Faits :
A.
A.a. Le Ministère public neuchâtelois a ouvert une instruction pénale à l'encontre de A._ née en 1957, à raison des faits survenus dans la nuit du 2 au 3 juin 2019 et décrits dans le rapport de police établi le 9 septembre 2019. Selon ce document, le 2 juin 2019 vers 23h40, A._ circulait au volant d'un véhicule Hyundai sans phares à La Chaux-de-Fonds, lorsque des agents lui ont fait signe en vain de s'arrêter; ils ont dû contraindre la conductrice à s'arrêter, celle-ci n'ayant pas obtempéré au signal " stop police ", puis aux feux bleus. Les agents ont constaté qu'une odeur d'alcool planait dans l'habitacle du véhicule, mais A._ a refusé de souffler dans un éthylotest. Le rapport de police ajoute que, lors de son interpellation, elle a été sommée à plusieurs reprises de rester tranquille et de garder ses mains visibles sur le volant; elle n'a pas obtempéré, ce qui a contraint les agents à l'extirper de force du véhicule, puis à la menotter, compte tenu de son opposition (A._ criait et se laissait tomber par terre). Le Ministère public a ordonné la mise en oeuvre d'une prise de sang et un examen médical, mesures que A._ a refusées. Le rapport de police indique ensuite que cette dernière s'est opposée de manière virulente à ce que la gendarme B._ procède à sa fouille, dans le local prévu à cet effet, avant sa mise en cellule ordonnée par le Ministère public; elle a notamment hurlé et tenté de donner un coup de pied à la fonctionnaire de police; de plus, alors que cette dernière avait saisi A._ par le bras pour tenter de la plaquer contre un mur en attendant l'arrivée de renforts, elle s'est débattue de manière à faire perdre l'équilibre à la gendarme B._, dont la tête a percuté le mur.
A.b. Le lendemain (3 juin 2019), A._ a été entendue par la police en qualité de prévenue, assistée de Me Cyril Kleger. Elle a notamment déclaré avoir dit à la gendarme B._ qu'elle n'était pas d'accord qu'elle lui " touche les parties intimes " et lui avoir demandé qu'elle lui enlève les menottes afin qu'elle puisse se déshabiller. La prévenue a ajouté que l'agente avait refusé et l'avait saisie à la tête et qu'elle-même avait tenté de lui donner un coup de pied; l'agente l'avait alors cognée contre le mur et elle s'était ensuite débattue et avait refusé d'être fouillée. Il ressort du procès-verbal d'audition que A._ n'est pas parvenue, lors de cet interrogatoire, à souffler correctement dans cet appareil, malgré une dizaine de tentatives. Elle a encore déclaré avoir bu uniquement deux verres de mousseux de toute la soirée et avoir immobilisé immédiatement son véhicule à la vue du gyrophare.
A.c. Le 26 novembre 2019, Me Cyril Kleger a écrit au Ministère public que sa mandante s'était sentie désarçonnée par le fait que les agents avaient tenté de la soumettre " à une fouille à même la peau ", de surcroît alors qu'elle avait les mains entravées et qu'une telle démarche n'était pas adaptée aux circonstances; il a ajouté que rien ne permettait de considérer que la prévenue ait voulu se soustraire à un contrôle d'usage et que l'alcoolémie qualifiée n'était pas établie à satisfaction.
A.d. La police a établi un rapport complémentaire le 18 décembre 2019 confirmant et précisant le rapport du 9 septembre 2019.
A.e. Le 27 février 2020, Me Cyril Kleger s'est déterminé au sujet du rapport complémentaire en faisant notamment valoir que la pratique de procéder systématiquement à la fouille corporelle intégrale avant une mise en cellule était contraire au droit fédéral, que le comportement des agents avait conduit A._ à se débattre et à opposer une résistance et que la mesure de contrainte exercée par les agents avait porté atteinte à la dignité humaine de sa cliente, laquelle entendait obtenir une juste indemnité au sens de l'<ref-law>, qu'elle chiffrait à 500 francs.
B.
Le 13 janvier 2020, le Ministère public neuchâtelois a accepté de reprendre la procédure pénale bernoise qui avait été ouverte contre A._ pour des infractions à la loi fédérale sur la circulation routière (LCR; violation des règles de la circulation [<ref-law>]; violation des obligations en cas d'accident [<ref-law>], entrave aux mesures de constatation de l'incapacité de conduire [<ref-law>] et conduite sans autorisation [<ref-law>]). Il lui était reproché d'avoir à Spiez, le 22 juillet 2019, percuté et endommagé un véhicule correctement stationné sur une place de parking, puis d'avoir poursuivi sa route sans avertir le lésé ou la police; la prévenue était en outre sous le coup d'un retrait de permis pour une durée indéterminée depuis le 2 juin 2019. Entendue par la police, A._ a reconnu avoir percuté un véhicule déjà parqué.
C.
Par ordonnance pénale du 10 mars 2020, le Ministère public neuchâtelois a condamné A._ à 120 jours-amende à 30 francs le jour sans sursis, ainsi qu'à une amende de 1'350 francs avec une peine privative de liberté de substitution de 14 jours, à raison des faits survenus dans la nuit du 2 au 3 juin 2019 et le 22 juillet 2019. Le Ministère public neuchâtelois a renoncé à révoquer le sursis de quatre ans prononcé par le Ministère public de Bern-Mittelland le 18 septembre 2019 (condamnation à 96 jours-amende à 30 francs pour des faits commis le 23 juillet 2019 dont conduite sans autorisation et en incapacité de conduire [taux d'alcool d'au moins 1,8 o/oo], ainsi que violation des obligations en cas d'accident). Le Ministère public neuchâtelois a considéré que l'intéressée avait contrevenu aux dispositions suivantes: <ref-law>, art 37 et 45 du code pénal neuchâtelois (CPN), art. 10, 31, 41 al. 1, 51, 55, 90 al. 1, 91a, 92 al. 1 et 95 al. 1 let. b LCR, art. 30 et 39 de l'ordonnance sur les règles de la circulation routière (OCR).
Dans son ordonnance pénale, le Ministère public neuchâtelois a retenu en substance que A._ avait, le 2 juin 2019 vers 23h40, circulé au volant de son véhicule sans avoir enclenché les feux, qu'elle n'avait pas obtempéré au signal lumineux " stop police " et qu'elle ne s'était pas arrêtée malgré les feux bleus enclenchés, obligeant la police à lui barrer la route avec le véhicule de police. Au moment de son interpellation, A._ avait désobéi aux injonctions de la police, tout en créant du scandale. De plus, elle avait refusé de se soumettre à l'éthylotest ainsi qu'à une prise de sang, malgré une décision émanant de la procureure de permanence. Lors de sa fouille de contrôle en vue de la mise en cellule en raison de son comportement, A._ s'était montrée agressive verbalement et avait voulu donner un coup de pied à l'intervenante féminine qui s'en chargeait, rendant impossible l'accomplissement de la fouille. Le Ministère public a encore constaté que, le 22 juillet 2019, l'intéressée avait circulé à Spiez, au volant de son véhicule, alors qu'elle était sous le coup d'un retrait de permis pour une durée indéterminée depuis le 2 juin 2019 et qu'en voulant sortir d'une place de parc, elle avait touché avec sa voiture l'arrière gauche d'un véhicule stationné correctement, puis avait quitté les lieux sans aviser le lésé ou la police, violant ses devoirs en cas d'accident et se soustrayant ainsi aux examens d'usage qui auraient été ordonnés.
A._ a formé opposition contre cette ordonnance, le 23 mars 2020.
D.
Le 30 avril 2020, A._ a demandé à être mise au bénéfice de l'assistance judiciaire au vu de la peine infligée sans sursis mais également de la fouille corporelle qui, selon elle, prêtait le flanc à la critique. Le 5 mai 2020, le Ministère public neuchâtelois a rejeté cette requête aux motifs que la requérante n'avait pas démontré être indigente, qu'elle n'avait pas été condamnée à une peine pécuniaire supérieure à 120 jours-amende et que l'affaire n'était complexe ni en fait, ni en droit, si bien que l'intervention d'un avocat n'était pas nécessaire.
Par arrêt du 11 juin 2020, l'Autorité de recours en matière pénale du canton de Neuchâtel a, sur recours de l'intéressée, confirmé que celle-ci n'avait pas droit à l'assistance judiciaire.
E.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 11 juin 2020, d'ordonner une défense d'office et de désigner Me Cyril Kleger en tant qu'avocat d'office. Elle requiert aussi l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Invités à se déterminer, le Tribunal cantonal et le Ministère public neuchâtelois ont indiqué ne pas avoir d'observations à formuler, le second concluant néanmoins au rejet du recours.

Considérant en droit :
1.
Conformément à l'<ref-law>, une décision relative à la défense d'office dans une cause pénale peut faire l'objet d'un recours en matière pénale. La recourante, prévenue et auteure de la demande de désignation d'un défenseur d'office, a qualité pour recourir (<ref-law>). Le refus de désigner un avocat d'office à la prévenue est susceptible de lui causer un préjudice irréparable au sens de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 2.2 p. 205; <ref-ruling> consid. 4 p. 338 s.).
Pour le surplus, le recours est formé en temps utile (<ref-law>) contre une décision rendue en dernière instance cantonale (<ref-law>) et les conclusions présentées sont recevables au regard de l'<ref-law>.
2.
Invoquant une violation de l'<ref-law>, la recourante se plaint du refus de l'instance précédente de lui désigner un avocat d'office. Elle prétend que sa cause présenterait des difficultés sur le plan des faits ou du droit qu'elle ne serait pas en mesure de surmonter seule. Ces difficultés seraient liées notamment à la question de la reprise du for et de la jonction de la procédure, ainsi qu'à celle de la fouille corporelle complète envisagée lors de son interpellation; sur ce dernier point, elle soutient de surcroît ne pas être en mesure de procéder seule à un contre-interrogatoire des agents.
2.1. En vertu de l'art. 29 al. 3 Cst., toute personne qui ne dispose pas de ressources suffisantes a droit, à moins que sa cause ne paraisse dépourvue de toute chance de succès, à l'assistance judiciaire gratuite. Si la sauvegarde de ses droits le requiert, elle a en outre le droit à la commission d'office d'un conseil juridique.
En dehors des cas de défense obligatoire visés à l'<ref-law>, l'<ref-law> soumet le droit à l'assistance d'un défenseur d'office aux conditions que le prévenu soit indigent et que la sauvegarde de ses intérêts justifie une telle assistance. S'agissant de la seconde condition, elle s'interprète à l'aune des critères mentionnés à l'art. 132 al. 2 et 3 CPP. Ainsi, les intérêts du prévenu justifient une défense d'office notamment lorsque la cause n'est pas de peu de gravité et qu'elle présente, sur le plan des faits ou du droit, des difficultés que le prévenu seul ne pourrait pas surmonter (<ref-law>). En tout état de cause, une affaire n'est pas de peu de gravité lorsque le prévenu est passible d'une peine privative de liberté de plus de quatre mois ou d'une peine pécuniaire de plus de 120 jours-amende (<ref-law>).
Si les deux conditions mentionnées à l'<ref-law> doivent être réunies cumulativement, il n'est pas exclu que l'intervention d'un défenseur soit justifiée par d'autres motifs (comme l'indique l'adverbe "notamment "), en particulier dans les cas où cette mesure est nécessaire pour garantir l'égalité des armes ou parce que l'issue de la procédure pénale a une importance particulière pour le prévenu, par exemple s'il est en détention, s'il encourt une révocation de l'autorisation d'exercer sa profession ou s'il risque de perdre la garde de ses enfants (arrêts 1B_12/2020 du 24 janvier 2020 consid. 3.1; 1B_374/2018 du 4 septembre 2018 consid. 2.1). La désignation d'un défenseur d'office peut ainsi s'imposer selon les circonstances, lorsque le prévenu encourt une peine privative de liberté de quelques semaines à quelques mois si, à la gravité relative du cas, s'ajoutent des difficultés particulières du point de vue de l'établissement des faits ou des questions juridiques soulevées, qu'il ne serait pas en mesure de résoudre seul. En revanche, lorsque l'infraction n'est manifestement qu'une bagatelle, en ce sens que son auteur ne s'expose qu'à une amende ou à une peine privative de liberté de courte durée, la jurisprudence considère que l'auteur n'a pas de droit constitutionnel à l'assistance judiciaire (<ref-ruling> consid. 3.5 p. 174).
2.2. Pour évaluer si l'affaire présente des difficultés que le prévenu ne pourrait pas surmonter sans l'aide d'un avocat, il y a lieu d'apprécier l'ensemble des circonstances concrètes. La nécessité de l'intervention d'un conseil juridique doit ainsi reposer sur des éléments objectifs, tenant principalement à la nature de la cause, et sur des éléments subjectifs, fondés sur l'aptitude concrète du requérant à mener seul la procédure (arrêt 1B_494/2019 du 20 décembre 2019 consid. 3.1 et les arrêts cités).
S'agissant de la difficulté objective de la cause, à l'instar de ce qu'elle a développé en rapport avec les chances de succès d'un recours (<ref-ruling> consid. 1.2 p. 397; <ref-ruling> consid. 2.3.1 p. 135 s.), la jurisprudence impose de se demander si une personne raisonnable et de bonne foi, qui présenterait les mêmes caractéristiques que le requérant mais disposerait de ressources suffisantes, ferait ou non appel à un avocat (<ref-ruling> consid. 9.1 p. 537). La difficulté objective d'une cause est admise sur le plan juridique lorsque la subsomption des faits donne lieu à des doutes, que ce soit de manière générale ou dans le cas particulier (arrêt 1B_538/2019 du 10 décembre 2019 consid. 3.1 et l'arrêt cité).
Quant à la difficulté subjective d'une cause, il faut tenir compte des capacités du prévenu, notamment de son âge, de sa formation, de sa plus ou moins grande familiarité avec la pratique judiciaire, de sa maîtrise de la langue de la procédure, ainsi que des mesures qui paraissent nécessaires, dans le cas particulier, pour assurer sa défense, notamment en ce qui concerne les preuves qu'il devra offrir (arrêt 1B_538/2019 du 10 décembre 2019 consid. 3.1 et les arrêts cités).
2.3. S'agissant de la première condition posée par l'<ref-law> (gravité de la cause), la cour cantonale a retenu que la présente cause n'était pas de peu de gravité, dès lors que la peine infligée dans l'ordonnance pénale du 10 mars 2020 se situait à la limite fixée à l'article 132 al. 3 CPP et que le tribunal éventuellement appelé à statuer n'était pas lié par cette peine. Il n'était pas d'emblée exclu qu'une peine supérieure soit prononcée si la recourante devait être déclarée coupable à raison de l'ensemble des faits qui lui sont reprochés. En effet, tant la conduite d'un véhicule automobile sans autorisation (<ref-law>) que l'entrave aux mesures de constatation de l'incapacité de conduire (<ref-law>) et les violences contre les autorités et les fonctionnaires (<ref-law>) étaient des délits au sens de l'article 10 al. 3 CP, susceptibles d'entrer en concours. De plus, la recourante avait un antécédent pénal (condamnation à 80 jours-amende à 30 francs en 2015 pour lésions corporelles simples et menaces).
En revanche, la juridiction précédente a considéré que la seconde condition exigée par l'<ref-law> n'était pas remplie, la présente cause ne présentant à ses yeux aucune complexité en fait ou en droit. Elle a notamment estimé qu'aucun élément du dossier ne permettait de retenir que la police aurait voulu soumettre la recourante à une fouille intégrale. Les rapports de police évoquent une " fouille complète ", respectivement une " fouille ", mais surtout, selon le premier rapport, " la gendarme a expliqué calmement comment se déroulerait la fouille. Il n'a pas été possible de finir l'explication qu[e A._] s'est mise à hurler qu'elle ne voulait pas qu'on lui «touche la chatte». Elle a continué de vociférer envers l'intervenante et a commencé à se montrer virulente (...) ". Pour la cour cantonale, la policière n'avait donc pas été en mesure d'expliquer à la recourante à quel type de fouille elle entendait procéder, si bien que les allégués d'examen des " parties intimes " ou de " fouille à même la peau " reposaient uniquement sur des extrapolations de la part de la recourante, voire des tentatives de justification a posteriori de son comportement. Quant à la question de la reprise du for par les autorités neuchâteloises, elle ne justifiait pas non plus l'assistance d'un avocat. Enfin, aucune cause ayant trait à sa propre personne (notamment son état de santé, son âge, sa formation ou son inexpérience de la pratique judiciaire) ne justifiait l'intervention d'un avocat aux côtés de la prévenue.
2.4. En l'occurrence, à l'instar de l'instance précédente, il y a lieu d'admettre que la cause n'est pas de peu de gravité. Les considérations émises sur ce point par l'instance précédente peuvent être reprises. En revanche, contrairement à l'avis de cette autorité, la présente cause n'est pas dépourvue de toute complexité et elle nécessitait l'intervention d'un avocat. En effet, il ressort de l'ordonnance pénale que la recourante a été condamnée le 10 mars 2020, sur la base de nombreuses dispositions légales fédérales et cantonales, pour des infractions - commises les 2 et 3 juin 2019 ainsi que le 22 juillet 2019 - protégeant des biens juridiques de nature différente, ce qui entraîne l'application des règles sur le concours (<ref-law>), à propos desquelles le système légal et la jurisprudence ne sont pas simples à comprendre pour une personne non juriste (cf. arrêts 1B_210/2019 du 29 juillet 2019 consid. 2.3 et 1B_481/2019 du 27 novembre 2019 consid. 2.3). De plus, le fait que la recourante a été condamnée le 18 septembre 2019 par le Ministère public de Bern-Mittelland pour des faits survenus le 23 juillet 2019 pourrait impliquer le prononcé d'une peine complémentaire au sens de l'<ref-law>, thématique non évoquée dans l'ordonnance pénale du 10 mars 2020.
A ces éléments s'ajoute le fait que la procédure revêt un enjeu important pour la recourante puisqu'il s'agit également de contester la proportionnalité de la fouille corporelle complète à laquelle les agents de police auraient tenté de la contraindre et à laquelle elle s'est opp osée avec violence dans la nuit du 2 au 3 juin 2019. Cette problématique présente des difficultés particulières tant au niveau de l'établissement des faits que du droit. En l'occurrence, contrairement à ce que retient l'instance précédente, la lecture du rapport de police et de son complément (tous deux rédigés plusieurs mois après les faits) ne permet pas d'emblée d'exclure que l'agente de police entendait procéder à une fouille complète impliquant le déshabillage de la prévenue. Le premier document rapporte en effet que " comme la procédure l'exige avant une mise en cellule, nous devions effectué [sic] une fouille complète sur la prévenue " et surtout le rapport complémentaire mentionne que " la volonté de la prévenue de se dévêtir d'elle-même n'était pas des plus explicite sur le moment contrairement à sa volonté d'administrer un coup de pied à la gendarme ". De plus, le cas échéant, il y a lieu de répondre à la question juridique délicate - en particulier pour une personne non juriste - de savoir si, au regard de la jurisprudence (cf. arrêts 1B_115/2019 du 18 décembre 2019 consid. 2 destiné à la publication; 1B_176/2016 du 11 avril 2017 consid. 6 et les réf. cit.), une telle fouille aurait été proportionnée en l'espèce ou si par exemple une simple palpation de la prévenue par-dessus ses habits auraient été suffisante, puis de déterminer les conséquences d'une éventuelle disproportion de la mesure de contrainte du point de vue de la quotité de la peine prononcée et d'une éventuelle indemnité au sens de l'<ref-law>. Au vu des éléments précités, il apparaît que la présente cause présente des difficultés particulières que la recourante, ressortissante camerounaise âgée de 63 ans, dénuée de toute formation juridique et à l'aide sociale, ne serait pas apte à appréhender sans l'aide d'un mandataire professionnel.
2.5. Quant à la condition de l'indigence de la recourante, elle a été laissée indécise par l'instance précédente, au motif que l'intervention d'un avocat n'était pas nécessaire en l'espèce à la sauvegarde des intérêts de l'intéressée (cf. arrêt entrepris consid. 3). Malgré la production d'une attestation de l'Office communal de l'aide sociale de La Chaux-de-Fonds, la cour cantonale a en effet exprimé des doutes quant à l'indigence de la recourante en raison de plusieurs éléments qui tendraient, selon elle, à démontrer le contraire (propriété d'un imposant véhicule SUV; vacances de deux mois au Cameroun). Faute d'éléments de fait suffisants sur ce point dans l'arrêt attaqué, il y a lieu de renvoyer la cause à cette autorité pour quelle statue sur ce point (<ref-law>).
3.
Le recours doit dès lors être admis. L'arrêt entrepris est annulé et la cause est renvoyée à l'instance précédente pour examen de la condition de l'indigence de la recourante.
En vertu de l'art. 68 al. 1 et 2 LTF, la recourante, qui obtient gain de cause avec l'aide d'un avocat, a droit à des dépens à la charge du canton de Neuchâtel. Conformément à l'<ref-law>, il n'est pas perçu de frais judiciaires. La demande d'assistance judiciaire pour la présente procédure est par conséquent sans objet.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis; l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Une indemnité de dépens de 1'500 francs est allouée à l'avocat de la recourante, à la charge de la République et canton de Neuchâtel.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Ministère public de la République et canton de Neuchâtel, Parquet général, et au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Autorité de recours en matière pénale.
Lausanne, le 4 septembre 2020
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Chaix
La Greffière : Arn