Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1996) ist der Sohn der geschiedenen Eltern B._ und C._. Er wohnt bei seiner Mutter und studiert... an der Universität D._.
In seiner am 14. Dezember 2015 beim Regionalgericht Bern-Mittelland eingereichten Klage beantragte A._, sein Vater sei zu verurteilen, ihm ab Dezember 2014 einen monatlichen Unterhaltsbeitrag von Fr. 1'500.-- zzgl. Ausbildungszulagen bis zum Abschluss der ersten ordentlichen Ausbildung zu bezahlen. Zudem sei der Vater zu verurteilen, ausserordentliche Unterhaltsbeiträge von Fr. 25'000.-- für eine Kiefer- und Zahnkorrektur und Fr. 5'900.-- für den Erwerb des Führerscheins zu bezahlen. Mit Urteil vom 28. März 2017 gab das Regionalgericht Bern-Mittelland der Klage auf Volljährigenunterhalt im Umfang von monatlichen Beiträgen in der Höhe von Fr. 600.-- statt. Ausserdem verpflichtete das Regionalgericht den Vater, gegen Vorlage der Schlussabrechnung für die Zahnkorrektur einen ausserordentlichen Unterhaltsbeitrag in der Höhe der hälftigen Kosten, maximal aber Fr. 12'906.30 zu bezahlen. Soweit weitergehend wies es die Klage ab. Die Gerichtskosten auferlegte das Regionalgericht den Parteien je hälftig und verpflichtete A._, seinem Vater Fr. 14'100.-- an vorgeschossenen Prozesskosten zu erstatten.
B.
Gegen diesen Entscheid erhob A._, ohne anwaltlich vertreten zu sein, am 6. Juli 2017 beim Obergericht des Kantons Bern Berufung. Er beantragte, den monatlichen Unterhaltsbeitrag auf Fr. 1'500.-- und den ausserordentlichen Unterhaltsbeitrag für die Zahnkorrektur auf Fr. 19'360.-- festzusetzen. Ausserdem ersuchte er um unentgeltliche Rechtspflege. Das Obergericht wies dieses Gesuch am 26. September 2017 mit der Begründung ab, die elterliche Unterhaltspflicht gehe vor. Dieser Entscheid blieb unangefochten. Mit Verfügung vom 7. November 2017 forderte das Obergericht von A._ einen Gerichtskostenvorschuss für das Hauptverfahren von Fr. 7'000.--. Daraufhin stellte dieser erneut ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege. Dieses zog er indes zurück und stellte am 24. November 2017 das Gesuch, die Bezahlung des Gerichtskostenvorschusses sei ihm zu erlassen; alternativ sei B._ zu verpflichten, ihm einen Prozesskostenvorschuss in der Höhe von Fr. 7'000.-- zu bezahlen. Mit Entscheid vom 5. Februar 2018 verpflichtete das Obergericht B._, seinem Sohn einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 3'500.-- zu bezahlen. Soweit weitergehend wies es das Gesuch ab und schlug die Kosten zur Hauptsache.
C.
Mit Beschwerde vom 2. März 2018 wendet sich A._ an das Bundesgericht, dem er sinngemäss beantragt, B._ sei zu verpflichten, ihm einen Prozesskostenvorschuss von Fr. 7'000.-- zu bezahlen. Ausserdem stellt er prozessuale (Beweis-) Anträge sowie ein Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, aber keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:
1.
1.1. Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens ist der Prozesskostenvorschuss für die Unterhaltsklage des volljährigen Kindes. Die elterliche Unterhaltspflicht nach Art. 277 Abs. 2 ZGB umfasst grundsätzlich auch die Prozesskosten (<ref-ruling> E. 3d-f). Im Anfangsstadium eines Verfahrens hat das Kind Anspruch auf einen Prozesskostenvorschuss durch die Eltern (Urteile 5A_85/2017 vom 19. Juni 2017 E. 7.1; 5A_442/2016 vom 7. Februar 2017 E. 7.2). Nach Massgabe von Art. 303 ZPO kann der Richter für die Dauer des Prozesses vorsorgliche Massnahmen treffen. Zu diesen Massnahmen zählt auch die Anordnung an den beklagten Elternteil, dem Kind im Hinblick auf dessen Unterhaltsklage einen Prozesskostenvorschuss zu leisten (Urteil 5D_111/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 1.2 mit Hinweis; vgl. auch Urteil 5A_442/2016 vom 7. Februar 2017 E. 7.2). Beim Entscheid über die Gutheissung oder Abweisung eines im Rahmen einer Unterhaltsklage gestellten Gesuchs um Leistung eines Prozesskostenvorschusses handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme (Art. 98 BGG) und einen selbstständig eröffneten Zwischenentscheid (vgl. dazu: <ref-ruling> E. 1.1; Urteil 5D_111/2015 vom 6. Oktober 2015 E. 1.2).
1.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (z.B. <ref-ruling> E. 1.1). Diese betrifft eine Klage auf Kindesunterhalt und damit eine Zivilsache vermögensrechtlicher Natur (Art. 72 Abs. 1 i.V.m. Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), deren Streitwert gegeben ist (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG), und folglich dagegen die Beschwerde in Zivilsachen ergriffen werden kann. Daher kann auch der streitgegenständliche Zwischenentscheid mit diesem Rechtsmittel angefochten werden.
1.3.
1.3.1. Gegen Vor- und Zwischenentscheide, die weder die Zuständigkeit noch den Ausstand betreffen (Art. 92 BGG), ist die Beschwerde an das Bundesgericht nur zulässig, wenn der Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG). Letztere Voraussetzung ist vorliegend nicht gegeben, geht es doch einzig um einen Prozesskostenvorschuss als vorsorgliche Massnahme. Der drohende nicht wieder gutzumachende Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG muss rechtlicher Natur sein; dagegen reichen rein tatsächliche Nachteile wie die Verfahrensverlängerung oder -verteuerung nicht aus (<ref-ruling> E. 6; <ref-ruling> E. 1.2.1; je mit Hinweisen). Ein zur Beschwerde berechtigender Nachteil liegt nur dann vor, wenn er sich auch mit einem späteren günstigen Endentscheid nicht oder nicht gänzlich beseitigen lässt (<ref-ruling> E. 1.3 mit Hinweisen). Nach der Rechtsprechung obliegt es dem Beschwerdeführer darzutun, dass eine der beiden Voraussetzungen erfüllt ist, es sei denn, deren Vorliegen springe geradezu in die Augen (<ref-ruling> E. 2.5 mit Hinweisen). Geht es, wie hier, um einen Prozesskostenvorschuss und damit mittelbar um den Zugang zum Gericht (Art. 29a BV), hat der Beschwerdeführer in der Begründung seiner Beschwerde darzulegen, dass ihm der fragliche Nachteil auch tatsächlich droht, weil er nicht in der Lage ist, den Gerichtskostenvorschuss zu leisten (vgl. <ref-ruling> E. 2.3).
1.3.2. Die Vorinstanz hat unter Hinweis auf den erstinstanzlichen Entscheid festgehalten, die Mutter des Beschwerdeführers sei für die Gerichtskostenvorschüsse wirtschaftlich leistungsfähig. Weil beide Eltern gleichermassen unterhalts- und damit kostenvorschusspflichtig seien, werde der Vater nur zur Bevorschussung der Hälfte des geforderten Betrages verpflichtet; für die andere Hälfte könne sich der Beschwerdeführer an seine Mutter wenden.
1.3.3. Der Beschwerdeführer bestreitet nicht, dass seine Mutter für die Hälfte des Prozesskostenvorschusses, d.h. für Fr. 3'500.--, leistungsfähig ist; er verlangt vielmehr die Berücksichtigung der Einkommens- und Vermögensverhältnisse seiner Eltern (seine Mutter verfüge über ein viermal tieferes Einkommen und über ein mehr als dreimal kleineres Vermögen) und folgert daraus, dass der Beschwerdegegner den beantragten Prozesskostenvorschuss alleine zu tragen habe. Damit legt der Beschwerdeführer nicht dar, dass ihm durch den angefochtenen Entscheid die Verweigerung des Zugangs zum Gericht tatsächlich droht. Mangels Darlegung des vom Gesetz verlangten Nachteils ist mit Bezug auf den Prozesskostenvorschuss auf die Beschwerde nicht einzutreten.
2.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer grundsätzlich kosten- (Art. 66 Abs. 1 BGG), hingegen nicht entschädigungspflichtig, zumal dem Beschwerdegegner kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist. Aufgrund der besonderen Verhältnisse wird ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet. Damit wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege gegenstandslos.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juni 2018
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Die Gerichtsschreiberin: Gutzwiller