Sachverhalt:
A.
A.a. Der 1947 geborene A._ bezieht seit Juni 2010 eine Altersrente der AHV. Am 16. August 2011 meldete er sich beim Amt für Zusatzleistungen zur AHV/IV der Stadt Zürich (nachfolgend: AZL) zum Bezug von Zusatzleistungen an. Mit Verfügung vom 11. Oktober 2011 sprach ihm das AZL ab 1. August 2011 monatliche Ergänzungsleistungen von Fr. 1'076.- zu. Gleichzeitig verneinte es einen Anspruch auf kantonale Beihilfen und Zuschüsse, woran es auf Einsprache hin festhielt (Einspracheentscheid vom 19. Januar 2012). Die dagegen erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 21. Juni 2013 insofern gut, als es den Einspracheentscheid aufhob und die Sache zu ergänzenden Abklärungen im Sinne der Erwägungen und anschliessender neuer Verfügung über den Anspruch auf Beihilfen und Gemeindezuschüsse ab August 2011 an die Stadt Zürich zurückwies.
Nach Abklärungen und Vergleichsbemühungen wies das AZL den Anspruch auf kantonale Beihilfen und Zuschüsse mit Einspracheentscheid vom 18. Juli 2014 erneut ab.
Zur Durchführung eines korrekten Verwaltungsverfahrens mit Erlass einer Verfügung und gegebenenfalls eines Einspracheentscheids wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich die Sache mit Entscheid vom 31. Januar 2015 abermals an das AZL zurück. Mit Verfügung vom 23. Februar 2015 sprach dieses A._ ab 1. August 2011 bis Januar 2015 monatliche Ergänzungsleistungen von zuletzt Fr. 1'079.- und ab 1. Juni 2013 bis Januar 2015 zudem eine monatliche kantonale Beihilfe von Fr. 202.- zu. Es verneinte einen Anspruch auf kantonale Beihilfe und Gemeindezuschüsse für die Zeit ab 1. August 2011. Daran hielt es mit Einspracheentscheid vom 28. Mai 2015 fest. Die von A._ dagegen erhobene Beschwerde wies das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich mit Entscheid vom 30. September 2015 ab.
A.b. Das Bundesgericht hiess die daraufhin eingereichte Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit Urteil 8C_522/2015 vom 21. April 2016 teilweise gut und hob den Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. September 2015 auf. Es wies die Sache an das Sozialversicherungsgericht zurück, damit es über den Anspruch des A._ auf kantonale Beihilfe und auf Gemeindezuschüsse unter Einbezug des Umstands, dass die Stadt Zürich aus steuerrechtlichtlicher Sicht ab dem Jahr 2008 von einer Wohnsitznahme in ihrer Stadt ausging, neu entscheide. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab.
B.
Das Sozialversicherungsgericht wies die Beschwerde, soweit es darauf eintrat, erneut ab, ohne die Parteien hierzu Stellung nehmen zu lassen (Entscheid vom 30. September 2016).
C.
A._ führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit den Rechtsbegehren, in Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids seien ihm "a) Fr. 4'840.- zzgl. 5 % Zins seit dem 15. Juli 2012 b) Fr. 600.- zzgl. 5 % Zins seit dem 15. Juli 2013; und c) Fr. 325.- monatlich rückwirkend seit Juli 2011, mindestens aber Fr. 15'600.- zzgl. Zins von 5 % ab dem mittleren Verfallstag von 15. Juli 2013 zuzusprechen.". Eventualiter sei die Sache an das AZL zurückzuweisen und dieses zu verpflichten, ihm die kantonalen Beihilfen, die Gemeindezuschüsse der Stadt Zürich und die Einmalzulage gemäss Beschluss des Stadtrates rückwirkend ab 1. Juni 2011 zu gewähren.
Das AZL schliesst auf Abweisung der Beschwerde. Das Bundesamt für Sozialversicherungen hat auf eine Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein in Anwendung von kantonalem Sozialversicherungsrecht ergangener, kantonal letztinstanzlicher Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG), welche unter keine der Ausnahmebestimmungen von Art. 83 BGG fällt. Er kann daher mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten angefochten werden (vgl. Art. 82 ff. BGG).
1.2. Das Bundesgericht kann angefochtene Entscheide nicht uneingeschränkt, sondern nur hinsichtlich der im Gesetz (Art. 95 ff. BGG) genannten Beschwerdegründe überprüfen. Ist auf die zu beurteilenden Fragen, wie hier, ausschliesslich kommunales oder kantonales Recht anwendbar, sind die Bundesrechtsrügen gemäss Art. 95 lit. a BGG auf Verfassungsrügen beschränkt. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (vgl. Art. 106 Abs. 2 BGG). Es obliegt den Beschwerdeführenden namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll. Das Bundesgericht prüft nur klar und detailliert erhobene und, soweit möglich, belegte Rügen. Auf ungenügend begründete Rügen und bloss allgemein gehaltene, appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 130 I 258 E. 1.3 S. 262; 129 I 113 E. 2.1 S. 120, je mit Hinweisen).
1.3. In Ergänzung zu den Rügen, die sich auf Art. 95 f. BGG stützen, sind unter den engen Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG auch Vorbringen gegen die Sachverhaltsfeststellung zulässig. Ein solcher Einwand kann nach der letztgenannten Bestimmung nur erhoben werden, wenn die Feststellung des Sachverhalts durch die Vorinstanz offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann.
2.
Streitig und zu prüfen ist, ob das kantonale Gericht Art. 9 BV (Willkür) und Art. 29 Abs. 2 BV (rechtliches Gehör) verletzte, indem es ohne Anhörung des Versicherten zur Frage der Wohnsitznahme und ohne weitere Sachverhaltsabklärungen erneut, in Bestätigung des Entscheids des AZL, die Beschwerde abwies.
3.
3.1. Die Vorinstanz stellte fest, gemäss Urteil 8C_522/2015 vom 21. April 2016 sei willkürfrei davon auszugehen, der Beschwerdeführer habe seinen Wohnsitz in der Schweiz im Frühsommer 2005 aufgegeben und ins Ausland verlegt, indem er in Argentinien einen neuen Wohnsitz begründet habe. Aufgrund der Ausführungen des Bundesgerichts sei zu prüfen, ob die einwohneramtliche und steuerrechtliche Erfassung des Versicherten ab September 2008 in der Stadt Zürich aus sozialversicherungsrechtlicher Warte die Annahme eines Wohnsitzes in der Stadt Zürich vor dem 21. Juni 2011 rechtfertige. Dies sei nicht der Fall. Bei seinem vom 10. Juni bis Ende Oktober 2008 dauernden Aufenthalt in der Schweiz habe er zwar am 8. September 2008 gegenüber dem Personenmeldeamt der Stadt Zürich angegeben, bei der Tochter zu wohnen. Daher sei er ab diesem Zeitpunkt steuerrechtlich erfasst worden und für die Staats- und Gemeindesteuern in Zürich steuerpflichtig. Die Absicht, in der Schweiz Wohnsitz zu nehmen, sei aber damit nicht verbunden gewesen. Entsprechend seinen eigenen Angaben stelle dies einen vorübergehenden, kurzfristigen Unterbruch seines Aufenthalts im Ausland dar. Mit Blick auf die steuerrechtlichen Faktoren habe er keine gewichtigen Interessen gehabt, die steuerrechtliche Erfassung im Jahr 2008 anzufechten. In Anbetracht dieser Umstände komme den erwähnten Indizien (Registrierung beim Personenmeldeamt und Steuerpflicht ab dem Jahr 2008) keine gewichtige Bedeutung zu, weshalb es bei der Beurteilung gemäss Entscheid vom 30. September 2015 bleibe.
3.2. Der Beschwerdeführer wendet dagegen ein, der angefochtene Entscheid sei willkürlich und verletze das rechtliche Gehör. Die Vorinstanz habe entschieden, ohne ihn zur relevanten Frage eines möglichen Wohnsitzes ab 1. September 2008 anzuhören und ohne den Sachverhalt weiter abzuklären. Dadurch enthalte der Entscheid aktenwidrige Sachverhaltsfeststellungen. So entspreche das zentrale Begründungselement der Vorinstanz, seine Tochter habe damals in einer 1,5 Zimmer-Wohnung gelebt, die gemäss Mietvertrag nur von einer Person habe bewohnt werden dürfen, weshalb eine Wohnsitznahme zusammen mit seiner Tochter kaum denkbar gewesen sei, nicht der Aktenlage. Er habe sich damals nicht an der Strasse B._ in Zürich bei seiner Tochter wohnend angemeldet, sondern an der Strasse C._; seine Tochter sei dort Mieterin einer 3,5 Zimmer-Wohnung gewesen. Dies ergebe sich aus den Angaben zu seiner Erfassung beim Personenmeldeamt, der Steuererklärung für das Jahr 2008 sowie aus der Einzugsanzeige vom 14. September 2008. Er sei erst im August 2011 an die Strasse B._ gezogen. Dass er davor aber bereits an der Strasse C._ gelebt habe, sei überdies den Belegen über Bargeldbezüge an Bankomaten in Zürich im August 2008 und in den Monaten April bis Oktober 2010 zu entnehmen. Es fehle daher an einer einlässlichen, willkürfreien Begründung, weshalb für die hier in Frage stehenden Ansprüche auch ab September 2008 von einem Wohnsitz im Ausland auszugehen sei.
4.
4.1. Nach Art. 29 Abs. 2 BV haben die Parteien Anspruch auf rechtliches Gehör. Dieser Anspruch stellt einen wichtigen Aspekt des allgemeinen Gebots des fairen Verfahrens gemäss Art. 29 Abs. 1 BV und Art. 6 Ziff. 1 EMRK dar (BGE 129 I 85 E. 4.1 S. 88). Er dient einerseits der Sachaufklärung und garantiert anderseits den Parteien ein persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht im Verfahren. Sie sollen sich vor Erlass des Entscheids zur Sache äussern, erhebliche Beweise beibringen, Einsicht in die Akten nehmen und an der Erhebung von Beweisen mitwirken oder sich zumindest zum Beweisergebnis äussern können, wenn dieses geeignet ist, den Entscheid zu beeinflussen (BGE 140 I 99 E. 3.4 S. 102; 135 II 286 E. 5.1 S. 293; je mit Hinweisen). Der Gehörsanspruch umfasst als persönlichkeitsbezogenes Mitwirkungsrecht somit alle Befugnisse, die einer Partei einzuräumen sind, damit sie in einem Verfahren ihren Standpunkt wirksam zur Geltung bringen kann (BGE 135 I 279 E. 2.3 S. 282; 135 II 286 E. 5.1 S. 293; 135 V 465 E. 4.3.2 S. 469; 132 V 368 E. 3.1 S. 370; Urteil 8C_372/2016 vom 29. Dezember 2016 E. 4.1, zur Publikation vorgesehen).
4.2.
4.2.1. Es steht fest, dass das kantonale Gericht anhand der bereits vorhandenen Akten entschied, ohne dass sich die Parteien zur Sache nochmals äussern konnten. Eine sorgfältige und ernsthafte Prüfung der Vorbringen des Beschwerdeführers hätte verlangt, dass ihm das kantonale Gericht - als einzige Rechtsmittelinstanz mit umfassender Sachverhalts- und Rechtskontrolle - die Gelegenheit eingeräumt hätte, zu dieser erheblichen Tatsache Stellung zu nehmen, was es ohne Angabe eines Grundes unterliess. Dieser Umstand, dass es ohne Anhörung der Parteien zur entscheidrelevanten Frage bezüglich des Auseinanderfallens von steuerrechtlicher und zivilrechtlicher Wohnsitznahme in der Stadt Zürich über die im Streit stehenden Ansprüche auf kantonale Beihilfe und auf Gemeindezuschüsse neu entschied, verletzt daher das Grundrecht auf rechtliches Gehör.
4.2.2. Der Anspruch auf rechtliches Gehör ist formeller Natur. Seine Verletzung führt - ungeachtet der Frage der materiellrechtlichen Begründetheit der Beschwerde - zur teilweisen Gutheissung des Rechtsmittels und zur Aufhebung des angefochtenen Entscheids. Denn der Entscheid leidet an einem Rechtsmangel, der letztinstanzlich nicht geheilt werden kann. Das kantonale Gericht wird dem Beschwerdeführer das rechtliche Gehör zur im Urteil 8C_522/2015 vom 21. April 2016 umschriebenen Problematik gewähren und über die Beschwerde neu entscheiden.
5.
Auf die Erhebung von Gerichtskosten wird verzichtet (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 30. September 2016 wird aufgehoben. Die Sache wird an das Sozialversicherungsgericht zurückgewiesen, damit es über die Beschwerde neu entscheide. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. April 2017
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Die Gerichtsschreiberin: Polla