Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1962, Mutter zweier Kinder (geboren 1989 und 1997), meldete sich am 1. November 2017 unter Hinweis auf eine Depression, Arthrose und Schulterschmerzen bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Bern tätigte erwerbliche und medizinische Abklärungen. Sie liess A._ durch die Medizinisches Gutachtenzentrum Region St. Gallen GmbH (MGSG) orthopädisch-psychiatrisch begutachten und holte einen Abklärungsbericht Haushalt/Erwerb ein. Mit Vorbescheid vom 15. April 2019 stellte die IV-Stelle bei einem nach Massgabe der gemischten Methode (Erwerb: 60 %; Haushalt: 40 %) ermittelten Invaliditätsgrad von 12 % die Abweisung des Rentengesuchs in Aussicht. Daran hielt sie auf Einwand hin gestützt auf Stellungnahmen des psychiatrischen Gutachters und des Bereichs Abklärungen mit weiterem Vorbescheid vom 9. September 2019 fest. Nach erneutem Einwand und Eingang weiterer medizinischer Berichte sowie nach Rücksprache mit dem Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD; verfügte die IV Stelle am 12. August 2020 wie vorbescheidweise angekündigt.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 22. Februar 2021 insofern teilweise gut, als es A._ vom 1. Mai bis 30. September 2018 eine Dreiviertelsrente zusprach. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
C.
A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, das vorinstanzliche Urteil sei insofern aufzuheben, als ihr ab dem 1. Oktober 2018 keine Dreiviertelsrente mehr zuerkannt werden soll, und die Sache sei zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Eventualiter sei ihr eine unbefristete Dreiviertelsrente über den 30. September 2018 hinaus zuzusprechen.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Verwaltungsgericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht - vorbehältlich offensichtlicher Fehler - nur die in seinem Verfahren geltend gemachten Rechtswidrigkeiten (<ref-ruling> E. 1.4.1). Es ist jedenfalls nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen zu untersuchen, wenn diese vor Bundesgericht nicht mehr vorgetragen werden (<ref-ruling> E. 2.2.1; siehe auch <ref-ruling> E. 1.1).
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdeführerin eine lediglich (bis 30. September 2018) befristete Dreiviertelsrente zusprach.
2.2. Das kantonale Gericht hat die für die Beurteilung des Rentenanspruchs nach <ref-law> massgeblichen Bestimmungen, insbesondere zur Erwerbsunfähigkeit (<ref-law>) und zur Invalidität (<ref-law>), sowie die zu beachtenden Grundsätze zum Beweiswert ärztlicher Berichte (<ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a) zutreffend dargelegt. Gleiches gilt hinsichtlich des Anspruchs auf eine Invalidenrente (<ref-law> und <ref-law>) und die Ermittlung des Invaliditätsgrades nach der gemischten Methode (<ref-law>) sowie des Vorgehens bei einer abgestuften oder befristeten Invalidenrente bei rückwirkender Rentenzusprechung gemäss den Modalitäten einer Revision der Invalidenrente (<ref-law>; Art. 88a Abs. 1 und 2 IVV; <ref-ruling> E. 2.3). Korrekt sind auch die Ausführungen zur Beurteilung der Invalidität bei psychischen Leiden anhand der sogenannten Standardindikatoren (<ref-ruling>; <ref-ruling> und 418). Darauf wird verwiesen.
2.3. Zu ergänzen ist, dass bei Versicherten, deren Rente revisionsweise herabgesetzt oder aufgehoben werden soll, nach mindestens fünfzehn Jahren Bezugsdauer oder wenn sie das 55. Altersjahr zurückgelegt haben, praxisgemäss in der Regel vorgängig Massnahmen zur Eingliederung durchzuführen sind, bis sie in der Lage sind, das medizinisch-theoretisch (wieder) ausgewiesene Leistungspotenzial mittels Eigenanstrengung auszuschöpfen und erwerblich zu verwerten. Ausnahmen von der diesfalls grundsätzlich ("vermutungsweise") anzunehmenden Unzumutbarkeit einer Selbsteingliederung liegen namentlich dann vor, wenn die langjährige Absenz vom Arbeitsmarkt auf invaliditätsfremde Gründe zurückzuführen ist, wenn die versicherte Person besonders agil, gewandt und im gesellschaftlichen Leben integriert ist oder wenn sie über besonders breite Ausbildungen und Berufserfahrungen verfügt. Verlangt sind immer konkrete Anhaltspunkte, die den Schluss zulassen, die versicherte Person könne sich trotz ihres fortgeschrittenen Alters und/oder der langen Rentenbezugsdauer mit entsprechender Absenz vom Arbeitsmarkt ohne Hilfestellungen wieder in das Erwerbsleben integrieren. Die IV-Stelle trägt die Beweislast dafür, dass die versicherte Person entgegen der Regel in der Lage ist, das medizinisch-theoretisch (wieder) ausgewiesene Leistungspotenzial auf dem Weg der Selbsteingliederung erwerblich zu verwerten (<ref-ruling> E. 5.1 mit Hinweisen; Urteile 9C_50/2020 vom 9. Juli 2020 E. 3.1; 9C_574/2019 vom 16. Oktober 2019 E. 3.1 je mit Hinweisen).
Fehlt der Eingliederungswille beziehungsweise die subjektive Eingliederungsfähigkeit, das heisst, ist die Eingliederungsbereitschaft aus invaliditätsfremden Gründen nicht gegeben (zum Erfordernis der objektiven und subjektiven Eingliederungsfähigkeit der versicherten Person: Silvia Bucher, Eingliederungsrecht der Invalidenversicherung, 2011, Rz. 124 und 539), darf die Rente ohne vorgängige Prüfung von Massnahmen der (Wieder-) Eingliederung und ohne Durchführung des Mahn- und Bedenkzeitverfahrens nach <ref-law> herabgesetzt oder aufgehoben werden. Berufliche Massnahmen können zwar unter anderem dazu dienen, subjektive Eingliederungshindernisse im Sinne einer Krankheitsüberzeugung der versicherten Person zu beseitigen. Es bedarf indessen auch diesfalls eines Eingliederungswillens beziehungsweise einer entsprechenden Motivation der versicherten Person. Es sind insbesondere die gegenüber der Verwaltung und den medizinischen Experten gemachten Aussagen betreffend Krankheitsüberzeugung beziehungsweise Arbeitsmotivation zu berücksichtigen. Ebenfalls von Belang sein können die im Vorbescheidverfahren und vor kantonalem Versicherungsgericht gemachten Ausführungen respektive gestellten Anträge (Urteile 9C_50/2020 vom 9. Juli 2020 E. 3.1; 9C_797/2018 vom 10. September 2019 E. 5.1; 8C_682/2018 vom 21. Februar 2019 E. 7.1; 8C_611/2018 vom 7. Januar 2019 E. 6.1; 9C_231/2015 vom 7. September 2015 E. 4.2, je mit Hinweisen).
2.4. Die Rechtsprechung, wonach bei der revisionsweisen Herabsetzung oder Aufhebung der Invalidenrente bei zurückgelegtem 55. Altersjahr grundsätzlich Eingliederungsmassnahmen durchzuführen sind, findet auch dann Anwendung, wenn wie hier zeitgleich mit der Rentenzusprache rückwirkend über deren Abstufung und/oder Befristung befunden wird (<ref-ruling> E. 5.2-5.4; Urteil 8C_80/2020 vom 19. Mai 2020 E. 2.3). Welches dabei der für die Ermittlung des Eckwerts des 55. Altersjahres massgebliche Zeitpunkt sein soll - der Zeitpunkt der Verfügung selbst, derjenige der darin verfügten Rentenabstufung beziehungsweise -aufhebung (vgl. <ref-ruling>) oder jener des Feststehens der entsprechenden medizinischen Zumutbarkeit (<ref-ruling>) -, kann im vorliegenden Fall offen bleiben (wie bereits in <ref-ruling> E. 5.4). Denn die Beschwerdeführerin hat die entsprechende Schwelle so oder anders überschritten.
3.
3.1. Die Vorinstanz gelangte gestützt auf das Gutachten der MGSG zum Schluss, dass die Beschwerdeführerin von Mai 2017 bis Juni 2018 in sämtlichen Tätigkeiten arbeitsunfähig gewesen sei. Ab Juli 2018 sei in einer angepassten Tätigkeit bei voller Stundenpräsenz von einer 85%igen Arbeitsfähigkeit auszugehen. Dabei liess das kantonale Gericht die vom psychiatrischen Gutachter der Beschwerdeführerin attestierte 40%ige Arbeitsunfähigkeit unberücksichtigt. Die Vorinstanz nahm aufgrund der Indikatorenprüfung an, es sei nicht mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit nachgewiesen, dass der psychische Gesundheitsschaden der Beschwerdeführerin eine funktionelle Einschränkung bewirke. Sodann setzte das kantonale Gericht wie die IV-Stelle den Status der Beschwerdeführerin auf 60 % Erwerb und 40 % Haushalt fest. Anhand der gemischten Methode ermittelte das kantonale Gericht ab Mai 2018 einen gewichteten Invaliditätsgrad im erwerblichen Bereich von 60 %. Im Bereich Haushalt ging es von keinen wesentlichen Einschränkungen aus. Gestützt darauf berechnete die Vorinstanz einen Gesamtinvaliditätsgrad von rund 60 % und sprach dementsprechend der Beschwerdeführerin ab Mai 2018 eine Dreiviertelsrente zu. Zufolge Verbesserung des Gesundheitszustands ab Juli 2018 und des sich daraus ergebenden Revisionsgrundes setzte das kantonale Gericht den Invaliditätsgrad ab Oktober 2018 im erwerblichen Bereich auf 11,62 % und im Bereich Haushalt auf 0,32 % fest, woraus sich ein Gesamtinvaliditätsgrad von gerundet 12 % ergab. Deshalb verneinte es ab jenem Zeitpunkt einen Anspruch der Beschwerdeführerin auf eine Invalidenrente. Die Vorinstanz hob in teilweiser Gutheissung der Beschwerde die Verfügung der IV-Stelle vom 12. August 2020 auf und sprach der Beschwerdeführerin vom 1. Mai bis 30. September 2018 eine Dreiviertelsrente zu.
3.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, sie sei anlässlich der erstmaligen Rentenzusprache ab Mai 2018 knapp 56 Jahre alt gewesen. Selbst wenn - was bestritten werde - von einer Verbesserung ihres psychischen Gesundheitszustands per Juli 2018 auszugehen sei, ändere dies nichts daran, dass ihr auch über den 30. September 2018 hinaus weiterhin mindestens die bisherige Dreiviertelsrente zu bezahlen sei. Gemäss <ref-ruling> hätte die Beschwerdegegnerin die IV-Rente erst nach erfolgter beruflicher Wiedereingliederung aufheben dürfen. Die Vorinstanz habe dem Aspekt der altersmässig massiv eingeschränkten Selbsteingliederungsfähigkeit der Beschwerdeführerin rechtsfehlerhaft keinerlei Rechnung getragen, obwohl dieser Umstand aufgrund der geltenden Offizialmaxime von Amtes wegen hätte geprüft werden müssen. Im angefochtenen Urteil werde nicht dargelegt, weshalb bei der Beschwerdeführerin trotz vermutungsweise herabgesetzter Fähigkeit zur Selbsteingliederung genügend Ressourcen vorhanden sein sollten, das medizinisch-theoretisch ausgewiesene Leistungspotential aufgrund eigener Anstrengungen wieder erwerblich verwerten zu können. Das kantonale Gericht hätte prüfen müssen, ob der Beschwerdeführerin eine Selbsteingliederung aufgrund ihres Alters und der tatsächlichen Umstände überhaupt möglich sei und zugemutet werden könne. Es hätte vermutungsweise davon ausgehen müssen, dass ihr aufgrund ihres vorgerückten Alters eine Selbsteingliederung nicht mehr möglich sei. Es bestünden keine konkreten Anhaltspunkte, die den Schluss zuliessen, sie könne sich trotz ihres fortgeschrittenen Alters und ohne Hilfestellungen der IV-Stelle selbst wieder in das Erwerbsleben integrieren. Damit habe es bei der vermutungsweisen Unmöglichkeit der Selbsteingliederung zu bleiben, weshalb der Anspruch auf die Dreiviertelsrente unbefristet und daher über den 30. September 2018 hinaus bestehe.
3.3. Im Rahmen ihrer Vorbringen betreffend mangelnder Selbsteingliederungsfähigkeit bestreitet die Beschwerdeführerin, dass sich ihr psychischer Gesundheitszustand ab Juli 2018 verbessert habe. Zudem bringt sie vor, die vom kantonalen Gericht festgestellte Arbeitsunfähigkeit sei unzutreffend, da der Gutachter Dr. med. B._ ihr ab Juli 2018 eine mittelgradige depressive Episode mit einer maximalen 50%igen Arbeitsunfähigkeit in der bisherigen respektive einer 40%igen Arbeitsunfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit attestiert habe. Damit sei sie entgegen der Auffassung des kantonalen Gerichts selbst in einem leidensangepassten Umfeld auch noch ab Juli 2018 erheblich sowohl in somatischer als auch in psychiatrischer Hinsicht eingeschränkt gewesen und es auch geblieben.
3.4. Die Vorinstanz legte im angefochtenen Urteil eingehend dar, weshalb aufgrund der Indikatorenprüfung (<ref-ruling>) der vom Gutachter Dr. med. B._ der Beschwerdeführerin attestierten Arbeitsunfähigkeit nicht gefolgt werden könne. Die Beschwerdeführerin setzt sich in keiner Art und Weise mit den vorinstanzlichen Ausführungen auseinander und legt nicht dar, inwiefern diese bundesrechtswidrig sein sollen. Auf die vom kantonalen Gericht festgestellte Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit sowie auf den gestützt darauf berechneten Invaliditätsgrad ist daher mangels rechtsgenüglicher Rüge nicht einzugehen (<ref-law>; vgl. oben E. 1.2).
3.5. Hingegen rügt die Beschwerdeführerin zu Recht, dass das kantonale Gericht nicht geprüft habe, ob sie angesichts ihres Alters ihre Arbeitsfähigkeit auf dem Weg der Selbsteingliederung verwerten kann. Im vorinstanzlichen Urteil finden sich jedenfalls keine Ausführungen dazu. Die Frage, ob der Beschwerdeführerin unter den gegebenen Umständen die Selbsteingliederung zugemutet werden durfte, bildet einen Teilaspekt des Rechtsverhältnisses "abgestufte" oder "befristete Rente" (Urteil 8C_494/2018 vom 6. Juni 2019 E. 2.2, nicht publ. in: <ref-ruling>, aber in: SVR 2019 IV Nr. 73 S. 233; Urteile 8C_826/2018 vom 14. August 2019 E. 2.2; 9C_543/2017 vom 7. November 2017 E. 3.2.1). Von einer zumutbaren Selbsteingliederung ist nur dann auszugehen, wenn konkrete Anhaltspunkte vorliegen, die den Schluss zulassen, dass sich die Beschwerdeführerin trotz ihres fortgeschrittenen Alters ohne Hilfestellungen wieder in das Erwerbsleben integrieren kann (vgl. oben E. 2.3 f.). Im angefochtenen Urteil fehlen somit die für die Beurteilung der Selbsteingliederungsfähigkeit notwendigen Feststellungen. So ergibt sich aus dem vorinstanzlichen Sachverhalt nicht, ob die Absenz der Beschwerdeführerin vom Arbeitsmarkt überwiegend auf invaliditätsfremden Gründe beruht. Nicht abgeklärt wurde ferner, ob die Beschwerdeführerin über besondere Agilität, Gewandtheit und Integration im gesellschaftlichen Leben oder eine breite Ausbildung und Berufserfahrung verfügt. Wie es sich im vorliegenden Fall mit den genannten Kriterien verhält, lässt sich ohne weitere Abklärungen durch die IV-Stelle nicht zuverlässig beurteilen. Die strittige Rentenaufhebung ab 1. Oktober 2018 hält aus diesem Grund vor Bundesrecht nicht stand. Daran kann nichts ändern, dass sich die damals 56-jährige Beschwerdeführerin anlässlich der Begutachtung ebenso wie gegenüber ihrem behandelnden Psychiater als arbeitsunfähig fühlte und bis anhin noch nicht um Unterstützung bei der Wiedereingliederung ersuchte, wie die IV-Stelle vernehmlassungsweise vorbringt. Berufliche Massnahmen können unter anderem gerade dazu dienen, subjektive Eingliederungshindernisse im Sinne einer Krankheitsüberzeugung der versicherten Person zu beseitigen. Die von der IV-Stelle angeführten Bedenken hinsichtlich des subjektiven Eingliederungswillens der Beschwerdeführerin vermögen die Vermutung der Unzumutbarkeit, die Restarbeitsfähigkeit mittels Selbsteingliederung zu verwerten, bei fehlender Abklärung der übrigen zu prüfenden Kriterien nicht zu entkräften. Die Sache ist an die IV-Stelle zurückzuweisen, damit diese das Erforderliche nachholt und anschliessend über die revisionsweise Aufhebung des Rentenanspruchs neu verfügt.
4.
Das Verfahren ist kostenpflichtig (<ref-law>). Die Gerichtskosten werden der unterliegenden Beschwerdegegnerin auferlegt (<ref-law>). Zudem hat sie der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 22. Februar 2021, soweit es den Rentenanspruch ab dem 1. Oktober 2018 betrifft, und die Verfügung der IV-Stelle Bern vom 12. August 2020 werden aufgehoben. Die Sache wird an die IV-Stelle des Kantons Bern zu neuer Verfügung zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Juni 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Durizzo