Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 17. April 2009 lehnte die IV-Stelle Schaffhausen das Gesuch des 1961 geborenen A._ um Ausrichtung einer Invalidenrente ab. Auf Beschwerde des Versicherten hin bestätigte das Obergericht des Kantons Schaffhausen die Rentenverweigerung mit Entscheid vom 5. Februar 2010. A._ meldete sich im April 2012 erneut bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die aufgrund eines Wohnsitzwechsels nunmehr zuständige IV-Stelle des Kantons Thurgau verneinte gestützt auf ein polydisziplinäres MEDAS-Gutachten der asim, Basel, vom 31. Dezember 2012 wiederum einen Rentenanspruch (Verfügung vom 21. März 2014). Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 6. August 2014 in dem Sinne gut, als es die Sache zur ergänzenden psychiatrischen Verlaufsbegutachtung durch die asim und zur anschliessenden neuen Verfügung an die Verwaltung zurückwies. Die IV-Stelle holte in der Folge bei der asim ein polydisziplinäres Verlaufsgutachten (rheumatologisch/neurologisch/internistisch/psychiatrisch/neuropsychologisch) vom 13. Februar 2015 ein und lehnte gestützt darauf die Ausrichtung einer Invalidenrente mit Verfügung vom 20. Mai 2015 erneut ab; gleichzeitig verneinte sie den Anspruch des anwaltlich vertretenen Versicherten auf unentgeltliche Rechtsverbeiständung im Verwaltungsverfahren.
B.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies die hiegegen eingereichte Beschwerde im Rentenpunkt ab; mit Bezug auf die unentgeltliche Verbeiständung im Verfahren vor der IV-Stelle hiess es sie gut und wies die Sache zur Festlegung der Entschädigung für Rechtsanwältin Dr. Wyler an die Verwaltung zurück (Entscheid vom 23. Dezember 2015).
C.
C.a. A._ lässt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten führen (Verfahren 9C_161/2016) mit dem Antrag auf Rückweisung der Sache an die IV-Stelle zur Durchführung einer psychiatrischen Verlaufsbegutachtung; eventuell sei ihm ab 1. Oktober 2012 eine ganze Invalidenrente zuzusprechen; subeventuell sei er erneut interdisziplinär zu begutachten. Überdies lässt er um unentgeltliche Rechtspflege für das letztinstanzliche Verfahren sowie um Durchführung eines zweiten Schriftenwechsels ersuchen.
C.b.
Die IV-Stelle führt ebenfalls Beschwerde ans Bundesgericht (Verfahren 9C_145/2016) und beantragt, der angefochtene Entscheid sei hinsichtlich der unentgeltlichen Rechtsverbeiständung im Verwaltungsverfahren aufzuheben und die von ihr diesbezüglich verfügte Ablehnung sei zu bestätigen.
Erwägungen:
1.
Die beiden Beschwerden richten sich gegen ein und denselben vorinstanzlichen Entscheid; in beiden Verfahren stehen sich zudem die nämlichen Parteien gegenüber. Obwohl unterschiedliche Punkte angefochten werden (einerseits die Rentenablehnung, anderseits die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung im Verwaltungsverfahren), rechtfertigt es sich, die Verfahren 9C_145/2016 und 9C_161/2016 zu vereinigen und in einem einzigen Urteil zu erledigen.
2.
2.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG). Mit Blick auf diese Kognitionsregelung ist aufgrund der Vorbringen in der Beschwerde ans Bundesgericht zu prüfen, ob der angefochtene Gerichtsentscheid in der Anwendung der massgeblichen materiell- und beweisrechtlichen Grundlagen (u.a.) Bundesrecht verletzt (Art. 95 lit. a BGG), einschliesslich einer allfälligen rechtsfehlerhaften Tatsachenfeststellung (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Da die Streitsache ohne Schriftenwechsel entschieden werden kann, ist der Antrag des Versicherten, es sei ein zweiter Schriftenwechsel durchzuführen, gegenstandslos (Art. 102 Abs. 1 und 3 BGG).
3.
3.1. Die Berechtigung auf eine Invalidenrente setzt einen Invaliditätsgrad von mindestens 40 % voraus (Art. 28 Abs. 2 IVG). Bei erwerbstätigen Versicherten ist der Invaliditätsgrad aufgrund eines Einkommensvergleichs zu bestimmen. Dazu wird das Erwerbseinkommen, das die versicherte Person nach Eintritt der Invalidität und nach Durchführung der medizinischen Behandlung und allfälliger Eingliederungsmassnahmen durch eine ihr zumutbare Tätigkeit bei ausgeglichener Arbeitsmarktlage erzielen könnte, in Beziehung gesetzt zum Erwerbseinkommen, das sie erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (Art. 16 ATSG [SR 830.1] in Verbindung mit Art. 28a Abs. 1 IVG; allgemeine Methode des Einkommensvergleichs; BGE 130 V 343 E. 3.4 S. 348; 128 V 29 E. 1 S. 30; 104 V 135 E. 2a und b S. 136).
3.2.
3.2.1. Das kantonale Gericht hat - wobei es die hievor (E. 2.1) angeführte Kognitionsregelung zu beachten gilt - insbesondere gestützt auf das polydisziplinäre asim-Gutachten vom 13. Februar 2015 (einschliesslich Ergänzung vom 13. März 2015) zutreffend erkannt, dass der Versicherte trotz seiner psychischen Beschwerden nach wie vor der angestammten Erwerbstätigkeit als Maler oder einer andern der psychischen Beeinträchtigung angepassten Tätigkeit im Umfang von 70 % nachgehen und damit ein rentenausschliessendes Einkommen erzielen könnte. Jedenfalls kann von einer offensichtlich unrichtigen (oder unvollständigen) vorinstanzlichen Feststellung des rechtserheblichen Sachverhalts oder von einer willkürlichen Würdigung der Aktenlage keine Rede sein (was auch hinsichtlich der antizipierten Beweiswürdigung gilt, wonach keine weiteren ärztlichen Abklärungen erforderlich seien).
3.2.2. Sämtliche Einwendungen des Versicherten vermögen an dieser Betrachtungsweise nichts zu ändern.
Insbesondere kann ihm nicht gefolgt werden, wenn er unter Hinweis auf den seinerzeitigen Rückweisungsentscheid vom 6. August 2014 geltend macht, weil sich die IV-Stelle nicht an die klare Anordnung des Verwaltungsgerichts gehalten habe, (allein) ein psychiatrisches Gutachten einzuholen, sei das stattdessen in Auftrag gegebene und am 13. Februar 2015 erstattete polydisziplinäre asim-Gutachten "bereits aus formellen Gründen" unbeachtlich und es müsse eine neue, nur psychiatrische Begutachtung durchgeführt werden. Ein solches Vorgehen trotz klarer medizinischer Aktenlage würde einen formalistischen Leerlauf darstellen, der sich in keiner Weise rechtfertigen liesse. Im Übrigen beanstandete der damals wie heute durch dieselbe Rechtsanwältin vertretene Versicherte die von der IV-Stelle vorgenommene Ausweitung des vorinstanzlichen Abklärungsauftrags erst nach Durchführung der polydisziplinären Verlaufsbegutachtung, als die Verwaltung gestützt auf die Expertise ihren ablehnenden Vorbescheid vom 26. März 2015 erlassen hatte. Entgegen den Ausführungen in der Beschwerdeschrift hat das kantonale Gericht das Vorgehen der IV-Stelle im angefochtenen Entscheid nicht einfach kommentarlos akzeptiert, sondern ausdrücklich festgestellt, es liesse sich "im Sinne einer gesamthaften Betrachtung" nicht beanstanden.
Aus den Erwägungen im (rentenablehnenden) Entscheid des Obergerichts des Kantons Schaffhausen vom 5. Februar 2010 lässt sich sodann für den hier massgebenden Zeitraum von Oktober 2012 bis zum Erlass der erneut abweisenden Verfügung vom 20. Mai 2015 nichts Wesentliches ableiten. Dasselbe gilt für den vorinstanzlich eingereichten psychiatrischen Bericht der Privatklinik B._ vom 15. September 2015 (BGE 132 V 215 E. 3.1.1 S. 220; 121 V 362 E. 1b S. 366), während die erst letztinstanzlich nachgereichten Berichte dieser Klinik vom 9. April 2015 und 27. Januar 2016 sowie das ärztliche Zeugnis der Psychiatrischen Dienste C._ vom 29. Mai 2015 schon aufgrund des Novenverbots gemäss Art. 99 Abs. 1 BGG ausser Acht zu bleiben haben. Im Übrigen werden in der Beschwerdeschrift des Versicherten ausschliesslich blosse Tat- und Ermessensfragen aufgeworfen, welche - wie dargelegt (E. 2.1 hievor) - der freien Überprüfung durch das Bundesgericht von vornherein entzogen sind.
3.3. Nach dem Gesagten muss es mit der am 20. Mai 2015 erneut verfügten, vorinstanzlich bestätigten Rentenablehnung sein Bewenden haben. Die Beschwerde des Versicherten (Verfahren 9C_161/2016) ist abzuweisen.
4.
Die Beschwerde der IV-Stelle (Verfahren 9C_145/2016) richtet sich gegen die vorinstanzliche Gewährung der unentgeltlichen anwaltlichen Verbeiständung im Verwaltungsverfahren (wobei einzig die sachliche Erforderlichkeit bestritten wird).
4.1. Das kantonale Gericht hat die diesbezüglichen, kumulativ zu erfüllenden Voraussetzungen (Nichtaussichtslosigkeit des Leistungsgesuchs, Bedürftigkeit der Partei, Notwendigkeit der anwaltlichen Verbeiständung im konkreten Fall) und die von der Rechtsprechung dazu entwickelten Grundsätze zutreffend dargelegt (Art. 29 Abs. 3 BV; Art. 37 Abs. 4 ATSG; BGE 132 V 200 E. 4.1; SVR 2016 IV Nr. 17 S. 50, 8C_931/2015 E. 3), worauf verwiesen wird. Die Frage der sachlichen Erforderlichkeit der anwaltlichen Verbeiständung ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (in fine des letztangeführten Rechtsprechungszitats).
4.2. Des Weitern hat die Vorinstanz auf SVR 2015 IV Nr. 18 S. 53, 8C_557/2014 verwiesen und dieses Urteil auch hier als massgebend erachtet.
In jenem Urteil hatte das kantonale Gericht die Rentensache (nach bereits erfolgter Begutachtung) zur ergänzenden monodisziplinären (psychiatrischen) Begutachtung an die IV-Stelle zurückgewiesen (a.a.O., lit. A des Sachverhalts). Die Versicherte war im gerichtlichen Verfahren, welches zur Rückweisung führte, wie auch im anschliessenden Verwaltungsverfahren (sowie in den folgenden Prozessen vor kantonalem Gericht und Bundesgericht betreffend unentgeltlicher Verbeiständung im Verwaltungsverfahren) stets durch den gleichen Rechtsanwalt vertreten (a.a.O., E. 5.2.2). Im wiederaufgenommenen Verwaltungsverfahren hat sich die IV-Stelle mit dem Rechtsvertreter der Versicherten unter Wahrung der praxisgemäss zu gewährleistenden Partizipationsrechte (vgl. dazu BGE 139 V 349 E. 5 S. 354 ff.) konsensorientiert über die Gutachterstelle, die Fachdisziplinen (abweichend von der gerichtlichen Anordnung im Rückweisungsentscheid wurde ein polydisziplinäres Gutachten eingeholt) und den Fragenkatalog geeinigt. Dies setzte nach Feststellung des Bundesgerichts eine fachliche Kompetenz voraus, über welche die Versicherte selber nicht verfügte und welche ihr durch die Beiordnung eines Rechtsvertreters verschafft werden konnte (a.a.O., E. 5.2.3). Im erwähnten Urteil anerkannte das Bundesgericht bei gerichtlich erstrittener Rückweisung an die IV-Stelle zwecks Wiederaufnahme des Verwaltungsverfahrens zur erneuten medizinischen Begutachtung besondere Umstände, welche die Sache als nicht (mehr) einfach und die unentgeltliche Rechtsverbeiständung als erforderlich erscheinen liessen (a.a.O., E. 5.2.1 mit Hinweis).
4.3. Wie bereits erwähnt (E. 3.2.2 hievor), veranlasste die IV-Stelle entgegen dem vorinstanzlichen Rückweisungsentscheid vom 6. August 2014 bei der asim nicht ein monodisziplinäres (psychiatrisches) Verlaufsgutachten, sondern von sich aus eine polydisziplinäre Expertise bei nicht weniger als fünf Fachspezialisten. Das kantonale Gericht gelangte daher im hier angefochtenen Entscheid zum zutreffenden Schluss, dass der Versicherte durch das Vorgehen der Verwaltung (nebst den unbestreitbar schwierigen medizinischen Fragen zusätzlich) mit spezifisch rechtlichen Fragen konfrontiert worden ist, welche mit denjenigen im dargelegten Präjudiz durchaus vergleichbar sind und ebenso eine anwaltliche Betreuung unumgänglich machten. Anders als die IV-Stelle vorträgt, ändert der Umstand nichts, dass die Rechtsvertreterin gegen die für die Begutachtung vorgesehenen Fachärzte und Fachärztinnen keine Einwendungen erhob und auch keine Ergänzungsfragen beantragte. Denn unabhängig von der schliesslichen Einwilligung zur polydisziplinären Verlaufsbegutachtung hatte sich die Rechtsvertreterin des Versicherten im Rahmen ihres komplexen Mandats mit der von der IV-Stelle vorgenommenen Ausweitung des vorinstanzlichen Abklärungsauftrags auseinanderzusetzen. Dass die Rechtsanwältin im fraglichen Zeitraum nicht einfach nichts machte, ergibt sich schon aus ihren damaligen wiederholten Eingaben an die IV-Stelle betreffend stationärer Klinikaufenthalte des Versicherten. Im vorliegenden Zusammenhang ebenfalls zu keinem andern Schluss führt der Einwand der IV-Stelle, wonach der Versicherte sehr gut Deutsch spreche und "verschiedene Hobbies wie Schreiben, Lesen, Jassen und Schachspielen" aktiv betreibe.
5.
Die Parteien haben ausgangsgemäss die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG), wobei dem Versicherten für das Verfahren 9C_161/2016 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt werden kann (Art. 64 BGG). Er hat der Gerichtskasse Ersatz zu leisten, wenn er später dazu in der Lage ist (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 9C_145/2016 und 9C_161/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen.
3.
Dem Versicherten wird für das Verfahren 9C_161/2016 die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Rechtsanwältin Dr. Barbara Wyler wird als unentgeltliche Anwältin bestellt.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- für das Verfahren 9C_145/2016 werden der IV-Stelle des Kantons Thurgau auferlegt.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- für das Verfahren 9C_161/2016 werden dem Versicherten auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
6.
Der Rechtsvertreterin des Versicherten wird für das Verfahren 9C_161/2016 aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2800.- ausgerichtet.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 28. Februar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Attinger