Erwägungen:
1.
Mit Verfügung vom 18. Mai 2015 trat das Departement des Innern des Kantons Schaffhausen auf ein Gesuch von A._ um Bewilligung zur Tätigkeit als Arzt im Kanton Schaffhausen nicht ein, mit der Begründung, dass dieser die eingeforderten Unterlagen nicht vollständig eingereicht habe. Im dagegen erhobenen Rekurs an den Regierungsrat des Kantons Schaffhausen beantragte er unter anderem, ihm sei unentgeltliche Prozessführung und Prozessvertretung zu gewähren. Dieses Gesuch wies der Regierungsrat mit der Begründung ab, dass einerseits der Betroffene seine Bedürftigkeit nicht nachgewiesen habe und andererseits seine Begehren aussichtslos erschienen. Die gegen den Regierungsratsbeschluss erhobene Verwaltungsgerichtsbeschwerde wies das Obergericht des Kantons Schaffhausen mit Entscheid vom 10. November 2015 ebenso ab wie das auch für das obergerichtliche Verfahren gestellte Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege; entsprechend auferlegte es die Kosten des Beschwerdeverfahrens A._.
A._ gelangte am 7. Januar 2016 mit als national wirksame Beschwerde bezeichneter Rechtsschrift an das Bundesgericht. Er stellt unter anderem die Anträge, der Beschluss sowie der Entscheid des Obergerichts seien nichtig zu erklären; es sei die Bewilligung zur selbstständigen ärztlichen Tätigkeit auch im Kanton Schaffhausen unverzüglich zu bestätigen; die Rechtssache sei ohne weiteren Verzug der zuständigen rechtsanwendenden Behörde zur Untersuchung, öffentlichen Beratung, öffentlichen Beurteilung und öffentlichen Verkündung menschenrechtskonform (insbesondere) nach Art. 6 EMRK zu überweisen. Eingangs beantragt A._ den Ausstand sämtlicher Bundesrichter und Bundesrichterinnen in corpore.
2.
Auf das offensichtlich unzulässige Ausstandsbegehren ist, unter Mitwirkung von davon betroffenen Richtern, nicht einzutreten (vgl. BGE 114 Ia 278 E. 1; 105 Ib 301 E. 1c S. 304; s. auch das den Beschwerdeführer betreffende Urteil 2C_253/2007 vom 26. Juni 2007 E. 2 mit weiteren Hinweisen).
3.
3.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten. Die Begründung muss sachbezogen sein. Die Beschwerde führende Partei hat bezogen und beschränkt auf den Verfahrensgegenstand in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen in gedrängter Form plausibel darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt welche Rechte bzw. Rechtsnormen verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
3.2. Gegenstand des Verfahrens ist allein die Abweisung des Gesuchs um unentgeltliche Rechtspflege im Rekursverfahren wegen Aussichtslosigkeit des Rekurses. Die darüber hinausgehenden Äusserungen in der weitschweifigen Rechtsschrift vom 7. Januar 2016 sind von vornherein unbeachtlich. Was den einschlägigen Verfahrensgegenstand betrifft, beruft sich der Beschwerdeführer gleich wie vor der Vorinstanz auf Art. 6 Ziff. 1 EMRK und will daraus ableiten, dass der von ihm angestrengte Rechtsstreit über die Zulassung als Arzt im Kanton Schaffhausen vor dem zuständigen Zivilgericht auszutragen sei; die bisherigen Verfahrensschritte, darunter der regierungsrätliche Entscheid über die Verweigerung der unentgeltlichen Rechtspflege, seien nichtig. Das Obergericht hat sich mit diesem Vorbringen insbesondere in E. 2.3 seines Entscheids befasst. Die Beschwerdeschrift lässt jegliche Auseinandersetzung mit den entsprechenden Erwägungen vermissen. Im Übrigen könnte der Beschwerdeführer auch dem von ihm in zahlreichen vor Bundesgericht geführten Verfahren immer wieder angerufenen, ihn betreffenden Urteil des Europäischen Gerichtshofs für Menschenrechte vom 19. April 1993 (PCour EDH Serie A Bd. 254 B) - implizit - entnehmen, dass es nicht unzulässig ist, einen unter Art. 6 EMRK fallenden Rechtsstreit über die Zulassung zum Arztberuf grundsätzlich im Administrativ-Verfahren mit anschliessender Prüfung durch ein unabhängiges Gericht, das nicht ein Zivilgericht zu sein braucht, durchzuführen.
Auf die Beschwerde ist, soweit sie überhaupt gegenstandsbezogen ist, mangels hinreichender Begründung, ohne Schriftenwechsel oder andere Instruktionsmassnahmen, nicht einzutreten.
3.3. Mit dem vorliegenden instanzabschliessenden Urteil wird das Gesuch um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
4.
Dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren kann schon wegen Aussichtslosigkeit der Rechtsbegehren nicht entsprochen werden.
Entsprechend sind die Gerichtskosten, bei deren Festsetzung der Art der Prozessführung Rechnung zu tragen ist (Art. 65 BGG), dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf das Ausstandsgesuch wird nicht eingetreten.
2.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Schaffhausen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 26. Januar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller