Faits :
A.
A.a. A._ exerçait le métier d'employée de maison. Elle a requis des prestations de l'assurance-invalidité le 2 novembre 2004. Elle indiquait être atteinte de rhumatismes et d'une maladie cutanée.
Au cours de la procédure d'instruction, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après l'office AI) a sollicité l'avis des divers médecins traitants. Les docteurs B._, spécialiste en dermatologie et vénérologie, et C._ ont diagnostiqué un lupus érythémateux, une laryngite postérieure, une antro-bulbite érosive, des lombo-sciatalgies, ainsi que des cervicalgies autorisant l'exercice de l'activité habituelle à 50 % (rapports des 20 novembre 2004 et 29 janvier 2005). Le Centre psycho-social D._ a signalé l'existence d'un trouble dépressif récurrent, épisode moyen, avec syndrome somatique, et des somatisations engendrant une incapacité de travail de 50 % (rapport du 24 juin 2005). Interrogés de nouveau, le Centre psycho-social D._ et le docteur B._ ont tous les deux indiqué que l'état de santé de l'assurée était resté stable (rapports des 7 et 16 juin 2006).
L'administration a également diligenté une enquête ménagère (rapport du 29 janvier 2007), au terme de laquelle elle a évalué le taux d'empêchement dans la réalisation des tâches domestiques à 64 % (cf. feuille d'évaluation du 19 janvier 2007). Elle a en outre estimé que l'intéressée avait un statut mixte (active à 70 % - ménagère à 30 %; notes du juriste des 3 avril et 24 juillet 2007 ainsi que du 4 mars 2008). Questionné par le Service médical régional de l'office AI (SMR), le docteur B._ a encore précisé que l'incapacité de travail énoncée initialement s'élevait à 50 % d'une activité exercée à 80 % (note du 4 avril 2007). Le SMR a entériné cette précision (avis du 13 septembre 2007). Il l'a cependant ensuite corrigée et a arrêté ladite incapacité à 50 % d'une activité pratiquée à 70 % (avis du 24 octobre 2007).
Sur la base des informations rassemblées, l'administration a accordé à A._ une demi-rente dès le 1er septembre 2005 (décision du 3 juillet 2008).
A.b. L'office AI a initié une première procédure de révision le 27 février 2012.
L'administration a en particulier requis des renseignements du docteur C._. Celui-ci a évoqué les mêmes pathologies (lupus érythémateux, état dépressif, cervicalgies, lombalgies) et la même capacité résiduelle à exercer le travail d'employée de maison qu'auparavant (50 %; rapport du 20 octobre 2012). De cet acte, le SMR a cependant inféré une amélioration de l'état de santé psychique de l'assurée et, dès lors, de sa capacité de travail, arrêtée à 50 % d'une activité exercée à 100 % (avis du 6 juin 2013).
Sollicitée, l'intéressée a expliqué persister à travailler à mi-temps mais effectuer désormais un horaire continu du lundi matin au mercredi midi (notice du 12 février 2014). Elle a aussi indiqué avoir préféré la kinésiologie à la poursuite d'un traitement psychiatrique, avec lequel elle ne se sentait plus à l'aise (courrier du 10 mars 2014).
L'office AI a également mis en oeuvre une nouvelle enquête ménagère (rapport du 12 mars 2014). Le taux d'empêchement constaté était de 65 % et l'enquêtrice notait l'importante discordance entre celui-ci et la pratique de l'activité habituelle à 50 % (cf. feuille d'évaluation du 12 mars 2014). Compte tenu de cette discordance, le SMR a estimé qu'il fallait retenir un taux d'empêchement à réaliser les travaux domestiques identiques au taux d'incapacité de travail, de 50 % (avis du 22 juillet 2014).
Malgré des critiques soulevées contre son projet de décision et suivant les recommandations de son service médical (avis du 19 janvier 2015), l'administration a fixé le taux d'invalidité de A._ à 35 % et supprimé la demi-rente versée jusque-là à compter du 1er mars 2015 (décision du 22 janvier 2015).
B.
Le 23 février 2015, l'assurée a recouru contre cette décision auprès de la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel. Elle a implicitement conclu au maintien de la demi-rente après le mois d'avril 2015. L'office AI a conclu au rejet du recours.
La tribunal cantonal a débouté l'intéressée de sa conclusion (jugement du 12 juillet 2016).
C.
Contre ce jugement, A._ a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public. Elle requiert l'annulation de cet acte et conclut au maintien de sa demi-rente au-delà du 30 avril 2015 ou au renvoi de la cause à l'administration pour qu'elle complète l'instruction, par la réalisation d'une expertise, et rende une nouvelle décision.
L'office AI a conclu au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige s'inscrit dans le cadre d'une procédure de révision au sens de l'art. 17 LPGA. Il porte particulièrement sur le maintien après le 30 avril 2015 de la demi-rente d'invalidité accordée à partir du 1er septembre 2005. L'acte attaqué cite les normes et la jurisprudence indispensables à la solution du litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
Le tribunal cantonal a considéré que l'état de santé de l'assurée s'était amélioré au point de justifier la suppression de la demi-rente accordée par décision du 3 juillet 2008 à compter du mois de septembre 2005. Pour ce faire, au préalable, il a confirmé l'application de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité. Il a ensuite décrit les différents éléments auxquels l'administration s'était référée pour allouer une demi-rente le 3 juillet 2008 puis la supprimer le 22 janvier 2015. Il a avalisé le raisonnement de l'office intimé. Il a singulièrement constaté que les renseignements médicaux rassemblés - et présentés de manière circonstanciée - établissaient un état de santé stationnaire sur le plan physique mais amélioré sur le plan psychique. Il a encore relevé que l'accroissement de la capacité résiduelle de travail (50 % d'une activité exercée à 100 % et plus à 70 %) ainsi que la baisse du taux d'empêchement à accomplir les travaux domestiques (50 % et plus 64 %, ou 65 %, d'une activité pratiquée à 100 %) admis par l'administration n'étaient pas critiquables. Il a au final entériné le taux global d'invalidité, arrêté par l'office intimé à 35 %, et la suppression du droit à la demi-rente.
4.
4.1. La recourante nie l'amélioration de son état de santé telle qu'elle a été admise par la juridiction cantonale. Dans ce cadre, elle critique en premier lieu le choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité. Elle soutient avoir toujours affirmé durant l'instruction de sa requête de prestations que, sans atteinte à la santé, elle aurait exercé une activité lucrative à 100 %. Elle expose des indices allant dans ce sens.
4.2. A cet égard, excepté le fait qu'elle n'avait jamais été contestée par l'assurée, les premiers juges ont seulement retenu que l'application de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité en l'espèce n'occasionnait pas de discrimination fondée sur le sexe sous l'angle de la Convention européenne des droits de l'homme. Ce faisant, ils ont implicitement constaté que la recourante avait accepté son statut - mixte - d'assurée ainsi que la répartition de son temps entre l'exercice de son métier (70 %) et l'accomplissement de ses travaux domestiques (30 %).
4.3. Le seul fait d'affirmer devant le Tribunal fédéral qu'en l'absence de toute atteinte à sa santé, elle aurait travaillé à plein temps ne suffit pas pour établir que l'assurée a contesté son statut ou la répartition de son taux d'occupation (professionnel/ménager) devant le tribunal cantonal. Une lecture du recours interjeté auprès de cette autorité confirme d'ailleurs le défaut de toute contestation concernant ces questions. On ne saurait dès lors faire grief à la juridiction cantonale d'avoir oublié de répondre à un argument expressément soulevé par la recourante.
Par ailleurs, que l'affirmation mentionnée se base sur un questionnaire daté du 18 avril 2005 qui tend à prouver l'exercice passé d'une activité lucrative à temps complet et apparaissait déjà dans le rapport d'enquête économique sur le ménage daté du 29 janvier 2007 ne change rien à ce qui précède et n'établit dans tous les cas pas que les premiers juges auraient arbitrairement confirmé l'application de la méthode mixte d'évaluation de l'invalidité. Le seul fait d'avoir prononcé un jour la déclaration décrite précédemment n'exclut effectivement pas une acceptation postérieure, même tacite, au moment où les décisions d'octroi et de suppression de la rente ont été rendues les 3 juillet 2008 et 22 janvier 2015, du statut d'assuré. Ce grief doit donc être rejeté.
5.
5.1. La recourante reproche en second lieu au tribunal cantonal d'avoir entériné des éléments qui avaient amené l'office intimé à supprimer sa demi-rente.
5.2.
5.2.1. Particulièrement, la recourante soutient d'abord que la juridiction cantonale ne pouvait pas faire siennes les conclusions du SMR qui, en dépit du peu d'informations recueillies, avait inféré une amélioration de son état de santé psychique de l'abandon du suivi psychiatrique, d'une baisse de la médication psychotrope et de la fréquence raccourcie des consultations médicales sur le plan somatique. Elle explique que, pour soigner ses troubles psychiques, elle avait privilégié la kinésiologie par rapport à la psychiatrie, qui ne lui avait apporté aucun bénéfice, ce qui justifiait également la diminution de la consommation médicamenteuse. Elle prétend encore que le rôle, soi-disant déterminant, de l'atteinte psychique dans l'attribution de la demi-rente et, partant, le lien entre l'amélioration de la situation psychique et la suppression des prestations avait été arbitrairement constaté.
Ce grief est infondé. En effet, le seul fait de prétendre avoir choisi pour soigner ses affections psychiques une pratique destinée à favoriser un état d'équilibre et de bien-être (physique, mental, émotionnel et social) plutôt qu'une discipline médicale qui n'avait apporté aucun bénéfice ne suffit pas en l'absence de tout élément objectif à infirmer l'existence de l'amélioration de la situation psychique retenue par les premiers juges, ni à montrer que ces derniers auraient fait preuve d'arbitraire dans leur appréciation en parvenant à ladite conclusion (sur la notion d'arbitraire en relation avec l'appréciation des preuves et la constatation des faits, cf. ATF 139 III 334 consid. 3.2.5 p. 339 et les références). On ajoutera que le point de savoir si l'affection psychique a joué - ou non - un rôle prépondérant par rapport à la pathologie somatique lors de l'attribution de la demi-rente n'a pas à être tranché en l'occurrence dans la mesure où il ne peut avoir aucune influence sur le sort du litige (cf. art. 97 al. 1 LTF). Savoir qui du trouble psychique ou du trouble physique prévalait sur l'autre originellement ne peut aucunement remettre valablement en cause la constatation d'une amélioration postérieure de la situation.
5.2.2. L'assurée conteste aussi les critiques du tribunal cantonal contre le rapport d'enquête ménagère du 12 mars 2014 dans lequel l'enquêtrice se serait bornée d'après lui à retranscrire des déclarations identiques à celles faites en 2007 sans même tenir compte de l'évolution de la situation sur le plan psychiatrique ni des modifications intervenues dans la structure familiale ou dans l'organisation du temps de travail. Elle soutient avant tout que la juridiction cantonale ne pouvait pas déduire de ces éléments un taux d'empêchement pour réaliser les travaux ménagers identiques au taux d'incapacité de travail de 50 % dans la mesure où la réorganisation de son temps de travail (horaire continu entre le lundi matin et le mercredi midi, au lieu des cinq demi-journées par semaine) lui permettait de mieux gérer les problèmes liés à ses douleurs et où la diminution de soutien en raison du départ des enfants du domicile était compensée par l'augmentation de l'aide du mari.
Ce grief est infondé. Il n'établit pas que les premiers juges auraient fait preuve d'arbitraire en baissant le taux d'empêchement de 64 ou 65 % à 50 %. La recourante n'ajoute effectivement rien de plus au sujet de son état de santé sur le plan psychique dont on rappellera d'ailleurs qu'elle a déjà échoué à démontrer l'absence d'amélioration au contraire de ce que retenait l'acte attaqué (cf. consid. 5.2.1). On relèvera en outre que la nécessité de réorganiser l'horaire de travail telle que déjà décrite ne se fonde sur aucun document médical et que la logique qui transparaît derrière le raisonnement (concentrer l'horaire de travail pour bénéficier d'une période de repos suffisamment longue et pouvoir ainsi récupérer de ses douleurs) s'oppose entièrement aux renseignements médicaux recueillis, qui constatent une capacité à exercer une activité adaptée à 50 % seulement. On ajoutera encore que le fait pour les enfants d'avoir quitté le domicile familial ainsi que cela a été mentionné par le tribunal cantonal doit plutôt être interprété comme une baisse des charges que l'assurée doit assumer dans l'accomplissement de son ménage et pas comme une baisse de soutien hypothétiquement compensée par l'aide du mari.
5.2.3. La recourante fait enfin grief à la juridiction cantonale d'avoir mal interprété le rapport médical rédigé par le docteur C._ le 20 octobre 2012. Elle prétend que le fait pour ce praticien d'avoir retenu un état de santé stationnaire et d'avoir en substance repris les mêmes conclusions que dans son précédent rapport ne pouvait être considéré comme un manque de précision, qui justifiait l'éviction dudit document. Elle soutient que le document en question aurait au moins dû conduire l'office intimé à requérir l'avis d'un médecin externe au SMR. Elle affirme également que les conclusions du docteur C._ ne pouvaient être comparées avec celles du SMR dans la mesure où, par le renvoi à l'avis du docteur B._, le premier attestait une capacité de travail de l'ordre de 35 % (capacité de 50 % d'une activité exercée à 70 %), alors que le second faisait état d'une capacité de travail de 50 % (capacité de 50 % d'une activité pratiquée à 100 %).
Cette argumentation est infondée. On relèvera d'abord que, à l'inverse de ce que l'assurée prétend, les premiers juges n'ont pas assimilé les conclusions du docteur C._ à celles du SMR mais qu'ils ont écarté les premières au profit des secondes, plus détaillées et convaincantes (cf. consid. 4b p. 8 de l'acte attaqué). Ceux-ci ont expliqué de manière circonstanciée les motifs de leur choix et les raisons pour lesquelles ils ont estimé que l'activité d'employée de maison à mi-temps n'était pas au-dessus des forces de la recourante. Ce sont ces raisons qui les ont amenés à écarter l'avis du docteur C._ et non un quelconque manque de précision, comme allégué. On ajoutera que la seule existence dans le dossier d'un avis divergent à celui ayant servi à justifier la décision litigieuse ne suffit pas pour conclure à l'existence d'un doute quant à la solution adoptée, dès lors que l'autorité judiciaire a comme en l'occurrence clairement indiqué les motifs de son choix, ni pour démontrer l'arbitraire de ce choix.
6.
Etant donné l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être supportés par l'assurée (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 10 mars 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton