt ein steuerbares Einkommen von Fr. 190'121.-- (2011; zum Satz von Fr. 177'918.--) bzw. Fr. 178'470.-- (2012; zum Satz von Fr. 178'470.--) und für die direkte Bundessteuer ein solches von Fr. 242'100.-- (2011; zum Satz von Fr. 242'100.--) bzw. Fr. 231'400.-- (2012; zum Satz von Fr. 231'400.--). Die nacherfassten geldwerten Leistungen zogen Nachsteuern von insgesamt rund Fr. 111'000.-- (nebst Verzugszins) nach sich. Die Einsprachen (Einspracheentscheide vom 15. Januar 2016) und die an die Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt gerichteten Rechtsmittel (Entscheide vom 19. Januar 2017) bleiben erfolglos.
D.
D.a. Dagegen gelangte der Steuerpflichtige an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, das den Rekurs und die Beschwerde als Verwaltungsgericht mit Entscheid VD.2017.204 / VD.2017.205 vom 11. Mai 2018 abwies. Streitig und zu prüfen war zum einen die Aufrechnung aufgrund der ungeklärt tiefen Bruttogewinnmarge in der GmbH (Ermessenszuschlag von Fr. 206'054.-- [2011] bzw. Fr. 218'452.-- [2012]). Zum andern ging es um die ermessensweise Aufrechnung von Fr. 87'500.-- (2011) bzw. Fr. 99'750.-- (2012), was damit in Zusammenhang stand, dass die GmbH den Umsatz aus der Untervermietung von Zimmern an Prostituierte unvollständig verbucht hatte.
D.b. Zur Bruttogewinnmarge erwog das Appellationsgericht, entgegen den Ausführungen des Steuerpflichtigen habe sich buchhalterisch eine klare Linie zwischen den Restaurants C._ und D._ ziehen lassen. Die Bruttogewinnmarge im Restaurant C._ habe bei einem nachgewiesenen Warenaufwand von Fr. 97'462.-- im Jahr 2011 aber lediglich 65,3 Prozent betragen. Im Folgejahr habe der nachgewiesene Warenaufwand dann Fr. 129'690.-- und die Bruttogewinnmarge 69,8 Prozent erreicht. Von einer negativen Beeinträchtigung der Marge im Restaurant C._ aufgrund der unstreitig tieferen Marge im Restaurant D._ (Neueröffnung) könne angesichts der insofern klaren buchhalterischen Grenzziehung zwischen den beiden Betrieben keine Rede sein.
D.c. Zu den unvollständig verbuchten Umsätzen aus der Untervermietung von Zimmern an Prostituierte hielt das Appellationsgericht fest, die GmbH habe pro Tag und Zimmer Fr. 50.-- verbucht. Tatsächlich hätten die Prostituierten, wie sicheren Quellen entnommen werden könne, aber Untermietzinse zwischen Fr. 100.-- und 150.-- pro Tag abzuliefern gehabt. Für die Zwischenschaltung einer Drittperson fehlten jegliche Anhaltspunkte. Dies führe zu rechnerischen Umsätzen von Fr. 138'300.-- (1'383 Tage zu Fr. 100.--) im Jahr 2011 bzw. Fr. 199'500.-- (1'995 Tage zu Fr. 100.--) im Jahr 2012. Verbucht seien in den beiden Steuerperioden nur Fr. 50'800.-- bzw. Fr. 99'750.-- worden. Die Differenz von Fr. 87'500.-- (2011) bzw. Fr. 99'750.-- (2012) sei aufzurechnen. Der Steuerpflichtige habe in der Besprechung mit der KSTV/BS von sechs Zimmern zu je Fr. 1'000.-- pro Monat gesprochen, wogegen die KSTV/BS in ihren Berechnungen zu einer durchschnittlichen Untervermietung von weniger als vier Zimmern (2011) bzw. rund fünfeinhalb Zimmern (2012) ausgehe. Sollten zuviele Tage angenommen worden sein, schliesst das Appellationsgericht, würde dies durch den eher zu niedrigen Tagesansatz ausgeglichen.
E.
Mit Eingabe vom 3. September 2018 erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der angefochtene Entscheid sei bezüglich beider Steuerperioden aufzuheben und von einer Nachbesteuerung sei abzusehen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung zurückzuweisen. Zudem sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege (Verbeiständung und Verfahrenskosten) zu erteilen.
F.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat dem Steuerpflichtigen die Gelegenheit eingeräumt, sein Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege näher zu begründen. Von weiteren Instruktionsmassnahmen, insbesondere vom Schriftenwechsel (Art. 102 Abs. 1 BGG), hat er abgesehen.

Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]).
1.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht zwar von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 3.2.3 S. 465) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; <ref-ruling> E. 2 S. 180). Bei aller Rechtsanwendung von Amtes wegen untersucht das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286), aber nur die geltend gemachten Rügen (<ref-ruling> E. 2 S. 5), es sei denn, die rechtlichen Mängel lägen geradezu auf der Hand (<ref-ruling> E. 1.7.1 S. 106).
1.3. Im Unterschied dazu geht das Bundesgericht der angeblichen Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) nur nach, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; <ref-ruling> E. 5.1 S. 319). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 5).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil grundsätzlich den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.2 S. 175). Die Sachverhaltskontrolle ist auf offensichtlich unrichtige Feststellungen beschränkt (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" ist mit "willkürlich" gleichzusetzen (<ref-ruling> E. 2.3.3 S. 42 f.). Tatfrage ist auch die Beweiswürdigung. Die Anfechtung der vorinstanzlichen Feststellungen unterliegt der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit (<ref-ruling> E. 4.1 S. 52 f. mit Hinweisen; vorne E. 1.3).
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.4) war der Steuerpflichtige in den hier interessierenden Steuerperioden 2011 und 2012 Alleingesellschafter und gleichzeitig einzeln zeichnungsberechtigter Geschäftsführer der seinerzeitigen Restaurant B._ GmbH (Sachverhalt lit. A). Auf Ebene der Gesellschaft ist es im Anschluss an eine Bücheruntersuchung, welche die KSTV/BS vornahm, zu Aufrechnungen gekommen. Diese sind rechtskräftig geworden. Im Anschluss daran nahm die KSTV/BS auf Ebene der Steuerpflichtigen grundsätzlich dieselben Aufrechnungen vor. Streitig und zu prüfen sind vor Bundesgericht noch der Ermessenszuschlag wegen der unerklärlich tiefen Bruttogewinnmarge (Fr. 206'054.-- [2011] bzw. Fr. 218'452.-- [2012]) und die ermessensweise Aufrechnung, die im Zusammenhang mit der Untervermietung von Zimmern an Prostituierte stehen (Fr. 87'500.-- [2011] bzw. Fr. 99'750.-- [2012]; Sachverhalt lit. C).
2.2.
2.2.1. Ausgangspunkt bildet damit ein zweidimensionaler Sachverhalt, der sich aus der Kapitalgesellschaft und dem Anteilsinhaber zusammensetzt. Zu zweidimensionalen Sachverhalten hat das Bundesgericht mehrfach entschieden, dass kein eigentlicher Aufrechnungsautomatismus bestehe. Bestand, Qualifikation und Höhe einer Aufrechnung folgen auf Ebene der Gesellschaft einerseits und des Anteilsinhabers anderseits einer jeweils eigenen Logik (zuletzt Urteil 2C_761/2018 vom 8. Oktober 2018 E. 2.2.1 mit Hinweisen, in: ASA 87 S. 287). Entsprechend besteht keine natürliche Vermutung für die Begründetheit einer analogen Aufrechnung auf Ebene des Anteilsinhabers und herrscht die übliche Beweislastverteilung: Steuerbegründende und steuererhöhende Tatsachen hat die Veranlagungsbehörde, steuermindernde und steuerausschliessende Tatsachen die steuerpflichtige Person zu beweisen (Normentheorie; <ref-ruling> E. 3.8.2 S. 508).
2.2.2. Zu verlangen ist, dass die Veranlagungsbehörde nach erfolgter Beweiswürdigung und aufgrund objektiver Gesichtspunkte mit "an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit" davon überzeugt ist, dass die Kapitalgesellschaft dem Anteilsinhaber eine geldwerte Leistung erbracht habe. Die erforderliche Überzeugung kann auf Indizien beruhen und bedingt keinen direkten Beweis (zum Ganzen Urteil 2C_647/2018 vom 29. November 2018 E. 3.2, in: ASA 87 S. 437). In Abweichung von den üblichen Regeln über die Beweislast hat aber ein Anteilsinhaber, der gleichzeitig Organ der Gesellschaft ist, Bestand und Höhe einer von der Veranlagungsbehörde behaupteten geldwerten Leistung detailliert zu bestreiten. Unterlässt er dies oder beschränkt er sich auf pauschale Ausführungen, darf die Veranlagungsbehörde grundsätzlich annehmen, die auf Gesellschaftsebene rechtskräftig veranlagte Aufrechnung sei dem Anteilsinhaber gegenüber ebenso berechtigt (Urteil 2C_489/2018 / 2C_490/2018 vom 13. Juli 2018 E. 2.2.5 mit Hinweisen, in: ASA 87 S. 118).
2.2.3. Auch im Fall einer üblichen Aufrechnung, die nicht unter den Sondertatbestand von Art. 130 Abs. 2 DBG (Nichterfüllung der Mitwirkungspflichten trotz Mahnung bei gleichzeitiger Unmöglichkeit, den Sachverhalt von Amtes wegen einwandfrei zu ermitteln) fällt, kann die Veranlagungsbehörde einen Ermessenszuschlag vornehmen (2C_57/2019 vom 1. Februar 2019 E. 2.3.3). Dies ergibt sich ohne Weiteres aus der behördlichen Untersuchungspflicht (Art. 130 Abs. 1 DBG) und findet im Gesetz keine weitere Erwähnung. Dabei ist es der Veranlagungsbehörde unbenommen, bei ihrer pflichtgemässen Schätzung in Analogie zu Art. 130 Abs. 2 Satz 2 DBG Erfahrungszahlen, Vermögensentwicklung und Lebensaufwand der steuerpflichtigen Person zu berücksichtigen. Die steuerpflichtige Person ist diesfalls nicht auf den Unrichtigkeitsnachweis (Art. 132 Abs. 3 Satz 1 DBG) verwiesen, wie er gemäss Art. 130 Abs. 2 DBG herrscht und dort zur Umkehr der Beweislast führt (so ausdrücklich Art. 183 Abs. 1bis DBG; Urteil 2C_973/2018 vom 9. Januar 2019 E. 2.2). Will sie die Aufrechnung anfechten, kann sie den Gegenbeweis antreten, ohne grobe methodische oder rechnerische Fehler der Ermessensbetätigung rügen zu müssen, was regelmässig auf den Nachweis der Willkür hinausläuft (Urteil 2C_57/2019 vom 1. Februar 2019 E. 2.3.3). Sie hat aber, wie gezeigt, Bestand und Höhe einer von der Veranlagungsbehörde behaupteten geldwerten Leistung detailliert zu bestreiten.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat zur entscheidenden Frage, ob die auf Ebene der Kapitalgesellschaft vorgenommenen Aufrechnungen zu einer geldwerten Leistung an den Anteilsinhaber geführt hätten, keine detaillierten Feststellungen getroffen. Sie hat im Wesentlichen die Grundlagen dargelegt, die bei der Kapitalgesellschaft zur Aufrechnung geführt haben, ohne in einer zweiten Phase detailliert zu untersuchen, inwiefern sich daraus eine geldwerte Leistung an den Steuerpflichtigen ergeben habe. Dies ruft nach folgenden Feststellungen: Ein eigentlicher Aufrechnungsautomatismus, wie er im angefochtenen Entscheid zumindest anklingt, besteht im zweidimensionalen Sachverhalt nicht und würde die Regeln über die Beweislast verletzten (vorne E. 2.2.1). In Abweichung von der Regel hat die steuerpflichtige Person aber ihren Gegenbeweis, was Bestand und Höhe der geldwerten Leistung betrifft, detailliert zu erbringen (vorne E. 2.2.3), was die Veranlagungsbehörde nicht davon entbindet, sich mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit vom Vorliegen der geldwerten Leistung zu überzeugen (vorne E. 2.2.2).
3.2. Der Steuerpflichtige trägt vor, er habe aufgrund des Konkurses der Restaurant B._ GmbH keinen Zugriff auf die Akten mehr gehabt und daher auch nicht Stellung nehmen können. Tatsächlich ergibt sich aus dem Handelsregister, das vom Bundesgericht von Amtes wegen berücksichtigt werden kann (Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 7.3.3 S. 431), dass das Zivilgericht Basel-Stadt die GmbH am 9. September 2014 aufgelöst und deren Liquidation angeordnet hatte. Die Liquidation erfolgte nach den Vorschriften über den Konkurs, was seinen Grund darin hatte, dass der Gesellschaft ein vorgeschriebenes Organ fehlte (Art. 731b Abs. 1 Ziff. 3 OR). Wiederum gemäss Handelsregistereintrag verfügte der Alleingesellschafter aus Gründen, die nicht ersichtlich sind, seit dem 13. Juni 2014 (Tagebucheintrag) über keine Zeichnungsberechtigung mehr, ohne dass das Zeichnungsrecht auf eine andere Person übertragen worden wäre. Insofern ist nachvollziehbar, wenn der Steuerpflichtige im vorliegenden Verfahren ausführt, er habe zu den auf Ebene der GmbH verfügten Aufrechnungen keine Stellung nehmen können bzw. teils auch gar nicht über Akteneinsicht verfügt.
3.3. Dies ändert nichts daran, dass starke Indizien für eine geldwerte Leistung sprechen. Der Steuerpflichtige macht nicht geltend, eine unbefugte Drittperson habe sich die unverbuchten und in der Kasse unauffindbaren Mittel deliktisch angeeignet. Er erklärt lediglich, er selber habe "keine Gelder erhalten bzw. entgegengenommen". Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz fungierte er in den Steuerperioden 2011 und 2012 als Alleingesellschafter und einzeln zeichnungsberechtigter Geschäftsführer. Diese Sachumstände nähren die Vermutung, dass er in dieser Eigenschaft für die Barentnahmen verantwortlich war. Dass es sich anders hätte verhalten können, ist vor dem Hintergrund der eher unspezifischen Gegenargumente des Steuerpflichtigen wenig wahrscheinlich. Er glaubt zwar, schon in früheren Verfahrensstadien nachgewiesen zu haben, dass es "plausible, anderweitige Erklärungen dafür gibt, dass er als Privatperson keine verdeckte Gewinnausschüttung " empfangen habe. Wie es dazu hätte kommen könnten, legt er nicht dar, namentlich auch nicht in buchhalterisch nachvollziehbarer Weise. Seine Erklärung zielt allem Anschein nach einzig darauf ab, dass das Geld "verschwunden" sei, was aber keine detaillierte Bestreitung darstellt, so dass die Vorinstanz zulässigerweise davon ausgehen konnte, dass die Mittel an den Steuerpflichtigen geflossen sind. Ebenso wenig stellt sich die vorinstanzliche Rechtsanwendung als bundesrechtswidrig dar.
3.4. Die Beschwerde erweist sich, was die direkte Bundessteuer betrifft, als unbegründet. Sie ist abzuweisen.
III. Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt
4.
Das harmonisierte Steuerrecht von Kantonen und Gemeinden stimmt in allen hier massgebenden Teilen mit dem Recht der direkten Bundessteuer überein. Der Kanton Basel-Stadt hat das Harmonisierungsrecht in das Steuergesetz [des Kantons Basel-Stadt] vom 12. April 2000 über die direkten Steuern (StG/BS; SG 640.100) überführt. Es kann daher auf das zur direkten Bundessteuer Gesagte verwiesen werden. Die Beschwerde ist auch unter dem Gesichtswinkel des harmonisierten Steuerrechts der Kantone und Gemeinden unbegründet und abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
5.1. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG).
5.2. Das im bundesgerichtlichen Verfahren gestellte Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Verbeiständung und Prozessführung; Art. 29 Abs. 3 BV bzw. Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) erweist sich mit Blick auf die gestellten Anträge von vornherein als aussichtslos (<ref-ruling> E. 5.1 S. 139 f.). Es ist abzuweisen. Praxisgemäss werden die Gerichtsgebühren reduziert, wenn erst zusammen mit dem Endentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege entschieden wird.
5.3. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperioden 2011 und 2012, wird abgewiesen.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt, Steuerperioden 2011 und 2012, wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege (Verbeiständung und Verfahrenskosten) wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Februar 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher