Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1967 geborene A._, seit 1996 Hausfrau und Mutter zweier 1996 und 1998 geborener Kinder, meldete sich am 7. Februar 2014 aufgrund eines im November 2013 bei ihr diagnostizierten Brustkrebses resp. dessen Behandlung bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Hilfsmitteln an. Am 28. Februar 2014 leistete die IV-Stelle des Kantons St. Gallen Kostengutsprache für eine Perücke oder einen anderen Haarersatz.
A.b. Am 26. April 2016 meldete sich A._ unter Verweis auf eine starke psychische Belastung, Konzentrationsprobleme, eine Fatigue sowie verstärkte Rückenschmerzen bei der IV-Stelle zum Bezug von beruflichen Massnahmen und Rentenleistungen an. Die IV-Stelle holte ein Gutachten der Swiss Medical Assessment- and Business-Center AG (SMAB) vom 19. Juni 2017 ein und führte eine Haushaltsabklärung bei der Versicherten durch (vgl. Abklärungsbericht vom 30. November 2017). Nach Einholung einer Stellungnahme des Regionalen Ärztlichen Dienstes (RAD) vom 1. Februar 2018 kündigte die IV-Stelle A._ die Abweisung des Rentenbegehrens an, wobei sie in Anwendung der gemischten Bemessungsmethode mit Anteilen Erwerb und Aufgabenbereich von je 50 % einen Gesamtinvaliditätsgrad von 31 % ermittelte. Auf Einwand der Versicherten hin holte die IV-Stelle eine Stellungnahme ihrer Abklärungsperson ein. Mit Verfügung vom 5. September 2018 hielt sie an der Abweisung des Rentenbegehrens fest, wobei sie nunmehr ab dem 1. Juni 2018 von einem im Gesundheitsfall ausgeübten Erwerbspensum von 60 % (Aufgabenbereich: 40 %) ausging und ab diesem Zeitpunkt einen Invaliditätsgrad von 35 % berechnete.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 17. September 2019 gut. Es hob die Verfügung der IV-Stelle vom 5. September 2018 auf und sprach der Versicherten mit Wirkung ab dem 1. Oktober 2016 eine halbe Invalidenrente zu. Zur Festsetzung und Ausrichtung der Leistungen wies es die Sache an die IV-Stelle zurück.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die IV-Stelle, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und die Verfügung vom 5. September 2018 zu bestätigen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Die Vorinstanz sprach der Beschwerdegegnerin ab 1. Oktober 2016 eine (halbe) Rente zu und wies die Sache zur Festsetzung und Ausrichtung der Leistungen an die Beschwerde führende IV-Stelle zurück. Beim angefochtenen Entscheid handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von <ref-law> (<ref-ruling> E. 4.2 S. 285; <ref-ruling> E. 1.3 S. 127).
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 1 S. 236 mit Hinweisen).
2.2. Das Bundesgericht kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (<ref-law>).
3.
Streitig und zu prüfen ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie der Beschwerdegegnerin mit Wirkung ab 1. Oktober 2016 eine halbe Invalidenrente zusprach. Im Zentrum steht dabei die Statusfrage.
4.
4.1. Die Statusfrage ist nach der Rechtsprechung mit Rücksicht auf die gesamten persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse zu beurteilen (<ref-ruling> E. 3.2 S. 338; Urteil 9C_201/2017 vom 3. November 2017 E. 4.1). Bei deren Beantwortung handelt es sich zwangsläufig um eine hypothetische Beurteilung, die auch hypothetische Willensentscheidungen der versicherten Person zu berücksichtigen hat. Diese sind als innere Tatsachen einer direkten Beweisführung nicht zugänglich und müssen in aller Regel aus äusseren Indizien erschlossen werden. Die Beurteilung hypothetischer Geschehensabläufe stellt eine Tatfrage dar, soweit sie auf Beweiswürdigung beruht, selbst wenn darin auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung mitberücksichtigt werden. Ebenso sind Feststellungen über innere oder psychische Tatsachen Tatfragen, wie beispielsweise was jemand wollte oder wusste. Die auf einer Würdigung konkreter Umstände basierende Festsetzung des hypothetischen Umfangs der Erwerbstätigkeit ist für das Bundesgericht daher verbindlich, ausser wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht. Eine Beweiswürdigung ist nicht bereits dann offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich (zum Begriff der Willkür: <ref-ruling> E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid - im Ergebnis - offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (<ref-ruling> E. 2.4 S. 31 mit Hinweisen; vgl. auch Urteile 8C_525/2018 vom 16. November 2018 E. 3.2; Urteil 9C_926/2015 vom 17. Oktober 2016 E. 1.2, in: SVR 2017 IV Nr. 2 S. 2, und 9C_559/2009 vom 18. Dezember 2009 E. 3, in: SVR 2010 IV Nr. 35 S. 111).
4.2. Das kantonale Gericht kam nach einlässlicher Würdigung der Akten zum Schluss, die Versicherte hätte im Gesundheitsfall ab Mai 2016 eine Vollzeiterwerbstätigkeit ausgeübt resp. eine Vollzeitstelle gesucht. Es mass den direkten Auskünften der Versicherten höheres Gewicht bei als den in den IV-Berichten indirekt wiedergegebenen Aussagen der Versicherten. So habe diese im Fragebogen der IV-Stelle am 21. Dezember 2016 und in ihrer E-Mail vom 27. Juli 2017 eindeutig angegeben, dass sie im fiktiven Gesundheitsfall seit der Trennung von ihrem Ehemann im Mai 2016 in Vollzeit arbeiten würde. Folglich könne die Beschwerdegegnerin nicht auf der Darstellung im Protokoll der Eingliederungsverantwortlichen vom 3. November 2016 als Aussage der ersten Stunde behaftet werden, zumal die Eingliederungsverantwortliche - wie im Übrigen auch die Haushaltsabklärungsperson - die Aussagen der Beschwerdegegnerin mit ihren eigenen Wertungen vermischt habe. Den indirekt wiedergegebenen Aussagen der Beschwerdegegnerin im Haushaltsabklärungsbericht vom 30. November 2017 könne denn auch nicht entnommen werden, dass die Versicherte im Gesundheitsfall in einem Pensum von 50 % arbeiten würde. Insgesamt bestünden erhebliche Zweifel daran, dass die Versicherte anlässlich der Abklärungen der IV-Stelle tatsächlich angegeben haben soll, im fiktiven Gesundheitsfall in einem 50 %-Pensum tätig zu sein. Aufgrund der fehlenden wortgetreuen Protokollierung der Fragen und Antworten in Kombination mit der Vermischung mit eigenen Wertungen seien das Protokoll der Haushaltsabklärung und dasjenige der Eingliederungsverantwortlichen nicht geeignet, um aus ihnen auf das hypothetische Erwerbspensum der Beschwerdegegnerin im fiktiven Gesundheitsfall schliessen zu können. Hinzu komme, dass die Eingliederungsverantwortliche die Versicherte anlässlich des Assessmentgesprächs vom 2. November 2016 als verunsichert und psychisch instabil beschrieben habe, sodass die Beschwerdegegnerin kaum auf allfälligen Angaben in diesem Gespräch behaftet werden könne. Demgegenüber habe die Versicherte die Annahme einer hypothetischen Vollzeiterwerbstätigkeit nachvollziehbar und glaubhaft begründet, indem sie angegeben habe, dass sie aufgrund der Trennung von ihrem Ehemann realisiert habe, wieder 100 % arbeiten zu müssen, zumal die Unterhaltszahlungen ungewiss seien und sie gemerkt habe, dass die Höhe der bisherigen Unterhaltszahlungen auf ihren Gesundheitszustand zurückzuführen sei. Die Vorinstanz hielt in diesem Zusammenhang weiter fest, aus den aktuell getätigten Unterhaltszahlungen des Ehemannes könne entgegen der IV-Stelle nicht geschlossen werden, dass die Beschwerdegegnerin im Gesundheitsfall gleich hohe Zahlungen erhalten hätte, sodass es für sie deswegen nicht notwendig gewesen wäre, eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Unter Berücksichtigung der Aussagen der Beschwerdegegnerin und ihrer Lebenssituation mit einem laufenden Scheidungsverfahren sei es viel wahrscheinlicher, dass die Versicherte im Gesundheitsfall spätestens im Zeitpunkt der Trennung zum einen den Wunsch, zum anderen die Notwendigkeit verspürt hätte, selber eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen. Folglich sei der Invaliditätsgrad anhand eines reinen Einkommensvergleichs zu ermitteln.
4.3. Der einlässlich begründeten Auffassung des kantonalen Gerichts zur Statusfrage der Versicherten ist beizupflichten. Was die IV-Stelle dagegen vorbringt, lässt die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als offensichtlich unrichtig (vgl. E. 4.1 hiervor) erscheinen.
4.3.1. Die IV-Stelle macht zunächst geltend, die Vorinstanz habe sich bei der Beurteilung der Statusfrage überwiegend auf die finanziellen Verhältnisse der Versicherten und deren Aussagen abgestützt. Andere Faktoren habe das kantonale Gericht nicht berücksichtigt. Sie legt indessen nicht dar, welchen entscheidrelevanten Faktor die Vorinstanz zu Unrecht nicht berücksichtigt haben soll. Aus den Ausführungen im angefochtenen Entscheid ergibt sich vielmehr, dass die Vorinstanz den persönlichen, familiären und erwerblichen Verhältnissen Rechnung trug. Soweit die IV-Stelle auf die fehlende Berufsausbildung der Versicherten verweist, ist nicht ersichtlich, inwiefern dieser Umstand gegen eine hypothetische Vollzeiterwerbstätigkeit im Gesundheitsfall sprechen soll, hat dies doch die Versicherte auch in der Vergangenheit bis zur Geburt des ersten Kindes im Jahr 1996 nicht daran gehindert, vollzeitlich erwerbstätig zu sein (vgl. Abklärungsbericht vom 30. November 2017, Ziff. 2.6.1).
4.3.2. Weiter trifft es zwar zu, dass die Vorinstanz den direkten Aussagen der Beschwerdegegnerin vom 21. Dezember 2017 und 27. Juli 2017 mehr Gewicht beimass als den in den IV-Berichten indirekt wiedergegebenen Angaben der Versicherten. Sie begründete dies aber ausführlich und nachvollziehbar. In Bezug auf den Abklärungsbericht Haushalt vom 30. November 2017 wies sie etwa zu Recht darauf hin, dass sich diesem keine Aussage der Beschwerdegegnerin entnehmen lässt, wonach sie im Gesundheitsfall in einem 50 %-Pensum erwerbstätig wäre. Die Aussage der Versicherten, wonach sie heute "sicher teilzeitlich" arbeiten würde, da bereits eine Kürzung der Unterhaltszahlungen des getrennt lebenden Ehemannes im Raum stehe, lasse denn auch einen erheblichen Interpretationsspielraum über den Gehalt der Aussage zu. Ausserdem sei auffällig, dass die indirekt wiedergegebenen Aussagen zum Pensum im fiktiven Gesundheitsfall in einem Zusammenhang mit Aussagen zu der aus gesundheitlichen Gründen bestehenden Leistungsfähigkeit gestanden hätten. Von einer willkürlichen Beweiswürdigung der Vorinstanz kann somit keine Rede sein. Dass die unmissverständlichen direkten Angaben der Beschwerdegegnerin zum im Gesundheitsfall hypothetisch ausgeübten Arbeitspensum von nachträglichen Überlegungen versicherungsrechtlicher oder anderer Art beeinflusst gewesen sein sollen, macht die IV-Stelle im Übrigen nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich.
4.3.3. Soweit die IV-Stelle vorbringt, die Versicherte sei seit 1996 nicht mehr erwerbstätig gewesen, obwohl die Kinder im Zeitpunkt der Krebserkrankung im Jahr 2013 bereits 15 und 17 Jahre alt gewesen seien, lässt sie den aus Sicht der Vorinstanz entscheidenden Faktor ausser Acht, nämlich die Trennung der Beschwerdegegnerin von ihrem Ehemann im Jahr 2016. Vor der Heirat im Jahr 1995 und der Geburt des ersten Kindes 1996 war die Versicherte bereits zu 100 % erwerbstätig, wie sich dem Abklärungsbericht Haushalt vom 30. November 2017 entnehmen lässt. Dass die Beschwerdegegnerin seit 1996 nicht mehr erwerbstätig war, ist auf die Rollenverteilung während des Zusammenlebens mit dem Ehemann zurückzuführen. Diese ist mit der Trennung im Jahr 2016 weggefallen. Die Vorinstanz berücksichtigte bei ihrer Beurteilung demnach die konkrete Lebenssituation der Beschwerdegegnerin mit einem laufenden Scheidungsverfahren, was nicht zu beanstanden ist. Sie gelangte in Würdigung der Aussagen der Versicherten und der Berichte der Verantwortlichen der IV-Stelle zum Schluss, es sei viel wahrscheinlicher, dass die Versicherte im Gesundheitsfall spätestens im Zeitpunkt der Trennung zum einen den Wunsch, zum anderen die Notwendigkeit verspürt hätte, selber eine (Vollzeit) Erwerbstätigkeit aufzunehmen, zumal die aktuell getätigten Unterhaltszahlungen des Ehemannes keine Rückschlüsse auf die im hypothetischen Gesundheitsfall geleisteten Zahlungen zuliessen. Diese Beurteilung des hypothetischen Geschehensablaufs beruht auf konkreter Beweiswürdigung. Selbst wenn dabei auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung berücksichtigt wurden, ändert dies nichts an der eingeschränkten Kognition des Bundesgerichts (vgl. E. 2.2 und E. 4.1 hiervor). Die Vorbringen der Beschwerdeführerin sind nicht geeignet, die vorinstanzliche Feststellung einer im Gesundheitsfall ausgeübten Vollzeiterwerbstätigkeit als geradezu unhaltbar erscheinen zu lassen (vgl. E. 4.1 hiervor; vgl. auch Urteil 8C_636/2015 vom 17. Dezember 2015 E. 4.2.3). Soweit die IV-Stelle zur Begründung ihres Standpunktes auf die Unterhaltszahlungen im Verfügungszeitpunkt verweist, übt sie appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, auf die nicht weiter einzugehen ist.
4.3.4. Zusammenfassend hat das kantonale Gericht die relevanten Fakten berücksichtigt und gewürdigt. Dass es zu einem von der IV-Stelle abweichenden, aber gleichwohl nachvollziehbaren Schluss kam, vermag entgegen sämtlichen Beschwerdevorbringen eine Bundesrechtswidrigkeit nicht zu begründen.
5.
Ist nach dem Gesagten davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin ohne Gesundheitsschaden seit Mai 2016 in einem Vollzeitpensum erwerbstätig wäre, so hat die Invaliditätsbemessung nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs zu erfolgen, wie die Vorinstanz richtig erkannte. Hinsichtlich der konkreten Berechnung macht die Beschwerdeführerin einzig geltend, das kantonale Gericht habe Bundesrecht verletzt, indem es einen Tabellenlohnabzug von 15 % gewährt habe. Wie es sich damit verhält, kann offen bleiben: Die Vorinstanz ermittelte unter Berücksichtigung eines Abzugs von 15 % einen Invaliditätsgrad von 58 %, der Anspruch auf eine halbe Rente begründet (vgl. <ref-law>). Ohne einen solchen Abzug ergibt sich ausgehend von einer unbestrittenen Arbeitsfähigkeit von 50 % ein - ebenfalls Anspruch auf eine halbe Rente begründender - Invaliditätsgrad von 50 %, da den beiden Vergleichseinkommen derselbe Tabellenlohn zu Grunde liegt, was gleichermassen unbestritten ist. So oder anders besteht demnach Anspruch auf eine halbe Rente. Mithin hat es beim angefochtenen Entscheid sein Bewenden. Die Beschwerde ist unbegründet.
6.
Die unterliegende Beschwerdeführerin trägt die Verfahrenskosten (<ref-law>). Sie hat der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 16. Dezember 2019
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Wüest