Sachverhalt:
A.
A.a. A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern von C._ (geboren 2011). B._ ist zurzeit Inhaberin der alleinigen elterlichen Sorge über C._, der seit dem 12. Dezember 2011 einen Erziehungsbeistand hat.
A.b. C._ lebte nach seiner Geburt bei seiner Mutter. Mit Entscheid vom 30. März 2015 entzog die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Region Solothurn (fortan: KESB) B._ wegen ihrer chronischen Substanzabhängigkeit und der damit verbundenen Unfähigkeit, ihren Sohn adäquat zu betreuen und zu versorgen, das Aufenthaltsbestimmungsrecht über C._ und brachte diesen im Kinderheim "D._" unter. Am 17. März 2016 wurde C._ in die Institution E._ in U._ umplatziert.
A.c. A._ befand sich im Zusammenhang mit einem Asylverfahren während gut zwei Jahren - von Juni 2014 bis Ende Juni 2016 - an verschiedenen Orten in Ausschaffungshaft. In dieser Zeit war sein Kontakt zu C._ unterbrochen. Nach der Entlassung vom 28. Juni 2016 besuchte A._ seinen Sohn zweimal: am 1. September 2016 und im Oktober 2016. Er hat zurzeit keinen Aufenthaltstitel, wohl aber ist ein Bewilligungsverfahren hierfür hängig.
B.
B.a. Mangels Einigung mit der Kindesmutter beantragte A._ der KESB am 24. Juni 2015 während der Ausschaffungshaft zunächst die Anordnung der gemeinsamen elterlichen Sorge, am 9. September 2015 dann auch die Herstellung des persönlichen Verkehrs zu C._.
B.b. Am 25. Februar 2016 wies die KESB den Antrag auf Herstellung des persönlichen Verkehrs ab und am 16. Juni 2016 auch den Antrag auf Anordnung der gemeinsamen elterlichen Sorge. Die Abweisung des Antrags auf Herstellung des persönlichen Verkehrs blieb unangefochten.
B.c. Mit Schreiben vom 22. Juli 2016 erhob A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn Beschwerde gegen die Verweigerung der elterlichen Sorge. Sein Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Beschwerdeverfahren wurde am 26. Juli 2016 wegen Aussichtslosigkeit abgewiesen.
B.d. Am 15. Februar 2017 wies das Verwaltungsgericht sowohl die Beschwerde als auch das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung ab, unter Auferlegung der Verfahrenskosten.
C.
C.a. Dagegen hat A._ (Beschwerdeführer) am 20. März 2017 Beschwerde erhoben. Er beantragt die Aufhebung des erwähnten Urteils und den Zuspruch der gemeinsamen elterlichen Sorge. Ferner verlangt er für das kantonale Beschwerdeverfahren und für das Verfahren vor Bundesgericht die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Eventualiter zur Anordnung der gemeinsamen Sorge beantragt er in der Beschwerdebegründung auch die Rückweisung an die Vorinstanz zur Neubeurteilung.
C.b. Mit nachträglicher Eingabe vom 24. März 2017 reichte der Beschwerdeführer eine E-Mail der Institution E._ ein.
C.c. Die Vorakten wurden eingeholt. Das Verwaltungsgericht und die KESB haben auf eine Vernehmlassung verzichtet. Die Beschwerdegegnerin hat sich nicht vernehmen lassen.
D.
Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 14. Dezember 2017 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.
Erwägungen:
1.
1.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht über eine öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht entschieden hat (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6, 75 Abs. 1 und 90 BGG). Die Streitsache ist nicht vermögensrechtlicher Natur. Die Beschwerde in Zivilsachen ist damit grundsätzlich gegeben. Der Beschwerdeführer ist gemäss Art. 76 Abs. 1 BGG zur Beschwerde berechtigt und die Beschwerdefrist ist eingehalten (Art. 100 Abs. 1 BGG). Insofern kann auf die Beschwerde eingetreten werden.
1.2. In rechtlicher Hinsicht sind alle Rügen gemäss Art. 95 f. BGG zulässig. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG) und prüft dessen Anwendung frei, allerdings unter Vorbehalt der allgemeinen Begründungsanforderungen (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) und grundsätzlich nur für die geltend gemachten Rügen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 140 III 115 E. 2). Bei der Überprüfung von Ermessensentscheiden (Art. 4 ZGB) auferlegt es sich aber Zurückhaltung. Es schreitet nur ein, wenn die kantonale Instanz grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgewichen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 142 III 617 E. 3.2.5; 132 III 97 E. 1; 131 III 12 E. 4.2; 128 III 161 E. 2c/aa; Urteil 5A_22/2016 vom 2. September 2016 E. 2).
1.3. Demgegenüber legt das Bundesgericht seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). In diesem Bereich kann lediglich eine offensichtlich unrichtige, d.h. willkürliche Sachverhaltsfeststellung gerügt werden, wobei das strenge Rügeprinzip gilt (Art. 97 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.3). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2). Will der Beschwerdeführer die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn er den Sachverhalt aus seiner eigenen Sicht darlegt und die davon abweichenden Feststellungen im angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er neben der Erheblichkeit der gerügten Tatsachenfeststellung im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2).
Für die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (inkl. Willkür) gilt ebenfalls das Rügeprinzip (BGE 133 II 249 E. 1.4.2).
1.4. Mit der Beschwerde in Zivilsachen darf der Beschwerdeführer keine neuen Tatsachen und Beweismittel vorbringen, es sei denn, erst der Entscheid der Vorinstanz habe dazu Anlass gegeben (Art. 99 Abs. 1 BGG). Diese Voraussetzung ist von vornherein nicht erfüllt, soweit eine Tatsache sich zwar auf das vorinstanzliche Prozessthema bezieht, jedoch erst nach dem Zeitpunkt eingetreten ist, in welchem sie im vorinstanzlichen Verfahren letztmals hätte berücksichtigt werden können (sog. "echte" Noven). Gleiches gilt auch für Beweismittel, die erst nach dem angefochtenen Entscheid erstellt wurden (BGE 135 I 221 E. 5.2.4; 133 IV 342 E. 2.1). Die vom Beschwerdeführer mit der Beschwerde und der nachträglichen Eingabe eingereichten Beilagen 3-5 zur Kontaktsituation im Verhältnis zu C._ sind nach dem angefochtenen Urteil entstanden und daher nicht zu berücksichtigen. Unbeachtlich sind ferner seine neuen Behauptungen zur eigenen Aufenthaltssituation, soweit sie über die Feststellungen der Vorinstanz hinausgehen.
2.
Auf den 1. Juli 2014 ist die Gesetzesnovelle zur elterlichen Sorge (AS 2014 357 ff., 363) in Kraft getreten. Gestützt darauf hat der Beschwerdeführer als Vater fristgemäss den übergangsrechtlichen Wechsel von der Alleinsorge der Mutter zur gemeinsamen Sorge beider unverheirateter Eltern über C._ beantragt.
2.1. Verweigert die Mutter - wie hier - ihre Zustimmung, so kann sich der Vater an die KESB wenden. Diese verfügt gemäss dem sinngemäss anwendbaren Art. 298b Abs. 2 ZGB (Art. 12 Abs. 4 SchlT ZGB) die gemeinsame elterliche Sorge (Art. 296 Abs. 2 ZGB), sofern nicht zur Wahrung des Kindeswohls an der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter festzuhalten ist.
2.2. Auch für den übergangsrechtlichen Wechsel bildet die gemeinsame elterliche Sorge die Regel und die Alleinzuteilung derselben bzw. die Belassung der alleinigen elterlichen Sorge die eng begrenzte Ausnahme, die nur zulässig ist, wenn das Kindeswohl sie gebietet (zuletzt: Urteil 5A_499/2016 vom 30. März 2017 E. 2.3). Die bloss sinngemässe Anwendung von Art. 298b Abs. 2 ZGB (Art. 12 Abs. 4 SchlT ZGB) erfordert eine Beurteilung des Sachverhalts, wie wenn das Kind erst nach dem Inkrafttreten zur Welt gekommen wäre, wobei Änderungen seit der Geburt zur Wahrung des Kindeswohls zu berücksichtigen sind (Botschaft vom 16. November 2011 zu einer Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Elterliche Sorge], BBl 2011 9109 f., Ziff. 2.1).
3.
In tatsächlicher Hinsicht stellte die Vorinstanz fest, dass der Beschwerdeführer im Rahmen seines Asylverfahrens von Juni 2014 bis 28. Juni 2016 in Ausschaffungshaft war und während dieser Zeit keinen persönlichen Kontakt zu seinem Sohn gehabt habe. Beim letzten Besuch sei das Kind noch nicht ganz dreijährig gewesen. Nach seiner Ausschaffung und Wiedereinreise in die Schweiz habe er das Kind zweimal gesehen: am 1. September und im Oktober 2016. Nachdem er seinen Sohn über zwei Jahre nicht gesehen und erst seit kurzem wieder Kontakt zu ihm habe, könne er dessen aktuelle Bedürfnisse gar nicht kennen und somit keine grundlegenden Entscheidungen für sein Kind treffen. Durch die Errichtung eines Besuchsrechts sei die Vater-Sohn-Beziehung behutsam auf- und auszubauen. Für C._ gehe es aber in erster Linie darum, im geschützten Rahmen der E._ Sicherheit und Stabilität zu finden. Im jetzigen Zeitpunkt widerspreche der Antrag auf Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge rechtlich dem Kindeswohl.
4.
4.1. In prozessualer Hinsicht bemängelt der Beschwerdeführer, dass kein Gutachten eingeholt worden sei. Damit habe die Vorinstanz die Offizial- und Untersuchungsmaxime sowie "die Grundsätze der Beweiserhebung und -würdigung" verletzt. Er setzt sich indes mit der Begründung der Vorinstanz für die Ablehnung des Beweisantrags (die Zeugenbefragung sei unsubstanziert und das Gutachten nicht erforderlich) nicht auseinander, so dass die Beschwerde in diesem Punkt weder den allgemeinen Begründungsanforderungen genügt (E. 1.2) noch den besonderen betreffend die Sachverhaltsfeststellung (E. 1.3). Auf die Rüge betreffend das Nichteinholen eines Gutachtens ist nicht einzutreten. Dasselbe gilt für die bloss behauptete, aber nicht weiter begründete Verletzung der Offizial- und Untersuchungsmaxime sowie der nicht näher bestimmten "Grundsätze der Beweiserhebung und -würdigung".
4.2. In tatsächlicher Hinsicht macht der Beschwerdeführer geltend, er habe bereits vor der Ausschaffungshaft Verantwortung für C._ übernommen und ihn wöchentlich besucht, letztmals im Juni 2014. Damit habe er den von ihm verlangten Tatbeweis längst erbracht. Es gehe um eine Wiederaufnahme des Kontakts, nicht um den Aufbau. Diesbezüglich schildert der Beschwerdeführer, soweit mit Blick auf das Novenrecht beachtlich (E. 1.4), eine Intensivierung der Kontakte seit seiner Haftentlassung und meint, es sei nicht zutreffend, dass er die aktuellen Bedürfnisse seines Sohnes nicht kenne. Die Gründe für den Kontaktunterbruch während der Haft sieht er vorab im Verhalten des Beistands. Ferner rügt er, die Beweiswürdigung der Vorinstanz sei willkürlich, weil sie einseitig auf die Angaben des Beistands abstelle, der eine fehlende Vater-Sohn-Beziehung erwähne, aber die Aufnahme einer solchen dauernd verhindert habe. Im Zusammenhang mit dem beantragten Gutachten rügt er auch, die Sachverhaltsermittlung sei unvollständig und willkürlich.
Die Rügen des Beschwerdeführers zur Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz vermögen keine Willkür zu begründen. Der gut zweijährige Kontaktunterbruch während der Ausschaffungshaft ist unbestritten. Wer diesen zu vertreten hat, ist unter Kindeswohlgesichtspunkten nicht entscheidend, daher auch der Sachverhalt hierzu, namentlich das Verhalten des Beistands und des Beschwerdeführers in dieser Zeit. Was vor dem Unterbruch war, ist nicht mehr aktuell. Die behauptete Kontaktintensivierung in der Zeit danach stützt sich auf unzulässige neue Vorbringen (E. 1.4). Es bleiben die beiden Besuche vom 1. September und im Oktober 2016. Die Vorinstanz hat aus dem Unterbruch und den wenigen Besuchen gefolgert, der Beschwerdeführer kenne die aktuellen Bedürfnisse seines Sohnes nicht. Mit der Behauptung des Gegenteils lässt sich keine Willkür dartun; das blosse Bestreiten der Schlussfolgerung genügt den besonderen Begründungsanforderungen für die Willkürrüge (E. 1.3) nicht. Damit bleibt es beim Sachverhalt, wie ihn die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG).
4.3. In rechtlicher Hinsicht bestreitet der Beschwerdeführer eine Beeinträchtigung des Kindeswohls bei einem Wechsel zur gemeinsamen Sorge. Die Anwendung von Art. 296 ff. ZGB sei falsch und willkürlich, denn dem angefochtenen Urteil liege das Fehlen einer Vater-Sohn-Beziehung zu Grunde, was den Tatsachen widerspreche. Die Gewichtung des fehlenden Kontakts während der Ausschaffungshaft und des Aufenthaltsstatus sei unzulässig bzw. unverhältnismässig im Verhältnis zu seinen Bemühungen um Wiederaufnahme des Kontakts, die am Widerstand des Beistands gescheitert seien. Der Beistand habe den Kontaktabbruch zu vertreten, nicht er, und die Ausschaffungshaft sei unfreiwillig gewesen; dafür dürfe er nicht bestraft werden. Sein Aufenthaltsstatus spreche nicht gegen das gemeinsame Sorgerecht. Dass er nicht in der Lage sei, mit der Kindesmutter einvernehmliche Entscheide für C._ zu fällen, gehe fehl. Wenn schon liege es an der drogenabhängigen Mutter. Es sei widersprüchlich und willkürlich bzw. verletze die Rechtsgleichheit, ihm die Sorge zu verweigern, sie ihr aber zu belassen. Im Ergebnis sei nicht einzusehen, dass das Kindeswohl durch die gemeinsame elterliche Sorge gefährdet werde. Die Verweigerung der elterlichen Sorge bewirke eine Entfremdung. Die gemeinsame Sorge sei das geeignetste Mittel, um die Wiederaufnahme und Fortsetzung der Vater-Sohn-Beziehung zu fördern.
Die rechtlichen Rügen des Beschwerdeführers treffen nicht zu. Die Vorinstanz erwog zu Recht, dass der Beschwerdeführer die Bedürfnisse von C._ kennen müsse, um in gemeinsamer Verantwortung grundlegende Entscheide (Art. 301 ff. ZGB) für seinen Sohn treffen zu können. Der Kenntnisstand des Beschwerdeführers über die Bedürfnisse seines Sohnes ist ein sachgerechtes Kriterium für den Ermessensentscheid, ob eine gemeinsame Sorge im Kindeswohl ist. Die Berücksichtigung des Kriteriums steht auch im Einklang mit der bisherigen Rechtsprechung. BGE 142 III 197 setzt nämlich für die gemeinsame elterliche Sorge - neben einem Mindestmass an Übereinstimmung der Eltern in Bezug auf die Kinderbelange - einen informationellen und physischen Zugang des Antrag stellenden Elternteils zum Kind voraus (Regeste). Wer über diesen Zugang nicht verfügt, kann nicht im Kindeswohl entscheiden, auch nicht in gemeinsamer Sorge. Das Fehlen des Zugangs bei einem Elternteil ist ein Verweigerungsgrund für die gemeinsame elterliche Sorge, auch wenn es nicht auf einem Elternkonflikt beruht (vgl. etwa BGE 142 III 1 E. 3.3, der diesen Konflikt nur "insbesondere" erwähnt, nicht als einziges Kriterium).
Die Ausgangslage des Beschwerdeführers ist anders als beim Vater eines Neugeborenen, der die Bedürfnisse seines Kindes zwangsläufig noch gar nicht kennen und trotzdem Inhaber des gemeinsamen Sorgerechts sein kann. Bei der Beurteilung des übergangsrechtlichen Antrags des Beschwerdeführers auf gemeinsame Sorge sind die Kinderbedürfnisse bereits bekannt und der eingeschränkte Kenntnisstand des Beschwerdeführers ebenfalls. Es liegt daher eine seit der Geburt von C._ veränderte Situation vor, die im Kindeswohl zu berücksichtigen ist (E. 2.2).
Gemäss dem willkürfrei festgestellten Sachverhalt tritt der Beschwerdeführer nach rund zweijährigem Kontaktunterbruch gleichsam neu in das Leben seines Sohnes ein, ohne dessen Bedürfnisse zu kennen. Zurzeit ist der Beschwerdeführer daher seiner Aufgabe als Vater, der im Wohl des Kindes entscheiden muss, nicht gewachsen. Aus der Schlussfolgerung der Vorinstanz, im jetzigen Zeitpunkt widerspreche der Antrag auf Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge dem Kindeswohl, ergibt sich kein Ermessensfehler.
Liegt eine gemeinsame Sorge schon wegen der Unkenntnis des Beschwerdeführers über die Bedürfnisse seines Sohnes nicht im Kindeswohl, dann erübrigt sich die Prüfung, wie das Zusammenwirken des Vaters mit der Mutter in gemeinsamer Sorge wäre. Insbesondere kann und muss im vorliegenden Sonderfall, der das Vater-Sohn-Verhältnis betrifft, keine tatsachenbasierte Prognose über das Zusammenwirken der Eltern und dessen Auswirkungen auf das Kind (dazu etwa: Urteil 5A_903/2016 vom 17. Mai 2017 E. 4.1) erstellt werden.
Im Ergebnis ist die rechtliche Schlussfolgerung der Vorinstanz, dass der Wechsel zur gemeinsamen Sorge dem Kindeswohl jedenfalls zurzeit widerspreche, nicht zu beanstanden; eine Verletzung der Art. 296 ff. ZGB liegt nicht vor.
4.4. Schliesslich macht der Beschwerdeführer eine Verletzung des Rechts auf ein Familienleben (Art. 13 f. BV und Art. 8 EMRK), des Verhältnismässigkeitsgebots (Art. 5 und Art. 36 BV), des Rechtsgleichheitsgebots (Art. 8 BV) und des Willkürverbots (Art. 9 BV) geltend. Er legt indes nicht dar, inwiefern den Art. 13 BV bzw. Art. 8 EMRK im Verhältnis zur gesetzlichen Regelung des elterlichen Sorgerechts bzw. Art. 296 ff. ZGB eine eigenständige Bedeutung zukommt und andere oder weitergehende Rechte einräumen; darauf ist nicht einzutreten. Im Übrigen hindert das angefochtene Urteil den Beschwerdeführer nicht, den persönlichen Kontakt mit seinem Sohn weiter zu intensivieren, sich um Informationen über seinen Sohn zu bemühen und sich zu wichtigen Entscheiden betreffend C._ zu äussern (Art. 275a ZGB).
Ganz abgesehen davon, dass Art. 8 BV keine horizontale Drittwirkung entfaltet, ist unerfindlich und bleibt unbegründet, inwiefern das Rechtsgleichheitsgebot betroffen sein soll. Dass bei bundesrechtskonformer Gesetzesanwendung weder das Verhältnismässigkeitsgebot noch das Willkürverbot verletzt sein kann, bedarf keiner weiteren Begründung. Auf diese Rügen ist nicht einzutreten.
4.5. Bei diesem Ausgang des Verfahrens braucht sich das Bundesgericht nicht zur Frage zu äussern, ob der unsichere Aufenthaltsstatus des Beschwerdeführers (Bst. A.c) und der Gesundheitszustand der Beschwerdegegnerin (Bst. A.b) Gründe für die Verweigerung des gemeinsamen Sorgerechts darstellen.
5.
Der Beschwerdeführer beanstandet den Entscheid der Vorinstanz auch insofern, als diese seinen Antrag auf unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das kantonale Beschwerdeverfahren abgewiesen hat.
Zwar erweist sich der angefochtene Entscheid in der Sache als bundesrechtskonform. Indessen kann nicht gesagt werden, dass der vom Beschwerdeführer im vorinstanzlichen Verfahren vertretene Standpunkt und die darauf gestützten Begehren geradezu aussichtslos waren. Ziffer 2 des angefochtenen Entscheids, welche die unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung für das vorinstanzliche Verfahren betrifft, ist daher aufzuheben und das diesbezügliche Gesuch gutzuheissen, unter Beigabe von Rechtsanwalt Lars Rindlisbacher als unentgeltlichem Rechtsbeistand. Als Folge davon sind auch die Ziffern 3 und 4 des angefochtenen Entscheids betreffend die Verlegung der vorinstanzlichen Prozesskosten aufzuheben. Die Sache wird zu neuem Entscheid über die Regelung der Prozesskosten und zur Festlegung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes an die Vorinstanz zurückgewiesen (Art. 107 Abs. 2 BGG).
6.
Aus den dargelegten Gründen ist die Beschwerde teilweise gutzuheissen (E. 5), im Übrigen aber abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist (E. 1 und E. 4).
Nachdem der Beschwerdeführer lediglich in einem Nebenpunkt obsiegt, sind ihm die anteilmässig gesenkten Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Bei der im Nebenpunkt unterliegenden Beschwerdegegnerin wird auf eine Kostenauflage verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Dem Kanton Solothurn, der in seinem amtlichen Wirkungskreis gehandelt hat, sind keine Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Der Kanton Solothurn hat keinen Anspruch auf eine Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden, und sie wird, nachdem sie lediglich in einem Nebenpunkt unterliegt, auch nicht zu einer Parteientschädigung an den Beschwerdeführer verpflichtet (Art. 68 Abs. 2 BGG).
7.
Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung sind gegeben. Das entsprechende Gesuch des Beschwerdeführers ist gutzuheissen und es ist ihm Rechtsanwalt Lars Rindlisbacher beizuordnen (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten werden vorläufig auf die Gerichtskasse genommen und Rechtsanwalt Rindlisbacher ist daraus angemessen zu entschädigen. Der Beschwerdeführer wird jedoch ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG aufmerksam gemacht, wonach die begünstigte Partei der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Die Ziffern 2-4 des Urteils des Verwaltungsgerichts des Kantons Solothurn vom 15. Februar 2017 werden aufgehoben und das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung für das Verfahren vor dem Verwaltungsgericht gutgeheissen, unter Beigabe von Rechtsanwalt Lars Rindlisbacher als unentgeltlichem Rechtsbeistand. Die Sache wird zu neuem Entscheid über die Regelung der Prozesskosten und der Festlegung der Entschädigung des unentgeltlichen Rechtsbeistandes an das Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren wird gutgeheissen und es wird dem Beschwerdeführer Rechtsanwalt Lars Rindlisbacher als Rechtsbeistand beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt, einstweilen jedoch auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Rechtsanwalt Lars Rindlisbacher wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 1'500.-- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Region Solothurn und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn schriftlich mitgeteilt, der KESB unter Beilage eines weiteren Exemplars für den Beistand von C._, geb. 2011.
Lausanne, 14. Dezember 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu