Faits :
A.
A.a. A._, monteur électricien de formation, travaillait comme mécanicien de locomotives. Il a déposé une demande de prestations auprès de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 5 juin 2007.
Au terme de la procédure d'instruction, l'administration lui a reconnu le droit à une demi-rente d'invalidité à compter du 1er juin 2007 (décisions des 12 août et 1er septembre 2010).
A.b. Invoquant une péjoration de son état de santé, l'assuré a requis la réévaluation de sa situation le 12 décembre 2011.
Après avoir réuni les renseignements médicaux nécessaires, l'office AI a rejeté cette demande (décision du 16 octobre 2012).
Sur recours de l'intéressé, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a annulé la décision rendue le 16 octobre 2012 et a renvoyé la cause à l'administration afin qu'elle en complète l'instruction (en réalisant une expertise pluridisciplinaire) puis rende une nouvelle décision (jugement du 23 juillet 2013).
Après avoir consulté ses services juridique et médical, l'office AI a avisé A._ qu'il entendait mettre en oeuvre les investigations médicales imposées par jugement et que les experts seraient choisis de façon aléatoire (communication du 7 octobre 2013). En l'absence d'observations particulières de l'assuré (lettre du 13 novembre 2013), le dossier de ce dernier a été inscrit sur la plateforme SuisseMED@P (système d'attribution aléatoire des mandats d'expertise) le 19 novembre 2013. L'administration n'a pas pu apporter de réponse aux demandes de l'intéressé (courriers des 3 décembre 2014 et 10 février 2015) portant sur la date à laquelle l'expertise pourrait être réalisée (correspondance du 13 février 2015).
B.
A._ a saisi l'autorité judiciaire cantonale d'un recours pour déni de justice, le 18 mars 2015. L'office AI s'est contenté d'expliquer son incapacité à accélérer le processus de désignation des centres d'expertise.
La juridiction cantonale a rejeté le recours pour déni de justice, dans la mesure où il était recevable (jugement du 13 juillet 2015).
C.
L'assuré a agi contre ce jugement par la voie du recours en matière de droit public. Il demande l'annulation de cet acte et conclut au renvoi de la cause au tribunal cantonal afin qu'il examine son recours sur le fond.
L'administration conclut implicitement au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales (OFAS) a renoncé à se déterminer.
D.
La IIe Cour de droit social du Tribunal fédéral a tenu une délibération publique le 22 avril 2016.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Est litigieux le point de savoir si le jugement cantonal du 13 juillet 2015 - qui rejette dans la mesure où il est recevable le recours pour déni de justice formé par l'assuré en première instance - est fondé, ou non. Le jugement entrepris cite les dispositions légales, ainsi que les principes jurisprudentiels nécessaires à la résolution du litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
Les premiers juges ont rejeté le recours de l'assuré dans la mesure où il était recevable. Ils ont considéré que la procédure relative à la mise en oeuvre de l'expertise pluridisciplinaire décidée par jugement du 23 juillet 2013 avait été conduite de manière conforme au droit, sans retard injustifié, jusqu'à l'inscription du dossier du recourant sur la plateforme SuisseMED@P le 19 novembre 2013; cela n'était du reste pas contesté. Ils ont examiné les informations concernant le fonctionnement de cette plateforme recueillies sur le site internet et dans le rapport d'activité 2013 de celle-ci, dans le rapport pour l'année 2014 de la conférence des offices AI ainsi que dans les rapports 2013 et 2014 de différents offices cantonaux. Ils y ont relevé la mention de multiples retards dans l'attribution des mandats d'expertise. Ils ont toutefois réfuté la responsabilité de l'office intimé dans la désignation des experts, dès lors que cette désignation découlait d'un système aléatoire imposé par la loi et la jurisprudence. Ils ont également invoqué les attributions des offices AI ou des autorités judiciaires dans le bon fonctionnement de la plateforme SuisseMED@P, rappelées par le Tribunal fédéral dans son arrêt 9C_140/2015 du 26 mai 2015, et signalé leur incapacité à pallier les dysfonctionnements du système et à se déterminer sur le problème sous l'angle du déni de justice.
4.
Le recourant fait grief à la juridiction cantonale de ne pas avoir tranché le fond de son recours. Il estime que le retard pris par l'administration à mettre en oeuvre l'expertise décidée le 23 juillet 2013 dépend principalement du nombre insuffisant de conventions conclues avec des centres d'expertise et nullement du mode de désignation des experts sur lequel l'office intimé n'aurait aucune influence. Il prétend également que, comme l'enjoint la jurisprudence, le tribunal cantonal aurait dû déterminer si, au regard de l'ensemble de la procédure, le retard pris dans la concrétisation de l'expertise ordonnée faisait apparaître le défaut de décision finale comme un retard pouvant être qualifié d'injustifié. Il considère que le délai de vingt mois écoulé sans qu'un centre d'expertise ne soit désigné est constitutif d'un déni de justice.
5.
5.1. Comme correctement mentionné par les premiers juges, le Tribunal fédéral a déjà pu s'exprimer sur la problématique des retards qui pouvaient survenir à l'occasion de la mise en oeuvre du système d'attribution aléatoire de mandats d'expertise pluridisciplinaire par le biais de la plateforme informatique SuisseMED@P exploitée par la conférence des offices AI (cf. arrêt 9C_140/2015 du 26 mai 2015). A cette occasion, il avait distingué les attributions respectives des offices AI - ou de l'OFAS - et des autorités judiciaires dans le fonctionnement de cette plateforme.
5.2. La Cour de céans avait constaté que, puisqu'il intervenait au stade de la réalisation des expertises multidisciplinaires permettant d'évaluer l'invalidité d'un assuré, le fonctionnement de la plateforme mentionnée relevait des attributions légales des offices AI (cf. art. 57 let f. LAI) et - partant - était l'un des éléments sur lesquels la Confédération exerçait un devoir général de surveillance (cf. art. 64 LAI). Elle avait également relevé que ce devoir de surveillance avait été délégué au Département fédéral de l'intérieur qui en avait transféré une partie à l'OFAS afin que celui-ci s'en acquitte de façon indépendante (cf. art. 176 RAVS, qui est applicable par renvoi des art. 64 LAI et 72 RAVS). Elle avait inféré de ces dispositions légales et règlementaires qu'il n'appartenait pas à une autorité judiciaire de s'exprimer, sous l'angle du déni de justice, sur les difficultés et les retards survenus dans le contexte de l'exécution d'une décision entrée en force de chose décidée (cf. arrêt 9C_72/2011 du 20 juin 2011 consid. 2.2 et 2.3), mais qu'il revenait à l'OFAS d'intervenir - à la suite de dénonciations, éventuellement - en exerçant son contrôle sur l'exécution par les offices AI des tâches énumérées à l'art. 57 LAI (cf. art. 64a al. 1 let. a LAI) et en édictant à l'intention desdits offices des directives générales ou portant sur des cas d'espèce (cf. art. 64a al. 1 let. b LAI et 50 al. 1 RAI; cf. consid. 5.2.1 de l'arrêt 9C_140/2015 du 26 mai 2015). Elle avait enfin considéré que, comme le soutient en l'espèce le recourant, les autorités judiciaires devaient toutefois examiner l'influence du retard pris dans l'exécution de la décision visant la réalisation d'une expertise sur l'ensemble de la procédure et déterminer si le temps écoulé faisait apparaître l'absence de décision finale comme un retard injustifié (cf. consid. 5.2.2 de l'arrêt 9C_140/2015 du 26 mai 2015).
6.
6.1. Le premier grief par lequel le recourant vise à imputer la responsabilité du retard dans la réalisation de l'expertise à l'administration au motif que celle-ci n'aurait pas conclu suffisamment de conventions avec des centres d'expertise ne lui est d'aucune utilité dès lors que ces conventions doivent être conclues entre les centres d'expertise et l'OFAS, et non les offices AI (cf. art. 72bis al. 1 RAI). Le nombre insuffisant de conventions peut être une des causes de dysfonctionnement du système d'attribution des mandats d'expertise par le biais de la plateforme SuisseMED@P, ce qui ne relève pas de la compétence des tribunaux au regard de ce qui précède (cf. consid. 5.2).
6.2. On relèvera ensuite que la juridiction cantonale a omis de statuer sur le second grief de l'assuré, c'est-à-dire de déterminer si eu égard à l'ensemble de la procédure, le retard pris dans la concrétisation de l'expertise faisait apparaître le défaut de décision finale comme un retard pouvant être qualifié d'injustifié.
Le caractère raisonnable de la durée de la procédure doit s'apprécier en fonction des circonstances particulières de la cause (cf. ATF 125 V 188 consid. 2a p. 191 s.). Si l'on considère que la procédure pendante initiée par le dépôt de la demande de révision du 12 décembre 2011 a suivi son cours régulier et normal jusqu'à l'enregistrement du dossier du recourant dans le système SuisseMED@P le 19 novembre 2013, les seize mois passés ensuite jusqu'au dépôt par l'assuré d'un recours pour déni de justice le 18 mars 2015 peuvent certes paraître longs pour l'étape de la désignation des experts. Cependant, la durée de la procédure dans son ensemble ne peut être qualifiée de déraisonnable étant donné les circonstances particulières de la cause. En effet, le complément d'instruction ordonné par la juridiction cantonale le 23 juillet 2013 s'inscrit dans les suites de l'ATF 137 V 210 qui, outre l'amélioration des exigences de qualité et de contrôle des centres d'expertise ou l'élargissement des droits de participation des parties, a introduit le principe du hasard dans l'attribution des mandats d'expertise. La mise en oeuvre d'un tel système au moyen d'une plateforme informatique engendre forcément des ajustements et des délais auxquels s'ajoutent concrètement les difficultés liées aux spécificités de l'expertise (cinq disciplines visant à évaluer l'impact du cumul des pathologies diagnostiquées). Dans ces circonstances, les seize mois de retard pris dans l'exécution de la décision ne font pas encore apparaître le défaut de décision finale comme un retard injustifié. Le recours doit donc être rejeté. Toutefois, ces seize mois de retard mettent en évidence une situation insatisfaisante, voire un dysfonctionnement, qui, s'il perdurait, serait éventuellement susceptible de causer un retard injustifié.
6.3. Comme il vient juste d'être évoqué, la situation dans laquelle se trouve l'assuré est insatisfaisante et difficilement compréhensible pour un justiciable. Elle laisse supposer que la plateforme SuisseMED@P ne fonctionne pas, ou pas correctement, du moins dans certaines circonstances telles que la réalisation d'une expertise regroupant plusieurs disciplines choisies de manière contraignante par l'administration. L'hypothèse qu'aucun centre d'expertise ne réunisse les compétences requises - et, par conséquent, l'impossibilité de réaliser l'expertise ordonnée - est plausible. Ce dysfonctionnement est du ressort de l'OFAS (cf. consid. 5.2). Il convient donc de lui transmettre le dossier afin qu'il assume son rôle d'autorité de surveillance en identifiant les causes du problème et en indiquant au moyen d'une directive générale ou portant sur le cas d'espèce comment les solutionner. Cela se justifie d'autant plus que l'office intimé a inscrit l'expertise sur la plateforme SuisseMED@P en date du 19 novembre 2013 et que, depuis le 1er janvier 2015, prévaut le principe "premier entré, premier sorti". Ceci fait, l'OFAS transférera le dossier à l'office AI pour que celui-ci reprenne le traitement du dossier.
7.
Compte tenu des circonstances, il convient de renoncer à percevoir des frais judiciaires (art. 66 al. 1 seconde phrase LTF). Le recourant qui succombe n'a pas droit a des dépens (art. 68 al. 1 LTF). Même s'il obtient gain de cause, l'office intimé n'a pas droit à des dépens (art. 66 al. 4 LTF applicable par renvoi de l'art. 68 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Il n'est pas perçu de frais judiciaires.
3.
Le dossier est transmis à l'Office fédéral des assurances sociales au sens des considérants.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 22 avril 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Cretton