Faits :
A.
A.a. Dans le cadre de la succession de son père mort en Italie, Z._ a signé en 2004 des accords dont elle a estimé ensuite qu'ils la lésaient. Elle a versé 25 millions d'euros aux avocats B._, à Genève, et C._, à... (Italie), qui l'avaient conseillée pour la signature desdites conventions.
A.b. En automne 2006, la prénommée a mandaté l'avocat genevois A._ pour qu'il examine la possibilité de dénoncer ces accords et de contester les honoraires versés.
A._ a requis la collaboration de confrères en Italie, soit D._ et E._.
A.c. A._ a engagé des pourparlers avec C._ aux fins d'obtenir une rétrocession partielle des honoraires perçus et de recueillir des informations sur les circonstances réelles qui l'avaient conduit à convaincre Z._ de signer les accords successoraux litigieux.
Le 24 avril 2008, A._ et ses confrères italiens ont considéré que si aucun accord n'était signé avec C._, il faudrait envisager une procédure pénale en Italie pour infedele patrocinio (délit de l'avocat trahissant les intérêts de son client), ce dont ils ont informé Z._.
Lors d'une réunion du 11 septembre 2008 à laquelle la mandante assistait, il a été décidé de n'agir que si la probabilité de prouver l'infraction était suffisamment élevée, d'établir un exposé pour la police fiscale et de préparer une action en Suisse contre les deux précédents avocats.
A.d. Dans un courrier du 13 janvier 2009, A._ a proposé à sa cliente de saisir l'étude d'avocats au sein de laquelle exerçait C._ et de dénoncer celui-ci au fisc italien le moment venu. Il soulignait que les démarches contre son confrère représentaient un volet secondaire du dossier, mais important dans la perspective de l'invalidation des accords successoraux.
Le 16 janvier 2009, l'avocat genevois a sollicité des explications auprès de l'étude de C._, en l'informant que celui-ci avait touché des honoraires à hauteur de 15 millions d'euros sur un compte numéroté en Suisse dans le cadre de son activité pour Z._, sans émettre de facture ni détailler son activité ou préciser le tarif horaire.
A.e. Lors d'une nouvelle réunion le 30 janvier 2009, Z._ et ses conseils ont décidé de dénoncer C._ à l'Ordre des avocats de... et d'attendre de voir si cette entité saisissait elle-même le fisc.
Le 4 mai 2009, C._ a ainsi été dénoncé à l'Ordre des avocats, au motif qu'il avait perçu des honoraires sans émettre de facture ni fournir d'explications.
Le 15 mai 2009, Z._ a proposé à A._ de faire intervenir deux nouveaux avocats italiens - Mes F._ et G._ - dans la procédure civile italienne en cours.
A._ a répondu à sa cliente le 19 mai 2009 qu'il n'était pas convaincu par cette proposition et que le projet de dénonciation de C._ aux autorités fiscales était en cours de préparation.
A.f. Le 1er juin 2009, Z._ et son époux ont réuni A._ et ses confrères italiens D._ et E._ à leur domicile, afin qu'ils discutent avec Mes F._ et G._ des propositions que ceux-ci pouvaient émettre. Avant l'arrivée de ces deux derniers, le dépôt d'une plainte pénale contre C._ a été évoqué.
A l'issue de la rencontre, les avocats ne sont pas parvenus à un accord quant à une éventuelle collaboration.
A.g. Par courrier du 2 juin 2009, A._ a confirmé à sa cliente qu'il n'était pas en mesure d'envisager une collaboration avec les avocats F._ et G._, les considérant comme dangereux pour la cause. Il a remis son mandat à sa disposition, en la priant de lui indiquer quelle décision elle entendait prendre pour la suite du dossier et en lui assurant qu'il n'entreprendrait rien qui puisse contrevenir à ses intérêts.
L'intéressée n'a pas répondu à cette lettre.
A.h. A la mi-juin 2009, un journal italien a relaté que C._ avait été victime d'une tentative d'extorsion par A._ et Z._.
Le 1er juillet 2009, A._ a saisi le procureur de... (Italie) d'une plainte pénale contre C._, signée en son nom propre.
Par courrier du même jour, l'avocat a informé sa cliente de cette démarche, en précisant qu'il avait agi conformément à sa demande et avait signé la plainte en son nom, de sorte que l'inévitable contre-attaque serait dirigée contre lui et non contre elle.
Dans cette missive, A._ soulignait que C._ avait été renvoyé par ses associés, que les autorités fiscales italiennes s'étaient saisies du dossier et que l'intéressé en était désormais réduit à déposer des plaintes pour tentative d'extorsion à la suite des articles de presse. La réputation de C._ était ainsi ruinée. La stratégie mise en place depuis 2007 était en passe d'être atteinte, et A._ n'entendait pas en changer. Il mettait sa cliente en garde contre les "solutions magiques" que d'autres lui faisaient miroiter. Elle était toutefois libre de le remplacer, lui et son équipe, si elle le souhaitait.
A.i. Par courrier du 3 juillet 2009, Z._ a révoqué avec effet immédiat les mandats confiés à A._, en arguant notamment du fait que la plainte pénale avait été déposée sans qu'elle en ait été informée.
Le même jour, A._ a pris acte de cette décision tout en contestant que la plainte pénale ait été déposée à l'insu de sa cliente; il rappelait que cette démarche avait été décidée le 1er juin 2009, la cliente ayant même insisté pour qu'elle fût déposée le plus vite possible.
A.j. Après que Z._ eut décidé de révoquer les mandats confiés à A._, le parquet de... (Italie) s'est saisi d'office de la question de savoir si les deux prénommés avaient tenté de contraindre C._ à signer un affidavit favorable à leur cause, en le menaçant d'une dénonciation aux autorités fiscales italiennes.
Dans ce contexte, A._ a été entendu le 14 septembre 2009 à sa propre requête. Il en a informé sa cliente par courrier du 4 septembre 2009, dans lequel il précisait qu'il serait accompagné d'un conseil italien, ce qui générerait quelques frais.
Le 16 décembre 2009, C._ a formellement déposé plainte pénale à... (Italie) pour tentative d'extorsion contre A._ et Z._. A._ a derechef mandaté un conseil italien pour la défense de ses intérêts.
La plainte a été classée en 2013.
A.k. Des journaux suisses et italiens ont publié des articles relatant cette affaire.
Le 12 avril 2010, A._ a ouvert une action civile à Genève contre le journal "J._" pour atteinte aux droits de la personnalité.
Il a été débouté de ses conclusions sur mesures provisionnelles. Sur le fond, il a obtenu la publication d'un correctif, mais ses conclusions en dommages-intérêts ont été rejetées.
A.l. A._ a réclamé le remboursement des frais engagés dans ces procédures.
Z._ a répondu le 2 mai 2011 qu'elle y était opposée, au motif que l'intéressé avait agi de sa propre initiative et sans son consentement. Toutefois, pour mettre un terme de manière définitive et paisible à ces questions et pour tenir compte des bonnes relations qu'ils avaient eues par le passé, elle était disposée à lui verser un montant unique et forfaitaire de 60'000 fr., à bien plaire et sous les réserves exprimées dans le courrier. Afin de lever toute ambiguïté, elle précisait que ce versement ne constituait pas le paiement des montants demandés, ni ne pouvait être interprété comme la reconnaissance ou l'approbation a posteriori des travaux et diligences effectués.
Le jour même, la cliente a fait virer la somme précitée à l'avocat, qui a refusé d'y voir un versement pour solde de tout compte.
A.m. En automne 2011, C._ a publié un livre relatant l'affaire.
A._ a saisi les juridictions civiles italiennes pour faire valoir ses droits à la personnalité et a perdu son procès.
Le 3 janvier 2012, C._ a déposé une plainte pénale à Genève contre l'avocat suisse et sa cliente pour chantage aggravé et instigation à faux témoignage. L'affaire a été classée.
A.n. Le 18 décembre 2012, A._ a adressé à sa mandante un récapitulatif des frais qu'il avait engagés pour défendre ses intérêts dans les diverses procédures consécutives au dépôt, le 1 er juillet 2009, de la plainte pénale contre C._.
Z._ a refusé tout versement supplémentaire. Elle a déclaré qu'elle-même avait "été entraînée dans des circonstances très difficiles" après l'article publié dans "J._" et le livre de C._. Elle n'avait pas agi judiciairement car cela ne servait à rien.
B.
B.a. Le 2 juillet 2013, A._ a saisi le Tribunal de première instance du canton de Genève d'une requête de conciliation dirigée contre Z._. Le 24 juin 2014, il a déposé une demande en paiement devant ce même tribunal. En dernier lieu, il a porté ses conclusions à 330'818 fr. 40 plus intérêts, à titre de remboursement des frais qu'il avait engagés pour défendre ses intérêts dans différentes procédures postérieures au dépôt de la plainte pénale contre C._. Plus précisément, il prétendait aux montants suivants:
- Fr. 130'319.56 pour la procédure pénale italienne (let. A.j supra);
- Fr. 164'687.80 pour la procédure civile genevoise (let. A.k supra);
- Fr. 14'077.40 pour la procédure civile italienne (let. A.m supra);
- Fr. 26'723.95 pour la procédure pénale genevoise (let. A.m supra);
- Fr. 55'009.67 à titre des droits de greffe, dépens et frais divers.
Le total des prétentions ascendait ainsi à 390'818 fr. 40, soit 330'818 fr. 40 après déduction des 60'000 fr. déjà versés par la défenderesse (let. A.l supra).
B.b. Le demandeur a sollicité l'audition, en qualité de témoins, de ses deux confrères italiens D._ et E._. Il a en outre produit deux courriers des 6 et 7 juin 2012, dans lesquels les prénommés relataient les circonstances du dépôt de la plainte pénale contre C._ (pièces 73 et 74).
La défenderesse s'est opposée à de tels moyens de preuve qu'elle tenait pour illicites, les deux avocats étant soumis au secret professionnel.
Le Tribunal de première instance a procédé à l'audition des intéressés, après les avoir rendus attentifs à leur droit de refuser de collaborer. La défenderesse ne les avait toutefois pas libérés de leur secret professionnel.
B.c. Par jugement du 17 mai 2017, le Tribunal de première instance a rejeté la demande.
Il a refusé d'écarter les témoignages des deux avocats italiens sans égard à la possibilité qu'ils aient été recueillis en violation de règles déontologiques, dès lors qu'ils étaient nécessaires pour établir les circonstances et le déroulement de la réunion du 1er juin 2009.
Sur le fond, le tribunal a jugé que les parties avaient été liées par un contrat de mandat et que la question du remboursement des frais devait s'examiner à l'aune de l'<ref-law>. Les frais dont l'avocat demandait le remboursement étaient certes une conséquence indirecte de son activité de mandataire, mais n'étaient pas liés à l'exécution proprement dite de son mandat et n'étaient pas nécessaires à celle-ci. L'avocat ne pouvait donc pas se fonder sur l'<ref-law>, sauf à démontrer que sa cliente avait ratifié les démarches entreprises ou qu'un accord avait été passé quant à la prise en charge de ces frais. Or, ni l'une ni l'autre de ces hypothèses n'était établie.
A titre superfétatoire, le tribunal a constaté que la plainte pénale contre C._ avait été déposée sans l'accord formel de la cliente. Certes, le principe du dépôt de cette plainte avait été accepté par la cliente dès le début du mandat et confirmé au début de la séance du 1er juin 2009; toutefois, au lendemain de celle-ci, le demandeur avait mis son mandat à disposition, attendant que sa cliente se détermine quant à la poursuite ou non de sa mission. Son mandat étant en suspens, il ne pouvait pas déposer la plainte pénale sans s'assurer au préalable que l'intéressée y consentait toujours malgré leurs divergences en cours.
B.d. Par arrêt du 10 avril 2018, la Cour de justice genevoise a rejeté l'appel formé par le demandeur.
C.
Le demandeur a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile, dans lequel il conclut derechef à ce que la défenderesse soit condamnée à lui verser la somme de 330'818 fr. 40, intérêts en sus.
L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.
La défenderesse a conclu au rejet du recours.
Le demandeur a répliqué, suscitant une duplique de la défenderesse.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) par le demandeur qui a succombé dans ses conclusions en paiement (<ref-law>) et dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu sur recours par le tribunal supérieur du canton (<ref-law>) dans une contestation civile pécuniaire dont la valeur litigieuse excède 30'000 fr. (art. 72 al. 1 et 74 al. 1 let. b LTF), le présent recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions.
2.
L'avocat réclame à sa mandante le remboursement des frais qu'il a engagés pour se défendre dans les deux procédures pénales initiées à son encontre par C._, plus les frais inhérents aux deux procès civils qu'il a intentés pour faire valoir ses droits de la personnalité suite à des publications sur l'affaire de sa cliente. Tous ces frais sont intervenus après qu'il eut lui-même déposé une plainte pénale contre son confrère, démarche qui était selon lui destinée à protéger sa cliente et qui faisait partie de la stratégie prévue pour l'exécution de son mandat.
Pour la bonne compréhension de la cause, il convient de résumer ci-dessous la motivation de l'arrêt attaqué, avant d'examiner les griefs du demandeur qui visent d'une part les constatations de fait sur la base desquelles la cour cantonale a statué (cf. consid. 3 infra), d'autre part l'application de l'<ref-law> (cf. consid. 4 infra).
2.1. Contrairement au Tribunal de première instance, la Cour de justice a jugé que les témoignages des avocats D._ et E._ devaient être écartés, tout comme les pièces 73 et 74: il s'agissait là de moyens de preuves illicites (<ref-law>), obtenus en violation des normes de droit matériel italiennes réglementant la profession d'avocat. Dans cette cause de nature patrimoniale, l'intérêt à la manifestation de la vérité devait s'effacer devant l'intérêt public au respect du secret professionnel.
2.2. Sur le fond, l'autorité précédente a tenu pour acquis que les frais litigieux n'étaient pas nécessaires à l'exécution du mandat et que les démarches à l'origine de ces frais n'avaient pas été approuvées préalablement par la défenderesse, ni ratifiées ultérieurement: la Cour ne discernait dans l'appel aucune critique qui viserait ces points du jugement de première instance.
2.3. L'unique question litigieuse était ainsi de savoir si les parties avaient conclu un accord quant à la prise en charge des frais par la défenderesse. Or l'existence d'un tel accord devait être niée sur la base des moyens de preuve admissibles figurant au dossier. Un tel accord n'était évoqué ni dans les différents courriers - notamment dans celui informant la défenderesse du dépôt de la plainte pénale contre C._ -, ni dans les rapports résumant les réunions, lesquels détaillaient pourtant avec précision toutes les étapes nécessaires à l'atteinte de l'objectif fixé.
Par ailleurs, rien n'indiquait qu'un tel accord ait été conclu oralement puis ratifié par actes concluants par la défenderesse. Quand bien même il aurait été convenu que A._ signe en son nom la plainte pénale dirigée contre son confrère, pour protéger la défenderesse - ce qui ne résultait pas des moyens de preuve admissibles versés à la procédure -, ce simple fait ne saurait suffire à démontrer l'existence d'un accord oral, voire implicite, de l'intéressée quant à la prise en charge de l'ensemble des frais engagés par le demandeur pour sa propre défense, sans égard au nombre de démarches entreprises et à leur coût. Or le dossier ne contenait aucun autre élément de nature à démontrer l'existence d'un tel accord. En particulier, le versement de 60'000 fr. effectué le 2 mai 2011 par la défenderesse en faveur du demandeur ne pouvait pas s'interpréter comme un accord inconditionnel quant à la prise en charge des frais de défense assumés par le demandeur, voire comme une ratification ultérieure des démarches engagées. La défenderesse avait en effet expressément précisé que ce versement était opéré à bien plaire, par gain de paix, et ne constituait pas une reconnaissance du bien-fondé des montants réclamés.
Dans ces circonstances, il importait peu de savoir si la défenderesse avait consenti au dépôt de la plainte pénale contre C._, puisque ce fait ne permettrait pas d'admettre la conclusion d'un tel accord.
2.4. A titre superfétatoire, la cour cantonale a relevé que la solution ne serait pas différente si les témoignages de D._ et E._ devaient être pris en compte. Ces derniers corroboraient certes la version du demandeur selon laquelle la défenderesse avait, lors de la réunion du 1er juin 2009, donné l'instruction de déposer la plainte pénale contre C._; en revanche, aucun n'évoquait un accord de la défenderesse quant à la prise en charge des frais litigieux.
2.5. Les juges cantonaux ont enfin considéré qu'un remboursement des frais fondé sur l'<ref-law> n'entrait pas en ligne de compte. D'une part, l'existence d'un lien de causalité adéquate n'était pas démontrée: les procédures à l'origine des frais litigieux - en particulier la saisine d'office du parquet de... (Italie), la parution dans des journaux suisses d'articles attentatoires à l'honneur du demandeur et la publication par C._ d'un livre - résultaient d'évènements fortuits qui n'étaient pas objectivement prévisibles dans l'enchaînement concret des circonstances. D'autre part, aucun des éléments figurant au dossier ne permettait de retenir l'existence d'une faute de la défenderesse, quand bien même celle-ci était présumée.
3.
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (<ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'invocation énoncé par l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (<ref-ruling> consid. 2 p. 90). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18).
En l'espèce, le demandeur soulève cinq moyens de fait qui seront examinés ci-après (cf. consid. 3.2 à 3.6 infra).
3.2. Premièrement, la cour cantonale aurait passé sous silence deux courriers qu'il avait adressés respectivement le 28 novembre 2006 et le 25 avril 2007 à la défenderesse, lesquels démontreraient que la stratégie pénale avait été prévue dès le début du mandat.
On ne discerne pas en quoi l'autorité précédente aurait omis de retenir des faits régulièrement allégués. Elle a en effet retenu que les parties avaient à réitérées reprises évoqué la stratégie consistant à déposer plainte pénale en Italie pour infedele patrocinio contre C._ (cf. let. A.c - A.f supra), et le demandeur n'indique nullement - contrairement à ce qui lui incombe (cf. consid. 3.1 supra) - par quels faits régulièrement introduits en procédure et pertinents pour l'issue du litige l'état de fait aurait dû être complété à cet égard.
3.3. Deuxièmement, la Cour de justice eût dû préciser que la défenderesse avait connaissance de l'enjeu inhérent à la stratégie pénale, à savoir que celle-ci était le préalable indispensable à la remise en cause des accords successoraux litigieux.
A nouveau, le demandeur n'indique nullement quels faits non retenus, bien que régulièrement introduits en procédure et pertinents pour l'issue du litige, auraient dû être intégrés à l'état de fait de l'arrêt attaqué. Le grief est d'autant moins compréhensible qu'il invoque le témoignage de H._ - à qui il semblait que la défenderesse avait compris que le dépôt d'une plainte pénale contre C._ était un moyen détourné pour récupérer les honoraires versés et pour démontrer l'éventuelle connivence de celui-ci avec la partie adverse lors de la signature des accords successoraux -, témoignage qui a précisément été retenu dans l'arrêt attaqué (cf. arrêt, p. 4 § 1 et let. A.c supra).
3.4. Troisièmement, la cour cantonale aurait dû mentionner que la défenderesse avait admis ne s'être jamais distanciée de la plainte pénale déposée contre C._.
Ce grief tombe à faux. Les déclarations de la défenderesse auxquelles le demandeur se réfère - révélant que, consécutivement au dépôt de la plainte pénale litigieuse, elle avait dû se présenter devant le parquet de... (Italie) et la police de Genève, qu'elle avait en outre "été entraînée dans des circonstances très difficiles" par la publication de l'article dans "J._" et la parution du livre de C._ et qu'elle n'avait pas agi judiciairement car cela ne servait à rien - ont bel et bien été mentionnées dans l'arrêt attaqué (cf. arrêt p. 10 in fineet let. A.n supra).
3.5. Quatrièmement, le demandeur entend faire préciser qu'à l'occasion de son audition, le témoin D._ a précisé qu'il avait été délié de son secret professionnel par un procureur... (italien) dans le cadre de la procédure pénale italienne.
Ce grief sera examiné conjointement avec le grief suivant auquel il est intimement lié.
3.6.
3.6.1. Cinquièmement, la Cour de justice aurait écarté indûment les témoignages des avocats italiens D._ et E._, lesquels permettraient d'établir que la stratégie pénale était encore voulue le 1er juin 2009, sa mise en oeuvre ayant clairement été ordonnée par la défenderesse lors de la séance ayant eu lieu ce jour-là à son domicile.
3.6.2. Les deux avocats italiens ayant collaboré avec le demandeur exerçaient leur profession en Italie et défendaient les intérêts de la défenderesse dans ce pays. Le demandeur a requis leur audition et a produit des courriers rédigés par ceux-ci.
Le Tribunal de première instance a rendu les deux avocats attentifs à leur droit de refuser de témoigner. La défenderesse ne les a pas déliés du secret professionnel. Ils ont néanmoins témoigné, au sujet des faits appris lors de la réunion du 1er juin 2009.
La Cour de justice a constaté que ces dépositions contrevenaient au droit matériel italien. Selon la loi italienne relative à la profession d'avocat et le code déontologique auquel celle-ci renvoyait, les avocats de la défenderesse étaient tenus au respect du secret professionnel et ne pouvaient pas, sauf cas exceptionnels énoncés à l'art. 28 ch. 4 du code déontologique, témoigner sur des faits dont ils avaient eu connaissance dans le cadre de leur activité professionnelle. Le devoir de secret perdurait au-delà de la fin du mandat. En l'occurrence, il résultait du dossier que les témoignages des deux prénommés portaient sur des informations obtenues du fait de leur activité de mandataires. Tel était en particulier le cas des faits appris lors de la réunion du 1er juin 2009 dès lors que leur présence à cette réunion était liée au mandat confié par la défenderesse. Il s'ensuivait que les moyens de preuve litigieux, obtenus en violation du droit matériel italien, étaient illicites au sens de l'<ref-law>. Dans cette cause de nature patrimoniale soumise à la maxime des débats, aucun intérêt prépondérant à la manifestation de la vérité ne pouvait justifier la prise en compte desdits moyens de preuve; un tel intérêt devait s'effacer devant l'intérêt public au respect du secret professionnel, qui était essentiel à l'administration de la justice.
En conséquence, les témoignages des deux avocats italiens ont été écartés, tout comme les courriers qu'ils avaient rédigés, lesquels étaient assimilables à des témoignages écrits (pièces 73 et 74).
3.6.3. En Suisse, le secret professionnel de l'avocat trouve sa source dans diverses règles de droit privé et de droit public, notamment dans les <ref-law> (droit du mandat), 13 LLCA (Loi fédérale sur la libre circulation des avocats; RS 935.61) et 321 CP (Code pénal suisse; RS 311). Cette dernière norme érige en délit punissable sur plainte le fait pour un avocat de révéler un secret à lui confié en vertu de sa profession, ou dont il a eu connaissance dans l'exercice de celle-ci. Elle a ceci de particulier qu'elle ne définit pas les contours de l'obligation de secret (BENOÎT CHAPPUIS, in Commentaire romand, 2017, n° 15 ad <ref-law>; cf. aussi BERNARD CORBOZ, Le secret professionnel de l'avocat selon l'<ref-law>, in SJ 1993 p. 79).
L'avocat ressortissant d'un Etat membre de l'Union européenne est astreint au secret professionnel de l'<ref-law> dans la mesure où il déploie en Suisse une activité appréhendée par les art. 21 ss, 27 ss ou 30 ss LLCA (CHAPPUIS, La profession d'avocat, tome I, 2e éd. 2016, p. 176 s.; NATER/ZINDEL, in Kommentar zum Anwaltsgesetz, 2e éd. 2011, n° 31 ad <ref-law>). La doctrine s'accorde à dire que l'<ref-law> a une portée plus vaste que l'<ref-law> en ce sens que la norme pénale concerne tout avocat étranger de quelque pays que ce soit - y compris un pays hors de l'Union européenne (CHAPPUIS / STEINER, Le secret de l'avocat dans le CPP et le CPC: entre divergence et harmonie, in Revue de l'avocat 2017, p. 89; NATER/ZINDEL, op. cit., nos 28 s. et sous-note 45 ad <ref-law>; NIKLAUS OBERHOLZER, in Basler Kommentar, 4e éd. 2019, n° 6 ad <ref-law>; TRECHSEL/VEST, in Schweizerisches Strafgesetzbuch, 3e éd. 2018, n° 5 ad <ref-law>; CORBOZ, op. cit., p. 82). En revanche, des divergences existent quant à la notion d'avocat, d'aucuns souhaitant l'étendre à des personnes n'exerçant pas l'activité typique d'un avocat (cf. MICHEL HUBER, Defizite des Anwaltsgeheimnisses in der Schweiz, in Vertrauen - Vertrag - Verantwortung, Festschrift für Hans Caspar von der Crone, 2007, p. 491 s. et p. 500 ss; MICHAEL PFEIFER, Art. 321 StGB als Grundlage eines uneingeschränkten Anwaltsgeheimnisses [...], in Revue de l'avocat 2006, p. 331 ss; sur l'enjeu d'une telle question, cf. OBERHOLZER, ibidem).
3.6.4. Dans la mesure où il se fonde sur une règle de droit public, le devoir de secret prévaut en principe aussi à l'égard des tribunaux. Les procédures civile et pénale en tiennent compte en instituant un droit de refus de témoigner (WALTER FELLMANN, in Berner Kommentar, 1992, n° 75 ad <ref-law>).
En procédure civile, l'<ref-law> permet ainsi à l'avocat de refuser de collaborer "dans la mesure où, de ce fait, la révélation d'un secret serait punissable en vertu de l'<ref-law>". Ce droit de refus subsiste même quand l'avocat a été délié de l'obligation de garder le secret.
L'<ref-law> s'oppose à ce que le juge tienne compte des preuves administrées lorsque les parties ou les tiers n'ont pas été informés de leur droit de refuser de collaborer, à moins que la personne concernée n'y consente ou que son refus de collaborer n'ait été injustifié.
Par ailleurs, le tribunal, de par l'<ref-law>, ne peut prendre en considération les moyens de preuve obtenus de manière illicite que si l'intérêt à la manifestation de la vérité est prépondérant.
Plusieurs auteurs relèvent que le CPC ne fait qu'octroyer un droit de refus de témoigner, tandis que l'obligation de garder le silence résulte d'autres normes telles que l'<ref-law> ou l'<ref-law>. Ils constatent que le CPC ne contient aucune interdiction d'administrer une preuve de ce point de vue. Si un témoin accepte de déposer en violation de son secret professionnel, il s'agit d'une preuve obtenue de manière illicite, tombant sous le coup de l'<ref-law> (NICOLAS BRACHER, Mitwirkungspflichten und Verweigerungsrechte Dritter bei der Beweiserhebung im Zivilprozess, 2011, p. 135 s. n. 326; YVES RÜEDI, Materiell rechtswidrig beschaffte Beweismittel im Zivilprozess, 2009, p. 123 n. 254 et p. 163 s.; ERNST F. SCHMID, in Basler Kommentar, 3e éd. 2017, n° 46 s. ad <ref-law>, n° 12 ad <ref-law> et n° 6a ad <ref-law>; SVEN RÜETSCHI, in Berner Kommentar, 2012, n° 12 ad <ref-law>; STAEHELIN ET ALII, Zivilprozessrecht, 2e éd. 2013, § 18 n. 70). Il est toutefois précisé que le juge devrait s'abstenir de recueillir un tel témoignage lorsqu'il s'avère d'emblée que l'intérêt à la manifestation de la vérité ne saurait prévaloir (BRACHER, p. 136 n. 326 in fineet les auteurs cités). Le Message du Conseil fédéral semble aller dans le même sens lorsqu'il énonce ceci: "le droit de refus ne fait pas obstacle à la collaboration - le projet [de code] n'excluant pas cette preuve comme telle - mais elle ne peut être obtenue par la contrainte. Le tribunal apprécie librement la crédibilité de la preuve en cas de collaboration volontaire" (Message du 28 juin 2006 relatif au code de procédure civile suisse, FF 2006 6927).
3.6.5. Une ligne doctrinale semble ainsi se dessiner, selon laquelle le témoignage d'un avocat recueilli en violation du secret professionnel constitue une preuve obtenue de manière illicite dont l'utilisation reste possible aux conditions de l'<ref-law>. L'alternative serait d'y voir une preuve irrégulière, non susceptible d'être prise en compte dans la mesure où le juge n'aurait pas dû l'administrer (cf. <ref-law>). Force est toutefois d'admettre que le Code ne contient aucune interdiction en ce sens.
Dans l'un et l'autre cas, il faut encore s'interroger sur le droit régissant la question du secret professionnel. Le droit suisse pourrait-il s'appliquer en tant que lex fori, lorsqu'un avocat ayant déployé, comme en l'espèce, une activité typique d'avocat à l'étranger est appelé à témoigner dans un procès civil se déroulant en Suisse? Une telle solution présenterait l'attrait de la simplicité et pourrait être légitimée par la finalité du secret professionnel de l'avocat, réputé concourir à une bonne administration de la justice en protégeant la confiance totale que le client doit avoir en son avocat et en permettant ainsi d'assurer sa défense efficacement (cf. <ref-ruling> consid. 6a p. 348; arrêt 1P.32/2005 du 11 juillet 2005 consid. 3.2).
3.6.6. Toutes ces questions peuvent en l'occurrence souffrir de rester indécises. L'autorité précédente a considéré qu'il fallait examiner le secret professionnel sous l'angle du droit italien et a conclu que celui-ci avait un contenu semblable au droit suisse. Force est de constater que le demandeur ne montre pas en quoi cette analyse serait erronée.
Premièrement, il voudrait tirer argument du fait qu'un des deux avocats italiens (D._) a déclaré avoir été délié de son secret professionnel par un procureur... (italien) dans le cadre de la procédure pénale italienne portant sur les mêmes faits. Or cet élément confirme, si besoin était, que le droit italien connaît aussi le secret professionnel de l'avocat. Par ailleurs, la levée du secret dans une procédure pénale en Italie ne signifiait pas encore que l'avocat était autorisé à témoigner en Suisse dans une cause civile pécuniaire initiée contre son ancienne mandante qui refusait de le délier de son obligation de secret.
Deuxièmement, le demandeur objecte que le droit italien ne consacre aucune interdiction de témoigner, l'avocat conservant le choix de témoigner ou non. Cependant, ce seul élément n'est pas de nature à exclure l'existence d'un secret professionnel semblable au droit suisse, puisque la doctrine suisse reconnaît aussi bien une telle liberté sous l'angle du CPC (sous réserve des sanctions disciplinaires et pénales). Dans ces circonstances, il n'y a pas matière à réexaminer l'analyse de l'autorité précédente. En conséquence, point n'est besoin de se prononcer sur le pouvoir de cognition du Tribunal fédéral lorsque se pose une question préjudicielle de droit étranger dans un procès pécuniaire (cf. CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 13 ad <ref-law>).
Force est d'admettre qu'au regard du droit suisse - présupposé semblable au droit italien -, les deux avocats n'étaient pas en droit de témoigner dans le procès civil dès lors qu'ils n'avaient été déliés du secret professionnel ni par la défenderesse, ni par l'autorité de surveillance dont ils relevaient. L'arrêt attaqué retient que les témoignages et les courriers litigieux portent sur les faits appris lors de la réunion du 1er juin 2009, la présence des avocats à cette réunion étant liée au mandat que la défenderesse leur avait confié. Le demandeur ne remet pas en question ces constatations, qui conduisent inéluctablement à la conclusion d'un devoir de silence.
Pour le surplus, si l'on suit la doctrine préconisant d'appliquer l'<ref-law> au témoignage que l'avocat a fait au mépris de son secret professionnel, force est alors de constater que l'autorité précédente pouvait admettre que dans de telles circonstances, le demandeur ne justifiait pas d'un intérêt prépondérant à la manifestation de la vérité. Par surabondance, il paraît douteux que dans le cadre d'une libre appréciation des preuves et dans le contexte qui sera évoqué ci-dessous (cf. notamment consid. 4.4), ces témoignages émanant de deux confrères du demandeur, en désaccord avec la stratégie de leur ex-mandante qui a résilié leurs mandats, puissent avoir la portée que le demandeur voudrait leur conférer.
3.6.7. En bref, l'autorité précédente n'a pas enfreint le droit fédéral en écartant les témoignages et courriers des avocats italiens.
3.7. Il s'ensuit que tous les griefs relatifs à la constatation des faits par la cour cantonale doivent être rejetés. Le Tribunal fédéral statuera dès lors sur la base des faits établis par l'autorité précédente, conformément à l'<ref-law>.
4.
4.1. Le demandeur reproche aux juges cantonaux d'avoir violé l'art. 402 al. 1 et 2 CO en lui déniant tout droit au remboursement des montants qu'il a engagés pour défendre ses intérêts dans les deux procédures pénales que son confrère a initiées contre lui et dans les deux procédures civiles que lui-même a intentées pour faire valoir ses droits de la personnalité. Ses griefs, résumés ci-après (cf. consid. 4.1.1 à 4.1.4 infra), seront examinés après qu'auront été rappelés quelques principes juridiques (cf. consid. 4.2 infra).
4.1.1. Le demandeur plaide tout d'abord que son droit au remboursement des frais litigieux ne saurait être nié du simple fait que ceux-ci ont été engagés postérieurement à la résiliation de son mandat. La remarque des juges cantonaux, qui soulignent ce fait sans en tirer de conclusion expresse, serait si ce n'est erronée, du moins inutile.
4.1.2. Le demandeur s'attache ensuite à démontrer que les frais litigieux étaient nécessaires à l'exécution du mandat, la stratégie mise en place étant indispensable pour obtenir l'invalidation des accords successoraux et la rétrocession des honoraires d'avocats. Contrairement à ce qu'affirme l'autorité précédente, le grief aurait été soulevé dans le mémoire d'appel.
4.1.3. Le demandeur tente également d'établir que lesdits frais découlaient d'une stratégie approuvée par la défenderesse, ce qui ressortirait déjà clairement des faits constatés dans l'arrêt attaqué, mais aussi de circonstances dont les juges cantonaux n'auraient arbitrairement pas tenu compte (cf. consid. 3 supra), ainsi que du versement de 60'000 fr. opéré par la défenderesse. De son point de vue, le risque de contre-attaque judiciaire par C._ existait dès avant le dépôt de la plainte pénale du 1er juillet 2009.
4.1.4. Le demandeur reproche enfin aux juges cantonaux d'avoir violé l'<ref-law>. Selon lui, l'offensive judiciaire et médiatique de C._ était conforme au cours ordinaire des choses et à l'expérience de la vie, vu la situation difficile dans laquelle l'avaient placé les démarches déjà accomplies avec l'aval de la défenderesse. Les juges genevois auraient indûment exclu un lien de causalité adéquate entre l'exécution du mandat et les frais litigieux. Ils auraient de surcroît nié à tort la faute de la défenderesse, qui aurait délibérément exposé le demandeur à un risque procédural qu'elle ne pouvait pas ignorer.
4.2. Aux termes de l'<ref-law>, le mandant doit rembourser au mandataire, en principal et intérêts, les avances et frais que celui-ci a faits pour l'exécution régulière du mandat, et le libérer des obligations par lui contractées (al. 1). Il doit aussi l'indemniser du dommage causé par l'exécution du mandat, s'il ne prouve que ce dommage est survenu sans sa faute (al. 2).
L'expression "exécution régulière du mandat", au premier alinéa, est équivoque. Elle signifie en fait que pour être remboursable, une impense doit avoir objectivement été nécessaire à l'exécution du mandat ou correspondre aux instructions du mandant (arrêts 4C.199/2004 du 11 janvier 2005 consid. 10.3.2.1; 4A_424/2014 du 4 février 2015 consid. 2). Dans la première hypothèse, les impenses doivent apparaître objectivement dictées par l'exécution du mandat, au regard des circonstances d'espèce telles qu'elles étaient connues du mandataire; il faut se placer du point de vue d'un mandataire diligent et de bonne foi (FELLMANN, op. cit., n os 37 et 40 ad <ref-law>; TERCIER ET ALII, Les contrats spéciaux, 5 e éd. 2016, n° 4568 s.). Les impenses doivent s'inscrire dans le cadre défini par le mandant (FELLMANN, op. cit., n° 44 ad <ref-law>). Une mauvaise exécution du contrat n'exclut pas nécessairement le remboursement des impenses, du moment que le dommage causé a été réparé et que l'exécution correcte eût aussi engendré les mêmes dépenses (arrêt précité 4C.199/2004 consid. 10.3.2.1). Il n'est par ailleurs pas nécessaire que les dépenses engagées apportent le résultat escompté, s'il peut être admis qu'elles étaient dictées par les circonstances (FELLMANN, op. cit., n° 46 ad <ref-law>; TERCIER ET ALII, op. cit., n° 4568).
L'alinéa 2 introduit une responsabilité pour faute à l'égard du mandant, avec renversement du fardeau de la preuve. Selon la jurisprudence, l'exigence d'une faute vaut pour le mandat onéreux (arrêt 4A_429/2014 du 20 juillet 2015 consid. 6.2.4 et les arrêts cités). Le mandant doit avoir violé une obligation contractuelle, telle que le devoir accessoire de protection découlant de l'<ref-law>; il peut ainsi être tenu de prévenir le mandataire des dangers particuliers dont lui seul a connaissance (FELLMANN, op. cit., n os 136 s., 145, 153-155 ad <ref-law>; ROLF H. WEBER, in Basler Kommentar, 6 e éd. 2015, n os 11 s. ad <ref-law>; JEAN-MARC SCHALLER, in Kurzkommentar OR, 2014, n° 5 ad <ref-law>; GEHRER/GIGER, in Handkommentar zum Schweizer Privatrecht, 2 e éd. 2012, n os 17 s. ad <ref-law>; JOSEF HOFSTETTER, Der Auftrag und die Geschäftsführung ohne Auftrag, TDP VII/6, 2000, p. 88). La faute du mandant doit avoir contribué à la survenance du dommage (arrêt précité 4A_424/2014 consid. 2; cf. aussi arrêt 4A_405/2012 du 3 décembre 2012 consid. 7). La jurisprudence et certains auteurs précisent que le dommage doit être en lien de causalité adéquate avec l'exécution du mandat (arrêt précité 4A_424/2014 consid. 2; TERCIER ET ALII, op. cit., n° 4580; WEBER, op. cit., n° 12 ad <ref-law>). D'aucuns relèvent cependant - peut-être non sans raison - que la question se situe au niveau des fautes et des obligations respectives des deux parties (GEHRER/GIGER, op. cit., n° 19 ad <ref-law>; FELLMANN, op. cit., n os 156 s. ad <ref-law>, auquel s'est rallié HOFSTETTER, p. 89 s. et sous-note 54). Quoi qu'il en soit, le mandant qui confie un mandat onéreux n'a en principe pas à assumer un dommage dû à un cas fortuit ou à une exécution non conforme au contrat ou aux instructions (cf. arrêt précité 4A_424/2014 consid. 2; FELLMANN, op. cit., n os 166 ss ad <ref-law>).
La distinction entre les deux alinéas de l'<ref-law> est délicate, et ses contours précis restent encore à définir. Il arrive toutefois qu'une exécution non conforme au contrat ou aux instructions exclue de toute façon une prétention, sous l'angle du premier comme du deuxième alinéa (cf. arrêt précité 4A_429/2014 consid. 6.2.5 et les arrêts cités).
4.3. En l'espèce, il convient de statuer sur la base des faits retenus par l'autorité précédente, qui lient la cour de céans (cf. consid. 3.7 supra). C'est le lieu d'effectuer un bref rappel des éléments pertinents.
Le demandeur a proposé dès le printemps 2008 de déposer une plainte pénale contre C._ pour infedele patrocinio, présentant cette démarche comme un moyen détourné pour récupérer les honoraires versés à cet avocat et pour démontrer son éventuelle connivence avec la partie adverse dans le cadre de la signature des accords successoraux litigieux (cf. let. A.c supra).
Après que la défenderesse eut proposé le 15 mai 2009 de faire intervenir les avocats F._ et G._ dans la procédure civile italienne en cours, elle a organisé une rencontre le 1er juin 2009 afin que le demandeur et ses confrères D._ et E._ puissent discuter avec les avocats précités. Avant l'arrivée de ceux-ci, la défenderesse et ses conseils ont notamment évoqué le dépôt d'une plainte pénale contre C._ (cf. let. A.e et A.f supra).
Il n'est pas établi - les témoignages et pièces des avocats D._ et E._ étant écartés du dossier (consid. 3.6 supra) - qu'à l'occasion de cette réunion, la défenderesse ait demandé au demandeur de déposer la plainte pénale contre son confrère italien, ni qu'il ait lui-même indiqué qu'il allait le faire.
Les avocats ne sont pas parvenus à trouver un accord quant à une éventuelle collaboration.
Le lendemain, le demandeur a confirmé ce dernier point à la défenderesse, en précisant qu'il mettait son mandat à sa disposition. Il la priait de lui faire savoir quelle décision elle souhaitait prendre pour la suite de ce dossier, en la rassurant qu'il n'entreprendrait rien qui puisse contrevenir à ses intérêts (cf. let. A.g supra).
A la mi-juin 2009, un journal italien a relaté que C._ avait été victime d'une tentative d'extorsion par le demandeur et la défenderesse.
Le 1er juillet 2009, le demandeur dont le courrier était resté sans réponse a déposé en son nom propre une plainte pénale contre C._, ce dont il a informé la défenderesse par courrier du même jour.
Le 3 juillet 2009, la défenderesse a révoqué avec effet immédiat les mandats confiés au demandeur, invoquant notamment le dépôt de la plainte pénale sans l'en avoir tenue informée (cf. let. A.h et A.i supra).
4.4. Il appert que le dépôt de la plainte pénale contre C._ avait encore été évoqué en préambule de la réunion du 1er juin 2009 sans qu'une décision ne fût prise à ce sujet. La réunion s'est achevée sur le constat d'une impossible collaboration entre avocats, à la suite de quoi le demandeur a remis son sort de mandataire entre les mains de la défenderesse, indiquant attendre sa décision en l'assurant qu'il n'entreprendrait aucune action contraire à ses intérêts. Dans ces circonstances, le demandeur ne pouvait pas déposer une plainte pénale sans s'assurer au préalable que la défenderesse consentait toujours à cette démarche malgré leurs divergences en cours. Le dépôt, par le mandataire, d'une plainte pénale signée en son nom propre, sans s'être assuré de l'accord de l'intéressée - laquelle, sitôt informée, a révoqué le mandat avec effet immédiat - ne peut pas être qualifié d'"exécution régulière du mandat".
En conséquence, le demandeur ne saurait réclamer, sur la base de l'<ref-law>, le remboursement des frais qu'il a encourus pour assurer la défense de ses intérêts ensuite de sa démarche non couverte par l'accord de la mandante. Ces frais n'ayant pas leur origine dans l'exécution régulière du mandat - sans égard au fait qu'ils ont été engagés après la résiliation du mandat (cf. consid. 4.1.1 supra) -, ils ne sauraient être considérés comme nécessaires à l'exécution du mandat. Peu importe que la stratégie ait pu apparaître utile au mandat (consid. 4.1.2 supra). Force est en effet d'admettre qu'elle présentait des risques non négligeables - le demandeur lui-même qualifiant les parties adverses de "personnes redoutables" et évoquant une "inévitable contre-attaque". Dans le contexte précité, il ne pouvait pas déployer une telle stratégie sans s'être enquis du consentement persistant de sa mandante.
Le demandeur objecte que son confrère aurait eu les mêmes réactions avec ou sans le dépôt de la plainte pénale du 1er juillet 2009; il en veut pour preuve que l'intéressé avait déjà formulé des accusations d'extorsion par voie de presse dès la mi-juin 2009. Cet argument ne lui est toutefois d'aucun secours. On peut certes discerner les prémices d'une offensive dans cet article de presse, voire dans les faits que le demandeur a évoqués dans son courrier du 1er juillet 2009, étant entendu qu'il pouvait être enclin à présenter un tableau minimisant l'importance du dépôt de la plainte (let. A.h supra). Il n'en demeure pas moins que l'état de fait (présenté ici sous une forme résumée) est insuffisamment étayé pour permettre de conclure avec une vraisemblance prépondérante que l'adversaire aurait initié des procédures pénales et des campagnes médiatiques de cette ampleur sans le dépôt d'une plainte pénale. A tout le moins est-il impossible de discerner l'incidence respective des démarches antérieures à la plainte pénale, approuvées par la défenderesse, et de la plainte pénale du 1er juillet 2009, sans compter que le demandeur a tout de même touché 60'000 fr. à bien plaire pour les frais qu'il a engagés.
Pour le surplus, le demandeur a échoué à démontrer que la défenderesse ait approuvé ou ratifié les démarches ainsi entreprises, étant précisé qu'un tel accord ne saurait en aucun cas être déduit du paiement effectué à bien plaire le 2 mai 2011 par la défenderesse, pour les motifs pertinents exposés par l'autorité cantonale (cf. consid. 2.3 supra).
Les prétentions du demandeur ne peuvent pas davantage se fonder sur l'<ref-law>, dès lors que les frais litigieux ne constituent pas un dommage causé par l'exécution régulière du mandat. De toute façon, on ne voit pas quelle faute - respectivement quelle violation d'un devoir de protection - pourrait être reprochée à la défenderesse, alors que le demandeur a décidé de déposer la plainte pénale sans s'assurer de son accord et alors qu'il connaissait les conséquences possibles d'une telle démarche, qu'il dit avoir effectuée en son nom propre pour protéger sa cliente des "personnes redoutables" auxquelles il s'attaquait.
Enfin, le demandeur ne soutient pas qu'il y aurait eu un accord spécial sur la prise en charge des frais litigieux, ce qui dispense de revenir sur la motivation - convaincante - des juges cantonaux (consid. 2.3 supra).
4.5. Sur le vu de ce qui précède, l'arrêt attaqué ne consacre aucune violation de l'<ref-law> en tant qu'il rejette les prétentions du demandeur tendant à se faire rembourser les frais engagés pour la défense de ses intérêts ensuite du dépôt de la plainte pénale contre son confrère italien.
5.
Il résulte de ce qui précède que le recours doit être rejeté.
En conséquence, les frais de la présente procédure seront mis à la charge du demandeur (<ref-law>), qui versera à la défenderesse une indemnité pour ses frais d'avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 7'000 fr., sont mis à la charge du demandeur.
3.
Le demandeur versera à la défenderesse une indemnité de 8'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Chambre civile de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 17 décembre 2018
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente: Kiss
La greffière: Monti