Sachverhalt:
A.
A._, kaufmännische Angestellte mit Fachausweis und abgeschlossenem Lehrmeisterkurs, Mutter einer 2007 geborenen Tochter, meldete sich im Oktober 2008 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an (Massnahmen für berufliche Eingliederung und Rente). Sie gab an, von........ bis........ Hausfrau (Haushalthilfe) gewesen zu sein; vom........ bis........ habe sie halbtags gearbeitet. Sie leide an Polytoxikomanie (inkl. Aethyl) und an einer instabilen Persönlichkeit; 2008 sei sie wegen eines Lungentumors operiert worden. Die Versicherte wohnte Im Zeitpunkt der Anmeldung zusammen mit ihrer Tochter im Heim B._. Im September 2009 wechselte sie in eine Einrichtung mit "von auswärts betreutem Wohnen".
Die zuständige IV-Stelle des Kantons St. Gallen prüfte berufliche Massnahmen; solche mussten jedoch aus medizinischen Gründen, welche mehrere stationäre Spitalaufenthalte notwendig machten, immer wieder verschoben werden. Das von der Stiftung C._ ab Mitte Januar 2013 durchgeführte viermonatige Belastbarkeitstraining mit dem Ziel eines daran anschliessenden Aufbautrainings wurde am 22. März 2013 wegen verschiedener gesundheitlicher und alkoholbedingter Rückschläge vorzeitig abgebrochen. Ebenfalls blieben die Eingliederungsversuche der IV-Stelle Uri erfolglos. In dem von der IV-Stelle eingeholten polydisziplinären Gutachten der MEDAS Zentralschweiz vom 2. Mai 2012 wurden im Konsens der beteiligten Disziplinen (internistisch, pneumologisch und psychiatrisch) folgende Diagnosen mit wesentlicher Einschränkung der Arbeitsfähigkeit gestellt: Emotional instabile Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typ ICD-10 F60.31; Bipolare affektive Störung ICD-10 F31.7; Polytoxikomanie mit u.a. Störungen durch Alkoholabhängigkeitssyndrom; Obstruktive Pneumopathie bei Asthma bronchiale (nicht allergisch) sowie Raucherbronchitis. Aus rein körperlicher Optik sei die Versicherte im früheren Beruf als kaufmännische Angestellte arbeitsfähig; sie sei indessen seit Jahren reduziert arbeitsfähig. Überblicke man die Krankengeschichte, so könne gesagt werden, dass seit November 2007 kaum mit einer verwertbaren Arbeitsfähigkeit zu rechnen war. Die Gutachter attestierten eine vollständige Arbeitsunfähigkeit ab November 2007. Aktuell könne die Arbeitsfähigkeit namentlich aus psychiatrischer Sicht (noch) nicht beurteilt werden, sodass die Versicherte weiterhin als arbeitsunfähig zu betrachten sei. Im ergänzenden Bericht vom 3. September 2012 hielten sie fest, es seien berufliche Massnahmen zu ergreifen, welche eine sozialpraktische und ressourcenorientierte Abklärung umfassten, sodass die Arbeitsfähigkeit in rund einem Jahr nochmals zu beurteilen sei. Im "Fragebogen zur Rentenabklärung betreffend Erwerbstätigkeit/Haushalt" vom 19. Dezember 2012 gab die Versicherte an, sie wäre als Gesunde im kaufmännischen Bereich tätig in einem Pensum von 40-50 %.
Nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren sprach die IV-Stelle mit Verfügungen vom 27. Januar und 18. Februar 2014 A._ ab 1. November 2011 eine halbe und ab 1. August 2012 eine ganze Invalidenrente samt Kinderrente zu. Für die Festsetzung des Rentenbeginns stellte sie auf den Controlling-Bericht vom 4. November 2011ab, wonach die Versicherte in den ersten drei Lebensjahren ihrer Tochter als Hausfrau und Mutter einzustufen war; danach wäre sie gemäss den Richtlinien des Sozialamtes (im Gesundheitsfall) zu 50 % erwerbstätig. Im Aufgabenbereich Haushalt sei sie nicht eingeschränkt (gewesen).
B.
Die Beschwerde der A._ mit dem Antrag auf Zusprechung einer IV-Rente ab einem früheren Zeitpunkt hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen mit Entscheid vom 24. Mai 2016 in dem Sinne gut, dass es in Aufhebung der Verfügungen vom 27. Januar und 18. Februar 2014 den Anspruch auf eine ganze Rente ab 1. April 2009 bejahte und die Sache zur Festsetzung und Ausrichtung der Leistungen an die IV-Stelle zurückwies.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der Entscheid vom 24. Mai 2016 sei aufzuheben und die Sache an die Vorinstanz zur bundesrechtskonformen Prüfung der Statusfrage und Neubeurteilung des Rentenanspruchs zurückzuweisen.
Die Vorinstanz beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten, eventualiter sei sie abzuweisen. A._ ersucht um Abweisung des Rechtsmittels und Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege. Das Bundesamt für Sozialversicherungen (BSV) lässt sich im Sinne der Gutheissung der Beschwerde vernehmen.
Erwägungen:
1.
Der angefochtene Entscheid spricht der Beschwerdegegnerin ab 1. April 2009 eine (ganze) Rente zu und weist die Sache zur Festsetzung und Ausrichtung der Leistungen an die Beschwerde führende IV-Stelle zurück. Dabei handelt es sich um einen Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG (BGE 140 V 282 E. 4.2 S. 285; 134 II 124 E. 1.3 S. 127).
2.
2.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.2. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 138 V 17 E. 3 S. 19). Es ist somit weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden. Es kann - im Rahmen der den Parteien obliegenden Rüge- und Begründungspflicht (Art. 42 Abs. 1 und 2 sowie Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 138 I 171 E. 1.4 S. 176; 133 II 249 E. 1.4.1 und E. 1.4.2 S. 254 mit Hinweisen) - die Beschwerde aus einem anderen als dem angerufenen Grund gutheissen oder mit einer von der Argumentation der Vorinstanz abweichenden Begründung abweisen (BGE 134 V 250 E. 1.2 S. 252; 132 II 257 E. 2.5 S. 262; 130 III 136 E. 1.4 S. 140; Urteil 9C_241/2016 vom 22. Juni 2016 E. 1.2).
Entgegen der Auffassung der Vorinstanz in ihrer Vernehmlassung sind im vorliegenden Fall die Anforderungen an die Begründung der Beschwerde erfüllt. Insbesondere ergibt sich aus den Vorbringen der Beschwerdeführerin hinreichend klar, welche Normen des Bundesrechts sie als verletzt rügen will (Art. 28a Abs. 2 und 3 IVG [zu Unrecht nicht angewendet] bzw. Art. 16 ATSG i.V.m. Art. 28a Abs. 1 IVG [zu Unrecht angewendet]).
3.
Entsprechend dem Rechtsbegehren in der Beschwerde (und deren Begründung) ist Streitgegenstand der von der Vorinstanz bejahte Anspruch auf eine ganze Rente für die Zeit vom 1. April 2009 bis 31. Juli 2012 (BGE 133 II 35 E. 2 S. 38; Urteil 9C_52/2015 vom 3. Juli 2015 E. 2.2.1; Art. 107 Abs. 1 BGG).
4.
Die massgeblichen gesetzlichen Bestimmungen zur Bemessung der Invalidität bei voll-, teil- und nichterwerbstätigen Versicherten mit oder ohne Aufgabenbereich (vgl. Art. 28a IVG und Art. 8 Abs. 3 ATSG i.V.m. Art. 5 Abs. 1 IVG) werden in E. 1 des angefochtenen Entscheids richtig wiedergegeben. Darauf wir verwiesen.
Mit Bezug auf den invalidenversicherungsrechtlichen Status (voll-, teil- oder nichterwerbstätig mit oder ohne Aufgabenbereich) qualifiziert sich als grundsätzlich frei überprüfbare Rechtsfrage, ob die Festlegung nach den massgeblichen Gesichtspunkten erfolgte (vgl. zu diesen: BGE 125 V 146 E. 2c S. 150; Urteil 8C_78/2016 vom 26. August 2016 E. 4.2). Dagegen ist die Festsetzung des Umfangs der Erwerbstätigkeit im Gesundheitsfall, soweit sie auf einer Würdigung konkreter Umstände und hypothetischer Geschehensabläufe beruht und sich nicht ausschliesslich auf die allgemeine Lebenserfahrung oder auf arbeitsmarktliche Empirie stützt, eine Tatfrage, welche der eingeschränkten Kognition unterliegt (Urteile 9C_179/2016 vom 11. August 2016 E. 4.2.2 und 9C_915/2012 vom 15. Mai 2013 E. 4.1).
5.
5.1. Das kantonale Versicherungsgericht hat zur in erster Linie bzw. einzig streitigen Statusfrage erwogen, die IV-Stelle habe die Versicherte als nichterwerbstätige Hausfrau und Mutter für die Zeit nach der Geburt ihrer Tochter bis zu deren vollendetem dritten Lebensjahr und als zu 50 % Teilerwerbstätige für die Zeit danach bis zum Eintritt in den Kindergarten eingestuft (was zur Anwendung der spezifischen bzw. der gemischten Methode der Invaliditätsbemessung [Art. 28a Abs. 2 und 3 IVG; vgl. BGE 142 V 290 E. 4 S. 293] führt). Das heisse - sinngemäss - nichts anderes, als dass allein wegen der Geburt eines Kindes bei gleich gebliebener Leistungsfähigkeit ein unterschiedlicher rentenrelevanter Schaden bestanden haben soll, was nach dem Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte (EGMR; Zweite Kammer) in Sachen Di Trizio gegen die Schweiz (7186/09) vom 2. Februar 2016 (inzwischen rechtskräftig geworden) gegen Art. 14 EMRK (Diskriminierungsverbot) i.V.m. Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Privat- und Familienlebens) verstosse. Die Versicherte sei vor Eintritt des Gesundheitsschadens "nicht zulasten des Erwerbspensums im Aufgabenbereich Haushalt tätig gewesen", weshalb sie nicht als Nichterwerbstätige qualifiziert werden könne. "Damit ist zur Schadensbestimmung ausschliesslich auf den Verlust an Erwerbsmöglichkeiten auf dem in Betracht kommenden ausgeglichenen Arbeitsmarkt im Rahmen eines Einkommensvergleichs abzustellen (Art. 7 Abs. 1 i.V.m. Art. 8 Abs. 1 und Art. 16 ATSG) ". Angesichts des unstrittig vollständigen Fehlens einer verwertbaren Arbeitsfähigkeit bzw. eines Invalideneinkommens resultiere ein Invaliditätsgrad von 100 %. Im Zeitpunkt der IV-Anmeldung vom Oktober 2008 sei das Wartejahr im Sinn von Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG schon längst erfüllt gewesen, weshalb der Rentenanspruch gemäss Art. 29 Abs. 1 IVG ab 1. April 2009 beginne.
5.2. Die Beschwerde führende IV-Stelle rügt, die Rechtsauffassung des kantonalen Versicherungsgerichts betreffend den Status der Beschwerdegegnerin für die Zeit bis August 2012 verstosse gegen die seit 1971 geltende Rechtsprechung. Danach sei nicht von Bedeutung, welche Arbeit der versicherten Person zugemutet werden könne, sondern, welche Tätigkeit sie ausüben würde, wenn sie gesund wäre. Der Status vor Invaliditätseintritt sei somit nicht präjudizierend und Veränderungen zugänglich. Der Fall Di Trizio sei im Übrigen insofern nicht einschlägig, als es dort um eine Rentenrevision gegangen sei und nicht wie hier um eine erstmalige Rentenzusprache.
5.3. Die Beschwerdegegnerin macht geltend, selbst wenn sie von........ bis........ als nichterwerbstätige und danach bis August 2012 als teilerwerbstätige Hausfrau und Mutter einer Tochter qualifiziert würde, müsste die vorinstanzliche Rentenzusprache bestätigt werden. Die Annahme, es habe im Aufgabengebiet des Haushalts ab........ keine Beeinträchtigung vorgelegen, sei nicht korrekt. Im Gegenteil sei namentlich aufgrund der Angaben der Heimleiterin von einer umfassenden Einschränkung der Versicherten (auch) im Aufgabenbereich auszugehen.
5.4. Das BSV bringt vor, die Vorinstanz habe die Statusfrage entgegen der Rechtsprechung unabhängig von der konkreten Lebenssituation der Beschwerdegegnerin beurteilt und sei bei der Statusfestlegung von falschen Rechtsbegriffen ausgegangen.
6.
Es kann offenbleiben, ob die Beschwerdegegnerin ab 1. April 2009 (frühest möglicher Zeitpunkt, ab welchem eine Rente ausbezahlt werden könnte; Art. 29 Abs. 1 und 3 IVG) bis 31. Juli 2012 als Vollerwerbstätige, Teil- oder Nichterwerbstätige mit Aufgabenbereich zu betrachten ist. Es ändert nichts am Ergebnis.
6.1. Das Vorbringen der Beschwerdegegnerin, es sei von einer umfassenden Einschränkung (auch) im Aufgabenbereich auszugehen, weshalb die vorinstanzliche Rentenzusprache zu bestätigen sei, stellt eine zulässige neue rechtliche Begründung dar, welche im Rahmen des Streitgegenstandes zulässig ist, vorausgesetzt, sie vermag sich auf einen im angefochtenen Entscheid festgestellten Sachverhalt oder auf aktenkundige Tatsachen zu stützen (Art. 95 lit. a und Art. 105 Abs. 1 BGG sowie Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 136 V 362 E. 4.1 S. 366). Die Vorinstanz hat keine Feststellungen zur Einschränkung der Versicherten im Aufgabenbereich getroffen. Die Akten ergeben jedoch diesbezüglich ein hinreichend klares Bild, weshalb die Frage abschliessend beurteilt werden kann.
6.2.
6.2.1. Die Beschwerdeführerin war davon ausgegangen, die Beschwerdegegnerin sei im Aufgabenbereich als Hausfrau und Mutter nicht eingeschränkt. Dabei stützte sie sich auf die Stellungnahme des regionalärztlichen Dienstes (RAD) vom 13. Juni 2012 ab. Darin wurde zur Begründung ausgeführt, gemäss den Schilderungen des psychiatrischen Gutachters der MEDAS sei die Versicherte in dieser Tätigkeit nicht beeinträchtigt. Dafür spreche auch der Umstand, dass sie gemäss den Experten in der Lage sei, ihre älteren Vermieterinnen teilweise häuslich mitzuversorgen. Im Gutachten vom 2. Mai 2012 wurde festgehalten, die jetzige Wohnung der Versicherten sei eine Einliegerwohnung im unteren Stock eines Zweifamilienhauses. Im oberen Stock wohnten zwei hochbetagte taube Schwestern, zu denen sie eine sehr gute Beziehung habe und denen sie Hilfestellungen leiste.
6.2.2. Betreffend die hier interessierende Zeit (April 2009 bis Juli 2012) zeigt sich indessen ein ganz anderes Bild als von der Beschwerdeführerin angenommen: Die Beschwerdegegnerin war ab........ im Heim B._ untergebracht, bis 31. August 2009 intern, danach bis 24. September 2012 in der Aussenwohnung. Gemäss dem Schreiben der Heimleitung vom 6. Mai 2014 war sie sowohl in Haushaltangelegenheiten als auch bei der Kinderbetreuung auf Unterstützung und Begleitung angewiesen. Zu ihrer Entlastung sei die Tochter im Tageshort gewesen; trotzdem sei es ihr nicht möglich gewesen, sich jeweils aufzuraffen und den Haushalt in Schwung zu bringen; die Wohnung sei eher ungepflegt gewesen. Die durch ihr Alter eingeschränkten beiden Vermieterinnen seien von deren Nichte betreut worden; die Hilfe der Versicherten sei auf der freundschaftlichen Ebene gewesen.
Im Weitern hatte die Versicherte eine Woche vor der Geburt ihrer Tochter bei einem Unfall eine distale intraartikuläre Radiusfraktur links erlitten. Der Arm konnte lange Zeit nicht belastet, und eine Fehlstellung musste im Mai 2008 operativ korrigiert werden. Aufgrund dieser Unfallfolgen erscheint eine uneingeschränkte Leistungsfähigkeit in einem Haushalt mit einem Kleinkind fraglich. Es kommt dazu, dass die Versicherte im Sommer 2008 an einem neurogenen Tumor des linken Lungenunterlappens erkrankt war und nach der Lobektomie vom........ sich komplizierend eine Infektion (Lungenentzündung) eingestellt hatte (Aktennotiz RAD vom 15. Januar 2009). Endlich musste die Versicherte im Sommer 2010 wegen "Multiorganversagen bei schwerer Sepsis bei (Aspirations-) Pneumonie rechts" stationär behandelt werden (Austrittsbericht Medizinische Intensivstation Spital E._ vom 8. Juli 2010), und sich ein Jahr später einer laparoskopischen Bypass-Operation unterziehen. Der Hausarzt erwähnte in seinem Bericht vom 27. März 2009 eine emotional instabile Persönlichkeit mit Suchtmittelabusus, gehäufte febrile respiratorische Infekte, belastungsabhängige Schmerzen im Bereich der Hand sowie einen Diabetes mellitus und Übergewicht. Die Gutachter der MEDAS sprachen von einem ausserordentlich komplexen Krankheitsgeschehen, wobei die seit 1998 bestehende Sucht bzw. Polytoxikomanie auf der emotional instabilen Persönlichkeitsstörung vom Borderline-Typ beruhe (und somit invalidisierend sein kann; Urteil 8C_582/2015 vom 8. Oktober 2015 E. 2.2, in: SVR 2016 IV Nr. 3 S. 7).
6.2.3. Aufgrund der multiplen, zum Teil schweren und seit langem bestehenden Leiden bzw. der darauf zurückzuführenden Unfähigkeit der Beschwerdegegnerin, für sich selber und ihre Tochter zu sorgen, ist im fraglichen Zeitraum (April 2009 bis Juli 2012) von einer gänzlichen oder zu mindestens 70 % betragenden Einschränkung (auch) im Aufgabenbereich auszugehen. Selbst unter der Annahme, die Versicherte wäre im Gesundheitsfall nicht erwerbstätig gewesen, hat sie somit Anspruch auf eine ganze Rente und ist demzufolge der vorinstanzliche Entscheid zu bestätigen. Bei diesem Ergebnis erübrigen sich Ausführungen zu den Erwägungen des kantonalen Versicherungsgerichts zur gemischten Methode der Invaliditätsbemessung.
7.
Dem Verfahrensausgang entsprechend hat die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdegegnerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 7. Dezember 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Fessler