In Erwägung,
dass der Beschwerdeführer am 19. November 2015 beim Arbeitsgericht Zürich gegen die Beschwerdegegnerin Klage erhob und beantragte, die Beschwerdegegnerin sei zu verpflichten, ihm ein Zeugnis über Leistung und Verhalten, eine Begründung der Kündigung, die letzten 12 Lohnjournale vom Februar 2008 bis Februar 2009 und eine Arbeitgeberbescheinigung aus- und zuzustellen;
dass das Arbeitsgericht mit Verfügung vom 8. März 2016 auf die Klage nicht eintrat;
dass der Beschwerdeführer dagegen Beschwerde an das Obergericht des Kantons Zürich erhob, das auf seine Beschwerde mit Beschluss vom 23. Mai 2016 nicht eintrat;
dass der Beschwerdeführer dagegen mit Eingabe vom 20. Juni 2016Beschwerde an das Bundesgericht erhob;
dass der von der Vorinstanz mit Fr. 9'900.-- ausgewiesene Streitwert der vorliegenden arbeitsrechtlichen Streitsache die Grenze von Fr. 15'000.-- gemäss Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG nicht erreicht;
dass deshalb die Beschwerde in Zivilsachen vorliegend nur zulässig ist, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG), was die beschwerdeführende Partei aufzuzeigen hat (Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG; BGE 136 II 489 E. 2.6; 133 III 439 E. 2.2.2.1, 645 E. 2.4);
dass der Beschwerdeführer nicht behauptet, dass sich vorliegend eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt und auch nicht ersichtlich ist, inwiefern sich eine solche stellen könnte;
dass unter diesen Umständen die Beschwerde in Zivilsachen nicht zulässig ist, womit die subsidiäre Verfassungsbeschwerde in Betracht kommt (Art. 113 BGG);
dass mit einer solchen Beschwerde ausschliesslich die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden kann (Art. 116 BGG);
dass in einer Beschwerde an das Bundesgericht unter Bezugnahme auf die Erwägungen des angefochtenen Entscheids dargelegt werden muss, welche Rechte der beschwerdeführenden Partei durch das kantonale Gericht verletzt worden sind (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 140 III 115 E. 2 S. 116), wobei eine allfällige Verletzung der bundesrechtlichen Verfassungsrechte vom Bundesgericht nicht von Amtes wegen geprüft wird, sondern nur dann, wenn solche Rügen in der Beschwerdeschrift ausdrücklich erhoben und hinlänglich begründet werden (Art. 106 Abs. 2 in Verbindung mit Art. 117 BGG);
dass das Bundesgericht seinem Entscheid den Sachverhalt zugrundelegt, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG), und die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen kann, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 116 BGG beruht (Art. 118 Abs. 2 BGG);
dass der Beschwerdeführer in seiner Eingabe vom 20. Juni 2016 zwar sinngemäss eine Verletzung seines Anspruchs auf unentgeltliche Rechtspflege nach Art. 29 Abs. 3 BV beklagt, ohne aber auf die Erwägungen der Vorinstanz hinreichend konkret und sachdienlich (er vermischt die Erwägungen betreffend das erstinstanzliche und diejenigen betreffend das zweitinstanzliche Verfahren) einzugehen, geschweige denn rechtsgenüglich aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz seine Rechte verletzt haben soll;
dass somit auf die Beschwerde mangels hinreichender Begründung nicht einzutreten ist (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG in Verbindung mit Art. 117 BGG);
dass das sinngemäss gestellte Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren abzuweisen ist, weil die Beschwerde als von vornherein aussichtslos erscheint (Art. 64 Abs. 1 BGG), wobei darüber unter den gegebenen Umständen nicht vorgängig separat entschieden werden musste (vgl. Urteil 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2);
dass die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen sind (Art. 66 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 65 Abs. 4 lit. c BGG);
dass der Beschwerdegegnerin, der aus dem bundesgerichtlichen Verfahren kein Aufwand erwachsen ist, keine Parteientschädigung zuzusprechen ist (Art. 68 Abs. 1 BGG);
erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das sinngemässe Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 200.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger