Sachverhalt:
A.
Die B._ AG ersuchte mit Eingabe vom 15. Februar 2021 das Richteramt Olten-Gösgen in der gegen die A._ AG geführten Betreibung Nr. xxx des Betreibungsamtes Olten-Gösgen für die Beträge von Fr. 10'000.-- und von Fr. 80'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 8. Februar 2021 um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung. Als Rechtsöffnungstitel reichte sie das Urteil des Bezirksgerichts Höfe vom 23. April 2020 ein, worin auf Klage nach <ref-law> hin festgestellt wurde, dass die von der A._ AG gegen die B._ AG in Betreibung gesetzte Forderung in der Höhe von Fr. 11'000'000.-- nicht besteht und die A._ AG dazu verpflichtet wurde, der B._ AG einen Gerichtskostenersatz von Fr. 10'000.-- und eine Parteientschädigung von Fr. 80'000.-- zu bezahlen.
B.
Mit Urteil vom 19. April 2021 hiess die a.o. Amtsgerichtsstatthalterin das Rechtsöffnungsgesuch gut und erteilte der B._ AG für den Betrag von Fr. 90'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 8. Februar 2021 die definitive Rechtsöffnung.
C.
Das Obergericht des Kantons Solothurn wies am 2. Juni 2021 die von der A._ AG dagegen erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Die Gerichtskosten von Fr. 750.-- auferlegte es ausgangsgemäss der A._ AG. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wies es ab, weil sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen hatte.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. Juli 2021 ist die A._ AG an das Bundesgericht gelangt. Die Beschwerdeführerin beantragt u.a. sinngemäss, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch der B._ AG (Beschwerdegegnerin) abzuweisen bzw. eventuell die Angelegenheit an das Richteramt zur Neubeurteilung zurückzuweisen; es sei ihr für das Beschwerdeverfahren vor der Vorinstanz sowie für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren; das Bundesgericht möge zahlreiche Rechtsverletzungen feststellen; das Richteramt sei anzuweisen, das Rechtsöffnungsverfahren bis zum Abschluss der Verfahren SU 2021 2126 und SU 2021 2259, Staatsanwaltschaft Schwyz, zu sistieren.
Mit Präsidialverfügung vom 7. Oktober 2021 wurde dem nachträglichen Gesuch um aufschiebende Wirkung entsprochen und der Beschwerde im Sinne der Erwägungen die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, in der Sache hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die Rechtsöffnung, mithin eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75 Abs. 1 BGG). Die gesetzliche Streitwertgrenze wird erreicht (<ref-law>). Die Beschwerde in Zivilsachen ist daher gegeben. Die Beschwerdeführerin ist als Schuldnerin zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2). Die Verletzung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.4).
2.
Die Vorinstanz hat erwogen, das Urteil des Bezirksgerichts Höfe vom 23. April 2020 sei vollstreckbar und stelle für die beiden in Betreibung gesetzten Beträge von Fr. 10'000.-- und Fr. 80'000.-- einen definitiven Rechtsöffnungstitel dar. Die Beschwerdeführerin habe keine Urkunden ins Recht gelegt, die beweisen, dass die Schuld seit Erlass des Entscheids getilgt, gestundet oder verjährt ist. Im Wesentlichen habe sie sich damit begnügt, ihre Unzufriedenheit über das Verhalten der Gegenpartei und deren Rechtsvertreter sowie über verschiedene Richter kundzutun. Ferner habe sie bemängelt, dass die Vorderrichterin trotz hängiger Ausstandsgesuche gegen Richter im Kanton Schwyz Rechtsöffnung erteilt habe. Die Beschwerdeführerin verkenne damit, dass es nicht Sache des Rechtsöffnungsrichters sei, über andere Verfahren von anderen Gerichten zu befinden. Ebenfalls nicht Sache des Rechtsöffnungsrichters sei es, über den materiellen Bestand der in Betreibung gesetzten Forderung zu befinden. Gründe, weshalb der Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin nicht am Verfahren teilnehmen könnte, seien nicht ersichtlich. Die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege scheide aus, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erachtet werden müsse.
3.
Den gegen die obergerichtlichen Erwägungen erhobenen Rügen der Beschwerdeführerin ist aus nachfolgenden Gründen kein Erfolg beschieden.
3.1. Eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) durch die Vorinstanz liegt nicht vor. Die vorinstanzlichen Ausführungen genügen der Begründungspflicht. Nicht verlangt wird nach der Rechtsprechung, dass sich das Gericht mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Es reicht aus, dass die Vorinstanz im angefochtenen Entscheid die für sie wesentlichen Überlegungen genannt hat. Die Beschwerdeführerin war gestützt darauf ohne Weiteres in der Lage, den Entscheid sachgerecht anzufechten (vgl. <ref-ruling> E. 5.2).
3.2. Entgegen der Auffassung der Beschwerdeführerin haben die Vorinstanzen bundesrechtskonform entschieden, indem sie eine Sistierung des Verfahrens (<ref-law>) als nicht angebracht erachtet haben. Eine Sistierung des Rechtsöffnungsverfahrens ist nur in seltensten Fällen zulässig (STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 3. Aufl. 2021, N. 63 zu <ref-law>). Ein Antrag auf Sistierung des Verfahrens, der - wie vorliegend - damit begründet wird, dass der Schuldner als unterliegende Partei gegen am Urteil beteiligte Richter Strafanzeige eingereicht hat, kann nicht bewilligt werden.
3.3. Zu Recht verworfen haben die Vorinstanzen auch den prozessualen Antrag der Beschwerdeführerin auf Ausschluss des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin vom Verfahren wegen "Verletzung der Berufsregeln nach Art. 12 lit. a und c BGFA".
3.3.1. Nach <ref-law> kann sich jede prozessfähige Partei im Prozess durch einen Anwalt vertreten lassen. Die Möglichkeit eines Vertretungsverbots sieht die ZPO nicht ausdrücklich vor. Gleichwohl kann ein Gericht bei Vorliegen von verbotenen Interessenkollisionen im Sinne von Art. 12 lit. c des Bundesgesetzes über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte vom 23. Juni 2000 (SR 935.61; BGFA) im Rahmen seiner gerichtspolizeilichen Aufgaben zum Schutz der vertretenen Partei selbst oder zum Schutz einer anderen am Verfahren beteiligten Person Verfügungen über die Nichtzulassung von Parteivertretern erlassen (Urteil 5A_51/2019 vom 7. Oktober 2019 E. 3.4.1; FELLMANN/BURGER, Das Verbot von Interessenkollisionen und seine Durchsetzung im Prozess, Anwaltsrevue 2020 S. 17 ff.). Das Einschreiten der Verfahrensleitung gegen eine Interessenkollision hat sich aber stets auf die Erfordernisse des konkreten Verfahrens zu beschränken (FELLMANN/BURGER, a.a.O., S. 19).
3.3.2. Nach Beendigung des Auftragsverhältnisses zwischen dem Anwalt und seinem früheren Klienten besteht kein Treueverhältnis mehr, das dem Anwalt ein Vorgehen gegen den ehemaligen Klienten schlechthin verbieten würde. Die das Mandatsverhältnis überdauernden Treue- und Schweigepflichten verbieten es einem Anwalt jedoch, einen Auftrag anzunehmen, der sich direkt oder indirekt gegen einen früheren Klienten richtet und bei dem Kenntnisse zu verwerten wären, die er in einem früheren Verfahren als Berufsgeheimnis erfahren hat (FELLMANN, in: Kommentar zum Anwaltsgesetz, Fellmann/Zindel [Hrsg.], 2. Aufl. 2011, N. 108 zu <ref-law>; BGE 145 IV 2018 E. 2.1).
Vorliegend hat die Beschwerdeführerin ihren prozessualen Antrag primär damit begründet, dass der Rechtsvertreter der Betreibungsgläubigerin, der bis zum 23. Januar 2018 noch sie selbst vertreten habe, mit der Vertretung seiner aktuellen Mandantin nicht nur den Konkurs seiner vormaligen Klientin herbeiführe, sondern auch gegen sein eigenes Interesse handle. Falle sie in Konkurs, könne dieser die Restforderung auf sein nicht beglichenes Honorar aus seinem früheren Mandat abschreiben. Allerdings hat die Beschwerdeführerin gleich selbst erörtert, weshalb der Rechtsvertreter der Gegenpartei trotzdem nicht gegen seine eigenen Interessen handelt. Nach der Darstellung der Beschwerdeführerin hat C._ (aktuell Mitglied des Verwaltungsrates der Beschwerdegegnerin) dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin für die Honorarschuld der A._ AG eine Ausfallgarantie abgegeben. Damit aber kann ausgeschlossen werden, dass sich der Anwalt der Gegenpartei in seinen Entscheidungen für seine heutige Klientin nicht frei fühlt. Im Übrigen ist unbestritten, dass das frühere Mandat des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin mit den Streitigkeiten zwischen den Parteien des vorliegenden Verfahrens in keinerlei Zusammenhang stand. Gründe, welche eine gerichtspolizeiliche Massnahme in Form eines Vertretungsverbots allenfalls hätten rechtfertigen können, sind insgesamt weder dargetan noch ersichtlich.
3.4. Zutreffend hat die Vorinstanz angenommen, dass die in Betreibung gesetzten Forderungen durch ein vollstreckbares gerichtliches Urteil im Sinne von <ref-law> ausgewiesen sind, ist doch unbestritten, dass das Kantonsgericht Schwyz mit Verfügung vom 1. Februar 2021 auf die gegen das Urteil des Bezirksgerichts Höfe vom 23. April 2020 erhobene Berufung mangels Leistung des Kostenvorschusses nicht eingetreten ist. Die Sachverhaltsvorbringen der Beschwerdeführerin (Einreichung von Strafanzeigen gegen an den Urteilen beteiligte Gerichtspersonen; Geltendmachung eines angeblichen Ausstandsgrunds nach Abschluss des kantonsgerichtlichen Verfahrens) vermögen nichts daran zu ändern, dass der Vollstreckbarkeit der Dispositiv-Ziffern 5.2 (Gerichtskostenersatz) und 6 (Parteientschädigung) des bezirksgerichtlichen Urteils weder ein Rechtsmittel noch eine gerichtliche Anordnung entgegensteht.
3.5. Ist der Richter mit einem Rechtsöffnungsgesuch befasst, welches sich auf einen durch den Betreibenden vorgelegten gerichtlichen Entscheid stützt, hat er namentlich zu überprüfen, ob die in Betreibung gesetzte Forderung aus dem betreffenden Entscheid hervorgeht. Er hat sich jedoch weder mit dem materiellen Bestand der Forderung noch mit der materiellen Richtigkeit des gerichtlichen Entscheids, mit welcher der Bestand festgestellt wird, auseinanderzusetzen. Insbesondere hat er nicht materiellrechtliche Vorbringen zu untersuchen, die der Schuldner in dem Prozess geltend machen konnte, welcher mit dem vollstreckbaren gerichtlichen Entscheid endete (<ref-ruling> E. 4.3.1; <ref-ruling> E. 3.1).
Die Argumentation der Beschwerdeführerin läuft zu einem wesentlichen Teil auf den Einwand heraus, sie sei im Urteil des Bezirksgerichts Höfe zu Unrecht zur Bezahlung der in Betreibung gesetzten Beträge an die Beschwerdegegnerin verpflichtet worden, womit sie nach dem Gesagten - wie ihr bereits von den Vorinstanzen erörtert wurde - im vorliegenden Verfahren nicht zu hören ist. Das Verfahren betreffend definitive Rechtsöffnung stellt kein Rechtsmittelverfahren gegen den als Rechtsöffnungstitel vorgelegten Entscheid dar, und das Rechtsöffnungsgericht ist keine Rechtsmittelinstanz, bei der das Sacherkenntnis des Titels erneut in Frage gestellt werden kann. Soweit die Beschwerdeführerin meint, es könne und müsse im definitiven Rechtsöffnungsverfahren eine ganzheitliche Aufarbeitung von in der Vergangenheit (angeblich) erlittenem Unrecht erfolgen und zu diesem Zweck den Beizug und das Studium zahlreicher Akten verlangt, kann ihr nicht gefolgt werden.
3.6. Soweit die Beschwerdeführerin schliesslich beanstandet, dass ihr trotz des gestellten Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege Gerichtskosten auferlegt wurden, setzt sie nicht mit der vorinstanzlichen Begründung auseinander, dass ihre Beschwerde von Anfang an aussichtslos erschien, womit sie ihrer Begründungspflicht vor Bundesgericht nicht nachkommt (<ref-law>).
4.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Ausgangsgemäss hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>), da ihr Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege infolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen ist (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin ist keine Parteientschädigung zuzusprechen, da ihr im Zusammenhang mit dem bundesgerichtlichen Verfahren kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Dezember 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Escher
Der Gerichtsschreiber: Buss