Faits :
A.
A.a. A._, né en 1958, exerçait l'activité de maçon. Indiquant souffrir de douleurs lombaires sur arthrose, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité. Le 4 janvier 2002, l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI) a rejeté la demande (décision sur opposition du 13 janvier 2006, confirmée par arrêts successifs du Tribunal administratif de la République et canton de Neuchâtel du 4 octobre 2006 [aujourd'hui, Tribunal cantonal, Cour de droit public] et du Tribunal fédéral du 29 octobre 2007 [I 938/06]).
A.b. L'assuré a présenté une nouvelle demande le 26 novembre 2007. Au terme de l'instruction, l'office AI l'a informé qu'il envisageait de la rejeter (projet de décision du 23 mai 2011). Compte tenu des objections de A._, l'office AI l'a soumis à un examen clinique auprès des docteurs B._, spécialiste en médecine physique et réadaptation, et C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie (rapport du 13 décembre 2011). Les médecins ont diagnostiqué des rachialgies chroniques avec effet durable sur la capacité de travail; parmi les atteintes sans répercussion sur celle-ci, ils ont notamment fait état d'un syndrome douloureux somatoforme persistant. Ils ont conclu à une capacité totale de travail dans une activité adaptée à partir de décembre 2002. Par décision du 8 mars 2012, l'office AI a nié le droit de l'intéressé à une rente.
Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel l'a admis; elle a annulé la décision administrative et renvoyé la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision selon les considérants (jugement du 21 mars 2013).
A.c. L'office AI a repris l'instruction et confié la réalisation d'une expertise pluridisciplinaire aux docteurs D._, spécialiste en médecine interne générale, E._, spécialiste en rhumatologie et médecine interne générale, F._, spécialiste en neurologie, et G._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, de la Clinique romande de réadaptation (CRR; rapport du 30 juin 2015). Les médecins ont diagnostiqué, avec effet sur la capacité de travail, des lombalgies chroniques sur troubles statiques et dégénératifs modérés et des cervicalgies chroniques sur uncodiscarthrose étagées; ils ont également posé différents diagnostics sans répercussion sur la capacité de travail, dont une dysthymie superposable à des troubles anxieux et dépressifs mixtes ainsi qu'une majoration des symptômes physiques pour des raisons psychologiques. Ils ont conclu à une capacité entière de travail dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles qu'ils ont décrites. Par décision du 26 octobre 2015, l'office AI a rejeté la demande au motif que le taux d'invalidité (29 %) restait inférieur au taux de 40 % ouvrant le droit à un quart de rente.
B.
Par jugement du 14 octobre 2016, le Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il requiert l'annulation ainsi que celle de la décision du 26 octobre 2015. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité et subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction sous la forme d'une nouvelle expertise médicale et réévaluation du taux d'invalidité.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente d'invalidité dans le cadre d'une nouvelle demande. Il s'agit singulièrement de déterminer si - par analogie avec l'art. 17 LPGA (cf. art. 87 al. 3 RAI; voir également ATF 133 V 108 consid. 5 p. 110 ss; 130 V 343 consid. 3.5.2 p. 350 sv.; 130 V 71 consid. 3.2 p. 75 ss) - son taux d'invalidité a subi une modification notable entre la décision litigieuse du 26 octobre 2015 et la dernière décision de refus de prestations du 13 janvier 2006. Le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et la jurisprudence nécessaires à la résolution du litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
Se fondant sur les conclusions de l'expertise des médecins de la CRR, la juridiction cantonale a retenu que l'état de santé du recourant n'avait pas changé de manière notable et que sa capacité résiduelle de travail était demeurée globalement identique à celle existant au moment de la décision du 13 janvier 2006. Elle a constaté que compte tenu de ses pathologies somatiques, l'assuré était totalement incapable d'exercer son activité habituelle de maçon mais était en mesure d'exercer à plein temps une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles; le recourant ne présentait aucune pathologie psychique. Considérant que l'assuré pouvait exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail, elle a confirmé la comparaison des revenus effectuée par l'office AI dont résultait un taux d'invalidité de 29 %.
4.
4.1. Le recourant reproche tout d'abord au tribunal cantonal d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits en retenant une capacité totale de travail dans une activité adaptée. Il soutient que les premiers juges ont à tort nié l'existence d'un trouble somatoforme douloureux en se fondant sur l'avis du docteur G._ de la CRR (rapport du 18 juin 2015), alors que le docteur C._ du SMR avait admis ce diagnostic (rapport du 13 décembre 2011).
4.2. Les expertises psychiatriques en matière de troubles somatoformes douloureux et autres troubles psychosomatiques comparables réalisées avant le prononcé de l'arrêt 9C_492/2014 du 3 juin 2015, publié aux ATF 141 V 281 ont été par définition rendues à la lumière de la présomption - abandonnée désormais - posée à l'ATF 130 V 352, selon laquelle ces troubles ou leurs effets peuvent être surmontés par un effort de volonté raisonnablement exigible, et des critères établis en la matière pour apprécier le caractère invalidant de ces syndromes. Toutefois, ce changement de jurisprudence ne justifie pas en soi de retirer toute valeur probante aux expertises psychiatriques rendues à l'aune de l'ancienne jurisprudence. Ainsi que le Tribunal fédéral l'a précisé, il convient bien plutôt de se demander si, dans le cadre d'un examen global, et en tenant compte des spécificités du cas d'espèce et des griefs soulevés, le fait de se fonder définitivement sur les éléments de preuve existants est conforme au droit fédéral. Il y a ainsi lieu d'examiner dans chaque cas si les expertises administratives et/ou les expertises judiciaires recueillies - le cas échéant en les mettant en relation avec d'autres rapports médicaux - permettent ou non une appréciation concluante du cas à l'aune des indicateurs déterminants (ATF 141 V 281 consid. 8 p. 309).
4.3. Si le recourant soulève une divergence de diagnostics entre le docteur C._ et le docteur G._, cela ne suffit cependant pas à mettre en évidence que la constatation de la juridiction cantonale quant à l'absence de trouble somatoforme douloureux serait manifestement inexacte ou procéderait d'une appréciation insoutenable des avis des deux psychiatres mentionnés.
A l'inverse de ce que soutient l'assuré, les premiers juges n'ont pas méconnu la portée de la jurisprudence publiée à l'ATF 141 V 281, puisqu'ils ont relevé que les critères de classification diagnostiques d'un trouble somatoforme douloureux faisaient défaut dans l'appréciation du docteur C._. En effet, le diagnostic de trouble somatoforme douloureux présuppose une douleur persistante, intense, s'accompagnant d'un sentiment de détresse, non expliquée entièrement par un processus physiologique ou un trouble physique et survenant dans un contexte de conflits émotionnels et de problèmes psycho-sociaux suffisamment importants pour constituer la cause essentielle du trouble selon le clinicien (Classification internationale des maladies et des problèmes de santé connexes éditée par l'Organisation mondiale de la santé, 10ème révision [CIM-10], F45.40). A la différence d'autres troubles psychosomatiques, le diagnostic de trouble somatoforme douloureux présuppose, par définition, des limitations dans les fonctions de la vie quotidienne (ATF 141 V 281 consid. 2.1.1 p. 285 et les références). Or mis à part l'évocation de douleurs et d'un sentiment de détresse, le psychiatre du SMR n'a pas décrit plus avant les éléments permettant de retenir ce diagnostic, ni ne s'est prononcé sur les éléments requis par la CIM-10 pour conclure à cette pathologie. On peut donc douter que le diagnostic posé à l'époque fût fondé sur des critères suffisants.
En tout état de cause, au moment de son expertise, en juin 2015, le docteur G._ n'a pas retenu de trouble somatoforme douloureux, car les critères diagnostiques n'en étaient alors pas remplis (alors qu'ils ne l'étaient pas nécessairement en 2011). A cet égard, en tant que le recourant invoque la non prise en considération par le docteur G._ des plaintes exprimées, il ne saurait être suivi. Le médecin a relevé les plaintes de l'assuré sous la rubrique "plaintes subjectives (anamnèse psychiatrique récente) " et avait également connaissance du rapport du docteur C._ et des plaintes en ressortant ainsi que de celles décrites par la doctoresse E._. Il a cependant déclaré que ces dernières n'avaient "pris qu'une petite place dans la présente exploration psychiatrique". En effet, les problèmes de sommeil (sommeil perturbé avec plusieurs réveils nocturnes et difficulté à l'endormissement, mais pas chaque nuit) ne correspondent pas à une douleur persistante, intense et s'accompagnant d'un sentiment de détresse, pas plus que les ruminations mentales de l'assuré portant sur sa situation sociale, son sentiment d'avoir été traité par les assurances de façon injuste et celui d'être inutile et insuffisamment occupé (rapport du docteur G._ du 18 juin 2015). Dès lors que l'expert psychiatre de la CRR a expliqué de façon circonstanciée les raisons pour lesquelles le diagnostic en cause ne pouvait pas être retenu en 2015, la juridiction cantonale était en droit d'en suivre les conclusions et de renoncer à une expertise complémentaire.
4.4. Dans la mesure où la juridiction cantonale n'a pas retenu le diagnostic de trouble somatoforme douloureux, il n'y a pas lieu de s'étendre plus avant sur les arguments de l'assuré quant à la majoration des symptômes. Les considérations y relatives des premiers juges ne constituent qu'une motivation subsidiaire pour nier les effets incapacitants de l'atteinte en cause. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de s'écarter de leur constatation sur la capacité de travail du recourant.
5.
5.1. Le recourant reproche également à la juridiction cantonale de ne pas avoir reconnu le caractère irréaliste de l'activité considérée comme étant adaptée, en particulier en raison de son âge et de ses connaissances scolaires limitées, de l'exercice d'une seule activité auprès d'un seul employeur durant quinze ans et de l'absence de formation.
5.2. S'il est vrai que des facteurs tels que l'âge, le manque de formation ou les difficultés linguistiques jouent un rôle non négligeable pour déterminer dans un cas concret les activités que l'on peut encore raisonnablement exiger d'un assuré, ils ne constituent pas, en règle générale, des circonstances supplémentaires qui, à part le caractère raisonnablement exigible d'une activité, sont susceptibles d'influencer l'étendue de l'invalidité, même s'ils rendent parfois difficile, voire impossible la recherche d'une place et, partant, l'utilisation de la capacité de travail résiduelle (arrêt I 377/98 du 28 juillet 1999 consid. 1 et les références, in VSI 1999 p. 246). Toutefois, lorsqu'il s'agit d'évaluer l'invalidité d'un assuré qui se trouve proche de l'âge donnant droit à la rente de vieillesse, il faut procéder à une analyse globale de la situation et se demander si, de manière réaliste, cet assuré est en mesure de retrouver un emploi sur un marché équilibré du travail (cf. arrêt 9C_695/2010 du 15 mars 2011 consid. 5 et les références).
5.3. En l'espèce, âgé de 57 ans au moment où il a été constaté que l'exercice d'une activité adaptée était médicalement exigible (rapport d'expertise du 30 juin 2015), l'assuré n'avait pas encore atteint l'âge à partir duquel la jurisprudence considère généralement qu'il n'existe plus de possibilité réaliste de mise en valeur de la capacité résiduelle de travail sur un marché du travail supposé équilibré (ATF 138 V 457 consid. 3.1 et 3.3 pp. 459 et 461). On ne saurait donc appliquer les principes y relatifs, de sorte que son argumentation tirée de l'exercice de la profession auprès d'un seul employeur et de l'absence de formation n'est pas pertinente,
A cet égard, le recourant ne saurait par ailleurs être suivi lorsqu'il invoque l'arrêt 9C_612/2007 du 14 juillet 2008. Dans la situation jugée alors - comme dans celle invoquée par le recourant en référence à la situation d'un concierge (cf. apparemment arrêt 9C_651/2008 du 9 octobre 2009) - le Tribunal fédéral avait jugé qu'il ne pouvait pas être exigé de l'assuré qui avait continué à travailler (à taux partiel) dans son activité, qu'il en changeât compte tenu de l'ensemble des circonstances. La situation du recourant est différente puisqu'il n'a plus exercé d'activité après la survenance de ses atteintes à la santé.
Finalement, en tant que le recourant semble invoquer que l'activité adaptée n'a pas été suffisamment examinée, en ce sens qu'on ne pourrait exiger de lui qu'un travail dans un "environnement confiné et protégé, en dehors de tout stress professionnel et social", il ne démontre pas le caractère arbitraire de l'appréciation des premiers juges quant à la nature de l'activité adaptée. Comme l'a constaté la juridiction cantonale, il ne ressort en effet ni des considérations médicales ni de celles professionnelles recueillies au cours de l'instruction que le recourant ne serait en mesure d'exercer une activité que dans un milieu confiné et protégé; celui-ci se limite à donner sa propre appréciation du rapport des responsables du Centre H._ (du 23 décembre 2010) qui ont conclu à un "poste qui lui soit adapté", ce qui relève d'un grief appellatoire insuffisant.
On ajoutera que les limitations alléguées ont été prises en considération par l'office intimé dans le calcul du revenu statistique d'invalide par la fixation d'un taux d'abattement de 15 %, ce que le tribunal cantonal a confirmé, concluant à un taux d'invalidité de 29 %. Les premiers juges ont par ailleurs précisé que même en tenant compte d'un abattement maximal de 25 %, l'invalidité aurait été de 37,52 %, soit inférieure au taux de 40 % ouvrant le droit à un quart de rente.
5.4. Il suit de ce qui précède qu'en considérant que le recourant était en mesure de mettre en valeur sa capacité de travail dans une activité adaptée, la juridiction cantonale n'a pas violé le droit ni procédé à une constatation arbitraire des faits.
6.
Partant, le recours est mal fondé. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant (art. 66 al. 1 première phrase LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 30 juin 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Flury