Sachverhalt:
A.
A.a. A._ (geb. 1969), deutscher Staatsangehöriger, reiste am 6. November 2006 in die Schweiz ein. Er verfügt über eine Ausbildung als Schreiner (Gesellenbrief 1987) und als Bürokaufmann (1995). Von 2000 bis 2002 liess er sich zum IT-Systemkaufmann umschulen. Gestützt auf einen befristeten Arbeitsvertrag für eine Tätigkeit als Schreiner erhielt er am 8. Dezember 2006 eine Kurzaufenthaltsbewilligung EG/EFTA mit Gültigkeit bis 4. November 2007. Am 1. Oktober 2007 trat A._ eine unbefristete Stelle als Schreiner an, worauf ihm eine fünfjährige Aufenthaltsbewilligung EG/EFTA mit Gültigkeit bis am 4. November 2012 erteilt wurde.
A.b. Seit Ende April 2008 wurde A._ aufgrund gesundheitlicher Beschwerden (u.a. chronische Rückenschmerzen aufgrund eines lumbovertebralen Syndroms) von ärztlicher Seite eine Arbeitsunfähigkeit bescheinigt. Mit Ausnahme eines zweiwöchigen Arbeitseinsatzes zu 50 % im Juni 2008 war A._ nicht mehr erwerbstätig. Ein erstes Gesuch um Zusprechung einer Invalidenrente wies die IV-Stelle Zürich am 28. April 2009 ab (IV-relevanter Gesundheitsschaden verneint). Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Das zweite Gesuch wurde am 29. September 2010 abgewiesen (Invaliditätsgrad: 8 %). Die dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 27. April 2012 ab, wobei es von einer vollen Arbeitsfähigkeit in einer behinderungsangepassten Tätigkeit ausging und den Invaliditätsgrad von 8 % bestätigte. Auf ein drittes Leistungsbegehren trat die IV-Stelle Zürich am 6. Oktober 2014 nicht ein. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft.
Ab 1. Juni 2010 war A._ vollumfänglich auf die Unterstützung der Sozialhilfe angewiesen. Die bezogenen Leistungen beliefen sich am 21. Januar 2016 auf rund Fr. 121'000.--.
A.c. Am 25. Oktober 2012 verlängerte das Migrationsamt des Kantons Zürich die Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA für ein Jahr und letztmals am 20. Dezember 2013 für ein weiteres Jahr bis zum 25. Oktober 2014.
B.
Am 24. Oktober 2014 ersuchte A._ erneut um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA. Das Migrationsamt wies das Begehren am 21. Januar 2015 ab. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 4. Februar 2016 ab. Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid mit Urteil vom 20. April 2016, wobei es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abwies.
C.
Am 19. Mai 2016 erhebt A._ Beschwerde beim Bundesgericht mit dem Antrag, das angefochtene Urteil aufzuheben und die Aufenthaltsbewilligung um weitere zwölf Monate zu verlängern. In prozessualer Hinsicht ersucht er um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege betreffend Gerichtskosten.
Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ausgeschlossen gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Potenzielle staatsvertragliche Ansprüche ergeben sich aus Art. 6 Anhang I FZA (SR 0.142.112.681) sowie aus Art. 4 Anhang I FZA i.V.m. den Bestimmungen der Verordnung (EWG) Nr. 1251/70 der Kommission vom 25. Juni 1970 über das Recht der Arbeitnehmer, nach Beendigung einer Beschäftigung im Hoheitsgebiet eines Mitgliedstaates zu verbleiben (ABl 1970 L 142 vom 30. Juni 1970 S. 24 ff.). Der Beschwerdeführer beruft sich indirekt auf diese Normen, indem er geltend macht, er befinde sich in medizinischer Behandlung und werde bald Arbeit finden (Arbeitnehmereigenschaft). Die Beschwerde ist zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d, Art. 90 BGG).
1.2. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerdeführung legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.3. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
Die Begründung des Beschwerdeführers ist über weite Strecken nicht sachbezogen. Die Rüge, die Vorinstanz habe Tatsachen ungenügend abgeklärt oder zu Unrecht nicht berücksichtigt, ist offensichtlich unbegründet, weil die geltend gemachten Tatsachen (schwere Kindheit in Pflegefamilie, gesundheitliche Probleme, erfolglose Bewerbungen, angeblich zu Unrecht verweigerte Leistungen der Invalidenversicherung etc.) für die Beurteilung der Beschwerde nicht relevant sind. Die Vorbringen des Beschwerdeführers sind nicht geeignet, die Schlussfolgerungen des angefochtenen Urteils in Frage zu stellen. Die Beschwerde erweist sich als offensichtlich unbegründet, weshalb sie im Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a und Abs. 3 BGG zu erledigen ist.
3.
3.1. Die Vorinstanz hat die staatsvertraglichen Grundlagen zur Freizügigkeit der arbeitnehmenden Personen zwischen der Europäischen Union und der Schweiz (vgl. Art. 6 Anhang I FZA) sowie die dazu ergangene Rechtsprechung (zusammengefasst in BGE 142 II 1) zutreffend wiedergegeben. Demgemäss kann eine arbeitnehmende Person ihren freizügigkeitsrechtlichen Status als unselbständig erwerbstätige Person verlieren, (1) wenn sie freiwillig arbeitslos geworden ist, (2) wenn aufgrund ihres Verhaltens feststeht, dass keinerlei ernsthafte Aussichten (mehr) darauf bestehen, dass sie in absehbarer Zeit eine andere Arbeit finden wird (Dahinfallen des Arbeitnehmerstatus) oder (3) wenn ihr Verhalten gesamthaft als rechtsmissbräuchlich bezeichnet werden muss, da sie ihre Bewilligung (etwa) gestützt auf eine fiktive bzw. zeitlich kurze Erwerbstätigkeit einzig zum Zweck erworben hat, von günstigeren Sozialleistungen als im Heimat- oder einem anderen Vertragsstaat zu profitieren (BGE 141 II 1 E. 2.2.1 mit Hinweisen). Die zuständige Behörde kann in diesen Fällen Kurzaufenthalts-, Aufenthaltsbewilligungen EU/EFTA und Grenzgängerbewilligungen EU/EFTA widerrufen oder nicht verlängern, wenn die Voraussetzungen für deren Erteilung nicht oder nicht mehr erfüllt sind (Art. 23 der Verordnung vom 22. Mai 2002 über die Einführung des freien Personenverkehrs [VEP; SR 142.203]).
3.1.1. Dem Beschwerdeführer war gestützt auf seinen unbefristeten Arbeitsvertrag eine Aufenthaltsbewilligung EU/EFTA erteilt worden, welche bis zum 4. November 2012 gültig war. In diesem Zeitpunkt war er ununterbrochen länger als zwölf Monate keiner Arbeit mehr nachgegangen. Gestützt auf seine jeweilige Angabe gegenüber dem Migrationsamt, er sei nicht erwerbstätig und befinde sich in ärztlicher Behandlung, wurde seine weitere Anwesenheitsberechtigung zweimal auf ein Jahr beschränkt. Dies schloss die Aussicht mit ein, dass der Aufenthaltsanspruch untergehen würde, sollte der Beschwerdeführer nach Ablauf der jeweiligen Frist - allfällige Verbleiberechte bzw. einen erwerbslosen Aufenthalt bei Erfüllen der entsprechenden Voraussetzungen vorbehalten - nach wie vor ohne Arbeit sein (Art. 6 Abs. 1 Anhang I FZA).
3.1.2. Der Schluss der Vorinstanz, der Beschwerdeführer habe seinen Arbeitnehmerstatus verloren, ist zutreffend. Mit Blick auf die Dauer von acht Jahren (bis zum Datum des angefochtenen Urteils), in denen der Beschwerdeführer lediglich während zwei Wochen erwerbstätig gewesen war, ist die Arbeitnehmereigenschaft eindeutig entfallen. Daran vermögen auch die zahlreichen Bewerbungen des Beschwerdeführers nichts zu ändern, haben sie doch nicht dazu geführt, dass sich dieser wieder in den Arbeitsmarkt integriert hätte.
3.2. Auch ein Verbleiberecht nach Beendigung der Erwerbstätigkeit infolge dauernder Arbeitsunfähigkeit (vgl. Art. 4 Anhang I FZA i.V.m. Art. 2 Abs. 1 lit. b der Verordnung [EWG] Nr. 1251/70) hat die Vorinstanz zu Recht verneint. Der Beschwerdeführer hat zwar seine Tätigkeit als Schreiner wegen Rückenbeschwerden aufgegeben. Er ist jedoch in angepassten Tätigkeiten zu 100 % arbeitsfähig und weist einen (klar rentenausschliessenden) Invaliditätsgrad von 8 % auf. Bei dieser Ausgangslage besteht kein Anspruch auf Verbleib in einem Vertragsstaat.
3.3. Sodann kann der Beschwerdeführer auch als Nichterwerbstätiger keinen Aufenthaltsanspruch geltend machen. Die Voraussetzungen dafür (vgl. Art. 24 Abs. 1 Anhang I FZA) sind offensichtlich nicht erfüllt, nachdem der Beschwerdeführer seit dem 1. Juni 2010 umfassend auf Sozialhilfe angewiesen ist und bis zum 21. Januar 2016 Leistungen von rund Fr. 121'000.-- bezogen hat.
4.
Schliesslich ist auch ein Anspruch aus Art. 8 EMRK (Recht auf Achtung des Familienlebens) zu verneinen. Weder lebt der Beschwerdeführer mit seiner Verlobten in einem stabilen Konkubinat, noch ist eine baldige Eheschliessung geplant (vgl. Urteile 2C_208/2015 vom 24. Juni 2015 E. 1.2; 2C_702/2011 vom 23. Februar 2012 E. 3.1). Beides bestreitet der Beschwerdeführer nicht, so dass es damit sein Bewenden hat.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen.
Infolge Aussichtslosigkeit ist das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG e contrario). Dem unterliegenden Beschwerdeführer sind die Gerichtskosten aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner