Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1986; alias: B._, alias: C._, alias: D._, alias: E._) stammt aus Algerien. Er durchlief in der Schweiz erfolglos ein Asylverfahren und wurde am 16. Mai 2003 aufgefordert, das Land zu verlassen.
A.b. A._ ist in der Schweiz wiederholt straffällig geworden (Diebstahl, Hausfriedensbruch, mehrfache Missachtung einer Ein- oder Ausgrenzung, Tätlichkeiten usw.). Letztmals verurteilte das Obergericht des Kantons Solothurn ihn am 13. Juni 2019 unter anderem wegen gewerbsmässigen betrügerischen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage zu einer Freiheitsstrafe vom 11 Monaten sowie zu einer Landesverweisung von 10 Jahren. Am 14. Januar 2020 wurde A._ aus dem Strafvollzug entlassen.
B.
B.a. Das Migrationsamt des Kantons Solothurn nahm A._ am 19. Februar 2020 in Durchsetzungshaft, was das Haftgericht des Kantons Solothurn (im Weiteren: Haftgericht) am 20. Februar 2020 genehmigte. Am 13. März 2020 verlängerte es die Festhaltung vom 17. März bis zum 16. Mai 2020 und am 15. Mai 2020 vom 16. Mai 2020 bis zum 16. Juli 2020.
B.b. Die von A._ gegen den Entscheid des Haftgerichts vom 13. März 2020 beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn eingereichte Beschwerde blieb ohne Erfolg: Das Gericht ging in seinem Entscheid vom 17. April 2020 davon aus, dass der Wegweisungsvollzug trotz der COVID-19-Pandemie absehbar sei.
C.
C.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 17. April 2020 aufzuheben; er sei unverzüglich aus der Haft zu entlassen. Eine Ausschaffung nach Algerien sei derzeit weder möglich noch absehbar. Zudem hätten die schweizerischen Behörden das Beschleunigungs- und Verhältnismässigkeitsgebot verletzt.
C.b. Das Haftgericht des Kantons Solothurn hat darauf verzichtet, sich zur Beschwerde zu äussern. Das Migrationsamt und das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn beantragen, die Beschwerde "vollumfänglich" abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Das Staatssekretariat für Migration (SEM) hält in seinem Amtsbericht vom 27. Mai 2020 fest, dass eine Ausreise nach Algerien möglich und absehbar sei. A._ hat am 31. Mai 2020 (Eingang am 3. Juni 2020) an seinen Anträgen und Ausführungen festgehalten.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen den kantonal letztinstanzlichen Entscheid über eine Zwangsmassnahme im Ausländerrecht kann die betroffene Person mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangen (Art. 82 i.V.m. <ref-law>; Urteil 2C_312/2018 vom 11. Mai 2018 E. 1). Wegen des mit der Anordnung ausländerrechtlicher Administrativhaft verbundenen schweren Eingriffs in die persönliche Freiheit kommt dem entsprechenden Freiheitsentzug eigenständige Bedeutung zu; die Haft erscheint nicht als bloss untergeordnete Vollzugsmassnahme zur Wegweisung, weshalb der Ausschlussgrund von <ref-law> der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nicht entgegensteht (<ref-ruling> E. 1.1.3 S. 139 f.; <ref-ruling> E. 5.5 S. 101 f.; Urteil 2C_466/2018 vom 21. Juni 2018 E. 1.1).
1.2.
1.2.1. Das Bundesgericht verzichtet ausnahmsweise im Rahmen von <ref-law> auf das Erfordernis des aktuellen praktischen Interesses, wenn sich die aufgeworfenen Fragen unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen können, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen deren grundsätzlicher Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (<ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 1.1 S. 103; <ref-ruling> E. 1.1 S. 81). Das Bundesgericht tritt - trotz Haftentlassung oder eines Verlängerungsentscheids, welcher den ursprünglich angefochtenen Haftentscheid ablöst - auf Beschwerden gegen die Genehmigung der ausländerrechtlichen Festhaltung durch den Haftrichter bzw. den entsprechenden kantonalen Rechtsmittelentscheid ein, wenn der Betroffene rechtsgenügend begründet (<ref-law>) und in vertretbarer Weise ("griefs défendables") die Verletzung einer Garantie der EMRK rügt (vgl. das Urteil 2C_548/2011 vom 26. Juli 2011 E. 1.3; <ref-ruling> ff.).
1.2.2. Die freiheitsentziehenden ausländerrechtlichen Zwangsmassnahmen fallen grundsätzlich in den Anwendungsbereich von Art. 5 EMRK (vgl. das EGMR-Urteil Jusic gegen Schweiz vom 2. Dezember 2010 [Nr. 4691/06], §§ 67 ff.). Der Beschwerdeführer macht inhaltlich in vertretbarer Weise geltend, unter Verletzung von Art. 5 Ziffer 1 lit. f EMRK in Haft belassen worden zu sein. An der Beurteilung der Konventionskonformität seiner Festhaltung hat er ein fortbestehendes Prüf- und Feststellungsinteresse. Da neben der Legitimation auch alle anderen Prozessvoraussetzungen gegeben sind, ist auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten einzutreten (vgl. Art. 42, Art. 100 Abs. 1 i.V.m. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2 S. 203 f.).
2.
2.1. Hat eine ausländische Person ihre Pflicht zur Ausreise aus der Schweiz innerhalb der ihr angesetzten Frist nicht erfüllt und kann die rechtskräftige Weg- oder Ausweisung aufgrund ihres persönlichen Verhaltens nicht vollzogen werden, so darf sie in Durchsetzungshaft genommen werden, um der Ausreisepflicht Nachachtung zu verschaffen, sofern die Anordnung der Ausschaffungshaft nicht zulässig ist und keine andere, mildere Massnahme zum Ziel führt (<ref-law> [SR 142.20]; bis zum 31. Dezember 2019: AuG). Die Haft wird gemäss <ref-law> beendet, wenn "eine selbstständige und pflichtgemässe Ausreise" nicht möglich ist, obwohl die betroffene Person den behördlich vorgegebenen Mitwirkungspflichten nachkommt (lit. a).
2.2.
2.2.1. Zweck der Durchsetzungshaft ist es, die ausreisepflichtige Person in jenen Fällen zu einer Verhaltensänderung zu bewegen, in denen nach Ablauf der Ausreisefrist der Vollzug der rechtskräftig gegen sie angeordneten Weg- oder Ausweisung - trotz entsprechender behördlicher Bemühungen - ohne ihre Kooperation nicht (mehr) möglich erscheint. Der damit verbundene Freiheitsentzug stützt sich auf Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK (Haft zur Sicherung eines schwebenden Ausweisungsverfahrens) und dient in diesem Rahmen der Durchsetzung einer durch das Gesetz vorgeschriebenen Verpflichtung (vgl. <ref-law>; Art. 5 Ziff. 1 lit. b EMRK; <ref-ruling> E. 2.1 S. 411).
2.2.2. Die Durchsetzungshaft bildet das letzte Mittel, wenn und soweit keine andere Massnahme (mehr) zum Ziel führt, den illegal anwesenden Ausländer auch gegen seinen Willen in seine Heimat verbringen zu können. Sie darf - zusammen mit einer bereits verbüssten Ausschaffungs- oder Vorbereitungshaft - maximal 18 Monate dauern (Art. 78 Abs. 2 i.V.m. <ref-law>), muss aber in jedem Fall verhältnismässig sein. Innerhalb dieser Höchstdauer ist jeweils aufgrund der Umstände im Einzelfall zu prüfen, ob die ausländerrechtliche Festhaltung insgesamt (noch) geeignet bzw. erforderlich erscheint und nicht gegen das Übermassverbot verstösst (vgl. <ref-ruling> E. 2.1 S. 411; <ref-ruling> E. 2.2.1 S. 107; <ref-ruling> E. 2 S. 204 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 96 ff.; Urteil 2C_639/2011 vom 16. September 2011 E. 3.1; 2C_624/2011 vom 12. September 2011 E. 2.1; 2C_936/2010 vom 24. Dezember 2010 E. 1.2).
2.2.3. Je länger die ausländerrechtlich motivierte Festhaltung dauert und je weniger die Ausschaffung absehbar erscheint, desto strengere Anforderungen sind an die fortbestehende Hängigkeit des Ausweisungsverfahrens im Sinne von Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK zu stellen und desto kritischer ist die jeweilige Haftverlängerung zu hinterfragen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 2.2.2 S. 107 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 204 ff.; <ref-ruling> E. 2.3 S. 96 ff.; Urteil 2C_639/2011 vom 16. September 2011 E. 3.1; 2C_624/2011 vom 12. September 2011 E. 2.1; 2C_936/2010 vom 24. Dezember 2010 E. 1.3). Die Festhaltung hat, weil unverhältnismässig, dann als unzulässig zu gelten, wenn triftige Gründe für Verzögerungen beim Vollzug der Wegweisung sprechen oder praktisch feststeht, dass sich dieser im Einzelfall kaum innert nützlicher Frist wird realisieren lassen (<ref-ruling> E. 4.1 S. 61). Nur falls keine oder bloss eine höchst unwahrscheinliche, rein theoretische Möglichkeit besteht, die Wegweisung zu vollziehen, ist die Haft aufzuheben, nicht indessen bei einer ernsthaften, wenn auch allenfalls (noch) geringen Aussicht hierauf (<ref-ruling> E. 4.1.3). Unter Vorbehalt einer Beeinträchtigung der öffentlichen Ordnung durch die betroffene Person ist die Frage nach der Durchführbarkeit des Wegweisungsvollzugs nicht notwendigerweise im Hinblick auf die maximal mögliche Haftdauer, sondern vielmehr auf einen den gesamten Umständen des konkreten Falls angemessenen Zeitraum hin zu beurteilen (<ref-law>, vgl. <ref-ruling> E. 4.1.3 S. 61; <ref-ruling> E. 3b/bb S. 223).
3.
Im vorliegenden Fall ist der zwangsweise Vollzug der Wegweisung -entgegen der Kritik des Beschwerdeführers - im hier für die Durchsetzungshaft massgeblichen Zeitraum nach wie vor absehbar:
3.1. Die Vorinstanz unterstrich, dass das Staatssekretariat für Migration am 27. März 2020 mitgeteilt habe, dass Rückführungen in die Herkunftsstaaten nicht generell ausgesetzt worden seien; sie würden "in einem stark eingeschränkten Rahmen" weitergeführt. Die Auswirkungen auf den Flugverkehr nach Algerien in den nächsten Wochen und Monaten seien zwar ungewiss, doch müsse für den Beschwerdeführer erst noch die Identität abgeklärt und ein Reisepapier beschafft werden; der Vollzug der Wegweisung sei erst danach möglich, weshalb sich eine Haftentlassung nicht rechtfertige. Es sei zurzeit nicht ersichtlich, weshalb die Ausschaffung aufgrund der COVID-19-Pandemie nicht innert einer vernünftigen Frist sollte vollzogen werden können.
3.2. Das Staatssekretariat für Migration hält in seinem Amtsbericht vom 27. Mai 2020 seinerseits fest, dass die Zusammenarbeit mit den algerischen Behörden allgemein gut verlaufe. Zwar habe die Air Algérie am 14. März 2020 den Flugbetrieb weitgehend eingestellt; gemäss einer öffentlichen Ankündigung vom 19. Mai 2020 bereite sie sich aber auf die Wiederaufnahme der Flugtätigkeit vor. Aufgrund der derzeitigen Entwicklungen und insbesondere der Lockerungen der behördlichen Pandemie-Massnahmen könne davon ausgegangen werden, dass die Beeinträchtigungen im Flugverkehr "vorübergehend" seien. Die Abklärungen gingen weiter. Würde der Beschwerdeführer kooperieren, könne er "innert weniger Wochen" in sein Heimatland verbracht werden.
3.3.
3.3.1. Der Beschwerdeführer ist in der Schweiz wiederholt straffällig geworden; er hat die Papierbeschaffung aktiv hintertrieben. Verschiedene Anfragen in Algerien blieben erfolglos, da er falsche Angaben zu seiner Person gemacht hatte. Ein- und Ausgrenzungen hat er während Jahren nicht respektiert; er wurde deshalb wiederholt strafrechtlich verurteilt. Während seines Aufenthalts in der Anstalt Bässlergut hat er seine Zelleneinrichtung zerstört. Der Beschwerdeführer hat damit wiederholt die hiesige öffentliche Ordnung beeinträchtigt, weshalb es sich rechtfertigt, bei der Absehbarkeit von einem grösseren Teil der zur Verfügung stehenden maximal möglichen Haftdauer von 18 Monaten auszugehen.
3.3.2. Soweit der Beschwerdeführer einwendet, dass er bereits früher festgehalten worden sei, verkennt er, dass es sich dabei um einen Strafvollzug gehandelt hatte. Ein solcher wird auf ausländerrechtlich begründete Freiheitsentzüge nicht angerechnet (vgl. <ref-ruling> ff.; Martin Businger, Ausländerrechtliche Haft, Die Haft nach Art. 75 ff. AuG, Zürich/Basel/Genf 2015, S. 77 f.; Thomas Hugi Yar, Zwangsmassnahmen im Ausländerrecht, in: Uebersax/Rudin/Hugi Yar/Geiser, Ausländerrecht, 2. Aufl. 2008, Rz. 10.110).
3.3.3. Die coronabedingten Einschränkungen werden bereits heute teilweise gelockert; bis im Juli 2020 soll die Freizügigkeit im Schengenraum wieder hergestellt sein. In Algerien bestehen zwar nach wie vor Einreisebeschränkungen, doch sind auch dort erste Öffnungen geplant, wie sich aus dem Amtsbericht des Staatssekretariats für Migration ergibt. Die Ansteckungszahlen und die Anzahl Todesfälle in Algerien nehmen langsam ab (https://www.worldometers.info/co ronavirus/country/ algeria, letztmals besucht am 2. Juni 2020); es ist - wie die Vorinstanz ohne Verletzung von Bundesrecht annehmen durfte - absehbar, dass die Zusammenarbeit zwischen den Behörden im Rahmen des Abkommens vom 3. Juni 2006 zwischen dem Bundesrat der Schweizerischen Eidgenossenschaft und der Regierung der Demokratischen Volksrepublik Algerien über den Personenverkehr (SR 0.142.111.279) innert nützlicher Frist wieder wird aufgenommen werden können. Bedeutsam ist in diesem Zusammenhang, dass der Beschwerdeführer zunächst dazu gebracht werden muss, bei der Feststellung seiner Identität zu kooperieren und deshalb - vom Beschwerdeführer verschuldet - der Vollzug der Ausschaffung noch nicht unmittelbar bevorsteht. Deshalb steht der Aufrechterhaltung der Durchsetzungshaft nicht entgegen, dass der Flugverkehr noch nicht wieder aufgenommen werden konnte.
3.3.4. Der Beschwerdeführer befindet sich erst seit dem 19. Februar 2020, d.h. seit etwas mehr als drei Monaten, in der Durchsetzungshaft; auch wenn auf eine kürzere als die maximal mögliche Haftdauer abgestellt würde, verletzte die angefochtene Haftverlängerung kein Bundesrecht. Die Haft ist sachbezogen auf den Vollzug der Ausschaffung ausgerichtet und das Rückführungsverfahren nach wie vor hängig bzw. "schwebend" im Sinne der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte zu Art. 5 Ziff. 1 lit. f EMRK (EGMR-Urteil Jusic, a.a.O., §§ 67 ff.).
3.4. Im Hinblick auf das Verhalten des Beschwerdeführers in Freiheit erweist sich die beanstandete Haftverlängerung auch als verhältnismässig: Der Beschwerdeführer hat die milderen Mittel (Ein- und Ausgrenzung) wiederholt missachtet. Die Inhaftierung ist geeignet und erforderlich, um seine Ausschaffung vorzubereiten; der Zweck der Haft und deren Auswirkung auf das Grundrecht der persönlichen Freiheit stehen derzeit noch in einem vertretbaren Verhältnis und verletzen das Übermassverbot nicht. Ob der Beschwerdeführer aus der Durchsetzungshaft zu entlassen wäre, wenn er mit den Behörden kooperieren und insbesondere seine richtige Identität offen legen würde, ist hier nicht weiter zu prüfen; bisher zeigt er keinerlei Kooperationsbereitschaft.
4.
Entgegen der Kritik des Beschwerdeführers ist auch das Beschleunigungsgebot nicht verletzt:
4.1. Dieses verlangt, dass der Vollzug der Wegweisung mit dem nötigen Nachdruck verfolgt wird. Die für den Wegweisungsvollzug notwendigen Vorkehrungen sind umgehend zu treffen. Das Beschleunigungsgebot gilt als missachtet, wenn während mehr als zwei Monaten keinerlei sachgerechte Vorkehren im Hinblick auf den Vollzug der Wegweisung getroffen werden, ohne dass die Verzögerung in erster Linie auf das Verhalten ausländischer Behörden oder des Betroffenen selber zurückgeht (<ref-ruling> E. 2.1 S. 211).
4.2. Grundsätzlich ist dem Beschwerdeführer zuzustimmen, dass Abklärungen bezüglich seiner Identität bereits während des Strafvollzugs hätten vorgenommen werden können; dabei ist aber zu berücksichtigen, dass er immer nur falsche Angaben gemacht hat, womit er erfolgreiche Abklärungen bewusst verunmöglichte. Bei der Durchsetzungshaft gilt das Beschleunigungsgebot nur relativiert, da die Wegweisung nicht vollzogen werden kann, weil der Betroffene - wie hier - die Rückkehr in seine Heimat hintertreibt (vgl. Martin Businger, a.a.O., S. 51 und S. 199). Im vorliegenden Fall haben das kantonale Migrationsamt und das Staatssekretariat für Migration versucht, die Rückführung auch gegen den Willen des Beschwerdeführers zu organisieren (vgl. E. 4.2.2 des angefochtenen Entscheids). Dass aufgrund der COVID-19-Pandemie die Zusammenarbeit mit den algerischen Behörden vorübergehend eingestellt werden musste, ist bei der Anwendung des Beschleunigungsgebots mitzuberücksichtigen; damit verbundene Verzögerungen können grundsätzlich im Rahmen der Durchsetzungshaft nicht den schweizerischen Behörden angelastet werden.
5.
Die angefochtene Verlängerung der Durchsetzungshaft verletzt somit kein Bundesrecht (Art. 5 Abs. 1 lit. f EMRK und <ref-law>) Die Beschwerde ist unbegründet und deshalb abzuweisen. Es rechtfertigt sich, keine Gerichtsgebühr zu erheben (Art. 66 Abs. 1 2. Satz BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Juni 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar