Faits :
A.
A.a. Par contrat de travail du 31 octobre 2011, Z._ a été engagé en qualité d'employé logistique pour une durée indéterminée par X._ SA.
L'employeuse a résilié le contrat le 28 janvier 2012, avec effet au 31 mars 2012. Ultérieurement, par courrier du 16 mars 2012, elle a admis le report du terme de la résiliation ordinaire au 30 avril 2012 en raison d'arrêts-maladie de l'employé (art. 105 al. 2 LTF).
A.b. L'employé ayant adressé un courrier électronique injurieux aux représentants de l'employeuse dans la nuit du 20 au 21 mars 2012, celle-ci a résilié le contrat de travail avec effet immédiat le 21 mars 2012.
B.
B.a. Par requête du 12 mars 2012, déposée donc avant que ne lui soit notifiée la résiliation immédiate de son contrat de travail, l'employé (demandeur), agissant seul, a requis le " Tribunal des prud'hommes " de Neuchâtel de condamner son employeuse (défenderesse) au paiement de six mois de salaire à titre d'indemnité pour licenciement abusif et, subsidiairement, au paiement de dommages-intérêts pour préjudice moral. Cette requête a été traitée comme une requête de conciliation.
La procédure de conciliation ainsi introduite s'est poursuivie. Dans sa détermination du 26 mars 2012 sur la requête de conciliation, la défenderesse a indiqué qu'elle avait depuis lors licencié le demandeur avec effet immédiat le 21 mars 2012, si bien qu'elle a contesté la prétention de l'employé relative aux salaires de mars et avril 2012. L'audience de conciliation tenue le 26 avril 2012 a porté sur l'ensemble des circonstances de la rupture du contrat de travail.
La conciliation ayant échoué, la Chambre de conciliation du Littoral et du Val-de-Travers a délivré à l'employé le 26 avril 2012 une autorisation de procéder portant sur les montants de 24'000 fr. bruts (six mois de salaire) à titre d'indemnité pour licenciement abusif, de 4'500 fr. nets pour le salaire du mois de mars 2012 et de 3'700 fr. bruts pour le salaire du mois d'avril 2012, soit au total 32'200 fr.
Par requête succincte adressée le 1er mai 2012 au Tribunal régional du Littoral et du Val-de-Travers, l'employé a conclu à la condamnation de son employeuse à lui payer le montant total de 34'211 fr.35. La procédure ordinaire étant applicable à la cause, l'employé a été invité par le juge à déposer une demande conforme à l'art. 221 CPC, dans un délai au 31 mai, prolongé par la suite au 25 juin 2012 (art. 132 al. 1 CPC), sous peine d'irrecevabilité de sa demande.
B.b. L'employé, probablement assisté sur le plan juridique, a déposé sa demande le 22 juin 2012, concluant au paiement de 32'200 fr., comme devant la Chambre de conciliation.
Statuant sur appel contre la décision incidente du Tribunal régional du 22 août 2012, qui avait admis la recevabilité de la demande, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois a déclaré celle-ci irrecevable par arrêt du 5 mars 2013, les exigences de l'art. 221 CPC, applicables à la rédaction de la demande en procédure ordinaire, n'étant pas remplies. La cour cantonale a toutefois précisé au demandeur qu'il disposait d'un délai d'un mois à compter de la notification de l'arrêt pour introduire une nouvelle demande valable en la forme (art. 63 CPC).
B.c. Par l'intermédiaire d'un mandataire, l'employé a déposé une nouvelle demande le 9 avril 2013 devant le Tribunal régional, dans laquelle il a modifié ses conclusions et leur fondement: se basant sur la résiliation immédiate prétendument injustifiée du 21 mars 2012, il réclame les montants de 9'323 fr. 85 bruts pour licenciement immédiat injustifié (la première résiliation étant nulle, car intervenue pendant une période de protection légale) et de 11'100 fr. nets (trois mois de salaire à titre d'indemnité selon l'art. 337c al. 3 CO), avec intérêts à 5% l'an dès le 22 mars 2012. La valeur litigieuse étant ainsi réduite à moins de 30'000 fr., il a invoqué l'application de la procédure simplifiée des art. 243 ss CPC et la dispense de frais judiciaires.
La procédure a été limitée à la question de la recevabilité de cette demande.
L'employeuse défenderesse a conclu à l'irrecevabilité de cette nouvelle demande, dès lors qu'elle avait été modifiée par rapport à la demande initiale et que cela entraînait le remplacement de la procédure ordinaire par la procédure simplifiée.
Parallèlement, l'employé a obtenu l'assistance judiciaire pour cette procédure.
Par décision du 6 novembre 2015, le Tribunal régional a admis la recevabilité de la demande. En bref, il a considéré que les conditions de l'art. 227 CPC, applicable par analogie, étaient réalisées, un lien de connexité existant entre les prétentions puisqu'elles découlent toutes du même rapport de travail; il a exclu l'application de l'art. 63 CPC.
Statuant sur l'appel de la défenderesse par arrêt du 25 octobre 2016, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois l'a rejeté et a confirmé la décision précitée du 6 novembre 2015. Elle a examiné d'abord si les conditions de l'art. 227 CPC étaient remplies, ce qu'elle a admis, a exclu ensuite que l'art. 63 CPC puisse s'appliquer et, enfin, a considéré que, dans son arrêt du 5 mars 2013, elle avait appliqué à tort l'art. 63 CPC en lieu et place de l'art. 132 CPC; la cour cantonale a donc admis l'application de cette disposition, qui peut l'être plusieurs fois, à défaut de quoi le demandeur serait exposé à ne plus pouvoir invoquer l'art. 336b al. 2 CO, et ce de manière contraire à la bonne foi.
C.
La défenderesse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral contre l'arrêt du 25 octobre 2016, concluant à sa réforme en ce sens que la demande du 9 avril 2013 soit déclarée irrecevable. Elle invoque qu'il y a eu violation de l'autorité de la chose jugée de l'arrêt de la Cour d'appel civile rendu le 5 mars 2013 et, par suite, que cette nouvelle demande est intervenue sans préalable de conciliation; même si l'art. 63 CPC pouvait s'appliquer, la demande initiale ne pourrait être modifiée au point d'entraîner le remplacement de la procédure ordinaire par la procédure simplifiée; enfin, les conditions de l'art. 227 CPC ne seraient pas remplies.
La cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.
L'intimé conclut au rejet du recours, dans la mesure où il est recevable, et à la confirmation de l'arrêt attaqué.
Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué est une décision incidente au sens de l'art. 92 LTF dès lors qu'il admet la compétence fonctionnelle du Tribunal régional pour statuer sur la nouvelle demande du 9 avril 2013, comme réintroduction de la demande initiale du 22 juin 2012, et ce malgré un prononcé d'irrecevabilité de celle-ci.
Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) par l'employeuse défenderesse qui a succombé en instance cantonale (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre un arrêt rendu sur appel par le tribunal supérieur du canton (art. 75 LTF) dans une affaire de contrat de travail (art. 72 al. 1 LTF), dont la valeur litigieuse est supérieure à 15'000 fr. (art. 74 al. 1 let. a LTF), le présent recours en matière civile est recevable.
1.2. Le Tribunal fédéral applique d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (art. 105 al. 1 LTF). Il n'est pas limité par les arguments soulevés dans le recours ni par la motivation retenue par l'autorité précédente; il peut donc admettre un recours pour d'autres motifs que ceux qui ont été articulés ou, à l'inverse, rejeter un recours en adoptant une argumentation différente de celle de l'autorité précédente (ATF 135 III 397 consid. 1.4 et l'arrêt cité).
2.
Lorsque l'employeur résilie le contrat de travail du travailleur, les prétentions de celui-ci sont soumises, selon les cas, à un délai de prescription ou à un délai de péremption.
2.1. Le délai de prescription est interrompu (art. 135 ch. 2 CO), respectivement le délai de péremption est respecté (art. 64 al. 2 CPC; arrêt 4A_560/2015 du 20 mai 2016 consid. 4.1.2; ATF 130 III 515 consid. 3 p. 517), lorsque l'employé ouvre action en justice. Sous réserve des exceptions prévues par les art. 198 et 199 CPC, l'action doit être ouverte par une requête de conciliation (art. 197 CPC); celle-ci crée aussi la litispendance (art. 62 al. 1 CPC; sur les notions d'ouverture d'action et de litispendance, cf. ATF 142 III 782 consid. 3.1.3). En cas d'échec de la conciliation, l'autorité de conciliation délivre une autorisation de procéder (ATF 139 III 273 consid. 2.1); le demandeur doit suivre en cause en introduisant sa demande devant le tribunal dans le délai de péremption fixé par l'art. 209 al. 3 et 4 CPC. Il s'agit d'un délai de péremption d'instance, qui est soumis aux règles de calcul du CPC; à son échéance, l'autorisation de procéder, qui est une condition de recevabilité de la demande, est périmée (art. 59 CPC; ATF 139 III 273 consid. 2.1).
En règle générale, le délai de péremption d'instance est de trois mois à compter de la délivrance de l'autorisation de procéder (art. 209 al. 3 CPC). Ce délai de péremption d'instance est sauvegardé, et la litispendance perdure, si la demande est introduite en temps utile devant le tribunal, et ce même si l'une ou l'autre des conditions de recevabilité de celle-ci ne sont pas réunies. Si elle est affectée d'un vice de forme, le tribunal fixe un délai à son auteur pour la rectifier (art. 132 al. 1 CPC).
2.2. Le tribunal statue sur la recevabilité de la demande et, si le délai de péremption d'instance n'est pas respecté ou d'autres conditions de recevabilité ne sont pas réunies, il prononce l'irrecevabilité de la demande (art. 59 al. 1 CPC; ATF 139 III 273 consid. 2).
Lorsque le tribunal a prononcé l'irrecevabilité de la demande, il est dessaisi de la cause (ATF 139 III 120 consid. 2). Sa compétence relativement à celle-ci s'est éteinte; il ne peut donc plus modifier sa décision, sauf lorsqu'il est saisi d'une demande de révision (art. 328 ss CPC), d'une requête d'interprétation ou de rectification (art. 334 CPC) ou encore d'une requête de restitution de délai (art. 148 CPC) (ATF 139 III 120 consid. 2). En principe, seules les décisions sur le fond (Sachentscheide) sont revêtues de l'autorité de la chose jugée (matérielle); les décisions d'irrecevabilité ont tout au plus l'autorité de la chose jugée en ce qui concerne la question de recevabilité tranchée (ATF 115 II 187 consid. 3a; 134 III 467 consid. 3.2).
2.3. En vertu de l'art. 63 al. 1 et 2 CPC, si la demande est retirée par le demandeur ou si elle est déclarée irrecevable pour cause d'incompétence du tribunal ou encore si elle n'a pas été introduite selon la procédure prescrite, le demandeur dispose d'un délai d'un mois dès le retrait ou le prononcé d'irrecevabilité pour la réintroduire devant le tribunal ou l'autorité de conciliation compétent, avec pour effet que l'instance est réputée introduite à la date du premier dépôt de la demande (sur le point de départ de ce délai, cf. ATF 138 III 610 consid. 2). Cette règle de litispendance rétroactive a pour effet que le délai de prescription ou de péremption du droit matériel est interrompu, respectivement sauvegardé à la date du dépôt de la demande initiale. Contrairement à ce qui prévalait sous l'empire de l'art. 139 aCO, l'art. 63 CPC ne s'applique pas lorsque font défaut d'autres conditions de recevabilité; les vices de forme doivent être rectifiés dans le délai imparti par le tribunal (art. 132 al. 1 CPC; ATF 141 III 481 consid. 3; arrêt 5A_39/2016 du 19 avril 2016 consid. 2).
2.4. Le prononcé d'irrecevabilité entraîne la cessation de la litispendance, avec effet rétroactif (cf. art. 63 al. 1 in fine CPC). Il n'a pas d'effet direct sur les délais de prescription ou de péremption du droit matériel. Le délai de prescription a été interrompu par la requête de conciliation (art. 135 ch. 2 CO), sans égard à la suite de la procédure, et un nouveau délai de prescription, de même durée que celui qui a été interrompu (art. 137 al. 1 CO), recommence à courir dès que la juridiction saisie clôt la procédure (art. 138 al. 1 CO). En ce qui concerne le délai de péremption, la fin de la litispendance entraîne indirectement la perte du droit si le délai de péremption du droit matériel a expiré dans l'intervalle; ce sera souvent le cas lorsque le délai de péremption prévu par le droit matériel est de courte durée (ATF 140 III 561 consid. 2.2.2.4).
3.
3.1. En l'espèce, par décision du 22 août 2012, le tribunal régional avait admis la recevabilité de la demande du 22 juin 2012. La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a toutefois réformé cette décision et déclaré cette demande irrecevable par arrêt du 5 mars 2013. Cet arrêt n'a pas fait l'objet d'un recours au Tribunal fédéral.
Il s'ensuit que la procédure introduite par la requête de conciliation du 12 mars 2012 est terminée, la litispendance ayant cessé. Le délai de péremption d'instance de trois mois (art. 209 al. 3 CPC) et, partant, l'autorisation de procéder délivrée au demandeur le 26 avril 2012, étaient donc périmés à la date du 9 avril 2013.
3.2. L'art. 63 al. 1 et 2 CPC ne s'applique pas en l'espèce, comme l'a d'ailleurs reconnu la cour cantonale. Etant dessaisie de la cause par son arrêt d'irrecevabilité du 5 mars 2013, la cour cantonale ne pouvait pas modifier cet arrêt et en quelque sorte substituer au délai de l'art. 63 CPC, qu'elle avait imparti, un nouveau délai de l'art. 132 CPC pour restaurer la litispendance de la procédure initiale qui avait cessé.
Il reste toutefois à examiner si, en raison de l'indication de la possibilité de réintroduire la demande dans le délai d'un mois figurant dans l'arrêt du 5 mars 2013, le demandeur devrait être protégé dans sa bonne foi.
3.2.1. On déduit du principe général de la bonne foi consacré à l'art. 5 al. 3 Cst. que les parties ne doivent subir aucun préjudice en raison d'une indication inexacte des voies de droit. Seul peut toutefois bénéficier de la protection de la bonne foi celui qui ne pouvait pas constater l'inexactitude de la voie de droit indiquée, même avec la diligence qu'on pouvait attendre de lui (ATF 138 I 49 consid. 8.3.2; 134 I 199 consid. 1.3.1). Il s'agit d'un principe général, dont le champ d'application n'est pas limité aux lois le consacrant expressément (cf. not. art. 49 LTF; ATF 123 II 231 consid. 8b; 119 IV 330 consid. 1c; 118 Ia 241 consid. 3c).
Cependant, une fausse indication ne saurait créer une voie de droit inexistante (ATF 129 III 88 consid. 2.1 in fine; 119 IV 330 consid. 1c; arrêts 4D_82/2012 du 30 octobre 2012 consid. 2.2; 5A_545/2012 du 21 décembre 2012 consid. 5.1).
3.2.2. In casu, l'indication d'un délai d'un mois pour réintroduire la demande avec effet à la date du premier dépôt de l'acte ne satisfait pas aux conditions de l'art. 63 CPC. L'indication erronée de ce délai ne saurait avoir pour effet de créer une possibilité de litispendance rétroactive qui n'existe pas légalement. Les conditions pour une protection de la bonne foi ne sont pas réalisées. C'est donc à tort que la cour cantonale a considéré que la nouvelle demande avait été déposée en temps utile.
Par ailleurs, les conditions d'une restitution de délai au sens de l'art. 148 CPC ne sont pas remplies.
3.3. Il s'ensuit que la demande déposée le 9 avril 2013 doit être déclarée irrecevable.
La question de savoir si la procédure de conciliation introduite le 12 mars 2012 et l'échec de la conciliation en audience du 26 avril 2012 a porté également sur la résiliation immédiate du contrat de travail est donc sans pertinence. Il en va de même du grief de violation de l'art. 227 CPC soulevé par la recourante.
Toute nouvelle demande devra être précédée d'une tentative de conciliation.
4.
Le recours doit ainsi être admis et l'arrêt attaqué réformé en ce sens que la demande déposée par le demandeur le 9 avril 2013 est irrecevable.
Les frais et dépens de la procédure fédérale doivent être mis à la charge de l'intimé demandeur, qui succombe (art. 66 al. 1, 68 al. 1 et 2 LTF). La cause sera retournée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les dépens des instances cantonales.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est réformé en ce sens que la demande du 9 avril 2013 est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
L'intimé versera à la recourante une indemnité de 1'000 fr. à titre de dépens.
4.
La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouvelle décision sur les dépens des instances cantonales.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 15 juin 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet