Sachverhalt:
A.
Die 1957 geborene A._ ist geschieden, M utter eines Sohnes (geb. 1989) und arbeitete bis Ende 2001 stundenweise als Zeitungsverträgerin. Mit Verfügung vom 8. November 2005 verneinte die IV-Stelle Basel-Stadt einen Rentenanspruch nach medizinischen Abklärungen sowie einer Erhebung im Haushalt. Anfang 2007 meldete sich A._ insbesondere aufgrund psychischer Beschwerden und einer Alkoholkrankheit erneut zum Leistungsbezug an. Die IV-Stelle veranlasste eine neue Haushaltsabklärung, g ab beim Begutachtungszentrum BL (BEGAZ), Binningen, eine polydisziplinäre Expertise in Auftrag (Gutachten vom 12. Januar 2009) und legte den invalidenversicherungsrechtlichen Status der Versicherten fest (50 % Erwerb und 50 % Haushalt). Mit Verfügung vom 10. März 2010 sprach sie A._ ab 1. Juli 2007 eine Dreiviertelsrente zu. Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt am 1. September 2010 gut und wies die Sache an die Verwaltung zurück.
Die IV-Stelle beauftragte in der Folge das Spital B._ mit einer rheumatologischen Expertise (Gutachten vom 10. Mai 2011) und holte beim Aerztlichen Begutachtungsinstitut (nachfolgend: ABI), Basel, ein ergänzendes polydisziplinäres Gutachten ein, das vom 25. Juni 2013 datiert. Den Status der Versicherten passte sie ab Januar 2013 an (80 % Erwerb und 20 % Haushalt). Mit Verfügung vom 13. Mai 2015, betitelt mit dem Hinweis "Ersetzt unsere Verfügung vom 15.03.2010", gewährte die IV-Stelle A._ nach durchgeführtem Vorbescheidverfahren lediglich ab 1. Dezember 2010 bis 31. Juli 2013 eine Dreiviertelsrente (Invaliditätsgrad: 65 %).
B.
Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht Basel-Stadt mit Entscheid vom 26. Januar 2016 insoweit gut, als es der Versicherten "in Abänderung der angefochtenen Verfügung" von Januar bis Ende Juli 2013 eine ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 80 %) zusprach.
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, in Aufhebung des angefochtenen Entscheides sei ihr ab Juli 2007 eine ganze Invalidenrente auszurichten; eventualiter sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Sodann ersucht A._ um unentgeltliche Rechtspflege.
Die IV-Stelle schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann unter anderem die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). Die Feststellung des Sachverhalts kann nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Artikel 95 beruht (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG).
2.
Das kantonale Gericht hat dem polydisziplinären ABI-Gutachten vom 25. Juni 2013 Beweiskraft zuerkannt. I n Bezug auf den invalidenversicherungsrechtlichen Status ist die Vorinstanz bis Ende Dezember 2012 von einer 50%igen Erwerbstätigkeit der Versicherten im Gesundheitsfall ausgegangen. Ab Wegfall der Unterhaltszahlungen des Ehemannes per 1. Januar 2013 hat sie eine Verteilung von 80 % Erwerb und 20 % Haushalt angenommen. Sodann hat das kantonale Gericht die Anwendung der gemischten Methode bestätigt (Art. 28a Abs. 3 IVG; BGE 130 V 396 E. 3.3 S. 396; Urteil 9C_490/2014 vom 23. Januar 2015 E. 3.2) und im Wesentlichen auf die Berechnungen der IV-Stelle (vgl. Verfügung vom 13. Mai 2015) verwiesen. Gestützt darauf hat es der Versicherten ab 1. Dezember 2010 bis Ende Dezember 2012 eine Dreiviertelsrente (Invaliditätsgrad: 65 %) und in Abweichung zur Verfügung vom 1. Januar bis Ende Juli 2013 eine befristete ganze Invalidenrente (Invaliditätsgrad: 80 %) zugesprochen. Einen Anspruch auf Wiedereingliederungsmassnahmen hat die Vorinstanz im Grundsatz bejaht.
3.
Die Beschwerdeführerin macht vorab geltend, die erste rentenzusprechende Verfügung vom 10. März 2010, womit ihr eine unbefristete Dreiviertelsrente zugesprochen worden war, sei materiell rechtskräftig. Sie ist der Ansicht, dass somit nur eine Rentenerhöhung pro futuro, nicht aber eine nachträgliche Herabsetzung zulässig ist. In diesem Zusammenhang rügt sie eine Verletzung von Bundesre cht, da das kantonale Gericht die Revisionsbestimmungen (Art. 17 Abs. 1 ATSG) nicht angewandt habe.
Es steht fest, dass die IV-Stelle der Versicherten mit Verfügung vom 10. März 2010 ab 1. Juli 2007 eine Dreiviertelsrente (Invaliditätsgrad: 61 %) gewährte. Am 1. September 2010 wies das kantonale Gericht die Sache unter Aufhebung der Verfügung vom 10. März 2010 zu weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen an die IV-Stelle zurück (vgl. vorinstanzliches Urteil vom 1. September 2010, Dispositiv, Abs. 1). Der Entscheid ist unbestritten in formelle Rechtskraft erwachsen.
3.1. Der Streitgegenstand umfasst immer ein ganzes Rechtsverhältnis und nicht lediglich einen Teilaspekt desselben (BGE 125 V 413 E. 2 S. 415 ff.; Urteile 2C_446/2007 vom 22. Januar 2008 E. 2.2; I 226/99 vom 15. Mai 2000 E. 2 und 3). Mit der verfügungsweisen Zusprechung einer unbefristeten Invalidenrente wird ein Rechtsverhältnis geordnet, das im Wesentlichen durch die Anspruchsberechtigung an sich sowie die Höhe und den Beginn der Leistung bestimmt ist. Werden, was die Regel ist, lediglich einzelne Elemente der Rentenfestsetzung (Invaliditätsgrad, Rentenbeginn etc.) beanstandet, bedeutet dies nicht, dass die unbestrittenen Teilaspekte in Rechtskraft erwachsen und demzufolge der richterlichen Überprüfung entzogen sind. Die Beschwerdeinstanz prüft vielmehr auch von den Verfahrensbeteiligten nicht aufgeworfene Rechtsfragen (Urteil 8C_811/2012 vom 4. März 2013 E. 3).
3.2.
3.2.1. Die Beschwerdeführerin beantragte in ihrer Beschwerde gegen die Verfügung vom 10. März 2010 anstelle der zugesprochen Dreiviertelsrente eine (unbefristete) ganze Invalidenrente (Beschwerde vom 1. April 2010, S. 2). Hierbei rügte sie die unrichtige Beurteilung der Statusfrage und verlangte - wie auch im vorliegenden Beschwerdeverfahren - die Neuberechnung des Invaliditätsgrades anhand eines Einkommensvergleichs (Art. 16 ATSG i.V.m. Art. 28a Abs. 1 IVG). Mit anderen Worten bezog sich die Beschwerde auf einen Teilaspekt der Rentenfestsetzung. Nachdem der Rentenanspruch als solcher insgesamt (Anspruchsbeginn, Höhe und Beginn einer allfälligen Leistung) der uneingeschränkten richterlichen Überprüfung unterliegt, erwuchs die bis dahin unbestrittene Dreiviertelsrente - entgegen der Auffassung der Versicherten - nicht in Teilrechtskraft (vgl. E. 3.1 hievor). Dies gilt umso mehr, als sich aus dem Dispositiv des Entscheids vom 1. September 2010 neben der Rückweisung zu weiteren Abklärungen im Sinne der Erwägungen explizit die integrale Aufhebung der angefochtenen Verfügung ergibt (vgl. Rückweisungsentscheid vom 1. September 2010, S. 12, Abs. 1). Den Erwägungen ist - wie die Beschwerdeführerin selber darlegt - im Wesentlichen zu entnehmen, dass die medizinische Situation nicht abschliessend beurteilt werden könne, weil insbesondere noch unklar sei, ob sich die vollständige Arbeitsunfähigkeit der Versicherten auf jegliche Tätigkeit beziehe (vgl. E. 4.2.1 und 4.2.2 des Rückweisungsentscheides vom 1. September 2010). Inwiefern die Vorinstanz einen Rentenanspruch für einen bestimmten Zeitabschnitt verbindlich festgelegt haben soll, ist nicht ersichtlich und legt die Versicherte auch nicht dar.
3.2.2. Der Umstand, dass die Beschwerdeführerin im Rahmen des vorinstanzlichen Rückweisungsentscheides nicht auf eine mögliche Schlechterstellung hingewiesen wurde und keine Gelegenheit erhielt, die Beschwerde zurückzuziehen, ändert nichts. Denn das Bundesgericht ist erst mit BGE 137 V 314 (Urteil 9C_310/2011 vom 18. Juli 2011) von seiner früheren Praxis abgewichen, wonach die blosse Möglichkeit einer Schlechterstellung bei Aufhebung einer rentenzusprechenden Verfügung verbunden mit einer Rückweisung der Sache zur weiteren Abklärung und Neuverfügung keine reformatio in peius (vgl. Art. 61 lit. d ATSG) darstellt. Insoweit hatte die Vorinstanz die mit BGE 137 V 314 eingeführte Praxisänderung im Zeitpunkt des Rückweisungsentscheides vom 1. September 2010 noch nicht zu beachten (zur gegenteiligen Konstellation vgl. Urteil 8C_37/2016 vom 8. Juli 2016 E. 8.2). Dass die Vorinstanz die zugesprochene Dreiviertelsrente explizit hätte widerrufen müssen, ist nach dem Gesagten (E. 3.2.1 hievor) nicht erforderlich. Ebenso wenig deuten die Kostenregelung des Entscheids vom 1. September 2010 (zum [teilweisen] Obsiegen bei Rückweisung zu weiteren Abkärungen vgl. statt vieler BGE 137 V 57 E. 2.1 S. 61) oder die tatsächliche Weiterausrichtung der Dreiviertelsrente über den Rückweisungsentscheid hinaus auf eine materielle Rechtskraft hin.
3.2.3. Zusammenfassend hat die Vorinstanz am 1. September 2010 nicht rechtskräftig über den Streitgegenstand entschieden. Die spätere uneingeschränkte Überprüfung der Dreiviertelsrente ist damit zulässig (vgl. BGE 125 V 413 E. 2b S. 416). Demgegenüber beruht die Rechtsprechung zur gesetzlichen Rentenrevision (Art. 17 Abs. 1 ATSG) darauf, dass die Rente für den vorangegangenen Zeitraum rechtskräftig festgelegt worden ist (BGE 135 V 141 E. 1.4.5 in fine S. 147), was in concreto nicht der Fall ist. Das Vorgehen des kantonalen Gerichts ist bundesrechtskonform (E. 1).
4.
Die Versicherte rügt eine Rechtsverweigerung, weil das kantonale Gericht zum Umfang des massgeblichen Validenpensums in weiten Teilen keine Stellung genommen habe. Im Weiteren bringt die Beschwerdeführerin vor, die Vorinstanz habe die Statusfrage falsch beurteilt und zu Unrecht die gemischte Methode herangezogen. Letztere sei betreffend den ersten Zeitabschnitt bis November 2010 nicht richtig angewandt worden.
4.1. Die Vorinstanz hat in Bezug auf die konkrete Berechnung des Invaliditätsgrades im Wesentlichen auf die Verfügung der IV-Stelle vom 13. Mai 2015 verwiesen. Insoweit hat sie das Begehren der Beschwerdeführerin an die Hand genommen und einen Entscheid gefällt. Von einer Rechtsverweigerung (vgl. BGE 136 I 6 E. 2.1 S. 9; 134 I 229 E. 2.3 S. 232) kann somit keine Rede sein. Ob die Auffassung des kantonalen Gerichts zutrifft, stellt keine Frage der formellen Rechtsverweigerung dar (vgl. Urteil 5A_658/2014 vom 6. Mai 2015 E. 3.2). Ebenso wenig liegt im Verweis auf die Berechnung der Verwaltung eine Verletzung der Begründungspflicht (Art. 29 Abs. 2 BV), zumal die wesentlichen Überlegungen des kantonalen Gerichts im vorinstanzlichen Entscheid enthalten sind und die Beschwerdeführerin diesen jederzeit sachgerecht anfechten konnte (vgl. BGE 138 IV 81 E. 2.2 S. 84; 136 I 229 E. 5.2 S. 236 mit Hinweisen). Im Übrigen kann dahingestellt bleiben, ob der Versicherten, wie sie geltend macht, bis November 2010 im erwerblichen Bereich eine Einschränkung von 20 % angerechnet werden müsste, ergäbe sich doch auch in diesem Fall kein Rentenanspruch (erwerbliche Einschränkung: 20 %, Einschränkung im Haushalt: 21 %; Invaliditätsgrad [bei einer Gewichtung von 50 % Erwerb und 50 % Haushalt]: 21 %).
4.2.
4.2.1. Ob eine versicherte Person als ganztägig oder zeitweilig erwerbstätig oder als nichterwerbstätig einzustufen ist (Statusfrage), was je zur Anwendung einer anderen Methode der Invaliditätsbemessung (Einkommensvergleich, gemischte Methode, Betätigungsvergleich) führt, ergibt sich aus der Prüfung, was die Person bei im Übrigen unveränderten Umständen täte, wenn keine gesundheitliche Beeinträchtigung bestünde. Entscheidend ist somit nicht, welches Ausmass der Erwerbstätigkeit der versicherten Person im Gesundheitsfall zugemutet werden könnte, sondern in welchem Pensum sie hypothetisch erwerbstätig wäre. Bei im Haushalt tätigen Versicherten im Besonderen sind die persönlichen, familiären, sozialen und erwerblichen Verhältnisse ebenso wie allfällige Erziehungs- und Betreuungsaufgaben gegenüber Kindern, das Alter, die beruflichen Fähigkeiten und die Ausbildung sowie die persönlichen Neigungen und Begabungen zu berücksichtigen. Massgebend sind die Verhältnisse, wie sie sich bis zum Erlass der Verwaltungsverfügung entwickelt haben, wobei für die hypothetische Annahme einer im Gesundheitsfall ausgeübten (Teil) Erwerbstätigkeit der im Sozialversicherungsrecht übliche Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit erforderlich ist (BGE 141 V 15 E. 3.1 S. 20; 137 V 334 E. 3.2 S. 338; 125 V 146 E. 2c S. 150; 117 V 194 E. 3b S. 194 f.; je mit Hinweisen).
4.2.2. Bei der Beantwortung der Statusfrage handelt es sich zwangsläufig um eine Beurteilung, die auch hypothetische Willensentscheidungen der versicherten Person zu berücksichtigen hat. Diese sind als innere Tatsachen einer direkten Beweisführung indessen nicht zugänglich und müssen in aller Regel aus äusseren Indizien erschlossen werden. Die Beurteilung hypothetischer Geschehensabläufe stellt eine Tatfrage dar, soweit sie auf Beweiswürdigung beruht, selbst wenn darin auch Schlussfolgerungen aus der allgemeinen Lebenserfahrung mitberücksichtigt werden. Ebenso sind Feststellungen über innere oder psychische Tatsachen Tatfragen, wie beispielsweise was jemand wollte oder wusste (BGE 130 IV 58 E. 8.5 S. 62; 115 II 440 E. 5b S. 448; SVR 2010 IV Nr. 35 S. 111, 9C_559/2009 E. 3; je mit Hinweisen). Die auf einer Würdigung konkreter Umstände basierende Festsetzung des hypothetischen Umfanges der Erwerbstätigkeit ist für das Bundesgericht daher verbindlich, ausser wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung beruht (E. 1). Rechtsfragen sind hingegen Folgerungen, die ausschliesslich - losgelöst vom konkreten Sachverhalt - auf die allgemeine Lebenserfahrung gestützt werden oder die Frage, ob aus festgestellten Indizien mit Recht auf bestimmte Rechtsfolgen geschlossen worden ist (BGE 132 V 393 E. 3.3 S. 399; Urteil 9C_112/2011 vom 5. August 2011 E. 3).
4.3.
4.3.1. Die Vorinstanz hat festgestellt, die Versicherte habe bei der Haushaltsabklärung vom 11. März 2005 erstmals bestätigt, dass sie ohne Gesundheitsschaden während 21 Stunden pro Woche, einem 50 %-Pensum entsprechend, erwerbstätig wäre. Dies habe die Beschwerdeführerin mit finanziellen Gründen und dem Bedürfnis, genügend Zeit für den Sohn und den Haushalt zu haben, begründet. Auch bei der zweiten Abklärung am 7. November 2007 habe sie dargelegt, bei voller Gesundheit zu 50 % erwerbstätig zu sein; dies habe finanzielle Gründe, da der Ehemann stets verschuldet sei. Dabei gelte es zu beachten, dass die Versicherte bei ihrer Anmeldung vom 2. Februar 2007 selber angegeben habe, seit März 2005 von ihrem Mann getrennt zu leben.
Im Weiteren hat das kantonale Gericht ausgeführt, die Beschwerdeführerin habe seit 1981 nicht mehr zu 100 % gearbeitet. Bis 1985 sei sie in "unregelmässigen und spontanen Einsätzen" im Malergeschäft ihres damaligen Partners tätig gewesen. Von 1986 bis 1989 habe sie im 60 %-Pensum gearbeitet. Damit sei die Versicherte auch vor der Geburt ihres Sohnes 1989 bzw. auch vor ihrer Heirat 1993 keiner vollzeitlichen Erwerbstätigkeit nachgegangen.
4.3.2. Die Beschwerdeführerin bestreitet nicht, dass sie bei ihrer Anmeldung zum Leistungsbezug angab, von ihrem Ehemann getrennt zu leben. Die Trennung sowie die geleisteten Unterhaltsbeiträge wurden mithin in beiden Haushaltsabklärungen thematisiert, sodass der Versicherten die Zusammenhänge in Bezug auf die Statusfrage klar sein mussten. Anhaltspunkte für ein diesbezügliches Missverständnis, wie es die Versicherte vorbringt, fehlen. Im Gegenteil blieb sie im Abstand von über zwei Jahren bei ihrer Aussage, wonach sie im hypothetischen Gesundheitsfall seit Juni 2000 zu 50 % erwerbstätig wäre, und bestätigte dies zudem unterschriftlich (vgl. Bestätigungen vom 11. März 2005 und 7. November 2007). Hinzu kommt, dass die Beschwerdeführerin - wie sie selber darlegt - erstmals im Rahmen des gerichtlichen Verfahrens im Jahr 2010 geltend machte, sie wäre im Gesundheitsfall vollzeitlich erwerbstätig. Diese Angaben sind schon mit Blick auf deren Zeitpunkt weniger stark zu gewichten als diejenigen im Zuge der Haushaltsabklärungen (zum Beweiswert von sog. Aussagen der ersten Stunde, die ungefälscht von versicherungsrechtlichen Überlegungen gemacht werden, vgl. Urteile 8C_113/2016 vom 6. Juli 2016 E. 3.1 und 9C_443/2015 vom 2. Dezember 2015 E. 5.1 sowie BGE 121 V 45 E. 2a S. 47 mit Hinweisen). Dass sich die Beschwerdeführerin seither nicht zur Statusfrage äusserte, bietet keinen Anlass, die Feststellungen der Vorinstanz als willkürlich anzusehen, weshalb sie für das Bundesgericht verbindlich sind (E.1). Dem Wegfall des ehelichen Unterhalts hat das kantonale Gericht im Übrigen insofern Rechnung getragen, als es den Status der Versicherten ab Januar 2013 angepasst hat (80 % Erwerb und 20 % Haushalt). Dagegen bringt die Beschwerdeführerin keine (hinreichend substantiierten) Einwände vor.
4.3.3. Die Vorinstanz hat im Weiteren die bisherige Arbeitstätigkeit der Versicherten miteinbezogen. Dem Individuellen Konto ist betreffend die Zeit vor der Eheschliessung (1993) in der Tat keine vollzeitliche Erwerbstätigkeit zu entnehmen, was die Feststellung des kantonalen Gerichts stützt. Zwar trifft zu, dass die Beschwerdeführerin schon im Zeitpunkt der ersten Haushaltsabklärung im März 2005 keine familiären Betreuungspflichten mehr hatte. Nach der Trennung erhielt der Vater die Obhut über den 1989 geborenen Sohn, der aufgrund seines Alters bereits weitgehend selbständig war (vgl. Abklärungsbericht vom 11. März 2005, S. 5). Dies betrifft unter anderem die Frage der Zumutbarkeit einer vollen Erwerbstätigkeit, und nicht diejenige nach deren Umfang im hypothetischen Gesundheitsfall (Urteil 9C_820/2014 vom 9. Juni 2015 E. 5.2 in fine). Insbesondere ist darauf hinzuweisen, dass eine Beweiswürdigung nicht bereits dann offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich ist (zum Begriff der Willkür: BGE 140 III 16 E. 2.1 S. 18 f. mit Hinweisen), wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst dann, wenn der Entscheid - im Ergebnis - offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (BGE 127 I 54 E. 2b S. 56, 135 V 2 E. 1.3 S. 4 f.). Davon ist jedoch nicht auszugehen.
4.4. Wenn die Vorinstanz aufgrund der Angaben der Versicherten bei den Abklärungen vor Ort im März 2005 und November 2007 (E. 4.4.2 hievor) sowie der genannten Indizien bis Dezember 2012 ein hypothetisches Teilpensum im Gesundheitsfall von 50 % als überwiegend wahrscheinlich erachtete, ist dies somit weder willkürlich noch sonstwie bundesrechtswidrig (E. 1). Dessen Feststellungen zur Statusfrage bleiben für das Bundesgericht verbindlich.
5.
Nach dem Gesagten überzeugen die Einwände der Beschwerdeführerin in Bezug auf den ersten (Januar 2005 bis November 2010; E. 3 hievor) und zweiten Zeitabschnitt (1. Dezember 2010 bis 31. Dezember 2012; E. 4 hievor) nicht. Die Arbeitsfähigkeit der Versicherten, welche das kantonale Gericht gestützt auf das ABI-Gutachten vom 25. Juni 2013 festgestellt hat, sowie die konkrete Invaliditätsbemessung sind im Grundsatz unbestritten. Nachdem die Vorinstanz im dritten Zeitabschnitt (1. Januar bis Ende Juli 2013; vgl. Art. 88a Abs. 1 IVV) den Anspruch der Versicherten auf eine ganze Invalidenrente bejaht hat, entfallen diesbezügliche Ausführungen ohne weiteres (vgl. Art. 107 Abs. 1 BGG). Bei dieser Ausgangslage sind ergänzende Abklärungen bzw. eine Rückweisung an das kantonale Gericht entbehrlich (antizipierende Beweiswürdigung; BGE 136 I 229 E. 5.3 S. 236; 134 I 140 E. 5.3 S. 148; 124 V 90 E. 4b S. 94). Schliesslich erübrigen sich auch Weiterungen in Bezug auf das Urteil des Europäischen Gerichtshofes für Menschenrechte in der Sache Di Trizio c. Suisse, Nr. 7186/09, vom 2. Februar 2016. Abgesehen davon, dass die Versicherte nicht (qualifiziert; vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG) begründet, welche verfassungsmässigen Rechte in ihrem Fall verletzt sein sollen, übersieht sie, dass der hier massgebende Status als Gesunde keinen familiär bedingten Grund hat (vgl. E. 4.3.3 vorne). Die Beschwerde ist hinsichtlich des Rentenanspruchs unbegründet.
6.
Betreffend berufliche Massnahmen erging keine Verfügung. Die Ausführungen der Vorinstanz beschränken sich darauf, einen Anspruch der Versicherten - deren Motivation vorausgesetzt - im Grundsatz zu bejahen. Damit fehlt es an einem Anfechtungsgegenstand bzw. an einer Sachurteilsvoraussetzung (vgl. BGE 131 V 164 E. 2.1 S. 164; 125 V 413 E. 1a S. 414). Soweit die Beschwerdeführerin mit Blick auf die Rentenaufhebung per Ende Juli 2013 rügt, dass keine Wiedereingliederungsmassnahmen durchgeführt worden sind, ist demzufolge auf die Beschwerde nicht einzutreten.
7.
Ausgangsgemäss hat grundsätzlich die Beschwerdeführerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Ihrem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege (Art. 64 BGG; BGE 125 V 201 E. 4a S. 202) kann jedoch entsprochen werden. Es wird indessen ausdrücklich auf Art. 64 Abs. 4 BGG hingewiesen, wonach sie der Bundesgerichtskasse Ersatz zu leisten hat, wenn sie später dazu in der Lage ist.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen und es wird der Beschwerdeführerin Advokatin Christina Reinhardt als Rechtsbeiständin beigegeben.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt, indes vorläufig auf die Bundesgerichtskasse genommen.
4.
Advokatin Christina Reinhardt wird aus der Bundesgerichtskasse eine Entschädigung von Fr. 2'800.- ausgerichtet.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 11. August 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Grünenfelder