Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1976; Beschwerdeführer) und B.A._ (geb. 1973; Beschwerdegegnerin) heirateten am 12. August 2005. Am 8. Oktober 2007 gebar B.A._ den Sohn C.A._ (Beschwerdegegner). A.A._ wurde gestützt auf die gesetzliche Vermutung der Vaterschaft des Ehemanns als Vater in der Geburtsurkunde eingetragen.
B.
Mit Eingabe vom 17. April 2014 machte B.A._ beim Bezirksgericht Uster ein Eheschutzverfahren anhängig. Anlässlich der Eheschutzverhandlung vom 19. Juni 2014 schlossen die Parteien eine Vereinbarung und hielten übereinstimmend fest, dass sie seit dem 15. April 2014 getrennt leben. Am 2. Juli 2015 reichte A.A._ beim gleichen Gericht eine Klage auf Anfechtung seiner Vaterschaft ein.
Mit Urteil vom 20. Juli 2016 wies das Bezirksgericht diese Klage ab. Die dagegen von A.A._ beim Obergericht des Kantons Zürich eingereichte Berufung blieb ohne Erfolg (Urteil vom 8. Juni 2017; eröffnet am 14. Juni 2017). Die Kosten des kantonalen Verfahrens wurden A.A._ auferlegt.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 14. Juli 2017 wendet sich A.A._ an das Bundesgericht. Er verlangt, seine Klage betreffend Anfechtung der Vaterschaft sei in Aufhebung des Urteils des Obergerichts gutzuheissen. Seine Vaterschaft sei ex tunc aufzuheben und die Registerbehörde anzuweisen, ihn als Vater aus dem Zivilstandsregister zu löschen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung betreffend der Kosten und Entschädigung der kantonalen Verfahren hat das Bundesgericht mit Verfügung vom 17. Juli 2017 abgewiesen. Im Übrigen sind die vorinstanzlichen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt worden.

Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid eines oberen Gerichts (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG) betreffend die Anfechtung der Vaterschaft. Damit liegt eine Zivilsache (<ref-law>) in einer nicht vermögensrechtlichen Angelegenheit vor. Die Beschwerde in Zivilsachen ist grundsätzlich zulässig (Urteil 5A_780/2016 vom 9. Juni 2017 E. 1.1). Der Beschwerdeführer hat vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen, ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt und hat ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung (<ref-law>). Er ist damit zur Beschwerde berechtigt. Auf die auch fristgerecht eingereichte Beschwerde (<ref-law>) ist grundsätzlich einzutreten.
2.
2.1. Mit der vorliegenden Beschwerde können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist allerdings nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu thematisieren. Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form dazulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Demgegenüber gilt für das Vorbringen der Verletzung verfassungsmässiger Rechte das strenge Rügeprinzip nach <ref-law> (<ref-ruling> E. 1.2.2). Es muss klar und detailliert dargelegt werden, welche verfassungsmässigen Rechte inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Auf rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt das Bundesgericht nicht ein (zum Ganzen <ref-ruling> E. 2.4).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellungen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung nach <ref-law> beruhen (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2.3 S. 266). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (<ref-law>).
Der Beschwerdeführer behauptet, dass das unkooperative Verhalten der Beschwerdegegnerin im parallel laufenden Eheschutz- und Scheidungsverfahren ein solches zulässiges Novum darstellt. Das ist offensichtlich nicht der Fall, weshalb die entsprechenden Vorbringen unzulässig sind.
3.
3.1. Es steht fest und ist unbestritten, dass kraft der Ehe zwischen dem Beschwerdeführer und der Beschwerdegegnerin ein rechtliches Kindesverhältnis zwischen Ersterem und dem Beschwerdegegner begründet wurde (Art. 252 Abs. 2 und Art. 255 Abs. 1 ZGB). Der Beschwerdeführer kann dieses Kindesverhältnis zwar grundsätzlich anfechten (<ref-law>). Er hat die entsprechende Klage aber nach Ablauf der für die Anfechtung vorgesehenen absoluten Verwirkungsfrist (vgl. <ref-ruling> E. 3a) von fünf Jahren seit der Geburt des Kindes (<ref-law>) erhoben. Streitig und zu prüfen ist, ob sich der Beschwerdeführer auf <ref-law> berufen kann. Nach dieser Bestimmung wird eine Anfechtungsklage auch nach Ablauf der Verwirkungsfrist zugelassen, wenn die Verspätung mit wichtigen Gründen entschuldigt wird (vgl. dazu Urteil 5A_700/2013 vom 20. Januar 2014 E. 3.1, in: SJ 2014 I 268, mit Hinweisen).
Das Gesetz sagt nicht, was als wichtiger Grund im Sinn dieser Bestimmung zu gelten hat. Es liegt am Richter, einen Billigkeitsentscheid zu treffen (<ref-law>). Rechtsprechungsgemäss genügt es für die Annahme eines wichtigen Grundes bzw. für die verspätete Anfechtung der Vaterschaft, dass der Ehemann und rechtliche Vater bisher nicht an seiner biologischen Vaterschaft zweifelte (Urteil 5A_298/2009 vom 31. August 2009 E. 4.2, in: FamPra.ch 2010 S. 194). Kommen dem Ehemann nachträglich solche Zweifel, so hat er umgehend ("avec toute la rapidité/célérité possible") zu reagieren (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 3). Gemeint ist damit, dass der rechtliche Vater die Klage unter Vorbehalt besonderer Umstände wie Krankheit oder Ferien innert Monatsfrist einreichen muss (<ref-ruling> E. 6.1.1; <ref-ruling> E. 3.2; Urteil 5A_700/2013 vom 20. Januar 2014 E. 3.1, in: SJ 2014 I 268).
3.2. Die Vorinstanz erwägt, dass die Parteien seit dem 15. April 2014 getrennt leben (vgl. vorne Bst. B). Am 14. Juni 2014 habe der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin mitgeteilt, es beschäftige ihn sehr, "ob [er] wirklich der Vater von C.A._" sei. Rund fünf Wochen später, am 21. Juli 2014 habe er der Beschwerdegegnerin im Zusammenhang mit dem von ihm gewünschten Vaterschaftstest das Folgende geschrieben: "Ich werde dir in den nächsten Tagen bei der Durchfahrt noch Unter[la]gen für ein[en] Vaterschaftstest in den Briefkasten legen zu[r] Unterschrift. Ich möchte Gewissheit, ob ich der Vater von C.A._ bin." Anschliessend sei jedoch kein Abstammungsgutachten erstellt worden, da die Beschwerdegegnerin ihre Mitwirkung verweigert habe. Rund ein Jahr später, am 2. Juli 2015, habe der Beschwerdeführer seine Anfechtungsklage bei der ersten Instanz eingereicht. An der Parteibefragung vom 5. April 2016 habe der Beschwerdeführer ausgeführt: "Wir hatten eine intakte Familie und dann kam plötzlich die Trennung. Die Zweifel kamen aufgrund der Trennung." Daran, dass seine Zweifel an der Vaterschaft auf die Trennung zurückzuführen seien, habe der Beschwerdeführer auch an der Hauptverhandlung festgehalten.
Nach Ansicht der Vorinstanz ist die Behauptung des Beschwerdeführers, im Jahr 2014 "überhaupt keine Zweifel an der Vaterschaft" gehabt zu haben, nach dem Gesagten aktenwidrig. Ebenfalls unbelegt und nicht nachvollziehbar sei die Behauptung, dass Väter in Eheschutzverfahren stets den Wunsch nach einem Abstammungsgutachten äussern, insbesondere wenn sie mit hohen Unterhaltszahlungen konfrontiert seien. Ein solches Phänomen könne im Gerichtsalltag nicht beobachtet werden und sei nicht gerichtsnotorisch. Solche Begehren stellten die Ausnahme und nicht die Regel dar. Darüber hinaus habe das Eheschutzverfahren bereits mit Urteil vom 27. Juni 2014 seinen Abschluss gefunden. Entsprechend könne das E-Mail vom 21. Juli 2014 nicht als emotionale Überreaktion auf das Eheschutzverfahren gewertet werden. Nach der ersten E-Mail vom 14. Juni 2014 habe der Beschwerdeführer rund fünf Wochen Zeit gehabt, um sich in Ruhe zu überlegen, ob er tatsächlich ein Abstammungsgutachten in Auftrag geben möchte. Offenbar seien seine Zweifel so gross gewesen, dass er sich entschlossen habe, an seinem Plan festzuhalten.
Es sei daher erstellt, dass der Beschwerdeführer im Nachgang zur Trennung im April 2014 ernsthafte Zweifel an seiner Vaterschaft gehabt habe. Entsprechend habe er kurz darauf die Beschwerdegegnerin um Mitwirkung an einem Vaterschaftstest ersucht. Unbestritten habe diese ihre Zustimmung zu einem solchen Abstammungsgutachten verweigert. Dieses unkooperative Verhalten hätte jedenfalls die bereits vorhandenen Zweifel nochmals erheblich verstärken müssen, was der Beschwerdeführer im Übrigen selber einräume. Hinzu komme, dass der Beschwerdeführer aufgrund früherer Untersuchungen nachweislich gewusst habe, dass im Jahr 2010 die Qualität seiner Spermien schlecht gewesen sei. Zusammen mit der erwähnten Verweigerungshaltung der Beschwerdegegnerin habe dies zu nicht mehr zu unterdrückenden Zweifeln führen müssen. Der Beschwerdeführer wäre damit spätestens im Sommer 2014 verpflichtet gewesen, die Zweifel an der eigenen Vaterschaft zu beheben. Ein Zuwarten über diesen Zeitpunkt hinaus erscheine aufgrund der Aktenlage als unentschuldbar.
3.3. Nach Ansicht des Beschwerdeführers ist die Vorinstanz - anders als das Bezirksgericht - zu Recht davon ausgegangen, dass er im Zusammenhang mit der Spermienanalyse im Jahr 2010 noch keine zureichende Veranlassung gehabt habe, an seiner Vaterschaft zu zweifeln. Die Vorinstanz komme jedoch zu Unrecht zum Schluss, dass er spätestens im Sommer 2014 bzw. im Nachgang zur Trennung im April desselben Jahres erhebliche Zweifel an seiner biologischen Vaterschaft gehabt habe. Er habe dargelegt, dass er nicht wegen seiner Zweifel, sondern als Reaktion auf die plötzliche Trennung die Beschwerdegegnerin um einen Vaterschaftstest gebeten habe. Die Vorinstanz verkenne, dass sich zwischen dem Jahr 2010 und dem Sommer 2014 - mit Ausnahme der Trennung - nichts geändert habe. Er habe vor dem Jahr 2015 keine Zweifel an seiner Vaterschaft gehabt. Erst anlässlich der Parteibefragung vom 5. April 2015 habe er erstmals erfahren, dass er möglicherweise nicht der leibliche Vater des Beschwerdegegners sei. Dies bestätige auch sein damaliges Verhalten. Er habe sich in psychotherapeutische Behandlung begeben und Hilfe von seinen Eltern erhalten. Hätte er bereits im Sommer 2014 Zweifel an seiner Vaterschaft gehabt und annehmen müssen, dass die Beschwerdegegnerin ihn nicht nur betrogen, sondern auch noch jahrelang an der Nase herumgeführt hatte, hätte er sich sicher nicht noch zu Unterhaltsleistungen an Frau und Sohn von monatlich Fr. 4'077.-- bereit erklärt. Darüber hinaus sei laut der Vorinstanz im Sommer 2014 sogar die Beschwerdegegnerin noch von seiner Vaterschaft ausgegangen. Ihm könne nicht der Beweis auferlegt werden, dass die Beschwerdegegnerin zum damaligen Zeitpunkt wusste, wer der biologische Vater des Beschwerdegegners sei. Die Vorinstanz habe "implizit" die Beweislast falsch verteilt.
3.4. Das vorinstanzliche Urteil ist auch im Lichte der Ausführungen des Beschwerdeführers nicht zu beanstanden: Vorab durfte das Obergericht den im Jahr 2014 geäusserten Wunsch nach einem Vaterschaftstest als Hinweis darauf verstehen, dass der Beschwerdeführer Zweifel an seiner Vaterschaft hatte. Sein Versuch, das Verhalten als eine Art Schockreaktion auf die unerwartete Trennung darzustellen, ist appellatorischer Natur und verfängt nicht. Eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung (<ref-law>) oder eine Gehörsverletzung (<ref-law>) vermag der Beschwerdeführer damit von vornherein nicht aufzuzeigen (<ref-law>; vorne E. 2.1 und 2.2). Ausgehend davon, dass der Beschwerdeführer bereits 2014 Zweifel an seiner Vaterschaft hatte und die Beschwerdegegnerin nicht Hand zur Durchführung eines Vaterschaftstests bot, durfte er sodann mit seiner Anfechtungsklage nicht praktisch ein Jahr zuwarten. Der Vorinstanz ist kein Ermessensfehler vorzuwerfen, wenn sie in dieser Situation die Aberkennungsklage für verspätet erachtet hat. Daran ändert nichts, dass die Beschwerdegegnerin den Beschwerdeführer erst später darüber aufklärte, dass er möglicherweise nicht der biologische Vater ist. Ebenso wenig ist von Belang, dass der Beschwerdeführer meint, den biologischen Vater zu kennen. Die Frage, ob der Beschwerdeführer rechtzeitig dagegen vorgegangen ist, als rechtlicher Vater zu gelten, kann und muss losgelöst davon beantwortet werden, wer der biologische Vater des Beschwerdegegners ist. Selbst wenn die Vorinstanz den angeblichen biologischen Vater nicht einvernahm, kann daher auch insoweit von einer Gehörsverletzung keine Rede sein (vgl. <ref-ruling> E. 3.3). Zusammenfassend durfte die Vorinstanz in Anwendung von Art. 256c Abs. 1 und 3 ZGB davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer seine Vaterschaft nicht erst im Jahre 2015 anfechten konnte.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht zusätzlich eine Verletzung von Art. 8 Ziff. 1 EMRK und <ref-law> geltend. Zwischen dem Beschwerdegegner und dem mutmasslichen biologischen Vater bestehe eine psycho-soziale Beziehung, die es ihm, dem Beschwerdeführer, unzumutbar mache, weiterhin als Vater zu gelten. Es stehe die biologische der sozialen Realität gegenüber. Diese Inkongruenz sei nicht weiterhin zu schützen, sondern vielmehr richtigzustellen. Die jahrelange Lüge der Beschwerdegegnerin belaste den Beschwerdeführer auch heute noch sehr. Damit er endlich mit der traurigen Geschichte abschliessen und eine neue Familie gründen könne, sei er auf die Bereinigung der Situation angewiesen. Solange er als Vater gelte, halte die derzeitige Unbilligkeit an. Mit dem Fortbestand der rechtlichen Vaterschaft sei nicht nur seine neue Partnerin finanziell schlechter gestellt, sondern auch allfällige gemeinsame Kinder.
4.2. Der Beschwerdeführer tut nicht dar, dass <ref-law> ihm mehr Rechte einräumen würde als Art. 8 EMRK (vgl. dazu <ref-ruling> E. 5.2), weshalb im Folgenden nur eine Verletzung dieser Bestimmung geprüft wird. Ebenso wenig zeigt der Beschwerdeführer auf, dass ihm Art. 8 EMRK weitergehende Rechte einräumen würde als das Bundesrecht. Die Rüge der Verletzung des Konventionsrechts erweist sich aber ohnehin als unbegründet:
4.3. Gemäss Art. 8 EMRK hat jede Person das Recht auf Achtung ihres Privat- und Familienlebens, ihrer Wohnung und ihrer Korrespondenz. Nach der Rechtsprechung des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) betrifft die Regelung der rechtlichen Beziehungen zwischen Vater und Kind und damit auch die Anfechtung der Vaterschaft das Privatleben der betroffenen Personen (vgl. nur Urteile i.S. A.L. gegen Polen vom 18. Februar 2014, § 59; i.S. Paulík gegen Slowakei vom 10. Oktober 2006, § 41). Dabei ist die Bindung einer Vaterschaftsanfechtung an Fristen als solche nicht konventionswidrig. Allerdings kann eine strenge Anwendung solcher Fristen die Ausübung der in der EMRK garantierten Rechte verhindern (Urteil 5A_506/2007 vom 28. Februar 2008 E. 4.4.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.4.1). Ob eine Konventionsverletzung vorliegt, ist durch Abwägung der involvierten Interessen zu prüfen, namentlich den Interessen am Schutz des Kindes und daran, in familienrechtlichen Verhältnissen Klarheit und Stabilität zu schaffen, sowie dem Interesse, die (zweifelhafte) Vaterschaft überprüfen zu lassen (vgl. etwa Urteile i.S. Mizzi gegen Malta vom 12. Januar 2006, § 114; i.S. A.L. gegen Polen vom 18. Februar 2014, §§ 69 und 71). Eine Verletzung von Art. 8 EMRK bejahte der EGMR in einem Fall, in welchem dem gesetzlichen Vater die Anfechtung der Vaterschaft nach Ablauf einer nicht verlänger- oder wiederherstellbaren Frist von einem Jahr ab Kenntnisnahme der Eintragung verwehrt wurde, obgleich er in diesem Zeitraum keinen Anlass hatte, an der Vaterschaft zu zweifeln (Urteil i.S. Shofman gegen Russland vom 24. November 2005, §§ 36 ff.; vgl. auch Urteile i.S. A.L. gegen Polen vom 18. Februar 2014, § 71; i.S. Röman gegen Finnland vom 29. Januar 2013, § 53).
Im vorliegenden Fall steht fest, dass der Beschwerdeführer trotz Zweifeln an seiner Vaterschaft mit der Anfechtung während praktisch einem Jahr zuwartete. Vor diesem Hintergrund ist nicht zu erkennen, dass die Vorinstanz Art. 8 EMRK verletzt hätte, indem sie die Klage für verspätet und damit verwirkt erachtete. Der Beschwerdeführer musses sich selber zuschreiben, dass er sich nicht rechtzeitig kundig machte, was die Modalitäten der Anfechtungsklage betrifft. Im Übrigen ist es nicht die Aufgabe des Richters, sondern des Gesetzgebers, zusätzliche Anfechtungsmöglichkeiten zu schaffen, wenn er zur Auffassung gelangen sollte, dass das Abstammungsrecht des ZGB nicht mehr zeitgemäss ist (vgl. zu den Grenzen richterlicher Rechtsfortbildung im Abstammungsrecht umfassend: Urteil 5A_590/2016 vom 12. Oktober 2017 E. 3, zur Publikation vorgesehen).
5.
Gestützt auf das Gesagte ist die Beschwerde abzuweisen. Damit muss der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufkommen (<ref-law>). Den Beschwerdegegnern, die nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden sind, sind keine ersatzpflichtigen Kosten erwachsen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Januar 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber