Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ (geb. 1973) ist kosovarischer Staatsangehöriger. Er reiste am 28. Januar 1993 erstmals in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, das abgewiesen wurde. Gleichwohl verblieb er in der Schweiz, wobei er vom 21. Juni 1999 bis 16. August 1999 gestützt auf einen entsprechenden Bundesratsbeschluss vorläufig aufgenommen wurde. Ab 6. Oktober 2000 galt er als verschwunden. Vor seinem Verschwinden lebte er zusammen mit der ihm religiös angetrauten E._ (geb. 1973) sowie den gemeinsamen Kindern B.A._ (geb. 1998) und C.A._ (geb. 2000) in V._/BE. E._ verliess die Schweiz mit den beiden Kindern am 1. September 2000.
1.2. A.A._ reiste am 15. Januar 2005 zwecks Ehevorbereitung erneut in die Schweiz ein; hier heiratete er am 4. Februar 2005 die schweizerische Staatsangehörige F._ (geb. 1967). Daraufhin wurde ihm der Aufenthalt in der Schweiz bewilligt. Am 1. Dezember 2006 trennten sich die Ehegatten. Nachdem das Migrationsamt am 4. April 2008 in Aussicht stellte, die Aufenthaltsbewilligung von A.A._ nicht zu verlängern, zog er am 1. Juni 2008 wieder bei der Ehegattin ein. Am 19. März 2010 wurde ihm die Niederlassungsbewilligung erteilt. Das Paar trennte sich erneut am 1. September 2010 und liess sich am 13. November 2010 scheiden.
1.3. Am 27. Juni 2012 stellte A.A._ ein Gesuch um Familiennachzug für seine drei mit E._ gemeinsamen Kinder B.A._, C.A._ und D.A._ (geb. 2004). Das Migrationsamt des Kantons Solothurn wies das Gesuch am 18. September 2013 ab. Die dagegen ergriffenen innerkantonalen Rechtsmittel blieben erfolglos; letztinstanzlich wies das Bundesgericht eine Beschwerde von A.A._ gegen die Verweigerung des Familiennachzugs ab (Urteil 2C_44/2014 vom 24. Juni 2014).
1.4. Im Rahmen eines am 21. August 2014 gestellten Gesuchs um Wiedererwägung betreffend Familiennachzug für seine drei Kinder machte A.A._ geltend, deren Betreuungssituation im Kosovo habe sich massgeblich verändert. Unter anderem sei der Kindsmutter die elterliche Sorge entzogen und auf ihn übertragen worden. Zudem sei die Grossmutter, die die Kinder bisher betreut habe, am 4. April 2014 gestorben. Gestützt darauf ersuchte das Migrationsamt die Schweizer Vertretung in Kosovo um nähere Abklärungen zu den Wohnverhältnissen der Kinder. Dabei stellte sich unter anderem heraus, dass die Kinder von A.A._ und dessen Vater gemeinsam mit der Kindsmutter zusammen in einem Haus leben, das A.A._ gehört.
1.5. Nach vorgängiger Gewährung des rechtlichen Gehörs widerrief das Migrationsamt mit Verfügung vom 2. Mai 2016 die Niederlassungsbewilligung von A.A._ und verfügte dessen Wegweisung aus der Schweiz. Auf das Gesuch um Wiedererwägung betreffend Familiennachzug trat es nicht ein. Das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn wies eine Beschwerde gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung ab (Urteil vom 7. Juli 2016). Soweit den Familiennachzug betreffend erwuchs die Verfügung vom 2. Mai 2016 unangefochten in Rechtskraft.
Mit Eingabe vom 8. September 2016 gelangt der Beschwerdeführer an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und verlangt, vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung und von der Wegweisung abzusehen.
Das Bundesgericht hat die vorinstanzlichen Akten eingeholt.
2.
Die Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 7. Juli 2016 ist zulässig und als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegen zu nehmen, soweit sie sich gegen den Widerruf der Niederlassungsbewilligung richtet (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG e contrario; BGE 135 II 1 E. 1.2.1 S. 4; Urteil 2C_608/2015 vom 1. Februar 2016). Soweit der Beschwerdeführer die Wegweisung beanstandet, ist hingegen einzig die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 4 BGG i.V.m. Art. 113 BGG). Mangels ausreichend erhobenen Verfassungsrügen (Art. 117 i.V.m. Art. 106 Abs. 2 BGG) kann auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde indes nicht eingetreten werden.
Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren unter Verweisung auf den angefochtenen Entscheid nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen ist.
3.
3.1. Die Niederlassungsbewilligung kann bei einem Aufenthalt von weniger als fünfzehn Jahren ununterbrochenen und ordnungsgemässen Aufenthalts in der Schweiz widerrufen werden, wenn die Person ausländischer Staatsangehörigkeit im Bewilligungsverfahren falsche Angaben macht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen hat (Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. a AuG [SR 142.20]). Die falsche Angabe oder das Verschweigen wesentlicher Tatsachen muss in der Absicht erfolgen, gestützt darauf den Aufenthalt oder die Niederlassung bewilligt zu erhalten (vgl. BGE 135 II 1 E. 4.1 S. 9; Urteile 2C_1115/2015 vom 20. Juli 2016 E. 4; 2C_113/2016 vom 29. Februar 2016 E. 2.1).
3.2. Die Vorinstanz ist davon ausgegangen, dass der Beschwerdeführer mit seiner mittlerweile geschiedenen Ehefrau eine Umgehungsehe ("Scheinehe") geführt hat. Demgegenüber rügt der Beschwerdeführer, diese Schlussfolgerung sei willkürlich und ein Widerrufsgrund liege nicht vor. Mit der appellatorischen Kritik des Beschwerdeführers ist indes nicht dargetan, dass der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellung, die das Bundesgericht nur auf offensichtliche Unrichtigkeit und Rechtsverletzungen hin überprüft (Art. 97 Abs. 1 BGG; Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 139 II 404 E. 10.1 S. 445), ein Mangel anhaftet. Sodann ist in rechtlicher Hinsicht nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz gestützt auf die festgestellten Umstände das Vorliegen einer Umgehungsehe bejahte (vgl. zur Abgrenzung von Sachverhalts- und Rechtsfragen im vorliegenden Zusammenhang BGE 128 II 145 E. 2.3 S. 152; Urteil 2C_303/2013 vom 13. März 2014 E. 2.1). In Übereinstimmung mit der jüngst präzisierten Rechtsprechung des Bundesgerichts zur Mitwirkungspflicht im Bewilligungsverfahren, die eine ausländische Person im Zusammenhang mit der Existenz von vor- oder ausserehelichen Kindern trifft, hat die Vorinstanz den Widerruf der Niederlassungsbewilligung nicht allein auf das langjährige Verschweigen von Sohn D.A._ gestützt (vgl. dazu Urteile 2C_706/2015 vom 24. Mai 2016 E. 3.2 [zur Publikation vorgesehen]; 2C_1115/2015 vom 20. Juli 2016 E. 4.2). Die Umstände von dessen Geburt am 22. Juli 2004, die nur kurz vor der Einleitung des Verfahrens auf Eheschliessung mit F._ erfolgte, hat die Vorinstanz indes zutreffend als Anhaltspunkte für das Vorliegen einer Umgehungsehe gewertet. Weitere festgestellte Hinweise - erste Trennung wenige Monate nach der Heirat mit F._, unvermittelte Wiedervereinigung nach angedrohter Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung, erneute Trennung von F._ kurze Zeit nach Erteilung der Niederlassungsbewilligung, Wohnsituation der Kinder und der Kindsmutter im Haus des Beschwerdeführers im Kosovo, Aussagen von Drittpersonen über eine bestehende Ehe des Beschwerdeführers mit E._ - sind nicht anders zu würdigen. Der Schluss der Vorinstanz, wonach von einer Umgehungsehe auszugehen ist, verletzt vor diesem Hintergrund kein Bundesrecht. Ergänzend kann auf die diesbezüglichen Erwägungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden (vgl. angefochtener Entscheid E. 3; Art. 109 Abs. 3 BGG). Ein Widerrufsgrund nach Art. 63 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 62 lit. a AuG liegt vor. Dieser steht im Übrigen auch der Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung entgegen (vgl. Art. 51 Abs. 1 lit. a AuG; Urteil 2C_804/2013 vom 3. April 2014 E. 2.1), sodass nicht weiter geprüft werden muss, ob dem Beschwerdeführer als mildere Massnahme zum Widerruf der Niederlassungsbewilligung eine Aufenthaltsbewilligung erteilt werden kann (vgl. dazu Urteile 2C_562/2015 vom 15. Januar 2016 E. 4; 2C_748/2014 vom 12. Januar 2015 E. 3.1; 2C_682/2012 vom 7. Februar 2013 E. 6).
3.3. Zu prüfen bleibt, ob der Widerruf der Niederlassungsbewilligung mit der Folge, dass der Beschwerdeführer die Schweiz verlassen muss, verhältnismässig ist (Art. 5 Abs. 2 BV, Art. 96 AuG; BGE 139 I 145 E. 2.2 S. 147 ff.). Der Beschwerdeführer weist diesbezüglich darauf hin, dass seine Anwesenheitsdauer nicht mehr als kurz bezeichnet werden kann, nachdem er seit dem Jahr 2005 ununterbrochen hier Wohnsitz hat und sich bereits während den 1990er-Jahren längere Zeit in der Schweiz aufgehalten hatte. Gemäss den vorinstanzlichen Feststellungen ist der Beschwerdeführer zudem wirtschaftlich gut integriert; er führt als Pächter erfolgreich ein Restaurant. Der Widerruf der Niederlassungsbewilligung ist gleichwohl verhältnismässig, weil eine Rückkehr des Beschwerdeführers in seine Heimat mit keiner grossen Härte verbunden ist. So lebte der Beschwerdeführer den grössten Teil seines bisherigen Lebens im Kosovo und verbrachte dort insbesondere seine prägenden Kinder- und Jugendjahre. Er ist Eigentümer eines grossen Hauses in U._, wo seine Kinder, deren Mutter und der Vater wohnen, die er während seinem Aufenthalt in der Schweiz häufig besuchte. Fünf Brüder des Beschwerdeführers besitzen im selben Ort ebenfalls eine Liegenschaft. Neben diesen sozialen Aspekten spricht auch nichts gegen eine erfolgreiche wirtschaftliche Reintegration im Kosovo: Seine Erfahrungen in der Gastronomiebranche ermöglichen dem Beschwerdeführer ebenso einen Neuanfang in der Heimat wie seine frühere Tätigkeit als Plattenleger. An der Verhältnismässigkeit des Bewilligungswiderrufs ändert auch der vom Beschwerdeführer geplante Kauf einer Liegenschaft in der Schweiz nichts. Das Migrationsamt hatte dem Beschwerdeführer die mögliche Beendigung des Anwesenheitsrechts bereits in Aussicht gestellt, bevor dieser eine Absichtserklärung zum Kauf einer Immobilie unterzeichnete und eine Anzahlung leistete. Eine Rückkehr in die Heimat ist dem Beschwerdeführer klarerweise zumutbar.
Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
4.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Der Beschwerdeführer trägt als unterliegende Partei die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann