Faits :
A.
A.a. B._ travaillait au service de A._ SA depuis le 1 er octobre 2010. Son contrat de travail prévoyait un salaire mensuel brut de 7'700 fr. versé treize fois l'an et cinq semaines de vacances par an.
A compter du 11 juin 2013, l'employé a été totalement incapable de travailler, principalement en raison des suites d'une pathologie coronarienne.
Lors d'examens complémentaires effectués dans le cadre de cette affection, il a été découvert que l'employé souffrait d'une tumeur rénale qui a été opérée le 16 janvier 2014. L'incapacité de travail liée à cette opération s'est étendue du 16 janvier au 5 mai 2014.
L'état psychique du patient s'étant dégradé, il a été hospitalisé à la clinique de... dès le 6 mai 2014 et a été totalement empêché de travailler du 6 mai au 31 octobre 2014.
A.b. Par lettre recommandée du 26 juin 2014, l'employeuse a résilié le contrat de travail pour le 31 août 2014.
Le 3 octobre 2014, l'avocat mandaté par le travailleur a informé l'employeuse qu'il tenait le congé pour nul en raison de l'incapacité de travail survenue dès le mois de mai 2014 pour des motifs différents de ceux qui avaient empêché son client de travailler auparavant.
L'employeuse a contesté ce point de vue. Par mesure de prudence, elle a toutefois résilié une nouvelle fois le contrat de travail par courrier du 21 janvier 2015 pour le 31 mars 2015.
B.
B.a. Après avoir saisi l'autorité de conciliation le 15 décembre 2014, le travailleur a déposé une demande contre l'employeuse le 19 juin 2015 par-devant le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers (NE). Il concluait au paiement de 16'328 fr. 20 nets plus 17'591 fr. 95 bruts, après déduction du montant à concurrence duquel la caisse de chômage était subrogée.
Au bénéfice d'une autorisation de procéder, la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage (ci-après: la caisse de chômage) a fait valoir son droit à la subrogation par demande du 25 juin 2015 en concluant à ce que l'employeuse soit condamnée à lui payer 30'511 fr. 85 nets, correspondant aux indemnités de chômage servies pour les mois de novembre 2014 à mars 2015.
A l'audience du 12 avril 2016, le Tribunal a ordonné la jonction des causes avec l'accord des parties. L'employé a renoncé à l'expertise qu'il avait requise. Un arrangement partiel est par ailleurs intervenu, aux termes duquel demeuraient seules litigieuses les prétentions du demandeur en paiement de 38'500 fr. bruts à titre de salaire, de 3'207 fr. 05 bruts à titre de part au treizième salaire et de 4'096 fr. 40 bruts à titre d'indemnité de vacances, le tout pour la période de novembre 2014 à mars 2015, dont à déduire les montants à concurrence desquels la caisse de chômage était subrogée.
B.b. L'employé a produit deux courriers médicaux adressés à son avocat d'alors.
Le premier est une lettre du 17 novembre 2014, dans laquelle le Dr M1._, médecin généraliste, écrit ce qui suit:
«Monsieur B._ a été dans l'incapacité de travailler à 100% depuis le 11 juin 2013 au 15 janvier 2014, principalement en raison de la suite d'une pathologie coronarienne traitée à l'Insel Spital puis en réhabilitation au Noirmont.
Lors des différents examens complémentaires effectués dans le cadre de cette pathologie coronarienne, une tumeur du rein a été découverte qui a fait l'objet d'une opération le 16 janvier 2014. Dès cette date, l'incapacité de travail à 100% est liée aux suites de cette opération, soit du 16 janvier 2014 au 5 mai 2014.
Dans ce contexte médical chargé et en raison de difficultés familiales très importantes, l'état psychologique du patient s'est dégradé ce qui a imposé une prise en charge en milieu psychiatrique à la clinique de... dès le 6 mai 2014.
Il en résulte une incapacité de travail à 100% du 6 mai 2014 au 31 octobre 2014.
J'espère ainsi avoir répondu à votre demande. Je tiens à préciser que les causes de l'incapacité de travail s'entremêlent et qu'une frontière nette entre l'une ou l'autre cause est quelque peu artificielle et que les problèmes d'ordre psychologique ont toujours été en arrière plan [sic] lors de l'incapacité du 11 juin 2013 au 5 mai 2014, même si le facteur déclenchant était un problème d'ordre somatique (maladie coronarienne et tumeur rénale).»
Le second courrier, du 8 juin 2015, émane du Dr M2._, médecin-chef de la clinique privée de..., dans laquelle l'employé a séjourné du 6 mai au 20 juin 2014 (pour un résumé en français, cf. consid. 3.5 infra) :
«Herr B._ war bei uns vor eine [sic!] Jahr hospitalisiert gewesen wegen einer Anpassungsstörung mit Angst und depressiver Reaktion. Nun erfahren wir, dass der Patient sich zwischenzeitlich von seinen grossen sozialen Belastungen psychisch nicht erholen konnte. Mittlerweile sei er von seiner Ehefrau verlassen worden, aus dem gemeinsamen Haus habe er ausziehen müssen, auch die familiäre Situation mit der Tochter sei weiterhin belastend. Zudem sei Ihm die Stelle gekündigt worden, er sei arbeitslos und auch seine finanzielle Situation sei schwierig.
Die depressive Symptomatik mit existenziellen Ängsten, welche vergangenen Sommer zur Hospitalisation in unserer Klinik führte, war zweifellos infolge der zahlreichen sozialen Belastungen aufgetreten.»
B.c. Par jugement du 27 avril 2016, le Tribunal civil a pris acte de l'accord passé à l'audience du 12 avril 2016, rejeté la demande déposée par la caisse de chômage et rejeté toute autre prétention formée par le travailleur. En substance, il a acquis la conviction que l'incapacité de travail due aux problèmes psychologiques de l'employé avait débuté avant son entrée en clinique le 6 mai 2014 et n'a pas pu exclure qu'elle ait été antérieure au 28 mars 2014. Les demandeurs n'avaient ainsi pas démontré que la protection de 90 jours prévue par l'art. 336c al. 1 let. b CO était encore en vigueur lorsque le congé avait été donné par courrier du 26 juin 2014. La résiliation devait être considérée comme valable (cf. au surplus consid. 3.1 infra).
B.d. Le 7 novembre 2016, le Tribunal cantonal neuchâtelois a admis les appels formés par les deux demandeurs et condamné l'employeuse à verser 41'708 fr. bruts au travailleur sous déduction de 30'511 fr. 85 nets, montant qui devait être versé à la caisse de chômage.
Portant sur les preuves une appréciation différente de celle du Tribunal civil, les juges cantonaux ont considéré qu'une troisième incapacité de travail causée par une atteinte à la santé psychique avait débuté le 6 mai 2014 et qu'elle donnait droit à une nouvelle protection de 90 jours; le congé donné pendant cette période était donc frappé de nullité (art. 336c al. 2 phrase 1 CO). En conséquence, ils ont admis la prétention du travailleur en paiement de son salaire et du prorata de son treizième salaire pour les mois de novembre 2014 à mars 2015, sous déduction des montants pour lesquels la caisse de chômage était subrogée. La prétention liée aux vacances a en revanche été rejetée (cf. au surplus consid. 3.2 infra).
C.
L'employeuse saisit le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile et d'un recours constitutionnel subsidiaire à l'issue desquels elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et à la confirmation du jugement de première instance.
L'employé a conclu au rejet des recours. La caisse de chômage a renoncé à déposer des déterminations en précisant qu'elle confirmait les conclusions prises devant les deux instances cantonales.
L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.
Considérant en droit :
1.
Dans les affaires civiles pécuniaires ressortissant au droit du travail, le recours en matière civile est recevable à condition que la valeur litigieuse atteigne 15'000 fr. au moins (art. 74 al. 1 let. a LTF). Celle-ci est déterminée par les conclusions restées litigieuses devant l'autorité précédente (art. 51 al. 1 let. a LTF). Les divers chefs de conclusions formés par des consorts sont additionnés, à moins qu'ils ne s'excluent (art. 52 LTF). Les conclusions doivent avoir été effectivement réunies en instance cantonale et être l'objet d'une décision unique intervenue dans la même procédure. Il faut en outre que les demandeurs ou les défendeurs aient qualité de consorts selon l'art. 24 al. 2 PCF (arrêts 4A_226/2016 du 20 octobre 2016 consid. 2.1; 4A_109/2008 du 16 avril 2008 consid. 1.1; sous l'OJ, ATF 128 IV 53 consid. 6a p. 70).
En l'occurrence, les prétentions émises par le travailleur et la caisse de chômage à l'encontre de l'employeuse résultent de la même cause, soit le contrat de travail; il s'agit donc de consorts au sens de l'art. 24 al. 2 let. a PCF (sous l'OJ, arrêt 4C.82/1999 du 11 juin 1999 consid. 1a; FABIENNE HOHL, La subrogation de la caisse de chômage et ses effets sur le procès civil, in Etudes de procédure et d'arbitrage en l'honneur de Jean-François Poudret, 1999, p. 86 ch. 3 et p. 91 ch. 2). Par ailleurs, les conclusions des parties demanderesses ont été jointes en première instance déjà, de sorte qu'il faut procéder à l'addition prescrite par l'art. 52 LTF. La valeur litigieuse de 15'000 fr. est ainsi clairement dépassée.
Pour le surplus, les autres conditions de recevabilité du recours en matière civile - notamment celle du délai de recours (art. 45 al. 1 et 100 al. 1 LTF) - sont réalisées sur le principe. Il s'ensuit l'irrecevabilité du recours constitutionnel subsidiaire (art. 113 LTF).
2.
Est litigieuse la question de savoir si la résiliation du contrat de travail a été faite en temps inopportun, c'est-à-dire pendant une période de protection prévue par la loi.
2.1. L'art. 336c al. 1 CO énonce sous lettres a à d divers motifs empêchant l'employeur, après le temps d'essai, de résilier le contrat de travail pendant une certaine période (service obligatoire militaire ou dans la protection civile; service civil; grossesse; service d'aide à l'étranger ordonné par l'autorité fédérale). Selon la lettre b, le congé ne peut être donné pendant une incapacité de travail totale ou partielle résultant d'une maladie ou d'un accident non imputables à la faute du travailleur, et cela durant 30 jours au cours de la première année de service, durant 90 jours de la deuxième à la cinquième année de service et durant 180 jours à partir de la sixième année de service. L'alinéa 2 de cette disposition précise que le congé donné pendant une de ces périodes est nul.
En désaccord avec une partie de la doctrine, mais après s'être forgé une conviction sur la base notamment des travaux parlementaires, le Tribunal fédéral a jugé que le travailleur peut bénéficier de plusieurs périodes de protection non seulement lorsqu'il cumule les hypothèses prévues par les différentes lettres de l'art. 336c al. 1 CO (cumul «interlittéral», par exemple service militaire suivi d'une incapacité de travail due à un accident), mais aussi lorsqu'il est incapable de travailler en raison d'un accident puis d'une maladie, ou pour cause de maladies ou d'accidents successifs n'ayant aucun lien entre eux («cumul intralittéral»). Dans l'affaire en cause, les deux accidents subis par la travailleuse avaient des origines totalement différentes, si bien qu'il a été admis que le second ouvrait une nouvelle période de protection au sens de l'art. 336c al. 1 let. b CO (ATF 120 II 124 consid. 3).
Le cumul des périodes de protection a en revanche été refusé à un travailleur qui avait connu à intervalle rapproché deux épisodes d'incapacité de travail, attribuée tout d'abord à un «burn-out» puis à un état dépressif réactionnel. Les médecins avaient certes utilisé des dénominations différentes pour décrire l'état du patient (stress, surmenage, burn-out, puis dépression), mais s'accordaient à dire qu'il trouvait sa source dans les soucis professionnels de l'intéressé, et plus particulièrement dans son licenciement (arrêt 4A_117/2007 du 13 septembre 2007 consid. 5.2).
L'autorité de céans a confirmé un arrêt du Tribunal d'appel tessinois après avoir constaté que cette instance avait retenu sans arbitraire une influence réciproque entre les deux pathologies du travailleur (bronchite asthmatique et syndrome anxieux dépressif), dans une mesure telle que cette influence excluait la possibilité de faire courir un nouveau délai de protection. L'expert avait certes dénié un lien causal direct entre une telle affection respiratoire et l'affection psychique, mais sans pouvoir exclure que celle-là ait contribué à l'apparition de celle-ci (arrêt 4A_153/2007 du 31 août 2007 consid. 3.2, 5 et 6.2). L'expertise résumée dans le jugement de première instance précisait que le rôle joué par l'affection respiratoire dans l'atteinte psychique était nettement moindre que les autres facteurs. Cela étant, la patiente avait commencé à se plaindre en août 2003 de troubles nerveux qui étaient partiellement liés aux problèmes de santé persistants. En outre, la cortisone utilisée pour le traitement de la maladie respiratoire avait eu une certaine influence sur la pathologie psychique, davantage toutefois sur son évolution que sur son apparition (cf. traduction allemande in SAE 2007 p. 70 ss consid. 4).
La doctrine, en se référant à l'arrêt de principe évoqué ci-dessus (ATF 120 II 124), précise généralement qu'une nouvelle maladie ou un nouvel accident donne droit à une nouvelle période de protection et oppose la nouvelle maladie à une rechute ou une complication directe (REHBINDER/STÖCKLI, Berner Kommentar, 2014, n° 9 ad art. 336c CO; PORTMANN/STÖCKLI, Schweizerisches Arbeitsrecht, 3e éd. 2013, n. 713; FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire du contrat de travail, [Dunand/Mahon éd.] 2013, n° 38 ad art. 336c CO; SUBILIA/DUC, Droit du travail, 2010, p. 595 n. 33). Pour ADRIAN STAEHELIN, la nouvelle maladie doit être indépendante ( unabhängig) de la précédente (Zürcher Kommentar, 4e éd. 2014, n° 24 ad art. 336c CO). D'aucuns relèvent, en citant l'ATF 120 II 124, qu'est nouvelle la maladie qui n'a aucun lien avec la précédente (JÜRG BRÜHWILER, Einzelarbeitsvertrag, Kommentar zu den Art. 319-343 OR, 3e éd. 2014, p. 454 let. b; WYLER/HEINZER, Droit du travail, 3e éd. 2014, p. 686). STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH estiment que cette jurisprudence va trop loin, l'essentiel étant de savoir si la nouvelle incapacité est due à la même cause médicale que la précédente, s'il s'agit d'une rechute ou d'une conséquence claire de la première. Ces auteurs jugent que dans l'affaire tessinoise précitée (4A_153/2007), la conclusion selon laquelle les deux affections sont liées est tout sauf impérieuse, sur le vu du résumé publié (Arbeitsvertrag, Praxiskommentar zu Art. 319-362 OR, 7e éd. 2012, p. 1075 s. n. 4).
2.2. Il s'agit donc de déterminer la cause des maladies et le rapport qu'il peut y avoir entre elles, question qui relève du fait (consid. 3 infra), pour ensuite juger en droit si le travailleur peut ou non se prévaloir d'un nouveau délai de protection (consid. 4 infra).
3.
3.1. Le Tribunal civil a constaté qu'en raison de ses années de service, le travailleur disposait d'une période de protection de 90 jours. En se fondant sur les informations de son médecin traitant et les explications données en plaidoirie par son conseil, le Tribunal a déduit que le travailleur avait été durablement confronté à une situation difficile qui l'avait conduit en institution spécialisée et a acquis la conviction que l'incapacité de travail due aux problèmes psychologiques était antérieure à l'entrée en clinique le 6 mai 2014; elle s'était chevauchée avec les incapacités de travail dues aux pathologies somatiques. Au regard des éléments recueillis, il n'était pas exclu que l'incapacité soit antérieure au 28 mars 2014, le médecin traitant ayant fait état de problèmes d'ordre psychologique en arrière-plan dès le 11 juin 2013. Il incombait aux parties demanderesses de prouver que ces problèmes n'entravaient pas la capacité de travail de l'employé avant le 28 mars 2014, ce qu'elles n'avaient pas fait; le congé donné le 26 juin 2014 était donc valable.
3.2. La Cour d'appel civile a fait une autre appréciation des preuves. Elle a relevé que le médecin-chef de la clinique psychiatrique ne mentionnait aucun lien entre l'hospitalisation de l'employé dans son établissement et les incapacités de travail précédentes dues à des problèmes de santé physique. Il ne résultait pas du dossier que le patient aurait été traité pour une affection psychique avant son séjour en clinique, que ce soit sous la forme d'une prise de médicaments ou d'une thérapie. Le médecin traitant avait certes indiqué que les problèmes d'ordre psychologique se trouvaient déjà en arrière-plan dès le 11 juin 2013; cela ne signifiait pas encore qu'ils revêtaient alors une gravité suffisante pour motiver une incapacité de travail. Une hospitalisation en établissement psychiatrique pouvait être effectuée dans l'urgence en cas de décompensation psychique grave. La Cour a considéré qu'on se trouvait en présence d'une troisième et nouvelle incapacité de travail causée par une atteinte à la santé psychique et que le congé signifié le 26 juin 2014 était intervenu pendant la nouvelle période de protection de 90 jours qui avait débuté le 6 mai 2014.
3.3. L'employeuse dénonce un établissement des faits manifestement inexact et contraire au droit. De son point de vue, les juges d'appel se trouvaient confrontés à l'alternative suivante, vu l'absence de preuve apportée par le travailleur: soit ils ordonnaient une expertise pluridisciplinaire, soit ils confirmaient la décision du premier juge. Ils ne pouvaient pas simplement substituer leur appréciation à celle du premier juge sans effectuer d'investigations complémentaires. Les juges d'appel auraient arbitrairement inféré du silence du Dr M2._ que les problèmes de santé physique du travailleur n'avaient aucun lien avec son hospitalisation en milieu psychiatrique.
3.4. L'instance d'appel dispose d'un plein pouvoir d'examen de la cause en fait et en droit, et contrôle en particulier librement l'appréciation des preuves effectuée par le juge de première instance. Si l'instance d'appel peut librement décider d'administrer des preuves en vertu de l'art. 316 al. 3 CPC, cette disposition ne confère pas au justiciable un droit à la réouverture de la procédure probatoire et à l'administration de preuves (ATF 138 III 374 consid. 4.3.1).
Cela étant, la recourante soulève le grief d'appréciation arbitraire des preuves.
Une décision est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. lorsqu'elle apparaît insoutenable, viole gravement une norme ou un principe juridique indiscuté, heurte de manière choquante le sentiment de la justice et de l'équité, est adoptée sans motifs objectifs ou en contradiction manifeste avec la situation effective. L'arbitraire ne résulte pas du seul fait qu'une autre solution serait défendable, voire même préférable (ATF 141 III 564 consid. 4.1).
L'appréciation des preuves est arbitraire lorsque le juge s'est manifestement mépris sur le sens et la portée d'un moyen de preuve, lorsqu'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée, ou encore lorsqu'il a tiré des déductions insoutenables à partir des éléments recueillis (ATF 136 III 552 consid. 4.2).
3.5. L'autorité précédente s'est principalement attachée à expliquer pour quelle raison l'incapacité de travail causée par l'état psychique n'était pas antérieure à l'hospitalisation en clinique psychiatrique le 6 mai 2014, contrairement à ce qu'avait retenu le premier juge. Concernant la cause de l'affection psychique, elle a simplement constaté que le Dr M2._ (et non X._ comme indiqué par inadvertance dans l'arrêt attaqué) n'établissait aucun lien avec les incapacités de travail précédentes dues à des problèmes de santé physique.
Dans son courrier du 8 juin 2015, le prénommé, médecin-chef de la clinique psychiatrique, a expliqué que le travailleur avait été hospitalisé dans son établissement un an auparavant, du 6 mai au 20 juin 2014, pour un trouble de l'adaptation avec anxiété et réaction dépressive. Il apprenait maintenant que le patient n'avait ensuite pas pu se remettre psychiquement de ses gros facteurs de stress sociaux puisqu'il avait été quitté par sa femme et avait dû partir du domicile conjoint, tandis qu'il vivait toujours une situation stressante avec sa fille, sans parler de son licenciement qui l'avait réduit au chômage et de ses difficultés financières. Le médecin-chef a conclu que la symptomatologie dépressive avec angoisses existentielles ayant entraîné l'hospitalisation du patient l'été précédent était apparue sans aucun doute à la suite de nombreux facteurs de stress sociaux.
S'il est exact que ce médecin n'évoque aucun lien avec les problèmes de santé physique, tel n'est pas le cas du médecin traitant. Le Dr M1._ a en effet constaté que l'état psychologique du patient s'était dégradé « dans [un] contexte médical chargé et en raison de difficultés familiales très importantes», au point qu'une prise en charge en clinique psychiatrique avait été nécessaire. Il précise que les causes de l'incapacité de travail «s'entremêlent», et donc que plusieurs facteurs sont imbriqués. Pour ce médecin, l'incapacité de travail causée à tout le moins par l'aggravation de l'état psychique est donc due non seulement à des difficultés familiales, mais aussi à la situation médicale du patient, successivement affecté par une pathologie coronarienne ayant nécessité une hospitalisation et une réadaptation, puis par une tumeur rénale.
Selon l'arrêt attaqué, le médecin traitant suivait son patient jusqu'à son entrée en clinique; on peut en inférer qu'il disposait d'une bonne connaissance de la situation. Par ailleurs, les juges cantonaux n'ont pas mis en doute sa crédibilité du fait de ses liens avec le patient, se fondant même sur ses déclarations pour retenir les périodes d'incapacité. De fait, les déclarations du généraliste apparaissent mesurées et nuancées, alors même qu'il avait été informé de l'enjeu juridique de ses réponses par le conseil du travailleur (courrier du 14 novembre 2014, pièce 5 du demandeur). Selon un traité important de la médecine psychiatrique, le trouble de l'adaptation est une réaction psychologique à un ou plusieurs facteurs de stress identifiables. Il accompagne fréquemment des maladies et constitue peut-être la réaction psychologique la plus répandue face à une atteinte à la santé (Diagnostisches und Statistisches Manual Psychischer Störungen DSM-5® [traduction allemande de Diagnostic And Statistical Manual of Mental Disorders, American Psychiatric Association, 5e éd.], 2015, p. 392 et 395). En l'occurrence, les atteintes à la santé physique du travailleur ont été importantes, puisque, encore une fois, une tumeur a succédé à une pathologie coronarienne. Selon l'expérience générale de la vie, de graves et longues atteintes à la santé peuvent rejaillir sur les relations familiales, et l'impossibilité prolongée d'exercer son activité professionnelle peut aussi constituer une source de stress social, par la crainte de perdre son emploi et d'avoir des difficultés financières; ces derniers éléments ont du reste été mis en exergue dans le mémoire d'appel du travailleur qui, tout en excluant un lien entre ses maladies physiques et psychique, explique avoir été submergé psychiquement alors qu'il craignait de perdre son travail et se trouvait confronté à des problèmes d'argent en raison de la baisse de ses revenus (80% au lieu de 100%), puis à des problèmes familiaux (appel, p. 2).
Dans un tel contexte, il faut admettre avec la recourante que l'autorité précédente ne pouvait pas s'arrêter au simple constat que le chef de la clinique psychiatrique n'avait pas expressément attribué le trouble d'adaptation à un quelconque problème de santé physique, alors même que de tels liens avaient été mis en évidence par son médecin traitant et se rencontrent fréquemment. Les déclarations du médecin traitant sont complémentaires - et non contradictoires - à celles du médecin-chef de la clinique psychiatrique, qui n'avait pas nécessairement une connaissance aussi précise du dossier.
En omettant dans ces circonstances de prendre en compte les propos du médecin généraliste dont la crédibilité n'était objectivement pas discutable ni discutée, les juges cantonaux ont versé dans l'arbitraire. Il faut ainsi constater que le trouble d'adaptation qui a justifié l'hospitalisation du travailleur en clinique psychiatrique et entraîné une incapacité de travail est dû à des facteurs de stress sociaux et aux problèmes de santé physique du travailleur - trouble coronarien et tumeur rénale -, ces derniers ayant au demeurant contribué à nourrir certains des facteurs de stress sociaux.
Subsiste ainsi la question juridique de savoir si ce constat empêche ou non de faire courir une nouvelle période de protection au sens de l'art. 336c al. 1 let. b CO.
4.
Sans doute faut-il se garder d'exigences trop absolues qui subordonneraient l'octroi d'un nouveau délai de protection à l'absence de tout lien quel qu'il soit entre le nouvel épisode maladif et l'épisode antérieur, ou feraient entièrement abstraction du poids respectif des différents facteurs d'incapacité de travail. On relèvera que dans l'affaire tessinoise commentée par les auteurs STREIFF, VON KAENEL ET RUDOLPH, le Tribunal fédéral revoyait sous l'angle restreint de l'arbitraire la question factuelle d'un lien entre les deux maladies, les parties ne contestant pas pour le surplus les conséquences juridiques, à savoir que le lien retenu excluait un nouveau délai de protection. Dans le cas présent, rien dans les éléments recueillis, et en particulier dans les explications du médecin traitant, n'indique que le facteur de stress constitué par les atteintes à la santé physique (et leurs conséquences sociales) soit suffisamment marginal pour qu'on doive considérer la maladie psychique comme indépendante et apte à faire courir un nouveau délai de protection. Cas échéant, il incombait aux parties demanderesses de tenter de le démontrer; or, le travailleur a renoncé à l'expertise qu'il avait dans un premier temps sollicitée. En bref, les pathologies physiques et psychique sont liées à un point suffisant pour exclure de retenir en droit un nouveau cas d'incapacité de travail ouvrant une nouvelle période de protection.
Le grief se révèle bien fondé.
5.
Le trouble de l'adaptation n'a pas donné droit à un nouveau délai de protection. Il n'est par ailleurs pas contesté que la protection de 90 jours liée aux atteintes successives à la santé physique - en particulier celle qu'avait fait courir la tumeur rénale opérée le 16 janvier 2014 - avait déjà expiré lorsque le congé a été donné par courrier du 26 juin 2014. Les parties demanderesses n'ont pas non plus discuté le fait que le congé donné pour le 31 août 2014 était conforme au délai et terme de congé, étant précisé que le contrat renvoyait sur ce point au Code des obligations (cf. art. 335c al. 1 CO; pièce 3 du demandeur).
Par conséquent, l'employé ne saurait prétendre à un salaire pour les mois de novembre 2014 à mars 2015; de facto, il ne saurait être question de subrogation en faveur de la caisse de chômage.
6.
En définitive, le recours en matière civile doit être admis et l'arrêt attaqué annulé. Il est pris acte de l'accord passé à l'audience du 12 avril 2016. Les conclusions encore litigieuses de l'employé sont rejetées, tout comme la demande formée par la caisse de chômage. La cause doit être retournée à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
La recourante obtient gain de cause. Par conséquent, les frais de la présente procédure sont mis à la charge des deux intimés (concernant la caisse de chômage, cf. arrêt 4A_182/2014 du 16 juillet 2014 consid. 4), solidairement entre eux (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Ils seront en outre débiteurs solidaires de dépens envers la recourante (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
3.
Il est pris acte de l'accord passé lors de l'audience du 12 avril 2016.
Pour le surplus, les conclusions de B._ sont rejetées, tout comme la demande déposée le 25 juin 2015 par la Caisse cantonale neuchâteloise d'assurance-chômage.
4.
Les frais de la présente procédure, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge des intimés, solidairement entre eux.
5.
Les intimés sont condamnés solidairement à verser à la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
6.
La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 4 août 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti