Faits :
A.
Par décision du 11 septembre 2013, le Président du Tribunal civil de la Sarine (ci-après: le Président) a accordé l'assistance judiciaire à B._ dans le cadre de la procédure matrimoniale l'opposant à C._. Me A._ a été désigné en qualité de conseil d'office.
La procédure devant le Tribunal civil de la Sarine s'est terminée par jugement de divorce du 24 mai 2016. Me A._ a produit sa liste de frais le 3 juin 2016, réclamant 19'089 fr. 70, à savoir 16'582 fr. 35 à titre d'honoraires, 1'089 fr. 39 à titre de débours et 1'417 fr. 95 pour la TVA.
B.
Par décision du 20 juillet 2016, le Président a fixé l'indemnité de défenseur d'office lui revenant à 14'340 fr. 65, à savoir 12'189 fr. à titre d'honoraires, 1'089 fr. 39 à titre de débours et 1'062 fr. 27 pour la TVA.
Par arrêt du 23 août 2016, la Ie Cour d'appel civil du Tribunal cantonal de l'Etat de Fribourg a partiellement admis le recours interjeté par A._, en ce sens que l'indemnité de défenseur d'office est fixée à 15'312 fr. 70 (honoraires: 13'089 fr.; débours: 1'089 fr. 39; TVA: 1'134 fr. 30).
C.
Par mémoire du 26 septembre 2016, A._ exerce un recours constitutionnel subsidiaire au Tribunal fédéral. Il conclut à la réforme de l'arrêt entrepris, en ce sens que l'indemnité d'office qui lui est due est arrêtée à 19'089 fr. 69, soit 16'582 fr. 35 à titre d'honoraires, 1'089 fr. 39 à titre de débours et 1'417 fr. 95 à titre de TVA.
Des observations n'ont pas été requises.
Considérant en droit :
1.
1.1. L'arrêt entrepris, qui a pour objet la rétribution de l'activité déployée par le défenseur d'office dans une affaire susceptible de recours en matière civile (art. 72 al. 1 LTF), constitue une décision rendue dans une matière connexe au droit civil au sens de l'art. 72 al. 2 let. b LTF (arrêt 5D_4/2016 du 26 février 2016 consid. 1.1 et les références). La valeur litigieuse n'atteint pas le seuil légal de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF; arrêts 5A_120/2016 du 26 mai 2016 consid. 1.1 et les références) et aucune des exceptions prévues à l'art. 74 al. 2 LTF n'est réalisée; seul le recours constitutionnel subsidiaire est donc ouvert (art. 113 ss LTF).
1.2. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 et 117 LTF) contre une décision finale (art. 90 et 117 LTF) rendue en dernière instance cantonale par un tribunal supérieur (art. 75 al. 1 et 114 LTF); le recourant, qui est titulaire de la prétention litigieuse, a un intérêt juridiquement protégé à l'annulation ou à la modification de la décision attaquée (art. 115 LTF; arrêts 5D_4/2016 du 26 février 2016 consid. 1.3; 5D_175/2008 du 6 février 2009 consid. 1.2).
2.
2.1. Le recours constitutionnel subsidiaire peut être formé pour violation des droits constitutionnels (art. 116 LTF). En particulier, le Tribunal fédéral ne corrige l'application du droit matériel que si celle-ci est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. La notion d'arbitraire a été rappelée récemment dans l'arrêt paru aux ATF 140 III 16 consid. 2.1, auquel on peut se référer. En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat. Le Tribunal fédéral n'examine en outre que les griefs expressément soulevés et motivés conformément au principe d'allégation (art. 106 al. 2 et 117 LTF; sur les exigences de motivation, parmi plusieurs: ATF 139 I 229 consid. 2.2; 134 II 244 consid. 2.2, 349 consid. 3 et les références). En particulier, les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 139 II 404 consid. 10.1).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 118 al. 1 LTF). Le recourant ne peut obtenir leur rectification ou leur complètement que s'il démontre la violation de droits constitutionnels (art. 118 al. 2 et 116 LTF). Il doit ainsi exposer avec précision, conformément au principe d'allégation susmentionné, en quoi la constatation d'un fait, pertinent pour l'issue de la procédure, est manifestement insoutenable, c'est-à-dire en contradiction évidente avec la situation de fait, repose sur une inadvertance manifeste ou est dénuée de toute justification objective (ATF 136 I 332 consid. 2.2; 133 III 439 consid. 3.2, 585 consid. 4.1 et les arrêts cités).
3.
3.1. L'autorité cantonale dispose d'un large pouvoir d'appréciation dans la fixation de l'indemnité du défenseur d'office (cf. art. 96 CPC; arrêts 5D_4/2016 du 26 février 2016 consid. 4.3.1; 5A_157/2015 du 12 novembre 2015 consid. 3.2). Le Tribunal fédéral n'intervient qu'en cas d'arbitraire (arrêt 4A_382/2015 du 4 janvier 2016 consid. 4.1 et les arrêts cités). Tel est le cas lorsque la décision repose sur une appréciation insoutenable des circonstances, est incompatible avec les règles du droit et de l'équité, omet de prendre en considération tous les éléments propres à fonder la décision ou, au contraire, tient compte de critères dénués de pertinence (ATF 125 V 408 consid. 3a). Le Tribunal fédéral fait preuve de réserve lorsque l'autorité estime exagérés le temps ou les opérations déclarés par l'avocat d'office, car il appartient aux autorités cantonales de juger de l'adéquation entre les activités déployées par ce dernier et celles qui sont justifiées par l'accomplissement de sa tâche (ATF 141 I 124 consid. 3.2; 118 Ia 133 consid. 2d p. 136; arrêt 5D_4/2016 du 26 février 2016 consid. 4.3.1). Enfin, il ne suffit pas que l'autorité ait apprécié de manière erronée un poste de l'état de frais ou qu'elle se soit fondée sur un argument déraisonnable; encore faut-il que le montant global alloué à titre d'indemnité se révèle arbitraire (ATF 109 Ia 107 consid. 3d; arrêt 5D_54/2014 précité consid. 2.3).
3.2. Sous l'angle de l'interdiction constitutionnelle de l'arbitraire et, indirectement, de la garantie constitutionnelle de la liberté économique, la rémunération de l'avocat d'office peut être inférieure à celle du mandataire privé. Elle doit néanmoins être équitable (art. 122 al. 1 let. a CPC; ATF 141 I 124 consid. 3.2; 137 III 185 consid. 5.1; arrêt 5D_4/2016 du 26 février 2016 consid. 4.3.2). Pour être considérée comme telle, l'indemnité doit non seulement couvrir les frais généraux de l'avocat, mais en plus permettre d'obtenir un revenu modeste, qui ne soit pas uniquement symbolique (ATF 141 précité; 137 III 185 consid. 5.1 et 5.3; 132 précité consid. 8.5 et 8.6; arrêt 5A_157/2015 du 12 novembre 2015 consid. 3.2.2). D'expérience, les frais généraux d'un avocat représentent d'ordinaire entre 40 et 50% du revenu professionnel brut (ATF 132 I 201 consid. 7.4.1). De manière constante, le Tribunal fédéral a ainsi retenu que l'indemnité équitable, pour un avocat, devait au minimum être de 180 fr. par heure en moyenne suisse, des situations particulières dans les cantons pouvant justifier un montant plus haut ou plus bas (ATF 141 I 124 consid. 3.2 et les références).
3.3. Pour fixer la quotité de l'indemnité, l'autorité cantonale doit tenir compte de la nature et de l'importance de la cause, des difficultés particulières que celle-ci peut présenter en fait et en droit, du temps que l'avocat lui a consacré, de la qualité de son travail, du nombre des conférences, audiences et instances auxquelles il a pris part, du résultat obtenu et de la responsabilité qu'il a assumée (arrêt 5D_4/2016 du 26 février 2016 consid. 4.3.3). En matière civile, le défenseur d'office peut être amené à accomplir dans le cadre du procès des démarches qui ne sont pas déployées devant les tribunaux, telles que recueillir des déterminations de son client ou de la partie adverse ou encore rechercher une transaction. De telles opérations doivent également être prises en compte (ATF 122 I 1 consid. 3a; 117 Ia 22 consid. 4c et les références citées). Cependant, le temps consacré à la défense du client et les actes effectués ne peuvent être pris en considération sans distinction. Ainsi, le juge peut d'une part revoir le travail allégué par l'avocat, s'il l'estime exagéré en tenant compte des caractéristiques concrètes de l'affaire, et ne pas rétribuer ce qui ne s'inscrit pas raisonnablement dans le cadre de l'accomplissement de la tâche du défenseur; d'autre part, il peut également refuser d'indemniser le conseil pour des opérations qu'il estime inutiles ou superflues. L'avocat d'office ne saurait être rétribué pour des activités qui ne sont pas nécessaires à la défense des intérêts de l'assisté ou qui consistent en un soutien moral (ATF 109 Ia 107 consid. 3b; arrêt 5P.462/2002 du 30 janvier 2003 consid. 2.3). L'avocat doit cependant bénéficier d'une marge d'appréciation suffisante pour déterminer l'importance du travail qu'il doit consacrer à l'affaire (ATF 118 Ia 133 consid. 2d p. 136; 109 Ia 107 consid. 3b p. 111; arrêt 5D_4/2016 du 26 février 2016 consid. 4.3.3).
3.4. Dans le canton de Fribourg, l'art. 57 al. 1 du Règlement sur la justice (ci-après: RJ; RSF 130.11) précise que l'indemnité équitable allouée au défenseur d'office est fixée compte tenu du travail requis, de l'importance et de la difficulté de l'affaire.
4.
Le recourant soulève le grief d'arbitraire (art. 9 Cst.) dans l'application des art. 122 al. 2 CPC et 57 al. 1 RJ, considérant que la rémunération qui lui a été allouée est arbitraire.
4.1. En premier lieu, il se plaint de ce que l'autorité cantonale a confirmé le procédé du premier juge tendant à réduire une partie du minutage de ses correspondances de 7 à 5 minutes, respectivement de 13 à 10 minutes. A ce sujet, l'autorité précédente a relevé que la réduction ainsi opérée par le premier juge était suffisamment compréhensible pour l'avocat, celui-ci pouvant parfaitement saisir qu'une partie du temps mentionné sur la liste des opérations n'était pas nécessaire à l'accomplissement des tâches en question. Cette décision demeurait par ailleurs dans le cadre du pouvoir d'appréciation global du juge qui fixe l'indemnité du défenseur d'office, étant rappelé que le coût du travail de la secrétaire (notamment dactylographier et mettre en forme la lettre) était compris dans le montant horaire des honoraires de l'avocat.
Le recourant expose, en substance, qu'il facture ses courriers de la même manière que ses confrères du canton, à savoir 7 minutes pour une page et 13 minutes pour deux pages, de sorte qu'il s'agirait pratiquement d'une norme. Les lettres facturées de cette façon ne seraient pas de simples lettres de transmission, mais bien des correspondances dans lesquelles il émet des considérations toujours pertinentes pour la suite de la procédure. Par ailleurs, il ne dactylographierait jamais lui-même ses courriers. Une telle motivation ne permet pas de démontrer le caractère insoutenable de la décision entreprise. Rien dans cette argumentation ne permet d'affirmer que le résultat de la décision entreprise serait arbitraire, autrement dit, que les courriers qui lui ont été rétribués à raison de 5 minutes par page nécessitaient en réalité impérativement 7 minutes de travail (cf. supra consid. 2.1).
4.2. Le recourant conteste la réduction du temps opérée par rapport à diverses opérations.
Il expose, en substance, que vu l'ampleur du dossier, le temps qu'il a indiqué y avoir consacré est entièrement justifié, que notamment, il n'a pas le temps de se livrer à des conférences téléphoniques qui ne concerneraient pas précisément un dossier, qu'étant donné les nombreux rebondissements qu'a connus la procédure, il était normal que de nombreux entretiens aient lieu, ce d'autant plus que son client était un homme qui revendiquait à juste titre la garde des enfants, ce qu'il était délicat de défendre en 2013, les autorités adoptant une position plutôt conservatrice à ce sujet. Il ajoute qu'il n'est jamais facile de prendre connaissance de rapports psychiatriques, qu'en tant que la cour cantonale lui accorde 4.3 minutes par page pour étudier une requête de la partie adverse, elle omet qu' "à moins d'être prestidigitateur, aucun avocat n'est en mesure de travailler à une pareille vitesse ", qu'un avocat responsable se doit de lire correctement toutes les écritures qu'on lui soumet, faute de quoi il s'expose à engager sa responsabilité civile, que les déterminations qu'il a rédigées l'ont été avec grand soin, que pour rédiger un mémoire de 12 pages " il est clair qu'il n'est en tout cas pas excessif d'indiquer 4h ", les autorités judiciaires ayant tout intérêt à disposer d'écritures bien rédigées et synthétiques, qu'au vu du volume du dossier, il est manifeste qu'un temps de préparation d'une heure n'est pas exagéré pour une audience ayant pour objet la tentative de conciliation, les premières plaidoiries, l'administration des preuves, l'éventuelle clôture de la procédure probatoire et les plaidoiries finales, ceci même si aucune plaidoirie n'a finalement eu lieu, puisqu'il a dû préparer des notes en vue de ladite audience, enfin, qu'un avocat consciencieux se doit de lire le jugement in extenso, même lorsque son client obtient gain de cause, puisque ledit jugement pourrait contenir des erreurs qu'il faudrait alors corriger, de sorte qu'il serait insoutenable de ne lui accorder qu'une heure pour lire un jugement de 53 pages.
La cour cantonale a exposé de manière circonstanciée et complète les raisons pour lesquelles elle a réduit le temps consacré à certaines opérations que le recourant avait fait figurer dans sa liste, précisant pour chacune d'entre elles les motifs de la réduction au regard des circonstances concrètes de l'affaire. Par sa critique, le recourant y oppose pour l'essentiel sa propre appréciation, sans parvenir à démontrer que l'autorité de deuxième instance a refusé d'indemniser des opérations qui relevaient incontestablement de sa mission d'avocat d'office, qu'elle a apprécié de manière erronée un poste de l'état des frais ou qu'elle s'est fondée sur un argument déraisonnable, autrement dit, qu'elle aurait ainsi manifestement abusé de son pouvoir d'appréciation (cf. supra consid. 2.1 et 3). A cela s'ajoute qu'il ne démontre pas non plus que le résultat, autrement dit le montant qui lui a été alloué à titre d'indemnité, serait insoutenable (cf. supra consid. 2.1). Il s'ensuit qu'autant que recevables, les griefs doivent être rejetés.
5.
Vu ce qui précède, le recours est rejeté dans la mesure de sa recevabilité, aux frais du recourant (art. 66 al. 1 LTF). Il n'y a pas lieu d'allouer des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties.
Lausanne, le 30 janvier 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Dolivo