Faits :
A.
A._ travaillait à mi-temps en qualité de mécanicien-manoeuvre auprès du Centre Automobile B._. A ce titre, il était obligatoirement assuré contre le risque d'accident auprès de la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (CNA).
Le 7 octobre 2012, il a été victime d'un accident de la circulation; alors qu'il circulait au volant de sa voiture, en compagnie de son fils de sept ans assis sur le siège arrière, il est entré en collision avec une voiture qui lui a coupé la route. A._ a subi une fracture transverse du sternum. La CNA a pris en charge le cas.
Une IRM lombaire réalisée le 12 juin 2013 a montré la présence de deux hernies intraspongieuses, l'une au plateau supérieur de S1 et l'autre au plateau inférieur de L3 associées à un oedème de la spongieuse.
Dans un rapport du 25 octobre 2013, le docteur C._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie, a retenu les diagnostics de status après distorsion-contusion de la colonne vertébrale et de hernie intra-spongieuse du plateau supérieur S1 et du plateau inférieur L3. Il a fait état d'une symptomatologie très algique de lombosciatalgie droite atténuée après injection et infiltrations péridurales. Invité à se prononcer sur le rapport précité, le docteur D._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et médecin d'arrondissement de la CNA, a indiqué que les troubles lombaires n'étaient pas contemporains à l'accident. Selon lui, l'IRM avait révélé des pathologies maladives, disco-dégénératives, sans lésion structurelle imputable à l'accident (cf. rapport du 12 novembre 2013).
Le 13 février 2014, le docteur E._, spécialiste FMH en neurologie, a conclu à un examen normal, ne révélant aucun signe d'atteinte neurogène périphérique significatif dans l'ensemble des muscles examinés au niveau du membre inférieur droit ainsi que dans la musculature paravertébrale lombaire. L'IRM lombaire du 12 juin 2013 était sans anomalie significative susceptible d'expliquer les plaintes et en particulier sans lésion post-traumatique ni signes de compression radiculaire de nature dégénérative ou malformative.
Dans son rapport d'examen final du 17 avril 2014, le docteur D._ a fait état d'une évolution lentement favorable en ce qui concerne la fracture du sternum, avec consolidation acquise en décembre 2013. Les troubles lombaires et sciatiques droits n'étaient, quant à eux, pas contemporains à l'accident, de sorte qu'un lien de causalité entre ces troubles et l'accident ne pouvait pas être retenu au degré de la vraisemblance prépondérante.
Par décision du 5 juin 2014, la CNA a mis fin à ses prestations avec effet au 16 mai 2014, considérant que le statu quo sine avait été atteint à cette date. L'assuré a formé opposition en faisant valoir que l'accident avait également entraîné des troubles psychiques. Par décision sur opposition du 16 juillet 2014, la CNA a rejeté l'opposition.
B.
L'assuré a recouru contre cette décision. Il a produit un rapport de la doctoresse F._, médecin associé au Service de rhumatologie de l'Hôpital G._, du 30 juillet 2014.
Par arrêt du 27 août 2015, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal vaudois a rejeté le recours.
C.
A._ forme un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant au renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour instruction complémentaire. Il sollicite en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire.
L'intimée conclut au rejet du recours.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à des prestations de l'assurance-accidents au-delà du 15 mai 2014.
Lorsque le jugement entrepris porte sur des prestations en espèces et en nature de l'assurance-accidents (frais de traitement et indemnité journalière), le Tribunal fédéral constate avec un plein pouvoir d'examen les faits communs aux deux objets litigieux et se fonde sur ces constatations pour statuer, en droit, sur ces deux objets. En revanche, les faits qui ne seraient pertinents que pour statuer sur le droit aux prestations en nature ne sont revus que dans les limites définies par les art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF (SVR 2011 UV n° 1 p. 1 [8C_584/2009] consid. 4; arrêts 8C_560/2015 du 29 avril 2016 consid. 2; 8C_440/2015 du 14 avril 2016 consid. 2).
3.
3.1. Par un premier moyen, le recourant reproche aux premiers juges d'avoir retenu que ses douleurs lombaires n'étaient pas en lien de causalité avec l'accident du 7 octobre 2012, en se fondant essentiellement sur l'avis du médecin-conseil de la CNA.
Comme l'ont retenu les premiers juges, aucune plainte relative à d'éventuelles lombalgies n'a été évoquée par le recourant durant les huit mois suivant l'accident. L'IRM lombaire effectuée en juin 2013 a mis en évidence des pathologies maladives disco-dégénératives. Elle n'a en revanche révélé aucune lésion post-traumatique. Le 13 février 2014, le docteur E._ a confirmé l'absence de lésion post-traumatique. Se prononçant à son tour sur l'IRM lombaire du 12 juin 2013, la doctoresse F._ a indiqué que celle-ci "ne montrait rien de particulier sinon des discopathies débutantes et des séquelles d'ostéodystrophie de croissance qui ne pouvaient être en relation de causalité avec l'accident ni responsables de ses douleurs actuelles". Au vu de ce qui précède, c'est à juste titre que les premiers juges ont conclu, à l'instar du docteur D._, qu'un lien de causalité entre les troubles lombaires et sciatiques droits et l'accident du 7 octobre 2012 ne pouvait être retenu au degré de la vraisemblance prépondérante. Le recourant n'explique pas en quoi les conclusions des médecins précités seraient incomplètes ou erronées. Par conséquent, ses allégations toutes générales ne sont pas de nature à remettre en cause la valeur probante des conclusions concordantes de ces praticiens.
3.2. En second lieu, se fondant sur l'avis de la doctoresse F._, qui a fait état d'un très probable syndrome de stress post-traumatique, le recourant fait grief à la juridiction cantonale de ne pas avoir ordonné une expertise psychiatrique et d'avoir nié l'existence d'un lien de causalité adéquate entre le trouble en question et l'accident du 7 octobre 2012.
3.2.1. En présence de troubles psychiques consécutifs à un accident qui a également provoqué un trouble somatique, la jurisprudence a dégagé des critères objectifs permettant de juger du caractère adéquat du lien de causalité (il y a lieu d'une part, d'opérer une classification des accidents en fonction de leur degré de gravité et, d'autre part, de prendre en considération un certain nombre d'autres critères déterminants; sur l'ensemble de cette problématique voir ATF 115 V 133 et 403).
3.2.2. Contrairement à ce que soutient le recourant, on ne saurait admettre que l'accident présentait un caractère particulièrement dramatique ou impressionnant du seul fait que son fils était assis sur le siège passager arrière au moment de l'accident. On notera en particulier que la survenance d'un accident de gravité moyenne présente toujours un certain caractère impressionnant pour la personne qui en est victime, ce qui ne suffit pas en soi à conduire à l'admission de ce critère (voir p. ex. l'arrêt 8C_463/2014 du 24 juin 2015 consid. 5.2.3). Pour le reste, on peut renvoyer aux considérants convaincants du jugement attaqué, la motivation du recourant étant ici à la limite de la recevabilité. Dans la mesure où la causalité adéquate doit être niée, une expertise médicale était superflue pour trancher cette question de droit.
4.
Vu ce qui précède, le recours se révèle manifestement infondé (art. 109 al. 2 let. a LTF). La demande d'assistance judiciaire présentée par le recourant doit être rejetée, dès lors que ses conclusions étaient d'emblée dénuées de chances de succès. Succombant, le recourant supportera les frais judiciaires (art. 66 al 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public, et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 20 mai 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Fretz Perrin