Sachverhalt:
A.
Nachdem ein erstes Leistungs begehren abgewiesen worden war (Verfügung vom 23. November 2010), meldete sich die 1955 geborene A._ im März 2012 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen - unter anderem einer am 14. November 2013 durchgeführten Haushaltsabklärung (Bericht vom 14. Januar 2014) - verneinte die IV-Stelle des Kantons St. Gallen mit Verfügung vom 18. Juni 2014 den Anspruch auf eine Invalidenrente. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 9. März 2017 teilweise gut. Es wies die Sache zu ergänzenden medizinischen Abklärungen und zum Erlass einer neuen Verfügung an die IV-Stelle zurück. Daraufhin tätigte die Verwaltung weitere Abklärungen; unter anderem liess sie die Versicherte am 5. Dezember 2017 durch die medexperts ag begutachten. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2018 lehnte die IV-Stelle das Rentenbegehren erneut ab.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen gut. Es hob die Verfügung vom 4. Oktober 2018 auf und stellte fest, dass die Versicherte mit Wirkung ab dem 1. November 2012 Anspruch auf eine halbe Rente der Invalidenversicherung habe. Zur Festsetzung der Rentenbeträge wies es die Sache an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 10. Februar 2020).
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 10. Februar 2020 sei aufzuheben und die Verfügung vom 4. Oktober 2018 zu bestätigen. Ferner sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen.
A._ schliesst auf Abweisung der Beschwerde und des Gesuchs um aufschiebende Wirkung. Während sich das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen in ablehnendem Sinne äussert, verzichtet das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die (weiteren) Eintretensvoraussetzungen von Amtes wegen und mit freier Kognition (<ref-ruling> E. 1.1 S. 208mit Hinweisen).
1.2. Beschwerden an das Bundesgericht gegen selbstständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide sind nur zulässig, wenn sie die Zuständigkeit oder den Ausstand betreffen (<ref-law>), einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken können (<ref-law>) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (<ref-law>). Rückweisungsentscheide, mit denen eine Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen wird, sind Zwischenentscheide, die nur unter den genannten Voraussetzungen beim Bundesgericht angefochten werden können (BGE 133V 477 E. 4.2 S. 481 f.). Wenn aber der Verwaltung, an welche die Sache zurückgewiesen wird, kein Entscheidungsspielraum mehr bleibt und die Rückweisung - wie hier - bloss der (rechnerischen) Umsetzung des oberinstanzlich Angeordneten dient, handelt es sich materiell nicht um einen Zwischenentscheid, sondern um einen anfechtbaren Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 285; Urteil 9C_18/2020 vom 19. Mai 2020 E. 1).
2.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (<ref-law>).
3.
3.1. Streitgegenstand bildet der Anspruch der Versicherten auf eine (halbe) Rente der Invalidenversicherung.
3.2. Das kantonale Gericht ging von einer hypothetischen Erwerbstätigkeit von 100 % aus und ermittelte den Invaliditätsgrad folglich in Anwendung der Einkommensvergleichsmethode (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>; zur vorinstanzlichen Eventualbegründung vgl. E. 5 nachfolgend). Ausgehend von einer Arbeitsunfähigkeit von 50 % und unter Berücksichtigung eines Tabellenlohnabzugs (vgl. <ref-ruling> E. 5b/aa S. 80) von 15 % setzte es den Invaliditätsgrad auf (gerundet) 58 % fest, was Anspruch auf eine halbe Rente gibt (<ref-law>).
3.3. Demgegenüber qualifizierte die IV-Stelle die Versicherte in ihrer Verfügung vom 4. Oktober 2018 als Teilerwerbstätige (je 50 % Erwerb und Aufgabenbereich), was zur Anwendung der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung führte (<ref-law> in Verbindung mit <ref-law>). Unter Berücksichtigung einer Leistungseinbusse im Erwerb von 48 % und einer Einschränkung im Haushalt von 0 % resultierte bei entsprechender Gewichtung ein rentenausschliessender Gesamtinvaliditätsgrad von 24 %.
4.
Die Beschwerde der IV-Stelle richtet sich in erster Liie gegen die Anwendung der Einkommensvergleichsmethode.
4.1.
4.1.1. Ob eine versicherte Person als ganztägig oder zeitweilig erwerbstätig oder als nichterwerbstätig einzustufen ist (Statusfrage), was je zur Anwendung einer anderen Methode der Invaliditätsbemessung (Einkommensvergleich, gemischte Methode, Betätigungsvergleich) führt, ergibt sich aus der Prüfung, was die Person bei im Übrigen unveränderten Umständen täte, wenn keine gesundheitliche Beeinträchtigung bestünde. Entscheidend ist somit nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern in welchem Pensum sie hypothetisch erwerbstätig wäre. Bei im Haushalt tätigen Versicherten im Besonderen sind die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse ebenso wie allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen zu berücksichtigen (<ref-ruling> E. 3.1 S. 20; <ref-ruling> E. 3.2 S. 338; <ref-ruling> E. 2c S. 150).
4.1.2. Soweit die Beurteilung hypothetischer Geschehensabläufe auf Beweiswürdigung beruht, handelt es sich um eine Tatfrage, selbst wenn darin auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung mitberücksichtigt werden. Die auf einer Würdigung konkreter Umstände basierende Festsetzung des hypothetischen Umfanges der Erwerbstätigkeit ist für das Bundesgericht daher verbindlich, ausser wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht (<ref-ruling> E. 3.2 S. 507; Urteil 9C_926/2015 vom 17. Oktober 2016 E. 1.2, in: SVR 2017 IV Nr. 2 S. 2).
4.2.
4.2.1. Das kantonale Gericht erwog, gemäss dem Bericht über die Haushaltsabklärung vom 14. November 2013 habe die Versicherte angegeben, sie wäre ohne Behinderung zu 50 % erwerbstätig. Indes vermöge dieser Bericht die hypothetische Erwerbsquote von 50 % nicht mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit zu belegen. Die entsprechende Frage, wie sie vorgedruckt im Abklärungsbericht wiedergegeben werde, sei zwar sehr einfach formuliert gewesen, eine überzeugende Antwort hätte aber sehr hohe Anforderungen an die Abstraktionsfähigkeit und -leistung der Versicherten gestellt. Der Abklärungsbericht enthalte keinen Beleg dafür, dass die Versicherte auf die Notwendigkeit hingewiesen worden wäre, sich in die fiktive Situation bei einer vollständig erhaltenen Gesundheit hineinzuversetzen, unter gleichzeitiger Berücksichtigung des sinkenden Betreuungsaufwandes der Kinder und der (insbesondere nach der Pensionierung des Ehemannes) sehr angespannten finanziellen Situation. Hinzu komme, dass bei der Haushaltsabklärung kein professioneller, unabhängiger Dolmetscher eingesetzt worden sei. Damit sei nicht erstellt, dass die Übersetzung sowohl der Frage als auch der Antwort vollständig, korrekt und unbeeinflusst durch die persönliche Meinung der emotional beteiligten, übersetzenden Tochter erfolgt sei. Die Abstraktionshöhe und die Komplexität des Gefragten, das Fehlen einer korrekten Protokollierung von Frage und Antwort und der Einsatz einer möglicherweise voreingenommenen Übersetzerin liessen es offensichtlich nicht zu, dem entsprechenden Teil des Abklärungsberichts, nämlich der notierten Erwerbsquote im hypothetischen Gesundheitsfall von 50 %, einen ausreichenden Beweiswert zuzumessen.
4.2.2. In der Folge ermittelte die Vorinstanz den massgeblichen hypothetischen Sachverhalt "anhand der realen, bereits objektiv nachgewiesenen Sachverhaltselemente". Massgebend sei das fiktive Arbeitspensum der Versicherten im Zeitraum vom 1. November 2012 (frühestmöglicher Rentenbeginn) bis 4. Oktober 2018. Der pensionierte Ehemann der Versicherten erhalte monatlich eine bescheidene AHV-Rente von rund Fr. 1300.-. Dies sei das einzige Einkommen des Ehepaars, so dass der Existenzbedarf nicht aus eigener Kraft gedeckt werden könne. Die Versicherte habe keinen Beruf erlernt, weshalb sie auch als Gesunde nur eine Hilfsarbeit ausüben könnte. Damit würde sie nur ein bescheidenes Einkommen erzielen, das zusammen mit der AHV-Rente des Ehemannes nur dann den Existenzbedarf decken würde, wenn die Versicherte zu 100 % arbeiten würde. Da die Kinder nur noch einen geringen (vom Ehemann zu erbringenden) und dann gar keiner elterlichen Betreuung mehr bedurft hätten, wäre die fiktiv gesunde Versicherte nicht gehindert gewesen, vollzeitlich erwerbstätig zu sein, zumal der Ehemann den ganzen Tag Zeit gehabt hätte, den Haushalt zu besorgen. Unter diesen Umständen müsse davon ausgegangen werden, dass die Versicherte ohne die gesundheitliche Beeinträchtigung zu 100 % erwerbstätig wäre.
4.3.
4.3.1. Zur strittigen Statusfrage ergibt sich aus dem Abklärungsbericht vom 14. Januar 2014 (S. 4 Ziff. 3.1.1 und 3.1.2) das Nachfolgende: Die Versicherte wurde von der Abklärungsperson gefragt, ob sie heute ohne Behinderung eine Erwerbstätigkeit ausüben würde und falls ja, in welchem Umfang. Darauf antwortete diese, sie hätte im selben Betrieb zum selben Pensum von 50 % bis zu ihrer Pensionierung weitergearbeitet. Als "Begründung für die Ausübung einer Erwerbstätigkeit" gab sie an, für sie sei die Einteilung optimal gewesen: Morgens hätte sie ihrem Erwerb nachgehen und nachmittags die Haushaltstätigkeiten erledigen können.
4.3.2. Es gibt keine Anhaltspunkte dafür, dass die Übersetzung der Fragen und Antworten durch die Tochter nicht korrekt oder unvollständig erfolgt wäre. Dazu äusserte sich das kantonale Gericht denn auch nicht näher. Ebenso wenig bestehen Anhaltspunkte dafür, dass die Beschwerdegegnerin nicht verstanden haben soll, dass einzig nach der Erwerbstätigkeit im hypothetischen Gesundheitsfall gefragt wurde. Im Gegenteil, wenn die Versicherte gegenüber der Abklärungsperson angibt, sie hätte bis zur Pensionierung jeweils morgens im bisherigen Betrieb weitergearbeitet und wäre nachmittags im Haushalt tätig gewesen, erfolgte diese Aussage gerade ausgehend von der Annahme einer hypothetischen Arbeitsfähigkeit von 100 %. Dass die Vorinstanz dennoch von diesen Angaben im Abklärungsbericht abgewichen ist, erstaunt umso mehr, als die Versicherte weder im Verwaltungsverfahren noch im kantonalen Beschwerdeverfahren je eine höhere Erwerbstätigkeit geltend gemacht hatte. Ebenso wenig hatte sie bezüglich der Statusfrage - wie auch in Bezug auf die übrige Haushaltsabklärung - geltend gemacht, sie habe die Fragen nicht richtig erfasst resp. ihre Aussagen seien im Bericht nicht korrekt protokolliert worden. Daher kann aus dem Umstand, dass die Beschwerdegegnerin nunmehr die diesbezüglichen vorinstanzlichen Erwägungen teilweise bestätigt und pauschale Kritik an der Haushaltsabklärung übt, nichts Entscheidendes abgeleitet werden. Damit kann offen bleiben, ob und inwieweit ihre Vorbringen novenrechtlich überhaupt zulässig sind (vgl. <ref-law>).
4.4. Entgegen den Darlegungen des kantonalen Gerichts ergibt sich sodann auch mit Blick auf die familiäre und finanzielle Situation der Versicherten nichts, was deren Aussage einer 50%igen Erwerbstätigkeit im hypothetischen Gesundheitsfall widerlegen würde:
Den Akten ist zu entnehmen, dass die Versicherte von November 1991 bis Januar 2009in einem Stickereibetrieb beschäftigt war (wobei sie ab Mai 2007 arbeitsunfähig war). Dabei betrug ihr Arbeitspensum stets 50 %, obschon im Laufe der Zeit das Alter der vier Kinder (Jahrgänge 1975, 1976, 1985, 1989) einer Pensumserhöhung nicht entgegen gestanden hätte. Hinzu kommt, dass die Versicherte nach der Pensionierung des Ehemannes die ihr verbliebene (letztinstanzlich nicht bestrittene) Restarbeitsfähigkeit von 50 % (vgl. E. 3.2) nicht ausgeschöpft hatte, obwohl - gemäss verbindlicher Feststellung des kantonalen Gerichts (vgl. E. 4.2.2) - die AHV-Rente des Ehemannes von Fr. 1300.- das einzige Einkommen der Familie darstellte und dieser den ganzen Tag Zeit gehabt hatte, den Haushalt zu besorgen. Diese Umstände sind gewichtige Indizien dafür, dass die Versicherte ihr Pensum im Gesundheitsfall nicht - auch nicht aus finanziellen Gründen - von 50 % auf 100 % erhöht hätte.
4.5.
4.5.1. Nach dem Gesagten stützen die Akten, namentlich die Aussage der Versicherten anlässlich der Haushaltsabklärung, die Annahme der Verwaltung einer hypothetischen Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall von 50 %. Demgegenüber basiert die vorinstanzliche Annahme einer vollen Erwerbstätigkeit im Wesentlichen auf der Überlegung, welches Pensum der Versicherten im Gesundheitsfall zumutbar wäre. Damit hat die Vorinstanz im Ergebnis einmal mehr ihre - von der ständigen bundesgerichtlichen Rechtsprechung abweichende (vgl. E. 4.1.1) - eigene Praxis angewendet (ausführlich, mit einer eingehenden Auseinandersetzung mit der St. Galler Praxis: Urteil 9C_49/2008 vom 28. Juli 2008 E. 3.3; vgl. auch die dieselbe Vorinstanz betreffenden <ref-ruling> E. 6.3 S. 486 f. und 504 E. 3.3 S. 507 f. sowie Urteile 9C_295/2018 E. 3.1.1 vom 26. Juli 2018, 9C_552/2016 vom 9. März 2017 E. 4.2 und 9C_491/2008 vom 21. April 2009 E. 4; vgl. auch Meyer/Reichmuth, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 3. Aufl. 2014, Rz. 5 f. zu <ref-law>).
Die vorinstanzliche Feststellung der Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall beruht demzufolge auf einer Rechtsverletzung, weshalb sie für das Bundesgericht nicht verbindlich ist (vgl. E. 4.1.2 in Verbindung mit E. 2). Damit ist mit der IV-Stelle von einer Teilerwerbstätigkeit von 50 % mit Aufgabenbereich auszugehen, was die Anwendung der gemischten Bemessungsmethode zur Folge hat.
4.5.2. Daran nichts zu ändern vermag der Einwand der Beschwerdegegnerin, ihr Fall sei aufgrund des Urteils des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (EGMR) vom 2. Februar 2016 in Sachen Di Trizio gegen Schweiz ( 7186/09) nicht nach der gemischten Methode zu beurteilen. Dieses Urteil hat für den vorliegenden Fall nichts geändert, geht es hier doch nicht um eine Rentenrevision, sondern um eine erstmalige Rentenzusprache (vgl. Urteile 9C_671/2017 vom 12. Juli 2018 E. 3.2.1 und 9C_552/2016 vom 9. März 2017 E. 4.3).
5.
5.1. Im Sinne einer - ebenfalls angefochtenen - Eventualbegründung hat sich das kantonale Gericht auf den Standpunkt gestellt, dass selbst wenn mit der Verwaltung die gemischte Bemessungsmethode zur Anwendung gelangen würde (vgl. E. 3.3), die Verfügung vom 4. Oktober 2018 nicht zu schützen wäre: Aufgrund der langen Zeitspanne zwischen der Haushaltsabklärung im November 2013 und dem Verfügungszeitpunkt wäre eine Verlaufsabklärung notwendig gewesen. Weiter sei entgegen der bundesgerichtlichen Rechtsprechung keine Schadenminderungspflicht durch den Beizug von Angehörigen zu berücksichtigen, da nämlich die Invalidität einzig in der behinderungsbedingten Einbusse an persönlicher Leistungsfähigkeit der versicherten Person selbst bestehe.
5.2.
5.2.1. Den Ausführungen des kantonalen Gerichts zur Notwendigkeit einer Verlaufsabklärung mangels Aktualität der 2013 durchgeführten Haushaltsabklärung kann nicht gefolgt werden. Besagte Abklärung erfolgte nur ein Jahr nach dem von der Vorinstanz festgesetzten frühestmöglichen Rentenbeginn (November 2012). Das kantonale Gericht legt weder dar, dass sich der Gesundheitszustand der Versicherten seit der Haushaltsabklärung verändert habe, noch wird solches von der Beschwerdegegnerin geltend gemacht. Alleine der Umstand, dass seit der Abklärung bis zum Verfügungszeitpunkt rund fünf Jahre verstrichen sind, rechtfertigt das Einholen einer Verlaufsabklärung nicht. Weitere Umstände, welche den Beweiswert des Abklärungsberichts schmälern würden, sind nicht ersichtlich (vgl. E. 4.3.2; vgl. zu den beweisrechtlichen Anforderungen an einen Abklärungsbericht an Ort und Stelle auch <ref-ruling> E. 3.2.1 S. 546 f. mit Hinweisen).
5.2.2. Was die Kritik des kantonalen Gerichts an der höchstrichterlichen Rechtsprechung zur Schadenminderungspflicht von im Haushalt tätigen Versicherten anbelangt, so hat sich das Bundesgericht damit bereits in <ref-ruling> E. 4.2 S. 509 ff. einlässlich auseinandergesetzt. Wenn die IV-Stelle in ihrer Verfügung vom 4. Oktober 2018 die Mithilfe von Familienangehörigen berücksichtigte, entspricht dieses Vorgehen der gefestigten bundesgerichtlichen Rechtsprechung, von welcher abzugehen kein Anlass besteht (vgl. dazu die dieselbe Vorinstanz betreffenden Urteile 9C_295/2018 vom 26. Juli 2018 E. 4.2, 9C_911/2014 vom 30. Januar 2015 E. 2.3 und 9C_228/2009 vom 5. November 2009 E. 6.2). Der von der Verwaltung veranschlagte Zeitaufwand der Mithilfe von 1.5 Stunden pro Tag gemäss Abklärungsbericht (S. 9 f. Ziff. 9) ist ebenfalls nicht zu beanstanden, ist es dem Ehemann - gemäss verbindlicher vorinstanzlicher Feststellung (vgl. E. 4.2.2 und 4.4) - doch möglich, sich den ganzen Tag um den Haushalt zu kümmern. Bei einer zumutbaren Mithilfe im Umfang von 1.5 Stunden pro Tag besteht gemäss Abklärungsbericht (S. 11 Ziff. 15) keine Einschränkung im Haushalt.
6.
6.1. Mit Blick auf die vorstehenden Erwägungen ergibt sich, dass von einer Aufteilung von Erwerb und Aufgabenbereich von je 50 % auszugehen ist, wobei im Aufgabenbereich keine Einschränkung besteht. Damit kann offen bleiben, in welchem Ausmass eine Einbusse im Erwerb vorliegt. Denn selbst wenn mit der Vorinstanz von einer Einbusse von 58 % auszugehen wäre (vgl. E. 3.2), ergäbe sich bei einer Gewichtung von 50 % ein rentenausschliessender Gesamtinvaliditätsgrad von 29 %.
6.2. Nach dem Gesagten verletzte die Vorinstanz Bundesrecht, als sie der Versicherten ab 1. November 2012 eine halbe Rente der Invalidenversicherung zusprach. Folglich ist der angefochtene Entscheid aufzuheben und die von der IV-Stelle verfügte Leistungsablehnung zu bestätigen.
7.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
8.
Das Verfahren ist kostenpflichtig. Die Gerichtskosten und eine allfällige Parteientschädigung hätte grundsätzlich die unterliegende Partei zu tragen (<ref-law>; <ref-ruling>). Unnötige Kosten hat indessen zu bezahlen, wer sie verursacht (<ref-law>). Dies erlaubt es, die Gerichtskosten ausnahmsweise der Vorinstanz resp. dem Gemeinwesen, dem diese angehört, aufzuerlegen. Die Vorinstanz setzt sich konsequent über die anwendbare Rechtsprechung des Bundesgerichts hinweg (vgl. E. 4.5.1 und 5.2.2). Damit hat sie die IV-Stelle zum Gang vor das Bundesgericht gezwungen, was zu einer unnötigen Verlängerung des Verfahrens führte. Dieser Umstand kann nicht der Beschwerdegegnerin angelastet werden. Demnach sind dem Kanton St. Gallen die Gerichtskosten aufzuerlegen (vgl. Urteil 9C_295/2018 vom 26. Juli 2018 E. 6).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 10. Februar 2020 wird aufgehoben und die Verfügung der IV-Stelle des Kantons St. Gallen vom 4. Oktober 2018 bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Kanton St. Gallen auferlegt.
3.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Gerichtskosten des vorangegangenen Verfahrens an das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen zurückgewiesen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 18. Juni 2020
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Stanger