Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft III des Kantons Zürich, Abteilung Wirtschaftsdelikte, führt eine Strafuntersuchung gegen A._ (und weitere Beschuldigte) wegen ungetreuer Geschäftsbesorgung und Konkursdelikten. Als Privatklägerin hat sich die Fa. X._ konstituiert. Mit Verfügungen vom 28. April 2016 ordnete die Staatsanwaltschaft die Edition von Bankunterlagen durch verschiedene Banken an. Der Beschuldigte und sechs Gesellschaften stellten je Siegelungsgesuche, worauf die edierten Bankunterlagen am 20. Mai 2016 versiegelt wurden.
B.
Mit Verfügung vom 12. Juli 2016 wies das Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht (ZMG), das von der Staatsanwaltschaft am 24. Mai 2016 eingereichte Entsiegelungsgesuch ab.
C.
Gegen diese Verfügung des ZMG hat die Staatsanwaltschaft am 10. August 2016 Beschwerde beim Bundesgericht erhoben (separates Verfahren 1B_297/2016).
D.
Gegen die Verfügung des ZMG vom 12. Juli 2016 gelangte auch die Privatklägerin mit Beschwerde vom 6. September 2016 an das Bundesgericht. Sie beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Gutheissung des Entsiegelungsgesuches der Staatsanwaltschaft; eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an das ZMG zurückzuweisen.
Das ZMG und der Beschuldigte (Verfahrensbeteiligter 1) haben am 8. bzw. 19. September 2016 auf Stellungnahmen je ausdrücklich verzichtet. Zwei vom Entsiegelungsgesuch betroffene Gesellschaften liessen sich am 19. September 2016 kursorisch vernehmen: Die Beschwerdegegnerinnen 2 und 3 äussern, dass sie mit der Beschwerde "nicht einverstanden" seien, zumal "schon die Zulässigkeit der Beschwerde nicht dargetan" sei. Die übrigen betroffenen Gesellschaften (Verfahrensbeteiligte 4-7) haben keine Stellungnahmen zur Beschwerde eingereicht. Die Beschwerdeführerin replizierte am 28. September 2016. Mit Verfügung vom 3. Oktober 2016 wurde das Gesuch um aufschiebende Wirkung der Beschwerde vom Bundesgericht instruktionsweise bewilligt.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (BGE 142 IV 196 E. 1.1 S. 197; 140 IV 57 E. 2 S. 59 mit Hinweisen; vgl. Art. 29 Abs. 1 und Art. 106 Abs. 1 i.V.m. Art. 78 ff. BGG).
1.1. Die Beschwerdeführerin bringt zur Frage ihrer Beschwerdelegitimation bzw. zur Zulässigkeit der Beschwerde insbesondere Folgendes vor: Sie habe sich als Privatklägerin konstituiert und mache einen Zivilanspruch geltend. Sie sei Partei des Strafverfahrens und von der verweigerten Entsiegelung unmittelbar betroffen. Die Vorinstanz habe sie zu Unrecht nicht im Entsiegelungsverfahren beigezogen.
1.2. Zur Beschwerde in Strafsachen ist berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhielt und ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung des angefochtenen Entscheids hat, insbesondere die Privatklägerschaft, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken kann (Art. 81 Abs. 1 lit. a und lit. b Ziff. 5 BGG; s.a. Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG).
1.3. Das Zwangsmassnahmengericht (ZMG) hat im Entsiegelungsverfahren (des Vorverfahrens) darüber zu entscheiden, ob rechtlich geschützte Geheimnisinteressen, welche von der Inhaberin oder dem Inhaber der versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände angerufen werden, einer Durchsuchung und weiteren strafprozessualen Verwendung durch die Strafverfolgungsbehörde entgegenstehen (Art. 248 StPO; BGE 141 IV 77 E. 4.1 S. 81; 137 IV 189 E. 4 S. 194 f.; 132 IV 63 E. 4.1-4.6 S. 65 ff.). Parteien des Entsiegelungsverfahrens sind grundsätzlich nur die verfahrensleitende (das Entsiegelungsgesuch stellende) Staatsanwaltschaft und die Inhaberin oder der Inhaber der versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände (Art. 248 Abs. 1 und Abs. 3 StPO). Die Privatklägerschaft oder die beschuldigten Personen fallen laut Gesetz und gemäss der Praxis des Bundesgerichtes nicht automatisch unter den Personenkreis, die als Parteien bzw. Verfahrensbeteiligte im Entsiegelungsverfahren zuzulassen sind. Siegelungsberechtigt sind Personen, welche (unabhängig der Besitzverhältnisse) ein rechtlich geschütztes Interesse an der Geheimhaltung des Inhalts der Aufzeichnungen darlegen können (BGE 140 IV 28 E. 4.3.4-4.3.5 S. 35-37). Diese sind, auf ihren Antrag hin oder nötigenfalls von Amtes wegen (soweit ihr rechtlich geschütztes Interesse für das ZMG erkennbar ist), nebst der Staatsanwaltschaft zum Entsiegelungsverfahren zuzulassen. Die Frage der Auswirkung von (Nicht-) Entsiegelungsentscheiden auf Zivilansprüche der Privatklägerschaft fällt mit dem Gesichtspunkt des drohenden nicht wiedergutzumachenden Rechtsnachteils (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) sachlich zusammen (vgl. nachfolgend, E. 1.5-1.8).
1.4. Die Beschwerdeführerin hat kein Siegelungsgesuch gestellt. Ebenso wenig macht sie Geheimhaltungsinteressen an den versiegelten Bankunterlagen geltend. In dem von ihr angefochtenen Entscheid wurde die Entsiegelung vollständig verweigert, weshalb er keine Geheimnisrechte tangiert. Die Beschwerdeführerin beantragt vor Bundesgericht denn auch die Entsiegelung und nicht die Geheimhaltung der edierten Bankunterlagen. Rechtlich geschützte Geheimhaltungsinteressen haben im vorinstanzlichen Entsiegelungsverfahren die privaten Verfahrensbeteiligten (bzw. Beschwerdegegnerinnen) als Konteninhaber/innen geltend gemacht, weshalb diese im Entsiegelungsverfahren zugelassen worden sind. Auch sonst vermag die beschwerdeführende Privatklägerin keinen ihr drohenden nicht wiedergutzumachenden Rechtsnachteil darzulegen, insbesondere nicht hinsichtlich der gerichtlichen Beurteilung ihrer Zivilansprüche (Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 i.V.m. Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG) :
1.5. Als Sachurteilsvoraussetzung für die beschwerdeweise Anfechtung von (Nicht-) Entsiegelungsentscheiden hat die rechtsuchende Person einen drohenden nicht wieder gutzumachenden Nachteil darzulegen (vgl. nicht publ. E. 1.3 von BGE 138 IV 225; Urteile 1B_85/2016 vom 20. September 2016 E. 1.4; 1B_273/2015 vom 21. Januar 2016 E. 1). Nach ständiger Praxis des Bundesgerichtes muss dabei ein konkreter rechtlicher Nachteil drohen, der auch durch einen (für die beschwerdeführende Partei günstigen) End- oder anderen Entscheid nachträglich nicht mehr behoben werden könnte (BGE 141 IV 289 E. 1.1-1.2 S. 291; 137 IV 172 E. 2.1 S. 173 f.; 136 IV 92 E. 4 S. 95; 135 I 261 E. 1.2 S. 263; je mit Hinweisen).
1.6. Bei im Vorverfahren aufgeworfenen Fragen der Beweiswürdigung und Beweisverwertung droht in der Regel kein Rechtsnachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG, da der Rechtsuchende seine diesbezüglichen Einwände bis zum Abschluss des Strafverfahrens (gegenüber der erkennenden Strafbehörde) erneut vorbringen kann (BGE 141 IV 284 E. 2.2 S. 287; 289 E. 1.2 S. 291 f.; 136 IV 92 E. 4.1 S. 95 f.; je mit Hinweisen). Nach Art. 42 Abs. 2 BGG muss die beschwerdeführende Person die Tatsachen darlegen, aus denen sich ihre Legitimation und der nicht wieder gutzumachende Nachteil ergeben sollen, sofern dies nicht offensichtlich ist (BGE 141 IV 1 E. 1.1 S. 4 f.; 284 E. 2.3 S. 287; 289 E. 1.3 S. 292; je mit Hinweisen).
1.7. Aus den Vorbringen der Beschwerdeführerin (vgl. oben, E. 1.1) ergibt sich kein drohender Rechtsnachteil im Sinne der dargelegten Praxis. Verfahrensleiterin im Vorverfahren ist die Staatsanwaltschaft (Art. 16 Abs. 2 und Art. 308 StPO). Diese hat darüber zu wachen, dass die ihr untersuchungsrelevant erscheinenden Beweismittel erhoben werden (vgl. Art. 299 Abs. 2 und Art. 308 Abs. 1 StPO). Um eine Durchsuchung von versiegelten erheblichen Beweisunterlagen sicherzustellen, leitet sie nötigenfalls das Entsiegelungsverfahren ein (Art. 246 i.V.m. Art. 248 Abs. 3 StPO). Die Privatklägerschaft und die beschuldigte Person haben im Vorverfahren das Recht, bei der Staatsanwaltschaft entsprechende Beweiserhebungsanträge stellen (Art. 109 StPO). Sie können ihre Beweisanträge vor Abschluss der Strafuntersuchung (und sogar noch vor dem erkennenden Strafgericht) nötigenfalls wiederholen (Art. 318 Abs. 1-2, Art. 331 Abs. 2-3 und Art. 345 StPO). Eine Beschwerde der Parteien gegen die ausdrückliche oder konkludente Abweisung von Beweisanträgen durch die Staatsanwaltschaft ist im Untersuchungsverfahren hingegen nur möglich, falls den Parteien ein definitiver Beweisverlust droht (Art. 394 lit. b StPO). Parteien des Entsiegelungsverfahrens sind (wie oben in E. 1.3 dargelegt) grundsätzlich die verfahrensleitende Staatsanwaltschaft und die Inhaberin oder der Inhaber der versiegelten Aufzeichnungen und Gegenstände (Art. 248 Abs. 1 StPO). Die Parteien des Strafverfahrens fallen nicht automatisch darunter.
1.8. Ein drohender nicht wieder gutzumachender Rechtsnachteil, den die Beschwerdeführerin nur mittels eigener separater Beschwerde gegen den angefochtenen (Nichtentsiegelungs-) Entscheid abwenden könnte, ist hier nicht dargetan: Die Staatsanwaltschaft hat am 24. Mai 2016 das Entsiegelungsgesuch gestellt. Gegen den abschlägigen Entsiegelungsentscheid hat die Staatsanwaltschaft am 10. August 2016 Beschwerde beim Bundesgericht erhoben (separates Verfahren 1B_297/2016). Sie beantragt dort die Aufhebung des angefochtenen Entscheides und die Rückweisung der Sache zur Neubeurteilung durch das Zwangsmassnahmengericht.
Die Beschwerdeführerin macht auch nicht geltend, dass ihr in der vorliegenden Konstellation ein definitiver Beweisverlust drohen würde, der sich auf die gerichtliche Beurteilung ihrer Zivilansprüche auswirken könnte. Dass derzeit ein Verlust von untersuchungsrelevanten Bankunterlagen drohen könnte, ist nicht ersichtlich. Bis zum Entscheid über die Beschwerde der Staatsanwaltschaft (im konnexen Verfahren 1B_297/2016) unterliegen die versiegelten Unterlagen der vom Bundesgericht verfügten aufschiebenden Wirkung. Und selbst für den Fall einer etwaigen Abweisung der Beschwerde der Staatsanwaltschaft wären allfällige zu retournierende Bankunterlagen weiterhin (gemäss den einschlägigen gesetzlichen Vorschriften) von den verantwortlichen Banken aufzubewahren. Es bleibt der Beschwerdeführerin im Übrigen auch unbenommen, allfällige ihr geboten erscheinende Beweisanträge noch bis zum Abschluss der Strafuntersuchung (und nötigenfalls nochmals vor dem erkennenden Strafgericht) zu stellen. Über das Dargelegte hinaus besteht für das Bundesgericht kein Anlass, sich bereits im jetzigen Verfahrensstadium mit beweisrechtlichen Fragen zu befassen.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Die Gerichtskosten sind der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Den Beschwerdegegnerinnen 2 und 3, die (kursorisch und sinngemäss) das Nichteintreten auf die Beschwerde beantragt haben, ist eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG). Diese Entschädigung ist im untersten Tarifbereich anzusetzen, da die Eingabe lediglich drei Zeilen umfasst; den (durch den gleichen Anwalt vertretenen) Beschwerdegegnerinnen 2 und 3 ist dadurch nur wenig entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden. Die übrigen Verfahrensbeteiligten haben keine Anträge in der Sache gestellt.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat den Beschwerdegegnerinnen 2 und 3 (gemeinsam) eine Parteientschädigung von Fr. 800.-- (pauschal, inkl. MWST) zu entrichten.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bezirksgericht Zürich, Zwangsmassnahmengericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Forster