Faits :
A.
A.a. Le 22 juin 2016, le nourrisson C._ a été hospitalisé aux soins intensifs du service de pédiatrie du Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV) en raison d'un arrêt cardio-respiratoire. Une plainte pénale contre inconnu a été déposée le 23 suivant par la doctoresse D._ pour lésions corporelles. Ce même jour, une instruction pénale contre inconnu a été ouverte par l'Office régional du Valais central du Ministère public du canton du Valais, représenté par le Procureur Ludovic Schmied, pour lésions corporelles graves (art. 122 CP), subsidiairement lésions corporelles par négligence (art. 125 CP). A la suite du décès de l'enfant le 26 juin 2016, l'instruction a été étendue aux chefs de prévention de meurtre (art. 111 CP), subsidiairement d'homicide par négligence (art. 117 CP).
A._ a été entendue le 23 juin 2016 par la police cantonale valaisanne en qualité de personne appelée à donner des renseignements; lors de cette audition, celle-ci a contesté avoir violenté ou secoué l'enfant dont elle avait la garde au moment de l'arrêt cardio-respiratoire.
Le rapport d'autopsie préliminaire du 28 juin 2016 du Centre universitaire romand de médecine légale a conclu à une hétéroagression sur l'enfant.
Le 6 juillet 2016, les parents de l'enfant et A._ ont été mis en prévention pour meurtre, subsidiairement pour homicide par négligence. Les trois prévenus ont été placés en détention provisoire le 12 suivant. A._ a été entendue ce même jour par les enquêteurs, ainsi que le 13 juillet 2016 par le Ministère public. Par ordonnance du 15 juillet 2016, le Tribunal des mesures de contrainte (Tmc) a ordonné la détention provisoire des trois prévenus jusqu'au 29 juillet 2016 en raison d'un risque de collusion. A cette date, les trois prévenus ont été libérés.
Par courrier du 15 juillet 2016, l'avocat de A._, Me B._, a requis l'accès au dossier, demande qui a été rejetée le 22 suivant dès lors que les preuves principales n'avaient pas encore été administrées. Une nouvelle demande dans ce sens a été déposée le 29 août 2016, puis réitérée les 8 septembre et 3 novembre suivants. En date du 24 novembre 2016, le Procureur a autorisé A._ à venir personnellement consulter le dossier au greffe et, le 28 suivant, il a transmis le dossier à Me B._ pour trois jours.
Selon le rapport d'autopsie médico-légale du 13 février 2017, le décès du nourrisson C._ était consécutif à des lésions cérébrales extrêmement sévères d'origine traumatique entrant dans le contexte du syndrome "shaken/shaken impact baby"; l'intervalle entre le traumatisme et l'apparition de l'arrêt cardio-respiratoire apparaissait avoir été très bref, voire quasi inexistant, au vu de l'importance des lésions neuropathologiques constatées.
Lors de l'audition par la police du 16 mars 2017, A._ a été confrontée aux conclusions de l'expertise, puis placée en détention provisoire. Elle a été entendue par le Procureur le lendemain et une copie du rapport d'autopsie a été transmise aux avocats des trois prévenus. La détention provisoire de A._ a été confirmée le 20 suivant par le Tmc qui a retenu l'existence d'un risque de fuite. A la suite de l'ordonnance du 3 avril 2017 du Tmc, la détenue a été remise en liberté le lendemain après la fourniture de 30'000 fr. à titre de sûretés, la saisie de ses documents d'identité et l'obligation de se présenter deux fois par semaine à un poste de la police cantonale.
A.b. Parallèlement à ces actes d'instruction, A._ a produit spontanément, le 26 juillet 2016, la lettre non datée adressée à son avocat, dans laquelle elle le remerciait en substance d'avoir transmis une lettre à son ami. Lors de son audition par le Procureur le 28 suivant, la prévenue a confirmé l'échange de deux lettres, par le biais de son avocat, avec son ami. Le 2 septembre 2016, le Procureur général valaisan a dénoncé le mandataire de A._ à la Chambre de surveillance des avocats pour violation de l'art. 12 let. a de la loi fédérale du 23 juin 2000 sur la libre circulation des avocats (LLCA; RS 935.61).
Par ordonnance du 21 novembre 2016, le Procureur a révoqué le mandat de défenseur d'office de Me B._, décision contre laquelle A._ a formé recours le 2 décembre 2016. Celui-ci a été admis le 15 mai 2017 par la Chambre pénale du Tribunal cantonal du Valais.
B.
Par requête du 20 mars 2017, A._ a demandé la récusation du Procureur Ludovic Schmied, requête à laquelle ce dernier s'est opposé. La requérante s'est encore déterminée le 6 avril 2017.
La Chambre pénale a rejeté, le 15 mai 2017, cette demande dans la mesure de sa recevabilité.
C.
Par acte du 16 juin 2017, A._ forme un recours en matière pénale contre cet arrêt, concluant à son annulation, à la récusation du Procureur Ludovic Schmied, à l'annulation des actes effectués par ce magistrat et à leurs répétitions par le procureur qui sera nouvellement désigné. La recourante sollicite, à titre de mesures provisionnelles, la suspension immédiate du Procureur intimé et la nomination d'un autre procureur. Elle demande enfin l'octroi de l'assistance judiciaire.
Le 19 juin 2017, la recourante a produit des copies des courriers échangés les 16 et 19 juin 2017 avec le magistrat intimé. L'autorité précédente s'est référée à ses considérants. Quant au Procureur, il s'est opposé aux mesures provisionnelles requises et a renvoyé pour le surplus à la décision attaquée.
Par ordonnance du 29 juin 2017, le Président de la Ire Cour de droit public a rejeté la requête de mesures provisionnelles.
Considérant en droit :
1.
Conformément aux art. 78 et 92 al. 1 LTF, une décision relative à la récusation d'un magistrat pénal peut faire immédiatement l'objet d'un recours en matière pénale. La recourante, prévenue dont la demande de récusation a été rejetée, a qualité pour recourir en vertu de l'art. 81 al. 1 LTF. Pour le surplus, le recours a été interjeté en temps utile (art. 45, 100 al. 1 LTF et 1 du Règlement d'exécution de la loi valaisanne sur le repos du dimanche et des jours de fête du 9 juillet 1936 [RS/VS 822.200]) contre une décision rendue en instance cantonale unique (art. 80 al. 2 in fine LTF) et les conclusions prises sont recevables (art. 107 LTF). Il y a donc lieu d'entrer en matière.
2.
Aucun fait nouveau ni preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente (art. 99 al. 1 LTF; cf. sur cette disposition, ATF 143 V 19 consid. 1.2 p. 22 s.).
Il s'ensuit que les pièces ultérieures à l'arrêt attaqué dont se prévaut la recourante sont irrecevables (cf. notamment les pièces 10 à 14 du bordereau de son mémoire de recours, ainsi que celles envoyées le 19 juin 2017).
3.
Le Tribunal fédéral dispose des dossiers de la Chambre pénale (P1) et du Ministère public (MPC1). Dans le second figurent notamment les échanges d'écritures relatifs à la procédure P2 (cf. en particulier les pièces 351-354, 376-467, 469-475). De plus, la recourante a produit devant le Tribunal fédéral l'ordonnance rendue le 15 mai 2017 dans cette cause (acte 3, pièce 9). Partant, le Tribunal fédéral s'estime suffisamment renseigné pour statuer, sans qu'il soit nécessaire d'ordonner la production du dossier P2.
4.
Invoquant une constatation arbitraire des faits et des violations du principe de la bonne foi, ainsi que de l'art. 56 let. f CPP, la recourante reproche à l'autorité précédente d'avoir écarté sa demande de récusation du Procureur intimé.
4.1. Toute personne exerçant une fonction au sein d'une autorité pénale est récusable pour l'un des motifs prévus aux art. 56 let. a à e CPP. Elle l'est également, selon l'art. 56 let. f CPP, "lorsque d'autres motifs, notamment un rapport d'amitié étroit ou d'inimitié avec une partie ou son conseil, sont de nature à le rendre suspect de prévention".
L'art. 56 let. f CPP a la portée d'une clause générale recouvrant tous les motifs de récusation non expressément prévus aux lettres a à e de l'art. 56 CPP. Elle correspond à la garantie d'un tribunal indépendant et impartial instituée par les art. 30 al. 1 Cst. et 6 par. 1 CEDH (ATF 143 IV 69 consid 3.2 p. 74). Cet article du Code de procédure concrétise aussi les droits déduits de l'art. 29 al. 1 Cst. garantissant l'équité du procès et assure au justiciable cette protection lorsque d'autres autorités ou organes (cf. en particulier art. 12 CPP) que des tribunaux (cf. art. 13 CPP) sont concernés (ATF 141 IV 178 consid. 3.2.2 p. 179 s.; 127 I 196 consid. 2b p. 198).
Si les art. 56 let. b à e CPP s'appliquent de manière similaire à celle prévalant pour les membres des autorités judiciaires, une appréciation différenciée peut s'imposer s'agissant de l'application de la clause générale posée à l'art. 56 let. f CPP lorsqu'une autorité au sens de l'art. 12 CPP est en cause. En effet, la différence de fonction existant entre une autorité judiciaire (art. 13 CPP) et un membre d'une autorité de poursuite pénale (art. 12 CPP) ne peut pas être ignorée. Les exigences de réserve, d'impartialité et d'indépendance prévalant pour la première catégorie peuvent donc ne pas être les mêmes s'agissant de la seconde (arrêt 1B_379/2016 du 19 décembre 2016 consid. 2.1.1 et les références citées). La jurisprudence a ainsi reconnu que, durant la phase d'instruction, le ministère public peut être amené, provisoirement du moins, à adopter une attitude plus orientée à l'égard du prévenu ou à faire état de ses convictions à un moment donné de l'enquête; tout en disposant, dans le cadre de ses investigations, d'une certaine liberté, le magistrat reste cependant tenu à un devoir de réserve et doit s'abstenir de tout procédé déloyal, instruire tant à charge qu'à décharge et ne point avantager une partie au détriment d'une autre (ATF 141 IV 178 consid. 3.2.2 p. 179 s.; 138 IV 142 consid. 2.2.1 p. 145). De manière générale, ses déclarations - notamment celles figurant au procès-verbal des auditions - doivent ainsi être interprétées de manière objective, en tenant compte de leur contexte, de leurs modalités et du but apparemment recherché par leur auteur (arrêt 1B_150/2016 du 19 mai 2016 consid. 2.3 et l'arrêt cité).
Les parties à une procédure ont cependant le droit d'exiger la récusation d'un membre d'une autorité dont la situation ou le comportement sont de nature à faire naître un doute sur son impartialité. Cette garantie tend notamment à éviter que des circonstances extérieures à la cause puissent influencer une appréciation en faveur ou au détriment d'une partie. Elle n'impose pas la récusation seulement lorsqu'une prévention effective est établie, car une disposition interne de l'intéressé ne peut guère être prouvée; il suffit que les circonstances donnent l'apparence de la prévention et fassent redouter une activité partiale. Seules des circonstances constatées objectivement doivent être prises en considération; les impressions individuelles d'une des parties au procès ne sont pas décisives (ATF 143 IV 69 consid 3.2 p. 74).
Des décisions ou des actes de procédure qui se révèlent par la suite erronés ne fondent pas en soi une apparence objective de prévention; seules des erreurs particulièrement lourdes ou répétées, constitutives de violations graves des devoirs du magistrat, peuvent fonder une suspicion de partialité, pour autant que les circonstances dénotent que la personne en cause est prévenue ou justifient à tout le moins objectivement l'apparence de prévention. Il appartient en outre aux juridictions de recours normalement compétentes de constater et de redresser les erreurs éventuellement commises dans ce cadre. La procédure de récusation n'a donc pas pour objet de permettre aux parties de contester la manière dont est menée l'instruction et de remettre en cause les différentes décisions incidentes prises par la direction de la procédure (ATF 143 IV 69 consid 3.2 p. 74 s.).
4.2. En l'occurrence, il y a lieu tout d'abord de constater que la recourante ne soutient plus avoir été privée de ses médicaments ou de soins médicaux lors de sa détention provisoire à la suite d'un acte du Procureur (cf. 2ème § p. 8 de l'arrêt attaqué). Elle ne prétend plus non plus qu'une apparence de prévention résulterait du risque de fuite - allégué erroné - invoqué par le magistrat intimé lors de sa seconde demande de détention provisoire (cf. 2ème § p. 10 de l'arrêt attaqué). La recourante ne remet pas non plus en cause le défaut de conséquence retenu par l'autorité précédente en lien avec l'absence d'envoi à son avocat de l'avis d'écrou du 16 mars 2017, ainsi que de la citation à l'audience du lendemain; en effet, ce dernier a pu l'assister tant le 16 que le 17 mars 2017 et tous les deux ont pu s'entretenir préalablement dans une salle d'audience fermée (cf. 3ème § p. 10 de l'arrêt attaqué).
La recourante reproche en revanche à la cour cantonale d'avoir considéré que le comportement du Procureur intimé ne violait pas le principe de célérité. La recourante ne développe cependant aucune argumentation propre à remettre en cause les constatations de la juridiction précédente. Ainsi, selon cette dernière, un magistrat ne saurait placer en détention provisoire trois personnes à la réception d'une dénonciation sans s'assurer que son dossier contienne suffisamment d'éléments à charge; il ne pouvait donc être fait grief au Procureur d'avoir ordonné l'arrestation des trois prévenus que le 12 juillet 2016, soit dix-neuf jours après la réception de la dénonciation. Ce raisonnement ne prête pas le flanc à la critique et vaut d'ailleurs d'autant plus lorsque l'instruction venait manifestement de commencer. La recourante ne peut par conséquent pas comparer cette situation à celle qui prévalait au moment de sa seconde arrestation en mars 2017, soit à un stade plus avancé de l'enquête.
Devant le Tribunal fédéral, la recourante n'étaye toujours pas ses allégations de concertation entre les parents durant ces dix-neuf jours par des circonstances objectives. En tout état de cause, la cour cantonale a relevé, avec raison, que cette situation n'aurait pas pu être évitée dès lors que les parents s'étaient rendus tous deux au chevet de leur enfant dès son admission au CHUV le 22 juin 2016 et que le Ministère public n'avait reçu la dénonciation qu'ultérieurement.
La recourante relève ensuite que l'autorité précédente a considéré, à juste titre selon la première, que les trois mois entre la demande d'accès au dossier du 29 août 2016 et l'obtention de celui-ci le 24 novembre 2016 n'étaient guère acceptables, cela d'autant plus que les avocats des deux autres prévenus en avaient déjà obtenu sa consultation les 2 août et 13 septembre 2016. La recourante reproche cependant à la cour cantonale de n'avoir pas estimé que cela constituerait une violation grave des devoirs incombant au Procureur. Une telle qualification est douteuse dès lors que, durant cette même période, se posait la question des courriers transmis par l'avocat à sa cliente détenue en violation des obligations découlant de l'art. 235 al. 3 CPP (lettre versée au dossier le 26 juillet 2016, échanges de lettres par le biais de l'avocat avec son ami admis par la prévenue lors de son audition du 28 juillet 2016, dénonciation par le Procureur général à la Chambre de surveillance des avocats le 2 septembre 2016, interpellation de l'avocat sur l'éventuelle révocation de son mandat le 5 septembre 2016, déterminations de Me B._ le 6 septembre 2016, décision de relever l'avocat de son mandat d'office le 21 novembre 2016, accès au dossier autorisé personnellement à la recourante le 24 novembre 2016; cf. également l'arrêt du 15 mai 2017 dans la cause P2). Il faut d'ailleurs relever que, au demeurant, la procédure en lien avec la révocation du mandat d'office résulte des propres actes de l'avocat de la recourante.
Dans ses écritures, la recourante ne soutient plus que son arrestation le 16 mars 2017 et son audition par le Procureur intimé le jour suivant n'auraient pas pu être envisagées préalablement à la communication du rapport du CHUV du 13 février 2017; au demeurant, au regard des conclusions de celui-ci mettant a priori la recourante en cause et du danger de fuite ensuite retenu par le Tmc, le choix de ne pas transmettre le rapport avant ces mesures ne semble de loin pas contestable. La recourante limite ses griefs à l'absence de délai pour se déterminer sur ce rapport. Cela étant, elle omet de prendre en considération que le Procureur n'a imparti un tel délai à aucune des parties en cause, n'étant ainsi pas manifeste que cette manière de procéder - respectivement de ne pas procéder - serait dirigée spécialement contre la recourante.
Cette dernière reproche enfin à l'autorité précédente de n'avoir pas retenu que le Procureur intimé l'aurait traitée de menteuse; or, l'utilisation de ce terme démontrerait qu'il la tiendrait pour coupable. Elle cite à cet égard uniquement le procès-verbal d'audition du 26 juillet 2017 (pièce 250). Il y a lieu tout d'abord de remarquer que le Procureur intimé n'était pas présent lors de ladite séance et que ce sont deux inspecteurs qui ont mené l'audition. Or, la requête de récusation ne les concerne pas. En tout état de cause, la remarque des policiers ("Nous avons pu déterminer que lors de vos auditions, vous nous avez menti") tend plutôt à informer - certes peut-être d'une manière un peu abrupte - la recourante que les actes d'enquête ne coïncidaient pas avec ses déclarations.
Au regard de ces considérations, la Chambre pénale - qui a donné des réponses circonstanciées aux nombreux griefs soulevés par la recourante - pouvait, sans violer le droit fédéral, rejeter la demande de récusation. Partant, ce grief peut être écarté.
5.
Il s'ensuit que le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La recourante a demandé l'octroi de l'assistance judiciaire (art. 64 al. 1 LTF). Cependant, son recours était d'emblée dénué de chances de succès et cette requête doit par conséquent être rejetée. Elle supporte donc les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre pénale du Tribunal cantonal du canton du Valais.
Lausanne, le 14 juillet 2017
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Merkli
La Greffière : Kropf