Sachverhalt:
A.
A.a. Seit dem 1. Juli 2013 hat B._ Anspruch auf eine Viertelsrente der Invalidenversicherung (Verfügung der IV-Stelle des Kantons Graubünden vom 20. November 2015).
A.b. Im Rahmen des eingeleiteten Scheidungsverfahrens zwischen B._ und A._ wurde Ersterer am 7. Juli 2016 vom Bezirksgericht Luzern verpflichtet, Letzterer an den Unterhalt des gemeinsamen Sohnes C._, geboren 2010, monatlich Fr. 1370.- (nebst der Kinderrente der Invalidenversicherung, die direkt an sie ausgerichtet wird) und Fr. 380.- für sie persönlich zu bezahlen. Mit eheschutzrechtlichem Entscheid vom 4. Mai 2017 wies das Bezirksgericht Luzern die Sozialversicherungsanstalt des Kantons Zürich (SVA) an, von der monatlichen Invalidenrente des B._ jeweils Fr. 432.- - für nicht bevorschussten Unterhalt für C._ - direkt an A._ zu überweisen.
A.c. Am 21. Juni 2017 teilte die SVA, IV-Stelle, A._ mittels Vorbescheid mit, dass sie der zivilgerichtlichen Schuldneranweisung nicht folgen und dem Gesuch um Drittauszahlung der Rente nicht stattgeben könne. Die Kinderrente werde jedoch wie bis anhin an A._ überwiesen. Am 29. September 2017 wies das Kantonsgericht Luzern die Berufung des B._ gegen den Entscheid des Bezirksgerichts Luzern vom 4. Mai 2017 ab. Am 11. Dezember 2017 verfügte die IV-Stelle, die Rente werde weiterhin vollumfänglich an B._ ausgerichtet.
B.
Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 22. Mai 2019 gut und hob die Verfügung vom 11. Dezember 2017 auf.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle die Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und die Bestätigung der Verfügung vom 11. Dezember 2017. Es sei festzustellen, dass die Drittauszahlung der Invalidenrente von B._ an A._ gemäss der Schuldneranweisung vom 4. Mai 2017 (Bezirksgericht Luzern, bestätigt am 29. September 2017 durch das Kantonsgericht Luzern) mangels gesetzlicher Grundlage nicht möglich sei. Ebenfalls sei festzustellen, dass die Ausgleichskasse in der vorliegenden Angelegenheit zu Recht eine Feststellungsverfügung erlassen habe.
A._ beantragt die Abweisung der Beschwerde sowie die unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
1.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>), ohne Bindung an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente oder die Erwägungen der Vorinstanz. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Unter Berücksichtigung der allgemeinen Begründungspflicht der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) prüft das Bundesgericht indes grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern eine Rechtsverletzung nicht geradezu offensichtlich ist (<ref-ruling> E. 2.3 S. 23 f. mit Hinweisen).
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob die IV-Stelle aufgrund der Schuldneranweisung (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>) des Bezirksgerichts Luzern - rechtskräftig bestätigt durch das Kantonsgericht Luzern - verpflichtet ist, von der Invalidenrente des B._ monatlich Fr. 432.- direkt der Beschwerdegegnerin zu überweisen.
2.1. Das Sozialversicherungsgericht stellte fest, das Kantonsgericht Luzern habe in seinem Entscheid vom 29. September 2017 die verwaltungsrechtliche Vorfrage nach der Zulässigkeit einer Schuldneranweisung an die IV-Stelle bejaht. Schwerwiegende Mängel seien dabei nicht erkennbar. Die Vorinstanz erwog, die Anweisungen des Zivilrichters über die Auszahlung der Renten seien für die Ausgleichskassen bereits gemäss Wegleitung des BSV über die Renten (RWL) in der Eidgenössischen Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenversicherung, gültig ab 1. Januar 2003 (Stand 1. Januar 2017; Rz. 10051 bis 10053) verbindlich. Im Übrigen handle es sich bei der Schuldneranweisung um eine privilegierte Zwangsvollstreckungsmassnahme sui generis, die in unmittelbarem Zusammenhang zum Zivilrecht stehe. Eine Zuordnung zum öffentlichen Recht des Bundes im Sinne von <ref-law> stehe folglich nicht zur Diskussion. Damit sei die Frage, ob die IV-Stelle die Invalidenrente des B._ im Umfang der Schuldneranweisung an die Beschwerdegegnerin auszuzahlen habe, einer Verfügung im Sinne von <ref-law> gar nicht zugänglich.
2.2. Die IV-Stelle rügt, gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung sei <ref-law> wortgetreu auszulegen. Die Voraussetzungen des entsprechenden Artikels seien hier nicht erfüllt, da keine Unterstützungspflicht seitens der Beschwerdegegnerin für B._ vorliege. Der durch die Vorinstanz bestätigten Schuldneranweisung fehle es somit an einer gesetzlichen Grundlage. Ferner weist die IV-Stelle darauf hin, dass die zivilgerichtliche Anordnung einer sozialversicherungsrechtlichen Rückforderungsmöglichkeit nach <ref-law> entgegenstehe, was problematisch erscheine. Zu den Rz. 10051-10053 RWL bringt die IV-Stelle vor, Weisungen seien zwar für die Verwaltungsbehörden verbindlich. Allerdings seien die genannten Randziffern der Weisung bzw. deren Entstehungsgeschichte unklar, weshalb nicht ohne Weiteres darauf abgestellt werden könne. Ausserdem sei die Schlussfolgerung des kantonalen Gerichts, der hier vorliegende Sachverhalt sei einer Verfügung im Sinne von <ref-law> gar nicht zugänglich, nicht korrekt. Denn im ATSG werde die Drittauszahlung von Leistungen geregelt, weshalb eine Verfügung über eine nicht mit den sozialversicherungsrechtlichen Grundlagen im Einklang stehende Schuldneranweisung möglich sein müsse.
3.
3.1.
3.1.1. Unter dem Titel "Gewährleistung zweckmässiger Verwendung" normiert <ref-law>, dass Geldleistungen ganz oder teilweise einem geeigneten Dritten oder einer Behörde ausbezahlt werden können, der oder die der berechtigten Person gegenüber gesetzlich oder sittlich unterstützungspflichtig ist oder diese dauernd fürsorgerisch betreut, sofern: (a) die berechtigte Person die Geldleistungen nicht für den eigenen Unterhalt oder für den Unterhalt von Personen, für die sie zu sorgen hat, verwendet oder dazu nachweisbar nicht im Stande ist; und (b) die berechtigte Person oder Personen, für die sie zu sorgen hat, aus einem Grund nach Buchstabe a auf die Hilfe der öffentlichen oder privaten Fürsorge angewiesen sind.
3.1.2. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung ist <ref-law> wortgetreu auszulegen, d.h., der Kreis der empfangsberechtigten Personen richtet sich nach dem Wortlaut der Bestimmung. Daher ist keine Drittauszahlung möglich an Personen, welche gegenüber der berechtigten Person nicht unterstützungspflichtig, sondern unterstützungsberechtigt sind (Urteil 5P.474/2005 vom 8. März 2006 E. 1 und E. 2.3; <ref-ruling> E. 4.4 S. 246; MARC HÜRZELER/BARBARA LISCHER, in: Basler Kommentar, Allgemeiner Teil des Sozialversicherungsrechts, 2020, N. 9 zu <ref-law>).
3.1.3. Im vorliegenden Fall liegt die Drittauszahlung an die Beschwerdegegnerin, die gegenüber B._ nicht unterstützungspflichtig, sondern unterstützungsberechtigt ist, im Streit. Ist rechtsprechungsgemäss (E. 3.1.2) vom Wortlaut des <ref-law> auszugehen, ist die hier vorliegende Konstellation davon nicht erfasst und der entsprechende Artikel folglich nicht einschlägig.
3.2.
3.2.1. Gesetzliche Grundlage für die (rechtskräftige) zivilgerichtliche Schuldneranweisung bildet - ob im Eheschutzverfahren (vgl. E. 2) oder im Scheidungsurteil (vgl. <ref-law>) - <ref-law>. Sein Zweck ist die Sicherung des Unterhalts- oder Unterstützungsbeitrages der unterstützungsberechtigten Personen (vgl. MARTINA PATRICIA STEINER, Die Anweisungen an die Schuldner, Die Voraussetzungen der Massnahmen nach Art. 132 Abs. 1, Art. 177 und <ref-law> sowie <ref-law>, in: LBR - Luzerner Beiträge zur Rechtswissenschaft Band/Nr. 101 Rz. 255 mit Hinweis). Das Bezirksgericht Luzern, bestätigt durch das Kantonsgericht Luzern, hat mit der Schuldneranweisung keinen eigenständigen Anspruch der Beschwerdegegnerin auf einen Teil der Invalidenrente des B._ oder auf die Kinderrente im Sinne eines Gläubigerwechsels begründet, sondern lediglich den Zahlungsmodus geregelt (<ref-ruling> E. 4.5 S. 247).
3.2.2. Die Schuldneranweisung beinhaltet eine Inkassoermächtigung in Vertretung der ehelichen Gemeinschaft. Zur Durchsetzung dieser Inkassoermächtigung stehen der Beschwerdegegnerin alle Rechtsbehelfe im Sinne einer Prozessstandschaft zur Verfügung. Sie kann somit den ihrem Ehemann zustehenden Anspruch in eigenem Namen - als Partei - gerichtlich durchsetzen. Die Schuldneranweisung ist auch gegenüber einem Sozialversicherer zulässig, weshalb sich die Prozessstandschaft auch im sozialversicherungsrechtlichen Verwaltungsverfahren auswirkt (Urteil 8C_192/2008 vom 8. April 2009 E. 4.3.1, in: SVR 2009 UV Nr. 42 S. 145 mit Hinweisen auf die Rechtsprechung und Literatur). Wie die IV-Stelle richtig vorbringt, folgen im soeben zitierten Entscheid im Anschluss an die Ausführungen zur Schuldneranweisung und Inkassoermächtigung Formulierungen zur Akteneinsicht nach <ref-law>. Die Erwägungen zu Art. 177 bzw. <ref-law> sind jedoch allgemeiner Natur und nicht spezifisch auf <ref-law> ausgerichtet, weshalb sie auch im vorliegenden Fall Gültigkeit haben.
3.2.3. Somit kann die Beschwerdegegnerin die Drittauszahlung auf der Grundlage der Schuldneranweisung an sich selber verlangen (<ref-ruling> E. 4.5 S. 247). Daran vermag der Umstand, dass die zivilgerichtliche Anordnung (Anspruch auf Drittauszahlung mit entsprechender Schuldneranweisung) einer sozialversicherungsrechtlichen Rückforderungsmöglichkeit nach <ref-law> der Beschwerdegegnerin gegenüber entgegensteht (<ref-ruling> E. 4.6.1 S. 247 f.), nichts zu ändern. Bei der Auslegung sozialversicherungsrechtlicher Regelungen mit Anknüpfung an familienrechtliche Tatbestände (wie Ehe, Verwandtschaft oder Vormundschaft) ist rechtsprechungsgemäss davon auszugehen, dass der Gesetzgeber vorbehältlich gegenteiliger Anordnungen die zivilrechtliche Bedeutung des jeweiligen Instituts im Blickfeld hatte, zumal das Familienrecht für das Sozialversicherungsrecht Voraussetzung ist und diesem grundsätzlich vorgeht (<ref-ruling> E. 4.1 S. 310 mit weiteren Hinweisen).
3.3. Die IV-Stelle ist im Verfahren betreffend die Schuldneranweisung nicht Partei gewesen. Folglich hat sie keine Möglichkeit gehabt, sich dort einzubringen. Sie macht zu Recht geltend, dass es stossend sei, wenn sie an zivilrechtlich rechtskräftige Entscheide gebunden wäre, die schwerwiegende Mängel aufweisen würden. Hierzu ist festzuhalten, dass die Vorinstanz den Entscheid des Kantonsgerichts Luzern vom 29. September 2017 auf schwerwiegende Mängel untersucht und das Vorliegen von solchen verneint hat. Die IV-Stelle bringt im letztinstanzlichen Verfahren nicht vor, dass die Schuldneranweisung an sich an schweren Mängeln leidet. Sie bezieht sich stattdessen unter anderem auf eine materielle Voraussetzung der Schuldneranweisung (Wahrung des Existenzminimums von B._) und überprüft diese neu, was nicht genügt, um einen schwerwiegenden Mangel aufzuzeigen (vgl. dazu ULRICH HÄFELIN/GEORG MÜLLER/FELIX UHLMANN, Allgemeines Verwaltungsrecht, 7. Aufl., 2016, S. 244 Rz. 1128 ff.). Ein solcher ist denn auch nicht ersichtlich. Soweit sich die von der IV-Stelle geltend gemachten Mängel der Schuldneranweisung auf <ref-law> beziehen, kann sie mit Blick auf das in Erwägung 3.1 und 3.2 Gesagte nichts zu ihren Gunsten ableiten.
4.
4.1. Die Beschwerde ist unbegründet und der vorinstanzliche Entscheid im Ergebnis zu bestätigen. Auf die weiteren Einwände der IV-Stelle wie auch auf die Frage, ob die Verwaltung bereits aufgrund der RWL verpflichtet gewesen wäre, die Drittauszahlung vorzunehmen (vgl. E. 2.1), ist nicht weiter einzugehen.
4.2. Ausserdem ist auf die Feststellungsanträge der IV-Stelle nicht einzutreten. An einer (separaten) Beurteilung besteht kein schutzwürdiges Interesse, da die Fragen, ob die Drittauszahlung der Invalidenrente gemäss Schuldneranweisung möglich sei, und ob die Verwaltung in der vorliegenden Angelegenheit zu Recht eine Feststellungsverfügung erlassen habe, bereits im Antrag auf Aufhebung des angefochtenen Entscheids und der Bestätigung der Verfügung vom 11. Dezember 2017 enthalten sind.
5.
Die unterliegende IV-Stelle hat in diesem Verfahren nicht im eigenen Vermögensinteresse gehandelt, sondern zwischen den Vermögensinteressen der Beschwerdegegnerin und denjenigen des B._ entschieden; sie trägt daher keine Kosten (<ref-law>; vgl. Urteil 9C_806/2007 vom 20. Oktober 2008 E. 5, in: SZS 2009 S. 131). Sie hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung auszurichten (<ref-law>). Diese wird gemäss Honorarnote des Rechtsvertreters auf Fr. 3364.20 festgesetzt.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Rechtsvertreter der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3364.20 zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich, B._ und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 14. Mai 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Huber