Sachverhalt:
A.
A.a. A._ ist Willensvollstrecker im Nachlass des C._ sel. Akonto des Willensvollstreckerhonorars bezog er am 30. April 2007 Fr. 50'000.--, am 15. Juni 2007 Fr. 30'000.-- und am 17. Dezember 2011 Fr. 120'000.--.
A.b. Am 18. Juli 2015 wandte sich die Erbin B._ an das Bezirksgericht U._ und verlangte vom Willensvollstrecker die Rechnungslegung über mehrere Belastungen des Nachlassvermögens, namentlich über die drei Akonto-Bezüge. In der Folge legte der Willensvollstrecker teilweise Rechenschaft ab. Soweit nicht gegenstandslos geworden, verpflichtete ihn das Bezirksgericht U._ mit Verfügung vom 1. Juni 2016, "eine genaue Berechnung der Brutto-Nachlassaktiven, welche seinen drei Honorartranchen (sic), welche er mit Rechnung vom 30. April 2007 über Fr. 50'000.--, mit Rechnung vom 15. Juni 2007 über Fr. 30'000.-- und mit Rechnung vom 17. Dezember 2011 über Fr. 120'000.-- bezogen hat, vorzulegen." Es auferlegte dem Willensvollstrecker die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- und verpflichtete ihn, B._ mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
B.
B.a. Gegen dieses Urteil führte der Willensvollstrecker am 13. Juni 2016 beim Kantonsgericht Schwyz Berufung und beantragte, auf die Begehren der B._ sei nicht einzutreten.
B.b. Am 8. Dezember 2016 teilte der Willensvollstrecker dem Kantonsgericht mit, er habe nunmehr seinen definitiven Pauschalanspruch in der Höhe von 1.75% der Bruttonachlassaktiven, entsprechend Fr. 109'516.-- (inkl. Mwst) festgelegt, der zu viel bezogene Betrag von Fr. 90'484.-- werde als Forderung des Nachlasses anerkannt, die Berechnungsgrundlagen für die Akonto-Bezüge würden damit obsolet, weshalb auf die Beschwerde nicht hätte eingetreten werden dürfen und der Entscheid des Bezirksgerichts aufzuheben sei.
B.c. Mit Verfügung vom 23. Dezember 2016 schrieb das Kantonsgericht das Verfahren wegen Gegenstandslosigkeit ab. Es auferlegte dem Willensvollstrecker die Gerichtskosten von Fr. 800.-- und verpflichtete diesen, B._ eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
C.
Mit Eingabe vom 1. Februar 2017 führt A._ beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen. Er beantragt, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids sei auf die Beschwerde von B._ (Beschwerdegegnerin) vom 18. Juli 2015 nicht einzutreten; eventualiter seien die Kosten des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen und sie zur Leistung einer angemessenen Parteientschädigung zu verpflichten.
Das Bundesgericht hat die kantonalen Akten, hingegen keine Vernehmlassung eingeholt.
Erwägungen:
1.
Das angefochtene Urteil schreibt ein Verfahren der Aufsicht über einen Willensvollstrecker ab und betrifft damit eine öffentlich-rechtliche Sache in unmittelbarem Zusammenhang mit Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 5 BGG) in einer vermögensrechtlichen Angelegenheit, deren Streitwert die für die Beschwerde in Zivilsachen vorausgesetzte Mindestsumme von Fr. 30'000.-- übersteigt (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Es ist kantonal letzt- und oberinstanzlich (Art. 75 BGG), lautet zum Nachteil des Beschwerdeführers (Art. 76 Abs. 1 BGG) und schliesst das kantonale Verfahren ab (Art. 90 BGG). Die Beschwerde ist zudem innert Frist (Art. 100 Abs. 1 BGG) beim Bundesgericht eingetroffen. Insoweit ist die Beschwerde in Zivilsachen zulässig.
2.
2.1. Wird eine Person gerichtlich zu einer bestimmten Handlung verpflichtet und erfüllt er diese Pflicht, obwohl er die gerichtliche Anordnung angefochten hat, wird das Rechtsmittelverfahren gegenstandslos und es ist abzuschreiben (Art. 242 ZPO; vgl. Urteile 4A_667/2015 vom 22. Januar 2016 E. 1.1; 4D_79/2015 vom 22. Januar 2016 E. 2.1, je im Kontext eines Exmissionsverfahrens und mit weiteren Hinweisen).
2.2. Vorliegend hat das Bezirksgericht U._ den Beschwerdeführer angewiesen, über seine Akonto-Bezüge Rechenschaft abzulegen (Sachverhalt Bst. A.b). Dieser focht das bezirksgerichtliche Urteil an (Sachverhalt Bst. B.a) und wenige Monate später legte er die vom Bezirksgericht angeordnete Rechenschaft von sich aus ab (Sachverhalt Bst. B.b). Damit wurde das Rechtsmittelverfahren gegenstandslos und es war abzuschreiben.
2.3. Aus den vorstehenden Erwägungen ergibt sich sodann, dass dem Beschwerdeführer das Rechtsschutzinteresse am mit der Beschwerde an das Bundesgericht weiterhin beantragten Nichteintreten auf das Gesuch um Rechenschaftsablage vom 18. Juli 2015 bereits im Zeitpunkt der Beschwerdeeinreichung abging, weshalb insoweit auf die Beschwerde nicht eingetreten werden kann (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG; BGE 139 I 206 E. 1.1 S. 208; 140 III 92 E. 1.1 S. 93 f.).
3.
Der Beschwerdeführer beanstandet eventualiter den Kostenentscheid. Er beantragt, die Kosten der beiden kantonalen Verfahren seien der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen.
3.1. Ist ein Beschwerdeführer zur Anfechtung in der Sache selbst nicht mehr legitimiert oder hat er kein aktuelles Interesse mehr an der Anfechtung des Hauptsacheentscheids, kann er dennoch gegen den Kostenentscheid Beschwerde führen, soweit er durch diesen persönlich und unmittelbar in seinen Interessen betroffen wird (BGE 117 Ia 251 E. 1.b S. 255; Urteile 4A_667/2015 vom 22. Januar 2016 E. 2.1; 4D_79/2015 vom 22. Januar 2016 E. 3.1, je m.w.H.). Die Belastung mit Kosten verschafft ihm indes keine Möglichkeit, indirekt über den Kostenentscheid eine Überprüfung des Entscheids in der Hauptsache, d.h. vorliegend über die Zulässigkeit der getroffenen Anordnungen, zu erlangen. Daher kann er nur geltend machen, die Kostenverlegung sei aus einem anderen Grund als dem blossen Umstand, dass er vor Bezirksgericht zu Unrecht unterlag, verfassungs- oder bundesrechtswidrig (Urteil 4A_667/2015 vom 22. Januar 2016 E. 2.1; 4D_79/2015 vom 22. Januar 2016 E. 3.1, je m.w.H.).
Letzteres verkennt der Beschwerdeführer. Er diskutiert ausschliesslich das fehlende Rechtsschutzinteresse der Beschwerdegegnerin an ihrem Gesuch vom 18. Juli 2015 und dessen Unbegründetheit. Er folgert daraus, dass die Prozesskosten aus diesem Grund der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen gewesen wären. Die in diesem Zusammenhang erhobenen Rügen zielen mithin an der Sache vorbei. Einen anderen Grund, weshalb die Kostenverlegung bundesrechtswidrig sein soll, führt er nicht an.
3.2. Das Gericht kann von den Verteilungsgrundsätzen nach Art. 106 ZPO abweichen und die Prozesskosten nach Ermessen verteilen, wenn das Verfahren als gegenstandslos abgeschrieben wird und das Gesetz nichts anderes vorsieht (Art. 107 Abs. 1 lit. e ZPO). Dabei ist etwa zu berücksichtigen, welche Partei Anlass zur Klage gegeben hat, welches der mutmassliche Prozessausgang gewesen wäre und bei welcher Partei die Gründe eingetreten sind, die dazu geführt haben, dass das Verfahren gegenstandslos wurde (Urteile 4A_667/2015 vom 22. Januar 2016 E. 2.2; 4D_79/2015 vom 22. Januar 2016 E. 3.2, je m.w.H.).
3.3. Der Beschwerdeführer hat während des Berufungsverfahrens eine definitive Berechnung seines Honoraranspruchs vorgelegt (Sachverhalt Bst. B.b), womit die Rechenschaftsablage über die Akonto-Bezüge überflüssig wurde. Mit der Vorlage der definitiven Berechnung hat er sich - jedenfalls im Ergebnis - dem im Gesuch vom 18. Juli 2015 formulierten Begehren unterzogen. Dieses Verhalten kommt unabhängig von den Beweggründen des Beschwerdeführers einer Anerkennung im Sinne des Art. 106 Abs. 1 Satz 2 ZPO gleich. Der Anerkennende gilt als unterliegende Partei, weshalb ihm die Prozesskosten auferlegt werden können (vgl. Urteil 4A_346/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 5). Der Entscheid der Vorinstanz, mit welchem dem Beschwerdeführer die Prozesskosten auferlegt werden, verletzt kein Bundesrecht.
4.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer wird kosten- (Art. 66 Abs. 1 BGG), nicht aber entschädigungspflichtig, zumal keine Vernehmlassung eingeholt worden ist und der Beschwerdegegnerin somit keine entschädigungspflichtigen Kosten erwachsen sind.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Kantonsgerichtspräsident, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Möckli