Sachverhalt:
A.
Der 1981 geborene C._ arbeitete vom 1. Januar bis 30. November 2009 bei der D._ AG und war für die berufliche Vorsorge bei der Pensionskasse A._ versichert. Vom 4. Juli bis 31. Oktober 2011 war er über die E._ AG temporär bei der F._ AG (heute: B._ AG) tätig. Von dieser wurde er anschliessend ab 1. November 2011 fest angestellt, wobei er für die berufliche Vorsorge bei der Pensionskasse der F._ AG (heute: Pensionskasse der B._ AG) versiche rt war. Auf Ende Mai 2012 kündigte er das Arbeitsverhältnis. Sein letzter Arbeitstag war am 15. März 2012. Am 14. April 2012 meldete sich C._ bei der Invalidenversicherung unter Hinweis auf eine Schizophrenie zum Leistungsbezug an. Mit Verfügung vom 7. Juni 2013 sprach die IV-Stelle für Versicherte im Ausland C._ (nachfolgend: Versicherter) aufgrund eines Invaliditätsgrades von 54 % eine halbe Invalidenrente ab 1. Oktober 2012 zu.
Auf Gesuch des Versicherten hin lehnten die Pensionskasse A._ und die Pensionskasse der B._ AG den Anspruch auf Invalidenleistungen ab.
B.
B.a. Am 7. Juli 2016 liess der Versicherte beim Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich Klage einreichen mit dem Antrag, die Pensionskasse der B._ AG sei zu verpflichten, ihm ab 1. Oktober 2012 die reglementarischen Erwerbsunfähigkeitsleistungen zu bezahlen, zuzüglich Zins zu 5 % seit 1. Oktober 2012. Ferner ersuchte er darum, die Stiftung Pensionskasse A._ zum Verfahren beizuladen. Das Gericht zog die Akten der Invalidenversicherung bei und lud mit Verfügung vom 10. Januar 2018 die Pensionskasse A._ zum Verfahren bei. Mit Urteil vom 14. Juni 2018 wies das Sozialversicherungsgericht die Klage ab.
Das Bundesgericht hiess die dagegen erhobene Beschwerde der Pensionskasse A._ mit Urteil 9C_575/2018 vom 15. April 2019 teilweise gut. Es hob das angefochtene Urteil auf und wies die Sache zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
B.b. Nach weiteren Abklärungen wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Klage mit Urteil vom 15. Dezember 2020 erneut ab.
C.
Die Pensionskasse A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, unter Aufhebung des Urteils vom 15. Dezember 2020 sei die Klage vom 7. Juli 2016 gutzuheissen.
Die Pensionskasse der B._ AG lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Der Versicherte und das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichten auf eine Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>).
2.
2.1. Ein bundesgerichtlicher Rückweisungsentscheid bindet sowohl die mit der Neubeurteilung befasste kantonale Instanz als auch das Bundesgericht selbst. Deswegen ist es den Gerichten, abgesehen von allenfalls zulässigen Noven, verwehrt, der Beurteilung des Rechtsstreits einen anderen als den bisherigen Sachverhalt zu unterstellen oder die Sache unter rechtlichen Gesichtspunkten zu prüfen, die im Rückweisungsentscheid ausdrücklich abgelehnt oder überhaupt nicht in Erwägung gezogen worden waren. Die Tragweite der Bindung an die erste Entscheidung ergibt sich aus der Begründung der Rückweisung (<ref-ruling> E. 5.3.3; <ref-ruling> E. 2).
2.2. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hatte in seinem Urteil vom 14. Juni 2018 den geltend gemachten vorsorgerechtlichen Anspruch frei und ohne Bindung an die Feststellungen der IV-Stelle (vgl. dazu <ref-ruling> E. 2.2) überprüft. Dieser Umstand gab dem Bundesgericht keinen Anlass für Bemerkungen in seinem Rückweisungsurteil 9C_575/2018 vom 15. April 2019.
2.3.
2.3.1. Der Anspruch auf Invalidenleistungen aus beruflicher Vorsorge erfordert insbesondere einen engen sachlichen und zeitlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses eingetretenen Arbeitsunfähigkeit und der späteren Invalidität (<ref-ruling> E. 3.2; Urteil 9C_106/2021 vom 6. Juli 2021 E. 3.1, zur Publikation vorgesehen).
In <ref-ruling> E. 4.4 hat das Bundesgericht nach Überprüfung der bisherigen uneinheitlichen Rechtsprechung entschieden, dass eine Arbeitsunfähigkeit unter 20 %, somit eine Arbeitsfähigkeit über 80 %, den zeitlichen Konnex zwischen ursprünglicher Arbeitsunfähigkeit und späterer Invalidität unterbricht, wenn die Einsatzfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit mindestens drei Monate andauert. Bei Schubkrankheiten ist zu prüfen, ob eine länger als drei Monate dauernde, isoliert betrachtet unauffällige Phase von Erwerbstätigkeit tatsächlich mit der Perspektive einer dauerhaften Berufsausübung verbunden war. Selbst eine länger dauernde Phase der Erwerbstätigkeit zeigt keine gesundheitliche Erholung mit weitgehender Wiederherstellung des Leistungsvermögens an, wenn jegliche berufliche Belastung nach einer gewissen Zeit regelhaft zu schweren Krankheitssymptomen mit erheblicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führt (Urteil 9C_575/2018 vom 15. April 2019 E. 4.1 mit Hinweisen). Bei Schubkrankheiten kommt den gesamten Umständen des Einzelfalls besondere Bedeutung zu (Urteile 9C_515/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 2.1.1; 9C_333/2018 vom 25. Januar 2019 E. 6.1).
2.3.2. Die Frage nach dem Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, ist eine Tatfrage. Gleiches gilt für die aufgrund einer konkreten Beweiswürdigung getroffene Feststellung des zeitlichen Konnexes (resp. dessen Unterbrechung). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist dagegen, nach welchen Gesichtspunkten die Entscheidung über den Zeitpunkt des Eintritts einer massgebenden Arbeitsunfähigkeit zu erfolgen hat, und hinsichtlich des zeitlichen Zusammenhangs, ob die Beweiswürdigung unter Beachtung der rechtsprechungsgemäss relevanten Kriterien erfolgte (Urteil 9C_877/2018 vom 22. August 2019 E. 1.2 mit Hinweisen).
2.4. Gemäss Rückweisungsurteil 9C_575/2018 vom 15. April 2019 E. 3 ist für die umstrittene (grundsätzliche) Leistungspflicht der Pensionskasse der B._ AG einzig entscheidend, ob der zeitliche Zusammenhang zwischen der Invalidität und der Arbeitsunfähigkeit, die während der Anstellung bei der D._ AG zutage getreten war, durch die Arbeitstätigkeit des Versicherten bei der B._ AG unterbrochen wurde. In E. 4.2 des genannten Urteils erwog das Bundesgericht Folgendes:
4.2.1. Der Versicherte leidet an paranoider Schizophrenie, die im Jahr 2004 diagnostiziert worden war. Er arbeitete jeweils längere Zeit an verschiedenen Stellen, so ab 1. Januar bis 30. November 2009 bei der D._ AG. Während dieses Anstellungsverhältnisses wurde er zweimal stationär behandelt. Es folgte eine temporäre Beschäftigung bei der F._ AG (Juli bis Oktober 2011) mit anschliessender Festanstellung; im März 2012 musste der Versicherte wegen eines erneuten Krankheitsschubs die Erwerbstätigkeit aufgeben. Auch mit Rücksicht darauf, dass bei Schubkrankheiten nicht der gleiche Massstab angelegt wird wie bei anderen Gesundheitsschäden und unter Umständen auch eine über drei Monate dauernde Arbeitsunfähigkeit den zeitlichen Konnex nicht unterbricht, wäre ein solcher Unterbruch im vorliegenden Fall zu bejahen, sofern der Versicherte tatsächlich während (mehr als) acht Monaten (Juli 2011 bis Mitte März 2012) in einem Arbeitsverhältnis mit der F._ AG gestanden und in dieser Zeit voll gearbeitet hat. Wie es sich diesbezüglich verhalten hat, lässt sich aufgrund der Ausführungen im angefochtenen Entscheid nicht klar erkennen. Die Vorinstanz hat in diesem Punkt den rechtserheblichen Sachverhalt unvollständig festgestellt. Nicht geklärt ist zunächst das vom Versicherten in den ersten vier Monaten der Anstellung, von Juli bis Oktober 2011, geleistete Arbeitspensum. Dass er in diesem Zeitraum temporär arbeitete, lässt keine Rückschlüsse auf das Ausmass der Tätigkeit zu. Ebenso wenig ist erstellt, weshalb der Versicherte nach Ablauf der temporären Arbeit von der F._ AG fest angestellt wurde. Aus der Antwort auf diese Frage liessen sich Hinweise darauf erkennen, ob damit die Perspektive auf eine dauerhafte Berufsausübung verbunden war, was bei Zufriedenheit der Arbeitgeberfirma mit der geleisteten Arbeit, wie beschwerdeweise geltend gemacht, wohl angenommen werden dürfte. Gleichermassen ergäben sich Erkenntnisse darüber, ob und inwieweit sich eine (mehr als) acht Monate dauernde Vollzeitanstellung tatsächlich als misslungener Arbeitsversuch qualifizieren lässt, der hinsichtlich einer Unterbrechung des zeitlichen Konnexes ausser Acht zu lassen wäre. Ebenso wäre die zum Zeitpunkt des Stellenantritts bereits lange Krankheitsgeschichte in Bezug auf den durch eine allenfalls mehr als acht Monate dauernde Periode voller Arbeits- und Leistungsfähigkeit unterbrochenen zeitlichen Konnex nicht entscheidend, sofern diese Anstellung trotz vorhergehender Krankheits- und Arbeitsunfähigkeitsperioden mit der Perspektive einer dauerhaften Erwerbstätigkeit verbunden war, was, wie erwähnt, noch näher abzuklären ist.
4.2.2. Dass schliesslich jegliche berufliche Belastung regelmässig zu schweren Krankheitssymptomen mit erheblicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit führt, ist nicht erwiesen, hat der Versicherte doch auch abgesehen von der Anstellung bei der F._ AG Arbeitseinsätze absolviert, die nicht bereits nach kurzer Zeit die Leistungsfähigkeit beeinträchtigten.
3.
Das kantonale Gericht hat im Anschluss an das Rückweisungsurteil 9C_575/2018 vom 15. April 2019 insbesondere den Arbeitgeberbericht der B._ AG vom 30. Juli 2020 eingeholt. Gestützt darauf hat es festgestellt, der Versicherte habe bei der B._ AG auch während seines temporären Einsatzes, mithin vom 4. Juli 2011 bis zum 15. März 2012 - abgesehen von 2,5 Krankheitstagen im November 2011 und einem im Februar 2012 - in einem 100 % Pensum gearbeitet.
Weiter hat es erwogen, es gebe indessen zahlreiche Anhaltspunkte dafür, dass dieses Arbeitspensum nicht mit einer uneingeschränkten Arbeits- resp. Leistungsfähigkeit gleichzusetzen sei. Der Versicherte habe bereits während des Temporäreinsatzes eine Magnetallergie geltend gemacht, weshalb sein Einsatzgebiet habe angepasst werden müssen. Die Allergie habe sich nicht bestätigt und der Versicherte habe nach Entwicklung einer Kupferallergie wieder am Arbeitsplatz "Magnete setzen" eingesetzt werden können. Das Auftreten der nicht vorhandenen Magnetallergie lasse aufgrund der Krankheitsgeschichte (bei Exazerbation der Schizophrenie komme es zu Realitätsverkennung durch die paranoide und halluzinatorische Symptomatik) erhebliche Zweifel an einer vollen Arbeitsfähigkeit aufkommen. Solche scheine auch die B._ AG gehabt zu haben, hätte sie doch sonst bei der Festanstellung des Versicherten nicht die ungewöhnliche dreimonatige Probezeit vereinbart und den Lohn tiefstmöglich angesetzt. Der Versicherte habe, obwohl er lediglich einfachste Hilfstätigkeiten ausgeübt habe, gegenüber seinem Gruppenleiter wiederholt geäussert, dass er Angst habe, den Anforderungen nicht zu genügen. Zudem habe er trotz Erfahrung im Schweissen nur beschränkt in der Schweisserei eingesetzt werden können. Der ehemalige Gruppenleiter habe gesagt, dass es mit dem Versicherten "immer wieder irgendein Thema" gegeben habe. Die Festanstellung sei wegen Personalmangels erfolgt. Die B._ AG habe angegeben, einen zusätzlichen, nicht voll leistungsfähigen Mitarbeiter einer Vakanz vorgezogen zu haben, gegenüber Mitarbeitenden mit Einschränkungen sehr sozial eingestellt zu sein und auch mehrere "IV-Wiedereingliederungskandidaten" beschäftigt zu haben. Zudem sei der Versicherte ein williger Mitarbeiter gewesen, der Einsatzbereitschaft gezeigt und versucht habe, seine Arbeit gut zu machen, weshalb ihm die Arbeitgeberin trotz eingeschränkter Einsatzmöglichkeiten eine Chance habe geben wollen. Aus der Festanstellung (ab 1. November 2011) und der Weiterbeschäftigung nach Ablauf der Probezeit (ab 1. Februar 2012) könne darum nicht auf eine volle Leistungsfähigkeit des damaligen Mitarbeiters geschlossen werden.
Zu diesen Zeitpunkten habe daher keine Perspektive auf eine dauerhafte Berufsausübung bestanden und auch nicht mit einer längerfristigen vollen Arbeitsfähigkeit gerechnet werden können. So sei denn auch bereits 1,5 Monate nach Ablauf der Probezeit eine mehrmonatige vollständige Arbeitsunfähigkeit eingetreten. Damit sei die rund achtmonatige Arbeitstätigkeit als gescheiterter Arbeitsversuch zu qualifizieren. Dadurch sei der zeitliche Konnex zur früher (während der Anstellung bei der D._ AG) eingetretenen Arbeitsunfähigkeit nicht unterbrochen worden. Auch die beim Stellenantritt bei der B._ AG bereits lange Krankheitsgeschichte spreche entscheidend gegen einen Unterbruch des zeitlichen Zusammenhangs. Folglich habe die Pensionskasse der B._ AG nicht für die eingetretene (Teil-) Invalidität einzustehen.
4.
4.1. Die Feststellungen der Vorinstanz sind für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (vgl. vorangehende E. 1). Näher zu betrachten ist einzig ihre Schlussfolgerung betreffend die Perspektive auf eine dauerhafte Berufsausübung und die Qualifikation der Arbeitstätigkeit bei der B._ AG als gescheiterter Arbeitsversuch. Das Bundesgericht kann die unvollständige Sachverhaltsfeststellung ergänzen.
4.2.
4.2.1. Das kantonale Gericht hat die von ihm aufgrund von "Zweifeln" und "Anhaltspunkten" (implizit) festgestellte Einschränkung der Leistungsfähigkeit des Versicherten nicht beziffert. Im hier interessierenden Zeitraum (Juli 2011 bis März 2012) ist keineerhebliche Einschränkung der Arbeits- resp. Leistungsfähigkeit von mindestens 20 % (vgl. vorangehende E. 2.3.1) ersichtlich. Diesbezüglich legte die Arbeitgeberin insbesondere dar, dass der Monatslohn des Versicherten infolge der Zweifel und Erfahrungen während der Temporäranstellung anstatt auf Fr. 5100.-, was für Mitarbeiter mit Berufsabschluss im gleichen Alter üblich gewesen wäre, auf Fr. 4800.- angesetzt wurde; das habe sich (im Nachhinein) als um ca. Fr. 300.- zu hoch herausgestellt. Dementsprechend beträgt die Differenz der Leistungsfähigkeit des Versicherten zu den Erwartungen der Arbeitgeberin 6,25 % resp. zum "Standardlohn" 11,76 %. Damit ist bei der Ausübung des Vollzeitpensums - insbesondere mit Blick auf <ref-ruling> E. 4.4 - von einer lediglich geringfügig eingeschränkten Leistungsfähigkeit auszugehen.
4.2.2. Die Vorinstanz hat die Einschränkung der Leistungsfähigkeit auf die Geltendmachung einer bloss vermeintlichen Magnetallergie, die Kupferallergie, die beschränkte Befähigung zu Schweissarbeiten und die geäusserte Angst vor Ungenügen zurückgeführt. Weshalb sie der psychischen Erkrankung des Versicherten geschuldet sein soll, leuchtet indessen nicht ein. Die genannten Aspekte stellen denn auch keine spezifischen Krankheitssymptome dar. Gleiches gilt für das Verschweigen der paranoiden Schizophrenie gegenüber der Arbeitgeberin. Anders als die Beschwerdegegnerin glauben machen will, lässt dieser Umstand weder auf (krankhaften) Realitätsverlust noch auf eine Verletzung einer Arbeitnehmerpflicht schliessen.
4.2.3. Die B._ AG begründete in ihrem Bericht vom 30. Juli 2020 die Vereinbarung einer dreimonatigen Probezeit und die tiefere Lohneinstufung mit Zweifeln aufgrund des lückenhaften Lebenslaufs, der unklaren Krankengeschichte und der beim Temporäreinsatz aufgekommenen (vermeintlichen) Magnetallergie. Sie bemängelte zwar die beschränkte Einsetzbarkeit resp. Polyvalenz ihres Mitarbeiters, bezeichnete dessen Arbeitsleistung aber als "grundsätzlich gut", was sich denn auch im Arbeitszeugnis vom 31. Mai 2012 (das dem Grundsatz der Wahrheit unterliegt; vgl. <ref-ruling> E. 5.3.4) niedergeschlagen hatte. Weiter führte sie aus, der Versicherte sei "zur Überraschung aller, plötzlich und ohne jegliche Vorzeichen von einem Tag auf den anderen" ausgefallen. Das "plötzliche Auftauchen der IV" im April 2012 hielt sie für "erstaunlich", denn bis dahin sei eine Invalidität ihres Mitarbeiters für sie "nie ein Thema" gewesen. Dass die Arbeitgeberin bei der Festanstellung oder bei der Weiterbeschäftigung nach Ablauf der Probezeit von einem blossen Arbeitsversuch ausgegangen sein soll, legte sie in ihrem Bericht auch nicht ansatzweise dar. Über die blosse Vereinbarung einer Probezeit hinaus stand seitens der B._ AG auch keine Befristung oder Kündigung des Arbeitsverhältnisses im Raum. Obschon der Mitarbeiter beim Anstellungsgespräch eine Krankheit angegeben hatte, deren "Symptome [sich] wie eine Depression ausgewirkt" hätten, schilderte die B._ AG ebensowenig, dass sich bei der Arbeit je ein konkretes Anzeichen für eine ernsthafte psychische Krankheit manifestiert haben soll.
4.2.4. Schon aus dem Urteil 9C_575/2018 vom 15. April 2019 ergibt sich (vgl. vorangehende E. 2.1 und 2.4), dass in concreto und mit Blick auf die Arbeitstätigkeit bei der B._ AG weder die zum Zeitpunkt des Stellenantritts bereits lange Krankheitsgeschichte noch die im März 2012 eingetretene gesundheitliche Verschlechterung gegen die Perspektive auf eine dauerhafte Berufsausübung oder für die Annahme eines blossen Arbeitsversuchs spricht. Gegenteilige Auffassungen der Vorinstanz und der Beschwerdegegnerin sind bundesrechtswidrig.
4.3. Nach dem Gesagten lässt sich weder die Verneinung der Perspektive auf eine dauerhafte Berufsausübung noch die Qualifikation der Arbeitstätigkeit bei der B._ AG als gescheiterter Arbeitsversuch halten. Angesichts der gegebenen Umstände wurde der zeitliche Zusammenhang zwischen der Invalidität und der Arbeitsunfähigkeit, die während der Anstellung bei der D._ AG zutage getreten war, durch die Arbeitstätigkeit des Versicherten bei der B._ AG unterbrochen. Folglich ist die Pensionskasse der B._ AG (grundsätzlich) leistungspflichtig für die Invalidität des Versicherten.
Damit besteht erstmals Anlass für die Prüfung des Klagebegehrens hinsichtlich des Leistungsbeginns und des Anspruchs auf (Verzugs-) Zins. Dazu ist die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Insoweit ist die Beschwerde begründet.
5.
Hinsichtlich der Prozesskosten gilt die Rückweisung der Sache zu neuem Entscheid praxisgemäss als volles Obsiegen (vgl. statt vieler: Urteil 9C_279/2019 vom 1. Juli 2019 E. 3 mit Hinweisen). Dementsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (<ref-law>). Die Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 15. Dezember 2020 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuer Entscheidung im Sinne der Erwägung 4.3 an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3000.- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, C._, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. August 2021
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Parrino
Die Gerichtsschreiberin: Dormann