Sachverhalt:
A.
Seit 2014 kontrollierte der Veterinärdienst des Kantons Luzern mehrmals die Tierhaltung bei A._, letztmals am 12. September 2018. Aufgrund der als tierschutzwidrig beurteilten Halteverhältnisse beschlagnahmte er die zwei Hunde "B._" und "C._" sowie ein Kaninchen, das umgehend euthanasiert werden musste. Mit Verfügung vom 12. Oktober 2018 verbot der Veterinärdienst des Kantons Luzern A._ die Haltung und Betreuung von Tieren ab 1. November 2018 auf unbestimmte Zeit. Zudem ordnete er an, dass ihr die Hunde nicht zurückgegeben werden.
B.
Gegen die Verfügung des Veterinärdienstes erhob A._ am 15. November 2018 Beschwerde beim Kantonsgericht Luzern. Am 24. Dezember 2018 beantragte der Veterinärdienst die Sistierung des Verfahrens sowie einen Entscheid über die beschlagnahmten Hunde. Mit Verfügung vom 22. Februar 2019 sistierte das Kantonsgericht das Beschwerdeverfahren, gab die beschlagnahmten Hunde zum Verkauf frei und untersagte die Euthanasierung der Hunde.
C.
C.a. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 1. April 2019 beantragt A._ dem Bundesgericht hauptsächlich, die beschlagnahmten Hunde seien bis zum Abschluss des Verfahrens in die Obhut einer von ihr bezeichneten Drittperson zu übertragen. Zudem ersuchte sie um Erteilung der aufschiebenden Wirkung und um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
C.b. Mit Verfügung vom 9. Mai 2019 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde hinsichtlich der Freigabe zum Verkauf des Hundes "C._" die aufschiebende Wirkung, nachdem der andere Hund am 8. April 2019 gestorben war. Der Veterinärdienst des Kantons Luzern und das Kantonsgericht Luzern schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 24. Juni 2019 hält A._ an ihren Anträgen fest.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegen die angefochtene Verfügung steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Verfügung (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, <ref-law>). Die Beschwerdeführerin ist zur Beschwerde legitimiert (<ref-law>) und die Beschwerde wurde form- und fristgerecht eingereicht (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG).
1.2. Angefochten ist ein Entscheid über vorsorgliche Massnahmen. Die Beschwerde ist deshalb nur zulässig, wenn der vorinstanzliche Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (<ref-law>). Da der Verkauf des Hundes auch bei einem günstigen Entscheid in der Sache nicht rückgängig gemacht werden kann, ist der nicht wieder gutzumachende Nachteil offensichtlich.
1.3. Mit der Beschwerde gegen Entscheide über vorsorgliche Massnahmen kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (<ref-law>), wobei eine qualifizierte Rügepflicht gilt (<ref-law>). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (<ref-law>), es sei denn, dieser sei offensichtlich unrichtig oder beruhe auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> (Art. 105 Abs. 2 bzw. <ref-law>).
2.
Die Beschwerdeführerin bringt vor, der Verkauf ihres Hundes verletze die Eigentumsgarantie (<ref-law>).
2.1. Der Entscheid über die Anordnung vorsorglicher Massnahmen setzt Dringlichkeit voraus, d.h. es muss sich als notwendig erweisen, die fraglichen Vorkehren sofort zu treffen. Sodann muss der Verzicht auf Massnahmen für den Betroffenen einen Nachteil bewirken, der nicht leicht wieder gutzumachen ist, wofür ein tatsächliches, insbesondere wirtschaftliches Interesse genügt. Erforderlich ist schliesslich, dass die Abwägung der verschiedenen Interessen den Ausschlag für den einstweiligen Rechtsschutz gibt und dieser verhältnismässig erscheint. Der durch den Endentscheid zu regelnde Zustand soll weder präjudiziert noch verunmöglicht werden. Vorsorgliche Massnahmen beruhen auf einer bloss summarischen Prüfung der Sach- und Rechtslage. Die Hauptsachenprognose kann dabei berücksichtigt werden, wenn sie eindeutig ist; bei tatsächlichen oder rechtlichen Unklarheiten drängt sich hingegen Zurückhaltung auf, weil in diesem Fall die erforderlichen Entscheidgrundlagen im Hauptverfahren erst noch beschafft werden müssen (<ref-ruling> E. 2.2 S. 155; <ref-ruling> E. 3 S. 137 f.).
2.2. Die Vorinstanz hat erwogen, aufgrund der Aktenlage bestünden Zweifel, dass die Beschwerdeführerin ihre Hunde und Kaninchen über kurz oder lang tierschutzkonform halten werde. Die finanzielle Lage der Beschwerdeführerin lasse die Vermutung zu, dass sie nicht in der Lage sein werde, dem Gemeinwesen die Kosten für Unterbringung und Pflege der Tiere zu ersetzen. Damit bestehe für das Gemeinwesen für den Fall des Unterliegens der Beschwerdeführerin ein erhebliches Ausfallrisiko, das ihm nicht zugemutet werden könne. Hinter diesem öffentlichen Interesse habe die affektive Beziehung der Beschwerdeführerin zu ihrem Hund zurückzutreten. Eine Unterbringung des Hundes an eine ihr nahe stehende Person berge das Risiko, dass die Beschwerdeführerin so wieder an das Tier gelangen könne. Deshalb sei der Veterinärdienst zu ermächtigen, den Hund zu verkaufen.
2.3.
2.3.1. Die Vorinstanz begründet das öffentliche Interesse am Verkauf des verbliebenen Hundes hauptsächlich mit den Kosten für die Unterbringung und Pflege, die vom Gemeinwesen vorab getragen und von der Beschwerdeführerin wahrscheinlich nicht ersetzt werden. Das Kantonsgericht hat indessen keine Feststellungen dazu getroffen, wie hoch die Unterbringungskosten sind. Aus der Stellungnahme des Veterinärdienstes vom 17. Mai 2019 geht hervor, dass die Kosten ungefähr bei Fr. 750.--/Monat liegen. Die Kosten sind damit zwar nicht vernachlässigbar gering, aber auch nicht derart hoch, dass sie ein erhebliches öffentliches Interesse am Verkauf des Hundes begründen. Mit dem Tierwohl dagegen argumentiert das Kantonsgericht kaum. Zwar nimmt es in allgemeiner Weise auf das Tierwohl Bezug; in der Subsumtion ist davon allerdings keine Rede mehr. Und selbst wenn es als notorisch gelten kann, dass längere Übergangslösungen mit Blick auf das Tierwohl nicht ideal sind, kann daraus kein erhebliches öffentliches Interesse an einem sofortigen Verkauf abgeleitet werden, namentlich weil es auch bei vermeintlich definitiven Lösungen zu erneuten Umplatzierungen kommen kann. Entscheidend ist vielmehr, dass der Hund jederzeit angemessen betreut und gepflegt wird, unabhängig davon, ob die Betreuungssituation vorübergehender oder dauerhafter Natur ist. Das öffentliche Interesse am sofortigen Verkauf des Hundes ist deshalb nicht als besonders hoch einzustufen.
2.3.2. Die Beschwerdeführerin dagegen besitzt ein erhebliches persönliches Interesse daran, dass sie Eigentümerin ihres Hundes bleibt, bis über das Tierhalteverbot und die Beschlagnahme ihres Hundes rechtskräftig entschieden worden ist. In Bezug auf die Beschlagnahme des Hundes würde ein sofortiger Verkauf das hängige Verfahren präjudizieren und den Rechtsschutz verunmöglichen, was nur in absoluten Ausnahmefällen zulässig ist. Dabei ist unbeachtlich, dass das Kantonsgericht die Wiederherstellung der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde in Bezug auf das Hundehalteverbot (und die Beschlagnahme) verweigert hat und die Beschwerdeführerin deshalb zumindest bis zum Abschluss des Verfahrens vor Kantonsgericht keine Hunde halten darf. Weiter geht das Kantonsgericht offenbar selbst nicht davon aus, dass der Sachverhalt liquide ist und eine eindeutige Hauptsacheprognose zuungunsten der Beschwerdeführerin besteht, weil in diesem Fall die Sistierung des Verfahrens nicht notwendig wäre und das Beschwerdeverfahren zügig abgeschlossen werden könnte, zumal weder das Tierhalteverbot noch die Beschlagnahme eine strafrechtliche Verurteilung voraussetzen (Art. 23 f. TSchG).
2.3.3. Schliesslich kommt hinzu, dass die Beschwerdeführerin mehrere Personen angeführt hat, die ihren Hund während des Verfahrens ohne Kosten für das Gemeinwesen betreuen würden. Diese Alternative hat das Kantonsgericht nicht vertieft geprüft. Der Einwand, die persönliche Nähe zur Beschwerdeführerin berge das Risiko, dass sie so wieder an den Hund gelangen könnte, mag auf ihre beiden Kinder zutreffen, die in derselben Gemeinde wie die Beschwerdeführerin wohnen. Mit Bezug auf die im Kanton Graubünden lebende D._, die Präsidentin des Vereins E._ ist, kann indessen bereits aufgrund der räumlichen Distanz nicht ohne Weiteres gesagt werden, dass diese Massnahme untauglich wäre, um das Tierwohl zu wahren. Ebensowenig kann D._ die Eignung zur Hundehaltung abgesprochen werden, nur weil sie sich für die Beschwerdeführerin im laufenden Verfahren eingesetzt hat.
2.4. Zusammenfassend vermag das öffentliche Interesse am sofortigen Verkauf das persönliche Interesse der Beschwerdeführerin, bis zum rechtskräftigen Entscheid über die Beschlagnahme Eigentümerin des Hundes zu bleiben, nicht zu überwiegen. Der Eingriff in das Eigentumsrecht der Beschwerdeführerin ist nicht verhältnismässig und verstösst gegen die in <ref-law> verankerte Eigentumsgarantie (<ref-law>). In Gutheissung der Beschwerde ist Dispositivziffer 2.1 des angefochtenen Entscheids aufzuheben und die Sache zum Neuentscheid zurückzuweisen. Das Kantonsgericht wird vertieft zu prüfen haben, ob die Übertragung des Hundes in die Obhut einer Drittperson während des hängigen Verfahrens mit Blick auf das Tierwohl infrage kommt. Andernfalls ist der Hund wie bis anhin behördlich unterzubringen, wobei der mögliche Kostenausfall des Gemeinwesens hinzunehmen ist.
3.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (<ref-law>). Der unterliegende Kanton Luzern hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren angemessen zu entschädigen (<ref-law>). Damit wird das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, Dispositivziffer 2.1 der Verfügung des Kantonsgerichts Luzern vom 22. Februar 2019 aufgehoben und die Sache zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Der Kanton Luzern hat der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Bundesamt für Lebensmittelsicherheit und Veterinärwesen BLV schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger