Faits :
A.
A.a. L'entreprise C._ AG a engagé A._ en qualité de chef de projet, par contrat de travail prenant effet le 1er février 2016 avec un temps d'essai de trois mois.
A ce titre, le prénommé bénéficiait de l'assurance collective perte de gain maladie conclue par l'employeuse auprès de la compagnie B._ SA (ci-après : la société d'assurance). Les conditions générales d'assurance (CGA) y afférentes énonçaient notamment ce qui suit:
" B 1 (...)
1 B._ sert les prestations mentionnées dans la police pour les conséquences économiques de l'incapacité de travail due à une maladie.
(...)
B 4 (...)
1 La couverture d'assurance prend effet pour tout salarié à la date de son entrée dans l'entreprise assurée, mais au plus tôt le jour où commence le contrat d'assurance comme indiqué dans la police.
(...)
B 6 (...)
1 Les indemnités journalières sont calculées sur la base du dernier salaire AVS perçu dans l'entreprise assurée avant le début de la maladie (...). (...)
B 8 (...)
1 Lorsque, sur constatation du médecin, l'assuré est dans l'incapacité de travailler, B._ paie l'indemnité journalière à l'échéance du délai d'attente convenu et, tout au plus, pendant la durée des prestations indiquée dans la police.
2 Lorsque l'assuré est totalement dans l'incapacité de travailler, B._ paie l'indemnité journalière mentionnée dans la police. En cas d'incapacité de travail partielle, l'indemnité est fixée proportionnellement au degré de cette incapacité; toutefois, si l'incapacité de travail est inférieure à 25%, elle ne donne pas droit au versement d'une indemnité. (...)
3 Le salaire est converti en un gain annuel, puis divisé par 365. (...) "
En outre, selon l'art. B 10 CGA, les prestations de tiers étaient prises en compte sauf si le contraire avait été expressément convenu (assurance de sommes).
A.b. Le 10 mars 2016, l'assuré a été licencié pour le 20 mars 2016, "conformément au délai légal de 7 jours durant la période d'essai".
A.c. Ce même jour, il a consulté son psychiatre traitant, qui a diagnostiqué un épisode dépressif sévère. Le médecin a délivré un certificat d'incapacité de travail à 100 % renouvelé chaque mois depuis lors.
A la demande de la société d'assurance, l'intéressé a été examiné le 13 avril 2016 par un spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, lequel a jugé que la capacité de travail serait recouvrée à 50 % le 15 juin 2016, puis à 100 % le 15 juillet 2016.
A l'expiration d'un délai d'attente de 60 jours, la société d'assurance a versé à l'assuré de pleines indemnités journalières du 9 mai au 14 juin 2016, puis des demi-indemnités du 15 juin au 14 juillet 2016, pour un montant total de 12'946 fr. 95.
A.d. Atteint d'une maladie polykystique rénale, l'assuré souffre d'une insuffisance rénale qui s'est aggravée au point d'annihiler sa capacité de travail depuis le 30 mai 2016. Ultérieurement, il est apparu que l'assuré avait besoin d'une dialyse, voire d'une transplantation.
A.e. Le 21 août 2016, l'assuré a déposé une demande de prestations auprès de l'assurance-invalidité en raison d'un état anxio-dépressif dû à un conflit au travail (depuis le 10 mars 2016) et un début d'insuffisance rénale (dès le 30 mai 2016). Le service médical régional de l'assurance-invalidité a considéré, dans un avis du 30 septembre 2016, que la capacité de travail de l'assuré était nulle dans toute activité dès le 10 mars 2016.
Le 16 mai 2017, l'Office de l'assurance-invalidité (OAI) a mis l'assuré au bénéfice d'une rente entière d'invalidité, à compter du 1er mars 2017.
A.f. L'assuré a vainement demandé à la société d'assurance qu'elle poursuive le versement des indemnités journalières. Les discussions ont porté en particulier sur les causes de l'incapacité de travail et l'impact que l'insuffisance rénale pouvait avoir sur la maladie psychique.
En octobre 2017, la société d'assurance a demandé à l'assuré des informations sur son passé professionnel, que l'intéressé a communiquées sous la plume de son conseil le 3 novembre 2017.
Le 7 février 2018, la société d'assurance a confirmé son refus de prester en arguant du fait que l'assuré n'éprouvait aucun dommage. Même sans l'affection qui s'était déclarée le jour du licenciement, il n'aurait pas pu toucher des indemnités de chômage - le délai-cadre d'indemnisation ayant été épuisé -, et il n'y avait pas lieu de penser qu'il aurait retrouvé, rapidement ou non, un nouvel emploi. C'était donc à tort que des indemnités journalières lui avaient été servies du 9 mai au 14 juillet 2016. Eu égard au délai écoulé et afin de ne pas placer l'assuré dans la gêne, la société d'assurance renonçait à demander la restitution du montant corrélatif; en revanche, elle excluait de verser de plus amples prestations.
B.
Le 20 mars 2018, l'assuré a saisi la Cour de justice genevoise d'une demande concluant à ce que la société d'assurance soit condamnée à lui payer 155'362 fr. plus intérêts, sous réserve d'amplification. Cette somme résultait de l'addition des indemnités journalières (248 fr. 98) que le demandeur estimait dues à 50 % du 15 juin au 14 juillet 2016, puis à 100 % du 15 juillet 2016 au 10 mars 2018.
Par arrêt du 1er octobre 2019, la Cour de justice a intégralement rejeté cette demande. Elle a invoqué deux motifs bien distincts:
- Premièrement, la police d'assurance "du 25 mai 2016" couvrait le personnel de l'employeuse ayant achevé la période d'essai avec succès. L'assuré se trouvait précisément dans son temps d'essai lorsque la maladie était survenue, de sorte qu'il n'appartenait pas au cercle des personnes assurées;
- Deuxièmement, l'assurance collective d'indemnités journalières était une assurance de dommages qui, à ce titre, présupposait une perte effective sur le plan économique. Or, l'assuré n'avait plus droit à des prestations de l'assurance-chômage et rien n'indiquait qu'il eût pu exercer une quelconque activité lucrative s'il n'avait pas été affecté par des troubles psychiques.
C.
L'assuré a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile concluant principalement à ce que la société d'assurance soit condamnée à lui verser 128'804 fr. 60 plus intérêts (après déduction des rentes AI perçues depuis le 1er mars 2017).
L'autorité précédente a renoncé à se déterminer.
La société d'assurance a déposé une réponse concluant au rejet du recours, sans préjuger de sa recevabilité.
Dans une missive du 12 mai 2020, le recourant a indiqué tenir à disposition de la cour de céans un nouveau rapport d'expertise psychiatrique du 10 avril 2020 qui renseignerait de manière approfondie sur sa capacité de travail entre 2016 et 2019.

Considérant en droit :
1.
1.1. Le litige porte sur une assurance complémentaire à l'assurance-maladie sociale, régie par la loi fédérale sur le contrat d'assurance (LCA; RS 221.229.1; cf. art. 2 al. 2 de la loi fédérale sur la surveillance de l'assurance-maladie sociale [LSAMal; RS 832.12]). Ce type de conflit ressortit à la matière civile au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1; arrêt 4A_228/2019 du 2 septembre 2019 consid. 1).
Au surplus, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>) rendue par la Cour de justice genevoise statuant en qualité d'instance cantonale unique au sens de l'<ref-law> et de l'<ref-law> (cf. <ref-ruling> consid. 1.1). Aussi le présent recours est-il ouvert sans égard à la valeur litigieuse (<ref-law>). Interjeté au surplus par le demandeur qui a succombé dans ses conclusions (<ref-law>), dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) requis par la loi, le recours est recevable sur le principe. Demeure réservé l'examen des griefs en particulier.
1.2. De par l'<ref-law>, le Tribunal fédéral ne peut généralement pas tenir compte des faits et moyens de preuves postérieurs à la décision de l'autorité précédente ( nova proprement dits). Sa tâche est en effet de dire si cette dernière a violé ou non le droit fédéral sur la base des circonstances prévalant au moment où elle a statué (cf. par ex. arrêt 4F_6/2019 du 18 mars 2020 consid. 2.1 et les arrêts cités).
Pour ce motif déjà, l'expertise psychiatrique du 10 avril 2020 n'a pas vocation à être produite dans la présente procédure.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (<ref-law>), notion qui inclut le droit constitutionnel (<ref-ruling> consid. 1.4 p. 674). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Eu égard, toutefois, à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, sous peine d'irrecevabilité (<ref-law>), le Tribunal fédéral n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sauf en cas d'erreurs juridiques manifestes. Il n'est pas tenu de traiter toutes les questions juridiques qui se posent, lorsque celles-ci ne sont plus discutées devant lui (<ref-ruling> consid. 2.6 p. 413; <ref-ruling> consid. 2 p. 116; <ref-ruling> consid. 1.4 p. 400). En outre, le grief de violation d'un droit constitutionnel - telle la prohibition de l'arbitraire (art. 9 Cst.) - doit être invoqué et motivé de façon circonstanciée, conformément au principe d'allégation ancré à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>). "Manifestement inexactes" signifie ici "arbitraires" (ATF <ref-ruling> consid. 2 p. 117; <ref-ruling> consid. 1.5). La critique de l'état de fait retenu est soumise au strict principe d'allégation énoncé ci-dessus (<ref-ruling> consid. 2.3 p. 266 et les références). Ainsi, la partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (<ref-ruling> consid. 1.3.1 p. 18 et les références).
3.
L'autorité précédente a rejeté la demande sur la base d'une double motivation, s'appuyant d'une part sur le fait que l'assuré se trouvait encore dans le temps d'essai et n'appartenait pas au cercle des personnes assurées, d'autre part sur la nature de l'assurance qui, comme assurance de dommages, supposait une perte de gain effective que l'assuré n'avait pas établie. Les deux volets de cette analyse seront examinés successivement.
4.
4.1. Le premier argument des juges genevois s'appuie sur une clause de la police d'assurance "du 25 mai 2016" dont il ressort que l'assurance collective couvre le personnel "ayant achevé l[a] période d'essai avec succès", ce qui n'était pas le cas de l'assuré/recourant.
Le recourant reproche à l'autorité précédente d'avoir violé la maxime inquisitoire sociale, le devoir d'interpeller les parties et son droit d'être entendu en retenant un moyen qui n'avait pas été soulevé par la société d'assurance, allait à l'encontre de ses allégations et s'appuyait sur une police postérieure à la survenance de l'incapacité; inférer qu'elle avait la même teneur que celle en vigueur le 10 mars 2016 procéderait d'une appréciation arbitraire des preuves.
4.2. Dans les litiges portant sur des assurances complémentaires à l'assurance-maladie sociale, le tribunal établit les faits d'office (<ref-law> en lien avec l'art. 243 al. 2 let. f CPC). En d'autres termes, ces différends sont régis par la maxime inquisitoire sociale, laquelle vise à protéger le cocontractant faible, à garantir l'égalité entre parties et à favoriser le déroulement rapide de la procédure. Les parties restent tenues de soumettre au tribunal la trame factuelle sur laquelle portera son jugement. Le juge, en particulier lorsqu'il est confronté à des parties représentées par des avocats, n'a pas à investiguer dans les pièces pour tenter d'y trouver un argument favorable à celle qui l'a produite. En présence de personnes assistées, il doit bien plutôt faire preuve de retenue, à l'instar de ce qui prévaut dans un procès ordinaire (arrêt 4A_477/2018 du 16 juillet 2019 consid. 3.4.1; <ref-ruling> consid. 2.3.1). La portée de la maxime inquisitoire sociale s'apprécie aussi en considération du principe de disposition ancré à l'<ref-law>, véritable prolongement procédural de l'autonomie privée gouvernant le droit civil. Ce dernier précepte implique en particulier que le juge intervient à la seule initiative des parties, auxquelles il échoit de définir le cadre du procès et de déterminer dans quelle mesure elles veulent faire valoir les moyens et prétentions qui leur appartiennent (arrêt 4A_36/2017 du 2 mars 2017 consid. 7 et la réf. à CHRISTOPH HURNI, in Berner Kommentar, 2012, n° 3 s. ad <ref-law>; cf. aussi <ref-ruling> consid. 1.4.5 p. 605).
4.3. In casu, la société d'assurance et l'assuré étaient chacun représentés par un avocat. L'intéressée n'a pas allégué que la couverture d'assurance prenait effet pour le salarié à l'expiration de son temps d'essai, plutôt qu'à la date de son entrée dans l'entreprise assurée (cf. art. B 4 al. 1 CGA, supra let. A.a). Bien au contraire, elle a admis l'allégué 3 de l'assuré/demandeur selon lequel il était assuré auprès d'elle contre la perte de gain maladie "durant son emploi au service de C._ SA". Elle-même a allégué que le demandeur avait bénéficié de la couverture perte de gain en cas de maladie jusqu'au 20 mars 2016, date de la fin des rapports de travail (all. 58 et all. 122); ce faisant, elle a repris dans la procédure judiciaire la position qu'elle avait déjà exprimée au détour d'un courrier du 17 novembre 2016 (arrêt attaqué, p. 4 n. 21). Elle a certes affirmé avoir payé des indemnités journalières par erreur, mais celle-ci aurait porté sur le gain que l'assuré aurait pu obtenir sans sa maladie psychique (all. 123-126; cf. aussi courrier du 7 février 2018, supra let. A.f in fine).
Dans ce contexte, la maxime inquisitoire sociale n'habilitait pas l'autorité précédente à retenir d'office une clause contractuelle n'ayant fait l'objet d'aucune allégation, et ne s'inscrivant en aucune façon dans la ligne de défense adoptée par la société d'assurance représentée par un avocat. L'assuré ayant expressément cité le contenu de l'art. B 4 al. 1 CGA dans sa demande (d'où son intégration dans l'état de fait présenté ci-dessus), il revenait bien plutôt à la société d'assurance d'alléguer (et d'établir) qu'au moment topique, l'assurance couvrait uniquement le personnel ayant achevé le temps d'essai avec succès.
4.4. Le recourant reproche encore à la Cour de justice d'avoir versé dans l'arbitraire en considérant que la police produite, établie le 25 mai 2016 et prenant effet rétroactivement le 1er mai 2016, était apte à établir que la clause litigieuse prévalait déjà le 10 mars 2016, sachant que le précédent contrat n'a pas été produit.
Comme l'autorité précédente a retenu indûment un fait sortant du cadre des allégués, il est superflu d'examiner l'appréciation des preuves y relative.
Cela étant, une remarque s'impose. L'arrêt attaqué constate que la société d'assurance devait servir des indemnités journalières correspondant à 80 % du salaire effectif pendant 730 jours, après déduction d'un délai d'attente de 60 jours; or, de l'aveu même du recourant, la police topique n'a pas été produite. Dans sa réponse au recours, l'intimée a précisé qu'elle n'entendait pas revenir sur l'ensemble des faits de la cause tels que retenus dans le jugement cantonal, qu'elle considérait comme exacts. Elle a certes fait valoir que le recourant n'avait "jamais allégué que la police" du 25 mai 2016 ne lui était pas opposable; cette remarque visait toutefois à réfuter le grief examiné ci-dessus, relatif au cercle des personnes assurées. On ne discerne pas de critiques ciblant le constat des conditions régissant le versement des indemnités journalières - que l'intimée reprend elle-même dans un argument subsidiaire. Dans ces circonstances, il n'y a pas à revenir sur cette constatation dont le défaut eût pu déjà conduire au rejet de la demande.
4.5. En bref, le premier argument brandi par les juges genevois se révèle privé de fondement. C'est le lieu de passer à l'examen du second motif.
5.
5.1. La Cour de justice a jugé en substance que pour avoir droit à des indemnités journalières, l'assuré devait subir une perte effective sur le plan économique du fait de l'état dépressif affectant sa capacité de travail. L'assurance en cause était une assurance collective qui, de par sa nature, était généralement conclue sous la forme d'une assurance de dommages. Cet axiome était en l'occurrence confirmé par les conditions générales, soit en particulier par les art. [B] 1, B 6, B 8 al. 1 et 2 et B 10 CGA: le montant de l'indemnité dépendait de l'importance de l'incapacité de travail; elle était calculée sur la base du salaire effectif et pouvait être diminuée en cas de surindemnisation.
L'assuré était tombé malade consécutivement à la résiliation de son contrat de travail. Il avait épuisé son droit aux prestations de l'assurance-chômage antérieurement à son engagement du 1er février 2016 et n'avait pas cotisé suffisamment pour entraîner l'ouverture d'un nouveau délai-cadre d'indemnisation. Il devait ainsi établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, qu'il aurait exercé une activité lucrative s'il n'avait pas souffert de troubles psychiques. Or, il avait échoué à rapporter une telle preuve. En effet, il n'avait pas établi avoir été l'objet d'une offre d'emploi sérieuse, les deux attestations produites étant inopérantes. Au demeurant, l'atteinte rénale dont il souffrait ne permettait pas de considérer qu'il aurait été apte à reprendre une quelconque activité, même en l'absence de troubles psychiques.
5.2.
5.2.1. Confronté à cette argumentation, le recourant commence par dénoncer une "violation du contrat d'assurance" en reprochant à la Cour de justice d'avoir indûment requis qu'il prouve sa perte de gain après la fin du contrat de travail pour avoir droit aux prestations d'assurance, alors qu'une telle exigence "ne trouve[rait] aucune assise dans les conditions générales". S'ensuit l'énonciation de diverses clauses (parmi lesquelles les art. B 6 al. 1 et B 8 al. 1-3 et B 10 al. 1 CGA), dont le recourant infère que les indemnités journalières sont toujours calculées en fonction du dernier salaire AVS, et non en fonction d'hypothétiques prestations de chômage; ce serait uniquement en cas de passage dans l'assurance individuelle que les éventuelles prestations de chômage entreraient en considération (art. B 11 al. 7 CGA).
5.2.2. L'autorité précédente a retenu la qualification d'assurance de dommages supposant une perte de gain effective, par opposition à l'assurance de sommes. On peut se demander si le recours cible ce pan du raisonnement par un argumentaire suffisamment motivé. L'omission de mentionner les deux expressions précitées n'est pas en soi déterminante, et il faut bien admettre que le recourant dénonce une interprétation erronée des conditions générales, en relevant qu'elles ne prévoient rien d'autre qu'une indemnité journalière calculée sur le dernier salaire AVS, sans jamais se référer à un montant moindre tel qu'une indemnité de chômage lorsque l'incapacité perdure après la fin des rapports contractuels. Quoi qu'il en soit, la question de la recevabilité souffre de rester indécise, pour les motifs qui vont être exposés ci-dessous.
5.2.3. La distinction entre assurance de sommes et assurance de dommages a occupé de longue date la doctrine et la jurisprudence. L'assurance de sommes garantit une prestation prédéfinie lors de la conclusion du contrat, qui doit être versée si l'événement assuré survient, sans égard à ses conséquences pécuniaires et à l'existence d'un possible dommage. En revanche, dans une assurance contre les dommages, les cocontractants font de la perte patrimoniale effective une condition autonome du droit aux prestations; une telle assurance vise à compenser totalement ou partiellement un dommage effectif. Toute assurance vise à parer à d'éventuels revers de fortune. Le critère de distinction ne réside donc pas dans le but, mais bien dans les conditions de la prestation d'assurance (cf. entre autres <ref-ruling> consid. 4 p. 364 s.; <ref-ruling> consid. 4c; arrêt 4A_367/2016 du 20 mars 2017 consid. 3.2; 4A_53/2007 du 26 septembre 2007 consid. 4.4.2; GERHARD STOESSEL, Schadens- und Summenversicherung: Diskussion seit hundert Jahren, in Mélanges du Bureau National Suisse d'Assurance [...], 2000, p. 504; VINCENT BRULHART, Droit des assurances privées [cité ci-après: Assurances privées], 2e éd. 2017, p. 521 s.).
L'assurance de sommes permet à l'assuré de cumuler les prétentions en versement des indemnités journalières prévues par le contrat d'assurance avec d'autres prétentions découlant du même événement dommageable. La surindemnisation est possible; conformément à l'<ref-law>, les droits que l'ayant droit aurait contre des tiers en raison du sinistre ne passent pas à l'assureur (<ref-ruling> consid. 3.2.5). L'assurance de dommages, en revanche, est gouvernée par le principe indemnitaire; pour éviter le cumul, l'<ref-law> a institué un droit de recours de l'assureur à l'encontre du tiers responsable (arrêt précité 4A_53/2007 consid. 4.4.2; BRULHART, Assurances privées, op. cit., p. 521).
Savoir si l'on est en présence d'une assurance de sommes ou de dommages dépend en définitive du contrat d'assurance et des conditions générales. L'expression "incapacité de gain" n'est pas déterminante dans la mesure où elle est parfois utilisée comme un synonyme de l'incapacité de travail (cf. arrêt 4A_332/2010 du 22 février 2011 consid. 5.2.4). Les règles usuelles d'interprétation des contrats sont applicables (arrêt précité 4A_53/2007 consid. 4.4.2). Lorsque l'interprétation ainsi dégagée laisse subsister un doute sur leur sens, les conditions générales doivent être interprétées en défaveur de leur auteur, conformément à la règle dite des clauses ambiguës (Unklarheitsregel, in dubio contra stipulatorem; <ref-ruling> consid. 1b p. 158; <ref-ruling> consid. 2a; arrêt 4A_177/2015 du 16 juin 2015 consid. 3.2).
D'aucuns font observer que les conditions générales d'assurance ne formulent pas toujours explicitement l'exigence d'un dommage, laquelle peut aussi découler de l'interprétation qui doit s'étendre le cas échéant aux autres documents contractuels. S'il en résulte que la prestation d'assurance est conditionnée à une perte patrimoniale déclenchée par l'événement assuré, il s'agit d'une assurance de dommages, quand bien même l'étendue de la prestation est jusqu'à un certain point forfaitisée - ce qui arrive fréquemment pour des raisons pratiques (STOESSEL, op. cit., p. 510 § 1 et p. 511 § 2; sur la forfaitisation, cf. aussi HÄBERLI/HUSMANN, Krankentaggeld, versicherungs- und arbeitsrechtliche Aspekte, 2015, p. 9 s. n. 36).
Divers auteurs constatent en outre que les assurances collectives conclues par une entreprise pour le personnel sont typiquement des assurances de dommages (MATTER/FREY, ius.focus 2016 p. 16; IVANO RANZANICI, Les effets de l'incapacité de travailler pour cause d'une maladie successive à la résolution du contrat de travail, in Regards croisés sur le droit du travail: Liber Amicorum pour Gabriel Aubert, 2015, p. 276; STEPHAN FUHRER, Kollektive Krankentaggeldversicherung - aktuelle Fragen, in Annales SDRCA 2014 [cité ci-après: Annales 2014], p. 86). L'employeur a en effet l'obligation de verser, pour un temps limité, le salaire du travailleur empêché de travailler pour cause de maladie (<ref-law>). Pour autant qu'elle offre des prestations équivalentes, une assurance collective couvrant tout le personnel de l'entreprise peut libérer cette dernière d'une telle obligation, le risque lié à l'incapacité de travail étant alors assumé par l'assureur (cf. <ref-law>; cf. entre autres RANZANICI, op. cit., p. 272-274; VINCENT BRULHART, L'assurance collective contre la perte de gain en cas de maladie [cité ci-après: Assurance collective], in Le droit social dans la pratique de l'entreprise, 2006, p. 99 s.; cf. <ref-ruling> consid. 4.1-4.3). Le fait que l'assurance couvre des personnes non nommément désignées comme le fait qu'elle se réfère au dernier salaire AVS touché dans l'entreprise plaident en faveur d'une assurance de dommages (HANS-RUDOLF MÜLLER, Grundlagen der Krankentaggeldversicherung nach VVG, in Krankentaggeldversicherung: Arbeits- und versicherungsrechtliche Aspekte, 2007, p. 29-31; HÄBERLI/HUSMANN, op. cit., p. 11 n. 42; MATTER/FREY, ius.focus 2016 p. 16).
L'assurance collective peut voir co-exister une assurance de dommages pour le personnel salarié et une assurance de sommes pour le chef d'entreprise/employeur (MÜLLER, op. cit., p. 30; HÄBERLI/HUSMANN, op. cit., p. 10 n. 40; RUDOLF LUGINBÜHL, Krankentaggeldversicherungen, Allgemeiner Überblick und aktuelle Probleme, in Arbeitsunfähigkeit und Taggeld, 2010, p. 20); l'assurance de sommes est en effet fréquente s'agissant des indépendants (HÄBERLI/HUSMANN, op. cit., p. 9 n. 33; cf. BRULHART, Assurance collective, op. cit., p. 110 s.).
Les tribunaux ont (trop) souvent été occupés par des litiges sur la nature de l'assurance contractée, qui eussent pu aisément être évités si les assureurs avaient indiqué clairement dans leurs conditions générales quel type d'assurance était offert (cf. FUHRER, Annales 2014, op. cit., p. 86 s.).
Le législateur a toutefois fait en sorte de remédier à cette situation. Dans un premier temps, il avait été envisagé d'instituer un jeu de présomptions inférant que les assurances de personnes sont des assurances de sommes et les autres assurances, des assurances de dommages (cf. art. 28 de l'Avant-projet de la Commission d'experts du 31 juillet 2006; FUHRER, Annales 2014, op. cit., p. 86 s. et la sous-note 66). Une autre solution a finalement été trouvée. Le Parlement vient d'adopter le 19 juin 2020 une modification de la LCA comprenant un nouvel art. 3 al. 1 let. b, en vertu duquel l'assureur doit "renseigner le preneur d'assurance, de manière compréhensible et par un moyen permettant d'en établir la preuve par un texte", en particulier "sur l'étendue de la couverture d'assurance et sa nature, c'est-à-dire la question de savoir s'il s'agit d'une assurance de sommes ou d'une assurance dommages" (cf. FF 2020 5496, avec délai référendaire au 8 octobre 2020; cf. aussi le Message du 28 juin 2017 concernant la révision de la LCA, FF 2017 4787 s. et 4818).
5.2.4. En l'occurrence, l'assurance convenue vise expressément à parer aux "conséquences économiques de l'incapacité de travail due à une maladie" (art. B 1 al. 1 CGA). Cet élément n'est pas décisif, puisque le but d'une telle assurance - qu'elle soit de sommes ou de dommages - vise à parer à la perte financière découlant d'une maladie (cf. <ref-ruling> consid. 4 p. 365).
Importent au premier chef les conditions entourant l'obligation de prester (cf. consid. 5.2.3 supra). En l'occurrence, il appert que l'assureur doit payer des indemnités journalières "lorsque [...] l'assuré est dans l'incapacité de travailler", ces indemnités étant "calculées sur la base du dernier salaire AVS perçu dans l'entreprise assurée" avant la maladie (art. B 8 al. 1 et B 6 al. 1 CGA). Pris à la lettre, l'art. B 8 al. 1 CGA implique que l'incapacité de travail suffit à entraîner le versement de l'indemnité, ce qui pourrait en soi plaider en faveur d'une assurance de sommes. On ne discerne en effet nul réquisit quant à un éventuel dommage ou autre perte de gain. Il n'est pas précisé que l'indemnité journalière est versée en cas d'incapacité de travail "jusqu'à concurrence de la perte de gain établie" (cf. par exemple art. 14 al. 1 CGA de l'assurance collective proposée par X._, éd. 2012 et 2015, accessibles sur Internet [...]); il n'est pas non plus énoncé que l'assureur renonce à exiger la preuve d'une perte de gain concrète, tout en se réservant le droit d'exiger une telle preuve dans des cas individuels (cf. art. 5.4 let. d CGA de l'assurance perte de gain maladie offerte par Y._, éd. juillet 2019, également sur Internet [...]). Cela étant, il faut se garder de conclusions trop hâtives fondées sur la seule lettre de l'art. B 8 al. 1 CGA et privilégier une approche globale. L'on gardera ainsi à l'esprit que le recourant bénéficie de cette assurance collective en tant que salarié de l'entreprise qui est la preneuse d'assurance. Il n'apparaît pas que le personnel assuré, et le recourant en particulier, ait été nommément désigné. Est déterminant le salaire effectif de l'ayant droit, soit le dernier salaire AVS perçu dans l'entreprise assurée avant le début de la maladie; comme le souligne la doctrine, ces éléments plaident pour une assurance de dommages. Qui plus est, l'arrêt attaqué précise, en évoquant l'art. B 10 CGA, que l'indemnité peut être réduite en cas de surindemnisation, les prestations de tiers étant prises en compte sauf si le contraire a été expressément convenu (assurance de sommes). Cet élément, typique d'une assurance de dommages fondée sur le principe de l'indemnisation, n'est certes pas un critère absolu. Doctrine et jurisprudence ont relevé qu'il peut se retrouver exceptionnellement dans une assurance de sommes si les conditions générales le prévoient (<ref-ruling> consid. 3.2.5 in fineet la réf. à ROLAND BREHM, L'assurance privée contre les accidents, 2001, p. 191-192 n. 376). Le présent régime contractuel fait toutefois prévaloir la règle générale: les prestations de tiers sont imputées, sauf si le contraire est exprimé, auquel cas il s'agit d'une assurance de sommes. Autrement dit, les assurances dans lesquelles les prestations de tiers sont imputées constituent des assurances de dommages.
Sur la base des éléments limités dont on dispose - à savoir certains articles des conditions générales cités ou mentionnés (art. B 10) dans l'arrêt attaqué, à l'exclusion de la police d'assurance topique -, il faut bien admettre que l'autorité précédente n'a pas enfreint le droit fédéral en considérant que l'assurance en question était une assurance de dommages. Le recourant se réfère à d'autres clauses CGA qui ne figurent pas dans l'arrêt attaqué, sans satisfaire aux exigences nécessaires pour obtenir un complètement de l'état de fait (cf. <ref-ruling> consid. 2 p. 90). Au demeurant, l'art. B 11 al. 7 CGA n'a pas l'importance que lui prête le recourant. Cette clause, relative au droit de passage dans l'assurance individuelle, précise que le montant maximum assurable est celui qui résulte ou résulterait des indemnités de chômage; cela n'exclut pas, dans le contexte précité, d'apposer à l'assurance collective l'étiquette d'une assurance de dommages.
5.2.5. On notera encore que la présente cause se démarque de l'affaire 4A_521/2015. L'associé unique d'une société à responsabilité limitée, employé par celle-ci comme gérant, avait contracté une assurance collective couvrant l'ensemble des employés de l'entreprise (lui compris), sur la base du dernier salaire AVS perçu dans l'entreprise avant le début de la maladie. Les conditions générales d'assurance ne subordonnaient pas expressément le versement des indemnités journalières à l'existence d'un dommage - à l'instar du cas présent. En revanche, il n'était pas établi que les conditions générales prévoyaient l'imputation des prestations de tiers; a fortiori n'était-il pas précisé, comme ici, que cet élément distinguait une assurance de sommes d'une assurance de dommages. Considérant que des clauses ambiguës devaient de toute façon s'interpréter en faveur des assurés, la cour de céans a conclu qu'il s'agissait d'une assurance de sommes, avant de rejeter le grief relatif à l'obligation de réduire le dommage, laquelle prévaut pour les deux types d'assurances. Selon les décisions cantonales, il s'agissait là de l'unique point litigieux, les deux instances ayant même précisé que la qualification de l'assurance (sommes ou dommages) pouvait rester indécise (arrêt 4A_521/2015 du 7 janvier 2016, critiqué par MATTER/FREY, ius.focus 2016 p. 16, approuvé en revanche par STEPHAN FUHRER, REAS 2016 215).
5.3.
5.3.1. Le recourant reproche ensuite à la Cour de justice d'avoir méconnu les <ref-law> et 39 LCA ainsi que la jurisprudence en lui imposant de prouver une perte de gain, respectivement d'avoir versé dans l'arbitraire en constatant que la preuve d'une telle perte de gain n'avait pas été rapportée.
5.3.2. Le recourant étant couvert par une assurance de dommages (consid. 5.2.4 supra), il devait bel et bien établir qu'il subissait une perte de gain du fait de l'incapacité de travail imputable à son état dépressif. Le degré de preuve requis est la vraisemblance prépondérante (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 242).
La jurisprudence a apporté des précisions et facilités à cet égard. Ainsi, lorsque la personne assurée est sans emploi et n'a pas droit à des indemnités de l'assurance-chômage, elle doit établir avec une vraisemblance prépondérante qu'elle exercerait une activité lucrative si elle n'était pas malade. Cette exigence vaut pour la personne qui était déjà sans emploi ( arbeitslos) au moment de la survenance de la maladie. En revanche, dans le cas contraire, i.e. si elle avait encore un emploi à ce moment-là, elle bénéficie d'une présomption de fait en ce sens que sans la maladie qui l'affecte, elle exercerait encore une activité lucrative (<ref-ruling> consid. 3.2.3; arrêt 4A_360/2015 du 12 novembre 2015 consid. 6.2).
Le recourant soutient qu'il aurait dû être mis au bénéfice de cette présomption. Il plaide qu'il n'était pas "sans emploi" lorsque la maladie s'est déclarée le 10 mars 2016, les rapports de travail ayant pris fin dix jours plus tard. En réalité, une lecture plus attentive de la jurisprudence révèle que le moment de la résiliation du contrat de travail est déterminant pour la présomption de fait: celle-ci s'applique si l'assuré est devenu incapable de travailler pour cause de maladie avant qu'il ne perde son emploi par résiliation (cf. <ref-ruling> consid. 3.2.1 en lien avec le consid. 3.2.3; arrêt précité 4A_360/2015 consid. 6.2 et la réf. à l'arrêt 9C_332/2007 du 29 mai 2008 consid. 2.2 et 4). Or, la Cour de justice a constaté souverainement que le recourant était "tombé malade consécutivement à la résiliation de son contrat de travail", ce qui exclut l'application de la présomption. Au demeurant, elle a aussi retenu que l'insuffisance rénale dont souffre le recourant ne permettait pas d'inférer qu'il eût été apte à reprendre une quelconque activité même en l'absence de troubles psychiques; cette affection somatique provoquait une incapacité de travail totale depuis le 30 mai 2016. Ainsi, quand bien même la présomption revendiquée se serait appliquée, la cour cantonale aurait pu constater sans arbitraire, sur la base du seul constat relatif à l'insuffisance rénale, que la preuve d'une perte de gain couverte par l'assureur n'était pas établie. L'examen du solde du grief se révèle superflu.
5.4. Dans ces circonstances, la Cour de justice n'a pas enfreint le droit fédéral en considérant que l'assuré ne pouvait pas prétendre au versement d'indemnités journalières supplémentaires.
6.
Il s'ensuit le rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité.
En conséquence, le recourant supportera les frais de la présente procédure et versera à l'intimée une indemnité pour ses frais d'avocat (art. 66 al. 1 et art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 5'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 6'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 14 juillet 2020
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
La greffière : Monti