Erwägungen:
1.
A._ erstattete am 11. April 2016 Strafanzeige gegen den Gemeindepräsidenten sowie die Leiterin und die stellvertretende Leiterin des Sozialamtes der Gemeinde Gaiserwald. Dabei beantragte er sinngemäss den Ausstand des Präsidenten der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit der Ausrichtung von IV-Leistungen.
Mit Schreiben vom 20. April 2016 leitete das Untersuchungsamt Gossau die Strafanzeige zwecks Durchführung des Ermächtigungsverfahrens an die Anklagekammer des Kantons St. Gallen weiter. Diese trat mit Entscheid vom 15. Juni 2016 auf das Ausstandsgesuch nicht ein und erteilte die Ermächtigung zur Eröffnung von Strafverfahren gegen die Angezeigten nicht. Zur Begründung führte die Anklagekammer zusammenfassend aus, dass sich das Ausstandsbegehren als rechtsmissbräuchlich erweise. Hinreichend konkrete Anhaltspunkte für ein strafrechtlich relevantes Verhalten sei weder ersichtlich noch dargetan. Die Strafanzeige erscheine vielmehr als mutwillig erhoben.
2.
A._ führt mit einer als "Einspruch" bezeichneten Eingabe vom 25. Juli 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Entscheid der Anklagekammer des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung im angefochtenen Beschluss nicht ansatzweise auseinander und vermag mit seinen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der Anklagekammer bzw. deren Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Gossau, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 28. Juli 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Eusebio
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli