Faits :
A.
A.a. Le 2 avril 2019, A._ a été désigné en qualité d'expert externe dans la procédure de qualification de deux candidats, dont l'apprentie B._, en vue de l'obtention d'un certificat fédéral de capacité dans la profession d'"Interactive Media Designer". L'examen oral de la candidate précitée a été fixé au 12 juin 2019.
A.b. Le 7 juin 2019, le chef-expert et président de la Commission de qualification a informé par téléphone A._ qu'il avait décidé, à la requête de la candidate B._, de prononcer sa récusation. A la demande de A._, ledit chef-expert a, par courriel du même jour, faisant référence à l'art. 62 du règlement d'application de la loi vaudoise du 9 juin 2009 sur la formation professionnelle (RLVLFPr/VD; RSVD 413.01.1) intitulé "Récusation" (<ref-law>), confirmé que l'intéressé était libéré de toute obligation vis-à-vis de l'évaluation de l'apprentie concernée.
Le même jour, par courriel adressé au chef-expert, A._ a contesté sa récusation et a demandé audit chef-expert d'annuler sa décision du 7 juin 2019. Il a par ailleurs préalablement requis que la procédure de qualification de la candidate concernée soit suspendue "jusqu'à décision définitive sur (...) [sa] récusation".
Par courriel du 8 juin 2019, le chef-expert a informé l'intéressé que c'était la Direction générale de l'enseignement postobligatoire du canton de Vaud (ci-après: la Direction générale) qui se déterminerait sur son opposition. Dans l'intervalle, sa décision était maintenue, sous réserve d'avis contraire de la part de la Direction générale.
A.c. Par courriel du 9 juin 2019 adressé au responsable des procédures de qualification de la Direction générale, A._ a déclaré recourir contre la décision de récusation du 7 juin 2019. Il se plaignait du défaut de motivation de celle-ci et concluait à la suspension de la procédure, à l'annulation de la décision litigieuse et à ce qu'il soit restauré dans sa fonction de juré, afin de pouvoir procéder à l'évaluation de la candidate concernée. Le recours a également été adressé à la Direction générale par courrier daté du 9 juin 2019 mais posté le 11 juin 2019.
B.
B.a. Par courriel du 11 juin 2019 adressé à A._, la Direction générale a répondu en confirmant la décision du chef-expert du 7 juin 2019, tout en précisant à l'intéressé que ses qualités d'expert n'étaient "pas remises en cause" et qu'il recevrait ses indemnités comme prévu initialement.
Par courriel du même jour, A._ a requis de la Direction générale qu'elle lui communique sa décision en bonne et due forme, par écrit, à son adresse, avec indication des motifs et des voies de recours, à l'encontre de laquelle il annonçait vouloir faire recours. Il a réitéré sa demande le 13 juin 2013.
B.b. L'examen de la candidate B._ s'est tenu le 12 juin 2019, sans la présence de A._ (<ref-law>).
B.c. Par courrier du 28 juin 2019, le Département de la formation, de la jeunesse et de la culture du canton de Vaud (ci-après: le Département cantonal) a accusé réception du recours du 9/11 juin 2019 de A._, qui lui avait été transmis par la Direction générale comme objet de sa compétence, et a imparti à l'intéressé un délai au 9 juillet 2019 pour produire une copie du document incriminé, ainsi que pour procéder au paiement de l'avance de frais, à défaut de quoi il était précisé qu'il ne serait pas entré en matière sur son recours.
Par courrier du 29 juin 2019, A._ a en substance informé le Département cantonal qu'il n'avait jamais reçu de la part de ce dernier de décision formelle concernant sa récusation, qu'il répétait dès lors sa demande "réitérée mais non entendue" d'obtenir une décision sur sa récusation respectant les formes exigées par l'art. 42 la loi vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative (LPA/VD; RSVD 173.36) et que, tant qu'une décision dûment motivée contre laquelle il pourrait recourir ne serait pas rendue, le délai et l'avance de frais ne sauraient s'appliquer. Il réservait pour le surplus ses droits s'agissant d'un recours en déni de justice formel.
Le 8 juillet 2019, le Département cantonal a répondu qu'il ne lui appartenait pas, dans l'éventualité où l'acte contre lequel était dirigé son recours devait être considéré comme une décision au sens de l'art. 3 LPA/VD, de "pallier un éventuel non-respect des formes prescrites par l'art. 42 LPA/VD". Il ne pouvait dès lors pas être donné suite à sa demande tenant à obtenir une décision formelle en ce sens. Au surplus, le délai pour procéder au paiement de l'avance de frais et pour produire tout document relatif à l'acte incriminé était prolongé au 15 juillet 2019.
Par acte du 11 juillet 2019, A._ a saisi la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Tribunal cantonal) d'un recours pour déni de justice formel visant "l'acte" ou la "décision" du 11 juin 2019 de la Direction générale (cause GE.2019.0150), par lequel il concluait à ce qu'il soit enjoint au Département cantonal de rendre une décision formelle sur sa récusation.
B.d. Le 29 août 2019, le Département cantonal a rendu une décision de non-entrée en matière sur le recours de A._ du 9 juin 2019, faute de paiement de l'avance de frais dans le délai imparti.
Par acte du 30 septembre 2019, l'intéressé a également recouru au Tribunal cantonal contre la décision précitée (cause GE.2019.0207).
B.e. Par arrêt du 13 janvier 2020, après avoir joint les causes GE.2019.0150 et GE.2019.0207, le Tribunal cantonal a rejeté, dans la mesure de leur recevabilité, le recours pour déni de justice formel ainsi que celui dirigé contre la décision du Département cantonal du 29 août 2019. S'agissant du premier recours, après avoir notamment laissée ouverte la question de la qualité pour recourir du recourant, les juges cantonaux ont considéré que le Département cantonal n'était pas compétent pour pallier aux carences formelles de la décision de récusation de l'intéressé en rendant une décision formelle susceptible de recours à ce sujet, dans la mesure où il était précisément l'autorité de recours contre les décisions fondées sur la LVLFPr/VD. Aucun déni de justice ne pouvait dès lors, sous cet angle, être reproché audit Département. Le recourant pouvait en revanche se plaindre devant le Département cantonal d'un déni de justice formel en ce que la décision de récusation litigieuse ne contenait notamment aucune motivation, ce qu'il avait du reste fait. Toutefois, dans la mesure où il n'avait pas payé l'avance de frais, la décision d'irrecevabilité du Département cantonal du 29 août 2020, objet de son deuxième recours, ne prêtait pas le flanc à la critique.
C.
Agissant par la voie du recours constitutionnel subsidiaire, A._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et de dépens, d'annuler l'arrêt du 13 janvier 2020 du Tribunal cantonal, de constater le déni de justice formel pour défaut de motivation de la décision du 11 juin 2019 rendue par le responsable des procédures de qualification de la Direction générale, en ce qu'elle maintenait la décision de récusation du 7 juin 2010 [recte: 2019] prise par le chef-expert à son encontre et, enfin, de condamner le Département cantonal à rendre une décision de récusation de manière motivée et dans le respect des formes légales; subsidiairement, d'annuler l'arrêt entrepris, de constater le déni de justice formel pour défaut de motivation de la décision du 11 juin 2019 et d'inviter le Tribunal cantonal à rendre une décision dans le sens des considérants.
Le Tribunal cantonal s'en remet à l'appréciation du Tribunal fédéral s'agissant de la recevabilité du recours et conclut à son rejet. Le Département cantonal dépose une réponse et conclut au rejet du recours. Le recourant formule des observations.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. A titre liminaire, il convient de cerner l'objet du litige, dans la mesure où l'arrêt attaqué porte sur deux recours distincts interjetés par le recourant. Dans le premier déposé, l'intéressé a directement saisi le Tribunal cantonal pour se plaindre d'un déni de justice formel, en ce que sa récusation avait été prononcée par le biais d'une décision ne répondant pas aux exigences formelles précisées par l'art. 42 LPA/VD, s'agissant notamment de sa motivation, irrégularités auxquelles le Département cantonal avait refusé de pallier en rendant une décision formelle en la matière. Dans le second, le recourant a contesté la décision de non-entrée en matière rendue par ledit Département, faute pour l'intéressé d'avoir payé l'avance de frais requise, sur le recours que ce dernier avait interjeté contre sa récusation.
Il ressort des conclusions du recourant que l'intéressé ne s'en prend plus à la confirmation, par le Tribunal cantonal, de la décision du Département cantonal du 29 août 2019 déclarant son recours irrecevable, mais uniquement au rejet de son recours pour déni de justice formel. L'objet du présent litige se limite ainsi au grief de déni de justice, respectivement d'application arbitraire du droit cantonal, sous forme de refus du Département cantonal, confirmé par le Tribunal cantonal, de rendre une décision formelle sur la récusation du recourant.
1.2. L'arrêt entrepris est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF).
1.2.1. La question de savoir si le recours doit être analysé par le Tribunal fédéral comme un recours en matière de droit public ou comme un recours constitutionnel subsidiaire peut rester indécise, dans la mesure où seules sont invoquées des dispositions de droit constitutionnel, à savoir les garanties générales de procédure (art. 29 Cst.), ainsi que l'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application du droit cantonal. Les conditions de motivation sont, en effet, les mêmes, s'agissant de ces normes, pour les deux recours et le pouvoir d'examen du Tribunal fédéral ne diffère pas, étant précisé que même s'il n'a pas qualité pour agir au fond, le recourant peut se plaindre par la voie du recours constitutionnel subsidiaire de la violation de ses droits de partie équivalant à un déni de justice formel, pour autant qu'il s'agisse de moyens pouvant être séparés du fond (<ref-ruling> consid. 1.1; <ref-ruling> consid. 2).
1.2.2. Point n'est besoin non plus de déterminer, sous l'angle de la qualité pour recourir, si la jurisprudence développée sous l'empire de la loi fédérale du 16 décembre 1943 d'organisation judiciaire (OJ; RO 60 269) en lien avec l'ancien recours de droit public - qui nie tout intérêt juridiquement protégé de la personne récusée à recourir contre cette décision, dans la mesure où elle n'est pas atteinte dans sa situation personnelle, mais uniquement visée comme membre d'une autorité, et ne peut ainsi se prévaloir de la violation de ses droits constitutionnels (cf. <ref-ruling> p. 267 s.) - permettrait également de nier l'existence d'un intérêt juridique au sens de l'<ref-law>, respectivement, comme l'a envisagé l'autorité précédente sous l'angle de l'art. 75 let. a LPA/VD, dont le contenu correspond à celui de l'art. 89 al. 1 let. c LTF, d'un intérêt digne de protection au sens de cette dernière disposition.
En effet, que l'on envisage la qualité pour recourir sous l'angle du recours en matière de droit public ou du recours constitutionnel subsidiaire, l'intérêt du recourant doit être actuel (cf. <ref-ruling> consid. 4.2 en lien avec l'<ref-law>; arrêt 2D_42/2016 du 3 octobre 2017 consid. 1.2 en lien avec l'<ref-law>). Cette exigence vaut aussi lorsqu'est invoqué un déni de justice formel; en ce cas, le recourant doit au moins justifier d'un intérêt actuel et digne de protection à ce que son grief (formel) soit examiné, intérêt qui se mesure à l'aune de l'objectif poursuivi par le dépôt de son recours ainsi qu'à la lumière des effets et de la portée possible d'une admission du recours (cf. <ref-ruling> consid. 1.2; arrêt 2D_21/2018 du 19 février 2019 consid. 2.4 et l'arrêt cité).
L'intérêt actuel fait en particulier défaut lorsque la décision attaquée a été exécutée ou est devenue sans objet (<ref-ruling> consid. 5b; <ref-ruling> consid. 1a; arrêt 1B_290/2020 du 4 août 2020 consid. 2.2). Il est exceptionnellement fait abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel lorsque la contestation peut se reproduire en tout temps dans des circonstances identiques ou analogues, que sa nature ne permet pas de la trancher avant qu'elle ne perde son actualité et que, en raison de sa portée de principe, il existe un intérêt public suffisamment important à la solution de la question litigieuse (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 1.1). Il en va de même dans des circonstances très particulières, si le recourant formule de façon défendable un grief de violation manifeste de la CEDH (<ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 4.3.1 et 4.3.4).
1.3. A l'appui de sa qualité pour recourir, le recourant, qui ne conteste pas que la procédure de qualification à laquelle il devait participer en tant qu'expert s'est tenue le 12 juin 2019 et que la décision de récusation dont il a fait l'objet a, partant, déjà déployé ses effets, affirme continuer à disposer d'un intérêt actuel à obtenir une décision formelle susceptible de recours sur sa récusation, du fait que cette dernière laisserait "planer un doute" sur son comportement ou sa probité, notamment auprès des établissements scolaires, et continuerait à lui provoquer un préjudice économique sous la forme d'un manque à gagner dû au non-paiement des indemnités qu'il aurait pu percevoir s'il avait participé à l'examen.
1.4. On ne voit pas, quoi qu'en dise le recourant, en quoi ce dernier aurait encore un intérêt actuel à recourir.
En effet, comme le recourant l'admet lui-même, la décision de récusation a, en tout état, été exécutée et a produit ses effets, dès lors que l'examen oral que l'intéressé devait évaluer s'est déroulé le 12 juin 2019. Sous cet angle, l'intérêt du recourant à obtenir une décision motivée concernant sa récusation, afin de pouvoir recourir à son encontre, n'est plus actuel.
S'il faut par ailleurs comprendre des allégations de l'intéressé qu'il craint que la récusation dont il a fait l'objet entache sa réputation auprès des établissements scolaires et amène ceux-ci à ne plus le mandater comme expert, il ne s'agit que de pures hypothèses; rien n'indique ou ne laisse prévoir que tel serait le cas. Le responsable des procédures de qualification de la Direction générale a au demeurant souligné, dans sa décision du 11 juin 2019, que les qualités d'expert du recourant - seules pertinentes lorsqu'il s'agit de procéder à l'évaluation des apprentis - n'étaient pas remises en cause, l'intéressé ne contestant par ailleurs pas avoir pu expertiser, comme prévu, la procédure de qualification d'un autre apprenti.
Enfin, s'agissant des prétentions pécuniaires soulevées par l'intéressé, il ressort des constatations cantonales que celui-ci a été intégralement indemnisé pour les activités qu'il a effectivement accomplies en qualité d'expert. Le recourant ne remet pas en cause ce qui précède, mais affirme que l'annulation de l'arrêt entrepris lui permettrait de réclamer des dommages-intérêts pour le "manque à gagner injustifié de l'examen" causé par sa récusation. L'intéressé perd toutefois de vue que l'objet du présent litige ne porte pas sur le contrôle de la régularité de la procédure de récusation, par laquelle il aurait pu faire constater l'illicéité de celle-ci en vue d'une éventuelle action en dommages-intérêts; un tel examen relevait en effet du recours que l'intéressé avait interjeté auprès du Département cantonal et que ce dernier a déclaré irrecevable, faute de paiement de l'avance de frais. Dès lors que le recourant ne remet pas en cause ladite décision de non-entrée en matière, il ne saurait se prévaloir d'un quelconque intérêt actuel à faire valoir des prétentions qui ne font pas l'objet de la présente procédure.
1.5. Au surplus, rien ne permet de retenir, et le recourant ne le démontre pas non plus, que les conditions cumulatives permettant exceptionnellement de faire abstraction de l'exigence d'un intérêt actuel, notamment un intérêt public suffisamment important à la résolution du litige, seraient réunies en l'espèce (cf. supra consid. 1.2.2 in fine).
1.6. Il découle de ce qui précède que le recours, qu'il soit considéré comme recours en matière de droit public ou comme recours constitutionnel subsidiaire, doit être déclaré irrecevable, faute d'intérêt actuel à celui-ci.
2.
Les frais judiciaires seront mis à la charge du recourant, qui succombe (<ref-law>). Il n'est pas alloué de dépens à l'autorité intimée, qui a obtenu gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles (<ref-law>).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, au Département de la formation, de la jeunesse et de la culture du canton de Vaud, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à la Direction générale de l'enseignement postobligatoire, Unité affaires juridiques, Lausanne.
Lausanne, le 10 février 2021
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Rastorfer