Faits :
A.
Par ordonnance pénale du 29 janvier 2020, le Ministère public de l'arrondissement de La Côte (Ministère public) a déclaré A._, ressortissant allemand, coupable de diffamation et d'enregistrement non autorisé de conversations; il l'a condamné à une peine pécuniaire de 80 jours-amende à 80 fr. le jour-amende. A._ s'est opposé à cette ordonnance le 19 février 2020, après quoi il a été déféré devant le Tribunal de police de l'arrondissement de La Côte (ci-après: Tribunal de police); la cause a été attribuée à la Présidente Patricia Cornaz.
Le 18 mars 2021, A._ a requis le report de l'audience fixée au 25 mars 2021 à 9 heures; il a également sollicité, le 24 mars 2021, qu'un défenseur d'office lui soit désigné, demande qui lui a été refusée par prononcé de la magistrate précitée du même jour.
Par courriel adressé le 25 mars 2021 à l'autorité de jugement avant l'ouverture des débats, A._, agissant par son conseil de choix allemand, a requis la récusation de la présidente en charge de la cause.
B.
Par jugement du 25 mars 2021, le Tribunal de police, constatant le défaut de A._ à l'audience du même jour, a dit que ce défaut valait retrait de l'opposition formée par ce dernier le 19 février 2020 contre l'ordonnance pénale rendue le 29 janvier 2020 par le Ministère public.
C.
Par décision du 1er avril 2021, la Chambre des recours pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: Chambre des recours pénale) a dit que la demande de récusation adressée par courriel le 25 mars 2021 était irrecevable, faute d'être munie d'une signature originale ou d'une signature électronique certifiée.
Par décision du 21 mai 2021, la Chambre des recours pénale a déclaré la demande de restitution de délai déposée le 30 avril 2021 par A._ sans objet et a rejeté sa demande du même jour tendant à la récusation de la Présidente Patricia Cornaz. Elle a en substance considéré que les arguments de A._ ne reflétaient aucune apparence de partialité de la part de la présidente; l'autorité précédente ne décelait en outre pas d'erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs de la magistrate.
D.
Par actes séparés des 19 mai et 2 juillet 2021, A._ forme devant le Tribunal fédéral deux " recours " contre les décisions respectivement des 1er avril 2021 (cause 1B_275/2021) et 21 mai 2021 (cause 1B_378/2021), concluant à leur annulation ainsi qu'à l'annulation du jugement du Tribunal de police du 25 mars 2021. Il requiert en outre l'admission de sa demande de récusation (cause 1B_378/2021).
Invitée à se déterminer sur les recours, la Chambre des recours pénale y a renoncé, se référant aux considérants de ses décisions; la magistrate intimée s'en est remise à justice.
E.
Par ordonnance du 26 mai 2021, le Juge présidant de la Ire Cour de droit public du Tribunal fédéral a suspendu la procédure dans la cause 1B_275/2021 jusqu'à droit connu sur la requête de restitution du délai déposée le 30 avril 2021 par le recourant devant la Chambre des recours pénale (cf. cause 1B_378/2021). La reprise de l'instruction de la cause 1B_275/2021 a été ordonnée le 4 juin 2021.

Considérant en droit :
1.
Les recours dans les causes 1B_275/2021 et 1B_378/2021 sont formés par un même recourant et soulèvent des griefs similaires (en particulier le droit du recourant à un procès équitable [art. 6 CEDH]). S'ils sont dirigés contre deux décisions différentes de la Chambre des recours pénale, celles-ci ont toutes deux trait à la demande de récusation visant la Présidente Patricia Cornaz dans le cadre de la même procédure pénale, dans laquelle le recourant a été condamné.
Partant, il y a lieu de joindre ces deux causes notamment pour des motifs d'économie de procédure et de les traiter dans un seul arrêt (cf. art. 24 PCF [RS 273], applicable par renvoi de l'art. 71 LTF).
2.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (art. 29 al. 1 LTF) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
2.1. Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision cantonale relative à la récusation d'un magistrat dans une procédure pénale peut en principe faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale, malgré son caractère incident.
2.2. La qualité pour former un recours en matière pénale auprès du Tribunal fédéral au sens de l'art. 81 al. 1 let. a et b LTF suppose l'existence d'un intérêt actuel et pratique à obtenir l'annulation ou la modification de la décision attaquée (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1). Si l'intérêt actuel disparaît en cours de procédure, le recours devient sans objet, alors qu'il est irrecevable si cet intérêt faisait déjà défaut au moment du dépôt du recours (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.1).
2.3.
2.3.1. Dans le cas particulier, le recourant ne démontre pas qu'il disposerait d'un intérêt juridique actuel et pratique à l'annulation ou à la modification de la décision d'irrecevabilité rendue le 1er avril 2021 et on ne voit pas que tel serait le cas puisque, dans l'intervalle, soit le 21 mai 2021, sa demande de récusation de la magistrate intimée a été examinée au fond par la Chambre des recours pénale. Son intérêt à recourir contre la décision du 1er avril 2021 a ainsi disparu en cours de procédure, de sorte que le recours déposé le 19 mai 2021 devant la Cour de céans doit être déclaré sans objet (cause 1B_275/2021).
2.3.2. Le recourant a en revanche un intérêt juridique à l'annulation ou à la modification de la décision cantonale rendue le 21 mai 2021 dans la cause 1B_378/2021, dans la mesure où elle rejette sa demande de récusation de la magistrate intimée.
Pour le surplus, le recours interjeté contre cette décision rendue en instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF), l'a été en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et les conclusions qui y sont présentées sont recevables (art. 107 al. 2 LTF). L'absence de désignation exacte du recours demeure ainsi sans conséquence pour le recourant (cf. <ref-ruling> consid. 1.1). Il y a dès lors lieu d'entrer en matière dans la cause 1B_378/2021.
Même si le recours a été libellé en allemand, comme l'autorise l'art. 42 al. 1 LTF, le recourant ne fait valoir aucun motif qui justifierait de s'écarter de la règle de l'art. 54 al. 1 LTF, selon laquelle la procédure devant le Tribunal fédéral est conduite dans l'une des langues officielles, en règle générale dans la langue de la décision attaquée. Partant, le présent arrêt est rendu en français.
3.
Le recourant, se référant à l'art. 6 CEDH, fait valoir plusieurs motifs de récusations propres à la magistrate intimée. Il soutient en substance que le refus de reporter l'audience du 25 mars 2021, malgré les raisons qu'il a invoquées (empêchement de son avocat, impossibilité de se déplacer depuis le Canada, lieu de son domicile, son statut de " patient à risque " par rapport au Covid-19), démontrerait la prévention de la magistrate intimée. Le recourant voit en outre un indice de partialité à l'égard de cette magistrate dans son refus de faire suite à plusieurs de ses requêtes.
3.1. Le recourant ne se prévaut pas de l'un ou l'autre des motifs de récusation visés à l'art. 56 let. a à e CPP, de sorte que les griefs doivent être examinés au regard de l'art. 56 let. f CPP. Aux termes de cette disposition, un magistrat est récusable, " lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil juridique, sont de nature à le rendre suspect de prévention ". L'art. 56 let. f CPP a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective du magistrat est établie, car une disposition interne de sa part ne peut guère être prouvée. Il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale du magistrat. Seules les circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération. Les impressions purement individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (<ref-ruling> consid. 3.2).
Des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que le juge est prévenu ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. En effet, la fonction judiciaire oblige à se déterminer rapidement sur des éléments souvent contestés et délicats. Il appartient en outre aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de contester la manière dont est menée l'instruction et de remettre en cause les différentes décisions incidentes prises notamment par la direction de la procédure (<ref-ruling> consid. 3.2 et les références citées).
3.2. En l'occurrence, le refus de reporter l'audience fixée au 25 mars 2021 ne suffit pas à établir une prévention à l'égard de la magistrate intimée. Le recourant ne démontre par aucune pièce les faits qu'il allègue en relation avec son état de santé qui l'empêcherait de se déplacer, par exemple par la production d'un certificat médical l'attestant. On relèvera en outre que le recourant, bien qu'il ait eu connaissance de sa convocation à l'audience du 25 mars 2021 au plus tard le 26 janvier 2021, date à laquelle son conseil allemand a demandé le report de l'audience (cf. jugement rendu le 25 mars 2021 par le Tribunal de police, p. 3 s.), n'invoque pas ni a fortiori ne démontre avoir procédé dans l'intervalle à une quelconque démarche pour s'y faire représenter par un avocat disponible et en mesure de le représenter à cette date.
Il en va de même du prétendu refus de la magistrate intimée de donner suite à la requête du recourant tendant à la traduction des actes de procédure en allemand, en particulier l'ordonnance pénale rendue le 29 janvier 2020 par le Ministère public. Le recourant allègue à cet égard ne pas comprendre le français. Cette affirmation ne ressort toutefois pas de la décision attaquée. Le recourant ne prétend pas non plus ne pas avoir compris la teneur et la portée de l'ordonnance précitée, contre laquelle il a formé opposition le 19 février 2020. Ainsi, faute d'avoir établi sa méconnaissance du français, on ne saurait considérer que la magistrate intimée a violé d'une quelconque manière le droit fédéral ou conventionnel, en ne procédant pas à la traduction de l'ordonnance du 29 janvier 2020 (cf. sur ce point l'art. 68 CPP qui renvoie aux droits particuliers du prévenu découlant pour l'essentiel notamment des art. 32 al. 2 Cst. et 6 par. 3 let. a et e CEDH; <ref-ruling> consid. 3.1; voir également l'<ref-ruling> consid. 1.3.3). S'agissant des autres actes de procédure, le recourant n'expose pas lesquels il souhaiterait voir traduits. Au demeurant, s'il s'était présenté à l'audience du 25 mars 2021, le recourant aurait pu s'enquérir de la traduction des actes de procédure par l'interprète de langue allemande qui était sur place, l'art. 68 al. 2 CPP prévoyant qu'une communication orale est suffisante (cf. arrêt 6B_668/2014 du 22 décembre 2017 consid. 7.5.3). Par surabondance, il est encore relevé que le recourant était représenté par son avocat de choix allemand qui maîtrise le français vu ses diverses écritures dans cette dernière langue. On ne voit dès lors pas, sur ce point également, quelle grave erreur aurait commise la magistrate intimée qui justifierait sa récusation.
Le recourant perd en outre de vue que les parties ne disposent pas d'un droit inconditionnel à l'administration des moyens de preuve qu'elles proposent. La direction de la procédure n'est ainsi pas tenue d'administrer des preuves sur des faits qu'elle tient pour non pertinents (cf. art. 139 al. 2 CPP). Le refus de donner suite à sa réquisition d'auditions de témoins que la magistrate intimée a estimé à tort ou à raison inutile ne saurait dès lors être assimilé à un parti-pris en défaveur du recourant. Il en va de même de son refus de désigner au recourant un défenseur d'office. Si ce dernier entendait contester cette décision, il lui appartenait de le faire par la voie du recours et non par celle de la récusation, étant pour le surplus précisé que le seul manque de moyens allégué ne suffit pas pour justifier la mise en oeuvre d'une défense d'office. Il est en effet rappelé que la procédure de récusation n'a pas pour objet de permettre aux parties de contester les différentes décisions incidentes prises par la direction de la procédure (cf. consid. 3.1 ci-dessus).
S'agissant enfin du refus de la magistrate intimée d'envoyer le dossier par la Poste au conseil du recourant, il ne saurait, là encore, constituer un motif de récusation. On rappellera que l'art. 102 al. 2 CPP prévoit que les dossiers sont remis aux conseils juridiques des parties " en règle générale ", de sorte que certaines exceptions sont possibles (cf. arrêts 6B_854/2018 du 23 octobre 2018 consid. 4.1; 1B_252/2017 du 21 février 2018 consid. 2.2). En l'espèce, la magistrate intimée a justifié son refus d'adresser le dossier par correspondance notamment en raison de son volume et de la demande d'envoi à une adresse à l'étranger (cf. jugement rendu le 25 mars 2021 par le Tribunal de police, p. 7, et ses courriers du 22 février, 5 et 19 mars 2021), ce qui n'apparaît pas contraire à la disposition précitée (cf. <ref-ruling> consid. 2c/bb; JOËLLE FONTANA, in Commentaire romand, Code de procédure pénale, 2e éd. 2019, no 2 ad art. 102 CPP).
3.3. En définitive, aucun des motifs avancés par le recourant, pris séparément ou dans leur ensemble, ne permet d'admettre l'existence de circonstances justifiant une récusation de la magistrate intimée dans la présente cause. De manière générale, le recourant méconnaît que d'éventuels vices de procédure doivent être réparés dans le cadre des procédures de recours ordinaires et non par la voie de la récusation. Partant, la Chambre des recours pénale n'a pas violé le droit fédéral ou conventionnel en rejetant la demande de récusation formée contre la magistrate intimée.
4.
Il s'ensuit que le recours formé dans la cause 1B_378/2021 est rejeté.
Le recourant n'a pas expressément demandé le bénéfice de l'assistance judiciaire, dont les conditions n'en seraient de toute façon pas réalisées, vu l'issue évidente du recours (art. 64 al. 1 LTF).
En ce qui concerne le recours interjeté dans la cause 1B_275/2021 déclaré sans objet, il convient de statuer sur les frais en tenant compte de l'état de fait existant avant l'événement mettant fin au litige (art. 72 PCF applicable par renvoi de l'art. 71 LTF) ainsi que de l'issue probable de celui-ci (<ref-ruling> consid. 2a; arrêt 9C_151/2016 du 27 janvier 2017 consid. 2.3). Si l'issue probable de la procédure n'apparaît pas évidente, il faut alors appliquer les principes généraux du droit de procédure; ceux-ci commandent de mettre les frais et dépens à la charge de la partie qui a provoqué la procédure devenue sans objet ou chez qui résident les motifs pour lesquels elle a pris fin de la sorte (cf. <ref-ruling> consid. 4a; arrêts 1B_308/2021 du 5 juillet 2021 consid. 3; 1B_123/2021 du 27 avril 2021 consid. 7.2).
En l'occurrence, il apparaît, à la lecture du recours formé dans la cause précitée, que son issue était vouée à l'échec. Au demeurant, le recourant a provoqué la procédure devenue sans objet. Pour le reste, et comme évoqué plus haut, le recourant n'a pas sollicité le bénéfice de l'assistance judiciaire devant la Cour de céans. Dans ces circonstances, il est exclu de la lui accorder.
Cela étant, vu ce qui précède, le recourant n'a pas droit à une indemnité ni dans la cause 1B_275/2021, ni dans la cause 1B_378/2021 (cf. art. 64 et 68 LTF). Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant, fixé globalement vu la jonction des causes, sera néanmoins réduit pour tenir compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 1B_275/2021 et 1B_378/2021 sont jointes.
2.
La cause 1B_275/2021, devenue sans objet, est rayée du rôle.
3.
Le recours formé le 2 juillet 2021 dans la cause 1B_378/2021 est rejeté.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés globalement à 1'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
5.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire du recourant, à la magistrate intimée, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours pénale, et au Ministère public central du canton de Vaud.
Lausanne, le 1er octobre 2021
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Chaix
La Greffière : Nasel