Sachverhalt:
A.
Am 12. Februar 2007 verstarb B.B._. Er hatte Rechtsanwalt A._ als Willensvollstrecker in seinem Nachlass eingesetzt. Als Erbinnen hinterliess er seine Ehefrau C.B._ und zwei Töchter aus einer früheren Ehe.
C.B._ beanstandete wiederholt die Ausübung des Willensvollstreckermandats. Mit Verfügung vom 7. April 2011 hiess der Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe eine von ihr gegen den Willensvollstrecker eingereichte Beschwerde teilweise gut und wies den Willensvollstrecker an, ihr "innert zwanzig Tagen seit Rechtskraft dieser Verfügung sämtliche den Nachlass (...) betreffenden Konto- und Depotauszüge per 31. Dezember 2008 und 31. Dezember 2009 zukommen zu lassen " und ihr "mindestens jährlich unaufgefordert die den Nachlass (...) betreffenden Konto- und Depotauszüge zukommen zu lassen". Auf eine zweite Beschwerde von C.B._ hin wies der Einzelrichter am Bezirksgericht Höfe den Willensvollstrecker mit Verfügung vom 14. Mai 2013 unter Strafandrohung im Unterlassungsfall an, ihr über verschiedene Vorgänge Auskunft zu erteilen und unter Zustellung entsprechender Bankbelege verschiedene Honorarbezüge zu erläutern. Mit Beschluss vom 29. August 2013 wies das Kantonsgericht Schwyz eine vom Willensvollstrecker gegen die Verfügung vom 14. Mai 2013 erhobene Beschwerde ab. Am 17. Juli 2015 erhob C.B._ eine weitere Beschwerde gegen den Willensvollstrecker. Mit Eingabe gleichen Datums erstattete sie gegen den Willensvollstrecker Strafanzeige und beantragte die Einleitung eines Strafverfahrens wegen Verdachts der Veruntreuung, eventualiter ungetreuer Geschäftsbesorgung. Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat verfügte am 1. Oktober 2015, eine Strafuntersuchung werde nicht eröffnet; gegen diese Nichtanhandnahmeverfügung erhob C.B._ am 8. Oktober 2015 Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich.
Am 25. August 2015 hatte C.B._ bei der Aufsichtskommission über die Anwältinnen und Anwälte des Obergerichts des Kantons Zürich (Aufsichtskommission) eine Anzeige eingereicht und beantragen lassen, gegen den Willensvollstrecker sei ein Disziplinarverfahren zu eröffnen und dieser sei für seine fehlbaren Handlungen und Unterlassungen angemessen zu disziplinieren. Mit Beschluss vom 7. April 2016 sanktionierte die Aufsichtskommission den Willensvollstrecker mit einer Busse von Fr. 2'000.--, auferlegte ihm die Verfahrenskosten von insgesamt Fr. 3'000.-- zu zwei Dritteln und sprach ihm keine Parteientschädigung zu.
B.
Mit Urteil vom 6. Oktober 2016 wies das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich die vom Willensvollstrecker gegen diesen Beschluss der Aufsichtskommission vom 7. April 2016 geführte Beschwerde ab.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht gegen das Urteil des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 6. Oktober 2016 beantragt der Willensvollstrecker, das angefochtene Urteil sei aufzuheben und es sei die gegen ihn verhängte disziplinarische Massnahme aufzuheben. Eventualiter sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen, subeventualiter sei die gegen ihn verhängte disziplinarische Massnahme aufzuheben und durch eine Verwarnung oder einen Verweis zu ersetzen, subsubeventualiter sei die gegen ihn verhängte disziplinarische Massnahme auf ein angemessenes Mass zu reduzieren. Des Weiteren beantragt der Beschwerdeführer, die Kosten des Verfahrens, einschliesslich der vorinstanzlichen Verfahrenskosten, seien auf die Staatskasse zu nehmen, und es sei ihm für das Beschwerdeverfahren sowie das vor- und erstinstanzliche Verfahren eine angemessene Entschädigung auszurichten. In prozessualer Hinsicht beantragt der Beschwerdeführer, die Akten der Vorinstanz seien beizuziehen.
Die Aufsichtskommission hat auf eine Vernehmlassung zur Beschwerde verzichtet. Die Vorinstanz schliesst auf Abweisung soweit Eintreten.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegen letztinstanzliche kantonale Endentscheide auf dem Gebiet der Aufsicht über die Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte steht die Beschwerde an das Bundesgericht offen (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG; Urteile 2C_980/2016 vom 7. März 2017 E. 1.1; 2C_534/2016 vom 21. März 2017 E. 1.1; 2C_897/2015 vom 25. Mai 2016 E. 1.1).
1.2. Zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Art. 89 Abs. 1 lit. b und lit. c BGG). Der Beschwerdeführer, der im vorinstanzlichen Verfahren mit seinen Anträgen unterlegen ist (Art. 89 Abs. 1 lit. a BGG), ist zur Beschwerdeführung legitimiert. Auf die frist- und formgerecht (Art. 100 Abs. 1, Art. 42 Abs. 1 BGG) eingereichte Eingabe ist einzutreten.
1.3. Das Bundesgericht prüft frei und von Amtes wegen die Anwendung und Auslegung von Bundesrecht (Art. 95 lit. a, Art. 106 Abs. 1 BGG). Die Verletzung von Grundrechten untersucht es in jedem Fall nur insoweit, als eine solche Rüge in der Beschwerde präzise vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann von Amtes wegen oder auf Rüge hin berichtigt oder ergänzt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1, Art. 105 Abs. 2 BGG). Offensichtlich unrichtig festgestellt ist ein Sachverhalt, wenn er willkürliche Feststellungen beinhaltet (BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62); dieses Vorbringen unterliegt der qualifizierten Rügepflicht (Art. 97 Abs. 1 in Verbindung mit Art. 106 Abs. 2 BGG).
2.
Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe im angefochtenen Urteil in unzutreffender Anwendung und Auslegung von Art. 12 lit. a, Art. 12 lit. h und Art. 12 lit. i des Bundesgesetzes vom 23. Juni 2000 über die Freizügigkeit der Anwältinnen und Anwälte (BGFA; SR 935.61) auf mehrere Berufspflichtverletzungen geschlossen. Sollte das Bundesgericht die Verhängung einer disziplinarischer Massnahme gegen den Beschwerdeführer wider Erwarten als zulässig erachten, sei die disziplinarische Massnahme aufzuheben und durch einen Verweis oder eine Verwarnung zu ersetzen oder subsubeventualiter auf ein angemessenes Mass zu reduzieren.
2.1. Rechtsanwältinnen und Rechtsanwälte unterstehen nicht nur in ihrer Monopoltätigkeit als Anwältinnen und Anwälte der berufsrechtlichen Disziplinaraufsicht. Ihre Erwerbstätigkeit fällt jedenfalls unter das anwaltsrechtliche Disziplinarrecht, wenn sie mit einer bestimmten Tätigkeit im Hinblick auf ihre besonderen Fähigkeiten und Kenntnisse als Anwältinnen und Anwälte betraut werden (vgl. für einen Überblick zur Abgrenzung der berufstypischen von den übrigen Tätigkeiten MARIO GIANNINI, Anwaltliche Tätigkeit und Geldwäscherei - Zur Anwendbarkeit des Geldwäschereitatbestandes [Art. 305bis StGB] und des Geldwäschereigesetzes [GwG] auf Rechtsanwälte, Zürcher Studien zum Strafrecht [ZStStr] 2005 S. 236 ff., S. 243 ff.). Gemäss der höchstrichterlichen Rechtsprechung trifft dies insbesondere bei der Einsetzung einer Rechtsanwältin oder eines Rechtsanwalts als Willensvollstrecker zu (Urteil 2P.139/2001 vom 3. September 2011 E. 3; a.A. MARTIN RAUBER/HANS NATER, Anwaltstätigkeit im Sinne des BGFA - Bemerkungen zum Entscheid der Aufsichtskommission des Kantons Zürich vom 3. April 2014, SJZ 110/2014 S. 556 ff.). Die mit dem angefochtenen Urteil sanktionierte Tätigkeit des Beschwerdeführers wurde unbestrittenermassen in seiner Eigenschaft als Willensvollstrecker im Nachlass von B.B._ sel. ausgeübt, weshalb der Beschwerdeführer in diesem Zusammenhang den anwaltsrechtlichen Berufsregeln untersteht.
2.2. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe seine aus Art. 12 lit. a BGFA fliessenden Berufspflichten dadurch verletzt, dass er Honorarforderungen einer Anwaltskanzlei, die ihn im Zusammenhang mit seinem ersten Beschwerdeverfahren betreffend seine Amtsführung als Willensvollstrecker vor dem Bezirksgericht Höfe vertreten habe, sowie die ihm von Letzterem auferlegten Gerichtskosten zu Unrecht aus dem Nachlass beglichen habe. Selbst falls er während der Dauer des hängigen Verfahrens, in welchem er zum grössten Teil unterlegen sei, berechtigt gewesen sein sollte, diese Kosten einstweilen dem Nachlass zu belasten, wäre er jedenfalls gehalten gewesen, nach dem für ihn nachteiligen Entscheid der Aufsichtsinstanz bzw. der Rechtsmittelbehörde diese Kosten umgehend zurückzuvergüten. Die hier in Frage stehende Verfügung datiere vom 7. April 2011, sei gleichentags versandt und nicht angefochten worden. Noch am 19. November 2011 - mithin sieben Monate später, habe der Beschwerdeführer (wohl auf Nachfrage der Erbin C.B._ bzw. ihres Rechtsvertreters) erklärt, er werde die in Zusammenhang mit den Aufwendungen im Beschwerdeverfahren vorgenommenen Belastungen "prüfen" und "mit der nächsten Akontorechnung" in Abzug bringen. Der Beschwerdeführer habe somit keineswegs innert angemessener Frist oder wie geltend gemacht "aus eigener Initiative" eine Bereinigung oder Rückvergütung vorgenommen.
2.3. Das BGFA regelt in Art. 12 die Berufspflichten der Anwältinnen und Anwälte. Diese haben ihren Beruf insbesondere "sorgfältig und gewissenhaft auszuüben" (Art. 12 lit. a BGFA). Diese Verpflichtung hat für die gesamte Berufstätigkeit Geltung und erfasst neben der Beziehung zum eigenen Klienten sowohl die Kontakte mit der Gegenpartei als auch jene mit den Behörden (BGE 130 II 270 E. 3.2 S. 276; VALTICOS, in: Commentaire romand de la Loi sur les avocats, 2010, N. 51 zu Art. 12 BGFA). Mit der Vorinstanz ist davon auszugehen, dass die Berufspflicht zur sorgfältigen und gewissenhaften Berufsausübung den Beschwerdeführer dazu anhielt, dem Nachlass spätestens im Zeitpunkt des für ihn nachteiligen Urteils die diesem zu Unrecht belasteten Kosten zurückzuerstatten. In seiner Beschwerdeschrift, die nur auf den Verfahrensausgang Bezug nimmt, sich aber mit keinem Wort damit auseinandersetzt, dass der Beschwerdeführer diese Kosten auch noch über sieben Monate nach Verfahrensbeendigung zurückbehalten und nur auf erneutes Insistieren durch eine Erbin zurückerstattet hat, gelingt es dem Beschwerdeführer nicht ansatzweise, eine Verletzung von Art. 12 lit. a BGFA durch die Vorinstanz aufzuzeigen. Die Beschwerde erweist sich in diesem Punkt als unbegründet.
3.
Aus Art. 12 lit. a BGFA fliesst auch die Pflicht zur Herausgabe von Akten; unter Akten werden sämtliche Schriftstücke verstanden, welche die Anwältin oder der Anwalt von Dritten als Vertreter des Klienten erhalten hat und welche an den Klienten gelangt wären, hätte dieser den Fall selber geführt (WALTER FELLMANN, Anwaltsrecht, 2017, S. 97 f. mit zahlreichen Hinweisen). Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe dadurch, dass er die Erbin C.B._ erst am 25. Mai bzw. am 2. November 2011 mit den für ihre Steuererklärung benötigten Bankunterlagen der Nachlasskonti und -depots der Jahre 2008 und 2009 bzw. bediente, seine aus Art. 12 BGFA fliessenden Berufspflichten verletzt. Der Beschwerdeführer stellt den der Sanktionierung zu Grunde liegenden Sachverhalt nicht in Frage. Seine Ausführungen darüber, er habe der Erbin mündlich Auskunft erteilen wollen, was diese abgelehnt habe, weshalb er nicht sanktioniert werden könne, zielen offensichtlich schon deswegen an der Sache vorbei, weil die Erbin diese Unterlagen bekanntlicherweise für ihre Steuererklärung und somit in Schriftform benötigte (vgl. Art. 126 Abs. 1 lit. d des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11]; Art. 42 Abs. 2 des Bundesgesetzes über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden vom 14. Dezember 1990 [StHG; SR 642.14]). Aus der Beschwerdeschrift geht nicht hervor, inwiefern die Vorinstanz mit der Sanktionierung der Verletzung des aus der anwaltlichen Berufspflicht fliessenden Anspruches auf Aktenherausgabe Bundesrecht verletzt haben könnte.
4.
4.1. Gemäss Art. 12 lit. i BGFA klären die Anwältinnen und Anwälte ihre Klientschaft bei Übernahme des Mandates über die Grundsätze ihrer Rechnungsstellung auf und informieren sie periodisch oder auf Verlangen über die Höhe des geschuldeten Honorars. Diese Regel findet sich im Wesentlichen auch in Art. 18 Abs. 3 der Schweizerischen Standesregeln vom 10. Juni 2005 und in Ziff. 3.4 des Code de déontologie des avocats européens vom 28. Oktober 1988 (in der Fassung vom 20. August 2007). Gemäss der höchstrichterlichen Praxis kann der Klient jederzeit eine detaillierte Rechnung verlangen und verletzt die Anwältin oder der Anwalt unter Umständen seine Pflichten nach Art. 12 lit. i BGFA, wenn er dieser Aufforderung nicht nachkommt (Urteil 2C_133/2012 vom 18. Juni 2012 E. 4.3; ALEXANDER BRUNNER/MATTHIAS-CHRISTOPH HENN/KATHRIN KRIESI, Anwaltsrecht, 2015, S. 174 f.).
4.2. Die Vorinstanz hat erwogen, der Beschwerdeführer habe mehrfach gegen Art. 12 lit. i BGFA verstossen. Obschon die Erbin C.B._ ihn wiederholt darum ersucht habe, seine Honorarbezüge offen zu legen und über seine Tätigkeit detailliert abzurechnen, habe er hierüber zu spät und/oder nicht mit dem nötigen Detaillierungsgrad Auskunft gegeben. C.B._ bzw. ihr Vertreter hätten den Beschwerdeführer am 10. Februar 2010 unmissverständlich aufgefordert, sämtliche Honorarbezüge aus dem Nachlass bekannt zu geben und gehörig zu spezifizieren; die (erst nach weiteren Mahnungen) erfolgte Zustellung der Honorarrechnungen aus den Jahren 2007 bis 2009 am 23. April 2010 erweise sich somit als verspätet, zumal diese Abrechnung nicht den gewünschten Detaillierungsgrad aufgewiesen hätten und die gewünschten Spezifikationen erst mehr als vier Monate und nach mehrfacher Mahnung sowie Anrufung der Aufsichtsinstanz zugänglich gemacht worden seien. Einen weiteren Verstoss gegen Art. 12 lit. i BGFA erblickte die Vorinstanz in der zwar rechtzeitigen, aber ebenfalls nicht den gewünschten Detaillierungsgrad aufweisenden Zustellung der Honorarrechnungen ab Frühjahr 2014. Art. 12 lit. i BGFA sei sodann insbesondere dadurch verletzt worden, dass der Beschwerdeführer C.B._ erst im Laufe des (zweiten) Beschwerdeverfahrens bzw. am 12. März 2012 über einen Bezug aus dem Nachlassvermögen informiert habe, obwohl dieser bereits in einer Akontorechnung vom 17. Dezember 2011 ausgewiesen und der Beschwerdeführer seit dem 10. Februar 2010 wiederholt zur detaillierten Rechnungsstellung aufgefordert worden sei.
4.3. Was der Beschwerdeführer dagegen vorbringt, vermag nicht zu überzeugen. Unbeachtlich bleibt die erhobene Sachverhaltsrüge, ist doch nicht ersichtlich, inwiefern Ferienabwesenheiten in den Jahren 2015 und 2016 am Ausgang des Verfahrens etwas zu ändern vermöchten (vgl. zu dieser Anforderung Art. 97 BGG). Gestützt auf den als verbindlich geltenden Sachverhalt (Art. 105 Abs. 1 BGG) ist die vorinstanzliche Rechtsanwendung nicht zu beanstanden. Die Vorbringen, wonach die Erbin C.B._ ihre Auskunftsrechte hätte in der Kanzlei wahrnehmen müssen, und ein Willensvollstrecker nicht verpflichtet sei, unterjährig Rechenschaften über Leistungen und Zeitaufwand zu erbringen, verkennen die bundesgerichtliche Praxis zu den aus Art. 12 lit. i BGFA fliessenden anwaltlichen Berufspflichten (E. 4.1), die auf deren Tätigkeit als Willensvollstrecker Anwendung finden (E. 2.1). Die Beschwerde erweist sich auch in diesem Punkt als unbegründet.
5.
Die gegen den Beschwerdeführer ausgesprochene Busse von Fr. 2'000.-- bewegt sich im unteren Bereich von Art. 17 Abs. 1 lit. c BGFA und erweist sich angesichts der zahlreichen Verletzungen der anwaltlichen Berufspflichten des Beschwerdeführers als sicher nicht zu hoch. Mit seinen Ausführungen in der Beschwerdeschrift, mit denen der Beschwerdeführer nochmals seine eigene Einstufung seiner berufsrechtlichen Verfehlungen wiederholt, gelingt es ihm nicht aufzuzeigen, inwiefern die Vorinstanz bei der Wahl der Sanktionierung das Verhältnismässigkeitsprinzip verletzt oder wegen Ermessensüberschreitung oder qualifiziert falscher Ermessensausübung in Willkür verfallen wäre. Die Beschwerde erweist sich als insgesamt unbegründet und ist abzuweisen.
6.
Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen werden nicht gesprochen (Art. 68 Abs. 1 e contrario BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. Mai 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall