Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer zeigte am 30. November 2015 eine Oberrichterin des Kantons Bern wegen Verleumdung, Beleidigung und vorsätzlichen Prozessbetrugs an. In seiner Eingabe schrieb er, da die Beklagte "ganz offensichtlich eine alternde, unbefriedigte Person zu sein scheint" und darüber hinaus auch noch "unter Senilität leidet", sehe er sich gezwungen, diese Anzeige einzureichen. Es sei "krimineller Natur", wie die Beschuldigte immer wieder versuche, "ihren Mist zu rechtfertigen", und es müsse der "senilen Richterin" bekannt sein, dass ein Ausstandsgesuch nicht speziell begründet werden müsse.
Die Regionale Staatsanwaltschaft Bern-Mittelland nahm das Verfahren gegen die Oberrichterin am 7. Dezember 2015 nicht an die Hand. Der Entscheid ist rechtskräftig (Urteil des Bundesgerichts 6B_55/2016 vom 3. Februar 2016).
Wegen der oben zitierten Äusserungen in der Strafanzeige auferlegte die Staatsanwaltschaft dem Beschwerdeführer am 22. März 2016 eine Ordnungsbusse von Fr. 300.--. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Bern am 21. April 2016 ab, soweit es darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Beschluss vom 21. April 2016 sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.
In Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG kann auf die zutreffenden Ausführungen der Vorinstanz verwiesen werden (vgl. Beschluss S. 3/4 E. 3), denen nichts beizufügen ist. Der Beschwerde ist nicht zu entnehmen, dass die Ordnungsbusse gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte. So stellt z.B. die Meinungsäusserungsfreiheit keinen Freipass für jede Beleidigung dar. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen.
3.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
4.
Wie dem Beschwerdeführer bereits in vielen Urteilen mitgeteilt wurde, behält sich das Bundesgericht vor, offensichtlich unzulässige Eingaben oder Revisionsgesuche in dieser Sache nach einer Prüfung ohne Antwort und ohne förmliche Behandlung abzulegen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Mai 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Oberholzer
Der Gerichtsschreiber: C. Monn