Sachverhalt:
A.
Die 1988 geborene A._ schloss im August 2008 die Ausbildung zur Fachangestellten Gesundheit ab. Anschliessend war sie vom 5. Januar bis 31. Dezember 2009 in der Klinik B._ in befristeter Anstellung tätig und bei der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich berufsvorsorgeversichert. Nach einem Sprachaufenthalt von Januar bis März 2010 war sie während kurzer Zeit (26. April bis 2. Juli 2010 und 1. bis 24. August 2010) arbeitslos (zuständiger BVG-Versicherer: Stiftung Auffangeinrichtung BVG) bis sie erneut eine befristete Stelle (1. September 2010 bis 31. August 2011) in der Klinik B._ antrat. Am 4. Februar 2011 meldete sich A._ wegen Rückenbeschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an, nachdem sie ab dem 15. Dezember 2010 arbeitsunfähig geworden war. Mit Unterstützung der IV absolvierte sie alsdann von April 2011 bis Januar 2012 eine berufsbegleitende Umschulung zur Praxisgehilfin. Einen Anspruch auf weitere Leistungen verneinte die IV-Stelle des Kantons Zürich hingegen (Verfügung vom 14. Februar 2012).
Am 12. Oktober 2011 nahm A._ eine Tätigkeit im Zentrum C._ auf, die auf Kündigung der Versicherten bei danach eingetretener Arbeitsunfähigkeit ab dem 30. April 2012 per 31. Juli 2012 endete (zuständiger BVG-Versicherer: BVG-Sammelstiftung Swiss Life). Vom 1. Oktober 2012 bis 31. März 2013 war sie bei der Spitex in X._ angestellt (zuständiger BVG-Versicherer: BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich), wobei sie ab dem 19. Dezember 2012 erneut arbeitsunfähig war.
Bei bestehender Arbeitslosigkeit (1. April bis 17. Juli 2013) meldete sich die Versicherte, nachdem sie sich vom 29. Januar bis 2. März 2013 wegen Rückenschmerzen in der Klinik D._ stationär hatte behandeln lassen, am 5. April 2013 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Vom 18. Juni 2013 bis 25. Oktober 2013 befand sich die Versicherte mit kurzen Unterbrüchen in stationärer psychiatrischer Behandlung in der Klinik E._ AG. Anschliessend trat sie am 1. Januar 2014 eine Anstellung beim Labor F._ SA an, wobei nach dreiwöchigem Einsatz Arbeitsunfähigkeit bestand. Das Arbeitsverhältnis wurde per 31. März 2014 gekündigt (zuständiger BVG-Versicherer: FCT Trianon Sammelstiftung). In der Folge sprach die IV-Stelle A._ gestützt auf das polydisziplinäre Gutachten der Swiss Medical Assessment- and Business-Center AG (SMAB) vom 29. September 2017 eine ganze Rente vom 1. Februar 2015 bis 31. August 2017 und eine Dreiviertelsrente ab dem 1. September 2017 zu (Verfügungen vom 30. April 2018 und 15. Mai 2018).
B.
A._ erhob am 11. Juli 2019 Klage gegen die BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, die BVG-Sammelstiftung Swiss Life, die Stiftung Auffangeinrichtung BVG und die FCT Trianon Sammelstiftung. Nach durchgeführtem doppeltem Schriftenwechsel hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage teilweise gut und verpflichtete die Stiftung Auffangeinrichtung BVG, der Klägerin mit Wirkung ab 1. Februar 2015 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 100 % und ab 1. September 2017 basierend auf einem Invaliditätsgrad von 63 % die obligatorischen und reglementarischen Invalidenleistungen nebst Verzugszins zu 2 % seit 11. Juli 2019 für die bis dahin fällig gewordenen Rentenbetreffnisse sowie für die weiteren ab jeweiligem Fälligkeitsdatum auszurichten. Im Übrigen wies es die Klage ab. Ferner habe die Stiftung Auffangeinrichtung BVG der Klägerin eine Prozessentschädigung von Fr. 6400.- (inkl. Barauslagen und MWSt) zu bezahlen (Urteil vom 21. September 2020).
C.
C.a. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen und beantragen, das vorinstanzliche Urteil sei insoweit aufzuheben, als die Klage gegen die BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, eventuell die BVG-Sammelstiftung Swiss Life sowie subeventuell die FCT Trianon Sammelstiftung abgewiesen worden sei. Es seien ihr die gesetzlich geschuldeten Leistungen bundesrechtskonform zulasten der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, eventuell der BVG-Sammelstiftung Swiss Life, subeventuell der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, sub-subeventuell der FCT Trianon Sammelstiftung gemäss Klage vom 1. Juli 2019 zuzusprechen. Zudem sei die Vorinstanz zu verpflichten, eine höhere und willkürfrei begründete Prozessentschädigung zuzusprechen (Verfahren 9C_723/2020).
C.b. Auch die Stiftung Auffangeinrichtung BVG gelangt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht. Sie beantragt, das vorinstanzliche Urteil sei aufzuheben und die Klage gegen die Stiftung Auffangeinrichtung BVG sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich zurückzuweisen, damit dieses nach Vornahme weiterer Abklärungen neu über die Zuständigkeit entscheide. Subeventualiter sei die Klage gegen die BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, BVG-Sammelstiftung Swiss Life oder FCT Trianon Sammelstiftung gutzuheissen (Verfahren 9C_726/2020).
C.c. Mit Verfügung vom 22. März 2021 wurden die Verfahren 9C_723/2020 und 9C_726/2020 vereinigt und Frist zur Beantwortung der Beschwerden angesetzt.
C.d. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG hält in der Folge an ihren Anträgen fest und verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Die BVG-Sammelstiftung Swiss Life schliesst auf Abweisung der Beschwerden, soweit darauf einzutreten sei.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich beantragt, die Beschwerde von A._ hinsichtlich der Prozessentschädigung abzuweisen.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>), und kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG; <ref-ruling> E. 6.2). Der Anspruch setzt einen engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (Art. 28 und 29 IVG i.V.m. Art. 26 Abs. 1 BVG; <ref-ruling> E. 3.2).
Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (<ref-ruling> E. 6.2). Ist die bei noch bestehender Versicherungsdeckung eingetretene Arbeitsunfähigkeit somatisch, die Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung begründende Invalidität jedoch psychisch bedingt, muss sich die psychische Störung während des Vorsorgeverhältnisses manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt haben (Urteile 9C_370/2016 vom 12. September 2016 E. 3 und 9C_115/2015 vom 12. November 2015 E. 2.2, in: SVR 2016 BVG Nr. 37 S. 150). Es ist aber in der Regel nicht vorausgesetzt, dass während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bzw. vor dem Ende der Nachdeckungsfrist (für die Risiken Tod und Invalidität) die Arbeitsfähigkeit psychisch bedingt (mindestens 20 % wie bei körperlichen Beeinträchtigungen) eingeschränkt war. Verlangt sind grundsätzlich echtzeitliche Belege, aus denen sich allenfalls im Verbund mit späteren fachärztlichen Berichten gewichtige Anhaltspunkte ergeben, wonach bei noch bestehender Versicherungsdeckung psychische Beeinträchtigungen mit Auswirkungen auf das Krankheitsgeschehen bestanden (Urteil 9C_583/2016 vom 19. Januar 2017 E. 5.1 mit Hinweisen).
Die Annahme eines engen zeitlichen Zusammenhangs setzt voraus, dass die versicherte Person nach Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, nicht während längerer Zeit wieder arbeitsfähig war. Eine nachhaltige, den zeitlichen Zusammenhang unterbrechende Erholung liegt grundsätzlich nicht vor, solange eine Arbeitsfähigkeit (von über 80 %) weniger als drei Monate gedauert hat (vgl. <ref-ruling>).
2.2. Entscheidungserhebliche Feststellungen der Vorinstanz zur Art des Gesundheitsschadens und zur Arbeitsfähigkeit, die Ergebnis einer Beweiswürdigung bilden, binden das Bundesgericht, soweit sie nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen. Dies gilt auch für den Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat (Art. 23 lit. a BVG; Urteil 9C_856/2017 vom 7. September 2018 E. 1.3.2 mit Hinweis). Frei zu prüfende Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer rechtserheblichen Arbeitsunfähigkeit erfolgt und ob diese Entscheidung auf einer genügenden Beweislage beruht (Urteile 9C_601/2020 vom 18. Dezember 2020 E. 2.2 und 9C_115/2015 vom 12. November 2015 E. 5.1 mit Hinweisen, in: SVR 2016 BVG Nr. 37 S. 150).
3.
3.1. Die Vorinstanz hielt zunächst fest, dass hinsichtlich des Eintritts der invalidisierenden Arbeitsunfähigkeit keine Bindung an den Entscheid der Invalidenversicherung bestehe. Alsdann zog das kantonale Gericht in Erwägung, von somatischer Seite liege gemäss SMAB-Gutachten keine dauerhafte Einschränkung für rückenadaptierte Tätigkeiten vor. Hinsichtlich der psychischen Symptomatik, die erstmals in der IV-Anmeldung vom 27. August 2013 thematisiert worden sei, sei aktenkundig, dass es nach einer Dekompensation zum erstmaligen stationären Aufenthalt in der Klinik E._ AG vom 18. Juni bis 8. August 2013 gekommen sei und im Anschluss weitere psychiatrische Hospitalisationen gefolgt seien. Arbeitsunfähigkeit mit Bezug auf das psychische Leiden bestehe somit erstmals aufgrund des ersten psychiatrischen Spitalaufenthalts. Ein sachlicher Konnex zwischen der vor dem 18. Juni 2013 attestierten Arbeitsunfähigkeit und dem invalidisierenden Gesundheitsschaden sei nicht ausgewiesen.
3.2. Die Versicherte rügt zunächst eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör. Nach ihren Äusserungen zur Kognition des Bundesgerichts hält sie zum Eintritt der Arbeitsunfähigkeit fest, die von der Vorinstanz nicht berücksichtigten Wechselwirkungen zwischen Depression, PTBS und Rückenproblemen sowie Opiatmedikation seien aufgrund der Abklärungen des Spitals G._, des Gutachtens und der Berichte der Klinik E._ AG aktenkundig. Ein selektives und rein formales Abstellen auf eine angeblich erstmals am 18. Juni 2013 aufgetretene Arbeitsunfähigkeit aus psychiatrischer Sicht sei bundesrechtswidrig. Zudem beanstandet die Versicherte, dass die Vorinstanz die Rentenhöhe im Betrag nicht festlegte und die Honorarnote kürzte.
3.3. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG bringt vor, das kantonale Gericht habe den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt. Aufgrund der von der Klinik E._ AG gestellten psychiatrischen Diagnosen ergebe sich klar, dass sich die psychischen Beeinträchtigungen bereits vor dem 18. Juni 2013 manifestierten und das Krankheitsgeschehen mitgeprägt haben. Auch sei bereits Anfang des Jahres 2013 durch die Klinik D._ eine depressive Episode diagnostiziert worden. Bei einer solchen Konstellation sei für die Bejahung des sachlichen Zusammenhangs nicht vorausgesetzt, dass während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses die Arbeitsfähigkeit psychisch bedingt (mindestens 20 %) eingeschränkt gewesen sei. Die Vorinstanz habe es unterlassen, den Sachverhalt darauf hin zu untersuchen. Zudem habe diese den Untersuchungsgrundsatz verletzt, indem sie Unterlagen über die psychiatrischen Behandlungen ab dem Jahr 2010 nicht eingeholt habe.
3.4. Die BVG-Sammelstiftung Swiss-Life erachtet den kantonalen Entscheid für hinreichend begründet und bestreitet, dass dieser das rechtliche Gehör verletzt. Weiter ist sie der Auffassung, die Vorinstanz sei - unter Würdigung zahlreicher medizinischer Akten, so insbesondere auch des Berichts der Klinik E._ AG vom 11. Oktober 2013 - zutreffend zum Schluss gekommen, dass die vor dem 18. Juni 2013 attestierte Arbeitsunfähigkeit keinen sachlichen Konnex zum invalidisierenden psychischen Gesundheitsschaden aufweise. Zwischen der psychiatrischen Problematik und dem Rückenleiden bestehe keine Wechselwirkung.
4.
Nach den Feststellungen der Vorinstanz ist die dauerhafte Einschränkung der Arbeitsfähigkeit auf die psychischen Leiden zurückzuführen, die ab der ersten psychiatrischen Hospitalisationen, d.h. ab dem 18. Juni 2013 ausgewiesen sein sollen. Gemäss dem Bericht der Klinik E._ AG vom 5. November 2013 erfolgte die Zuweisung zur ersten stationären psychiatrischen Behandlung wegen anhaltenden Rückenschmerzen mit steigendem Konsum von Schmerzmitteln sowie einer Zunahme der depressiven Symptomatik. Solche Beschwerden bestehen ausweislich der Akten bereits vor dem 18. Juni 2013. So wies die Klinik E._ AG im Bericht vom 5. November 2013 darauf hin, dass sich die Versicherte wegen des depressiven Zustandsbildes seit dem Jahr 2010 intermittierend in psychiatrischer Behandlung befinde (letzte Konsultationen bei Dr. med. H._, Psychiatriezentrum Y._, am 24. Mai 2013 und 18. Juni 2013; Behandlung durch Dr. med. I._, Psychiatriezentrum X._, im Jahr 2012).
Die Versicherte war zudem vom 29. Januar 2013 bis 2. März 2013 wegen Rückenbeschwerden in stationärer Behandlung in der Klinik D._, wobei auch eine depressive Episode diagnostiziert wurde. Nachdem sich gemäss dem SMAB-Gutachten kein somatisches Korrelat für diese Schmerz-/Rückenproblematik erheben lässt - das deckt sich mit dem (echtzeitlichen) Bericht der Klinik D._ vom 26. November 2013, worin unter anderem ein chronisches lumbospondylogenes Syndrom (bei normalen Bandscheiben, keine Kompression neurogener Strukturen, leichtgradige Degeneration der Facettengelenke L5/S1 bds.) berichtet wurde - ist nicht ausgeschlossen, dass zwischen den Rückenschmerzen und den psychischen Erkrankungen eine gewisse Wechselwirkung besteht.
Die vorliegenden medizinischen Unterlagen enthalten somit Anhaltspunkte für eine relevante, das Krankheitsgeschehen prägende psychische Erkrankung vor dem 18. Juni 2013. Abschliessend kann dies jedoch nicht beurteilt werden, da Berichte über den psychiatrischen Gesundheitszustand der Versicherten ab dem Jahr 2010 bis zur ersten Hospitalisation am 18. Juni 2013 fehlen. Entsprechend ist es nicht möglich, den Eintritt der Arbeitsunfähigkeit mit dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu bestimmen. Das auf dieser unvollständigen Entscheidgrundlage gefällte vorinstanzliche Urteil verletzt den Untersuchungsgrundsatz. Die Angelegenheit ist deshalb an das kantonale Gericht zur weiteren Abklärung des Sachverhalts und anschliessend neuem Entscheid zurückzuweisen.
5.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens kann offen bleiben, ob dem kantonalen Gericht eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör vorzuwerfen ist (vgl. Urteil 9C_564/2018 vom 23. Januar 2019 E. 4). Auch Ausführungen zum Rentenanspruch in masslicher Hinsicht erübrigen sich. Die Vorinstanz wird zudem über die Parteientschädigung betreffend das kantonale Verfahren neu zu befinden haben, weshalb auch hierzu keine Weiterungen notwendig sind (Art. 67 e contrario und <ref-law>; THOMAS GEISER, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz [BGG], 3. Aufl. 2018, N. 25 zu <ref-law>).
6.
Die Rückweisung der Sache an das vorinstanzliche Gericht zu weiterer Abklärung (mit noch offenem Ausgang) gilt für die Frage der Auferlegung der Gerichtskosten wie auch der Parteientschädigung als vollständiges Obsiegen im Sinne von Art. 66 Abs. 1 sowie Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG, unabhängig davon, ob sie beantragt oder ob das entsprechende Begehren im Haupt- oder im Eventualantrag gestellt wird (<ref-ruling> E. 7.1 S. 271 mit Hinweisen). Demgemäss sind die Gerichtskosten der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, der BVG-Sammelstiftung Swiss Life und der FCT Trianon Sammelstiftung aufzuerlegen. Sie haben der Versicherten folglich auch eine Parteientschädigung zu entrichten. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG hat hingegen als mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betraute Organisation keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerden werden teilweise gutgeheissen und das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich, III. Kammer, vom 21. September 2020 aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen werden die Beschwerden abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1000.- werden der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, der BVG-Sammelstiftung Swiss Life und der FCT Trianon Sammelstiftung je zu einem Drittel auferlegt.
3.
A._ wird für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2800.- zugesprochen, welche die BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, BVG-Sammelstiftung Swiss Life und FCT Trianon Sammelstiftung zu je einem Drittel zu tragen haben.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der BVK Personalvorsorge des Kantons Zürich, Rechtsdienst, der BVG-Sammelstiftung Swiss Life, der FCT Trianon Sammelstiftung, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, III. Kammer, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 15. Juni 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Möckli