Sachverhalt:
A.
A._ (geb. xxx 1959) ist griechischer Staatsangehöriger. Er reiste am 20. November 2013 in die Schweiz ein. Am 1. März 2014 trat er eine unbefristete Stelle in U._ an und erhielt zum Zweck der Erwerbstätigkeit eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA mit Gültigkeit bis am 28. Februar 2019. Das Arbeitsverhältnis wurde per Ende April 2014 aufgelöst. Ab Juni 2014 bezog A._ Sozialhilfe, die sich bis Ende März 2017 auf insgesamt Fr. 75'000.-- belief. Seit 20. Oktober 2014 geht er einer Beschäftigung im zweiten Arbeitsmarkt nach.
B.
Nach vorgängiger Gewährung des rechtlichen Gehörs widerrief das Migrationsamt des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 28. April 2017 die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA von A._ und wies ihn aus der Schweiz weg. Ein dagegen gerichteter Rekurs an das Sicherheits- und Justizdepartement des Kantons St. Gallen blieb erfolglos (Entscheid vom 19. Oktober 2017). Das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen wies eine Beschwerde gegen den Rekursentscheid mit Entscheid vom 15. Januar 2018 ab.
C.
Mit Eingabe vom 14. Februar 2018 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Entscheids vom 15. Januar 2018 und den Verzicht auf die Wegweisung. Nach Aufforderung zur Leistung eines Kostenvorschusses ersucht er weiter um unentgeltliche Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Auf weitere Instruktionsmassnahmen wurde verzichtet.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die weiteren Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen (Art. 29 Abs. 1 BGG) und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1 S. 116).
1.1. Mit seiner grundsätzlich form- und fristgerecht eingereichten Beschwerde wendet sich der Beschwerdeführer gegen den kantonal letztinstanzlichen, verfahrensabschliessenden Entscheid eines oberen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2, Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.1.1. Soweit er den Widerruf der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA anficht (Rechtsbegehren Ziff. 1), beruft sich der Beschwerdeführer als griechischer Staatsangehöriger in vertretbarer Weise auf einen freizügigkeitsrechtlichen Bewilligungsanspruch, sodass sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als zulässig erweist (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG; vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 179 f.; Urteile 2C_222/2017 vom 29. November 2017 E. 1.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_401/2017 vom 26. März 2018 E. 1). Auf das Rechtsmittel des im Sinne von Art. 89 Abs. 1 BGG legitimierten Beschwerdeführers ist in diesem Punkt einzutreten.
1.1.2. Weiter beantragt der Beschwerdeführer ausdrücklich den Verzicht auf die Wegweisung (Rechtsbegehren Ziff. 2). Diesbezüglich stünde ihm zwar die subsidiäre Verfassungsbeschwerde offen (Art. 83 lit. c Ziff. 4 i.V.m. Art. 113 BGG), doch erhebt er unter Beachtung der qualifizierten Rügepflicht gemäss Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG keine verfassungsbezogenen Rügen, die nicht bereits Gegenstand des Entscheids über den Widerruf der Aufenthaltsbewilligung bilden (vgl. <ref-ruling> E. 1.1 S. 307; Urteil 2C_200/2017 vom 14. Juli 2017 E. 1.2.2), was auf die Rügen formeller Natur (vgl. E. 3 hiernach) gleichermassen zutrifft. Mangels rechtsgenüglicher Begründung nicht einzutreten ist auf das Rechtsmittel daher, soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Wegweisung wendet.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und lit. b BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG) grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (vgl. <ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Die Verletzung von Grundrechten untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 3 S. 415, <ref-ruling> E. 1.4.2 S. 254).
1.3. Seinem Urteil legt das Bundesgericht den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Eine Berichtigung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (Art. 105 Abs. 2 BGG) oder auf Rüge hin (Art. 97 Abs. 1 BGG) möglich. Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG; <ref-ruling> E. 1.3.1 S. 17 f.). Rügt die beschwerdeführende Partei eine offensichtlich unrichtige Sachverhaltsfeststellung, haben ihre Vorbringen den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG zu genügen (<ref-ruling> E. 9.2.3.6 S. 96; <ref-ruling> E. 1.4.3 S. 255). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Verfahren nur so weit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.
Der Bundesrat hat per 1. Juli 2018 die Änderung des Ausländergesetzes (SR 142.20) vom 16. Dezember 2016 in Kraft gesetzt (AS 2018 733, 737). Seither regelt Art. 61a AuG in Ausführung des Freizügigkeitsabkommens (FZA, SR 0.142.112.681) das Erlöschen des Aufenthaltsrechts sowie den Zugang zur Sozialhilfe für Staatsangehörige der EU/EFTA-Mitgliedstaaten, die ursprünglich eine Aufenthalts- oder Kurzaufenthaltsbewilligung zur Ausübung einer unselbständigen Erwerbstätigkeit erhalten haben, und deren Arbeitsverhältnis unfreiwillig beendet wird (vgl. Botschaft zur Änderung des Ausländergesetzes vom 4. März 2016, BBl 2016 3007 ff., 3054 f.). Namentlich legt die genannte Bestimmung nach ihrem Wortlaut in Abs. 1-4 konkrete Fristen fest, bei deren Ablauf das Aufenthaltsrecht von Staatsangehörigen der EU/EFTA-Mitgliedstaaten nach unfreiwilliger Beendigung des Arbeitsverhältnisses erlischt. Da der Gesetzgeber keine besonderen Übergangsbestimmungen zu Art. 61a AuG erliess, gelangen die revidierten Bestimmungen hier nicht zur Anwendung (vgl. Art. 126 Abs. 1 AuG; Urteile 2C_903/2010 vom 6. Juni 2011 E. 3.1 [nicht publ. in: <ref-ruling>]; 2C_329/2009 vom 14. September 2009 E. 2.1).
3.
Vorweg zu behandeln sind die Rügen des Beschwerdeführers, mit denen er eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs geltend macht (Art. 29 Abs. 2 BV; <ref-ruling> E. 3 S. 563 f.; <ref-ruling> E. 2.2 S. 197).
3.1. Der Beschwerdeführer macht geltend, das Verwaltungsgericht habe seinen Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es auf die Einholung eines Berichts des Psychiatriezentrums B._ verzichtet habe. Er leide an einer schweren Depression. Desgleichen erblickt der Beschwerdeführer eine Gehörsverletzung im Umstand, dass das Verwaltungsgericht keinen Bericht des Regionalen Arbeitsvermittlungszentrums (RAV) V._ eingeholt habe um nachweisen zu können, dass alle seine 1'600 Stellenbewerbungen aufgrund seines Alters abgelehnt worden seien.
3.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) umfasst das Recht, erhebliche Beweise beizubringen, mit solchen Beweisanträgen gehört zu werden und an der Erhebung wesentlicher Beweise mitzuwirken. Dem Mitwirkungsrecht entspricht die Pflicht der Behörden, die Argumente und Verfahrensanträge der Parteien entgegenzunehmen und zu prüfen, sowie die ihr rechtzeitig und formrichtig angebotenen Beweismittel abzunehmen (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 127; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157; je mit Hinweisen). Auf die Abnahme beantragter Beweismittel darf ein Gericht verzichten, wenn es gestützt auf die Aktenlage oder aufgrund bereits abgenommener Beweise seine Überzeugung schon gebildet hat und annehmen kann, seine Überzeugung werde durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157 f.). Eine so erfolgende vorweggenommene (antizipierte) Beweiswürdigung ordnet das Bundesgericht der Sachverhaltsfeststellung zu. Es greift in sie nur unter den in E. 1.3 genannten Voraussetzungen ein (vgl. Urteile 2C_597/2017 vom 27. März 2018 E. 3.4.1; 4A_427/2017 vom 22. Januar 2018 E. 5.1.2 mit Hinweisen), das heisst wenn sich der Verzicht auf die Abnahme weiterer Beweismittel als willkürlich erweist (vgl. <ref-ruling> E. 5.3 S. 236 f.; <ref-ruling> E. 5.3 S. 148; <ref-ruling> E. 3 S. 157 f.).
3.3. Der Beschwerdeführer legt nicht substanziiert dar, inwieweit seine angeblichen psychischen Probleme für den Ausgang des Verfahrens entscheiderheblich sein könnten. Namentlich bezeichnet er sich weiterhin als arbeitsfähig, indem er auf zahlreiche Bewerbungen hinweist und die Absicht kundtut, eine selbständige Erwerbstätigkeit aufnehmen zu wollen. Bei dieser Ausgangslage durfte das Verwaltungsgericht in willkürfreier antizipierter Beweiswürdigung auf die Einholung eines Berichts des Psychiatriezentrums B._ verzichten. Eine Verletzung des rechtlichen Gehörs liegt nicht vor, zumal der Beschwerdeführer im Rahmen seiner Mitwirkungspflicht (Art. 90 AuG) einen entsprechenden Bericht ohne Weiteres auch selber hätte beibringen können. Ebensowenig kann der Vorinstanz eine Verletzung von Art. 29 Abs. 2 BV vorgeworfen werden, weil sie auf eine Berichterstattung des RAV V._ über die Arbeitsbemühungen des Beschwerdeführers verzichtet hat. Die Vorinstanz ist gestützt auf bereits in den Akten liegende Unterlagen zur Auffassung gelangt, dass die Arbeitslosigkeit des Beschwerdeführers nicht durch sein Alter verursacht ist. Dass diese Schlussfolgerung offensichtlich unrichtig im Sinne von Art. 97 Abs. 1 BGG ist, vermag der Beschwerdeführer mit seinen oberflächlichen Ausführungen nicht darzutun.
4.
Seiner Eingabe an das Bundesgericht legt der Beschwerdeführer diverse Unterlagen bei. Weiter beantragt er die Abnahme verschiedener Beweismittel durch das Bundesgericht. Er verkennt dabei, dass neue Tatsachen und Beweismittel im bundesgerichtlichen Verfahren nur insoweit vorgebracht werden können, als der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; E. 1.3 hiervor). Dass diese Voraussetzung erfüllt ist, ist weder ersichtlich noch dargetan (vgl. Urteil 2C_347/2012 / 2C_357/2012 vom 28. März 2013 E. 2.5 [nicht publ. in: <ref-ruling>]). Das gilt insbesondere in Bezug auf den ärztlichen Bericht vom 11. Oktober 2017 sowie das Aufklärungsprotokoll vom 9. November 2018 (recte wohl 9. November 2017) im Hinblick auf eine chirurgische Behandlung an der Schulter nach einem Sturz des Beschwerdeführers auf die rechte Seite, den er nach eigenen Angaben im Oktober 2017 erlitten hat. Jedenfalls besteht keine Veranlassung davon auszugehen, dass der Beschwerdeführer die Schulterverletzung in einem Zeitpunkt erlitt, in dem er noch als Arbeitnehmer im Sinne von Art. 6 Anhang I FZA bzw. Art. 4 Abs. 2 Anhang I FZA galt (vgl. <ref-ruling> E. 3.2 S. 125; <ref-ruling> E. 2.1.2 S. 3 f.; E. 5 hiernach) und eine aus der Behandlung resultierende vorübergehende Arbeitsunfähigkeit dem Widerruf der Aufenthaltsbewilligung im Sinne von Art. 6 Abs. 6 Anhang I FZA entgegen stehen könnte. Die im bundesgerichtlichen Verfahren offerierten Beweismittel können daher keine Berücksichtigung finden.
5.
Die Vorinstanz erwog, dass Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA nach Art. 23 Abs. 1 der Verordnung über die Einführung des freien Personenverkehrs (VEP; SR 142.203) widerrufen oder nicht verlängert werden können, wenn die Voraussetzungen für ihre Erteilung nicht mehr erfüllt sind. Sodann legte sie unter Verweisung auf Art. 6 Anhang I FZA und die einschlägige bundesgerichtliche Rechtsprechung zutreffend dar, dass ein Arbeitnehmer seinen freizügigkeitsrechtlichen Status als unselbständig erwerbstätige Person verlieren kann, wenn (1) sie freiwillig arbeitslos geworden ist, (2) aufgrund ihres Verhaltens feststeht, dass keinerlei ernsthafte Aussichten (mehr) darauf bestehen, dass sie in absehbarer Zeit eine andere Arbeit finden wird oder (3) ihr Verhalten gesamthaft als rechtsmissbräuchlich bezeichnet werden muss (vgl. angefochtenes Urteil E. 2 mit Hinweis auf BGE <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 4; vgl. auch <ref-ruling>21 E. 3.1 S. 124 f.).
Weiter erwog das Verwaltungsgericht, dass unklar bleibe, ob der Beschwerdeführer unfreiwillig arbeitslos geworden sei. Der Anlass für die Beendigung des Arbeitsverhältnisses mit der C._ AG gehe aus den Akten nicht hervor; als Grund hierfür erachtete es weder Mobbing noch Lungenprobleme als erstellt. Für die Behauptung, dass der Beschwerdeführer infolge seines Alters keine Stelle mehr gefunden habe, fand die Vorinstanz ebenfalls keine Hinweise. Den Grund für die Arbeitslosigkeit des Beschwerdeführers erblickte sie vielmehr in mangelhaften und unpassenden Bewerbungen, der sehr kurzen Dauer der bisherigen Arbeitstätigkeit in der Schweiz, der Beendigung des einzigen Arbeitsverhältnisses unter unbekannten Umständen und seinem beruflichen Werdegang mit diversen Stellenwechseln in sehr unterschiedlichen Sparten. Entsprechend gelangte das Verwaltungsgericht zum Schluss, dass keinerlei ernsthafte Aussicht darauf besteht, dass der Beschwerdeführer in absehbarer Zeit eine andere Arbeit finden wird, und sein Arbeitnehmerstatus dahingefallen ist (vgl. angefochtenes Urteil, E. 2.2).
5.1. In seiner Eingabe an das Bundesgericht setzt sich der Beschwerdeführer mit diesen Erwägungen der Vorinstanz nur ansatzweise auseinander. Er macht nicht ausdrücklich geltend, dass er sich weiterhin auf den freizügigkeitsrechtlichen Status als unselbständig erwerbstätiger Arbeitnehmer berufen könne. Das ist denn auch nicht der Fall. Namentlich legt der Beschwerdeführer nicht dar und ist auch nicht ersichtlich, dass seine Beschäftigung im zweiten Arbeitsmarkt nach objektiven Kriterien eine echte und wirtschaftliche Tätigkeit darstellt, die sich von einer klassischen Arbeitstätigkeit nicht unterscheidet (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.4 S. 6 und E. 2.2.5 S. 6 f.; Urteile 2C_289/2017 vom 4. Dezember 2017 E. 4.2.1 und E. 4.2.2; 2C_761/2015 vom 21. April 2016 E. 4.5). Anhaltspunkte dafür, dass die Beschäftigung im zweiten Arbeitsmarkt eine Arbeitnehmereigenschaft des Beschwerdeführers begründen würde bzw. fortdauern liesse, liegen nicht vor, zumal er für seine Tätigkeit nach Lage der Akten (Art. 105 Abs. 1 BGG) lediglich eine geringfügige Integrationszulage erhält, die ihm vom Sozialamt ausgerichtet wird. Dem Beschwerdeführer wurde ausserdem hinreichend Gelegenheit gegeben, sich im Sinne von Art. 2 Abs. 1 Anhang I FZA in der Schweiz um eine neue Stelle zu bewerben (vgl. BGE <ref-ruling> E. 3.4 S. 10). Bereits im Zeitpunkt der erstinstanzlichen Verfügung vom 28. April 2017 hatte der Beschwerdeführer aufgrund der einmaligen und nur sehr kurzen Tätigkeit im hiesigen Arbeitsmarkt, den wenig tauglichen bzw. erfolglosen Suchbemühungen um eine neue Stelle, seinem bisherigen beruflichen Werdegang und der langen Dauer ununterbrochener Arbeitslosigkeit keine ernsthaften Aussichten mehr, in absehbarer Zeit eine Arbeit zu finden. Folglich hat er seinen freizügigkeitsrechtlichen Status als Arbeitnehmer verloren.
5.2. Nichts zu seinen Gunsten ableiten kann der Beschwerdeführer aus Art. 12 Anhang I FZA, der das Aufenthaltsrecht selbständig Erwerbstätiger regelt. Zwar macht er geltend, sich im Bereich der Installation von Photovoltaik-Anlagen selbständig machen zu wollen; entsprechende Nachweise konnte er allerdings nicht beibringen (vgl. Urteil 2C_243/2015 vom 2. November 2015 E. 3.3). Zudem verfügt der Beschwerdeführer angesichts seiner Sozialhilfeabhängigkeit nicht über ausreichende Mittel im Sinne von Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA, sodass kein freizügigkeitsrechtlicher Aufenthaltsanspruch ohne Ausübung einer Erwerbstätigkeit besteht. Ebensowenig sind die Voraussetzungen für einen Verbleib nach Beendigung der Arbeitstätigkeit gemäss Art. 4 Anhang I FZA erfüllt. Damit liegt ein Widerrufsgrund im Sinne von Art. 23 Abs. 1 VEP vor. Ein weitergehendes Recht auf Aufenthalt nach den Bestimmungen des Ausländergesetzes, das gemäss Art. 2 Abs. 2 AuG zu berücksichtigen wäre, wird vom Beschwerdeführer nicht angerufen und liegt auch nicht auf der Hand (vgl. E. 1.2 hiervor).
5.3. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers, der sich auf "Lungenprobleme" und eine "eventuell[e] Allergie, möglicherweise bedingt durch Asbestrückstände" beruft, erweist sich der Widerruf der Aufenthaltsbewilligung alsdann auch als verhältnismässig (vgl. Art. 5 Abs. 2 BV und Art. 96 Abs. 1 AuG). Angesichts der langjährigen und umfangreichen Fürsorgeabhängigkeit des Beschwerdeführers ist ein öffentliches Interesse an einer Beendigung des Aufenthalts ausgewiesen (vgl. Urteile 2C_780/2013 vom 2. Mai 2014 E. 3.3.3; 2C_1228/2012 vom 20. Juni 2013 E. 5.2; 2C_268/2011 vom 22. Juli 2011 E. 6.2.3). Die gesundheitlichen Probleme des Beschwerdeführers sind nach den vorinstanzlichen Feststellungen demgegenüber nicht gravierend (vgl. angefochtenes Urteil, E. 3.2). Weitere Gründe, die eine Rückkehr und Wiedereingliederung in der Heimat entgegen stehen könnten, sind nicht ersichtlich. Für das Bundesgericht massgebliche Sachverhaltselemente, die zum Ergebnis führen, dass eine Beendigung des Aufenthalts geradezu unverhältnismässig ist, liegen damit nicht vor. Die Beschwerde erweist sich auch unter diesem Gesichtspunkt als unbegründet.
6.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege kann zufolge Aussichtslosigkeit des Rechtsmittels nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Er trägt die angesichts seiner wirtschaftlichen Situation reduzierten Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung II, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. August 2018
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann