Sachverhalt:
A.
Die Psychiatrische Klinik B._ teilte der Staatsanwaltschaft Winterthur am 22. Februar 2019 mit, eine Patientin habe am 18. Februar 2019 mitgeteilt, A._ habe ihr ein Video ihres fünfjährigen Sohnes auf ihr Mobiltelefon geschickt, worin dieser ihren Sohn mehrfach aufgefordert habe, die Hose herunterzulassen und seinen nackten Po in die Kamera zu halten.
Die Staatsanwaltschaft beauftragte gleichentags die Polizei mit Sachverhaltsabklärungen. A._ wurde am 14. Mai 2019 vorgeladen und am 11. Juni 2019 polizeilich befragt. Er stellte am 11. Juni 2019 ein Gesuch um amtliche Verbeiständung, das mit Wirkung vom 22. Mai 2019 bis 25. Juli 2019 bewilligt wurde. Die Staatsanwaltschaft nahm die Strafuntersuchung am 2. Dezember 2019 nicht an Hand. Die polizeilichen Ermittlungen hätten keinen hinreichenden konkreten Tatverdacht ergeben, ein konkretes, strafrechtliches Verhalten lasse sich nicht erkennen. Sie nahm die Kosten auf die Staatskasse und sprach keine Entschädigung und keine Genugtuung zu.
B.
Das Obergericht des Kantons Zürich wies mit Beschluss vom 23. März 2020 die Beschwerde von A._ ab, soweit es darauf eintrat; es auferlegte ihm die Verfahrenskosten von Fr. 1'200.-- und sprach ihm keine Entschädigung zu. Mit gleichzeitiger Verfügung wurde das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abgewiesen.
C.
A._ lässt dem Bundesgericht mit Beschwerde in Strafsachen beantragen (gekürzt) :
I. Prozessualiter, die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
II. Hauptsächlich, (1.) die Sache zwecks materieller Behandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen, (2.) die Gerichtsgebühr von Fr. 1'200.-- auf die Staatskasse zu nehmen und (3.) ihm für das Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'821.75 zuzusprechen.
Subsidiär zum Hauptbegehren, (1.) die Sache an die Staatsanwaltschaft zu neuer Entscheidung und Begründung zurückzuweisen, (2.) die Gerichtsgebühr von Fr. 1'200.-- auf die Staatskasse zu nehmen und (3.) ihm für das Beschwerdeverfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'821.75 zuzusprechen.
III. Eventualiter, in Aufhebung des Beschlusses und Abänderung der Nichtanhandnahmeverfügung (1.1.) dem Anwalt eine amtliche Parteientschädigung für das Strafverfahren von Fr. 2'842.25, mit Ausschluss der Rückforderung durch den Staat, zuzusprechen, (1.2.) ihm eine Entschädigung nach <ref-law> von Fr. 189.-- und (1.3.) eine Genugtuung nach <ref-law> von Fr. 500.--, jeweils zzgl. Zins von 5 % seit dem 22. Mai 2019, zuzusprechen; (2.) die Verfahrenskosten von Fr. 1'200.-- auf die Staatskasse zu nehmen und (3.) ihm für das obergerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 1'821.75 zuzusprechen.
IV. Subeventualiter, das vorinstanzliche Dispositiv neu zu fassen, indem zufolge Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege in Ziff. 2 die Gerichtsgebühr einstweilen auf die Staatskasse zu nehmen und in Ziff. 3 dem Anwalt für das Beschwerdeverfahren ein amtliches Honorar von Fr. 1'821.75 zuzusprechen seien.
V. Subsubeventualiter, das Dispositiv in Ziff. 2 abzuändern, indem ihm eine Gerichtsgebühr von Fr. 500.-- aufzuerlegen sei.
VI. Rückweisungsantrag, den Beschluss aufzuheben und zwecks neuer Begründung und Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
Beschwerdegegenstand bilden im Wesentlichen die Art der Erledigung des Verfahrens (Nichtanhandnahme statt Einstellung) sowie das diesbezügliche Nichteintreten der Vorinstanz auf die Beschwerde, die Ablehnung der Entschädigung im Nichtanhandnahmeverfahren sowie die Auferlegung der Kosten des Beschwerdeverfahrens. Die Beschwerde in Strafsachen ist zulässig (vgl. Urteil 6B_950/2020 vom 25. November 2020 E. 1). Die Legitimation ist unter Vorbehalt nachfolgender Erwägungen gegeben (Art. 81 Abs. 1 lit. a und b Ziff. 1 BGG).
Nicht einzutreten ist auf die Begehren, dem Anwalt eine "amtliche Parteientschädigung" (Ziff. III/1.1) bzw. ein "amtliches Honorar" (Ziff. IV) zuzusprechen. Zur Rüge, das Honorar des amtlichen Verteidigers sei zu tief bemessen worden, ist allein der amtliche Anwalt legitimiert, nicht die amtlich verteidigte Person (<ref-ruling> E. 1.4; Urteil 6B_1124/2020 vom 21. Juni 2021 E. 1.1). Mittelbar kann eine Gutheissung der Rechtsbegehren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung allerdings zu einer Honorierung als amtlicher Anwalt führen.
Die Beschwerdeführung erweist sich als disparat, weitschweifig und vermengt die Verfahren. Gemäss dem Bundesgerichtsgesetz ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Das Bundesgericht ist keine Appellationsinstanz. Statt den vorinstanzlich vorgetragenen Standpunkt erneut frei zu diskutieren, wäre bei der als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägung der Vorinstanz anzusetzen (<ref-ruling> E. 1.2; vgl. Urteil 6B_970/2017 vom 17. Oktober 2017 E. 4: "la motivation doit être topique, c'est-à-dire se rapporter à la question juridique tranchée par l'autorité cantonale").
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt sinngemäss, das Verfahren hätte statt durch Nichtanhandnahme (<ref-law>) durch Einstellung erledigt werden sollen (<ref-law>). In diesem Zusammenhang trägt er vor, die Vorinstanz habe das Verfahren durch die Einvernahme und die Aktenedition (<ref-law>) mindestens materiell eröffnet, weshalb eine Nichtanhandnahme ausser Betracht gefallen wäre. Durch die Erledigungsart erwachse ihm ein Nachteil, namentlich weil die Voraussetzungen einer Wiederaufnahme im ersten Fall tiefer seien und sie sich auf den Kostenpunkt auswirke. Willkürlich sei die Ansicht, dass angesichts der Edition der Vorakten der Staatsanwaltschaft Baden keine "Zwangsmassnahmen" vorgenommen worden sein sollen (Beschwerde S. 9, 30 f.). Es sei das Verfahren wegen "Verdachts Kindsmisshandlung" nicht an Hand genommen worden; das sei ein nicht existierender Tatbestand (Beschwerde S. 14, 30 f.). Es frage sich, ob die eingestellten Tatbestände im Urteil genannt werden müssten (mit Hinweis auf die Art. 80 und 81 StPO).
2.2.
2.2.1. Die Staatsanwaltschaft eröffnet eine Untersuchung, wenn sich ein hinreichender Tatverdacht ergibt (<ref-law>), gemeint ist ein "mittlerer Verdacht", d.h. erhebliche Gründe, die für das Vorliegen eines Tatverdachts sprechen (Urteil 6B_335/2020 vom 7. September 2020 E. 3.3.4). Die zur Eröffnung einer Strafuntersuchung erforderlichen tatsächlichen Hinweise auf eine strafbare Handlung müssen erheblich und konkreter Natur sein. Blosse Gerüchte oder Vermutungen genügen nicht; der Anfangsverdacht soll eine plausible Tatsachengrundlage haben, aus der sich die konkrete Möglichkeit ergibt, dass eine Straftat begangen worden ist (Urteile 6B_553/2019 vom 6. November 2019 E. 3.1; 6B_833/2019 vom 10. September 2019 E. 2.4.2). In der Untersuchung klärt die Staatsanwaltschaft den Sachverhalt tatsächlich und rechtlich so weit ab, dass sie das Vorverfahren abschliessen kann (<ref-law>). Nach Abschluss des Untersuchungsverfahrens entscheidet sie, ob ein Strafbefehl zu erlassen, Anklage zu erheben oder das Verfahren einzustellen sei (vgl. <ref-law>; Urteil 6B_655/2020 vom 7. Oktober 2020 E. 2.4.2).
2.2.2. Wurden bereits Untersuchungshandlungen vorgenommen, die grundsätzlich nach der Eröffnung des Strafverfahrens zu tätigen sind, hat die Staatsanwaltschaft, wenn sie zur Überzeugung kommt, dass kein Straftatbestand erfüllt ist, das Verfahren durch Einstellung nach <ref-law> und nicht durch Nichtanhandnahme nach <ref-law> abzuschliessen. Dies ist zum Beispiel bei einem Aktenbeizug im Sinne von <ref-law> der Fall (Urteil 1B_731/2012 vom 8. Februar 2013 E. 2). Anders verhält es sich bei der blossen Erteilung eines Ermittlungsauftrags an die Polizei nach <ref-law>. Eine Nichtanhandnahme des Strafverfahrens ist auch nach einem polizeilichen Ermittlungsverfahren im Sinne von Art. 306 f. StPO noch zulässig (Urteil 6B_810/2017 vom 9. November 2017 E. 2.4.2).
2.2.3. Die Staatsanwaltschaft verfügt die Nichtanhandnahme, sobald aufgrund der Strafanzeige oder des Polizeirapports feststeht, dass die fraglichen Straftatbestände oder die Prozessvoraussetzungen eindeutig nicht erfüllt sind (<ref-law>). Ob die Behörde ein Strafverfahren durch Nichtanhandnahme erledigen kann, beurteilt sich nach dem aus dem strafprozessualen Legalitätsprinzip abgeleiteten Grundsatz "in dubio pro duriore". Danach darf die Nichtanhandnahme nur in sachverhaltsmässig und rechtlich klaren Fällen ergehen (Urteil 6B_1039/2020 vom 20. April 2021 E. 1.3). Die Strafverfolgungsbehörde und die Beschwerdeinstanz verfügen über einen gewissen Ermessensspielraum, in den das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift (vgl. Urteile 6B_810/2020 vom 14. September 2020 E. 2.1; 6B_553/2019 vom 6. November 2019 E. 3.1; 6B_1095/2015 vom 8. März 2016 E. 2.1).
2.2.4. Die Legitimation zur Beschwerde im Sinne von <ref-law> setzt ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des Entscheides voraus (<ref-law>). Eine rechtskräftige Einstellungsverfügung kommt einem freisprechenden Endentscheid gleich (<ref-law>). Die beschuldigte Person ist daher grundsätzlich nicht legitimiert, mittels Beschwerde in Strafsachen eine zu ihren Gunsten erfolgte Verfahrenseinstellung anzufechten mit dem Ziel, eine positive Feststellung der Schuldlosigkeit zu erwirken. Ein Anspruch auf gerichtliche Feststellung der Schuldlosigkeit lässt sich auch aus der Unschuldsvermutung nicht ableiten (vgl. Urteile 6B_212/2018 vom 4. Juni 2018 E. 3; 6B_528/2018 vom 1. Juni 2018 E. 4.2; 6B_1312/2017 vom 28. März 2018 E. 1.2; je mit Hinweisen). Dies gilt auch für Verfügungen betreffend die Nichtanhandnahme eines Strafverfahrens (Urteil 6B_783/2020 vom 31. März 2021 E. 3).
2.3.
2.3.1. Die Vorinstanz beurteilt die Vorbringen des Beschwerdeführers sachgerecht. Soweit sie auf Vorbringen "nicht eintritt", handelt es sich um Eventualbegründungen, die jeweils für sich begründet sind. In diesem Zusammenhang verneint die Vorinstanz ein schutzwürdiges Interesse an einer Aufhebung der Nichtanhandnahmeverfügung und deren Abänderung in eine Einstellungsverfügung. Dies ist angesichts der bundesgerichtlichen Rechtsprechung (vgl. oben E. 2.2.4) nicht zu beanstanden. Dass sich die Art der Erledigung nachteilig auf den Beschwerdeführer auswirken könnte, ist nicht ersichtlich, zumal die Bestimmungen über die Nichtanhandnahme (<ref-law>) auf jene zur Einstellung (<ref-law>) verweisen und die Normen betreffend Verfahrenskosten für sämtliche Erledigungsarten gleichermassen zur Anwendung gelangen (<ref-law>). Insoweit fehlt es an jedem Rechtsnachteil und ist die Kritik unbegründet.
Von Verletzungen des Anspruchs auf ein gerichtliches Verfahren im Sinne von Art. 29a und Art. 29 Abs. 1 BV oder des Gehörsrechts (<ref-law>), auch im Sinne der hinreichenden Begründung des Urteils (dazu Urteil 6B_335/2020 vom 7. September 2020 E. 3.4.10), kann nicht die Rede sein. Die Beschwerdeberechtigung reicht so weit wie die Beschwer. Das Bundesgericht hat konkrete Fälle zu entscheiden und nicht theoretische Fragestellungen zu erörtern. Ebenso wenig drängt es sich in diesem Verfahren auf, die Tragweite von Art. 80 und 81 StPO hinsichtlich von separaten Verfügungen oder Beschlüssen zu erörtern (Beschwerde S. 11 ff., 30). Die kantonalen Strafbehörden haben die Entschädigungs- und Kostenfolgen beurteilt. Der Beschwerdeführer war in die Lage versetzt, diese Entscheide ohne Weiteres anfechten zu können. Er ist insoweit in keiner Weise beschwert.
2.3.2. Soweit der Beschwerdeführer sinngemäss den Inhalt der Nichtanhandnahmeverfügung bzw. die Verwendung des Begriffs der "Kindsmisshandlung" beanstandet und damit Art. 80 f. StPO als verletzt rügt, ist seine Kritik unbegründet. Kindsmisshandlung ist bekanntlich kein formeller Tatbestand des StGB, der Begriff wird aber u.a. im Strafrecht (Urteil 6B_593/2020 vom 19. Oktober 2020), in der Rechtsmedizin (Urteil 6B_1059/2019 vom 10. November 2020) und im Zivilrecht als Sammelbegriff für Übergriffe an Kindern verwendet. Bei der Revision der Kindesschutzmassnahmen im Hinblick auf die Vorgaben der Kinderrechtskonvention (KRK; SR 0.107) bestand denn auch eine Arbeitsgruppe Kindsmisshandlung (Urteil 5A_536/2007 vom 24. Januar 2008 E. 2.1).
2.3.3. Die Strafverfolgungsbehörden haben "den für eine Straftat relevanten Sachverhalt" (<ref-law>) festzustellen; sie ermitteln nicht aufs Geratewohl, sondern hypothesengeleitet, "damit hernach über das weitere Schicksal des Falls befunden werden kann" (SCHMID/ JOSITSCH, Handbuch des schweizerischen Strafprozessrechts, 3. Aufl. 2017, Rz. 1232). Es geht um eine verdachtsgeleitete, "dynamische" Sachverhaltsermittlung (Urteil 6B_335/2020 vom 7. September 2020 E. 3.3.4).
Der Begriff Kindsmisshandlung wurde der offenen polizeilichen Ermittlung als Ermittlungshypothese zugrunde gelegt. Das ist nicht zu beanstanden. Es ergab sich kein relevanter Tatverdacht (<ref-law>). Eine Strafuntersuchung war nicht zu eröffnen. Akteneditionen können Untersuchungshandlungen darstellen. Das ist nach den Umständen zu beurteilen. Inwiefern dem Beschwerdeführer ein Nachteil erwachsen sein soll, ist nicht ersichtlich, sodass sich eine Aufhebung des Beschlusses nicht rechtfertigt (Urteile 6B_810/2019 vom 22. Juli 2019 E. 2.3; 6B_919/2018 vom 17. Mai 2019 E. 5.2; 6B_962/2013 vom 1. Mai 2014 E. 2). Im Dispositiv sind keine bloss hypothetischen Straftatbestände zu nennen. Das ist die Praxis. Nach dem Strafbefehl ist klar, welcher Lebenssachverhalt Gegenstand der Nichtanhandnahme war (<ref-law>; vgl. Urteil 6B_775/2020 vom 23. November 2020 E. 2.1). Dass nach einer Nichtanhandnahme geringere Voraussetzungen an eine Wiederaufnahme geknüpft sind als bei einer Einstellung (<ref-ruling> E. 2.3 S. 198), folgt aus der Tatsache, das bei der Einstellung bereits eine Untersuchung durchgeführt wurde (<ref-law>). Selbst im hier nicht vorliegenden theoretischen Fall, dass die Staatsanwaltschaft statt der Nichtanhandnahme die Sache hätte formell einstellen sollen, wäre nicht zwingend gerechtfertigt, die Nichtanhandnahmeverfügung nur aus diesem alleinigen Grund aufzuheben ("il ne se justifie pas de l'annuler pour ce seul motif"; Urteil 6B_1051/2018 vom 19. Dezember 2018 E. 2.4.1).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die Verweigerung der Entschädigung im Nichtanhandnahmeverfahren und die Auferlegung der Kosten im Beschwerdeverfahren. Anwaltskosten seien Bestandteil von <ref-law> (Beschwerde S. 8, 11, 12, 13).
Das amtliche Mandat habe nur bis zum 25. Juli 2019 gedauert. Dann seien private Anwaltskosten entstanden, auf die die Vorinstanz nicht eingetreten sei. Sie begründe die Abweisung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht bundesrechtskonform, sodass nicht sachgerecht Beschwerde geführt werden könne. Es sei bundesrechtswidrig, keinen Kostenvorschuss einzufordern und dann die Kosten aufzuerlegen. Wegen der materiellen Eröffnung des Strafverfahrens sei die Beschwerde nicht aussichtslos gewesen. Die Ablehnung der Entschädigung und Genugtuung verstosse gegen <ref-law> (Beschwerde S. 10 f.). Es gehe nicht an, Zeugen für jede Aufwendung zu entschädigen, nicht aber die beschuldigte Person (Beschwerde S. 15 f.). Er sei als temporär Beschäftigter in Arbeitskleidung auf dem Polizeiposten erschienen, die Zugstrecke habe er mit dem Anwalt zurückgelegt, das Zugticket habe er weggeworfen und könne deshalb den Schaden nicht belegen (Beschwerde S. 28).
Der Vorwurf der Kindsmisshandlung sei ein schwerwiegender Eingriff in die Persönlichkeitsrechte (<ref-law>). Es gehe nicht an, solche Vorwürfe aufs "Geratewohl" zu untersuchen. Wenn es zutreffe, dass das Video völlig problemlos sei, hätte gar nicht erst eine Einvernahme stattfinden müssen/dürfen. Sei es aber derart problematisch, hätte das Verfahren eröffnet werden müssen. Es gehe nicht an, ihm bei Straffreiheit die Kosten aufzuerlegen (Beschwerde S. 29). Die Vorinstanz habe die Kosten einzig nach dem Gebührentarif begründet. Sie hätte die wirtschaftlichen Verhältnisse gemäss <ref-law> beachten müssen (Beschwerde S. 31).
3.2. Die Vorinstanz verneint ein schutzwürdiges Interesse hinsichtlich der Kosten der amtlichen Verteidigung, die auf die Staatskasse genommen worden seien. Eine Rückforderung durch den Staat (<ref-law>) komme nicht Betracht, da dies weder im Dispositiv noch in der Verfügung festgelegt worden sei (Beschluss S. 3 f.). Somit mache er einzig die Entschädigung wirtschaftlicher Einbussen geltend (Beschluss S. 10).
In Bezug auf die Entschädigung erwägt sie, die Staatsanwaltschaft habe den Beschwerdeführer mit Schreiben vom 27. November 2019 orientiert, dass sie eine Nichtanhandnahmeverfügung beabsichtige. Sie habe ihm damit das rechtliche Gehör gewährt (Beschluss S. 6). Gleichzeitig habe sie ihm eine Frist zur Einreichung allfälliger Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen gesetzt. Er habe eine Entschädigung von Fr. 189.-- und eine Genugtuung von Fr. 500.--, je zuzüglich Zins, beantragt (Beschluss S. 6). Die Staatsanwaltschaft habe wegen Geringfügigkeit keine Entschädigung für die wirtschaftlichen Einbussen ausgerichtet. Der Beschwerdeführer habe lediglich zu einer Einvernahme von weniger als 60 Minuten erscheinen müssen (polizeiliche Befragung während 49 Minuten, Beschluss S. 9). Nur für schwere Verletzungen der persönlichen Verhältnisse bestehe ein Anspruch auf Genugtuung. Für die mit jedem Strafverfahren einhergehende Belastung sei keine Genugtuung zuzusprechen.
Soweit der Beschwerdeführer gestützt auf <ref-law> einen Anspruch mit einem insgesamt ca. vierstündigen Aufwand und einem dadurch verursachten erheblichen Lohnausfall begründet, führt die Vorinstanz aus, eine solche Entschädigung komme auch bei einer Nichtanhandnahme in Betracht (<ref-law>). Dabei obliege es der beschuldigten Person, ihre Ansprüche zu begründen und zu belegen. Die Entschädigung könne herabgesetzt oder verweigert werden, wenn die Aufwendungen geringfügig seien (<ref-law>). Die Pflicht ein- oder zweimal zu einer Gerichtsverhandlung erscheinen zu müssen, gebe zu keiner Entschädigung Anlass (u.a. mit Hinweis auf die Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung der Strafprozessordnung, BBl 2006 1330). Auch für eine Genugtuung genüge die mit jedem Strafverfahren grundsätzlich einhergehende psychische Belastung nicht. Das habe die Staatsanwaltschaft überzeugend begründet. Weitere Verfahrenshandlungen neben der 49-minütigen Befragung, die eine aktive oder passive Beteiligung notwendig gemacht hätten, seien nicht durchgeführt worden (Beschluss S. 9). Dies und die Aufwendungen für die Verkehrsmittel stellten geringfügige Aufwendungen im Sinne von <ref-law> dar. Der Schaden werde nicht dargelegt, sodass darauf auch nicht einzutreten wäre (Beschluss S. 10).
Die Vorinstanz betont, die Staatsanwaltschaft habe betreffend den Verdacht der Kindsmisshandlung zu Recht die Nichtanhandnahme verfügt. Eine Untersuchung werde erst eröffnet, wenn sich aus Informationen und aus Berichten der Polizei ein hinreichender Tatverdacht ergebe (<ref-law>; mit Hinweis auf Urteil 6B_810/2017 vom 9. November 2017 E. 2.4.2) und die Staatsanwaltschaft selber Untersuchungshandlungen vornehme, nicht aber mit einem Auftrag an die Polizei in Anwendung von <ref-law> (mit Hinweis auf Urteil 6B_469/2017 vom 20. Februar 2018 E. 2.1.2, 2.3). Es seien keine Zwangsmassnahmen erfolgt.
3.3.
3.3.1. Liegt ein Fall notwendiger Verteidigung vor, so achtet die Verfahrensleitung darauf, dass unverzüglich eine Verteidigung bestellt wird (<ref-law>). Die Verteidigung ist insbesondere notwendig, wenn der beschuldigten Person eine Freiheitsstrafe von mehr als einem Jahr droht (<ref-law>). Sind die Voraussetzungen notwendiger Verteidigung bei Einleitung des Vorverfahrens erfüllt, so ist die Verteidigung nach der ersten Einvernahme durch die Staatsanwaltschaft, jedenfalls aber vor Eröffnung der Untersuchung, sicherzustellen (<ref-law>).
Die amtliche Verbeiständung wurde für die Dauer vom 22. Mai 2019 bis 25. Juli 2019 bewilligt. Der Beschwerdeführer legt nicht dar, dass dieses amtliche Mandat nicht entschädigt worden wäre. In diese Zeit fiel die polizeiliche Befragung vom 11. Juni 2019. Weitere Verfahrenshandlungen fanden nicht statt und entsprechend war keine forensische Anwaltstätigkeit erfordert (oben E. 3.2).
3.3.2. Zum Verzicht der Staatsanwaltschaft auf eine Entschädigung der wirtschaftlichen Einbusse im Sinne von <ref-law> sowie auf eine Genugtuung im Sinne von <ref-law> ist auf den Beschluss der Vorinstanz zu verweisen. Die aus dem rechtlichen Gehör fliessende Pflicht zur Begründung hinsichtlich der Kosten und damit die Begründungsdichte hängen stark davon ab, wie gross der Entscheidungsspielraum ist und wie stark in individuelle Rechte eingegriffen wird (Urteil 5A_363/2021 vom 7. Juni 2021 E. 5). Die Beurteilung der Ansprüche aus <ref-law> ist die Aufgabe der Strafbehörden. Das Bundesgericht greift nur mit Zurückhaltung ein (Urteil 6B_950/2020 vom 25. November 2020 E. 2.3.1 f.). Die Ansprüche sind zu beziffern und zu belegen und können in einem späteren Verfahren nicht mehr geltend gemacht werden (<ref-ruling> E. 1.3, 1.4), insbesondere auch nicht mehr vor Bundesgericht.
3.3.3. Betreffend die geforderte Genugtuung ist festzuhalten, dass nach konstanter Rechtsprechung, worauf die Vorinstanz aufmerksam macht, nicht jede noch so geringfügige Beeinträchtigung der Persönlichkeit als rechtlich relevante Verletzung verstanden wird (<ref-ruling> E. 5.1; Urteile 6B_736/2020 vom 28. Mai 2021 E. 1.2; 6B_780/2015 vom 6. Januar 2016 E. 1.5). Die Verletzung muss eine gewisse Intensität erreichen. Sie ist objektiv zu bestimmen; auf die subjektive Empfindlichkeit des Betroffenen kommt es dabei nicht an (Urteil 1B_21/2012 vom 27. März 2012 E. 2.4). Bei der Beurteilung, ob besondere Umstände eine Genugtuung rechtfertigen, steht dem Richter ein weites Ermessen zu, in das das Bundesgericht nur mit Zurückhaltung eingreift (<ref-ruling> E. 2.3.1; <ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2a). Nicht anders verhält es sich generell bei strafrechtlich begründeten Ansprüchen (vgl. Urteile 6B_1072/2020 vom 26. Mai 2021 E. 5.1; 6B_693/2020 vom 18. Januar 2021 E. 8.1; 6B_181/2020 vom 21. Dezember 2020 E. 3) und insbesondere im Rahmen von <ref-law>. Diesbezüglich wird der Genugtuungsanspruch ebenfalls materiellrechtlich nach <ref-law> und <ref-law> beurteilt; die Festlegung der Genugtuungssumme beruht auf der Würdigung sämtlicher Umstände und richterlichem Ermessen gemäss <ref-law> (<ref-ruling> E. 2.3.1). Die ausführlich begründete vorinstanzliche Entscheidung verletzt kein Bundesrecht.
3.3.4. Die Strafbehörde kann die Entschädigung oder Genugtuung namentlich herabsetzen oder verweigern, wenn die beschuldigte Person rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat (<ref-law>) bzw. wenn die Aufwendungen geringfügig sind (<ref-law>). Die Grundsätze von <ref-law> gelten auch bei der Beurteilung, ob eine Entschädigung oder Genugtuung im Sinne von <ref-law> herabzusetzen oder zu verweigern ist. Grundsätzlich hat die beschuldigte Person aber Anspruch auf Entschädigung, soweit die Kosten von der Staatskasse übernommen werden (Urteil 6B_950/2020 vom 25. November 2020 E. 2.3.3).
Nach dem unbestrittenen Lebenssachverhalt hatte die Psychiatrische Klinik B._ der Staatsanwaltschaft mitgeteilt, einer Patientin sei vom Beschwerdeführer ein Video zugesendet worden, in welchem dargestellt werde, wie dieser ihren fünfjährigen Sohn mehrfach aufforderte, die Hose herunterzulassen und seinen nackten Po in die Kamera zu halten (oben Sachverhalt A).
Dieser Eingriff in die Intimsphäre des Kindes und die Zusendung des Videos an die Mutter, die sich in einer psychiatrischen Klinik behandeln liess, sich somit in einem vulnerablen Zustand befand und durch dieses Video umso mehr getroffen und schockiert worden sein wird, veranlassten die kurze Ermittlung und bilden Umstände, die es keinesfalls rechtfertigen, überhaupt eine Genugtuung wegen der geringfügigen Belastung durch das Verfahren einzufordern. Die Verweigerung der Genugtuung erweist sich entgegen der Beschwerdeführung nicht als "offensichtlich unbillig bzw. als in stossender Weise ungerecht" (<ref-ruling> E. 2.3.1).
Ferner ist auf die Rechtsprechung zur "Umtriebsentschädigung" hinzuweisen. Es ist zumutbar und verletzt kein Bundesrecht, geringfügige Umtriebe selber zu tragen, wie die Vorinstanz darlegt; zu diesem Resultat kam der Beschwerdeführer selbst (Beschwerde S. 25 mit Hinweis auf Urteil 6B_808/2011 vom 24. Mai 2012 E. 3.2; ferner Urteile 6B_986/2020 vom 6. Januar 2021 E. 6; 6B_4/2019 vom 19. Dezember 2019 E. 6; 6B_957/2018 vom 21. November 2018 E. 3.5).
3.3.5. Auch für das Beschwerdeverfahren entscheidet die Vorinstanz hinreichend begründet über die Nichtgewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde (Beschluss S. 12 sowie die Begründung überhaupt). Die Vorinstanz setzt die Gerichtsgebühr ausgangsgemäss zutreffend nach dem kantonalen Recht fest. Die Anwendung kantonalen Gesetzesrechts überprüft das Bundesgericht - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - nur auf Willkür und Vereinbarkeit mit anderen verfassungsmässigen Rechten. Den Parteien obliegt bei Rügen einer Verletzung von Grundrechten einschliesslich Willkür und von kantonalem Recht eine qualifizierte Begründungspflicht (Urteile 6B_333/2021 vom 9. Juni 2021 E. 2.3; 6B_128/2021 vom 12. März 2021 E. 4). Mit dem Argument, die Strafjustiz müsse nach Art. 18 Abs. 1 der Zürcher Kantonsverfassung "wohlfeil" sein, wird keine Willkür dargetan. Eine sachgerechte Anfechtung im Sinne von <ref-law> (Beschwerde S. 31) war angesichts des umfangreichen Urteils jedenfalls möglich. Entgegen der Beschwerde war sodann <ref-law> bei der Festsetzung der Gerichtsgebühren nicht zu beachten. Die Bestimmung ist nicht einschlägig. Aufgrund der gerechtfertigten Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung war der nicht als amtlicher Anwalt mandatierte Rechtsvertreter vorinstanzlich nicht zu entschädigen. Nach diesen Gesuchen wird regelmässig kein Vorschuss eingefordert. Das ändert nichts daran, dass die Kosten ausgangsgemäss festzusetzen sind (<ref-law>). Bei der Festsetzung der Gerichtsgebühr verfügt das Gericht über ein grosses Ermessen. Das Bundesgericht greift in dieses nicht bereits ein, wenn sich die Gebühr als unangemessen erweist, sondern nur, wenn das Ermessen über- bzw. unterschritten oder missbraucht und damit Bundesrecht verletzt wird (<ref-ruling> E. 2.2.1; Urteile 6B_1067/2020 vom 5. Mai 2020 E. 6; 6B_1130/2020 vom 14. April 2021 E. 4.1.2). Das ist nicht der Fall. Eine Verletzung von Bundesrecht liegt nicht vor.
4.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (und Verbeiständung) ist wegen Aussichtslosigkeit des Rechtsbegehrens abzuweisen (<ref-law>; <ref-law>; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 2.3.1). Praxisgemäss werden der unterliegenden Person bei Gesuchen um unentgeltliche Rechtspflege mit nachgewiesener Bedürftigkeit die Gerichtskosten herabgesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Denys
Der Gerichtsschreiber: Briw