Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ (geb. 1947) und B.A._ (geb. 1944; nachfolgend: die Steuerpflichtigen) haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/SO. Am 27. Juni 2017 ersuchten sie das Finanzdepartement des Kantons Solothurn um den Erlass der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn, Steuerperioden 2014 und 2015, ausmachend Fr. 1'572.95 und Fr. 3'607.25, sowie der direkten Bundessteuern, Steuerperiode 2015, von Fr. 154.65. Sie begründeten ihr Gesuch mit finanziellen Schwierigkeiten infolge ungenügenden Einkommens und aufgrund der Tilgung von Schulden. Mit Verfügung vom 3. Juli 2017 wies die Finanzdirektion das Gesuch ab. Sie war in ihrer Kontrollrechnung zu einem Freibetrag von rund Fr. 1'293.-- zugunsten der Steuerpflichtigen gelangt und hielt fest, die Schulden könnten nicht den ordentlichen Aufwendungen zugeschlagen werden.
1.2. Die Steuerpflichtigen erhoben Rekurs und Beschwerde an das Kantonale Steuergericht Solothurn. Dieses wies die beiden Rechtsmittel mit Entscheid SGSEK.2017.38 vom 6. November 2017 ab. Das Steuergericht gelangte, übereinstimmend mit der Finanzdirektion, zu einem Einnahmenüberschuss von Fr. 1'293.-- pro Monat. Einkommensseitig erhob es Einkünfte von Fr. 5'976.-- (Renten von Ehemann und Ehefrau aus erster und zweiter Säule). Dem stellte es den Grundbetrag gemäss den Ansätzen zur Berechnung des betreibungsrechtlichen Existenzminimums gegenüber, ausmachend Fr. 1'700.--, ferner den Mietzins von Fr. 1'550.--, die Prämien für die Krankenkasse (Grundversicherung) von Fr. 763.-- und eine Rückstellung für laufende Steuern von Fr. 670.--. Dies führte zu anrechenbaren Ausgaben von Fr. 4'683.--. Mit Blick darauf hielt das Steuergericht eine ratenweise Tilgung der Steuerausstände von insgesamt Fr. 5'195.85 für möglich und zumutbar. Zu keinem anderen Ergebnis könne der Umstand führen, so das Steuergericht, dass die Steuerpflichtigen weitere Schulden von rund Fr. 26'000.-- gebildet hätten und nun auch offene Zahnarztrechnungen von rund Fr. 930.-- aufwiesen. Denn es sei nicht Sinn und Zweck des Steuererlasses, zur Privilegierung der nicht-staatlichen Gläubiger beizutragen.
1.3. Mit Eingabe beim Bundesgericht vom 15. Dezember 2017 erheben die Steuerpflichtigen subsidiäre Verfassungsbeschwerde. Sie beantragen sinngemäss, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben.
1.4. Der Abteilungspräsident hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]).
2.
2.1. Die Eingabe ist als subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne von Art. 113 ff. BGG entgegenzunehmen, was sich aus Art. 83 lit. m BGG e contrarioergibt. Zu einer solchen ist (nur) berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheides hat (Art. 115 BGG).
2.2. Als Beschwerdegrund kann einzig die Verletzung von verfassungsmässigen Individualrechten gerügt werden (Art. 116 BGG), was bedeutet, dass die Beschwerde der qualifizierten Rüge- und Begründungsobliegenheit zu genügen hat (Art. 117 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, dass und inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372 zum gleichartigen Art. 106 Abs. 2 BGG). Auf bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am vorinstanzlichen Entscheid geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 118 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. Die Steuerpflichtigen legen in ihrer (Laien-) Beschwerde umfassend dar, aus welchen Gründen im Laufe der Zeit erhebliche Schulden entstanden sind. Entscheidend für das bundesgerichtliche Verfahren ist freilich, ob der angefochtene Entscheid verfassungsrechtlich haltbar sei, insbesondere mit Blick auf den Einnahmenüberschuss von knapp Fr. 1'300.-- pro Monat. Diesem Aspekt schenken die Steuerpflichtigen indes kaum Beachtung. Höchstens beiläufig und appellatorisch bringen sie vor, aus gesundheitlichen Gründen seien sie auf die Zusatzversicherung angewiesen. Sie lebten ausserordentlich sparsam und bemühten sich um weitere Einkünfte, vermöchten die angehäuften Schulden aber dennoch nicht abzubauen.
3.2. Liegt eine Laienbeschwerde vor, setzt das Bundesgericht die formellen Hürden zwar praxisgemäss niedriger an (Urteil 2D_42/2017 vom 28. September 2017 E. 2.4 mit Hinweisen). Ein Mindestmass an gesetzeskonformer Begründung ist aber auch in einem solchen Fall unerlässlich. Daran fehlt es hier, nachdem die alles entscheidende Frage auch nicht im Ansatz angesprochen wird. Die Vorbringen bleiben - mit Blick auf die zentrale Frage der Verfassungsmässigkeit - an der Oberfläche und erschöpfen sich in ausschliesslich appellatorischer Kritik. Dies genügt den gesetzlichen Anforderungen nicht. So zeigen die Steuerpflichtigen in keiner Weise auf, inwiefern die Vorinstanz bei ihrer Rechtsanwendung das allgemeine Gleichheitsgebot, das Willkürverbot oder andere verfassungsmässige Individualrechte verletzt haben könnte.
3.3. Im Übrigen ist zu berücksichtigen, dass das Steuerrecht des Kantons Solothurn keinen Rechtsanspruch auf Steuererlass kennt: § 182 Abs. 1 des Gesetzes (des Kantons Solothurn) vom 1. Dezember 1985 über die Staats- und Gemeindesteuern (StG/SO; BGS 614.11) ist weder anspruchsverleihend noch invidivualschützend ausgestaltet (Urteil 2D_46/2016 / 2D_47/2016 vom 22. November 2016 E. 2.2 mit Hinweisen). Dies schliesst die blosse Willkürrüge im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde von vornherein aus (Art. 116 BGG). Es müssten daher andere verfassungsmässige Individualrechte als verletzt angerufen werden. Wie es sich damit bei der direkten Bundessteuer verhält, muss nicht entschieden werden, da die Beschwerde auch diesbezüglich in keiner Form begründet ist, die den gesetzlichen Anforderungen genügt (auch dazu Urteil 2D_46/2016 / 2D_47/2016 vom 22. November 2016 E. 2.2).
3.4. Mit Blick auf die offensichtlich fehlende hinreichende Begründung ist auf die Beschwerde nicht einzutreten, was einzelrichterlich im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG geschehen kann.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens grundsätzlich den Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Angesichts der besonderen Umstände rechtfertigt es sich indes, vom Erheben der Gerichtskosten abzusehen (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2015, Steuererlass, wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn, Steuerperioden 2014 und 2015, Steuererlass, wird nicht eingetreten.
3.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Kantonalen Steuergericht Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Dezember 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher