Faits :
A.
A._, médecin spécialiste en allergologie et immunologie clinique depuis 2004, a travaillé en qualité de médecin-assistant auprès du service de médecine interne de l'Hôpital B._. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de Winterthur Assurance (aujourd'hui: AXA Assurances SA [ci-après: AXA]). Le 8 février 1998, il est tombé sur son épaule gauche alors qu'il pratiquait le ski. Après avoir consulté le docteur C._, spécialiste en chirurgie à l'Hôpital B._, l'assuré a continué son travail sans interruption. L'employeur de l'intéressé a annoncé le cas à AXA.
Le 24 janvier 2012, A._ a consulté le docteur D._, spécialiste en chirurgie orthopédique et médecin traitant, lequel a préconisé la mise en oeuvre d'un examen par imagerie par résonance magnétique (IRM) de l'épaule gauche. Dans un rapport d'IRM du 21 février 2012, le docteur E._, spécialiste en radiologie, a constaté une désinsertion de l'extrémité distale du supra-épineux avec liquide dans la bourse sous-acromio-deltoïdienne, une excroissance osseuse de l'extrémité distale de l'acromion provoquant un conflit sous-acromial, une encoche corticale de la tête humérale de localisation postéro-externe avec déchirure du complexe labro-ligamentaire antéro-inférieur, des kystes synoviaux plurilobés dans la partie antéro-externe de la gouttière bicipitale, ainsi que des signes d'arthrose acromio-claviculaire.
Le 31 mars 2012, l'assuré a rempli une déclaration de sinistre LAA en indiquant que depuis l'accident du 8 février 1998, il souffrait de douleurs récidivantes parfois invalidantes à l'épaule gauche, gênant le sommeil la nuit et apparaissant lors d'activités sportives comme le bowling, le badminton, lors de la conduite automobile et de divers travaux au-dessus ou à la hauteur de la tête.
AXA a confié une expertise au docteur F._, spécialiste en chirurgie orthopédique. Dans un rapport du 16 décembre 2012, l'expert a posé les diagnostics de status près de 15 ans après probable contusion de l'épaule gauche (éventuelle contusion sous-acromiale), de tendinopathie chronique de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche (et probablement aussi droite), d'arthropathie dégénérative acromio-claviculaire (AC) gauche, de status après plastie LCA (ligament croisé antérieur) du genou droit en 1989, avec reprise en 1990, et de status après stabilisation chirurgicale de l'appareil ligamentaire externe de la cheville gauche en 1983. En outre, il a indiqué que la relation de causalité naturelle entre l'événement du 8 février 1998 et la pathologie objectivée à l'épaule gauche paraissait hautement, voire très hautement improbable. Selon l'expert, cet événement avait été manifestement à l'origine d'une contusion de l'épaule, possiblement à l'origine d'une lésion tendineuse de faible envergure de la coiffe des rotateurs. Quant au status quo ante/sine, il avait été atteint deux mois au plus tard après l'accident.
Se fondant sur ce rapport d'expertise, AXA a rendu une décision le 28 février 2013, confirmée sur opposition le 15 avril 2014, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à des prestations de l'assurance-accidents obligatoire avec effet au 8 avril 1998.
B.
A._ a recouru devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant à la réforme de la décision sur opposition du 15 avril 2014 en ce sens qu'AXA soit tenue de prendre en charge les suites de l'événement du 8 février 1998 et subsidiairement au renvoi de la cause pour complément d'instruction. Par ailleurs, il demandait la prise en charge par AXA des frais d'expertise. En effet, à l'appui de son recours, il a produit un rapport d'expertise du docteur G._, spécialiste en chirurgie ortho-pédique (du 5 mai 2014), lequel s'était fondé notamment sur une arthro-IRM de l'épaule gauche réalisée le 7 janvier 2014, ainsi que sur un examen neurologique et un électromyogramme (EMG) effectués le 9 janvier 2014 par le docteur H._, spécialiste en neurologie.
Par jugement du 24 novembre 2015, la cour cantonale a annulé la décision sur opposition du 15 avril 2014 et a renvoyé la cause à AXA pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants. Elle a considéré que l'assureur-accidents était tenu de prendre en charge le traitement de la lésion du plexus brachial et de la coiffe des rotateurs constatée par le docteur G._. Aussi devait-il statuer sur les éventuelles prestations en espèces à allouer, ainsi que sur les frais d'expertise privée après vérification de la facture du médecin prénommé.
C.
AXA forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation, en concluant à la confirmation de sa décision sur opposition du 15 avril 2014, subsidiairement au renvoi de la cause à la cour cantonale pour instruction complémentaire, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimé conclut au rejet du recours et à la confirmation du jugement attaqué, le tout sous suite de frais et dépens. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer sur le recours.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le jugement attaqué condamne la recourante à prendre en charge le traitement de la lésion du plexus brachial et de la coiffe des rotateurs, ainsi qu'à allouer d'éventuelles prestations en espèces en relation avec ces atteintes et à prendre en charge les frais d'expertise privée. En tant qu'il renvoie la cause à la recourante pour nouvelle décision sur ces prestations, le jugement entrepris doit être qualifié de décision incidente, laquelle ne peut être déférée immédiatement au Tribunal fédéral que si la condition du préjudice irréparable est réalisée ou pour des motifs d'économie de la procédure (art. 93 al. 1 LTF). Lorsqu'une administration ou un assureur social sont contraints par un jugement incident à rendre une décision qu'ils estiment contraire au droit et qu'ils ne pourront eux-mêmes pas attaquer, un tel jugement incident peut être déféré au Tribunal fédéral sans attendre le prononcé du jugement final (ATF 133 V 477 consid. 5.2 p. 483).
1.2. Cette éventualité est en l'espèce réalisée, car le jugement attaqué a un effet contraignant pour la recourante en ce sens qu'elle devra statuer à nouveau sur le droit de l'intimé à des prestations tout en étant liée par le jugement de renvoi par lequel les premiers juges ont considéré qu'elle était tenue de prendre en charge les suites de la lésion du plexus brachial et de la coiffe des rotateurs.
1.3. En outre, le recours est dirigé contre un arrêt rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la recourante était fondée à nier le droit de l'intimé à des prestations d'assurance pour les troubles à l'épaule gauche annoncés le 31 mars 2012.
Lorsque, comme en l'occurrence, le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (SVR 2011 UV n° 1 p. 1, 8C_584/2009, consid. 4; arrêts 8C_52/2014 du 12 décembre 2014 consid. 2; 8C_101/2012 du 2 mai 2013 consid. 2).
3.
3.1. Selon l'art. 6 al. 1 LAA, les prestations d'assurance sont allouées en cas d'accident professionnel, d'accident non professionnel et de maladie professionnelle. Est réputée accident toute atteinte dommageable, soudaine et involontaire, portée au corps humain par une cause extérieure extraordinaire qui compromet la santé physique, mentale ou psychique ou qui entraîne la mort (art. 4 LPGA [RS 830.1]).
Le droit à des prestations découlant d'un accident assuré suppose d'abord, entre l'événement dommageable de caractère accidentel et l'atteinte à la santé, un lien de causalité naturelle. Cette exigence est remplie lorsqu'il y a lieu d'admettre que, sans cet événement accidentel, le dommage ne se serait pas produit du tout, ou qu'il ne serait pas survenu de la même manière (ATF 129 V 177 consid. 3.1 p. 181; 402 consid. 4.3.1 p. 406; 119 V 335 consid. 1 p. 337; 118 V 286 consid. 1b p. 289 et les références).
3.2. La responsabilité de l'assureur-accidents s'étend, en principe, à toutes les conséquences dommageables qui se trouvent dans un rapport de causalité naturelle et adéquate avec l'événement assuré. Les prestations d'assurance sont donc également allouées en cas de rechutes et de séquelles tardives (art. 11 OLAA). Selon la jurisprudence, les rechutes et les séquelles tardives ont ceci en commun qu'elles sont attribuables à une atteinte à la santé qui, en apparence seulement, mais non dans les faits, était considérée comme guérie. Il y a rechute lorsque c'est la même maladie qui se manifeste à nouveau. On parle de séquelles tardives lorsqu'une atteinte apparemment guérie produit, au cours d'un laps de temps prolongé, des modifications organiques ou psychiques qui conduisent souvent à un état pathologique différent (ATF 123 V 137 consid. 3a p. 138 et les références). A cet égard, la jurisprudence considère que plus le temps écoulé entre l'accident et la manifestation de l'affection est long, et plus les exigences quant à la preuve, au degré de la vraisemblance prépondérante, du rapport de causalité naturelle doivent être sévères (RAMA 1997 n° U 275 p. 191, U 93/96, consid.1c; arrêt 8C_796/2013 du 30 septembre 2014 consid. 3.2).
3.3. Aux termes de l'art. 6 al. 2 LAA, le Conseil fédéral peut inclure dans l'assurance-accidents des lésions corporelles qui sont semblables aux conséquences d'un accident. En vertu de cette délégation de compétence, il a édicté l'art. 9 al. 2 OLAA (RS 832.202), selon lequel certaines lésions corporelles sont assimilées à un accident même si elles ne sont pas causées par un facteur extérieur de caractère extraordinaire, pour autant qu'elles ne soient pas manifestement imputables à une maladie ou à des phénomènes dégénératifs.
La liste exhaustive de l'art. 9 al. 2 OLAA mentionne les déchirures de tendons (let. f). La jurisprudence considère qu'une déchirure de la coiffe des rotateurs peut être assimilée à une déchirure des tendons au sens de l'art. 9 al. 2 let. f OLAA, lorsque sont réunis tous les éléments caractéristiques d'un accident à l'exception du facteur extérieur de caractère extraordinaire (ATF 123 V 43 consid. 2b p. 44 s.).
4.
4.1. En ce qui concerne l'existence éventuelle d'un lien de causalité entre les troubles de l'épaule gauche et l'accident du 8 février précédent, les conclusions des experts F._ (rapport du 16 décembre 2012) et G._ (rapport du 5 mai 2014) sont opposées. Le docteur F._ est d'avis que ces troubles sont d'origine dégénérative et, partant, ne sont plus en relation de causalité avec l'accident depuis le 8 avril 1998 au plus tard. Au contraire, selon le docteur G._, l'assuré présente clairement des lésions d'origine traumatique, lesquelles n'ont jamais guéri depuis l'accident et sont dès lors toujours en relation de causalité avec cet événement.
4.2. La cour cantonale n'a pas suivi les conclusions du docteur F._ selon lesquelles, "compte tenu du scénario déployé par la suite [de l'accident]", l'assuré souffre d'une tendinopathie chronique de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche, laquelle a peut-être été décompensée par une possible contusion lors de l'accident du 8 février 1998. Elle s'est fondée sur les conclusions du docteur G._ en tant qu'il atteste que l'assuré présente à l'épaule gauche des lésions d'origine traumatique (lésion du plexus brachial et déchirure partielle de la coiffe des rotateurs de l'épaule gauche) qui sont toujours en relation de causalité avec l'accident du 8 février 1998. En revanche, en ce qui concerne un ganglion-cyst du long chef du biceps et une arthropathie acromio-claviculaire, également mis en évidence par l'expert prénommé, les premiers juges ont nié l'existence d'une relation de causalité entre ces troubles et l'accident du 8 février 1998.
5.
5.1. En l'espèce, les examens pratiqués par les docteurs E._ et H._ ont mis en évidence une déchirure partielle de la coiffe des rotateurs touchant les tendons sus-épineux et sous-scapulaire, accompagnée d'une lésion du plexus brachial. Cette lésion constitue une déchirure tendineuse assimilée à un accident au sens de l'art. 9 al. 2 let. f OLAA (ATF 123 V 43 consid. 2b p. 44 s.). Néanmoins, selon la jurisprudence, il y a lieu de conclure à une lésion exclusivement maladive ou dégénérative si la lésion corporelle (assimilée) ne peut pas être rattachée à l'accident en cause (arrêts 8C_763/2015 du 11 juillet 2016 consid. 3.3; 8C_698/2007 du 27 octobre 2008 consid. 4.2; 8C_357/2007 du 31 janvier 2008 consid. 3.2).
5.2. En l'espèce, il n'existe plus de documents radiologiques réalisés à l'époque de l'accident. Dans une lettre du 25 mai 2012, le docteur C._, qui avait été consulté dans les jours qui ont suivi cet événement, a informé la recourante que le diagnostic posé à l'époque était celui de tendinite bicipitale sous-acromiale post-traumatique et qu'il s'agissait d'une lésion aiguë et non d'une simple lésion sportive récidivante. Cette indication ne justifie pas que l'on s'écarte de l'avis de l'expert F._, selon lequel l'accident du 8 février 1998 était - et encore seulement d'une manière éventuelle - à l'origine d'une simple contusion de l'épaule gauche. En effet, elle n'est pas de nature à établir, au degré de la vraisemblance prépondérante, que la déchirure partielle de la coiffe des rotateurs touchant les tendons sus-épineux et sous-scapulaire objectivée en 2012 est apparue lors de la chute à ski survenue le 8 février 1998. Dans la mesure où cette lésion corporelle (assimilée) ne peut pas être rattachée à l'accident en cause, il y a lieu de conclure à l'existence d'une lésion exclusivement maladive ou dégénérative.
5.3. Par ailleurs, le docteur F._ a clairement expliqué les motifs pour lesquels il y avait eu une récupération rapide de la fonction (donc des amplitudes) de l'épaule gauche, dans les heures ou les jours suivant l'accident. Cela étant, il n'y a pas lieu de s'écarter du point de vue de cet expert, selon lequel le status quo ante / sine a été atteint au plus tard deux mois après l'accident.
5.4. Outre le fait qu'il n'existe aucun élément permettant de conclure à l'existence d'une déchirure partielle de la coiffe des rotateurs à l'épaule gauche dans les suites immédiates de l'accident, il s'est écoulé quatorze ans depuis la fin du traitement médical prodigué par le docteur C._ et l'annonce de la rechute au mois de mars 2012. Dans ces conditions, non seulement on ne saurait parler de rechute quant à la survenance de la lésion corporelle assimilée objectivée en 2012 mais encore l'existence d'une séquelle tardive n'apparaît pas établie au degré de la vraisemblance prépondérante étant donné le temps écoulé entre l'accident et l'apparition de cette lésion.
6.
La recourante reproche à la cour cantonale de l'avoir condamnée à prendre en charge les frais de l'expertise réalisée par le docteur G._.
6.1. Selon la jurisprudence, les frais d'expertise font partie des frais de procédure (cf. SVR 2013 IV n° 1 p. 1, 9C_13/2012, consid. 3; consid. 3 non publié aux ATF 139 V 225 de l'arrêt 8C_984/2012 du 6 juin 2013). Aux termes de l'art. 45 al. 1 LPGA, les frais de l'instruction sont pris en charge par l'assureur qui a ordonné les mesures; à défaut, l'assureur rembourse les frais occasionnés par les mesures indispensables à l'appréciation du cas ou comprises dans les prestations accordées ultérieurement.
Dans un arrêt ATF 137 V 210, le Tribunal fédéral a considéré que lorsque le tribunal cantonal des assurances (respectivement le Tribunal administratif fédéral) constate qu'une instruction est nécessaire, il doit en principe mettre lui-même une expertise en oeuvre (consid. 4.4.1.3 et 4.4.1.4). Dans ce cas, les coûts de l'expertise ordonnée par le tribunal auprès du COMAI peuvent être mis à la charge de l'assurance-invalidité (consid. 4.4.2). Dans la mesure où, en principe, les mêmes règles de procédure, à savoir les art. 43 à 49 LPGA, sont applicables à l'instruction de la demande aussi bien en matière d'assurance-invalidité que dans le domaine de l'assurance-accidents, les principes jurisprudentiels régissant la prise en charge des frais d'expertise du COMAI par les offices de l'assurance-invalidité valent également par analogie lorsque le tribunal cantonal juge un complément d'instruction nécessaire et ordonne la mise en oeuvre d'une expertise au lieu de renvoyer la cause à l'assureur-accidents. Les frais d'expertise peuvent ainsi être mis à la charge de l'assureur-accidents lorsque les résultats de l'instruction mise en oeuvre dans la procédure administrative n'ont pas une valeur probatoire suffisante pour trancher des points juridiquement essentiels et qu'en soi un renvoi est envisageable en vue d'administrer les preuves considérées comme indispensables, mais qu'un tel renvoi apparaît peu opportun au regard du principe de l'égalité des armes (ATF 139 V 225 consid. 4.3 p. 226). Il en va de même en ce qui concerne une expertise présentée par une partie: les frais qui en découlent doivent être mis à la charge de l'assureur social lorsque l'expertise était indispensable pour trancher le litige (ATF 115 V 62 consid. 5c p. 63; SVR 2016 UV n° 24 p. 75, 8C_354/2015, consid. 6.1).
6.2. En l'espèce, sur le vu notamment des déclarations du docteur C._ (courrier du 25 mai 2012), la recourante était fondée à retenir que les conclusions de l'expert F._ reposaient sur des prémisses et une motivation convaincantes. Elle pouvait dès lors inférer que leur valeur probatoire était suffisante pour trancher le point juridiquement essentiel de l'existence d'un lien de causalité entre l'accident et les troubles à l'épaule gauche annoncés le 31 mars 2012. C'est pourquoi l'expertise du docteur G._ produite par l'assuré n'apparaît pas indispensable à la solution du litige et la juridiction précédente n'était pas fondée à condamner l'assureur-accidents à prendre en charge les frais de ladite expertise.
7.
Vu ce qui précède, le recours se révèle bien fondé.
8.
L'intimé, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). La recourante ne peut se voir allouer une indemnité de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le jugement de la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud du 24 novembre 2015 est annulé et la décision sur opposition de la recourante du 15 avril 2014 est confirmée.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 19 décembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd