Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 10. Januar 2019 hat das Bundesgericht eine Beschwerde von A._ gegen die am 30. August 2018 beschlossene Änderung des Organisationsreglements des Appellationsgerichts Basel-Stadt abgewiesen, soweit darauf einzutreten war (Verfahren 1C_549/2019).
2.
Mit Schreiben vom 20. August 2019 ersucht A._ um Revision des bundesgerichtlichen Urteils vom 10. Januar 2019. Er beruft sich auf den Revisionsgrund von <ref-law>. Nach dieser Bestimmung kann die Revision in Zivilsachen und öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten verlangt werden, wenn die ersuchende Partei nachträglich erhebliche Tatsachen erfährt oder entscheidende Beweismittel auffindet, die sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, unter Ausschluss der Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem Entscheid entstanden sind.
3.
Der Gesuchsteller macht geltend, die Änderungen des Organisationsreglements beruhten auf einem gesetzwidrigen Beschluss. Zuständig sei das Gesamtgericht gewesen und dieses sei bei Anwesenheit von wenigstens 14 Mitgliedern beschlussfähig (§ 5 Abs. 1 und § 4 Abs. 5 des Organisationsreglements des Appellationsgerichts vom 14. März 2017 [SG 154.150]). Beim Beschluss vom 30. August 2018 seien jedoch nur neun Mitglieder anwesend gewesen. Zum Beleg legt der Gesuchsteller ein Schreiben des vorsitzenden Präsidenten des Gerichts, Dr. Wullschleger, vom 26. Juni 2019 vor, dem ein Protokollauszug mit folgendem Wortlaut beigefügt ist:
"Aus dem Protokoll vom 30. August 2018
Anwesend: WUS, MAG, HOC, STO, CHE, GEC, EQA, GRR, KRG
(Entschuldigt: SPC, NEC)2
[...]
1. Änderung des Organisationsreglements des Appellationsgerichts (betr. Spruchkörperbildung)
[...]
Änderung des Organisationsreglements des Appellationsgerichts ohne Gegenstimme verabschiedet."
Die Fussnote 2, die offenbar nachträglich vom Verfasser des Schreibens an den Gesuchsteller zum Zwecke der Erläuterung eingefügt wurde, lautet wie folgt: "Daraus ergibt sich e contrario die Anwesenheit der folgenden Richter/innen: STM, REL, FRJ, WIA, TRA, THD, SCB, GUH, MEZ, WEJ, MAB, LOC."
4.
Die Revision ist ein ausserordentliches Rechtsmittel und dient nicht einfach der Weiterführung des Verfahrens. Es obliegt den Prozessparteien, rechtzeitig und prozesskonform zur Klärung des Sachverhalts entsprechend ihrer Beweispflicht beizutragen. Dass es ihnen unmöglich war, Tatsachen und Beweismittel bereits im früheren Verfahren beizubringen, ist nur mit Zurückhaltung anzunehmen. Entsprechend hat der Gesuchsteller im Revisionsgesuch darzutun, dass er die Tatsachen oder Beweismittel im früheren Verfahren trotz hinreichender Sorgfalt nicht beibringen konnte (Urteile 4F_18/2017 vom 4. April 2018 E. 3.1.1; 4A_144/2010 vom 28. September 2010 E. 2.3; je mit Hinweisen). Dieser Begründungsobliegenheit ist der Gesuchsteller im vorliegenden Verfahren nicht nachgekommen. Er hält einzig fest, es sei nun zu prüfen, ob das abgeänderte Reglement reglementskonform zu Stande gekommen sei. Weshalb er sich erst nach Ergehen des bundesgerichtlichen Urteils vom 10. Januar 2019 nach dem zum Erlass des Organisationsreglements führenden Verfahren erkundigt hat, legt er nicht dar. Auf sein Gesuch ist deshalb nicht einzutreten.
5.
Auf das Revisionsgesuch ist ohne Schriftenwechsel (<ref-law>) nicht einzutreten.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten ist umständehalber zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Revisionsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Dieses Urteil wird dem Gesuchsteller und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. August 2019
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Dold