Faits :
A.
Le 27 décembre 2004, A.X._, ressortissante brésilienne née en 1976 est entrée en Suisse sans visa. N'ayant pas d'assurance-maladie dans notre pays, elle est retournée au Brésil pour donner naissance, le 7 janvier 2006, à B.X._, ressortissante brésilienne, issue de sa relation avec D.X._, ressortissant turc titulaire d'une autorisation d'établissement, né en 1961. D.X._ a sollicité une autorisation de séjour pour sa compagne, en date du 19 juin 2007. Le 24 novembre 2008, un second enfant, C.X._, ressortissant brésilien, est né de cette relation. A.X._ et D.X._ se sont mariés à Pully, en janvier 2009. A cette époque, une demande de rente à l'assurance invalidité en faveur de D.X._ était en cours: il souffrait d'un trouble mixte de la personnalité à traits impulsifs et antisociaux, ainsi que d'un trouble dépressif récurrent; il était en incapacité de travail à 100% et bénéficiait du revenu d'insertion à raison de 3'160 fr. par mois.
Par décision du 25 juin 2009, le Service de la population du canton de Vaud (ci-après: le Service de la population) a octroyé à A.X._, ainsi qu'à ses deux enfants une autorisation de séjour au titre du regroupement familial, compte tenu de la production d'une promesse d'engagement par un restaurant. Cette autorisation a été régulièrement renouvelée jusqu'au 6 septembre 2012.
Les époux se sont séparés durant quatre mois de la fin 2010 au début 2011. Par courrier du 8 avril 2011, A.X._ a informé le Service de la population qu'elle-même et son époux s'étaient réconciliés et qu'une requête de mesures protectrices préalablement déposée avait été retirée. Depuis le 5 décembre 2012, elle travaille à 100% comme sommelière.
Du 5 mars au 27 juin 2013, A.X._ et ses deux enfants se sont réfugiés au Centre d'accueil MalleyPrairie; celle-ci y a encore été suivie en ambulatoire après son départ; lors de ce séjour, l'intéressée et ses enfants ont suivi 79 entretiens où ont été abordées sa situation et celle de ses enfants (menaces de mort et d'enlèvement des enfants, contrôle des faits et gestes de celle-ci, isolement social, angoisse de l'intéressée et de sa fille, etc.). Une attestation du 12 septembre 2013 du Centre LAVI du canton de Vaud a certifié que A.X._ avait été reconnue en sa qualité de victime d'infractions au sens de ladite loi, que les infractions avaient été subies à plusieurs reprises dans un contexte de violences conjugales qui avait duré de nombreuses années et que les infractions de menaces, y compris menaces de mort, avaient été retenues.
Le Tribunal d'arrondissement de Lausanne a, par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 4 juin 2013, autorisé les conjoin ts à vivre séparés pour une durée de deux ans; il a confié la garde des enfants à leur mère.
En date du 21 août 2013, le Service de la population a déclaré qu'il était favorable au renouvellement des autorisations de séjour des trois intéressés, compte tenu de la durée de la vie commune des époux (plus de trois ans), de l'intégration en Suisse de A.X._, de sa maîtrise de la langue française, de son activité lucrative à plein temps depuis décembre 2012 et du droit de visite de son époux sur leurs enfants communs; il a transmis le dossier à l'Office fédéral des migrations (à partir du 1er janvier 2015 et ci-après: le Secrétariat d'Etat aux migrations) pour approbation.
Le 31 août 2014, l'assurance-vieillesse, survivants et invalidité fédérale a mis les enfants de la recourante au bénéfice d'une rente mensuelle de 602.- fr. chacun en raison de l'invalidité de leur père, et ce, dès le 1er septembre 2014.
Le Secrétariat d'Etat aux migrations, par décision du 14 novembre 2013, a refusé d'approuver la prolongation de l'autorisation de séjour des intéressés et prononcé leur renvoi de Suisse.
B.
Par arrêt du 27 octobre 2015, le Tribunal administratif fédéral a rejeté le recours de A.X._ et de ses enfants. Il a retenu que si l'union conjugale avait bien duré plus de trois ans, A.X._ avait épousé D.X._ uniquement dans le but d'éluder les prescriptions du droit des étrangers; dès lors, invoquer l'art. 50 de la loi fédérale du 16 décembre 2005 sur les étrangers (LEtr ou la loi sur les étrangers; RS 142.20) relevait de l'abus de droit. Le refus de renouvellement des trois autorisations de séjour ne violait ni l'art. 8 CEDH ni le principe de proportionnalité. La décision de renvoi pouvait être exécutée.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.X._, B.X._ et C.X._ demandent au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, de réformer l'arrêt du 27 octobre 2015 du Tribunal administratif fédéral en ce sens que leur autorisation de séjour est prolongée; subsidiairement, d'annuler ledit arrêt et de renvoyer la cause au Tribunal administratif fédéral pour complément d'instruction et nouvelle décision dans le sens des considérants.
Le Secrétariat d'Etat aux migrations conclut au rejet du recours. Le Tribunal administratif fédéral a renoncé à prendre position sur le recours.
Par ordonnance présidentielle du 27 novembre 2015, le Tribunal fédéral a admis la requête d'effet suspensif formée par les intéressés.
Considérant en droit :
1.
Le recours ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 let. c ch. 2 LTF, dès lors que A.X._ fait valoir un droit à la prolongation de son autorisation de séjour et de celles de ses enfants sur la base de l'art. 50 al. 1 let. a et b LEtr, en niant l'abus de droit quant à l'invocation de son mariage et en revendiquant une intégration réussie, subsidiairement l'existence de violences psychiques à son égard. La recourante ayant en effet potentiellement un droit à l'autorisation sollicitée, la voie du recours en matière de droit public est ouverte; le point de savoir si c'est à juste titre que les autorités fédérales en ont nié l'application et ont retenu une situation d'abus de droit relevant du fond et non de la recevabilité.
Au surplus, le recours remplit les conditions des art. 42 al. 2 et 82 ss LTF.
2.
2.1. En vertu de l'art. 50 al. 1 LEtr, après dissolution de la famille, le droit du conjoint et des enfants à l'octroi d'une autorisation de séjour et à la prolongation de sa durée de validité en vertu des art. 42 et 43 LEtr subsiste dans les cas suivants: l'union conjugale a duré au moins trois ans et l'intégration est réussie (let. a); la poursuite du séjour en Suisse s'impose pour des raisons personnelles majeures (let. b). D'après l'art. 51 al. 2 let. a LEtr, les droits prévus aux art. 43, 48 et 50 LEtr s'éteignent lorsqu'ils sont invoqués abusivement, notamment pour éluder les dispositions de la loi sur les étrangers sur l'admission et le séjour ou ses dispositions d'exécution.
2.2. Si l'union conjugale entre l'étranger et son conjoint suisse ou titulaire d'une autorisation d'établissement a effectivement duré trois ans, il faut se demander si les conjoints ont seulement cohabité pour la forme et si la durée de la communauté conjugale, compte tenu de l'interdiction de l'abus de droit, ne doit pas être prise en compte ou ne l'être que partiellement (ATF 136 II 113 consid. 3.2 in fine p. 117).
Le Tribunal fédéral a jugé que la jurisprudence rendue sous l'ancien droit en matière de mariage abusif pouvait être reprise sous le nouveau droit (arrêt 2C_811/2010 du 23 février 2011). Il y a mariage fictif lorsque celui-ci est contracté dans le seul but d'éluder les dispositions de la loi fédérale sur les étrangers, en ce sens que les époux (voire seulement l'un d'eux) n'ont jamais eu la volonté de former une véritable communauté conjugale (en matière d'ALCP: ATF 139 II 393 consid. 2.1 p. 395; sous l'ancien droit: ATF 127 II 49 consid. 4a p. 55). Est considérée comme abusive l'invocation d'un mariage qui n'a plus de substance et n'existe plus que formellement parce que l'union conjugale paraît définitivement rompue, faute de chances de réconciliation entre les époux (ATF 127 II 49 consid. 4a et 5a p. 55; 130 II 113 consid. 4.2 p. 117; 128 II 145 consid. 2 et 3 p. 151 s.). Dans l'une et l'autre de ces hypothèses, l'intention réelle des époux ne peut souvent pas être établie par une preuve directe, mais seulement grâce à des indices (ATF 135 II 1 consid. 4.2 p. 10).
Constituent notamment les indices d'un mariage fictif ou d'un abus de droit le fait que l'époux étranger soit menacé d'un renvoi ou ne puisse obtenir une autorisation de séjour autrement que par un mariage; l'existence d'une sensible différence d'âge entre les époux; les circonstances particulières de leur rencontre et de leur relation, telles une courte période de fréquentation avant le mariage ou le peu de connaissance que les époux ont l'un de l'autre (ATF 128 II 145 consid. 3.1 p. 152; 122 II 289 consid. 2b p. 295).
Selon la jurisprudence, un mariage fictif existe même si l'un seul des époux a contracté mariage en vue d'éluder la loi sur les étrangers, tandis que l'autre désirait sincèrement fonder une communauté de vie avec son conjoint. Toutefois, dans la plupart des cas soumis au Tribunal fédéral, de tels couples connaissent assez tôt d'importantes difficultés relationnelles, quand ils ne volent pas en éclats à brève échéance. C'est pourquoi, lorsque la vie commune a présenté une certaine durée et qu'il n'apparaît pas de manière manifeste qu'elle soit de pure façade, la jurisprudence pose des exigences relativement élevées pour admettre l'existence d'un mariage fictif sur la seule base d'indices. Ceux-ci doivent alors être clairs et concrets (arrêt 2C_969/2014 du 27 mars 2015 consid. 3.3). L'existence d'un éventuel abus de droit doit être appréciée dans chaque cas particulier et avec retenue, seul l'abus manifeste d'un droit pouvant et devant être sanctionné (ATF 131 II 265 consid. 4.2 p. 267; 130 II 113 consid. 4.2 p. 117).
2.3. Les constatations portant sur ces indices peuvent concerner des circonstances externes tout comme des éléments relevant de la volonté interne de chacun des époux. Il s'agit, dans les deux cas, de constatations de fait (ATF 128 II 145 consid. 2.3 p. 152 et les arrêts cités) qui lient le Tribunal fédéral (art. 105 al. 1 LTF), sauf si elles ont été établies de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF. En revanche, le Tribunal fédéral examine librement si les constatations de fait (indices) permettent de conclure à l'existence d'un mariage fictif ou abusif.
3.
3.1. En l'occurrence, le Tribunal administratif fédéral a considéré que la condition des trois ans de mariage était remplie. Il a cependant jugé qu'un faisceau d'indices laissait apparaître que la recourante, en se mariant, ne souhaitait manifestement pas fonder une communauté conjugale avec son époux, mais éluder les dispositions sur l'admission et le séjour des étrangers.
Les juges précédents ont retenu l'existence d'un mariage fictif ab initio en se basant sur plusieurs indices. Ils ont tout d'abord relevé, outre la différence de quinze ans entre les conjoints, qu'avant de se marier la recourante avait un statut précaire: elle avait séjourné illégalement jusqu'au dépôt de la demande d'autorisation de "travailler" déposée par D.X._ en faveur de celle qui était alors sa compagne; le Service de la population avait requis divers renseignements dans deux courriers en 2007 et 2008 avant de se prononcer sur la requête précitée mais la recourante n'y avait pas répondu; ainsi, celle-ci n'avait obtenu une autorisation de séjour au titre du regroupement familial que grâce à son mariage en janvier 2009. Ils ont souligné que l'intéressée avait déclaré qu'elle s'était mariée pour ne pas devoir quitter la Suisse et qu'elle avait modifié sa version des faits sur la question de savoir lequel des époux avait voulu cette union et qu'elle ne quitterait pas la Suisse en cas de renvoi. Ils ont encore vu un indice de mariage dépourvu de substance dans le fait que la recourante avait préféré se réconcilier avec son époux, après que celui-ci eut déposé une demande de divorce à la fin 2010 ou au début 2011, plutôt que de profiter de l'occasion de se séparer définitivement de lui, alors qu'elle avait pourtant affirmé être terrorisée par le comportement de l'intéressé. Les juges précédents semblent également avoir retenu, à l'encontre de la recourante, le fait qu'elle se soit mariée alors qu'elle connaissait la maladie psychique de son époux et qu'elle avait tenu des propos contradictoires sur la question de savoir si elle dormait avec son conjoint ou avec les enfants (l'appartement ne contient qu'une seule chambre).
Le Tribunal administratif fédéral a également estimé pouvoir tenir compte des déclarations du mari. Celui-ci avait précisé que le mariage avait été voulu par sa conjointe rencontrée en 2004, qu'il doutait être le père de B.X._, en avait fait une dépression et avait été ainsi hospitalisé une première fois, qu'après leur mariage son épouse était partie deux mois au Brésilet était revenue avec sa belle-soeur qu'ils avaient hébergée dix-huit mois, que les deux conjoints s'étaient également rendus dans ce pays pendant un mois et demi, qu'il dormait au salon, la chambre étant occupée par son épouse, leurs deux enfants et sa belle-soeur hébergée quelque temps par le couple, que sa conjointe lui avait avoué s'être mariée avec lui pour obtenir une autorisation de séjour, qu'en janvier 2011 il avait entamé une procédure de divorce et la séparation avait duré quatre mois mais que l'intéressée s'était ensuite excusée et qu'il avait retiré la demande, qu'il pensait que l'objectif de son épouse était d'obtenir une autorisation de séjour, qu'à la suite d'insultes et du comportement de celle-ci il avait tenté de se suicider en février 2012 et qu'il souhaitait divorcer. Le Tribunal administratif fédéral a également observé que les conjoints n'avaient ni intérêts ni projets communs.
3.2. La portée des éléments sur lesquels s'est basé le Tribunal administratif fédéral pour retenir l'existence d'un mariage de complaisance doit être relativisée. A part les propos des intéressés (à cet égard, il sera rappelé ici que les déclarations de l'époux autorisé à séjourner en Suisse indépendamment de sa situation matrimoniale, ne sauraient être décisives pour trancher la question d'un abus de droit en matière de regroupement familial; c'est au contraire le point de vue de l'autre époux, pour lequel l'issue de la procédure est déterminante, qui est primordial [ATF 130 II 113 consid. 10.3 p. 135; 128 II 145 consid. 3.1 p. 154]), deux des faits ayant été retenus sont le statut précaire de la recourante avant son mariage et la différence d'âge. En ce qui concerne le statut précaire, celui-ci était assumé par l'intéressée puisqu'elle a déclaré s'être mariée pour pouvoir rester en Suisse. Cette affirmation rend anodines les divergences portant sur la question de savoir qui a désiré l'union. Pour autant, un mariage contracté pour des motifs de police des étrangers n'est pas d'emblée un mariage de complaisance (arrêt 2C_615/2009 du 25 février 2010 consid. 2.4). En outre, le fait que les époux aient tardé à se marier peut aussi être interprété comme un indice allant à l'encontre d'un mariage fictif. Quant à la différence d'âge, on ne voit pas l'importance qu'elle pourrait revêtir, dès lors que le couple a eu deux enfants (qui, au demeurant, pourraient posséder une autorisation d'établissement [cf. art. 43 al. 3 LEtr]) et que l'union conjugale a été véritablement vécue. Atteste également de cette réalité, le certificat médical du 14 novembre 2005 de deux médecins du département universitaire de psychiatrie adulte du CHUV, selon lequel l'époux projetait de se rendre au Brésil pour la naissance de son enfant; le médecin encourageait ce voyage qui ne pouvait être que bénéfique pour son patient, souffrant de troubles anxieux et de l'humeur.
A cet égard, les juges précédents semblent reprocher à la recourante de s'être mariée alors qu'elle connaissait les troubles psychiques de son mari. Outre qu'une telle critique est pour le mois surprenante compte tenu du fait que le couple avait deux enfants, il faut constater qu'aucun élément n'atteste de la gravité de ces troubles au moment du mariage. Cet élément doit, en outre, être mis en balance précisément avec le fait que deux enfants étaient nés de cette relation.
L'arrêt attaqué retient encore que les époux ne dormaient pas toujours ensemble: cet élément ne constitue pas forcément un indice d'un mariage de complaisance et peut également s'expliquer par les problèmes de couple rencontrés, étant rappelé que la recourante a fini par se réfugier au Centre d'accueil MalleyPrairie, institution dédiée à l'aide aux femmes victimes de violence conjugale. A ce sujet, le Tribunal administratif fédéral retient à l'encontre de la recourante la réconciliation avec son époux, lorsque celui-ci a déposé une demande de divorce à la fin 2010 ou au début 2011, alors qu'elle avait affirmé être terrorisée par celui-ci. Cette volonté de continuer à vivre avec son conjoint peut cependant être expliquée par le fait que l'intéressée n'était pas seule en cause et que le divorce aurait séparé deux enfants de leur père. Quant à la peur que ressentait la recourante et que les juges précédents semblent remettre en cause, elle est à nouveau attestée par le fait que la recourante a fui dans un centre d'accueil et que, selon une attestation du 12 septembre 2013 du Centre LAVI, celle-ci a été reconnue en sa qualité de victime d'infraction au sens de cette loi (art. 105 al. 2 LTF).
Finalement, l'absence de projets communs doit aussi être relativisée: d'une part, il ne ressort pas de l'arrêt attaqué que les époux auraient été interrogés à ce sujet; d'autre part, il n'est pas étonnant que le couple n'ait pas élaboré de tels projets, compte tenu du climat de tension et de peur qui régnait en son sein.
3.3. En outre, des éléments parlent en faveur de la réalité de l'union conjugale. La différence notable d'avec les cas de mariage blanc ordinaires est l'existence des deux enfants du couple. Cette circonstance rend indéniable la réalité de l'union conjugale. A cela s'ajoute que le couple s'est formé en 2004 et a mené une vie commune bien avant le mariage, créant ainsi également une situation différente de celle retenue habituellement comme indice de mariage dépourvu de substance. En outre, il est prouvé que l'époux avait l'intention de se rendre au Brésil pour la naissance de son premier enfant et que les deux conjoints se sont rendus dans ce pays pendant un mois et demi. Ces éléments ont pour conséquence que les exigences pour admettre l'existence d'un mariage fictif sur la seule base d'indices sont élevées. Or, au regard de ce qui précède, les indices qui pourraient être interprétés dans le sens d'un mariage fictif ne sont pas suffisamment importants pour le retenir.
3.4. Les considérants qui précèdent vont ainsi plutôt dans le sens d'une véritable union conjugale. Au surplus, il ressort de l'arrêt attaqué que le Service cantonal a posé des questions à la recourante avant de lui octroyer l'autorisation requise. Puis, cette autorisation a été régulièrement renouvelée, selon cet arrêt, sans que l'hypothèse du mariage fictif ne soit retenue. En outre, le 21 août 2013, le Service cantonal s'est prononcé en faveur d'une nouvelle prolongation de l'autorisation de séjour de l'intéressée, qui n'a cependant pas été approuvée par le Secrétariat d'Etat aux migrations.
Dans ces circonstances, l'existence d'un mariage fictif ne peut pas être admise, étant rappelé que, lorsque la communauté conjugale a présenté une certaine durée, il faut être en présence d'indices clairs et concrets (cf. consid. 2.2), lesquels font défaut en l'espèce. Par conséquent, l'abus de droit (art. 51 al. 2 let. a LEtr) ne peut être retenu et la première condition de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr est remplie.
3.5. Le Tribunal administratif fédéral n'a pas examiné si la deuxième condition prévue par cet article, à savoir l'intégration réussie, était réalisée, étant mentionné que les deux conditions de l'art. 50 al. 1 let. a LEtr sont cumulatives (ATF 140 II 289 consid. 3.5.3 et 3.8 p. 295 et 298); le Service de la population avait estimé que tel était le cas (cf. partie "Faits" let. A).
Le Tribunal administratif fédéral n'a pas non plus analysé l'art. 50 al. 1 let. b et al. 2 LEtr; or, le dossier fait état de violence conjugale. En l'absence d'éléments de fait suffisants pour que le Tribunal fédéral statue, il y a lieu de renvoyer l'affaire à cette autorité afin qu'elle se prononce sur ces points (cf. art. 107 al. 2 LTF).
4.
Au regard des éléments qui précèdent, le recours doit être admis et l'arrêt du 27 octobre 2015 du Tribunal administratif fédéral annulé. La cause lui est renvoyée dans le sens des considérants.
Bien qu'il succombe, le Secrétariat d'Etat aux migrations, qui ne défend pas d'intérêt patrimonial, ne peut se voir imposer les frais de justice (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Ayant obtenu gain de cause avec l'aide d'un représentant, la recourante a droit à des dépens (art. 68 al. 1 LTF), qu'il convient de mettre à la charge dudit secrétariat.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. L'arrêt du 27 octobre 2015 du Tribunal administratif fédéral est annulé et la cause lui est renvoyée afin qu'il statue dans le sens des considérants.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Une indemnité de 2'000 fr., à payer à la recourante à titre de dépens, est mise à la charge du Secrétariat d'Etat aux migrations.
4.
Le présent arrêt est communiqué au représentant de la recourante, au Secrétariat d'Etat aux migrations et au Tribunal administratif fédéral, Cour III.
Lausanne, le 16 juin 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon