Faits :
A.
A._ travaillait en qualité d'employé de scierie auprès de l'entreprise B._ SA à U._. En incapacité de travail depuis le 4 mai 2009 en raison de problèmes lombaires, il a déposé le 14 août 2009 une demande de prestations de l'assurance-invalidité auprès de l'Office cantonal AI du Valais (ci après: l'office AI), lequel l'a rejetée (décision du 13 juillet 2011, confirmée sur recours par jugement du Tribunal cantonal du Valais du 13 février 2012 et par arrêt du Tribunal fédéral du 13 août 2012 [cause 9C_242/2012]).
Après s'être vu notifié un premier refus d'entrée en matière (décision du 12 mai 2014), A._ a déposé le 5 juin 2014 une nouvelle demande de prestations de l'assurance-invalidité en indiquant souffrir d'un épisode dépressif sévère et d'un syndrome douloureux somatoforme persistant. Dans le cadre de l'instruction de cette demande, l'office AI a confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur C._. Dans son rapport du 2 février 2015, ce médecin a retenu les diagnostics d'épisode dépressif atypique et de syndrome douloureux somatoforme persistant et nié toute incapacité de travail en lien avec ces deux affections. Malgré les avis contraires des médecins traitants de l'assuré, l'office AI a, par décision du 10 juin 2015, rejeté la demande de prestations de l'assuré.
B.
Par jugement du 14 décembre 2015, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du Valais a rejeté le recours formé par l'assuré contre cette décision.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut principalement à l'octroi d'une rente entière de l'assurance-invalidité dès le mois de juin 2014 et subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI pour complément d'instruction et nouvelle décision. Il assortit son recours d'une demande d'assistance judiciaire.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
2.1. Le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité, singulièrement sur le degré d'invalidité à la base de cette prestation.
2.2. Le jugement entrepris expose correctement les règles applicables à la résolution du cas. Il rappelle notamment que lorsque l'administration entre en matière sur une nouvelle demande (art. 87 al. 3 RAI), elle doit procéder de la même manière que dans les cas de révision au sens de l'art. 17 al. 1 LPGA et comparer les circonstances prévalant lors de la nouvelle décision avec celles existant lors de la dernière décision entrée en force et reposant sur un examen matériel du droit à la rente (cf. ATF 133 V 108) pour déterminer si une modification notable du taux d'invalidité justifiant la révision du droit en question est intervenue.
3.
3.1. Se fondant sur les conclusions de l'expertise réalisée par le docteur C._, la juridiction cantonale a constaté que l'état de santé du recourant ne s'était pas aggravé depuis le mois de juillet 2011 au point de modifier notablement sa capacité de travail résiduelle, laquelle était de 70 % dans une activité adaptée à ses limitations somatiques.
3.2. Le recourant reproche en substance à la juridiction cantonale, d'une part, d'avoir procédé à une constatation manifestement inexacte des faits de la cause en ne tenant pas compte des rapports médicaux établis par ses médecins traitants et, d'autre part, d'avoir violé la jurisprudence la plus récente du Tribunal fédéral en matière de troubles psychosomatiques.
4.
4.1. Compte tenu de son pouvoir d'examen restreint, il n'appartient pas au Tribunal fédéral de procéder une nouvelle fois à l'appréciation des preuves administrées, mais à la partie recourante d'établir en quoi celle opérée par l'autorité cantonale serait manifestement inexacte ou incomplète, ou en quoi les faits constatés auraient été établis au mépris de règles essentielles de procédure.
4.2. En l'occurrence, la juridiction cantonale a expliqué de manière détaillée les raisons pour lesquelles elle considérait que le rapport du docteur C._ permettait de procéder à une évaluation circonstanciée de la situation eu égard aux éléments déterminants fixés dans la grille d'évaluation définie par le Tribunal fédéral dans son arrêt paru aux ATF 141 V 281.
4.3.
4.3.1. En se contentant de renvoyer au contenu des rapports des docteurs D._, E._ et F._, le recourant n'établit nullement, au moyen d'une argumentation précise et étayée, le caractère insoutenable du raisonnement développé par les premiers juges. Lorsqu'une appréciation repose sur une évaluation médicale complète, telle que l'expertise réalisée par le docteur C._, elle ne saurait être remise en cause au seul motif qu'un ou plusieurs médecins ont une opinion divergente. Il ne peut en aller différemment que si lesdits médecins font état d'éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l'expertise et suffisamment pertinents pour en remettre en cause les conclusions. Or force est de constater que le recourant ne formule aucune critique d'ordre formel à l'égard de l'expertise du docteur C._. S'agissant du contenu matériel de celle-ci, il ne prétend pas que des éléments cliniques ou diagnostiques essentiels auraient été ignorés et n'explique pas en quoi le point de vue des médecins auxquels il se réfère serait, objectivement, mieux fondé que celui de l'expert ou justifierait, à tout le moins, la mise en oeuvre d'une mesure d'instruction complémentaire. Tout au plus fait-il valoir que la sévère anémie dont il était atteint avait faussé l'appréciation que l'expert avait fait de la symptomatologie dépressive. Il ressort néanmoins de la lecture de l'expertise que c'est en raison justement de la présence de symptômes atypiques de la dépression que le docteur C._ a recherché une éventuelle pathologie somatique et mis en évidence l'existence d'une anémie sévère. Il convient encore d'ajouter que le docteur C._ a clairement expliqué - sans que les considérations de ce médecin ne soient remises en question par la doctoresse F._ ultérieurement à l'expertise - les raisons pour lesquelles il estimait que le recourant n'avait jamais présenté d'épisode dépressif sévère et typique. A la lumière des griefs soulevés par le recourant, il n'y a pas lieu de remettre en cause la valeur probante et les conclusions de l'expertise du docteur C._.
4.3.2. Il n'est pas contesté que le tableau clinique présenté par le recourant est principalement dominé par un syndrome somatoforme douloureux persistant dont il convient d'apprécier le caractère invalidant. Dans son recours, le recourant ne cherche pas véritablement à établir que la juridiction cantonale aurait méconnu la portée de la nouvelle jurisprudence du Tribunal fédéral en retenant que le rapport du docteur C._ permettait de procéder à une évaluation circonstanciée de la situation eu égard aux éléments déterminants fixés dans la grille d'évaluation définie par le Tribunal fédéral. Il se contente pour l'essentiel de se plaindre de la solution retenue en présentant sa propre appréciation de la situation, sans discuter spécifiquement les développements figurant dans le jugement cantonal. Ainsi met-il en exergue l'importante médication qu'il prend, laquelle serait la preuve du degré de gravité fonctionnel de son trouble, sans s'exprimer sur l'absence de compliance de la médication antalgique relevée par la juridiction cantonale. Faute de griefs suffisamment motivés, il n'y a pas lieu de remettre en cause le résultat de l'appréciation opérée par les premiers juges.
5.
Pour le reste, il n'y a pas lieu d'examiner plus avant le grief selon lequel le droit d'être entendu (art. 29 al. 1 Cst.) du recourant aurait été violé, faute pour celui-ci de répondre aux exigences de motivation déduites de l'art. 106 al. 2 LTF.
6.
6.1. Mal fondé, le recours doit être rejeté.
6.2. Les frais afférents à la présente procédure seront supportés par le recourant qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Il a cependant déposé une demande d'assistance judiciaire visant à la dispense des frais judiciaires et à la désignation d'un avocat d'office. Les conditions d'octroi étant réalisées (art. 64 al. 1 et 2 LTF), l'assistance judiciaire lui est accordée. Il est toutefois rendu attentif au fait qu'il devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral, s'il retrouve ultérieurement une situation financière lui permettant de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée. M e Michaël Aymon est désigné comme avocat d'office du recourant.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Une indemnité de 2'800 fr. est allouée à l'avocat du recourant à titre d'honoraires à payer par la Caisse du Tribunal fédéral.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du Valais, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 29 juin 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Piguet