Faits :
A.
A.A._ (1963), de nationalité française, et B.A._ (1965), de nationalité américaine, se sont mariés le 2 octobre 1999. Une enfant est née de cette union, C._ (2003).
Une procédure de mesures protectrices de l'union conjugale a été introduite en octobre 2014.
Par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 18 décembre 2014, la garde sur l'enfant C._ a été attribuée à sa mère et un droit de visite a été fixé en faveur de son père. Par prononcé de mesures protectrices de l'union conjugale du 28 janvier 2015, l'ordonnance précitée a été confirmée. Par ordonnance de mesures superprovisionnelles du 20 mars 2015, le droit de visite du père a été suspendu. Par ordonnance de mesures protectrices de l'union conjugale du 6 août 2015, l'attribution de la garde exclusive sur l'enfant à la mère et la suspension du droit de visite du père ont été confirmés. L'appel du père contre cette décision a été rejeté le 9 novembre 2015. Par arrêt du 2 mai 2016, le Tribunal fédéral a admis le recours en matière civile interjeté par le père (cause 5A_95/2016), annulé la décision du 9 novembre 2015 et renvoyé la cause à l'autorité cantonale pour nouvelle décision, pour le motif que le droit d'être entendu du père avait été violé. Statuant à nouveau le 24 août 2016, l'autorité cantonale a rejeté l'appel " dans la mesure où il a encore un objet ". Elle a notamment considéré qu'il était en tous les cas exclu que la garde de l'enfant soit confiée à A.A._, puisque celui-ci ne comprenait pas les besoins de sa fille, besoins qu'il ne voyait que par rapport aux enjeux liés à la séparation; son attitude, dans ses actes de procédure et ses positions, démontrait son manque de compréhension des difficultés de son enfant et faisait craindre qu'il ne soit pas en mesure de la protéger. Par arrêt du 23 janvier 2017, le Tribunal fédéral a considéré que le recours constitutionnel subsidiaire introduit par le père contre cette décision était irrecevable, son recours en matière civile étant pour sa part rejeté, dans la mesure de sa recevabilité (cause 5A_792/2016).
B.
Dans le cadre de la procédure de première instance, A.A._ a introduit de très nombreuses requêtes, de nature tant procédurale que matérielle.
B.a. Au début du mois de juillet 2016, B.A._ et l'enfant C._ sont parties pour U._ aux Etats-Unis, où vivent les parents de B.A._. L'enfant n'est depuis lors pas revenue en Suisse. Dès le 23 août 2016, elle y a été scolarisée.
B.b. Le 11 juillet 2016, B.A._ a introduit une demande en divorce aux Etats-Unis.
B.c. Le 15 juillet 2016, l'Office fédéral de la Justice a transmis la demande de retour de l'enfant C._, au sens de l'art. 8 de la Convention de La Haye du 25 octobre 1980 sur les aspects civils de l'enlèvement international d'enfants (ci-après: CLaH80; RS 0.211.230.02), déposée par A.A._, à l'United States Department Of State. Celui-ci en a informé B.A._ le 25 juillet 2016.
B.d. Le 18 juillet 2016, A.A._ a introduit une demande unilatérale en divorce devant le Tribunal d'arrondissement de La Côte.
B.e. Par ordonnance de " mesures protectrices de l'union conjugale " du 25 juillet 2016, le Président du Tribunal civil de l'arrondissement de La Côte a notamment attribué l'autorité parentale et la garde sur C._ exclusivement à la mère (III), dit que le père exercerait son droit de visite par l'intermédiaire d'Espace contact, aux conditions posées par cette institution et sous la surveillance des éducateurs spécialisés chargés d'encadrer le droit de visite (IV) et ordonné la mise en oeuvre d'une thérapie familiale, celle-ci étant confiée à la Consultation de Lucinge (V).
B.f. Par arrêt du 19 avril 2017, le Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud (ci-après: le Juge délégué) a rejeté l'appel formé par l'époux contre l'ordonnance du 25 juillet 2016 (I), réformé d'office le chiffre IV du dispositif de celle-ci en ce sens que A.A._ exercera son droit de visite sur l'enfant C._ à raison de deux heures toutes les deux semaines, par l'entremise de Skype, et annulé d'office le chiffre IV du dispositif de dite décision, l'ordonnance de première instance étant confirmée pour le surplus. Enfin, il a annulé d'office la décision du Président du Tribunal d'arrondissement de La Côte du 11 janvier 2017 relevant Me Axelle Prior de son mandat de curatrice de représentation de C._ à la forme de l'art. 299 CPC.
C.
Par mémoires des 12 et 31 mai 2017, A.A._ exerce un recours " en matière de droit civil " et un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Il conclut principalement à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens que:
- l'autorité parentale exclusive sur l'enfant lui est attribuée; subsidiairement, que l'autorité parentale sur l'enfant demeure conjointe; plus subsidiairement, que l'autorité parentale sur l'enfant demeure conjointe, à l'exception du droit de déterminer les soins à donner à l'enfant (art. 301 CC) et de celui de définir son éducation (art. 302 CC), qui sont attribués exclusivement à l'intimée;
- la garde exclusive de l'enfant lui est attribuée; subsidiairement, que la garde de l'enfant est accordée de manière alternée aux deux parents, l'enfant résidant en alternance chez son père durant toutes les vacances scolaires et jusqu'à trois mois par an durant les périodes scolaires, si le père réside temporairement à proximité de l'établissement scolaire de l'enfant, et chez sa mère pour le reste du temps, tant que l'enfant réside aux Etats-Unis; plus subsidiairement, que la garde alternée sur l'enfant est attribuée à ses parents, celle-ci résidant chez son père durant toutes les vacances scolaires et chez sa mère le reste du temps, tant qu'elle réside aux Etats-Unis;
- un droit de visite sans restriction lui est accordé sur C._, à exercer par tout moyen de communication à leur disposition, ainsi qu'un droit de visite sans restriction pendant toutes les vacances scolaires, tant que l'enfant réside aux Etats-Unis; subsidiairement, un droit de visite sans restriction lui est accordé sur C._, à exercer par tout moyen de communication à leur disposition tant que l'enfant réside aux Etats-Unis;
- la décision entreprise est réformée quant aux chiffres I, II, V à VII et XI à XVIII dans le sens des conclusions de sa requête d'appel modifiée du 2 décembre 2016, ou respectivement est annulée sur ces points;
- " toutes autres et plus amples conclusions de l'arrêt de la Cour d'appel civile du 19 avril 2017 à l'exception de la détermination au par. 5.3 (enlèvement illicite) " sont annulées et le dossier est renvoyé à l' " autorité inférieure " pour nouvelle décision au sens des considérants.
Subsidiairement, il sollicite l'annulation de l'arrêt du 19 avril 2017 et le renvoi de la cause à l'autorité " inférieure " pour nouvelle décision, " à l'exception des considérations suivantes: a) La détermination concluant que l'enlèvement de l'enfant aux Etats-Unis était illicite au sens de l'art. 7 al. 2CLaH96 (consid. 5.3). b) Le chiffre II/IV de l'arrêt autorisant A.A._ à exercer un droit de visite sur l'enfant C._ par l'entremise de Skype ". Par courrier du 26 septembre 2017, le recourant complète cette dernière conclusion en ce sens que " c) La détermination concluant qu' "il n'y a en outre pas d'indices concrets au dossier laissant craindre que le simple fait de laisser l'appelant entretenir des contacts avec sa fille soit néfaste pour cette dernière. Au contraire, il apparaît que les contacts entre père et fille sont bons " (consid. 7.3 page 35). "
Il n'a pas été requis de déterminations sur le fond du recours.
D.
Par ordonnance présidentielle du 9 juin 2017, la requête d'effet suspensif du recourant a été rejetée.
Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt attaqué, qui porte sur des mesures provisionnelles ordonnées pour la durée d'une procédure de divorce, est une décision finale (art. 90 LTF; ATF 134 III 426 consid. 2.2) rendue par un tribunal supérieur statuant sur recours en dernière instance cantonale (art. 75 LTF) dans une affaire civile (art. 72 al. 1 LTF) de nature non pécuniaire. Le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et en la forme prévue par la loi (art. 42 LTF), par une partie qui a pris part à la procédure devant l'autorité précédente (art. 76 al. 1 let. a LTF) et a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 76 al. 1 let. b LTF). Il est recevable en tant que recours en matière civile. Partant, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (art. 113 LTF).
1.2. Tant que le délai de recours n'est pas échu, le recourant peut valablement adresser au Tribunal fédéral une nouvelle écriture pour compléter le recours qu'il a déjà déposé (arrêt 1C_171/2012 du 13 juin 2012 consid. 1). Il en résulte que les écritures des 12 et 31 mai 2017 sont toutes deux recevables. En revanche, en tant que le recourant souhaite compléter, par courrier du 26 septembre 2017, l'une de ses conclusions, sa requête est tardive, partant, irrecevable.
2.
Dès lors que la résidence de l'enfant C._ a été déplacée aux Etats-Unis, la cause revêt un caractère international. En conséquence, il s'agit d'examiner si, nonobstant ce déplacement, les autorités suisses demeurent compétentes pour statuer sur la présente cause.
La Convention de La Haye du 19 octobre 1996 concernant la compétence, la loi applicable, la reconnaissance, l'exécution et la coopération en matière de responsabilité parentale et de mesures de protection des enfants (CLaH96; RS 0.211.231.011) s'applique dans les relations entre la Suisse et les Etats qui ont ratifié cette convention. Dans les relations entre la Suisse et les Etats qui n'ont pas ratifié la CLaH96, la Convention de La Haye du 5 octobre 1961 concernant la compétence des autorités et la loi applicable en matière de protection des mineurs (CLaH61; RS 0.211.231.01) continue de s'appliquer, pour autant que ces Etats soient parties à la CLaH61 ou l'aient ratifiée (ATF 142 III 56 consid. 2.1.1). Enfin lorsque, comme en l'espèce, la situation présente un lien avec un Etat qui n'a ni ratifié la CLaH96, ni la CLaH61, la CLaH96 s'applique à titre de droit national (droit international privé suisse), par renvoi de l'art. 85 al. 1 LDIP (ATF 142 III 56 consid. 2.1.3; 142 III 1 consid. 2.1; 5A_582/2016 du 26 septembre 2016 consid. 2.2; 5A_274/2016 du 26 août 2016 consid. 2.1 et 2.4; arrêts 5A_264/2016 du 17 juin 2016 consid. 3.1; 5A_809/2012 du 8 janvier 2013 consid. 2.3.1; BERNARD DUTOIT, Droit international privé suisse, Commentaire de la loi fédérale du 18 décembre 1987, 5e éd. 2016, n° 2 ad art. 85 LDIP; IVO SCHWANDER, in Basler Kommentar, Internationales Privatrecht, 3e éd., 2013, n° 10 et 12 ad art. 85 LDIP; contra : ANDREAS BUCHER, Que devient le droit (civil) international au Tribunal fédéral?, Jusletter 8 mai 2017, p. 8 s., et ANDREAS BUCHER, in Commentaire romand, Loi sur le droit international privé, Convention de Lugano, 2011, n° 3 ad art. 85 LDIP, selon lequel l'art. 85 al. 1 LDIP constitue une simple " règle de signalisation ", la CLaH96 s'appliquant de toute manière aussi aux situations présentant un lien avec un Etat non contractant, dès lors qu'en vertu de l'art. 1 al. 2 LDIP, les traités priment la LDIP).
L'art. 5 al. 1 CLaH96 pose le principe selon lequel les autorités de l'Etat de la résidence habituelle de l'enfant sont compétentes pour prendre des mesures tendant à sa protection. En cas de départ - en cours de procédure - de l'enfant dans un Etat non-partie à la Convention, les autorités suisses désignées demeurent compétentes pour ordonner des mesures de protection de l'enfant (ATF 142 III 1 consid. 2.1). Vu le départ de l'enfant aux Etats-Unis en cours de procédure, c'est à juste titre que l'autorité cantonale s'est considérée comme compétente en l'espèce.
3.
3.1. Dès lors que le litige porte sur des mesures provisionnelles (art. 98 LTF), seule la violation de droits constitutionnels peut être dénoncée. Le Tribunal fédéral n'examine la violation de tels droits que si le recourant a invoqué et motivé son grief conformément à l'art. 106 al. 2 LTF, à savoir s'il l'a expressément soulevé et exposé d'une manière claire et détaillée (ATF 142 II 369 consid. 2.1; 142 III 364 consid. 2.4). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 142 III 364 consid. 2.4).
3.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Dans l'hypothèse d'un recours soumis à l'art. 98 LTF, le recourant qui entend invoquer que les faits ont été établis de manière manifestement inexacte ne peut obtenir la rectification ou le complètement des constatations de fait de l'arrêt cantonal que s'il démontre la violation de droits constitutionnels, conformément au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Une critique des faits qui ne satisfait pas à cette exigence est irrecevable (art. 106 al. 2 LTF; ATF 141 IV 249 consid. 1.3.1; 140 III 264 consid. 2.3 et les références). L'appréciation des preuves est arbitraire lorsqu'elle est manifestement insoutenable, en contradiction avec le dossier, ou lorsque l'autorité ne tient pas compte, sans raison sérieuse, d'un élément propre à modifier la décision, se trompe sur le sens et la portée de celui-ci ou, se fondant sur les éléments recueillis, en tire des conclusions insoutenables (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références).
4.
Le mémoire du recourant du 12 mai 2017, bien qu'intitulé " recours en matière de droit civil et recours constitutionnel subsidiaire ", concerne exclusivement la question de l'effet suspensif, qui a été tranchée par ordonnance présidentielle du 9 juin 2017. Cette écriture ne contient en revanche aucun grief sur le fond.
5.
Le recourant invoque la violation des garanties générales de procédure de l'art. 29 Cst., essentiellement la violation de son droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) à plusieurs égards.
5.1. Une autorité cantonale commet un déni de justice formel et viole l'art. 29 al. 1 Cst. lorsqu'elle n'entre pas en matière dans une cause qui lui est soumise dans les formes et délais prescrits, alors qu'elle devrait s'en saisir (ATF 142 II 154 consid. 4.2 et les références). La jurisprudence a en outre déduit de l'art. 29 al. 2 Cst., qui garantit le droit d'être entendu, le devoir pour l'autorité de motiver sa décision afin que le destinataire puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Pour répondre à ces exigences, il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (ATF 142 II 154 consid. 4.2; 138 I 232 consid. 5.1 p. 237; 133 III 439 consid. 3.3). Comme le droit à une décision motivée participe de la nature formelle du droit d'être entendu (ATF 104 Ia 201 consid. 5g), ce moyen doit être examiné en premier lieu (ATF 124 I 49 consid. 1) et avec une pleine cognition (ATF 121 I 54 consid. 2a).
5.2. Le recourant soutient que la cour cantonale n'a pas examiné les arguments qu'il avait fait valoir en relation avec la CLaH80, en particulier sa conclusion I du 2 décembre 2016 (à savoir " déterminer que le déplacement aux Etats-Unis et/ou le non-retour en Suisse de l'enfant C._ par B.A._ était illicite au sens de l'art. 3 de la Convention sur les aspects civils de l'enlèvement international d'enfants de La Haye du 25 octobre 1980 (...) ", cf. arrêt entrepris, p. 10).
En réalité, la juridiction précédente a expliqué que A.A._ se prévalait en vain de la CLaH80, puisque selon l'art. 10 de cette convention, qui a été ratifiée par la Suisse et par les Etats-Unis, c'est l'autorité centrale de l'Etat où se trouve l'enfant, soit en l'espèce l'autorité centrale américaine, qui prend ou fait prendre toute mesure propre à assurer sa remise volontaire. La cour cantonale a donc traité la question qui lui avait été soumise, de sorte qu'il ne peut lui être reproché d'avoir violé l'art. 29 al. 1 Cst.
5.3. Le recourant affirme que son droit d'être entendu a été violé, pour le motif qu'après les avoir pourtant déclarés recevables, le Juge délégué aurait ignoré les faits nouveaux et conclusions nouvelles qu'il a formulées en instance cantonale, en particulier s'agissant de la question de la garde de C._.
Il ressort de l'arrêt querellé que les pièces produites par les parties au stade de l'appel concernaient toutes la situation de C._ au regard de son déplacement aux Etats-Unis, partant, qu'elles étaient toutes recevables et ont été prises en compte dans la mesure de leur pertinence dans l'état de fait de l'arrêt (arrêt entrepris, consid. 2.2 in fine, p. 23). Dans la mesure où le recourant estimerait que les faits retenus auraient été établis de manière arbitraire au regard desdites pièces, il lui appartenait de soulever un tel grief et de le motiver de manière claire et détaillée (cf. supra consid. 3.2); il ne saurait toutefois être question de violation de son droit d'être entendu. Pour le surplus, le Juge délégué a considéré que la question de la garde était définitivement tranchée ensuite de l'arrêt du Tribunal fédéral du 23 janvier 2017, par lequel la garde exclusive de C._ avait été attribuée à la mère (arrêt entrepris, consid. 4.2, p. 26). On comprend donc parfaitement que cette autorité a rejeté les conclusions du recourant sur ce point, et pour quels motifs. Mal fondé, le grief doit être rejeté.
5.4. Le recourant fait valoir qu'en refusant de tenir compte de ses arguments en lien avec les traitements médicamenteux administrés à l'enfant, l'autorité cantonale aurait violé son droit d'être entendu. Il omet toutefois que le juge n'a pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, peuvent être tenus pour pertinents (ATF 138 IV 81 consid. 2.2 p. 84; 134 I 83 consid. 4.1 p. 88). Or, le recourant tente, par son argumentation, de démontrer que l'arrêt entrepris ignore arbitrairement le fait que les médecins traitants avaient identifié chez C._ une condition dépressive chronique, fait qui n'a pas d'influence sur l'issue de la cause, en particulier, sur l'attribution de l'autorité parentale (cf. infra consid. 8.4).
5.5. Selon le recourant, le Juge délégué aurait violé son droit " à être entendu sur les faits " en retenant des faits de manière partiale, notamment en ignorant arbitrairement que son épouse fait systématiquement fi de ses droits découlant de l'autorité parentale conjointe, en exagérant arbitrairement ses positions afin de les présenter de façon négative et en ignorant arbitrairement qu'il entretien de bonnes relations avec C._. Sous couvert de violation du droit d'être entendu, le recourant soulève en réalité une critique d'arbitraire dans l'établissement des faits, qui sera donc examinée plus loin sous cet angle (cf. infra consid. 8).
5.6. Invoquant toujours la violation de son droit d'être entendu, le recourant fait valoir que l'arrêt entrepris ne tient pas compte des arguments qu'il a développés en lien avec sa conclusion tendant à la récusation de l'expert et à l'annulation du rapport d'expertise du 10 août 2015. En ignorant ses arguments, l'autorité cantonale aurait " agi de manière arbitraire ". En substance, il expose que, contrairement à ce qu'a retenu le Juge délégué, il avait développé de manière détaillée les nouveaux faits pertinents de la cause aux paragraphes 1 à 37 de sa requête en appel modifiée, et ses moyens de droit aux paragraphes 69 à 86 de cette même écriture. Il estime avoir ainsi démontré qu'au vu des faits nouveaux, l'expertise précitée était lacunaire et partiale. Le recourant affirme aussi que l'arrêt attaqué serait arbitraire, en tant qu'il retient qu'il n'a pas motivé ses conclusions II, III, VII, X, XI, XII et XIII. Il expose avoir développé de manière détaillée les nouveaux faits pertinents dans ses requêtes et déterminations, en particulier aux paragraphes 1 à 37 de sa requête en appel modifiée, et avoir développé " ses moyens de droit dans ses écritures se reposant principalement sur ces nouveaux faits argumentant principalement qu'ayant eu la connaissance de ces nouveaux faits le premier juge aurait pris une décision toute autre ".
Insuffisamment motivée, la critique est irrecevable (cf. supra consid. 3.1). En particulier, le recourant ne saurait se borner à renvoyer à de nombreux paragraphes de sa requête d'appel modifiée, sans citer les passages qu'il estime pertinents et exposer précisément en quoi ceux-ci démontreraient que son droit d'être entendu aurait été violé, respectivement, en quoi le droit aurait été appliqué de manière arbitraire.
I. Audition de l'enfant
6.
Le recourant soutient que l'art. 12 de la Convention du 20 novembre 1989 relative aux droits de l'enfant (CDE; RS 0.107), directement applicable pour la Suisse selon l'ATF 124 III 90 consid. 3a, a été violé, dès lors que l'audition de l'enfant C._ n'a pas été ordonnée, bien qu'il l'ait requise et que selon la jurisprudence, le juge doive en principe entendre l'enfant dès que celui-ci a l'âge de 6 ans, ce d'autant que selon l'autorité cantonale elle-même, il aurait pu se justifier d'entendre personnellement l'enfant C._ sur la question de la garde.
Dans la mesure où selon la jurisprudence, l'art. 12 CDE ne constitue pas un grief de rang constitutionnel (arrêt 5A_746/2014 du 30 avril 2015 consid. 4), la critique est irrecevable dans le cadre d'un recours soumis à l'art. 98 LTF (cf. supra consid. 3.1).
II. Prise en charge de l'enfant
7.
Le recourant affirme que la question de la garde aurait dû être examinée par l'autorité d'appel, eu égards aux faits nouveaux - à savoir le déplacement de la résidence habituelle de l'enfant aux Etats-Unis - qui sont intervenus, et qui n'avaient pas pu être pris en compte par le premier juge. Selon lui, le déménagement de l'enfant et ses conséquences traumatisantes constituent des faits postérieurs pertinents et importants justifiant d'entrer en matière sur ses conclusions en modification de l'attribution de la garde. En refusant d'entrer en matière à ce sujet, l'autorité d'appel aurait violé les art. 227 et 317 CPC. Ce faisant, il ne soulève aucun grief de rang constitutionnel, de sorte que sa critique est irrecevable dans le cadre d'un recours soumis à l'art. 98 LTF (cf. supra consid. 3.1).
III. Autorité parentale
8.
Le recourant fait valoir que l'attribution de l'autorité parentale exclusive sur C._ à son épouse résulte d'un établissement arbitraire des faits et d'une appréciation arbitraire des preuves au sens de l'art. 9 Cst.
8.1. L'autorité parentale conjointe est la règle depuis l'entrée en vigueur le 1er juillet 2014 des nouvelles dispositions du Code civil relatives à l'autorité parentale (RO 2014 357), ce indépendamment de l'état civil des parents (art. 296 al. 2, 298a al. 1, 298b al. 2 et 298d al. 1 CC; ATF 142 III 1 consid. 3.3, 56 consid. 3). Il n'est qu'exceptionnellement dérogé à ce principe, lorsqu'il apparaît que l'attribution de l'autorité parentale exclusive à l'un des parents est nécessaire pour le bien de l'enfant. Une telle exception est en particulier envisageable en présence d'un conflit important et durable entre les parents ou d'une incapacité durable pour ceux-ci de communiquer entre eux à propos de l'enfant, pour autant que cela exerce une influence négative sur celui-ci et que l'autorité parentale exclusive permette d'espérer une amélioration de la situation. De simples différends, tels qu'ils existent au sein de la plupart des familles, d'autant plus en cas de séparation ou de divorce, ne constituent pas un motif d'attribution de l'autorité parentale exclusive, respectivement de maintien d'une autorité parentale exclusive préexistante (ATF 141 III 472 consid. 4.3 et 4.7; ATF 142 III 1 consid. 2.1). En outre, la seule distance géographique entre les parents n'est pas en soi suffisante pour déroger au principe de l'autorité parentale conjointe (ATF 142 III 1 consid. 3; 142 III 56 consid. 3).
8.2. Le Juge délégué a considéré qu'en l'espèce, les conditions d'une attribution exceptionnelle de l'autorité parentale à la mère étaient remplies, de sorte qu'il a confirmé la décision du premier juge à cet égard. En substance, il avait été concrètement établi, sous l'angle des prérogatives rattachées à l'autorité parentale, que les parties sont engagées dans un conflit récurrent, en particulier s'agissant de l'éducation et des soins à prodiguer à l'enfant, et que l'exercice conjoint de l'autorité parentale a eu des conséquences néfastes notables pour C._. Le conflit inter-parental et la pression opérée par le père lui avaient causé des troubles d'ordre médical qui l'ont empêchée de terminer l'année scolaire 2015-2016, et son inscription en école spécialisée avait dû être requise judiciairement. Le dénigrement et la pression opérés par le père sur le réseau de soin de l'enfant avaient également été néfastes pour celle-ci, qui s'est retrouvée dans un conflit de loyauté permanent. Le Juge délégué a considéré qu'en cas de maintien de l'autorité parentale conjointe, il fallait concrètement craindre que C._ continue de faire l'objet d'une instrumentalisation du conflit qui oppose ses parents. L'attribution de l'autorité parentale exclusive à la mère a pour effet que, désormais, les décisions qui devront être prises pour l'éducation et la santé de C._ pourront l'être rapidement, sans qu'il faille à chaque fois faire appel au juge. Elle permettra en outre de déplacer l'enfant du centre du conflit inter-parental où elle se situe actuellement, et ainsi d'alléger quelque peu la pression qui pèse sur ses épaules.
8.3. Le recourant expose en substance, sur près d'une quinzaine de pages, que l'arrêt attaqué ignore arbitrairement le fait que le conflit parental a pour origine non pas son propre comportement, mais celui de son épouse. Il affirme que celle-ci a systématiquement fait opposition à toute tentative de médiation et qu'elle a pris seule toutes les décisions concernant l'enfant, refusant tout dialogue, ne l'informant pas et le plaçant à chaque fois devant le fait accompli, alors que l'autorité parentale devait être exercée conjointement. En outre, la décision entreprise refuserait, de manière insoutenable, de reconnaître ses propres efforts et de tenir compte du fait que C._ n'a pas peur de lui, mais qu'elle a toujours exprimé son souhait de le voir. Par ailleurs, elle interpréterait de manière arbitraire le certificat médical produit le 23 mai 2016, en considérant que l'arrêt scolaire serait dû à son comportement, et retiendrait, en se basant de manière totalement insoutenable sur les déclarations de la directrice de l'établissement scolaire, que les troubles psychiques de C._ lui seraient imputables. Citant l'arrêt 5A_840/2016 du 30 janvier 2017 consid. 3.3.2, le recourant expose que l'existence d'une bonne relation entre le père et l'enfant démontre que le conflit parental n'a pas un effet grave sur la condition de l'enfant pouvant justifier l'autorité parentale exclusive. Il explique que son opinion et celle de la mère divergent manifestement, mais qu'une telle divergence ne constitue pas un conflit grave, et qu'en définitive, l'enfant est désormais scolarisée dans une école " normale " et accompagnée par une assistante sociale, ce qui correspond précisément à la solution qu'il avait préconisée, et non à celle suggérée par la mère, qui souhaitait que C._ soit scolarisée dans une école spécialisée. Se référant à l'arrêt 5A_455/2016 du 12 avril 2017 consid. 5, il affirme que l'on ne peut déduire une situation de blocage du fait qu'un parent ait exprimé un avis divergent de celui de l'autre parent sur le choix d'un thérapeute. Il s'agirait d'une divergence d'opinion usuelle au cours du processus lors duquel deux personnes prennent une décision et, en cas de conflit ponctuel, le juge peut être appelé à prendre des mesures, sans qu'il ne soit nécessaire d'attribuer l'autorité parentale exclusive. L'arrêt querellé omettrait aussi arbitrairement les conclusions de la curatrice de C._, selon lesquelles il serait dans l'intérêt de celle-ci que l'autorité parentale et la garde soient partiellement retirées à la mère. Cela constituerait " une violation du mandat ordonné par l'autorité le 11 mars 2016 et une violation des obligations et responsabilités de la curatrice selon les art. 314a al. 3 CC et 299 CPC ". Enfin, le recourant affirme que, dans l'hypothèse où il faudrait attribuer l'autorité parentale exclusive, c'est lui qui devrait en être le titulaire, dès lors que c'est le comportement de son épouse qui a causé des troubles psychiques à l'enfant (enlèvement illicite, attisement du conflit).
8.4. La critique du recourant n'est pas de nature à démontrer le caractère arbitraire de la décision entreprise. En tant qu'il fait valoir, de manière essentiellement appellatoire, que ce n'est pas lui, mais son épouse, qui est à l'origine du conflit parental, il omet que cet argument est dénué de pertinence: quand bien même tel serait le cas, il n'en demeure pas moins qu'en l'espèce, le conflit est important et durable et porte véritablement sur des questions relevant de l'autorité parentale, telles que la scolarisation de l'enfant et les soins médicaux qui doivent lui être administrés. En outre, le recourant ne remet pas en cause, en tant que telles et de manière circonstanciée, les constatations du Juge délégué relatives aux conséquences de ce conflit sur l'enfant - en particulier, le fait que celle-ci se trouve dans un conflit de loyauté permanent -, ni le fait que l'attribution de l'autorité parentale exclusive permettrait d'alléger la pression qui pèse sur ses épaules. En tant que le recourant tente de tirer argument de l'arrêt 5A_840/2016 du 30 janvier 2017, il perd de vue que dans cette affaire, contrairement au présent cas, le conflit portait surtout sur le droit aux relations personnelles, que l'existence d'un conflit de loyauté n'avait pas été constatée chez l'enfant, que la communication entre les parents n'était pas complètement rompue puisque la mère transmettait au père les informations importantes au sujet de l'enfant, qu'enfin, aucun élément ne permettait de conclure que l'autorité parentale conjointe exercerait une influence négative sur l'enfant. Par ailleurs, à l'inverse de ce que semble soutenir le recourant en se référant à l'arrêt 5A_455/2016 du 12 avril 2017 consid. 5, il n'est pas insoutenable, dans les circonstances de la présente espèce, de considérer que le conflit parental n'est pas de nature ponctuelle, mais récurrente, partant, que l'on ne saurait maintenir à tout prix l'autorité parentale conjointe et contraindre l'autorité compétente à intervenir chaque fois qu'une décision devrait être prise d'un commun accord entre les parents. Enfin, l'argument tiré des conclusions prises en cours de procédure par la curatrice de l'enfant est vain, puisque l'autorité cantonale n'est pas liée par de telles conclusions. Il résulte de ce qui précède que le grief doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
IV. Thérapie familiale
9.
Invoquant la violation manifeste des art. 3, 6, 9, 11 et 19 de la Convention de l'ONU relative aux droits de l'enfant et de l'art. 11 Cst., le recourant conteste la décision entreprise, en tant qu'elle annule le chiffre V du prononcé de première instance, qui ordonnait la mise en oeuvre d'une thérapie familiale auprès de la Consultation de Lucinge. Il expose que toute démarche visant à résoudre le conflit familial ne pouvait qu'être dans l'intérêt de l'enfant qui souffre de la séparation, quand bien même elle serait particulièrement contraignante pour l'un ou l'autre des parents.
Le recours est irrecevable sur ce point, dès lors que le recourant n'explique pas de manière claire et détaillée en quoi les dispositions qu'il cite seraient violées en l'espèce, se contentant d'affirmer que tel serait le cas (cf. supra consid. 3.1).
V. Droit aux relations personnelles
10.
Le recourant conteste les modalités de son droit aux relations personnelles.
10.1. Aux termes de l'art. 273 al. 1 CC (auquel renvoie l'art. 133 al. 1 CC), le père ou la mère qui ne détient pas l'autorité parentale ou la garde ainsi que l'enfant mineur ont réciproquement le droit d'entretenir les relations personnelles indiquées par les circonstances. Le droit aux relations personnelles doit servir en premier lieu l'intérêt de l'enfant (ATF 130 III 585 consid. 2.1;127 III 295 consid. 4a; 123 III 445 consid. 3b). L'appréciation des circonstances de fait pour fixer le droit aux relations personnelles, c'est-à-dire la détermination de leur portée juridique, est une question de droit (arrêt 5A_422/2015 du 10 février 2016 consid. 4.2 et les références, non publié in ATF 142 III 193). Dans le cadre d'un recours qui est soumis à l'art. 98 LTF, comme c'est le cas en l'espèce, la cognition du Tribunal fédéral est limitée à l'arbitraire (art. 9 Cst.; cf. supra consid. 3.1). Ce n'est que lorsque l'autorité cantonale a manifestement excédé son pouvoir d'appréciation ou en a manifestement abusé, et a abouti à un résultat manifestement injuste ou à une iniquité choquante, qu'il intervient (ATF 141 V 51 consid. 9.2).
10.2. A l'instar de l'autorité de première instance, le Juge délégué a considéré que le droit de visite du père devait avoir lieu dans un cadre protégé et médiatisé. Cela étant, il a relevé que les modalités prévues par le premier juge, à savoir un droit de visite qui s'exercerait par l'entremise d'Espace contact, bien que convaincantes, n'étaient plus envisageables, puisque l'enfant vivait et était scolarisée aux Etats-Unis. Il a ajouté que le maintien du lien entre C._ et son père était essentiel pour la construction de l'identité de l'enfant. Celle-ci avait elle-même indiqué dans un courriel adressé à sa curatrice en septembre 2016 qu'elle souhaitait vivre aux Etats-Unis avec sa mère, mais qu'elle ne supporterait pas de vivre sans sa mère, ni son père. Il n'y avait en outre pas d'indices concrets au dossier permettant de craindre que le simple fait de laisser le père entretenir des contacts avec sa fille soit néfaste pour celle-ci. Au contraire, il apparaissait que les contacts entre père et fille étaient bons. S'agissant de la proposition du père de mettre en place un droit de visite téléphonique par l'entremise de la structure Family Solutions Inc., l'autorité cantonale a souligné qu'il n'était pas possible de déterminer si cette structure était adaptée. Il convenait en l'état de fixer un droit à des relations personnelles téléphoniques à raison de deux heures toutes les deux semaines, par l'entremise de Skype. Cette durée et cette fréquence étaient actuellement adéquates pour maintenir le lien entre père et fille, sans brusquer celle-ci, qui était en train de se reconstruire un environnement scolaire et social aux Etats-Unis. Le Juge délégué a invité les deux parents à faire en sorte que l'exercice de ce droit aux relations personnelles se déroule dans le meilleur intérêt de l'enfant. Il a ajouté que le cas échéant, l'autorité américaine compétente, qui est mieux au fait des possibilités offertes dans ce pays s'agissant du droit de visite, pourra être saisie afin d'en préciser les modalités.
10.3. Le recourant fait valoir que la décision entreprise constitue une violation de sa liberté personnelle (art. 10 Cst.) et des " obligations de protection de l'enfant " (art. 11 Cst.), et qu'elle relève de l'arbitraire (art. 9 Cst.), dès lors que l'autorité cantonale a restreint ses contacts avec sa fille à deux heures toutes les deux semaines, et uniquement par Skype. Or, il serait manifeste que les contacts entre lui-même et sa fille sont bons et doivent avoir lieu aussi souvent que celle-ci le souhaite, par exemple par des échanges quotidiens de textes ou SMS courts. De plus, il n'y aurait pas de raison d'empêcher sa fille de passer toutes ses vacances scolaires chez lui, tant qu'elle réside aux Etats-Unis. Il demande que la décision entreprise soit réformée afin de permettre un libre et large contact entre eux et par tous les moyens de communication à leur disposition.
10.4. Insuffisamment motivés, les griefs de violation des art. 10 et 11 Cst. sont irrecevables (cf. supra consid. 3.1). En effet, le recourant se contente de citer ces dispositions, sans que l'on ne discerne pour quels motifs la décision entreprise y contreviendrait. Pour le surplus, il apparaît que le recourant ne conteste pas, en tant que telles et de manière claire et détaillée (cf. supra consid. 3.1), les considérations de base de l'autorité cantonale, selon lesquelles le droit de visite doit se dérouler dans un cadre protégé et médiatisé. Or dans de telles circonstances, et en tenant compte du fait que l'enfant se trouve désormais aux Etats-Unis, il n'est pas arbitraire de prévoir que l'exercice du droit aux relations personnelles s'effectuera par le biais de Skype, et de renvoyer pour le surplus le recourant à agir devant les autorités américaines. S'agissant de la fréquence du droit aux relations personnelles, on relèvera que le raisonnement du Juge délégué, selon lequel dans les circonstances de l'espèce, la fréquence prévue est en l'état adéquate pour maintenir le lien père-fille sans brusquer l'enfant, n'est pas insoutenable. Ceci posé, il n'en demeure pas moins que les intéressés demeurent libres d'étendre ces contacts d'entente entre eux. En définitive, sur ce point, le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
11.
En conclusion, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable. Le recours en matière civile est rejeté, dans la mesure de sa recevabilité. Les frais judiciaires sont mis à la charge du recourant, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Son recours étant d'emblée dénué de chances de succès, sa requête d'assistance judiciaire est rejetée (art. 64 al. 1 LTF). Des dépens réduits sont alloués à l'intimée, celle-ci ayant obtenu gain de cause s'agissant de l'effet suspensif et n'ayant pas été invitée à se déterminer sur le fond (art. 68 al. 1 et 2 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière civile est rejeté dans la mesure où il est recevable.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 3'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
La requête d'assistance judiciaire du recourant est rejetée.
5.
Une indemnité de 500 fr., à verser à l'intimée à titre de dépens, est mise à la charge du recourant.
6.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Juge délégué de la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 2 novembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Dolivo