Sachverhalt:
A.
Im Juli 1986 schloss A._ (Kläger, Beschwerdeführer) mit den C._ einen Mietvertrag über eine Zweizimmerwohnung an der Strasse X._ xx in U._ ab. Am 19. April 2001 unterzeichnete der Kläger einen zweiten Mietvertrag über eine 1 1/2-Zimmerwohnung an der Strasse Y._ xx in U._.
An einer Informationsveranstaltung vom 22. März 2015 informierte die Genossenschaft B._ (Beklagte, Beschwerdegegnerin) die Mieter der Liegenschaft Strasse X._ xx, dass sie die Liegenschaft übernehmen werde, und über die Folgen dieser Übernahme. Mit Schreiben vom 20. September 2015 teilte sie dem Kläger mit, dass sie per 1. Januar 2016 die Häuser an der Strasse X._ im Baurecht übernehmen und den Genossenschaftern vermieten werde. Gemäss Baurechtsvertrag sei für ein Mietverhältnis Voraussetzung, das die Wohnung vom Mieter bewohnt werde und dieser dort offiziell angemeldet sei.
Nach einem längeren Briefwechsel zwischen den Parteien kündigte die Beklagte am 11. Februar 2016 das Mietverhältnis mit dem Kläger per 31. August 2016. Sie führte als Begründung an, dass sie die Liegenschaft per 1. Januar 2016 im Baurecht übernommen habe. Die Baurechtsgeberin habe die Übertragung mit der Auflage verbunden, dass alle Mietobjekte ausschliesslich zum Erhalt des günstigen Wohnraumes genutzt würden. Dazu gehöre die Residenzpflicht im gemieteten Objekt. Der Mieter habe seinen zivilrechtlichen Wohnsitz nicht an der Strasse X._, sondern an der Strasse Y._, womit er diese Auflage nicht erfülle.
B.
Am 19. Februar 2016 focht der Kläger diese Kündigung bei der Staatlichen Schlichtungsstelle für Mietstreitigkeiten an. Nachdem die Parteien keine Einigung erzielen konnten, gelangte er mit Klage vom 6. Juni 2016 an das Zivilgericht Basel-Stadt. Er beantragte die Aufhebung der Kündigung vom 11. Februar 2016 und eventualiter die Erstreckung des Mietverhältnisses um drei Monate. An der Verhandlung vom 13. Dezember 2016 hielt der Kläger an der Anfechtung fest, zog jedoch das Eventualbegehren um Erstreckung zurück. Mit Entscheid vom 13. Dezember 2016 stellte das Zivilgericht fest, dass die Kündigung gültig sei und [sic] erstreckte das Mietverhältnis einmalig bis zum 30. Juni 2017.
Die dagegen vom Kläger und von der Beklagten erhobenen Beschwerden wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 6. Juni 2017 ab.
C.
Gegen diesen Entscheid erhob der Beschwerdeführer Beschwerde an das Bundesgericht und beantragte, es sei der Entscheid des Appellationsgerichts aufzuheben und die Kündigung der Beschwerdegegnerin betreffend die Wohnung an der Strasse X._ xx in U._ aufzuheben. Eventualiter seien die Gerichts- und Parteikosten des erst- und zweitinstanzlichen Verfahrens vollumfänglich der Beschwerdegegnerin aufzuerlegen.
Mit Präsidialverfügung vom 8. September 2017 wurde der Beschwerde mangels Opposition die aufschiebende Wirkung erteilt.
Auf das Einholen von Vernehmlassungen zur Beschwerde wurde verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Das Bundesgericht prüft von Amtes wegen und mit freier Kognition, ob ein Rechtsmittel zulässig ist (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 141 III 395 E. 2.1 mit Hinweisen).
1.2. In mietrechtlichen Angelegenheiten, wie hier, ist die Beschwerde in Zivilsachen grundsätzlich nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens Fr. 15'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG). Die Vorinstanz wies den Streitwert für das Kündigungsanfechtungsverfahren mit Fr. 9'360.-- aus, was der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht beanstandet. Damit wird die Streitwertgrenze für die Beschwerde in Zivilsachen nicht erreicht.
1.3. Erreicht der Streitwert den massgebenden Betrag für die Beschwerde in Zivilsachen nicht, ist sie dennoch zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt (Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG).
Der Begriff der Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung im Sinne von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist sehr restriktiv auszulegen (BGE 134 III 267 E. 1.2). Soweit es bei der aufgeworfenen Frage lediglich um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf einen konkreten Fall geht, handelt es sich nicht um eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung (BGE 135 III 1 E. 1.3 S. 4 mit Hinweisen). Die Voraussetzung von Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG ist hingegen erfüllt, wenn ein allgemeines und dringendes Interesse besteht, dass eine umstrittene Frage höchstrichterlich geklärt wird, um eine einheitliche Anwendung und Auslegung des Bundesrechts herbeizuführen und damit eine erhebliche Rechtsunsicherheit auszuräumen (BGE 140 III 391 E. 1.3 mit Hinweisen). Es ist erforderlich, dass die Frage von allgemeiner Tragweite ist (BGE 134 III 267 E. 1.2).
Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, ist in der Beschwerdeschrift auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist (Art. 42 Abs. 2 BGG), ansonsten die Beschwerde in Zivilsachen unzulässig ist (BGE 136 II 489 E. 2.6).
1.4. Der Beschwerdeführer bringt vor, dass sich gleich mehrere Fragen von grundsätzlicher Bedeutung stellen würden. Es müsse geklärt werden, welche Wirkung die Einführung von Genossenschaftsstatuten habe, wenn der Mieter selbst kein Genossenschafter sei bzw. ob auf Grundlage der Statuten das Mietverhältnis gekündigt werden könne. Weiter müsse geklärt werden, ob man einem Mieter aufgrund seiner politischen Gesinnung das Mietverhältnis künden könne. Ebenso müsse geklärt werden, ob sich ein Vermieter auf den Kündigungsgrund behaften lassen müsse, den er zuerst genannt habe oder ob er noch in der Verhandlung Kündigungsgründe nennen könne. Schliesslich müsse geklärt werden, ob ein Kündigungsgrund des Vermieters gültig sei, wenn er mit seinem eigenen Verhalten dem vorgebrachten Kündigungsgrund widerspreche.
1.5. Der Beschwerdeführer argumentiert zunächst, dass sich die Rechtsfragen von grundsätzlicher Bedeutung stellten, ob ihm als Nichtmitglied der Genossenschaft "auf Grundlage der Statuten", also wohl aufgrund eines Verstosses gegen diese, gekündigt werden könnte und ob ihm aufgrund seiner "politischen Gesinnung" das Mietverhältnis aufgelöst werden könnte. Vorliegend begründete die Beschwerdegegnerin die Kündigung weder aufgrund eines Verstosses gegen ihre Statuten noch aufgrund der politischen Haltung des Beschwerdeführers. Vielmehr erwog die Vorinstanz, dass die Beschwerdegegnerin in der Begründung der Kündigung ausgeführt habe, die bestehende Nutzungsart der Mietobjekte zu ändern und diese nur an Personen zu vermieten, die eine günstige Wohnung bräuchten und ihren Wohnsitz im gemieteten Objekt hätten. Dass die Absicht, die Art der Liegenschaftsnutzung zu ändern, einen legitimen Kündigungsgrund darstelle, so die Vorinstanz weiter, habe die Erstinstanz zutreffend darlegt und werde vom Beschwerdeführer denn auch zu Recht nicht in Zweifel gezogen.
Damit erweisen sich die vom Beschwerdeführer aufgeworfenen Fragen bezüglich der Wirkung der Statuten und der politischen Gesinnung von abstrakter Natur. Inwiefern sie für den vorliegenden konkreten Fall entscheidend wären, zeigt der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht rechtsgenüglich auf. Damit wird nicht dargetan, dass sich in der vorliegenden Streitsache eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde.
Das Gleiche gilt bezüglich dem angeblichen Nachschieben von Kündigungsgründen und dem treuwidrigen Verhalten der Beschwerdegegnerin. Inwiefern sich in diesem Kontext eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde, legt er mit seinen Ausführungen nicht hinreichend dar und ist auch nicht ersichtlich. Vielmehr geht es diesbezüglich einzig um die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den konkreten Einzelfall.
1.6. Da der notwendige Streitwert nicht erreicht wird und sich keine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellt, steht die Beschwerde in Zivilsachen nicht offen.
2.
Demnach ist die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde zu behandeln (Art. 113 BGG). Mit der subsidiären Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (Art. 116 BGG).
Der Beschwerdeführer rügt in seiner Beschwerdeschrift keine Verletzung von verfassungsmässigen Rechten, zumindest nicht hinreichend, sondern einzig eine Verletzung von Art. 266l Abs. 2 OR, Art. 271 Abs.1 OR und Art. 116 Abs. 3 AuG. Somit ist auch auf die Beschwerde als subsidiäre Verfassungsbeschwerde nicht einzutreten.
3.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der Beschwerdeführer kosten- und entschädigungspflichtig (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 1 BGG). Dem geringen Aufwand für den vorliegenden Nichteintretensentscheid wird mit einer Reduktion der Gerichtsgebühr Rechnung getragen.
Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern hatte und sich diesbezüglich nicht vernehmen liess, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. November 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Brugger