Faits :
A.
A.a. A._ a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité le 19 septembre 2006; elle indiquait avoir en dernier lieu travaillé en qualité d'ouvrière pour le compte d'une société horlogère et ne plus pouvoir assumer son métier depuis le 9 novembre 2005 en raison de problèmes psychiques.
Interrogés par l'Office de l'assurance-invalidité du canton de Neuchâtel (ci-après: l'office AI), les médecins traitants ont considéré que l'assurée ne pouvait plus exercer aucune activité lucrative depuis le 9 novembre 2005 ou le 19 décembre 2005, dès lors qu'elle souffrait des suites d'un état dépressif sévère, de lombo-sciatalgies, de cervicalgies, céphalées et vertiges, survenus après un accident de voiture, d'une gastropathie, d'une tachycardie et de somatisations multiples (rapports des docteurs B._ et C._, spécialiste en psychiatrie, des 7 mars et 26 avril 2007 ainsi que 2 janvier 2008).
Sur cette base, l'office AI a reconnu le droit de l'intéressée à une rente entière d'invalidité à partir du mois de novembre 2006 (décisions des 4 juin et 17 juillet 2008).
A.b. Au terme de la première procédure de révision initiée le 31 janvier 2012, se fondant sur les renseignements communiqués par les derniers médecins consultés par A._ (rapports des docteurs D._, spécialiste en médecine interne générale ainsi que psychosomatique et psychosociale, et C._ des 5 avril 2012 et 1er juin 2012, l'administration a confirmé le droit à la rente entière (communication du 10 décembre 2012).
A.c. Consécutivement à une dénonciation anonyme, l'office AI a entrepris une seconde procédure de révision en date du 18 février 2013. Il a à nouveau sollicité les médecins traitants, qui ont corroboré leurs dernières appréciations (rapports des 9 mars et 31 mai 2013). Il a en outre confié la réalisation d'une expertise psychiatrique au docteur E._, qui a fait état de différentes affections (dysthymie, syndrome douloureux somatoforme persistant, accentuation de traits de personnalité hystériformes, majoration de symptômes physiques ou psychiques pour des raisons psychologiques) sans répercussion sur la capacité de travail (rapport du 11 février 2014).
L'administration a avisé l'assurée que, vu l'expertise psychiatrique, elle allait supprimer la rente entière versée jusque-là (projet de décision du 28 juillet 2014). Ni les observations et objections formulées par l'intéressée ni les informations transmises par le Centre F._, qui avait fait état d'une dysthymie et d'une personnalité anxieuse entravant la pratique de toutes activités (rapport du 12 décembre 2014), n'ont modifié le point de vue de l'office AI. Celui-ci a entériné la suppression des prestations, avec effet au 1er juin 2015 (décision du 16 avril 2015).
B.
A._ a déféré la décision du 16 avril 2015 à la Cour de droit public du Tribunal cantonal neuchâtelois, sollicitant le maintien de sa rente entière au-delà du 1er juin 2015 ou le renvoi de son dossier à l'administration pour qu'elle en complète l'instruction si nécessaire et rende une nouvelle décision. Entre autres documents produits à l'appui de son recours, elle a fourni un rapport d'expertise établi à sa demande par le docteur G._, spécialiste en psychiatrie, le 8 mai 2015; ce dernier avait diagnostiqué un état de stress post-traumatique, une dysthymie ainsi que des épisodes dépressifs récurrents sévères à l'origine d'une incapacité de travail d'environ 80 %.
Le tribunal cantonal a débouté l'assurée de ses conclusions (jugement du 12 avril 2016).
C.
L'intéressée a saisi le Tribunal fédéral d'un recours en matière de droit public dirigé contre le jugement cantonal. Elle en demande l'annulation et reprend les mêmes conclusions qu'auparavant. Elle a également produit les observations du docteur G._ (rapport du 9 mai 2016).
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Est en l'occurrence litigieux le bien-fondé de la suppression à partir du 1er juin 2015 de la rente entière accordée à la recourante à compter du 1er novembre 2006. Le tribunal cantonal a exposé les normes et la jurisprudence nécessaires à la résolution du cas, singulièrement celles relatives à la révision des prestations au sens de l'art. 17 LPGA. Il suffit d'y renvoyer.
3.
3.1. L'assurée fait pour l'essentiel grief à la juridiction cantonale d'avoir arbitrairement apprécié les preuves, en préférant le rapport d'expertise du docteur E._ aux rapports, concordants, du docteur G._ et des médecins traitants. L'argumentation de la recourante repose principalement sur un rapport complémentaire de l'expert privé établi le 9 mai 2016.
3.2. Selon l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau, ni preuve nouvelle ne peut être présenté devant le Tribunal fédéral, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente.
La prohibition évoquée est la règle car, en qualité de Cour suprême, le Tribunal fédéral est juge du droit et non juge du fait. Toutefois, la règle souffre d'une exception lorsque la présentation de faits nouveaux ou la production de preuves nouvelles est motivée ou, autrement dit, rendue pour la première fois pertinente par la décision de l'autorité précédente ("der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt"; "se ne dà motivo la decisione dell'autorità inferiore"). Ces faits et preuves sont notamment ceux qui se rapportent à la régularité de la procédure devant l'instance précédente (violation du droit d'être entendu lors de l'instruction), ceux qui sont cruciaux pour la recevabilité du recours (date de la notification de la décision entreprise) ou ceux qui sont susceptibles de contrer des arguments que les parties ne pouvaient objectivement envisager avant la réception de la décision (cf. Message du 28 février 2001 concernant la révision totale de l'organisation judiciaire fédérale, FF 2001 4000, p. 4137 ch. 4.1.4.3). En revanche, le recourant ne peut alléguer des faits, ni produire des moyens de preuve qu'il a omis de présenter à l'autorité précédente alors qu'il le pouvait et devait en discerner l'importance (cf. arrêts 4A_18/2010 du 15 mars 2010 consid. 2.1 non publié in ATF 136 I 197; 9C_144/2015 du 17 juillet 2015 consid. 5.3.1).
3.3. Les observations établies par le docteur G._ postérieurement au jugement entrepris et déposées pendant la procédure fédérale sont concrètement un complément au rapport d'expertise versé au cours de la procédure cantonale. Le praticien y conteste l'anamnèse relatée par le docteur E._, précise ses diagnostics de stress post-traumatique et de dysthymie, mentionne de soi-disant graves erreurs commises par l'expert psychiatre, relativise l'importance des tests accomplis par celui-ci ou explique sa position au sujet du suivi du traitement médicamenteux. Il s'agit-là d'éléments qui sont induits par le rapport d'expertise établi par le docteur E._ - et non par l'acte attaqué - dont l'assurée pouvait et devait discerner une éventuelle importance et qui auraient déjà pu ou dû être invoqués devant les premiers juges. Le dernier document rendu par le docteur G._ est ainsi un nouveau moyen de preuve, proscrit par l'art. 99 al. 1 LTF. Il ne doit pas être pris en considération.
4.
4.1. Le dernier avis de l'expert intervenu sur demande de la recourante ayant été écarté (cf. consid. 3), reste à examiner si les griefs résiduels, sans relation avec cette pièce nouvelle, sont susceptibles de remettre en question l'acte attaqué et autrement dit de faire apparaître arbitraire l'appréciation des preuves par le tribunal cantonal.
4.2. Tel n'est manifestement pas le cas. L'assurée s'est principalement contentée de reproduire - mot à mot - de longues parties du jugement cantonal, de l'expertise du docteur E._, des actes décisionnels ou de l'expertise du docteur G._ et d'inférer de cet assemblage d'éléments ou de faits une appréciation arbitraire des preuves, dans la seule mesure où il eût été préférable d'après elle de se baser sur l'avis du second expert cité plutôt que sur celui du premier - et à l'inverse du choix effectué par la juridiction cantonale. Cette façon d'argumenter, dont on peut douter de la recevabilité eu égard au devoir de motivation de l'art. 42 al. 2 LTF, n'établit pas que la juridiction cantonale aurait fait montre d'arbitraire dans son appréciation de la situation. La recourante n'explicite pas en quoi les raisons qui ont conduit les premiers juges à reconnaître la pleine valeur probante de l'expertise psychiatrique ou à écarter les conclusions du docteur G._ et des autres médecins consultés seraient insoutenables. Le ressenti des douleurs par l'assurée ou l'existence, en soi, d'avis contradictoires n'y peut rien changer.
5.
Le recours doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF dans la mesures où il est manifestement infondé. Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel, Cour de droit public, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 21 novembre 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Cretton