Sachverhalt:
A.
A._ wurde im Jahr 1994 u.a. wegen versuchter sowie mehrfacher vollendeter Vergewaltigung, mehrfacher sexueller Nötigung (teilweise unter erschwerenden Umständen), Schändung, Freiheitsberaubung und qualifizierter Widerhandlungen gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Zuchthausstrafe von zehn Jahren verurteilt (Urteil des Obergerichts des Kantons Aargau vom 15. Dezember 1994). Anstelle des Strafvollzugs wurde die Verwahrung nach damaligem Recht angeordnet. Diese Massnahme wurde mit obergerichtlichem Entscheid vom 12. Februar 2009 durch eine stationäre therapeutische Massnahme (<ref-law>) ersetzt. Letztere wurde 2014 um fünf Jahre verlängert (Urteil des Obergerichts vom 20. November 2014).
Am 16. Februar 2018 hob das Amt für Justizvollzug des Kantons Aargau die stationäre Massnahme wegen Aussichtslosigkeit (<ref-law>) "suspensiv auf den Zeitpunkt, an dem über den Antrag der Vollzugsbehörde auf Anordnung einer Verwahrung entschieden sei", auf. Zugleich beantragte die Behörde, es sei eine Verwahrung anzuordnen, eventuell wieder eine stationäre therapeutische Massnahme. Das Bezirksgericht Lenzburg gab einem entsprechenden Antrag der Staatsanwaltschaft Lenzburg-Aarau statt und sprach gegen A._ die Verwahrung nach Art. 62c Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law> aus (Entscheid vom 15. November 2018).
B.
Das Obergericht des Kantons Aargau hiess die dagegen erhobene Beschwerde von A._ gut. Es ordnete eine stationäre therapeutische Massnahme auf eine Dauer von fünf Jahren an (Entscheid vom 28. Juni 2019).
C.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt die Anordnung einer Verwahrung nach Art. 62c Abs. 4 in Verbindung mit <ref-law>. Eventuell sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen; subeventuell sei diese anzuweisen, vor einem neuen Entscheid ein forensisch-psychiatrisches Gutachten einzuholen.
A._ beantragt die unentgeltliche Rechtspflege.

Erwägungen:
1.
Die beschwerdeführende Anklagebehörde macht geltend, der angefochtene Entscheid beruhe auf einer offensichtlich unrichtigen resp. unvollständigen Feststellung des Sachverhalts und auf willkürlicher Beweiswürdigung. Er verletze daher Bundesrecht (<ref-law>).
1.1. Die Vorinstanz kommt zum Ergebnis, dass die stationäre therapeutische Massnahme nach wie vor erfolgversprechend ist und damit (gegenüber einer Verwahrung) Vorrang hat (vgl. Art. 56 Abs. 2 und <ref-law>; <ref-ruling> E. 3.5 S. 323). Der forensisch-psychiatrischen Gutachterin zufolge habe die bisherige Therapie das Rückfallrisiko zwar leicht verbessert; die eingetretene Verbesserung sei nach Ansicht der Sachverständigen aber weniger konkreten Therapieeffekten zuzuschreiben als dem disziplinierten Wohlverhalten des Beschwerdegegners sowie Alterseffekten. Die Kombination einer dissozialen Persönlichkeitsstörung mit psychopathischen Anteilen und einer sexuell sadistischen Störung sei nach gutachterlichem Dafürhalten grundsätzlich äusserst schwer behandelbar (angefochtener Entscheid E. 3.2 und 3.3.1). Die gutachterliche Einschätzung stehe indes im Widerspruch zu den Therapieverlaufsberichten und entsprechenden Aussagen eines im obergerichtlichen Verfahren befragten behandelnden forensischen Psychiaters. Danach habe sich die Legalprognose deutlich verbessert. Therapeutischerseits werde abweichend vom Gutachten empfohlen, die stationäre Massnahme mit begleiteten Vollzugslockerungen ("weitere schrittweise Progressionen") fortzuführen. Was die Bewertung der Pathologie betreffe, so sei zu berücksichtigen, dass das von der Gutachterin herangezogene diagnostische Instrument PCL-R keine objektive Messung ermögliche und überdies nicht sonderlich veränderungssensitiv sei. Die Gutachterin selbst habe in der obergerichtlichen Verhandlung ausgesagt, es sei wichtig, dass sich die Risikobeurteilung nicht allein auf solche Instrumente stütze; es müssten in einer Gesamtbetrachtung auch im Verlauf der Therapie eingetretene Veränderungen einbezogen werden, die in entsprechenden Testverfahren nicht abgebildet würden. Die Gutachterin würdige indes hauptsächlich statische und weniger die dynamischen Aspekte (E. 3.3.2-3.3.4). Die Vorinstanz schloss, der Beschwerdegegner sei einer Behandlung nach wie vor zugänglich. In dubio pro curatione sei davon auszugehen, dass eine weitere Verbesserung erzielbar sei. Dass die Therapie einer chronischen psychischen Krankheit oft nur sehr langsam wirke, liege in der Natur der Sache. Angesichts der suspensiv bedingten Aufhebung der bisherigen Massnahme sei eine neue, auf eine Dauer von fünf Jahren angelegte stationäre therapeutische Massnahme nach <ref-law> anzuordnen (E. 3.4).
1.2.
1.2.1. Die Oberstaatsanwaltschaft macht geltend, die bisherige Therapie habe die Legalprognose bezüglich Sexualdelikten nicht deutlich verbessert. Das forensisch-psychiatrische Gutachten von Frau Dr. B._ vom 24. August 2017 weise bloss leichte Fortschritte aus. Diese Fortschritte seien zudem auf äussere Anpassungsleistungen und nicht auf Effekte der Therapie zurückzuführen. Das Obergericht stelle auf eine abweichende Einschätzung aus therapeutischer Sicht (Therapieverlaufsberichte der Psychiatrischen Dienste der C._ AG vom 31. Oktober 2018 und vom 27. Mai 2019) ab; dies mit der Begründung, die Einschätzung der Therapeuten berücksichtige die aktuelle Entwicklung besser. Damit lasse die Vorinstanz ausser Acht, dass die Gutachterin ihre Feststellung, es liege eine bloss leichte Verbesserung vor, begründe, während die Behandler nicht schlüssig dartäten, inwiefern sich die Legalprognose deutlich verbessert habe und worauf diese Veränderung effektiv zurückzuführen sei. Die zuständige Therapeutin habe vor Obergericht auf die Frage nach Fortschritten seit der letzten Begutachtung hin erklärt, man habe "den Stand gehalten" (vorinstanzliches Protokoll S. 12). Somit sei von einer Stagnation auszugehen, was im angefochtenen Entscheid indes ebenso ignoriert werde wie die Feststellung der Gutachterin, der Beschwerdegegner sei "zuoberst auf der Therapieerfolgspyramide angekommen". Angesichts der schwierig behandelbaren komorbiden Situation (dissoziale Persönlichkeitsstörung, sexuell sadistische Störung, Abhängigkeitssyndrome gegenüber verschiedenen Substanzen) sei unwahrscheinlich, dass eine Verlängerung der stationären Massnahme die Legalprognose noch wesentlich verbessere.
1.2.2. Die vorinstanzlichen Feststellungen über vergangene und künftig erwartbare legalprognostisch relevante Effekte der therapeutischen Behandlung im Rahmen einer stationären Massnahme sind tatsächlicher Natur. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und <ref-law>). Offensichtlich unrichtig ist eine Sachverhaltsfeststellung, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 2.2 S. 313). Dies trifft u.a. zu, wenn der angefochtene Entscheid unhaltbar ist, weil ihm offenkundig fehlerhafte Tatsachen zugrundegelegt werden (<ref-ruling> E. 4.2 S. 53; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244). Dabei gilt hinsichtlich des Vorbringens, der Sachverhalt sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden, das strenge Rügeprinzip (<ref-law>). Demnach ist anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen, inwiefern die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung willkürlich sein soll (<ref-ruling> E. 6.3 S. 375). Es genügt nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten oder die eigene Beweiswürdigung zu erläutern (<ref-ruling> E. 2.2 S. 23).
1.2.3. Das Gericht würdigt Gutachten grundsätzlich frei (vgl. <ref-law>). In Fachfragen darf es nicht ohne triftige Gründe davon abweichen; Abweichungen muss es begründen. Erscheint ihm die Schlüssigkeit des Gutachtens in wesentlichen Punkten zweifelhaft, klärt es diese Zweifel, indem es nötigenfalls ergänzende Beweise erhebt. Unterbleibt dies, kann ein Verstoss gegen das Willkürverbot gegeben sein (<ref-ruling> E. 2.1.3 S. 53; <ref-ruling> E. 6.1 S. 372), überdies eine Verletzung des Untersuchungsgrundsatzes (<ref-law>).
1.2.4. Strittig sind im Wesentlichen die Wirkungen der bisherigen Therapie, aus welchen auf die erwartbaren Wirkungen einer weitergeführten Therapie geschlossen werden kann. Um eine solche Entwicklung zu erfassen, müssen zu verschiedenen Zeitpunkten gemachte Beobachtungen miteinander verglichen werden. Die Gutachterin selbst konnte sich unmittelbar - aus eigener Wahrnehmung - nur auf Gegebenheiten zum Zeitpunkt der Untersuchung abstützen ("Querschnitt"). Um diese Feststellungen mittels forensisch-psychiatrischer Erfahrungssätze in eine "Längsschnitt"-Beurteilung einordnen zu können, braucht es Drittangaben, in erster Linie der Therapeuten. Diese haben den Verlauf der Behandlung und deren Effekte beim Beschwerdegegner über einen Zeitraum von rund neun Jahren hinweg verfolgt. Im Rahmen der Beweiswürdigung durfte (und musste) die Vorinstanz die Therapieverlaufsberichte ergänzend heranziehen, zumal darin der Behandlungsverlauf und die Behandlungsperspektiven nachvollziehbar anhand konkreter Gegebenheiten geschildert werden. So stützt sich die Annahme, die Psychopathie-Anteile seien deutlich zurückgegangen, auf eine mehrjährige Beobachtung des Alltagsverhaltens. Ein Rückgang der Dissozialität wird zwar auch auf das geschlossene Massnahmesetting zurückgeführt; daneben spielten indes therapeutische Fortschritte, ein alterstypischer Verlauf und die Drogenabstinenz eine Rolle. Während der Beschwerdegegner früher "intramural" dissoziale Verhaltensweisen in Zusammenhang mit der Drogenbeschaffung gezeigt habe, grenze er sich jetzt trotz langjähriger schwerer Abhängigkeitsstörung klar von jeglichem Konsum (intramural verfügbarer) illegaler Substanzen ab. Dabei handle es sich um eine veränderte Einstellung und nicht bloss um eine Anpassungsleistung. Nachhaltige Drogenabstinenz sei ein wichtiger rückfallpräventiver Faktor. Unter dem Titel der deliktbezogenen therapeutischen Interventionen sei ebenfalls eine veränderte Einstellung zu verzeichnen, was die Übernahme von Verantwortung für die Sexualdelikte betreffe (Bericht vom 31. Oktober 2018 S. 2 unten und S. 5 f.; Bericht vom 27. Mai 2019 S. 4).
Mit Blick auf diese (und weitere) konkreten Angaben kann nicht davon gesprochen werden, die Vorinstanz habe sich ohne zureichende Gründe über eine gutachterliche Beurteilung hinweggesetzt. Anhaltspunkte, wonach die Therapeuten den bisherigen Behandlungserfolg übertrieben dargestellt oder - aus dem therapeutischen Verhältnis heraus - advokatorisch zugunsten des Behandelten Stellung genommen haben könnten, sind nicht ersichtlich. Damit besteht keine Veranlassung, den Beweiswert der Berichte zu relativieren, in denen aus erster Hand über den Therapieverlauf informiert wird. Der Umstand, dass die strittigen Voraussetzungen einer stationären Massnahme (teilweise abweichend von den Schlussfolgerungen der sachverständigen Begutachtung nach <ref-law>) auch anhand der detaillierten Therapieverlaufsberichte beurteilt werden, entzieht dem Massnahmeentscheid nicht ohne Weiteres die gesetzlich vorgeschriebene gutachtliche Grundlage. Hier handelt es sich wohl nicht formal (vgl. angefochtenes Urteil, S. 13 E. 3.4), aber doch der Sache nach um eine Verlängerung der stationären therapeutischen Massnahme. Insofern ist darauf hinzuweisen, dass das Gesetz im Rahmen von <ref-law> eine Begutachtung nicht zwingend vorschreibt (<ref-ruling> E. 2.1 S. 141; Urteil 6B_850/2013 vom 24. April 2014 E. 2.3.1). Im Übrigen hängt es stets von der Beweislage im Einzelfall ab, ob dem Gutachten widersprechende Dokumente selbständigen - ergänzenden - Beweiswert haben oder bloss den Beweiswert des Gutachtens "erschüttern" mit der Folge, dass ein Ergänzungs- oder Obergutachten einzuholen ist (vgl. <ref-ruling> E. 2.1.3 S. 53; <ref-ruling> E. 6.1 S. 372 f.). Vorliegend durfte die Vorinstanz von einem hinreichend klaren Beweisergebnis ausgehen und von einer Neubegutachtung absehen.
Soweit die Beschwerdeführerin Gutachten und Therapieverlaufsberichte würdigt, ohne darzutun, inwiefern sich die Vorinstanz willkürlich der aus ihrer Sicht unzutreffenden Einschätzung der Therapeuten angeschlossen habe, kann auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werden (oben E. 1.2.2; <ref-law>).
1.3. Die Beschwerdeführerin bemängelt, die Vorinstanz habe nicht abgeklärt, welche zusätzlichen (risikowirksamen) Fortschritte eine Weiterführung der Therapie bringen könnte und bis wann solche Fortschritte gegebenenfalls zu erwarten wären. Die strittige Verlängerung der (bereits fast zehn Jahre andauernden) stationären Massnahme setze entsprechende Feststellungen voraus. Dabei reiche die bloss vage Möglichkeit einer Verringerung der Gefahr resp. die Erwartung einer lediglich minimalen Verringerung nicht aus.
Die Vorinstanz stellt die gutachterliche Einschätzung in Rechnung, angesichts des sehr schwer behandelbaren Störungskomplexes werde eine (weitere) Therapie nur äusserst langwierig und kleinschrittig vonstatten gehen. Diese Prognose zieht die deliktspräventive Eignung der stationären Massnahme nicht zwingend in Zweifel. Die Rechtsprechung legt die von Gesetzes wegen erforderliche Erwartung, mit der stationären Behandlung "lasse sich der Gefahr weiterer mit [der] psychischen Störung in Zusammenhang stehender Taten begegnen" (<ref-law>), im Sinne von "deutlich verringern" aus (<ref-ruling> E. 3.4.1 S. 321; Urteil 6B_1343/2017 vom 9. April 2018 E. 2.5.2). Die Prognose, es sei in der Normdauer von (weiteren) fünf Jahren ein "deutlicher" therapeutischer Fortschritt zu erwarten, richtet sich nach dem medizinisch Erwartbaren. Die erforderliche Deutlichkeit der prognostisch erzielbaren Wirkung kann daher nicht absolut bestimmt werden. Sie hängt von der Natur der psychischen Störung und vom spezifischen Verlauf ihrer Behandlung ab. Würden diese Individualitäten nicht berücksichtigt, so drohte die Anwendung von <ref-law> bei nur schwer und längerfristig therapierbaren Störungen letztlich zu stark eingeschränkt zu werden.
Zudem geht es bei der strittigen Fortsetzung der stationären Massnahme nach Lage der Akten auch darum, Effekte der bisherigen Behandlung (oben E. 1.2.4) zu sichern und auszubauen. In diesem Kontext ist die Schlussfolgerung der Gutachterin Dr. B._ bedeutsam, sofern es nicht zur Verwahrung komme, gebe es "keine besseren oder effektiveren Optionen als die Fortführung der therapeutischen Massnahme gemäss <ref-law>, da dies die einzige Möglichkeit eines dynamischen, engmaschigen Risikomanagements im Falle etwaiger Vollzugslockerungen und Resozialisierungsschritte darstellt" (Gutachten S. 121 oben). Diese Ausführungen erfolgen vor dem Hintergrund der Feststellung, dass der Beschwerdegegner seit Jahren Therapiebereitschaft zeige und sich im Rahmen der Psychotherapie mit seiner Delinquenz auseinandersetze (Gutachten S. 119 f. Ziff. 5 und 6). Mithin hält die Sachverständige eine Fortführung der stationären Therapie grundsätzlich ebenfalls für möglich.
1.4. Der angefochtene Entscheid trägt dem Grundsatz Rechnung, dass eine Verwahrung stets ultima ratio ist. Sind mehrere Massnahmen in gleicher Weise geeignet, ist aber nur eine notwendig, so ordnet das Gericht diejenige an, die den Täter am wenigsten beschwert (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin macht nicht geltend, dass innert Fünfjahresfrist von vornherein keine namhaften weiteren Behandlungsziele mehr erreichbar sind, mithin die Legalprognose nicht verbessert werden kann (vgl. <ref-ruling> E. 5 S. 327).
2.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten wird. Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Das Gesuch des Beschwerdegegners, der nicht zur Vernehmlassung eingeladen war, um unentgeltliche Rechtspflege (<ref-law>) ist gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf sie einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. April 2020
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Traub