Sachverhalt:
A.
A.a. Am 25. Februar 2005 schloss die Stadt U._ mit dem Verein Kinderkrippe X._ einen Mietvertrag bezüglich der Liegenschaft an der V._strasse 16 zur Nutzung als Kinderkrippe ab. Als Kündigungsfrist wurden zwölf Monate jeweils per Ende Dezember vereinbart. Im Jahr 2008 beschloss der Gemeinderat von U._ eine Erweiterung des Angebots vorschulischer familienergänzender Betreuung in der Stadt U._. Diese Aufgabe sollte weiterhin primär von privaten Trägerschaften erbracht werden, subsidiär sollte aber die Stadt U._ selbst geeignete Einrichtungen für den Vorschulbereich aufbauen können. Hierfür wurde das Gesetz vom 27. September 1998 über die familienergänzende Kinderbetreuung in der Stadt U._ dahingehend angepasst, dass die Stadt "bei nachgewiesenem Bedarf... eigene Einrichtungen erstellen und betreiben [kann]" (Art. 3 Abs. 2 kommunalen Gesetz über die familienergänzende Kinderbetreuung; RBC 311). Im Februar 2009 schlossen der Verein Kinderkrippe X._ und die Stadt U._ eine Leistungsvereinbarung des Inhalts ab, dass die Kinderkrippe ihr Angebot um 18 Plätze ausbaut. Damit einhergehend baute die Stadt U._ die Liegenschaft aus und sanierte sie. Zu jenem Zeitpunkt fehlten in der Stadt U._ ca. 20-25 Betreuungsplätze.
A.b. Die Parteien waren sich einig, dass mit der Erweiterung betriebliche und wirtschaftliche Risiken verbunden seien, die gemäss dem Ingress der Leistungsvereinbarung durch die Stadt U._ zu tragen seien. Entsprechend wurde vereinbart, dass die Kinderkrippe für zwei neu aufzunehmende Gruppen eine von der bestehenden Gruppe getrennte Kostenstellenrechnung mit einer Übernahmepflicht des Negativsaldos durch die Stadt U._ erstellen würde (Ziff. 4 Abs. 3 lit. a Leistungsvereinbarung). Zudem verpflichtete sich die Stadt U._, in den Jahren 2010-2014 einen sog. Sockelbeitrag von jeweils maximal Fr. 30'000.-- zu leisten, von dem aber ein allfälliger Gewinn der entsprechenden Jahresrechnung bis auf Fr. 5'000.-- in Abzug zu bringen wäre (Ziff. 4 Abs. 3 lit. b der Leistungsvereinbarung). Unter dem Titel "Schlussbestimmungen" wurde die Kündbarkeit der Leistungsvereinbarung jeweils auf Ende des Kalenderjahrs mit einer Kündigungsfrist von zwölf Monaten vereinbart, erstmals per Ende 2014. Bei einer allfälligen Neugestaltung des Finanzausgleichs verpflichteten sich zudem beide Parteien, die Leistungsvereinbarung innert sechs Monaten den neuen Gegebenheiten anzupassen. Schliesslich wurde vereinbart, dass bei Neuabschluss einer Vereinbarung die Parteien die in Ziff. 4 Abs. 3 der gültigen Leistungsvereinbarung festgehaltene Risikoverteilung zwischen Kinderkrippe und Stadt beachteten, unter Hinweis auf die von der Stadt U._ gewünschte Erweiterung der Krippe um zwei Gruppen. Im Rahmen der Leistungsvereinbarung wurde auch eine Anpassung des bestehenden Mietvertrags beschlossen, wonach der jährliche Mietzins nach Umbau, Erweiterung und Sanierung der Liegenschaft V._strasse 16 von bisher Fr. 46'200.-- auf neu Fr. 96'400.-- angepasst wurde (Leistungsvereinbarung Anhang S. 2 f.). Gestützt auf die neu geschaffene gesetzliche Grundlage im kommunalen Gesetz über die familienergänzende Kinderbetreuung (vgl. Sachverhalt lit. A.a) beschloss der Gemeinderat der Stadt U._ die Genehmigung der Erweiterung und Sanierung der Kinderkrippe X._ und sprach hierfür einen Kredit von Fr. 1'147'000.--.
A.c. Mit Schreiben vom 9. Juni 2010 zeigte die Stadt U._ dem Verein Kinderkrippe X._ in Anbetracht der tatsächlich entstandenen Sanierungskosten eine Mietzinserhöhung per 1. Januar 2011 auf neu Fr. 108'297.-- an. Die Mietzinserhöhung stützte sich auf die Leistungsvereinbarung (Anpassung nach Vorliegen der definitiven Bauabrechnung der Erneuerungs- und Erweiterungsarbeiten) sowie auf den von der kantonalen Schätzungskommission ermittelten Gebäudemietwert. Am 28. November 2013 liess die Stadt U._ dem Verein Kinderkrippe X._ eine abgeänderte Leistungsvereinbarung zukommen. Gleichzeitig wurde darauf hingewiesen, dass ein vorbereiteter Stadtratsbeschluss vorliege zur Kündigung der bestehenden Leistungsvereinbarung, der allerdings noch zurückbehalten werde, um den Folgevertrag abzuwarten. Sollte keine Vertragsänderung im dargelegten Sinne erfolgen, würde die bestehende Leistungsvereinbarung mittels Stadtratsbeschluss am 17. Dezember 2013 gekündigt. Die abgeänderte Leistungsvereinbarung sah eine finanzielle Unterstützung der Kinderkrippe nur noch im Rahmen der obligatorischen gesetzlichen Vorgaben vor, unter Streichung der Defizitgarantie für die Krippenerweiterung und des zusätzlichen gewinn- und verlustabhängigen Sockelbetrags.
A.d. Mit Schreiben vom 9. Dezember 2013 beschwerte sich der Verein Kinderkrippe X._ bei der Stadt U._ über das Vorgehen. Er wies darauf hin, dass die Erweiterung der Liegenschaft mit einhergehender Mietzinserhöhung einzig dem Wunsch der Stadt U._ entsprach. Er selbst habe diesem Wunsch nur bei gleichzeitiger Beteiligung der Stadt U._ an den dadurch entstehenden höheren Kosten (u.a. Mietzins) entsprechen können. Die Stadt U._ stehe somit weiterhin in der Pflicht, einen Beitrag gemäss der vereinbarten Risikoverteilung zu übernehmen, andernfalls eine Teilkündigung für die beiden oberen, neu ausgebauten Stockwerke und die Schliessung der im Jahr 2009 geschaffenen zusätzlichen zwei Gruppen in Frage käme. Dies sei aber, da der Betreuungsbedarf unverändert hoch sei, nicht erstrebenswert. Im Sinne eines Kompromisses bot der Verein Kinderkrippe X._ an, das zusätzlich geschaffene Raumangebot unter Weiterführung sämtlicher Betreuungsplätze für einen reduzierten Mietzinsaufschlag weiterzuführen. Nach seinen Berechnungen würde das Grundangebot, so wie es bis 2009 geführt wurde, heute einen jährlichen Mietzins von Fr. 55'000.-- ausmachen. Von den restlichen Fr. 53'296.-- jährlicher Mietzins, welcher auf das neue Angebot entfallen würde, wäre der Verein bereit, jährlich Fr. 22'700.-- zu übernehmen, was einen neuen Mietzins von Fr. 77'700.-- pro Jahr ergeben würde. Einem solchen Mietzins könnte er ab dem 1. Januar 2015 für die Dauer von zehn Jahren mit einer Option für weitere fünf Jahre zustimmen.
A.e. Die Stadt U._ reagierte darauf mit der Kündigung der Leistungsvereinbarung vom 18./26. Februar 2009 per 31. Dezember 2014 (Beschluss des Stadtrats von U._ vom 17. Dezember 2013).
B.
Am 3. Februar 2014 erhob der Verein Kinderkrippe X._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden mit dem Antrag, der Beschluss des Stadtrats vom 17. Dezember 2013 sei aufzuheben. Eventualiter erhob er Klage auf Verpflichtung der Stadt U._, mit ihm eine neue, konkret ausformulierte Leistungsvereinbarung abzuschliessen. Am 30. April 2015 hiess das Verwaltungsgericht die Beschwerde in der Sache gut und hob den angefochtenen Beschluss des Stadtrats auf.
C.
Mit Beschwerde vom 5. August 2015 beantragt die Stadt U._ dem Bundesgericht, das Urteil des Verwaltungsgerichts vom 30. April/ 19. Juni 2015 aufzuheben. Es sei festzustellen, dass die Leistungsvereinbarung vom 18./26. Februar 2009 mit Beschluss des Stadtrates vom 17. Dezember 2013 rechtsgültig auf den 31. Dezember 2014 gekündigt worden sei. Eventuell sei die Rechtssache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Der Verein Kinderkrippe X._ beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen. Das Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1.
1.1. Gemeinden und andere öffentlich-rechtliche Körperschaften sind nach Art. 89 Abs. 2 lit. c BGG zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wenn sie die Verletzung von Garantien rügen, die ihnen die Kantons- oder Bundesverfassung gewährt. Art. 50 Abs. 1 BV sowie Art. 65 der Verfassung des Kantons Graubünden vom 18. Mai 2003/14. September 2003 (KV/GR; SR 131.226) gewähren die Gemeindeautonomie. Für das Eintreten ist allein entscheidend, dass die beschwerdeführende Gemeinde in ihrer Eigenschaft als Trägerin hoheitlicher Gewalt berührt ist und eine Verletzung ihrer Autonomie geltend macht (BGE 135 I 43 E. 1.2 S. 45 f.; 129 I 410 E. 1.1 S. 412; Urteil 5C_2/2009 vom 5. November 2009 E. 3.1; je mit Hinweisen).
Die Stadt U._ bringt vor, sie sei im Rahmen der Gemeindeautonomie befugt, ihre finanziellen Angelegenheiten selbst zu regeln und könne in diesem Rahmen nicht zu Zahlungen an eine Kinderkrippe gezwungen werden, die sie gemäss den eigenen gesetzlichen Grundlagen nicht leisten müsse. Die Stadt U._ ist in ihren Hoheitsbefugnissen betroffen. Sie ist deshalb zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert (BGE 129 I 313 E. 4.2 S. 319; Urteil 2C_121/ 2015 vom 11. Dezember 2015 E. 1.1, zur Publ. vorgesehen). Ob die behauptete Autonomie und eine Verletzung derselben besteht, ist eine Frage des materiellen Rechts.
1.2. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 49 E. 7.1 S. 51). Der Betroffene muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der festgestellte Sachverhalt in diesem Sinne mangelhaft erscheint und die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 i.V.m. Art. 42 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 137 II 353 E. 5.1 S. 356; 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; Urteil 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 3.2, nicht publ. in: BGE 137 III 539 ff.).
2.
Es stellt sich zunächst die Frage, ob Autonomie der Stadtgemeinde U._ besteht, die Leistungsvereinbarung abzuändern bzw. zu kündigen.
2.1. Nach der Rechtsprechung sind Gemeinden in einem Sachbereich autonom, wenn das kantonale (oder eidgenössische) Recht diesen nicht abschliessend ordnet, sondern ihn ganz oder teilweise der Gemeinde zur Regelung überlässt und ihr dabei eine relativ erhebliche Entscheidungsfreiheit einräumt (BGE 141 I 36 E. 5.3 S. 42 f.; 139 I 169 E. 6.1 S. 173 f.; 138 I 242 E. 5.2 S. 244 f.). Der geschützte Autonomiebereich kann sich auf die Befugnis zum Erlass oder Vollzug eigener kommunaler Vorschriften beziehen oder einen entsprechenden Spielraum bei der Anwendung kantonalen oder eidgenössischen Rechts betreffen. Der Schutz der Gemeindeautonomie setzt eine Entscheidungsfreiheit nicht in einem ganzen Aufgabengebiet, sondern lediglich im streitigen Bereich voraus. Im Einzelnen ergibt sich der Umfang der kommunalen Autonomie aus dem für den entsprechenden Bereich anwendbaren kantonalen Verfassungs- und Gesetzesrecht (BGE 141 I 36 E. 5.3 S. 42 f.; 138 I 242 E. 5.2 S. 244 f.; 139 I 169 E. 6.1 S. 173 f.; je mit Hinweisen).
2.2. Bei Beschwerden wegen Verletzung der Gemeindeautonomie beurteilt das Bundesgericht, ob die Vorinstanz bei der Anwendung kommunaler oder kantonaler Vorschriften gegen das Willkürverbot verstösst oder, soweit kantonales oder eidgenössisches Verfassungsrecht in Frage steht, dieses unrichtig auslegt und anwendet. Die Anwendung von kantonalen verfassungsmässigen Rechten und eidgenössischem Verfassungsrecht prüft das Bundesgericht mit freier Kognition (Art. 95 lit. a und c BGG; vgl. BGE 134 I 204 E. 2.2 S. 206; 131 I 91 E. 1 S. 93; 129 I 410 E. 2.3 S. 414, je mit Hinweisen). Ebenso beurteilt das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung von Bundesrecht mit freier Kognition (Urteil 1C_328/2007 vom 18. Dezember 2012 E. 2; vgl. auch BGE 141 I 36 E. 5.4 S. 43; 136 I 395 E. 2 S. 397; Urteil 2C_239/2011 vom 21. Februar 2012 E. 2, nicht publ. in: BGE 138 II 111 ff.).
2.3. Die Stadtgemeinde U._ kommt als öffentlich-rechtliche Gebietskorporation mit eigener Rechtspersönlichkeit als Trägerin der verfassungsrechtlich geschützten Autonomie in Betracht (vgl. Urteil 2C_121/ 2015 vom 11. Dezember 2015 E. 2.2, zur Publ. vorgesehen). Das Gesetz über die Förderung der familienergänzenden Kinderbetreuung im Kanton Graubünden vom 18. Mai 2003 (BR 548.300 [Kinderbetreuungsförderungsgesetz/GR]) und die dazugehörige Verordnung (Verordnung über die Förderung der familienergänzenden Kinderbetreuung im Kanton Graubünden vom 15. Januar 2013; BR 548.310) regeln grundsätzlich die Finanzierung, die Tarife, die Anerkennung, die Bedarfsplanung und die Abrechnung der Krippenplätze. Nach Art. 1 des Gesetzes fördern Gemeinden und Kanton die familienergänzende Kinderbetreuung und leisten finanzielle Beiträge. Der Kanton ist gemäss Art. 5 Abs. 1 des Gesetzes im Bereich der familienergänzenden Kinderbetreuung zuständig für die Beratung und Unterstützung der Gemeinden und der Anbieter (lit. a); die Koordination der Angebote (lit. b); die Anerkennung von Angeboten (lit. c); die Festlegung der beitragsberechtigten Betreuungsplätze pro Angebot (lit. d) sowie die Abrechnung und Auszahlung der Kantons- und Gemeindebeiträge (lit. e). Demgegenüber legen Gemeinden nach Art. 4 des kantonalen Gesetzes in Zusammenarbeit mit den anerkannten Anbietern den Bedarf an familienergänzenden Kinderbetreuungsangeboten fest. Entsprechend trifft die Stadt U._ nach Art. 8 des kommunalen Gesetzes über die familienergänzende Kinderbetreuung in der Stadt mit privaten Anbietern Leistungsvereinbarungen, in denen Leistungsziele, Organisation und Zusammenarbeit, Finanzierung und Tarifgestaltung sowie die Aufsicht geregelt werden. Gestützt auf diese Bestimmung wurde die Leistungsvereinbarung vom 18./26. Februar 2009 abgeschlossen. Im umschriebenen Rahmen, den das kantonale Recht zulässt, können die Gemeinden ihre Angelegenheiten demnach selbst regeln (Art. 65 Abs. 1 KV/GR; Art. 2 des Gemeindegesetzes vom 28. April 1974 des Kantons Graubünden [GG/GR]). Sie sind insofern auch befugt, ihre finanziellen Angelegenheiten selbstständig zu bestimmen und Leistungsvereinbarungen abzuschliessen bzw. wieder zu kündigen (Art. 65 Abs. 2 KV/GR; Art. 3 Abs. 1 GG/GR). Der Bereich der Gestaltung durch die Gemeinden bzw. die Stadt U._ ist durch die Autonomie geschützt.
3.
Streitgegenstand bildet die Auslegung eines verwaltungsrechtlichen Vertrags (Leistungsvereinbarung vom 18./26 Februar 2009). Nach der Ansicht des Verwaltungsgerichts war die Kündigung der Leistungsvereinbarung vom Februar 2009 per 31. Dezember 2014 - angesichts der Vorgeschichte, des Vertragswortlauts und von Vorgängen im Zusammenhang mit der Kündigungsvorphase - mit Treu und Glauben bzw. dem Vertrauensschutz unvereinbar. Die Beschwerdeführerin macht demgegenüber geltend, die Vorinstanz habe die Leistungsvereinbarung willkürlich ausgelegt und habe in unzulässiger Weise in ihre Hoheitsbefugnisse eingegriffen.
3.1. Für die Auslegung verwaltungsrechtlicher Verträge ist wie bei einem privatrechtlichen Vertrag in erster Linie auf den übereinstimmenden wirklichen Willen der Parteien abzustellen (vgl. Art. 18 Abs. 1 OR; subjektive Vertragsauslegung). Die subjektive Vertragsauslegung bezieht sich auf den Willen der Vertragsparteien im Zeitpunkt des Vertragsschlusses (BGE 132 III 626 E. 3.1 S. 632; 129 III 675 E. 2.3 S. 680). Lässt sich ein übereinstimmender Parteiwille nicht feststellen, ist der Vertrag so auszulegen, wie er nach dem Vertrauensgrundsatz verstanden werden durfte und musste (objektive Vertragsauslegung; BGE 137 III 145 E. 3.2.1 S. 148; 136 III 186 E. 3.2.1 S. 188; 135 V 237 E. 3.6 S. 241; 133 III 406 E. 2.2 S. 409; 121 II 81 E. 4a S. 85). Die objektive Vertragsauslegung ergibt sich nicht allein aus dem Wortlaut, sondern kann sich auch aus anderen Elementen ergeben wie aus dem verfolgten Ziel, der Interessenlage der Parteien oder aus den Gesamtumständen; von einem klaren Vertragswortlaut ist jedoch nur abzuweichen, wenn sich ernsthafte Anhaltspunkte dafür ergeben, dass dieser nicht dem Willen der Parteien entspricht (BGE 137 III 444 E. 4.2.4 S. 451; 136 III 186 E. 3.2.1 S. 188; 135 III 295 E. 5.2 S. 301; 133 III 406 E. 2.2 S. 409; 131 III 606 E. 4.2 S. 611). Bei der Auslegung öffentlich-rechtlicher Verträge ist zudem in Zweifelsfällen zu vermuten, dass die Verwaltung nicht bereit ist, etwas anzuordnen oder zu vereinbaren, was mit den von ihr zu wahrenden öffentlichen Interessen und der einschlägigen Gesetzgebung im Widerspruch steht (BGE 135 V 237 E. 3.6 S. 242; 122 I 328 E. 4e S. 335; 121 II 81 E. 4a S. 85; Urteil 2C_258/2011 vom 30. August 2012 E. 4.1). Indessen wäre es verfehlt, in allen Fällen der dem öffentlichen Interesse besser dienenden Auslegung den Vorzug zu geben (vgl. BGE 122 I 328 E. 4e S. 335 f.; 103 Ia 505 E. 2b S. 510).
3.2. Was die Parteien beim Vertragsabschluss gewusst, gewollt oder tatsächlich verstanden haben, ist Tatfrage (BGE 133 III 675 E. 3.3 S. 681; 131 III 606 E. 4.1 S. 610); die tatsächliche Ermittlung dieses subjektiven Parteiwillens (subjektive Vertragsauslegung) beruht auf Beweiswürdigung, die der bundesgerichtlichen Überprüfung nur in den Schranken von Art. 105 BGG zugänglich ist (BGE 133 III 675 E. 3.3 S. 681; 132 III 626 E. 3.1 S. 632; 126 II 171 E. 4c/bb S. 182; 118 II 365 E. 1 S. 366). Die Vertragsauslegung nach dem Vertrauensgrundsatz ist Rechtsfrage (BGE 136 III 186 E. 3.2.1 S. 188; 133 III 675 E. 3.3 S. 181; 132 III 626 E. 3.1 S. 632; 131 III 606 E. 4.1 S. 610). Entsprechend Art. 95 BGG werden öffentlich-bundesrechtliche Verträge frei (vgl. BGE 126 II 171 E. 4c/bb S. 182), öffentlich-kantonalrechtliche (zur Zulässigkeit vgl. Art. 6 Abs. 1 ZGB) dagegen grundsätzlich nur auf Willkür hin überprüft.
3.3. Der vorliegend streitbetroffene Subventionsvertrag dient der Sicherstellung einer öffentlichen Aufgabe (Art. 3, Art. 8 und Art. 11 Abs. 2 des kommunalen Gesetzes über die familienergänzende Kinderbetreuung) und bildet Teil des kantonalen Verwaltungsrechts. Das Bundesgericht kann die Anwendung einfachen kantonalen Rechts nur unter verfassungsrechtlichem Blickwinkel betrachten und insbesondere prüfen, ob die kantonalen Instanzen das Verbot willkürlicher Rechtsanwendung oder den Verfassungsgrundsatz von Treu und Glauben verletzt haben. Der in Art. 9 BV verankerte Grundsatz von Treu und Glauben verleiht einer Person Anspruch auf Schutz des Vertrauens in behördliche Zusicherungen oder sonstiges behördliches Verhalten, auf das sie berechtigterweise vertrauen durfte, sofern sie gestützt darauf nachteilige Dispositionen getroffen hat, die sie nicht mehr rückgängig machen kann (BGE 137 I 69 E. 2.5.1 S. 72 f.; 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f.; 129 I 161 E. 4.1 S. 170). Ein verwaltungsrechtlicher Vertrag kann eine Vertrauensgrundlage schaffen, auf die sich der Vertragspartner grundsätzlich berufen kann (BGE 122 I 328 E. 7a S. 340; 103 Ia 505 E. 4b S. 515). Voraussetzung für den Vertrauensschutz ist, dass gestützt auf die Vertrauensgrundlage nachteilige Dispositionen getroffen wurden, die nicht mehr rückgängig gemacht werden können (BGE 137 I 69 E. 2.5.1 S. 72 f.).
3.4. Die Vorinstanz erwog, aus der gekündigten Leistungsvereinbarung sei zumindest der Wille der Stadt U._ ersichtlich, dem Verein Kinderkrippe X._ als Entgegenkommen für den Ausbau der Kinderkrippe das damit verbundene finanzielle Risiko zu mindern. Aus der Leistungsvereinbarung und gestützt auf die Korrespondenz in Entstehung derselben ergebe sich sodann, dass die Risikoübernahme für den Verein Kinderkrippe X._ unerlässliche Voraussetzung für das Einverständnis gewesen sei, das eigene Krippenangebot um zwei Gruppen zu erweitern und dem Ausbau bzw. der damit einhergehenden Mietzinserhöhung zuzustimmen. Gleichermassen sei festzuhalten, dass die Kündigungsmodalitäten und damit die Laufzeit der Leistungsvereinbarung klar geregelt waren und keiner weiteren Abmachung bedurften. Das Verwaltungsgericht erwog weiter, die Kinderkrippe habe im Vertrauen auf das Verhalten der Stadt U._ mit der Zustimmung zu einer erheblichen Mietzinserhöhung eine wichtige, nicht leicht wieder rückgängig zu machende Disposition getroffen. Die Stadt U._ habe sich indessen in Ziff. 9 Abs. 2 der Leistungsvereinbarung verpflichtet, auch bei neuem Abschluss einer Leistungsvereinbarung die in Ziff. 4 Abs. 3 lit. a der Vereinbarung von 2009 festgelegte Defizitgarantie; und ebenso die in Ziff. 4 Abs. 3 lit. b derselben Vereinbarung festgehaltene Zusatzunterstützung in der Form eines Sockelbeitrags zu "beachten". Die Stadt sei zudem ihren Vertragspflichten für einen Neuabschluss einer modifizierten Leistungsvereinbarung - aufgrund der Kündigung, nachdem der Verein Kinderkrippe X._ die Streichung der Defizitgarantie und allfälliger Sockelbeiträge abgelehnt hatte - "in sehr fragwürdiger Art", "nicht rechtskonform" nachgekommen. Der Mangel sei insgesamt derart gravierend, dass nur die Unwirksamkeit der Kündigung ex tunc eine vertragsadäquate Lösung sei. Die Stadt sei gehalten, ihre Kündigung weniger "drastisch" zu gestalten und gestaffelt gekürzte Leistungen und Garantien "über einen zuvor genau definierten Zeitraum" vorzusehen. Der Verein Kinderkrippe X._ habe insoweit auf die weitere Beachtung der Defizitgarantie und des Sockelbeitrags vertrauen dürfen.
3.5. Die Beschwerdeführerin bringt hiergegen vor, die Ausführungen der Vorinstanz seien unhaltbar. So lege die Leistungsvereinbarung deutlich fest, dass sie von beiden Seiten unter Einhaltung einer Frist von zwölf Monaten und erstmals auf Ende Dezember 2014 gekündigt werden könne. Die Parteien hätten zu keinem Zeitpunkt vereinbart, die Stadt übernehme das Risiko der zwei neuen Gruppen ohne zeitliche Befristung. Die Ausübung des Gestaltungsrechts per 31. Dezember 2014 könne nicht deswegen als rechtswidrig aufgehoben werden, weil dies nicht den Vorstellungen des Vereins Kinderkrippe X._ entspreche. Vielmehr habe der Verein nach Treu und Glauben auch mit einer Kündigung auf den nächstmöglichen Termin rechnen müssen. Eine "Fortführungslast", wie sie das Verwaltungsgericht in die Leistungsvereinbarung "hineininterpretiere", bestehe nicht. Dass der Verein mit den Zusatzsubventionen eine stadtweite Sonderbehandlung erhalte, bedeute sodann eine Verletzung des Legalitätsprinzip und des Rechtsgleichheitsgebots.
3.6. Entgegen der Vorbringen vermag die Beschwerdeführerin - jedenfalls unter der hier massgeblichen eingeschränkten Kognition des Bundesgerichts (vgl. hiervor E. 2.2 und 3.2) - keine Rechtsverletzung darzutun:
3.6.1. Zunächst ist zwar zutreffend, dass die Leistungsvereinbarung die Kündigungsmodalitäten und Laufzeiten klar regelt (Ziff. 9 Abs. 1 der Leistungsvereinbarung; angefochtenes Urteil S. 10). Ziff. 9 Abs. 2 der Vereinbarung legt jedoch gleichermassen wie folgt fest: "Bei Neuabschluss einer Vereinbarung beachten die Parteien die in vorliegender Vereinbarung (insbesondere in Art. 4 Abs. 3 lit. a und b) vorgenommene Risikoverteilung zwischen Kinderkrippe und Stadt, resultierend von der von der Stadt gewünschten Erweiterung der Krippe um zwei Gruppen". Die Beschwerdeführerin bringt nun vor, nach Art. 11 Abs. 2 des kommunalen Gesetzes über die familienergänzende Kinderbetreuung würden entsprechende Zusatzsubventionen nur ausnahmsweise und befristet zugesprochen. Auch der Stadtratsbeschluss vom 23. Februar 2009 halte ausdrücklich fest, es würden nur für eine befristete Zeit höhere finanzielle Leistungen der Stadt geleistet. Ziff. 9 Abs. 2 der Leistungsvereinbarung verlange daher einzig, dass beim Neuabschluss einer Vereinbarung wiederum eine Risikobeurteilung vorzunehmen ist, was auch zu einer vollständigen Streichung der Defizitgarantie bzw. der Sockelbeiträge führen könne oder müsse.
3.6.2. Eine Interpretation im Sinne der Beschwerdeführerin ist vor dem Hintergrund der klaren Kündigungsregel binnen Jahresfrist denkbar. Gleichwohl können die Ausführungen der Vorinstanz, wonach die Leistungskürzung trotz einjähriger Kündigungsfrist gestaffelt einzuführen sei, nicht als haltlos gelten: Die Bestimmung von Ziff. 9 Abs. 2 der Vereinbarung von 2009 sieht gemäss ihrem Wortlaut die Beachtung der in Ziff. 4 der geltenden Vereinbarung aufgenommenen Risikoverteilung im Falle des Neuabschlusses einer Vereinbarung ausdrücklich vor, wenngleich sie sich zum konkreten Inhalt der "Beachtung" ausschweigt. In der von der Vorinstanz angeführten Korrespondenz finden sich sodann Hinweise, dass für den Verein eine Risikoreduktion Bedingung war für die Zustimmung, das eigene Krippenangebot zu erweitern (E-mail von Vorstandsmitglied A._ vom 5. Februar 2009; Schreiben des Vereins Kinderkrippe X._ vom 18. Februar 2009; angefochtenes Urteil S. 9 f.). Dass der Verein sodann einen guten Geschäftsgang aufweist, vermag die Berufung auf Ziff. 9 Abs. 2 der Vereinbarung von 2009 vor der Vorinstanz für sich noch nicht als willkürlich oder gar rechtsmissbräuchlich erscheinen lassen. Rechtsmissbrauch liegt auch nicht bereits darin, dass der Verein - vor dem Hintergrund der bereits bestehenden Leistungsvereinbarungen - den Stadtratsbeschluss vom 23. Februar 2009 nicht anfocht. Selbst wenn sich die Beschwerdeführerin im Rahmen ihres Ermessens nach Art. 11 Abs. 2 des kommunalen Gesetzes über die familienergänzende Kinderbetreuung nicht verpflichtet sieht, entsprechende Förderungen zuzusprechen, hat sie dies im Rahmen ihres Ermessens mit der Leistungsvereinbarung von 2009 getan. Vor diesem Hintergrund ist sie an die von der Vorinstanz jedenfalls nicht willkürlich ausgelegte Kündigungsregelung der Leistungsvereinbarung gebunden. Dass sie sich bei der Erhöhung des Mietzinses an die allgemeinen Vorgaben des Mietrechts gehalten haben soll, kann mit Blick auf die vertragliche Vereinbarung und den Streitgegenstand nicht entscheidwesentlich sein.
3.6.3. Entgegen den Vorbringen der Beschwerdeführerin können auch die für den Ausgang des Verfahrens massgeblichen Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nicht als unhaltbar gelten (Art. 97 BGG). So hat die Vorinstanz die Kündigung nicht aufgehoben, weil diese "unnötig kurzfristig" gewesen sein soll, sondern im Rahmen einer umfassenderen Auslegung der Vereinbarung und des vorvertraglichen Verhaltens spezifische Voraussetzungen zur Kündigung der Leistungsvereinbarung hergeleitet. Eine stossende Feststellung des Sachverhalts ist nicht ersichtlich. Weiter erhebt die Beschwerdeführerin die Rüge, sie sei ihrerseits in ihrem Vertrauen verletzt worden. Eine allgemeinen Anrufung des "Vertrauens" begründet noch nicht den Charakter eines verfassungsmässigen Rechts und eine diesbezüglich freie Kognition des Bundesgerichts (BGE 132 I 140 E. 3.2.4 S. 149; 122 I 328 E. 3a S. 333 f.); namentlich ist die Regel, wonach Verträge nach Treu und Glauben bzw. nach dem Vertrauensprinzip auszulegen sind, nicht grundrechtlicher Natur (BGE 122 I 328 E. 3a S. 334; 103 Ia 505 E. 1 S. 509; Urteil 2C_1155/2014 vom 1. Februar 2016 E. 4.2.2). Die durch die Vorinstanz in der Vertragsauslegung eruierte Vertrauensgrundlage nach Ziff. 9 Abs. 2 im Vertrag, ist - wie dargelegt - nicht willkürlich bejaht worden (vgl. hiervor E. 3.6.2). Auch das Legalitätsprinzip (Art. 5 Abs. 2 BV) und der Grundsatz der Verhältnismässigkeit (Art. 5 Abs. 3 BV) sind keine selbstständigen verfassungsmässigen Rechte, die bei der Gewährleistung der Gemeindeautonomie gestützt auf kantonales Gesetzesrecht über das Willkürverbot hinausgehen (vgl. BGE 130 I 1 E. 3.1 in fine S. 5; 128 I 113 E. 2c S. 116; 127 I 60 E. 2a S. 64 [Legalitätsprinzip]; BGE 134 I 153 E. 4 S. 156 ff. [Verhältnismässigkeitsgrundsatz]).
4.
4.1. Nach dem Gesagten gelingt es der Beschwerdeführerin nicht, darzutun, die Vorinstanz habe in unzulässiger Weise in ihre Hoheitsbefugnisse eingegriffen. Eine Verletzung der Autonomie der Stadt U._ besteht - infolge willkürfreier Auslegung der Leistungsvereinbarung durch die Vorinstanz - nicht (vgl. BGE 128 I 3 E. 2b S. 9; 126 I 133 E. 2 S. 137; 114 Ia 168 E. 2a S. 170; 112 Ia 59 E. 3a S. 63). Die Beschwerde ist demnach als unbegründet abzuweisen.
4.2. Da die dem Streit zugrunde liegende Leistungsvereinbarung in erster Linie die Gewährleistung von hinreichenden Betreuungsplätzen bezwecken soll, werden keine Gerichtskosten erhoben (vgl. Art. 66 Abs. 4 BGG). Die Beschwerdeführerin hat dem Beschwerdegegner für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Verein Kinderkrippe X._ mit Fr. 2'000.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Graubünden, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Hänni