Sachverhalt:
A.
Am 31. Januar 2016 fuhr A._ mit seinem Motorrad Richtung Rubingen. Er stürzte und schlitterte diagonal über die Gegenfahrbahn, wo er mitsamt seinem Motorrad in die sich auf der linken Strassenseite befindliche Lärmschutzwand pralle. Dabei wurde er schwer verletzt. Die später im Spital entnommene Blutprobe liess auf einen übermässigen Alkohol- und Cannabiskonsum schliessen.
Mit Verfügung vom 16. März 2016 entzog das Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern (nachfolgend: Strassenverkehrsamt) A._ vorsorglich den Führerausweis für Motorfahrzeuge bis zur Abklärung der Fahreignung des Betroffenen. Die aufschiebende Wirkung einer allfälligen Beschwerde wurde entzogen.
Mit Verfügung vom 28. April 2016 bestätigte der Präsident der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführer (nachfolgend: Rekurskommission) den den vom Strassenverkehrsamt angeordneten vorsorglichen Führerausweisentzug sowie die Eignungsuntersuchung.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 30. Mai 2016 beantragt A._, es sei die entzogene aufschiebende Wirkung wieder zu erteilen und von einem vorsorglichen Führerausweisentzug abzusehen. Es sei ein befristeter Warnungsentzug auf die Dauer von drei Monaten mit Vollzugsbeginn am 31. Januar 2016 anzuordnen.
C.
Die Rekurskommission und das Strassenverkehrsamt haben eine Vernehmlassung eingereicht. Der Beschwerdeführer hat sich nicht mehr geäussert.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen provisorischen Führerausweisentzug zur Abklärung der Fahreignung. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG offen, und der Beschwerdeführer ist befugt, sie zu erheben (Art. 89 Abs. 1 BGG). Ein kantonales Rechtsmittel steht nicht zur Verfügung. Die Beschwerde ist somit gemäss Art. 86 Abs. 1 lit. d i.V.m. Abs. 2 BGG zulässig.
1.2. Das angefochtene Urteil schliesst das Verfahren allerdings nicht ab. Es handelt sich um einen Zwischenentscheid nach Art. 93 Abs. 1 BGG. Dieser ist anfechtbar, da er beim Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken kann (Tatbestandsvariante lit. a; vgl. BGE 122 II 359 E. 1b S. 362; Urteile des Bundesgerichts 1C_310/2015 vom 8. Dezember 2015 E. 1 und 1C_233/2007 vom 14. Februar 2008 E. 1.1).
1.3. Beim vorsorglichen Führerausweisentzug handelt es sich um eine vorsorgliche Massnahme gemäss Art. 98 BGG (Urteile des Bundesgerichts 1C_31/2016 vom 22. April 2016 E. 1.2; 1C_310/2015 vom 8. Dezember 2015 E. 1; 1C_264/2014 vom 19. Februar 2015 E. 2; 1C_233/2007 vom 14. Februar 2008 E. 1.2; je mit Hinweisen). Der Beschwerdeführer kann daher nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte rügen. Insoweit gelten die qualifizierten Begründungsanforderungen nach Art. 106 Abs. 2 BGG. Der Beschwerdeführer muss darlegen, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze der angefochtene Entscheid inwiefern verletzen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen (BGE 141 I 78 E. 4.1 S. 82; 141 I 36 E. 1.3 S. 41; je mit Hinweisen).
2.
Die Rechtsmitteleingabe enthält die Sachverhaltsdarstellung aus der Sicht des Beschwerdeführers sowie eine Begründung, weshalb der Vorfall vom 31. Januar 2016 nicht geeignet sei, grundsätzliche Zweifel an der Fahreignung des Beschwerdeführers zu erwecken, so dass ihm gegenüber bloss ein befristeter Warnungsentzug auszusprechen sei. Die Beschwerdeschrift enthält jedoch keine - hier einzig zulässigen - Verfassungsrügen (auch nicht sinngemäss). Damit vermag sie den oben dargestellten, qualifizierten Begründungsanforderungen nicht zu genügen.
3.
Nach dem Gesagten ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrs- und Schifffahrtsamt des Kantons Bern und dem Präsidenten der Rekurskommission des Kantons Bern für Massnahmen gegenüber Fahrzeugführerinnen und Fahrzeugführern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Eusebio
Der Gerichtsschreiber: Misic