Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1975; Beschwerdeführerin) und B.A._ (geb. 1971; Beschwerdegegner) haben 2004 geheiratet. Sie sind die Eltern von C._ (geb. 2002), D._ (geb. 2003) und E._ (geb. 2005). Am 6. August 2014 klagte B.A._ auf Ehescheidung. Mit Urteil vom 25. Februar 2016 schied das Richteramt Olten-Gösgen, Zivilabteilung, die Ehe. Soweit hier interessierend stellte es fest, B.A._ schulde A.A._ aus offenen Unterhaltsbeiträgen bis und mit Februar 2016 einen Betrag von Fr. 43'876.75. Im Übrigen seien die Ehegatten im derzeitigen Besitzstand güterrechtlich auseinandergesetzt.
B.
Gegen diesen Entscheid reichten A.A._ und B.A._ Berufung bzw. Anschlussberufung ein. Mit Urteil vom 29. September 2016 (eröffnet am 10. Oktober 2016) hob das Obergericht des Kantons Solothurn die Feststellung des Richteramts zu den Unterhaltsbeiträgen auf (Dispositivziffer 4). Es stellte fest, die Parteien seien per Saldo aller gegenseitigen Ansprüche güterrechtlich auseinandergesetzt und jeder Ehegatte behalte, was sich in seinem Besitz befinde (Dispositivziffer 5).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 7. November 2016 ist A.A._ ans Bundesgericht gelangt und hat folgende Anträge in der Sache gestellt:
"1. Die Ziffern 4 und 5 des angefochtenen Urteils des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 29.9.2016 seien aufzuheben.
2. In Bestätigung des erstinstanzlichen Urteils des Richteramtes Olten-Gösgen vom 25.2.2016 sei festzustellen, dass der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin aus offenen Unterhaltsbeiträgen bis und mit Februar 2016 den Betrag von Fr. 43'876.75 schuldet. Im Übrigen sei festzustellen, dass die Parteien im derzeitigen Besitzstand güterrechtlich auseinandergesetzt sind."
Ausserdem ersucht A.A._ für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
Am 17. August 2017 hat das Obergericht auf eine Vernehmlassung verzichtet und die Beschwerdeabweisung beantragt. Mit Vernehmlassung vom 4. September 2017 beantragt B.A._, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Ausserdem stellt er für das bundesgerichtliche Verfahren ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Diese Eingaben wurden A.A._ zur Kenntnisname zugestellt.
Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens eingeholt.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht (Art. 75 und 90 BGG) über die vermögensrechtlichen Folgen einer Ehescheidung (güterrechtliche Auseinandersetzung) und damit eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG entschieden hat. Der Streitwert nach Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG ist erreicht (Art. 51 Abs. 1 Bst. a BGG). Die Beschwerde in Zivilsachen ist zulässig. Die Beschwerdeführerin ist nach Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt, nachdem ihr durch das Obergericht nicht wie beantragt aus Güterrecht Fr. 43'876.75 zugesprochen wurden. Hieran ändert nichts, dass sie formell ein Feststellungsbegehren stellt (vgl. dazu BGE 141 II 113 E. 1.7; 135 III 378 E. 2.2) : Der Begründung der Beschwerde (vgl. BGE 137 III 617 E. 6.2; 137 II 313 E. 1.3) ist zu entnehmen, dass die Beschwerdeführerin die Verurteilung des Beschwerdegegners zur erwähnten Zahlung aus Güterrecht erreichen will, woran sie wie gesagt ein schutzwürdiges Interesse hat. Auf die auch fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Im Rahmen der güterrechtlichen Auseinandersetzung der Ehegatten war bereits vor der Vorinstanz strittig, ob der Beschwerdegegner der Beschwerdeführerin für die Zeit bis Februar 2016 (ehelichen) Unterhalt im Umfang von Fr. 43'876.75 schuldet. Nach dem Dafürhalten der Vorinstanz ergab sich aus den Vorbringen der Beschwerdeführerin und den von dieser beigebrachten Unterlagen kein offener Betrag in dieser Höhe. Daher stellte das Obergericht fest, die Ehegatten seien per Saldo aller güterrechtlichen Ansprüche auseinandergesetzt. Mit dieser Feststellung würden die "nicht unter dem Titel Güterrecht abzuhandelnde[n], gegebenenfalls bestehende[n]" offenen Unterhaltsbeträge "selbstverständlich" nicht tangiert.
Nach Ansicht der Beschwerdeführerin sind die während der Zeit der Trennung und des Scheidungsverfahrens aufgelaufenen Unterhaltsbeiträge in die güterrechtliche Auseinandersetzung einzubeziehen. Das Obergericht sei sodann in Verletzung von Art. 8 ZGB zum Schluss gelangt, dass die geltend gemachten Ansprüche nicht bestünden.
2.2. Dem obergerichtlichen Urteil lassen sich keine Feststellungen dazu entnehmen, welchem Güterstand die Ehegatten unterstehen. Das Richteramt hat allerdings die Regeln zur Errungenschaftsbeteiligung zur Anwendung gebracht, was unbestritten geblieben ist.
Gemäss Art. 205 Abs. 3 ZGB regeln die Ehegatten im Rahmen der güterrechtlichen Auseinandersetzung die gegenseitigen Schulden. Unter diese Bestimmung fallen - vorbehalten bleibt der Verzicht auf eine umfassende Auseinandersetzung - sämtliche Schulden zwischen den Ehegatten ohne Rücksicht auf ihren Rechtsgrund, namentlich Schulden aus Unterhaltsanspruch (Art. 163 und 164 ZGB), aus Ausgleich für ausserordentliche Beiträge an den Unterhalt der Familie (Art. 165 ZGB), aus Verwaltung des Vermögens des andern Ehegatten (Art. 195 ZGB), aus Entschädigungsanspruch nach Art. 205 Abs. 2 ZGB, aus Vertrag (wie Kauf, Darlehen oder Arbeitsvertrag), aus Delikt (Art. 41 ff. OR), aus ungerechtfertigter Bereicherung (Art. 62 ff. OR) oder aus Geschäftsführung ohne Auftrag (Art. 419 ff. OR; Urteil 5A_803/2010 vom 3. Dezember 2010 E. 3.2, in: FamPra.ch 2011 S. 426; betreffend Schulden aus Unterhalt vgl. auch Urteile 5A_625/2016 vom 22. Mai 2017 E. 5.3; 5A_690/2012 und 5A_694/2012 vom 26. März 2013 E. 4.2, in: FamPra.ch 2013 S. 746).
2.3. Vorliegend waren die (angeblichen) Unterhaltsschulden Thema des Scheidungsverfahrens. Im Rahmen der Auflösung des Güterstands der Parteien sind damit auch die von der Beschwerdeführerin geltend gemachten, ausstehenden Unterhaltsansprüche - sie haben ihren Rechtsgrund in Art. 163 ZGB (vgl. BGE 140 III 337 E. 4.2.1; 137 III 385 E. 3.1) - zu liquidieren. Das Obergericht hat dies verkannt und der güterrechtlichen Auseinandersetzung "gegebenenfalls bestehende Forderungen offener Unterhaltsbeiträge" vorbehalten. Der angefochtene Entscheid ist aus diesem Grund rechtsfehlerhaft.
3.
3.1. Die Beschwerde erweist sich damit als begründet und die Ziffern 4 und 5 des angefochtenen Urteils sind aufzuheben. Das Obergericht hat die geltend gemachten Ansprüche nicht abschliessend behandelt und nur sehr oberflächlich geprüft. Es ist nicht Aufgabe des Bundesgerichts, an Stelle der Vorinstanz eine korrekte güterrechtliche Auseinandersetzung vorzunehmen. Die Sache ist daher zu diesem Zweck an das Obergericht zurückzuweisen (Art. 107 Abs. 2 BGG). Das Obergericht wird ebenfalls über die Kosten des kantonalen Verfahrens neu zu entscheiden haben, weshalb auch die Ziffern 6 und 7 des angefochtenen Urteils aufzuheben sind.
3.2. Die Beschwerdeführerin stellte einen (reformatorischen) Antrag auf Entscheid des Bundesgerichts in der Sache. Sie ist mit ihren Begehren daher nur teilweise durchgedrungen. Dennoch gilt sie mit Blick auf die Kostenregelung als vollständig obsiegend (vgl. BGE 141 V 281 E. 11.1; Urteile 5D_41/2016 vom 21. Juli 2017 E. 3; 5A_577/2016 vom 13. Februar 2017 E. 4). Entsprechend sind die Verfahrenskosten dem Beschwerdegegner aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und hat dieser der Beschwerdeführerin die Parteikosten zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Beide Parteien ersuchen für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege. Die diesbezüglichen Voraussetzungen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG) sind erfüllt. Beide Parteien sind aktenkundig mittellos und das Gesuch des Beschwerdegegners, der vorinstanzlich obsiegte, kann nicht als aussichtlos qualifiziert werden (vgl. BGE 139 III 475 E. 2.3). Da die Beschwerdeführerin keine Verfahrenskosten zu tragen hat, ist ihr Gesuch gegenstandslos geworden, soweit es die Befreiung von den Gerichtskosten betrifft (vgl. BGE 109 Ia 5 E. 5). Hingegen ist es nicht gegenstandslos, soweit es die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands zum Gegenstand hat. Zwar wurde der obsiegenden Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zugesprochen. Angesichts der aktenkundigen Mittellosigkeit des Beschwerdegegners ist indessen nicht anzunehmen, dass die Beschwerdeführerin die ihr zustehende Entschädigung erhältlich machen kann. Deshalb ist ihre Rechtsvertreterin direkt aus der Bundesgerichtskasse zu entschädigen (vgl. Urteil 5A_295/2016 vom 23. Februar 2017 E. 6.2, nicht publiziert in: BGE 143 III 113). Die Parteien sind darauf hinzuweisen, dass sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten haben, falls sie später dazu in der Lage sind (Art. 64 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Ziffern 4 bis 7 des Urteils des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 29. September 2016 werden aufgehoben. Die Sache wird zum erneuten Entscheid über die güterrechtliche Auseinandersetzung und die Prozesskosten des kantonalen Verfahrens an das Obergericht zurückgewiesen.
2.
Das Gesuch der Beschwerdeführerin um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen, soweit es nicht gegenstandslos geworden ist, und es wird ihr Rechtsanwältin Marie-Christine Müller Leu als unentgeltliche Rechtsvertreterin beigeordnet.
3.
Das Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird ihm Rechtsanwalt Andreas Miescher als unentgeltlicher Rechtsvertreter beigeordnet.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdegegner auferlegt, indes vorläufig auf die Gerichtskasse genommen.
5.
Der Beschwerdegegner hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- zu entschädigen. Die Entschädigung wird indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen und Rechtsanwältin Marie-Christine Müller Leu wird aus dieser mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
6.
Rechtsanwalt Andreas Miescher wird aus der Bundesgerichtskasse mit Fr. 3'000.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. September 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber