Faits :
A.
A.a. A._, née en 2002, présente des séquelles d'un infarctus cérébral survenu le 31 mai 2005 sous forme d'un hémisyndrome à prédominance brachiale. Elle a déposé une demande de prestations le 1 er juillet 2005. L'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) a tout d'abord pris en charge des mesures médicales et des moyens auxiliaires. Puis, par décision du 12 juin 2014, il a octroyé à l'enfant une allocation pour impotent de degré faible pour la période courant du 1 er novembre 2008 au 30 septembre 2017. Le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, a rejeté le recours formé par l'assurée contre cette décision. Il a par ailleurs déclaré irrecevables les conclusions formées par A._ tendant à la réparation du dommage causé ensuite de l'omission de l'office AI de statuer sur sa demande d'allocation pour mineur impotent, antérieurement à novembre 2013 (jugement du 12 janvier 2015).
A.b. Par courriers datés des 14 juillet 2014 et 22 janvier 2015, A._ a demandé à l'office AI la réparation d'un dommage d'au moins 71'468 fr. 80 en raison de la péremption de son droit à une allocation pour impotent pour la période courant du 1 er mai 2005 au 31 octobre 2008. Par décision du 19 août 2016, l'office AI a partiellement admis la demande et fixé le dommage à 13'400 fr., avec intérêts moratoires à 5 % l'an. Il l'a rejetée pour le surplus.
B.
A._ a déféré cette décision au Tribunal cantonal juras-sien et conclu au versement d'un montant de 49'920 fr. avec intérêts à 5 % l'an pour la période courant du 1 er mai 2005 au 31 décembre 2008, respectivement de 121'134 fr. avec intérêts à 5 % l'an pour la période courant du 1 er mai 2005 au 31 octobre 2013, de 4'000 fr. pour les frais de représentation de ses parents et de 5'000 fr. pour les frais de dépens de l'avocat qui l'a représentée devant l'administration. Statuant le 17 mars 2017, la cour cantonale a partiellement admis le recours et alloué à l'assurée un montant de 29'794 fr. 70 à la charge de l'assurance-invalidité à titre de dédommagement pour les allocations pour impotent non versées entre le 1 er mai 2006 et le 31 octobre 2008, ainsi que des intérêts à 5 % l'an sur un montant de 21'332 fr. 40 dès le 1 er mars 2017. Elle a également alloué une indemnité partielle de dépens de 400 fr.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public, respectivement un recours constitutionnel subsidiaire, contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle reprend en substance ses conclusions déposées en instance cantonale.
Dans le délai qui lui a été imparti à cet effet (ordonnance du 12 juin 2016), elle a déposé une nouvelle version abrégée de son écriture.
Considérant en droit :
1.
1.1. La contestation tranchée par l'autorité précédente porte uniquement sur le montant de la prétention en responsabilité de l'assurée à l'égard de l'assurance-invalidité fondée sur l'art. 78 LPGA. Le droit qui régit l'affaire au fond appartenant au droit public, le jugement attaqué peut être entrepris par la voie du recours en matière de droit public (art. 82 let. a LTF; ATF 134 V 138 consid. 1.1 p. 140).
1.2. Le jugement attaqué, qui déboute partiellement la recourante de sa demande en réparation, est une décision finale rendue par un Tribunal cantonal supérieur (art. 86 al. 1 et 2 et 90 LTF). Déposé en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans les formes requises (art. 42 LTF) par la destinataire de la décision attaquée qui a un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de celle-ci (art. 89 al. 1 LTF), le recours en matière de droit public est donc en principe recevable, dès lors que la valeur limite de 30'000 fr. exigée dans le domaine de la responsabilité étatique est largement dépassée (cf. art. 85 al. 1 let. a LTF; ATF 134 V 138 consid. 1.2 p. 141). En conséquence, le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable (cf. art. 113 LTF).
2.
Le recours en matière de droit public peut être formé notamment pour violation du droit fédéral (art. 95 let. a LTF), que le Tribunal fédéral applique d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF).
3.
Le recours s'ouvre sur une présentation personnelle des faits sans qu'un grief à l'encontre de l'établissement des faits admissible au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF ne soit soulevé, de sorte qu'il n'y a pas lieu d'analyser ces allégations plus avant. On n'examinera les points ainsi exposés qu'autant que la recourante développe, dans la suite de son mémoire, une argumentation répondant aux exigences de motivation des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF.
4.
Le litige porte sur la responsabilité de l'assurance-invalidité dans le préjudice subi par la recourante en raison de l'omission de l'office intimé de statuer sur sa demande de prestations jusqu'au 12 juin 2014 conduisant à l'extinction partielle de son droit à une allocation pour impotent. A cet égard, le jugement entrepris expose de manière complète les dispositions légales et réglementaires applicables. Il suffit d'y renvoyer.
5.
La juridiction cantonale a partiellement admis le recours formé par A._ et réformé la décision du 19 août 2016 en ce sens que l'office AI doit payer un montant de 21'332 fr. 40 à titre de dédommagement pour les allocations pour impotent non versées pour la période courant du 1er mai 2006 au 31 octobre 2008 avec intérêts de 5 % l'an. En se fondant sur les conclusions de l'enquête à domicile réalisée les 1er décembre 2005, 1er décembre 2006 et 19 février 2014, elle a constaté que l'enfant avait eu besoin d'une aide importante et durable de ses parents pour accomplir au moins quatre actes ordinaires de la vie (se vêtir et se dévêtir, se relever et s'asseoir, aller aux toilettes et se déplacer) jusqu'au 30 avril 2007, puis pour deux - voire trois - actes ordinaires de la vie (se vêtir et se dévêtir, aller aux toilettes, voire se déplacer) jusqu'au 31 octobre 2008. Les premiers juges ont retenu que l'impotence de l'enfant s'était ainsi atténuée de manière durable dès le 1er mai 2007, de sorte que son dommage consistait en la perte de son droit à une allocation pour mineur impotent de degré moyen jusqu'au 30 avril 2007, puis de degré faible jusqu'au 31 octobre 2008.
6.
Les griefs que soulève A._ à l'encontre des considérations de la juridiction cantonale sont en l'occurrence manifestement infondés, de sorte qu'il convient de les rejeter sur la base d'une motivation sommaire (art. 109 al. 2 let. a et al. 3 LTF).
6.1. Contrairement à ce que la recourante affirme, le droit à une allocation pour impotent n'a tout d'abord pas pris naissance dès la survenance de son infarctus cérébral (du 31 mai 2005), mais à l'expiration d'un délai d'attente d'une année. Du 1 er janvier 2004 au 31 décembre 2007, la naissance du droit à une allocation pour impotent était en effet régie, à partir de l'âge d'un an, par l'anc. art. 29 al. 1 LAI (art. 42 al. 4 in fine LAI; ATF 137 V 351 consid. 4.1 p. 356; cf. également ATF 105 V 66). Le fait que l'office AI a commis une inadvertance dans le corps du texte de la décision du 12 juin 2014 en mentionnant la date du 1 er mai 2005, et non pas celle du 1 er mai 2006, n'y change rien.
6.2. La juridiction cantonale n'a ensuite pas méconnu le fait que A._ avait eu besoin d'une aide régulière et importante pour accomplir au moins quatre actes ordinaires de la vie après la survenance de son atteinte à la santé. En se fondant sur l'enquête à domicile réalisée le 19 février 2014, les premiers juges ont toutefois constaté que l'enfant pouvait se relever et s'asseoir sans l'aide de ses parents dès avril 2007, voire se déplacer seule avec l'aide d'un moyen auxiliaire (buggy), si bien que son impotence s'était atténuée. C'est en vain que la recourante reproche à cet égard à l'autorité précédente d'avoir tenu compte de cette évolution positive. L'enquête à domicile avait en effet pour but de permettre à l'administration, puis au juge en cas de contestation, de disposer d'un minimum de données concrètes pour statuer sur la situation de l'enfant ces dernières années. Le rapport rédigé par l'enquêtrice était ainsi pertinent pour statuer sur le litige, malgré l'écoulement du temps. La recourante cherche par ailleurs uniquement à minimiser la portée des constatations de l'enquêtrice sur lesquelles les premiers juges se sont fondés en substituant sa propre appréciation à celle de l'autorité précédente, comme elle le ferait devant une juridiction d'appel disposant d'un pouvoir d'examen complet en fait, ou en mentionnant de manière générale les effets de l'écoulement d'une longue période de temps sur les déclarations de sa mère lors de l'enquête. Cela étant, à défaut de griefs plus concrets à l'encontre des faits constatés (supra consid. 2), il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation des preuves opérée par les premiers juges. Aussi, au vu des faits retenus par les premiers juges, on pouvait s'attendre à ce que l'amélioration de l'état de santé de l'enfant se maintienne durant une assez longue période dès le 1er mai 2007 (art. 88a al. 1 RAI).
6.3. C'est également en vain que la recourante demande un nouvel examen du jugement du 12 janvier 2015, ayant force de chose jugée, ou des décomptes de l'administration fixant l'étendue de la prise en charge de ses frais de voyage nécessaires à l'exécution de ses mesures de réadaptation. Celui qui, sans succès, épuise les voies de droit contre une décision ou qui n'a pas utilisé tous les moyens de droit qui étaient à sa disposition n'est en effet, comme l'ont rappelé à juste titre les premiers juges, pas en droit de contester la licéité de cette décision par le biais d'une procédure en responsabilité (art. 12 LRCF [RS 170.32], applicable par analogie en vertu du renvoi de l'art. 78 al. 4 LPGA; arrêt 8C_398/2016 du 17 mai 2017 consid. 4.2.2 et les références).
6.4. Finalement, la recourante se limite à affirmer que l'indemnité de dépens (5'000 fr.) de l'avocat qu'elle a mandaté pour la représenter dans la procédure menée devant l'office AI et celle de représentation de ses parents (4'000 fr.) étaient "justifiée[s]", respectivement "pour le moins pas exagérée[s]". Ce faisant, elle ne remet pas en cause les motifs qui ont conduit la juridiction cantonale à fixer les dépens sur la base du dossier et à les réduire équitablement pour tenir compte de l'issue de la procédure. Dans ces conditions, il n'y a pas lieu de s'écarter de l'appréciation des faits effectuée par les premiers juges.
7.
Mal fondé, le recours en matière de droit public doit être rejeté selon la procédure simplifiée de l'art. 109 al. 2 let. a LTF, sans qu'il y ait lieu d'ordonner un échange d'écritures. Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante qui succombe (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 500 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 8 août 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Bleicker