Erwägungen:
1.
Die vorliegende Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid des Bundesverwaltungsgerichts über die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege und Verbeiständung vom 29. Februar 2016 in einem Verfahren, welches der Beschwerdeführer in der Hauptsache gegen das Urteil der ETH-Beschwerdekommission vom 29. Oktober 2015 anhängig gemacht hat. Die Vorinstanz hat zwar das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege grundsätzlich gutgeheissen, aber die unentgeltliche Verbeiständung abgelehnt, weil der Beschwerdeführer vor der ETH-Beschwerdekommission vertreten war, der angefochtene Entscheid die Sach- und Rechtslage umfassend abhandle, die Ausgangslage sich für den Beschwerdeführer damit übersichtlich darstelle und die von ihm verfasste Rechtsschrift belege, dass er auf den Beizug eines Rechtsvertreters nicht angewiesen sei; seine Befürchtung, einen Fehler zu begehen, sei "bei sorgfältiger Beschwerdeführung unbegründet".
2.
In dem Umfang, wie das vorinstanzliche Hauptverfahren insbesondere organisatorische Fragen im Zusammenhang mit Prüfungen und nicht eine eigentliche Bewertung der intellektuellen oder persönlichen Fähigkeiten des Beschwerdeführers zum Gegenstand haben wird, steht einer in diesem Punkt bei Bundesgericht erhobenen Beschwerde im Hauptverfahren und folglich einer bei Bundesgericht erhobenen Beschwerde gegen einen Zwischenentscheid der Ausschlussgrund von Art. 83 lit. t BGG nicht entgegen (BGE 136 I 229 E. 1 S. 231; Urteile 2C_134/2014 vom 13. Februar 2014 E. 2.1; 2C_577/2009 vom 6. Januar 2010 E. 1.1; THOMAS HÄBERLI, Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 9 N. 299 zu Art. 83 BGG). Der das Verfahren vor der Vorinstanz nicht abschliessende Zwischenentscheid ist geeignet, dem Beschwerdeführer einen nicht wieder gutzumachenden Nachteil zu verursachen (Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG; BGE 133 IV 335 E. 4 S. 338; 129 I 281 E. 1.1 S. 283 f.; 126 I 207 E. 2.a S. 210). Auf die Beschwerde ist einzutreten und sie ist, weil offensichtlich begründet, im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. b BGG mit summarischer Begründung gutzuheissen.
3.
Die bedürftige Partei hat gestützt auf Art. 29 Abs. 3 Satz 2 BV einen Anspruch darauf, dass ihr auf Gesuch hin ein unentgeltlicher Rechtsvertreter bestellt wird, falls dies zur Wahrung ihrer Rechte notwendig erscheint. Die Notwendigkeit für die Rechtswahrung ist in aller Regel erfüllt, wenn die Interessen der bedürftigen Partei in schwerwiegender Weise betroffen sind und die Angelegenheit Tat- und Rechtsfragen aufwirft, die den Beizug eines Rechtsvertreters erforderlich machen. Als Grundsatz gilt dabei, dass je schwerer ein Verfahren in die Rechtsstellung einer Person einzugreifen droht, umso eher die Gebotenheit einer Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters zu bejahen ist (BGE 139 I 206 E. 3.3.1 S. 214; 130 I 180 E. 3.3.2 S. 185; Urteil I 911/06 vom 2. Februar 2007 E. 4; SEILER, in: Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2015, N. 40).
4.
Unbestritten ist, dass der Beschwerdeführer als bedürftig im Sinne der verfassungsrechtlichen Minimalgarantie von Art. 29 Abs. 3 Satz 2 BV zu gelten und sein Gesuch nicht wegen Aussichtslosigkeit seiner Beschwerde im Hauptverfahren zum Vornherein abgewiesen werden kann (zur Gewichtung dieses Kriteriums bei der Verbeiständung GEISER, in: Basler Kommentar zum Bundesgerichtsgesetz, 2. Aufl. 2011, N. 30 zu Art. 64 BGG). Hinsichtlich der Notwendigkeit der Bestellung eines Rechtsvertreters zur Wahrung der Rechte des Beschwerdeführers ist davon auszugehen, dass das in der Hauptsache anhängige Verfahren insbesondere die Möglichkeit, an der ETH nicht bestandene Prüfungen im Studiengang X._ aus gesundheitlichen Gründen wiederholen zu können, zum Gegenstand hat, und aus diesem Grund geeignet ist, die Rechtsstellung des Beschwerdeführers stark zu beeinträchtigen. Nach ständiger bundesgerichtlicher Praxis (oben, E. 3) spricht bereits dieser Umstand für die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsvertreters und sind nicht, wie die Vorinstanz unzutreffenderweise erwog, erhöhte Anforderungen an deren Erforderlichkeit zu stellen. Diese wegen der möglichen schweren Beeinträchtigung der Rechtsstellung erforderliche Bestellung eines Rechtsbeistandes wird, entgegen der Auffassung der Vorinstanz, nicht dadurch aufgewogen, dass der Beschwerdeführer im erstinstanzlichen Verfahren rechtskundig vertreten war, sich gebührend vernehmen lassen konnte und der erstinstanzliche Entscheid ausführlich begründet ist, hängt doch der Ausgang des Rechtsmittelverfahrens davon ab, inwiefern dieser erstinstanzliche Entscheid einer juristischen Prüfung standhält (GEISER, a.a.O., N. 32 [erster Spiegelstrich] zu Art. 64 BGG). Dass das Verfahren vor der Vorinstanz durch die Untersuchungs- und zumindest teilweise durch die Offizialmaxime (Art. 12, Art. 62 VwVG in Verbindung mit Art. 37 VGG) beherrscht wird, die Eventualmaxime grundsätzlich keine Anwendung findet (Art. 32 Abs. 2 VwVG in Verbindung mit Art. 37 VGG), und der Beschwerdeführer nach Auffassung der Vorinstanz verständliche Aussagen zum Streitgegenstand machen kann, lässt die Gewährung der unentgeltlichen Verbeiständung auch deswegen nicht als überflüssig erscheinen, weil das von der Vorinstanz zu erlassende Urteil, soweit es eine eigentliche Bewertung der Fähigkeiten des Beschwerdeführers zum Gegenstand haben wird, letztinstanzlich ist (Art. 83 lit. t BGG; zur Gewichtung der möglichen Folgen für die Rechtsstellung, der Anwendbarkeit der Untersuchungs- und Offizialmaxime sowie der Rechtsstellung ausführlich BGE 130 I 180 E. 3 S. 182 ff.; Urteil I 911/06 vom 2. Februar 2007 E. 6, E. 7).
5.
Die Beschwerde ist damit gutzuheissen und der angefochtene Entscheid aufzuheben, soweit dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Verbeiständung verweigert wurde; Rechtsanwalt Faoro ist als unentgeltlicher Vertreter zu bestellen. Bei diesem Verfahrensausgang sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Hingegen ist der Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren zu entschädigen, wobei zu beachten ist, dass die Beschwerdegegnerin den (gravierenden) Verfahrensfehler der Vorinstanz nicht veranlasst und im bundesgerichtlichen Verfahren auch keinen Antrag gestellt hat. Die Parteientschädigung ist daher von der Vorinstanz auszurichten (Art. 68 Abs. 1, 2 und 4 BGG; Urteil 5A_61/2012 vom 23. März 2012 E. 4). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung im bundesgerichtlichen Verfahren ist damit gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Bundesverwaltungsgerichts vom 29. Februar 2016 wird insofern aufgehoben, als damit das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtsverbeiständung abgewiesen wurde. Das Gesuch um unentgeltliche Verbeiständigung im vorinstanzlichen Verfahren wird gutgeheissen und dem Beschwerdeführer wird für das vorinstanzliche Verfahren Rechtsanwalt Franco Faoro als Rechtsbeistand beigegeben.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Die Vorinstanz hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- auszurichten.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird als gegenstandslos abgeschrieben.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Bundesverwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. Mai 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Zünd
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall