Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ (geb. 1966) und B.A._ (geb. 1972) sind die seit 1996 verheirateten Eltern der drei gemeinsamen Kinder C.A._ (geb. 2000), D.A._ (geb. 2002) und E.A._ (geb. 2005).
A.b. Im Rahmen eines ersten Eheschutzverfahrens hat das Obergericht des Kantons Nidwalden mit Entscheid vom 30. Oktober 2013 A.A._ verpflichtet, B.A._ ab dem 1. November 2011 für die drei Kinder monatliche Unterhaltsbeiträge von je Fr. 3'000.-- (zzgl. Kinderzulagen) und für sie persönlich solche von Fr. 6'000.-- zu bezahlen. Der dagegen ergriffenen Beschwerde an das Bundesgericht war kein Erfolg beschieden (Urteil 5A_463/2014 vom 12. August 2014).
A.c. Seit dem 14. Oktober 2013 ist beim Bezirksgericht Luzern das Scheidungsverfahren hängig.
A.d. Auf Gesuch des Ehemannes und Vaters vom 11. April 2014 änderte die Einzelrichterin am Bezirksgericht Luzern am 20. Juli 2016 die Unterhaltsbeiträge an Ehefrau und Kinder. Hinsichtlich der Kinderunterhaltsbeiträge ordnete die Einzelrichterin an, die Beträge seien bis 31. Juli 2014 "zuzüglich Kinderzulagen" zu entrichten; seit dem 1. August 2014 würden diese von der Mutter bezogen.
B.
Auf Berufung der Ehefrau und Mutter änderte das Kantonsgericht des Kantons Luzern am 11. Oktober 2016 den Entscheid des Bezirksgerichts Luzern hinsichtlich der hier noch interessierenden Kinderunterhaltsbeiträge ab und erhöhte diese. Die Beiträge bis 31. Juli 2014 seien "zuzüglich bezogener Kinderzulagen" zu entrichten; ab 1. August 2014 beziehe die Ehefrau die Kinderzulagen selber.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. November 2016 wendet sich A.A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, die ab dem 1. August 2014 geschuldeten Unterhaltsbeiträge an Ehefrau und Kinder anteilsmässig um insgesamt Fr. 720.-- zu kürzen, eventuell nur die Kinderunterhaltsbeiträge jeweils um Fr. 240.-- herabzusetzen.
In ihrer Vernehmlassung vom 13. April 2017 beantragt die Beschwerdegegnerin auf die Beschwerde nicht einzutreten, eventuell diese abzuweisen. Ausserdem ersucht sie um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung. Dem Beschwerdeführer wurde die Vernehmlassung zwecks Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.
Erwägungen:
1.
In der Sache wehrt sich der Beschwerdeführer gegen den Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75 Abs. 1 BGG) betreffend die Regelung des Getrenntlebens während der Dauer des Scheidungsverfahrens (Art. 276 ZPO). In dieser Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) dreht sich der Streit vor Bundesgericht nur mehr um die Unterhaltsbeiträge. Die Angelegenheit ist also vermögensrechtlicher Natur (Urteil 5A_463/2014 vom 12. August 2014 E. 1). Die gesetzliche Streitwertgrenze ist erreicht (Art. 51 Abs. 1 Bst. a und Abs. 4; Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Auf die rechtzeitig (Art. 100 BGG) eingereichte Beschwerde ist einzutreten.
2.
Vorsorgliche Massnahmen für die Dauer des Scheidungsverfahrens unterstehen Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1, 426 E. 2.2). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (BGE 133 III 585 E. 4.1). Für solche Verfassungsrügen gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2; 133 II 396 E. 3.1). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Er muss im Einzelnen dartun, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
Nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis liegt Willkür nicht schon dann vor, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder sogar vorzuziehen wäre; sie ist erst gegeben, wenn ein Entscheid auf einem offensichtlichen Versehen beruht, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (BGE 135 V 2 E. 1.3; 136 III 552 E. 4.2). Dabei genügt es nicht, wenn der angefochtene Entscheid sich nur in der Begründung als unhaltbar erweist; eine Aufhebung rechtfertigt sich erst, wenn er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (Urteil 5A_274/2015 vom 25. August 2015 E. 1.4, nicht publ. in: BGE 141 III 376, mit Hinweisen).
3.
Der Beschwerdeführer ficht die Berechnungsgrundlagen (Einkommen und Bedarfsberechnungen der Parteien) nicht an. Er beanstandet lediglich, das Kantonsgericht habe zu Unrecht die seit dem 1. August 2014 von der Beschwerdegegnerin vereinnahmten Kinderzulagen von je Fr. 240.-- weder vom Barbedarf der Kinder abgezogen noch (alternativ) diese dem Einkommen der Beschwerdegegnerin hinzugerechnet, weshalb das angefochtene Urteil willkürlich sei.
3.1. Das Obergericht des Kantons Nidwalden hat in seinem Entscheid vom 30. Oktober 2013 den Beschwerdeführer verpflichtet, für Ehefrau und Kinder insgesamt Fr. 15'000.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen (vgl. Sachverhalt Bst. A.b), ohne letztere in der Bedarfsrechnung berücksichtigt zu haben. Der zugesprochene Betrag entsprach dem erweiterten Bedarf von Ehefrau und Kinder. Nach Abzug der erweiterten Bedarfspositionen beider Parteien vom Einkommen des Beschwerdeführers resultierte ein Überschuss von Fr. 5'909.--, den das Obergericht vollumfänglich dem Beschwerdeführer überliess.
In seinem Entscheid vom 20. Juli 2016 stellte das Bezirksgericht Luzern eine wesentliche Veränderung der Verhältnisse fest. Während das Selbständigerwerbendeneinkommen des Ehemannes von durchschnittlich Fr. 30'309.-- auf durchschnittlich Fr. 21'800.-- sank, stieg jenes der Ehefrau von Fr. 0.-- auf Fr. 3'480.--, zuletzt Fr. 3'930.--. Folglich berechnete das Bezirksgericht die Unterhaltsbeiträge neu. Hinsichtlich der Kinderunterhaltsbeiträge wich es von der Berechnungsmethode des Obergerichts des Kantons Nidwalden ab. Es legte der Bedarfsrechnung die sog. "Zürcher Tabellen" zugrunde und erhöhte die dort vorgesehenen Beträge aufgrund des gehobenen Lebensstandards der Familie ermessensweise um Fr. 300.--. Schliesslich zog es davon die Position "Pflege und Erziehung" sowie die Kinderzulagen ab. Gemäss Urteilsdispositiv waren die geschuldeten Unterhaltsbeiträge jeweils "zuzüglich Kinderzulagen" zu leisten. Indes stellte das Bezirksgericht ausdrücklich fest, dass die Beschwerdegegnerin seit dem 1. August 2014 die Kinderzulagen beziehe.
Demgegenüber lehnte sich das Kantonsgericht Luzern eng an die Berechnungsmethode des Obergerichts des Kantons Nidwalden an und aktualisierte die Zahlen. Den dergestalt ermittelten Bedarf erhob es nach Abzug des Einkommens der Beschwerdegegnerin zum Unterhaltsbeitrag, wiederum zuzüglich Kinderzulagen, ohne diese in der Bedarfsrechnung berücksichtigt zu haben. Den resultierenden Überschuss (zwischen Fr. 2'600.-- und Fr. 3'100.--) beliess das Kantonsgericht in Anlehnung an den obergerichtlichen Entscheid dem Beschwerdeführer.
3.2. Die Beschwerdegegnerin macht in erster Linie geltend, der Beschwerdeführer komme seiner Begründungspflicht nicht nach. Auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, weil er nicht darlege, dass ein verfassungsmässiges Recht verletzt worden sei (Art. 98 und Art. 106 Abs. 2 BGG). Das trifft nicht zu, denn der Beschwerdeführer behauptet und begründet die Willkürrüge; darauf ist einzutreten.
In der Sache selbst beruft sich die Beschwerdegegnerin hauptsächlich auf den Umstand, dass bereits das Obergericht des Kantons Nidwalden die Kinderunterhaltsbeiträge festgelegt habe, ohne die Kinderzulagen zu berücksichtigen, weshalb das Kantonsgericht Luzern dies ebenfalls so regeln durfte; das liege im Ermessen des Gerichts.
3.3. Der Kindesunterhaltsbeitrag bemisst sich unter anderem nach den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebenshaltung und wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit der Eltern (Art. 285 Abs. 1 ZGB [in der bis Ende 2016 gültigen Fassung; vgl. Art. 13c bis Abs. 2 SchlT ZGB]). Vom Bedarf jedes unterhaltsberechtigten Kindes ist dabei grundsätzlich dessen Kinder- oder Ausbildungszulage abzuziehen, denn diese Leistungen, die ausschliesslich für den Unterhalt des Kindes bestimmt sind, werden nach der Rechtsprechung nicht zum Einkommen des bezugsberechtigten Elternteils hinzu gezählt, sondern sind bei der Ermittlung des durch den Unterhaltsbeitrag zu deckenden Barbedarfs des Kindes vorweg in Abzug zu bringen (BGE 137 III 59 E. 4.2.3, mit Hinweisen). In diesem Sinne erweist sich der Entscheid, der Kinderunterhaltsbeiträge in der Höhe des ermittelten Bedarfs zuspricht, ohne Kinder- oder Ausbildungszulagen abzuziehen (bzw. einen Mehrbetrag mit der Überschussverteilung zu rechtfertigen), als rechtsfehlerhaft.
3.4. Das Kantonsgericht hat den Bedarf der Parteien gleichermassen präzis in den Bedarfspositionen, aber überwiegend mit pauschalisierten Zahlen ermittelt. Mithin ist es nicht einer rein mathematischen Berechnung gefolgt, sondern hat hier wie dort Beträge nach Recht und Billigkeit eingesetzt. Bei dieser Ausgangslage führt der zwar falsch berechnete Unterhaltsbeitrag nicht automatisch zu Willkür, sondern es ist zu prüfen, ob dieser den Rahmen pflichtgemässer Ermessensausübung sprengt (vgl. Urteil 5P.192/2004 vom 20. Juli 2004 E. 3.1) und ob er auch im Ergebnis verfassungswidrig ist (vgl. E. 2 in fine).
Davon kann keine Rede sein. Der Beschwerdeführer, der die Bedarfspositionen nicht anficht (E. 3 oben), verfügt gegenüber seinem erweiterten Bedarf über einen 'Überschuss' von zwischen Fr. 2'600.-- und Fr. 3'100.--, während die Beschwerdegegnerin und die Kinder wegen der unterlassenen Anrechnung der Kinderzulagen von einem 'Überschuss' von Fr. 720.-- profitieren. Mithin verfügen beide Parteien über mehr Geld als zur Deckung ihres unbestritten gebliebenen erweiterten Bedarfs notwendig ist. Der Beschwerdeführer behauptet nicht, dass die Ehefrau und die Kinder dank dieses Überschusses einen höheren Lebensstandard geniessen können als die zuletzt gemeinsam gelebte Lebenshaltung (vgl. BGE 140 III 337 E. 4.2.1). Ebenso wenig legt er dar, dass damit der Ehefrau und den Kindern ein höherer Lebensstandard ermöglicht wird als dem Beschwerdeführer (vgl. BGE 137 III 102 E. 4.2.1). Die Beschwerdegegnerin und die drei Kinder teilen sich in einen rund viermal kleineren 'Überschuss' als jener, der dem Beschwerdeführer für sich alleine zur Verfügung steht. Insgesamt ist nicht ersichtlich, inwiefern der angefochtene Entscheid im Ergebnis offensichtlich unhaltbar und damit verfassungswidrig sein könnte.
4.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG). Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird damit gegenstandslos. Sie hat eine Honorarnote eingereicht. Der geltend gemachte Betrag scheint angemessen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin mit Fr. 2'859.55 (inkl. 8 % Mwst) für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen.
4.
Das Gesuch der Beschwerdegegnerin um unentgeltliche Rechtspflege wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Leu