Erwägungen:
Mit Zwischenentscheid seines Präsidenten vom 3. Mai 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen das Gesuch von A._ um Gewährung der unentgeltliche Rechtspflege im Beschwerdeverfahren betreffend einen Entscheid des Sicherheits- und Justizdepartements des Kantons St. Gallen, womit dieses einen Rekurs betreffend Widerruf der Aufenthaltsbewilligung abgewiesen hatte, wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde bzw. des diesbezüglichen Fristwiederherstellungsgesuchs ab. Entsprechend wurde er aufgefordert, bis zum 15. Juni 2016 einen Kostenvorschuss von Fr. 1'500.-- zu bezahlen. Am 10. Juni 2016 (Postaufgabe) reichte A._ beim Bundesgericht eine vom 4. Juni 2016 datierte Beschwerde gegen den Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts ein.
Gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Die Fristen, die durch eine Mitteilung ausgelöst werden, beginnen am folgenden Tag zu laufen (Art. 44 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde gilt als rechtzeitig erhoben, wenn sie spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post übergeben wird (Art. 48 Abs. 1 BGG). Gemäss Sendungsverfolgung der Post wurde der Zwischenentscheid des Verwaltungsgerichts am 4. Mai 2016 zur Abholung gemeldet und am 9. Mai 2016 am Postschalter entgegengenommen. Die Beschwerdefrist endete somit am 8. Juni 2016. Der Beschwerdeführer hat die vorliegende Beschwerde der Post am 10. Juni 2016 als Einschreibesendung zu Handen des Bundesgerichts übergeben. Sie ist verspätet.
Hinzu kommt, dass die Beschwerdeschrift eine sachbezogene Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG vermissen lässt: Die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege durch das Verwaltungsgericht beruht darauf, dass dieses die Beschwerde wegen Verspätung und fehlenden Fristwiederherstellungsgründen als aussichtslos wertete. Zu diesem einzigen Thema des Rechtsstreits äussert sich der Beschwerdeführer in seiner dem Bundesgericht vorgelegten Rechtsschrift mit keinem Wort.
Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
Die Umstände rechtfertigen es, ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Das auch für das bundesgerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird hinsichtlich der Kostenbefreiung gegenstandslos. Soweit mit dem Gesuch auch um unentgeltliche Rechtsverbeiständung ersucht wird, kann ihm schon darum nicht entsprochen werden, weil das Gesuch erst nach Ablauf der Beschwerdefrist gestellt wurde und eine massgebliche Beschwerdeergänzung durch einen beigegebenen Rechtsanwalt nicht mehr nachgereicht werden könnte. Schliesslich lässt sich aufgrund der Akten (Erwägungen des angefochtenen Entscheids) nicht erkennen, inwiefern sich der Zwischenentscheid erfolgversprechend anfechten liesse (s. aber Art. 64 BGG, wonach einem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nur entsprochen werden kann, wenn das Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen, soweit es nicht gegenstandslos ist.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller