Faits :
A.
A.a. A._, né en 1984, ressortissant français, titulaire d'une autorisation de séjour UE/AELE (art. 105 al. 2 LTF), a été domicilié à Genève du 5 mai 2015 au 15 février 2016, date à laquelle il s'est installé à Nyon, sur le canton de Vaud. Il dispose d'un permis de conduire catégories A1, B121, C1 et D et détient depuis le 14 septembre 2015 une limousine immatriculée dans le canton de Vaud à l'usage du transport professionnel de personnes.
A.b. Selon un rapport du 9 octobre 2015 de la police de la sécurité internationale, A._ a été contrôlé le 1er octobre 2015 à l'Aéroport international de Genève (ci-après : l'aéroport) au volant de sa limousine, alors qu'il s'apprêtait à charger une cliente. Cette dernière avait déclaré avoir commandé cette limousine au moyen de l'application Uber afin de se rendre à son domicile situé à Carouge. L'intéressé n'était pas au bénéfice d'une carte de chauffeur de limousine valable pour le canton de Genève, ni en possession des disques d'enregistrement de l'appareil tachygraphe des jours précédents. Il travaillait avec l'application Uber "depuis, à peu près, un mois. [Il] ne savait pas que pour travailler sur le canton de Genève, [il] devait avoir une carte de chauffeur".
Le 28 octobre 2015, l'intéressé a inscrit au registre du commerce vaudois l'entreprise en raison individuelle A._ Limousines, qui a pour but social le transport de personnes et la location de véhicules professionnels, et dont le siège se situe à Nyon depuis le 24 février 2016, à la même adresse que le domicile de l'intéressé.
D'après un rapport du 19 août 2016 du Service du commerce de la République et canton de Genève, devenu depuis lors le Service de police du commerce et de lutte contre le travail au noir (ci-après : le Service cantonal), ce dernier a contrôlé l'intéressé le 21 juillet 2016, en présence de gendarmes de la brigade de la sécurité routière. Par le biais de l'application Uber, celui-ci avait pris en charge une cliente afin de la déposer au centre-ville de Genève pour la somme de 15 fr. Son véhicule était équipé d'un tachygraphe, mais pas d'un compteur horokilométrique. Il avait déclaré travailler en tant qu'indépendant, ne pas détenir de carte professionnelle de chauffeur de limousine et effectuer ses courses en majorité sur le territoire genevois. Son véhicule était stationné à Nyon.
A la suite de ce contrôle, par courrier du 25 juillet et rappel du 17 août 2016, le Service cantonal a demandé à l'intéressé de lui faire parvenir, à des fins de vérification, les autorisations communales dont il disposait pour exercer son activité de chauffeur. Il était précisé qu' "en application de la loi fédérale sur le marché intérieur (LMI; RS 943.02), les limousines confédérées qui [exerçaient] légalement leur activité dans leur lieu de provenance [avaient] le droit de pratiquer cette activité dans toute la Suisse". L'intéressé n'a pas réagi.
Selon un rapport de police du 21 novembre 2016, A._ a été contrôlé le 12 novembre 2016 après avoir pris en charge un client à Genève, qu'il devait conduire à Veigy-Foncenex en France, pour un prix compris entre 20 fr. et 30 fr., alors qu'il n'était pas en possession d'une carte professionnelle délivrée par le Service cantonal.
Le 18 août 2017, le Service cantonal a remis à l'intéressé, à sa demande, une carte professionnelle de chauffeur de voiture de transport avec chauffeur (ci-après : VTC).
A.c. Par décision du 5 juillet 2018, le Service cantonal, après avoir entendu l'intéressé, lui a infligé une amende administrative de 930 fr. pour avoir enfreint les art. 5 al. 1 avec l'art. 7 de l'ancienne loi genevoise du 21 janvier 2005 sur les taxis et limousines (transport professionnel de personnes au moyen de voitures automobiles) (aLTaxis - H 1 30), en application de l'art. 45 al. 1 aLTaxis. Il lui était reproché d'avoir exercé une activité de chauffeur professionnel de limousine sur le territoire du canton de Genève, sans être au bénéfice d'une carte professionnelle de chauffeur de limousine.
B.
Par arrêt du 13 février 2019, la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a admis partiellement le recours formé par l'intéressé contre la décision précitée du 5 juillet 2018, en réduisant le montant de l'amende à 700 fr., en raison de la prescription des faits survenus le 1er octobre 2015, et l'a rejeté pour le surplus.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, d'annuler l'arrêt précité de la Cour de justice. Subsidiairement, il requiert l'annulation dudit arrêt et le renvoi du dossier à l'autorité précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Plus subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la réduction du montant de l'amende.
La Cour de justice renonce à déposer des observations et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Service cantonal conclut principalement à l'irrecevabilité du recours pour tardiveté et, subsidiairement, à son rejet. Le recourant a déposé des observation supplémentaires.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 254; <ref-ruling> consid. 1 p. 44).
1.1. L'arrêt attaqué est une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF), ne tombant pas sous le coup des exceptions de l'art. 83 LTF. Partant, la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte.
1.2. Comme le recours en matière de droit public est une voie de réforme, le recourant ne peut en principe pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée, mais il doit prendre des conclusions sur le fond du litige (<ref-ruling> consid. 1.3 p. 317). La conclusion principale purement cassatoire est toutefois admissible dans la mesure où elle porte sur une décision condamnatoire, dont l'annulation mettrait fin à la sanction (cf. arrêts 2C_122/2019 du 6 juin 2019 consid. 1.1; 2C_424/2018 du 15 mars 2019 consid. 1.1 et les références citées), et qu'il ressort au surplus de son mémoire que le recourant entend demander l'annulation de l'amende prononcée à son encontre.
1.3. Concernant le respect du délai de recours, remis en question par le Service cantonal, il sera précisé que la mention figurant dans l'arrêt attaqué "copie conforme de cet arrêt a été communiquée aux parties. Genève, le 14 février 2019", ne démontre pas, contrairement à ce que prétend le service précité, que la décision en cause a été notifiée au recourant, respectivement, à son mandataire, à cette date. Sur ce point, le recourant a par ailleurs établi que l'arrêt querellé lui avait été notifié le 18 février 2019, le présent recours, déposé le 20 mars 2019, a ainsi été interjeté en temps utile (cf. art. 44, 48 et 100 al. 1 LTF; cf. arrêt 2C_1015/2011 du 12 octobre 2012 consid. 3.3.1). Au surplus, le recours a été formé par le destinataire de l'arrêt attaqué, qui a qualité pour recourir (art. 89 al. 1 LTF). Il convient donc d'entrer en matière.
2.
L'objet du litige porte sur l'amende prononcée le 5 juillet 2018 par le Service cantonal à l'encontre du recourant, pour des infractions à l'aLTaxis commises les 21 juillet et 12 novembre 2016, dont le montant a été réduit par la Cour de justice à 700 fr.
3.
3.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine d'office le droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Sauf exceptions non pertinentes en l'espèce (cf. art. 95 let. c, d et e LTF), l'on ne peut invoquer la violation du droit cantonal en tant que tel devant le Tribunal fédéral (art. 95 LTF a contrario). Il est néanmoins possible de faire valoir que son application consacre une violation du droit fédéral, comme la protection contre l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou la garantie d'autres droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine cependant de tels moyens que s'ils sont formulés conformément aux exigences de motivation qualifiée prévues à l'art. 106 al. 2 LTF (<ref-ruling> consid. 1.2.2 p. 286; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 372).
En l'occurrence, le recourant ne se prévaut pas d'une application arbitraire du droit cantonal. Les questions de la prescription et de l'application de la loi cantonale dans le temps, qui relèvent du droit cantonal, n'ont partant pas à être examinées par le Tribunal fédéral.
3.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), sous réserve des cas prévus à l'art. 105 al. 2 LTF. Selon l'art. 97 al. 1 LTF, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377), ce qu'il appartient au recourant de démontrer (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288). Aux termes de l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
4.
Le recourant fait valoir que la loi fédérale du 6 octobre 1995 sur le marché intérieur (LMI; RS 943.02) lui permettait d'exercer l'activité de chauffeur dans le canton de Genève sans être titulaire d'une carte professionnelle de chauffeur de limousine. Sur ce point, il reproche tout d'abord à la Cour de justice d'avoir nié sa qualité d'offreur externe au canton de Genève et, ainsi, l'application de la LMI, en se fondant sur le domicile qu'il avait dans ce canton jusqu'au 15 février 2016, sur les deux courses du 21 juillet et 12 novembre 2016, dont le lieu de prise en charge se situait également dans ce canton, ainsi que sur des prétendues déclarations de sa part indiquant qu'il aurait effectué la majorité de ses courses sur le territoire genevois. Il estime que ces critères ne permettent pas de déterminer le canton de provenance, lequel devrait, selon lui, être établi en fonction du lieu d'établissement.
4.1. L'art. 1 al. 1 LMI garantit à toute personne ayant son siège ou son établissement en Suisse l'accès libre et non discriminatoire au marché, afin qu'elle puisse exercer une activité lucrative sur tout le territoire suisse. Par activité lucrative au sens de cette loi, on entend toute activité non régalienne ayant pour but un gain (art. 1 al. 3 LMI). Selon l'art. 2 al. 1 LMI, toute personne a le droit d'offrir des marchandises, des services et des prestations de travail sur tout le territoire suisse pour autant que l'exercice de l'activité lucrative en question soit licite dans le canton ou la commune où elle a son siège ou son établissement. Des restrictions sont possibles aux conditions de l'art. 3 LMI. Toutefois, l'équivalence des réglementations cantonales et communales sur l'accès au marché est présumée (<ref-ruling> consid. 5.1 et les références citées p. 284). La LMI vise ainsi à éliminer les restrictions à l'accès au marché mises en place par les cantons et les communes. Elle pose le principe du libre accès au marché selon les prescriptions du lieu de provenance, c'est-à-dire du canton d'origine (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 325), qui est qualifié par la doctrine de "pierre angulaire" de la LMI (cf. <ref-ruling> consid. 5.1 p. 284 et les références citées). Le droit du lieu de provenance est le droit applicable au territoire d'où la marchandise, le service ou la prestation de travail proviennent. Il se confond avec le droit où l'offreur externe a son siège ou son établissement (art. 2 al. 3 LMI; MANUEL BIANCHI DELLA PORTA, in Commentaire romand, Droit de la concurrence, 2013, n° 91 s. ad. art. 1 LMI). D'une manière générale, l'établissement est le lieu où la personne exerce ses activités lucratives et, si l'activité se déroule en plusieurs endroits, le lieu où la personne dirige l'activité lucrative. Le lieu d'établissement doit être compris comme le lieu où l'acteur économique a le centre de ses activités. Dans le cas où la personne n'est pas astreinte à inscription au registre du commerce, l'établissement est le lieu où elle exerce. Pour les entreprises commerciales, des considérations pratiques imposent de retenir comme établissement le lieu où elles sont inscrites (cf. BIANCHI DELLA PORTA, op. cit., n° 98 s. ad art. 1 LMI; cf. également GUILLAUME VIANIN, in Commentaire romand, Code des obligations II, 2017, n° 4 ad art. 934 CO).
Il découle des règles du marché intérieur que la personne concernée doit avoir déjà effectivement exercé l'activité en cause dans le canton qui lui a délivré l'autorisation dont elle se prévaut. Le seul fait de disposer d'une autorisation dans un canton ne suffit pas encore pour en déduire des droits dans un autre canton. C'est seulement si l'activité est ou a été exercée dans le canton qui l'a initialement autorisée que l'on se trouve en présence d'un état de fait significatif sur le plan intercantonal, propre à entraîner l'application des règles du marché intérieur (cf. arrêt 2C_848/2009 du 11 mai 2010 consid. 4.2). L'établissement dans un canton dans le seul but de pouvoir exercer une certaine activité dans un autre canton en vertu des dites règles est constitutif d'un abus de droit (ibidem).
4.2. Selon l'opinion dominante, le champ d'application personnel de la LMI se recoupe avec celui de la liberté économique (BIANCHI DELLA PORTA, op. cit., n° 96 ad art. 1 LMI). En l'occurrence, le recourant, ressortissant français, titulaire d'une autorisation de séjour UE/AELE peut se prévaloir de la liberté économique (AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, Droit constitutionnel suisse, vol. II, les droits fondamentaux, 2013, p. 439 ch. 940). Il n'y a donc pas lieu d'examiner ici, si une personne titulaire d'une autorisation de séjour, sans droit de présence stable en Suisse, peut se prévaloir de ladite liberté (cf. <ref-ruling> consid. 1.1 p. 225 ss; <ref-ruling> consid. 2c p. 215 s.; arrêts 2C_283/2014 du 28 avril 2014 consid. 4.3; 2C_396/2008 du 15 septembre 2008 consid. 7; AUER/MALINVERNI/HOTTELIER, op. cit., p. 435 ss ch. 931 ss, en particulier ch. 939) et, partant, de la LMI.
4.3. En l'espèce, il ressort des faits de l'arrêt entrepris que l'activité professionnelle du recourant se concentre sur le territoire genevois et que celui-ci n'a pas démontré exercer l'essentiel de son activité à l'extérieur du canton de Genève. Par ailleurs, il ressort également de l'arrêt querellé que le recourant a été contrôlé le 1er octobre 2015 dans le canton de Genève, alors qu'il exerçait son activité de chauffeur de limousine. A la suite de ce contrôle, le recourant a fait enregistrer son entreprise au registre du commerce du canton de Vaud le 28 octobre 2015 et s'est domicilié dans ce canton le 15 février 2016. Le recourant ne fait pas valoir que ces faits, qui lient la cour de céans (art. 105 al. 1 LTF), auraient été arbitrairement retenus, comme l'exigerait l'art. 106 al. 2 LTF. Sur le vu de ces constatations, la Cour de justice pouvait à bon droit considérer (en l'occurrence, implicitement) que le recourant avait le centre de ses activités dans le canton de Genève et que partant son lieu d'établissement se situait dans ce canton. Elle pouvait également retenir de façon soutenable que l'enregistrement de l'entreprise et la prise de domicile dans le canton de Vaud ne démontraient pas l'existence d'une activité essentiellement centrée sur ce canton, et que la chronologie des faits tendait à y voir un abus de droit à invoquer la LMI. Selon les faits retenus, le recourant a en effet essentiellement concentré ses activités sur le canton de Genève et le simple fait d'inscrire une entreprise individuelle dans le canton de Vaud et d'y prendre domicile ne permet pas de faire de ce canton, le canton de provenance par rapport au canton de Genève où l'activité a été initialement exercée. Dans ces circonstances, on ne peut pas retenir que le canton de Vaud était le canton de provenance du recourant au sens de la LMI.
Au demeurant, contrairement à ce que soutient le recourant, l'autorité précédente n'a pas nié l'application de la LMI en se fondant sur le lieu de domicile du recourant, mais sur l'ensemble des circonstances et, en particulier, sur les rapports des 19 août et 21 novembre 2016, ainsi que sur le parcours professionnel de l'intéressé. La prise en compte du domicile dans le canton de Vaud, qui ne saurait à lui seul, comme le relève le recourant, être déterminant sous l'angle de la LMI (cf. arrêt 2P.362/1998 du 6 juillet 1999 consid. 4f, in SJ 2000 I 177 et ZBl 2000 (101) p. 496), n'a été pris en considération par l'autorité précédente que dans un deuxième temps pour justifier une analyse dans laquelle la LMI s'appliquerait au présent cas. L'immatriculation d'un véhicule dans un canton ne permet pas non plus de tirer des conclusions sur le lieu d'établissement, puisque le lieu d'immatriculation est en règle générale déterminé par le lieu de stationnement, à savoir le lieu où le véhicule est garé la nuit (cf. art. 74 et 77 de l'ordonnance fédérale du 27 octobre 1976 réglant l'admission des personnes et des véhicules à la circulation routière [OAC; RS 741.51]), et que cet élément ne renseigne pas sur le lieu d'exercice de l'activité commerciale.
Sur le vu de ce qui précède, la Cour de justice a, à raison, retenu que la LMI ne trouvait pas application dans le cas d'espèce. Pour ce faire, il aurait fallu que le canton de Vaud puisse être considéré comme étant le canton de provenance du recourant, ce qui, au vu des faits retenus, n'est pas le cas.
Enfin, le recourant invoque en vain la maxime inquisitoire, celle-ci devant être relativisée par le devoir des parties de collaborer à l'établissement des faits (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 142). Ce devoir est de plus spécialement élevé s'agissant des faits que la partie connaît mieux que quiconque (cf. arrêt 1C_308/2014 du 28 octobre 2014 consid. 3.3 et les références citées). En l'occurrence, il appartenait au recourant d'établir son activité essentiellement dirigée sur le canton de Vaud, en produisant, par exemple, comme le relève le Service cantonal, des avis de taxation fiscale des autorités vaudoises.
4.4. Les autres griefs concernant la violation de la LMI n'ont partant pas à être examinés.
5.
Le recourant ne conteste pas avoir exercé l'activité de chauffeur de limousine sur le territoire du canton de Genève sans être au bénéfice d'une carte professionnelle et que cela constitue une infraction à l'art. 5 al. 1, en lien avec l'art. 7 a LTaxis. Pour autant qu'on le comprenne, il remet toutefois en question la constitutionnalité des exigences genevoises qui ont conduit à sa sanction. Il invoque à ce titre une violation du principe de la primauté du droit fédéral (art. 49 Cst.), ainsi que la liberté économique (art. 27 Cst.).
5.1. De tels griefs sont en principe recevables dans la mesure où la constitutionnalité d'une disposition de droit cantonal peut être examinée à titre préjudiciel, dans le cadre d'un contrôle concret de la norme, c'est-à-dire en rapport avec un acte d'application. Si cette norme s'avérait inconstitutionnelle, le Tribunal fédéral ne saurait toutefois, formellement, l'annuler. Il pourrait uniquement modifier la décision qui l'applique (arrêt 2C_164/2015 du 5 avril 2016 consid. 3.2).
5.2. Concernant la violation de la primauté du droit fédéral, le recourant fait en substance valoir que les exigences cantonales qui ont conduit à sa sanction sont contraires à la primauté du droit fédéral, puisque celles-ci visent la sécurité publique en matière de circulation routière et que cette question est, selon lui, exhaustivement réglée par le droit fédéral. Il reproche en particulier à la Cour de justice de ne pas avoir procédé à un contrôle concret de la constitutionnalité des exigences genevoises.
5.2.1. Dans l'arrêt attaqué, la Cour de justice a relevé que certaines dispositions du droit fédéral de la circulation routière prévoyaient des compétences résiduelles aux cantons, en leur déléguant des compétences en matière de taxis et s'est référé à l'arrêt 2P.83/2005 du 26 janvier 2006 pour relever que la constitutionnalité de l'aLTaxis avait déjà été examinée par le Tribunal fédéral, notamment sous l'angle de la liberté économique, et qu'à cette occasion il n'avait pas annulé l'exigence des cartes professionnelles de chauffeur.
5.2.2. En l'occurrence, le recourant ne précise pas quelle disposition spécifique du droit cantonal serait selon lui inconstitutionnelle. Son recours ne répond ainsi pas aux exigences accrues de l'art. 106 al. 2 LTF. En outre, il renvoie notamment au contenu de son recours formé devant la Cour de justice, ce qui n'est pas admissible (cf. <ref-ruling> consid. 2.3 p. 387 s.; arrêt 2C_318/2012 du 22 février 2013 consid. 2.1, non publié in <ref-ruling> mais in Pra 2014 n° 1 p. 1). De plus, dans la mesure où le recourant entend se plaindre d'une violation de son droit d'être entendu, sous l'angle d'un défaut de motivation de la décision, la motivation de son recours est également insuffisante (art. 106 al. 2 LTF). A cet égard, on relèvera que la Cour de justice explique pour quels motifs - d'ailleurs résumés par le recourant - elle a estimé que les dispositions en cause de l'aLTaxis n'étaient pas contraires à la constitution, si bien que la motivation paraît sur ce point suffisante (concernant les exigences en matière de motivation, cf. <ref-ruling> consid. 2.2 p. 183; <ref-ruling> consid. 3.2 p. 270).
Concernant les exigences cantonales, à savoir en l'occurrence, l'exigence d'une carte professionnelle de chauffeur de limousine, il sera précisé, en dépit de la motivation insuffisante du recours sur ce point, que la compétence pour légiférer sur le service des taxis, notamment pour ce qui concerne les autorisations, appartient aux cantons (cf. arrêt 2C_940/2010 du 17 mai 2011 consid. 2.1; MICHAEL HOCHSTRASSER, Der Beförderungsvertrag, 2015, p. 21 note de bas de page n. 130). Le droit fédéral ne prévoit pas qu'il devrait en aller autrement pour les limousines, si bien que cette compétence reste cantonale (cf. art. 3 Cst.). Il ne s'agit donc pas d'un domaine exhaustivement réglementé par le droit fédéral. En outre, les exigences liées à la carte professionnelle en cause ne portent pas toutes sur l'intérêt public de la sécurité (cf. notamment les connaissances en français et anglais demandées; art. 27 aLTaxis). A cet égard, il est rappelé que l'aLTaxis vise également à assurer que l'exercice de la profession de limousine se fasse conformément aux exigences de la moralité publique et de la bonne foi dans les affaires (art. 1 al. 1, 7 al. 2 et 27 aLTaxis). En outre, et contrairement à ce que laisse entendre le recourant, le fait que la Confédération soit compétente pour légiférer en matière de circulation routière (art. 82 al. 1 Cst.) et accomplisse cette tâche également dans l'intérêt public de la sécurité, n'empêche pas les cantons de servir ce même intérêt, lorsqu'ils réglementent d'autres domaines, comme celui de la profession de chauffeur de limousine.
En revanche, la Cour de justice ne peut pas être suivie lorsqu'elle laisse entendre que la compétence cantonale d'exiger une carte professionnelle reposerait sur l'ordonnance fédérale du 6 mai 1981 sur la durée du travail et du repos des conducteurs professionnels de véhicules légers affectés au transport de personnes et de voitures de tourisme lourdes (OTR 2; RS 822.222). En effet, ladite carte ne porte pas sur le contrôle de la durée du travail, ni sur le repos des chauffeur et sort donc du champ d'application de l'OTR 2.
5.3. Le recourant reproche également à l'autorité précédente d'avoir violé le principe de la liberté économique (art. 27 al. 1 Cst.) et d'avoir omis de procéder à une pesée des intérêts conforme à l'art. 36 Cst.
5.3.1. Sur ce point également, le recourant ne précise pas quelle disposition cantonale spécifique serait contraire à la liberté économique. En outre, s'il entend faire valoir que l'amende est contraire à ce principe, il n'explique pas en quoi celle-ci représenterait une telle atteinte. Son recours ne remplit donc pas les exigences de l'art. 106 al. 2 LTF.
5.3.2. Ce nonobstant, concernant l'exigence d'une carte professionnelle (art. 5, en lien avec l'art. 7 al. 2 aLTaxis) et les conditions qui permettent de restreindre la liberté économique, à savoir l'existence d'une base légale, la justification par un intérêt public prépondérant et le respect du principe de proportionnalité (cf. art. 36 al. 1 à 3 Cst.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 612), il est permis de relever que le recourant ne conteste à raison pas l'existence d'une base légale. S'agissant de l'intérêt public, il semble perdre de vue que la Cour de justice a relevé que cette exigence servait un intérêt public, soit celui de garantir aux utilisateurs un haut niveau de la qualité du service. A cet égard, il ne faut pas perdre de vue que l'aLTaxis ne visait pas uniquement à assurer la sécurité publique, mais aussi, entre autres, la moralité publique et la loyauté dans les transactions commerciales (cf. art. 1 al. 1 LTaxis). Cette loi avait également comme objectif d'éviter une dégradation des services et les abus (cf. projet de loi LTaxis du 16 mars 2004 p. 33 s.; mémorial du Grand Conseil du canton de Genève PL 9198), dans un domaine complémentaire aux transports individuels et collectifs, jouant un rôle en matière de tourisme (art. 1 al. 2 aLTaxis). L'argumentation du recourant, qui porte uniquement sur l'intérêt public de la sécurité, est donc sans pertinence.
En outre, contrairement à ce qu'il laisse entendre, la possession de permis de conduire spécifique ou une expérience professionnelle de plusieurs années ne rendent pas disproportionnées les autres exigences prévues pour l'obtention d'une carte professionnelle, puisque ces éléments ne donnent notamment aucune information sur la moralité du candidat ou sur ses connaissances en langue (cf. art. 7 al. 2 aLTaxis). Sur ce point, le recourant n'explique d'ailleurs pas - et on ne voit pas - en quoi l'exigence de maîtriser la langue française et celle d'avoir une connaissance rudimentaire de l'anglais, nécessaires à l'obtention de ladite carte (art. 7 al. 2 let. d, en lien avec l'art. 27 aLTaxis), seraient inaptes ou non nécessaires à la préservation de l'intérêt public que représente une mise à disposition de services de qualité en matière de transport par limousine dans un canton à vocation internationale comme Genève.
5.3.3. Le recourant n'indique pas non plus pour quelle raison l'organisation d'une seule session d'examen par année serait "une barrière matérielle inadmissible à l'accès au marché genevois". Le recours ne répond pas sur ce point aux exigences de motivation accrues de l'art. 106 al. 2 LTF et doit partant être écarté, étant toutefois précisé que la réglementation prévoyait la possibilité d'organiser, sur demande, une session supplémentaire (art. 30 de l'ancien règlement d'exécution du 4 mai 2005 de la LTaxis).
5.3.4. Enfin, contrairement à ce que soutient le recourant, le Service cantonal, dont la décision a été confirmée sur ce point par la Cour de justice, pouvait parfaitement invoquer en cours de procédure des intérêts publics supplémentaires à celui de la sécurité pour justifier les exigences en cause. Le recourant, qui n'invoque pas de violation de son droit d'être entendu sur ce point conformément aux exigences de l'art. 106 al. 2 LTF, a en outre été en mesure de valablement contester les arguments des autorités précédentes.
5.3.5. Pour autant que celui-ci soit suffisamment motivé, le grief de violation de la liberté économique doit partant être écarté.
6.
Le recourant estime que l'amende de 700 fr. est disproportionnée. Il fait valoir sa situation économique difficile, l'absence d'antécédents, l'incertitude régnant au sujet de la légalité de son activité dans le canton de Genève, ainsi que le temps écoulé depuis la commission des infractions.
6.1. L'arrêt attaqué est fondé sur une disposition cantonale et le recourant ne soulève à cet égard aucun grief, en particulier d'arbitraire.
Lorsqu'il examine le droit cantonal indépendamment de toute atteinte à un droit fondamental, le Tribunal fédéral ne revoit pas le respect du principe de la proportionnalité librement, mais seulement sous l'angle de l'arbitraire. L'atteinte au principe de la proportionnalité soulevée ici se confond donc avec le grief d'arbitraire (<ref-ruling> consid. 5.3.2 p. 7 s.).
6.2. En l'occurrence, le recourant n'expose pas en quoi l'amende prononcée serait arbitraire. Son argumentation est ici insuffisante au regard des exigences de l'art. 106 al. 2 LTF. Au demeurant, l'art. 45 al. 1 aLTaxis prévoit que l'amende prononcée peut être comprise entre 100 et 20'000 fr. La Cour de justice a tenu compte des deux infractions reprochées au recourant, qualifiées de graves, et retenu, dans des faits qui lient le Tribunal fédéral, que la situation économique difficile du recourant n'avait pas été établie. Dans ces conditions, l'arrêt attaqué n'est en rien arbitraire et ne consacre aucune violation du principe de la proportionnalité. En tant qu'il est suffisamment motivé, le grief doit être écarté.
7.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours. Succombant, le recourant est condamné à payer un émolument de justice (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, au Service de police du commerce et de lutte contre le travail au noir de la République et canton de Genève et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section.
Lausanne, le 16 septembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : de Chambrier