Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1966) ist türkische Staatsangehörige. Im Jahr 1993 reiste sie zu Studienzwecken erstmals in die Schweiz ein. Von Oktober 1994 bis Dezember 2004 absolvierte sie an der Universität Zürich ein Studium in Psychologie, Soziologie und Kriminologie. Nach Abschluss des Studiums kehrte sie in die Türkei zurück.
A.b. Am 24. Juni 2006 reiste A._ erneut zu Studienzwecken in die Schweiz ein. Nachdem sie im September 2008 ein Nachdiplomstudium am Europainstitut der Universität Basel abgeschlossen hatte, begann sie im Jahr 2009 mit einer Doktorarbeit an der Universität Zürich. Nachdem sie Anfang 2012 in den Kanton Basel-Landschaft gezogen und ihr dieser Kantonswechsel vom Amt für Migration und Bürgerrecht des Kantons Basel-Landschaft (nachfolgend: das kantonale Migrationsamt) bewilligt worden war, erhielt sie am 2. Februar 2012 vom kantonalen Migrationsamt eine Aufenthaltsbewilligung zu Studienzwecken zugesprochen. Mit Entscheid vom 17. Oktober 2017 verlängerte das kantonale Migrationsamt diese Bewilligung nicht mehr, weil A._ ihre Ausbildung nicht speditiv und zielgerichtet vorangetrieben habe. Gegen diesen Entscheid gelangte A._ zunächst an den Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft (nachfolgend: der Regierungsrat) und sodann an das Kantonsgericht Basel-Landschaft (nachfolgend: das Kantonsgericht). Nachdem sie die Promotionsprüfung erfolgreich abgelegt und ihre Beschwerde zurückgezogen hatte, schrieb das Kantonsgericht das angehobene Verfahren mit Urteil vom 20. Mai 2019 als gegenstandslos ab.
A.c. Am 30. April 2019 beantragte A._ beim kantonalen Migrationsamt die vorläufige Zulassung für die Dauer von sechs Monaten zur Stellensuche (<ref-law> [SR 142.20]). Diesem Gesuch entsprach das kantonale Migrationsamt am 6. Mai 2019. Infolge fehlender Arbeitsstelle teilte es A._ am 1. November 2019 sodann mit, dass sie die Schweiz bis zum 30. November 2019 verlassen müsse.
B.
Am 15. November 2019 reichte A._ beim kantonalen Migrationsamt ein Gesuch um Erteilung einer Härtefallbewilligung ein. Dieses Gesuch wurde vom kantonalen Migrationsamt mit Verfügung vom 2. Juni 2020 abgewiesen. Die kantonalen Instanzen bestätigten die Verfügung (vgl. Beschluss des Regierungsrats vom 13. Oktober 2020 und Urteil des Kantonsgerichts vom 7. Juli 2021).
C.
Mit Eingabe vom 13. Oktober 2021 erhebt A._ Beschwerde an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des Urteils des Kantonsgerichts vom 7. Juli 2021 und die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, eventualiter die Anordnung der vorläufigen Aufnahme. Prozessual ersucht sie darum, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung beizulegen; zudem sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren.
Das Bundesgericht hat auf Instruktionsmassnahmen verzichtet.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin führt im Wesentlichen aus, die kantonalen Behörden hätten ihr eine Härtefallbewilligung erteilen müssen (<ref-law>). Bei der Erteilung einer solchen Bewilligung geht es um einen kantonalen Ermessensentscheid im Rahmen von <ref-law> (vgl. Urteil 2C_136/2017 vom 20. November 2017 E. 1.4.1, m.w.H.). Da sich ein Anspruch auf Aufenthalt (auch) aus dem Willkürverbot, dem Verhältnismässigkeitsprinzip und dem Gebot der Rechtsgleichheit nicht ableiten lässt, steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den entsprechenden kantonal letztinstanzlichen richterlichen Entscheid in der Sache nicht zur Verfügung (<ref-law>; vgl. <ref-ruling> E. 2). Auch über den Weg der subsidiären Verfassungsbeschwerde können solche Entscheide materiell keiner Überprüfung durch das Bundesgericht zugeführt werden (<ref-ruling> E. 6.1). Zulässig wäre die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zwar insoweit, als die Verletzung verfahrensrechtlicher Vorschriften gerügt würde, die einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommen würde und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen könnte (sog. Star-Praxis; <ref-ruling> E. 2 und 4; Urteil 2C_643/2018 vom 8. Januar 2019 E. 1.1); in dieser Hinsicht enthält die Beschwerde jedoch keine hinreichend substanziierten Rügen. Soweit die Beschwerdeführerin beantragt, ihr sei eine Härtefallbewilligung zu erteilen, ist die Beschwerde deshalb offensichtlich unzulässig (<ref-law>).
1.2. Die Beschwerdeführerin stellt im Sinne eines Eventualbegehrens den Antrag, die vorläufige Aufnahme anzuordnen. Dieser Antrag sprengt den Gegenstand des vorliegenden Verfahrens: Die Anordnung der vorläufigen Aufnahme war nicht Gegenstand des angefochtenen Urteils und fällt auch nicht in die Zuständigkeit der kantonalen Behörden, sondern in diejenige des Staatssekretariats für Migration (<ref-law>) bzw. - im Beschwerdeverfahren - in diejenige des Bundesverwaltungsgerichts (Art. 31 VGG i.V.m. <ref-law>). Im Übrigen können Entscheide des Bundesverwaltungsgerichts über die vorläufige Aufnahme weder mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) noch mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde (<ref-law> e contrario) an das Bundesgericht weitergezogen werden. Auch dieser Antrag der Beschwerdeführerin erweist sich als offensichtlich unzulässig (<ref-law>).
1.3. Auf die Beschwerde ist nach dem Gesagten nicht einzutreten.
2.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wird mit vorliegendem Urteil gegenstandslos. Dem Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege kann aufgrund der Aussichtslosigkeit der Beschwerde nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind damit der Beschwerdeführerin als unterliegender Partei aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wird als gegenstandslos geworden abgeschrieben.
3.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Regierungsrat des Kantons Basel-Landschaft, dem Kantonsgericht Basel-Landschaft, Abteilung Verfassungs- und Verwaltungsrecht, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Oktober 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Brunner