Sachverhalt:
Der 1958 geborene A._ war vom 1. Oktober 2014 bis 31. Januar 2015 bei der B._ AG angestellt. Am 24. Juni 2015 wurde über diese der Konkurs eröffnet. Das Konkursverfahren wurde am 21. August 2015 mangels Aktiven eingestellt. A._ beantragte Insolvenzentschädigung. Mit Verfügung vom 22. Oktober 2015 und Einspracheentscheid vom 3. März 2016 verneinte die Öffentliche Arbeitslosenkasse Basel-Stadt einen Anspruch auf Insolvenzentschädigung mit der Begründung, der Versicherte sei seiner Schadenminderungspflicht nicht nachgekommen.
A._ erhob hiegegen Beschwerde. Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt gewährte ihm die unentgeltliche Verbeiständung und wies die Beschwerde mit Entscheid vom 9. November 2016 ab.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten stellt A._, nebst verschiedenen Feststellungsbegehren, den Antrag, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides und des Einspracheentscheides sei die Insolvenzentschädigung zuzusprechen; eventuell sei die Sache in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheides zur Neubeurteilung an die Arbeitslosenkasse zurückzuweisen. Weiter wird um eine Nachfrist bei Mängeln der Beschwerdeschrift und um Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung für das letztinstanzliche Verfahren ersucht.
Die vorinstanzlichen Akten wurden eingeholt. Ein Schriftenwechsel wird nicht durchgeführt.
Mit Verfügung vom 27. Januar 2017 weist das Bundesgericht das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit der Beschwerde ab.
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss Art. 95 und Art. 96 BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann deren Sachverhaltsfeststellung nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.
Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Anforderungen (vgl. Art. 42 BGG). Damit erübrigt sich, eine Nachfrist zur Verbesserung anzusetzen.
3.
Im angefochtenen Entscheid sind die Bestimmungen zum streitigen Anspruch auf Insolvenzentschädigung (vgl. Art. 51 ff. AVIG) und die dazu ergangene Rechtsprechung, insbesondere zu dem im Rahmen der Schadenminderungspflicht vorausgesetzten Vorgehen des Gesuchstellers gegenüber dem Arbeitgeber, zutreffend dargelegt. Darauf wird verwiesen.
4.
Die Vorinstanz hat erkannt, der Beschwerdeführer habe mit den von ihm vorgenommenen Mahnungen an die Arbeitgeberin seiner Schadenminderungspflicht nicht genüge getan, zumal er lediglich den ersten Monatslohn ausbezahlt erhalten habe und die weiteren Monatslöhne ausgeblieben seien. Diese Beurteilung entspricht Gesetz und Rechtsprechung (vgl. ARV 2014 S. 226, 8C_211/2014 E. 2 und 6; SVR 2014 ALV Nr. 4 S. 9, 8C_66/2013 E. 4; je mit Hinweisen). Sie wird auch durch das Vorbringen des Versicherten, die Arbeitgeberin sei ab 11. März 2015 mangels Organen handlungsunfähig gewesen, nicht in Frage gestellt.
5.
5.1. Die Vorinstanz hat weiter festgestellt, zwar habe der Versicherte geltend gemacht, am 8. März und 16. Juni 2015 Betreibungsbegehren gestellt zu haben. Das erste Betreibungsbegehren sei aber nicht nachgewiesenermassen am 8. März 2015 gestellt worden, zumal es gemäss Eingangsstempel des Betreibungsamtes erst am 31. März 2016 bei diesem eingetroffen sei. Das zweite Betreibungsbegehren sei nach Aktenlage nicht beim Betreibungsamt eingetroffen. Zudem würde es zur Wahrung der Schadenminderungspflicht nicht genügen, da es über drei Monate nach Beendigung des Arbeitsverhältnisses eingereicht worden sei. Damit sei nicht nachgewiesen, dass der Versicherte überhaupt rechtsgültig am 8. März und 16. Juni 2015 Betreibungsbegehren gestellt habe.
5.2. Der Beschwerdeführer wendet ein, gemäss Handelsregisterauszug vom 22. März 2016 sei das einzige Mitglied des Verwaltungsrates der B._ AG am 11. März 2015 ausgeschieden. Damit sei die B._ AG ab diesem Zeitpunkt mangels Organen nicht handlungsfähig gewesen und habe nicht mehr rechtsgültig betrieben werden können. Die Schadenminderungspflicht sei daher mit den erfolgten Mahnungen rechtsgenüglich erfüllt worden.
Ob dieses Vorbringen - mit Blick auf die Öffentlichkeit des Handelsregisters - novenrechtlich zulässig ist (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG), kann offen bleiben. Dasselbe gilt für die Frage, ob das Ausscheiden des Verwaltungsratsmitglieds tatsächlich die angeführten Folgen gehabt hätte, und für die in diesem Zusammenhang gestellten Feststellungsbegehren. Denn der Beschwerdeführer hatte bis dahin genügend Zeit und Anlass, gegen die B._ AG zwangsvollstreckungsrechtlich vorzugehen. Er macht denn auch selber geltend, bereits am 8. März 2015 ein Betreibungsbegehren verfasst zu haben. Dass er dieses dann gemäss Beweisergebnis erst viel später eingereicht hat, vermag ihn nicht zu entlasten. Soweit der Versicherte überdies vorbringt, er habe bereits mit Eingabe vom 25. Januar 2015 beim Amt für Wirtschaft den Organmangel der B._ AG geltend gemacht, verhält er sich widersprüchlich und kann ihm nicht gefolgt werden. Denn wie dargelegt, setzt er das Ausscheiden des einzigen Mitglieds des Verwaltungsrates selber erst auf den 11. März 2015 an. Damit erübrigen sich, da nicht entscheidrelevant, auch Weiterungen zu seinen Vorbringen dazu, wie die Amtsstelle mit der geltend gemachten Eingabe vom 25. Januar 2015 hätte verfahren sollen.
5.3. Die vorinstanzliche Folgerung, dass der Beschwerdeführer die Schadenminderungspflicht verletzt und deswegen keinen Anspruch auf Insolvenzentschädigung hat, ist aufgrund des Gesagten rechtens. Sie wird vom Beschwerdeführer, abgesehen von den erwähnten, nicht stichhaltigen Einwänden auch nicht in Frage gestellt.
6.
Die offensichtlich unbegründete Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG abzuweisen.
7.
Die Kosten des Verfahrens sind vom unterliegenden Beschwerdeführer zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Staatssekretariat für Wirtschaft (SECO) schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 9. März 2017
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Lanz