Faits :
A.
A.a. Par dispositions testamentaires établies en 1999, B._, née en 1920, a institué son "ami de coeur" A._, né en 1940, comme légataire universel de sa succession. En 2005, elle l'avait en outre chargé de veiller au respect de ses dernières volontés.
B._ est décédée en 2012 à Genève. A._ a alors chargé son conseil C._ d'administrer et de liquider la succession, qui comprenait notamment une villa, sise à D._.
Le 26 avril 2013, alors que la villa était sur le point d'être vendue pour un montant de 11'450'000 fr., E._, demi-soeur de la défunte, s'est opposée à la délivrance du certificat d'héritier que la Justice de paix de la République et canton de Genève avait remis à A._ le 15 avril 2013. E._ mettait en doute la volonté de sa demi-soeur d'instituer A._ comme légataire universel. Le litige fait depuis lors également l'objet d'une action successorale introduite devant le juge civil.
Dans ce contexte, par ordonnance du 29 avril 2013, la Justice de paix a nommé X._, avocat à Genève, comme administrateur d'office de la succession en charge de procéder aux actes administratifs et conservatoires nécessaires et aux paiements liés à la gestion courante de la succession, suspendant les pouvoirs jusque-là exercés par C._.
A.b. Le 7 août 2015, l'administrateur d'office a fait notifier à A._ un commandement de payer portant sur une somme de plus de 400'000 fr., qui correspondait au montant d'un prêt hypothécaire que A._ avait obtenu en constituant un gage sur l'immeuble de D._ et qui avait dû être remboursé par la succession à l'établissement bancaire au moyen des liquidités obtenues lors de la vente de l'immeuble survenue dans l'intervalle. Le 12 novembre 2015, X._ a en outre déposé plainte contre A._ pour vol. Il lui reprochait d'avoir subtilisé des bijoux appartenant à la succession, en refusant de les lui remettre ou de procéder à une estimation de leur valeur par un spécialiste.
A.c. Le 22 janvier 2016, A._ a déposé plainte contre X._ pour dénonciation calomnieuse, menaces et tentative de contrainte. Il lui faisait grief d'avoir cherché à l'intimider en procédant au dépôt de la réquisition de poursuite et de la plainte pénale sus-évoquées. La plainte de A._ était également dirigée contre Y._, conseil de E._, à qui il reprochait d'avoir instigué les faits commis par X._.
L'instruction portant sur les faits relatés dans la plainte de A._ a été suspendue par le Ministère public de la République et canton de Genève jusqu'à droit connu sur la plainte que X._ avait déposée le 12 novembre 2015.
A.d. Par ordonnance du 4 mars 2016, le Ministère public a décidé de ne pas entrer en matière sur la plainte pour vol dirigée contre A._. Cette ordonnance a été confirmée par arrêt du 27 juillet 2016 de la Chambre pénale de recours, qui a estimé qu'un dessein d'enrichissement illégitime faisait défaut, en particulier dans la mesure où les bijoux, d'une valeur de quelques centaines de francs, avaient avant tout une valeur sentimentale pour A._.
B.
Par ordonnance du 16 août 2017, le Ministère public a classé la procédure pénale ouverte ensuite de la plainte déposée le 22 janvier 2016 par A._.
Par arrêt du 4 octobre 2017, la Chambre pénale de recours a rejeté le recours formé par A._ contre cette ordonnance.
C.
A._ forme un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre cet arrêt. Il conclut, sous suite de frais et dépens, principalement à la condamnation de X._ pour dénonciation calomnieuse et tentative ou délit manqué de contrainte, à la condamnation de Y._ pour instigation à dénonciation calomnieuse et à tentative ou à délit manqué de contrainte ainsi qu'à l'allocation d'une indemnité de 20'000 fr. pour tort moral. Subsidiairement, il conclut au renvoi de la cause aux autorités cantonales avec instruction de statuer dans le sens des considérants.

Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (<ref-ruling> consid. 1 p. 197).
1.1. Selon l'art. 81 al. 1 let. a et b ch. 5 LTF, la partie plaignante qui a participé à la procédure de dernière instance cantonale est habilitée à recourir au Tribunal fédéral si la décision attaquée peut avoir des effets sur le jugement de ses prétentions civiles. Constituent de telles prétentions celles qui sont fondées sur le droit civil et doivent en conséquence être déduites ordinairement devant les tribunaux civils. Il s'agit principalement des prétentions en réparation du dommage et du tort moral au sens des <ref-law> (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4).
En vertu de l'<ref-law>, il incombe au recourant d'alléguer les faits qu'il considère comme propres à fonder sa qualité pour recourir. Lorsque le recours est dirigé contre une décision de non-entrée en matière ou de classement de l'action pénale, la partie plaignante n'a pas nécessairement déjà pris des conclusions civiles. Quand bien même la partie plaignante aurait déjà déclaré des conclusions civiles (cf. <ref-law>), il n'en reste pas moins que le procureur qui refuse d'entrer en matière ou prononce un classement n'a pas à statuer sur l'aspect civil (cf. <ref-law>). Dans tous les cas, il incombe par conséquent à la partie plaignante d'expliquer dans son mémoire au Tribunal fédéral quelles prétentions civiles elle entend faire valoir contre l'intimé. Comme il n'appartient pas à la partie plaignante de se substituer au ministère public ou d'assouvir une soif de vengeance, la jurisprudence entend se montrer restrictive et stricte, de sorte que le Tribunal fédéral n'entre en matière que s'il ressort de façon suffisamment précise de la motivation du recours que les conditions précitées sont réalisées, à moins que l'on puisse le déduire directement et sans ambiguïté compte tenu notamment de la nature de l'infraction alléguée (<ref-ruling> consid. 1.1 p. 4 et les références citées).
1.2. En l'espèce, le recourant indique vouloir réclamer aux intimés le remboursement de ses "frais de défense" qu'il chiffre à 23'500 francs. Toutefois, comme la jurisprudence l'a rappelé à maintes reprises, les frais liés aux démarches judiciaires de la partie plaignante ne sauraient constituer des prétentions civiles au sens de l'art. 81 al. 1 let. b ch. 5 LTF (cf. arrêts 6B_51/2018 du 11 avril 2018 consid. 2.1; 6B_768/2013 du 12 novembre 2013 consid. 1.3).
1.3. Le recourant sollicite par ailleurs des intimés, conjointement et solidairement entre eux, le paiement d'une indemnité pour tort moral qu'il chiffre à 20'000 francs. L'intéressé, âgé de 78 ans, précise que les "pressions exercées sur sa personne l'ont profondément affecté" et soutient avoir subi de "graves crises d'asthme" après s'être vu notifier un commandement de payer portant sur une somme très importante. Il souligne encore que la plainte pénale a donné lieu à une perquisition à son domicile, qu'il qualifie de "traumatisante".
Les prétentions que le recourant fait valoir ne constituent pas des créances de droit public, lesquelles sont en principe exclues du champ d'application de l'<ref-law> (<ref-ruling> consid. 3.1 p. 88; arrêt 6B_1163/2017 du 10 avril 2018 consid. 1.3). En effet, même si l'administrateur officiel est désigné par une autorité, il exerce une fonction de nature privée, de sorte que sa responsabilité doit être régie par les art. 41 ss et 398 ss CO, appliqués par analogie (PAUL-HENRI STEINAUER, Le droit des successions, 2 e éd., p. 470; KARRER/ VOGT/LEU, Basler Kommentar, 5 e éd., n° 67 ad <ref-law> et n° 38 ad <ref-law>; cf. également s'agissant de l'exécuteur testamentaire [<ref-law>] : <ref-ruling> consid. 4.1 p. 10; <ref-ruling> consid. 2 p. 53).
Dans ces circonstances, il convient d'admettre que la décision attaquée pourrait avoir des effets sur le jugement des prétentions civiles du recourant. Il est ainsi habilité à recourir sur le fond au Tribunal fédéral.
2.
Invoquant une violation de l'<ref-law>, le recourant conteste le classement prononcé s'agissant de l'accusation de dénonciation calomnieuse visant l'intimé X._. Il reproche à la cour cantonale de ne pas avoir retenu qu'au moment du dépôt de la plainte pénale, l'intimé savait qu'il était innocent du vol de bijoux dont il l'accusait.
2.1. Selon l'<ref-law>, le ministère public ordonne le classement de tout ou partie de la procédure lorsque les éléments constitutifs d'une infraction ne sont pas réunis. Sa décision doit respecter le principe "in dubio pro duriore" en vertu duquel un classement ne peut être prononcé par le ministère public que lorsqu'il apparaît clairement que les faits ne sont pas punissables ou que les conditions à la poursuite pénale ne sont pas remplies. Le ministère public et l'autorité de recours disposent, dans ce cadre, d'un pouvoir d'appréciation que le Tribunal fédéral revoit avec retenue. La procédure doit se poursuivre lorsqu'une condamnation apparaît plus vraisemblable qu'un acquittement ou lorsque les probabilités d'acquittement et de condamnation apparaissent équivalentes, en particulier en présence d'une infraction grave (<ref-ruling> consid. 2.3.2; <ref-ruling> consid. 4.1.2 p. 91; 186 consid 4.1 p. 190).
2.2.
2.2.1. L'<ref-law> réprime le comportement de celui qui aura dénoncé à l'autorité, comme auteur d'un crime ou d'un délit, une personne qu'il savait innocente, en vue de faire ouvrir contre elle une poursuite pénale.
Est notamment considéré comme "innocent" celui qui a été libéré par un jugement d'acquittement ou par le prononcé d'un classement. Le juge de la dénonciation calomnieuse est lié par une telle décision (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 176). L'élément constitutif subjectif de l'infraction exige l'intention et la connaissance de la fausseté de l'accusation. Par conséquent, il ne suffit pas que l'auteur ait conscience que ses allégations pourraient être fausses. Il doit savoir que son accusation est inexacte. Le dol éventuel ne suffit donc pas (<ref-ruling> consid. 2.1 p. 176 s.; arrêt 6B_324/2015 du 14 janvier 2016 consid. 2.1).
2.2.2. Déterminer ce qu'une personne a su, voulu, envisagé ou accepté relève de la constatation de faits, qui lie le Tribunal fédéral (<ref-law>), à moins qu'elle n'ait été faite de façon manifestement inexacte, à savoir arbitraire (art. 9 Cst.; <ref-ruling> consid. 6.3 p. 375). Est en revanche une question de droit celle de savoir si l'autorité cantonale s'est fondée sur une juste conception de la notion d'intention et si elle l'a correctement appliquée sur la base des faits retenus et des éléments à prendre en considération (<ref-ruling> consid. 6.3 p. 375; <ref-ruling> consid. 2.3.2 p. 156).
2.3. L'autorité précédente a retenu qu'en sa qualité d'administrateur d'office de la succession, l'intimé X._ avait pour mission de dresser l'inventaire de la succession et qu'il lui incombait par conséquent non seulement de répertorier, mais aussi d'évaluer tout actif susceptible d'entrer dans la masse successorale. Ainsi, après une première interpellation adressée au recourant par la Justice de paix, l'administrateur d'office avait mis l'intéressé en demeure de lui remettre les bijoux ou de les faire évaluer par un expert agréé par les tribunaux. C'était ensuite devant le refus persistant du recourant de se plier aux exigences légales que l'intimé X._ avait demandé et obtenu de la Justice de paix l'autorisation d'entreprendre des actions judiciaires, tant sur le plan civil que pénal. Dans ce contexte, il ne pouvait pas être retenu que l'administrateur d'office avait d'emblée su que le recourant était innocent d'une appropriation indue de bijoux, dont la rétention donnait, de bonne foi, toutes les apparences.
2.4. Le recourant prétend que les bijoux ne constituaient pas un actif susceptible d'entrer dans la masse successorale, étant donné qu'ils n'avaient qu'une valeur sentimentale, la défunte ayant insisté, deux jours avant son décès, pour que sa tutrice lui remette ces objets en son souvenir. Il explique avoir informé l'administrateur de ce qui précède, pièces à l'appui, en réponse à sa mise en demeure. En soutenant que les explications qu'il a données à l'administrateur d'office ont permis à ce dernier d'en conclure qu'il était devenu propriétaire des bijoux et que ceux-ci ne devaient pas être inventoriés, le recourant s'en prend à l'appréciation des preuves opérée par la cour cantonale, dans une démarche appellatoire et partant irrecevable dans le recours en matière pénale (<ref-law>). Au surplus, il perd de vue que l'exigence de procéder à l'évaluation des bijoux émanait également de la Justice de paix, qui lui avait non seulement rappelé ses obligations, mais qui avait également autorisé l'administrateur à entreprendre des démarches judiciaires en vue de récupérer les bijoux.
C'est également en vain que le recourant soutient avoir informé l'administrateur du fait que les bijoux avaient déjà été évalués par la Caisse cantonale de prêts sur gage, qui les avait alors estimés à 500 francs. Dans la mesure où cette estimation avait été réalisée plus de dix ans auparavant en vue de l'octroi d'un prêt sur gage, le refus de l'administrateur d'en tenir compte pouvait en effet s'expliquer par le fait que celle-ci ne lui avait pas semblé suffisamment concluante au moment d'établir la valeur devant être portée à l'inventaire de la succession. Enfin, la volonté du recourant de compenser la valeur des bijoux avec de prétendues créances successorales n'était pas encore susceptible de justifier le refus de procéder à leur évaluation, pour laquelle il n'était pas nécessaire qu'il remette les objets litigieux à l'administrateur, ce dernier lui ayant proposé qu'il les adresse lui-même à un spécialiste agréé.
En définitive, le recourant ne parvient pas à démontrer en quoi la cour cantonale a versé dans l'arbitraire en retenant que l'administrateur d'office ne savait pas le recourant innocent du vol de bijoux au moment du dépôt de la plainte pénale.
2.5. Faute d'élément laissant supposer que, sur le plan subjectif, l'infraction de dénonciation calomnieuse était réalisée, c'est sans violer le droit fédéral que la cour cantonale a classé la procédure pénale en vertu de l'<ref-law>. Le grief doit être rejeté.
3.
Le recourant conteste également le classement de la procédure pénale pour le chef de prévention de tentative de contrainte.
3.1. Se rend coupable de contrainte selon l'<ref-law> celui qui, en usant de violence envers une personne ou en la menaçant d'un dommage sérieux, ou en l'entravant de quelque autre manière dans sa liberté d'action, l'aura obligée à faire, ne pas faire ou à laisser faire un acte. Alors que la violence consiste dans l'emploi d'une force physique d'une certaine intensité à l'encontre de la victime (<ref-ruling> consid. 3a p. 44), la menace est un moyen de pression psychologique consistant à annoncer un dommage futur dont la réalisation est présentée comme dépendante de la volonté de l'auteur, sans toutefois qu'il soit nécessaire que cette dépendance soit effective (<ref-ruling> consid. 2b p. 448; <ref-ruling> consid. 2a p. 128) ni que l'auteur ait réellement la volonté de réaliser sa menace (<ref-ruling> consid. 2a p. 122). La loi exige un dommage sérieux, c'est-à-dire que la perspective de l'inconvénient présenté comme dépendant de la volonté de l'auteur soit propre à entraver le destinataire dans sa liberté de décision ou d'action. La question doit être tranchée en fonction de critères objectifs, en se plaçant du point de vue d'une personne de sensibilité moyenne (<ref-ruling> consid. 1a p. 325; <ref-ruling> consid. 2a/aa p. 19). Il peut également y avoir contrainte lorsque l'auteur entrave sa victime "de quelque autre manière" dans sa liberté d'action. Cette formule générale doit être interprétée de manière restrictive. N'importe quelle pression de peu d'importance ne suffit pas. Il faut que le moyen de contrainte utilisé soit, comme pour la violence ou la menace d'un dommage sérieux, propre à impressionner une personne de sensibilité moyenne et à l'entraver d'une manière substantielle dans sa liberté de décision ou d'action. Il s'agit donc de moyens de contrainte qui, par leur intensité et leur effet, sont analogues à ceux qui sont cités expressément par la loi (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 440 s.; <ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 328).
Selon la jurisprudence, la contrainte n'est contraire au droit que si elle est illicite, soit parce que le moyen utilisé ou le but poursuivi est illicite, soit parce que le moyen est disproportionné pour atteindre le but visé, soit encore parce qu'un moyen conforme au droit utilisé pour atteindre un but légitime constitue, au vu des circonstances, un moyen de pression abusif ou contraire aux moeurs (<ref-ruling> consid. 3.2.1 p. 440 s.; <ref-ruling> consid. 3.3.1 p. 328; <ref-ruling> consid. 4.1 p. 218). Pour une personne de sensibilité moyenne, faire l'objet d'un commandement de payer d'une importante somme d'argent est, à l'instar d'une plainte pénale, une source de tourments et de poids psychologique, en raison des inconvénients découlant de la procédure de poursuite elle-même et de la perspective de devoir peut-être payer le montant en question. Un tel commandement de payer est ainsi propre à inciter une personne de sensibilité moyenne à céder à la pression subie, donc à l'entraver d'une manière substantielle dans sa liberté de décision ou d'action (arrêt 6B_70/2016 du 2 juin 2016 consid. 4.3.4 non publié aux <ref-ruling>). Certes, faire notifier un commandement de payer lorsqu'on est fondé à réclamer une somme est licite. En revanche, utiliser un tel procédé comme moyen de pression est clairement abusif, donc illicite (cf. <ref-ruling> consid. 3, 81 consid. 3b; arrêt 6B_153/2017 du 28 novembre 2017 consid. 3.1).
3.2. La cour cantonale a estimé en substance qu'en notifiant un commandement de payer pour recouvrer une créance de la succession à l'égard du recourant, l'administrateur d'office avait agi en conformité avec les tâches qui lui incombaient, de sorte qu'il n'avait pas poursuivi un but illicite et n'avait pas utilisé de moyens disproportionnés pour atteindre ce but. Une condamnation de l'intimé X._ pour tentative de contrainte était en conséquence exclue.
3.3. Le recourant fait valoir qu'une éventuelle prétention de la succession à son égard n'est susceptible d'exister qu'au cas où sa qualité de légataire lui est déniée à l'issue de la procédure civile l'opposant à E._. Cette procédure étant toujours en cours, la succession ne dispose selon le recourant en l'état d'aucune créance à son encontre, de sorte que l'envoi d'une réquisition de poursuite par l'administrateur d'office était illicite, une telle démarche n'ayant visé qu'à le faire céder pour qu'il accepte de conclure une transaction dans le cadre de la procédure civile. Il se prévaut également du fait que la constitution d'un gage immobilier avait été autorisée par la Justice de paix préalablement à l'entrée en fonction de l'intimé X._.
Il ressort des constatations de fait prises souverainement par la cour cantonale (<ref-law>) que des actifs successoraux avaient servi à rembourser à la banque concernée, à hauteur de 428'000 fr., le prêt hypothécaire garanti par un gage sur l'immeuble de D._. Il ressort également du jugement entrepris que le recourant avait bénéficié de ce prêt à des fins personnelles. Or, en sa qualité d'administrateur d'office, la mission essentielle de l'intimé X._ consistait à conserver la substance de la succession, dans l'intérêt de tous les successeurs et de tous les créanciers. Dans ce cadre, il avait la faculté d'intervenir en justice (comme demandeur ou comme défendeur) et dans l'exécution forcée pour faire reconnaître les créances et les autres droits dépendants de la succession (cf. STEINAUER, op. cit., p. 470 s.; CAROLINE SCHULER-BUCHE, L'exécuteur testamentaire, l'administrateur officiel et le liquidateur officiel : étude et comparaison, thèse, Lausanne 2003, p. 168 et les références citées; cf. également ATF 79 II 113 consid. 4 p. 116).
Dès lors que l'envoi de la réquisition de poursuite visait à recouvrer le montant remboursé par la succession à la place du recourant et ainsi à préserver l'actif successoral, une telle démarche n'était pas illicite. En outre, dans la mesure où la poursuite ne portait pas sur un montant supérieur à celui qui a été remboursé par la succession, la démarche n'était pas disproportionnée. Dans ce contexte, le commandement de payer ne constitue pas un moyen de pression abusif. Il est enfin sans pertinence que l'octroi du prêt et la mise en gage de l'immeuble avaient initialement été approuvés par la Justice de paix. Dans ses développements, le recourant paraît ainsi confondre la prétention de la succession à son égard avec les droits sur la succession auxquels il pourrait prétendre si sa qualité de légataire est reconnue au terme de la procédure civile l'opposant à la demi-soeur de la défunte.
Il s'ensuit que la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en considérant que l'intimé avait agi de manière licite, de sorte que le classement de la procédure pénale pour tentative de contrainte en vertu de l'<ref-law> se justifiait. Le grief doit donc être rejeté.
4.
Compte tenu du classement de la procédure pénale concernant l'intimé X._ et du caractère accessoire des actes d'instigation reprochés à l'intimé Y._ par rapport aux infractions principales (cf. <ref-ruling> consid. 2b p. 232), la cour cantonale n'a pas non plus violé le droit fédéral en confirmant le classement de la procédure visant ce dernier s'agissant du chef de prévention d'instigation à dénonciation calomnieuse et à tentative de contrainte.
5.
Dans un dernier moyen, le recourant soutient que l'arrêt entrepris est arbitraire "dans son résultat". Il se limite toutefois à exposer une nouvelle fois sa propre version des faits et à présenter son appréciation personnelle des circonstances d'espèce dans une démarche purement appellatoire (<ref-law>) et partant irrecevable dans le recours en matière pénale.
6.
Il s'ensuit que le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (<ref-law>). Les intimés, qui n'ont pas été invités à se déterminer, ne sauraient prétendre à des dépens.

Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre pénale de recours.
Lausanne, le 5 juin 2018
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
Le Greffier : Tinguely