Sachverhalt:
A.
A._ ist seit 1. August 2012 Bachelorstudent der pharmazeutischen Wissenschaften an der Philosophisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Basel. Am 18. November 2014 wurde ihm aufgrund gesundheitlicher Beeinträchtigungen (Energielosigkeit, Prüfungsangst, eingeschränkte Aufnahmefähigkeit, Konzentrationsstörung vor und bei Prüfungen) auf Antrag hin ein Nachteilsausgleich gewährt. Dieser berechtigte ihn dazu, sich noch bis zum Tag einer Prüfung von dieser abzumelden.
Im Rahmen des Aufbaustudiums absolvierte A._ am 13. Januar 2015 zum zweiten Mal die Prüfung zur Vorlesung "Organische Chemie I". Am 15. Januar 2015 wurde ihm mitgeteilt, dass er die Prüfung nicht bestanden habe. Gleichentags ersuchte A._ um Einsicht in die Prüfung. Diese wurde ihm am 30. Januar 2015 gewährt.
B.
Am 4. Februar 2015 stellte A._ einen Härtefallantrag mit dem Begehren, die Bewertung der Prüfung sei zu annullieren. Zur Begründung führte er an, dass er aufgrund seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung nicht in der Lage gewesen sei, die Prüfung vom 13. Januar 2015 ordnungsgemäss abzulegen.
Die Philosophisch-Naturwissenschaftliche Fakultät wies den Antrag am 24. Februar 2015 ab und schloss A._ mit Verfügung vom 3. März 2015 infolge wiederholten Nichtbestehens der Prüfung zur Vorlesung "Organische Chemie I" vom Bachelorstudium aus.
Das Rechtsmittel gegen die Abweisung des Härtefallantrags und den Ausschluss vom Bachelorstudium an die Rekurskommission der Universität Basel blieb erfolglos. Die Rekurskommission stellte sich auf den Standpunkt, dass A._ weder unmittelbar nach dem Wegfall seiner gesundheitlichen Beeinträchtigung ein Annullierungsgesuch, noch innert fünf Tagen nach dem Prüfungstermin ein Arztzeugnis vorgelegt habe, wie das die einschlägige Studienordnung verlange. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt wies eine von A._ dagegen gerichtete Beschwerde kantonal letztinstanzlich mit Urteil vom 18. April 2016 ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 27. Mai 2016 gelangt A._ an das Bundesgericht und beantragt, der Entscheid des Appellationsgerichts vom 18. April 2016 sei aufzuheben. Zudem verlangt er die Gutheissung seines Härtefallantrags vom 4. Februar 2015 sowie die Zulassung zu einer Wiederholung der Prüfung im Fach "Organische Chemie I". Ferner beantragt er unter anderem die Aufhebung der Verfügung betreffend Exmatrikulation vom 3. März 2015 und die Feststellung, weiterhin an der Universität Basel im Studium der Pharmazie immatrikuliert zu sein.
Das Bundesgericht zog mit Präsidialverfügung vom 1. Juni 2016 die vorinstanzlichen Akten bei. Vernehmlassungen wurden keine eingeholt.
Erwägungen:
1.
1.1. Die form- (Art. 42 Abs. 2 BGG) und fristgerecht (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde betrifft eine Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a BGG). Soweit sie sich gegen das Urteil des Appellationsgerichts vom 18. April 2016 richtet, liegt mit einem Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten, oberen kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 und Abs. 2 BGG) ein zulässiges Anfechtungsobjekt vor.
Anders verhält es sich mit dem Begehren des Beschwerdeführers um Aufhebung der Verfügung der Philosophisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät betreffend Exmatrikulation vom 3. März 2015. Bei dieser handelt es sich nicht um den Entscheid einer letzten, oberen kantonalen Instanz (Art. 86 Abs. 1 und Abs. 2 BGG). Aufgrund des Devolutiveffekts gilt die genannte Verfügung inhaltlich jedoch als mit dem Urteil vom 18. April 2016 mitangefochten (BGE 141 II 14 E. 1.3 S. 23; 139 II 404 E. 2.5 S. 415; 136 II 177 E. 1.3 S. 180 f.).
1.2. Gemäss Art. 83 lit. t BGG ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide über das Ergebnis von Prüfungen und anderen Fähigkeitsbewertungen, namentlich auf den Gebieten der Schule, der Weiterbildung und der Berufsausübung.
Nicht jeder Entscheid, der sich auf eine Prüfung bezieht, fällt unter den Ausschlussgrund von Art. 83 lit. t BGG. Dieser zielt auf Prüfungsergebnisse im eigentlichen Sinne sowie auf alle Entscheide ab, die auf einer Bewertung der intellektuellen oder physischen Fähigkeiten eines Kandidaten beruhen, nicht aber auf sonstige Entscheide im Zusammenhang mit Prüfungen oder Fähigkeitsbewertungen, die andere Fragen zum Gegenstand haben (BGE 138 II 42 E. 1.1 und E. 1.2 S. 44 f.; 136 I 229 E. 1 S. 231; Urteile 2D_31/2014 vom 22. April 2014 E. 2.2.1; 2C_1016/2011 vom 3. Mai 2012 E. 1.1, nicht publ. in: BGE 138 I 196).
Der Beschwerdeführer richtet sich gegen die Abweisung seines Härtefallantrags betreffend Annullierung einer nicht bestandenen Prüfung und gegen die Exmatrikulation infolge wiederholten Nichtbestehens der besagten Prüfung. Nicht Streitgegenstand ist demgegenüber die Bewertung der Prüfung als ungenügend. Somit greift der Ausschlussgrund gemäss Art. 83 lit. t BGG nicht; die Eingabe ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegenzunehmen.
1.3. Zusätzlich zur Aufhebung des Urteils vom 18. April 2016, das seine Exmatrikulation durch die Universität Basel bestätigt, beantragt der Beschwerdeführer die Feststellung, dass er weiterhin im Studium Pharmazie an der Universität Basel immatrikuliert sei. Feststellungsbegehren sind im bundesgerichtlichen Verfahren indes nur zulässig, sofern an der Feststellung ein schutzwürdiges rechtliches oder tatsächliches Interesse besteht, das nicht ebenso gut mit einer rechtsgestaltenden Verfügung gewahrt werden kann (vgl. BGE 126 II 300 E. 2 S. 303 f.; Urteile 2C_459/2011 vom 26. April 2012 E. 1.2.1, nicht publ. in: BGE 138 I 246; 2C_1118/2014 vom 22. Juni 2015 E. 1; 2C_74/2014 / 2C_78/2014 vom 26. Mai 2014 E. 2.3). Es ist nicht ersichtlich und wird vom Beschwerdeführer auch nicht dargelegt, inwieweit er ein Feststellungsinteresse aufweist, das über die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils hinaus reicht. In diesem Umfang ist auf das Rechtsmittel daher nicht einzutreten.
Unter Vorbehalt des soeben Dargelegten ist auf das Rechtsmittel des bereits am vorinstanzlichen Verfahren beteiligten und vom angefochtenen Entscheid in seinen schutzwürdigen Interessen besonders berührten Beschwerdeführers einzutreten (Art. 89 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann namentlich die Verletzung von Bundes- und Völkerrecht sowie von kantonalen verfassungsmässigen Rechten und interkantonalem Recht gerügt werden (Art. 95 lit. a bis lit. c, lit. e BGG). Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG), doch prüft es, unter Berücksichtigung der allgemeinen Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 2 BGG), grundsätzlich nur die geltend gemachten Vorbringen, sofern allfällige weitere rechtliche Mängel nicht geradezu offensichtlich sind (BGE 138 I 274 E. 1.6 S. 280 f. mit Hinweis). Die Verletzung von Grundrechten sowie von kantonalem und interkantonalem Recht untersucht das Bundesgericht in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist. In der Beschwerde ist klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 II 404 E. 3 S. 415; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232).
2.2. In sachverhaltlicher Hinsicht stützt sich das Bundesgericht auf die Feststellungen der Vorinstanz (Art. 105 Abs. 1 BGG). Eine Berichtigung oder Ergänzung der vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen ist von Amtes wegen (Art. 105 Abs. 2 BGG) oder auf ausreichend begründete Rüge hin möglich (Art. 97 Abs. 1 BGG; vgl. zu den Anforderungen an Sachverhaltsrügen BGE 139 I 72 E. 9.2.3.6 S. 96; 133 II 249 E. 1.4.3 S. 254 f.). Von den tatsächlichen Grundlagen des vorinstanzlichen Urteils weicht das Bundesgericht jedoch nur ab, wenn diese offensichtlich unrichtig sind oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen und die Behebung des Mangels für den Verfahrensausgang entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.).
3.
3.1. Der Beschwerdeführer rügt eine Verletzung seines Anspruchs auf rechtliches Gehör. Zur Begründung bringt er vor, dass die Vorinstanz nicht eingehend gewürdigt habe, was der ihn behandelnde Dr. med. B._ in seinen Arztzeugnissen vom 5. Februar 2015 und 26. März 2015 festgehalten habe.
Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist in Art. 29 Abs. 2 BV verankert und formeller Natur. Seine Verletzung führt grundsätzlich ungeachtet der materiellen Begründetheit des Rechtsmittels zur Gutheissung der Beschwerde und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheides (BGE 141 V 557 E. 3 S. 563 f.; 137 I 195 E. 2 S. 197 f.). Die Rüge ist deshalb vorweg zu behandeln.
3.2. Die Pflicht zur Wahrung des rechtlichen Gehörs vermittelt den Parteien unter anderem den Anspruch, dass die Behörde alle erheblichen und rechtzeitigen Vorbringen würdigt und die ihr angebotenen Beweise abnimmt, wenn diese zur Abklärung des Sachverhalts tauglich erscheinen. Auf die Abnahme beantragter Beweise kann die Behörde verzichten, wenn sie auf Grund der bereits abgenommenen Beweise ihre Überzeugung gebildet hat und ohne Willkür in antizipierter Beweiswürdigung annehmen kann, dass ihre Überzeugung durch weitere Beweiserhebungen nicht geändert würde (vgl. BGE 141 I 60 E. 3.3 S. 64; 136 I 229 E. 5.3 S. 236 f. mit Hinweisen).
3.3. Die Vorinstanz befasst sich im angefochtenen Entscheid mit den vom Beschwerdeführer aufgelegten Arztzeugnissen (vgl. angefochtener Entscheid E. 2.2.2 S. 5 f.). Sie legt weiter dar, aus welchen Gründen die Schlüsse, die von der Rekurskommission der Universität Basel gestützt auf die Arztzeugnisse gezogen wurden, zutreffend erscheinen. Dass die Vorinstanz dabei zur Verdeutlichung ihres Standpunkts nur jene Passagen aus den Arztzeugnissen wiedergibt, die sie als rechtserheblich betrachtet, ist nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz setzt sich folglich hinreichend intensiv mit den vom Beschwerdeführer ins Recht gelegten Beweismitteln auseinander. Eine Verletzung seines rechtlichen Gehörs ist entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers nicht zu erkennen.
4.
4.1. Im Zusammenhang mit seinem Gesundheitszustand rügt der Beschwerdeführer weiter eine willkürliche Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz. Er macht diesbezüglich geltend, die Vorinstanz vertrete zu Unrecht die Auffassung, dass er spätestens seit 16. Januar 2015 seine am 13. Januar 2015 bestehende Prüfungsunfähigkeit erkennen konnte und in der Lage gewesen sei, unmittelbar danach ein Härtefallgesuch einzureichen. Eine offensichtliche oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhende Unrichtigkeit im Tatsachenfundament der Vorinstanz vermag der Beschwerdeführer mit seinen Ausführungen indes nicht darzutun (vgl. zu den Voraussetzungen einer Sachverhaltskorrektur E. 2.2 hiervor).
4.2. Wohl ergibt sich aus den vom Beschwerdeführer zitierten Arztzeugnissen, dass seine "psychische und kognitive Belastbarkeit [...] stark eingeschränkt" und es ihm zeitweise nicht möglich gewesen sei, "Entscheidungen basierend auf seine psychische Realität zu fällen". Im Hinblick auf die konkret in Frage stehende Wahrnehmung der eigenen Prüfungsunfähigkeit und die (psychischen) Ressourcen des Beschwerdeführers zur Stellung eines Härtefallgesuchs bleiben die ärztlichen Stellungnahmen jedoch ausgesprochen vage. Aus den zitierten Arztzeugnissen lässt sich jedenfalls nicht ableiten, dass der Beschwerdeführer seiner im Prüfungszeitpunkt bestehenden gesundheitlichen Problematik nicht spätestens am 16. Januar 2015 bewusst war, als er sich in eine Sprechstunde zu Dr. med. B._ begab. Aufgrund der Äusserungen des behandelnden Arztes keinesfalls zwingend erscheint auch die Folgerung, dass der Beschwerdeführer schlechterdings ausserstande war, der Universität spätestens ab dem 16. Januar 2015 einen Härtefallantrag einzureichen.
4.3. Hingegen ist unbestritten, dass der Beschwerdeführer unmittelbar nach Bekanntgabe des ungenügenden Prüfungsergebnisses am 15. Januar 2015 an die Universität gelangte und um Prüfungseinsicht ersuchte. Dabei machte er geltend, dass es ihm "in [seiner] momentanen Situation [...] wichtig wäre, die Prüfungseinsicht so schnell wie möglich zu erhalten". Tags darauf begab er sich wie erwähnt in die Sprechstunde zu Dr. med. B._, wobei er "ausserordentlich unruhig und angespannt" sowie "auf sein Problem völlig eingeengt" war. Vor diesem Hintergrund und angesichts der Tatsache, dass dem Beschwerdeführer wegen gesundheitlicher Beeinträchtigung vor und bei Prüfungen bereits im November 2014 auf seinen Antrag hin ein Nachteilsausgleich gewährt worden war, durfte die Vorinstanz davon ausgehen, dass der Beschwerdeführer spätestens am 16. Januar 2015 seiner gesundheitlichen Situation im Prüfungszeitpunkt bewusst war. Gleich verhält es sich mit der Einreichung eines Härtefallgesuchs: Auch diesbezüglich ist die Vorinstanz willkürfrei zur Auffassung gelangt, dass der Beschwerdeführer spätestens ab dem 16. Januar 2015 dazu in der Lage war, zumal an einen Härtefallantrag keine hohen Anforderungen gestellt werden.
4.4. Mit der Vorinstanz ist folglich davon auszugehen, dass sich der Beschwerdeführer spätestens am 16. Januar 2015 einer gesundheitlichen Beeinträchtigung im Prüfungszeitpunkt bewusst und er in der Lage war, ein Härtefallgesuch einzureichen.
5.
Die übrigen Rügen des Beschwerdeführers erweisen sich bei dieser Ausgangslage ebenfalls als unbegründet.
5.1. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz zunächst vor, § 20 Abs. 2 der Studienordnung der Philosophisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Basel falsch anzuwenden. Diese Bestimmung sehe zwar eine fünftägige Frist zur Einreichung eines ärztlichen Zeugnisses nach verhinderter Teilnahme an einer Prüfung vor. Damit regle sie aber Fälle, in denen Studierende im Gegensatz zu ihm gar nicht erst zur Prüfung erscheinen könnten.
Der Beschwerdeführer verkennt, dass die Vorinstanz die Studienordnung nicht direkt zur Anwendung brachte. Sie stützt sich vielmehr auf eine kantonale Praxis bei der Behandlung von Härtefallgesuchen. Zur Begründung, wieso das am 4. Februar 2015 gestellte Härtefallgesuch des Beschwerdeführers zu spät erfolgte, weist die Vorinstanz lediglich analog auf die genannte Fristbestimmung in der Studienordnung hin. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist im Rahmen einer kantonalen Praxis, die offenbar ohne ausdrückliche Gesetzesgrundlage in Härtefällen eine nachträgliche Annullierung von Prüfungsergebnissen zulässt und die Studierenden damit grundsätzlich begünstigt, tatsächlich nicht einzusehen, wieso im Vergleich zu den gesetzlich geregelten Fällen längere Fristen gelten sollen. Die Rüge ist unbegründet, zumal das Bundesgericht die Behördenpraxis zur kantonalrechtlichen Studienordnung nur mit eingeschränkter Kognition überprüft (vgl. E. 2.1 hiervor).
5.2. Als nicht stichhaltig erweist sich weiter die Anrufung von Treu und Glauben durch den Beschwerdeführer. Er führt diesbezüglich aus, dass er sich bereits am 15. Januar 2015 an die Universität gewandt und um Prüfungseinsicht gebeten habe. Die zuständige Mitarbeiterin habe ihm jedoch mitgeteilt, dass er damit aus organisatorischen Gründen bis am 30. Januar 2015 warten müsse. Daraufhin habe er erst nach der Prüfungseinsicht am 4. Februar 2015 den Härtefallantrag eingereicht.
Voraussetzung für eine schützenswerte Berufung auf den Grundsatz von Treu und Glauben (Art. 9 BV) ist zunächst eine Vertrauensgrundlage, auf welche die betroffene Person berechtigterweise vertrauen durfte (vgl. BGE 141 I 161 E. 3.1 S. 164; 137 I 69 E. 2.5.1 S. 72 f.; 131 II 627 E. 6.1 S. 636 f.). Bereits daran fehlt es im vorliegenden Fall. Es ist nicht ersichtlich, inwieweit die Bekanntgabe des Termins für die Prüfungseinsicht den Beschwerdeführer von einer vorherigen Einreichung des Härtefallgesuchs hätte abhalten sollen. Das gilt umso mehr, als der spätere Härtefallantrag aus gesundheitlichen Gründen erfolgte und mit der Prüfungseinsicht objektiv in keinem Zusammenhang stand. Ein Verstoss gegen den Grundsatz von Treu und Glauben liegt nicht vor.
5.3. Der Beschwerdeführer rügt ferner eine Verletzung des Gleichbehandlungsgebots. In einem vergleichbaren Fall sei der Härtefallantrag eines Studenten bewilligt worden. Auch diesem habe erst nach Ablegen der Prüfung klar werden können, dass er ihr nicht gewachsen gewesen sei.
Nach dem in Art. 8 Abs. 1 BV verankerten Gebot rechtsgleicher Behandlung ist Gleiches nach Massgabe seiner Gleichheit gleich und Ungleiches nach Massgabe seiner Ungleichheit ungleich zu behandeln. Entsprechend diesem Grundsatz ist eine rechtsanwendende Behörde gehalten, Sachverhalte, die sich durch gleiche (oder zumindest ähnliche) wesentliche Tatsachen auszeichnen, gleich zu behandeln (vgl. statt vieler BGE 138 I 225 E. 3.6.1 S. 229 f.; 125 I 166 E. 2a S. 168; Urteile 2C_686/2012 vom 13. Juni 2013 E. 3.1.4; 2C_657/2009 vom 5. Mai 2010 E. 3.3). Anspruch auf Gleichbehandlung im Unrecht wird nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung nur ausnahmsweise anerkannt, nämlich wenn eine ständige rechtswidrige Praxis einer rechtsanwendenden Behörde vorliegt und die Behörde zu erkennen gibt, dass sie auch in Zukunft nicht von dieser Praxis abzuweichen gedenke (vgl. BGE 136 I 65 E. 5.6 S. 78; Urteile 8C_754/2012 vom 15. März 2013 E. 4.4 [nicht publ. in BGE 139 V 212]; 2C_1149/2015 vom 29. März 2016 E. 4.6; 1C_436/2014 vom 5. Januar 2015 E. 5.1; 2C_657/2009 vom 5. Mai 2010 E. 3.3).
Der Beschwerdeführer macht nicht geltend, dass der Studierende in dem von ihm als vergleichbar angeführten Fall über einen Nachteilsausgleich verfügte. Ebenso wenig legt er dar, dass dieser (spätestens) drei Tage nach Ablegen des Examens seine Prüfungsunfähigkeit erkennen und danach handeln konnte, mit dem Härtefallantrag aber gleichwohl mehr als zwei Wochen zuwartete und diesen erst nach erfolgter Prüfungseinsicht einreichte.
Damit ist eine Vergleichbarkeit mit dem vorliegenden Sachverhalt in wesentlichen Punkten nicht dargetan. Mit seiner Rüge dringt der Beschwerdeführer bereits deshalb nicht durch.
5.4. Ohne zugleich einen konkreten Eingriff in seine Grundrechte zu monieren (zu den Begründungsanforderungen vgl. E. 2.1 hiervor), macht der Beschwerdeführer schliesslich geltend, der Ausschluss vom Studium stelle einen gewichtigen Eingriff in seine persönlichen Interessen dar und verstosse gegen den Verhältnismässigkeitsgrundsatz.
Das Verhältnismässigkeitsprinzip nach Art. 5 Abs. 2 BV gebietet, dass eine staatliche Massnahme geeignet, notwendig und für die betroffene Person zumutbar ist, um das angestrebte Ziel zu erreichen. Dabei handelt es sich nicht um ein verfassungsmässiges Recht, sondern um einen Verfassungsgrundsatz (vgl. zum Ganzen BGE 140 II 194 E. 5.8.2 S. 199; 135 V 172 E. 7.3.2 S. 182). Im Rahmen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann die Einhaltung des Verhältnismässigkeitsprinzips auch ausserhalb eines Grundrechtseingriffs als Verletzung von Bundesrecht geprüft werden (Art. 95 lit. a BGG; vgl. BGE 140 II 194 E. 5.8.2 S. 199; 140 I 257 E. 6.3.1 S. 267 f.; 134 I 153 E. 4.1 S. 156 f.). Zielt die Rüge einer Verletzung des Verhältnismässigkeitsprinzips indes wie hier auf die Anwendung selbständigen kantonalen Rechts ab, beschränkt sich die bundesgerichtliche Prüfung (vorbehältlich der in Art. 95 lit. c bis lit. e BGG genannten, hier nicht angerufenen Rechtsgrundlagen) auf die Einhaltung des Willkürverbots (vgl. BGE 141 I 1 E. 5.3.2 S. 7 f.; 138 I 378 E. 8.2 S. 393; 134 I 153 E. 4.3 S. 158; Urteil 2C_1149/2015 vom 29. März 2016 E. 4.7).
Unter dem Gesichtswinkel des Willkürverbots (Art. 9 BV) ist der Entscheid der Vorinstanz, dem Härtefallantrag des Beschwerdeführers nicht zu entsprechen und ihn folglich vom Studium auszuschliessen, nicht zu beanstanden. Der Ausschluss vom Studium mag den Beschwerdeführer persönlich zweifellos hart treffen, als offensichtlich unhaltbar erweist sich diese Konsequenz aus der Ablehnung des Härtefallantrags indes nicht. Das gilt umso mehr, als kein Anspruch auf eine unbeschränkte Wiederholung einer universitären Prüfung besteht (vgl. dazu Urteile 2D_7/2011 vom 19. Mai 2011 E. 6.4; 2D_29/2008 vom 13. Juni 2008 E. 2.1).
6.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer hat die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind keine geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 22. Juli 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann