Faits :
A.
A.a. A.A._ (1963), de nationalité française, et B.A._ (1965), de nationalité américaine, tous deux domiciliés à X._ (VD), se sont mariés le 2 octobre 1999 à Garches (France). Une enfant est née de cette union, C._ (2003).
A.b. Le 9 octobre 2014, l'épouse a déposé une requête de mesures protectrices de l'union conjugale. Par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 18 décembre 2014, la Présidente du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte (ci-après : la Présidente) a en particulier confié la garde sur l'enfant C._ à sa mère et fixé le droit de visite du père. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 28 janvier 2015, la Présidente a notamment et en substance confirmé l'ordonnance de mesures superprovisionnelles précitée, confié au Service de protection de la jeunesse (ci-après : SPJ) une curatelle d'assistance éducative au sens de l'art. 308 al. 1 CC en faveur de C._ et condamné l'époux à verser une contribution mensuelle à l'entretien des siens de 2'200 fr. (éventuelles allocations familiales dues en sus) dès le 1er janvier 2015; par prononcé rectificatif du 5 février 2015, la Présidente a précisé que la curatelle était confiée à D._, assistant social auprès du SPJ. Par acte du 9 février 2015, l'époux a interjeté appel contre ce prononcé. Par arrêt du 13 avril 2015, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après : le Juge délégué) a notamment annulé l'ordonnance du 28 janvier 2015 pour violation du droit d'être entendu et renvoyé la cause à l'autorité inférieure pour nouvelle décision.
Dans l'attente du prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale à intervenir, la Présidente a, par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 24 avril 2015, confié à D._, assistant social auprès du SPJ, une curatelle d'assistance éducative au sens de l'art. 308 al. 1 CC en faveur de C._.
B.
B.a. Au terme de l'instruction complémentaire de la cause, la Présidente a, par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 6 août 2015, notamment et en substance confirmé l'attribution de la garde sur l'enfant C._ à sa mère, la suspension du droit de visite du père antérieurement décidée par mesures superprovisionnelles et l'ordonnance de mesures superprovisionnelles par laquelle une curatelle d'assistance éducative a été confiée à D._, assistant social auprès du SPJ, et fixé à 1'750 fr. (éventuelles allocations familiales dues en sus) la contribution mensuelle due par l'époux pour l'entretien des siens dès le 1er janvier 2015.
B.b. Par acte du 24 août 2015, l'époux a fait appel de l'ordonnance précitée; l'épouse s'est prononcée sur celui-ci dans sa réponse du 28 septembre 2015. Par arrêt du 9 novembre 2015, le Juge délégué a rejeté, dans la mesure de sa recevabilité, l'appel de l'époux et confirmé le prononcé du 6 août 2015.
C.
Par acte du 1er février 2016, A.A._ exerce un " recours en matière de droit civil et recours constitutionnel subsidiaire " au Tribunal fédéral, concluant à l'annulation de l'arrêt du 9 novembre 2015 et au renvoi du dossier auprès de " l'autorité inférieure " pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
Invitées à se déterminer, l'autorité précédente a complété sa motivation en réaction au grief du recourant selon lequel il aurait été statué sans qu'il n'ait eu connaissance d'un rapport d'expertise du 10 août 2015, alors que l'intimée a exposé s'en rapporter à justice tout en renvoyant à l'arrêt attaqué, précisant encore au passage, pièce à l'appui, que le recours de son époux portant sur la question de la récusation avait été rejeté par prononcé de la Cour administrative du Tribunal cantonal vaudois du 22 mars 2016.
Le 22 avril 2016, ces déterminations ont été adressées au recourant pour information. Par " fax " du 25 avril 2016, le recourant a avisé le Tribunal fédéral de son intention de recourir contre le prononcé précité du 22 mars 2016 d'une part, et de se " déterminer sur [s]on recours du 1er février 2016 contre l'arrêt du TC du 9 novembre 2015 conformément à [n]otre requête du 22 avril 2016 " au plus tard le 16 mai 2016, d'autre part.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le présent recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes légales (art. 42 LTF), contre une décision finale (art. 90 LTF; ATF 133 III 393 consid. 4 p. 395 s.) rendue sur recours par une autorité supérieure (art. 75 al. 1 et 2 LTF), dans une affaire matrimoniale (art. 72 al. 1 LTF). Le litige porte notamment sur l'attribution de la garde et sur la fixation du droit de visite, de sorte qu'il est de nature non pécuniaire dans son ensemble (arrêt 5A_882/2015 du 27 novembre 2015 consid. 1.1). Le recourant a en outre pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et a un intérêt à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Le recours en matière civile est en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent. Il s'ensuit que le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
1.2. Faute de contenir une signature originale, il ne peut pas être tenu compte de l'envoi du recourant par " fax " du 25 avril 2016 - par lequel il annonce notamment qu'il adressera encore une détermination à la suite de la communication du 22 avril 2016 - sans qu'il n'y ait par ailleurs lieu de lui fixer un délai pour remédier à cette irrégularité (F LORENCE AUBRY GIRARDIN, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n. 52 et 53 ad art. 42 LTF). Au demeurant et au vu du sort réservé à son recours, il ne subit aucun préjudice de ce fait.
1.3. Le recours en matière civile des art. 72 ss LTF étant une voie de réforme (art. 107 al. 2 LTF), le recourant ne doit pas se borner à demander l'annulation de la décision attaquée; il doit également prendre des conclusions sur le fond du litige (ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383 s.). Il n'est fait exception à cette règle que lorsque le Tribunal fédéral, en cas d'admission du recours, ne serait de toute manière pas en situation de statuer lui-même sur le fond et ne pourrait que renvoyer la cause à l'autorité cantonale (ATF 134 III 379 consid. 1.3 p. 383; 133 III 489 consid. 3.1 p. 489 s.). Tel est le cas en l'espèce, en tant que le recourant soulève des griefs de nature formelle qui ne peuvent conduire qu'au renvoi de la cause pour nouvelle décision.
2.
2.1. Comme la décision entreprise porte sur des mesures provisionnelles au sens de l'art. 98 LTF (ATF 133 III 393 consid. 5.1 p. 396, 585 consid. 3.3 p. 587), la partie recourante ne peut dénoncer que la violation de droits constitutionnels. Le Tribunal fédéral n'examine de tels griefs que s'ils ont été invoqués et motivés par le recourant (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF), c'est-à-dire s'ils ont été expressément soulevés et exposés de manière claire et détaillée (ATF 134 I 83 consid. 3.2 p. 88 et les arrêts cités).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours limité aux griefs d'ordre constitutionnel, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Le Tribunal fédéral ne corrige les constatations de fait que si elles sont arbitraires (art. 9 Cst.) et ont une influence sur le résultat de la décision (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252). Le recourant ne peut pas se borner à contredire les constatations litigieuses par ses propres allégations ou par l'exposé de sa propre appréciation des preuves; il doit indiquer de façon précise en quoi ces constatations sont contraires au droit ou entachées d'une erreur indiscutable, c'est-à-dire arbitraires au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; ATF 133 II 249 consid. 1.4.3 p. 254 s.). Par ailleurs, les faits et moyens de preuve nouveaux sont prohibés (art. 99 al. 1 LTF); il n'y a exception à cette règle que lorsque c'est la décision de l'autorité précédente qui, pour la première fois, a rendu pertinents ces faits ou moyens de preuve, ce qu'il appartient au recourant de démontrer (ATF 133 III 393 consid. 3 p. 395). En outre, les faits et pièces postérieurs à l'arrêt entrepris sont d'emblée irrecevables (ATF 139 III 120 consid. 3.1.2 p. 123; 133 IV 342 consid. 2.1 p. 343 s.).
Vu ce qui précède, les pièces nouvelles produites par le recourant et qui sont postérieures à l'arrêt entrepris sont d'emblée irrecevables : il s'agit en l'occurrence de la copie de l'arrêt de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 18 décembre 2015 (pièce 3), de la requête de récusation du 15 janvier 2016, adressée par le recourant au Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte (pièce 4), du courrier du Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte du 18 janvier 2016 (pièce 5) et du courrier du recourant au Tribunal d'arrondissement de La Côte du 20 janvier 2016 (pièce 6). Il en va de même de la pièce nouvelle produite par l'intimée à l'appui de sa détermination sur le recours, à savoir une copie de la décision de la Cour administrative du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 22 mars 2016 (pièce 101).
3.
Le recourant soulève en premier lieu le grief de violation de l'art. 51 al. 1 CPC, se référant à sa requête tendant à la récusation de la Présidente, respectivement à celle du 20 janvier 2016 invitant à annuler les actes de cette magistrate, parmi lesquels le prononcé du 6 août 2015. Faute d'être de nature constitutionnelle, le grief est irrecevable (cf. supra consid. 2.1). Au demeurant, la critique n'aurait pas porté, dès lors qu'elle se fonde sur un fait nouveau irrecevable, à savoir l'existence de la requête du 20 janvier 2016 (cf. supra consid. 2.2 in fine).
4.
Dans un second grief, le recourant fait valoir la violation de son droit d'être entendu à plusieurs égards, se référant à l'art. 29 Cst., ainsi qu'au droit à la preuve garanti par l'art. 152 CPC.
4.1. En tant qu'il fonde sa critique sur cette dernière disposition, elle est d'emblée irrecevable (cf. supra consid. 2.1); quoi qu'il en soit, on ne discerne pas en quoi celle-ci aurait ici une portée particulière.
4.2. S'agissant de son droit d'être entendu, le recourant reproche tout d'abord au Juge délégué d'avoir rendu sa décision en se fondant entre autres sur un rapport d'expertise du 10 août 2015 à l'égard duquel il n'aurait pas pu s'exprimer, et en prenant en considération un nouveau prononcé du " Tribunal d'arrondissement " du 16 septembre 2015, qui reposerait également sur le rapport précité du 10 août 2015 et qui aurait de surcroît été annulé - sur appel - par la suite.
D'emblée, on relèvera que l'arrêt sur appel du 18 décembre 2015, qui annule le prononcé du 16 septembre 2015, ne saurait être pris en considération puisqu'il s'agit d'une pièce nouvelle (cf. supra consid. 2.2); en revanche, il sera tenu compte du fait que le prononcé fait l'objet d'un appel pendant, ce que constate l'arrêt attaqué (arrêt entrepris consid. 9 in fine p. 36).
4.2.1. Compris comme l'un des aspects de la notion générale de procès équitable au sens des art. 29 Cst. et 6 CEDH, le droit d'être entendu garantit notamment le droit pour une partie à un procès de prendre connaissance de toute pièce du dossier ainsi que de toute argumentation présentée au tribunal et de se déterminer à leur propos, que celle-ci contienne ou non de nouveaux éléments de fait ou de droit. Il appartient en effet aux parties, et non au juge, de décider si une prise de position ou une pièce nouvellement versée au dossier appelle des observations de leur part. Toute prise de position ou pièce nouvelle versée au dossier doit dès lors être communiquée aux parties pour leur permettre de décider si elles veulent ou non faire usage de leur faculté de se déterminer (parmi plusieurs: ATF 138 I 484 consid. 2.1 p. 485 s.; 137 I 195 consid. 2.3.1 p. 197; 133 I 100 consid. 4.3 p. 102 s. et les références aux arrêts de la CourEDH; arrêt 5A_925/2015 du 4 mars 2016 consid. 2.3.3.1). Le droit de répliquer n'impose pas à l'autorité judiciaire l'obligation de fixer un délai à la partie pour déposer d'éventuelles observations. Elle doit seulement lui laisser un laps de temps suffisant, entre la remise des documents et le prononcé de sa décision, pour qu'elle ait la possibilité de déposer des observations si elle l'estime nécessaire (arrêt 5A_553/2015 du 16 décembre 2015 consid. 4.1.1, destiné à la publication; ATF 138 I 484 consid. 2.4 p. 487).
4.2.2. Il ressort de l'arrêt attaqué que le Juge délégué a décidé de tenir compte - au titre de faits nouveaux au sens de l'art. 317 CPC - d'un rapport d'expertise de l'unité de consultation pour le couple et la famille du Département de psychiatrie, Secteur psychiatrique Ouest, de l'Hôpital de Prangins, du 10 août 2015, transmis à la Présidente le 21 août 2015 et qui a donné lieu au nouveau prononcé de celle-ci du 16 septembre 2015, objet d'un appel encore pendant du recourant. L'arrêt précise toutefois à cet égard que " les éléments ne seront repris dans le cadre de la présente affaire qu'en tant qu'ils permettent d'instruire, compléter et juger le présent appel " (arrêt entrepris consid. 2 let. b p. 39). Examinant la critique du recourant quant à l'attribution de la garde de l'enfant à l'intimée, le Juge délégué opère différentes constatations sur la situation de l'enfant et précise que celles-ci " ont d'ailleurs été confirmées dans le rapport d'expertise rendu postérieurement à l'ordonnance attaquée, qui va dans le même sens " (arrêt entrepris consid. 5 let. b p. 45). Se prononçant alors notamment sur la suspension du droit de visite du recourant, la curatelle d'assistance éducative, l'absence de droit de visite de la grand-mère paternelle et le refus d'instaurer un suivi psychiatrique de l'intimée ou une médiation, le Juge délégué relève d'abord qu'une partie des conclusions prises par le recourant n'a plus d'objet, puisque ses conclusions ont partiellement été suivies, en tant que " le suivi pédopsychiatrique, de même que la mise en place d'un droit de visite médiatisé et un appui éducatif par l'AEMO ont été décidés par la présidente selon décision du 16 septembre 2015 ", dite décision faisant également l'objet d'un appel qui sera traité par décision séparée. Plus loin, il retient encore qu'une " protection de l'enfant s'avérait impérative [...] en utilisant d'abord les possibilités de la curatelle éducative tout en attendant les résultats de l'expertise en la matière, résultats qui sont maintenant tombés " et constate qu'il " apparaît conforme au principe de précaution d'avoir suspendu le droit de visite [...] jusqu'à droit connu sur les résultats de cette expertise [...] mesure [...] extrême [qui] n'a pas été prolongée au-delà d'une durée exagérée, puisque, dès que les résultats de l'expertise sont tombés, une nouvelle décision, avec un droit de visite médiatisé, a été prise ". Enfin, le Juge délégué se réfère encore au droit de visite de la grand-mère de C._ en retenant que " les experts en recommandent d'ailleurs la poursuite " (arrêt entrepris consid. 6 let. b p. 48-49).
4.2.3. Le recourant indique, par référence au consid. 2 let. b de l'arrêt attaqué, que l'autorité précédente a considéré le rapport du 10 août 2015 sans lui permettre de se déterminer sur son contenu. En effet, il n'aurait pris connaissance de ce rapport qu'après le 24 août 2015 et ne pouvait donc se déterminer sur son contenu avant le dépôt de son appel du même jour, lequel ne fait ainsi aucune référence audit rapport. Le Juge délégué ne pouvait donc pas admettre qu'il aurait eu la possibilité de se prononcer sur le contenu du rapport d'expertise. Le recourant ajoute qu'il conteste catégoriquement celui-ci et qu'il a déposé une plainte pénale contre les experts. Il reproche encore au Juge délégué d'avoir pris en considération le prononcé du 16 septembre 2015, qui reposerait aussi sur le rapport du 10 août 2015, et qui aurait de plus été annulé par arrêt du 18 décembre 2015 en raison d'une violation de son droit d'être entendu. Enfin, le recourant expose que le Juge délégué s'est reposé de manière prépondérante sur ce rapport d'expertise, se référant à ce sujet notamment au considérant 5 let. b de l'arrêt attaqué.
Il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que le rapport d'expertise du 10 août 2015 et le prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale rendu le 16 septembre 2015 par le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte auraient été communiqués au recourant dans le cadre de la présente procédure. En effet, l'arrêt querellé ne fait référence qu'au dépôt de l'appel et à la réponse de l'intimée (arrêt entrepris p. 3 à 6). Le complément de motivation adressé par l'autorité précédente dans sa détermination sur le présent recours n'est pas non plus explicite sur cette question. Le Juge délégué se contente en effet d'y affirmer que le recourant aurait " discuté le rapport en question dans ses écritures d'appel ", sans autres précisions, respectivement que le recourant aurait eu une pleine connaissance dudit rapport au moment où il a statué, à savoir le 9 novembre 2015. Au surplus, le passage de l'arrêt querellé auquel le Juge délégué renvoie pour étayer ce dernier argument ne fait état que de la mention, dans le rapport, d'une plainte du recourant et de sa demande de ne pas le remettre à la justice en réaction à la " restitution des conclusions faites à A.A._ le 5 août 2015 ", ainsi que de la transmission du rapport à la première juge le 21 août 2015 (arrêt entrepris consid. 9 let. b p. 35). Il n'appartient au demeurant pas au Tribunal fédéral d'administrer des preuves et d'établir des faits sur lesquels l'autorité cantonale ne s'est pas prononcée (ATF 136 III 209 consid. 6.1 p. 214).
La motivation de la décision querellée (cf. supra consid. 4.2.2) démontre par ailleurs que le contenu du rapport du 10 août 2015 a été pris en considération, alors que l'instruction de la cause ne permet pas de constater que le recourant aurait eu la possibilité, dans le cadre de la présente procédure, de se prononcer sur la pièce en question. On relèvera que, quand bien même le recourant aurait eu connaissance du rapport d'expertise litigieux dans le cadre d'une autre procédure, l'autorité cantonale ne pouvait appuyer son argumentation sur celui-ci sans le communiquer au recourant pour lui permettre d'exercer son droit d'être entendu avant que la décision ne soit rendue (cf. supra consid. 4.2.1). En définitive, le droit d'être entendu du recourant a été violé, ce qui conduit à l'annulation de l'arrêt querellé et au renvoi de la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision, sans qu'il ne s'impose à ce stade de se prononcer sur les autres prétendues violations du droit d'être entendu découlant du rejet des réquisitions de preuve du recourant tendant à l'audition de témoins (intervenants médicaux, personnel du Point rencontre) et à la production de pièces.
5.
Vu ce qui précède, l'intimée, qui s'en est rapportée à justice tout en renvoyant à " l'excellent argumentaire de la Cour d'appel civile dans le prononcé attaqué ", est réputée avoir succombé (BERNARD CORBOZ, in Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n. 38 ad art. 66 LTF) et doit être condamnée aux frais de la procédure fédérale (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens au recourant qui procède sans l'assistance d'un avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF; ATF 135 III 127 consid. 4 p. 136).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est admis, la décision attaquée est annulée et la cause est renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 2 mai 2016
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Bonvin