Faits :
A.
Le 3 octobre 2001 à Sion, alors qu'elle circulait à cyclomoteur, X._ a été grièvement blessée dans un accident consécutif à l'inattention d'un conducteur de camion. Agée de vingt ans, elle était enceinte. Elle a subi d'urgence une première intervention chirurgicale à sa jambe gauche, puis l'amputation de cette jambe deux jours plus tard. Elle a aussi subi d'urgence une césarienne parce que la vie du foetus était menacée. Son fils A._ est ainsi né prématuré à trente-trois semaines de grossesse; il a souffert d'asphyxie néonatale sévère. La mère n'a pu retourner à son domicile que le 14 mai 2002. Les suites de l'amputation, directes et indirectes, ont nécessité plusieurs autres hospitalisations et interventions chirurgicales, ainsi qu'une difficile réadaptation. X._ accomplissait un apprentissage d'employée de commerce; après l'accident et en dépit de ses efforts, elle n'est pas parvenue à achever cette formation. Elle perçoit actuellement une rente entière d'invalidité.
Deux autres fils lui sont nés: B._ en 2007 et C._ en 2013.
La responsabilité civile du détenteur du camion était assurée par U._ SA. Le 30 juin 2005, celle-ci a versé un premier acompte au montant de 21'000 francs.
De l'assurance-accidents, X._ a notamment reçu une indemnité pour atteinte à l'intégrité, en deux versements de 20'000 et 33'400 francs.
B.
Le 20 février 2007, X._ a ouvert action contre U._ SA devant le Juge de district de Sion. La défenderesse devait être condamnée à payer diverses sommes au total d'environ 1'270'000 fr. en capital, à titre de dommages-intérêts et indemnités par suite de l'accident.
La demanderesse plaidait au bénéfice de l'assistance judiciaire.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Pendant l'instance, par suite d'une fusion de sociétés, Z._ SA s'est substituée à U._ SA en qualité de défenderesse.
Le Juge de district s'est prononcé le 7 janvier 2013. Accueillant partiellement l'action, il a condamné la défenderesse à payer 5'600 fr., 246'192 fr. et 121'769 fr., avec intérêts au taux de 5% par an, respectivement dès le 3 octobre 2001, le 3 juin 2007 et le 1er janvier 2013.
C.
La demanderesse a appelé du jugement; elle a sollicité l'assistance judiciaire en appel. La défenderesse a usé de l'appel joint.
La demanderesse a reçu de la défenderesse un nouvel acompte le 22 mars 2013, au montant de 150'000 francs.
Par une décision du 31 août 2015, le Président de la Ire Cour civile du Tribunal cantonal a rejeté la requête d'assistance judiciaire; il a retenu que l'acompte ainsi reçu permettait à la demanderesse de subvenir aux frais de l'instance.
La Ire Cour civile a statué sur les deux appels le lendemain 1er septembre 2015. Son jugement alloue à la demanderesse les prestations ci-après: 5'708 fr.70 pour réparation de la perte de gain actuelle, subie du jour de l'accident jusqu'à celui du jugement d'appel, compte tenu des gains résiduels et des prestations d'assurances, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juillet 2008; 81'543 fr. pour réparation de la perte de gain future, avec intérêts dès le 1er septembre 2015; 218'478 fr. pour réparation du préjudice ménager actuel, avec intérêts dès le 1er septembre 2008; 150'420 fr. pour réparation du préjudice ménager futur, avec intérêts dès le 1er septembre 2008; enfin, 80'000 fr. à titre d'indemnité de réparation morale, avec intérêts dès le 4 octobre 2001. En capital, le total s'élève à 536'149 fr.70. La Cour a porté en déduction l'indemnité pour atteinte à l'intégrité, soit 20'000 fr. reçus le 30 avril 2003 et 33'400 fr. reçus le 31 octobre 2004, et les acomptes de la défenderesse, soit 21'000 fr. reçus le 30 juin 2005 et 150'000 fr. reçus le 22 mars 2013. Ces déductions totalisent 224'400 fr.; la demanderesse doit encore recevoir 311'749 fr.70 en capital.
D.
La demanderesse a saisi le Tribunal fédéral de deux recours en matière civile, dirigés l'un contre la décision de refus de l'assistance judiciaire et l'autre contre le jugement d'appel.
Selon les conclusions alors présentées, la décision doit être réformée en ce sens que l'assistance judiciaire soit accordée en appel et que le conseil de la demanderesse, Me Jana Burysek, soit désigné en qualité d'avocat d'office. Le jugement doit être réformé en ce sens que la demanderesse obtienne, en capital, divers montants au total de 895'379 fr.10 à titre de dommages-intérêts et d'indemnités, sous déduction de 224'400 fr., avec suites d'intérêts.
Dans les deux causes, la demanderesse sollicite l'assistance judiciaire devant le Tribunal fédéral.
La défenderesse a conclu au rejet des deux recours.
En exécution partielle du jugement attaqué, la défenderesse a versé 300'000 fr. le 13 janvier 2016; en conséquence, la demanderesse a modifié ses conclusions en ce sens que les déductions sont portées à 524'400 francs.
Considérant en droit :
1.
En raison de leur connexité, il se justifie de joindre les causes et de statuer par un arrêt unique.
2.
D'après la motivation du recours dirigé contre le jugement d'appel, la demanderesse réclame 15'116 fr.60 pour réparation de la perte de gain subie du jour de l'accident à celui du jugement d'appel; 104'162 fr. pour réparation de la perte de gain postérieure à ce jour-ci; 46'626 fr. pour réparation d'un dommage de rente qu'un précédent conseil n'a pas fait valoir dans les instances cantonales; 194'315 fr.50 pour réparation du préjudice ménager futur; 100'000 fr. à titre de réparation morale pour la demanderesse et 30'000 fr. au même titre pour son fils A._. Le montant de 218'478 fr. obtenu pour réparation du préjudice ménager déjà subi n'est pas discuté mais il va de soi que la demanderesse en requiert la confirmation. Le total s'élève à 708'698 fr.10. En tant que les conclusions présentées portent sur 186'681 fr. au delà de ce montant, elles doivent être jugées irrecevables au regard de l'art. 42 al. 2 LTF parce que dépourvues de toute motivation.
L'art. 99 LTF interdit les faits nouveaux, les moyens de preuve nouveaux et les conclusions nouvelles. Une argumentation juridique nouvelle est en revanche permise, pour autant qu'elle repose sur les constatations de fait de la décision attaquée (ATF 136 V 362 consid. 4.1 p. 366; 134 III 643 consid. 5.3.2 p. 651). Sous cette condition, la prétention portant sur la réparation d'un dommage de rentes est recevable. Dans sa réponse au recours, la défenderesse soutient inutilement que l'adverse partie a d'abord élevé, puis abandonné cette prétention devant le Juge de district car ce magistrat n'a constaté aucun désistement dans son jugement.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont par ailleurs satisfaites, notamment à raison de la valeur litigieuse.
3.
Il est constant que la défenderesse peut être recherchée selon les art. 58 al. 1 et 65 al. 1 de la loi fédérale sur la circulation routière (LCR) pour les dommages-intérêts et l'indemnité de réparation morale auxquels la demanderesse a encore droit par suite de l'accident du 3 octobre 2001. Conformément à l'art. 62 al. 1 LCR, ces réparations doivent être évaluées sur la base des art. 46 et 47 CO.
4.
Aux termes de l'art. 46 al. 1 CO, la victime de lésions corporelles a droit au remboursement des frais et aux dommages-intérêts qui résultent de son incapacité de travail totale ou partielle, ainsi que de l'atteinte portée à son avenir économique.
Cette disposition prescrit au juge de constater d'abord la perte de gain actuelle, soit celle que le lésé a effectivement subie du jour de l'accident jusqu'à la date de la décision terminant l'instance dans laquelle il est permis d'alléguer pour la dernière fois des faits nouveaux. Le juge doit ensuite évaluer la perte de gain future, en comparant par capitalisation à cette même date les valeurs du revenu que le lésé aurait obtenu à l'avenir sans l'accident, d'une part, et du revenu à attendre d'une activité résiduelle compatible avec l'invalidité, d'autre part (Franz Werro, in Commentaire romand, 2e éd., n° s 7, 11 et 13 ad art. 46 CO). Le Tribunal cantonal a procédé de cette manière, à ceci près qu'il a recueilli des renseignements et administré des preuves afin d'établir une situation de fait actualisée à la date de son propre jugement, soit du jugement d'appel, et qu'il a distingué les dommages à réparer avant et après cette date. Ce procédé ne paraît pas conforme à l'art. 317 al. 1 CPC selon lequel des faits et moyens de preuve nouveaux ne peuvent pas être introduits en appel, sinon exceptionnellement; aucune des parties, toutefois, ne relève cette anomalie.
Les revenus résiduels et hypothétiques doivent être comparés sur la base de salaires nets, après déduction de toutes les cotisations sociales et de prévoyance professionnelle (ATF 136 III 322). La perte de gain future se calcule jusqu'à l'âge de la rente de vieillesse AVS (ATF 123 III 115 consid. 6b p. 118; voir aussi ATF 129 III 135 consid. 4.2.2.3 p. 159). Autant que possible, les pertes de gain doivent être établies de manière concrète (ATF 131 III 360 consid. 5.1 p. 363).
5.
Pour le calcul de la perte de gain actuelle, le Tribunal cantonal a dressé un tableau des gains résiduels et hypothétiques de la demanderesse pour chacune des années 2001 à 2015. Les gains résiduels sont indiqués nets. Les gains hypothétiques sont indiqués bruts et nets mais les taux de cotisation ne sont pas précisés. Pour les années 2006 à 2012, un salaire hypothétique coordonné, déterminant pour le calcul des cotisations de prévoyance professionnelle, est aussi indiqué, mais le taux de cotisation est inconnu. Les prestations des assurances accidents et invalidité sont aussi indiquées; avec les gains résiduels nets, elles sont déduites des gains hypothétiques nets. Pour certaines années, le tableau révèle une perte de gain négative, c'est-à-dire un bénéfice. Sur l'ensemble des années, la perte de gain s'établit à 5'708 fr.70.
La demanderesse reconnaît les gains hypothétiques bruts portés dans le tableau; elle conteste en revanche les gains hypothétiques nets et les salaires coordonnés. Elle soutient que le Tribunal cantonal n'a pas pris en considération les taux de cotisation et les déductions de coordination effectivement applicables lors de chaque année et pour chaque assurance sociale; elle lui reproche d'avoir ainsi sous-estimé les gains hypothétiques nets et de s'être écarté de la règle exigeant que la perte de gain soit autant que possible établie de manière concrète. La demanderesse reconnaît les gains résiduels et les prestations des assurances accidents et invalidité. Elle présente elle-même un tableau plus détaillé du calcul des gains hypothétiques nets. Les taux de cotisation des assurances vieillesse et survivants, invalidité, perte de gain et chômage qu'elle y indique sont exacts, sauf pour les années 2001 à 2003. Elle indique des déductions de coordination dès sa vingt-cinquième année, soit dès 2006; ces déductions sont exactes. Elle comptabilise une cotisation de 3,5% sur les gains hypothétiques coordonnés, ce qui correspond à la moitié de la bonification de vieillesse minimale prévue par les art. 6 et 16 de la loi fédérale sur la prévoyance professionnelle (LPP).
Le calcul exact des gains hypothétiques nets se présente comme suit, étant précisé qu'en 2015, seuls huit mois, de janvier à août, sont portés en compte:
gain hypothétique brut taux de cotisation AVSI/APG/AC cotisation à déduire gain après dédution décudtion de coordination LPP gain brut coordonné cotisation LPP 3,5% gain hypothétique net 2001 5'200 6,55% 340.6 4'859.4 4'859.4 2002 12'350 6,55% 809 11'541 11'541 2003 31'200 6,30% 1'965.6 29'234.4 29'234.4 2004 48'475 6,05% 2'932.7 45'542.3 45'542.3 2005 49'085 6,05% 2'969.6 46'115.4 46'115.4 2006 49'600 6,05% 3'000.8 46'599.2 22'575 27'025 945.9 45'653.3 2007 49'928 6,05% 3'020.6 46'907.4 23'205 26'723 935.3 45'972.1 2008 51'147 6,05% 3'094.4 48'052.6 23'205 27'942 978 47'074.6 2009 50'913 6,05% 3'080.2 47'832.8 23'940 26'973 944.1 46'888.7 2010 51'228 6,05% 3'099.3 48'128.7 23'940 27'288 955.1 47'173.6 2011 51'382 6,25% 3'211.4 48'170.6 24'360 27'022 945.8 47'224.8 2012 51'742 6,25% 3'233.9 48'508.1 24'360 27'382 958.4 47'549.7 2013 51'742 6,25% 3'233.9 48'508.1 24'570 27'172 951 47'557.1 2014 51'742 6,25% 3'233.9 48'508.1 24'570 27'172 951 47'557.1 2015 34'494 6,25% 2'155.9 32'338.1 24'675 9'819 343.7 31'994.4
Le total des quinze années atteint 591'937 fr.90. Après déduction des prestations d'assurances sociales et des gains résiduels que le Tribunal cantonal a constatés à hauteur de 567'003 fr.70 et 9'983 fr.70, la perte de gain actuelle s'élève à 14'950 fr.50. Le taux et le point de départ des intérêts compensatoires sont incontestés et ils seront donc confirmés.
6.
Pour le calcul de la perte de gain future, le Tribunal cantonal a d'abord capitalisé au taux de 31⁄2% une rente temporaire d'activité à percevoir jusqu'à l'âge de soixante-quatre ans par une femme de trente-quatre ans; cette rente correspond à un revenu hypothétique annuel net de 46'591 fr. en 2015. Selon la jurisprudence, ce taux de 31⁄2% compense correctement le renchérissement futur (ATF 125 III 312 consid. 5a p. 317 et consid. 7 p. 321). Le tribunal a ainsi appliqué le facteur de capitalisation 18,00 qu'il a extrait d'un ouvrage publié en 2001 (Wilhelm Stauffer, Theo et Marc Schaetzle, Tables de capitalisation, 5e éd., 2001, table n° 11); son calcul aboutit au montant de 838'638 francs.
A bon droit, la demanderesse réclame la capitalisation de 47'557 fr., compte tenu d'un revenu hypothétique brut de 51'742 fr. pour toute l'année 2015, identique à celui des deux années précédentes, et des taux de cotisations sociales à appliquer pour cette année.
A bon droit aussi, la demanderesse réclame l'application d'un facteur de capitalisation 18,11 fourni par une édition plus récente du même ouvrage scientifique (Stauffer/Schaetzle/Weber, Tables et programmes de capitalisation, 6e éd., 2013, table n° A3y).
La demanderesse n'est en revanche pas fondée à réclamer que son revenu hypothétique de 2015 soit augmenté d'un pour cent par année jusqu'à l'âge de la retraite. Cette prétention repose sur une proposition de la doctrine tendant à ce que dans le calcul de la perte de gain future, on prenne systématiquement en considération, par une augmentation forfaitaire d'un pour cent par année, la progression du salaire dont le lésé aurait censément bénéficié en sus de l'adaptation de ce salaire au renchérissement. En l'état de la jurisprudence, cette proposition n'est pas adoptée; une progression future du salaire réel ne doit être prise en considération que si elle apparaît concrètement prévisible au regard de la profession du lésé et des circonstances particulières de son cas (ATF 132 III 321 consid. 3.7.2.1 et 3.7.2.2 p. 337; arrêts 4A_260/2014 du 8 septembre 2014, consid. 6.1; 4A_481/2009 du 26 janvier 2010, consid. 4.2.2). En l'occurrence, une progression du salaire réel n'est pas concrètement prévisible. La demanderesse mentionne inutilement les salaires recommandés par une organisation syndicale pour la profession d'employé de commerce, salaires échelonnés d'après l'âge du travailleur, car cette recommandation n'engendre aucune expectative concrète.
Le revenu hypothétique capitalisé (47'557 fr. x 18,11) s'élève donc à 861'257 francs.
Le Tribunal cantonal a ensuite capitalisé et porté en déduction les prestations d'assurances sociales à percevoir par la demanderesse. Ces chiffres ne sont pas contestés mais la cohérence du calcul d'ensemble impose de remplacer ici également les facteurs de capitalisation tirés de la table de 2001 par ceux de la table de 2013.
Cette correction s'exécute comme suit:
par mois par an facteur capital rente AI pour la demanderesse table A3y de 34 à 64 ans 1'560 18'720 18,11 339'019 rente complémentaire AA pour la demanderesse - table A3y de 34 à 64 ans 946 11'352 18,11 205'585 rente complémentaire pour l'enfant A._ (2001) - table A2x âge 14 ans - durée 6 ans 627 7'524 5,57 41'909 rente complémentaire pour l'enfant B._ (2007) - table A2x âge 8 ans - durée 12 ans 627 7'524 10,38 78'099 rente complémentaire pour l'enfant C._ (2013) - table A2x âge 2 ans - durée 18 ans 627 7'524 14,52 109'248
Le total des prestations d'assurance capitalisées atteint 773'860 francs. En définitive, la perte de gain future (861'257 fr. - 773'860 fr.) s'élève à 87'397 francs. Le taux et le point de départ des intérêts sont incontestés et ils seront donc confirmés.
7.
Selon la jurisprudence, le dommage consécutif à la perte de gain comprend en outre le dommage de rentes, soit la différence entre les prestations de vieillesse que le lésé aurait perçues après sa retraite s'il avait pu continuer d'exercer son activité lucrative, d'une part, et les prestations de vieillesse et d'invalidité qu'il percevra effectivement, d'autre part. Le total des prestations que le lésé aurait perçues doit être évalué; il se situe entre 50 et 80% de la rémunération hypothétique brute qui aurait précédé le départ à la retraite (ATF 129 III 135 consid. 3.3 p. 150; voir aussi le même arrêt, consid. 2.2 p. 142). En l'occurrence, cette rémunération annuelle brute s'élève à 51'742 fr.; la demanderesse propose un taux de 65% qui sera admis.
La demanderesse perçoit actuellement une rente d'invalidité aux montants de 1'560 fr. par mois ou 18'720 fr. par année. Dès l'âge de la retraite, en vertu de l'art. 33bis al. 1 LAVS, cette rente d'invalidité sera remplacée par une rente de vieillesse au moins égale. Dans son propre calcul, la demanderesse introduit erronément le montant de la rente minimale prévu par l'art. 34 al. 5 LAVS.
La demanderesse perçoit une rente complémentaire de l'assurance-accidents aux montants de 946 fr. par mois ou 11'352 fr. par année. Selon l'art. 19 al. 2 LAA, elle percevra cette rente jusqu'à son décès.
La perte de gain annuelle, après l'âge de la retraite, s'élèvera donc à 3'560 fr. (51'742 fr. x 65% - 18'720 fr. - 11'352 fr.). Cette perte doit être capitalisée au 1er septembre 2015 comme les autres pertes futures, au taux de 31⁄2%, à la manière d'une rente viagère différée à l'âge de soixante-quatre ans pour une femme de trente-quatre ans (facteur 5,70 selon la table M4y de 2013). La demanderesse a droit au capital de 20'292 fr. et celui-ci doit porter intérêts dès le 1er septembre 2015.
8.
L'invalidité peut grever non seulement la capacité de gain et l'avenir économique du lésé, mais aussi son aptitude à accomplir les travaux du ménage.
8.1. A raison de ce préjudice spécifique, des dommages-intérêts sont dus au lésé même si une diminution concrète de son patrimoine n'est pas établie; il suffit que l'invalidité entraîne une diminution de sa capacité d'accomplir les tâches ménagères (ATF 129 III 135 consid. 4.2.1 p. 153). En particulier, il est sans importance que l'entrave dans l'accomplissement des travaux ménagers soit compensée par une aide extérieure rétribuée, qu'elle soit compensée par la mise à contribution accrue de proches du lésé, ou qu'elle ne soit pas, ou pas entièrement compensée et qu'il en résulte une perte de qualité dans la tenue du ménage (ATF 134 III 534 consid. 3.2.3.1 p. 538; 132 III 321 consid. 3.1 p. 332). Le juge doit notamment évaluer le taux de l'incapacité à accomplir les tâches ménagères, le temps que le lésé aurait consacré à ces tâches sans la survenance de l'invalidité, et la valeur de cette activité d'après le salaire d'une femme de ménage ou d'une gouvernante (ATF 131 III 360 consid. 8 p. 369).
Pour le préjudice ménager actuel, soit celui que la demanderesse a subi du jour de l'accident jusqu'à celui du jugement d'appel, le Tribunal cantonal alloue 218'478 fr. avec intérêts dès le 1er septembre 2008, sur la base d'une valeur du travail ménager évaluée à 25 fr. par heure. Ces chiffres ne sont pas contestés.
Pour le préjudice ménager futur, le tribunal retient un taux d'incapacité de 17%. Considérant que l'activité ménagère hypothétique de la demanderesse aurait diminué à chaque fois que l'un de ses enfants aurait atteint l'âge de vingt ans, le tribunal distingue et délimite quatre périodes successives; il capitalise une rente différente pour chacune d'elles, toujours au taux de 31⁄2%.
8.2. La demanderesse conteste le taux d'incapacité de 17%; elle soutient que le Tribunal cantonal aurait dû retenir un taux de 20%. Elle reproche à ce tribunal de n'avoir pas pris en considération un « rapport d'enquête pour ménagères et mixtes » établi le 17 avril 2014 par l'Office AI du canton du Valais, qui a été produit par cet organe dans le cadre de l'instruction ordonnée par le Tribunal cantonal; elle affirme s'être référée à ce rapport et elle reproche aussi au tribunal de n'avoir pas motivé son jugement à ce sujet.
A propos de l'incapacité d'accomplir les travaux ménagers, le rapport ne contient que la phrase ci-après:
Vu qu'il est confirmé que l'assurée travaillerait encore aujourd'hui à plein temps en situation de bonne santé, il n'a pas été nécessaire d'établir la feuille de calcul des empêchements au ménage (à titre indicatif l'assurée présente une incapacité de travail au ménage quasi-totale).
Au regard de ce seul élément, il n'apparaît pas que le Tribunal cantonal ait manifestement sous-estimé le taux de l'incapacité a accomplir les travaux ménagers. A ses propres dires, la demanderesse n'est affectée que d'une incapacité de 20%, ce qui est très éloigné d'une incapacité « quasi-totale ». Le moyen tiré du rapport d'enquête est en vérité inconsistant, et le Tribunal cantonal n'a pas violé l'art. 238 let. g CPC, relatif à la motivation des jugements, en s'abstenant de le discuter.
8.3. La demanderesse fait aussi grief à ce tribunal de n'avoir pas pris en considération l'augmentation future de la valeur du travail ménager, correspondant à l'augmentation future, en sus du renchérissement, des salaires dans ce domaine de l'économie. Selon la jurisprudence, cette augmentation doit être prise en considération entre la date de la capitalisation et le moment où le lésé atteindra l'âge de la retraite, sous forme d'une réduction du taux de capitalisation de 31⁄2 à 21⁄2% (ATF 132 III 321 consid. 3.7.2.2 et 3.7.2.3 p. 339).
Cette critique est fondée et les calculs du Tribunal cantonal doivent être corrigés.
Du 1er septembre 2015, date de la capitalisation, à l'année 2021 où l'enfant A._ atteindra l'âge de vingt ans, soit pendant six ans, il faut capitaliser à 21⁄2% une rente temporaire d'activité pour une femme de trente-quatre ans. La table A2y de 2013 indique le facteur 5,56.
De l'année 2021 à l'année 2027 où l'enfant B._ atteindra le même âge, soit pendant six ans, il faut capitaliser une rente temporaire et différée pour la même personne. Le facteur s'obtient par différence entre celui d'une rente d'activité temporaire de douze ans et celui de la rente de six ans, soit 4,73 (10,29 - 5,56).
Une rente semblable se calcule de l'année 2027 à l'année 2033 où l'enfant C._ atteindra vingt ans; le facteur s'obtient par différence entre celui d'une rente de dix-huit ans et celui d'une rente de douze ans, soit 4,00 (14,29 - 10,29).
Une rente semblable, encore, se calcule de l'année 2033 à l'année 2045 où la demanderesse atteindra l'âge de la retraite; le facteur s'obtient par différence entre celui d'une rente de trente ans celui d'une rente de dix-huit ans, soit 6,16 (20,45 - 14,29).
Une rente d'activité différée, enfin, doit être capitalisée au taux de 31⁄2 % dès l'année 2045. Le facteur s'obtient par différence entre celui d'une rente d'activité immédiate pour une femme de trente-quatre ans (22,10 selon table A1y) et celui d'une rente temporaire de trente ans au même taux (18,11 selon tables A2y ou A3y), soit 3,99 (22,10 - 18,11).
Ces facteurs doivent être appliqués aux montants annuels que le Tribunal cantonal a évalués et qui ne sont pas contestés:
période montant annuel facteur capital 2015 - 2021 8'925 5,56 49'623 2021 - 2027 7'191 4,73 34'013 2027 - 2033 5'865 4,00 23'460 2033 - 2045 3'570 6,16 21'991 dès 2045 3'570 3,99 14'244
Le préjudice ménager futur et total s'élève ainsi à 140'331 francs.
8.4. Le Tribunal cantonal a alloué un montant plus important (150'420 fr.) par suite d'erreurs dans le choix des facteurs: pour la période 2021 - 2027, il a capitalisé une rente temporaire immédiate pour une femme de quarante ans; pour la période 2021 - 2033, une rente immédiate pour une femme de quarante-six ans. Sur la base de la table de 2001, il a ainsi retenu pour ces périodes les facteurs indûment élevés 5,39 et 5,36. Cette approche néglige entièrement les risques de décès et d'invalidité dans le laps qui s'écoule entre la capitalisation et le début de la rente; elle néglige aussi que le capital peut être placé à intérêts dans ce laps déjà. Il s'impose plutôt de capitaliser des rentes différées, toujours pour une femme de trente-quatre ans à la date de la capitalisation.
La demanderesse doit obtenir le capital effectivement dû, soit 140'331 francs. Le taux et le point de départ des intérêts sont incontestés et ils seront donc confirmés.
9.
Selon l'art. 47 CO, le juge peut, en tenant compte de circonstances particulières, allouer à la victime de lésions corporelles une indemnité équitable à titre de réparation morale.
L'indemnité a pour but exclusif de compenser le préjudice que représente une atteinte au bien-être moral. Le principe d'une indemnisation du tort moral et l'ampleur de la réparation dépendent d'une manière décisive de la gravité de l'atteinte et de la possibilité d'adoucir de façon sensible, par le versement d'une somme d'argent, la douleur physique ou morale. Le juge exerce un large pouvoir d'appréciation et le Tribunal fédéral n'intervient qu'avec retenue (ATF 132 II 117 consid. 2.2.2 et 2.2.3 p. 119; 127 IV 215 consid. 2a p. 216).
Le Tribunal cantonal a comparé le cas de la demanderesse avec un précédent jugé en 1994, qui concernait une femme blessée à l'âge de vingt-et-un ans lors d'un accident. Par suite de graves lésions à la tête, cette personne était demeurée longtemps inconsciente; après la fin de l'hospitalisation, son état avait nécessité plusieurs traitements médicaux et des mesures de réadaptation. En raison des séquelles de l'accident, elle avait dû abandonner son métier de coiffeuse et sa réinsertion professionnelle avait échoué. Sa personnalité s'était modifiée; sur le plan social, elle demeurait totalement dépendante de son entourage. Elle a obtenu une indemnité de 100'000 fr. (arrêt 4C.379/1994 du 21 août 1995). Le Tribunal cantonal a aussi mentionné une indemnité de 120'000 fr. allouée dans un cas de paralysie complète. Sans autre discussion, le tribunal a confirmé l'indemnité de 80'000 fr. allouée à la demanderesse par le Juge de district.
Actuellement, compte tenu du renchérissement, le montant de 100'000 fr. alloué en 1994 correspondrait à 114'000 fr. environ.
Le cas de la demanderesse présente d'importantes similitudes avec ce précédent, sur lequel elle insiste afin que sa propre indemnité soit majorée à 100'000 fr., mais il présente aussi certaines différences. La demanderesse a enduré des souffrances peut-être comparables, voire accrues compte tenu que l'accident de 2001 a entraîné la naissance prématurée de son premier fils, et elle demeure elle aussi handicapée et invalide. En revanche, il n'est pas constaté que les lésions subies influencent sa personnalité, ni que les suites de l'accident l'entravent notablement dans sa vie privée et familiale; elle a au contraire pu donner naissance à deux autres fils. En définitive, il est possible qu'un montant supérieur à 80'000 fr. puisse aussi se justifier en équité; ce chiffre-ci se situe néanmoins dans les limites du raisonnable et le Tribunal fédéral ne voit donc pas que les juges de l'indemnisation aient abusé de leur pouvoir d'appréciation.
10.
La demanderesse réclame inutilement un montant supplémentaire de 30'000 fr. pour son fils A._, à raison des souffrances que celui-ci a endurées dans les circonstances troublées de sa naissance et de sa petite enfance. Le succès de toute action en justice suppose que les parties demanderesse et défenderesse aient respectivement, sur chacune des prétentions en cause, qualité pour agir et pour défendre au regard du droit applicable (ATF 136 III 365 consid. 2.1 p. 367; 126 III 59 consid. 1a p. 63). Dans une action en paiement, la qualité pour agir appartient au créancier de la somme réclamée. En l'occurrence, la demanderesse n'a pas qualité pour élever en son propre nom une prétention qui n'existe, le cas échéant, que dans le patrimoine de son fils.
11.
En définitive, la demanderesse doit recevoir 14'950 fr.50 pour réparation de la perte de gain actuelle, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 1er juillet 2008; 87'397 fr. pour réparation de la perte de gain résiduelle future, avec intérêts dès le 1er septembre 2015; 20'292 fr. pour réparation de la perte de rentes futures, avec intérêts dès le 1er septembre 2015; 218'478 fr. pour réparation du préjudice ménager actuel, avec intérêts dès le 1er septembre 2008; 140'331 fr. pour réparation du préjudice ménager futur, avec intérêts dès le 1er septembre 2008; enfin, 80'000 fr. à titre d'indemnité de réparation morale, avec intérêts dès le 4 octobre 2001. En capital, le total s'élève à 561'448 fr.50; il excède de 25'298 fr.80 celui alloué par le jugement d'appel, ce qui conduit à l'admission partielle du recours exercé contre ce jugement.
En l'état de la cause, les déductions à opérer s'élèvent à 20'000 fr. reçus le 30 avril 2003, 33'400 fr. reçus le 31 octobre 2004, 21'000 fr. reçus le 30 juin 2005, 150'000 fr. reçus le 22 mars 2013 et 300'000 fr. reçus le 13 janvier 2016. Ces montants portent eux aussi intérêts au taux de 5% par an.
12.
Dans le procès civil, a ux termes de l'art. 117 let. a et b CPC, un plaideur a le droit d'obtenir l'assistance judiciaire s'il ne dispose pas de ressources suffisantes (let. a) et que sa cause ne paraît pas dépourvue de toute chance de succès (let. b). Selon l'art. 119 al. 5 CPC, il doit présenter une nouvelle requête s'il entend bénéficier de l'assistance judiciaire aussi dans un deuxième degré d'instance.
12.1. Un plaideur manque des ressources suffisantes lorsque, au regard de sa situation économique globale, y compris sa fortune (ATF 124 I 97 consid. 3b p. 98), il n'est pas en mesure d'assumer les frais du procès sans porter atteinte au minimum nécessaire à son entretien et à celui de sa famille (ATF 135 I 221 consid. 5.1 p. 223; 128 I 225 consid. 2.5.1 p. 232). En l'occurrence, le juge compétent retient que la demanderesse a reçu de la défenderesse un acompte au montant de 150'000 fr. le 22 mars 2013, qu'elle peut avec cette somme couvrir entièrement les frais de l'appel, et qu'elle dispose donc de ressources suffisantes; en conséquence, la requête d'assistance judiciaire est rejetée.
L'art. 120 CPC prévoit le retrait de l'assistance judiciaire lorsque celle-ci a été accordée et qu'il apparaît plus tard que les conditions de son octroi n'étaient pas remplies ou qu'elles ont cessé de l'être. En d'autres termes, des faits nouveaux ou nouvellement connus, postérieurs à la décision et relatifs à la situation patrimoniale du plaideur concerné, peuvent justifier un retrait. De cette règle, il faut inférer que de pareils faits peuvent aussi justifier un refus de l'assistance judiciaire s'ils sont postérieurs au dépôt de la requête et que le juge en est informé lors de sa décision. En l'occurrence, le versement de l'acompte peut être pris en considération alors même qu'il est intervenu après la requête de la demanderesse.
12.2. Il reste à examiner si l'acompte, à raison de sa nature, est un élément de fortune dont on puisse attendre de la demanderesse qu'elle l'affecte aux frais du procès.
Dans un arrêt de 1914 relatif à la législation fédérale sur la responsabilité civile des entreprises de transport, le Tribunal fédéral a jugé que la partie demanderesse, si elle recevait un acompte versé par l'entreprise défenderesse, devait pouvoir affecter la totalité de cette somme à la réparation des suites de l'accident, avec cette conséquence que l'assistance judiciaire ne pouvait pas être refusée à cette partie au motif qu'il lui était possible d'affecter l'acompte aux frais du procès (ATF 40 I 94 consid. 4 p 104). Au regard de l'art. 117 let. a CPC, selon une contribution doctrinale, seuls les avoirs insaisissables à teneur de l'art. 92 al. 1 ch. 9 LP n'entrent pas dans la fortune à prendre en considération, tandis que la partie d'un acompte excédant ces avoirs doit être affectée aux frais du procès (Alfred Bühler, in Commentaire bernois, n° 104 ad art. 117 CPC).
Après la fin du procès, la partie qui a reçu des prestations d'assistance judiciaire doit les rembourser à la collectivité publique dès qu'elle est en mesure de le faire (art. 123 al. 1 CPC). Le Tribunal fédéral a récemment jugé que dans le but de garantir ce remboursement à la collectivité, le juge de l'assistance judiciaire peut exiger que la prétention en litige, élevée contre l'adverse partie par la partie qui sollicite l'assistance, soit cédée à la collectivité publique à concurrence des prestations à rembourser. L'affaire concernait elle aussi, comme la présente contestation, des prétentions élevées contre une entreprise d'assurance par suite d'un accident de la circulation routière. Le juge de l'assistance judiciaire, dont la décision était attaquée devant le Tribunal fédéral, avait exigé une déclaration de cession qui ne portait que sur les dommages-intérêts, à l'exclusion des indemnités de réparation morale; sa décision a été confirmée (arrêt 4A_325/2015 du 9 février 2016, destiné à la publication).
Au regard des art. 117 let. a et 123 al. 1 CPC, il n'y a pas lieu d'appréhender différemment les avoirs que la partie concernée a déjà reçus de l'adverse partie à titre d'acompte, d'une part, et ceux auxquels cette partie-là prétend encore dans le procès en cours ou à entreprendre, d'autre part. Dans la mesure où un acompte versé par la partie défenderesse couvre davantage que les indemnités de réparation morale encore litigieuses, cet avoir entre donc dans la fortune à prendre en considération.
12.3. Devant le Tribunal cantonal, la demanderesse réclamait une indemnité de réparation morale au montant de 100'000 francs. De l'assurance-accidents, elle avait déjà reçu en deux versements une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 53'400 fr., à imputer sur la réparation morale encore due par la défenderesse. Ainsi, l'acompte de 150'000 fr. reçu le 22 mars 2013 excédait de plus de 100'000 fr. la réparation morale encore litigieuse. Cet excédant pouvait être affecté aux frais de l'appel, et de toute évidence couvrir entièrement ces frais. La demanderesse disposait donc des ressources nécessaires à l'appel, de sorte que la décision de refus de l'assistance judiciaire présentement attaquée se révèle conforme à l'art. 117 let. a CPC. Le recours exercé contre cette décision, mal fondé, doit être rejeté.
13.
Selon l'art. 64 al. 1 LTF, le Tribunal fédéral peut accorder l'assistance judiciaire à une partie à condition que celle-ci ne dispose pas de ressources suffisantes et que ses conclusions ne paraissent pas d'emblée vouées à l'échec. Compte tenu que la demanderesse a encore reçu 300'000 fr. le 13 janvier 2016, la première de ces conditions légales n'est pas satisfaite; cela conduit au rejet des demandes d'assistance judiciaire présentées devant le Tribunal fédéral.
14.
Parce qu'aucune des parties n'obtient entièrement gain de cause, l'émolument judiciaire et les dépens de l'instance fédérale doivent être répartis proportionnellement entre elles (art. 66 al. 1 et 68 al.1 LTF). D'après les conclusions dûment motivées, la valeur litigieuse déterminante selon l'art. 3 al. 2 du tarif (RS 173.110.210.3) s'élève à 175'000 fr. environ. La demanderesse et la défenderesse succombent respectivement pour 6/7 et 1/7 de cette valeur. L'émolument judiciaire sera fixé à 3'500 fr.; il doit être acquitté à raison de 3'000 fr. par la demanderesse et de 500 fr. par la défenderesse. La charge des dépens, évaluée à 4'200 fr. tant pour la demanderesse que pour la défenderesse, doit être répartie dans la même proportion. Après compensation à due concurrence (3'600 fr. moins 600 fr.), la demanderesse doit verser 3'000 fr. à la défenderesse.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Les causes sont jointes.
2.
Les demandes d'assistance judiciaire sont rejetées.
3.
Le recours exercé contre la décision de refus de l'assistance judiciaire du 31 août 2015 est rejeté.
4.
Le recours exercé contre le jugement d'appel du 1er septembre 2015 est partiellement admis, dans la mesure où il est recevable, et ce jugement est réformé en ce sens que la défenderesse est condamnée à payer 561'448 fr.50 en capital, avec intérêts au taux de 5% par an sur les montants et dès les dates ci-après:
- 80'000 fr. dès le 4 octobre 2001;
- 14'950 fr.50 dès le 1er juillet 2008;
- 218'478 fr. et 140'331 fr. dès le 1er septembre 2008;
- 87'397 fr. et 20'292 fr. dès le 1er septembre 2015,
le tout sous déduction de 524'000 fr. en capital, avec intérêts sur les montants et dès les dates ci-après:
- 20'000 fr. dès le 30 avril 2003;
- 33'400 fr. dès le 31 octobre 2004;
- 21'000 fr. dès le 30 juin 2005;
- 150'000 fr. dès le 22 mars 2013;
- 300'000 fr. dès le 13 janvier 2016.
5.
Les parties acquitteront un émolument judiciaire de 3'500 fr., à raison de 3'000 fr. à la charge de la demanderesse et de 500 fr. à la charge de la défenderesse.
6.
La demanderesse versera une indemnité de 3'000 fr. à la défenderesse, à titre de dépens.
7.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour statuer à nouveau sur les frais et dépens des instances cantonales.
8.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 14 mars 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
Le greffier : Thélin