Erwägungen:
1.
1.1. Am 2. Oktober 2018 stellte B._ (Beschwerdegegner) beim Zivilgericht Basel-Stadt ein Gesuch um Ausweisung von A._ (Beschwerdeführerin) aus einer in seinem Eigentum stehenden 1 1⁄2-Zimmer-Wohnung an der Strasse U._ in V._ im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen. Die Parteien wurden auf den 6. November 2018 zur Verhandlung vorgeladen. Am 5. November 2018 ersuchte die anwaltlich vertretene Beschwerdeführerin um Verschiebung der Verhandlung.
Mit Entscheid vom 6. November 2018 lehnte das Zivilgericht das Verschiebungsgesuch ab (Ziffer 1) und wies die Beschwerdeführerin an, die Wohnung spätestens am 16. November 2018 zu räumen (Ziffer 2). Wenn die Beschwerdeführerin innert der gesetzten Frist nicht ausgezogen sei, werde auf Antrag des Beschwerdegegners ohne weiteres die Räumung vollzogen (Ziffer 3).
Mit Eingabe vom 26. November 2018 verlangte die Beschwerdeführerin die schriftliche Begründung des Entscheids vom 6. November 2018 und beantragte die unentgeltliche Rechtspflege. Mit Verfügung vom 30. November 2018 wies die Zivilgerichtspräsidentin das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab.
Mit Schreiben vom 3. Dezember 2018 teilte das Zivilgericht der Beschwerdeführerin mit, dass der Zivilgerichtspräsident die amtliche Räumung auf den 19. Dezember 2018 angeordnet habe. Auf ein Verschiebungsgesuch der Beschwerdeführerin hin, hielt die Zivilgerichtspräsidentin mit Verfügung vom 11. Dezember 2018 am Räumungstermin vom 19. Dezember 2018 fest.
1.2. Mit Eingabe vom 14. Dezember 2018 erhob die Beschwerdeführerin beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt Beschwerde gegen den Entscheid des Zivilgerichts vom 6. November 2018, die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 30. November 2018, die Räumungsanzeige vom 3. Dezember 2018 und die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 11. Dezember 2018.
Das Appellationsgericht behandelte das Rechtsmittel gegen den Entscheid des Zivilgerichts vom 6. November 2018 als Berufung und wies diese mit Entscheid vom 15. Januar 2019 ab. Gleichzeitig wies es die Beschwerde gegen die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 30. November 2018 ab, trat auf die Beschwerde gegen die Räumungsanzeige vom 3. Dezember 2018 nicht ein, schrieb diejenige gegen die Verfügung der Zivilgerichtspräsidentin vom 11. Dezember 2018 als gegenstandslos ab und wies das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege für das Rechtsmittelverfahren ab.
1.3. Die Beschwerdeführerin erhob gegen den Entscheid des Appellationsgerichts vom 15. Januar 2019 mit Eingabe vom 24. Januar 2019 Beschwerde in Zivilsachen und beantragte, der angefochtene Entscheid sei vollumfänglich aufzuheben und auf das Ausweisungsbegehren vom 2. Oktober 2018 nicht einzutreten. Eventualiter sei die Sache im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Gleichzeitig ersuchte die Beschwerdeführerin darum, es sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen und bis zum Entscheid über das Gesuch sei das Zivilgericht superprovisorisch anzuweisen, von der amtlichen Räumung der Mietsache abzusehen (Massnahmengesuch). Ferner sei der Beschwerdeführerin die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren und es sei ihr ein unentgeltlicher Rechtsbeistand zu bestellen. Diesem sei die Möglichkeit einzuräumen, die Begründung der Beschwerde innert der Beschwerdefrist, evtl. innert einer angemessenen Nachfrist, zu ergänzen.
Mit Verfügung vom 29. Januar 2019 wies das Bundesgericht das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung sowie um Anordnung von vorsorglichen Massnahmen ab, wie auch das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege unter Beistellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2 S. 89, 115 E. 2 S. 116).
Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht kann das Bundesgericht nur insofern prüfen, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 1.4; <ref-ruling> E. 1.3.1; <ref-ruling> E. 2.1/2.2; <ref-ruling> E. 3.2 S. 444).
Die Begründung hat ferner in der Beschwerdeschrift selbst zu erfolgen, und der blosse Verweis auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (<ref-ruling> E. 3.1 S. 400).
Diesen Begründungsanforderungen entspricht die vorliegende Beschwerdeschrift nicht, wie in den nachfolgenden Erwägungen darzulegen ist.
3.
3.1. Mit Bezug auf den Entscheid des Zivilgerichts vom 6. November 2018 rügte die Beschwerdeführerin in ihrer Berufung an die Vorinstanz, das Zivilgericht habe ihren Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt, indem es ihrem Gesuch vom 5. November 2018 auf Verschiebung der Verhandlung vom 6. November 2018 nicht entsprochen habe. Die Vorinstanz kam zum Schluss, das Zivilgericht habe das Verschiebungsgesuch zu Recht abgelehnt und damit den Gehörsanspruch der Beschwerdeführerin nicht verletzt. Es führte dazu u.a. aus, die persönliche Teilnahme der angeblich verhandlungsunfähigen, aber anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin an der Verhandlung vom 6. November 2018 sei nicht erforderlich gewesen, zumal ihr Vertreter mit dem Fall bestens vertraut gewesen sei. Der Verhandlungstermin sei dem Vertreter seit dem 8. Oktober 2018 bekannt gewesen und er habe vier Wochen Zeit gehabt, sich von der Beschwerdeführerin instruieren zu lassen. Dass er während dieser ganzen Zeit keine Instruktionen eingeholt habe, sei kaum vorstellbar. Dass sich die Frage eines Vergleichs hätte stellen können, erscheine angesichts der verhärteten Fronten als sehr unwahrscheinlich. Zudem hätte es dem Vertreter frei gestanden, einen solchen nur mit Widerrufsvorbehalt abzuschliessen. Die Behauptung des Vertreters der Beschwerdeführerin, er hätte die Interessen derselben an der Verhandlung vom 6. November 2018 nicht wirksam vertreten können, sei als unglaubhafte Schutzbehauptung zu qualifizieren, deren einziger Zweck offensichtlich darin bestanden habe, das Verfahren zu verzögern, um der Beschwerdeführerin zu ermöglichen, möglichst lange im Mietobjekt zu bleiben.
3.2. Die Beschwerdeführerin brachte in ihrer Berufung an das Appellationsgericht weiter vor, das Zivilgericht habe zu Unrecht eine klare Rechtslage bejaht, weil aufgrund des Verhaltens des Beschwerdegegners von einem neuen, faktischen Mietverhältnis auszugehen sei; diesen Einwand habe die Vorinstanz zu Unrecht wegen prozessualer Verspätung nicht berücksichtigt.
Das Appellationsgericht erwog dazu, die Tatsachenbehauptungen, aufgrund derer ein neues faktisches Mietverhältnis zustandegekommen sein solle, seien erstmals in einer Eingabe vom 26. November 2018 und damit verspätet vorgebracht worden, da sie bei zumutbarer Sorgfalt schon vor der Erstinstanz hätten vorgebracht werden können. Nachdem das Gesuch des Rechtsvertreters der Beschwerdeführerin um Verschiebung der Verhandlung vom 6. November 2018 nicht gutgeheissen worden sei, wäre der Vertreter bei Anwendung minimaler Sorgfalt zur Verhandlung des Zivilgerichts erschienen und hätte die seiner Ansicht nach relevanten Umstände gegen die Ausweisung vorgebracht. Indem er der Vorladung keine Folge geleistet habe, habe er seine Sorgfaltspflicht verletzt, was der Beschwerdeführerin anzurechnen sei.
Im Rahmen einer Alternativbegründung und zur Heilung einer allfälligen Gehörsverletzung wegen Nichtberücksichtigung der Tatsachenbehauptungen, aufgrund welcher ein neues faktisches Mietverhältnis zustandegekommen sein solle, prüfte die Vorinstanz sodann den Einwand der Beschwerdeführerin unter Berücksichtigung der unzulässigen Noven mit voller Kognition und kam zum Schluss, dieser sei offensichtlich unbegründet.
So habe die Beschwerdeführerin geltend gemacht, weil der Beschwerdegegner die Mietzinsen vorbehaltlos entgegen genommen und das vorliegend zu beurteilende Ausweisungsgesuch erst am 1. Oktober 2018 gestellt habe, sei nach dem 31. Dezember 2017 ein neues, faktisches Vertragsverhältnis entstanden, das mangels Beendigung dem Ausweisungsbegehren entgegenstehe. Wenn der Mieter, so die Vorinstanz, die Mietsache nach Beendigung des Mietverhältnisses nicht zurückgebe und im Mietobjekt bleibe, schulde er dem Vermieter nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung eine Entschädigung, deren Höhe grundsätzlich dem vereinbarten Mietzins entspreche. Auch wenn dabei dogmatisch von einem faktischen Vertragsverhältnis bzw. von einem gesetzlichen Schuldverhältnis ausgegangen würde, änderte dies nichts daran, dass das Mietverhältnis beendet sei und bleibe. Die Ausweisung wäre im vorliegenden Fall nur ausgeschlossen, wenn die Parteien durch konkludentes Verhalten einen neuen Mietvertrag geschlossen hätten, was aber nur mit Zurückhaltung anzunehmen sei und in jedem Fall voraussetze, dass der Vermieter die Kündigung und den sich daraus ergebenden Rückgabeanspruch während längerer Zeit nicht durchsetze und die Mietzinszahlung regelmässig vorbehaltlos entgegennehme. Ersteres sei vorliegend nicht der Fall. Das Bundesgericht habe eine Beschwerde der Beschwerdeführerin gegen die Abweisung ihrer Klage auf Ungültigerklärung der Kündigung des Mietverhältnisses und Erstreckung des Mietverhältnisses mit Urteil vom 4. September 2018 (4A_85/2018) abgewiesen, soweit darauf einzutreten war. Am 2. Oktober 2018 - weniger als einen Monat nach dem Urteil des Bundesgerichts - habe der Beschwerdegegner das strittige Gesuch um Ausweisung der Beschwerdeführerin im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen gestellt. Vorher wäre die Stellung eines Gesuchs um Ausweisung im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen aussichtslos gewesen, woran nichts ändere, dass das Bundesgericht das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung im Verfahren 4A_85/2018 bereits am 20. Februar 2018 abgewiesen habe, weil noch keine vollstreckbare Anordnung vorliege. Es sei nach den gesamten Umständen offensichtlich, dass der Beschwerdegegner tatsächlich weder einen neuen Mietvertrag abschliessen noch das bisherige Mietverhältnis fortsetzen wollte. Auch habe die Beschwerdeführerin aus dem Umstand, dass der Beschwerdegegner während der Dauer des Verfahrens betreffend die Gültigkeit der Kündigung und die Erstreckung des Mietverhältnisses seinen Rückgabeanspruch nicht durchgesetzt und die Mietzinszahlungen vorbehaltlos entgegen genommen habe, nach Treu und Glauben nicht auf einen solchen Willen schliessen dürfen. Das Vorbringen der Beschwerdeführerin, wonach durch das Verhalten des Beschwerdegegners ein neues, faktisches Mietverhältnis entstanden sei, erweise sich ohne weiteres als unwahr bzw. haltlos und wäre somit selbst bei prozessualer Zulassung dieser neuen Tatsachenbehauptungen nicht geeignet, die Illiquidität des Sachverhalts zu begründen.
4.
Die Beschwerdeführerin rügt sinngemäss, die Vorinstanz habe zu Unrecht eine Verletzung ihres Anspruchs auf rechtliches Gehör (<ref-law>) durch die Erstinstanz im Zusammenhang mit der Abweisung des Verschiebungsgesuchs für die erstinstanzliche Verhandlung vom 6. November 2018 verneint.
Soweit sie dies damit begründet, durch die Abweisung des Verschiebungsgesuchs sei ihr die Möglichkeit genommen worden, sich zum "Argument mit dem faktischen Mietverhältnis" zu äussern, übergeht sie, dass die Vorinstanz eine allfällige Gehörsverletzung durch die Erstinstanz heilte, indem sie sämtliche diesbezüglichen Vorbringen, welche die Beschwerdeführerin nachträglich einbrachte, mit voller Kognition beurteilte. Entsprechend legt sie nicht dar, weshalb nach dem Entscheid der Vorinstanz insoweit eine allfällige Gehörsverletzung fortbestehen könnte (Erwägung 2 oben).
Dass ihr infolge ihrer Abwesenheit bei der erstinstanzlichen Verhandlung die angestrebte Möglichkeit abgeschnitten worden wäre, sich zu anderen für die Beurteilung des Ausweisungsgesuch wesentlichen Gesichtspunkten als dem "Argument mit dem faktischen Mietverhältnis" zu äussern, macht die Beschwerdeführerin sodann nicht geltend und lässt sich den verbindlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid (<ref-law>) nicht entnehmen. Es ist insoweit zu beachten, dass der Anspruch auf rechtliches Gehör trotz seiner formellen Natur nicht Selbstzweck ist, sondern, wie das Verfahrensrecht überhaupt, der Verwirklichung des materiellen Rechts dient. Dessen Verletzung kann nur gerügt werden kann, solange daran ein rechtlich geschütztes Interesse besteht, indem die behauptete Gehörsverletzung einen Einfluss auf den Verfahrensausgang hat (Urteile 4A_27/2018 vom 3. Januar 2019 E. 3.2.4; 4A_141/2016 vom 26. Mai 2016 E. 1.2 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 3d; <ref-ruling> E. 4a). Entsprechendes ist hier nach dem Gesagten nicht ersichtlich, weshalb auf die Gehörsrüge insoweit mangels Rechtsschutzinteresse nicht einzutreten ist.
Weiter hält die Beschwerdeführerin sinngemäss dafür, ihr Gehörsanspruch sei verletzt, weil ihre Anwesenheit an der erstinstanzlichen Verhandlung im Hinblick auf einen möglichen Vergleichsabschluss nützlich gewesen wäre. Sie setzt sich indessen nicht hinreichend mit den diesbezüglichen Erwägungen der Vorinstanz auseinander, weshalb im vorliegenden Fall eine Verschiebung der Verhandlung im Hinblick auf eine Vergleichslösung mit Blick auf den Gehörsanspruch nicht angezeigt gewesen sei. Überdies legt sie auch nicht dar, weshalb sich aus dem Gehörsanspruch überhaupt ein Recht ergeben soll, im Hinblick auf einen allenfalls möglichen Vergleichsabschluss an einer Verhandlung teilzunehmen (Erwägung 2 oben).
5.
Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, die Vorinstanz sei im Zusammenhang mit der Frage, ob ein neues faktisches Mietverhältnis zustande gekommen sei, zu Unrecht von einer klaren Rechtslage im Sinne von <ref-law> ausgegangen.
Sie begnügt sich insoweit zunächst mit einem Verweis auf ihre Ausführungen im vorinstanzlichen Berufungsverfahren, worauf nicht eingetreten werden kann (Erwägung 2). Im Weiteren wiederholt sie im Wesentlichen bloss ihren Standpunkt, der Beschwerdegegner habe zum Ausdruck gebracht, dass er mit dem Verbleib der Beschwerdeführerin in der Wohnung einverstanden sei, indem er es auch nach der Verfügung des Bundesgerichts vom 20. Februar 2018 über die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung im Verfahren 4A_85/2018 unterlassen habe, sofort ein Ausweisungsgesuch im summarischen Verfahren zu stellen. Sie setzt sich damit und auch im Weiteren nicht hinreichend mit den vorinstanzlichen Erwägungen zum Einwand, es sei ein neues faktisches Mietverhältnis zustande gekommen, auseinander und legt nicht rechtsgenügend dar, welche Rechte die Vorinstanz mit ihrem darauf gestützten Entscheid inwiefern verletzt haben soll (Erwägung 2 oben).
6.
Zusammenfassend ist auf die mangels hinreichender Begründung bzw. mangels Rechtsschutzinteresse offensichtlich unzulässige Beschwerde nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. a und b BGG). Diesem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (<ref-law>). Der Beschwerdegegner hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung, da ihm aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand entstanden ist (<ref-law>)

Demnach erkennt die Präsidentin:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. Mai 2019
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Widmer