Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete seit Januar 2004 bei der B._ AG, als "Query Handling Agent" in einen Pensum von 100 %. Von 2006 bis Ende 2012 war sie zusätzlich in einem Pensum von 20 % beim Tennis Club C._, tätig. Im April 2012 wurde sie Mutter und arbeitete nach dem Mutterschaftsurlaub in ihren bisherigen Pensen weiter. Die Anstellung im Tennis Club endete am 31. Dezember 2012. Am 11. April 2013 wurde A._ arbeitsunfähig, nachdem bei ihr eine Multiple Sklerose von schubförmig remittierendem Verlauf diagnostiziert worden war. Unter Hinweis auf diese Erkrankung meldete sie sich am 3. Juli 2013 bei der Eidgenössischen Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Aufgrund der Arbeitsunfähigkeit kündigte die B._ AG das Arbeitsverhältnis per 28. Oktober 2013. 2015 und 2017 gebar A._ zwei weitere Kinder.
Die IV-Stelle Basel-Stadt führte am 5. September 2016 eine Haushaltsabklärung durch. Dabei wurde festgehalten, dass A._ ihr Arbeitspensum nach der Geburt des zweiten Kindes auf 50 % reduziert hätte. Die Einschränkung in den Haushaltstätigkeiten wurde auf 11 % geschätzt. Eine neurologische Begutachtung ergab eine Arbeitsfähigkeit von 30-40 % ab April 2014 in einer angepassten Tätigkeit (Gutachten der Dr. med. D._, Fachärztin für Neurologie FMH, vom 18. Oktober 2017). Mit Verfügungen vom 16. und 25. Juli 2018 sprach die IV-Stelle der Versicherten (wie vorbeschieden) ab 1. Januar 2018 eine Viertelsrente zu, basierend auf einem Invaliditätsgrad von 40 %, der anhand der gemischten Methode mit jeweils 50 % Erwerb und Haushalt ermittelt worden war.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 10. April 2019 gut, hob die Verfügungen vom 16. und 25. Juli 2018 auf und wies die IV-Stelle an, A._ ab April 2014 bei einem Invaliditätsgrad von 69 % eine Dreiviertelsrente der Invalidenversicherung auszurichten.
C.
Die IV-Stelle erhebt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei festzustellen, dass A._ ab. 1. April 2014 bis 31. März 2016 bei einem Invaliditätsgrad von 69 % Anspruch auf eine Dreiviertelsrente und ab 1. Januar 2018 bei einem Invaliditätsgrad von 40 % Anspruch auf eine Viertelsrente habe. Eventualiter sei die Sache zur weiteren Abklärung an die IV-Stelle zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin und das Sozialversicherungsgericht schliessen auf Beschwerdeabweisung. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
D.
Mit Verfügung vom 24. Oktober 2018 gewährte der Instruktionsrichter der Beschwerde insoweit die aufschiebende Wirkung, als die IV-Stelle verpflichtet wird, der Versicherten für die Zeit vom 1. April 2016 bis 31. Dezember 2017 eine Dreiviertelsrente und ab 1. Januar 2018 eine Rente, die eine Viertelsrente übersteigt, auszurichten.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1 S. 44 mit Hinweisen). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, gelten grundsätzlich als Zwischenentscheide, weil sie das Verfahren nicht abschliessen; sie können nur unter den Voraussetzungen der Art. 92 und 93 BGG beim Bundesgericht angefochten werden (<ref-ruling> E. 2 S. 284; <ref-ruling> E. 4.2 S. 481 f.). Wenn aber der unteren Instanz, an die die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr bleibt und die Rückweisung - wie hier - bloss der (rein rechnerischen) Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, handelt es sich materiell nicht mehr um einen Zwischenentscheid, sondern um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 285 f. mit Hinweisen; Urteil 8C_759/2018 vom 13. Juni 2019 E. 1). Auf die Beschwerde ist somit einzutreten.
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
3.
3.1. Die Vorinstanz kam zum Ergebnis, dass die Beschwerdegegnerin ab 1. April 2014 Anspruch auf eine Dreiviertelsrente habe. Demgegenüber hatte die IV-Stelle der Beschwerdegegnerin ab 1. Januar 2018 eine Viertelsrente zugesprochen und im vorinstanzlichen Verfahren zudem den Anspruch auf eine Dreiviertelsrente für die Zeit vom 1. April 2014 bis 31. März 2016 anerkannt. Streitig und zu prüfen ist somit, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdegegnerin auch für die Zeit vom 1. April 2016 bis 31. Dezember 2017 eine Dreiviertelsrente und ab 1. Januar 2018 statt einer Viertelsrente eine Dreiviertelsrente zusprach. Umstritten ist dabei einzig die Statusfrage. Während die Vorinstanz davon ausging, dass die Beschwerdegegnerin als Gesunde als Vollzeiterwerbstätige zu qualifizieren wäre, vertritt die IV-Stelle beschwerdeweise die Auffassung, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall je zu 50 % erwerbstätig und im Haushalt tätig.
3.2. Die für die Methodenwahl (Einkommensvergleich, gemischte Methode, Betätigungsvergleich) entscheidende Statusfrage, nämlich ob eine versicherte Person als ganztägig oder zeitweilig erwerbstätig oder als nichterwerbstätig einzustufen ist, beurteilt sich danach, was diese bei im Übrigen unveränderten Umständen täte, wenn keine gesundheitliche Beeinträchtigung bestünde. Entscheidend ist somit nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern in welchem Pensum sie hypothetisch erwerbstätig wäre. Bei im Haushalt tätigen Versicherten im Besonderen (vgl. <ref-law>) sind die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse ebenso wie allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen zu berücksichtigen. Massgebend sind die Verhältnisse, wie sie sich bis zum Erlass der Verwaltungsverfügung entwickelt haben, wobei für die hypothetische Annahme einer im Gesundheitsfall ausgeübten (Teil-) Erwerbstätigkeit der im Sozialversicherungsrecht übliche Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erforderlich ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 30 mit Hinweisen; Urteil 8C_133/2019 vom 20. August 2019 E. 4.1).
Die Beantwortung der Statusfrage erfordert zwangsläufig eine hypothetische Beurteilung, die auch hypothetische Willensentscheidungen der versicherten Person zu berücksichtigen hat. Derlei ist einer direkten Beweisführung wesensgemäss nicht zugänglich und muss in aller Regel aus äusseren Indizien erschlossen werden. Die Beurteilung hypothetischer Geschehensabläufe betrifft eine Tatfrage, soweit sie auf Beweiswürdigung beruht, selbst wenn darin auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung mitberücksichtigt werden. Ebenso geht es bei Feststellungen über innere oder psychische Tatsachen Tatfragen, wie beispielsweise was jemand wollte oder wusste. Die auf einer Würdigung konkreter Umstände basierende Festsetzung des hypothetischen Umfangs der Erwerbstätigkeit bleibt für das Bundesgericht daher verbindlich, ausser wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht (vgl. E. 2). Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid - im Ergebnis - offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 31 mit Hinweisen; Urteil 8C_422/2019 vom 31. Oktober 2019 E. 5.2).
4.
4.1.
4.1.1. Nach den Feststellungen der Vorinstanz wurde im Bericht zur Haushaltsabklärung vom 5. September 2016 notiert, dass die Beschwerdegegnerin ab der Geburt des zweiten Kindes bzw. nach dem Mutterschaftsurlaub (d.h. ab April 2016) 50 % arbeiten würde. Die Tochter gehe in den Kindergarten und den Sohn würde sie halbtags in die Krippe bringen. Der Ehemann helfe nach Bedarf mit und der Schwiegervater komme ab und zu hüten. Die Tochter esse ungefähr zwei Mal pro Woche bei den Grosseltern (als Entlastung). Zwei Tage später kam die Beschwerdegegnerin auf die Angaben zur Erwerbstätigkeit zurück und führte in einer E-Mail an die Abklärungsperson aus, dass sie die Frage bezüglich des Arbeitspensums bei guter Gesundheit beschäftige. Es sei ihr nicht klar, ob damit gemeint sei, bei guter Gesundheit vor der MS-Erkrankung oder bei guter Gesundheit mit MS, aber ohne weitere Schübe und mit wenig entsprechenden Symptomen. Sie wisse auch nicht mehr, was sie gesagt und was sie unterschrieben habe. Sie könne diesbezüglich nur sagen, dass sie nicht wisse, wie viel sie arbeiten würde, wenn sie gesund geblieben wäre. Es sei eine schwierige Frage, weil sie jetzt krank sei und wisse, dass es nun unmöglich sei, 100 % zu arbeiten. Damals sei sie aber eine Powerfrau gewesen und habe sich vorstellen können, Kinder und Karriere zu haben. Nachdem die Versicherte Ende Dezember 2017 ihr drittes Kind geboren hatte, wurde sie von der Versicherung erneut angefragt, in welchem Umfang sie mit drei Kindern arbeiten würde, wenn sie gesund wäre, und wie sie die Betreuung organisiert hätte. Die Fachperson Rente hielt dazu fest, dass es "langsam aber sicher schwieriger wäre, weiterhin 50 % zu arbeiten".
4.1.2. Die Vorinstanz hielt fest, es könne nicht verifiziert werden, unter welchen Umständen die Aussage zum Umfang der Erwerbstätigkeit zustande gekommen sei. Immerhin sei es nicht ausgeschlossen, dass in der Haushaltsabklärung die Frage nach der Berufstätigkeit als Mutter zweier Kinder nicht frei von fremden Wertvorstellungen beantwortet und pauschal gestützt auf die allgemeine Lebenserfahrung eine Teilzeiterwerbstätigkeit angenommen worden sei. Massgebend für die Frage, in welchem Ausmass die Beschwerdegegnerin als Gesunde erwerbstätig wäre, seien jedoch nicht die gegenüber der Abklärungsperson Haushalt gemachten Aussagen, sondern die konkreten Lebensumstände während der letzten Jahre (Urteil I 108/05 vom 7. Juni 2005 E. 3.2.2, S. auch Urteil I 253/05 vom 9. Dezember 2005 E. 4.2.2; I 449/05 vom 14. Dezember 2005 E. 3.2.2). Die Vorinstanz verwies dazu auf die Arbeitsbiographie der Versicherten. Diese hatte nach der Geburt des ersten Kindes (im April 2012) und selbst nach der Umwandlung des Arbeitsverhältnisses per 1. Januar 2013 in einen Arbeitsvertrag auf Abruf ohne festgelegtes Pensum in einem Umfang von 100 % weitergearbeitet. Daneben hatte sie seit Januar 2005 eine Nebenerwerbstätigkeit von rund 20 % beim Tennis Club C._ inne und diese Anstellung nicht aus eigenen, namentlich familienplanerischen Beweggründen per Ende 2012 aufgegeben. Diese Umstände führten nach der Vorinstanz nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit zur Annahme, dass die Versicherte ihr Arbeitspensum aufgrund der Geburt des zweiten Kindes im Dezember 2015 auf 50 % reduziert hätte. Ob die Versicherte ihr Arbeitspensum nach Geburt des zweiten Kindes im Dezember 2015 oder nach der Geburt des dritten Kindes im Dezember 2017 reduziert hätte (wobei auch ein Teilpensum von 70, 80 oder 90 % denkbar sei), sei reine Spekulation. Auch habe die Versicherte in der Haushaltsabklärung angegeben, dass sie bei der Kinderbetreuung Hilfe vom Ehemann und den Schwiegereltern habe. Jedenfalls gehe es nicht an, bei Frauen - ohne Rücksicht auf die konkreten familiären Umstände - pauschalisierend anzunehmen, sie seien nach allgemeiner Lebenserfahrung ohnehin nur noch in einem Teilzeitpensum erwerbstätig, sobald sie Kinder hätten (vgl. auch Urteil I 336/93 vom 24. März 1994 E. 4a, nicht publ. in <ref-ruling>, aber in: SVR 1994 IV Nr. 17 S. 37). Folglich sei vorliegend von einer hypothetischen Erwerbstätigkeit von 100 % auszugehen und die Invalidität mittels Einkommensvergleichs zu ermitteln.
4.2. Die Beschwerdeführerin wehrt sich im Wesentlichen gegen den Vorwurf, dass allfällige traditionelle Vorstellungen ihrer Mitarbeiterinnen zur Rollenverteilung im Haushalt die Ergebnisse der Statusabklärung beeinflusst hätten. Immerhin bezeichnet sie selbst die Äusserungen der Fachperson Rente als ungeschickt. Zudem war die Versicherte selbstständig und - soweit ersichtlich - ohne rechtskundige Unterstützung nur zwei Tage nach der Haushaltsabklärung auf ihre Aussage zum Arbeitspensum zurückgekommen. Vor diesem Hintergrund erweist es sich nicht als offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz davon absah, auf die sog. "Aussage der ersten Stunde" abzustellen. Auch deren Ausführungen zu den stattdessen berücksichtigten Umständen der Erwerbsbiographie und des familiären Umfelds sind nicht zu beanstanden und werden von der Beschwerdeführerin im Übrigen nicht konkret kritisiert.
4.3. Ausserdem rügt die Beschwerdeführerin eine offensichtlich unrichtige bzw. unvollständige Sachverhaltsfeststellung. So habe sich das kantonale Gericht nicht mit der Situation nach der Geburt des dritten Kindes im Dezember 2017 auseinandergesetzt und sich insbesondere nicht zum Telefonat zwischen der zuständigen Abklärungsperson und der Versicherten vom 9. Mai 2018 geäussert. Dies trifft zwar zu. In diesem Zusammenhang gilt es allerdings, wie eingangs erwähnt (vgl. E. 2), zu beachten, dass das Bundesgericht den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt von Amtes wegen oder auf entsprechendes Begehren der Partei selbst berichtigen kann (<ref-law>). Dies ist hier möglich und angezeigt (vgl. Urteil 8C_296/2019 vom 9. Oktober 2019 E. 3.1 mit Hinweisen). Dem Bericht über das Telefongespräch vom 9. Mai 2018 lässt sich entnehmen, dass die Abklärungsperson die Versicherte fragte - so die Aktennotiz wörtlich -, "wie sie es nun mit drei Kindern geregelt hätte, wenn sie gesund wäre und arbeiten würde. Sie sagte, es wäre überhaupt kein Problem, der Schwiegervater sei seit Jan. 17 pensioniert und dieser würde die Kinder 50 % hüten. Sie müsste diese somit nicht mal mehr in die Krippe geben. Die Schwiegermutter würde auch nächstens pensioniert, was es dann nochmals einfacher machen würde." Der Bericht schliesst mit dem Satz: "Somit würde die Versicherte bei guter Gesundheit weiterhin 50 % arbeiten." Aufgrund des Aufbaus des kurzen Texts und der Wortwahl ist dieser letzte Satz nicht als Aussage der Beschwerdegegnerin zu verstehen, sondern als Würdigung bzw. Folgerung der Sachbearbeiterin. Dessen ungeachtet verwies die Versicherte hier wiederum auf die Unterstützung, die sie seitens der Familie erfährt. Unter Berücksichtigung dieses Aspekts erweist sich die vorinstanzliche Einschätzung, dass eine Pensenreduktion auch nach der Geburt des dritten Kindes nicht mit überwiegender Wahrscheinlichkeit dargetan sei, im Ergebnis nicht als offensichtlich unrichtig. Etwas anderes ergibt sich schliesslich auch nicht daraus, dass die Vorinstanz, wie die Beschwerdeführerin geltend macht, die persönlichen Verhältnisse der Beschwerdegegnerin nicht gewürdigt habe. Denn vorliegend sprechen jedenfalls weder ihr Alter von 38 Jahren im Verfügungszeitpunkt noch ihre Ausbildung als Zahntechnikerin gegen die Annahme einer fortgesetzten Vollzeit-Erwerbstätigkeit. Die Beschwerde ist daher abzuweisen.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Sie hat der Beschwerdegegnerin überdies eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Betschart