Faits :
A.
A.a. Z._ (ci-après: l'employée) a travaillé comme infirmière diplômée dès avril 2004 auprès de la clinique psychiatrique..., exploitée par la société A._ Sàrl (ci-après: l'employeuse). Son taux de travail était initialement de 100%, puis de 75% dès le 1 er novembre 2009, et enfin de 60% depuis le 1 er octobre 2012. En janvier 2015, son salaire mensuel brut était de 4'009 fr. 80.
Chargée d'évaluer le travail de l'employée en 2014, sa supérieure directe I._, directrice des soins (ci-après: l'infirmière-cheffe), avait relevé ses excellentes capacités pour le travail de nuit et la qualité de celui-ci. Entendue comme témoin dans la procédure évoquée ci-après (let. B), elle a confirmé que l'employée était une bonne infirmière en qui elle avait toute confiance.
A.b. Au moment des faits relatés ci-dessous, la clinique comprenait quatre services, soit trois dans le bâtiment principal et un à l'extérieur. La nuit, chaque service était placé sous la responsabilité d'une infirmière diplômée; une aide-soignante était disponible sur les quatre sites.
Dans la nuit du 5 au 6 janvier 2015, l'employée était responsable du service situé au 1er étage du bâtiment principal. Son horaire de travail s'étendait de 19 heures 45 à 07 heures 15, avec 42 minutes de pause. 17 patients se trouvaient dans le service; bien qu'autonomes, ils présentaient diverses pathologies pouvant inclure le risque de suicide, telles que des troubles alimentaires, des troubles anxio-dépressifs ou toute autre pathologie psychiatrique.
Vers deux heures du matin, l'infirmière-cheffe, qui était aussi de garde, a décidé de se rendre dans le service confié à l'employée pour vérifier ce qui s'y passait. A la fin décembre 2014, une patiente lui avait signalé qu'à deux reprises, elle avait vainement cherché l'infirmière de garde. Constatant qu'il s'agissait à chaque fois de l'employée, l'infirmière-cheffe souhaitait s'assurer par elle-même que sa collaboratrice était digne de confiance. Elle a donc parcouru tous les locaux du service - y compris la salle de soins - et les deux étages du site, puis s'est rendue en dernier ressort dans le salon du service, situé en retrait. Elle a tenté d'ouvrir la porte, qui était fermée à clé de l'intérieur, en activant plusieurs fois la poignée. L'employée a ouvert assez rapidement. L'infirmière-cheffe a eu l'impression que l'intéressée venait de se réveiller car elle était ahurie; il faisait sombre à l'intérieur et la télévision ne fonctionnait pas. Choquée de la découvrir dans cet endroit et constatant qu'une patiente passait à ce moment-là, l'infirmière-cheffe ne s'est pas entretenue avec l'employée. Elle lui a simplement demandé de retourner dans la salle de soins, qui ne comprenait pas d'endroit où l'on puisse dormir.
Inquiète des événements, l'employée a contacté l'aide-soignante de garde, qui l'a rejointe. Elles ont convenu de déclarer à l'infirmière-cheffe que la première avait pris sa pause et s'était fait remplacer par la seconde, ce qui n'était pas le cas. Entendue comme témoin, l'aide-soignante a reconnu avoir accepté de soutenir cette version non conforme à la réalité pour défendre sa collègue. L'employée a admis devant le tribunal que cette façon d'agir n'était ni intelligente, ni très honnête.
L'infirmière-cheffe, qui était partie à la recherche de l'aide-soignante, l'a finalement trouvée en compagnie de l'employée. Cette dernière a expliqué qu'elle était en train de prendre sa pause et s'était fait remplacer par l'aide-soignante. L'infirmière-cheffe a demandé à l'aide-soignante où elle se trouvait; elle n'a pas cru l'explication donnée par l'intéressée, pressentant que celle-ci s'était reposée quelque part.
A.c. Le 6 janvier 2015, l'employée a été convoquée avant de débuter sa garde à 19 h 45. Elle s'est vu signifier son licenciement avec effet immédiat. La lettre remise à cette occasion indiquait qu'elle avait commis un manquement grave dans l'exercice de sa profession d'infirmière pour s'être enfermée à clé dans le salon du service, d'où elle ne pouvait pas entendre les sonnettes d'appel des malades, ni répondre au besoin d'un patient qui se serait présenté à la salle de soins; en outre, tout laissait supposer qu'elle s'était endormie dans le salon. Dès lors qu'un tel comportement aurait pu avoir des conséquences graves sur la sécurité des patients hospitalisés dans le service, il se justifiait de résilier son contrat avec effet immédiat.
A.d. Le 3 février 2015, l'employée a contesté son licenciement, par l'intermédiaire de son syndicat. Elle a exposé qu'elle ne réfutait pas le fait de s'être endormie, car elle prenait sa pause en accord avec sa collègue aide-soignante qui pouvait venir la chercher à tout moment en cas de besoin. En revanche, elle contestait que le fait de dormir ait mis en danger la sécurité des patients et ait été de nature à détruire le lien de confiance entre les parties d'une façon telle que la poursuite des relations de travail ne pouvait être exigée. Elle se tenait à disposition pour reprendre le travail.
B.
B.a. Au bénéfice d'une autorisation de procéder, l'employée a attrait l'employeuse par demande du 14 juillet 2015 devant le Tribunal de prud'hommes de l'arrondissement de... (VD). Exigeant d'être indemnisée pour le congé immédiat qui était selon elle injustifié, elle concluait au paiement de 30'000 fr. nets et à la délivrance d'un certificat de travail rectifié. Elle expliquait avoir revu ses prétentions à la baisse pour rester dans la compétence de la juridiction prud'homale - qui connaît d'affaires dont la valeur litigieuse n'excède pas 30'000 fr. (art. 2 al. 1 let. a de la loi vaudoise sur la juridiction du travail [LJT; RSV 173.61]).
A l'audience du 11 janvier 2016, l'employée a fait savoir que la question du certificat de travail était résolue.
B.b. Entendue dans le cadre de la procédure, l'infirmière-cheffe a expliqué qu'un patient avait trois possibilités pour contacter l'infirmière de veille. Premièrement, il pouvait appuyer sur un bouton qui était relié à la salle de soins. Un voyant lumineux et une sonnerie s'enclenchaient dans cette salle, indiquant à l'infirmière de quel patient il s'agissait. Un second tableau lumineux était installé à l'étage dans le corridor. Deuxièmement, le patient pouvait appuyer sur un bouton du téléphone relié au portable de l'infirmière de veille; les patients étaient orientés plutôt vers cette possibilité. Si une infirmière recevait deux appels en même temps, elle adaptait ses priorités notamment sur la base de la «remise de service» qui avait été faite. Troisièmement, le patient pouvait se rendre auprès de l'infirmière de veille. Celle-ci avait la responsabilité du service et devait rester atteignable en tout temps par les patients. Quand elle voulait prendre sa pause, elle ne devait pas s'absenter du service avant que l'aide-soignante polyvalente vienne la remplacer. Hormis la période de pause, l'infirmière devait se tenir dans la salle de soins lorsqu'elle n'était pas occupée avec un patient. Elle pouvait s'installer confortablement et regarder la télévision, mais ne pouvait pas dormir. Il importait qu'elle fût visible des patients même si elle s'assoupissait momentanément, raison pour laquelle elle devait se trouver dans la salle de soins dont la porte était vitrée. Cette salle, fermée à clé, ne pouvait être ouverte de l'extérieur que par une personne ayant la clé requise. Depuis le salon du service, il n'était pas possible d'entendre la sonnette s'actionner dans la salle de soins. Egalement auditionnée comme témoin, l'aide-soignante a pour sa part affirmé que l'on pouvait entendre la sonnette depuis le salon à condition que la porte fût ouverte.
Quant à l'employée, elle a expliqué au tribunal que cette nuit-là, un patient séjournant dans la chambre contiguë aux locaux dans lesquels elle vaquait à ses occupations - soit la salle de soins, le bureau infirmier et la pharmacie - s'était plaint à deux reprises qu'elle l'empêchait de dormir à cause de sa toux. Elle avait donc pris l'initiative de s'installer dans le salon au lieu de s'allonger sur la table d'examen dans la salle de soins comme les veilleuses avaient coutume de le faire. Il ne s'agissait pas d'y prendre sa pause mais juste de s'y tenir avec le téléphone. Le tableau relatif aux sonneries des patients, situé dans la pharmacie, n'était pas fiable car il n'émettait qu'une faible sonnerie qui était couverte par le bruit d'un ordinateur, et le voyant lumineux n'était visible que si l'on était en face du panneau, raison pour laquelle le téléphone était privilégié. L'employée s'était donc installée sur le canapé du salon et avait passé l'essentiel du temps à tousser; elle ne s'était pas endormie et n'avait pas regardé la télévision ni lu. Une heure et demie ou deux heures au maximum s'étaient écoulées avant que l'infirmière-cheffe vînt vers elle.
L'infirmière-cheffe n'a pas constaté que l'employée toussait cette nuit-là.
B.c. Considérant que le licenciement immédiat était injustifié, l'autorité prud'homale a alloué à l'employée 13'344 fr. 35 bruts, «dont à déduire les cotisations sociales légales et contractuelles», en compensation de ce qu'elle aurait gagné si les rapports avaient pris fin à l'échéance du délai de congé (art. 337c al. 1 CO), soit le 30 avril 2015 (art. 335c al. 1 CO). L'employée a en outre obtenu une indemnité de 2'000 fr. nets fondée sur l'art. 337c al. 3 CO.
B.d. Statuant sur appel de l'employeuse, le Tribunal cantonal vaudois a confirmé ce jugement, et en particulier le caractère injustifié du congé immédiat, à l'issue de l'analyse résumée ci-dessous.
L'employée était investie d'une responsabilité importante, comme elle était appelée à veiller sur 17 patients dont certains étaient affectés de pathologies pouvant inclure le risque de suicide. Un employeur avait un intérêt particulier à se fier à la rectitude absolue d'un travailleur qui était amené à agir seul dans une fonction à responsabilité, sans le contrôle de son employeur, notamment lorsqu'il était en contact direct avec la clientèle; or, tel était le cas de l'employée. Le fait de s'être enfermée dans le salon du service constituait assurément une faute qui aurait pu avoir des conséquences graves, eu égard aux pathologies dont souffraient les patients sous sa garde. Néanmoins, l'employeuse ne démontrait pas que dans le cas d'espèce, ce risque ait réellement présenté un caractère plus concret que celui d'une simple hypothèse. L'employeuse ne soutenait pas que l'un des patients présentait réellement un tel risque reconnaissable pour l'employée. En outre, cette dernière ne s'était pas rendue totalement inaccessible, puisqu'elle demeurait atteignable par le moyen de communication qui était recommandé aux patients, soit le téléphone. De plus, l'employée relevait à juste titre que d'autres situations pouvaient empêcher d'être joignable par la sonnette d'alarme, par exemple lorsque l'infirmière se trouvait auprès d'un patient; or, cela ne semblait pas constituer un danger aux yeux de l'employeuse. Finalement, l'employeuse n'avait pas établi de règlement ou de directive écrite prescrivant à l'infirmière de se tenir impérativement dans la salle de soins; on ne pouvait affirmer que l'employée aurait violé des règles centrales de la déontologie ou de l'éthique professionnelle. En bref, si le manquement de l'employée était certes blâmable, il n'atteignait pas la gravité suffisante pour justifier un congé immédiat. Il s'agissait d'un épisode isolé dans un parcours sans tache, l'employée ayant donné parfaite satisfaction pendant une durée considérable. Certes, poursuivait le Tribunal cantonal, le mensonge ourdi avec l'aide-soignante constituait une vilénie supplémentaire qui était de nature à porter atteinte au lien de confiance déjà mis à mal par le manquement initial. Toutefois, on ne pouvait soutenir qu'après plus de dix ans de collaboration sans reproche, un tel mensonge ait pour effet d'exclure objectivement la continuation des rapports de travail jusqu'à la prochaine échéance du contrat. La durée importante de la collaboration et la bonne qualité du travail fourni revêtaient une importance prépondérante par rapport à une faute d'une certaine gravité, mais pas extrêmement grave.
C.
L'employeuse a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière civile assorti d'une demande d'effet suspensif, à l'issue duquel elle requiert le rejet pur et simple des conclusions de la demande déposée le 14 juillet 2005 par l'employée.
L'employée a conclu au rejet du recours. L'autorité précédente ne s'est pas déterminée.
L'effet suspensif a été refusé par ordonnance présidentielle du 28 avril 2017.
Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont réalisées sur le principe, notamment celle afférente à une valeur litigieuse minimale de 15'000 fr. pour les conflits de droit du travail (art. 74 al. 1 let. a LTF). Le salaire brut, avant déduction des cotisations du travailleur, est en effet déterminant pour le calcul de la valeur litigieuse (cf. VIKTOR ET MICHAEL RÜEGG, in Basler Kommentar, 3 e éd. 2017, n° 4 ad art. 91 CPC; PETER DIGGELMANN, in Schweizerische Zivilprozessordnung, Brunner et alii éd., 2 e éd. 2016, n° 48 s. ad art. 91 CPC; sous l'ancien art. 343 al. 2 CO, cf. arrêt 4C.330/1995 du 20 août 1996 consid. 5 ainsi que STREIFF/VON KAENEL, Leitfaden zum Arbeitsvertragsrecht, 5 e éd. 1992, n° 6 in fine ad art. 343 CO; MANFRED REHBINDER, Berner Kommentar, 1992, n° 13 in fine ad art. 343 CO). Ce principe vaut logiquement aussi pour l'indemnité fondée sur l'art. 337c al. 1 CO.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF). L'autorité de céans applique d'office le droit (art. 106 al. 1 LTF) à l'état de fait constaté dans l'arrêt cantonal. Cela n'implique pas qu'elle examine toutes les questions juridiques qui pourraient se poser, à l'instar d'un juge de première instance. Eu égard à l'obligation de motiver imposée par l'art. 42 al. 2 LTF, l'autorité de céans ne traite que les questions qui sont soulevées devant elle par les parties, à moins que la violation du droit ne soit manifeste (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 116; 140 III 86 consid. 2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). «Manifestement inexactes» signifie ici «arbitraires» (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
2.3. Le recours contient un unique grief tiré de la violation de l'art. 337 CO. Les deux parties s'en remettent à l'état de fait de l'arrêt attaqué. La cour de céans est dès lors liée par celui-ci.
3.
3.1. L'art. 337 CO autorise l'employeur comme le travailleur à résilier immédiatement le contrat de travail en tout temps pour de justes motifs (al. 1). Constituent notamment de justes motifs toutes les circonstances qui, selon les règles de la bonne foi, ne permettent pas d'exiger de celui qui a donné le congé la continuation des rapports de travail (al. 2). Le juge apprécie librement s'il existe de justes motifs (al. 3).
3.2. Selon la jurisprudence, la résiliation immédiate pour justes motifs est une mesure exceptionnelle qui doit être admise de manière restrictive (ATF 137 III 303 consid. 2.1.1 p. 304). Seul un manquement particulièrement grave peut justifier une telle mesure (ATF 142 III 579 consid. 4.2 p. 579). Par manquement, on entend généralement la violation d'une obligation découlant du contrat de travail, mais d'autres incidents peuvent aussi justifier une telle mesure (ATF 137 III 303 consid. 2.1.1; 129 III 380 consid. 2.2). Ce manquement doit être objectivement propre à détruire le rapport de confiance essentiel au contrat de travail, ou du moins propre à l'ébranler si profondément que la continuation des rapports de travail ne peut raisonnablement pas être exigée; de surcroît, il doit avoir effectivement abouti à un tel résultat (cf. toutefois la remarque de STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, Arbeitsvertrag, 7e éd. 2012, p. 1098). Lorsqu'il est moins grave, le manquement ne peut entraîner une résiliation immédiate que s'il a été répété malgré un avertissement (ATF 142 III 579 consid. 4.2 p. 579; 130 III 213 consid. 3.1; arrêt 4C.51/2006 du 27 juin 2006 consid. 2.1.1).
Savoir si le comportement incriminé atteint la gravité nécessaire dépend des circonstances du cas concret (ATF 142 III 579 consid. 4.2; concernant des manquements graves pendant des veilles de nuit en établissement médico-social, cf. arrêts 4A_659/2015 du 28 juin 2016 et 4A_496/2008 du 22 décembre 2008). Il est donc difficile d'établir un catalogue de comportements susceptibles de justifier un congé immédiat. La commission d'infractions pénales, et notamment d'un vol au préjudice de l'employeur, constitue un cas classique susceptible d'autoriser un tel congé (cf. arrêts 4A_177/2017 du 22 juin 2017 et 4A_228/2015 du 29 septembre 2015 in SJ 2016 I 109, concernant des vols de peu d'importance).
Dans son appréciation, le juge doit notamment prendre en compte la position et la responsabilité du travailleur, le type et la durée des rapports contractuels, la nature et l'importance des manquements (ATF 127 III 351 consid. 4a p. 354), ou encore le temps restant jusqu'à l'échéance ordinaire du contrat (ATF 142 III 579 consid. 4.2). A cet égard, l'importance du manquement doit être d'autant plus grande que ce laps de temps est court (arrêts 4A_625/2016 du 9 mars 2017 consid. 3.2; 4C.95/2004 du 28 juin 2004 consid. 2). La réserve est ainsi de mise lorsque le congé immédiat est donné dans le temps d'essai - qui se caractérise par la brièveté du délai de congé -, ou dans l'intervalle compris entre un congé ordinaire et l'échéance du contrat (STREIFF/VON KAENEL/RUDOLPH, op. cit., p. 1125 n. 16). La position de l'employé, sa fonction et les responsabilités qui lui sont confiées peuvent entraîner un accroissement des exigences quant à sa rigueur et à sa loyauté. Cela peut valoir pour un cadre comme pour une caissière de supermarché (cf. ATF 130 III 28 consid. 4.1; 108 II 444 consid. 2b; arrêt précité 4A_177/2017 consid. 2.3; arrêt 4C.51/2006 du 27 juin 2006 consid. 2.2.3).
Bien qu'il dispose d'un plein pouvoir d'examen, le Tribunal fédéral ne revoit qu'avec réserve la décision d'appréciation prise en dernière instance cantonale. Il n'intervient que lorsque celle-ci s'est écartée sans raison des règles établies par la doctrine et la jurisprudence en matière de libre appréciation, lorsqu'elle s'est appuyée sur des faits qui ne devaient jouer aucun rôle ou, à l'inverse, a méconnu des éléments qui auraient absolument dû être pris en considération; il sanctionnera en outre les décisions rendues en vertu d'un pouvoir d'appréciation lorsqu'elles aboutissent à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante (ATF 137 III 303 consid. 2.1.1 p. 305; 130 III 213 consid. 3.1 p. 220; arrêt précité 4A_625/2016 consid. 3.2).
4.
4.1. En l'occurrence, l'employeuse reproche aux juges cantonaux d'avoir minimisé la gravité du manquement de l'employée en commettant trois erreurs d'appréciation qui aboutiraient à un résultat choquant. Premièrement, les juges vaudois auraient pratiquement nié le risque encouru par les patients au motif que l'employeuse n'avait pas démontré l'existence d'un risque concret. Deuxièmement, ils auraient sous-estimé l'importance d'une présence dans la salle de soins alors que certains patients, en raison de leur état psychique, peuvent préférer se diriger vers ladite salle plutôt que d'atteindre l'infirmière par téléphone. Lorsqu'il arrivait que l'infirmière soit déjà occupée par un patient, elle pouvait demander à l'aide-soignante de la remplacer dans la salle de soins. Troisièmement, les juges vaudois auraient accordé une importance exagérée à l'absence de directive écrite, qui n'était pourtant pas nécessaire pour faire comprendre à une infirmière expérimentée l'importance d'être accessible pour les patients. Le fait que l'employée se soit enfermée à clé démontrerait du reste qu'elle en avait bien conscience.
4.2. Il convient au préalable d'opérer quelques précisions de fait.
4.2.1. L'arrêt attaqué retient simplement que l'employée s'est enfermée à clé dans le salon du service; il ne précise pas le motif de ce comportement. Les juges vaudois n'ont donc pas retenu la version de l'employée selon laquelle un patient se serait plaint des bruits de toux qu'elle occasionnait, version qui n'était au demeurant corroborée par aucun élément et intervenait après une autre version erronée.
4.2.2. L'employée a affirmé que la sonnerie signalant un appel de patient dans la pharmacie contiguë à la salle de soins était faible, au point d'être couverte par le bruit d'un ordinateur. L'arrêt attaqué retient tout au plus - de façon implicite - que la sonnerie n'était pas audible dans le salon porte fermée, puisqu'il relève qu'il existait d'autres situations dans lesquelles l'infirmière était injoignable par la sonnette. L'aide-soignante a pour sa part déclaré - sans contredire l'infirmière-cheffe - que la sonnerie était audible depuis le salon si la porte de celui-ci restait ouverte; ce faisant, elle tend à infirmer la version de l'employée exposée ci-dessus. Par ailleurs, il n'apparaît pas que cette dernière ait contredit l'affirmation de l'infirmière-cheffe selon laquelle le personnel soignant se tenant dans la salle de soins était visible des patients grâce à la porte vitrée.
4.2.3. Les juges vaudois relèvent en outre que le manquement reproché à l'employée est un épisode «isolé» dans un parcours sans tache. Il faut dès lors considérer que celle-ci n'avait pas eu de tel comportement auparavant; les éléments ayant conduit l'infirmière-cheffe à effectuer un contrôle n'ont pas été éclaircis.
C'est le lieu d'examiner si les juges cantonaux ont outrepassé leur pouvoir d'appréciation en excluant de justes motifs de congé immédiat, étant entendu que le motif du congé réside dans le comportement adopté par l'employée dans la nuit du 5 au 6 janvier 2015.
4.3. L'état des patients sous la garde de l'employée cette nuit-là est un élément pertinent pour apprécier son manquement. La faute peut en effet se trouver aggravée par le fait que des patients auraient présenté un risque particulier de suicide, ou auraient souffert d'un état rendant la présence de l'infirmière d'autant plus importante. Une telle situation n'a cependant pas été établie. L'employeuse évoque des difficultés pratiques à apporter une telle preuve en raison du secret médical; il faut toutefois relativiser cet inconvénient, dans la mesure où le témoignage du personnel soignant peut aussi entrer en considération. L'employeuse s'est du reste contentée de faire une allégation sur le risque général présenté par les clients fréquentant l'établissement, qui a été retenue. Cela étant, s'il n'est pas démontré que des patients auraient encouru un risque concret de suicide cette nuit-là, on ne saurait dans le même temps ignorer le caractère notoirement impromptu des pulsions suicidaires qui peuvent parfois saisir des personnes atteintes de pathologies psychiatriques sujettes à un état suicidaire.
La procédure mise en place pour les gardes de nuit faisait en sorte que l'infirmière de veille soit, autant que possible, atteignable de trois façons: téléphone, sonnette d'alarme ou contact direct en venant à la salle de soins dont la porte était vitrée. L'infirmière devait se faire remplacer par l'aide-soignante pour sa pause et ne pouvait pas s'absenter avant que celle-ci fût arrivée. Ces éléments démontrent l'importance accordée à la présence du personnel de garde et à sa visibilité, au-delà du fait que le téléphone était le «moyen de communication (...) recommandé aux patients». On ne saurait nier l'importance objective d'une telle présence, dans le cadre d'un service psychiatrique où des patients souffraient de pathologies pouvant inclure le risque de suicide évoqué ci-dessus. L'employée s'est enfermée à clé dans un salon du service. Il semble que le salon n'était pas trop éloigné de la salle de soins. Cela étant, le salon était «en retrait», et l'employée ne pouvait pas y entendre la sonnette d'alarme, ni être visible pour les patients. Selon ses propres dires, elle s'y trouvait depuis une heure et demie ou deux heures lorsque l'infirmière-cheffe l'a trouvée. Certes, le système mis en place ne permettait pas d'assurer en tout temps les trois modes de contact, l'arrêt attaqué évoquant le cas de l'infirmière appelée au chevet d'un malade. Cependant, les situations où un patient mobilise celle-ci pendant une heure et demie/deux heures (soit le temps de retrait dans le salon) ne doivent pas être légion. Quoi qu'il en soit, si l'intervention doit se prolonger, diverses mesures sont envisageables, telles que laisser ouverte la porte de la chambre du patient concerné, aller contrôler régulièrement le tableau lumineux dans le couloir ou dans la salle de soins, emmener le patient dans la salle de soins, ou encore faire appel à l'aide-soignante, voire à de l'aide extérieure.
On ne saurait mésestimer la gravité du manquement de l'infirmière, consistant à se réfugier dans un salon en retrait pendant une durée importante et à limiter les possibilités de contact au simple appel téléphonique, alors qu'elle avait la responsabilité de la garde de nuit d'un service comportant 17 patients affectés de troubles psychiatriques. Avant même que l'infirmière-cheffe ait émis le moindre commentaire, l'employée a immédiatement cherché à couvrir son manquement avec l'aide d'une collègue, en prétextant qu'elle prenait sa pause et qu'elle s'était fait remplacer. Cette attitude démontrait que l'employée avait saisi l'importance de son manquement; elle était aussi de nature à entamer encore davantage la confiance de l'employeuse.
Comme l'a pourtant relevé à juste titre l'autorité précédente, l'employeur doit pouvoir se fier à la rectitude absolue d'une personne qui, comme l'intimée, occupe une fonction à responsabilité et doit être à même d'agir seule, sans le contrôle de l'employeur; il y va de la sécurité et de la santé des patients sous sa garde. En l'occurrence, le manquement de l'employée, conjugué à sa tentative de le dissimuler par un mensonge fomenté avec la complicité d'une collègue, était de nature à entamer la confiance de l'employeuse, au point qu'on ne puisse raisonnablement exiger d'elle la continuation des rapports de travail, ne serait-ce que jusqu'à l'échéance ordinaire du contrat (30 avril 2015). L'autorité précédente a insisté sur la durée des liens contractuels, la qualité du travail et le comportement exemplaire de l'employée jusqu'ici. Elle a cependant sous-estimé le fait que la confiance peut être rompue par un comportement intervenant après des années d'attitude exemplaire. Elle a aussi insuffisamment tenu compte de la responsabilité encourue par l'employeuse elle-même. En effet, on ne peut raisonnablement pas exiger d'un employeur ayant sous sa responsabilité des patients dotés de troubles psychiatriques qu'il prenne un risque en maintenant à la tête d'un service une infirmière dont le comportement a fait naître des doutes consistants quant à son sens des responsabilités envers les patients. A cet égard, le mensonge de l'employée n'était pas de nature à favoriser le pronostic d'un comportement futur irréprochable, ne serait-ce que jusqu'à l'échéance ordinaire du contrat.
On ne peut certes pas exclure des failles dans le système mis en place, qui comportait un minimum de personnel. Mais l'employée elle-même n'a pas fait état d'incidents au cours de la décennie pendant laquelle elle a été au service de l'employeuse. Il faut également reconnaître les difficultés du travail nocturne, qui expose davantage le personnel au risque d'assoupissement durant les heures creuses de la nuit. Toutefois, l'employée s'est retirée pendant un temps considérable, en restreignant les possibilités de contact; il ne s'agit pas d'un cas où l'infirmière de garde se serait endormie quelques instants dans la salle de soins, d'où elle serait restée visible pour les patients, et d'où elle aurait très probablement pu être réveillée par la sonnerie d'alarme ou par un patient (voix, bruit sur la porte, etc).
En procédant à une appréciation globale des circonstances concrètes, et en tenant compte de la responsabilité assumée par l'employeuse elle-même pour la prise en charge de patients affectés de troubles psychiques, force est d'admettre que l'atteinte à la confiance portée par le manquement de l'employée était suffisamment grave pour justifier une résiliation du contrat avec effet immédiat. On ne saurait déduire le contraire du seul fait que l'infirmière-cheffe a laissé l'employée terminer la nuit de garde. On voit au demeurant mal quelle autre solution aurait pu être mise en place au milieu de la nuit, alors que l'infirmière-cheffe était elle-même d'astreinte.
Pour le surplus, les faits ont été découverts dans les premières heures du matin, et le congé a été donné le soir même, avant que l'employée reprenne son service. L'employeuse n'a donc pas tardé à notifier le congé immédiat.
L'employée objecte encore qu'elle aurait été victime d'inégalité de traitement par rapport à l'aide-soignante, qui n'aurait reçu qu'un avertissement. Il suffit de constater que les faits retenus dans les décisions cantonales ne permettent pas d'établir des circonstances identiques ou comparables dans les deux cas; rien n'indique, en particulier, que l'aide-soignante - dont la position est moindre que l'infirmière diplômée responsable du service - serait restée elle aussi enfermée dans une pièce pendant une heure et demie ou deux.
4.4. En définitive, le grief de violation de l'art. 337 CO est fondé. Le congé immédiat se révèle justifié. Il s'ensuit le rejet des prétentions pécuniaires fondées sur la prémisse erronée d'un congé injustifié (art. 337c al. 1 et 3 CO). On rappelle par ailleurs que le sort de la conclusion relative à la délivrance d'un certificat de travail rectifié avait été réglé dès avant le premier jugement. Il s'ensuit le rejet intégral de la demande déposée par l'employée le 14 juillet 2015.
Les deux décisions cantonales ont été rendues sans frais (art. 114 let. c CPC). Subsiste donc uniquement la question des dépens. La cause sera renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les dépens de la procédure cantonale.
S'agissant de la présente procédure de recours, l'intimée en supportera les frais, fixés selon le tarif réduit (art. 65 al. 4 let. c et art. 66 al. 1 LTF); elle payera de pleins dépens à la recourante pour ses frais d'avocat (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis.
2.
L'arrêt attaqué est annulé.
3.
La demande déposée par l'intimée Z._ le 14 juillet 2015 est rejetée.
4.
La cause est renvoyée à l'autorité précédente pour qu'elle statue sur les dépens de la procédure cantonale.
5.
Les frais de la présente procédure, arrêtés à 600 fr., sont mis à la charge de l'intimée.
6.
L'intimée versera à la recourante une indemnité de 2'500 fr. à titre de dépens.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 30 août 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti