Faits :
A.
A.a. En janvier 1995, la Ville de X._ (ci-après: la ville ou la demanderesse) a octroyé à la société A._ SA un droit de superficie sur la Place... pour la construction d'un parking souterrain. La société précitée a conclu à cette fin un contrat d'entreprise avec B._ entreprise générale SA, laquelle en a confié la conception à Z._ (ci-après: l'architecte ou le défendeur), architecte à....
La ville est alors entrée en discussion avec l'architecte en vue de l'aménagement de la place, une fois le parking souterrain achevé. Un crédit de 550'000 fr. pour cet aménagement a été adopté par le Conseil général de la ville.
Par contrat du 26 février 1999, l'architecte a été chargé par la ville de concevoir, planifier et diriger la réalisation de la définition du pourtour de la Place... et de son aménagement de surface. L'aménagement prévu comprenait essentiellement trois éléments: une arborisation périphérique de la place, l'installation de bassins et jets d'eau (fontaines) éclairés pour l'été, remplacés en hiver par des colonnes lumineuses utilisant l'éclairage encastré de la place. Les travaux d'installation de l'éclairage ont été confiés à l'entreprise C._ SA et ceux de l'hydraulique destinée aux jets d'eau à l'entreprise D._ et Cie SA (ci-après: D._).
Le contrat était soumis à la Norme SIA 102 concernant les prestations et honoraires des architectes (1984) (art. 105 al. 2 LTF).
A.b. Des défauts sont apparus lors de la mise en service des installations.
Le 7 mai 2004, la ville a notifié un avis des défauts affectant l'étanchéité de la place (infiltrations d'eau dans le parking, cunettes de récupération d'eau au sud de la place non étanches et se bouchant, non-étanchéité des installations lumineuses avec risques de courts-circuits), les luminaires (non fonctionnels ou endommagés), les jets d'eau (inondation de la place, étanchéité), enfin le kiosque et la buvette (défauts de construction). Le 17 mai 2004, l'architecte a renoncé à se prévaloir de la prescription s'agissant des défauts signalés le 7 mai 2004, pour autant que celle-ci ne fût pas déjà acquise.
A.c. Le 14 mai 2004, la ville a déposé contre B._ entreprise générale SA, l'architecte et toute une série de sous-traitants - dont C._ SA (installation d'éclairage) et D._ (hydraulique des jets d'eau) - une requête de preuve à futur tendant à déterminer les causes des défauts, les moyens de les réparer et le coût de la réfection. Par ordonnance du 1er septembre 2004, une expertise de la superstructure du parking a été ordonnée, qui a été confiée à E._, ingénieur civil diplômé.
L'expert E._ a déposé son rapport le 15 juillet 2005 concluant à une lourde responsabilité de l'architecte pour le dysfonctionnement des fontaines et les infiltrations d'eau par les spots-luminaires de sol, mettant hors de cause les entreprises sous-traitantes; ce rapport prévoit un coût de réfection de 411'607 fr. (hors taxes, mais honoraires de l'architecte compris), dont 341'000 fr. à la charge de l'architecte. Dans son rapport complémentaire du 6 septembre 2006, l'expert se place dans la même perspective, mais ajoute des variantes pour l'éclairage et procède à une modification assez sensible des bassins pour un coût apprécié - après consultations d'entreprises - de 670'836 fr.95 (hors taxes, mais honoraires de l'architecte compris), sans indication de la part à la charge de l'architecte. Le rapport et son complément ont ainsi été conçus et établis dans la perceptive de la réfection des installations défectueuses.
Il a été retenu en procédure que les aménagements de la Place... présentent des défauts dus à l'architecte: des erreurs de conception, de choix des matériaux et le non-recours à l'aide de bureaux spécialisés pour les questions hydrauliques en lien avec les bassins. Les aménagements, tant en ce qui concerne le volet de l'éclairage que celui des bassins, sont inutilisables; ils devraient être profondément remaniés, voire modifiés pour fonctionner à satisfaction et les défauts des installations inutilisables sont à l'origine d'infiltrations d'eau dans le parking (problème d'étanchéité). La responsabilité de l'architecte est lourdement engagée, alors que l'entreprise générale n'encourt qu'une très légère responsabilité, la ville n'ayant qu'une responsabilité un peu supérieure (léger défaut d'entretien).
B.
B.a. Le 28 juin 2007, la ville a ouvert action contre l'architecte devant les autorités neuchâteloises, concluant au paiement du montant de 793'865 fr.35 avec intérêts à 5% l'an dès cette date, correspondant aux postes suivants (art. 105 al. 2 LTF) :
- 649'639 fr. représentant le 90% du coût total de réfection de l'ouvrage, arrêté par l'expert à 721'821 fr.,
- 86'440 fr. représentant le 90% des frais d'expertise de preuve à futur,
- 360 fr. pour les frais de la procédure de preuve à futur,
- 57'426 fr.35 pour les factures D._.
Le défendeur s'est opposé à la demande. Il a formé une reconvention, réclamant 6'956 fr.30 à titre de solde d'honoraires.
Un nouvel expert (F._, architecte diplômé à Berne) a été désigné par le tribunal saisi pour se prononcer sur le rapport du premier expert et sur des points que celui-ci n'aurait pas traités. Il a déposé son rapport le 25 juin 2013.
Par jugement du 6 janvier 2015, le Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers a condamné le défendeur à payer à la demanderesse le montant de 514'704 fr.75 avec intérêts à 5% l'an dès le 28 juin 2007, soit un coût de réfection à la charge de l'architecte de 589'704 fr.75 (avec TVA), dont à déduire des plus-values estimées par le tribunal à 75'000 fr. Il a rejeté les prétentions de la demanderesse en paiement de 58'974 fr. correspondant aux honoraires d'études et de direction des travaux de réparation, faute pour elle d'avoir démontré qu'il s'agissait de frais nécessaires à la réfection, et de 57'426 fr.35 correspondant aux factures D._, qui ne se rattachaient pas à des travaux de réparation. Il a aussi rejeté la demande reconventionelle du défendeur. Les frais d'expertise E._ (par 86'440 fr.), qui n'entrent pas dans le dommage de la demanderesse, ont été pris en considération dans le calcul des dépens.
B.b. L'architecte a appelé de ce jugement, concluant à sa condamnation à payer à la demanderesse le montant maximum de 266'057 fr. 95; il a contesté également la répartition des frais judiciaires et d'expertise. Il a renoncé à contester sa responsabilité, telle que l'a retenue le tribunal, mais s'en est pris au calcul du dommage, fixé selon lui de manière arbitraire par cette autorité, qui a suivi sans les examiner de manière critique les conclusions de l'expert E._.
La demanderesse a formé un appel joint, tendant à obtenir l'allocation des deux postes de conclusions rejetés par le tribunal.
Statuant par arrêt du 5 août 2016, la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a admis l'appel du défendeur et réformé le jugement de première instance en ce sens que celui-ci est condamné à payer à la demanderesse le montant de 266'057 fr.95 avec intérêts à 5% l'an dès le 28 juin 2007. Elle a rejeté l'appel joint.
C.
Contre cet arrêt, la demanderesse exerce un recours en matière civile au Tribunal fédéral, concluant à sa réforme en ce sens que le défendeur est condamné à lui payer le montant de 514'704 fr.75 avec intérêts à 5% l'an dès le 28 juin 2007, ainsi que les sommes de 54'426 fr. et de 58'954 fr. Subsidiairement, elle conclut à l'annulation de l'arrêt attaqué et au renvoi de la cause à la Cour d'appel pour nouveau jugement dans le sens des considérants.
L'architecte intimé conclut au rejet du recours. Selon lui, la cour cantonale n'a pas violé les règles de procédure neuchâteloise. A titre subsidiaire, il reprend ses critiques - non traitées par la cour cantonale - concernant le calcul du dommage effectué par l'expert. Il qualifie d'incohérents les rapports de l'expert.
Considérant en droit :
1.
1.1. Interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) par la demanderesse qui a succombé partiellement dans ses conclusions en paiement (art. 76 al. 1 LTF) et dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise sur recours par le tribunal supérieur du canton (art. 75 LTF) dans une contestation civile dont la valeur litigieuse est supérieure à 30'000 fr. (art. 72 al. 1 et 74 al. 1 let. b LTF), le recours en matière civile est recevable au regard de ces dispositions.
1.2. L'autorité de première instance avait admis en déduction du coût de réfection de 589'704 fr.75 des plus-values de 75'000 fr., d'où une condamnation à payer 514'704 fr.75. Si elle soutient principalement qu'aucune plus-value ne doit être imputée, faute de preuve suffisante apportée par l'architecte et faute de présentation d'éléments justifiant l'application de l'art. 42 al. 2 CO, la recourante ne réclame toutefois dans ses conclusions que le montant de 514'704 fr.75 (589'704,75 - 75'000), de sorte que ses griefs à cet égard, qui ne sont pas couverts par ses conclusions, sont irrecevables.
2.
2.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Relèvent de ces faits tant les constatations relatives aux circonstances touchant l'objet du litige que celles concernant le déroulement de la procédure conduite devant l'instance précédente et en première instance, c'est-à-dire les constatations ayant trait aux faits procéduraux (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 et les références). Le Tribunal fédéral ne peut rectifier les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes, c'est-à-dire arbitraires (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
De jurisprudence constante, le Tribunal fédéral se montre réservé en matière de constatation des faits et d'appréciation des preuves, vu le large pouvoir qu'il reconnaît en la matière aux autorités cantonales (ATF 120 Ia 31 consid. 4b p. 40; 104 Ia 381 consid. 9 p. 399 et les arrêts cités). Dans ce domaine, l'autorité verse dans l'arbitraire lorsqu'elle ne prend pas en compte, sans raison sérieuse, un élément de preuve propre à modifier la décision, lorsqu'elle se trompe manifestement sur son sens et sa portée, ou encore lorsqu'elle tire des conclusions insoutenables à partir des éléments recueillis (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 265; 137 III 226 consid. 4.2 p. 234).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'allégation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si la critique ne satisfait pas à ces exigences, les allégations relatives à un état de fait qui s'écarterait de celui de la décision attaquée ne pourront pas être prises en considération (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18).
2.2. Saisi d'un recours en matière civile, le Tribunal fédéral applique d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal (ou à l'état de fait qu'il aura rectifié après examen des griefs du recours; art. 105 al. 1 à 2 et 97 al. 1 LTF). Il n'est toutefois pas lié par l'argumentation juridique développée par les parties ou par l'autorité précédente; il peut admettre le recours, comme il peut le rejeter en procédant à une substitution de motifs (ATF 133 III 545 consid. 2.2).
Lorsque le juge cantonal dispose d'un pouvoir d'appréciation (art. 4 CC), le Tribunal fédéral ne revoit en principe qu'avec réserve sa décision prise en équité. Il intervient lorsque celle-ci s'écarte sans raison des règles établies par la jurisprudence en matière de libre appréciation, ou lorsqu'elle s'appuie sur des faits qui, dans le cas particulier, ne devaient jouer aucun rôle, ou à l'inverse, lorsqu'elle n'a pas tenu compte d'éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une inéquité choquante (ATF 135 III 121 consid. 2; 133 III 201 consid. 5.4).
3.
La demanderesse a fait valoir, en se référant à l'expertise, un dommage correspondant à des frais de réparation de 721'821 fr., dont le 90%, soit 649'639 fr., devait être à la charge de l'architecte défendeur. Le tribunal lui a alloué à ce titre le montant de 589'704 fr.75 (TVA comprise).
Estimant que la demanderesse avait perdu son droit à la réparation de l'ouvrage et n'avait droit qu'à la réparation de son dommage, sur la base de l'art. 398 CO, la Cour d'appel a jugé que ce dommage n'avait pas été allégué et suffisamment prouvé. Elle lui a néanmoins alloué 266'057 fr.95 correspondant au montant auquel l'architecte, selon elle, a acquiescé.
La demanderesse et recourante, qui ne conteste pas l'application de l'art. 398 CO, reproche à la cour cantonale d'être partie d'une fausse conception de la notion de dommage, d'avoir à tort considéré que l'art. 398 CO en relation avec l'art. 97 al. 1 CO ne visait qu'à la réparation de l'intérêt négatif, alors que c'est bien l'intérêt positif à l'exécution parfaite du contrat qui est visée. Elle chiffre son dommage à 589'705 fr.75 (recte 589'704 fr.75), mais, comme on l'a vu, a limité ses conclusions à 514'704 fr. 75 (déduction faite des 75'000 fr. de plus-values). Elle se plaint aussi de violation de dispositions du code de procédure civile de la république et canton de Neuchâtel du 30 septembre 1991 (CPC/NE; RSN 251.1).
3.1. Il faut en premier lieu procéder à la qualification du contrat passé entre la ville et l'architecte pour déterminer les dispositions applicables en cas d'inexécution, respectivement de défauts. La recourante soutient que la Norme SIA 102 (1984) a été intégrée au contrat et que cela doit être interprété " comme une confirmation du régime du CO ".
3.1.1. Lorsque l'architecte s'oblige à établir des plans et d'autres documents concernant des travaux de construction ou de transformation d'un immeuble, ainsi qu'à diriger ces travaux, on est en présence d'un contrat d'architecte global. Selon la jurisprudence, il s'agit d'un contrat mixte, qui est soumis, selon les prestations à fournir par l'architecte, aux règles du mandat ou à celles du contrat d'entreprise (ATF 134 III 361 consid. 5.1 p. 363; 127 III 543 consid. 2a p. 545). La responsabilité de l'architecte en tant que planificateur (études préalables, avant-projets, projets et préparation des plans et des documents de soumission) relève du contrat d'entreprise (art. 363 ss CO), alors que la responsabilité de l'architecte en tant que directeur des travaux (adjudications, direction, surveillance et coordination des travaux des entrepreneurs) relève des règles du mandat (art. 398 et 97 al. 1 CO; ATF 109 II 462 consid. 3d). Toutefois, la résiliation du contrat d'architecte global est entièrement soumise au contrat de mandat (art. 404 CO), quelle que soit la prestation considérée (ATF 127 III 543 consid. 2a p. 545).
Contrairement à ce que croit la cour cantonale, il n'y a pas eu de modification de cette jurisprudence depuis l'ATF 127 III 543 consid. 2a cité dans l'arrêt attaqué. Au contraire, le Tribunal fédéral l'a confirmée dans l'ATF 134 III 361 consid. 6.2.2 et l'a encore appliquée dans plusieurs arrêts non publiés en relation avec les contrats d'architecte ou d'ingénieur (cf. arrêts 4A_252/2010 du 25 novembre 2010 consid. 4.1; 4A_55/2012 du 31 juillet 2012 consid. 4.4; 4A_90/2013 du 10 juin 2013 consid. 3; 4A_230/2013 du 17 septembre 2013 consid. 2; 4A_210/2015 du 2 octobre 2015 consid. 4, ainsi que plusieurs arrêts antérieurs cités dans l'arrêt 4A_55/2012 déjà cité, consid. 4.5). Rappelant la conception différente de PETER GAUCH (Der Werkvertrag, 5e éd., 2011, n. 58 ss), qui veut appliquer les règles du mandat à l'ensemble du contrat d'architecte global, le Tribunal fédéral a réaffirmé que la qualification de contrat mixte permet d'adopter une solution appropriée aux circonstances concrètes de l'espèce: lorsque l'architecte (ou l'ingénieur) s'engage à fournir des prestations par lesquelles il garantit un résultat, mesurable et objectivement constatable, il s'impose de les soumettre aux règles du contrat d'entreprise; lorsqu'il ne s'engage qu'à fournir ses services, promettant toute sa diligence (obligation de moyens), les règles du mandat sont plus adaptées (arrêt 4A_55/2012 du 31 juillet 2012 déjà cité, consid. 4.4 et 4.5).
Il n'y a pas lieu en l'espèce de revenir sur cette qualification.
Le fait que la demanderesse a ouvert action en paiement des frais de réparation, en se fondant sur l'expertise, et ait mentionné les art. 398 al. 2 et 97 CO, que les parties n'aient pas critiqué en appel la conception des premiers juges selon laquelle le contrat d'architecte global doit être qualifié dans son ensemble de mandat, ne dispense pas le juge, contrairement à ce qu'a retenu la cour cantonale, d'appliquer d'office le droit, c'est-à-dire de qualifier le contrat conclu. Avant l'entrée en vigueur du CPC, le principe de l'application du droit d'office découlait déjà du droit fédéral (art. 63 al. 3 aOJ; art. 1 CC; ATF 116 II 594 consid. 3b; 107 II 119 consid. 2a), ce dans le cadre des faits allégués et prouvés lorsque la cause était soumise à la maxime des débats selon le droit de procédure cantonal. Si dans l'ATF 127 III 543, le Tribunal fédéral a appliqué les art. 398 et 97 CO, c'est parce que le maître n'avait pas exercé son droit formateur à la réduction du prix et que la question de la qualification était vaine.
3.1.2. En l'espèce, comme l'obligation violée par l'architecte porte uniquement sur les plans (erreurs de conception) et le choix des matériaux, prestations dont il pouvait garantir le résultat, sa responsabilité relève du contrat d'entreprise, singulièrement de la garantie pour les défauts des art. 367 ss CO.
3.2. Avant d'examiner les conditions de la responsabilité pour les défauts de l'architecte selon ces dispositions, il s'impose de rappeler brièvement les conditions et les effets de la responsabilité de l'entrepreneur selon ces mêmes dispositions.
3.2.1. L'entrepreneur est tenu de livrer un ouvrage sans défaut. Il assume une garantie pour les défauts. Le maître peut faire valoir les droits à la garantie suivants: la réfection de l'ouvrage, la réduction du prix ou la résolution du contrat. Il s'agit de droit formateurs alternatifs (ATF 136 III 273 consid. 2.2; PIERRE TERCIER ET AL., Les contrats spéciaux, 5e éd. 2016, n. 3865). Dans l'exercice de ces droits, le maître doit respecter l'avis des défauts de l'art. 367 al. 1 CO et les délais de prescription de l'art. 371 CO.
La manifestation de volonté par laquelle le maître exerce l'un de ces droits formateurs peut être expresse ou tacite (TERCIER ET AL., op. cit., n. 3868). Elle est irrévocable; elle ne peut être modifiée sans l'accord de l'entrepreneur (ATF 136 III 273 consid. 2.2; TERCIER ET AL., op. cit., n. 3869).
Le droit à la réfection permet au maître d'obliger l'entrepreneur à réparer lui-même l'ouvrage à ses frais (TERCIER ET AL., op. cit., n. 3884 ss). Toutefois, s'il apparaît d'emblée que l'entrepreneur ne s'exécutera pas, soit parce qu'il s'y refuse, soit parce qu'il en est incapable (GAUCH, op. cit., n. 1799; TERCIER ET AL., op. cit., n. 3892), le maître peut soit demander l'exécution par un tiers (exécution par substitution) aux frais de l'entrepreneur (TERCIER ET AL., op. cit., n. 3894 ss), soit renoncer à la réparation par l'entrepreneur et exiger immédiatement des dommages-intérêts positifs (créance en remboursement pour inexécution de l'obligation de réfection, qui est une obligation de faire incombant à celui-ci; art. 107 al. 2, 2e hypothèse, CO; ATF 136 III 273 consid. 2.4; TERCIER ET AL., op. cit., n. 3901; GAUCH, op. cit., n. 1831). La quotité des dommages-intérêts correspond à la contre-valeur de la prestation gratuite que l'entrepreneur aurait dû fournir s'il avait réparé l'ouvrage lui-même (ATF 136 III 273 consid. 2.4 p. 276; TERCIER ET AL., op. cit., n. 3901).
Le maître a cumulativement le droit de demander la réparation du dommage consécutif au défaut ( Mangelfolgeschaden) lorsque l'entrepreneur (ou ses auxiliaires, art. 101 CO) est en faute (art. 368 al. 1 in fine et al. 2, 2e phrase, CO (ATF 130 III 362 consid. 4.2; arrêt 4A_90/2013 du 10 juin 2013 consid. 4.2).
En revanche, le maître doit supporter les frais qu'il aurait de toute manière dû assumer si le contrat avait été parfaitement exécuté ( Sowiesokosten) (FRANÇOIS CHAIX, in Commentaire romand, Code des obligations, vol. I, 2e éd.2012, n° 49 ad art. 368 CO).
Les art. 97 ss CO ne sont pas applicables en concours (ATF 136 III 273 consid. 2.2).
3.2.2. Dès lors que l'obligation de résultat de l'architecte consiste dans la conception de plans, il assume une responsabilité en cas de mauvaise exécution de ceux-ci. Les défauts des plans eux-mêmes sont les défauts de l'ouvrage au sens des art. 367 CO (DENZLER/HOCHSTRASSER, Die Haftung für die Planung, in Die Planerverträge, 2013, n. 8.80 p. 404). Les défauts de la construction immobilière, qui en sont la conséquence naturelle, constituent en revanche un dommage consécutif au défaut ( Mangelfolgeschaden) au sens de l'art. 368 al. 1 in fine et al. 2, 2e phrase, CO; ils subsistent même s'il y a réfection des plans, réduction des honoraires de l'architecte ou résolution du contrat d'architecte (arrêt 4A_90/2013 du 10 juin 2013 précité, consid. 4.2; ATF 130 III 362 consid. 4.2; cf. GAUCH/MIDDENDORF, Von den Planerverträgen, von ihrer Qualifikation und dem SIA-Normenwerk für Planerleistungen, in Die Planerverträge, op. cit., n. 1.31 p. 17; DENZLER/HOCHSTRASSER, op. cit., n. 8.76 p. 403 et n. 8.81 p. 404).
Le droit à la réparation du dommage consécutif au défaut, qui complète les droits spécifiques à la garantie de l'art. 368 al. 1 CO, présuppose que les conditions de fond et d'exercice de la garantie pour les défauts soient remplies, en particulier que le maître ait vérifié l'ouvrage et avisé des défauts (art. 367 al. 1 CO) et que ses droits ne soient pas prescrits (art. 371 CO). L'architecte doit, en outre, être en faute (art. 368 al. 1 in fine et al. 2, 2e phrase, CO). Le maître n'est pas obligé d'exercer l'un des droits spécifiques à la garantie; il lui suffit d'en être titulaire pour pouvoir exiger la réparation du dommage consécutif au défaut (GAUCH, op. cit., n. 1851; CARRON/FÉROLLES, Le dommage consécutif au défaut, in Le dommage dans tous ses états, 2013, p. 107; contra: CHAIX, op. cit., n° 4 et n° 56 ad art. 368 CO).
Le maître peut exiger de l'architecte la réfection des plans défectueux, la réduction de ses honoraires ou la résolution du contrat (DENZLER/HOCHSTRASSER, op. cit., n. 8.182 ss). Si le maître fait établir de nouveaux plans par un tiers, il s'agit d'une réparation - suppression du défaut de l'ouvrage que constituent les plans - par un tiers et il peut obtenir le remboursement des frais de plans correspondants au titre de son droit à la réfection (ATF 136 III 273 consid. 2.4; arrêt 4A_90/2013 du 10 juin 2013 consid. 4.2 et 4.4.2).
En revanche, le maître ne peut pas demander à l'architecte de réparer la construction immobilière défectueuse, puisque celui-ci ne s'était pas engagé à la réaliser (DENZLER/HOCHSTRASSER, op. cit., n. 8.187). Il ne peut lui réclamer que la réparation de son dommage, en argent ( Schadenersatzanspruch), correspondant aux frais de réfection. Si la construction peut être réparée, le maître peut en principe exiger le remboursement des frais (payés ou présumés) de réfection par l'entrepreneur, y compris les frais accessoires à la réfection ( Begleitkosten der Nachbesserung; RAINER SCHUMACHER, Die Haftung des Architekten aus Vertrag, in Le droit de l'architecte, 3e éd. 1995, n. 541). Toutefois, si la réparation est impossible ou qu'elle ne peut pas être raisonnablement exigée, notion qui relève du pouvoir d'appréciation du juge cantonal (art. 4 CC), la prétention du maître est limitée, en vertu du principe de la bonne foi, à l'indemnisation de son intérêt négatif ou à la moins-value de la construction défectueuse, par analogie avec l'art. 368 al. 2, 1re phrase, CO, qui interdit d'exiger de l'entrepreneur la réfection si elle n'est pas possible ou ne peut être effectuée sans dépenses excessives (SCHUMACHER, op. cit., n. 542; DENZLER/HOCHSTRASSER, op. cit., n. 8.185 et 8.186).
3.3. A l'instar de la cour cantonale, il faut examiner dans une première étape quel dommage la demanderesse a réclamé et était en droit de réclamer la réparation, étant précisé que l'architecte défendeur a renoncé à contester sa responsabilité et la faute qui lui était imputée.
3.3.1. Selon les faits constatés (art. 105 al. 1 LTF), la demanderesse s'est plainte de défauts de la construction dus aux plans établis par l'architecte. Le 7 mai 2004, elle a notifié à l'architecte un avis des défauts, puis, le 17 mai 2004, l'architecte a renoncé à se prévaloir de la prescription s'agissant de ces défauts. Avant procès, la demanderesse a requis une expertise à titre de preuve à futur dans le but notamment de faire estimer par l'expert le coût de la réfection des défauts de la construction. Les deux rapports de l'expert sont conçus et établis dans la perspective d'une réfection des ouvrages litigieux. Puis, dans sa demande, se fondant sur ces rapports d'expertise, la demanderesse a conclu au paiement du montant de 649'639 fr. représentant le 90% du coût de la réfection de l'ouvrage à charge de l'architecte, à quoi elle a ajouté les montants de 86'440 fr. représentant le 90% du coût de l'expertise de preuve à futur, de 360 fr. pour les frais de justice de cette procédure et de 57'426 fr. 35 correspondant à des factures D._ découlant d'interventions d'une société nécessitées par des défauts de construction imputables à l'architecte.
Ce faisant, il apparaît que la demanderesse a réclamé paiement des frais de réfection au titre du dommage consécutif au défaut.
3.3.2. La cour cantonale a toutefois retenu, certes dans le cadre d'une argumentation erronée fondée sur la responsabilité du mandataire, que " les aménagements de la place, tant en ce qui concerne le volet de l'éclairage que celui des bassins, sont inutilisables... et devraient être profondément remaniés, voire modifiés pour fonctionner à satisfaction ". Cette constatation de fait est encore corroborée par le fait que la cour cantonale a estimé que la réfection demandée reviendrait à la réalisation d'un ouvrage différent, de plus grande valeur, ce qu'elle a illustré de manière imagée par la commande émanant d'un chauffeur de taxi d'un véhicule de marque Citroën 2 CV - inutilisable en raison de ses défauts - lequel exigerait, au titre de la réfection, son remplacement pour le même prix par une voiture de marque Mercedes, plus adaptée à ses besoins.
La réfection totale s'élevant, selon l'expert, à 721'821 fr., sans les frais de direction des travaux de réfection que la demanderesse a réclamés séparément pour un montant de 58'974 fr., son coût est en effet bien supérieur au prix initial de l'ouvrage (crédit de 550'000 fr.).
Il y a lieu d'admettre que la cour cantonale a considéré par là que la réparation ne pouvait pas être raisonnablement exigée (art. 4 CC).
La recourante se limite à affirmer qu'elle a droit à des dommages-intérêts correspondant aux coûts d'une réhabilitation de l'ouvrage, même si le maître ne procède ensuite pas effectivement à la réparation des défauts. Elle ne démontre pas ainsi en quoi la cour cantonale aurait mésusé de son pouvoir d'appréciation.
Il s'ensuit qu'en considérant que la demanderesse avait droit à être indemnisée de ses dépenses engagées inutilement pour ces installations, auxquelles s'ajoutent les coûts de réfection de la surface de la place endommagée par ces mêmes installations (infiltrations d'eau constatées dans le parking), ce qui, en d'autres termes, revient à lui accorder l'indemnisation de son intérêt négatif, la cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral.
Les conditions de fond et d'exercice de l'action (en particulier l'avis des défauts et la prescription) ne sont par ailleurs pas contestées par les parties.
3.4. Il sied désormais d'examiner, dans une deuxième étape, si la demanderesse a allégué et prouvé son dommage consécutif au défaut, lequel correspond ici à son intérêt négatif. La Cour d'appel ne l'a pas admis.
3.4.1. Pour les prétentions fondées sur le droit privé fédéral, le fardeau de la preuve est en principe régi par l'art. 8 CC (ATF 139 III 7 consid. 2.2). Il en est ainsi pour le dommage réparable au sens de l'art. 368 al. 1 in fine et al. 2, 2e phrase, CO (cf. art. 42 al. 1 CO), qu'il incombe donc au maître de l'ouvrage de prouver. Le maître supporte également le fardeau de l'allégation objectif, qui découle de la règle sur le fardeau de la preuve, dans les procès soumis à la maxime des débats (ATF 142 III 462 consid. 4.3).
Cette désignation, par le droit matériel, de la partie qui supporte ces fardeaux, exerce indirectement une influence sur le fardeau de l'allégation subjectif et sur le fardeau de l'administration des preuves, lesquels relèvent du droit de procédure.
3.4.2. En droit de procédure civile neuchâtelois, applicable en l'espèce puisque l'action a été introduite avant le 1er janvier 2011 (art. 404 al. 1 CPC), l'action en dommages-intérêts est soumise à la maxime des débats (art. 57 CPC/NE), ce qu'admet la recourante. Il appartient donc aux parties, et non au juge, de réunir les éléments du procès: les parties doivent alléguer les faits et offrir les moyens de preuve propres à les établir; le juge ne peut ni suppléer ni suggérer des faits qu'une partie n'aurait pas allégués spontanément (art. 57 al. 1 CPC/NE). Il est toutefois sans importance que les faits aient été allégués par l'une ou l'autre des parties puisqu'ils font partie du cadre du procès et que le juge peut donc en tenir compte (arrêt 4A_566/2015 du 8 février 2016 consid. 4.2.1).
Les exigences éventuellement excessives, quant à la forme et au contenu de l'allégation, que pourrait avoir posées le droit cantonal de procédure, sont toutefois limitées par la notion de charge de la motivation en fait ( Substanzierungspflicht), déduite, par la jurisprudence, du droit matériel. La motivation des faits est suffisante si le contenu de l'allégation de chacun des faits pertinents permet au juge, non seulement d'appliquer le droit fédéral, mais encore d'administrer les preuves nécessaires pour élucider ce fait (ATF 127 III 365 consid. 2b; 123 III 183 consid. 3e; 108 II 337 consid. 2 et les arrêts cités; arrêt 4A_566/2015 du 8 février 2016 déjà cité, consid. 4.2.2).
3.4.3. En l'espèce, dans sa demande, la ville s'est contentée d'alléguer le montant global de son dommage de 649'639 fr. correspondant à une part des coûts de réfection et de renvoyer à l'expertise pour les détails. Le tribunal de première instance n'a pas eu de difficultés à examiner les différents postes litigieux pour arriver à un total de 589'704 fr. 75 (avec TVA). La question de savoir si la Cour d'appel pouvait revenir sur cette question, en reprochant à la demanderesse de n'avoir pas complété ses allégations par des précisions en relation avec les différents postes du dommage après que le défendeur a contesté les conclusions de l'expertise, n'a toutefois pas à être résolue en l'espèce.
De fait, comme la réfection ne peut pas être raisonnablement exigée, le maître de l'ouvrage doit être replacé dans la situation qui serait la sienne s'il n'avait pas conclu le contrat d'architecte global. La demanderesse devait donc alléguer ou tout au moins prouver les postes de son dommage négatif: soit les dépenses effectuées pour des installations inutilisables et les dépenses pour la réfection de l'étanchéité de la place, à quoi il faudrait ajouter la réduction ou la suppression des honoraires de l'architecte pour les plans défectueux.
La cour cantonale a examiné longuement s'il lui était possible de déduire ces éléments du tableau des dépenses de la ville et du tableau des coûts de construction, mais y a répondu par la négative.
Il appert que la demanderesse n'a pas réclamé réparation de l'intérêt négatif, persistant à invoquer son droit au remboursement des coûts de réhabilitation. Elle n'invoque pas non plus, à titre subsidiaire, que le droit neuchâtelois l'autoriserait à compléter ses écritures pour obtenir l'indemnisation de son intérêt négatif, après que la cour cantonale lui a refusé son " droit à la réfection ".
Les griefs de la recourante doivent être rejetés.
4.
La demanderesse a encore fait valoir un montant de 58'974 fr., qui est " réduit " dans les conclusions de son présent recours à 58'954 fr., au titre d'honoraires d'études et de direction des travaux. Les premiers juges et, sur appel joint, la Cour d'appel ont rejeté cette prétention. La recourante invoque en vrac qu'elle fait partie du dommage, que l'architecte aurait reconnu le montant de 23'715 fr. et qu'elle a prouvé le montant qu'elle réclame.
Dès lors qu'il a été retenu ci-dessus que la demanderesse ne peut pas raisonnablement exiger de l'architecte les frais d'une réfection de l'ouvrage, la question des honoraires d'architecte pour l'étude et la direction de ces travaux de réfection est sans objet.
5.
Enfin, la demanderesse a également fait valoir dans sa demande un montant de 57'426 fr.35, " réduit " à 54'426 fr. dans les conclusions de son recours en matière civile, montant qui correspond à des factures de l'entreprise D._. Tant le tribunal que, sur appel joint, la Cour d'appel ont rejeté cette prétention. La recourante invoque la constatation arbitraire des faits et affirme subsidiairement qu'un montant de 21'480 fr.79 lui est dû pour l'élimination des défauts.
5.1. Le tribunal de première instance a retenu que la demanderesse n'a pas satisfait à la réquisition du défendeur tendant à la production et des quittances de paiement des factures totalisant le montant réclamé, et de la correspondance échangée à ce propos. D'un courrier du 18 janvier 2007 et du témoignage G._, le tribunal a déduit que le montant réclamé ne concerne manifestement pas les travaux entrepris pour remédier au défaut. En outre, il a relevé que la demanderesse n'a pas non plus démontré qu'il s'agit de frais en rapport avec les travaux complémentaires liés à la réfection des aménagements.
Pour la cour cantonale, l'allégation de ce montant correspond à un montant que l'entreprise D._ réclame à la ville pour des interventions nécessitées par des défauts de construction imputables à l'architecte. La cour cantonale a estimé que cette allégation et la pièce produite à son appui ne permettent en aucune façon d'établir un lien de cause à effet entre les défauts et les interventions de ladite entreprise. Alors que le défendeur a contesté cet allégué, la demanderesse ne s'est pas expliquée dans sa réplique et le témoin interrogé à ce propos, s'il a déclaré qu'un montant de 47'541 fr.20 avait été payé, n'a donné aucune indication sur la cause de la créance.
5.2. Dans la mesure où la recourante se borne à invoquer que la cour cantonale aurait ignoré une autre pièce du dossier, du 16 juin 2008, elle ne démontre pas en quoi cette pièce établirait l'arbitraire de la constatation de la cour cantonale.
En se contentant de soutenir que le défendeur aurait admis dans sa réponse que cette facture concernerait des travaux de réparation, elle méconnaît que la cour cantonale a retenu que celui-ci a contesté cet allégué et qu'il lui appartenait de prouver tant le montant que la cause des travaux correspondants.
Lorsqu'elle se fonde pour la première fois sur un courrier du 16 juin 2008 afin de réclamer un montant de 21'480 fr.79 afférent à des travaux d'élimination des défauts, elle se fonde sur un fait nouveau et, partant, irrecevable (art. 99 LTF).
Le grief est totalement irrecevable.
6.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être rejeté dans la mesure où il est recevable, aux frais de son auteur (art. 66 al. 1 LTF). La recourante sera également condamnée à payer à l'intimé une indemnité de dépens (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 7'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La recourante versera à l'intimé une indemnité de 8'000 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel, Cour d'appel civile.
Lausanne, le 6 avril 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Kiss
Le Greffier : Ramelet