Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Bischofszell verurteilte A._ mit Strafbefehl vom 18. März 2016 wegen übler Nachrede zu einer zu vollziehenden Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 70.--. Auf Einsprache von A._ hin überwies die Staatsanwaltschaft Bischofszell das Strafverfahren am 31. März 2016 dem Bezirksgericht Weinfelden. In der Folge stellte A._ am 6. Juni 2016 u.a. ein Ausstandsbegehren gegen den Gerichtspräsidenten des Bezirksgerichts Weinfelden. Das Obergericht des Kantons Thurgau wies das Ausstandsgesuch mit Entscheid vom 14. Juli 2016 ab.
Nachdem A._ an der Hauptverhandlung vom 21. Juni 2016 nicht erschien, schrieb das Bezirksgericht Weinfelden mit Beschluss vom 21. Juni 2016 das Verfahren infolge Rückzugs der Einsprache als erledigt ab.
2.
A._ führt mit Eingaben vom 4. August 2016 Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Obergerichts des Kantons Thurgau vom 14. Juli 2016 sowie gegen den Beschluss des Bezirksgerichts Weinfelden vom 21. Juni 2016.
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
3.
Die Beschwerde in Strafsachen ist zulässig gegen Entscheide letzter kantonaler Instanzen (Art. 80 Abs. 1 BGG). Beim Beschluss des Bezirksgerichts Weinfelden vom 21. Juni 2016 handelt es sich nicht um einen letztinstanzlichen kantonalen Entscheid. Dieser kann gemäss Rechtsmittelbelehrung des bezirksgerichtlichen Beschlusses innert 10 Tagen mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Thurgau angefochten werden. Auf die Beschwerde ist somit nicht einzutreten, soweit sie sich gegen den Beschluss des Bezirksgerichts Weinfelden vom 21. Juni 2016 richtet. Die Beschwerde ist insoweit zur weiteren Behandlung dem Obergericht des Kantons Thurgau zu überweisen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer unterlässt es, sich mit der Begründung des Obergerichts, die zur Abweisung des Ausstandsgesuchs führte, auseinanderzusetzen. Aus den Ausführungen des Beschwerdeführers ergibt sich nicht, inwiefern diese Begründung des Obergerichts bzw. dessen Entscheid selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Demgemäss ist mangels einer genügenden Begründung im Sinne von Art. 42 Abs. 2 BGG auf die Beschwerde nicht einzutreten. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
5.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Beschwerde gegen den Beschluss des Bezirksgerichts Weinfelden vom 21. Juni 2016 wird dem Obergericht des Kantons Thurgau überwiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Gerichtspräsidenten des Bezirksgerichts Weinfelden und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli