Erwägungen:
1.
1.1. A._ ist ein im Jahr 1971 geborener Kosovar. Am 31. März 2004 heiratete er im Kosovo eine Schweizer Bürgerin. Daraufhin reiste er in die Schweiz ein und erhielt eine Aufenthaltsbewilligung, am 27. November 2009 die Niederlassungsbewilligung. Am 19. Oktober 2010 wurde die Ehe im Kosovo geschieden. Im Dezember 2011 stellte A._ ein Gesuch um Familiennachzug für die beiden aus erster Ehe stammenden Kinder, das im Juni 2012 rechtskräftig abgewiesen wurde.
1.2. Aufgrund von Nachforschungen kam das Amt für Migration des Kantons Luzern zum Schluss, dass die im Oktober 2010 geschiedene Ehe mit der Schweizer Bürgerin eine Scheinehe gewesen war. Mit Entscheid vom 19. August 2014 widerrief es die Niederlassungsbewilligung von A._ und ordnete dessen Wegweisung an. Dagegen gelangte der Betroffene vergeblich an das Kantonsgericht des Kantons Luzern.
1.3. Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt A._ vor dem Bundesgericht, das kantonsgerichtliche Urteil vom 19. November 2015 aufzuheben; vom Widerruf der Niederlassungsbewilligung sei abzusehen; weiter stellt er Verfahrensanträge; eventuell sei eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen.
1.4. Das kantonale Amt für Migration hat auf eine Vernehmlassung verzichtet. Das Kantonsgericht und das Staatssekretariat für Migration schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
1.5. Die Angelegenheit ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG zu beurteilen.
2.
2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind gegeben (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 BGG), sodass auf die Beschwerde einzutreten ist.
2.2. Das Bundesgericht prüft unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann diesen - soweit entscheidrelevant - nur berichtigen oder ergänzen, falls er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte ermittelt wurde (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die betroffene Person muss dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt bzw. die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft - mit anderen Worten willkürlich sind (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3; 133 III 350 E. 1.3).
3.
Nach Art. 63 Abs. 1 lit. a AuG i.V.m. Art. 62 lit. a AuG kann die Niederlassungsbewilligung widerrufen werden, wenn der Ausländer oder sein Vertreter im Bewilligungsverfahren falsche Angaben macht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen hat. In Anwendung dieser Bestimmungen hat die Vorinstanz zu Recht geurteilt, dass die dem Beschwerdeführer erteilte Niederlassungsbewilligung zu widerrufen ist.
3.1. Das Kantonsgericht hat in Würdigung zahlreicher und übereinstimmender Indizien zutreffend geurteilt, dass die hier zu beurteilende Ehe eine Scheinehe war. Diesbezüglich genügt es, auf die eingehenden und überzeugenden Erwägungen im angefochtenen Urteil zu verweisen (vgl. dort E. 3.4 - 3.6).
Vor Bundesgericht wendet der Beschwerdeführer wohl ein, es habe sich um eine tatsächlich gelebte Ehe gehandelt. Er müsste aber dartun, dass die kantonsgerichtliche Beweiswürdigung geradezu offensichtlich unrichtig sei (vgl. oben E. 2.2), was ihm jedoch nicht einmal ansatzweise gelingt. Seine Vorbringen beschränken sich darauf, dem Kantonsgericht appellatorisch seine eigene, abweichende Auffassung zur Fakten- und Beweislage entgegenzuhalten, weshalb darauf nicht weiter eingegangen werden kann.
Wenn aber die vorinstanzliche Sachverhaltsermittlung bzw. Beweiswürdigung für das Bundesgericht verbindlich ist, ist auch nicht ersichtlich, wie die durch das Kantonsgericht daraus gezogene rechtliche Schlussfolgerung, es habe eine blosse Scheinehe vorgelegen, gegen Bundesrecht verstossen könnte.
3.2. Ebenfalls um eine Frage der Sachverhaltsermittlung bzw. Beweiswürdigung handelt es sich dort, wo die Vorinstanz sich darauf bezogen hat, was die behördlichen Abklärungen betreffend das allfällige Vorliegen einer Scheinehe überhaupt auslöste.
3.2.1. Das Kantonsgericht hat die beiden folgenden Umstände als ursächlich bezeichnet: Wesentlich war einerseits die Tatsache, dass der Beschwerdeführer die im Oktober 2010 im Kosovo erfolgte Scheidung den schweizerischen Behörden - entgegen der ihm obliegenden Pflicht zur sofortigen Kenntnisgabe - erst im Januar 2012 im Rahmen des Familiennachzugsverfahrens mitgeteilt hatte. Andererseits war die Scheidung weniger als ein Jahr nach Erteilen der Niederlassungsbewilligung erfolgt (vgl. dazu E. 2 des angefochtenen Urteils).
3.2.2. Dagegen macht der Beschwerdeführer geltend, die Abklärungen seien erst durch Angaben ausgelöst worden, welche seine beiden Kinder und seine erste Ehefrau im Rahmen des Familiennachzugsverfahrens gemacht hätten. Bei deren Befragung sei aber in mehrfacher und schwerwiegender Weise gegen Verfahrensrechte verstossen worden. Es handle sich also um unzulässig erlangte Beweismittel, die im Ausländerrecht (genauso wie im Strafverfahren) einem strikten Verwertungsverbot unterliegen würden. Dasselbe habe für die gesamten nachfolgenden, sog. sekundären Beweismittel zu gelten, die sich erst aufgrund der ursprünglichen und rechtswidrig erlangten primären Beweismittel ergeben hätten.
3.2.3. Inwiefern rechtswidrig erlangte Beweismittel im Ausländerrecht einem Verwertungsverbot unterliegen, kann vorliegend offen bleiben. Ebenso wenig muss geprüft werden, ob bei der Befragung der beiden Kinder und der ersten Ehefrau des Beschwerdeführers Verfahrensverstösse erfolgt seien. Es genügt festzuhalten, dass die beiden im angefochtenen Urteil als für die Abklärungen ursächlich bezeichneten Umstände (vgl. oben E. 3.2.1) zeitlich vor der genannten Befragung lagen und einen vollumfänglich genügenden Anlass für die danach durchgeführte Untersuchung darstellten.
Diese Ausführungen des Kantonsgerichts betreffen die erstinstanzliche Beweiserhebung und sind - wie bereits erwähnt (vgl. oben E. 3.2 einleitend) Teil der vorinstanzlichen Beweiswürdigung. Sie hätten für das Bundesgericht nur dann keine Verbindlichkeit, wenn es dem Beschwerdeführer gelänge, sie als geradezu offensichtlich unzutreffend darzutun (vgl. oben E. 2.2). Das ist aber in keiner Weise der Fall. Vielmehr setzt sich der Beschwerdeführer mit den kantonsgerichtlichen Ausführungen zu den Ursachen der Abklärungen überhaupt nicht auseinander und begnügt sich stattdessen mit der blossen, unbelegt gebliebenen Behauptung, ursächlich sei die Befragung seiner Kinder und seiner Ex-Ehefrau gewesen. Angesichts dieser Begründungs- und Argumentationsmängel besteht kein Grund, von den vorinstanzlichen Erwägungen abzuweichen. Ebenso sind die vom Kantonsgericht aus seiner Beweiswürdigung gezogenen rechtlichen Schlüsse nicht zu beanstanden.
3.3. Der Beschwerdeführer macht schliesslich geltend, der Widerruf seiner Niederlassungsbewilligung sei unverhältnismässig. Überzeugend hat das Kantonsgericht zu diesem Punkt aber erwogen, dass der Beschwerdeführer erst mit 33 Jahren in die Schweiz kam, hier in jeder Hinsicht nur mässig bis schlecht integriert war und eine Rückkehr in sein Heimatland ohne weiteres zumutbar ist. Auch hier genügt es, auf die Erwägungen des angefochtenen Urteils zu verweisen (vgl. dort E. 4). Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, ist in keiner Weise geeignet, ein anderes Ergebnis zu rechtfertigen. Da von Anfang an eine Scheinehe vorlag, müsste auch die zunächst erteilte Aufenthaltsbewilligung widerrufen werden (Art. 42 lit. a AuG) und besteht kein Anspruch auf deren Verlängerung nach gescheiterter Ehe (vgl. Art. 50 AuG).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen und wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 65 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrenbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter