Sachverhalt:
A.
Die im Mai 1955 geborene A._ war beim Spital B._ als Krankenpflegerin angestellt und deswegen bei der Bernischen Pensionskasse (nachfolgend: BPK) für die berufliche Vorsorge versichert, als sie am 30. April 2007 einen Unfall erlitt. Das Arbeitsverhältnis wurde auf den 5. Februar 2010 aufgelöst. In der Folge ermittelte die IV-Stelle Bern einen Invaliditätsgrad von 76 %, weshalb sie A._ mit Verfügung vom 21. November 2013 eine ganze Invalidenrente ab dem 1. April 2008 zusprach. Die Unfallversicherung richtete insbesondere Taggelder und eine Invalidenrente ab dem 1. Juni 2014 aus (Invaliditätsgrad 56 %; Verfügung vom 22. Mai 2014 und Einspracheentscheid vom 24. März 2015).
Im gleichen Zusammenhang anerkannte die BPK zwar ihre Leistungspflicht im Grundsatz. Indessen verweigerte sie Rentenzahlungen mit der Begründung, dass andernfalls eine Überentschädigung resultiere. Hinsichtlich der Überentschädigungsberechnung waren sich die Parteien einig über die Anrechenbarkeit der von der Invaliden- und Unfallversicherung ausgerichteten Geldleistungen. Umstritten blieb, ob als weitere Einnahme ein hypothetisches Erwerbseinkommen analog dem von der IV-Stelle berücksichtigten Invalideneinkommen oder aber das (niedrigere) von der Versicherten tatsächlich als selbstständigerwerbende Fusspflegerin erzielte Einkommen anzurechnen sei.
B.
Mit Klage vom 8. Mai 2020 beantragte A._, die BPK sei zu verpflichten, ihr ab dem 1. März 2012, eventualiter ab dem 1. Juni 2015 (Alter 60), eine reglementarische lebenslängliche Invalidenrente in der Höhe von 100 % der versicherten Invalidenrente, die nur gemäss ihrer eigenen Überentschädigungsberechnung gekürzt wird, nebst Zins zu 5 % ab dem 1. März 2012, eventualiter ab dem 1. Juni 2015, auszurichten.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern wies die Klage mit Urteil vom 31. August 2021 ab, soweit es darauf eintrat.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich rechtlichen Angelegenheiten die Aufhebung des Urteils vom 31. August 2021 beantragen und die Klagebegehren (im Wesentlichen) erneuern. Zusätzlich verlangt sie - subeventualiter - die Ausrichtung einer "ungekürzten" Invalidenrente ab dem 1. März 2012 nebst Zins.
Die BPK schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Das kantonale Gericht ist auf die Klage in Bezug auf Forderungen für die Zeit ab dem 1. Juni 2019 (nach Erreichen des Pensionsalters) nicht eingetreten. Dementsprechend beschränkt die Beschwerdeführerin die geltend gemachten Forderungen hier ausdrücklich (anders als im kantonalen Verfahren) auf den Zeitraum vom 1. März 2012 bis "zum ordentlichen AHV-Rentenalter".
Der Subeventualantrag, mit dem die Beschwerdeführerin verlangt, dass auch ihr (gemäss eigener Darstellung) in den Jahren 2013, 2014 und 2015 tatsächlich als selbstständigerwerbende Fusspflegerin erzieltes Einkommen nicht in die Überentschädigungsberechnung einbezogen werde, geht über die Klagebegehren hinaus. Er ist neu und daher unzulässig (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 2C_188/2022 vom 28. Februar 2022 E. 2.1).
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; <ref-ruling> E. 2.2.1). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann ihre Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
2.1. Die Vorsorgeeinrichtung kann die Hinterlassenen- und Invaliden leistungen kürzen, soweit diese zusammen mit anderen Leistungen gleicher Art und Zweckbestimmung sowie weiteren anrechenbaren Einkünften 90 % des mutmasslich entgangenen Verdienstes übersteigen (Art. 34a Abs. 1 BVG; ebenso Art. 24 Abs. 1 der Verordnung vom 18. April 1984 über die berufliche Alters-, Hinterlassenen- und Invalidenvorsorge [BVV 2; SR 831.441.1] i.V.m. Art. 34a Abs. 1 BVG, je in den bis Ende 2016 geltenden Fassungen). Die Vorsorgeeinrichtung kann bei der Kürzung von Invalidenleistungen (vor Erreichen des ordentlichen Rentenalters) insbesondere das weiterhin erzielte oder zumutbarerweise noch erzielbare Erwerbs- oder Ersatzeinkommen anrechnen (Art. 24 Abs. 1 lit. d BVV 2 i.V.m. Art. 34a Abs. 5 lit. a BVG; ebenso Art. 24 Abs. 2 Satz 2 BVV 2 i.V.m. Art. 34a Abs. 1 BVG, je in den bis Ende 2016 geltenden Fassungen).
2.2. Laut den reglementarischen Bestimmungen der BPK kürzt diese die Invalidenleistungen, soweit sie zusammen mit anderen anrechenbaren Einkünften 90 % des mutmasslich entgangenen Verdienstes übersteigen. Anrechenbar ist insbesondere das weiterhin erzielte oder zumutbarerweise noch erzielbare Erwerbs- oder Ersatzeinkommen (vgl. Art. 29 Abs. 1 und 2 Reglement Nr. 1 in der ab dem 1. Januar 2006 geltenden Fassung resp. Art. 21 Abs. 1 und 2 des ab dem 1. Januar 2015 geltenden Vorsorgereglements).
3.
3.1. Wie bereits im kantonalen Verfahren steht der Rentenanspruch aus beruflicher Vorsorge im Grundsatz fest. Die Vorinstanz hat für den Zeitraum vom 1. März 2012 bis zum 31. Mai 2019 eine Überentschädigungsberechnung vorgenommen. Dabei hat sie die Überentschädigungsgrenze auf monatlich Fr. 5969.50 (90 % des mutmasslich entgangenen Verdienstes) festgelegt. Diesem Betrag hat sie anrechenbare monatliche Einnahmen von insgesamt Fr. 6214.85 ab dem 1. März 2012 (Rente der Invalidenversicherung: Fr. 2097.-; Taggeld der Unfallversicherung: Fr. 2495.-; hypothetisches Einkommen: Fr. 1622.85) resp. Fr. 6811.40 ab dem 1. Juni 2014 (Rente der Invalidenversicherung: Fr. 2115.-; Rente der Unfallversicherung: Fr. 3048.10; hypothetisches Einkommen: Fr. 1648.30) gegenübergestellt. Folglich hat das kantonale Gericht für den überprüften Zeitraum eine Überentschädigung bejaht und eine Leistungspflicht der BPK verneint.
3.2. Die Beschwerdeführerin berücksichtigt in ihrer Berechnung zwar eine leicht höhere Überentschädigungsgrenze (von Fr. 5984.10) als das kantonale Gericht. Sie geht aber auf dessen - nicht offensichtlich unrichtige (vgl. vorangehende E. 1.2) - Festsetzung der Grenze auf Fr. 5969.50 mit keinem Wort ein, weshalb sich diesbezügliche Weiterungen erübrigen. Unumstritten ist auch die Berücksichtigung der Leistungen der Invaliden- und Unfallversicherung. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob für den Zeitraum vom 1. März 2012 bis zum 31. Mai 2019 bei der Überentschädigungsberechnung ein hypothetisches Einkommen angerechnet werden darf.
4.
4.1. Ob die Rüge einer Verletzung von <ref-law> genügend substanziiert ist ( vgl. <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 1.6), kann offenbleiben. Es liegt keine Verletzung des An spruchs auf rechtliches Gehör resp. der Begründungspflicht durch das kantonale Gericht vor, wenn eine sachgerechte Anfechtung des vorinstanzlichen Urteils möglich war (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.2 mit Hinweisen). Das trifft hier zu.
4.2.
4.2.1. Im Bereich der obligatorischen beruflichen Vorsorge ist von einer grundsätzlichen Kongruenz von Valideneinkommen und mut masslich entgangenem Verdienst im Sinne von Art. 34a Abs. 1 BVG (resp. Art. 24 Abs. 1 BVV 2 in der bis Ende 2016 geltenden Fassung) auszugehen. Dasselbe gilt für Invalideneinkommen und zumutbarerweise noch erzielbarem Erwerbseinkommen nach Art. 24 Abs. 1 lit. d BVV 2 (resp. Art. 24 Abs. 2 Satz 2 BVV 2 in der bis Ende 2016 geltenden Fassung), weshalb das von den IV-Organen festgelegte Invalideneinkommen dem Grundsatz nach auch in der berufsvorsorgerechtlichen Überentschädigungsberechnung zu berücksichtigen ist.
Von der vermuteten Kongruenz des Invalideneinkommens mit dem zumutbarerweise noch erzielbare n Erwerbseinkommen ist ins besondere dann abzuweichen, wenn - seitens der versicherten Person nachzuweisende - persönliche Umstände und die tatsächliche Lage auf dem im Einzelfall relevanten Arbeitsmarkt die Verwertung der (invalidenversicherungsrechtlich festgestellten) Restarbeitsfähigkeit e r schweren resp. verunmöglichen (<ref-ruling> E. 3.2.2 mit zahlreichen Hinweisen).
4.2.2. Die soeben dargelegten Grundsätze finden auch für den weitergehenden Bereich Anwendung, wenn - wie hier - Reglement oder Statuten resp. gesetzliche Grundlagen nichts anderes vorsehen (vgl. <ref-ruling> E. 3.4.2; <ref-ruling> E. 3.2).
4.3. Nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über die Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit erfolgt, ist eine frei überprüfbare Rechtsfrage (<ref-ruling> E. 2.4 mit Hinweisen; SVR 2016 EL Nr. 1 S. 1, 9C_265/2015 E. 3.2.2; Urteil 9C_119/2021 vom 17. Juni 2021 E. 2.2.2).
4.4. Die Vorinstanz hat - verbindlich (vgl. vorangehende E. 1.2) - festgestellt, die IV-Stelle habe für angepasste Tätigkeiten (d.h. körperlich leichte Arbeiten mit der Möglichkeit zu Positionswechseln und häufigen Pausen) die Arbeitsfähigkeit auf 48 % mit einer zusätzlichen Leistungsminderung von 25 %, mithin die Leistungsfähigkeit auf 36 % festgelegt. Die Beschwerdeführerin sei nach dem Unfall zunächst in einem Pensum von 40 % weiterbeschäftigt worden. Nach Auflösung des Arbeitsverhältnisses habe sie sich am 15. März 2010 bei der Regionalen Arbeitsvermittlungsstelle (RAV) angemeldet. Die Invalidenversicherung habe sie mit beruflichen Eingliederungsmassnahmen unterstützt und die Unfallversicherung habe Hilfe bei der Stellensuche gewährt.
Sodann hat das kantonale Gericht erwogen, weder die Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung noch die Feststellungen der Unfallversicherung zu den Gründen für das Scheitern der Anstellungsbemühungen sprächen gegen die Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit. Die Beschwerdeführerin habe zwischen März 2010 und Februar 2012, mithin während 24 Monaten, mehr als 200 Stellenbewerbungen getätigt. Indessen habe ihr bei Eintritt der Arbeitslosigkeit bewusst sein müssen, dass sie aus medizinischer Sicht nicht mehr in der Lage gewesen sei, in der Pflege zu arbeiten. Damit seien alle Bewerbungen auf Stellen im Pflegebereich - und auf andere klarerweise ungeeignete Stellen wie beispielsweise jene als Paketzustellerin - qualitativ ungenügend. Weiter sei auch eine Tätigkeit als Podologin resp. Fusspflegerin nicht zumutbar gewesen, weshalb auch alle diesbezüglichen Bewerbungen nicht genügten. Die zahlreichen Spontanbewerbungen seien ebenfalls nicht geeignet gewesen, die Restarbeitsfähigkeit durch Abschluss eines Arbeitsvertrages zu verwerten. Somit seien lediglich 17, jedenfalls aber weniger als 40 Bewerbungen als qualitativ genügend einzustufen, was mit Blick auf den Zeitraum von 24 Monaten quantitativ klar zu wenig sei. Damit sei die Unverwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit nicht nachgewiesen.
4.5. Die vorinstanzliche Feststellung, wonach ab Februar 2010 Tätigkeiten im Pflegebereich und als Podologin resp. Fusspflegerin von vornherein generell nicht zumutbar gewesen seien, findet weder im Umstand, dass die Beschwerdeführerin ihre frühere Anstellung als Operationspflegerin verloren hatte, noch in den Berichten der Dr. med. C._ vom 26. Februar und 27. April 2010 eine Grundlage. Damit ist die Qualifikation der entsprechenden Arbeitsbemühungen als ungenügend nicht haltbar.
Sodann sind zwar Spontanbewerbungen, aber daneben auch zahlreiche Bewerbungen auf Stelleninserate aktenkundig. Anders als die Vorinstanz anzunehmen scheint, ergeben sich Arbeitsbemühungen auch nicht allein aus dem Formular zu deren Nachweis gegenüber der Arbeitslosenversicherung. Diese richtete denn auch von Mai 2010 bis Februar 2012 insgesamt 400 Taggelder aus, was der Höchstzahl entspricht (vgl. <ref-law> [SR 837.0]) und ernsthafte Arbeitsbemühungen voraussetzt (<ref-law>). Soweit die BPK einwendet, die Versicherte habe "Pflichtbewerbungen (...) für das RAV bzw. den Taggeldanspruch" geschrieben und nicht das Ziel gehabt, eine Arbeit zu finden, unterstellt sie der Arbeitslosenversicherung ohne substanziierte Begründung eine rechtswidrige Leistungszusprache. Darauf ist nicht weiter einzugehen.
Schliesslich hätte das kantonale Gericht bei der Beurteilung der Frage nach der Verwertbarkeit der Restarbeitsfähigkeit zwingend Folgendes (mit-) berücksichtigen müssen: Auch wenn sich die Unfallversicherung nicht zu den Gründen für das Scheitern der Eingliederung zu äussern braucht, geht aus deren Unterlagen hervor, dass sie ein spezialisiertes Unternehmen mit dem Case Management zur beruflichen Integration der Beschwerdeführerin beauftragt hatte. In diesem Rahmen wurde der Bewerbungsprozess ab August 2010 während rund eines Jahres intensiv und professionell begleitet. Ein Anhaltspunkt für eine mangelhafte Mitwirkung der Beschwerdeführerin dabei ist nicht ersichtlich. Anders als die BPK anzudeuten scheint, leuchtet auch nicht ein, weshalb die (im Februar 2012 abgeschlossene) Ausbildung der Beschwerdeführerin zur kosmetischen Fusspflegerin gegen eine ernsthafte Stellensuche gesprochen haben soll.
4.6. Nach dem Gesagten steht fest (vgl. auch SVR 2018 BVG Nr. 40 S. 146, 9C_495/2017 E. 3.5), dass sich die Beschwerdeführerin nach dem Stellenverlust während rund zweier Jahre wenn auch letztlich erfolglos, so doch ernsthaft und genügend um eine neue Arbeitsstelle bemühte. Aus der von der BPK unter Verweis auf die Literatur (MARC HÜRZELER, in: Schneider/Geiser/Gächter [Hrsg.], BVG und FZG, 2. Aufl. 2019, N. 62 zu Art. 34a BVG) angerufenen Rechtsprechung (Urteile 9C_113/2016 vom 18. Juli 2016 E. 3.2.4; 9C_416/2011 vom 19. Juli 2011 E. 4.2; 9C_865/2008 vom 30. Dezember 2008 E. 4.3.2) ergibt sich nichts anderes, ist doch der hier zu beurteilende Sachverhalt nicht mit den Gegebenheiten in den zitierten Urteilen vergleichbar.
Soweit die BPK moniert, die Beschwerdeführerin habe für den hier massgeblichen Zeitraum keine Arbeitsbemühungen vorgelegt, ergibt sich nichts zu ihren Gunsten: Angesichts der Dauer und Art der Eingliederungsbemühungen, der gesundheitlichen Einschränkungen und des Alters der Beschwerdeführerin ist die Vermutung der Verwertbarkeit ihrer Restarbeitsfähigkeit auch für die Zeit nach Februar 2012 widerlegt. Folglich hat die Vorinstanz Recht verletzt, indem sie bei der Überentschädigungsberechnung ein hypothetisches Erwerbseinkommen berücksichtigt hat.
4.7. Das kantonale Gericht wird über den Auszahlungsanspruch für die Zeit vom 1. März 2012 bis zum 31. Mai 2019 und die entsprechende Verzugszinsforderung erneut zu befinden haben. Insoweit ist die Beschwerde begründet.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen). Dementsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 31. August 2021, soweit damit die Klage vom 8. Mai 2020 abgewiesen wurde, aufgehoben. Die Sache wird in diesem Umfang zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2800.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 22. März 2022
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann