Sachverhalt:
A.
Der irakische Staatsangehörige A._ (geb. 1980) reiste am 15. Mai 2003 unter falschem Namen in die Schweiz ein und stellte ein Asylgesuch, welches das damalige Bundesamt für Flüchtlinge (heute: Staatssekretariat für Migration) am 31. Oktober 2005 unter Gewährung der vorläufigen Aufnahme abwies. Im August 2007 heiratete A._ die aus der Türkei stammende Schweizer Bürgerin B._ (geb. 1988), worauf er die Aufenthaltsbewilligung zum Verbleib bei der Ehefrau erhielt. Die Bewilligung wurde letztmals bis zum 14. August 2013 verlängert.
Aus der Ehe gingen ein Sohn (geb. 2008) und eine Tochter (geb. 2011) hervor. Beide Kinder verfügen über die schweizerische Staatsbürgerschaft. Am 12. August 2013 wurde das Getrenntleben der Eheleute gerichtlich festgestellt und die Obhut über die Kinder der Ehefrau übertragen. A._ wurde ein Besuchsrecht für jeden zweiten Samstag von 10 Uhr bis 16 Uhr, ab Eintritt der Schulpflicht für jedes zweite Wochenende von Samstag 10 Uhr bis Sonntag 18 Uhr, eingeräumt.
Zwischen dem 1. September 2008 und 31. Dezember 2014 wurde die Familie bzw. - nach der Trennung - A._ von der Sozialhilfe mit insgesamt Fr. 195'000.-- unterstützt. Mit Blick auf den Sozialhilfebezug hatte das Migrationsamt des Kantons Zürich am 1. November 2012 eine Verwarnung ausgesprochen.
Die Staatsanwaltschaft Muri-Bremgarten verurteilte A._ mit Strafbefehl vom 4. Juni 2014 wegen fahrlässiger und grober Verletzung der Verkehrsregeln, Vereitelung von Massnahmen zur Feststellung der Fahrunfähigkeit, pflichtwidrigen Verhaltens bei Unfall sowie Widerhandlung gegen das Strassenverkehrsgesetz zu einer bedingten Geldstrafe von 60 Tagessätzen zu je Fr. 30.--, bedingt aufgeschoben bei einer Probezeit von zwei Jahren, und einer Busse von Fr. 2'000.--. Die Staatsanwaltschaft Baden verurteilte ihn mit Strafbefehl vom 28. August 2014 wegen grober Verletzung der Verkehrsregeln zu einer unbedingten Geldstrafe von 20 Tagessätzen zu je Fr. 30.-- und verlängerte die Probezeit für die am 4. Juni 2014 ausgesprochene Strafe auf drei Jahre. Mehrere 2013 angehobene Strafverfahren wegen Drohung und Nötigung zum Nachteil der Ehefrau wurden eingestellt. A._ hatte die gegen ihn erhobenen Vorwürfe stets bestritten.
B.
Am 16. Januar 2015 wies das Migrationsamt das Gesuch um Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung ab und wies A._ aus der Schweiz weg. Den dagegen erhobenen Rekurs wies die Sicherheitsdirektion des Kantons Zürich am 10. Juni 2015 ab.
Das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich bestätigte diesen Entscheid auf Beschwerde hin mit Urteil vom 3. Dezember 2015, wobei es das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wegen Aussichtslosigkeit abwies.
C.
A._ erhebt am 6. Januar 2016 Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht mit den Anträgen, das angefochtene Urteil aufzuheben und (sinngemäss) das Migrationsamt anzuweisen, ihm weiterhin eine Aufenthaltsbewilligung zu erteilen. Eventuell sei das angefochtene Urteil insoweit aufzuheben, als damit die Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege verweigert worden sei. Im Verfahren vor dem Bundesgericht beantragt A._ die unentgeltliche Prozessführung mit seinem Rechtsvertreter als unentgeltlichem Rechtsbeistand.
Das Verwaltungsgericht beantragt die Abweisung der Beschwerde, soweit darauf einzutreten sei. Die Sicherheitsdirektion verzichtet auf Vernehmlassung, und das Staatssekretariat für Migration schliesst auf Abweisung der Beschwerde.
Am 7. Januar 2016 ist der Beschwerde antragsgemäss aufschiebende Wirkung beigelegt worden.
Erwägungen:
1.
1.1. Auf dem Gebiet des Ausländerrechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten unzulässig gegen Entscheide betreffend Bewilligungen, auf die weder das Bundesrecht noch das Völkerrecht einen Anspruch einräumt (Art. 83 lit. c Ziff. 2 BGG). Der Beschwerdeführer beruft sich auf Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG (SR 142.20) und auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK. Diese Ansprüche fallen ernsthaft in Betracht, so dass sich die Beschwerde als zulässig erweist. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerdeführung legitimiert, und auch die übrigen Sachurteilsvoraussetzungen sind erfüllt. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
1.2. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 und Art. 96 BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es ist folglich weder an die in der Beschwerde geltend gemachten Argumente noch an die Erwägungen der Vorinstanz gebunden (BGE 139 II 404 E. 3 S. 415). In Bezug auf die Verletzung von Grundrechten gilt eine qualifizierte Rüge- und Substanziierungspflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 139 I 229 E. 2.2 S. 232; 136 II 304 E. 2.5 S. 314).
1.3. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrunde (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinn von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). "Offensichtlich unrichtig" bedeutet dabei "willkürlich" (BGE 140 III 115 E. 2). Die beschwerdeführende Partei kann die Feststellung des Sachverhalts unter den gleichen Voraussetzungen beanstanden, wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Eine entsprechende Rüge ist substanziiert vorzubringen; auf rein appellatorische Kritik an der Sachverhaltsfeststellung geht das Bundesgericht nicht ein (BGE 139 II 404 E. 10.1 S. 445 f.).
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 AuG haben ausländische Ehegatten von Schweizerinnen und Schweizern Anspruch auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung, wenn sie mit diesen zusammenwohnen. Nach Auflösung der Ehe oder der Familiengemeinschaft besteht der Anspruch des Ehegatten auf Erteilung und Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung weiter, wenn die Ehegemeinschaft mindestens drei Jahre gedauert hat und eine erfolgreiche Integration besteht (Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG) oder wichtige persönliche Gründe einen weiteren Aufenthalt in der Schweiz erforderlich machen (Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG). Wichtige Gründe im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG können namentlich vorliegen, wenn die Ehegattin oder der Ehegatte Opfer ehelicher Gewalt wurde oder die Ehe nicht aus freiem Willen geschlossen hat oder die soziale Wiedereingliederung im Herkunftsland stark gefährdet erscheint (Art. 50 Abs. 2 AuG).
2.2. Die beiden Kriterien nach Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG (Ablauf der Dreijahresfrist und Integration) - müssen kumulativ erfüllt sein (BGE 140 II 289 E. 3.5.3 S. 295). Gemäss Art. 77 Abs. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über Zulassung, Aufenthalt und Erwerbstätigkeit (VZAE, SR 142.201) liegt eine erfolgreiche Integration im Sinn von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG vor, wenn die Ausländerin oder der Ausländer namentlich die rechtsstaatliche Ordnung und die Werte der Bundesverfassung respektiert (lit. a) sowie den Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb der am Wohnort gesprochenen Landessprache bekundet (lit. b). Nach Art. 4 der Verordnung vom 24. Oktober 2007 über die Integration von Ausländerinnen und Ausländern (VintA; SR 142.205) zeigt sich der Beitrag der Ausländerinnen und Ausländer zu ihrer Integration namentlich in der Respektierung der rechtsstaatlichen Ordnung und der Werte der Bundesverfassung (lit. a), im Erlernen der am Wohnort gesprochenen Landessprache (lit. b), in der Auseinandersetzung mit den Lebensbedingungen in der Schweiz (lit. c) sowie im Willen zur Teilnahme am Wirtschaftsleben und zum Erwerb von Bildung (lit. d). Das Adverb "namentlich", welches sowohl in Art. 77 Abs. 4 VZAE als auch in Art. 4 VintA verwendet wird, weist auf den nicht abschliessenden Charakter der in diesen Bestimmungen aufgezählten Kriterien hin (Urteil 2C_175/2015 vom 30. Oktober 2015 E. 2.2).
2.3. Rechtsprechungsgemäss ist eine erfolgreiche Integration zu verneinen, wenn eine Person kein Erwerbseinkommen erwirtschaften kann, welches ihren Konsum zu decken vermag, und während einer substantiellen Zeitdauer von Sozialleistungen abhängig ist, ohne dass sich die Situation wesentlich verbessert (Urteile 2C_175/2015 vom 30. Oktober 2015 E. 2.3; 2C_352/2014 vom 18. März 2015 E. 4.5; 2C_930/2012 vom 10. Januar 2013 E. 3.1; 2C_857/2010 vom 22. August 2011 E. 2.3.1). Eine erfolgreiche Integration setzt indessen nicht voraus, dass die ausländische Person eine gradlinige Karriere in einer besonders qualifizierten Tätigkeit absolviert hat (Urteil 2C_430/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 4.2). Ebenso wenig ist nötig, dass ein hohes Einkommen erzielt wird (Urteile 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.3; 2C_426/2011 vom 30. November 2011 E. 3.3). Entscheidend ist, dass die ausländische Person für sich sorgen kann, keine (nennenswerten) Sozialhilfeleistungen bezieht und sich nicht (in nennenswerter Weise) verschuldet (Urteile 2C_352/2014 vom 18. März 2015 E. 4.5; 2C_430/2011 vom 11. Oktober 2011 E. 4.2).
Geringfügige Strafen schliessen eine gelungene Integration nicht notwendigerweise aus (Urteile 2C_1125/2014 vom 9. September 2015 E. 3.2.2; 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 4.3). Umgekehrt ergibt sich aus dem Umstand, dass die ausländische Person sich strafrechtlich nichts zuschulden hat kommen lassen und ihr Unterhalt ohne Sozialhilfe gewährleistet erscheint, für sich allein noch keine erfolgreiche Integration (Urteile 2C_175/2015 vom 30. Oktober 2015 E. 2.3; 2C_830/2010 vom 10. Juni 2011 E. 2.2.2). Spielt sich das gesellschaftliche Leben einer ausländischen Person primär mit Angehörigen des eigenen Landes ab, spricht dies eher gegen die Annahme einer gelungenen Integration (Urteile 2C_749/2011 vom 20. Januar 2012 E. 3.3; 2C_546/2010 vom 30. November 2010 E. 5.2.4). Kann sich die ausländische Person auf einfache Weise in typischen alltäglichen Situationen verständigen und kurze Gespräche führen, hat sie in sprachlicher Hinsicht als hinreichend integriert zu gelten (Urteile 2C_175/2015 vom 30. Oktober 2015 E. 2.3; 2C_65/2014 vom 27. Januar 2015 E. 3.5).
3.
Es ist unbestritten, dass die Ehegemeinschaft in der Schweiz während mehr als drei Jahren bestanden hat (Heirat im August 2007; Auflösung der Ehegemeinschaft spätestens am 12. August 2013). Zu prüfen bleibt, ob der Beschwerdeführer die erforderliche gelungene Integration aufweist.
3.1. Die wirtschaftliche Integration des Beschwerdeführers ging sehr schleppend voran. Zwar war er während der Ehe teilweise arbeitstätig gewesen, so vom 3. März 2008 bis 31. Mai 2009 als Vollzeit-Küchenhilfe und vom 1. Juli 2011 bis 30. Juni 2012 zu 70 % im Rahmen eines Integrationsprogramms als Mitarbeiter im Aufsichtsdienst eines Museums. Im Zeitpunkt der Gewährung des rechtlichen Gehörs durch das Migrationsamt am 8. Oktober 2014 war er jedoch wiederum arbeitslos. Obwohl er seit Ende Oktober 2005 (Gewährung der vorläufigen Aufnahme) berechtigt war, eine Erwerbstätigkeit auszuüben, konnte er beruflich nicht Fuss fassen. Auch die Verwarnung vom 1. November 2012 hatte nicht zu einer nachhaltigen Integration in den Arbeitsmarkt geführt. Erst unter dem Eindruck des Wegweisungsverfahrens, am 1. Februar 2015, trat der Beschwerdeführer eine Stelle als Buffetmitarbeiter an und bezog seither keine Sozialhilfe mehr. Dies ist zwar positiv zu würdigen, vermag aber nichts daran zu ändern, dass er (zusammen mit seiner Ehefrau) während gut sechs Jahren mit insgesamt Fr. 195'000.-- von der öffentlichen Hand unterstützt werden musste.
3.2. Sodann ist der Beschwerdeführer mehrmals im Bereich des Strassenverkehrs straffällig geworden. Auch wenn es sich dabei nicht um schwere Delikte handelt, hat er dabei doch die Gefährdung oder Verletzung anderer Verkehrsteilnehmer in Kauf genommen und die Arbeit der Polizei behindert. Die erneute Straffälligkeit während der Probezeit zeugt von Unbelehrbarkeit und einer gewissen Geringschätzung gegenüber der schweizerischen Rechtsordnung. Bei diesem Verhalten kann in Bezug auf die öffentliche Ordnung und damit auch in sozialer Hinsicht nicht von einer geglückten Integration gesprochen werden.
3.3. Die Vorinstanz hat die Frage, ob der Beschwerdeführer in sprachlicher Hinsicht ausreichend integriert sei, offen gelassen, was nicht zu beanstanden ist. Die sprachliche Integration ist eine Unterkategorie der sozialen Integration. Sie hat durchaus ihre Bedeutung, ist indessen nur ein Element unter vielen, welche für oder gegen eine gelungene Integration sprechen können (vgl. E. 2.2 am Ende). Selbst wenn also - was nicht ausgeschlossen werden kann - mit dem Beschwerdeführer davon auszugehen wäre, dass er über ausreichende (im Sinn der Rechtsprechung, vgl. E. 2.3 am Ende) mündliche Deutschkenntnisse verfügt, würde dies nichts daran ändern, dass seine Integration insgesamt nicht als erfolgreich bezeichnet werden kann. Neben den negativen Aspekten des Sozialhilfebezugs und der Straffälligkeit gibt es keine Anhaltspunkte dafür, dass der Beschwerdeführer vertiefte Beziehungen zur Schweiz geknüpft hätte. Unter diesen Umständen vermögen auch genügende Sprachkenntnisse keinen entscheidenden Einfluss auf die Gesamtwürdigung der Integration auszuüben.
3.4. Nach dem Gesagten sind die Voraussetzungen von Art. 50 Abs. 1 lit. a AuG nicht erfüllt, weshalb der Anspruch zu verneinen ist. Ein Anspruch aus Art. 50 Abs. 1 lit. b AuG wird nicht geltend gemacht.
4.
Zu prüfen bleibt, ob die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung vor Art. 8 EMRK standhält bzw. verhältnismässig ist (BGE 135 II 377 E. 4.3 S. 381).
4.1. Das in Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV geschützte Recht auf Achtung des Familienleben ist berührt, wenn eine staatliche Entfernungs- oder Fernhaltemassnahme eine nahe, echte und tatsächlich gelebte familiäre Beziehung zu einer Person beeinträchtigt, die in der Schweiz über ein gefestigtes Anwesenheitsrecht verfügt, sofern dieser Person nicht ohne weitere Schwierigkeiten zugemutet werden kann, die familiäre Beziehung ausserhalb der Schweiz zu leben (BGE 140 I 145 E. 3.1 S. 147; 139 I 330 E. 2.1 S. 336; 137 I 247 E. 4.1.2 S. 249 f.). Kann eine Person sich auf Art. 8 EMRK berufen, so kommt die Verweigerung der Aufenthaltserlaubnis einem Eingriff in das Recht auf Achtung des Familienlebens gleich (BGE 135 I 149 E. 2.1 S. 147; Urteil 2C_547/2014 vom 5. Januar 2015 E. 3.1).
4.2. Der nicht sorge- bzw. obhutsberechtigte ausländische Elternteil kann den Kontakt zu seinem Kind von vornherein nur in beschränktem Rahmen pflegen, nämlich durch die Ausübung des ihm eingeräumten Besuchsrechts. Um dieses wahrnehmen zu können, ist in der Regel nicht erforderlich, dass der ausländische Elternteil dauerhaft im selben Land wie das Kind lebt und dort über ein Anwesenheitsrecht verfügt. Unter dem Gesichtspunkt des Anspruchs auf Familienleben nach Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV ist es grundsätzlich ausreichend, wenn das Besuchsrecht im Rahmen von Kurzaufenthalten vom Ausland her ausgeübt werden kann, wobei allenfalls dessen Modalitäten entsprechend auszugestalten sind. Ein weitergehender Anspruch kann nur in Betracht fallen, wenn in wirtschaftlicher und affektiver Hinsicht eine besonders enge Beziehung zum Kind besteht, diese Beziehung wegen der Distanz zum Herkunftsland der ausländischen Person praktisch nicht aufrecht erhalten werden könnte und deren bisheriges Verhalten in der Schweiz zu keinerlei Klagen Anlass gegeben hat (sog. "tadelloses Verhalten"; BGE 139 I 315 E. 2.2 S. 319 mit Hinweisen).
4.2.1. Das Bundesgericht hat den Begriff der besonderen Intensität der affektiven Beziehung für bereits in der Schweiz ansässige ausländische Personen dahingehend präzisiert, dass das Erfordernis erfüllt ist, wenn der persönliche Kontakt im Rahmen eines nach heutigem Massstab üblichen Besuchsrechts ausgeübt wird (BGE 139 I 315 E. 2.3-2.5 S. 319 ff.). Nach wie vor bleibt aber erforderlich, dass auch in wirtschaftlicher Hinsicht eine besonders intensive Beziehung zwischen dem Kind und dem nicht obhutsberechtigten Elternteil besteht und dass dessen bisheriges Verhalten in der Schweiz zu keinen wesentlichen Klagen Anlass gegeben hat (BGE 140 I 145 E. 3.2 S. 147 f.; BGE 139 I 315 E. 2.5 S. 321).
4.2.2. Beim Kriterium des "tadellosen Verhaltens" handelt es sich ebenfalls um eines unter mehreren. Je nach den Umständen sollen untergeordnete Verstösse gegen die öffentliche Ordnung nicht so stark gewichtet werden, dass sie die anderen Kriterien (Grad der tatsächlichen affektiven und wirtschaftlichen Intensität der Beziehung zum Kind, zivilrechtliche Regelung der familiären Verhältnisse nach Auflösung der Gemeinschaft, Dauer des Aufenthalts im Land, Grad der Integration) zum Vornherein aufwiegen (BGE 140 I 145 E. 4.3 S. 150; Urteile 2C_1125/2014 vom 9. September 2015 E. 4.4; 2C_728/2014 vom 3. Juni 2015 E. 4.1).
4.3.
4.3.1. Nach den Feststellungen der Vorinstanz nimmt der Beschwerdeführer sein Besuchsrecht, welches im Umfang den heute üblichen Massstäben entspricht, reibungslos wahr. Die erforderliche affektive Beziehung zu den Kindern ist somit zu bejahen.
4.3.2. Die gerichtlich festgesetzten Unterhaltsbeiträge für die Kinder hat der Beschwerdeführer nie bezahlt, auch nicht nach dem Stellenantritt am 1. Februar 2015. Der Beschwerdeführer räumt dies ein, äussert sich aber nicht weiter dazu. Dass die Nichtbezahlung der Unterhaltsbeiträge (zumindest teilweise) auf die Sozialhilfeabhängigkeit zurückzuführen ist, ändert nichts daran, dass die erforderliche enge wirtschaftliche Beziehung zu den Kindern nicht vorhanden ist. Das entsprechende Kriterium ist nicht erfüllt.
4.3.3. Der Beschwerdeführer macht geltend, die Mutter der Kinder hange einer stark fundamentalistischen Version des Islam an. Sie habe einige Monate in Saudiarabien verbracht, wobei sie die Kinder bei der Grossmutter zurückgelassen habe. Im Hinblick auf das Kindeswohl sei es wichtig, dass die Kinder nicht ausschliesslich mit einem fundamentalistischen Elternteil aufwüchsen.
Von einer islamistischen Lebenshaltung der Kindsmutter und einer damit einhergehenden möglichen Gefährdung des Kindeswohls ist im angefochtenen Urteil nicht die Rede. Nachdem der Beschwerdeführer die Sachverhaltsdarstellung der Vorinstanz nicht als unvollständig oder offensichtlich unrichtig rügt, ist nicht weiter darauf einzugehen (vgl. E. 1.3).
4.3.4. Bei dieser Ausgangslage kann offen bleiben, inwieweit die Straffälligkeit des Beschwerdeführers bei der Interessenabwägung ins Gewicht fällt (vgl. E. 4.2.2). Dass der Beschwerdeführer zu Klagen Anlass gegeben hat, ergibt sich zudem nicht nur aus seiner Delinquenz, sondern auch aus dem jahrelangen Sozialhilfebezug. Der Eingriff in das Familienleben ist unter diesen Umständen gerechtfertigt.
4.4. Auch unter den übrigen Gesichtspunkten erweist sich die Nichtverlängerung der Aufenthaltsbewilligung nicht als unverhältnismässig. Der Beschwerdeführer lebte im Zeitpunkt des angefochtenen Urteils seit über zwölf Jahren in der Schweiz. Diese Anwesenheitsdauer begründet ein erhöhtes Interesse an einem Verbleib in der Schweiz. Allerdings war der Beschwerdeführer bereits 22 Jahre alt, als er in die Schweiz kam. Die Kultur des Nordirak, aus dem er stammt, sollte ihm noch bestens vertraut sein, so dass eine Wiedereingliederung keine grösseren Hindernisse darstellen dürfte. Der Beschwerdeführer verfügt in seiner Heimat noch über familiäre Beziehungen; auch seine Kinder hat er schon dorthin mitgenommen. Das Staatssekretariat für Migration hat die Rückkehr in den Nordirak für den (kurdischen) Beschwerdeführer als zumutbar erachtet. Es ist kein Grund ersichtlich, warum die Vorinstanz nicht auf diese Einschätzung hätte abstellen dürfen. Sollte sich gemäss der Befürchtung des Beschwerdeführers erweisen, dass Besuche seiner Kinder im Nordirak - aus welchen Gründen auch immer - nicht realisierbar sind, kann der Kontakt in der Schweiz oder in einem Drittland gepflegt werden. Über die Modalitäten des Besuchsrechts wird sich der Beschwerdeführer mit der Mutter der Kinder ohnehin verständigen müssen. Aufgrund der grossen Distanz können bzw. müssen die modernen Kommunikationsmittel zu Hilfe genommen werden, um den Kontakt zu den Kindern aufrecht zu erhalten. Die Rückkehr in den Nordirak ist dem Beschwerdeführer trotz einer gewissen Härte zumutbar.
4.5. Nach dem Gesagten ist ein Anspruch auf Verlängerung der Aufenthaltsbewilligung gestützt auf Art. 8 Ziff. 1 EMRK bzw. Art. 13 Abs. 1 BV zu verneinen.
5.
Das Urteil der Vorinstanz ist in materieller Hinsicht zu bestätigen. Es bleibt zu prüfen, ob die Vorinstanz dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege zu Recht verweigert hat.
Der Entscheid der Sicherheitsdirektion ist sehr sorgfältig begründet. Mit Blick darauf und in Anbetracht der Praxis in derartigen Fällen ist nicht zu beanstanden, dass die Vorinstanz die Beschwerde als aussichtslos erachtete und demgemäss das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege abwies. Damit steht nicht im Widerspruch, dass die Sicherheitsdirektion selbst dem Beschwerdeführer die unentgeltliche Rechtspflege gewährt hat. Denn das Kriterium der Nichtaussichtslosigkeit eines Rechtsmittels wird im Lauf des Instanzenzugs zunehmend strenger gehandhabt. Daraus, dass dem Beschwerdeführer gestattet wurde, auf Kosten des Staates ein Rechtsmittel gegen die Verfügung des Migrationsamts zu ergreifen, ergibt sich keine präjudizielle Wirkung auf die Erfolgschance für ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege bei der höheren Instanz.
6.
Die Beschwerde ist vollumfänglich abzuweisen.
6.1. Bei diesem Ausgang des Verfahrens wird der unterliegende Beschwerdeführer gemäss Art. 66 Abs. 1 BGG grundsätzlich kostenpflichtig; er hat indessen um Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege ersucht. Wie schon vor der Vorinstanz bestanden in Anbetracht der Sach- und Rechtslage und der Rechtsprechung in derartigen Fällen keine realistischen Erfolgsaussichten. Die Beschwerde erweist sich damit als aussichtslos. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist abzuweisen und die (umständehalber reduzierten) Gerichtskosten sind dem Beschwerdeführer aufzuerlegen.
6.2. Ausgangsgemäss ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 1. Abteilung, und dem Staatssekretariat für Migration schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 6. Juni 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Genner