Faits :
A.
A.a. Z._ SA (l'employeuse ou la société), sise à..., qui avait originellement pour but social l'exploitation d'un atelier technique pour travaux d'imprimerie, notamment de photolitho, a modifié son but statutaire le 15 février 2011 en ce sens que ladite société vise désormais l'exploitation d'une agence de communication, de publicité et de gestion de média en se chargeant notamment de la conception d'imprimés, de la création de sites internet et du développement de logiciels. Il a été constaté que la réorientation de l'activité de la société est en réalité survenue antérieurement, soit dès juillet 2009, époque où elle a racheté les actifs d'une société tierce spécialisée dans le consulting, la vente et la création de logiciels informatiques. A._ est administrateur-président de l'employeuse.
Du 1er avril 2010 au 30 novembre 2010, X._ (le travailleur) a collaboré avec la société en qualité d'indépendant; son activité, qui lui procurait une rémunération de l'ordre de 10'500 fr. nets par mois, consistait singulièrement à élaborer un projet de géolocalisation d'envois publicitaires.
Par contrat de travail du 10 décembre 2010, l'employeuse a engagé dès le 1er décembre 2010 à plein temps le travailleur en qualité de " R&D (research and development) New Media, chef de projet senior " pour un salaire brut de 6'000 fr. par mois, versé douze fois l'an, auquel s'ajoutaient diverses commissions, une voiture de fonction et 400 fr. de frais mensuels; selon l'accord, il n'y avait pas de période d'essai et le délai de congé était de quatre mois.
A.b. La société M._ Sàrl (ci-après: la société M._), dont le siège est à... (FR), a été inscrite au registre du commerce le 22 février 2011. Elle a pour but d'offrir des services d'ingénierie et d'analyse au travers d'études stratégiques et d'aide à la décision, la conception et l'insertion de projets jusqu'aux phases de commercialisation ainsi que l'évaluation de l'impact de projets dans ses aspects sociaux et environnementaux. Le travailleur et B._, qui était alors également un employé de Z._ SA, en ont été les associés gérants avec signature collective à deux; à partir du 9 octobre 2012, seul le travailleur est demeuré associé gérant avec signature individuelle. Il a été constaté que X._ a sollicité le soutien financier de B._ pour créer la société précitée et qu'il était prévu que ce dernier n'y travaillerait pas, X._ devant à terme racheter les parts de B._.
Par convention du 24 février 2011, N._ SA et la société M._ sont convenues de la création d'un salon à Genève sur le thème du bébé et de la petite enfance. En préambule, il était précisé que l'accord était conclu avec la société M._ eu égard à X._, dont les compétences personnelles étaient essentielles pour N._ SA. L'art. 2 de la convention, qui énumérait les prestations à fournir par la société M._, mentionnait en particulier les postes " Catalogue (autofinancé) " (art. 2.3), " Presse et Média " (art. 2.4, recte : 2.5)) et " Information- coordination " (art. 2.5, recte : 2.6).
La société M._ a sous-traité la création du site internet du salon à l'employeuse. Le 16 mai 2011, celle-ci a transmis dans ce cadre à la société M._ une facture d'un montant de 6'847 fr.20, qui a été adressée à une personne dénommée C._.
A.c. Le 7 juillet 2011, l'employeuse a résilié le contrat de travail qui la liait à X._ pour le 30 novembre 2011; elle a fait valoir que la conjoncture économique ne permettait plus de continuer la collaboration avec le prénommé.
Dans la seconde moitié du mois d'août 2011, A._ a découvert, en consultant le registre du commerce, que X._ et B._ étaient actifs au sein de la société M._. Il a alors interrogé son employé B._, qui lui a confirmé l'existence de la société M._. Le secrétariat de l'employeuse a ensuite informé A._ que la société M._ avait sous-traité un mandat à l'employeuse.
Par plis recommandés du jeudi 25 août 2011, l'employeuse a résilié avec effet immédiat les contrats de travail qui la liaient à X._ et B._. La lettre de congé adressée au travailleur, signée par A._ au nom de l'employeuse, est notamment rédigée comme il suit:
" Monsieur,
Nous vous avons licencié fin juillet 2011 avec dédit à fin novembre 2011.
Fin de semaine passée, j'ai découvert avec stupeur que vous aviez créé en 2011 une société concurrente de Z._ et que vous agissiez ainsi, à l'encontre de vos obligations envers Z._ et qu'il s'agit d'une pure trahison.
Après vérifications et contrôles, cette société nous fait clairement concurrence et ceci n'est pas admissible.
Si vous restez plus longtemps dans notre société, vous pourriez encore aggraver la trahison envers Z._ en utilisant nos fichiers clients pour votre propre société, si ce n'est peut-être pas déjà fait.
En effet, il semblerait que vous ayez décroché un mandat de N._ SA qui est un client ou prospect de Z._ et que vous ayez transféré celui-ci dans votre propre société alors que ce mandat revenait clairement à Z._.
Vous êtes employé à 100% et n'avez aucunement le droit d'exercer une activité annexe sans notre accord.
Je tiens à vous dire que je suis extrêmement choqué pour (sic) votre attitude.
Au vu de ces éléments nouveaux, je vous licencie avec effet immédiat (...) ".
A.d. Le 16 mai 2013, le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne a classé la plainte pénale pour abus de confiance, tentative de contrainte et infraction à la LCD déposée le 25 novembre 2011 par l'employeuse contre B._ et le travailleur.
B.
Par demande du 1er mars 2012 adressée au Tribunal civil de l'arrondissement de Lausanne, X._ (demandeur) a ouvert action contre Z._ SA (défenderesse). Le demandeur a conclu en dernier lieu à ce que la défenderesse lui verse le montant net de 20'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 25 août 2011 à titre d'indemnité pour congé injustifié et le montant brut de 65'400 fr., dont à déduire les cotisations sociales, plus intérêts à 5% l'an dès le 25 août 2011 représentant les salaires, heures supplémentaires et indemnités de vacances qu'il aurait perçus si le contrat de travail avait pris fin à l'échéance contractuelle.
La défenderesse a conclu à libération.
Par jugement du 9 décembre 2015, le Tribunal civil a partiellement admis les conclusions de la demande en ce sens que la défenderesse a été déclarée débitrice du demandeur d'un montant net de 10'000 fr. avec intérêts à 5% l'an dès le 25 août 2011 et d'un montant brut de 59'400 fr., sous déduction des charges sociales usuelles, avec les mêmes intérêts.
Statuant sur l'appel de la défenderesse, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois, par arrêt du 3 août 2016, l'a admis et a entièrement débouté le demandeur.
C.
X._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt cantonal. Il conclut principalement à la réforme de cet arrêt en ce sens que le jugement de première instance est confirmé. Subsidiairement, le recourant requiert l'annulation de l'arrêt cantonal, la cause étant retournée à la Cour d'appel pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le recourant sollicite l'octroi de l'assistance judiciaire.
Des déterminations n'ont pas été requises.
Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté par le demandeur qui a entièrement succombé dans ses conclusions en paiement et qui a ainsi la qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF), dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur statuant sur recours (art. 75 LTF) dans une affaire pécuniaire de droit du travail dont la valeur litigieuse dépasse le seuil de 15'000 fr. de l'art. 74 al. 1 let. a LTF, le recours est par principe recevable, puisqu'il a été déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi.
1.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles concernant le déroulement de la procédure conduite devant l'instance précédente et en première instance, c'est-à-dire les constatations ayant trait aux faits procéduraux (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 et les références). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références).
1.3. Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral applique en principe d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 42 al. 2 LTF, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (ATF 140 III 86 consid. 2; 133 III 545 consid. 2.2; arrêt 4A_399/2008 du 12 novembre 2011 consid. 2.1 non publié in ATF 135 III 112). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (ATF 135 III 397 consid. 1.4).
2.
Dans l'arrêt déféré, la cour cantonale a jugé que le demandeur a gravement violé son devoir de fidélité envers la défenderesse en créant la société M._, société concurrente de l'employeuse, et en concluant pour la société M._ un contrat avec N._ SA le 24 février 2011, de sorte que le congé abrupt, qui lui a été signifié le 25 août 2011, est justifié. Elle a considéré que la défenderesse, qui avait donné le congé immédiat au demandeur six jours, week-end compris, après la découverte du motif de licenciement sans délai, n'avait pas tardé. En effet, les buts statutaires de l'employeuse et de la société M._ n'étaient pas absolument analogues et ne permettaient pas à eux seuls de constater une violation du devoir de fidélité. La défenderesse a ainsi été obligée de procéder à des vérifications supplémentaires (interrogation de l'employé B._) qui l'ont amenée à réaliser que la société M._ l'avait mandatée pour effectuer un travail de sous-traitance pour N._ SA, alors qu'il aurait été plus intéressant sur le plan économique pour l'employeuse de traiter directement avec N._ SA.
3.
Invoquant une violation de la maxime des débats (art. 55 CPC), le recourant fait tout d'abord valoir que l'autorité cantonale a retenu à tort que le délai de réflexion de l'intimée, avant de signifier le congé abrupt, a été de six jours. Il prétend notamment que n'a jamais été alléguée la date à laquelle l'administrateur-président A._ a eu connaissance que la société M._ avait recouru aux services de l'intimée, ni celle à laquelle le précité a su que le demandeur déployait une activité pour la société M._.
3.1. Sous l'empire de la maxime des débats (art. 55 al. 1 CPC), qui réglemente les rôles respectifs du juge et des parties dans le rassemblement des faits, la personne de l'allégant importe peu, puisqu'il suffit que les faits fassent partie du cadre du procès pour que le juge puisse en tenir compte (arrêts 4A_268/2016 du 14 décembre 2016 consid. 4.1; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Tome I, 2e éd. 2016, ch. 1291-1292).
3.2. L'allégué 10 de la demande du 1er mars 2012 a le libellé suivant: " A l'appui, la défenderesse a invoqué qu'elle avait découvert << fin de semaine passée >> (soit au plus tard le vendredi 19 août 2011) que le demandeur avait créé en 2011 << une société concurrente de Z._...>>. " Le demandeur a offert de prouver cet allégué par la pièce 6, qui est la lettre de congé immédiat que lui a envoyée le 25 août 2011 la défenderesse.
Il apparaît ainsi que la date où la défenderesse a eu vent de l'existence de la société M._ et du rôle qu'y joue le demandeur faisait partie du cadre du procès. Il s'agissait du 19 août 2011.
En retenant, au considérant 5.3 de l'arrêt cantonal, que le congé abrupt du 25 août 2011 a été donné " six jours, week-end compris " après la découverte du motif invoqué à son appui, la cour cantonale n'a pas fondé son jugement sur d'autres faits que ceux que les parties ont allégués régulièrement et en temps utile.
Le moyen n'a aucune consistance.
4.
Le recourant invoque ensuite la tardiveté du congé immédiat. Il affirme que l'intimée ne se trouvait pas dans la situation d'une personne morale pouvant se prévaloir d'un processus de formation de la volonté pour bénéficier d'un délai de réflexion de six jours. L'intimée n'a pas dû non plus procéder à d'importantes recherches dans sa comptabilité ou ses dossiers, circonstances particulières qui auraient permis de lui accorder un délai de réflexion supplémentaire.
4.1. L'art. 337 al. 1, 1e phrase, CO autorise l'employeur comme le travailleur à résilier immédiatement le contrat en tout temps pour de justes motifs.
Selon la jurisprudence, la partie qui veut résilier le contrat avec effet immédiat doit agir sans tarder à compter du moment où elle a connaissance d'un juste motif de licenciement, sous peine d'être déchue du droit de s'en prévaloir. Si elle tarde à agir, elle donne à penser qu'elle a renoncé au licenciement immédiat, respectivement qu'elle peut s'accommoder de la continuation des rapports de travail jusqu'à l'échéance ordinaire du contrat (ATF 138 I 113 consid. 6.3.1; 127 III 310 consid. 4b p. 315; arrêt 4A_251/2015 du 6 janvier 2016 consid. 3.2.2, in SJ 2016 I p. 421).
Les circonstances du cas concret déterminent le laps de temps dans lequel l'on peut raisonnablement attendre de l'intéressé qu'il prenne la décision de résilier le contrat immédiatement. De manière générale, la jurisprudence considère qu'un délai de réflexion de deux à trois jours ouvrables est suffisant pour réfléchir et prendre des renseignements juridiques (ATF 138 I 113 consid. 6.3.2 et les arrêts cités; 130 III 28 consid. 4.4 p. 34), étant précisé que les week-ends et jours fériés ne sont pas pris en considération (ATF 93 II 18; arrêt 4C.178/2002 du 13 septembre 2002 consid. 2.1).
Il sied de surcroît de distinguer selon que l'état de fait est clair ou qu'il appelle des éclaircissements. Dans ce dernier cas, il faut tenir compte du temps nécessaire pour élucider les faits, étant précisé que l'employeur qui soupçonne concrètement l'existence d'un juste motif doit prendre immédiatement et sans discontinuer toutes les mesures qu'on peut raisonnablement exiger de lui pour clarifier la situation (ATF 138 I 113 consid. 6.3.3; arrêt 4A_251/2015 du 6 janvier 2016 déjà cité, ibidem). Compte tenu des conséquences importantes de la résiliation immédiate, l'employeur doit pouvoir établir les faits avec soin, ou en tout cas d'une manière qui résiste à l'examen d'une procédure judiciaire, en veillant à ne pas attenter à la réputation du travailleur par une condamnation hâtive (ATF 138 I 113 consid. 6.2 p. 116).
4.2. En l'espèce, l'administrateur-président de l'intimée a appris le 19 août 2011, de par sa consultation du registre du commerce, que le recourant était actif, avec un autre employé, dans la société à but lucratif M._ que ces derniers ont créée le 22 février 2011. Pour vérifier le rôle joué par le demandeur au sein de cette société, il a dû interroger son employé d'alors B._, qui lui a appris qu'il n'avait apporté au premier qu'un soutien financier et qu'il était prévu que seul celui-ci travaillerait pour la société M._. Continuant ses investigations, l'administrateur-président a eu connaissance que la société M._ avait sous-traité à l'intimée un mandat que lui avait donné N._ SA, laquelle était un de ses clients potentiels (prospect).
Dans ces circonstances où l'intimée devait se forger une conviction sur la réalité des faits découverts, il n'apparaît aucunement qu'un délai de réflexion comportant quatre jours ouvrables (après déduction du week-end des 20 et 21 août 2011) doive être considéré comme trop long.
Le moyen est infondé.
5.
Le recourant soutient que l'intimée ne peut pas se prévaloir de justes motifs de licenciement immédiat au sens de l'art. 337 CO. Il affirme que la société qu'il a créée (i. e. M._) est active dans l'organisation de salons sur les thèmes du bébé et de la petite enfance, qui ne sont pas des " thèmes de prédilection " de l'employeuse, et qu'il n'est pas établi que la société M._ a détourné un client potentiel de la défenderesse. Il conteste avoir violé son devoir de fidélité, arguant qu'il n'a pas été engagé par l'employeuse pour étendre ses activités à l'organisation de salons. La création du site internet du salon organisé à Genève avec N._ SA a de toute manière été confiée à la défenderesse, qui a ainsi obtenu un mandat qu'elle n'aurait pas pu décrocher directement.
5.1. Doivent notamment être considérées comme de justes motifs, permettant à l'employeur et au travailleur de résilier immédiatement le contrat en tout temps (art. 337 al. 1, 1e phrase, CO), toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (art. 337 al. 2 CO).
Selon la jurisprudence, la résiliation immédiate pour justes motifs doit être admise de manière restrictive. Les faits invoqués à l'appui d'un renvoi immédiat doivent avoir entraîné la perte du rapport de confiance qui constitue le fondement du contrat de travail. Seul un manquement particulièrement grave du travailleur justifie son licenciement immédiat; si le manquement est moins grave, il ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement. Par manquement du travailleur, on entend en règle générale la violation d'une obligation découlant du contrat de travail, mais d'autres incidents peuvent aussi justifier une résiliation immédiate (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 31 et les arrêts cités).
En particulier, un manquement au devoir de fidélité du travailleur peut constituer un juste motif de congé. En vertu de l'art. 321a al. 1 CO, le travailleur doit sauvegarder fidèlement les intérêts légitimes de son employeur: il doit s'abstenir d'entreprendre tout ce qui pourrait lui nuire économiquement (ATF 140 V 521 consid. 7.2.1 p. 534; 117 II 560 consid. 3a p. 561). Il ne doit pas faire concurrence à l'employeur pendant la durée du contrat (art. 321a al. 3 CO). L'obligation de fidélité complète l'obligation de travailler en ce sens qu'elle confère au travail un but, des objectifs: la défense des intérêts de l'employeur (ATF 140 V 521 consid. 7.2.1 ibidem).
Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (art. 337 al. 3 CO). Il applique les règles du droit et de l'équité (art. 4 CC). A cet effet, il prendra en considération tous les éléments du cas particulier, notamment la position et la responsabilité du travailleur, le type et la durée des rapports contractuels, ainsi que la nature et l'importance des manquements.
Le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'équité prise par la cour cantonale. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 130 III 28 consid. 4.1 p. 32, 213 consid. 3.1 p. 220 et les arrêts cités).
5.2. Il résulte de l'état de fait déterminant (art. 105 al. 1 LTF) que moins de trois mois après avoir conclu un contrat de travail avec la défenderesse le demandeur a créé sa propre société sans que l'employeuse en ait été avertie. Cette société M._, dont le demandeur et un autre employé de la défenderesse étaient alors les associés gérants avec signature collective à deux, a un but lucratif, son objectif principal étant la réalisation de bénéfices comme l'atteste son inscription au registre du commerce. Deux jours après sa création, la société M._ a conclu avec N._ SA une convention sur l'organisation d'un salon à Genève sur le thème du bébé et de la petite enfance. Puis la société M._ a sous-traité à la défenderesse la création du site internet de ce salon, tâche dont le recourant reconnaît qu'elle entrait en concurrence avec le nouveau domaine d'activité de l'employeuse.
L'employeuse ne savait pas que cette sous-traitance avait été organisée par deux de ses employés, dont le demandeur, lequel, engagé à plein temps, ne mettait ainsi pas toutes ses forces au service de l'employeuse, en violation crasse de son devoir de fidélité. Les associés gérants ont en outre mis en place pendant la durée des rapports de travail un véritable écran de fumée pour masquer leur activité économique au profit de la société M._; on en veut pour preuve que la défenderesse a été invitée à adresser sa facture de sous-traitante à un tiers dénommé C._ pour ne pas attirer l'attention de son secrétariat sur l'identité des mandants.
Le 7 juillet 2011, la défenderesse, toujours dans l'ignorance du rôle joué par le demandeur au sein de la société M._, l'a licencié pour le 30 novembre 2011 en ayant invoqué la mauvaise conjoncture économique.
Comme on l'a vu, la société a appris le 19 août 2011 que le recourant était actif au sein de la société M._ et que celle-ci lui avait sous-traité la conception d'un site internet.
On doit admettre avec la cour cantonale que le comportement déloyal du demandeur est particulièrement grave et qu'il a engendré une perte du rapport de confiance que présupposent les rapports de travail, à telle enseigne que l'on ne pouvait exiger de la défenderesse le maintien de ceux-ci durant les trois mois restants du délai de congé.
Le moyen est sans fondement.
6.
Il suit de là que le recours doit être rejeté aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 LTF).
Dès lors que le recours était d'emblée dénué de chances de succès, la requête d'assistance judiciaire du recourant doit être rejetée, sans qu'il soit nécessaire d'examiner si son indigence existe réellement.
Les frais judiciaires, arrêtés au montant de 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
L'intimée, qui n'a pas été invitée à déposer une réponse, n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 18 janvier 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet