Erwägungen:
1.
1.1. C._ wurde 2013 in U._, Ohio, Vereinigte Staaten, von einer Leihmutter zur Welt gebracht. Im "Certificat of Live Birth" (Geburtsurkunde) des Ohio Department of Health sind folgende Personen als Eltern eingetragen: Als Vater A._, von V._ (Wunschvater) und als Mutter B._, von V._ und W._ (Wunschmutter). Die Geburtsurkunde wurde am 4. April 2013 vom Schweizerischen Generalkonsulat in Chicago, Illinois, dem Bundesamt für Justiz zur Eintragung ins Schweizerische Personenstandsregister übermittelt. Infolge der Heimatberechtigung der Eltern wurde sie an den für die Anerkennung zuständigen Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Zug übersandt. Die Wunscheltern liessen den Behörden eine Kopie des Urteils vom 26. Dezember 2012 des Court of Common Pleas, Probate Division, in Gallia County, Ohio, Vereinigte Staaten, zukommen.
1.2. Am 9. Oktober 2015 verfügte der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Zug:
1. Das Urteil des Court of Common Pleas, Probate Division, Vereinigte Staaten, Ohio Gallia County, vom 26. Dezember 2012 (rechtskräftig 26. Dezember 2012) betreffend C._, geb. 2013 wird teilweise anerkannt und in das Personenstandsregister (INFOSTAR) eingetragen.
1.1 Der Teilentscheid betreffend Aufhebung der rechtlichen Verwandtschaft von C._ zu D._ wird nicht anerkannt.
1.2 Der Teilentscheid betreffend Aufhebung der rechtlichen Verwandtschaft von C._ zu E._ wird anerkannt.
1.3 Der Teilentscheid betreffend Feststellung der rechtlichen Verwandtschaft von C._ zu A._ wird anerkannt.
1.4 Der Teilentscheid betreffend Feststellung der rechtlichen Verwandtschaft von C._ zu B._ wird nicht anerkannt.
2. Es werden folgende Personalien in INFOSTAR beurkundet:
[Personalien von C._]
Name Vater: A._
Beziehungsentstehung: Durch Gerichtsurteil seit 26. Dezember 2012
Name Mutter: D._
Beziehungsentstehung: Durch Geburt
Zusatzangaben
Entscheid: Entscheid des Court of Common Pleas, Probate
Division vom 26. Dezember 2012
Vereinigte Staaten, Ohio, Gallipolis
Zusatzangaben
Abstammung Tatsache der anonymen Samenspende
1.3. In teilweiser Gutheissung der Verwaltungsgerichtsbeschwerde der Wunscheltern hob das Verwaltungsgericht des Kantons Zug am 31. Mai 2016 die Dispositiv-Ziff. 1.1 auf; ferner ordnete es die Streichung des Namens der Mutter (D._) und die Beziehungsentstehung (durch Geburt) in Dispositiv-Ziff. 2 der angefochtenen Verfügung vom 9. Oktober 2015 an und wies die Sache zu weiteren Sachverhaltsabklärungen und zu neuem Entscheid an den Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst des Kantons Zug zurück. Im Weiteren ist laut Urteil die Dispositiv-Ziff. 2 insoweit zu ergänzen, als unter den "Zusatzangaben Abstammung" die genetische Vaterschaft von A._ zu vermerken ist. Im Übrigen wurde die Beschwerde abgewiesen.
1.4. Der Zivilstands- und Bürgerrechtsdienst der Direktion des Innern des Kanton Zug hat am 11. August 2016 (Postaufgabe) gegen dieses Urteil beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er beantragt, die Dispositiv-Ziff. 1 des angefochtenen Urteils aufzuheben und die Verfügung vom 9. Oktober 2015 zu bestätigen. Eventuell sei das angefochtene Urteil aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.
2.1. Angefochten ist der kantonal letztinstanzliche Entscheid über die Anerkennung ausländischer Geburtsurkunden und die entsprechende Eintragung im schweizerischen Personenstandsregister. Für solche Registersachen, welche im Übrigen keinen Streitwert aufweisen, steht die Beschwerde in Zivilsachen offen (Art. 72 Abs. 2 lit. b Ziff. 2, Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG).
2.2. Der Beschwerdeführer erachtet sich als zur Beschwerde legitimiert, weil die Direktion des Innern als kantonale Aufsichtsbehörde im Zivilstandswesen amte (vgl. § 15 Abs. 2, Satz 2) und in dieser Eigenschaft Verfügungen, namentlich in Bezug auf die Eintragung von ausländischen Entscheiden oder Urkunden über den Zivilstand erlasse.
2.3. Zur Beschwerde ist berechtigt, wer durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat (Art. 76 Abs. 1 lit. b). Die Beschwerdeberechtigung gemäss Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG entspricht Art. 89 Abs. 1 BGG, weshalb die Rechtsprechung zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beigezogen werden kann (BGE 141 II 161 E. 2.1; 140 I 90 E. 1 S. 92; 140 III 644 E. 3.2 S. 648; Urteil 2C_115/2015 vom 6. Februar 2015 E. 3.2). Wie Art. 89 Abs. 1 BGG ist Art. 76 Abs. 1 BGG in erster Linie auf Personen des Privatrechts zugeschnitten. Doch kann sich auch das Gemeinwesen darauf berufen, falls es durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater oder aber in spezifischer, schutzwürdiger Weise in der Wahrnehmung einer hoheitlichen Aufgabe betroffen wird, namentlich wenn einem Entscheid präjudizielle Bedeutung für die öffentliche Aufgabenerfüllung zukommt. Die Beschwerdebefugnis zur Durchsetzung hoheitlicher Anliegen setzt eine erhebliche Betroffenheit in wichtigen öffentlichen Interessen voraus. Das Interesse an der richtigen Rechtsanwendung verschafft keine Beschwerdeberechtigung im Rahmen der Beschwerdelegitimation gemäss Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG. Gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel sind Gemeinwesen nur restriktiv zur Beschwerdeführung zuzulassen (BGE 141 III 353 E. 5.2). Die verfügende Behörde, deren Entscheid im Rechtsmittelverfahren ganz oder teilweise abgeändert wurde, ist nicht berechtigt, den Rechtsmittelentscheid an das Bundesgericht zu ziehen (BGE 141 III 353 E. 5.2; 140 V 321 E. 2.1.1 S. 323). In diesem Sinne hat das Bundesgericht eine Beschwerdeberechtigung des Zivilstandsbeamten und der Aufsichtsbehörde in Zivilstandssachen bereits verneint (Urteil 5A_753/2009 vom 18. Januar 2010 E. 1.2). Der Beschwerdeführer war verfügende Behörde und infolgedessen nicht zur Beschwerde legitimiert.
3.
Auf die offensichtlich unzulässige Beschwerde ist somit im vereinfachten Verfahren durch den Präsidenten der Abteilung (Art. 108 Abs. 1 bzw. Art. 108 Abs. 1 lit. a BGG) nicht einzutreten. Von der Erhebung von Gerichtskosten ist abzusehen (Art. 66 Abs. 4 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Eidgenössischen Justiz- und Polizeidepartement und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zug, Verwaltungsrechtliche Kammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 18. August 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden