Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1978) ist Staatsangehöriger der Republik Bangladesch. Er stellte in der Schweiz ein Asylgesuch, welches nach seiner Heirat mit einer Schweizerbürgerin und der damit verbundenen Ausstellung einer Aufenthaltsbewilligung gegenstandslos wurde (Rückzug). Am 5. Mai 2004 verstarb seine Gattin. Am 13. Dezember 2012 schied das Bezirksgericht Zürich seine zweite, am 16. März 2005 eingegangene Ehe. Bei dieser handelte es sich - wie das Bundesgericht am 15. August 2012 rechtskräftig feststellte (Urteil 2C_3/2012) - um eine sogenannte "Umgehungsehe" ("Scheinehe/Ausländerrechtsehe").
B.
Am 3. Mai 2013 heiratete A._ die in der Schweiz niederlassungsberechtigte dominikanische Staatsangehörige B._. Ende Mai 2014 hoben die Eheleute die häusliche Gemeinschaft auf. Die Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, der E inwohnergemeinde Bern lehnten es in der Folge am 5. Dezember 2014 ab, die Aufenthaltsbewilligung von A._ zu verlängern und hielten ihn an, das Land zu verlassen. Die hiergegen gerichteten kantonalen Rechtsmittel blieben ohne Erfolg.
C.
A._ beantragt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten bzw. mit subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Bern vom 22. Juni 2016 aufzuheben und seine Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; allenfalls sei die Sache zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen. A._ macht geltend, dass er am 20. September 2016 die Schweizerbürgerin C._ geheiratet und er gestützt hierauf am 22. September 2016 darum ersucht habe, ihm eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Bei seinem negativen Beschwerdeentscheid vom 22. Juni 2016 sei das Verwaltungsgericht zu Unrecht davon ausgegangen, dass er sich in keiner Härtefallsituation befinde, nachdem er seit 16 Jahren im Land lebe, hier beruflich wie sozial integriert sei und ihm eine Rückkehr nach Bangladesch nicht mehr zugemutet werden könne.
Am 28. Juli 2016 legte der Abteilungspräsident der Eingabe antragsgemäss aufschiebende Wirkung bei. Am 2. August 2016 holte das Bundesgericht die kantonalen Akten ein. Am 20. Oktober 2016 teilten die Einwohnerdienste, Migration und Fremdenpolizei, der Einwohnergemeinde Bern dem Bundesgericht mit, dass sich A._ mit einer Schweizerbürgerin (geb. 1965) verheiratet und gestützt hierauf ein neues Bewilligungsverfahren eingeleitet habe; bis zu weiteren Instruktionen seitens des Bundesgerichts werde das Gesuch (noch) nicht bearbeitet.
Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer beruft sich in vertretbarer Weise auf einen Bewilligungsanspruch nach Art. 50 des Bundesgesetzes vom 16. Dezember 2005 über die Ausländerinnen und Ausländer (AuG; SR 142.20) bzw. auf Art. 13 Abs. 1 BV und Art. 8 Ziff. 1 EMRK (Anspruch auf Schutz des Privat- und Familienlebens), sodass seine Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG). Ob der geltend gemachte Anspruch tatsächlich besteht, bildet keine Frage des Eintretens, sondern eine solche der materiellen Beurteilung (vgl. BGE 137 I 305 E. 2.5 S. 315 f.). Da der Beschwerdeführer heute von seiner dritten Gattin geschieden lebt, kann er sich nicht mehr auf einen Bewilligungsanspruch gestützt auf Art. 43 AuG bzw. Art. 13 Abs. 1 BV oder Art. 8 Ziff. 1 EMRK berufen - dies auch nicht im Hinblick auf einen allfälligen Anspruch auf den Schutz seines Privatlebens: Aus diesem ergibt sich ein Recht auf Verbleib im Land praxisgemäss nur unter besonderen Umständen. Eine lange Anwesenheit und die damit verbundene normale Integration genügen hierzu nicht; erforderlich sind vielmehr besonders intensive, über eine normale Verwurzelung hinausgehende private Bindungen beruflicher oder gesellschaftlicher Art, woran es hier bereits im Hinblick darauf fehlt, dass der Beschwerdeführer sich während Jahren im Rahmen einer Umgehungsehe im Land aufhielt und er in sozialer Hinsicht zwar behauptet, ein Netz von Freunden und Bekannten aufgebaut zu haben, dies aber nicht zu belegen vermag (vgl. die Urteile 2C_725/2014 vom 23. Januar 2015 E. 3.2; 2C_536/2013 vom 30. Dezember 2013 E. 2.2, nicht publ. in: BGE 140 II 129; 130 II 281 E. 3.2.1 S. 286; 120 Ib 16 E. 3b S. 21 f.). Die Integration des Beschwerdeführers kann - gestützt auf den für das Bundesgericht verbindlich festgestellten Sachverhalt (Art. 105 Abs. 1 BGG; vgl. E. 2.2) - als durchschnittlich positiv und dem entsprechend gelten, was von ihm im Hinblick auf die Dauer seiner Anwesenheit erwartet werden durfte.
1.2. Ob und wieweit in Anwendung von den allgemeinen Zulassungsvoraussetzungen wegen eines schwerwiegenden persönlichen Härtefalls oder wichtiger öffentlicher Interessen hätte abgewichen werden dürfen oder müssen (vgl. Art. 30 Abs. 1 lit. b AuG [allgemeiner Härtefall]; E. 5.3 bis 5.7 des angefochtenen Entscheids), kann das Bundesgericht nicht prüfen, da sich seine Zuständigkeit auf Anspruchsbewilligungen beschränkt (vgl. Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG und Art. 96 AuG; vgl. BGE 137 II 345 E. 3.2.1 S. 348). Unzulässig ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten deshalb, soweit der Beschwerdeführer geltend macht, ihm sei eine (allgemeine) Härtefallbewilligung (Art. 30 Abs. 1 lit. b i.V.m. Art. 33 AuG) zu erteilen. Dabei handelt es sich um eine Ermessensbewilligung, auf die kein Anspruch besteht (MARC SPESCHA, in: Spescha et al. [Hrsg.], Migrationsrecht, 4. Aufl. 2015, N. 2 und 5 zu Art. 83 BGG); ein solcher kann weder aus dem Willkürverbot, dem Rechtsgleichheitsgebot noch dem Verhältnismässigkeitsprinzip abgeleitet werden (vgl. BGE 137 II 305 E. 2 S. 308; 134 I 153 E. 4; 133 I 185 E. 6.2). Diesbezüglich wären (im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde) ausschliesslich Rügen hinsichtlich verfahrensrechtlicher Punkte zulässig, deren Verletzung einer formellen Rechtsverweigerung gleichkommt und die das Gericht von der Bewilligungsfrage getrennt beurteilen könnte ("Star"-Praxis; BGE 114 Ia 307 E. 3c S. 312 f.; 123 I 25 E. 1 S. 26 f.; 137 II 305 E. 2 und 4). Der Beschwerdeführer erhebt keine solchen Einwände.
1.3. Soweit der Beschwerdeführer den mit der Nichtverlängerung seiner Aufenthaltsbewilligung als gesetzliche Folge (vgl. Art. 64 Abs. 1 lit. c AuG) verbundenen Wegweisungsentscheid beanstandet, ist auf seine Ausführungen - im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde - nicht weiter einzugehen: Entgegen seinen Mitwirkungs- und Begründungspflichten (Art. 42 BGG und Art. 90 AuG) legt er nicht dar, dass und inwiefern seine Wegweisung besondere verfassungsmässige Rechte verletzen würde (vgl. BGE 137 II 305 ff.). Der Beschwerdeführer behauptet lediglich, eine Rückkehr nach Bangladesch sei ihm unzumutbar; er legt diesbezüglich indessen nicht dar, dass und inwiefern ihm in der Heimat eine konkrete Gefahr im Sinne der Rechtssprechung zu Art. 3 EMRK bzw. Art. 10 Abs. 3 BV drohen würde ("real risk"). Sein Hinweis auf allfällige berufliche oder persönliche Schwierigkeiten bei einer Rückkehr betrifft die Frage des Bestehens eines nachehelichen Härtefalls und nicht die Zulässigkeit des Wegweisungsvollzugs. Ergänzend kann darauf hingewiesen werden, dass nach der Praxis des Bundesverwaltungsgerichts in Bangladesch keine Situation allgemeiner Gewalt im ganzen Staatsgebiet oder in weiten Teilen davon herrscht, die einen Wegweisungsvollzug generell als unzumutbar erscheinen liesse (Urteil des BVGer E-8385/2015 vom 11. Mai 2016 E. 8.3; vgl. auch die bundesgerichtlichen Urteile 2C_330/2014 vom 12. Juni 2014 E. 2.3 und 2C_838/2012 vom 2. Mai 2013 E. 4).
2.
2.1. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern die rechtlichen Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 133 II 249 E. 1.4.1 S. 254). Der Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht geht es nur nach, soweit die entsprechenden Rügen anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids in der Beschwerdeschrift verfassungsbezogen substanziiert werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 134 II 244 E. 2.2 S. 246).
2.2. Dem Urteil ist der Sachverhalt zugrunde zu legen, wie die Vorinstanz ihn festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht kann diesen - soweit entscheidrelevant - nur berichtigen oder ergänzen, wenn er offensichtlich unrichtig oder in Verletzung wesentlicher Verfahrensrechte bzw. unter Missachtung materiellrechtlicher Vorgaben (vgl. Art. 95 BGG) offensichtlich unvollständig ermittelt worden ist (Art. 105 Abs. 2 BGG). Die beschwerdeführende Partei muss rechtsgenügend dartun, dass und inwiefern der Sachverhalt und die beanstandete Beweiswürdigung klar und eindeutig mangelhaft erscheint (Art. 106 Abs. 2 BGG; vgl. BGE 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.; 133 III 350 E. 1.3). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 265 ff.; Urteil 2C_359/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 2). Neue Tatsachen und Beweismittel können im bundesgerichtlichen Verfahren nur insoweit vorgebracht werden, als der angefochtene Entscheid hierzu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 136 II 497 E. 3.3 S. 500 f.; Urteil 2C_359/2014 vom 1. Dezember 2014 E. 2).
2.3. Die vorliegende Eingabe genügt den gesetzlichen Begründungsanforderungen kaum: Der Beschwerdeführer wiederholt in seiner Eingabe weitgehend, was er bereits im kantonalen Verfahren vorgebracht hat; dabei setzt er sich mit den Ausführungen des Verwaltungsgerichts zu seinen Einwänden nicht sach- und verfassungsbezogen auseinander. Seine Argumentation beschränkt sich ohne konkrete Analyse der vorinstanzlichen Darlegungen auf eine appellatorische Bekräftigung dessen, was er bereits in den kantonalen Verfahren behauptet hat. Er stellt lediglich seine Einschätzungen und Wertungen denjenigen im angefochtenen Entscheid gegenüber, ohne darzutun, dass und weshalb die jeweiligen Entgegnungen der Vorinstanz bundesrechtswidrig wären.
3.
Inwiefern dies der Fall sein könnte, ist auch nicht ersichtlich. Die Vorinstanz hat die bundesgerichtliche Praxis zutreffend wiedergegeben und rechtsfehlerfrei auf den Sachverhalt angewendet:
3.1. Ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern (Art. 42 AuG) oder niederlassungsberechtigten Personen (Art. 43 AuG) aus nicht FZA-Staaten haben - unter Vorbehalt des Bestehens von Erlöschensgründen (Art. 51 Abs. 2 AuG) und der Einhaltung der Nachzugsfristen (Art. 47 AuG) - Anspruch auf Erteilung und Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligung, soweit sie mit diesen zusammenwohnen oder - bei fortdauernder Ehegemeinschaft - ein wichtiger Grund für das Getrenntleben besteht (Art. 49 AuG). Trotz Auflösens bzw. definitiven Scheiterns der Ehe (vgl. Art. 140 II 129 ff.) besteht der Bewilligungsanspruch fort, wenn das Zusammenleben mindestens drei Jahre gedauert und die betroffene Person sich hier erfolgreich integriert hat (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG ["Integrationsklausel"]; vgl. BGE 140 II 289 E. 3, 345 E. 4; 136 II 113 E. 3.3.3 S. 119), oder wichtige persönliche Gründe geltend gemacht werden können, die ihren weiteren Aufenthalt in der Schweiz "erforderlich" machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG; BGE 138 II 229 E. 3 S. 232 ff. "nachehelicher Härtefall"; THOMAS HUGI YAR, Von Trennungen, Härtefällen und Delikten - Ausländerrechtliches rund um die Ehe- und Familiengemeinschaft, in: Achermann et al. [Hrsg.], Jahrbuch für Migrationsrecht 2012/2013, S. 31 ff., dort S. 65 - 92). Nach der grammatikalischen, entstehungsgeschichtlichen, systematischen und teleologischen Auslegung von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG dürfen für die Berechnung der erforderlichen Dreijahresfrist mehrere kürzere Ehegemeinschaften nicht zusammengerechnet werden (vgl. HUGI YAR, a.a.O., S. 72). Diesbezüglich besteht keine Gesetzeslücke (BGE 140 II 289 E. 3.1 - 3.7). Zudem müssen die Voraussetzungen der mindestens dreijährigen Ehegemeinschaft und der erfolgreichen Integration kumulativ erfüllt sein (BGE 140 II 289 E. 3.8 S. 298).
3.2. Der Beschwerdeführer war wiederholt in der Schweiz verheiratet. Keine der von ihm - nicht rechtsmissbräuchlich, d.h. zur Umgehung der migrationsrechtlichen Vorgaben - eingegangenen Ehen (vgl. Art. 51 Abs. 1 lit. a AuG und Abs. 2 lit. a AuG), hat länger als drei Jahre gedauert. Die Ehegemeinschaft mit B._ wurde bereits rund ein Jahr nach dem Eheschluss nicht mehr gelebt und am 17. November 2015 geschieden. Wie die Vorinstanz zu Recht festgestellt hat, kann der Beschwerdeführer somit aus Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nichts zu seinen Gunsten ableiten, selbst wenn angenommen würde, dass er sich sprachlich, sozial und beruflich erfolgreich integriert hat.
3.3. Auch die Voraussetzungen für die Annahme eines nachehelichen Härtefalls (Art. 50 lit. b i.V.m. Abs. 2 AuG) sind nicht erfüllt: Der Beschwerdeführer kam im Oktober 1999 im Alter von rund 21 Jahren in die Schweiz; er ist somit in den prägenden Kindheits- und Jugendjahren in seiner Heimat sozialisiert worden. Er reiste mehrfach dorthin zurück, um seinen gesundheitlich angeschlagenen Vater zu besuchen. Die Annahme der Vorinstanz, er sei unter diesen Umständen - trotz seines Aufenthalts in der Schweiz von inzwischen 16 Jahren - mit seiner Heimat und den dortigen kulturellen, sprachlichen sowie gesellschaftlichen Gepflogenheiten nach wie vor vertraut, ist nicht zu beanstanden, zumal sein Aufenthalt in der Schweiz während Jahren prekär war (Asylverfahren) bzw. von ihm erschlichen wurde ("Umgehungsehe"). Der heute 37-jährige Beschwerdeführer ist körperlich gesund und verfügt über hier erworbene berufliche Erfahrungen im Gastgewerbe. Er kann sich somit auch in seiner Heimat (wieder) eine Existenz und ein neues Beziehungsnetz aufbauen, sollte ihm ein solches, wie er geltend macht, dort fehlen. Seine soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland kann nicht als "stark gefährdet" gelten; sie macht keinen weiteren Aufenthalt in der Schweiz "erforderlich". Der blosse Umstand, dass die Sicherheits- und Wirtschaftslage hier besser sind als im Heimatstaat, bildet praxisgemäss keinen entsprechenden wichtigen persönlichen Grund, auch wenn die betroffene Person in der Schweiz integriert erscheint, eine Landessprache mehr oder weniger korrekt beherrscht, eine Arbeitsstelle hat, für ihren Lebensunterhalt selber aufzukommen vermag und sie auch nicht straffällig geworden ist (vgl. HUGI YAR, a.a.O., S. 83, sowie die Urteile 2C_578/2011 vom 1. Dezember 2011 E. 3.3 und 2C_467/2012 vom 25. Januar 2013 E. 2.3).
3.4.
3.4.1. Soweit der Beschwerdeführer darauf hinweist, dass er nach einer stabilen und dauerhaften Beziehung seit dem 20. September 2016 mit der Schweizerin C._ verheiratet sei, überschreiten seine Vorbringen zwar nicht den Verfahrensgegenstand, doch scheitern sie am Novenverbot (Art. 99 BGG; oben E. 2.2 in fine; Urteil 2C_1140/2015 vom 24. Mai 2016 E. 2.2.1) : Die Vorinstanz hat sich mit der veränderten Situation (Ehe mit einer Schweizerbürgerin) nicht auseinandergesetzt, da die Heirat nach ihrem Entscheid erfolgt ist. Der Beschwerdeführer hat diesbezüglich inzwischen ein neues Verfahren eingeleitet: Der Widerruf bzw. die Nichtverlängerung einer Bewilligung beendet die bisher bestehende Anwesenheitsberechtigung; die Massnahme wirkt pro futuro, indem ab der Rechtskraft des Entscheids die Bewilligung nicht mehr besteht und damit (abgesehen von einem bewilligungsfreien Aufenthalt gemäss Art. 10 Abs. 1 AuG) der weitere Aufenthalt in der Schweiz untersagt ist. Es kann indessen grundsätzlich jederzeit wieder ein neues Bewilligungsgesuch gestellt werden. Wird diesem entsprochen, so lebt damit nicht die frühere, rechtskräftig aufgehobene Bewilligung wieder auf; die betroffene Person erhält vielmehr einen neuen Anwesenheitstitel (Urteile 2C_1081/2014 vom 19. Februar 2016 E. 2.1 und 2D_7/2015 vom 14. Juli 2015 E. 2.1, jeweils mit Hinweisen), falls sie im Zeitpunkt von dessen Erteilung die hierfür erforderlichen Bewilligungsvoraussetzungen erfüllt.
3.4.2. Ein neues Gesuch darf - wie ein Wiedererwägungsgesuch - nicht dazu dienen, rechtskräftige Entscheide immer wieder infrage zu stellen. Die Verwaltungsbehörde ist von Verfassungs wegen nur gehalten, auf ein solches einzutreten, wenn die Umstände sich seit dem ersten Entscheid wesentlich verändert haben oder falls die gesuchstellende Person erhebliche Tatsachen und Beweismittel namhaft macht, die ihr im früheren Verfahren nicht bekannt waren oder die schon damals geltend zu machen für sie rechtlich oder tatsächlich unmöglich war bzw. keine Veranlassung bestand; zudem muss bei deren Berücksichtigung eine andere Beurteilung als die frühere ernstlich in Betracht fallen (BGE 136 II 177 E. 2 S. 181 ff.; Urteile 2C_1081/2014 vom 19. Februar 2016 E. 2.1; 2C_366/2014 vom 6. Juni 2014 E. 2.3; 2C_876/2013 vom 18. November 2013 E. 3.1 und 2C_335/2009 vom 12. Februar 2010 E. 2.1).
3.4.3. Der Beschwerdeführer ist heute - als echtes, im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zu berücksichtigendes Novum (vgl. Art. 99 BGG und 2C_1140/2015 vom 24. Mai 2016 E. 2.2.1) - wieder mit einer Schweizerbürgerin verheiratet und hat gestützt hierauf am 22. September 2016 bei den Einwohnerdiensten, Migration und Fremdenpolizei, der Einwohnergemeinde Bern ein neues Familiennachzugsverfahren gestützt auf Art. 42 AuG eingeleitet. Dessen Zulässigkeit bzw. die allfällige inhaltliche Berechtigung seines Gesuchs werden - wie das Verwaltungsgericht zutreffend ausgeführt hat - die zuständigen kantonalen Verwaltungsbehörden erst noch zu prüfen haben; diesbezüglich liegt noch kein beim Bundesgericht anfechtbarer richterlicher Endentscheid vor (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG).
4.
4.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten erweist sich als unbegründet und ist deshalb abzuweisen; auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist nicht einzutreten. Zur Urteilsbegründung kann ergänzend auf die zutreffenden Ausführungen im angefochtenen Entscheid verwiesen werden.
4.2. Dem Verfahrensausgang entsprechend hat der unterliegende Beschwerdeführer die Kosten für das bundesgerichtliche Verfahren zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Es sind keine Parteientschädigungen geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
1.1. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten wird abgewiesen.
1.2. Auf die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 9. November 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Hugi Yar