Faits :
A.
Par décision du 19 novembre 2015, le Vice-président du Tribunal civil de première instance du canton de Genève a rejeté la requête d'assistance juridique formée le 19 octobre 2015 par A._ dans le cadre de la procédure de recours contre l'ordonnance rendue le 3 septembre 2015 par le Tribunal de protection de l'adulte et de l'enfant (ci-après : TPAE) fixant les relations personnelles entre l'enfant mineure C._ - née hors mariage le 24 décembre 2008 de la relation entre A._ et B._ - et le père de celle-ci et ordonnant certaines mesures dans l'intérêt de la mineure, aux motifs que la cause de la mère était dénuée de chances de succès et que l'assistance d'un avocat n'était pas nécessaire pour la procédure envisagée, celle-ci ayant, dans l'intervalle - le 25 octobre 2015 -, déposé son recours en personne auprès de la Chambre de surveillance, concluant à l'annulation de l'ordonnance du TPAE.
Statuant sur recours du 1er décembre 2015 de A._ contre la décision lui refusant le bénéfice de l'assistance juridique, le Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève a, par arrêt du 25 janvier 2016 communiqué aux parties le 28 janvier 2016, rejeté ledit recours.
B.
Par acte du 26 février 2016, A._ exerce un recours en matière civile du Tribunal fédéral. Elle conclut à l'annulation de la décision du 25 janvier 2016 et à sa réforme en ce sens qu'il lui est accordé l'assistance judiciaire nécessaire dans le cadre de la procédure de recours contre l'ordonnance du 3 septembre 2015 du TPAE, comprenant la désignation d'un avocat d'office et l'exonération des frais et dépens. Au préalable, la recourante sollicite le bénéfice de l'effet suspensif, en ce sens que le délai pour verser l'avance de frais dans la procédure de recours cantonale pendante devant la Chambre de surveillance est suspendu. Elle demande aussi implicitement le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Invitée à se déterminer sur la requête d'effet suspensif, l'autorité précédente n'a pas déposé d'observations.
C.
Par ordonnance du 16 mars 2016, le Président de la IIe Cour de droit civil du Tribunal fédéral a octroyé l'effet suspensif au recours.
Des réponses au fond n'ont pas été requises.
D.
Par lettre remise à la Poste le 18 mars 2016, la recourante a transmis à la cour de céans un "complément de dossier", produisant en l'occurrence plusieurs pièces à l'appui de son recours.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le refus de l'assistance judiciaire constitue une décision incidente en tant qu'elle est l'accessoire de la demande principale (art. 93 al. 1 LTF; arrêts 5A_786/2015 du 26 janvier 2016 consid. 1; 5A_821/2015 du 16 décembre 2015 consid. 1.1). Une telle décision est en principe susceptible de causer un préjudice irréparable (art. 93 al. 1 let. a LTF; ATF 133 IV 335 consid. 4; 129 I 281 consid. 1.1, 129 consid. 1.1; 126 I 207 consid. 2a; arrêt 5A_821/2015 du 16 décembre 2015 consid. 1.1, 1.3 et 2). Le refus de l'assistance judiciaire et de la désignation d'un avocat d'office est notamment de nature à causer un préjudice irréparable lorsqu'une avance de frais doit être fournie dans un court délai (ATF 126 I 207 consid. 2a) ou lorsque le requérant est amené à devoir défendre ses intérêts sans l'assistance d'un mandataire (ATF 129 I 129 consid. 1.1, 281 consid. 1.1).
En l'occurrence, il ressort des faits de la cause que la recourante a déposé seule son recours cantonal contre l'ordonnance du TPAE et elle allègue, à l'appui de sa demande d'effet suspensif, qu'elle a été invitée à procéder à une avance de frais dans un ultime délai au 3 mars 2016. Par conséquent, il ne fait d'emblée aucun doute (ATF 141 III 80 consid. 1.2; 138 III 46 consid. 1.2; 137 III 522 consid. 1.3) que la décision rejetant le recours contre le refus de l'octroi de l'assistance judiciaire est de nature à causer un préjudice irréparable à la recourante. Le présent recours est donc en principe recevable du chef de l'art. 93 al. 1 let. a LTF.
1.2. Le recours contre une décision incidente est soumis à la même voie de droit que celle qui est ouverte contre la décision principale (arrêts 5A_637/2015 du 10 novembre 2015 consid. 1; 5A_278/2012 du 14 juin 2012 consid. 1; 5D_55/2011 du 23 septembre 2011 consid. 1.2). La cause pour laquelle l'assistance judiciaire est requise a pour objet le droit aux relations personnelles du parent non gardien sur sa fille née hors mariage, à savoir une décision prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF; arrêts 5A_987/2015 du 18 mars 2016 consid. 1; 5A_782/2013 du 9 décembre 2013 consid. 1; 5A_763/2011 du 7 mars 2012 consid. 1). Le litige est de nature non pécuniaire, de sorte que le recours en matière civile est ouvert indépendamment de la valeur litigieuse (arrêts 5A_645/2012 du 23 novembre 2012 consid. 1.1; 5A_366/2010 du 4 janvier 2011 consid. 1.1). Par ailleurs, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme requise (art. 42 LTF), par une partie ayant pris part à la procédure devant l'autorité précédente et ayant un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 LTF), contre une décision rendue sur recours par une autorité cantonale supérieure (art. 75 al.1 et 2 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal. Compte tenu de l'obligation de motiver imposée par l'art. 42 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral ne traite toutefois que les questions qui sont soulevées devant lui par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (ATF 140 III 86 consid. 2; 137 III 580 consid. 1.3; arrêt 4A_399/2008 du 12 novembre 2008 consid. 2.1 non publié in ATF 135 III 112). La partie recourante doit par conséquent critiquer les motifs de la décision entreprise et indiquer précisément en quoi elle estime que l'autorité précédente a méconnu le droit (ATF 140 III 86 consid. 2).
Par exception à la règle selon laquelle il applique le droit d'office, le Tribunal fédéral ne peut entrer en matière sur la violation des droits fondamentaux et, de manière générale, des droits constitutionnels (ATF 133 III 638 consid. 2), que si le grief a été expressément soulevé et motivé de façon claire et détaillée. La partie recourante doit donc indiquer quelle disposition constitutionnelle ou légale a été violée et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation ("principe d'allégation", art. 106 al. 2 LTF; ATF 139 I 229 consid. 2.2; 137 II 305 consid. 3.3; 135 III 232 consid. 1.2, 397 consid. 1.4 in fine).
2.2. Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si les constatations de fait ont été établies de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à l'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 135 II 145 consid. 8.1; 135 III 127 consid. 1.5, 397 consid. 1.5) - ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 97 al. 1 LTF), et pour autant que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui entend se plaindre d'un établissement manifestement inexact - c'est-à-dire arbitraire (art. 9 Cst.) - des faits doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (consid. 2.1).
Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF; ATF 135 I 221 consid. 5.2.4; 133 IV 342 consid. 2.1), de même que les faits et pièces postérieurs à l'arrêt entrepris (ATF 133 IV 342 consid. 2.1). Le bulletin scolaire et les tests de l'enfant datés du mois de mars 2016 et transmis à la cour de céans par la recourante le 18 mars 2016 sont postérieurs à la décision attaquée, partant, d'emblée irrecevables. De surcroît, la recourante n'allègue pas que les bulletins scolaires de sa fille seraient des preuves pertinentes pour la présente cause qui n'auraient pas pu être produits devant la cour cantonale et qu'il se justifierait de les produire à la suite de l'arrêt entrepris. Il en va de même de son courrier à la Présidente du TPAE du 5 août 2015 et des documents concernant le changement d'établissement scolaire de l'enfant datés de septembre et octobre 2015. Supposé recevable, le " complément de dossier " auquel procède la recourante dans son courrier du 18 mars 2016 ne saurait quoi qu'il en soit être pris en considération, dès lors qu'il intervient hors délai de recours (art. 100 al. 1 LTF; cf. supra consid. 1.2).
3.
Le recours a pour objet le refus de l'assistance judiciaire dans le cadre d'une procédure relative au droit aux relations personnelles entre un enfant né hors mariage et son parent non gardien.
En substance, le juge cantonal a constaté que, au vu de l'acte de recours cantonal du 25 octobre 2015, signé par la requérante de l'assistance judiciaire elle-même, celle-ci semblait disposer de bonnes connaissances juridiques, en sorte que la désignation d'un avocat ne lui était pas nécessaire pour la procédure devant la Chambre de surveillance. Quant au fond, l'autorité précédente a estimé que, a priori, les éléments de la cause ne semblaient pas permettre d'arriver à une conclusion contraire à celle préconisée par l'expertise familiale du 6 mars 2015 et par le Service de protection des mineurs, étant rappelé que le juge n'est pas lié par les conclusions d'une expertise, mais qu'il ne saurait s'en écarter sans raison sérieuse. Nonobstant les nombreuses critiques formulée par la requérante de l'assistance judiciaire, le juge cantonal a jugé que le recours interjeté devant la Chambre de surveillance paraissait dénué de chances de succès, en sorte qu'il a confirmé le refus de l'assistance judiciaire, y compris pour la prise en charge de l'avance de frais requise.
4.
La recourante fait grief au Vice-président de la Cour de justice d'avoir " apprécié à la légère " les faits pertinents de l'espèce et de ne pas les avoir confrontés aux règles en matière de droit aux relations personnelles. La décision querellée méconnaîtrait donc l'art. 274 al. 2 CC et ignorerait des faits pertinents - singulièrement les défauts du père aux rendez-vous du Point rencontre, les rapports tendus entre le père et elle, l'attitude de la curatrice, ainsi que le comportement des divers intervenants en général -, à tout le moins en minimiserait la gravité et les manipulerait, de manière à justifier le bien-fondé de la curatelle d'organisation et de surveillance des relations personnelles.
4.1. Il apparaît que la recourante remet en cause l'appréciation des faits et preuves administrées, mais ne soulève pas de grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) de manière conforme aux art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF ( cf. supra consid. 2.1). Elle présente les faits qu'elle considère comme pertinents, mais n'allègue pas, ni ne démontre que ces éléments auraient été ignorés à tort de l'expertise familiale à laquelle le juge cantonal s'est référé. La recourante se borne en effet à présenter sa propre appréciation des chances de succès de la cause qu'elle oppose à celle du juge cantonal, basée sur les conclusions de l'expertise et dont celui-ci a jugé qu'il n'y avait pas de motifs sérieux de s'en écarter. A cet égard, la recourante n'expose pas non plus, ni a fortiori n'établit, l'existence de motifs justifiant de s'écarter des conclusions de l'expertise familiale, bien qu'elle qualifie ladite expertise d' " arbitraire " et lui reproche d'être incomplète, ce qui serait suffisant, selon elle, pour reconnaître les chances de succès de son recours contre la décision au fond.
En outre, la recourante perd de vue que le juge cantonal statuant sur l'assistance judiciaire a procédé à un examen prima facie de la vraisemblance que la requérante de ladite assistance judiciaire parvienne à obtenir gain de cause dans ses conclusions en suppression du droit aux relations personnelles, partant, que le juge précédent a conclu que le recours cantonal au fond était a priori dénué de chances de succès. Ainsi, la recourante présente une appréciation beaucoup plus approfondie que celle à laquelle le juge, statuant à titre incident sur l'assistance judiciaire, doit procéder (arrêt 5A_637/2015 du 10 novembre 2015 consid. 5.2). Aussi, son analyse excède le cadre de la présente cause.
Il s'ensuit que le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'établissement des faits et l'appréciation des preuves relatifs à la situation retenue dans l'expertise et l'arrêt querellé pour examiner les chances de succès du recours cantonal au fond doit, autant qu'il n'est pas irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1), être rejeté.
4.2. Quant à la violation alléguée de l'art. 274 al. 2 CC, la recourante soutient que cette disposition aurait dû être appliquée sur la base de l'appréciation des faits qu'elle défend, en sorte que, au vu de ce qui précède ( cf. consid. 4.1), le grief ne peut qu'être rejeté, étant d'emblée mal fondé.
5.
La recourante critique également la constatation selon laquelle elle disposerait des connaissances juridiques suffisantes pour ne pas avoir besoin d'être assistée d'un professionnel dans le cadre de la procédure de protection de son enfant. Elle affirme qu'elle se fait aider bénévolement par un juriste qui ne serait plus disposé à le faire à l'avenir et réitère qu'elle n'a pas les ressources financières pour payer les services d'un avocat et supporter les frais de procédure. Elle reproche au juge cantonal de ne pas avoir mentionné ces éléments déterminants dans l'arrêt entrepris, d'une part, et d'avoir violé les art. 117 CPC et 6 CEDH, d'autre part.
En tant que l'on comprend qu'en contestant la motivation du Vice-président de la Cour de justice la recourante soulève, de manière implicite, l'établissement arbitraire des faits (art. 9 Cst.), le grief est irrecevable, faute de satisfaire à l'exigence minimale de motivation (art. 106 al. 2 LTF, supra consid. 2.1 et 2.2.). La recourante ne se réfère en effet même pas à des pièces du dossier ou des moyens de preuve dont elle aurait requis l'administration, afin de prouver ses allégations, et se limite à des affirmations péremptoires qu'elle substitue à l'état de fait retenu, sans démontrer que l'autorité précédente aurait écarté à tort ces éléments.
S'agissant de la critique relative à la violation des art. 117 CPC et 6 CEDH, elle doit également être déclarée d'emblée irrecevable (art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF), dès lors que la recourante ne l'explicite pas plus avant. La simple énonciation de ces dispositions n'est pas suffisante pour permettre au Tribunal fédéral de comprendre en quoi l'autorité cantonale a méconnu ces normes, dès lors que la prétendue violation des art. 117 CPC et 6 CEDH n'est pas manifeste (art. 42 al. 2 LTF; cf. supra consid. 2.1, 1 er par. in fine).
6.
Vu ce qui précède, le recours en matière civile est mal fondé et doit être rejeté, dans la mesure où il est recevable. Les conclusions du présent recours étaient d'emblée dépourvues de toute chance de succès, en sorte que la requête d'assistance judiciaire de la recourante pour la procédure devant la cour de céans ne saurait être agréée (art. 64 al. 1 LTF; ATF 129 IV 206 consid. 2). Dans ces conditions, les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à l'autorité intimée, qui a obtenu gain de cause dans l'exercice de ses attributions officielles, qui a de surcroît renoncé à se déterminer concernant l'effet suspensif et n'a pas été invitée à se déterminer sur le fond (art. 68 al. 2 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire de la recourante est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Il n'est pas alloué de dépens.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la recourante et au Vice-président de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 4 mai 2016
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Gauron-Carlin