Considérant en fait et en droit :
1.
Par un contrat conclu le 25 juin 2008 entre A._ et la société B._ SA, celle-ci a promis des prestations d'architecte destinées à la réalisation d'un vaste centre hôtelier, touristique et aquatique dans la commune de Troistorrents. A._ traitait au nom d'une société anonyme alors en formation, dont la fondation ne s'est finalement pas accomplie.
En exécution de ce contrat, la société d'architecture a notamment établi un dossier d'avant-projet, avec des plans à l'échelle 1: 200.
Le 2 octobre 2008, elle a résilié le contrat en raison d'incertitudes concernant le financement du projet.
2.
Le 18 juin 2009, B._ SA, a ouvert action contre A._ devant le Juge des districts de Martigny et Saint-Maurice. Le défendeur devait être condamné à payer 21'520 fr. à titre d'honoraires, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 11 juin 2008. La demanderesse avait précédemment fait notifier un commandement de payer; elle sollicitait la mainlevée définitive de l'opposition.
Le défendeur a conclu au rejet de l'action.
Le Juge de district s'est prononcé le 5 février 2014. Accueillant partiellement l'action, il a condamné le défendeur à payer 16'793 fr.90 avec intérêts au taux de 5% par an dès le 13 juillet 2008; à concurrence de ces prestations, il a donné mainlevée définitive de l'opposition au commandement de payer.
La IIe Cour civile du Tribunal cantonal a statué le 10 septembre 2015 sur l'appel du défendeur; elle a confirmé le jugement.
3.
Agissant par la voie du recours constitutionnel, le défendeur requiert le Tribunal fédéral de réformer le jugement d'appel en ce sens que l'action soit entièrement rejetée.
La demanderesse conclut au rejet du recours.
Le défendeur a spontanément déposé une réplique.
4.
Les conditions de recevabilité du recours constitutionnel subsidiaire sont en principe satisfaites; en particulier, faute d'une valeur litigieuse suffisamment élevée, le recours ordinaire en matière civile n'est pas disponible.
Le défendeur invoque la protection contre l'arbitraire conférée par l'art. 9 Cst. Selon la jurisprudence relative aux recours formés pour violation de droits constitutionnels (art. 106 al. 2 ou 116 LTF), celui qui se plaint d'arbitraire doit indiquer de façon précise en quoi la décision qu'il attaque est entachée d'un vice grave et indiscutable; à défaut, le grief est irrecevable (ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254; 133 II 396 consid. 3.2 p. 400; voir aussi ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266).
5.
Les autorités précédentes allouent à la demanderesse le montant de 16'793 fr.90 à titre d'honoraires pour la réalisation d'un dossier d'avant-projet. Pour s'opposer à cette prétention, le défendeur a notamment allégué que les plans établis se sont révélés gravement défectueux et inutilisables, en particulier parce que les locaux prévus n'étaient pas appropriés aux installations techniques du centre aquatique. Le Tribunal cantonal a retenu que dans la mesure où cette insuffisance des locaux était avérée, le défendeur devait assumer ce défaut parce que sa cocontractante n'avait pas reçu toutes les informations nécessaires.
Devant le Tribunal fédéral, le défendeur persiste à soutenir que la demanderesse n'a pas respecté son devoir de diligence et que cela l'a conduite à fournir des plans défectueux et inutilisables. Le défendeur revient longuement et méthodiquement sur tous les éléments de cette discussion. Il conteste, en particulier, l'appréciation de l'expertise judiciaire et des autres preuves administrées; il conteste aussi l'appréciation juridique que le Tribunal cantonal a fondée sur diverses circonstances, telles sa propre attitude et celle des autorités communales après réception du dossier d'avant-projet, l'évolution ultérieure du projet, et, enfin, les contraintes de l'approvisionnement en eau et de la protection contre le risque de crue des rivières voisines. Le défendeur dénonce un jugement d'appel censément arbitraire mais le Tribunal fédéral ne discerne guère sur quels points il reproche réellement aux précédents juges, sinon par de simples protestations ou dénégations, d'avoir commis une erreur certaine ou de s'être livrés à une appréciation absolument insoutenable des éléments décisifs en fait ou en droit. L'argumentation présentée tend seulement à substituer une appréciation différente de celle de l'autorité précédente; elle est par conséquent irrecevable au regard de la jurisprudence précitée relative à l'art. 116 LTF.
6.
A titre de partie qui succombe, le défendeur doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Le défendeur acquittera un émolument judiciaire de 2'000 francs.
3.
Le défendeur versera une indemnité de 2'500 fr. à la demanderesse, à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 20 janvier 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
Le greffier : Thélin