Sachverhalt:
A.
A._ (Beschwerdeführer) arbeitete seit Oktober 2010 bei der C._ GmbH, die er selber gegründet hatte und die ihm gehörte. Er war bei der B._ Versicherungen AG (Beschwerdegegnerin) über seine Gesellschaft unter anderem für krankheitsbedingten Erwerbsausfall nach VVG (SR 221.229.1) krankentaggeldversichert. Am 17. April 2014 zeigte er der B._ Versicherungen AG eine seit dem 25. März 2014 dauernde volle Arbeitsunfähigkeit an. Nach Ablauf der Wartefrist von 30 Tagen richtete die B._ Versicherungen AG vom 24. April 2014 bis 31. Oktober 2014 die vertraglichen Krankentaggeldleistungen gemäss VVG aus. Ab 1. November 2014 bescheinigte Dr. med. D._ A._ eine hundertprozentige Arbeitsfähigkeit in der angestammten Tätigkeit als Inhaber einer Marktverkäuferfirma. Ab dem 23. Januar 2015 attestierte derselbe Arzt A._ bis auf weiteres erneut eine volle Arbeitsunfähigkeit. Die B._ Versicherungen AG richtete daher wieder Krankentaggelder aus.
Als sich A._ am 2. Juni 2015 bei der B._ Versicherungen AG telefonisch nach den Taggeldzahlungen für den Monat Mai 2015 erkundigte, wurde ihm eröffnet, dass eine Observation durchgeführt und gesehen worden sei, wie er arbeite. Es bestehe daher kein Taggeldanspruch mehr, und die erbrachten Leistungen würden zurückgefordert. Mit Schreiben vom 9. Juni 2015 informierte die B._ Versicherungen AG A._ über die Ergebnisse der Observation: Er habe am 29. April 2015, 21. Mai 2015 und 23. Mai 2015 in U._, V._ und W._ am Marktstand gearbeitet und Waren verkauft. Daher sei sie - die B._ Versicherungen AG - gestützt auf Art. 40 VVG nicht mehr an den Versicherungsvertrag gebunden, mache vom Recht eines Vertragsrücktritts Gebrauch und fordere die Taggeldzahlungen von insgesamt Fr. 45'607.-- sowie die Überwachungskosten von Fr. 7'800.-- zurück, abzüglich einer Vergütung für zu viel bezahlte Prämien von Fr. 850.--, entsprechend total Fr. 52'557.
B.
Am 15. April 2016 erhob A._ vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz Klage gegen die B._ Versicherungen AG. Er beantragte, die B._ Versicherungen AG sei zu verurteilen, ihm "rückwirkend ab 1. Mai 2015 und fortdauernd das ganze Krankentaggeld auszurichten." Die B._ Versicherungen AG beantragte Klageabweisung und erhob Widerklage mit dem Begehren, A._ sei zur Zahlung von Fr. 52'975.65 zuzüglich Zins zu verurteilen.
Mit Urteil vom 20. Januar 2017 wies das Verwaltungsgericht die Klage ab (Dispositiv-Ziffer 1). Die Widerklage hiess es "im Sinne der Erwägungen" insoweit gut, als es A._ verurteilte, der B._ Versicherungen AG "die Observationskosten von Fr. 7'800.-- abzüglich zu viel bezahlte Prämien von Fr. 850.-- entsprechend insgesamt Fr. 6'950.--" zuzüglich Zins zu vergüten. Im Übrigen wies es die Widerklage ab (Dispositiv-Ziffer 2).
Zur Begründung erwog das Verwaltungsgericht zusammengefasst, ein Vertragsrücktritt der B._ Versicherungen AG per 1. April 2014sei nicht rechtmässig. Dagegen habe A._ die B._ Versicherungen AG durch sein Verhalten berechtigt, gestützt auf Art. 40 VVG per Ende April 2015vom Versicherungsvertrag zurückzutreten. Die B._ Versicherungen AG habe von diesem Recht Gebrauch gemacht, und A._ stehe somit kein Anspruch auf eine Ausrichtung von Krankentaggeldern über den 30. April 2015 hinaus zu. A._ habe die Kosten der Observation zu bezahlen.
C.
A._ verlangt mit Beschwerde in Zivilsachen, Dispositiv-Ziffer 1 des Urteils des Verwaltungsgerichts sei vollumfänglich aufzuheben, Dispositiv-Ziffer 2 "insoweit, als der Beschwerdeführer verpflichtet wird, der Beschwerdegegnerin die Observationskosten von Fr. 7'800 zu vergüten". Die B._ Versicherungen AG sei zu verurteilen, ihm "rückwirkend ab 1. Mai 2015 und fortdauernd das ganze Krankentaggeld auszurichten".
Es wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 139 III 133 E. 1; 137 III 417 E. 1; 135 III 212 E. 1).
1.2. Das angefochtene Urteil des Verwaltungsgerichts hat eine Streitigkeit aus einer Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung gemäss Art. 7 ZPO zum Gegenstand (siehe dazu Urteil 4A_12/2016 vom 23. Mai 2017 E. 1.2 mit Hinweisen). Es ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer einzigen kantonalen Instanz im Sinne von Art. 75 Abs. 2 lit. a BGG. Dagegen steht grundsätzlich die Beschwerde in Zivilsachen offen, gemäss Art. 74 Abs. 2 lit. b BGG unabhängig vom Streitwert (BGE 138 III 799 E. 1.1, 2 E. 1.2.2; siehe auch BGE 139 III 67 E. 1.2).
1.3. Die Beschwerdeschrift hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Heisst das Bundesgericht die Beschwerde gut, so entscheidet es in der Sache selbst oder weist diese zu neuer Beurteilung an die Vorinstanz zurück (Art. 107 Abs. 2 Satz 1 BGG). Die beschwerdeführende Partei muss dem Bundesgericht daher grundsätzlich einen Antrag unterbreiten, der im Fall der Gutheissung zum Urteil in der Sache erhoben werden könnte. Ansonsten ist die Beschwerde unzulässig. Eine Ausnahme gilt dann, wenn das Bundesgericht im Falle der Gutheissung in der Sache nicht selbst entscheiden könnte, weil die erforderlichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz fehlen (BGE 134 III 379 E. 1.3 S. 383; 133 III 489 E. 3.1 mit Hinweisen).
Die Beschwerde enthält jedenfalls insoweit ein zulässiges Begehren, als der Beschwerdeführer dem Sinn nach verlangt, das Widerklagebegehren auf Zusprechung der Observationskosten sei abzuweisen.
Was den Antrag des Beschwerdeführers betrifft, ihm sei "rückwirkend ab 1. Mai 2015 fortdauernd das ganze Krankentaggeld auszurichten" ist folgendes zu bedenken: Wird die Bezahlung eines Geldbetrages verlangt, so ist dieser gemäss Art. 84 Abs. 2 ZPO zu beziffern. Dabei handelt es sich um eine allgemeine Prozessvoraussetzung (BGE 142 III 102 E. 3). Eserscheint daher bereits unklar, ob das Verwaltungsgericht auf die Klage des anwaltlich vertretenen Beschwerdeführers eintreten durfte, zumal die Voraussetzungen einer unbezifferten Forderungsklage gemäss Art. 85 Abs. 1 ZPO nicht erfüllt sind. Die Frage kann offen gelassen werden, und ebenso diejenige, ob die Beschwerde an das Bundesgericht mit dem identischen Antrag zulässig ist. Denn wie nachfolgend aufzuzeigen sein wird, ist die Beschwerde ohnehin abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann (vgl. immerhin BGE 143 III 111 E. 1.2; 134 III 235 E. 2; für das Berufungsverfahren BGE 137 III 617 E. 4.3).
2.
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2 S. 117; 135 III 397 E. 1.5). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein können (Art. 97 Abs. 1 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
Die Partei, welche die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz anfechten will, muss klar und substanziiert aufzeigen, inwiefern diese Voraussetzungen erfüllt sein sollen (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18 mit Hinweisen). Wenn sie den Sachverhalt ergänzen will, hat sie zudem mit präzisen Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90). Genügt die Kritik diesen Anforderungen nicht, können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der vom angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 18).
Soweit die Parteien die vorinstanzliche Beweiswürdigung kritisieren, ist zu beachten, dass das Bundesgericht in diese nur eingreift, wenn sie willkürlich ist. Willkür liegt nach der Rechtsprechung nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls in Betracht zu ziehen oder gar vorzuziehen wäre, sondern bloss, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 141 III 564 E. 4.1; 140 III 16 E. 2.1; je mit Hinweisen). Die Beweiswürdigung ist mithin nicht schon dann willkürlich, wenn sie nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Partei übereinstimmt, sondern bloss, wenn sie offensichtlich unhaltbar ist (BGE 135 II 356 E. 4.2.1; 129 I 8 E. 2.1). Dies ist dann der Fall, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 137 III 226 E. 4.2 S. 234; 136 III 552 E. 4.2). Inwiefern die Beweiswürdigung willkürlich sein soll, ist in der Beschwerde klar und detailliert aufzuzeigen (BGE 134 II 244 E. 2.2). Namentlich genügt es nicht, einzelne Beweise anzuführen, die anders als im angefochtenen Entscheid gewichtet werden sollen, und dem Bundesgericht in appellatorischer Kritik die eigene Auffassung zu unterbreiten, als ob diesem freie Sachverhaltsprüfung zukäme (vgl. 140 III 264 E. 2.3 S. 266 f.; BGE 116 Ia 85 E. 2b).
Zu betonen ist, dass das Bundesgericht auch im Rahmen von Beschwerden gegen Urteile einziger kantonaler Instanzen kein Appellationsgericht ist, das den Sachverhalt umfassend überprüft. Dies verkennt der Beschwerdeführer über weite Strecken. So stellt er in seiner Beschwerde den Sachverhalt aus eigener Sicht dar. Dabei widerspricht er wiederholt den tatsächlichen Feststellungen im angefochtenen Entscheid und erweitert diese nach Belieben. Darauf kann nicht abgestellt werden, soweit der Beschwerdeführer keine substanziierten Sachverhaltsrügen im soeben beschriebenen Sinn erhebt. Vielmehr ist durchwegs vom Sachverhalt auszugehen, wie ihn die Vorinstanz festgestellt hat, und der Beschwerdeführer kann in rechtlicher Hinsicht nicht gehört werden, soweit er seine Argumentation auf einen Sachverhalt stützt, der für das Bundesgericht nicht massgeblich ist.
3.
Das Verwaltungsgericht führte unter Berufung auf § 70 Abs. 1 des Verwaltungsrechtspflegegesetzes des Kantons Schwyz vom 6. Juni 1974 (VRP/SZ) aus, für das Klageverfahren seien die §§ 9 bis 33 sowie 60 VRP/SZ und im Übrigen die Bestimmungen der ZPO, insbesondere jene über die Widerklage, die Rechtshängigkeit der Klage und die Säumnis, "sinngemäss anwendbar".
Eine solche Regelung ist mit den bundesrechtlichen Vorgaben nicht zu vereinbaren: Streitigkeiten aus Zusatzversicherungen zur sozialen Krankenversicherung wie die vorliegende sind privatrechtlicher Natur (BGE 138 III 2 E. 1.1 mit Hinweis), wie auch die Vorinstanz anerkennt. Daher ist die ZPO gestützt auf Art. 1 lit. a - also von Bundesrechts wegen - direkt anwendbar, und zwar unabhängig davon, welche Gerichtsinstanz zuständig ist (BGE 138 III 558 E. 3.2 mit Hinweisen).
4.
Die Vorinstanz erwog hinsichtlich des Vertragsrücktrittes im Einzelnen, in den Akten fänden sich keine Anhaltspunkte dafür und die Beschwerdegegnerin mache auch nicht geltend, dass der Beschwerdeführer die vom 24. April 2014 bis 31. Oktober 2014 erhaltenen Krankentaggelder unrechtmässig erwirkt habe, das heisst trotz gemeldeter Arbeitsunfähigkeit ganz oder teilweise einer Arbeit bzw. Erwerbstätigkeit nachgegangen sei. Von einer allfälligen späteren Täuschungshandlung seien die für diese Zeit ausgerichteten Taggelder mithin nicht betroffen. Auch für die Zeit vom 19. Februar 2015 bis Ende April 2015 seien Täuschungshandlungen des Beschwerdeführers mit dem erforderlichen Beweisgrad "weder nachgewiesen noch erkennbar". Frühestens per 29. April 2015 sei eine Arbeitstätigkeit des Beschwerdeführers erstellt, und per Ende April 2015 sei von einer vollen (oder jedenfalls über 75 % liegenden) Arbeitsfähigkeit des Beschwerdeführers auszugehen. Demgegenüber habe der Beschwerdeführer am 21. Mai 2015 und am 23. Mai 2015 wahrheitswidrige Angaben gemacht. In diesem Punkt stützte sich die Vorinstanz auf die Observationen vom 29. April 2015, 21. Mai 2015 und 23. Mai 2015. Sie führte aus, am Mittwoch, 29. April 2015, habe der Beschwerdeführer zusammen mit seiner Partnerin in U._ von 06.30 Uhr bis ca. 17.45 Uhr bei der Arbeit an seinem Marktstand beobachtet werden können, am 21. Mai 2015 von 10.30 Uhr bis 17.00 Uhr alleine in V._ und am 23. Mai 2015 von 13.00 bis 18.30 Uhr alleine in W._. In V._ und W._ habe er den Marktstand alleine aufgestellt. An diesen drei Tagen habe er am Steuer des Lieferwagens rund 82, 42 und 195 Kilometer zurückgelegt. Augenscheinlich hätten weder Schonhaltungen noch Einschränkungen festgestellt werden können. Der Beschwerdeführer habe sich in der Öffentlichkeit absolut normal verhalten. Besonderheiten seien nicht beobachtet worden. Weiter führte die Vorinstanz aus, am 21. Mai habe der Beschwerdeführer auf einen Anruf der Beschwerdegegnerin zunächst nicht geantwortet. Bei seinem Rückruf um 11.30 Uhr habe er erklärt, alleine zu Hause zu sein. Am 29. Mai 2015 habe er anlässlich einer telefonischen Besprechung erklärt, nur zwei Mal mit seiner Partnerin an einen Marktstand gegangen zu sein, ohne gearbeitet zu haben. Nach rund zwei Stunden sei es ihm schlecht geworden, so dass er mit dem Zug nach Hause habe fahren müssen. Sodann berücksichtigte die Vorinstanz auch die medizinischen Akten und erwog, diese änderten nichts daran, dass der Beschwerdeführer gegenüber der Beschwerdegegnerin nachweislich falsche Angaben gemacht habe. Das (sinngemässe) Vorbringen des Beschwerdeführers, nur der Empfehlung der Ärzte Folge geleistet und einen Arbeitsversuch unternommen zu haben, beurteilte die Vorinstanz als reine Schutzbehauptung. Die Vorinstanz schloss, das Verhalten des Beschwerdeführers sei der Versicherungsnehmerin C._ GmbH anzurechnen, und die Beschwerdegegnerin sei daher berechtigt gewesen, vom Vertrag (per Ende April 2015) zurückzutreten.
5.
5.1. Der Beschwerdeführer rügt, er sei unrechtmässig observiert worden, und auf das Ergebnis der Observation dürfe daher nicht abgestellt werden. Das angefochtene Urteil verletze Art. 9, Art. 10 Abs. 2 und Art. 13 BV sowie Art. 28 ZGB.
5.2. Einerseits beruft er sich - wie bereits im kantonalen Verfahren - auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR) in Sachen Vukota-Bojic gegen Schweiz vom 18. Oktober 2016. Darin erkannte der EGMR Art. 8 EMRK als verletzt, da im schweizerischen Recht betreffend Unfallversicherung keine hinreichende gesetzliche Grundlage für Observationen bestehe (näheres dazu in Urteil 9C_806/2016 vom 14. Juli 2017 E. 3, zur Publ. vorgesehen). Das Verwaltungsgericht erwog, das Urteil des EGMR lasse sich nicht auf die vorliegende privatrechtliche Versicherungsfrage übertragen. Der Beschwerdeführer stellt diese Auffassung nicht in Abrede, argumentiert aber, die Einwände des EGMR seien grundsätzlicher Natur und gingen "über den Einzelfall hinaus", sowie weiter, weder im VVG noch in den Allgemeinen Versicherungsbedingungen der Beschwerdegegnerin gebe es eine Bestimmung, welche zur Observation berechtige und deren Rahmenbedingungen regle. Damit begründet er keine Verfassungs- oder Konventionsverletzung (siehe Art. 106 Abs. 2 BGG) : Tatsächlich ist nicht erkennbar, inwiefern in der hier zu beurteilenden Observation durch eine private Versicherungsgesellschaft in einer privatrechtlichen Streitigkeit über eine Zusatzversicherung zur sozialen Krankenversicherung ein dem Staat zuzurechnender Eingriff in das Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens liegen soll, der gemäss Art. 8 Abs. 2 EMRK (und Art. 36 Abs. 1 BV) gesetzlich vorgesehen sein müsste. Im Zivilprozess obliegt es den Parteien, die Beweise zu beschaffen. Sie dürfen dabei nur nicht rechtswidrig vorgehen (vgl. Art. 152 Abs. 2 ZPO).
5.3. Andererseits rügt der Beschwerdeführer, die Observation hätte unter den vorliegenden Umständen nicht stattfinden dürfen.
Wie das Bundesgericht in seiner publizierten Rechtsprechung festgestellt hat, kann die von der Haftpflichtversicherung veranlasste Observation der versicherten Person deren Privatsphäre wie auch deren Recht am eigenen Bild verletzen. Die Verletzung ist dann nicht widerrechtlich, wenn das Interesse an der Verhinderung eines Versicherungsbetrugs das Interesse des von der Observation Betroffenen auf Unversehrtheit seiner Persönlichkeit überwiegt. Die Interessenabwägung beruht auf gerichtlichem Ermessen. Zu berücksichtigen ist dabei, dass der von der Observation Betroffene gegenüber der Versicherung einen Anspruch erhebt und deshalb verpflichtet ist, an Abklärungen seines Gesundheitszustands, seiner Arbeitsfähigkeit usw. mitzuwirken, und zu dulden hat, dass allenfalls auch ohne sein Wissen von der Versicherung die objektiv gebotenen Untersuchungen durchgeführt werden. Ob die Observation zulässig ist, hängt weiter davon ab, wie schwer und in welche Persönlichkeitsrechte eingegriffen wird. Insbesondere kann entscheidend sein, inwiefern die Observation durch die Art der Versicherungsleistungen gerechtfertigt ist (z.B. Höhe der Forderung, Pilot- oder Bagatellfall usw.), wo sie stattfindet (z.B. in der Öffentlichkeit), wie lange sie dauert (z.B. nur tagsüber, befristet auf eine Woche), welchen Inhalt sie hat (z.B. von jedermann wahrnehmbare Vorgänge) und ob die eingesetzten Mittel (z.B. Film usw.) zur Erreichung ihres Zwecks geeignet und notwendig sind (BGE 136 III 410 E. 2 mit Hinweisen).
Die Vorinstanz beurteilte die Anordnung der Überwachung unter den gegebenen Umständen als zulässig. Sie führte aus, eine Observation sei offensichtlich veranlasst worden, weil einerseits beim Beschwerdeführer aufgrund der medizinischen Akten nur eine unspezifische, psychiatrisch bedingte Beschwerdesymptomatik vorgelegen habe; zudem habe der Beschwerdeführer den Aufenthalt in der X._ Klinik auf eigenen Wunsch beendet. Andererseits habe der Beschwerdeführer Spaziergänge in der Nähe seiner Marktstände vornehmen wollen; Spaziergänge (mit sozialen Kontakten) seien indessen auch im Umfeld des Wohnsitzes ohne weiteres möglich.
Diese Sachverhaltsfeststellung ist für das Bundesgericht grundsätzlich verbindlich (Erwägung 2). Der Beschwerdeführer kann sie nicht als willkürlich ausweisen, indem er ohne nachvoll ziehbare Begründung angibt, sie sei offensichtlich fehlerhaft und stehe "mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch". Dasselbe gilt, wenn er seinerseits ausführt, die erwähnten Gründe seien "nachgeschoben worden, um einen angeblichen Anfangsverdacht zu konstruieren", nachdem am 17. April 2015, als die Beschwerdegegnerin die Observation in Auftrag gegeben habe, offensichtlich keine Anhaltspunkte vorgelegen hätten, die Zweifel an den geäusserten gesundheitlichen Beschwerden des Beschwerdeführers hätten aufkommen lassen können. Ferner behauptet der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör, ohne jedoch mit Aktenhinweisen darzutun, auf welche seiner im kantonalen Verfahren vorgebrachten Argumente die Vorinstanz konkret nicht eingegangen sein soll.
Sodann prüfte die Vorinstanz, ob die Durchführung der Observation zu beanstanden ist. Sie verneinte die Frage. In diesem Zusammenhang erwog sie, die eigentlichen Observationen seien ausschliesslich im öffentlichen Raum während dreier Tage von morgens bis abends, mithin limitiert hinsichtlich Zahl und Zeitraum, vorgenommen worden. Die Observation habe sich überdies auf jedermann zugängliche Bereiche beschränkt. Die aktenkundige filmische und/oder fotografische Dokumentation könne nicht als unverhältnismässig bezeichnet werden. Dass von einer vorgängigen Information des Beschwerdeführers habe abgesehen werden müssen, sei naheliegend, da andernfalls der Zweck einer Observation zwangsläufig sein Ziel verfehlen müsse. Mit dieser Beurteilung setzt sich der Beschwerdeführer gar nicht auseinander.
Damit bleibt es bei der Beurteilung im angefochtenen Urteil, wonach die Observation rechtmässig war. Dass die Vorinstanz rechtswidrig beschaffte Beweismittel berücksichtigt und dadurch Art. 152 Abs. 2 ZPO verletzt hätte, ist nicht dargetan.
5.4. Die vom Beschwerdeführer beanstandeten Rechtsverletzungen liegen nicht vor. Die weiteren Rügen gehen ins Leere, soweit sie auf der Annahme basieren, die Observation sei unzulässig und ihre Ergebnisse unverwertbar. Das gilt namentlich, wenn der Beschwerdeführer ausführt, auch die "im Nachgang zur Observation erfolgten Telefongespräche" und "[a]lle weiteren Dokumente der Beschwerdeführerin [sic]" seien nicht verwertbar respektive unbeachtlich.
6.
Des Weiteren kritisiert der Beschwerdeführer in verschiedener Hinsicht die Beweiswürdigung durch die Vorinstanz, ohne diese jedoch als willkürlich auszuweisen (Erwägung 2) :
Das gilt zunächst, wenn er ausführt, die Vorinstanz habe aus dem Observationsbericht vom 2. Juni 2015 die falschen respektive unhaltbare Schlüsse gezogen. Denn er stützt sich in diesem Zusammenhang auf zahlreiche nicht festgestellte Umstände, ohne mit Aktenhinweisen darzutun, dass er diese bereits im kantonalen Verfahren prozesskonform behauptet hätte. Dass die Vorinstanz unkritisch auf den Observationsbericht abgestellt und Einwände des Beschwerdeführers ausser Betracht gelassen hätte, ist nicht erkennbar. Sodann wird in der Beschwerde unter Berufung auf die sozialversicherungsrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts ausgeführt, ein Observationsbericht bilde für sich alleine keine sichere Basis für Sachverhaltsfeststellungen betreffend den Gesundheitszustand und die Arbeitsfähigkeit des Versicherten, und bemängelt, es habe keine Begutachtung des Beschwerdeführers unter Berücksichtigung des Observationsergebnisses stattgefunden. Indessen macht der Beschwerdeführer nicht (mit Aktenhinweisen) geltend, er habe im erstinstanzlichen Zivilprozess beantragt, es sei ein gerichtliches Gutachten einzuholen. Ebensowenig nennt er seine Argumente, mit denen sich die Vorinstanz angeblich in Verletzung seines Gehörsanspruchs nicht auseinandergesetzt haben soll.
Ferner meint der Beschwerdeführer, er habe keine wahrheitswidrigen Angaben gemacht. Er sei von der Beschwerdegegnerin und von seinen behandelnden Ärzten wiederholt ermuntert worden, sich wieder in das gesellschaftliche Leben zu integrieren. Insbesondere sei darüber gesprochen worden, "sich wieder vermehrt am Marktstand aufzuhalten und einen Arbeitsversuch zu starten." Am 29. Mai 2015 habe er sogar der Beschwerdegegnerin gegenüber erwähnt, dass er sich mit seiner Lebenspartnerin beim Marktstand aufgehalten habe. Ein Arbeitsversuch könne "nicht mit einer eigentlichen Arbeitsverrichtung gleichgestellt werden". Die Beschwerdegegnerin habe versucht, "ihn in eine Falle zu locken", und sie habe sich geradezu rechtsmissbräuchlich verhalten. Die entsprechenden Ausführungen des Beschwerdeführers basieren jedoch nicht auf dem vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt und ergänzen diesen auch nicht in zulässiger Weise. Die Vorinstanz führte aus, im Arztbericht von Dr. med. D._ vom 8. Juni 2015, gemäss dem dieser Arzt die Aufnahme einer Teilarbeitsfähigkeit als sinnvoll erachtet habe, deute nichts "auf ein diesbezügliches Anraten vor diesem Zeitpunkt" hin. Der Beschwerdeführer hält den Schluss der Vorinstanz, es handle sich um eine Schutzbehauptung, für unzutreffend, begründet aber nicht, weshalb er geradezu willkürlich sein soll.
Schliesslich kritisiert der Beschwerdeführer die vorinstanzliche Würdigung der Arztberichte oder -gutachten. Er moniert, das Verwaltungsgericht habe das Gutachten von Dr. med. F_ vom 9. März 2016 zu Unrecht als unvollständig beurteilt. In Wahrheit sei dieses "schlüssig, umfassend und nachvollziehbar". Auch in diesem Zusammenhang zeigt er jedoch keine Willkür auf, und ebensowenig eine Gehörsverletzung. Auch ist nicht erkennbar, dass die Vorinstanz die Berichte von Dr. med. G._ und Dr.med. H._ nicht hätte berücksichtigen dürfen, weil es sich dabei um "Aktengutachten" von Ärzten handle, die Teil der Versicherungsgesellschaft seien, weshalb "die Vermutung einer Befangenheit" bestehe. Dass das Verwaltungsgericht den fraglichen Berichten eine zivilprozessual unrichtige beweisrechtliche Bedeutung zugemessen hätte, wenn sie erwog, diese setzten sich mit dem bidisziplinären Gutachten "zu Recht kritisch auseinander", ist jedenfalls nicht ersichtlich.
7.
Der Beschwerdeführer beanstandet, dass die Vorinstanz ihn zu Unrecht verurteilt habe, der Beschwerdegegnerin die Observationskosten zu erstatten. Er meint, wenn eine Observation "schon gar nicht nicht zulässig bzw. verwertbar" sei, könne sie auch nicht notwendig gewesen sein und dürften die Kosten dafür nicht überwälzt werden. Mit anderen Worten bestreitet er nicht, dass die Beschwerdegegnerin grundsätzlich Anspruch auf Ersatz der Observationskosten haben kann. Er verneint aber die Notwendigkeit der Observation, von der die Überwälzung abhänge. Die Vorinstanz stellte verbindlich fest, es sei nur mittels Observation möglich gewesen, zu klären, ob die eingereichten ärztlichen Atteste die effektive Arbeits- und Leistungsfähigkeit des Beschwerdeführers wiedergeben. Der Beschwerdeführer bezeichnet diese Feststellung wohl als offensichtlich unrichtig und rügt eine Verletzung des Willkürverbots, begründet diesen Vorwurf aber nicht hinreichend, wenn er seinerseits bloss die Frage aufwirft, "ob vor einer Observation nicht eine vertrauensärztliche Untersuchung geboten gewesen wäre" (Erwägung 2). Damit bleibt es bei den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, und die Überwälzung der Observationskosten ist nicht zu beanstanden (vgl. Urteil 4A_382/2014 vom 3. März 2015 E. 6.3).
8.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin ist kein Aufwand entstanden, für den sie nach Art. 68 Abs. 2 BGG zu entschädigen wäre.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Schwyz, Kammer I, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz