Sachverhalt:
A.
Das Strafgericht Basel-Stadt verurteilte A._ am 21. Februar 2015 wegen versuchten Mordes zu einer Freiheitsstrafe von sechs Jahren. Der Vollzug der Strafe wurde zugunsten einer stationären Massnahme aufgeschoben. Die Höchstdauer dieser stationären Massnahme wurde am 20. Januar 2020 erreicht. Mit Beschluss vom 6. Februar 2020 verlängerte das Strafgericht die stationäre psychiatrische Behandlung um ein Jahr. Gegen diesen Beschluss erhob der Straf- und Massnahmenvollzug des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt (SMV) am 2. März 2020 Beschwerde beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und beantragte die Verlängerung der Massnahme um zwei Jahre.
Mit Schreiben vom 8. Januar 2021 beantragte der SMV, A._ sei ab dem 20. Januar 2021 bis zum Beschwerdeentscheid in Sicherheitshaft zu versetzen. Am 19. Januar 2021 verfügte der Verfahrensleiter des Appellationsgerichts die provisorische Sicherheitshaft unter dem bisherigen Massnahmenregime und setzte eine mündliche Haftverhandlung auf den 25. Januar 2021 an. Mit Verfügung vom 25. Januar 2021 wurde über A._ bis zum rechtskräftigen Entscheid im Beschwerdeverfahren Sicherheitshaft angeordnet.
B.
Mit Eingabe vom 25. Februar 2021 führt A._ Beschwerde in Strafsachen an das Bundesgericht. Er beantragt, die Verfügung des Appellationsgerichts vom 25. Januar 2021 sei vollumfänglich aufzuheben und er sei unverzüglich aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Es sei festzustellen, dass die gegen ihn angeordnete Sicherheitshaft seit dem 20. Januar 2021 ungesetzlich und verfassungswidrig sei. Eventualiter sei er unverzüglich unter Anordnung von Ersatzmassnahmen aus der Sicherheitshaft zu entlassen. Es sei sodann festzustellen, dass das Beschleunigungsgebot gemäss <ref-law> verletzt worden sei. Weiter sei der Kanton Basel-Stadt gestützt auf Art. 5 Ziff. 5 EMRK zu verpflichten, ihm für den unrechtmässigen Freiheitsentzug seit dem 20. Januar 2020 (recte: 2021, wie der Begründung zum Antrag entnommen werden kann) eine Entschädigung in der Höhe von CHF 200.00 pro Tag ungesetzlicher Haft auszurichten.
Der SMV verzichtet auf eine Vernehmlassung. Das Appellationsgericht verzichtet ebenfalls auf eine Vernehmlassung und beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Beschwerdeentscheid über die Anordnung von strafprozessualer Sicherheitshaft (bei vorbestehendem stationärem Massnahmenvollzug nach rechtskräftiger Verurteilung) im selbstständigen gerichtlichen Nachverfahren betreffend Verlängerung der stationären Massnahme (Art. 221 und 229 ff. i.V.m. Art. 363 f. StPO und <ref-law>). Dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen gemäss <ref-law> offen. Der Beschwerdeführer nahm vor der Vorinstanz am Verfahren teil und befindet sich nach wie vor in Haft. Er ist deshalb gemäss <ref-law> zur Beschwerde berechtigt. Die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass, so dass grundsätzlich auf die Beschwerde einzutreten ist.
1.2. Auf das akzessorische Haftentschädigungsbegehren des Beschwerdeführers ist hingegen, ungeachtet des Ausgangs des Haftbeschwerdeverfahrens in der Sache, nicht einzutreten. Über solche Begehren ist nicht im Haftprüfungsverfahren zu entscheiden, sondern im gesetzlich vorgesehenen separaten Haftentschädigungsverfahren (vgl. Art. 222 und Art. 429-431 StPO; <ref-ruling> E. 2.5.1 S. 250; Urteil 1B_111/2020 vom 31. März 2020 E. 1, nicht publ. in: <ref-ruling>, mit Hinweisen).
2.
2.1. Der Beschwerdeführer macht eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> geltend. Er ist der Auffassung, die Vorinstanz habe ihre Begründungspflicht verletzt, da sie sich nicht zum "allgemeinen Haftgrund der hinreichenden Wahrscheinlichkeit der Fortführung der Massnahme" bzw. Gutheissung der Beschwerde der Vollzugsbehörde geäussert habe. Die fehlende Prüfung des allgemeinen Haftgrundes stelle einen schweren Mangel dar, der ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung der angefochtenen Verfügung vom 25. Januar 2021 führen müsse.
2.2. Der Einwand geht fehl. Die Vorinstanz legte einlässlich dar, weshalb sie die Sicherheitshaft als zulässig beurteilte. Im Übrigen bildet der allgemeine Haftgrund des dringenden Tatverdachts im Sinne von <ref-law> im selbstständigen nachträglichen gerichtlichen Verfahren kein materielles Hafthindernis. Dessen Prüfung entfällt, da eine rechtskräftige Verurteilung bereits vorliegt (vgl. Urteil 1B_41/2019 vom 19. Februar 2019 E. 2.4 mit Hinweisen), weshalb sich die Vorinstanz auch nicht dazu äussern musste. Soweit der Beschwerdeführer in der Frage der hinreichenden Wahrscheinlichkeit der Fortführung der Massnahme einen "allgemeinen Haftgrund" erblicken will, der angeblich nicht geprüft worden sei, ist ihm entgegenzuhalten, dass sich die Vorinstanz zumindest sinngemäss auch dazu geäussert hat. Sie hielt fest, es sei offensichtlich, dass ein Abbruch des bestehenden unterstützenden Settings (stationäre Therapie) nicht zu verantworten wäre. Die vorinstanzlichen Ausführungen erlaubten es dem Beschwerdeführer jedenfalls, den angefochtenen Entscheid sachgerecht anzufechten. Eine Verletzung der Begründungspflicht ist zu verneinen (<ref-ruling> E. 5.2 S. 70 f. mit Hinweisen).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) Nr. 72939/16 betreffend I.L. gegen die Schweiz vom 3. Dezember 2019 und rügt, entgegen den Anforderungen gemäss <ref-law> und Art. 5 Ziff. 1 EMRK bestehe vorliegend für die angeordnete Sicherheitshaft keine gesetzliche Grundlage. Eine rechtsgenügliche, einheitliche und langjährige Praxis sei überdies zu verneinen.
3.2. Die Vorinstanz hat indes zu Recht festgehalten, es liege eine ausreichende gesetzliche Grundlage vor: Das Bundesgericht hat sich mit dem vom Beschwerdeführer genannten Urteil des EGMR bereits mehrmals auseinandergesetzt. Demnach beruht die Anordnung von Sicherheitshaft in selbstständigen nachträglichen Verfahren gemäss <ref-law> in analoger Anwendung von Art. 221 und Art. 229 ff. StPO inzwischen auf einer lang andauernden und konstanten Rechtsprechung. Diese geht zurück auf ein in <ref-ruling> publiziertes Urteil vom 15. August 2011 und wurde seither unzählige Male bestätigt (vgl. Urteil 1B_528/2020 vom 4. November 2020 sowie die dort in E. 2.1 zitierten weiteren Urteile). Die entsprechende bundesgerichtliche Rechtsprechung vermag die allenfalls fehlende ausdrückliche Gesetzesgrundlage nach der Rechtsprechung des EGMR zu ersetzen, mithin die Anforderungen gemäss Art. 5 Ziff. 1 EMRK zu erfüllen (vgl. <ref-ruling> mit Hinweisen). Die Rüge der Verletzung des Legalitätsprinzips erweist sich als unbegründet. Am 1. März 2021 sind sodann im Übrigen die Art. 364a und Art. 364b StPO in Kraft getreten (AS 2021 75; BBI 2019 6697). Damit wurde nunmehr, ausgehend von der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, eine explizite Regelung der Sicherheitshaft im Zusammenhang mit einem Verfahren bei selbstständigen nachträglichen Entscheiden in der StPO geschaffen.
Nach dem Gesagten kann offen bleiben, ob die Sicherheitshaft im vorliegenden Fall auch noch (selbstständig bzw. subsidiär) auf § 25 des Gesetzes über den Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt vom 13. November 2019 (SG 258.200) gestützt werden könnte (vgl. Urteil 1B_207/2020 vom 26. Mai 2020 E. 3.5 mit Hinweisen).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer bestreitet weiter das Vorliegen eines materiellen Haftgrundes. Er macht geltend, die Vorinstanz bringe nichts vor, was eine akute Wiederholungs- bzw. Rückfallgefahr im Sinne von <ref-law> begründen würde. Er habe sich im Massnahmenvollzug vorbildlich verhalten, weshalb er auch seine eigene Wohnung habe beziehen dürfen und beruflich eingegliedert worden sei. Diese Vollzugslockerungen wären ihm nicht gewährt worden, wenn Fortsetzungsgefahr vorliegen würde. Daran ändere weder die Tatsache etwas, dass er Alkohol konsumiert habe noch sein Suizidversuch. Die Vorinstanz zeige nicht ansatzweise auf, weshalb seine Legalprognose nach einem solchen positiven Verlauf und dem Übertritt ins Wohn- und Arbeitsexternat plötzlich derart getrübt sein solle. Zudem äussere sich die Vorinstanz auch nicht dazu, was für Delikte zu befürchten seien und mit welcher Wahrscheinlichkeit.
4.2. Der Wortlaut des Haftgrundes der Wiederholungsgefahr gemäss <ref-law> ist auf das ordentliche Untersuchungs- und Hauptverfahren (mit Vortaten und neu zu untersuchenden Delikten) zugeschnitten. Im vollzugsrechtlichen gerichtlichen Nachverfahren mit bereits rechtskräftig beurteilten Straftaten ist aufgrund einer Rückfallprognose zu prüfen, ob weitere sicherheitsrelevante Verbrechen oder schwere Vergehen ernsthaft zu erwarten sind (s.a. Art. 364a Abs. 1 lit. b Ziff. 2 StPO, in Kraft seit 1. März 2021).
Bei Sicherheitshaft während nachträglicher richterlicher Massnahmenverfahren reicht grundsätzlich der (im Sanktionspunkt nochmals hängige) Gegenstand der bereits erfolgten Verurteilung als Vordelinquenz im Sinne von <ref-law> (vgl. <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 338; nicht amtl. publ. E. 3.5.1 von <ref-ruling>). Ausschlaggebend ist damit die Frage der potentiellen Gefährlichkeit der im Nachverfahren strafprozessual inhaftierten oder zu inhaftierenden Person (vgl. <ref-ruling> E. 3-4 S. 18 ff.; <ref-ruling> E. 2.3.3 S. 338; E. 3.5.2 von <ref-ruling>; Urteil 1B_41/2019 vom 19. Februar 2019 E. 2.4; je mit Hinweisen).
In der Regel erscheint die Gefährdung der Sicherheit anderer umso höher, je schwerer die drohende Tat wiegt. Betreffend die Anforderungen an die Rückfallgefahr gilt hingegen eine umgekehrte Proportionalität. Dies bedeutet, je schwerer die drohenden Taten sind und je höher die Gefährdung der Sicherheit anderer ist, desto geringere Anforderungen sind an die Rückfallgefahr zu stellen. Liegen die Tatschwere und die Sicherheitsrelevanz am oberen Ende der Skala, so ist die Messlatte zur Annahme einer rechtserheblichen Rückfallgefahr tiefer anzusetzen. Zugleich ist daran festzuhalten, dass der Haftgrund der Wiederholungsgefahr restriktiv zu handhaben ist. Hieraus folgt, dass eine negative, d.h. eine ungünstige Rückfallprognose zur Annahme von Wiederholungsgefahr notwendig, grundsätzlich aber auch ausreichend ist (<ref-ruling> E. 2.8-2.10 S. 16 f. mit Hinweisen).
4.3. Die Vorinstanz erwog, es bestehe Fortsetzungsgefahr. Zur Begründung führte sie aus, der Beschwerdeführer habe die von den Fachpersonen als für die Minimierung der Rückfallgefahr unabdingbar gehaltene Alkoholabstinenz nicht eingehalten. Zudem mangle es ihm diesbezüglich an einem Problembewusstsein und er habe den Alkoholkonsum mit Blick auf die anstehende Haaranalyse zunächst mithilfe einer Haarfärbung verheimlichen wollen.
4.4. Gemäss dem Gutachten des forensischen Psychiaters vom 13. November 2014, auf welches die Vorinstanz im Zusammenhang mit den Ausführungen der Vollzugsbehörde verwies, stellen insbesondere die Suchtproblematik (Alkoholabhängigkeit) des Beschwerdeführers sowie seine Persönlichkeitsstörung wesentliche prädisponierende Faktoren für das erneute Auftreten ähnlich gelagerter Delikte dar. Wenn die Vorinstanz deshalb folgerte, aufgrund der nicht eingehaltenen Alkoholabstinenz sowie der persönlichen Krise des Beschwerdeführers mit Suizidversuch am 11. Januar 2021, welche angeblich durch die coronabedingten Einschränkungen hervorgerufen worden sei, sei Fortsetzungsgefahr anzunehmen, hält dies vor dem Bundesrecht stand.
Daran vermögen auch die Einwände des Beschwerdeführers nichts zu ändern, wonach er sich im Massnahmenvollzug vorbildlich verhalten habe und mehrere äusserst positive Vollzugsberichte vorweisen könne, weshalb keine Fortsetzungsgefahr vorliegen könne. Wenn er geltend macht, ihm wären ansonsten keine Vollzugslockerungen gewährt worden, gilt es zu berücksichtigen, dass die fortlaufende Verbesserung der Legalprognose bzw. Verminderung des Rückfallrisikos von eben solchen Vollzugslockerungen abhängig ist. Aus den dem Beschwerdeführer gewährten Vollzugslockerungen kann allerdings nicht ohne Weiteres gefolgert werden, es liege keine Rückfallgefahr mehr vor. Stattdessen hat sich der Beschwerdeführer gemäss dem Vollzugsplan bei jeder Lockerungsstufe zu bewähren und aufzuzeigen, dass er mit den neu gewonnenen Freiheiten zurecht kommt, über ein Rückfallmanagement verfügt und sich insbesondere auch an die unabdingbare Alkoholabstinenz halten kann. Daran mangelt es vorliegend.
Nicht gefolgt werden kann dem Beschwerdeführer daher, wenn er vorbringt, der Alkoholkonsum möge zwar einen Regelbruch darstellen, die Sicherheitshaft vermöge er aber nicht zu begründen. Wie erwähnt, stellt die Alkoholsucht des Beschwerdeführers gemäss dem forensisch-psychiatrischen Gutachten einen wesentlichen prädisponierenden Faktor für das erneute Auftreten ähnlich gelagerter Delikte dar, welche es zu verhindern gilt. Dabei fällt insbesondere auch das sehr schwere Anlassdelikt ins Gewicht. Der Beschwerdeführer wurde wegen versuchten Mordes verurteilt. Die Tatschwere und die Sicherheitsrelevanz der allfällig drohenden Delikte liegt demnach am oberen Ende der Skala und die Messlatte zur Annahme einer rechtserheblichen Rückfallgefahr ist tiefer anzusetzen (vgl. E. 4.2 hiervor).
Vorliegend bestehen mithin insbesondere aufgrund der nicht eingehaltenen Alkoholabstinenz Gründe für die Annahme einer ungünstigen Rückfallprognose. Der Beschwerdeführer könnte für die öffentliche Sicherheit potentiell gefährlich sein, würde er unvermittelt aus dem bestehenden Setting entlassen. Es kann jedenfalls nicht ausgeschlossen werden, dass der Beschwerdeführer, insbesondere auch aufgrund der einschränkenden Coronamassnahmen, in der neuen Umgebung ohne das unterstützende Massnahmensetting überfordert wäre. In der Folge könnte es zu einer psychischen Dekompensation kommen und der Beschwerdeführer könnte dem Suchtdruck nachgeben, womit nach wie vor von einer Gefährdung der öffentlichen Sicherheit auszugehen ist.
Aufgrund des Gesagten besteht sodann auch eine hinreichende Wahrscheinlichkeit, dass die bisherige stationäre Massnahme nicht nur um ein, sondern um zwei Jahre verlängert wird, damit dem Beschwerdeführer genügend Zeit bleibt, um zu lernen, wie er sich in möglichen Risikosituationen zu verhalten hat.
Soweit der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang rügt, es sei rechtsmissbräuchlich, wenn die Vollzugsbehörde behaupte, die Vollzugsöffnung hätte bis zum Ende der verfügten Massnahme nicht genügend erprobt werden können und sie nun die Sicherheitshaft beantrage, kann ihm nicht gefolgt werden. Es ist weder ersichtlich noch vom Beschwerdeführer rechtsgenüglich dargetan, inwiefern diesbezüglich der angefochtene Entscheid gegen Treu und Glauben verstossen soll bzw. dass sich die Vollzugsbehörde um den Beschluss des Strafgerichts vom 6. Februar 2020 "foutiert" hätte.
4.5. Entgegen der Behauptung des Beschwerdeführers sind schliesslich zurzeit auch keine milderen Ersatzmassnahmen sofort umsetzbar. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern im Rahmen von Ersatzmassnahmen nach <ref-law> ein gleich wirksames, fachkundiges und therapeutisches Betreuungsnetz bzw. Unterstützungsangebot für den Beschwerdeführer vorläufig auf die Beine hätte gestellt werden können, um der Fortsetzungsgefahr zu begegnen. Im Übrigen kann den vorinstanzlichen Erwägungen entnommen werden, dass der Vollzugsort von der Anordnung der Sicherheitshaft unberührt bleibt, der Beschwerdeführer mithin in der JVA St. Johannsen verbleiben kann, wohin er nach seinem Suizidversuch selbstständig zurückgekehrt ist. Sodann hielt die Vorinstanz ausdrücklich fest, es bleibe in Übereinstimmung mit den Wünschen des Beschwerdeführers das Ziel, dass er bald wieder möglichst selbstständig wohne und arbeite. Damit würde unter dem Titel der Sicherheitshaft das bisherige Massnahmenregime weitergeführt. Die Anordnung der Sicherheitshaft erweist sich somit als verhältnismässig.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer bringt weiter vor, die Vorinstanz habe die Sicherheitshaft für die gesamte Dauer des Beschwerdeverfahrens angeordnet, statt sie zu befristen. Diese fehlende zeitlich bestimmte Befristung verstosse gegen Bundesrecht.
5.2. Gemäss <ref-law> wird die Verlängerung der Untersuchungshaft jeweils für längstens drei Monate, in Ausnahmefällen für längstens sechs Monate bewilligt. Nach der Rechtsprechung des Bundesgerichts erfolgt indes mangels Verweises in den Art. 231 f. StPO auf diese Bestimmung keine periodische Überprüfung der Sicherheitshaft, sobald das Berufungsgericht mit der Sache befasst ist. Dieses kann Sicherheitshaft bis zum Berufungsurteil anordnen. Die inhaftierte Person kann gestützt auf <ref-law> jederzeit ein Haftentlassungsgesuch stellen (<ref-ruling> E. 2.2.3 S. 189 ff.; Urteil 1B_461/ 2020 vom 14. Oktober 2020 E. 7).
Vorliegend handelt es sich zwar ebenfalls um ein Verfahren vor der zweiten Instanz. Die Ausgangslage bei der vollzugsrechtlichen Sicherheitshaft ist indes nicht vergleichbar mit der normalen Anordnung von Sicherheitshaft vor dem Berufungsgericht. Für die vollzugsrechtliche Sicherheitshaft fehlt eine ausdrückliche gesetzliche Grundlage; die Haft ist bloss gestützt auf eine analoge Anwendung der Bestimmungen von <ref-law> zulässig (vgl. E. 3.2 hiervor). Die prozessualen Bestimmungen zum Schutz der inhaftierten Personen sind deshalb strikt einzuhalten. <ref-law> bezweckt, durch die regelmässige Überprüfung der materiellen Voraussetzungen der Haft deren ungerechtfertigte Verlängerung zu verhindern. Diese Überlegung rechtfertigt sich auch in selbstständigen massnahmenrechtlichen Nachverfahren und erscheint im hier zu beurteilenden Fall, in welchem die Dauer der stationären Massnahme diejenige der ursprünglich angeordneten Freiheitsstrafe bereits überschritten hat, besonders wichtig. Entgegen der Auffassung der Vorinstanz ist in solchen Fällen eine periodische Haftprüfung im Sinne von <ref-law> geboten.
5.3. Die Beschwerde erweist sich insofern als begründet. Die Vorinstanz hätte die vollzugsrechtliche Sicherheitshaft befristen müssen. Da sie dies unterlassen hat, ist die Sicherheitshaft vorliegend von Amtes wegen auf drei Monate zu befristen. Die provisorische vollzugsrechtliche Sicherheitshaft wurde mit Verfügung vom 19. Januar 2021 angeordnet. Folglich ist sie bis zur Eröffnung des Entscheids im Beschwerdeverfahren, längstens jedoch bis zum 18. April 2021 zu befristen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4 S. 284 f.).
Wie die Rechtslage basierend auf den neuen Bestimmungen der StPO zur vollzugsrechtlichen Sicherheitshaft zu beurteilen sein wird (vgl. Art. 364a und Art. 364b StPO [in Kraft seit 1. März 2021]), kann vorliegend offen bleiben, da die Vorinstanz den Fall noch unter der Herrschaft des alten Rechts zu entscheiden hatte.
6.
Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, es liege ein Verstoss gegen das Beschleunigungsgebot gemäss <ref-law> vor. Dies ist allerdings nicht der Fall. Soweit er vorbringt, es sei nicht nachvollziehbar, weshalb die Vorinstanz das Beschwerdeverfahren nicht innerhalb der einjährigen Massnahmenverlängerung beurteilt habe, vermischt er zum einen das vorliegende Verfahren um Anordnung der Sicherheitshaft mit dem hier nicht streitgegenständlichen Verfahren um Verlängerung der Massnahme. Dass das Verfahren um Verlängerung der Massnahme seit über einem Jahr hängig ist, hat der Beschwerdeführer mittels Rechtsverzögerungsbeschwerde im Beschwerdeverfahren zu rügen. Vorliegend kann darauf nicht eingetreten werden. Im Verfahren um Anordnung der Sicherheitshaft ist jedenfalls keine Verletzung des Beschleunigungsgebots ersichtlich und vom Beschwerdeführer auch nicht dargetan. Daran ändert ebenfalls nichts, dass die angebliche Untätigkeit des Gerichts mitverantwortlich sei für seine zusätzliche emotionale Belastung und zur angeblich gesetzwidrigen Haft geführt haben soll.
7.
Die Beschwerde ist daher teilweise gutzuheissen und die vollzugsrechtliche Sicherheitshaft zu befristen. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
In seinem Hauptstandpunkt (Haftentlassung) dringt der Beschwerdeführer nicht durch. Er unterliegt daher mehrheitlich, weshalb er grundsätzlich kostenpflichtig wird (<ref-law>). Er stellt indes ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Da die gesetzlichen Voraussetzungen ausreichend dargetan sind, kann das Gesuch, soweit es durch die teilweise Gutheissung der Beschwerde nicht gegenstandslos geworden ist, bewilligt werden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Verfügung des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 25. Januar 2021 wird aufgehoben, soweit darin die Sicherheitshaft ohne Befristung angeordnet wurde. Die Sicherheitshaft wird bewilligt bis zum Entscheid im kantonalen Beschwerdeverfahren, längstens aber bis zum 18. April 2021. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Advokat Alain Joset wird als unentgeltlicher Rechtsvertreter ernannt und für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit einem Honorar von Fr. 2'000.-- (pauschal, inkl. MWST) entschädigt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt, Straf- und Massnahmenvollzug, und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. März 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Kneubühler
Die Gerichtsschreiberin: Sauthier