Sachverhalt:
A.
Die B._ AG (fortan: Beschwerdegegnerin) betrieb A._ (fortan: Beschwerdeführer) mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamts Weggis-Greppen-Vitznau vom 6. Oktober 2016 für Fr. 28'154.35 zuzüglich Auslagen von Fr. 10.--. Der Beschwerdeführer erhob Rechtsvorschlag.
B.
Mit Entscheid vom 25. Oktober 2017 erteilte das Bezirksgericht Kriens in dieser Betreibung die provisorische Rechtsöffnung für Fr. 28'154.35. Der begründete Entscheid wurde dem Beschwerdeführer am 7. Februar 2018 zugestellt.
C.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 16. Februar 2018 Beschwerde an das Kantonsgericht Luzern. Er verlangte die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs. Mit Beschwerdeantwort vom 15. März 2018 beantragte die Beschwerdegegnerin die Abweisung der Beschwerde.
Mit Entscheid vom 7. Mai 2018 wies das Kantonsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Gegen diesen Entscheid hat der Beschwerdeführer am 21. Juni 2018 Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht erhoben. Er verlangt dessen Aufhebung und die Abweisung des Rechtsöffnungsgesuchs.
Mit Verfügung vom 10. Juli 2018 hat das Bundesgericht der Beschwerde antragsgemäss die aufschiebende Wirkung zuerkannt, nachdem dagegen nicht opponiert worden war.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde erreicht den Streitwert für eine Beschwerde in Zivilsachen nicht (<ref-law>). Der Beschwerdeführer macht geltend, es stelle sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (<ref-law>). Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist nur zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2 S. 161; <ref-ruling> E. 1.3 S. 503; <ref-ruling> E. 1.1 S. 582 f.; je mit Hinweisen). Soweit es hingegen lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den Einzelfall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 503 mit Hinweisen). In der Beschwerdeschrift muss begründet werden, warum eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vorliegen soll, ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (<ref-law>; BGE <ref-ruling> E. 1.3 S. 503). Der Beschwerdeführer legt nicht dar, worin er eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung sieht. Soweit er sich diesbezüglich auf seine Ausführungen in der Sache beziehen möchte, so ist nicht ersichtlich, inwiefern die genannten Kriterien für das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung erfüllt sein sollen. Vielmehr geht es bloss um die Rechtsanwendung im Einzelfall.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit unzulässig und die Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln. In einer Verfassungsbeschwerde kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>). Verfassungsrügen müssen gemäss dem strengen Rügeprinzip von Art. 117 i.V.m. <ref-law> in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden. Dies bedeutet, dass anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids klar und detailliert darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 399; <ref-ruling> E. 2.4 S. 368).
Die Begründung muss in der Beschwerde an das Bundesgericht selber enthalten sein und es genügt nicht, auf andere Rechtsschriften oder die Akten zu verweisen (<ref-ruling> E. 1.2.3 S. 286; <ref-ruling> E. 3.2 S. 258; <ref-ruling> E. 3.1 S. 400). Der Beschwerdeführer verweist auf seine Stellungnahme an das Bezirksgericht und erklärt diese zum integrierenden Bestandteil seiner Beschwerde an das Bundesgericht. Darauf ist nicht einzugehen.
2.
2.1. Nach den Feststellungen des Kantonsgerichts stützt sich die in Betreibung gesetzte Forderung auf zwei Pfändungsverlustscheine vom 26. Februar 2003 über insgesamt Fr. 28'154.35. Bereits vor Kantonsgericht war nicht umstritten, dass diese Pfändungsverlustscheine als Schuldanerkennungen im Sinne von <ref-law> gelten (<ref-law>).
2.2. Hingegen macht der Beschwerdeführer wie bereits vor Kantonsgericht geltend, er habe sich betreffend die Rechnung vom 13. Dezember 1999 mit der Beschwerdegegnerin mit der Bezahlung von Fr. 12'000.-- per Saldo vollständig geeinigt. Dafür gebe es Zeugen.
Das Kantonsgericht hat dazu erwogen, es sei nach der Aktenlage unbestritten, dass der Beschwerdeführer an die streitige Rechnung vom 13. Dezember 1999 eine Zahlung geleistet habe. Da nach der Darstellung des Beschwerdeführers die Höhe des Rechnungsbetrages streitig gewesen sei und mit der Zahlung die Angelegenheit vollständig hätte erledigt sein sollen, wäre nach der allgemeinen Lebenserfahrung zu erwarten, dass er auf einer Quittierung durch die Beschwerdegegnerin bestanden und sich nicht allein auf allfällige Zeugen verlassen hätte. Der Beschwerdeführer habe mit der kantonalen Beschwerde eine Zeugenbescheinigung von C._ vom 14. Februar 2018 eingereicht. Dieses neue Beweismittel sei aufgrund des Novenverbots unbeachtlich (<ref-law>). Das Kreisgericht habe zu Recht auf den Zeugenbeweis verzichtet und sei auch nicht gehalten gewesen, den Beschwerdeführer aufzufordern, Zeugenbescheinigungen vorzubringen. Der Beschwerdeführer habe seine Behauptungen über die Tilgung per Saldo aller Ansprüche durch die vergleichsweise Zahlung von Fr. 12'000.-- nicht glaubhaft gemacht.
Vor Bundesgericht erachtet es der Beschwerdeführer als willkürlich, dass das Kantonsgericht die Zeugenbescheinigung nicht berücksichtigt hat. Er setzt sich jedoch nicht mit den Erwägungen des Kantonsgerichts zum Novenrecht auseinander und er legt nicht dar, inwiefern dieses willkürlich angewandt worden sein soll. Der Beschwerdeführer mag die Nichtberücksichtigung der Zeugenbescheinigung als unfair und ungerecht empfinden, doch kann er damit keine Verfassungsverletzung - insbesondere Willkür bei der Gesetzesanwendung - dartun.
Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, die Beschwerdegegnerin habe mit ihrer Beschwerdeantwort und der von ihr eingereichten Rechnung Nr. yyy an das Kantonsgericht selber untermauert, dass einerseits die Schlussrechnung rund viermal höher ausgefallen sei als der Kostenvoranschlag und dass er andererseits unbestrittenermassen bereits Fr. 6'640.-- geleistet habe. Der Beschwerdeführer stützt sich damit auf Behauptungen über den Inhalt der Beschwerdeantwort, die im angefochtenen Urteil keine Stütze finden und mangels genügender Willkürrüge nicht berücksichtigt werden können. Die genannte Rechnung Nr. yyy, die von der Beschwerdegegnerin mit der Beschwerdeantwort eingereicht wurde, ist vom Kantonsgericht aufgrund des Novenverbots nicht berücksichtigt worden. Im Übrigen verkennt der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen zur Höhe der Rechnung, dass im Rechtsöffnungsverfahren die materielle Begründetheit der Forderung nicht zu untersuchen ist. Der materielle Bestand der Forderung ist in einem allfälligen Aberkennungsprozess zu prüfen. Was der Beschwerdeführer sodann mit dem Einwand der Zahlung von Fr. 6'640.-- erreichen will, ist unklar. Das Kantonsgericht hat festgestellt, dass der Beschwerdeführer eine Zahlung geleistet hat. Wie sich der Betrag von Fr. 6'640.-- zur ebenfalls behaupteten Zahlung von Fr. 12'000.-- verhält, wird vom Beschwerdeführer nicht erklärt. Er macht insbesondere nicht geltend, die Beschwerdegegnerin habe in der Beschwerdeantwort anerkannt, nicht mehr die in Betreibung gesetzte Summe von Fr. 28'154.35 zugute zu haben, sondern einen um Fr. 6'640.-- reduzierten Betrag.
2.3. Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin ausserdem vor, mehr als dreizehn Jahre zugewartet zu haben, um eine neue Betreibung gegen ihn anzuheben. Das lange Zuwarten zeige, dass die Beschwerdegegnerin genau wisse, dass er mit der Zahlung von Fr. 12'000.-- die Rechnung vom 13. Dezember 1999 im Sinne eines Vergleichs vollständig getilgt habe.
Das Kantonsgericht hat in diesem Zusammenhang erwogen, die durch den Verlustschein verurkundeten Forderungen verjährten erst zwanzig Jahre nach Ausstellung des Verlustscheins (<ref-law>).
Vor Bundesgericht geht der Beschwerdeführer nicht auf die genannte Verjährungsbestimmung ein. Soweit er der Beschwerdegegnerin sinngemäss Rechtsmissbrauch durch ihr Zuwarten mit der Betreibung vorwerfen will, so legt er keine Umstände dar, die er den Vorinstanzen vorgetragen hätte und die von diesen in diesem Sinne hätten bewertet werden müssen. Dass die Beschwerdegegnerin um die Tilgung der Forderung wisse, bleibt eine reine Behauptung.
2.4. Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind somit nicht geeignet um aufzeigen, inwiefern das Kantonsgericht verfassungsmässige Rechte verletzt haben soll. Die Beschwerde genügt den Rügeanforderungen nicht. Auf sie ist folglich nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Mai 2019
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Zingg