Faits :
A.
A._, ressortissante brésilienne, née en 1970, est arrivée en Suisse, dans le canton de Vaud, le 26 septembre 2002. Suite à son mariage avec un ressortissant suisse, elle a obtenu une autorisation de séjour. Une autorisation d'établissement lui a été délivrée le 14 octobre 2007. Le divorce des époux a été prononcé en octobre 2008.
B.
B.a. A._ a été condamnée pénalement le 16 décembre 2005 par le Juge d'instruction de Lausanne à 90 jours d'emprisonnement avec sursis pendant deux ans pour lésions corporelles simples et lésions corporelles simples avec du poison, une arme ou un objet dangereux. Le 17 octobre 2011, elle a été condamnée par le Ministère public du canton de Neuchâtel à 120 heures de travail d'intérêt général avec sursis pendant deux ans ainsi qu'à une amende de 500 fr. pour contrainte, exercice illicite de la prostitution et délit contre la loi fédérale sur les armes. Le 24 mars 2015, elle a été condamnée à 10 jours-amende avec sursis et à une amende de 50 fr. pour dommage à la propriété par le Ministère public de Neuchâtel (<ref-law>).
B.b. Le 7 décembre 2010, l'intéressée est arrivée dans le canton de Neuchâtel où une autorisation d'établissement lui a été délivrée. Elle est retournée dans le canton de Vaud le 31 mars 2013. Par décision du 19 septembre 2014 rendue par le service de la population vaudois, confirmée par arrêt du 25 février 2015 de la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal vaudois, la demande de changement de canton de l'intéressée a été rejetée au motif qu'elle émargeait à l'aide sociale et qu'elle avait été condamnée pénalement à deux reprises. Dans l'intervalle, soit le 9 décembre 2014, l'intéressée est à nouveau venue s'installer dans le canton de Neuchâtel.
B.c. Après avoir ouvert une procédure en révocation de l'autorisation d'établissement à l'encontre de A._ et entendu celle-ci, le Service des migrations du canton de Neuchâtel (ci-après: le Service cantonal) a révoqué l'autorisation d'établissement de l'intéressée par décision du 25 avril 2016, en raison de sa dépendance à l'aide sociale.
L'intéressée a recouru contre cette décision auprès du Département de l'économie et de l'action sociale du canton de Neuchâtel (ci-après: le Département cantonal), lequel a rejeté le recours par décision du 13 août 2018.
Par arrêt du 7 juin 2019, la Cour de droit public du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel (ci-après: le Tribunal cantonal) a rejeté le recours formé par l'intéressée contre la décision précitée du Département cantonal, après avoir retenu que la dette sociale de celle-ci s'élevait en 2015 à 51'925.10 fr. et qu'elle avait continué à bénéficier de l'aide sociale après le prononcé de la décision du 13 août 2018. En outre, le Tribunal cantonal a relevé qu'au 22 mars 2016, l'intéressée avait contracté des dettes pour 73'469.25 fr., dont 43'813.20 fr. d'actes de défaut de biens et que le pronostic était défavorable aussi bien sur le plan financier, que sur celui de la dépendance future à l'aide sociale.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, outre l'effet suspensif et l'assistance judiciaire, l'annulation de l'arrêt du 7 juin 2019 et, principalement, la prolongation de son autorisation d'établissement et, subsidiairement, le renvoi de la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Service cantonal se réfère au contenu de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours. Le Département cantonal, par le Service juridique du Département de la justice, de la sécurité et de la culture du canton de Neuchâtel, renvoie aux considérants de l'arrêt attaqué et conclut au rejet du recours dans la mesure où il est recevable. Le Tribunal cantonal se réfère au contenu de son arrêt et conclut au rejet du recours. Le secrétariat d'Etat aux migrations ne s'est pas prononcé.
L'effet suspensif a été accordé par ordonnance présidentielle du 15 juillet 2019.
Par courrier du 15 juillet 2019, le mandataire de la recourante a informé le Tribunal fédéral que celle-ci avait tenté de se suicider le 13 juillet 2019.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 116).
1.1. D'après l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de droit des étrangers qui concernent une autorisation à laquelle ni le droit fédéral ni le droit international ne donnent droit. Il est en revanche recevable contre les décisions révoquant, comme en l'espèce, une autorisation d'établissement parce qu'il existe en principe un droit au maintien de cette autorisation (<ref-ruling> consid. 1.2.1 p. 4; arrêt 2C_806/2018 du 20 mars 2019 consid. 1.1). La présente cause ne tombe ainsi pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF. Partant, la voie du recours en matière de droit public est en principe ouverte.
En revanche, elle ne l'est pas pour ce qui concerne les griefs relatifs à une violation de l'art. 30 al. 1 let. b de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers et l'intégration (LEI; RS 142.20; [LEtr jusqu'au 31 décembre 2018]). Cette disposition ne confère en effet aucun droit et relève des dérogations aux conditions d'admission, expressément exclues de cette voie de droit (art. 83 let. c ch. 5 LTF; cf. arrêt 2C_1004/2018 du 11 juin 2019 consid. 1.2). Sur ce point, le recours est aussi irrecevable en tant que recours constitutionnel subsidiaire puisque l'art. 30 al. 1 let. b LEI, de nature potestative, ne confère aucun droit à la recourante (cf. arrêt 2C_1004/2018 du 11 juin 2019 consid. 1.2 et les références citées).
1.2. Pour le surplus, déposé en temps utile (<ref-law>) et dans les formes prescrites par la loi (<ref-law>), par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a un intérêt digne de protection à son annulation ou à sa modification (<ref-law>), le présent recours en matière de droit public, dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue par une autorité cantonale supérieure de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause de droit public (<ref-law>), est recevable.
2.
D'après l'<ref-law>, le Tribunal fédéral applique le droit d'office. Il examine en principe librement l'application du droit fédéral. Conformément à l'<ref-law> et en dérogation à l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ne connaît toutefois de la violation des droits fondamentaux que si un tel moyen a été invoqué et motivé par le recourant, à savoir exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 3 p. 237).
3.
Dans un grief de nature formelle qu'il convient d'examiner en premier lieu (<ref-ruling> consid. 3 p. 563), la recourante se plaint d'une violation de son droit d'être entendue (art. 29 al. 2 Cst.). Elle reproche au Tribunal cantonal d'avoir refusé d'auditionner une médecin, cheffe de clinique, et une médecin assistante, au motif qu'il disposait de pièces suffisantes au dossier pour apprécier sa situation sur le plan psychique. Elle fait également valoir que l'autorité précédente a insuffisamment motivé sa décision sur ce point.
3.1. Le droit d'être entendu comprend, notamment, le droit pour l'intéressé d'obtenir qu'il soit donné suite à ses offres de preuves pertinentes, lorsque cela est de nature à influer sur la décision à rendre (<ref-ruling> consid. 3.2 p. 67; <ref-ruling> consid. 2.3 p. 222). L'autorité peut cependant renoncer à procéder à des mesures d'instruction lorsque les preuves administrées lui ont permis de former sa conviction et que, procédant d'une manière non arbitraire à une appréciation anticipée des preuves qui lui sont encore proposées, elle a la certitude que ces dernières ne pourraient l'amener à modifier son opinion (<ref-ruling> consid. 6.3.1 p. 299 et les arrêts cités).
Le droit d'être entendu implique également pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Selon la jurisprudence, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. L'autorité n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à l'examen des questions décisives pour l'issue du litige. Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée. La motivation peut d'ailleurs être implicite et résulter des différents considérants de la décision (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 564 s. et les arrêts cités).
3.2. En l'occurrence, le Tribunal cantonal s'est prononcé sur les auditions requises en procédant à une appréciation anticipée de celles-ci et les a jugé inutiles. Par ce biais, il a ainsi indiqué qu'il s'estimait suffisamment renseigné. Une telle motivation, bien que succincte, est suffisante, dans la mesure où elle permettait à la recourante de valablement contester l'arrêt entrepris, notamment en expliquant pourquoi les juges cantonaux auraient versé dans l'arbitraire en se fondant sur les rapports médicaux au dossier.
Sur ce point, la recourante se contente d'indiquer que les éléments au dossier ne permettaient pas de se déterminer sur son état psychique. Elle précise avoir informé le Tribunal cantonal quelle n'avait pas pu obtenir de rapport du psychiatre en charge de son dossier au Centre neuchâtelois de psychiatrie et que les rapports concernant ses hospitalisations ne permettaient pas d'apprécier sa situation dans son ensemble, ni son évolution. Elle indique cependant également que ses nombreux troubles sur le plan psychiatrique étaient documentés par les nombreuses pièces figurant au dossier. Sur le vu de ces éléments, on ne voit pas en quoi, et la recourante ne l'explique pas, les juges cantonaux auraient versé dans l'arbitraire en se fondant sur les rapports médicaux au dossier. En outre, la recourante n'indique pas pour quelles raisons les auditions demandées auraient été propres à influer l'issue du litige. Sur ce point, le recours ne répond pas aux exigences de motivation accrues de l'<ref-law>.
Le grief de violation du droit d'être entendu doit partant être écarté.
4.
La recourante se plaint à plusieures reprises d'une constatation des faits manifestement inexacte.
4.1. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law>. Selon l'<ref-law>, le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire - ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-ruling> consid. 6 p. 358; <ref-ruling> consid. 1.6 p. 377). La partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (cf. <ref-law>). À défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 356; <ref-ruling> consid. 6.2 p. 288).
4.2. En l'occurrence, la recourante invoque tout d'abord une constatation manifestement inexacte des faits en lien avec l'art. 63 al. 2 LEtr (dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2018; RO 2016 1262). Elle soutient que pour le calcul de la durée du séjour en Suisse de 15 ans prévue par cette disposition, il faudrait prendre en compte la date de la décision sur recours du Département cantonal et non celle du Service cantonal. Sur ce point, le grief de la recourante concerne en réalité l'application de l'art. 63 al. 2 LEtr, soit une question de droit, et non l'établissement des faits. Elle sera traitée ci-après (cf. infra consid. 6).
4.3. La recourante indique également que, contrairement à ce qu'avait retenu l'autorité précédente, elle n'avait fait appel aux Services sociaux que lorsqu'elle présentait des problèmes de santé qui rendaient l'exercice d'une activité lucrative impossible. A cet égard, elle précise que "les rapports médicaux au dossier, notamment ceux qui relatent [ses] passages à l'hôpital [...] entre le 13 septembre 2011 et le 19 septembre 2018, en sont la preuve". Une telle motivation ne respecte pas les exigences de l'<ref-law>, qui imposent à la recourante d'exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits ont été retenus d'une manière absolument inadmissible. En particulier, elle ne démontre pas en quoi le Tribunal cantonal aurait arbitrairement retenu qu'aucun certificat médical n'attestait d'incapacité de travail durable pour les périodes courant de 2011 à 2013, ainsi que depuis mars 2016.
4.4. La recourante se plaint également de l'inexactitude manifeste des faits constatés en lien avec une violation du principe de la proportionnalité (art. 96 LEI) et du droit à la vie privée et familiale (art 8 CEDH et 13 Cst.). Elle présente toutefois une argumentation partiellement appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle retenue par les juges cantonaux, mais sans expliquer en quoi l'établissement des faits par l'autorité précédente serait manifestement insoutenable, contrairement aux exigences accrues de motivation résultant de l'<ref-law>).
4.5. C'est donc sur la seule base des faits constatés par l'autorité précédente que la cause sera examinée en droit (<ref-law>). Les griefs d'arbitraire dans l'établissement des faits doivent ainsi être écartés.
5.
Sur le fond, le litige porte sur le point de savoir si la révocation de l'autorisation d'établissement de la recourante, en raison de sa dépendance à l'aide sociale est conforme au droit. En substance, la recourante conteste être dans une large mesure à la charge de l'aide sociale et invoque l'art. 8 CEDH, ainsi qu'une violation du principe de la proportionnalité.
Les considérations de la recourante sur l'existence d'une éventuelle atteinte très grave à la sécurité et à l'ordre publics, en raison des condamnations pénales dont elle a fait l'objet (cf. art. 63 al. 1 let. b LEI) sont au vu de l'issue du litige sans pertinence dans le présent cas et ne seront pas prises en comptes.
6.
La recourante soutient tout d'abord, comme déjà mentionné, qu'en violation de l'art. 63 al. 2 LEtr, son autorisation d'établissement a été révoquée par le Département cantonal alors qu'elle se trouvait en Suisse depuis plus de quinze ans. Par ailleurs, elle reproche à l'autorité précédente d'avoir fait preuve d'une rigueur excessive en ne tenant pas compte du fait que les quinze ans étaient presque atteints lorsque le Service de la population a statué.
6.1. D'après l'art. 63 al. 1 let. c LEtr, l'autorisation d'établissement peut être révoquée lorsqu'un étranger ou une personne dont il a la charge dépend durablement et dans une large mesure de l'aide sociale. Ce motif de révocation ne s'applique toutefois pas à l'étranger qui séjourne en Suisse légalement et sans interruption depuis plus de quinze ans (art. 63 al. 2 LEtr).
Comme le Tribunal fédéral a déjà eu l'occasion de le relever à plusieurs reprises, le respect de cette durée se vérifie au jour du prononcé de la décision de révocation de l'autorisation d'établissement par l'autorité de première instance (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 265 s.; <ref-ruling> consid. 4.2 p. 12).
6.2. En l'occurrence, la recourante séjourne légalement en Suisse depuis septembre 2002. La décision de révocation a été prononcée par l'autorité de première instance, à savoir par le Service de la population, le 25 avril 2016. La durée de quinze ans prévue par l'art. 63 al. 2 LEtr n'était ainsi pas atteinte.
En outre, on ne peut pas reprocher à l'autorité précédente d'avoir considéré que cette limite de quinze ans, fixée par le législateur et qui constituait une exception à la règle prévue à l'art. 63 al. 1 LEtr, était absolue et que l'art. 63 al. 2 LEtr ne trouvait donc pas application pour des durées plus courtes (cf., par analogie, concernant la durée de trois ans d'union conjugale de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr, l'<ref-ruling> consid. 3.1.3 p. 347 et les références citées, en particulier, l'arrêt 2C_711/2009 du 30 avril 2010 consid. 2.3.1). Les griefs formulés par la recourante, notamment concernant l'usage d'une rigueur excessive, sont, sur ce point, infondés.
La durée du séjour en Suisse de la recourante est en revanche un élément qui devra être pris en compte dans la proportionnalité de la mesure envisagée (cf. infra consid. 9).
7.
La recourante conteste dépendre dans une large mesure de l'aide sociale.
7.1. Pour apprécier si une personne se trouve dans une large mesure à la charge de l'aide sociale au sens de l'art. 63 al. 1 let. c LEtr, il faut tenir compte du montant total des prestations déjà versées à ce titre. Pour évaluer si elle tombe d'une manière continue à la charge de l'aide sociale, il faut examiner sa situation financière à long terme. Il convient en particulier d'estimer, en se fondant sur la situation financière actuelle de l'intéressé et sur son évolution probable, y compris au regard des capacités financières des membres de sa famille, s'il existe des risques que, par la suite, il continue de se trouver à la charge de l'assistance publique. La question de savoir si et dans quelle mesure la personne dépend de l'aide sociale par sa faute ne concerne pas le motif de révocation envisagé à l'art. 63 al. 1 let. c LEtr, mais est un critère entrant en considération au stade de l'examen de la proportionnalité de la mesure (cf. arrêt 2C_837/2017 du 15 juin 2018 consid. 6.2 et les références citées).
7.2. En l'espèce, il résulte des faits retenus par l'autorité précédente qu'au 30 septembre 2015, la dette sociale accumulée par la recourante s'élevait à 43'765.70 fr. (pour de l'aide perçue de septembre 2011 à avril 2013 et de juin à septembre 2015), qu'elle avait en outre bénéficié de prestations du Centre social régional de l'ouest lausannois pour un montant total de 8'159.40 fr. et qu'au moment du prononcé de l'arrêt attaqué du 7 juin 2019, soit plus de trois ans et demi plus tard, elle dépendait toujours de l'aide sociale. La recourante ne conteste pas ces constatations de faits.
Concernant la situation financière à long terme de celle-ci - dont l'examen justifie, contrairement à ce que soutient la recourante, que l'on prenne en compte l'état de son endettement -, le Tribunal cantonal a retenu qu'au 22 mars 2016, la recourante avait accumulé des dettes pour un montant total de plus de 73'000 fr., dont plus de 43'000 fr. d'actes de défaut de biens. Il a également relevé que la recourante souffrait de dépendance à l'alcool et à la cocaïne et avait indiqué que ses problèmes de santé l'empêchaient de retrouver un emploi. Dans ces circonstances, le Tribunal cantonal ne prête pas le flanc à la critique lorsqu'il retient un pronostic défavorable quant à l'évolution financière probable de la recourante et son risque de dépendance future à l'aide sociale.
7.3. L'autorité précédente a ainsi jugé à bon droit que les conditions d'une dépendance durable et dans une large mesure à l'aide sociale selon l'art. 63 al. 1 let. c LEtr étaient remplies.
7.4. La jurisprudence mentionnée par la recourante portant sur des dettes sociales à hauteur de 80'000 fr. (cf. <ref-ruling> consid. 3a p. 6) ne s'oppose pas à la conclusion qui précède. En effet, le simple fait que la dette sociale de la recourante au moment où le Service cantonal a statué ait été inférieure à ce montant ne suffit pas à exclure l'existence d'une dépendance large et durable à l'aide sociale. En l'occurrence, comme déjà mentionné, il faut prendre en compte le fait que cette dette sociale est celle d'une personne seule, qui portait en septembre 2015 sur un montant de plus de 40'000 fr. accumulés sur moins de deux ans. Dans l'arrêt cité par la recourante, la dette sociale était celle d'un couple et avait été accumulée sur plus de cinq ans. Dans le présent cas, est également déterminant le fait que la recourante a continué à bénéficier de prestations de l'aide sociale pendant plus de trois ans suite au décompte de septembre 2015. Lorsque le Tribunal cantonal a statué, la dette sociale globale de la recourante était donc supérieure aux près de 52'000 fr. déjà perçus en septembre 2015. On peut toutefois regretter que le Tribunal cantonal n'ait pas réactualisé ces données chiffrées au moment où il a rendu son arrêt.
8.
La recourante se prévaut de l'art. 8 CEDH et invoque un lien de dépendance avec ses enfants et sa soeur.
8.1. Les relations familiales qui peuvent fonder, en vertu de l'art. 8 par. 1 CEDH, un droit à une autorisation de police des étrangers sont avant tout les rapports entre époux ainsi qu'entre parents et enfants mineurs vivant ensemble (<ref-ruling> consid. 5.1 p. 402; <ref-ruling> consid. 1.3.2 p. 146). Un étranger majeur ne peut se prévaloir de cette disposition que s'il se trouve dans un état de dépendance particulier par rapport à des membres de sa famille résidant en Suisse en raison, par exemple, d'un handicap (physique ou mental) ou d'une maladie grave (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 230 s.; <ref-ruling> consid. 5.1 p. 402; <ref-ruling> consid. 3.4.2 p. 159).
8.2. En l'espèce, le Tribunal cantonal a retenu que la recourante ne se trouvait pas à l'égard de ses enfants majeurs dans un rapport de dépendance particulier dépassant les liens affectifs ordinaires et que les problèmes de santé de celle-ci n'étaient pas graves au point de l'empêcher de vivre de manière autonome. Sur ce point, la relation que la recourante entretiendrait avec sa soeur ne ressort pas de l'arrêt attaqué. La recourante ne remet pas en question l'état de fait constaté par l'autorité précédente conformément aux exigences accrues de l'<ref-law>. Il n'y a donc pas lieu de s'écarter des constatations cantonales.
Au demeurant, en dépit de la motivation insuffisante du recours sur ce point, il faut relever que la recourante se contente d'indiquer que ces personnes sont pour elle "des repères familiaux" et "des soutiens indispensables dans le traitement de [ses] problèmes de santé" et qu'elle les qualifie dans un courrier de "trésors". Ces éléments, à l'évidence, ne permettent pas de retenir un lien de dépendance particulier au sens de la jurisprudence.
Le Tribunal cantonal a ainsi estimé à juste titre que la recourante ne pouvait pas se prévaloir de l'art. 8 CEDH sous l'angle de la protection de la vie familiale. Par ailleurs, la recourante, qui se trouve légalement en Suisse depuis fin 2002, ne motive pas l'existence d'une violation de cette disposition sous l'angle du droit à la vie privée conformément aux exigences de l'<ref-law> (cf. supra consid. 2 et 4.4). Ce grief ne sera donc pas traité.
9.
La recourante invoque également que la révocation de son autorisation d'établissement et son renvoi serait contraire au principe de la proportionnalité (cf. art. 96 LEI).
9.1. Le principe de proportionnalité implique de prendre en considération notamment la gravité de l'éventuelle faute commise par l'étranger, le degré de son intégration, la durée du séjour en Suisse, le préjudice que l'intéressé et sa famille auraient à subir du fait de la mesure (cf. <ref-ruling> consid. 2.2.1 p. 19 s.; <ref-ruling> consid. 4.3 p. 381 s.), ainsi que la part de responsabilité qui lui est imputable s'agissant de son éventuelle dépendance à l'aide sociale (arrêt 2C_837/2017 du 15 juin 2018 consid. 7.1 et les références citées).
9.2. En l'occurrence, les juges cantonaux ont pris en compte les problèmes de santé rencontrés par la recourante, notamment au niveau rénal, psychiatrique et, peut-être neurologique, ainsi que l'existence d'une dépendance à l'alcool et à la cocaïne, sans négliger les rapports médicaux présentés par celle-ci. Ils ont à cet égard retenu que ces problèmes de santé pouvaient en partie expliquer l'ampleur du recours à l'aide sociale, dans la mesure où la recourante avait connu de longues périodes d'incapacité de travail entre août et novembre 2014, mars et novembre 2015, ainsi qu'entre janvier et début mars 2016. En revanche, les juges cantonaux ont relevé que la recourante avait également bénéficié de prestations de l'aide sociale entre 2011 et 2013 alors qu'aucun élément au dossier ne permettait de retenir qu'elle avait été durablement incapable de travailler durant cette période. Sur ce point, il faut préciser que sur les 58 passages à l'hôpital, entre le 13 septembre 2011 et le 19 septembre 2018, mentionnés par la recourante, seuls quatre étaient antérieurs à février 2015 et aucun de ceux-ci n'a conduit à une hospitalisation (cf. doc. 9a au dossier du Tribunal cantonal; <ref-law>). Les juges cantonaux ont aussi souligné qu'aucune incapacité de travail de longue durée n'avait été médicalement attestée depuis mars 2016. En particulier, le médecin généraliste traitant de la recourante depuis avril 2015 (105 al. 2 LTF) n'avait pas mentionné d'incapacité de travailler dans son rapport du 26 avril 2019. Les juges cantonaux ont également relevé que la recourante avait demandé en septembre 2017 au Service cantonal une attestation de séjour "pour commencer à travailler". Cela indiquait, selon eux, que la recourante avait estimé être alors apte à exercer une activité lucrative, ce qui s'opposait au fait qu'elle serait totalement incapable de travailler depuis 2014, comme elle le prétendait. Enfin, ils ont indiqué que la recourante n'avait entrepris aucune démarche tendant au versement de prestations des assurances sociales.
Sur le vu de ce qui précède, les faits de l'arrêt attaqué ne permettent pas de retenir que la recourante, comme elle le prétend, n'aurait perçu de l'aide sociale que lorsqu'elle présentait une incapacité totale de travailler. Par ailleurs, elle ne fait pas valoir qu'elle aurait entrepris des démarches pour sortir de sa dépendance à l'aide sociale en recherchant activement un emploi adapté à son état de santé ou en cherchant à obtenir le soutien des assurances sociales. A cet égard, contrairement à ce qu'elle laisse entendre, le dépôt d'une demande de prestations de l'assurance-invalidité n'aurait absolument pas été incompatible avec le fait de vouloir rechercher du travail le plus rapidement possible. Dans ces circonstances, le Tribunal cantonal a retenu à juste titre que l'on ne pouvait pas considérer que la dépendance à l'aide sociale de la recourante était entièrement involontaire et non fautive. L'arrêt attaqué n'est sur ce point pas critiquable.
9.3. Au surplus, le Tribunal cantonal a procédé à l'examen de la proportionnalité en prenant en considération tous les autres éléments requis. En particulier, il a pris en compte la durée du séjour en Suisse de la recourante, depuis septembre 2002, et sa faible intégration dans ce pays sur le plan socio-professionnel. Il a à ce titre constaté, sans arbitraire, que son intégration sur ce point était déficiente, eu égard notamment aux trois condamnations pénales pour des infractions qui ne peuvent être qualifiées de mineures et aux nombreuses poursuites dirigées contre elle. Sur le plan professionnel, il a retenu que la recourante ne pouvait se prévaloir d'aucun lien spécialement intense avec la Suisse. Les juges cantonaux ont également constaté que la recourante avait passé la majeure partie de sa vie dans son pays d'origine, dans lequel elle se rendait parfois et où vivait encore sa mère et une partie de sa famille proche. En outre, ils ont estimé que l'éloignement de la recourante ne l'empêchera pas de conserver des liens avec ses enfants majeurs restés en Suisse. Le Tribunal cantonal a également expliqué d'une manière soutenable que les atteintes à la santé dont souffre la recourante pourraient être valablement pris en charge dans son pays d'origine. La recourante n'invoque pas l'arbitraire des faits constatés sur ce point (<ref-law>).
9.4. Dans un courrier du 15 juillet 2019, adressé au Tribunal fédéral, le mandataire de la recourante indique que celle-ci a tenté de se suicider le 13 juillet 2019. Un tel fait, postérieur à l'arrêt attaqué, ne peut en principe pas être pris en compte (cf. <ref-law>).
A cet égard, il sera néanmoins précisé qu'un risque de suicide ne suffit pas pour fonder un droit de rester en Suisse (<ref-ruling> consid. 5.2.2 p. 403) et qu'il en va d'ailleurs de même pour ce qui est du fait de pouvoir continuer à bénéficier de prestations médicales dans le pays hôte (cf. arrêts 2C_459/2018 du 17 septembre 2018 consid. 5.6; 2C_300/2016 du 19 août 2016 consid. 4.4.5 et les références citées).
Au vu des faits ressortant de l'arrêt attaqué, l'état de santé de la recourante n'est pas propre à justifier le maintien du séjour en Suisse de la recourante ni à faire apparaître l'exécution du renvoi comme contraire à l'art. 83 al. 4 LEI.
Il convient toutefois de souligner que, s'il appartient à l'autorité d'examiner déjà au stade de l'examen de la proportionnalité de la révocation de l'autorisation d'établissement l'existence d'un éventuel obstacle au renvoi au sens de l'art. 83 al. 4 LEI (cf. <ref-ruling>10 consid. 4.2 p. 119; arrêts 2C_459/2018 du 17 septembre 2018 consid. 5.6; 2C_396/2017 du 8 janvier 2018 consid. 7.6 et les arrêts cités), cela ne dispense pas les autorités chargées de l'exécution du renvoi de vérifier que la recourante remplit toujours les conditions propres à son retour sur le plan médical.
9.5. Sur le vu de l'ensemble de ce qui précède, la révocation de l'autorisation d'établissement s'avère proportionnée.
10.
Le recours doit ainsi être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Le recours étant d'emblée dénué de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire doit être rejetée (<ref-law>). La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des migrations du canton de Neuchâtel, au Département de l'économie et de l'action sociale du canton de Neuchâtel, au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et au Secrétariat d'Etat aux migrations.
Lausanne, le 12 novembre 2019
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : de Chambrier