Erwägungen:
1.
Das Bezirksgericht Winterthur sprach A._ mit Urteil vom 22. März 2017 der mehrfachen Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz und der mehrfachen Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes schuldig und bestrafte ihn unter Einbezug von Strafen aus andern Verfahren mit einer Gesamtstrafe von 24 Monaten Freiheitsstrafe, wovon 331 Tage durch Haft erstanden seien, erkannte auf Vollzug dieser Freiheitsstrafe und ordnete eine ambulante Massnahme Sinne von Art. 63 StGB an, ohne den Vollzug der Freiheitsstrafe zu diesem Zweck aufzuschieben. Gleichzeitig ordnete das Bezirksgericht Winterthur Fortsetzung der Sicherheitshaft an.
A._ meldete persönlich Berufung gegen das bezirksgerichtliche Urteil vom 22. März 2017 an und stellte ein Haftentlassungsgesuch. Mit Beschluss vom 25. April 2017 wies das Bezirksgericht Winterthur das Haftentlassungsgesuch ab, bewilligte A._ den vorzeitigen Straf- und Massnahmenantritt und hob die Sicherheitshaft auf den Zeitpunkt des vorzeitigen Strafantritts auf.
Mit Schreiben vom 27. April 2017 wandte sich A._ persönlich an das Obergericht des Kantons Zürich. Dieses wies ihn mit Scheiben vom 3. Mai 2017 darauf hin, dass aus seiner Eingabe nicht hervorgehe, ob er Beschwerde oder ein anderes Rechtsmittel gegen einen Entscheid erheben wolle. Datiert mit 2. Mai 2017 reichte A._ ein weiteres Schreiben ein. Mit Verfügung vom 8. Mai 2017 stellte das Obergericht fest, dass die Eingaben vom 27. April 2017 und 2. Mai 2017 nicht den Vorgaben von Art. 385 Abs. 1 StPO entsprechen würden. Dem amtlichen Verteidiger von A._ wurde Frist gesetzt, um zu erklären, ob in den Eingaben ein Rechtsmittel zu erblicken sei. Dieser sah sich ausserstande, mitzuteilen, ob in den Eingaben von A._ ein Rechtsmittel gegen den Beschluss vom 25. April 2017 zu erblicken sei. Mit Beschluss vom 22. Mai 2017 trat die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich auf die Eingaben von A._ vom 27. April 2017 und vom 2. Mai 2017 nicht ein. Zur Begründung führte die Strafkammer zusammenfassend aus, dass die Eingaben die Anforderungen an eine Beschwerde nicht erfüllen würden.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 20. Juni 2017 (Postaufgabe 21. Juni 2017) Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich.
Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Eine Beschwerde an das Bundesgericht ist zu begründen (Art. 42 BGG). Bei Verfassungsrügen besteht eine qualifizierte Rügepflicht. Die Rüge muss in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
Der Beschwerdeführer geht mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen nicht auf die Begründung der III. Strafkammer, die zum Nichteintreten führte, ein. Er vermag daher nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Es ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft II des Kantons Zürich, dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, und Rechtsanwalt Jürg Bettoni schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli