Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. 1956) und B.A._ (geb. 1958) heirateten am 14. Januar 1983. Ihrer Ehe entspross ein mittlerweile volljähriger Sohn.
B.
B.a. Am 27. Juni 2011 machte A.A._ am Bezirksgericht March (Kanton Schwyz) die Scheidungsklage anhängig. In Ziffer 1 seiner Anträge stellte er das Begehren, die Ehe der Parteien gestützt auf Art. 114 ZGB zu scheiden; die weiteren Anträge betrafen die Nebenfolgen der Scheidung. In ihrer Klageantwort vom 31. Oktober 2011 beantragte auch B.A._, die Ehe der Parteien zu scheiden; zugleich stellte sie hinsichtlich der Nebenfolgen eigene Begehren. In einem zweiten Schriftenwechsel hielten beide Parteien an ihren Anträgen fest.
B.b. Mit Urteil vom 19. Juni 2015 schied der Einzelrichter die Ehe A._ gestützt auf Art. 114 ZGB. Er teilte die während der Ehe geäufneten Austrittsleistungen der beruflichen Vorsorge, verurteilte den Mann zur Bezahlung von Frauenalimenten und nahm die güterrechtliche Auseinandersetzung vor. Ein Anweisungsbegehren der Frau betreffend den auf einem Sperrkonto hinterlegten Verwertungsüberschuss aus Liegenschaftsversteigerung wies der Richter ab, verbunden mit der Anweisung an die Bank, das Konto nach Vollstreckbarkeit des Urteils zu saldieren und dem zuständigen Betreibungsamt zur Verteilung nach Art. 144 SchKG zu überweisen, und der Anordnung, einen allfälligen Restbetrag der Frau in Anrechnung an die güterrechtliche Ausgleichszahlung auszuzahlen. Die Gerichtskosten von Fr. 12'000.-- auferlegte der Einzelrichter zu zwei Dritteln A.A._ und zu einem Drittel B.A._. Ausserdem sprach er der Frau eine reduzierte Parteientschädigung von Fr. 5'000.-- zu. Das Armenrechtsgesuch von A.A._ wies der Einzelrichter am Bezirksgericht March ab.
C.
C.a. Gegen die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege erhob A.A._ am 6. Juli 2015 Beschwerde beim Kantonsgericht Schwyz (Verfahren ZK2 2015 39).
C.b. Am 25. August 2015 legte B.A._ gegen das Scheidungsurteil beim Kantonsgericht Berufung ein (Verfahren ZK1 2015 38). Im Wesentlichen zielte ihr Rechtsmittel darauf ab, höhere Unterhaltsbeiträge und eine grössere güterrechtliche Ausgleichszahlung zu erstreiten.
C.c. Mit Eingabe vom 27. August 2015 ergriff auch A.A._ die Berufung (ZK1 2015 41). In seinem Hauptberufungsantrag verlangte er, das erstinstanzliche Scheidungsurteil (Bst. B.b) insgesamt aufzuheben unter Vormerknahme, dass er hiermit die nach Art. 114 ZGB erhobene Scheidungsklage zurückziehe bzw. zurückgezogen habe. Eventualiter stellte er das Begehren, seiner Frau keinen nachehelichen Unterhalt zuzusprechen, die Austrittsleistungen der beruflichen Vorsorge nicht hälftig zu teilen und Einkäufe in seine Pensionskassen vorab in Abzug zu bringen. Weiter sei der güterrechtliche Ausgleichungsbetrag auf maximal Fr. 70'281.-- festzusetzen.
C.d. Mit Beschluss vom 15. Dezember 2015 hiess das Kantonsgericht die Berufung der Frau (Bst. C.a) und die Eventualberufung des Mannes (Bst. C.b) insoweit gut, als es die Dispositivziffern 2-8 des erstinstanzlichen Urteils aufhob und die Sache im Sinne der Erwägungen zur Durchführung eines neuen Verfahrens und zur Neubeurteilung an den Vorderrichter zurückwies. Die Hauptberufung von A.A._ wies es ab, ebenso seine Beschwerde betreffend die Verweigerung des Armenrechts (Dispositiv-Ziffer 1). Die oberinstanzlichen Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- wurden A.A._ zu zwei Dritteln und B.A._ zu einem Drittel auferlegt (Dispositiv-Ziffer 2). Ausserdem sprach das Kantonsgericht beiden Parteien zu Lasten der Bezirksgerichtskasse March eine Entschädigung zu (Dispositiv-Ziffer 3).
D.
D.a. Mit Eingabe vom 22. Januar 2016 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt, den Beschluss des Kantonsgerichts Schwyz vom 15. Dezember 2015 in Bezug auf die Dispositiv-Ziffern 1, 2 und 3 aufzuheben (Ziffer 1.a.). In Gutheissung seiner Berufung sei das Scheidungsurteil vom 19. Juni 2015 (Bst. B.b) insgesamt aufzuheben, unter Vormerknahme, dass er mit seiner Berufung vom 27. August 2015 die nach Art. 114 ZGB erhobene Scheidungsklage zurückgezogen habe. Entsprechend sei das Scheidungsverfahren als gegenstandslos geworden vom Protokoll abzuschreiben (Ziffer 1.b.). Weiter sei ihm in Gutheissung seiner Beschwerde vom 6. Juli 2015 (Bst. C.a) erstinstanzlich das Armenrecht zu bewilligen (Ziffer 1.c.). Das Armenrecht sei ihm auch für die drei Verfahren vor dem Kantonsgericht zu gewähren (Ziffer 1.d.). Eventualiter beantragt der Beschwerdeführer die Rückweisung der Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz (Ziffer 2.a.). Ebenfalls eventualiter beantragt er die Rückweisung, was das erstinstanzlich beantragte Armenrecht (Ziffer 2.b.) und dasjenige für das Verfahren vor der Vorinstanz betrifft (Ziffer 2.c.). Mit separater Eingabe ersucht der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege.
D.b. Am 26. Januar 2016 teilte das Bundesgericht dem Beschwerdeführer mit, dass der vorinstanzliche Entscheid eine Scheidung betreffe, weshalb der Beschwerde von Gesetzes wegen aufschiebende Wirkung zukomme (Art. 103 Abs. 2 Bst. a BGG). Der entsprechende Antrag erweise sich damit als gegenstandslos.
D.c. Eingeladen, zur Beschwerde Stellung zu nehmen, beantragte B.A._ (Beschwerdegegnerin), die Beschwerde hinsichtlich der Rechtsbegehren Ziffern 1.a., 1.b., 2.a. und 3 (Bst. D.a) abzuweisen; eventualiter sei der Beschwerdeführer zufolge Klagerückzugs zu den erst- und zweitinstanzlichen Gerichtskosten und zu einer vollen Parteientschädigung für die beiden kantonalen Verfahren zu verurteilen. Auch die Beschwerdegegnerin ersucht für das bundesgerichtliche Verfahren um das Armenrecht (Eingabe vom 2. September 2016). Mit Schreiben vom 14. September 2016 beantragt sie ausserdem, "das Urteil des Bundesgerichts mündlich zu eröffnen". Das Kantonsgericht Schwyz erklärte, auf eine Vernehmlassung zu verzichten (Schreiben vom 5. Juli 2016). Mit "freiwilligen Bemerkungen" vom 19. September 2016 nahm der Beschwerdeführer zur Beschwerdeantwort Stellung.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG), der die erstinstanzlich ausgesprochene Scheidung bestätigt und die Sache zur Regelung der (vermögensrechtlichen) Nebenfolgen an die erste Instanz zurückweist. Soweit er die Hauptberufung des Beschwerdeführers (s. Sachverhalt Bst. C.d) abweist, ist der angefochtene Entscheid entgegen der vorinstanzlichen Angabe ein Teilentscheid (Art. 91 Bst. a BGG; BGE 137 III 421 E. 1.1 S. 422). Von einem Vor- oder Zwischenentscheid ist bloss insofern auszugehen, als die Vorinstanz die Sache zu neuem Entscheid über die Nebenfolgen der Scheidung an die erste Instanz zurückweist (zum möglichen Nebeneinander eines Teilentscheids und eines Vor- oder Zwischenentscheids: Urteil 5A_620/2011 vom 16. November 2011 E. 3.1 und 3.2). Soweit der Beschwerdeführer (unabhängig vom Teilentscheid) auch diesen Rückweisungsentscheid anficht, tritt das Bundesgericht auf die Beschwerde nicht ein: Weder droht dem Beschwerdeführer durch diesen Zwischenentscheid ein nicht wieder gutzumachender Nachteil (Art. 93 Abs. 1 Bst. a BGG; dazu BGE 141 III 395 E. 2.5 S. 399 f.; 138 III 333 E. 1.3.1 S. 335; 137 III 380 E. 1.2.2 S. 383), noch würde die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und damit einen bedeutenden Aufwand an Zeit oder Kosten für ein weitschweifiges Beweisverfahren ersparen (Art. 93 Abs. 1 Bst. b BGG; dazu BGE 133 III 629 E. 2.4.1 f. S. 633). Soweit sich der Beschwerdeführer gegen die Scheidung wehrt, ist von einer nicht vermögensrechtlichen Streitigkeit auszugehen. Die Beschwerde in Zivilsachen (Art. 72 Abs. 1 ZGB) ist demnach ohne Streitwerterfordernis zulässig.
1.2. Die Beschwerde steht unter den erörterten Voraussetzungen auch gegen den Entscheid offen, mit dem das Kantonsgericht die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege für das erstinstanzliche Verfahren bestätigt, denn das Kantonsgericht hat diesen Entscheid nicht unabhängig von der Hauptsache gefällt (s. Urteil 5D_106/2014 vom 24. September 2014 E. 2.2). Das bedeutet, dass der Beschwerdeführer auch den vorinstanzlichen Rechtsmittelentscheid betreffend sein Armenrechtsgesuch nur insofern anfechten kann, als die Vorinstanz über den Scheidungspunkt entschieden hat, nicht aber, soweit die Bestätigung der erstinstanzlichen Verweigerung des Armenrechts die unentgeltliche Rechtspflege im Streit um die Nebenfolgen der Scheidung beschlägt (s. E. 1.1).
1.3. Nicht einzutreten ist auf das Begehren der Beschwerdegegnerin, das Urteil des Bundesgerichts mündlich zu eröffnen. Das Gesetz sieht keine mündliche Eröffnung im Rechtssinne vor; eine blosse (mündliche) Mitteilung des Entscheids erfolgt, falls das Bundesgericht den Entscheid in einer mündlichen Beratung getroffen hat (Art. 60 Abs. 1 und 2 BGG). Dass sie auf die Durchführung einer (öffentlichen) mündlichen Beratung (Art. 58 BGG) Anspruch hätte, behauptet die Beschwerdegegnerin aber zu Recht nicht.
2.
Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Unter Vorbehalt des Bereichs der verfassungsmässigen Rechte wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es kann die Beschwerde daher auch aus andern als den geltend gemachten Gründen gutheissen oder den Entscheid mit einer Begründung bestätigen, die von jener der Vorinstanz abweicht (BGE 136 III 247 E. 4 S. 252 mit Hinweis). Hingegen ist das Bundesgericht an den festgestellten Sachverhalt grundsätzlich gebunden (Art. 105 Abs. 1 BGG). Diesbezüglich kann einzig vorgebracht werden, er sei offensichtlich unrichtig festgestellt worden (Art. 97 Abs. 1 BGG), wobei "offensichtlich unrichtig" mit "willkürlich" gleichzusetzen ist (BGE 133 II 249 E. 1.2.2 S. 252; 133 III 393 E. 7.1 S. 398). Hierfür gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.2 S. 255).
3.
Umstritten ist vor Bundesgericht, ob der Beschwerdeführer seine Scheidungsklage im Berufungsverfahren zurückziehen durfte bzw. welche Konsequenzen ein solcher Rückzug hat.
3.1. Das Kantonsgericht kommt unter Hinweis auf Rechtsprechung und Lehre sowie gestützt auf Überlegungen zur Evolution des Scheidungsrechts zum Schluss, dass unter der Herrschaft von Art. 292 ZPO ein Rückzug der Scheidungsklage im Berufungsverfahren "wieder zulässig sein" dürfte. Zu berücksichtigen sei aber, dass der offenbare Missbrauch eines Rechtes keinen Schutz finde (Art. 2 Abs. 2 ZGB). Der Beschwerdeführer führe als einzige Begründung für den Klagerückzug die angebliche Voreingenommenheit des erstinstanzlichen Richters an. Er mache nicht geltend, dass er sich zwischenzeitlich nicht mehr von der Beschwerdegegnerin scheiden lassen will. Vielmehr weise die Begründung darauf hin, dass er ein Scheidungsurteil des Einzelrichters am Bezirksgericht March nicht akzeptieren wolle, obwohl dessen Unvoreingenommenheit sowohl vom Kantonsgericht als auch vom Bundesgericht festgestellt wurde. Dem angefochtenen Entscheid zufolge führte der Beschwerdeführer denn auch nicht näher aus, inwiefern der erstinstanzliche Richter voreingenommen sein sollte. Offenbar wolle er mit dem Klagerückzug eine andere örtliche Zuständigkeit erwirken, sei er doch mittlerweile nach Thalwil gezogen und hätte er so die Möglichkeit, eine Scheidungsklage in Horgen einzureichen. Ein Rückzug der Scheidungsklage einzig zur Erwirkung einer anderen Zuständigkeit sei jedoch rechtsmissbräuchlich, weshalb der Klagerückzug nicht zu schützen sei. Mit dieser Begründung weist das Kantonsgericht den Hauptantrag in Ziffer 1 der Berufung ab.
3.2. Der Beschwerdeführer verweist auf seine Ausführungen vor der Vorinstanz. Er habe den Rückzug seiner Scheidungsklage damit begründet, dass er den erstinstanzlichen Scheidungsrichter nicht als unvoreingenommen erachte, und sich angesichts der diversen Mutmassungen im erstinstanzlichen Urteil auf eine Verletzung seiner verfassungsmässigen Rechte (Art. 29 Abs. 1 und Art. 30 Abs. 1 BV) berufen. Dem Kantonsgericht wirft er vor, einen "Überlegungsfehler" zu begehen, wenn es seinen Rückzug der Scheidungsklage als rechtsmissbräuchlich bezeichne. Der Verzicht auf das Recht, geschieden zu werden, könne "definitionsgemäss gar nicht rechtsmissbräuchlich sein". Bei einem Klagerückzug gehe es um eine prozessuale Erklärung, nicht um die Geltendmachung eines materiellen Rechts. Bei "jedem Klagerückzug" stelle sich die Frage des Rechtsmissbrauchs gar nicht, denn die Rechtsstellung des Prozessgegners sei "nicht negativ betroffen". Rechtsmissbräuchlich könnte höchstens die Klage auf Ehescheidung sein, nicht aber der Verzicht auf die Scheidung bzw. auf eine entsprechende Klage. Schon vor der Vorinstanz habe er, der Beschwerdeführer, geltend gemacht, dass der Rückzug einer Scheidungsklage gar keiner Begründung bedürfe.
Weiter argumentiert der Beschwerdeführer damit, dass er die Klage auf Scheidung der Ehe nach Art. 114 ZGB eingereicht und die Beschwerdegegnerin keine Widerklage erhoben habe. Nach Art. 292 Abs. 2 ZPO finde, wenn der geltend gemachte Scheidungsgrund feststehe, kein Wechsel auf Scheidung auf gemeinsames Begehren statt. In casu liege daher eine Klage nach Art. 114 ZGB vor. Nur weil die Beschwerdegegnerin in der Klageantwort vom 31. Oktober 2011 den Antrag gestellt habe, die Ehe der Parteien zu scheiden, liege keine Klageanerkennung im Sinn von Art. 241 Abs. 2 und 3 ZPO vor. Selbst wenn von einer Klageanerkennung auszugehen wäre, sei das Recht auf Scheidung ein höchstpersönliches Recht. Wie die Kinderbelange unterstehe auch die Scheidung als solche der Offizialmaxime, so dass eine Klageanerkennung wirkungslos und unbeachtlich sei. Läge eine Klageanerkennung im Sinne von Art. 241 ZPO vor, so wären die Parteien bereits per 31. Oktober 2011 (Datum der Klageantwort vor der ersten Instanz) geschieden und hätte zum Beispiel das Freizügigkeitsguthaben nicht erst per Scheidungsurteil im Jahre 2015 geteilt werden dürfen. Ein Klagerückzug einer Klage nach Art. 114 ZGB habe im Übrigen auch nicht etwa die Wirkung einer res iudicata. Das sei zum Beispiel auch beim Rückzug einer Erbteilungsklage nicht der Fall.
3.3. Die Beschwerdegegnerin pflichtet der Vorinstanz darin bei, dass der Klagerückzug des Beschwerdeführers eine rechtsmissbräuchliche Prozesshandlung gewesen sei. Dies zeige sich auch darin, dass der Beschwerdeführer einzig ihren höchstpersönlichen Scheidungsanspruch vereiteln und die Scheidung nochmals jahrelang in die Länge ziehen wolle. Die Beschwerdegegnerin bezweifelt, dass eine auf Art. 114 ZGB gestützte Scheidungsklage losgelöst von veränderten Verhältnissen andernorts überhaupt eingereicht werden könnte. Weiter erinnert die Beschwerdegegnerin daran, dass sie in ihrer Klageantwort selbst die Scheidung beantragt habe. Gestützt auf ihr eigenständiges Scheidungsbegehren müsste die Scheidung selbst dann weitergeführt werden, wenn dem Beschwerdeführer ein Rückzugsrecht zuzugestehen wäre. Mit dem Scheidungsantrag in ihrer Klageantwort habe sie eine Widerklage auf Scheidung erhoben. Dabei handle es sich um eine von der Hauptklage unabhängige selbständige Klage zur Durchsetzung ihres eigenständigen höchstpersönlichen Anspruchs auf Ehescheidung, die bestehen bleibe, selbst wenn die Klage zurückgezogen werde.
4.
4.1. Nach Art. 292 Abs. 1 ZPO wird die einseitig eingereichte Scheidungsklage nach den Vorschriften über die Scheidung auf gemeinsames Begehren fortgesetzt, wenn die Ehegatten bei Eintritt der Rechtshängigkeit noch nicht seit mindestens zwei Jahren getrennt gelebt haben (Bst. a) und mit der Scheidung einverstanden sind (Bst. b). Steht der geltend gemachte Scheidungsgrund fest, so findet kein Wechsel zur Scheidung auf gemeinsames Begehren statt (Art. 292 Abs. 2 ZPO). Wie sich aus den erstinstanzlichen Feststellungen über die Prozessgeschichte ergibt, stellte der Einzelrichter am Bezirksgericht March in einem Eheschutzentscheid vom 14. Juli 2011 fest, dass die Parteien per 4. April 2009 getrennt leben. In ihren Eingaben im Scheidungsprozess bekräftigen die Parteien diese Tatsache übereinstimmend. Als der Beschwerdeführer den Scheidungsprozess mit Klage vom 27. Juni 2011 anhängig machte (s. Sachverhalt Bst. B.a), stand demnach im Sinne von Art. 114 ZGB fest, dass die Parteien seit mindestens zwei Jahren getrennt gelebt hatten. Das Bezirksgericht schied die Ehe denn auch nicht gestützt auf ein gemeinsames Begehren (Art. 292 Abs. 1 ZPO), sondern in Anwendung von Art. 114 ZGB (in Verbindung mit Art. 292 Abs. 2 ZPO; s. Sachverhalt Bst. B.b). Daran ändert auch der Umstand nichts, dass die Beschwerdegegnerin in ihrer Klageantwort vom 31. Oktober 2011 selbst den Antrag stellte (s. Sachverhalt Bst. B.a), die Ehe zu scheiden, die Parteien sich über den Grundsatz der Scheidung also einig waren (DENIS TAPPY, in: Bohnet et al., CPC, Code de procédure civile commenté, 2011, N 6 und 11 zu Art. 292 ZPO). Wie der Beschwerdeführer selbst zutreffend ausführt, konnte die Beschwerdegegnerin mit ihrem eigenen Scheidungsantrag seine Klage auch nicht im Sinne von Art. 241 ZPO anerkennen. Die unmittelbare Erledigung des Scheidungsprozesses bzw. die Scheidung der Ehe lässt sich nicht dadurch herbeiführen, dass der eine Ehegatte dem Richter gegenüber einseitig erklärt, die Scheidungsklage des andern zu anerkennen. Nur das Gericht kann die Ehe durch Scheidung auflösen. Als er mit Urteil vom 19. Juni 2015 die Scheidung aussprach, befand der Einzelrichter am Bezirksgericht March deshalb nicht nur über das Scheidungsbegehren des Beschwerdeführers, sondern auch über dasjenige der Beschwerdegegnerin.
4.2. Nun hält der Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin aber entgegen, dass sie mit dem besagten Antrag in ihrer Klageantwort keine Widerklage erhoben habe, um ihren eigenständigen, höchstpersönlichen Anspruch auf Scheidung geltend zu machen. Schon deshalb habe er seine Klage zurückziehen können. Der Beschwerdeführer äussert sich jedoch nicht dazu, wie die Beschwerdegegnerin in einem Prozess, der sich ausschliesslich um eine Scheidung nach Art. 114 ZGB dreht, eine Widerklage hätte stellen müssen bzw. woran es hierzu im konkreten Fall fehlte. Insofern erscheint fraglich, ob er den Anforderungen an die Begründung einer Beschwerde an das Bundesgericht (Art. 42 Abs. 2 BGG) genügt. Auch so geht sein Einwand aber an der Sache vorbei. Eine Widerklage ist eine Klage, mit welcher die beklagte Partei ein selbständiges Ziel verfolgt, indem sie einen von der Vorklage nicht erfassten, unabhängigen Anspruch ins Recht legt, den sie auch separat hätte einklagen können (BGE 123 III 35 E. 3c S. 47). Sind die Eheleute auf den Richter angewiesen, um sich des Bandes ihrer Ehe zu entledigen, so kann es eine Widerklage im beschriebenen Sinne jedenfalls insofern nicht geben, als die Auflösung der Ehe als solche aus ein und demselben Scheidungsgrund infrage steht: Selbst wenn sich der beklagte Ehegatte nicht auf ein Scheidungsbegehren in einer Klageantwort beschränkt, sondern in einem eigenständigen Rechtsbehelf im Sinne einer vermeintlichen "Widerklage" die Abweisung der Vorklage beantragt und ein eigenes Scheidungsbegehren stellt, vermag er mit einer derartigen Vorgehensweise kein Ziel zu verfolgen, das von der Vorklage nicht abhängig bzw. bereits erfasst wäre. Soweit der beklagte Ehegatte in Übereinstimmung mit dem klagenden denselben Scheidungsgrund für gegeben hält, fusst sein Rechtsbegehren - genau wie dasjenige des Klägers - nämlich auf demselben Lebenssachverhalt: Der Tatsache, dass die Eheleute bei Eintritt der Rechtshängigkeit der Klage mindestens zwei Jahre getrennt gelebt haben (Art. 114 ZGB). Dass die Beschwerdegegnerin die Scheidung aus einem anderen Grund als demjenigen des Getrenntlebens angestrebt und es verpasst hätte, diesen anderen Scheidungsgrund widerklageweise geltend zu machen, behauptet der Beschwerdeführer nicht und ist auch nicht ersichtlich. Gibt es in einem Prozess, in dem nur ein einziger Scheidungsgrund zu beurteilen ist, hinsichtlich des Scheidungspunkts aber gar keine Widerklage im Rechtssinne, so ist auch dem Einwand des Beschwerdeführers der Boden entzogen, wonach die Beschwerdegegnerin den Rückzug seiner Scheidungsklage nicht mit einer Widerklage zu verhindern gewusst habe.
4.3. Zu prüfen bleibt, welche Bewandtnis es bei der gegebenen prozessualen Ausgangslage mit dem Rückzug der Klage des Beschwerdeführers hat.
4.3.1. Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung, die noch unter der Herrschaft des alten Scheidungsrechts (in Kraft bis zum 31. Dezember 1999) erging, war der Rückzug der Scheidungsklage in jeder Instanz zulässig, solange die Scheidungsfrage noch rechtshängig war. Selbst ein Ehegatte, der in oberer kantonaler Instanz mit einem solchen Begehren im Scheidungspunkt obsiegt hatte, konnte den Klagerückzug noch vor Bundesgericht erklären, ja es war ihm auch gestattet, trotz Fehlens einer Beschwernis die Angelegenheit beim Bundesgericht allein zum Zweck des Klagerückzugs anhängig zu machen. Derartige Rückzugserklärungen waren "um ihrer eherechtlichen Bedeutung willen" auch dann zuzulassen, wenn keine Partei durch das Urteil der oberen kantonalen Instanz beschwert ist, zur Einlegung einer eigentlichen Berufung an das Bundesgericht also keine Partei berechtigt wäre (ausführlich BGE 84 II 232 E. 3 S. 235 ff.). Im konkreten Fall hatten sich die Eheleute im kantonalen Rechtsmittelverfahren darauf geeinigt, gestützt auf Art. 142 aZGB ein gemeinsames Scheidungsbegehren zu stellen. Das Obergericht schied die Ehe in Anwendung der erwähnten Norm und stellte ihnen das Urteil am 14. April 1958 zu. Am 3. Mai 1958 reichte der Mann beim Obergericht zuhanden des Bundesgerichts Berufung ein. Er erklärte den Rückzug der Klage, weil er sich mit der Frau ausgesöhnt habe und sie gemeinsam beschlossen hätten, die eheliche Gemeinschaft fortzuführen. "Zum Zeichen des Einverständnisses mit dem Klagerückzug" unterzeichnete auch die Frau diese Eingabe (BGE a.a.O., Sachverhalt Bst. A-C S. 233 f.). In seinen rechtlichen Erwägungen hielt das Bundesgericht ausdrücklich fest, dass das obergerichtliche Urteil "infolge der beidseitigen Rückzugserklärungen der Parteien ohne weiteres dahingefallen" sei (BGE a.a.O., E. 5 S. 239). Der zitierte Entscheid gibt also keine Antwort auf die hier streitige Frage, ob ein Ehegatte seine Scheidungsklage auch gegen den Willen des anderen zurückziehen, allein zu diesem Zweck an eine obere Instanz gelangen und auf diese Weise den Scheidungsprozess insgesamt zu Fall bringen kann, obwohl die untere Instanz die Scheidung gestützt auf ein und denselben - unbestrittenen - Scheidungsgrund ausgesprochen, der rückzugswillige Ehegatte mit seinem Begehren im Scheidungspunkt in unterer Instanz also obsiegt hat.
4.3.2. Nichts anderes ergibt sich aus BGE 82 II 81, den auch BGE 84 II 232 erwähnt. In jenem Entscheid gestattete das Bundesgericht der Frau, ihre auf Art. 137 aZGB gestützte Scheidungsklage gleichzeitig mit der Berufung an das Bundesgericht zurückzuziehen, losgelöst davon, ob sich die Parteien unterdessen "ausgesöhnt haben". Dem Entscheid zufolge ist diese Befugnis zum Klagerückzug Ausfluss des höchstpersönlichen Rechts, über den Scheidungsanspruch zu verfügen, solange wenigstens die Scheidungsfrage noch die Gerichte beschäftigt. Im konkreten Fall erachtete das Bundesgericht den Rückzug auch nicht als rechtsmissbräuchlich, da die Ehefrau im kantonalen Verfahren mit ihren Begehren hinsichtlich der Nebenfolgen in wesentlichen Punkten nicht oder nur teilweise durchgedrungen war und deshalb keine Gewähr dafür besass, vor Bundesgericht ein für sie günstiges Urteil erstreiten zu können (BGE 82 II 81 E. 1 S. 82 ff.). Im kantonalen Verfahren hatte das Obergericht die Scheidungsklage der Ehefrau gutgeheissen und die Ehe wegen Ehebruchs geschieden (Art. 137 aZGB). Die Widerklage, mit welcher der Ehemann gestützt auf Art. 142 aZGB (Zerrüttung des ehelichen Verhältnisses) ebenfalls die Scheidung verlangt hatte, war abgewiesen worden, weil die tiefe Zerrüttung im Sinne von Art. 142 Abs. 2 aZGB der Schuld des Ehemannes zuzuschreiben war (BGE a.a.O., Sachverhalt Bst. A-C S. 81 f.). Auch aus diesem Entscheid lässt sich für die heute zu beurteilende Streitfrage nichts gewinnen. Zwar folgt aus dem resümierten Entscheid, dass die Ehefrau ihre Scheidungsklage auch gegen den Willen des Ehemannes in der nächsthöheren Instanz zurückziehen konnte, hielt der Ehemann vor Bundesgericht doch an der Scheidung fest. Allerdings tat er dies, um an der Auflösung der Ehe aus einem anderen Scheidungsgrund festzuhalten. Im Unterschied zum heutigen Streit betraf der Rückzug im damaligen Prozess nur einen von zwei voneinander unabhängigen Streitgegenständen, die dem Richter mit zwei je selbständigen Klagen zur Beurteilung unterbreitet worden waren. Dies zeigt sich auch am Urteilsspruch des Bundesgerichts, das die Auflösung der Ehe infolge Gutheissung der Klage der Frau als dahingefallen erklärt und die Abweisung der Klage des Mannes bestätigt (BGE a.a.O., Dispositiv, S. 84).
4.3.3. Im Ergebnis beharrt die Beschwerdegegnerin zu Recht auf ihrem eigenen Anspruch, vom Richter nach Massgabe von Art. 114 ZGB die Auflösung ihrer Ehe nach Getrenntleben verlangen zu können. Der Beschwerdeführer vermag dem Bundesgericht nicht zu aufzuzeigen, wie das Kantonsgericht angesichts seines Klagerückzugs nicht nur sein eigenes, sondern auch das Scheidungsbegehren der Beschwerdegegnerin als dahingefallen hätte erklären können, obwohl sich diese mit Ziffer 1 des erstinstanzlichen Urteilsspruchs (Auflösung der Ehe) abgefunden hatte. Dass die Beschwerdegegnerin vor erster Instanz ausdrücklich ein entsprechendes Rechtsbegehren gestellt hat, stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede. Sein Einwand, dass sie mit diesem Begehren keine (förmliche) Widerklage erhoben habe und deshalb nichts damit ausrichten könne, ist aus den dargelegten Gründen (s. E. 4.2) unbehelflich. So aber bleibt es dabei, dass das erstinstanzliche Urteil die Scheidungsbegehren beider Ehegatten erfasst (s. E. 4.1) und dass dem Ansinnen des Beschwerdeführers, seine auf Art. 114 ZGB gestützte Scheidungsklage im Berufungsverfahren zurückzuziehen, die Entscheidung der Beschwerdegegnerin gegenübersteht, die Auflösung der Ehe nach Art. 114 ZGB im Berufungsverfahren nicht anzufechten. Auch die überkommene Maxime des "favor matrimonii" ist in einer Konstellation, wie sie hier gegeben ist, kein Grund für den Richter, sich über die prozessualen Gegebenheiten hinwegzusetzen und dem rückzugswilligen Ehegatten gegenüber dem scheidungswilligen einfach den Vorrang einzuräumen. Beantragen die Eheleute dem Richter wenn auch klageweise, so doch übereinstimmend aus demselben Grund die Auflösung ihrer Ehe, so können sie diesen einen Prozessgegenstand auch nur noch gemeinsam fallen lassen. Der Beschwerdeführer irrt sich deshalb, wenn er meint, bei der gegebenen Ausgangslage allein über seinen Scheidungsanspruch verfügen zu können. Ein Klagerückzug, wie er ihn sich vorzustellen scheint, käme höchstens dort in Frage, wo sich der beklagte Ehegatte der Klage auf Auflösung der Ehe widersetzt oder - im Sinne einer echten Widerklage - die Scheidung aus einem anderen Grund verlangt. Hier aber ist weder die eine noch die andere Alternative gegeben.
4.4. Wie die vorigen Erwägungen zeigen, hatte der Beschwerdeführer in der gegebenen prozessualen Situation von vornherein gar nicht das Recht, seine Scheidungsklage im Rahmen seiner Berufung zurückzuziehen und auf diese Weise einseitig über den Streitgegenstand zu verfügen. Mit dieser Ersatzbegründung (E. 2) ist der Entscheid des Kantonsgerichts, die Hauptberufung des Beschwerdeführers abzuweisen (s. Sachverhalt Bst. C.d), im Ergebnis zu bestätigen. Bestand aber gar kein Recht auf einen solchen Rückzug der Scheidungsklage, so erübrigen sich weitere Erörterungen zur Frage, ob der Beschwerdeführer dieses Recht im Sinne Art. 2 Abs. 2 ZGB allenfalls missbräuchlich ausgeübt hat.
5.
Mit den erwähnten Einschränkungen (s. E. 1.2) bleibt zu prüfen, ob die Vorinstanz die kantonale Beschwerde gegen die Verweigerung des Armenrechts für das erstinstanzliche Verfahren zu Recht abweist.
5.1. Die Vorinstanz stellt fest, dass die erste Instanz mit dem Entscheid über das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege rund vier Jahre zugewartet und erst zusammen mit dem Entscheid in der Hauptsache darüber entschieden hat. Aufgrund des zweiten Schriftenwechsels seien dem Beschwerdeführer durch diese Rechtsverzögerung bis zum Entscheid über das Gesuch weitere Kosten entstanden. Allein diese Rechtsverzögerung verschaffe dem Beschwerdeführer jedoch keinen unabhängigen und selbständigen Anspruch auf Bewilligung des Armenrechts. Das Kantonsgericht verwirft auch die These des Beschwerdeführers, wonach der erstinstanzliche Richter das Gesuch sinngemäss und stillschweigend gutgeheissen habe, weil er während der ganzen vier Jahre keinen Verfahrenskostenvorschuss eingefordert habe. Nachdem der Armenrechtsentscheid von Gesetzes wegen schriftlich eröffnet werden müsse, sei eine stillschweigende Eröffnung gar nicht möglich; ausserdem sei der erstinstanzliche Richter nicht verpflichtet gewesen, einen Kostenvorschuss einzuholen, handle es sich bei Art. 98 ZPO doch um eine Kann-Bestimmung.
In der Sache stellt die Vorinstanz fest, dass dem Beschwerdeführer aufgrund einer Schuldbrieferhöhung am 13. Mai 2011 Fr. 80'000.-- und einige Monate zuvor Fr. 20'000.-- zugekommen seien. Nur wenige Monate danach habe er in seinem Armenrechtsgesuch geltend gemacht, über kein Vermögen zu verfügen. Der Beschwerdeführer habe weder im Gesuch vom 31. August 2011 noch in seiner Eingabe vom 28. Februar 2013 noch in seiner Beschwerde vom 6. Juli 2015 dargetan, was mit diesem Vermögen geschehen ist. Ausserdem habe er lediglich einen Kontoauszug für den Zeitraum vom 1. bis 31. Januar 2011 eingereicht. Es sei dem erstinstanzlichen Richter zuzustimmen, wenn er es für unglaubwürdig erachte, dass der Beschwerdeführer bereits rund drei Monate nach der Auszahlung von Fr. 80'000.-- über keinerlei Vermögen mehr verfügt habe. Der Beschwerdeführer habe seine Vermögensverhältnisse nicht genügend offengelegt, indem er lediglich den Kontoauszug für den Zeitraum eines Monats eingereicht habe. Dementsprechend habe er seine Bedürftigkeit nicht glaubhaft gemacht.
5.2. Was den Zeitpunkt des erstinstanzlichen Entscheids angeht, beruft sich der Beschwerdeführer auf die Praxis, wonach die Behörde das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung umgehend entscheiden müsse, damit Klient und Rechtsvertreter sich über das finanzielle Kostenrisiko Klarheit verschaffen können. Der Anspruch auf unentgeltliche Verbeiständung würde seines Gehalts entleert, wenn die Behörden den Entscheid über das Gesuch hinausschieben könnten, um es im Rahmen der Kostenregelung abzuweisen. Aus dem Fairnessgebot (Art. 29 Abs. 1 BV) und dem Rechtspflegeanspruch (Art. 29 Abs. 3 BV) folge, dass über ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung in der Regel zu entscheiden sei, bevor der Gesuchsteller weitere, in erheblichem Masse Kosten verursachende prozessuale Schritte unternimmt. Nach der Meinung des Beschwerdeführers hätte der erstinstanzliche Richter nicht mehr als zwei Jahre zuwarten dürfen, um das Armenrechtsgesuch "entscheidungsmässig zu behandeln und abzuweisen".
Der Grundsatz, dass über ein Gesuch um unentgeltliche Verbeiständung in der Regel zu entscheiden ist, bevor der Gesuchsteller weitere, in erheblichem Masse Kosten verursachende prozessuale Schritte unternimmt, gilt nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung in denjenigen Fällen, in denen der Rechtsvertreter nach Einreichung des Gesuchs gehalten ist, weitere Verfahrensschritte zu unternehmen (Urteile 1P.345/2004 vom 1. Oktober 2004 E. 4.3; 4A_20/2011 vom 11. April 2011 E. 7.2.2). Wie die Vorinstanz zutreffend festhält, kann der Beschwerdeführer gestützt auf diese Rechtsprechung seinen Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege nicht losgelöst von den verfassungsmässigen Anspruchsvoraussetzungen (Art. 29 Abs. 3 BV) einfach daraus ableiten, dass sich das Bezirksgericht March nicht an die erwähnten Vorgaben gehalten hat. Vielmehr hätte sich der Beschwerdeführer mit einer Rechtsverzögerungsbeschwerde (Art. 319 Bst. c ZPO) zur Wehr setzen können und müssen, wenn er (nach Ablauf zweier Jahre) nicht länger auf den Armenrechtsentscheid warten wollte. Dass er dies getan oder sich beim Bezirksgericht auch nur nach dem Stand des Gesuchsverfahrens erkundigt hätte und seine prozessualen Vorkehren im kantonalen Rechtsmittelverfahren übersehen worden wären, macht der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht geltend. Selbst untätig zu bleiben, um daraus später einen Rechtsvorteil abzuleiten, verträgt sich nicht mit dem Gebot, wonach alle am Verfahren beteiligten Personen nach Treu und Glauben zu handeln haben (Art. 52 ZPO). Die Beschwerde ist in dieser Hinsicht unbegründet.
5.3. Was seine Bedürftigkeit betrifft, verweist der Beschwerdeführer auf die Chronologie der Ereignisse. Die Schuldbrieferhöhung datiere vom 13. Mai 2011, die Klageschrift vom 27. Juni 2011 und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege vom 31. August 2011. Danach sei er weder von ersten noch von der zweiten Instanz gefragt worden, was mit den Fr. 80'000.-- bzw. Fr. 20'000.-- geschehen sei. Erstellt sei, dass er per Klageeinreichung vom 27. Juni 2011 diese finanziellen Mittel nicht mehr gehabt habe, also im Sinne des Gesetzes mittellos gewesen sei. Dem Kantonsgericht wirft er vor, ohne Nachprüfung einfach anzunehmen, dass es unglaubwürdig sei, dass er rund drei Monate nach der Auszahlung von Fr. 80'000.-- über keinerlei Vermögen mehr verfügt habe. Das sei "willkürliche Sachverhaltsfeststellung, reine (falsche) Spekulation". Die kantonalen Instanzen hätten es willkürlich unterlassen, ihn einer persönlichen Befragung zu unterziehen. Sie hätten ihn auch auffordern können, die Kontoauszüge ab 1. Februar 2011 bis zum Beispiel 31. Januar 2012 einzureichen. Auch dies hätten sie nicht getan.
Die Vorwürfe sind unbegründet. Wer um unentgeltliche Rechtspflege ersucht, hat zur Glaubhaftmachung seiner Bedürftigkeit seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse umfassend darzustellen und soweit möglich auch zu belegen (BGE 120 Ia 179 E. 3a S. 181 f.). Die mit dem Gesuch befasste Behörde ist weder verpflichtet, den Sachverhalt von sich aus nach jeder Richtung hin abzuklären, noch muss sie unbesehen alles, was behauptet wird, von Amtes wegen überprüfen (Urteile 5A_65/2009 vom 25. Februar 2009 E. 4.3 und 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 3.1). Vielmehr trifft den Gesuchsteller eine umfassende Mitwirkungsobliegenheit (Urteile 5A_897/2013 vom 8. Juli 2014 E. 3.1 und 5A_761/2014 vom 26. Februar 2015 E. 3.2). Kommt er dieser Obliegenheit nicht nach, kann das Gericht die Bedürftigkeit ohne Verletzung des verfassungsmässigen Anspruchs verneinen und das Armenrechtsgesuch abweisen (BGE 125 IV 161 E. 4a S. 164 f.; Urteile 5A_382/2010 vom 22. September 2010 E. 3.1; 2C_683/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 3.1.1; 5A_761/2014 vom 26. Februar 2015 E. 3.2; 5A_142/2015 vom 5. Januar 2016 E. 3.7). Es wäre daher am Beschwerdeführer gewesen, in seinem Gesuch vom 31. August 2011offenzulegen, was mit den Mitteln aus den Schuldbrieferhöhungen (E. 5.1) geschehen ist. Eine Verpflichtung des Richters, den Beschwerdeführer danach zu befragen oder ihn zu dieser Frage sogar persönlich anzuhören, bestand nicht. Der Beschwerdeführer kann sich angesichts seiner Mitwirkungsobliegenheit auch nicht damit entschuldigen, vom Gericht nie aufgefordert worden zu sein, sich zu erklären. Die Beschwerde ist auch in dieser Hinsicht unbegründet.
6.
In einem letzten Punkt wirft der Beschwerdeführer dem Kantonsgericht vor, sein Armenrechtsgesuch für die kantonalen Rechtsmittelverfahren "de facto und de jure" nicht zu behandeln. Darin erblickt er eine Verletzung von Art. 29 Abs. 1 und 2 BV. Die Rüge ist insoweit gegenstandslos, als das Kantonsgericht dem Beschwerdeführer für das Berufungsverfahren eine "reduzierte Parteientschädigung" von Fr. 1'500.-- zuspricht. Zu Unrecht geht die Vorinstanz aber davon aus, dass sich unter diesen Umständen "Weiterungen zu den Begehren des Klägers und der Beklagten um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung im Berufungsverfahren erübrigen". Zum einen wurde dem Beschwerdeführer bloss eine reduzierte Parteientschädigung zugesprochen. Zum andern verurteilt ihn das Kantonsgericht, im Umfang von Fr. 1'333.-- für die Kosten des Berufungsverfahrens aufzukommen. Dass der Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren zu zwei Dritteln (namentlich im Scheidungspunkt) unterlegen ist, ersetzt keine Auseinandersetzung mit der Frage, ob das eingereichte Rechtsmittel Aussicht auf Erfolg hatte. Schliesslich ist daran zu erinnern, dass die Bedürftigkeit grundsätzlich anhand der wirtschaftlichen Situation der gesuchstellenden Partei im Zeitpunkt der Gesuchseinreichung zu beurteilen ist (Urteil 5A_58/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 3.3.1 und 3.3.2). Daraus folgt, dass die Frage der Bedürftigkeit des Beschwerdeführers im vorinsta nzlichen Verfahren neu zu beurteilen war und dafür nicht auf die Situation vor erster Instanz abgestellt werden konnte.
7.
Im Ergebnis ist die Beschwerde teilweise, das heisst insoweit gutzuheissen, als sich die Vorinstanz nicht mit dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das vorinstanzliche Verfahren befasst hat. Im Übrigen ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Beschwerdeführer für (reduzierte) Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Dem Kanton Schwyz sind keine Kosten aufzuerlegen; er hat den Beschwerdeführer aber für seinen Aufwand für das Verfahren vor dem Bundesgericht zu entschädigen, soweit davon das nicht behandelte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege betroffen ist (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). In der Hauptsache unterliegt der Beschwerdeführer. Er hat die Beschwerdegegnerin, die sich zur Beschwerde hat vernehmen lassen und mit ihrem Hauptantrag durchgedrungen ist, zu entschädigen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG). Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht ist abzuweisen, soweit es durch das vorgängig Gesagte nicht gegenstandslos geworden ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Eine Aussicht auf Erfolg bestand zum vorneherein nicht.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Ziffer 2 des Beschlusses des Kantonsgerichts Schwyz, 1. Zivilkammer, vom 15. Dezember 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Prüfung des Gesuchs des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Berufungsverfahren an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege für das Verfahren vor dem Bundesgericht wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
5.
Der Kanton Schwyz hat den Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'000.-- zu entschädigen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, 1. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Oktober 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn