Faits :
A.
A._, ressortissant étranger, est arrivé en Suisse en août 2008. Indiquant souffrir des séquelles d'un accident survenu le 27 juillet 2009 (luxation de l'épaule gauche), il a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 13 août 2010.
Alors qu'il séjournait dans une unité de rééducation, l'assuré a manifesté des troubles psychiatriques justifiant son transfert au Centre de psychiatrie B._ le 24 janvier 2012. Se fondant sur les informations obtenues durant l'instruction (dont le dossier de la Caisse nationale suisse en cas d'accidents [CNA]), l'office AI a informé A._ de son intention de rejeter la demande. Malgré l'incapacité totale de travail de l'assuré dans toute activité jusqu'à la fin de l'année 2012, il ne remplissait pas les conditions générales d'assurance, soit les trois ans de cotisations au moment de la survenance de l'invalidité; à l'échéance du délai de carence d'une année, en juillet 2010, A._ était en Suisse depuis seulement deux ans (projet de décision du 15 juillet 2013). L'assuré a contesté ce projet, en relevant que l'administration n'avait pas pris en considération l'affection psychiatrique qui s'ajoutait à la problématique somatique (écriture du 31 octobre 2013).
Se fondant sur l'avis de son Service médical régional (SMR), l'office AI a étendu l'instruction au volet psychiatrique de l'état de santé de A._. Selon les différents médecins du Centre B._ consultés par l'assuré, celui-ci souffrait d'une schizophrénie paranoïde totalement incapacitante depuis janvier 2012 (notamment rapport du 2 décembre 2013). Par décision du 14 juillet 2014, l'office AI a rejeté la demande au motif que l'assuré ne réalisait pas les conditions générales d'assurance en juillet 2010.
B.
A._ a recouru contre cette décision auprès du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales. Par jugement du 25 août 2015, la juridiction cantonale a admis le recours, réformé la décision en ce sens que l'assuré avait droit à une rente entière d'invalidité dès le 1er janvier 2013 et renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il calcule le montant de la rente et des intérêts dus sur les arriérés.
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation.
A._ conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) en propose l'admission par écriture du 9 novembre 2015, sur laquelle l'intimé s'est prononcé le 14 décembre suivant.
Considérant en droit :
1.
Bien que le dispositif du jugement entrepris renvoie la cause à l'office recourant, il ne s'agit pas d'une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF, car l'autorité précédente a statué définitivement sur les points contestés, le renvoi de la cause ne visant que le calcul de la rente entière de l'assurance-invalidité allouée. Le recours est dès lors recevable puisqu'il est dirigé contre un jugement final (art. 90 LTF; ATF 134 II 124 consid. 1.3 p. 127).
2.
Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
3.
3.1. Est litigieux le point de savoir si l'intimé comptait trois années de cotisations au moins lors de la survenance de l'invalidité (art. 36 al. 1 LAI), singulièrement si l'invalidité est survenue en juillet 2010 ou en janvier 2013. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels applicables en l'espèce; il suffit d'y renvoyer.
3.2. On rappellera que la survenance d'une atteinte à la santé totalement différente de celle qui prévalait au moment du refus de la première demande de prestations et propre, par sa nature et sa gravité, à causer une incapacité de travail de 40 % au moins en moyenne sur une année a, compte tenu de l'absence de connexité matérielle avec la situation de fait prévalant au moment du refus de la première demande de prestations, pour effet de créer un nouveau cas d'assurance (ATF 136 V 369 consid. 3.1 p. 373 et les références; arrêt 9C_294/2013 du 20 août 2013 consid. 4.1 et les références, in SVR 2013 IV n° 45 p. 138; voir également MEYER/REICHMUTH, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 3ème éd. 2014, n. 138 ad art. 4 LAI). Le principe de l'unicité de la survenance de l'invalidité cesse en effet d'être applicable lorsque l'invalidité subit des interruptions notables ou que l'évolution de l'état de santé ne permet plus d'admettre l'existence d'un lien de fait et de temps entre les diverses phases, qui en deviennent autant de cas nouveau de survenance de l'invalidité (arrêt 9C_36/2015 du 29 avril 2015 consid. 5.1 et 5.2 et les références).
4.
4.1. Selon les constatations de la juridiction cantonale, l'assuré avait été incapable de travailler d'abord en raison de troubles somatiques (lésions subies à l'épaule à la suite de l'accident survenu en juillet 2009); les troubles psychiatriques (schizophrénie paranoïde et trouble dépressif sévère) avaient ensuite entraîné une incapacité de travail totale à partir de janvier 2012. Les premiers juges ont constaté que les atteintes somatiques de juillet 2009 étaient distinctes de celles psychiatriques apparues en janvier 2012 et que les secondes ne pouvaient être rattachées par un lien temporel à l'accident de juillet 2009. L'autorité cantonale a considéré qu'un nouveau cas d'assurance était survenu en janvier 2012, entraînant le départ d'un nouveau délai de carence échéant une année plus tard. Dans la mesure où, à cette date, l'intimé remplissait la condition générale d'assurance des trois ans de cotisations, elle lui a alloué la rente d'invalidité à laquelle il avait droit.
4.2. L'office recourant reproche au tribunal cantonal d'avoir fait preuve d'arbitraire dans l'appréciation des faits. Selon lui, les deux atteintes ont évolué en parallèle et sont donc liées, sans qu'il y ait eu une interruption notable de l'invalidité depuis juillet 2009. Il soutient dès lors que la survenance de l'invalidité doit être fixée en juillet 2010, sans qu'un nouveau cas d'assurance ne puisse être retenu.
5.
Par son argumentation, l'administration ne parvient pas à démontrer qu'un lien de fait et de temps existe entre la première et la seconde atteinte à la santé. Elle se limite à faire part de sa propre appréciation des faits, sans discuter les considérations des premiers juges. Ces derniers ont expliqué qu'en plus du fait que la cause d'invalidité survenue en janvier 2012 (troubles psychiatriques) était, par nature, différente de celle survenue en 2009 (troubles somatiques), l'hypothèse évoquée dans le rapport de l'Unité de Psychiatrie Ambulatoire C._ du 7 juillet 2014 d'une décompensation des troubles psychiques en raison de l'accident n'aurait pas permis, si elle devait être considérée comme vraisemblable, de retenir que les troubles somatiques et psychiques étaient une seule et même invalidité; l'atteinte psychiatrique n'était devenue incapacitante qu'en janvier 2012.
En invoquant que l'atteinte psychique était présente en tout cas depuis 2011, l'office AI ne met pas en évidence en quoi la constatation de la juridiction cantonale sur l'absence de lien factuel entre l'atteinte survenue en juillet 2009 et les troubles psychiques diagnostiqués pour la première fois en janvier 2012 est manifestement inexacte. Si, dans leur rapport du 7 janvier 2014, auquel il se réfère, les médecins du Centre B._ ont certes évoqué une symptomatologie psychotique à bas bruit depuis 2011, ils n'ont cependant pas établi de lien entre les différentes décompensations psychotiques subies par l'assuré à partir de janvier 2012 et les suites somatiques de l'accident de juillet 2009.
Le recourant ne remet ensuite pas en cause la constatation des premiers juges selon laquelle l'intervalle temporel entre le moment où est survenue l'incapacité de travail due à l'atteinte physique et celui où l'atteinte psychique a entraîné une incapacité de travail comportait trente mois. On ne saurait dès lors parler d'une évolution en parallèle des deux atteintes en cause. En outre, contrairement à ce que semble alléguer l'administration, et fait valoir l'OFAS, le fait qu'il n'y a pas eu d'interruption de l'incapacité de travail depuis l'accident de 2009 et que les deux atteintes ont, à un moment donné, coexisté, ne suffit pas en l'espèce à retenir un unique délai de carence. La jurisprudence a effectivement admis qu'un nouveau cas d'assurance pouvait survenir même si une première atteinte à la santé était toujours présente et causait une incapacité de travail lorsqu'une nouvelle atteinte à la santé totalement distincte apparaissait (cf. arrêt 9C_294/2013 cité consid. 3.1 et 4.2). Finalement, l'argument de l'OFAS consistant à relever qu'une seule demande a été déposée auprès de l'office recourant n'a pas d'incidence; si l'office AI avait rendu une décision de refus de prestations directement à la suite de son projet de décision du 15 juillet 2013, il aurait été tenu de traiter l'annonce de l'assuré quant à la survenance d'une affection psychique comme une nouvelle demande.
Par conséquent, c'est à bon droit que les premiers juges ont considéré que la survenance des troubles psychiatriques en janvier 2012 a eu pour effet de créer un nouveau cas d'assurance ouvrant le droit de l'intimé à l'allocation d'une rente entière d'invalidité à partir du 1er janvier 2013, moment où celui-ci remplissait les conditions de l'art. 36 al. 1 LAI.
Mal fondé, le recours doit être rejeté.
6.
Vu l'issue du litige, l'office recourant supportera les frais judiciaires afférents à la présente procédure (art. 66 al. 1 première phrase LTF) et versera une indemnité de dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimé la somme de 2'400 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 9 mai 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
La Greffière : Flury