Sachverhalt:
A.
A.A._ meldete sich im Jahre 2015 aus der Gemeinde U._ (SO) ab und per 1. Juli 2015 in der Gemeinde V._ (BL) an. Gemäss Angaben der Einwohnerkontrolle V._ gab A.A._ bei der Anmeldung in V._ an, er habe sich am 16. Oktober 2014 von seiner Ehefrau freiwillig getrennt und lebe in V._ in einem Konkubinat mit B._. Seine Ehefrau B.A._ blieb im vormals gemeinschaftlichen Haus in U._ (SO) wohnhaft.
B.
Für die Steuerperiode 2015 reichten die Ehegatten A._ separate Steuererklärungen ein: der Ehemann im Kanton Basel-Landschaft und die Ehefrau im Kanton Solothurn. Darin bezeichneten sich beide Ehegatten den jeweiligen Steuerbehörden gegenüber übereinstimmend als alleinstehend. Dementsprechend wurden die Ehefrau im Kanton Solothurn und der Ehemann im Kanton Basel-Landschaft für die Steuerperiode 2015 jeweils getrennt als alleinstehende Personen veranlagt. Im Rahmen der Veranlagung anerkannte die Steuerverwaltung Basel-Landschaft den von A.A._ in der Steuererklärung geltend gemachten Unterstützungsabzug für seine Ehefrau. Die Veranlagungsverfügungen sind in der Folge unangefochten in Rechtskraft erwachsen.
C.
Für die Steuerperioden 2016 reichten A.A._ und B.A._ jeweils separate Steuererklärungen in den Kantonen Basel-Landschaft respektive Solothurn ein. Per 1. Juni 2017 meldete sich A.A._ in V._ wieder ab. Am 9. Januar 2018 veranlagte der Kanton Solothurn die Ehegatten A._ für die Steuerperiode 2016 betreffend Staatssteuer gemeinsam als Ehegatten. Mit Verfügung vom 25. Januar 2018 veranlagte die Steuerverwaltung Basel-Landschaft A.A._ für die Staatssteuer 2016 und die direkte Bundessteuer 2016 als alleinstehende, unbeschränkt steuerpflichtige Person mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 702'578.-- (Staatssteuer) beziehungsweise Fr. 695'700.-- (direkte Bundessteuer).
D.
Gegen die Veranlagungsverfügungen vom 25. Januar 2018 erhob A.A._ Einsprache, welche die Steuerverwaltung Basel-Landschaft mit Entscheid vom 9. Januar 2019 abwies. Die dagegen von A.A._ und B.A._ erhobenen Rechtsmittel wurden durch das Steuer- und Enteignungsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Steuergericht (nachfolgend: Steuergericht) mit Urteil vom 28. Juni 2019 abgewiesen.
E.
Daraufhin gelangten A.A._ und B.A._ an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsgericht (Kantonsgericht). Dieses wies die Beschwerden ebenfalls ab (Urteile vom 13. Mai 2020 im Verfahren 810 19 333 betreffend die Staatssteuer 2016 und im Verfahren 810 19 334 betreffend die direkte Bundessteuer 2016).
F.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 19. November 2020 gelangen A.A._ und B.A._ an das Bundesgericht. Sie beantragen, (1.) es seien die Urteile des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, vom 13. Mai 2020 betreffend Staatssteuer 2016 (Verfahren 810 19 333) und direkte Bundessteuer 2016 (Verfahren 810 19 334) aufzuheben und es seien die zugrunde liegenden Steuerveranlagungen 2016 vom 25. Januar 2018 von der Steuerverwaltung Basel-Landschaft im Sinne der gemeinsamen Besteuerung als Ehegatten (Tarif und Sozialabzüge für Verheiratete) neu zu veranlagen. (2.) Gleichzeitig (bzw. eventualiter) angefochten sei die definitive Veranlagung Staatssteuer 2016 vom 9. Januar 2018 des Kantons Solothurn, sodass diese aufzuheben sei. Insofern sei die Steuerverwaltung Solothurn zu verpflichten, die Staatssteuer 2016 neu im Sinne einer getrennten Veranlagung der Beschwerdeführer zu veranlagen, um die bestehende Doppelbesteuerung zu beseitigen. Weiter sei die Steuerverwaltung des Kantons Solothurn zu verpflichten, die von den Beschwerdeführern entrichtete Staatssteuer 2016 (inkl. Zins) betreffend das Einkommen und Vermögen des Ehemanns, Herrn A.A._, zurückzuerstatten. (3.) Ferner sei die Steuerverwaltung des Kantons Solothurn zu verpflichten, sämtliche für die den kantonalen Instanzenzug Basel-Landschaft angefallenen Gerichts- und Parteikosten in Höhe von total Fr. 14'118.80 (zuzüglich Gerichtskosten vor Bundesgericht) den Beschwerdeführern zu erstatten. Eventualiter seien die Gerichts- und Parteikosten angemessen zwischen dem Kanton Basel-Landschaft und Solothurn zu verteilen.
Das Steueramt des Kantons Solothurn beantragt, die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Eventualiter 1 sei das Rechtsbegehren 1 (Hauptbegehren) gutzuheissen. Eventualiter 2 seien die Rechtsbegehren 2 (Eventualbegehren) und 3 abzuweisen. Subeventualiter seien die für den kantonalen Instanzenzug Basel-Landschaft angefallenen Gerichts- und Parteikosten angemessen zwischen dem Kanton Basel-Landschaft und dem Kanton Solothurn zu verteilen.
Die kantonale Steuerverwaltung Basel-Land beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Kantonsgericht, das Steuergericht und die Eidgenössische Steuerverwaltung verzichten darauf, einen Antrag zu stellen.

Erwägungen:
I. Formelles
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit bzw. die Zulässigkeit des Rechtsmittels von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 475; <ref-ruling> E. 1 S. 417).
1.2. Die Vorinstanz hat für die Staats- und Gemeindesteuern und die direkte Bundessteuer je einen Entscheid gefällt. Die Beschwerdeführer fechten die beiden Entscheide mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Das ist zulässig, sofern in der Beschwerde zwischen den beiden Steuerarten unterschieden wird und aus den Anträgen hervorgeht, wie in Bezug auf beide Steuern zu entscheiden ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.2 S. 264 f.; <ref-ruling> E. 4.2 S. 559). Dieser Anforderung genügt die vorliegende Beschwerde.
1.3. Die Beschwerde richtet sich gegen zwei verfahrensabschliessende Entscheide einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind jeweils erfüllt, (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG i.V.m. Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11] sowie Art. 73 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]), weshalb auf die frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde - mit nachfolgender Einschränkung (E. 1.4) - einzutreten ist (Art. 42 und 100 BGG).
1.4. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung kann bei Beschwerden wegen interkantonaler Doppelbesteuerung auch eine allenfalls bereits rechtskräftige Veranlagung eines anderen Kantons für dieselbe Steuerperiode mitangefochten werden, obwohl es sich dabei nicht um ein letztinstanzliches Urteil im Sinne von Art. 86 BGG handelt. Der Instanzenzug muss nur in einem Kanton durchlaufen werden (<ref-ruling> E. 1.7 S. 379; <ref-ruling> E. 2.4 S. 306 f.; <ref-ruling> E. 2.4 S. 312 f.; vgl. Art. 100 Abs. 5 BGG). Vorliegend ist das Steuersubjekt der mitangefochtenen Verfügung des Kantons Solothurn, welche beide Ehegatten zum Gegenstand hat, zwar nicht vollkommen identisch mit demjenigen des ursprünglichen Entscheids des Kantons Basel-Land, welcher nur den Beschwerdeführer betrifft. Angesichts der engen Verbindung der beiden Beschwerdeführer gilt die Veranlagungsverfügung der Steuerverwaltung des Kantons Solothurn vom 9. Januar 2018 betreffend Staatssteuer dennoch als in zulässiger Weise mitangefochten (vgl. Urteil 2C_891/2011 vom 23. Juli 2012 E. 1.2).
Aus dem Verbot der interkantonalen Doppelbesteuerung (Art. 127 Abs. 3 BV) folgt allerdings nicht die Verpflichtung zur Leistung eines Zinses auf bereits eingenommenen und zurückzuzahlenden Steuern. Eine solche Verpflichtung müsste sich aus dem kantonalen Recht ergeben. Dass ein solcher Anspruch nach dem Recht des Kantons Solothurn besteht, wurde in der Beschwerde nicht dargelegt, weshalb auf den entsprechenden Teil des Antrags der Beschwerdeführer nicht eingetreten werden kann (vgl. Urteile 2C_539/2017 vom 7. Februar 2019 E. 1.2; 2C_655/2016 vom 17. Juli 2017 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und Art. 96 BGG geltend gemacht werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist daher weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; <ref-ruling> E. 1 S. 236). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem (einschliesslich kommunalem) und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht hingegen nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 2.2 S. 232). Es prüft die Anwendung des Bundesrechts und des harmonisierten kantonalen Steuerrechts mit freier Kognition, jene des nicht-harmonisierten, autonomen kantonalen Rechts hingegen bloss auf Verletzung des Willkürverbots (<ref-ruling> E. 2.1 S. 465; <ref-ruling> E. 2 S. 210).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil nach Art. 105 Abs. 1 BGG den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die vorinstanzlichen Feststellungen können gemäss Art. 105 Abs. 2 BGG nur berichtigt werden, sofern sie entweder offensichtlich unrichtig ermittelt worden sind (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 5.1 S. 356) oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen, und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 1.6 S. 144 f.).
2.3. Die Bindung des Bundesgerichts an den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt (Art. 105 Abs. 1 BGG) und das Novenverbot (Art. 99 Abs. 1 BGG) gelten auch für Beschwerden in Sachen der interkantonalen Doppelbesteuerung. Anders verhält es sich nur dann, wenn der Kanton, dessen Veranlagung bereits rechtskräftig ist und für den die Bindungswirkung nicht gilt, diese Feststellungen bestreitet. Nur in diesem Fall kommt das Bundesgericht nicht umhin, den Sachverhalt frei zu prüfen, und ist auch das Novenverbot zu relativieren (<ref-ruling> E. 1.7 S. 378; <ref-ruling> E. 2.3 S. 306; Urteil 2C_92/2012 vom 17. August 2012 E. 1.5; je mit Hinweisen).
Der Sachverhalt bezüglich Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Unterhalt ist deshalb vorliegend vom Bundesgericht unter Berücksichtigung der vom Steueramt des Kantons Solothurn in seiner Vernehmlassung vorgelegten Noven frei zu prüfen. Im Übrigen ist das Bundesgericht an die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung gebunden (vgl. Urteil 2C_522/2019 vom 20. August 2020 E. 1.5.2 zur Publikation vorgesehen).
3.
3.1. Ein Verstoss gegen das Verbot der interkantonalen Doppelbesteuerung im Sinne von Art. 127 Abs. 3 BV liegt vor, wenn ein Steuersubjekt von zwei oder mehreren Kantonen (Steuerhoheiten) für das gleiche Steuerobjekt und dieselbe Steuerperiode zur Besteuerung herangezogen wird (aktuelle Doppelbesteuerung) oder wenn ein Kanton in Verletzung der geltenden Kollisionsnormen seine Steuerhoheit überschreitet und eine Steuer erhebt, die einem anderen Kanton zusteht (virtuelle Doppelbesteuerung). Ausserdem darf ein Kanton ein Steuersubjekt grundsätzlich nicht deshalb stärker belasten, weil es nicht im vollen Umfang seiner Steuerhoheit untersteht, sondern zufolge seiner territorialen Beziehungen auch in einem anderen Kanton steuerpflichtig ist (Schlechterstellungsverbot; <ref-ruling> E. 3.1 S. 300 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 147; <ref-ruling> E. 2.1 S. 306 f.).
3.2. Vorliegend beansprucht der Kanton Basel-Landschaft die unbeschränkte Steuerpflicht des Beschwerdeführers für die Steuerperiode 2016. Für diese Steuerperiode ist er bereits im Kanton Solothurn für die Staatssteuer veranlagt worden und zwar zusammen mit seiner Ehefrau als Ehepaar mit getrennten Wohnsitzen, wobei die Erwerbsfaktoren und das bewegliche Vermögen je hälftig in den Kantonen Basel-Landschaft und Solothurn aufgeteilt wurde. Das beanstandete Vorgehen der Steuerbehörden des Kantons Basel-Landschaft führt daher in der Steuerperiode 2016 zu einer aktuellen Doppelbesteuerung des Beschwerdeführers.
Hinsichtlich der Direkten Bundessteuer fechten die Beschwerdeführer die Veranlagungsverfügung des Kantons Solothurn hingegen nicht an. Aus den Anmerkungen in der Veranlagungsverfügung ergibt sich zudem (Art. 105 Abs. 2 BGG), dass der Kanton Solothurn die Erhebung der Direkten Bundessteuer für die Steuerperiode 2016 ohnehin dem Kanton Basel-Landschaft überliess.
X. Direkte Bundessteuer
4.
4.1. Einkommen und Vermögen der Ehegatten, die in rechtlich und tatsächlich ungetrennter Ehe leben, werden ohne Rücksicht auf den Güterstand zusammengerechnet (sog. Faktorenaddition; Art. 9 Abs. 1 DBG; Art. 3 Abs. 3 1. Satz StHG). Die Besteuerung des Ehepaars als Einheit betrifft nicht nur die Bemessungsgrundlage, sondern auch die Steuerpflicht; insofern besteht eine gegenseitige Wechselwirkung.
Dieser Zusammenrechnung von Einkommen und Vermögen der Eheleute liegt der Grundsatz der Besteuerung nach der wirtschaftlichen (Gesamt-) Leistungsfähigkeit zugrunde (Art. 127 Abs. 2 BV). Dementsprechend bilden die Ehegatten zivilrechtlich und wirtschaftlich eine gewisse Einheit, wobei sich die Leistungsfähigkeit des einen Partners auch nach dem Einkommen und Vermögen des anderen bestimmt. Somit ist die wirtschaftliche Lage eines einkommenslosen Ehepartners nicht mit derjenigen eines einkommenslosen Ledigen vergleichbar (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 320; <ref-ruling> E. 2.1 S. 320 je mit Hinweisen).
4.2. Die Gemeinschaftsbesteuerung beginnt am 1. Januar des Jahres, in dem die Ehegatten heiraten bzw. die Partnerschaft eingetragen wird. Bei Scheidung, rechtlicher oder tatsächlicher Trennung sind die gesetzlichen Voraussetzungen für die Ehegattenbesteuerung hingegen nicht mehr erfüllt. In diesem Fall ist jeder Ehegatte separat zu veranlagen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 302, 133 II 305 E. 4.1 S. 308). Massgebend sind dabei die persönlichen Verhältnisse am Ende der Steuerperiode, d.h. am 31. Dezember des entsprechenden Kalenderjahres; sind die Ehegatten zu diesem Zeitpunkt geschieden oder leben sie rechtlich und tatsächlich getrennt, werden sie für die gesamte Steuerperiode separat veranlagt (Art. 42 Abs. 1 und 2 DBG; Art. 18 Abs. 1 und 2 StHG; Urteil 2C_1145/2013 vom 20. September 2014 E. 2.2).
4.3. Damit steuerrechtlich von einer massgeblichen rechtlichen oder tatsächlichen Trennung der Ehegatten auszugehen ist, müssen die folgenden Voraussetzungen grundsätzlich kumulativ erfüllt sein: Beide Ehegatten haben gestützt auf Art. 23 ZGB einen eigenen Wohnsitz bzw. verfügen über getrennte Wohnstätten. Sodann müssen die Ehegatten die eheliche Gemeinschaft aufgehoben haben; besteht diese - wenn auch nur mit sporadischem Gemeinschaftsleben - weiter, gilt die Ehe steuerrechtlich nicht als getrennt. Eine separate Veranlagung der Ehegatten setzt demnach eine dauernde Trennung und damit eine Aufhebung des gemeinsamen Haushalts bzw. ein Getrenntleben im Sinne von Art. 175/176 ZGB bzw. Art. 275 ZPO voraus. Solange die Ehegatten (wie etwa bei einer "Wochenendehe") nur über getrennte Wohnsitze bzw. Wohnstätten verfügen, an der ehelichen Gemeinschaft aber festhalten, liegt demnach keine getrennte Ehe im Sinne von Art. 9 Abs. 1 DBG vor. Erforderlich ist schliesslich, dass keine Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Lebensunterhalt besteht bzw. dass sich die Unterstützung des einen an den anderen Ehegatten in ziffernmässig bestimmten Beiträgen erschöpft (vgl. Urteile 2C_502/2015 vom 29. Februar 2016 E. 3.1; 2C_980/2013 vom 21. Juli 2014 E. 8.1, 2C_753/2011 vom 14. März 2012 E. 6.1.2, 2C_523/2007 vom 5. Februar 2008 E. 2.3).
Eine getrennte Veranlagung ist dabei in Betracht zu ziehen, wenn die zur Verfügung stehenden finanziellen Mittel nicht mehr zusammengelegt werden, also wenn "keine Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Unterhalt" mehr vorhanden ist. Werden dagegen von beiden Seiten Mittel - über übliche Gelegenheitsgeschenke hinaus - für die gemeinsame Lebenshaltung eingesetzt (nicht in Betracht fallen richterlich oder freiwillig vereinbarte Alimentenleistungen), sind trotz eigener Wohnung und gegebenenfalls auch eigenem zivilrechtlichem Wohnsitz die Ehegatten zusammen zu veranlagen (Urteile 2A.458/2006 vom 18. Dezember 2006 E. 3.1; 2A.432/2004 vom 16. Dezember 2004 E. 3.2 f.). Verfügen die Ehegatten gemeinschaftlich über ihre Mittel, so leben sie - auch wenn sie über je einen eigenen Wohnsitz verfügen - nicht im Sinne von Art. 9 Abs. 1 DBG getrennt und sind folglich gemeinschaftlich zu besteuern (Urteile 2C_837/2015 vom 23. August 2016 E. 4.5; 2A.433/2000 vom 12. Juli 2001 E. 2 b/cc.)
4.4. Vorliegend wird von keiner Seite in Abrede gestellt, dass die Beschwerdeführer in der fraglichen Steuerperiode je über einen eigenen Wohnsitz im Kanton Basel-Landschaft respektive im Kanton Solothurn verfügten. Jedoch unterscheiden sich die Ansichten darüber, ob in der fraglichen Steuerperiode ein Getrenntleben der beiden Ehegatten bestand.
4.4.1. Die Vorinstanz hat die Ehegatten als effektiv getrennt lebend angesehen. Gemäss ihren unbestrittenen Feststellungen hat sich der Beschwerdeführer im Jahre 2015 aus der Gemeinde U._ (SO) abgemeldet und sich per 1. Juli 2015 in der Gemeinde V._ (BL) angemeldet. Bei der Anmeldung hat der Beschwerdeführer angegeben, er habe sich am 16. Oktober 2014 von seiner Ehefrau freiwillig getrennt und lebe in V._ (BL) in einem Konkubinat mit B._. Für die Steuerperiode 2015 sind die Beschwerdeführer - den eigenen separat eingereichten Steuerdeklarationen entsprechend - in beiden Kantonen als Alleinstehende mit eigenen Wohnsitzen veranlagt worden. Die Wohnverhältnisse bzw. die Lebenssituation der Beschwerdeführer haben sich im Jahr 2016 nicht verändert. Aus den eingereichten Lohnausweisen des Beschwerdeführers für die Steuerperiode 2016 ergibt sich, dass dieser gegenüber beiden Arbeitgeberinnen im Jahr 2016 V._ (BL) als seinen Wohnsitz angegeben hat. Zudem haben die Beschwerdeführer auch für die Steuerperiode 2016 separate, jeweils alleine eigenhändig unterzeichnete Steuererklärungen in V._ (BL) und U._ (SO) eingereicht. In diesen Steuererklärungen vom 26. September 2017 (Beschwerdeführer) und vom 2. Juli 2017 (Beschwerdeführerin) bezeichneten sich die Beschwerdeführer übereinstimmend als ledig/alleinstehend.
4.4.2. Angesichts dieser Umstände erachtete die Vorinstanz die nachträgliche Berufung der Beschwerdeführer darauf, dass die Wohnsitzverlegung von ihnen bloss als temporäre räumliche Trennung vereinbart worden sei und lediglich den Zweck gehabt habe, dem Eheleben einen neuen Impuls zu geben, als wenig glaubhaft. Die Beschwerdeführer bringen zu dieser Einschätzung der Vorinstanz lediglich vor, dass der Beschwerdeführer bei seiner Abmeldung im Kanton Solothurn den Hausrat in der ehelichen Liegenschaft gelassen habe. Daraus alleine kann jedoch nicht geschlossen werden, dass sich die Beschwerdeführer nicht getrennt hätten. Der Beschwerdeführer ist direkt mit seiner neuen Konkubinatspartnerin zusammengezogen und es erscheint dabei wenig sinnvoll, Einrichtungsgegenstände aus der ehelichen Liegenschaft mitzunehmen, insbesondere da diese weiterhin von der Beschwerdeführerin bewohnt wurde.
Im Weiteren verweist der Kanton Solothurn auf die schriftliche Erklärung der Beschwerdeführer vom 7. Februar 2019, wonach sie zu keinem Zeitpunkt beabsichtigt hätten, sich zu trennen und die Wohnsituation abgesprochen gewesen sei. Die Vorinstanz habe diesem Dokument zu Unrecht keine Beweiskraft zukommen lassen, weil es erst einen Tag vor der Rekursschrift aufgesetzt worden sei. Angesichts der Umstände ist diese Einschätzung der Vorinstanz keineswegs zu beanstanden. Ebensowenig glaubhaft wirkt zudem das Schreiben der Beschwerdeführer vom 14. Dezember 2017, wonach sie teilweise zusammen Ferien verbracht und dabei die gemeinsamen Mittel verwendet hätten. Belege, welche diese gemeinsamen Aktivitäten und Ausgaben unterstreichen würden, haben sie jedenfalls nicht eingereicht. Abgesehen von diesen Behauptungen der Beschwerdeführer wird das Getrenntleben in der fraglichen Steuerperiode weder von ihnen noch vom Kanton Solothurn ernsthaft in Abrede gestellt.
4.4.3. Insgesamt ist damit die dauerhafte Trennung der ehelichen Gemeinschaft - üblicherweise wird dafür eine Dauer von mindestens einem Jahr vorausgesetzt (vgl. RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, Handkommentar zum DBG, 3. Aufl. 2016, N. 17 zu Art. 9 DBG) - für den massgeblichen Zeitpunkt belegt, ungeachtet davon, dass die Beschwerdeführer das Eheleben Mitte 2017 wieder aufgenommen haben.
4.5. Allerdings darf als weitere kumulative Voraussetzung für eine separate Besteuerung auch keine Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Lebensunterhalt mehr bestehen.
4.5.1. Ob die Ehe als wirtschaftliche Einheit zu würdigen ist, hängt von der Art der Mittelverwendung ab, wie sie objektiv feststellbar ist, wobei die subjektiven Absichten der Ehegatten nicht massgebend sind. Verwenden die Ehegatten bei getrennten steuerrechtlichen Wohnsitzen ihre Mittel gemeinschaftlich, fliessen also die den Ehegatten zur Verfügung stehenden Mittel in vollem Umfang oder zu einem namhaften Teil in einen gemeinsamen Topf, aus dem die gemeinsamen Kosten bestritten werden, besteht eine wirtschaftliche Einheit (RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, a.a.O., N. 20 zu Art. 9 DBG).
Dabei gilt es zu beachten, dass die gemeinsame Veranlagung von Eheleuten nach dem Willen des Gesetzgebers die Regel darstellt, die getrennte Besteuerung die Ausnahme. Wer sich auf die getrennte Besteuerung beruft, muss diese Ausnahmesituation (rechtlich oder tatsächlich getrennte Ehe) nachweisen (HUNZIKER/MAYER-KNOBEL, in: Kommentar zum Schweizerischen Steuerrecht, DBG, 3. Aufl. 2017, N. 17 zu Art. 9 DBG). Dies gilt nicht nur für die Steuerpflichtigen (vgl. dazu 2C_753/2011 vom 14. März 2012 E. 6.2; PETER LOCHER, Kommentar zum DBG, I. Teil, 2. Aufl., 2019, N. 18 zu Art. 9 DBG), sondern auch für die Steuerbehörden. Macht die Steuerbehörde den Ausnahmefall der getrennten Besteuerung geltend, während der verheiratete Steuerpflichtige die Faktorenaddition beansprucht, obliegt ihr die Beweislast, unabhängig davon, ob diese steuererhöhende oder steuermindernde Wirkung zukommt (HUNZIKER/MAYER-KNOBEL, a.a.O., N. 17 zu Art. 9 DBG; RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, Handkommentar zum DBG, 3. Aufl. 2016, N. 22 zu Art. 9 DBG).
Anerkennt dabei der frühere Wohnsitzkanton für ein paar Jahre, dass sich das Hauptsteuerdomizil in einem anderen Kanton befand, so kann er zwar auf eine neue Steuerperiode hin die Besteuerungshoheit wieder in Anspruch nehmen, hat aber gemäss der genannten Grundregel eine massgeblich veränderte Faktenlage zu seinen Gunsten nachzuweisen. Gelingt ihm dies nicht, bleibt es bei der vorherigen Domizilzuordnung. Das gilt jedenfalls dann, wenn die steuerpflichtige Person ihren Mitwirkungspflichten im Rahmen des Zumutbaren nachgekommen ist (Urteil 2C_171/2012 vom 12. Juli 2012 E. 3.2).
4.5.2. Der Kanton Solothurn stellt in Abrede, dass der Steuerbehörde Basel-Landschaft der Beweis für eine separate Besteuerung der Beschwerdeführer gelungen und diese folglich unrichtig sei. Bei den Beschwerdeführern habe auch während des Getrenntlebens weiterhin eine Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Lebensunterhalt der Beschwerdeführer bestanden, bzw. habe sich die Unterstützung des einen an den anderen Ehegatten nicht in ziffernmässig bestimmten Beiträgen erschöpft. Die Vorinstanz habe diesbezüglich den Sachverhalt unvollständig erstellt und bei Berücksichtigung sämtlicher Umstände ergebe sich, dass die Beschwerdeführer nicht getrennt im Sinne der Rechtsprechung gewesen seien.
4.5.3. Die Vorinstanz hielt hinsichtlich der Mittelverwendung fest, dass in der Steuerperiode 2016 noch gemeinsame Bankkonten der Beschwerdeführer bestanden hätten. Aus den jeweils eingereichten Wertschriftenverzeichnissen ergebe sich allerdings, dass die Beschwerdeführer bei den verbliebenen gemeinsamen Konten jeweils nur einen hälftigen Anteil deklarierten. Zudem habe der Beschwerdeführer in der Steuerperiode 2016 auch ein gemeinsames Konto mit seiner damaligen Konkubinatspartnerin geführt. Ebenfalls für eine getrennte Verwendung der Mittel spreche der Umstand, dass der Beschwerdeführer bereits in der Steuerperiode 2015 einen Unterstützungsabzug für seine Ehegattin geltend gemacht habe. Insgesamt bestünden damit ausreichende Hinweise, dass in der Steuerperiode 2016 keine Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Lebensunterhalt zwischen den Beschwerdeführern vorgelegen habe, zumal die anschliessende Versöhnung der Beschwerdeführer per Ende 2016 nicht absehbar gewesen sei.
Damit erachtete die Vorinstanz die fehlende Gemeinschaftlichkeit der Mittel als erstellt, wobei sie sich allerdings mit wenigen Indizien zufrieden gab. Sie begründete dies damit, dass üblicherweise im Stadium der Auflösung einer Ehe die eigentliche vermögensrechtliche Auseinandersetzung erst vorbereitet werde und in der Folge für beide Ehegatten - allenfalls sogar über einen längeren Zeitraum - die Möglichkeit bestehe, weiterhin auf gemeinsame Vermögenswerte zuzugreifen. Es gehe deshalb zu weit, dass sich die Steuerbehörde in jedem Fall Kenntnisse über gemeinsam vorhandene Mittel verschaffen müsse, bevor sie entscheide, ob eine gemeinsame Besteuerung stattfinden könne. Es müsse genügen, die Aufhebung des gemeinsamen Haushalts festzustellen, solange keine Hinweise dafür bestehen, dass sich die Situation wieder geändert habe, z.B. dass sich die Ehegatten im massgeblichen Zeitpunkt wieder versöhnt hätten.
Eine solche generelle Einschätzung hätte aber zur Folge, dass die Voraussetzung der wirtschaftlichen Trennung der gemeinsamen Mittel für Wohnung und Lebensunterhalt für eine separate Besteuerung obsolet würde. Zur Beweiserleichterung würde faktisch nur noch auf die räumliche Trennung der Ehegatten abgestellt, um eine tatsächliche Trennung nach Art. 9 Abs. 1 DBG festzuhalten. Wie gesehen, entspricht dies aber gerade nicht der Absicht des Gesetzgebers (vorne E. 4.5.1).
4.5.4. Der Kanton Solothurn bringt dementsprechend vor, die Vorinstanz habe sich beim Kriterium der Mittelverwendung für Wohnung und Unterhalt nur auf formale Kriterien gestützt und nicht alle wesentlichen Tatsachen berücksichtigt. Sie habe primär Indizien, die gegen eine gemeinsame Mittelverwendung sprechen, in ihre Würdigung miteinbezogen, ohne auch wesentliche Tatsachen in gleichem Masse zu berücksichtigen, die für eine gemeinsame Mittelverwendung sprechen würden. So sei die Beschwerdeführerin in der fraglichen Steuerperiode keiner Erwerbstätigkeit nachgegangen und somit auf die gemeinsamen Konten bzw. das Erwerbseinkommen des Beschwerdeführers angewiesen gewesen. Es seien weder Unterstützungsleistungen an die Beschwerdeführerin vereinbart noch tatsächlich bestimmbare, monatliche Leistungen in der Steuerperiode 2016 bezahlt worden. Der Unterstützungsabzug, welcher der Beschwerdeführer in der Steuererklärung 2015 geltend gemacht habe, sei bei der Beschwerdeführerin in der Steuerveranlagung 2015 nicht als Einkommen aufgerechnet worden. Wer von den Beschwerdeführern in welchem Umfang und für welche Zwecke die gemeinsamen Mittel verwendet habe, sei weder festgestellt noch könne es den Akten entnommen werden. Insgesamt sei nicht erstellt, welche genauen Beträge die Beschwerdeführerin von den gemeinsamen Konten für sich beansprucht habe, womit auch nicht ermittelt werden könne, ob sich die Unterstützung zumindest in ziffernmässig bestimmten Beträgen erschöpft habe.
4.5.5. Dieser Einschätzung ist zuzustimmen, zumal nicht analog zu Urteil 2C_502/2015 vom 29. Februar 2016 E. 3.3 vorgebracht werden kann, dass der Trennungsprozess ausreichend weit fortgeschritten gewesen wäre, damit vom Erfordernis der ziffernmässig bestimmten Beiträge ausnahmsweise abgewichen werden könnte. Dies würde voraussetzen, dass sich die Entflechtung der gemeinsamen Mittel abzeichnet und nur als Frage der Zeit erscheint. So stand im fraglichen Urteil die tatsächliche Trennung der Ehe per Ende Jahr bereits fest und es ging primär nur noch darum, ab welchem Zeitpunkt die geleisteten Unterhaltsbeiträge für die fragliche Steuerperiode steuerlich abziehbar waren.
Vorliegend präsentiert sich der zugrundeliegende Sachverhalt jedoch anders. Die Beschwerdeführer trafen, soweit ersichtlich, keine Anstalten, um ihre Ehe trotz der räumlichen Trennung auch wirtschaftlich aufzulösen. Es wurde nicht bloss ein gemeinsames Konto zur Lebenshaltung weitergeführt, sondern die bestehenden Konten standen - trotz der Deklaration je zur Hälfte in den Steuererklärungen - weiterhin beiden Ehegatten zur Verfügung. Es kann nicht gesagt werden, dass die Beschwerdeführer nur noch formell ein gemeinsames Konto führten oder in sonstiger Weise punktuell über gemeinsame Mittel verfügten. An dieser Einschätzung ändert entgegen der Ansicht der Vorinstanz auch der Umstand nichts, dass der Beschwerdeführer mit seiner Konkubinatspartnerin ebenfalls über ein gemeinsames Konto verfügte, da dieses mit Fr. 2'334.45 nicht nur im Vergleich zu den gemeinsamen ehelichen Mitteln ziemlich spärlich ausgestattet war.
Eine ziffernmässig bestimmte Unterstützung an die nicht erwerbstätige Beschwerdeführerin ist wiederum nicht ersichtlich und der geltend gemachte pauschale Unterstützungsabzug des Beschwerdeführers an seine Ehegattin von Fr. 10'000.-- (für den gemeinsamen Sohn wurde übrigens derselbe Pauschalbetrag in Abzug gebracht) reicht offensichtlich nicht aus, um ihren Lebensunterhalt zu bestreiten, ungeachtet davon, ob er überhaupt ausgerichtet worden ist. Jedenfalls deklarierte die Beschwerdeführerin keine Unterhaltszahlungen und es sind ihr auch keine als Einkommen aufgerechnet worden, wie sich aus vom Kanton Solothurn eingereichten Veranlagungsverfügung der Ehegattin betreffend die Steuerperiode 2015 vom 6. Februar 2017 ergibt (vgl. vorne E. 2.3). Ebensowenig sind schriftliche Vereinbarungen betreffend freiwillige Alimentenleistungen vorhanden. Somit ist darauf zu schliessen, dass Wohnung und Lebensunterhalt der Beschwerdeführerin auch nach der räumlichen Trennung durch das Erwerbseinkommen ihres Ehegatten finanziert wurde, ohne dass dafür ziffernmässig bestimmte Beträge vereinbart worden wären, womit weiterhin eine Gemeinschaftlichkeit der Mittel bestanden hat (Urteil 2C_1128/2015 vom 27. März 2017 E. 4.2; 2C_523/2007 vom 5. Februar 2008 E. 2.4; LOCHER, a.a.O., N. 17 zu Art. 9 DBG).
4.6. Aufgrund der vorliegenden Indizien gelingt es der beweisbelasteten Steuerbehörde somit nicht, die tatsächliche Trennung der Beschwerdeführer zu belegen. Zwar kann nicht in Abrede gestellt werden, dass zum massgeblichen Zeitpunkt eine dauerhafte Trennung der Ehegatten bestanden hat. Im interkantonalen Verhältnis sind jedoch Mann und Frau nicht bereits dann als getrennte Steuersubjekte zu behandeln, wenn die Ehegatten getrennt leben, sondern nur, wenn überdies keine Gemeinschaftlichkeit der Mittel für Wohnung und Unterhalt besteht, d.h. die Unterstützung des einen an den andern Ehegatten sich in ziffernmässig bestimmten Beiträgen erschöpft (so bereits <ref-ruling> E. 5c). Diese Voraussetzung wurde vorliegend nicht belegt, womit nicht eine getrennte, sondern eine gemeinschaftliche Besteuerung der Ehegatten angezeigt ist, obschon sie jeweils über ein eigenes Hauptsteuerdomizil verfügen.
Nach den im Rahmen der Direkten Bundessteuer analog anwendbaren Regeln zur Vermeidung einer interkantonalen Doppelbesteuerung ist dabei jeder Ehegatte in seinem Wohnsitzkanton zu besteuern, sind die Steuerfaktoren beider Ehegatten zusammenzurechnen und ist zwischen den beteiligten Kantonen eine Steuerausscheidung vorzunehmen (vgl. Urteil 2A.433/2000 vom 12. Juli 2001 E. 2b/dd unter Verweis auf <ref-ruling> E. 5c und 6).
Die ESTV weist in ihrer Vernehmlassung zudem darauf hin, dass auf den Steuerfaktoren der Beschwerdeführerin formell noch keine Bundessteuer erhoben wurde. Diesem Umstand hat die Steuerverwaltung des Kantons Basel-Landschaft bei der Neuveranlagung ebenfalls Rechnung zu tragen.
III. Kantons- und Gemeindesteuern
5.
Die dargelegten Rechtssätze zur direkten Bundessteuer finden sich in gleicher Weise im Recht der harmonisierten Steuern von Kantonen und Gemeinden (vgl. Art. 3 Abs. 3 Satz 1 StHG). Der Kanton Basel-Landschaft hat das hier massgebende Harmonisierungsrecht in allen Teilen in § 8 Abs. 1 über die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Landschaft vom 7. Februar 1974 (StG/BL; SGS 331) überführt. Damit kann für die kantonalen Steuern vollumfänglich auf das zur direkten Bundessteuer Gesagte verwiesen werden. Demnach erweist sich die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern gleichermassen als begründet.
Zur Behebung der bestehenden Doppelbesteuerung (vorne E. 3.2) ist bei getrennten Hauptsteuerdomizilen das den beiden Eheleuten zufliessende Erwerbseinkommen und das ihnen gehörende bewegliche Vermögen (inkl. Erträgen) zwischen den betroffenen Kantonen aufzuteilen (Repartition). Dabei sind die Faktoren gestützt auf die Ehegattenbesteuerung zusammenzuzählen. In der Regel besteht diese Ausscheidung in einer quotenmässigen, zumeist hälftigen Teilung der Steuerhoheit. Diese umfasst alle der Besteuerung unterliegenden Elemente mit Ausnahme ausserkantonaler Geschäftsbetriebe und Betriebsstätten und ausserkantonalen Grundeigentums (vgl. Art. 4 Abs. 1 StHG). Die hälftige Teilung rechtfertigt sich namentlich für weitgehend getrennt lebende Ehegatten, welche die Kosten für Lebensunterhalt und Wohnung indessen aus gemeinsamen Mitteln bestreiten oder falls einer der Gatten über kein Erwerbseinkommen verfügt (vgl. <ref-ruling> E. 6c S. 21 mit weiteren Hinweisen; Urteil 2P.2/2003 vom 7. Januar 2004 E. 2.5, in: ASA 73 420). Eine solche Teilung erscheint auch bei der vorliegenden Situation als angemessen und wurde vorliegend durch den Kanton Solothurn in der definitiven Veranlagung vom 9. Januar 2018 betreffend die Beschwerdeführerin bereits vorgenommen.
Analog wird der Kanton Basel-Landschaft bei der Veranlagung des Beschwerdeführers vorzugehen haben, womit eine Doppelbesteuerung vermieden wird. Der Eventualantrag der Beschwerdeführer, die definitive Veranlagung der Staatssteuer 2016 durch den Kanton Solothurn sei aufzuheben, erweist sich somit als unbegründet.
IV. Kosten- und Entschädigungsfolgen
6.
6.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Kanton Basel-Landschaft erweist sich als begründet und die angefochtenen Urteile des Kantonsgerichts vom 13. Mai 2020 sind aufzuheben. Die Beschwerde gegen den Kanton Solothurn ist abzuweisen und es besteht kein Anlass, diesem die Kosten aufzuerlegen.
6.2. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Kanton Basel-Landschaft aufzuerlegen, der in seiner Eigenschaft als Abgabegläubiger Vermögensinteressen im Sinne von Art. 66 Abs. 4 BGG verfolgt. Er hat ausserdem die Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
6.3. Zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen (Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer 2016 wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, 810 19 334 vom 13. Mai 2020 wird aufgehoben. Die Steuerverwaltung Basel-Landschaft wird angewiesen, die Beschwerdeführer für die direkte Bundessteuer 2016 im Sinne der Erwägungen gemeinsam als Ehegatten neu zu veranlagen.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuern 2016 wird gutgeheissen und das Urteil des Kantonsgerichts Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, 810 19 333 vom 13. Mai 2020 wird aufgehoben. Die Steuerverwaltung Basel-Landschaft wird angewiesen, den Beschwerdeführer für die Staats- und Gemeindesteuer 2016 im Sinne der Erwägungen als Ehegatte gemeinschaftlich neu zu veranlagen.
3.
Die Beschwerde gegen den Kanton Solothurn wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Kanton Basel-Landschaft auferlegt.
5.
Der Kanton Basel-Landschaft hat den Beschwerdeführern eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.-- zu entrichten.
6.
Zur Neuverlegung der Kosten- und Entschädigungsfolge der beiden kantonalen Verfahren wird die Angelegenheit an das Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, zurückgewiesen.
7.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Mösching