Erwägungen:
1.
Die Einwohnergemeinde Bern lehnte es am 23. Juni 2020 ab, die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA des tschechischen Bürgers A._ (geb. 1975) zu verlängern; sie wies ihn gleichzeitig weg. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern traten auf die hiergegen gerichteten Beschwerden am 13. Januar bzw. am 4. März 2021 nicht ein. A._ beantragt vor Bundesgericht sinngemäss, seine Bewilligung zu verlängern; er sei hier integriert und wolle nicht alles verlieren.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 des Bundesgerichtsgesetzes (BGG; SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte und Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
2.2. Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet der angefochtene Nichteintretensentscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern dieser rechtsfehlerhaft sein könnte; dies ist auch nicht ersichtlich. Der Beschwerdeführer argumentiert ausschliesslich in der Sache selber, wenn er geltend macht, dass er hier weiterhin nach Arbeit suche, er gesundheitlich beeinträchtigt sei, alle seine Freunde hier lebten und er sich nicht vorstellen könne, nach Tschechien zurückzukehren. Zu den Gründen, die zum angefochtenen Nichteintretensentscheid geführt haben, äussert er sich entgegen seiner Begründungspflicht nicht.
3.
3.1. Auf die Beschwerde ist deshalb durch den Abteilungspräsidenten als Instruktionsrichter im Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten.
3.2. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend würde der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es rechtfertigt sich jedoch, auf die Erhebung einer Gerichtsgebühr zu verzichten (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. April 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar