Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geboren 1956) ist türkischer Staatsangehöriger kurdischer Abstammung. Er reiste 1982 in die Schweiz ein, ersuchte erfolglos um Asyl und erhielt zuerst eine Aufenthaltsbewilligung aus humanitären Gründen und im Jahr 2002 die Niederlassungsbewilligung. Seine seit 1997 von ihm geschiedene Ehefrau und die gemeinsamen Töchter (geboren 1990 und 1991) erlangten im Jahr 2004 das Schweizer Bürgerrecht. Nachdem A._ mehrfach straffällig geworden und u.a. wegen versuchter vorsätzlicher Tötung mit einer Freiheitsstrafe von fünf Jahren bestraft worden war, widerrief das Migrationsamt des Kantons Zürich am 13. Mai 2015 seine Niederlassungsbewilligung und wies ihn aus der Schweiz weg. Die dagegen erhobenen Rechtsmittel blieben erfolglos; zuletzt wies das Bundesgericht die Beschwerde mit Urteil 2C_53/2016 vom 23. Juni 2016 ab.
A.b. Am 8. Januar 2016 reichte A._ ein neues Asylgesuch ein, welches am 17. August 2018 vom Staatssekretariat für Migration abgewiesen wurde. Die dagegen erhobene Beschwerde ist offenbar immer noch vor Bundesverwaltungsgericht hängig.
A.c. Am 31. Dezember 2018 ersuchte A._ um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Das Migrationsamt des Kantons Zürich trat auf das Gesuch am 20. Februar 2019 nicht ein. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 13. Juni 2019 ab. Das daraufhin angerufene Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies am 19. Juli 2019 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit ab und setzte A._ eine Frist von 20 Tagen zur Leistung eines Kostenvorschusses an. Eine dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil 2C_711/2019 vom 1. November 2019 ab. Da der Kostenvorschuss nicht fristgerecht bezahlt worden war, trat das Verwaltungsgericht am 25. November 2019 auf die Beschwerde nicht ein.
A.d. Auf ein erneutes Wiedererwägungsgesuch vom 4. Mai 2020 trat das Migrationsamt am 12. Mai 2020 in Briefform nicht ein.
B.
Am 9. Juni 2020 stellte A._ ein erneutes Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, auf welches das Migrationsamt des Kantons Zürich am 23. Juli 2020 nicht eintrat. Zugleich hielt es fest, dass sich A._ bis zum rechtskräftigen Abschluss des hängigen Asylverfahrens weiterhin in Zürich aufhalten dürfe. Die dagegen erhobenen kantonalen Rechtsmittel wurden abgeweisen (Rekursentscheid der Sicherheitsdirektion vom 24. September 2020; Urteil des Verwaltungsgerichts vom 16. Dezember 2020).
C.
A._ erhebt am 10. Februar 2021 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids sei das Migrationsamt anzuweisen, das Gesuch vom 9. Juni 2020 materiell zu behandeln. Zudem beantragt er die Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung. Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde.

Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten (<ref-law>) gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) ist nur zulässig, wenn auf die angestrebte Aufenthaltsbewilligung ein bundes- oder völkerrechtlicher Anspruch besteht (<ref-law>).
1.1. Der Beschwerdeführer beruft sich auf einen Aufenthaltsanspruch gestützt auf Art. 8 EMRK; er lebe seit bald 39 Jahren in der Schweiz und pflege hier sein Familien- und Privatleben. Er macht indessen nicht geltend, er habe eine in der Schweiz gefestigt aufenthaltsberechtigte Kernfamilie (Ehegatte, minderjährige Kinder); ebenso wenig beruft er sich darauf, dass zwischen ihm und seinen längst erwachsenen Töchtern ein besonderes Abhängigkeitsverhältnis im Sinne der Rechtsprechung (<ref-ruling> E. 6.1) bestünde, das zu einem auf das Familienleben gestützten Aufenthaltsanspruch führen könnte.
1.2. Soweit sich der Beschwerdeführer auf ein Aufenthaltsrecht gemäss Art. 8 EMRK (Privatleben) gestützt auf seinen langjährigen Aufenthalt in der Schweiz (<ref-ruling>) beruft, ist zu bemerken, dass dieses Aufenthaltsrecht mit dem Urteil des Bundesgerichts vom 23. Juni 2016 rechtskräftig (<ref-law>) beendet wurde. Seither stützt sich die Anwesenheit des Beschwerdeführers in der Schweiz einzig auf das prozedurale Anwesenheitsrecht gemäss Asylrecht (<ref-law>). Wird in der Folge ein neues Bewilligungsgesuch gestellt, geht es nicht darum, das Urteil des Bundesgerichts abzuändern, sondern um eine neue Bewilligung. Wird dieses Gesuch bewilligt, so lebt damit nicht die frühere, rechtskräftig aufgehobene Bewilligung wieder auf, sondern es handelt sich um eine neue Bewilligung, die voraussetzt, dass im Zeitpunkt ihrer Erteilung die dannzumal geltenden Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt sind (Urteile 2C_885/2020 vom 1. Dezember 2020 E. 1.2.1; 2C_828/2020 vom 24. November 2020 E. 1.2.1; 2C_910/2018 vom 23. Oktober 2019 E. 4; 2C_883/2018 vom 21. März 2019 E. 4.1; 2C_876/2013 vom 18. November 2013 E. 3.1). Da das Bundesgericht im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nur Anspruchsbewilligungen prüfen kann, ist die Beschwerde nur zulässig, wenn aktuell ein Rechtsanspruch auf die neue Bewilligung besteht (Urteile 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 2.2; 2C_221/2020 vom 19. Juni 2020 E. 1.2.1; 2D_37/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 2.2; 2C_644/2014 vom 9. Februar 2015 E. 1.3). Andernfalls ist nur die Verfassungsbeschwerde zulässig (Urteil 2C_183/2016 vom 26. Mai 2016 E. 1.2.3). Ob vorliegend die Beschwerde als solche in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten oder als subsidiäre Verfassungsbeschwerde entgegen zu nehmen ist, kann angesichts des Ausgangs des Verfahrens offen bleiben (vgl. Urteile 2D_30/2020 vom 16. November 2020 E. 1.3.2; 2C_572/2020 vom 22. Oktober 2020 E. 1.3).
2.
Streitgegenstand des vorliegenden Verfahrens bildet einzig die Frage, ob das Migrationsamt auf das vom Beschwerdeführer gestellte Gesuch um Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung zu Recht nicht eingetreten ist. Der Beschwerdeführer macht einen Anspruch auf Wiedererwägung geltend.
2.1. Ist eine bisherige Bewilligung rechtskräftig widerrufen worden, kann in der Folge grundsätzlich jederzeit ein neues Bewilligungsgesuch eingereicht werden. Das Stellen eines neuen Gesuchs darf jedoch nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltungsbehörde ist von Verfassungs wegen (<ref-law>) nur verpflichtet, auf ein neues Gesuch einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem früheren Entscheid wesentlich geändert haben oder wenn der Gesuchsteller erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihm im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für ihn rechtlich oder tatsächlich unmöglich war oder keine Veranlassung bestand (<ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 2.1 S. 181), oder wenn seither eine angemessene Zeitdauer - in der Regel fünf Jahre - verstrichen ist (Urteile 2C_577/2020 vom 25. September 2020 E. 2.4.1; 2C_253/2017 vom 30. Mai 2017 E. 4.3; 2C_1224/2013 vom 12. Dezember 2014 E. 5.1.2; 2C_1170/2012 vom 24. Mai 2013 E. 3.4.2).
2.2. Soweit sich der Beschwerdeführer auf seine langjährige Anwesenheit in der Schweiz, seine hiesige familiäre und soziale Verwurzelung und die Schwierigkeiten seiner Reintegration in der Türkei beruft, so waren diese Aspekte im Verfahren um Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung zu thematisieren (siehe Urteil 2C_53/2016 vom 23. Juni 2016 E. 4), wurden sie rechtskräftig beurteilt (<ref-law>) und könnten sie nur im Rahmen einer Revision (<ref-law>) dieses Urteils wieder geprüft werden (vgl. Urteil 2C_13/2020 vom 8. Mai 2020 E. 5.3.1). Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers besteht im aktuellen Verfahren kein Raum, diese Überprüfung im Rahmen einer umfassenden Interessenabwägung neu vorzunehmen. Zu prüfen ist einzig, ob seit diesem Urteil ein Anspruch auf eine neue Bewilligung entstanden ist (vorne E. 1.2; Urteil 2C_663/2020 vom 2. März 2021 E. 2.3).
2.3. Da das Bundesgericht nur Anspruchsbewilligungen beurteilt (vorne E. 1), kann auch ein Antrag auf Neubeurteilung vor Bundesgericht nur erfolgreich sein, wenn auf die angestrebte neue Bewilligung ein Anspruch besteht; die Rechtsprechung, wonach nach einem bestimmten Zeitablauf Anspruch auf eine neue Beurteilung und gegebenenfalls auf Erteilung einer neuen Bewilligung besteht (vorne E. 2.1), bezieht sich auf Personen, die grundsätzlich nach wie vor einen (allenfalls nach Art. 62 oder 63 AIG einschränkbaren) Rechtsanspruch auf eine Bewilligung haben; sie kann aber nicht dazu führen, dass ein Bewilligungsanspruch geschaffen würde, der materiellrechtlich nicht besteht (Urteil 2D_37/2018 vom 29. Oktober 2018 E. 2.2).
2.4. Der Beschwerdeführer macht einen Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 8 EMRK und <ref-ruling> geltend, wonach nach einer rechtmässigen Anwesenheit von zehn Jahren die Beendigung des Aufenthalts besonderer Gründe bedarf, da nach dieser Zeitspanne regelmässig eine gute Integration vorausgesetzt werden kann. Vorliegend geht es aber nicht um eine Verlängerung einer Aufenthaltsbewilligung: Vielmehr wurde die frühere Niederlassungsbewillligung rechtskräftig widerrufen. Die Rechtsprechung <ref-ruling> bezieht sich auf Fallkonstellationen, in denen es um die Beendigung bzw. Nichtverlängerung eines Aufenthaltsrechts geht, nicht aber - wie vorliegend - um dessen (neue) Begründung nach rechtskräftiger Beendigung der früheren Aufenthaltsberechtigung (Urteile 2C_123/2020 vom 25. Juni 2020 E. 2.4.2; 2C_221/2020 vom 19. Juni 2020 E. 1.2; 2C_979/2019 vom 7. Mai 2020 E. 5; 2C_25/2020 vom 18. März 2020 E. 1.3 und 1.4; 2C_819/2018 vom 13. Februar 2020 E. 1.3).
2.5. Soweit der Beschwerdeführer eine drohende Gefährdung in der Türkei geltend macht, so ist diese im Rahmen des hängigen Asylverfahrens zu beurteilen. Wird in jenem Verfahren dem Beschwerdeführer Asyl gewährt, so wird er Anspruch auf eine Aufenthaltsbewilligung haben (<ref-law>). Andernfalls vermag die Situation in der Türkei keinen Aufenthaltsanspruch des Beschwerdeführers zu begründen und es besteht kein Anlass für eine umfassende Interessenabwägung, wie sie vorzunehmen wäre, wenn es um die Einschränkung oder Beendigung eines bestehenden Aufenthaltsrechts ginge.
3.
Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet, soweit darauf einzutreten ist. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtsprechung erweist sich als unbegründet, da die Beschwerde, die weitgehend auf eine unzulässige Neubeurteilung des mit bundesgerichtlichem Urteil rechtskräftig Entschiedenen abzielt, aussichtslos war (<ref-law>). Der Beschwerdeführer trägt die Kosten des Verfahrens (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. April 2021
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger