Sachverhalt:
A.
A.a. Das Strafgericht des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: Strafgericht) verurteilte A._ am 18. September 2013 wegen falscher Anschuldigung, mehrfacher Drohung, versuchter Nötigung, mehrfacher Brandstiftung mit geringem Schaden, versuchter Schreckung der Bevölkerung, Irreführung der Rechtspflege und mehrfacher Beschimpfung zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren und zu einer Geldstrafe. Den Vollzug der Freiheitsstrafe schob es zugunsten der ebenfalls angeordneten stationären Behandlung von psychischen Störungen auf.
A._ trat die Massnahme am 17. Dezember 2013 an.
A.b. Am 19. November 2015 verurteilte das Strafgericht A._ wegen Brandstiftung zu einer Freiheitsstrafe von zwei Jahren. Deren Vollzug schob es wiederum auf und ordnete die Fortsetzung der mit Urteil vom 18. September 2013 ausgesprochenen psychiatrischen Behandlung an.
B.
B.a. Der Straf- und Massnahmenvollzug des Amts für Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt (nachfolgend: Amt) hob die Massnahme am 15. März 2017 per 24. März 2017 wegen Aussichtslosigkeit auf. Gleichentags beantragte es dem Strafgericht, die Reststrafe der mit den Urteilen vom 18. September 2013 und 19. November 2015 ausgesprochenen Freiheitsstrafen zu vollziehen und anschliessend die Verwahrung von A._ anzuordnen.
B.b. Das Strafgericht erklärte am 31. Oktober 2017 die aufgeschobenen Freiheitsstrafen unter Einrechnung des Massnahmenvollzugs und der Sicherheitshaft für vollziehbar.
Mit Beschluss vom 27. Juni 2018 lehnte das Strafgericht die Verwahrung von A._ ab, ordnete wiederum eine stationäre Behandlung von psychischen Störungen an und schob den Vollzug der mit den Urteilen vom 18. September 2013 und 19. November 2015 ausgesprochenen Freiheitsstrafenerneut auf. Gegen diesen Beschluss erhoben sowohl das Amt als auch A._ Beschwerde.
B.c. Anlässlich der Verhandlung vor dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt vom 17. Oktober 2018 zog A._ seine Beschwerde zurück. Aufgrund der noch zu geringen Erfahrungen im laufenden Therapiesetting setzte das Appellationsgericht das Verfahren zunächst aus.
Am 12. Juni 2019 hiess das Appellationsgericht die Beschwerde des Amtes gut. Es hob die stationäre therapeutische Behandlung auf und ordnete gestützt auf Art. 62c Abs. 4 und Art. 64 Abs. 1 StGB die Verwahrung an.
B.d. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde in Strafsachen hiess das Bundesgericht am 22. Oktober 2019 gut. Es hob das Urteil des Appellationsgerichts auf und wies die Sache zur Entscheidung über die weiteren Folgen an dieses zurück (Urteil 6B_1035/2019). Das Bundesgericht kam zum Schluss, die Verwahrung verletze Bundesrecht, da kein genügend schweres Anlassdelikt vorliege (E. 1.5 f.). Es hielt abschliessend fest, A._ sei nach wie vor rückfallgefährdet und therapiebedürftig. Weiter nahm es zur Kenntnis, dass gemäss Gutachter keine Heiminstitutionen existierten, die über die erforderliche Betreuung und das notwendige Sicherheitsdispositiv verfügten, und dass A._ eine solche Massnahme ablehne (E. 1.7).
C.
Am 12. November 2019 ordnete das Appellationsgericht über A._ bis zur Hauptverhandlung vom 18. November 2019 Sicherheitshaft an. Mit Urteil vom 16. Januar 2020 trat das Bundesgericht nicht auf die von ihm dagegen erhobene Beschwerde in Strafsachen ein (Verfahren 1B_592/2019).
D.
Mit Entscheid vom 18. November 2019 bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt den Beschluss des Strafgerichts vom 27. Juni 2018, wonach die mit Urteilen vom 18. September 2013 und 10. November 2015 ausgesprochenen Freiheitsstrafen zugunsten einer stationären therapeutischen Behandlung von psychischen Störungen aufzuschieben seien.
Mit Verfügung vom 17. Juni 2020 lehnte das Amt eine Entlassung von A._ aus der stationären therapeutischen Massnahme wegen Aussichtslosigkeit resp. Undurchführbarkeit ab. Das diesbezügliche Rekursverfahren ist beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt hängig (Verfahren VD.2020.260).
E.
E.a. Das Amt verfügte am 31. Juli 2020 die Verlängerung des Aufenthalts von A._ in der Sicherheitsabteilung I (nachfolgend: SITRAK 1) der Justizvollzugsanstalt (nachfolgend: JVA) Lenzburg ab dem 5. August 2020 für längstens sechs Monate bis zum 4. Februar 2021. Hiergegen erhob A._ Rekurs (Verfahren VD.2020.165).
Am 27. Oktober 2020 wurde A._ von der SITRAK 1 der JVA Lenzburg in die Sicherheitsabteilung A der JVA Bostadel versetzt.
E.b. Mit Verfügung vom 28. Januar 2021 verlängerte das Amt den Verbleib von A._ in der Sicherheitsabteilung A der JVA Bostadel ab dem 5. Februar 2021 für längstens sechs Monate bis zum 4. August 2021. Dieser legte dagegen einen Rekurs ein (Verfahren VD.2021.17).
E.c. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt weist mit Urteil vom 31. März 2021 die von A._ gegen die Verlängerungsverfügungen erhobenen Rekurse ab.
F.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 31. März 2021 sei aufzuheben und die ihm gegenüber verfügte Einzel- resp. Isolationshaft für bundes- sowie völkerrechtswidrig zu erklären. Im Falle des Unterliegens ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.

Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht hat die Akten beigezogen. Dem diesbezüglichen Verfahrensantrag (Beschwerde S. 3 Ziff. 5) ist damit Genüge getan.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung von <ref-law>, des Prinzips der Verhältnismässigkeit (<ref-law>), der Garantie der persönlichen Freiheit (<ref-law>, Art. 3 [recte: 5] und 8 EMRK) und des Verbots der Folter oder unmenschlichen oder erniedrigenden Behandlung (<ref-law>, Art. 3 EMRK, Art. 7 UNO-Pakt II [SR 0.103.2] sowie UN-Übereinkommen gegen Folter und andere grausame, unmenschliche oder erniedrigende Behandlung oder Strafe vom 10. Dezember 1984 [SR 0.105; nachfolgend UN-Übereinkommen gegen Folter]). Sowohl nach Bundesrecht als auch gestützt auf die völkerrechtlichen Verpflichtungen der Schweiz dürfe Isolationshaft - gerade bei psychisch kranken Menschen - nur in Extremfällen und mit der kürzesten erforderlichen Dauer angeordnet sowie vollzogen werden. Seine Isolationshaft dauere bereits seit dem 5. August 2019, wobei bis jetzt kein Behandlungskonzept bestehe, das die Perspektive einer Änderung dieses Zustands eröffnen würde. Die geplante Aufnahme in das Pflegezentrum B._ sei bis auf Weiteres sistiert. Er habe bis heute nicht in einer geeigneten Massnahmenvollzugsanstalt platziert werden können. Die Dauer sowie die harten Bedingungen der Isolationshaft seien nicht gerechtfertigt und würden einen unrechtmässigen sowie unverhältnismässigen Eingriff in seine Grundrechte darstellen. Gemäss UN-Recht sei die Anordnung von Isolationshaft als Folter zu qualifizieren, sofern eine Person während mehr als 15 aufeinanderfolgenden Tagen pro Tag 22 Stunden oder länger ohne sinnhaften menschlichen Kontakt allein eingesperrt sei. Er befinde sich seit mehr als 22 Monaten ohne nennenswerte Unterbrüche in Isolationshaft, wobei soziale Kontakte auf ein Minimum beschränkt seien. Insbesondere könne der Kontakt zum Gefängnispersonal nicht als sinnhafter menschlicher Kontakt qualifiziert werden, weil es sich dabei um ein Autoritätsverhältnis und nicht um eine vertrauensbasierte, freundschaftliche oder familiäre Beziehung handle. Auch Privatbesuche seien nicht als sinnhafter menschlicher Kontakt zu werten, da sie nur hinter einer Trennscheibe möglich seien. Folglich entspreche die Isolationshaft der Definition der rule 44 der Resolution 70/175 der UNO-Generalversammlung vom 17. Dezember 2015 und sei als Folter zu qualifizieren. Die für die Dauer von mehr als 22 Monaten angeordnete Isolationshaft sei aufgrund der starken Einschränkungen sowie möglichen psychischen Folgen eine verbotene unmenschliche Behandlung und sei auch nicht mehr verhältnismässig. Die monatelange Isolationshaft könne nicht als zulässige Einzelunterbringung gemäss <ref-law> qualifiziert werden. Er befinde sich seit Jahren im zweckwidrigen staatlichen Freiheitsentzug, ohne dass je eine therapeutische Behandlung richtig begonnen habe. Das angefochtene Urteil verstosse gegen das UN-Übereinkommen gegen Folter und gegen Art. 7 sowie Art. 10 UNO-Pakt II und sei deshalb aufzuheben.
Weiter wendet der Beschwerdeführer ein, es sei offenkundig, dass die bereits seit Monaten andauernde Einzelhaft und die anhaltende soziale Deprivation negative Auswirkungen auf seine psychische Gesundheit gehabt hätten, die zu den Kriseninterventionen geführt hätten. Suizidales Verhalten sei eine bekannte Folge von Isolationshaft. Indem die Vorinstanz mit keinem Wort auf seine diesbezüglichen Ausführungen eingehe, verletze sie seinen Anspruch auf rechtliches Gehör.
2.2. Die Vorinstanz erwähnt zunächst den Vollzugsbericht der JVA Lenzburg vom 3. Juli 2020. Darin werde ausgeführt, dass sich der Beschwerdeführer im SITRAK gut behandelt und wertgeschätzt fühle, die Möglichkeiten der Arbeit, Weiterbildung sowie des Spaziergangs gerne in Anspruch nehme, ihm aber angesichts der nun schon längeren Isolation je länger je mehr die Decke auf den Kopf falle, weshalb er eine baldige Versetzung in den Massnahmenvollzug in einem offeneren Regime anstrebe. Gleichzeitig werde festgestellt, dass Stressfaktoren wie Gerichtstermine, anstehende Urteile, die geplante Vollzugslockerung vom 4. Februar 2020 (Versetzung in den SITRAK II), unklare Zukunftsperspektive etc. immer wieder zu kurzzeitigen Krisen infolge Überforderung geführt hätten. Der Beschwerdeführer habe erklärt, er wolle mit der Therapie gemäss <ref-law> beginnen, was in Lenzburg nicht möglich sei. Es solle daher alles für eine Überbrückungslösung bis zum Eintritt in das Pflegezentrum B._ im April 2021 unternommen werden. Sodann würdigt die Vorinstanz den Therapiebericht von Dr. C._ vom 15. Oktober 2020. Danach habe eine positive Beeinflussung der potentiell veränderbaren Risikofaktoren nicht erreicht werden können, was unter den gegebenen Bedingungen des SITRAK I aus psychiatrischer Sicht auch nicht zu erwarten gewesen sei. Der äusserst reduzierte und stabile Rahmen des SITRAK I habe aber wohl zu einer gewissen, zumindest phasenweisen Stabilisierung des Beschwerdeführers beigetragen. Weiter geht die Vorinstanz auf dessen zahlreiche Suizidversuche ein und hält abschliessend fest, am 1. März 2021 habe der Beschwerdeführer einen weiteren Selbstmordversuch begangen, indem er in seiner Zelle einen Brand gelegt habe, worauf diese nicht mehr bewohnbar gewesen sei. Zuvor habe er sich noch selbst verletzt. Er habe mit einem Bleistift in seine Hand gestochen. Den Vorfällen seien die von der JVA vorgenommenen Öffnungen des Vollzugs durch die Teilnahme an Gruppenöffnungszeiten voraus gegangen, die den Beschwerdeführer gemäss eigenen Angaben überfordert hätten (Urteil S. 8 ff. E. 4.2). Entgegen der Auffassung seines Vertreters habe die im Februar 2021 in Aussicht genommene Verlegung in den Gruppenvollzug nicht positive Auswirkungen auf die psychische Gesundheit des Beschwerdeführers gehabt, sondern habe zu einer Überforderung geführt, zu seiner neuerlichen Selbstverletzung und einem weiteren Suizidversuch durch das Inbrandsetzen seiner Zelle. Bis zur Überführung in eine geeignete Vollzugseinrichtung oder bis zu der vom Beschwerdeführer im Verfahren VD.2020.260 beantragten Beendigung der angeordneten Massnahme erscheine seine Betreuung in der Sicherheitsabteilung A erforderlich und alternativlos, auch wenn selbst dieses Setting keine absolute Sicherheit erbringen könne (Urteil S. 11 f. E. 4.3).
Ferner erwägt die Vorinstanz, <ref-law> enthalte eine ausreichende gesetzliche Grundlage für die Einzelunterbringung im Massnahmerecht. Aufgrund des wiederholt autoaggressiven Verhaltens des Beschwerdeführers und seiner fortgesetzt krisenhaften Reaktion auf geplante Öffnungen seines Settings sei die Massnahme auch verhältnismässig. Auch wenn Kontakte zu Mitgefangenen ermöglicht werden sollten, sei vorliegend zu beachten, dass solche von der Vollzugsanstalt angeboten, vom Beschwerdeführer aber als Überforderung erlebt worden seien. Soweit der Europäische Gerichtshof für Menschenrechte (EGMR) ein Isolationsregime mit Zelleneinschluss während 21-22 Stunden am Tag als Verletzung von Art. 3 EMRK beurteilt habe, sei dies vor dem Hintergrund erfolgt, dass dieses Regime aufgrund der konkreten Sicherheitsinteressen nicht erforderlich gewesen sei (Urteil S. 12 f. E. 5).
2.3.
2.3.1. Der Anspruch auf rechtliches Gehör gemäss <ref-law> verpflichtet die Behörde, die Vorbringen der Parteien auch tatsächlich zu hören, zu prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen. Daraus folgt die Pflicht der Behörde, ihren Entscheid ausreichend und nachvollziehbar zu begründen (<ref-ruling> E. 3.1 mit Hinweisen). Dabei muss die Begründung kurz die wesentlichen Überlegungen nennen, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sie ihren Entscheid stützt (<ref-ruling> E. 2.2.7 mit Hinweisen).
2.3.2. Nach <ref-law> müssen beim Bundesgericht anfechtbare Entscheide die massgebenden Gründe tatsächlicher und rechtlicher Art enthalten. Der vorinstanzliche Entscheid hat eindeutig aufzuzeigen, auf welchem festgestellten Sachverhalt und auf welchen rechtlichen Überlegungen er beruht (<ref-ruling> E. 1.2.1 mit Hinweisen). Die Begründung ist insbesondere mangelhaft, wenn der angefochtene Entscheid jene tatsächlichen Feststellungen nicht trifft, die zur Überprüfung des eidgenössischen Rechts notwendig sind oder wenn die rechtliche Begründung des angefochtenen Entscheids so lückenhaft oder unvollständig ist, dass nicht geprüft werden kann, wie das eidgenössische Recht angewendet wurde. Die Begründung ist ferner mangelhaft, wenn einzelne Tatbestandsmerkmale, die für die Subsumtion unter eine gesetzliche Norm von Bedeutung sind, von der Vorinstanz nicht oder nicht genügend abgeklärt wurden (<ref-ruling> E. 5b mit Hinweis). Genügt ein Entscheid den genannten Anforderungen nicht, kann das Bundesgericht ihn in Anwendung von <ref-law> an die kantonale Behörde zur Verbesserung zurückweisen oder aufheben. Hingegen steht es ihm nicht zu, sich an die Stelle der Vorinstanz zu setzen, die ihrer Aufgabe nicht nachgekommen ist (<ref-ruling> E. 1.2.1; Urteile 6B_280/2021 vom 27. Mai 2021 E. 3.3.2; 6B_1409/2019 vom 4. März 2021 E. 1.6.4; je mit Hinweisen).
2.3.3. Für den Straf- und Massnahmenvollzug sind die Kantone zuständig, soweit das Gesetz nichts anderes vorsieht (<ref-law>). <ref-law> regeln die Grundzüge des Straf- und Massnahmenvollzugs. Die Einzelheiten des Vollzugs richten sich nach kantonalem Recht und den für den einzelnen Kanton jeweils massgebenden Konkordatsrichtlinien.
2.3.4. Die Einzelunterbringung stellt eine Einschränkung der persönlichen Freiheit dar (<ref-ruling> E. 3.3 publ. in Pra 2009 Nr. 16 mit Hinweis). <ref-law> räumt jedem Menschen das Recht auf persönliche Freiheit, insbesondere auf körperliche und geistige Unversehrtheit und auf Bewegungsfreiheit ein (<ref-ruling> E. 5.2). Einschränkungen von Grundrechten bedürfen einer gesetzlichen Grundlage (<ref-law>) und müssen durch ein öffentliches Interesse gerechtfertigt und verhältnismässig sein (Art. 36 Abs. 2 und 3 BV).
Das Gebot der Verhältnismässigkeit (<ref-law>, <ref-law>) verlangt, dass eine behördliche Massnahme für das Erreichen des im öffentlichen oder privaten Interesse liegenden Zieles geeignet und erforderlich ist und sich für die Betroffenen in Anbetracht der Schwere der Grundrechtseinschränkung als zumutbar erweist. Der Eingriff darf in sachlicher, räumlicher, zeitlicher und personeller Hinsicht nicht einschneidender sein als erforderlich (<ref-ruling> E. 9.1 mit Hinweisen).
Der Grundsatz der Verhältnismässigkeit gilt nicht nur für die Anordnung von Massnahmen, sondern beispielsweise auch für deren Vollzug. Er beansprucht im gesamten Massnahmenrecht sowohl bei der Anordnung als auch bei Folgeentscheidungen uneingeschränkt Geltung. Es sind die einander widerstreitenden Interessen abzuwägen, das heisst insbesondere die Grösse der Gefahr, der die Massnahme begegnen soll, und die Schwere des Eingriffs in die Rechte des Betroffenen, der mit ihr verbunden ist. Eine unverhältnismässige Massnahme darf nicht aufrecht erhalten werden. Dem Verhältnismässigkeitsprinzip kommt insofern ähnlich dem Schuldprinzip Begrenzungsfunktion zu (Urteile 6B_1001/2015 vom 29. Dezember 2015 E. 4.2; 6B_798/2014 vom 20. Mai 2015 E. 2.2 nicht publ. in <ref-ruling>; je mit Hinweis).
2.3.5. Gemäss <ref-law> darf eine Person, die sich im Vollzug einer Massnahme nach den Artikeln 59-61 befindet, nur dann ununterbrochen von den andern Eingewiesenen getrennt untergebracht werden, wenn dies unerlässlich ist: (a.) als vorübergehende therapeutische Massnahme; (b.) zum Schutz des Eingewiesenen oder Dritter; (c.) als Disziplinarsanktion. <ref-law> enthält eine ausreichende gesetzliche Grundlage für die Einzelunterbringung im Massnahmenrecht. Dient sie dem Schutz des Eingewiesenen und von Dritten, ist sie gerechtfertigt und ist darin keine unmenschliche und erniedrigende Behandlung im Sinne des Art. 3 EMRK zu sehen. Allerdings muss die Einzelunterbringung das Verhältnismässigkeitsprinzip beachten, wie das jeder Grundrechtseingriff voraussetzt (<ref-ruling> E. 3.3 publ. in Pra 2009 Nr. 16; Urteile 6B_421/2019 vom 11. Juli 2019 E. 2.3; 6B_15/2019 vom 15. Mai 2019 E. 2.9; je mit Hinweis).
Im Gegensatz zu <ref-law>, der den vorübergehenden Charakter der unter dem Titel einer therapeutischen Massnahme angeordneten Einzelunterbringung erwähnt, sieht lit. b keine zeitliche Begrenzung für die Einzelunterbringung vor, wenn sie zum Schutz des Eingewiesenen oder Dritter verfügt wurde (vgl. <ref-ruling> E. 3.1 publ. in Pra 2009 Nr. 16).
2.3.6. Nach <ref-law>, Art. 3 EMRK und Art. 7 UNO-Pakt II ist Folter und jede andere Art grausamer, unmenschlicher oder erniedrigender Behandlung oder Bestrafung verboten. Um unter diese Bestimmungen zu fallen, muss eine Behandlung ein Mindestmass an Schwere erreichen und körperliche Verletzungen oder intensive physische oder psychische Leiden mit sich bringen (<ref-ruling> E. 3.2.1; <ref-ruling> E. 2b; Urteile 6B_1094/2020 vom 26. Mai 2021 E. 3; 6B_794/2019 vom 12. September 2019 E. 2.3.1; je mit Hinweisen).
2.4. Es ist unbestritten, dass sich der Beschwerdeführer seit seiner Versetzung in die JVA Lenzburg am 5. August 2019 in der Sicherheitsabteilung befindet. Sodann ist nicht bestritten, dass er am 11. Februar 2020 aufgrund akuter Suizidalität in die Klinik für Forensische Psychiatrie der Psychiatrischen Dienste Aargau (PDAG) versetzt werden musste. Am 13. Februar 2020 erfolgte die Rückverlegung in die JVA Lenzburg. Vom 2. bis 17. März 2020 befandsich der Beschwerdeführer im Rahmen eines Time-Outs im Isolationszimmer der Forensischen Klinik der Universitären Psychiatrischen Kliniken (UPK) Basel. Aufgrund von Bauchschmerzen und Suizidalität wurde er am 5. Juni 2020 notfallmässig erneut in die Klinik für Forensische Psychiatrie der PDAG verlegt. Per 8. Juni 2020 erfolgte die Versetzung in das Isolationszimmer der Forensischen Klinik der UPK Basel und am 22. Juni 2020 die Rückverlegung in die JVA Lenzburg. Am 14. September 2020 musste der Beschwerdeführer wieder aufgrund akuter Suizidalität notfallmässig in die Klinik für Forensische Psychiatrie der PDAG und im Anschluss daran vom 17. bis 24. September 2020 in die Klinik für Forensik der UPK Basel verlegt werden. Von der SITRAK 1 der JVA Lenzburg wurde der Beschwerdeführer am 27. Oktober 2020 in die Sicherheitsabteilung A der JVA Bostadel versetzt, wo er sich auch zurzeit befindet. Diese musste ihn am 11. Dezember 2020 aufgrund akuter Suizidalität notfallmässig in die Klinik für Forensische Psychiatrie der PDAG verlegen. Am 15. Dezember 2020 fand die Rückverlegung in die Sicherheitsabteilung A der JVA Bostadel statt. Nach einem weiteren Suizidversuch am 1. März 2021 wurde der Beschwerdeführer wiederum in der Forensischen Klinik der UPK Basel hospitalisiert und dann wieder in die JVA Bostadel zurückverlegt (Urteil S. 2 ff. und S. 7; Beschwerde S. 5 f.).
2.5. Der Einwand des Beschwerdeführers, die vorinstanzliche Erwägung, wonach er den Massnahmenvollzug nach <ref-law> am 18. November 2019 im regulären Vollzug in der Sicherheitsabteilung der JVA Lenzburg angetreten habe, sei nachweislich falsch, denn in dieser Abteilung würden keine Massnahmen nach <ref-law> vollzogen (Beschwerde S. 5 Ziff. 3), ist unbehelflich. Bei dieser Feststellung der Vorinstanz handelt es sich lediglich um die korrekte Wiedergabe des Vollzugsauftrags des Amtes vom 7. Oktober 2020 für die JVA Bostadel (Urteil S. 5 E. 2.2; kantonale Akten act. 14). Nach dem Titel "Vollzug" wird darin ausgeführt: "Stat. Massnahme: Massnahmevollzug nach <ref-law>" und "Vollzugsregime: im regulären Vollzug, Sicherheitsabteilung". Nach dem Titel "Termine" steht: "Eintritt Institution: 27.10.2020", "Höch. Massn.: 17.11.2024", "Vollzugsbeginn: 18.11.2019" und "Bed. Entlassung mögl: Auf Antrag hin" (kantonale Akten act. 14).
Das Vorbringen erweist sich sodann als unbegründet, soweit der Beschwerdeführer damit geltend machen will, die stationäre therapeutische Massnahme habe (noch) nicht begonnen, weil in der Sicherheitsabteilung der JVA Lenzburg keine Massnahmen nach <ref-law> vollzogen würden bzw. weil in dieser Abteilung keine therapeutische Behandlung stattfinde. Gemäss Rechtsprechung des Bundesgerichts beginnt die Fünfjahresfrist gemäss <ref-law> - und damit faktisch auch die stationäre therapeutische Massnahme - mit deren rechtskräftigen gerichtlichen Anordnung, sofern dem Betroffenen nach der Massnahmeanordnung bis zum effektiven Behandlungsbeginn die Freiheit entzogen ist (<ref-ruling> E. 2.7.1 mit Hinweisen; <ref-ruling> E. 5.9). Dem Beschwerdeführer ist die Freiheit entzogen. Vorliegend bestätigte das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 18. November 2019 den Beschluss der ersten Instanz, wonach die ausgesprochenen Freiheitsstrafen zugunsten einer stationären therapeutischen Behandlung von psychischen Störungen aufzuschieben seien. Weder legt der Beschwerdeführer dar noch ist ersichtlich, dass dieser Entscheid nicht in Rechtskraft erwachsen ist. Folglich beruht der Freiheitsentzug des Beschwerdeführers auf der rechtskräftigen Anordnung der stationären therapeutischen Behandlung von psychischen Störungen, auch wenn seine therapeutische Behandlung (noch) nicht angefangen hat (vgl. BGE <ref-ruling> E. 5.8.1; Urteil 6B_1375/2020 vom 22. Februar 2021 E. 2.4, zur Publ. vorgesehen).
2.6. Die Vorinstanz erwägt zutreffend, dass <ref-law> eine ausreichende gesetzliche Grundlage für die Unterbringung des Beschwerdeführers in der Sicherheitsabteilung enthält. Dass sie diese Unterbringung als erforderlich erachtet, verletzt in Anbetracht der konkreten Umstände, insbesondere aufgrund der Selbst- und Fremdgefährdung des Beschwerdeführers, sodann weder Bundes- noch Konventionsrecht. Letztmals beging der Beschwerdeführer am 1. März 2021 einen Selbstmordversuch. Unter anderem legte er in seiner Zelle einen Brand (Urteil S. 11 E. 4.2). Die Entfachung eines Feuers im Gefängnis birgt ein grosses Gefährdungspotential, Brandlegungen sind gemeingefährlich (Urteil 6B_421/2019 vom 11. Juli 2019 E. 2.1). Die Unterbringung des Beschwerdeführers in der Sicherheitsabteilung dient damit sowohl seinem als auch dem Schutz von Dritten und ist insofern gerechtfertigt. Im Weiteren nimmt die Vorinstanz aber keine umfassende und sorgfältige Prüfung der Verhältnismässigkeit vor. Sie erwägt diesbezüglich lediglich, aufgrund seines wiederholt autoaggressiven Verhaltens und seiner anhaltenden krisenhaften Reaktion auf vorgenommene Öffnungen seines Settings erscheine die Massnahme, d.h. die Einzelunterbringung des Beschwerdeführers in der Sicherheitsabteilung, auch verhältnismässig (Urteil S. 12 E. 5). Dem vorinstanzlichen Entscheid lässt sich nicht rechtsgenügend entnehmen, weshalb sie diese Unterbringung des Beschwerdeführers weiterhin als verhältnismässig, insbesondere als zumutbar erachtet. Die Vorinstanz hält zwar fest, bis zur Überführung in eine geeignete Vollzugseinrichtung oder bis zum Abschluss des pendenten Verfahrens betreffend Beendigung der angeordneten Massnahme erscheine die Betreuung des Beschwerdeführers in der Sicherheitsabteilung A erforderlich und alternativlos (Urteil S. 12 E. 4). Im angefochtenen Entscheid wird jedoch beispielsweise nicht thematisiert, ob bzw. welche Bemühungen zur Überführung in eine geeignete Einrichtung erfolgten, insbesondere da nach dem letzten Suizidversuch des Beschwerdeführers Anfang März 2021 das Gesuch um (seine) Aufnahme im Pflegezentrum B._ [vorerst] nicht weiter behandelt bzw. das Aufnahmeverfahren bis auf Weiteres sistiert wurde (Urteil S. 7 E. 2.2), oder was der Stand des hängigen Verfahrens bzw. wann mit dessen Abschluss zu rechnen ist. Die Vorinstanz äussert sich ausserdem auch nicht zur konkreten Ausgestaltung der Unterbringung des Beschwerdeführers, insbesondere nicht zum aktuellen Regime in der JVA Bostadel, wo er sich seit dem 27. Oktober 2020 - abgesehen von kurzzeitigen Unterbrüchen - aufhält. Dies ist nicht nachvollziehbar, insbesondere weil der Beschwerdeführer schon im vorinstanzlichen Verfahren u.a. ausführen liess, seine Unterbringung sei als Isolationshaft zu qualifizieren und es bestehe kein Behandlungs- oder Betreuungskonzept, das die Perspektive einer Änderung dieses Zustands eröffnen würde (vorinstanzliche Akten, Rekursbegründung vom 26. Februar 2021 S. 3 f.). Bereits im vorinstanzlichen Verfahren wies der Beschwerdeführer weiter auf die Wechselwirkung zwischen Isolation und Suizidalität hin (Beschwerde S. 10 Ziff. 17; vorinstanzliche Akten, Rekursbegründung vom 26. Februar 2021 S. 6 f.). Indem sich die Vorinstanz nicht mit diesem Vorbringen auseinandersetzt, verletzt sie zudem den Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör.
2.7. Zusammenfassend verletzt die Vorinstanz <ref-law>, <ref-law> und <ref-law>, da sie nicht rechtsgenügend prüft bzw. begründet, ob bzw. inwiefern die Einzelunterbringung des Beschwerdeführers in der Sicherheitsabteilung einer Strafanstalt verhältnismässig ist. Die Kognition des Bundesgerichts ist in Tatsachenfragen auf Willkür beschränkt (Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG i.V.m. <ref-law>). Weil die Vorinstanz nicht die für die Beurteilung der Verhältnismässigkeit und der weiteren Rügen des Beschwerdeführers massgebenden tatsächlichen Feststellungen gemäss <ref-law> trifft, ist die Sache nicht liquid, daher ist eine reformatorische Entscheidung des Bundesgerichts (i.S.v. <ref-law>) vorliegend nicht möglich. Bei dieser Sachlage erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen des Beschwerdeführers einzugehen. Die Angelegenheit ist zur neuen Beurteilung bzw. Ergänzung der Begründung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Diese wird angehalten, dieses Verfahren, wie auch dasjenige betreffend bedingte Entlassung aus der stationären therapeutischen Massnahme (Verfahren VD.2020.260), nicht unnötig zu verzögern und in Berücksichtigung des Beschleunigungsgebots zeitnah neu zu entscheiden.
Schliesslich ist vorliegend mit Nachdruck darauf hinzuweisen, dass die zuständige Vollzugsbehörde dem Eingewiesenen grundsätzlich die nötige therapeutische Behandlung durch Fachpersonen zukommen lassen muss. Eine monatelange oder bald jahrelange Unterbringung in der Sicherheitsabteilung einer Strafanstalt, ohne die nötige therapeutische Betreuung, kann eine inadäquate Unterbringung darstellen. Der auf Resozialisierung ausgerichtete Massnahmevollzug darf nicht aufgrund von Sicherheitsüberlegungen mittel- oder langfristig ausgehöhlt werden. Dass der Beschwerdeführer möglicherweise weiterhin therapiebedürftig, aber nicht therapierfähig ist, darf weder dazu führen, dass eine Verwahrung angeordnet wird, obwohl kein genügend schweres Anlassdelikt vorliegt (Urteil 6B_1035/2019 vom 22. Oktober 2019 E. 1.7), noch dazu, dass er aus Sicherheitsgründen ohne Weiteres bis auf unbestimmte Zeit isoliert in der Sicherheitsabteilung einer Strafanstalt untergebracht wird.
3.
Die Beschwerde ist gutzuheissen und das vorinstanzliche Urteil aufzuheben. Da es an massgeblichen tatsächlichen Feststellungen fehlt, ist die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Der Mangel, der zur Gutheissung der Beschwerde führt, ist rein verfahrensrechtlicher Natur, weshalb auf das Einholen von Vernehmlassungen verzichtet werden kann (vgl. Urteil 6B_1147/2020 vom 26. April 2021 E. 4.2 mit Hinweisen). Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Basel-Stadt hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Die Entschädigung ist praxisgemäss seinem Rechtsvertreter auszurichten. Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, das Urteil des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 31. März 2021 aufgehoben und die Sache zur neuen Entscheidung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers für das bundesgerichtliche Verfahren eine Entschädigung von Fr. 3'000.-- auszurichten.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht, Dreiergericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. Juni 2021
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Jacquemoud-Rossari
Die Gerichtsschreiberin: Pasquini