Faits :
A.
Le 28 juillet 2011, pendant ses vacances, A._ s'est blessé à la main gauche alors qu'il coupait une main-courante avec une scie circulaire. Il en est résulté une amputation de l'index, à la moitié de la première phalange, et de l'annulaire, à la base de la première phalange, ainsi que des atteintes au médius et à l'auriculaire. Au moment de l'accident, le prénommé travaillait en qualité de menuisier-poseur au service de l'entreprise B._ et était, à ce titre, assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: la CNA), qui a pris en charge le cas. Le 30 septembre 2011, A._ a déposé une demande de prestations à l'assurance-invalidité.
Dès le mois de février 2012, l'assureur-accident a préconisé une reprise de l'activité professionnelle, dans un premier temps à titre thérapeutique, puis avec une exigence de rendement de 10 % sur trois jours dès le 1er avril 2012, de 20 % sur quatre jours dès le 1er juin 2012 et de 30 % sur cinq jours dès le 1er septembre 2012. A la suite de l'augmentation de son temps de travail, l'assuré s'est plaint d'une aggravation de ses douleurs à la main et de l'apparition de douleurs à l'épaule droite. La CNA a accepté de prendre en charge les séances de physiothérapie prescrites par le docteur C._, spécialiste en chirurgie de la main, pour la symptomatologie à l'épaule que ce médecin a qualifié d'"insertionites multiples du membre supérieur droit (angle supéro-interomoplate, trapèze, acromion, épocondyle et épitrochlée) " et mis sur le compte d'une étiologie compensatrice à la suite de l'accident de la main gauche (cf. rapport du 2 octobre 2012). En janvier 2013, le docteur C._ a constaté que l'état médical de la main gauche était stable et définitif et qu'il n'y avait plus d'acte thérapeutique à envisager. Après un examen de l'assuré, le docteur D._, médecin d'arrondissement de la CNA, a retenu que la main gauche ne pouvait servir que de main d'appoint et que l'activité habituelle n'était pas adaptée. Un reclassement dans une activité plus légère ne nécessitant pas de dextérité particulière s'imposait. Le taux d'atteinte à l'intégrité pour la main gauche s'élevait à 17,5 % (rapport du 5 février 2013).
Le 2 avril 2013, le docteur E._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a procédé à une intervention sur l'épaule droite de l'assuré. Il a posé les diagnostics de conflit sous-acromial et de bursite sous-acromiale de l'épaule droite, de chondrite de stade IV de la tête humérale droite, de chondrite de stade III à IV de la glène de l'épaule droite et de lésion dégénérative du long chef du biceps de l'épaule droite. Dans un rapport médical intermédiaire à la CNA, ce médecin a indiqué que l'opération n'était pas en relation avec les amputations des doigts de la main gauche. Requis de se prononcer, le docteur D._ a confirmé que l'intervention était à la charge de l'assureur-maladie. Dès le 1er septembre 2014, le docteur E._ a attesté une incapacité de travail de 100 % à raison des seuls troubles à l'épaule droite.
Par décision du 28 octobre 2014, confirmée sur opposition le 3 février 2015, la CNA a alloué à A._ pour ses séquelles à la main une rente d'invalidité d'un taux de 30 % à compter du 1er septembre 2014, ainsi qu'une indemnité pour atteinte à l'intégrité de 17,5 %. Elle a en revanche refusé de prendre en charge les atteintes à l'épaule droite, considérant que celles-ci n'étaient pas, au degré de la vraisemblance prépondérante, en relation de causalité naturelle avec l'accident du 28 juillet 2011.
B.
Saisie d'un recours de l'assuré, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois l'a rejeté dans la mesure de sa recevabilité (jugement du 12 octobre 2016).
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public. Préalablement, il requiert l'ordonnance d'une expertise médicale judiciaire. Principalement, il conclut à la réforme du jugement cantonal en ce sens que la CNA doit prendre en charge les frais de traitement de ses lésions à l'épaule et lui verser une indemnité journalière correspondant à un taux d'incapacité de travail de 100 % jusqu'à ce que son état de santé se soit stabilisé. Il demande également à être mis au bénéfice d'une rente transitoire de 100 % jusqu'à la mise en oeuvre d'une mesure de réadaptation par l'assurance-invalidité, et ensuite d'une rente d'invalidité ordinaire en aucun cas inférieure à 70 %. Enfin, il conclut à l'octroi d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité complémentaire pour ses lésions à l'épaule droite. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour nouvelle instruction et décision dans le sens des considérants.
La CNA, la juridiction cantonale, et l'Office fédéral de la santé publique (OFSP) ont renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) prévu par la loi. Il est donc recevable.
2.
Dans une procédure de recours concernant des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction précédente (cf. art. 97 al. 2 et art. 105 al. 3 LTF).
3.
Le jugement entrepris expose de manière exacte et complète les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs aux conditions d'octroi des prestations de l'assurance-accidents. Il suffit d'y renvoyer.
On rappellera qu'il n'existe pas de droit formel à une expertise médicale menée par un médecin externe dans la procédure d'octroi de prestations d'assurance sociale. La jurisprudence retient toutefois que lorsqu'il existe un doute, même léger, quant à la fiabilité et la pertinence des constatations des médecins internes à l'assurance, le juge a le devoir d'ordonner une expertise (cf. ATF 135 V 465 consid. 4 p. 467 ss).
4.
4.1. Dans un premier moyen, le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir commis un déni de justice formel (art. 29 al. 1 Cst.) en refusant d'examiner ses conclusions tendant au versement d'une rente transitoire, puis d'une rente ordinaire, à raison de ses troubles à l'épaule droite.
4.2. Ce grief est infondé. Comme l'ont rappelé à juste titre les juges cantonaux, la décision sur opposition du 3 février 2015 rendue par la CNA détermine l'objet de la contestation qui peut être déférée en justice par la voie d'un recours (cf. ATF 134 V 418 consid. 5.2.1 p. 426; 125 V 413 consid. 1a p. 414). En l'espèce, par cette décision, l'assureur-accident a signifié au recourant qu'il l'indemnisait pour ses séquelles à la main gauche, mais qu'il refusait de prendre en charge ses troubles à l'épaule droite en l'absence d'un lien de causalité avec l'accident assuré. Par rapport à la problématique de l'épaule, est par conséquent seule recevable devant la juridiction cantonale la conclusion tendant à obtenir l'annulation du refus de la CNA de répondre desdits troubles, plus particulièrement la reconnaissance d'un lien de causalité entre ces troubles et les séquelles de l'accident du 28 juillet 2011. Or, les juges cantonaux ont examiné cette question. Le point de savoir quelles prestations de l'assurance-accidents entreraient éventuellement en considération ne se poserait que dans l'éventualité de la reconnaissance de ce lien de causalité.
5.
5.1. Dans un deuxième grief, le recourant reproche à la cour cantonale de s'être principalement fondée sur l'avis du docteur D._ pour nier l'existence d'un lien de causalité naturelle entre ses lésions à l'épaule droite et l'accident à sa main gauche. L'appréciation de ce médecin, laconique et peu motivée, était insuffisante pour emporter la conviction, même si elle s'appuyait sur l'avis - au demeurant tout aussi peu motivé - du docteur E._. De plus, le docteur C._ avait retenu que les lésions à la main gauche avaient induit une surcharge compensatrice du membre supérieur droit. Or une causalité "par ricochet" était tout à fait plausible, d'autant plus qu'en droit des assurances sociales, une causalité partielle suffit à fonder l'obligation de prester de l'assureur-accident. Le recourant se réfère également à l'avis du docteur F._ qu'il a produit dans le cadre de procédure d'opposition. Il existait donc suffisamment de doutes quant à la fiabilité et la pertinence des conclusions du docteur D._ et les premiers juges auraient dû ordonner une expertise médicale. En tout état de cause, en prenant en charge le traitement de physiothérapie de l'épaule droite, la CNA avait reconnu l'existence d'un lien de causalité, et à défaut d'avoir prouvé que celui-ci avait disparu, elle était tenue de prester.
5.2. En l'occurrence, le recourant ne peut rien tirer en sa faveur de l'appréciation du docteur C._ (du 2 octobre 2012), ni du fait que l'intimée a pris en charge le traitement de physiothérapie prescrit par ce médecin pour ses douleurs à l'épaule. En effet, les considérations du docteur C._, sur la base desquelles la CNA a accepté de prendre en charge le traitement, l'ont été dans l'ignorance des lésions à l'épaule droite mises à jour par les examens pratiqués par le docteur E._. Dès lors que les séances de physiothérapie avaient été indiquées pour traiter des "insertionites", la décision de l'assureur-accidents n'implique donc nullement que celui-ci ait reconnu l'existence d'un lien de causalité entre les diagnostics posés ultérieurement et les suites de l'accident du 28 juillet 2011. Cela étant, si l'on peut regretter le caractère extrêmement succinct de la prise de position du docteur D._, il n'en demeure pas moins qu'elle se fonde sur les constatations objectives du rapport opératoire du docteur E._. Par ailleurs, ce praticien chirurgien, dont on peut raisonnablement penser qu'il est bien placé pour se prononcer sur l'étiologie des lésions sur lesquelles il est intervenu, a également clairement nié qu'elles fussent en relation avec les amputations que l'assuré a subies à sa main gauche. Comme l'a justement constaté la juridiction cantonale, leurs opinions respectives ne sont en définitive remises en cause par aucun autre médecin. En se limitant à attester, dans un bref certificat du 7 novembre 2014, que le recourant présente une "rupture partielle du tendon sus-épineux de l'épaule droite, sur sa face articulaire, qui est une lésion de type traumatique dans la plupart des cas", le docteur F._, spécialiste en chirurgie orthopédique, ne dit encore rien sur le point de savoir s'il existe un rapport de causalité naturelle (indirecte) entre cette atteinte et l'accident à la main gauche. Son avis n'est donc pas susceptible de fonder un doute quant à la fiabilité des conclusions du médecin d'arrondissement. A défaut d'éléments contraires et sans qu'il soit nécessaire d'ordonner une expertise, la juridiction cantonale pouvait inférer des avis concordants des docteurs D._ et E._, qu'une éventuelle surcharge de l'épaule droite résultant d'une épargne de la main gauche n'avait fait que révéler et non pas causer des lésions maladives préexistantes précédemment asymptomatiques au niveau de ce membre supérieur droit.
Comme en instance cantonale, le recourant ne soulève aucune critique à l'encontre de la manière dont l'intimée a fixé son droit aux prestations pour ses séquelles à la main gauche, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'examiner ce point. Partant, le jugement attaqué n'est pas critiquable et le recours se révèle mal fondé.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 24 juillet 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl