Erwägungen:
1.
A._ erstattete bei der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland Strafanzeige gegen die Leiterin Soziales der Gemeinde Regensdorf, ein Mitglied des Erwachsenenschutzes des Bezirks Dielsdorf, den Präsidenten der Rechnungsprüfungskommission der Gemeinde Regensdorf, ein Mitglied der Sozialbehörde der Gemeinde Regensdorf sowie den Leiter Sozialdienst der Gemeinde Regensdorf. Die Strafanzeige steht im Zusammenhang mit einer seit längerer Zeit bestehenden Auseinandersetzung um Unterstützungsbeiträge bzw. Finanzierung von Gesundheitskosten. Mit Verfügung vom 6. Juli 2017 überwies die Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland die Akten an das Obergericht des Kantons Zürich mit dem Antrag, über die Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung zu entscheiden. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich erteilte mit Beschluss vom 4. August 2017 die Ermächtigung zur Strafverfolgung (Untersuchungseröffnung/Nichtanhandnahme) nicht. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, dass sich weder aus den umfangreichen Eingaben und Unterlagen, welche die Anzeigerin der Staatsanwaltschaft abgegeben habe, noch aus ihrer Eingabe im Verfahren vor der Strafkammer ein Anfangsverdacht auf eine strafbare Handlung der Angezeigten ergeben würde.
2.
A._ führt mit Eingaben vom 3. September 2017 (Postaufgabe 4. September 2017), 22. und 27. September 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde innert 30 Tagen nach Eröffnung der vollständigen Ausfertigung des angefochtenen Entscheids beim Bundesgericht einzureichen. Diese gesetzliche Frist ist nicht erstreckbar (Art. 47 Abs. 1 BGG). Der angefochtene Beschluss der III. Strafkammer ist der Beschwerdeführerin nach eigenen Angaben am 11. August 2017 zugestellt worden. Die Beschwerdefrist begann somit unter Berücksichtigung von Art. 46 Abs. 1 BGG am 16. August 2017 zu laufen und endete am 14. September 2017. Die Beschwerdeergänzungen vom 22. und 27. September 2017 sind nach Ablauf der 30-tägigen Beschwerdefrist aufgegeben worden und somit unbeachtlich.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Die Beschwerdeführerin setzt sich in ihrer Eingabe vom 3. September 2017 überhaupt nicht mit der Begründung der III. Strafkammer, die zur Verweigerung der Ermächtigung führte, auseinander und vermag nicht aufzuzeigen, inwiefern diese Begründung bzw. der Beschluss der III. Strafkammer selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft Winterthur/Unterland, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 5. Oktober 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli