Faits :
A.
Saisi d'une plainte pénale en violation de domicile de l'Université de Genève, le Ministère public du canton de Genève a ouvert une instruction et, le lendemain, émis un " avis de recherche et d'arrestation " le 28 mai 2019 à l'encontre de A._. Le 4 décembre 2019, l'Université de Genève a demandé l'intervention de la police car A._ se trouvait dans le bâtiment d'Uni-Mail. Elle a déposé une nouvelle plainte pénale pour violation de domicile. La police a emmené l'intéressé pour audition et l'a mis à disposition du ministère public, qui l'a libéré le lendemain, après qu'une ordonnance pénale lui eut été notifiée pour les deux infractions dénoncées. L'avis de recherche et d'arrestation a été révoqué le même jour.
B.
Par arrêt du 29 janvier 2020, la Chambre pénale de recours de la Cour de justice du canton de Genève a rejeté le recours formé par A._ à l'encontre de l'avis de recherche et d'arrestation émis contre lui le 28 mai 2019 par le ministère public et révoqué le 5 décembre 2019. Elle a mis les frais de la procédure de recours, fixés à 800 fr., à la charge de A._.
C.
A la suite de l'opposition de A._ à l'ordonnance pénale du 5 décembre 2019, le ministère public a rendu une ordonnance de classement le 15 juin 2020. Il a considéré que les deux plaintes déposées par l'Université de Genève n'étaient pas valables et qu'en conséquence, la procédure devait être classée. Il a mis les frais de procédure à la charge de A._ au motif que celui-ci avait provoqué l'ouverture des poursuites.
D.
Par arrêt du 3 septembre 2020, la Chambre pénale d'appel et de révision de la Cour de justice du canton de Genève a déclaré irrecevable la demande de révision formée par A._ à l'encontre de l'arrêt du 29 janvier 2020 de la Chambre pénale de recours précité. Elle l'a condamné aux frais de la procédure d'appel par 595 fr., comprenant un émolument de 500 francs.
E.
Par arrêt du 29 septembre 2020, la C hambre pénale de recours de la Cour de justice a admis le recours formé par A._ à l'encontre de l'ordonnance de classement du ministère public du 15 juin 2020 en tant qu'elle condamnait l'intéressé aux frais de la procédure préliminaire. Elle a laissé les frais de la procédure de recours à la charge de l'État.
F.
Par une seule et même écriture, A._ déclare faire recours contre les arrêts du 29 janvier 2020 et du 29 septembre 2020 de la Chambre pénale de recours ainsi que contre l'arrêt du 3 septembre 2020 de la Chambre pénale d'appel et de révision. Il conclut à ce que " toute idée de fautivité ou d'illicéité de ma part soit effacée et que je sois dédommagé comme je l'ai demandé " et à ce que les frais de procédure auxquels il a été condamné dans les arrêts du 29 janvier 2020 et du 3 septembre 2020 soient annulés. Il sollicite par ailleurs le bénéfice de l'assistance judiciaire, la désignation d'un défenseur d'office et l'octroi de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral, ainsi que la transmission d'une copie du dossier.
G.
Par courrier du 13 octobre 2020, la Cour de droit pénal du Tribunal fédéral a rejeté la demande de consultation du dossier formée par A._, précisant que le dossier fédéral n'était composé à ce jour que de son écriture du 6 octobre 2020 et de ses annexes, ainsi que des avis dont il avait reçu copie.

Considérant en droit :
1.
Le recourant requiert la désignation d'un avocat. En application de l'art. 41 al. 1 LTF, l'attribution d'un avocat par le Tribunal fédéral suppose une incapacité totale de la partie de procéder elle-même, le principe étant qu'elle est tenue de veiller elle-même à ce que son écriture réponde aux exigences légales de motivation (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF) et de mandater, au besoin, un avocat de son choix qui sollicitera l'octroi de l'assistance judiciaire (cf. arrêts 6B_1207/2020 du 24 novembre 2020 consid. 4; 6B_1156/2020 du 2 novembre 2020 consid. 4; 6B_13/2015 du 11 février 2015 consid. 3 et les références citées). En l'espèce, le recourant ne paraît pas manifestement incapable de procéder au vu de ses écritures, si bien qu'il n'y a pas lieu de lui attribuer un défenseur au titre de l'art. 41 al. 1 LTF.
2.
Aux termes de l'art. 100 al. 1 LTF, le recours contre une décision doit être déposé devant le Tribunal fédéral dans les trente jours qui suivent la notification de l'expédition complète.
En l'espèce, la décision de la Chambre pénale de recours de la Cour de justice rendue le 29 janvier 2020 a été notifiée au recourant le 8 février 2020, de sorte qu'il disposait d'un délai pour recourir échéant le 9 mars 2020. Envoyé par pli postal du 7 octobre 2020, le recours à l'encontre de la décision du 29 janvier 2020 est tardif.
Au vu de ce qui précède, l'irrecevabilité du recours contre l'arrêt cantonal du 29 janvier 2020 s'avère manifeste. En revanche, les recours formés contre les arrêts du 3 septembre 2020, notifié le 15 septembre 2020, et du 29 septembre 2020, notifié le 3 octobre 2020, ont été formés dans les délais et sont donc recevables sous cet angle.
3.
Conformément à l'art. 42 al. 1 LTF, le mémoire de recours doit être motivé et contenir des conclusions. Les motifs doivent exposer succinctement en quoi la décision attaquée viole le droit (art. 42 al. 2 LTF). Selon la jurisprudence, pour répondre à cette exigence, la partie recourante est tenue de discuter au moins sommairement les considérants de l'arrêt entrepris (<ref-ruling> consid. 2 p. 88 ss et 115 consid. 2 p. 116 s.; <ref-ruling> consid. 2.1 p. 245 s.); en particulier, la motivation doit être topique, c'est-à-dire se rapporter à la question juridique tranchée par l'autorité cantonale (<ref-ruling>; arrêt 6B_970/2017 du 17 octobre 2017 consid. 4). Par ailleurs, le Tribunal fédéral ne connaît de la violation des droits fondamentaux que si ce moyen est invoqué et motivé par le recourant ( art. 106 al. 2 LTF; <ref-ruling> consid. 1.1 p. 503), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (<ref-ruling> consid. 2.4 p. 368).
Il sera examiné ci-après dans quelle mesure les recours contre les arrêts du 3 septembre 2020 (consid. 4 infra) et du 29 septembre 2020 (consid. 5 infra) respectent ces exigences. Le cas échéant, il sera entré en matière sur le fond.
4.
Dans son arrêt du 3 septembre 2020, la cour cantonale a constaté que le recourant demandait la révision de l'arrêt ACPR/66/2020, rendu le 29 janvier 2020, par lequel la Chambre pénale de recours de la Cour de justice avait rejeté son recours contre l'avis de recherche et d'arrestation émis contre lui le 28 mai 2019 par le ministère public. Elle a considéré que la décision dont la révision était requise était de nature procédurale et n'avait pas mis un terme à la procédure pénale en cause. En conséquence, elle ne pouvait pas faire l'objet d'une demande de révision, laquelle était ainsi irrecevable.
4.1. Le recourant indique que l'un des juges qui a participé à l'arrêt du 3 septembre 2020 figurait également dans la composition de la cour cantonale qui a rendu un arrêt du 25 mai 2020. En se limitant à cette simple observation, le recourant ne formule pas de grief suffisamment motivé et, partant, recevable (cf. consid. 3 supra).
4.2. Le recourant fait valoir que la Chambre pénale d'appel et de révision aurait dû transmettre sa demande de révision sans frais à l'autorité compétente pour traiter une telle demande, " en la convertissant éventuellement en une demande de reconsidération ou un recours hors délai pour moyen de recours venant d'être découvert ". Or, l'irrecevabilité n'a pas été prononcée pour défaut de compétence. Au surplus, le Code de procédure pénale ne prévoit pas de voie de droit, hormis celle de la révision, par laquelle l'autorité judiciaire qui a rejeté un recours devrait réexaminer le bien-fondé de sa décision. Ce moyen est ainsi sans fondement.
4.3. Le recourant soutient qu'en vertu de l'art. 6 par. 1 CEDH, il doit exister la possibilité d'obtenir la révision d'une décision erronée. Cependant, il n'expose pas de manière détaillée et circonstanciée, conformément aux exigences accrues de motivation en matière de violation de droit fondamentaux (cf. consid. 3 supra) en quoi cette disposition serait violée en l'espèce. Ce grief est donc irrecevable. Au demeurant, il sied de relever que seuls peuvent faire l'objet d'une demande en révision les jugements entrés en force, soit ceux qui tranchent des questions sur le fond (art. 80 al. 1 CPP) en matière de crimes, délits ou contraventions. Les décisions de nature purement procédurale ne sont pas susceptibles de révision (cf. arrêt 1F_15/2016 du 25 juillet 2017 consid. 5.2; Marianne Heer, in Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 4ème éd. 2019, n° 27 ad art. 410 CPP; Laura Jacquemoud-Rossari, in Commentaire romand, Code de procédure pénale suisse, 2e éd. 2019, n° 16 ad art. 410 CPP). Aussi, comme la cour cantonale l'a jugé, la décision du 29 janvier 2020 écartant le recours formé à l'encontre de l'avis de recherche et d'arrestation étant de nature purement procédurale, elle ne pouvait pas faire l'objet d'une demande de révision. Le grief du recourant est donc infondé, dans la mesure de sa recevabilité.
4.4. Le recourant soutient par ailleurs que la cour cantonale n'a pas répondu à sa demande d'octroi de l'assistance judiciaire et de désignation d'un avocat d'office. Cependant, il ne démontre aucunement avoir formulé une telle demande, sur laquelle la cour cantonale aurait omis de statuer. Il ne motive donc pas à satisfaction de droit un grief de déni de justice (cf. consid. 3 supra). Son grief est ainsi irrecevable.
4.5. Le recourant conteste la mise à sa charge des frais de la procédure.
Contrairement à ce que semble penser le recourant, le fait qu'il ait obtenu gain de cause dans l'arrêt du 29 septembre 2020 est sans influence sur la répartition des frais décidée dans l'arrêt du 3 septembre 2020. A teneur de l'art. 428 al. 1 CPP les frais de la procédure de recours sont mis à la charge des parties dans la mesure où elles ont obtenu gain de cause ou succombé. Attendu que la demande de révision du recourant a été déclarée irrecevable dans l'arrêt du 3 septembre 2020, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en mettant les frais de cette procédure à sa charge.
4.6. Pour le surplus, les développements du recourant, pour autant qu'on les comprenne, ne permettent pas d'identifier d'autre grief de violation du droit (cf. art. 95 LTF) à l'encontre de la décision par laquelle la cour cantonale a déclaré sa demande de révision irrecevable. Il est encore précisé que l'objet du litige est circonscrit à dite irrecevabilité et que le recourant n'est par conséquent pas admis à discuter les motifs de la décision contre laquelle sa demande de révision a été écartée.
Compte tenu de ce qui précède, le recours formé à l'encontre de l'arrêt du 3 septembre 2020 est infondé, dans la mesure de sa recevabilité.
5.
Le recourant s'en prend à l'arrêt du 29 septembre 2020, par lequel la cour cantonale a annulé l'ordonnance de classement du 15 juin 2020 en tant qu'elle le condamnait aux frais de la procédure préliminaire. A teneur de ce dispositif, le recourant, qui a obtenu gain de cause, n'a pas d'intérêt juridique à l'annulation de cet arrêt (cf. art. 81 al. 1 LTF). Toutefois, dans ses considérants, la cour cantonale s'est prononcée sur les autres conclusions formulées par le recourant. Il a dès lors un intérêt à discuter leur rejet.
5.1. Le recourant réitère sa demande d'indemnisation à hauteur de 10 millions de francs.
La cour cantonale a considéré que l'indemnisation demandée était exorbitante. Les souffrances psychiques éventuellement endurées n'avaient pas dépassé celles qui étaient inhérentes à toute procédure pénale. L'avis de recherche et d'arrestation émis contre lui après le dépôt de la première plainte pénale avait été jugé conforme au droit. Les mesures de contrainte ordonnées à l'occasion de son appréhension du 4 décembre 2019 n'étaient pas illicites, au sens de l'art. 431 al. 1 CPP.
Le recourant se contente d'exposer les inconvénients et dommages subis notamment à raison de son appréhension policière et de sa garde à vue, mais n'indique nullement en quoi les considérations de la cour cantonale, qui l'ont conduite à rejeter sa demande d'indemnisation, seraient contraires au droit. Il ne soulève ainsi pas de grief recevable au sens de l'art. 42 al. 2 LTF.
5.2. Le recourant fait valoir que la composition des juges qui ont rendu l'arrêt du 29 septembre 2020 est la même que celle de l'arrêt du 29 janvier 2020. Il n'en tire cependant aucun grief, de sorte qu'il n'y a pas matière à examiner ce point plus avant.
5.3. Le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir répondu à sa demande visant la désignation d'un défenseur d'office et de lui avoir refusé l'assistance judiciaire.
En l'espèce, il ressort de l'arrêt attaqué que la cour cantonale a dûment statué sur la demande de défense d'office. Elle a considéré, en se fondant sur l'art. 132 al. 1 let. b CPP, que l'assistance d'un avocat n'était pas nécessaire dans la mesure où le recourant avait obtenu gain de cause en personne et que l'on ne percevait pas en quoi telle assistance eût amélioré ses chances de succès. Ici également, le recourant n'élève aucune critique recevable quant à l'appréciation de la cour cantonale, de sorte que son grief est irrecevable (cf. consid. 3 supra).
5.4. Enfin, le recourant soutient que la cour cantonale aurait dû lui allouer des dépens en dédommagement du temps qu'il avait consacré à la rédaction de différents actes de procédure. Or, comme la cour cantonale l'a relevé, le recourant, qui a procédé sans avocat, n'a ni allégué ni établi quelle dépense particulière il aurait eu à supporter en raison de la procédure de recours, étant précisé que les frais de port pour expédier opposition et recours étaient des débours négligeables. En outre, le temps qu'il a lui-même consacré à la rédaction des actes de procédure n'apparaît pas aller à ce point au-delà de la normale qu'il puisse en soi constituer un dommage qui devrait faire l'objet d'une indemnisation au sens de l'art. 429 al. 1 let. a CPP (arrêt 6B_1125/2016 du 20 mars 2017 consid. 2.2). Le grief est infondé.
5.5. Pour le reste, l'essentiel des développements du recourant est consacré à son litige avec l'Université de Genève. Le prénommé s'en prend également à diverses décisions cantonales qui ne font pas l'objet de l'arrêt du 29 septembre 2020. L'ensemble de ces critiques est exorbitant à l'objet du litige circonscrit par l'arrêt attaqué et, partant, irrecevable. Il s'ensuit que le recours formé à l'encontre de la décision du 29 septembre 2020 est rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
6.
En bref, le recours formé à l'encontre de l'arrêt du 29 janvier 2020 est irrecevable car tardif (cf. consid. 2 supra), tandis que les recours formés à l'encontre de l'arrêt du 3 septembre 2020 et du 29 septembre 2020 sont rejetés, dans la faible mesure de leur recevabilité (cf. consid. 4 et 5 supra). Comme ils étaient d'emblée voués à l'échec, l'assistance judiciaire devra être refusée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant supportera les frais de la cause, qui seront fixés en tenant compte de sa situation financière qui n'apparaît pas favorable (art. 65 al. 2 et 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours formé à l'encontre de l'arrêt du 29 janvier 2020 est irrecevable.
2.
Les recours formés à l'encontre des arrêts du 3 septembre 2020 et du 29 septembre 2020 sont rejetés dans la mesure où ils sont recevables.
3.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
4.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'200 fr., sont mis à la charge du recourant.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale d'appel et de révision, et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 15 janvier 2021
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Juge présidant : Denys
La Greffière : Musy