Faits :
A.
A.a. A.A._, né en 1978, et B.A._, née en 1980, tous deux de nationalité française, se sont mariés le 27 août 2005. Deux enfants sont issus de cette union: C._, née en 2005, et D._, née en 2014.
Les conjoints vivent séparés depuis la fin de l'année 2016.
A.b. Le 19 septembre 2017, l'épouse a formé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale.
Par jugement du 9 février 2018, le Tribunal de première instance du canton de Genève (ci-après: Tribunal) a notamment attribué au mari la jouissance exclusive du domicile conjugal (ch. 2) et confié à chacun des parents la garde alternée des enfants (ch. 3), le domicile légal de ceux-ci étant chez leur mère (ch. 4). Il a en outre condamné le mari à payer les contributions d'entretien suivantes:
- pour l'épouse, 2'860 fr. par mois du 1er janvier au 31 décembre 2017, sous déduction des montants versés au jour du jugement, et 2'485 fr. par mois dès le 1er janvier 2018 (ch. 5);
- pour l'enfant D._, allocations familiales ou d'études non comprises, 3'000 fr. par mois du 1er janvier au 31 décembre 2017, sous déduction des montants versés au jour du jugement, et 2'900 fr. par mois dès le 1er janvier 2018 (ch. 6);
- pour l'enfant C._, allocations familiales ou d'études non comprises, 3'770 fr. par mois du 1er janvier au 31 décembre 2017, sous déduction des montants versés au jour du jugement, et 3'650 fr. par mois dès le 1er janvier 2018 (ch. 7).
Le Tribunal a par ailleurs condamné le mari à verser à l'épouse la somme de 2'000 fr. à titre de dépens (ch. 10).
B.
Le mari a appelé de ce jugement. Par arrêt du 21 août 2018, expédié le 11 septembre 2018, la Cour de justice du canton de Genève a annulé les chiffres 5 à 7 du dispositif et, statuant à nouveau sur ces points, a condamné le mari à verser, dès le 1er janvier 2017 et sous déduction des montants déjà versés, des contributions d'entretien mensuelles de 2'000 fr. pour l'épouse, 3'000 fr. pour D._ et 2'000 fr. pour C._. L'autorité cantonale a en outre donné acte au débirentier de son engagement de payer en sus l'écolage privé de C._ jusqu'à la fin de l'année scolaire 2017-2018, l'y condamnant en tant que de besoin. Le jugement attaqué a été confirmé pour le surplus.
C.
Par acte posté le 12 octobre 2018, le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 21 août 2018. Il conclut à son annulation en tant qu'il confirme sa condamnation à payer à l'intimée 2'000 fr. à titre de dépens de première instance, à ce que le montant mensuellement dû pour l'entretien de sa fille D._ soit réduit de 3'000 fr. à 2'500 fr. et à ce qu'aucune contribution ne soit allouée à l'épouse. Subsidiairement, il requiert l'annulation de l'arrêt attaqué et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimée propose le rejet du recours.
Le recourant a persisté dans les termes de son recours sans formuler d'observations complémentaires.
L'autorité cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt.

Considérant en droit :
1.
1.1. Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4) prise sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2) de nature pécuniaire dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 let. a, 51 al. 4 et 74 al. 1 let. b LTF). Le recourant a participé à la procédure devant l'autorité précédente et a un intérêt digne de protection à la modification ou l'annulation de la décision entreprise (art. 76 al. 1 let. a et b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
1.2. Comme la décision attaquée porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 5, 585 consid. 3.3), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant ("principe d'allégation"; <ref-law>), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le recourant ne peut se borner à critiquer la décision attaquée comme il le ferait en procédure d'appel, où l'autorité de recours jouit d'une libre cognition, notamment en se contentant d'opposer sa thèse à celle de l'autorité précédente; les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF <ref-ruling> consid. 2.4).
1.3. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'<ref-law>, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de la décision cantonale que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 1.2). Le recourant ne peut se limiter à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 1.4.3). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
2.
Le recourant conteste devoir une contribution d'entretien à l'intimée. Il reproche à l'autorité cantonale d'avoir appliqué les art. 176 et 163 CC de manière insoutenable. L'arrêt attaqué consacrerait en outre des violations importantes de l'interdiction de l'arbitraire s'agissant de l'appréciation des preuves et de l'établissement des faits.
2.1. Pour fixer la contribution d'entretien selon l'<ref-law>, le juge doit partir de la convention, expresse ou tacite, que les époux ont conclue au sujet de la répartition des tâches et des ressources entre eux, l'<ref-law> demeurant la cause de leur obligation d'entretien réciproque (<ref-ruling> consid. 4.2.1; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.1). La loi n'impose pas de mode de calcul de la contribution d'entretien (<ref-ruling> consid. 4.2.2; <ref-ruling> consid. 3.2.2). En cas de situation économique favorable, dans laquelle les frais supplémentaires liés à l'existence de deux ménages séparés sont couverts, l'époux créancier peut prétendre à ce que la pension soit fixée de façon telle que son train de vie antérieur, qui constitue la limite supérieure du droit à l'entretien afin de ne pas anticiper sur la répartition de la fortune (<ref-ruling> consid. 4.2.1; <ref-ruling> consid. 4.2.1.1), soit maintenu (<ref-ruling> consid. 3b et les références; arrêts 5A_970/2017 du 7 juin 2018 consid. 4.2; 5A_593/2017 du 24 novembre 2017 consid. 3.1). La comparaison des revenus et des minima vitaux est alors inopportune; il faut se fonder sur les dépenses nécessaires au maintien de ce train de vie (<ref-ruling> consid. 3; arrêt 5A_593/2017 du 24 novembre 2017 consid. 3.1), méthode qui implique un calcul concret (arrêts 5A_323/2012 du 8 août 2012 consid. 5.1, non publié in <ref-ruling>; 5A_932/2015 du 10 mai 2015 consid. 4.3). Il appartient au créancier de préciser les dépenses nécessaires à son train de vie et de rendre celles-ci vraisemblables, le juge statuant sur la base des justificatifs immédiatement disponibles (arrêt 5A_593/2017 du 24 novembre 2017 consid. 3.1 et la jurisprudence citée).
2.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que la méthode du minimum vital élargi avec répartition de l'excédent appliquée par le Tribunal n'était pas adaptée à la situation financière favorable des parties, qui permettait le maintien du train de vie antérieur de l'ensemble des membres de la famille. Se fondant sur les revenus et les charges nécessaires audit maintien alléguées par l'épouse, elle a retenu que celle-ci percevait un salaire mensuel net de 7'051 fr. pour des charges admissibles de 6'771 fr. par mois, hors impôts, ce qui lui permettait de couvrir son train de vie antérieur, à l'exception de sa charge fiscale. Celle-ci pouvait être estimée à 2'200 fr. par mois, de sorte que l'épouse devait combler un déficit mensuel de 1'920 fr. Il convenait par conséquent de lui allouer une contribution d'entretien d'un montant de 2'000 fr. par mois.
3.
Le recourant reproche à la Cour de justice d'avoir retenu de manière totalement erronée qu'il n'avait pas contesté les charges alléguées par l'intimée " pour chacun des membres de la famille ". Il affirme que c'est précisément parce qu'il les a contestées qu'une partie des charges de l'épouse ont été écartées par le jugement de première instance, lequel ne fait nullement état d'une absence de contestation desdites charges. Il l'avait du reste souligné en appel, tout comme il avait indiqué qu'il ne contestait pas les charges de l'intimée " telles que retenues par le jugement de première instance ", à l'exception de la charge fiscale qui devait être réduite. L'épouse avait en outre expressément indiqué dans sa réponse à l'appel qu'elle acquiesçait intégralement aux faits et à la motivation du Tribunal. L'autorité cantonale aurait ainsi admis de manière insoutenable dans le budget de l'intimée des charges de 506 fr. 60 plus élevées que celles retenues par le premier juge. L'autorité précédente aurait également erré en ajoutant dans les dépenses de l'intimée la moitié de l'entretien de base des enfants, soit un montant de 500 fr., alors que ces frais devaient être comptabilisés dans les besoins de ceux-ci. Les charges de l'épouse auraient ainsi été arbitrairement augmentées d'un montant total de 1'006 fr. 60, d'où un prétendu déficit de 1'920 fr. par mois. La Cour de justice serait par conséquent tombée dans l'arbitraire en lui allouant une contribution d'entretien, alors qu'elle disposerait des ressources nécessaires au maintien de son niveau de vie antérieur.
3.1. Contrairement au Tribunal, qui a fixé les contributions d'entretien en recourant à la méthode du minimum vital élargi avec répartition de l'excédent, la Cour de justice a appliqué celle du maintien du niveau de vie antérieur. Dès lors, il ne peut être reproché à l'autorité précédente d'avoir tenu compte de postes de charges qui avaient été écartés ou réduits par le Tribunal au motif qu'ils étaient excessifs ou - de façon erronée s'agissant en particulier des vacances (cf. arrêt 5A_956/2015 du 7 septembre 2016 consid. 4.2) - qu'ils étaient inclus dans le montant de base du droit des poursuites. En effet, la méthode de calcul concrète n'implique pas que le conjoint crédirentier ne puisse prétendre qu'à la couverture de son minimum vital, même élargi au sens du droit de la famille.
Il n'en demeure pas moins que si, lorsque cette méthode s'applique, le créancier peut faire valoir ses frais effectifs, ceux-ci ne peuvent être pris en compte que pour autant qu'ils soient démontrés (arrêt 5A_172/2018 du 23 août 2018 consid. 4.3 in fine). En l'occurrence, même en statuant sous l'angle de la vraisemblance (cf. supra consid. 2.1), il était insoutenable d'admettre, sans autres explications, des charges qui avaient simplement été alléguées par l'épouse et dont le premier juge avait estimé qu'elles n'étaient pas établies. Dans cette mesure, l'état de fait retenu par l'autorité cantonale se révèle donc arbitraire.
3.2. La Cour de justice a de plus inclus de manière insoutenable dans les frais mensuels de l'épouse la moitié de l'entretien de base des filles des parties, soit une somme de 500 fr. (600 fr. pour l'aînée + 400 fr. pour la cadette./. 2). Il est vrai que ces montants (pour les frais d'alimentation, les vêtements et le linge y compris leur entretien, les soins corporels et de santé, etc.) n'ont pas été pris en considération dans les besoins des enfants, comme l'admet du reste le recourant. Dès lors que le juge doit fixer séparément la contribution d'entretien du conjoint et celle des enfants (<ref-law>), on ne saurait cependant considérer qu'ils seraient d'une certaine façon compensés. La critique doit ainsi être partiellement admise. Lorsque, comme ici, la contribution d'entretien a été fixée, non pas ex aequo et bono, mais sur la base d'une méthode de calcul précise (celle du maintien du niveau de vie antérieur) s'appuyant sur des données effectives et chiffrées en détail (sur cette distinction: arrêt 5P.361/2006 du 19 janvier 2006 consid. 2.4, non publié aux <ref-ruling>), l'erreur touchant l'un des postes du budget entraîne la cassation, même si le montant octroyé demeure dans les limites du pouvoir d'appréciation (arrêt 5P.192/2004 du 20 juillet 2004 consid. 3.1 et la jurisprudence citée; cf. aussi arrêt 5A_858/2016 du 3 juillet 2017 consid. 3.4). La décision attaquée apparaît ainsi arbitraire dans son résultat et doit par conséquent être annulée en tant qu'elle concerne la pension due à l'épouse.
4.
Le recourant critique en outre le montant de la contribution à l'entretien de sa fille cadette, estimant qu'il aurait été fixé sur la base de charges arbitrairement établies. Il se plaint aussi à cet égard d'une application insoutenable des art. 176, 276 et 285 CC, ainsi que d'une violation de son droit à une décision motivée (art. 29 al. 2 Cst.).
4.1. En vertu de l'<ref-law>, en tant que des enfants mineurs sont concernés, le juge ordonne les mesures nécessaires d'après les dispositions sur les effets de la filiation (<ref-law>). La contribution d'entretien doit correspondre aux besoins de l'enfant ainsi qu'à la situation et aux ressources des père et mère (<ref-law>). Les critères à prendre en compte pour calculer la contribution d'entretien s'appuient sur les besoins de l'enfant et sur la situation financière de ses père et mère (arrêts 5A_584/2018 du 10 octobre 2018 consid. 4.1; 5A_764/2017 du 7 mars 2018 consid. 4.1.3 et les références). Si les conditions financières sont bonnes, l'entretien de l'enfant et ses besoins sont calculés de façon concrète en se basant sur le niveau de vie déterminant du débiteur de l'entretien (arrêt 5A_85/2017 du 19 juin 2017 consid. 6.1).
4.2. En l'occurrence, le Tribunal a retenu que les charges mensuelles de la fille cadette des parties comprenaient la participation au loyer de ses parents (255 fr. + 195 fr. 40), la prime d'assurance-maladie LAMal (81 fr. 45) et LCA (59 fr. 80), les frais médicaux non remboursés (9 fr.), les frais de crèche (1'450 fr.) et la moitié du minimum vital du droit des poursuites (200 fr.), soit un total de 2'250 fr. 65. Les frais pour les cours de bébés nageurs devaient être écartés car il n'avaient pas été prouvés par pièce. Il en allait de même des frais de vacances et de loisirs, lesquels faisaient en outre partie du minimum vital du droit des poursuites. Ainsi, sous déduction des allocations familiales, les charges mensuelles de l'enfant s'élevaient à 1'917 fr. 80.
La Cour de justice a quant à elle ajouté les frais de nounou (540 fr., soit assurance-accident: 10 fr. 40; AVS: 29 fr. 17; salaire estimé: 400 fr.; frais extraordinaires: 100 fr.), les cours de bébés nageurs (46 fr. 66), ainsi que les frais de vacances et de loisirs (500 fr.). Déduction faite des allocations familiales, les frais effectifs de l'enfant devaient donc être fixés à 2'805 fr.
4.3. Le recourant fait grief à l'autorité précédente d'avoir retenu à tort dans les besoins de l'enfant un montant de 195 fr. 40 correspondant au 10% de son loyer, qu'il paierait par conséquent à double (directement en tant que loyer et indirectement par le biais de la contribution d'entretien). Il ne ressort cependant pas de ses écritures d'appel qu'il aurait critiqué cette somme - déjà admise par le premier juge - devant la Cour de justice. Faute d'avoir satisfait au principe de l'épuisement des instances cantonales sur ce point (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.1), ce moyen doit en conséquence être considéré comme nouveau et, partant, irrecevable (arrêt 5A_771/2018 du 28 mars 2019 consid. 4.3 et les références).
Pour le surplus, comme il a été exposé s'agissant de la pension due à l'épouse (cf. consid. 3.1), il n'était pas insoutenable d'inclure, dans le calcul des dépenses nécessaires au maintien du train de vie de l'enfant, des postes inadmissibles dans le cadre de l'application de la méthode du minimum vital, pour autant toutefois qu'ils aient été, à tout le moins, rendus vraisemblables. Comme le fait valoir le recourant, les frais dont le Tribunal avait estimé qu'ils n'étaient pas prouvés par pièces ont donc été arbitrairement pris en considération par la Cour de justice. Inversement, l'autorité précédente a aussi omis, de manière insoutenable, de tenir compte de la moitié du montant de base du droit des poursuites dans les charges nécessaires à l'enfant.
Autant qu'il est recevable, le grief doit donc être partiellement admis.
5.
Dans un dernier moyen, le recourant reproche à la juridiction précédente d'avoir fait preuve d'arbitraire dans l'application de l'<ref-law> et commis un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 Cst., en confirmant les dépens de première instance alloués à l'intimée, soit 2'000 fr., bien que l'appel qu'il avait interjeté eût été partiellement admis.
5.1. L'autorité cantonale a retenu que le chef de conclusions de l'appelant tendant à l'annulation du chiffre 10 du jugement du Tribunal - le condamnant à verser une somme de 2'000 fr. à l'épouse au titre de dépens de première instance - était irrecevable faute de motivation, mais que les frais pourraient être revus d'office en cas d'annulation de tout ou partie du jugement entrepris dans le cadre de l'appel, conformément à l'<ref-law>. En définitive, elle a toutefois estimé que, dès lors que ni le montant, ni la répartition des frais judiciaires et des dépens de première instance n'avaient été valablement remis en cause en appel et que ceux-ci avaient été arrêtés conformément aux règles légales (art. 95, 96, 104 al. 1, 107 al. 1 let. c CPC; art. 5 et 31 du Règlement fixant le tarif des frais en matière civile (RTFMC; RSG E 1 05.10), le jugement entrepris devait être confirmé sur ce point.
5.2. L'appel n'avait pas uniquement pour objet la question des dépens, mais portait également sur les contributions d'entretien. Dans la mesure où la cour cantonale a réformé la décision de première instance en admettant partiellement l'appel et en statuant à nouveau au fond, il lui appartenait également d'arrêter à nouveau les frais et dépens de première instance, conformément à l'<ref-law> (arrêts 5A_493/2015 du 20 octobre 2015 consid. 5.1; 4A_22/2013 du 31 juillet 2013 consid. 2.9).
La décision attaquée n'apparaît cependant pas arbitraire dans son résultat. Les frais et dépens sont répartis entre les parties en application des art. 106 et 107 CPC, la règle étant qu'ils sont en principe mis à la charge de la partie qui succombe (<ref-law>). Le tribunal peut toutefois s'écarter de cette règle et les répartir selon sa libre appréciation dans les hypothèses prévues par l'<ref-law>, notamment lorsque le litige relève du droit de la famille (art. 107 al. 1 let. c CPC); il n'est ainsi pas exclu, dans ce type de procédure, que la partie qui obtient gain de cause soit condamnée à supporter des frais (arrêts 5A_398/2015 du 24 novembre 2015 consid. 5.1; 5D_76/2012 du 11 septembre 2012 consid. 4.4). Statuant dans ce cadre selon les règles du droit et de l'équité, l'autorité cantonale dispose d'un large pouvoir d'appréciation (<ref-ruling> consid. 3; arrêt 5A_398/2015 du 24 novembre 2015 consid. 5.1 et la référence). Selon le jugement de première instance, le Tribunal avait en l'espèce estimé que, bien qu'il ne fût habituellement pas alloué de dépens dans les litiges du droit de la famille (art. 107 al. 1 let. c CPC), l'épouse avait sollicité le paiement d'une somme de dépens laissée à la discrétion du Tribunal et le mari avait acquiescé à cette conclusion, de sorte que celui-ci serait condamné à payer le montant de 2'000 fr. à l'épouse à ce titre. Bien que l'appel ait été partiellement admis s'agissant des contributions d'entretien, aucune des parties n'a obtenu entièrement gain de cause en première et deuxième instances, de sorte que le montant des dépens mis à la charge du mari en première instance n'apparaît pas manifestement inéquitable. Le fait qu'une autre solution, plus favorable au recourant, aurait pu être envisagée, ne permet aucunement de tenir le raisonnement de la cour cantonale pour arbitraire (arrêt 5D_169/2015 du 4 février 2016 consid. 5.3.2).
Par ailleurs, la Cour de justice ayant considéré, en application de l'<ref-law>, que l'annulation partielle du premier jugement ne commandait pas de revoir la décision du Tribunal sur les frais et dépens, les juges précédents ne peuvent pas non plus se voir reprocher d'avoir commis un déni de justice formel.
6.
En conclusion, le recours doit être partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour qu'elle apprécie à nouveau le montant des contributions d'entretien, en tenant compte de ce qui précède et sans omettre de recalculer la charge fiscale de l'intimée.
Compte tenu du sort de la cause, les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties (<ref-law>) et les dépens sont compensés (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours en matière civile est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, l'arrêt attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis pour moitié à la charge de chacune des parties.
3.
Les dépens sont compensés.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 23 mai 2019
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot