Erwägungen:
1.
1.1. C._ erhob in der von der B._ AG, nunmehr A._ AG, beim Betreibungsamt Arth eingeleiteten Betreibung xxx (Zahlungsbefehl vom 20. Mai 2016; Forderungsbetrag Fr. 2'591.95 sowie Verzugsschaden von Fr. 308.05) am 27. Mai 2016 Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens im Sinne von Art. 75 Abs. 2 SchKG. Das Bezirksgericht Schwyz, welchem der Rechtsvorschlag vorgelegt wurde, lud beide Parteien am 21. Juni 2016 auf den 2. August 2016 zur Verhandlung vor und drohte an, das Verfahren bei Säumnis beider Parteien als gegenstandslos abzuschreiben und die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen. In der Folge schrieb das Bezirksgericht Schwyz (Einzelrichter) am 2. August 2016 das Verfahren wegen Säumnis beider Parteien als gegenstandslos ab und auferlegte die Spruchgebühr von Fr. 50.-- den Parteien je zur Hälfte.
1.2. Hiergegen gelangte A._ AG mit Beschwerde an das Kantonsgericht Schwyz und verlangte im Wesentlichen, der Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens gemäss Art. 265a SchKG sei nicht zu bewilligen. Das Kantonsgericht wies die Beschwerde mit Beschluss vom 16. Januar 2017 ab.
1.3. Mit Eingabe vom 20. Februar 2017 hat A._ AG Beschwerde in Zivilsachen/subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Die Beschwerdeführerin verlangt, der kantonsgerichtliche Entscheid sei aufzuheben und der von C._ (Beschwerdegegner) erhobene Rechtsvorschlag mangels neuen Vermögens gemäss Art. 265a SchKG sei nicht zu bewilligen.
1.4. Mit (unaufgeforderter) Eingabe vom 1. März 2017 sowie Vernehmlassung vom 21. August 2017 teilt der Beschwerdegegner (unter Beilage der Abrechnung des Betreibungsamtes Arth vom 13. Februar/ 1. März 2017) mit, dass er die Betreibungsforderung bezahlt habe.
1.5. In der Stellungnahme vom 4. September 2017 bestätigt die Beschwerdeführerin die Bezahlung der Betreibungsforderung durch den Beschwerdegegner. Der Entscheid über die Folgen bei Säumnis beider Parteien im Verfahren betreffend Bewilligung des Rechtsvorschlages mangels neuen Vermögens bzw. der Kostenentscheid sei indes "nach wie vor ausstehend", weshalb die Vorbringen des Beschwerdegegners nicht relevant seien.
2.
2.1. Erhebt der Schuldner Rechtsvorschlag mit der Begründung, er sei nicht zu neuem Vermögen gekommen, so legt das Betreibungsamt den Rechtsvorschlag dem Richter des Betreibungsortes vor. Dieser hört die Parteien an und entscheidet; gegen den Entscheid ist kein Rechtsmittel zulässig. Der Richter bewilligt den Rechtsvorschlag, wenn der Schuldner seine Einkommens- und Vermögensverhältnisse darlegt und glaubhaft macht, dass er nicht zu neuem Vermögen gekommen ist (Art. 265a Abs. 1 und 2 SchKG). Nur die Bewilligung des Rechtsvorschlages führt zur Einstellung der Betreibung (Art. 78 Abs. 1 SchKG; BGE 126 III 110 E. 1b). Im vorliegenden Fall ist unstrittig und geht aus den Akten (Abrechnung des Betreibungsamtes Arth) hervor, dass der Beschwerdegegner den Endbetrag der Betreibungsforderung (inklusive Betreibungs- und Inkassokosten) bezahlt hat. Ein Schuldner kann auf seine Rechtsvorschlagserklärung bzw. Einrede des fehlenden neuen Vermögens verzichten (BGE 130 III 678 E. 2.2) oder diese zurückziehen, wobei die Bezahlung der Betreibungsforderung als Rückzug gilt, weil er damit zu erkennen gibt, dass er das Betreibungsrecht des Gläubigers nicht mehr bestreiten will (vgl. BGE 77 III 5 S. 7). Die Betreibung wird durch Bezahlung an das Betreibungsamt zudem zum Erlöschen gebracht (vgl. Art. 12 SchKG; BGE 74 III 23 S. 25). Mit Blick auf die konkret eingetretene Sachlage ist ein fortbestehendes Rechtsschutzinteresse an der Streitsache zu verneinen und das bundesgerichtliche Verfahren infolge Gegenstandslosigkeit abzuschreiben (Art. 32 Abs. 2 BGG; Art. 71 BGG i.V.m. Art. 72 BZP).
2.2. Erklärt das Bundesgericht einen Rechtsstreit als erledigt, entscheidet es mit summarischer Begründung über die Prozesskosten aufgrund der Sachlage vor Eintritt des Erledigungsgrundes (Art. 71 BGG i.V.m. Art. 72 BZP). Bei der Beurteilung der Kosten- und Entschädigungsfolgen ist somit in erster Linie auf den mutmasslichen Ausgang des Prozesses abzustellen (BGE 125 V 373 E. 2a). Dabei geht es nicht darum, die Prozessaussichten im Einzelnen zu prüfen und dadurch weitere Umtriebe zu verursachen (u.a. Verfügung 2C_201/2008 vom 14. Juli 2008 E. 2.3).
2.2.1. Gegen den Entscheid nach Art. 265a Abs. 1 SchKG kann gegen die Kostenverteilung zwar Beschwerde nach Art. 319 ff. ZPO - wie hier von der Beschwerdeführerin beim Kantonsgericht - erhoben werden (BGE 138 III 130 E. 2.2). Allerdings stellt sich die Frage, ob gegen den vorinstanzlichen Entscheid - da der Streitwert von Fr. 30'000.-- nicht erreicht wird - die Beschwerde in Zivilsachen zulässig ist, weil - wie die Beschwerdeführerin behauptet - eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung vorliegt (Art. 74 Abs. 1 lit. b und Abs. 2 lit. a BGG), oder ob lediglich die subsidiäre Verfassungsbeschwerde zulässig und die Kognition im vorliegenden Fall auf die Prüfung der Verletzung verfassungsmässiger Rechte beschränkt ist (Art. 116 BGG).
2.2.2. Die Vorinstanz hat im Wesentlichen die Anwendbarkeit von Art. 234 ZPO im summarischen Verfahren zur Bewilligung des Rechtsvorschlages mangels neuen Vermögens als anwendbar erklärt (unter Hinweis auf SCHEIWILLER, Säumnisfolgen nach der Schweizerischen Zivilprozessordnung, 2016, Rz. 495 f. mit weiteren Hinweisen auf abweichende Meinungen) und damit die Säumnisfolgen nach Abs. 2 von Art. 234 ZPO - Gegenstandslosigkeit des Verfahrens und hälftige Kostenauferlegung im Falle der Säumnis beider Parteien - als massgebend betrachtet.
2.2.3. Entgegen der Meinung der Beschwerdeführerin muss der Entscheid nach Art. 265a Abs. 1 SchKG laut Lehre nicht zwingend mit einer Bewilligung oder Nichtbewilligung des Rechtsvorschlages enden (vgl. den vorinstanzlichen Hinweis auf VOCK/MÜLLER, SchKG-Klagen nach der Schweizerischen ZPO, 2012, S. 105, betreffend Nichteintreten). Eine Erörterung der Auffassung, auf welche sich das Kantonsgericht im Fall der Säumnis beider Parteien gestützt hat, und eine Auseinandersetzung mit anderen Lehrmeinungen bedürfte indes einer eingehender Prüfung; zudem müsste vorab über die Kognition entschieden werden (vgl. E. 2.2.1), mit welcher das Abstellen auf die (umstrittene) Lehrmeinung zu beurteilen wäre.
2.2.4. Der mutmassliche Ausgang des Verfahrens lässt sich im konkreten Fall nicht ohne weiteres feststellen. Da vorliegend die Beschwerdeführerin das gegenstandslos gewordene bundesgerichtliche Verfahren veranlasst hat, indes beim Beschwerdegegner die Gründe eingetreten sind, die zur Gegenstandslosigkeit des Verfahrens geführt haben, rechtfertigt es sich, von der Erhebung von Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren abzusehen und zufolge Wettschlagung keine Parteientschädigung zuzusprechen (vgl. Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach verfügt die Einzelrichterin:
1.
Das Verfahren wird als gegenstandslos abgeschrieben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen gesprochen.
4.
Diese Verfügung wird den Parteien und dem Kantonsgericht Schwyz, Beschwerdekammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. November 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Einzelrichterin: Escher
Der Gerichtsschreiber: Levante