Sachverhalt:
A.
B._ betrieb A._ mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamts U._ vom 17. Mai 2017 für eine Forderung in der Höhe von Fr. 258'896.20 zuzüglich Zins und Betreibungskosten. Der Zahlungsbefehl wurde von der Mutter des Betriebenen am 18. Mai 2017 entgegengenommen. Am 1. Juni 2017 erhob A._ auf dem Amt Rechtsvorschlag. Das Betreibungsamt wies den Rechtsvorschlag mit Verfügung vom 2. Juni 2017 als verspätet zurück und verwies auf die Möglichkeit der Fristwiederherstellung nach <ref-law>.
B.
B.a. Mit Eingabe vom 6. Juni 2017 gelangte A._ an das Bezirksgericht Horgen als untere kantonale Aufsichtsbehörde über die Betreibungsämter. Im Hauptstandpunkt beantragte er die Aufhebung der betreibungsamtlichen Verfügung und die Anerkennung seines am 1. Juni 2017 erhobenen Rechtsvorschlags. Eventuell verlangte er die Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags und die Feststellung, dass der am 1. Juni 2017 erhobene Rechtsvorschlag innert der wiederhergestellten Frist rechtzeitig erfolgt sei.
B.b. Mit Urteil vom 12. Oktober 2017 wies die untere Aufsichtsbehörde die Beschwerde ab (Dispositiv-Ziffer 1). Ebenfalls abgewiesen wurde das Gesuch um Wiederherstellung der Rechtsvorschlagsfrist (Dispositiv-Ziffer 2), wofür A._ eine Gerichtsgebühr von Fr. 150.-- auferlegt wurde (Dispositiv-Ziffer 3).
C.
Das Obergericht des Kantons Zürich, als obere kantonale Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, wies die daraufhin von A._ erhobene Beschwerde am 15. Januar 2018 ab, wobei es keine Kosten erhob.
D.
Mit Eingabe vom 29. Januar 2018 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt die Anerkennung seines am 1. Juni 2017 erhobenen Rechtsvorschlags; eventuell die Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags und die Feststellung, dass der am 1. Juni 2017 erhobene Rechtsvorschlag innert der wiederhergestellten Frist rechtzeitig erfolgt sei.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten beigezogen, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Entscheide kantonaler Aufsichtsbehörden in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen unterliegen unabhängig vom Streitwert der Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 2 lit. c BGG). Die Beschwerde vom 29. Januar 2018 ist fristgerecht erhoben worden (<ref-law>) und grundsätzlich zulässig.
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (<ref-law>). Die Missachtung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen, wobei hier das Rügeprinzip gilt (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.2.2 S. 286).
2.
Anlass zur Beschwerde geben zunächst die Voraussetzungen der Ersatzzustellung gemäss <ref-law>.
2.1. Es steht fest und ist unbestritten, dass der Zahlungsbefehl aufgrund der temporären Abwesenheit des Beschwerdeführers von dessen Mutter in Empfang genommen wurde, welche mit dem Beschwerdeführer im gleichen Haushalt wohnt. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass entgegen der Auffassung der Vorinstanz keine gültige Ersatzzustellung im Sinne von <ref-law> vorliege, weil zuvor kein Zustellungsversuch an seinem Arbeitsort vorgenommen wurde. Die Norm von <ref-law> bringe vor allem die Wichtigkeit der persönlichen Zustellung von Betreibungsurkunden zum Ausdruck; es sei offensichtlich, dass die Rechte des Betriebenen besser gewahrt wären, wenn von der Pflicht eines Zustellungsversuchs an beiden Orten ausgegangen werde. Auch aus dem Wortlaut der Norm gehe nicht hervor, dass bereits nach persönlichem Zustellungsversuch an nur einem Ort (Wohn- oder Arbeitsort) zur Ersatzzustellung geschritten werden darf. Der Wortlaut sei schlicht unklar, da das Wort "daselbst" in Satz 2 von <ref-law> sich sowohl auf beide primären Zustellungsorte als auch auf einen beziehen könne. Dass vom Bundesgericht in zahlreichen Entscheiden zu <ref-law> jeweils nur geprüft wurde, ob vor einer Ersatzzustellung ein persönlicher Zustellversuch am Wohn- oder Arbeitsort gemacht wurde, bedeute lediglich, dass eine entsprechende Rüge noch nie vorgebracht bzw. geprüft worden sei. Da die Voraussetzungen von <ref-law> nicht erfüllt seien, habe die Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags erst mit seiner tatsächlichen Kenntnisnahme vom Zahlungsbefehl zu laufen begonnen.
2.2. Die Auslegung des Gesetzes ist auf die Regelungsabsicht des Gesetzgebers und die von ihm erkennbar getroffenen Wertentscheidungen auszurichten. Ausgangspunkt bildet der Wortlaut der auslegungsbedürftigen Bestimmung. Vom daraus abgeleiteten Sinn ist abzuweichen, wenn triftige Gründe dafür bestehen, dass der Gesetzgeber diesen nicht gewollt haben kann (<ref-ruling> E. 5.1 S. 316 mit Hinweis). Solche Gründe können sich insbesondere aus der Entstehungsgeschichte der Norm, aus ihrem Zweck oder aus dem Zusammenhang mit anderen Vorschriften ergeben (<ref-ruling> E. 4.1 S. 391 mit Hinweisen).
2.3. Gemäss <ref-law> werden Betreibungsurkunden dem Schuldner in seiner Wohnung oder an dem Orte, wo er seinen Beruf auszuüben pflegt, zugestellt. Wird er daselbst nicht angetroffen (im französischen Gesetzestext: "S'il est absent"; im italienischen Text: "quando non vi si trovi"), so kann die Zustellung an eine zu seiner Haushaltung gehörende erwachsene Person oder an einen Angestellten geschehen. Zu Recht ist vorliegend unbestritten, dass nach dieser Regelung bezüglich der Zustellung von Betreibungsurkunden die Wohnung und die Arbeitsstätte dem Betreibungsamt gleichrangig zur Wahl stehen (<ref-ruling> E. 3 S. 45). Damit aber kommt entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers in dem in allen drei Amtssprachen übereinstimmenden Wortlaut von <ref-law> hinreichend deutlich zum Ausdruck, dass die Ersatzzustellung im Haushalt des Betriebenen auch dann möglich ist, wenn am Arbeitsort des Betriebenen noch kein Zustellungsversuch erfolgt ist und dass dies auch umgekehrt gilt. Diese wortgetreue Auslegung entspricht denn auch herrschender Lehre und Praxis (vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 139; PAUL ANGST, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 17 zu <ref-law>; JEANNERET/LEMBO, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 23 zu <ref-law>; YVES DONZALLAZ, La notification en droit interne suisse, 2002, N. 827). Bestätigt wird dieses Ergebnis ausserdem durch die Materialien. So enthielt Art. 62 des Entwurfs des Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartements vom November 1885 (abgedruckt in: Materialien zum Schuldbetreibungs- und Konkursrecht 1869-1889, Vereinigung für Schuldbetreibungs- und Konkursrecht [Hrsg.], 2017, S. 469) explizit noch das vom Beschwerdeführer verlangte Erfordernis eines persönlichen Zustellungsversuchs sowohl am Wohn- als auch am Arbeitsort. Konkret wurde darin folgende Regelung vorgeschlagen:
"Die Betreibungsakte sind wo möglich dem Schuldner persönlich zuzustellen.
Wenn der Schuldner weder in seiner Wohnung, noch an dem Orte, wo er sich zur Ausübung seines Berufes aufzuhalten pflegt, angetroffen wird, so kann die Zustellung an eine zu seiner Haushaltung gehörende, erwachsene Person oder an einen seiner Angestellten, nötigenfalls, sofern sich die Besorgung von ihr erwarten lässt, auch an eine im gleichen Hause wohnende oder im gleichen Arbeitslokal beschäftigte Person geschehen.
Ist keine der im vorhergehenden Absatze erwähnten Personen anzutreffen, so wird der Akt an der Thüre befestigt oder einem Gemeinde- oder Polizeibeamten zur Besorgung übergeben."
Eine identische Bestimmung sah auch Art. 67 des revidierten Entwurfs des Justiz- und Polizeidepartements vor, welcher vom Bundesrat am 23. Februar 1886 unverändert, im Ganzen genehmigt und als Vorlage an die Bundesversammlung angenommen wurde. In der Folge wurden indes nach intensiver Auseinandersetzung hinsichtlich zahlreicher Einzelbestimmungen und namentlich auch hinsichtlich der hier interessierenden Vorschrift noch einmal wesentliche inhaltliche Änderungen vorgenommen (vgl. Botschaft des Bundesrates vom 7. Dezember 1888 betreffend den [...] definitiven Entwurf des Bundesgesetzes über Schuldbetreibung und Konkurs, BBl 1888 IV 1137 ff., 1139). Dass das gemäss dem seit seinem Inkrafttreten bis heute unverändert gebliebenen Wortlaut von <ref-law> nicht mehr vorgesehene Erfordernis eines kumulativen persönlichen Zustellungsversuchs an Wohn- und Arbeitsort vom Gesetzgeber nicht mit Bedacht fallengelassen wurde, scheint vor diesem entstehungsgeschichtlichen Hintergrund wenig plausibel. Schliesslich ist das Vorbringen des Beschwerdeführers, die Auslegung der herrschenden Lehre laufe der gesetzgeberischen Absicht zuwider, zu undifferenziert. Zwar erhöht die Ersatzzustellung das Risiko, dass der Betriebene vom Zahlungsbefehl innerhalb der Rechtsvorschlagsfrist nichts erfährt, so dass der Betriebene durch die vom Beschwerdeführer propagierte Lösung in einigen Fällen (nämlich dann, wenn sein Arbeitsort dem Betreibungsamt bekannt ist und er dort auch angetroffen wird) in der Tat etwas besser geschützt sein mag, doch lassen sich für die zum Gesetz gewordene Lösung im Gegenzug Praktikabilitäts-, Effizienz- und Kostengründe anführen. Auch unter Berücksichtigung des historischen und teleologischen Auslegungselements muss deshalb davon ausgegangen werden, dass der Normtext von <ref-law> den Normsinn im hier relevanten Punkt treffend wiedergibt.
Damit hat die Vorinstanz kein Bundesrecht verletzt, wenn sie die Zustellung des Zahlungsbefehls als gesetzmässig und damit ohne Weiteres rechtsgültig erachtet hat.
3.
Zu prüfen bleibt der Eventualantrag des Beschwerdeführers um Wiederherstellung der Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags.
3.1. Nach <ref-law> kann derjenige, der durch ein unverschuldetes Hindernis davon abgehalten worden ist, innert Frist zu handeln, die Aufsichtsbehörde oder die in der Sache zuständige richterliche Behörde um Wiederherstellung der Frist ersuchen. Er muss, vom Wegfall des Hindernisses an, in der gleichen Frist wie der versäumten ein begründetes Gesuch einreichen und die versäumte Rechtshandlung bei der zuständigen Behörde nachholen.
Diese Bestimmung ist - soweit es sich nicht um eine Wechselbetreibung handelt (<ref-law>) - auch für die Wiederherstellung der versäumten Rechtsvorschlagsfrist massgeblich (AMONN/WALTHER, Grundriss des Schuldbetreibungs- und Konkursrechts, 9. Aufl. 2013, § 18 Rz. 29; <ref-ruling> E. 2a S. 150). Der Betriebene muss in seinem Gesuch in begründeter Weise dartun, dass unverschuldete Umstände es ihm unmöglich machten, den Rechtsvorschlag binnen der gesetzlichen Bestreitungsfrist zu erklären (vgl. PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Poursuite pour dettes, faillite et concordat, 5. Aufl. 2012, Rz. 707). Angesichts des klaren Wortlauts von <ref-law>, welcher schlicht das Fehlen jedes Verschuldens voraussetzt, ist die Wiederherstellung - anders als im Rahmen von <ref-law> - bereits bei leichter Fahrlässigkeit ausgeschlossen (Urteil 4A_163/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 4.1, in: SJ 2016 I S. 114). Immerhin ist dem Betriebenen insofern entgegenzukommen, als er die unverschuldete Verhinderung nicht strikt nachzuweisen, sondern nur glaubhaft zu machen hat (GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et faillite, Bd. I, 1999, N. 57 zu <ref-law>; [vgl. auch ESTHER GIRSBERGER, Der nachträgliche Rechtsvorschlag im schweizerischen Schuldbetreibungs- und Konkursrecht, Diss. Zürich 1990, S. 48 und S. 90; ANTOINE FAVRE, Droit des poursuites, 3. Aufl. 1974, S. 140 und CARL JAEGER, Das Bundesgesetz betreffend Schuldbetreibung und Konkurs, 3. Aufl. 1911, N. 2 zu <ref-law>; jeweils den früheren nachträglichen, d.h. unverschuldet verspäteten Rechtsvorschlag im Sinne von alt <ref-law> betreffend]).
Ein unverschuldetes Hindernis im Sinne von <ref-law> liegt u.a. dann vor, wenn der Betriebene nach Übergabe des Zahlungsbefehls an einen Hausgenossen oder Angestellten vom Zahlungsbefehl, ohne dass ein eigenes Verschulden des Betriebenen dabei kausal mitspielte, erst nach Ablauf der zehntägigen Frist zur Erhebung des Rechtsvorschlags Kenntnis erlangt (ANGST, a.a.O.; JOLANTA KREN KOSTKIEWICZ, Schuldbetreibungs- & Konkursrecht, 3. Aufl. 2018, § 3, Rz. 453; DIESELBE, Zustellung von Betreibungsurkunden, BlSchK 1996 S. 214; vgl. auch <ref-ruling> E. 4 S. 14; <ref-ruling> E. 2 S. 140 und ERNST JEKER, Die Zustellung der Betreibungsurkunden nach schweizerischem Schuldbetreibungs- und Konkursgesetz, Diss. Bern 1942, S. 79 Fn. 153). Die abweichende Auffassung, wonach im Falle einer rechtsgültigen Ersatzzustellung für eine Wiederherstellung der Frist in aller Regel von vornherein kein Raum bleibe (so CHARLES JAQUES, De la notification des actes de poursuite, BlSchK 2011 S. 185 u.a. mit Hinweis auf das Urteil der Aufsichtsbehörde des Kantons Tessin 15.05.114 vom 20. Januar 2006, in: RtiD 2006 II S. 772 Nr. 74c), vermag angesichts der mit dem Institut der Ersatzzustellung verbundenen Unsicherheiten nicht zu überzeugen. Ein Verschulden der zur Haushaltung gehörenden erwachsenen Personen und Angestellten, welche nicht rechtsgeschäftlich zur Entgegennahme von Betreibungsurkunden bevollmächtigt wurden, ist dem Betriebenen mithin nicht anzurechnen (vgl. GIRSBERGER, a.a.O., S. 49; FAVRE, a.a.O., S. 140 f.; MAX GULDENER, Wiederherstellung bei Verschulden von Hilfspersonen?, SJZ 55/1959, S. 370 f.; JAEGER/DAENIKER, Schuldbetreibungs- und Konkurs-Praxis der Jahre 1911-1945, 1947, Bd. I, N. 2 zu <ref-law>). Die blosse Behauptung, der Hausgenosse habe den zugestellten Zahlungsbefehl dem Betriebenen nicht oder nicht rechtzeitig ausgehändigt, genügt allerdings nicht, sondern es muss dargelegt und glaubhaft gemacht werden, dass der Betriebene wirklich keine Kenntnis von der betreffenden Betreibungsurkunde erhielt, und ihn auch kein Mitverschulden an der Unkenntnis trifft (vgl. FRANCIS NORDMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 11 zu <ref-law> und STOFFEL/CHABLOZ, Voies d'exécution, 3. Aufl. 2016, § 3 Rz. 48; je mit Hinweisen auf die kantonale Rechtsprechung).
3.2. Vorliegend ist die Vorinstanz in sachverhaltlicher Hinsicht davon ausgegangen, dass die Mutter des Beschwerdeführers diesen aus Aufregung über die am Folgetag der Zustellung erfolgte Geburt ihres Enkels tatsächlich nicht über den Eingang des Zahlungsbefehls in der streitgegenständlichen Betreibung informiert hat. Auf die von der Vorinstanz behandelte Frage nach dem Verschulden der Mutter braucht an dieser Stelle nicht weiter eingegangen zu werden, da ein solches dem Beschwerdeführer - wie erwähnt - keineswegs zugerechnet werden könnte. Auch die Vorinstanz hat die Fristwiederherstellung letztlich nicht verweigert, weil sie der Mutter des Beschwerdeführers ein Verschulden angelastet hat. Vielmehr hat sie in Übereinstimmung mit den dargelegten Grundsätzen darauf hingewiesen, dass trotz Unkenntnis von der gegen den Schuldner angehobenen Betreibung Umstände vorliegen können, die diesen für die verpasste Rechtsvorschlagsfrist verantwortlich erscheinen lassen und der Fristwiederherstellung entgegenstehen.
Konkret falle ins Gewicht, dass der Beschwerdeführer von Januar bis zum 18. Mai 2017 14-mal betrieben worden sei; entsprechend seien ihm 14 Zahlungsbefehle zugestellt worden bzw. rund drei jeden Monat. Dabei sei der Zahlungsbefehl elfmal an die Mutter des Beschwerdeführers übergeben worden und nur dreimal an eine andere Person. In der vorliegenden Konstellation hätte der geschäftserfahrene Beschwerdeführer, welcher eigenen Angaben zufolge als Präsident einer Aktiengesellschaft operativ tätig sei, geeignete Vorkehren treffen müssen, um sicherzustellen, dass Betreibungsurkunden, welche während seiner Abwesenheit von empfangsberechtigten Personen entgegengenommen werden, ihm innert nützlicher Frist vorgelegt werden. Dass und in welcher Form er seine Mutter über den Ablauf des Postempfangs sowie das Weiterleiten instruiert habe, habe der Beschwerdeführer indes nicht dargelegt. Ausserdem habe der Beschwerdeführer - wie der Beschwerdegegner vor der unteren Aufsichtsbehörde mit Recht moniert habe - mit keinem Wort erwähnt, was mit dem Zahlungsbefehl geschehen sei, nachdem ihn die Mutter entgegengenommen habe. So habe er nur davon gesprochen, seine Mutter habe ihn nicht darüber orientiert bzw. vergessen, ihm mitzuteilen, dass er einen Zahlungsbefehl erhalten habe. Dabei stelle sich die Frage, ob er seine persönliche Post seit der Zustellung am 18. Mai 2017 bzw. während der Dauer der zehntägigen Rechtsvorschlagsfrist gesichtet habe. Seine vorübergehende Abwesenheit habe sich nur auf den Zeitraum vom 19. bis 24. Mai 2017 beschränkt. Bei unterlassener Sichtung der persönlichen Post über mehrere Tage wäre im Hinblick auf die verpasste Rechtsvorschlagsfrist nicht von einem unverschuldeten Hindernis auszugehen. Erst nach vorerwähntem Hinweis des Beschwerdegegners in der Beschwerdeantwort vom 20. Juni 2017 habe der Beschwerdeführer behauptet, dass seine Mutter den Zahlungsbefehl "verloren" habe. Mit dieser pauschalen Behauptung vermöge er jedenfalls nicht den hinreichenden Nachweis zu erbringen, dass er vom korrekt zugestellten Zahlungsbefehl unverschuldet nicht hat rechtzeitig Kenntnis erlangen können.
3.3. Der Beschwerdeführer hält diesen Erwägungen einzig entgegen, die Frage, ob die Mutter nun instruiert gewesen sei oder nicht erübrige sich, weil die von der Vorinstanz festgestellte mehrfache Übung einer solchen Instruktion jedenfalls gleichkomme. Dass er sich im erstinstanzlichen Verfahren zum mit seiner Mutter vereinbarten Ablauf des Postempfangs sowie zur Sichtung seiner persönlichen Post (vgl. dazu GIRSBERGER, a.a.O., S. 45) nicht geäussert hat, übergeht er. Es trifft zwar zu, dass die Weiterleitung der Zahlungsbefehle zuvor mehrmals funktioniert hat. Gleichwohl aber ist der Vorinstanz darin beizupflichten, dass sich der im Geschäftsleben tätige Beschwerdeführer nicht einfach, ohne weitere Vorkehren zu treffen, darauf verlassen durfte, dass ihn seine Mutter in jedem Fall von sich aus auf die von ihr entgegengenommenen Betreibungsurkunden aufmerksam macht. Da sich der Beschwerdeführer vorliegend zu wesentlichen Aspekten des Sachverhalts nicht geäussert hat, kann der Vorinstanz keine bundesrechtswidrige Beurteilung vorgeworfen werden, wenn sie das Vorliegen eines (gänzlich) unverschuldeten Hindernisses im Sinne von <ref-law> nicht als hinreichend dargetan bzw. glaubhaft gemacht erachtet hat.
4.
Aus den dargelegten Gründen ist der Beschwerde kein Erfolg beschieden. Bei diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer für die Gerichtskosten aufzukommen (<ref-law>). Der Gegenpartei ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Betreibungsamt U._ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als oberer kantonaler Aufsichtsbehörde über Schuldbetreibung und Konkurs, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. September 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Buss