Faits :
A.
A._ travaillait en qualité de soudeur au service de l'entreprise B._ SA. Il était également employé à raison de dix heures par semaine comme nettoyeur par la société C._ SA. Le 12 décembre 2008, il a glissé sur du verglas et a chuté sur son côté droit. A la suite d'une IRM de l'épaule droite réalisée le 12 janvier 2009, le docteur D._, du Centre hospitalier E._, a posé le diagnostic de rupture irréparable de la coiffe des rotateurs (sus- et infra-épineux) avec tendinopathie du long-chef du biceps. La Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA), auprès de laquelle A._ était assuré, a pris en charge le cas.
L'assuré a bénéficié d'un traitement conservateur. Après qu'il eut séjourné à deux reprises à la Clinique F._, la CNA a chargé l'un de ses médecins d'arrondissement, le docteur G._, de procéder à un examen médical final le 5 août 2011. Ce médecin a considéré que l'état de l'épaule droite de A._ correspondait, du point de vue fonctionnel, à une omarthorse de gravité moyenne. Sur cette base, il a fixé le taux d'atteinte à l'intégrité à 10 % en se référant à la table 5 d'indemnisation des atteintes à l'intégrité selon la LAA publiée par la CNA (atteintes résultant d'arthroses). Le docteur G._ a également retenu que l'assuré conservait une capacité de travail entière dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles.
Par décision du 17 novembre 2011, confirmée sur opposition le 4 janvier 2012, la CNA a alloué à l'assuré une rente d'invalidité LAA de 34 % dès le 1 er novembre 2011 ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 10 %.
B.
L'assuré a recouru contre la décision sur opposition du 4 janvier 2012, devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois. En cours de procédure, il a communiqué au tribunal une expertise privée réalisée par le docteur H._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport du 11 juin 2012). Invitée à se déterminer, la CNA a produit un avis circonstancié du docteur I._, de sa division de médecine des assurances, du 2 octobre 2012, confirmant le résultat auquel était parvenu son confrère, le docteur G._. Après avoir pris connaissance de cet avis, le docteur H._ a établi un rapport complémentaire (du 14 janvier 2013).
Par jugement du 8 janvier 2015, la juridiction cantonale a rejeté le recours sans percevoir de frais judiciaires ni allouer de dépens.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. Il conclut, principalement, à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 25 % et, partant, au versement de dépens de la part de la CNA pour la procédure cantonale; subsidiairement, au renvoi de la cause à la cour cantonale pour complément d'instruction et nouvelle décision.
La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Est litigieux le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité allouée au recourant pour les suites de l'accident du 12 décembre 2008.
Lorsque la procédure porte sur une prestation en espèces - comme c'est le cas ici -, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (art. 105 al. 3 LTF).
3.
Le jugement attaqué expose correctement la disposition légale sur le droit à l'indemnité pour atteinte à l'intégrité (art. 24 LAA) ainsi que la jurisprudence sur la portée des tables d'indemnisation des atteintes à l'intégrité publiées par la CNA (ATF 124 V 209 consid. 4a/cc p. 211).
La cour cantonale a suivi l'évaluation du docteur G._ qui était d'ailleurs confirmée par le docteur I._. Elle a considéré que le taux d'atteinte à l'intégrité de 25 % fixé par le docteur H._ pour une périarthrite scapulo-humérale dans sa forme la plus grave (selon la table 1 relative aux atteintes résultant de troubles fonctionnels des membres supérieurs) ne se justifiait pas, étant donné que l'assuré conservait une capacité de travail entière dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles.
4.
Le recourant reproche aux premiers juges d'avoir écarté le rapport d'expertise privée. En effet, l'indemnité pour atteinte à l'intégrité devait s'apprécier indépendamment d'une diminution de la capacité de travail. En outre, il ressortait de l'appréciation médicale du docteur I._ que celui-ci partageait finalement l'opinion du docteur H._ puisqu'il admettait que la fonctionnalité de l'épaule droite correspondait à une périarthrite scapulo-humérale grave. Or cette atteinte donnait lieu, selon la table 1, à un taux d'atteinte à l'intégrité de 25 %. Si le médecin de la CNA confirmait tout de même le taux de 10 % posé précédemment par le docteur G._, c'était uniquement en considération d'une réduction découlant d'un état préexistant. Cet aspect n'avait cependant pas du tout été discuté dans le jugement cantonal. Les premiers juges auraient dû se rallier à l'avis du docteur H._ ou sinon ordonner une instruction complémentaire.
5.
5.1. La fixation de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité dépend exclusivement de facteurs médicaux objectifs et n'est d'aucune manière liée à l'importance de l'incapacité de gain que l'atteinte en cause est susceptible ou non d'entraîner (ATF 113 V 218 consid. 4a p. 221). Le motif retenu par la cour cantonale pour écarter les conclusions de l'expert privé n'est donc pas pertinent, comme l'a fait valoir à juste titre le recourant. Il est également exact que le docteur I._ s'est déclaré d'accord avec l'expert privé en ce qui concerne la gravité de l'atteinte sous l'angle fonctionnel, s'écartant en cela de l'appréciation du docteur G._. Il faut encore ajouter que ces médecins admettent tous les deux l'existence d'un état antérieur auparavant asymptomatique à l'épaule droite, même si leurs avis respectifs s'opposent sur l'importance de cet état antérieur. Il se pose dès lors la question s'il y a ou non matière à réduction de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité à ce titre.
5.2. Selon l'art. 36 al. 2 LAA, les rentes d'invalidité, les indemnités pour atteinte à l'intégrité ainsi que les rentes de survivants sont réduites de manière équitable lorsque l'atteinte à la santé ou le décès ne sont que partiellement imputables à l'accident (première phrase). Toutefois, en réduisant les rentes, on ne tiendra pas compte des états antérieurs qui ne portaient pas atteinte à la capacité de gain (seconde phrase).
Partant du principe que l'assurance-accidents n'intervient que pour les conséquences des accidents, l'art. 36 al. 2, première phrase, LAA prévoit donc une réduction possible des indemnités pour atteinte à l'intégrité en cas de lésions causées par des facteurs extérieurs à l'accident (comme un état maladif antérieur). L'application de cette disposition suppose néanmoins que l'accident et l'événement non assuré aient causé conjointement une atteinte à la santé et que les troubles résultant des facteurs assurés et non assurés coïncident. Par ailleurs, le Tribunal fédéral a eu l'occasion de préciser que la seconde phrase de l'art. 36 al. 2 LAA n'est pas applicable aux indemnités pour atteinte à l'intégrité (arrêt U 376/07 du 29 juin 2007 consid. 2 publié in SVR 2008 UV n° 6 p. 19). Il s'ensuit que cette prestation peut être réduite en raison d'un état préexistant, même si cet état n'avait aucune incidence sur la capacité de gain de la personne assurée avant l'accident. En vertu de l'art. 47 OLAA [RS 832.202], l'ampleur de la réduction des indemnités pour atteinte à l'intégrité, qui est opérée en raison de causes étrangères à l'accident, est déterminée en fonction du rôle de celles-ci dans l'atteinte à la santé; la situation personnelle et économique de l'ayant droit peut également être prise en considération.
5.3. Pour le docteur I._, l'amyotrophie et la dégénérescence au niveau des muscles sous-épineux et infra-épineux visibles sur l'IRM du 12 janvier 2009 permettaient d'admettre que l'assuré présentait déjà une lésion complète des tendons de ces muscles avant l'accident. Hormis une probable lésion partielle de la partie supérieure du tendon du muscle sous-scapulaire, cet événement n'avait donc pas provoqué de lésions structurelles aiguës. Tout au plus était-il responsable d'un état séquellaire découlant d'une capsulite rétractile qui était venue compliquer la lésion préexistante. Cet état séquellaire restait cependant marginal par rapport à l'état antérieur, raison pour laquelle le docteur I._ a conclu que le taux de 25 % devait être réduit au moins des deux tiers.
Le docteur H._ conteste ce point de vue, exposant que la problématique d'une capsulite rétractile avait été diagnostiquée chez l'assuré deux mois et demi après l'accident et que dans les suites immédiates de celui-ci, les symptômes manifestés par l'assuré avaient été ceux d'une déchirure massive de la coiffe. A son avis, il n'était médicalement pas possible d'imaginer, à supposer exact le postulat du médecin de la CNA, que l'assuré ait pu être asymptomatique tout en travaillant à plein temps comme soudeur et accessoirement comme nettoyeur. En effet, les patients qui ont une déchirure asymptomatique de la coiffe présentaient une perturbation de la fonction et souvent une perte de force de leur épaule. Ce n'était pas le cas pour les déchirures minimes. De plus, des études avaient montré que les déchirures asymptomatiques devenaient symptomatiques quand il y avait une extension de la déchirure, et que la taille moyenne des déchirures symptomatiques était de 30 % plus élevée que celles des déchirures asymptomatiques. Enfin, un traumatisme axial ascendant comme celui survenu chez l'assuré était adéquat pour provoquer une déchirure traumatique de la coiffe ou, pour le moins, une extension traumatique d'une ancienne déchirure. Aussi, le docteur H._ a-t-il conclu que l'événement accidentel était la cause nettement prépondérante de l'état actuel de l'épaule droite de l'assuré.
Devant une telle divergence d'opinions quant au rôle joué par l'accident, respectivement par l'état antérieur, dans la survenance de l'atteinte à la santé constatée chez l'assuré (correspondant à une périarthrite scapulo-humérale grave), il n'est pas possible de trancher la question de la réduction éventuelle de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité.
5.4. Il convient par conséquent de retourner la cause à la juridiction cantonale pour qu'elle procède à une instruction complémentaire sur ce point sous la forme d'une expertise judiciaire, et se prononce à nouveau sur le taux de l'indemnité pour atteinte à laquelle le recourant a droit.
Dans cette mesure le recours se révèle bien fondé.
6.
L'intimée, qui succombe, doit prendre en charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Par ailleurs, le recourant a droit à des dépens (art. 68 al. 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois du 8 janvier 2015 est annulé en tant qu'il concerne le taux de l'indemnité pour atteinte à l'intégrité. La cause est renvoyée à la cour cantonale pour nouveau jugement au sens des considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
L'intimée versera au recourant la somme de 2'800 fr. à titre de dépens pour l'instance fédérale.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 1 er mars 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl