Erwägungen:
1.
A._ stellte bei der Opferhilfestelle des Kantons Zürich ein Opferhilfegesuch. Die Opferhilfestelle wies das Gesuch mit Verfügung vom 14. Juli 2017 ab. Dagegen erhob A._ am 7. September 2017 Beschwerde und beantragte sinngemäss die Übernahme von Fr. 1'000.-- als Soforthilfe für eine anwaltliche Vertretung. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Urteil vom 19. Dezember 2017 ab. Das Sozialversicherungsgericht führte zur Begründung zusammenfassend aus, dass sich aus den Eingaben von A._ nicht ergebe, dass er Opfer einer Straftat geworden sei. Das Gesuch um Soforthilfe sei mangels Erkennbarkeit einer Straftat von der Opferhilfestelle zu Recht abgewiesen worden.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 10. Februar 2018 (Postaufgabe 12. Februar 2018) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 19. Dezember 2017. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, dass das Sozialversicherungsgericht seine Beschwerde in rechtswidriger Weise behandelt hätte. Er legt nicht nachvollziehbar dar, inwiefern die Begründung des Sozialversicherungsgerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, bzw. das Urteil des Sozialversicherungsgerichts selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (<ref-law>). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Kanton Zürich und dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, II. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. März 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli