Erwägungen:
1.
1.1. Die Eheleute A.A._ und B.A._ geb. C._ (nachfolgend: die Steuerpflichtigen) sind in Olten/SO wohnhaft. Das Steueramt des Kantons Solothurn (nachfolgend: KStA/SO) veranlagte sie für die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn und die direkte Bundessteuer der Steuerjahre 2012, 2013 und 2014 nach pflichtgemässem Ermessen, nachdem die Steuerpflichtigen die Steuererklärungen nicht vollständig (2012) bzw. gar nicht eingereicht hatten (2013-2014) und die Mahnungen erfolglos geblieben waren. Die Steuerpflichtigen erhoben am 6. November 2015 gegen die drei Veranlagungsverfügungen vom 12. August 2014 (Steuerjahr 2012), 19. Januar 2015 (2013) und 10. September 2015 (2014) Einsprache. Das KStA/SO trat darauf mit gemeinsamem Einspracheentscheid vom 16. Dezember 2015 mangels Wahrung der dreissigtägigen Einsprachefrist nicht ein.
1.2. Die Steuerpflichtigen erhoben am 15. Januar 2016 Rekurs und Beschwerde an das Kantonale Steuergericht Solothurn. Darin stellten sie sich auf den Standpunkt, die Veranlagungen nach pflichtgemässem Ermessen seien deutlich zu hoch ausgefallen. Es sei unmöglich gewesen, innerhalb der Frist die Buchhaltungen 2012-2014 zu erstellen. Deshalb seien die drei rechtskräftig veranlagten Steuerjahre zu revidieren. Mit den Entscheiden SGSTA.2016.6 und BST.2016.6 vom 9. Mai 2016 wies das Kantonale Steuergericht Solothurn die beiden Rechtsmittel ab. Es erwog, das KStA/SO sei zu Recht auf die verspätet erfolgten Einsprachen nicht eingetreten. Dem Revisionsgesuch könne mangels neuer Tatsachen nicht entsprochen werden.
1.3. Mit Eingabe vom 30. Juni 2016 (Poststempel) erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und die "Staats- und Bundessteuer 2012, 2013 und 2014 sei zur Revision zuzulassen". Das präsidierende Mitglied als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat davon abgesehen, Instruktionsmassnahmen zu ergreifen.
2.
2.1. Die Vorinstanz hat zu den streitbetroffenen drei Steuerjahren hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Solothurn einerseits und der direkten Bundessteuer anderseits ein einziges Urteil gefällt. Die Steuerpflichtigen fechten dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Die sich stellenden Fragen sind im Bundesrecht und im harmonisierten kantonalen Steuerrecht gleich geregelt und haben im Verlauf der Jahre 2012 bis 2014 keine Änderung erfahren. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerde in einem einzigen Urteil zu erledigen (Art. 71 BGG i. V. m. Art. 24 BZP [SR 273]; Urteil 2C_372/2016 / 2C_374/2016 vom 7. Juni 2016 E. 1.1).
2.2.
2.2.1. Die Beschwerde richtet sich gegen den verfahrensabschliessenden Entscheid einer letzten kantonalen Instanz in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen unter Vorbehalt des Nachfolgenden vor (Art. 82 lit. a, Art. 83, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 90 und 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]).
2.2.2. Vor Bundesgericht kann der Streitgegenstand gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren weder geändert noch erweitert werden (Art. 99 Abs. 2 BGG). Ficht die beschwerdeführende Partei einen vorinstanzlichen Nichteintretensentscheid oder einen Sachentscheid an, der einen erstinstanzlichen Nichteintretensentscheid bestätigt, haben ihre Rechtsbegehren und deren Begründung sich zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten bzw. zur Bestätigung des Nichteintretens geführt haben (Art. 42 Abs. 2 BGG, dazu nachfolgend; BGE 139 II 233 E. 3.2 S. 235 f.; zit. Urteil 2C_372/2016 / 2C_374/2016 E. 1.2.2).
2.2.3. Die Beschwerde hat auf die Begründung des angefochtenen Entscheids einzugehen und im Einzelnen aufzuzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerdeschrift nicht bloss die Rechtsstandpunkte bekräftigen, die sie im vorinstanzlichen Verfahren eingenommen hat, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen. Fehlt es an einer hinreichenden Begründung, wird auf die Beschwerde nicht eingetreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG; BGE 140 V 136 E. 1.1 S. 138).
3.
3.1. Die Vorinstanz musste einzig prüfen, ob die gesetzlichen Anforderungen an eine Einsprache (im Verfahren der Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen) gegeben waren, sodass das KStA/SO auf die Einsprache einzutreten gehabt hätte (vorne E. 2.2.2). Die Vorinstanz verwarf dies mit Blick auf die offensichtlich versäumte dreissigtägige Einsprachefrist (Art. 132 Abs. 1 DBG und Art. 48 Abs. 1 StHG) und unter Berücksichtigung dessen, dass die Steuerpflichtigen (auch) im Verfahren vor dem Kantonalen Steuergericht nichts vorgebracht hatten, was die Wiederherstellung der Frist erlauben durfte (Art. 133 Abs. 3 DBG).
3.2. Vor Bundesgericht machen die Steuerpflichtigen in der Sache einzig geltend, es sei ihnen nicht möglich gewesen, die streitbetroffenen Buchhaltungen "in den vorgegebenen Fristen seriös zu erstellen und die Steuererklärungen auszufüllen". Darin lägen erhebliche Tatsachen oder entscheidende Beweismittel, die zu einer Revision zu führen hätten. Im Übrigen lassen sie in ihrer Beschwerde zur Hauptsache und in kurzen Zügen die Prozessgeschichte Revue passieren. Dies alles begründet keine hinreichende Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG (vorne E. 2.2.3), unterbleibt doch eine Auseinandersetzung mit den Überlegungen der Vorinstanz. Sie hätten aufzuzeigen gehabt, weshalb ihrem Fristwiederherstellungsgesuch, so sie ein solches gestellt haben, stattzugeben gewesen wäre. Daran fehlt es aber, sodass auf den Antrag insoweit nicht einzutreten ist.
3.3. Die Steuerpflichtigen ersuchen ferner um "Zulassung" der angefochtenen "Staats- und Bundessteuer 2012, 2013 und 2014 zur Revision". Im bundesgerichtlichen Verfahren kann indes nur die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden (Art. 121 ff. BGG). Soweit die Steuerpflichtigen mit ihrem Rechtsbegehren verlangt haben sollten, dass der vorinstanzliche Entscheid - oder gegebenenfalls der unterinstanzliche Einspracheentscheid - zu revidieren wäre, müsste dies im kantonalen Verfahren vorgebracht werden. Dem Bundesgericht fehlt hierzu die Zuständigkeit.
3.4. Infolgedessen ist auf die Beschwerde zufolge offensichtlicher Unzulässigkeit durch Entscheid des präsidierenden Mitglieds als Einzelrichter kostenfällig (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) nicht einzutreten (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG), wobei die Eheleute die Kosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung tragen (Art. 66 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das präsidierende Mitglied:
1.
Die Beschwerden in den Verfahren 2C_611/2016 und 2C_612/2016 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerde im Verfahren 2C_612/2016 (direkte Bundessteuer 2012-2014) wird nicht eingetreten.
3.
Auf die Beschwerde im Verfahren 2C_611/2016 (Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Solothurn 2012-2014) wird nicht eingetreten.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt. Sie tragen ihren Anteil zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 12. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Kocher