Erwägungen:
1.
Die Einwohnergemeinde Bern, Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, lehnte es am 18. Oktober 2019 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern bzw. diesem eine Kurzaufenthaltsbewilligung zu erteilen; sie hielt ihn gleichzeitig an, das Land zu verlassen. A._ gelangte hiergegen an die Polizei- und Militärdirektion des Kantons Bern (heute: Sicherheitsdirektion), welche auf seine Beschwerde am 17. Februar 2020 nicht eintrat, weil A._ den Kostenvorschuss nicht fristgerecht (vollständig) bezahlt hatte. A._ gelangte hiergegen an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern; dieses wies seine Beschwerde am 10. Juni 2020 ab, soweit es darauf eintrat. A._ beantragt vor Bundesgericht sinngemäss, seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; das Bundesgericht werde ersucht den "Fall auf einer rein inhaltlichen Ebene" zu beurteilen. Es wurden für das bundesgerichtliche Verfahren weder Akten noch Stellungnahmen eingeholt.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG (SR 173.110) haben Rechtsschriften an das Bundesgericht die Begehren und die Begründung zu enthalten. Diese muss sachbezogen sein und sich auf den Gegenstand des angefochtenen Entscheids beziehen. Die beschwerdeführende Partei muss in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Urteils massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darlegen, inwiefern die Vorinstanz Rechte oder Rechtsnormen verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 ff. mit Hinweisen).
2.2.
2.2.1. Gegenstand des vorinstanzlichen Verfahrens bildete die Frage, ob die Sicherheitsdirektion des Kantons Bern zu Unrecht auf die bei ihr eingereichte Beschwerde nicht eingetreten ist. Auch im vorliegenden Verfahren geht es nur hierum. Der Beschwerdeführer übersieht, dass ein Entscheid lediglich dann materiell überprüft werden kann, wenn die formellen Voraussetzungen dafür gegeben sind, wozu die fristgerechte Leistung des Kostenvorschusses gehört. Da dieser im Verfahren vor der Sicherheitsdirektion nicht rechtzeitig geleistet worden war, erging ein Prozessentscheid (Nichteintreten); nur dieser kann - wie bereits vor dem Verwaltungsgericht - heute vor Bundesgericht Streitgegenstand bilden, indessen nicht die Frage, ob dem Beschwerdeführer die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung in Verletzung von Bundesrecht verweigert worden ist.
2.2.2. Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Argumenten des Verwaltungsgerichts nicht sachbezogen auseinander; er legt nicht dar, inwiefern das angefochtene Urteil - welches den Nichteintretensentscheid der Sicherheitsdirektion schützt - Recht verletzen würde. Der Beschwerdeführer argumentiert hauptsächlich in der Sache selber. In Bezug auf die Problematik des verspätet bezahlten Kostenvorschusses als einzig zulässigem Streitgegenstand geht er nur insoweit ein, als er vorbringt, er habe nicht genügend Geld gehabt, um den Kostenvorschuss zu bezahlen, und habe nicht gewusst, dass er kostenlose legale Unterstützung hätte beanspruchen können. Damit setzt er sich aber nicht mit der vorinstanzlichen Argumentation auseinander. Es kann deshalb offenbleiben, ob das Rechtsmittel als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten oder als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegenzunehmen wäre. Im Übrigen ist angesichts der Erwägungen der Vorinstanz nicht ersichtlich, inwiefern sich deren Urteil mit tauglichen Rügen erfolgversprechend anfechten liesse.
3.
3.1. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine sachbezogene Begründung; es ist deshalb darauf im vereinfachten Verfahren nach <ref-law> durch den Präsidenten als Instruktionsrichter nicht einzutreten. Das Urteil ist nur summarisch zu begründen (<ref-law>).
3.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend würde der unterliegende Beschwerdeführer kostenpflichtig (<ref-law>). Es rechtfertigt sich indessen, davon abzusehen, Kosten zu erheben (<ref-law>); es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. Juli 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar