Sachverhalt:
A.
A.C._ (geb. 1956) ist türkische Staatsangehörige. Sie lebt seit 1976 in der Schweiz und ist mit B.C._ verheiratet. Aus der Beziehung sind die drei Kinder D._ (geb. 1976), E._ (geb. 1977) und F._ (geb. 1978) hervorgegangen: D._ lebt in der Türkei. E._ ist Schweizer Staatsbürgerin. F._, der an Schizophrenie leidet, verfügt wie A.C._, die für ihn sorgt, über eine Niederlassungsbewilligung. B.C._ hielt sich von 1974 bis 2002 ebenfalls mit einer Niederlassungsbewilligung in der Schweiz auf; am 15. Februar 2002 meldete er sich indessen in die Türkei ab. Er liess sich sein Guthaben bei der Pensionskasse (Fr. 228'000.--, abzüglich Fr. 26'000.-- für die Steuern) und die AHV-Beiträge (Fr. 114'000.--, abzüglich Fr. 24'000.-- für die Altersversicherung in der Türkei) auszahlen. B.C._ investierte das Geld unter anderem in der Türkei in ein Haus; teilweise ging es durch schlechte Beratung auch verloren.
B.
A.C._ und B.C._ ersuchten wiederholt darum, dem Gatten den Aufenthalt in der Schweiz wieder zu gestatten: Das Migrationsamt des Kantons Solothurn lehnte die entsprechenden Anträge am 12. Mai 2004 (Gesuch vom 27. Oktober 2003) bzw. am 27. November 2015 (Gesuch vom 25. Februar 2015) ab. Es begründete den letzten Entscheid damit, dass die bis zum 31. Dezember 2012 laufende Nachzugsfrist nicht eingehalten worden sei. Die geltend gemachten Gründe, wonach der Sohn F._ krank geworden sei und der Hilfe von beiden Elternteilen bedürfe, überzeugten nicht. Die familiären Beziehungen könnten im Übrigen gegebenenfalls auch in der Heimat gelebt werden. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn wies Gesuche (vom 29. Juni 2018 bzw. 17. Dezember 2018) um eine Wiedererwägung seines Entscheids am 17. September 2018 bzw. am 30. Januar 2019 ab, soweit es darauf eintrat. Die gegen die letzte Verfügung gerichtete Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn blieb am 25. März 2019 ohne Erfolg. Es bestünden - so die Begründung der Vorinstanz - keine neuen Elemente, die eine Wiedererwägung bzw. eine abweichende Beurteilung rechtfertigen könnten.
C.
A.C._ beantragt sinngemäss vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn aufzuheben und ihrem Ehegatten wieder den Aufenthalt in der Schweiz zu gestatten. Sie sei heute völlig überfordert mit der alleinigen Pflege des schizophrenen Sohns; zudem sei bei ihr ein Hirntumor festgestellt worden, der regelmässige Kontrollen und Behandlungen im Inselspital erforderlich mache.
Das Verwaltungsgericht und das Migrationsamt des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hat sich - als beschwerdeberechtigte Bundesbehörde - nicht vernehmen lassen.
Das Ehepaar C._ legt in einem Schreiben vom 3. Juni 2019 noch einmal dar, dass die Situation für alle Beteiligten äusserst stressintensiv sei und diese nur dadurch entspannt werden könne, dass B.C._ die beantragte Aufenthaltsbewilligung erteilt werde. Der Gehirntumor von A.C._ mache im Übrigen eine Operation im Oktober bzw. November 2019 notwendig.

Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen Entscheide ausgeschlossen, welche Bewilligungen betreffen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumen (<ref-law>). Gegenstand des kantonalen Verfahrens bildete ursprünglich ein potentieller Anspruch auf Familiennachzug des Gatten zu seiner hier niederlassungsberechtigten Ehefrau und dem kranken Sohn (<ref-law> [SR 142.20]; bis zum 1. Januar 2019: AuG). Nach dem Grundsatz der Einheit des Verfahrens ist der Entscheid über ein entsprechendes Wiedererwägungsgesuch (bzw. ein entsprechendes neues Gesuch) vor Bundesgericht ebenfalls mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten anzufechten.
1.2. Da das Bundesgericht grundsätzlich nur über Anspruchs-, indessen nicht über Ermessensbewilligungen entscheiden kann, ist auf die Frage nicht weiter einzugehen, ob gegebenenfalls eine Härtefallbewilligung nach <ref-law> (i.V.m. <ref-law> [SR 142.201]) zur erleichterten Wiederzulassung von ausländischen Personen, die im Besitz einer Aufenthalts- oder Niederlassungsbewilligung gewesen sind, erteilt werden könnte, oder die Anwesenheit des Ehegatten als Rentner infrage käme (<ref-law> i.V.m. <ref-law>). Es ist mangels Zuständigkeit dem Bundesgericht verwehrt, der Beschwerdeführerin - wie sie dies beantragt - mitzuteilen, ob "allenfalls ein Gesuch um Wiedererteilung des Aufenthalts aus humanitären Gründen Aussicht auf Erfolg haben könnte". Unter diesem Vorbehalt ist auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>); es ist indessen nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese ihm nicht mehr formell korrekt unterbreitet werden (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem sowie interkantonalem Recht (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 232 mit Hinweisen). Das Bundesgericht ist zudem an den Sachverhalt gebunden, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (<ref-law>), es sei denn, dieser erweise sich in einem entscheidwesentlichen Punkt als offensichtlich falsch oder unvollständig (<ref-law>). Es gilt auch diesbezüglich eine qualifizierte Begründungspflicht (<ref-law>; vgl. BGE <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 254 f.).
2.2. Die vorliegende Beschwerde genügt den gesetzlichen Begründungsvoraussetzungen kaum: Die Beschwerdeführerin wiederholt lediglich appellatorisch, was sie bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht hat; sie setzt sich mit der Argumentation der Vorinstanz - entgegen ihrer Begründungspflicht (Art. 42 und 106 Abs. 2 BGG) - nicht weiter auseinander. Die Beschwerdeführerin kritisiert zwar die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung, legt jedoch nicht dar, inwiefern die Vorinstanz den Sachverhalt in klar unhaltbarer Weise ermittelt oder gewürdigt hätte (vgl. <ref-ruling> E. 4.2 S. 53 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 2.3 S. 246 f.; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.). Eine entsprechende "appellatorische" Begründung genügt im bundesgerichtlichen Verfahren praxisgemäss den gesetzlichen Begründungsanforderungen nicht (LAURENT MERZ, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger/ Kneubühler [Hrsg.], Basler Kommentar BGG, 3. Aufl. 2018, N. 53 zu <ref-law> mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Widerruf und das Erlöschen der Niederlassungsbewilligung beenden eine bisher bestehende Aufenthaltsberechtigung; sie wirken pro futuro, indem ab der Rechtskraft des Entscheids die Bewilligung nicht mehr besteht und damit die Anwesenheit in der Schweiz (abgesehen von einem bewilligungsfreien Aufenthalt nach <ref-law>) nicht mehr zulässig ist. In der Folge kann indessen grundsätzlich jederzeit ein neues Bewilligungsgesuch eingereicht werden. Unabhängig davon, ob die Eingabe als Wiedererwägungsgesuch oder neues Gesuch bezeichnet wird, muss sich die kantonale Behörde dann förmlich damit befassen, wenn das kantonale Recht dies vorsieht und die entsprechenden gesetzlichen Voraussetzungen erfüllt sind oder unmittelbar aus der Bundesverfassung (Art. 29 Abs. 1 und 2 BV) fliessende Grundsätze dies gebieten: Danach besteht eine behördliche Pflicht, auf ein entsprechendes Gesuch einzutreten, "wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich geändert haben, oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand" (vgl. <ref-ruling> E. 3a S. 6; Urteil 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.2).
3.2. Die Wiedererwägung von Verwaltungsentscheiden, die in Rechtskraft erwachsen sind, ist indessen nicht beliebig zulässig. Sie darf namentlich nicht bloss dazu dienen, rechtskräftige Verwaltungsentscheide immer wieder infrage zu stellen oder die Fristen für die Ergreifung von Rechtsmitteln zu umgehen (<ref-ruling> E. 2.1 S. 181). Dies gilt unabhängig davon, ob die Eingabe als Wiedererwägungsgesuch oder als neues Gesuch bezeichnet wird (vgl. Urteil 2C_170/2018 vom 18. April 2018 E. 4.1 mit Hinweisen). Ob ein solches materiell zu behandeln ist, hängt davon ab, ob sich der Sachverhalt oder bei Dauersachverhalten auch die Rechtslage in einer Art geändert haben, dass ein anderer Ausgang des Verfahrens ernstlich in Betracht fällt (<ref-ruling> E. 2.2.1 S. 181 f.; Urteile 2C_977/2017 vom 6. Juni 2018 E. 3 und 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.1). Es besteht nicht bereits dann ein Anspruch auf Neubeurteilung, wenn ein Wiedererwägungsgrund nur behauptet wird; die betroffene Person hat vielmehr glaubhaft zu machen und mit geeigneten Beweismitteln zu belegen, welche tatsächlichen Verhältnisse sich seit dem ersten Entscheid derart verändert haben, dass es sich gestützt darauf rechtfertigt, die Situation neu zu prüfen (Urteil 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4 mit Hinweisen).
4.
4.1. Die Vorinstanz hat im vorliegenden Fall kein Bundes (verfassungs) recht verletzt, wenn sie die Beschwerde im Zusammenhang mit dem Familiennachzug des Gatten bzw. dem entsprechenden Wiedererwägungsgesuch abgewiesen hat: Das Verwaltungsgericht begründet seinen Entscheid damit, dass die Beschwerdeführerin bereits in den früheren Verfahren, welche zu den unangefochten rechtskräftig gewordenen Verfügungen Anlass gegeben haben, geltend gemacht hatte, ihr Sohn sei aus gesundheitlichen Gründen auf beide Elternteile angewiesen. Auch der Umstand, dass die Beschwerdeführerin durch die Pflege ihres schizophrenen Sohns stark belastet ist, war bereits zu diesem Zeitpunkt bekannt gewesen. Es ist denkbar, dass die Betreuung einer auf diese Weise erkrankten Person zu einer Überforderung wird, die auch im Rahmen einer Wiedererwägung relevant sein kann. Eine solche Veränderung der Belastung ist zum massgeblichen Zeitpunkt noch nicht aufgezeigt, die Betreuung des Sohnes im dargetanen Umfang war bereits früher Gegenstand des Verfahrens. Die Beschwerdeführerin selbst leidet gemäss den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen an einem meist gutartigen Hirntumor. Im von der Vorinstanz zugrunde gelegten Arztzeugnis ist aber nicht die Rede davon, dass dieser - über Routinekontrollen hinaus - behandelt werden muss. Die Beschwerdeführerin befindet sich sodann bereits seit 1999 in psychiatrischer Behandlung, weshalb auch diesbezüglich nicht von einer wesentlichen Veränderung der Situation ausgegangen werden kann. In Übereinstimmung mit der Auffassung der Vorinstanz liegt gesamthaft gesehen zum massgeblichen Zeitpunkt noch keine hinreichende, zusätzliche Belastung im Sinne eines neuen entscheidwesentlichen Elements vor, das es rechtfertigen würde, dem Gatten, der sich vor Jahren in die Türkei abgemeldet hat, den Familiennachzug zu gestatten. Die Beschwerdeführerin bringt im Rahmen eines Novums vor, sie müsse sich nunmehr einer Operation unterziehen lassen. Eine in diesem Zusammenhang mögliche Änderung der Belastungs- und Betreuungssituation müsste im Rahmen eines kantonalen Verfahrens überprüft werden (vgl. hernach E. 4.2).
4.2. Die Beschwerdeführerin hat den negativen Nachzugsentscheid in Rechtskraft erwachsen lassen; auch die Entscheide über ihre Wiedererwägungsgesuche sind - abgesehen von jenem vom 30. Januar 2019 - unangefochten rechtskräftig geworden, ohne dass entscheidwesentliche neue Elemente vorgebracht worden wären. Dass die Beschwerdeführerin sich subjektiv heute "völlig überfordert" fühlt, ist menschlich nachvollziehbar, doch war sie bereits früher stark belastet, da die Krankheit des Sohns vorbestand; es liegt hierin ebenfalls kein wesentliches neues Element. Der Gesundheitszustand der Beschwerdeführerin hat sich nicht in derart grundlegender Weise verschlechtert, dass ein Nachzug des Gatten als zwingend nötig erschiene; anders kann es sich allenfalls künftig infolge zusätzlicher Belastungen verhalten. Mit Eingabe vom 3. Juni 2019 macht die Beschwerdeführerin geltend, im Oktober oder November 2019 operiert zu werden. Dabei handelt es sich um ein im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässiges Novum (vgl. hiervor E. 4.1), das zum Gegenstand eines Wiedererwägungsgesuchs gemacht werden kann (<ref-law>; vgl. die Urteile 2C_323/2018 vom 21. September 2018 E. 1.4; 2C_50/2017 vom 22. August 2018 E. 3 und 2C_1071/2014 vom 28. Mai 2015 E. 1.4, je mit Hinweisen).
4.3. Ergänzend kann darauf hingewiesen werden, dass die Beschwerdeführerin sich während Jahren jeweils mit ihrem Sohn für 5 Monate in der Heimat aufhält und der Ehegatte seinerseits für 90 Tage in die Schweiz kommt, womit die familiäre Beziehung über rund 8 Monate gelebt und die Beschwerdeführerin durch ihren Gatten unterstützt werden kann, obwohl dieser die Schweiz bereits 2002 freiwillig verlassen hat und sich somit seit rund 17 Jahren wieder in der Heimat aufhält. Allfällige IV-Leistungen würden der Beschwerdeführerin und ihrem Sohn in die Türkei ausbezahlt - zumindest behaupten sie nichts anderes -, weshalb das Familienleben auch in der Heimat gepflegt werden kann, nachdem die Ehegatten in der Türkei über ein Haus verfügen und zudem einer ihrer Söhne dort wohnt.
5.
5.1. Der angefochtene Entscheid verletzt kein Bundesrecht, soweit die Beschwerde überhaupt hinreichend begründet ist. Ob dem Gatten eine Bewilligung als Rentner erteilt werden könnte, haben - wie bereits dargelegt (vgl. E. 1.2) - auf ein entsprechendes Gesuch hin die kantonalen Behörden zu entscheiden.
5.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (<ref-law>). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. September 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar