Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. am 8. Dezember 2008), wohnhaft in U._, leidet gemäss einem Bericht des Schulpsychologischen Dienstes vom 24. Juni 2015 unter Aufmerksamkeits- und Konzentrationsschwierigkeiten, die sich stark hemmend auf seine Leistungserbringung und soziale Integration in der Schule auswirken. Die gesetzlichen Voraussetzungen einer Behinderung seien erfüllt. Empfohlen wurde die integrative Schulung mit verstärkten Massnahmen an der Schule U._. Im Rahmen des Fachberichts vom 27. Juni 2016 betreffend die Überprüfung verstärkter Massnahmen befand der Schulpsychologische Dienst, die Rahmenbedingungen in der öffentlichen Schule seien für A.A._ nicht optimal und empfahl eine separative Schulung in einer Tagessonderschule. Für den Fall, dass eine Separation nicht unmittelbar umsetzbar sei, empfahl der Schulpsychologische Dienst für die weiterführende Integration verstärkte Massnahmen bzw. Förderunterricht (max. sechs Lektionen Heilpädagogik und Assistenz) und bei Bedarf individuelle Lernziele in den Hauptfächern.
Da die Suche nach einem freien Platz in einer Tagessonderschuleinrichtung erfolglos blieb, unternahmen die Eltern von A.A._ eigene Suchbemühungen und meldeten ihn für das Schuljahr 2016/2017 bei der Privatschule D._ an. Diese Einrichtung figuriert nicht in der Liste der vom Kanton Aargau anerkannten Sonderschulen. In der Folge beantragten die Eltern von A.A._ bei der Schulpflege U._ die Übernahme der Schulkosten von monatlich Fr. 2'050.--.
Die Schulpflege U._ sprach sich für eine Kostenübernahme der Gemeinde im Rahmen des Gemeindeansatzes für Tagessonderschulen aus. Mit Entscheid vom 7. November 2016 beschloss der Gemeinderat U._ die Übernahme von Schulgeldkosten von insgesamt Fr. 7'200.-- (pro Monat Fr. 600.--) für das Schuljahr 2016/2017. Dabei führte er aus, es bestehe keine Verpflichtung der Gemeinden zur Kostenbeteiligung an privaten Sonderschulen. Bezüglich einer weiteren Kostengutsprache ab Schuljahr 2017/2018 hielt der Gemeinderat fest, ein erneutes Gesuch wäre im Frühjahr 2017 notwendig. Mit Entscheid vom 25. Januar 2017 wies das Departement Bildung, Kultur und Sport des Kantons Aargau ein Gesuch der Eltern von A.A._ um Übernahme des restlichen Schulgelds in der Höhe von Fr. 1'450.-- pro Monat ab (<ref-law>).
B.
Mit Schreiben vom 31. August 2017 stellten die Eltern von A.A._ beim Gemeinderat U._ ein Gesuch um Übernahme der Schulungs- und Transportkosten für das Schuljahr 2017/2018. Mit Entscheid vom 18. September 2017 wies der Gemeinderat das Gesuch ab. Ausnahmsweise und unpräjudiziell sei der Gemeinderat bereit, einen Anteil in der Höhe des Kostenanteils der Sonderschule von Fr. 600.-- pro Monat zu tragen.
Mit Eingabe vom 30. November 2017 reichte A.A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Aargau Klage gegen die Einwohnergemeinde U._ ein. Mit Urteil vom 20. Juni 2018 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab, soweit es darauf eintrat.
C.
Gegen dieses Urteil reicht A.A._ mit Eingabe vom 27. August 2018 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht ein. Er beantragt, der Entscheid des Verwaltungsgerichts vom 20. Juni 2018 sei aufzuheben und die Kosten für seine Sonderschulung an der Privatschule D._ für die Schuljahre 2016/2017 und 2017/2018 seien von der Gemeinde U._ in der Höhe von monatlich Fr. 2'370.-- unter Abzug der von der Gemeinde bereits geleisteten Beiträge von monatlich Fr. 600.--, zuzüglich Transportkosten in der Höhe von monatlich Fr. 890.70.--, zu übernehmen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht beantragt er die unentgeltliche Prozessführung im bundesgerichtlichen Verfahren gestützt auf das Bundesgesetz vom 13. Dezember 2002 über die Beseitigung von Benachteiligungen von Menschen mit Behinderungen (Behindertengleichstellungsgesetz, BehiG; SR 151.3). Eventualiter seien allfällige Gerichtsgebühren zu reduzieren.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau und der Gemeinderat U._ verzichten auf Vernehmlassung und verweisen auf das angefochtene Urteil. Das Eidgenössische Büro für die Gleichstellung von Menschen mit Behinderungen EBGB verzichtet auf Stellungnahme.

Erwägungen:
1.
1.1. Der angefochtene kantonal letztinstanzliche Endentscheid (Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG) betrifft die Übernahme der Kosten für Sonderschulung und somit eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (<ref-law>). Die Ausnahme gemäss Art. 83 lit. t BGG greift nicht, da es vorliegend nicht um eine Fähigkeitsbewertung geht, sondern um den Anspruch auf einen den Fähigkeiten angepassten Unterricht (Urteile 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 1.1; 2C_10/2016 vom 18. Juli 2016 E. 1.1; 2C_249/2014 vom 27. März 2015 E. 1.1; 2C_971/2011 vom 13. April 2012 E. 1.1, nicht publiziert in: <ref-ruling>). Der Beschwerdeführer, handelnd durch seine Eltern, ist zur Erhebung der Beschwerde legitimiert (<ref-law>). Auf die im Übrigen frist- und formgerecht eingereichte Beschwerde ist daher - vorbehältlich E. 1.2 hiernach - einzutreten (Art. 100 Abs. 1 i.V.m. Art. 46 Abs. 1 lit. b und Art. 42 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt auch die Übernahme der Transportkosten für den Besuch der Privatschule. Die Vorinstanz ist auf die Klage in diesem Punkt nicht eingetreten (vgl. E. I.5.2 des angefochtenen Urteils). Ficht die beschwerdeführende Partei einen Nichteintretensentscheid an, haben sich ihre Rechtsbegehren und deren Begründung zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten geführt haben (<ref-law>). Das Bundesgericht prüft in einem solchen Fall nur, ob die betreffende Instanz zu Recht auf das Rechtsmittel nicht eingetreten ist (Urteil 2C_608/2017 vom 24. August 2018 E. 1.2, mit Hinweis). Vorliegend fehlt es an einer entsprechenden Begründung, weshalb auf die Beschwerde nicht einzutreten ist, soweit damit die Übernahme der Transportkosten beantragt wird.
1.3. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Verletzung von Bundesrecht und Völkerrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a und b BGG). Bei der Prüfung wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.4.5 S. 157) und verfügt über volle Kognition (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2 S. 236). Die Anwendung kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht hingegen - abgesehen von den Fällen gemäss Art. 95 lit. c-e BGG - nur auf Bundesrechtsverletzungen, namentlich auf Willkür, hin (<ref-ruling> E. 1.3 S. 41; <ref-ruling> E. 2 S. 149). Die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur, soweit eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss <ref-law>; <ref-ruling> E. 1.7.2 S. 106).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (<ref-law>). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, sofern sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruhen (<ref-law>).
2.
Der Beschwerdeführer rügt zunächst eine ungenügende Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz. Diese verweise in ihrem Urteil hauptsächlich auf den Bericht des Schulpsychologischen Dienstes, welcher eine separative Schulung an einer Tagessonderschule bzw., falls eine solche nicht umgehend umsetzbar sei, die weiterführende Integration mit verstärkten Massnahmen und bei Bedarf mit individuellen Lernzielen in den Hauptfächern empfehle. Sie lasse jedoch die aktenkundige Äusserung der Schulpflege ausser Acht, die insbesondere in ihrem Beschluss vom 24. Oktober 2016 festhalte, die Erfahrung habe gezeigt, dass das Regelklassenangebot den Bedarf des Jungen trotz grossem Einsatz seitens der Schule und der Eltern nicht hinreichend abdecke. Das Verhalten der Schulpflege bringe klar zum Ausdruck, dass der Beschwerdeführer nicht auch nur vorübergehend integrativ beschult werden könne.
2.1. Gemäss <ref-law> kann die Feststellung des Sachverhalts nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von <ref-law> beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (<ref-ruling> E. 2.2 S. 313). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn Zweifel bestehen, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (<ref-ruling> E. 3.1 S. 44; Urteil 8C_416/2015 vom 30. September 2015 E. 1.2). Die Sachverhaltsfeststellung bzw. die Beweiswürdigung erweist sich als willkürlich im Sinne von <ref-law>, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (<ref-ruling> E. 2.3 S. 265 f.; Urteile 2C_310/2014 vom 25. November 2014 E. 1.2; 2C_169/2018 vom 17. August 2018 E. 1.2.2).
2.2. Dem angefochtenen Entscheid kann entnommen werden, dass die Vorinstanz - wie vom Beschwerdeführer ausgeführt - primär auf den Bericht des Schulpsychologischen Dienstes vom 27. Juni 2016 sowie auf drei medizinische Berichte (Berichte des Universitäts-Kinderspitals beider Basel vom 10. Februar 2016 und vom 17. Juni 2016 sowie Empfehlung der Praxis E._ vom 28. Juni 2016) abgestellt hat. Gestützt darauf gelangte sie zum Ergebnis, eine weitere integrative Schulung des Beschwerdeführers (mit Zusatzmassnahmen) sei zwar als "nicht optimal" bezeichnet worden, Hinweise darauf, dass ein Schulwechsel zeitlich dringend gewesen sei, seien jedoch nicht ersichtlich. Auch finde sich in den Akten keine Fachmeinung, wonach die Beschulung des Beschwerdeführers unmittelbar vor Ende des Schuljahres 2015/2016 umgehend und ausschliesslich in einer Sonderschule hätte fortgesetzt werden müssen. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers hat die Vorinstanz auch den von ihm erwähnten Beschluss der Schulpflege vom vom 24. Oktober 2016 berücksichtigt; sie ist jedoch zum Schluss gekommen, dieser stelle ebenfalls auf die erwähnten Fachberichte ab und enthalte folglich keine Hinweise darauf, dass eine umgehende Beschulung des Beschwerdeführers in einer Sonderschule notwendig gewesen wäre. Daraus schliesst das Verwaltungsgericht, dass eine integrative Beschulung zumindest vorübergehend eine für den Beschwerdeführer geeignete Massnahme dargestellt hätte (vgl. E. II.3.2. und II.3.3 des angefochtenen Urteils).
Inwiefern diese Schlussfolgerungen unhaltbar sein sollen, ist nicht ersichtlich. Insbesondere ist nicht willkürlich, wenn die Vorinstanz ihren Entscheid primär auf den Fachbericht des Schulpsychologischen Dienstes vom 27. Juni 2016 stützte, welcher sich ausführlich mit der Situation des Beschwerdeführers befasst und konkrete Empfehlungen enthält. Zwar wurde darin in erster Linie eine separative Schulung in einer Sonderschule empfohlen; für den Fall, dass eine solche nicht sofort umsetzbar sei, empfahl der Schulpsychologische Dienst jedoch alternativ verstärkte Massnahmen bzw. Förderunterricht an der öffentlichen Schule sowie, bei Bedarf, individuelle Lernziele in den Hauptfächern. Wie das Verwaltungsgericht ferner ausführt, äussern sich die Berichte des Universitäts-Kinderspitals beider Basel vom 10. Februar 2016 und vom 17. Juni 2016 nicht zur Notwendigkeit einer Beschulung des Beschwerdeführers in einer Sonderschule (vgl. E. II.3.2 des angefochtenen Urteils). Beim Schreiben der Praxis E._ vom 28. Juni 2016 handelt es sich um eine knappe Empfehlung, die sich nicht detailliert mit der Frage auseinandersetzt, ob eine Sonderschulung bereits zu Beginn des Schuljahres 2016/2017 zwingend notwendig gewesen wäre, sondern im Wesentlichen festhält, dass eine Privatbeschulung den speziellen Bedürfnissen des Beschwerdeführers am ehesten gerecht werden könnte (vgl. E. II.3.2 des angefochtenen Urteils). Dem Schreiben kann zudem entnommen werden, dass dieses zu einem Zeitpunkt verfasst wurde, als der Entscheid der Eltern des Beschwerdeführers, ihn bei einer Privatschule anzumelden, bereits feststand. Folglich äussert es sich erst nachträglich zur Geeignetheit der von den Eltern vorgeschlagenen Einrichtung. Ob die Schulpflege in ihrem Beschluss vom 24. Oktober 2016 - wie vom Beschwerdeführer behauptet - implizit zum Ausdruck bringen wollte, eine Beschulung in der Regelklasse sei selbst vorübergehend nicht möglich, ergibt sich aus den Akten nicht eindeutig. Eine solche Auffassung würde jedoch dem erwähnten Bericht des Psychologischen Dienstes widersprechen und liesse sich auch sonst nicht durch die Akten belegen. Die Schulpflege selbst stützt ihren Entscheid primär auf die erwähnten Fachberichte, die, wie bereits ausgeführt, keine Aussagen enthalten, wonach eine Beschulung des Beschwerdeführers in der öffentlichen Schule zu Beginn des Schuljahres 2016/2017 keine geeignete Alternative zur separativen Sonderschulung dargestellt hätte.
Im Ergebnis erweist sich die Rüge der willkürlichen Sachverhaltsfeststellung als unbegründet und ist abzuweisen.
3.
Der Beschwerdeführer macht weiter eine Verletzung seines Anspruchs auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht geltend (Art. 19 und <ref-law>; § 28 und § 34 der Verfassung des Kantons Aargau vom 25. Juni 1980 [KV/AG; SR 131.227]).
3.1.
3.1.1. <ref-law> gewährleistet als Grundrecht einen Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht. Zuständig für das Schulwesen sind die Kantone (<ref-law>). Sie gewähren einen ausreichenden Grundschulunterricht, der allen Kindern offen steht. Er ist obligatorisch und an öffentlichen Schulen unentgeltlich (<ref-law>). Der Grundschulunterricht muss genügen, um die Schüler sachgerecht auf ein selbstverantwortliches Leben im modernen Alltag vorzubereiten (<ref-ruling> E. 3.2 S. 12; <ref-ruling> E. 3.1 S. 158 f.). Die Kantone sorgen sodann für eine ausreichende Sonderschulung aller behinderter Kinder und Jugendlichen bis längstens zum vollendeten 20. Lebensjahr (<ref-law>). Gemäss <ref-law> sorgen die Kantone dafür, dass behinderte Kinder und Jugendliche eine Grundausbildung erhalten, die ihren besonderen Bedürfnissen entspricht (Abs. 1). Die Kantone fördern, soweit dies möglich ist und dem Wohl des behinderten Kindes oder Jugendlichen dient, mit entsprechenden Schulungsformen die Integration behinderter Kinder und Jugendlicher in die Regelschule (Abs. 2). Diese Bestimmung konkretisiert die verfassungsrechtlichen Grundsätze (Art. 19 und <ref-law>), geht aber kaum über sie hinaus (<ref-ruling> E. 3.2 S. 12 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_154/2017 vom 23. Mai 2017 E. 4.2).
Im Rahmen der genannten Grundsätze verfügen die Kantone praxisgemäss über einen erheblichen Gestaltungsspielraum, was auch für die Sonderschulung gilt (<ref-ruling> E. 3.3 S. 13; <ref-ruling> E. 3.2 S. 165). Der verfassungsrechtliche Anspruch umfasst ein angemessenes, erfahrungsgemäss ausreichendes Bildungsangebot an öffentlichen Schulen. Bezüglich behinderter Kinder bedeutet "ausreichend", dass der Grundschulunterricht ihren spezifischen Bedürfnissen angepasst sein muss, wobei eine Sonderschulung integrativ oder separativ erfolgen kann (ANDREA AESCHLIMANN-ZIEGLER, Der Anspruch auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht von Kindern und Jugendlichen mit einer Behinderung, 2011, 192 f.). Nach der Rechtsprechung ist grundsätzlich der integrierten Schulung der Vorrang gegenüber der separierten einzuräumen (vgl. <ref-ruling> E. 4.3.1 S. 15; <ref-ruling> E. 4.2 S. 166 f.; Urteile 2C_264/2016 E. 2.2; 2C_154/2017 E. 5.1). Ein darüber hinausgehendes Mass an individueller Betreuung, das theoretisch immer möglich wäre, kann jedoch mit Rücksicht auf das limitierte staatliche Leistungsvermögen nicht eingefordert werden. Der verfassungsmässige Anspruch auf unentgeltlichen Grundschulunterricht verpflichtet den Kanton - selbst bei behinderten Kindern - nicht zur optimalen bzw. geeignetsten Schulung eines Kindes (<ref-ruling> E. 3.3 S. 13 mit zahlreichen Hinweisen; <ref-ruling> E. 3.2 S. 165; Urteile 2C_405/2016 vom 9. Januar 2017 E. 2.5; 2C_528/2012 vom 2. November 2012 E. 2.1).
3.1.2. Die Garantie auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht im Sinn von <ref-law> beschränkt sich auf die öffentlichen Schulen (Art. 62 Abs. 2 dritter Satz BV). Behinderte Kinder haben keinen bundesrechtlichen Anspruch auf Finanzierung einer privaten Sonderschulung, wenn das an öffentlichen Schulen angebotene Bildungsangebot angemessen und ausreichend ist (<ref-ruling>; vgl. auch <ref-ruling> E. 3.3 S. 354 f.; <ref-ruling> E. 6.4 S. 20) und die Integration des behinderten Kindes fördert (<ref-ruling> E. 4.6.2 S. 170). Der Besuch einer Privatschule ist ausnahmsweise unentgeltlich, wenn an öffentlichen Schulen im spezifischen Fall kein ausreichendes schulisches Angebot zur Verfügung steht (AESCHLIMANN-ZIEGLER, a.a.O., S. 203; GIOVANNI BIAGGINI, Bundesverfassung der Schweizerischen Eidgenossenschaft, Kommentar, 2. Aufl. 2017, N. 9 zu <ref-law>; MARKUS SCHEFER/CAROLINE HESS-KLEIN, Behindertengleichstellungsrecht, 2014, S. 364). Unterhält der Staat ein geeignetes und zumutbares Angebot, ist er selbst dann nicht verpflichtet, eine private Lösung zu finanzieren, wenn dort ein noch besserer Unterricht zur Verfügung stünde (Urteile 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 3.1.5; 2C_249/2014 vom 27. März 2015 E. 3.2; PETER UEBERSAX, Der Anspruch Behinderter auf ausreichende Grund- und Sonderschulung, in: Gabriela Riemer-Kafka [Hrsg.], Kinder und Jugendliche mit Behinderungen, 2011, S. 46).
3.2. Gemäss § 28 Abs. 1 KV/AG hat jedes Kind Anspruch auf eine seinen Fähigkeiten angemessene Bildung. Der Unterricht an öffentlichen Schulen und Bildungsanstalten ist für Kantonseinwohner unentgeltlich. Ausnahmen bestimmt das Gesetz (§ 34 Abs. 1 KV/AG). Für Kinder, die wegen der Lage ihres Wohnortes oder aus sozialen Gründen oder wegen Behinderung benachteiligt sind, sorgen die Träger der Schulen für ausgleichende Massnahmen (§ 34 Abs. 3 KV/AG). Der Kanton kann Ausbildungsbeiträge gewähren (§ 34 Abs. 4 KV/AG). Diese Grundsätze werden auf Gesetzesstufe konkretisiert. Gemäss § 6 Abs. 1 des Schulgesetzes vom 17. März 1981 (Schulgesetz/AG; SAR 401.100) ist die Schulpflicht in der Regel in den öffentlichen Schulen der Schulgemeinde oder des Schulkreises, zu dem die Wohngemeinde gehört, zu erfüllen. Für Kinder und Jugendliche mit Aufenthalt im Kanton ist der Unterricht an den öffentlichen Volksschulen unentgeltlich (§ 3 Abs. 3 Schulgesetz/AG). Nach § 4 Abs. 4 Satz 1 Schulgesetz/AG kann die Schulpflicht auch im Rahmen einer Privatschule oder einer privaten Schulung erfüllt werden. Eine Pflicht des Gemeinwesens zur Übernahme der Kosten besteht in diesem Fall nicht (vgl. § 3 Abs. 3 Schulgesetz/AG e contrario).
Dem angefochtenen Urteil kann entnommen werden, dass das Gemeinwesen in Ausnahmesituationen gestützt auf § 34 Abs. 3 KV/AG die Kosten für den Besuch einer privaten Sonderschule ganz oder teilweise übernehmen kann. Unabdingbare Voraussetzung für einen staatlichen Beitrag sei, dass an öffentlichen Schulen, welche die Aufenthaltsgemeinde anbietet, die Erfüllung der Schulpflicht im Einzelfall nicht möglich oder nicht ausreichend sei. Ein Anspruch auf optimale individuelle Schulung jedes einzelnen Kinds vermittle auch das kantonale Verfassungsrecht nicht (vgl. E. II.2 und II.3.1 des angefochtenen Urteils). Der Beschwerdeführer bestreitet diese Ausführungen der Vorinstanz nicht und macht insbesondere nicht geltend, das kantonale Recht räume ihm mehr Rechte ein als Art. 19 i.V.m. <ref-law>. Zu prüfen ist deshalb, ob in seinem Fall ein ausreichendes Angebot an der öffentlichen Schule bestand.
3.3. Vorliegend ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer als behindert gilt (vgl. E. II.3.2 des angefochtenen Urteils). Ebenfalls unbestritten ist, dass gemäss Fachbericht des Schulpsychologischen Dienstes vom 27. Juni 2016 die Rahmenbedingungen in der öffentlichen Schule für den Beschwerdeführer als "nicht optimal" bezeichnet wurden, weshalb eine separative Schulung in einer Tagessonderschule empfohlen wurde (vgl. E. 2.2 hiervor). Zudem wird von allen Seiten anerkannt, dass für das Schuljahr 2016/2017 kein freier Platz in einer kantonalen oder einer nach der Interkantonalen Vereinbarung für Soziale Einrichtungen vom 13. Dezember 2002 (IVSE; SAR 428.030) anerkannten ausserkantonalen Tagessonderschuleinrichtung bestand (vgl. E. II.3.3 des angefochtenen Urteils). Schliesslich ist unbestritten, dass die Eltern des Beschwerdeführers ihn in eigener Kompetenz bei einer Privatschule anmeldeten, die keine kantonale oder IVSE-anerkannte ausserkantonale Tagessonderschule darstellt (vgl. E. II.3.3 des angefochtenen Urteils).
Wie die Vorinstanz willkürfrei feststellte, bestand zu Beginn des Schuljahres 2016/2017 die Möglichkeit einer integrativen Beschulung des Beschwerdeführers in der öffentlichen Schule (vgl. E. 2.2 hiervor). Diese Variante wurde vom Schulpsychologischen Dienst für den Fall empfohlen, dass eine separative Schulung in einer Sonderschule nicht unmittelbar umsetzbar sei. Zwar stellte die integrative Beschulung nicht die optimale Lösung für den Beschwerdeführer dar, doch ist davon auszugehen, dass eine solche zumindest vorübergehend geeignet gewesen wäre, seinen spezifischen Bedürfnissen in ausreichender Weise Rechnung zu tragen. Dass die Schule nicht dazu bereit gewesen wäre, die Integration des Beschwerdeführers durch verstärkte Massnahmen weiterzuführen, wird von keiner Seite behauptet. Es mag zwar zutreffen, dass die von den Eltern des Beschwerdeführers gewählte Privatschule seinen Bedürfnissen besser Rechnung trägt als die integrative Beschulung in der öffentlichen Schule; wie bereits erwähnt, ist das Gemeinwesen jedoch gestützt auf Art. 19 i.V.m. <ref-law> selbst bei behinderten Kindern nicht verpflichtet, die bestmögliche individuelle Lösung, unabhängig von finanziellen Überlegungen, zu finanzieren (vgl. E. 3.1.2 hiervor). Folglich reicht der Umstand, dass an einer privaten Schule ein besserer Unterricht zur Verfügung stehen könnte, nicht aus, um eine Finanzierungspflicht des Gemeinwesens auszulösen.
Im Ergebnis ist mit der Vorinstanz davon auszugehen, dass zu Beginn des Schuljahres 2016/2017 die integrative Beschulung des Beschwerdeführers in der öffentlichen Schule zumindest vorübergehend eine geeignete und zumutbare Lösung dargestellt hätte (vgl. E. II.3.3 des angefochtenen Urteils). Eine Verletzung des Anspruchs des Beschwerdeführers auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht (Art. 19 und <ref-law>) liegt nicht vor.
3.4. Ob die Beschulung des Beschwerdeführers in der öffentlichen Schule für das Schuljahr 2017/18 immer noch eine verfassungskonforme Lösung dargestellt hätte, wurde vorliegend - soweit ersichtlich - nicht geprüft. Wie die Vorinstanz ausführt, wären die Eltern des Beschwerdeführers jedoch gestützt auf den Entscheid des Gemeinderats vom 7. November 2016 gehalten gewesen, für eine weitere Kostengutsprache ab Schuljahr 2017/2018 im Frühjahr 2017 ein erneutes Gesuch einzureichen. Dies haben sie jedoch unterlassen; stattdessen reichten sie erst im August 2017 ein weiteres Gesuch um nachträgliche Übernahme der Kosten der Privatschule ein. Daraus schliesst die Vorinstanz, das Verhalten der Eltern könne nicht anders gedeutet werden, als dass sie ihren Sohn weiterhin in der Privatschule D._ beschulen wollten. Somit sei die Schulpflege nicht verpflichtet gewesen, eine neue, vom Kanton bezahlte Lösung zu suchen. Im Ergebnis sei es treuwidrig, wenn die Eltern im Nachhinein unter Verweis auf angeblich mangelnde Alternativen zur Privatschule D._ Schulungs- und Transportkosten geltend machten (vgl. E. II.3.4 des angefochtenen Urteils).
Der Beschwerdeführer setzt sich mit den Ausführungen der Vorinstanz nicht auseinander und legt nicht substantiiert dar, worin eine Verletzung seines Anspruchs auf ausreichenden und unentgeltlichen Grundschulunterricht (Art. 19 und <ref-law>) bestehen soll. Er beschränkt sich im Wesentlichen darauf, zu behaupten, der Beschluss der Schulpflege vom 24. Oktober 2016 bringe klar zum Ausdruck, dass diese sich ausser Stande gesehen habe, ihn selbst vorübergehend integrativ zu beschulen. Daher sei es auch nicht möglich, seinen Eltern ein treuwidriges Verhalten vorzuwerfen. Damit genügt er den Anforderungen an die Begründung einer Verfassungsrüge jedoch nicht (vgl. <ref-law> und E. 1.3 hiervor), so dass darauf nicht weiter einzugehen ist.
4.
Nach dem Gesagten erweist sich die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann.
Verfahren betreffend Streitigkeiten nach <ref-law> sind grundsätzlich unentgeltlich (<ref-law>). Für das Verfahren vor Bundesgericht gilt jedoch gemäss <ref-law> die Regelung des Bundesgerichtsgesetzes, welche für die Ansprüche nach Art. 7 und Art. 8 BehiG reduzierte Gerichtskosten vorsieht (<ref-law>). Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ist daher abzuweisen, zumal der Beschwerdeführer nicht vorbringt, er sei bedürftig. Die reduzierten Gerichtskosten sind dem unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 65 Abs. 4 lit. d i.V.m. <ref-law>). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 3. Kammer, und dem Eidgenössischen Büro für die Gleichstellung von Menschen mit Behinderungen EBGB schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Mai 2019
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Ivanov