Sachverhalt:
A.
B.B._, geboren am 8. April 2010, und C.B._, geboren am 3. März 2012, sind die Kinder von D.B._. Zur Zeit der Geburt der beiden Kinder war die Kindsmutter mit E._ verheiratet. Mit zwischenzeitlich rechtskräftig gewordenem Urteil vom 17. Mai 2013 beseitigte das Bezirksgericht Zürich die Vaterschaft des Ehemannes. Die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) der Stadt Zürich ernannte für B.B._ und C.B._ für dieses Verfahren nach Art. 306 Abs. 2 ZGB eine Beistandsperson und beauftragte diese mit der Wahrung der Interessen der Kinder.
B.
B.a. Am 6. August 2013 klagte D.B._ für sich und als gesetzliche Vertreterin ihrer Kinder beim Bezirksgericht Meilen gegen A._ auf Feststellung seiner Vaterschaft bezüglich B.B._ und C.B._ und auf Festsetzung des Kindesunterhalts. Das Bezirksgericht beschränkte das Verfahren auf die Abklärung der Vaterschaft und stellte mit Teilurteil vom 3. Juni 2014 fest, dass A._ der Vater der Kinder ist. Auch in diesem Verfahren wurden die Interessen der Kinder durch eine Beistandsperson vertreten.
B.b. Auf Berufung von A._ hin bestätigte das Obergericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 5. September 2014 das bezirksgerichtliche Urteil.
B.c. Eine hiergegen erhobene Beschwerde wies das Bundesgericht mit Urteil vom 6. Mai 2015 ab, soweit es darauf eintrat (Urteil 5A_794/2014). Ein von A._ am 6. April 2016 gegen dieses Urteil eingereichtes Revisionsbegehren blieb erfolglos (Urteil 5F_6/2016 vom 23. Mai 2006). Mit Eingabe vom 26. Juli 2016 reichte A._ vor Bundesgericht gegen diese Urteile ein Wiedererwägungs- und Revisionsgesuch ein, dem ebenfalls kein Erfolg beschieden war (Urteil 5F_13/2016 vom 15. Dezember 2015).
C.
C.a. Bereits am 23. Juli 2014 hatte A._ bei der KESB der Stadt Zürich eine "Amtsbeschwerde" nach Art. 419 ZGB erhoben und darum ersucht, die Beistandsperson der Kinder zur sorgfältigen Erledigung ihres Auftrages anzuhalten. Insbesondere solle die Beistandsperson ein Revisionsgesuch gegen das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 17. Mai 2013 stellen; mit diesem Urteil war die Vaterschaft von E._ beseitigt worden. Am 24. April 2015 hatte die KESB A._ mitgeteilt, er sei "zur Beschwerde gestützt auf Art. 419 ZGB" nicht berechtigt. Gleichwohl habe sie als Aufsichtsbehörde die Amtsführung der Beistandsperson geprüft, indessen keine Verletzung der Kindesinteressen feststellen können.
C.b. Gegen diese Mitteilung der KESB erhob A._ am 21. Mai 2015 beim Bezirksrat Zürich Beschwerde. Er beantragte, es sei die "Aufsichtsbeschwerde" gutzuheissen und die Beistandsperson anzuweisen, die Revision des Anfechtungsprozesses gegen E._ zu beantragen. Der Bezirksrat nahm die Eingabe als Rechtsverweigerungsbeschwerde entgegen und wies sie mit Urteil vom 7. Januar 2016 ab.
C.c. Am 8. Februar 2016 erhob A._ beim Obergericht des Kantons Zürich Beschwerde gegen das Urteil des Bezirksrats. Mit Urteil vom 23. Juni 2016 (eröffnet am 27. Juni 2016) wies das Obergericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat.
D.
Mit Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde vom 26. Juli 2016 gelangt A._ (Beschwerdeführer) mit den folgenden Anträgen in der Sache ans Bundesgericht:
"1. Es sei das Urteil des Obergerichts Zürich [...] vom 23. Juni 2016 vollumfänglich aufzuheben.
2. Es sei - in Gutheissung der Beschwerde - die Aufsichtsbeschwerde gestützt auf Art. 419 ZGB, ev. gestützt auf Art. 450 Abs. 2 ZGB, gut zu heissen und die Beistandschaft anzuweisen, die Revision des Anfechtungsurteils im Verfahren [...] des BG Zürich bzw. ev. eine Wiedererwägung des Anfechtungsurteils desselben Prozesses [...] des BG Zürich zu beantragen.
3. Eventualiter sei die Aufsichtsbeschwerde gestützt auf Art. 419 ZGB, ev. gestützt auf Art. 450 Abs. 2 ZGB[,] gut zu heissen, das Verfahren an die Erst-/ev. an die Vorinstanz zurück zu verweisen und die Beistandschaft anzuweisen, die Revision des Anfechtungsurteils im Verfahren [...] des BG Zürich bzw. ev. eine Wiedererwägung des Anfechtungsurteils desselben Prozesses [...] des BG Zürich zu beantragen.
4. Subeventualiter sei eine (neue) Beistandschaft nach Art. 306 Abs. 2 ZGB für B.B._ und C.B._ mit der Aufgabe einzusetzen, den Anfechtungsprozess betreffend Vaterschaft des Ehemannes in Revision zu ziehen, ev. Wiedererwägung des Anfechtungsurteils zu beantragen."
Zudem beantragt A._ die Sistierung des Verfahrens bis zum rechtskräfitgen Abschluss "der Verfahren betreffend Wiedererwägung / Revision des Vatschaftsprozesses (5F_6/2016 und 5A_794/2014) ".
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über die Berechtigung des Beschwerdeführers zur Anrufung der KESB nach Art. 419 ZGB sowie über die Begründetheit dieses Rechtsbehelfs entschieden hat (Art. 75 und 90 BGG). Hierbei handelt es sich um eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht, die der Beschwerde in Zivilsachen unterliegt (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG). Die Streitsache ist nicht vermögensrechtlicher Natur. Im Streit um die Legitimation zur Anrufung der KESB ist der Beschwerdeführer beschwerdeberechtigt (Art. 76 Abs. 1 BGG; BGE 135 II 145 E 3.2 S. 149). Die Beschwerde hat er auch fristgerecht erhoben (Art. 100 Abs. 1 und Art. 46 Abs. 1 Bst. b BGG), sodass darauf einzutreten ist (vgl. aber hinten E. 1.2 und 4.5). Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist unzulässig (Art. 113 BGG).
1.2. Das Obergericht wies die gegen das Nichteintreten auf die "Aufsichtsbeschwerde" vom 23. Juli 2014 (vorne Bst. C.a und C.b) gerichtete Beschwerde hauptsächlich mit der Begründung ab, der Beschwerdeführer sei nach Art. 419 ZGB nicht befugt, ein Gesuch um Einschreiten der KESB zu stellen (angefochtenes Urteil, E. 4.2.3 S. 12). Streitgegenstand des Verfahrens vor dem Bundesgericht ist damit grundsätzlich nur die Frage, ob die Vorinstanz den Nichteintretensentscheid zu Recht geschützt hat (vgl. zum Streitgegenstand BGE 142 I 155 E. 4.4.2 S. 156; 136 II 165 E. 5 S. 174, 457 E. 4.2 S. 462 f.). In einer - den Ausführungen zur Legitimation freilich vorangestellten - Eventualbegründung hat das Obergericht indessen auch ausgeführt, weshalb das bei ihr erhobene Rechtsmittel in der Sache unbegründet sei (angefochtenes Urteil, E. 4.2.1 und 4.2.2 S. 10 f.). In dieser Konstellation beurteilt das Bundesgericht auch die materielle Rechtslage und sieht aus prozessökonomischen Gründen davon ab, den angefochtenen Entscheid aufzuheben, wenn die Beschwerde zwar zu Unrecht aus formellen Gründen abgewiesen wurde, die Eventualbegründung in der Sache aber zutreffend ist. Deshalb muss sich die Beschwerdebegründung (Art. 42 Abs. 2 BGG) sowohl mit der formellrechtlichen als auch mit der materiellrechtlichen Seite auseinandersetzen, was vorliegend der Fall ist. Erweist sich hingegen die Verneinung der Berechtigung des Beschwerdeführers zur Anrufung der KESB als richtig, so bleibt es dabei und das Bundesgericht hat sich mit der materiellen Seite nicht mehr zu befassen (BGE 139 II 233 E. 3.2 S. 237 f.; Urteil 2C_590/2016 vom 23. August 2016 E. 1.1).
1.3. Hinsichtlich der Frage, ob im Rahmen eines Aufsichtsverfahrens Anspruch auf einen anfechtbaren Entscheid besteht, ist das Obergericht nicht auf die Beschwerde eingetreten (angefochtenes Urteil, E. 4.2.3 S. 12; zum Verhältnis zwischen dem Aufsichtsverfahren und dem Verfahren nach Art. 419 ZGB vgl. HERMANN SCHMID, in: Basler Kommentar, Zivilgesetzbuch I, 5. Aufl. 2014, N. 2 zu Art. 419 ZGB). Der Beschwerdeführer beanstandet das Urteil des Obergerichts in diesem Punkt nicht, sodass es insoweit nicht angefochten ist und nicht Gegenstand des Verfahrens vor Bundesgericht bildet (BGE 142 I 155 E. 4.4.2 S. 156; 136 II 165 E. 5 S. 174; 136 V 131 E. 1.2 S. 136). Hierauf ist nicht weiter einzugehen.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann eine Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen und es kann sie mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 141 III 426 E. 2.4 S. 429).
2.2. Umstritten ist vorab die Berechtigung des Beschwerdeführers zur Anrufung der Erwachsenenschutzbehörde nach Art. 419 ZGB (vorne E. 1.2). In der Begründung der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Es obliegt damit dem Beschwerdeführer, im Einzelnen aufzuzeigen, weshalb das Obergericht seine Berechtigung zur Erhebung des Rechtsbehelfs zu Unrecht verneint hat, sofern dies nicht offensichtlich ist (vgl. BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f., 289 E. 1.3 S. 292; 138 III 537 E. 1.2 S. 539).
3.
3.1. Der Rechtsbehelf von Art. 419 ZGB findet sich im Erwachsenen- und nicht im Kindesschutzrecht, wie es vorliegend mit der Beistandschaft für B.B._ und C.B._ betroffen ist. Wie der Beschwerdeführer aber richtig annimmt (Beschwerde, Bst. C Rz. 8 S. 4 f.), ist Art. 419 ZGB auch hier anwendbar (Botschaft vom 28. Juni 2006 zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Erwachsenenschutz, Personenrecht und Kindesrecht], BBl 2006 7001 [nachfolgend: Botschaft Erwachsenenschutz], S. 7083 Ziff. 2.3.3). Entsprechendes galt bereits im Geltungsbereich der Vormundschaftsbeschwerde nach aArt. 420 Abs. 1 ZGB (vgl. BGE 137 III 531 E. 3.3 S. 533; AUGUST EGGER, Zürcher Kommentar, 2. Aufl. 1948, N. 9 zu Art. 420 ZGB), der Vorgängerbestimmung von Art. 419 ZGB (Botschaft Erwachsenenschutz, a.a.O., S. 7058 Ziff. 2.2.8 und S. 7083 Ziff. 2.3.3; SCHMID, a.a.O., N. 1 zu Art. 419 ZGB). Die Verfahrensbeteiligten und die Vorinstanz sind damit zu Recht von der Anwendbarkeit von Art. 419 ZGB ausgegangen.
3.2. Gemäss dieser Bestimmung kann die betroffene oder eine ihr nahestehende Person und jede Person, die ein rechtlich geschütztes Interesse hat, gegen Handlungen oder Unterlassungen des Beistands oder der Beiständin sowie einer Drittperson oder Stelle, der die Erwachsenenschutzbehörde einen Auftrag erteilt hat, die Erwachsenenschutzbehörde anrufen. Der Beschwerdeführer führt bezüglich seiner Legitimation aus, "seine eigenen Rechte [seien] durch das behördliche Handeln in mannigfaltiger Hinsicht verletzt [...], und zwar als Staatsbürger eines Rechtsstaates wie auch als Passivbeklagter im Vaterschaftsprozess, auf den erst nach (formeller) Rechtskraft des Anfechtungsurteils (des Ehemannes) eingetreten werden konnte." Ausserdem könne er "als Betroffener bzw. Nahestehender rechtlich geschützte Interessen der minderjährigen Kinder geltend machen" (Beschwerde, Bst. I Ziff. 2 Rz. 86 S. 24 f.). Damit hält er sich sowohl als Betroffener wie auch als Nahestehender und als Drittperson für berechtigt, die Erwachsenen- bzw. Kindesschutzbehörde anzurufen.
4.
4.1. Der Zweck der Anrufung der Kindes- oder Erwachsenenschutzbehörde besteht darin, innert kurzer Zeit einen materiell richtigen Entscheid in einem einfachen Verfahren zu ermöglichen. Entsprechend aArt. 420 Abs. 1 ZGB ist die Anrufung der Behörde nicht befristet. Sobald allerdings ein Verfahren keinen Sinn mehr macht, weil die Handlung nicht mehr korrigierbar ist oder die Unterlassung nicht mehr gutgemacht werden kann, besteht auch keine Möglichkeit mehr, die Frage der Kindes- oder Erwachsenenschutzbehörde vorzulegen (fehlendes aktuelles Interesse). Eine Ausnahme ist nur dort zu machen, wo sich eine Grundsatzfrage stellt, deren Klärung im Interesse der Praxis liegt (Botschaft Erwachsenenschutz, a.a.O., Ziff. 2.2.8 S. 7059; CHRISTOPH HÄFELI, Grundriss zum Kindes- und Erwachsenenschutz, 2. Aufl. 2016, Rz. 24.02; PHILIPPE MEIER, Droit de la protection de l'adulte, 2016, Rz. 1123 S. 548). Der Hinweis auf die Grundsatzfrage versteht das Bundesgericht in Anlehnung an die Lehre zu aArt. 420 ZGB als Ausdruck des Erfordernisses des virtuellen Interesses (Urteil 5A_186/2014 vom 7. April 2014 E. 3.2). Demnach ist ausnahmsweise auf ein aktuelles praktisches Interesse an der Erhebung eines Rechtsbehelfs zu verzichten, wenn sich die aufgeworfene Frage unter gleichen oder ähnlichen Umständen jederzeit wieder stellen könnte, eine rechtzeitige Überprüfung im Einzelfall kaum je möglich wäre und die Beantwortung wegen ihrer grundsätzlichen Bedeutung im öffentlichen Interesse liegt (BGE 142 I 135 E. 1.3.1 S. 143; 139 I 206 E. 1.1. S. 208). Die Vorinstanzen hätten folglich von vornherein nur dann auf den vom Beschwerdeführer erhobenen Rechtsbehelf eintreten müssen, wenn dieser daran ein aktuelles oder virtuelles Interesse in diesem Sinne hat.
4.2. Der Beschwerde ans Bundesgericht lässt sich entnehmen, dass der Beschwerdeführer das Urteil des Bezirksgerichts Zürich vom 17. Mai 2013 für falsch hält und aufheben lassen möchte. Mit diesem Urteil wurde die Vaterschaft von E._ über die Kinder B.B._ und C.B._ beseitigt. Es ist zwischenzeitlich allerdings in Rechtskraft erwachsen (vorne Bst. A) und das Bundesgericht hat es abgelehnt, es als nichtig zu qualifizieren (Urteil 5F_6/2016 vom 23. Mai 2016 E. 2). Sein Ziel möchte der Beschwerdeführer daher über eine Revision oder eine Wiedererwägung des fraglichen Urteils erreichen (vgl. nur die Rechtsbegehren Ziff. 2-4). Dies soll durch Anweisung der (allenfalls neu zu ernennenden) Beistandsperson der Kinder erfolgen. Nach Ansicht des Beschwerdeführers waren es denn auch die sorgfaltswidrigen Handlungen bzw. Unterlassungen der (früheren) Beistandsperson, welche zu einem materiell falschen Urteil im Anfechtungsprozess geführt haben.
4.3. Der Beschwerdeführer geht nicht näher darauf ein, inwiefern eine Revision des Bezirksgerichtsurteils nach Massgabe von Art. 328 ZPO möglich sein sollte. Zwar verweist er darauf, die Beistandsperson hätte ihre Pflichten während des Anfechtungsverfahrens nicht sorgfältig wahrgenommen und sich mit der Kindsmutter "verständigt" (Beschwerde, Bst. F Rz. 68 S. 21). Allein deshalb kommt eine Revision indessen nicht in Frage (vgl. Art. 328 Abs. 1 Bst. b ZPO). Ein Revisionsgrund liegt auch nicht im Umstand, dass der Beschwerdeführer nachträglich Tatsachen erfahren haben will, welche das Urteil des Bezirksgerichts als fehlerhaft erscheinen lassen sollen (vgl. Beschwerde, Bst. I Ziff. 2.1 Rz 88 S. 25). Zwar kann im nachträglichen Erfahren erheblicher Tatsachen ein Revisionsgrund liegen. Insoweit kommt es indessen nicht auf den Beschwerdeführer an, der unbestritten nicht Partei dieses Prozesses war oder hätte sein müssen (vgl. Beschwerde, Bst. I Ziff. 1 Rz. 82 S. 23). Massgebend ist vielmehr die Beistandsperson, welche als Vertreterin der Kinder zur Revision legitimiert ist (Art. 328 Abs. 1 Bst. a ZPO; vgl. FREIBURGHAUS/AFHELDT, in: Sutter-Somm et al. [Hrsg.], Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], 3. Aufl. 2016, N. 9 zu Art. 328 ZPO; IVO SCHWANDER, in: Brunner/Gasser/Schwander, Schweizerische Zivilprozessordnung [ZPO], Kommentar, 2. Aufl. 2016, N. 16 zu Art. 328 ZPO). Dass die Beistandsperson nachträglich erhebliche Tatsachen erfahren hätte, welche sie im früheren Verfahren nicht beibringen konnte, behauptet aber auch der Beschwerdeführer nicht. Der Beschwerde lässt sich sodann auch nicht entnehmen, nach welchen Grundsätzen oder aus welchem Grund eine Wiedererwägung des Urteils vom 17. Mai 2013 möglich sein sollte. Solches ist auch nicht offensichtlich (vgl. vorne E. 2.2). Unter diesen Umständen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, dass die beanstandeten Handlungen und Unterlassungen der Beistandsperson heute noch korrigiert bzw. gutgemacht werden könnten. Hierzu hätte er im Übrigen umso mehr Anlass gehabt, als er selbst auf die Argumentation des Bezirksrats im Urteil vom 7. Januar 2016 verweist, wonach die Anrufung der KESB heute keinen Sinn mehr mache (Beschwerde, Bst. I Ziff. 2.1 Rz. 96 S. 27). Damit ist kein aktuelles Interesse an der Anrufung der KESB dargetan.
4.4. Nach Ansicht des Beschwerdeführers stellen sich freilich Fragen von grundsätzlicher Bedeutung. Diese sieht er in den folgenden Fragestellungen: Ob er als Beklagter des Vaterschaftsprozesses (vorne Bst. B) das Urteil des Anfechtungsverfahrens (vorne Bst. A) gegen sich gelten lassen müsse, ob er als Staatsbürger und Betroffener Anspruch darauf habe, die Handlungen der Beistandsperson überprüfen zu lassen, und ob ihm die Legitimation zum Rechtsbehelf nach Art. 419 ZGB als Betroffener oder Nahestehender abgesprochen werden könne (Beschwerde, Bst. C Rz. 7 f. S. 4 f. und Bst. I Ziff. 2.1 Rz. 88 S. 25). Der Beschwerdeführer macht in keiner Weise geltend, weshalb die Überprüfung dieser (teilweise sehr allgemeinen) Fragen kaum je rechtzeitig möglich sein sollte. Dies ist auch nicht ersichtlich (vorne E. 2.2; BGE 141 II 353 E. 1.2 S. 361). Unbesehen darum, ob sich tatsächlich Fragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen (vgl. BGE 141 II 14 E. 1.2.2.1 S. 21, 113 E. 1.4.1 S. 118), ist damit ein virtuelles Interesse an der Anrufung der KESB zu verneinen.
4.5. Folglich fehlt es sowohl an einem aktuellen wie auch an einem virtuellen Interesse des Beschwerdeführers an der Erhebung des Rechtsbehelfs nach Art. 419 ZGB. Unter diesen Umständen ist es nicht bundesrechtswidrig, dass das Obergericht die Berechtigung des Beschwerdeführers zur Anrufung der KESB verneint hat. Daran vermögen auch alle weiteren Sachverhalts- und Rechtsrügen des Beschwerdeführers nichts zu ändern. Soweit sich diese auf die (materielle) Frage der Aufgabenerfüllung durch die Beistandsperson beziehen, ist darauf bei diesem Ergebnis nicht einzugehen (vorne E. 1.2).
5.
Der Beschwerdeführer rügt schliesslich eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV). Die Vorinstanz habe sich nicht damit auseinander gesetzt, ob sich eine Grundsatzfrage stelle oder der Beschwerdeführer Anspruch auf Schadenersatz geltend machen könne (Beschwerde, Bst. I Ziff. 2.1 Rz. 102 S. 28). Eine Gehörsverletzung liegt hierin nicht: Nach Ansicht der Vorinstanz war der Beschwerdeführer weder als Betroffener noch als Nahestehender oder Dritter zur Anrufung der KESB legitimiert (angefochtenes Urteil, E. 4.2.3 S. 12; vgl. vorne E. 3.2). Anlass, sich zum Vorliegen einer Grundsatzfrage zu äussern, welche im Zusammenhang mit der Aktualität des Rechtsschutzinteresses steht (vgl. vorne E. 4.1), hatte das Obergericht damit nicht. Allfällige Ersatzansprüche des Beschwerdeführers nach Art. 454 ZGB waren sodann nicht Verfahrensgegenstand (vgl. vorne E. 1.2). Es ist folglich nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz nicht auf diese Fragen einging (vgl. BGE 141 III 28 E. 3.2.4 S. 41). Nicht gefolgt werden kann dem Beschwerdeführer sodann insoweit, als er eine Verletzung der Begründungspflicht rügt, weil das Obergericht seine Beschwerdelegitimation als Betroffener und als Nahestehender verneinte (Beschwerde, Bst. I Ziff. 2.2 Rz. 103 S. 28 und Ziff. 2.3 Rz. 105 ff. S. 29). Die Vorinstanz führte unbestritten aus, weshalb sie zu diesem Schluss kam. Der Beschwerdeführer spricht folglich die (inhaltliche) Begründetheit, nicht jedoch die Begründung des angefochtenen Urteils an.
6.
6.1. Die Beschwerde in Zivilsachen erweist sich nach dem Ausgeführten als unbegründet und ist abzuweisen, ohne dass auf die materielle Seite der Streitsache einzugehen wäre (vgl. vorne E. 1.2 und 4.5). Ebenfalls abzuweisen sind die Anträge auf Beizug der Akten weiterer den Beschwerdeführer betreffender Verfahren. Das Bundesgericht entscheidet gestützt auf den Sachverhalt, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und führt soweit die Hauptsache betreffend kein Beweisverfahren durch. Das Gesuch um Sistierung des Verfahrens ist gegenstandslos geworden, nachdem das Bundesgericht über das Wiedererwägungs- und Revisionsgesuch des Beschwerdeführers vom 26. Juli 2016 zwischenzeitlich entschieden hat (vorne Bst. B.c).
6.2. Der Beschwerdeführer wird bei diesem Ausgang des Verfahrens kosten-, nicht hingegen entschädigungspflichtig, da keine Vernehmlassungen eingeholt wurden (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Das Gesuch um Sistierung des Verfahrens 5A_562/2016 wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. Dezember 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber