Faits :
A.
A.a. En 1995, A._ a signé un billet à ordre de 400'000 USD en faveur de la société X._ SA (ci-après: la société), à laquelle a succédé C._ SA, en garantie d'une dette de ce montant à l'égard de B._. En 1998, il a signé un second billet à ordre d'un montant de 100'000 USD toujours en faveur de la société.
A._ est de nationalité belge; selon l'arrêt cantonal, il est domicilié à Bruxelles. B._ est domicilié à Savigny (VD), et la société C._ SA, dont le précité est administrateur avec pouvoir de signature collective à deux, a son siège à Lausanne (VD).
A.b. Les billets à ordre n'ayant pas été honorés, la société a ouvert action en janvier 2011 par "Complaint for compensatory damages" contre A._, alors domicilié aux Etats-Unis d'Amérique, devant le Tribunal du district de Columbia ("United States District Court for the District of Columbia") pour le recouvrement de la somme de 520'227,23 USD, plus intérêts.
Le juge de district de Columbia a considéré, par jugement du 7 juin 2004, que les billets à ordre concernaient les dettes de A._ à l'égard de la société et que ces dettes d'environ 25'000 USD avaient été remboursées; ce jugement a été confirmé par la Cour d'appel des États-Unis pour le district de Columbia selon arrêt du 18 août 2006.
B.
B.a. Dans l'intervalle, en mai 2002, A._ a déposé devant le Tribunal des faillites du district de Columbia ("Bankruptcy Court of the District of Columbia"; ci-après le juge des faillites) une demande de faillite personnelle. Le droit américain des faillites protège le débiteur par une suspension automatique des démarches des créanciers en vue d'obtenir l'exécution de leurs droits.
Le 19 novembre 2006, le juge des faillites a ordonné à la société de retirer la saisie immobilière conservatoire, qu'elle avait requise en relation avec la propriété de A._ à Bruxelles, et toutes les procédures intentées en Italie ou ailleurs en relation avec le transfert en 2000 à ses filles de ses droits sur une ferme en Italie. Cet ordre (Order unconditionally confirming debtor's plan of reorganization") visait C._ SA, mais pas B._ qui n'était pas partie à la procédure.
B.b. A._ invoque qu'étant donné que B._ et la société ne se sont pas exécutés, il a déposé une demande de sanctions (Motion for sanctions) le 18 août 2008 devant le juge des faillites, notifiée aux défendeurs (i.e. B._ et la société) le 10 octobre 2008 conformément à la Convention de la Haye du 15 novembre 1965 relative à la signification et la notification à l'étranger des actes judiciaires et extrajudiciaires en matière civile ou commerciale (RS 0.274.131), et que cette demande de sanctions serait l'acte introductif d'instance. Il ne produit toutefois ni cette demande, ni les pièces attestant de sa notification.
B.c. Le 9 janvier 2009, A._ (demandeur) a adressé au juge des faillites une requête de fixation d'une audience ("Motion to set hearing on ex parte proof of damages"), demandant au juge de prononcer le défaut contre les défendeurs et de fixer une audience ayant pour objet la preuve du dommage; y étaient joints un projet d'ordonnance de défaut et de fixation d'audience ("Order entering default and setting hearing on ex parte proof of damages") et une notice ("Notice of motion to set hearing on ex parte proof of damages"), informant les défendeurs qu'ils disposaient d'un délai de 11 jours après notification pour déposer une objection écrite en fait et en droit contre la demande de sanctions formée par A._, à défaut de quoi il pourrait être statué sur la demande de sanctions sans audience (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF).
Ces documents ont été envoyés aux défendeurs par l'avocat de A._, au moyen d'un pli postal ("first class mail, postage prepaid") du 9 janvier 2009.
B.d. Le 22 janvier 2009, le juge des faillites a signé l'ordonnance de défaut et de fixation d'audience rédigée par le demandeur, constaté le défaut des défendeurs (faute pour eux d'avoir répondu à la demande de sanctions du 18 août 2008, notifiée le 10 octobre 2008) et fixé l'audience pour fixation du dommage au 18 février 2009 (art. 105 al. 2 LTF).
Cet acte a été valablement notifié à B._ le 30 janvier 2009, mais il n'a pas pu l'être à la société, son avocat ayant fait savoir qu'il ne la représentait plus.
B.e. Lors de l'audience du 18 février 2009, seul le conseil du demandeur a comparu; ni le demandeur, ni les défendeurs ne se sont présentés.
B.f. Par jugement signé du 9 mars 2009, le juge des faillites a condamné B._ et la société, conjointement et solidairement, à payer à A._ la somme de 1'417'454,43 USD à titre de dommages-intérêts, ainsi qu'à payer une astreinte en faveur de l'État américain de 2'000 USD par jour. Cet acte a été valablement notifié aux défendeurs les 21 avril et 7 mai 2009.
C.
Le 16 novembre 2012, A._ a adressé au Président du Tribunal d'arrondissement de Lausanne une requête tendant à ce que ce jugement étasunien du 9 mars 2009 soit déclaré exécutoire en Suisse (ci-après: la requête d'exequatur).
Le président du tribunal civil, par jugement du 14 août 2014, a rejeté la requête d'exequatur, pour trois motifs: l'irrégularité de la citation à la première audience (soit de la requête de fixation d'une audience, notifiée par pli postal le 9 janvier 2009), le délai trop court, de 11 jours, imparti aux défendeurs par la notice du même jour pour se défendre et, enfin, le fait que le jugement du 9 mars 2009 ne permettait pas de comprendre le fondement de la somme mise à la charge des défendeurs et de déterminer si elle était compatible avec l'ordre public suisse, cette somme semblant correspondre à des dommages-intérêts punitifs.
Statuant par arrêt du 4 novembre 2014, la Chambre des recours civile du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours de A._ et a confirmé le jugement attaqué. En substance, elle a estimé qu'il n'était pas possible de vérifier, sur la base des pièces produites, si et comment la demande de sanctions avait été notifiée aux défendeurs. Elle a considéré que ce point n'était toutefois pas décisif, dès l'instant où c'est la citation à la première audience qui était déterminante au sens de l'art. 27 al. 2 let. a LDIP, que cette citation a été envoyée par voie postale le 9 janvier 2009 et que, partant, sa notification était irrégulière, ce d'autant que, précédemment, B._ n'était pas personnellement partie à la procédure. En outre, comme le délai judiciaire fixé dans la requête de fixation d'une audience n'était que de 11 jours, soit 9 jours ouvrables, voire moins en fonction de la date effective de sa réception par les défendeurs, ce délai était trop court pour que ceux-ci puissent préparer leur défense. Enfin, les dommages-intérêts alloués par le jugement du 9 mars 2009 sont élevés, voire exorbitants et, selon toute vraisemblance, tant l'interdiction judiciaire transgressée que la nature et la quotité des dommages-intérêts alloués semblent contraires à des règles de droit suisse.
D.
Contre cet arrêt, A._ exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à sa réforme en ce sens que sa requête d'exequatur soit admise et que le jugement étasunien du 9 mars 2009 condamnant conjointement et solidairement les défendeurs à lui payer le montant de 1'417'454,43 USD soit reconnu définitif et exécutoire en Suisse. Subsidiairement, il conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause aux premiers juges pour nouvelle instruction et nouveau jugement dans le sens des considérants. Il se plaint d'établissement inexact des faits (art. 97 LTF), ainsi que de violation de l'art. 27 al. 2 let. a LDIP (ordre public procédural) et de l'art. 27 al. 1 LDIP (ordre public matériel suisse).
B._ conclut au rejet du recours et à la confirmation de l'arrêt attaqué. La société prend les mêmes conclusions.
Les parties ont encore déposé des observations sur leurs écritures respectives.
L'effet suspensif au recours a été rejeté par ordonnance présidentielle du 24 mars 2015.
Les requêtes de sûretés déposées par chacun des intimés ont été admises par ordonnances présidentielles des 28 avril et 9 juin 2015 et deux montants de 12'000 fr. chacun ont été versés par le recourant à la caisse du Tribunal fédéral.
Considérant en droit :
1.
La décision de reconnaissance et d'exécution d'un jugement étranger portant condamnation à payer une somme d'argent est une décision susceptible d'un recours en matière civile en vertu de l'art. 72 al. 2 let. b ch. 1 LTF. En tant qu'il est formé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et selon les formes prévues par la loi (art. 42 al. 2 LTF) contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue sur recours par le tribunal supérieur du canton (art. 75 LTF), dans une affaire pécuniaire dont la valeur litigieuse s'élève au moins à 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF), le recours est recevable.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte - ce qui correspond à la notion d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266; 137 I 58 consid. 4.1.2) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
Lorsque le recourant soutient que les faits ont été constatés de manière arbitraire, que les preuves ont été appréciées de manière insoutenable, le Tribunal fédéral n'intervient, du chef de l'art. 9 Cst., que si le juge du fait n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, a omis sans raisons objectives de tenir compte des preuves pertinentes ou a effectué, sur la base des éléments recueillis, des déductions insoutenables (ATF 137 III 226 consid. 4.2; 136 III 552 consid. 4.2).
2.2. Le Tribunal fédéral applique d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié ou complété). Cela ne signifie pas que le Tribunal fédéral examine, comme le ferait un juge de première instance, toutes les questions juridiques qui pourraient se poser. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 42 al. 2 LTF, il ne traite que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties. Celles-ci peuvent toujours soulever de nouveaux moyens de droit matériel, pour autant que l'argumentation juridique nouvelle repose sur les constatations de fait de l'arrêt attaqué, et non sur des faits nouveaux (ATF 130 III 28 consid. 4.4 p. 34; arrêts 5A_621/2013 du 20 novembre 2014 consid. 2.2, non publié in ATF 141 III 53; 4A_28/2007 du 30 mai 2007 consid. 1.3, non publié in ATF 133 III 421; 4A_188/2007 du 13 septembre 2007 consid. 4.3.5). Le Tribunal fédéral n'examine donc que les questions qui sont discutées devant lui, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (ATF 140 III 86 consid. 2; 133 III 545 consid. 2.2; arrêt 4A_399/2008 du 12 novembre 2008 consid. 2.1, non publié in ATF 135 III 112). Il n'est en revanche pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre ou rejeter le recours en procédant à une substitution de motifs (ATF 135 III 397 consid. 1.4).
3.
3.1. Comme il n'existe aucune convention ou traité liant la Suisse et les États-Unis d'Amérique en matière de reconnaissance et d'exécution des jugements, le jugement étasunien litigieux ne peut être reconnu et exécuté en Suisse qu'aux conditions de l'art. 25 LDIP, soit si la compétence des autorités judiciaires ou administratives de l'État dans lequel la décision a été rendue était donnée (let. a), si la décision n'est plus susceptible de recours ordinaire ou si elle est définitive (let. b) et s'il n'y a pas de motif de refus au sens de l'art. 27 (let. c).
3.2. Selon l'art. 27 LDIP ("Motifs de refus"), la reconnaissance d'une décision étrangère doit être refusée en Suisse si elle est manifestement incompatible avec l'ordre public suisse (al. 1), exigence du respect de l'ordre public matériel, qui a trait au fond du litige, ou si elle viole certaines règles fondamentales de procédure civile, énoncées exhaustivement à l'al. 2, exigences de l'ordre public procédural (citation irrégulière, violation du droit d'être entendu, litispendance et chose jugée).
De façon générale, la réserve de l'ordre public doit permettre au juge de ne pas apporter la protection de la justice suisse à des situations qui heurtent de manière choquante les principes les plus essentiels de l'ordre juridique, tel qu'il est conçu en Suisse (ATF 126 III 534 consid. 2c; ATF 125 III 443 consid. 3d). En tant que clause d'exception, la réserve de l'ordre public doit être interprétée de manière restrictive, spécialement en matière de reconnaissance et d'exécution des jugements étrangers, où sa portée est plus étroite que pour l'application directe du droit étranger (effet atténué de l'ordre public); la reconnaissance de la décision étrangère constitue la règle, dont il ne faut pas s'écarter sans de bonnes raisons (ATF 126 III 101 consid. 3b p. 107, 327 consid. 2b et les arrêts cités). Un jugement étranger peut être incompatible avec l'ordre public suisse non seulement à cause de son contenu, mais également en raison de la procédure dont il est issu (ATF 126 III 327 consid. 2b; 116 II 625 consid. 4a et les arrêts cités).
3.3. Aux termes de l'art. 27 al. 2 let. a LDIP, la reconnaissance doit être refusée si une partie établit qu'elle n'a été citée régulièrement, ni selon le droit de son domicile, ni selon le droit de sa résidence habituelle, à moins qu'elle n'ait procédé au fond sans faire de réserve. La déclaration de force exécutoire est également soumise à cette règle (art. 28 LDIP). En outre, en vertu de l'art. 29 al. 1 let. c LDIP, en cas de jugement par défaut, la requête en reconnaissance ou en exécution adressée à l'autorité compétente doit être accompagnée d'un document officiel établissant que le défaillant a été cité régulièrement et qu'il a eu la possibilité de faire valoir ses moyens.
3.3.1. La condition que le défendeur ait été "cité régulièrement" ("gehörig geladen") vise la notification de l'acte introductif d'instance (verfahrenseinleitendes Schriftstück), par lequel le défendeur est informé de la procédure ouverte contre lui et de la possibilité de faire valoir ses moyens de défense, comme le précise expressément l'art. 29 al. 1 let. c LDIP (arrêts 5A_633/2007 du 14 avril 2008 consid. 3.3; 5A_544/2007 du 4 février 2008 consid. 3; 5A_427/2011 du 10 octobre 2011 consid. 6; cf. ALEXANDER R. MARKUS, Internationales Zivilprozessrecht, 2014, n. 1389 p. 369; JOLANTA KREN KOSTKIEWICZ, Grundriss des schweizerischen internationalen Privatrechts, 2012, n. 154; ANDREAS BUCHER, in Commentaire romand LDIP/CL, n° 24 ad art. 27 LDIP; BERNARD DUTOIT, Droit international privé suisse, 4e éd. 2005, n. 8 ad art. 27 LDIP; PAUL VOLKEN, in Zürcher Kommentar zum IPRG, 2e éd. 2004, n°s 76-77 ad art. 27 LDIP). Le défendeur est invité à procéder devant le tribunal par une première manifestation en tant que partie, que ce soit sous la forme du dépôt d'un mémoire (de réponse), d'une comparution lors d'une audience, d'une élection de domicile ou d'une autre manière lui permettant de prendre part à la suite du procès (BUCHER, loc. cit.; VOLKEN, op. cit., n° 77 ad art. 27 LDIP).
La garantie d'une "citation régulière" a pour but d'assurer à chaque partie le droit de ne pas être condamnée sans avoir été mise en mesure de défendre ses intérêts; elle concrétise le droit d'être entendu (ATF 117 Ib 347 consid. 2b/bb et les arrêts cités). La notification doit être effectuée régulièrement selon le droit de procédure applicable. L'art. 27 al. 2 let. a LDIP entend ainsi refuser la reconnaissance à un jugement étranger rendu dans une procédure menée de manière incorrecte à l'égard du défendeur (ATF 122 III 439 consid. 4b). En revanche, si le défendeur a été régulièrement informé par l'acte introductif d'instance, le jugement étranger peut être reconnu, même si le défendeur n'a pas participé à la procédure et qu'un jugement par défaut a été rendu (MARKUS, op. cit., n. 1390 p. 369).
La notion de notification de l'acte introductif d'instance au sens de l'art. 34 par. 2 de la Convention de Lugano révisée du 30 octobre 2007 (RS 0.275.12; ci-après: Convention de Lugano ou CL), norme entrée en vigueur le 1er janvier 2011, est différente de l'ancien art. 27 ch. 2 aCL (norme en vigueur jusqu'au 31 décembre 2010), comme elle est différente de l'art. 27 al. 2 let. a LDIP: en effet, selon l'art. 34 par. 2 CL, il suffit que le destinataire ait été mis en mesure d'exercer ses droits par une communication offrant des garanties au moins comparables à celles d'une notification régulière, selon le droit de procédure déterminant (arrêt 5A_230/2012 du 23 octobre 2012 consid. 4.1). Le fait que l'art. 34 par. 2 CL n'exige plus, dans le champ d'application de la Convention de Lugano, une notification entièrement conforme aux règles du droit de procédure applicable ne saurait justifier que l'on s'écarte du texte clair de l'art. 27 al. 2 let. a LDIP applicable en dehors de ce champ. Au regard de cette disposition, il ne suffit donc pas que le destinataire ait eu de quelque manière connaissance de l'acte introductif d'instance.
3.3.2. La notification du premier acte introductif d'instance est régulière au sens de l'art. 27 al. 2 let. a LDIP si elle est valable au regard des règles applicables dans l'Etat de domicile du destinataire (subsidiairement de sa résidence habituelle). Lorsque celui-ci est domicilié ou établi en Suisse et que l'Etat d'origine est partie à la Convention de La Haye du 15 novembre 1965 relative à la signification et la notification à l'étranger des actes judiciaires et extrajudiciaires en matière civile ou commerciale (ci-après: CLaH65; RS 0.274.131), c'est au regard des règles de cette convention qu'il y a lieu de contrôler la validité de la notification (MARKUS, op. cit., n. 1392; BUCHER, op. cit., n° 23 ad art. 27 LDIP). La Suisse n'accepte pas que les actes judiciaires soient notifiés par la poste au sens de l'art. 10 let. a CLaH65 (ATF 135 III 623 consid. 2 et 3; arrêt 5A_544/2007 du 4 février 2008 déjà cité, consid. 3).
La LDIP ne dit rien au sujet de la notification des actes ultérieurs de la procédure.
3.3.3. Bien que l'art. 27 al. 2 let. a LDIP ne mentionne pas expressément, comme le fait l'art. 29 al. 1 let. c LDIP dans sa version allemande, que la notification doit avoir eu lieu "en temps utile" ("rechtzeitig"), cette exigence, selon la jurisprudence, est comprise dans la notion de régularité de la citation (arrêt 5P.382/2006 du 12 avril 2007 consid. 5.2; cf. BUCHER, op. cit., n° 36 ad art. 27 LDIP; MARKUS, op. cit., n. 1397 p. 370). Sous l'angle de l'ordre public suisse, le délai fixé au défendeur doit être suffisant pour lui permettre de consulter un conseil et de préparer sa défense devant le tribunal étranger (arrêt 5P.382/2006 du 12 avril 2007 déjà cité, loc. cit.; cf. BUCHER, op. cit., ibidem; D ÄPPEN/MABILLARD, in Basler Kommentar, Internationales Privatrecht, 3e éd. 2013, n° 14 ad art. 27 LDIP).
3.4. Si l'art. 27 al. 2 let. a LDIP institue une exception, que le défendeur à la procédure de reconnaissance et d'exécution doit soulever et prouver (ATF 116 II 625 consid. 4b; VOLKEN, op. cit., n° 61 ad art. 29 LDIP), l'art. 29 al. 1 let. c LDIP renforce, en cas de jugement par défaut, les exigences de preuve et renverse le fardeau de la preuve. Dans ce cas, le demandeur à la reconnaissance supporte le fardeau de la preuve: il doit prouver que l'acte introductif d'instance a été notifié régulièrement et en temps utile au défendeur défaillant; en outre, il doit apporter cette preuve par titres. Pour ce faire, il lui incombe de produire un exemplaire de l'acte introductif d'instance, ainsi que l'attestation de notification de l'autorité compétente du domicile du défendeur défaillant (VOLKEN, op. cit., n °s 62 et 63 ad art. 29 LDIP; DÄPPEN/MABILLARD, op. cit., n° 16 ad art. 29 LDIP; DUTOIT, op. cit., n. 4 in fine ad art. 29 LDIP; cf. Message concernant une loi fédérale sur le droit international privé du 10 novembre 1982, FF 1983 I 255, spéc. 319 et 320). En l'absence de ces titres, la preuve n'est pas rapportée et la reconnaissance doit être refusée (DÄPPEN/MABILLARD, op. cit., n° 16 ad art. 29 LDIP).
3.5. Le créancier peut notamment requérir la reconnaissance et l'exécution d'un jugement étranger portant condamnation à payer une somme d'argent dans une procédure indépendante (art. 29 al. 1 et 2 LDIP) devant le juge de l'exécution (art. 339 CPC; MARKUS, op. cit., n. 1420 p. 375 s.; DUTOIT, op. cit., n. 1 ad art. 29 LDIP). La procédure est contradictoire, la partie qui s'y oppose étant entendue et pouvant faire valoir ses moyens (art. 29 al. 2 LDIP; cf. à propos de la reconnaissance d'un jugement de faillite, ATF 139 III 504 consid. 3). La procédure sommaire est applicable (art. 335 al. 3 CPC en liaison avec l'art. 339 al. 2 CPC, lequel renvoie aux art. 252 ss CPC). Il ne s'agit nullement d'une procédure gracieuse dans laquelle s'appliquerait la maxime inquisitoire (art. 255 let. b CPC).
4.
4.1. En l'espèce, il y a divergence, en droit et en fait, sur le point de savoir quel est l'acte introductif d'instance qui devait être notifié conformément aux règles de la CLaH65.
4.1.1. Pour la cour cantonale, il s'agit de la " citation à la première audience ", qui est, pour elle, la requête de fixation d'une audience (Motion to set hearing on ex parte proof of damages), envoyée par la voie postale le 9 janvier 2009.
A suivre le recourant, il s'agit de la demande de sanctions (Motion for sanctions) du 18 août 2008, notifiée le 10 octobre 2008.
Selon la société intimée, il s'agit, comme pour la cour cantonale, de la requête de fixation d'une audience (Motion to set hearing on ex parte proof of damages) du 9 janvier 2009; elle considère que les critiques du recourant tendant à faire admettre qu'il s'agirait de la demande de sanctions (Motion for sanctions) sont appellatoires, formulées pour la première fois devant le Tribunal fédéral, et que la demande de sanctions et l'attestation prouvant sa notification n'ont pas été produites; selon elle, cette requête de fixation d'une audience (Motion to set hearing on ex parte proof of damages) et l'ordonnance de défaut et de fixation d'audience (Order entering default and setting hearing on ex parte proof of damages) qui l'accompagne se rapportent à une procédure spécifique, qui a pour objet de fixer le montant du dommage; la notice qui y est jointe précise qu'un délai de 11 jours est imparti pour proposer des objections; la requête de fixation d'une audience vaut donc acte introductif d'instance et n'est pas valable puisqu'elle a été transmise par pli postal.
Quant à l'intimé, il soutient que le demandeur aurait pu et dû produire la demande de sanctions (Motion for sanctions) et que, faute de l'avoir fait, l'état de fait ne peut être complété; le fait que cette demande soit mentionnée dans le jugement n'a pas été allégué et ne suffit pas; la mention de cette demande dans la pièce 126 (Motion to set hearing on ex parte proof of damages) et dans la pièce 3 (jugement) est donc dépourvue de pertinence; le juge américain a fait siennes les allégations du demandeur sans en vérifier l'exactitude. Il soutient que le demandeur n'a pas contesté l'interprétation faite par lui et admise par les juges cantonaux au sujet de la requête de fixation d'une audience (Motion to set hearing on ex parte proof of damages) du 9 janvier, notifiée par voie postale.
4.1.2. Il y a lieu de relever tout d'abord que la question de savoir quel est l'acte introductif d'instance est une question de droit, et non de fait. Le Tribunal fédéral l'examine donc librement sur la base des faits constatés ou, en cas d'arbitraire, sur la base de l'état de fait qu'il aura corrigé (art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF; 9 Cst.). Les griefs de la société intimée, selon lesquels le recourant, en prétendant que la demande de sanctions (Motion for sanctions) est l'acte introductif d'instance, se prévaudrait d'un novum et formerait une critique appellatoire reposant sur un état de fait non constaté, sont privées de tout fondement.
Contrairement à ce que croient la cour cantonale et les intimés, la "citation régulière à la première audience" au sens de l'art. 27 al. 2 let. a LDIP n'est pas la citation à l'audience du 18 février 2009, mais c'est l'acte introductif d'instance lui-même, soit le premier acte par lequel les défendeurs ont été informés de l'existence d'une procédure ouverte contre eux et de la possibilité qui leur était accordée de faire valoir leurs moyens de défense.
4.1.3. Selon le jugement du 9 mars 2009 dont la reconnaissance et l'exécution sont demandées, c'est la demande de sanctions (Motion for sanctions) déposée par le débiteur qui est le fondement de la condamnation des défendeurs à payer conjointement le montant de 1'417'454,43 USD. D'après l'ordonnance de défaut et de citation à l'audience (Order entering default and setting hearing on ex parte proof of damages), signée par le juge des faillites le 22 janvier 2009, c'est parce que les défendeurs n'ont pas répondu à la demande de sanctions (Motion for sanctions) que le défaut a été constaté et qu'une audience a été fixée au 18 février 2009 pour la fixation des dommages-intérêts et d'autres sanctions coercitives. La cour cantonale retient d'ailleurs elle-même que c'est sur la demande de sanctions (Motion for sanctions), formée par le débiteur, que le juge américain devait statuer (arrêt attaqué p. 4 in fine). Le grief du recourant doit ainsi être admis sur ce point en raison de la contradiction de la constatation de l'autorité cantonale avec les pièces du dossier.
En outre, comme le recourant le relève, il y a également appréciation arbitraire des pièces produites sur deux autres points. Tout d'abord, il est évident que, le 9 janvier 2009, le juge des faillites n'a pas rendu et adressé aux défendeurs une "Notice of Motion to set hearing on ex parte proof of damages", puisqu'il résulte clairement de la pièce cotée 126 produite par l'intimé le 4 avril 2013 devant le premier juge qu'il s'agit d'un acte rédigé par l'avocat du demandeur, non signé par le juge américain, auquel sont joints deux actes également rédigés par cet avocat, soit la requête de fixation d'une audience (Motion to set hearing on ex parte proof of damages) et un projet d'ordonnance de défaut et de fixation d'une audience (Order entering default and setting hearing on ex parte proof of damages); ce projet sera d'ailleurs signé par le juge pour valoir ordonnance le 22 janvier 2009. Contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, la requête de fixation d'une audience (Motion to set hearing on ex parte proof of damages) du 9 janvier 2009 ne saurait donc être l'acte introductif d'instance.
Ensuite, il est évident, au vu des pièces 126 et 127 produites par l'intimé le 4 avril 2013, que la citation à comparaître à l'audience du 18 février 2009 n'a pas été notifiée par voie postale le 9 janvier 2009, mais bien par la notification de l'ordonnance (Order entering default and setting hearing on ex parte proof of damages) signée par le juge le 22 janvier 2009, notification qui a atteint le défendeur le 30 janvier 2009, mais non la société défenderesse, l'avocat de celle-ci ayant refusé la notification.
C'est enfin en violation du droit que la cour cantonale, retenant que les pièces ne lui permettent pas de dire si et comment la demande de sanctions (Motion for sanctions) a été notifiée, se rabat sur un acte ultérieur de la procédure comme acte introductif d'instance.
4.2. Il sied désormais d'examiner si la demande de sanctions (Motion for sanctions), qui est l'acte introductif d'instance, a été régulièrement notifiée aux défendeurs.
4.2.1. Le recourant soutient que tant l'existence de la demande de sanctions (Motion for sanctions) que la régularité de sa notification selon la CLaH65 résultent du jugement du 9 mars 2009. Les intimés contestent avoir reçu notification de cette demande.
4.2.2. En l'espèce, on est en présence d'un jugement par défaut, puisque les défendeurs n'ont pas participé à l'audience du 18 février 2009, ni à aucune autre audience, et qu'ils n'ont par ailleurs pas répondu à la demande. Le fardeau de la preuve et les exigences de preuve accrues de l'art. 29 al. 1 let. c LDIP sont donc applicables. Il appartenait donc au demandeur à la reconnaissance et à l'exécution du jugement par défaut de produire la demande de sanctions (Motion for sanctions), soit l'acte introductif d'instance, et l'attestation officielle prouvant la notification régulière de celle-ci. Faute d'avoir produit ces deux documents, le recourant n'a pas prouvé à satisfaction de droit que les défendeurs ont été cités régulièrement. Le fait que l'ordonnance du 22 janvier 2009 mentionne que la demande de sanctions aurait été notifiée le 10 octobre 2008 et que le jugement du 9 mars 2009 indique que la notification serait conforme à la CLaH65 ne suffisent pas au regard de l'art. 29 al. 1 let. c LDIP. Au demeurant, quoi qu'en pense le recourant, la procédure de reconnaissance et d'exécution n'est pas gracieuse, de sorte que le tribunal n'avait pas à instruire d'office la cause.
En dépit des affirmations contraires du recourant, il n'est pas possible non plus, au regard des dispositions de la LDIP, de considérer qu'il suffit que les défendeurs aient eu de quelque manière connaissance de l'instance introduite contre eux et de la possibilité de se présenter à l'audience contradictoire ultérieure. Comme on l'a vu, contrairement à l'art. 34 par. 2 CL, la LDIP exige la notification régulière selon les règles applicables au domicile du destinataire et on ne saurait s'écarter de ces exigences. Quant à l'ATF 122 III 439, qui a retenu qu'il n'est pas arbitraire de reconnaître un jugement étranger malgré l'absence de preuve de la notification lorsque le défendeur a eu connaissance autrement de l'instance introduite contre lui et qu'il aurait en outre pu se présenter à une audience contradictoire ultérieure, il a été rendu sur recours de droit public; or, dans un tel recours, le Tribunal fédéral ne recherche pas quelle est l'interprétation correcte que la cour cantonale aurait dû donner à la disposition légale litigieuse, mais il se borne à dire si l'interprétation qui en a été faite est défendable (ATF 113 Ia 17 consid. 3a). Partant, cet arrêt est sans pertinence dans le cadre du présent recours en matière civile, le Tribunal fédéral disposant dans celui-ci d'une pleine cognition en droit. Le grief de formalisme excessif invoqué par le recourant est également infondé.
Il s'ensuit que la demande de reconnaissance et d'exécution du jugement américain du 9 mars 2009 devait être rejetée. Il n'est donc pas nécessaire de se prononcer sur l'absence d'allégués dans la demande au sujet de l'acte introductif d'instance et sa notification.
En définitive, le recours en matière civile doit être rejeté, par substitution des motifs qui précèdent.
5.
Vu l'issue du litige, les frais de la procédure doivent être mis à la charge du recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Celui-ci devra en outre verser des dépens à ses deux parties adverses (art. 68 al. 1 et 2 LTF), lesquels seront prélevés sur les sûretés fournies par le recourant.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 10'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le recourant versera à chacun des intimés une indemnité de 12'000 fr. à titre de dépens. Ces indemnités sont acquittées au moyen des sûretés payées par le recourant à la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Chambre des recours civile.
Lausanne, le 19 février 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet