Erwägungen:
1.
Das Amt für Berufsbildung des Kantons St. Gallen verweigerte A._ die Zulassung zum Qualifikationsverfahren nach Art. 32 der Verordnung vom 19. November 2003 über die Berufsbildung (Berufsbildungsverordnung, BBV; SR 412.101). Dagegen gelangte dieser mit Rekurs an die Verwaltungsrekurskommission des Kantons St. Gallen. Deren Abteilungspräsident wies mit Verfügung vom 7. September 2015 das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege im Rekursverfahren ab; die Verfügung wurde am 9. September 2015 von den Eltern von A._ entgegengenommen. Am 25. September 2015 (Postaufgabe) reichte A._ beim Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen eine vom 24. September 2015 datierte Beschwerde gegen die Verfügung der Verwaltungsrekurskommission ein. Das Verwaltungsgericht trat mit Entscheid des Präsidenten vom 10. November 2015 auf die Beschwerde nicht ein, weil sie nicht innert der Beschwerdefrist von 14 Tagen (Art. 64 in Verbindung mit Art. 47 Abs. 1 des St. Galler Gesetzes vom 16. Mai 1965 über die Verwaltungsrechtspflege [VRG]) erhoben worden sei. Das im Hinblick darauf gestellte Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist wies der Präsident im gleichen Entscheid ab.
Mit als Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten entgegengenommener Rechtsschrift vom 10. Dezember 2015 macht A._ vor Bundesgericht sinngemäss geltend, dass das Verwaltungsgericht auf seine Beschwerde hätte eintreten müssen.
Die Akten des Verwaltungsgerichts sind eingeholt, weitere Instruktionsmassnahmen nicht angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Ist ein Nichteintretensentscheid angefochten, hat sich die Beschwerdebegründung auf die verfahrensrechtliche Eintretensfrage zu beziehen und zu beschränken. Nicht unmittelbar gerügt werden kann die Verletzung von kantonalem Recht (s. Art. 95 BGG). Beruht der angefochtene Entscheid, wie vorliegend, auf kantonalem (Verfahrens-) Recht, kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG spezifischer Geltendmachung und Begründung (BGE 141 I 36 E. 1.3 S. 41; 138 I 225 E. 3.1 und 3.2 S. 227 f.; 137 V 57 E. 1.3 S. 60 f.;136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68, je mit Hinweisen).
2.2. Das Verwaltungsgericht stellt die massgeblichen Regeln zur Beschwerdefrist und deren Wahrung dar und erläutert, dass der Entscheid der Verwaltungsrekurskommission als am 9. September 2015 (Zeitpunkt der Entgegennahme durch die Eltern) zugestellt gelte, weshalb die Beschwerdefrist von 14 Tagen mit der Aufgabe der Beschwerde bei der Post am 25. September 2015 nicht gewahrt sei. Der Beschwerdeschrift lässt sich nichts entnehmen, womit in dieser Hinsicht eine Verletzung schweizerischen Rechts dargelegt würde.
Es bleibt die Frage der Wiederherstellung der Beschwerdefrist. Hierfür ist gemäss Art. 30bis Abs. 1 VRG Art. 148 Abs. 1 ZPO massgeblich. Diese bundesrechtliche Norm wird durch den Verweis im kantonalen Verwaltungsrechtspflegegesetz zu subsidiärem kantonalem Recht und ihre Anwendung ist insofern nicht der freien Überprüfung durch das Bundesgericht zugänglich (Urteil 2C_630/2014 vom 24. Oktober 2014 E. 1.2.2 mit Hinweisen). Das Verwaltungsgericht hat sich mit der Frage befasst, ob die Tatsache, dass der Beschwerdeführer bis und mit am 10. September 2015 im Militärdienst weilte, als Fristwiederherstellungsgrund gelten könnte, und dies aus mehreren Gründen verneint: selbst bei Berücksichtigung des Militärdienstes hätte die Beschwerdefrist am 11. September 2015 zu laufen beginnen und wäre am 24. September 2015 abgelaufen; sodann könne Militärdienst nur dann als Fristwiederherstellungsgrund angerufen werden, wenn die Frist vor der Rückkehr aus dem Militärdienst ablaufe; schliesslich wäre bei den gegebenen Umständen von einem erheblichen Verschulden an der Säumnis bzw. von einer unentschuldbaren Verletzung der elementaren Sorgfaltspflicht auszugehen. Der Beschwerdeführer, der sich im Übrigen vorab zum nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens bildenden materiellen Rechtsstreit äussert, führt zu diesem Punkt aus: "Das Verwaltungsgericht, das nun wirklich alle mir noch zugänglichen Arbeitsnachweise hat, will nun auf meine Beschwerde nicht eintreten, weil ich die Frist um zwei Tage überschritten hätte, obwohl mir nachweislich, durch den Militärdienst von den vierzehn Tagen Frist nur 11 zur Verfügung standen... - Um Ihr 'Nichtstun' zu rechtfertigen hat es 3 1⁄2 Seiten Paragraphen zusammengesucht..." Damit lässt sich auch nicht im Ansatz darlegen, inwiefern die Verweigerung einer Fristwiederherstellung verfassungsmässige Rechte missachtete, Art. 148 Abs. 1 ZPO willkürlich ausgelegt oder sonst wie schweizerisches Recht verletzt worden wäre. Inwiefern sodann die kritisierte Auferlegung der amtlichen Kosten des Verwaltungsgerichts in Höhe von Fr. 300.-- rechtsverletzend wäre, ist nicht dargetan.
2.3. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende Begründung. Es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4. Die Umstände des Falles rechtfertigen es, auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist gegenstandslos.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons St. Gallen schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. März 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Feller