Sachverhalt:
A.
A._ (geb. 1964), Mutter dreier mittlerweile volljähriger Kinder (geb. 1994, 1996 und 1998), schloss im Jahr 2009 die Ausbildung zur Sozialarbeiterin (Bachelor of Arts FHNW in Sozialer Arbeit) ab. Ab August 2010 arbeitete sie in einem 80 %-Pensum bei der Sozialhilfe B._. Nachdem sie wiederholt krankheitsbedingt während längerer Phasen ganz oder teilweise arbeitsunfähig gewesen war, wurde ihr Arbeitspensum ab 1. November 2014 auf 40 % reduziert.
Im Mai 2014 meldete sich A._ unter Hinweis auf psychische Beschwerden bei der Invalidenversicherung zum Leistungsbezug (berufliche Massnahmen, Rente) an. Die IV-Stelle Basel-Stadt unterstützte A._ mit einem Jobcoaching. Nach längerer Arbeitsunfähigkeit konnte A._ im Mai 2015 ihre Tätigkeit bei der Sozialhilfe B._ im Rahmen eines 40 %-Pensums wieder aufnehmen.
Die IV-Stelle Basel-Stadt klärte die gesundheitlichen sowie die erwerblichen Verhältnisse und führte das Vorbescheidverfahren durch. Mit Verfügung vom 6. April 2016 sprach sie A._ aufgrund eines ermittelten Invaliditätsgrades von 50 % mit Wirkung ab 1. November 2014 eine halbe Rente zu.
B.
Die von A._ dagegen mit dem Antrag auf Zusprache einer Dreiviertelsrente erhobene Beschwerde hiess das Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt mit Entscheid vom 25. Oktober 2016 gut, hob die Verfügung auf und verpflichtete die IV-Stelle, der Versicherten ab 1. November 2014 eine Dreiviertelsrente auszurichten.
C.
Die IV-Stelle führt Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Rechtsbegehren, der kantonale Entscheid sei aufzuheben. Es sei der Versicherten ab 1. November 2014 eine halbe Rente zuzusprechen.
A._ lässt auf Abweisung der Beschwerde schliessen. Mit ihrer Vernehmlassung gibt die Versicherte ein Schreiben des Abteilungsleiters Sozialberatung und der Teamleiterin der Sozialhilfe B._ vom 25. Januar 2017 zu den Akten. Das Bundesamt für Sozialversicherungen verzichtet auf eine Vernehmlassung.
In einer weiteren Eingabe macht die IV-Stelle geltend, die Versicherte hätte die von ihr vernehmlassungsweise ins Recht gelegten Tatsachen bereits im kantonalen Verfahren vorbringen müssen.
Erwägungen:
1.
1.1. Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann u.a. die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG), die Feststellung des Sachverhalts nur, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht und wenn die Behebung des Mangels für den Ausgang des Verfahrens entscheidend sein kann (Art. 97 Abs. 1 BGG). Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz von Amtes wegen berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG).
1.2. Neue Tatsachen und Beweismittel können nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
2.
2.1. Nach den verbindlichen Sachverhaltsfeststellungen im angefochtenen Entscheid, welche die IV-Stelle nicht in Frage stellt, wäre die Versicherte im Gesundheitsfall nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit ab November 2014 (Zeitpunkt des Rentenbeginns) in einem Vollpensum erwerbstätig.
2.2. Die Vorinstanz ermittelte anhand der auf Vollerwerbstätige anwendbaren Einkommensvergleichsmethode einen Invaliditätsgrad von 60 %. Dabei stellte sie dem unbestrittenen Invalideneinkommen von Fr. 39'625.- ein Valideneinkommen von Fr. 99'063.- gegenüber. Aufgrund der Vorbringen der Beschwerde führenden IV-Stelle ist allein dieses Einkommen, welches die Versicherte im Gesundheitsfall hypothetisch verdienen würde, streitig und zu prüfen.
3.
3.1. Das Valideneinkommen ist dasjenige Einkommen, das die versicherte Person erzielen könnte, wenn sie nicht invalid geworden wäre (Art. 16 ATSG, Art. 28a Abs. 1 IVG). Seine Ermittlung hat so konkret wie möglich zu erfolgen (Urteile 9C_422/2015 vom 7. Dezember 2015 E. 3.3 und 9C_796/2013 vom 28. Januar 2014 E. 2.1). Rechtsprechungsgemäss ist entscheidend, was die versicherte Person im Zeitpunkt des Rentenbeginns nach dem Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit als Gesunde tatsächlich verdient hätte. Dabei wird in der Regel am zuletzt erzielten, der Teuerung und der realen Einkommensentwicklung angepassten Verdienst angeknüpft, da es empirischer Erfahrung entspricht, dass die bisherige Tätigkeit ohne Gesundheitsschaden fortgesetzt worden wäre. Ausnahmen müssen mit überwiegender Wahrscheinlichkeit erstellt sein (BGE 135 V 58 E. 3.1 S. 59; 134 V 322 E. 4.1 S. 325 f.; MEYER/REICHMUTH, Bundesgesetz über die Invalidenversicherung [IVG], 3. Aufl. 2014, Rz. 49 und 52 zu Art. 28a IVG). Ist der zuletzt bezogene Lohn beispielsweise überdurchschnittlich hoch, ist er nur dann als Valideneinkommen heranzuziehen, wenn mit überwiegender Wahrscheinlichkeit feststeht, dass er weiterhin erzielt worden wäre (SVR 2011 IV Nr. 55 S. 163, 8C_671/2010 E. 4.5.1; 2009 IV Nr. 58 S. 181, 9C_5/2009 E. 2.3; Urteil 8C_362/2014 vom 25. Juni 2014 E. 5.2.3 in fine; MEYER/REICHMUTH, a.a.O., Rz. 51 zu Art. 28a IVG).
3.2. Soweit es bei der Invaliditätsbemessung um die Frage geht, welche Löhne an einer bestimmten Stelle bezahlt werden oder erreicht werden können, handelt es sich um Feststellungen tatsächlicher Natur, die letztinstanzlicher Korrektur nur unter den Voraussetzungen von Art. 97 Abs. 1 BGG zugänglich sind. Hingegen ist die Frage, welche hypothetischen Erwerbseinkommen im Rahmen des Einkommensvergleichs nach Art. 16 ATSG miteinander in Beziehung zu setzen sind, eine Rechtsfrage, welche vom Bundesgericht frei zu prüfen ist, dies analog zur Frage, ob Tabellenlöhne anwendbar sind und welches die massgebende Tabelle ist (SVR 2009 IV Nr. 6 S. 11, 9C_189/2008 E. 4.1).
4.
4.1. Bei den vorinstanzlichen Akten liegt eine E-Mail vom 18. Dezember 2015, in welcher die Teamleiterin der Sozialhilfe B._ bestätigt, dass im Jahr 2010 mehrere Sozialarbeiter oder Sozialarbeiterinnen 80 bis 100 % für den Bereich Neuaufnahmen der Sozialhilfe B._ gesucht worden seien. Da zum Zeitpunkt der Bewerbung der Versicherten bereits Stellen besetzt worden seien, habe der Versicherten lediglich ein 80 %-Pensum angeboten werden können. Gleichzeitig habe man der Versicherten aber mitgeteilt, dass eine Erhöhung auf 100 % realisiert werden könne, sobald dies strukturell möglich sei. Weil der Bereich Neuaufnahmen in der folgenden Umstrukturierungsphase keine zusätzlichen Stellenprozente erhalten habe, sei es dann allerdings nicht zur Pensumserhöhung gekommen.
4.2. Nach dem angefochtenen Entscheid stehen diese Ausführungen vom 18. Dezember 2015 der Annahme eines Vollpensums bei der Sozialberatung B._ (mit einem Jahreslohn von Fr. 99'063.-) als Valideneinkommen nicht entgegen. Die Vorinstanz erwog, es sei weder überwiegend wahrscheinlich, dass die Versicherte im Gesundheitsfall ihre Arbeit bei der Sozialhilfe zugunsten einer weniger gut bezahlten Vollzeittätigkeit bei einem anderen Arbeitgeber aufgegeben hätte, noch dass sie zusätzlich anderweitig eine Stelle im Umfang von 20 % gesucht und gefunden hätte. Wahrscheinlicher sei, dass sie ihr Ziel, 100 % bei der Sozialberatung zu arbeiten, weiter verfolgt hätte. Dass es "womöglich aus strukturellen Gründen" nicht dazu gekommen sei, dürfe der Versicherten nicht zum Nachteil gereichen.
4.3. Die IV-Stelle vertritt den Standpunkt, das kantonale Gericht habe damit als Valideneinkommen in unzulässiger Weise den Lohn herangezogen, den die Versicherte bestenfalls hätte erzielen können. Ihrer Auffassung nach dürfte das von der Versicherten mit einem 80 %-Pensum erzielte Einkommen nur dann auf 100 % hochgerechnet werden, wenn eine entsprechende Stelle frei bzw. eine Aufstockung möglich gewesen wäre, was nach den arbeitgeberseitig gemachten Angaben aber klar zu verneinen sei. In ihrer Verfügung vom 6. April 2016 sei sie deshalb zu Recht von einem im Rahmen eines 80 %-Pensums erzielten Lohn (Fr. 79'251.-) ausgegangen. Für ein 100 %-Pensum müsste ihrer Auffassung nach auf Tabellenlöhne abgestellt werden, deren Anwendung ebenfalls zu einem Invaliditätsgrad führe, welcher Anspruch auf die von ihr zugesprochene halbe Rente verleihe.
4.4. Die Versicherte schliesst sich der Auffassung des kantonalen Gerichtes an. Sie macht geltend, die von der IV-Stelle zur Stützung ihres Standpunktes angeführte Aussage der Teamleiterin vom 18. Dezember 2015 habe sich lediglich auf das Jahr 2011 bezogen. Dies ergebe sich deutlich aus der von ihr im letztinstanzlichen Verfahren neu eingeholten und eingereichten Stellungnahme des Abteilungsleiters Sozialberatung und der Teamleiterin der Sozialhilfe B._ vom 25. Januar 2017.
5.
Streitig und zu prüfen ist somit, ob die Vorinstanz aus der Äusserung der Teamleiterin der Sozialhilfe B._ vom 18. Dezember 2015 zu Recht den Schluss zog, im Gesundheitsfall hätte die Versicherte bei der Sozialhilfe B._ eine Vollanstellung innegehabt und damit ein Einkommen von Fr. 99'063.- erzielt.
5.1. Eine Sachverhaltsfeststellung ist nicht schon dann offensichtlich unrichtig, wenn sich Zweifel anmelden, sondern erst, wenn sie eindeutig und augenfällig unzutreffend ist. Es liegt noch keine offensichtliche Unrichtigkeit vor, nur weil eine andere Lösung ebenfalls in Betracht fällt, selbst wenn diese als die plausiblere erschiene (BGE 129 I 8 E. 2.1 S. 9). Unhaltbar ist eine Beweiswürdigung etwa dann, wenn das Gericht Sinn und Tragweite eines Beweismittels offensichtlich verkannt hat, wenn es ohne sachlichen Grund ein wichtiges und entscheidwesentliches Beweismittel unberücksichtigt gelassen oder wenn es auf der Grundlage der festgestellten Tatsachen unhaltbare Schlussfolgerungen gezogen hat (BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266; 137 III 226 E. 4.2 S. 234; 136 III 552 E. 4.2 S. 560).
5.2. Aus der E-Mail vom 18. Dezember 2015 ergibt sich klar, dass bei der Sozialhilfe B._ im Jahr 2010 mehrere Stellen mit einem Beschäftigungsgrad von 80 bis 100 % zu besetzen waren und eine Vollanstellung der Versicherten damals einzig an der Zufälligkeit scheiterte, dass zum Zeitpunkt ihrer Bewerbung nur noch 80 Stellenprozente zur Verfügung standen, weil die anderen bereits besetzt werden konnten. Damit steht - entgegen der IV-Stelle - nicht mit dem erforderlichen Beweisgrad der überwiegenden Wahrscheinlichkeit fest, dass die Arbeitgeberin die Versicherte grundsätzlich nicht in einem höheren Pensum hätte beschäftigen wollen und können (vgl. SVR 2009 IV Nr. 6 S. 11, 9C_189/2008; Urteil 9C_673/2015 vom 10. März 2016 E. 5.2; vgl. auch MEYER/REICHMUTH, a.a.O., Rz. 50 zu Art. 28a IVG). Viel naheliegender scheint, dass die Versicherte im Gesundheitsfall die zusätzlichen 20 % bei einer anderen Verteilung der damals zur Verfügung stehenden Stellenprozente, spätestens aber sobald diese (beispielsweise infolge Kündigung eines anderen Arbeitnehmers oder einer anderen Arbeitnehmerin) frei geworden wären, erhalten hätte, so dass überwiegend wahrscheinlich ist, dass sie im massgebenden Zeitpunkt des (frühestmöglichen) Rentenbeginns (November 2014) bei der Sozialhilfe B._ ein 100 %-Pensum innegehabt hätte. Bei dieser Sachlage ist der von der Vorinstanz sinngemäss gezogene Schluss, für den Gesundheitsfall könne trotz gewissen Unsicherheiten von einer Anstellung in einem Vollpensum ausgegangen werden, nicht unhaltbar und damit für das Bundesgericht verbindlich.
5.3. Weil das von der Versicherten letztinstanzlich erstmals eingebrachte Beweismittel (eine Stellungnahme des Abteilungsleiters Sozialberatung und der Teamleiterin der Sozialhilfe B._ vom 25. Januar 2017) zu keinem anderen Ergebnis führen würde, kann offen gelassen werden, ob dessen Einreichung im Sinne von Art. 99 Abs. 1 BGG überhaupt zulässig wäre.
5.4. Bei dieser Sachlage besteht kein Anlass, von der grundsätzlichen Massgeblichkeit des von der Vorinstanz festgestellten Valideneinkommens abzurücken und auf Tabellenlöhne abzustellen (E. 3.1). Damit hat es bei der im Übrigen unbeanstandet gebliebenen Invaliditätsbemessung anhand der Einkommensvergleichsmethode, welche zum Anspruch auf die von der Vorinstanz zugesprochene Dreiviertelsrente führt, sein Bewenden.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat die Beschwerdegegnerin die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 BGG) und der Beschwerdeführerin eine Parteientschädigung zu bezahlen (Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Basel-Stadt und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 3. März 2017
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Pfiffner
Die Gerichtsschreiberin: Keel Baumann