Erwägungen:
1.
1.1. Gegen A._ läuft im Kanton St. Gallen ein Strafverfahren. Darin verlangte er vor den kantonalen Instanzen erfolglos den Ausstand von Einzelrichter Hans Keller am Kreisgericht See-Gaster. Mit Urteil 1B_1/2017 vom 7. März 2017 wies das Bundesgericht eine Beschwerde in der Ausstandsfrage ab, soweit es darauf eintrat. Am 11. Mai 2017 verurteilte der Einzelrichter der 1. Abteilung am Kreisgericht See-Gaster, Hans Keller, A._ wegen mehrfacher Urkundenfälschung (besonders leichter Fall) zu einer bedingten Geldstrafe von 15 Tagessätzen zu je Fr. 80.--. A._ hat dagegen Berufung angemeldet.
1.2. Mit Eingabe vom 8. Juni 2017 an das Bundesgericht legt A._ beim Bundesgericht Beschwerde gegen den Entscheid des Kreisgerichts See-Gaster vom 11. Mai 2017 ein und stellt gleichzeitig Antrag auf Revision des bundesgerichtlichen Urteils 1B_1/2017 vom 7. März 2017. Ergänzend ersucht er vor Entstehung neuer grösserer Kosten um Mitteilung, ob seine Eingabe die formellen Voraussetzungen erfülle, sowie um Mitteilung der voraussichtlichen Kosten.
2.
2.1. Mit Beschwerde in Strafsachen können beim Bundesgericht nur Entscheide letzter kantonaler Instanzen und des Bundesstrafgerichts angefochten werden (Art. 80 Abs. 1 BGG). Soweit der Beschwerdeführer beim Bundesgericht das Urteil des Einzelrichters am Kreisgericht See-Gaster vom 11. Mai 2017 anficht, kann darauf nicht eingetreten werden, weil dagegen die Berufung offensteht und das Urteil demnach nicht kantonal letztinstanzlich ist.
2.2. Entscheide des Bundesgerichts erwachsen am Tag ihrer Ausfällung in Rechtskraft (Art. 61 BGG). Eine nochmalige Überprüfung der einem Urteil des Bundesgerichts zugrunde liegenden Streitsache ist grundsätzlich ausgeschlossen. Auf ein Urteil des Bundesgerichts kann nur im Verfahren der Revision (Art. 121 ff. BGG) zurückgekommen werden. Das Bundesgericht kann seine Urteile nur revidieren, wenn einer der in den Art. 121 ff. BGG abschliessend aufgeführten Revisionsgründe vorliegt (Art. 128 Abs. 1 BGG). Der Gesuchsteller muss das Vorliegen eines solchen Revisionsgrundes dartun und gemäss den Anforderungen an die Begründung einer Rechtsschrift an das Bundesgericht mit der erforderlichen Dichte substanziieren (vgl. Art. 42 Abs. 2 BGG). Fehlt es an einer rechtsgenüglichen Begründung, tritt das Bundesgericht auf ein Revisionsbegehren nicht ein.
2.2.1. Nach Art. 121 lit. a BGG kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn die Vorschriften über die Besetzung des Gerichts oder über den Ausstand verletzt worden sind. Dieser Revisionsgrund bezieht sich jedoch einzig auf die Besetzung des bundesgerichtlichen Spruchkörpers und fällt von vornherein nicht in Betracht, wenn wie hier ein unterinstanzlicher Ausstandsfall geltend gemacht wird.
2.2.2. Nach Art. 121 lit. d BGG kann die Revision eines Entscheids des Bundesgerichts verlangt werden, wenn das Gericht in den Akten liegende erhebliche Tatsachen aus Versehen nicht berücksichtigt hat. Soweit der Gesuchsteller die Argumente für sein Ausstandsgesuch wiederholt, die er schon im bundesgerichtlichen Verfahren 1B_1/2017 vorgetragen hatte und die damals vom Bundesgericht in dessen Urteil vom 7. März 2017 geprüft worden sind, ist seine Begründung von vornherein untauglich, weil die davon erfassten Tatsachen nicht übersehen wurden. Abgesehen davon beruft er sich hauptsächlich auf neue Tatsachen, die sich erst nach dem bundesgerichtlichen Urteil, insbesondere im Hauptverfahren vor dem Strafrichter, ergeben haben. Solche Tatsachen begründen jedoch keine Revision, da sie erst nach dem bundesgerichtlichen Urteil eingetreten sind. Auf in den Akten liegende wesentliche Tatsachen, die das Bundesgericht aus Versehen nicht berücksichtigt hätte, vermag sich der Gesuchsteller nicht zu berufen.
2.2.3. Soweit der Gesuchsteller schliesslich mit einzelnen Erwägungen im bundesgerichtlichen Urteil vom 7. März 2017 nicht einverstanden ist bzw. solche als unzutreffend anfechten will, liegt darin kein Revisionsgrund.
2.2.4. Der Beschwerdeführer macht auch keinen sonstigen massgeblichen Revisionsgrund geltend.
2.2.5. Damit kann auf das Revisionsgesuch ebenfalls nicht eingetreten werden.
3.
3.1. Auf die Beschwerde bzw. das Revisionsgesuch ist nicht einzutreten. Mit diesem Entscheid wird gleichzeitig das Gesuch des Beschwerdeführers und Gesuchstellers um separate Prüfung der Formalien seiner Eingabe gegenstandslos.
3.2. Bei diesem Verfahrensausgang würde der unterliegende Beschwerdeführer und Gesuchsteller grundsätzlich kostenpflichtig. Es rechtfertigt sich jedoch, ausnahmsweise von der Erhebung von Gerichtskosten abzusehen (vgl. Art. 66 Abs. 1 BGG). Damit wird der Antrag des Beschwerdeführers und Gesuchstellers auf Mitteilung der voraussichtlichen Kosten ebenfalls gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Eingabe wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt Uznach, und der Anklagekammer des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juni 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Uebersax