Erwägungen:
1.
1.1. Am 25. Juni 2013 beantragten die (inzwischen geschiedenen) Eheleute B.A._ und A.A._ eine Haftungsverfügung, in welcher der jeweilige Anteil jedes Gatten am Gesamtsteuerbetrag festzulegen sei. Sie stützten sich auf die Regelung im Steuerrecht von Kanton und Bund, wonach Gatten, die in rechtlich und tatsächlich ungetrennter Ehe leben, zwar solidarisch haften, jeder Partner jedoch nur für seinen Anteil an der Gesamtsteuer haftet, wenn einer der beiden zahlungsunfähig ist.
1.2. Mit Urteil vom 24. August 2015 wies das Steuergericht des Kantons Solothurn den Antrag auf Haftungsverfügung kantonal letztinstanzlich ab. Es erwog im Wesentlichen, der Ehemann sei nicht zahlungsunfähig, sondern vielmehr zahlungsunwillig, was eine solche Verfügung ausschliesse.
1.3. Am 2. Oktober 2015 hat A.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Für die Staatssteuer (Verfahren 2C_882/2015) und die direkte Bundessteuer (2C_884/2015) der Perioden 1996-2013 beantragt sie, das steuergerichtliche Urteil sei (ebenso wie der Einspracheentscheid vom 11. August 2011) vollumfänglich aufzuheben und die Haftungsverfügung zu erlassen. Eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen.
1.4. Das Steueramt und das Steuergericht des Kantons Solothurn schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat auf eine Stellungnahme verzichtet.
1.5. Die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG zu behandeln. Das rechtfertigt es auch, auf die sonst gebotene Trennung zwischen Staats- und direkter Bundessteuer zu verzichten.
2.
2.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die direkten Steuern des Kantons und des Bundes. Dagegen steht gemäss Art. 82 ff. BGG in Verbindung mit Art. 73 ff. des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG, SR 642.14) und mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Auf das form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel der gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG legitimierten Beschwerdeführerin ist somit grundsätzlich einzutreten.
2.2. Die Vorinstanz hat die Verfahren betreffend die Staats- sowie die direkte Bundessteuer vereinigt und ein einziges Urteil gefällt. Die Beschwerdeführerin ficht dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Das ist zulässig, sofern in der Beschwerde zwischen den beiden Steuerarten unterschieden wird und aus den Anträgen hervorgeht, inwieweit diese angefochten sind und wie zu entscheiden ist (vgl. BGE 135 II 260 E. 1.3.2 S. 264 f.; 131 II 553 E. 4.2). Das Bundesgericht seinerseits eröffnet in einem solchen Fall grundsätzlich zwei Verfahren, behält sich aber vor, die beiden Verfahren zu vereinigen und nur ein Urteil zu fällen. Das rechtfertigt sich auch hier, weil es um den gleichen Sachverhalt geht, sich dieselben Parteien gegenüberstehen, die Materie steuerlich harmonisiert ist und sich identische Rechtsfragen stellen (vgl. zum Ganzen u.a. das Urteil 2C_371/2013 vom 18. Juli 2014 E. 1.2 in: StR 69/2014 S. 800).
Ob in der vorliegend eingereichten Beschwerdeschrift die Ausführungen zur Staatssteuer genügend von denjenigen zur direkten Bundessteuer getrennt sind, ist zumindest zweifelhaft, kann aber mit Blick auf den Verfahrensausgang offen bleiben (vgl. zur getrennten Behandlung der beiden Aspekte auch oben E. 1.5).
2.3. Nicht einzutreten ist auf die Beschwerde insoweit, als nebst der Aufhebung des steuergerichtlichen Urteils auch diejenige des Einspracheentscheids beantragt wird. Die Beschwerde ist nur gegen letztinstanzliche kantonale Akte zulässig (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Das Urteil des Steuergerichts hat den unterinstanzlichen Entscheid ersetzt (sog. Devolutiveffekt; vgl. u.a. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144).
2.4. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (vgl. Art. 95 BGG). Unerlässlich ist namentlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Urteils eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin Bundesrecht verletzt wird. Die Beschwerdeschrift soll vor Bundesgericht z.B. nicht bloss die Rechtsstandpunkte und Argumente wiederholen, wie sie im kantonalen Verfahren vorgebracht worden sind, sondern muss sich konkret und spezifisch mit den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen (vgl. u.a. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.).
2.4.1. Hier beantragt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht zwar, das steuergerichtliche Urteil sei "vollumfänglich" aufzuheben. Das kann jedoch zumindest insofern nicht gewollt sein, als die Vorinstanz die an sie gerichteten Rechtsmittel in einem hier nicht mehr massgeblichen Punkt teilweise gutgeheissen hat (vgl. E. 6.2 u. 6.3 des angefochtenen Urteils, Ziff. 1 des steuergerichtlichen Urteilsdispositivs). Dieser Punkt ist hier nicht mehr zu prüfen (vgl. auch Art. 107 Abs. 1 BGG).
2.4.2. Vor dem Steuergericht haben die Ehegatten ein Gesuch um unentgeltliche Prozessführung gestellt, mit dem sich die Vorinstanz eingehend befasst und es mit überzeugender sowie sorgfältiger Begründung abgewiesen hat. Mit diesem Aspekt des angefochtenen Urteils setzt sich die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht überhaupt nicht auseinander. Ebenso wenig beantragt sie die unentgeltliche Rechtspflege für das vorliegende Verfahren. Darauf muss somit auch nicht weiter eingegangen werden.
2.4.3. Ebenfalls nicht eingetreten werden kann auf die gesamten Ausführungen zur solidarischen Mithaftung in dem für die Perioden 2001-2005 gegen die Ehegatten durchgeführten Nach- und Strafsteuerverfahren (S. 14-18 der Beschwerdeschrift vor Bundesgericht). Mit diesen Ausführungen wendet die Beschwerdeführerin sich in Wirklichkeit gegen den im genannten Verfahren ergangenen, von den Ehegatten nicht angefochtenen und somit rechtskräftig gewordenen Einspracheentscheid vom 23. November 2012. Es wird vorliegend auch nicht geltend gemacht, dass das Steuergericht in E. 6 des hier angefochtenen Urteils Feststellungen getroffen oder rechtliche Schlüsse gezogen hätte, die vom Einspracheentscheid im Nach- und Strafsteuerverfahren abweichen würden.
2.5. Besonderes gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Diese sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Mängel sind ebenfalls spezifisch geltend zu machen und zu begründen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 und 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62; je mit Hinweisen), sofern sie nicht ins Auge springen (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG).
Ob hier die Beschwerdeschrift in allen Teilen eine diesen strengen Anforderungen genügende Begründung enthält, erscheint einmal mehr zweifelhaft (vgl. dazu schon oben E. 2.2), kann aber mit Blick auf den Verfahrensausgang offen bleiben (vgl. dazu weiter unten E. 3.2.1).
3.
Gemäss Art. 13 Abs. 1 Satz 1 DBG und § 19 Abs. 1 Satz 1 des Gesetzes des Kantons Solothurn über die Staats- und Gemeindesteuern vom 1. Dezember 1985 haften die in rechtlich und tatsächlich ungetrennter Ehe lebenden Ehegatten solidarisch für die Gesamtsteuer. Satz 2 derselben Bestimmungen hält fest, dass jeder Gatte nur für seinen Anteil an der Gesamtsteuer haftet, wenn einer von beiden zahlungsunfähig ist.
3.1. In Anwendung der erwähnten Vorschriften hat das Steuergericht erwogen, dass hier kein solcher Fall von Zahlungsunfähigkeit vorliegt und der Ehegatte sich vielmehr als zahlungsunwillig gezeigt hat, was die beantragte Haftungsverfügung ausschliesst.
3.1.1. Diese Beurteilung hat das Steuergericht auf mehrere zwingende Sachverhaltsfeststellungen gestützt, die für das Bundesgericht verbindlich sind (vgl. oben E. 2.5). Für die festgehaltene Zahlungsunwilligkeit hat die Vorinstanz verschiedene Indizien aufgelistet und insbesondere hervorgehoben, dass der Ehemann Investitionen in das Vermögen seiner Gattin tätigte (vgl. dazu ausführlich E. 5.3 des angefochtenen Urteils). Es würde aber Sinn und Zweck der Haftungsbeschränkung zuwiderlaufen, wenn sie durch eine Ehefrau beansprucht werden könnte, zu deren Gunsten der Gatte seine eigene (vermeintliche) Mittellosigkeit herbeigeführt hat (vgl. ebenda E. 5.4).
3.1.2. Überzeugend hat sich das Steuergericht ausserdem auf die Ergebnisse des gegen die Ehegatten rechtskräftig abgeschlossenen Nach- und Strafsteuerverfahrens (vgl. dazu schon oben E. 2.4.3) gestützt. Beide Gatten täuschten nicht nur während Jahren einen getrennten Wohnsitz vor, sondern deklarierten Einkommen in beträchtlichem Umfang nicht oder falsch. Aus dem genannten Verfahren wird weiter klar, dass der Ehemann während Jahren ein Vielfaches seiner Frau verdiente. Dennoch machte das Vermögen der Gattin seit Beginn der Ehe einen Grossteil des ehelichen Vermögens aus. Angesichts der tatsächlichen Einkünfte wäre zu erwarten gewesen, dass der Ehemann entweder ein höheres Vermögen geäufnet oder seine Einkünfte zur Rückzahlung der bestehenden Schulden verwendet hätte. Das war hier nicht so. Auf jeden Fall unterblieb eine transparente und vollständige Auflistung der Einkommens- bzw. Vermögensverhältnisse. All das spricht weiter für die vorinstanzliche Beurteilung, dass der Ehegatte in Wirklichkeit zahlungsunwillig war.
3.2. Was die Beschwerdeführerin dagegen einwendet, ist auch nicht ansatzweise geeignet, ein anderes Ergebnis zu rechtfertigen, soweit auf ihre Vorbringen überhaupt eingetreten werden kann.
3.2.1. Wohl setzt sie sich zu der im angefochtenen Urteil festgehaltenen Zahlungsunwilligkeit ihres früheren Ehegatten ausführlich mit jeder einzelnen der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen (vgl. oben E. 3.1.1) auseinander. Sie beschränkt sich indessen darauf, dem Steuergericht ihre eigene, abweichende Auffassung zur Faktenlage entgegenzusetzen. Weder einzeln noch gesamthaft vermögen ihre Vorbringen die genannten Feststellungen als geradezu offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen (vgl. oben E. 2.5).
3.2.2. Auch gegen die Feststellungen und die rechtlichen Schlüsse, welche das Steuergericht aus dem Nach- und Strafsteuerverfahren für die Perioden 2001 bis 2005 gezogen hat, wendet die Beschwerdeführerin sich vor Bundesgericht eingehend. Auf ihre gesamten diesbezüglichen Einwendungen kann jedoch - wie bereits hervorgehoben (vgl. oben E. 2.4.3) - nicht eingetreten werden, nachdem sie den Einspracheentscheid vom 23. November 2012 unangefochten in Rechtskraft erwachsen liess und die Vorinstanz in keinem Punkt über diesen Entscheid hinausgegangen ist.
3.2.3. Vor dem Hintergrund all der genannten vorinstanzlichen Feststellungen, deren Verbindlichkeit für das Bundesgericht die Beschwerdeführerin keineswegs in Zweifel zu ziehen vermag, erweist sich das angefochtene Urteil in jeder Hinsicht als bundesrechtskonform. Daran ändert auch nichts, dass gegen den Ex-Ehemann inzwischen Verlustscheine im Gesamtbetrag von beinahe Fr. 750'000.-- bestehen. Insbesondere sprechen diese Verlustscheine (bzw. deren Gesamtsumme) unter den gegebenen Umständen in keiner Weise gegen die Beurteilung des Steuergerichts, dass eine Haftungsbeschränkung für die Ehefrau sich gerade dort als unangemessen erweist, wo der Gatte seine eigene (vermeintliche) Mittellosigkeit zu Gunsten seiner Partnerin herbeigeführt hat (vgl. oben E. 3.1.1). Ebenso wenig ist ersichtlich, inwiefern die Beweislast rechtswidrig verteilt oder der Anspruch der Beschwerdeführerin auf rechtliches Gehör verletzt worden wäre.
4.
4.1. Nach dem Gesagten sind die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG). Da aber das vorliegende Urteil im Verfahren gemäss Art. 109 BGG ergeht, rechtfertigt es sich, gegenüber dem ursprünglich verlangten Kostenvorschuss geringere Gerichtskosten festzulegen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_882/2015 (Staats- und Gemeindesteuern 1996-2013) und 2C_884/2015 (direkte Bundessteuer 1996-2013) werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der direkten Bundessteuer (Verfahren 2C_884/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern (Verfahren 2C_882/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 7'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Steuergericht des Kantons Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. März 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Matter