Erwägungen:
1.
Am 14. September 2021 eröffnete das Bezirksgericht Zürich den Konkurs über den Beschwerdeführer.
Dagegen erhob der Beschwerdeführer am 27. September 2021 (Poststempel) Beschwerde. Mit Verfügung vom 28. September 2021 zeigte das Obergericht des Kantons Zürich dem Beschwerdeführer die Voraussetzungen auf, unter denen der Konkurs im Beschwerdeverfahren aufgehoben werden kann, und es wies ihn darauf hin, dass er die Beschwerde bis zum Ablauf der Rechtsmittelfrist ergänzen könne. Zudem wurde ihm Frist zur Zahlung des Kostenvorschusses angesetzt. Der Beschwerdeführer holte diese Verfügung nicht ab. Er ergänzte weder seine Beschwerde noch bezahlte er den Kostenvorschuss. Mit Urteil vom 26. Oktober 2021 wies das Obergericht die Beschwerde ab.
Am 6. Dezember 2021 (Postaufgabe) hat der Beschwerdeführer Beschwerde gegen dieses Urteil an das Obergericht erhoben. Das Obergericht hat die Beschwerde samt den obergerichtlichen Akten dem Bundesgericht übermittelt (<ref-law>).
2.
Nach <ref-law> ist in der Beschwerdebegründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Die beschwerdeführende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheides massgeblichen Erwägungen aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (<ref-ruling> E. 2 S. 88 f.; <ref-ruling> E. 2 S. 116).
3.
Der Beschwerdeführer macht zunächst geltend, er habe die Verfügung vom 28. September 2021 bzw. die Abholungseinladung nicht erhalten, weshalb er der Verfügung nicht habe nachkommen können. Er bittet um Zustellung der Verfügung.
Eine eingeschriebene Postsendung (bzw. eine Gerichtsurkunde), die nicht abgeholt worden ist, gilt am siebten Tag nach dem erfolglosen Zustellungsversuch als abgeholt, sofern der Empfänger mit einer Zustellung rechnen musste (<ref-law>). Bei eingeschriebenen Postsendungen gilt eine widerlegbare Vermutung, dass der oder die Postangestellte den Avis (Abholungseinladung) ordnungsgemäss in den Briefkasten oder in das Postfach des Empfängers gelegt hat und das Zustellungsdatum korrekt registriert worden ist. Dies gilt namentlich auch dann, wenn die Sendung im elektronischen Suchsystem "Track & Trace" der Schweizerischen Post erfasst ist. Es findet in diesem Fall eine Umkehr der Beweislast in dem Sinne statt, als bei Beweislosigkeit der Entscheid zu Ungunsten des Empfängers ausfällt, der den Erhalt der Abholungseinladung bestreitet. Diese Vermutung kann durch den Gegenbeweis umgestossen werden. Sie gilt so lange, als der Empfänger nicht den Nachweis einer überwiegenden Wahrscheinlichkeit von Fehlern bei der Zustellung erbringt. Da der Nichtzugang einer Abholungseinladung eine negative Tatsache ist, kann dafür naturgemäss kaum je der volle Beweis erbracht werden. Die immer bestehende Möglichkeit von Fehlern bei der Poststelle genügt nicht, um die Vermutung zu widerlegen. Vielmehr müssen konkrete Anzeichen für einen Fehler vorhanden sein (<ref-ruling> E. 2.3; Urteil 2C_128/2012 vom 29. Mai 2012 E. 2.2; je mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer hat das Verfahren vor Obergericht selber angehoben und musste deshalb mit der Zustellung gerichtlicher Sendungen rechnen. Gemäss dem in den Akten befindlichen Track & Trace-Auszug der Schweizerischen Post ist ihm die fragliche Sendung am 29. September 2021 mit einer Abholungseinladung zur Abholung gemeldet worden (act. 8/1 der obergerichtlichen Akten). Der Beschwerdeführer nennt keinerlei Umstände, die auf eine überwiegende Wahrscheinlichkeit von Fehlern bei der Zustellung schliessen lassen könnten. Er beschränkt sich auf die Behauptung, er habe die Abholungseinladung nicht erhalten. Der Gegenbeweis gelingt ihm damit nicht. Im Übrigen legt der Beschwerdeführer nicht dar, welchen Nachteil er dadurch erlitten hat, dass er die Verfügung nicht in Empfang genommen hat. Einerseits erläutert er nicht, was er dem Obergericht im Rahmen einer Beschwerdeergänzung hätte vortragen wollen oder welche weiteren Beweismittel er hätte einreichen wollen. Andererseits hat das Obergericht seine Beschwerde auch ohne Bezahlung des Kostenvorschusses inhaltlich behandelt.
Die Beschwerde ist folglich in diesem Punkt unbegründet, soweit auf sie eingetreten werden kann. Der Antrag auf nachträgliche Zustellung der Verfügung vom 28. September 2021 kann allerdings als Antrag um Akteneinsicht aufgefasst werden. Eine Kopie dieser Verfügung (act. 7 der obergerichtlichen Akten) ist dem Beschwerdeführer mit dem vorliegenden Entscheid zuzustellen.
4.
Das Obergericht hat erwogen, der Beschwerdeführer mache keinen Konkursaufhebungsgrund im Sinne von <ref-law> geltend und er habe einen solchen dementsprechend auch nicht nachgewiesen. Vielmehr bestreite er die Forderung, für welche der Konkurs eröffnet worden sei. Dieser Einwand sei im Verfahren nach <ref-law> unzulässig und wäre im Einleitungsverfahren geltend zu machen gewesen. Schliesslich mache der Beschwerdeführer nicht geltend, dass das Bezirksgericht den Konkurs trotz Vorliegens eines Grundes nach <ref-law> zu Unrecht eröffnet hätte und dies sei auch nicht ersichtlich.
Vor Bundesgericht macht der Beschwerdeführer geltend, dass die Grundlage der Forderung mit der Löschung einer Bürgschaft hinfällig geworden sei. Dies sei in seiner kantonalen Beschwerde beschrieben gewesen, aber nicht gewürdigt worden. Der Beschwerdeführer wiederholt damit seine Bestreitung des Bestands der Forderung, die zur Konkurseröffnung geführt hat. Er geht jedoch mit keinem Wort auf die vom Obergericht dargelegten Gründe ein, weshalb diese Ausführungen nicht berücksichtigt werden konnten. Die Beschwerde ist damit in diesem Punkt mangelhaft begründet (vgl. oben E. 2).
5.
Die Beschwerde ist folglich abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann.
6.
Es rechtfertigt sich ausnahmsweise, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer (unter Beilage einer Kopie von act. 7 der obergerichtlichen Akten), der Beschwerdegegnerin, dem Konkursamt Hottingen-Zürich, dem Betreibungsamt Zürich 7, dem Handelsregisteramt des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Dezember 2021
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Herrmann
Der Gerichtsschreiber: Zingg