Sachverhalt:
A.
A.a. Gegen A._ läuft im Kanton Zürich ein Strafverfahren wegen verschiedener Delikte. Am 19. Januar 2018 bewilligte ihm die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat den vorzeitigen Strafvollzug und ordnete an, ihm werde bis zur Rechtskraft des Strafurteils kein Urlaub gewährt. Mit Verfügung vom 4. April 2018 wies das Bezirksgericht Zürich ein Gesuch von A._ um Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug ab. Am 18. Dezember 2018 wies das Bezirksgericht sodann wegen Fluchtgefahr ein Gesuch um Entlassung aus dem vorzeitigen Strafvollzug ab.
Mit Urteil vom 18. Dezember 2018 bestrafte das Bezirksgericht Zürich A._ wegen qualifizierter Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz sowie wegen weiterer Delikte mit einer Freiheitsstrafe von elf Jahren, unter Anrechnung von 631 Tagen Untersuchungshaft, sowie mit einer Geldstrafe. Dagegen meldete A._ Berufung an.
Am 28. Januar 2019 stellte A._ beim Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich ein Gesuch um Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug. Am 5. März 2019 lehnte das Amt für Justizvollzug dieses Gesuch ab, weil sich die zuständige Verfahrensleitung dagegen geäussert hatte.
A.b. Gegen diese Verfügung vom 5. März 2019 erhob A._ Rekurs bei der Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich. Er beantragte die Versetzung in den offenen Vollzug sowie die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Mit Verfügung vom 19. Juli 2019 wies die Direktion den Rekurs sowie das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab und auferlegte A._ Verfahrenskosten.
B.
Dagegen führte A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde mit Urteil vom 9. Januar 2020 im Sinne der Erwägungen ab (Dispositivziffer 1), wies auch das erneut gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab (Dispositivzffern 3 und 5), auferlegte A._ die Verfahrenskosten (Dispositivziffer 4) und sah von der Zusprechung einer Parteientschädigung ab (Dispositivziffer 6). Zur Begründung führte das Verwaltungsgericht im Wesentlichen aus, zuständig für den Entscheid über ein Gesuch um Versetzung in den offenen Vollzug beim vorzeitigen Strafvollzug sei gemäss der bundesrechtlichen Strafprozessordnung die Verfahrensleitung und nicht der Justizvollzug. Das im Rahmen einer konkreten Normenkontrolle zu prüfende anderslautende kantonale Verordnungsrecht verstosse daher gegen Bundesrecht und sei nicht anwendbar. A._ hätte sich mit seinem Gesuch an die zuständige strafprozessuale Verfahrensleitung wenden müssen, und seinem vor den Justizvollzugsbehörden gestellten Antrag könne somit keine Folge geleistet werden. Eine Pflicht zur Weiterleitung des Gesuchs an die zuständige Behörde bestehe nicht. Ob A._ mittellos sei, könne offenbleiben. Die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung sei jedenfalls wegen Aussichtslosigkeit zu verweigern, weil erstens die Unzuständigkeit der Vollzugsbehörden klar und zweitens die Gewährung des offenen Vollzugs beim vorzeitigen Strafvollzug praxisgemäss grundsätzlich ausgeschlossen sei.
C.
C.a. Gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 9. Januar 2020 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen mit dem Antrag, die Dispositivziffern 3 und 5 über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung aufzuheben und ihm vor den Verfahren der Direktion für Justiz und Inneres sowie des Verwaltungsgerichts die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit seiner Rechtsvertreterin zu gewähren; eventuell seien die Dispositivziffern 3 und 5 aufzuheben und die Sache zu neuem Entscheid an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen. In prozessualer Hinsicht ersucht A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Das Bundesgericht eröffnete dafür das Verfahren 1B_82/2020.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich verzichteten auf eine Stellungnahme. Die Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts ging beim Bundesgericht nach Ablauf der dafür gesetzten Frist ein.
C.b. Gegen das gleiche Urteil des Verwaltungsgerichts vom 9. Januar 2020 erhob auch die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen. Sie stellt den Antrag, das verwaltungsgerichtliche Urteil wegen Verletzung von Bundesrecht sowie unrichtiger Anwendung kantonalen Verfassungsrechts aufzuheben und das Verwaltungsgericht zu verpflichten, die Verwaltungsgerichtsbeschwerde von A._ materiell zu prüfen und danach erneut darüber zu entscheiden. Das Bundesgericht eröffnete dafür das Verfahren 1B_83/2020.
A._ stellt in seiner Vernehmlassung keinen Antrag in der Sache, führt aber aus, selbst auf eine Anfechtung des verwaltungsgerichtlichen Urteils in der Sache verzichtet zu haben und sich mit seinem Anliegen nunmehr an die Verfahrensleitung richten zu wollen. Die Rechtslage sei aber unbefriedigend und es obliege der Legislative sowie der Judikative, ein Rechtssystem zu errichten, das geeignet sei, die Rechte aller Parteien zu schützen. Im Übrigen anerkenne die Oberstaatsanwaltschaft indirekt das Fehlen eines Haftgrundes. In prozessualer Hinsicht beantragt A._, die Verfahrenskosten der Oberstaatsanwaltschaft aufzuerlegen und diese zu verpflichten, ihm eine angemessene Parteientschädigung auszurichten; abgesehen davon sei ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung mit seiner Rechtsvertreterin zu gewähren. Das Amt für Justizvollzug schliesst ohne weitere Ausführungen auf Gutheissung der Beschwerde. Die Vernehmlassung des Verwaltungsgerichts ging beim Bundesgericht nach Ablauf der dafür gesetzten Frist ein.
In der Folge äusserte sich die Oberstaatsanwaltschaft in dem Sinne zur Stellungnahme von A._, dass sie bestritt, das Fehlen eines Haftgrundes anzuerkennen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die zwei bundesgerichtlichen Verfahren 1B_82/2020 und 1B_83/2020 richten sich gegen dasselbe Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich und stehen mit denselben Verfahrensbeteiligten in einem engen inhaltlichen Zusammenhang. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen.
1.2. Der angefochtene Entscheid betrifft die Versetzung in den offenen Vollzug im Rahmen eines gemäss <ref-law> vorzeitig bewilligten Strafvollzugs. Gegen letztinstanzliche Entscheide im Zusammenhang mit dem Vollzug der Untersuchungs- und wie hier Sicherheitshaft nach <ref-law> steht grundsätzlich die Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht gemäss <ref-law> offen (<ref-ruling> E. 1 S. 244; Urteil des Bundesgerichts 1B_146/2019 vom 20. Mai 2019 E. 1.1, nicht publ. in <ref-ruling>). Der angefochtene Entscheid ist kantonal letztinstanzlich nach <ref-law>.
1.3. In beiden Verfahren ergingen die Vernehmlassungen des Verwaltungsgerichts verspätet, weshalb sie aus dem Recht zu weisen sind.
2.
2.1. Im Verfahren 1B_82/2020 bildet Streitgegenstand die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung des Beschwerdeführers in den beiden vorinstanzlichen Verfahren vor der Direktion der Justiz und des Innern sowie vor dem Verwaltungsgericht. Der Beschwerdeführer hat am Verfahren vor dem Verwaltungsgericht teilgenommen und ist als erfolgloser Gesuchsteller und direkter Adressat durch den angefochtenen Entscheid beschwert und damit zur Beschwerde gemäss <ref-law> legitimiert. Da auch die übrigen formellen Voraussetzungen erfüllt sind, ist auf die Beschwerde einzutreten. Von hier nicht interessierenden weiteren Möglichkeiten abgesehen kann mit der Beschwerde an das Bundesgericht einzig die Verletzung von Bundesrecht unter Einschluss des Bundesverfassungsrechts gerügt werden (vgl. <ref-law>). Die Auslegung und Anwendung von kantonalem infrakonstitutionellem Recht (vgl. <ref-law> e contrario) prüft das Bundesgericht nur auf Vereinbarkeit mit Bundesrecht, insbesondere mit dem Willkürverbot nach <ref-law>.
2.2. Der Beschwerdeführer rügt, die beiden vorinstanzlichen Rechtsmittelbehörden hätten ihm zu Unrecht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung verweigert. Das Amt für Justizvollzug begründete die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung mit dem Fehlen von Mittellosigkeit. Das Verwaltungsgericht liess demgegenüber die Frage der Mittellosigkeit offen, erachtete aber die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers als offensichtlich aussichtslos. Es stützte sich dabei auf § 16 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes vom 24. Mai 1959 des Kantons Zürich (VRG; LS 175.2), wonach in der zürcherischen Verwaltungsrechtspflege Privaten, welchen die nötigen Mittel fehlen und deren Begehren nicht offensichtlich aussichtslos erscheint, auf entsprechendes Ersuchen die Bezahlung von Verfahrenskosen und Kostenvorschüssen zu erlassen ist. Nach Abs. 2 derselben Bestimmung haben sie überdies Anspruch auf die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands, wenn sie nicht in der Lage sind, ihre Rechte im Verfahren selbst zu wahren. Der Beschwerdeführer beruft sich nicht auf eine willkürliche Anwendung dieser Norm, sondern auf <ref-law>. Nach <ref-law> hat jede Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt, Anspruch auf unentgeltliche Rechspflege, wenn ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint; soweit es zur Wahrung ihrer Rechte notwendig ist, hat sie ausserdem Anspruch auf unentgeltlichen Rechtsbeistand.
2.3. Als aussichtslos gelten nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung Prozessbegehren, bei denen die Gewinnaussichten beträchtlich geringer sind als die Verlustgefahren und die deshalb kaum als ernsthaft bezeichnet werden können. Dagegen gilt ein Begehren nicht als aussichtslos, wenn sich Erfolgsaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, sich bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde; eine Partei soll einen Prozess, den sie auf eigene Rechnung und Gefahr nicht führen würde, nicht deshalb anstrengen können, weil er sie nichts kostet. Wie es sich damit verhält, prüft das Bundesgericht in rechtlicher Hinsicht mit freier Kognition. Ob im Einzelfall genügende Erfolgsaussichten bestanden, beurteilt sich nach den Verhältnissen zur Zeit, in der das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gestellt wurde (<ref-ruling> E. 5 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 9.1 S. 537; <ref-ruling> E. 2.3.1 S. 135).
2.4. Zwar hatte der Beschwerdeführer vor dem Verwaltungsgericht einen Antrag auf Versetzung in den offenen Vollzug im Rahmen des vorzeitigen Strafvollzugs bzw. um Korrektur des entsprechenden Entscheids des Amts für Justizvollzug, mit dem ihm diese Versetzung verweigert worden war, gestellt. Mit diesem Antrag ist er nicht durchgedrungen. Dies erfolgte aber nicht deshalb, weil das Verwaltungsgericht das Rechtsbegehren inhaltlich geprüft hatte, sondern weil es entschied, nicht zuständig zu sein. Nach seiner Ansicht ist ein solches Gesuch bei der Verfahrensleitung und nicht beim Justizvollzug zu stellen, womit für den Rechtsschutz die Bestimmungen des Strafprozesses und nicht der Verwaltungsrechtspflege anwendbar seien. Wie es sich damit verhält, ist hier nicht zu entscheiden. Jedenfalls kam dieser Entscheid für die Prozessbeteiligten offenbar überraschend. Es war für sie nicht vorhersehbar, dass das Verwaltungsgericht § 20 Abs. 2 Satz 3 der Justizvollzugsverordnung des Kantons Zürich vom 6. Dezember 2006 (JVV; LS 331.1), wonach Vollzugslockerungen gewährt werden können, wenn die Verfahrensleitung nicht wegen strafprozessualen Haftgründen dagegen Einspruch erhebt, vorfrageweise auf Bundesrechtskonformität prüfen und dieser Bestimmung wegen Bundesrechtswidrigkeit bzw. Unvereinbarkeit mit der Strafprozessordnung die Anwendung versagen würde. Keiner der Prozessbeteiligten hatte solches geltend gemacht, und in der Rechtsmittelbelehrung der Verfügung der Direktion für Justiz und Inneres vom 19. Juli 2019 wird das Verwaltungsgericht und nicht eine Behörde nach der Strafprozessordnung als Rechtsmittelinstanz genannt. Überdies wird die Unzuständigkeit der Verwaltungsrechtspflege im angefochtenen Urteil über rund vier Seiten hinweg ausführlich begründet und der entsprechende Entscheid wird sogar von der Oberstaatsanwaltschaft im Parallelverfahren 1B_83/2020 als bundesrechtswidrig angefochten. Der Beschwerdeführer musste mithin nicht damit rechnen, dass sein Antrag wegen Unzuständigkeit der Verwaltungsrechtspflegeorgane abgewiesen würde.
Allerdings begründet das Verwaltungsgericht die Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens des Beschwerdeführers auch nicht mit der Unzuständigkeit der Verwaltungsrechtspflegeinstanzen, sondern mit dem inhaltlichen Argument, seinem Gesuch um Versetzung in den offenen Vollzug könne offensichtlich nicht Folge geleistet werden. Das ist hingegen widersprüchlich und unzulässig. Wenn sich das Verwaltungsgericht selbst ausdrücklich als unzuständig für den Entscheid über die Versetzung erklärt, darf es die Zulässigkeit einer solchen Versetzung auch nicht summarisch im Zusammenhang mit der Frage der unentgeltlichen Rechspflege und Verbeiständung beurteilen und ein entsprechendes Gesuch als aussichtslos bewerten. Vielmehr kommt es im vorliegenden Zusammenhang einzig darauf an, ob der Antrag des Beschwerdeführers mit Blick auf die Zuständigkeitsfrage aussichtslos erschien. Angesichts der insofern komplexen und umstrittenen Rechtslage trifft dies offensichtlich nicht zu.
2.5. Der angefochtene Entscheid erweist sich demnach insoweit als bundesrechtswidrig, als er dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wegen Aussichtslosigkeit verweigerte. Das angefochtene Urteil ist insofern aufzuheben. Der Beschwerdeführer beantragt ausdrücklich die Aufhebung der Dispositivziffern 3 und 5. Unter Umständen sind jedoch auch die Dispositivziffern 2, 4 und 6 des angefochtenen Urteils anzupassen, weshalb es sich rechtfertigt, dieses insoweit ebenfalls aufzuheben. Wegen des engen inhaltlichen Zusammenhangs handelt es sich dabei nicht um eine nach <ref-law> unzulässige Ausweitung der Rechtsbegehren. Da das Verwaltungsgericht die Mittellosigkeit des Beschwerdeführers nicht geprüft, sondern ausdrücklich offengelassen hat, womit der Sachverhalt für den Kostenentscheid unvollständig erhoben wurde, ist es dem Bundesgericht jedoch verwehrt, direkt über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung in den beiden vorinstanzlichen Verfahren zu entscheiden. Vielmehr ist die Streitsache diesbezüglich gemäss <ref-law> an das Verwaltungsgericht zurückzuweisen zu ergänzenden Abklärungen und neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen.
3.
3.1. Im Verfahren 1B_83/2020 bildet Streitgegenstand die Frage der Zuständigkeit für die Behandlung des im Ergebnis abgewiesenen Gesuchs des Beschwerdegegners um Versetzung in den offenen Vollzug im Rahmen des vorzeitigen Strafvollzugs. Die Oberstaatsanwaltschaft als Beschwerdeführerin bestreitet nicht die grundsätzliche inhaltliche Rechtmässigkeit der Ablehnung des Gesuchs des Beschwerdegegners. Sie erachtet jedoch den vom Verwaltungsgericht gefällten Entscheid über die Zuständigkeit, der zur Abweisung im Sinne der Erwägungen der vom Beschwerdegegner erhobenen Beschwerde geführt hat, als bundesrechtswidrig. Der Beschwerdegegner ficht den angefochtenen Entscheid insofern nicht an, obwohl er mit dem damit verbundenen Ergebnis, nicht in den offenen Vollzug versetzt zu werden, nicht einverstanden ist; dazu behält er sich einzig vor, ein neues entsprechendes Gesuch der Verfahrensleitung zu unterbreiten; im Übrigen bezeichnet er die diesbezügliche Zuständigkeitsordnung als nicht überzeugend.
3.2. In prozessualer Hinsicht stellen sich dazu verschiedene Fragen. Zunächst erscheint fraglich, ob es sich beim angefochtenen Urteil um einen Zwischen- oder Endentscheid handelt. Bei einem Entdentscheid wird ein Verfahren abgeschlossen (<ref-law>). Zwar wird im vorliegenden Zusammenhang das Verfahren der Verwaltungsrechtspflege abgeschlossen, was die Annahme eines gemäss <ref-law> anfechtbaren Endentscheids nahelegen würde; dies gilt umso mehr, als das Verwaltungsgericht von einer Überweisung bzw. Weiterleitung des Antrags des Beschwerdegegners an die Verfahrensleitung abgesehen hat. Dass gleichzeitig der hauptsächliche Streitpunkt der Versetzung in den offenen Vollzug nicht definitiv entschieden ist, spricht demgegenüber eher für einen Zwischenentscheid. Soweit sich dieser auf die Frage der Zuständigkeit bezieht, würde es sich dabei jedoch wiederum um einen gemäss <ref-law> ebenfalls anfechtbaren selbständig eröffneten Zwischenentscheid handeln. Wie es sich damit verhält, kann indessen dahingestellt bleiben.
3.3. Es ist nämlich auch fraglich, ob die Oberstaatsanwaltschaft zur Beschwerdeerhebung legitimiert ist. Nach <ref-law> ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat. Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG nennt dazu beispielhaft auch ausdrücklich die Staatsanwaltschaft. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung hat die Staatsanwaltschaft in Strafsachen grundsätzlich immer ein rechtlich geschütztes Interesse, indem sich ihre Legitimitation aus dem staatlichen Strafanspruch ableitet, den sie zu vertreten hat (vgl. <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 40 ff.). Legitimiert ist dabei nur die oberste kantonale Anklagebehörde (vgl. die Urteile des Bundesgerichts 6B_389/2019 vom 28. Oktober 2019 E. 1 und 6B_949/2013 vom 3. Februar 2014 E. 2.2). Erforderlich ist aber auch insofern ein aktuelles und praktisches Interesse an der Beschwerdeführung und eine formelle Beschwer, d.h. das förmliche Unterliegen im vorinstanzlichen Verfahren. Wieweit sich die Beschwerdelegitimitation der Staatsanwaltschaft nach Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG von der abstrakten Beschwerdebefugnis von Bundesbehörden gemäss <ref-law> unterscheidet, bei der kein spezifisches schutzwürdiges (öffentliches) Interesse vorausgesetzt wird, muss hier nicht abschliessend entschieden werden. Jedenfalls wird auch dort zumindest verlangt, dass es der beschwerdeführenden Behörde nicht um die Behandlung abstrakter Rechtsfragen des objektiven Rechts, sondern um konkrete Rechtsfragen eines tatsächlichen Einzelfalles geht und ein entsprechendes praktisches Rechtsschutzinteresse besteht (vgl. <ref-ruling> E. 1.2.1 S. 341 f.).
3.4. Im vorliegenden Fall handelt es sich bei der Oberstaatsanwaltschaft zweifellos um die oberste kantonale Anklagebehörde. Fraglich ist allerdings, ob sie als Beschwerdeführerin über ein aktuelles praktisches Rechtsschutzinteresse verfügt. Auf ein solches könnte nach der Rechtsprechung allenfalls verzichtet werden, wenn sich die mit der Beschwerde aufgeworfenen Fragen jeweils unter gleichen oder ähnlichen Umständen wieder stellen könnten, ohne dass im Einzelfall rechtzeitig eine höchstrichterliche Prüfung möglich wäre (vgl. <ref-ruling> E. 1.3 S. 45 mit Hinweis). Im vorliegenden Zusammenhang wäre eine solche höchstrichterliche Prüfung aber nicht ausgeschlossen, sondern höchstens aufgeschoben, indem die Frage der Zuständigkeit nochmals mit dem Entscheid in der Sache geprüft werden könnte, sofern der Beschwerdegegner bei der Verfahrensleitung erneut ein Gesuch um Versetzung in den offenen Vollzug einreicht, was er so angekündigt hat. Das kann aber offenbleiben. Denn jedenfalls sind die Oberstaatsanwaltschaft sowie das Amt für Justizvollzug hier vom angefochtenen Urteil nicht beschwert. Im Ergebnis sind sie mit ihrem Antrag, dass die Versetzung in den offenen Vollzug nicht gewährt wird, durchgedrungen bzw. der entsprechende Antrag des Beschwerdegegners ist vor der Vorinstanz gescheitert. In E. 5.5 des angefochtenen Urteils hält das Verwaltungsgericht dazu ausdrücklich fest:
"Der Beschwerdeführer [hier: Beschwerdegegner] ist nach den vorstehenden Erwägungen nicht in den offenen Vollzug zu versetzen, zumal das Verwaltungsgericht solches gar nicht anordnen dürfte."
Es erscheint zwar fragwürdig, wenn das Verwaltungsgericht andeutet, einen Entscheid in der Sache zu fällen, obwohl es sich als unzuständig erachtet. Gemeint ist wohl, dass es den Beschwerdegegner nicht in den offenen Vollzug versetzen konnte, weil es dafür gar nicht zuständig war. So oder so verschafft das abstrakte Interesse, die Zuständigkeitsfrage unabhängig vom Ergebnis des konkreten Streitpunktes der Versetzung in den offenen Vollzug zu klären, der Oberstaatsanwaltschaft jedoch kein ausreichendes rechtlich geschütztes Interesse. Diese hatte ihr eigentliches Ziel, dass der Beschwerdegegner nicht in den offenen Vollzug gelangt, erreicht. Es erscheint sowieso fraglich, ob die Oberstaatsanwaltschaft eigentliche Strafverfolgungsinteressen wahrnimmt und nicht bloss gegen eine potentielle Schwächung der Bedeutung des Amts für Justizvollzug eintritt, ist doch nicht ersichtlich, welche Strafverfolgungsinteressen beeinträchtigt sein sollten, wenn anstelle des Amts für Justizvollzug die Verfahrensleitung über die Versetzung in den offenen vorzeitigen Strafvollzug entscheidet. Unwesentlich ist sodann, dass das Verwaltungsgericht die bei ihm hängige Beschwerde in Dispositivziffer 1 des angefochtenen Urteils lediglich "im Sinne der Erwägungen" abgewiesen hat. Diese Ergänzung des Dispositivs dient hier lediglich dem Verweis auf die Begründung. Eine selbständige rechtliche Bedeutung, wie dies etwa bei einer Rückweisung an eine untere Instanz zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen zutrifft, wenn diese das weitere Vorgehen oder die Rechtslage eingrenzen und umschreiben, kommt der Einschränkung nicht zu. Das Verwaltungsgericht hätte es im Unterschied zu einem solchen Vergleichsfall auch bei einer reinen Abweisung bewenden lassen können.
3.5. Zwar kann nicht ausgeschlossen werden, dass es zu einem negativen Kompetenzkonflikt kommen könnte, falls die Verfahrensleitung oder deren Rechtsmittelinstanz die Zuständigkeitsfrage anders beurteilen sollte als das Verwaltungsgericht. Diesfalls wären aber die Verfahren zur Behebung des Kompetenzkonflikts durchzuführen, woraufhin letztinstanzlich das Bundesgericht allenfalls noch angerufen werden könnte. Dass es soweit kommt, ist aber nicht zwingend. Im Übrigen geht aus der Begründung des angefochtenen Entscheids sowie den Ausführungen der Parteien in den Rechtsschriften im Wesentlichen auch hervor, dass die Beteiligten die Rechtslage als unklar oder gar unbefriedigend beurteilen und verschiedene Lösungsansätze diskutieren. Für die Schaffung einer angemessenen Zuständigkeitsordnung dürfte jedoch der kantonale Gesetz- oder Verordnungsgeber besser geeignet sein als die Gerichte, die das geltende Gesetzes- und Verordnungsrecht nicht anpassen, sondern lediglich auslegen und auf Bundesrechtmässigkeit hin überprüfen können.
3.6. Die Oberstaatsanwaltschaft ist demnach mangels Beschwer nicht zur Beschwerde legitimiert. Auf ihre Beschwerde ist nicht einzutreten.
4.
Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Zürich die Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers im Verfahren 1B_82/2020 und des damit identischen Beschwerdegegners im Verfahren 1B_83/2020 für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (vgl. <ref-law>). Über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren braucht mithin nicht entschieden zu werden.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die bundesgerichtlichen Verfahren 1B_82/2020 und 1B_83/2020 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im bundesgerichtlichen Verfahren 1B_82/2020 wird gutgeheissen, und die Dispositivziffern 2-6 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 9. Januar 2020 werden aufgehoben. Die Streitsache wird insofern an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich zurückgewiesen zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen.
3.
Auf die Beschwerde im bundesgerichtlichen Verfahren 1B_83/2020 wird nicht eingetreten.
4.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
5.
Der Kanton Zürich hat der Rechtsvertreterin des Beschwerdeführers im Verfahren 1B_82/2020 bzw. des damit identischen Beschwerdegegners im Verfahren 1B_83/2020 für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von insgesamt Fr. 4'000.-- auszurichten.
6.
Dieses Urteil wird der Rechtsvertreterin von A._, dem Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich, Bewährungs- und Vollzugsdienste, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 31. März 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Uebersax