Faits :
A.
La Fondation Z._ exploite un établissement médico-social à Renens. X._ est entrée à son service dès le 2 décembre 2002, d'abord en qualité d'aide-infirmière, puis d'auxiliaire de santé à temps complet. Au mois d'avril 2013, son salaire mensuel brut s'élevait à 4'724 francs.
Le 22 de ce mois, l'employée fut appelée dans le bureau du directeur. En présence de deux cadres-infirmiers, celui-ci l'interrogea au sujet d'un vol d'argent qu'un résident de l'établissement, U._, disait avoir récemment subi.
Par lettre du même jour, la Fondation a licencié l'employée avec effet au 31 juillet 2013 et elle l'a incontinent libérée de l'obligation de travailler. Le congé était motivé par le vol que U._ avait dénoncé : «... à la suite des accusations de vol portées à votre encontre par un résident, après l'avoir entendu et après un entretien pour entendre vos explications, nous avons formé notre conviction et le lien de confiance est définitivement rompu. »
L'employée a répondu pour contester cette accusation; plus tard, le 31 juillet 2013, elle a formé opposition au congé, qu'elle tenait pour abusif.
B.
Sur plainte de U._, une enquête pénale a été ouverte contre X._. Par ordonnance du 15 septembre 2014, le Ministère public de l'arrondissement de Lausanne a classé cette affaire au motif que l'accusation était contestée, que plusieurs personnes se trouvaient sur le lieu du vol et qu'aucune mesure d'instruction ne paraissait apte à orienter les recherches.
C.
Dans l'intervalle, le 28 novembre 2013, X._ avait intenté action à la Fondation Z._ devant le Tribunal de prud'hommes du même arrondissement. La défenderesse devait être condamnée à payer 30'000 fr. à titre d'indemnités diverses, en particulier pour licenciement abusif.
La défenderesse a conclu au rejet de l'action.
Après avoir interrogé les parties et divers témoins, le tribunal s'est prononcé le 28 octobre 2014. Accueillant partiellement l'action, il a condamné la défenderesse à payer 19'000 fr. à titre d'indemnité pour licenciement abusif, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 28 novembre 2013. Le tribunal a notamment retenu que l'accusation portée contre la demanderesse n'était pas justifiée.
La Cour d'appel civile du Tribunal cantonal a statué le 28 août 2015 sur l'appel de la défenderesse. Elle a accueilli l'appel et rejeté l'action. Selon la Cour, cette partie-ci a motivé le licenciement de l'autre partie par les indices sérieux d'un vol perpétré par elle, de sorte que ce congé n'est pas abusif.
D.
Agissant par la voie du recours en matière civile, la demanderesse requiert le Tribunal fédéral de confirmer le jugement prud'homal.
Par ordonnance du 15 février 2016, le Tribunal fédéral a accueilli une demande d'assistance judiciaire jointe au recours et il a désigné Me Boris Heinzer en qualité d'avocat d'office de la demanderesse.
Invitée à répondre, la défenderesse a conclu au rejet du recours.
Considérant en droit :
1.
Les conditions de recevabilité du recours en matière civile sont satisfaites; en particulier, la valeur litigieuse dépasse le minimum de 15'000 fr. exigé en matière de droit du travail (art 74 al. 1 let. a LTF).
2.
Il est constant que les parties se sont liées par un contrat de travail de durée indéterminée, librement résiliable par chacune d'elles conformément à l'art. 335 al. 1 CO, moyennant le respect du délai et du terme de congé convenus ou légaux.
2.1. La résiliation ordinaire du contrat de travail est abusive lorsqu'elle intervient dans l'une des situations énumérées à l'art. 336 al. 1 CO, lesquelles se rapportent aux motifs de la partie qui résilie. Cette disposition restreint, pour chaque cocontractant, le droit de mettre unilatéralement fin au contrat (ATF 136 III 513 consid. 2.3 p. 514/515; 132 III 115 consid. 2.4 p. 118; 131 III 535 consid. 4.2 p. 539 in medio). Lorsque l'une des parties a résilié abusivement, l'art. 336a al. 1 et 2 CO autorise l'autre partie à réclamer une indemnité dont le juge fixe librement le montant en tenant compte de toutes les circonstances; cette indemnité ne peut toutefois pas excéder l'équivalent de six mois de salaire.
2.2. L'énumération de l'art. 336 al. 1 CO n'est pas exhaustive et un abus du droit de résiliation peut se révéler aussi dans d'autres situations qui apparaissent comparables, par leur gravité, aux hypothèses expressément visées (ATF 136 III 513 ibidem; 132 III 115 consid. 2 p. 116; 131 III 535 consid. 4 p. 537). Ainsi, la résiliation ordinaire est abusive lorsque l'employeur la motive en accusant le travailleur d'un comportement contraire à l'honneur, s'il apparaît que l'accusation est infondée et que, de plus, l'employeur l'a élevée sans s'appuyer sur aucun indice sérieux et sans avoir entrepris aucune vérification; au regard de l'art. 328 al. 1 CO, l'employeur viole alors gravement son devoir de protéger la personnalité du travailleur (arrêt 4A_99/2012 du 30 avril 2012, consid. 2.2.1, concernant des aides-soignantes accusées de maltraiter les résidents d'un établissement médico-social).
2.3. Contrairement à l'argumentation soumise au Tribunal fédéral, la résiliation ordinaire n'est pas abusive du seul fait qu'en définitive, le cas échéant, l'accusation élevée contre le travailleur se révèle infondée ou ne peut pas être confirmée; l'abus suppose en effet, de surcroît, que l'employeur ait accusé le travailleur avec légèreté, sans justification raisonnable. La résiliation ordinaire ne saurait être soumise à des conditions plus stricte qu'un licenciement immédiat pour de justes motifs, régi par l'art. 337 CO; or, en l'état de sa jurisprudence, le Tribunal fédéral n'exclut pas que le simple soupçon d'un grave méfait puisse justifier un licenciement immédiat (arrêt 4C.317/2005 du 3 janvier 2006, consid. 5.3; voir aussi Daniel Egli, Die Verdachtskündigung nach schweizerischem und deutschem Recht, 2000, p. 65). Le sens de l'art. 336 al. 1 CO ressort aussi d'une cause où le gérant d'un magasin a été accusé de vols et d'abus de confiance sur la base des dires de la vendeuse qui le remplaçait lors de ses congés. En dépit de l'arrestation provisoire du gérant et de la perquisition de son logement, l'enquête pénale n'a mis en évidence aucun acte délictueux; néanmoins, parce que la décision de l'employeuse reposait sur les observations de la vendeuse et sur d'autres indices, le licenciement du travailleur injustement soupçonné n'était pas abusif (arrêt 4C.174/2004 du 5 août 2004, consid. 2.3.1).
Le soupçon d'un vol, pour autant qu'il repose sur des indices sérieux et que l'employeur ait dûment accompli toutes les vérifications à attendre de lui, peut donc certainement justifier une résiliation ordinaire parce que celle-ci relève en principe de la liberté souveraine de chaque partie. En tant que le Tribunal fédéral a attribué une portée plus restrictive à l'art. 336 al. 1 CO dans un arrêt invoqué par la demanderesse (arrêt 4A_510/2010 du 1er décembre 2010, consid. 3.2), aussi mentionné dans certaines des contributions doctrinales qui seront citées ci-après, ce jugement ne peut pas être confirmé.
2.4. La doctrine s'est récemment exprimée sur les investigations que l'employeur doit accomplir s'il entend licencier un travailleur par suite d'une dénonciation qui lui a été adressée par un autre travailleur de l'entreprise (alerte à l'employeur ou whistleblowing). En l'occurrence, la dénonciation élevée contre la demanderesse ne provient pas d'un autre travailleur de l'établissement médico-social mais d'un résident ou client de cet établissement; cette différence n'est cependant pas significative et il se justifie donc de citer ces opinions doctrinales. Ainsi, l'employeur est censé accomplir ou faire accomplir, éventuellement par un mandataire externe si l'accusation est grave, une enquête complète comportant, pour le travailleur dénoncé, des garanties équivalentes à celles d'une instruction pénale, telles les possibilités de préparer sa défense, se faire assister d'un conseil et faire administrer des preuves (Christian Bettex, Le whistleblowing, ST 2014 p. 492, 493; le même auteur, Le cadre légal des enquêtes internes dans les banques et autres grandes entreprises en droit du travail, SJ 2013 II 157 p. 166; Carlos Jaïco Carranza et Sébastien Micotti, Whistleblowing, 2014, p. 80/81; Stefan Rieder, Whistleblowing als interne Risikokommunikation, 2013, p. 103 nos 208 et 209; Othmar Strasser, Zur Rechtsstellung des vom Whistleblower beschuldigten Arbeitnehmers, in Whistleblowing, Adrian von Kaenel, éd., 2012, p. 55 et ss, passim).
De ces contributions aussi, il ressort que l'employeur doit s'efforcer de vérifier les faits dénoncés. Il n'est non plus guère discutable qu'au regard de l'art. 328 al. 1 CO, le travailleur doit pouvoir équitablement défendre sa position lorsque son honneur est compromis. Pour le surplus, les démarches à accomplir par l'employeur ne sauraient être envisagées de manière abstraite et absolue; elles dépendent au contraire des circonstances concrètes de chaque cas.
2.5. Parmi les circonstances déterminantes, établir les mesures que l'employeur a prises pour vérifier l'accusation portée contre le travailleur, d'une part, et mettre celui-ci en mesure de se défendre contre cette accusation, d'autre part, relèvent de la constatation des faits; en instance fédérale, celle-ci ne peut être attaquée que dans la mesure restreinte permise par l'art. 97 al. 1 LTF. Apprécier si les mesures prises satisfont aux exigences des art. 328 al. 1 et 336 al. 1 CO, dans les circonstances établies, relève de l'application du droit, que le Tribunal fédéral contrôle librement.
3.
Le 20 avril 2013, U._ a prié la demanderesse de lui apporter une bouteille d'eau. Dans un moment où il était absent de sa chambre, cette employée a déposé la bouteille sur sa table de chevet; ces faits sont incontestés.
Interrogé par le Tribunal de prud'hommes, U._ a exposé qu'il s'est absenté de sa chambre durant vingt minutes après avoir demandé la bouteille d'eau. Pendant son absence, il n'était pas en mesure d'observer si quelqu'un entrait dans sa chambre. A son retour, il a observé la présence de la bouteille et il a aussitôt contrôlé le montant présent dans son porte-monnaie; il a constaté qu'il y manquait 9 francs. Le licenciement de la demanderesse est motivé par le vol de cette somme; ce vol a été et il demeure catégoriquement contesté.
Egalement interrogé par le tribunal, le directeur de l'établissement a souligné que U._ a été clair et qu'il ne s'est pas contredit dans son récit, lequel a conduit au licenciement. En particulier, U._ a rapporté au directeur qu'avant de quitter sa chambre, il a compté le montant présent dans son porte-monnaie; il est resté hors de la chambre, mais à proximité, durant un certain temps, avant d'y retourner et de recompter le contenu du porte-monnaie. La demanderesse, au contraire, lors de l'entretien du 22 avril, n'a pas pu expliquer clairement si elle savait ou si elle ignorait où U._ rangeait habituellement son porte-monnaie. Selon le directeur, U._ n'était pas habituellement méfiant.
Le tribunal a aussi interrogé l'un des cadres-infirmiers présents lors de l'entretien avec la demanderesse. Ce témoin a fait état d'incohérences dans les déclarations de cette employée; en particulier, celle-ci a d'abord expliqué que le porte-monnaie ne se trouvait pas dans le tiroir de la table de chevet, puis elle a expliqué le contraire. U._ partageait sa chambre avec un autre résident; le témoin ignorait si cette personne était présente au moment du vol. U._ n'était pas atteint de démence et paraissait jouir de toutes ses facultés; il souffrait de problèmes de vue.
Selon l'ordonnance de classement rendue par le Ministère public le 15 septembre 2014, le vol a été commis entre 15h20 et 15h40. Deux personnes se trouvaient alors dans la chambre de U._: l'autre habitant de cette chambre, avec un visiteur.
4.
La défenderesse n'a ainsi décidé le licenciement de la demanderesse, motivé par un vol, que sur la base du récit de U._ recueilli par le directeur, et en dépit des dénégations de cette employée. Le directeur l'a certes aussi interrogée mais il n'a procédé à aucune autre vérification.
4.1. Le comportement de U._ est étrange. Hors les situations d'indigence, il n'est pas commun qu'une personne vérifie fréquemment et au franc près le contenu de son porte-monnaie. U._ a rapporté au directeur qu'avant de quitter sa chambre, il a compté le montant présent dans son porte-monnaie; il est resté hors de la chambre, mais à proximité, durant un certain temps, avant d'y retourner et de recompter le contenu du porte-monnaie. Ces contrôles méticuleux dénotent qu'il n'était pas sûr de connaître précisément le montant en sa possession; ils dénotent aussi que, nonobstant l'opinion différente du directeur, il était enclin à la méfiance. Dans ce contexte, bien que U._ ne fût pas connu pour élever de fausses accusations, il s'imposait de considérer avec prudence celle qu'il élevait contre la demanderesse.
La direction ne pouvait pas ignorer que U._ partageait sa chambre avec un autre résident. Il s'imposait donc d'interroger ce résident également, notamment pour lui demander s'il était présent dans la chambre ou s'il y était lui aussi entré, et s'il y avait observé la demanderesse. Cette démarche était indispensable, or elle a été omise.
Les modalités de l'entretien du directeur avec la demanderesse sont pareillement critiquables. Celle-ci n'a pas été préalablement avertie qu'elle était accusée d'un vol; seul U._ lui avait dit que de l'argent avait disparu de son porte-monnaie. Le directeur n'a ménagé à la demanderesse, non plus, aucune possibilité de se faire assister avant et pendant l'entretien, alors qu'il était lui-même accompagné de deux membres du personnel d'encadrement. La demanderesse s'est trouvée surprise par l'accusation puis par le licenciement, sans avoir réellement pu défendre son honneur.
4.2. Selon la Cour d'appel, « dans un environnement aussi sensible qu'un établissement médico-social, où la protection des résidents, personnes vulnérables, est particulièrement importante, il n'était pas abusif pour l'employeur de se fonder sur les propos crédibles d'un résident, qui n'était pas connu pour former de fausses accusations, alors que [la demanderesse] avait été contradictoire dans ses explications sur l'endroit où se trouvait le porte-monnaie ». Ces éléments d'appréciation ne sont pas concluants. On a vu pourquoi les dires de U._ devaient être considérés avec prudence. La thèse de la demanderesse était par ailleurs simple et dépourvue de toute équivoque: elle contestait avoir pris de l'argent à U._. Pour apprécier la crédibilité de cette déclaration, il n'importait donc ni que la demanderesse sût ou ignorât où le porte-monnaie était rangé, ni qu'elle fût ou ne fût pas capable de s'expliquer clairement à ce sujet. On rappelle que la demanderesse s'est trouvée surprise par l'interrogatoire; on ne connaît pas les questions que le directeur lui a posées sur ce même sujet, et U._ n'a pas non plus expliqué, semble-t-il, où il avait censément laissé son porte-monnaie pendant son absence.
Dans le contexte effectivement « sensible » d'un établissement médico-social, un vol commis par un membre du personnel et au préjudice d'un résident est un événement grave. C'est pourquoi l'accusation d'avoir perpétré un vol, portée contre un membre de ce personnel, entraîne une atteinte non moins grave à l'honneur de la personne accusée. La demanderesse travaillait depuis onze ans dans l'établissement. La défenderesse l'a licenciée en raison d'une grave accusation de vol, sur la base d'une dénonciation sujette à caution, sans avoir procédé à toutes les vérifications qui s'imposaient, et sans avoir mis cette travailleuse en mesure de défendre efficacement sa position et son honneur. La demanderesse est donc fondée à se plaindre d'un licenciement abusif, contraire aux art. 328 al. 1 et 336 al. 1 CO.
5.
A bon droit, le Tribunal de prud'hommes a alloué une indemnité en application de l'art. 336a al. 1 et 2 CO. Outre la durée des rapports de travail, le tribunal a constaté et pris en considération que la demanderesse était âgée de quarante-six ans, qu'elle n'avait pas retrouvé d'emploi, qu'elle subissait une atteinte grave à sa personnalité, et que ses souffrances psychologiques l'empêchaient de se projeter dans un nouvel avenir professionnel. Le tribunal a calculé une indemnité de 18'896 fr., correspondant à quatre mois de salaire, et il l'a arrondie à 19'000 francs. Le Tribunal fédéral ne voit pas que ce montant soit manifestement surestimé, de sorte qu'il peut le confirmer. Cela conduit à l'admission du recours en matière civile, conformément aux conclusions présentées.
6.
A titre de partie qui succombe, la défenderesse doit acquitter l'émolument à percevoir par le Tribunal fédéral, limité à 1'000 fr. par l'art. 65 al. 4 let. c LTF, et les dépens auxquels l'autre partie peut prétendre.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt de la Cour d'appel est réformé en ce sens que la défenderesse est condamnée à payer à la demanderesse 19'000 fr., montant net, avec intérêts au taux de 5% par an dès le 28 novembre 2013.
2.
La défenderesse acquittera un émolument judiciaire de 1'000 francs.
3.
La défenderesse versera une indemnité de 2'000 fr. à la demanderesse, à titre de dépens.
4.
La caisse du Tribunal fédéral versera une indemnité de 2'000 fr. à Me Heinzer, avocat d'office de la demanderesse, dans l'éventualité où les dépens se révéleraient irrécouvrables.
5.
La cause est renvoyée à la Cour d'appel pour statuer à nouveau sur les frais et dépens de l'appel.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 4 mai 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La présidente : Kiss
Le greffier : Thélin