Erwägungen:
1.
Mit Eingabe vom 14. November 2016 stellte A._ gegen Detektiv-Korporal B._ ein Ausstandsgesuch gemäss Art. 58 StPO. Dabei machte er geltend, der kriminalpolizeiliche Sachbearbeiter habe ihn durch die Nichtweiterleitung seiner Strafanzeige vom 9. Juli 2016 benachteiligt und geschädigt und sei deshalb durch dieses Verhalten in dem gegen ihn, A._, wegen Nötigung eröffneten Strafverfahren befangen.
Mit Entscheid vom 22. Dezember 2016 hat die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, Erster Staatsanwalt, das Ausstandsgesuch abgewiesen.
Hiergegen gelangte A._ mit einer vom 10. Januar 2017 datierten Beschwerde an den Ersten Staatsanwalt, wobei er das Gesuch stellte, diese Eingabe sei an die zuständige Stelle weiterzuleiten.
Die Staatsanwaltschaft überwies das Rechtsmittel am 11. Januar 2017 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, welches seinerseits die Beschwerde mit Schreiben vom 17. Januar 2017 zuständigkeitshalber dem Bundesgericht hat zukommen lassen (unter Hinweis auf Art. 59 Abs. 1 und Art. 380 StPO in Verbindung mit Art. 92 Abs. 1 BGG).
Das Bundesgericht hat davon abgesehen, Stellungnahmen zur Beschwerde einzuholen.
2.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer wiederholt im Wesentlichen seinen bereits im kantonalen Verfahren vorgetragenen Rechtsstandpunkt, wonach Kripo-Kpl B._ wegen Nichtweiterleitens der von ihm, A._, erstatteten Anzeige im Rahmen der gegen ihn selber laufenden Strafuntersuchung wegen Nötigung in den Ausstand zu versetzen sei. Dabei setzt er sich indes mit der einlässlichen Begründung des Ersten Staatsanwalts nicht rechtsgenüglich auseinander. Mit seinen im Wesentlichen appellatorischen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die dem angefochtenen Entscheid zugrunde liegenden Erwägungen bzw. der Entscheid selbst im Ergebnis rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll.
Die Beschwerde genügt somit den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
3.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach wird erkannt:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt, Erster Staatsanwalt, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Januar 2017
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Merkli
Der Gerichtsschreiber: Bopp