Sachverhalt:
A.
Der 1972 geborene A._ meldete sich im August 2016 unter Hinweis auf psychische Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle des Kantons Schaffhausen klärte die medizinischen und erwerblichen Verhältnisse ab. Ein vorgesehenes Belastbarkeitstraining bei der Stiftung B._ konnte nicht durchgeführt werden. Die Verwaltung veranlasste daraufhin bei den Dres. med. C._ und D._ ein bidisziplinäres Gutachten (Rheumatologie/Psychiatrie), das vom 6. resp. 25. Juli 2019 datiert (samt ergänzender Stellungnahme vom 20. Dezember 2019). A._ nahm zum Gutachten Stellung und reichte im Vorbescheidverfahren verschiedene Unterlagen seiner behandelnden Ärzte sowie weitere Eingaben ein. Mit Verfügung vom 16. April 2020 sprach ihm die IV-Stelle vom 1. März 2017 bis 31. August 2019 eine ganze Invalidenrente zu.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde des A._ wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 27. April 2021 ab.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und beantragt sinngemäss, es sei ihm auch nach dem 31. August 2019 mindestens eine Dreiviertelsrente zuzusprechen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt. Es wurde kein Schriftenwechsel durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Im verwaltungsgerichtlichen Beschwerdeverfahren sind grundsätzlich nur diejenigen Rechtsverhältnisse zu überprüfen bzw. zu beurteilen, zu welchen die zuständige Verwaltungsbehörde vorgängig verbindlich - in Form einer Verfügung - Stellung genommen hat. Insoweit bestimmt die Verfügung den beschwerdeweise weiterziehbaren Anfechtungsgegenstand. Umgekehrt fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand und somit an einer Sachurteilsvoraussetzung, wenn keine Verfügung ergangen ist (<ref-ruling> E. 5.2.1; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 1a).
1.2. Soweit der Beschwerdeführer beantragt, die Kosten für seine Gebissreparatur "wegen versäumter Blutkontrolle" seien zu übernehmen, die zu viel bezahlten Krankenkassenprämien seien ihm zurückzubezahlen und es sei ihm zudem ein Schadenersatz zu leisten (<ref-law>), stellt er Rechtsbegehren, welche nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bilden und wozu - soweit ersichtlich - keine Verfügung ergangen ist. Für diese Rechtsbegehren fehlt es demnach an einer Sachurteilsvoraussetzung, weshalb darauf nicht näher einzugehen ist. Ob die in diesem Zusammenhang vom Beschwerdeführer eingereichten Beweismittel vor Bundesgericht zulässig sind (vgl. <ref-law>), kann dergestalt offen bleiben.
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (<ref-law>).
3.
Das kantonale Gericht hat die einschlägigen Grundlagen nach Gesetz und Rechtsprechung, insbesondere zum Rentenanpsruch und dessen Umfang (Art. 28 Abs. 1 und 2 IVG), zum Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit (<ref-ruling> E. 6), betreffend den Grundsatz der freien Beweiswürdigung (<ref-ruling> E. 5.2.8) und über den Beweiswert von Administrativgutachten, die im Verfahren nach <ref-law> eingeholt wurden (<ref-ruling> E. 4.4 f.; <ref-ruling> E. 3a), zutreffend dargelegt. Korrekt sind auch die Ausführungen zur Invaliditätsbemessung nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>). Darauf wird verwiesen.
4.
Die Vorinstanz hat dem bidisziplinären Gutachten der Dres. med. C._ und D._ vom 6. und 25. Juli 2019 (samt ergänzender Stellungnahme vom 20. Dezember 2019) Beweiskraft beigemessen, wonach seit Juni 2019 für die zuletzt ausgeübte wie auch jede andere angepasste Tätigkeit keine Arbeitsunfähigkeit mehr bestehe (Remission der schweren depressiven Episode ohne nachgewiesene Hinweise auf psychotische Symptome [ICD-10 F32.4]). Das Valideneinkommen hat das kantonale Gericht anhand der Schweizerischen Lohnstrukturerhebung (nachfolgend: LSE) für das Jahr 2018 auf Fr. 89'355.10 festgelegt und diesem, ebenfalls abgestützt auf die LSE 2018, ein Invalideneinkommen von Fr. 74'811.- gegenüber gestellt (vgl. <ref-law>). Vor diesem Hintergrund hat es einen nicht rentenbegründenden Invaliditätsgrad (16,28 %) ermittelt und die Verfügung vom 16. April 2020 im Ergebnis bestätigt.
5.
5.1. Soweit der Beschwerdeführer vorbringt, der psychiatrische Experte Dr. med. D._ sei "nicht sachlich und wirtschaftlich, sondern übereilt, befangen und aus persönlichen Motiven" vorgegangen, dringt er nicht durch. Massgeblich für den Aussagegehalt eines medizinischen Berichts ist, ob dieser inhaltlich vollständig und im Ergebnis schlüssig ist. Wichtigste Grundlage gutachterlicher Schlussfolgerungen bildet - gegebenenfalls neben standardisierten Tests - die klinische Untersuchung mit Anamneseerhebung, Symptomerfassung und Verhaltensbeobachtung (Urteil 8C_47/2016 vom 15. März 2016 E. 3.2.2 mit Hinweis). Anhaltspunkte dafür, dass Dr. med. D._ die entsprechenden Vorgaben in sachlicher oder zeitlicher Hinsicht nicht oder nur ungenügend beachtet hätte, sind nicht erkennbar. Daran ändert, entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers, die nachträgliche Korrektur des Begutachtungszeitpunktes (psychiatrische Exploration von 13.00 bis 14.30 Uhr statt von 9.15 bis 10.45 Uhr) nichts (vgl. Stellungnahme des Dr. med. D._ vom 20. Dezember 2019). Sodann erfolgte die im Gutachten ausgewiesene testpsychologische Untersuchung nach gängigen Standards (Montgomery-Asberg Depression Scale [MADRS] und Mini-ICF-APP). Von der Anwendung einer, wie der Beschwerdeführer behauptet, "frisierten Depressionsskala" kann demzufolge keine Rede sein. Wird in der Beschwerde ausserdem (erneut) die Frage aufgeworfen, weshalb Dr. med. D._ das rheumatologische Gutachten der Dr. med. C._ nicht (mit) unterzeichnet habe, so ist dem mit der Vorinstanz entgegen zu halten, dass beide Sachverständigen die interdisziplinäre Gesamtbeurteilung unterschrieben, was den formellen Anforderungen genügt. Schliesslich vermag der Beschwerdeführer keine konkreten Umstände aufzuzeigen, welche auf eine allfällige Voreingenommenheit des psychiatrischen Sachverständigen hindeuteten.
5.2. Auch in materieller Hinsicht erfüllt die bidisziplinäre Expertise vom 6. und 25. Juli 2019 sämtliche Anforderungen an beweiswertige ärztliche Entscheidgrundlagen (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a). Die zentrale Schlussfolgerung des Dr. med. D._, wonach bei der Exploration vom 25. Juni 2019 weitgehend unauffällige psychokognitive Funktionen (Gedächtnisfunktion, Konzentrationsvermögen, Merkfähigkeit, Auffassungsvermögen, Gedankenfluss, affektive Schwingungsfähigkeit, Elan vitae, Antrieb, Psychomotorik) festgestellt worden seien, womit dem Beschwerdeführer keine Einschränkung der Arbeitsfähigkeit mehr attestiert werden könne, ist detailliert und nachvollziehbar begründet. Dabei bezog Dr. med. D._ insbesondere die Angaben der behandelnden Psychiater Dr. med. E._ (Berichte vom 13. September/1. Dezember 2016 und 5. Januar/30. März 2017), und (Behandlung seit Mai 2017) Dr. med. F._ (Berichte vom 14. Oktober 2017 und 15. Oktober 2018), sowie den Austrittsbericht des Zentrums G._ vom 16. Mai 2018 mit ein (vgl. psychiatrisches Gutachten vom 25. Juli 2019, S. 4 ff.). Anders als der Beschwerdeführer geltend macht, sind bei der von den medizinischen Experten vorgenommenen Einschätzung der Arbeitsfähigkeit keine Widersprüche, Fehler oder Auslassungen erkennbar. Auch die nach der Begutachtung vorgelegten medizinischen Akten vermögen die Beweiskraft der Expertenaussagen nicht ernsthaft in Frage zu stellen, handelt es sich doch um unbegründete Arbeitsunfähigkeitszeugnisse des Dr. med. F._ und des Hausarztes Dr. med. H._. Sodann hat die Vorinstanz mit Blick auf die im Juni 2019 gestellte Diabetes-Diagnose festgestellt, nach fachärztlicher Beurteilung des Dr. med. I._, FMH Endokrinologie und Innere Medizin, Spital K._, vom 24. Februar 2020 biete diese Erkrankung keinen Anlass zu einer vom Gutachten abweichenden (anderen) Einschätzung der Arbeitsfähigkeit, zumal sich den Akten keine Hinweise auf diabetesbedingte Folgeschäden entnehmen liessen. Aus der Beschwerde geht nichts hervor, was diese Feststellung als willkürlich oder sonstwie bundesrechtswidrig (E. 1) erscheinen liesse. Sie bleibt daher für das Bundesgericht verbindlich. Auch anhand der sonstigen Vorbringen ist keine Rechtsverletzung ersichtlich. Folglich durfte das kantonale Gericht auf die bidisziplinäre Expertise der Dres. med. C._ und D._ abstellen, ohne Bundesrecht zu verletzen.
5.3. Was die vorinstanzliche Invaliditätsbemessung betrifft, übersieht der Beschwerdeführer, dass sich die Ermittlung des Valideneinkommens danach richtet, was die versicherte Person im Zeitpunkt des frühestmöglichen Rentenbeginns aufgrund ihrer beruflichen Fähigkeiten und ihrer persönlichen Umstände nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ohne Gesundheitsschaden tatsächlich verdient hätte (<ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweisen). Wenn in der Beschwerde die Einkommensentwicklung bis zur Pensionierung herangezogen wird, erübrigen sich folglich Weiterungen. Auch der Einwand, es sei nicht korrekt, beim Valideneinkommen auf "irgendwelche Tabellenlöhne" abzustellen, hilft nicht weiter. Denn der Beschwerdeführer verlor seine letzte Anstellung bei der Fabrik L._ AG nach willkürfreier (E. 1) vorinstanzlicher Sachverhaltsfeststellung aufgrund struktureller Anpassungen. Erfolgte dieser Stellenverlust demnach aus invaliditätsfremden Gründen, so ist nicht zu beanstanden, dass das Valideneinkommen im angefochtenen Entscheid anhand der LSE-Tabellenlöhne festgelegt worden ist (vgl. statt vieler: SVR 2007 IV Nr. 38 S. 130, I 943/06 E. 5.1.3 und 6.2; Urteil 9C_212/2015 vom 9. Juni 2015 E. 5.4; Urteil I 95/03 vom 28. Januar 2004 E. 4.2.2). Inwieweit die Vorinstanz schliesslich bei der Bestimmung des Invalideneinkommens, wie der Beschwerdeführer moniert, von "unrealistischen Annahmen" ausgegangen sein soll, ist weder ersichtlich noch (substanziiert) dargelegt.
6.
Nach dem Gesagten hält der angefochtene Entscheid vor Bundesrecht stand. Die Beschwerde ist unbegründet.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Schaffhausen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 6. Juli 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder