Sachverhalt:
A.
A._ (Versicherungsnehmer, Beschwerdeführer) ist Inhaber eines Architekturbüros. Sein Einzelunternehmen ist bei der B._ AG (Versicherung, Beschwerdegegnerin) im Rahmen der Personenversicherung X._ versichert. Diese beinhaltet Taggeldleistungen bei Unfall und Krankheit.
Am 19. April 2015 erlitt der Versicherungsnehmer einen Hirninfarkt. Die Versicherung bezahlte vom 3. Mai 2015 bis 11. September 2016 und vom 13. bis 31. Oktober 2016 Taggelder auf der Grundlage einer Arbeitsunfähigkeit von 100 %. Dann stellte die Versicherung die Leistungen ein.
B.
Der Versicherungsnehmer klagte am 30. Mai 2017 beim Versicherungsgericht des Kantons Aargau und beantragte, die Versicherung sei zu verpflichten, ihm Fr. 53'733.10 zu bezahlen, nebst Zins zu 5 % seit 20. April 2017 auf Fr. 37'258.90, seit 13. Oktober 2016 auf Fr. 6'794.30 und seit 1. Juni 2017 auf Fr. 9'205.15.
Mit Beschluss vom 21. März 2019 gab das Versicherungsgericht ein Gutachten in Auftrag und bestimmte den Fragenkatalog. Auf die dagegen gerichtete Beschwerde des Versicherungsnehmers trat das Bundesgericht nicht ein (Urteil 4A_212/2019 vom 24. Mai 2019). Das Gutachten wurde am 31. Dezember 2019 erstattet. Am 7. Mai 2020 stellte das Versicherungsgericht den sachverständigen Personen Rückfragen, welche diese am 2. Juli 2020 beantworteten.
Mit Urteil vom 27. Oktober 2020 hiess das Versicherungsgericht die Klage teilweise gut und verpflichtete die Versicherung, dem Versicherungsnehmer Fr. 37'039.73 nebst Zins zu 5 % seit 31. Mai 2017 zu bezahlen.
C.
Der Versicherungsnehmer beantragt mit Beschwerde in Zivilsachen, das Urteil des Versicherungsgerichts sei aufzuheben, und er wiederholt im Wesentlichen die bereits vor Versicherungsgericht gestellten Begehren. Die Versicherung trägt auf Abweisung der Beschwerde an, während das Versicherungsgericht mit Hinweis auf die Begründung im angefochtenen Urteil auf eine Vernehmlassung verzichtet. Der Versicherungsnehmer hat unaufgefordert repliziert.

Erwägungen:
1.
1.1. Zu beurteilen ist die Leistungspflicht aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung. Derartige Zusatzversicherungen unterstehen gemäss den einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen (aArt. 12 Abs. 2 und 3 KVG [AS 1995 1331]; seit 1. Januar 2016: Art. 2 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 26. September 2014 betreffend die Aufsicht über die soziale Krankenversicherung; Krankenversicherungsaufsichtsgesetz [KVAG; SR 832.12]) dem Versicherungsvertragsgesetz (VVG; SR 221.229.1). Streitigkeiten aus solchen Versicherungen sind privatrechtlicher Natur, weshalb als Rechtsmittel an das Bundesgericht die Beschwerde in Zivilsachen gemäss <ref-law> in Betracht kommt (<ref-ruling> E. 1.1; <ref-ruling> E. 2.1 mit Hinweis).
1.2. Die Beschwerde richtet sich gegen einen verfahrensabschliessenden Endentscheid (<ref-law>). Das Versicherungsgericht des Kantons Aargau entschied als einzige kantonale Instanz im Sinne von <ref-law> und <ref-law> (vgl. § 14 des Einführungsgesetzes des Kantons Aargau vom 23. März 2010 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [SAR 221.200]). Die Beschwerde ist in diesem Fall streitwertunabhängig zulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2, 799 E. 1.1). Der Beschwerdeführer unterlag mit seinen Anträgen teilweise (<ref-law>). Die Beschwerdefrist ist eingehalten (<ref-law>). Auf die Beschwerde ist - unter Vorbehalt einer genügenden Begründung (vgl. E. 2 hiernach) - einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.5; <ref-ruling> E. 1.4). Allerdings prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls wird darauf nicht eingetreten. Unerlässlich ist im Hinblick auf <ref-law>, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (vgl. <ref-ruling> E. 2, 115 E. 2).
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den Lebenssachverhalt, der dem Streitgegenstand zugrunde liegt, als auch jene über den Ablauf des vorinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt. Zum Prozesssachverhalt gehören namentlich die Anträge der Parteien, ihre Tatsachenbehauptungen, rechtlichen Erörterungen, Prozesserklärungen und Beweisvorbringen (<ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Offensichtlich unrichtig bedeutet dabei willkürlich (<ref-ruling> E. 2, 264 E. 2.3). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (<ref-law>).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern die gerügten Feststellungen offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (vgl. <ref-ruling> E. 1.3.1 mit Hinweisen). Soweit die beschwerdeführende Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (<ref-ruling> E. 2). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (<ref-ruling> E. 1.3.1).
3.
3.1. Zwischen den Parteien ist umstritten, in welchem Umfang dem Beschwerdeführer Taggelder zustehen.
Die Vorinstanz stellte fest, der Beschwerdeführer sei seit seinem Hirninfarkt vom 19. April 2015 in seiner angestammten Tätigkeit vollständig arbeitsunfähig. Die Leistungsdauer von 730 Tagen ende am 18. April 2017. Daher stünden ihm vom 31. Oktober 2016 bis 18. April 2017 169 Taggelder à Fr. 219.17 zu. Dies ergebe einen Betrag von Fr. 37'039.73.
Hingegen verneinte die Vorinstanz einen Taggeldanspruch vom 12. September bis 12. Oktober 2016, weil sich der Beschwerdeführer während dieser Zeit ohne vorgängige Zustimmung der Beschwerdegegnerin in Florida aufgehalten habe (vgl. dazu E. 4 hiernach).
Ebenso verweigerte die Vorinstanz dem Beschwerdeführer einen Anspruch aus Taggeldern für den Betriebsinhaber nach Ablauf der Leistungsdauer von 730 Tagen (vgl. dazu E. 5 hiernach).
3.2. Der Beschwerdeführer schloss als Betriebsinhaber seines Architekturbüros bei der Beschwerdegegnerin eine Krankentaggeldversicherung ab. Massgebend für die Beurteilung von Ansprüchen aus diesem Vertrag sind auch die Allgemeinen Versicherungsbedingungen der Beschwerdegegnerin in der Ausgabe vom Juli 2010 (AVB).
Die Klauseln allgemeiner Geschäftsbedingungen sind, wenn sie in Verträge übernommen werden, grundsätzlich nach denselben Prinzipien auszulegen wie andere vertragliche Bestimmungen (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2; je mit Hinweisen). Entscheidend ist demnach in erster Linie der übereinstimmende wirkliche Wille der Vertragsparteien und in zweiter Linie, falls ein solcher nicht festgestellt werden kann, die Auslegung der Erklärungen der Parteien nach dem Vertrauensprinzip (<ref-ruling> E. 3.3; <ref-ruling> E. 2.3; je mit Hinweisen). Dabei ist vom Wortlaut der Erklärungen auszugehen, welche jedoch nicht isoliert, sondern aus ihrem konkreten Sinngefüge heraus zu beurteilen sind (BGE <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 3a). Demnach ist der vom Erklärenden verfolgte Regelungszweck massgebend, wie ihn der Erklärungsempfänger in guten Treuen verstehen durfte und musste (BGE <ref-ruling> E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.2.1; <ref-ruling> E. 4). Das Bundesgericht überprüft diese objektivierte Auslegung von Willenserklärungen als Rechtsfrage, wobei es an Feststellungen des kantonalen Gerichts über die äusseren Umstände sowie das Wissen und Wollen der Beteiligten grundsätzlich gebunden ist (<ref-law>; vgl. E. 2.2 hiervor; <ref-ruling> E. 5.2.3 mit Hinweis).
4.
4.1. Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, er habe Anspruch auf Taggelder vom 12. September bis 12. Oktober 2016, auch wenn er sich in dieser Zeit ohne vorgängige Zustimmung der Beschwerdegegnerin in Florida aufgehalten habe. Entsprechend sei ihm zusätzlich ein Betrag von Fr. 6'794.30 zuzusprechen.
4.2. Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe sich vom 12. September bis 12. Oktober 2016 in Florida aufgehalten, ohne vorgängig die Zustimmung der Beschwerdegegnerin einzuholen. Deswegen habe er für diese Zeit keinen Leistungsanspruch.
4.3. Was der Beschwerdeführer dagegen vorträgt, verfängt nicht.
Begibt sich ein erkrankter Versicherter in das Ausland, besteht gemäss Art. E3 Abs. 5 AVB während der Zeit des Auslandaufenthalts kein Anspruch auf Leistungen. Vorbehalten bleibt eine ausdrückliche, vorgängige Zustimmung der Beschwerdegegnerin.
Das Bundesgericht hatte unlängst eine ähnliche Klausel zu beurteilen. Jener Fall unterscheidet sich insofern, als die versicherte Person sich heimlich in das Ausland begab, nachdem die Versicherung die Zustimmung verweigert hatte. Doch spielte es dort keine Rolle, ob der Auslandaufenthalt die Arbeitsunfähigkeit beeinflusste (vgl. Urteil 4A_536/2020 vom 16. Januar 2021 E. 5.2).
Gleich verhält es sich im vorliegenden Fall. Wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, ist der Wortlaut von Art. E3 Abs. 5 AVB klar. Entgegen den Vorbringen des Beschwerdeführers ist es unerheblich, ob der Auslandaufenthalt seinen Gesundheitszustand verschlechterte. Denn die AVB knüpfen die Verweigerung der Leistung während eines Auslandaufenthalts nicht an eine solche Bedingung. Vorausgesetzt wird nur, dass sich ein erkrankter Versicherter im Ausland aufhält, ohne vorgängig die ausdrückliche Zustimmung der Versicherung eingeholt zu haben.
Daher musste die Vorinstanz entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers nicht mit einem Gutachten abklären, ob der Aufenthalt in Florida der Genesung förderlich war. Dass die Beschwerdegegnerin die nachfolgenden Aufenthalte in Florida genehmigte, lässt die Verweigerung der Leistung, soweit keine Zustimmung eingeholt worden war, weder als treuwidrig noch als rechtsmissbräuchlich erscheinen.
Die Vorinstanz prüfte eventualiter, ob der Beschwerdeführer die Einholung einer vorgängigen Zustimmung unverschuldet versäumte. Sie stellte diesbezüglich fest, der Beschwerdeführer mache gar nicht geltend, er habe es unverschuldet unterlassen, die Zustimmung zu seinem Auslandaufenthalt rechtzeitig einzuholen. Diese Feststellung weist der Beschwerdeführer nicht als offensichtlich unzutreffend aus (vgl. E. 2.2 hiervor). Damit hat es sein Bewenden.
5.
5.1. Sodann fordert der Beschwerdeführer Taggelder für den Betriebsinhaber nach Ablauf der ordentlichen Leistungsdauer von 730 Tagen. Er rügt, die Vorinstanz habe einen solchen Taggeldanspruch zu Unrecht verneint, und macht Fr. 9'205.15 geltend.
5.2. Ist eine Leistungsdauer von 730 Tagen vereinbart, so erbringt die Beschwerdegegnerin gemäss Art. E6 Abs. 9 AVB nach Ablauf der Leistungsdauer unter dem Titel "Taggeld für den Betriebsinhaber [...]" zusätzliche Leistungen, wenn folgende Voraussetzungen erfüllt sind: (i) Längere, im wesentlichen ununterbrochene Arbeitsunfähigkeit von mindestens 365 Tagen, welche im Schnitt mindestens 40 % beträgt und voraussichtlich zu einer Invalidität führen wird; (ii) Deckung gemäss BVG; und (iii) Übereinstimmung der BVG-Wartefrist mit der Leistungsdauer des Krankentaggelds. Die Taggelder werden bis zum Beginn der BVG-Invalidenrente, im Maximum jedoch während 365 Tagen bezahlt.
5.3. Die Vorinstanz verneinte einen Taggeldanspruch des Beschwerdeführers gemäss Art. E6 Abs. 9 AVB. Sie erwog, die Beschwerdegegnerin habe eine Invalidität des Beschwerdeführers unter Hinweis auf den Vorbescheid der IV-Stelle vom 29. Juni 2017 bestritten. Der Beschwerdeführer habe seine Behauptung einer Invalidität in der Replik nicht substanziiert. Zudem habe die Beschwerdegegnerin vorgebracht, der Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Rente der Invalidenversicherung sei rechtskräftig verneint worden. Diese Ausführungen der Beschwerdegegnerin habe der Beschwerdeführer nicht bestritten. Er habe seine Invalidität in der Klage einzig mit dem möglichen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung begründet. Eine solche sei aber rechtskräftig verweigert worden.
5.4. Nach <ref-law> haben unter der Geltung der Verhandlungsmaxime die Parteien dem Gericht die Tatsachen darzulegen, auf die sie ihre Begehren stützen, und die Beweismittel anzugeben. Eine Tatsachenbehauptung hat nicht alle Einzelheiten zu enthalten. Es genügt, wenn die Tatsachen, die unter die das Begehren stützenden Normen zu subsumieren sind, in einer den Gewohnheiten des Lebens entsprechenden Weise in ihren wesentlichen Zügen oder Umrissen behauptet werden (<ref-ruling> E. 3.4.2; Urteile 4A_446/2020 vom 8. März 2021 E. 2; 4A_275/2020 vom 26. Oktober 2020 E. 1.1 4A_412/2019 vom 27. April 2020 E. 4.1). Ein solchermassen vollständiger Tatsachenvortrag wird als schlüssig bezeichnet, da er bei Unterstellung, er sei wahr, den Schluss auf die anbegehrte Rechtsfolge zulässt (zit. Urteile 4A_446/2020 E. 2; 4A_412/2019 E. 4.1 mit Hinweisen; vgl. auch <ref-ruling> E. 2b).
Die Behauptungs- und Substanziierungslast zwingt die damit belastete Partei nicht, sämtliche möglichen Einwände der Gegenpartei vorweg zu entkräften (zit. Urteile 4A_446/2020 E. 2.1; 4A_275/2020 E. 1.1 mit Hinweisen). Nur soweit der Prozessgegner den schlüssigen Tatsachenvortrag der behauptungsbelasteten Partei bestreitet, greift eine über die Behauptungslast hinausgehende Substanziierungslast. Die Vorbringen sind diesfalls nicht nur in den Grundzügen, sondern in Einzeltatsachen zergliedert so umfassend und klar darzulegen, dass darüber Beweis abgenommen oder dagegen der Gegenbeweis angetreten werden kann (<ref-ruling> E. 5.2.1.1; <ref-ruling> E. 2b mit Hinweisen; vgl. zum Ganzen: Urteil 4A_605/2019 vom 27. Mai 2020 E. 4.1.1).
5.5. Die Rüge des Beschwerdeführers dringt nicht durch.
Die Vorinstanz erwog, der Beschwerdeführer habe in der Klage die voraussichtliche Invalidität gemäss Art. E6 Abs. 9 AVB einzig mit dem möglichen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung begründet. Die Beschwerdegegnerin habe die voraussichtliche Invalidität bestritten, worauf der Beschwerdeführer seine Behauptung in der Replik nicht substanziiert habe.
Der Beschwerdeführer bringt gegen die vorinstanzliche Feststellung dieses Prozesssachverhalts keine Rügen vor, welche den erhöhten Begründungsanforderungen genügen würde (vgl. E. 2.2 hiervor).
Dem Beschwerdeführer ist darin beizupflichten, dass die AVB den Anspruch auf Taggeldleistungen des Betriebsinhabers nicht davon abhängig machen, dass der versicherten Person tatsächlich eine Rente der Invalidenversicherung gewährt wird. Allerdings verlangt Art. E6 Abs. 9 AVB eine im wesentlichen ununterbrochene Arbeitsunfähigkeit von durchschnittlich mindestens 40 %, die "voraussichtlich zu einer Invalidität führen wird".
Vor diesem Hintergrund durfte die Vorinstanz verlangen, dass der anwaltlich vertretene Beschwerdeführer hinreichend substanziiert, dass eine Arbeitsunfähigkeit besteht, die voraussichtlich zu einer Invalidität führen wird. Denn die Beschwerdegegnerin hatte dies bestritten. Nach den insoweit verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz begründete der Beschwerdeführer seine voraussichtliche Invalidität einzig mit dem möglichen Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung. Dass eine solche rechtskräftig abgewiesen wurde, ist unbestritten (vgl. Urteil 9C_580/2018 vom 14. November 2018).
Die Vorinstanz verletzte daher kein Bundesrecht, indem sie den Taggeldanspruch des Beschwerdeführers wegen mangelnder Substanziierung abwies. Daran ändert nichts, dass der Taggeldanspruch nach dem Wortlaut von Art. E6 Abs. 9 AVB nicht von der effektiven Zusprechung einer Rente der Invalidenversicherung abhängt.
Dass die Vorinstanz an anderer Stelle gestützt auf das eingeholte Gutachten einen grundsätzlichen Anspruch auf Taggeldleistungen bejahte, entband den Beschwerdeführer nicht von einer hinreichenden Substanziierung auch im vorliegenden Punkt.
6.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Die Beschwerdegegnerin ist durch ihre eigene Rechtsabteilung vertreten. Da die Beschwerdeantwort nicht mit besonderem Aufwand verbunden war, steht der Beschwerdegegnerin praxisgemäss keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG; BGE <ref-ruling> E. 4; Urteil 4A_106/2020 vom 8. Juli 2020 E. 6; je mit Hinweis).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Versicherungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Hohl
Der Gerichtsschreiber: Luczak