Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1980) ist deutscher Staatsangehöriger. Er reiste am 2. August 2008 in die Schweiz ein und nahm hier Wohnsitz, worauf ihm eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erteilt wurde. In seiner Heimat wurde A._ zwischen 2002 und 2009 insgesamt zehn Mal wegen verschiedener Delikte (u.a. wegen Bedrohung, Hausfriedensbruch und Vollrausch) verurteilt. In der Schweiz kam es ausserdem zu folgenden Verurteilungen:
- Am 9. Juni 2010 mit Strafbefehl des Strafbefehlsrichters Basel-Stadt wegen Diebstahls und mehrfacher Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes (SR 812.121) zu einer bedingten Geldstrafe von 30 Tagessätzen à je Fr. 30.-- bei einer Probezeit von drei Jahren und zu einer Busse von Fr. 200.--;
- mit Urteil des Strafgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. Mai 2011 wegen sexueller Nötigung und mehrfacher Übertretung des Betäubungsmittelgesetzes zu einer Freiheitsstrafe von 16 Monaten, wovon acht Monate bedingt, bei einer Probezeit von zwei Jahren sowie zu einer Busse von Fr. 300.-- bei gleichzeitigem Widerruf der am 9. Juni 2010 bedingt ausgesprochenen Geldstrafe;
- mit Urteil des Bezirksgerichts Zofingen vom 28. Mai 2015 wegen versuchter schwerer Körperverletzung, mehrfacher qualifizierter einfacher Körperverletzung, mehrfacher Beschimpfung, mehrfacher Drohung, mehrfacher versuchter Nötigung, mehrfacher Tätlichkeit und Widerhandlung gegen das Betäubungsmittelgesetz zu einer Freiheitsstrafe von drei Jahren, zu einer Geldstrafe von 200 Tagessätzen à je Fr. 30.-- und zu einer Busse von Fr. 1'000.--. Gleichzeitig ordnete das Bezirksgericht Zofingen eine vollzugsbegleitende ambulante Behandlung an.
A._ war auf Anzeige seiner damaligen Lebenspartnerin wegen häuslicher Gewalt am 4. Oktober 2013 verhaftet und per 19. März 2014 in den vorzeitigen Strafvollzug versetzt worden. Eine bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug per 30. September 2015 (ordentliches Strafende am 2. Oktober 2016) lehnte das Amt für Justizvollzug des Kantons Aargau mit Verfügung vom 30. September 2015 ab, was das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau auf Beschwerde von A._ hin mit Urteil vom 27. Januar 2016 bestätigte.
1.2. Nach vorgängiger Gewährung des rechtlichen Gehörs verweigerte das Amt für Migration und Integration des Kantons Aargau (MIKA) mit Verfügung vom 5. November 2015 die Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung von A._ und wies ihn aus der Schweiz weg. Eine dagegen gerichtete Einsprache wurde ebenso abgewiesen wie die anschliessend erhobene Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Aargau (Einspracheentscheid vom 11. März 2016 sowie Urteil vom 13. Juli 2016).
1.3. Mit Eingabe vom 14. September 2016 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt die Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils und die Rückweisung der Angelegenheit zur weiteren Sachverhaltsabklärung an die Vorinstanz. Eventualiter sei das MIKA anzuweisen, ihm den Aufenthalt im Kanton Aargau weiterhin zu bewilligen. Subeventualiter sei ihm in teilweiser Aufhebung des vorinstanzlichen Urteils die unentgeltliche Rechtspflege für das verwaltungsgerichtliche Verfahren zu gewähren, unter gleichzeitiger Beigabe von Rechtsanwalt Nicolas Roulet als unentgeltlicher Rechtsbeistand. Dem Rechtsmittel an das Bundesgericht sei weiter die aufschiebende Wirkung zu erteilen und für den Fall der Beschwerdeabweisung sei ihm auch im bundesgerichtlichen Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege unter Beigabe von Rechtsanwalt Nicolas Roulet als unentgeltlicher Rechtsbeistand zu gewähren.
Das Bundesgericht hat die Akten aus dem kantonalen Verfahren eingeholt. Von weiteren Instruktionsmassnahmen wurde abgesehen.
2.
2.1. Die Eingabe richtet sich form- und fristgerecht gegen das kantonal letztinstanzliche, verfahrensabschliessende Urteil eines oberen kantonalen Gerichts in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 42, Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90 und Art. 100 Abs. 1 BGG). Sie ist als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegen zu nehmen, da der Beschwerdeführer in vertretbarer Weise einen Rechtsanspruch auf die Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung geltend macht (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG e contrario; BGE 139 I 330 E. 1.1 S. 332). Der Beschwerdeführer war bereits im kantonalen Verfahren als Partei beteiligt und ist dort mit seinen Anträgen nicht durchgedrungen. Er verfügt über ein schutzwürdiges Interesse an der Behandlung seiner Beschwerde auch insoweit, als ihm die unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im vorinstanzlichen Verfahren gänzlich verweigert wurde (Art. 89 Abs. 1 BGG). Auf die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist einzutreten.
2.2. Der Beschwerdeführer rügt im bundesgerichtlichen Verfahren eine unvollständige Sachverhaltsfeststellung durch die Vorinstanz und eine Verletzung von Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA (SR 0.142.112.681). Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, erweist sich seine Beschwerde als offensichtlich unbegründet, sodass sie im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 Abs. 2 lit. a i.V.m. Abs. 3 BGG abzuweisen ist.
3.
3.1. Gemäss Art. 105 Abs. 1 BGG legt das Bundesgericht seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann es von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder sie auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und falls die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (vgl. Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 135 E. 1.6 S. 144 f.; 140 III 16 E. 1.3.1 S. 17 f.). Nach Art. 99 Abs. 1 BGG dürfen neue Tatsachen und Beweismittel nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (sog. unechte Noven). In jedem Fall unzulässig ist das Vorbringen echter Noven, d.h. solcher Tatsachen und Beweismittel, die erst nach dem angefochtenen Entscheid entstanden sind und somit nicht durch diesen veranlasst worden sein können (vgl. BGE 139 III 120 E. 3.1.2 S. 123; 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.; Urteile 8C_830/2015 vom 20. Juni 2016 E. 2; 2C_42/2011 vom 23. August 2012 E. 5.3).
3.1.1. Der Beschwerdeführer reicht mit seiner Eingabe an das Bundesgericht Beweismittel ein, die erst nach dem vorinstanzlichen Urteil erstellt wurden, insbesondere einen Therapiebericht des forensisch-psychiatrischen Dienstes der Universität Bern vom 17. August 2016 und ein Schreiben des Amts für Justizvollzug vom 25. August 2016. Namentlich gestützt auf diese Unterlagen macht er geltend, dass die Vorinstanz den rechtserheblichen Sachverhalt im Hinblick auf die Frage einer gegenwärtigen Gefährdung der öffentlichen Ordnung (Art. 5 Anhang I FZA und dazu ergangene Rechtsprechung; vgl. BGE 139 II 121 E. 5.3 S. 125 f.; 137 II 233 E. 5 S. 234 f. mit Hinweisen) unter Missachtung des Untersuchungsgrundsatzes unvollständig abgeklärt habe, was eine Rechtsverletzung nach Art. 95 BGG darstelle.
3.1.2. Die Rüge ist unbegründet. Als echte Noven vorweg unbeachtlich bleiben die vom Beschwerdeführer dem Bundesgericht eingereichten Schriftstücke, die sich nicht bereits bei den vorinstanzlichen Akten befinden: Sie datieren vom 17. und 25. August 2016 und entstanden somit erst nach dem angefochtenen Urteil. Entgegen der Auffassung des Beschwerdeführers können sie nicht durch dieses veranlasst sein, zumal die vom Beschwerdeführer gestützt auf die erwähnten Dokumente behaupteten Tatsachen bereits vor der Vorinstanz rechtserheblich waren (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 139 III 120 E. 3.1.2 S. 123; E. 3.1 hiervor). Aus denselben Gründen ebenfalls unbeachtlich bleibt im Übrigen die Korrespondenz des MIKA, die dieses im Nachgang zum vorinstanzlichen Urteil mit dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ausgetauscht und dem Bundesgericht jeweils zur Kenntnisnahme zugestellt hat.
3.1.3. Die Ermittlung des rechtserheblichen Sachverhalts durch die Vorinstanz erfolgte im Weiteren bundesrechtskonform. Anders als der Beschwerdeführer geltend macht, war die Vorinstanz nicht verpflichtet, ein neues Gutachten zur Frage seiner Rückfallprognose einzuholen. Die Beschränkung des Aufenthaltsrechts im Anwendungsbereich des Freizügigkeitsabkommens ist zwar nur zulässig, wenn von der betroffenen Person eine tatsächliche und hinreichend schwere Gefährdung ausgeht, die ein Grundinteresse der Gesellschaft berührt (vgl. BGE 139 II 121 E. 5.3 S. 125 f.; 136 II 5 E. 4.2 S. 20 f.; Urteile 2C_412/2015 vom 18. Juli 2016 E. 3.3; 2C_604/2015 vom 21. April 2016 E. 2.2). Zur Beurteilung, ob diese Voraussetzung erfüllt ist, hat das Verwaltungsgericht auch neue Sachverhaltselemente zu berücksichtigen, die sich seit dem Entscheid der Migrationsbehörde verwirklicht haben (vgl. BGE 137 II 233 E. 5.3.2 S. 239 mit Hinweis auf das Urteil des EuGH vom 29. April 2004 C-482/01 und C-493/01 Orfanopoulos und Oliveri, Slg. 2004 I-5257 Rn. 77-79). Diesen Anforderungen wird das angefochtene Urteil indes vollumfänglich gerecht: Der Beschwerdeführer wurde wiederholt, während eines langen Zeitraums und in massiver Weise straffällig, wobei seiner Delinquenz eine schwere Sucht- und Persönlichkeitsproblematik zugrunde lag. Ein forensisch-psychiatrisches Gutachten vom 2. April 2015, das im Rahmen des Strafverfahrens gegen den Beschwerdeführer erstellt wurde, stützte sich unter anderem auf Untersuchungen des Beschwerdeführers im Oktober 2014, die im Zeitpunkt des vorinstanzlichen Urteils weniger als zwei Jahre zurück lagen. Die später erstellten Therapieberichte liessen zwar die Bereitschaft des Beschwerdeführers erkennen, an seiner Suchterkrankung und der Persönlichkeitsproblematik zu arbeiten. Anhaltspunkte dafür, dass die ausländerrechtlich relevanten Aussagen des Gutachtens vom 2. April 2015 ihre Gültigkeit verloren hätten, ergaben sich daraus jedoch nicht. Vor diesem Hintergrund kann keine Rede davon sein, dass die Vorinstanz ihre Abklärungspflicht verletzt und den Sachverhalt unvollständig festgestellt hat, indem sie auf die Anordnung weiterer Beweismassnahmen verzichtete.
3.2. Der Beschwerdeführer rügt weiter eine Verletzung von Art. 5 Abs. 1 Anhang I FZA. Auch ohne Einholung eines aktuellen Therapieberichts ergebe sich, dass die Gefahr für einen Rückfall bei Weiterführung der begonnenen Massnahmen eher theoretischer Natur sei. Bei der Beurteilung, ob von ihm eine tatsächliche und hinreichend schwere Gefährdung im Sinne von Art. 5 Anhang I FZA ausgeht, dürfe die resozialisierende Wirkung des Strafvollzugs bei der Risikoanalyse nicht ausser Acht gelassen werden.
3.2.1. Ob eine Beschränkung des freizügigkeitsrechtlichen Aufenthaltsanspruchs zulässig ist, bestimmt sich gemäss der Rechtsprechung zu Art. 5 Anhang I FZA wesentlich nach einer Prognose künftigen Wohlverhaltens. Verlangt ist eine nach Art und Ausmass der möglichen Rechtsgüterverletzung zu differenzierende hinreichende Wahrscheinlichkeit, dass die ausländische Person künftig die öffentliche Sicherheit und Ordnung stören wird (vgl. BGE 139 II 121 E. 5.3 S. 126; 136 II 5 E. 4.2 S. 20; Urteile 2C_412/2015 vom 18. Juli 2016 E. 3.3; 2C_787/2015 vom 29. März 2016 E. 4.3). Einer bereits eingetretenen resozialisierenden oder therapeutischen Wirkung des Straf- und Massnahmenvollzugs ist bei der Beurteilung der Rückfallgefahr Rechnung zu tragen. Aufgrund der unterschiedlichen Zielsetzungen von Straf- und Ausländerrecht ergibt sich im ausländerrechtlichen Bereich jedoch ein strengerer Beurteilungsmassstab (vgl. BGE 137 II 233 E. 5.2.2 S. 236 f.; Urteil 2C_839/2011 vom 28. Februar 2012 E. 3.2), wobei Art. 5 Anhang I FZA (allein) aus Gründen der Generalprävention verfügten Massnahmen entgegen steht (vgl. BGE 136 II 5 E. 4.2 S. 20; 130 II 176 E. 3.4 S. 182 ff. und E. 4.2 S. 185; Urteile 2C_412/2015 vom 18. Juli 2016 E. 3.2; 2C_406/2014 vom 2. Juli 2015 E. 2.3).
3.2.2. Der Beschwerdeführer wurde unter anderem wegen Sexual- und Gewaltdelikten zu längerfristigen Freiheitsstrafen verurteilt, was zeigt, dass er hochwertige Rechtsgüter (körperliche und sexuelle Integrität) in schwerwiegender Weise verletzte (vgl. BGE 139 II 121 E. 6.3 S. 131; Urteil 2C_406/2014 vom 2. Juli 2015 E. 4.2). Wie die Vorinstanz im Einklang mit den anwendbaren freizügigkeitsrechtlichen Bestimmungen festhielt, ist damit bereits bei einem relativ kleinen Rückfallrisiko von einer tatsächlichen und hinreichend schweren Gefährdung auszugehen, die ein Grundinteresse der Gesellschaft berührt (vgl. E. 3.1.3 und E. 3.2.1 hiervor). Weiter geht aus dem vorinstanzlichen Urteil für das Bundesgericht verbindlich hervor, dass die Suchterkrankung und die Persönlichkeitsproblematik des Beschwerdeführers keineswegs mit Erfolg behandelt worden sind. Auch nach seiner Entlassung aus dem Strafvollzug sind erhebliche Anstrengungen notwendig, bevor mit ausreichend hoher Wahrscheinlichkeit von seinem künftigen Wohlverhalten ausgegangen werden kann. Diese Anstrengungen sind nur erfolgversprechend, wenn etliche Voraussetzungen (gesicherte Arbeitsstelle, eigene Wohnung, prosoziales Umfeld, Weiterführung der ambulanten Therapie) längerfristig erfüllt sind und sie dem Beschwerdeführer ein Leben in stabilen Verhältnissen erlauben. Bei dieser Sachlage ist nicht ausreichend sichergestellt, dass der Beschwerdeführer die öffentliche Sicherheit und Ordnung künftig nicht mehr stören wird, sodass die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung und die Wegweisung des Beschwerdeführers aus der Schweiz mit Art. 5 Anhang I FZA klarerweise vereinbar ist.
4.
Der Beschwerdeführer verlangt schliesslich die Aufhebung des vorinstanzlichen Kostenentscheids und macht geltend, dass ihm die Vorinstanz die unentgeltliche Rechtspflege unter Beigabe eines unentgeltlichen Rechtsbeistands antragsgemäss hätte erteilen müssen, da sein Rechtsmittel nicht aussichtslos gewesen sei.
Anspruch auf unentgeltliche Rechtspflege hat eine Person, die nicht über die erforderlichen Mittel verfügt und falls ihr Rechtsbegehren nicht aussichtslos erscheint (Art. 29 Abs. 3 BV). Nicht aussichtslos sind Prozessbegehren, wenn sich die Gewinnaussichten und Verlustgefahren ungefähr die Waage halten oder jene nur wenig geringer sind als diese. Massgebend ist, ob sich eine Partei, die über die nötigen finanziellen Mittel verfügt, bei vernünftiger Überlegung zu einem Prozess entschliessen würde (vgl. BGE 140 V E. 9.1 S. 537).
Im vorliegenden Fall ist die Auffassung der Vorinstanz, wonach das Rechtsmittel des Beschwerdeführers aussichtslos im Sinne von Art. 29 Abs. 3 BV war, nicht zu beanstanden: Mit Blick auf die tatsächlichen Umstände des vorliegenden Falls sowie unter Berücksichtigung der anwendbaren Rechtsgrundlagen und der dazu ergangenen gefestigten Rechtsprechung waren die Erfolgsaussichten einer Beschwerde an die Vorinstanz deutlich kleiner als das Risiko einer Abweisung.
5.
Nach dem Dargelegten ist die Beschwerde gegen das Urteil des Verwaltungsgerichts, auf dessen Begründung ergänzend verwiesen werden kann (Art. 109 Abs. 3 BGG), vollumfänglich abzuweisen. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos. Das Verwaltungsgericht würdigte sodann in zutreffender Weise sämtliche nach Gesetz und Rechtsprechung massgeblichen Gesichtspunkte, sodass auch die Beschwerde an das Bundesgericht als aussichtslos bezeichnet werden muss. Dem Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege im bundesgerichtlichen Verfahren kann daher nicht entsprochen werden (Art. 64 Abs. 1 BGG). Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer zu auferlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteientschädigungen sind nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Aargau, 2. Kammer, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Fellmann