Sachverhalt:
A.
A.a. Die B._ AG mit Sitz in U._ (Klägerin, Beschwerdegegnerin) bezweckt das Erbringen von Beratungsdienstleitungen, insbesondere Vermittlung von Beteiligungen und Finanzierungen. Die A._ SA mit Sitz in V._ (Beklagte, Beschwerdeführerin) erbringt Beratungsdienstleitungen, insbesondere auch im Bereich erneuerbarer Energien. C._ ist einziges Verwaltungsratsmitglied der Beklagten.
A.b. Die Klägerin und C._, der im Bereich der Beratung und Finanzdienstleistungen auf dem italienischen Markt tätig ist, schlossen am 26. November 2012 einen Vertrag, den sie als "Memorandum of Understanding" (nachfolgend: MoU) bezeichneten. Sie vereinbarten, es handle sich beim MoU um eine Rahmenvereinbarung und legten fest, dass für jedes einzelne Projekt eine spezifische Vereinbarung ("Project Engagement") abgeschlossen werde, die das konkrete Projekt in Italien bezeichne und die dafür vereinbarte Erfolgsvergütung ("Success Fee") regle.
Mit Vereinbarung vom 16. Mai 2013 stimmte die Klägerin dem Antrag von C._ zu, dass sich die Anwendbarkeit des MoU von 2012 auch auf die Beklagte erstrecke.
A.c. Die Parteien und C._ unterzeichneten am 20. März 2014 das Attachment no. 2, welches das Projekt "R._" betraf. Bei diesem Projekt, das für den Kunden D._ GmbH bearbeitet wurde, ging es um die Finanzierung eines Logistik- und Verteilzentrums für Holzpellets im Hafen von W._ in der Nähe von X._. Im Attachment no. 2 wurde unter anderem bestätigt, dass sich die Bindungswirkung des MoU 2012 auch auf die Beklagte erstrecke. Zudem wurde festgehalten, dass im Erfolgsfall eine Provision von EUR 800'000.-- für das Projekt "R._" geschuldet sei, die Klägerin der Beklagten bei Vertragsunterzeichnung eine Anzahlung von EUR 250'000.-- (zuzüglich MwSt.) leiste und diese Anzahlung bei Nichtzustandekommen des zugrundeliegenden Geschäfts mit dem Kunden zurückzuzahlen sei. Ebenfalls am 20. März 2014 stellte die Beklagte der Klägerin den Betrag von EUR 270'000.-- in Rechnung, d.h. EUR 250'000.-- zuzüglich Mehrwertsteuer in Höhe von EUR 20'000.--. Die Klägerin überwies den Betrag am 21. März 2014. Zudem bezahlte die Klägerin der Beklagten gleichentags insgesamt EUR 540'000.-- für Leistungen, welche die Beklagte gegenüber der D._ GmbH betreffend die Projekte S._ und T._ erbracht hatte.
B.
Nachdem die Klägerin von der Beklagten wegen Nichtzustandekommens des Projekts "R._" erfolglos die Rückzahlung der Anzahlung von EUR 270'000.-- verlangt hatte, reichte sie am 20. Mai 2016 beim Vermittleramt St. Gallen ein Schlichtungsgesuch und in der Folge beim Kreisgericht St. Gallen Klage ein. Da die Beklagte die Einrede der sachlichen Unzuständigkeit erhoben hatte, vereinbarten die Parteien einen Rückzug der Klage zwecks Neueinreichung beim sachlich zuständigen Handelsgericht. Das Kreisgericht schrieb das Verfahren mit Entscheid vom 17. Oktober 2017 als erledigt ab.
C.
Mit Klage vom 2. November 2017 beim Handelsgericht des Kantons St. Gallen und gemäss Replik geändertem Rechtsbegehren beantragte die Klägerin, die Beklagte sei zu verpflichten, ihr Fr. 299'273.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 20. Mai 2016 zu bezahlen (Ziff. 1). Eventualiter sei die Beklagte zu verpflichten, ihr EUR 270'000.-- zuzüglich Zins zu 5 % seit 20. Mai 2016 zu bezahlen.
Mit Urteil vom 15. Februar 2021 wies das Handelsgericht die Klage auf Bezahlung von Fr. 299'273.-- ab und verpflichtete die Beklagte, der Klägerin EUR 270'000.-- zuzüglich Zins von 5 % seit 20. Mai 2016 zu bezahlen. Die Gerichtskosten von Fr. 20'000.-- auferlegte es zu 90 % der Beklagten und zu 10 % der Klägerin. Des Weiteren verpflichtete das Handelsgericht die Beklagte zur Bezahlung einer entsprechenden Parteientschädigung.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 19. März 2021 beantragt die Beklagte, das Urteil des Handelsgericht sei kostenfällig aufzuheben und die Klage sei abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zu neuer Entscheidung an das Handelsgericht zurückzuweisen.
Die Klägerin trägt auf kostenfällige Abweisung der Klage an. Das Handelsgericht verzichtete auf eine Vernehmlassung. Die Beklagte hat spontan eine Replik eingereicht.
Mit Präsidialverfügung vom 19. Mai 2021 wurde das Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abgewiesen.

Erwägungen:
1.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (<ref-ruling> E. 2; <ref-ruling> E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (<ref-law>). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (<ref-ruling> E. 2, 86 E. 2).
2.
Im Attachment no. 2 haben die Parteien betreffend das Projekt "R._" Folgendes vereinbart:
"[...] The parties perform the projects on a success fee only basis. The success under no 02 (Financing of the project R._) has been performed once D._ GmbH or any subsidiary or related company to D._ GmbH has executed the financing contract for the project. Once the success of the project has been performed and B._ AG has received the relevant fee's from D._ GmbH B._ AG will pay A._ SA the following fee's (potential VAT to be added) : > under no 02 (Financing of the project R._) : ---800'000,---EUR. A portion of ---250'000,---EUR (potential VAT to be added) of the ---800'000,---EUR will be paid as downpayment by B._ AG to A._ SA at signing of this document. If the project will not be closed successful the downpayment has to be reimbursed. [...]".
Die Vorinstanz schloss, damit hätten die Parteien vereinbart, die Durchführung des Projekts "R._" erfolge auf der Basis einer blossen Erfolgsprovision. Sie hätten festgelegt, dass der Erfolg dann als eingetreten gelte, wenn ein Finanzierungsvertrag für dieses Projekt durch die D._ GmbH, einer Tochtergesellschaft oder einer mit der D._ GmbH verbundenen Gesellschaft abgeschlossen worden sei. Komme es nicht zu diesem Erfolg, sei die von der Beklagten zu leistende Anzahlung von EUR 250'000.-- auf die Vergütung von EUR 800'000.-- zurückzuzahlen.
2.1. Die Vorinstanz erwog, in Anbetracht des Umstands, dass über die D._ GmbH am 1. Mai 2016 das Insolvenzverfahren eröffnet worden sei, sei nicht davon auszugehen, dass das Finanzierungsprojekt noch erfolgreich abgeschlossen werden könne. Die Beschwerdeführerin lege dies auch nicht ansatzweise dar. Allein ihr Einwand, die Beschwerdegegnerin habe ihre Mitwirkungspflichten verletzt, weshalb sich das Geschäft noch in der Schwebe befinde, genüge nicht. Die Beschwerdeführerin habe doch nicht einmal dargelegt, welche konkrete Mitwirkung der Beschwerdegegnerin für den erfolgreichen Abschluss des Projekts notwendig gewesen wäre. Es müsse daher nicht weiter darauf und auf die eventualiter geltend gemachten Schadenersatzansprüche wegen Vertragsrücktritt zur Unzeit eingegangen werden.
Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei aktenwidrig, dass sie nicht dargelegt habe, welche Mitwirkungspflichten verletzt worden seien. Sie habe in der Duplik (Ziff. 44) dargelegt, die Beschwerdegegnerin habe sie " wider besseres Wissen bzw. im Wissen um die finanzielle Sit uation der D._ GmbH [...] bis zuletzt aufgefordert, das Projekt voranzubringen". Dass die Vorinstanz hierzu die beantragten Zeugen nicht angehört habe, sei eine unvollständige und willkürliche Beweiswürdigung. Als Verletzung der Mitwirkung versteht die Beschwerdeführerin offenbar, dass die Beschwerdegegnerin konkrete Finanzierungsmassnahmen zugunsten der D._ GmbH hätte prüfen müssen. Letzteres ist gegenüber einer Kundin, d.h. einer Vertragspartnerin der Beschwerdegegnerin (vgl. E. 2.4 hiernach) offensichtlich nicht begründet und wurde von der Beschwerdeführerin an der angegebenen Stelle in der Duplik auch nicht vorgebracht. Im Übrigen läuft die Rüge der Beschwerdeführerin auf den Vorwurf eines rechtsmissbräuchlichen Verhaltens hinaus. Abgesehen davon, dass sie deren rechtsprechungsgemässe Voraussetzungen nicht weiter begründet, hat die Beschwerdeführerin an der von ihr zitierten Stelle in der Duplik entgegen ihrer Formulierung in der Beschwerde auch nicht behauptet, das Vorantreiben des Projekts sei "im Wissen um die finanzielle Situation der D._ GmbH" erfolgt. Sie formulierte dort: "[...] muss sie das wider besseres Wissen getan haben", womit sie eine blosse Vermutung und keine Tatsachenbehauptung aufstellte. Auch zum Vorantreiben des Projekts fehlen an der angegebenen Stelle in der Duplik konkrete Ausführungen. Wird nicht substanziiert behauptet, können dazu auch die beantragten Zeugen nicht angehört werden (vgl. E. 2.3.2 hiernach). Die Vorinstanz hatte aufgrund dieser unsubstanziierten Bemerkungen keine Anhaltspunkte, um ein rechtsmissbräuchliches Verhalten der Beschwerdegegnerin zu prüfen.
2.2. Die Beschwerdeführerin rügt eine Verletzung ihres Rechts auf Beweis (<ref-law>) und des rechtlichen Gehörs (<ref-law>) sowie Aktenwidrigkeit und dadurch eine willkürliche Beweiswürdigung. Trotz entsprechender Vorbringen in den Rechtsschriften habe die Vorinstanz nicht geprüft, dass wegen des schleppenden Projektverlaufs die fragliche Zahlung von EUR 270'000.-- von den Parteien als wohlbezahltes (separates) Honorar für gehabten Aufwand erklärt worden sei. Die Beschwerdeführerin verweist auf ihre Ausführungen unter Ziffer 8 der Klageantwort und den Ziffern 42 und 52 der Duplik.
Damit macht die Beschwerdeführerin eine nachträgliche Vertragsänderung geltend. Die Vorinstanz hat sich indessen sehr wohl mit diesen Behauptungen in Klageantwort und Duplik auseinandergesetzt und erwogen, die Beschwerdeführerin habe für die angebliche Vereinbarung eines separaten Honorars keine Belege eingereicht. Sie lege auch nicht dar, unter welchen konkreten Umständen eine solche Änderungsvereinbarung geschlossen worden sein soll. Insbesondere fehlten jegliche Ausführungen der Beschwerdeführerin dazu, durch welche natürlichen Personen die Parteien anlässlich der behaupteten Vertragsänderung vertreten worden seien. Mangels ausreichender Substanziierung könnten die diesbezüglichen Partei- und Zeugeneinvernahmen nicht abgenommen werden. Auf diese Argumentation geht die Beschwerdeführerin nicht ein, weshalb sie bereits die Anforderungen an eine rechtsgenügliche Rüge nicht erfüllt (vgl. E. 1 hiervor). Im Übrigen sind die Ausführungen der Vorinstanz absolut zutreffend.
2.3. Die Beschwerdeführerin macht - wie bereits vor Vorinstanz - eventualiter Verrechnung geltend, gestützt auf eine behauptete Forderung der E._, Y._, gegenüber der Beschwerdegegnerin für von dieser erbrachte Leistungen über EUR 620'000.--, welche diese ihr abgetreten habe.
2.3.1. Die Vorinstanz erwog, die Beschwerdeführerin habe keinen Beleg eingereicht für die Existenz eines Vertragsverhältnisses zwischen der Beschwerdegegnerin und der E._; die von der Beschwerdeführerin eingereichten Unterlagen der E._, Y._, betreffend das Konzept D._ Italian Business Unit (bekl. act. 3) stellten keinen ausreichenden Beleg für ein solches Vertragsverhältnis dar, erscheine es doch möglich, dass die E._, Y._, diese Leistung als Subunternehmerin der Beklagten erbracht habe. Die E._, Y._, habe zwar mit Schreiben vom 30. Juni 2015 bzw. 3. Mai 2016 (bekl. act. 5 und 6) die Beschwerdegegnerin bzw. deren Verwaltungsrat aufgefordert, Ausstände in Höhe von EUR 620'000.-- zu begleichen. Dies allein stelle jedoch kein Beleg dafür dar, dass die behauptete Forderung begründet sei. Die Beschwerdeführerin habe weder das Bestehen eines Vertragsverhältnisses nachgewiesen, noch habe sie eine Abrechnung über die von der E._, Y._, erbrachten Leistungen vorgelegt.
2.3.2. Auf diese Begründung kann ohne Weiteres verwiesen werden (<ref-law> Abs. 3 Satz 2 BGG). Die Einwände der Beschwerdeführerin sind offensichtlich unbegründet. Entgegen ihrem Vorbringen kann nicht die Rede davon sein, die Beschwerdegegnerin wäre beweispflichtig dafür, dass ein Vertragsverhältnis zwischen ihr und der E._, Y._, bestand und welche Forderung diese Unternehmung gegenüber der Beschwerdegegnerin hat. Denn: Will sich die Beschwerdeführerin auf die Existenz dieser Forderung stützen, hat sie diese zu beweisen (vgl. <ref-law>). Die von ihr vorgelegten Urkunden (bekl. act. 4-6) erschöpfen sich - wie die Vorinstanz völlig zu Recht erkannte - indes in blossen Behauptungen. Wenn die Beschwerdeführerin "zur weiteren Beweisführung Zeugen [nennt], welche insbesondere betreffend die offenen Forderungen [...] Klärung bringen sollen", verkennt sie, dass Beweise nur zu substanziierten Behauptungen in den Rechtsschriften abzunehmen sind, welche sie jedoch vollständig vermissen lässt. Sind Behauptungen nicht hinreichend substanziiert, kann die Beschwerdegegnerin diese ihrerseits nicht substanziiert bestreiten. Folglich ist auch dieser Einwand der Beschwerdeführerin unbegründet.
2.4. Schliesslich bringt die Beschwerdeführerin vor, die D._ GmbH sei Hilfsperson (<ref-law>) der Beschwerdegegnerin gewesen, weshalb sich diese das Fehlverhalten der D._ GmbH habe anrechnen lassen müssen, welches zu deren Konkurs geführt habe. Die Beschwerdegegnerin sei damit insbesondere verantwortlich für die Auflösung des Auftrags zur Unzeit und habe gestützt darauf Schadenersatz zu leisten. Die Vorinstanz habe trotz spezifischer und ausreichender Einwendungen in den Rechtsschriften diese Frage nicht beurteilt, weshalb ihr Willkür vorzuwerfen sei.
Die Beschwerdeführerin verweist zur Begründung ihrer Rüge auf ihre Ausführungen in der Klageantwort (Ziff. 43, 44 und 46) sowie der Duplik (Ziff. 46). In der Klageantwort finden sich allerdings keine Ziffern 43, 44 und 46. In Ziffer 46 der Duplik hat die Beschwerdeführerin - wie nun auch vor Bundesgericht - ausgeführt, das Projekt "R._" sei von ihr im Auftrag der Beschwerdegegnerin bearbeitet worden, "für deren Kundin, der D._ GmbH". Die D._ GmbH sei die Auftraggeberin der Beschwerdegegnerin gewesen. Eine Kundin bzw. eine Auftraggeberin ist nicht eine Hilfsperson im Sinn von <ref-law>, sondern eine Vertragspartnerin. Mit dieser Rüge widerspricht die Beschwerdeführerin somit ihrem eigenen Vorbringen, weshalb sie auch in diesem Punkt nicht durchdringt.
3.
Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 6'500.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 7'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Handelsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2021
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Bittel