Sachverhalt:
A.
Mit Eheschutzentscheid vom 8. Februar 2013 verpflichtete das Zivilgericht Basel-Stadt den Ehemann A._, seiner Ehefrau B._ ab 1. Februar 2013 einen monatlich vorauszahlbaren Unterhaltsbeitrag von Fr. 20'000.-- zu bezahlen. In der Folge wurde die Ehe der Parteien mit Entscheid des Zivilgerichts Basel-Stadt vom 25. Oktober 2017 geschieden. Das Zivilgericht wies das Unterhaltsbegehren von B._ ab und stellte fest, dass sich die Parteien gegenseitig keine nachehelichen Unterhaltsbeiträge schulden. Mit Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 3. Juli 2018, eröffnet am 18. Juli 2018, wurde die von B._ dagegen erhobene Berufung abgewiesen. Gegen den Berufungsentscheid reichte B._ mit Eingabe vom 14. September 2018 Beschwerde in Zivilsachen beim Bundesgericht ein (Verfahren Nr. 5A_778/2018).
Nachdem die Zahlung des Unterhaltsbeitrages für den Monat August 2018 ausblieb, wurde A._ auf das entsprechende Betreibungsbegehren von B._ vom 13. August 2018 hin mit Zahlungsbefehl Nr. xxx des Betreibungsamts Basel-Stadt vom 21. August 2018 aufgefordert, den Unterhaltsbeitrag für den Monat August 2018 von Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % seit 1. August 2018 zu begleichen. Als Forderungsurkunde nannte der Zahlungsbefehl den Eheschutzentscheid des Zivilgerichts vom 8. Februar 2013. Bei der Zustellung des Zahlungsbefehls durch das Betreibungsamt am 6. September 2018 erhob A._ Rechtsvorschlag.
B.
Mit Rechtsöffnungsgesuch vom 27. September 2018 ersuchte B._ um Erteilung der definitiven Rechtsöffnung. Mit Entscheid vom 30. Januar 2019 wies das Zivilgericht Basel-Stadt das Rechtsöffnungsgesuch ab und auferlegte der Gläubigerin die Gerichtskosten von Fr. 400.-- und eine Parteientschädigung von Fr. 807.75 an A._.
C.
Gegen diesen Entscheid erhob B._ am 20. Mai 2019 Beschwerde beim Appellationsgericht Basel-Stadt. Darin beantragte sie die Aufhebung des angefochtenen Entscheids und die Gutheissung ihres Gesuchs um definitive Rechtsöffnung unter Kosten- und Entschädigungsfolge zulasten von A._. Am 28. Juni 2019 reichte A._ seine Stellungnahme ein und beantragte die Abweisung der Beschwerde unter o/e-Kostenfolge zuzüglich MWST. In weitgehender Gutheissung der Beschwerde hob das Appellationsgericht mit Entscheid vom 7. August 2019 den Entscheid des Zivilgerichts auf und erteilte B._ definitive Rechtsöffnung für Fr. 20'000.-- nebst Zins zu 5 % seit dem 13. August 2018. Ausserdem regelte es die Kosten- und Entschädigungsfolgen für das erst- und zweitinstanzliche Verfahren.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 16. September 2019 ist A._ an das Bundesgericht gelangt. Der Beschwerdeführer beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts sei aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch von B._ (Beschwerdegegnerin) abzuweisen. Der Beschwerdegegnerin seien die Prozesskosten für alle Instanzen aufzuerlegen.
Das Appellationsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Beschwerdegegnerin schliesst auf Nichteintreten, eventuell auf Abweisung.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelinstanz über eine Schuldbetreibungssache entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 75, Art. 90 BGG). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist der erforderliche Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht. Gegenstand des vorliegenden Verfahrens ist ausschliesslich die Erteilung der definitiven Rechtsöffnung für die Unterhaltsforderung für August 2018 von Fr. 20'000.-- zuzüglich Zins. Damit ist die Eintretensvoraussetzung von <ref-law> nicht erfüllt und die Beschwerde in Zivilsachen nur zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (<ref-law>).
Eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung ist nur zurückhaltend anzunehmen. Sie liegt vor, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse daran besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (<ref-ruling> E. 1 S. 165; <ref-ruling> E. 1.2 S. 185; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer macht geltend, es stelle sich im Zusammenhang mit der Voraussetzung des Vorliegens eines definitiven Rechtsöffnungstitels die Rechtsfrage, ob die Rechtskraft eines beim Bundesgericht angefochtenen Entscheids der Berufungsinstanz grundsätzlich mit dem Entscheid der Berufungsinstanz oder erst mit dem Entscheid des Bundesgerichts eintritt. Dem Beschwerdeführer kann darin beigepflichtet werden, dass diesbezüglich nach wie vor eine Unsicherheit besteht, weshalb das Vorliegen einer Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung zu bejahen ist. Entgegen der von der Vorinstanz und der Beschwerdegegnerin in ihren Vernehmlassungen vertretenen Auffassung hängt der Ausgang des vorliegenden Verfahrens sodann unmittelbar von der Beantwortung der aufgeworfenen Rechtsfrage ab. Zwar wurde der Entscheid des Appellationsgerichts vom 3. Juli 2018 betreffend die (verneinte) nacheheliche Unterhaltspflicht vom Bundesgericht mit Urteil vom 23. August 2019 (<ref-ruling>) aufgehoben und die Angelegenheit zur Neubeurteilung an das Appellationsgericht zurückgewiesen, womit der die Unterhaltspflicht gemäss Eheschutzentscheid nach Auffassung des Beschwerdeführers beendende Berufungsentscheid vom 3. Juli 2018 formell nicht mehr existiert. Rechtsprechungsgemäss kann Rechtsöffnung jedoch nicht erteilt werden, wenn ein vollstreckbarer Titel im Sinne des <ref-law> nicht im Zeitpunkt der Fällung des Rechtsöffnungsentscheids (sondern erst im anschliessenden Rechtsmittelverfahren) vorliegt (s. E. 2.1 hiernach).
Im Übrigen ist der Beschwerdeführer als Schuldner vom angefochtenen Entscheid besonders betroffen und daher zur Beschwerde berechtigt (<ref-law>). Die rechtzeitig erhobene (<ref-law>) Beschwerde in Zivilsachen erweist sich daher als zulässig.
2.
Anlass zur Beschwerde gibt die Frage, ob gestützt auf den Eheschutzentscheid vom 8. Februar 2013 für den in Betreibung gesetzten Unterhaltsbeitrag des Monats August 2018 die definitive Rechtsöffnung erteilt werden durfte oder nicht. Dies vor dem Hintergrund, dass das Appellationsgericht mit Berufungsentscheid vom 3. Juli 2018, eröffnet am 18. Juli 2018, erkannt hat, dass der Betreibenden kein Anspruch auf nachehelichen Ehegattenunterhalt zusteht. Strittig ist mithin, ob die Betreibende zum massgeblichen Zeitpunkt im Besitz eines vollstreckbaren Titels im Sinne von <ref-law> war. Das Appellationsgericht hat dies mit der Begründung bejaht, dass der Entscheid vom 3. Juli 2018 aufgrund der von der Betreibenden dagegen erhobenen Beschwerde in Zivilsachen nicht in Rechtskraft erwachsen sei und der im Eheschutzentscheid angeordnete Ehegattenunterhalt daher während der Dauer des bundesgerichtlichen Verfahrens fortgelte. Demgegenüber stellt sich der Beschwerdeführer mit der Erstinstanz auf den Standpunkt, der Entscheid vom 3. Juli 2018 sei spätestens mit dessen Eröffnung in Rechtskraft erwachsen; gleichzeitig sei damit der im Eheschutzentscheid angeordnete Ehegattenunterhalt mit Wirkung ex nunc dahingefallen.
2.1. Das Rechtsöffnungsgericht hat von Amtes wegen zu prüfen, ob ein vollstreckbarer Entscheid vorliegt (Art. 80 Abs. 1 und Art. 81 Abs. 1 SchKG). Das Urteil muss vor der Ausfällung des Rechtsöffnungsentscheids vollstreckbar sein (Urteile 5A_1023/2018 vom 8. Juli 2019 E. 6.2.1; 5D_37/2018 vom 8. Juni 2018, in: SJ 2019 I S. 73; DANIEL STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 13 zu <ref-law>; STÉPHANE ABBET, in: La mainlevée de l'opposition, 2017, N. 72 zu <ref-law>).
2.2. Eheschutzmassnahmen oder vorsorgliche Massnahmen, die im Rahmen eines Scheidungsverfahrens angeordnet wurden, gelten als resolutiv bedingt (Urteile 5D_37/2018 vom 8. Juni 2018 E. 4; 5A_217/2012 vom 9. Juli 2012 E. 5.1, nicht publ. in: <ref-ruling>). Als Grundsatz gilt, dass der mit Eheschutz- oder vorsorglichem Massnahmeentscheid festgesetzte Ehegattenunterhalt dahinfällt und durch eine allfällige Scheidungsrente ersetzt wird, sobald das Scheidungsurteil bezüglich der Unterhaltsregelung formell rechtskräftig wird (vgl. Urteile 5A_19/2019 vom 18. Februar 2020 E. 1; 5A_807/2018 vom 28. Februar 2019 E. 2.2, in: FamPra.ch 2019 S. 592; 5A_659/2014 vom 31. Oktober 2014 E. 2.3.2; 5P.121/2002 vom 12. Juni 2002 E. 3.1, in: Pra 2002 Nr. 169 S. 916).
2.3.
2.3.1. Entscheide werden nach der klassischen Terminologie formell rechtskräftig, wenn gegen sie kein ordentliches Rechtsmittel mehr zur Verfügung steht (MAX GULDENER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 1979, S. 362; MAX KUMMER, Grundriss des Zivilprozessrechts [...], 4. Aufl. 1984, S. 145; <ref-ruling> E. 3 S. 487 f.; so auch die Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, BBl 2006 7382). Als ordentlich werden herkömmlicherweise diejenigen Rechtsmittel bezeichnet, die sich gegen noch nicht formell rechtskräftige Entscheide richten, während ausserordentliche Rechtsmittel gegen rechtskräftige Entscheide ergriffen werden können und deren formelle Rechtskraft beseitigen sollen (GULDENER, a.a.O., S. 48 5; KUMMER, a.a.O., S. 189). In der Lehre wird mitunter darauf hingewiesen, dass hier letztlich ein Zirkelschluss vorliegt und die klassischen Definitionen insofern nicht zielführend sind (STAEHELIN/ BACHOFNER, in: Staehelin/Staehelin/Grolimund, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 25 Rz. 3). Die Problematik sollte jedoch nicht überschätzt werden. Letztlich ist es Aufgabe des Gesetzgebers, den Eintritt der Rechtskraft festzulegen und damit zu bestimmen, welche Urteile mit ihrer Ausfällung bzw. Eröffnung rechtskräftig werden und welche nicht. Gestützt auf diesen Entscheid ist dann auch die vorerwähnte Definition ordentlicher Rechtsmittel eindeutig (zum Ganzen: ANNE SABINE ZOLLER, Vorläufige Vollstreckbarkeit im Schweizer Zivilprozessrecht, 2008, § 1 Rz. 11).
2.3.2. Das BGG enthält keine Legaldefinition der ordentlichen Rechtsmittel. Die Bezeichnung der Beschwerde in Zivilsachen als "ordentliche Beschwerde" in <ref-law> dient nach allgemeiner Auffassung nur der Abgrenzung zur subsidiären Verfassungsbeschwerde und ist deshalb kein Anhaltspunkt für die Qualifikation der Beschwerde in Zivilsachen als ordentliches bzw. ausserordentliches Rechtsmittel (BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 13 zu <ref-law>; MARCO CHEVALIER, Die Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht, 2009, Rz. 460; BENEDIKT SEILER, Die Berufung nach ZPO, 2013, Rz. 1679).
2.3.3. In erster Linie hat die Vorinstanz die Qualifikation der Beschwerde in Zivilsachen als ordentliches Rechtsmittel aus einer Gesamtbetrachtung der Eigenschaften des Rechtsmittels abzuleiten versucht. Aufgrund der sehr weiten Beschwerdegründe, insbesondere Verletzung des gesamten Bundesrechts, sowie der reformatorischen Kompetenz des Bundesgerichts sei die Beschwerde in Zivilsachen trotz des grundsätzlich fehlenden Suspensiveffekts auch betreffend Leistungs- und Feststellungsklagen als ordentliches - d.h. den Eintritt der Rechtskraft hemmendes - Rechtsmittel einzustufen. Auch in der Lehre wird die Beschwerde in Zivilsachen teilweise unabhängig davon, ob sie sich gegen ein Gestaltungs-, Leistungs- oder Feststellungsurteil richtet, generell als ordentliches Rechtsmittel bezeichnet (FRANZ KELLERHALS, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 2012, N. 3 zu <ref-law>; ZOLLER, a.a.O., § 3 Rz. 138 ff.; GÜNGERICH/ COENDET, Das Bundesgerichtsgesetz - erste Erfahrungen und offene Fragen, in: Aktuelle Anwaltspraxis 2007, S. 26 f.; REETZ/HILBER, in: Kommentar zur schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/ Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 22 f. zu <ref-law>; JOHANNA DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 3. Aufl. 2018, N. 5 zu <ref-law>; implizit gl. M. <ref-ruling> E. 3.4 S. 469).
2.3.4. Demgegenüber hat sich das Bundesgericht in zahlreichen Entscheiden auf den Standpunkt gestellt, dass die Beschwerde in Zivilsachen, sofern sie sich nicht gegen ein Gestaltungsurteil richtet (<ref-law>), die formelle Rechtskraft eines angefochtenen Beschwerde- oder Berufungsentscheids von Gesetzes wegen nicht hemmt. Freilich könne das Bundesgericht neben der Vollstreckbarkeit auch die Rechtskraft eines kantonalen Leistungsurteils von Amtes wegen oder auf Antrag einer Partei hin aufschieben (vgl. <ref-law>). Solange dies nicht geschehen sei, bleibe das kantonale Urteil jedoch rechtskräftig und vollstreckbar (vgl. <ref-ruling> E. 5.5.4 S. 745; Urteile 5A_841/2018 vom 12. Februar 2020 E. 2.2.2; 5A_866/2012 vom 1. Februar 2013 E. 4.1; 5A_217/2012 vom 9. Juli 2012 E. 5.2, nicht publ. in: <ref-ruling>; 5A_346/2011 vom 1. September 2011 E. 3.1; 5A_3/2009 vom 13. Februar 2009 E. 2.3). Diese Rechtsprechung wird von einem bedeutenden Teil der Lehre als massgeblich erachtet (vgl. DANIEL STAEHELIN, in: Staehelin/Staehelin/ Grolimund, Zivilprozessrecht, 3. Aufl. 2019, § 24 Rz. 7d; BAUMGARTNER/ DOLGE/MARKUS/SPÜHLER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 10. Aufl. 2018, § 36 Rz. 199; LEUENBERGER/UFFER-TOBLER, Schweizerisches Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2016, Rz. 12.132; SUTTER-SOMM/LÖTSCHER/ SCHENK/SENN, Tafeln zum Schweizerischen Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2017, Tafel 11c; FREIBURGHAUS/AFHELDT, in: Kommentar zur schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 5 zu <ref-law>; LORENZ DROESE, in: Basler Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2017, N. 10 zu <ref-law>; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. II, 2. Aufl. 2010, Rz. 2641; SEILER, a.a.O., § 18 Rz. 1684; CHEVALIER, a.a.O., § 7 Rz. 460 ff.).
2.3.5. Ausgehend von der Prämisse, dass das Rechtsmittelsystem des schweizerischen Zivilprozesses (einschliesslich der Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht) ein stimmiges Ganzes ergeben soll, besteht kein Anlass, von der vorstehend dargelegten Praxis abzurücken. So knüpft auch die Botschaft vom 28. Juni 2006 zur schweizerischen Zivilprozessordnung für die Unterscheidung zwischen ordentlichen und ausserordentlichen Rechtsmitteln bei der Frage an, ob von Gesetzes wegen Suspensiveffekt (aufschiebende Wirkung) gegeben ist oder nicht. Die Berufung wird darin ausdrücklich deshalb der Kategorie der ordentlichen Rechtsmittel zugeordnet, weil sie grundsätzlich aufschiebende Wirkung hat (BBl 2006 7374). Demgegenüber wird die Beschwerde nach <ref-law>, welche gemäss <ref-law> von Gesetzes wegen keine aufschiebende Wirkung hat, in der Botschaft als ausserordentliches Rechtsmittel bezeichnet (BBl 2006 7370 oben), was denn auch der in der Lehre vorherrschenden Auffassung entspricht (s. für viele JEANDIN/PEYROT, Précis de procédure civile, 2015, § 18 Rz. 784). Weil nun die Beschwerde gemäss <ref-law> und die gegen Leistungs- oder Feststellungsurteile ergriffene Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht hinsichtlich ihrer Eigenschaften sehr ähnlich sind, erscheint die vorinstanzliche Argumentation als nicht stichhaltig. Zu denken ist dabei neben der nicht von Gesetzes wegen bestehenden aufschiebenden Wirkung (<ref-law> bzw. <ref-law>) nämlich gerade auch an die weitgehend identische Prüfungsbefugnis (vgl. <ref-law> bzw. <ref-law> betreffend Rechtsfragen und <ref-law> bzw. <ref-law> betreffend Tatfragen) und die sowohl im Rahmen der Beschwerde nach <ref-law> als auch im Rahmen der Beschwerde in Zivilsachen an das Bundesgericht bestehende Befugnis des Gerichts, (auch) reformatorisch zu entscheiden (<ref-law> bzw. <ref-law>). Ausserdem ist darauf hinzuweisen, dass eine ganze Reihe erstinstanzlicher Entscheide streitwertunabhängig ausschliesslich mit der Beschwerde nach <ref-law> anfechtbar sind (vgl. Liste in Art. 309 lit. a und b ZPO); dazu gehören insbesondere die Rechtsöffnung, das Konkurserkenntnis und der Arrest. Solche nicht mit Berufung anfechtbaren Entscheide werden bereits dann rechtskräftig, wenn erstinstanzlich entschieden worden ist (<ref-law>). Es wäre von der Rechtsmittelsystematik her nicht logisch, wenn zweitinstanzlich lediglich ein ausserordentliches, im Verfahren vor Bundesgericht dann aber plötzlich ein ordentliches Rechtsmittel gegeben wäre.
2.4. Aus den dargelegten Gründen bleibt festzuhalten, dass die Verpflichtung zur Zahlung von Unterhalt gemäss Eheschutzentscheid vom 8. Februar 2013 mit dem bereits der Erstinstanz vorgelegten Entscheid des Appellationsgerichts vom 3. Juli 2018 (eröffnet am 18. Juli 2018) dahingefallen ist. Für den gestützt auf den Eheschutzentscheid in Betreibung gesetzten Unterhalt betreffend August 2018 lag im massgeblichen Zeitpunkt daher kein vollstreckbarer Titel im Sinne des <ref-law> vor. Dass das Appellationsgericht die Rechtsöffnung auf Beschwerde der Betreibenden hin gleichwohl erteilt hat, hält vor Bundesrecht nicht stand.
3.
3.1. Die Beschwerde ist also begründet und gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben und das Rechtsöffnungsgesuch in Bestätigung des Entscheids des Zivilgerichts vom 30. Januar 2019 abzuweisen.
3.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die unterliegende Beschwerdegegnerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG). Aus Gründen der Prozessökonomie regelt das Bundesgericht die Kosten- und Entschädigungsfolgen des vorangegangenen Verfahrens gleich selbst neu (Art. 67 und Art. 68 Abs. 5 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
In Gutheissung der Beschwerde in Zivilsachen wird der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 7. August 2019 aufgehoben und der Entscheid des Zivilgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 30. Januar 2019 bestätigt:
(...) 3. Das Gesuch um Rechtsöffnung vom 27. September 2018 wird abgewiesen.
4. Die Gesuchstellerin trägt die Gerichtskosten von Fr. 400.-- sowie eine Parteientschädigung von Fr. 750.-- zuzüglich Fr. 57.75 MWST."
2.
Die Gerichtskosten für das vorinstanzliche Verfahren vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt von Fr. 600.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt. Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das vorinstanzliche Verfahren zudem mit Fr. 969.30 zu entschädigen.
3.
Die Gerichtskosten für das bundesgerichtliche Verfahren von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
4.
Die Beschwerdegegnerin hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2020
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Buss