Erwägungen:
1.
1.1. Die X._ AG (nachfolgend: die Steuerpflichtige) hat zivil- und steuerrechtlichen Sitz in U._/SG. Ihr statutengemässer Zweck besteht in der Aufnahme, Gewährung und Vermittlung von Finanzierungen sowie der Beratung und Durchführung von Finanzgeschäften aller Art. Im hier interessierenden Zeitraum wirkte A._ als einziges Mitglied des Verwaltungsrates. Das Zeichnungsrecht für die Steuerpflichtige stand einzig ihm zu.
1.2. Am 10. März 2016 erliess das Kantonale Steueramt St. Gallen (KStA/SG) gegenüber der Steuerpflichtigen Einspracheentscheide bezüglich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons St. Gallen und der direkten Bundessteuer, Steuerjahr 2013. Dagegen gelangte die Steuerpflichtige mit Rekurs und Beschwerde vom 18. April 2016 an die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. Am 21. April 2016 setzte diese eine Frist bis zum 17. Mai 2016 zur Leistung eines Kostenvorschusses an. Dieser belief sich für jedes der beiden Verfahren auf Fr. 600.--. Die Verwaltungsrekurskommission verband die Aufforderung zur Leistung von insgesamt Fr. 1'200.-- mit der Androhung, die Verfahren im Säumnisfall abzuschreiben. Am 18. Mai 2016 erstreckte sie die Frist bis zum 2. Juni 2016. Am 8. Juni 2016 schrieb die Verwaltungsrekurskommission die beiden Verfahren ab, da die Zahlung bis dahin ausgeblieben war.
1.3. Am 14. Juni 2016 gab die Steuerpflichtige ein ärztliches Zeugnis von Dr. med. B._, V._/SG, vom 13. Juni 2016 zu den Akten und ersuchte sie um Wiederherstellung der versäumten Frist. Dem Arztzeugnis zufolge war A._ vom 31. Mai bis zum 13. Juni 2016 zu 100 Prozent arbeitsunfähig. Die Verwaltungsrekurskommission wies das Gesuch am 21. Juni 2016 ab, was sie damit begründete, dass die Säumnis nicht auf leichtem Verschulden beruhe. Eine Überweisung von Fr. 1'200.-- setze keinerlei besondere Anstrengung voraus und lasse sich ohne erheblichen zeitlichen Aufwand bewältigen. Weshalb das Mitglied des Verwaltungsrates ausserstande gewesen sein sollte, die Überweisung vorzunehmen oder eine Hilfsperson damit zu betrauen, gehe aus dem nicht weiter begründeten ärztlichen Standardformular nicht hervor.
1.4. Die Steuerpflichtige gelangte mit Beschwerde vom 29. Juli 2016 an das Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen. Dieses wies die Eingabe mit Entscheid B 2016/174 vom 20. Januar 2017 ab.
1.5. Mit einer ersten und einer überarbeiteten Eingabe vom 15. März 2017 erhebt die Steuerpflichtige, handelnd durch A._, beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragt sinngemäss, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und das seinerzeitige Gesuch um Wiederherstellung der versäumten Frist sei gutzuheissen. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen. Die Beschwerde ist offensichtlich unbegründet, weshalb sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG erledigt werden kann.
2.
2.1. Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 Abs. 2 StHG [SR 642.14]). Auf die Beschwerde ist einzutreten. Eine nach Steuerarten getrennte Behandlung erübrigt sich, nachdem keine Frage des harmonisierten Steuerrechts zu klären ist, sondern eine solche des kantonalen Verfahrensrechts.
2.2.
2.2.1. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 141 V 234 E. 2 S. 236).
2.2.2. Abgesehen von hier nicht interessierenden Ausnahmen (Art. 95 lit. c und d BGG) kann das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung kantonalen (und kommunalen) Verfassungs-, Gesetzes- oder Verordnungsrechts nicht als solche prüfen, sondern lediglich daraufhin, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG; BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372). Dabei beschränkt die Überprüfung sich auf die Verletzung verfassungsmässiger Rechte (BGE 142 V 94 E. 1.3 S. 96), insbesondere auf den Aspekt der Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV; BGE 142 V 513 E. 4.2 S. 516).
2.2.3. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (einschliesslich der Grundrechte) und von rein kantonalem Recht prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur unter dem Vorbehalt, dass eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG). Soweit die Beschwerdeschrift diesen Anforderungen nicht genügt, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106).
2.2.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.3 S.156). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG; 142 V 2 E. 2 S. 5).
2.2.5. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt ( unechte Noven; Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 139 II 373 E. 1.6 S. 378). Der Streitgegenstand kann im Laufe des Rechtsmittelverfahrens nur eingeschränkt ( minus), nicht aber ausgeweitet ( plus) oder geändert ( aliud) werden (Art. 99 Abs. 2 BGG; BGE 136 V 362 E. 3.4.2 S. 365).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen ist einzig, ob die Vorinstanz haltbar erkannte, die Verwaltungsrekurskommission habe das Gesuch um Wiederherstellung der versäumten Frist zu Recht abgewiesen. Soweit die Steuerpflichtige geltend macht, der Kostenvorschuss sei willkürlich festgelegt worden, geht dies über den Streitgegenstand hinaus; diese Rüge ist nicht zu hören (Art. 99 Abs. 2 BGG; vorne E. 2.2.5).
3.2.
3.2.1. Zur Wiederherstellung versäumter Fristen verweist Art. 30bis des Gesetzes (des Kantons St. Gallen) vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/SG; sGS 951.1) auf Art. 148 Abs. 1 ZPO (SR 272), der dadurch zu subsidiärem kantonalem Recht wird (Art. 6 Abs. 1 ZGB [SR 210]; BGE 140 I 320 E. 3.3 S. 322). Nach Art. 148 Abs. 1 ZPO kann das Gericht auf Gesuch einer säumigen Partei eine Nachfrist gewähren, wenn die Partei glaubhaft macht, dass sie kein oder nur ein leichtes Verschulden trifft. Das Gesuch ist innert zehn Tagen seit Wegfall des Säumnisgrundes einzureichen (Art. 148 Abs. 2 ZPO). Kantonalrechtlich ist die Fristwiederherstellung damit auch in Fällen zulässig, in welchen eine leichte Unsorgfalt vorliegt. Dies unterscheidet Art. 30bis VRG/SG in Verbindung mit Art. 148 Abs. 1 ZPO etwa von Art. 50 Abs. 1 BGG oder Art. 24 Abs. 1 VwVG (SR 172.021). Auszugehen ist in jedem Fall von einem objektivierten Sorgfaltsmassstab (NINA J. FREI, in: Berner Kommentar, ZPO, Band I, 2012, N. 9 zu Art. 148 ZPO).
3.2.2. Als leichtes Verschulden gilt praxisgemäss "tout comportement ou manquement qui, sans être acceptable ou excusable, n'est pas particulièrement répréhensible". In Abgrenzung dazu ist von keinem leichten Verschulden mehr auszugehen bei der "violation de règles de prudence vraiment élémentaires qui s'imposent impérieusement à toute personne raisonnable" (zum Ganzen Urteil 4A_163/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 4.1). Was insbesondere Krankheiten betrifft, beruht das Versäumen einer Frist nur dann auf sorgfältigem Verhalten, falls die fristbelastete Person schwererkrankt (FREI, a. a. O., N. 12 zu Art. 148 ZPO). Erforderlich ist "une maladie subite d'une certaine gravité" (auch dazu Urteil 4A_163/2015 vom 12. Oktober 2015 E. 4.1). Die Beeinträchtigung muss mit andern Worten derart erheblich ausfallen, dass die fristbelastete Person durch sie davon abgehalten wird, rechtzeitig zu handeln oder eine Drittperson mit der notwendigen Vertretung zu betrauen (BGE 119 II 86 E. 2 S. 87; 112 V 255 E. 2a S. 255 f.). Der Nachweis der hinreichend schweren Krankheit unterliegt nach dem Grundsatz der freien Beweiswürdigung zwar keiner festen Beweisregel. Wird eine Erkrankung als Grund für die versäumte Frist angerufen, kommt in der Praxis einem zeitnah erstellten Arztzeugnis, nach welchem das Fristversäumnis gar nicht oder höchstens leicht verschuldet ist, aber ausschlaggebende Bedeutung zu (Urteil 2C_598/2016 vom 30. Juni 2016 E. 2.4).
3.2.3. Die Steuerpflichtige lässt durch ihr Mitglied des Verwaltungsrates ausführen, die Frist wäre am Donnerstag, 2. Juni 2016 verstrichen, die Krankheit sei aber bereits am Dienstag, 31. Mai 2016 ausgebrochen, weshalb es unmöglich gewesen sei, rechtzeitig tätig zu werden. Die Steuerpflichtige bezieht sich auf die bundesgerichtliche Praxis zu den kurzen Restfristen (hierzu namentlich Urteil 2C_451/ 2016 / 2C_452/2016 vom 8. Juli 2016 E. 2.2.4, in: ASA 85 S. 90, StR 71/2016 S. 811). Auf die Restfrist-Praxis vermag sich aber nur zu berufen, wer sorgfältiges und damit unverschuldetes Verhalten (Art. 50 Abs. 1 BGG, Art. 24 Abs. 1 VwVG) oder leichtes Verschulden (Art. 148 Abs. 1 ZPO) geltend machen kann. Daran fehlt es namentlich, wenn zwar eine Krankheit nachgewiesen ist, diese aber nicht hinreichend schwer wiegt. Denn in einem solchen Fall hätte die Möglichkeit bestanden, trotz Erkrankung rechtzeitig tätig zu werden. Hat die fristbelastete Person dies unterlassen, schliesst dies leichte Unsorgfalt aus.
3.2.4. Die Vorinstanz stellt mit der Erstinstanz fest, das Arztzeugnis lasse den Schluss nicht zu, dass es dem Mitglied des Verwaltungsrates krankheitsbedingt benommen gewesen sei, die Überweisung auszulösen. Diese Beweiswürdigung ist jedenfalls nicht willkürlich. Nachgewiesen ist zwar, dass "Arbeitsunfähigkeit" bestand, was aber nicht jedwelche administrative Tätigkeit von vornherein ausschliesst. Nichts anderes ergibt sich aus der Abrechnung der Krankenkasse vom 26. November 2016: Abgesehen davon, dass sich die Frage nach dem Novenverbot stellt (Art. 99 Abs. 1 BGG; vorne E. 2.2.5), kann der Abrechnung einzig entnommen werden, dass vom 26. bis zum 31. Oktober 2016 eine ambulante spitalärztliche Untersuchung stattfand; ein Zusammenhang zur Erkrankung vom Anfang Juni 2016 liegt nicht auf der Hand. Selbst wenn es sich dabei um "intensivere Abklärungen" gehandelt haben sollte, was mit Blick auf den Betrag von Fr. 2'488.15 nicht zwingend ist, lässt dies die vorinstanzliche Beweiswürdigung nicht als willkürlich erscheinen.
3.2.5. Schliesslich beruft die Steuerpflichtige sich auf Art. 6 EMRK. Das Konventionsrecht findet indes Anwendung weder auf das Veranlagungsverfahren noch auf das Nachsteuerverfahren (Urteil 2C_1012/ 2014 vom 14. November 2014 E. 3.1, in: ASA 83 S. 411). Entsprechend führen auch Veranlagungen oder Zuschläge nach pflichtgemässem Ermessen, worum es hier in der Sache geht, zu keiner Anwendbarkeit des Konventionsrechts (Urteil 2C_918/2015 / 2C_919/2015 vom 20. Juli 2016 E. 2.3).
3.2.6. Die Vorinstanz hat mithin haltbar geschlossen, trotz ärztlich testierter Erkrankung sei es dem Mitglied des Verwaltungsrates zumutbar gewesen, die Überweisung entweder eigenhändig zu veranlassen oder eine Drittperson beizuziehen. Wenn die Vorinstanz alsdann folgerte, das Verhalten des Mitglieds des Verwaltungsrates, das die Steuerpflichtige sich schon aktienrechtlich anrechnen lassen muss, sei weder unverschuldet noch leicht unsorgfältig, so ist auch dies willkürfrei. Entsprechend ist die Abweisung des Gesuchs um Wiederherstellung der Frist nicht zu beanstanden.
3.3. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist. Für alles Weitere kann auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 Satz 2 BGG).
3.4. Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos (Art. 103 Abs. 1 BGG).
4.
Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Dem Kanton St. Gallen, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'200.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. März 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher