Sachverhalt:
A.
Der zuletzt in U._/SO wohnhafte und am 17. Februar 2013 verstorbene C.A._ (nachfolgend: der Erblasser) investierte in den Jahren 2002 und 2003 insgesamt Fr. 370'000.-- in Anlagen bei der X._ GmbH mit Sitz in V._/GR. Diese schrieb ihm hierfür monatsweise Erträge gut, welche der Erblasser im System beliess und damit sogleich reinvestierte. Wie sich später herausstellte, unterhielt die X._ GmbH ein betrügerisches Anlagesystem mit Schneeballcharakter. Mit Verfügung vom 17. Dezember 2003 löste die damalige Eidgenössische Bankenkommission die X._ GmbH auf, ehe am 24. März 2005 der Konkurs über die Gesellschaft eröffnet wurde. Das Konkursverfahren endete mit Verfügung der Eidgenössischen Finanzmarktaufsicht (Finma) vom 21. März 2013.
B.
In seinen Steuererklärungen 2002 und 2003 brachte der Erblasser das in der X._ G mbH angelegte Vermögen und die aus dieser Anlage erlangten Gutschriften von Fr. 134'013.-- nicht zur Deklaration. Von den Erträgen entfielen Fr. 1'484.-- auf das Jahr 2002 und Fr. 132'529.-- auf das Folgejahr. Das Kantonale Steueramt Solothurn (nachfolgend: KStA/SO) wurde auf die unterlassenen Positionen erst durch eine Meldung des Kantons Graubünden vom 14. Dezember 2004 aufmerksam. Mit Verfügungen vom 20. November 2006 veranlagte das KStA/SO unter diesem Titel Nachsteuern für die Jahre 2002 und 2003 von Fr. 16'717.75 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn) und Fr. 17'420.-- (direkte Bundessteuer), jeweils nebst Verzugszins. Zudem sprach es Hinterziehungsbussen von Fr. 5'443.25 und Fr. 5'684.25 aus. Die dagegen gerichtete Einsprache blieb erfolglos (Entscheid vom 15. März 2012).
C.
In der Folge hob das Steuergericht des Kantons Solothurn den Einspracheentscheid mit Urteil vom 26. November 2012 auf und wies es die Sache zur Durchführung einer Einspracheverhandlung an das KStA/SO zurück. Am 24. September 2015 schloss das KStA/SO erneut auf Abweisung der Einsprachen gegen die Nachsteuerverfügungen 2002 und 2003 und stellte es die Hinterziehungsverfahren gegenüber dem inzwischen verstorbenen Steuerpflichtigen und seiner Ehefrau ein. Im Nachsteuerpunkt erwog das KStA/SO im Wesentlichen, die Gutschriften seien weder durch eine Anfechtungsklage nach Art. 286/287 SchKG noch durch eine solche nach Art. 288 SchKG gefährdet gewesen. Folglich hätten sie als realisiert zu gelten.
D.
Gegen diese Einspracheentscheide gelangten die Erben mit Rekurs und Beschwerde vom 27. Oktober 2015 an das Steuergericht des Kantons Solothurn. Mit Entscheid SGSTA.2015.78 / BST.2015.71 vom 7. März 2016 wies dieses die Rechtsmittel ab. Zuvor, mit Entscheid vom 6. Juli 2015, hatte es bereits eine gegen das KStA/SO gerichtete Rechtsverzögerungsbeschwerde der Erben vom 30. März 2015 abgewiesen.
E.
Mit Eingabe vom 21. April 2016 erheben die Erben beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie ersuchen um Aufhebung des angefochtenen Entscheids und Einstellung des Nachsteuerverfahrens.
Die Vorinstanz, das KStA/SO und die Eidgenössische Steuerverwaltung schliessen auf Abweisung der Beschwerde. Mit Eingabe vom 23. September 2016 reicht der Vertreter der Beschwerdeführer mehrere Unterlagen nach, insbesondere Entscheide verschiedener Straf- und Steuergerichtsbehörden aus den Jahren 2003, 2013, 2014 und 2016. Mit ebenso unaufgefordertem Schreiben und Beilagen vom 1. Oktober 2016 nimmt er abschliessend zum Verfahrensstand Stellung.
Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Vorinstanz hat zu den streitbetroffenen Steuerjahren hinsichtlich der Staatssteuern des Kantons Solothurn einerseits und der direkten Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt. Die Erben fechten dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Da zwei Steuerhoheiten betroffen sind, eröffnet das Bundesgericht praxisgemäss zwei Dossiers. Die aufgeworfenen Rechtsfragen sind im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Steuerrecht übereinstimmend geregelt. Es rechtfertigt sich, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (vgl. Art. 71 BGG [SR 173.110] i. V. m. Art. 24 BZP [SR 273]; Urteil 2C_770/2016 / 2C_771/2016 vom 26. September 2016 E. 1.1).
1.2.
1.2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Praxisgemäss gilt das Steuergericht des Kantons Solothurn als "oberes" Gericht (Urteil 2C_662/2013 vom 2. Dezember 2013 E. 1.3, in: ASA 82 S. 383). Mit dem Tod des Steuerpflichtigen sind die Erben kraft Gesetzes in seine Rechte und Pflichten eingetreten (Universalsukzession gemäss Art. 560 Abs. 1 ZGB bzw. Art. 12 Abs. 1 DBG; Urteil 2C_140/2012 vom 2. August 2012 E. 3.2). Sie sind zur vorliegenden Beschwerde legitimiert. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1 und Art. 90 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2.2. Das Bundesgericht beurteilt namentlich Streitigkeiten wegen Verletzung von Bundesrecht (Art. 189 Abs. 1 lit. a BV). Darunter fallen insbesondere auch das Recht der direkten Bundessteuer und - soweit es sich nicht um einen Gestaltungsspielraum zugunsten der Kantone handelt - das harmonisierte Steuerrecht der Kantone (Art. 1 Abs. 3 Satz 1 StHG e contrario; Urteil 2C_156/2015 vom 5. April 2016 E. 1.3.2, in: ASA 84 S. 832, StE 2016 B 23.2 Nr. 51). Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 141 V 234 E. 2 S. 236). Es ist daher weder an die in der Beschwerde vorgebrachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden; es kann die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen, und es kann eine Beschwerde mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (Motivsubstitution; BGE 142 V 118 E. 1.2 S. 120).
1.2.3. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem Recht prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG). Unterbleibt dies, kann das Bundesgericht eine Beschwerde selbst dann nicht gutheissen, wenn eine Verfassungsverletzung tatsächlich vorliegt (BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106).
1.2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.3 S.156). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wozu auch die Beweiswürdigung zählt (BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375; 140 III 264 E. 2.3 S. 266), nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 135 E. 1.6 S. 144 f.; 142 V 2 E. 2 S. 5).
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Streitig und zu prüfen ist, ob und, falls ja, in welchem Umfang die Erträge, auf deren Bezug der Erblasser in den Jahren 2002 und 2003 verzichtete und die er im System beliess, einkommenssteuerrechtlich als realisiert zu gelten haben.
2.2.
2.2.1. Im Steuerrecht herrscht das verfassungsmässige Gebot der Besteuerung nach der wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit (Art. 127 Abs. 2 BV; BGE 142 II 197 E. 6.1 S. 205; 141 I 78 E. 9.1 S. 90; 141 II 338 E. 3.2 S. 341). Der Gesetzgeber hat dies für den Bereich der Einkommenssteuer natürlicher Personen in Art. 16 DBG konkretisiert (BGE 139 II 363 E. 2.2 S. 367), indem er vom Reinvermögenszugang ausgeht ("théorie de l'accroissement du patrimoine" bzw. "imposition du revenu global net"; BGE 142 II 197 E. 5.1 S. 200). Danach unterliegen der Einkommenssteuer alle wiederkehrenden und einmaligen Einkünfte (Art. 16 Abs. 1 DBG). Der Gesetzgeber hat der Generalklausel einen Positivkatalog (Art. 17-23 DBG) angefügt, der das Konzept verdeutlicht. Dieses herrscht indes nur in modifizierter Weise: Obwohl einen Reinvermögenszugang begründend, sind etwa die Kapitalgewinne, die bei Veräusserung von Privatvermögen entstehen, von der Einkommenssteuer ausgenommen (Art. 16 Abs. 3 DBG; BGE 139 II 363 E. 2.2 S. 367), ebenso aber auch die erlittenen Kapitalverluste. Steuerrechtlich unberücksichtigt blieben ferner die im Negativkatalog von Art. 24 DBG abschliessend aufgezählten Fälle (BGE 140 II 157 E. 7.4 S. 162; 140 II 353 E. 2.1 S. 355; 139 II 363 E. 2.1 S. 365) wie umgekehrt auch die eigentliche Einkommensverwendung (Art. 34 lit. a DBG). Dies alles ist für das Bundesgericht massgebend (Art. 190 BV; 142 II 182 E. 2.4.3 S. 192; 141 II 280 E. 9.2 S. 295).
2.2.2. Der derart umschriebene Reinvermögenszugang, von welchem die in Art. 33 ff. DBG abschliessend genannten Abzüge abgezogen werden können, stellt sich als Nettogrösse dar. Diese ergibt sich aus dem Überschuss der gesamten Vermögenszugänge gegenüber den gesamten Vermögensabgängen derselben Steuerperiode (BGE 139 II 363 E. 2.2 S. 366 mit zahlreichen Hinweisen). Beim Vermögenszufluss handelt es sich um einen faktischen Vorgang. Er tritt ein, falls und sobald die steuerpflichtige Person die rechtliche Verfügungsmacht über die zugegangenen Vermögenswerte erlangt (Urteile 2C_214/2014 vom 7. August 2014 E. 3.3.2, in; ASA 83 S. 142, StE 2014 B 101.2 Nr. 27). Der Rechtserwerb kann sich als Forderungs- (obligatorisches Recht) oder Eigentumserwerb (dingliches Recht) darstellen (Urteil 2C_941/2012 / 2C_942/2012 vom 9. November 2013 E. 2.5, in: ASA 82 S. 375, StR 69/2014 S. 207). Auch blosse Gutschriften, die der Auszahlung der Leistung vorangehen oder als Alternative zu dieser bestehen, fallen unter die echten (und nicht bloss fiktiven) Erträge (unter vielen: Urteil 2C_94/2010 vom 10. Februar 2011 E. 3.2, in: RDAF 2012 II S. 17). Sie gelten als Vermögenszufluss, selbst wenn sie begrifflich von keinen Liquiditätsfolgen begleitet sind. Gutschrift und Auszahlung stellen nur unterschiedliche Modalitäten des Bezugs dar.
2.2.3. Realisation ist der Erwerb einer unentziehbaren rechtlichen oder tatsächlichen Position, ohne dass diese Position mit einer Rückgabepflicht belastet ist. Nur ein Zugang, der mit keinem "korrelierenden" Abgang belastet ist, stellt sich als Vermögenszugang im steuerrechtlichen Sinne dar. Denn ein korrelierender Abgang "neutralisiert" den Zugang (Urteil 2C_692/2013 / 2C_693/2013 vom 24. März 2014 E. 4.2, in: ASA 82 S. 740, StR 69/2014 S. 531) und lässt den Zugang zur "Nichteinkunft" werden (MARKUS REICH, Steuerrecht, 2. Aufl. 2012, § 10 N. 28b). Dies schafft einen Schwebezustand, dem das Steuerrecht zu begegnen hat (hinten E. 2.3.4). Gleiches gilt für die umgekehrte Abfolge, indem zunächst ein Vermögensabgang eintritt, der durch einen korrelierenden Vermögenszugang ausgeglichen wird. Zu denken ist etwa an den Schadenersatz (damnum emergens; Urteil 2C_1155/2014 vom 1. Februar 2016 E. 3.2.3, in: ASA 84 S. 719, StE 2016 B 23.43.2 Nr. 19, StR 71/2016 S. 612). Das korrelierende Ereignis kann vertraglicher oder gesetzlicher Natur sein (FELIX RICHNER/ WALTER FREI/STEFAN KAUFMANN/HANS ULRICH MEUTER, Handkommentar zum DBG, 3. Aufl. 2016, N. 25 der Vorbemerkungen zu Art. 16-39 DBG).
2.2.4. Von einer hinreichenden Korrelation ist freilich nur zu sprechen, falls der Zusammenhang sachlich und zeitlich derart eng ist, dass der Zugang für den Abgang notwendig und ursächlich ist. Die Neutralisation darf nicht leichthin angenommen werden, ansonsten die Schranke zwischen (steuerlich massgebendem) Einkommenszufluss und (steuerlich unbeachtlicher) Einkommensverwendung zu verwischen droht. Im Übrigen bleibt es dabei, dass die entstandene Steuerforderung grundsätzlich unabänderlich ist und sich durch Rückabwicklung des Sachverhalts, der die Steuer ausgelöst hat, nicht beseitigen lässt (zit. Urteil 2C_692/2013 / 2C_693/2013 E. 4.2; MICHAEL BEUSCH, Der Untergang der Steuerforderung, 2012, S. 71 ff.). Zur steuerlichen Rückabwicklung, die ausserhalb eines Revisionsgrundes steht (Art. 147 DBG), fehlt eine gesetzliche Grundlage. Im Steuerrecht besteht ein numerus clausus von Rechtsgründen, die es erlauben, auf eine rechtskräftige Verfügung zurückzukommen (Urteil 2C_436/2015 vom 22. Juli 2016 E. 3.1, zur Publ. vorgesehen). Ausschlaggebend ist folglich, ob der Vermögenszugang bereits im Zeitpunkt des Zugangs (zit. Urteil 2C_692/2013 / 2C_693/2013 E. 4.2) mit einem hinreichend damit verbundenen möglichen Vermögensabgang belastet ist und daher als unsicher erscheint.
2.3.
2.3.1. Die realisierten Vermögenszugänge sind zeitlich einzugrenzen und der betreffenden Steuerperiode zuzuweisen (Art. 40 Abs. 1 DBG). Dies ruft nach einer Einzelfallprüfung (Urteil 2C_351/2010 vom 6. Juli 2011 E. 4.1, in: ASA 80 S. 683, RDAF 2012 II S. 27, StE 2011 B 21.1 Nr. 19, StR 66/2011 S. 784), da es sich als schwierig erwiesen hat, positivrechtlich eine abschliessende steuerrechtliche Regelung zu finden. Ein Vermögenszugang gilt aber spätestens im Zeitpunkt als realisiert, in dem die Mittel vereinnahmt werden ( "Ist-Methode" bzw. "principe de l'encaissement", so XAVIER OBERSON, Droit fiscal suisse, 4. Aufl. 2012, § 7 N. 13; ERNST BLUMENSTEIN/PETER LOCHER, System des schweizerischen Steuerrechts, 7. Aufl. 2016, S. 324). Besteht schon zuvor ein hinreichend gefestigter Anspruch auf die Leistung, bewirkt dies die Realisation ( "Soll-Methode", dazu zit. Urteil 2C_214/2014 E. 3.3.1; BLUMENSTEIN/LOCHER, a. a. O., S. 323; OBERSON, a. a. O., § 7 N. 12; REICH, Steuerrecht, § 10 N. 51 und insb. 54; ders., Die ungerechtfertigte Bereicherung und andere rechtsgrundlose Vermögensübergänge im Einkommenssteuerrecht, in: FStR 2004 S. 3 ff., insb. 7; PETER LOCHER, Kommentar zum DBG, I. Teil, 2001, N. 18 zu Art. 16 DBG).
2.3.2. Ein "Vorziehen" der Realisation vom Moment der tatsächlichen Erfüllung der Forderung auf den Zeitpunkt der Entstehung der Forderung ist nicht voraussetzungslos zulässig. Vielmehr ist zu verlangen, dass die entstandene Forderung "so gewiss und gesichert ist, dass sie nach der allgemeinen Verkehrsauffassung dem Zufluss von Geld oder Sachwerten gleichgestellt werden kann" (REICH, Steuerrecht, § 10 N. 52, unter Bezugnahme auf JÜRG STOLL, Die Rückstellung im Handels- und Steuerrecht, 1992, S. 136). Die erforderliche Gewissheit muss sich auf Bestand und Höhe der Forderung beziehen (REICH, ebenda) und ermöglichen, dass die steuerpflichtige Person darüber disponieren kann (BLUMENSTEIN/LOCHER, a. a. O., S. 323).
2.3.3. Die beiden Methoden können zusammenfallen, wenn der für die "Soll-Methode" charakteristische "feste Rechtsanspruch" erst eintritt, sobald der Schuldner seiner vertraglichen Pflicht nachgekommen ist und die Mittel im Machtbereich des Gläubigers eingetroffen sind (was der "Ist-Methode" entspricht). Zu denken ist an Fälle, in welchen die Forderung bei vorausschauender Betrachtung als kaum einbringlich und daher beschränkt werthaltig oder wertlos erscheint. Gründe hierfür liegen etwa darin, dass die schuldnerische Person nicht zahlungsfähig und/oder nicht zahlungswillig ist (LOCHER, I, N. 21 f. zu Art. 16 DBG; allgemein zit. Urteil 2C_941/2012 / 2C_942/2012 E. 2.5).
2.3.4. Wird der Vermögenszugang durch einen korrelierenden Vermögensabgang neutralisiert, ruft dies einen realisationsrechtlichen Schwebezustand hervor (dazu schon vorne E. 2.2.3). Droht ernstlich die Rückforderung des Zugangs, so darf darüber (einstweilen) steuerlich nicht abgerechnet werden. Der schwebende Zustand dauert an, bis nach den Umständen anzunehmen ist, dass mit einer Rückerstattung nicht mehr gerechnet werden muss (so schon ERNST KÄNZIG, Wehrsteuer [Direkte Bundessteuer], I. Teil, 2. Aufl. 1982, N. 7 zu Art. 21 des Bundesratsbeschlusses vom 9. Dezember 1940 über die Erhebung einer direkten Bundessteuer [BdBSt; AS 1940 1947]). Mit dem Wegfall der drohenden Neutralisierung tritt die bis dahin aufgeschobene Realisation ein. Kommt es zur Rückerstattung und ist der Zugang trotz ernsthaft drohender Rückforderung bereits besteuert worden, ist die Veranlagungsverfügung zu revidieren (zit. Urteil 2C_351/2010 E. 4.3; so auch MARKUS WEIDMANN, Realisation und Zurechnung des Einkommens, in: FStR 2003 S. 83 ff., insb. 97).
3.
3.1. Die Erben werfen der Vorinstanz im Wesentlichen vor, den Sachverhalt zu Unrecht nicht wirtschaftlich (sondern rein zivilrechtlich) gewürdigt (hinten E. 3.2) und eine anscheinend in Deutschland geläufige Kulanzregelung missachtet zu haben (hinten E. 3.7). Sie beanstanden weiter, die Vorinstanz habe sich mit dem obiter dictum, das sie dem zitierten Urteil 2C_776/2012 / 2C_777/2012 glauben entnehmen zu können, in keiner Weise auseinandergesetzt und ganz grundsätzlich die sich aus dem Faktizitätsprinzip ergebenden Schlüsse übersehen (hinten E. 3.3-3.6). Die Vorbringen betreffen bundesrechtliche Rechtsfragen (Art. 106 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.2.2). Da die tatsächlichen vorinstanzlichen Feststellungen unbeanstandet bleiben, sind sie für das Bundesgericht verbindlich (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.2.4).
3.2.
3.2.1. Tatsächliche Grundlage der steuerlichen Beurteilung eines Vorgangs bilden die zivilrechtlichen Verhältnisse, insbesondere die von den Beteiligten abgeschlossenen Verträge (Urteile 2C_969/2015 vom 24. Mai 2016 E. 3.3.1, in: ASA 85 S. 67; 2C_156/2015 vom 5. April 2016 E. 3.3.1, in: ASA 84 S. 832, StE 2016 B 23.2 Nr. 51). Bei der Subsumtion sind die massgebenden steuerrechtlichen Bestimmungen auf diesen rechtserheblichen Sachverhalt anzuwenden. Das Steuerrecht folgt dabei, von Besonderheiten abgesehen (vgl. etwa BGE 140 II 495 E. 2.3.4 und 140 II 80 E. 2.5.3 S. 87, je zur Mehrwertsteuer), den üblichen Regeln der Auslegung von Gesetzen und Rechtsverordnungen (dazu unter vielen BGE 141 V 674 E. 2.2 S. 674). Namentlich bildet die wirtschaftliche Betrachtungsweise auch im Steuerrecht keine eigenständige Auslegungsregel. Sie ist vielmehr eine Folge dessen, dass gewisse steuerrechtliche Rechtssätze auf einer wirtschaftlichen Begrifflichkeit beruhen oder aber die an sich zivilrechtlichen Begriffe einen wirtschaftlichen Inhalt tragen (OBERSON, a. a. O., § 4 N. 12 und insbesondere 15). Sie greift nur, aber immerhin, wenn der Normsinn das Abstellen auf den wirtschaftlichen Gehalt des Sachverhalts erfordert (REICH, a. a. O., § 6 N. 14).
3.2.2. Soweit auf eine wirtschaftliche Betrachtungsweise abzustellen ist, kommt diese einerseits bei der Würdigung des rechtserheblichen Sachverhalts, anderseits bei der Auslegung der massgebenden Rechtssätze zur Anwendung (Urteil 2C_969/2015 vom 24. Mai 2016 E. 2.3.1; BLUMENSTEIN/LOCHER, a. a. O., S. 36 f. und S. 41 Fn. 84; vgl. auch MICHAEL BEUSCH, in: Martin Zweifel/Michael Beusch/Pierre-Marie Glauser/Philip Robinson [Hrsg.], Bundesgesetz über die Mehrwertsteuer, 2015, N. 24 der Ausführungen zur Auslegung; IVO P. BAUMGARTNER/DIEGO CLAVADETSCHER/MARTIN KOCHER, Vom alten zum neuen Mehrwertsteuerrecht, 2010, § 1 N. 87).
3.2.3. Den Erben ist darin zuzustimmen, dass Art. 20 Abs. 1 lit. a DBG, welcher namentlich die Aktivzinsen zum Gegenstand hat, als Steuernorm mit wirtschaftlichen Anknüpfungspunkten qualifiziert (Urteil 2C_1145/2014 vom 1. Oktober 2015 E. 2.5). Erträge aus einem Schneeballsystem sind, nachdem eine Beteiligung im Sinne von Art. 20 Abs. 1 lit. b DBG nicht ersichtlich ist, wie Aktivzinsen zu behandeln. Dies erschliesst den Anwendungsbereich der wirtschaftlichen Betrachtungsweise, insbesondere insofern, als die Norm "wirtschaftlich" auszulegen ist. Zum selben Ergebnis ist das Bundesgericht bereits unter Herrschaft von Art. 21 Abs. 1 lit. c BdBSt gelangt. Dieser stimmt, was den Zins betrifft, inhaltlich mit Art. 20 Abs. 1 lit. a DBG weitgehend überein. Ebenso wirtschaftlich zu würdigen ist der Begriff der Schuldzinsen oder Passivzinsen (Urteil 2C_142/2014 vom 13. April 2015 E. 2.3.1; YVES NOËL, in: Danielle Yersin/Yves Noël [Hrsg.], Commentaire romand, LIFD, 2008, N. 12 zu Art. 20 DBG [Aktivzinsen] und N. 7 zu Art. 33 DBG [Passivzinsen]), was hier aber von keiner Bedeutung ist.
3.2.4. Vorliegend führt die wirtschaftliche Betrachtung, welcher Art. 20 Abs. 1 lit. a DBG unstreitig zu unterziehen ist, aber zu keinem anderen Schluss, als wenn eine zivilrechtliche Betrachtungsweise anzuwenden wäre. Massgebend ist zum einen, ob Gutschrift und Auszahlung eines Zinses realisationsrechtlich dieselbe Bedeutung zukommt, zum andern, ob der Vermögenszugang neutralisiert worden sei. Im ersten Punkt herrscht Gleichwertigkeit, sofern im Zeitpunkt der Gutschrift alternativ eine Auszahlung möglich wäre (was durch den Quervergleich mit anderen Investorinnen und Investoren zu beurteilen ist; hinten E. 3.3.4). Bezüglich des zweiten Punktes stellt sich die Frage nach dem Vorliegen eines zivilrechtlichen Neutralisierungsgrundes (hinten E. 3.3.2 und 3.3.3 sowie 3.5.2). Aus dem blossen Umstand, dass Art. 20 Abs. 1 lit. a DBG wirtschaftlich gehalten ist, können die Erben mithin bei der gegebenen Sachlage für sich nichts ableiten.
3.3.
3.3.1. Das Bundesgericht hat sich in der jüngeren Vergangenheit verschiedentlich zur Besteuerung von Einlagen in ein betrügerisches Anlagesystem mit Schneeballcharakter (dazu Urteil 6B_81/2013 vom 5. September 2013 E. 2.2; zit. Urteil 2C_94/2010 E. 2.1) ausgesprochen. Demnach haben die ausbezahlten, aus einem betrügerischem Anlagesystem mit Schneeballcharakter stammenden Vermögenserträge steuerrechtlich grundsätzlich als realisiert zu gelten (zit. Urteile 2C_776/2012 / 2C_777/2012 E. 3.2; 2C_351/2010 E. 5.1 und 5.2). Dies trifft jedenfalls solange und soweit zu, als die Erträge aus beweglichem Vermögen später durch eine Rückerstattungspflicht nicht neutralisiert werden (vorne E. 2.2.3, 2.2.4; Urteile 2C_776/2012 / 2C_777/2012 [zit.] E. 3.3; 2C_351/2010 [zit.] E. 5.1).
3.3.2. Neutralisierende Wirkung kommt praxisgemäss insbesondere den paulianischen Tatbeständen zu. Bei diesen handelt es sich einerseits um die der einjährigen Frist unterliegende Schenkungs- (Art. 286 SchKG [SR 281.1]) und die Überschuldungsanfechtung (Art. 287 SchKG), anderseits um die Absichts- oder Deliktsanfechtung, die eine fünfjährige Frist kennt (Art. 288 SchKG; zit. Urteile 2C_776/2012 / 2C_777/2012 E. 3.3; 2C_351/2010 E. 4.1 und 4.3). Bis Klarheit hergestellt ist, ob die aktivlegitimierte Konkursmasse Ansprüche gegenüber den passivlegitimierten Investorinnen und Investoren erheben werde, herrscht ein schwebender Zustand (vorne E. 2.2.3 und 2.3.4). Insbesondere die Absichts- oder Deliktsanfechtung ist indes an strenge Voraussetzungen gebunden, die im Fall der dem Vermögensverwalter nicht nahestehenden Investorinnen und Investoren nur ausnahmsweise erfüllt sein dürften. Verlangt werden die Tatbestandselemente Gläubigerschädigung, Schädigungsabsicht und Erkennbarkeit (letzteres auf Seiten des begünstigten Dritten; BGE 137 III 268 E. 4 S. 282). Die dem Vermögensverwalter fernstehenden Anlegerinnen und Anleger dürften durch diesen kaum je begünstigt werden, und wenn, dann wird dies für sie mangels Überblicks über die Finanzlage nicht erkennbar sein. Da sie mithin in aller Regel nicht passivlegitimiert sind, findet die fünfjährige Anfechtungsfrist auf sie höchstens ausnahmsweise Anwendung (dazu auch MARKUS REICH, Rückerstattung von übersetzten Boni und anderen Lohnzahlungen, in: ASA 80 S. 109 ff., insb. 121 und Fn. 43).
3.3.3. Ähnliche Unsicherheit besteht, falls Ansprüche aus ungerechtfertigter Bereicherung (Art. 62 ff. OR; einjährige Frist gemäss Art. 67 Abs. 1 OR) oder aktienrechtlicher Rückerstattungspflicht (Art. 678 OR; fünfjährige Frist gemäss Art. 678 Abs. 4 OR) drohen (Urteil 2C_776/2012 / 2C_777/2012 [zit.] E. 3.3). Auch gesellschaftsrechtlich greift der Kreis der Passivlegitimierten aber nicht derart weit, dass dem Vermögensverwalter fernstehende Investorinnen und Investoren erfasst werden. Ansprüche aus Art. 678 OR können ausschliesslich gegenüber Aktionären, Mitgliedern des Verwaltungsrates sowie diesen nahe stehenden Personen erhoben werden (Art. 678 Abs. 1 OR). Unabhängige Dritte, die lediglich in die Gesellschaft investiert haben, fallen nicht darunter. Massgeblich auf einen paulianischen oder schuldrechtlichen Rechtsbehelf abzustellen, rechtfertigt sich ohnehin nur dort, wo die Auszahlung tatsächlich erfolgt und die vermögensverwaltende Gesellschaft gepfändet wird oder in Konkurs gefallen ist. Im Konkursfall steht der Masse keine andere Möglichkeit zu, die zu Unrecht ausbezahlten Mittel zurückzufordern.
3.3.4. Anders verhält es sich aber bei Forderungen, die nicht ausbezahlt, sondern erst gutgeschrieben wurden. Hier gilt eine andere Optik: Von einer den Vermögenszugang neutralisierenden Unsicherheit ist solange nicht auszugehen, als die Erträge jenen Anlegerinnen und Anlegern, die dies wünschen, tatsächlich noch ausbezahlt werden. Unter diesen Vorzeichen ist grundsätzlich anzunehmen, dass in den übrigen Fällen eine Auszahlung ebenfalls (noch) möglich gewesen wäre. Dabei greift eine individuelle, auf den konkreten Anleger, die konkrete Forderung und den konkreten Zeitpunkt der Fälligkeit ausgerichtete Betrachtungsweise (vgl. zit. Urteile 2C_776/2012 / 2C_777/2012 E. 3.2; 2C_351/2010 E. 3; 2C_94/2010 E. 3.2; ferner Urteile 2A.613/2006 / 2A.614/2006 vom 8. August 2007 E. 3.1; 2P.208/2002 vom 6. Februar 2003 E. 2.2.2, in: StR 58/2003 S. 359; 2P.233/2002 vom 27. Januar 2003 E. 2.3, in: StE 2003 B 21.1 Nr. 11). In solchen Fällen darf somit nicht einzig darauf abgestellt werden, ob eine paulianische Anfechtung erfolgt sei. Denn diese setzt teilweise Verhaltensweisen voraus, die bei blosser Gutschrift noch ausstehen (Art. 286 SchKG), teilweise unterliegen sie Voraussetzungen, die nicht ohne weiteres gegeben sind (Art. 287 und 288 SchKG). Die steuerrechtlich entscheidende Frage, ob die Forderung hinreichend "sicher" war, ist daher unabhängig davon zu beantworten, ob die Gutschrift der Anfechtung unterliegen würde oder ob eine solche erfolgt ist.
3.4.
3.4.1. Die Vorinstanz stützt sich auf das Urteil 2C_776/2012 / 2C_777/2012 vom 19. Februar 2013 E. 3.2. Danach können die Anleger über ihren Anspruch auf den Vermögenszuwachs verfügen, entweder indem sie sich die ihnen bestätigten Erträge auszahlen oder sie aber für zusätzliche Anlagen im System stehen lassen. Auch in der Option für die Gutschrift liegt ein erkennbarer Verfügungswille der Investorinnen und Investoren. Das gilt zumindest dann, wenn die Ansprüche im fraglichen Zeitpunkt (noch) nicht unsicher sind. Von "sicheren" Ansprüchen in diesem Sinne ist auszugehen, sofern der Vermögensverwalter der Aufforderung (anderer) Investorinnen und Investoren auf Auszahlung in einem bestimmten Zeitpunkt nachkommt und keine Anhaltspunkte dafür vorliegen, dass es sich im Fall jener Investorinnen und Investoren, welche die Gutschrift der Auszahlung vorziehen, anders verhielte. Dann gilt auch die Gutschrift als realisiert, soweit sie nicht neutralisiert wird (vorne E. 3.3.1).
3.4.2. Die wohl einhellige Doktrin hat sich im Gegensatz dazu für eine Gesamtbetrachtung ausgesprochen, die alle Anlegerinnen und Anleger erfasst (so namentlich ROBERT WALDBURGER, Rechtsprechung im Jahr 2001, in: FStR 2002 S. 138 ff., insb. 141; MARKUS REICH, Entwicklungen im Steuerrecht, in: SJZ 98/2002 S. 257 ff., insb. 260 f.; MADELEINE SIMONEK, Die steuerrechtliche Rechtsprechung des Bundesgerichts im Jahre 2001 - Direkte Bundessteuer, in: ASA 72 S. 1 ff., insb. 12; BERNHARD F. SCHÄRER, Einkommensrealisation in Schneeballsystemen bei paulianischer Anfechtung, in: Zsis 2011, Best Case Nr. 6, Ziff. 3.4.2). Wenn aber der konkrete Anleger, die konkrete Forderung und der konkrete Zeitpunkt der Fälligkeit massgebend sind, heisst dies nicht, dass keine Gesamtschau anzustellen wäre. Eine solche ist aber nicht durchwegs möglich. Sie erweist sich beispielsweise dann als ausgeschlossen, wenn der Vermögensverwalter im Ausland ansässig ist, weshalb auf die Daten nicht oder nur erschwert zugegriffen werden kann. Sie steht aber auch einer zeitnahen Veranlagung entgegen. Wäre mit den genannten Stimmen zu verlangen, dass zunächst eine Gesamtschau angestellt wird, vermöchte dies die Veranlagung über Jahre zu blockieren.
3.5.
3.5.1. Zusammenfassend ergibt sich - insoweit entgegen der Auffassung der Erben - folgendes: Der blosse Umstand, dass der Ertrag im Rahmen eines rechtswidrigen "Schneeballsystems" anfällt, stellt für sich allein keinen Grund dar, die steuerrechtliche Realisation zu verneinen. Auch in einem betrügerischen Anlagesystem erworbenes Einkommen ist steuerbar, und zwar ungeachtet dessen, ob strafbares Verhalten nur seitens des Vermögensverwalters oder auch seitens der Investoren vorliegt. Im System der allgemeinen Einkommenssteuer (Art. 128 und 129 BV), aber auch der allgemeinen Verbrauchssteuer (Art. 130 Abs. 1 BV) bleibt für moralisch-sittliche Wertungen grundsätzlich kein Raum (sog. "Wertneutralität des Steuerrechts"; ausführlich dazu ANDREA OPEL, Ist Besteuerung von Unrecht rechtens?, in: ASA 84 S. 187 ff., insb. 189 ff.). Das Steuerrecht ist insoweit "moralisch wertindifferent" (dazu Urteil 2C_616/2016 / 2C_617/2016 vom 3. November 2016 E. 2.2.6, mit zahlreichen Hinweisen).
3.5.2. Umgekehrt ist - dies entgegen der Vorinstanz - folgendes festzustellen: In jenen Fällen, in denen eine Gutschrift gewünscht wurde und eine Auszahlung daher unterblieb, darf aus dem blossen Umstand, dass keine Anfechtungsklage erhoben wurde, noch nicht auf die Realisation des Ertrags geschlossen werden. In einem ersten Schritt ist nach der dargestellten bundesgerichtlichen Praxis zu prüfen, ob der Ertrag überhaupt ausbezahlt worden wäre, falls der Investor die Auszahlung verlangt hätte. Ist dies zu verneinen, kann die Gutschrift von vornherein nicht als realisiertes Einkommen qualifiziert werden. Erscheint es hingegen als gegeben, dass der Bezug möglich gewesen wäre, ist zu klären, ob eine Anfechtungsklage erhoben wurde.
3.6.
3.6.1. Nach den für das Bundesgericht verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.2.4) tätigte der Erblasser in den Jahren 2002 und 2003 bei der X._ GmbH wiederholt Anlagen, die sich später als betrügerisches Anlagesystem mit Schneeballcharakter erwiesen. Der Erblasser bevorzugte Gutschriften, was bedeutete, dass er die erzielten Erträge "stehen liess" und auf den Bezug verzichtete. Das Nachsteuerverfahren gründet darauf, dass der Erblasser in den Steuererklärungen 2002 und 2003 weder das investierte Vermögen noch die gutgeschriebenen Erträge deklarierte.
3.6.2. Es ist allseits anerkannt, dass es sich bei den Gutschriften um solche im Sinne der bundesgerichtlichen Rechtsprechung handelt (vorne E. 2.2.2). Praxisgemäss ist in einem ersten Schritt zu klären, ob es im Zeitpunkt, als dem Erblasser die streitbetroffenen Erträge gutgeschrieben wurden, noch zu Auszahlungen (an andere Investorinnen und Investoren) gekommen ist. Dies ist der Fall: Wie die Vorinstanz unbestritten und daher für das Bundesgericht verbindlich feststellte, kam es selbst im November 2003 noch zu Auszahlungen. Wie dargelegt, ist grundsätzlich (nur) der konkrete Anleger, die konkrete Forderung und der konkrete Zeitpunkt der Fälligkeit zu betrachten, wobei angenommen werden kann, dass auch dieser die Auszahlung (anstelle der Gutschrift) hätte verlangen können, sofern andere Investorinnen und Investoren in diesem Zeitpunkt Leistungen vereinnahmen konnten (vorne E. 3.3.4). Darauf, ob es tatsächlich zur Auszahlung an die streitbetroffene steuerpflichtige Person gekommen wäre, kommt es nicht an. Die Vorinstanz hat hierzu im Übrigen auch gar keine Abklärungen getroffen. Dies ist, wie zu zeigen bleibt, nicht zu beanstanden.
3.6.3. Mithin ist insoweit davon auszugehen, dass der Erblasser Gutschriften erlangte, als andere Anlegerinnen und Anleger (noch) erfolgreich Auszahlungen verlangen konnten. Die Erben bringen nicht vor, dass es sich in ihrem Fall anders verhalten hätte, wenn sie die Auszahlung verlangt hätten. Die Gutschriften haben deshalb steuerrechtlich - unter Vorbehalt des Nachfolgenden - als realisiert zu gelten. Der Bonität des Vermögensverwalters ist, zumindest unter den gegebenen Umständen, nicht weiter nachzugehen. Vielmehr ist zu prüfen, ob es zur Anfechtung der Auszahlungen (und gegebenenfalls der Gutschriften) gekommen ist. Schritte, die auf die Rückerstattung der Auszahlung bzw. auf die Stornierung der Gutschriften gerichtet sind, könnten insbesondere in einer paulianischen oder einer gesellschaftsrechtlichen Anfechtung bestehen (vorne E. 3.3.2, 3.3.3). Aus dem öffentlich zugänglichen Handelsregister, das vom Bundesgericht von Amtes wegen berücksichtigt werden kann (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 139 II 404 E. 7.3.3 S. 431; Urteil 2C_814/2013 vom 3. März 2014 E. 2.4.6, in: ASA 82 S. 658), ergibt sich, dass die X._ GmbH am 17. Dezember 2003 durch die Eidgenössische Bankenkommission aufgelöst wurde, am 24. März 2005 in Konkurs fiel und am 21. März 2013 von Amtes wegen gelöscht wurde (vorne lit. A).
3.6.4. Paulianische oder andersartige Anfechtungsklagen sind unterblieben, zumal sie den streitbetroffenen Fall in keinem andern Licht erscheinen lassen könnten. Die Schenkungs- und Überschuldungsanfechtung unterliegen lediglich Rechtshandlungen, die innerhalb eines Jahres vor der Pfändung oder Konkurseröffnung erfolgten (Art. 286 Abs. 1 und Art. 287 Abs. 1 SchKG). Der Fristenlauf hätte mithin erst am 25. März 2004 eingesetzt. Die Voraussetzungen der Deliktspauliana waren nicht erfüllt (vorne E. 3.3.2), ebenso wenig wie jene der gesellschaftsrechtlichen Anfechtung (vorne E. 3.3.3). Die Erben machen freilich geltend, die Gutschrift sei durch eine Rückerstattungspflicht aus ungerechtfertigter Bereicherung belastet gewesen, wodurch sie neutralisiert worden sei. Aus den von ihnen erwähnten Unterlagen ergibt sich aber nicht, dass die X._ GmbH oder ihre Konkursverwaltung Ansprüche aus ungerechtfertigter Bereicherung geltend gemacht hätte. Dies alles führt zum Schluss, dass die Gutschriften mit keinem Neutralisierungsgrund belastet waren und daher steuerrechtlich realisiert worden sind.
3.6.5. Nichts daran ändert, dass die damalige Eidgenössische Bankenkommission die X._ GmbH am 17. Dezember 2003 auflöste. Die altrechtliche bankenrechtliche Liquidation (Art. 23quinquies des seinerzeitigen Bundesgesetzes vom 8. November 1934 über die Banken und Sparkassen [BankG; ehemals SR 952.0]) kommt in ihren Wirkungen der betreibungsrechtlichen Konkurseröffnung zwar zumindest nahe. Im einen wie im andern Fall verliert das betroffene Institut die Verfügungsbefugnis. Mit der bankenrechtlichen Liquidation geht insbesondere das Verbot weiterer Auszahlungen einher, was aber nicht heisst, dass die zivilrechtlichen Verpflichtungen des Instituts aufgehoben wären (Urteil 2P.208/2002 vom 6. Februar 2003 E. 3.3.2.2). Gegenteils bestehen diese weiter. Dies ist aber letztlich von keiner Bedeutung. Soweit es im Nachgang zur Konkurseröffnung oder bankenrechtlichen Liquidation tatsächlich zu einem Teil- oder Totalausfall der Gutschrift kommen sollte, handelt es sich, da der Wertzuwachs zuvor realisiert worden war, um einen privaten Kapitalverlust. Ob eingelegtes Kapital - der Erblasser investierte in den Jahren 2002 und 2003 anlässlich verschiedener Einlagen insgesamt Fr. 370'000.-- (vorne lit. A) - oder die Früchte dieser Einlagen verloren gehen, ist steuerrechtlich bedeutungslos. Ein Kapitalverlust im Privatvermögensbereich bleibt mangels anderslautender gesetzlicher Bestimmung so oder anders unbeachtlich (vorne E. 2.2.1).
3.7.
3.7.1. Die Erben berufen sich auf eine "Kulanzregelung", welche die deutschen Steuerbehörden entwickelt haben sollen. Für eine solche bleibt vorliegend freilich kein Raum: Das Recht bildet Grundlage und Schranke jedes staatlichen Handelns (Art. 5 Abs. 1 BV). Im Abgaberecht ist der Gesetzmässigkeitsgrundsatz besonders streng ausgebildet (Art. 127 Abs. 1 BV). Damit verbindet der Verfassungsgeber die Absicht, zu verhindern, dass den rechtsanwendenden Behörden ein übermässiger Spielraum verbleibt, und sicherzustellen, dass die möglichen Abgabepflichten absehbar und rechtsgleich sind (zum Ganzen BGE 142 II 182 E. 2.2, mit zahlreichen Hinweisen).
3.7.2. Wenngleich in Art. 127 Abs. 1 bzw. Art. 164 Abs. 1 lit. d BV nicht ausdrücklich erwähnt, unterliegen Befreiungen und Ausnahmen von der Besteuerung denselben Anforderungen an die Gesetzmässigkeit (Urteile 2C_8/2016 vom 17. Oktober 2016 E. 4.5, zur Publ. vorgesehen; 2C_334/2014 vom 9. Juli 2015 E. 2.4.3, in: ASA 84 S. 252; 2C_858/2014 vom 17. Februar 2015 E. 2.1, in: ASA 84 S. 234). Das Abweichen von einem abgaberechtlichen Tatbestand kann mithin nicht im Ermessen der Veranlagungsbehörde liegen. Von einem Tatbestand darf (und muss) diese aber abweichen, sofern die Ausnahme oder Befreiung über eine hinreichende gesetzliche Grundlage verfügt. Eine solche ist hier nicht ersichtlich, sodass es bei der objektiven Steuerpflicht bleibt, wie sie sich aus Art. 16 Abs. 1 bzw. Art. 20 Abs. 1 lit. a DBG ergibt (vorne E. 2.2.1 und 3.2.3).
3.8. Die vorinstanzliche Auslegung und Anwendung des Bundesrechts, insbesondere von Art. 16 Abs. 1 und Art. 20 Abs. 1 lit. a DBG, erweist sich damit als bundesrechtskonform. Die Beschwerde ist daher unbegründet und abzuweisen.
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn
4.
Art. 7 Abs. 1 StHG und damit auch § 21 Abs. 1 bzw. § 26 Abs. 1 lit. a des Gesetzes (des Kantons Solothurn) vom 1. Dezember 1985 über die Staats- und Gemeindesteuern (StG/SO; BGS 614.11) entsprechen den massgebenden Bestimmungen zur direkten Bundessteuer. Es kann damit in allen Teilen auf das Dargelegte verwiesen werden. Dementsprechend ist die Beschwerde auch hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn abzuweisen.
IV. Kosten und Entschädigung
5.
5.1. Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 65 i. V. m. Art. 66 Abs. 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens den Erben aufzuerlegen. Diese tragen die Kosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 5 BGG).
5.2. Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_342/2016 (Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn, Nachsteuer 2002 und 2003) und 2C_343/2016 (direkte Bundessteuer, Nachsteuer 2002 und 2003) werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_343/2016 wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_342/2016 wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Sie tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher