Sachverhalt:
A.
Die Staatsanwaltschaft Würzburg (Deutschland) führt ein Strafverfahren gegen A._ und weitere Personen wegen Geldwäscherei und Bestechung. Sie ersuchte die Schweiz am 11. Juli 2013, die Räumlichkeiten der B._ AG in X._ zu durchsuchen, Unterlagen sicherzustellen und herauszugeben.
Die Staatsanwaltschaft Uri trat am 17. Juli 2013 auf das Ersuchen ein und ordnete die Durchsuchung an. Diese fand am 7. August 2013 statt. Am 22. August 2013 erliess die Staatsanwaltschaft Uri die Schlussverfügung. Sie ordnete an, sämtliche Akten an die ersuchende Behörde herauszugeben, inkl. des Vollzugsberichts, des Hausdurchsuchungsprotokolls, der Verzeichnisse der sichergestellten Gegenstände und der erstellten Passkopien. In den Akten befand sich auch ein Netbook von A._. Auf dessen Betreiben hin wurde am 25. September 2013 die Spiegelung und Rückgabe des Netbooks angeordnet.
Eine gegen die Schlussverfügung gerichtete Beschwerde hiess das Bundesstrafgericht mit Entscheid vom 30. Januar 2014 gut, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung hielt es im Wesentlichen fest, die Staatsanwaltschaft Uri habe nicht dargelegt, dass eine nachvollziehbare Triage stattgefunden habe und inwiefern die komplette Herausgabe der Unterlagen verhältnismässig sei.
Im Hinblick auf die vorzunehmende Triage stellte die Staatsanwaltschaft Würzburg der Staatsanwaltschaft Uri eine Stichwortliste für die elektronische Suche nach relevanten Dokumenten zu und wies darauf hin, dass die Suche auf den Zeitraum vom 1. Mai 2007 bis zum 31. Dezember 2008 zu beschränken sei. A._ konnte dazu Stellung nehmen. Nach abgeschlossener Triage wurde ihm der Datenträger mit den relevanten Daten sowie das dazugehörige Schreiben der mit der Triage beauftragten Unternehmung übermittelt. Gleichzeitig wurde er aufgefordert, im Falle des Verzichts auf das vereinfachte Verfahren gemäss Art. 80c IRSG (SR 351.1) bekanntzugeben und zu begründen, welche Daten aus seiner Sicht nicht ausgehändigt werden dürften. A._ lehnte das vereinfachte Verfahren ab und beantragte, das Rechtshilfeersuchen sei abzulehnen.
Mit Schlussverfügung vom 21. Dezember 2015, ergänzt am 12. Januar 2016, verfügte die Staatsanwaltschaft Uri die Herausgabe der triagierten Daten.
Eine von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Bundesstrafgericht mit Entscheid vom 22. Juni 2016 ab.
B.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten vom 4. Juli 2016 ans Bundesgericht beantragt A._ im Wesentlichen, den Entscheid des Bundesstrafgerichts und die Schlussverfügung der Staatsanwaltschaft aufzuheben und auf das Rechtshilfeersuchen nicht einzutreten oder es abzuweisen. Eventualiter sei die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanzen zurückzuweisen.
Das Bundesamt für Justiz beantragt, auf die Beschwerde nicht einzutreten. Es liege kein besonders bedeutender Fall vor. Die Staatsanwaltschaft Uri beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei. Auch sie ist der Auffassung, es liege kein besonders bedeutsamer Fall vor. Das Bundesstrafgericht verweist in seiner Vernehmlassung auf den angefochtenen Entscheid. Der Beschwerdeführer hat auf eine weitere Stellungnahme verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegen einen Entscheid auf dem Gebiet der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unter den in Art. 84 BGG genannten Voraussetzungen zulässig. Im vorliegenden Fall geht es um eine Beschlagnahme und Herausgabe von Gegenständen sowie eine Übermittlung von Informationen aus dem Geheimbereich und damit um ein Sachgebiet, bei dem die Beschwerde nach Art. 84 Abs. 1 BGG insoweit möglich ist. Weiter ist erforderlich, dass es sich um einen besonders bedeutenden Fall handelt.
Art. 84 BGG bezweckt die wirksame Begrenzung des Zugangs zum Bundesgericht im Bereich der internationalen Rechtshilfe in Strafsachen (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweisen). Ein besonders bedeutender Fall ist mit Zurückhaltung anzunehmen (BGE 136 IV 139 E. 2.4 S. 144 mit Hinweis). Bei der Beantwortung der Frage, ob ein besonders bedeutender Fall gegeben ist, steht dem Bundesgericht ein weiter Ermessensspielraum zu (BGE 134 IV 156 E. 1.3.1 S. 160 mit Hinweis).
Gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung der Rechtsschrift in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt. Ist eine Beschwerde nur unter der Voraussetzung zulässig, dass ein besonders bedeutender Fall nach Artikel 84 vorliegt, so ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt ist.
Nach Art. 109 BGG entscheidet die Abteilung in Dreierbesetzung über Nichteintreten auf Beschwerden, bei denen kein besonders bedeutender Fall vorliegt (Abs. 1). Der Entscheid wird summarisch begründet und es kann ganz oder teilweise auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Abs. 3).
1.2. Der Beschwerdeführer geht davon aus, es liege ein besonders bedeutender Fall vor, weil die Vorinstanz die Verjährung und den Abschluss des Strafverfahrens gegen den Haupttäter nicht berücksichtigt habe und weil das Rechtshilfeersuchen einer unzulässigen Beweisausforschung gleichkomme.
Konkret macht er geltend, sowohl in Deutschland als auch in der Schweiz sei die Verjährung eingetreten. In diesem Zusammenhang bringt er zudem vor, der Haupttäter sei in Deutschland von den Vorwürfen der Geldwäscherei und der Bestechlichkeit freigesprochen worden. Gemäss bundesgerichtlicher Rechtsprechung kann jedoch ein Vorbringen, wonach einem Rechtshilfeersuchen aufgrund von Entscheiden im ersuchenden Staat die Grundlage entzogen worden ist, nicht berücksichtigt werden: Solange das Rechtshilfeersuchen aufrecht erhalten wird, ist es zu vollziehen (Urteil 1C_640/2013 vom 25. Juli 2013 E. 1 mit Hinweisen). Hinsichtlich der Frage der Verjährung hat bereits das Bundesstrafgericht mit Verweis auf die bundesgerichtliche Rechtsprechung dargelegt, dass die Verjährung im Rechtshilfeverkehr zwischen Vertragsstaaten des Europäischen Übereinkommens vom 20. April 1959 über die Rechtshilfe in Strafsachen (SR 0.351.1) nicht zu prüfen ist (angefochtener Entscheid, E. 5; BGE 136 IV 4 E. 6.3 S. 11 mit Hinweisen). Darauf kann verwiesen werden.
Zum Vorwurf der Beweisausforschung legte das Bundesstrafgericht dar, die ersuchende Behörde habe für jedes Stichwort, nach dem die Daten des Netbooks untersucht worden seien, dargelegt, in welchem Zusammenhang es zum laufenden Verfahren stehe. Der Beschwerdeführer habe es unterlassen, konkret aufzuzeigen, inwiefern der Rahmen des Ersuchens gesprengt worden sei oder das Interesse für das ausländische Verfahren fehle. Auch in seiner Beschwerde ans Bundesgericht äussert der Beschwerdeführer nur pauschale Kritik. Insbesondere ist nicht ersichtlich, inwiefern Dateien, die ausserhalb des Zeitraums von Ende 2007 bis Ende April 2008 erstellt wurden, a priori irrelevant sein sollten. Nicht hinreichend ist auch der Hinweis, ein gewisses Stichwort hätte zu viele Treffer erzeugt. Es obliegt jedoch dem Betroffenen, schon im Rechtshilfeverfahren gegenüber der ausführenden Behörde konkret darzulegen, welche einzelnen Aktenstücke (bzw. welche Passagen daraus) für die Strafuntersuchung offensichtlich entbehrlich seien, und diese Auffassung auch zu begründen (vgl. BGE 130 II 14 E. 4.3 S. 16 f.; 122 II 367 E. 2d S. 372, je mit Hinweisen).
Die vom Beschwerdeführer vorgetragenen Gründe rechtfertigen es mithin nicht, den vorliegenden Fall als besonders bedeutend einzustufen. Die Beschwerde ist somit unzulässig.
2.
Auf die Beschwerde ist nicht einzutreten.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Uri, dem Bundesstrafgericht, Beschwerdekammer, und dem Bundesamt für Justiz, Fachbereich Rechtshilfe, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 2. August 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Eusebio
Der Gerichtsschreiber: Dold