Sachverhalt:
A.
A._ (Kläger, Beschwerdeführer) war seit dem 1. Oktober 2006 als CEO bei der C._ AG tätig und bei der Versicherung B._ (Beklagte, Beschwerdegegnerin) kollektiv für Krankentaggelder versichert.
Der Kläger war ab dem 29. Februar 2016 wegen einer Colitis mit starker Diarrhoe wechselnd ganz oder teilweise arbeitsunfähig, was seine Arbeitgeberin der Beklagten mit Krankheitsmeldung vom 26. April 2016 mitteilte. Die Beklagte richtete in der Folge Taggelder für die attestierte Arbeitsunfähigkeit aus; wegen der verspäteten Meldung aber erst ab dem 26. April 2016. Mit Schreiben vom 24. Februar 2017 teilte sie dem Kläger mit, eine Wiederaufnahme der Arbeitstätigkeit sei per 1. März 2017 zumutbar und die Taggeldleistungen würden per 28. Februar 2017 eingestellt.
B.
Mit Eingabe vom 21. März 2018 erhob der Kläger Klage am Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich. Er beantragte, es sei die Beklagte zu verpflichten, ihm VVG-Leistungen für den Zeitraum vom 30. März 2016 bis 28. Februar 2018 im Umfang von Fr. 181'594.90 nebst Zins auszurichten. Der Gesamtbetrag setze sich aus Taggeldern für die Zeit vom 30. März bis 25. April 2016 von Fr. 5'595.55 und für die Zeit vom 1. März 2017 bis 28. Februar 2018 von Fr. 175'999.35 zusammen.
Mit Urteil vom 25. März 2020 hiess das Sozialversicherungsgericht die Klage teilweise gut. Das Sozialversicherungsgericht kam zum Schluss, die Beklagte hätte bereits ab dem 30. März 2016 und nicht erst ab dem 26. April 2016 Taggeldleistungen erbringen müssen. Die Beklagte schulde daher dem Kläger vom 30. März bis zum 25. April 2016 Taggelder in der Höhe von Fr. 5'595.55. Hingegen gelinge dem Kläger der Beweis einer über den 1. März 2017 hinausgehenden Arbeitsunfähigkeit nicht, weder aufgrund der Colitis, noch aus anderen gesundheitlichen Gründen. Die Beklagte sei demnach in teilweiser Gutheissung der Klage zu verpflichten, dem Kläger den Betrag von Fr. 5'595.55 zuzüglich Zins von 5 % seit dem 24. Februar 2017 zu bezahlen. Im Übrigen sei die Klage abzuweisen.
C.
Gegen das Urteil des Sozialversicherungsgerichts erhob der Beschwerdeführer Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht. Er beantragte, es sei das Urteil des Sozialversicherungsgerichts aufzuheben und es sei die Beschwerdegegnerin zu verpflichten, dem Beschwerdeführer Krankentaggeldleistungen für den Zeitraum vom 1. März 2017 bis am 28. Februar 2018 im Umfang von Fr. 175'999.35 nebst Zins zu 5 % seit 24. Februar 2017 auszurichten. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Beschwerdegegnerin beantragte die Abweisung der Beschwerde. Die Vorinstanz verzichtete auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beantragt vor Bundesgericht die vollständige Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids, obschon die Vorinstanz seine Klage bezüglich der Krankentaggelder für den Zeitraum vom 30. März bis zum 25. April 2016 im Umfang von Fr. 5'595.55 zuzüglich Zins guthiess. Der Beschwerdeführer obsiegte somit teilweise im vorinstanzlichen Verfahren. Es ist weder dargetan noch ersichtlich, inwiefern er diesbezüglich durch den vorinstanzlichen Entscheid beschwert sein und ein Rechtsschutzinteresse an dessen Anfechtung haben soll (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Insoweit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
1.2. Bezüglich der Krankentaggeldleistungen ab dem 1. März 2017 sind die Sachurteilsvoraussetzungen demgegenüber erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Unter Vorbehalt einer rechtsgenüglichen Begründung (vgl. Erwägung 2) ist daher insoweit auf die Beschwerde einzutreten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten (<ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (<ref-ruling> E. 2 S. 117; <ref-ruling> E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG).
Für eine Kritik am festgestellten Sachverhalt gilt das strenge Rügeprinzip von Art. 106 Abs. 2 BGG (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266 mit Hinweisen). Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1 S. 18).
2.3. Der Beschwerdeführer beantragt "aus prozessualer Sorgfalt" vor Bundesgericht die Abnahme von drei Zeugenbefragungen, eine Parteibefragung und das Einholen eines gerichtlichen Gutachtens.
Diesen prozessualen Anträgen kann nicht entsprochen werden. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, Beweise abzunehmen und Tatsachen festzustellen, über die sich das kantonale Gericht nicht ausgesprochen hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 6.1 S. 214 f.). Sollten sich Sachverhaltsfeststellungen als offensichtlich unrichtig oder unvollständig erweisen (Erwägung 2.2), ist die Angelegenheit vielmehr zur Ergänzung und Verbesserung des Sachverhalts an die Vorinstanz zurückzuweisen.
3.
Die Vorinstanz kam in einer ausführlichen Beweiswürdigung zum Beweisergebnis, dass dem Beschwerdeführer der Beweis für die von ihm behauptete Arbeitsunfähigkeit ab März 2017 nicht gelungen sei. Dagegen wendet sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht.
3.1. Das Bundesgericht greift in die Beweiswürdigung des Sachgerichts nur ein, wenn diese willkürlich ist. Willkür liegt nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft; dabei ist erforderlich, dass der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f.).
Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (<ref-ruling> E. 6.2.3; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 3.6.2; <ref-ruling> E. 2.3 S. 266; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 1.3 S. 262). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem eine freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. <ref-ruling> E. 2b).
Kommt das Gericht aufgrund der bereits abgenommenen Beweise ohne Willkür zum Schluss, seine dadurch gewonnene Überzeugung von der Wahrheit oder Unwahrheit einer Tatsache könne durch die Abnahme weiterer Beweise nicht erschüttert werden, kann es von weiteren Beweiserhebungen absehen (sog. antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 5.2.2 S. 80; <ref-ruling> E. 9.3.2). In diesem Vorgehen liegt weder eine Verletzung des Rechts auf Beweis noch des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 80; <ref-ruling> E. 6.3.1). Eine derartige antizipierte Beweiswürdigung kann vor Bundesgericht nur in Frage gestellt werden, wenn gemäss dem strengen Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG) hinreichend dargetan wird, dass die Vorinstanz dadurch in Willkür verfallen ist (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 80; <ref-ruling> E. 4.3.2).
3.2.
3.2.1. Der Beschwerdeführer beanstandet, es sei unhaltbar und willkürlich und verletze seinen Anspruch auf rechtliches Gehör wie auch das Recht auf Beweis, wenn die Vorinstanz bei der vorliegenden Ausgangslage ohne Abnahme von weiteren Beweisen einfach annehme, eine Arbeitsfähigkeit habe nur bis zum 28. Februar 2017 bestanden und jegliche mögliche Arbeitsunfähigkeit könne mit keinem der vom Beschwerdeführer offerierten Beweismittel bewiesen werden. Insbesondere hätte eine Befragung der damals behandelnden Ärzte Aufschluss darüber gegeben, wie ihre Arbeitsunfähigkeitsbestätigungen zu verstehen gewesen seien und ob es aus ihrer Sicht möglich gewesen wäre, dass der Beschwerdeführer nach dem 28. Februar 2017 vollständig genesen sei, obschon die Ärzte eine volle Arbeitsunfähigkeit bescheinigt hätten und sich der Beschwerdeführer vom 23. Januar bis 17. Februar 2018 in eine stationäre Rehabilitation habe begeben müssen.
3.2.2. Der Beschwerdeführer stellte vor der Vorinstanz den Antrag, die ihn behandelnden Ärzte zu befragen. Die Vorinstanz verzichtete in antizipierter Beweiswürdigung auf diese Befragungen. Eine derartige antizipierte Beweiswürdigung kann vor Bundesgericht nur in Frage gestellt werden, wenn in genügender Art und Weise dargetan wird, dass die Vorinstanz dadurch in Willkür verfallen ist (Erwägung 3.1).
Die Vorinstanz begründet in Erwägung 6.3 S. 25 des angefochtenen Entscheids, aus welchen Gründen sie auf die Befragungen verzichtete. Sie erwog, dass darauf verzichtet werden könne, weil von diesen Ärzten keine massgeblichen neuen Erkenntnisse zu erwarten seien, zumal sich die betreffenden Ärzte bereits in den erstatteten Arztberichten hinlänglich geäussert hätten. Dagegen behauptet der Beschwerdeführer bloss, dass die ihn behandelnden Ärzte Aufschluss darüber hätten geben können, wie ihre Arztberichte zu verstehen seien und eine erneute Beurteilung der medizinischen Situation hätten abgeben können. Welche massgeblichen neuen Erkenntnisse die Befragungen der Ärzte aber hätten bringen können, die über die Berichte hinausgehen würden, zeigt der Beschwerdeführer nicht auf, zumindest nicht hinreichend. Es ist unter diesen Umständen nicht offensichtlich unrichtig, wenn die Vorinstanz einzig auf die erstatteten Arztberichte abstellte und darauf verzichtete die Ärzte zu ihren bereits abgegebenen Berichten zu befragen.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Vorinstanz auf die Erstellung des von ihm beantragten psychiatrischen Gerichtsgutachtens verzichtet habe. Es lägen vorliegend diverse echtzeitliche, ärztliche Atteste sowie begründete ausführliche Berichte vor, welche die Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers über den 28. Februar 2017 hinaus bescheinigten und erklärten. Mit den zahlreichen, ins Recht gelegten ärztlichen Attesten sei seine Arbeitsunfähigkeit bis am 28. Februar 2018 mit überwiegender Wahrscheinlichkeit nachgewiesen.
3.3.2. Der Beschwerdeführer behauptet damit einzig, dass die echtzeitlichen ärztlichen Atteste und Berichte entgegen der Auffassung der Vorinstanz die von ihm behauptete Arbeitsunfähigkeit beweisen würden. Damit würdigt er bloss diese ärztlichen Äusserungen anders als die Vorinstanz, was noch keine Willkür belegt (Erwägung 3.1). Insbesondere legt der Beschwerdeführer damit auch nicht hinreichend dar, inwiefern der Verzicht der Vorinstanz auf die Anordnung eines psychiatrischen Gerichtsgutachtens (angefochtener Entscheid, Erwägung 6.3 S. 25) offensichtlich unhaltbar wäre. Auch diese Rügen gehen damit fehl.
3.4.
3.4.1. Der Beschwerdeführer führt aus, dass die echtzeitlichen Berichte eine 100%-ige Arbeitsunfähigkeit des Beschwerdeführers zwischen März 2017 und Februar 2018 attestieren würden. Die Vorinstanz stütze sich aber nicht auf diese Befunde, sondern stelle im Wesentlichen auf das Gutachten der D._ ab, das im Rahmen des IV-Verfahrens in Auftrag gegeben worden sei. Das Gutachten sei am 24. September 2018 erstellt worden, mithin Monate nach dem Ende der zur Debatte stehenden Arbeitsunfähigkeit. Es sei sodann nicht nachvollziehbar und werde weder von der Beschwerdegegnerin noch von der Vorinstanz erläutert, wie eine Arbeitsfähigkeit während einer stationären Rehabilitation vorliegen könne. Die Vorinstanz habe damit das Recht auf Beweis, das rechtliche Gehör sowie das Willkürverbot verletzt.
3.4.2. Die Vorinstanz setzte sich ausführlich mit den einzelnen Äusserungen der verschiedenen Ärzte auseinander. Sie kam zum Schluss, dass dem Beschwerdeführer der Beweis für die von ihm behauptete Arbeitsunfähigkeit ab März 2017 nicht gelungen sei (angefochtener Entscheid, Erwägungen 5 und 6 S. 13 - 26). Indem der Beschwerdeführer dagegen bloss die einzelnen ärztlichen Atteste und Berichte anders als die Vorinstanz würdigt und in seiner eigener Würdigung zum Schluss kommt, dass er die Arbeitsunfähigkeit nachgewiesen habe, belegt er keine Willkür (Erwägung 3.1). Das gilt insbesondere auch, wenn er sich auf das ärztliche Zeugnis seiner stationären Rehabilitation stützt, und pauschal behauptet, dass sein Anspruch damit ausgewiesen sei. Soweit der Beschwerdeführer diesbezüglich vorbringt, es werde von der Vorinstanz "nicht nachvollziehbar" erläutert, wie eine Arbeitsfähigkeit während einer stationären Rehabilitation vorliegen solle, rügt er diesbezüglich nicht, zumindest nicht hinreichend (Erwägung 2.1), dass die Vorinstanz ihre Begründungspflicht verletzt hätte (Art. 29 Abs. 2 BV), sodass dies nicht beurteilt zu werden braucht.
3.4.3. Wie der Beschwerdeführer sodann zwar richtig erkennt, datiert das interdisziplinäre IV-Gutachten der D._ vom 24. September 2018. Das Gutachten setzt sich aber nach den unbestrittenen Feststellungen der Vorinstanz in Kenntnis des vollständigen medizinischen Dossiers ebenfalls mit den vorangegangenen (echtzeitigen) Berichten der behandelnden Ärzte auseinander, ergänzt durch eigene Befunde. Inwiefern es unter diesen Umständen offensichtlich unrichtig wäre, sich auf dieses Gutachten abzustützen, legt der Beschwerdeführer nicht hinreichend dar (Erwägung 2.1).
Entgegen dem was der Beschwerdeführer insinuiert, ist es im Weiteren auch nicht so, dass die Vorinstanz sich einzig auf das D._-Gutachten abstützte und die weiteren Arztberichte nicht berücksichtigte. Vielmehr ging die Vorinstanz im Detail auf die Berichte der behandelnden Ärzte Dr. E._, Dr. F._ und Prof. G._ sowie des Psychotherapeuten Dr. H._ ein und legte dar, warum gestützt darauf der Beweis der Arbeitsunfähigkeit nicht gelingt. Inwiefern das willkürlich wäre, legt der Beschwerdeführer nicht hinreichend dar (Erwägung 2.1).
3.5. Die Beschwerde ist nach dem Ausgeführten abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin, die nicht durch einen extern mandatierten Anwalt, sondern durch ihren eigenen Rechtsdienst vertreten ist, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; <ref-ruling> E. 4).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, V. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Oktober 2020
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger