Sachverhalt:
A.
B._ war vom 18. Juni bis zum 27. Juli 2012 im Universitätsspital Basel-Stadt zur Durchführung einer Herzklappenoperation hospitalisiert. Nach der gut verlaufenen Operation entwickelte sich ein Infekt, welcher zu einer Vereiterung der Brusthöhle führte. Vom 27. Juli bis zum 9. August 2012 wurde B._ zur Regeneration in die Klinik Schloss Mammern verlegt. Nach einer Besserung des Zustands wurde am 9. August 2012 erneut ein Sekretausfluss festgestellt. Am 13. August 2012 wurde B._ ans Universitätsspital zurückverlegt, wo die Wunde geöffnet und gereinigt wurde. Am 8. September 2012 wurde B._ fieberfrei nach Hause entlassen. Am 17. September 2012 verstarb B._ nach einer erfolglos gebliebenen Reanimation.
Am 6. August 2013 reichte die Witwe von B._, A._, bei der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt eine "Strafanzeige/Strafantrag" gegen das Universitätsspital Basel-Stadt, die involvierten Ärzte und Angestellte der Verwaltung ein wegen fahrlässiger Tötung aufgrund medizinischer Fehlbehandlung sowie Urkundenunterdrückung. Sie führte an, es sei nicht auszuschliessen, dass das vorzeitige Ableben von B._ durch die Infektion, die ungenügende Betreuung und Behandlung und vor allem die verfrühte Entlassung schuldhaft verursacht worden sei. Die Überprüfung der medizinischen Akten habe zudem ergeben, dass mehrere Seiten entfernt worden seien.
Die Staatsanwaltschaft liess Patientenakten beschlagnahmen, führte verschiedene Einvernahmen durch und gab bei Prof. Dittmann vom Institut für Rechtsmedizin der Universität Basel (IRM) ein Gutachten zum Ableben von B._ in Auftrag. Dieses wurde am 30. Juni 2014 von der Leitenden Ärztin Dr. K. Gerlach erstattet.
Am 18. November 2014 nahm die Staatsanwaltschaft das Strafverfahren nicht an die Hand.
Am 20. September 2015 hiess das Appellationsgericht Basel-Stadt die Beschwerde von A._ gut und wies die Staatsanwaltschaft an, ein neues Gutachten ausserhalb des IRM einzuholen.
B.
Mit Beschwerde in Strafsachen beantragt die Staatsanwaltschaft, es sei festzustellen, dass ihre Nichtanhandnahmeverfügung vom 18. November 2014 mangels Legitimation von A._ zur Beschwerde in Rechtskraft erwachsen sei und der angefochtene Entscheid des Appellationsgerichts Bundesrecht verletze. Im Falle der Gutheissung dieses Antrags sei im Hinblick auf künftige Verfahren festzustellen, dass die Vorinstanz Art. 184 Abs. 3 StPO zu Unrecht angewandt habe, sie eine Befangenheit der Sachverständigen in analoger Anwendung von Art. 56 StPO zu Unrecht bejaht habe und dass es im Verfahren nach Art. 183 Abs. 2 StPO keiner vorgängigen Anhörung bezüglich der Auswahl des Sachverständigen bedürfe. Sollte das Appellationsgericht nach Ansicht des Bundesgerichts zu Recht auf die Beschwerde eingetreten sein, sei der Entscheid wegen Bundesrechtswidrigkeit aufzuheben und die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
C.
Das Appellationsgericht verzichtet auf Vernehmlassung und beantragt, die Beschwerde abzuweisen.
D.
Die Staatsanwaltschaft teilt mit, A._ habe bei ihr ein Gesuch um Einsicht in die Krankengeschichte von B._ eingereicht. Sie beantragt, das Bundesgericht solle A._ auffordern, das Akteneinsichtsgesuch zu begründen und das Gesuch abzuweisen oder eventuell an die Staatsanwaltschaft zur Beurteilung zurückzuschicken.
A._ teilt mit, ihr Akteneinsichtsgesuch beziehe sich auf das Verfahren vor der Staatsanwaltschaft, nicht auf das bundesgerichtliche Verfahren. Sie beantragt dem Bundesgericht festzustellen, dass die Staatsanwaltschaft für dessen Behandlung zuständig sei. Für den Fall, dass sich das Bundesgericht selber für die Behandlung des Gesuchs als zuständig erachte, sei es gutzuheissen und die Staatsanwaltschaft anzuweisen, ihr Einsicht in die originale Krankenakte ihres verstorbenen Ehemannes zu gewähren.
In der Sache beantragt A._, die Beschwerde abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Entscheid in einer Strafsache; dagegen steht die Beschwerde in Strafsachen offen (Art. 78 Abs. 1, Art. 80 Abs. 1, Art. 90 BGG). Er schliesst das von der Beschwerdegegnerin angeregte Strafverfahren allerdings nicht ab sondern bewirkt dessen Fortführung bzw. Eröffnung; es handelt sich um einen Zwischenentscheid im Sinn von Art. 93 Abs. 1 BGG. Gegen einen solchen ist die Beschwerde zulässig, wenn er einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil rechtlicher Natur (BGE 133 IV 139 E. 4) bewirken kann (lit. a) oder wenn die Gutheissung der Beschwerde sofort einen Endentscheid herbeiführen und dadurch einen bedeutenden Aufwand an Zeit und Kosten für ein weitläufiges Beweisverfahren ersparen würde (lit. b).
1.2. Die Beschwerdeführerin macht geltend, die Gutheissung der Beschwerde würde zur sofortigen Rechtskraft ihrer Nichtanhandnahmeverfügung und damit zur sofortigen Beendigung des Strafverfahrens führen. Diesfalls wäre es nicht mehr erforderlich, ein neues, kostenintensives Gutachten anzufordern und umfangreiche Untersuchungshandlungen vorzunehmen; insofern liege eine Beschwer nach Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG eindeutig vor. Eventualiter liege auch ein nicht wiedergutzumachender Nachteil im Sinn von lit. a dieser Bestimmung vor, müsste doch die Staatsanwaltschaft nach dem angefochtenen Entscheid ein neues Gutachten in einem fremden Kanton in Auftrag geben, was erfahrungsgemäss mit Kosten in der Grössenordnung von Fr. 30'000.-- verbunden sei, und umfangreiche Ermittlungen tätigen. Sie müsste die Frage der Kausalität ermitteln, was nach der Begründung ihrer Nichtanhandnahmeverfügung unmöglich sei. Weitere Kosten würden für die Verteidigung allfällig Beschuldigter anfallen sowie allfällige Entschädigungsforderungen dieser Personen nach einer Einstellung des Verfahrens bzw. einem Freispruch.
1.3. Mit dem angefochtenen Entscheid des Appellationsgerichts wird die Staatsanwaltschaft verpflichtet, das von ihr nicht an die Hand genommene Strafverfahren zu eröffnen bzw. weiterzuführen, was für den Kanton mit Aufwand verbunden ist. Der Einsatz bzw. Verbrauch von personellen und finanziellen Ressourcen stellt indessen allenfalls einen (nicht wiedergutzumachenden) Nachteil faktischer, nicht rechtlicher Natur dar. Die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG sind nicht erfüllt.
1.4. Träfe die Auffassung der Staatsanwaltschaft zu, dass das Appellationsgericht auf die Beschwerde mangels Legitimation der Beschwerdegegnerin (bzw. damaligen Beschwerdeführerin) nicht hätte eintreten dürfen, so könnte mit der Gutheissung der Beschwerde sofort ein Endentscheid herbeigeführt werden, womit es bei der Nichtanhandnahme des Strafverfahrens bliebe und weiterer Aufwand vermieden würde.
Im von der Beschwerdegegnerin angestrengten Strafverfahren gegen Ärzte und Angestellte des Universitätsspitals Basel-Stadt ist ihr verstorbener Ehemann Opfer und Geschädigter; als Ehefrau, die in ihrer Strafanzeige ausdrücklich erklärt hat, im Straf- und im Zivilpunkt Parteirechte wahrnehmen zu wollen, ist sie Privatklägerin (Art. 118 Abs. 1 StPO i.V.m. Art. 121 Abs. 1 StPO). Sie kann sowohl die Verfolgung und Bestrafung der Täter verlangen als auch adhäsionsweise Zivilansprüche geltend machen (Art. 119 Abs. 2 lit. a und b StPO). Sie ist Partei des Verfahrens (Art. 104 Abs. 1 lit. b StPO) und befugt, die in der StPO vorgesehenen Rechtsmittel zu ergreifen, sofern sie ein rechtlich geschütztes Interesse an der Aufhebung oder Änderung eines Entscheids hat (Art. 382 Abs. 1 StPO). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung begründet der Anspruch der Privatklägerschaft, die Verfolgung und Verurteilung des Täters zu verlangen, das rechtlich geschützte Interesse im Sinn von Art. 382 Abs. 1 StPO, auch wenn sie keine Zivilansprüche geltend machen kann. Diese Bestimmung ist nicht im Sinn von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG auszulegen, der die Legitimation der Privatklägerschaft zur Beschwerde ans Bundesgericht davon abhängig macht, dass sich der angefochtene Entscheid auf ihre Zivilforderungen auswirken kann (BGE 141 IV 231 E. 2.5 S. 235 mit Hinweisen). Die Auffassung der Staatsanwaltschaft, dass die Beschwerdegegnerin nicht Privatklägerin ist und nicht befugt war, ihre Nichtanhandnahmeverfügung beim Appellationsgericht anzufechten, weil sie aus der angezeigten Straftat keine Zivil-, sondern ausschliesslich öffentlich-rechtliche Staatshaftungsansprüche ableiten kann, ist unzutreffend.
1.5. Das Appellationsgericht ist im angefochtenen Entscheid zum Schluss gekommen, dass auf das Gutachten von Dr. Gerlach aus formellen Gründen nicht abgestellt werden kann, weil einerseits die Beschwerdegegnerin keine Möglichkeit erhalten hatte, sich zur sachverständigen Person und zu den Fragen zu äussern und dazu Anträge zu stellen (Art. 184 Abs. 4 StPO) und anderseits der Gutachterin des IRM die erforderliche Unabhängigkeit abgeht, um Behandlungen am Universitätsspital Basel-Stadt als gerichtlich bestellte Sachverständige zu beurteilen. Träfe die Auffassung der Staatsanwaltschaft zu, dass die Vorbehalte des Appellationsgerichts gegen das Gutachten unbegründet wären, würde auch dies zur Gutheissung der Beschwerde führen mit der Folge, dass die Nichtanhandnahmeverfügung der Staatsanwaltschaft bestehen bliebe und diese keinen weiteren Aufwand mehr betreiben müsste.
Das Bundesgericht hat diesbezüglich bereits im Urteil 1B_188/2011 vom 1. Juni 2011 ausdrücklich festgestellt, dass Dr. Gerlach vom IRM aufgrund der Verbindungen ihres Instituts zum Universitätsspital Basel-Stadt nicht über die erforderliche Unabhängigkeit verfügt, um dort durchgeführte Behandlungen als gerichtlich bestellte Gutachterin zu beurteilen. Der Einwand der Beschwerdeführerin, das erwähnte Bundesgerichtsurteil sei nicht einschlägig, da im Zeitpunkt der Auftragserteilung noch gar nicht festgestanden habe, gegen wen sich die Strafuntersuchung richten würde, geht fehl. Aus der Strafanzeige geht unmissverständlich hervor, dass sie sich gegen Ärzte, medizinische Hilfspersonen und Verwaltungspersonal des Universitätsspitals richtet. Die Konstellation ist in Bezug auf den Anschein der Befangenheit, den eine Gutachterin des IRM gegenüber den angezeigten, nicht namentlich genannten Spitalangestellten erweckt, gleich wie im Urteil 1B_188/2011. Dass ein Kanton nach Art. 183 Abs. 2 StPO dauernd bestellte oder amtliche Gutachter benennen kann und der Kanton Basel-Stadt für medizinische Fragen das IRM mit dieser Aufgabe betraut hat, ändert entgegen der Auffassung der Staatsanwaltschaft nichts daran, dass nach Art. 183 Abs. 3 StPO die Ausstandsregeln zu beachten sind und dementsprechend ein Auftrag zur Begutachtung von umstrittenen Behandlungen im Universitätsspital anderweitig vergeben werden muss, wenn die Sachverständigen des IRM aufgrund von institutionellen bzw. personellen Verflechtungen ihres Instituts mit dem Universitätsspital befangen erscheinen.
1.6. Fällt somit eine Gutheissung der Beschwerde ausser Betracht, braucht nicht abschliessend geklärt zu werden, ob der vorab auf Zivilverfahren zugeschnittene Art. 93 Abs. 1 lit. b BGG in vom Legalitätsprinzip beherrschten Strafsachen überhaupt zur Anwendung kommen kann (vgl. Urteil 6B_782/2008 vom 12. Mai 2009 = Pra 2009 Nr. 115) und ob die Voraussetzungen vorliegend erfüllt wären. Das liegt keineswegs nahe, erscheint doch die Prognose der Staatsanwaltschaft über den Aufwand, den sie nach der Rückweisung zur Fortführung des Verfahrens betreiben müsste, übertrieben. Es leuchtet jedenfalls nicht ein, weshalb ein (Akten-) Gutachten, das beim IRM mit einem Zeitaufwand von 4 Stunden für Fr. 1'260.-- erstellt wurde, bei einem anderen Sachverständigen Fr. 30'000.--, mithin das rund 24-fache davon, kosten sollte.
1.7. Die Beschwerdegegnerin hat die Beschwerdeführerin ersucht, ihr Einsicht in sich in ihrem Besitz befindlichen Akten zu geben. Über dieses Gesuch wird die Beschwerdeführerin selber zu befinden haben, das Bundesgericht ist dafür nicht zuständig. Das Gesuch wird ihr mit dem vorliegenden Entscheid zurückgeschickt.
2.
Die Beschwerde ist somit abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 4 BGG). Hingegen hat der Kanton Basel-Stadt der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Basel-Stadt hat der Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 2'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Störi