Erwägungen:
1.
Am 21. Dezember 2018 erhob der Beschwerdeführer Beschwerde an die Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn, wobei er geltend machte, er habe in der Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamts Dorneck rechtzeitig beim Betreibungsamt telefonisch Rechtsvorschlag erhoben. Zudem ersuchte er sinngemäss um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist.
Mit Urteil vom 13. Februar 2019 wies die Aufsichtsbehörde die Beschwerde ab und stellte fest, dass die Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags in der genannten Betreibung unbenutzt abgelaufen sei. Das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist wies die Aufsichtsbehörde ab.
Dagegen hat der Beschwerdeführer am 25. Februar 2019 (Übergabe an die Schweizerische Botschaft in Wien) Beschwerde an das Bundesgericht erhoben. Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, in der Sache aber keine Vernehmlassungen eingeholt.
2.
Gegen das angefochtene Urteil steht die Beschwerde in Zivilsachen zur Verfügung (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c, Art. 75, Art. 90 BGG).
Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die Begründung muss sachbezogen sein und sich auf den Streitgegenstand beziehen und beschränken; die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 116).
3.
Die Aufsichtsbehörde hat erwogen, die Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags sei am 4. Oktober 2018 abgelaufen. Das Betreibungsamt bringe vor, aus Identifikationsgründen würden keine telefonischen Rechtsvorschläge entgegengenommen. Die Aufsichtsbehörde hat dazu festgehalten, ein mündlicher Rechtsvorschlag sei zwar zulässig, doch treffe den Schuldner die Beweislast, falls wie vorliegend durch das Betreibungsamt kein telefonisch erhobener Rechtsvorschlag vermerkt worden sei. Diesen Nachweis könne der Beschwerdeführer nicht erbringen.
Ein sinngemässer schriftlicher Rechtsvorschlag sei einem vom Beschwerdeführer auf den 28. September 2018 datierten Schreiben zu entnehmen. Das Schreiben sei am 8. Oktober 2018 beim Betreibungsamt eingegangen. Das Datum der Übergabe an die Post sei nicht ersichtlich. Da das Schreiben mit A-Post versandt worden sei, könne davon ausgegangen werden, dass es nicht vor Freitag, 5. Oktober 2018, der Post übergeben worden sei. Der Rechtsvorschlag sei somit verspätet.
In Bezug auf das Gesuch um Fristwiederherstellung hat die Aufsichtsbehörde erwogen, es sei davon auszugehen, dass das Hindernis spätestens am 5. Oktober 2018 (Erhebung Rechtsvorschlag) weggefallen sei. Das Fristwiederherstellungsgesuch hätte somit bis am 15. Oktober 2018 erfolgen müssen. Das Gesuch vom 21. Dezember 2018 sei demnach verspätet. Allerdings habe es das Betreibungsamt versäumt, den Rechtsvorschlag mit einer Verfügung abzuweisen und den Beschwerdeführer auf die Möglichkeit eines Fristwiederherstellungsgesuchs hinzuweisen. Die Aufsichtsbehörde ist deshalb auf das Gesuch dennoch eingetreten.
Der Beschwerdeführer mache geltend, es sei ihm infolge Krankheit nicht möglich gewesen, den Rechtsvorschlag fristgerecht zu erheben. Er habe ein Arbeitsunfähigkeitszeugnis vom 8. Oktober 2018 eingereicht (Arbeitsunfähigkeit zu 100 % vom 3. bis 12. Oktober 2018). Die Aufsichtsbehörde hat dazu erwogen, es gebe keine Hinweise darauf, dass der Beschwerdeführer nicht in der Lage gewesen wäre, einen Dritten zu beauftragen, Rechtsvorschlag für ihn zu erheben. Es liege somit kein unverschuldetes Hindernis vor.
4.
Der Beschwerdeführer schildert seine Erkrankung und macht geltend, er habe den Rechtsvorschlag auch nicht durch einen Vertreter erheben lassen können. Seine Tatsachenbehauptungen finden im angefochtenen Urteil keine Stütze und können deshalb nicht berücksichtigt werden (<ref-law>). Der Beschwerdeführer behauptet auch nicht, dass die Aufsichtsbehörde in Bezug auf seine Erkrankung den Sachverhalt offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, festgestellt hätte (<ref-law>). Der Beschwerdeführer kritisiert weiter, dass das Betreibungsamt seinen Rechtsvorschlag nicht mit Verfügung abgewiesen habe. Er übergeht aber, dass er durch diese Unterlassung keinen Nachteil erlitten hat, da die Aufsichtsbehörde sein Wiederherstellungsgesuch dennoch behandelt hat. Nicht Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens sind schliesslich weitere Betreibungshandlungen des Betreibungsamts, die offenbar im Rahmen der Fortsetzung der Betreibung erfolgt sind.
Die Beschwerde ist somit offensichtlich unzureichend begründet. Auf sie ist im vereinfachten Verfahren gemäss <ref-law> durch das präsidierende Mitglied der Abteilung nicht einzutreten.
Der Beschwerdeführer ersucht um Pfändungs-Stopp bis zur Klärung des Falls. Dies ist als sinngemässes Gesuch um vorsorgliche Massnahmen aufzufassen. Mit dem vorliegenden Entscheid in der Sache wird das Gesuch gegenstandslos. Damit braucht auch auf die zu diesem Gesuch eingeholten Stellungnahmen nicht mehr eingegangen zu werden.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen wird als gegenstandslos abgeschrieben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und der Aufsichtsbehörde für Schuldbetreibung und Konkurs des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg