Faits :
A.
Souffrant de coliques biliaires, X._ a consulté le Dr A._. Le 27 juillet 2009, ce médecin, opérant à la Clinique V._ SA, a procédé à l'ablation de la vésicule biliaire de la patiente. Les jours suivants, en raison notamment des douleurs ressenties par cette dernière, le Dr A._ a suspecté une fuite biliaire. Le 30 juillet 2009, il a effectué une seconde intervention au cours de laquelle il a découvert une perforation de l'intestin grêle, qu'il a suturée. Le rétablissement de la patiente a été long et incomplet. A l'heure actuelle, X._ est toujours partiellement incapable de travailler et ne peut avoir d'enfant par voie naturelle.
B.
Le 24 décembre 2010, X._ a ouvert action contre la Clinique V._ SA et A._ en paiement de 2'404'143 fr. à titre de perte de gain et réparation du tort moral. Les défendeurs ont conclu au rejet de l'action.
Par diverses décisions prises en cours de procédure, le Vice-président du Tribunal civil du canton de Genève a accordé à la demanderesse l'assistance judiciaire, limitée à la prise en charge des frais judiciaires et des frais d'expertise, et subordonné son octroi au paiement d'une participation mensuelle de 100 fr.
Après une expertise et d'autres mesures d'instruction, le Tribunal civil a, dans un jugement du 15 avril 2015, refusé d'ordonner une contre-expertise, puis débouté X._ de toutes ses conclusions, en se fondant en particulier sur l'expertise judiciaire. Selon ce jugement, le médecin n'a pas méconnu son devoir de renseigner, dès lors qu'une information sur le risque de lésion à l'intestin grêle - inférieur à 1% - n'était pas nécessaire pour obtenir le consentement éclairé de la patiente. Le tribunal a également jugé qu'en tout état de cause, la patiente aurait donné son consentement à l'intervention litigieuse, que le médecin n'avait pas violé les règles de l'art et qu'aucun manquement ne pouvait être imputé au personnel de la clinique.
Le 28 avril 2015, la patiente a sollicité une extension de l'assistance juridique, limitée aux frais de procédure, pour appeler du jugement du Tribunal civil. Le 15 mai 2015, elle a déposé un mémoire d'appel.
Par décision du 11 juin 2015 confirmée le 26 juin 2015, le Vice-président du Tribunal civil, estimant faibles les chances de succès de l'appel, a néanmoins mis la patiente au bénéfice de l'assistance juridique avec effet au 28 avril 2015, mais en la limitant à l'exonération de l'avance de frais de 38'400 fr. (art. 118 al. 1 let. a CPC). Il a précisé que l'exonération de frais judiciaires à l'issue de la procédure n'était pas couverte par ledit octroi de l'assistance juridique (art. 118 al. 1 let. b CPC) et que le règlement des frais ne serait donc pas soumis à l'art. 122 al. 1 let. b CPC; en d'autres termes, les frais de justice seraient à la charge de la patiente si elle succombait dans la procédure d'appel. Il a constaté enfin que la contribution mensuelle de 100 fr. restait due.
La patiente a déposé un recours ( stricto sensu) contre cette décision d'assistance judiciaire (art. 121 CPC), concluant préalablement à la tenue d'une audience publique et, principalement, à ce que la couverture de l'assistance judiciaire, limitée aux frais d'introduction de la procédure d'appel sur le fond, soit accordée quel que soit le résultat du procès. En outre, elle a requis l'octroi de l'assistance juridique pour la prise en charge des frais et honoraires d'avocat dans la procédure de recours contre la décision du 26 juin 2015.
Le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève n'a pas donné suite à la requête d'audience publique. Statuant sur la base du dossier, il a jugé, par décision du 27 octobre 2015, que les chances de succès de l'appel étaient faibles, que l'assistance judiciaire aurait donc dû être entièrement refusée et que la décision attaquée l'accordant partiellement était contradictoire, mais qu'en vertu du principe de l'interdiction de la reformatio in peius, l'assistance judiciaire limitée accordée à la patiente ne serait pas retirée; en conséquence, il a rejeté le recours.
C.
X._ interjette un recours en matière civile contre la décision du Vice-président de la Cour de justice. Elle conclut à ce que la couverture de l'assistance judiciaire, limitée aux frais d'introduction de la procédure d'appel, soit accordée quel que soit le résultat du procès et à ce que l'assistance judiciaire lui soit octroyée pour couvrir les frais et honoraires de son avocat dans la procédure cantonale de recours.
La recourante requiert l'assistance judiciaire pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
Considérant en droit :
1.
La recourante n'a pas obtenu l'assistance judiciaire dans la mesure qu'elle réclamait. A l'instar du refus de l'assistance judiciaire, une telle décision constitue une décision incidente susceptible de causer un préjudice irréparable au sens de l'art. 93 al. 1 let. a LTF (cf. ATF 129 I 129 consid. 1.1 p. 131; 125 I 161 consid. 1 p. 162; arrêt 4A_34/2012 du 23 février 2012 consid. 1.1). En vertu du principe de l'unité de la procédure, la voie de recours contre une décision incidente est déterminée par le litige principal (ATF 137 III 261 consid. 1.4 p. 264). La décision entreprise est intervenue dans le cadre d'un procès civil (art. 72 al. 1 LTF) portant sur des prétentions en dommages-intérêts et en réparation du tort moral dépassant le seuil de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF). Elle a été rendue par un tribunal supérieur d'un canton, qui a statué sur recours (art. 75 LTF). Au surplus, le recours est exercé par la partie qui a succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 LTF). Déposé dans le délai (art. 100 al. 1 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi, le recours en matière civile est en principe recevable.
2.
2.1. Invoquant une violation du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) et du droit à une audience publique (art. 6 par. 1 CEDH), la recourante fait grief au Vice-président de la Cour de justice d'avoir refusé de tenir une audience publique.
2.2. Au titre des exigences minimales de procédure, l'art. 6 par. 1 CEDH garantit notamment le droit à la tenue d'une audience publique lorsque des "droits et obligations de caractère civil" sont en jeu. Cette disposition conventionnelle ne s'applique pas à la procédure d'assistance judiciaire, même si la cause au fond est de nature civile, comme la Cour européenne des droits de l'homme a déjà eu l'occasion de le juger (arrêt Martin Hilpert contre Suisse du 29 novembre 2001, mentionné in JAAC 66/2002 n° 110 p. 1301) (cf. également arrêts 8C_246/2015 du 6 janvier 2016 consid. 3.3, 5A_446/2009 du 19 avril 2013 consid. 6.2.1 et 5P.128/1996 du 21 juin 1996 consid. 3). La recourante ne peut dès lors rien déduire de l'art. 6 par. 1 CEDH en faveur d'une audience publique.
Quant à l'art. 29 al. 2 Cst., il garantit le droit d'être entendu aux parties à une procédure judiciaire; ce droit ne comprend toutefois pas le droit d'être entendu oralement (ATF 134 I 140 consid. 5.3 p. 148; 130 II 425 consid. 2.1 p. 428). Il n'en découle donc pas non plus un droit à une audience publique.
Le premier grief soulevé par la recourante ne peut être qu'écarté.
3.
3.1. La recourante se plaint d'une violation de l'art. 117 CPC, définissant les conditions auxquelles l'assistance judiciaire est accordée. Elle reproche à l'autorité cantonale d'être allée largement au-delà d'un examen sommaire des chances de succès. A son avis, le juge précédent devait se limiter à déterminer si les griefs soulevés en appel présentaient des chances de succès équivalentes ou légèrement inférieures aux risques d'échec.
3.2. L'octroi de l'assistance judiciaire suppose que la cause ne paraisse pas dépourvue de toute chance de succès (art. 117 let. b CPC). Comme la recourante le relève, le juge peut se limiter à un examen sommaire de la question (ATF 138 III 217 consid. 2.2.4 p. 218; 133 III 614 consid. 5 p. 616). Mais la loi ne lui interdit pas d'en faire plus, notamment en procédure d'appel où, sur la base du jugement attaqué et du mémoire de recours, l'examen des chances de succès des conclusions du requérant est souvent plus aisé qu'au début de la procédure judiciaire (cf. ATF 139 III 475 consid. 2.3 p. 477).
Le grief tiré d'une violation de l'art. 117 CPC doit ainsi être rejeté.
4.
4.1. Invoquant l'art. 9 Cst., la recourante est d'avis que le Vice-président de la Cour de justice est tombé dans l'arbitraire en constatant que l'appel était dénué de chances de succès, alors que, d'une part, il admettait la violation du droit d'être entendu de la demanderesse par le Tribunal civil et que, d'autre part, il relevait le caractère contradictoire de la décision du Vice-président du Tribunal civil en matière d'assistance judiciaire.
4.2. Certes, le Vice-président de la Cour de justice a noté qu'il pouvait, prima facie, sembler discutable de la part du Tribunal civil de limiter l'audition d'un médecin, consulté par la recourante à titre d'expert privé. Le juge précédent a toutefois ajouté que la recourante n'exposait pas quelles questions elle aurait souhaité poser à ce médecin, dont les réponses ne ressortaient pas de son rapport écrit, ni dans quelle mesure ces points auraient été susceptibles de changer l'issue du litige. Il en découle que faute de motivation suffisante (cf. art. 311 al. 1 CPC; ATF 138 III 374 consid. 4.3.1 p. 375), l'appel sur ce point ne pouvait pas être admis. C'est cette conclusion qui est déterminante en l'espèce. En effet, la question en jeu pour l'octroi de l'assistance judiciaire à l'appelante n'était pas de savoir si le tribunal de première instance avait commis une erreur, mais bien de rechercher si l'appel contre le jugement de cette autorité avait des chances d'aboutir.
Selon le Vice-président de la Cour de justice, le premier juge aurait dû refuser entièrement l'assistance judiciaire à la recourante puisque l'appel était dénué de chances de succès, et non lui accorder l'assistance judiciaire de manière limitée. Dans cette mesure, l'autorité précédente qualifie de contradictoire la décision du Vice-président du Tribunal civil; en vertu du principe de l'interdiction de la reformatio in peius, elle a toutefois renoncé à modifier cette décision au détriment de la recourante.
A cet égard, on ne discerne pas en quoi l'erreur du Vice-président du Tribunal civil de ne pas refuser purement et simplement l'assistance judiciaire à l'appelante impliquerait que l'appel contre le jugement du Tribunal civil aurait des chances de succès plus élevées.
En conclusion, le moyen tiré d'une violation de l'art. 9 Cst. doit être rejeté.
5.
5.1. La recourante invoque enfin un déni de justice (art. 29 al. 1 et 2 Cst.), au motif que le Vice-président de la Cour de justice n'aurait pas statué sur la requête d'assistance judiciaire qu'elle a déposée pour la procédure de recours devant lui.
5.2. Dans le dispositif de la décision attaquée, il est prononcé que le recours (contre la décision du Vice-président du Tribunal civil) est rejeté et que la recourante est déboutée de toutes autres conclusions. Or, l'une des conclusions de la recourante était précisément l'octroi de l'assistance judiciaire pour la procédure de recours devant la Cour de justice. La requête en cause a donc bel et bien été rejetée.
Certes, comme la recourante le fait remarquer, le Vice-président de la Cour de justice ne dit mot de cette conclusion dans les motifs de sa décision. Cependant, il a expressément retenu que l'appel contre la décision au fond était dénué de chances de succès. Une telle conclusion impliquait que le recours contre la décision en matière d'assistance judiciaire pour la procédure d'appel était également dénué de chances de succès et, partant, que l'assistance judiciaire ne pouvait pas être accordée pour cette procédure de recours. La recourante pouvait sans autre le déduire de la décision attaquée, d'autant plus qu'elle était assistée d'un avocat. Le grief se révèle ainsi mal fondé.
6.
Sur le vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté.
Par ailleurs, il était voué à l'échec. En conséquence, la requête d'assistance judiciaire pour la procédure devant la cour de céans ne peut être que rejetée (art. 64 al. 1 LTF). La recourante prendra dès lors à sa charge les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Assistance judiciaire.
Lausanne, le 21 avril 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
La Greffière : Godat Zimmermann