Sachverhalt:
A.
A._ ist Stockwerkeigentümer des Grundstücks Nr. xxx auf dem Stammgrundstück yyy am C._-Weg in Luzern. Seine Liegenschaft liegt an erhöhter Lage mit Blick auf den Vierwaldstättersee. A._ erhob Einsprache gegen das Bauvorhaben der B._ AG, das in der Erweiterung und Sanierung des - weiter unten gelegenen - Betagtenzentrums D._ besteht und namentlich eine Aufstockung der Baute vorsieht.
Am 5. Oktober 2015 wies die Baudirektion der Stadt Luzern die Einsprache A._s ab und erteilte der B._ AG die nachgesuchte Baubewilligung.
B.
Mit Urteil vom 8. Februar 2016 ist das Kantonsgericht Luzern nicht auf die Beschwerde von A._ gegen diesen Entscheid eingetreten. Es hat erkannt, es fehle ihm die erforderliche Beziehungsnähe zum Bauvorhaben, weshalb er nicht beschwerdebefugt sei.
C.
Mit Eingabe vom 11. März 2016 erhebt A._ beim Bundesgericht Beschwerde gegen das Urteil des Kantonsgerichts (Vorinstanz). Er beantragt, das Urteil vom 8. Februar 2016 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Am 13. April 2016 hat A._ ausserdem eine Beschwerdeergänzung eingereicht.
Das Kantonsgericht sowie die Stadt Luzern beantragen beide die Abweisung der Beschwerde. Die B._ AG stellt den Antrag, die Beschwerde abzuweisen, soweit überhaupt darauf einzutreten sei. A._ hat sich nochmals vernehmen lassen.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts, die nicht unter den Ausnahmekatalog von Art. 83 BGG fällt, weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten grundsätzlich offen steht (Art. 82 lit. a BGG). Das Kantonsgericht Luzern ist zudem eine letzte kantonale Instanz im Sinne von Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG, dessen Urteil nicht beim Bundesverwaltungsgericht angefochten werden kann.
1.2. Gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hatte, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Diese Voraussetzung ist beim Beschwerdeführer erfüllt: Indem die Vorinstanz ihm die Beschwerdebefugnis abgesprochen hat, ist er mit seinem Rechtsbegehren vor der Vorinstanz nicht durchgedrungen und hat ein berechtigtes Interesse an der Überprüfung des angefochtenen Entscheids durch das Bundesgericht.
1.3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG erhoben werden. Soweit sich der vorinstanzliche Entscheid auf kantonales Recht stützt, kommt als Beschwerdegrund im Wesentlichen die Verletzung von Bundesrecht, insbesondere von verfassungsmässigen Rechten der Bundesverfassung, in Frage (Art. 95 BGG).
Im vorliegenden Zusammenhang ist allerdings Art. 111 Abs. 1 und 3 BGG zu beachten. Aus diesen Bestimmungen ergibt sich, dass die kantonalen Behörden die Rechtsmittelbefugnis nicht enger fassen dürfen, als dies für die Beschwerde an das Bundesgericht vorgesehen ist (Einheit des Verfahrens; BGE 141 II 50 E. 2.2 S. 53). Namentlich muss sich gemäss Art. 111 Abs. 1 BGG am Verfahren vor allen kantonalen Vorinstanzen als Partei beteiligen können, wer gestützt auf Art. 89 BGG zur Beschwerde an das Bundesgericht berechtigt ist. Dies stellt eine Frage des Bundesrechts dar, weshalb das Bundesgericht mit freier Kognition prüft, ob das Kantonsgericht die Legitimationsvoraussetzungen im Sinne von Art. 89 BGG korrekt angewendet hat (BGE 140 V 328 E. 3 S. 329; Urteil des Bundesgerichts 1C_170/2015 vom 18. August 2015 E. 3.1).
2.
2.1. Am 13. April 2016 hat der Beschwerdeführer eine ergänzende Beschwerdeschrift eingereicht. Auf diese ist nicht einzugehen, da die diesbezüglichen Voraussetzungen gemäss Art. 43 BGG nicht vorliegen. Dasselbe gilt für die zusammen mit der Beschwerde eingereichten Beweismittel, soweit sich diese nicht bereits in den Vorakten befinden (Art. 99 BGG).
2.2. Wie vorne in E. 1.4 dargelegt, kann das Bundesgericht die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nur dann korrigieren, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Abs. 2). Die Anforderungen an die Begründungspflicht der Beschwerde sind diesbezüglich hoch. Es genügt nicht, einen von den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz abweichenden Sachverhalt zu behaupten. Vielmehr ist in der Beschwerdeschrift darzulegen, inwiefern die dortigen Feststellungen willkürlich, d.h. offensichtlich unrichtig bzw. unter Verletzung einer verfahrensrechtlichen Verfassungsvorschrift zustande gekommen sind. Andernfalls können Vorbringen mit Bezug auf einen Sachverhalt, der von den Feststellungen im angefochtenen Entscheid abweicht, nicht berücksichtigt werden (vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254; BGE 130 III 136 E. 1.4 S. 140).
Der Beschwerdeführer trägt in seiner Rechtsschrift einen Sachverhalt vor, der sich in verschiedener Hinsicht von den vorinstanzlichen Feststellungen unterscheidet, und er macht Umstände geltend, die sich dem angefochtenen Urteil nicht entnehmen lassen. Dabei versucht er aber nicht einmal, die offensichtliche Unrichtigkeit oder Unvollständigkeit der Sachverhaltsfeststellungen des Kantonsgerichts aufzuzeigen. Dies gilt namentlich für die Distanz zwischen seiner Liegenschaft und dem Baugrundstück, die gemäss vorinstanzlichem Urteil 210 m beträgt (gemäss dem Beschwerdeführer dagegen bloss knapp 120 m), und für die Feststellung, wonach das neue Betagtenzentrum D._ die Aussicht, namentlich die Seesicht des Beschwerdeführers, nur marginal einschränkt. Aber auch wenn dieser vorbringt, das Bauvorhaben werde "nicht auf den Grundstücken Nr. aaa und Nr. bbb etc., sondern auf den überlagerten Grundstücken Nr. ccc und Nr. ddd realisiert", ist damit eine offensichtliche Unrichtigkeit der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen nicht dargetan und es ist auch nicht zu erkennen, inwiefern dieses Vorbringen für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. In der Sache entschied das Kantonsgericht, bei der Liegenschaft des Beschwerdeführers könne trotz Sichtverbindung nicht von einer besonderen räumlichen Nähe zum Baugrundstück ausgegangen werden, betrage die Distanz doch gut 210 m und lägen diverse kleinere und grössere Erschliessungsstrassen und -wege sowie fünf Häuserzeilen zwischen den beiden Grundstücken. Es seien auch keine anderen Gründe ersichtlich, die Anlass dazu geben würden, dennoch eine besondere Betroffenheit des Beschwerdeführers zu bejahen: die Einschränkung der Aussicht und der Seesicht sei lediglich marginal, wenn sie überhaupt bestehe, und weder das Eingliederungsgebot noch die behauptete Wertverminderung seines Grundstücks würden daran etwas ändern. Schliesslich gelte das privatrechtliche Servitut, auf das sich der Beschwerdeführer berufe, nicht für das Baugrundstück Nr. aaa, sondern bloss für das Grundstück Nr. bbb. Letzteres werde nur ganz marginal in Anspruch genommen und die gemäss Servitut zulässige Maximalhöhe werde dort nicht überschritten.
3.2. Gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a), durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist (lit. b) und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung besitzt (lit. c). Verlangt ist somit neben der formellen Beschwer, dass der Beschwerdeführer über eine spezifische Beziehungsnähe zur Streitsache verfügt und einen praktischen Nutzen aus der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids zieht. Die Nähe der Beziehung zum Streitgegenstand muss bei Bauprojekten insbesondere in räumlicher Hinsicht gegeben sein (BGE 141 II 50 E. 2.1 S. 52; BGE 137 II 30 E. 2.2.2 S. 34). Dabei ist die Rechtsprechung des Bundesgerichts differenziert und namentlich ist die reine Entfernung des Grundstücks des Beschwerdeführers zur Bauparzelle nicht das allein ausschlaggebende Kritierium für die Beschwerdebefugnis; die Vorinstanz hat die diesbezügliche Praxis korrekt wiedergegeben.
3.3. Gestützt auf diese Rechtsprechung erweisen sich die Ausführungen des Kantonsgerichts auch in der Sache als zutreffend.
3.3.1. Insbesondere ist es richtig, dass die in Metern gemessene Distanz zwischen dem Bauvorhaben und dem Grundstück der einsprachewilligen Person ein blosses Indiz für das Vorliegen einer besonderen Betroffenheit darstellt; je grösser die Entfernung, desto weniger offensichtlich ist die besondere Betroffenheit, die zur Einsprache und zur Beschwerde berechtigt. Bei grösseren Distanzen von - wie im vorliegenden Fall - mehr als 200 m (und selbst bei einer solchen von knapp 120 m, wie vom Beschwerdeführer behauptet), müssen konkrete Interessen vorliegen und dargetan werden, die durch das Bauprojekt beeinträchtigt werden könnten und denen ein gewisses Gewicht zukommt, das es rechtfertigt, eine Betroffenheit zu bejahen, die grösser ist als diejenige der Allgemeinheit. Dabei genügt eine direkte Sichtverbindung oder eine minimale Beeinträchtigung der Aussicht nicht. Anders entscheiden hiesse, einem Eigentümer eines höher gelegenen Grundstücks an einer Hanglage das Recht einzuräumen, gegen jede bauliche Veränderung an einer tiefer gelegenen Liegenschaft einzusprechen, was offensichtlich nicht der Sinn einer wohlverstandenen öffentlich-rechtlichen Einsprache- und Beschwerdebefugnis sein kann.
3.3.2. Soweit der Beschwerdeführer verschiedene Verletzungen von Servituten geltend macht, vermag dies nichts an dieser Einschätzung zu ändern: Nachbarrechtliche Streitigkeiten über den Umfang bzw. die Schranken privater Rechte sind in erster Linie auf dem Zivilrechtsweg auszutragen. Einer öffentlich-rechtlichen Baubewilligung stehen sie in aller Regel nur dann im Wege, wenn der Verstoss eindeutig ist. Ob dies eine Beschwerdelegitimation zu begründen vermöchte, mag offenbleiben, denn eine offensichtliche Verletzung dinglicher Rechte des Beschwerdeführers ist vorliegend nicht dargetan.
3.3.3. Im Übrigen kann auf die Erwägungen im angefochtenen Urteil verwiesen werden.
4.
Die Beschwerde erweist sich demnach als unbegründet und ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang des Verfahrens trägt der unterliegende Beschwerdeführer die Gerichtskosten (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 5 BGG), und er hat der privaten Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu entrichten (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die private Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Baudirektion der Stadt Luzern, dem Bau-, Umwelt- und Wirtschaftsdepartement des Kantons Luzern, und dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Uebersax