Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Abgabepflichtige) ist Vater einer getrennt von ihm lebenden minderjährigen Tochter. Für die Ausübung des Besuchsrecht an dem vom kommunalen Amt für Erwachsenen- und Kinderschutz durchgeführten Besuchssonntag vom 15. Juni 2014stellte die Einwohnergemeinde U._/BE dem Abgabepflichtigen eine Grundgebühr von Fr. 35.-- (nebst einer Mahngebühr von Fr. 20.--, nachdem zwei Mahnungen wirkungslos geblieben waren) in Rechnung. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, bestätigte die Gebühr von insgesamt Fr. 55.-- kantonal letztinstanzlich mit einzelrichterlichem Entscheid 100.2015.295U vom 23. Oktober 2015. Das Bundesgericht trat mit Urteil 2C_1091/2015 vom 7. Dezember 2015 auf eine dagegen gerichtete Beschwerde des Abgabepflichten mangels hinreichender Begründung nicht ein.
1.2. Im Zusammenhang mit der Ausübung des Besuchsrechts vom 14. September 2014verpflichtete die Einwohnergemeinde U._/BE (Finanzdienst der Direktion für Sicherheit, Umwelt und Energie) den Abgabepflichtigen, nachdem dieser auf die Rechnung und zwei Mahnungen nicht reagiert hatte, mit Verfügung vom 5. Januar 2015 wiederum zur Leistung von insgesamt Fr. 55.--. Die Direktion für Sicherheit, Umwelt und Energie bestätigte dies mit Entscheid vom 3. März 2016, ebenso wie das Regierungsstatthalteramt V._ (Entscheid vom 4. Mai 2016) und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung (Entscheid 100.2016.171U vom 30. August 2016).
1.3. Mit Eingabe vom 5. Oktober 2016 erhebt der Abgabepflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Er beantragt hauptsächlich die Aufhebung des angefochtenen Entscheids 100.2016.171U vom 30. August 2016. Darüber hinaus wiederholt er die bereits im bundesgerichtlichen Verfahren 2C_1091/2015 vorgebrachten Anschuldigungen gegen einzelne Mitarbeitende der KESB, erläutert er die Rechtslage, beschwert er sich über die Ausgestaltung des Besuchsrechts und erhebt er eine Schadenersatzforderung in Höhe von Fr. 560'000.--. Er wünscht überdies die Revision der bisher ergangenen bundesgerichtlichen Urteile (rund zwei Dutzend bei verschiedenen Abteilungen) und von zwei Entscheiden des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte (28227/11 vom 28. März 2013 bzw. 39235/14 vom 26. Februar 2015). Schliesslich ersucht er um die Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Das Bundesgericht hat dem Abgabepflichtigen die formellen Anforderungen an Antrag und Begründung einer Beschwerde (Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG; BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f.) im zit. Urteil 2C_1091/2015 E. 2 ausführlich dargelegt. Darauf kann verwiesen werden. In Ergänzung dazu ist einzig nachzutragen, dass der Abgabepflichtige im vorliegenden Verfahren keine Rechtsfragen aus dem bundesgesetzlichen Bereich (Art. 95 lit. a, Art. 106 Abs. 1 BGG) aufwirft, sondern im Wesentlichen solche des kantonalen Rechts und des Verfassungsrechts. Daher herrscht die qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106). Diesen Anforderungen genügt die Eingabe in keiner Weise. Abgesehen davon, dass die Zuständigkeit des Bundesgerichts nicht in allen Teilen offenkundig ist, fehlt es von vornherein an einer sachbezogenen Begründung, in welcher der Abgabepflichtige sich mit dem angefochtenen Entscheid detailliert auseinandersetzt und nachvollziehbar aufzeigt, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll. Der Abgabepflichtige beschränkt sich aber darauf, Anschuldigungen zivil-, straf- und verwaltungsrechtlicher Natur wahllos zu vermengen und losgelöst vom angefochtenen Entscheid zu einer Vielzahl von Aspekten Stellung zu nehmen.
2.2. Mangels hinreichender Begründung ist auf die Beschwerde mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG daher nicht einzutreten. Das Bundesgericht behält sich vor, weitere Eingaben ähnlicher Art im Zusammenhang mit der Gebühr für die Ausübung des Besuchsrechts - nach Prüfung - unbeantwortet abzulegen.
2.3. Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege ist zufolge Aussichtslosigkeit der Beschwerde abzuweisen (Art. 64 BGG). Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Abgabepflichtigen aufzuerlegen (Art. 65 i. V. m. Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1. Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 300.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Oktober 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher