Fatti:
A.
Il 2 ottobre 2003 l'allora C._, Lugano, ha stipulato con la A._ S.p.A., Milano, un contratto avente per oggetto, in breve, un programma di comunicazione del gruppo bancario sul mercato italiano. Trascorsa la durata iniziale di tre anni, esso si rinnovava tacitamente alle medesime condizioni, salvo disdetta da parte della banca con novanta giorni di preavviso, la prima volta per il 30 settembre 2006. I contraenti avevano eletto il foro esclusivo di Lugano e sottoposto l'atto al diritto svizzero.
Nel 2008 la B._ SA, Lugano, ha ripreso per fusione attivi e passivi della C._. Non essendo più attiva sul mercato italiano, essa ha comunicato alla A._ S.p.A. che era nell'impossibilità oggettiva di proseguire il rapporto contrattuale oltre il 30 settembre 2008 e che avrebbe pagato da ultimo la fattura per le prestazioni effettuate fino a quella data.
La A._ S.p.A. ha continuato a fornire le prestazioni che poteva svolgere autonomamente fino al 30 settembre 2009, data di scadenza del contratto, e ha emesso fatture per un totale di euro 159'786.--.
B.
Con petizione del 15 febbraio 2010 la A._ S.p.A. ha chiesto al Pretore di Lugano di condannare la B._ SA a pagarle la predetta somma, prevalendosi delle norme sul contratto di appalto. La banca si è opposta all'azione sostenendo di essere stata vincolata da un contratto di mandato, sciolto per il 30 settembre 2008 in applicazione dell'art. 404 cpv. 1 CO.
Il Pretore ha accolto la petizione con sentenza del 23 dicembre 2013, condannando la convenuta a pagare all'attrice euro 159'786.--, con interessi del 5% a partire da diverse scadenze. Il giudizio è stato sovvertito il 4 febbraio 2016 dalla II Camera civile del Tribunale di appello ticinese, la quale, statuendo su appello della convenuta, ha respinto interamente l'azione.
C.
La A._ S.p.A. insorge davanti al Tribunale federale con ricorso in materia civile del 9 marzo 2016; chiede l'annullamento della sentenza cantonale e la reiezione dell'appello della convenuta. Questa, con risposta dell'11 maggio 2016, propone di respingere il ricorso nella misura in cui fosse ammissibile. L'autorità cantonale non ha preso posizione.
Diritto:
1.
Il ricorso, presentato dalla parte soccombente nella procedura cantonale (art. 76 cpv. 1 lett. a LTF), tempestivo (art. 100 cpv. 1 LTF) e volto contro una sentenza finale (art. 90 LTF) emanata su ricorso dall'autorità ticinese di ultima istanza (art. 75 LTF) in una causa civile (art. 72 cpv. 1 LTF) con un valore litigioso superiore a fr. 30'000.-- (art. 74 cpv. 1 lett. b LTF), è ammissibile.
La ricorrente non formula domande di giudizio cifrate. La somma pretesa è però facilmente riconoscibile, dal momento che è chiesto l'annullamento della sentenza cantonale e la reiezione dell'appello della controparte, ovvero la conferma del giudizio di prima istanza che ha condannato la convenuta a pagare euro 159'786.-- (DTF 134 IIII 235 consid. 2; sentenza 4A_83/2013 del 20 giugno 2013 consid. 2).
2.
Il Tribunale federale esamina d'ufficio l'applicazione del diritto federale (art. 106 cpv. 1 LTF). Tuttavia, tenuto conto dell'onere di allegazione e motivazione imposto dall'art. 42 cpv. 1 e 2 LTF, il cui mancato rispetto conduce all'inammissibilità del gravame (art. 108 cpv. 1 lett. b LTF), esso considera di regola solo gli argomenti proposti nell'atto di ricorso (DTF 140 III 86 consid. 2).
Quanto ai fatti, in linea di massima il Tribunale federale fonda il suo ragionamento giuridico sugli accertamenti svolti dall'autorità inferiore (art. 105 cpv. 1 LTF). Può scostarsene o completarli solo se sono stati effettuati in violazione del diritto ai sensi dell'art. 95 LTF o in modo manifestamente inesatto (art. 105 cpv. 2 LTF). "Manifestamente inesatto" significa in questo ambito "arbitrario" (DTF 140 III 115 consid. 2; 135 III 397 consid. 1.5). L'accertamento dei fatti contenuto nella sentenza impugnata può essere censurato alle stesse condizioni; occorre inoltre che l'eliminazione dell'asserito vizio possa influire in maniera determinante sull'esito della causa (art. 97 cpv. 1 LTF).
3.
La controversia verte prima di tutto sulla qualificazione del contratto e, quale corollario, sulla possibilità di disdirlo o no secondo le modalità dell'art. 404 cpv. 1 CO.
3.1. La sentenza impugnata riproduce le parti essenziali del contratto, con il quale le parti si proponevano "l'implementazione di un piano di comunicazione volto a posizionare correttamente la Banca nel mercato italiano". Esse avevano definito cinque categorie di obiettivi. Riassumendo: 1. il rafforzamento della visibilità e la conoscenza dei punti di forza del gruppo attraverso articoli, inchieste e servizi vari sui media italiani; 2. lo sviluppo di una comunicazione mirata volta a valorizzare il management italiano nonché le conoscenze, le competenze e i servizi della banca in Italia; 3. il mantenimento di "un'attività di accreditamento verso la stampa economico-finanziaria italiana" mediante incontri regolari volti a istaurare rapporti duraturi con i giornalisti e interviste atte a informare gli intermediari finanziari e i clienti sulla professionalità, le competenze e la credibilità della banca sul mercato internazionale; 4. la diffusione della conoscenza dei servizi, dei prodotti specifici e degli analisti/gestori del gruppo presso gli opinion-makers delle testate specializzate; 5. la gestione della comunicazione attiva e passiva con il monitoraggio continuo e la gestione della stampa "al fine di trasmettere correttamente lo scenario e il futuro/eventuale nuovo assetto organizzativo della banca".
La sentenza ricorda inoltre che il contratto elencava sette "aree di intervento", precisando per ognuna le attività che l'attrice avrebbe dovuto svolgere. Esse erano intitolate: " A. Consulenza strategica per le attività di comunicazione; B. Relazioni con la stampa economico-finanziaria; C. Valorizzazione delle ricerche e del know-how del team di analisti/gestori; D. Consulenza di comunicazione per lo sviluppo delle attività in Italia; E. Press & media monitoring; F. Consulenza e gestione comunicazione di operazioni straordinarie; G. Consulenza per attività preventive ed operative di situazioni critiche (crisis management) ".
3.2. Il Pretore ha ritenuto che codesto contratto avesse natura mista: di mandato per le prestazioni descritte ai numeri 2 e 4 degli obiettivi, di appalto quelle dei numeri 1, 3 e 5. Essendo a suo parere preponderanti quest'ultime, ha concluso che il contratto poteva essere disdetto anticipatamente soltanto secondo gli art. 375 segg. CO, non liberamente in forza dell'art. 404 cpv. 1 CO.
La Corte cantonale ha condiviso la valutazione del Pretore nella misura in cui ha costatato la presenza di elementi del mandato, ma non ha reputato necessario decidere definitivamente se si trattasse di un mandato tipico oppure di un contratto misto. Anche in questa seconda ipotesi, ha precisato riferendosi alla giurisprudenza sul contratto globale di architetto, il rapporto di fiducia che ne sta alla base esigerebbe l'applicazione imperativa dell'art. 404 cpv. 1 CO.
3.3. La ricorrente afferma che la sentenza cantonale viola gli art. 19, 363, 394 e 404 CO. Sulla base del contenuto del contratto spiega di avere assunto obbligazioni di risultato tipiche del contratto di appalto di durata, si diffonde sulla natura di tale forma contrattuale e ne deduce che lo scioglimento poteva avvenire soltanto per le scadenze pattuite. La ricorrente aggiunge che l'art. 404 cpv. 1 CO non sarebbe applicabile nemmeno se il contratto fosse misto, poiché la giurisprudenza considerata dalla Corte cantonale, sviluppatasi in modo specifico in merito al contratto globale di architetto, non sarebbe generalizzabile; giusta sarebbe invece la tesi del Pretore, che ha ritenuto determinante la preponderanza degli elementi dell'appalto.
L'opponente obietta che il contratto litigioso è esclusivamente o comunque in modo prevalente un mandato. Avvalendosi di numerose citazioni giurisprudenziali e di dottrina, espone gli elementi che distinguono il mandato dal contratto di appalto e, dopo avere passato anch'essa in rassegna il contenuto del contratto, conclude per l'applicazione dell'art. 404 cpv. 1 CO all'intero rapporto, anche se vi fosse una componente di appalto. A suo parere, l'accresciuto rapporto di fiducia sarebbe determinante in tutti i contratti misti di mandato e appalto, non solo nel contratto globale di architetto.
4.
Il contratto è un concetto giuridico (sentenza 4A_456/2015 del 6 giugno 2016 consid. 4.1, destinato a pubblicazione). La sua qualificazione pertiene al diritto. Il Tribunale federale lo applica d'ufficio (art. 106 cpv. 1 LTF). Poco importa che la ricorrente non si sia espressa su tutti i risvolti dell'analisi - inveroassai succinta - svoltadal Tribunale di appello (così obietta l'opponente); l'atto di ricorso spiega in modo sufficiente, sotto il profilo dell'art. 42 cpv. 2 LTF, i motivi per i quali la sentenza cantonale sarebbe giuridicamente errata.
4.1. Il testo del contratto firmato dalle parti è effettivamente indice di rapporti giuridici di natura mista, di mandato e d'appalto. L'attrice si obbligava a fornire alla convenuta sia prestazioni concrete di comunicazione e di relazione con i media (articoli, inchieste e servizi vari, resoconti sulla stampa italiana e incontri con i giornalisti), sia una consulenza sulle strategie di comunicazione. Quest'ultimo aspetto appare soprattutto nella descrizione delle "aree d'intervento".
Il testo, nel suo insieme, è però lungo, in parte ripetitivo e di difficile lettura; non è affatto agevole distinguere le mansioni che rientrano nell'uno o nell'altro tipo di contratto. Il linguaggio usato dalle parti non è tuttavia determinante per la qualificazione corretta del contratto; bisogna piuttosto analizzare le prestazioni effettuate concretamente (DTF 130 III 458 consid. 4 pag. 461).A tale proposito la Corte cantonale ha riprodotto l'estratto che segue della deposizione di D._, consulente aziendale presso l'attrice:
"Per quanto riguarda l'attività e il compito di A._ S.p.A.era quello di promuovere continuativamente l'attività e i servizi proposti dalla C._ presso il pubblico italiano. Concretamente la A._ S.p.A. provvedeva alla diffusione di comunicati stampa con relativa attività di follow up con i giornalisti, provvedeva ad organizzare delle interviste con i giornalisti, radio, TV italiane in forma telefonica o scritta o de viso. Inoltre A._ S.p.A. organizzava delle conferenze stampa in particolare per la presentazione annuale dei risultati della banca. Questa presentazione avveniva a Lugano e noi portavamo in macchina qui a Lugano dei giornalisti italiani. Infine vi erano delle attività di carattere più "ludico", in particolare mi ricordo che la C._era molto attiva con la galleria d'arte X._ e noi portavamo dei giornalisti selezionati per seguire le manifestazioni. Lo stesso dicasi delle attività di golf che la banca organizzava per clienti e altre attività ludiche. Infine con riferimento all'attività più economica e finanziaria svolta dalla A._ S.p.A. noi stilavamo regolarmente dei rapporti e dei documenti che venivano trasmessi ai management della banca, per aiutarla a capire come la banca veniva percepita sui media italiani, di conseguenza noi seguivamo questi media (è il nostro principale lavoro) e in questi rapporti riportavamo i vari riscontri che davano i media alla C._ segnatamente alla sua immagine, alla sua attività ecc. Evidentemente in base a questi rapporti che venivano discussi si potevano poi impostare determinate strategie."
Emerge da questa deposizione che, a prescindere dalla formulazione del testo contrattuale, l'attività effettiva dell'attrice consisteva d'un canto nella promozione dell'immagine e dei prodotti della banca sui vari media italiani mediante la diffusione di comunicati stampa o interviste e l'organizzazione di conferenze stampa; dall'altro nell'osservazione di tali media e nell'allestimento regolare di rapporti sui riscontri d'immagine della banca ch'essi davano. Per curare i buoni rapporti con i giornalisti l'attrice organizzava inoltre per loro manifestazioni e "attività ludiche".
4.2. I predetti accertamenti di fatto dell'autorità cantonale sono vincolanti (cfr. consid. 2). Essi attestano che l'attività dell'attrice produceva dei risultati concreti: articoli, interviste, conferenze stampa, incontri, rassegne stampa e rapporti, oltre a manifestazioni e "attività ludiche". La testimonianza riportata nella sentenza accenna anche alle discussioni dei rapporti sui riscontri giornalistici, in base ai quali "si potevano poi impostare determinate strategie". In assenza di altri accertamenti a tale riguardo, è però da ritenere che si trattasse delle normali riflessioni e concertazioni con il cliente che precedevano il lavoro vero e proprio dell'attrice, che sfociava nelle suddette produzioni. L'opponente non muove censure a titolo eventuale contro i fatti accertati nella sentenza, come avrebbe potuto (cfr. DTF 136 III 502 consid. 6.2 pag. 503).
Tutti i predetti risultati - nonsolo le rassegne stampa, come ha ritenuto la Corte cantonale - eranomisurabili oggettivamente; poco importa se per la diffusione occorreva il concorso di terzi, ovvero dei media. L'attrice produceva perciò opere immateriali nel senso dell'art. 363 CO (DTF 130 III 458 consid. 4 pag. 461 e rif.); al pari di chi fornisce concetti pubblicitari, prospetti di vendita, traduzioni oppure organizza manifestazioni (si vedano le casistiche in ZINDEL/PULVER/SCHOTT, Basler Kommentar, Obligationenrecht I, 6aed. 2015, n. 2 prima degliart. 363-379CO e n. 11a seg. ad art. 363 CO; PETER GAUCH, Der Werkvertrag, 2011, pag. 13).
4.3. Il contratto era stato firmato per la durata iniziale di tre anni, rinnovabile tacitamente alle stesse condizioni, fatta salva la "revoca dell'incarico" da parte della banca con novanta giorni di preavviso sulla scadenza, la prima volta per il 30 settembre 2006. Gli obblighi dell'attrice non si estinguevano perciò con la fornitura dell'opera (o delle opere) ma con il trascorrere del tempo previsto; fino a tale scadenza l'attività dell'attrice doveva continuare a produrre i risultati di cui s'è detto. Con ragione la ricorrente sostiene perciò che si trattava di un contratto d'appalto di durata che, pur avendo le caratteristiche dell'appalto per quanto attiene alla natura della prestazione tipica, è un contratto sui generis, innominato (sentenza 4C.387/2001 del 10 settembre 2002 consid. 3, con rif.).
Ai contratti innominati si applicano, oltre alle pattuizioni delle parti, le disposizioni adeguate dei contratti tipici (ibidem). È ciò che il Tribunale federale ha fatto, ad esempio, nella sentenza 4C.231/2004 dell'8 ottobre 2004consid. 2, applicando, appunto per analogia, gli art. 367 segg. CO a un contratto avente per oggetto lavori regolari di pulizia di un ambulatorio medico (ZINDEL/PULVER/SCHOTT, op. cit., n. 14 prima degliart. 363-379 CO, ne deducono in modo affrettato che in quell'occasione il contratto fosse stato qualificato di appalto).
Nella fattispecie il contratto stabiliva in modo chiaro le scadenze e le modalità della disdetta da parte della banca, per cui, sotto questo profilo, non v'è necessità di ricorrere ad analogie.
4.4. Il diritto di revoca in ogni tempo secondo l'art. 404 cpv. 1 CO non può entrare in considerazione. La sua giustificazione sta nel fatto che il mandato presuppone un rapporto di fiducia talmente intenso tra le parti, da rendere insensato mantenere il contratto quando la fiducia viene a mancare (DTF 115 II 464 consid. 2a pag. 466). La prassi ammette invero che l'art. 404 cpv. 1 CO possa applicarsi anche a taluni contratti misti, qualora la durata dei vincoli contrattuali faccia apparire adeguate le regole sul mandato (sentenza 4A_141/2011 del 6 luglio 2011 consid. 2.2. e rinvii). Nel caso in esame la questione non si pone tuttavia in questi termini, poiché, come detto, non siamo in presenza di un contratto misto. La fiducia, sulla quale insiste l'opponente, deve necessariamente permeare anche i rapporti tra l'appaltatore e il committente in un rapporto contrattuale di durata, ma è analoga a quella che vige nel contratto di appalto tipico.
5.
Ne viene che la sentenza impugnata lede il diritto federale, nella misura in cui ha ammesso la revoca del contratto da parte della banca secondo l'art. 404 cpv. 1 CO, e deve essere annullata. L'incarto va ritornato all'autorità cantonale affinché esamini la causa prescindendo dall'applicazione della predetta norma.
Le spese seguono la soccombenza (art. 66 cpv. 1 e 68 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
Il ricorso è accolto. La sentenza impugnata è annullata e la causa è rinviata all'autorità cantonale per nuovo giudizio nel senso dei considerandi.
2.
Le spese giudiziarie di fr. 6'000.-- sono poste a carico dell'opponente, che rifonderà alla ricorrente fr. 7'000.-- a titolo di ripetibili per la procedura innanzi al Tribunale federale.
3.
Comunicazione ai patrocinatori delle parti e alla II Camera civile del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.