Sachverhalt:
A.
Die Schwestern A._ und B._ sind je zur Hälfte Miteigentümerinnen des Grundstücks Nr. xxx in U._ (GR). Auf dem Grundstück befinden sich die zwei Gebäude Vers. Nr. yyy und Vers. Nr. yyy-A.
B.
B.a. Nachdem die Schlichtungsverhandlung scheiterte, weil A._ nicht erschien, verklagte B._ ihre Schwester am 8. März 2016 vor dem Regionalgericht Engiadina Bassa/Val Müstair auf Auflösung des Miteigentums mittels öffentlicher Versteigerung, mit hälftiger Zuweisung des Nettoerlöses an die Parteien.
B.b.
B.b.a. Soweit für das Verfahren vor dem Bundesgericht noch von Interesse, stellte A._, die sich im Verfahren vor dem Regionalgericht von ihrem Ehemann vertreten liess, in ihrer Klageantwort vom 26. März 2016 die folgenden Rechtsbegehren:
"1. Die Beklagte beantragt Abweisung der Klage in der vorliegenden Form.
2. Das Miteigentum sei richterlich aufzuheben.
3. Die gesamte Liegenschaft mit zwei Gebäuden auf dem Grundstück Nr. xxx, Plan zzz im Grundbuch der Gemeinde U._ sei zum Verkehrswert den drei Söhnen der Beklagten A._ richterlich zuzuweisen, weil die Söhne ein überwiegendes Interesse an dieser Liegenschaft nachweisen können (Art. 651/1 ZGB).
4. Der aktuelle Verkehrswert sei festzustellen.
5. Ein Betrag in Höhe von 50 Prozent des ermittelten Verkehrswertes sei der Klägerin richterlich zuzuweisen, den die drei Söhne der Beklagten gemeinschaftlich ausgleichen werden."
B.b.b. Am 30. März 2016 erhob A._ Widerklage. Soweit für das Verfahren vor dem Bundesgericht noch von Interesse, lauten ihre Anträge wie folgt:
"1. Das Miteigentum der Parteien am Grundstück Nr., xxx, Plan zzz im Grundbuch der Gemeinde U._ sei richterlich aufzuheben.
2. Die Aufhebung des Miteigentums habe durch Realteilung des Grundstücks Nr. xxx, Plan zzz zu erfolgen, verbunden mit Barausgleich auf der Basis des einvernehmlich festgelegten oder durch fachmännische Schätzung ermittelten Verkehrswertes (Art. 651/2 ZGB, Art. 651/3 ZGB).
Die durch die Realteilung entstehende Grenzlinie sollte im Abstand von ca. 3 m zur Westmauer von Gebäude yyy verlaufen.
Der Vertreter der Klägerin regt an, die richterliche Festlegung der beiden Verkehrswerte getrennt nach Grundstücksteil vorzunehmen."
B.c. In ihrer Replik/Widerklageantwort hielt B._ an ihrer Klage fest und beantragte, auf die Widerklage nicht einzutreten; eventualiter die Widerklage abzuweisen.
B.d. A._ stellte in ihrer Duplik vom 30. September 2016 die folgenden Rechtsbegehren:
"1. Die Beklagte beantragt Abweisung der Klage der Miteigentümerin B._ zur Aufhebung von Miteigentum auf dem Wege der öffentlichen Versteigerung.
Das Rechtsbegehren der Beklagten wie in der Klageantwort vom 26.3.2016 formuliert, Zitat: "Die gesamte Liegenschaft mit zwei Gebäuden auf dem Grundstück Nr. xxx, Plan zzz im Grundbuch der Gemeinde U._ sei zum Verkehrswert den drei Söhnen der Beklagten A._ richterlich zuzuweisen, weil die Söhne ein überwiegendes Interesse an dieser Liegenschaft nachweisen können (Art. 651/1 ZGB) " wird nicht mehr aufrechterhalten.
2. Es wird Entscheidung nach Aktenlage beantragt, denn der Sachverhalt liegt glasklar auf dem Tisch.
Die Beklagte und Miteigentümerin zu 50 Prozent verfolgt ab jetzt ausschließlich die Aufhebung des Miteigentums auf dem Wege der Realteilung, wie in der Widerklage/Widerklagereplik beschrieben und begründet."
Zugleich konkretisierte A._ ihr Rechtsbegehren bezüglich Realteilung im Rahmen ihrer Widerklagereplik wie folgt:
"2. Die Aufhebung des Miteigentums mit 3 Wohnungen habe durch Realteilung des Grundstücks Nr. xxx, Plan zzz zu erfolgen, verbunden mit Barausgleich auf der Basis der durch unabhängige fachmännische Schätzung ermittelten Verkehrswerte (Art. 651/2 ZGB, Art. 651/3 ZGB).
Deshalb wird Antrag auf gutachterliche Verkehrswertschätzung, getrennt für Grundstück sowie für beide Gebäude gestellt. Diesem Verfahren vorgelagert ist die Feststellung des Steuerwertes, wie schon im Schriftsatz der Widerklage vom 30.3.2016 beantragt.
Erst dann ist zu entscheiden, welche Partei welchen Grundstücksteil bekommt. Losentscheid ist eine Option."
B.e. In ihrer Widerklageduplik hielt B._ an ihren Rechtsbegehren fest (vgl. Bst. B.c).
B.f. Mit Entscheid vom 27. Juni 2017 trat das Regionalgericht, soweit nachfolgend relevant, auf die Widerklage ein.
B.g. Am 6. August 2017 reichte A._ beim Regionalgericht eine Eingabe mit dem Titel "Hauptbeweis" ein. Auf Antrag von B._ wies das Regionalgericht die Eingabe mit prozessleitender Verfügung vom 9. November 2017 aus dem Recht. In gleicher Weise verfuhr das Regionalgericht mit der Noveneingabe von A._ vom 2. Dezember 2017 (prozessleitende Verfügung vom 11. Dezember 2017).
B.h. Am 21. Dezember 2017 fand die Hauptverhandlung statt. Gleichentags fällte das Regionalgericht das folgende Urteil:
"1. Die Klage wird gutgeheissen.
2. Das Miteigentum von B._ und A._ am Grundstück Nr. xxx, Plan zzz im Grundbuch der Gemeinde U._ wird richterlich aufgehoben.
3. Die Aufhebung des Miteigentums hat durch öffentliche Versteigerung des Grundstücks Nr. xxx, Plan zzz, Grundbuch der Gemeinde U._, zu erfolgen. Der daraus resultierende Nettoerlös wird je zur Hälfte der klagenden und der beklagten Partei richterlich zugewiesen.
4. Das Konkursamt Engiadina Bassa/Val Müstair wird angewiesen, die öffentliche Versteigerung gemäss <ref-law> durchzuführen, wobei die Kosten vorweg aus dem Erlös zu decken sind.
5. Für die erste Steigerung gilt als Mindestangebot der Verkehrswert aus dem Jahr 2004 in Höhe von CHF 843'200.00. Ist die erste Steigerung erfolglos geblieben, führt das Konkursamt Engiadina Bassa/Val Müstair eine zweite Steigerung ohne Mindestangebot durch.
6. Das Ergebnis der Steigerung ist dem Gericht mitzuteilen (<ref-law>).
7. Die Widerklage wird abgewiesen.
8. Die Kosten des Schlichtungsverfahrens der Schlichtungsbehörde Inn in Höhe von CHF 400.00 und die Gerichtskosten in Höhe von CHF 7'800.00, total somit CHF 8'200.00, gehen zu Lasten der beklagten Partei [...].
9. Die beklagte Partei hat die klagende Partei mit CHF 31'509.00 (inkl. Barauslagen und MWST) aussergerichtlich zu entschädigen.
10. Wird eine schriftliche Begründung des Entscheids verlangt, ist mit Gerichtskosten von CHF 10'500.00 zu rechnen."
B.i. A._ verlangte die Begründung des Entscheids und erhob anschliessend Berufung beim Kantonsgericht von Graubünden. Dieses hiess die Berufung teilweise gut. Es hob die Ziffern 8 und 9 des Entscheids des Regionalgerichts (Bst. B.h) auf und entschied neu wie folgt:
"3.a. Die Kosten des Schlichtungsverfahrens der Schlichtungsbehörde Inn in Höhe von CHF 400.00 und die Gerichtskosten in Höhe von CHF 9'300.00, total somit CHF 9'700.00 gehen zu 2/5 zu Lasten von B._ [...]. 3/5 der Kosten gehen zu Lasten von A._. [...]
b. Für das vorinstanzliche Verfahren hat A._ B._ eine Parteientschädigung von CHF 6'302.00 (inkl. Barauslagen und MwSt.) zu bezahlen."
Die Kosten des Verfahrens vor dem Kantonsgericht von Fr. 8'000.-- wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt. Das Urteil datiert vom 9. September 2019 und wurde tags darauf an die Parteien versandt.
C.
C.a. Mit Eingabe vom 1. Oktober 2019 (Datum der Postaufgabe) gelangt A._ (Beschwerdeführerin) mit den folgenden Rechtsbegehren an das Bundesgericht:
"1. Kantonsgerichtlicher Entscheid sei aufzuheben.
Antrag auf gutachterliche Bewertung des Miteigentums, hilfsweise bundesrichterliche Anordnung der Richtigstellung des Grundbuchs oder vergleichbarer Akt.
2. Antrag auf Anordnung der Wiederaufnahme/Fortsetzung der Begehung von Grundstück und sämtlicher darauf befindlicher Wohnungen (Inaugenscheinnahme mit allen Richtern der Erstinstanz) auf Kosten des Kantons Graubünden.
3. Antrag auf Aufhebung und Neuverlegung der Proze ß kosten.
4. Gesuch um aufschiebende Wirkung/Aussetzung der Vollstreckung.
5. Antrag auf Anhörung der Gemeinde U._."
C.b. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2019 teilte das Bundesgericht der Beschwerdeführerin mit, dass mangels Begründung auf das Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht eingetreten wird.
C.c. Das Bundesgericht hat sich die kantonalen Akten überweisen lassen, jedoch keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil betrifft die Aufhebung von Miteigentum (Art. 650 f. ZGB) und damit eine Zivilsache (<ref-law>) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit, deren Streitwert gemäss den kantonsgerichtlichen Feststellungen den gesetzlichen Mindestbetrag von Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG; vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 21). Es ist kantonal letztinstanzlich (<ref-law>) und schliesst das kantonale Verfahren ab (<ref-law>). Auf die rechtzeitig erhobene Beschwerde (<ref-law>) ist unter dem Vorbehalt der nachfolgenden Ausführungen einzutreten.
2.
Rechtsschriften sind in einer Amtssprache abzufassen und haben die Begehren, deren Begründung mit Angabe der Beweismittel und die Unterschrift zu enthalten (<ref-law>). In der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unleserliche, ungebührliche, unverständliche, übermässig weitschweifige oder nicht in einer Amtssprache verfasste Rechtsschriften können vom Bundesgericht zur Änderung zurückgewiesen werden. Die vorliegende Beschwerde genügt diesen formellen Beschwerdeanforderungen nur knapp. Dies gilt auch unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Beschwerdeführerin ihren Prozess ohne anwaltliche Unterstützung führt.
3.
3.1. Zur Beschwerde in Zivilsachen ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat und durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (<ref-law>). Im vorliegenden Fall steht fest, dass die Beschwerdeführerin am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen hat. Unbestritten verfügt die Beschwerdeführerin auch über ein schutzwürdiges Interesse daran, dass sich das Bundesgericht mit der angefochtenen vorinstanzlichen Kostenregelung befasst. Im Übrigen aber fragt sich, was die Beschwerdeführerin mit ihrer Beschwerde erreichen will. Tatsächlich wehrt sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nämlich nicht mehr dagegen, dass die Miteigentumsgemeinschaft mittels öffentlicher Versteigerung aufgelöst wird; ihr Vorhaben, das Grundstück Nr. xxx in U._ real zu teilen, damit es von ihren Söhnen übernommen werden kann, hat sie aufgegeben (s. Sachverhalt Bst. B.d). Ebenso wenig verlangt sie eine Versteigerung unter den beiden Miteigentümerinnen. Sie wendet sich auch nicht dagegen, dass bei der von der Vorinstanz angeordneten öffentlichen Versteigerung der Zuschlag - zumindest in einer ersten Runde - nur erfolgen darf, wenn ein Mindestangebot erzielt wird. Sie erklärt sich mit dieser Lösung im Gegenteil explizit einverstanden und wirft der Vorinstanz vor, sie diesbezüglich missverstanden zu haben. Bei wohlwollendem Verständnis der Beschwerde stört sich die Beschwerdeführerin somit einzig daran, dass die Vorinstanz die öffentliche Versteigerung verfügt hat, ohne sich vorgängig ein exaktes Bild von der zur versteigernden Liegenschaft gemacht und geprüft zu haben, ob die Zweitwohnungsgesetzgebung einen Abriss der Gebäude erlaubt. In diesem Zusammenhang steht auch der vor Bundesgericht gestellte Antrag, mit dem sie eine Bewertung des streitigen Grundstücks bzw. eine Berichtigung des Grundbuchs durchsetzen will.
3.2. Tatsächlich hat sich die Vorinstanz mit diesen Fragen nicht näher befasst. Dies geschah in der Meinung, dass weder ein korrekter Grundbucheintrag noch die Zweitwohnungsgesetzgebung von Bedeutung sind, wenn über die Auflösung des Miteigentums mittels öffentlicher Versteigerung des fraglichen Grundstücks zu befinden ist. Dies ist nicht zu beanstanden. Ob das Grundbuch der Berichtigung bedarf, weil das Nebengebäude fälschlicherweise, wie die Beschwerdeführerin meint, nicht als Wohnung bezeichnet wird, hat nicht der Zivilrichter zu entscheiden, der über die Auflösung des Miteigentums befindet. Ebenso wenig ist im Zivilprozess betreffend die Auflösung des Miteigentums mittels öffentlicher Versteigerung darüber zu befinden, welche Schranken die Zweitwohnungsgesetzgebung der künftigen Nutzung des zu versteigernden Grundstücks allenfalls setzt. Mithin muss sich die Beschwerdeführerin damit abfinden, dass die Vorinstanz die öffentliche Versteigerung des Grundstücks Nr. xxx in U._ verfügt hat, ohne sich mit der Zweitwohnungsgesetzgebung auseinanderzusetzen oder sich mit der Frage zu befassen, wie der Ersteigerer das zu versteigernde Grundstücke nutzen kann. Darin ist weder Willkür (<ref-law>) zu erblicken noch ist der Vorinstanz eine Verletzung der Eigentumsgarantie (<ref-law>) vorzuwerfen. Daran ändert auch nichts, dass es die Beschwerdeführerin (und ihre Familie) hart trifft, ihren Miteigentumsanteil an der von ihrem Vater ererbten Liegenschaft in U._ auf diese Weise zu verlieren.
4.
4.1. Zu prüfen bleibt die vorinstanzliche Kostenregelung. Die Beschwerdeführerin ist der Meinung, dass diese der Sache nicht gerecht werde, da die Beschwerdegegnerin unbedingt habe klagen wollen, um die Gebäude auf dem im Miteigentum stehenden Grundstück abreissen zu können. Bereits die Schlichtungsverhandlung sei lediglich eine Proforma-Veranstaltung gewesen. Auch treffe es nicht zu, dass sie bei der erstinstanzlichen Instruktionsverhandlung unentschuldigt gefehlt habe. Vielmehr habe das Regionalgericht ihr schriftliches Gesuch um Verschiebung ignoriert. Was den Aufwand des erfahrenen Anwalts der Beschwerdegegnerin angehe, so seien für dessen Aufwendungen allerhöchstens 20 Stunden nötig gewesen. Die Beschwerdeführerin beantragt, die aussergerichtlichen Kosten wettzuschlagen. Als Einschüchterungsversuch bezeichnet sie schliesslich den Kostenvoranschlag für die Entscheidbegründung seitens des erstinstanzlichen Richters, zu dem das Kantonsgericht keine Stellung genommen habe.
4.2. Auch die vorinstanzliche Regelung der erstinstanzlichen Prozesskosten, die für die Beschwerdeführerin weit günstiger als vom Regionalgericht angeordnet ausfällt, ist nicht zu beanstanden. Die Beschwerdeführerin übersieht, dass die Festlegung und Verteilung der Gerichtskosten auf die Parteien ein Ermessensentscheid ist, den das Bundesgericht nur mit grosser Zurückhaltung überprüft (Urteil 5A_5/2019 vom 4. Juni 2019 E. 3.3.1 mit Hinweisen). Die Vorinstanz hat der Beschwerdeführerin 3/5 der erstinstanzlichen Gerichtskosten auferlegt und im Anschluss daran auch die Entschädigung der Beschwerdegegnerin massiv gekürzt. Der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, inwiefern das Kantonsgericht sein Ermessen bei der Verteilung der Gerichtskosten bundesrechtswidrig ausübt, wenn es der Beschwerdeführerin nicht im Sinn des geforderten Wettschlagens der Parteientschädigungen weiter entgegenkommt, obwohl sich die Beschwerdeführerin mit ihrem anfänglich verfolgten Rechtsbegehren, das Grundstück Nr. xxx ihren Söhnen zuzuhalten bzw. real zu teilen, nicht durchzusetzen vermochte.
4.3. Schliesslich ist auch nicht zu beanstanden, dass sich die Vorinstanz nicht näher mit dem Kostenvoranschlag des erstinstanzlichen Richters für den Fall befasst, dass eine Partei eine Begründung verlangt. Allein die Tatsache, dass das Regionalgericht die Gerichtskosten tiefer als im Voranschlag ansetzte, mag zwar überraschen, belegt für sich allein aber noch nicht, dass das Regionalgericht mit seinem Kostenvoranschlag die Beschwerdeführerin gezielt von einer Beschwerde bzw. Berufung abhalten wollte. Die Zivilprozessordnung überlässt es den Kantonen, in ihren Tarifordnungen für die nachträgliche schriftliche Begründung eine höhere Gerichtsgebühr vorzusehen. Der Versuch, ihnen diesbezüglich Vorgaben zu machen, wurde im Verlaufe des Gesetzgebungsverfahrens fallen gelassen (LAURENT KILLIAS, in: Berner Kommentar, ZPO, Bd. II, 2012, N. zzz zu <ref-law>).
5.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen. Damit muss die Beschwerdeführerin für die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahrens aufkommen (<ref-law>). Der Beschwerdegegnerin sind keine Kosten entstanden. Sie ist daher auch nicht zu entschädigen.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit auf diese einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. März 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Monn