Faits :
A.
La société X._ SA (ci-après: la clinique) est inscrite au registre du commerce de la République et canton de Genève. Son but est " l'exploitation d'un centre de traitement et d'expertises médicales ". Par arrêtés des 14 janvier 2004 et 1 er février 2006, la clinique a été autorisée à exploiter un établissement médical psychiatrique à Genève, aussi longtemps que le Docteur Y._ en assumerait les fonctions de médecin répondant.La durée maximale de traitement ininterrompu a été limitée à quarante-huit heures, soit deux nuits consécutives au maximum.
La clinique est composée de trois départements indépendants. Le "département psychiatrie" est dédié aux soins psychiatriques semi-hospitaliers. Le "département expertises" est un cabinet de groupe effectuant des expertises pluridisciplinaires dans toutes les spécialités médicales, sur mandats de l'Office fédéral des assurancessociales (OFAS) dans le domaine de l'assurance-invalidité, ainsi que d'assureurs-accidents ou d'assureurs-maladie. Le "département soins ambulatoires" est consacré aux soins relevant de la chirurgie et de l'otorhinolaryngologie. Ces soins représentent environ 3 à 4% des activités de la clinique, les expertises en constituant le solde. Le "département psychiatrie" n'a jamais déployé la moindre activité.
B.
Au cours du premier semestre de l'année 2011, un litige est survenu entre la clinique et le Docteur Z._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie. Depuis 2006, celui-ci s'était vu confier la réalisation d'expertises pour le compte de la clinique. A la suite d'une note adressée par le Service du médecin cantonal de la République et canton de Genève (ci-après: le Service), relative à l'absence d'autorisations de pratiquer de certains médecins travaillant pour la clinique, la Commission genevoise de surveillance des professions de la santé et des droits des patients (ci-après: la Commission) a ouvert une procédure administrative contre la clinique. Par courrier du2 septembre 2011, le Docteur Z._ a notamment informé la Commission du fait que ses rapports d'expertise avaient, à compter de 2010, fait l'objet, sous la responsabilité du Docteur Y._, de modifications importantes sans son accord. Il avait dès lors refusé de les signer. Le 7 octobre 2011, le bureau de la Commission a ouvert une procédure administrative contre le Docteur Y._. Le 25 février 2015, la Commission a notamment informé la clinique de la fin de l'instruction. Par préavis du 30 avril 2015,elle a transmis la cause au Département de l'emploi, des affaires sociales et de la santé de la République et canton de Genève (ci-après: le Département), comme objet de sa compétence en raison de la gravité des comportements constatés et de la sanction à laquelle la clinique s'exposait. Par arrêté du 25 juin 2015, le Département, reprenant les constatations et motifs présentés par la Commission dans son préavis, a retiréà la clinique l'autorisation d'exploiter une institution de santé pour une durée de trois mois. La clinique a recouru contre ce prononcé auprès de la Chambre administrative de la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice). Par arrêt du 15 novembre 2016, la Cour de justice a rejeté le recours de l'intéressée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, la clinique demande en substance au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, principalement, de réformer l'arrêt de la Cour de justice du 15 novembre 2016 en maintenant son autorisation d'exploitation; subsidiairement, d'annuler l'arrêt précité et de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt. Le Département conclut au rejet du recours, dans la mesure de sa recevabilité. La clinique a encore implicitement confirmé ses conclusions.
Considérant en droit :
1.
Le présent litige concerne le retrait d'une autorisation d'exploiter une institution de santé fondé en particulier sur la loi genevoise du 7 avril 2006 sur la santé (LS/GE; RSGE K 1 03) qui relève du droit public au sens de l'art. 82 let. a LTF. Le recours est dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF), rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 86 al. 1 let. d et al. 2 LTF) dans une cause ne tombant pas sous le coup de l'une des exceptions prévues à l'art. 83 LTF. La voie du recours en matière de droit public est partant ouverte. Au surplus, le recours a été déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par la destinataire de l'arrêt attaqué qui a qualité pour recourir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Il est par conséquent en principe recevable.
2.
2.1. Dans un grief d'ordre formel qu'il convient d'examiner en premier lieu car il est susceptible d'entraîner l'annulation de l'arrêt attaqué indépendamment des chances de succès au fond (ATF 142 II 218consid. 2.8.1 p. 226;139 I 189consid. 3 p. 191), la recourante, citant l'art. 29 al. 2 Cst., invoque une violation de son droit d'être entendue. Elle fait valoir que le Département ne l'aurait pas entendue avant de rendre l'arrêté du 25 juin 2015 et estime que la Cour de justice aurait en conséquence dû constater que ce dernier avait violé la disposition constitutionnelle précitée. La violation serait d'autant plus grave que la recourante n'aurait pas eu connaissance de la teneur du préavis de la Commission et, plus particulièrement, des atteintes au secret médical qui lui y étaient reprochées. La recourante considère par ailleurs qu'elle aurait dû avoir la possibilité de se déterminer sur la sanction envisagée avant son prononcé. Elle mentionne en outre l'art. 43 de la loi genevoise du 12 septembre 1985 sur la procédure administrative (LPA/GE; RSGE E 5 10), qui énumère les cas dans lesquels l'autorité est dispensée d'entendre les parties avant de rendre sa décision.
2.2. La jurisprudence a déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), en particulier, le droit pour le justiciable de s'expliquer avant qu'une décision ne soit prise à son détriment, celui de fournir des preuves quant aux faits de nature à influer sur le sort de la décision, celui d'avoir accès au dossier, celui de participer à l'administration des preuves, d'en prendre connaissance et de se déterminer à leur propos (cf. ATF 142 II 218 consid. 2.3 p. 222; 141 V 557 consid. 3.1 p. 564; 139 I 189 consid. 3.2 p. 191 s.).
2.3. Selon la jurisprudence, la violation du droit d'être entendu peut être réparée lorsque la partie lésée a la possibilité de s'exprimer devant une autorité de recours jouissant d'un plein pouvoir d'examen (ATF 142 II 218 consid. 2.8.1 p. 226). La réparation de la violation du droit d'être entendu doit toutefois rester l'exception et n'est admissible que dans l'hypothèse d'une atteinte aux droits procéduraux de la partie lésée qui n'est pas particulièrement grave. Si par contre l'atteinte est importante, il n'est en règle générale pas possible de remédier à la violation. Une réparation de la violation du droit d'être entendu peut également se justifier, même en présence d'un vice grave, lorsque le renvoi constituerait une vaine formalité et aboutirait à un allongement inutile de la procédure (ATF 142 II 218 consid. 2.8.1 p. 226 et les références citées).
2.4. En vertu des art. 7 al. 1 let. a et 19 de la loi genevoise du 7 avril 2006 sur la commission de surveillance des professions de la santé et des droits des patients (LComPS/GE; RSGE K 3 03), les actes d'instruction de la Commission peuvent être imputés au Département. En outre, la recourante admet à raisonqu'il n'est pas critiquable que le préavis de la Commission - soit l'acte interne de l'administration comportant les conclusions de l'instruction relative aux faits et à la sanction envisagée - ne lui ait pas été transmis (cf. arrêt 2C_66/2013 du 7 mai 2013 consid. 3.2.2). Or, durant l'instruction de la cause, la Commission a transmis l'ensemble des notes et courriers du Service et du Docteur Z._ à la recourante, qui a déposé des déterminations les 23 novembre 2011, 26 janvier 2012, 16 août 2012, 9 novembre 2013, 7 décembre 2013, 11 février 2014 et 5 janvier 2015. De plus, le 25 novembre 2013, la Commission a auditionné le Docteur Z._ et le Docteur Y._. Par courrier du 25 février 2015, elle a fait savoir à la recourante que l'instruction était terminée et qu'elle allait statuer. La recourante a ainsi non seulement été informée de tous les actes de la procédure mais a également obtenu la possibilité d'y participer, ce qu'elle a fait dans une large mesure. Partant, la Commission et le Département n'avaient pas à inviter la recourante à venir consulter le dossier (cf. ATF 132 V 387 consid. 6.2 et les références citées; arrêt 1C_51/2013 du 9 août 2013 consid. 2.2). La recourante ne prétend pas qu'une demande de sa part tendant à la consultation du dossier, voire du préavis de la Commission, aurait été refusée. Dans ces conditions, le grief de violation du droit d'être entendu doit être écarté.
2.5. A cela s'ajoute que la procédure administrative genevoise prévoit un effet dévolutif complet du recours à la Cour de justice, qui dispose d'un libre pouvoir d'examen en fait et en droit (cf. art. 61 et 66 ss LPA/GE; arrêt 2D_47/2012 du 12 décembre 2012 consid. 3.2). Dans la procédure de recours devant la Cour de justice, la recourante a eu accès au dossier produit par le Département; elle a également obtenu la possibilité de se prononcer sur les faits et les reproches - y compris ceux relatifs aux violations du secret médical et de la protection des données, au final non retenus par la Cour de justice - mentionnés dans l'arrêté du 25 juin 2015 et le préavis de la Commission. Il était par ailleurs loisible au Département de retirer ou reconsidérer sa décision (cf. art. 67 LPA/GE) après avoir pris connaissance des motifs du recours devant la Cour de justice, ce dont il s'est abstenu. La recourante n'a partant subi aucun préjudice. Ainsi, même si le Département avait violé le droit d'être entendue de la recourante, dite violation devrait être considérée comme guérie.
3.
La recourante se plaint d'arbitraire dans l'établissement des faits. Elle fait également valoir une violation des principes de la présomption d'innocence et " in dubio pro reo ".
3.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (cf. art. 105 al. 1 LTF; ATF 142 I 155 consid. 4.4.3 p. 156). Le recours ne peut critiquer les constatations de fait que si les faits ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF), ce que la partie recourante doit démontrer d'une manière circonstanciée, conformément aux exigences de motivation de l'art. 106 al. 2 LTF. La notion de "manifestement inexacte" correspond à celle d'arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 142 II 355 consid. 6 p. 358). Il y a arbitraire dans l'établissement des faits ou l'appréciation des preuves si le juge n'a manifestement pas compris le sens et la portée d'un moyen de preuve, s'il a omis, sans raison sérieuse, de tenir compte d'un moyen important propre à modifier la décision attaquée ou encore si, sur la base des éléments recueillis, il a fait des déductions insoutenables (ATF 142 II 355consid. 6 p. 358;140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références citées).
3.2. Il est des plus douteux que les principes de la présomption d'innocence et " in dubio pro reo " s'appliquent à la présente procédure. En tout état de cause, dans la mesure où ces principes sont invoqués en relation avec l'appréciation des preuves, ils se confondent en définitive avec celui d'appréciation arbitraire des preuves (cf. arrêts 2C_66/2013 du 7 mai 2013 consid. 4.2; 2C_1022/2011 du 22 juin 2012 consid. 6.1, non publié in ATF 138 I 367).
3.3. La recourante reproche en substance à la Cour de justice d'avoir retenu à tort que le Docteur Y._ avait signé et transmis à ses mandants des rapports d'expertises comportant des modifications substantielles opérées par lui-même ou des tiers sans l'accord du Docteur Z._. Elle fait valoir que les suivis informatiques confirmeraient au contraire que celui-ci les avait validées. Il ne serait en outre pas établi que les versions finales adressées à ses mandants par la recourante aient comporté lesdites modifications, la Cour de justice n'en ayant pas sollicité la production par ces derniers, ce en violation de son devoir d'établir les faits d'office conformément à l'art. 19 LPA/GE.
La Cour de justice n'a pas exclu que les modifications des expertises du Docteur Z._ aient initialement pu être validées par celui-ci. Elle a toutefois considéré que ce médecin était, à tout le moins, revenu sur ces validations à compter du moment où il avait manifesté sa volonté de vérifier le bien-fondé des modifications ou son désaccord avec celles-ci, en refusant de signer les rapports d'expertise litigieux. Quoi qu'il en soit, il ressort des constatations de fait de l'autorité cantonale - non contestées par la recourante - que le Docteur Y._ a reconnu avoir modifié des expertises sans avoir vu les expertisés, afin de ne pas les déranger six mois après la première expertise et ne pas avoir à établir de nouveaux rapports d'expertise. Le Docteur Y._ a également expliqué avoir procédé à des modifications, afin de répondre aux critères de qualité jurisprudentiels des expertises et de " faire justice à la personne vue en expertise en ne lui collant pas un diagnostic loin d'être prouvé et laissant facilement voir que cela pouvait se discuter ". Il a précisé avoir pris sur lui de " finir " les rapports du Docteur Z._ et de " ne pas laisser passer des choses qui seraient manifestement erronées ", dès lors qu'il signait " sous sa responsabilité ". Cela étant, il n'apparaît pas plausible que le Docteur Y._ ait modifié et signé des rapports d'expertise que l'expert s'était justement refusé à signer lui-même dans un but autre que celui de les adresser aux mandants de la recourante. En outre, la recourante ne prétend ni ne démontre, avoir allégué ou collaboré à établir, devant les instances précédentes, que les expertises litigieuses munies de la signature du Docteur Y._ auraient été transmises à ses mandants dans une version non modifiée. Elle n'a à aucun stade de la procédure produit de pièces en ce sens ni n'en a sollicité la production par des tiers. Enfin, ni la recourante ni le Docteur Y._ n'ont, y compris devant le Tribunal fédéral, jamais formellement contesté que les versions finales des expertises litigieuses transmises aux assureurs avaient été modifiées. Dans ces circonstances, l'établissement et l'appréciation des faits par la Cour de justice ne sauraient être qualifiés d'insoutenables, étant précisé que la recourante n'a pas nié, devant la Cour de céans, le caractère substantiel des modifications opérées.
3.4. S'agissant de l'expertise déposée devant la Commission le 14 octobre 2011, la recourante fait grief à la Cour de justice de ne pas avoir établi ses allégations selon lesquelles le Docteur Y._ aurait informé l'assureur et l'expertisé du fait que, d'une part, il prenait sur lui, compte tenu du refus du Docteur Z._ de signer l'expertise en question, de rendre des conclusions et que, d'autre part, la clinique referait gratuitement l'expertise si nécessaire.
En l'occurrence, la recourante n'a pas prouvé ses déclarations, formulées pour la première fois le 23 février 2016, lors de l'audition du Docteur Y._ par la Cour de justice - soit seulement après que le Département lui eût reproché, dans son arrêté du 25 juin 2015, d'avoir omis d'informer l'assureur et l'expertisé de la situation -, ni prétendu ne pas avoir été en mesure de le faire, voire expliqué les motifs qui auraient été à l'origine d'un tel empêchement. Elle ne prétend pas non plus avoir requis la Cour de justice d'interpeller l'assureur et l'expertisé concernés. Partant, l'on ne saurait considérer que la Cour de justice a versé dans l'arbitraire en retenant que la recourante n'avait pas établi les faits dont elle se prévalait. Cela étant, les allégations de la recourante ne concernent qu'une seule des onze expertises litigieuses, de sorte que le résul tat n'aurait pu être modifié par une telle éventuelle modification de l'état de fait. Or, pour être retenu, l'arbitraire doit être présent tant dans les motifs de l'arrêt que dans son résultat, ce qui n'est précisément pas le cas en la cause.
3.5. La recourante soutient que la Cour de justice aurait retenu à tort l'absence, au sein de la clinique, de toutes mesures nécessaires à la garantie du secret médical et de la protection des données. En réalité, la Cour de justice s'est limitée à constater que l'usage d'une adresse de courrier électronique non sécurisée par le Docteur Z._ lors de ses échanges avec la clinique laissait craindre, à défaut d'autres éléments fournis par celle-ci, des manquements. La Cour de justice n'a en outre pas considéré que la recourante ou le Docteur Y._ aurait violé le secret médical ou la protection des données. Le grief de la recourante tombe dès lors à faux.
3.6. La recourante reproche à la Cour de justice d'avoir retenu que le retrait de l'autorisation d'exploiter s'étendait à l'entier de ses activités et services, ce bien que l'autorisation d'exploiter en cause eût exclusivement porté sur l'exploitation d'un établissement médical psychiatrique. Elle considère en outre que le retrait ne saurait concerner le "département psychiatrie", pour le cas où il déploierait une activité dans le futur. Ces questions relèvent toutefois de l'appréciation juridique des faits, soit une question que le Tribunal fédéral reverra ci-après, sous l'angle du droit.
3.7. Pour le surplus, dans la mesure où la recourante présente une argumentation partiellement appellatoire, en opposant sa propre version des faits à celle de la Cour de justice ou en complétant librement l'état de fait, sans invoquer ni l'arbitraire, ni une constatation manifestement inexacte des faits, le Tribunal fédéral ne peut pas en tenir compte. Il statuera donc sur la base des faits tels qu'ils ressortent de l'arrêt attaqué.
3.8. Le moyen pris d'un établissent arbitraire des faitsdoit donc être rejeté.
4.
La recourante se plaint d'une application arbitraire de l'art. 130 LS/GE par la Cour de justice. Elle invoque en outre une restriction illégale et disproportionnée de sa liberté économique (art. 27 al. 1 Cst.).
4.1. Invocable tant par les personnes physiques que morales, la liberté économique (art. 27 Cst.) protège toute activité économique privée, exercée à titre professionnel et tendant à la production d'un gain ou d'un revenu (ATF 140 I 218 consid. 6.3 p. 229 s. et les références citées). En tant qu'elle retire temporairement le droit d'exploiter une institution de santé, la mesure litigieuse porte atteinte à la liberté économique de la recourante garantie par l'art. 27 Cst. Il faut donc examiner si la restriction en cause remplit les conditions de l'art. 36 Cst., étant rappelé que le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue lorsqu'il s'agit d'apprécier des circonstances locales dont les autorités cantonales ont une meilleure connaissance (ATF 135 I 176 consid. 6.1 p. 181 s.; arrêt 2C_1017/2011 du 8 mai 2012 consid. 5.1).
4.2. Conformément à l'art. 36 Cst., toute restriction d'un droit fondamental doit reposer sur une base légale qui doit être de rang législatif en cas de restriction grave (al. 1); elle doit en outre être justifiée par un intérêt public ou par la protection d'un droit fondamental d'autrui (al. 2) et proportionnée au but visé (al. 3), sans violer l'essence du droit en question (al. 4).
Les restrictions graves à une liberté nécessitent une réglementation expresse dans une loi au sens formel (art. 36 al. 1 Cst.; ATF 139 I 280 consid. 5.1 p. 284 et les références citées). Savoir si une restriction à un droit fondamental est grave s'apprécie en fonction de critères objectifs (ATF 139 I 280 consid. 5.2 p. 285 s.). Selon la jurisprudence, le Tribunal fédéral revoit l'interprétation et l'application du droit cantonal effectuées par les autorités cantonales sous l'angle restreint de l'arbitraire lorsque l'atteinte à une liberté constitutionnelle n'est pas particulièrement grave (ATF 125 I 417 consid. 4c p. 423; 124 I 25 consid. 4a p. 32; arrêt 2C_138/2015 du 6 août 2015 consid. 4.2). En revanche, lorsque la restriction est grave, le Tribunal fédéral examine la base légale cantonale avec une pleine cognition (ATF 142 I 121 consid. 3.3 p. 125). En outre, en cas de restriction grave, le Tribunal fédéral examine également librement et avec plein pouvoir d'examen si l'exigence de l'intérêt public et le principe de la proportionnalité sont respectés. Il laisse cependant une certaine liberté à l'autorité disciplinaire dans le choix de la sanction à prononcer, à condition qu'elle respecte le principe de la proportionnalité (cf. arrêt 2C_500/2012 du 22 novembre 2012 consid. 3.2). Ce principe exige qu'une mesure restrictive soit apte à produire les résultats escomptés et que ceux-ci ne puissent être atteints par une mesure moins incisive; en outre, il interdit toute limitation allant au-delà du but visé et exige un rapport raisonnable entre celui-ci et les intérêts publics ou privés compromis (ATF 137 I 167 consid. 3.6 p. 175 s.; 135 I 233 consid. 3.1 p. 245 s.; 134 I 221 consid. 3.3 p. 227).
4.3. En l'occurrence, par la mesure en cause, c'est-à-dire le retrait de l'autorisation d'exploiter une institution de santé pour une durée de trois mois prononcé à l'encontre de la recourante, celle-ci se voit empêchée d'exercer toute activité, que ce soit dans son "département psychiatrie", son "département expertises" ou son "département soins ambulatoires". Sur le vu de la jurisprudence du Tribunal fédéral rendue dans des causes où l'exercice d'une activité lucrative était exclue définitivement (cf. arrêt 2C_500/2012 du 22 novembre 2012 consid. 3.2) ou pour une durée relativement semblable (cf. arrêts 2P.238/2006 du 11 janvier 2007 consid. 2.2; 2P.281/2003 du 19 mars 2004 consid. 3.1), il convient de retenir que la sanction litigieuse constitue une restriction grave de la liberté économique de la recourante (pour d'autres exemples, cf. arrêts 2P.301/2005 du 23 juin 2006 consid. 2.3; 2P.133/2003 du 28 juillet 2003 consid. 4).
La conclusion qui précède a pour conséquence que le Tribunal fédéral ne se limite pas dans son examen et revoit avec une pleine cognition la base légale cantonale, le principe de la proportionnalité et l'exigence de l'intérêt public.
5.
Même si elle limite à tort son grief à l'arbitraire, la recourante désire en premier lieu se plaindre de la violation du principe de la légalité (art. 36 al. 1 Cst.).
5.1. La LS/GE a pour but de contribuer à la promotion, à la protection, au maintien et au rétablissement de la santé des personnes, des groupes de personnes, de la population et des animaux, dans le respect de la dignité, de la liberté et de l'égalité de chacun. Elle garantit une égalité d'accès de chacun à des soins de qualité et encourage les responsabilités individuelle, familiale et collective ainsi que la solidarité (art. 1 LS/GE). Elle définit et encourage le partenariat entre les acteurs publics et privés du domaine de la santé et régit les soins (art. 3 al. 1 LS/GE), réglementant notamment l'exploitation des institutions de santé (art. 3 al. 2 let. g LS/GE). Les institutions de santé comprennent tout établissement, organisation, institut ou service qui a, parmi ses missions, celle de fournir des soins (art. 100 al. 1 LS/GE). Conformément à la délégation de l'art. 100 al. 2 LS/GE, le Conseil d'Etat de la République et canton de Genève a définit les différentes catégories d'institutions de santé à l'art. 1 du règlement genevois du 22 août 2006 sur les institutions de santé (RISanté/GE; RSGE K 2 05.06). Constituent ainsi de telles institutions les établissements médicaux privés et publics (let. a); les établissements médico-sociaux (let. b); les organisations d'aide et de soins à domicile (let. c); les laboratoires d'analyses médicales (let. d); les services d'ambulance (let. e); les institutions de lutte contre les dépendances (let. f); les institutions de promotion de la santé et de prévention (let. g); les autres institutions spécialisées (let. h); les pharmacies publiques (let. i); les drogueries (let. j); les commerces d'optique (let. k).
A teneur de l'art. 101 al. 1 LS/GE, afin de protéger la santé des patients et de la population et de garantir des soins appropriés de qualité, la création, l'extension, la transformation et l'exploitation de toute institution de santé sont soumises à autorisation. L'autorisation est délivrée aux conditions posées par les art. 101 ss LS/GE et 18 RISanté/GE. En particulier, une seule autorisation d'exploiter est délivrée pour l'ensemble des sites sur lesquels l'établissement exerce ses activités (art. 18 al. 2 phr. 1 RISanté/GE). La Département s'assure que les conditions d'octroi de l'autorisation d'exploitation d'une institution de santé sont respectées, en effectuant ou en faisant effectuer les contrôles nécessaires (art. 105 LS/GE). Lorsque l'une des conditions d'octroi n'est plus remplie, que la ou les personnes responsables ne s'acquittent pas, de manière grave ou répétée, de leurs devoirs découlant de la LS/GE, que des manquements graves ou répétés dans l'organisation de l'institution en compromettent la mission ou que des manquements graves ou répétés dans la qualité des soins sont constatés, l'autorisation d'exploiter une institution de santé peut être limitée ou retirée (art. 130 al. 1 LS/GE). Si l'institution ne remédie pas à la situation aux conditions et dans les délais fixés par le département, l'autorisation est retirée (art. 130 al. 2 LS/GE). C'est le Département qui est compétent pour limiter ou retirer l'autorisation (art. 127 al. 3 LS/GE).
5.2. La recourante estime qu'il n'existe aucune base légale pour lui retirer son autorisation d'exploiter son "département expertises", dès lors que seul son "département psychiatrie" a fait l'objet d'une autorisation et que tous les reproches formulés à son encontre ont trait au "département expertises". En outre, elle considère qu'en application de l'art. 130 al. 1 et 2 LS/GE, il n'était pas possible de lui retirer son autorisation pour trois mois sans lui avoir préalablement adressé un avertissement. En application de l'art. 130 al. 2 LS/GE, elle est d'avis qu'un tel avertissement est obligatoire avant de retirer une autorisation. De manière plus générale, elle affirme que la LS/GE ne prévoit pas le retrait temporaire de l'autorisation d'exploiter, mais uniquement sa limitation ou son retrait définitif.
5.3. En premier lieu, il convient de relever que ce n'est pas parce que l'art. 130 al. 2 LS/GE prévoit le retrait de l'autorisation si l'institution ne remédie pas à la situation aux conditions et dans les délais fixés par le département, qu'il n'est pas possible de retirer une autorisation sans avertissement préalable. La formulation de cette disposition est certes relativement catégorique et semble ne laisser aucune marge de manoeuvre aux autorités. Il s'agit cependant uniquement d'une question de proportionnalité qu'il convient d'examiner sous l'angle de l'art. 36 al. 3 Cst. Le prononcé obligatoire d'un avertissement avant toute autre sanction, comme le voudrait la recourante, reviendrait à vider le principe de proportionnalité de son contenu et à contraindre l'autorité dans le choix de la sanction. Une application stricte de l'art. 130 al. 2 LS/GE conduirait l'autorité à chaque fois retirer l'autorisation ensuite d'un avertissement, sans pouvoir envisager de sanction moins contraignante, comme une limitation de l'autorisation ou un deuxième avertissement par exemple. L'art. 130 al. 2 LS/GE vise bien plus à rendre l'autorité attentive au fait qu'avant d'ordonner un retrait de l'autorisation d'exploiter, il convient d'envisager le prononcé d'une autre sanction, moins incisive. Pour les mêmes rai-sons de proportionnalité, on ne saurait suivre la recourante, lorsqu'elle affirme que seul un retrait définitif, à l'exclusion d'un retrait temporaire, est envisageable selon la LS/GE. Une telle limitation quant aux sanctions possibles reviendrait également à vider le principe de proportionnalité de son contenu. Conformément au principe selon lequel "qui peut le plus peut le moins", on ne voit pas ce qui empêcherait l'autorité cantonale dans un cas concret, lorsque les circonstances le justifient, de prononcer un retrait d'autorisation limité dans le temps, afin de garantir une application de la loi cantonale conforme au principe de proportionnalité (cf. arrêt 2C_959/2016 du 17 mars 2017 consid. 6.3).
5.4. Se pose en définitive la question de savoir ce que couvre l'autorisation d'exploiter, respectivement ce qui est concerné par le retrait de cette autorisation. En l'occurrence, la recourante est constituée de trois départements distincts. Certes, comme elle l'invoque, l'autorisation initialement délivrée en 2004 puis prolongée en 2006 l'a été pour l'exploitation d'un établissement médical psychiatrique. Toutefois, il convient ici de rappeler que l'institution de santé sujette à autorisation est tout établissement, organisation, institut ou service qui a, parmi ses missions, celle de fournir des soins (art. 100 al. 1 LS/GE). Il est donc justifié de considérer la recourante dans son ensemble, c'est-à-dire ses trois départements, comme une institution de santé. Par conséquent, l'autorisation d'exploitation ne saurait être délivrée que pour une partie de l'institution. Citant les travaux parlementaires cantonaux, la Cour de justice a d'ailleurs relevé qu'il importait peu que l'institution poursuive d'autres missions qu'une mission de soins. Le fait qu'elle offre de tels soins suffit à la soumettre à l'autorisation d'exploiter. Par conséquent, l'art. 130 LS/GE constitue une base légale suffisante permettant de prononcer le retrait de l'autorisation de la recourante dans la présente cause.
6.
La recourante est ensuite d'avis que la sanction prononcée à son encontre ne poursuit aucun intérêt public.
Le but de l'autorisation à laquelle sont soumises les institutions de santé est de protéger la santé des patients et de la population et de garantir des soins appropriés de qualité (art. 101 al. 1 LS/GE). Il s'agit-là de l'intérêt public en cause. On ne voit pas en quoi la recourante considère que la sanction ne poursuivrait aucun intérêt public. Au contraire, elle permet d'assurer à la population, et plus spécifiquement aux patients, que l'institution de santé de la recourante remplit les exigences posées par la loi et qu'elle ne va pas mettre en danger leur santé ou prodiguer des soins qui ne seraient pas appropriés. En outre, il convient également de relever que les expertises pratiquées auprès de la recourante ont un poids déterminant pour de nombreux justiciables et qu'il doit être attendu que ces expertises soient rendues dans les règles de l'art. Il existe un intérêt public manifeste à ce que des acteurs intervenant dans des procédures administratives en tant qu'experts, et qui au demeurant facturent d'important montants à charge de la collectivité, rendent des expertises dans lesquelles l'administré et l'autorité peuvent avoir pleine confiance, ces derniers n'étant le plus souvent pas des spécialistes des domaines en cause. Le grief de la recourante doit donc être écarté.
7.
Finalement, la recourante se plaint de ce que la mesure prononcée à son encontre n'est pas proportionnée.
7.1. A ce propos, il ressort de l'arrêt entrepris que le Docteur Y._ a modifié (notamment sur des points non négligeables et en particulier des diagnostics) et signé des dizaines d'expertises sans avoir vu les expertisés et sans l'accord de l'expert. Les conclusions qu'en a tiré la Cour de justice, c'est-à-dire que le comportement du Docteur Y._ était inadmissible et qu'il constituait un manquement au devoir professionnel, ne peuvent être que confirmées.
On relèvera d'emblée qu'il ressort de l'arrêt entrepris que le Docteur Y._ était le responsable médical du "département psychiatrie" et du "département expertise" de la recourante et en particulier que, par son comportement, ce médecin ne s'acquittait pas, de manière grave et répétée, de ses devoirs découlant de la LS/GE (art. 130 al. 1 let. b LS/GE), raison pour laquelle l'autorisation d'exploiter devait être retirée. L'arrêt ne traite en revanche aucunement du "département soins ambulatoires". Aucun fait retenu par la Cour de justice ne traite de l'organisation et du fonctionnement de ce dernier département et il ne ressort en particulier pas de l'arrêt contesté le fait de savoir si le Docteur Y._ avait également une fonction de responsable dans ce département qui pourrait conduire à l'application d'une sanction prévue par l'art. 130 al. 1 LS/GE. Par conséquent, en tant que le recours concerne le "département soins ambulatoires", il doit être admis et la cause doit être renvoyée à l'autorité précédente, afin qu'elle examine s'il existe des éléments de fait suffisants permettant de retirer l'autorisation pour ce département sur la base de l'art. 130 LS/GE.
7.2. S'agissant des deux autres départements, un retrait pour trois mois de l'autorisation de les exploiter, alors que le Docteur Y._ en était le responsable, est sans conteste une mesure apte à mettre un terme aux risques encourus par les patients et clients de la recourante, à tout le moins durant la période en cause.
7.3. Certes, la sanction prononcée contre la recourante n'est pas la moins incisive qu'il soit. Toutefois, au vu des très importants manquements dans la gestion de l'institution de santé et en particulier des graves violations des devoirs professionnels incombant à une personne responsable d'un tel établissement, une mesure de retrait de trois mois de l'autorisation d'exploiter n'est aucunement une mesure qu'il conviendrait de considérer comme étant disproportionnée car trop incisive. Il faut d'ailleurs également relever qu'en prononçant cette sanction, l'autorité s'est limitée à trois mois de retrait, alors qu'il n'aurait pas été exclu de prendre une mesure plus contraignante. Au surplus, le Tribunal fédéral s'impose une certaine retenue lorsqu'il s'agit d'apprécier des circonstances locales dont les autorités cantonales ont une meilleure connaissance (cf. consid. 4.1 ci-dessus).
7.4. Finalement, l'intérêt personnel de la recourante, qu'il ne faut certes pas minimiser, ne saurait l'emporter sur l'intérêt public à ce qu'une institution de santé soit gérée dans le respect des dispositions légales et à ce que la personne qui en est responsable ne viole pas, de manière presque systématique, ses devoirs professionnels. Les intérêts des patients et des clients, dans un domaine dans lequel ceux-ci sont livrés aux conclusions de spécialistes, ne sauraient céder devant les intérêts personnels de ces derniers.
8.
En définitive, le recours est partiellement admis et l'arrêt entrepris annulé en tant qu'il concerne le "département soins ambulatoires" de la recourante. La cause est renvoyée à l'autorité précédente afin qu'elle détermine les faits pertinents et se prononce une nouvelle fois sur le retrait de l'autorisation d'exploiter le département précité durant trois mois. Le recours est rejeté pour le surplus.
La recourante n'obtenant que très partiellement gain de cause devant le Tribunal fédéral, il conviendra de lui faire supporter des frais judiciaires réduits (art. 66 al. 1 LTF). En tant qu'elle succombe partiellement, le canton de Genève sera condamné à verser à la recourante des dépens réduits (art. 68 al. 1 LTF), aucun frais n'étant mis à la charge de ce canton et aucun dépens ne lui étant alloué (art. 66 al. 4 et 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. L'arrêt attaqué est annulé en tant qu'il concerne le "département soins ambulatoires" de la recourante. La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision au sens des considérants. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
La République et canton de Genève versera à la recourante une indemnité de 1'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Département de l'emploi, des affaires sociales et de la santé et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1 ère section, ainsi qu'à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lausanne, le 22 décembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Tissot-Daguette