Erwägungen:
1.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau wies mit Urteil vom 14. Juli 2016 eine Beschwerde von A._ in Sachen vorsorglicher Führerausweisentzug ab, soweit es darauf eintrat.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 21. Oktober 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts des Kantons Aargau vom 14. Juli 2016. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Die Frist zur Einreichung der Beschwerde beim Bundesgericht beträgt 30 Tage nach der Eröffnung des angefochtenen Urteils (Art. 100 BGG). Der Beschwerdeführer hat das angefochtene Urteil am 26. Juli 2016 erhalten. Die 30-tägige Beschwerdefrist begann aufgrund des Fristenstillstandes gemäss Art. 46 BGG am 16. August 2016 zu laufen und endete am 14. September 2016. Die Beschwerde vom 21. Oktober 2016 wäre somit verspätet erhoben worden. Es bleibt zu prüfen, ob dem vom Beschwerdeführer gestellten Fristwiederherstellungsgesuch entsprochen werden kann.
4.
4.1. Gemäss Art. 50 Abs. 1 BGG wird eine versäumte Frist wiederhergestellt, wenn der Gesuchsteller nachweist, dass er oder sein Vertreter durch ein unverschuldetes Hindernis abgehalten worden ist, innerhalb der Frist zu handeln, und binnen 30 Tagen die Wiederherstellung verlangt und die versäumte Rechtshandlung nachholt. Ein unverschuldetes Hindernis im Sinne der genannten Gesetzesbestimmung liegt vor, wenn der Partei (und gegebenenfalls ihrem Vertreter) kein Vorwurf gemacht werden kann (vgl. BGE 112 V 255 E. 2a).
4.2. Ein Krankheitszustand bildet, wenn und solange er jegliches auf die Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht, ein unverschuldetes, zur Wiederherstellung führendes Hindernis. Doch muss die Erkrankung derart sein, dass der Rechtsuchende durch sie davon abgehalten wird, selber innert Frist zu handeln oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Dass es sich so verhält, muss mit einschlägigen Arztzeugnissen belegt werden, wobei die blosse Bestätigung eines Krankheitszustandes und regelmässig selbst einer vollständigen Arbeitsunfähigkeit zur Anerkennung eines Hindernisses im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG nicht genügt (vgl. Urteil 6B_230/2010 vom 15. Juli 2010 mit weiteren Hinweisen).
4.3. Der Beschwerdeführer beruft sich auf "starke Gesundheitsprobleme". Er legt indessen nicht dar, um was für einen Krankheitszustand es sich dabei gehandelt haben sollte und für welchen Zeitraum ihm jegliches auf Fristwahrung gerichtetes Handeln verunmöglicht gewesen wäre. Ein vom Beschwerdeführer eingereichter "Beleg für den Arztbesuch" ist mit dem Datum vom 10. Mai 2016 versehen und vermag nicht zu belegen, dass eine fristgerechte Beschwerdeführung nicht möglich gewesen sein soll. Aus den Ausführungen des Beschwerdeführers ergibt sich nicht, weshalb es ihm nicht möglich gewesen sein soll, rechtzeitig eine Beschwerde einzureichen oder eine Drittperson mit der Vornahme der Prozesshandlung zu betrauen. Das Fristwiederherstellungsgesuch ist abzuweisen.
5.
Auf die verspätet eingereichte Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten.
6.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Auf eine Kostenauflage kann indessen verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Das Fristwiederherstellungsgesuch wird abgewiesen.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Es werden keine Kosten erhoben
5.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, dem Strassenverkehrsamt des Kantons Aargau, dem Departement Volkswirtschaft und Inneres des Kantons Aargau und dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 1. Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. Oktober 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli