Faits :
A.
A._, né en 1978, travaille depuis 2004 en qualité de ferblantier-couvreur indépendant et est assuré facultativement contre les risques d'accident et de maladie professionnelle auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le 11 janvier 2018, il a informé la CNA d'une suspicion de maladie professionnelle consistant en des troubles aux tendons des deux coudes. Dans un rapport du 22 janvier 2018, le docteur B._, spécialiste en médecine générale, a posé les diagnostics d'épitrochléites bilatérales et de chondropathie fémoro-patellaire droite. Il a qualifié ces troubles de maladie professionnelle liée "à la pratique quotidienne du port de charges". Le 6 février 2018, l'assuré a eu un entretien avec un collaborateur de la CNA, au cours duquel il a notamment décrit les différentes tâches liées à son activité professionnelle. Dans un rapport du 15 février 2018, le docteur C._, spécialiste en médecine du travail et en médecine interne générale, et médecin à la division de médecine du travail de la CNA, a indiqué que les tâches décrites par l'assuré correspondaient à l'activité habituelle d'un ferblantier-couvreur et a requis l'avis du docteur D._, médecin à la division de médecine des assurances de la CNA. Dans un bref rapport du 23 février 2018, ce médecin a relevé que l'activité professionnelle exercée par l'assuré n'était pas de nature à entraîner une épicondylopathie bilatérale. En outre, bien que le diagnostic ne soit pas objectivé, de plus amples investigations étaient superflues dans la mesure où, même si un spécialiste devait le confirmer, la condition que l'atteinte ait été causée de manière nettement prépondérante par l'activité professionnelle ne serait pas réalisée.
Se fondant sur les avis des docteurs D._ et C._ (nouveaux rapports des 27 février et 19 avril 2018), la CNA a rendu une décision le 28 février 2018, confirmée sur opposition le 25 avril suivant, par laquelle elle a refusé de prendre en charge le cas au motif de l'absence d'un lien de causalité nettement prépondérant entre l'activité de l'assuré et les troubles constatés.
B.
Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel l'a rejeté par jugement du 4 octobre 2018.
C.
L'assuré interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction complémentaire sous la forme d'une expertise judiciaire, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.

Considérant en droit :
1.
1.1. L'intimée conclut principalement à l'irrecevabilité du recours. Selon elle, le recourant se plaint, d'une part, d'arbitraire dans la constatation des faits et, d'autre part, d'une violation de son droit d'être entendu, soit de la violation de droits fondamentaux, laquelle ne peut être examinée par le Tribunal fédéral qu'en présence d'une motivation satisfaisant aux conditions posées à l'<ref-law>. Or, l'intimée soutient que ces exigences ne sont pas réalisées en l'occurrence, du moment que le recourant ne remet pas en cause les motifs pour lesquels la cour cantonale a confirmé la décision sur opposition du 25 avril 2018 mais se contente de reprendre, dans une argumentation appellatoire, les raisons pour lesquelles, selon lui, ses troubles aux deux coudes doivent être qualifiés de maladie professionnelle au sens de l'<ref-law>.
1.2. Le point de vue de l'intimée est mal fondé. Outre la constatation arbitraire des faits et la violation de son droit d'être entendu, le recourant invoque la violation de l'<ref-law> relatif à la notion de maladie professionnelle, ainsi que la violation de l'obligation de procéder à une instruction complète du dossier (<ref-law> [RS 830.1]). Par ailleurs, en ce qui concerne la constatation des faits par la cour cantonale, le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral (<ref-law>) - et l'admissibilité des griefs dirigés contre les faits constatés (<ref-law>) - diffère selon que le litige en matière d'assurance-accidents concerne ou non l'octroi ou le refus de prestations en espèces. Lorsque le jugement entrepris porte à la fois sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies aux art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (SVR 2011 UV n° 1 p. 1, 8C_584/2009, consid. 4; arrêts 8C_657/2017 du 14 mai 2018 consid. 2.2; 8C_473/2017 du 21 février 2018 consid. 2.3). Or, en l'espèce, la reconnaissance éventuelle du caractère de maladie professionnelle en ce qui concerne les troubles aux coudes peut ouvrir droit à des prestations aussi bien en espèces qu'en nature de l'assurance-accidents, de sorte que le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs à ces deux objets. Les critiques du recourant portant sur la mauvaise constatation des faits par la cour cantonale sont dès lors admissibles sans que la motivation du recours doive satisfaire aux conditions posées à l'<ref-law>.
1.3. Par ailleurs, le recours est dirigé contre un arrêt final (<ref-law>) rendu en matière de droit public (<ref-law>) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (<ref-law>) et la forme (<ref-law>) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si le recourant a droit à des prestations de l'assurance-accidents au titre de la prise en charge des suites d'une maladie professionnelle.
3.
3.1. Par un premier moyen, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu en tant que la cour cantonale aurait enfreint son obligation de motiver sa décision. Il fait valoir qu'aucune donnée scientifique claire n'a été fournie par la CNA pour étayer son point de vue selon lequel l'activité professionnelle n'est pas à l'origine de l'atteinte à la santé selon le taux de probabilité requis. Aussi soutient-il que le jugement attaqué ne répond pas aux exigences en matière de motivation posées par la jurisprudence, dans la mesure où il confirme le point de vue de l'intimée.
3.2. Ce grief est mal fondé. Le droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) implique notamment pour l'autorité l'obligation de motiver sa décision. Selon la jurisprudence, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause. Or, en l'espèce, le recourant n'expose pas en quoi il ne serait pas en mesure de discerner et de contester les motifs qui ont guidé la décision de l'autorité. La juridiction précédente a dès lors respecté le droit de l'intéressé à une décision motivée, le point de savoir si la motivation présentée est fondée n'étant pas déterminant pour établir si le droit d'être entendu a été observé (cf. arrêts 8C_318/2018 du 29 janvier 2019 consid. 6.2; 8C_757/2016 du 12 décembre 2017 consid. 6.2; 6B_431/2015 du 24 mars 2016 consid. 1.1).
4.
4.1. Par un autre moyen, le recourant conteste le point de vue de la CNA, selon lequel le diagnostic posé par le docteur B._ n'était pas objectivé. Il fait valoir que ce médecin a établi un diagnostic précis en indiquant que l'affection subie est une épitrochléite et non pas une épicondylite. Ce diagnostic a été posé sur la base de constatations objectives, à savoir des douleurs électives à la palpation de l'épitrochlée des deux côtés et des douleurs au port de charges lors de la mise sous tension de l'appareil musculaire s'insérant sur les épitrochlées (rapport du 22 janvier 2018). Or, la CNA n'était pas fondée à s'écarter de ce diagnostic en se contentant d'affirmer que, si les douleurs augmentent lors du port de charges lourdes, de travaux de force ou de mouvements répétés, cela n'est pas spécifique à une épitrochléite mais se retrouve dans toutes les pathologies ostéoarticulaires. Pour ce motif, le recourant est d'avis qu'un examen médical approfondi était nécessaire, du moment que, selon la jurisprudence, l'existence d'un doute même minime sur la fiabilité et la validité des constatations du médecin de l'assurance doit conduire le juge à demander des éclaircissements.
4.2. Selon l'<ref-law>, sont réputées maladies professionnelles les maladies (<ref-law>) dues exclusivement ou de manière prépondérante, dans l'exercice de l'activité professionnelle, à des substances nocives ou à certains travaux. Ces substances et travaux, ainsi que les affections dues à ceux-ci sont énumérés de manière exhaustive (RAMA 1988 n° U 61 p. 447, U 98/87, consid. 1a) à l'annexe 1 de l'OLAA (RS 832.202). Sont aussi réputées maladies professionnelles les autres maladies dont il est prouvé qu'elles ont été causées exclusivement ou de manière nettement prépondérante par l'exercice de l'activité professionnelle (<ref-law>). La condition d'un lien exclusif ou nettement prépondérant n'est réalisée que si la maladie a été causée à 75 % au moins par l'exercice de l'activité professionnelle (<ref-ruling> consid. 2b p. 186; <ref-ruling> consid. 2b p. 201 et la référence). Cela signifie, pour certaines affections qui ne sont pas typiques d'une profession déterminée, que les cas d'atteinte pour un groupe professionnel particulier doivent être quatre fois plus nombreux que ceux que compte la population en général (<ref-ruling> consid. 5c p. 143; RAMA 2000 n° U 408 p. 407, U 235/99, consid. 1a).
4.3. En l'occurrence, ni l'épitrochléite ni l'épicondylite ne sont mentionnées à l'annexe 1 de l'OLAA, ce qui ne fait d'ailleurs l'objet d'aucune controverse entre les parties. C'est pourquoi, dans la mesure où le cas relève éventuellement de l'<ref-law>, la qualification précise des troubles aux coudes importe peu puisqu'il s'agit essentiellement d'examiner s'il existe un lien de causalité exclusif ou nettement prépondérant avec l'activité exercée par le recourant. Or, à cet égard, celui-ci invoque une violation du droit fédéral en tant que la cour cantonale a considéré que les faits ayant trait à l'origine de l'atteinte à la santé ont été établis de manière conforme au droit. Il allègue que les mouvements décrits par le docteur C._ dans son rapport du 19 avril 2018 comme pouvant être à l'origine d'une épitrochléite (mouvements répétés de préhension ou d'extension de la main sur l'avant-bras, mouvements de pro-supination) ne sont pas ceux qui sont mentionnés par la littérature médicale. Se référant à un arrêt du Tribunal fédéral concernant une lésion corporelle assimilée à un accident (ancien <ref-law>; arrêt 8C_872/2010 du 7 juillet 2011), ainsi qu'à des dispositions légales françaises relatives aux affections périarticulaires provoquées par certains gestes et postures de travail, le recourant est d'avis que le geste de préhension n'est pas un geste relevant des fonctions des muscles épitrochléens. Il infère de cela que les gestes professionnels d'un ferblantier-couvreur "sont à risque d'induire une pathologie de surcharge des muscles épitrochléens" dans la mesure où ils consistent en l'association de pronation forcée de l'avant-bras (mouvement de rotation du poignet avec la paume en direction du sol), flexion palmaire avec inclinaison cubitale du poignet avec des doigts fléchis autour du manche de l'outil.
4.4. En l'occurrence, le recourant se contente d'affirmer, en se fondant sur l'avis du docteur B._, que les tâches inhérentes à son activité de ferblantier-couvreur sont de nature à entraîner une pathologie de surcharge des muscles épitrochléens. Or, le docteur C._ n'est pas d'un avis différent lorsqu'il indique que les mouvements effectués dans le cadre de l'activité professionnelle de l'intéressé peuvent effectivement être à l'origine d'une épitrochléite. Toutefois, un lien possible entre l'affection et l'activité professionnelle ne présage en rien quant à l'existence d'un lien de causalité qualifiée au sens de l'<ref-law>. Au demeurant, le recourant ne fait valoir aucun élément objectif permettant de s'écarter du point de vue des premiers juges, selon lequel la mise en oeuvre d'un complément d'instruction n'était pas nécessaire, les faits de la cause étant suffisamment établis par les pièces versées au dossier pour retenir que la condition d'un lien de causalité exclusif ou nettement prépondérant n'était pas réalisée en l'espèce.
5.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 28 mars 2019
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd