Sachverhalt:
A.
Zwischen der B._ AG (Vermieterin, Beschwerdegegnerin) und A._ (Mieterin, Beschwerdeführerin) bestand seit 2003 ein Mietvertrag betreffend Geschäftsräumlichkeiten (Restaurant) und Parkplätze an der Strasse U._ in V._. Am 8. Juli 2015 mahnte die Vermieterin die Mieterin für ausstehende Mietzinsen inkl. Nebenkosten und drohte für den Fall der Nichtbezahlung eine Kündigung an. Am 13. August 2015 kündigte die Vermieterin das Mietverhältnis. Die Mieterin focht die Kündigung gerichtlich an.
B.
B.a. Am 8. Oktober 2015 stellte die Vermieterin beim Regionalgericht Bern-Mittelland ein Ausweisungsgesuch im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen nach Art. 257 ZPO. Mit Entscheid vom 27. November 2015 trat das Regionalgericht (Einzelrichter) auf das Gesuch nicht ein. Es erachtete die Kündigungsandrohung als zu wenig klar, weshalb sich die Gültigkeit der Kündigung nicht zweifelsfrei feststellen lasse. Die Voraussetzungen für den Rechtsschutz in klaren Fällen gemäss Art. 257 Abs. 1 ZPO seien damit nicht gegeben.
B.b. Die Vermieterin reichte gegen diesen Entscheid Berufung beim Obergericht des Kantons Bern ein. Dieses verpflichtete die Mieterin mit Entscheid vom 14. Januar 2016 im Wesentlichen, das Restaurant mit Küche (Erdgeschoss), die 4 Autoabstellplätze und den Aussenraum (86 m2) an der Strasse U._ in V._ bis spätestens Montag, 15. Februar 2016 um 12.00 Uhr, zu verlassen und der Vermieterin in ordnungsgemässem und gereinigtem Zustand zu übergeben, sowie dieser sämtliche Schlüssel auszuhändigen.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen beantragt die Mieterin dem Bundesgericht, "[e]s sei festzustellen, dass das Regionalgericht Bern-Mittelland und das Obergericht des Kantons Bern als kantonale Vorinstanzen zur Beurteilung des Exmissionsgesuchs der Beschwerdegegnerin sachlich unzuständig waren, sodass auf das Gesuch nicht hätte eingetreten werden dürfen, und es sei demzufolge der angefochtene Entscheid des Obergerichts [...] vollumfänglich und ersatzlos aufzuheben." Eventuell sei festzustellen, dass die kantonalen Vorinstanzen im Verfahren des Rechtsschutzes in klaren Fällen wegen Illiquidität des Sachverhalts und der Rechtslage nicht hätten eintreten dürfen, sodass der angefochtene Entscheid vollumfänglich und ersatzlos aufzuheben sei. Dem Gesuch der Beschwerdeführerin um Erteilung der aufschiebenden Wirkung wurde mit Präsidialverfügung vom 14. April 2016 stattgegeben.
Die Beschwerdegegnerin beantragt die kostenfällige Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei, während die Vorinstanz auf eine Vernehmlassung verzichtet hat. Die Beschwerdeführerin hat unaufgefordert eine Replik eingereicht.
Erwägungen:
1.
Dass die Beschwerdeführerin die dem Bundesgericht unterbreiteten Feststellungsbegehren bereits im kantonalen Verfahren prozesskonform erhoben hätte, zeigt sie nicht auf und ist nicht festgestellt. Soweit sie damit nicht bloss die unterschiedlichen Gründe für das Nichteintreten umschreiben möchte, sondern selbständige Feststellungsbegehren stellen würde, wären ihre Anträge neu und damit unzulässig (Art. 99 Abs. 2 BGG). Aus der Begründung ihrer Beschwerde ergibt sich jedoch (vgl. dazu auch Urteil 4A_383/2013 vom 2. Dezember 2013 E. 3.2.3), dass sie keine Feststellung anbegehrt, sondern damit zwei Anträge auf Nichteintreten stellen will und diese in den Rechtsbegehren selbst begründet. Ihre Begehren sind als ein Nichteintretensantrag zu verstehen und als solcher zu behandeln.
2.
Erstmals vor Bundesgericht beruft sich die Beschwerdeführerin auf die sachliche Unzuständigkeit der Vorinstanzen. Die Streitigkeit sei eine handelsrechtliche im Sinn von Art. 6 Abs. 2 ZPO.
2.1. Die Beschwerdegegnerin wendet ein, die Bestreitung der sachlichen Zuständigkeit erst vor Bundesgericht sei nicht zulässig. Die Beschwerdeführerin habe sich auf die Verfahren vor dem Regionalgericht und dem Obergericht eingelassen. Im Übrigen beruhe dieses Vorbringen auf einer neuen Tatsachenbehauptung - nämlich dass die Beschwerdeführerin im Handelsregister eingetragen ist - und neuen Beweismitteln - nämlich den beiden Handelsregisterauszügen. Diese Noven seien gemäss Art. 99 BGG unzulässig.
2.1.1. Die sachliche Zuständigkeit wird als Prozessvoraussetzung von Amtes wegen geprüft (Art. 60 ZPO), also nicht nur auf Parteieinrede hin. Erlässt ein sachlich unzuständiges Gericht einen Entscheid, leidet dieser nach bundesgerichtlicher Rechtsprechung an einem schwerwiegenden Mangel, der je nach den Umständen die Nichtigkeitsfolge nach sich ziehen kann (BGE 137 III 217 E. 2.4.3 S. 225 mit Hinweisen). Eine obere kantonale Instanz hat die sachliche Zuständigkeit ihrer Vorinstanz daher auch ohne entsprechende Rügen zu prüfen (Urteile 4A_488/2014 vom 20. Februar 2015 E. 3.1, nicht publ. in: BGE 141 III 137; 4A_291/2015 vom 3. Februar 2016 E. 3.2). Die Pflicht zur amtswegigen Prüfung bezieht sich grundsätzlich auch auf die Ebene der Sachverhaltsermittlung, wobei das Gericht allerdings nicht zu ausgedehnten Nachforschungen verpflichtet ist (BGE 139 III 278 E. 4.3 S. 282). Eine amtswegige Tatsachenermittlung ist freilich dann geboten, wenn nach den Parteivorträgen, aufgrund von notorischen Tatsachen oder sonst nach der Wahrnehmung des Gerichts Anhaltspunkte dafür bestehen, dass eine Prozessvoraussetzung fehlen könnte (TANJA DOMEJ, in: Kurzkommentar ZPO, Oberhammer und andere [Hrsg.], 2. Aufl. 2013, N. 5 zu Art. 60 ZPO; ALEXANDER ZÜRCHER, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, Sutter-Somm und andere [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 4 zu Art. 60 ZPO; SIMON ZINGG, in: Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. I, 2012, N. 4 zu Art. 60 ZPO; STAEHELIN/STAEHELIN/ GROLIMUND, Zivilprozessrecht, 2. Aufl. 2013, S. 167 f. § 11 Rz. 6; FABIENNE HOHL, Procédure civile, Bd. II, 2. Aufl. 2010, S. 221 Rz. 1182). Vorliegend befinden sich in den Akten eine Konkursandrohung gegen die Beschwerdeführerin sowie ein Betreibungsregisterauszug, der auf mehrere Konkursandrohungen hinweist. Eine Konkursandrohung erfolgt ausschliesslich gegen Schuldner, die der Konkursbetreibung unterliegen, was nur bei im Handelsregister eingetragenen Personen der Fall ist (Art. 159 SchKG i.V.m. Art. 39 f. SchKG). Die gebotene amtswegige Tatsachenermittlung hätte daher dazu führen müssen, die notorischen Handelsregisterauszüge (Urteil 4A_739/2011 vom 3. April 2012 E. 1.3 mit Hinweisen) der Parteien beizuziehen und den Eintrag der Beschwerdeführerin als Einzelunternehmen im Handelsregister festzustellen. Dass die Beschwerdegegnerin als Aktiengesellschaft eingetragen ist, bedurfte im Übrigen keiner Abklärungen.
2.1.2. Ob eine kantonale Vorinstanz sachlich zuständig war, ist eine Rechtsfrage. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Da die Vorinstanz wie dargelegt gehalten war, aufgrund der Anhaltspunkte den entsprechenden Sachverhalt festzustellen und die Handelsregisterauszüge beizuziehen, kann das Bundesgericht die Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen dahingehend ergänzen (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.2. Somit ist zu prüfen, ob das Handelsgericht sachlich zuständig ist.
2.2.1. Unbehelflich ist vorerst der Einwand der Beschwerdegegnerin, die Beschwerdeführerin habe sich auf das unzuständige Gericht eingelassen. Das Bundesgericht hat wiederholt festgestellt, dass die sachliche Zuständigkeit der Parteidisposition vorbehältlich im Gesetz ausdrücklich vorgesehener Wahlmöglichkeiten entzogen und eine Einlassung nicht zulässig ist (BGE 140 III 355 E. 2.4 S. 365 f.; 138 III 471 E. 3.1 S. 477).
2.2.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, es sei die geschäftliche Tätigkeit beider Parteien betroffen, weil die Beschwerdegegnerin das Geschäft der Immobilienverwaltung und -vermietung betreibe und die Beschwerdeführerin das Restaurant im Mietobjekt betreibe. Bezüglich der Beschwerdeführerin stelle die Mietstreitigkeit eine solche aus einer Neben- und Hilfstätigkeit dar, die aber für die Haupttätigkeit - das Betreiben des Restaurants - unentbehrlich sei, sodass die Mietstreitigkeit in den Bereich ihrer geschäftlichen Tätigkeit falle. Der Entscheid könne an das Bundesgericht weitergezogen werden und beide Parteien seien im schweizerischen Handelsregister eingetragen.
Die Beschwerdeführerin bringt zudem vor, nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung sei bei Erfüllung der Voraussetzungen gemäss Art. 6 Abs. 2 ZPO im Summarexmissionsverfahren gemäss Art. 257 ZPO das Handelsgericht ausschliesslich und zwingend zuständig, sofern in einem Kanton ein Handelsgericht bestehe. Hierzu gebe es im Mietrecht eine einzige Ausnahme, nämlich Streitigkeiten des sogenannten Kernbereichs des Mietrechts (u.a. Kündigungs- und Mietzinsanfechtungen). Diese seien gemäss BGE 139 III 157 (recte: 139 III 457) im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 243 ZPO zu beurteilen. Diese Ausnahme komme aber vorliegend nicht zur Anwendung, da eine Ausweisung im Summarverfahren im Rahmen des Rechtsschutzes in klaren Fällen verlangt worden sei.
2.2.3. Die Voraussetzungen von Art. 6 Abs. 2 ZPO sind erfüllt; die geschäftliche Tätigkeit mindestens einer Partei ist betroffen (lit. a), gegen den Entscheid steht die Beschwerde an das Bundesgericht offen (lit. b) und beide Parteien sind im schweizerischen Handelsregister eingetragen (lit. c).
2.2.4. Zu prüfen bleibt, ob wegen der mietrechtlichen Natur der Klage eine Ausnahme von der handelsgerichtlichen Zuständigkeit gegeben ist. Das Bundesgericht hat kürzlich entschieden, der Begriff "Kündigungsschutz" gemäss Art. 243 Abs. 2 lit. c ZPO sei weit zu verstehen. Soweit in einem Ausweisungsverfahren das Gericht die Gültigkeit einer Kündigung zu beurteilen habe, sei auch darauf das vereinfachte Verfahren anwendbar (Urteil 4A_636/2015 vom 21. Juni 2016 E. 2.5, insb. E. 2.5.4, zur Publikation vorgesehen). Wie die Beschwerdeführerin selber erkannt hat, ist gemäss BGE 139 III 457 E. 4 das Handelsgericht nicht zuständig für Streitigkeiten, die gemäss Art. 243 Abs. 2 lit. c ZPO im vereinfachten Verfahren zu beurteilen sind. Wäre also vorliegend die Ausweisung nicht in einem Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen verlangt worden, wäre das Handelsgericht dafür nicht zuständig.
Das Bundesgericht hat in BGE 139 III 457 die Ausnahme von der handelsgerichtlichen Zuständigkeit damit begründet, dass es aufgrund der erheblichen Unterschiede zwischen den Verfahrensarten und mit Blick auf die mit der ZPO angestrebte Vereinheitlichung nicht angehe, wenn je nach sachlicher Zuständigkeit ein anderes Verfahren zur Anwendung gelange (E. 4.4.3.3). Für Streitigkeiten vor dem Handelsgericht komme gemäss dem klaren Wortlaut von Art. 243 Abs. 3 ZPO das vereinfachte Verfahren nicht zur Anwendung und es sei gewichtiger, die für Mietstreitigkeiten gemäss Art. 243 Abs. 2 lit. c ZPO vorgesehene soziale Untersuchungsmaxime in allen diesen Fällen anzuwenden, weshalb die Regelung der Verfahrensart jener über die sachliche Zuständigkeit vorgehe (E. 4 und 5). Beim Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen handelt es sich um ein summarisches Verfahren (Art. 248 lit. b ZPO), das - anders als das vereinfachte Verfahren - auch vor dem Handelsgericht zulässig ist (Urteil 4A_184/2015 vom 11. August 2015 E. 1, nicht publ. in: BGE 141 III 262; vgl. auch Art. 6 Abs. 5 i.V.m. Art. 248 lit. d ZPO betr. vorsorgliche Massnahmen). Es besteht daher vorliegend kein Konflikt zwischen Verfahrensart und sachlicher Zuständigkeit, sodass bereits aus diesem Grund die Rechtsprechung gemäss BGE 139 III 457 nicht greift. Wenn, wie hier, die Kündigung angefochten und daher deren Gültigkeit im Ausweisungsverfahren als Vorfrage zu beurteilen ist, beziehen sich die Voraussetzungen von Art. 257 Abs. 1 ZPO auch darauf; sind sie nicht erfüllt, ist auf das Gesuch nicht einzutreten (BGE 141 III 262 E. 3.2 S. 265). Damit das vom Gesetzgeber mit Art. 243 Abs. 2 lit. c i.V.m. Art. 247 Abs. 2 lit. a ZPO für den mietrechtlichen Kündigungsschutz verfolgte Ziel nicht über den Rechtsschutz in klaren Fällen unterlaufen werden kann, ist dieser nur zu gewähren, wenn keine Zweifel an der Vollständigkeit der Sachverhaltsdarstellung bestehen und die Kündigung gestützt darauf als klar berechtigt erscheint (Urteil 4A_184/2015 vom 11. August 2015 E. 4.2.2 mit Hinweisen, nicht publ. in: BGE 141 III 262). Dass die Zuständigkeiten für die gleiche Materie aufgeteilt sind und die Mieterausweisung (inkl. der vorfrageweisen Beurteilung der Gültigkeit einer Kündigung) bei Verfahren des Rechtsschutzes in klaren Fällen bei gegebenen Voraussetzungen gemäss Art. 6 Abs. 2 ZPO vom Handelsgericht, in allen übrigen Fällen von den Mietgerichten bzw. den ordentlichen Gerichten beurteilt werden, erlaubt nicht, vom geltenden Recht abzuweichen.
3.
Die Beschwerde ist somit gutzuheissen. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen, der Entscheid des Obergerichts des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, vom 14. Januar 2016 wird aufgehoben und auf die Klage wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'500.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 4'000.-- zu entschädigen.
4.
Zur Neufestsetzung der Kosten des kantonalen Verfahrens wird die Sache an das Obergericht zurückgewiesen.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Zivilabteilung, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. Juli 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Lüthi