Sachverhalt:
A.
A._ arbeitete seit xxx als Kellner im Restaurant B._. Damit war er bei der GastroSocial Pensionskasse berufsvorsorgeversichert. Mit Schreiben vom 23. Mai 2002 kündigte der Arbeitgeber aus wirtschaftlichen Gründen die Anstellung auf den 31. Juli 2002. Danach war A._ als arbeitslos gemeldet. Ab 8. August 2002 bezog er Taggelder der Arbeitslosenversicherung aufgrund einer angegebenen Vermittlungsfähigkeit von 100 %; im Zeitraum von xxx bis xxx nahm er an einem Beschäftigungsprogramm teil.
Im Juni 2003 meldete sich A._ bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Nach Abklärungen sprach ihm die IV-Stelle Basel-Stadt mit Verfügung vom 24. Oktober 2005 rückwirkend ab 1. August 2003 eine halbe Rente samt einer Kinderrente zu. Sowohl die GastroSocial Pensionskasse (Schreiben vom 14. November 2005 und 23. Januar 2006) als auch die Stiftung Auffangeinrichtung BVG (Schreiben vom 14. März 2013) verneinten eine Leistungspflicht und lehnten die Ausrichtung von Invalidenleistungen der beruflichen Vorsorge ab.
B.
Am 15. September 2015 erhob A._ Klage gegen die GastroSocial Pensionskasse, welche das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt nach Beiladung der Stiftung Auffangeinrichtung BVG mit Entscheid vom 3. August 2016 guthiess, indem es die Beklagte verpflichtete, dem Kläger eine Nachzahlung in der Höhe von Fr. 31'884.- zuzüglich Zins zu 5 % seit Klageeinleitung zu leisten, ihm ab September 2015 eine monatliche Invalidenrente von Fr. 425.10 samt einer Kinderrente von Fr. 106.30 und allfällliger Teuerungszuschläge zuzüglich Zins zu 5 % ab Fälligkeit auszurichten und sein Alterskonto weiterzuführen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die GastroSocial Pensionskasse, der Entscheid vom 3. August 2016 sei aufzuheben und die Klage abzuweisen.
A._ ersucht um Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten ist, und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Die Stiftung Auffangeinrichtung BVG schliesst ebenfalls auf Abweisung des Rechtsmittels. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Streitgegenstand bilden die dem Beschwerdegegner von der Vorinstanz zugesprochenen Invaliditätsleistungen der obligatorischen beruflichen Vorsorge (Invalidenrente und Invaliden-Kinderrente sowie Weiterführung des Alterskontos mit Altersgutschriften und Zinsen nach Art. 13 des Reglements der Beschwerdeführerin, gültig ab 1. Januar 2003). Diese bestreitet grundsätzlich ihre Leistungspflicht, wobei sie eine offensichtlich unrichtige und willkürliche Sachverhaltsfeststellung und als Folge davon eine bundesrechtswidrige Rechtsanwendung durch das kantonale Berufsvorsorgegericht rügt.
2.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zu Grunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
3.
3.1. Invalidenleistungen der (obligatorischen) beruflichen Vorsorge werden von derjenigen Vorsorgeeinrichtung geschuldet, bei welcher die ansprechende Person bei Eintritt der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, versichert war (Art. 23 lit. a BVG [bis 31. Dezember 2004: Art. 23 BVG]; BGE 138 V 409 E. 6.2 S. 419). Der Anspruch setzt sodann einen engen zeitlichen und sachlichen Zusammenhang zwischen der während des Vorsorgeverhältnisses (einschliesslich Nachdeckungsfrist nach Art. 10 Abs. 3 BVG) bestandenen Arbeitsunfähigkeit und der allenfalls erst später eingetretenen Invalidität voraus (Art. 28 und 29 IVG i.V.m. Art. 26 Abs. 1 BVG; BGE 134 V 20 E. 3.2 S. 22). Der sachliche Konnex ist gegeben, wenn der Gesundheitsschaden, welcher zur Arbeitsunfähigkeit geführt hat, im Wesentlichen derselbe ist, wie er der Erwerbsunfähigkeit zugrunde liegt (BGE 138 V 409 E. 6.2 S. 419). Ist die bei noch bestehender Versicherungsdeckung eingetretene Arbeitsunfähigkeit somatisch, die Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung begründende Invalidität jedoch psychisch bedingt, muss sich die Störung während des Vorsorgeverhältnisses manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitgeprägt haben (Urteile 9C_370/2016 vom 12. September 2016 E. 3 und 9C_115/2015 vom 12. November 2015 E. 2.2, in: SVR 2016 BVG Nr. 37 S. 150).
3.2. Unter bestimmten Voraussetzungen kommt dem im invalidenversicherungsrechtlichen Verfahren festgesetzten Beginn der Wartezeit nach Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG (bis 31. Dezember 2007: Art. 29 Abs. 1 lit. b IVG) Bindungswirkung zu als im Sinne von Art. 23 lit. a BVG massgebender Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, sowie Dauer und Umfang des Anspruchs (Invaliditätsgrad), dies unter dem Vorbehalt, dass die betreffenden Festlegungen aufgrund einer gesamthaften Prüfung der Akten nicht als offensichtlich unhaltbar erscheinen (Urteil 9C_289/2016 vom 10. August 2016 E. 2.2 mit Hinweisen, in: SVR 2016 BVG Nr. 51 S. 215). Ob eine allfällige Unrichtigkeit offensichtlich ist, und demzufolge eine Bindungswirkung entfällt, ist eine vom Bundesgericht frei überprüfbare Rechtsfrage (Urteil 9C_491/2015 vom 19. Januar 2016 E. 1.2 mit Hinweisen).
4.
Vorliegend ist unbestritten, dass bis zum 7. August 2002 bei der Beschwerdeführerin Versicherungsdeckung für das Risiko (Tod und) Invalidität bestand (vgl. aArt. 2 Abs. 1bis [seit 1. Januar 2005: Abs. 3] und Art. 10 Abs. 3 BVG), der im IV-Verfahren festgelegte Beginn der Wartezeit am 1. August 2002 vorbehältlich offensichtlicher Unhaltbarkeit als im Sinne von aArt. 23 BVG massgebender Zeitpunkt des Eintritts der Arbeitsunfähigkeit, deren Ursache zur Invalidität geführt hat, gilt und der IV-Rentenanspruch auf einer psychisch bedingten Arbeitsunfähigkeit von 50 % beruht. Davon ausgehend hat die Vorinstanz zum sachlichen Konnex zwischen Arbeitsunfähigkeit während bestehender Versicherungsdeckung und später eingetretener Invalidität im Sinne von aArt. 23 BVG erwogen, der Beschwerdegegner sei anfänglich vorwiegend aufgrund von körperlichen Beschwerden bei seiner Arbeit im Restaurant B._ ausgefallen. Im Zusammenhang mit seinen Rückenproblemen habe er sich schon 1997 und 2000 bei der Invalidenversicherung zum Bezug von Leistungen angemeldet. Aufgrund der Akten sei davon auszugehen, dass während der Dauer des Versicherungsverhältnisses bis 7. August 2002 psychische Beschwerden erkennbar in Erscheinung getreten seien.
So lasse das Gutachten des Dr. med. C._ vom 10. März 2004 keinen Zweifel daran, dass eine psychiatrische Problematik bereits während der Anstellung im Restaurant B._ bestanden habe. Diese habe sich mit den zunehmenden körperlichen Beschwerden und schliesslich mit der Kündigung am 23. Mai 2002 verstärkt und später invalidisierendes Ausmass angenommen. Glaubhaft lege der psychiatrische Experte dar, dass sich die invalidisierende Depression reaktiv auf die Kündigung durch den idealisierten Arbeitgeber mit einhergehenden starken Ohnmachts- und Angstgefühlen sowie schwerer Hilflosigkeit entwickelt habe. Die Arbeit im Restaurant B._ habe dem Beschwerdegegner Halt gegeben, auch wenn sie für ihn körperlich immer schwieriger zu bewältigen gewesen sei. Das Arbeitsumfeld sei wie ein seelisches Korsett gewesen und habe ihn stabilisiert. Er sei von seinem Chef, den er sehr idealisiert besetzt hatte, sehr enttäuscht gewesen und habe sich verlassen gefühlt. Sein fragil ausgebildetes Selbst habe durch diese Enttäuschung eine Dekompensation erfahren.
Der Umstand sodann, dass der Beschwerdegegner erst im Oktober 2002 psychiatrische Hilfe in Anspruch genommen habe, spreche nicht dafür, dass psychische Beschwerden erst in diesem späteren Zeitpunkt aufgetreten seien. Echtzeitlich fänden sich Hinweise auf eine relevante psychiatrische Problematik bereits im rheumatologischen Gutachten des Dr. med. D._ vom 29. Januar 2002, in welchem als Nebendiagnose ein ängstlich-introvertierter Typ aufgeführt werde. Auf dieser Grundlage könne der zur Begründung eines Leistungsanspruchs erforderliche sachliche Zusammenhang mit dem notwendigen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit bejaht werden.
5.
5.1. Mit ihren die vorinstanzliche Sachverhaltsfeststellung und Beweiswürdigung betreffenden Vorbringen rügt die Beschwerdeführerin sinngemäss auch, das kantonale Berufsvorsorgegericht sei von einem unzutreffenden Begriff des engen sachlichen Zusammenhangs ausgegangen, wenn die bei noch bestehender Versicherungsdeckung eingetretene Arbeitsunfähigkeit somatisch, die Anspruch auf eine Rente der Invalidenversicherung begründende Invalidität jedoch psychisch bedingt ist (E. 3.1 hiervor). Die Rüge ist begründet: In Konstellationen der erwähnten Art ist für die Bejahung des sachlichen Konnexes in der Regel nicht vorausgesetzt, dass während der Dauer des Vorsorgeverhältnisses bzw. vor dem Ende der Nachdeckungsfrist (für die Risiken Tod und Invalidität) die Arbeitsfähigkeit psychisch bedingt (mindestens zu 20 % wie bei körperlichen Beeinträchtigungen) eingeschränkt war. Umso grössere Bedeutung kommt dem Nachweis zu, dass das Leiden sich manifestiert und das Krankheitsgeschehen erkennbar mitprägt hatte, an welchen demzufolge keine zu geringen Anforderungen gestellt werden dürfen. Verlangt sind grundsätzlich echtzeitliche Belege, aus denen sich allenfalls im Verbund mit späteren fachärztlichen Berichten gewichtige Anhaltspunkte ergeben, wonach bei noch bestehender Versicherungsdeckung psychische Beeinträchtigungen mit Auswirkungen auf das Krankheitsgeschehen bestanden (Urteil 9C_115/2015 vom 12. November 2015 E. 6.3.1-2, in: SVR 2016 BVG Nr. 37 S. 150; vgl. auch Urteile 9C_370/2016 vom 12. September 2016 E. 4.2.2, 9C_814/2014 vom 30. April 2015 E. 6.2, 9C_1035/2008 vom 18. März 2009 E. 3.3, 9C_772/2007 vom 26. Februar 2008 E. 4.2 und B 46/06 vom 29. Januar 2007 E. 6). Daran gebricht es vorliegend.
5.2. Gemäss Vorinstanz fanden sich echtzeitlich einzig im rheumatologischen Gutachten des Dr. med. D._ vom 29. Januar 2002 Hinweise auf eine relevante psychiatrische Problematik (E. 4 hiervor). Die darin aufgeführte "Nebendiagnose", wonach der Beschwerdegegner ein ängstlich-introvertierter Typ sei, beschreibt indessen in erster Linie eine Charaktereigenschaft, die auf zahlreiche Personen zutreffen dürfte, welche jedenfalls nicht als gewichtiges Indiz für das Vorliegen einer psychischen Störung aufgefasst werden kann. Weiter sind weder ärztliche Konsultationen vor dem 7. August 2002 noch medizinische Behandlungen vor Oktober 2002 aktenkundig. Ebenso wenig wird ein auffälliges Verhalten am Arbeitsplatz geltend gemacht, woraus auf eine latent vorhandene oder eine beginnende psychische Störung zu schliessen wäre. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass die Kündigung der Anstellung im Restaurant B._, welche gemäss dem psychiatrischen Gutachten vom 10. März 2004 neben den körperlichen Beschwerden auslösendes Moment für die Entstehung der (invalidisierenden) Depression war, am 23. Mai 2002 ausgesprochen worden war, somit über zwei Monate vor Ende des Vorsorgeverhältnisses und mehr als vier Monate bevor sich der Beschwerdegegner in psychiatrische Behandlung begab. Unter diesen Umständen kann nicht gesagt werden, das psychische Leiden, welches zur Invalidität führte, sei vor dem 7. August 2002 in rechtsgenüglicher Art und Weise in Erscheinung getreten und habe das Krankheitsgeschehen erkennbar mitprägt. Der enge sachliche Zusammenhang zwischen somatisch bedingter Arbeitsunfähigkeit während bestehender Versicherungsdeckung bei der Beschwerdeführerin und späterer Invalidität ist daher zu verneinen. Damit entfällt eine Leistungspflicht der beklagten Vorsorgeeinrichtung, ohne dass der zeitliche Konnex zu prüfen wäre. Die Beschwerde ist begründet.
6.
Die Gerichtskosten sind je hälftig dem unterliegenden Beschwerdegegner und der Beigeladenen, welche sich materiell zur Beschwerde geäussert und deren Abweisung beantragt hat, aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Seinem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege kann jedoch entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202). Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach er der Gerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn er später dazu in der Lage ist. Die obsiegende Beschwerdeführerin hat keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 3. August 2016 wird aufgehoben und die Klage vom 15. September 2015 abgewiesen.
2.
Dem Beschwerdeführer wird die unentgeltliche Rechtspflege gewährt und Advokat Javier Ferreiro wird als unentgeltlicher Anwalt bestellt.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden je zur Hälfte dem Beschwerdegegner und der Stiftung Auffangeinrichtung BVG auferlegt. Der Anteil des Beschwerdegegners wird einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Dem Rechtsvertreter des Beschwerdegegners wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'400.- ausgerichtet.
5.
Die Sache wird zur Neuverlegung der Kosten und der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens, insbesondere zum Entscheid über das vorinstanzlich gestellte Gesuch des Beschwerdegegners um unentgeltliche Rechtspflege, an das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt zurückgewiesen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Stiftung Auffangeinrichtung BVG, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 19. Januar 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Der Gerichtsschreiber: Fessler