Sachverhalt:
A.
A._ meldete sich im November 2012 bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle Luzern holte im Rahmen der Abklärungen insbesondere die Berichte des behandelnden Psychiaters Dr. med. B._ vom 4. Mai 2013 und des Dr. med. C._, Facharzt für Rheumatologie und Innere Medizin, vom 27. Mai 2013 sowie die Gutachten des Dr. med. D._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie, vom 22. April 2013 und des Dr. med. E._, Facharzt für Psychiatrie und Psychotherapie beim Regionalen Ärztlichen Dienst (RAD), vom 24. Februar 2014 ein. Nach Durchführung des Vorbescheidverfahrens kam sie zum Schluss, dass aus versicherungsmedizinischer Sicht kein Gesundheitsschaden mit dauerhafter Einschränkung der Arbeitsfähigkeit vorliege. Mit Verfügung vom 20. Oktober 2014 verneinte sie daher einen Anspruch auf berufliche Massnahmen und auf eine Invalidenrente.
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Kantonsgericht Luzern - nachdem es bei Prof. Dr. med. F._, Facharzt für Neurologie sowie für Psychiatrie und Psychotherapie, das Gutachten vom 11. Juli 2016 eingeholt hatte - mit Entscheid vom 10. November 2016 (teilweise) gut. Es hob die Verfügung vom 20. Oktober 2014 auf, sprach A._ eine halbe Invalidenrente ab 1. Mai 2013 zu und wies im Übrigen die Sache an die IV-Stelle zurück, damit sie den Anspruch auf berufliche Eingliederungsmassnahmen prüfe.
C.
A._ lässt mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragen, der Entscheid vom 10. November 2016 sei aufzuheben, und es sei ihm eine Dreiviertelsrente ab 1. Mai 2013 zuzusprechen. Die IV-Stelle reicht unaufgefordert eine fachliche Stellungnahme des Dr. med. E._ vom 16. Januar 2017 samt zugehöriger CD ein.
Erwägungen:
1.
1.1. Der Beschwerdeführer verlangt sinngemäss (vgl. Anwaltsrevue 2009 8 S. 393, 9C_251/2009 E. 1.3 mit Hinweisen; vgl. auch MEYER/ DORMANN, in: Basler Kommentar, Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 7 zu Art. 107 BGG) die Aufhebung des angefochtenen Entscheids nur insoweit, als dieser den Rentenanspruch betrifft. In Bezug auf die vorinstanzlich angeordnete Rückweisung der Sache zur Prüfung eines Anspruchs auf berufliche Massnahmen enthält die Beschwerde keine Ausführungen. Diesbezüglich handelt es sich denn auch um einen nicht anfechtbaren Zwischenentscheid (vgl. Art. 93 Abs. 1 BGG).
1.2. Ob es sich bei der Stellungnahme des Dr. med. E._ um ein von vornherein unzulässiges echtes Novum (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 140 V 543 E. 3.2.2.2 S. 548) oder um eine Rechtsschrift der Beschwerdegegnerin handelt, kann offenbleiben. Die Eingabe der IV-Stelle - die selber den vorinstanzlichen Entscheid nicht anficht (vgl. Art. 107 Abs. 1 BGG) - ist für den Ausgang des Verfahrens ohnehin nicht von Belang (vgl. auch Art. 102 Abs. 1 BGG).
1.3. Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 und 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG) und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist (BGE 132 I 42 E. 3.1 S. 44). Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (vgl. BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9; Urteil 9C_101/ 2015 vom 30. November 2015 E. 1.1).
2.
2.1. Bei der Beurteilung der Arbeits (un) fähigkeit stützt sich die Verwaltung und im Beschwerdefall das Gericht auf Unterlagen, die von ärztlichen und gegebenenfalls auch anderen Fachleuten zur Verfügung zu stellen sind. Ärztliche Aufgabe ist es, den Gesundheitszustand zu beurteilen und dazu Stellung zu nehmen, in welchem Umfang und bezüglich welcher Tätigkeiten die versicherte Person arbeitsunfähig ist. Hinsichtlich des Beweiswertes eines Arztberichtes ist entscheidend, ob dieser für die streitigen Belange umfassend ist, auf allseitigen Untersuchungen beruht, auch die geklagten Beschwerden berücksichtigt, in Kenntnis der Vorakten (Anamnese) abgegeben worden ist, in der Beurteilung der medizinischen Zusammenhänge sowie der medizinischen Situation einleuchtet und ob die Schlussfolgerungen der Experten begründet sind (BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis).
2.2. Im Rahmen der freien Beweiswürdigung darf sich die Verwaltung - und im Streitfall das Gericht (Art. 61 lit. c ATSG [SR 830.1]; vgl. BGE 132 V 393 E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen) - weder über die (den beweisrechtlichen Anforderungen genügenden; vgl. BGE 134 V 231 E. 5.1 S. 232; 125 V 351 E. 3a S. 352 mit Hinweis) medizinischen Tatsachenfeststellungen hinwegsetzen noch sich die ärztlichen Einschätzungen und Schlussfolgerungen zur (Rest-) Arbeitsfähigkeit unbesehen ihrer konkreten sozialversicherungsrechtlichen Relevanz und Tragweite zu eigen machen. Die rechtsanwendenden Behörden haben diesfalls mit besonderer Sorgfalt zu prüfen, ob die ärztliche Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit auch invaliditätsfremde Gesichtspunkte (insbesondere psychosoziale und soziokulturelle Belastungsfaktoren) mitberücksichtigt, die vom invaliditätsrechtlichen Standpunkt aus unbeachtlich sind (vgl. BGE 140 V 193; 130 V 352 E. 2.2.5 S. 355 f.; Urteil 9C_146/2015 vom 19. Januar 2016 E. 3.1). Frei überprüfbare Rechtsfrage ist auch, ob die im psychiatrischen Gutachten gestellten Diagnosen einen invalidisierenden Gesundheitsschaden nach Art. 4 Abs. 1 IVG darstellen (BGE 140 V 193 E. 3.1 f. S. 195 f.). Aus rechtlicher Sicht kann von einer medizinischen Einschätzung der Arbeitsunfähigkeit abgewichen werden, ohne dass diese per se ihren Beweiswert verliert (SVR 2015 IV Nr. 16 S. 45 E. 2.3 [9C_662/2013]; Urteile 9C_3/2015 vom 20. Mai 2015 E. 3.3.2, 8C_283/2015 vom 24. Juni 2016 E. 3).
2.3. Bei den vorinstanzlichen Feststellungen zum Gesundheitszustand und zur Arbeitsfähigkeit der versicherten Person handelt es sich grundsätzlich um Entscheidungen über eine Tatfrage (BGE 132 V 393 E. 3.2 S. 397 ff.), welche das Bundesgericht seiner Urteilsfindung zugrunde zu legen hat (E. 1.3). Die konkrete Beweiswürdigung stellt ebenfalls eine Tatfrage dar. Dagegen ist die Beachtung des Untersuchungsgrundsatzes und der Beweiswürdigungsregeln (BGE 132 V 393 E. 3.2 und 4 S. 397 ff.; Urteil I 865/06 vom 12. Oktober 2007 E. 4 mit Hinweisen) wie auch die Frage nach der rechtlichen Relevanz einer attestierten Arbeitsunfähigkeit (BGE 140 V 193) frei überprüfbare Rechtsfrage.
3.
Die Vorinstanz hat dem Gerichtsgutachten des Prof. Dr. med. F._ vom 11. Juli 2016 grundsätzlich, d.h. in Bezug auf die medizinische Situation, Beweiskraft beigemessen. Hingegen hat sie die darin enthaltene Arbeitsfähigkeitsschätzung - der Experte attestierte eine Arbeitsfähigkeit von 60 %, mit dem Potential einer Erhöhung auf 80 % über 2 Jahre - nicht unverändert übernommen. Mit der Begründung, die Einschränkung von zunächst 40 % sei nicht nachvollziehbar und beruhe vorwiegend auf Dekonditionierung (aufgrund der vierjährigen Arbeitsabstinenz) und der schwierigen Situation auf dem Arbeitsmarkt, hat sie eine Arbeitsfähigkeit von 80 % für leidensangepasste Tätigkeiten festgestellt. Weiter hat das kantonale Gericht das Valideneinkommen auf Fr. 137'787.- und das Invalideneinkommen auf mindestens Fr. 57'585.- festgelegt. Beim resultierenden Invaliditätsgrad von (höchstens) 58 % hat es den Anspruch auf eine halbe Invalidenrente ab 1. Mai 2013 bejaht.
4.
4.1. Prof. Dr. med. F._ stellte im Gerichtsgutachten folgende psychiatrischen und neuropsychologischen Diagnosen mit Einfluss auf die Arbeitsfähigkeit: Rezidivierende depressive Störung, gegenwärtig remittiert (ICD-10: F33.4); andere gemischte Angststörung (ICD-10: F41.3); akzentuierte Persönlichkeitszüge mit führend zwanghaften, narzisstischen und ängstlich vermeidenden Anteilen (ICD-10: Z73.1), DD Persönlichkeitsstörung; leichtgradige Störungen der kognitiven Leistungsfähigkeit. Was die depressive Störung anbelangt, so ist deren Remission spätestens nach drei Monaten zu berücksichtigen (vgl. Art. 88a Abs. 1 IVV [SR 831.201]). Sodann gilt es bezüglich der Diagnose von akzentuierten Persönlichkeitszügen zu beachten, dass sie als Z-Kodierung nicht unter den Begriff der invalidenversicherungsrechtlich erheblichen Gesundheitsbeeinträchtigung fällt (Urteile 9C_551/2016 vom 5. Dezember 2016 E. 5.4; 9C_894/2015 vom 25. April 2016 E. 5.1).
4.2. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers ist die Vorinstanz nicht (grundsätzlich) von der im Gerichtsgutachten enthaltenen Beurteilung der Arbeitsfähigkeit abgewichen. Der Experte gab selber ein "Potential" von 80 % an. Dass dieses jedoch erst nach zwei Jahren gegeben sein soll, legte er nicht nachvollziehbar dar. Diesbezüglich hat die Vorinstanz verbindlich (E. 1.3) festgestellt, dass der Gutachter die von ihm angenommene anfängliche Arbeitsfähigkeit von lediglich 60 % auf die angegebene Dekonditionierung und auf die "Frage nach möglichen Arbeitsplätzen" zurückführte. Weder die Dekonditionierung noch die Frage des Findens eines geeigneten Arbeitsplatzes stellen einen invalidisierenden Gesundheitsschaden im Sinne von Art. 4 Abs. 1 IVG dar. Der Gutachter beschrieb auch detailliert, dass es sich bei der angepassten Arbeit nicht um einen ausgeprägt kompetitiven Job mit erheblicher Stressexposition handeln darf. Es leuchtet aber nicht ein, warum eine solche Tätigkeit erst nach zwei Jahren und nicht sofort im Umfang von 80 % ausgeübt werden dürfte. Die Vorinstanz war daher gehalten, die invalidenversicherungsrechtlich nicht relevanten Momente bei der Bestimmung der zumutbaren Arbeit (vgl. dazu Art. 7 ATSG) für die Ermittlung des Invaliditätsgrades des Beschwerdeführers auszuscheiden (E. 2.2). Dafür musste sie sich weder auf einen Bericht des RAD noch auf ein anderes Gutachten abstützen.
4.3. Die vorinstanzliche Feststellung, dass die Arbeitsfähigkeit in einer angepassten Tätigkeit 80 % betrage, ist auch keineswegs widersprüchlich. Der Beschwerdeführer macht dies geltend, weil ihm berufliche Massnahmen zugesprochen worden seien. Diese Auffassung trifft indessen nicht zu. Anders als zuvor die Verwaltung hat die Vorinstanz eine dauerhafte gesundheitliche Einschränkung bejaht. Aus diesem Grund hat sie die Sache an die IV-Stelle zurückgewiesen, damit diese den Anspruch auf berufliche Massnahmen prüfe. Es kann somit keine Rede davon sein, dass die Vorinstanz die Steigerung der Arbeitsfähigkeit von der Durchführung beruflicher Massnahmen abhängig gemacht hat. Auch der Gerichtsgutachter legte keinen derartigen vom Beschwerdeführer behaupteten Konnex dar.
4.4. Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer nicht zugemutet, dass er an seinen früheren Arbeitsplatz zurückkehren resp. die angestammte Tätigkeit wieder zu 80 % aufnehmen müsste. Vielmehr hat sie bei der Bemessung des Invaliditätsgrades eine angepasste Tätigkeit berücksichtigt und deshalb einen Tabellenlohn der Lohnstrukturerhebung (LSE) 2010 im Anforderungsniveau 3, was lediglich Berufs- und Fachkenntnisse voraussetzte, herangezogen. Es ist nicht ersichtlich, warum der Beschwerdeführer in einer solchen Tätigkeit - für die ihm (bei einem vollen Pensum) nur rund 55 % des früheren Einkommens angerechnet wird - nicht im Umfang von 80 % erwerbstätig sein könnte. Es trifft somit nicht zu, dass der Beschwerdeführer mit der von der Vorinstanz angenommenen Arbeitsfähigkeit mehr leisten müsste, als er objektiv imstande wäre. Auf die subjektive Einschätzung der Leistungsfähigkeit kann ohnehin nicht abgestellt werden.
4.5.
4.5.1. Der Gerichtsgutachter legte nachvollziehbar dar, weshalb er von einer Verbesserung der gesundheitlichen Situation in der ersten Jahreshälfte 2013 und von einem seither unveränderten Zustand ausging. Der Beschwerdeführer macht geltend, dass ihm die Aufnahme einer Erwerbstätigkeit frühestens ab der Erstellung des Gerichtsgutachtens vom 11. Juli 2016 zugemutet werden könne.
4.5.2. Der Beschwerdeführer unternahm seit seinem letzten effektiven Arbeitstag am 30. November 2012 keine Anstrengungen, wieder eine Erwerbstätigkeit aufzunehmen; gegenüber dem Gerichtsgutachter gab er denn auch an, seither keine Bewerbungen mehr geschrieben zu haben. Damit verletzte er seine Schadenminderungspflicht und trug er letztlich auch selber zu seiner Dekonditionierung bei. Dabei ist die Selbsteingliederungspflicht als Ausdruck der allgemeinen Schadenminderungspflicht (vgl. BGE 113 V 22 E. 4a S. 28) nicht erst nach der gutachterlichen Festlegung der Arbeitsfähigkeit gegeben. Der vom Beschwerdeführer angerufene Entscheid BGE 138 V 459 bezieht sich denn auch nicht auf die Selbsteingliederungspflicht, sondern auf den Zeitpunkt, in welchem die Frage nach der Verwertbarkeit der (Rest-) Arbeitsfähigkeit bei vorgerücktem Alter beantwortet wird. Dies bedeutet aber nicht, dass ein Versicherter nicht bereits vor dem Vorliegen eines Gutachtens, mit welchem seine Arbeitsfähigkeit ermittelt wird, im Rahmen der Selbsteingliederung einer zumutbaren Arbeit nachzugehen hätte. Andernfalls müsste für die Zeit vor Durchführung einer Begutachtung regelmässig eine Arbeitsunfähigkeit angenommen werden. Eine derartiges Vorgehen würde zu einer klaren Benachteiligung jener Versicherten führen, bei welchen keine gutachterliche Ermittlung der Arbeitsfähigkeit erforderlich wäre. In concreto kommt hinzu, dass die Taggeldversicherung dem Beschwerdeführer bereits am 8. Mai 2013 mitteilte, dass er gemäss Gutachten des Dr. med. D._ seit dem 21. März 2013 zu 66 % arbeitsfähig sei.
4.6. Nach dem Gesagten beruht die vorinstanzliche Feststellung betreffend die Arbeitsfähigkeit nicht auf einer Rechtsverletzung. Sie ist auch nicht offensichtlich unrichtig, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich bleibt (E. 1.3). Sodann hat das kantonale Gericht kein Bundesrecht verletzt, indem es die Arbeitsfähigkeit im festgestellten Umfang von 80 % ab dem Zeitpunkt des frühestmöglichen Anspruchsbeginns am 1. Mai 2013 (vgl. Art. 29 Abs. 1 IVG) berücksichtigt hat. Die übrigen Faktoren der Invaliditätsbemessung werden nicht beanstandet und geben keinen Anlass zu Weiterungen. Die Beschwerde ist unbegründet.
5.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdeführer die Kosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Kantonsgericht Luzern, 3. Abteilung, und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 12. Mai 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Dormann