Sachverhalt:
A.
Am 23. Juli 2013 veranlagte die Steuerkommission U._/AG die Eheleute A.A._, MLaw, und B.A._ für die Staats- und Gemeindesteuern 2011 des Kantons Aargau mit einem steuerbaren Einkommen von Fr. 0.-- und einem steuerbaren Vermögen von Fr. 434'000.--. Auf Einsprache hin setzte die Steuerkommission das steuerbare Vermögen auf Fr. 408'774.-- hinab. Der Einspracheentscheid vom 16. Januar 2014 wurde den Eheleuten, die einen Postlagernd-Auftrag erteilt hatten, am 28. Januar 2014 zur Abholung gemeldet. Am 28. Februar 2014 nahmen sie den Entscheid in Empfang, worauf sie, handelnd durch den Ehemann, am 30. März 2014 beim Spezialverwaltungsgericht des Kantons Aargau Rekurs einlegten. Dieses erkannte, die 30-tägige Rechtsmittelfrist habe am 22. Februar 2014 zu laufen begonnen und mithin am 24. März 2014 geendet. Dementsprechend sei auf den Rekurs nicht einzutreten (Entscheid vom 25. Februar 2016). Dabei berücksichtigte das Gericht ein Arztzeugnis von Dr. med. C._, das dieser am 23. Juni 2015 ausgestellt hatte und demzufolge MLaw A.A._ bis zum 20. Februar 2014 an einer "mentalen Blockade" gelitten haben soll.
B.
Dagegen gelangte der Ehemann rechtzeitig an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, wobei er der Beschwerde ein weiteres Arztzeugnis von Dr. med. C._ beifügte, nunmehr vom 4. April 2016 und des Inhalts, dass die psychische Blockade bis zum 27. Februar 2014 bestanden habe. Mit Entscheid WBE.2016.169 vom 13. Mai 2016 wies das Verwaltungsgericht die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Es erwog, selbst wenn auf die ärztlichen Zeugnisse abzustellen wäre, die mehr als ein Jahr bzw. sogar mehr als zwei Jahre nach Wegfall der "mentalen Blockade" ausgestellt wurden, hätte die Restfrist von vierzehn bzw. sechs Tagen ausgereicht, um fristgerecht tätig zu werden. Daher sei das Spezialverwaltungsgericht zu Recht auf den Rekurs nicht eingetreten.
C.
Mit Eingabe vom 23. Juni 2016 (Poststempel) erhebt der Ehemann beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt, der "total falsche Entscheid" vom 13. Mai 2016 sei aufzuheben, der Beschwerde sei die aufschiebende Wirkung zuzuerkennen, die Bundesrichter Zünd, Seiler und Donzallaz hätten in den Ausstand zu treten, ausserdem sei ihm das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu erteilen und eine Parteientschädigung für eigene Bemühungen in der vorliegenden Angelegenheit von Fr. 10'149.-- zuzusprechen (40 Stunden zu Fr. 250.-- nebst Auslagen). Schliesslich wünscht er eine Nachfrist bis zum 30. November 2016, um die Beschwerde zu ergänzen, sollte den genannten Anträgen nicht ohnehin entsprochen werden.
D.
Die Beschwerde vom 23. Juni 2016 enthielt in grösserer Zahl ungebührliche Äusserungen. Mit Schreiben vom 28. Juni 2016 setzte der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) dem Steuerpflichtigen daher Frist zur Behebung des Mangels (Art. 42 Abs. 6 BGG). Von einer Disziplinierung wurde vorderhand abgesehen, der Steuerpflichtige aber ausdrücklich verwarnt und ihm für den Fall eines weiteren Verstosses eine Ordnungsbusse angedroht. Am 12. Juli 2016 liess der Steuerpflichtige dem Bundesgericht eine überarbeitete Fassung zukommen.
Der Abteilungspräsident hat von weiteren Instruktionsmassnahmen abgesehen.
Erwägungen:
1.
1.1. Vor Bundesgericht kann der Streitgegenstand gegenüber dem vorinstanzlichen Verfahren weder geändert noch erweitert werden (Art. 99 Abs. 2 BGG). Ficht die beschwerdeführende Partei einen Nichteintretensentscheid oder einen Rechtsmittelentscheid an, der einen solchen bestätigt, haben ihre Rechtsbegehren und deren Begründung sich zwingend auf die vorinstanzlichen Erwägungen zu beziehen, die zum Nichteintreten bzw. zur Bestätigung des Nichteintretens geführt haben (Art. 42 Abs. 2 BGG). Das Bundesgericht prüft in einem solchen Fall an sich nur, ob die betreffende Instanz mit Recht auf das Rechtsmittel nicht eingetreten ist. Ist dies zu bejahen, entscheidet es reformatorisch und bestätigt es den Nichteintretensentscheid. Andernfalls urteilt es kassatorisch, weist es die Sache an die Vorinstanz zurück und sieht es von einer Beurteilung in der Sache selbst ab. Vorbehalten bleiben einzig Fälle, in welchen die Vorinstanz über die Eintretensfrage hinaus in einer Eventualbegründung materiellrechtliche Überlegungen angestellt hat (BGE 139 II 233 E. 3.2 S. 235 f.; Urteil 2C_657/2016 / 2C_374/2016 vom 26. Juli 2016 E. 2.2).
1.2. Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem oder kommunalem Recht, sind die Rügegründe erheblich eingeschränkt. Abgesehen von hier nicht interessierenden Ausnahmen (Art. 95 lit. c und d BGG) kann das Bundesgericht die Handhabung kantonalen (und kommunalen) Verfassungs-, Gesetzes- oder Verordnungsrechts nicht als solche prüfen, sondern lediglich daraufhin, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG; BGE 141 I 172 E. 4.3 S. 176).
Dabei steht die Prüfung dessen im Vordergrund, ob eine Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV; BGE 141 IV 317 E. 5.4 S. 324) vorliegt (BGE 141 I 70 E. 2.2 S. 72). Dasselbe gilt, wenn das kantonale Recht auf Bundesrecht verweist, wodurch dieses zu subsidiärem kantonalem Recht wird (Art. 6 Abs. 1 ZGB; BGE 140 I 320 E. 3.3 S. 322).
Willkür in der Rechtsanwendung liegt vor, wenn der angefochtene Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft. Das Bundesgericht hebt einen Entscheid jedoch nur auf, wenn nicht bloss die Begründung, sondern auch das Ergebnis unhaltbar ist. Dass eine andere Lösung ebenfalls als vertretbar oder gar zutreffender erscheint, genügt nicht (BGE 141 I 172 E. 4.3.1 S. 177).
1.3. Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem (einschliesslich kommunalem) und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 140 IV 57 E. 2.2 S. 60).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wozu auch die Beweiswürdigung zählt (BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375), nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 142 V 2 E. 2 S. 5).
2.
2.1. Der Steuerpflichtige beantragt den Ausstand der Bundesrichter Zünd, Seiler und Donzallaz. Diese könnten, so meint er, in der Sache ein persönliches Interesse haben (Art. 34 Abs. 1 lit. a BGG), zumal sie ohnehin wegen persönlicher Feindschaft (Art. 34 Abs. 1 lit. e BGG) befangen sein dürften. An ihrer Stelle seien Bundesrichterin Aubry Girardin, die vorzugsweise als präsidierendes Mitglied zu wirken habe, sowie die Bundesrichter Stadelmann und Haag zu berufen. Die abgelehnten Mitglieder der Abteilung hätten, so der Steuerpflichtige, in einem früheren Verfahren gegen ihn entschieden und ihm unangemessen hohe Gerichtskosten auferlegt.
2.2. Ein Verstoss gegen Art. 30 Abs. 1 BV bzw. Art. 34 BGG, der diesen für das Bundesgericht verbindlich konkretisiert (Art. 190 BV), ist (nur, aber immerhin) anzunehmen, wenn bei objektiver Betrachtung Sachumstände vorliegen, die den Anschein der Befangenheit oder die Gefahr der Voreingenommenheit zu begründen vermögen. Auf das subjektive Empfinden der Parteien kommt nichts an (BGE 141 IV 178 E. 3.2.1 S. 179). Die Mitwirkung von Gerichtsmitgliedern an einem abgeschlossenen Verfahren, das anscheinend nicht den Erwartungen der Steuerpflichtigen entsprechend ausfiel, vermag für sich allein aber keinen hinreichenden Anschein der Befangenheit zu setzen (BGE 117 Ia 372 E. 2c S. 374). Dies muss im übrigen auch dem Steuerpflichtigen bewusst sein (siehe die ihn betreffenden Urteile 2C_87/2013 vom 30. Januar 2013 E. 2.1; 2C_324/2011 vom 19. April 2011 E. 2).
2.3. Die Abfolge verschiedener Verfahren, die untereinander keinen Sachzusammenhang aufweisen, hat mit einer eigentlichen Vorbefassung im technischen Sinne nichts zu tun. Von einer solchen liesse sich nur sprechen, falls einzelne Gerichtsmitglieder in einem früheren Verfahren oder Verfahrensstadium mit derselben Streitsache schon einmal befasst waren. Fehlt aber ein derartiger Sachzusammenhang, kann sich die Frage zwangsläufig gar nicht stellen. Dass ein Gerichtsmitglied mit Blick auf den späteren Verfahrensabschnitt als voreingenommen erscheint, ist mit Blick auf das neue (erstmalige) Verfahren ausgeschlossen (vgl. BGE 140 I 326 E. 5.1 S. 329).
2.4. Einen derartigen Sachzusammenhang legt der Steuerpflichtige nicht dar. Es misslingt ihm, Tatsachen glaubhaft zu machen, welche den Ausstand begründen könnten, weshalb das Ausstandsbegehren unzulässig ist. Angesichts der offensichtlichen Unzulässigkeit des Gesuchs und in Anbetracht dessen, dass zur Beurteilung keinerlei Ermessensbetätigung erforderlich ist, können nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis am Entscheid über das Ausstandsgesuch auch die abgelehnten Gerichtspersonen mitwirken, ohne dass gemäss Art. 37 BGG vorzugehen wäre (Urteile 1F_13/2016 vom 28. Juni 2016, 2F_12/2008 vom 4. Dezember 2008 E. 2.1, mit Hinweis auf BGE 114 Ia 278 E. 1 S. 279; 105 Ib 301 E. 1c S. 204 [noch zu Art. 26 OG, welcher mit Art. 37 BGG weitgehend übereinstimmt]).
3.
3.1. Streitig und zu prüfen bleibt, ob die Vorinstanz berechtigterweise davon ausgegangen ist, die Unterinstanz habe auf den Rekurs nicht eintreten müssen (vorne E. 1.1). Im Zentrum steht, ob die Restfrist von sechs Tagen, wie sie dem zweiten Arztzeugnis vom 4. April 2016 zufolge bestand, ausreichend war, um den Einspracheentscheid rechtzeitig anzufechten. Die Vorinstanz hat dies bejaht ("eher knapp, aber doch ausreichend"; Entscheid E. 2.3) und gleichzeitig erkannt, ein Fristwiederherstellungsgesuch wäre innerhalb von zehn Tagen seit Wegfall des Säumnisgrundes einzureichen gewesen. Ein solches sei aber unterblieben.
3.2. Die Vorinstanz hat die kantonale Rechtslage zu den "Restfristen" verfassungsrechtlich einwandfrei dargestellt. Danach besteht auch bei unverschuldeter Verhinderung kein uneingeschränkter Anspruch darauf, dass der betroffenen Prozesspartei die volle, ungeschmälerte gesetzliche Frist zur Verfügung steht (dazu insbesondere Urteil 2C_451/ 2016 / 2C_452/2016 vom 8. Juli 2016 E. 2.2.4). Mit andern Worten bildet eine bloss anfänglich herrschende oder im späteren Verlauf vorübergehend, nicht aber bis zum Fristablauf auftretende Hinderung grundsätzlich keinen hinreichenden Entschuldigungsgrund. In einem solchen Fall wäre es grundsätzlich möglich gewesen, noch vor Fristablauf tätig zu werden, weshalb der Hinderungsgrund für das prozessuale Säumnis nicht kausal sein konnte (ebenda, E. 2.2.5).
3.3. Im Rahmen der anzustellenden Gesamtwürdigung ist folgendes von Belang: Der Ehemann verfügt über einen universitären Abschluss als MLaw. Es standen ihm zur Ausfertigung des Rekurses zumindest noch sechs Tage zur Verfügung, wie die Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich feststellte (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 1.4). Der Sachverhalt bedurfte keiner weiteren Abklärung, und in der Sache selbst sind keine anspruchsvollen steuerrechtlichen Fragen ersichtlich. Die vorinstanzliche Einschätzung, wonach die Restfrist "eher knapp, aber doch ausreichend" war, ist daher willkürfrei ausgefallen, zumal das Bundesgericht unter vergleichbaren Vorzeichen jüngst eine Restfrist von vier Tagen als genügend erachtete (zit. Urteil 2C_451/2016 / 2C_452/2016 E. 2.2.6).
4.
4.1. Die Beschwerde erweist sich, soweit auf sie einzutreten ist, als unbegründet. Sie ist abzuweisen und der angefochtene Entscheid zu bestätigen. Eine Nachfristansetzung zur Ergänzung der Beschwerde rechtfertigt sich nicht, da die Beschwerde samt Begründung (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG) innerhalb der gesetzlichen Frist (Art. 100 BGG) einzureichen ist.
4.2. Mit dem vorliegenden Entscheid wird das Gesuch um Zuerkennung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos (Art. 103 Abs. 1 BGG).
4.3. Die Beschwerde erweist sich mit Blick auf das Gesagte als offensichtlich aussichtslos, weshalb das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege abzuweisen ist (Art. 64 Abs. 1 BGG). Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 65 i. V. m. 66 Abs. 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Ein Anspruch auf Erstattung der geltend gemachten Kosten und Auslagen besteht nicht. Dem Kanton Aargau, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Parteientschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. August 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher