Faits :
A.
Alors qu'il faisait l'objet d'une décision de renvoi du territoire suisse, A._ a été engagé le 30 août 2005 par l'entreprise C._ Sàrl en qualité d'ouvrier et était, à ce titre, assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA). Le lendemain de son engagement, A._ a été victime d'un accident de travail sur un chantier. Il était occupé à démonter le cadre en fer d'une fenêtre à guillotine avec un collègue, quand le haut du cadre s'est soudainement affaissé le blessant au dos et à l'épaule droite. Il a été transporté à l'Hôpital B._ où les médecins ont diagnostiqué une fracture burst-split L4 ainsi qu'une plaie profonde avec déchirure du muscle trapèze et fracture de la 2ème côte droite; ils ont procédé à une spondylodèse L3-L5. La CNA a pris en charge le cas.
L'évolution a été lentement favorable. Il subsistait néanmoins une radiculopathie L4 à D et des douleurs lombaires. Sur le plan professionnel, une activité physique exigeante pour le dos n'était plus envisageable (rapport de sortie des médecins de la Clinique de réadaptation du 17 mars 2006). En mars 2007, alors qu'elle avait convoqué A._ pour un examen final, la CNA a appris que le prénommé se trouvait en détention. L'examen n'a pas pu se faire, l'assuré ayant été expulsé de Suisse par décision du 11 mai 2007 de l'Office fédéral des migrations. Dans l'intervalle, par communication du 24 avril 2007, la CNA a informé A._ qu'elle mettait fin au paiement des soins médicaux et au versement des indemnités journalières. Se fondant sur les derniers documents médicaux versés au dossier (rapports des docteurs D._, du département de neurochirurgie de l'Hôpital E._, et F._, neurologue, des 18 et 20 décembre 2006), elle a considéré qu'il n'y avait plus lieu d'attendre une amélioration de son état de santé par la poursuite du traitement médical, tout en précisant qu'elle examinerait si d'autres prestations entraient en ligne de compte.
Contactée par le mandataire de l'assuré en août 2007, la CNA a fait savoir à celui-ci qu'une expertise médicale était nécessaire pour qu'elle puisse se prononcer sur le droit de A._ à d'autres prestations et qu'à cette fin, ce dernier devait demander un visa à une représentation suisse à l'étranger l'autorisant à séjourner temporairement en Suisse. L'intéressé n'a toutefois effectué aucune démarche dans ce sens. Par la suite, plusieurs échanges téléphoniques ont encore eu lieu entre le mandataire ou le cousin de A._ et la CNA, au cours desquels l'assureur-accidents a expliqué que pour rouvrir le dossier, il incombait à l'assuré de transmettre au moins un rapport médical détaillé et des radiographies.
En juin 2013, A._ a annoncé à la CNA son retour en Suisse, en indiquant souffrir de violentes douleurs au dos liées à l'accident du 31 août 2005 et être suivi par la Policlinique médicale universitaire (PMU). Après un examen de l'assuré par le médecin d'arrondissement, le docteur G._, la CNA a repris le versement des indemnités journalières dès le 1er juin 2013 au titre de rechute. Du 29 octobre au 22 novembre 2013, l'assuré a effectué un séjour à la CRR en vue d'une instruction médicale plus approfondie (rapport du 9 décembre 2013 Il a également été revu en consultation au département de neurochirurgie de l'Hôpital E._ (rapport du 5 mai 2014). Le docteur G._ l'a ensuite examiné le 5 août 2014. Ce médecin a retenu une capacité de travail entière dans le respect des limitations fonctionnelles fixées par les médecins de la CRR et évalué l'atteinte à l'intégrité à 20 % (voir son rapport d'examen final daté du même jour).
La CNA a derechef mis fin à la prise en charge des soins médicaux (hormis deux contrôles par année et la médication antalgique), ainsi qu'au versement des indemnités journalières avec effet au 31 octobre 2014. Elle a alloué à A._ une indemnité pour atteinte à l'intégrité d'un taux de 20 % mais refusé de verser une rente d'invalidité, au motif que la perte de gain présentée était inférieure à 10 % (décision du 16 septembre 2014 confirmée sur opposition le 3 novembre 2014).
B.
Par jugement du 21 décembre 2015, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours formé par l'assuré contre la décision sur opposition de la CNA.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public, assorti d'un recours constitutionnel subsidiaire, en concluant à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il a droit à une rente d'invalidité entière avec intérêt à 5 % l'an dès le 1er juin 2013. Subsidiairement, il demande le renvoi de l'affaire au tribunal cantonal pour nouvelle décision au sens des considérants.
La CNA conclut au rejet du recours. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable en tant que recours en matière de droit public. Partant, en raison de son caractère subsidiaire, le recours constitutionnel n'est pas recevable (art. 113 LTF).
2.
Lorsque le litige porte sur le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents (ici une rente d'invalidité, l'indemnité pour atteinte à l'intégrité n'étant pas contestée par le recourant), le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par la juridiction inférieure (art. 97 al. 2 et art. 105 al. 3 LTF).
3.
Aux termes de l'art. 99 al. 1 LTF, aucun fait nouveau ni aucune preuve nouvelle ne peut être présenté, à moins de résulter de la décision de l'autorité précédente. Les rapports des docteurs H._ et I._, J._ et K._, ainsi que celui du docteur L._, respectivement des 8 octobre 2015, 16 février 2016 et 19 mars 2016, produits par le recourant en annexe de son recours fédéral, n'ont pas été versés à la procédure cantonale. Par conséquent, ces documents ne peuvent pas être pris en considération par la Cour de céans.
4.
Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales (art. 6 al. 1 et art. 18 al. 1 LAA, ce dernier dans sa version, déterminante en l'espèce, en vigueur jusqu'au 31 décembre 2016) et les principes applicables au cas (notions de causalité naturelle et adéquate; évaluation de l'invalidité). Il suffit d'y renvoyer.
5.
Le recourant reproche tout d'abord à la juridiction cantonale d'avoir confirmé le point de vue de la CNA selon lequel les troubles qu'il avait annoncés à son retour en Suisse (juin 2013) constituaient une rechute de l'accident initial. Il soutient que rien ne permettait en effet de présumer que son état s'était amélioré entre février 2007 et juin 2013. Il fallait bien plutôt considérer que les séquelles somatiques de son accident du 31 août 2005, telles qu'elles se présentaient au moment de son refoulement à l'étranger, ne s'étaient jamais amendées depuis et qu'à cette symptomatologie étaient venus s'ajouter des troubles psychiques, ce que l'ordonnance d'une expertise pluridisciplinaire aurait pu démontrer comme il l'avait demandé, mais sans succès, dans son recours cantonal. Le recourant se plaint ensuite d'une mauvaise appréciation des preuves par la juridiction cantonale en tant qu'elle a écarté les avis médicaux qu'il a produits, et qui attestaient d'une incapacité de travail totale, au profit de l'expertise du CRR et de l'appréciation du médecin d'arrondissement de la CNA.
6.
6.1. En l'occurrence, le recourant n'explique pas quelle conséquence il entend tirer quant à son droit aux prestations du fait que son cas aurait été traité à tort sous l'angle d'une rechute. Cela étant, il est constant que l'intimée n'a pas été en mesure de déterminer ce qu'il en était de ses droits éventuels après le 31 mai 2007, son expulsion de la Suisse ayant empêché la réalisation d'un examen médical final pour fixer sa capacité de travail résiduelle. Par ailleurs, le recourant ne conteste pas avoir été informé des démarches à entreprendre pour que l'assureur-accidents puisse se prononcer. A cet égard, il sied de rappeler que si le principe inquisitoire impose à l'assureur de constater les faits d'office (art. 43 al. 1 LPGA [RS 830.1]; voir également art. 55 al. 1 OLAA [RS 832.202]), ce principe n'est pas absolu. Sa portée est restreinte par le devoir des parties de collaborer à l'instruction de l'affaire, qui comprend en particulier l'obligation d'apporter, dans la mesure où cela peut être raisonnablement exigé d'elles, les preuves commandées par la nature du litige et des faits invoqués, faute de quoi elles risquent de devoir supporter les conséquences de l'absence de preuves (ATF 125 V 193 consid. 2 p. 195 et les références; cf. ATF 130 I 180 consid. 3.2 p. 183 s.). Or le recourant n'expose pas en quoi il lui aurait été impossible d'obtenir un visa ou de produire des preuves concernant son état de santé entre mai 2007 et juin 2013, de sorte qu'on ne saurait reprocher à la CNA un défaut d'instruction à ce sujet, ni d'ailleurs l'absence de versement de prestations.
6.2. En ce qui concerne l'évaluation de la capacité de travail résiduelle de l'assuré au plan somatique après son retour en Suisse, on ne voit pas, à l'instar de la juridiction cantonale, de motif de s'écarter de l'exigibilité fixée par le docteur G._, qui a repris à son compte les conclusions des médecins de la CRR. Ces derniers ont refait un bilan clinique et radiologique de la colonne dorso-lombaire (y compris IRM et scanner) qu'ils ont encore complété par une électroneuromyographie (ENMG). Ils ont trouvé un status après spondylèse L3-L5 pour une fracture de L4 consolidée avec une cunéiformisation de son corps vertébral et une perte de hauteur d'environ 30 %, un pincement postérieur en L5-S1 et un effacement de la lordose lombaire. Ils ont constaté que le matériel d'ostéosynthèse présentait un bris dans la tige gauche mais sans instabilité, ce qui a été confirmé à l'issue d'une consultation de l'Hôpital E._ où l'on a pas retenu d'indication chirurgicale. Il y avait également un recul du mur postérieur de L4 et de très légers signes d'une ancienne atteinte axonale de la racine L4 à droite, en amélioration par rapport à ce qui prévalait en 2007. Au terme de leurs observations (comprenant celles du stage accompli par l'assuré aux ateliers professionnels), les médecins de la CRR ont estimé qu'on pouvait attendre une capacité de travail dans une activité adaptée respectant les limitations fonctionnelles suivantes: pas de charges supérieures à 10 kg, pas de position statique debout ou assise et pas de maintien prolongé du tronc en porte-à-faux. On peut donc considérer que le recourant a fait l'objet d'un examen circonstancié de la part de médecins spécialistes. Quoi qu'il en dise, les attestations du docteur M._ de la Policlinique médicale universitaire (PMU), fondées uniquement sur ses plaintes subjectives, ne suffisent pas à faire douter de l'appréciation des médecins de la CRR et du docteur G._. Le médecin traitant précité n'avance en effet aucun argument objectif qui étayerait son affirmation - en contradiction totale avec les prises de position de ses confrères - selon laquelle l'assuré présente une "incapacité de travail complète permanente". Quant à l'aspect psychique de l'état de santé du recourant, on peut constater avec la juridiction cantonale que les rapports établis par les médecins psychiatres de la PMU n'abordent pas du tout la question du rapport causalité naturelle entre les symptômes dépressifs décrits et l'accident du 31 août 2005, laissant même entendre que ceux-ci sont liés à la situation sociale précaire de l'assuré, qui n'a pas de permis de séjour et qui survit grâce à l'aide de membres de sa famille vivant en Suisse. Dans ces conditions, on ne saurait admettre que la responsabilité de l'intimée est engagée sous cet angle et il ne se justifie pas non plus d'ordonner une instruction complémentaire. Il s'ensuit que la CNA était fondée à refuser au recourant le droit à une rente LAA, étant précisé que celui-ci n'émet aucune critique à l'encontre de la manière dont l'intimée a évalué son degré d'invalidité sur la base d'une capacité de travail résiduelle totale dans une activité adaptée aux limitations fonctionnelles.
Mal fondé, le recours est rejeté.
7.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours constitutionnel subsidiaire est irrecevable.
2.
Le recours en matière de droit public est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 30 janvier 2017
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : von Zwehl