Sachverhalt:
A.
A.a. A._ führt einen Landwirtschaftsbetrieb in U._ (V._). Hierfür werden ihm gestützt auf das Landwirtschaftsgesetz vom 29. April 1998 (Art. 70 ff. LWG [SR 910.1]) in Anwendung der Direktzahlungsverordnung (DZV; SR 910.13) Geldleistungen erbracht. Das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau kürzte oder strich A._ die geschuldeten Abgeltungen, soweit einzelne Aspekte seines Betriebs den gesetzlichen Anforderungen nicht genügten, etwa Mängel im Bereich der Tierhaltung oder des Gewässerschutzes bestanden (vgl. Art. 70a Abs. 1 lit. c LwG; vgl. BGE 137 II 366 ff. [Verfahren 2C_560/2010 vom 18. Juni 2011] und Urteil 2C_451/2011 vom 24. Januar 2012).
A.b. Am 11. Dezember 2013 stellte das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau fest, dass A._ für das Jahr 2013 sowie als Nachzahlungen für die Jahre 2008 bis 2011 nach verschiedenen Kürzungen und Verrechnungen Direktzahlungen in der Höhe von Fr. 32'639.55 zustünden. Die hiergegen eingereichten Rechtsmittel blieben ohne Erfolg; insbesondere schützte das Bundesverwaltungsgericht einen Abzug von Fr. 28'000.-- wegen Verletzung verschiedener Bestimmungen des Tierschutzgesetzes (Urteil B-2261/2014 vom 24. Juli 2015 E. 7 [Nichteinhaltung von Vorschriften des Tierschutzes]).
B.
B.a. Das Veterinäramt des Kantons Thurgau kontrollierte am 24. April 2013 den Betrieb von A._; dieser zeigte sich dabei wenig kooperativ. Am 8. August 2013 ordnete das Amt verschiedene Massnahmen an, um die festgestellten Mängel beheben zu lassen; neben baulichen Vorkehrungen verpflichtete es A._, seinen Pferdebestand von rund 120 Tieren bis zum 1. September 2013 auf maximal 60 zu reduzieren, andernfalls eine Ersatzvornahme erfolge. Die Verfügung hielt fest:
"Als zweifellos drastisch wirkende, aber basierend auf den bisherigen Erfahrungen aus Sicht des Veterinäramtes einzige zielführende Massnahme, wird eine Beschränkung der Tierzahl angeordnet. Sollte auch diese Massnahme zusammen mit der Umsetzung der übrigen anzuordnenden Massnahmen weiterhin zu keiner Verbesserung führen, wird ein Tierhalteverbot unumgänglich."
Zusammenfassend führte das Veterinäramt aus:
"Der Zustand auf dem Betrieb A._ betreffend Einhaltung der Tierschutzvorschriften ist in seiner Gesamtheit unverändert negativ und unter den gegeben Umständen nicht verbesserungsfähig (...) Trotzdem soll ihm im Sinne der Deeskalation eine letzte Chance zur Aufrechterhaltung des Betriebs gewährt werden."
B.b. Das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau trat am 17. September 2013 auf einen von A._ hiergegen gerichteten Rekurs nicht ein (mangelnde Begründung). Am 6. November 2014 ersuchte A._ das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau darum, die Beschwerdefrist wieder herzustellen, was dieses am 10. Dezember 2014 ablehnte. Der entsprechende Entscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
C.
C.a. Am 6. März 2014 (und 12. August 2014) führte die Firma X._ GmbH als ÖLN-Stelle (ÖLN: Ökologischer Leistungsnachweis) zusätzliche Kontrollen auf dem Hof von A._ durch. Sie stellte fest, dass die Tierhaltung ihrer Ansicht nach teilweise immer noch nicht gesetzeskonform erfolge und insbesondere der Pferdebestand nicht hinreichend reduziert worden sei. Das Veterinäramt des Kantons Thurgau verfügte hierauf am 6. Oktober 2014, dass das rechtskräftige Teiltierhalteverbot vom 8. August 2013 auf ein Totaltierhalteverbot ausgeweitet werde (Art. 23 Abs. 1 TSchG [SR 455]); demgemäss sei A._ das Halten, die Zucht und der Handel mit Tieren in der ganzen Schweiz auf unbestimmte Zeit verboten. Die Umsetzung der Verfügung habe bis zum 31. Dezember 2014 zu erfolgen; im Übrigen stellte es die Missachtung seiner Anordnung unter die Strafandrohung von Art. 292 StGB.
C.b. Der Entscheid vom 6. Oktober 2014 wurde A._ per Einschreiben zugestellt, von ihm auf der Post jedoch nicht abgeholt und in der Folge an das Veterinäramt retourniert. Dieses will die Sendung A._ anschliessend per A-Post zugestellt haben, was dieser bestreitet. Am 28. Oktober 2014 (Dienstag) wandte sich der Rechtsvertreter von A._ an das Veterinäramt, nachdem gewisse Medien tags zuvor darüber berichtet hatten, dass seitens der Behörden geprüft werde, ob A._ die Tierhaltung ganz zu verbieten und eine Strafanzeige wegen Tierquälerei gegen ihn einzureichen sei. Er hielt dabei fest, dass A._ ihn "in dieser und allen anderen Angelegenheiten des Veterinäramtes gegen ihn" mandatiert habe; er bitte um Akteneinsicht; sein Klient sei im Übrigen erstaunt, dass ihm keine Gelegenheit geboten worden sei, "den Sachverhalt aus seiner Sicht" zu schildern. Das Veterinäramt antwortete dem Rechtsvertreter von A._ am 4. November 2014 (Dienstag darauf), dass es vom Vertretungsverhältnis Kenntnis genommen habe; weiter hielt es fest: "Akteneinsicht werden wir Ihnen zum uns richtig erscheinenden Zeitpunkt gewähren.".
C.c. Am 7. November 2014 kürzte das Landwirtschaftsamt des Kantons Thurgau die Direktzahlungen 2014 von A._. Im anschliessenden Rekursverfahren wies es am 13. März 2015 darauf hin, dass das Veterinäramt - entgegen den Einwendungen von A._ - am 6. Oktober 2014 das bisher partiell geltende auf ein totales Tierhalteverbot ausgeweitet habe, womit klar gestellt sei, dass unter diesem Titel keine Leistungen erfolgen könnten.
C.d. Am 6. Mai 2015 wies das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau das von A._ am 23. März 2015 eingereichte Fristwiederherstellungsgesuch bezüglich der Verfügung des Veterinäramtes vom 6. Oktober 2014 ab. Es begründete dies damit, dass der Gesuchsteller eingeschriebene Sendungen - so etwa den Entscheid vom 8. August 2013 - wiederholt nicht in Empfang genommen habe. Gestützt auf den Kontrollbericht vom 6. März 2014 habe er damit rechnen müssen, dass ihm im Nachgang zur Verfügung vom 8. August 2013 ein totales Tierhalteverbot zugestellt werden könnte. Es gelte deshalb die rechtliche Vermutung, wonach Verfügungen, die nicht abgeholt würden, innert sieben Tagen nach dem erfolglosen Zustellversuch als eröffnet gälten, weshalb die Rekursfrist am 3. November 2014 abgelaufen sei; eine Fristwiederherstellung komme nicht in Frage.
C.e. Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wies am 28. Oktober 2015 die hiergegen gerichtete Beschwerde ab: Irgendwelche Anhaltspunkte dafür, dass bei der Zustellung mit überwiegender Wahrscheinlichkeit ein Fehler aufgetreten und die Abholungseinladung - entgegen den Angaben auf der Sendungsverfolgung der Post - nicht ordnungsgemäss in das Postfach gelegt worden wären, seien nicht ersichtlich und würden nicht geltend gemacht. A._ habe bewusst die Zustellung vereitelt, indem er die betreffende Sendung auf der Post nicht abgeholt habe, obwohl er nicht ortsabwesend gewesen sei. Angesichts seiner Haltung gegenüber den Behörden und des Umstands, dass er wiederholt bereits früher behördliche Sendungen/Verfügungen nicht entgegengenommen habe, seien sein Verhalten und die Behauptung, dass kein Prozessrechtsverhältnis bestanden habe, rechtsmissbräuchlich. Nach Treu und Glauben habe er im Oktober 2014 mit der Zustellung einer Verfügung rechnen müssen, nachdem im März und August 2014 ÖLN-Kontrollen auf seinem Hof durchgeführt worden seien. Die siebentägige Abholfrist habe am Dienstag, 14. Oktober 2014, geendet und die 20-tägige Rekursfrist am 15. Oktober 2014 zu laufen begonnen, womit sie am Montag, 3. November 2014, abgelaufen sei, ohne dass A._ rekurriert hätte. Eine Fristwiederherstellung falle ausser Betracht, da er nicht als schuldlos gelten könne.
D.
D.a. A._ beantragt vor Bundesgericht, den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 28. Oktober 2015 aufzuheben und ihm die Wiederherstellung der Rekursfrist gegen die Verfügung des Veterinäramtes vom 6. Oktober 2014 zu gewähren. Eventuell sei die Sache zur Neubehandlung an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die kantonalen Behörden hätten gegen Treu und Glauben verstossen, indem sie ihn bzw. seinen Rechtsvertreter auf die Anfrage vom 28. Oktober 2014 hin nicht auf das am 6. Oktober 2014 verfügte totale Tierhalteverbot aufmerksam gemacht hätten. Er habe erst aufgrund eines Schreibens des Rechtsdienstes des Departements für Inneres und Volkswirtschaft vom 19. März 2015 (zugestellt am 20. März 2015) bezüglich der Kürzungen der Direktzahlungen für das Jahr 2014 von diesem Kenntnis erhalten. Das Veterinäramt habe mit seiner Antwort vom 4. November 2015 absichtlich die Möglichkeit vereitelt, noch rechtzeitig gegen das totale Tierhalteverbot vorgehen zu können. Gestützt auf den Bericht der ÖLN-Kontrollstelle vom 12. August 2014 habe er nicht damit rechnen müssen, dass ihm am 6. Oktober 2014, ohne angehört worden zu sein, ein totales Tierhalteverbot auferlegt würde, zumal er am 6. Oktober 2014 weniger als 60 Pferde in seinem Bestand gehabt habe.
D.b. Das Departement für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau beantragt, die Beschwerde und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren abzuweisen. Das Veterinäramt hält an seinen Ausführungen in den kantonalen Verfahren fest. Das Verwaltungsgericht verweist auf die Darlegungen in seinem Entscheid und bezeichnet die Behauptung von A._, immer geltend gemacht zu haben, dass keine Abholungseinladung in sein Postfach gelegt worden sei, als aktenwidrig.
D.c. Mit Verfügung vom 9. Februar 2016 hiess der Abteilungspräsident das Gesuch, eine vorsorgliche Massnahme zu treffen, in dem Sinne gut, als er das Veterinäramt des Kantons Thurgau anwies, von Vollzugshandlungen bis zum bundesgerichtlichen Entscheid abzusehen.
Erwägungen:
1.
Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens bildet die Frage, ob die kantonalen Behörden im Zusammenhang mit dem von ihnen am 6. Oktober 2014 angeordneten totalen Tierhalteverbot verfassungsmässige Verfahrensrechte des Beschwerdeführers verletzt und ihm im Sinne einer formellen Rechtsverweigerung (Art. 29 BV) verunmöglicht haben, die entsprechende Verfügung richterlich überprüfen zu lassen. Da gegen das Tierhalteverbot die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegeben wäre, gilt dies auch für den damit verbundenen Prozessentscheid des Departements für Inneres und Volkswirtschaft des Kantons Thurgau, auf den entsprechenden Rekurs nicht einzutreten, bzw. das diesen Entscheid bestätigende angefochtene Urteil (Prinzip der Einheit des Verfahrens). Auf die grundsätzlich form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid (Art. 90 BGG) des Verwaltungsgerichts als Vorinstanz ist einzutreten (vgl. Art. 82 i.V.m. Art. 83 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 89 BGG). Keine eigenständige Bedeutung kommt unter diesen Umständen der vom Beschwerdeführer ergänzend eingereichten subsidiären Verfassungsbeschwerde zu, da das Bundesgericht die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten auch im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten prüft (Art. 95 lit. a BGG; vgl. BGE 137 V 57 E. 1.3 S. 60; 136 II 5 E. 1.4 S. 9; Urteil 2C_75/2013 vom 29. August 2013 E. 1.2). Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist deshalb nicht einzutreten (vgl. Art. 113 BGG).
2.
2.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann diesen - soweit entscheidwesentlich - bloss berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt worden ist (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG). Die beschwerdeführende Person muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft erscheint (Art. 42 Abs. 2 und Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3 S. 351 f.). Auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsermittlung bzw. an der Beweiswürdigung geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 136 II 101 E. 3 S. 104 f.).
2.2. Die vorliegende Eingabe genügt diesen Begründungsanforderungen nicht in allen Punkten: Der Beschwerdeführer beschränkt sich teilweise darauf, lediglich die bereits vor der Vorinstanz erhobenen, von dieser jedoch verworfenen Einwände zu wiederholen und allgemein zu behaupten, ihm sei Unrecht geschehen. Mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts zu einzelnen Einwänden setzt er sich unter verfassungsrechtlichen Gesichtspunkten nur am Rande und oft lediglich in appellatorischer Weise auseinander. Auf die entsprechenden - nicht rechtsgenügend begründeten - Darlegungen wird im Folgenden nicht weiter eingegangen (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG; "qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht": BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; BGE 133 IV 286 E. 1.4 u. 6.2).
3.
3.1. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung gelten behördliche Sendungen in Prozessverfahren nicht erst dann als zugestellt, wenn der Adressat sie tatsächlich in Empfang nimmt. Es genügt, wenn die Sendung in den Machtbereich des Adressaten gelangt, sodass er sie zur Kenntnis nehmen kann. Wird der Empfänger einer eingeschriebenen Briefpostsendung oder Gerichtsurkunde nicht angetroffen und wird daher eine Abholeinladung in seinen Briefkasten oder in sein Postfach gelegt, so gilt die Sendung in jenem Zeitpunkt als zugestellt, in dem sie auf der Poststelle abgeholt wird. Geschieht dies nicht innert der Abholfrist, die sieben Tage beträgt, wird die Sendung am letzten Tag dieser Frist als eröffnet vermutet. Diese sogenannte "Zustellfiktion" rechtfertigt sich, weil für die an einem Verfahren Beteiligten nach dem Grundsatz von Treu und Glauben die Pflicht besteht, dafür zu sorgen, dass ihnen behördliche Akte eröffnet werden können. Die Rechtsprechung gilt während eines hängigen Verfahrens, wenn die Verfahrensbeteiligten mit der Zustellung eines behördlichen oder gerichtlichen Entscheides oder einer Verfügung mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit rechnen müssen (Erfordernis des hängigen Prozessrechtsverhältnisses; BGE 130 III 396 E. 1.2.3 S. 399; 119 V 89 E. 4b/aa S. 94; Urteile 2P.120/2005 vom 23. März 2006 E. 3, publ. in ZBl 108/2007 S. 46 ff.; 2C_284/2014 vom 2. Dezember 2014 E. 4 u. 5; 2C_128/2012 vom 29. Mai 2012 E. 2; 6B_704/2015 vom 16. Februar 2016 E. 4; 2C_1040/2012 vom 21. März 2013 E. 4; 8C_804/2013 vom 19. September 2014 E. 2). Sowohl die Zustellpflicht der Behörde als auch die Empfangspflicht der Verfahrensbeteiligten sind vernünftig, d.h. weder mit übertriebener Strenge noch mit ungerechtfertigtem Formalismus, zu handhaben (BGE 130 III 396 E. 1.2.3 S. 399; 119 V 89 E. 4b/aa S. 94; 115 Ia 12 E. 3a S. 15).
3.2. Die verfahrensrechtliche Obliegenheit, die Zustellung von behördlichen Akten zu ermöglichen, dauert nicht unbeschränkt lange. Als Zeitraum, während dem die Zustellfiktion aufrechterhalten werden darf, ohne dass verfahrensbezogene Handlungen erfolgen, werden in der Literatur mehrere Monate bis etwa ein Jahr genannt; dauert die Untätigkeit der Behörde länger an, kann nach dieser Meinung die Zustellfiktion nicht mehr greifen (vgl. ANDREAS GÜNGERICH, in: Seiler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz [BGG], 2. Aufl. 2015, N. 6 ff. zu Art. 44 BGG; JEAN-MAURICE FRÉSARD, in: Corboz et al. [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 10 ff. zu Art. 44 BGG; ANNETTE DOLGE, in: Spühler et al. [Hrsg.], Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2013, N. 3 zu Art. 44 BGG; AMSTUTZ/ ARNOLD, in: Niggli/Uebersax/Wiprächtiger [Hrsg.], BSK Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 21 ff. zu Art. 44 BGG; YVES DONZALLAZ, La notification en droit interne suisse, Berne 2002, S. 501).
3.3. Der Beschwerdeführer war an zahlreichen Verwaltungsverfahren beteiligt, dabei ging es jeweils um tierschutz-, abwasser- und subventionsrechtliche Probleme (Direktzahlungen). Am 8. August 2013 erliess das Veterinäramt ein Teiltierhalteverbot, welches es am 6. Oktober 2014, d.h. über ein Jahr nach seinem ersten Entscheid, auf ein Vollverbot ausdehnte. Im Hinblick hierauf kommt die Zustellfiktion im konkreten Fall nicht zur Anwendung. Der Beschwerdeführer durfte davon ausgehen, dass die Behörden vor dem Erlass weiterer tierschutzrechtlicher Anordnungen ihn kontaktieren und ihm die Gelegenheit geben würden, um sich vor der Zustellung einer entsprechenden erstinstanzlichen Verfügung äussern zu können. Nach über einem Jahr, während dem ihm die Chance geboten werden sollte, mit einem Teiltierhalteverbot seinen landwirtschaftlichen Betrieb weiter aufrecht erhalten zu können, durfte ihm die Zustellfiktion - mangels eines durch die zuständige Behörde konkret eröffneten und gegen ihn anhängig gemachten tierschutzrechtlichen Verfahrens - nicht entgegengehalten werden. Das Teiltierhalteverbot schloss das frühere Kontrollverfahren ab und stellte als mögliche Sanktion die Ersatzvornahme in Aussicht; es vermochte indessen nicht die Grundlage für das Fortbestehen eines Prozessrechtsverhältnisses hinsichtlich eines vollumfänglichen Verbots zu begründen. Ob ein für die Zustellfiktion hinreichendes Prozessrechtsverhältnis besteht, ist in Bezug auf den jeweiligen Streitgegenstand zu prüfen. Der Beschwerdeführer musste vorliegend nicht mit einer Weiterführung des Prozessrechtsverhältnisses rechnen, welches zur Verfügung vom 6. Oktober 2014 Anlass gab. Hieran ändert - entgegen der Ansicht der Vorinstanz - nichts, dass die Firma X._ GmbH im März und August 2014 auf seinem Hof Kontrollen bezüglich des "Ökologischen Leistungsnachweises" durchführte. Der Beschwerdeführer musste gestützt darauf und unter Beachtung des Umstandes, dass er einen Anspruch hatte, vor Erlass einer neuen Verfügung durch die zuständige Behörde angehört zu werden (Art. 29 Abs. 2 BV; E. 4.2 hiernach), nicht annehmen, dass ein neues tierschutzrechtliches Prozessrechtsverhältnis begründet worden war; für die Anordnung eines Tierhalteverbots war weder die ÖLN-Kontrollstelle noch das Landwirtschaftsamt, sondern das Veterinäramt zuständig. Die Zustellfiktion durfte somit mangels eines hinreichend klar definierten Prozessrechtsverhältnisses nicht auf das umstrittene Verfahren angewendet werden.
4.
4.1. Dies gilt umso mehr, wenn die verfahrensrechtliche Situation gesamthaft in die Beurteilung miteinbezogen wird: Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers hat - nach Medienberichten über das mögliche (Voll-) Tierhalteverbot - am 28. Oktober 2014 um Akteneinsicht für alle vergangenen und zukünftigen Verfahren ersucht. Zu diesem Zeitpunkt lief die Rekursfrist gegen den Entscheid vom 6. Oktober 2014 noch bis zum 3. November 2014, falls die Zustellfiktion zur Anwendung gekommen wäre. Die Eingabe des Rechtsvertreters erfolgte unter anderem unter dem Titel "Prüfung eines Tierhalteverbots" und enthielt einen Hinweis darauf, dass der Beschwerdeführer überrascht sei, dass ihm "keine Gelegenheit gegeben wurde, den Sachverhalt aus seiner Sicht darzustellen".
4.2. Das Veterinäramt antwortete ihm am Tag nach Ablauf der Rekursfrist mit der knappen Feststellung: "Akteneinsicht werden wir ihnen zum uns richtig erscheinenden Zeitpunkt gewähren". Das Schreiben verkannte damit den individualrechtlichen Gehalt des Anspruchs auf rechtliches Gehör und auf Akteneinsicht; die Gewährung dieser Rechte liegt nicht im Belieben der Behörden (vgl. Art. 29 Abs. 1 und 2 BV). Der durch Art. 29 Abs. 2 BV gewährleistete Grundsatz des rechtlichen Gehörs dient der Sachaufklärung und garantiert den betroffenen Personen ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht im Verfahren. Bei einer Verletzung des Anspruchs ist wegen dessen formeller Natur der angefochtene Entscheid grundsätzlich unabhängig von seiner inhaltlichen Berechtigung aufzuheben (BGE 140 I 99 E. 3.8 S. 106); eine Heilung des Mangels kommt im vorliegenden Fall nicht infrage, da keine Beschwerdeinstanz die umstrittene Verfügung materiell geprüft hat. Die Parteien sollen sich unter Kenntnis der relevanten Aktenlage (vgl. BGE 140 I 99 E. 3.4 S. 103 mit Hinweisen) vor Erlass des Entscheids zur Sache äussern, erhebliche Beweise beibringen, an der Erhebung von Beweisen mitwirken oder zumindest zum Beweisergebnis Stellung nehmen können (BGE 139 II 489 E. 3.3; 137 II 266 E. 3.2 S. 270 mit Hinweisen). Die Behörde ist grundsätzlich verpflichtet, die ihr angebotenen Beweismittel abzunehmen, wenn sie zur Abklärung des Sachverhalts tauglich erscheinen. Sie muss die Vorbringen der Parteien tatsächlich hören, prüfen und in der Entscheidfindung berücksichtigen (BGE 137 II 266 E. 2 S. 270).
4.3. Der Rechtsvertreter des Beschwerdeführers hatte Anspruch darauf, in die Akten der seinen Mandanten betreffenden Verfahren Einsicht zu nehmen. War es den Behörden aus organisatorischen Gründen nicht möglich, ihm diese rechtzeitig zu Verfügung zu stellen, hätten sie ihn zumindest auf die noch laufende Rekursfrist gegen das totale Tierhalteverbot vom 6. Oktober 2014 hinweisen müssen, nachdem die Zustellfiktion nicht zur Anwendung kommen konnte, die retournierte Verfügung sich bei den Akten befand und die durch die kantonalen Behörden behauptete nachträgliche zusätzliche Zustellung der Verfügung per A-Post unbewiesen geblieben ist. Es verstösst gegen das Gebot von Treu und Glauben, an das sich auch die Behörden zu halten haben (Art. 9 BV; BGE 131 II 627 E. 6.1 S. 637), einem Akteneinsichtsgesuch nicht zu entsprechen und dem Rechtsvertreter des Betroffenen erst einen Tag nach Ablauf der Rekursfrist mit dem Hinweis zu antworten, dass er die Akten zu einem späteren Zeitpunkt werde konsultieren können, wenn dies dem Veterinäramt seinerseits "richtig" erscheine. Ein solches Verhalten verletzt - ohne dass hierfür sachliche Gründe geltend gemacht werden können - den verfassungsmässigen Anspruch auf rechtliches Gehör (Art. 29 BV); ausserdem vereitelt es den Anspruch der Verfahrenspartei, eine sie belastende Verwaltungsmassnahme richterlich auf ihre Rechtmässigkeit hin überprüfen lassen zu können (Art. 29a BV).
4.4. Was die Vorinstanz hiergegen vorbringt, überzeugt nicht: Die Zustellfiktion kam vorliegend - wie dargelegt - mangels des erforderlichen, hinreichend konkretisierten Prozessrechtsverhältnisses nicht zur Anwendung. Jeder Rechtssuchende hat Anspruch darauf, dass seine Verfahrensrechte gewahrt bleiben und nicht durch ein Treu und Glauben verletzendes Verhalten der Behörden vereitelt werden, auch wenn die betroffene Person in anderem Zusammenhang ihrerseits Regelverstösse begangen haben sollte. Soweit die Vorinstanz das Verhalten des Beschwerdeführers allgemein als "rechtsmissbräuchlich" bezeichnet, weil er sich nicht kooperativ zeigte, verkennt sie die Tragweite der verfassungsmässig garantierten Verfahrensrechte. Warum es als rechtsmissbräuchlich gelten sollte, ein totales Tierhalteverbot, zu dem der Betroffene sich im erstinstanzlichen Verfahren nicht äussern konnte, gerichtlich überprüfen lassen zu wollen, ist nicht ersichtlich.
4.5. Soweit die kantonalen Behörden darauf hinweisen, dass der Beschwerdeführer über die nachträgliche Zustellung per A-Post vom Entscheid vom 6. Oktober 2014 Kenntnis gehabt haben müsse, handelt es sich - wie bereits dargelegt - um eine reine Vermutung; die Zustellung per A-Post ist nicht bewiesen. Selbst wenn dies aber der Fall wäre, hätte das Veterinäramt dem relativ spät - nach Berichten in den Medien - beigezogenen Rechtsvertreter des Beschwerdeführers die verlangte Akteneinsicht zu dem von ihm gewünschten Zeitpunkt gewähren bzw. ihn so informieren müssen, dass er die Gelegenheit hätte wahrnehmen können, den Rekurs wenigstens vorsorglich summarisch zu begründen (vgl. das Urteil 2C_319/2011 vom 26. Januar 2012 E. 6); hieran ändert nichts, dass es - wie die Vorinstanz einwendet - bei der Medienberichterstattung um einen anderen (neuen) Fall von Tierquälerei gegangen sein soll. Der Medienbericht vom 27. Oktober 2014 warf die Frage nach einem totalen Tierhalte- und damit einem weitgehenden Berufsverbot gegen den Beschwerdeführer auf; wenn der Rechtsvertreter sich tags darauf über den Erlass bzw. das Bestehen einer solchen Massnahme informieren lassen wollte und hierfür um Akteneinsicht ersuchte, durfte das Veterinäramt ihm - nachdem die Rekursfrist noch bis zum 3. November 2014 lief - nicht verschweigen, dass ein solches bereits (ohne rechtliches Gehör im erstinstanzlichen Verfahren) am 6. Oktober 2014 verfügt worden war.
5.
5.1. Da der Nichteintretensentscheid des Departements für Inneres und Volkswirtschaft bzw. das diesen schützende Urteil des Verwaltungsgerichts vom 28. Oktober 2015 in Verletzung der verfassungsmässigen Rechte des Beschwerdeführers ergingen, sind sie aufzuheben und die Frist zur Anfechtung der umstrittenen Verfügung antragsgemäss wiederherzustellen: Nach § 26 des Gesetzes über die thurgauische Verwaltungsrechtspflege vom 23. Februar 1981 ist dies auf begründetes Gesuch hin möglich, wenn den Säumigen oder seinen Vertreter kein Verschulden trifft und das Gesuch innert 14 Tagen seit Wegfall des Grundes eingereicht wird, der die Einhaltung der Frist verhindert hat. Bestand kein hinreichend konkretisiertes Prozessrechtsverhältnis, welches die Anwendung der Zustellfiktion zuliess, und informierte das Veterinäramt den Anwalt auf dessen Anfrage hin nicht über das bereits ergangene, aber noch nicht rechtskräftige Totaltierhalteverbot, ist das Hindernis, rechtzeitig Rekurs erheben zu können, der Behördensphäre zuzurechnen; den Beschwerdeführer trifft hinsichtlich der notwendigen Entschuldbarkeit für die Fristwiederherstellung seinerseits kein oder nur ein untergeordnetes Verschulden. Mit den Ausführungen des Beschwerdeführers ist - nachdem die kantonalen Behörden nichts anderes zu belegen vermochten - davon auszugehen, dass er am 13. bzw. 20. März 2015 im Rahmen des Verfahrens um die Direktzahlungen für das Jahr 2014 von der Verfügung vom 6. Oktober 2014 Kenntnis erhalten und sein Gesuch vom 23. März 2015 damit rechtzeitig eingereicht hat, weshalb die Rekursfrist gegen die Verfügung vom 6. Oktober 2014 in diesem Sinn wiederherzustellen ist.
5.2. Dem Ausgang des bundesgerichtlichen Verfahrens entsprechend sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung des Beschwerdeführers ist als gegenstandslos abzuschreiben. Der Kanton Thurgau hat ihn für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 BGG). Das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau wird die kantonale Kosten- und Entschädigungsfrage neu zu beurteilen haben (vgl. Art. 67 BGG e contrario).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird gutgeheissen und das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Thurgau vom 28. Oktober 2015 aufgehoben. Die Rekursfrist gegen die Verfügung des Veterinäramtes des Kantons Thurgau vom 6. Oktober 2014 wird wieder hergestellt.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
2.1. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.2. Es werden keine Kosten erhoben.
2.3. Der Kanton Thurgau hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
2.4. Zur Regelung der kantonalen Kosten- und Entschädigungsfrage wird die Sache an das Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau zurückgewiesen.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar