Sachverhalt:
A.
A.a. C.C._ (geb. 1989; Beschwerdegegnerin) und D._ (geb. 1987) sind die unverheirateten Eltern von E.C._ (geb. 2011). Am 29. Januar bzw. 10. Februar 2015 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde T._ (KESB) der Mutter als alleiniger Inhaberin der elterlichen Sorge erst superprovisorisch und anschliessend vorsorglich das Aufenthaltsbestimmungsrecht über E.C._ und brachte diesen bei A.A._ und B.A._ (Beschwerdeführer) unter, der Grossmutter des Kindes mütterlicherseits und deren geschiedenem Ehemann.
A.b. Mit Beschluss vom 25. Juni 2015 bestätigte die KESB diese Massnahmen und errichtete über E.C._ ausserdem eine Beistandschaft. Beiständin ist F._, Amtsvormundschaft U._. Am 29. Oktober 2015 hob der Bezirksrat Zürich diesen Beschluss auf Beschwerde der Mutter hin (teilweise) wieder auf. Nach weiteren Abklärungen wies die KESB am 9. September 2016 einen Antrag der Mutter auf Wiederherstellung des Aufenthaltsbestimmungsrechts ab und bestätigte unter anderem die Unterbringung von E.C._ bei den Grosseltern.
A.c. Gegen diesen Entscheid gelangte C.C._ erneut an den Bezirksrat. Dieser bestätigte am 12. Januar 2017 den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts, hob den Entscheid der KESB in weiteren Punkten aber auf und wies die Angelegenheit zum erneuten Entscheid an diese zurück.
B.
Hiergegen beschwerte sich C.C._ beim Obergericht des Kantons Zürich. Mit Urteil vom 15. März 2018 (eröffnet am 19. März 2018) hob das Obergericht den Entscheid des Bezirksrats teilweise auf (Dispositivziffer 1). In Abänderung des Entscheids der KESB vom 9. September 2016 ordnete es die Aufhebung des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Mutter (Dispositivziffer 2.1) und die Unterbringung von E.C._ in einer "Institution, vorzugsweise im Kinderheim 'G._' " an (Dispositivziffer 2.2). Ausserdem regelte das Obergericht den persönlichen Verkehr zwischen E.C._ und der Kindsmutter einerseits und A.A._ und B.A._ andererseits (Dispositivziffer 2.3 und 2.4). Weiter passte das Obergericht den Aufgabenbereich der Beiständin an (Dispositivziffer 2.5) und hob eine früher errichtete Familienbegleitung für A.A._ und B.A._ wieder auf (Dispositivziffer 3).
A.A._ und B.A._ waren nicht Parteien dieses Verfahrens, weshalb das Obergericht ihnen allein das Dispositiv des Entscheids auszugsweise mitteilte. Auf telefonische Intervention von B.A._ hin stellte das Gericht ihnen ausserdem die sie betreffenden Teile der Begründung zu.
C.
Mit Beschwerde vom 20. April 2018 sind A.A._ und B.A._ an das Bundesgericht gelangt und haben die folgenden Anträge gestellt:
"1. Ziff. 2 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 15. März 2018 sei aufzuheben und in Bestätigung des Beschlusses der KESB T._ vom 9. September 2016 sowie des Urteils des Bezirksrats Zürich vom 12. Januar 2017 sei E.C._ bei Herrn und Frau A._ zu belassen.
2. Ziff. 3 des Urteils des Obergerichts des Kantons Zürich vom 15. März 2018 sei aufzuheben.
3. Unter Kosten- und Entschädigungsfolge (zzgl. MwSt) zulasten [von C.C._]."
Ausserdem ersuchen A.A._ und B.A._ darum, ihrer Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
Am 7. Mai 2018 beantragt der Kindesvertreter die Abweisung des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Den gleichen Antrag stellt C.C._ mit Eingabe vom 8. Mai 2018. Sie beantragt ausserdem die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, und ersucht um Erteilung des Rechts auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren. D._ hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Verfügung vom 14. Mai 2018 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung erteilt und E.C._ vorerst bei A.A._ und B.A._ belassen.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens indessen keine Vernehmlassungen eingeholt. In diesem Rahmen hat das Obergericht dem Bundesgericht ein vollständiges Exemplar des Entscheids vom 15. März 2018 zukommen lassen.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob eine bei ihm eingereichte Beschwerde zulässig ist (vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1; <ref-ruling> E. 2.1). Immerhin ist die Beschwerde auch bezüglich der Eintretensvoraussetzungen zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten wird (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG). Vorbehalten bleibt der Fall, dass die Eintretensvoraussetzungen offensichtlich erfüllt sind (<ref-ruling> E. 2.3, 289 E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.2).
1.2. Angefochten ist der Endentscheid (<ref-law>) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (<ref-law>) über öffentlich-rechtliche Angelegenheiten in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG) ohne Streitwert entschieden hat. Die Beschwerde in Zivilsachen ist das zutreffende Rechtsmittel. Diese wurde auch fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. a BGG).
2.
2.1. Gemäss Art. 76 Abs. 1 Bst. a BGG ist nur zur Beschwerde in Zivilsachen berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat.
Die Beschwerdeführer waren nicht Parteien des vorinstanzlichen Verfahrens, haben in diesem keine Anträge gestellt und solches auch nicht aus Nachlässigkeit oder anderen Gründen verpasst. Zu Recht gehen sie daher davon aus, dass sie nicht am obergerichtlichen Verfahren beteiligt waren (Beschwerde, Ziff. I/4 S. 4; vgl. <ref-ruling> Regeste und E. 1.1; Urteile 4A_629/2017 vom 17. Juli 2018 E. 1; 5A_1036/2017 vom 23. März 2018 E. 1.2.2; 5A_159/2014 vom 22. Januar 2015 E. 1.2). Zur Beschwerde ans Bundesgericht sind sie daher nur legitimiert, wenn sie keine Möglichkeit zur Verfahrensteilnahme hatten. Dies machen die Beschwerdeführer geltend: Da sie nicht Parteien des vorinstanzlichen Verfahrens - dieses habe den Entzug des Aufenthaltsbestimmungsrechts der Kindsmutter betroffen - gewesen seien, hätten sie auch keine Möglichkeit gehabt, an diesem Verfahren teilzunehmen. Die Beschwerdegegnerin verweist demgegenüber darauf, dass die Beschwerdeführer sich während des gesamten Verfahrens nicht als Parteien konstituiert hätten, obgleich die Möglichkeit der Rückplatzierung von E.C._ stets im Raum gestanden habe. Erst nach Abschluss des obergerichtlichen Verfahrens hätten sie Parteistellung beansprucht, was nicht ausreiche.
2.2. Unbehelflich ist der Hinweis der Beschwerdeführer darauf, dass sie nicht Parteien des obergerichtlichen Verfahrens waren. Allein daraus lässt sich nichts Entscheidendes zu der hier interessierenden Frage ableiten, ob sie die Möglichkeit zur Teilnahme am Verfahren hatten oder nicht. Dem angefochtenen Urteil lässt sich diesbezüglich ebenfalls nichts entnehmen. Unbestritten ist immerhin, dass die Beschwerdeführer vor Obergericht angehört wurden. Auch waren sie als Pflegeeltern von E.C._ von Anfang an darüber im Bild, dass ein Verfahren im Gang ist, in dem (auch) über die (definitive) Unterbringung des Kindes entschieden wird. Unter diesen Umständen wäre von ihnen zu erwarten gewesen, dass sie sich bereits vor den kantonalen Instanzen darum bemüht hätten, als Parteien am Verfahren beteiligt zu werden. Bereits mit Blick auf den Grundsatz von Treu und Glauben (<ref-law>), der auch im Prozessrecht zur Anwendung gelangt (<ref-ruling> E. 4; <ref-ruling> E. 1c), können sie nicht erst vor Bundesgericht die Verfahrensteilnahme verlangen, nachdem das kantonale Verfahren nicht in ihrem Sinn verlaufen ist. Wie es sich hiermit im Einzelnen verhält, ergibt sich wie gesagt aus den Akten nicht. In dieser Situation wären die Beschwerdeführer mit Blick auf die sie treffende Begründungspflicht (vorne E. 1.1) gehalten gewesen, darzulegen, inwiefern ihnen von den kantonalen Instanzen trotz gegenteiliger Bemühungen die Teilnahme am Verfahren verwehrt wurde. Dies haben sie unterlassen. Die Beschwerdelegitimation der Beschwerdeführer ist auch nicht offensichtlich gegeben. Damit ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, ohne dass die weitere Frage zu prüfen wäre, ob die Beschwerdeführer ein schutzwürdiges Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids geltend zu machen vermögen (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG; vgl. dazu immerhin <ref-ruling> E. 2a; Urteile 5A_299/2016 vom 17. Januar 2017 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>; 5P.163/2004 vom 1. Juli 2004 E. 1.1).
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegen die Beschwerdeführer in der Hauptsache. Mit dem Antrag auf Erteilung der aufschiebenden Wirkung haben sie demgegenüber obsiegt (vorne Bst. C). Aufgrund der besonderen Umstände des Falls sind indessen weder für das Beschwerde- noch für das Gesuchsverfahren Kosten zu erheben (<ref-law>). Die Kosten des Kindesvertreters (vgl. dazu Urteile 5A_557/2017 vom 16. Februar 2018 E. 6.2, in: FamPra.ch 2018 S. 605; 5A_529/2014 vom 16. Februar 2018 E. 8.3) sind den Beschwerdeführern - diesen unter solidarischer Haftbarkeit (<ref-law>) - und der Beschwerdegegnerin je hälftig aufzuerlegen und die Parteikosten sind wettzuschlagen (<ref-law>). Eine Auferlegung von Kosten an D._, der vor Bundesgericht keine Anträge gestellt hat, rechtfertigt sich nicht (vgl. <ref-ruling> E. 6b; Urteil 9C_800/2017 vom 17. Juli 2018 E. 5). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren ist gutzuheissen, soweit es mit Blick auf die Kostenverlegung nicht gegenstandslos geworden ist. Die Beschwerdegegnerin ist aktenkundig mittellos und ihre Begehren können nicht als geradezu aussichtslos beurteilt werden. Ausserdem erscheint eine anwaltliche Vertretung zur Wahrung ihrer Rechte als notwendig (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Beschwerdegegnerin wird darauf hingewiesen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwalt Boris Züst als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Die Kosten des Kindesvertreters von Fr. 500.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit und der Beschwerdegegnerin je hälftig auferlegt, soweit Letztere betreffend indes auf die Bundesgerichtskasse genommen. Der Kindesvertreter wird aus dieser mit Fr. 250.-- entschädigt.
5.
Die Parteikosten werden wettgeschlagen.
6.
Rechtsanwalt Züst wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 500.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, D._, E.C._, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und F._ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber