Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité de menuisier indépendant puis a été employé par diverses associations et fondations. Depuis août 2001, il a travaillé comme enseignant de travaux manuels pour l'Entreprise B._. Le 9 juillet 2008, il a déposé une demande de rente auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI), indiquant souffrir d'une surdité totale de l'oreille gauche depuis le 27 octobre 2007.
Parmi les avis médicaux versés au dossier, l'office AI a recueilli ceux de deux spécialistes en oto-rhino-laryngologie (ORL). La doctoresse C._ a attesté une incapacité totale de travail en tant qu'enseignant de travaux manuels et de menuisier indépendant, en précisant que l'assuré pourrait accomplir une activité adaptée dans un environnement sonore calme (rapport du 29 décembre 2008). De son côté, le docteur D._ a attesté qu'il n'existait pas de limitation de travail, sauf si l'endroit est trop bruyant (rapport du 30 juin 2010). Dans son rapport final du 23 novembre 2011, la Division de réadaptation de l'office AI a constaté que l'activité de maître de travaux manuels ne permettait pas d'éviter un environnement bruyant et qu'elle n'était plus adaptée. En revanche, elle a admis que l'assuré était en mesure d'exercer différents emplois adaptés à ses limitations, par exemple en tant que conseiller en placement dans des fondations/associations s'occupant de jeunes ou un centre de formation AI pour jeunes, c'est-à-dire un genre d'activité qu'il avait déjà exercée et pour laquelle il possédait l'expérience et les compétences; il pourrait en retirer un revenu annuel moyen de 88'764 fr. (valeur 2008). La comparaison de ce gain avec le salaire sans invalidité de 111'336 fr. qu'il aurait touché en 2008 aboutissait à un taux d'invalidité de 20 %.
Par décision du 12 janvier 2012, l'office AI a rejeté la demande de prestations.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant à l'octroi d'une rente entière à compter du 1 er octobre 2009, d'une aide au placement, de mesures de réadaptation ainsi que de toute autre mesure que l'instruction de la cause déterminerait. Il a requis, notamment, la mise en oeuvre d'une expertise.
Le 27 septembre 2012, l'assuré a sollicité la réalisation d'une expertise par l'Institut E._ afin de déterminer sa réelle capacité de travail; cette requête a été écartée par le juge instructeur, le 30 janvier 2013. Lors de l'audience de jugement du 7 mai 2015, le recourant a modifié ses conclusions en plaidoiries en concluant principalement à l'annulation de la décision attaquée et au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision, subsidiairement au versement d'une rente entière dès le 1 er octobre 2009. La Juge présidant la Cour des assurances sociales a refusé que le conseil du recourant l'interroge à l'audience, jugeant la cause suffisamment instruite.
Par jugement du 7 mai 2015, le tribunal cantonal a rejeté le recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. A titre principal, il conclut au versement d'une rente entière d'invalidité depuis le 1 er octobre 2009. A titre subsidiaire, il conclut au renvoi de la cause aux premiers juges pour complément d'instruction.
Considérant en droit :
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
2.1. Sur le plan formel, le recourant invoque une violation de son droit d'être entendu au sens des art. 6 § 1 CEDH et 29 al. 2 Cst. Il reproche à la juridiction cantonale de n'avoir pas autorisé son mandataire à lui poser des questions lors de l'audience de débats publics du 7 mai 2015.
2.2. La garantie constitutionnelle découlant de l'art. 29 al. 2 Cst. ne confère en principe pas le droit d'être entendu oralement (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148). Par ailleurs, l'art. 6 § 1 CEDH garantit notamment à chacun le droit à ce que sa cause soit entendue publiquement. La publicité des débats implique le droit pour le justiciable de plaider sa cause lui-même ou par l'intermédiaire de son mandataire (arrêts 8C_307/2013 du 6 mars 2014 consid. 2.2 et 2C_349/2012 du 18 mars 2013 consid. 3.1 et la référence citée), ce que le recourant a obtenu en l'occurrence. Le grief soulevé n'est ainsi pas fondé.
3.
Sur le fond, le litige porte sur le droit du recourant à une rente (entière) d'invalidité à partir du 1 er octobre 2009, singulièrement sur le taux d'invalidité qu'il présente. A cet égard, les premiers juges ont exposé correctement les règles applicables à la solution du litige, si bien qu'il suffit de renvoyer au jugement attaqué.
4.
4.1. La juridiction cantonale a admis que le dossier est suffisamment complet pour évaluer la situation médicale du recourant. Elle a dès lors renoncé à compléter l'instruction.
Par ailleurs, elle constaté que la surdité partielle, appareillée depuis le 3 mars 2008, dont le recourant est affecté à son oreille gauche, empêche totalement la poursuite de son activité antérieure d'enseignant de travaux manuels en raison d'un environnement trop bruyant causé par l'emploi d'outillages et de machines pour le bois et le métal à type industriel. Malgré cette affection invalidante, les juges ont constaté que le recourant conserve une pleine capacité de travail dans l'exercice de toutes activités adaptées à un environnement non bruyant, c'est-à-dire qui n'impliquent pas l'usage de machines.
4.2. Le recourant se prévaut d'arbitraire dans l'appréciation des preuves et d'une violation du principe inquisitoire (art. 9 Cst., 43 LPGA et 69 al. 2 RAI). Il reproche en substance à la juridiction cantonale d'avoir confirmé le point de vue de l'office intimé, lequel avait admis qu'il pouvait travailler en tant que conseiller en placement dans des fondations et associations s'occupant de jeunes en difficultés, telles que le SEMO ou un centre de formation AI pour les jeunes, sans avoir instruit plus avant l'impact des acouphènes et céphalées chroniques ni déterminé quelle activité était adaptée à son cas. A son avis, l'appréciation est arbitraire car le point de savoir si la limitation "absence de bruit" était respectée pour l'activité retenue n'a pas été éclairci; invoquant sa propre expérience, il soutient que ce genre de place de travail n'est pas adapté. Le recourant fait en outre grief aux premiers juges de n'avoir pas élucidé la question d'une éventuelle formation pour un tel emploi, laquelle doit être nécessaire aujourd'hui alors que ce n'était pas le cas en 1998. De plus, l'appréciation ne tient pas compte de son impossibilité de soutenir une conversation à plus d'un interlocuteur.
4.3. Les arguments du recourant ne sont pas propres à démontrer en quoi les constatations de fait de l'instance de recours précédente seraient manifestement inexactes ou auraient été établies en violation du droit (cf. art. 97 al. 1 LTF). En effet, les premiers juges ont fondé leur appréciation sur les avis des deux spécialistes ORL (cf. rapports de la doctoresse C._, du 29 décembre 2008), et du docteur D._, du 30 juin 2010), relevant à cette occasion que les médecins consultés avaient posé les mêmes diagnostics et retenu des limitations fonctionnelles similaires, et qu'ils avaient tous nié l'existence de telles limitations avec la surdité dans le cadre de l'exercice d'une activité adaptée. En ce qui concerne plus particulièrement le caractère exigible d'une activité de conseiller en placement, les juges cantonaux ont tenu compte de l'avis de synthèse de la Division de réadaptation de l'office intimé (cf. rapport final du 23 novembre 2011) qui admettait qu'une telle activité était compatible avec le critère de l'environnement sonore. Dans ce contexte, il est erroné de prétendre qu'une activité de conseiller en placement s'exerce dans un environnement trop bruyant. Il n'y a dès lors pas lieu de s'écarter des constatations des premiers juges quant à la capacité entière de travail du recourant dans une activité adaptée.
5.
5.1. Le recourant conteste le revenu d'invalide qui a été pris en compte pour évaluer le taux d'invalidité. Il soutient que la juridiction cantonale n'a pas tenu compte de son âge (61 ans lorsque la décision administrative a été rendue) et du fait qu'il était ainsi dans l'impossibilité concrète de mettre sa capacité de travail en valeur. Il ajoute que son gain d'invalide aurait dû être établi sur la base des statistiques salariales du secteur privé, c'est-à-dire sur la table TA1 de l'Enquête suisse sur la structure des salaires. Le choix des premiers juges de se fonder sur la moyenne du revenu réalisé en 2008 par un conseiller en placement auprès de B._ (entre 68'340 fr. et 109'188 fr.), soit 88'764 fr., lui paraît arbitraire, puisque cette activité ne serait pas exigible. En outre, il aurait fallu appliquer un abattement de 15 % sur le salaire statistique, compte tenu de son âge et de ses limitations fonctionnelles.
5.2. Suivant la jurisprudence (cf. ATF 138 V 457), pour déterminer s'il est exigible d'un assuré proche de l'âge de la retraite qu'il mette en valeur sa capacité de travail résiduelle dans une activité adaptée (cf. art. 16 LPGA), il faut se placer au moment de la date de l'expertise médicale qui sert de fondement aux constatations de fait relatives à la capacité de travail. En l'espèce, le recourant a eu 59 ans au cours de l'année où le dernier rapport émanant d'un spécialiste ORL a été réalisé (rapport du docteur D._, du 30 juin 2010). Son âge ne saurait donc être considéré comme faisant obstacle à la reprise d'une activité adaptée.
5.3. Pour procéder à la comparaison des revenus, il convient de se placer au moment de la naissance du droit à la rente; les revenus avec et sans invalidité doivent être déterminés par rapport à un même moment et les modifications de ces revenus susceptibles d'influencer le droit à la rente survenues jusqu'au moment où la décision est rendue être prises en compte (cf. ATF 129 V 222 consid. 4.1 et 4.2). La surdité de l'oreille gauche étant survenue en octobre 2007, la comparaison des revenus doit ainsi être faite à la lumière des revenus de l'année 2008, date de l'ouverture du droit éventuel à la rente, conformément aux constatations de la juridiction cantonale.
5.3.1. Le revenu sans invalidité doit être déterminé en partant du dernier revenu obtenu avant la survenance de l'atteinte à la santé. Selon les constatations du tribunal cantonal (consid. 7a/bb p. 20 du jugement attaqué), ce revenu aurait été de 111'336 fr. en 2008; ce montant n'est pas contesté.
5.3.2. Le revenu d'invalide doit être évalué avant tout en fonction de la situation professionnelle concrète de la personne assurée. Lorsque l'activité exercée après la survenance de l'atteinte à la santé repose sur des rapports de travail particulièrement stables, qu'elle met pleinement en valeur la capacité de travail résiduelle exigible et que le gain obtenu correspond au travail effectivement fourni et ne contient pas d'éléments de salaire social, c'est le revenu effectivement réalisé qui doit être pris en compte pour fixer le revenu d'invalide. En l'absence d'un revenu effectivement réalisé - soit lorsque la personne assurée, après la survenance de l'atteinte à la santé, n'a pas repris d'activité lucrative ou alors aucune activité normalement exigible -, le revenu d'invalide peut être évalué sur la base de salaires fondés sur les données statistiques résultant de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS) ou sur les données salariales résultant des descriptions de postes de travail établies par la CNA (ATF 135 V 297 consid. 5.2 p. 301; 129 V 472 consid. 4.2.1 p. 475).
Ainsi, lorsqu'un assuré ne met pas à profit sa capacité de travail restante après l'atteinte à la santé, son revenu d'invalide doit être calculé sur une base théorique et abstraite. Ce faisant, on ne saurait toutefois se fonder sur une seule activité déterminée ou sur un tout petit nombre seulement - quand bien même cette activité serait parfaitement adaptée aux limitations en cause - dès lors que rien ne permet de penser que ce revenu serait représentatif de celui que l'assuré pourrait obtenir sur le marché du travail équilibré entrant en considération pour lui (cf. ATF 129 V 472 consid. 4.2.2 p. 480). Pour que le revenu d'invalide corresponde aussi exactement que possible à celui que l'assuré pourrait réaliser en exerçant l'activité que l'on peut raisonnablement attendre de lui (cf. ATF 128 V 29 consid. 1 p. 30), l'évaluation dudit revenu doit nécessairement reposer sur un choix large et représentatif d'activités adaptées au handicap de la personne assurée.
Aussi, quand bien même l'activité de conseiller en placement serait à la portée du recourant, celle-ci ne peut-elle être considérée comme représentative de ce qu'il pourrait réaliser en tant qu'invalide. Il y a bien plutôt lieu de s'appuyer, en l'absence d'un revenu effectivement réalisé, sur les statistiques salariales comme le prévoit la jurisprudence citée et le fait valoir à juste titre le recourant. Dans ce contexte, les compétences professionnelles du recourant justifient de retenir le niveau de qualification 3 de l'Enquête suisse sur la structure des salaires. Dans le cas d'espèce, il sied de tenir compte des valeurs ressortant de la table TA1 relatives à l'année 2008, niveau 3, pour un homme. Il faut ainsi partir d'un gain déterminant de 5'789 fr. par mois (valeur standardisée). Comme il se base sur une durée hebdomadaire de travail de 40 heures, inférieure à la moyenne annuelle dans les entreprises, il y a lieu de l'ajuster à 41,6 heures par semaine (Annuaire statistique 2010, T3.2.4.19), soit un salaire mensuel de 6'020 fr., ou annuel de 72'246 fr.
Il convient ensuite d'examiner si un facteur de réduction au gain annuel statistique de 72'246 fr. doit être appliqué (cf. ATF 126 V 75), le recourant invoquant ses limitations fonctionnelles et son âge. La seule limitation fonctionnelle constatée est celle d'un environnement non bruyant, soit n'impliquant pas l'usage de machines (cf. consid. 4.1 supra). Dès lors que la mise en oeuvre de la capacité résiduelle entière de travail du recourant sur le marché équilibré du travail ne dépend pas d'activités légères, simples et répétitives (au regard desquelles la jurisprudence sur la réduction du salaire d'invalide déterminé selon les ESS a été développée [ATF 126 V 75]) et que le recourant est en mesure d'exercer des activités requérant des connaissances professionnelles spécialisées sans limitation quant au temps de travail ou au rendement, il n'y a pas lieu de prendre en considération une réduction du salaire statistique, résultant d'un large éventail d'activités à portée du recourant, en fonction également de son expérience professionnelle (comp. arrêt I 16/98 du 15 février 1999 consid. 3b, in SVR 2000 IV n° 1 p. 2). Quant à l'âge, pour autant qu'il fût déterminant, il ne saurait conduire à lui seul à un abattement de plus de 5 %.
5.3.3. De ce qui précède, la comparaison d'un revenu d'invalide de 72'246 fr. avec un revenu sans invalidité de 111'336 fr. aboutit à un taux d'invalidité de 35 %, insuffisant pour ouvrir le droit à la rente (art. 28 al. 2 LAI). Le recours est infondé.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 20 avril 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Berthoud