Sachverhalt:
A.
A.a. A.A._ ist 2006 als Tochter von B.A._ und C._ geboren. Am 3. Juni 2008 verpflichtete das Bezirksgericht Plessur C._ dazu, an den Unterhalt von Tochter A.A._ rückwirkend ab 5. November 2006 monatlich einen indexierten Beitrag von Fr. 850.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen. Da der Kindsvater seiner Unterhaltspflicht nicht nachkam, bevorschussten die Sozialen Dienste der Stadt Chur die Unterhaltsbeiträge mit monatlich Fr. 737.--.
Die seit 1993 bestehende Ehe des C._ mit D.C._ wurde am 10. Januar 2013 geschieden. In der vom Bezirksgericht Zürich genehmigten Vereinbarung über die Scheidungsnebenfolgen stellten die dortigen Parteien unter anderem fest, dass C._ wirtschaftlich nicht in der Lage sei, für die 1994, 1999 und 2009 geborenen gemeinsamen Kinder oder für die Ehefrau Unterhaltsbeiträge zu bezahlen.
A.b. Mit Schlichtungsgesuch vom 27. August 2013 resp. Abänderungsklage vom 29. Januar 2014 verlangte C._, der an den Unterhalt von A.A._ zu bezahlende monatliche Beitrag von Fr. 850.-- sei ab dem Zeitpunkt der Rechtshängigkeit der Klage aufzuheben. Die Klage richtete sich ausschliesslich gegen A.A._. Das Bezirksgericht Plessur setzte den Unterhaltsbeitrag mit Wirkung ab 1. November 2014 auf Fr. 650.-- herab (Urteil vom 30. September 2014).
B.
B.a. Gegen dieses Urteil führte C._ Berufung beim Kantonsgericht von Graubünden. Er beantragte, seine Klage sei vollumfänglich gutzuheissen.
A.A._ schloss auf Abweisung der Berufung und beantragte mit Anschlussberufung, C._ sei zu verpflichten, weiterhin einen Unterhaltsbeitrag in Höhe von Fr. 850.-- zu bezahlen; eventuell sei der Unterhaltsbeitrag angemessen zu erhöhen.
B.b. Das Kantonsgericht von Graubünden hiess die Berufung des C._ teilweise gut. Es reduzierte den an den Unterhalt seiner Tochter A.A._ monatlich zu bezahlenden Beitrag mit Wirkung ab 27. August 2013 von Fr. 850.-- auf Fr. 737.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen), somit auf den von der Stadt Chur monatlich bevorschussten Betrag. Mit Wirkung ab dem 1. Mai 2016 hob es die Verpflichtung zur Leistung eines Unterhaltsbeitrages ganz auf.
Die Anschlussberufung von A.A._ wies das Kantonsgericht ab, soweit es darauf eintrat.
Die erstinstanzlichen Gerichtskosten von Fr. 5'850.-- auferlegte das Kantonsgericht beiden Parteien je zur Hälfte, die Vertretungskosten schlug es wett. Die Gerichts- und Vertretungskosten beider Parteien gingen zufolge unentgeltlicher Rechtspflege zu Lasten der Kasse des Bezirksgerichts Plessur.
Die Kosten des Berufungs- und Anschlussberufungsverfahren von insgesamt Fr. 5'000.-- wurden den Parteien je zur Hälfte auferlegt, die Vertretungskosten wettgeschlagen. Die Gerichtskosten und die Vertretungskosten beider Parteien gingen zufolge unentgeltlicher Rechtspflege zu Lasten der Kasse des Kantonsgerichts (Urteil vom 19. April 2016).
C.
C.a. A.A._ führt (gesetzlich vertreten durch ihre Mutter B.A._) Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 5A_399/2016). Sie stellt das Rechtsbegehren, C._ sei zu verpflichten, ihr mit Wirkung ab November 2014 einen Unterhaltsbeitrag von monatlich Fr. 650.-- zu bezahlen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. Die Kosten des erstinstanzlichen Verfahrens seien C._ zu drei Vierteln aufzuerlegen. Die Kosten des Berufungsverfahrens seien C._ aufzuerlegen. Die vorinstanzlich gesprochene Parteientschädigung (von Fr. 1'668.60 einschliesslich Spesen und Mehrwertsteuer) sei auf den Betrag von Fr. 3'337.20 zu erhöhen.
Ausserdem ersucht A.A._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
Das Bundesgericht wies das Gesuch um aufschiebende Wirkung ab mit dem Hinweis, deren Gewährung würde den Entscheid in unzulässiger Weise präjudizieren (Verfügung vom 26. Mai 2016).
C.b. C._ führt ebenfalls Beschwerde in Zivilsachen (Verfahren 5A_400/2016). Er beantragt, seine Klage sei vollumfänglich gutzuheissen. Folglich sei seine Verpflichtung zur Bezahlung von monatlichen Unterhaltsbeiträgen bereits mit Wirkung ab Beginn der Rechtshängigkeit der Klage aufzuheben.
Ausserdem ersucht C._ um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege.
C.c. Das Bundesgericht zog die kantonalen Akten bei, holte aber keine Vernehmlassungen ein.
Erwägungen:
1.
Sowohl der Kläger als auch die Beklagte im kantonalen Verfahren haben das Urteil des Kantonsgerichts vom 19. April 2016 beim Bundesgericht angefochten. Ihre Beschwerden haben demnach das gleiche Anfechtungsobjekt. Die Verfahren 5A_399/2016 und 5A_400/2016 sind zu vereinigen.
2.
Die Beschwerden richten sich gegen einen letztinstanzlichen kantonalen Endentscheid (Art. 75 Abs. 1 und 2 BGG; Art. 90 BGG) betreffend die Abänderung von Kindesunterhalt. Es handelt sich um eine Zivilsache (Art. 72 Abs. 1 BGG) vermögensrechtlicher Natur (BGE 116 II 493). Der Streitwert übersteigt den Betrag von Fr. 30'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. b BGG). Die Beschwerdeberechtigung ist jeweils gegeben (Art. 76 Abs. 1 lit. a und b BGG). Auf die fristgerecht (Art. 100Abs. 1 BGG) eingereichten Beschwerden in Zivilsachen ist grundsätzlich einzutreten.
3.
3.1. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren tatsächliche Feststellungen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" meint "willkürlich" (BGE 135 III 397 E. 1.5 S. 401). Überdies muss die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein (Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.2. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, andernfalls darauf nicht eingetreten werden kann (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeschrift muss sich auf die Begründung des angefochtenen Entscheids beziehen und im Einzelnen aufzeigen, inwiefern Bundesrecht verletzt ist. Die beschwerdeführende Partei soll nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik bei den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen. Die blosse Verweisung auf Ausführungen in andern Rechtsschriften oder auf die Akten reicht nicht aus (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116; 133 II 396 E. 3.1 S. 400).
4.
4.1.
4.1.1. Der Elternteil, der nicht mit dem Kind zusammenlebt, leistet grundsätzlich einen Beitrag in Geld an den Unterhalt des Kindes. Der Beitrag bemisst sich unter anderem nach den Bedürfnissen des Kindes sowie der Lebenshaltung und wirtschaftlichen Leistungsfähigkeit der Eltern (Art. 285 Abs. 1 ZGB [in der bis Ende 2016 gültigen Fassung; vgl. Art. 13c bis Abs. 2 SchlT ZGB]). Verändern sich die Verhältnisse nachträglich erheblich und dauerhaft, so setzt das Gericht den Kindesunterhaltsbeitrag auf Antrag eines Elternteils oder des Kindes neu fest oder hebt ihn auf (Art. 286 Abs. 2 ZGB). Bei der Neufestsetzung der Kinderalimente sind die einzelnen Parameter der Unterhaltsbemessung zu aktualisieren (BGE 137 III 604 E. 4.1.1 und 4.1.2 S. 606). Eine erhebliche Veränderung der wirtschaftlichen Verhältnisse des Unterhaltspflichtigen kann namentlich in einer Invalidität oder langen Erkrankung, im Übertritt in den Ruhestand oder im Verlust der Arbeitsstelle begründet sein (vgl. Urteile 5A_224/2016 vom 13. Juni 2016 E. 3.1 und 5A_217/2009 vom 30. Oktober 2009 E. 3.2).
4.1.2. Eine allfällige Anpassung greift grundsätzlich rückwirkend ab dem Datum der Einreichung des Schlichtungsgesuchs (vgl. Art. 62 Abs. 1 ZPO; BGE 127 III 503). Hier ist das Aufhebungsbegehren seit dem 27. August 2013 rechtshängig.
4.2. Die wirtschaftliche Leistungsfähigkeit des Unterhaltspflichtigen ergibt sich aus der Gegenüberstellung seines Eigenbedarfs, der auf der Basis des betreibungsrechtlichen Existenzminimums zu ermitteln ist (BGE 137 III 59 E. 4.2.1 S. 62), und dem Nettoeinkommen. Auszugehen ist grundsätzlich vom Einkommen, das der Unterhaltspflichtige tatsächlich erzielt. Soweit dieses Einkommen nicht ausreicht, um den ausgewiesenen Bedarf des Kindes zu decken, es dem Pflichtigen indessen zuzumuten ist, mehr zu verdienen, als er effektiv verdient, und die Einkommenssteigerung realisierbar ist, kann der Richter von einem hypothetischen Einkommen ausgehen. Wenn es um den Unterhalt eines minderjährigen Kindes geht, sind - vor allem in wirtschaftlich engen Verhältnissen - besonders hohe Anforderungen an die Ausnützung der Erwerbskraft zu stellen (BGE 137 III 118 E. 2.3 S. 120 und E. 3.1 S. 121).
5.
Die Vorinstanz ging davon aus, die wirtschaftlichen Verhältnisse des Unterhaltsschuldners hätten sich seit der Unterhaltsfestsetzung im Jahr 2008 erheblich verschlechtert; mindestens seit März 2012 (erstmaliger Bezug von Sozialhilfe) könne ihm weder ein tatsächliches noch ein hypothetisches Erwerbs- oder Ersatzeinkommen angerechnet werden. Die fehlende wirtschaftliche Leistungsfähigkeit führe zu einer grundsätzlich vollumfänglichen Aufhebung des Unterhaltsbeitrages für die Tochter.
5.1. Das Kantonsgericht hielt für ausgewiesen, dass der Kindsvater seit dem Jahr 2012 an massiven gesundheitlichen Beschwerden leide und vollumfänglich arbeitsunfähig sei. Es verwarf das Vorbringen von A.A._, der Kindsvater könne - seiner früheren beruflichen Stellung entsprechend - in einer Kaderfunktion im Gastgewerbe ein Monatseinkommen von mindestens Fr. 4'000.-- erzielen. Die Beschwerdeführerin setzt sich nicht mit der vorinstanzlichen Würdigung der ärztlichen Berichte über den Gesundheitszustand von C._ auseinander, sondern verweist auf Ausführungen in den vorinstanzlichen Verfahren. Dies genügt nicht (oben E. 3.2). Somit bleibt es bei der kantonsgerichtlichen Feststellung, dass der Kindsvater aus gesundheitlichen Gründen derzeit nicht in der Lage ist, ein Erwerbseinkommen zu erzielen. Unter diesen Umständen ist nicht näher auf die Rüge einzugehen, das Kantonsgericht habe den arbeitslosenversicherungsrechtlichen Versichertenstatus des Kindsvaters (als früherem Selbständigerwerbenden) sowie seine Vermittlungsbereitschaft (Art. 15 Abs. 1 AVIG) nicht näher abgeklärt.
5.2. Weiter ist strittig, ob die Vorinstanz zu Recht davon ausgegangen ist, dass der Kindsvater bis zum Berufungsentscheid keine Invalidenrente generieren konnte, und ihm daher auch kein hypothetisches Ersatzeinkommen anzurechnen sei.
5.2.1. Ausgehend von der Überlegung, es sei nicht einzusehen, weshalb der Kindsvater noch nicht um Leistungen der Invalidenversicherung ersucht habe, hatte das Bezirksgericht den laufenden Unterhaltsbeitrag von bisher Fr. 850.-- auf einen solchen in Höhe einer hypothetischen IV-Kinderrente von rund Fr. 650.-- pro Monat reduziert. Nach Rechtsauffassung des Kantonsgerichts war ein solches Vorgehen gerechtfertigt, wenn die Anmeldung bei der Invalidenversicherung zumutbar gewesen und es in der Folge möglich geworden wäre, ein Renteneinkommen zu erzielen. Dem psychisch kranken Kindsvater sei indessen kaum vorwerfbar, dass er die Anmeldung unterlassen habe, nachdem dies offenbar auch sein Arzt und die Sozialbehörden (noch) nicht als angezeigt erachtet hätten. Sodann hätte eine Anmeldung bei der Invalidenversicherung - nach Ablauf des Wartejahres (Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG) - nicht ohne Weiteres zu einer Berentung geführt, zumal zunächst die berufliche Integration im Vordergrund gestanden wäre (Art. 28 Abs. 1 lit. a IVG). Das inzwischen anhängige IV-Verfahren werde erfahrungsgemäss längere Zeit in Anspruch nehmen. Die Folgen eines künftigen Entscheids der Invalidenversicherung seien in einem neuen Abänderungsverfahren zu regeln. Wenn dem Kindsvater dereinst eine Invalidenrente zugesprochen werden sollte, so stehe die damit verbundene Kinderrente allerdings unmittelbar dem Kind zu (vgl. Art. 285 Abs. 2 und 2bis ZGB).
5.2.2. Im Hinblick auf seine unterhaltsrechtlichen Verpflichtungen ist der Kindsvater gehalten, die in Frage kommenden sozialversicherungsrechtlichen Ansprüche möglichst ohne Verzug zu verfolgen. Soweit er dies grundlos unterlassen haben sollte, stellt sich die Frage, ob ihm ab dem Datum der Einreichung der Abänderungsklage (vgl. BGE 127 III 503) "rückwirkend" ein hypothetisches Einkommen anzurechnen ist (vgl. Urteil 5A_848/2010 vom 4. April 2011 E. 2.5). In Bezug auf Erwerbseinkommen geht die Rechtsprechung davon aus, dem Unterhaltspflichtigen sei es (unter Berücksichtigung einer allfälligen Übergangs- oder Anpassungsfrist) zumutbar, mittels künftig erzielter Einkünfte nachzuholen, was er in der Vergangenheit zu erwirtschaften verpasst hat (Urteile 5A_59/2016 vom 1. Juni 2016 E. 3.3 sowie 5A_184/2015 vom 22. Januar 2016 E. 3.3 und 3.4). Ob dies auch dann gelten kann, wenn der Unterhaltspflichtige künftig ausschliesslich ein gesetzlich definiertes Erwerbsersatzeinkommen erzielen wird, ist fraglich, indessen mit Blick auf das Folgende offenzulassen.
5.2.3. Zunächst ist zweifelhaft, ob die verzögerte Anmeldung bei der Invalidenversicherung mit dem Gesundheitszustand des Kindsvaters entschuldigt werden kann; dieser war immerhin in der Lage, das Abänderungsverfahren in die Wege zu leiten. Die Anrechnung eines hypothetischen Ersatzeinkommens fällt dennoch ausser Betracht, wenn selbst bei einer Anmeldung binnen zumutbarer Frist im Zeitraum zwischen Beginn der Rechtshängigkeit des Anpassungsbegehrens, dem 27. August 2013, und dem Berufungsentscheid vom 19. April 2016 (vgl. Art. 317 Abs. 1 ZPO) noch kein entsprechendes Ersatzeinkommen geflossen wäre. Denn eine Dauerleistung der Sozialversicherung kann nur als hypothetisches Einkommen angerechnet werden, wenn sichergestellt ist, dass im Zeitraum, für welchen die strittigen Unterhaltsbeiträge allenfalls geschuldet sind, auch tatsächlich ein entsprechender Anspruch entstanden wäre (vgl. Urteil 5A_450/2007 vom 25. Oktober 2007 E. 2 [betreffend Arbeitslosenentschädigung]).
Das Kantonsgericht ging davon aus, dass dies nicht zutrifft. Diese Schlussfolgerung ist jedenfalls nicht offensichtlich unrichtig (vgl. oben E. 3.1). Der Rentenanspruch setzt unter anderem voraus, dass die versicherte Person während eines Jahres ohne wesentlichen Unterbruch durchschnittlich mindestens 40 Prozent arbeitsunfähig gewesen ist (Art. 28 Abs. 1 lit. b IVG). Die Vorinstanz stellte in Würdigung der ärztlichen Berichte fest, dass der Kindsvater seit 2012 an massiven gesundheitlichen Beschwerden leide und - im bisherigen Beruf - vollumfänglich arbeitsunfähig sei. Die dauerhafte Natur einer gesundheitlichen Beeinträchtigung wird gerade bei psychischen Störungen oft erst nach einer gewissen Zeit erkennbar. Selbst wenn sich der Kindsvater beispielsweise zu Beginn des Jahres 2013 bei der Invalidenversicherung angemeldet hätte, dürfte der (infolge längerdauernder Abklärungen häufig rückwirkende) Rentenbeginn nicht ohne Weiteres auf den Zeitpunkt des Ablaufs des Wartejahrs resp. der halbjährigen Karenzzeit nach Anmeldung zum Leistungsbezug (Art. 29 Abs. 1 IVG) terminiert werden: Wie die vorinstanzlichen Erwägungen zeigen, entstünde der Rentenanspruch erst, nachdem sich gezeigt hat, dass Integrationsmassnahmen und Massnahmen beruflicher Art kein rentenausschliessendes Einkommen ermöglichen (vgl. Art. 8, 14a ff., 28 Abs. 1 lit. a und Art. 29 Abs. 2 IVG). Weder sind die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz zur Indikation solcher Vorkehrungen willkürlich noch beruht die Prognose, dass die berufliche Integration zunächst im Vordergrund stehen werde, auf einem unzutreffenden Verständnis von Bundessozialversicherungsrecht. Anzufügen bleibt, dass bei psychischen Beeinträchtigungen die Eingliederungsaussichten häufig erst einmal gutachterlich geklärt werden müssen, bevor Integrationsmassnahmen und Massnahmen beruflicher Art überhaupt geplant werden können. Daher kann sich bereits der Entscheid über solche Vorkehrungen erheblich verzögern. Insofern macht die Unterhaltsansprecherin ferner zu Recht nicht geltend, der Kindsvater hätte während des kantonalen Abänderungsprozesses Anspruch auf ein Taggeld (Grundentschädigung und Kindergeld) im Zusammenhang mit der Durchführung von Eingliederungsmassnahmen (Art. 22 ff. IVG) resp. während der Wartezeit auf eine allfällige Umschulung (Art. 18 Abs. 1 und 2 IVV) erlangt.
5.2.4. Insgesamt kann nicht mit hinreichender Gewissheit gesagt werden, dass bei frühzeitiger Anmeldung im hier interessierenden Zeitraum ein Anspruch auf ein Erwerbsersatzeinkommen der Invalidenversicherung bestanden hätte.
6.
Zu klären bleibt, ob die Stadt Chur im Prozess um die Aufhebung der Kinderunterhaltsbeiträge passivlegitimiert ist, soweit sie die Alimente bevorschusst hat.
6.1. Das Kantonsgericht erwog, die Sozialen Dienste der Stadt Chur hätten den Kindesunterhalt bis zum Abschluss des Berufungsverfahrens mit Fr. 737.-- monatlich bevorschusst, entsprechend dem Maximalbetrag gemäss Art. 3 der kantonalen Verordnung über die Bevorschussung von Unterhaltsbeiträgen für unterhaltsberechtigte Kinder (BR 215.050). Insoweit gehe der Anspruch von Gesetzes wegen mit allen Rechten auf das Gemeinwesen über (Art. 289 Abs. 2 ZGB). Nur hinsichtlich des Differenzbetrages von Fr. 113.-- zum bisherigen Unterhaltsbeitrag von Fr. 850.-- bleibe die Tochter als Unterhaltsgläubigerin passivlegitimiert. In einem solchen Fall habe der Unterhaltspflichtige die Herabsetzungsklage sowohl gegen das Kind wie auch gegen das Gemeinwesen zu richten (Urteil 5A_634/2013 vom 12. März 2014 E. 4.1). Die Stadt Chur sei indessen nicht beklagt und daher nicht Prozesspartei. Weiter gebe es keine prozessrechtliche Grundlage, um das bevorschussende Gemeinwesen zum Verfahren beizuladen. Dessen Ausgang könne ihm somit nicht entgegengehalten werden. Daher hob die Vorinstanz die Unterhaltsverpflichtung nur mit Bezug auf den Betrag, welcher die Bevorschussung überstieg, rückwirkend ab dem 27. August 2013 auf (vgl. oben E. 4.1.2), im Übrigen aber erst auf den der Zustellung des Berufungsentscheids folgenden Monatsersten (1. Mai 2016) hin.
6.2. Der Kindsvater hält dafür, die Unterhaltsansprecherin sei allein passivlegitimiert. Eine Subrogation nach Art. 289 Abs. 2 ZGB trete nur hinsichtlich bereits bevorschusster Unterhaltsleistungen ein. Das Aufhebungsbegehren beziehe sich nur auf Unterhaltsbeiträge, die nach Eintritt der Rechtshängigkeit fällig wurden. Ob, in welchem Umfang und wie lange die Bevorschussung andauern werde, sei bei Beginn der Rechtshängigkeit ungewiss. Die klagende Partei könne unmöglich vorhersehen, wie sich die massgebenden Parameter bis zum Berufungsentscheid entwickeln würden. Die Aufhebung des Unterhaltsanspruchs betreffe zudem das Dauerschuldverhältnis zwischen Unterhaltsverpflichtetem und Unterhaltsansprecherin. Auflösende Gestaltungsrechte, die nicht mit der einzelnen periodischen Forderung verknüpft seien, sondern sich gegen das zugrundeliegende Schuldverhältnis richteten, gehörten nicht zu den Nebenrechten, welche von einer Legalzession erfasst würden.
6.3.
6.3.1. Der Anspruch auf Unterhaltsbeiträge steht dem Kind zu und wird, solange es minderjährig ist, durch Leistung an dessen gesetzlichen Vertreter oder an den Inhaber der Obhut erfüllt (Art. 289 Abs. 1 ZGB [in der bis Ende 2016 gültigen Fassung]). Kommt jedoch das Gemeinwesen für den Unterhalt auf, so geht der Unterhaltsanspruch mit allen Rechten auf das Gemeinwesen über (Abs. 2). Die Bevorschussung erfolgt nach kantonalem öffentlichem Recht (Art. 293 Abs. 2 ZGB). Beim Rechtsübergang nach Art. 289 Abs. 2 ZGB handelt es sich um eine Legalzession (Subrogation; BGE 137 III 193 E. 2.1 S. 197). Ex lege zedierte Ansprüche und der darauf bezogene Rechtsstreit sind weiterhin privatrechtlicher Natur (Urteile 8D_4/2013 vom 19. März 2014 E. 5.3 und 8C_501/2009 vom 23. September 2009 E. 4).
6.3.2. Gegenstand der Legalzession sind auch künftige Unterhaltsforderungen, von denen feststeht, dass sie zu bevorschussen sein werden (BGE 137 III 193 E. 3.6 ff., insbesondere E. 3.8 S. 202 f.; Urteil 5A_634/2013 vom 12. März 2014 E. 4.1; Peter Breitschmid/ Annasofia Kamp, in: Basler Kommentar zum ZGB I, 5. Aufl. 2014, N. 11 zu Art. 289 ZGB). Die Passivlegitimation des Gemeinwesens scheitert daher nicht schon an der Tatsache, dass die Herabsetzungsklage des Unterhaltspflichtigen nur Beitragsforderungen erfasst, die nach Eintritt der Rechtshängigkeit des Abänderungsverfahrens fällig wurden (vgl. oben E. 4.1.2).
6.3.3. Soweit ein Gemeinwesen gerichtlich zugesprochene Unterhaltszahlungen bevorschusst, wird es zum Gläubiger der betreffenden Forderungen. Dies gilt nach dem Gesagten auch für inskünftig fällig werdende Unterhaltsbeiträge, hinsichtlich derer die Bevorschussung bereits bewilligt ist. Nach allgemeiner Regel muss der Unterhaltspflichtige daher (auch) das Gemeinwesen ins Recht fassen, wenn er den Umfang seiner Beitragsverpflichtung reduzieren lassen will. Insoweit sind im Falle einer teilweisen Subrogation sowohl das Kind (resp. dessen Vertreter) wie auch das Gemeinwesen nebeneinander passivlegitimiert (Urteil 5A_634/2013 E. 4.1 a.E. und E. 4.2). Es besteht allerdings die Besonderheit, dass der Gegenstand der Herabsetzungsklage - nämlich das Dauerschuldverhältnis zwischen dem unterhaltsansprechenden Kind und dem unterhaltspflichtigen Elternteil - nicht identisch ist mit der konkreten, periodischen Unterhaltsforderung, die das Gemeinwesen (teilweise) bevorschusst hat resp. bevorschussen wird. Die Passivlegitimation des Gemeinwesens durchbricht den Grundsatz, wonach allein der Zedent Adressat von Willenserklärungen des Schuldners bleibt, welche das Schuldverhältnis als Ganzes betreffen (vgl. Daniel Girsberger/Johannes Lukas Hermann, in: Basler Kommentar zum OR I, 6. Aufl. 2015, N. 8 und 10 zu Art. 170 OR). Diese Regel kommt im Bereich des Art. 289 Abs. 2 ZGB auch insoweit nicht zum Tragen, als das Gemeinwesen, welches für den Kindesunterhalt aufkommt, zur Unterhaltsklage oder zur Klage auf Abänderung des Unterhaltsbetrags befugt ist (BGE 137 III 193 E. 3.3 S. 199 und E. 3.8 S. 203; 123 III 161; Urteil 5A_634/2013 E. 4.1; Botschaft vom 5. Juni 1974 über die Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches [Kindesverhältnis], BBl 1974 II S. 64 Ziff. 322.6).
Das Gemeinwesen subrogiert zunächst in die konkrete Unterhaltsforderung, zumal deren Bevorschussung massgebender Rechtsgrund - und Rechtfertigung - für den Eintritt des Gemeinwesens in die Rechtsstellung des Unterhaltsgläubigers ist. Mit der Legalzession gehen abtretungsfähige (BGE 106 III 18 E. 2 S. 20) Nebenrechte dieser periodischen Unterhaltsforderung auf den Zessionar über (vgl. Art. 170 OR), darunter das Recht, die Schuldneranweisung zu verlangen (Art. 291 ZGB; BGE 137 III 193 E. 3.4 und 3.5 S. 200 ff.), weiter gewisse betreibungsrechtliche Privilegien (BGE 138 III 145) und der Anspruch auf Sicherstellung (Art. 292 ZGB; vgl. BGE 138 III 145 E. 3.3.1 S. 148). Im Falle einer Herabsetzungsklage verschafft die Passivlegitimation dem Gemeinwesen darüber hinaus auch prozessuale Befugnisse, durch welche es auf das Dauerschuldverhältnis zwischen dem unterhaltsberechtigten Kind und dem unterhaltsverpflichteten Elternteil einwirken kann. Diese Befugnisse haben gleichsam eine überschiessende Wirkung, weil sie nicht auf tatsächlich bevorschusste (oder noch zu bevorschussende) Unterhaltsansprüche beschränkt sind. Während das von der Herabsetzungsklage betroffene Kind die mit der einzelnen Forderung verbundenen Nebenrechte im Umfang der Legalzession verliert, tangiert die Subrogation seine Gestaltungsrechte und prozessualen Befugnisse hinsichtlich des Dauerschuldverhältnisses nicht. Mithin bleibt das Kind selbst dann neben dem Gemeinwesen passivlegitimiert, wenn dieses in zeitlicher und quantitativer Hinsicht vollständig in den Unterhaltsanspruch subrogiert.
6.3.4. Es stellt sich die Frage, wie es sich mit der Interessenlage des Gemeinwesens verhält, welches anstelle des Unterhaltspflichtigen für den Kindesunterhalt aufkommt. Sofern das betreffende Interesse nicht mit demjenigen des Kindes übereinstimmt, verunmöglichte eine geteilte Passivlegitimation gegebenenfalls eine koordinierte Prozessführung und eine gemeinsame Rechtsvertretung von Kind und Gemeinwesen (dazu das erwähnte Urteil 5A_634/2013 E. 4.1). Indessen dürfte in der überwiegenden Mehrzahl der Fälle eine Herabsetzung der Unterhaltsbeiträge - und damit auch der Vorschussleistungen - zu einer entsprechenden Erhöhung der Sozialhilfe führen, damit der Barbedarf des Kindes gedeckt ist. Somit besteht nicht a priori ein Konflikt zwischen den Interessen des Kindes und denjenigen des Gemeinwesens.
Freilich ist die Alimentenbevorschussung, abhängig von den anwendbaren kantonalen Bestimmungen, nicht zwingend an eine Sozialhilfeabhängigkeit des Haushaltes gebunden, in welchem das Kind wohnt. Wenn eine Herabsetzung oder Aufhebung von Unterhaltsbeiträgen nicht zu einer entsprechenden Aufstockung der vom gleichen Gemeinwesen aufzubringenden Sozialhilfe führt, entspricht das fiskalische Interesse eines (formal beklagten) subrogierenden Gemeinwesens theoretisch demjenigen des klagenden Leistungspflichtigen (vgl. Daniel Summermatter, Zur Abänderung von Kinderalimenten, FamPra.ch 2012 S. 40 Fn. 16). In einem solchen Fall wäre aber zu beachten, dass das Gemeinwesen im Rahmen der Alimentenbevorschussung deswegen in die Stellung des Kindes eingetreten ist, weil das kantonale Recht es zu dieser Form der Wahrung von Kindesinteressen verpflichtet. In diesem Kontext darf die zuständige Behörde keinen Abänderungsprozess mit dem fiskalisch motivierten Ziel führen, die Stellung des Kindes zu verschlechtern (vgl. BGE 137 III 193 E. 3.4 S. 200 f.). Insoweit ist das Gemeinwesen nicht legitimiert, selber auf Herabsetzung des Unterhaltsbeitrages zu klagen (vgl. Urteil des Kantonsgerichts St. Gallen vom 28. Juni 2005, in: FamPra.ch 2005 S. 987 ff.; vgl. auch Stephan Wullschleger, in: FamKomm Scheidung, 2. Aufl. 2011, N. 14 zu Art. 286 ZGB). Vorbehalten bleibt eine Aktivlegitimation des bevorschussenden Gemeinwesens allenfalls, wenn der Unterhaltspflichtige trotz offensichtlich veränderter Verhältnisse in rechtsmissbräuchlicher Absicht nichts unternimmt. Bei einer Herabsetzungsklage des Unterhaltspflichtigen ist das Gemeinwesen als (mit-) beklagte Partei prinzipiell ebensowenig befugt, sich den Rechtsstandpunkt des Klägers zu eigen zu machen. Erscheint dem Gemeinwesen der zu bevorschussende Betrag zu hoch, hat es seine Leistung gestützt auf das einschlägige kantonale Recht zu korrigieren. Schliesslich ist das Gemeinwesen selbstredend nicht gehalten, den Standpunkt des Kindes zu unterstützen, wenn sich dieses einem offensichtlich begründeten Herabsetzungsbegehren des Unterhaltspflichtigen widersetzt.
6.3.5. Eigenständige Bedeutung erlangt die konkurrierende Passivlegitimation des Gemeinwesens, wenn sich das Kind einem Herabsetzungsbegehren des Unterhaltsschuldners nicht widersetzt, weil es ihm nicht darauf ankommt, ob sein Barbedarf durch die Alimentenbevorschussung oder durch die Sozialhilfe gedeckt wird. Hier muss das Gemeinwesen Herabsetzungsbegehren, die seiner Auffassung nach unbegründet sind, bestreiten können, was auch im wohlverstandenen Interesse des Kindes liegt. Ohne - durch die Passivlegitimation vermittelte - Parteistellung wäre dies nicht möglich, weil das Gemeinwesen mangels entsprechender Rechtsgrundlage nicht zum Verfahren beigeladen werden kann (Urteil 5A_634/2013 E. 4.2). Überdies hat es ein eigenes Interesse daran, sich gegen eine Herabsetzung der während des Abänderungsverfahrens in ursprünglicher Höhe zu bevorschussenden Unterhaltsbeiträge zu wehren; denn soweit die Bevorschussung infolge einer Herabsetzung im Nachhinein ihren Rechtsgrund verliert, entfällt auch die Subrogation in einen Unterhaltsanspruch.
6.3.6. Insgesamt ist es angezeigt, das bevorschussende Gemeinwesen im Falle einer Herabsetzungs- resp. Aufhebungsklage des Unterhaltspflichtigen an der Passivlegitimation des Kindes teilhaben zu lassen. An der Rechtsprechung gemäss Urteil 5A_634/2013 E. 4.1 a.E. und E. 4.2 ist daher festzuhalten.
6.4. Die streitgegenständlichen Unterhaltsbeiträge sind mithin nicht bereits mit Wirkung ab Beginn der Rechtshängigkeit des Abänderungsverfahrens im ganzen Umfang aufzuheben, sondern nur, soweit sie von der Stadt Chur nicht bevorschusst worden sind.
7.
7.1. Die Beschwerdeführerin im Verfahren 5A_399/2016 rügt das für das Berufungsverfahren zugesprochene Honorar. Die Vorinstanz hatte festgehalten, der unentgeltliche Rechtsvertreter habe darauf verzichtet, eine Honorarnote einzureichen, weshalb die Entschädigung nach Tarif resp. nach dem mutmasslichen Aufwand festzusetzen sei (Art. 105 Abs. 2 ZPO). Dem Substituten des Rechtsvertreters dürfte ein Aufwand von rund zehn Stunden entstanden sein, die à Fr. 150.-- zu entschädigen seien.
7.2. Die unentgeltliche Verbeiständung beruht auf einem öffentlich-rechtlichen Verhältnis zwischen dem Staat und dem Rechtsanwalt (BGE 132 V 200 E. 5.1.4 S. 205), das einen Honoraranspruch des Rechtsbeistands gegenüber dem Staat (und nicht gegenüber dem Vertretenen) begründet. Entschädigt der Staat den unentgeltlichen Rechtsvertreter, kann dieser keine weitergehende Honorarforderung an die von ihm vertretene Partei stellen (BGE 122 I 322 E. 3b S. 325). Ein Beschwerdeführer, dem im kantonalen Verfahren ein unentgeltlicher Rechtsbeistand beigeordnet wurde, hat daher kein schutzwürdiges Interesse (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG) an der Erhöhung des Honorars seines Rechtsbeistands (Urteile 4A_511/2015 vom 9. Dezember 2015 E. 1.3 und 5A_451/2011 vom 25. Juli 2011 E. 1.2). Auf die ausschliesslich im Namen von A.A._ erhobene Beschwerde ist nicht einzutreten, soweit damit eine Erhöhung der für das vorinstanzliche Verfahren zugesprochenen Entschädigung beantragt wird.
8.
Die Beschwerde der Unterhaltsansprecherin ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Diejenige des Kindsvaters ist abzuweisen. Für das bundesgerichtliche Verfahren ist den Parteien antragsgemäss die unentgeltliche Rechtspflege zu gewähren, unter Beigabe der jeweiligen Rechtsvertreter (Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG). Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern beider Verfahren zu gleichen Teilen aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG); sie werden aber einstweilen auf die Bundesgerichtskasse genommen. Ferner sind beide Rechtsvertreter aus der Bundesgerichtskasse für die jeweilige Prozessführung zu entschädigen (Art. 64 Abs. 2 BGG; vgl. Urteil 5A_945/2015 vom 7. Juli 2016 E. 6).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 5A_399/2016 und 5A_400/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde der A.A._ wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Beschwerde des C._ wird abgewiesen.
4.
Die Gesuche der Parteien um unentgeltliche Rechtspflege für das bundesgerichtliche Verfahren werden gutgeheissen. Der Beschwerdeführerin im Verfahren 5A_399/2016 wird Rechtsanwalt Pius Fryberg, Chur, und dem Beschwerdeführer im Verfahren 5A_400/2016 Rechtsanwalt Claudio Allenspach, Chur, je als amtlicher Rechtsbeistand bestellt.
5.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 2'000.-- werden den Beschwerdeführenden beider Verfahren zu gleichen Teilen auferlegt, einstweilen aber auf die Bundesgerichtskasse genommen.
6.
Rechtsanwalt Pius Fryberg und Rechtsanwalt Claudio Allenspach werden für das bundesgerichtliche Verfahren aus der Bundesgerichtskasse mit je Fr. 2'500.-- entschädigt.
7.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht von Graubünden, I. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Traub