Faits :
A.
A._ a été engagée par le Conseil de l'Eglise réformée évangélique de la République et Canton du Jura (ci-après: le Conseil de l'Eglise) en qualité d'animatrice jeunesse au sein de la Paroisse de U._ à partir du 1 er septembre 2009. Par lettre du 29 octobre 2014, qui faisait suite à un entretien du même jour avec l'employée, le Conseil de l'Eglise a résilié ses rapports de service pour le 30 avril 2015. L'employeur motivait cette mesure par une "restructuration de l'animation jeunesse de la Paroisse de U._".
Par lettre du 25 mars 2015, A._, agissant par son mandataire, a contesté cette résiliation, notamment le motif invoqué par l'employeur. Elle se prévalait de l'irrégularité de la résiliation, prise selon elle en violation du droit d'être entendu et, de surcroît, par une simple lettre non munie de l'indication des voies de droit. La décision aurait dû, en outre, être précédée de deux évaluations successives. Le courrier du 29 octobre 2014 n'avait en conséquence aucune valeur juridique.
Le 8 avril 2015, le mandataire de l'intéressée a écrit au Conseil de l'Eglise que celle-ci maintenait sa position en ce qui concerne la nullité du licenciement. Il lui demandait de surseoir à la résiliation. Il proposait une entrevue entre les parties, en précisant que celle-ci ne pourrait avoir lieu qu'à partir du mois de mai 2015, attendu que sa cliente se trouvait alors à l'étranger jusqu'au 26 avril 2015 "dans le cadre de son travail".
Par lettre du 20 avril 2015, le Conseil de l'Eglise a prononcé le licenciement extraordinaire de l'employée pour le 30 avril 2015, au motif qu'elle avait abandonné son poste de travail sans en informer l'employeur.
B.
A._ a recouru contre cette décision devant la Chambre des recours de l'Eglise réformée évangélique de la République et Canton du Jura (ci-après: la Chambre des recours). Elle a conclu à l'annulation de la décision du 20 avril 2015, à la "nullité" de la résiliation de ses rapports de travail et à sa réintégration dans ses fonctions avec effet immédiat.
Statuant le 1 er octobre 2015, la Chambre des recours a prononcé l'irrecevabilité du recours.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public. Elle conclut à l'annulation de l'arrêt cantonal et demande au Tribunal fédéral de déclarer recevable son recours contre la décision du 20 avril 2015, subsidiairement, de renvoyer la cause à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
Le Conseil de l'Eglise conclut au rejet du recours. La Chambre des recours conclut également à son rejet, dans la mesure de sa recevabilité.
Considérant en droit :
1.
Le Tribunal fédéral examine d'office et librement la recevabilité des recours qui lui sont soumis (ATF 141 III 395 consid. 2.1 p. 397; 140 IV 57 consid. 2 p. 59).
2.
2.1. Selon la Constitution de la République et Canton du Jura (RS 131.235), l'Eglise catholique romaine et l'Eglise réformée évangélique du canton sont reconnues collectivités de droit public (art. 130). Les Eglises reconnues s'organisent de façon autonome; chaque Eglise reconnue se donne une Constitution ecclésiastique, qui doit être adoptée par ses membres et approuvée par le Gouvernement (art. 131 al. 1 et 2). L'Eglise réformée évangélique s'est dotée d'une Constitution le 29 juin 1979 (ci-après: Cst. ecclésiastique), dont l'art. 1 er prévoit qu'elle est dotée de la personnalité juridique.
2.2. La décision attaquée a donc été rendue par une autorité cantonale dans une cause de droit public (art. 82 let. a LTF). La question est de savoir si la Chambre des recours présente les caractéristiques d'un tribunal supérieur au sens de l'art. 86 al. 2 LTF. Selon la jurisprudence, en effet, on entend par là une autorité judiciaire cantonale dont les décisions ne sont pas susceptibles d'un recours ordinaire sur le plan cantonal et qui ne dépend pas du point de vue hiérarchique d'une autre autorité judiciaire. Si le droit cantonal n'institue qu'une seule instance judiciaire - l'art. 86 al. 2 LTF n'imposant pas une double instance de recours dans les causes de droit public -, celle-ci pourra être considérée comme un tribunal supérieur, à la condition qu'elle réponde aux exigences d'indépendance requises d'une autorité judiciaire et qu'elle ait le pouvoir d'examiner librement les faits et d'appliquer d'office le droit déterminant conformément à l'art. 110 LTF (sur ces divers points, voir ATF 136 II 470 consid. 1.1 p. 472; 135 II 94 consid. 4.1 p. 97 s.; 134 I 125 consid. 3.5 p. 135).
2.3. La Chambre des recours se compose de trois membres élus par l'Assemblée de l'Eglise (art. 23 al. 1 let. b en corrélation avec l'art. 30 Cst. ecclésiastique). Les fonctions de délégué à l'Assemblée de l'Eglise, de membre du Conseil de l'Eglise et de conseiller de paroisse sont incompatibles avec celle de membre de la Chambre des recours (art. 12 Cst. ecclésiastique).
La Chambre des recours connaît définitivement des contestations internes fondées sur la loi du 26 octobre 1978 concernant les rapports entre les Eglises et I'Etat (RS/JU 471.1), sur les Constitutions ecclésiastiques et les prescriptions édictées par les Eglises, ainsi que sur le droit public fédéral et cantonal (art. 37 al. 1 de ladite loi sur les rapports entre les Eglises et l'Etat en corrélation avec l'art. 29 Cst. ecclésiastique). Il en est ainsi des contestations relatives aux rapports de service (art. 2b al. 1 de l'ordonnance concernant la Chambre des recours du 1 er décembre 1981). Les décisions de la Chambre des recours ne peuvent donc pas faire l'objet d'un recours à une autre autorité cantonale. En particulier, elles ne peuvent pas être déférées à la Cour administrative (art. 158 ss de la loi [de la République et Canton du Jura] de procédure et de juridiction administrative et constitutionnelle du 30 novembre 1978 [code de procédure administrative, CPA; RS/JU 175.1]). Demeurent réservées des exceptions, qui n'entrent pas en considération en l'espèce, notamment les décisions sur le montant des contributions ecclésiastiques qui peuvent être déférées à la Cour administrative (art. 37 al. 3 de la loi concernant les rapports entre les Eglises et I'Etat; cf. BROGLIN/WINKLER DOCOURT, Procédure administrative, Principes généraux et procédure jurassienne, 2015, n. 46 p. 19; PIERRE BROGLIN, Manuel de procédure administrative jurassienne, 2009, n. 39 p. 24)
La juridiction de la Chambre des recours s'étend à tout le canton dans son domaine de compétence. Enfin, elle examine librement le fait et le droit (art. 20 al. 1 de l'ordonnance précitée sur la Chambre des recours).
Dans ces conditions, la Chambre des recours satisfait aux exigences rappelées ci-dessus (voir également, à propos du recours contre une décision de la Commission de recours de l'Eglise évangélique du canton de Thurgovie, l'arrêt 8C_915/2015 du 6 avril 2016 consid. 2, et à propos du recours contre une décision de la Commission de recours de l'Eglise catholique du canton de Zurich, l'arrêt 8C_451/2015 du 29 janvier 2016 consid. 2).
2.4.
Enfin, le jugement entrepris a été rendu en matière de rapports de travail de droit public au sens de l'art. 83 let. g LTF. Dans la mesure où la contestation au fond porte sur la résiliation de ces rapports, il s'agit d'une contestation de nature pécuniaire, de sorte que le motif d'exclusion de l'art. 83 let. g LTF n'entre pas en considération (p. ex: arrêt 8C_702/2014 du 16 octobre 2015 consid. 1). La valeur litigieuse atteint par ailleurs le seuil de 15'000 fr. ouvrant la voie du recours en matière de droit public en ce domaine (art. 51 al. 2 et 85 al. 1 let. b LTF).
2.5.
Il s'ensuit que le recours en matière de droit public est en l'espèce recevable.
3.
3.1. Préalablement, la juridiction précédente a examiné la validité du congé ordinaire prononcé le 29 octobre 2014. Implicitement tout au moins, elle a considéré que le véritable motif de cette résiliation, en plus de la mesure invoquée de restructuration, devait aussi être recherché dans des reproches de l'employeur liés aux prestations et au comportement de l'employée. Elle a retenu, à ce propos, que la recourante, en octobre 2014, savait depuis plusieurs mois déjà que le Conseil de paroisse n'était pas satisfait de ses services et qu'il existait des tensions. La juridiction cantonale fait état de diverses situations au cours desquelles des responsables de la paroisse lui avaient fait part de leur mécontentement. La question d'une restructuration a été abordée à l'occasion d'une séance du 10 septembre 2014, à laquelle participait l'intéressée. La juridiction cantonale considère toutefois que le droit d'être entendue de la recourante a été violé, dès lors que, formellement, elle n'a pas été en mesure de s'exprimer avant que la décision de licenciement ne soit prise. Elle considère néanmoins que le vice de procédure n'était pas si grave qu'il dût déboucher sur la nullité du congé prononcé le 29 octobre 2014. Dans ce même ordre d'idées, elle a considéré que la violation alléguée par la recourante de certaines dispositions de procédure de la loi [de la République et canton du Jura] du 22 septembre 2010 sur le personnel de l'Etat (LPers/JU; RS/JU 173.11) n'était pas non plus - à supposer que cette loi fût en l'espèce applicable - un motif de nullité du congé.
3.2. Dans un deuxième temps, la Cour cantonale a examiné si la lettre du mandataire de la recourante du 25 mars 2015 pouvait être considérée comme un recours valablement formé contre la décision du 29 octobre 2014, laquelle n'était pas munie de l'indication des voies de droit. Elle a relevé que le mandataire, qui avait eu connaissance de la lettre de résiliation le 9 décembre 2014, ne l'avait formellement contestée que cinq mois environ après sa notification, soit dans un délai qui devait être considéré comme excessif au regard du principe de la bonne foi. La juridiction cantonale parvient ainsi à la conclusion que la décision du 29 octobre 2014 est entrée en force et que les rapports de service ont pris fin, en vertu de cette décision, le 30 avril 2015. Par conséquent, la recourante n'avait aucun intérêt à contester la résiliation extraordinaire du 20 avril 2015, qui était sans effet.
4.
4.1. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits constatés dans la décision attaquée (art. 105 al. 1 LTF). Si la partie recourante entend s'en écarter, elle doit expliquer de manière circonstanciée en quoi ils ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 137 I 58 consid. 4.1.2 p. 62; 133 II 249 consid. 1.2.2 p. 252) ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF, et en quoi la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
4.2. La recourante ne prétend pas avoir valablement recouru contre la décision du 29 octobre 2014. Elle soutient que la violation de son droit d'être entendue était un motif de nullité de cette décision, contrairement à l'avis de la Chambre des recours. Elle invoque diverses circonstances qui tendent, selon elle, à démontrer qu'elle n'avait pas conscience que son employeur envisageait un licenciement, de sorte qu'il conviendrait de conclure à un manquement particulièrement grave à ses droits essentiels. Ce faisant, la recourante se fonde sur des faits qui n'ont pas été retenus par l'autorité précédente ou qui divergent de l'état de fait ressortant du jugement attaqué. Comme elle n'expose pas en quoi les conditions rappelées ci-dessus seraient réunies, les faits en question ne peuvent pas être pris en considération, le Tribunal fédéral étant fondé à vérifier l'application du droit sur la seule base de ceux qui ressortent de l'arrêt attaqué.
4.3.
4.3.1. En matière de rapports de travail de droit public, des occasions relativement informelles de s'exprimer avant le licenciement peuvent remplir les exigences du droit constitutionnel d'être entendu, pour autant que la personne concernée ait compris qu'une telle mesure pourrait entrer en ligne de compte à son encontre (arrêt 8C_243/2015 du 17 mars 2016 consid. 5.5 et les arrêts cités). La personne concernée ne doit pas seulement connaître les faits qui lui sont reprochés, mais doit également savoir qu'une décision allant dans le sens d'une certaine direction est envisagée à son égard (consid. 5 non publié aux ATF 136 I 39 de l'arrêt 8C_158/2009 du 2 septembre 2009 et les arrêts cités; arrêt 8C_62/2014 du 29 novembre 2014 consid. 2.3.1). Par exemple, il n'est pas admissible, sous l'angle du droit d'être entendu, de remettre à l'employé une décision de résiliation des rapports de service en se contentant de lui demander de s'exprimer s'il le désire (GABRIELLE STEFFEN; Le droit d'être entendu du collaborateur de la fonction publique, juste une question de procédure?, Recueil de jurisprudence neuchâteloise [RJN], p. 51 ss, plus spécialement p. 64; cf. aussi arrêt 8C_413/2014 du 17 août 2015 consid. 3.2.1). En l'espèce, même si l'employeur a fait part à la recourante de son mécontentement et a évoqué devant elle des mesures de restructuration en relation avec son poste d'animatrice, il n'est pas établi qu'elle dût comprendre que ses rapports de travail pourraient être résiliés. Son droit d'être entendue a donc été clairement violé, ainsi que l'a retenu avec raison la Chambre des recours.
4.3.2. Pour autant, et même si le vice n'est pas dépourvu de gravité, on ne saurait conclure à la nullité du congé signifié le 29 octobre 2014. La nullité absolue d'une décision peut être invoquée en tout temps devant toute autorité et doit être constatée d'office. Elle ne frappe que les décisions affectées des vices les plus graves, manifestes ou du moins facilement reconnaissables, et pour autant que sa constatation ne mette pas sérieusement en danger la sécurité du droit. Sauf dans les cas expressément prévus par la loi, il ne faut admettre la nullité qu'à titre exceptionnel, lorsque les circonstances sont telles que le système d'annulabilité n'offre manifestement pas la protection nécessaire (ATF 130 II 249 consid. 2.4 p. 257). Des vices de fond d'une décision n'entraînent qu'exceptionnellement sa nullité. Entrent avant tout en considération comme motifs de nullité l'incompétence fonctionnelle et matérielle de l'autorité appelée à statuer, ainsi qu'une erreur manifeste de procédure. Des vices de procédure qui tiennent à des violations du droit d'être entendu sont en soi guérissables et ne conduisent en règle générale qu'à l'annulabilité de la décision entachée du vice. S'il s'agit cependant d'un manquement particulièrement grave aux droits essentiels des parties, les violations du droit d'être entendu entraînent aussi la nullité. C'est en particulier le cas quand la personne concernée par une décision, à défaut d'avoir été citée, ignore tout de la procédure ouverte à son encontre et, partant, n'avait pas eu l'occasion d'y prendre part (ATF 129 I 361 consid. 2.1 p. 363, sur ces divers points, voir aussi MOOR/POLTIER, Droit administratif, vol. II, 3 ème éd. 2011, n. 2.3.3.3 p. 366 ss et n. 2.3.4.3 p. 372 ss).
4.3.3. En l'espèce, on doit admettre que les conditions de la nullité ne sont pas remplies. Même si elle n'a pas été formellement entendue avant la décision en question, celle-ci lui a été notifiée et elle a eu - ou du moins aurait eu - la possibilité de l'attaquer. La recourante a donc eu connaissance de la procédure de licenciement. La possibilité de faire annuler cette décision par le tribunal lui offrait la protection nécessaire, dès lors que celui-ci aurait eu le pouvoir de constater le vice de procédure et d'en tirer des conséquences juridiques. Suivre la recourante reviendrait, pratiquement, à sanctionner par la nullité toute décision administrative prise en violation du droit d'être entendu du justiciable, alors que c'est la règle de l'annulabilité qui prévaut.
4.4.
4.4.1. La recourante voit un second motif de nullité dans la violation par l'employeur de l'art. 87 LPers/JU. Cette disposition prévoit, pour la procédure de licenciement, deux évaluations formelles préalables du travail avec le supérieur hiérarchique et un avertissement écrit et motivé. La recourante fait valoir que son travail n'a fait l'objet d'aucune évaluation formelle et qu'aucun avertissement écrit ne lui a été signifié. En particulier, les séances du Conseil de paroisse au cours desquelles des reproches sur son travail auraient été formulés ne sauraient être assimilées à des évaluations.
4.4.2. La Chambre des recours a laissé ouverte la question de savoir si la réglementation invoquée de la LPers/JU était applicable en l'espèce, tout en soulignant que l'ordonnance concernant les animateurs de jeunesse du 21 novembre 2009 précisait que l'engagement et la résiliation des rapports de service étaient du ressort du Conseil de l'Eglise. Cette ordonnance était muette sur les motifs et la procédure de licenciement. On ne pouvait sans plus conclure à la présence d'une lacune qui devait être comblée en application par analogie de la LPers/JU, à savoir la procédure comprenant deux évaluations et la fixation d'un délai par un avertissement écrit ou encore la procédure prévue en cas de licenciement pour suppression d'emploi.
4.4.3. L'art. 87 LPers/JU concrétise le droit d'être entendu en accordant à la personne concernée la possibilité de s'améliorer pour correspondre aux exigences du poste. Or, comme l'a souligné la juridiction cantonale, l'attention de l'intéressée a été attirée à plusieurs reprises sur l'insuffisance de ses prestations. Elle a en outre bénéficié d'une supervision en raison de ses difficultés relationnelles avec sa collègue. Dans ces conditions, la juridiction précédente pouvait admettre qu'au regard de l'art. 87 LPers/JU, supposé applicable, le vice de procédure, dans la mesure où il ne se confondait pas avec la violation du droit d'être entendu, n'était pas non plus grave au point d'entraîner la nullité du congé.
4.5. Le grief tiré de la nullité n'est dès lors pas fondé. Pour le reste, la recourante ne remet pas en cause le jugement attaqué en tant que celui-ci retient que la décision du 29 octobre 2014 est entrée en force (supra consid. 4.2).
5.
De ce qui précède, il résulte que le recours est mal fondé. La recourante, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). L'intimé, qui n'est au demeurant pas représenté, n'a pas droit au dépens qu'il prétend, bien qu'il obtienne gain de cause (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des recours de l'Eglise réformée évangélique de la République et Canton du Jura.
Lucerne, le 6 juillet 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella