Faits :
A.
En 2015, A._ a confié la défense de ses intérêts à l'Etude E._ SA dans le cadre d'un arbitrage impliquant un E tat étranger.
D._ et B._ sont avocats au sein de l'Etude E._ SA et ont représenté les intérêts de A._ dans le cadre de l'arbitrage précité. C._, également avocat dans cette étude, est chargé du recouvrement des honoraires impayés réclamés à l'intéressé.
Le 20 février 2020, l'Etude E._ SA et A._ ont conclu un settlement agreement, soit une convention relative aux honoraires (ci-après: la convention ou le settlement agreement). Un échéancier de paiement était concédé à l'intéressé pour s'acquitter d'une dette de 600'000 francs d'honoraires. La convention constituait un titre de mainlevée provisoire en cas de défaut de paiement. Une clause de confidentialité et une autre consacrée à l'arbitrage en cas de litige en lien avec la conclusion, l'interprétation et l'exécution de la convention étaient en outre prévues.
A des dates non précisées, A._ s'est acquitté de deux acomptes d'honoraires en exécution de la convention à hauteur de 8'500 francs chacun.
Le 11 septembre 2020, à la suite de l'interruption des paiements, l'Etude E._ SA a sans succès demandé à A._ de délier ses avocats de leur secret professionnel en vue du recouvrement du solde des honoraires impayés.
B.
Le 9 octobre 2020, D._, B._ et C._ ont déposé auprès de la Commission du barreau de la République et canton de Genève (ci-après: la C ommission) une demande visant à la levée de leur secret professionnel à l'égard de A._.
Par décision du 7 mai 2021, le Bureau de la Commission a délié les avocats précités de leur secret professionnel à l'égard de A._.
Par décision du 14 juin 2021, la Commission plénière, saisie par A._, a maintenu la décision de son Bureau de délier les avocats de leur secret professionnel.
Par arrêt du 23 novembre 2021, la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours interjeté par A._ à l'encontre de la décision de la Commission plénière du 14 juin 2021.
C.
A._ dépose un recours en matière de droit public devant le Tribunal fédéral. Il demande, outre l'octroi de l'effet suspensif, la réforme de l'arrêt du 23 novembre 2021 de la Cour de justice, de la décision du 14 juin 2021 de la Commission plénière et de la décision du 7 mai 2021 du Bureau de la Commission, en ce sens que la demande de levée du secret professionnel est rejetée, ou subsidiairement, en ce sens que D._, B._ et C._ sont déliés de leur secret professionnel uniquement dans le cadre strict d'une procédure d'arbitrage. Plus subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause à la Cour de justice pour nouvelle décision.
Par ordonnance du 18 janvier 2022, la Présidente de la IIe Cour de droit public du Tribunal fédéral a octroyé l'effet suspensif au recours.
La Cour de justice s'en rapporte à justice quant à la recevabilité du recours et persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. La Commission s'en réfère à sa décision du 14 juin 2021. L'Office fédéral de la justice renonce à prendre position. D._, B._ et C._ (ci-après: les intimés) concluent au rejet du recours. Le recourant persiste dans ses conclusions.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office sa compétence (<ref-law>) et contrôle librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1).
1.1. Le recours en matière de droit public est ouvert contre les décisions ayant pour objet la levée du secret professionnel de l'avocat (cf. art. 82 let. a et 83 a contrario LTF; arrêt 2C_586/2015 du 9 mai 2016 consid. 1.1 non publié in <ref-ruling>).
1.2. Pour le reste, l'arrêt attaqué est une décision finale (<ref-law>), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF). Le recourant, qui est destinataire de l'arrêt attaqué, dispose d'un intérêt digne de protection à la modification de celui-ci. Partant, la qualité pour recourir doit lui être reconnue (<ref-law>). En outre, le recours a été déposé en temps utile (art. 46 al. 1 let. c et 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (<ref-law>). Il convient dès lors d'entrer en matière, sous réserve de ce qui suit.
1.3. Dans la mesure où le recourant demande la réforme de la décision du 14 juin 2021 de la Commission plénière et de la décision du 7 mai 2021 du Bureau de la Commission, ses conclusions sont irrecevables en raison de l'effet dévolutif complet du recours déposé auprès de la Cour de justice (cf. <ref-ruling> consid. 1.2).
2.
2.1. Saisi d'un recours en matière de droit public, le Tribunal fédéral examine librement la violation du droit fédéral (cf. art. 95 let. a et 106 al. 1 LTF). Toutefois, les griefs de violation des droits fondamentaux sont soumis à des exigences de motivation accrue (cf. <ref-law>). La partie recourante doit indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés (<ref-ruling> consid. 3; <ref-ruling> consid. 2.1; <ref-ruling> consid. 1.3).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits établis par l'autorité précédente (<ref-law>), sous réserve des cas prévus à l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 4.4.3). La partie recourante ne peut critiquer les constatations de fait ressortant de la décision attaquée que si celles-ci ont été effectuées en violation du droit au sens de l'<ref-law> ou de manière manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 6). Conformément à l'<ref-law>, la partie recourante doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées. A défaut, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait qui diverge de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (<ref-ruling> consid. 2; <ref-ruling> consid. 5.1).
En l'occurrence, dans une partie "Faits" de son mémoire de recours et à l'appui de son raisonnement juridique, le recourant présente sa propre vision des faits qui diverge sur plusieurs points de l'état de fait retenu par la Cour de justice. En tant que les faits ainsi allégués ne sont pas constatés dans l'arrêt attaqué, sans que le recourant ne s'en plaigne sous l'angle de l'arbitraire, il n'en sera pas tenu compte. Seuls les griefs suffisamment motivés en lien avec l'établissement des faits seront donc examinés (cf. infra consid. 3).
3.
Le recourant se plaint d'une constatation manifestement inexacte des faits et d'une appréciation arbitraire des preuves.
3.1. Il y a arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (cf. <ref-ruling> consid. 1.3.1; <ref-ruling> consid. 3.6.2). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont arbitraires (<ref-ruling> consid. 1.4.3).
3.2. En l'espèce, le recourant reproche à la Cour de justice de ne pas avoir tenu compte de tous les éléments de preuve qu'il a produits pour démontrer l'existence d'un risque concret et actuel pour ses intérêts, si les détails du litige qui l'oppose à ses précédents conseils étaient révélés. Or, force est de constater qu'à l'appui de sa critique, le recourant développe sa propre version des faits et des éléments de preuve qu'il tient pour concluants, en opposant son appréciation à celle développée par la Cour de justice, ce qui ne saurait suffire à faire tenir cette dernière pour arbitraire.
Par ailleurs, le recourant fait valoir que l'autorité précédente aurait dû tenir compte, dans sa pesée des intérêts, de la négligence qu'il reproche aux intimés, ainsi que des clauses de confidentialité et d'arbitrage contenues dans le settlement agreement. L'arrêt aurait à tort renvoyé le recourant à faire valoir ces critiques dans le cadre du procès au fond portant sur le paiement des honoraires. Ce faisant, le recourant ne se plaint pas d'une constatation arbitraire des faits, mais de l'appréciation juridique de ces faits dans le cadre de la pesée des intérêts en présence opérée par la Cour de justice. Il s'agit d'une problématique qui relève du droit et non des faits (arrêt 1C_357/2020 du 18 mars 2021 consid. 3.2; cf. infra consid. 4.4).
Partant, le grief tiré de l'établissement arbitraire des faits doit être écarté. Le Tribunal fédéral statuera donc exclusivement sur la base des faits retenus par la Cour de justice.
4.
Le recourant soutient que l'autorité précédente aurait violé les dispositions légales applicables à la levée du secret professionnel de l'avocat, soit en particulier l'art. 13 de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61).
4.1. A teneur de l'<ref-law>, l'avocat est soumis au secret professionnel pour toutes les affaires qui lui sont confiées par ses clients dans l'exercice de sa profession; cette obligation n'est pas limitée dans le temps et est applicable à l'égard des tiers. La violation du secret professionnel de l'avocat est passible de sanctions tant pénales (<ref-law>) que disciplinaires (<ref-law>). Parmi les faits justificatifs qui, en droit pénal, remédient à l'illicéité d'un acte en principe punissable, l'<ref-law> mentionne le consentement de l'intéressé ou l'autorisation écrite de l'autorité supérieure ou de l'autorité de surveillance obtenue sur demande du détenteur du secret.
Parmi les éléments couverts par le secret professionnel, figure l'existence d'un mandat entre l'avocat et son client. Ainsi, pour procéder en justice afin d'obtenir le paiement de ses honoraires, l'avocat doit obtenir la levée préalable de son secret professionnel (arrêts 2C_101/2019 du 18 février 2019 consid. 4.1; 2C_439/2017 du 16 mai 2018 consid. 3.2 et 2C_704/2016 du 6 janvier 2017 consid. 3.1). La levée du secret professionnel doit d'abord être demandée au client. Si celui-ci refuse, l'autorité de surveillance doit statuer (<ref-ruling> consid. 4.3; arrêts 2C_101/2019 du 18 février 2019 consid. 4.1; 2C_8/2019 du 1 er février 2019 consid. 2.1; 2C_439/2017 du 16 mai 2018 consid. 3.2 et les références citées).
4.2. La levée du secret professionnel n'a aucune conséquence matérielle. Elle permet seulement à celui qui l'obtient de faire valoir ses droits en justice sans violer le secret protégé par les règles disciplinaires ou le code pénal. Elle ne préjuge donc en rien d'un procès civil ultérieur. La seule conséquence de la libération, qui ne porte que sur les informations strictement nécessaires à la procédure, est qu'elle ne permet pas au mandant d'invoquer le droit à la préservation du secret dans ce contexte (arrêts 2C_101/2019 du 18 février 2019 consid. 4.1; 2C_8/2019 du 1 er février 2019 consid. 2.2; 2C_439/2017 du 16 mai 2018 consid. 3.3 et les références citées).
4.3. Il faut apprécier sur la base d'une pesée de l'ensemble des intérêts en présence si l'autorité de surveillance (<ref-law>) doit accorder la levée du secret. Lors de la pesée des intérêts, il faut prendre en considération qu'un avocat a ordinairement un intérêt digne de protection à la levée du secret en vue du recouvrement de ses honoraires (<ref-ruling> consid. 4.3.3 et les références citées; arrêts 2C_101/2019 du 18 février 2019 consid. 4.3; 2C_8/2019 du 1er février 2019 consid. 2.3; 2C_439/2017 du 16 mai 2018 consid. 3.4). Cet intérêt s'oppose en principe à l'intérêt institutionnel au maintien de la confidentialité et à l'intérêt individuel du client, selon les circonstances, à tenir le mandat et toutes les informations qui s'y rattachent secrets. Dans la procédure de levée du secret, la mise en évidence de l'intérêt du client à s'y opposer ne doit pas être soumise à des exigences excessivement élevées car la protection conférée par l'<ref-law> serait éludée par une véritable obligation d'alléguer et de prouver (<ref-ruling> consid. 4.3.3 et les références citées; arrêt 2C_439/2017 du 16 mai 2018 consid. 3.4 et les références citées). Dans la pesée des intérêts antagonistes en rapport avec une créance d'honoraires, il faut aussi prendre en considération que l'avocat peut en principe se faire verser une provision par le client, couvrant le coût prévisible de ses services, et que dans la mesure où le mandat revêt pour lui une signification économique importante, l'avocat peut même être tenu d'exiger cette provision au regard du devoir d'indépendance imposé par l'<ref-law>. Hormis les situations où il est d'emblée exclu de réclamer une provision, par exemple lorsque l'avocat est attribué au client en qualité de conseil d'office et gratuit, il incombe à l'avocat qui sollicite d'être libéré du secret de démontrer pourquoi il ne lui était pas possible de faire couvrir les coûts prévisibles par le versement d'une provision (<ref-ruling> consid. 4.3.3 et les références citées; arrêts 2C_101/2019 du 18 février 2019 consid. 4.3; 2C_8/2019 du 1er février 2019 consid. 2.3; 2C_439/2017 du 16 mai 2018 consid. 3.5 et les références citées). La jurisprudence a précisé que, sous l'angle de la levée du secret professionnel, un acompte perçu par l'avocat doit être traité de la même manière qu'une provision, car il s'agit de savoir, dans le cadre de la pesée des intérêts, si l'avocat a fait des efforts pour recouvrer les honoraires pendant l'exécution du mandat ou s'il est resté totalement inactif (arrêts 2C_439/2017 du 16 mai 2018 consid. 3.5; 2C_586/2015 du 9 mai 2016 consid. 4.4 non publié in <ref-ruling>; cf. également arrêts 2C_101/2019 du 18 février 2019 consid. 5; 2C_8/2019 du 1er février 2019 consid. 3).
4.4. En l'espèce, c'est à juste titre que la Cour de justice a considéré que l'intérêt des intimés à la levée de leur secret professionnel devait l'emporter sur l'intérêt institutionnel et l'intérêt privé du recourant au maintien de celui-ci. Il est vrai que l'autorité précédente n'a pas examiné le contexte financier global dans lequel s'inscrivait la convention conclue le 20 février 2020 entre les parties et les honoraires de 600'000 francs en découlant. Il ressort cependant de cette convention que cinq notes d'honoraires ont été adressées par l'Etude E._ SA au recourant entre le 13 août 2018 et le 22 octobre 2019 qui ont été partiellement réglées par celui-ci (<ref-law>). Partant, les intimés n'ont pas attendu la fin de leur mandat pour procéder à une facturation de leurs honoraires, ce qui aurait plaidé en défaveur de la levée de leur secret professionnel, conformément à la jurisprudence précitée. Pour le reste, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué (<ref-law> et supra consid. 3) que le recourant aurait établi l'existence d'éléments rendant vraisemblable qu'il disposerait d'un intérêt concret, en l'espèce, au maintien du secret. Dans ces circonstances, l'intérêt des intimés à la levée du secret doit être considéré comme étant prépondérant, étant rappelé que cette libération ne porte que sur les informations strictement nécessaires à la procédure en vue du paiement de leurs honoraires.
L'argumentation du recourant portant sur la négligence dont se seraient rendus coupables les intimés dans l'exécution de leur mandat ne lui est d'aucun secours. Cette critique relève de la procédure au fond relative au paiement et n'est pas pertinente dans le cadre de la présente procédure. En outre, quoi qu'en dise le recourant, déterminer l'autorité compétente pour la procédure au fond, conformément à la clause d'arbitrage prévue par la convention, n'a pas à être tranché par le Tribunal fédéral, car cela sort de l'objet du litige. Enfin, le recourant, qui invoque la clause de confidentialité contenue dans le settlement agreement, ne prétend pas que cette disposition aurait pour but de limiter les possibilités de lever le secret professionnel des intimés en lien avec le recouvrement des honoraires. Partant, cette clause n'est pas pertinente en l'espèce.
En conséquence, le grief tiré de la violation de l'<ref-law> est infondé.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours est rejeté, dans la mesure où il recevable.
Le recourant, qui succombe, doit supporter les frais judiciaires (<ref-law>). Le litige n'étant pas complexe, il n'y a pas lieu de verser des dépens aux intimés qui agissent en qualité d'avocats dans leur propre cause (<ref-law>; <ref-ruling> consid. 5; arrêts 2C_101/2019 du 18 février 2019 consid. 6.2 et les références).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires du recourant, aux intimés, à la Commission du Barreau de la République et canton de Genève, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, ainsi qu'à l'Office fédéral de la justice OFJ.
Lausanne, le 29 avril 2022
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : F. Aubry Girardin
Le Greffier : A. Wiedler