Erwägungen:
1.
Die Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn hiess mit Urteil vom 20. Dezember 2016 eine Beschwerde von A._ gut und stellte fest, dass seitens der Staatsanwaltschaft eine Rechtsverweigerung vorliege, indem über Gesuche um Besuchsbewilligung nicht entschieden wurde. Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wurden die Kosten des Beschwerdeverfahrens dem Staat Solothurn auferlegt.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 26. Dezember 2016 Beschwerde in Strafsachen gegen das Urteil der Beschwerdekammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 20. Dezember 2016. Die Beschwerdekammer stellt mit Vernehmlassung vom 9. Januar 2017 den Antrag, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Der Beschwerdeführer liess sich dazu mit Eingabe vom 26. Januar 2017 vernehmen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer rügt das angefochtene Urteil einzig im Kosten- und Entschädigungspunkt. Er beanstandet, die Beschwerdekammer habe ihm keine Entschädigung ausgerichtet. Der Beschwerdeführer, der nicht geltend macht, er hätte vor der Beschwerdekammer einen entsprechenden Antrag gestellt, vermag mit seinen Ausführungen indessen nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern ihm die Beschwerdekammer einen solchen Anspruch in rechts- bzw. verfassungswidriger Weise verweigert haben sollte; solches ist im Übrigen auch nicht ersichtlich. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem sinngemäss gestellten Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Solothurn, dem Obergericht des Kantons Solothurn, Beschwerdekammer, und Fürsprecher Philipp Kunz schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Februar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli