Faits :
A.
A._ s'est annoncée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 29 mai 1998. Celui-ci lui a alloué un quart de rente depuis le mois de novembre 1997 ainsi qu'une demi-rente à partir du mois de février 1998 (décision du 22 mai 2000). Il a aussi mis en oeuvre deux procédures de révision à l'issue desquelles il a confirmé le droit de l'assurée à une demi-rente (décisions des 7 janvier 2003 et 12 avril 2006). En raison du déménagement de l'intéressée à B._, il a transféré le dossier à l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Fribourg (ci-après l'office AI). Celui-ci a également diligenté deux procédures de révision. Le droit à une demi-rente a été maintenu à la fin de la première (décision du 1er septembre 2011). Il a été provisoirement augmenté à une rente entière pour la période allant du 1er février 2012 au 31 janvier 2014, puis rétabli à une demi-rente au terme de la seconde (décision du 24 juillet 2014).
B.
Saisie d'un recours interjeté par A._, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, d'abord, l'a déclaré irrecevable, au motif qu'elle n'était pas compétente à raison du lieu, puis a transmis la cause à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Fribourg pour qu'elle statue sur le fond du litige (jugement du 16 septembre 2014). Celle-ci, ensuite, a très partiellement admis le recours et reconnu le droit de l'assurée à la rente entière pour la période limitée comprise entre les 1er janvier 2012 et 30 avril 2014 (jugement du 4 juillet 2016).
C.
L'administration a formé un recours en matière de droit public contre le jugement cantonal. Elle en demande la réforme en ce sens que le droit à la rente entière doit être reconnu seulement depuis le mois de février 2012, date pour laquelle la révision d'office avait été prévue. Elle requiert également l'attribution de l'effet suspensif à son recours et dépose un extrait du "journal des révisions" pour attester le moment auquel la dernière révision avait été programmée.
L'intéressée a conclu au rejet du recours alors que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Est en l'occurrence seul litigieux le mois à partir duquel l'augmentation de la demi-rente à la rente entière a pris effet.
3.
Dans l'éventualité où une révision du droit à la rente à lieu d'office, l'augmentation des rentes de l'assurance-invalidité prend effet au plus tôt à compter du mois pour lequel la révision était prévue (cf. art. 88bis al. 1 let. b RAI).
4.
L'office recourant reproche à l'autorité judiciaire cantonale d'avoir violé l'art. 88bis al. 1 let. b RAI en fixant au 1er janvier 2012 la date à partir de laquelle la demi-rente octroyée à l'intimée dès le 1er février 1998 devait être augmentée à une rente entière dans la mesure où il avait arrêté la date de la dernière révision d'office au 1er février 2012 dans le "journal des révisions" qu'il tenait.
5.
Le raisonnement tenu par l'administration est fondé, dans le sens où l'augmentation de la rente ne peut en l'occurrence prendre effet qu'à compter du mois pour lequel la révision était prévue puisqu'il s'agit d'une procédure de révision entreprise d'office (art. 88bis al. 1 let. b RAI) - comme l'atteste le "Questionnaire pour la révision de la rente d'invalidité" que l'office recourant a envoyé à l'assurée le 13 avril 2012 - et non sur demande de cette dernière (art. 88bis al. 1 let. a RAI).
En ce qui concerne la date à laquelle la révision d'office a été prévue, l'administration fait reposer son argumentation sur un seul extrait de son "journal des révisions". Or, comme la date qu'il est censé constater est déterminante pour trancher le litige, un tel document doit figurer au dossier (sur la gestion des documents, cf. art. 46 LPGA) et pas seulement être déposé pour la première fois au cours de l'instance fédérale, comme une preuve nouvelle au sens de l'art. 99 al. 1 LTF, sans même que ne soit exposé en quoi il résulterait de l'acte attaqué (ATF 133 III 393 consid. 3 p. 395), ni pourquoi il n'a pas pu être produit en instance cantonale. Le document évoqué est donc irrecevable. La date du 1er février 2012 a toutefois été mentionnée par l'office recourant en relation avec l'art. 88bis al. 1 RAI dans le projet de décision du 10 février 2014 ainsi que dans la décision du 14 juillet suivant, sans qu'elle n'ait jamais été remise en question par l'intimée. En instance fédérale, cette dernière indique expressément ne pas mettre en doute la véracité des indications de l'administration à ce sujet. En conséquence, on constate que la révision avait été prévue au 1er février 2012, ce qui justifie l'augmentation de la rente à partir de cette date. L'argumentation contraire de l'assurée n'est pas pertinente puisque le droit à la rente a régulièrement fait l'objet de révisions, de sorte qu'on ne saurait reprocher "une lenteur administrative" à l'office recourant.
Partant, le recours est bien fondé.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de l'intimée (art. 66 al. 1 et 68 al. 1 LTF). Le présent arrêt rend par ailleurs sans objet la demande d'effet suspensif.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le ch. I du jugement du Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, du 4 juillet 2016 est réformé en ce sens que A._ a droit à une rente entière d'invalidité du 1er février 2012 au 30 avril 2014, puis à une demi-rente à compter du 1er mai 2014. Les ch. II à IV dudit jugement sont annulés.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
3.
La cause est renvoyée au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure antérieure.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Fribourg, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 5 décembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Cretton