Sachverhalt:
A.
Am 15. Februar 2017 stellte die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich die Verfahren gegen X._ betreffend Drohung und Nötigung zu Lasten seiner Ehefrau provisorisch und betreffend versuchte sexuelle Handlungen mit Kindern definitiv ein. Die Kosten für den Verfahrensteil bezüglich versuchter sexueller Handlungen mit Kindern nahm sie auf die Staatskasse. Den Entscheid über die Ausrichtung einer Entschädigung und Genugtuung verwies sie auf den Endentscheid im Verfahren betreffend Drohung und Nötigung. Am 3. November 2017 stellte die Staatsanwaltschaft auch das Strafverfahren betreffend Drohung und Nötigung definitiv ein. Hierbei auferlegte sie X._ die Verfahrenskosten (Dispositiv-Ziffer 2). Die Kosten der amtlichen Verteidigung nahm sie unter Vorbehalt der Rückzahlungspflicht von X._ auf die Staatskasse (Dispositiv-Ziffer 5). Sie richtete ihm weder eine Entschädigung noch eine Genugtuung aus (Dispositiv-Ziffer 6).
B.
Gegen die Einstellungsverfügung vom 3. November 2017 erhob X._ Beschwerde. In Gutheissung der Beschwerde hob das Obergericht des Kantons Zürich die Einstellungsverfügung teilweise auf, nahm die Verfahrenskosten auf die Staatskasse (Dispositiv-Ziffer 2) und die Kosten der amtlichen Verteidigung definitiv auf die Staatskasse (Dispositiv-Ziffer 5). In Bezug auf Entschädigung und Genugtuung (Dispositiv-Ziffer 6) wies das Obergericht die Sache zu neuer Entscheidung an die Staatsanwaltschaft zurück.
C.
Die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich führt Beschwerde in Strafsachen. Sie beantragt, der Beschluss des Obergerichts sei aufzuheben und die Einstellungsverfügung (Dispositiv-Ziffern 2, 5 und 6) der Staatsanwaltschaft zu bestätigen. Eventualiter sei der Beschluss des Obergerichts aufzuheben und die Sache zu neuer Beurteilung an das Obergericht zurückzuweisen.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde in Strafsachen berechtigt (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 3 BGG). Ihr steht das Beschwerderecht uneingeschränkt zu (<ref-ruling> E. 1.4 S. 39 ff. mit Hinweisen).
1.2. Gemäss <ref-law> ("Endentscheide") ist die Beschwerde zulässig gegen Entscheide, die das Verfahren abschliessen. Laut <ref-law> ("Andere Vor- und Zwischenentscheide") ist gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde zulässig, wenn sie einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (Abs. 1 lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Abs. 1 lit. b). Ist die Beschwerde nach Absatz 1 nicht zulässig oder wurde von ihr kein Gebrauch gemacht, so sind gemäss <ref-law> die betreffenden Vor- und Zwischenentscheide durch Beschwerde gegen den Endentscheid anfechtbar, soweit sie sich auf dessen Inhalt auswirken.
1.3. Durch den Beschluss der Vorinstanz hebt diese die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft vom 3. November 2017 in teilweiser Gutheissung der Beschwerde in einzelnen Punkten (Dispositiv-Ziffern 2 und 5) auf und weist sie "im Übrigen (Entschädigung und Genugtuung) " an die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich zu neuer Entscheidung zurück. Der angefochtene Beschluss schliesst das Verfahren betreffend Dispositiv-Ziffer 6 der Einstellungsverfügung folglich nicht ab und ist deshalb kein Endentscheid im Sinne von <ref-law>, sondern ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid gemäss <ref-law>.
1.4. Ein Rückweisungsentscheid bewirkt in der Regel keinen nicht wieder gutzumachenden Nachteil im Sinne von <ref-law>. Eine Ausnahme von dieser Regel ist gemäss der Rechtsprechung u.a. zu machen, wenn eine Behörde durch einen Rückweisungsentscheid gezwungen wird, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen (<ref-ruling> E. 5.2.2 S. 483 f.; Urteil 6B_845/2015 vom 1. Februar 2016 E. 1.2.2, nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweisen). Dies ist namentlich der Fall, wenn die Grundsatzfrage, obeine Entschädigung auszurichten ist, durch den angefochtenen Entscheid verbindlich beantwortet und die beschwerdeführende Staatsanwaltschaft angewiesen wird, über die Höhe der Entschädigung zu entscheiden (vgl. Urteile 6B_792/2016 vom 18. April 2017; 6B_637/2013 vom 19. September 2013 E. 1.2; 1B_160/2012 vom 20. September 2012 E. 1.2).
1.5. Da die Vorinstanz die Sache zur teilweisen Prüfung und neuer Entscheidung an die Staatsanwaltschaft zurückweist (Dispositiv-Ziffer 1) und diesbezüglich erwägt, der Beschwerdegegner habe grundsätzlich Anspruch auf eine Entschädigung und insbesondere eine Genugtuung für die zwischen dem 29. November und 23. Dezember 2016 erstandene Haft (angefochtener Beschluss, E. 4.3 S. 11), liegt ein nicht wieder gutzumachender Nachteil im Sinne von <ref-law> vor. Die Vorinstanz erteilt der Staatsanwaltschaft zwar keine Anweisungen hinsichtlich der Bemessung der Entschädigung und Genugtuung, doch entscheidet sie die Grundsatzfrage, ob solche Ansprüche bestehen, mit dem angefochtenen Beschluss auf kantonaler Ebene verbindlich. Dies ergibt sich im Übrigen zusätzlich daraus, dass auch der Entscheid, dem Beschwerdegegner die Verfahrenskosten aufzuerlegen, die Entschädigungsfrage, welche die Vorinstanz der Staatsanwaltschaft zurückweist, präjudiziert (vgl. E. 2.3 hiernach).
1.6. Anfechtungsobjekt der Beschwerde ist einzig der Beschluss der Vorinstanz vom 14. Februar 2018 als letztinstanzlicher kantonaler Entscheid (<ref-law>). Soweit die Beschwerdeführerin beantragt, die Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft sei zu bestätigen, ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung von <ref-law> sowie <ref-law> durch die Vorinstanz. Der Beschwerdegegner habe das gegen ihn eröffnete Strafverfahren rechtswidrig und schuldhaft verursacht. Er habe seine Ehefrau schwer in deren Persönlichkeit im Sinne von <ref-law> verletzt. Dies habe zur Einleitung des Verfahrens und zur Anordnung der Untersuchungshaft geführt.
Die Beschwerdeführerin führt zusammengefasst aus, der Beschwerdegegner habe anlässlich der polizeilichen Befragung vom 30. November 2016 bestätigt, gesagt zu haben, einen Freitod zu begehen. An weiteren Einvernahmen habe er eingestanden, gegen eine Schranktür geschlagen und sie auf diese Weise beschädigt zu haben. Im Kontext länger andauernder ehelicher Streitigkeiten, bei denen es u.a. darum gegangen sei, dass der Beschwerdegegner die eheliche Wohnung verlassen solle, stelle dessen Aussage eine ernsthafte Drohung und damit auch eine Persönlichkeitsverletzung seiner Ehefrau dar. Die Ehefrau wäre im Falle des Freitods des Beschwerdegegners allenfalls noch über Jahre Selbstvorwürfen sowie erheblich belastenden Reaktionen und Fragen der gemeinsamen Kinder einschliesslich Schuldzuweisungen ausgesetzt gewesen. Der Beschwerdegegner habe sie in geeigneter Weise unter Druck setzen wollen oder solches zumindest in Kauf genommen. Er habe ausserdem ausgeführt, sie sei psychisch angeschlagen, was auf eine ihm bewusste besondere Verletzlichkeit der Ehefrau hinweise.
Es seien dem Beschwerdegegner deshalb die Verfahrenskosten aufzuerlegen und ihm sowohl eine Entschädigung als auch eine Genugtuung zu verweigern.
2.2. Die Vorinstanz erwägt, es könne aufgrund der Aussagen des Beschwerdegegners nicht von einem Geständnis ausgegangen werden (angefochtener Beschluss, E. II. 3.2 S. 9). Es könne einzig als erstellt gelten, dass dieser im Verlaufe eines Streits mit seiner Ehefrau die Bemerkung gemacht habe, er werde einen Freitod begehen. Es sei jedoch nicht ersichtlich, in welchem Kontext und mit welcher Intensität er dies gesagt habe. Ebenso wenig sei erstellt, dass er mit der Faust in den Schrank geschlagen habe, um seiner Bemerkung Nachdruck zu verleihen. Es sei sodann nicht klar nachgewiesen, welche Wirkung diese bei der Ehefrau ausgelöst habe. Aufgrund der konkreten Umstände sei nicht ersichtlich, inwiefern er die Ehefrau mit der Äusserung hätte in Angst und Schrecken versetzen können. Jedenfalls dürfte die Bemerkung für sich allein gesehen nicht die von <ref-law> vorausgesetzte Intensität einer Rechtsverletzung aufweisen. Schon gar nicht ersichtlich sei, inwiefern eine solche Äusserung adäquat kausal für das eröffnete Strafverfahren habe sein können. Insgesamt rechtfertige sich eine Auflage der Kosten an den Beschwerdegegner nicht, weshalb diese in Abänderung der Einstellungsverfügung der Staatsanwaltschaft auf die Staatskasse zu nehmen seien (angefochtener Beschluss, E. II. 3.3 S. 9 f.).
2.3. Gemäss <ref-law> können der beschuldigten Person bei Einstellung des Verfahrens die Kosten ganz oder teilweise auferlegt werden, wenn sie rechtswidrig und schuldhaft die Einleitung des Verfahrens bewirkt oder dessen Durchführung erschwert hat. Nach der Rechtsprechung verstösst eine Kostenauflage bei Freispruch oder Verfahrenseinstellung gegen die Unschuldsvermutung (<ref-law>, <ref-law> und Art. 6 Ziff. 2 EMRK), wenn der beschuldigten Person in der Begründung des Kostenentscheids direkt oder indirekt vorgeworfen wird, es treffe sie ein strafrechtliches Verschulden. Damit käme die Kostenauflage einer Verdachtsstrafe gleich. Dagegen ist es mit Verfassung und Konvention vereinbar, einer nicht verurteilten beschuldigten Person die Kosten zu überbinden, wenn sie in zivilrechtlich vorwerfbarer Weise, das heisst im Sinne einer analogen Anwendung der sich aus <ref-law> ergebenden Grundsätze, eine geschriebene oder ungeschriebene Verhaltensnorm, die sich aus der Gesamtheit der schweizerischen Rechtsordnung ergeben kann, klar verletzt und dadurch das Strafverfahren veranlasst oder dessen Durchführung erschwert hat. In tatsächlicher Hinsicht darf sich die Kostenauflage nur auf unbestrittene oder bereits klar nachgewiesene Umstände stützen (<ref-ruling> E. 2.2; <ref-ruling> E. 3b; <ref-ruling> E. 1b; <ref-ruling> E. 2a; Urteil 6B_492/2017 vom 31. Januar 2019 E. 2.2.1; je mit Hinweisen).
Bei der Bestimmung von <ref-law> handelt es sich um eine Kann-Vorschrift. Das Bundesgericht beurteilt den vorinstanzlichen Kostenentscheid insoweit zurückhaltend. Es schreitet nur ein, wenn das Sachgericht den ihm zustehenden Ermessensspielraum überschritten hat (Urteil 6B_1314/2016 vom 10. Oktober 2018 E. 9.2 mit Hinweis, zur Publikation vorgesehen). Dasselbe gilt in Bezug auf <ref-law>.
Die Grundsätze zur Auflage von Verfahrenskosten trotz Freispruch oder Verfahrenseinstellung gemäss <ref-law> gelten auch bei der Beurteilung, ob eine Entschädigung oder Genugtuung im Sinne von <ref-law> herabzusetzen oder zu verweigern ist. Der Kostenentscheid präjudiziert die Entschädigungsfrage. Bei Auferlegung der Kosten ist grundsätzlich keine Entschädigung oder Genugtuung auszurichten. Umgekehrt hat die beschuldigte Person Anspruch auf Entschädigung oder Genugtuung, soweit die Kosten von der Staatskasse übernommen werden (<ref-ruling> E. 2.4.2; Urteil 6B_398/2018 vom 21. August 2018 E. 2.1; je mit Hinweisen).
2.4. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz vorliegend bei der Prüfung der Voraussetzungen von <ref-law> und von <ref-law> ihren Ermessensspielraum überschritten haben soll. Zwar sagte der Beschwerdegegner während der polizeilichen Einvernahme vom 30. November 2016 nach anfänglicher Bestreitung aus, es stimme, dass er anlässlich eines Streits mit seiner Ehefrau gesagt habe, er würde einen Freitod begehen. Er ergänzte jedoch, dies sei nicht ernst gemeint gewesen und es gebe keine Gründe, weshalb seine Familie Angst vor ihm haben müsse. Drohungen habe es keine gegeben. Insbesondere nicht gegenüber seiner Ehefrau. Dass er in einen Kleiderschrank geschlagen habe, treffe zu. Dies habe er getan, weil er nervös gewesen sei (kant. Akten, act. 9/2/1, S. 4 ff.). An der Hafteinvernahme vom 30. November 2016 stellte der Beschwerdegegner ebenfalls in Abrede, gegenüber seiner Ehefrau je eine Drohung ausgesprochen zu haben. Insbesondere habe er nicht gesagt, er werde sich selbst oder sie töten (kant. Akten, act. 9/2/2 S. 4 f.). Weiter bestritt der Beschwerdegegner an der staatsanwaltschaftlichen Einvernahme vom 14. Dezember 2016 sämtliche Vorwürfe (kant. Akten, act. 9/2/5, S. 2 ff.). Nachvollziehbar erwägt die Vorinstanz nach sorgfältiger Prüfung der Protokolle dieser drei Einvernahmen des Beschwerdegegners, es könne nicht von einem Geständnis ausgegangen werden. Darüber hinaus weist sie zutreffend darauf hin, dass auch die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland in ihrem Ersuchen um Verfahrensübernahme an die Staatsanwaltschaft IV des Kantons Zürich (kant. Akten, act. 9/4/1, S. 2) sowie in ihrem Antrag auf Anordnung von Untersuchungshaft an das Bezirksgericht Winterthur (kant. Akten, act. 9/8/3, S. 2) zur Ansicht gelangt, der Beschwerdegegner bestreite sämtliche Vorwürfe.
Vor diesem Hintergrund liegt es im Ermessen der Vorinstanz, fehlende unbestrittene oder klar nachgewiesene Umstände zur rechtswidrigen und schuldhaften Einleitung des Verfahrens durch den Beschwerdegegner festzustellen. Sie verletzt kein Bundesrecht, indem sie die Verfahrenskosten auf die Staatskasse nimmt und die Sache betreffend Entschädigung und Genugtuung zu neuer Beurteilung an die Staatsanwaltschaft zurückweist.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Kosten werden ausgangsgemäss dem Kanton Zürich auferlegt, da er in seinem Vermögensinteresse das Bundesgericht in Anspruch nimmt (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).
Dem Beschwerdegegner ist keine Entschädigung zuzusprechen, da er im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zur Einreichung einer Vernehmlassungeingeladen wurde.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Kanton Zürich auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. April 2019
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Weber