Sachverhalt:
A.
Zwischen A._ als Pächter und der Firma B._ als Verpächterin ist der höchstzulässige Pachtzins pro Jahr für die Alp C._ und für den D._ umstritten. Die Abteilung Landwirtschaft des Kantons Glarus setzte diesen am 21. Mai 2012 für die Dauer von 2004 bis 2009 auf Fr. 19'320.-- (Alp C._) und für den D._ für die Dauer von 2004 bis 2006 auf Fr. 2'085.-- bzw. für die Jahre 2007 bis 2009 auf Fr. 1'845.-- fest; hieraus resultierte unter Berücksichtigung des kantonalrechtlichen Zuschlags für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur ein höchstzulässiger Pachtzins von Fr. 21'405.-- (2004 bis 2006) bzw. Fr. 21'165.-- (2007 bis 2009) pro Jahr. Das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus hiess am 19. Dezember 2012 eine von A._ hiergegen eingereichte Beschwerde teilweise gut; es hob die Verfügung der Abteilung Landwirtschaft auf und wies die Sache zur Ergänzung des Sachverhalts und neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurück.
B.
Am 18. Mai 2016 stellte die Abteilung Landwirtschaft des Kantons Glarus erneut fest, dass der höchstzulässige Pachtzins pro Jahr für die Alp C._ für die Dauer von 2004 bis 2009 Fr. 19'320.-- und für den D._ für die Zeit von 2004 bis 2006 Fr. 2'085.-- und für die Dauer von 2007 bis 2009 Fr. 1'845.-- betrage; unter Berücksichtigung des kantonalrechtlichen Zuschlags für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur ergab sich erneut ein höchstzulässiger Pachtzins von Fr. 21'405.-- (2004 bis 2006) bzw. Fr. 21'165.-- (2007 bis 2009) pro Jahr. A._ gelangte hiergegen erfolglos mit dem Antrag an das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, den höchstzulässigen Pachtzins pro Jahr für die Alp C._ und den D._ um den Zuschlag von Fr. 65.-- pro Rohfutter verzehrender Grossvieheinheit (RGVE) für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur, d.h. um Fr. 7'475.-- pro Jahr (Alp C._) bzw. um Fr. 650.-- pro Jahr (D._) zu reduzieren; demzufolge sei der höchstzulässige Pachtzins auf Fr. 11'845.-- (Alp C._) und auf Fr. 1'435.-- (2004 bis 2006) bzw. Fr. 1'195.-- (Jahre 2007 bis 2009) pro Jahr für den D._ festzusetzen. Das Gericht begründete seinen ablehnenden Entscheid damit, dass die vertragsgemässe Nutzung der jeweiligen Alpen die Haltung von Milchkühen und die direkte Produktion von Milch zu Butter und Rohziger vorgesehen habe und nicht die vom Pächter betriebene Produktion von Alpkäse. Solange die Firma B._ für die erforderliche Infrastruktur für Butter und Ziger aufgekommen sei, habe sie einen Zuschlag von Fr. 65.-- pro Rohfutter verzehrender Grossvieheinheit (RGVE) zum höchstzulässigen Pachtzins hinzurechnen dürfen; der Pachtzinszuschlag sei jeweils für den Unterhalt der insofern bestimmungsgemässen Infrastruktur verwendet worden, woran der Umstand nichts ändere, dass A._ Alpkäse, statt Butter und Ziger produziert habe.
C.
A._ beantragt vor Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus vom 6. Oktober 2016 betreffend Feststellung des höchstzulässigen Pachtzinses aufzuheben. Dieser sei für die Alp C._ und den D._ gemäss der Berechnung der Abteilung Landwirtschaft in ihrer Verfügung vom 18. Mai 2016 um den Zuschlag von Fr. 65.-- pro Rohfutter verzehrender Grossvieheinheit (RGVE) für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur, d.h. um Fr. 7'475.-- pro Jahr für die Alp C._, und um Fr. 650.00 pro Jahr für den D._ zu reduzieren. Der höchstzulässige Pachtzins sei - wie im kantonalen Verfahren beantragt - auf Fr. 11'845.-- pro Jahr für die Alp C._ und auf Fr. 1'435.-- (Jahre 2004 bis 2006) beziehungsweise Fr. 1'195.00 pro Jahr (Jahre 2007 bis 2009) für die D._ festzusetzen; allenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die kantonalen Behörden zurückzuweisen. A._ macht geltend, das Verwaltungsgericht habe den Sachverhalt willkürlich festgestellt und dadurch das einschlägige kantonale Recht in offensichtlich unhaltbarer Weise angewandt.
Die Firma B._ beantragt, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden könne, und den angefochtenen Entscheid des Verwaltungsgerichts zu bestätigen. Das Departement Volkswirtschaft und Inneres und das Verwaltungsgericht des Kantons Glarus ersuchen darum, die Beschwerde abzuweisen. Die Verfahrensbeteiligten hielten am 12. und 26. Januar 2017 an ihren Anträgen und Ausführungen fest.
Erwägungen:
1.
Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichts des Kantons Glarus über den höchstzulässigen Pachtzins kann mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gelangt werden (vgl. Art. 49 und 50 des Bundesgesetz vom 4. Oktober 1985 über die landwirtschaftliche Pacht [LPG; SR 221.213.2] i.V.m. Art. 82 lit. a, Art. 83 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Auf die frist- (Art. 100 BGG) und grundsätzlich (vgl. indessen E. 2) auch formgerecht (vgl. Art. 42 und Art. 106 Abs. 2 BGG) eingereichte Eingabe des durch die Zinsfestsetzung direkt betroffenen Pächters (Art. 89 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 95 lit. a und Art. 106 Abs. 1 BGG). Immerhin prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich erscheinen (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Das Bundesgericht ist nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich potentiell stellenden Fragen zu beantworten, wenn diese in seinem Verfahren nicht mehr problematisiert werden (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Eine qualifizierte Rügepflicht gilt hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht. Das Bundesgericht geht auf entsprechende Rügen nur ein, wenn sie in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.2 S. 254; 133 IV 286 E. 1.4 S. 287). Mit ungenügend motivierten Einwänden und bloss allgemein gehaltener, appellatorischer Kritik am angefochtenen Entscheid setzt es sich nicht weiter auseinander. Wird eine Verletzung des Willkürverbots behauptet, muss anhand der angefochtenen Subsumtion im Einzelnen aufgezeigt werden, inwiefern der Entscheid an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 135 III 127 E. 1.6 S. 130; 134 II 244 E. 2.1 und 2.2 S. 245 f.; je mit Hinweisen). Die vorliegende Beschwerdeschrift, welche über weite Teile appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz enthält, genügt diesen Anforderungen nur punktuell.
2.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dieser kann nur als unzutreffend kritisiert bzw. vom Bundesgericht von Amtes wegen berichtigt oder ergänzt werden, wenn er in einem entscheidwesentlichen Punkt offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht. Obwohl nicht ausdrücklich im Gesetz erwähnt, beruht auch die unvollständige Sachverhaltsfeststellung auf einer Rechtsverletzung: Was rechtserheblich ist, bestimmt sich nach dem materiellen Recht; eine in Verkennung der Rechtserheblichkeit unvollständige Ermittlung der für die rechtliche Beurteilung massgeblichen Tatsachen verletzt deshalb direkt die anzuwendende materielle Norm selber (Art. 95 BGG; BGE 136 II 65 E. 1.4 S. 68; 134 V 53 E. 4.3 S. 62). Neue Tatsachen und Beweismittel können im bundesgerichtlichen Verfahren schliesslich nur insoweit vorgebracht werden, als der Entscheid der Vorinstanz hierzu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG: Verbot echter Noven; BGE 136 II 497 E. 3.3 S. 500 f.; Urteil 2C_359/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 2).
3.
Der Pachtzins für Grundstücke zur landwirtschaftlichen Nutzung unterliegt von Bundesrechts wegen der behördlichen Kontrolle; er darf das "zulässige Mass" nicht übersteigen (vgl. Art. 1 Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 36 Abs. 1 LPG [Öffentlich-rechtliche Beschränkungen]). Für die Pacht von Alpen und Weiden sowie von Nutzungs- und Anteilsrechten haben die Kantone die Befugnis, "abweichende Bestimmungen" zu erlassen (Art. 3 LPG). Der Kanton Glarus hat dies im hier relevanten Zeitraum (2004 bis 2009) im Einführungsgesetz vom 3. Mai 1987 zum Bundesgesetz über die landwirtschaftliche Pacht (EG LPG) getan (IX D/2/7). Gemäss dessen Art. 6a Abs. 1 setzt sich der höchstzulässige Pachtzins für Alpbetriebe mit Grossvieh, die im Alpurbar aufgenommen sind, neben dem Pachtzins für den Boden gemäss der (eidgenössischen) Verordnung vom 11. Februar 1987 über die Bemessung des landwirtschaftlichen Pachtzinses (Pachtzinsverordnung [SR 221.213.221]; Art. 6a Abs. 1 lit. a i.V.m. Art. 11 Abs. 2 Pachtzinsverordnung), aus dem Pachtzins für die Gebäude (Art. 6 Abs. 1 lit. b EG LPG i.V.m. Art. 10 Pachtzinsverordnung) und einem Zuschlag für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur zusammen (Art. 6a Abs. 1 lit. c EG LPG). Dieser Zuschlag darf nur erhoben werden, "wenn der Verpächter für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur des Alpbetriebs tatsächlich aufkommt" (Art. 6a Abs. 2 EG LPG). Der Landrat regelt die Bemessung des Zuschlags (Art. 6a Abs. 3 EG LPG). Der Pachtzinszuschlag für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur eines Alpbetriebs beträgt gemäss Art. 1 Abs. 1 des Landratsbeschlusses vom 22. November 2000 über die Bemessung des höchstzulässigen Pachtzinses für Alpen (Landratsbeschluss; IX D/3/1) Fr. 65.-- je Stoss Grossvieh (in RGVE); die maximal anrechenbare Stosszahl entspricht der in der Alpordnung für den jeweiligen Alpbetrieb festgelegten höchstzulässigen Bestossung mit Grossvieh (Art. 1 Abs. 2 des Landratsbeschlusses). Zweck des Zuschlags ist es, den Alpeigentümern zu ermöglichen, die bestimmungsgemässe Infrastruktur der jeweiligen Alp zu unterhalten bzw. zu erneuern und diese nicht aus finanziellen Gründen zu vernachlässigen. Der Zuschlag ist nicht geschuldet, wenn das Pachtobjekt nicht mehr bestimmungsgemäss genutzt werden kann oder der Alpeigentümer nicht tatsächlich für die notwendige Instandhaltung sorgt.
4.
4.1. Zwischen den Parteien ist die Frage umstritten, zu welcher Nutzung die Alp C._ und der D._ bestimmt waren. Der Beschwerdeführer vertritt die Auffassung, dass es dabei darum gegangen sei, Alpkäse herzustellen, wozu die Firma B._ als Verpächterin die Infrastruktur nicht unterhalten bzw. zur Verfügung gestellt habe, weshalb der Pachtzinszuschlag von Fr. 65.-- je Stoss Rohfutter verzehrender Grossvieheinheit (RGVE) nicht geschuldet sei. Die Vorinstanz habe den Sachverhalt diesbezüglich willkürlich festgestellt und sei in unhaltbarer Weise davon ausgegangen, dass die Milchproduktion auf den entsprechenden Alpen bloss Butter und Rohziger umfasst habe und nicht Alpkäse; diesbezüglich habe (noch) keine bestimmungsgemässe Infrastruktur bestanden, weshalb der Zuschlag nach Art. 6a Abs. 1 lit. c EG LPG von der Verpächterin nicht habe eingefordert werden dürfen. Die Beschwerdegegnerin habe gewusst bzw. wissen müssen, dass er Alpkäse herstellte, weshalb nicht auf den jeweiligen Pachtvertrag und die Alpordnung habe abgestellt werden dürfen. Es habe bezüglich des zulässigen Verarbeitungsprodukts eine mündliche bzw. konkludente Änderung der Verträge bzw. der Alpordnung bestanden, was die Vorinstanz verkannt habe; das Verwaltungsgericht habe deshalb zu Unrecht den von der Verpächterin bzw. von der Abteilung Landwirtschaft festgestellten Pachtzins geschützt, zumal die Verpächterin für die erforderliche Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur des Alpbetriebs nicht tatsächlich aufgekommen sei, sondern vielmehr er als Pächter dafür gesorgt habe, dass die Herstellung von Alpkäse möglich war.
4.2. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung liegt keine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehörs vor, wenn die Vorinstanz auf die Abnahme beantragter Beweismittel verzichtet, weil sie aufgrund der bereits abgenommenen Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und sie, ohne in Willkür zu verfallen, in vorweggenommener (antizipierter) Beweiswürdigung annehmen darf, dass ihre Erkenntnisse auch durch weitere Erhebungen nicht mehr entscheidend beeinflusst würden (BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen; Urteil 2C_785/2015 vom 29. März 2016 E. 3.1). Von Willkür kann nicht bereits dann die Rede sein, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erschiene oder sogar vorzuziehen wäre, sondern nur, wenn die Beweiswürdigung offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Den kantonalen Instanzen steht bei der Beweiswürdigung ein weiter Beurteilungsspielraum zu. Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt nur vor, wenn der angefochtene Entscheid auf einer schlechterdings unhaltbaren Beweiswürdigung beruht, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Grundlagen ausgegangen ist, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder an einem offenkundigen Fehler leiden (BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375 mit Hinweisen). Solche können darin liegen, dass die Vorinstanz offensichtlich unhaltbare Schlüsse gezogen, erhebliche Beweismittel übersehen oder solche in willkürlicher Weise ausser Acht gelassen hat (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9 mit Hinweisen). Dass der vom Gericht festgestellte Sachverhalt nicht mit der Darstellung der beschwerdeführenden Person übereinstimmt, begründet für sich allein noch keine Willkür (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266).
4.3. Unabhängig davon, ob der Beschwerdeführer seine Willkürrügen hinreichend substanziiert erhoben hat (vgl. BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375; vorstehende E. 2) und er am angefochtenen Urteil nicht bloss appellatorische Kritik übt, indem er lediglich seine Sicht der Dinge und Wertungen derjenigen der Vorinstanz gegenüberstellt, ohne auszuführen, inwiefern diese das Willkürverbot verletzt haben soll, ist seine Kritik inhaltlich unberechtigt:
4.3.1. Der Beschwerdeführer hat einen ersten Pachtvertrag am 29. Dezember 2003 unterzeichnet, worin er die Alpordnung der Verpächterin in ihrer Fassung vom 10. Dezember 2003 (genehmigt am 18. Dezember 2003) als Bestandteil der Pachtregelung anerkannte. Die entsprechende Alpordnung sah in Ziffer 1 ausdrücklich vor, dass mindestens 30 Milchkühe zu halten seien und die Milch in beiden Stäfeln zu Butter und Ziger verarbeiten werden sollte. Für den bestimmungsgemässen Gebrauch und die hierfür zu unterhaltende Infrastruktur bildete somit die Butter- und Zigerproduktion die entscheidende Grundlage; die Abmachung sah keine Verpflichtung zur Produktion von Alpkäse vor; im Gegenteil: Die Formulierung, wonach die Milch zu Butter und Ziger verarbeitet werden "soll", auferlegte dem Pächter eine entsprechende Pflicht. Die Verpächterin war zwar ihrerseits nicht abgeneigt, zu prüfen, ob auf der umstrittenen Alp nicht eine Alpkäseproduktion denkbar wäre, und hat sich in der Folge mit dem Pächter für eine solche stark gemacht, doch musste sie von einer Umnutzung absehen, da sie dadurch verschiedene, für den bisherigen Gebrauch erhaltene Subventionen hätte zurückerstatten müssen. Zudem standen die kantonalen Instanzen einer Umnutzung kritisch gegenüber, da sie bei einer solchen das (noch) auszuarbeitende Gesamtkonzept der Alpnutzung im Kanton gefährdet sahen. Im Pachtvertrag vom 29. Dezember 2003 für den D._ (ohne Sennhütte) bildete der Zuschlag für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur ausdrücklich Teil des Pachtvertrags (Art. 2: 10 Rohfutter verzehrende Grossvieheinheit à Fr. 65.-- = Fr. 650.--).
4.3.2. Im Pachtvertrag C._-Alp vom 2. Dezember 2006 akzeptierte der Beschwerdeführer die entsprechende neue Alpordnung "C._-Alp" vom 2. Dezember 2006; diese sah wiederum die Haltung von mindestens 30 Milchkühen vor, hielt aber lediglich noch fest, dass die Milch auf der Alp zu verarbeiten sei. Sie nannte somit den Produktionszweck nicht mehr. Wenn die Vorinstanz dennoch davon ausging, dass die Bestimmung im Lichte der bisherigen Alpordnung zu verstehen sei und keine für die Verpächterin verpflichtende Vertragsänderung zur Produktion von Alpkäse (statt Butter und Ziger) umfasste, kann dies nicht als offensichtlich unhaltbar bezeichnet werden: Der Pachtvertrag bezüglich der D._ (ohne Sennhütte und ohne Weidestall) sah wiederum vor, dass ein Zuschlag nach Art. 6a EG LPG für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur geschuldet sei (Art. 2: 10 Rohfutter verzehrende Grossvieheinheit à Fr. 32.50.-- = Fr. 325.--). Wie sich aus den Akten ergibt, hat die Verpächterin sich zwar darum bemüht, im Sinne einer Umnutzung der beiden Alpen dem Anliegen ihres Pächters Rechnung zu tragen; ihre Bemühungen scheiterten indessen aus finanziellen (Pflicht zur Rückzahlung bezogener Subventionen) und rechtlichen Gründen (künftiges Gesamtkonzept der Alpbewirtschaftung). Sie duldete zwar die Herstellung von Alpkäse durch den Beschwerdeführer weiter, verpflichtete ihn aber nicht hierzu, weil die Infrastruktur dies nicht sachgerecht erlaubte. Die Änderung der Formulierung in der Alpordnung 2006 dürfte auf den Inspektionsbericht aus dem Jahr 2005 zurückzuführen sein, wo festgehalten wurde:
"Gemäss Alpordnung soll die Milch zu Butter und Ziger verarbeitet werden, was jedoch nicht der Fall ist. Bestimmungen in der Alpordnung, welche nicht eingehalten werden müssen, sind auch nicht aufzuführen."
Hieraus ergab sich einzig, dass das faktische Handeln des Beschwerdeführers geduldet werden sollte, indessen nicht, dass die Verpächterin bereit war, eine neue Infrastruktur zu erstellen bzw. auf den Infrastrukturbeitrag zugunsten der bestehenden, an den bisherigen Gebrauch gebundenen Infrastruktur zu verzichten (Butter und Ziger). Auf jeden Fall kann ein entsprechendes Verständnis der Neuregelung der Alpordnung in Verbindung mit dem Pachtvertrag bezüglich der D._, der - wie dargelegt - ausdrücklich den Infrastrukturbeitrag vorsah, nicht als offensichtlich unhaltbar gelten.
4.3.3. Die Annahme der Vorinstanz, der schriftliche Vertrag sei durch die Bemühungen der Verpächterin nachträglich weder mündlich noch konkludent abgeändert worden, ist damit nicht willkürlich; sie durfte ohne Verletzung von Art. 9 BV feststellen, dass "die Abklärungen im Zeitpunkt des ersten Vertragsschlusses noch im Gange" waren und eine Produktion von Alpkäse "bei weitem nicht als beschlossene Sache" gelten konnte. Dies musste im Übrigen auch dem Beschwerdeführer bewusst sein: Am 16. September 2008 wurde die Problematik an der Kommissionssitzung der Beschwerdegegnerin diskutiert und festgehalten, dass der Alppächter bereit sei, einen Eigenbeitrag von Fr. 20'000.-- zur Anpassung der Infrastruktur zur Alpkäseherstellung zu leisten und diesbezüglich noch ein entsprechender Vereinbarungsvertrag zu unterzeichnen sei; hiermit wurde klargestellt, dass eine verbindliche Umnutzung und deren Bedingungen schriftlich vereinbart werden sollten, was offenbar nicht geschehen ist. Dies spricht dagegen, dass die Verpächterin bereit gewesen sein könnte, stillschweigend eine Vertragsänderung mit weitgehenden finanziellen Folgen für sie zu akzeptieren, nachdem ihre Subventionsgesuche gescheitert waren und mit der Vertragsänderung eine Rückzahlungspflicht bereits bezogener Gelder verbunden gewesen wäre. Am 3. Juni 2008 hatte der Beschwerdeführer erklärt, bereit zu sein, "die Investitionen für das Käselager" und damit die durch ihn faktisch vorgenommene Umnutzung "zu übernehmen"; sollte allenfalls "doch ein Umbau zustande" kommen, "werde er das Geld retour fordern"; ansonsten er "das Risiko für die Investition" übernehme. An der Kommissionssitzung vom 19. Juni 2008 konnte er sein Projekt zu der von ihm gewünschten Umnutzung (Alpkäseherstellung) der Kommission der Verpächterin vorstellen, was dafür spricht, dass auch aus seiner Sicht die bestimmungsgemässe Infrastruktur im Rahmen der Pachtverträge sich auf die Produktion von Butter und Ziger bezog; diese wurde ihm von der Verpächterin zur Verfügung gestellt; im Übrigen duldete sie lediglich, die von ihm ohne rechtliche Absicherung auf eigenes Risiko praktizierte Alpkäseproduktion.
4.4. Soweit der Beschwerdeführer geltend macht, der Zuschlag für die Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur habe nicht erhoben werden dürfen, da die Verpächterin nicht für die tatsächliche Erneuerung der bestimmungsgemässen Infrastruktur des Alpbetriebes aufgekommen sei (Art. 6a Abs. 2 EG LPG), legt er nicht dar, inwiefern die gegenteilige Annahme der Vorinstanz Bundesverfassungsrecht verletzen würde und insbesondere willkürlich wäre. Dies ist auch nicht ersichtlich: Die eigenen Investitionen fielen für die vom Beschwerdeführer vorgenommene Herstellung von Alpkäse an; aus dem Inspektionsbericht 2005 bezüglich der Alp C._ ergibt sich, dass sich diese für den bestimmungsgemässen Gebrauch in einem ordentlichen Zustand befand, der Unterstafel einen neu sanierten Stall aufwies und der dortige Wohnraum als korrekt bezeichnet werden konnte. Die Verpächterin sanierte unbestrittenermassen den Unterstafel in den Jahren 1999/2000 und erbrachte dabei Eigenleistungen von rund Fr. 190'000.-- (inkl. Spenden). Es ist nicht ersichtlich, inwiefern die Auffassung der Vorinstanz willkürlich sein könnte, dass die Erneuerungszuschläge nicht jeweils für das einzelne Pachtverhältnis zu nutzen sind, sondern generell und auf längere Dauer bzw. grösseren Erneuerungsbedarf hin auch Rückstellungen erlauben. Nur wenn der bestimmungsgemässe Gebrauch nicht mehr sichergestellt ist, darf der Zuschlag nicht (mehr) erhoben werden, was sich, wie die Vorinstanz willkürfrei feststellen durfte, aus Art. 6a Abs. 2 EG LPG ergibt. Schliesslich hat die Verpächterin die entsprechenden Beiträge auch zugunsten des Beschwerdeführers insofern verwendet, als sie während seiner Pachtzeit zwischen Fr. 6'235.15 (Jahr 2004) und Fr. 19'770.30 (Jahr 2007) in die Alp C._ investierte.
5.
5.1. Die Beschwerde erweist sich somit als unbegründet und ist deshalb abzuweisen. Ergänzend zu den vorstehenden Ausführungen kann auf die zutreffenden Darlegungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
5.2. Der unterliegende Beschwerdeführer hat die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Mit öffentlich-rechtlichen Aufgaben betrauten Organisationen wird in der Regel keine Parteientschädigung zugesprochen, wenn sie in ihrem amtlichen Wirkungskreis obsiegen (Art. 68 Abs. 3 BGG); die Beschwerdegegnerin ist eine Körperschaft des kantonalen Rechts (Art. 59 Abs. 3 ZGB; Art. 34 Abs. 1 des Gesetzes vom 7. Mai 1911 über die Einführung des Schweizerischen Zivilgesetzbuchs im Kanton Glarus [EG ZGB; III B/1/1], vgl. zum Kanton Graubünden: BGE 132 I 270 ff.); sie hat ihre juristische Persönlichkeit durch die Genehmigung ihrer Statuten seitens des zuständigen Departements ohne Eintragung in das Handelsregister erworben (Art. 34 Abs. 2 EG ZGB). Sie wurde als durch den Kanton beaufsichtigte Alpkorporation und damit als Verpächterin bzw. Zusammenschluss der Alpeigentümer im Streit um den maximalen Pachtzins wie ein Privater in das bundesgerichtliche Verfahren einbezogen. Dabei war sie auf eine rechtliche Beratung angewiesen; es rechtfertigt sich deshalb, ihr eine Entschädigung zulasten des Beschwerdeführers zuzusprechen. Den obsiegenden Behörden ist indessen keine Entschädigung geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Glarus, I. Kammer, und dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. März 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar