Faits :
A.
J.A._ a saisi le Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte d'une demande dirigée contre B._ SA tendant au paiement de diverses sommes au titre notamment des frais de réparation des fissures de sa villa, de frais de réfection d'un chemin privé, de frais d'avocat avant procès et d'une indemnité pour tort moral. Il a été débouté par jugement du 26 juillet 2019.
B.
Par arrêt du 12 juin 2020, la Cour d'appel civile du canton de Vaud a rejeté l'appel que le demandeur avait formé à l'encontre de ce jugement.
C.
Par arrêt 4A_406/2020 du 4 janvier 2021, le Tribunal fédéral a rejeté le recours en matière civile qu'il avait déposé à l'encontre de l'arrêt cantonal.
D.
J.A._ a demandé une première fois la révision de cet arrêt le 8 mars 2021. Le Tribunal fédéral a écarté sa requête par arrêt 4F_5/2021 du 12 mai 2021.
E.
Par acte du 30 juillet 2021, J.A._ (ci-après: le requérant) saisit derechef le Tribunal fédéral d'une demande de révision de l'arrêt 4A_406/2020 du 4 janvier précédent.
Le requérant s'est encore exprimé le 12 août 2021.
Aucun échange d'écritures n'a été ordonné.

Considérant en droit :
1.
1.1. Les arrêts du Tribunal fédéral acquièrent force de chose jugée le jour où ils sont prononcés (<ref-law>). Ils ne peuvent pas être attaqués par une voie de droit ordinaire et un nouvel examen du litige par le Tribunal fédéral est, en principe, exclu. Le Tribunal fédéral peut seulement revenir sur un arrêt lorsque l'un des motifs de révision exhaustivement prévus aux art. 121 à 123 LTF est réalisé (<ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 4F_9/2020 du 17 mars 2021 consid. 1.1).
La demande de révision est soumise aux exigences de motivation découlant de l'art. 42 al. 1 et 2 LTF (arrêts 4F_9/2020 précité consid. 1.2.1; 4F_6/2019 du 18 mars 2020 consid. 1). Fondée, comme en l'espèce, sur l'<ref-law>, elle doit être déposée " dans les 90 jours qui suivent la découverte du motif de révision, mais au plus tôt cependant dès la notification de l'expédition complète de l'arrêt ou dès la clôture de la procédure pénale " (art. 124 al. 1 let. d LTF).
1.2. En vertu de l'<ref-law>, la révision peut être demandée dans les affaires civiles si le requérant découvre après coup des faits pertinents ou des moyens de preuve concluants qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente, à l'exclusion des faits ou moyens de preuve postérieurs à l'arrêt.
En ce qui concerne les faits pertinents, la révision suppose ainsi la réalisation de cinq conditions: 1° Le requérant invoque un ou des faits; 2° Ce ou ces faits sont pertinents, c'est-à-dire qu'ils sont de nature à modifier l'état de fait qui est à la base du jugement et à conduire à un jugement différent en fonction d'une appréciation juridique correcte; 3° Ces faits existaient déjà lorsque l'arrêt a été rendu: il s'agit de pseudo-nova ( unechte Noven), c'est-à-dire de faits antérieurs à l'arrêt ou, plus précisément, de faits qui se sont produits jusqu'au moment où, dans la procédure principale, des allégations de faits étaient encore recevables; 4° Ces faits ont été découverts après ce moment; 5° Le requérant n'a pas pu, malgré toute sa diligence, invoquer ces faits dans la procédure précédente (<ref-ruling> consid. 4.1 et les références; arrêt 4F_24/2017 du 4 septembre 2018 consid. 2.2.1). Il y a manque de diligence lorsque la découverte de faits résulte de recherches qui auraient pu et dû être effectuées dans la procédure précédente (arrêts 5F_19/2018 du 29 octobre 2018 consid. 2.1; 4F_24/2017 précité consid. 2.2.1).
Quant aux moyens de preuve concluants, ils supposent aussi la réunion de cinq conditions (pour les détails, voir <ref-ruling> consid. 4.2; arrêt 4F_24/2017 précité consid. 2.2.2). En bref, seuls peuvent justifier une révision les moyens de preuve concluants qui portent sur des faits antérieurs (pseudo-nova) à l'arrêt en question et qui existaient au moment où ils auraient pu être invoqués, mais qui, sans faute, ne l'ont pas été, en particulier parce que le requérant ne les connaissait pas, nonobstant la diligence exercée (arrêts 5F_19/2018 du 29 octobre 2018 consid. 2.1 et 5F_9/2017 du 23 mars 2017 consid. 5.1).
2.
2.1. En l'espèce, le requérant invoque la découverte d'un fait pertinent. Il explique avoir découvert " récemment, lors de démarches avec la Commune " l'identité de la société qui a construit sa villa en 2002. Celle-ci s'est fendue d'" une attestation " en juillet 2021 - qu'il produit en annexe à sa requête - laquelle, à l'en croire, permettrait d'attester l'état de la villa avant les travaux effectués par l'intimée. Sur le fondement de cette pièce, il se prévaut du fait suivant: " aucun des précédents propriétaires n' (aurait) relevé l'apparition de quelconques fissures sur (la villa) ". Cela étant, le Tribunal fédéral ne conçoit guère pour quelle raison il ne lui était pas possible d'obtenir ce renseignement auparavant. Les " problèmes personnels et familiaux ", qu'il avance apparemment ici pour la première fois et sans s'étendre sur leur nature précise et leur survenance exacte, ne sauraient justifier son attentisme. Et quoi qu'il en soit, à lire l'attestation produite, le constructeur en question ne s'avance guère trop. Il se contente d'affirmer " Nous pouvons vous certifier que depuis la construction de cette villa, aucun des précédents propriétaires ne nous ont fait part de l'apparition de quelconques fissures sur ce bâtiment ". En aurait-il eu forcément connaissance, si ces fissures étaient apparues? Rien de moins sûr.
Il n'y a pas là matière à révision.
2.2. Le requérant affirme également avoir découvert après coup un moyen de preuve concluant qu'il n'avait pas pu invoquer dans la procédure précédente. Il s'agit des photographies qu'il avait produites dans ladite procédure en y apposant de manière manuscrite la date de prise de vue. A l'en croire, il aurait découvert, en mai 2021, qu'il était possible d'y inscrire la date en question à l'aide d'un procédé informatique. Sans désemparer, il entend faire réviser le jugement du Tribunal fédéral sur la base de ces pièces dont la date de prise de vue - désormais indiscutable - démontrerait, selon lui, aussi bien l'évolution des fissures, la vitesse de démolition du bâtiment voisin, les dégâts causés à la clôture, l'absence de bâches de protection du chantier, le noircissement des murs et des sols de sa villa, etc. Au chapitre de l'explication de cette démonstration tardive, le requérant fait valoir que " le photographe où (il) s'est rendu n'a acquis une machine permettant de dater les photographies que récemment ". Quand bien même: le requérant ne pouvait-il pas se rendre chez un autre photographe? Il n'a pas le front de l'affirmer. Et d'ailleurs cette date enregistrée sur un support numérique a-t-elle une valeur probante supérieure à celle que le requérant a pu apposer de manière manuscrite sur les clichés? Cette question peut demeurer ouverte.
En tout état de cause, en effet, ce motif ne donne pas non plus droit à révision.
3.
Partant, la demande de révision doit être rejetée. Le requérant supportera les frais liés à la procédure de révision (<ref-law>). Il n'est pas dû de dépens en faveur de l'intimée qui n'a pas été invitée à déposer de réponse.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
La demande de révision est rejetée.
2.
Les frais judiciaires arrêtés à 2'500 fr. sont mis à la charge du requérant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 7 septembre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Hohl
La Greffière : Raetz