Erwägungen:
1.
1.1. A._ (geb. 1981), kosovarischer Staatsangehöriger, erhielt am 22. August 2013 aufgrund seiner Heirat vom 9. August 2010 mit seiner Landsfrau B._ (geb. 1990, die inzwischen Schweizer Bürgerin ist) vom Amt für Migration des Kantons Luzern die Bewilligung für den Aufenthalt in der Schweiz. Mit Verfügung vom 10. März 2016 widerrief das Amt diese Bewilligung, weil es eine Scheinehe annahm, und forderte den Betroffenen auf, die Schweiz bis zum 10. Mai 2016 zu verlassen. Das wurde im Rechtsmittelverfahren (mit jeweils angepasster Ausreisefrist) bestätigt, kantonal letztinstanzlich durch das Kantonsgericht Luzern mit Urteil vom 20. Dezember 2016.
1.2. Am 7. Februar 2017 hat A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, das kantonsgerichtliche Urteil aufzuheben. Es sei ihm die Aufenthaltsbewilligung zu verlängern; eventualiter sei die Sache zu weiteren Abklärungen an die Vorinstanz zurückzuweisen. Zudem sei der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zu erteilen und ihm für das bundesgerichtliche Verfahren die unentgeltliche Rechtspflege bzw. -verbeiständung zu gewähren.
1.3. Das Kantonsgericht hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
1.4. Mit Verfügung vom 8. Februar 2017 hat der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
1.5. Die Angelegenheit ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG zu beurteilen.
2.
2.1. Der Beschwerdeführer beruft sich in vertretbarer Weise auf einen Aufenthaltsanspruch gemäss Art. 50 des Bundesgesetzes über die Ausländerinnen und Ausländer vom 16. Dezember 2005 (AuG; SR 142.20), weshalb die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig ist (Art. 82 lit. a, Art. 83 lit. c Ziff. 2 [e contrario], Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG); der Beschwerdeführer ist dazu legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG). Ob der Anspruch zu Recht geltend gemacht worden ist, bildet Gegenstand der materiellen Beurteilung (vgl. oben E. 1.5 u. unten E. 3; siehe u.a. auch BGE 136 II 177 E. 1.1 S. 179).
2.2. Das Bundesgericht ist an die Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz gebunden, soweit sich diese nicht als offensichtlich unrichtig, d.h. willkürlich, erweisen oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 1 und 2 BGG; vgl. u.a. BGE 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62). Zur Sachverhaltsfeststellung gehört auch die auf Indizien gestützte Beweiswürdigung (vgl. u.a. BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 265 ff.).
2.3. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Echte Noven können von vornherein nicht berücksichtigt werden (vgl. u.a. BGE 135 I 221 E. 5.2.4 S. 229).
3.
3.1. Gemäss Art. 62 lit. a AuG kann die Aufenthaltsbewilligung widerrufen werden, wenn ein Ausländer oder dessen Vertreter im Bewilligungsverfahren falsche Angaben macht oder wesentliche Tatsachen verschwiegen und damit seine Mitwirkungspflicht von Art. 90 AuG verletzt hat. Auf diese Bestimmung haben sich die Behörden im vorliegenden Fall gestützt, um eine Scheinehe anzunehmen, was das Kantonsgericht bestätigt hat.
3.2. Dem vorinstanzlichen Urteil liegen eingehend und sorgfältig erhobene Sachverhaltsfeststellungen zugrunde, welche für das Bundesgericht verbindlich sind (vgl. oben E. 2.2) und auf die hier uneingeschränkt verwiesen werden kann.
3.2.1. Diese Feststellungen betreffen vorab wesentliche Faktenelemente des Kennenlernens und der nachfolgenden Heirat im Kosovo. An gemeinhin als wichtig eingestufte Aspekte vermochte sich der Beschwerdeführer nicht mehr (korrekt oder präzise) zu erinnern. In mehreren anderen Punkten befanden sich seine Aussagen in teilweise beträchtlichem Widerspruch zu den von den Behörden als glaubwürdig eingestuften Aussagen seiner Frau (vgl. dazu mit eingehender Begründung und Einzelheiten E. 4.1.2 des angefochtenen Urteils).
3.2.2. Von noch grösserer Tragweite sind die Unzulänglichkeiten hinsichtlich der Wohnsituation des Ehepaars. Nebst anderem (u.a. starke Abweichungen in den Aussagen der beiden Eheleute in Bezug auf die Wohnsituation) nahm die Polizei eine Kontrolle in der angeblich ehelichen Wohnung vor und fand dort weder den Beschwerdeführer noch irgendwelche ihm gehörende persönlichen Gegenstände (namentlich Kleider) oder sonstige Anzeichen vor, die auf seine dauernde Anwesenheit hätten schliessen lassen können. Ein Nachbar und Verwandter der Ehefrau wusste nichts vom Beschwerdeführer als Bewohner der Wohnung und ging davon aus, dass seine Verwandte gar nicht verheiratet sei (vgl. dazu ausführlich E. 4.1.3 des kantonsgerichtlichen Urteils).
3.2.3. Die Vorinstanz hat sich im Weiteren sorgfältig mit sämtlichen Einwendungen des Beschwerdeführers zum massgeblichen Sachverhalt auseinandergesetzt und diese mit teilweise deutlichen Worten als in jeglicher Hinsicht unzulänglich eingestuft. In Bezug auf die Wohnsituation ist unglaubwürdig, dass der Beschwerdeführer gerade kurz vor der polizeilichen Kontrolle nach einem Streit für eine zwischen den Eheleuten angeblich beschlossene Auszeit von einer Woche all seine Kleider und sonstigen persönlichen Gegenstände mitgenommen hätte. Dass er sich aus Fragen der Innendekoration nichts mache, vermag das Unzutreffende in seinen Aussagen zur räumlichen Gestaltung und Einrichtung der vermeintlich ehelichen Wohnung in keiner Weise zu begründen. Ebenso erweist sich seine Äusserung, er arbeite viel und habe keine Zeit für soziale Kontakte mit den Nachbarn, als klarerweise unzureichend, um zu erklären, warum er der direkten Nachbarschaft (als vermeintlicher Bewohner) schlicht unbekannt war (vgl. dazu im Einzelnen und mit weiteren Aspekten E. 4.2 des angefochtenen Urteils).
3.2.4. Aus den genannten Elementen hat die Vorinstanz auf der Faktenebene den Gesamtschluss gezogen, dass - entgegen einer weiteren Behauptung des Beschwerdeführers - die Eheleute sich nicht erst nach mehr als drei Jahren effektiv gelebter Gemeinschaft auseinander gelebt hatten, sondern dass diese Gemeinschaft zu keinem Zeitpunkt der Ehe wirklich bestanden hatte.
3.2.5. Vor Bundesgericht müsste der Beschwerdeführer dartun, dass die Sachverhaltsfeststellungen des Kantonsgerichts geradezu offensichtlich unrichtig sind (vgl. oben E. 2.2). Das gelingt ihm nicht einmal ansatzweise; im Wesentlichen beschränkt er sich darauf, die schon gegenüber der Vorinstanz behaupteten Einwendungen zu wiederholen, was unzureichend ist.
3.3. Aufgrund der besagten Sachverhaltsfeststellungen hat das Kantonsgericht erwogen, dass eine Scheinehe vorliege und die Aufenthaltsbewilligung des Beschwerdeführers in Anwendung von Art. 62 lit. a AuG zu widerrufen sei. Es ist nicht ersichtlich, inwiefern diese rechtliche Würdigung Bundesrecht verletzen würde. Ebenso wenig verstösst es gegen Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG, wenn das angefochtene Urteil festgehalten hat, eine eheliche Gemeinschaft von mindestens drei Jahren könne ebenfalls nicht angenommen werden (vgl. zur Frage der Verhältnismässigkeit und des überwiegenden öffentlichen Interesses E. 6.1 und 6.2 ebenda, auch unter Berücksichtigung der sich aus Art. 8 EMRK ergebenden Gesichtspunkte).
3.4. Vergeblich beruft sich der Beschwerdeführer im Übrigen auf eine neue, angeblich im Spätsommer 2016 eingegangene Beziehung mit einer anderen Frau aus dem Kosovo, die er - kurz nach der im November 2016 erfolgten Scheidung von seiner ersten Gattin - zu heiraten plane und von der er ein Kind erwarte. Aus den Gesichtspunkten, die er diesbezüglich vorbringt, ergibt sich aber nichts, was erforderlich oder möglich machen würde, von dem durch das Kantonsgericht bundesrechtskonform bestätigten Widerruf der Aufenthaltsbewilligung wegen Scheinehe abzuweichen. Die vor Bundesgericht zum ersten Mal geltend gemachten Tatsachen und Beweismittel können nicht berücksichtigt werden (vgl. oben E. 2.3). Schliesslich ist nicht ersichtlich, inwiefern die Vorinstanz in diesem Zusammenhang gegen das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verstossen oder den Sachverhalt unvollständig festgestellt hätte (vgl. oben E. 2.2).
4.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde im Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen. Wegen Aussichtslosigkeit kann dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung nicht stattgegeben werden. Dementsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und -verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 24. August 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter