Faits :
A.
Une enquête pénale est dirigée contre A._ notamment pour lésions corporelles simples aggravées, menaces et blanchiment d'argent.
Dans le cadre de cette instruction, le Ministère public du Parquet régional de La Chaux-de-Fonds a ordonné une expertise psychiatrique du prénommé et désigné à cet effet le Docteur B._, le 30 août 2016. Le prévenu a fait part de son souhait de voir nommé un autre expert et en a proposé un. Le 9 septembre 2016, le Procureur a informé A._ que l'expert qu'il avait proposé refusait le mandat et l'a avisé qu'il désignerait le Docteur C._ en lui fixant un délai pour s'exprimer sur ce choix. Le 15 septembre 2016, le prévenu a informé le Procureur n'avoir aucun motif de récusation à faire valoir. Le 20 septembre 2016, le mandat a ainsi été confié au Docteur C._, qui a rendu son rapport le 16 octobre 2016. Le 19 octobre 2016, le Procureur a demandé à l'expert diverses précisions et a fait parvenir aux parties une copie de l'expertise en leur fixant un délai au 24 octobre 2016 pour faire valoir leurs éventuelles observations. Le 20 octobre 2016, l'expert a envoyé par courriel au Ministère public une version complétée de son rapport, que le Procureur a adressée aux parties.
Par courrier du 26 octobre 2016 adressé au Ministère public, le prévenu a relevé que l'expert indiquait connaître le frère de son client, fait dont il n'avait auparavant pas connaissance: il a demandé que l'expert fournisse des précisions à ce sujet afin d'évaluer l'existence d'un éventuel motif de récusation. Le 11 novembre 2016, l'expert a indiqué que la nature exacte de sa relation avec le frère du prévenu était bien connue au préalable du Procureur, qui l'avait autorisé à poursuivre son mandat.
L'expert est décédé le 29 novembre 2016.
Le 1 er décembre 2016, A._ a sollicité la récusation de l'expert au motif que celui-ci était le psychiatre traitant de son frère et qu'il le voyait à intervalles réguliers. Par ordonnance du 2 décembre 2016, le Ministère public a rejeté cette demande de récusation. Par arrêt du 22 février 2017, l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel a rejeté le recours interjeté par le prévenu contre l'ordonnance du 2 décembre 2016.
B.
Agissant par la voie du recours en matière pénale, A._ demande au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt du 22 février 2017, d'admettre la récusation de l'expert C._ et de retirer du dossier le rapport d'expertise psychiatrique du 16 octobre 2016 complété le 20 octobre 2016 et les réponses du 11 novembre 2016. Il sollicite aussi l'octroi de l'assistance judiciaire.
Invités à se déterminer, le Ministère public et la juridiction cantonale concluent au rejet du recours.
Le 7 avril 2017, le recourant a formulé une demande de mesures provisionnelles tendant à interdire au Tribunal de première instance de tenir audience de débats principaux jusqu'à droit connu sur le présent recours. Le 11 avril 2017, il a retiré sa demande, puisque le Ministère public a renoncé à renvoyer l'affaire en jugement tant que le Tribunal fédéral n'a pas statué sur le présent recours.
Considérant en droit :
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, les décisions incidentes de dernière instance cantonale portant sur une demande de récusation d'un expert dans une cause pénale peuvent immédiatement faire l'objet d'un recours en matière pénale. Le recourant, auteur de la demande de récusation rejetée, a qualité pour recourir selon l'art. 81 al. 1 LTF. Pour le surplus, le recours a été déposé en temps utile et les conclusions qui y sont prises sont recevables (art. 107 al. 2 LTF). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Dans un grief d'ordre formel, le recourant se prévaut de l'omission arbitraire de deux faits, à savoir le décès de l'expert le 29 novembre 2016 et la qualité de l'expert comme psychiatre-traitant du frère de l'expertisé. Ces deux éléments ressortent cependant de la partie "en droit" de l'arrêt attaqué, de sorte que le grief fondé sur une violation de l'art. 112 al. 1 let. b LTF est irrecevable.
3.
Sur le fond, le recourant relève que l'expert n'a pas pu prendre position sur la demande de récusation, dans la mesure où il est décédé avant le dépôt de celle-ci. Il soutient aussi que le fait que l'expert est le psychiatre de son frère crée une apparence de prévention, dans la mesure où l'expert a eu connaissance par le biais du frère - et préalablement au mandat d'expertise litigieux - d'éléments de sa vie.
Il se plaint d'une violation des art. 56 let. f et 58 al. 2 CPP et de l'art. 29 al. 2 Cst.
3.1. Dans le cadre de la procédure de récusation, la loi prévoit que la personne concernée prend position sur la demande (art. 58 al. 2 CPP). Cette disposition est impérative. Elle tend à permettre l'établissement des faits et à garantir le respect du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.), tant de la personne concernée que de l'auteur de la demande de récusation auquel un droit de réplique doit le cas échéant être accordé. Cette mesure d'instruction a toute son importance, puisque l'administration d'autres preuves est en principe limitée, voire exclue en vertu de l'art. 59 al. 1 CPP (ATF 138 IV 222 consid. 2.1 p. 224). La décision est en effet rendue sans administration supplémentaire de preuve, lorsque les motifs invoqués sont ceux de l'art. 56 let. a et f CPP (art. 59 al. 1 CPP).
Quant à l'art. 56 let. f CPP - applicable aux experts en vertu du renvoi de l'art. 183 al. 3 CPP -, il prévoit que toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale est récusable "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention". Cette disposition a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres précédentes (ATF 141 IV 178 consid. 3.2.1 p. 179 et les arrêts cités). Elle concrétise les droits déduits de l'art. 29 al. 1 Cst. garantissant l'équité du procès et assure au justiciable une protection équivalente à celle de l'art. 30 al. 1 Cst. s'agissant des exigences d'impartialité et d'indépendance requises d'un expert. Les parties à une procédure ont donc le droit d'exiger la récusation d'un expert dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur son impartialité. Cette garantie tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause puissent influencer une appréciation en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de l'expert ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale (ATF 139 III 433 consid. 2.1.1 p. 436; 138 IV 142 consid. 2.1 p. 144).
3.2. En l'espèce, l'expert a rédigé son rapport, puis l'a complété à la demande du Procureur le 20 octobre 2016. Par lettre du 11 novembre 2016, il a répondu, sur question du prévenu, que "la nature exacte de sa relation avec le frère du prévenu était bien connue par le procureur au préalable, ce qui l'autorisait à continuer"; à la question de savoir s'il estimait avoir pu expertiser le recourant de manière indépendante et impartiale nonobstant cette connaissance, il a répondu que "oui: rien n'était dit à propos de son frère". L'expert est décédé le 29 novembre 2016 et le recourant a déposé une demande de récusation le 1 er décembre 2016.
La cour cantonale a retenu, à juste titre, que l'expert n'avait en réalité pas répondu à la question du recourant tendant à savoir quels étaient ses liens exacts avec le frère du recourant, se bornant à mentionner que cela était connu du Procureur. On ne peut dès lors considérer que cette réponse de l'expert, donnée avant le dépôt de la demande de récusation elle-même, constitue la prise de position de l'expert au sens de l'art. 58 al. 2 CPP. Le recourant n'a en effet pas pu participer à l'établissement d'un fait (la nature des relations entre l'expert et le frère de l'expertisé) susceptible d'avoir une influence sur la décision de récusation.
Par ailleurs, le recourant rend vraisemblable que le fait que l'expert soit le psychiatre de son frère pourrait faire craindre une apparence de partialité. En effet, il n'est pas exclu qu'un psychiatre qui a pour patient le frère d'un expertisé ait eu une connaissance préalable d'éléments touchant l'enfance et les relations familiales de celui-ci; tel pourrait être le cas en particulier lors de l'établissement de l'anamnèse psychiatrique dudit frère. Cet élément pourrait conduire à une partialité, même, cas échéant, involontaire. S'il est certes probable que l'expert ait été, comme l'ont retenu les premiers juges, à même de faire la part des choses et qu'il ait agi avec toute l'objectivité requise, les circonstances pourraient ne plus permettre de le présumer à titre général. Une telle incertitude aurait pu être levée par les mesures d'instruction de l'art. 58 al. 2 CPP. Toutefois, comme l'expert est décédé entre-temps, il n'est plus possible de satisfaire à l'exigence de l'art. 58 al. 2 CPP, seule mesure d'instruction susceptible d'écarter tout doute quant à l'influence sur l'expert de son activité de psychiatre du frère de l'expertisé.
3.3. Dans de telles circonstances, compte tenu de l'apparence de prévention du feu expert, il y a lieu de retirer du dossier l'expertise réalisée par le Docteur C._ ainsi que les réponses complémentaires du 11 novembre 2016, comme le requiert le recourant. En effet, conformément à l'art. 60 al. 1 CPP, les actes de procédure auxquels a participé une personne tenue de se récuser sont annulés et répétés si une partie le demande. Le Ministère public statuera sur les honoraires relatifs à cette expertise, qui seront laissés à la charge de l'Etat.
4.
Il s'ensuit que le recours est admis et l'arrêt attaqué annulé. La cause est renvoyée au Ministère public du Parquet régional de La Chaux-de-Fonds pour qu'il ordonne une nouvelle expertise et désigne un nouvel expert conformément à l'art. 184 CPP.
Le recourant, qui obtient gain de cause avec l'assistance d'une avocate, a droit à des dépens pour la présente procédure de recours, à la charge de l'Etat de Neuchâtel (art. 68 al. 1 LTF). Dans ces conditions, sa demande d'assistance judiciaire pour la présente procédure est sans objet. Il n'y a pas lieu de percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 4 LTF).
Les frais et dépens de la procédure cantonale peuvent également être fixés dans le présent arrêt (art. 67 et 68 al. 5 LTF). Les dépens sont ainsi arrêtés de manière globale pour les procédures cantonale et fédérale, à la charge du canton de Neuchâtel.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis et l'arrêt attaqué est annulé.
2.
Les documents réalisés par le Docteur C._ sont retirés du dossier. La cause est renvoyée au Ministère public du Parquet régional de La Chaux-de-Fonds pour qu'il ordonne une nouvelle expertise et désigne un nouvel expert conformément à l'art. 184 CPP.
3.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
4.
Une indemnité de dépens de 2'500 francs est accordée à la mandataire du recourant, pour les procédures judiciaires fédérale et cantonale, à la charge de l'Etat de Neuchâtel. La demande d'assistance judiciaire pour la procédure fédérale est sans objet.
5.
Le présent arrêt est communiqué à la mandataire du recourant, au Ministère public du Parquet régional de La Chaux-de-Fonds, et à l'Autorité de recours en matière pénale du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 18 avril 2017
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Merkli
La Greffière : Tornay Schaller