Sachverhalt:
A.
A.a. Mit Entscheid vom 30. April 2015 stellte der Präsident des Regionalgerichts Bern-Mittelland im Rahmen vorsorglicher Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens fest, dass der gemeinsame Haushalt von A.A._ (Ehemann) und B.A._ (Ehefrau) ab 5. Januar 2015 auf unbestimmte Zeit aufgehoben sei. Er verpflichtete den Ehemann, an den Unterhalt der Ehefrau monatlich ab Februar 2015 bis und mit April 2015 mit Fr. 1'170.--, ab Mai 2015 bis und mit Dezember 2015 mit Fr. 1'500.-- und ab Januar 2016 mit Fr. 900.-- beizutragen. Gegen diesen Entscheid erhob der Ehemann am 26. Juni 2015 (Postaufgabe) Berufung beim Obergericht des Kantons Bern mit dem Begehren, ihn von jeglicher Unterhaltspflicht gegenüber der Ehefrau zu entbinden.
A.b. Des Weiteren ersuchte er darum, der Berufung aufschiebende Wirkung zuzuerkennen. Mit Verfügung vom 6. Juli 2015 wies die Instruktionsrichterin des Obergerichts den Antrag um Aufschub der Vollstreckbarkeit ab. Diese Verfügung ergänzte sie am 21. Juli 2015 mit einer Rechtsmittelbelehrung.
A.c. Mit Urteil vom 2. Dezember 2015 wies das Bundesgericht die vom Ehemann gegen die obergerichtliche Verfügung vom 6./21. Juli 2015 erhobene Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_661/2015).
A.d. Am 24. März 2016 ersuchte der Ehemann (Gesuchsteller) um Revision des bundesgerichtlichen Urteils 5A_661/2015 vom 2. Dezember 2015. Mit Urteil vom 2. Mai 2016 (5F_5/2016) trat das Bundesgericht auf das Gesuch nicht ein.
B.
Am 12. Februar 2016 begehrte der Ehemann beim Obergericht des Kantons Bern erneut die aufschiebende Wirkung. Mit Verfügung vom 16. Februar 2016 trat die Instruktionsrichterin des Obergerichts auf das Gesuch nicht ein (Ziff. 3). Sie begründete ihren Entscheid unter Hinweis auf das Urteil des Bundesgerichts 5A_661/2015 vom 2. Dezember 2015 damit, die Frage der aufschiebenden Wirkung sei bereits beurteilt. Der Beschwerde komme keine aufschiebende Wirkung zu.
C.
Der Ehemann (Beschwerdeführer) hat gegen diese ihm am 24. Februar 2016 zugestellte Verfügung am 24. März 2016 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er ersucht um Aufhebung von Ziff. 3 der angefochtenen Verfügung und um Gewährung der aufschiebenden Wirkung. Für das bundesgerichtliche Verfahren begehrt er die aufschiebende Wirkung sowie die unentgeltliche Rechtspflege.
D.
Das Obergericht hat auf eine Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung verzichtet. Die Gegenpartei hat sich nicht vernehmen lassen. Mit Präsidialverfügung vom 18. April 2016 wurde der Beschwerde aufschiebende Wirkung erteilt. Der Beschwerdeführer hat am 8. April 2016 sein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ergänzt. Eine weitere Eingabe erfolgte am 8. Mai 2016 (Postaufgabe).
Erwägungen:
1.
1.1. Die angefochtene Verfügung wurde dem Beschwerdeführer am 24. Februar 2016 zugestellt. Damit lief die 30-tägige Beschwerdefrist (Art. 100 Abs. 1 BGG) infolge der vom 20. März bis und mit 3. April 2016 dauernden Ostergerichtsferien (Art. 46 Abs. 1 lit. a BGG) und des Wochenendes vom 9./10. April 2016 (Art. 45 Abs. 1 BGG) am Montag, 11. April 2016 ab. Soweit in der am 8. Mai 2016 der Post übergebenen Eingabe eine Ergänzung der Beschwerde erfolgt, ist darauf nicht einzutreten.
1.2. C.A._ ist weder Beschwerdeführer, noch ist er als Nichtanwalt zur Vertretung des Beschwerdeführers vor Bundesgericht berechtigt (Art. 40 Abs. 1 BGG). Das schadet nicht, zumal der Beschwerdeführer die Beschwerde auch selbst unterzeichnet hat.
2.
Die Instruktionsrichterin des Obergerichts ist auf ein zweites Gesuch des Beschwerdeführers um aufschiebende Wirkung nicht eingetreten. Dabei handelt es sich um einen Zwischenentscheid im Sinn von Art. 93 Abs. 1 BGG. Vom Fall von Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG, der hier nicht vorliegt, abgesehen, ist die Beschwerde nur zulässig, soweit der angefochtene Entscheid einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (BGE 133 III 629 E. 2.3.1 S. 632) bewirken kann (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG). Dass diese Voraussetzung erfüllt ist, hat der Beschwerdeführer darzutun (BGE 137 III 324 E. 1.1 S. 328 f.; 134 III 426 E. 1.2 S. 429). Er legt indes nicht substanziiert dar, inwiefern ihm aus der angefochtenen Verfügung ein nicht wieder gutzumachender rechtlicher Nachteil erwachsen könnte und ein solcher ist auch nicht ersichtlich. Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Er hat die Gegenpartei jedoch für das bundesgerichtliche Verfahren nicht zu entschädigen, da sich die Gegenpartei zum Gesuch um aufschiebende Wirkung nicht hat vernehmen lassen und in der Sache keine Vernehmlassung eingeholt worden ist.
4.
Wie die bisherigen Ausführungen zeigen, hat sich die Beschwerde als von Anfang an aussichtslos erwiesen. Fehlt es somit an einer der materiellen Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege, ist das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, 2. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden