Sachverhalt:
A.
A._ ist eine von elf Vermächtnisnehmerinnen im Nachlass von C._. Der Erblasser starb im Jahr 1994. Als einzigen Erben hatte er D._ eingesetzt. Gemäss der letztwilligen Verfügung soll A._ ein Zwanzigstel des Nettonachlasses zukommen. Als Willensvollstrecker amtete Advokat und Notar B._.
B.
Am 30. Dezember 1997 unterbreitete B._ dem einzigen Erben und sämtlichen Vermächtnisnehmern seine Nachlassabrechnung. Demnach beträgt der Nettonachlass knapp Fr. 54 Mio. und das Vermächtnis von A._ Fr. 2'691'391.40. Als Testamentsvollstreckerhonorar für B._ einschliesslich des Honorars der Bank E._ sowie Mehrwertsteuer ist auf der Abrechnung der Betrag von Fr. 600'000.-- angegeben. D._ genehmigte diese Abrechnung am 7. Januar 1998.
C.
Mit Schreiben vom 4. September 2006 bat A._ B._ um Substanziierung des Willensvollstreckerhonorars. In einem Schreiben vom 9. Mai 2007 erklärten B._ und sein Bürokollege, dass sie das Honorar entsprechend dem prozentualen Tarif gemäss Basler Notariatsgebührentarif berechnet hätten.
D.
D.a. Am 10. November 2009 verklagte A._ den Willensvollstrecker vor dem Zivilgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie verlangte, B._ zu verurteilen, über seine Tätigkeit als Willensvollstrecker Rechenschaft abzulegen, insbesondere seinen Zeitaufwand detailliert auszuweisen. Weiter stellte sie das Begehren, das Willensvollstreckerhonorar nach Massgabe der einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen gerichtlich festzulegen. Schliesslich stellte sie den Antrag, B._ zu verurteilen, ihr mindestens den Betrag von Fr. 35'800.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 1. Dezember 2009 zu bezahlen, unter Vorbehalt einer Teilklage bzw. Mehrforderung. Das Zivilgericht wies die Klage mit Entscheid vom 6. November 2013 ab, soweit es darauf eintrat.
D.b. Die Klägerin erhob Berufung beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt. Sie hielt nur mehr an ihrem auf Geldzahlung gerichteten Begehren (s. Bst. D.a) fest. Das Appellationsgericht wies die Berufung ab und bestätigte den erstinstanzlichen Entscheid (Entscheid vom 24. Juni 2015).
D.c. A._ legte Beschwerde beim Bundesgericht ein. Dieses hob den Entscheid des Appellationsgerichts vom 24. Juni 2015 auf und wies die Sache zur weiteren Behandlung an die Vorinstanz zurück (Urteil 5A_705/2015 vom 21. Juni 2016).
D.d. Das Appellationsgericht nahm das Verfahren wieder auf und die Parteien äusserten sich zur Frage, ob die "Wiedereinführung" der Verantwortlichkeitsklage vor zweiter Instanz prozessual zulässig war. Am 10. April 2017 fällte das Appellationsgericht seinen neuen Entscheid. Abermals wies es die Berufung gegen den Entscheid des Zivilgerichts vom 6. November 2013 (Bst. D.a) ab.
E.
E.a. Mit Beschwerde vom 11. Mai 2017 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) erneut an das Bundesgericht. Sie beantragt, den Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
E.b. Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde zu äussern, beantragt B._ (Beschwerdegegner), diese in Bestätigung des Entscheids des Appellationsgerichts "vollumfänglich abzuweisen" (Eingabe vom 25. September 2017). Auch das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde (Schreiben vom 17. Juli 2017). Die Vernehmlassungen wurden der Beschwerdeführerin zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zur Kenntnis gebracht.
E.c. Das Bundesgericht hat die Sache am 22. Februar 2018 öffentlich beraten.

Erwägungen:
1.
Das Appellationsgericht hat am 10. April 2017 gleich entschieden wie in seinem ersten Urteil vom 24. Juni 2015 (s. Sachverhalt Bst. D.b und D.d). Die Beschwerde gegen das zweite Urteil wurde rechtzeitig eingereicht (Art. 100 Abs. 1 BGG) und ist ohne Weiteres zulässig (vgl. Urteil 5A_705/2015 vom 21. Juni 2016 E. 1).
2.
Auch im neuerlichen Verfahren vor Bundesgericht begnügt sich die Beschwerdeführerin mit einem kassatorischen Rechtsbegehren (s. Sachverhalt Bst. E). Sie begründet ihr prozessuales Vorgehen damit, dass das Bundesgericht im Falle einer Gutheissung der Beschwerde naturgemäss nicht selbst entscheiden könnte. Dieser Einschätzung ist im Ergebnis beizupflichten:
2.1. Entgegen dem, was die Beschwerdeführerin anzunehmen scheint, deutet der angefochtene Entscheid nicht darauf hin, dass die Vorinstanz von der prozessualen Zulässigkeit der Verantwortlichkeitsklage ausgeht. Wie schon in seinem Entscheid vom 24. Juni 2015 (Sachverhalt Bst. D.b) lässt das Appellationsgericht vielmehr ausdrücklich offen, ob die Beschwerdeführerin das Tatsachenfundament ihrer Klage bereits in erster Instanz erstellt bzw. den eingeklagten Anspruch rechtzeitig substanziiert hat. Von der Sache her deckt sich die Frage der rechtzeitigen Erstellung des Lebenssachverhalts bzw. der rechtzeitigen Substanziierung mit der im ersten Berufungsentscheid aufgeworfenen Thematik, ob die Verantwortlichkeitsklage "nun prozessual zulässigerweise im Berufungsverfahren wiederum... eingeführt werden kann" (s. Urteil 5A_705/2015 vom 21. Juni 2016 E. 7.1). Im jetzt angefochtenen Berufungsentscheid lässt das Appellationsgericht die Frage neu mit der Begründung offen, dass der Klage in der vorliegenden Konstellation "aus rechtlichen Gründen kein Erfolg beschieden" sei. Zusammengefasst hält es die Klage für unbegründet, weil die Beschwerdeführerin als Vermächtnisnehmerin gar keinen Anspruch darauf habe, die durch den Alleinerben genehmigte Honorarrechnung des Beschwerdegegners gerichtlich auf ihre Vereinbarkeit mit Art. 517 Abs. 3 ZGB überprüfen zu lassen (s. E. 3).
2.2. Sollte das Bundesgericht die Rechtslage in dieser Hinsicht anders beurteilen, müsste es die Streitsache wiederum an die Vorinstanz zurückweisen, damit sich das Appellationsgericht mit der prozessualen Zulässigkeit der Klage der Beschwerdeführerin und - gegebenenfalls - mit der Frage der hinreichenden Substanziierung des geltend gemachten Anspruchs befasst. Was die Beschwerdeführerin im kantonalen Verfahren zur Substanziierung des eingeklagten Anspruchs im Einzelnen vortrug und zu welchem Zeitpunkt sie dies tat, sind zwei voneinander zu unterscheidende Fragen des Prozesssachverhalts (s. dazu <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.; Urteil 5A_658/2014 vom 6. Mai 2015 E. 6.3.1 mit Hinweis). Diesbezüglich schreitet das Bundesgericht nicht zu eigenen Feststellungen, noch nimmt es anstelle der kantonalen Instanzen eine Würdigung des Sachverhalts vor. Im konkreten Fall erschöpfen sich die vorinstanzlichen Feststellungen in einer Zusammenfassung dessen, was die Beschwerdeführerin zur Begründung ihrer Klage auf S. 11 ff. der Berufung "im Wesentlichen" vorgebracht habe. Allein gestützt auf diese summarischen Ausführungen könnte das Bundesgericht - mit Blick auf die Begründetheit des Klagebegehrens - nicht selbst beurteilen, ob die Beschwerdeführerin das Tatsachenfundament des eingeklagten Anspruchs im kantonalen Verfahren rechtzeitig erstellt hat. Insbesondere gibt der angefochtene Entscheid auch keine Auskunft darüber, was die Beschwerdeführerin im erstinstanzlichen Verfahren vorgebracht oder vorzutragen unterlassen hat. Ebenso wenig könnte das Bundesgericht - die Rechtzeitigkeit der Substanziierung vorausgesetzt - überprüfen, ob die Beschwerdeführerin ihren Anspruch auch inhaltlich hinreichend substanziiert hat. Mithin gelten hinsichtlich der Frage, ob im neuerlichen Verfahren ein blosser Rückweisungsantrag ausnahmsweise ausreicht, sinngemäss die Erwägungen aus dem Urteil 5A_705/2015 vom 21. Juni 2016 (dort E. 2.2).
3.
Streitig ist die Befugnis der Beschwerdeführerin, als Quotenvermächtnisnehmerin in einem direkt gegen den Beschwerdegegner gerichteten Verantwortlichkeitsprozess die Höhe des Willensvollstreckerhonorars in Frage zu stellen, das der Alleinerbe mit der vom Beschwerdegegner vorgelegten Nachlassabrechnung genehmigt hat (s. Sachverhalt Bst. B). Das Appellationsgericht erklärt, dass mit der Genehmigung der Schlussabrechnung durch den Alleinerben eine Vereinbarung zwischen dem Alleinerben und dem Beschwerdegegner hinsichtlich der Entschädigung des Willensvollstreckers "entstanden" sei. Als Vermächtnisnehmerin habe die Beschwerdeführerin aber keinen Anspruch darauf, die durch den Alleinerben genehmigte Honorarrechnung gerichtlich auf ihre Vereinbarkeit mit Art. 517 Abs. 3 ZGB überprüfen zu lassen. Zur Begründung führt das Appellationsgericht aus, dass es bereits dem Alleinerben verwehrt wäre, die genehmigte und damit vereinbarte Höhe der Entschädigung in einem Verfahren gegen den Willensvollstrecker vom Gericht auf ihre Vereinbarkeit mit Art. 517 Abs. 3 ZGB überprüfen zu lassen. Dies gelte erst recht für die Beschwerdeführerin, der als Vermächtnisnehmerin keinerlei Verfügungs- und Verwaltungsbefugnisse hinsichtlich des Nachlasses zukämen. In ihrer Eingabe vom 9. Januar 2017 berufe sich die Beschwerdeführerin darauf, dass die Genehmigung durch den Alleinerben mit Willensmängeln behaftet und somit unwirksam sei. Diese Behauptung erfolge sowohl materiell-rechtlich als auch prozessual verspätet und sei daher unbeachtlich. Im Übrigen wäre die Beschwerdeführerin auch nicht legitimiert, sich auf einen allfälligen Willensmangel eines Dritten, hier des Alleinerben, zu berufen. Wolle die Beschwerdeführerin aus dem Umstand, dass der Alleinerbe die aus ihrer Sicht übermässige Honorarrechnung genehmigt hat, Rechte ableiten, so müsse sie sich gemäss Art. 562 Abs. 1 und Art. 485 Abs. 2 ZGB an den Alleinerben als ihren Schuldner halten, da dieser verpflichtet sei, den Vermächtnisgegenstand ordnungsgemäss zu erhalten und zu verwalten. Gestützt auf diese Überlegungen kommt das Appellationsgericht zum Schluss, dass die Verantwortlichkeitsklage der Beschwerdeführerin gegen den Beschwerdegegner unbegründet sei.
4.
4.1. Vorab rügt die Beschwerdeführerin eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung. Sie erinnert an "entscheidrelevante (kausale) Tatsachen", die sie in ihrer Klageschrift an das Zivilgericht Basel-Stadt "unwidersprochen geltend gemacht" habe: So habe der Erblasser keine Auflage hinsichtlich des Willensvollstreckerhonorars verfügt. Das Honorar sei direkt vom Nachlasskonto, auf das der Beschwerdegegner als einziger habe zugreifen können, zu dessen Gunsten abgebucht und ohne detaillierte Honorarrechnung pauschal ausgewiesen worden. Weiter habe der Beschwerdegegner seinen Aufwand trotz mehrfacher Aufforderung bis heute nicht detailliert ausgewiesen. Der Alleinerbe habe die Honorarentnahme nicht ausdrücklich genehmigt, sondern seine Zustimmung allenfalls stillschweigend erteilt; seitens der Vermächtnisnehmer sei eine Zustimmung zum Honorar weder erbeten noch erteilt worden. Die Beschwerdeführerin hält diese Tatsachen insoweit für entscheidrelevant, als der Beschwerdegegner dem Alleinerben keine differenzierte Honorarrechnung zur Genehmigung und Begleichung unterbreitet, sondern sich den Pauschalbetrag von Fr. 600'000.-- kraft seiner Befugnisse als Willensvollstrecker selbst vom Nachlasskonto auf ein eigenes Konto überwiesen habe. Für diese Verwaltungshandlung, über die er zudem nicht gehörig Rechenschaft abgelegt habe und die den Nettonachlass unzulässig verminderte, sei der Beschwerdegegner den Quotenlegatären, deren Quoten er damit ebenfalls vermindert und deren Quotenlegate er deshalb nicht gehörig ausgerichtet habe, verantwortlich. Dieser Teil der Sachverhaltsfeststellung fehle in den Erwägungen des angefochtenen Entscheids, so der Vorwurf der Beschwerdeführerin. Die Vorinstanz lasse damit in der Schwebe, ob der Beschwerdegegner bloss eine überhöhte Honorarrechnung gestellt habe oder ob die Honorarüberweisung noch Teil seiner Verwaltungshandlungen nach Art. 518 Abs. 2 ZGB gewesen und vom Beschwerdegegner selbst vorgenommen worden sei. Dies macht nach der Meinung der Beschwerdeführerin "einen Unterschied, der für den Ausgang des Verfahrens von Belang sein kann". Zudem argumentiert die Beschwerdeführerin, dass von einer ausdrücklichen Genehmigung der Honorarentnahme des Beschwerdegegners durch den einzigen Erben "nicht die Rede sein" könne. Bestenfalls habe dieser "die Selbstbedienung des Willensvollstreckers stillschweigend abgesegnet", indem er die Nachlassabrechnung unterzeichnete. Ob unter diesen Umständen überhaupt von einer gültigen Honorarvereinbarung ausgegangen werden könne, sei "zumindest höchst fraglich".
4.2. Bereits aus dem ersten bundesgerichtlichen Urteil in dieser Sache ist der Beschwerdeführerin bekannt, dass das Bundesgericht grundsätzlich an den Sachverhalt gebunden ist, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann die rechtsuchende Partei vor Bundesgericht nur einwenden, sie seien offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), das heisst willkürlich (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 88 f., 166 E. 2; <ref-ruling> E. 1.2 S. 278), oder würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG (z.B. Art. 29 Abs. 2 BV oder Art. 8 ZGB) beruhen (Urteil 5A_374/2010 vom 9. Juli 2010 E. 1). In der Beschwerde ist überdies darzutun, inwiefern die Behebung der erwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; <ref-ruling> E. 4.2 S. 234; <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 22). Für all diese Vorbringen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254; <ref-ruling> E. 2.2 S. 246). Es genügt daher nicht, einen von der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr kann das Bundesgericht Vorbringen bezüglich eines Sachverhaltes, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nur berücksichtigen, wenn die rechtsuchende Partei im Einzelnen darlegt, inwiefern diese Feststellungen willkürlich bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind (<ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Angesichts dieser Anforderungen an die Beschwerdebegründung erweisen sich die Sachverhaltsrügen als unbegründet. So beklagt sich die Beschwerdeführerin zwar über Unklarheiten rund um die Geltendmachung und Überweisung des Willensvollstreckerhonorars. Wie auch der Beschwerdegegner zutreffend bemerkt, zeigt sie jedoch nicht auf, inwiefern diese angeblichen Ungewissheiten für den Ausgang des Verfahrens, das heisst mit Blick auf ihre Berechtigung zur Verantwortlichkeitsklage, von Bedeutung sein können. Allein einen "Unterschied" zu behaupten, der sich auf den Ausgang des Verfahrens auswirke, genügt nicht. Ebenso wenig lässt sich eine Sachverhaltsrüge mit Mutmassungen über das Zustandekommen einer Honorarvereinbarung begründen.
5.
5.1. Die Beschwerdeführerin beklagt sich weiter über eine Verletzung von Bundesrecht. Nachdem der Erblasser den Beschwerdegegner als Willensvollstrecker eingesetzt habe, hätten die Vertretungs- und Verwaltungsbefugnisse des Alleinerben "zurückzutreten" gehabt und sei das eigene Handeln des Erben ausgeschlossen gewesen. Dies verkenne die Vorinstanz bundesrechtswidrig, wenn sie ausführe, dass die Verfügungs- und Verwaltungsbefugnisse hinsichtlich der Erbschaft dem Erben zukämen. Zu kurz greife mit Blick auf den Quotenlegatären auch die vorinstanzliche Sichtweise, wonach der Vermächtnisnehmer mit dem rechtlichen Schicksal des Nachlasses nichts zu tun habe. Es treffe nicht zu, dass ein Quotenlegatär die Entwicklung des Nachlasses bis zur Berechnung des Nettonachlasses nicht zu kennen brauche und der willkürlichen Minderung der Quotenlegate durch einen einzigen Erben oder eine Erbengemeinschaft ausgeliefert sei. Die Vorinstanz übersehe, dass dem Quotenvermächtnisnehmer bezüglich des Nachlasses das Recht auf Rechenschaft und Auskunft zwingend jedenfalls soweit zustehen müsse, als dieses nötig sei, um den Umfang des Vermächtnisses zu überprüfen. Da sich die Höhe des Willensvollstreckerhonorars direkt auf die Höhe des Nettonachlasses und somit auch auf die Höhe ihres Quotenlegates auswirke, müsse ihr der Willensvollstrecker ebenso wie den Erben substanziiert Rechenschaft über seine Honorarbezüge ablegen, damit sie deren Berechtigung im Lichte von Art. 517 Abs. 3 ZGB überprüfen könne. Mit Blick auf die Beurteilung ihrer Verantwortlichkeitsklage verwahrt sich die Beschwerdeführerin auch gegen die vorinstanzliche Ansicht, wonach das Gericht eine zwischen den Erben und dem Willensvollstrecker hinsichtlich dessen Vergütung getroffene Vereinbarung nicht auf ihre Vereinbarkeit mit Art. 517 Abs. 3 ZGB hin überprüfen und gegebenenfalls durch gesetzeskonforme Entschädigung ersetzen kann. Selbstverständlich könne auch der Alleinerbe im Rahmen von Art. 31 OR Willensmängel geltend machen und so auf die mit dem Beschwerdegegner geschlossene Honorarvereinbarung zurückkommen. Entgegen den Ausführungen der Vorinstanz äussere sich <ref-ruling> zudem nicht zur Frage, ob der Richter eine solche Honorarvereinbarung auch dann nicht überprüfen und gegebenenfalls korrigieren kann, wenn davon Dritte betroffen sind, die der Vereinbarung nicht zugestimmt haben.
Schliesslich verkennt die Vorinstanz in den Augen der Beschwerdeführerin, dass es nicht um die Überprüfung der Angemessenheit des vereinbarten Willensvollstreckerhonorars geht, sondern um die Beurteilung der Verantwortlichkeitsklage einer Quotenlegatärin gegen den Beschwerdegegner im Zusammenhang mit dessen Tätigkeit als Willensvollstrecker. Die Beschwerdeführerin verweist auf <ref-ruling> und stellt sich auf den Standpunkt, dass im Rahmen von Verantwortlichkeitsklagen gegen Willensvollstrecker alle vom Erblasser begünstigten Personen, mithin auch Vermächtnisnehmer anspruchsberechtigt seien. Sie erinnert daran, dass ihre Klage auf Art. 97 ff. OR gründe und die zentrale Haftungsvoraussetzung gemäss dieser Norm die Verletzung einer Verbindlichkeit sei. Die Rechte und Pflichten des Willensvollstreckers würden auf einem gesetzlichen Schuldverhältnis (Art. 518 Abs. 1 ZGB) zwischen Willensvollstrecker auf der einen und "den am Nachlass Berechtigten" auf der anderen Seite basieren. Deshalb stehe der Willensvollstrecker einem Vermächtnisnehmer für einen schuldhaft verursachten Vermögensschaden in der vertragsähnlichen Ersatzpflicht. Gestützt auf Art. 518 Abs. 2 ZGB in Verbindung mit Art. 398 Abs. 2 (analog) und Art. 97 ff. OR hafte er dem Vermächtnisnehmer gegenüber wie ein Beauftragter für die schuldhafte Verletzung seiner Sorgfaltspflichten. Im konkreten Fall ergebe sich die Verantwortlichkeit des Beschwerdegegners daraus, dass er mit Wissen und Willen kraft seines Amtes als Willensvollstrecker aus dem Nachlassvermögen eine krass überhöhte Honorarforderung, mithin eine Nicht-Schuld beglichen, so seine Sorgfaltspflichten verletzt, als Folge davon den Nettonachlass unzulässig vermindert und deshalb den Quotenlegatären ihr Vermächtnis pflichtwidrig nicht gehörig ausgerichtet habe. Ausserdem habe er sich in keiner Weise um seine Beweis-, Prüf- und Rechenschaftspflichten bezüglich der Honorarforderung gekümmert, die er sich selbst aus dem Nachlassvermögen beglichen habe. Dabei sei zu bedenken, dass der Beschwerdegegner bei dieser Honorarentnahme als Selbstkontrahent aktiv war. Schliesslich habe er die Zustimmung der Quotenlegatäre zu all dem weder je erbeten noch je erhalten.
Nach der Meinung der Beschwerdeführerin kann der Richter bei der Beurteilung einer Verantwortlichkeitsklage eines Quotenvermächtnisnehmers gegen den Willensvollstrecker im Rahmen der Feststellung des Schadensquantitativs "sehr wohl" dessen Honorar überprüfen und eine angemessene und gesetzeskonforme Entschädigung festlegen, "ohne dass selbst eine an und für sich gültige Honorarvereinbarung zwischen Erbe und Willensvollstrecker dabei eine Rolle spielen könnte". Der Argumentation der Vorinstanz zu folgen hiesse einen Vertrag zu Lasten eines Dritten anzuerkennen. Dies widerspreche dem fundamentalen Grundsatz der Selbstbestimmung in privatrechtlichen Angelegenheiten, verdiene keinerlei Akzeptanz und werde von der Rechtsprechung auch nicht gebilligt. Zuletzt wehrt sich die Beschwerdeführerin auch gegen die vorinstanzliche Auffassung, dass sie sich an den Alleinerben als ihren Schuldner zu halten habe, falls sie aus dem Umstand, dass dieser die Honorarrechnung genehmigte, Rechte ableiten will. Das Appellationsgericht verkenne zum wiederholten Mal die Tatsache, dass sich ihre Klage direkt gegen den Willensvollstrecker und dessen Tun bzw. Nichttun richte und eine seitens des Alleinerben allenfalls erfolgte Genehmigung der gesetzeswidrigen Honorarentnahme für die Beurteilung der Verantwortlichkeitsklage ohne Relevanz sei.
5.2.
5.2.1. Zu beurteilen ist die Frage, ob die Beschwerdeführerin den Beschwerdegegner mit einer Verantwortlichkeitsklage auf Ersatz des Schadens belangen kann, den sie dadurch erlitten haben will, dass der Beschwerdegegner durch die vorwerfbar pflichtwidrige Berechnung seines Honorars das Reinvermögen des Nachlasses vermindert und so das Quotenvermächtnis der Beschwerdeführerin geschmälert hat (vgl. E. 3). Dass es sich dabei nicht um einen erbrechtlichen Anspruch auf Auslieferung des Vermächtnisses, sondern um eine gegen den Willensvollstrecker persönlich gerichtete Forderung handelt, hat das Bundesgericht bereits im Urteil 5A_705/2015 vom 21. Juni 2016 (dort E. 5.2) klargestellt.
5.2.2. Die Verantwortlichkeitsklage gegen den Willensvollstrecker richtet sich nach Auftragsrecht und nach Art. 97 OR; sie hat die Pflichtverletzung, den Schaden, den Kausalzusammenhang zwischen diesen beiden Elementen sowie das Verschulden zum Thema (<ref-ruling> E. 4.1 S. 10; <ref-ruling> E. 7 S. 541; <ref-ruling> E. 2 S. 53 f.). Der Willensvollstrecker hat für die getreue und sorgfältige Ausführung des ihm übertragenen Geschäfts einzustehen (Art. 398 Abs. 2 OR analog; <ref-ruling> E. 4.3 S. 11). Er steht, soweit der Erblasser nichts anderes verfügt, in den Rechten und Pflichten des amtlichen Erbschaftsverwalters (Art. 518 Abs. 1 ZGB). Er hat den Willen des Erblassers zu vertreten und gilt insbesondere als beauftragt, die Erbschaft zu verwalten, die Schulden des Erblassers zu bezahlen, die Vermächtnisse auszurichten und die Teilung nach den vom Erblasser getroffenen Anordnungen oder nach Vorschrift des Gesetzes auszuführen (Art. 518 Abs. 2 ZGB). Im Rahmen der ihm übertragenen Verwaltungsbefugnisse hat der Willensvollstrecker die Schulden des Erblassers freilich nur insoweit zu tilgen, als dies erforderlich ist, die fraglichen Verpflichtungen also ausgewiesen sind (STEPHAN WOLF/GIAN SANDRO GENNA, Erbrecht, SPR IV/1, 2012, S. 338; HANS RAINER KÜNZLE, in: Berner Kommentar, 2011 [zit. KÜNZLE, Berner Kommentar], N 115 zu Art. 517-518 ZGB; ähnlich GRÉGOIRE PILLER, in: Commentaire romand, Code civil II, 2016, N 62 zu Art. 518 ZGB; CAROLINE SCHULER-BUCHE, L'exécuteur testamentaire, l'administrateur officiel et le liquidateur officiel: étude et comparaison, 2003, S. 69; FLORENCE GUILLAUME, La responsabilité de l'exécuteur testamentaire, in: Bohnet [Hrsg.], Quelques actions en responsabilité, 2008, S. 13 und 22). Zu den Schulden des Erblassers zählen auch die Erbgangsschulden, darunter die Vergütung des Willensvollstreckers (Urteile 5A_522/2014 vom 16. Dezember 2015 E. 9.4, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_881/2012 vom 26. April 2013 E. 5.1 mit Hinweis). Der Willensvollstrecker ist befugt, sein Honorar gestützt auf Zwischenabrechnungen über seine Tätigkeit als Vorschuss direkt dem Nachlass zu belasten oder erst nach Abschluss seiner Tätigkeit in der Teilungsrechnung unter den Passiven aufzuführen und vom zu teilenden Nachlass vorweg in Abzug zu bringen (Urteil 5A_672/2013 vom 24. Februar 2014 E. 6.1). Freilich darf er seine Position nicht dazu ausnutzen, um zu seinem eigenen Vorteil diejenigen Ansprüche zu regeln, die ihm gegenüber der Erbschaft zustehen (GUILLAUME, a.a.O., S. 19). Aus der (analog anwendbaren) auftragsrechtlichen Abrechnungspflicht (Art. 400 Abs. 1 OR) folgt, dass der Willensvollstrecker für seine eigenen Bemühungen eine detaillierte Abrechnung zu erstellen hat, in welcher Vergütung, Spesen und Auslagen getrennt ausgewiesen sind (HANS RAINER KÜNZLE, Der Willensvollstrecker im schweizerischen und US-amerikanischen Recht, 2000 [zit. KÜNZLE, Willensvollstrecker], S. 332 f.).
5.2.3. In einem Urteil aus dem Jahr 1975 hielt das Bundesgericht fest, dass die Verantwortlichkeitsklage gegen den Willensvollstrecker "im Prinzip" ("en principe") den Erben und den anderen vom Erblasser begünstigten Personen zustehe (<ref-ruling> E. 1 S. 52 mit Hinweis auf PETER TUOR, in: Berner Kommentar, 2. Aufl. 1952, N 24 zu Art. 518 ZGB, ARNOLD ESCHER, in: Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 1959, N 14 zu Art. 518 ZGB und JEAN LOB, Les pouvoirs de l'exécuteur testamentaire en droit suisse, 1952, S. 123).
Für einen Teil der Lehre bedeutet diese Passage, dass als vom Erben begünstigte Personen auch die Vermächtnisnehmer grundsätzlich zur Verantwortlichkeitsklage gegen den Willensvollstrecker berechtigt sind (GRÉGOIRE PILLER, a.a.O., N 192 zu Art. 518 ZGB; MARTIN KARRER/ NEDIM PETER VOGT/DANIEL LEU, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch II, 5. Aufl. 2015, N 113 zu Art. 518 ZGB; PAUL-HENRI STEINAUER, Le droit des successions, 2. Aufl. 2015, S. 609; STEPHAN WOLF/GIAN SANDRO GENNA, a.a.O, S. 351; KÜNZLE, Berner Kommentar, N 422 zu Art. 517-518 ZGB; DERSELBE, Willensvollstrecker, S. 335 f. CAROLINE SCHULER-BUCHE, a.a.O., S. 138 f.; THOMAS HUX, Die Anwendbarkeit des Auftragsrechts auf die Willensvollstreckung, die Erbschaftsverwaltung, die Erbschaftsliquidation und die Erbenvertretung, 1985, S. 78; BRUNO DERRER, Die Aufsicht der zuständigen Behörde über den Willensvollstrecker und den Erbschaftsliquidator, 1985, S. 104; vgl. aus der Zeit vor 1975 HANSJÜRG BRACHER, Der Willensvollstrecker insbesondere im zürcherischen Zivilprozessrecht, 1966, S. 154; GIUSEPPE TORRICELLI, L'esecutore testamentario in diritto svizzero, 1953, S. 217; H ANS SEEGER, Die Rechtsstellung des Willensvollstreckers nach schweizerischem Zivilgesetzbuch, 1927, S. 76 und S. 98). Andere Autoren finden, der erwähnte <ref-ruling> könne nicht als Grundsatzentscheid zur Untermauerung der Auffassung angeführt werden, dass jeder einzelne Vermächtnisnehmer eine Verantwortlichkeitsklage gegen den Willensvollstrecker erheben kann (B ERNHARD CHRIST/MARK EICHNER, in: Abt/ Weibel, Praxiskommentar Erbrecht, 3. Aufl. 2015, N 104b zu Art. 518 ZGB). Einen Schritt weiter gehen diejenigen Stimmen in der Lehre, die den Vermächtnisnehmern eine direkte Verantwortlichkeitsklage gegen den Willensvollstrecker versagen und der Meinung sind, die Vermächtnisnehmer müssten sich nach Massgabe von Art. 562 Abs. 3 ZGB zwingend an die Erben halten (so JEAN GUINAND/MARTIN STETTLER/ AUDREY LEUBA, Droit des successions, 6. Aufl. 2005, S. 256; ALFRED SCHREIBER, L'exécution testamentaire en droit suisse, 1940, S. 110 f.; ähnlich JEAN CARRARD, Les pouvoirs de l'exécuteur testamentaire, 1923, S. 72). Zur Begründung dieser Auffassung findet sich im Schrifttum das Argument, dass eine Schädigung durch Wertverminderung des Nachlasses aus Sicht des Vermächtnisnehmers ein Reflexschaden sei, dessen Ersatz keinen Schutz verdiene (JEAN NICOLAS DRUEY, Die Aufgaben des Willensvollstreckers, in: Druey/Breitschmid [Hrsg.], Willensvollstreckung, 2001, S. 7 f.). Weniger apodiktisch äussert sich ITEN: F ür ihn ist der Schaden des Vermächtnisnehmers bloss "regelmässig" ein nicht ersatzfähiger Reflexschaden (MARC'ANTONIO ITEN, Die zivilrechtliche Verantwortlichkeit des Willensvollstreckers, Sorgfaltspflichten und andere ausgewählte Rechtsprobleme, 2012 [zit. ITEN, Verantwortlichkeit], S. 156 f.; DERSELBE, IN: FISCHER/LUTERBACHER [HRSG], HAFTPFLICHTKOMMENTAR, 2016, N 56 ZU ART. 518 ZGB) - jedenfalls solange der Vermächtnisnehmer (im Falle eines Barlegats) nicht alle Erben fruchtlos gepfändet hat (DERSELBE, Vom Schwarzen Peter im Erbrecht: Haftet der Nachlass, die überlebende Ehegattin, der Willensvollstrecker oder haften die Erben? in: TREX 2017, S. 79). Auch KÜNZLE meint, dass beim Vermächtnisnehmer "häufiger" ein indirekter Schaden vorliege. Er spricht dem Vermächtnisnehmer einen Ersatzanspruch aber nicht kategorisch ab, sondern handelt das Thema unter dem Gesichtspunkt der Feststellung des Schadens ab (KÜNZLE, Berner Kommentar, N 425 zu Art. 517-518 ZGB).
5.2.4. Vorab ist klarzustellen, dass die erwähnte Rechtsprechung aus dem Jahr 1975 mit Blick auf die hier zu beurteilende Verantwortlichkeitsklage einer Quotenvermächtnisnehmerin nicht als Präjudiz gelten kann. Schon vom Wortlaut her ist in der zitierten Erwägung lediglich von einem "Prinzip" die Rede. Ausnahmen bleiben also vorbehalten. Vor allem aber hatte das Bundesgericht in <ref-ruling> gar nicht zu beurteilen, ob einem Vermächtnisnehmer gegen den Willensvollstrecker Verantwortlichkeitsansprüche zustehen. Umstritten war die Klagelegitimation von Werner Rothenanger, eines Neffen der Erblasserin. Im Unterschied zu den anderen Nichten und Neffen war Werner Rothenanger nicht als Erbe eingesetzt. Er war auch nicht als Vermächtnisnehmer begünstigt, sondern hatte von den Erben je einen Sechszehntel ihrer Erbteile zediert erhalten. Das Bundesgericht befand, um gegen den Willensvollstrecker persönlich klagen zu können, hätte sich Werner Rothenanger ausdrücklich auch die Rechte der Erben gegen den Willensvollstrecker abtreten lassen müssen. In den Akten deute jedoch nichts darauf hin, dass dies geschehen wäre (<ref-ruling> E. 1 S. 52 f.).
5.2.5. Ausgangspunkt für die Beurteilung des vorliegenden Falls ist die Erkenntnis, dass der Willensvollstrecker gemäss Art. 518 Abs. 2 ZGB verpflichtet ist, die Vermächtnisse auszurichten. Daraus wird in der Lehre verschiedentlich gefolgert, dass der Willensvollstrecker bei der Besorgung seiner Geschäfte die Interessen der Vermächtnisnehmer gebührend zu wahren und nicht nur den Erben, sondern auch den Vermächtnisnehmern gegenüber für die getreue und sorgfältige Erfüllung der Vermächtnisforderung einzustehen habe (ITEN, Verantwortlichkeit, S. 127 und 132 f.; KÜNZLE, Willensvollstrecker, S. 336; THOMAS HUX, a.a.O.; SEEGER, a.a.O., S. 97 f.; ablehnend ALFRED SCHREIBER, a.a.O.). Indem das Gesetz den Willensvollstrecker direkt beauftrage, die Vermächtnisse auszurichten (Art. 518 Abs. 2 ZGB), lasse es mit der Eröffnung des Erbgangs zwischen dem Willensvollstrecker und dem Vermächtnisnehmer ein "eigenständiges gesetzliches Schuldverhältnis" entstehen, das auf der Verfügung von Todes wegen beruhe, in welcher der Erblasser einerseits die Ausrichtung eines Vermächtnisses und anderseits die Willensvollstreckung anordnete (ITEN, Verantwortlichkeit, S. 127 und 129). In diesem Zusammenhang wird betont, dass der Willensvollstrecker den Vermächtnisnehmern korrekte Geschäftsbesorgung schulde, "soweit ein Vermächtnis zu vollziehen ist" (HUX, a.a.O.), und die Vermächtnisnehmer zur Verantwortlichkeitsklage legitimiert sind, "soweit es um die Ausrichtung der Vermächtnisse geht" (KÜNZLE, Berner Kommentar, N 422 zu Art. 517-518 ZGB). Hängt das (angeblich) fehlbare Verhalten des Willensvollstreckers mit der Ausrichtung des fraglichen Vermächtnisses nicht unmittelbar zusammen, so besteht auch diesen Lehrmeinungen zufolge kein Grund, den Willensvollstrecker gegenüber den Vermächtnisnehmern zur Rechenschaft und zur sorgfältigen Besorgung seines Auftrags zu verpflichten, ihn für allfällige Verfehlungen oder Versäumnisse zur Verantwortung zu ziehen und zu diesem Zweck zwischen ihm und den Vermächtnisnehmern ein Schuldverhältnis zu konstruieren. Dies ergibt sich aus der gesetzlichen Ordnung und steht auch im Einklang mit den Grundprinzipien des schweizerischen Haftpflichtrechts.
5.2.6. Schädigt der Willensvollstrecker das Nachlassvermögen, so schädigt er die Erben, denen der Nachlass als Ganzes mit dem Tode des Erblassers kraft Gesetzes zufällt (Art. 560 Abs. 1 und 2 ZGB). Die Vermächtnisnehmer sind davon grundsätzlich nicht direkt betroffen. Denn nach der klaren gesetzlichen Ordnung von Art. 562 Abs. 1 ZGB beschwert das Vermächtnis weder das Nachlassvermögen noch den Willensvollstrecker, sondern als persönliche (obligatorische) Verbindlichkeit ausschliesslich den oder die Erben (<ref-ruling> E. 2a S. 441; ITEN, Verantwortlichkeit, S. 156). Dementsprechend kann ein Vermächtnisnehmer die beschwerten Erben nach Massgabe von Art. 562 Abs. 3 ZGB auf Schadenersatz belangen, falls diese ihrer Verpflichtung nicht nachkommen. Diese Beurteilung der Rechtslage steht im Einklang mit dem haftpflichtrechtlichen Grundsatz, dass dem Drittbetroffenen ein direkter Ersatzanspruch gegen den Urheber der schädigenden Handlung versagt bleiben muss, wenn dieser keine Verhaltensnorm verletzt hat, die den Dritten nach ihrem Zweck vor Beeinträchtigungen der eingetretenen Art schützen soll (s. Urteil 4A_364/2011 vom 7. Februar 2012 mit Hinweisen). Steht die beschriebene Pflicht zur gehörigen Ausrichtung des Vermächtnisses, mit der im Schrifttum das "gesetzliche Schuldverhältnis" zwischen Willensvollstrecker und Vermächtnisnehmer begründet wird, jedoch nicht in Frage, so fehlt es an einer Verhaltensnorm, die einen allfälligen Schaden des Vermächtnisnehmers aus der Sicht des Willensvolltreckers als widerrechtlich zugefügten Direktschaden erscheinen liesse und es dem Vermächtnisnehmer ermöglichen würde, den Willensvollstrecker auf Ersatz dieses Schadens zu belangen.
Die vorigen Erwägungen gelten auch im Streit um die angemessene Vergütung des Willensvollstreckers (Art. 517 Abs. 3 ZGB). Wie bereits ausgeführt, handelt es sich dabei um eine Erbgangsschuld, die durch die Liquidation des Nachlasses verursacht wird (E. 5.2.2). Für diese Schuld haften neben dem Nachlass die Erben persönlich, es sei denn, der Willensvollstrecker handle auf Grund der letztwilligen Verfügung ausschliesslich im Interesse eines einzigen Erben oder Vermächtnisnehmers; diesfalls ist nur dieser belastet (Urteil 2P.139/2001 vom 3. September 2001 E. 5). Soweit eine solche Ausnahmesituation nicht gegeben ist, besteht nach dem Gesagten kein Grund, den Willensvollstrecker direkt gegenüber dem Vermächtnisnehmer für die Folgen einer allfälligen Pflichtverletzung verantwortlich zu machen oder seinen Vergütungsanspruch in Frage zu stellen.
5.3.
5.3.1. Die Beschwerdeführerin macht zur Begründung ihrer Verantwortlichkeitsklage nicht geltend, dass der Beschwerdegegner sein Honorar gerade im Zusammenhang mit der Ausrichtung ihres Vermächtnisses auf pflichtwidrige Art und Weise festgesetzt und bezogen habe. Im vorliegenden Streit geht es auch nicht darum, dass der Willensvollstrecker eine vermachte Erbschaftssache beschädigt oder bei der Erhaltung derselben unnötigen Aufwand betrieben haben soll. Hier geht es der Beschwerdeführerin einzig und allein darum, die angeblich "krass überhöhte" Honorarforderung insgesamt nicht gelten zu lassen (s. E. 5.2.1).
5.3.2. Dass das Willensvollstreckerhonorar und das Vermächtnis miteinander zusammenhängen, trifft zwar zu. Das Vermächtnis ist als Quote des Nettonachlasses festgesetzt; der Nettonachlass wird vom Honorar des Willensvollstreckers beeinflusst (s. Sachverhalt Bst. A). Wie die Beschwerdeführerin selbst anerkennt, ist die von ihr beanstandete Schmälerung ihres Vermächtnisanspruchs eine Folge der vermeintlich unrechtmässigen Schmälerung des Nettonachlasses. Mit anderen Worten sind die Interessen der Beschwerdeführerin durch das angeblich schädigende Verhalten des Beschwerdegegners nicht direkt, sondern indirekt berührt. Von dieser mittelbaren Betroffenheit her zieht die Beschwerdeführerin den Rückschluss, dass der Beschwerdegegner (auch) ihr gegenüber direkt in der Verantwortung stehe. Warum aber die blosse Festsetzung der Vermächtnisse als Quote die Bedachten vor pflichtwidrigen Eingriffen des Willensvollstreckers schützen soll, vermag die Beschwerdeführerin nicht zu erklären und ist auch nicht ersichtlich. Nach der allgemeinen Lebenserfahrung entscheidet sich ein Erblasser namentlich dann für ein Quotenvermächtnis, wenn er sich über die mutmassliche Höhe seines späteren (Netto-) Nachlasses keine Klarheit verschaffen kann (oder will), seine Erben jedoch - abhängig vom dereinst vorhandenen Nachlass - nicht über eine bestimmte Grenze hinaus zu beschweren gedenkt. Eine solche Vorgehensweise zielt darauf ab, eine nach den Vorstellungen des Erblassers ausgeglichene Nachlassregelung zu treffen. Eine spezielle, an den Willensvollstrecker gerichtete Verhaltensnorm, die im beschriebenen Sinn ihrem Zweck nach die Quotenvermächtnisnehmer vor überhöhten Honorarforderungen oder -bezügen bewahren soll, lässt sich allein aus der Aussetzung eines Quotenvermächtnisses nicht ableiten. Mithin fehlt es der Beschwerdeführerin an einer Haftungsgrundlage, um im vorliegenden Prozess das angeblich treuwidrige Verhalten des Beschwerdegegners unter dem Titel einer Verantwortlichkeitsklage ins Recht fassen zu können. Die Beschwerdeführerin täuscht sich, wenn sie meint, sie habe allein aufgrund ihrer Stellung als Quotenvermächtnisnehmerin bzw. wegen des beschriebenen wirtschaftlichen Zusammenhangs mit dem "rechtlichen Schicksal" des Nachlasses etwas zu tun und könne vom Beschwerdegegner Rechenschaft und Auskunft über seine Honorarbezüge verlangen. Andere Gründe, um den Beschwerdegegner für sein Honorar zur Verantwortung zu ziehen, nennt die Beschwerdeführerin nicht.
5.3.3. Die vorigen Erwägungen genügen, um den angefochtenen Entscheid zu bestätigen. Aus den dargelegten Gründen ist dem Appellationsgericht darin beizupflichten, dass der Verantwortlichkeitsklage aus rechtlichen Gründen kein Erfolg beschieden ist. Damit erübrigt es sich, auf weitere Punkte einzugehen, die im angefochtenen Entscheid zur Sprache kommen und von der Beschwerdeführerin beanstandet werden. Insbesondere kann offenbleiben, ob sich die Beschwerdeführerin im Verantwortlichkeitsprozess den Umstand entgegenhalten lassen muss, dass der Alleinerbe die Nachlassabrechnung genehmigt hat, bzw. ob es dem Richter verwehrt ist, eine zwischen dem Alleinerben und dem Beschwerdegegner getroffene Honorarvereinbarung auf ihre Angemessenheit hin zu überprüfen. Denn selbst wenn diese Fragen mit der Beschwerdeführerin zu verneinen wären, bliebe es dabei, dass es der Beschwerdeführerin an einer Haftungsgrundlage fehlt. Ebenso wenig braucht das Bundesgericht auf die vorinstanzlichen Erwägungen einzugehen, wonach sich die Beschwerdeführerin ausschliesslich an den Alleinerben halten muss, wenn sie aus dem Umstand, dass dieser die Honorarrechnung genehmigt hat, Rechte ableiten will. Auch die Frage, ob neben der im Gesetz verankerten Haftung der beschwerten Erben für die gehörige Ausrichtung des Vermächtnisses (Art. 562 Abs. 3 i.V.m. Art. 485 Abs. 2 ZGB) Platz für eine konkurrierende direkte zivilrechtliche Verantwortlichkeit des Willensvollstreckers bleibt (bejahend ITEN, Verantwortlichkeit, S. 133 f.), stellt sich von vornherein nur dann, wenn die Grundlagen beider Ansprüche gegeben sind. Das aber ist nach dem Gesagten gerade nicht der Fall. Schliesslich kann dahingestellt bleiben, ob die Klageforderung der Beschwerdeführerin der verkürzten Verjährungsfrist von fünf Jahren gemäss Art. 128 OR unterliegt und verjährt sei, worauf sich der Beschwerdegegner mit der Begründung beruft, dass der Erblasser ihn als langjährigen "Hausanwalt" zum Willensvollstrecker bestimmt habe.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdeführerin. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) und den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 6'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Februar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn