Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 28. September 2020 wies das Bezirksgericht Zürich das Rechtsöffnungsgesuch des Beschwerdeführers in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Zürich 2 mangels Vorliegens eines Rechtsöffnungstitels ab.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer Beschwerde. Mit Beschluss vom 5. März 2021 trat das Obergericht des Kantons Zürich auf die Beschwerde mangels genügender Begründung und infolge einer unzulässigen Klageänderung nicht ein. Den auf Art. 114 lit. a und b ZPO gestützten Antrag auf Befreiung von den Gerichtskosten wies es ab, da sich die Kostentragung im Rechtsöffnungsverfahren nach Art. 48 ff. der Gebührenverordnung vom 23. September 1996 zum Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs (GebV SchKG; SR 281.35) richte, selbst wenn einem Rechtsöffnungstitel ursprünglich eine Streitigkeit nach Art. 114 lit. a bis e ZPO zugrunde gelegen habe. Infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde wies das Obergericht schliesslich das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab. Es auferlegte dem Beschwerdeführer die Gerichtskosten von Fr. 400.--.
Dagegen hat der Beschwerdeführer am 11. März 2021 Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Am 12. März 2021 hat das Bundesgericht dem Beschwerdeführer mitgeteilt, dass es keine Rechtsanwälte vermittelt und es am Beschwerdeführer liegt, einen Anwalt oder eine Anwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Am 17. März 2021 (Postaufgabe) und am 14. Mai 2021 hat er weitere Eingaben eingereicht. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen.
2.
Der Beschwerdeführer hat seine Eingaben zulässigerweise auf Französisch verfasst (<ref-law>). Das Verfahren wird jedoch in der Sprache des angefochtenen Entscheids und damit auf Deutsch geführt (<ref-law>).
3.
Aufgrund des unter Fr. 30'000.-- liegenden Streitwerts (<ref-law>) und mangels Vorliegens einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>) ist die Eingabe als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen (<ref-law>). Mit ihr kann einzig die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
4.
Der Beschwerdeführer macht geltend, das Bezirksgericht habe ihm nicht von Amtes wegen einen Anwalt bestellt und dadurch seine Grundrechte verletzt. Dies hätte er vor Obergericht vorbringen müssen. Vor Bundesgericht kann einzig der obergerichtliche Beschluss angefochten werden; das Urteil des Bezirksgerichts ist nicht Anfechtungsobjekt der Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 114 i.V.m. <ref-law>). Mit den Erwägungen des Obergerichts setzt sich der Beschwerdeführer nicht auseinander und er zeigt nicht auf, inwiefern diese gegen verfassungsmässige Rechte verstossen sollen. Zwar beruft er sich auf das Übereinkommen vom 13. Dezember 2006 über die Rechte von Menschen mit Behinderungen (SR 0.109). Er zeigt aber nicht, inwiefern ihm dieses Übereinkommen bzw. die von ihm genannten Artikel daraus individuelle verfassungsmässige Rechte verleihen sollen. Dies gilt insbesondere mit Blick auf seine Rüge, dass <ref-law> hätte angewandt werden müssen. Nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist sein allgemeines Anliegen, dass Richter auf Vorurteile gegenüber Behinderten sensibilisiert (Art. 8 des Übereinkommens) und die in der Justiz Tätigen geschult werden sollen (Art. 13 Abs. 2 des Übereinkommens). Ebenfalls nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens sind seine Vorwürfe gegenüber den Waadtländer Behörden.
Die Beschwerde ist damit offensichtlich unzulässig und sie enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten (Art. 117 i.V.m. Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG).
5.
Es rechtfertigt sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird insoweit gegenstandslos. Der Beschwerdeführer verlangt zudem die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters, damit dieser für ihn Beschwerde führen könne. Wie ihm bereits mitgeteilt wurde, liegt es an ihm, einen Rechtsanwalt oder eine Rechtsanwältin mit der Interessenwahrung zu betrauen. Es ist nicht ersichtlich, dass der Beschwerdeführer offensichtlich nicht imstande wäre, seine Sache selber zu führen, und ihm von Amtes wegen ein (unentgeltlicher) Anwalt zu bestellen wäre (<ref-law>). Er macht zwar geltend, er leide an einer Depression, die zu einer hundertprozentigen Invalidität geführt habe, und er reicht ärztliche Zeugnisse vom 15. März und 11. Mai 2021 ein, wonach er nicht vor Gericht erscheinen könne. Seine Erkrankung hat ihn jedoch nicht daran gehindert, dem Bundesgericht mehrere schriftliche Eingaben einzureichen, die nachvollziehbar und verständlich formuliert sind. Dass sie Mängel bei der Begründung aufweisen, genügt nicht zur Anwendung von <ref-law> (Urteil 5A_378/2020 vom 12. März 2021 E. 2 mit Hinweis). Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung ist abzuweisen.

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht als gegenstandslos abzuschreiben ist.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg