Faits :
A.
A.a. A._ a été engagée par la Commune de La Tour-de-Peilz (ci-après: la Commune) en qualité d'architecte adjointe au chef du Service B._ (ci-après: le Service) à 100 % à compter du 1 er mars 2014. Selon son évaluation du 15 septembre 2014, ses prestations répondaient entièrement aux exigences de la fonction, voire se situaient au-delà de ces exigences.
A.b. Au début de l'année 2015, le Service a traversé une crise aboutissant à la rétrogradation du chef de service. Dès le 1 er avril 2015, A._ a assumé la fonction de cheffe ad interim en attendant la nomination d'un nouveau chef de service. A partir du 1 er septembre 2015, elle a travaillé en qualité d'adjointe au nouveau chef de service, à savoir C._, en charge des grands projets.
A.c. Selon le rapport d'évaluation de A._ effectué par C._ le 15 octobre 2015, les exigences de la fonction étaient en tous points satisfaites. S'agissant plus particulièrement des mesures à prendre, le rapport d'évaluation relevait que: "La gestion administrative et la préparation de certains documents manquent parfois de précision et la qualité s'en fait un peu ressentir. Les compétences d'architecte sont attendues dans le cadre des prochains projets à conduire au sein du service". A._ mentionnait par ailleurs qu'elle désirait être libérée de tâches ne lui incombant pas, comme la rédaction de courriers ainsi que la permanence du guichet et des téléphones. Elle demandait à disposer de locaux plus spacieux ainsi que d'une chaise ergonomique, souhait qui a par la suite été exaucé par le nouveau chef de service.
A.d. Au cours des séances hebdomadaires destinées à évaluer les travaux en cours, fixer les objectifs et définir les priorités, un conflit est apparu entre A._ et C._ à propos du montant d'un budget et de la gestion de certains projets. En juin 2016, celui-ci n'a pas signé un avis d'absence pour les 5 et 6 juillet 2016 soumis par la prénommée en raison de l'opération de son fils. A._ a été informée par lettre du 18 juillet 2016 que ladite absence devrait être compensée par ses jours de vacances ou ses heures supplémentaires.
A.e. L'entretien annuel d'évaluation de A._ pour l'année 2016 s'est tenu le 4 octobre 2016. Selon un document ni signé ni daté, C._ a indiqué qu'elle devait améliorer ses connaissances professionnelles, sa productivité, la rapidité et la qualité de son travail, ainsi que sa capacité à assumer le volume de travail imposé.
A.f. Le lendemain matin, A._ a informé le secrétariat du Service qu'elle serait absente et irait consulter un médecin. Elle a précisé qu'elle était angoissée et n'avait pas dormi de la nuit. Elle a alors été priée par C._ et par le Municipal en charge du Service de bien vouloir à l'avenir signifier ses annonces d'absence au chef de service conformément au Statut du personnel communal, sous peine de voir son dossier passer à la Municipalité pour avertissement.
Le médecin de l'Hôpital D._ a prescrit une intervention chirurgicale fixée au 13 octobre 2016 et a attesté l'incapacité de travail de A._ du 5 au 14 octobre 2016, période qu'il a prolongée jusqu'au 31 octobre 2016. Le psychiatre consulté par l'intéressée a quant à lui attesté une incapacité de travail complète du 27 octobre au 30 novembre 2016, laquelle a par la suite été prolongée au 15 juin 2017. Il a indiqué dans une attestation du 10 novembre 2016 que sa patiente suivait une psychothérapie depuis le 17 octobre 2016 pour une situation de mobbing de la part de son nouveau chef depuis septembre 2015. Il avait constaté la présence de symptômes spécifiques à des situations de mobbing, à savoir des insomnies, des ruminations dépressives, une diminution de l'estime de soi, un sentiment d'injustice en lien direct avec des paroles et attitudes dévalorisantes subies au travail.
A.g. Par courrier du 21 novembre 2016 adressé à la Commune, le conseil de A._ a rapporté des actes de harcèlement psychologique du fait du nouveau chef de service. Il concluait qu'une solution mutuellement satisfaisante consisterait à solder l'affaire par le paiement d'une indemnité à hauteur des torts subis. La Commune a répondu par lettre du 2 décembre 2016, contestant les reproches de harcèlement.
Par courrier du 27 janvier 2017, la Commune a informé A._ qu'elle envisageait de la licencier, compte tenu du fait qu'elle était absente depuis plus de trois mois, que les délais de protection contre un licenciement étaient dépassés et qu'il n'existait aucune perspective quant à son retour en emploi. Les parties se sont rencontrées lors de deux séances des 27 février et 6 mars 2017, sans parvenir à trouver un terrain d'entente.
A.h. Entre-temps, l'assurance perte de gain a ordonné une expertise psychiatrique. Dans son rapport du 9 mars 2017, l'expert a indiqué que A._ avait présenté dans les mois précédant son incapacité de travail de l'anxiété, des troubles du sommeil et un sentiment d'insécurité et d'irritabilité. La symptomatologie avait été plus importante dès le 4 octobre 2016. L'incapacité de travail était estimée devoir perdurer jusqu'au 31 mars 2017.
A.i. Le 16 mars 2017, la Commune a licencié A._ avec effet au 31 mai 2017, au motif que ses prestations ne correspondaient plus aux attentes de la Municipalité.
B.
B.a. Le 26 février 2018, A._ a saisi le Tribunal civil de l'arrondissement de l'Est vaudois (ci-après: le Tribunal civil) d'une demande tendant au versement par la Commune de 79'339 fr. 35 ainsi que de 5116 fr. 25 avec intérêts à 5 % l'an dès le 1 er juin 2017.
Par jugement du 18 septembre 2019, le Tribunal civil a rejeté la demande, considérant que A._ n'avait pas été victime de mobbing et que la résiliation n'était pas abusive.
B.b. Par acte du 3 février 2020, A._ a interjeté appel contre ce jugement, en reprenant les conclusions prises en première instance.
Par arrêt du 14 août 2020, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: la Cour d'appel civile) a partiellement admis la demande, ordonnant à la Commune de la Tour-de-Peilz de payer à A._ un montant de 5000 fr. à titre d'indemnité pour tort moral et de 15'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif, le tout avec intérêts à 5 % dès le 1 er juin 2017.
C.
La Commune de la Tour-de-Peilz forme un recours en matière civile contre cet arrêt, concluant principalement à sa réforme en ce sens que l'appel soit rejeté. Subsidiairement, elle conclut au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
L'intimée conclut au rejet du recours. La Cour d'appel civile déclare se référer aux considérants de son arrêt.
D.
Faisant suite à une ordonnance de la juge instructrice du 24 mars 2021, la recourante et l'intimée se sont déterminées sur la nature des rapports de travail de droit privé ou de droit public, tandis que la Cour d'appel civile a renoncé à se déterminer. La recourante a par ailleurs été invitée à produire le Statut du personnel de la Commune de la Tour-de-Peilz (ci-après: le Statut).

Considérant en droit :
1.
1.1. Dans ses déterminations ensuite de l'ordonnance du 24 mars 2021, l'intimée a indiqué qu'il fallait considérer que les rapports de travail étaient soumis au droit privé puisque la lettre d'engagement précisait que les parties étaient liées par un contrat de droit privé. La recourante a quant à elle fait valoir qu'indépendamment de la qualification de droit public ou privé des rapports de travail, la présente procédure devait être tranchée sous le seul angle du droit privé puisque ni l'intimée ni les autorités judiciaires n'avaient jamais indiqué que le contrat réservait l'application du Statut.
1.2. En l'occurrence, la lettre d'engagement indique effectivement que le contrat est de droit privé. Elle mentionne toutefois également que les dispositions du Statut sont applicables. L'art. 1, par. 3, de ce Statut prévoit que "les rapports de travail sont régis en premier lieu par le contrat d'engagement, par la description de fonction, puis par le présent règlement et par les articles 319 à 343 du code des obligations qui s'appliquent à titre de droit communal supplétif". Les rapports de service de l'intimée sont donc bien soumis au droit public, les art. 319 à 343 du code des obligations s'appliquant à titre de droit communal supplétif (cf. arrêt 8C_243/2015 du 17 mars 2016 consid. 1). En outre, contrairement à ce qu'indique la recourante, tant les décisions du Tribunal civil et de la Cour d'appel civile que les écritures des parties font référence à l'application du Statut à certains égards. La situation est dès lors à distinguer de l'arrêt 4C.343/2003 du 13 octobre 2004 mentionné par la recourante dans ses observations.
1.3. A lui seul, l'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies et que le recours puisse ainsi être converti (<ref-ruling> consid. 3.3; <ref-ruling> consid. 1.2 et les arrêts cités).
La jurisprudence concernant la recevabilité du recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF, notamment art. 89 al. 1 LTF) admet que la collectivité publique, en tant qu'employeur, n'agit certes pas au même titre qu'un particulier dans une contestation découlant de rapports de travail régis par le droit public, mais qu'elle a néanmoins un intérêt spécifique digne de protection à l'annulation ou à la modification d'une décision d'un tribunal favorable à son agent; la collectivité publique se trouve en effet dans une situation juridique analogue à celle d'un employeur privé parce que les prestations pécuniaires qu'elle conteste devoir fournir (notamment un salaire ou une indemnité pour licenciement abusif) pourraient être dues par tout employeur dans une situation comparable (<ref-ruling> consid. 5.2; <ref-ruling> consid. 4.1 et les références).
La présente cause est une contestation pécuniaire en matière de rapports de travail de droit public. Elle ne tombe pas sous le coup de l'exception de l'art. 83 let. g LTF. La valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 1 let. a et 85 al. 1 let. b LTF).
Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile ( art. 100 al. 1 LTF) contre une décision finale ( art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale ( art. 86 al. 1 let. d LTF). Il est donc recevable.
2.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire au sens de l' art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2) - ou en violation du droit au sens de l' art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des conclusions insoutenables (<ref-ruling> consid. 2.3 et les références).
3.
Sauf dans les cas cités expressément à l'art. 95 LTF, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal ou communal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application de ce droit constitue une violation du droit fédéral, en particulier, qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres droits constitutionnels (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 1.2). L'application du droit fédéral à titre de droit cantonal ou communal supplétif est aussi uniquement examinée par le Tribunal fédéral sous l'angle d'une violation de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire (arrêts 8C_104/2020 du 12 janvier 2021 consid. 2.2 et la référence; 8C_336/2019 du 9 juillet 2020 consid. 2.2). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale n'est pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible (<ref-ruling> consid. 7.1). Il incombe à cet égard au recourant d'exposer une argumentation spécifique qui réponde aux exigences accrues de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF.
4.
4.1. L'art. 328 al. 1 CO impose à l'employeur de protéger et respecter, dans les rapports de travail, la personnalité du travailleur.
Le harcèlement psychologique, ou mobbing, constitue une violation de l'art. 328 CO. Selon la définition donnée par la jurisprudence qui vaut pour les relations de travail fondées tant sur le droit privé que sur le droit public (arrêts 8C_41/2017 du 21 décembre 2017 consid. 3.5 et les arrêts cités), il s'agit d'un enchaînement de propos et/ou d'agissements hostiles, répétés fréquemment pendant une période assez longue, par lesquels un ou plusieurs individus cherchent à isoler, à marginaliser, voire à exclure une personne sur son lieu de travail. La victime est souvent placée dans une situation où chaque acte pris individuellement peut être considéré comme supportable, alors que l'ensemble des agissements constitue une déstabilisation de la personnalité poussée jusqu'à l'élimination professionnelle de la personne visée (arrêts 4A_310/2019 du 10 juin 2020 consid. 4.1.1; 4A_652/2018 du 21 mai 2019 consid. 5.1; 8C_107/2018 du 7 août 2018 consid. 5). Il n'y a pas harcèlement psychologique du seul fait d'un conflit dans les relations professionnelles (cf. par ex. arrêts 4A_439/2016 du 5 décembre 2016 consid. 5.2 et 5.3; 8C_787/2015 du 4 novembre 2016 consid. 3.2.4; 4A_381/2014 du 3 février 2015 consid. 5.2), d'une incompatibilité de caractères (arrêt 2P.39/2004 du 13 juillet 2004 consid. 4.2), d'une mauvaise ambiance de travail, ou du simple fait qu'un supérieur hiérarchique n'aurait pas toujours satisfait à ses devoirs envers ses collaborateurs (arrêts 8C_74/2019 du 21 octobre 2020 consid. 5.1; 8C_41/2017 du 21 décembre 2017 consid. 3.5 et les références).
Il résulte des particularités du mobbing que ce dernier est généralement difficile à prouver, si bien qu'il faut éventuellement admettre son existence sur la base d'un faisceau d'indices convergents (arrêt 8C_41/2017 précité consid. 3.5 in fine et les références).
L'autorité de céans concède une marge d'appréciation au juge appelé déterminer, sur la base des circonstances d'espèce, si les indices réunis permettent ou non de retenir un tel mobbing (arrêts 8C_107/2018 précité consid. 5; 4A_32/2010 du 17 mai 2010 consid. 3.3.4; 4A_245/2009 du 6 avril 2010 consid. 4.3.3).
4.2. Etablir les comportements adoptés par l'auteur du mobbing allégué, ses intentions et mobiles, le contexte de travail, la personnalité de l'employé victime ou encore son état de santé, ressortit au fait. Relèvent aussi de l'appréciation des preuves les déductions auxquelles le juge procède parce qu'il ne dispose pas de preuves directes (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2 e éd. 2014, n° 33 ad art. 105 LTF). En ce domaine, le Tribunal fédéral n'intervient qu'aux conditions strictes rappelées ci-dessus (cf. consid. 2 supra), pour sanctionner un véritable arbitraire et non pour substituer à l'appréciation des juges cantonaux une solution qui pourrait sembler préférable. En revanche, déterminer si les faits retenus permettent de retenir une atteinte à la personnalité justifiant l'octroi d'une réparation morale procède de l'application du droit, que la cour de céans contrôle en principe librement, mais avec les retenues entourant l'exercice du pouvoir d'appréciation, dans un terrain qui se révèle souvent très délicat. En l'espèce, l'art. 328 CO étant applicable à titre de droit communal supplétif, le pouvoir de cognition de la cour de céans est en tout état limité à l'arbitraire sur cette question. L'examen de la présente cause se trouve donc circonscrit à divers égards.
5.
La juridiction cantonale a retenu, sur la base des témoignages, qu'il existait une tension entre l'intimée et C._. De façon répétée, ce dernier montrait des signes d'agacement lorsque l'intimée s'adressait à lui, en soupirant, en levant les yeux au ciel ou en grimaçant. L'intimée avait également été exclue des grands projets dont elle était responsable auparavant, ainsi que des réunions, et s'était vu reléguée à des tâches subalternes telles que la réception, le téléphone et l'organisation de la semaine de la mobilité, lesquelles étaient sans rapport avec ses qualifications professionnelles. A cela s'ajoutaient des incidents ponctuels comme le refus d'un congé parental et la menace d'un avertissement à la suite d'un courriel d'absence mal adressé. S'agissant du fait que le nouveau chef de service coupait la parole à l'intimée en lui disant "c'est qui ton chef?" ou qu'il lui enjoignait de rejoindre sa place de travail d'un geste de l'index, aucun des témoins n'avait assisté à de telles scènes. La Conseillère municipale en charge du Service à l'époque avait cependant déclaré que tous ces faits lui avaient été rapportés par l'intimée, de sorte qu'ils devaient être tenus pour hautement vraisemblables. Au demeurant, l'intimée les relayait avec une certaine précision dans ses déclarations, ce dont il convenait de tenir compte. Il résultait de l'ensemble des circonstances que l'intimée avait été mise à l'écart et mise progressivement sous tension. Si certains événements étaient anodins pris isolément, leur cumul constituait une situation de mobbing. Cela était corroboré par le rapport d'expertise sollicité par le médecin conseil de l'assureur de l'intimée. La Conseillère municipale à laquelle l'intimée s'était confiée avait par ailleurs dit à cette dernière qu'elle "peinerait à trouver une oreille attentive", ce qui revenait à la dissuader d'agir. Ce vain appel à l'aide montrait que l'intimée était dans une impasse. Or il était de la responsabilité de l'employeur de protéger son employée à ce moment-là et de chercher les moyens d'accompagner les deux protagonistes dans leur collaboration avant que la situation ne s'envenime au point que l'intimée se retrouve en incapacité de travail complète. En outre, on ne pouvait pas nier l'existence d'une situation de mobbing au motif que le conseil de l'intimée avait dans un premier temps uniquement proposé une indemnité pour les torts subis. Non seulement cette dernière se trouvait dans un état de faiblesse imputable à son employeur mais en plus elle avait été dissuadée de faire part de sa détresse à sa hiérarchie. L'autorité cantonale a en conséquence alloué à l'intimée une indemnité de 5000 fr. pour le tort moral subi.
6.
6.1. Dans un premier grief, l'intimée se plaint d'une constatation incomplète des faits. Elle reproche à l'autorité cantonale de ne pas avoir retenu que, du fait de la rétrogradation de l'ancien chef de service, un poste supplémentaire avait été créé au sein du Service. L'autorité cantonale s'était en effet contentée de retenir l'existence d'une restructuration. Cet élément était pourtant essentiel puisque la répartition du travail dans un service dans lequel cohabitent uniquement un chef et un adjoint ne pouvait pas être la même que lorsqu'un adjoint et un tiers épaulaient le chef.
6.2. Contrairement à ce que la recourante prétend, la cour cantonale n'a pas implicitement écarté la structure du service sans motivation. Il ressort en effet de l'arrêt attaqué que cette dernière a estimé que le fait pour l'intimée d'avoir été écartée de tous les projets architecturaux ne pouvait pas simplement s'expliquer par une restructuration au sein du Service comme semblaient le retenir les premiers juges. Elle a au contraire retenu que, nonobstant son parcours professionnel et le fait qu'elle avait par le passé donné satisfaction, l'intimée ne s'était plus vu confier de tâches en lien avec ses qualifications. Le grief doit dès lors être rejeté.
7.
7.1. Dans un deuxième grief, la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir violé le droit fédéral en admettant l'existence d'un mobbing. L'autorité cantonale aurait "mis ensemble des éléments sans se demander si chacun d'eux avait une raison d'être dictée par les relations de travail, ou constituait un conflit dans les relations professionnelles, une incompatibilité de caractères, une mauvaise ambiance de travail ou l'insatisfaction d'un supérieur hiérarchique". L'autorité cantonale aurait ainsi omis de se poser la question de l'attitude globale du nouveau chef de service au seul motif que l'intimée s'en était plainte. Sa conclusion selon laquelle il existait une situation de mobbing était d'autant moins admissible qu'elle avait ignoré que C._ avait spontanément accédé à des demandes de l'intimée (bureau différent et chaise ergonomique).
7.2. En l'espèce, il n'apparaît pas que l'autorité cantonale aurait négligé d'analyser le comportement du nouveau chef de service dans sa globalité et la recourante ne démontre pas, par une argumentation circonstanciée, que tel serait le cas. En particulier, on ne voit pas en quoi le fait d'accorder un nouvel espace et une chaise ergonomique exclurait nécessairement une situation de mobbing et remettrait en cause les éléments sur lesquels se sont fondés les juges cantonaux pour admettre l'existence d'un mobbing.
8.
8.1. Dans une section intitulée "Faits ne pouvant en aucun cas être constitutifs de mobbing", la recourante passe en revue une partie des éléments retenus par l'autorité cantonale, niant que ces derniers puissent être constitutifs de mobbing. S'agissant du refus du congé parental, elle estime qu'il serait insoutenable de prétendre que l'application du Statut constituerait une atteinte à la personnalité. Pour ce qui est de l'annonce d'absence, elle se demande si les juges cantonaux supposent que l'employeur est déchu de faire des remarques à une employée en cas de non-respect des règles établies, au risque que cela soit considéré comme du mobbing. Quant à l'attribution de tâches subalternes et plus particulièrement de la présence au guichet, la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir occulté le témoignage de la secrétaire du Service ("Je n'ai pas le souvenir qu'il l'ait placée au guichet. En revanche, elle a dû venir plusieurs fois répondre au guichet. Ce n'était pas son travail de répondre au guichet. Elle a pu le faire parfois lorsque ma collègue et moi-même étions occupées à autre chose. Cela fait partie du bureau, même si cela ne faisait pas partie de son cahier des charges"). Elle estime ensuite qu'il serait arbitraire de considérer comme du mobbing le fait que le nouveau chef de service ait systématiquement repris les dossiers qui étaient gérés par son prédécesseur. Quant aux autres projets, elle fait valoir que si l'intimée en a perdu deux, elle en a gagné deux, à savoir la rénovation d'un chalet, dont on ne pouvait pas dire qu'il ne s'agissait pas d'un projet d'envergure, et la semaine de la mobilité. L'autorité cantonale aurait par ailleurs omis de tenir compte du fait que cette réattribution des tâches avait été convenue entre les parties dans les objectifs signés en 2015. En outre, la crise profonde qu'avait traversée le Service signifiait que l'ancienne gestion était inadéquate et qu'il était dès lors nécessaire que C._ réorganise la gestion des tâches. Selon la recourante, le raisonnement de l'autorité cantonale laisserait "quelque peu songeur" dans la mesure où cette dernière semblerait estimer qu'un employeur ne pourrait pas retirer des tâches à un employé tant que ce dernier manifesterait son intérêt à les exécuter.
8.2. Dans une argumentation largement appellatoire, la recourante discute, un à un, certains éléments retenus par l'autorité cantonale, sans toutefois formuler de grief précis. Il est dès lors douteux que la critique soit recevable. Par ailleurs, la recourante perd de vue que l'autorité cantonale n'a pas jugé que les éléments passés en revue étaient en eux-mêmes constitutifs de mobbing. La jurisprudence admet d'ailleurs que chaque acte pris individuellement peut être considéré comme supportable (cf. consid. 4.1 supra). Quoi qu'il en soit, il n'est pas contesté que l'attitude du chef de service s'agissant du congé parental et de l'annonce d'absence était conforme à la réglementation topique. La recourante méconnaît que c'est bien plutôt la proportionnalité dans l'application des dispositions du Statut au vu de l'ensemble des circonstances qui est déterminante en l'espèce. S'agissant des tâches subalternes, la recourante fait référence à des éléments qui ne ressortent pas de l'arrêt attaqué, sans toutefois se plaindre d'une constatation arbitraire des faits à cet égard. On relèvera cependant qu'il ressort de l'arrêt attaqué que le témoin cité par elle ne travaillait qu'à temps partiel et que l'intimée a indiqué lors de son évaluation pour l'année 2015 souhaiter être libérée de la "permanence" du guichet et des téléphones. En tout état de cause, ce témoin, mais d'autres également, avait confirmé que le nouveau chef de service avait relégué l'intimée à des tâches subalternes. S'agissant des dossiers confiés à celle-ci, la recourante ne conteste pas que les grands projets lui ont été retirés. Concernant plus particulièrement la rénovation du chalet, elle se contente d'opposer son appréciation à celle de l'autorité cantonale s'agissant de l'envergure du projet. Enfin, la recourante ne saurait comparer la semaine de la mobilité à un grand projet d'architecture. Par ailleurs, contrairement à ce qu'elle prétend, il ne résulte pas de l'arrêt attaqué que la réattribution des tâches aurait été "convenue" d'entente entre les parties. On ne voit en tout état pas comment l'intimée aurait pu s'y opposer vu le contexte. On ne saurait davantage considérer que la décision attaquée impliquerait qu'un employeur n'aurait pas le droit de réattribuer des tâches lorsque cela est nécessaire. Il s'ensuit que le grief est mal fondé.
9.
9.1. La recourante reproche encore à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement considéré comme prouvés des faits qui ne l'étaient pas. Elle fait valoir que le seul témoin qui avait mentionné que le nouveau chef de service s'était comporté de façon inconvenante indiquait que cela lui avait été rapporté par d'autres collègues. Elle estime invraisemblable que le seul témoin travaillant dans un service si petit n'ait pas constaté les faits. Elle reproche également à l'autorité cantonale d'avoir arbitrairement jugé que ces faits devaient être tenus pour vrais parce que l'intimée s'en était plainte auprès de la Conseillère municipale.
9.2. En l'espèce, il ressort de l'arrêt attaqué que le témoin en question ne travaillait qu'à temps partiel, de sorte qu'il n'apparaît pas décisif que cette personne n'ait pas elle-même constaté certains faits. Quoi qu'il en soit, l'appréciation de la cour cantonale échappe à l'arbitraire. En matière de harcèlement psychologique, il est en effet fréquent que les témoins directs fassent défaut. Il se justifie alors de tenir compte d'autres indices, notamment des déclarations de personnes auxquelles la victime se serait confiée (arrêt 4P.214/2006 du 19 décembre 2006 consid. 2.2), ce qui est précisément le cas ici. Par ailleurs, l'autorité cantonale a précisé qu'il fallait tenir compte du fait que l'intimée s'était plainte pendant les rapports de travail déjà et qu'elle avait relayé les faits avec une certaine précision, ce que la recourante ne conteste pas. Le grief doit dès lors être rejeté.
10.
10.1. Enfin, la recourante reproche à l'autorité cantonale d'avoir tenu pour probantes les déclarations de l'intimée qui n'avait jamais consulté pour les maux dont elle se plaignait - sauf plusieurs jours après la première indication sérieuse d'une divergence d'opinion avec le nouveau chef de service - sur la base du témoignage d'un praticien qui n'avait même pas vu sa patiente pour l'entier de la période pour laquelle il lui avait prescrit des arrêts de travail. Elle fait en outre valoir que l'appréciation du praticien n'était fondée que sur les propres déclarations de la patiente. Les juges auraient dû privilégier une appréciation globale des circonstances de l'espèce plutôt que de se "confiner à l'appréciation établie par un médecin traitant sur la base de l'anamnèse livrée par sa patiente".
10.2. On ne saurait nier que l'intimée a subi des actes de mobbing au seul motif qu'elle n'a pas immédiatement consulté. Par ailleurs, il n'y a rien de surprenant à ce que le praticien ait prolongé l'arrêt de travail lors de son dernier rendez-vous avec l'intimée. Comme indiqué ci-dessus (cf. consid. 9.2 supra), les témoignages indirects ne sont en outre pas nécessairement exclus pour établir des actes de harcèlement (voir également arrêt 1C_418/2008 du 27 mai 2009 consid. 2.2.4). Quoi qu'il en soit, la recourante perd de vue que les constatations de ce praticien ont été confirmées dans le rapport d'expertise du 9 mars 2017, dont elle ne fait pas valoir qu'il existerait des raisons sérieuses de se distancier.
11.
En définitive, la recourante n'est pas parvenue à démontrer l'arbitraire de l'appréciation de l'autorité cantonale selon laquelle les faits retenus permettaient de conclure à une situation de mobbing au sens où l'entend la jurisprudence. Elle ne remet par ailleurs en question ni le principe ni la quotité de l'indemnité pour tort moral allouée à l'intimée de sorte que ce point ne sera pas abordé ici.
12.
12.1. En vertu de l'art. 11 du Statut, le contrat de travail de durée indéterminée peut être résilié en tout temps par chacune des parties moyennant le respect des délais prévus par l'art. 335c al. 1 CO. Cette liberté est toutefois limitée par les dispositions sur le congé abusif (art. 336 ss CO applicables à titre de droit communal supplétif; <ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.1). L'art. 336 al. 1 et 2 CO énumère des cas dans lesquels la résiliation est abusive. Cette liste n'est pas exhaustive; elle concrétise avant tout l'interdiction générale de l'abus de droit. Un congé peut donc se révéler abusif dans d'autres situations que celles énoncées par la loi; elles doivent toutefois apparaître comparables, par leur gravité, aux hypothèses expressément envisagées (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 4.2).
Ainsi, le caractère abusif du congé peut résider dans le motif répréhensible qui le sous-tend, dans la manière dont il est donné, dans la disproportion évidente des intérêts en présence, ou encore dans l'utilisation d'une institution juridique de façon contraire à son but (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 2.2 et 2.4). Un licenciement pourra être abusif si l'employeur exploite de la sorte sa propre violation du devoir imposé par l'art. 328 CO de protéger la personnalité du travailleur (<ref-ruling> consid. 2a); par exemple, lorsqu'une situation conflictuelle sur le lieu de travail nuit notablement au travail en commun dans l'entreprise, le congé donné à l'un des employés en cause est abusif si l'employeur ne s'est pas conformé à l'art. 328 CO en prenant préalablement toutes les mesures que l'on pouvait attendre de lui pour désamorcer le conflit, telles que des modifications de son organisation ou des instructions adressées aux autres travailleurs (ATF <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 2c; cf. également <ref-ruling> consid. 2.5 et 2.6). Un licenciement peut également être tenu pour abusif lorsqu'il répond à un motif de simple convenance personnelle de l'employeur (ATF <ref-ruling>; <ref-ruling>; <ref-ruling> consid. 2).
Pour pouvoir examiner si la résiliation ordinaire est abusive ou non (art. 336 CO), il faut déterminer le motif du congé, lequel relève du fait (<ref-ruling> consid. 2.3; <ref-ruling> consid. 4.3; <ref-ruling> consid. 4.1). Les constatations de l'arrêt attaqué à ce sujet ne peuvent être attaquées que dans la mesure restreinte permise par l'art. 97 al. 1 LTF, à savoir pour arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves. En revanche, savoir si le motif ainsi établi donne lieu à un congé abusif ou non relève de l'application du droit, que le Tribunal fédéral revoit en principe librement. L'art. 336 CO étant toutefois ici applicable à titre de droit communal supplétif, cet examen est limité à l'arbitraire (cf. consid. 3 supra).
Il incombe en principe au destinataire de la résiliation de démontrer que celle-ci est abusive. Le juge peut toutefois présumer en fait l'existence d'un congé abusif lorsque l'employé parvient à présenter des indices suffisants pour faire apparaître comme non réel le motif avancé par l'employeur. Ce dernier ne peut alors rester inactif, n'ayant d'autre issue que de fournir des preuves à l'appui de ses propres allégations quant au motif de congé (ATF <ref-ruling> consid. 4.1; <ref-ruling> consid. 4b).
12.2. L'autorité cantonale a relevé que, dans sa lettre de licenciement du 16 mars 2017, la recourante indiquait que les prestations fournies par l'intimée ne correspondaient plus aux attentes de la Municipalité. Or il résultait de l'ensemble du dossier que le travail de l'intimée avait donné pleine satisfaction jusqu'à l'arrivée du nouveau chef de service. Si le témoignage de ce dernier avait essentiellement porté sur les erreurs commises selon lui par l'intimée, notamment le non-respect d'un budget, la mauvaise tenue d'un dossier et une indisponibilité un samedi, aucun de ces éléments n'était étayé par pièce. Il n'y avait pas d'évaluation des prestations de l'intimée pour l'année 2016 et cette dernière avait pu s'exprimer sur chacun des griefs qui lui avaient été reprochés, si bien que l'on y décelait plus une divergence de points de vue que de véritables manquements. Tous les griefs formulés émanaient par ailleurs d'une seule personne, à savoir l'auteur du mobbing. Compte tenu de l'ensemble des circonstances, en particulier du fait que l'intimée donnait pleine satisfaction avant l'arrivée du nouveau chef de service et que le licenciement faisait suite à l'annonce d'une situation de mobbing, il fallait retenir que le véritable motif du licenciement n'était pas le fait que les prestations fournies par l'intimée n'étaient pas satisfaisantes, mais bien que la recourante préférait s'épargner un conflit de personnes, ce qui était constitutif d'un licenciement abusif. Aussi la juridiction cantonale a-t-elle arrêté l'indemnité pour licenciement abusif à 15'000 fr., ce qui correspondait environ à deux mois de salaire.
12.3. La recourante fait valoir que même si l'existence d'un mobbing devait être retenue, le congé ne pourrait pas être tenu pour abusif. Elle estime en effet que la preuve du lien entre l'incapacité de travail et le mobbing n'aurait pas été apportée. Ce dernier n'avait été établi que par le médecin de l'intimée sur la base des propres dires de cette dernière. Par ailleurs, des mesures de protection n'avaient pas pu être proposées, l'intimée opposant de toute façon un refus de principe. En outre, alors que le licenciement aurait pu être prononcé dès la fin janvier 2017, elle avait différé sa décision. Ainsi, selon la recourante, "on [serait] très loin de l'employeur soucieux d'exploiter au plus vite sa propre violation de ses obligations professionnelles". Enfin, les accusations de mobbing étaient postérieures à l'insatisfaction exprimée par le nouveau chef de service, de sorte que "si l'un devait avoir été fabriqué à partir de l'autre", c'était bien le mobbing à partir de l'insatisfaction exprimée et non l'inverse.
12.4. S'agissant de la question du lien entre l'incapacité de travail et le mobbing, il sera renvoyé aux développements ci-dessus (cf. consid. 10 supra), à supposer que cette question soit réellement déterminante dans le contexte précis. Par ailleurs, il ne résulte pas de l'arrêt attaqué que l'intimée aurait opposé un refus de principe à toute reprise du travail et la recourante ne se plaint pas d'une constatation manifestement inexacte des faits à cet égard. Cette dernière se contente par ailleurs elle-même d'indiquer que l'intimée ne semblait pas disposée à tenter une reprise à temps partiel. On ne voit en outre pas en quoi le fait de différer le licenciement à une date ultérieure serait de nature à exclure le caractère abusif de ce dernier et la recourante ne l'explique pas. Pour le surplus, l'argumentation est purement appellatoire puisque la recourante ne critique en aucune façon le raisonnement de l'autorité cantonale mais se limite à renvoyer à l'opinion des premiers juges, ce qui n'est pas admissible.
12.5. En conclusion, il apparaît que l'autorité cantonale n'a pas fait preuve d'arbitraire en retenant que le licenciement était abusif. Dans la mesure où la recourante ne remet pas en cause ni le principe de l'allocation d'une indemnité à l'intimée, ni le montant de celle-ci, cette problématique ne sera pas examinée ici.
13.
La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF; <ref-ruling>). Elle versera en outre à l'intimée une indemnité à titre de dépens (art. 68 al. 1 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimée la somme de 2800 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lucerne, le 8 juillet 2021
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella