Sachverhalt:
A.
A.a. Das Familiengericht U._ ordnete am 18. Juni 2014 für E.A._ (geb. 1918; Betroffene) eine Vertretungsbeistandschaft mit Einkommens- und Vermögensverwaltung an und entzog ihr diesbezüglich die Handlungsfähigkeit. Zu Beiständinnen ernannte es C._, Enkelin der Betroffenen, und D._, Kindes- und Erwachsenenschutzdienst (KESD) U._.
A.b. Auf Beschwerde der Tochter der Betroffenen, B._, hin hob das Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, diesen Entscheid am 23. Februar 2015 auf und wies die Sache an das Familiengericht zurück. Der Betroffenen stellte das Obergericht Rechtsanwältin F._ als Vertreterin nach Art. 449a ZGB zur Seite. Überdies beauftragte es das Familiengericht, die Kosten des Beschwerdeverfahrens zu verlegen.
A.c. Hiergegen erhob der Sohn der Betroffenen, A.A._, Beschwerde beim Bundesgericht. Am 31. Mai 2015 verstarb die Betroffene, woraufhin das Bundesgericht das bundesgerichtliche Verfahren mit Verfügung 5A_302/2015 vom 3. Juli 2015 als gegenstandslos abschrieb. Dabei erwog es, das Obergericht habe nunmehr über die Kostenverlegung im kantonalen Rechtsmittelverfahren zu entscheiden. Ein Gesuch von B._ um Revision der Abschreibungsverfügung wies das Bundesgericht mit Urteil 5F_9/2015 vom 26. November 2015 ab.
B.
Mit Entscheid vom 7. März 2016 (eröffnet am 21. März 2016) schrieb das Obergericht das Erwachsenenschutzverfahren ab (Dispositivziffer 1) und verurteilte B._ im Rahmen der Verlegung der Kosten des Rechtsmittelverfahrens, die Kosten der amtlichen Vertretung der Betroffenen von Fr. 3'300.-- (inkl. Auslagen und MWSt) zu bezahlen (Dispositivziffer 2.2).
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen, eventuell subsidiärer Verfassungsbeschwerde, vom 20. April 2016 ist F._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht gelangt und hat folgende Anträge in der Sache gestellt:
"1. Dispositiv-Ziffer 2.2 des Entscheids vom 7. März 2016 des Obergerichts des Kantons Aargau sei aufzuheben.
2. Stattdessen seien die eingereichten Kostennoten in der Höhe von gesamthaft CHF 29'770.40 zu genehmigen und durch die Staatskasse, eventualiter durch die Gemeinde W._, subeventualiter aus dem Nachlass der Betroffenen zu begleichen.
3. Eventualiter sei die Angelegenheit an die Vorinstanz zur Neubeurteilung zurückzuweisen."
Das Bundesgericht hat die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
B._ hat den obergerichtlichen Entscheid ebenfalls vor Bundesgericht angefochten (Verfahren 5A_327/2016).
Erwägungen:
1.
Die Beschwerde richtet sich gegen einen Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht in seiner Eigenschaft als Rechtsmittelinstanz ein Erwachsenenschutzverfahren (Beistandschaft) abgeschrieben und dabei über die Entschädigung der Vertreterin nach Art. 449a ZGB entschieden hat (Art. 75 Abs. 1 und Art. 90 BGG). Bei der in Frage stehenden Beistandschaft geht es insgesamt um eine nicht vermögensrechtliche öffentlich-rechtliche Angelegenheit in unmittelbarem Zusammenhang mit dem Zivilrecht (Art. 72 Abs. 2 Bst. b Ziff. 6 BGG; vgl. Urteil 5A_855/2015 vom 3. Mai 2016 E. 2). Zur Beschwerde in Zivilsachen ist berechtigt, wer am kantonalen Verfahren teilgenommen oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat (Art. 76 Abs. 1 Bst. a BGG). Die Beschwerdeführerin war nicht Partei des vorinstanzlichen Verfahrens; an diesem hat sie als Vertreterin der Betroffenen mitgewirkt. Sie ist indessen als Gläubigerin der durch das Obergericht erstmals festgesetzten Entschädigung im Streit um deren Höhe durch den angefochtenen Entscheid neu betroffen. Die im Übrigen in schutzwürdigen Interessen berührte Beschwerdeführerin (Art. 76 Abs. 1 Bst. b BGG) ist daher zur Beschwerde legitimiert, die sich gegen die Entschädigungsfestsetzung richtet (vgl. Urteil 4A_511/2015 vom 9. Dezember 2015 E. 1.4 mit Hinweisen [betreffend unentgeltliche Rechtspflege]). Auf die auch fristgerecht erhobene Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) kann daher grundsätzlich eingetreten werden. Die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist demnach unzulässig.
2.
2.1. Mit der vorliegenden Beschwerde können Rechtsverletzungen gemäss Art. 95 f. BGG gerügt werden. Mit Ausnahme der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht wendet das Bundesgericht das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 BGG). Es ist allerdings nicht gehalten, wie eine erstinstanzliche Behörde alle sich stellenden rechtlichen Fragen von sich aus zu untersuchen, wenn die beschwerdeführende Partei diese nicht thematisiert (BGE 140 III 115 E. 2; 137 III 580 E. 1.3). Deshalb ist in der Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 III 102 E. 1.1). Die beschwerdeführende Partei muss auf den angefochtenen Entscheid eingehen und aufzeigen, worin eine Verletzung von Bundesrecht liegt; sie soll im Schriftsatz mit ihrer Kritik an den Erwägungen der Vorinstanz ansetzen, die sie als rechtsfehlerhaft erachtet (vgl. BGE 134 II 244 E. 2.1; 121 III 397 E. 2a). Beruht der angefochtene Entscheid auf mehreren Erwägungen, die jede für sich allein das für die beschwerdeführende Partei negative Ergebnis zu rechtfertigen vermögen, muss jede dieser Erwägungen angefochten werden. Unterlässt die beschwerdeführende Partei dies, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden (BGE 138 I 97 E. 4.1.4; 138 III 728 E. 3.4; 133 IV 119 E. 6.3).
2.2. Strengere Anforderungen gelten, wenn die Verletzung von kantonalem Recht geltend gemacht wird, dessen Anwendung letztinstanzlich allein unter dem Gesichtswinkel der Willkür oder eines anderen verfassungsmässigen Rechts beurteilt werden kann (Art. 95 ff. BGG; vgl. BGE 141 I 36 E. 1.3; 138 I 143 E. 2). Der Vorwurf der willkürlichen Anwendung des kantonalen Rechts prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insoweit, als eine entsprechende Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Die Beschwerdeschrift muss die wesentlichen Tatsachen und eine kurz gefasste Darlegung darüber enthalten, welche verfassungsmässigen Rechte bzw. welche Rechtssätze inwiefern durch den angefochtenen Entscheid verletzt worden sind. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen; auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 141 I 36 E. 1.3; 135 III 232 E. 1.2; 134 I 83 E. 3.2). Will die beschwerdeführende Partei die Verletzung des Willkürverbots geltend machen, reicht es sodann nicht aus, wenn sie die Lage aus ihrer eigenen Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss sie im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entschied deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2).
2.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Gegen die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz kann die beschwerdeführende Partei einzig vorbringen, sie seien offensichtlich unrichtig (Art. 97 Abs. 1 BGG), das heisst willkürlich (BGE 137 I 58 E. 4.1.2; 133 III 393 E. 7.1), oder sie würden auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen. Ausserdem muss sie in der Beschwerde aufzeigen, inwiefern die Behebung der vorerwähnten Mängel für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 135 I 19 E. 2.2.2). Für all diese Elemente gilt das oben beschriebene strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 133 II 249 E. 1.4.2).
3.
Nach Ansicht der Beschwerdeführerin ist sie entgegen den tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nicht nur für das Beschwerdeverfahren zur Vertreterin der Betroffenen ernannt worden. Vielmehr habe bereits das Familiengericht sie mit Verfügung vom 17. Dezember 2014 in dieser Funktion eingesetzt. Soweit die Beschwerde insoweit überhaupt den Begründungsanforderungen genügt und auf sie eingetreten werden kann (vorne E. 2.3), ist Folgendes festzuhalten: Offensichtlich unrichtig und damit willkürlich ist die vorinstanzliche Feststellung nicht bereits dann, wenn eine andere Lösung ebenfalls vertretbar erscheint oder gar vorzuziehen wäre, sondern erst, wenn der Entscheid offensichtlich unhaltbar ist, zur tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht oder auf einem offenkundigen Fehler beruht (BGE 141 V 385 E. 4.1). Das Familiengericht U._ erwog in der fraglichen Verfügung, es "übernehme" die gewillkürte Stellvertretung der Betroffenen durch die Beschwerdeführerin. Weiter hielt es fest, dass gegen die Beschwerdeführerin "als Rechtsvertreterin der Betroffenen" keine Vorbehalte bestünden und sie "eventualiter [...] als Prozessbeistand einzusetzen wäre". In der Folge verfügte das Familiengericht, die Beschwerdeführerin werde als "Vertreterin der Betroffenen geführt" (vgl. Beschwerdebeilage 8). Dies kann zwanglos so verstanden werden, dass das Familiengericht einzig die gewillkürte Stellvertretung anerkannte ohne weitere Anordnungen zu treffen. Unter diesen Umständen ist es jedenfalls nicht willkürlich, wenn das Obergericht einzig auf die Einsetzung der Beschwerdeführerin als Vertreterin im Entscheid vom 23. Februar 2015 abstellte.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin ist weiter nicht mit der Festsetzung der ihr für das Verfahren vor dem Obergericht zugesprochenen Entschädigung einverstanden. Die Höhe der Entschädigung bestimmt sich nach kantonalem Recht (vgl. Art. 450f ZGB i.V.m. § 62b des Einführungsgesetzes [des Kantons Aargau] vom 27. März 1911 zum Schweizerischen Zivilgesetzbuch und Partnerschaftsgesetz [EG ZGB; SAR 210.100]; AUER/MARTI, in: Basler Kommentar zum Zivilgesetzbuch, 5. Aufl. 2014, N. 18 und 23 zu Art. 449a ZGB; DANIEL STECK, in: Büchler/Häfeli/Leuba/Stettler, FamKommentar, Erwachsenenschutz, 2013, N. 27 zu Art. 449a ZGB; CHRISTOPH HÄFELI, Grundriss zum Erwachsenenschutzrecht, 2013, Rz. 33.26 S. 290; vgl. auch Urteil 5C.168/1992 vom 9. Februar 1993 [zu aArt. 397 Abs. 2 ZGB; hierzu Botschaft zur Änderung des Schweizerischen Zivilgesetzbuches vom 28. Juni 2006, BBl 2006 7001 S. 7081]). Das Bundesgericht prüft folglich allein, ob die Honorarfestsetzung willkürlich oder unter Verletzung eines anderen verfassungsmässigen Rechts erfolgte. Ausserdem gilt das strenge Rügeprinzip (vorne E. 2.2).
4.2. Die Beschwerdeführerin rügt es vorab "per se" als willkürlich, dass die eingereichte Kostennote um 88 % gekürzt worden ist. Das Vorgehen des Obergerichts enthalte den Vorwurf, eine wucherisch überhöhte Honorarforderung gestellt zu haben. Willkürlich seien auch die kantonal "höchst unterschiedliche[n] Kürzungsansätze". Soweit die Beschwerdeführerin auf die nicht näher bezeichnete Praxis der Kantone zur Kürzung von Kostennoten verweist, setzt sie sich nicht sachbezogen mit dem angefochtenen Entscheid auseinander. Es ist denn auch nicht ersichtlich, was sie im Einzelnen aus dem Vorbringen zu ihren Gunsten ableiten möchte. Damit vermag sie den Anforderungen an die Begründung der Beschwerde nicht zu genügen. Gleiches gilt für den pauschalen und abstrakten Hinweis auf die prozentuale Höhe der Kürzung ihrer Kostennote.
4.3. Die Beschwerdeführerin wirft dem Obergericht sodann Willkür vor, weil es bei der Berechnung der Entschädigung von einem zu geringen Zeitbedarf und einem zu tiefen Stundenansatz ausgegangen sei. Die Vorinstanz legte das Honorar der Beschwerdeführerin in einem ersten Schritt gestützt auf das Dekret (des Kantons Aargau) vom 10. November 1987 über die Entschädigung der Anwälte (Anwaltstarif; SAR 291.150) fest. Dabei berücksichtigte es den mutmasslichen Aufwand sowie die Bedeutung und Schwierigkeit des Falls und den Umstand, dass ein Summarverfahren durchzuführen war. In einem zweiten Schritt legte das Obergericht dar, welcher zeitliche Umfang seiner Ansicht nach vertretbar war, und multiplizierte es die entsprechende Stundenzahl mit einem Stundenansatz von Fr. 200.--. Dabei kam es zum Schluss, dass die festgesetzte Entschädigung im Rahmen der zuvor errechneten Pauschalentschädigung liege. Das Obergericht äussert sich somit in einer Alternativbegründung zum Zeitaufwand und zum massgebenden Stundenansatz. Die Beschwerdeführerin setzt sich einzig mit dieser Alternativbegründung, nicht jedoch mit den Ausführungen zur Festsetzung der Entschädigung nach Massgabe des Anwaltstarifs auseinander, welche das für sie negative Ergebnis des Prozesses ebenfalls zu begründen vermögen. Insbesondere äussert die Beschwerdeführerin sich nicht bzw. nicht substanziert zu den Überlegungen der Vorinstanz zur Schwierigkeit und Bedeutung des Verfahrens. Auf die Beschwerde kann daher insoweit nicht eingetreten werden (vorne E. 2.1).
5.
Die Beschwerdeführerin beantragt weiter, es sei die ihr zugesprochene Entschädigung durch die Staatskasse, eventualiter die Gemeinde W._, subeventualiter durch den Nachlass der Betroffenen zu begleichen. Soweit sie es damit als unzulässig rügt, die Entschädigung der Tochter der Betroffenen aufzuerlegen, setzt sie sich nicht mit den einschlägigen Erwägungen des Obergerichts auseinander. Sie begnügt sich vielmehr damit, ihre eigene Auffassung derjenigen der Vorinstanz gegenüber zu stellen, wobei sich ihre Ausführungen teilweise widersprechen (Beschwerde, Ziff. II Rz. 25 f. S. 7 und Rz. 58 f. S. 12). Damit fehlt es auch diesbezüglich an einer ausreichenden Begründung (vorne E. 2.1), womit auf die Beschwerde auch insoweit nicht einzutreten ist.
6.
Nach dem Ausgeführten ist die Beschwerde abzuweisen, soweit auf sie eingetreten werden kann. Entsprechend dem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten der Beschwerdeführerin aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Parteikosten sind keine zu sprechen (Art. 68 Abs. 1 und 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. Mai 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber