Sachverhalt:
A.
A.A._ (geb. am 11. Juli 1985), brasilianische Staatsangehörige, reiste im Alter von 13 Jahren im Rahmen des Familiennachzugs in die Schweiz ein und erhielt die Aufenthaltsbewilligung. Aus einer Beziehung zu D._, einem in der Schweiz niedergelassenen kambodschanischen Staatsangehörigen, wurden am 9. Juni 2006 die Zwillingssöhne B.A._ und C.A._ geboren. Diese sind ebenfalls brasilianische Staatsangehörige. Die Aufenthaltsbewilligungen von A.A._ und ihren Kindern wurden letztmals bis zum 25. März 2013 verlängert.
A.A._ heiratete am 15. August 2013 eine in Brasilien lebende Landsfrau; die Beziehung wurde später wieder aufgelöst.
B.
Am 28. Juli 2014 beantragten A.A._, B.A._ und C.A._ die Verlängerung ihrer Aufenthaltsbewilligungen. Das Migrationsamt des Kantons Zürich stellte am 17. Februar 2015 fest, die Aufenthaltsbewilligungen seien erloschen, wies die Gesuche um deren Verlängerung ab und wies A.A._ und ihre Söhne aus der Schweiz weg. Den von diesen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich - nach Vereinigung des Verfahrens mit jenem von D._, welcher ebenfalls Rekurs erhoben hatte - am 31. August 2015 ab. Den Eventualantrag von A.A._ und ihren Söhnen, ihnen neue Aufenthaltsbewilligungen zu erteilen, wies die Sicherheitsdirektion ebenfalls ab. Dagegen gelangten A.A._ und ihre Söhne an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses wies die Beschwerde ab, wobei es die unentgeltliche Prozessführung mit Rechtsanwalt Marc Spescha bewilligte.
C.
A.A._, B.A._ und C.A._ erheben am 6. Juli 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und das Migrationsamt anzuweisen, ihnen je eine Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib im Kanton Zürich zu erteilen. Zudem ersuchen sie um Gewährung der unentgeltlichen Rechtpflege mit Rechtsanwalt Marc Spescha als unentgeltlichem Rechtsbeistand.
Das Verwaltungsgericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion und das Staatssekretariat für Migration verzichten auf Vernehmlassung.
Mit Präsidialverfügung vom 8. Juli 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung zuerkannt worden.
Erwägungen:
1.
1.1. Gegen Entscheide auf dem Gebiet des Ausländerrechts betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt, ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Den Beschwerdeführern wurde die Wiedererteilung ihrer Aufenthaltsbewilligungen verweigert. Weder auf die Verlängerung noch auf die (Wieder-) Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung besteht bundesrechtlich ein Anspruch (vgl. Art. 33 Abs. 3 AuG [SR 142.20], Art. 44 AuG).
Die Beschwerdeführer 2 und 3 können sich in Bezug auf ihren Vater, der in der Schweiz über eine Niederlassungsbewilligung und damit ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt, auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV (Schutz des Familienlebens) berufen (BGE 135 I 143 E. 1.3.1). Die Beschwerdeführer in 1 kann diese Garantie in Bezug auf ihre Kinder anrufen (umgekehrter Familiennachzug in der Variante, dass ein sorge- und obhutsberechtigter ausländischer Elternteil die Bewilligung zwecks Fortführung des Kontakts zwischen seinem Kind und dem anderen, gefestigt anwesenheitsberechtigten Elternteil erhältlich machen will, vgl. BGE 137 I 247 E. 4.2.3; Urteil 2C_27/2016 vom 17. November 2016 E. 5.2, zur Publikation vorgesehen). Ein selbständiger potenzieller Anspruch der Beschwerdeführerin 1 gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK als Recht auf Achtung des Privatlebens ist nicht zu prüfen, da er nicht geltend gemacht wird (Art. 106 Abs. 2 BGG).
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten ist somit hinsichtlich aller drei Beschwerdeführer zulässig.
1.2. Die Beschwerdeführer sind als Adressaten des angefochtenen Urteils besonders berührt und haben ein aktuelles und schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung. Sie sind damit zur Beschwerdeführung legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG).
1.3. Auf die form- und fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 42 und Art. 100 Abs. 1 BGG) ist einzutreten.
2.
2.1. Die Aufenthaltsbewilligungen der Beschwerdeführer waren gemäss Art. 61 Abs. 1 lit. c AuG am 25. März 2013 abgelaufen, da rechtzeitig kein Verlängerungsgesuch eingereicht worden war (vgl. Art. 59 Abs. 1 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit [VZAE; SR 142.201]). In Anwendung der Rechtsprechung zu dieser Konstellation (vgl. Urteil 2C_1050/2012 vom 6. Dezember 2013 E. 2.3) hat die Vorinstanz die Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligungen geprüft, was korrekt ist. Die Kriterien im kantonalen Verfahren sind (auch mit Blick auf Art. 30 Abs. 1 lit. k AuG) die gleichen wie bei der Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung: Der (weitere) Aufenthalt kann bewilligt werden, wenn keine Widerrufsgründe nach Art. 62 AuG vorliegen (Art. 33 Abs. 3 AuG). Eine allfällige Verweigerung der Bewilligung muss zudem mit dem übergeordneten Recht vereinbar, d.h. insbesondere verhältnismässig sein (Art. 96 Abs. 1 AuG, Art. 8 Ziff. 2 EMRK).
Im Verfahren vor dem Bundesgericht ist erforderlich, dass ein bundes- oder völkerrechtlicher Anspruch in Betracht kommt, ansonsten auf die Beschwerde nicht eingetreten würde (vgl. E. 1.1). Hier ist die Wiedererteilung der Aufenthaltsbewilligungen unter dem Aspekt des Rechts auf Achtung des Familienlebens, welches die Beziehungen minderjähriger Kinder zu ihren Eltern schützt, zu prüfen.
2.2. Nach der Rechtsprechung hat der nicht sorge- oder obhutsberechtigte Elternteil eines aufenthaltsberechtigten oder niedergelassenen ausländischen Kindes gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK einen Anspruch auf Erteilung einer Aufenthaltsbewilligung, wenn er sich "tadellos" im Sinn der Rechtsprechung verhalten hat und zwischen ihm und seinem Kind in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung besteht, die wegen der Distanz zwischen der Schweiz und dem Herkunftsland dieses Elternteils praktisch nicht aufrechterhalten werden könnte (BGE 140 I 145 E. 3.2 S. 147; 137 I 247 E. 4.2.3 S. 251). Geht es umgekehrt darum, dass der sorge- oder obhutsberechtigte Elternteil seine Bewilligung einzig zur Erleichterung der Ausübung des Besuchsrechts zwischen dem Kind und dem anderen Elternteil erhältlich machen will, so ist mit noch grösserer Zurückhaltung auf eine Pflicht zu schliessen, ihm eine Bewilligung zu erteilen, als im Fall der besuchsberechtigten ausländischen Person, die selbst, im Hinblick auf die Ausübung ihres Besuchsrechts, um die Bewilligung nachsucht (BGE 142 II 35 E. 6.2, 137 I 247 E. 4.2.3 S. 251).
Diese Rechtsprechung ist auch anwendbar in der Konstellation, dass die Eltern das gemeinsame Sorgerecht nach Art. 296 ff. ZGB innehaben, sofern der ausländische (um die Bewilligung nachsuchende) Elternteil das Kind zum überwiegenden Teil in Obhut hat. Massgeblich sind - wie bisher - die in zivilrechtlicher Hinsicht tatsächlich gelebten Verhältnisse im Zeitpunkt des kantonalen Gerichtsurteils betreffend die Bewilligungserteilung (Urteil 2C_27/2016 vom 17. November 2016 E. 5, zur Publikation vorgesehen).
3.
3.1. Am 17. März 2015 erklärten die Beschwerdeführerin 1 und D._ gegenüber der zuständigen Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde, dass sie die gemeinsame elterliche Sorge über ihre Söhne vereinbart hätten. Zuvor hatte der Vater gestützt auf eine Regelung vom 25. Mai 2011 lediglich über ein begleitetes Besuchsrecht im Umfang von drei bis vier Stunden pro Monat verfügt. Dieses war am 7. Januar 2015 in ein unbegleitetes Besuchsrecht (jeden zweiten Samstag 8 Stunden) umgewandelt worden. Die Vorinstanz erwog, seit der Begründung der gemeinsamen elterlichen Sorge am 17. März 2015 würden die Kinder deutlich mehr Zeit mit ihrem Vater verbringen, nämlich jedes Wochenende (Freitagabend bis Sonntagabend). Damit bestehe zwar eine enge affektive Beziehung, jedoch keine alternierende Obhut. Auch wenn die Kinder aktuell jedes Wochenende bei ihrem Vater verbringen würden, gehe dessen Betreuungsanteil nicht über ein blosses Wochenendbesuchsrecht hinaus.
3.2. Die Ausführungen der Vorinstanz zur Intensität des Kontakts zwischen D._ und den (im Zeitpunk des angefochtenen Urteils immerhin zehnjährigen) Beschwerdeführern 2 und 3 sind lückenhaft. Das Bundesgericht sieht sich daher veranlasst, gestützt auf Art. 105 Abs. 2 BGG den Sachverhalt diesbezüglich zu ergänzen bzw. offene Fragen zu erörtern.
Es ist unklar, ob die Beschwerdeführerin 1 - und damit auch die Beschwerdeführer 2 und 3 - jemals mit dem Kindsvater zusammengelebt haben. Wie vor der Vorinstanz behaupten sie auch vor Bundesgericht, die Beschwerdeführerin 1 und D._ hätten von 2003 bis 2007 in einem Konkubinat gelebt. Gemäss dem Entscheid der Sicherheitsdirektion wollten die Beschwerdeführer aber noch bis 2010 mit D._ zusammengelebt haben. Die Sicherheitsdirektion verwarf allerdings diese Darstellung mit der (einleuchtenden) Begründung, die Beschwerdeführerin 1 habe mit Schreiben vom 3. Mai 2007 mitgeteilt, sie habe keine Beziehung, ja keinen Kontakt zu D._ und kenne auch dessen Adresse nicht (Entscheid der Sicherheitsdirektion vom 31. August 2015 E. 7e). Weil das vorinstanzliche Urteil zur Frage des Zusammenlebens der Familie keine Angaben enthält, haben die Beschwerdeführer im Verfahren vor dem Bundesgericht keinen Anlass, eine willkürliche oder unvollständige Feststellung des Sachverhalts zu rügen. Die (aufgrund der Feststellungen der Sicherheitsdirektion abgeänderte) Darstellung, wonach D._ und die drei Beschwerdeführer bis 2007 als Familie zusammengelebt hätten, findet in den Akten keine Stütze. Dem Vater wurde nach der Trennung lediglich ein stark eingeschränktes, begleitetes Besuchsrecht zugestanden, ohne dass dafür ein Grund ersichtlich ist. Aus den Akten geht zudem hervor, dass D._ sich am 1. November 2014 schriftlich an die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) gewandt und um die schriftliche Regelung des Besuchsrechts gebeten hatte, weil die Beschwerdeführerin 1 sich nicht an die Vereinbarung halte. Schliesslich hatte die Beschwerdeführerin 1 in der durch die Kantonspolizei Zürich im Rahmen des rechtlichen Gehörs durchgeführten Befragung vom 8. Dezember 2014 angegeben, D._ habe "keinerlei Kontakt" zu den Kindern; er bezahle einfach die Alimente. Er habe auch kein Besuchsrecht. Letztmals sei er im August 2014 unangemeldet vorbeigekommen. Die beiden Söhne würden auch nie nach ihrem Vater fragen.
Mit Blick auf diese Vorgeschichte ist davon auszugehen, dass die Vereinbarung betreffend die gemeinsame elterliche Sorge vom 17. März 2015 ausländerrechtlich motiviert war. Dafür spricht insbesondere die Tatsache, dass die Beschwerdeführerin 1 noch im Rahmen des rechtlichen Gehörs jeglichen Kontakt zu D._ verneinte, dann aber nur einen Monat nach dem negativen Bewilligungsentscheid des Migrationsamts vom 17. Februar 2015 das gemeinsame Sorgerecht mit D._ vereinbarte. Auch wenn sich daraus eine gewisse Intensivierung des Kontakts zwischen den Beschwerdeführer n 2 und 3 und ihrem Vater ergeben hat (was erstellt ist), lässt sich daraus nicht auf eine alternierende Obhut schliessen. Nachdem die Eltern jahrelang keinen Kontakt zueinander hatten, wie die Beschwerdeführerin 1 selbst einräumte, ist keine Basis ersichtlich, welche die gleichmässige erzieherische Verantwortung der Eltern rechtfertigen würde. Auch das Vorbringen der Beschwerdeführer, D._ habe zusammen mit seiner neuen Partnerin per 1. März 2016 eine grössere Wohnung gemietet, um die Obhut über die Beschwerdeführer 2 und 3 (alternierend mit der Beschwerdeführerin 1) wahrnehmen zu können, überzeugt nicht: Der Umzug in eine grössere Wohnung kann auch dadurch notwendig geworden sein, dass D._ und seine neue Partnerin im Juni 2014 erstmals Eltern einer Tochter geworden sind. Damit fehlt es an einem zwingenden kausalen Zusammenhang zwischen dem Anmieten der Wohnung und der Ausübung der Obhut. Gegen den behaupteten Zweck und damit gegen die alternierende Obhut spricht auch die Tatsache, dass D._ sich am Verfahren vor der Vorinstanz nicht mehr beteiligt hat, obwohl der Entscheid der Sicherheitsdirektion am 31. August 2015, also nur wenige Monate nach Vereinbarung der gemeinsamen elterlichen Sorge, gefällt wurde.
Nach dem Gesagten ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz das Vorliegen einer alternierenden Obhut verneint hat.
3.3. Nach den verbindlichen Feststellungen der Vorinstanz verbringen die Beschwerdeführer 2 und 3 jedes Wochenende bei ihrem Vater. Das Erfordernis der engen affektiven Beziehung im Sinn der Rechtsprechung (vgl. BGE 139 I 315 E. 2.5) ist somit erfüllt. Es darf aber nicht ausser Acht gelassen werden, dass die Beschwerdeführer 2 und 3 vor dem 17. März 2015, also bis zum Alter von fast neun Jahren, nur beschränkt Kontakt zu ihrem Vater pflegen konnten. Die Vorinstanz weist zutreffend darauf hin, dass auch die am 7. Januar 2015 getroffene Regelung (acht Stunden jedes zweite Wochenende) kein gerichtsübliches Besuchsrecht darstellt. Zudem war es im Zusammenhang mit den Besuchsregelungen mehrmals zu Konflikten gekommen (vgl. E. 3.2 hiervor). Die Beziehungen zwischen den Beschwerdeführern 2 und 3 und ihrem Vater erscheinen demnach wenig gefestigt. Deswegen und aufgrund der Tatsache, dass die Beschwerdeführer 2 und 3 überwiegend unter der Obhut der Mutter stehen, stellt die mit der Ausreise verbundene räumliche Trennung vom Vater keinen derart starken Einschnitt dar, dass er für sie unzumutbar wäre. Aufgrund der grossen Distanz zum Herkunftsland kann der persönliche Kontakt mit dem Vater nur beschränkt gelebt werden. Die Beschwerdeführer 2 und 3 sind jedoch in einem Alter, in dem sie mithilfe moderner Kommunikationsmittel ohne Schwierigkeiten mit ihrem Vater in Kontakt bleiben können.
Nachdem D._ seinen finanziellen Verpflichtungen gegenüber seinen Kindern nur unzulänglich nachgekommen ist (es sind Unterhaltsbeiträge im Umfang von rund Fr. 73'000.-- ausstehend), ist eine enge Beziehung zwischen ihm und den Beschwerdeführern 2 und 3 in wirtschaftlicher Hinsicht zu verneinen.
3.4. Der Schluss der Vorinstanz, wonach den Beschwerdeführern 2 und 3 die Ausreise zugemutet werden kann, ist nicht zu beanstanden. An diesem Ergebnis ändert auch der Einwand nichts, die Beschwerdeführer 2 und 3 würden kein Portugiesisch sprechen. Die Vorinstanz verifizierte diese Behauptung nicht, obwohl mit Blick auf die portugiesische Muttersprache der Beschwerdeführerin 1 Zweifel angebracht sind. Aber selbst wenn es zutrifft, dass die Beschwerdeführer 2 und 3 kein Portugiesisch sprechen, werden sie aufgrund ihres Alters ohne weiteres in der Lage sein, sich nach einer Anpassungszeit in Brasilien auch sprachlich zurechtzufinden. Davon ist im Ergebnis auch die Vorinstanz ausgegangen.
4.
Bei dieser Ausgangslage erscheint eine Bewilligungserteilung an die Beschwerdeführerin 1 gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK als Recht auf Achtung des Familienlebens bereits fraglich. Sie ist jedoch ausgeschlossen, weil sich die Beschwerdeführer in 1 nicht klaglos verhalten hat.
4.1. Mit Strafbefehl der Staatsanwaltschaft Limmattal/Albis vom 24. September 2012 wurde die Beschwerdeführerin 1 wegen fahrlässiger Körperverletzung zu einer Geldstrafe von 30 Tagessätzen zu je Fr. 40.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, verurteilt. Zudem wurde sie am 5. Oktober 2012 wegen rechtswidrigen Aufenthalts nach Erlöschen der Aufenthaltsbewilligung mit Fr. 200.-- gebüsst. Während diese Übertretung von untergeordneter Bedeutung ist, kann die Verurteilung wegen fahrlässiger Körperverletzung (zum Nachteil des Sohns B.A._, der am 1. November 2011, im Alter von fünfeinhalb Jahren, mit seinem Zwillingsbruder während einer Stunde allein in der Wohnung gelassen, vom Balkon des vierten Stocks in die Tiefe gefallen war) nicht mehr dem Bagatellbereich zugeordnet werden.
4.2. Nach den Feststellungen der Vorinstanz bezog die Beschwerdeführerin 1 während 13 Jahren Sozialhilfe (Mitte 2001 bis Herbst 2014). Die Vorinstanz erwog, die bis September 2014 ausbezahlten Sozialhilfeleistungen an sie und ihre Kinder würden sich auf Fr. 297'000.-- belaufen. Obwohl die Beschwerdeführerin 1 sich seit eineinhalb Jahren (also seit Ende 2014) mit ihrem Erwerbseinkommen und den Alimentenbevorschussungen selbst finanzieren könne, sei das Risiko einer erneuten Sozialhilfeabhängigkeit nicht ausgeschlossen. Der Widerrufsgrund nach Art. 62 lit. e AuG sei daher erfüllt.
Die Frage, ob der Widerrufsgrund der Sozialhilfeabhängigkeit erfüllt ist, kann im Verfahren vor dem Bundesgericht offen bleiben. Denn zu prüfen ist lediglich, ob sich die Beschwerdeführerin 1 klaglos verhalten hat (vgl. E. 2.2 hiervor). Auch hier muss das Bundesgericht gestützt auf Art. 105 Abs. 2 BGG den rechtserheblichen Sachverhalt ergänzen, so in Bezug auf die formlose Ermahnung des Migrationsamts vom 23. September 2010:
Ab Mitte 2001 musste die Beschwerdeführerin 1 während vieler Jahre von der Sozialhilfe unterstützt werden. Dies änderte sich auch nicht, als das Migrationsamt sie am 23. September 2010 im Nachgang zur Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung darauf hinwies, dass eine weitere Verlängerung nur in Frage komme, wenn sie - die Beschwerdeführer in 1 - in der Lage sei, ihren Lebensunterhalt aus eigenen Kräften und ohne Sozialhilfe zu bestreiten. Zudem hatte die Beschwerdeführerin 1 gemäss Betreibungsregisterauszug vom 27. Oktober 2015 Schulden von insgesamt knapp Fr. 43'000.-- und mussten 27 Verlustscheine gegen sie ausgestellt werden. Zwar ist ihr darin beizupflichten, dass der Vorwurf der Sozialhilfeabhängigkeit im Fall einer alleinerziehenden Mutter nach den Umständen zu relativieren ist (vgl. Urteil 2C_218/2016 vom 9. August 2016 E. 3.2.2.2 mit Hinweisen). Sie muss sich aber entgegenhalten lassen, dass sie bereits während fünf Jahren vor der Mutterschaft von der öffentlichen Hand unterstützt worden war.
4.3. Mit Blick auf die (zwar leichte) Straffälligkeit und die erheblichen finanziellen Schwierigkeiten der Beschwerdeführerin 1 kann - trotz des anerkennenswerten Berufseinstiegs ab November 2014 und der damit verbundenen Ablösung von der Sozialhilfe - nicht von einem klaglosen Verhalten gesprochen werden. Dies gilt umso weniger, als die Beschwerdeführerin 1 bereits am 23. September 2010 formlos ermahnt worden war, sich von der Sozialhilfe zu lösen, und ihr dies erst Ende 2014 gelang.
5.
Zu prüfen bleibt die Verhältnismässigkeit der Massnahme, soweit die entsprechenden Elemente nicht bereits in die vorstehenden Erwägungen eingeflossen sind.
5.1. Hinsichtlich der Beschwerdeführer 2 und 3 wurden die Gründe, warum ihnen die Beendigung des Aufenthalts zugemutet werden kann, bereits genannt (vgl. E. 3.3 und 3.4 hiervor).
5.2. Die Beschwerdeführerin 1 macht geltend, sie lebe seit 18 Jahren in der Schweiz und sei sehr gut integriert. Es trifft zu, dass die Beschwerdeführerin 1 ein beachtenswertes Interesse an einem Verbleib in der Schweiz hat. Dieses Interesse ist im Rahmen von Art. 96 Abs. 1 AuG auch zu würdigen. Es fällt indessen nicht so stark ins Gewicht, wie wenn die Beschwerdeführerin einen eigenen Anspruch aus Art. 8 Ziff. 1 EMRK als Recht auf Achtung des Familienlebens geltend machen könnte (vgl. E. 2.2 hiervor). Da sie sich nur reflexweise auf diesen Anspruch berufen kann, wiegen auch die in Frage stehenden privaten Interessen weniger schwer. Die Beschwerdeführerin 1 hat nicht nur die ersten 13 Jahre ihres Lebens in Brasilien verbracht, sondern auch durch die Heirat mit einer in Brasilien lebenden Landsfrau im Jahr 2013 zum Ausdruck gebracht, dass sie nach wie vor Verbindungen zu ihrem Heimatland pflegt. Daran ändert die Tatsache nichts, dass inzwischen die Scheidung eingeleitet wurde. Der Beschwerdeführerin dürfte es aufgrund ihrer Berufsausbildung, welche sie in der Schweiz absolviert hat, nicht schwer fallen, in Brasilien eine neue Existenz aufzubauen. Die Nichtwiedererteilung der Aufenthaltsbewilligung erweist sich insgesamt als verhältnismässig.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde abzuweisen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens hätten die Beschwerdeführer die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Sie haben indessen die Gewährung der unentgeltlichen Prozessführung gemäss Art. 64 Abs. 1 und 2 BGG beantragt. Aufgrund der im angefochtenen Urteil dargelegten Einkommenssituation der Beschwerdeführer ist die prozessuale Bedürftigkeit zu bejahen. Mit Blick auf die (allerdings nur unter Willkürgesichtspunkten zu überprüfende) Frage, ob von einer alternierenden Obhut auszugehen sei, das Alter der Beschwerdeführer 2 und 3 sowie die lange Aufenthaltsdauer der Beschwerdeführerin 1 kann das Rechtsmittel nicht von vornherein als aussichtslos im Sinn der Rechtsprechung (vgl. BGE 138 III 217 E. 2.2.4 S. 218; 129 I 129 E. 2.3.1 S. 135 mit Hinweisen) gelten. Die Voraussetzungen für die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege sind somit erfüllt. Die Beschwerdeführer sind von der Bezahlung der Gerichtskosten zu befreien. Rechtsanwalt Marc Spescha ist ihnen als unentgeltlicher Rechtsbeistand beizuordnen und aus der Gerichtskasse zu entschädigen.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
3.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
4.
Rechtsanwalt Marc Spescha wird als unentgeltlicher Rechtsbeistand der Beschwerdeführer bestellt und für das Verfahren vor dem Bundesgericht mit Fr. 2'000.-- aus der Gerichtskasse entschädigt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. März 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner