Sachverhalt:
A.
A.a. C.A._ (geb. 1991) ist Staatsangehörige von Nigeria. Sie reiste am 21. Juni 2008 in die Schweiz ein und ersuchte um Asyl. Am 2. September 2008 kam ihr erster Sohn A.A._ zur Welt, wobei der leibliche Vater nicht bekannt ist, und am 8. Mai 2014 ihr zweiter Sohn B.A._, dessen Vater - ein nigerianischer Staatsangehöriger - unbekannten Aufenthalts ist. Am 4. Juni 2010 wurde das Asylgesuch abgewiesen und die Wegweisung angeordnet, bestätigt vom Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 16. August 2010. Drei dagegen gerichtete Wiedererwägungsgesuche blieben erfolglos. Weiter lehnten das Migrationsamt des Kantons Zürich bzw. der Vor-steher der Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 24. Januar 2014 bzw. 31. Januar 2017 je ein Härtefallgesuch ab. Am 22. November 2017 wurden C.A._ und ihre Söhne nach Nigeria zurückgeführt.
A.b. Am 4. Mai 2018 ersuchte A.A._ um eine Einreisebewilligung wegen widerrechtlich verletzter Identität gemäss Art. 8 Abs. 2 des Übereinkommens über die Rechte des Kindes vom 20. November 1989 (KRK; SR 0.107). Sowohl das Zürcher Migrationsamt wie auch das Staatssekretariat für Migration (SEM) verneinten ihre Zuständigkeit. Den Nichteintretensentscheid des SEM bestätigte das Bundesverwaltungsgericht mit Urteil vom 5. September 2019.
A.c. Am 5. Juli 2019 beantragte die Zürcher Beratungsstelle für Asylsuchende dem Migrationsamt des Kantons Zürich die Erteilung von Einreisebewilligungen für A.A._ und B.A._ zum Verbleib als Pflegekinder in der Schweiz. Am 13. August 2019 stellte auch der heutige Rechtsvertreter ein Gesuch um Bewilligung des Aufenthalts der Kinder in der Schweiz. Mit Verfügung vom 8. November 2019 wies das Migrationsamt des Kantons Zürich beide Gesuche ab. Während des Verfahrens blieb auch ein viertes asylrechtliches Wiedererwägungsgesuch erfolglos.
B.
Den gegen die Verfügung des Migrationsamts gerichteten Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 12. Februar 2020 ab. Das daraufhin angerufene Verwaltungsgericht des Kantons Zürich wies mit Verfügung der Abteilungspräsidentin vom 18. März 2020 das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung ab und setzte eine Frist von 20 Tagen an, um einen Kostenvorschuss von Fr. 2'570.-- zu bezahlen, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten würde. Auf ein dagegen gerichtetes Wiedererwägungsgesuch trat das Verwaltungsgericht am 15. April 2020 nicht ein.
C.
Mit Beschwerde vom 21. April 2020 beantragen A.A._ und B.A._ dem Bundesgericht, die Vorinstanz sei anzuweisen, von der Kostenvorschusspflicht abzusehen. Zudem sei die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren. Schliesslich sei festzustellen, dass der angefochtene Entscheid verfassungs- und konventionswidrig sei. Die Sicherheitsdirektion und das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich verzichten auf Vernehmlassung.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen die Verfügung einer letzten kantonalen Instanz (<ref-law>), mit der das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abgewiesen und Frist zur Leistung eines Kostenvorschusses angesetzt wurde. Dieser Zwischenentscheid kann einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken (<ref-law>; <ref-ruling> E. 1.1 S. 131).
1.2. Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg jenem der Hauptsache (<ref-ruling> E. 1 S. 556). Dort geht es um die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist unzulässig gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (<ref-law>). Es kann offengelassen werden, ob dieser Ausschlussgrund im vorliegenden Fall zur Anwendung gelangt oder ob sich die Beschwerdeführer in vertretbarer Weise auf einen Aufenthaltsanspruch berufen, weil die von ihnen geltend gemachte Gehörsverletzung auch im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde vorgebracht werden kann (<ref-law>; sog. Star-Praxis, vgl. <ref-ruling> E. 2 S. 308).
1.3. Nicht einzutreten ist mangels Feststellungsinteresse auf die Beschwerde, soweit beantragt wird, es sei die Verfassungs- und Konventionswidrigkeit des angefochtenen Entscheids festzustellen.
2.
Die Beschwerdeführer bringen vor, die Vorinstanz habe eine Gehörsverletzung begangen, indem sie das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abgewiesen habe, ohne sich mit ihren Argumenten auseinanderzusetzen.
2.1. Die Parteien haben Anspruch auf rechtliches Gehör (<ref-law>). Daraus ergibt sich, dass die Behörde die Vorbringen des vom Entscheid in seiner Rechtsstellung Betroffenen tatsächlich zu hören, prüfen und in der Entscheidfindung zu berücksichtigen hat, woraus die Verpflichtung folgt, die Entscheide zu begründen. Dabei ist es nicht erforderlich, dass sie sich mit allen Parteistandpunkten einlässlich auseinandersetzt und jedes einzelne Vorbringen ausdrücklich widerlegt. Vielmehr kann sie sich auf die für den Entscheid wesentlichen Punkte beschränken. Die Begründung muss so abgefasst sein, dass sich der Betroffene über die Tragweite des Entscheids Rechenschaft geben und ihn in voller Kenntnis der Sache an die höhere Instanz weiterziehen kann. In diesem Sinne müssen wenigstens kurz die Überlegungen genannt werden, von denen sich die Behörde hat leiten lassen und auf die sich ihr Entscheid stützt, damit eine sachgerechte Anfechtung möglich ist (<ref-ruling> E. 5.2 S. 236).
2.2.
2.2.1. Die Beschwerdeführer haben in ihrer Verwaltungsgerichtsbeschwerde vom 16. März 2020 beantragt, es sei ihnen eine "Einreise- und Aufenthaltsbewilligung zwecks Wiederherstellung der Identität zu erteilen". Dabei haben sie ausgeführt, dass seit dem 13. August 2019 ausschliesslich von Gesuchen um Wiederherstellung der Identität die Rede gewesen sei und nicht mehr von einem Gesuch zwecks Fremdplatzierung. Die Rekursinstanz habe es unterlassen, sich mit dem Gesuch um Identitätswiederherstellung zu befassen; der Begründung des Rekursentscheids lasse sich hierzu nichts entnehmen. Sie hätten ein Recht auf Wiederherstellung ihrer (schweizerischen) Identität u.a. gestützt auf Art. 8 KRK und <ref-law>.
2.2.2. Das Verwaltungsgericht hat das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung abgewiesen, weil es die Beschwerde als aussichtslos erachtet (<ref-law> und § 16 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes [des Kantons Zürich] vom 24. Mai 1959 [VRG/ZH; LS 175.2]). Dabei hat es erwogen, dass
"die Frage der Erteilung eines Anwesenheitsrechts bei Personen, die - wie die Beschwerdeführer - weder aus dem Völkerrecht noch aus dem Landesrecht einen Anspruch auf Anwesenheit in der Schweiz ableiten können, von der kantonalen Migrationsbehörde nach Massgabe der allgemeinen Zulassungsvoraussetzungen von Art. 18-29 AIG und damit im pflichtgemässen Ermessen zu prüfen ist,
sich vorliegend einzig die Frage stellt, ob aufgrund der Aufnahme der Beschwerdeführer als Pflegekinder (<ref-law>) allenfalls von den Zulassungsvoraussetzungen abgewichen werden könne,
(...) ".
2.3. Nachdem die Beschwerdeführer in der Verwaltungsgerichtsbeschwerde ausdrücklich festgehalten haben, dass es seit der Eingabe vom 13. August 2019 nicht mehr um ein Gesuch zum Aufenthalt als Pflegekinder gehe, und sie sich stattdessen auf einen Aufenthaltsanspruch gestützt u.a. auf Art. 8 KRK und <ref-law> berufen haben, hätte sich die Vorinstanz zwingend zu diesen Vorbringen äussern müssen, anstatt den Streitgegenstand ohne nähere Begründung auf die Anwendung von <ref-law> (SR 142.20) zu beschränken. Aus dem angefochtenen Entscheid geht nicht hervor, ob und weshalb das Verwaltungsgericht die Ausführungen zum Aufenthalt zwecks Wiederherstellung der Identität als unzulässig oder offenkundig unbegründet erachtet. Auch wenn die Begründungsdichte bei Entscheiden betreffend die unentgeltliche Prozessführung und der damit einhergehenden vorläufigen und summarischen Prüfung der Prozessaussichten (<ref-ruling> E. 5.1 S. 140) herabgesetzt werden darf, muss für den Rechtssuchenden ersichtlich sein, aus welchem Grund das Gericht die Beschwerde als aussichtslos qualifiziert. Diesen Anforderungen wird der angefochtene Entscheid nicht gerecht. Folglich hat das Verwaltungsgericht das rechtliche Gehör der Beschwerdeführer verletzt. Die Beschwerde ist gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben. Die Sache ist an das Verwaltungsgericht zum Neuentscheid über das Gesuch um unentgeltliche Prozessführung zurückzuweisen. Bei diesem Ergebnis muss auf die übrigen, teilweise materiellen Rügen in der Beschwerde nicht näher eingegangen werden.
3.
Dem Verfahrensausgang entsprechend werden keine Gerichtskosten erhoben (<ref-law>). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos. Eine Parteientschädigung steht den Beschwerdeführern nicht zu. Sie sind nicht anwaltlich vertreten und es ist nicht ersichtlich, dass sie vor Bundesgericht von ihrem Vertreter - der im vorinstanzlichen Verfahren lediglich Zustellungsempfänger war - entgeltlich vertreten werden und ihnen deshalb Kosten entstanden sind (<ref-law>).

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten wird. Die Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 18. März 2020 wird aufgehoben und die Sache zum Neuentscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben und keine Parteientschädigungen zugesprochen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligen, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. September 2020
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Businger