Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wurde mit Verfügung vom 10. Mai 2016 aufgefordert, dem Bundesgericht bis zum 25. Mai 2016 einen Kostenvorschuss von Fr. 800.-- zu bezahlen. Mit Schreiben vom 23. Mai 2016 (Datum Postaufgabe) ersuchte er darum, den Betrag von Fr. 800.-- herabzusetzen und ihm eine längere Frist von 60 Tagen einzuräumen. Da ein Grund für eine Kürzung des Kostenvorschusses nicht ersichtlich war, setzte das Bundesgericht dem Beschwerdeführer mit Verfügung vom 25. Mai 2016 eine nicht mehr erstreckbare Nachfrist zur Bezahlung des Kostenvorschusses an bis zum 24. Juli 2016, ansonsten auf das Rechtsmittel nicht eingetreten werde.
Obwohl die Verfügungen vom 10. und 25. Mai 2016 gemäss Rückschein zugestellt werden konnten, ging der Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht ein.
Stattdessen stellte der Beschwerdeführer am 25. Juli 2016 (Datum Postaufgabe) ein Gesuch um Kostenerlass und ersuchte um Zustellung eines entsprechenden Formulars. Für einen Kostenerlass besteht indes kein Anlass. Auch legt der Beschwerdeführer nicht dar, er sei bedürftig. Er macht vielmehr lediglich geltend, er sei unfallbedingt arbeitsunfähig, und begründet sein Gesuch um Kostenerlass mit einer angeblichen Staatshaftung. Wäre das Schreiben vom 25. Juli 2016 als Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege zu qualifizieren, hätte der Beschwerdeführer dieses zudem korrekt begründen und mit ausreichenden Belegen zur wirtschaftlichen Situation versehen müssen, da es am letzten Tag der nicht mehr erstreckbaren Nachfrist für die Bezahlung des Kostenvorschusses eingereicht wurde (vgl. Urteile 6B_258/2016 vom 3. Mai 2016 E. 1; 6B_703/2013 vom 9. September 2013 E. 1). Diesen Anforderungen entspricht die Eingabe vom 25. Juli 2016, die sich nicht zu den wirtschaftlichen Verhältnissen des Beschwerdeführers äussert, offensichtlich nicht.
Da der Kostenvorschuss auch innert der Nachfrist nicht bezahlt wurde, ist auf die Beschwerde im Verfahren nach Art. 108 BGG gestützt auf Art. 62 Abs. 3 BGG androhungsgemäss nicht einzutreten.
2.
Die Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Bern, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 4. August 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld