Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1978; Beschwerdeführer) und B.A._ (geb. 1982; Beschwerdegegnerin) heirateten am 6. März 2015. Sie sind die Eltern des Sohns C.A._ (geb. 2015). B.A._ ist zudem die Mutter des aus ihrer ersten Ehe stammenden Kindes D._ (geb. 2009).
Am 1. Juni 2019 trennten sich die Ehegatten und mit Urteil vom 21. Dezember 2020 regelten das Bezirksgericht Zürich die Folgen des Getrenntlebens. Dabei stellte es soweit hier interessierend C.A._ unter die Obhut der Mutter, räumte dem Vater ein Besuchs- und Ferienrecht ein und nahm davon Vormerk, dass die gleiche Betreuungsregelung auch für D._ gelte. Ausserdem verpflichtete das Bezirksgericht den Ehemann zur Zahlung von Unterhalt von monatlich Fr. 6'766.-- (zzgl. Familienzulagen; davon Fr. 3'723.-- Betreuungsunterhalt) für C.A._, Fr. 2'093.-- (zzgl. Familienzulagen) für D._ und Fr. 6'502.-- für die Ehefrau persönlich sowie zur Nachzahlung von Fr. 77'898.-- für ausstehende Kinder- und Ehegattenunterhaltsbeiträge.
B.
Gegen dieses Urteil reichte A.A._ am 18. Januar 2021 Berufung beim Obergericht des Kantons Zürich ein und beantragte unter anderem, der Beschwerde sei hinsichtlich der laufenden Unterhaltsbeiträge sowie der Nachzahlung für verfallenen Unterhalt die aufschiebende Wirkung beizulegen bzw. es sei ihm ein Vollstreckungsaufschub zu gewähren. Mit Verfügung vom 15. Februar 2021 wies das Obergericht das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung ab.
C.
A.A._ gelangt mit Beschwerde vom 29. März 2021 ans Bundesgericht. Er beantragt unter Kosten- und Entschädigungsfolgen, es sei die Verfügung vom 15. Februar 2021 aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung ans Obergericht zurückzuweisen. Eventuell sei die Ziffer 1 der Verfügung aufzuheben und der Berufung im Eheschutzverfahren hinsichtlich der Zahlungen für laufenden und verfallenen Unterhalt die aufschiebende Wirkung beizulegen bzw. sei ihm ein Vollstreckungsaufschub im Umfang von Fr. 131'703.-- zu gewähren.
Mit Verfügung vom 6. Mai 2021 lehnt der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung nach Anhörung der weiteren Verfahrensbeteiligten es ab, der Beschwerde ans Bundesgericht die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, indes keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1).
Angefochten ist der kantonal letztinstanzliche Entscheid über den Aufschub der Vollstreckbarkeit der mit erstinstanzlichem Eheschutzentscheid festgesetzten Unterhaltsbeiträge. Dabei handelt es sich um einen selbständig eröffneten Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG (Urteil 5A_866/2020 vom 9. Februar 2021 E. 2). Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1.1). Bei dieser handelt es sich um eine insgesamt nicht vermögensrechtliche Zivilsache nach Art. 72 Abs. 1 BGG (jüngst etwa Urteil 5A_85/2021 vom 26. März 2021 E. 1.1). Das Obergericht hat die angefochtene Verfügung im Rahmen eines Berufungsverfahrens gefällt, womit unerheblich bleibt, dass es nicht auf Rechtsmittel hin, sondern als einzige kantonale Instanz entschieden hat (<ref-ruling> E. 1.2).
2.
2.1. Gegen einen Zwischenentscheid nach Art. 93 BGG steht die Beschwerde in Zivilsachen - abgesehen vom hier nicht gegebenen Fall von Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG - nur offen, wenn er einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG). Ein derartiger Nachteil muss rechtlicher Natur sein und setzt voraus, dass er auch durch einen günstigen Endentscheid nicht mehr behoben werden könnte (<ref-ruling> E. 1.3). Ausschlaggebend ist, wie sich der Zwischenentscheid auf die Hauptsache auswirkt (<ref-ruling> E. 1.2.2). Eine rein tatsächliche oder wirtschaftliche Erschwernis reicht in der Regel nicht, doch genügt die blosse Möglichkeit eines nicht wieder gutzumachenden Nachteils rechtlicher Natur (<ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 2.2.1). Der blosse Umstand, zu einer Geldleistung verpflichtet zu werden, stellt grundsätzlich keinen rechtlichen Nachteil im beschriebenen Sinn dar (<ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 1.2). Entsprechend begründet bei Unterhaltszahlungen das Inkassorisiko einer allfälligen Rückforderung nur einen tatsächlichen und keinen rechtlichen Nachteil (Urteile 5A_56/2019 vom 9. Mai 2019 E. 1.1 und 1.2.1; 5A_601/2014 vom 8. Januar 2015 E. 1). Soweit nicht offenkundig ist, dass der Zwischenentscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte, hat die betroffene Person in ihrer Eingabe darzutun, inwiefern sie einem solchen ausgesetzt und die Beschwerde damit zulässig ist (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.2).
2.2. Der Beschwerdeführer bringt diesbezüglich vor, die "Verletzung von verfassungsrechtlichen Minimalgarantien im Laufe des Verfahrens bewirkt [...] per se einen rechtlichen Nachteil, der durch den Endentscheid selbst dann nicht geheilt werden kann, wenn der Beschwerdeführer materiell im Endentscheid Recht erhielte, denn prozessuale Grundsätze dürfen unter keinen Umständen dem materiellen Entscheid untergeordnet werden". Entsprechend macht er geltend, deshalb einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu erleiden, weil das Obergericht die Grundsätze eines fairen Verfahrens (Art. 29 Abs. 1 BV; Art. 6 Ziff. 1 EMRK) missachtet sowie namentlich den Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) verletzt habe.
Entgegen dem Dafürhalten des Beschwerdeführers kann die Verletzung von Verfahrensrechten und namentlich die Verweigerung des rechtlichen Gehörs auch mit Beschwerde gegen den Endentscheid wirksam gerügt werden (Urteile 2C_887/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 2.2.1; 2C_313/2019 vom 3. April 2019 E. 2.3 [beide betreffend Akteneinsicht]). Entsprechend lässt sich aus der Rüge der Verletzung des Anspruchs auf ein faires Verfahren oder desjenigen auf rechtliches Gehör kein Nachteil rechtlicher Natur im vorgenannten Sinne ableiten (Urteile 5A_823/2020 vom 7. Mai 2021 E. 1.2; 5A_321/2019 vom 24. Mai 2019 E. 2.2; 5A_799/2017 vom 16. März 2018 E. 1.2.2; 5A_157/2017 vom 16. Oktober 2017 E. 2.3.3). Damit zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, dass die Beschwerde nach Massgabe von Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG zulässig wäre.
2.3. Die Zulässigkeit der Beschwerde ist auch nicht offensichtlich gegeben: In der Sache verlangt der Beschwerdeführer den Aufschub der Vollstreckbarkeit des Eheschutzentscheids, weil eine allfällige Rückforderung zu viel bezahlter Unterhaltsbeiträge aufgrund der finanziellen Situation der Beschwerdegegnerin schwierig oder unmöglich wäre. Wie vorstehend in E. 2.1 ausgeführt liegt hierin rechtsprechungsgemäss kein nicht wieder gutzumachender Nachteil nach Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG.
3.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde gegen den Zwischenentscheid nicht zulässig und folglich darauf nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten (inkl. den Kosten des Verfahrens betreffend aufschiebende Wirkung) dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ausserdem hat er die Beschwerdegegnerin für dieses Verfahren zu entschädigen. Ansonsten sind der Beschwerdegegnerin mangels Einholens einer Vernehmlassung in der Sache keine entschädigungspflichtigen Kosten angefallen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juni 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Sieber