Erwägungen:
1.
Gegen Rechtsanwalt A._ wurde bei der Anwaltskammer des Kantons Solothurn durch eine schweizerische Versicherungsgesellschaft eine Aufsichtsanzeige eingereicht. Gegenstand derselben bildete der Vorwurf, A._ habe in missbräuchlicher Weise zwei Betreibungen gegen die Versicherungsgesellschaft über jeweils 500 Millionen Franken eingereicht, obwohl im einen Fall ein anspruchsverneinendes Endurteil des Bundesgerichts vorliege und es im anderen Fall bloss um eine Streitsumme von wenigen zehntausend Franken gehe.
In der Folge wurde die Aufsichtsanzeige A._ zur Stellungnahme zugestellt. Das daraufhin gegen ihren Präsidenten und ihren Sekretär gestellte Ausstandsbegehren von A._ wies die Anwaltskammer am 23. September 2015 ab; gegen diesen Entscheid erhob A._ eine Beschwerde, welche nun vor dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn hängig ist. Mit Instruktionsverfügung vom 20. Oktober 2016 (Umfang: 1 Seite) lehnte es die Präsidentin des Verwaltungsgerichts ab, das Beschwerdeverfahren bis zum rechtskräftigen Abschluss diverser von A._ angestrengten Datenherausgabeverfahren zu sistieren. Daraufhin stellte A._ gegen die Präsidentin des Verwaltungsgerichts nachträglich ein Ausstandsbegehren, auf welches mit Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 27. Oktober 2016 (Umfang inklusive Rubrum: 3 Seiten) nicht eingetreten wurde.
Sowohl gegen die genannte Instruktionsverfügung als auch gegen das erwähnte Urteil des Verwaltungsgerichts beschwert sich A._ am 18. November 2016 beim Bundesgericht; wegen übermässiger Weitschweifigkeit der Rechtsschrift (50 Seiten) wurde er indes zur Nachreichung einer verbesserten, d.h. massiv kürzeren Rechtsschrift aufgefordert. Am 25. November 2016 wurde eine neue, zwar kürzere, jedoch immer noch 29 Seiten umfassende Rechtsschrift eingereicht. Darin beantragt A._ im Wesentlichen die Aufhebung der genannten Entscheide sowie die Feststellung, dass sich sämtliche daran beteiligten Gerichtspersonen im Ausstand befinden. Zudem ersucht er um Erteilung der aufschiebenden Wirkung. Im Zusammenhang mit seinen Vorbringen und Anträgen rügt A._ eine Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV) und auf ein unabhängiges Gericht (Art. 30 Abs. 1 BV), der Rechtsweggarantie (Art. 29a BV), des Anspruchs auf wirksame Beschwerdeführung (Art. 13 EMRK), sowie verschiedener weiterer Prinzipien und prozessualen Bestimmungen.
Am 28. November 2016 ordnete das Bundesgericht den Aktenbeizug ohne Vernehmlassung an. Mit Verfügung vom 30. November 2016 erteilte der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts der Beschwerde superprovisorisch teilweise in dem Sinne eine aufschiebende Wirkung, als dem Verwaltungsgericht untersagt wird, ein Endurteil zu fällen.
2.
Vorliegend richtet sich die Beschwerde einerseits gegen den Nichteintretensentscheid vom 27. Oktober 2016 betreffend ein Ausstandsbegehren (vgl. Art. 92 Abs. 1 BGG), andererseits gegen die Instruktionsverfügung vom 20. Oktober 2016, mit welcher die Sistierung des beim Verwaltungsgericht anhängigen Beschwerdeverfahrens abgelehnt wurde. Betreffend den letzteren Entscheid wäre eine Beschwerde nur zulässig, wenn die Zwischenverfügung einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil bewirken könnte. Ob dies der Fall ist, erscheint aufgrund der nachstehenden Ausführungen als sehr fraglich. Wie es sich damit verhält, kann letztlich jedoch offen bleiben, zumal sich die Einwendungen des Beschwerdeführers als offensichtlich unbegründet erweisen, und die Beschwerde deswegen im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 Abs. 2 lit. a i.V.m. Abs. 3 BGG, d.h. mit summarischer Begründung und unter Verweis auf den angefochtenen Entscheid zu erledigen ist:
2.1. Der Beschwerdeführer verlangte bei der Vorinstanz die Sistierung des beim Verwaltungsgericht anhängig gemachten Verfahrens, zumal er diverse Datenherausgabeverfahren angestrebt hatte. Soweit ersichtlich, beabsichtigt er durch die herausverlangten Unterlagen zu belegen, dass (a) solothurnische Richter von vornherein nicht Einsitz in die solothurnische Anwaltskammer nehmen dürften, (b) die am Gericht tätigen Mitglieder der Anwaltskammer aus zeitlichen Gründen überhaupt nicht in der Lage seien, ihre Aufsichtstätigkeit über die Anwälte rechtsgenüglich auszuüben und (c) die Anwaltskammer in unzulässiger Weise stets auf Aufsichtsanzeigen eintrete, soweit diese durch Behörden und Versicherungen eingereicht würden. Indes legt er weder Unterlagen ins Recht noch trägt er sachverhaltliche Umstände vor, die seine Behauptungen bei objektiver Betrachtungsweise zumindest indiziell als plausibel erscheinen lassen würden. Vielmehr bringt er zum Ausdruck, er erhoffe sich, solche Unterlagen und Umstände durch die von ihm gestellten Editionsbegehren erst zu entdecken (vgl. Beschwerdeschrift S. 10 in fine). Bei dieser Sachlage ist weder eine Verletzung verfassungsmässiger Rechte, noch eine Missachtung von Bundesrecht oder eine willkürliche Rechtsanwendung kantonalen Gesetzesrechts darin zu erkennen, dass die Präsidentin des Verwaltungsgerichts in ihrer Verfügung vom 20. Oktober 2016 auf eine Verfahrenssistierung verzichtet hat. Ebenso wenig besteht Veranlassung dazu, die Informations- und Datenschutzbeauftragte des Kantons Solothurn im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren beizuladen, wie dies der Beschwerdeführer beantragt.
2.2. Aufgrund der obenstehenden Erwägungen sind entgegen den Ausführungen des Beschwerdeführers auch keine Gründe ersichtlich, die die Präsidentin des Verwaltungsgerichts verpflichtet hätten, sich in den Ausstand zu begeben. Namentlich ist ein solcher Grund nicht darin zu sehen, dass sich die Präsidentin - gemäss den Schilderungen des Beschwerdeführers - in einer Vernehmlassung vom 3. Oktober 2016 gegenüber der Informations- und Datenschutzbeauftragten des Kantons gegen eine Datenherausgabe ausgesprochen und zudem erklärt habe, es könnten nur existierende Dokumente herausgegeben werden.
2.3. Gemäss § 99 Abs. 1 des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 13. März 1977 über die Gerichtsorganisation (GO/SO) kann die zuständige Instanz das Nichteintreten auf ein Ablehnungsgesuch beschliessen, wenn dieses offensichtlich in der Absicht gestellt wurde, ein geordnetes Gerichtsverfahren zu verunmöglichen. Dieselbe Bestimmung sieht auch vor, dass der Richter, der bloss über die Ablehnung zu befinden hat, selbst nicht abgelehnt werden kann.
Aufgrund des nicht ersichtlichen Grundes für einen Ausstand der Präsidentin des Verwaltungsgerichts und des überdies erst nachträglich gestellten und somit verspäteten Gesuches des Beschwerdeführers erscheint die Schlussfolgerung des Verwaltungsgerichts im angefochtenen Urteil vom 27. Oktober 2016 als nachvollziehbar, der Beschwerdeführer habe das Rechtsmittel offensichtlich in der Absicht gestellt, das Beschwerdeverfahren vor dem Verwaltungsgericht betreffend den Ausstand des Präsidenten und des Sekretärs der Anwaltskammer des Kantons Solothurn und damit auch das eigentliche Verfahren vor der Anwaltskammer weiter zu verzögern und dessen geordneten Verlauf zu verunmöglichen.
In diesem Zusammenhang bringt der Beschwerdeführer zwar vor, eine Verfahrensverzögerung könne schon deshalb nicht vorliegen, weil formell noch überhaupt kein Disziplinarverfahren gegen ihn eingeleitet worden sei und die einjährige Verjährungsfrist inzwischen abgelaufen sei. Dieser Einwand ist jedoch unbegründet: Wohl verjährt eine disziplinarische Verfolgung gemäss Art. 19 Abs. 1 des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (Anwaltsgesetz, BGFA; SR 935.61) ein Jahr, nachdem die Aufsichtsbehörde vom beanstandeten Vorfall Kenntnis hatte. Gemäss Art. 19 Abs. 2 BGFA wird diese Frist indes durch jede Untersuchungshandlung der Aufsichtsbehörde unterbrochen. Mit Urteil 2A.496/2005 vom 23. Januar 2006 hielt das Bundesgericht diesbezüglich ausdrücklich fest, dass auch verfahrensleitende Anordnungen einer Rechtsmittelinstanz der Abwicklung des Disziplinarverfahrens dienen und deswegen als Unterbrechungshandlungen im Sinne von Art. 19 Abs. 2 BGFA einzustufen sind (E. 3.2 des genannten Entscheids). Wie ausgeführt, liess die Anwaltskammer dem Beschwerdeführer die eingegangene Aufsichtsanzeige zur Stellungnahme zukommen, was diesen veranlasste, den Ausstand des Präsidenten und des Sekretärs der Anwaltskammer zu verlangen und gegen die ergangenen negativen Entscheide diverse Rechtsmittelverfahren einzuleiten, verbunden mit neuen Ausstandsgesuchen gegen die Mitglieder der Rechtsmittelinstanzen, sowie weitere Beschwerdeverfahren betreffend die Zuständigkeit der Rechtsmittelinstanzen anzustrengen (vgl. auch Urteil 2C_72/2016 vom 3. Juni 2016). Soweit man eine solche Vorgehensweise nicht a priori als rechtsmissbräuchliche Verfahrensverschleppung bezeichnen möchte, könnte ein legitimer Zweck nur im Interesse an einer richtigen Zusammensetzung der Disziplinarbehörde und einem ordentlichen Gang des im Raum stehenden Disziplinarverfahrens erkannt werden, weswegen entsprechende Rechtsmittelentscheide gemäss der aufgezeigten Praxis ebenfalls eine Unterbrechung der Verjährung bewirken.
Als unbegründet erweist sich schliesslich auch der Einwand des Beschwerdeführers, Oberrichter Frank-Urs Müller hätte nicht am Urteil vom 28. Oktober 2016 [recte: 27. Oktober 2016] mitwirken dürfen, zumal er Ersatzmitglied der Anwaltskammer sei: Der Beschwerdeführer verkennt, dass es im angefochtenen Urteil vom 27. Oktober 2016 einzig um das von ihm gestellte Ablehnungsgesuch gegen die Präsidentin des Verwaltungsgerichts betreffend das von ihr beurteilte Sistierungsgesuch ging. Diesbezüglich wurde vom Beschwerdeführer weder eine Vorbefassung noch eine Voreingenommenheit des betreffenden Verwaltungsrichters aufgezeigt.
Ebenso wenig wird vom Beschwerdeführer schlüssig substantiiert, weshalb der am Urteil vom 27. Oktober 2016 mitwirkende Vizepräsident des Verwaltungsgerichts sowie zwei am Verfahren beteiligte Gerichtsschreiberinnen in den Ausstand hätten treten müssen; soweit sich dies seinen Ausführungen entnehmen lässt, scheint der Beschwerdeführer abermals einzig aufgrund von für ihn ungünstigen Prozessergebnissen vor Verwaltungsgericht auf eine Voreingenommenheit der genannten Personen zu schliessen.
Bei dieser Sachlage kann auch darin keine Verfassungsverletzung erkannt werden, dass das Verwaltungsgericht dem Beschwerdeführer im Zusammenhang mit dem Urteil vom 27. Oktober 2016 Kosten in Höhe von Fr. 400.-- auferlegt hat.
3.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen. Aufgrund des vorliegenden Endentscheides erübrigen sich weitere Anordnungen betreffend die Frage der superprovisorsch teilweise angeordneten aufschiebenden Wirkung.
Entsprechend diesem Verfahrensausgang hat der Beschwerdeführer die bundesgerichtlichen Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten in Höhe von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten sowie dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 19. Januar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Zähndler