Faits :
A.
A.a. A._, née en 1964, a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité du canton du Jura (ci-après: l'office AI) le 27 janvier 2012, complétée le 6 février suivant, indiquant souffrir d'une infection chronique des yeux, de problèmes de coeur, d'épuisement, d'allergies, d'hyperémotivité, de dépression, d'anxiété et d'angoisses. L'office AI a fait part à l'assurée de son intention de rejeter la demande (projet de décision du 8 août 2012). A._ s'y est opposée. L'office AI a fait réaliser une expertise pluridisciplinaire par le Centre d'Expertise Médicale de Nyon (CEMed; rapport du 24 septembre 2013). Les docteurs B._, spécialiste en médecine interne générale, C._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et D._, spécialiste en médecine interne générale et rhumatologie, ont conclu à une capacité totale de travail dans une activité adaptée, avec un rendement légèrement diminué à 80 %. Par décision du 23 octobre 2013, l'office AI a rejeté la demande. Par jugement du 4 août 2014 (AI 100/2013), la décision a été confirmée par le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances.
A.b. L'assurée a déposé une demande de prestations visant à l'octroi d'une allocation pour impotent le 14 août 2015, à l'appui de laquelle elle a produit notamment un avis de la doctoresse E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie et médecin traitant (rapport du 9 décembre 2014). L'office AI a requis des informations complémentaires auprès du médecin traitant (rapport du 18 août 2015) et mis en oeuvre une enquête au domicile de A._ le 21 janvier 2016. Par décision du 12 avril 2016 (faisant suite à un projet de décision du 4 mars précédent), l'office AI a rejeté la demande d'allocation pour impotent.
A.c. A._ a déposé une demande de prestations tendant à l'octroi d'une rente auprès de l'office AI le 21 janvier 2016, indiquant souffrir d'une dépression chronique anxiogène depuis l'enfance. Par courrier du 28 janvier suivant, elle a produit la décision du Service cantonal jurassien des arts et métiers et du travail du 21 mai 2015 constatant son inaptitude au placement. L'office AI a indiqué à l'assurée son intention de ne pas entrer en matière sur la nouvelle demande (projet de décision du 4 mars 2016). A._ s'y est opposée par courrier du 6 avril 2016 et a fait parvenir à l'office AI un avis de la doctoresse E._ (rapport du 6 avril 2016).
Se fondant sur l'avis du docteur F._, spécialiste en médecine interne générale auprès du Service médical régional (SMR; rapport du 25 juillet 2016), l'office AI a refusé d'entrer en matière sur la nouvelle demande de prestations, par décision du 9 août 2016.
B.
Par jugement du 16 mars 2017, le Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, a rejeté le recours de l'assurée contre cette décision.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont elle demande l'annulation. Elle conclut à ce que l'office AI entre en matière sur la demande de prestations "du 12 août 2015, respectivement du 21 janvier 2016", et au renvoi de la cause à l'office AI pour instruction complémentaire et nouvelle décision dans le sens des considérants.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), n'étant limité ni par les arguments de la partie recourante, ni par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées, sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur la question de savoir si c'est à bon droit que la juridiction cantonale a confirmé le refus de l'office intimé du 9 août 2016 d'entrer en matière sur la nouvelle demande, au motif que la recourante n'avait pas rendu plausible une modification de son invalidité susceptible d'influencer ses droits depuis la décision du 23 octobre 2013 (art. 87 al. 2 et 3 RAI). Le jugement attaqué mentionne les dispositions légales et les principes jurisprudentiels nécessaires à la solution du litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
La recourante soutient que contrairement à ce qu'ont retenu les premiers juges, l'office intimé était tenu d'entrer en matière sur la demande, dans la mesure où il était selon elle déjà entré en matière sur la demande d'allocation pour impotent déposée le 14 août 2015. Elle reproche en outre au tribunal cantonal d'avoir posé des exigences trop sévères quant au degré de la preuve à apporter afin de rendre plausible une aggravation de l'état de santé entre la décision du 23 octobre 2013 et celle du 9 août 2016. Elle lui fait en particulier grief d'avoir considéré que l'avis de la doctoresse E._ du 6 avril 2016 ne présentait pas d'indices suffisants pour admettre une aggravation de son état de santé.
4.
4.1. L'appréciation des premiers juges du rapport de la doctoresse E._ du 6 avril 2016 n'apparaît pas arbitraire. Le nouveau diagnostic d'état post-traumatique posé par le médecin traitant ne constitue pas en soi une aggravation ou une modification notable de l'état de santé ou des circonstances entourant le droit à la rente (ATF 132 V 65 consid. 3.4 et arrêt 9C_793/2011 du 30 juillet 2012 consid. 4.1); il repose par ailleurs sur des éléments médicaux déjà attestés dans le passé par les experts du CEMed. En effet, comme l'ont constaté de manière circonstanciée les premiers juges, la fatigue chronique, les angoisses permanentes et les crises d'angoisse soudaines mentionnées par la doctoresse E._ étaient déjà connues et avaient été prises en compte dans les conclusions de l'expertise du 24 septembre 2013 ayant mené à la décision du 23 octobre suivant. Les experts avaient mis en évidence les atteintes relevées par les différents médecins consultés lors de la première procédure administrative (dépression, hyperémotivité, anxiétés, problème de sommeil, allergies, épuisement, émotions fortes et dérangeantes [peur, panique]). Ils avaient posé le diagnostic de trouble mixte de la personnalité (personnalité émotionnellement labile de type borderline et personnalité histrionique F60.1) et retenu une capacité totale de travail avec une diminution de rendement de 20 %. Comme l'a relevé la juridiction cantonale, il ressort de l'expertise que la problématique psychique remontait à l'enfance de la recourante, que cette dernière était notamment très anxieuse et qu'à l'âge de sept ans déjà, elle avait voulu mourir. En mentionnant une détérioration de la vie émotionnelle actuelle de sa patiente (liée à la découverte d'une série d'abus sexuels subis entre l'âge de quatre et sept ans), la doctoresse E._ pose le diagnostic d'état post-traumatique. Ce faisant, elle ne se réfère cependant pas à la classification des troubles mentaux et du comportement de la CIM-10, de sorte que la nouvelle atteinte ne repose pas sur une motivation suffisante. Par ailleurs, si l'incapacité de travail attestée par la psychiatre (75 à 80 %) diffère de celle retenue au moment où la décision du 23 octobre 2013 a été rendue (20 %, soit une capacité totale de travail, avec un rendement légèrement diminué à 80 %; rapport du CEMed du 24 septembre 2013), le médecin traitant n'explique pas en quoi les troubles dont souffre l'assurée l'empêcheraient d'exercer toute activité à raison de 75 à 80 %; en mentionnant le fait que l'état émotionnel s'est détérioré, la psychiatre ne justifie pas de façon circonstanciée une baisse de la capacité de travail. De même et en tout état de cause, ses avis des 9 décembre 2014 et 18 août 2015 établis lors de la procédure relative à la demande d'allocation pour impotent n'apportent pas non plus d'éléments susceptibles de rendre plausible une aggravation de l'état de santé de la recourante ouvrant le droit aux prestations requises, une motivation sur ce point faisant défaut.
Au vu de ce qui précède, dans la mesure où la recourante n'a pas rendu plausible le fait que son degré d'invalidité s'était modifié de manière à influencer ses droits, c'est à juste titre que le tribunal cantonal a confirmé le refus de l'office intimé d'entrer en matière sur la nouvelle demande.
4.2. La recourante ne saurait pas non plus être suivie lorsqu'elle invoque que l'office intimé était "de facto déjà entré en matière et avait instruit le dossier" en relation avec la demande du 14 août 2015. En tant qu'elle se réfère aux mesures d'instruction mises en oeuvre par l'office intimé à la suite de cette demande, elle perd de vue que celles-ci concernaient uniquement le droit à une allocation pour impotent. Bien que déposée par erreur, cette demande a été traitée comme telle et, au terme de l'instruction (enquête à domicile notamment), une décision de rejet de l'allocation pour impotent a été rendue. On ne peut considérer qu'en raison de l'entrée en matière sur ladite demande, il y aurait eu "entrée en matière de facto" sur la demande de prestations (mesures professionnelles/rente) du 21 janvier 2016. Il s'agit de prestations différentes octroyées lors de procédures et selon des conditions différentes. Contrairement à ce que soutient l'assurée, si les conditions étaient remplies pour entrer en matière sur la demande d'allocation pour impotent (cf. art. 42 ss LAI), elles ne l'étaient pas nécessairement pour entrer en matière sur la demande de prestations (cf. art. 15 ss et 28 ss LAI) qui a suivi. Par ailleurs, l'entrée en matière ou non dépend, pour chaque procédure, des documents médicaux produits à l'appui de la demande en question, susceptibles ou non de rendre plausible que l'invalidité, l'impotence ou l'étendue du besoin de soins ou du besoin d'aide découlant de l'invalidité de l'assuré s'est modifiée de manière à influencer ses droit depuis la dernière décision litigieuse (art. 87 al. 2 et 3 RAI). Pour ce faire, il ne peut être simplement renvoyé à une précédente demande portant sur une prestation différente.
5.
Au vu de ce qui précède, le recours est mal fondé. Les frais judiciaires sont mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 première phrase LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal de la République et canton du Jura, Cour des assurances, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 27 octobre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Flury