Erwägungen:
1.
Am 7. Mai 2015 erhob der Bezirksrat U._ Strafanzeige bei der Kantonspolizei Zürich gegen Unbekannt wegen Verletzung des Amtsgeheimnisses und/oder des Berufsgeheimnisses. Zur Begründung der Strafanzeige führte der Bezirksrat aus, dass bei ihm verschiedene Verfahren hängig seien, die der Verein "B._" bzw. dessen Präsident angestrengt habe. Aus diesen Verfahren und in Verbindung mit den auf der Homepage des Vereins publizierten Informationen sei der Eindruck entstanden, dass eine oder mehrere Personen aus der Betriebskommission und/oder der Delegiertenversammlung des Vereins "B._" und/oder dass Personen, die beim Verein angestellt seien, vertrauliche Informationen an den Verein und/oder an dessen Präsidenten weitergeleitet hätten.
Im Zuge der eingeleiteten Ermittlungen befragte die Kantonspolizei Zürich den Präsidenten des Vereins "B._". Dieser gab u.a. zu Protokoll, er habe die Informationen von besorgten Leuten "mitten aus dem Spital" und von besorgten "Behörden, d.h. Delegierte und Betriebskommissionsmitglieder" erhalten, die daran interessiert seien, dass "diese Gedanken" veröffentlicht würden.
A._, Gemeinderätin in U._, seit 1. Juli 2015 Mitglied der Betriebskommission und zuvor stellvertretende Delegierte und danach Delegierte des Vereins "B._", meldete sich am 17. Juli 2015 bei der fallführenden Staatsanwältin. Sie wolle Aussagen im Verfahren betreffend Amtsgeheimnisverletzung etc. machen, da ihr möglicherweise relevante Informationen vorlägen. Am 2. September 2015 belastete sie als polizeiliche Auskunftsperson C._, ein seit 6. Juli 2014 gewähltes Mitglied der Betriebskommission, als mutmasslichen Informanten.
2.
Die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis überwies mit Verfügung vom 5. Oktober 2015 die Akten via Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantos Zürich, um über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen C._ zu entscheiden. Mit Beschluss vom 22. Oktober 2015 erteilte die III. Strafkammer die Ermächtigung zum Entscheid betreffend Untersuchungseröffnung gegen C._. Die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis eröffnete am 30. Oktober 2015 eine Strafuntersuchung gegen C._ wegen Amtsgeheimnisverletzung etc. und beauftragte gleichentags die Polizei mit der Durchführung weiterer Ermittlungshandlungen. Am 10. März 2016 fand die an die Kantonspolizei Zürich delegierte Befragung von C._ als beschuldigte Person statt. Dieser wies den Vorwurf der Amtsgeheimnisverletzung vollumfänglich zurück. Es habe keinen informellen Austausch mit dem Präsidenten des Vereins "B._" gegeben. Mit A._ habe jedoch ein sehr reger informeller Austausch stattgefunden. Sie habe ihm erklärt, als Amtsperson sei sie berechtigt, Auskünfte über das Spital zu erhalten.
3.
Gestützt auf das bisherige Ermittlungsergebnis sah sich die Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis dazu veranlasst, das Strafverfahren auf sämtliche übrigen Mitglieder der Betriebskommission und der Delegiertenversammlung auszudehnen. Mit Verfügung vom 26. August 2016 überwies die Staatsanwaltschaft die Akten via Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich erneut an die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich, um über die Erteilung bzw. Nichterteilung der Ermächtigung zur Durchführung einer Strafuntersuchung gegen namentlich aufgeführte Mitglieder der Betriebskommission und der Delegiertenversammlung des Vereins "B._" (Gesuchsgegner 1-26) zu entscheiden. Mit Beschluss vom 6. Januar 2017 erteilte die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung gegen die Gesuchsgegner 1-26 nicht, soweit es um den Sachverhaltskomplex "vertrauliche Informationen auf der Vereins-Hompage etc." gehe. Die III. Strafkammer führte dazu aus, dass bezüglich der 26 Mitglieder der Betriebskommission und/oder der Delegiertenversammlung die Staatsanwaltschaft nicht darlege, welche Vorwürfe gegen welche der einzeln und namentlich aufgeführten Personen erhoben werden bzw. welche hinreichenden Tatverdachtsgründe jeweils vorliegen würden. Es bestehe zwar der Verdacht, dass vertrauliche Informationen mutmasslich aus dem Kreis der Mitglieder der Betriebskommission und/oder der Delegiertenversammlung stammen würden. Allein die Zugehörigkeit zu diesem Kreis reiche jedoch nicht aus, um einen hinreichenden Anfangsverdacht zu begründen.
Hingegen erteilte die III. Strafkammer der Staatsanwaltschaft die Ermächtigung gegen A._, soweit es um den Sachverhaltskomplex "Informationsaustausch mit C._" gehe. Zur Begründung führte die III. Strafkammer zusammenfassend aus, die Ermächtigung zur Strafverfolgung sei nur bei offensichtlich und klarerweise unbegründeten Strafanzeigen zu verweigern. Die Ermächtigungsbehörde habe nicht über den Tatverdacht im Detail zu befinden. Über die Eröffnung oder Nichteröffnung der Strafuntersuchung entscheide die Staatsanwaltschaft. Aufgrund der Aussagen von C._, wonach er von A._ aufgefordert bzw. gedrängt worden sei, ihr vertrauliche Informationen zukommen zu lassen, könne ein strafrechtlich relevantes Verhalten nicht von vornherein ausgeschlossen werden. Dies umso mehr, als A._ gegenüber der Polizei selbst eingeräumt habe, dass sie von C._ E-Mails mit "BK-internen Informationen" erhalten habe.
4.
A._ führt mit Eingabe vom 8. Februar 2017 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 6. Januar 2017. Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
5.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Die Beschwerdeführerin beanstandet die von der III. Strafkammer vorgenommene Würdigung der Aussagen von C._. Seine Aussagen seien nicht glaubwürdig und es handle sich (mit grosser Wahrscheinlichkeit) um blosse Schutzbehauptungen. Damit vermag sie indessen nicht aufzuzeigen, dass die III. Strafkammer, wie etwa mit der verweigerten Abnahme eines liquiden Alibibeweises, in verfassungs- bzw. rechtswidriger Weise nicht von einer offensichtlich und klarerweise unbegründeten Strafanzeige ausging beziehungsweise ein strafrechtlich relevantes Verhalten nicht von vornherein ausschloss. Die von der Beschwerdeführerin vorgebrachten Kritikpunkte an den Aussagen von C._ sind vielmehr von der Staatsanwaltschaft beim Entscheid über die Eröffnung oder Nichteröffnung der Strafuntersuchung zu prüfen.
Die III. Strafkammer schloss ein strafrechtlich relevantes Verhalten bereits aufgrund der Aussagen von C._ nicht von vornherein aus. Wie ausgeführt, vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen, inwiefern dies rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Somit ist es für die Erteilung der Ermächtigung unerheblich, ob die von der III. Strafkammer als zusätzliches Element gewürdigte Aussage der Beschwerdeführerin vor der Polizei tatsächlich einem Verwertungsverbot unterliegen sollte, wie die Beschwerdeführerin vorliegend geltend macht. Zusammenfassend vermag die Beschwerdeführerin nicht aufzuzeigen, inwiefern die Erteilung der Ermächtigung rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Der Begründungsmangel ist offensichtlich, weshalb über die Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG entschieden werden kann.
6.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird der Beschwerdeführerin, der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis, der Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Juli 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli