Faits :
A.
A.a. A._, né en 1977, de nationalité française, et B._, née en 1982, ressortissante marocaine, se sont mariés en 2006 au Maroc. Deux enfants sont issus de cette union: C._, né en 2009, et D._, né en 2013.
Par décision de mesures superprovisionnelles du 17 avril 2014, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère a donné ordre au mari de quitter immédiatement le domicile conjugal, la garde et l'entretien des enfants étant attribués à la mère. Le père a été astreint à verser mensuellement des contributions d'entretien d'un montant de 1'000 fr. pour chaque enfant et de 1'000 fr. pour l'épouse.
Par décision de mesures protectrices de l'union conjugale du 30 septembre 2015, cette même juridiction a attribué le domicile conjugal au mari et confié la garde des enfants à la mère, le père bénéficiant d'un large droit de visite. Des contributions mensuelles à l'entretien des enfants d'un montant de 600 fr. chacun ont été mises à la charge de celui-ci. Aucune pension alimentaire n'a été allouée à l'épouse, la situation financière du mari ne le permettant pas.
A.b. Le 14 juillet 2016, l'épouse a ouvert action en divorce devant le Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère.
Par décision de mesures provisionnelles du 2 octobre 2017, la Juge de paix de la Gruyère a décidé du placement des enfants dans un foyer pour une durée indéterminée. Les parents ont été privés de leur droit de déterminer le lieu de résidence des enfants pendant la durée du placement (<ref-law>), la mère étant en outre exhortée à entreprendre un suivi thérapeutique régulier selon l'<ref-law>.
A.c. Le 22 juin 2018, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère a proposé aux parties de statuer sur le divorce, les questions de l'autorité parentale, de la garde et du droit de visite étant renvoyées à la Juge de paix déjà saisie de toutes les mesures de protection en faveur des enfants. Les conjoints ont accepté cette proposition.
A.d. Par jugement du 7 décembre 2018, le Tribunal civil de l'arrondissement de la Gruyère a, notamment, prononcé le divorce des époux, condamné le père à contribuer à l'entretien des enfants, pour la durée du placement, par le versement d'une pension mensuelle de 645 fr. pour l'aîné et de 480 fr. pour le cadet, indexation en sus, mis à la charge de chacun des parents un montant de 330 fr. par mois à titre de frais de placement, la mère s'acquittant de sa part au moyen des allocations familiales de 245 fr. par enfant qu'elle perçoit directement et le solde de 160 fr. servant au coût de l'exercice de son droit de visite, partagé les frais extraordinaires des enfants (frais de formation, traitements médicaux et dentaires particuliers, pratique d'un sport et/ou d'un instrument de musique) par moitié entre les parents, ceux-ci devant se concerter au préalable, enfin, alloué à l'épouse une contribution d'entretien, indexée, d'un montant de 600 fr. par mois pour toute la durée du placement des enfants, mais au maximum durant encore deux ans à compter de la notification du jugement.
A.e. Par décision de la Justice de paix du 22 août 2019, le placement des enfants a été levé avec effet au 28 août 2019. La garde de l'aîné a été confiée au père et celle du cadet à la mère.
B.
Par arrêt du 23 avril 2021, la I e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg, admettant partiellement l'appel du mari, a réformé le jugement du 7 décembre 2018 en ce sens que, dès le 1er octobre 2017, le père assume l'entretien de l'aîné des enfants, qui s'élève, allocations familiales non comprises, à:
- 685 fr. par mois du 1er octobre 2017 au 31 janvier 2019;
- 470 fr. par mois du 1er février 2019 au 31 août 2019;
- 585 fr. par mois du 1er septembre 2019 au 31 janvier 2021;
- 665 fr. par mois du 1er février 2021 au 31 août 2023;
- 625 fr. par mois du 1er septembre 2023 au 31 mars 2025;
- 570 fr. par mois dès le 1er avril 2025.
La mère assume l'entretien du cadet des enfants. Dès le 1er octobre 2017, le père contribue à l'entretien de celui-ci par le versement d'une contribution d'entretien, allocations familiales en sus, d'un montant de:
- 715 fr. par mois du 1er octobre 2017 au 31 janvier 2019;
- 500 fr. par mois du 1er février 2019 au 31 août 2019;
- 525 fr. par mois du 1er septembre 2019 au 31 janvier 2021;
- 585 fr. par mois du 1er février 2021 au 31 août 2023;
- 745 fr. par mois du 1er septembre 2023 au 31 mars 2025;
- 750 fr. par mois du 1er avril 2025 au 31 août 2029;
- 690 fr. par mois dès le 1er septembre 2029.
Une contribution d'entretien d'un montant de 600 fr. par mois du 1er février 2019 au 31 août 2019 et de 320 fr. par mois du 1er septembre 2019 au 31 janvier 2021 a été allouée à l'épouse.
C.
Par acte posté le 26 mai 2021, le mari exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 23 avril 2021. Il conclut principalement à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour qu'elle statue à nouveau sur les contributions à l'entretien des enfants et de l'épouse. Subsidiairement, il requiert la réforme de l'arrêt entrepris en ce sens que, du 1er octobre 2017 au 30 avril 2018, il assume seul l'entretien de l'aîné des enfants, dont il a la garde, et que, dès le 1er mai 2018, la mère doit contribuer à cet entretien par le versement d'une contribution d'un montant mensuel de 685 fr. du 1er mai 2018 au 31 août 2019, 585 fr. du 1er septembre 2019 au 31 janvier 2021, 665 fr. du 1er février 2021 au 31 août 2023, 625 fr. du 1er septembre 2023 au 31 mars 2025 et 570 fr. du 1er avril 2025 au 1er avril 2027. En ce qui concerne la contribution d'entretien allouée à l'épouse, il conclut au versement d'un montant de 600 fr. par mois du 1er octobre 2017 au 30 avril 2018, aucune pension n'étant due après cette date.
Le recourant sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
Des observations n'ont pas été demandées.

Considérant en droit :
1.
Déposé en temps utile (<ref-law>) et dans la forme légale (<ref-law>) par une partie qui a qualité pour recourir (art. 76 al. 1 let. a et b LTF), le recours est dirigé contre une décision finale (<ref-law>) rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire civile (<ref-law>) de nature pécuniaire, dont la valeur litigieuse requise est atteinte (art. 51 al. 1 let. a et al. 4, 74 al. 1 let. b LTF). Le recours est donc en principe recevable.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être interjeté pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (<ref-law>). Cela étant, eu égard à l'exigence de motivation contenue à l'<ref-law>, il n'examine en principe que les griefs soulevés (<ref-ruling> consid. 2.4). Le recourant doit par conséquent discuter les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi l'autorité précédente a méconnu le droit (<ref-ruling> consid. 1.7.1; <ref-ruling> consid. 2.4). Le Tribunal fédéral ne connaît par ailleurs de la violation de droits fondamentaux que si un tel grief a été expressément invoqué et motivé de façon claire et détaillée (" principe d'allégation ", <ref-law>; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été constatés de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'<ref-law> (<ref-law>), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 1.3.1). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 5.2.2; <ref-ruling> consid. 2.3), doit, sous peine d'irrecevabilité, satisfaire au principe d'allégation susmentionné (<ref-law>; cf. supra consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 1.3.1). En matière d'appréciation des preuves et d'établissement des faits, il y a arbitraire lorsque l'autorité ne prend pas en compte, sans aucune raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsque, en se fondant sur les éléments recueillis, elle en tire des constatations insoutenables (<ref-ruling> consid. 4.2; <ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2.3).
2.3. Le chef de conclusions tendant au versement, par l'intimée, de contributions d'entretien en faveur de l'aîné des enfants est nouveau, partant irrecevable (<ref-law>), dès lors qu'il ressort de l'arrêt entrepris qu'il n'a pas été formulé en appel. Les griefs y relatifs sont, à ce titre, également irrecevables.
2.4. L'intégralité du dossier de la cause, dont le recourant requiert la production, a été transmis au Tribunal fédéral conformément à l'<ref-law>.
2.5. La présente affaire revêt un caractère international (cf. <ref-law>). La compétence des tribunaux suisses ne fait pas de doute (art. 59 et 63 al. 1 LDIP). Les parties ne le contestent du reste pas. Le droit suisse est en outre applicable (art. 8 de la Convention de La Haye du 2 octobre 1973 sur la loi applicable aux obligations alimentaires [RS 0.211.213.01], en relation avec les art. 61 al. 1, 63 al. 2, 49 et 83 al. 1 LDIP).
3.
Le recourant se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits et de violation de l'<ref-law> concernant le revenu hypothétique imputable à l'intimée.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, si l'on ne peut raisonnablement attendre d'un époux qu'il pourvoie lui-même à son entretien convenable, y compris à la constitution d'une prévoyance vieillesse appropriée, son conjoint lui doit une contribution équitable. Le principe de l'indépendance financière prime le droit à l'entretien après le divorce. Il en découle pour l'époux un devoir de prendre ou reprendre une activité lucrative, ou encore d'étendre celle-ci. Un conjoint ne peut ainsi prétendre à une contribution d'entretien que si, en dépit des efforts que l'on peut raisonnablement attendre de lui, il n'est pas ou pas totalement en mesure de pourvoir lui-même à son entretien convenable (<ref-ruling> consid. 3.4.4; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 4; arrêt 5A_1572021 du 25 novembre 2021 consid 6.1). En principe, le devoir de se (ré) intégrer sur le marché du travail ou d'étendre une activité lucrative déjà existante s'impose également dès la séparation lorsque l'on ne peut plus compter sérieusement sur une reprise de la vie commune (<ref-ruling> consid. 3.4.4; <ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 3.1; <ref-ruling> consid. 3.2).
Pour fixer la contribution d'entretien, le juge doit en principe tenir compte du revenu effectif des parties, tant le débiteur d'entretien que le créancier pouvant néanmoins se voir imputer un revenu hypothétique supérieur. Il s'agit ainsi d'inciter la personne à réaliser le revenu qu'elle est en mesure de se procurer et qu'on peut raisonnablement exiger d'elle, la première de ces conditions relevant du fait et la seconde du droit (<ref-ruling> consid. 3.2; <ref-ruling> consid. 4.2.2.2; arrêt 5A_15/2021 du 25 novembre 2021 consid. 6.1 et la jurisprudence citée). Afin de déterminer si un revenu hypothétique peut être imputé, les circonstances concrètes de chaque cas sont déterminantes. Les critères dont il faut tenir compte sont notamment l'âge, l'état de santé, les connaissances linguistiques, la formation (passée et continue), l'expérience professionnelle, la flexibilité sur les plans personnel et géographique, la situation du marché du travail, etc. (<ref-ruling> consid. 5.6; <ref-ruling> consid. 3.2; arrêt 5A_1026/2021 du 27 janvier 2022 consid. 4.1).
Si le juge entend exiger d'un époux la prise ou la reprise d'une activité lucrative, ou encore l'extension de celle-ci, il doit généralement lui accorder un délai approprié pour s'adapter à sa nouvelle situation; ce délai doit être fixé en fonction des circonstances du cas particulier (<ref-ruling> consid. 2.2; <ref-ruling> consid. 5; arrêts 5A_192/2021 du 18 novembre 2021; 5A_484/2020 du 16 février 2021 consid. 5.1; 5A_534/2019 du 31 janvier 2020 consid. 4.1).
La détermination de la contribution d'entretien relève du pouvoir d'appréciation du juge du fait, qui applique les règles du droit et de l'équité (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 4; arrêt 5A_524/2020 du 2 août 2021 consid. 3.5). Il n'y a violation du droit fédéral que si le juge a abusé de ce pouvoir, en se référant à des critères dénués de pertinence ou en ne tenant pas compte d'éléments essentiels, ou encore si, d'après l'expérience de la vie, le montant arrêté paraît manifestement inéquitable (<ref-ruling> consid. 3a).
3.2. En l'espèce, l'autorité cantonale a considéré que le Tribunal avait retenu à raison que la vie professionnelle de l'intimée se composait pour l'essentiel d'activités temporaires ponctuées de périodes de chômage, tant au moment de la décision de mesures protectrices de l'union conjugale rendue en 2015 que durant la procédure de divorce, respectivement d'appel. Contrairement à ce que soutenait l'appelant, il ne pouvait être déduit des trois mois d'activité à 100% de l'intéressée en 2019 qu'elle fût concrètement en mesure de travailler à ce taux. Selon la décision de première instance, elle devait fournir tous les efforts nécessaires pour trouver un emploi fixe à 50% en fonction de ses capacités. Cette considération se justifiait par le fait que son diplôme d'esthéticienne n'était pas reconnu en Suisse, qu'elle n'avait travaillé que de manière temporaire - pour un revenu mensuel net moyen de 678 fr. 65 - et qu'au moment du prononcé du divorce, les enfants étaient âgés de 9 et 5 ans. Compte tenu de ces éléments, il convenait, selon l'autorité cantonale, de confirmer le jugement de première instance, qui accordait à l'épouse une période de transition de deux ans suivant sa notification - soit du 1er février 2019 au 1er février 2021 - pour trouver un emploi fixe à mi-temps.
Examinant ensuite si un revenu hypothétique pouvait être imputé à celle-ci à l'échéance de ce délai, l'autorité précédente a estimé qu'elle pouvait être astreinte à travailler à 50%, puis à 80% dès l'entrée de son fils cadet à l'école secondaire. Quant au montant de ce revenu, elle a jugé qu'il convenait de procéder à une estimation en fonction de ce qu'elle percevait par le passé en travaillant dans la restauration, dans la vente ou dans un hôpital. Se fondant sur le calculateur statistique de salaire fédéral Salarium, elle a retenu que, pour une femme au bénéfice d'un permis C, âgée de 38 ans, sans formation complète et sans expérience, travaillant à un taux de 50%, le revenu mensuel moyen, part au 13e salaire comprise, s'élevait à 2'023 fr. dans la restauration, à 2'345 fr. dans la vente, enfin, à 2'328 fr. en milieu hospitalier pour une activité hors soins et à 2'538 fr. pour une activité dans les soins, soit un montant de 2'308 fr. 50 brut et de l'ordre de 1'900 fr. net. Dès le 1er septembre 2026, correspondant à l'entrée au cycle d'orientation de son fils cadet, il pourrait être exigé d'elle qu'elle réalise un revenu mensuel net de l'ordre de 3'000 fr. pour une activité à 80% (1'900 x 80 / 50).
3.3. Vu ce qui précède, la critique du recourant selon laquelle l'autorité cantonale n'aurait pas déterminé quelle activité lucrative l'intimée pourrait raisonnablement exercer et quel revenu elle serait en mesure de réaliser se révèle manifestement infondée, étant précisé qu'il importe peu que cet examen ait été effectué après la confirmation du délai d'adaptation de deux ans.
En réalité, le recourant paraît surtout reprocher à l'autorité précédente d'avoir prévu une période de transition excessivement longue pour permettre à l'intimée de trouver un emploi fixe à 50%. S'il soutient à juste titre qu'un mariage qui a exercé une influence concrète sur la situation de l'un des époux ne conduit pas automatiquement à l'octroi d'une contribution d'entretien après le divorce et qu'il incombe en principe à l'époux concerné de s'insérer ou de se réinsérer sur le marché du travail, différents critères devant être pris en considération pour évaluer s'il en a concrètement la possibilité, il échoue cependant à démontrer que l'autorité cantonale aurait arbitrairement apprécié les preuves sur ce point ou violé les règles applicables à l'imputation d'un revenu hypothétique. Il se borne en effet à affirmer, de manière toute générale, que l'épouse a toujours exercé une activité lucrative, du moins à temps partiel et de manière temporaire, qu'elle ne pouvait ignorer, depuis la séparation ou, à tout le moins, depuis l'entrée à l'école du cadet des enfants, en août 2018, qu'il lui incombait de trouver un emploi fixe à 50% et qu'elle ne pouvait se contenter d'alterner activités temporaires, périodes de chômage et recours à l'aide sociale, les père et mère devant épuiser leur capacité maximale de travail s'agissant de l'entretien d'enfants mineurs. Selon lui, l'intimée avait tout loisir de trouver un emploi fixe ou de compléter sa formation pendant la durée du placement des enfants, soit du 1er octobre 2017 au 31 août 2019. Il relève encore qu'une période de six mois apparaît comme appropriée pour obtenir un diplôme d'esthéticienne reconnu en Suisse, pays dans lequel l'offre proposée permet même d'effectuer ce genre de formation en cours d'emploi.
Ce faisant, le recourant oppose sa propre appréciation des faits à celle retenue par les juges précédents, sans démontrer en quoi celle-ci serait insoutenable. On ne discerne pas non plus en quoi les principes applicables à l'imputation d'un revenu hypothétique auraient été violés, en particulier s'agissant du type d'activité raisonnablement exigible de l'intimée. A cet égard, le recourant n'établit d'ailleurs pas que celle-ci serait en mesure de réaliser, en tant qu'esthéticienne disposant d'un diplôme suisse, un revenu supérieur à celui qui a été retenu. Quant à savoir si le délai d'adaptation laissé à l'intimée est contraire au droit, son argumentation ne convainc pas, étant relevé que la fixation de ce délai dépend des circonstances du cas particulier et que, dans la mesure où la critique formulée par le recourant se résume à de simples affirmations, l'autorité cantonale ne peut se voir reprocher d'avoir abusé de son pouvoir d'appréciation. Vu ce qui précède, les allégations figurant au chiffre IV du recours, relatives au calcul du revenu hypothétique que l'intimée serait en mesure de réaliser au cours de différentes périodes, ne peuvent être prises en considération.
Autant qu'il est suffisamment motivé (art. 42 al. 2, 106 al. 2 LTF), le moyen se révèle par conséquent mal fondé.
4.
Le recourant reproche en outre à l'autorité cantonale d'avoir violé l'<ref-law>, les maximes d'office et inquisitoire illimitée ainsi que la jurisprudence récente du Tribunal fédéral " concernant la nouvelle méthode de calcul uniforme des contributions d'entretien du droit de la famille ". Il soutient qu'eu égard à cette jurisprudence, l'intimée devrait assumer l'entretien de l'aîné des enfants, dont il détient la garde exclusive, par le versement d'une contribution en ses mains.
Comme les conclusions prises à ce sujet dans le présent recours sont nouvelles et, par conséquent, irrecevables (<ref-law>; cf. supra consid. 2.3), il n'y a pas lieu d'entrer en matière sur ce moyen, qui n'est de surcroît guère motivé.
5.
En définitive, le recours doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Les conclusions du recourant étaient d'emblée vouées à l'échec, ce qui implique le rejet de sa demande d'assistance judiciaire (<ref-law>), ainsi que sa condamnation aux frais de la procédure fédérale, ceux-ci étant toutefois fixés en tenant compte de sa situation financière (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens à l'intimée, qui n'a pas été invitée à se déterminer (art. 68 al. 1 et 2 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la I e Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg.
Lausanne, le 9 mars 2022
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Herrmann
La Greffière : Mairot