Faits :
A.
A.a. Le 15 septembre 1984, H.X._ (ci-après: l'assuré) et son épouse F.X._ ont conclu un contrat d'assurance avec la Z._ SA (ci-après: Z._ ou l'assureur).
Le contrat porte sur le versement d'un montant de 300'000 fr. en cas de décès de l'un des époux durant la période du 1er octobre 1984 au 1er octobre 2019. Il prévoit la "libération du service des primes" de l'ensemble du contrat en cas d'incapacité de gain de l'un ou des deux époux. Il garantit également des prestations supplémentaires et comprend la clause suivante en faveur de l'assuré: "Fr. 60'000.-. Rente annuelle en cas d'incapacité de gain. Cette rente est due après un délai d'attente de 3 mois. En cas d'incapacité de gain avant le 1.10.2019, la rente est payée au maximum jusqu'au 1.10.2019."
Le contrat d'assurance renvoie expressément à des conditions générales (éd. 6.1983), dont les "Conditions complémentaires de l'assurance rente d'incapacité de gain" (CGC 4004) et les "Conditions complémentaires relatives à la libération du paiement des primes futures en cas d'incapacité de gain" (CGC 4005).
Selon le ch. 1.1 CGC 4004, il y a incapacité de gain lorsque, par suite de maladie ou d'accident, sur la base de signes objectifs médicalement constatables, l'assuré est incapable d'exercer sa profession ou toute autre activité conforme à sa position sociale, ses connaissances et ses aptitudes et qu'il subit de ce fait simultanément une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent. En cas d'incapacité partielle, la rente annuelle convenue est payable intégralement si le degré d'incapacité de gain est de 662 /3% au moins; si le degré d'incapacité se situe entre 25% et 662 /3%, la rente est versée en proportion du degré d'incapacité; enfin, aucune prestation n'est versée pour un degré d'incapacité inférieur à 25% (ch. 2.2 CGC 4004). La rente est payée trimestriellement (ch. 2.3 CGC 4004); les prestations sont ajustées dès la modification du degré d'incapacité (ch. 2.4 CGC 4004).
Conformément au ch. 2 CGC 4005, l'assuré est libéré, totalement ou partiellement, de l'obligation de payer les primes futures dès le 61ème jour si l'incapacité de gain a duré plus de 60 jours consécutifs. La libération est totale en cas d'incapacité de gain de 662 /3% au moins et partielle en cas d'incapacité entre 662 /3% et 25% (ch. 3.1 CGC 4005). En cas de libération de payer les primes futures, la prime déjà payée pour la période subséquente est restituée proportionnellement au degré d'incapacité (ch. 3.6 CGC 4005).
A.b. A l'époque de la conclusion du contrat, H.X._, né en 1954 et cuisinier de formation, était restaurateur indépendant. De 1984 à 2003, il a dirigé avec son épouse un buffet de gare. En 2003, le couple X._ a inscrit au registre du commerce une société à responsabilité limitée (ci-après: la Sàrl), dont l'assuré était l'associé-gérant et son épouse, l'associée-directrice. Dès avril 2004, les époux X._ ont repris, par l'intermédiaire de la Sàrl dont ils étaient les salariés, la direction d'un établissement public sis dans un camping, ouvert de mars à octobre.
Depuis lors, l'assuré a connu des problèmes de dos toujours plus importants. A fin 2004, des lombosciatalgies bilatérales sur sténose canalaire, en partie dues à une hernie discale L4-L5, ont été diagnostiquées. L'assuré a été en incapacité de travail à 100% dès le 11 octobre 2004, puis à 50% dès le 5 novembre 2004, de nouveau à 100% dès le 15 novembre 2004 et enfin à 50% du 1er février au 31 mars 2005. Par lettre du 14 avril 2005, il a informé l'assureur qu'il avait repris le travail à 100% dès le 1er avril. Z._ l'a indemnisé jusqu'à et y compris le mois de mars 2005; à partir du 1er avril 2005, elle n'a plus versé la rente due en cas d'incapacité de gain.
En raison de l'exacerbation de ses douleurs dorsales, l'assuré a subi une nouvelle incapacité de travail dès le 19 août 2005. Dans une expertise du 10 janvier 2006 destinée au médecin conseil de l'assurance-maladie, le Dr A._ a évalué la capacité de travail de l'assuré à 20%.
A la demande de Z._, le Dr B._ a établi un rapport, daté du 27 juin 2006. Il relève à cette occasion que, incapable de porter une charge quelconque, l'assuré a engagé un employé qui le suit en permanence et qu'il a lui-même admis une capacité de travail à 80% dans un travail adapté ("si je peux déléguer"). L'expert émet l'avis que "compte tenu du recyclage réussi et spontanément effectué dans un travail adapté", l'assuré, "volontaire, intelligent et bénéficiant d'un bon sens commercial", a une "capacité de travail complète ou limitée à un maximum de 10%".
A fin 2006, l'assuré et son épouse ont abandonné la direction de l'établissement public rattaché au camping. Dès le 1er octobre 2007, la Sàrl a repris l'exploitation d'un autre restaurant, tout en continuant à offrir des prestations de traiteur. En qualité d'employé de la Sàrl, l'assuré dirigeait l'établissement et donnait des directives au personnel.
Le 22 juin 2007, l'assureur a mis l'assuré en demeure de payer la prime d'assurance semestrielle échue au 1er avril 2006, sous la menace d'annulation du contrat. Par la suite, l'assuré a versé les primes pour les années 2006 et 2007.
Le 16 août 2008, H.X._ a été victime d'un accident de circulation. Hospitalisé pendant quatre semaines, il a subi notamment un traitement chirurgical d'une fracture du pilon tibial et l'ablation de la rate. Dans un rapport d'expertise orthopédique du 31 août 2009, le Dr C._ retient une incapacité de travail totale jusqu'au 25 août 2009, puis, après cette date, une capacité nulle comme restaurateur s'occupant de la cuisine, une capacité de 80% comme restaurateur chargé de la supervision du personnel et une capacité entière dans une activité adaptée.
Le 28 novembre 2011, l'assuré a été victime d'un nouvel accident de la route. Il s'est alors trouvé en incapacité de travail totale durant plusieurs semaines.
A.c. H.X._ a demandé des prestations de l'assurance-invalidité (AI), pour la première fois en date du 24 avril 2006.
Dans un rapport du 24 janvier 2007, le Dr D._, du Service médical régional de l'AI (SMR), a constaté que la capacité de travail de l'assuré était nulle dans l'activité de restaurateur s'occupant surtout de la cuisine, qu'elle était de 80% pour une activité de restaurateur chargé essentiellement de la supervision du personnel et qu'elle avait toujours été complète dans une activité strictement adaptée aux limitations fonctionnelles. Dans un rapport du 19 février 2007 établi pour le SMR, le Dr E._ a confirmé les conclusions de l'expert D._, ajoutant toutefois qu'au "vu de sa démonstrativité dans son syndrome douloureux, il sera difficile de motiver l'assuré pour la réalisation de mesures professionnelles".
Le 15 mai 2008, l'office AI a adressé à l'assuré un projet de décision tendant au refus de toute rente d'invalidité, en raison d'un taux d'invalidité de 26% ne donnant pas droit à une rente. Il a confirmé sa décision par la suite.
Le 11 janvier 2009, l'assuré a déposé une nouvelle demande de prestations AI. Il a obtenu des mesures de reclassement du 1er avril 2010 au 30 juin 2013, avec versement d'indemnités journalières variant entre 277 et 291 fr.
Par décision du 17 septembre 2014, l'office AI a octroyé à l'assuré les rentes suivantes: du 1er octobre 2008 au 31 décembre 2008, un quart de rente d'invalidité pour un degré d'invalidité de 40%; du 1er janvier 2009 au 30 novembre 2009, une rente entière pour un degré d'invalidité de 100%; enfin, dès le 1er décembre 2009 (trois mois après l'amélioration de l'état de santé), une rente de 75% pour un degré d'invalidité de 61% (suspendue du 1er avril 2010 au 30 juin 2013 en raison du versement ininterrompu d'indemnités journalières).
Le 28 octobre 2014, l'assuré a formé un recours à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois, concluant à l'octroi d'une pleine indemnité dès le 1er décembre 2009.
B.
Par demande du 22 janvier 2009, H.X._ a ouvert action devant la Cour civile du Tribunal cantonal vaudois, concluant à ce que Z._ soit condamnée à lui payer la somme de 338'097 fr., à savoir 300'000 fr. à titre de rentes pour la période du 1er avril 2005 au 1er avril 2010 (5 ans à 60'000 fr.) et 38'097 fr. à titre de remboursement des primes pour la même période (prime semestrielle de 3'809 fr.70 pendant 5 ans), le tout avec intérêts à 5% l'an depuis le 1er septembre 2007 (date moyenne). Par la suite, le demandeur a augmenté ses conclusions d'un montant de 120'000 fr, à titre de rentes du 1er avril 2010 au 1er avril 2012, avec intérêts à 5% l'an dès le 1er avril 2011 (date moyenne). L'assureur a conclu au rejet de la demande.
Dans le cadre de la procédure, une expertise médicale a été confiée au Bureau V._; les Dresses F._ (rhumatologue), G._ (psychiatrie) et H._ (neuropsychologue) ont déposé leur rapport le 14 décembre 2011. Par ailleurs, une expertise comptable a été ordonnée; le rapport de la fiduciaire W._ SA est daté du 16 octobre 2012.
Par jugement du 8 novembre 2013, la Cour civile a condamné l'assureur à payer à l'assuré, à titre de perte de gain, les sommes suivantes:
- 14'294 fr.05 avec intérêts à 5% l'an dès le 9 avril 2009, pour la période du 16 août 2008 au 31 août 2009;
- 5'032 fr.50 avec intérêts à 5% l'an dès le 1er mars 2010, pour la période du 1er septembre 2009 au 31 août 2010;
- 652 fr.10 avec intérêts à 5% l'an dès le 1er novembre 2010, pour la période du 1er septembre 2010 au 31 décembre 2010.
La demande a été rejetée pour le surplus.
Se fondant sur l'expertise comptable, la Cour civile a retenu que le recourant en bonne santé aurait pu, dans sa profession, acquérir un revenu annuel moyen de 90'350 fr. Par ailleurs, elle a appliqué les divers taux d'incapacité de travail figurant dans l'expertise du V._. Sur cette base, la Cour civile s'est prononcée comme suit sur la rente en incapacité de gain réclamée par l'assuré:
- les éventuelles prétentions sont prescrites pour la période antérieure au 22 janvier 2007 (deux ans avant l'ouverture de l'action);
- l'incapacité de travail est de 20% du 22 janvier 2007 au 15 août 2008; inférieure à 25%, elle n'ouvre aucun droit à une rente;
- pour la période du 16 août 2008 au 31 août 2009, le revenu sans incapacité de gain est de 94'236 fr. et le revenu effectif de 75'428 fr.05, d'où il résulte une perte de 18'807 fr.95, dont il y a lieu de déduire la partie correspondant aux trois mois du délai d'attente; la perte déterminante est ainsi de 14'294 fr.05; le taux d'incapacité de travail étant alors de 100%, la prétention de l'assuré s'élève à 14'294 fr.05;
- pour la période du 1er septembre 2009 au 31 août 2010, le revenu sans incapacité de gain est de 90'350 fr. et le revenu effectif, comprenant les versements par des assureurs tiers, est de 80'285 fr., d'où il résulte une perte de 10'065 fr.; comme le taux moyen d'incapacité de travail est de 50%, la prétention est de 5'032 fr.50;
- pour la période du 1er septembre 2010 au 31 décembre 2010, le revenu sans incapacité de gain est de 30'116 fr.65 et le revenu effectif, prestations de tiers incluses, est de 27'943 fr., d'où il résulte une perte de 2'173 fr.65; comme le taux d'incapacité de travail est de 30%, la prétention est de 652 fr.10;
- pour la période du 1er janvier 2011 au 31 décembre 2011, le salaire sans incapacité de gain est de 90'350 fr. et les prestations de la part d'assureurs tiers se montent à 96'670 fr.10; en l'absence de perte de gain, l'assuré n'a aucune prétention;
- pour la période du 1er janvier 2012 au 31 décembre 2012, le revenu effectif n'est pas établi et, partant, aucune perte de gain n'est démontrée; l'assuré n'a aucune prétention.
En outre, la Cour civile a jugé que la prétention en remboursement des primes était prescrite. La dernière prime ayant été versée le 1er octobre 2007, tout droit à la restitution selon les règles de l'enrichissement illégitime était prescrit une année plus tard, soit avant l'ouverture de l'action.
L'assuré a interjeté appel du jugement de la Cour civile. Par arrêt du 29 avril 2015 dont les considérants ont été communiqués le 5 août 2015, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté l'appel et confirmé la décision entreprise.
Dans l'intervalle, l'assuré a, le 5 février 2014, engagé une nouvelle action contre Z._, tendant au paiement d'une rente dès le 1er avril 2012.
C.
H.X._ interjette un recours en matière civile contre l'arrêt de la Cour d'appel, concluant à ce que Z._ soit condamnée à lui payer la somme de 458'097 fr., plus intérêt à 5% l'an dès le 1 er septembre 2007 sur 338'097 fr. et dès le 1 er avril 2011 sur 120'000 fr.
L'intimée propose le rejet du recours.
Invitée à se déterminer, la cour cantonale se réfère aux considérants de son arrêt.
Le recourant a présenté une requête d'effet suspensif, limitée à sa condamnation aux dépens pour l'instance d'appel. Par ordonnance du 18 novembre 2015, la Présidente de la cour de céans a rejeté cette demande.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière civile (art. 72 al. 1 LTF) par un tribunal supérieur d'un canton, qui a statué sur recours (art. 75 LTF). La cause atteint la valeur litigieuse de 30'000 fr. ouvrant le recours en matière civile dans les affaires ne relevant ni du droit du travail, ni du droit du bail à loyer (art. 74 al. 1 let. b LTF). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui n'a pas obtenu entièrement gain de cause et qui a donc qualité pour recourir (art. 76 al. 1 LTF). Déposé dans le délai (art. 46 al. 1 let. b et art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours est en principe recevable.
2.
La cour cantonale a jugé que l'assurance litigieuse, couvrant l'incapacité de gain, était une assurance contre les dommages. Le recourant conteste cette qualification et soutient qu'il s'agit d'une assurance de sommes.
2.1. En droit des assurances privées, la LCA (RS 221.229.1) institue une distinction entre l'assurance contre les dommages - régie par les art. 48 à 72 - et l'assurance de personnes - qui relève des art. 73 à 96 -, sans toutefois définir ces deux notions. L'assurance de personnes est celle qui a pour objet une personne physique; la prestation de l'assureur dépend généralement d'un événement qui atteint la personne de l'assuré, tel que maladie, accident, lésion corporelle, invalidité, décès. Par rapport à l'assurance contre les dommages, l'assurance de personnes, conçue comme une assurance de sommes, se caractérise par sa nature non indemnitaire; elle est une promesse de capital, indépendante du montant effectif du préjudice subi par le preneur ou l'ayant droit (cf. ATF 133 III 527 consid. 3.2.4 p. 532; arrêt 4A_38/2015 du 25 juin 2015 consid. 3.2; arrêt 4A_332/2010 du 22 février 2011 consid. 5.2.3 et 5.2.4). Même dans le cas d'une assurance qui, comme l'assurance contre les accidents, a pour objet une personne physique, on est en présence d'une assurance de personnes uniquement lorsque les parties au contrat d'assurance n'ont subordonné la prestation de l'assureur, dont elles ont fixé le montant lors de la conclusion du contrat, qu'à la survenance de l'événement assuré, sans égard à ses conséquences pécuniaires. En revanche, l'assurance sera qualifiée d'assurance contre les dommages lorsque les parties au contrat ont fait de la perte patrimoniale effective une condition autonome du droit aux prestations (ATF 119 II 361 consid. 4 p. 364 s.).
2.2. En présence d'un litige sur l'interprétation d'une clause d'un contrat d'assurance, le juge doit tout d'abord s'efforcer de déterminer la commune et réelle intention des parties, sans s'arrêter aux expressions ou dénominations inexactes dont elles ont pu se servir, soit par erreur, soit pour déguiser la nature véritable de la convention (art. 18 al. 1 CO). Si la volonté réelle des parties ne peut pas être établie ou si leurs volontés intimes divergent, le juge doit interpréter les déclarations faites et les comportements selon la théorie de la confiance; il doit donc rechercher comment une déclaration ou une attitude pouvait être comprise de bonne foi en fonction de l'ensemble des circonstances (ATF 140 III 134 consid. 3.2 p. 138 s.; 138 III 29 consid. 2.2.3 p. 35 s.). Le principe de la confiance permet ainsi d'imputer à une partie le sens objectif de sa déclaration ou de son comportement, même s'il ne correspond pas à sa volonté intime (ATF 136 III 186 consid. 3.2.1 p. 188; 135 III 295 consid. 5.2 p. 302). L'application du principe de la confiance est une question de droit que le Tribunal peut examiner librement (art. 106 al. 1 LTF); cependant, pour trancher cette question, il doit se fonder sur le contenu de la manifestation de volonté et sur les circonstances, dont la constatation relève du fait (ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 413).
Les conditions générales d'assurance qui ont été expressément incorporées au contrat doivent être interprétées selon les mêmes principes juridiques que les autres dispositions contractuelles (ATF 135 III 1 consid. 2 p. 6, 410 consid. 3.2 p. 412; 133 III 675 consid. 3.3 p. 681). Dans le domaine particulier du contrat d'assurance, l'art. 33 LCA précise d'ailleurs que l'assureur répond de tous les événements qui présentent le caractère du risque contre les conséquences duquel l'assurance a été conclue, à moins que le contrat n'exclue certains événements d'une manière précise, non équivoque; il en résulte que le preneur d'assurance est couvert contre le risque tel qu'il pouvait le comprendre de bonne foi à la lecture du contrat et des conditions générales incorporées à celui-ci. Si l'assureur entend apporter des restrictions ou des exceptions, il lui incombe de l'exprimer clairement (ATF 135 III 410 consid. 3.2 p. 413; 133 III 675 consid. 3.3 p. 682). La validité d'une clause contenue dans des conditions générales est de surcroît limitée par la règle de la clause insolite (ATF 135 III 1 consid. 2.1 p. 7).
2.3. Le contrat d'assurance liant les parties prévoit que le recourant a droit à un montant annuel de 60'000 fr. en cas d'incapacité de gain. Dans son sens courant, l'incapacité de gain ( Erwerbsunfähigkeit) ne consiste pas en une perte ou une diminution de la capacité de travail médico-théorique, mais en la perte ou la diminution concrète de la possibilité d'acquérir un revenu, synonyme de perte économique. En l'espèce, le ch. 1.1 CGC 4004, qui définit la notion d'incapacité de gain, va bien dans ce sens en exigeant, en plus de l'impossibilité d'exercer une activité professionnelle appropriée pour cause de maladie ou d'accident, une perte de gain ou un autre préjudice pécuniaire équivalent. La prestation de l'assureur est ainsi subordonnée à l'existence d'une perte patrimoniale effective. L'assurance litigieuse doit être qualifiée d'assurance contre les dommages (cf. arrêt 5C.21/2007 du 20 avril 2007 consid. 3.1 et 3.2, portant sur une clause contractuelle similaire à celle ici en cause). La conclusion de la cour cantonale sur ce point ne viole pas le droit fédéral.
3.
En revanche, la Cour d'appel ne saurait être suivie dans la manière dont elle a calculé les prétentions du recourant.
3.1. Selon les ch. 2.1 et 2.2 CGC 2004, la rente due par l'intimée doit être calculée sur la base du taux d'incapacité de gain, et non pas sur la base d'un taux d'incapacité de travail médico-théorique. Le taux d'une incapacité de gain intervenant à la suite d'une maladie ou d'un accident résulte de la différence entre, d'une part, le revenu que l'assuré aurait vraisemblablement pu acquérir dans sa profession ou dans une autre activité conforme à sa position sociale s'il avait été en bonne santé, respectivement dans l'état de santé qui était le sien lors de la conclusion du contrat (cf. ch. 4.1 CGC 4004) et, d'autre part, le revenu qu'il a effectivement acquis par de telles activités ou qu'il aurait pu acquérir en déployant les efforts découlant de son incombance à diminuer le dommage (art. 61 LCA). La différence exprimée en pour-cent du premier de ces deux revenus indique le degré d'incapacité de gain.
3.1.1. A lire l'arrêt attaqué, les prestations des assureurs sociaux ont contribué à la diminution de la perte de gain ou de tout autre préjudice financier équivalent; comme le contrat d'assurance le prévoit, elles doivent être prises en considération, à l'exception des prestations de l'assurance invalidité.
Contrairement à ce que la cour cantonale indique sans autre précision, ni le contrat, ni les CGC 4004 ne contiennent une clause de cette teneur. Le fait pour le recourant de percevoir des prestations de tiers, en particulier de la part d'assurances privées ou sociales, n'augmente pas le revenu qu'il a acquis par son travail ou qu'il aurait été en mesure d'acquérir. Ces versements n'ont pas à être ajoutés au revenu effectif ou exigible lors de la détermination du taux d'incapacité de gain (cf. ATF 133 III 527 consid. 3.2 p. 531 ss).
3.1.2. D'après le contrat liant les parties et les CGC 4004, le montant de la rente n'est pas fixé par rapport à la perte économique effective. En cas d'incapacité de gain supérieure à 662 /3%, l'assureur verse la prestation intégrale, à savoir une rente annuelle de 60'000 fr.; cette somme est due quel que soit le montant de la perte effective. En cas d'incapacité entre 662 /3% et 25%, la prestation assurée, à savoir la rente annuelle de 60'000 fr., est versée en proportion du degré d'incapacité, indépendamment de la perte effective. Enfin, en cas d'incapacité inférieure à 25%, aucune prestation n'est due, quand bien même l'assuré subirait une perte. Le taux d'incapacité de gain détermine ainsi la part du montant de 60'000 fr. due par année à l'assuré. Une perte de gain est certes exigée comme condition à l'octroi des prestations, mais l'intimée ne s'est pas engagée à indemniser le dommage effectif subi par le recourant; les parties ont convenu par avance d'une rente fixe par an. La perte économique effective n'a donc qu'une incidence indirecte sur le montant de la prestation d'assurance due, fixé forfaitairement et susceptible de varier en fonction du degré d'incapacité de gain (cf. ATF 139 III 263 consid. 1.3.1 p. 266 et consid. 1.3.4 p. 267; arrêt 4A_134/2015 du 14 septembre 2015 consid. 4).
Pour la période du 16 août 2008 au 31 août 2009, la cour cantonale a retenu un revenu effectif de 75'428 fr.05 et un taux d'incapacité de 100%; elle a alloué au recourant une indemnité de 14'294 fr.05. Or, de deux choses l'une: soit le recourant a effectivement gagné, comme rétribution pour son travail, 75'428 fr.05 et son taux d'incapacité de gain était alors - si l'on admet un revenu sans incapacité de gain de 94'236 fr. - de 20% (75'428 : 94'236 = 0,80), ce qui ne donne pas droit à des prestations de la part de l'intimée; soit le taux d'incapacité de gain était de 100% - ce qui implique que le recourant n'a pas travaillé et n'était pas en mesure de le faire - et l'assuré aurait alors droit à la prestation entière prévue par le contrat après l'échéance du délai d'attente de trois mois, à savoir 47'500 fr. (5'000 fr. [60'000 fr. : 12] x 9,5 mois).
3.2. Il apparaît ainsi que la cour cantonale, dans des considérants dont la lecture n'est pas aisée, s'est fondée sur des concepts et notions erronés, à tout le moins en partie. Il s'ensuit que l'arrêt attaqué doit être annulé. Il appartiendra à la cour cantonale, à laquelle la cause est renvoyée, de reprendre l'examen des prétentions de l'assuré.
Dans ces conditions, il n'y a pas lieu d'examiner les nombreux griefs du recourant à l'encontre des éléments que la Cour d'appel a tirés des expertises et sur la base desquels elle a calculé les prétentions de manière erronée, ni de se prononcer en l'état sur la nécessité d'une nouvelle expertise et la possibilité de l'ordonner.
4.
Le recourant nie également que ses prétentions à une rente pour la période antérieure au 22 janvier 2007 (date correspondant à deux ans avant l'ouverture de l'action) soient prescrites. Il soutient que le point de départ de la prescription correspond au moment où son invalidité était acquise; en raison du caractère fluctuant de son état de santé et de sa capacité de travail entre avril 2005 et janvier 2007 ainsi que des avis divergents des médecins qui l'ont examiné pendant cette période, les conditions auxquelles le versement de la rente était subordonné n'auraient dès lors pas été réunies à un moment remontant à plus de deux ans avant l'ouverture de l'action.
4.1. Il convient de relever d'emblée que le recourant argumente comme si le droit à la rente dépendait d'une invalidité permanente; or tel n'est pas le cas. Telle que formulée, sa critique tombe à faux.
Les créances qui dérivent du contrat d'assurance se prescrivent par deux ans à dater du fait d'où naît l'obligation (art. 46 al. 1 LCA). Au terme d'une évolution, la jurisprudence a précisé que le "fait d'où naît l'obligation" ne se confond pas nécessairement avec la survenance du sinistre, même s'il s'agit de la cause première de l'obligation d'indemnisation. Seule une prétention qui a déjà pris naissance peut être atteinte par la prescription. Le moment déterminant pour le départ de la prescription est donc celui où sont réunis tous les éléments constitutifs fondant le devoir de prestation de l'assureur, sans égard au moment où l'assuré en a eu connaissance. Il s'ensuit que la notion de "fait d'où naît l'obligation" varie selon les diverses catégories d'assurances et le type de prétention en cause. En bref, pour connaître le "fait d'où naît l'obligation" et, partant, le point de départ de la prescription, il faut analyser le contrat d'assurance et déterminer quel est le sinistre assuré, respectivement quels éléments constitutifs doivent être réunis pour que l'assureur ait l'obligation d'indemniser l'assuré, sans égard aux déclarations et actes que doit faire la partie qui invoque une prétention (ATF 139 III 263 consid. 1.2 p. 265 s. et les références).
4.2. En l'espèce, la prestation d'assurance est une rente périodique due en cas d'incapacité de gain de 25% au moins, versée dès l'échéance du délai d'attente convenu de trois mois et susceptible d'être modifiée ultérieurement selon l'évolution du taux d'incapacité de gain (cf. ch 2.1 et 2.2 CGC 4004). L'incapacité de gain, qui fonde le droit à la rente, doit être réalisée constamment; elle est susceptible de varier ou de disparaître, si bien que le "fait d'où naît l'obligation" de l'assureur se répète constamment (cf. ATF 139 III 263 consid. 2.5 p. 271).
Il n'est pas établi qu'un acte interruptif de la prescription soit intervenu avant l'ouverture de l'action. Le recourant ne le prétend du reste pas. C'est dès lors à bon droit que la Cour d'appel a jugé que toute créance en paiement de la rente née avant le 22 janvier 2007 est prescrite.
5.
Le recourant conteste enfin que ses prétentions en remboursement des primes payées à tort soient prescrites, pour les mêmes motifs qu'il nie la prescription du droit à la rente. En tant qu'elle est développée en relation avec une invalidité permanente, son argumentation est, comme déjà relevé, mal fondée.
5.1. Cela étant, la question est de savoir si la libération du paiement des primes est une obligation contractuelle de l'assureur lorsque l'assuré se trouve en incapacité de gain - auquel cas la restitution de primes payées à tort se prescrit par deux ans suivant les règles de l'art. 46 LCA - ou si la libération découle d'une condition résolutoire, à savoir que les primes sont dues uniquement si l'assuré n'est pas en incapacité de gain, - auquel cas la restitution de primes, non dues en raison de la réalisation de la condition, tombe sous le coup des règles sur l'enrichissement illégitime et du délai de prescription d'un an de l'art. 67 CO (cf. arrêt 4A_53/2010 du 29 avril 2010 consid. 2.6).
5.2. En l'espèce, le contrat prévoit la "libération du service des primes", et non pas la suppression, le cas échéant temporaire, de la prime en tant que telle. Dans le même sens, les CGC 4005 précisent que l'assuré est, le cas échéant, libéré de l'obligation de payer les primes; en outre, ces conditions générales font du remboursement une obligation contractuelle en prévoyant qu'en cas de libération, la prime payée pour la période subséquente est restituée. Contrairement à ce que la cour cantonale a admis, il faut en déduire que, dans le cas présent, la libération du service des primes est une obligation contractuelle de l'assureur, le délai de prescription de deux ans étant applicable (cf. Stephan Fuhrer, Anmerkungen zu privatversicherungsrechtlichen Entscheiden des Bundesgerichts, REAS/HAVE 2010 p. 265).
La dernière prime a été versée le 1er octobre 2007; le délai de prescription de deux ans pour la restitution de cette prime n'était pas écoulé le 22 janvier 2009 lors de l'ouverture de l'action. Il en va en tout cas de même pour les autres montants versés à titre de primes après le 22 janvier 2007.
6.
Sur le vu de ce qui précède, il convient d'admettre partiellement le recours, d'annuler l'arrêt attaqué et de renvoyer la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants ci-dessus.
Le recourant n'obtient pas entièrement gain de cause. Il se justifie de répartir les frais par moitié entre les parties et de compenser les dépens (art. 66 et 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis, l'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée à la cour cantonale.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 7'000 fr., sont mis par moitié à la charge de chaque partie.
3.
Les dépens sont compensés.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 26 février 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann