Sachverhalt:
A.
Die 1991 geborene A._ absolvierte mit Hilfe beruflicher Massnahmen der Invalidenversicherung vom 8. August 2011 bis 31. Juli 2014 eine Ausbildung zur Automatikmonteurin EFZ in der Stiftung B._. Anschliessend unterstützte die IV-Stelle Basel-Stadt die Versicherte vom 4. August 2014 bis 19. Dezember 2014 mit einem Job-Coaching und vom 21. bis 29. Januar 2015 mit einem Ausbildungskurs. Mit Verfügung vom 31. März 2015 schloss die Verwaltung die beruflichen Massnahmen ab.
Nachdem sich A._ im Juli 2015 erneut bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen, im Speziellen beruflicher Massnahmen angemeldet hatte, gewährte die IV-Stelle Bern Kostengutsprache für einen Arbeitsversuch vom 24. November 2015 bis 29. Februar 2016 (Abbruch wegen Nickelallergie am 21. Januar 2016) und ein Arbeitstraining vom 22. Februar 2016 bis 21. August 2016 in der Stiftung C._ für berufliche Integration. In der Folge schloss die IV-Stelle die beruflichen Massnahmen ab (Mitteilung vom 8. September 2016).
Im Oktober 2016 reichte die Versicherte eine weitere Anmeldung bei der Invalidenversicherung ein. Die nach dem Wohnsitzwechsel der Versicherten zuständige IV-Stelle Basel-Stadt tätigte daraufhin verschiedene Abklärungen, insbesondere liess sie A._ durch die Zentrum für Interdisziplinäre Medizinische Begutachtungen AG (ZIMB), Schwyz, polydisziplinär begutachten (Expertise vom 5. Januar 2018, ergänzende Stellungnahme vom 29. Dezember 2018). Anschliessend verneinte die Verwaltung nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren einen Rentenanspruch (Verfügung vom 14. Januar 2019).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. August 2019 gut, es hob die angefochtene Verfügung auf und verpflichtete die IV-Stelle, der Versicherten ab 1. April 2017 eine Dreiviertelsrente auszurichten.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt, (1.) der vorinstanzliche Entscheid sei aufheben. (2.) Die Angelegenheit sei zu weiteren medizinischen Abklärungen an die Verwaltung zurückzuweisen. (3.) Die Höhe des Valideneinkommens gemäss ihrer Verfügung sei zu bestätigten. Ferner ersucht die IV-Stelle um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
A._ lässt beantragen, in Bestätigung des vorinstanzlichen Entscheids sei die Beschwerde der IV-Stelle unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zu deren Lasten abzuweisen. Eventualiter sei ihr die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Beschwerdeverfahren zu gewähren.
Das Bundesamt für Sozialversicherungen schloss auf Gutheissung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist ein reformatorisches Rechtsmittel (<ref-law>), weshalb auch ein Rechtsbegehren reformatorisch gestellt sein muss. Ein rein kassatorisches Begehren ist jedoch zulässig, wenn das Bundesgericht ohnehin nicht in der Sache entscheiden könnte. Dies ist namentlich bei einer ungenügenden Sachverhaltsabklärung durch die Vorinstanz der Fall (Urteil 8C_135/2017 vom 4. September 2017 E. 1 mit Hinweisen). Mit der Beschwerde wird diese Rüge erhoben, weshalb auf die Anträge 1 und 2 einzutreten ist. Hinsichtlich des Feststellungsbegehrens (Antrag 3) wird auf E. 4 hiernach verwiesen.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), nur die geltend gemachten Vorbringen, falls allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1.6 S. 280 f.; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 254). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.2. Vorinstanzliche Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung sind, sind für das Bundesgericht grundsätzlich bindend (<ref-ruling> E. 3.2 S. 397 ff.). Dagegen sind die unvollständige Feststellung rechtserheblicher Tatsachen sowie die Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes, der Beweiswürdigungsregeln und der Anforderungen an den Beweiswert ärztlicher Berichte und Gutachten Rechtsfragen (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232), die das Bundesgericht (im Rahmen der erwähnten Begründungs- bzw. Rügepflicht der Parteien) frei überprüfen kann.
3.
3.1. Strittig ist der Rentenanspruch, insbesondere ob die Vorinstanz gegen Bundesrecht verstiess, indem sie abweichend vom Gutachten der ZIMB vom 5. Januar 2018 und dessen Ergänzung vom 29. Dezember 2018 aufgrund der übrigen Akten, insbesondere den Berichten über die berufliche Eingliederung auf eine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit von 50 % schloss und der Versicherten ab 1. April 2017 eine Dreiviertelsrente zusprach.
Die IV-Stelle bringt dagegen vor, die Arbeitsfähigkeit dürfe nicht anhand des Mittelwerts der geleisteten Pensen ermittelt werden, ohne zu prüfen und begründen, in welchem Ausmass die Ergebnisse der beruflichen Abklärungen auf gesundheitliche Einschränkungen zurückgehe. Aus den Abklärungsberichten ergäben sich auch invaliditätsfremde psychosoziale Faktoren, welche das Arbeitspensum und die qualitative Leistung der Versicherten eingeschränkt hätten. Indem das kantonale Gericht bei festgestellter Beweislosigkeit des Gutachtens die Sache nicht weiter medizinisch abgeklärt habe, habe es gegen die Untersuchungspflicht (<ref-law>) mithin Bundesrecht verstossen. Das Bundesamt für Sozialversicherungen legt Vergleichbares wie die IV-Stelle dar. Demgegenüber vertritt die Versicherte zusammengefasst die Auffassung, die Vorinstanz habe sämtliche Beweismittel berücksichtigt und nach einer umfassenden Würdigung des Sachverhalts in Achtung der Vorgaben eines strukturierten Beweisverfahrens geurteilt.
3.2. Als Invalidität gilt die durch einen körperlichen oder geistigen Gesundheitsschaden als Folge von Geburtsgebrechen, Krankheit oder Unfall verursachte, voraussichtlich bleibende oder längere Zeit dauernde Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>, Art. 7 f. ATSG). Bei einem psychischen Leiden wird eine fachärztlich gestellte Diagnose nach einem wissenschaftlich anerkannten Klassifikationssystem gefordert (<ref-ruling> E. 8.1 S. 430; <ref-ruling> E. 2.1 S. 285 mit Hinweis). Dabei ist hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes entscheidend - wie im angefochtenen Entscheid zutreffend dargelegt -, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge und in der Beurteilung der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen des Arztes begründet sind (<ref-ruling> E. 5.1 S. 232 mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz bekundete Zweifel an der gutachterlichen Einschätzung aufgrund der sich in den Akten befindenden Arztberichte und den Ergebnissen der gescheiterten beruflichen Integration. Sie räumte die in diagnostischer Hinsicht bestehenden Diskrepanzen zwischen dem Gutachten und den Berichten der behandelnden Ärzte aber nicht aus. Vielmehr ging das kantonale Gericht - ohne Erklärung und in Abweichung von der medizinischen Expertise - von einer (leichten) Depression aus. Wider der Einstufung durch die Gutachter nahm die Vorinstanz auch an, es lägen durch kognitive Defizite Einschränkungen in einer angepassten Tätigkeit vor. Dies begründete sie nicht weiter und zog zur Bestimmung der Arbeitsfähigkeit das bisher von der Versicherten gezeigte Leistungsvermögen heran. Auf einer derart unklaren Grundlage in medizinischer Hinsicht sind eine Beurteilung der Arbeitsfähigkeit und des Rentenanspruchs nicht möglich, müssen doch im Speziellen psychiatrische Diagnosen fachärztlich lege artis erhoben werden und haben dessen funktionelle Auswirkungen mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ausgewiesen zu sein (BGE <ref-ruling> E. 6 S. 308). Nachdem das kantonale Gericht dem ZIMB-Gutachten den Beweiswert absprach, hätte es weitere Abklärungen im Sinne eines Obergutachtens in die Wege leiten müssen. Indem die Vorinstanz dies nicht getan hat, verletzte sie den Untersuchungsgrundsatz.
4.
Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich begründet im Sinne von <ref-law>. Der kantonale Entscheid ist aufzuheben und die Angelegenheit ist - da hier ein Obergutachten einzuholen ist (<ref-ruling> E. 4.4.1.4 S. 264 f.) - an das kantonale Gericht zurückzuweisen. Nachdem der medizinische Sachverhalt feststeht, ist auf die erwerblichen Auswirkungen eines (allfällig bestehenden) Gesundheitsschadens einzugehen. Aus diesem Grund kann offengelassen werden, ob das Feststellungsbegehren der IV-Stelle betreffend das Invalideneinkommen (Antrag 3) zulässig ist.
5.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch der IV-Stelle um aufschiebende Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
6.
Die Gerichtskosten sind nach dem Verfahrensausgang der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen (<ref-law>). Ihrem Gesuch um Bewilligung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren ist stattzugeben, da die Bedürftigkeit aktenkundig ist (Art. 64 Abs. 1 und 3 BGG). Sie wird indessen auf <ref-law> hingewiesen, wonach sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 26. August 2019 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Der Beschwerdegegnerin wird die unentgeltliche Rechtspflege bewilligt und es wird ihr Rechtsanwalt Daniel Tschopp als Rechtsbeistand bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin wird für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. September 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli