Sachverhalt:
A.
A.a. Gestützt auf Anzeigen vom 9. März 2011 und vom 10. Oktober 2012 führte die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt gegen A._ eine Strafuntersuchung wegen des Verdachts der Urkundenfälschung, des Betrugs und der ungetreuen Geschäftsbesorgung. Nachdem er mehrmals, wenn auch mehrheitlich aus gesundheitlichen Gründen entschuldigt, nicht zur Einvernahme erschienen war, ordnete die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt am 15. Oktober 2014 die Festnahme und Vorführung an. Ein erster Versuch am 27. Oktober 2014 am Wohnort in U._/BE durch die Kantonspolizei Bern war erfolglos. Am 28. Oktober 2014 wurde A._ in U._ von einer Sondereinheit der Kantonspolizei Bern unter Anwendung polizeilichen Zwangs festgenommen. Gemäss dem polizeilichen Anhaltungsrapport hat A._ versucht, sich durch Flucht der Festnahme zu entziehen; er selbst macht geltend, körperlich misshandelt worden zu sein. In der Folge wurde er der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt zugeführt. Diese ordnete eine erkennungsdienstliche Erfassung und einen Wangenschleimhautabstrich zwecks Erstellung eines DNA-Profils an. Beide Massnahmen wurden noch am 28. Oktober 2014 vollzogen. Tags darauf wurde A._ aus der vorläufigen Festnahme entlassen.
A.b. Mit Eingabe vom 25. März 2016 ersuchte A._ beim Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt um Opferhilfe im Betrag von Fr. 150'000.-- sowie um eine Entschädigung von Fr. 18'500.-- für Arztkosten und von Fr. 96'890.-- für seine beschlagnahmte Waffensammlung oder deren Herausgabe und um eine weitere Entschädigung und Genugtuung von Fr. 365'000.-- und Fr. 150'000.-- für Untersuchungshaft. Im weiteren Verfahrensverlauf nannte er andere Summen ähnlicher Grössenordnung. Seinen behaupteten Anspruch auf Opferhilfe leitete er aus mit der Festnahme und den ermittlungstechnischen Massnahmen vom 28. Oktober 2014 zusammenhängenden Vorgängen ab.
A.c. Am 2. November 2016 wies das Amt für Sozialbeiträge das Gesuch von A._ im Zusammenhang mit den Ereignissen vom 28. Oktober 2014 ab, soweit es sich für zuständig erachtete.
B.
Mit Urteil VD.2016.236 vom 15. August 2017 wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht einen dagegen von A._ erhobenen Rekurs ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Dagegen führt A._ Beschwerde beim Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des Urteils des Appellationsgerichts, die Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands, die Anordnung einer ausserordentlichen Untersuchung sowie die Rückweisung der Sache an die Vorinstanz zur Neubeurteilung. Weiter verlangt er die Zusprechung einer Wiedergutmachungssumme sowie einer Genugtuung von mindestens Fr. 985'000.--, die Bekanntgabe der Personalien aller beteiligter Personen, die Entschädigung von ihm abhanden gekommenen Werte wie insbesondere eines Mobiltelefons und von Fr. 500.--, die Entschädigung der ausgestandenen Haft, die Löschung von ihn betreffenden Daten und die Einstellung ihn diffamierender Äusserungen durch die Behörden sowie zusammenfassend die Erstattung sämtlicher Kosten, Entschädigungen und Genugtuungen für sich selbst, für seine Lebenspartnerin B._ und für seinen Hund SID.
Das Amt für Sozialbeiträge schliesst ohne weitere Ausführungen auf Abweisung der Beschwerde. Das Appellationsgericht stellt Antrag auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
A._ äusserte sich mit Eingabe vom 10. Januar 2018 nochmals zur Sache.
D.
Mit weiterer, vom vorliegenden Verfahren unabhängiger Verfügung vom 31. Oktober 2016 wies das Amt für Sozialbeiträge ein analoges Gesuch von A._ vom 11. März 2016 um Opferhilfe im Zusammenhang mit Hausdurchsuchungen vom 22. April 2014 in seinen Wohnorten U._ und Basel ab, erneut soweit es sich für zuständig erachtete. Dazu lief ein separates Verfahren im Kanton Basel-Stadt, wozu eine eigene Beschwerde am Bundesgericht hängig ist (appellationsgerichtliches Verfahren VD.2016.234; bundesgerichtliches Dossier 1C_561/2017).

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene Entscheid stellt einen kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (vgl. Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2 sowie Art. 90 BGG) im Bereich der Opferhilfe dar. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gemäss <ref-law> an das Bundesgericht offen. Bei der Opferhilfe geht es nicht um Staatshaftung, weshalb die Streitwertgrenze gemäss <ref-law> nicht anwendbar ist (<ref-ruling> E. 2.2.4 S. 121; Urteil 1C_326/2014 vom 16. Januar 2015 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.2. Der Beschwerdeführer hat am vorinstanzlichen Verfahren teilgenommen und ist durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt. Er ist damit zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Nicht Partei vor der Vorinstanz war hingegen B._, für die der Beschwerdeführer ebenfalls Ansprüche stellt, weshalb insofern auf die Beschwerde nicht einzutreten ist. Ohnehin nicht verfahrens- und damit beschwerdeberechtigt ist der Hund des Beschwerdeführers namens SID, weshalb sich die Beschwerde auch insoweit als unzulässig erweist.
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht (<ref-law>). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-law>).
2.
Streitgegenstand bildet einzig die vom Appellationsgericht im Entscheid VD.2016.236 beurteilte Frage der Opferhilfe im Zusammenhang mit der Festnahme und den ermittlungstechnischen Massnahmen vom 28. Oktober 2014. Soweit die Rechtsbegehren des Beschwerdeführers darüber hinaus gehen, kann darauf nicht eingetreten werden. Das gilt insbesondere für die Anträge auf Durchführung einer ausserordentlichen Untersuchung durch einen ausserkantonalen Staatsanwalt sowie auf Wiederherstellung des rechtmässigen Zustands, die geltend gemachte Staatshaftung (Schadenersatz und Genugtuung) und erhobenen sonstigen Entschädigungsansprüche, soweit dafür keine Grundlage im Opferhilferecht besteht und die Vorinstanz deswegen darauf nicht eingetreten ist (dazu auch hinten E. 5), unter Einschluss der Haftentschädigung, die beantragte Bekanntgabe von Personalien beteiligter Personen, die Löschung weiterer Daten und die Einstellung beanstandeter Äusserungen durch Staatsangestellte.
3.
3.1. Mit der Beschwerde an das Bundesgericht kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (<ref-law>). Gemäss <ref-law> ist in der Begründung in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Der Beschwerdeführer muss sich wenigstens kurz mit den Erwägungen des angefochtenen Entscheids auseinandersetzen. Rein appellatorische Kritik ohne Bezug zum angefochtenen Entscheid genügt nicht. Zwar wendet das Bundesgericht das Recht grundsätzlich von Amtes wegen an (<ref-law>). Das setzt aber voraus, dass auf die Beschwerde überhaupt eingetreten werden kann, diese also wenigstens die Begründungsanforderungen von <ref-law> erfüllt. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von Grundrechten (einschliesslich der willkürlichen Anwendung von kantonalem Recht und Willkür bei der Sachverhaltsfeststellung) geltend gemacht wird. Dies prüft das Bundesgericht grundsätzlich nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (<ref-ruling> E. 1.4 S. 176; <ref-ruling> E. 1.6 S. 130; <ref-ruling> E. 1.4 S. 254 f.).
3.2. Zur Begründung ergeht sich der Beschwerdeführer in langfädigen Ausführungen, die zum grössten Teil, soweit sie überhaupt verständlich sind, auf appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid hinauslaufen. Inwiefern Bundesrecht verletzt worden sein sollte, ist kaum ersichtlich. Der Beschwerdeführer vermischt überdies die Argumente des vorliegenden Falles mit den im Parallelverfahren 1C_561/2017 zu berücksichtigenden Zusammenhängen. Auch soweit der Beschwerdeführer behauptet, der angefochtene Entscheid sei willkürlich, fehlt es weitgehend an einer ausreichenden Begründung. Auf die Beschwerde kann daher nur im nachfolgenden Umfang eingetreten werden.
4.
4.1. Der Beschwerdeführer zieht wiederholt die Unbefangenheit der am vorinstanzlichen Urteil beteiligten Appellationsrichter, insbesondere von dessen Vorsitzenden Stephan Wullschleger, in Frage. Soweit dies als ausreichendes Ausstandsbegehren entgegenzunehmen wäre, was grundsätzlich fraglich erscheint, wäre es abzuweisen.
4.2. Befangenheit ist anzunehmen, wenn Umstände vorliegen, die geeignet sind, Misstrauen in die Unparteilichkeit eines Richters bzw. eines Sachverständigen zu erwecken. Es braucht nicht nachgewiesen zu werden, dass dieser tatsächlich befangen ist. Vielmehr genügt es, wenn Umstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit und die Gefahr der Voreingenommenheit objektiv zu begründen vermögen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 242; <ref-ruling> E. 5.1 S. 125). Auf das subjektive Empfinden einer Partei kommt es nicht an.
4.3. Die vom Beschwerdeführer vorgetragenen Umstände sind nicht geeignet, den Anschein der Befangenheit auf Seiten der beteiligten Richter zu begründen. Es bestehen keine Hinweise dafür, dass das Gericht und namentlich dessen Vorsitzender den Beschwerdeführer verhöhnt und gedemütigt, über vorgelegte Bilder zu den Verletzungen des Beschwerdeführers gelacht oder bloss eine Scheinverhandlung durchgeführt hätte, wie dieser geltend macht. In der Vernehmlassung an das Bundesgericht widerlegte das Appellationsgericht sodann die Behauptung des Beschwerdeführers, der Vorsitzende sei Mitglied eines selben Vereins wie der Beschwerdeführer und habe dort wiederholt seine Abneigung bekundet. Das Appellationsgericht vermochte glaubhaft darzutun, dass es keine gemeinsame Mitgliedschaft in einem Verein gibt und sich der Beschwerdeführer allenfalls insofern irrt, als er den Vorsitzenden mit einer anderen Person gleichen Namens verwechselt. Im Übrigen hätte der Beschwerdeführer diesen Einwand nicht erst nach ergangenem Urteil erheben, sondern schon vor der Gerichtsverhandlung bzw. spätestens an dieser selbst vorbringen müssen (vgl. <ref-ruling> E. 2.2 S. 336 mit Hinweisen).
4.4. Auch die in diesem Zusammenhang erhobene Gehörsrüge erweist sich als unbegründet. Der Vorsitzende musste den Beschwerdeführer an der Gerichtsverhandlung wiederholt darauf hinweisen, sich lediglich zu wesentlichen Gesichtspunkten zu äussern und nicht abzuschweifen. Darin liegt weder eine Gehörsverweigerung noch ein Verhalten, das einen Anschein von Befangenheit zu begründen vermöchte. Dass die Parteiverhandlung, die für die beiden Fälle VD.2016.234 und VD.2016.236 zusammen durchgeführt wurde, gut eine Stunde dauerte und der Beschwerdeführer dabei ausführlich seinen Standpunkt dartun konnte, spricht vielmehr für die Ernsthaftigkeit des Vorgehens des Gerichts und für die Wahrung der Verfahrensfairness.
5.
Der Beschwerdeführer legt nicht nachvollziehbar dar, falls er dies überhaupt rechtsgenüglich behauptet, weshalb es Bundesrecht verletzen sollte, dass das Appellationsgericht das Verfahren auf die eigentliche Frage des Opferhilferechts beschränkt hat und auf weitere Anträge, insbesondere im Zusammenhang mit der geltend gemachten Staatshaftung, nicht eingetreten ist. Wie bereits dargelegt (vgl. E. 1.1), sind Opferhilfe und Staatshaftung voneinander zu unterscheiden; insbesondere können Ansprüche aus Staatshaftung nicht im opferhilferechtlichen Verfahren geltend gemacht werden (vgl. E. 2), weshalb auch alle entsprechenden Beanstandungen ins Leere greifen. Weiter ist hier darauf nicht einzugehen.
6.
6.1. Der Beschwerdeführer macht sinngemäss geltend, die tatsächlichen Feststellungen des Appellationsgerichts seien unzutreffend. Bei der Festnahme sei er brutal misshandelt und durch die Anlegung von Handschellen an den Handgelenken verletzt worden. Die erkennungsdienstlichen Massnahmen sowie die Abnahme einer DNA-Probe hätten ihn ebenfalls körperlich sowie psychisch stark belastet. Nebst gesundheitlichen Beeinträchtigungen habe er dadurch erhebliche persönliche Unbill erlitten.
6.2. Das Appellationsgericht hat sich eingehend mit den tatsächlichen Rügen des Beschwerdeführers im vorinstanzlichen Verfahren befasst und diese Punkt für Punkt widerlegt. Was dieser dagegen vorbringt, vermag offensichtliche Fehler nicht zu belegen. Im Gegenteil erweisen sich die Sachverhaltsfeststellungen des Appellationsgerichts als nachvollziehbar und nicht aktenwidrig. Sie sind daher nicht zu beanstanden und für das Bundesgericht verbindlich. Weder ist damit insbesondere von übertriebenem Zwang oder Gewaltanwendung bei der Festnahme, der Anlegung von Handschellen sowie der ermittlungstechnischen Massnahmen vom 28. Oktober 2014 noch von dadurch ausgelösten massgeblichen Vermögenseinbussen, wesentlichen Gesundheitsstörungen oder sonstiger relevanter Unbill auf Seiten des Beschwerdeführers auszugehen. Auch die eingereichten Arztzeugnisse vermögen lediglich übliche allenfalls durch Handschellen verursachte Schürfungen an den Handgelenken sowie allgemeine Angstgefühle mit den entsprechenden gesundheitlichen Auswirkungen beim Beschwerdeführer, nicht aber erhebliche Übergriffe bzw. gesundheitliche Effekte der beanstandeten Handlungen zu belegen. Überdies sprechen die zeitlichen Verhältnisse nicht für einen Kausalzusammenhang zwischen den fraglichen Ereignissen und der Belastungssituation beim Beschwerdeführer. Schliesslich ist die Sachlage auch nicht lückenhaft, weshalb im vorliegenden opferhilferechtlichen Verfahren kein Anlass für eine ausserordentliche Untersuchung besteht, wie das der Beschwerdeführer verlangt, und der entsprechende Antrag abzuweisen ist.
7.
7.1. Nach Art. 1 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. März 2007 über die Hilfe an Opfer von Straftaten (OHG; SR 312.5) hat jede Person, die durch eine Straftat in ihrer körperlichen, psychischen oder sexuellen Integrität unmittelbar beeinträchtigt worden ist, Anspruch auf Opferhilfe. Sachschaden wird nicht berücksichtigt und scheidet schon deswegen aus. Voraussetzung für einen opferhilferechtlichen Anspruch ist, dass dem Leistungsansprecher aufgrund einer gewissen Schwere behaupteter oder begangener Straftaten, für deren Existenz eine bestimmte Wahrscheinlichkeit besteht, Opfereigenschaft zukommt.
7.2. Die Vorinstanzen haben geprüft, ob der Beschwerdeführer wegen einer Beeinträchtigung seiner körperlichen oder psychischen Integrität durch eine im Zusammenhang mit der Festnahme und den ermittlungstechnischen Massnahmen vom 28. Oktober 2014 möglicherweise begangene Straftat Anspruch auf opferhilferechtliche Entschädigung und Genugtuung gemäss Art. 19 und 22 OHG hat. Die Vorinstanzen haben dies verneint.
7.3. Der angefochtene Entscheid ist auch insofern nicht zu beanstanden. Es bestehen keine ausreichenden Hinweise dafür, dass sich die Staatsangestellten, die den Beschwerdeführer festgenommen und die ermittlungstechnischen Massnahmen durchgeführt haben, rechtswidrig verhalten bzw. dabei Straftatbestände erfüllt hätten. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, verfängt nicht und läuft im Wesentlichen auf eine Beanstandung der für das Bundesgericht verbindlichen (vgl. vorne E. 6) Sachverhaltsfeststellungen des Appellationsgerichts hinaus. Daran ändern auch die vom Beschwerdeführer aufgeführten und angerufenen Straftatbestände nichts. Dass sich der Beschwerdeführer subjektiv beeinträchtigt fühlt, genügt für die Annahme von opferhilferechtlich massgeblicher Opfereigenschaft nicht.
8.
Schliesslich auferlegte das Appellationsgericht dem Beschwerdeführer in Abweichung der grundsätzlichen Kostenlosigkeit opferhilferechtlicher Verfahren (vgl. <ref-law>) wegen Mutwilligkeit gemäss <ref-law> Kosten für den vorinstanzlichen Prozess. Der Beschwerdeführer bezeichnet dies als willkürlich bzw. bundesrechtswidrig. Weshalb dies so sein sollte, ist jedoch nicht ersichtlich. Die vor der Vorinstanz erhobenen Rügen und das Verhalten des Beschwerdeführers unterlegen die entsprechende Würdigung des Appellationsgerichts. Soweit überhaupt von einer rechtsgenüglichen Rüge ausgegangen werden kann, wäre diese jedenfalls abzuweisen.
9.
Die Beschwerde erweist sich als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Für das bundesgerichtliche Verfahren rechtfertigt es sich, auf die Auferlegung von Kosten wegen Mutwilligkeit an den unterliegenden Beschwerdeführer zu verzichten und es bei Kostenlosigkeit gemäss <ref-law> zu belassen, ohne dass damit die gegenteilige Einschätzung des beschwerdeführerischen Verhaltens im vorinstanzlichen Verfahren durch das Appellationsgerichts in Frage gestellt wird. Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (vgl. <ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Amt für Sozialbeiträge des Kantons Basel-Stadt, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, und dem Bundesamt für Justiz BJ schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. Mai 2018
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Karlen
Der Gerichtsschreiber: Uebersax