Sachverhalt:
A.
A.a. Die A._ Genossenschaft (Klägerin, Beschwerdegegnerin) ist eine Genossenschaft mit Sitz in U._. Sie betreibt als Kerngeschäft den "Einzelhandel sowie weitere Aktivitäten einschliesslich der vorgelagerten Stufen und erforderlichen Dienstleistungen". Sie ist eine Tochtergesellschaft der A._-Gruppe Genossenschaft.
Unter dem Zeichen "Lumimart" führt sie Fachmärkte für Leuchten. In diesen werden Pendel-, Steh-, Wand-, Decken-, Tisch- und Büroleuchten, Spots sowie Leuchtmittel für den Innen- und Aussenbereich verkauft. Diese Produkte werden auch in einem Webshop angeboten, der über die Internet-Domain "www.lumimart.ch" abrufbar ist.
Die A._ Genossenschaft (beziehungsweise ihre Rechtsvorgängerinnen) verwendet das Zeichen "Lumimart" seit 1998, zusammen mit folgendem Logo:
Seit September 2018 werden die Fachmärkte und der Webshop mit geändertem Logo gekennzeichnet:
A.b. Die Luminarte GmbH (Beklagte, Beschwerdeführerin) ist eine Gesellschaft mit beschränkter Haftung deutschen Rechts mit Sitz in Lauchringen (Deutschland). Sie wurde im Jahr 2012 gegründet und bezweckt im Wesentlichen den Handel mit Beleuchtungskörpern, Leuchtmitteln und entsprechendem Zubehör.
Sie tritt unter den beiden Internet-Domains "www.luminarte.de" und "www.luminarte.ch" auf, über die sie einen Webshop für Lampen, Leuchten, Beleuchtungskörper, Beleuchtungsgeräte, Leuchtmittel und ähnliche Waren betreibt. Die Internet-Domain www.luminarte.ch wird auf die Internet-Domain www.luminarte.de weitergeleitet. Auf ihren Webseiten sowie in Werbeunterlagen verwendet sie auch folgendes Logo:
Ausserdem betreibt sie in Lauchringen eine Lokalität.
B.
B.a. Am 17. April 2018 reichte die A._ Genossenschaft beim Handelsgericht des Kantons Aargau Klage ein. In der Sache stellte sie folgende, in der Replik angepasste Rechtsbegehren:
"1. Der Beklagten sei unter Androhung einer Ordnungsbusse von CHF 1'000 für jeden Tag der Nichterfüllung, mindestens aber CHF 5'000 gemäss <ref-law>, zu verbieten, nach Ablauf von 30 Tagen, nachdem dieses Urteil vollstreckbar geworden ist, unter der Firmenbezeichnung "Luminarte GmbH" und/oder unter den Domainnamen "luminarte.ch" und/oder "luminarte.de" und/oder unter dem Zeichen "Luminarte" und/oder unter dem Logo Leuchten und/oder Leuchtmittel in der Schweiz selber oder durch Dritte zu bewerben, anzubieten und/oder zu liefern.
2. Die Beklagte sei unter Androhung einer Ordnungsbusse von CHF 1'000 pro Tag der Nichterfüllung, mindestens aber CHF 5'000 gemäss <ref-law> sowie der Bestrafung ihrer Organe nach <ref-law> mit Busse im Widerhandlungsfall zu verpflichten, binnen 30 Kalendertagen nach Rechtskraft des Urteils Auskunft zu erteilen und nach anerkannten Grundsätzen der Rechnungslegung Rechnung zu legen über
i) die Anzahl aller Leuchten und Leuch t mittel, die sie oder ihre Lizenz nehmer in den Jahren 2014-2018 an Kunden mit Adresse in der Schweiz oder an Wiederverkäufer/Händler mit Sitz in der Schweiz geliefert haben, unter Beilegung der Rechnungen, Lieferscheine und Mehrwertsteuer-Rückerstattungsbelegen, aus denen der Verkaufspreis hervorgeht;
ii) den Gesamtumsatz, der mit der Lieferung von Leuchten und Leucht mitteln in den Jahren 2014-2018 an Kunden mit Adresse in der Schweiz erzielt wurde, unter Angabe der von Dritten in diesem Zusammenhang erwirtschafteten Lizenzgebühren, der den einzelnen Gegenständen unmittelbar zuzuordnenden Herstellungs- bzw. Anschaffungskosten sowie den einzelnen Gegenständen unmittelbar zuzuordnenden sonstigen Kosten, wobei sämtliche Kosten mit Belegen nachgewiesen sein müssen;
iii) Umfang und Art der Bewerbung von Lampen, Leuchten und Leucht mitteln in der Schweiz in den Jahren 2014-2018, insbesondere in Prospekten, Inseraten, Ausstellungen, Anzeigen im Internet, und die für die Bewerbung gemachten Ausgaben, unter Beilegung entsprechender Belege;
iv) Namen und Adressen sämtlicher Händler/Wiederverkäufer von Leuchten und Leuchtmitteln in der Schweiz, an welche in den Jahren 2014-2018 Leuchten und Leuchtmittel geliefert wurden, insbesondere sämtlicher Kommissionäre.
3. Die Beklagte sei zu verurteilen, der Klägerin einen nach dem Ergebnis der Auskunftserteilung gemäss vorstehenden Rechtsbegehren durch die Klägerin noch zu beziffernden oder durch das Gericht zu schätzenden Betrag, min destens jedoch CHF 1'000'000, als finanzielle Wiedergutmachung zu bezahlen.
4. Die Beklagte sei zu verpflichten, der Klägerin einen Betrag von CHF 13'945.25 zuzüglich 5 % Zins p.a. seit dem 30. März 2017 zu bezahlen."
In prozessualer Hinsicht verlangte die A._ Genossenschaft, das Verfahren sei mit dem ebenfalls am Handelsgericht des Kantons Aargau hängigen Verfahren in Sachen A._-Gruppe Genossenschaft gegen Luminarte GmbH betreffend Verletzung von Namens- und Markenrecht zu vereinigen (siehe dazu bundesgerichtliches Verfahren 4A_265/2020). Dieses Begehren wies der Präsident des Handelsgerichts mit Verfügung vom 3. Mai 2018 ab.
B.b. Die Luminarte GmbH beantragte (neben Nichteintreten beziehungsweise Abweisung der Klage), der A._-Gruppe Genossenschaft den Streit zu verkünden. Mit Eingabe vom 27. Juli 2018 lehnte diese den Eintritt in das Verfahren ab.
B.c. Mit Teilurteil vom 31. März 2020 erkannte das Handelsgericht was folgt:
"1. Der Beklagten wird unter Androhung einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 1'000. 00 für jeden Tag der Nichterfüllung sowie einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 5'000.00 im Falle der Nichterfüllung verboten, nach Ablauf von 30 Tagen, nachdem dieses Urteil vollstreckbar geworden ist, unter der Firmenbezeichnung "Luminarte GmbH" oder unter den Domainnamen "luminarte.ch" oder "luminarte.de" oder unter dem Zeichen "Luminarte" oder dem Logo Leuchten oder Leuchtmittel in der Schweiz sel ber oder durch Dritte zu bewerben, anzubieten oder zu liefern.
"1. Der Beklagten wird unter Androhung einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 1'000. 00 für jeden Tag der Nichterfüllung sowie einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 5'000.00 im Falle der Nichterfüllung verboten, nach Ablauf von 30 Tagen, nachdem dieses Urteil vollstreckbar geworden ist, unter der Firmenbezeichnung "Luminarte GmbH" oder unter den Domainnamen "luminarte.ch" oder "luminarte.de" oder unter dem Zeichen "Luminarte" oder dem Logo Leuchten oder Leuchtmittel in der Schweiz sel ber oder durch Dritte zu bewerben, anzubieten oder zu liefern.
2. Der Beklagten wird unter Androhung einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 1'000.00 für jeden Tag der Nichterfüllung sowie einer Ordnungsbusse von bis zu Fr. 5'000.00 und unter Androhung der Bestrafung ihrer Organe nach <ref-law> im Widerhandlungsfall verpflichtet, binnen 30 Kalendertagen nach Rechtskraft des Urteils Auskunft zu erteilen und nach anerkannten Grundsätzen der Rechnungslegung Rechnung zu legen über
i) die Anzahl aller Leuchten und Leuchtmittel, die sie oder ihre Lizenz nehmer in den Jahren 2014-2018 an Kunden mit Adresse in der Schweiz oder an Widerverkäufer/Händler mit Sitz in der Schweiz geliefert haben, unter Beilegung der Rechnungen, Lieferscheinen und Mehrwertsteuer-Rückerstattungsbelegen, aus denen der Verkaufspreis hervorgeht;
ii) den Gesamtumsatz, der mit der Lieferung von Leuchten und Leuchtmitteln in den Jahren 2014-2018 an Kunden mit Adresse in der Schweiz erzielt wurde, unter Angabe der von Dritten in diesem Zu sammenhang erwirtschafteten Lizenzgebühren, der den einzelnen Gegenständen unmittelbar zuzuordnenden Herstellungs- bzw. Anschaffungskosten sowie den einzelnen Gegenständen unmittelbar zuzuordnenden sonstigen Kosten, wobei sämtliche Kosten mit Belegen nachgewiesen sein müssen.
[Wiedergabe <ref-law>]"
C.
Die Luminarte GmbH verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Handelsgerichts sei aufzuheben und die Klage der Beschwerdegegnerin sei abzuweisen, soweit das Handelsgericht diese gutgeheissen habe. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde, vorab superprovisorisch, die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Das Handelsgericht begehrt die Abweisung der Beschwerde. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdeführerin replizierte, worauf die Beschwerdegegnerin eine Duplik eingereicht hat.
Mit Präsidialverfügung vom 4. Juni 2020 wurde dem Gesuch um superprovisorische Gewährung der aufschiebenden Wirkung entsprochen. Mit Präsidialverfügung vom 19. Juni 2020 wurde diese Anordnung bestätigt und der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt.

Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid des Handelsgerichts hat eine Zivilrechtsstreitigkeit im Zusammenhang mit geistigem Eigentum gemäss <ref-law> zum Gegenstand. Es ist ein Teilentscheid (<ref-law>) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von <ref-law>. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss <ref-law> unabhängig vom Streitwert.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2 S. 116; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89).
Soweit die in der Beschwerde formulierte Kritik diesen Anforderungen nicht genügt, ist darauf von vornherein nicht einzutreten. Dies betrifft etwa jene Abschnitte der Beschwerdebegründung, in denen zahlreiche konventions- und verfassungsrechtliche sowie zivilprozessuale Normen aneinandergereiht werden, welche das Handelsgericht angeblich verletzt haben soll, ohne im Einzelnen aufzuzeigen, inwiefern sich das Vorgehen der Vorinstanz mit diesen Bestimmungen nicht vertragen soll.
2.2. Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (<ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern (vgl. <ref-ruling> E. 3.3.4). Die Replik ist nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2).
Soweit die Beschwerdeführerin in ihrer Replik darüber hinausgeht, können ihre Ausführungen nicht berücksichtigt werden.
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90).
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin verweist an verschiedenen Stellen ihrer Beschwerdeschrift auf ihre Vorbringen in den kantonalen Rechtsschriften sowie auf klägerische und beklagtische Beweisofferten sowie "Sammelbeilagen". Sie legt dar, welche Schlüsse das Handelsgericht aus ihren Ausführungen und Bestreitungen hätte ziehen müssen, und sie führt umgekehrt aus, wie die klägerischen Darlegungen richtigerweise hätten verstanden werden müssen. Die Beschwerdeführerin wirft dem Handelsgericht in diesem Zusammenhang namentlich vor, Art. 6 Ziff. 1 EMRK, Art. 8 Abs. 1, Art. 9 und <ref-law>, <ref-law>, Art. 52, Art. 53, Art. 55 Abs. 1, Art. 58 Abs. 1, Art. 151 und <ref-law> verletzt zu haben.
Sie übersieht, dass die Beschwerde in Zivilsachen nicht dazu dient, das kantonale Verfahren neu aufzurollen. Das Bundesgericht ist an die vorinstanzlich festgestellten Tatsachen - wozu auch der Prozesssachverhalt gehört - gebunden. Möchte die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzt oder anders festgestellt haben, hat sie dies präzise vorzubringen. Dagegen ist es nicht Sache der Bundesgerichts, die im kantonalen Verfahren eingereichten Rechtsschriften auszulegen und Aussagen darüber zu treffen, wie die darin enthaltenen Behauptungen und Bestreitungen zu interpretieren sind. Auch soweit die Beschwerdeführerin Rechts- und Sachverhaltsrügen vermischt, ohne aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz die - entscheiderheblichen - Tatsachen willkürlich festgestellt haben soll, ist sie nicht zu hören (vgl. Urteil 4A_268/2018 vom 18. November 2019 E. 4.2 mit Hinweis).
3.2. Es ist folglich vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, und die Ausführungen der Beschwerdeführerin gehen ins Leere, soweit sie ihre Argumentation auf ein Tatsachenfundament stützt, das in den Feststellungen im angefochtenen Urteil keine Grundlage findet. Dies trifft insbesondere auf den - an zahlreichen Stellen geäusserten - Vorwurf zu, die Vorinstanz habe den Verhandlungsgrundsatz (<ref-law>) missachtet: Die Beschwerdeführerin moniert, das angefochtene Urteil stütze sich auf "Ausführungen", die von ihr "in den vorinstanzlichen Eingaben rechtsgenüglich bestritten" worden seien, und übergehe umgekehrt "Ausführungen", die sie "vorgebracht" und die Beschwerdegegnerin "nicht bestritten" habe. Auf diese pauschale Kritik ist nicht einzutreten.
3.3. Soweit die Beschwerdeführerin verschiedentlich eine Verletzung ihres "Rechts auf Beweis" und der Regeln über die antizipierte Beweiswürdigung beklagt, ist immerhin auf Folgendes hinzuweisen:
Der Beweisführungsanspruch nach <ref-law>, <ref-law> beziehungsweise <ref-law> verschafft der beweispflichtigen Partei in allen bundesrechtlichen Zivilrechtsstreitigkeiten einen Anspruch darauf, für rechtserhebliche Vorbringen zum Beweis zugelassen zu werden, soweit entsprechende Anträge im kantonalen Verfahren form- und fristgerecht gestellt worden sind (vgl. <ref-ruling> E. 9.3.2 S. 332; <ref-ruling> E. 7.1; je mit Hinweisen). Diese Bestimmungen schreiben jedoch dem Gericht nicht vor, mit welchen Mitteln es den Sachverhalt abzuklären hat (vgl. <ref-ruling> E. 2a S. 291 mit Hinweis), und sie schliessen namentlich die antizipierte Beweiswürdigung nicht aus. Wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde, ist der Beweisführungsanspruch nicht verletzt (<ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 5.3; <ref-ruling> E. 2.1; je mit Hinweisen).
Das Bundesgericht ordnet die antizipierte Beweiswürdigung, soweit seine Kognition betreffend, der Sachverhaltsfeststellung respektive Beweiswürdigung zu und greift in diese entsprechend nur ein, wenn sie willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.3.2 S. 376 mit Hinweis). Willkür tut die Beschwerdeführerin aber nicht (hinreichend) dar, weshalb auch diese Kritik unbeachtlich zu bleiben hat.
3.4. Zur wiederholt vorgetragenen Rüge, die Vorinstanz habe den Gehörsanspruch und die "Begründungspflicht" verletzt, ist schliesslich zu bemerken, dass die Beschwerdeführerin diese Vorwürfe genau besehen jeweils damit begründet, dass das Handelsgericht ihrer Rechtsauffassung nicht folgte. Dies stellt von vornherein keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör und daraus abgeleiteter Rechte dar (siehe Urteil 4A_613/2019 vom 11. Mai 2020 E. 4.2, zur Publikation vorgesehen).
4.
4.1. Wer durch unlauteren Wettbewerb in seiner Kundschaft, seinem Kredit oder beruflichen Ansehen, in seinem Geschäftsbetrieb oder sonst in seinen wirtschaftlichen Interessen bedroht oder verletzt wird, kann dem Richter gemäss <ref-law> (SR 241) namentlich beantragen: eine drohende Verletzung zu verbieten (lit. a); eine bestehende Verletzung zu beseitigen (lit. b). <ref-law> behält die obligationenrechtlichen Klagen auf Schadenersatz und Genugtuung sowie auf Herausgabe eines Gewinnes vor.
4.2. Die Beschwerdegegnerin wirft der Beschwerdeführerin unlauteres Verhalten im Sinne dieser Bestimmung vor. Sie stützt sich auf <ref-law> und ist der Auffassung, durch die von der Beschwerdeführerin verwendeten Zeichen würden Verwechslungen mit ihren eigenen Zeichen geschaffen und damit das Publikum irregeführt. Sie beantragt die Unterlassung beziehungsweise Beseitigung des beanstandeten Verhaltens der Beschwerdeführerin. Ausserdem verlangt die Beschwerdeführerin Schadenersatz; vorgängig ersucht sie - im Sinne einer Stufenklage (vgl. <ref-law>) - um Auskunftserteilung.
4.3. Das Handelsgericht gab der Beschwerdegegnerin zu grossen Teilen Recht. Es gelangte zum Ergebnis, dass die von der Beschwerdeführerin verwendeten Zeichen "Luminarte", "luminarte.de", "luminarte.ch", "Luminarte GmbH" sowie mit den Zeichen "Lumimart", "lumimart.ch", sowie der Beschwerdegegnerin im konkreten Marktauftritt verwechselbar seien. Der Tatbestand von <ref-law> sei erfüllt; die Beschwerdeführerin handle unlauter.
4.4. Dagegen wendet sich die Beschwerdeführerin. Sie moniert zunächst, die klägerischen Rechtsbegehren erfüllten die gesetzlichen Voraussetzungen nicht (dazu Erwägung 5). Sodann beanstandet sie, der Marktauftritt der Beschwerdegegnerin sei nicht schutzfähig (dazu Erwägung 7-8) und eine Verwechslungsgefahr bestehe nicht (dazu Erwägung 9). Ferner ist sie der Auffassung, dass ihr eigenes Zeichen ohnehin länger in Gebrauch stehe (dazu Erwägung 10) und die Beschwerdegegnerin ihre Ansprüche verwirkt habe (dazu Erwägung 11).
4.5. Die Beschwerdegegnerin verteidigt den Standpunkt der Vorinstanz und macht darüber hinaus mit Hinweis auf <ref-law> geltend, dass ihre Ansprüche auch namensrechtlich ausgewiesen wären.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt, das von der Beschwerdegegnerin gestellte Unterlassungs- beziehungsweise Beseitigungsbegehren sei nicht hinreichend bestimmt, zu weit, nicht klar und nicht vollstreckbar. Das Handelsgericht habe <ref-law>, <ref-law> und Art. 110 Abs. 2 sowie Art. 133 Abs. 2 IPRG verletzt, indem es die Klage dennoch (zu grossen Teilen) gutgeheissen habe.
5.1.
5.1.1. Die Beschwerdegegnerin will mit ihrem Begehren das Bewerben, Anbieten und Liefern von Leuchten und Leuchtmitteln "in der Schweiz" (unter Verwendung des Zeichens "Luminarte") verbieten lassen. Gleich lautet auch die Urteilsformel des Handelsgerichts (Verbot, "in der Schweiz" zu bewerben, anzubieten oder zu liefern). Die Beschwerdeführerin ist mit dieser territorialen Beschränkung nicht einverstanden; diese sei "praktisch" nicht umsetzbar. Denn - so führt sie aus - auch aus der Schweiz könne auf Internetseiten mit der (deutschen) Top-Level-Domain ".de" zugegriffen werden. Selbst wenn sie ein "Geoblocking" einführe, könnten schweizerische Nutzer "auch ohne besondere technische Kenntnisse" durch den Einsatz eines "VPN", eines "Proxy-Servers" oder einer "SmartDNS" auf ihre (deutsche) Webseite gelangen. Auch bei Informationen in den Social Media sei es nicht möglich, deren Ansicht und Verbreitung in einem bestimmten Land generell und wirksam zu verbieten, "zumal die Universalität dieser Social Media gerade Bestandteil von deren Funktionsweise" sei. Als Folge der handelsgerichtlichen Lesart könne sie (weltweit) überhaupt keinen Internetauftritt mehr (unter dem Zeichen "Luminarte") betreiben und generell nicht mehr in den Social Media präsent sein, da sie damit stets in Kauf nehmen würde, dass ihr Angebot auch in der Schweiz abruf- und sichtbar sei. Das von der Beschwerdegegnerin verlangte (und von der Vorinstanz erlassene) Verbot verletze die "beschränkte[] Territorialität schweizerischer Rechte". Die Vorinstanz habe "die globale Dimension des Internets" verkannt, die "nicht an Landesgrenzen Halt" mache.
5.1.2. Dieser Einwand geht fehl:
Immaterialgüterrechtliche und lauterkeitsrechtliche Ansprüche sind territorial begrenzt: Sie sind auf das Gebiet des Staats beschränkt, der den betreffenden Schutz gewährt. Deshalb wird für die Bejahung einer Rechtsverletzung auf dem Gebiet des gewerblichen Rechtsschutzes eine "räumliche Beziehung" zur Schweiz vorausgesetzt (zum Ganzen: Urteil 4A_335/2019 vom 29. April 2020 E. 3.3.1, zur Publikation vorgesehen). Aus diesem Grund können mit der Klage nach <ref-law> nur Handlungen verboten werden, die einen solchen Bezug zur Schweiz aufweisen. Wenn die Beschwerdegegnerin mit ihren Rechtsbegehren verlangt, bestimmte Verhaltensweisen in der Schweiz zu verbieten, liegt darin folglich keine "extensive Auslegung der Territorialität [...] von schweizerischem Recht", sondern ist dies gerade umgekehrt Ausfluss des (auch) das Lauterkeitsrecht beherrschenden Territorialitäts- beziehungsweise (Markt-) Auswirkungsprinzips.
Im Übrigen genügt - entgegen der in der Beschwerde vertretenen Auffassung - die blosse technische Möglichkeit, ein Zeichen im Internet abzurufen, nicht, um als zeichenrechtlich relevante Benutzungshandlung in der Schweiz angesehen zu werden. Es bedürfte zusätzlich einer qualifizierten Beziehung der Zeichennutzung zur Schweiz (Lieferung in die Schweiz, Angabe der Preise in Schweizer Franken und dergleichen), um unter die lauterkeitsrechtlichen Verbotstatbestände zu fallen (im Einzelnen: Urteil 4A_335/2019 vom 29. April 2020 E. 3.3.1-3.3.3 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen). Es kann daher keine Rede davon sein, dass bei Klagegutheissung die Internetpräsenz der Beschwerdeführerin "weltweit" verboten würde. Inwiefern die Klagebegehren und das darauf gestützte, gleichlautende Urteilsdispositiv nicht umsetz- oder vollstreckbar sein sollen, ist vor diesem Hintergrund nicht ersichtlich, zumal es als technisch unproblematisch angesehen wird, gezielt Internetnutzern aus einem bestimmten Land (zum Beispiel der Schweiz) den Zugang zu einer Webseite in einem anderen Land (zum Beispiel in Deutschland) zu verweigern (siehe Urteil 4A_335/2019 vom 29. April 2020 E. 3.3.3 mit Hinweisen, zur Publikation vorgesehen; vgl. bereits Urteil 4C.229/2003 vom 20. Januar 2004 E. 5 am Ende, nicht publiziert in: <ref-ruling>, mit Hinweisen). Ob solche Geoblocking-Massnahmen mit technischer Raffinesse umgangen werden können, wie dies die Beschwerdeführerin vorbringt, ist dabei nicht von Belang.
5.2.
5.2.1. Die Beschwerdeführerin macht sodann geltend, dass auch das Begehren um Auskunft und Rechnungslegung "praktisch gesehen gar nicht umsetzbar und nicht vollstreckbar" sei. Die Beschwerdegegnerin verlange damit Auskunft über Geschäftsbeziehungen mit Kunden mit Sitz in der Schweiz. Sie (die Beschwerdeführerin) wisse aber gar nicht "abschliessend", welche ihrer Abnehmer eine Adresse in der Schweiz hätten. Dies gelte "vor allem" für Kunden, die in ihrem Ladenlokal in Lauchringen (Deutschland) Waren einkauften. Es gebe in Deutschland keine Pflicht, beim Verkauf von Leuchten und Leuchtmitteln den Wohnsitz von Kunden in der Schweiz festzustellen.
5.2.2. Die Begehren der Beschwerdegegnerin beziehen sich auf Angaben über die Lieferung von Leuchten und Leuchtmitteln an Kunden mit Adresse in der Schweiz. Entsprechend verurteilte das Handelsgericht die Beschwerdeführerin auch dazu, über die Anzahl aller Leuchten und Leuchtmittel Auskunft zu erteilen, die sie an Kunden mit Adresse in der Schweiz geliefert hat, und Rechnung zu legen über den Gesamtumsatz, der mit der Lieferung von Leuchten und Leuchtmitteln an Kunden mit Adresse in der Schweiz erzielt wurde.
Wie die Beschwerdegegnerin in ihrer Beschwerdeantwort nachvollziehbar dartut, sind Verkäufe an Schweizer Kunden in den physischen Ladengeschäften in Deutschland von ihrem Auskunfts- und Rechnungslegungsbegehren (wie auch vom vorinstanzlichen Urteilsdispositiv) nicht erfasst und kann ohne Weiteres davon ausgegangen werden, dass die Beschwerdeführerin die Adressen jener Kunden kennt, an die sie Waren geliefert hat. Dies widerlegt die Beschwerdeführerin in ihrer Replik denn auch nicht.
6.
In der Hauptsache rügt die Beschwerdeführerin sinngemäss, die Vorinstanz habe die auf Art. 2 und <ref-law> gestützten lauterkeitsrechtlichen Ansprüche zu Unrecht bejaht.
Nach <ref-law> ist unlauter und widerrechtlich jedes täuschende oder in anderer Weise gegen den Grundsatz von Treu und Glauben verstossende Verhalten oder Geschäftsgebaren, welches das Verhältnis zwischen Mitbewerbern oder zwischen Anbietern und Abnehmern beeinflusst. Unlauter handelt gemäss <ref-law> insbesondere, wer Massnahmen trifft, die geeignet sind, Verwechslungen mit den Waren, Werken, Leistungen oder dem Geschäftsbetrieb eines anderen herbeizuführen.
Unter diesen mitunter als wettbewerbsrechtlicher Kennzeichenschutz bezeichneten Tatbestand der Schaffung einer Verwechslungsgefahr mit den Waren, Werken, Leistungen oder dem Geschäftsbetrieb eines anderen fallen sämtliche Verhaltensweisen, bei denen das Publikum durch die Schaffung von Verwechslungsgefahr irregeführt wird, insbesondere um den Ruf der Wettbewerber auszubeuten (<ref-ruling> E. 7.2.1 S. 308; <ref-ruling> E. 6.1 S. 450; <ref-ruling> E. 4 S. 359; je mit Hinweisen). Ob eine lauterkeitsrechtliche Verwechslungsgefahr besteht, ist dabei hinsichtlich eines konkreten Wettbewerbsverhaltens zu bestimmen (<ref-ruling> E. 7.2.1 S. 308; <ref-ruling> E. 3.3 S. 359).
7.
7.1. Die Schaffung einer Verwechslungsgefahr ist wettbewerbsrechtlich nur relevant, sofern das nachgeahmte Zeichen Kennzeich nungskraft besitzt: sei es originär, indem es dank seiner Originalität von Anfang an auf einen bestimmten Hersteller hinweist, sei es derivativ, indem es als nicht originelle Bezeichnung diese individualisierende Eigenschaft infolge seiner Durchsetzung im Verkehr erlangt hat (BGE <ref-ruling> E. 6.2 mit Hinweisen; Urteile 4A_152/2020 vom 26. Oktober 2020 E. 4.2; 4A_567/2008 vom 23. Februar 2009 E. 5.1; 4C.439/2006 vom 4. April 2007 E. 6.1).
7.2. Originär kennzeichnungskräftig ist ein Zeichen, wenn es bestimmt und geeignet ist, die Ware aufgrund ihrer Originalität von gleichen oder gleichartigen Erzeugnissen anderen Ursprungs zu unterscheiden (BGE <ref-ruling> E. 6.3.1 S. 452 mit Hinweisen).
Die Vorinstanz gelangte zum Ergebnis, dass das Wortzeichen "Lumimart" und der Domainname "lumimart.ch" nicht originär kennzeichnungskräftig seien. Es sei davon auszugehen, dass französisch- und italienischsprachige Durchschnittsabnehmer das Wort "Lumimart" ohne Weiteres als "Beleuchtungs- oder Lichtermarkt" verstünden. Diese Zeichen hätten daher beschreibenden Charakter.
Hingegen habe das Logo eine schwache originäre Kennzeichnungskraft. Zwar sei auch die Glühbirne mit gelbem Lichtkegel beschreibend und das blaue Parallelogramm als solches nicht prägend. In der Kombination weise das Zeichen aber eine - zwar schwache, aber doch hinreichende - Originalität auf. Das Gleiche gelte für das Logo , das sich durch die Kombination des Wortelements und der gelben Kreisfläche als stilisierte Glühbirne auszeichne.
Diese Beurteilung stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage.
7.3.
7.3.1. Ein Zeichen hat sich im Verkehr durchgesetzt, wenn es von einem erheblichen Teil der Adressaten der betreffenden Waren oder Dienstleistungen im Wirtschaftsverkehr als individualisierender Hinweis auf ein bestimmtes (namentlich indes nicht notwendigerweise bekanntes) Unternehmen verstanden wird (Urteil 4A_567/2008 vom 23. Februar 2009 E. 5.2.1). Nach der Rechtsprechung zu <ref-law> kann die Verkehrsdurchsetzung eines Zeichens namentlich aus Tatsachen abgeleitet werden, die erfahrungsgemäss einen Rückschluss auf die Wahrnehmung des Zeichens durch das Publikum erlauben. Dazu gehören etwa langjährige bedeutsame Umsätze, die unter einem Zeichen getätigt worden sind, oder intensive Werbeanstrengungen. Möglich ist aber auch der direkte Nachweis durch eine repräsentative Befragung des massgebenden Publikums (<ref-ruling> E. 5.3.2 S. 112 f.; <ref-ruling> E. 6 S. 131; <ref-ruling> E. 3.1 S. 332; siehe zum Lauterkeitsrecht: <ref-ruling> E. 7.2.2; zum Verhältnis von markenrechtlicher und wettbewerbsrechtlicher Verkehrsdurchsetzung ADRIAN P. WYSS, Die Verkehrsdurchsetzung im schweizerischen Markenrecht, 2013, S. 30-31).
7.3.2. Die Verkehrsdurchsetzung als solche ist ein Rechtsbegriff, ob ihre Voraussetzungen im konkreten Fall erfüllt sind, dagegen Tatfrage, die das Bundesgericht nur nach Massgabe von <ref-law> überprüft. Eine Rechtsfrage ist wiederum, ob die entscheidende Behörde die Anforderungen an das Beweismass überspannt hat (vgl. zum Markenrecht: BGE <ref-ruling> E. 5 S. 131; <ref-ruling> E. 3 S. 331; Urteil 4A_370/2008 vom 1. Dezember 2008 E. 6.1).
7.3.3. Die Vorinstanz bejahte zufolge Verkehrsdurchsetzung eine derivative Kennzeichnungskraft des Zeichens "Lumimart" und des Domainnamens "lumimart.ch" sowie einen erweiterten Schutzbereich der (bereits originär schwach kennzeichnungskräftigen) Logos und .
Sie erwog zusammengefasst, dass seit dem Jahr 1998 Fachmärkte für Leuchten, Lampen und Beleuchtungszubehör unter dem Zeichen "Lumimart" geführt würden. Bis September 2018 sei der Marktauftritt zusätzlich mit dem Logo , seit diesem Zeitpunkt mit dem Logo erfolgt. Die Beschwerdegegnerin betreibe seit dem Jahr 2000 eine unter der Domain "www.lumimart.ch" abrufbare Webseite und zurzeit über 30 Lampenfachmärkte. Es handle sich um die einzige Fachmarktkette für Leuchten und Zubehör mit stationären Läden in der Schweiz. Diese - bedeutende - Marktposition sei von langjährigen Werbeanstrengungen in Print und Radio sowie auf einer Werbelokomotive der SBB begleitet worden. Das Handelsgericht verwies schliesslich auf eine demoskopische Umfrage, die für sich allein zum Nachweis der Verkehrsdurchsetzung zwar unzureichend sei, aber immerhin auf eine erhöhte Bekanntheit der Zeichen der Beschwerdegegnerin deute.
7.3.4.
7.3.4.1. Was die Beschwerdeführerin dagegen vorbringt, erschöpft sich zu grossen Teilen in einer unzulässigen Kritik an den vorinstanzlich festgestellten Tatsachen. Damit ist sie nicht zu hören (Erwägung 2.3). Dies gilt etwa, wenn sie darlegt, welche Informationen den von der Beschwerdegegnerin verteilten Werbeprospekten bei richtiger Betrachtung (nicht) hätten entnommen werden können; sodann wenn sie eigene Berechnungen zur Frage anstellt, wie viele Prospekte pro Jahr und Sprachregion verteilt worden seien; ferner wenn sie ausführt, wie viele "Lumimart"-Filialen die Beschwerdegegnerin in Wirklichkeit betreibe; oder wenn sie die vorinstanzliche Feststellung angreift, angesichts der prozesskonform eingereichten Rechnungen sei die "Werbung für Lumimart" bei zahlreichen deutsch- und französischsprachigen Radiosendern erstellt. Inwiefern die Vorinstanz gestützt auf den massgeblichen Sachverhalt zu Unrecht eine Verkehrsdurchsetzung bejaht und insbesondere die dafür entwickelten rechtlichen Kriterien (Erwägung 7.3.1) unrichtig angewandt haben soll, zeigt die Beschwerdeführerin nicht hinreichend auf. Im Einzelnen ist zu ihren Vorbringen - soweit sich diese auf rechtliche Aspekte beziehen - immerhin Folgendes zu bemerken:
7.3.4.2. Die Beschwerdeführerin stört sich an der demoskopischen Befragung, welche die Beschwerdegegnerin durchführen liess. Sie meint, diese stelle eine blosse Parteibehauptung dar. Das Handelsgericht habe diese Umfrage dennoch in Verletzung von <ref-law> und <ref-law> (sowie von <ref-law> und <ref-law> [SR 232.11]) "als Beweismittel" gewürdigt.
Damit geht die Beschwerdeführerin an der Argumentation des Handelsgerichts vorbei. Dieses hat auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung verwiesen, wonach Privatgutachten kein Beweismittel im Sinne von <ref-law> darstellten, indes allenfalls zusammen mit - durch Beweismittel nachgewiesenen - Indizien den Beweis zu erbringen vermöchten (<ref-ruling> E. 2.6). Es erwog sodann ausdrücklich, dass die demoskopische Umfrage allein die Verkehrsdurchsetzung nicht nachweise. Vor diesem Hintergrund ist nicht erkennbar, inwiefern es dieser Marktbefragung eine zivilprozessual unrichtige beweisrechtliche Bedeutung zugemessen hat, zumal es die Umfrage lediglich als Indiz einer erhöhten Bekanntheit wertete, letztlich aber entscheidend auf den intensiven Gebrauch des Zeichens (insbesondere im Rahmen von Werbeanstrengungen) abstellte.
7.3.4.3. Die Beschwerdeführerin kritisiert sodann, dass die Beschwerdegegnerin eine Verkehrsdurchsetzung in der italienisch- und rätoromanischen Schweiz weder behauptet noch bewiesen habe. Es gebe dort denn auch keine "Lumimart"-Filialen. Dennoch habe das Handelsgericht eine derivative Kennzeichnungskraft für die ganze Schweiz bejaht und die Rechtsbegehren für das gesamte schweizerische Staatsgebiet gutgeheissen.
Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung und der Lehre ist es denkbar, dass sich ein Zeichen lauterkeitsrechtlich - anders, als dies im Markenrecht grundsätzlich der Fall ist (vgl. <ref-ruling> E. 1.2) - territorial beschränkt im Verkehr durchsetzt, beispielsweise in einer bestimmten Region oder einer bestimmten Stadt. Dies hat zur Folge, dass der lauterkeitsrechtliche Kennzeichenschutz auf jenes geographische Gebiet beschränkt ist (so im Fall des Zeichens "Modissa" auf die Stadt Zürich: Urteil 4C.240/2006 vom 13. Oktober 2006 E. 2.3.1 f.; ANDREAS HEINEMANN, in: Kommentar UWG, Heizmann/ Loacker [Hrsg.], 2018, N. 36, 41 und 58 zu <ref-law>; NICOLAS KUONEN, in: Commentaire romand, Loi contre la concurrence déloyale, 2017, N. 57 zu <ref-law>; SPITZ/BRAUCHBAR BIRKHÄUSER, in: Bundesgesetz gegen den unlauteren Wettbewerb [UWG], Jung/Spitz [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 15 zu <ref-law>). Es kann nun aber nicht darum gehen, bei der Prüfung der derivativen Kennzeichnungskraft für jeden Kanton gesondert den Nachweis der Verkehrsdurchsetzung zu verlangen. Ist festgestellt, dass das Zeichen - auf die ganze Schweiz bezogen - als Folge gewichtiger Werbeanstrengungen von einem erheblichen Teil der Adressaten als individualisierender Hinweis auf ein bestimmtes Unternehmen verstanden wird, bezieht sich auch der Schutz auf die ganze Schweiz. Allein der Umstand, dass die Beschwerdegegnerin im Kanton Tessin keine Filialen betreibt, vermag daran nichts zu ändern.
7.3.5. Sodann rügt die Beschwerdeführerin, das Logo sei erst seit September 2018 in Gebrauch und könne in dieser kurzen Zeit keine Verkehrsdurchsetzung erreicht haben. Damit weist sie das angefochtene Urteil nicht als rechtsfehlerhaft auf:
Zum einen ist im lauterkeitsrechtlichen Schrifttum anerkannt, dass sich ein Zeichen sehr rasch, allenfalls sogar sofort im Verkehr durchsetzen kann (RETO ARPAGAUS, in: Basler Kommentar, 2013, N. 46 zu <ref-law>; HEINEMANN, a.a.O., N. 35 zu <ref-law>; KUONEN, a.a.O., N. 21 zu <ref-law>). Zum andern ist zu beachten, dass das Logo bereits originär kennzeichnungskräftig ist. Ausserdem ist es stark durch das Wort "Lumimart" geprägt. Dieses wiederum setzte sich im Verkehr durch (vorangehende Erwägung 7.3.4). Entsprechend ist nicht zu beanstanden, wenn das Handelsgericht auch dem Logo einen "zumindest leicht erweiterten" Schutzbereich zubilligte. Es kann keine Rede davon sein, dass das Handelsgericht "die Benutzung der Logos und des Wortzeichens nicht auseinandergehalten" hätte, wie ihm die Beschwerdeführerin vorwirft.
Die Beschwerdeführerin erhebt auch den umgekehrten Vorwurf: Das Logo sei nur bis im September 2018 gebraucht worden, weshalb im Urteilszeitpunkt (März 2020) nicht mehr von einer Verkehrsdurchsetzung hätte ausgegangen werden dürfen. Dies trifft - jedenfalls in dieser Allgemeinheit - nicht zu. Auch bei der Nachahmung von Zeichen, die seit Kurzem nicht mehr gebraucht werden, kann die Gefahr von Fehlzurechnungen bestehen. Entscheidend muss sein, ob die angesprochenen Verkehrskreise das nachgeahmte Zeichen weiterhin zuordnen, es mithin trotz einstweiligem Nichtgebrauch noch als Hinweis auf die Herkunft aus einem Unternehmen verstehen (wie HEINEMANN, a.a.O., N. 59 zu <ref-law>, überzeugend darlegt). Dass dies nicht mehr der Fall wäre, behauptet die Beschwerdeführerin nicht.
7.3.6. Die Beschwerdeführerin moniert schliesslich, dass die Kennzeichnungskraft der Zeichen der Beschwerdegegnerin auch infolge Verwässerung nicht gegeben sei. Sie hatte im vorinstanzlichen Verfahren geltend gemacht, dass es in der Schweiz 1'715 Marken mit dem Bestandteil "mart" gebe, wovon 130 für Waren der Klasse 11 geschützt seien, und dass es 196 schweizerische und 298 internationale, für die Schweiz Schutz beanspruchende Marken mit dem Bestandteil "lumi" gebe, wovon 94 für Waren der Klasse 11 geschützt seien. Klasse 11 der Nizza-Klassifikation umfasst unter anderem Geräte und Anlagen zu Beleuchtungszwecken.
Im Markenrecht ist in der Tat anerkannt, dass der Gebrauch von identischen oder ähnlichen Drittzeichen oder Zeichenbestandteilen die Kennzeichnungskraft des streitgegenständlichen Zeichens schwächen kann (siehe BGE 79 II 98 E. 1b S. 100; Urteile 4A_567/2008 vom 23. Februar 2009 E. 4.3; 4C.258/2004 vom 6. Oktober 2004 E. 3.4). Ferner ist schon entschieden worden, dass eine grosse Zahl von Eintragungen gleicher oder ähnlicher Zeichen die Vermutung begründe, dass zumindest einige tatsächlich in Gebrauch stünden (BGE 72 II 135 E. 2b S. 141). Es ist ohne Weiteres denkbar, dass sich auch die lauterkeitsrechtliche Kennzeichnungskraft relativiert, wenn die Bezeichnung (oder ein Teil davon) allgemein gebräuchlich ist. Davon ist denn auch das Handelsgericht ausgegangen. Es hat indes erwogen, dass die Beschwerdeführerin nicht schlüssig behauptet habe, welche dieser Marken mit den Bestandteilen "lumi" oder "mart" dem klägerischen Zeichen "Lumimart" überhaupt ähnlich sein sollen, zumal der Gesamteindruck massgebend sei. Darauf ist nicht im Einzelnen einzugehen. Jedenfalls ist nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz auch unter diesem Gesichtspunkt die Verkehrsdurchsetzung bejahte: Das Konzept der Verwässerung der Kennzeichnungskraft zielt auf Zeichen, die originär besonders kennzeichnungskräftig sind (insbesondere Fantasiezeichen), die indes dermassen häufig benutzt werden, dass ihre Eigenart verloren geht (vgl. SCHLOSSER/MARADAN, in: Commentaire romand, Propriété intellectuelle, 2013, N. 47 zu <ref-law>). Darum geht es vorliegend nicht: Die Wortzeichen "lumi" und "mart" sind weder einzeln noch zusammengesetzt originär kennzeichnungskräftig, da beschreibend. Entsprechend besteht kein Raum für eine Verwässerung. Die Beschwerdeführerin übergeht, dass das Handelsgericht eine Verkehrsdurchsetzung bejahte, weil es zum Ergebnis gelangte, ein erheblicher Teil der massgeblichen Verkehrskreise verstehe die Zeichen als Hinweis auf die Herkunft aus einem bestimmten Unternehmen. Inwiefern dieser Schluss unzutreffend sein soll, zeigt die Beschwerdeführerin mit dem Hinweis auf - angeblich - ähnliche Markeneintragungen nicht auf.
Richtig ist immerhin Folgendes: Dass es zahlreiche Markeneintragungen mit den Bestandteilen "lumi" und "mart" gibt, ist Ausdruck davon, dass diese Elemente nicht originell sind. Diesem Umstand ist bei der Beurteilung der Verwechslungsgefahr (Erwägung 9.3.2) Rechnung zu tragen.
7.4. Die Vorinstanz hat nach dem Gesagten zu Recht geschlossen, dass die Zeichen der Beschwerdegegnerin - deren unlautere Nachahmung der Beschwerdeführerin vorgeworfen wird - Kennzeichnungskraft besitzen.
8.
Nach der Rechtsprechung setzt der Schutz von <ref-law> weiter voraus, dass eine schutzwürdige Marktposition des Klägers gegeben ist: Eine Nachahmung durch einen Mitbewerber kann nur gerichtlich verbieten lassen, wer das eigene Zeichen rechtmässig und in lauterer Absicht gebraucht. Dies wird etwa dann verneint, wenn die Marktstellung in der Schweiz mit Hilfe eines unbefugten Markengebrauchs aufgebaut worden ist (<ref-ruling> E. 2b S. 207; siehe auch Urteil 4A_152/2020 vom 26. Oktober 2020 E. 7.3; 4A_100/2013 vom 10. Juli 2013 E. 2.1-2.4; übernommen von der Lehre, statt aller: ARPAGAUS, a.a.O., N. 61 zu <ref-law>; KUONEN, a.a.O., N. 24 zu <ref-law>).
Die Vorinstanz bezog sich in diesem Zusammenhang auf die CH-Wortbildmarke Nr. 2P-434099 (Farbanspruch blau, gelb) , deren Inhaberin (heute) die A._-Gruppe Genossenschaft sei (welche ihrerseits der Beschwerdegegnerin mittels Lizenzvertrag das Recht zum Gebrauch dieser Marke übertragen habe). Das Handelsgericht führte aus, dass dieses Zeichen von der damaligen C._ SA zur Eintragung angemeldet und am 10. Dezember 1996 im Markenregister eingetragen worden sei. Die Vorinstanz legte sodann einlässlich dar, wie sich die Inhaberschaft am Zeichen entwickelte (verschiedene Übertragungen und Lizenzverträge) und schloss, dass die Beschwerdegegnerin beziehungsweise ihre Rechtsvorgängerinnen den Marktauftritt unter dem Zeichen "Lumimart" rechtmässig erwirtschaftet hätten.
Die Beschwerdeführerin erblickt in diesen Überlegungen eine Verletzung von <ref-law>. Sie unterlässt es aber, sich mit den Erwägungen des Handelsgerichts zureichend auseinanderzusetzen. Sie hält einzig dafür, für das Kriterium der schutzwürdigen Marktposition müsse zwischen den verschiedenen Absatzkanälen differenziert werden. Die Beschwerdegegnerin habe es unterlassen, substantiierte Angaben "zu ihrem Online-Shop" zu machen, weshalb davon ausgegangen werden müsse, dass sie für diesen Vertriebskanal "keine relevante Marktposition" erreicht habe. Inwiefern der Zeichengebrauch der Beschwerdegegnerin unrechtmässig sein soll, zeigt sie damit nicht auf.
9.
Sodann setzt <ref-law> Verwechslungsgefahr voraus.
9.1. Die Verwechselbarkeit kann entstehen, wenn die Ware eines Konkurrenten wegen ihrer äusseren Ausstattung für das bereits auf dem Markt befindliche Erzeugnis eines anderen gehalten werden kann. Eine direkte warenbezogene Verwechselbarkeit ist aber nicht erforderlich. Sie kann auch bloss eine mittelbare oder indirekte sein, indem beim Publikum der Eindruck erweckt wird, die verwechselbar gekennzeichneten oder ausgestatteten Waren stammten aus Betrieben, die wirtschaftlich eng verbunden seien (BGE <ref-ruling> E. 6.1 S. 450; <ref-ruling> E. 3a; Urteil 4A_22/2019 vom 23. Mai 2019 E. 3.2).
Die Gefahr der Verwechslung mit ähnlich gekennzeichneten Produkten ist anhand der tatsächlichen Warenpräsentation in gesamter Würdigung aller Umstände zu beurteilen, die für den durchschnittlich aufmerksamen Käufer die Individualisierung der gekennzeichneten Produkte mitprägen. Das Risiko von Verwechslungen ist umso grösser, je näher sich die Waren sind, für welche die in Frage stehenden Zeichen gebraucht werden. Wenn zwei Zeichen für identische Warengattungen verwendet werden, ist bei der Beurteilung der Verwechslungsgefahr ein besonders strenger Massstab anzulegen. Zu beachten ist zudem, dass bei Massenartikeln des täglichen Bedarfs mit einer geringeren Aufmerksamkeit und einem geringeren Unterscheidungsvermögen der Konsumenten zu rechnen ist als bei Spezialprodukten, deren Absatzmarkt auf einen mehr oder weniger geschlossenen Kreis von Berufsleuten beschränkt ist (BGE <ref-ruling> E. 6.1; <ref-ruling> E. 6b/bb; <ref-ruling> E. 3a S. 387; Urteil 4A_11/2020 vom 18. August 2020 E. 7.2; je mit Hinweisen).
9.2. Die Vorinstanz bejahte im Ergebnis eine mittelbare Verwechslungsgefahr. Zwar sei der Sinngehalt der jeweiligen Zeichen ("Lumimart" und "Luminarte") unterschiedlich; indes überwögen die Ähnlichkeit in Schriftbild und Klang. Zwar sei mit Blick auf die unterschiedlichen Domizile der Parteien (Schweiz und Deutschland) fraglich, ob eine direkte Verwechslungsgefahr bestehe. Angesichts dessen, dass sich beide Parteien als Fachanbieter für Leuchten und Zubehör präsentierten, sei aber jedenfalls davon auszugehen, dass die fraglichen Zeichen den Eindruck erweckten, als stammten sie aus wirtschaftlich eng verbundenen Betrieben. Es erscheine wahrscheinlich, dass die Konsumenten zumindest vorübergehend eine wirtschaftliche oder organisatorische Verbindung zwischen den Unternehmen vermuteten.
9.3. Soweit sich die Rügen der Beschwerdeführerin nachvollziehen lassen, können sie wie folgt zusammengefasst werden:
9.3.1. Sie scheint zunächst der Auffassung zu sein, dass das Handelsgericht eine unrichtige Gegenüberstellung vorgenommen und die falschen Kennzeichen in einem unzutreffenden Licht beurteilt habe. Sie moniert namentlich, dass das Logo berücksichtigt worden sei, obwohl die Beschwerdegegnerin dieses seit September 2018 nicht mehr gebrauche.
Im Lauterkeitsrecht beurteilt sich die Verwechslungsgefahr mit Blick auf den Gesamtauftritt im Markt. Anders als etwa im marken- oder firmenrechtlichen Schutz sind Registereinträge nicht wesentlich (<ref-ruling> E. 4.2.3 S. 90 f; Urteile 4A_152/2020 vom 26. Oktober 2020 E. 8.3; 4C.439/2006 vom 4. April 2007 E. 6.2; 4C.169/2004 vom 8. September 2004 E. 2.4; siehe auch konnexes Urteil 4A_265/2020 E. 8.1). Entscheidend ist, ob angesichts des konkreten Gebrauchs der Zeichen und der Art, wie die Waren tatsächlich präsentiert werden, die Gefahr besteht, dass der durchschnittlich aufmerksame Käufer die von der Beschwerdeführerin angebotenen Produkte falsch zuordnet. Es soll verhindert werden, dass die Wertschätzung, die das Angebot der Beschwerdegegnerin bei den Konsumenten geniesst, auf unlautere Weise für die Vermarktung anderer Waren genutzt wird (<ref-ruling> E. 2b S. 207; Urteil 4A_22/2019 vom 23. Mai 2019 E. 3.2).
Es ist bei dieser Ausgangslage - entgegen der Beschwerdeführerin - nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz das Logo bei der Beurteilung der Verwechslungsgefahr berücksichtigt hat. Das Handelsgericht hat nachvollziehbar begründet, dass und weshalb die massgeblichen Verkehrskreise das Logo - das zuvor während 20 Jahren verwendet wurde - noch dem Marktauftritt der Beschwerdegegnerin zuordnen.
Entsprechend stellte es die Zeichen "Luminarte", die Firma "Luminarte GmbH", die Domainnamen "luminarte.de" und "luminarte.ch" sowie das Logo - jeweils in ihrer konkreten Verwendung - einerseits dem Zeichen "Lumimart", dem Domainnamen "lumimart.ch" sowie den Logos und - ebenfalls im Rahmen des tatsächlichen Marktauftritts - andererseits gegenüber. Der Vorwurf der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe die Zeichen einzig in einem markenrechtlichen Licht verglichen, trifft nicht zu.
9.3.2. Auch abgesehen von diesen grundsätzlichen Bedenken ist die Beschwerdeführerin der Auffassung, dass das Handelsgericht die Verwechslungsgefahr zu Unrecht bejaht habe. Es ist ihr nicht zu folgen:
Zunächst hat die Vorinstanz zutreffend darauf hingewiesen, dass das Risiko von Verwechslungen umso grösser ist, je näher sich die Waren sind, für welche die in Frage stehenden Zeichen gebraucht werden (siehe Erwägung 9.1). Sie hat weiter auf die - teilweise unterschiedlichen, sich teilweise überschneidenden - Absatzkanäle hingewiesen: Die Beschwerdeführerin ist als deutsche Anbieterin im schweizerischen Markt einzig über die Webseiten mit den Domainnamen "www.luminarte.ch" und "www.luminarte.de" präsent, ohne in der Schweiz stationäre Filialen zu betreiben. Die Beschwerdegegnerin vertreibt ihre Produkte zwar ebenfalls über eine Webseite (mit dem Domainnamen www.lumimart.ch), ist darüber hinaus aber an über 30 Standorten physisch mit Ladengeschäften präsent. In allen Fällen werden sämtliche Zeichen der Parteien im - vom Handelsgericht verbindlich festgestellten - tatsächlichen Gebrauch durch die Wortzeichen "Lumimart" beziehungsweise "Luminarte" geprägt; die figurativen Elemente sind im Gesamteindruck nicht bestimmend. Mit der Vorinstanz ändert daran auch die spezielle Gestaltung des Buchstabens "A" im Logo nichts, bleibt doch im verschwommenen Erinnerungsbild des Abnehmers nicht jede gestalterische Einzelheit haften. Richtig ist zwar, dass die Verwechslungsgefahr durch klarstellende Zusätze ausgeräumt werden kann (siehe etwa <ref-ruling> E. 2 S. 510; Urteil 4C.169/2004 vom 8. September 2004 E. 2.4). Der kleingeschriebene Hinweis "DIE LICHTMACHER" in konventioneller Schriftart ändert an der fehlenden Unterscheidungskraft indes nichts, auch wenn ihm - wie die Beschwerdeführerin zu Recht anmerkt - eine gewisse phantasievolle Originalität nicht abzusprechen ist. Immerhin stellte die Vorinstanz fest, dass in Werbung und Warenpräsentation der Beschwerdeführerin auf deren deutsche Adresse und deren deutsche Telefonnummer hingewiesen wird.
Bei einem Vergleich der Zeichen "Lumimart" und "Luminarte" fällt deren Ähnlichkeit in Schriftbild und Wortklang auf, insbesondere der gleiche Wortanfang und die - mit wenigen Ausnahmen - identische Abfolge der Vokale und Konsonanten. Es handelt sich zudem nicht um blosse Kurzwörter, sodass die Ähnlichkeit im Schriftbild noch mehr hervorsticht (vgl. <ref-ruling> E. 3b). Auch die unterschiedliche Silbenzahl fällt angesichts der Gesamtlänge der Zeichen nicht entscheidend ins Gewicht. Was den Sinngehalt betrifft, führte die Vorinstanz unter Hinweis auf die lexikalische (französisch-, italienisch- und englischsprachige) Bedeutung der einzelnen Wortbestandteile aus, dass die massgeblichen Verkehrskreise die Zeichen zwar nicht sofort, aber dennoch ohne nennenswerten Gedankenaufwand als Lichter- beziehungsweise Beleuchtungsmarkt einerseits sowie Licht- beziehungsweise Beleuchtungskunst andererseits auffassten und deren unterschiedliche Bedeutung erkennten. Dies dürfte auch für das deutschsprachige Publikum im Grundsatz zutreffen.
Auf diesen Unterschieden beharrt denn auch die Beschwerdeführerin. Indes übersieht sie, dass die streitgegenständlichen Zeichen nicht (primär) aufgrund ihrer Eigenart originär kennzeichnungskräftig sind, sondern sich ihre Kennzeichnungskraft derivativ zufolge Verkehrsdurchsetzung ergibt (beziehungsweise die Durchsetzung im Verkehr den Schutzbereich der schwach originär kennzeichnungskräftigen Logos vergrössert). Entsprechend ist die Verwechslungsgefahr denn auch in erster Linie anhand der durch Verkehrsdurchsetzung erlangten Kennzeichnungskraft zu beurteilen (vgl. <ref-ruling> E. 7.2.2; <ref-ruling> E. 6c). Vor diesem Hintergrund ist dem Handelsgericht Recht zu geben, wenn es zum Schluss gelangte, die konkret gebrauchten Zeichen der Beschwerdeführerin näherten sich in unzulässiger Weise jenen der Beschwerdegegnerin an. Angesichts des strengen Beurteilungsmassstabs, der mit Blick auf die Warengleichheit anzulegen ist, verbunden mit dem aufgrund der Verkehrsdurchsetzung erlangten Schutzbereich des Zeichens "Lumimart" (und der daraus abgeleiteten Logos mit figurativen Elementen) erscheint die Verwendung der (in Schrift und Sprache nahezu identischen, dem Sinn nach jedenfalls vergleichbaren) Zeichen durch die Beschwerdeführerin in der Tat als unzulässig. Die Vorinstanz ging zutreffend davon aus, dass die Ähnlichkeit der Zeichen zu einer mittelbaren Verwechslungsgefahr führt.
10.
10.1. Auf den lauterkeitsrechtlichen Schutz von <ref-law> kann sich nur jene Partei berufen, deren Zeichen länger in Gebrauch steht ("Gebrauchspriorität"; siehe Urteil 4C.240/2006 vom 13. Oktober 2006 E. 2.3.1). Entscheidend ist die nachgewiesene frühere, nach aussen wahrnehmbare Benutzung im Geschäftsverkehr. Die blosse Absicht, das Zeichen zu benutzen, genügt nicht (ARPAGAUS, a.a.o., N. 62 zu Art. 3 Abs. 1 lit. UWG; HEINEMANN, a.a.O, N. 57 f. zu Art. 3 Abs. 1 lit. UWG; KUONEN, a.a.O., N. 32 zu Art. 3 Abs. 1 lit. UWG; SPITZ/BRAUCHBAR BIRKHÄUSER, a.a.O., N. 21 zu Art. 3 Abs. 1 lit. UWG).
10.2. Das Handelsgericht erwog, die Beschwerdegegnerin verfüge zumindest seit dem Jahr 1998 über einen individualisierenden Marktauftritt unter dem Zeichen "Lumimart".
Die Beschwerdeführerin wendet ein, dass für die Frage der Gebrauchspriorität auf den Zeitpunkt der Verkehrsdurchsetzung abgestellt werden müsse. Wenn auch die Beschwerdegegnerin das Zeichen "Lumimart" im Jahr 1998 zu gebrauchen begonnen habe, sei die Verkehrsdurchsetzung erst viel später eingetreten. Allerdings unterlasse es die Vorinstanz, den Zeitpunkt der Verkehrsdurchsetzung zu nennen. Ihren Erwägungen könne einzig entnommen werden, dass sich das Zeichen im Zeitpunkt der Klageerhebung im März 2018 im Verkehr durchgesetzt habe. Indes habe sie (die Beschwerdeführerin) ihr Zeichen "Luminarte" ab dem Jahr 2013 und damit deutlich früher gebraucht.
10.3. Ob für die Bestimmung der Gebrauchspriorität auf den Zeitpunkt der Verkehrsdurchsetzung abzustellen ist, wie dies die Beschwerdeführerin fordert, braucht im vorliegenden Verfahren nicht entschieden zu werden, da das angefochtene Urteil ohnehin zu schützen ist: Die Vorinstanz stellte fest, dass die Beschwerdeführerin ab Oktober 2013 mit dem Zeichen "Luminarte" auf dem schweizerischen Markt auftrat. Dies stellt die Beschwerdeführerin nicht in Frage. Aus den Erwägungen des Handelsgerichts lässt sich nun aber ohne Weiteres schliessen, dass sich die Zeichen der Beschwerdegegnerin in diesem Zeitpunkt bereits im Verkehr durchgesetzt hatten. Denn die von der Vorinstanz zur Begründung der Verkehrsdurchsetzung herangezogenen Umstände - namentlich der Gebrauch seit dem Jahr 1998, die intensiven und langjährigen Werbeanstrengungen in Print, Radio und auf der SBB-Lokomotive - verwirklichten sich alle im Wesentlichen schon vor dem Jahr 2013. Es hält daher der bundesgerichtlichen Überprüfung stand, wenn sie den Zeichen der Beschwerdegegnerin Gebrauchspriorität einräumte. Der Bestand eines prioritätsälteren Zeichens, das aufgrund seiner Bekanntheit eine Verkehrsdurchsetzung erlangt hat, rechtfertigt es nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, dem jüngeren Wettbewerber Einschränkungen in Bezug auf die Verwendung seines Zeichens aufzuerlegen (Urteile 4A_22/2019 vom 23. Mai 2019 E. 3.2; 4A_467/2007 und 4A_469/2007 vom 8. Februar 2008 E. 4.2; 4C.240/2006 vom 13. Oktober 2006 E. 2.2.1 mit Hinweisen). Bei dieser Ausgangslage ist unter prioritätsrechtlichen Gesichtspunkten auch nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das Zeichen bei der Prüfung der Verwechslungsgefahr mitberücksichtigte, nachdem sich dieses ebenfalls im Verkehr durchgesetzt hatte. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdegegnerin dieses Logo erst (im Jahr 2018) im Geschäftsverkehr zu benützen begonnen hat, als die Beschwerdeführerin die streitgegenständlichen Zeichen bereits auf dem schweizerischen Markt gebrauchte (vgl. Urteil 4C.240/2006 vom 13. Oktober 2006 E. 2.2.2).
10.4. Die Beschwerdeführerin scheint in diesem Zusammenhang auch der Auffassung zu sein, die Beschwerdegegnerin könne sich nicht auf den Gebrauch ihrer Rechtsvorgängerinnen berufen. Dies trifft - zumindest in dieser Grundsätzlichkeit - nicht zu, andernfalls die Übertragung eines Geschäfts oder Betriebsteils ungebührlich erschwert würde, da damit stets der lauterkeitsrechtliche Schutz von <ref-law> verloren ginge.
10.5. Somit hat die Vorinstanz zu Recht erkannt, dass die Beschwerdeführerin durch den Gebrauch der fraglichen Zeichen unlauter im Sinne von <ref-law> handelte und der Beschwerdegegnerin folglich die entsprechenden Klagebehelfe zur Verfügung stehen.
11.
Die Beschwerdeführerin ist allerdings der Auffassung, die Beschwerdegegnerin habe ihre lauterkeitsrechtlichen Schutzansprüche durch langes Zuwarten verwirkt.
11.1. Die Verwirkung ist ein Fall der unzulässigen Rechtsausübung aufgrund widersprüchlichen und damit rechtsmissbräuchlichen Verhaltens (<ref-law>). Es ist in Rechtsprechung und Lehre anerkannt, dass auch Abwehransprüche aus Lauterkeitsrecht untergehen können, wenn sie zu spät geltend gemacht werden (Urteile 4A_91/2020 vom 17. Juli 2020 E. 4.1; 4C.240/2006 vom 13. Oktober 2006 E. 3; 4C.76/2005 vom 30. Juni 2005 E. 3.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>; TANJA DOMEJ, in: Kommentar UWG, Heizmann/ Loacker [Hrsg.], 2018, N. 114 zu <ref-law>; PHILIPPE SPITZ, in: Bundesgesetz gegen den unlauteren Wettbewerb [UWG], Jung/Spitz [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 227 zu <ref-law>). Dabei ist indes Zurückhaltung am Platz, denn das Lauterkeitsrecht - und <ref-law> im Besonderen - schützt nicht nur Individual-, sondern auch Allgemeininteressen; es gewährleistet den lauteren und unverfälschten Wettbewerb im Interesse aller Beteiligten (<ref-law>) und namentlich den Schutz des Publikums vor irreführendem Zeichengebrauch, wie er vorliegend zur Diskussion steht. Eine - allein auf das Verhalten eines Mitbewerbers gestützte - Verwirkung ist daher mit besonderer Vorsicht zu prüfen (vgl. <ref-ruling> E. 1e S. 204; Spitz, a.a.O., N. 229 zu <ref-law>). Sie ist darüber hinaus auch deshalb nicht leichthin anzunehmen, weil gemäss <ref-law> ein Recht nur dann nicht geschützt werden darf, wenn sein Missbrauch offenbar ist.
Die Verwirkung setzt jedenfalls voraus, dass der Anspruchsteller von der (ihn tangierenden) Wettbewerbsverletzung Kenntnis hatte oder er davon bei gehöriger Sorgfalt hätte Kenntnis haben müssen, dass er das unlautere Handeln während längerer Zeit widerspruchslos geduldet hat und dass der Verletzer in gutem Glauben einen eigenen wertvollen Besitzstand erworben hat. Je länger der durch das unlautere Wettbewerbsverhalten verletzte Mitbewerber mit der Geltendmachung seiner Ansprüche zuwartet, desto eher darf der Verletzer nach Treu und Glauben erwarten, der Verletzte dulde die Wettbewerbsverletzung auch weiterhin und werde ihm nicht zumuten, den erworbenen Besitzstand wieder preiszugeben (<ref-ruling> E. 4a; Urteile 4A_91/2020 vom 17. Juli 2020 E. 4.1; 4A_630/2018 vom 17. Juni 2019 E. 3.1).
11.2. Das Handelsgericht würdigte den Auftritt sowie die Werbeanstrengungen der Beschwerdeführerin auf dem schweizerischen Markt und schloss, die Beschwerdegegnerin habe den Marktauftritt der Beschwerdeführerin unter dem Zeichen "Luminarte" bei gehöriger Sorgfalt spätestens per Ende Oktober 2013 bemerken müssen. Am 3. Oktober 2016 habe die A._-Gruppe Genossenschaft (mithin die Muttergesellschaft der Beschwerdegegnerin) ein Abmahnschreiben an die B._ GmbH adressiert. Letztere sei zu jenem Zeitpunkt zwar Inhaberin der streitverfangenen CH-Marke Nr. 654460 "Luminarte" gewesen, indes sei es die Beschwerdeführerin, welche für den Marktauftritt unter dem Zeichen "Luminarte" in der Schweiz verantwortlich zeichne und die daher hätte abgemahnt werden müssen. Spätestens mit der Klageeinreichung im parallelen Verfahren HOR.2017.30 (vor Bundesgericht: konnexes Verfahren 4A_265/2020) vom 30. März 2017 sei der Beschwerdeführerin aber angezeigt worden, dass der Gebrauch des Zeichens "Luminarte" in der Schweiz nicht toleriert werde. Damit habe die Beschwerdegegnerin den Gebrauch des Zeichens "Luminarte" während dreieinhalb Jahre geduldet, was nicht übermässig lange sei. Ihre Rechte seien folglich nicht verwirkt.
11.3.
11.3.1. Die Beschwerdeführerin vertritt zunächst den Standpunkt, dass die Beschwerdegegnerin den Marktauftritt unter dem Zeichen "Luminarte" schon im Jahr 2003, spätestens aber im Jahr 2007 habe erkennen müssen. Soweit sie ihre diesbezügliche Kritik auf einen Sachverhalt stützt, der von den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz abweicht, kann sie von vornherein nicht gehört werden. Im Übrigen ist was folgt zu bemerken:
11.3.2. Richtig ist, dass eine Verwirkung nicht positive Kenntnis des Anspruchstellers von der Wettbewerbsverletzung verlangt. Verzögerte Rechtsausübung kann auch missbräuchlich sein, wenn sie auf fahrlässige Unkenntnis der Verletzung zurückzuführen ist, weil es der durch das unlautere Handeln tangierte Mitbewerber sorgfaltswidrig unterlassen hat, den Markt auf gegnerische Zeichen hin zu beobachten (<ref-ruling> E. 4b; Urteile 4A_22/2019 vom 23. Mai 2019 E. 2.3.2; 4C.371/2005 vom 2. März 2006 E. 3.1 mit weitere Hinweisen). Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, hat die Vorinstanz diesen Massstab ausdrücklich (und auch der Sache nach) angewandt.
11.3.3. Entscheidend ist sodann, ob der Anspruchsteller aus der Sicht des Verletzers Kenntnis vom unlauteren Handeln hatte oder haben musste. Denn die Verwirkung ist kein Selbstzweck; es muss beim Verletzer die legitime Erwartung begründet werden, auch in Zukunft nicht mehr in Anspruch genommen zu werden (Urteile 4C.240/2006 vom 13. Oktober 2006 E. 3; 4C.76/2005 E. 3.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Mithin muss auch der Verletzer wissen, dass sich der Mitbewerber in Kenntnis der Rechtsverletzung und nicht aus blosser Unkenntnis passiv verhält (<ref-ruling> E. 4b). Selbstredend hat sich diese Kenntnis auf eine Wettbewerbsverletzung in der Schweiz zu beziehen (siehe für das Markenrecht ROGER STAUB, in: Markenschutzgesetz [MSchG], Noth/Bühler/Thouvenin [Hrsg.], 2. Aufl. 2017, N. 70 zu Vorbemerkungen Art. 51a-60 MSchG und vorstehende Erwägung 5.1.2).
11.3.4. An diesen Grundsätzen geht die Beschwerdeführerin vorbei. Sie ist im Wesentlichen der Auffassung, das Handelsgericht habe ihrem Internetauftritt, den sie seit dem Jahr 2003 betreibe und der auf die Schweiz ausgerichtet sei, nicht hinreichend Rechnung getragen. Dies trifft nicht zu: Die Vorinstanz hob hervor, dass die Domain "www.luminarte.ch" seit Ende Dezember 2008 erreichbar gewesen sei. Indes habe die Beschwerdegegnerin keine generelle Pflicht zur Überwachung von inländischen Domains getroffen, zumal Besucher dieser Webseite auf die deutsche Domain "www.luminarte.de" weitergeleitet worden seien. Diese Webseite wiederum sei aber nicht klar auf die Schweiz ausgerichtet gewesen. Diese - hier zusammengefassten - Ausführungen sind nicht zu beanstanden. Insbesondere ist zu betonen, dass der unlauter Handelnde nicht davon ausgehen darf, dass seine Mitbewerber sämtliche Bewegungen auf dem Markt permanent überwacht; das schweizerische Recht kennt im Grundsatz keine Überwachungsobliegenheit, zumal in dem von der Beschwerdeführerin postulierten Umfang (siehe STAUB, a.a.O., N. 70 zu Vorbemerkungen Art. 51a-60 MSchG).
Die Beschwerdeführerin wirft dem Handelsgericht vor, "die Realität" und die Funktionsweise moderner Internetwerbung zu verkennen, und sie verweist auf die "erhebliche[n] Möglichkeiten und Mittel", welche der "A._-Konzern" habe, um Marktüberwachungen vorzunehmen. Inwiefern sie (die Beschwerdeführerin) bereits vor Oktober 2013 berechtigterweise davon ausgehen durfte, dass die Beschwerdegegnerin um den unlauteren Gebrauch des streitgegenständlichen Zeichen wusste oder darum jedenfalls bei gehöriger Sorgfalt hätte wissen müssen, zeigt sie dagegen nicht hinreichend auf. Soweit sie in diesem Zusammenhang darauf hinweist, dass sie im Jahr 2013 das Zeichen "Luminarte" in der Schweiz als Marke habe schützen lassen, hilft ihr dies nicht weiter.
11.4.
11.4.1. Die Beschwerdeführerin moniert sodann, dass die Klage im parallelen Verfahren HOR.2017.30 von der A._-Gruppe Genossenschaft und nicht von der Beschwerdegegnerin erhoben worden sei. Eine Verwarnung entfalte nur Wirkung, wenn sie von jener Person stamme, deren (Lauterkeits-) Rechte verletzt worden seien. Entsprechend wäre ihr guter Glaube - so folgert die Beschwerdeführerin - nur zerstört worden, wenn die Beschwerdegegnerin (und nicht die A._-Gruppe Genossenschaft) als Verfasserin des Abmahnschreibens ausgewiesen worden wäre, denn nur Erstere sei in ihrem Wettbewerb tangiert. Es könne von ihr nicht erwartet werden, "die Organisation der Beschwerdegegnerin bzw. des ganzen A._-Konzerns" zu kennen. Sie habe folglich mit Blick auf die von der A._-Gruppe Genossenschaft erhobene Klage nicht davon ausgehen müssen, dass die (angeblich) in ihren Rechten verletzte Gesellschaft (die Beschwerdegegnerin) den Gebrauch der streitgegenständlichen Zeichen nicht mehr dulde.
11.4.2. Diese Überlegung verfängt nicht. Die Vorinstanz stellte fest, dass aufgrund der als Abmahnung geltenden Klage evident sei, dass die A._-Gruppe Genossenschaft (und damit die Inhaberin der CH-Marke Nr. 2P-434099 [Abbildung]) den Gebrauch des Zeichens "Luminarte" in der Schweiz sowohl unter kennzeichenrechtlichen als auch unter lauterkeitsrechtlichen Gesichtspunkten nicht toleriert habe. Vor diesem Hintergrund erwog die Vorinstanz bundesrechtskonform, dass eine zusätzliche Abmahnung "durch die lauterkeitsrechtlich aktivlegitimierte juristische Person" - bei der es sich zudem um eine Tochtergesellschaft der A._-Gruppe Genossenschaft handle - zu einer "zwecklosen Formalität" verkommen wäre.
Mit ihrer Argumentation verkennt die Beschwerdeführerin ganz allgemein den Gehalt des Rechtsmissbrauchsverbots. Dieses zielt auf Aus nahmefälle, denen die allgemeine Regel von <ref-law> nicht gerecht wird, weil der durch unlauteres Handeln Verletzte pflichtwidrig nicht auf Verletzungshandlungen reagiert, was der Verletzer seinerseits in guten Treuen als Einverständnis mit seinen Handlungen auffassen darf (vgl. Urteil 4A_91/2020 vom 17. Juli 2020 E. 4.4 mit Hinweisen). Es ist nicht statthaft, der Gegenpartei rechtsmissbräuchliches Verhalten (zufolge überlangen Zuwartens) zu unterstellen und sich gleichzeitig auf den formalen Standpunkt zu stellen, die Abmahnung sei von der falschen Konzerngesellschaft verschickt worden. Entscheidend ist, ob der Verletzer in der konkreten Situation in guten Treuen auf die Zulässigkeit seines Verhalten vertrauen durfte. Dies hat die Vorinstanz zu Recht verneint.
11.5.
11.5.1. Im Sinne eines Eventualstandpunkts macht die Beschwerdeführerin geltend, dass angesichts "der noch weiter intensivierten Benutzung" des Zeichens "Luminarte" ab dem Jahr 2013 eine Zeitspanne von dreieinhalb Jahren für eine Verwirkung genüge.
11.5.2. Nach welcher Dauer des Duldens die Verwirkung anzunehmen ist, hängt von den konkreten Umständen des Einzelfalls ab. Die Rechtsprechung im Zeichenrecht schwankt zwischen vier und acht Jahren (vgl. Urteile 4A_91/2020 vom 17. Juli 2020 E. 4.3; 4A_630/2018 vom 17. Juni 2019 E. 3.2; 4A_257/2014 vom 29. September 2014 E. 6.3; 4C.76/2005 vom 30. Juni 2005 E. 3.2, nicht publiziert in: <ref-ruling>). In zwei besonders gelagerten Fällen wurde eine Verwirkung nach einer Zeitdauer von eineinhalb beziehungsweise zwei Jahren bejaht (Urteile 4C.371/2005 vom 2. März 2006 E. 3.3; 4C.125/1997 vom 21. Oktober 1997, in: JdT 1998, S. 347, E. 2b). Der Zeitablauf ist allerdings nicht allein massgebend. Entscheidend ist, ob der Verletzer bei vernünftiger und objektiver Betrachtung ausnahmsweise davon ausgehen durfte, dass sein Verhalten geduldet werde (siehe einlässlich Urteile 4A_257/2014 vom 29. September 2014 E. 6.3; 4C.371/2005 vom 2. März 2006 E. 3.1). Dass solch besondere Umstände vorliegend bereits nach einer Dauer von dreieinhalb Jahren gegeben wären, ist den Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Urteil nicht zu entnehmen. Dabei fällt namentlich ins Gewicht, dass dem Verletzten eine vernünftige Zeitspanne verbleiben muss, um die Rechtslage, die Bedeutung der Wettbewerbsverletzung sowie die Nachteile, die ihm aus einer allfälligen Verwechslungsgefahr entstehen, abzuklären und auf dieser Grundlage sorgfältig über die Einleitung rechtlicher Schritte zu entscheiden (siehe <ref-ruling> E. 2a S. 341; DOMEJ, a.a.O., N. 116 zu <ref-law>). Ein offenbarer Missbrauch des Rechts, wie dies <ref-law> voraussetzt, liegt auch vor diesem Hintergrund nicht vor.
11.6. Damit hält der auch vorinstanzliche Schluss, die klägerischen Ansprüche seien nicht verwirkt, der bundesgerichtlichen Überprüfung stand.
12.
Zusammenfassend hat die Vorinstanz zutreffend geschlossen, dass die Beschwerdeführerin unlauter handelte, indem sie mit den Zeichen "Luminarte", "luminarte.de", "luminarte.ch", "Luminarte GmbH" sowie auf dem Markt auftrat und damit die Gefahr von Verwechslungen mit dem Marktauftritt der Beschwerdegegnerin schaffte. Damit stehen die Klagebehelfe nach <ref-law> zur Verfügung.
Ob die eingeklagten Ansprüche auch aus Namensrecht gegeben wären, wie dies die Beschwerdegegnerin in der Beschwerdeantwort vorbringt, die Vorinstanz aber verneinte, braucht nicht geklärt zu werden.
13.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (siehe Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Dezember 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Stähle