Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat führt aufgrund einer Anzeige der Gesundheitsdirektion des Kantons Zürich eine Strafuntersuchung gegen A._ wegen Betrugs etc. Mit Eingabe vom 18. Januar 2017 erhob A._ Beschwerde wegen Rechtsverzögerung/Rechtsverweigerung. Die III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich trat mit Beschluss vom 10. Februar 2017 auf die Beschwerde nicht ein. Zur Begründung führte sie zusammenfassend aus, dass eine Beschwerde zu begründen sei. Der Beschwerdeführer nehme in seiner in weiten Teilen verworren erscheinenden Beschwerdeschrift nicht ansatzweise Bezug auf einen konkreten Sachverhalt. Er lege weder dar, gestützt auf welche Tatsachen er das Beschleunigungsgebot als verletzt erachte, noch führe er aus, durch welche Verhaltensweisen die Staatsanwältin die ihr vorgeworfenen Verletzungen begangen haben sollte. Die Beschwerdeschrift erweise sich somit als unsubstantiiert.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 3. April 2017 Beschwerde in Strafsachen gegen den Beschluss der III. Strafkammer des Obergerichts des Kantons Zürich vom 10. Februar 2017. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung der III. Strafkammer nicht auseinander und vermag mit seinen nicht sachbezogenen Ausführungen nicht aufzuzeigen, inwiefern die Begründung der III. Strafkammer bzw. deren Beschluss selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Angesichts der Aussichtslosigkeit des Verfahrens ist dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht zu entsprechen (Art. 64 BGG). Indessen ist davon abzusehen, für das bundesgerichtliche Verfahren Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Es werden keine Kosten erhoben.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Zürich-Limmat und dem Obergericht des Kantons Zürich, III. Strafkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. April 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli