Sachverhalt:
A.
A._ reichte am 17. November 2015 Strafanzeige gegen X._ ein wegen Betrugs, ungetreuer Geschäftsbesorgung, arglistiger Vermögensschädigung sowie Geldwäscherei und stellte Strafantrag.
A._ wirft ihrem ehemaligen Rechtsbeistand X._ vor, in einem von der Staatsanwaltschaft Solothurn gegen Y._ und Z._ geführten Strafverfahren ihre Rechte als Geschädigte nicht gewahrt zu haben, indem er keine Akteneinsicht verlangt, eine nachteilige Vereinbarung mit Y._ mitunterzeichnet und schliesslich den endgültigen Verzicht auf ihre Parteistellung als Privatklägerin erklärt habe. Aufgrund dieses Verhaltens bestehe ein dringender Verdacht, dass X._ von Y._ und Z._ in deren betrügerische Machenschaften eingespannt worden sei.
B.
Mit Verfügung vom 19. August 2016 nahm die Staatsanwaltschaft Basel-Stadt gegen X._ keine Strafuntersuchung an die Hand. Die dagegen gerichtete Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 28. April 2017 ab.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, der Beschluss des Appellationsgerichts sei aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an dieses zurückzuweisen. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, eine Strafuntersuchung gegen X._ zu eröffnen.
Erwägungen:
1.
1.1. Zur Beschwerde in Strafsachen ist nach Art. 81 Abs. 1 BGG berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (lit. a) und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat (lit. b). Der Privatklägerschaft wird ein rechtlich geschütztes Interesse zuerkannt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG).
1.2. Grundsätzlich wird von der Privatklägerschaft verlangt, dass sie bereits adhäsionsweise Zivilforderungen geltend gemacht hat. Ausnahmsweise, bei Nichtanhandnahme oder Einstellung des Strafverfahrens, ist auf dieses Erfordernis zu verzichten. Immerhin ist jedoch erforderlich, dass im Verfahren vor Bundesgericht dargelegt wird, aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderungen auswirken kann (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f.; 137 IV 246 E. 1.3.1 S. 247 f. mit Hinweisen). Das Bundesgericht stellt an die Begründung der Legitimation strenge Anforderungen. Genügt die Beschwerde diesen nicht, kann darauf nur eingetreten werden, wenn aufgrund der Natur der untersuchten Straftat ohne Weiteres ersichtlich ist, um welche Zivilforderung es geht (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f. mit Hinweisen).
1.3. Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann die Privatklägerschaft die Verletzung von Verfahrensrechten geltend machen, deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung darstellt. Zulässig sind Rügen formeller Natur, die von der Prüfung der Sache getrennt werden können. Nicht zu hören sind Rügen, die im Ergebnis auf eine materielle Überprüfung des angefochtenen Entscheids abzielen (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 5; 138 IV 248 E. 2 S. 250; je mit Hinweisen). Ein in der Sache nicht legitimierter Beschwerdeführer kann weder die Beweiswürdigung kritisieren noch geltend machen, die Begründung sei materiell unzutreffend (BGE 136 IV 41 E. 1.4 S. 44; 135 II 430 E. 3.2 S. 436 f.; je mit Hinweisen). Er kann vorbringen, auf ein Rechtsmittel sei zu Unrecht nicht eingetreten worden, er sei nicht angehört worden, er habe keine Gelegenheit erhalten, Beweisanträge zu stellen, oder er habe keine Einsicht in die Akten nehmen können (sog. "Star-Praxis"; BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 5; 138 IV 78 E. 1.3 S. 79 f.; 120 Ia 157 E. 2a/bb S. 160; Urteil 6B_1048/2016 vom 24. März 2017 E. 1.1; je mit Hinweisen).
1.4. Die Beschwerdeführerin bringt ohne jegliche Begründung vor, der angefochtene Entscheid könne sich auf ihre Zivilansprüche auswirken. Aus welchen Gründen sich der angefochtene Entscheid inwiefern auf welche Zivilforderung auswirken könnte, legt sie nicht dar. Es ist auch nicht ohne Weiteres ersichtlich, um welche Zivilforderung es geht. Dies ist schon deshalb der Fall, weil allfällige Zivilansprüche gegen X._ voraussichtlich nicht losgelöst von möglichen Zivilansprüchen gegen Y._ und Z._ beurteilt werden könnten. Zu solchen Zivilansprüchen und zum Strafverfahren gegen diese beschuldigten Personen äussert sich die Beschwerdeführerin ebenfalls nicht. Damit fehlt es der Beschwerdeführerin an der Beschwerdelegitimation in der Sache. Betreffend die behauptete Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro duriore" bzw. den Einwand, die Staatsanwaltschaft habe das Verfahren zu Unrecht und in Verletzung von Art. 310 Abs. 1 lit. a StPO nicht an die Hand genommen, kann auf die Beschwerde deshalb nicht eingetreten werden.
2.
2.1. Die Beschwerdeführerin rügt weiter eine Verletzung ihres rechtlichen Gehörs. Sie habe nie die Möglichkeit einer Teilnahme an einer Beweiserhebung, beispielsweise an der Befragung der beschuldigten Person, erhalten. Die Staatsanwaltschaft habe nicht unmittelbar im Anschluss an die Einreichung der Strafanzeige eine Nichtanhandnahmeverfügung erlassen. Die Abteilung Wirtschaftsdelikte der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt habe Ermittlungshandlungen vorgenommen, indem sie sie sowie die beschuldigte Person befragt habe. Diese Einvernahmen seien als polizeiliche bezeichnet worden, obwohl nicht die Polizei gestützt auf Art. 309 Abs. 2 StPO mit Ermittlungen betraut worden sei, sondern die Staatsanwaltschaft selber ermittelt habe. Mangels eines in der Strafprozessordnung vorgesehenen Vorabklärungsverfahrens durch die Staatsanwaltschaft sei diese Vorgehensweise bundesrechtswidrig. Ohne eine formelle Eröffnung nach Art. 309 Abs. 1 StPO sei es nicht zulässig, dass eine staatsanwaltschaftliche Behörde selber ermittle. Der vorinstanzliche Entscheid sei wegen Verletzung von Art. 309 Abs. 4 StPO aufzuheben.
2.2. Diese Rüge lässt sich von einer materiellen Überprüfung des angefochtenen Entscheids trennen. Die Beschwerdeführerin kritisiert mit ihren Vorbringen den angefochtenen Entscheid auch in verfahrensrechtlicher Hinsicht und macht eine formelle Rechtsverweigerung geltend. Damit liegt eine Rüge formeller Natur vor, auf welche trotz fehlender Legitimation der Beschwerdeführerin in der Sache selbst einzutreten ist.
2.3. Die Vorinstanz erwägt in formeller Hinsicht, die Abteilung Wirtschaftsdelikte der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt sei nach § 9 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 13. Oktober 2010 über die Einführung der Schweizerischen Strafprozessordnung (EG StPO/BS; SGS 257.100) zur Durchführung eines polizeilichen Ermittlungsverfahrens befugt, weshalb die Frage, ob es sich noch um ein Ermittlungsverfahren oder bereits um eine Untersuchung handle, nicht davon abhängen könne, ob die Staatsanwaltschaft involviert sei. Die von der Beschwerdeführerin geltend gemachte Verletzung von Art. 309 Abs. 4 StPO sei daher nicht gegeben (angefochtener Entscheid, E. 2.3).
2.4.
2.4.1. Aus den vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen und den Untersuchungsakten ergibt sich, dass B._, Kriminalkommissär der Abteilung Wirtschaftsdelikte der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt, am 26. Februar 2016 die Beschwerdeführerin und am 16. August 2016 die beschuldigte Person einvernahm, nachdem Erstere bei der Staatsanwaltschaft am 17. November 2015 eine Strafanzeige eingereicht und diese am 24. Dezember 2015 auf entsprechende Aufforderung hin ergänzt hatte. Die Befragungen durch B._ wurden in den Einvernahmeprotokollen als polizeiliche Einvernahmen im polizeilichen Ermittlungsverfahren bezeichnet. Zu prüfen ist, ob die am 19. August 2016 verfügte Nichtanhandnahme noch zulässig war.
2.4.2. Die Aufgabenteilung zwischen Polizei und Staatsanwaltschaft im Vorverfahren ergibt sich u.a. aus Art. 15 f. und Art. 299 ff. StPO. Das Vorverfahren besteht aus dem Ermittlungsverfahren der Polizei und der Untersuchung der Staatsanwaltschaft (Art. 299 Abs. 1 StPO). Nach Art. 306 Abs. 1 StPO stellt die Polizei im Ermittlungsverfahren auf der Grundlage von Anzeigen, Anweisungen der Staatsanwaltschaft oder eigenen Feststellungen den für eine Straftat relevanten Sachverhalt fest. Sie hat namentlich geschädigte und tatverdächtige Personen zu ermitteln und zu befragen (Art. 306 Abs. 2 lit. b StPO). Die Staatsanwaltschaft eröffnet u.a. dann eine Untersuchung, wenn sich aus den Informationen und den Berichten der Polizei, aus der Strafanzeige oder aus ihren eigenen Feststellungen ein hinreichender Tatverdacht ergibt oder wenn sie Zwangsmassnahmen anordnet (vgl. Art. 309 Abs. 1 lit. a-c StPO). Die eröffnete Untersuchung nach Art. 308 ff. StPO ist grundsätzlich durch die Staatsanwaltschaft selber bzw. in ihrem Auftrag nach Art. 312 StPO zu führen. Wurden bereits Untersuchungshandlungen vorgenommen, die grundsätzlich nach der Eröffnung des Strafverfahrens zu tätigen sind, hat die Staatsanwaltschaft, wenn sie zur Überzeugung kommt, dass kein Straftatbestand erfüllt ist, das Verfahren durch Einstellung nach Art. 319 StPO und nicht durch Nichtanhandnahme nach Art. 310 StPO abzuschliessen. Dies ist zum Beispiel bei einem Aktenbeizug im Sinne von Art. 194 StPO der Fall (Urteil 1B_731/2012 vom 8. Februar 2013 E. 2). Anders verhält es sich bei der blossen Erteilung eines Ermittlungsauftrags an die Polizei nach Art. 307 Abs. 2 StPO. Eine Nichtanhandnahme des Strafverfahrens ist auch nach einem polizeilichen Ermittlungsverfahren im Sinne von Art. 306 f. StPO noch zulässig (Urteile 6B_617/2016 vom 2. Dezember 2016 E. 3.2.2; 6B_544/2016 vom 17. November 2016 E. 3.1; 6B_271/2016 vom 22. August 2016 E. 2.1).
2.4.3. Die Kantone bestimmen Wahl, Zusammensetzung, Organisation und Befugnisse der Strafbehörden (Art. 14 Abs. 2 StPO). Die Strafprozessordnung geht von einem funktionellen Polizeibegriff aus. Es obliegt der Ausführungsgesetzgebung von Bund und Kantonen zu bestimmen, welche Behörde "Polizei" ist und welche weiteren Behörden bzw. Personen polizeiliche Befugnisse nach der StPO ausüben (Andreas J. Keller, in: Kommentar zur Schweizerischen Strafprozessordnung [StPO], Donatsch/Hansjakob/Lieber [Hrsg.], 2. Aufl. 2014, N. 2 zu Art. 15 StPO; Niklaus Schmid, Schweizerische Strafprozessordnung [StPO], Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 4 ff. zu Art. 15 StPO). Eine administrative Integrierung oder Angliederung der Kriminalpolizei in bzw. an die Staatsanwaltschaft ist möglich (Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1136 Ziff. 2.2.1.2; Andreas J. Keller, a.a.O., N. 22 zu Art. 15 StPO).
2.4.4. Im Kanton Basel-Stadt führt nach § 9 EG StPO/BS u.a. die Abteilung Wirtschaftsdelikte als Abteilung der Staatsanwaltschaft das polizeiliche Ermittlungsverfahren. Nach § 10 EG StPO/BS sind u.a. Kriminalkommissäre der Abteilung Wirtschaftsdelikte befugt, polizeiliche Handlungen vorzunehmen und Zwang auszuüben. Die Auslegung und Anwendung kantonalen Rechts überprüft das Bundesgericht - von hier nicht relevanten Ausnahmen abgesehen - nur auf Willkür und Vereinbarkeit mit anderen bundesverfassungsmässigen Rechten (vgl. Art. 95 BGG; BGE 141 I 105 E. 3.3.1 mit Hinweisen). Eine Willkürrüge muss in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft hingegen frei, ob die von der Vorinstanz angewandte kantonale Norm zu einer Verletzung von Bundesrecht führt (vgl. Art. 95 lit. a BGG; BGE 138 IV 13 E. 2).
2.4.5. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit den vorinstanzlichen Erwägungen in formeller Hinsicht (angefochtener Entscheid, E. 2.1 ff.) nicht auseinander und legt nicht dar, inwiefern die vorinstanzliche Auslegung oder Anwendung von § 9 EG StPO/BS willkürlich sein soll. Dies ist auch nicht ersichtlich. Zu Recht erwägt die Vorinstanz unter Anwendung von § 9 EG StPO/BS, dass für die Frage, ob es vorliegend bei polizeilichen Ermittlungen blieb oder ob es bereits zu Untersuchungshandlungen kam, nicht relevant ist, ob die Staatsanwaltschaft involviert war. Die Abteilung Wirtschaftsdelikte ist eine Abteilung der Staatsanwaltschaft. Im Kanton Basel-Stadt führt nach § 9 EG StPO/BS jedoch diese das polizeiliche Ermittlungsverfahren. Da die Abteilung Wirtschaftsdelikte nicht mit Polizei bezeichnet wird, kann dies angesichts der Aufgabenteilung zwischen Polizei und Staatsanwaltschaft gemäss der Strafprozessordnung zu Missverständnissen führen. Ausgehend vom funktionellen Polizeibegriff ist die Abteilung Wirtschaftsdelikte jedoch eine polizeiliche Behörde, wenn deren Kriminalkommissäre wie vorliegend Befragungen im Rahmen von polizeilichen Ermittlungen durchführen. Da die administrative Integrierung oder Angliederung der Kriminalpolizei in bzw. an die Staatsanwaltschaft möglich ist (Botschaft vom 21. Dezember 2005 zur Vereinheitlichung des Strafprozessrechts, BBl 2006 1136 Ziff. 2.2.1.2, mit explizitem Hinweis auf den Kanton Basel-Stadt als Musterbeispiel), verletzt § 9 EG StPO/BS kein Bundesrecht. Die Verfügung einer Nichtanhandnahme nach den genannten polizeilichen Ermittlungen war somit zulässig. Die Abteilung Wirtschaftsdelikte bzw. der Kriminalkommissär hat ferner auch keine Handlungen vorgenommen, die über die polizeilichen Ermittlungsmassnahmen hinausgehen. An Hinweisen, dass die Staatsanwaltschaft offensichtlich bereits Untersuchungshandlungen vornahm oder nach Art. 309 StPO zwingend eine Untersuchung hätte eröffnen müssen, fehlt es ebenfalls.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Weber