Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 25. August 2014 entzog die Motorfahrzeugkontrolle des Kantons Solothurn A._ den Führerausweis für drei Monate wegen einer schweren Widerhandlung gegen die Strassenverkehrsvorschriften. A._ hatte am 27. Januar 2014 einen Personenwagen unter Drogeneinfluss geführt.
Am 12. Mai 2015 verursachte A._ als Lenker eines Lieferwagens eine Auffahrkollision. Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt verurteilte ihn mit Strafbefehl vom 25. Mai 2016 wegen einer einfachen Verletzung der Verkehrsregeln durch mangelnde Aufmerksamkeit zu einer Busse von Fr. 150.--, ersatzweise zu zwei Tagen Freiheitsstrafe. Der Strafbefehl erwuchs in Rechtskraft. In der Folge entzog ihm die Motorfahrzeugkontrolle Solothurn mit Verfügung vom 12. August 2016 den Führerausweis für die Dauer eines Monats.
Dagegen erhob A._ Beschwerde beim Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn. Das Verwaltungsgericht gewährte die aufschiebende Wirkung. Mit Urteil vom 5. Oktober 2016 wies es die Beschwerde ab und ordnete an, A._ habe den Führerausweis spätestens innert 30 Tagen nach Rechtskraft des Urteils der Motorfahrzeugkontrolle einzureichen.
B.
Mit Beschwerde vom 2. November 2016, welche beim Verwaltungsgericht eingereicht und von diesem dem Bundesgericht übermittelt wurde, beantragt A._ sinngemäss die Aufhebung des verwaltungsgerichtlichen Urteils.
Das Verwaltungsgericht beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Die kantonale Motorfahrzeugkontrolle und das Bundesamt für Strassen schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
1.
Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid über einen Führerausweisentzug. Dagegen steht die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten nach Art. 82 ff. BGG offen. Die Beschwerde wurde rechtzeitig bei der Vorinstanz eingereicht (vgl. Art. 48 Abs. 3 BGG). Die weiteren Sachurteilsvoraussetzungen geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Das Verwaltungsgericht hielt fest, der Beschwerdeführer habe gemäss Strafbefehl vom 25. Mai 2016 die Vorsichts- und Aufmerksamkeitspflicht missachtet, indem er das abrupte pflichtwidrige Abbremsen des ihm vorausfahrenden Personenwagens zu spät bemerkt habe und trotz eingeleiteter Vollbremsung in dessen Heck gefahren sei. Es handle sich dabei um eine leichte Widerhandlung im Sinne von Art. 16a Abs. 1 lit. a SVG. Da dem Beschwerdeführer in den vorangegangenen zwei Jahren der Führerausweis bereits entzogen worden sei, betrage die Mindestentzugsdauer gemäss Art. 16a Abs. 2 SVG einen Monat. Ein besonders leichter Fall, in dem nach Art. 16 Abs. 4 SVG auf jegliche Massnahme verzichtet werden könnte, liege nicht vor. Die Lenkerin des Fahrzeugs, mit dem er kollidiert sei, sei konkret gefährdet worden und es sei ein erheblicher Sachschaden entstanden. Auch weil es sich sowohl bei Art. 31 Abs. 1 SVG (Beherrschen des Fahrzeugs) als auch bei Art. 34 Abs. 4 SVG (Wahren eines ausreichenden Abstands) um zentrale Verkehrsregeln handle, sei die Geringfügigkeit zu verneinen.
2.2. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Bremslichter des vorausfahrenden Fahrzeugs hätten nicht aufgeleuchtet. Dies sei möglich, wenn das Getriebe defekt sei oder wenn bei einem Automatik-Getriebe die Schaltung auf Parkstellung gesetzt werde. Er habe den notwendigen Abstand immer eingehalten, wegen den nicht aufleuchtenden Bremslichtern die Gefahr jedoch nicht erkennen können.
2.3. Ein besonders leichter Fall im Sinne von Art. 16a Abs. 4 SVG liegt nach der Rechtsprechung vor, wenn die Verletzung von Verkehrsregeln eine besonders geringe Gefahr für die Sicherheit anderer geschaffen hat und den fehlbaren Fahrzeuglenker dafür nur ein besonders leichtes Verschulden trifft. Die Auslegung von Art. 16a Abs. 4 SVG kann sich an den Verkehrsregelverletzungen orientieren, die nach dem Ordnungsbussengesetz erledigt werden und keine Administrativmassnahmen nach sich ziehen (Urteil 1C_183/2016 vom 22. September 2016 E. 3.1 mit Hinweisen).
2.4. Indem der Beschwerdeführer mit seinem Lieferwagen eine Auffahrkollision verursachte, gefährdete er konkret die Lenkerin des vorausfahrenden Fahrzeugs und verursachte einen erheblichen Sachschaden. Wie die Vorinstanz gestützt auf diese vom Beschwerdeführer nicht beanstandeten Feststellungen zu Recht festhielt, kann schon deshalb nicht von einem besonders leichten Fall ausgegangen werden. Ob die Bremslichter des vorausfahrenden Fahrzeugs funktionierten, spielt in dieser Hinsicht keine Rolle. Gemäss dem polizeilichen Unfallaufnahmeprotokoll fand der Unfall am Tag und bei schönem Wetter statt. Das Verwaltungsgericht verletzte kein Bundesrecht, wenn es davon ausging, dass unter diesen Umständen die Mindestentzugsdauer von einem Monat gemäss Art. 16a Abs. 2 nicht unterschritten werden dürfe (Art. 16 Abs. 3 SVG). Die Kritik des Beschwerdeführers am angefochtenen Entscheid ist somit unbegründet.
3.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1-3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Bau- und Justizdepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Solothurn sowie dem Bundesamt für Strassen, Sekretariat Administrativmassnahmen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. Februar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Dold