Erwägungen:
1.
Das Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich entzog A._ mit Verfügung vom 6. September 2019 den bereits hinterlegten Führerausweis auf unbestimmte Zeit, mindestens jedoch für drei Monate, und machte die Wiedererteilung des Führerausweises vom Ablauf der Sperrfrist und vom Vorliegen eines günstig lautenden verkehrsmedizinischen Gutachtens eines Arztes/einer Ärztin der Anerkennungsstufe 4 abhängig. Einen von A._ am 15. September 2019 dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich mit Entscheid vom 31. Oktober 2019 ab. Am 11. November 2019 erhob A._ gegen diesen Entscheid Beschwerde. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies die Beschwerde mit Urteil vom 25. März 2020 ab. Zur Begründung führte es zusammenfassend aus, gestützt auf das verkehrsmedizinische Gutachten und angesichts der begangenen Trunkenheitsfahrt erweise sich der Schluss des Strassenverkehrsamts, dass beim Beschwerdeführer eine Alkoholsucht im Sinne des Gesetzes vorliege, als begründet. Der verfügte Sicherungsentzug sei somit nicht zu beanstanden.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 17. April 2020 (Postaufgabe) Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach <ref-law> ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von <ref-law> nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in <ref-law> verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Verwaltungsgerichts, die zur Abweisung der Beschwerde führte, weder auseinander noch beanstandet er diese. Er bestreitet indessen die Gültigkeit des verwaltungsgerichtlichen Urteils, da dieses ihm nicht rechtskonform zugestellt und nicht rechtsgültig unterschrieben worden sei.
3.1. Der Beschwerdeführer ist gemäss seinen Ausführungen Ende März 2020 umgezogen. Am 3. April 2020 habe er dies dem Verwaltungsgericht telefonisch mitgeteilt. Da das Verwaltungsgericht zu diesem Zeitpunkt das Urteil bereits an seine alte Adresse versandt hatte, habe es ihm in der Folge lediglich eine "unzulässige Kopie" als eingeschriebene Postsendung zugestellt. Der Beschwerdeführer, der keinen zulässigen Beschwerdegrund nennt, vermag mit seinen Ausführungen indessen nicht verständlich aufzuzeigen, inwiefern die Urteilszustellung rechts- bzw. verfassungswidrig erfolgt sein sollte.
3.2. Im Rubrum des angefochtenen Urteils sind die Namen der mitwirkenden Gerichtspersonen genannt, nämlich der Name des Richters, welcher das Urteil als Einzelrichter auch unterzeichnet hat, sowie der Name des redigierenden Gerichtsschreibers. Als Gerichtsschreiber unterzeichnet hat indessen ein Stellvertreter des redigierenden Gerichtsschreibers. Weshalb nun das angefochtene Urteil deswegen ungültig sein soll, bzw. inwiefern das Urteil rechtswidrig unterzeichnet worden wäre, vermag der Beschwerdeführer nicht nachvollziehbar und verständlich aufzuzeigen; solches ist im Übrigen auch nicht ersichtlich.
3.3. Insgesamt ergibt sich aus der Beschwerde nicht ansatzweise, inwiefern das Urteil des Verwaltungsgerichts rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Zürich, Bereich Administrativmassnahmen, und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. April 2020
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli