Erwägungen:
1.
A._ erhob gegen die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat vom 2. Mai 2016 Beschwerde. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich forderte ihn mit Verfügung vom 19. Mai 2016 auf, innert 30 Tagen zur Deckung der allfällig ihn treffenden Prozesskosten eine Prozesskaution im Sinne von Art. 383 StPO von Fr. 2'000.-- zu leisten, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten werde.
2.
Mit Eingabe vom 16. Juni 2016 führt A._ Beschwerde in Strafsachen gegen die Verfügung der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer legt nicht dar, inwiefern die Aufforderung zur Leistung einer Sicherheit im Sinne von Art. 383 StPO im Beschwerdeverfahren gegen eine Nichtanhandnahmeverfügung Recht im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG verletzen sollte. Aus seinen Ausführungen ergibt sich nicht, weshalb die Verfügung der III. Strafkammer rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht. Auf sie ist deshalb im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten.
4.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat, und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli