Faits :
A.
Par jugement du 18 octobre 2016, le Tribunal correctionnel de l'arrondissement de Lausanne a libéré X._ et Y._ du chef de prévention de gestion déloyale aggravée et a mis fin à l'action pénale dirigée contre les prénommés.
B.
Par jugement du 31 août 2017, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud, statuant sur l'appel du ministère public et sur les appels joints de A._ SA, de X._ et de Y._, a réformé ce jugement en ce sens que les deux derniers nommés sont condamnés, pour gestion déloyale aggravée, le premier à une peine privative de liberté de 18 mois, avec sursis pendant 3 ans, le second à une peine privative de liberté de 14 mois, avec sursis pendant 3 ans, que A._ SA est renvoyée à agir devant le juge civil pour faire valoir ses prétentions contre les deux intéressés, et qu'une indemnité de 56'700 fr. est allouée à celle-ci pour l'exercice raisonnable de ses droits de procédure, à la charge de X._ et de Y._.
C.
X._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral (6B_308/2018) contre le jugement du 31 août 2017, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté, qu'une indemnité de 55'500 fr. lui est allouée pour les dépenses occasionnées par l'exercice raisonnable de ses droits dans la procédure de première instance et pour la réparation de son tort moral, qu'une indemnité équitable lui est allouée pour l'exercice raisonnable de ses droits dans les procédures de deuxième instance et devant le Tribunal fédéral. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Y._ forme également un recours en matière pénale au Tribunal fédéral (6B_340/2018) contre le jugement du 31 août 2017, en concluant, avec suite de frais et dépens, principalement à sa réforme en ce sens qu'il est acquitté, qu'une indemnité de 52'500 fr. lui est allouée pour l'exercice raisonnable de ses droits dans la procédure de première instance, qu'une indemnité équitable lui est allouée pour l'exercice raisonnable de ses droits dans les procédures de deuxième instance et devant le Tribunal fédéral. Subsidiairement, il conclut à son annulation et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision. Il sollicite par ailleurs l'octroi de l'effet suspensif.
D.
Par ordonnance du 11 avril 2018, le Président de la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté la demande d'effet suspensif formée par Y._.
E.
Invités à se déterminer sur la question de l'interrogatoire de X._ et Y._ durant les débats d'appel, le ministère public a conclu au rejet des recours, tandis que la cour cantonale a, en substance, indiqué que les prénommés avaient suffisamment pu faire valoir leurs arguments dans le cadre de la cause. A._ SA s'est elle aussi déterminée, indiquant en substance que les griefs de X._ et Y._ étaient infondés sur ce point.

Considérant en droit :
1.
Les deux recours ont pour objet la même décision. Ils ont trait au même complexe de faits. Il y a lieu de joindre les causes et de les traiter dans un seul arrêt (<ref-law> et 71 LTF).
2.
Le recourant 2 indique qu'il aurait, à deux reprises, demandé "le témoignage par voie de commission rogatoire de B._". Il soutient par ailleurs que "l'audition de C._ eût été pertinente, à l'instigation ou sur initiative du Ministère public, voire même de la Cour d'Appel pénale". Il ne ressort toutefois nullement du jugement attaqué que de telles mesures d'instruction auraient été requises devant l'autorité précédente, ce que le recourant 2 ne prétend d'ailleurs pas. Ce dernier ne soulève aucun grief recevable - répondant aux exigences de motivation des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF - concernant une éventuelle violation de son droit d'être entendu liée à un refus d'administrer les preuves en question. Le grief est ainsi irrecevable, faute d'épuisement des instances cantonales (cf. <ref-law>).
3.
Les recourants font grief à la cour cantonale de ne pas les avoir interrogés sur les faits de la cause lors des débats d'appel.
3.1. Aux termes de l'<ref-law>, les dispositions sur les débats de première instance s'appliquent par analogie aux débats d'appel. Selon l'<ref-law>, la procédure de recours se fonde sur les preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance (al. 1). L'al. 2 de cette disposition prévoit que l'administration des preuves du tribunal de première instance n'est répétée que si les dispositions en matière de preuves ont été enfreintes (let. a), si l'administration des preuves était incomplète (let. b) ou si les pièces relatives à l'administration des preuves ne semblent pas fiables (let. c). L'autorité d'appel réitère par ailleurs l'administration des preuves qui ont été administrées en bonne et due forme lorsque la connaissance directe du moyen de preuve apparaît nécessaire au prononcé du jugement (art. 343 al. 3 cum <ref-law>). Enfin, conformément à l'<ref-law>, l'autorité d'appel administre, d'office ou à la demande d'une partie, les preuves complémentaires nécessaires au traitement de l'appel.
Selon l'<ref-law>, applicable à la procédure d'appel par renvoi de l'<ref-law>, au début de la procédure probatoire, la direction de la procédure interroge le prévenu de façon détaillée sur sa personne, sur l'accusation et sur les résultats de la procédure préliminaire. Le fait que le prévenu eût déjà été interrogé, dans le cadre de la procédure de première instance, sur sa personne et sur l'accusation, ne rend pas son audition superflue lors de la procédure orale d'appel. D'une part, même s'il figure dans une section intitulée "procédure probatoire", l'<ref-law> ne sert pas exclusivement à des fins de preuves, mais prend également en considération la position du prévenu. Il garantit à ce dernier un droit personnel de participation dans la procédure pénale conduite à son encontre, en tant que composante du droit d'être entendu, et empêche que le prévenu ne soit réduit à être l'objet de l'activité de l'Etat. D'autre part, l'interrogatoire du prévenu revêt une importance particulière s'agissant de la preuve de la culpabilité et du prononcé de la peine. L'intensité de l'interrogatoire dépend en particulier du degré de gravité de l'acte d'accusation ainsi que de l'ensemble des preuves. Dans la mesure où le prévenu a déjà été interrogé sur l'accusation lors de la procédure de première instance, il n'est pas nécessaire de l'interroger de façon aussi détaillée au cours des débats d'appel. Ainsi, l'<ref-law> ne conduit pas à renoncer à l'interrogatoire du prévenu lors des débats d'appel, mais relativise néanmoins la manière et l'ampleur de l'interrogatoire, dans la mesure où celui-ci ne doit porter que sur les points contestés et où les dépositions déjà recueillies - conformes au droit de procédure - demeurent utilisables (<ref-ruling> consid. 1.4.2 p. 291 s.; arrêts 6B_886/2017 du 26 mars 2018 consid. 1.3.2; 6B_422/2017 du 12 décembre 2017 consid. 4.3.2). A cet égard, il est sans importance que le prévenu ait eu la possibilité de s'exprimer une dernière fois au terme des plaidoiries (cf. <ref-law>). Il appartient à la direction de la procédure de donner au prévenu la possibilité de s'exprimer sur les accusations portées contre lui et de faire valoir les circonstances qui pourraient servir sa défense ainsi que la clarification de l'état de fait. Le fait que la défense ne demande pas l'interrogatoire du prévenu durant les débats d'appel n'y change rien, car il appartient à l'autorité d'appel de garantir d'office une administration des preuves conforme à la loi. Les parties n'ont pas à pallier, par des questions, une absence d'interrogatoire par l'autorité d'appel (<ref-ruling> consid. 1.4.3 p. 292). Cette dernière ne peut en principe renoncer à interroger le prévenu que lorsque l'état de fait est incontesté et ne fait pas l'objet du recours (<ref-ruling> consid. 1.4.4 p. 293; arrêt 6B_422/2017 précité consid. 4.3.2).
3.2. Les recourants ont été interrogés dans le détail sur l'accusation et sur leur personne au cours des débats de première instance (cf. jugement du 18 octobre 2016, p. 4-17 et 22-28). L'appel formé par le ministère public contre le jugement de première instance a porté presque exclusivement sur l'établissement des faits (cf. pièce 367/1 du dossier cantonal, p. 3-39). Il en va de même s'agissant de l'appel joint interjeté par l'intimée (cf. pièce 372/1 du dossier cantonal, p. 4-33). Durant l'audience d'appel du 31 août 2017, la cour cantonale a quant à elle uniquement demandé aux recourants s'ils confirmaient les déclarations faites durant l'enquête et devant le tribunal de première instance, et si leur situation personnelle avait évolué (cf. jugement attaqué, p. 3-4). Elle a par la suite procédé à une nouvelle appréciation des preuves ainsi qu'à un nouvel établissement des faits (cf. jugement attaqué, p. 24-40).
3.3. A la lumière de la jurisprudence du Tribunal fédéral exposée ci-dessus (cf. consid. 3.1 supra), le jugement attaqué apparaît contraire au droit fédéral.
Au cours des débats d'appel, l'autorité précédente n'a aucunement interrogé les recourants sur l'accusation ou sur les résultats de la procédure préliminaire et de la procédure de première instance, alors même que l'appel du ministère public et l'appel joint de l'intimée portaient essentiellement sur l'établissement des faits et que la cour cantonale a en définitive retenu, dans le jugement attaqué, un état de fait différent de celui ressortant du jugement de première instance. Le fait d'avoir demandé aux recourants s'ils confirmaient leurs déclarations précédentes et avaient quelque chose de nouveau à dire ne saurait nullement être considéré comme suffisant à cet égard. Les recourants auraient au contraire dû être amenés à s'exprimer sur les nombreux éléments de fait qui restaient litigieux dans le cadre de la procédure d'appel. Cela vaut à plus forte raison dans la mesure où les recourants avaient bénéficié d'un acquittement au terme de la procédure de première instance et ne pouvaient savoir quels preuves ou éléments de fait seraient appréciés différemment par la cour cantonale. Enfin, conformément à la jurisprudence précitée, l'autorité précédente aurait dû procéder d'office à un interrogatoire des recourants conforme au droit procédural, de sorte que l'on ne saurait reprocher à ces derniers de ne pas s'être spontanément exprimés sur les faits de la cause.
Compte tenu de ce qui précède, les recours doivent être admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale afin qu'elle conduise de nouveaux débats d'appel conformes au droit fédéral, soit en interrogeant les recourants sur l'accusation ainsi que sur les résultats de la procédure préliminaire et de la procédure de première instance, avant de rendre une nouvelle décision. Conformément à l'<ref-law>, il appartiendra à l'autorité cantonale de déterminer l'ampleur que devront revêtir ces interrogatoires, au regard des preuves administrées pendant la procédure préliminaire et la procédure de première instance (cf. arrêt 6B_803/2015 du 26 avril 2017 consid. 1.5 non publié aux <ref-ruling>).
Il n'y a donc pas lieu, pour le Tribunal fédéral, d'examiner à ce stade les griefs des recourants portant sur l'arbitraire dans l'établissement des faits et sur l'application du droit matériel fédéral.
4.
Les recours des recourants 1 et 2 doivent être admis. Les recourants, qui obtiennent gain de cause, peuvent prétendre à des dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral, à la charge du canton de Vaud (<ref-law>). L'intimée n'a, pour sa part, pas droit à des dépens. Compte tenu des spécificités de la cause, il est statué sans frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes 6B_308/2018 et 6B_340/2018 sont jointes.
2.
Les recours de X._ et de Y._ sont admis, le jugement attaqué annulé et la cause renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Le canton de Vaud versera aux recourants une indemnité de 3'000 fr. chacun à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 23 juillet 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Graa