Sachverhalt:
A.
A.a. Die Aa._ AG (Beschwerdeführerin) mit Sitz in U._ bezweckt den Erwerb, die Erstellung, die Veräusserung und die Bewirtschaftung von Immobilien. Sie übernahm gemäss Fusionsvertrag vom 27. April 2018 die Aktiven und Passiven der C._ AG, die wie die Aa._ AG zur Ab._ AG gehörte.
A.b. Die B._ GmbH (Beschwerdegegnerin) mit Sitz in V._ bezweckt die Ausführung geologischer Arbeiten, insbesondere im Bereich Geologie, Hydrologie, Geothermie, Beratungen und Gutachten.
A.c. Bei einer Liegenschaft der Aa._ AG in U._ sollte die Heizungsanlage ersetzt werden. Deshalb erkundigte sich die D._ GmbH (heute: D._ AG) mit E-Mail vom 7. April 2014 bei der B._ GmbH, ob auf dem Grundstück der "A._ AG" eine sinnvolle Nutzung von Grundwasser möglich sei.
A.d. Mit Bericht vom 11. April 2014 erklärte die B._ GmbH, in der näheren Umgebung bestünden zwei Grundwasserbrunnen mit einer Leistung von bis zu 1'000 Litern pro Minute. Sie empfahl, mittels Baggerschlitzen das Grundwasserregime zu bestimmen. Nachdem zwei Baggerschlitze erstellt und ein Pumpversuch durchgeführt worden waren, schrieb die B._ GmbH in ihrem Bericht vom 23. Juli 2014, dass mit einem vertikalen Brunnen von 4.40 Metern Tiefe und horizontalen Filterrohren von 15 Metern ungefähr 2'000 Liter Grundwasser pro Minute gefördert werden könnten.
A.e. Ihren Aufwand stellte die B._ GmbH der Aa._ AG in Rechnung. Mit Schreiben vom 31. Juli 2014 teilte die C._ AG der B._ GmbH mit, die Rechnung sei an die C._ AG zu richten, weil sämtliche Arbeiten und Bezüge, welche die fragliche Liegenschaft beträfen, an die C._ AG verrechnet werden müssten. Die B._ GmbH stellte darauf der C._ AG am 4. August 2014 Fr. 2'264.75 in Rechnung. Diesen Betrag beglich die C._ AG.
A.f. Nachdem bis im Frühjahr 2015 insgesamt fünf Baggerschlitze erstellt worden waren, erklärte die B._ GmbH in ihrem Bericht vom 7. Mai 2015, in drei Baggerschlitzen sei Grundwasser gefunden worden. Bei zwei dieser Baggerschlitze betrage die Grundwassermächtigkeit 1 Meter und beim dritten 1.80 Meter. Nur bei diesem letzten Baggerschlitz bezeichnete die B._ GmbH die Durchlässigkeit der Schotterschicht als gut.
A.g. In der Folge wurde eine Brunnenheizung eingebaut. Nach deren Inbetriebnahme stellte sich heraus, dass die Anlage zu wenig Grundwasser förderte. Dies bestätigte auch die B._ GmbH mit E-Mail vom 11. Februar 2016. Sie lehnte jedoch jegliche Verantwortung dafür ab. Ein Privatgutachten der E._ AG vom 15. April 2016, welches an die Ab._ AG adressiert war, kam zum Schluss, dass durchschnittlich nur ungefähr 150 Liter Grundwasser pro Minute nachhaltig gefördert werden könne. Schliesslich wurde die Brunnenheizung zu einer Erdsondenheizung umgebaut.
B.
Die C._ AG leitete mit Zahlungsbefehl des Betreibungsamts V._ vom 10. Mai 2016 eine Betreibung gegen die B._ GmbH über einen Betrag von Fr. 1'200'000.-- nebst Zins zu 5 % ab dem 4. Mai 2016 ein. Am 20. April 2018 klagte die C._ AG beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen und beantragte, die B._ GmbH sei zu verpflichten, ihr Fr. 586'081.70 nebst Zins zu 5 % seit dem 4. Mai 2016 zu bezahlen.
B.a. Die C._ AG machte im Wesentlichen geltend, sie habe die B._ GmbH mündlich mit einer hydrologischen Beratung beauftragt. Die Menge des nachhaltig förderbaren Grundwassers sei jedoch falsch beurteilt worden. Mit der von der B._ GmbH konzipierten Anlage könnten im Schnitt nur 150 Liter Grundwasser pro Minute gefördert werden und nicht die prognostizierten 2'000 Liter pro Minute. Die Schlechterfüllung des Vertrags habe einen Schaden von mindestens Fr. 586'081.70 verursacht. Dieser bestehe aus den Kosten des Umbaus zu einer Erdsondenheizung (mindestens Fr. 510'977.65), dem Minderbetrag der staatlichen Fördergelder (Fr. 61'250.--), den vorprozessualen Anwaltskosten (mindestens Fr. 6'000.--) und den Gutachterkosten (Fr. 7'854.05).
B.b. Die B._ GmbH bestritt in ihrer Klageantwort, mit der C._ AG einen Vertrag geschlossen zu haben. Die D._ AG habe sie beauftragt und darauf hingewiesen, dass die Arbeiten im Interesse der Grundeigentümerin Aa._ AG erfolgten. Daher habe die B._ GmbH ihren Bericht an die Aa._ AG adressiert und ihre Aufwendungen der Aa._ AG in Rechnung gestellt. Das Auftragsverhältnis bestehe mit der D._ AG, allenfalls mit der Aa._ AG, nicht aber mit der C._ AG. Im Übrigen bestritt die B._ GmbH Fehler, die zur Unbrauchbarkeit der Brunnenheizung geführt hätten. Sie machte geltend, dass sie spätestens nach der Aushebung der Baugrube erkannt hätte, dass ungenügend Grundwasser vorhanden sei, wenn man sie auch mit der Überwachung der Bauausführung beauftragt hätte. Zudem brachte die B._ GmbH vor, der Schaden sei falsch berechnet worden und die Verjährung für ausservertraglichen Schadenersatz sei eingetreten.
B.c. Am 29. Oktober 2018 beschränkte der Handelsgerichtspräsident das Verfahren auf die Prozessvoraussetzungen sowie die Aktiv- und Passivlegitimation. Er ordnete diesbezüglich einen zweiten Schriftenwechsel an.
B.d. In ihrer Replik brachte die Aa._ AG vor, sie sei mit der Fusion vom 27. April 2018 in die Parteistellung der C._ AG eingetreten. Sie machte geltend, die D._ GmbH habe den Kontakt zwischen den Parteien hergestellt, worauf zwischen der C._ AG und der B._ GmbH ein konkludentes Auftragsverhältnis betreffend hydrologische Beratung zustande gekommen sei. Im Weiteren brachte die Aa._ AG vor, der Vertrag zwischen der C._ AG und der D._ GmbH habe keine hydrologischen Leistungen beinhaltet, was jedoch Voraussetzung für ein Subplanerverhältnis gewesen wäre. Die D._ AG habe daher nur den Kontakt zwischen der C._ AG und der B._ GmbH hergestellt. F._ und G._ von der D._ AG (vormals D._ GmbH) seien diesbezüglich als Zeugen zu befragen.
B.e. Die B._ GmbH wandte in ihrer Duplik ein, zwischen ihr und der C._ AG habe kein Vertrag bestanden. Die geltend gemachte vertragliche Schadenersatzforderung könne daher auch nicht durch Fusion auf die Aa._ AG übergegangen sein. Nachdem auch keine Veräusserung des Streitobjekts vorliege, bedürfe es für einen Parteiwechsel der Zustimmung der B._ GmbH. Einem solchen stimme sie jedoch nicht zu. Im Übrigen machte die B._ GmbH geltend, sie habe mit der D._ GmbH und nicht mit der C._ AG einen Beratervertrag abgeschlossen. Sollte jedoch mit der D._ GmbH kein solcher Vertrag vereinbart worden sein, so sei der Beratungsvertrag mit der Bauherrin, der Aa._ AG, zustande gekommen.
B.f. Mit Urteil vom 7. Februar 2020 wies das Handelsgericht die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1). Es auferlegte die Gerichtskosten von Fr. 6'000.-- der Aa._ AG (Dispositiv-Ziffer 2) und verpflichtete diese, die B._ GmbH für die anwaltliche Vertretung mit Fr. 10'640.-- zu entschädigen (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Die Aa._ AG beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, der Entscheid des Handelsgerichts sei unter Feststellung der Aktivlegitimation der Aa._ AG aufzuheben und zur Weiterführung des Verfahrens an das Handelsgericht zurückzuweisen.
Die B._ GmbH trägt auf Abweisung der Beschwerde an, soweit darauf einzutreten sei. Das Handelsgericht liess sich vernehmen, ohne einen Antrag zu stellen.
Die Parteien haben unaufgefordert repliziert und dupliziert.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde betrifft eine Zivilsache (<ref-law>), sie richtet sich gegen den Endentscheid (<ref-law>) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Fachgericht in handelsrechtlichen Streitigkeiten entschieden hat (<ref-law>). Es besteht kein Streitwerterfordernis (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist gewahrt (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (vgl. E. 2 hiernach) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Mit Blick auf die allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) behandelt es aber grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie ein erstinstanzliches Gericht alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegen soll (<ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286; <ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Beschwerde ist innert der Beschwerdefrist vollständig begründet einzureichen (vgl. <ref-law>). Kommt es zu einem zweiten Schriftenwechsel, darf die beschwerdeführende Partei die Replik nicht dazu verwenden, ihre Beschwerde zu ergänzen oder zu verbessern. Die Replik ist vielmehr nur zu Darlegungen zu verwenden, zu denen die Ausführungen in der Vernehmlassung eines anderen Verfahrensbeteiligten Anlass geben (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 21; <ref-ruling> E. 3.3.4 S. 47; Urteil 4A_241/2020 vom 9. September 2020 E. 2.3).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vorinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f. mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2.3.1 S. 244; <ref-ruling> E. 2 S. 117, 264 E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die genannten Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE <ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
3.
Die Beschwerdeführerin beanstandet, dass die Vorinstanz auf die Schlussvorträge verzichtete. Sie rügt eine Verletzung der Art. 232 f. ZPO und ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und <ref-law>.
3.1. Nach <ref-law> haben die Parteien Anspruch auf eine mündliche Hauptverhandlung. <ref-law> gibt ihnen aber die Möglichkeit, gemeinsam auf die Durchführung einer solchen zu verzichten.
Der Verzicht auf eine Hauptverhandlung setzt nach <ref-law> voraus, dass ihn beide Parteien erklären. Das Gesetz schreibt keine bestimmte Form vor; die Erklärung kann auch mündlich erfolgen. Auch eine ausdrückliche Äusserung verlangt das Gesetz nicht; ein konkludenter Verzicht ist denkbar. Allerdings ist zu beachten, dass die mündliche Hauptverhandlung der Wahrung grundrechtlicher Verfahrensgarantien dient. Zu erwähnen sind der Anspruch auf rechtliches Gehör und der Grundsatz der Öffentlichkeit des Verfahrens. Daher darf nicht leichthin von einem Verzicht ausgegangen werden (<ref-ruling> E. 3.2 S. 454 mit zahlreichen Hinweisen).
Die Parteien können auf die vollständige mündliche Hauptverhandlung verzichten. Denkbar ist aber auch ein Verzicht auf einen der drei Teilabschnitte, also ein Verzicht nur auf die Parteivorträge (<ref-law>), die Beweisabnahme (<ref-law>) oder die Schlussvorträge (<ref-law>). Dabei darf ein pauschal erklärter Verzicht nicht ohne weiteres als Gesamtverzicht gewertet werden (Urteile 4A_14/2020 vom 18. Juni 2020 E. 3.3; 4A_47/2015 vom 2. Juni 2015 E. 3.2 mit zahlreichen Hinweisen).
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Vorinstanz habe die Parteien angefragt, ob sie auf die Durchführung einer mündlichen Hauptverhandlung verzichten. Dabei habe die Vorinstanz explizit darauf hingewiesen, dass die Parteien die Möglichkeit hätten, sich anlässlich der Schlussverhandlung zum Beweisergebnis zu äussern. Darauf habe die Beschwerdeführerin einen Teilverzicht auf die Parteivorträge erklärt, dies in der Annahme, sich in einem Schlussvortrag zu den abgenommenen Beweismitteln äussern zu können. Auch in der Folge habe die Vorinstanz darauf hingewiesen, dass sie im Falle einer Beweisverfügung zu den Schlussvorträgen vorladen würde. Entsprechend sei die Beschwerdeführerin weiterhin davon ausgegangen, dass sie sich noch einmal vollumfänglich zum Prozessstoff und dessen rechtlicher Würdigung äussern könne. Als die Beschwerdeführerin auf die mündliche Hauptverhandlung verzichtet habe, seien die weiteren Verfahrensschritte noch nicht festgestanden. Entsprechend habe sich dieser Verzicht "sinnlogisch lediglich auf den nächsten Schritt" der Hauptverhandlung beziehen können, nämlich auf die Parteivorträge. Nachdem sich die Beschwerdeführerin explizit vorbehalten habe, sich zum Rechtlichen erstmals im Rahmen der Hauptverhandlung vollumfänglich zu äussern, sei auch für die Vorinstanz erkennbar gewesen, dass der Verzicht sich nicht auf die Schlussvorträge beziehen könne.
3.3. Die Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
3.3.1. Mit Schreiben vom 22. Oktober 2019 fragte die Vorinstanz die Parteien an, ob sie auf eine mündliche Hauptverhandlung verzichten. Die Vorinstanz erklärte, dass die Parteien die Möglichkeit hätten, einer allfälligen Beweisabnahme beizuwohnen und an einer Schlussverhandlung das Beweisergebnis zu würdigen, wenn das Gericht einen Beweisbeschluss fällen sollte. Am 24. Oktober 2019 verzichtete die Beschwerdegegnerin schriftlich auf eine mündliche Parteiverhandlung. Die Beschwerdeführerin tat es ihr mit Brief vom 4. November 2019 gleich. In der Folge teilte die Vorinstanz mit Schreiben vom 5. November 2019 mit, nachdem beide Parteien auf eine mündliche Hauptverhandlung verzichtet hätten, werde an einer internen Beratung über die Prozessvoraussetzungen sowie die Aktiv- und Passivlegitimation entschieden. Abermals erklärte die Vorinstanz, sollte eine Beweisverfügung erlassen werden, würden die Parteien zur Beweisabnahme und Schlussverhandlung vorgeladen. Zudem wies die Vorinstanz darauf hin, dass die Parteien sonst den Endentscheid schriftlich erhalten würden. Schliesslich teilte die Vorinstanz mit Schreiben vom 20. Dezember 2019 die Gerichtsbesetzung mit und stellte in Aussicht, dass sie anlässlich einer internen Beratung Anfang des nächsten Jahres zu den Vorfragen entscheiden werde.
3.3.2. Nicht immer erfolgt eine Beweisabnahme. Wurden die Beweise bereits im Vorbereitungsverfahren - anlässlich der Instruktionsverhandlung (<ref-law>) oder vorsorglich (<ref-law>) - abgenommen oder wurden als Beweismittel Urkunden bezeichnet und eingereicht (Art. 221 Abs. 2 lit. c, Art. 222 Abs. 2 Satz 1 ZPO), so haben sich die Parteien bereits im Rahmen der ersten Parteivorträge (<ref-law>) dazu zu äussern. Wenn nämlich im Stadium der Hauptverhandlung keine weiteren Beweismittel abzunehmen sind, entfallen die gesonderten Schlussvorträge (Eric Pahud, in: Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, Brunner und andere [Hrsg.], Bd. II, 2. Aufl. 2016, N. 2 zu <ref-law>). Findet aus den erwähnten Gründen keine Beweisabnahme statt, muss kein förmlicher Beweisbeschluss ergehen.
3.3.3. Vorliegend verzichteten die Parteien schriftlich auf eine Hauptverhandlung. Die Vorinstanz hielt eine Beweisabnahme für unnötig. Entfällt aber die Beweisabnahme gemäss <ref-law>, entfallen auch die Schlussvorträge nach <ref-law> ohne weiteres. Die Parteien haben in den Schlussvorträgen das Recht zum Beweisergebnis und zur Sache Stellung zu nehmen. Entfällt die Beweisabnahme, kommen aber keine neuen Informationen hinzu, welche die Sachlage verändern und Anlass zu einer weiteren Stellungnahme geben könnten.
Entgegen den Ausführungen der Beschwerdeführerin stellte die Vorinstanz die Anhörung von Schlussvorträgen nur in Aussicht, falls eine Beweisabnahme erfolgt. Die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin musste wissen, dass keine Schlussvorträge gehört würden, wenn keine Beweisabnahme erfolgt. Zu den eingereichten Urkunden hatte sich die Beschwerdeführerin im Rahmen des doppelten Schriftenwechsels bereits umfassend äussern können.
Nichts ändert daran, dass sich die Beschwerdeführerin ursprünglich vorbehielt, sich erstmals im Rahmen der Hauptverhandlung vollumfänglich zum Rechtlichen zu äussern. Hier fehl am Platz ist schliesslich die Beanstandung der Beschwerdeführerin, die Vorinstanz habe nicht alle Urkunden gewürdigt. Diese Rüge beschlägt die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung (vgl. E. 4 hiernach).
3.4. Indem die Vorinstanz auf Schlussvorträge verzichtete, handelte sie im Einklang mit <ref-law>. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör liegt nicht vor.
4.
Zwischen den Parteien ist umstritten, ob die Beschwerdegegnerin gestützt auf einen Vertrag mit der D._ AG, der C._ AG oder der Beschwerdeführerin tätig wurde.
5.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe die Anforderungen an die Substanziierung überspannt und in unzulässiger Weise Beweisanträge abgelehnt. Dadurch habe sie <ref-law> und den Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> und <ref-law> verletzt.
5.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe behauptet, dass zwischen der C._ AG und der Beschwerdegegnerin ein Vertrag geschlossen worden sei. Ihre Aktivlegitimation leite die Beschwerdeführerin aus dem Umstand ab, dass dieser Vertrag durch Fusion auf sie übergegangen sei.
Obwohl die Beschwerdegegnerin eine Beauftragung durch die C._ AG bestritten habe, habe die Beschwerdeführerin die genauen Umstände des behaupteten Vertragsschlusses nicht näher dargelegt. Die Beschwerdeführerin habe nicht vorgebracht, wer für die C._ AG wo und wann gegenüber der Beschwerdegegnerin was erklärt habe. Zudem habe die Beschwerdeführerin dazu geschwiegen, ob eine solche Erklärung gegenüber der Beschwerdegegnerin in Vertretung der C._ AG abgegeben worden sei. Ebenso wenig habe die Beschwerdeführerin behauptet, wann die Beschwerdegegnerin sich wo und wie geäussert habe.
Daher sei der Antrag auf Befragung von H._ und I._ abzuweisen. Ein derart unsubstanziiert behaupteter Vertragsschluss könne nicht zum Beweis verstellt oder von der Gegenpartei substanziiert bestritten und allenfalls mittels Gegenbeweises widerlegt werden. Dies gelte auch für die beantragte Parteibefragung von J._, der Geschäftsführer und Gesellschafter der Beschwerdegegnerin sei.
5.2.
5.2.1. Nach <ref-law> haben unter der Geltung des Verhandlungsgrundsatzes die Parteien dem Gericht die Tatsachen darzulegen, auf die sie ihre Begehren stützen, und die Beweismittel anzugeben. Eine Tatsachenbehauptung hat nicht alle Einzelheiten zu enthalten. Es genügt, wenn die Tatsachen, die unter die das Begehren stützenden Normen zu subsumieren sind, in einer den Gewohnheiten des Lebens entsprechenden Weise in ihren wesentlichen Zügen oder Umrissen behauptet werden (<ref-ruling> E. 3.4.2 S. 328; Urteil des Bundesgerichts 4A_412/2019 vom 27. April 2020 E. 4.1). Ein solchermassen vollständiger Tatsachenvortrag wird als schlüssig bezeichnet, da er bei Unterstellung, er sei wahr, den Schluss auf die anbegehrte Rechtsfolge zulässt (zit. Urteil 4A_412/2019 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2b S. 368).
5.2.2. Die Behauptungs- und Substanziierungslast zwingt die damit belastete Partei nicht, sämtliche möglichen Einwände der Gegenpartei vorweg zu entkräften (Urteile des Bundesgerichts 4A_533/2019 vom 22. April 2020 E. 4.4.1; 4A_591/2012 vom 20. Februar 2013 E. 3.2 mit Hinweisen). Nur soweit die Gegenpartei den schlüssigen Tatsachenvortrag der behauptungsbelasteten Partei bestreitet, greift eine über die Behauptungslast hinausgehende Substanziierungslast. Die Vorbringen sind diesfalls nicht nur in den Grundzügen, sondern in Einzeltatsachen zergliedert so umfassend und klar darzulegen, dass darüber Beweis abgenommen oder dagegen der Gegenbeweis angetreten werden kann (<ref-ruling> E. 5.2.1.1 S. 523; <ref-ruling> E. 2b S. 368 mit Hinweisen; vgl. zum Ganzen: Urteil des Bundesgerichts 4A_443/2017 vom 30. April 2018 E. 2.1).
5.2.3. Bestreitungen sind so konkret zu halten, dass sich bestimmen lässt, welche einzelnen Behauptungen des Klägers damit bestritten werden; die Bestreitung muss ihrem Zweck entsprechend so konkret sein, dass die Gegenpartei weiss, welche einzelne Tatsachenbehauptung sie beweisen muss (vgl. <ref-law>). Der Grad der Substanziierung einer Behauptung beeinflusst insofern den erforderlichen Grad an Substanziierung einer Bestreitung; je detaillierter einzelne Tatsachen eines gesamten Sachverhalts behauptet werden, desto konkreter muss die Gegenpartei erklären, welche dieser einzelnen Tatsachen sie bestreitet. Je detaillierter mithin ein Parteivortrag ist, desto höher sind die Anforderungen an eine substanziierte Bestreitung. Diese sind zwar tiefer als die Anforderungen an die Substanziierung einer Behauptung; pauschale Bestreitungen reichen indessen nicht aus. Erforderlich ist eine klare Äusserung, dass der Wahrheitsgehalt einer bestimmten und konkreten gegnerischen Behauptung infrage gestellt wird (<ref-ruling> E. 2.6 S. 438 mit Hinweisen). Eine hinreichende Bestreitung lässt die behauptungsbelastete Partei erkennen, welche ihrer Behauptungen sie weiter zu substanziieren und welche Behauptungen sie schliesslich zu beweisen hat (vgl. Urteil des Bundesgerichts 4A_9/2018 vom 31. Oktober 2018 E. 2.3 mit Hinweisen). Dagegen ist die beweisbefreite Partei grundsätzlich nicht gehalten, darzutun, weshalb eine bestrittene Behauptung unrichtig sei (<ref-ruling> E. 5.2.2.2 S. 524; <ref-ruling> E. 2 S. 114).
5.2.4. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>) gewährt den Parteien insbesondere das Recht, mit rechtzeitig und formrichtig angebotenen erheblichen Beweismitteln gehört zu werden (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.2 S. 504 f.). Keine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt vor, wenn ein Gericht darauf verzichtet, beantragte Beweise abzunehmen, weil es aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in vorweggenommener Beweiswürdigung annehmen kann, dass seine Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (<ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 2.1 S. 429 mit Hinweisen). Das Bundesgericht greift in eine antizipierte Beweiswürdigung nur ein, wenn sie willkürlich und damit offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 4a S. 211), namentlich wenn sie eine prozessuale Vorschrift oder einen unumstrittenen Grundsatz des Beweisrechts krass verletzt oder sonst wie in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211; <ref-ruling> E. 2 S. 61; <ref-ruling> E. 2.1 S. 9; je mit Hinweisen).
5.3. Die Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
Nachdem die Beschwerdegegnerin den Tatsachenvortrag der Beschwerdeführerin bestritten hatte, griff eine über die Behauptungslast hinausgehende Substanziierungslast. Deswegen durfte und musste die Vorinstanz verlangen, dass die Beschwerdeführerin die Umstände des behaupteten Vertragsschlusses näher darlegt. Besondere Bedeutung kam dabei dem Umstand zu, dass die angebotenen Zeugen H._ und I._ zeitgleich für die C._ AG und für die Beschwerdeführerin zeichnungsberechtigt waren, weshalb sich nicht ohne weiteres erschloss, wann sie für wen handelten.
Die Beschwerdeführerin stützt ihre Argumentation auch auf die Prämisse, dass der Vertrag entweder mit der C._ AG oder der D._ AG zustande kam. Selbst wenn dem so wäre, durfte die Vorinstanz von der Beschwerdeführerin verlangen, dass sie die Umstände des Vertragsschlusses mit der C._ AG hinreichend substanziiert behauptet. Jedenfalls musste die beweisbefreite Beschwerdegegnerin nicht dartun, weshalb die Behauptung unrichtig sei, dass sie einen Vertrag mit der C._ AG geschlossen hatte.
Die Beschwerdeführerin scheint davon auszugehen, dass sämtliche Beweismittel abzunehmen sind, die zum Nachweis einzelner Indizien und Hilfstatsachen offeriert werden, aus welchen der Schluss auf einen konkludenten Vertragsschluss gezogen werden kann. Dem ist nicht so. Zwar trifft zu, dass die Vorinstanz hohe Anforderungen an die Substanziierung stellte. Doch kann entgegen der Beschwerdeführerin nicht gesagt werden, dass prozessuale Hürden dieser Höhe das Institut des stillschweigenden Vertragsschlusses gemäss <ref-law> generell verunmöglichen würden. Ein Tatsachenvortrag kann nur dann als schlüssig bezeichnet werden, wenn er bei Unterstellung, er sei wahr, den Schluss auf die anbegehrte Rechtsfolge zulässt. Dies gilt auch für die Behauptung, ein Vertrag sei stillschweigend geschlossen worden.
Die vorinstanzliche Weigerung, die beantragten Zeugen zu befragen, stellt keine Verletzung von <ref-law>, <ref-law> oder <ref-law> dar. Denn die Beschwerdeführerin widerlegt den vorinstanzlichen Vorhalt nicht, dass die Zeugen nicht zu konkreten einschlägigen Behauptungen angerufen wurden.
Schliesslich vermag die Beschwerdeführerin mit ihren weitgehend appellatorischen Vorbringen nicht aufzuzeigen, dass eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung der Vorinstanz vorliegt.
Die Beschwerdeführerin verliert generell aus den Augen, dass das Beweisverfahren nicht dazu dienen darf, fehlende Behauptungen zu ersetzen (vgl. dazu: Urteil 4A_38/2020 vom 22. Juli 2020 E. 6.2.2 mit Hinweisen).
6.
Die Beschwerdeführerin rügt, die Vorinstanz habe die abgenommenen Beweise willkürlich gewürdigt. Damit habe sie Art. 9 und 29 Abs. 2 BV, <ref-law> sowie Art. 1 Abs. 2 und Art. 18 OR verletzt.
6.1.
6.1.1. Die Vorinstanz stellte fest, es sei nicht bewiesen, dass die C._ AG hinreichend klar zum Ausdruck gebracht habe, dass sie mit der Beschwerdegegnerin einen Vertrag schliessen wolle.
Im Einzelnen begründete die Vorinstanz diesen Schluss unter Würdigung verschiedener Urkunden. Sie erwog, aus der Sitzungsnotiz vom 7. Oktober 2014 und dem Bericht vom 11. November 2014 lasse sich nichts ableiten, was für den behaupteten Vertragsschluss spreche. Denn diese Unterlagen beträfen nicht die fragliche Liegenschaft und erwähnten die C._ AG nicht. Die E-Mail vom 6. Mai 2014 an J._ betreffe zwar die fragliche Liegenschaft und sei von der Adresse H._@C._.ch verschickt worden. Im Text habe H._ jedoch keine Signatur angefügt, aus der sich ergeben würde, dass er die Nachricht im Namen der C._ AG verfasst habe. Die Adresse H._@C._.ch sei auch für die Ab._ AG benutzt worden, weshalb aus ihrer blossen Verwendung nicht ohne weiteres darauf geschlossen werden könne, die Mitteilung sei im Namen der C._ AG erfolgt.
Im Schreiben vom 31. Juli 2014 habe die C._ AG der Beschwerdegegnerin mitgeteilt, alle Leistungen im Zusammenhang mit der fraglichen Liegenschaft seien an sie und nicht an die Beschwerdeführerin zu adressieren. Selbst in diesem Schreiben habe sich die C._ AG nicht als Auftraggeberin, sondern bloss als Adressatin der Rechnungen zu erkennen gegeben.
Die E-Mail der Beschwerdegegnerin vom 28. April 2014 beziehe sich zwar auf die fragliche Liegenschaft, daraus ergebe sich jedoch nicht, ob H._ als Vertreter der Beschwerdeführerin, der C._ AG oder einer anderen Gesellschaft angeschrieben worden sei. Das Gleiche gelte für die E-Mail vom 11. Februar 2016 an H._, in welcher die Beschwerdegegnerin mitgeteilt habe, sie werde ihre Versicherung kontaktieren. Aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin E-Mails an die Adresse H._@C._.ch gerichtet habe, könne nicht geschlossen werden, die Beschwerdegegnerin habe die C._ AG als Vertragspartnerin angesehen. Denn diese Adresse sei für verschiedene Firmen benutzt worden.
6.1.2. Sodann stellte die Vorinstanz im Sinne einer Eventualbegründung fest, selbst wenn man annähme, die C._ AG habe einen Vertragsschluss offeriert, könnte nicht gesagt werden, die Beschwerdegegnerin habe eine solche Offerte akzeptiert.
Auch diese Feststellung begründete die Vorinstanz unter Würdigung einer Reihe von Urkunden. Sie erwog, die Beschwerdegegnerin erwähne im Kurzbrief vom 23. Juli 2014 zwar die fragliche Liegenschaft, doch sei der Kurzbrief an die A._ & Co. AG adressiert und nicht an die C._ AG. Auch im Bericht der Beschwerdegegnerin vom 23. Juli 2014 werde die A._ & Co. AG erwähnt. Das Schreiben vom 26. März 2016, in welchem die Beschwerdegegnerin jede Verantwortung abgelehnt habe, sei an die Ab._ AG adressiert gewesen. Aus ihrem Schreiben an die Ab._ AG könne nicht geschlossen werden, sie habe eine bestimmte Tochtergesellschaft der Ab._ AG als Vertragspartnerin akzeptiert.
Der Rechtsvertreter der C._ AG habe die Beschwerdegegnerin in seinem Schreiben vom 12. April 2016 ausdrücklich als Vertragspartnerin bezeichnet. In ihrem Antwortschreiben vom 20. April 2016 habe die Beschwerdegegnerin die gegen sie erhobenen Vorwürfe bestritten, ohne die C._ AG zu erwähnen. Zudem habe sie darauf hingewiesen, dass noch rechtliche Abklärungen im Gang seien. Daraus habe die C._ AG schliessen können, dass auch geprüft werde, ob die Beschwerdegegnerin Vertragspartnerin sei. Dies gelte umso mehr, als die Beschwerdegegnerin das Schreiben erkennbar in Kopie an die Ab._ AG geschickt habe.
Dass die Beschwerdegegnerin ihre Leistungen letztlich der C._ AG in Rechnung stellte, wertete die Vorinstanz nicht als entscheidend, da die Rechnung zuerst an die Beschwerdeführerin gerichtet worden sei, worauf sich die C._ AG als Adressatin der Rechnung gemeldet habe, nicht aber als Auftraggeberin. Vor diesem Hintergrund sei auch das Schreiben der Beschwerdegegnerin vom 16. Dezember 2015 zu sehen, mit dem sie den Auftrag zur Vermessung der sechs erstellten Schächte erteilt habe. In diesem Schreiben habe die Beschwerdegegnerin die C._ AG als Rechnungsadressatin angegeben. Dem Schreiben lasse sich aber nicht entnehmen, dass die C._ AG Auftraggeberin sei.
6.1.3. Die Vorinstanz fand in den Akten keine Hinweise, die schlüssig für eine Sachverhaltsvariante sprachen, nämlich: dass die Beschwerdegegnerin den Vertrag mit der C._ AG, der Beschwerdeführerin oder der D._ AG geschlossen habe. So schloss die Vorinstanz, die Beschwerdeführerin habe den Nachweis für das behauptete Vertragsverhältnis zwischen der C._ AG und der Beschwerdegegnerin nicht erbracht.
Damit erübrigte es sich für die Vorinstanz, die Beschwerdegegnerin zum Gegenbeweis zuzulassen. Es könne offen bleiben, ob zwischen der Beschwerdegegnerin und der D._ AG ein Auftragsverhältnis bestanden habe.
Ebenso liess die Vorinstanz offen, ob ein Vertrag mit der Beschwerdeführerin bestanden habe und ob die fehlende Aktivlegitimation der C._ AG durch den Umstand geheilt worden sei, dass sie im Lauf des Verfahrens mit der Beschwerdeführerin fusioniert habe. Denn die Beschwerdeführerin selbst bestreite ausdrücklich, dass mit Blick auf die fragliche Liegenschaft je ein Vertragsverhältnis zwischen ihr und der Beschwerdegegnerin bestanden habe; dies behaupte auch die Beschwerdegegnerin nicht. Die Vorinstanz leitete daraus ab, dass es ihr verwehrt sei, auf einen Sachverhalt abzustellen, der von den Parteien nicht behauptet werde. Da keine Partei behaupte, die Beschwerdeführerin habe durch ihr Verhalten zu erkennen gegeben, dass sie die Beschwerdegegnerin beauftragt habe, dürfe das Gericht kein solches Verhalten annehmen.
6.1.4. Die Vorinstanz schloss aus dem Gesagten, die Klage sei mangels Aktivlegitimation abzuweisen, da die Beschwerdeführerin nur vertragliche Ansprüche geltend mache und ihr der Beweis misslungen sei, dass zwischen der C._ AG und der Beschwerdegegnerin ein Vertrag bestanden habe, der durch Fusion auf sie übergegangen sei.
6.2. Zum Abschluss eines Vertrages ist die übereinstimmende gegenseitige Willensäusserung der Parteien erforderlich (<ref-law>). Sie kann eine ausdrückliche oder stillschweigende sein (<ref-law>). Bei der Beurteilung eines Vertrags sowohl nach Form als nach Inhalt ist der übereinstimmende wirkliche Wille und nicht die unrichtige Bezeichnung oder Ausdrucksweise zu beachten, die von den Parteien aus Irrtum oder in der Absicht gebraucht wird, die wahre Beschaffenheit des Vertrages zu verbergen (<ref-law>).
Für das Zustandekommen und die Auslegung einer Vereinbarung ist zunächst massgebend, was die Parteien tatsächlich übereinstimmend gewollt haben. Die empirische oder subjektive hat gegenüber der normativen oder objektivierten Vertragsauslegung den Vorrang (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 148; <ref-ruling> E. 3.1 S. 557). Erst wenn der übereinstimmende wirkliche Wille der Parteien unbewiesen bleibt, sind die Erklärungen der Parteien aufgrund des Vertrauensprinzips so auszulegen, wie sie nach ihrem Wortlaut und Zusammenhang sowie den gesamten Umständen verstanden werden durften und mussten. Dabei ist vom Wortlaut der Erklärungen auszugehen, welche jedoch nicht isoliert, sondern aus ihrem konkreten Sinngefüge heraus zu beurteilen sind (<ref-ruling> E. 4.2.1 S. 666; <ref-ruling> E. 3a S. 168). Ein objektivierter und damit rechtlicher Konsens bedeutet nicht zwingend, dass die sich äussernde Partei tatsächlich den inneren Willen hatte, sich zu binden; es reicht, wenn die andere Partei aufgrund des objektiv verstandenen Sinns der Erklärung oder des Verhaltens nach Treu und Glauben annehmen konnte, die sich äussernde Partei habe einen Rechtsbindungswillen (<ref-ruling> E. 5.2.3 S. 99; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 159). Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an Feststellungen des kantonalen Gerichts über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich (vgl. E. 2.2 hiervor) gebunden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 5.2.3 S. 99).
6.3. Die Rüge der Beschwerdeführerin ist unbegründet.
Die Beschwerdeführerin macht an verschiedener Stelle geltend, es sei unklar, welche Urkunden die Vorinstanz überhaupt gewürdigt habe. Beispielhaft nennt sie die Unterlagen, welche sich auf ein früheres Projekt beziehen, Selbst wenn diese Urkunden genau gemäss den Ausführungen der Beschwerdeführerin zu würdigen gewesen wären, hätte die Beschwerdeführerin zusätzlich darlegen müssen, dass die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung auch im Ergebnis geradezu unhaltbar ist. Denn es genügt nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem eine freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 S. 589; <ref-ruling> E. 1.3 S. 261 f.; <ref-ruling> E. 2b S. 88). Das Bundesgericht greift in die Beweiswürdigung des Sachgerichts bloss dann ein, wenn sie nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1 S. 566; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.).
Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft.
Dies kann vorliegend nicht gesagt werden. Jedenfalls geht die Beschwerdeführerin fehl, wenn sie der Vorinstanz eine "gänzlich einseitige und willkürliche Würdigung" der tatsächlich abgenommenen Beweise vorwirft. Die Vorinstanz motivierte ihr Urteil unter Hinweis auf verschiedene Urkunden. Dass sie diese Urkunden in willkürlicher Weise einseitig zu Lasten der Beschwerdeführerin gewürdigt hätte, legt die Beschwerdeführerin nicht rechtsgenüglich dar. Ihre Ausführungen erschöpfen sich weitgehend in einer unzulässigen appellatorischen Kritik an der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung. Darauf ist nicht einzutreten.
Wie die Vorinstanz zutreffend ausführte, muss die Beschwerdeführerin es sich letztlich selbst zuschreiben, wenn sie beim Abschluss ihrer Verträge nicht für die notwendige Klarheit sorgt, so dass unklar bleibt, welche Gesellschaft Vertragspartei ist.
7.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin trägt die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens und hat die Beschwerdegegnerin angemessen zu entschädigen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 8'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtlichen Verfahren mit Fr. 9'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. November 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Luczak