Sachverhalt:
A.
A._, geboren 1979, war über die Unia Arbeitslosenkasse Zürich bei der Schweizerischen Unfallversicherungsanstalt (Suva) für die Folgen von Berufs- und Nichtberufsunfällen sowie Berufskrankheiten versichert, als er am 23. Juli 2017 auf einer Treppe ausrutschte und auf die linke Schulter sowie den Kopf stürzte. Dabei erlitt er ein leichtes Schädel-Hirn-Trauma und eine AC-Gelenksverletzung Typ Rockwood III. Die Suva erbrachte die gesetzlichen Leistungen (Heilbehandlung; Taggeld). Gestützt auf den Bericht über eine kreisärztliche Untersuchung vom 13. Juni 2019 teilte die Suva A._ am 14. Juni 2019 mit, die Heilkostenbehandlung per 31. Juli 2019 einzustellen. Das Taggeld werde noch bis am 30. September 2019 ausgerichtet, um die Wiedereingliederung in den Arbeitsprozess zu erleichtern. Mit Verfügung vom 1. Juli 2019 verneinte die Suva bei einem Invaliditätsgrad von 8 % einen Anspruch auf eine Invalidenrente und sprach A._ eine Integritätsentschädigung basierend auf einem Integritätsschaden von 15 % zu. Am 17. Juli 2019 teilte sie ihm mit, bis zum 31. Juli 2019 für eine stationäre Schmerztherapie aufzukommen. Die gegen die Verfügung vom 1. Juli 2019 erhobene Einsprache des A._ wies die Suva ab (Einspracheentscheid vom 27. März 2020).
Mit Verfügung vom 12. März 2019 verneinte auch die IV-Stelle des Kantons Zürich - ausgehend von einer vollumfänglichen Arbeitsfähigkeit in einer leidensangepassten Tätigkeit und einem Invaliditätsgrad von 9 % - einen Anspruch auf eine Invalidenrente.
B.
Die gegen den Einspracheentscheid der Suva erhobene Beschwerde des A._ wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 6. März 2021 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten lässt A._ beantragen, die Sache sei in Aufhebung des angefochtenen Urteils zur weiteren Abklärung an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, eventualiter sei ihm eine Invalidenrente basierend auf einem Invaliditätsgrad von mindestens 22 % zuzusprechen. Zudem ersucht er um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wurde nicht durchgeführt.

Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (<ref-law>). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen. Immerhin prüft das Bundesgericht, unter Berücksichtigung der allgemeinen Pflicht zur Begründung der Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweisen).
1.2. Im Beschwerdeverfahren um die Zusprechung oder Verweigerung von Geldleistungen der Militär- oder Unfallversicherung ist das Bundesgericht nicht an die vorinstanzliche Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts gebunden (Art. 97 Abs. 2 und Art. 105 Abs. 3 BGG).
2.
2.1. Streitig ist, ob die Vorinstanz Bundesrecht verletzte, indem sie in Bestätigung des Einspracheentscheids der Suva vom 27. März 2020 die Einstellung der Heilbehandlungen per 31. Juli 2019 sowie der Taggelder per 30. September 2019 schützte und einen Anspruch des Beschwerdeführers auf eine Invalidenrente verneinte.
2.2. Die Integritätsentschädigung war bereits im Einspracheverfahren nicht mehr streitig, sodass diesbezüglich Teilrechtskraft eingetreten ist (vgl. dazu <ref-ruling> E. 4.3 mit Hinweisen).
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die hier massgebenden rechtlichen Grundlagen betreffend die Voraussetzungen des Taggeld- (<ref-law>) und Rentenanspruchs (<ref-law>) sowie des Fallabschlusses mit gleichzeitiger Beurteilung des Anspruchs auf Invalidenrente und Integritätsentschädigung (<ref-law>; <ref-ruling> E. 2.1; <ref-ruling> E. 4) richtig dargelegt. Gleiches gilt für die Bestimmungen und Grundsätze zur Ermittlung des Invaliditätsgrades nach der allgemeinen Methode des Einkommensvergleichs (<ref-law>). Darauf kann ebenso verwiesen werden wie auf die vorinstanzlich wiedergegebenen beweisrechtlichen Anforderungen an eine ärztliche Stellungnahme (<ref-ruling> E. 3.2; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 3a; Urteil 9C_135/2021 vom 27. April 2021 E. 2.2; je mit Hinweisen).
3.2. Hervorzuheben ist, dass der Unfallversicherer den Fall nach Gesetz und Rechtsprechung (unter Einstellung der vorübergehenden Leistungen Heilbehandlung und Taggeld sowie mit Prüfung des Anspruchs auf eine Invalidenrente und auf eine Integritätsentschädigung) abzuschliessen hat, wenn von der Fortsetzung der ärztlichen Behandlung keine namhafte Besserung des Gesundheitszustandes der versicherten Person mehr erwartet werden kann und allfällige Eingliederungsmassnahmen der Invalidenversicherung abgeschlossen sind (<ref-law>; <ref-ruling> E. 4.1; <ref-ruling> E. 4). Ob eine namhafte Besserung noch möglich ist, bestimmt sich insbesondere nach Massgabe der zu erwartenden Steigerung oder Wiederherstellung der Arbeitsfähigkeit, soweit diese unfallbedingt beeinträchtigt ist. Die Verwendung des Begriffes "namhaft" in <ref-law> verdeutlicht demnach, dass die durch weitere (zweckmässige) Heilbehandlung im Sinne von <ref-law> erhoffte Besserung ins Gewicht fallen muss (BGE <ref-ruling> E. 4.3). Unbedeutende Verbesserungen genügen nicht. Diese Frage ist prospektiv zu beurteilen (RKUV 2005 Nr. U 557 S. 388, U 244/04 E. 3.1; vgl. auch Urteil 8C_102/2021 vom 26. März 2021 E. 6.1 mit Hinweisen).
4.
4.1. In Würdigung der Aktenlage ging das kantonale Gericht vom Vorliegen des medizinischen Endzustands aus und stellte fest, die Suva habe zu Recht die Heilbehandlungsleistungen per 31. Juli 2019 und die Ausrichtung von Taggeld (kulanterweise) per 30. September 2019 eingestellt. Ab dem Zeitpunkt des Fallabschlusses sei dem Beschwerdeführer eine angepasste leichte Tätigkeit ganztags zumutbar. Die Vorinstanz stützte sich dabei vorwiegend auf den kreisärztlichen Bericht der med. pract. B._, Fachärztin für Anästhesiologie, zur Untersuchung vom 13. Juni 2019. Vom durch die Suva zur Ermittlung des Invaliditätsgrades vorgenommenen Einkommensvergleich wich das kantonale Gericht insofern ab, als es die Voraussetzungen für einen leidensbedingten Abzug verneinte.
4.2. Der Beschwerdeführer macht demgegenüber im Wesentlichen geltend, die Vorinstanz habe eine unzulässige antizipierte Beweiswürdigung vorgenommen und damit den Untersuchungsgrundsatz verletzt. Zudem habe sie bei der Invaliditätsbemessung zu Unrecht einen Abzug von 20 % vom tabellarisch ermittelten Invalideneinkommen verweigert.
5.
5.1. Die Vorinstanz legte einlässlich und überzeugend dar, weshalb sie dem Bericht der med. pract. B._ vom 14. Juni 2019, mit welchem die Kreisärztin ungeachtet der multimodalen Schmerztherapie vom Endzustand und einer vollen Arbeitsfähigkeit in angepassten Tätigkeiten ausging, vollen Beweiswert zuerkannte. So beruht die kreisärztliche Beurteilung auf eigenen Untersuchungen, ist unter Berücksichtigung der gesamten Aktenlage erfolgt und begründet nachvollziehbar und schlüssig das Zumutbarkeitsprofil sowie die Arbeitsfähigkeit.
5.2.
5.2.1. Betreffend den Fallabschluss bestreitet der Beschwerdeführer den Beweiswert der kreisärztlichen Stellungnahme der med. pract. B._ vom 4. Juli 2019. Dabei scheint er zu übersehen, dass das kantonale Gericht in diesem Zusammenhang vorneweg auf den Bericht der Kreisärztin vom 14. Juni 2019 abstellte (E. 5.1 hievor), welcher aber durch die kreisärztliche Stellungnahme vom 4. Juli 2019 gestützt wurde. Mit seinen Einwendungen vermag der Beschwerdeführer jedoch weder auch nur geringe Zweifel am Bericht von med. pract. B._ vom 14. Juni 2019 noch an deren Stellungnahme vom 4. Juli 2019 zu begründen. Im vorgebrachten Schreiben des Spitals C._ vom 26. Juni 2019begründeten Dr. med. D._ und Dr. med. univ. E_, beide Fachärzte für Rheumatologie, das Gesuch um Kostenübernahme für die multimodale Schmerztherapie mit verschiedenen Kriterien. Entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers wird aus den Hervorhebungen bei der Aufzählung der Indikationskriterien allerdings deutlich, dass aus Sicht des Spital s C._ nicht die Beeinträchtigung der Arbeitsfähigkeit, sondern jene der Lebensqualität im Vordergrund stand (vgl. E. 3.2 hievor). Nachdem med. pract. B._ ebenfalls von einer möglichen Verbesserung der Lebensqualität ausging, stehen die Begründung des Gesuchs und die kreisärztliche Einschätzung vom 4. Juli 2019 somit nicht in einem Widerspruch. Nicht zu verfangen vermag damit ferner der Einwand des Beschwerdeführers, die Kreisärztin habe ihre Stellungnahme vom 4. Juli 2019 nicht begründet. Im Übrigen erklärte med. pract. B._ das Erreichen des Endzustands unabhängig von der Durchführung der Schmerztherapie bereits im Bericht vom 14. Juni 2019 insoweit, als sich die Situation seit der letzten kreisärztlichen Untersuchung vom 7. März 2018 nicht gebessert habe.
5.2.2. Auch im Zusammenhang mit der leidensangepassten Tätigkeit macht der Beschwerdeführer geltend, die Vorinstanz hätte nicht auf die Einschätzungen der med. pract. B._ abstellen dürfen. Gemäss Bericht des Spitals C._ vom 26. April 2019 habe er den Ärzten eine Hyposensibilität des gesamten Arms und eine verminderte Kraft mit der Unmöglichkeit, Gegenstände von mehr als 3 kg Gewicht länger zu heben, berichtet. Entgegen dem Beschwerdeführer qualifizierte das kantonale Gericht diese Schilderungen zu Recht als blosse von den Ärzten wiedergegebene Selbsteinschätzung des Beschwerdeführers. Ins Leere zielt diesbezüglich die Rüge, die Ärzte des Spitals C._ hätten allfällige Zweifel an seinen Angaben in ihrem an die Suva gerichteten Bericht zum Ausdruck gebracht. Erfahrungsgemäss sagen behandelnde Ärzte bzw. Therapiekräfte im Hinblick auf ihre auftragsrechtliche Vertrauensstellung im Zweifelsfall mitunter eher zu Gunsten ihrer Patienten aus (<ref-ruling> E. 4.5; Urteil 8C_744/2020 vom 8. März 2021 E. 4.2; je mit Hinweisen). Dies gilt für den allgemein praktizierenden Hausarzt wie für den behandelnden Spezialarzt und erst recht für den schmerztherapeutisch tätigen Arzt mit seinem besonderen Vertrauensverhältnis und dem Erfordernis, von den geklagten Schmerzen zunächst bedingungslos auszugehen (Urteil 9C_337/2017 vom 27. Oktober 2017 E. 3.3.6 mit Hinweis).
5.3. Mit seinen Einwendungen vermag der Beschwerdeführer somit keine auch nur geringen Zweifel an der Zuverlässigkeit und Schlüssigkeit der versicherungsinternen ärztlichen Feststellungen der med. pract. B._ vom 14. Juni 2019 und vom 4. Juli 2019 hervorzurufen (vgl. <ref-ruling> E. 8.5; <ref-ruling> E. 5.1; <ref-ruling> E. 4.4; Urteil 8C_700/2020 vom 11. Mai 2021 E. 2; je mit Hinweis). Nach dem Gesagten hat das kantonale Gericht zu Recht gestützt auf die kreisärztlichen Berichte der med. pract. B._ die Einstellung der Heilbehandlungen per 31. Juli 2019 und der Taggelder per 30. September 2019 bestätigt. Ebenfalls nicht zu beanstanden ist, dass Verwaltung und Vorinstanz gestützt auf die kreisärztlichen Einschätzungen in Bezug auf eine leidensangepasste Tätigkeit von einer vollen Arbeitsfähigkeit ausgingen. Weil davon keine entscheidrelevanten Resultate zu erwarten waren, durfte die Vorinstanz bundesrechtskonform auf weitere medizinische Abklärungen verzichten. Ein Verstoss gegen den Untersuchungsgrundsatz (<ref-law>) ist darin nicht zu erblicken (antizipierte Beweiswürdigung; <ref-ruling> E. 6.5, 136 I 229 E. 5.3; Urteil 8C_658/2020 vom 14. Januar 2021 E. 7).
6.
6.1. In erwerblicher Hinsicht ist allein die Verneinung eines leidensbedingten Abzugs durch die Vorinstanz streitig.
6.2. Wird das Invalideneinkommen auf der Grundlage von statistischen Durchschnittswerten ermittelt, ist der entsprechende Ausgangswert allenfalls zu kürzen. Damit soll der Tatsache Rechnung getragen werden, dass persönliche und berufliche Merkmale, wie Art und Ausmass der Behinderung, Lebensalter, Dienstjahre, Nationalität oder Aufenthaltskategorie und Beschäftigungsgrad Auswirkungen auf die Lohnhöhe haben können (<ref-ruling> E. 1.3; <ref-ruling> E. 3b/aa) und die versicherte Person je nach Ausprägung deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten kann (<ref-ruling> E. 5b/aa i.f.). Der Abzug soll aber nicht automatisch erfolgen. Er ist unter Würdigung der Umstände im Einzelfall nach pflichtgemässem Ermessen gesamthaft zu schätzen und darf 25 % nicht übersteigen (<ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 5.2; <ref-ruling> E. 5b/bb-cc). Ob ein leidensbedingter Abzug vom Tabellenlohn vorzunehmen ist, stellt eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage dar (<ref-ruling> E. 4.2 mit Hinweis).
6.3. Mit Blick auf die dargelegten Grundsätze hat die Vorinstanz zu Recht keinen Abzug gewährt. Dass dem Beschwerdeführer nur noch leichte Tätigkeiten zumutbar sind, ist kein Grund für einen leidensbedingten Abzug, zumal der Tabellenlohn der von der Vorinstanz zugrunde gelegten Lohnstrukturerhebung (LSE) des Bundesamtes für Statistik (LSE 2016, Tabelle TA1, Privater Sektor, Total, Männer) auf dem Kompetenzniveau 1 bereits eine Vielzahl von leichten und mittelschweren Tätigkeiten umfasst (Urteil 8C_151/2020 vom 15. Juli 2020 E. 6.2 mit Hinweis). Die leidensbedingten Einschränkungen wurden mit dem Belastungsprofil bereits berücksichtigt und dürfen nicht nochmals - als abzugsrelevant - herangezogen werden (vgl. <ref-ruling> E. 4.1 mit Hinweis). Mit Blick auf diese Einschränkungen ist überdies davon auszugehen, dass dem Beschwerdeführer ein genügend breites Spektrum an realisierbaren Tätigkeiten offensteht. Das von ihm zusätzlich geltend gemachte Belastungsmaximum des linken Arms von 3 kg und die daraus abgeleitete faktische Einhändigkeit sind demgegenüber nicht erstellt (E. 5.2.2 hievor). Wie das kantonale Gericht zutreffend erkannte, handelt es sich dabei lediglich um eine gegenüber den Ärzten des Spitals C._ abgegebene Selbsteinschätzung ohne jegliche medizinische Untermauerung. Ebenfalls nicht zu beanstanden ist, dass die Vorinstanz die vom Beschwerdeführer als abzugsrelevant angesehenen regelmässigen Arztkonsultationen und Physiotherapien ausser Acht liess. Mit Bericht vom 14. Juni 2019 empfahl med. pract B._ drei Arztkonsultationen und vier bis fünf Physiotherapien jährlich, welche den Beschwerdeführer nicht derart zu beeinträchtigen vermögen, dass er deswegen die verbliebene Arbeitsfähigkeit auch auf einem ausgeglichenen Arbeitsmarkt nur mit unterdurchschnittlichem erwerblichem Erfolg verwerten könnte. Als aktenwidrig erweist sich sodann die Behauptung des Beschwerdeführers, Inhaber einer Aufenthaltsbewilligung B zu sein. Mit Blick auf seinen Aufenthaltsstatus ergibt sich, dass Männer mit Niederlassungsbewilligung C ohne Kaderfunktion zwar weniger als Schweizer verdienen (LSE 2016, Tabelle TA12), aber mehr als den für die Invaliditätsbemessung herangezogenen Zentralwert (LSE 2016, Tabelle TA1; vgl. Urteil 9C_702/2020 vom 1. Februar 2021 E. 6.3.2 mit Hinweis). Entgegen dem Beschwerdeführer vermögen die dargelegten Kriterien - soweit überhaupt zutreffend - auch gesamthaft keinen Abzug zu rechtfertigen. Andere Merkmale, welche einen Tabellenlohn rechtfertigen könnten, werden nicht geltend gemacht und sind auch nicht ersichtlich.
6.4. Die Nichtgewährung eines leidensbedingten Abzugs vom statistischen Wert durch das kantonale Gericht erweist sich zusammenfassend nicht als bundesrechtswidrig. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde unbegründet und das angefochtene Urteil nicht zu beanstanden.
7.
Die Gerichtskosten werden dem unterliegenden Beschwerdeführer auferlegt (<ref-law>). Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (im Sinne der vorläufigen Befreiung von den Gerichtskosten und der unentgeltlichen Verbeiständung) kann entsprochen werden, da die Bedürftigkeit ausgewiesen ist, die Beschwerde nicht als aussichtslos zu bezeichnen und die Vertretung durch einen Rechtsanwalt geboten war (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Es wird indessen ausdrücklich auf <ref-law> aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben wird, wenn sie später dazu im Stande ist.

Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwalt Adrian Ramsauer wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 23. Juni 2021
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Walther