Faits :
A.
A.a. La masse en faillite de la société F._ SA a recherché en justice l'un des ex-administrateurs dénommé A._. Celui-ci a été condamné par le Juge du district de Sion le 6 septembre 2011 au paiement de 503'030 fr. plus intérêts; se fondant sur l'art. 754 al. 1 CO, le magistrat lui a reproché d'avoir violé ses devoirs d'administrateur en tardant à déposer le bilan de la société et d'avoir ainsi causé à celle-ci un préjudice de 503'030 francs. Cette décision a été confirmée par le Tribunal cantonal valaisan le 8 janvier 2013, puis par le Tribunal fédéral le 7 août 2013 (4A_84/2013).
A.b. Par citation en conciliation du 19 août 2013, puis demande du 4 octobre 2013, A._ a intenté l'action récursoire de l'art. 759 al. 3 CO contre la Banque B._ (ci-après: la banque), C._, D._ et E._. Cette action, déposée devant le Tribunal du district de Sion, tend au paiement de 503'030 fr. plus intérêts. Le demandeur a renoncé à actionner l'ex-administrateur G._, qui est son beau-père, ainsi que l'hoirie de l'ex-administrateur H._.
Tous les défendeurs ont conclu au rejet de la demande. La banque est représentée par l'avocat Stéphane Jordan.
B.
B.a. A._ a soulevé le 7 janvier 2015 une "exception de procédure" visant à faire révoquer le mandat de l'avocat Stéphane Jordan en raison de conflits d'intérêts. Il reprochait à l'avocat de la banque de défendre également l'hoirie de l'ex-administrateur H._ dans le cadre de la faillite de F._ SA, concernant la production d'une créance qui n'aurait pas dû être acceptée à l'état de collocation; le demandeur faisait observer que l'avocat était aussi le défenseur de Me K._, membre de l'administration spéciale de la masse en faillite de la société précitée; enfin, le demandeur relevait qu'un associé de l'avocat avait assisté le défendeur C._ lorsqu'il s'était agi de produire une créance dans la faillite de la société.
B.b. Statuant le 5 février 2015, le Juge II du district de Sion a rejeté la contestation relative à la capacité de postuler de l'avocat Stéphane Jordan. Le magistrat a considéré qu'il n'y avait pas de conflit d'intérêts autre que purement théorique dans le fait d'assumer la défense de la banque et de l'hoirie H._; dans le cadre d'une action récursoire fondée sur l'art. 759 CO, il importait peu que la créance d'un ancien administrateur ait été admise ou non à l'état de collocation; ce n'était qu'à l'occasion d'une hypothétique action récursoire contre l'hoirie H._ que la question d'un conflit d'intérêts pourrait se poser. Pour le même motif, il importait peu qu'un associé de l'avocat ait assumé la défense de C._ dans le cadre de la production d'une créance dans la faillite. En l'état, les positions procédurales de la banque et du codéfendeur C._ étaient les mêmes, à savoir le rejet de l'action récursoire; il n'y avait pas de risque concret de conflit d'intérêts. Quant à la prétendue collusion entre Me Jordan et Me K._, membre de l'administration de la faillite, elle n'était concrètement soutenue par aucun élément autre que la conviction du demandeur; au demeurant, quand bien même l'administrateur de la faillite aurait favorisé indûment l'hoirie H._, l'on ne voyait pas ce qui pourrait faire surgir un quelconque conflit d'intérêts avec la défense de la banque dans le cadre de l'action récursoire intentée par l'ex-administrateur A._.
Le 1 er juin 2015, la Chambre civile du Tribunal cantonal valaisan a rejeté, dans la mesure où il était recevable, le recours stricto sensu déposé par A._. La Chambre a précisé que le recourant devait justifier d'un risque de préjudice difficilement réparable (art. 319 let. b ch. 2 CPC), et partant d'un intérêt direct à ce que l'avocat n'exerce pas son mandat. Or, à la lecture des arguments du recourant, la Chambre ne discernait pas quel préjudice menaçait le recourant du fait que l'avocat contesté défende la banque et l'hoirie de l'ex-administrateur H._; un tel risque de préjudice ne ressortait pas non plus d'emblée des actes de la cause. La même remarque prévalait quant à l'éventuel mandat que l'associé de l'avocat aurait assumé pour le compte du codéfendeur C._. Au demeurant, le recourant méconnaissait l'évolution de la jurisprudence, qui ne se contentait plus d'un risque de conflit d'intérêts purement abstrait et exigeait désormais un risque concret, dont le recourant ne démontrait pas l'existence à ce stade. Pour le surplus, le recourant ne critiquait pas l'appréciation du premier juge selon laquelle l'éventuelle défense de K._, membre de l'administration de la faillite, n'était pas de nature à dénier la capacité de postuler de l'avocat Jordan; la Chambre pouvait dès lors s'épargner d'examiner cette question.
C.
Le demandeur saisit le Tribunal fédéral d'un "recours en matière de droit public" tendant à la révocation du mandat de l'avocat Stéphane Jordan.
L'avocat précité, en son nom et au nom de la banque défenderesse, a déposé une réponse concluant à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet. Le défendeur C._ a déclaré s'en remettre à justice. Les défendeurs D._ et E._ ont conclu à l'irrecevabilité du recours, subsidiairement à son rejet.
L'autorité précédente s'est référée à sa décision.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le refus de constater l'incapacité de postuler et d'interdire à un avocat de représenter un client en raison d'un prétendu conflit d'intérêts est une décision incidente au sens de l'art. 93 LTF (arrêts 5A_47/2014 du 27 mai 2014 consid. 3 et 4.1; 1B_420/2011 du 21 novembre 2011 consid. 1.2). La voie de droit est déterminée par la matière dont relève le litige principal (arrêts 1B_434/2010 du 14 novembre 2011 consid. 3, in Praxis 2012 392; 5A_574/2008 du 5 novembre 2008 consid. 1.2).
En l'espèce, le litige au fond est une action récursoire intentée par un ex-administrateur en vertu de l'art. 759 CO; il ressortit ainsi à la matière civile au sens de l'art. 72 al. 1 LTF. La valeur litigieuse dépasse largement le seuil de 30'000 fr. requis par l'art. 74 al. 1 let. b LTF pour les affaires pécuniaires.
Le recourant qualifie improprement son mémoire de "recours en matière de droit public". L'intitulé erroné d'un recours ne nuit pas à son auteur, pour autant que les conditions de recevabilité du recours qui aurait dû être interjeté soient réunies (ATF 134 III 379 consid. 1.2 p. 382).
1.2. La décision incidente au sens de l'art. 93 LTF est susceptible d'un recours immédiat dans deux cas de figure. En l'occurrence, seule l'hypothèse de l'art. 93 al. 1 let. a LTF entre en considération; cette disposition requiert que la décision soit susceptible de causer un préjudice irréparable. L'on vise ici un préjudice de nature juridique, qui ne puisse pas être réparé ultérieurement par une décision finale qui serait favorable au recourant; un dommage économique ou de pur fait n'est pas considéré comme un préjudice irréparable. Il incombe au recourant de démontrer l'existence d'un tel préjudice lorsque celui-ci n'est pas d'emblée évident (ATF 141 III 80 consid. 1.2).
1.3. L'art. 12 de la loi sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61) impose notamment à l'avocat d'exercer sa profession avec soin et diligence (let. a), en toute indépendance (let. b) et d'éviter tout conflit entre les intérêts de son client et ceux des personnes avec lesquelles il est en relation sur le plan professionnel ou privé (let. c). Celui qui, en violation de ces obligations, accepte ou poursuit la défense d'intérêts contradictoires doit se voir dénier par l'autorité la capacité de postuler. L'interdiction de plaider est, en effet, la conséquence logique du constat de l'existence d'un tel conflit (ATF 138 II 162 consid. 2.5.1).
L'art. 12 let. a à c LLCA vise en premier lieu à protéger les intérêts des clients de l'avocat, en leur garantissant une défense exempte de conflit d'intérêts. Il tend également à garantir la bonne marche du procès, notamment en évitant qu'un avocat qui assiste plusieurs parties ne soit restreint dans sa capacité de défendre celles-ci, respectivement en évitant qu'un mandataire puisse utiliser les connaissances d'une partie adverse, acquises lors d'un mandat antérieur, au détriment de celle-ci (arrêt 1B_376/2013 du 18 novembre 2013 consid. 3). Le refus d'interdire à un avocat de défendre plusieurs coprévenus visés par une procédure pénale ne cause en principe aucun préjudice de nature juridique à la partie plaignante; l'on peut à la rigueur reconnaître à celle-ci un intérêt indirect à ce que les prévenus soient entravés dans la coordination de leur défense, ce qui ne satisfait pas à l'exigence de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (arrêt précité 1B_420/2011 consid. 1.2.2).
FRANÇOIS BOHNET approuve cette jurisprudence, soulignant qu'il n'y a en principe pas de risque de dommage irréparable lorsque le recourant fait valoir que l'avocat de la partie adverse se trouve dans un conflit d'intérêts avec ses propres clients. L'auteur ajoute toutefois ce qui suit: " (...) un risque de préjudice irréparable d[oi]t cependant être reten[u] à notre sens lorsque le conflit d'intérêts pourrait avoir une incidence sur le lien d'instance, par exemple en matière civile, quand l'existence d'un mandataire commun rend illusoire la possibilité d'échanger de manière confidentielle avec une partie adverse, dont les intérêts ne rejoignent pas toujours ceux d'une autre, et ainsi de trouver une solution transigée avec elle. Tel est en particulier le cas en matière de solidarité parfaite ou imparfaite (...). Il faut aussi le retenir quand une société et l'un de ses organes sont attaqués parallèlement au civil et au pénal: l'existence d'un mandataire commun peut bloquer toute issue au civil, faute pour l'avocat de pouvoir utilement conseiller à la société de transiger et de se retourner contre ledit organe" (BOHNET, Conflits d'intérêts de l'avocat et qualité pour recourir du client et de son adversaire: derniers développements, RSJ 2014 p. 237).
1.4.
1.4.1. Le recourant ne reproche pas à l'autorité précédente d'avoir enfreint l'art. 319 CPC et d'avoir indûment refusé de reconnaître l'existence même de son droit de recours au niveau cantonal; l'autorité précédente a du reste rejeté le recours dans la mesure où il était recevable, expliquant pour quels motifs le grief de violation de l'art. 12 let. c LLCA devait de toute façon être rejeté. Du moment que la reconnaissance même du droit de recours cantonal n'est pas en cause, le recourant n'est pas dispensé de justifier d'un risque de préjudice irréparable (cf. arrêt précité 1B_376/2013 consid. 2).
Pour apporter la démonstration d'un tel préjudice, le recourant se réfère à la contribution précitée de FRANÇOIS BOHNET et plaide que l'avocat a assisté K._, qui est l'administrateur de la faillite, dans diverses procédures ayant opposé cette personne au recourant; dans ces conditions, l'avocat "perdra de vue les intérêts de son client, en particulier celui de trouver un arrangement à l'amiable lors des débats d'instruction".
1.4.2. D'après la décision attaquée, le recourant a renoncé, au stade du recours cantonal déjà, à contester l'analyse du premier juge selon laquelle d'éventuels mandats au profit de l'administrateur de la faillite K._ ne seraient pas de nature à mettre en cause la capacité de postuler de l'avocat Jordan. Devant l'autorité de céans, le recourant dénonce une violation de l'art. 12 let. c LLCA en invoquant les mandats assumés au profit de la banque, de l'hoirie H._ et de C._. Le recourant ne peut logiquement pas, sur la seule question des conditions d'exercice du recours, tirer argument de mandats assumés au profit d'un quatrième client.
Au demeurant, sans plus autres renseignements, l'on ne discerne pas quel préjudice irréparable pourrait menacer le recourant du fait que l'avocat de la banque actionnée en vertu de l'art. 759 CO aurait aussi assumé des mandats au profit d'un des administrateurs de la faillite, dans des procédures divisant cette personne avec le recourant. En particulier, l'on ne voit pas - et le recourant ne dit mot à ce sujet - en quoi l'éventuelle défense de K._ pourrait amener l'avocat à empêcher tout compromis dans le cadre de l'action récursoire divisant le recourant et la banque, respectivement le recourant et C._; une telle conclusion ne saurait découler du seul fait que l'avocat a (cas échéant) assumé des mandats pour un adversaire du recourant, par ailleurs membre de l'administration de la faillite qui a fait condamner le recourant à réparer le préjudice causé à la société faillie.
1.5. Le recourant objecte encore qu'en vertu de l'art. 60 CPC, le juge doit contrôler d'office la réalisation des conditions de recevabilité de la demande, et donc la capacité de postuler de l'avocat. La cour cantonale aurait violé cette disposition. Il serait choquant, voire arbitraire que l'avocat puisse poursuivre son mandat alors qu'il enfreint l'art. 12 let. c LLCA, et qu'il aurait dû se démettre de son mandat si l'un de ses trois clients l'avait requis.
Ce faisant, le recourant insinue que l'autorité de recours peut et doit sanctionner d'office une incapacité de postuler y compris lorsque le recourant ne justifie pas d'un risque de préjudice difficilement réparable au sens de l'art. 319 CPC.
De même que l'application du droit d'office par le juge (art. 57 CPC) ne supprime pas l'obligation de motiver un appel ou un recours (art. 311 al. 1 et art. 321 al. 1 CPC; arrêt 4A_463/2014 du 23 janvier 2015 consid. 1, in Praxis 2015 683), de même le contrôle d'office des conditions de recevabilité de la demande (art 60 CPC) ne saurait servir à contourner les exigences légales concernant le recours contre des décisions incidentes, soit en particulier celle du préjudice difficilement réparable. L'argument est inopérant.
2.
Le recourant reproche encore à l'autorité précédente d'avoir accordé des dépens à l'avocat en tant que mandataire de la banque, alors qu'il agissait en tant que partie et n'avait pas le droit d'obtenir des dépens.
Le prononcé accessoire sur les frais et dépens contenu dans une décision incidente n'est pas susceptible de causer un préjudice irréparable (ATF 135 III 329 consid. 1.2.2). Le recourant ne dit du reste pas le contraire. Le grief ne peut qu'être écarté.
3.
En définitive, le recours est irrecevable. En conséquence, le recourant supportera les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Il versera en outre une indemnité de dépens à la banque intimée (art. 68 al. 1 et 2 LTF). L'avocat contesté a déposé une réponse en son nom et au nom de la banque. Celle-ci a été invitée à se déterminer et a encouru des frais de défense à ce titre, de sorte qu'elle a droit à des dépens, quand bien même l'avocat a lui-même qualité de partie sur l'incident ayant trait à sa capacité de postuler, et a aussi un intérêt à l'issue de cet incident. Le recourant versera aussi une indemnité de dépens aux deux autres intimés (D._ et E._) qui ont déposé des déterminations; aucune indemnité n'est en revanche due à C._ dès lors qu'il s'en est remis à justice.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est irrecevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à titre de dépens des indemnités de respectivement 2'000 fr. à l'intimée Banque B._, 2'000 fr. à l'intimé D._ et 2'000 fr. à l'intimé E._.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre civile du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 5 janvier 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti