Faits :
A.
A.a. A._, né en 1975, travaillait comme pizzaiolo. Il a chuté en transportant une machine à laver le 14 décembre 2009 et a développé des douleurs au dos et à une jambe. Invoquant des séquelles incapacitantes de la chute, il a sollicité des prestations de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après: l'office AI) le 6 octobre 2010.
L'office AI a requis l'avis de divers médecins traitants: ceux-ci ont pour l'essentiel diagnostiqué un épisode dépressif actuel sévère ainsi qu'un syndrome douloureux somatoforme persistant et retenu une incapacité totale de travail. L'administration a aussi obtenu une copie des pièces médicales rassemblées par l'assureur-accidents, dont les rapports des docteurs B._, spécialiste en rhumatologie, et C._, spécialiste en psychiatrie. Ces médecins ont fait état de traits de personnalité immature, impulsive et narcissique en plus du syndrome douloureux déjà mentionné sans répercussion sur la capacité de l'assuré à exercer une activité lucrative (rapports des 22 et 23 novembre 2010 et complément du docteur C._ du 1er mars 2011).
L'office AI a rejeté la demande de l'assuré, considérant que celui-ci ne souffrait pas d'atteinte invalidante à la santé (décision du 6 mars 2012).
A.b. A._ a déposé une nouvelle demande de prestations le 11 avril 2012. Il justifiait une aggravation de la situation par l'apparition de troubles psychotiques.
Les psychiatres traitants, rattachés au Département de psychiatrie de l'hôpital D._, ont estimé que leur patient était incapable de travailler en raison des symptômes psychotiques dus à un état de stress post-traumatique qui s'ajoutaient désormais à l'état dépressif toujours sévère ainsi qu'au syndrome douloureux somatoforme persistant connus (rapports des 26 avril, 7 mai et 22 octobre 2012) pendant que le docteur E._, spécialiste en médecine interne générale, constatait une situation médicale parfaitement stable sur le plan physique (rapport du 11 octobre 2012). Mandaté directement par l'administration, le docteur C._ a confirmé que les troubles retenus précédemment, soit le syndrome douloureux somatoforme persistant ainsi que les traits de personnalité immatures et narcissiques, n'influaient pas sur la capacité de travail (rapport d'expertise du 7 janvier 2013).
L'administration a averti l'assuré que, vu les éléments réunis, elle allait rejeter sa demande dans la mesure où il ne présentait toujours aucune affection invalidante (projet de décision du 19 juillet 2013). En dépit des observations de l'intéressé soutenu par le psychiatre traitant qui rappelait toujours l'existence d'un épisode dépressif majeur d'intensité sévère (rapport du 28 août 2013), elle a confirmé son intention et rejeté la nouvelle demande (décision du 4 avril 2014).
A.c. Saisie d'un recours de l'assuré, la Chambre des assurances sociales de la Cour de justice de la République et canton de Genève a annulé la décision, puis renvoyé la cause à l'office AI pour qu'il en complète l'instruction et rende une nouvelle décision; elle considérait que le rapport d'expertise n'était pas probant (jugement du 17 octobre 2014).
Mandaté, le Service médical régional (SMR) de l'office AI a réalisé un examen clinique bidisciplinaire. Les docteurs F._, spécialiste en rhumatologie, et G._, spécialiste en psychiatrie, ont attesté une capacité totale de travail depuis le mois de novembre 2010 malgré la présence d'un syndrome douloureux somatoforme persistant et d'un état dépressif moyen (rapport du 28 avril 2015).
L'administration a derechef rejeté la nouvelle demande (décision du 28 mai 2015).
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice genevoise. Il contestait le rapport du SMR et concluait à la reconnaissance de son droit à une rente entière. L'office AI a conclu au rejet du recours.
La juridiction cantonale a ordonné une expertise et en a confié la réalisation au docteur H._, spécialiste en psychiatrie. Celui-ci a retenu une incapacité totale de travail depuis le jour de l'accident le 14 décembre 2009 et fait particulièrement état d'un trouble schizo-affectif, d'un trouble à symptomatologie somatique, d'un trouble panique, d'une agoraphobie, ainsi que d'un trouble de la personnalité, non spécifié, et d'une personnalité fruste (rapport du 29 septembre 2016).
Les parties ont été invitées à s'exprimer sur l'expertise (déterminations des 25 octobre ainsi que 4 et 25 novembre 2016).
Le tribunal cantonal a admis le recours, annulé la décision litigieuse et reconnu le droit de l'assuré à une rente entière d'invalidité depuis le 1er mars 2013 (jugement du 20 mars 2017).
C.
L'administration a interjeté un recours en matière de droit public contre ce jugement. Elle demande son annulation et conclut à la confirmation de la décision du 28 mai 2015.
L'intéressé a conclu au rejet du recours et requis l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Est en l'espèce litigieux le droit de l'intimé à une rente d'invalidité dans le cadre d'une nouvelle demande de prestations. Il s'agit plus particulièrement de déterminer si, par analogie avec l'art. 17 LPGA (cf. art. 87 al. 3 RAI), l'état de santé de l'assuré ou son taux d'invalidité ont connu une modification telle entre les décisions des 6 mars 2012 et 28 mai 2015 (ATF 133 V 108 consid. 5 p. 110; 130 V 71 consid. 3.2 p. 75) qu'ils justifient l'allocation d'une rente à partir du 1er mars 2013. Les premiers juges ont correctement cité les normes, ainsi que la jurisprudence indispensables à la solution du cas. Il suffit d'y renvoyer.
3.
Le tribunal cantonal a considéré qu'il devait déterminer si l'invalidité de l'assuré s'était modifiée au point qu'elle influençât désormais les droits de celui-ci, au sens de l'art. 87 al. 2 et 3 RAI. Pour ce faire, il a examiné si les critiques que l'office recourant avait émises dans sa détermination du 4 novembre 2016 justifiaient que l'on s'écartât du rapport d'expertise judiciaire rendu par le docteur H._ le 29 septembre précédent, ce qu'il a nié. Il a abouti à la conclusion que le rapport mentionné avait une pleine valeur probante sauf pour ce qui concerne la date du début de l'incapacité de travail de l'intimé. Il a fixé la date en question au 15 mars 2012 et la naissance du droit de l'assuré à une rente entière une année plus tard, au 1er mars 2013.
4.
D'abord, l'administration fait grief à la juridiction cantonale d'avoir violé les principes régissant la révision des rentes au sens de l'art. 17 LPGA. Elle prétend que celle-ci n'a nullement procédé à une comparaison des circonstances prévalant aux moments opportuns du point de vue de la disposition légale citée, ni même établi l'existence d'une modification notable de la situation, mais s'est contentée de suivre sans analyse critique les affirmations erronées du docteur H._. Elle infère de la similitude des status psychiatriques décrits par les différents experts mandatés au cours de la procédure une situation stable. Elle fait ensuite grief aux premiers juges d'avoir constaté les faits et apprécié les preuves d'une façon manifestement inexacte en conférant valeur probante au rapport d'expertise judiciaire mais en s'éloignant de ses conclusions, notamment celle concernant la date de la survenance de l'incapacité de travail. Elle soutient que, dès lors que l'expert judiciaire avait fixé ladite date au 14 décembre 2009 et que le rapport établi par le docteur C._ le 22 novembre 2010 n'avait nullement été critiqué, on se trouvait en présence d'une nouvelle appréciation d'un même état de fait à laquelle le tribunal cantonal ne pouvait pas se référer dans le but de justifier une éventuelle détérioration de l'état de santé de l'intimé. Enfin, elle fait grief à la juridiction cantonale d'avoir fixé arbitrairement la survenance d'une modification de la situation au 15 mars 2012. Elle lui reproche certaines contradictions concernant la pertinence des conclusions du docteur H._ et se plaint de l'absence d'analyse relative à une hypothétique aggravation de la situation réactionnelle au premier refus de prestations ainsi que relative à la date du début de l'incapacité de travail.
5.
5.1. On ne saurait d'abord suivre l'argumentation de l'administration en tant qu'elle porte sur la violation des principes découlant de l'art. 17 LPGA, particulièrement sur l'absence de comparaison par les premiers juges des circonstances aux moments opportuns du point de vue de la disposition légale citée. Il est vrai que l'autorité judiciaire n'a pas décrit expressément la situation lors de la première demande de prestations, en évoquant par exemple les diagnostics posés alors et leur incidence sur la capacité de travail de l'assuré. On relèvera néanmoins que cette autorité s'est bien attachée à déterminer s'il existait un changement de l'état de santé de l'intimé pouvant influencer les droits de ce dernier et a bien conclu à l'existence d'un tel changement de circonstances sur la base du rapport d'expertise du docteur H._, que l'office recourant aurait échoué à remettre en cause (à ce propos, cf. ATF 125 V 351 consid. 3b/aa p. 352). On ajoutera par ailleurs que, dans la mesure où aucune maladie invalidante n'avait été diagnostiquée originellement, le tribunal cantonal pouvait légitimement s'attacher à établir l'existence d'un trouble incapacitant et invalidant au moment de la décision litigieuse afin d'en déduire une aggravation des circonstances justifiant le droit à des prestations.
5.2. En ce qui concerne ensuite le fait que la juridiction cantonale n'a pas suivi les conclusions du docteur H._ relatives au début de l'incapacité totale de travail de l'intimé (en décembre 2009) sans leur dénier toute valeur probante, il ne suffit pas pour qualifier d'insoutenable l'appréciation des premiers juges. Il existe en effet certaines constellations dans lesquelles il convient de s'écarter de l'incapacité de travail déterminée par une expertise médicale, sans que celle-ci n'en perde sa valeur probante (arrêt 9C_706/2016 du 6 juillet 2017 consid. 3 et les arrêts cités). Dans la mesure où l'expert judiciaire fait remonter l'incapacité de travail à décembre 2009, alors que l'évolution des troubles dont il fait état ne comporte une péjoration déterminante, en relation avec le point litigieux en l'espèce (consid. 2 supra), que postérieurement à cette date (expertise du 29 septembre 2016, p. 63), il ne pouvait pas être suivi.
Cette circonstance, en soi, ne fait pas non plus de l'évaluation du docteur H._ une "appréciation différente d'un même état de fait". Indépendamment de la date à laquelle il a fixé le début de l'incapacité de travail, l'expert a en effet retenu de façon précise qu'une aggravation des troubles de l'assuré avait eu lieu plusieurs années après l'événement accidentel. Il a ainsi indiqué qu'il y avait eu une nette aggravation de l'état de santé dans le contexte des trois hospitalisations psychiatriques dont la première était survenue en mars 2012; selon lui, le trouble dépressif majeur diagnostiqué - le trouble somatoforme douloureux initialement mentionné a évolué défavorablement vers une atteinte thymique majeure - est devenu sévère vers l'année 2012 (expertise, p. 57). En affirmant que lesdites hospitalisations n'ont duré que quelques jours et ne justifiaient pas une incapacité de travail durable, l'office recourant ne se réfère à aucune pièce médicale. Son allégation est contredite par l'avis de la doctoresse I._, selon laquelle il existait depuis mars 2012 une aggravation de l'état de santé de l'assuré, qui présentait notamment un trouble dépressif sévère avec caractéristiques psychotiques, entraînant une incapacité totale de travail depuis lors (rapport du 22 octobre 2012).
5.3. En tant que l'office recourant entend déduire d'une comparaison des status décrits tour à tour par les docteurs C._, G._ et H._ l'absence d'aggravation objectivée, il oublie qu'il appartient précisément à l'expert (administratif, privé ou judiciaire) disposant des connaissances spécialisées requises de tirer des conclusions sur la base de ses propres observations, et non à l'administration ou au juge de se substituer au spécialiste en juxtaposant des observations médicales ressorties de leur contexte.
C'est en vain, par ailleurs, que l'office recourant soutient que l'éventuelle aggravation serait de nature réactionnelle (troubles en réaction à une décision négative de l'assurance-invalidité) de sorte qu'il ne saurait en découler de handicap psychique invalidant. Les diagnostics posés par l'expert judiciaire mais aussi par les autres médecins appelés à se prononcer sur le cas de l'intimé ne relèvent pas d'une simple réaction passagère à un événement perçu comme négatif par la personne concernée.
5.4. En définitive, à défaut de mettre en évidence un défaut à ce point évident et reconnaissable entachant l'expertise judiciaire suivie par les premiers juges que le Tribunal fédéral n'aurait pu l'ignorer (parmi d'autres, arrêt 9C_286/2017 du 9 février 2017 consid. 5.1.2), aucun des arguments soulevés par l'office recourant ne conduit à qualifier leur appréciation d'arbitraire. Le recours, mal fondé, doit être rejeté.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires sont mis à la charge de l'office recourant (art. 66 al. 1 LTF), qui versera également à l'intimé une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à l'intimé la somme de 2'400 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 octobre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Cretton