Faits :
A.
X._, domicilié à... (FL), est ou a été propriétaire, administrateur ou employé de nombreuses sociétés en Suisse et au Liechtenstein,. Ainsi, il était employé de A._ Sàrl, à... (CH), et de B._ AG, à... (FL); il engageait ces sociétés par sa signature individuelle. Il a également créé des fondations de famille, telle C._ Foundation, à... (FL).
Depuis 1992, X._ était au bénéfice d'une assurance perte de gain souscrite par B._ AG auprès de S._ Assurances SA, lui garantissant une rente annuelle en cas d'invalidité. En 1998, il avait également conclu, par le biais de E._ Sàrl, une assurance perte de gain relative à un capital invalidité auprès de T._ Assurances SA.
Le 30 novembre 1998, A._ Sàrl (preneur d'assurance) a souscrit une assurance invalidité en faveur de X._ (personne assurée) auprès de Z._, Compagnie d'assurances SA (ci-après: Z._ ou la compagnie d'assurance); la police contenait les termes suivants:
" (...)
PRESTATIONS ASSURÉES
Fr. 75'000 Rente annuelle en cas d'incapacité de gain. Cette rente est due après un délai d'attente de 24 mois. La rente est payée au maximum jusqu'au 01.01.2020.
Libération du service des primes de l'ensemble du contrat en cas d'incapacité de gain de la personne assurée.
(...)
CLAUSE BÉNÉFICIAIRE
La prestation est versée à la société C._ Foundation dont le siège est à....
En cas de dissolution du preneur d'assurance, la personne assurée devient preneur d'assurance.
CONDITIONS D'ASSURANCES APPLICABLES
Conditions générales:
1.85.255/Ed. 6.1983 (R. 1991)
Conditions complémentaires:
4005/Ed. 6 1983
(...) "
Les conditions générales susmentionnées concernent "l'assurance en cas d'incapacité de gain indépendante" (ci-après: CGA); sous l'intitulé "Prestation assurée", le chiffre 3 des CGA a la teneur suivante:
" 3.1. Que faut-il entendre par incapacité de gain?
Il y a incapacité de gain lorsque, par suite de maladie ou d'accident, sur la base de signes objectifs médicalement constatables, l'assuré est incapable d'exercer sa profession ou toute autre activité conforme à sa position sociale, ses connaissances et ses aptitudes et qu'il subit de ce fait simultanément une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent.
3.2. Nous garantissons :
Une rente en cas d'incapacité de gain, versée dès échéance du délai d'attente convenu.
3.3. L'incapacité de gain partielle donne droit à des prestations réduites.
Néanmoins, si le degré d'incapacité est de 662 /3 %, nous versons les prestations assurées intégralement;
Mais si le degré d'incapacité se situe entre 25 et 662 /3 %, nous versons les prestations en proportion du degré d'incapacité;
Et si le degré d'incapacité est inférieur à 25%, nous ne versons aucune prestation.
3.4. Paiement des prestations
Les prestations sont dues dès la naissance du droit, au plus tôt toutefois dès échéance du délai d'attente.
(...)
Nous ajustons les prestations que nous devons dès modification du degré d'incapacité. "
Le 17 septembre 1999, X._ a été victime d'un traumatisme crânio-cérébral lors d'une chute dans un escalier. A la suite de cet accident, il s'est trouvé en incapacité de travail (à 100% jusqu'au 31 janvier 2000, puis à 75% jusqu'au 8 octobre 2000, puis à nouveau à 100% jusqu'au 20 octobre 2000). Par la suite, plusieurs médecins se sont prononcés sur l'état de santé de X._ et sa capacité de travail. Ainsi, dans un rapport du 24 février 2005, le Dr F._, spécialiste FMH en psychiatrie et en neurologie, a conclu qu'en raison des séquelles de l'accident du 17 septembre 1999, X._ était dans l'incapacité prononcée (80%), voire complète (100%) d'exercer son métier.
Le 4 janvier 2000, Z._ a reconnu le droit de X._ aux prestations d'invalidité à partir du 17 septembre 2001, ainsi que la libération du preneur d'assurance de la prime annuelle à partir du 17 novembre 1999. Par la suite, la compagnie d'assurance a toutefois facturé la prime pour l'année 2000 par 3'525 fr.; de ce montant, elle a déduit un remboursement de 430 fr.80 correspondant à la libération de prime pour la période du 17 novembre au 31 décembre 1999. X._ a payé le montant de 3'094 fr.20 en mars 2000.
Le 16 mars 2001, la compagnie d'assurance a invité A._ Sàrl à lui adresser les documents relatifs à la perte de gain consécutive à l'accident de X._. Sans réponse, elle l'a relancée le 11 juin 2001. En été 2001, Z._ a demandé à deux reprises à A._ Sàrl de lui fournir les taxations fiscales pour les périodes 1997-1998 et 1999-2000, la déclaration fiscale 2001 relative aux revenus 1999-2000, ainsi que la comptabilité de la société pour les mêmes années. Ni A._ Sàrl, ni X._ n'ont donné suite à ces demandes.
En juillet 2003, l'assurance-invalidité de la Principauté du Liechtenstein a reconnu à X._ le droit à une rente entière depuis le 1 er octobre 2001 et fixé le degré d'invalidité à 100%. En août 2003, l'assurance-invalidité fédérale (AI) a alloué à X._ une rente entière depuis le 1 er septembre 2000, le degré d'invalidité étant fixé à 90%.
Z._ n'a versé aucune rente à X._ depuis le 17 septembre 2001.
Par actes du 18 décembre 2003, A._ Sàrl a cédé à X._ ses droits relatifs à la libération du service des primes et C._ Foundation a cédé à X._, avec effet rétroactif au 17 septembre 1999, toutes ses prétentions résultant de la police d'assurance invalidité.
B.
Le 23 décembre 2003, X._ a déposé auprès de la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud une demande dirigée notamment contre Z._. Il concluait à ce que la défenderesse soit condamnée à lui payer une rente annuelle d'invalidité de 75'000 fr. depuis le 17 septembre 2001, avec intérêts à 5% l'an dès l'échéance de chaque trimestre, ainsi que la somme de 3'525 fr. avec intérêts à 5% l'an depuis le 23 décembre 2003.
En cours d'instruction, une expertise médicale et une expertise comptable ont été ordonnées. Selon le rapport du 12 février 2012 du Dr G._, spécialiste en neurologie et psychiatrie, X._ présente toujours des éléments déficitaires sur le plan neuropsychologique et sa capacité de travail résiduelle n'est pas supérieure à 25%. Pour sa part, H._ a déposé son rapport comptable le 12 juillet 2012 et un rapport complémentaire le 16 juillet 2013. Il y relève notamment que les revenus déclarés au fisc par X._ ont diminué de 79% en dix ans, à partir de 2001, et que ceux déclarés à l'AVS du Liechtenstein ont diminué de 98% en onze ans, à partir de 2000; il apparaît également que A._ Sàrl a réalisé un chiffre d'affaires de 85'950 fr. en 1997 et de 76'000 fr. en 1998, l'expert ne disposant d'aucunes données comptables relatives à cette société pour les exercices 1999 et suivants; A._ Sàrl a été déclarée en faillite le 8 septembre 2010.
Par jugement du 4 mars 2015, la Cour civile a condamné Z._ à verser à X._ le montant de 3'094 fr.20, toutes autres ou plus amples conclusions étant rejetées.
X._ a interjeté appel. Par arrêt du 5 avril 2016, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté l'appel et confirmé le jugement attaqué.
C.
X._ forme un recours en matière civile. Il conclut à la réforme de la décision cantonale en ce sens que Z._ doit lui payer une rente annuelle de 75'000 fr. par trimestre échu à compter du 17 septembre 2001, avec intérêts à 5% l'an dès chacun des trimestres échus, cela jusqu'au 17 septembre 2020 au plus tard, sauf si la compagnie d'assurance prouve une modification du degré d'incapacité de gain. A titre subsidiaire, le recourant demande le renvoi de la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants.
Z._ conclut au rejet du recours. La réponse de l'intimée a été suivie d'observations complémentaires du recourant, lesquelles ont donné lieu à une ultime détermination de Z._.
Pour sa part, la Cour d'appel civile se réfère aux considérants de son arrêt.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur désigné comme autorité cantonale de dernière instance, lequel a statué sur recours (art. 75 LTF). La cause atteint la valeur litigieuse de 30'000 fr. ouvrant le recours en matière civile dans les affaires ne relevant ni du droit du travail, ni du droit du bail à loyer (art. 74 al. 1 let. b LTF). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui n'a pas obtenu entièrement gain de cause et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
2.
A ce stade, le litige ne porte plus sur le remboursement, par 3'094 fr.20, de la prime d'assurance payée en 2000. Seul est en cause le droit du recourant à une rente pour cause d'incapacité de gain sur la base de l'assurance souscrite en novembre 1998.
3.
Selon l'arrêt attaqué, le contrat conclu par A._ Sàrl portait sur une assurance contre les dommages.
3.1. Même s'il continue à soutenir, comme devant les instances cantonales, qu'il s'agissait en réalité d'une assurance de sommes, le recourant ne développe quasiment aucune argumentation sur ce point. Il considère en effet que la distinction perd ici de son importance et que l'intimée doit fournir les prestations promises même si le contrat en cause recèle une assurance contre les dommages. A la fin de son mémoire, le recourant semble toutefois plaider à nouveau pour une assurance de sommes, en exposant que les parties au contrat d'assurance auraient passé un accord individuel sur le montant de 75'000 fr., lequel devrait l'emporter sur la clause des CGA exigeant un "préjudice pécuniaire".
3.2. En droit des assurances privées, la LCA (RS 221.229.1) distingue l'assurance contre les dommages (art. 48 à 72) de l'assurance de personnes (art. 73 à 96). Par rapport à l'assurance contre les dommages, l'assurance de personnes, conçue comme une assurance de sommes, se caractérise par sa nature non indemnitaire; elle est une promesse de capital, indépendante du montant effectif du préjudice subi par le preneur ou l'ayant droit (cf. ATF 133 III 527 consid. 3.2.4 p. 532). Cependant, même dans le cas d'une assurance qui a pour objet une personne physique, on est en présence d'une assurance de personnes uniquement lorsque les parties au contrat d'assurance n'ont subordonné la prestation de l'assureur, dont elles ont fixé le montant lors de la conclusion du contrat, qu'à la survenance de l'événement assuré, sans égard à ses conséquences pécuniaires. En revanche, l'assurance sera qualifiée d'assurance contre les dommages lorsque les parties au contrat font de la perte patrimoniale effective une condition autonome du droit aux prestations (ATF 119 II 361 consid. 4 p. 364 s.).
3.3. Selon la police d'assurance ici en cause, dont la teneur n'est pas contestée (cf. art. 11 et 12 LCA), la prestation assurée est une rente annuelle de 75'000 fr. versée en cas d'incapacité de gain. Dans son sens courant, l'incapacité de gain ( Erwerbsunfähigkeit) consiste en la diminution concrète de la possibilité d'acquérir un revenu, synonyme de perte économique (cf. arrêt 4A_451/2015 du 26 février 2016 consid. 2.3). En l'espèce, la police renvoie expressément aux CGA, lesquelles, sous le ch. 3.1 définissant l'incapacité de gain, exigent bel et bien "une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent" en relation avec l'incapacité d'exercer une activité professionnelle appropriée pour cause de maladie ou d'accident. Contrairement à ce que le recourant prétend, il n'y a donc aucune divergence entre la clause contractuelle prévoyant une rente annuelle de 75'000 fr. en cas d'incapacité de gain et le ch. 3.1 CGA.
La prestation de l'assureur étant subordonnée à l'existence d'une perte patrimoniale effective, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en rangeant l'assurance litigieuse parmi les assurances contre les dommages, soumises au principe indemnitaire, comme le Tribunal fédéral a du reste déjà eu l'occasion de le juger en présence de clauses semblables à celles ici en cause (cf. arrêt précité du 26 février 2016 consid. 2.3; arrêt 5C.21/2007 du 20 avril 2007 consid. 3.1 et 3.2).
4.
Selon l'arrêt attaqué, la perte de gain à prouver par le recourant devait l'être en relation avec l'activité qu'il exerçait au service du preneur d'assurance. Or, l'assuré n'a pas rapporté la preuve de l'étendue de la perte de gain qu'il aurait subie au sein de l'entreprise A._.
4.1. Conformément à la règle générale posée par l'art. 8 CC, la personne titulaire de la prétention - ici l'assuré - doit prouver les faits propres à la justification de ses prétentions, à savoir notamment la réalisation du risque assuré et l'étendue de la prétention (ATF 130 III 321 consid. 3.1 p. 323). Comme on l'a vu, une perte de gain effective constitue en l'espèce une condition à l'octroi des prestations d'assurance; dans le système adopté dans le contrat litigieux, elle exerce une incidence indirecte sur le montant de la prestation d'assurance, fixé forfaitairement mais susceptible de varier en fonction du degré d'incapacité de gain (cf. ATF 139 III 263 consid. 1.3.1 p. 266 et consid. 1.3.4 p. 267; arrêt précité du 26 février 2016 consid. 3.1.2; arrêt 4A_134/2015 du 14 septembre 2015 consid. 4). Une perte de gain doit donc être prouvée. Soit l'assuré démontre qu'en raison de l'incapacité de travail constatée médicalement, il ne réalise plus aucun revenu et n'est plus en mesure d'en acquérir; son incapacité de gain est alors totale et lui donne droit à la rente annuelle fixée dans le contrat d'assurance. Soit l'assuré établit un revenu inférieur à celui qu'il aurait pu réaliser sans l'incapacité de travail; son incapacité de gain est alors partielle et le montant de la rente éventuelle dépendra du degré d'incapacité de gain, correspondant à la différence, exprimée en pour-cent, entre le revenu que l'assuré aurait vraisemblablement pu acquérir et le revenu qu'il a effectivement acquis (cf. arrêt précité du 26 février 2016 consid. 3.1). D'après le contrat d'assurance ici en cause et les CGA, il suffit que l'incapacité de gain soit supérieure à 662 /3% pour que l'assureur verse la prestation intégrale, à savoir une rente annuelle de 75'000 fr.; si l'incapacité oscille entre 662 /3% et 25%, la prestation assurée est versée en proportion du degré d'incapacité; en cas d'incapacité inférieure à 25%, aucune prestation n'est due, quand bien même l'assuré subirait une perte.
4.2.
4.2.1. Le recourant conteste devoir prouver l'étendue de la perte de gain effective qu'il subit à la suite de l'accident de septembre 1999. Il fait valoir que la perte de gain à laquelle les CGA se réfèrent tendrait uniquement à définir le degré d'incapacité de gain, permettant ensuite de calculer le pourcentage de la rente. Or, en l'espèce, l'incapacité de gain totale du recourant serait admise et ne ferait aucun doute de sorte que l'ampleur de la perte de gain effective ne jouerait aucun rôle. En violation de l'art. 29 al. 2 Cst., la cour cantonale n'expliquerait du reste pas pourquoi elle exige une telle preuve. Au surplus, le recourant relève qu'il a obtenu en première instance le remboursement du montant de 3'094 fr.20 au titre de la libération du service des primes en cas d'incapacité de gain de l'assuré. Il serait ainsi contradictoire d'admettre que le risque assuré - l'incapacité de gain à la suite d'une incapacité de travail - serait réalisé lorsqu'il s'agit de libérer le débiteur du service des primes, mais non lorsqu'il s'agit d'allouer une rente à l'assuré.
4.2.2. Contrairement à ce qu'il prétend, le recourant n'a pas, selon l'arrêt attaqué, démontré une incapacité de gain totale, c'est-à-dire que l'incapacité de travail constatée l'empêchait d'acquérir un revenu. La cour cantonale relève certes qu'"il n'est pas contesté (...) que l'accident a provoqué une incapacité de travail et une incapacité de gain" (consid. 5.1 in fine de l'arrêt attaqué); elle ne précise toutefois pas si l'incapacité de gain est totale ou partielle. De même, au vu de la diminution globale des revenus déclarés par le recourant au fisc et à l'AVS, l'expert cité dans la décision entreprise mentionne une perte de gain dans les dix années suivant l'accident, mais cela ne suffit pas à établir une incapacité de gain totale. On ne saurait non plus déduire une telle incapacité du fait que l'autorité de première instance, sans être contestée par l'intimée, a admis le remboursement de la prime payée en 2000 au titre de la libération du service des primes. Il s'ensuit que le recourant ne pouvait se dispenser d'établir l'ampleur de sa perte de gain et, partant, son taux d'incapacité de gain.
4.3.
4.3.1. Le recourant est d'avis que son action ne pouvait pas être rejetée au motif qu'il n'avait pas prouvé l'étendue de sa perte de gain auprès de A._ Sàrl. Il invoque plusieurs raisons à cet égard:
- les CGA se rapportent expressément à une incapacité de gain indépendante;
- la police d'assurance n'indiquerait nulle part que la perte de gain exigée devrait être subie nécessairement auprès du preneur d'assurance, encore moins auprès du preneur initial;
- s'agissant d'une prestation de longue durée, il serait absurde d'exiger que le preneur initial subsiste pendant toutes les années où l'assuré est en incapacité de travail;
- une clause de la police prévoit que l'assuré devient preneur d'assurance en cas de dissolution de la société qui a conclu le contrat;
- tous les droits découlant de la police ont été cédés au recourant en 2003;
- le ch. 3.1 CGA laisse lui-même la porte ouverte à toute autre activité de l'assuré conforme à sa position sociale, ses connaissances et ses aptitudes.
4.3.2. A._ Sàrl (preneur d'assurance) a conclu l'assurance litigieuse pour compte d'autrui (cf. art. 16 al. 1 LCA), soit le recourant (tiers assuré). Selon les constatations de l'arrêt attaqué, le preneur d'assurance était l'employeur de l'assuré. Le recourant n'a dès lors pas été assuré comme indépendant, mais bien comme employé du preneur d'assurance. Du reste, selon le recourant lui-même, le montant de la prestation assurée - 75'000 fr. par an - a été fixé en fonction des revenus qu'il réalisait auprès de A._ Sàrl, et non de tous les gains acquis lors de ses multiples activités.
Le risque assuré correspond à l'événement redouté en vue duquel le contrat a été conclu (cf. ATF 136 III 334 consid. 3 p. 339). En l'espèce, il s'agit de l'incapacité de gain du recourant, due à une maladie ou à un accident. Comme déjà relevé, il ne ressort pas des constatations de l'arrêt attaqué que ce risque se serait entièrement réalisé, en ce sens que le recourant n'aurait plus rien gagné, ni été en mesure d'acquérir un revenu à la suite de l'accident du 17 septembre 1999. Pour justifier sa prétention à une rente annuelle de 75'000 fr., le recourant devait établir que le degré de son incapacité de gain atteignait au moins 662 /3%, une rente d'un montant inférieur supposant pour sa part un taux d'incapacité de gain d'au moins 25%. La détermination du degré d'incapacité de gain, pertinent pour fixer le montant de la rente, implique une comparaison entre le revenu que le recourant aurait pu réaliser sans l'accident et le gain acquis malgré l'accident. Comme la prestation assurée tendait indirectement à compenser un manque à gagner de l'assuré en tant qu'employé du preneur d'assurance, cette opération nécessitait d'établir les revenus réalisés, avant l'accident, par le recourant au service de A._ Sàrl, ainsi que ceux acquis après l'accident grâce à cette activité, voire l'absence de tels revenus. Or, le recourant, qui avait la charge de la preuve, n'a pas fourni les moyens de preuve permettant d'apprécier ces éléments. Faute d'avoir disposé des données comptables de A._ Sàrl pour les exercices 1999 et suivants, l'expert n'a en effet pas été en mesure de comparer les revenus d'honoraires perçus par le recourant avant et après l'accident de septembre 1999.
En jugeant que le recourant n'avait ainsi pas démontré un taux d'incapacité de gain suffisant pour justifier une rente, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral.
5.
Sur le vu de ce qui précède, le recours sera rejeté.
Le recourant, qui succombe, prendra à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF) et versera des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce:
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 15'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimée une indemnité de 17'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 20 mars 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann