Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer erstattete am 12. August 2020 Strafanzeige gegen Mitarbeiter zweier Arztpraxen wegen Betrugs und weiterer Delikte. Die Staatsanwaltschaft nahm das Verfahren mit Verfügung vom 12. Oktober 2020 nicht an die Hand. Das Kantonsgericht Luzern trat am 26. Januar 2021 auf die Beschwerde des Beschwerdeführers gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 12. Oktober 2020 nicht ein, weil diese den Begründungsanforderungen von <ref-law> nicht genügte. Von der Ansetzung einer Nachfrist zur Verbesserung der Beschwerde sah es ab. Das sinngemässe Fristwiederherstellungsgesuch des Beschwerdeführers wies es ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer gelangt gegen die Verfügung vom 26. Januar 2021 mit Beschwerde an das Bundesgericht. Er beantragt, die Strafsache sei zur materiellen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen und ihm sei unter Ansetzung einer kurzen Nachfrist die Möglichkeit zu geben, eine rechtsgenügende Rechtsmittelschrift gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 12. Oktober 2020 einzureichen.
2.
Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>, seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss Art. 107 Abs. 1 und 2 StPO sowie des Grundsatzes von Treu und Glauben (<ref-law>). Er wirft der Vorinstanz vor, sie habe ihm zu Unrecht keine Nachfrist zur Verbesserung seiner ungenügenden Rechtsmitteleingabe angesetzt und sein Fristerstreckungsgesuch unstatthaft in ein Fristwiederherstellungsgesuch umgedeutet. <ref-law> sei nicht als "Kann-Bestimmung" formuliert. Der Instruktionsrichter werde von Gesetzes wegen klar gezwungen, zumindest einmal eine kurze Nachfrist anzusetzen. Es gehe dabei nicht um eine Ermessensfrage. Ein solches gesetzesgetreues Vorgehen ergebe sich auch aus dem Anspruch der Parteien auf rechtliches Gehör. Die Behauptung der Vorinstanz, eine Nachfrist sei nur mit Zurückhaltung zu bewilligen, sei absurd. Das Bundesgericht habe dies in den von der Vorinstanz zitierten Entscheiden mit Sicherheit nicht entschieden (Beschwerde S. 8 f.).
3.
Der Beschwerdeführer hat sich gemäss dem angefochtenen Entscheid als Privatkläger konstituiert. Er rügt vor Bundesgericht eine formelle Rechtsverweigerung. Dazu ist er in Anwendung der sog. "Star-Praxis" unabhängig von allfälligen Zivilforderungen legitimiert (vgl. Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 1.1 mit Hinweisen).
4.
Der Beschwerdeführer ersuchte bei der Vorinstanz am 2. November 2020, d.h. am letzten Tag der 10-tägigen Beschwerdefrist, um Erstreckung der Beschwerdefrist gestützt auf <ref-law> um mindestens 14 Tage, besser 20 Tage und - falls das Sars-Cov-2-Virus bei ihm noch zuschlage oder die Behörde nötige, weitere Einschränkungen für die Bevölkerung und das Geschäftsleben zu veranlassen - eventuell auch noch etwas länger. Zur Begründung führte er im Wesentlichen gesundheitliche Probleme, das für die Verfassung der Beschwerde notwendige, umfassende und zeitaufwändige Aktenstudium, die generell zu kurze Beschwerdefrist von 10 Tagen, Informatikprobleme (fehlende Tonerkasette für seinen Drucker) und die Pandemie-Situation an (angefochtener Entscheid E. 2.3 S. 4 f.).
5.
Die Vorinstanz weist im angefochtenen Entscheid zu Recht darauf hin, dass <ref-law> nur auf behördliche Fristen, nicht jedoch auf gesetzliche Fristen wie die Beschwerdefrist gemäss Art. 396 Abs. 1 und Art. 322 Abs. 2 i.V.m. <ref-law> anwendbar ist, welche weder unterbrochen noch erstreckt werden können (<ref-law>). Die Vorinstanz prüfte daher zutreffend, ob dem Beschwerdeführer gestützt auf <ref-law> eine Nachfrist zur Verbesserung der Beschwerde einzuräumen ist. Dies verneint sie mit der Begründung, eine spätere Ergänzung der Beschwerde dürfe nur mit Zurückhaltung bewilligt werden. Sie erwägt zudem, die Beschwerde richte sich gegen eine kurze Nichtanhandnahmeverfügung. Eine rechtsgenüglich begründete Beschwerde innert der gesetzlichen Beschwerdefrist abzufassen, erscheine zumutbar. So sei es dem Beschwerdeführer auch möglich gewesen, ein ausführliches Fristerstreckungsgesuch zu formulieren und einzureichen (angefochtener Entscheid E. 3.2 S. 7).
6.
Die Beschwerde ist zu begründen (<ref-law>). In der Begründung ist u.a. der Anfechtungsgrund anzugeben, d.h. die tatsächlichen und/oder rechtlichen Gründe, die einen anderen Entscheid nahelegen (<ref-law>; Urteile 6B_182/2020 vom 6. Januar 2021 E. 2.5; 6B_1162/2016 vom 27. April 2017 E. 2.3 mit Hinweisen). Gemäss <ref-law> weist die Rechtsmittelinstanz eine Eingabe zur Verbesserung innerhalb einer kurzen Nachfrist an den Einreicher zurück, wenn sie die Anforderungen von <ref-law> nicht erfüllt. <ref-law> konkretisiert das für staatliche Stellen geltende Verbot des überspitzten Formalismus, wonach sich die Behörde nicht auf das strikte Einhalten von Formvorschriften berufen darf, wenn dies durch keine schützenswerten Interessen gedeckt ist. Demgegenüber ist <ref-law> nicht anwendbar für Eingaben, die der Einreicher, dem die Anforderungen bekannt sind, bewusst mangelhaft abfasst. Ansonsten wäre es ihm möglich, die Bestimmung von <ref-law> zu umgehen, wonach gesetzliche Fristen, zu denen die Rechtsmittelfristen gehören, nicht erstreckt werden können. Demnach kann nicht jeder Begründungsmangel, der nicht mehr innert der gesetzlichen Rechtsmittelfrist behebbar ist, zu einer Nachfrist nach <ref-law> führen (zum Ganzen: Urteil 6B_182/2020 vom 6. Januar 2021 E. 2.5 mit zahlreichen Hinweisen). Darauf nimmt die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid Bezug.
7.
Die Kritik des Beschwerdeführers am angefochtenen Entscheid ist unbegründet. Die vorinstanzliche Würdigung steht im Einklang mit der zu <ref-law> ergangenen bundesgerichtlichen Rechtsprechung. Danach verschafft <ref-law> - entgegen dem Wortlaut der Bestimmung - keinen Anspruch auf eine Nachfrist, da dies zu einer Umgehung von <ref-law> führen würde, wonach gesetzliche Fristen nicht erstreckt werden können. Eine Nachfristansetzung h at jedoch bei Versehen oder einem unverschuldeten Hindernis sowie dann zu erfolgen, wenn ein Nichteintreten auf die Beschwerde mangels Begründung einem überspitzten Formalismus gleichkommen würde (Urteile 6B_182/2020 vom 6. Januar 2021 E. 2.5 f.; 6B_1273/2019 vom 11. März 2020 E. 2.4.4; 1B_113/2017 vom 19. Juni 2017 E. 2.4.3; vgl. dazu auch WOLFGANG WOHLERS, Bemerkungen zum Urteil des Bundesgerichts 1B_113/2017 vom 19. Juni 2017, in: forumpoenale 3/2018 S. 177 ff.). Dies ist vorliegend nicht der Fall. Der Beschwerdeführer reichte bewusst eine Beschwerde ohne Begründung ein, da er auf eine Fristerstreckung hoffte. Auch ist nicht ersichtlich, weshalb ihm das Erstellen einer den Anforderungen des <ref-law> Rechnung tragenden Beschwerdebegründung innert der zur Verfügung stehenden 10-tägigen Beschwerdefrist objektiv nicht hätte möglich sein sollen, zumal die Nichtanhandnahmeverfügung lediglich zwei Seiten umfasste, der Beschwerdeführer zuvor mit umfangreichen Eingaben zur angeblichen Strafbarkeit der angezeigten Personen an die Staatsanwaltschaft gelangte und er auch sein Fristerstreckungsgesuch ausführlich begründen konnte. Dass <ref-law> nur "mit Zurückhaltung" zur Anwendung kommt, ergibt sich zwar nicht explizit aus den von der Vorinstanz zitierten Entscheiden. Dies entspricht jedoch dem Sinn der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, wonach die Gelegenheit zur nachträglichen Beschwerdebegründung nicht generell, sondern nur bei Vorliegen besonderer Umstände wie einem Versehen einzuräumen ist. Bei Laienbeschwerden stellt die Rechtsprechung weniger strenge Anforderungen an die Einräumung einer Nachfrist (vgl. Urteile 6B_182/2020 vom 6. Januar 2021 E. 2.5; 6B_721/2018 vom 19. November 2018 E. 2.1; siehe auch <ref-ruling> E. 1.3.4). Ein Verstoss gegen das Verbot des überspitzten Formalismus ist vorliegend dennoch nicht auszumachen. Die Eingaben des Beschwerdeführers bei der Staatsanwaltschaft wie auch die vorliegende Bundesgerichtsbeschwerde zeigen, dass sich der Beschwerdeführer in zahlreichen Vorwürfen vornehmlich finanzieller Natur gegenüber Mitarbeitern des Gesundheitswesens (insb. Ärzten und Mitarbeitern der Krankenkasse) verliert. Dies mag eine Begründung der Beschwerde gegen die Nichtanhandnahmeverfügung vom 12. Oktober 2020 erschwert haben, rechtfertigt jedoch keine Nachfrist. Von einem komplexen Verfahren kann keine Rede sein.
8.
Der Beschwerdeführer macht weiter geltend, sein Fristerstreckungsgesuch vom 2. November 2020 sei zu Unrecht als Fristwiederherstellungsgesuch behandelt worden. Zutreffend ist, dass ein Fristwiederherstellungsgesuch nach Wegfall des Säumnisgrundes zu stellen ist und damit gleichzeitig auch die versäumte Verfahrenshandlung (in casu die Beschwerdeerhebung inkl. Begründung) nachzuholen ist (vgl. Art. 94 Abs. 1 und 2 StPO). Wie es sich damit verhält, kann letztlich jedoch offenbleiben. Nicht ersichtlich ist auf jeden Fall, dass und weshalb dem Beschwerdeführer daraus, dass die Vorinstanz sein unzulässiges Fristerstreckungsgesuch subsidiär als Fristwiederherstellungsgesuch im Sinne von <ref-law> entgegennahm, ein Rechtsnachteil hätte erwachsen können. Dies legt der Beschwerdeführer auch nicht dar.
Soweit der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nunmehr um Fristwiederherstellung ersucht (vgl. Beschwerde S. 23), verkennt er, dass über Fristwiederherstellungsgesuche nicht das Bundesgericht, sondern die Behörde, bei welcher die versäumte Verfahrenshandlung hätte vorgenommen werden sollen, zu befinden hat (vgl. <ref-law>).
9.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>). Sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen, weil die Beschwerde von vornherein aussichtslos war. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist mit herabgesetzten Gerichtskosten Rechnung zu tragen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Juli 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld