Faits :
A.
A.a. A._, née en 1976, et B._, né en 1964, se sont mariés le 10 juillet 2008. Une fille est issue de cette union: C._, née en 2012.
Les conjoints se sont séparés le 31 mai 2017. Selon la convention de mesures protectrices de l'union conjugale homologuée par la Juge du district de Monthey le 2 mai 2017, la garde de l'enfant a été confiée à la mère et un large droit de visite réservé au père, qui s'est obligé à contribuer à l'entretien de sa fille.
En février 2018, en raison de doutes quant à sa paternité consécutifs, selon ses allégués, aux révélations d'une amie, le mari a fait effectuer un test ADN privé. Les résultats de cette analyse, obtenus le 27 février 2018, ont révélé qu'il n'était pas le père biologique de l'enfant.
A.b. Le 23 mai 2018, il a déposé une requête d'assistance judiciaire totale en prévision de l'introduction d'une action en désaveu de paternité. La requête a été acceptée par décision du 29 mai 2018.
Le 20 juin 2018, il a ouvert action en désaveu de paternité contre son épouse et sa fille, concluant à ce qu'il soit constaté qu'il n'est pas le père de l'enfant et à ce que les inscriptions portées au registre de l'état civil soient rectifiées en ce sens. La mère de l'enfant a excipé de la péremption de l'action, concluant à l'irrecevabilité de celle-ci et, subsidiairement, à son rejet.
Une curatelle selon l'<ref-law> a été instaurée en faveur de l'enfant le 4 juillet 2018.
Dans son rapport d'expertise du 28 mars 2019, le Centre universitaire romand de médecine légale a exclu tout lien de filiation entre le demandeur et l'enfant.
B.
Par jugement du 16 août 2019, la Juge du district de Monthey a rejeté l'objection de péremption, admis l'action en désaveu de paternité et prononcé que le demandeur n'est pas le père de l'enfant, le registre d'état civil devant être modifié en conséquence dès l'entrée en force du jugement.
Saisi d'un appel de la mère, le Juge unique de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais l'a rejeté et a confirmé le prononcé entrepris par jugement du 14 juillet 2021, expédié le 26 suivant.
C.
Par acte posté le 14 septembre 2021, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre le jugement du 14 juillet 2021. Elle conclut, principalement, à ce qu'il soit réformé en ce sens que l'action en désaveu de paternité intentée par B._ est déclarée irrecevable en raison de la tardiveté de sa demande et que celui-ci est le père de l'enfant. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation du jugement querellé et le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Elle sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des réponses n'ont pas été requises.
D.
Par ordonnance présidentielle du 16 septembre 2021, la requête d'effet suspensif a été déclarée sans objet, le recours étant dirigé contre un jugement constitutif (<ref-law>).

Considérant en droit :
1.
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1, 46 al. 1 let. b LTF) contre une décision finale (<ref-law>) rendue par l'autorité cantonale de dernière instance statuant sur recours (<ref-law>) dans une contestation civile (<ref-law>) de nature non pécuniaire (<ref-ruling> consid. 2.2), le recours est recevable au regard de ces dispositions. La recourante a en outre qualité pour recourir (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2).
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés; il n'est pas tenu de traiter, à l'instar d'une autorité de première instance, toutes les questions juridiques pouvant se poser, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.4 et les références, 402 consid. 2.6). Le recourant doit discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi il estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.2; <ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4 et la référence). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée ("principe d'allégation", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 5.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ceux-ci ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 6.7; <ref-ruling> consid. 2.2 et la référence), doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (<ref-ruling> consid. 4.1.2; <ref-ruling> consid. 1.1).
En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il n'y a arbitraire que si l'autorité cantonale n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte de preuves pertinentes ou a opéré, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 1.1 et la référence).
2.3. Des mesures probatoires devant le Tribunal fédéral (<ref-law>) ne sont qu'exceptionnellement ordonnées dans une procédure de recours (<ref-ruling> consid. 2; arrêts 2C_865/2021 du 2 février 2022 consid. 2.4; 5A_699/2021 du 21 décembre 2021 consid. 2.2.2). A titre de moyens de preuve, la recourante sollicite l'audition de l'amie du demandeur ayant dit à celui-ci que l'enfant n'était pas de lui. Le dossier ne fait cependant apparaître aucun élément dont on puisse inférer des circonstances exceptionnelles justifiant une mesure d'instruction devant le Tribunal fédéral et la recourante n'en invoque pas non plus. Il s'ensuit qu'il n'y a pas lieu de donner suite à sa requête, étant précisé que le dossier de la cause, qu'elle requiert également, a été transmis à la Cour de céans.
3.
La recourante s'en prend aux constatations de fait du jugement entrepris. Elle reproche d'abord à l'autorité cantonale d'avoir retenu de manière manifestement inexacte, partant, arbitraire, que les premiers doutes de l'intimé concernant sa paternité dataient du mois de janvier 2018, en se fondant sur les seules déclarations de celui-ci.
3.1. Selon le juge précédent, les allégations du demandeur, faites sous la menace de l'<ref-law> (fausse déclaration en justice), bénéficient, en tant que telles, d'une certaine force probante. Elles sont surtout corroborées par celles de son médecin traitant. Lors de son audition, celui-ci a confirmé que son patient avait souffert d'une dépression à la suite notamment de "l'annonce en janvier 2018" qu'il n'était probablement pas le père de l'enfant. Se référant à ses notes, ce praticien s'est exprimé en des termes éloquents, disant qu'il avait écrit que le mari devait "absolument savoir si sa fille est de lui: j'insiste !!".
Au demeurant, l'absence de doute quant à sa paternité est un fait négatif, pour lequel la partie adverse doit, en vertu des règles de la bonne foi, collaborer à l'administration des preuves. Qu'elle échoue à démontrer des circonstances de fait positives qui excluraient le fait négatif peut ainsi être apprécié comme un indice de l'exactitude de la version présentée par l'autre partie. En l'occurrence, la mère de l'enfant a admis avoir toujours dit à son mari que leur fille avait été conçue durant leurs vacances en Espagne et les parties ont confirmé avoir eu des relations intimes à ce moment-là. L'appelante a, de surcroît, expliqué n'avoir "nourri aucun doute sur la paternité" de l'intéressé. En procédure, elle a fermement nié, jusqu'au résultat de l'expertise judiciaire, que l'enfant puisse être adultérin. Le comportement, les allégations et les déclarations de l'appelante sont ainsi autant d'indices de la véracité des dires du demandeur.
3.2. Contrairement à ce que prétend la recourante, l'autorité cantonale ne s'est donc pas uniquement basée sur les allégations de l'intimé. Dans la mesure où elle soutient que celles-ci ont été arbitrairement tenues pour avérées, quand bien même aucun autre élément ne venait les étayer, sa critique apparaît par conséquent infondée. Pour le surplus, elle se borne à affirmer que l'intimé, qui n'a pas même donné le nom de l'amie qui lui a indiqué qu'il n'était pas le père biologique de l'enfant afin qu'elle soit auditionnée, n'a apporté aucune preuve du moment exact où il a eu connaissance de ce fait. Par cette argumentation, elle n'établit pas, conformément aux exigences de motivation requises, que l'autorité cantonale aurait arbitrairement apprécié les preuves sur ce point; ce d'autant qu'elle ne critique pas le second pan de la motivation du juge précédent, relatif à la preuve d'un fait négatif (<ref-law>). Elle n'avance par ailleurs aucun élément tendant à démontrer que le demandeur aurait éprouvé des doutes concernant sa paternité à une date antérieure.
La constatation incriminée résiste dès lors au grief d'arbitraire.
4.
Toujours sous l'angle de l'établissement des faits, la recourante soutient ensuite que l'autorité précédente a arbitrairement admis que l'intimé avait souffert de dépression de janvier 2018 à tout le moins jusqu'au moment de l'introduction de l'action.
4.1. Le jugement entrepris retient qu'afin de prouver son état psychologique à compter de janvier 2018, le demandeur a déposé un certificat médical rédigé le 6 décembre suivant par son médecin traitant, dont il a de plus sollicité l'audition. Établi de nombreux mois après la survenance des faits dont il attestait, ce certificat était en outre bien trop succinct et peu précis pour revêtir, à lui seul, une grande force probante quant à l'état de santé de l'intéressé. Son auteur avait toutefois été entendu par la juge de district sous la menace des conséquences pénales du faux témoignage et, bien que généraliste, il disposait des compétences pour traiter le demandeur. Or, les déclarations de ce praticien emportaient la conviction. Il avait non seulement confirmé catégoriquement la teneur de son attestation, mais avait aussi exposé en détail et de manière chronologique ses constatations sur l'évolution de l'état de santé de son patient, se référant, au besoin, aux notes figurant dans le dossier médical de celui-ci; il en avait fait de même s'agissant du suivi mis en place et des raisons de l'absence de prescription d'antidépresseurs ou d'arrêt de travail, la médication n'étant d'ailleurs pas l'unique moyen de traiter la dépression et un arrêt de travail s'avérant parfois contre-indiqué.
Quoi qu'en dît l'appelante, les actes de la causes corroboraient l'appréciation du médecin traitant du demandeur. Certes, au mois de janvier 2018, celui-ci ignorait les résultats de son test de paternité. Les confidences d'une amie avaient cependant semé le doute à ce sujet, doute qu'il devait absolument dissiper. Son état de santé s'était péjoré dès cette époque. Le 26 février 2018, son médecin lui avait d'ailleurs prescrit un somnifère et, le lendemain, il avait pris connaissance des résultats de son analyse ADN. Il n'était dès lors pas surprenant que, par la suite, son "moral" se fût effondré. Le demandeur avait réagi de la même manière une année plus tard, lorsqu'il avait eu la certitude qu'il n'était pas le père biologique de l'enfant. Le psychiatre et psychothérapeute qui l'avait suivi dès le 22 janvier 2019 avait fait état d'un "traumatisme majeur", craignant même que la poursuite des relations personnelles entre son patient et l'enfant ne fasse perdurer, voire aggrave de manière significative la symptomatologie dépressive alors présente. Le rapport d'expertise du 28 mars 2019 confirmait, en effet, le bien-fondé des doutes suscités par les révélations de janvier 2018 et les résultats du test de paternité du mois de février suivant. Comme l'avait relevé la juge de district, le fait que ce spécialiste ait parlé d'un "effondrement dépressif" était de nature à démontrer que le demandeur souffrait déjà d'une dépression bien installée. Cet état psychique n'avait d'ailleurs pas échappé à la pédiatre de l'enfant, qui avait expliqué la suspension, à partir d'avril 2019, de l'exercice du droit de visite du père par la souffrance psychologique qu'il ressentait. Qu'il ait réservé des vacances pour lui et l'enfant n'était pas de nature à modifier cette appréciation, pareille réservation ne se confondant pas avec l'introduction d'une action en désaveu. Son médecin traitant avait ainsi précisé, lors de son audition, que l'état de santé de son patient l'empêchait "d'accomplir des démarches administratives" et de se décider à agir en justice. En février 2018, le demandeur n'avait certes pas suspendu l'exercice de son droit de visite, espérant encore une erreur du laboratoire qui avait procédé à l'analyse de son test ADN. Après avoir pris connaissance de l'expertise judiciaire, il avait en revanche cessé toutes relations personnelles avec l'enfant, lesquelles étaient très probablement susceptibles d'entraîner pour lui un "effondrement dépressif".
4.2. Dans la mesure où la recourante conteste le caractère probant du certificat médical produit par le demandeur, au motif qu'il n'émane ni d'un psychiatre, ni d'un psychologue et qu'il ne contient pas d'explications sur sa tardiveté, le grief apparaît d'emblée mal fondé. La cour cantonale n'a en effet pas méconnu ces éléments. Elle en a déduit qu'à lui seul, ledit certificat n'était guère probant, ce que la recourante reconnaît d'ailleurs expressément. Sa critique est dès lors sans pertinence.
Pour le surplus, son argumentation, pour autant qu'elle soit recevable, ne suffit pas à démontrer que les faits relatifs à l'état psychique de l'intimé auraient été arbitrairement constatés. Elle expose en substance que la confirmation de son attestation par le médecin traitant de celui-ci, bien que catégorique, ne revêtait logiquement pas non plus une force probante suffisante, que ce généraliste s'est contredit sur les dates des consultations, pour lesquelles aucune preuve n'a de plus été rapportée - si bien qu'il est permis de douter qu'il ait réellement été consulté à l'époque indiquée - et qu'il a diagnostiqué une dépression chez son patient en janvier 2018 alors qu'à ce moment-là, celui-ci ne disposait pas encore des résultats de son test de paternité. Elle ajoute que, bien qu'une dépression nécessite un suivi régulier, l'intimé n'a été traité par un psychologue qu'en janvier 2019, soit un an après ses prétendus doutes.
Ce faisant, la recourante se contente d'opposer sa propre appréciation des preuves et des faits à celle de la cour cantonale, ce qui ne suffit pas à démontrer l'arbitraire (<ref-law>). Tel est en particulier le cas lorsqu'elle reproche à cette autorité d'avoir admis que les déclarations du médecin traitant de l'intimé étaient crédibles, bien qu'il soit généraliste. Il en va de même dans la mesure où elle expose que l'intimé n'a jamais été mis en arrêt de travail, alors que son métier de gardien de piscine nécessitait une certaine santé mentale et impliquait de nombreuses responsabilités, soutenant en outre que, contrairement à l'affirmation arbitraire de l'autorité précédente, il n'aurait nullement transgressé son obligation de diligence en renonçant à travailler s'il avait réellement été atteint dans sa santé psychique: de nature appellatoire, ces allégations n'établissent en rien le caractère prétendument insoutenable des constatations de l'arrêt entrepris concernant l'état dépressif du demandeur lorsqu'il a éprouvé des doutes sur sa paternité. Il ressort d'ailleurs des faits constatés que son médecin traitant a alors voulu lui prescrire un arrêt de travail, ce qu'il a refusé, la perspective de rester seul à la maison dans son état étant impossible pour lui.
Est également appellatoire, et par conséquent irrecevable, l'argument selon lequel l'intimé n'aurait pas pu réserver des vacances avec sa fille s'il avait réellement été dans un état totalement dépressif ou aboulique. Le juge précédent pouvait en effet retenir, sans faire preuve d'arbitraire, que cet état affectait la capacité du demandeur à effectuer des démarches administratives, comme l'avait déclaré son médecin traitant, de sorte que la réservation en question ne contredisait pas les difficultés de l'intéressé à se résoudre à agir en justice. De même, en tant que la recourante prétend que le médecin interrogé a simplement mentionné les démarches administratives à titre d'exemple, elle se borne à faire valoir sa propre appréciation des déclarations de ce praticien, sans rien démontrer. Que l'intimé ait eu besoin d'un suivi psychologique en 2019 alors que, selon son médecin traitant, il allait mieux dès le mois de septembre 2018 ne démontre pas non plus que le diagnostic posé par celui-ci ne soit pas fiable.
Supposé suffisamment motivé (<ref-law>), le moyen doit donc être rejeté.
5.
La recourante fait aussi grief à la cour cantonale d'avoir violé l'<ref-law>, en admettant l'existence de justes motifs qui excuseraient la tardiveté de l'ouverture de l'action en désaveu de paternité. Elle soutient que la prétendue dépression de l'intimé ne l'empêchait pas de gérer ses affaires personnelles urgentes, de sorte qu'il n'aurait pas fait preuve de la célérité commandée par les circonstances. L'intérêt de l'enfant n'aurait en outre pas été suffisamment pris en compte.
5.1. En vertu de l'<ref-law>, le mari doit intenter action en désaveu au plus tard un an après qu'il a connu la naissance et le fait qu'il n'est pas le père ou qu'un tiers a cohabité avec la mère à l'époque de la conception, mais en tout cas dans les cinq ans depuis la naissance. Il s'agit de délais de péremption (<ref-ruling> consid. 3a et les citations), qui ne peuvent être ni interrompus, ni suspendus. La loi prévoit, néanmoins, que l'action peut être introduite après l'expiration du délai lorsque de justes motifs rendent le retard excusable (<ref-law>); tant le délai relatif que le délai absolu sont susceptibles de restitution, ce qui a pour conséquence qu'une restitution est en principe admissible d'une manière illimitée dans le temps (<ref-ruling> consid. 6.1.1 [pour l'<ref-law>]; <ref-ruling> consid. 2.2 et les arrêts cités). Le juge apprécie librement l'existence de "justes motifs" au regard des circonstances de l'espèce (<ref-law>; arrêts 5A_921/2017 du 16 juillet 2018 consid. 3.1; 5A_541/2017 du 10 janvier 2018 consid. 3.1; 5A_210/2016 du 3 juin 2016 consid. 2.1). Selon la jurisprudence, il y a juste motif lorsque le mari n'avait pas de raison suffisante de douter de sa paternité, de simples doutes qui ne reposent pas sur des indices concrets ne permettant pas de fonder l'action (ATF <ref-ruling> consid. 2.2; arrêts 5A_541/2017 du 10 janvier 2018 consid. 3.1; 5A_240/2011 du 6 juillet 2011 consid. 6.2.1; 5A_506/2007 du 28 février 2008 consid. 3.2 non publié aux <ref-ruling>; 5C.217/2006 du 19 février 2007 consid. 2.2; 5C.292/2005 du 16 mars 2006 consid. 3.1; 5C.113/2005 du 29 septembre 2005 consid. 4.2; 5C.130/2003 du 14 octobre 2003 consid. 1.2 [pour l'<ref-law>]).
L'<ref-law> n'accorde aucun délai supplémentaire, même de courte durée; il incombe au demandeur d'agir avec toute la célérité possible dès que la cause du retard a pris fin, en principe, au maximum dans les cinq semaines qui suivent la fin de la cause du retard, sauf circonstances exceptionnelles telles que la maladie ou une période de vacances (<ref-ruling> consid. 6.1.1; <ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 3; arrêt 5A_222/2018 du 28 novembre 2019 consid. 5.1 non publié aux <ref-ruling>, mais in FamPra.ch 2020 p. 431 et in Pra 2020 n° 118 p. 1167, avec les références). L'évaluation du temps écoulé avant que l'intéressé agisse en justice, une fois que l'empêchement a disparu, relève également du pouvoir d'appréciation du juge (HEGNAUER, Commentaire bernois, n° 59 ad <ref-law>), dont le Tribunal fédéral n'examine l'exercice qu'avec retenue: il n'intervient que lorsque l'autorité a excédé son pouvoir d'appréciation ou en a abusé, aboutissant à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (<ref-ruling> consid. 3.3 et la jurisprudence citée).
5.2. En l'espèce, il n'est pas contesté que le demandeur a appris la naissance de l'enfant immédiatement, en 2012. Au moment du dépôt de la requête d'assistance judiciaire, le 23 mai 2018, respectivement de l'action en désaveu, le 20 juin 2018, le délai absolu de cinq ans était par conséquent expiré. Il ressort toutefois des faits constatés - dont la recourante n'a pas démontré qu'ils auraient été arbitrairement établis (cf. supra consid. 3) - que l'intéressé n'a jamais douté de sa paternité sur sa fille avant les révélations d'une amie, en janvier 2018. Une analyse ADN effectuée le mois suivant est venue confirmer ses soupçons. Jusqu'à l'obtention des résultats de ce test, le 27 février 2018, il n'avait aucune raison suffisante de douter de sa paternité, ce qui constitue un juste motif de restitution du délai (cf. supra consid. 5.1).
Le demandeur dont le retard est excusable selon l'<ref-law> ne bénéficie cependant pas d'un nouveau délai d'une durée déterminée (arrêt 5A_298/2009 du 31 août 2009 consid. 4.2; HEGNAUER, op. cit., loc. cit.; GUILLOD, in Commentaire romand, Code civil I, 2010, n° 10 ad <ref-law>; BURGAT/GUILLOD, Les actions tendant à la destruction du lien de filiation, spécialement l'action en désaveu de paternité, in Quelques actions en annulation, Neuchâtel 2007, n° 110 p. 35). Dès que la cause du retard a pris fin, il doit agir avec "toute la célérité possible" (cf. supra consid. 5.1). En l'occurrence, le demandeur a reçu les résultats du test ADN confirmant ses soupçons - lesquels n'auraient pas suffi pour motiver une demande en justice - le 27 février 2018. Il a certes attendu le 23 mai suivant pour déposer une requête d'assistance judiciaire et le 20 juin 2018 pour ouvrir action. A cet égard, l'autorité précédente a d'une part estimé, en se fondant sur la jurisprudence, que le fait d'entreprendre des démarches préliminaires auprès de l'autorité judiciaire était suffisant, ce que la recourante ne conteste plus à ce stade. D'autre part, et surtout, elle a considéré que la dépression subie par le demandeur dès le mois de janvier 2018 constituait une "circonstance exceptionnelle" de nature à justifier le retard à agir, la jurisprudence qualifiant ainsi, notamment, la maladie, sans qu'il y ait lieu de distinguer, à cet égard, entre maladie physique ou psychique. Or, la recourante, comme exposé plus haut, n'a pas démontré que les constatations de la cour cantonale portant sur l'état psychologique du mari dès le mois de janvier 2018 seraient insoutenables (cf. supra consid. 4). Sur la base de ces faits, qui lient le Tribunal fédéral, il y a lieu de considérer que l'autorité précédente n'a pas abusé de son pouvoir d'appréciation en jugeant que l'intéressé avait procédé à temps, étant en particulier admis que des obstacles psychologiques à la formation de la décision d'agir en justice peuvent constituer une raison subjective rendant le retard excusable (cf. arrêts 5A_921/2017 du 16 juillet 2018 consid. 3.1; 5A_240/2011 du 6 juillet 2011 consid. 6.2.1, in FraPra.ch 2011 p.1006; MEIER/STETTLER, Droit de la filiation, 6e éd. 2019, note de bas de page 192 ad n° 94; GUILLOD, op. cit., n° 8 ad <ref-law>).
Les circonstances suffisant à fonder un juste motif, l'intérêt de l'enfant, qui ne doit pas être compris comme une condition supplémentaire qui serait mise à l'admission d'une restitution de délai (<ref-ruling> consid. 6.2), n'a pas à intervenir comme élément d'appréciation. Dans la mesure où elles visent la pesée des intérêts en présence effectuée, par surabondance, dans l'arrêt entrepris, les critiques de la recourante n'ont dès lors pas besoin d'être examinées.
6.
En conclusion, le recours se révèle mal fondé et doit par conséquent être rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Vu cette issue, prévisible, de la procédure, la requête d'assistance judiciaire ne peut être agréée (<ref-law>). La recourante supportera dès lors les frais judiciaires, dont le montant sera fixé en tenant compte de sa situation financière peu favorable (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge unique de la Cour civile II du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 22 avril 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot