Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/BS. Gegen den Entscheid der Steuerrekurskommission des Kantons Basel-Stadt vom 18. Mai 2017 betreffend die Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Basel-Stadt sowie direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2013, erhob er am 28. Juli 2017 beim Appellationsgericht Basel-Stadt Rekurs. Dieses setzte dem Steuerpflichtigen mit eingeschrieben versandter Verfügung vom 2. August 2017 Frist bis zum 28. August 2017 zur Leistung eines Kostenvorschusses. Der Steuerpflichtige hatte zu dieser Zeit der Schweizerischen Post den Auftrag erteilt, die Post bis zum 4. September 2017 zurückzubehalten. Der Einschreibebrief wurde ihm am 5. September 2017 ausgehändigt. Tags darauf gelangte der Steuerpflichtige schriftlich an das Appellationsgericht. Er machte im wesentlichen geltend, die Verfügung "wegen Problemen mit der Post" erst am 5. September 2017 erhalten zu haben. Entsprechend ersuche er um Verlängerung der Frist zur Leistung des Kostenvorschusses.
1.2. In zwei Entscheiden (VD.2017.180 und VD.2017.181) vom 12. September 2017 stellte das Appellationsgericht Basel-Stadt fest, dass der Steuerpflichtige den Kostenvorschuss innert Frist nicht geleistet habe. Das Fristerstreckungsgesuch bzw. Wiederherstellungsgesuch werde abgewiesen. Die Rechtsmittel seien daher gemäss § 30 Abs. 2 des Gesetzes (des Kantons Basel-Stadt) vom 14. Juni 1928 über die Verfassungs- und Verwaltungsrechtspflege (VRPG/BS; SG 270.100) dahingefallen. Die Verfahren würden als erledigt abgeschrieben.
1.3. Mit Eingabe vom 20. Oktober 2017 (Poststempel) erhebt der Steuerpflichtige beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und Verfassungsbeschwerde. Er beantragt sinngemäss, die angefochtenen Entscheide seien aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, auf die Rechtsmittel einzutreten. Zudem beantragt er, die Steuerrechnung in Bezug auf Spesen und Belastungszins zu überprüfen.
1.4. Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG [SR 173.110]) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen. Die Sache kann aufgrund der offensichtlich unbegründeten Beschwerde im vereinfachten Verfahren nach Art. 109 Abs. 2 lit. a BGG entschieden werden.
2.
2.1. Die Voraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten liegen grundsätzlich vor (Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 90, Art. 100 Abs. 1 BGG in Verbindung mit Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Streitgegenstand kann allerdings nur sein, was die Vorinstanz entschieden hat. Der Streitgegenstand kann damit im Laufe des Rechtsmittelverfahrens nur eingeschränkt (minus), nicht aber ausgeweitet (plus) oder geändert (aliud) werden (Art. 99 Abs. 2 BGG; BGE 143 V 19 E. 1.1 S. 22). Die hier angefochtenen Entscheide schreiben das Verfahren mangels fristgerechter Leistung des Kostenvorschusses ab, ohne die Steuerrechnung materiell zu überprüfen. Auf die Beschwerde kann daher nur eingetreten werden, soweit sie sich gegen die Abschreibung richtet, nicht hingegen, soweit sie eine materielle Überprüfung der Steuerrechnung beantragt.
2.2. Das Bundesgericht prüft das Bundesrecht von Amtes wegen (Art. 106 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.5 S. 157) und mit uneingeschränkter (voller) Kognition (Art. 95 lit. a BGG; BGE 141 V 234 E. 2 S. 236).
2.3. Beruht der angefochtene Entscheid hingegen auf kantonalem oder kommunalem Recht, sind die Rügegründe erheblich eingeschränkt. Abgesehen von hier nicht gegebenen Ausnahmen (Art. 95 lit. c und d BGG) kann das Bundesgericht die Auslegung und Anwendung kantonalen (und kommunalen) Verfassungs-, Gesetzes- oder Verordnungsrechts nicht als solche prüfen, sondern lediglich daraufhin, ob dadurch Bundes-, Völker- oder interkantonales Recht verletzt wird (Art. 95 lit. a, b und e BGG; BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372). Dabei beschränkt die Überprüfung sich auf die Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (BGE 142 V 94 E. 1.3 S. 96), insbesondere auf den Aspekt der Verletzung des Willkürverbots (Art. 9 BV; BGE 142 V 513 E. 4.2 S. 516).
2.4. Die angebliche Verletzung verfassungsmässiger Individualrechte (unter Einschluss der Grundrechte) prüft das Bundesgericht nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG; qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit; BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106). In der Beschwerde ist daher klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen, inwiefern verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden sein sollen (BGE 142 II 369 E. 2.1 S. 372).
2.5. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.3 S.156). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 143 IV 241 E. 2.3.1 S. 244).
3.
3.1. Die Vorinstanz ist zum Schluss gelangt, der Steuerpflichtige habe den Kostenvorschuss innert Frist nicht geleistet. In der Folge nahm sie die Eingabe vom 6. September 2017 als Fristerstreckungsgesuch bzw. Wiederherstellungsgesuch entgegen und wies sie dieses ab (vorne E. 1.2). Die Frist (inkl. Fristerstreckung oder Nachfrist) zur Leistung eines Gerichtskostenvorschusses in einem direktsteuerlichen Verfahren findet im Bundesgesetzesrecht (DBG/StHG) keine Regelung. Anwendbar ist vielmehr kantonales Verfahrensrecht, was dazu führt, dass vor Bundesgericht lediglich vorgebracht werden kann, bei Auslegung und Anwendung des kantonalen Rechts seien verfassungsmässige Individualrechte verletzt worden (vorne E. 2.3). Dabei herrscht eine qualifizierte Rüge- und Begründungsobliegenheit (vorne E. 2.4).
3.2. Die Vorinstanz hat in grundsätzlich für das Bundesgericht verbindlicher Weise (Art. 105 Abs. 1 BGG; vorne E. 2.5) festgestellt, der Steuerpflichtige habe im fraglichen Zeitraum die Schweizerische Post beauftragt gehabt, die eingehenden Sendungen bis zum 4. September 2017 zurückzubehalten. Von "Problemen" bei der Zustellung kann demnach nicht ernstlich gesprochen werden, zumal der Steuerpflichtige die vorinstanzlichen Feststellungen ohnehin in keiner Weise bestreitet, die den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügt (vorne E. 2.4). Abgesehen davon, geht aus den vorinstanzlichen Akten hervor, dass der Briefumschlag, in welchem die Verfügung vom 2. August 2017 eingeschrieben versandt wurde, den von der Post angebrachten Aufdruck "Zurückbehalten bis: 04.09.2017 - Zustellen am: 05.09.2017" trägt.
3.3. Steht damit für das Bundesgericht verbindlich fest, dass der Steuerpflichtige der Post einen Rückbehalteauftrag erteilt hatte, ist verfassungsrechtlich nicht zu beanstanden, wenn die Vorinstanz von der Geltung der Zustellfiktion ausgegangen ist, da der Beschwerdeführer mit der Zustellung der Aufforderung rechnen musste (vgl. BGE 141 II 429 E.3 S. 431 ff.; 134 V 49 E. 4 S. 51 f.). Galt somit die Zahlungsaufforderung als am 11. August 2017 zugestellt, hat die Vorinstanz das Fristwiederherstellungsgesuch verfassungsrechtlich haltbar abgewiesen und ist sie folglich ebenso haltbar auf die Sache zufolge versäumter Frist für die Leistung des Kostenvorschusses nicht eingetreten. Die vorinstanzliche Auslegung und Anwendung des massgebenden kantonalen Rechts setzt keinen Verstoss gegen verfassungsmässige Individualrechte (vorne E. 2.3 und 2.4).
3.4. Die Beschwerde erweist sich damit als unbegründet, weshalb sie abzuweisen ist, soweit darauf einzutreten ist. Für alles Weitere kann auf den angefochtenen Entscheid verwiesen werden (Art. 109 Abs. 3 BGG).
4.
Nach dem Unterliegerprinzip (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG) sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens dem Steuerpflichtigen aufzuerlegen. Dem Kanton Basel-Stadt, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, steht keine Entschädigung zu (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer, Steuerperiode 2013, wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Beschwerde betreffend die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Basel-Stadt, Steuerperiode 2013, wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 13. November 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher