Faits :
A.
Par jugement du 27 novembre 2014, la juge II du district de Monthey a reconnu X._ coupable de gestion déloyale aggravée, de faux dans les titres, de tentative d'escroquerie et de fausse déclaration d'une partie en justice et l'a condamné à une peine privative de liberté de vingt-quatre mois avec sursis pendant deux ans. Sur le plan civil, elle a condamné X._ à payer à la Fondation A._ 330'779 fr. 55 avec intérêt à 5 % l'an dès le 1er novembre 2008.
B.
Par jugement du 26 février 2016, la Cour pénale II du Tribunal cantonal valaisan a rejeté l'appel formé par X._.
En résumé, elle a retenu les faits suivants:
B.a. Né en 1940 à B._, X._ a, au terme de sa scolarité obligatoire, débuté des études d'ingénieur en mécanique, qu'il n'a pas achevées. En qualité d'autodidacte, il a travaillé, pendant plusieurs années, dans les domaines de la stimulation neuromusculaire électrique et de la médecine physique.
X._ est l'inventeur d'un stimulateur neuromusculaire électrique, commercialisé sous la marque aaa. Il en a également créé et breveté une nouvelle version, vendue sous la marque bbb. Par la suite, il a élaboré un concept de rééducation globale après lésion du système nerveux central, qui associe des orthèses fonctionnelles pour les membres inférieurs à une électrostimulation neuromusculaire réglée en boucle fermée en temps réel.
B.b. Pour la réalisation de ce projet, qualifié initialement d'utopique, a été constituée, en 1998, la Fondation A._. Cette fondation a développé, en collaboration avec C._, D._, E._ et F._, des appareils destinés à l'amélioration de l'autonomie et de la qualité de vie des personnes paraplégiques, hémiplégiques et infirmes cérébrales. Créé par la Fondation A._, un dispositif, nommé ccc, est utilisé par la clinique G._, à H._, I._, à J._, ainsi que par K._, à L._. Cet appareil consiste en un dispositif de rééducation ou d'entraînement des membres inférieurs d'une personne; il sert ainsi à la remobilisation des muscles et des articulations, en particulier. D'autres appareils, le dddet le eee, sont en cours de développement. Le premier d'entre eux est destiné à l'entraînement à la marche, alors que le second constitue un dispositif d'assistance à la marche autonome.
X._ et le Prof. M._ ont comparu le 11 août 1998 devant notaire, pour signer l'acte constitutif de fondation de la Fondation A._ et arrêter la teneur des statuts.
En vertu de l'article 10 des statuts, le secrétaire général permanent, nommé par le conseil de fondation, "prépare les propositions, exécute les décisions et coordonne les activités de la Fondation" (al. 3). Il tient "le livre des procès-verbaux des décisions du Conseil" et gère "l'organisation ordinaire, les fonds de la Fondation, les encaissements et les dépenses ordinaires et il en assume la responsabilité devant le Conseil de Fondation", cette fonction étant "rémunérée, sous réserve et en fonction des moyens financiers à disposition de la Fondation" (al. 4).
Dans une première version des statuts préparée par X._, l'art. 10 al. 4 prévoyait que la fonction de secrétaire général, à plein temps, était "rémunérée", sans autre précision. Le Dr N._ a manifesté son désaccord avec la clause qui prévoyait une rémunération de la fonction de secrétaire général. Il a indiqué à X._ que "soit on modifiait les statuts, soit il refusait de donner son accord avec ce texte". Dans un fax du 24 juin 1998, X._ a signalé au Dr N._ que, à la suite de leur conversation téléphonique du jour même, il avait modifié l'art. 10 al. 4 des statuts comme suit: "Cette fonction est rémunérée, sous réserve et en fonction des moyens financiers à disposition de la Fondation".
X._ a été désigné secrétaire général permanent et directeur de la Fondation A._.
B.c. En septembre 2000, l'épouse de X._ et son fils O._ ont constitué la société P._ Sàrl, qui avait pour but la fourniture de prestations d'ingénierie, de conseil et d'assistance dans le domaine du génie biomédical. X._ était l'associé gérant de cette société, avec signature individuelle. Selon les explications de X._, la Sàrl gérait le patrimoine familial et abritait les activités qu'il développait durant son temps libre (20 %). A partir du mois de novembre 2000, les notes d'honoraires de l'intéressé à l'adresse de la fondation ont été établies sur papier à en-tête de la Sàrl. X._ a expliqué qu'il était un employé de P._ Sàrl au bénéfice d'un mandat de direction auprès de la Fondation A._. Il n'y avait aucune relation contractuelle entre la société et la fondation, mais celle-là se chargeait de l'encaissement des honoraires de X._ auprès de celle-ci.
Les honoraires étaient prélevés sur le compte courant bancaire ou dans la caisse de la Fondation A._. Bénéficiant de la signature individuelle en ce qui concernait le CCP et la banque, X._ donnait les ordres de paiement pour la Fondation A._. Les honoraires étaient inclus dans le poste "recherche et développement " au même titre que les salaires des ingénieurs de C._. Dès l'exercice 2005, au vu des difficultés de trésorerie rencontrées par la Fondation A._, X._ a renoncé, en partie, à l'encaissement de ses honoraires, mais a comptabilisé la partie non payée dans un poste compte courant (" P._ c/c "), figurant au passif du bilan sous la rubrique " Fonds étrangers ". La note suivante figurait dans les comptes annuels en rapport avec le compte courant en question: "Il s'agit des honoraires dus à P._ Sàrl, par laquelle X._ fournit à la Fondation A._ ses prestations d'ingénierie biomédicale et de direction de la Fondation". A partir de 2007, ce texte a été complété avec la phrase suivante: "Il est prévu que ce solde d'honoraires sera payé progressivement par le biais des royalties futures versées par Q._ SA".
X._ ou la société P._ Sàrl, pour le compte de celui-ci, ont facturé 1'426'035 fr. et encaissé 1'203'589 fr., de 2000 à 2009, à titre d'honoraires. Ils ont notamment perçu 183'135 fr. (pour 154'944 fr. facturés), en 2008, et 40'350 fr. (pour 96'183 fr. facturés), en 2009.
B.d. En 2004, la Fondation A._ a constitué la société Q._ SA, aux fins de permettre la fabrication et la vente des dispositifs médicaux. De la sorte, la fondation demeurait sans but lucratif, ce qui lui permettait de conserver le soutien financier des collectivités publiques et de R._, notamment. Les deux entités étaient liées par un contrat de licence et de partenariat, à teneur duquel la Fondation A._ demeurait titulaire des brevets.
B.e. La fiduciaire S._ a exercé la fonction d'organe de révision de la Fondation A._ depuis 1999. S._ avait fait la connaissance de X._ bien avant la création de la Fondation A._. En cours d'instruction, il a expliqué que la rubrique "dépenses" du poste pertes et profits intégrait les coûts relatifs au projet ccc ("R&D du projet ccc "), en particulier les honoraires de P._ Sàrl. Selon S._, un poste spécifique "honoraires" n'avait pas été créé parce que le terme "recherche et développement" correspondait bien à la nature du travail effectué par X._. Il était la tête pensante du projet. S._ ne voyait aucun problème de mettre les honoraires de P._ dans cette rubrique ("R&D"), étant donné que le travail principal de X._ était le développement technique. Au début, celui-ci effectuait les travaux bénévolement. Il a estimé le travail de direction administratif à environ 5 % des honoraires perçus par l'intéressé. Pour lui, "si les honoraires ont été payés, c'est que la fondation en avait les moyens"; même si des royalties n'étaient pas payées, des honoraires pouvaient être encaissés, dès lors que "la fondation avait la capacité financière pour faire ces paiements".
B.f. Par décision du 18 mars 2011, l'autorité de surveillance des fondations du canton du Valais (ci-après: l'autorité de surveillance) a considéré que les actes du conseil de fondation (non-résiliation du contrat liant la Fondation A._ à Q._ SA, non-encaissement des créances (royalties), non-mise en oeuvre du " Business Model ", cessions des actifs de la Fondation A._ à Q._ Holding SA) n'appelaient pas une intervention de l'autorité de surveillance au sens de l'art. 84 al. 2 CC. Elle a considéré que les versements ordonnés par X._, lorsqu'il était membre du conseil de fondation, secrétaire général et directeur de la Fondation A._ en faveur de P._ Sàrl pour les montants de 10'500 fr., de 40'350 fr. et de 183'135 fr. ainsi que le salaire versé à son fils étaient constitutifs de violation des articles 7, 9 et 10 des statuts.
Mandatée par l'autorité de surveillance, la société Fiduciaire T._ SA a rédigé, le 19 octobre 2010, un rapport d'expertise comptable. Elle a estimé que la Fondation A._ n'était pas en situation de surendettement à la fin décembre 2008. Selon l'expert, les honoraires du recourant avaient été correctement facturés, comptabilisés et payés pour autant que les disponibilités étaient suffisantes. L'expert a relevé que la fondation n'avait, en 2009, clairement plus les moyens de rémunérer X._. Les frais de fonctionnement étaient de l'ordre de 800'000 fr. (salaires, honoraires X._ et sous-traitants principalement). Jusqu'en 2007, les dons de l'Etat du Valais, de R._ et de la Ville de J._ avaient couvert les frais de fonctionnement. Ces dons se sont réduits à 700'000 fr. en 2008 et à 300'000 fr. en 2009 et n'ont pas été compensés par les royalties attendues (retard technique et difficulté à convaincre les acheteurs potentiels), ce qui avait occasionné le surendettement. De l'avis de l'expert, la comptabilisation des honoraires de X._ sous la rubrique "R&D des projets", sans être formellement contraire au droit, n'était pas très transparente. Lesdits honoraires ne figuraient pas dans la déclaration fiscale vaudoise de la Fondation A._ sur le formulaire "rémunération des dirigeants".
L'expert a relevé que, au 30 juin 2010, la fondation disposait de 107'483 fr. de liquidités, avec les "engagement suivants": prêt U._ (67'500 fr.), passifs transitoires (8'837 fr.) et provision honoraires X._/P._ (251'858 fr.). Il a souligné que cette provision pouvait mettre en danger la situation financière et donc remettre en question l'assainissement de la fondation, tout en indiquant que les royalties étaient largement insuffisantes pour verser ces honoraires qui n'étaient donc pas exigibles. A la question de savoir si l'activité de X._ correspondant aux honoraires réclamés était établie d'une quelconque manière, il a répondu qu'il n'y avait aucune documentation à ce sujet, mais qu'une activité de 80 % ne le choquait pas à la lecture du dossier. De son point de vue, les honoraires de X._ étaient exigibles seulement si la fondation encaissait suffisamment de royalties, ce qui n'était pas le cas à ce jour.
Dans son rapport complémentaire du 14 février 2011, l'expert a relevé que l'exercice 2008 de la fondation bouclait avec une perte et que les liquidités étaient négatives de 115'434 fr. au 31 décembre 2008. Selon lui, en facturant 154'944 fr. et en prélevant 183'135 fr., X._ avait mis la fondation dans une situation délicate. Par la perception d'honoraires en 2008 et en 2009, X._ avait diminué le patrimoine de la fondation. L'expert a considéré que le "rattrapage" d'honoraires effectué en 2008 constituait un "avantage" indu, car la fondation n'avait plus les liquidités suffisantes. De son point de vue, le conseil de fondation savait ou aurait dû savoir que X._ facturait 12'000 fr. par mois à la fondation.
Entendu le 6 septembre 2011 par la juge du district de Monthey, V._, de la société Fiduciaire T._ SA, a expliqué qu'en 2008, la fondation n'avait pas encaissé de royalties; il n'y avait en tout cas pas de montants suffisants permettant de payer les honoraires en retard et les autres charges de la fondation. Il a souligné que si, dans le respect de l'article 10 des statuts, X._ n'avait pas facturé pour 154'000 fr. d'honoraires en 2008, l'exercice en question n'aurait pas affiché une perte, qui s'était par la suite répercutée et avait conduit à un manque de liquidités en 2009.
B.g. Le 30 avril 2008, X._ a signé un contrat de travail conclu entre la fondation et son fils O._, engagé comme assistant de direction dès le 1er juin 2008. Ce dernier se trouvait alors au chômage et ne disposait pas de formation spécifique. Son expérience professionnelle se limitait à des emplois de paysagiste et d'ouvrier, puis de contremaître en matière de construction. Après une période de formation, il a intégré un comité de pilotage composé de W._, un de ses amis, et de U._. Formé à l'initiative de X._, le comité avait pour tâche de poursuivre les réflexions de Business Model, élaboré par X._, en définissant la structure la plus appropriée pour garantir la viabilité et le perfectionnement du projet des cyberthèses, respectivement de lever des fonds pour ce faire, à un moment où la fondation rencontrait de très sérieux problèmes financiers. En séance du 20 juin 2008, X._ a déclaré au conseil de fondation que le Business Model n'entraînerait aucune charge financière pour la Fondation A._. O._ a pourtant perçu un salaire mensuel brut de 6000 fr., à savoir un salaire mensuel net de 5'176 fr. 25, versé 13 fois par an. Le contrat de travail de O._ a pris fin le 30 septembre 2009. Compte tenu des charges sociales et des montants payés par l'assurance-chômage, la Fondation A._ a versé 95'794 fr. 57 à titre de salaire à O._.
C.
Contre le jugement cantonal du 26 février 2016, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. En substance, il conclut à son acquittement du chef d'accusation de gestion déloyale aggravée et au rejet des prétentions civiles de la Fondation A._. En outre, il sollicite l'assistance judiciaire.
Considérant en droit :
1.
Le recourant conteste l'établissement des faits, qui serait manifestement inexact sur plusieurs points.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir pour l'essentiel de façon arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. La notion d'arbitraire a été rappelée récemment dans l'ATF 141 IV 305 consid. 1.2 p. 308 s., auquel on peut se référer. En bref, une décision n'est pas arbitraire du seul fait qu'elle apparaît discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable, et cela non seulement dans sa motivation mais aussi dans son résultat. Le Tribunal fédéral n'entre en matière sur les moyens fondés sur la violation de droits fondamentaux que s'ils ont été invoqués et motivés de manière précise (art. 106 al. 2 LTF). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 141 IV 249 consid. 1.3.1 p. 253).
1.2. Le recourant débute ses écritures par une présentation personnelle des faits. Dans la mesure où il s'écarte des faits retenus par la cour cantonale sans démontrer que ceux-ci auraient été établis de manière arbitraire, son exposé est appellatoire et, partant, irrecevable.
1.3. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant que la Fondation A._ était déjà en situation précaire au début 2008 et qu'il avait donc perçu des honoraires en violation de l'art. 10 al. 4 in fine des statuts en 2008 et 2009. Il se réfère à cet égard aux déclarations du réviseur et à l'expertise comptable. Il fait également grief à la cour cantonale de ne pas avoir admis le principe de la rémunération du secrétaire général.
La cour cantonale est arrivée à la conclusion que la fondation était en situation précaire au début 2008, en se fondant avant tout sur le rapport d'expertise comptable du 19 octobre 2010 de la société Fiduciaire T._ SA, ainsi que sur le rapport complémentaire du 14 février 2011. C'est ainsi que l'expert a relevé que l'exercice 2008 de la fondation "boucle avec une perte" et que "les liquidités sont négatives de 115'434 fr. au 31 décembre 2008". Il ressort de l'expertise que, jusqu'en 2007, les dons de l'Etat du Valais, de R._ et de la Ville de J._ avaient couvert les frais de fonctionnement; ces dons s'étaient réduits à 700'000 fr. en 2008 et à 300'000 fr. en 2009 et n'avaient pas été compensés par les royalties, puisque pratiquement aucun appareil n'avait été vendu, ce qui avait occasionné le surendettement. Entendu le 6 septembre 2011 par la juge du district de Monthey, l'expert a expliqué qu'en 2008, la fondation n'avait pas encaissé de royalties; il n'y avait en tout cas pas de montants suffisants permettant de payer les honoraires en retard et les autres charges de la fondation.
La cour cantonale s'est également référée à des courriers du recourant, qui était au courant des difficultés que rencontrait la fondation. Dans un courrier du 31 janvier 2008, le recourant a relevé à l'adresse du président Y._ que la fondation était confrontée à des difficultés financières, en soulignant que cette préoccupation quant à l'avenir du financement de la Fondation A._ ressortait déjà clairement du procès-verbal de la réunion du conseil de fondation du 21 juin 2007. Par lettre du 30 juillet 2008, le recourant a signalé au président que la situation financière de la fondation restait des plus préoccupante, puisqu'elle ne pouvait compter sur la perception de royalties eu égard aux grandes difficultés de Q._ SA. Le 28 novembre 2008, le recourant a indiqué au président Y._ que, pour pouvoir faire face à l'absence de royalties prévues au budget 2008, il avait obtenu auprès de la banque Z._ un dépassement momentané du compte courant de 150'000 francs.
La cour cantonale a écarté à juste titre l'avis de l'organe de révision, qui a déclaré que le versement des honoraires au recourant respectait les statuts de la fondation, car, si ces honoraires avaient pu être versés, c'est que la fondation en avait les moyens. En effet, le fait que la fondation dispose des liquidités suffisantes ne signifie pas encore qu'elle ait eu les moyens de verser lesdits honoraires.
Enfin, contrairement à ce que soutient le recourant, la cour cantonale n'a pas contesté le principe de la rémunération du recourant, qui n'a pas été condamné pour avoir perçu des honoraires dans les années précédentes (2000 à 2007).
Compte tenu de ces éléments, la cour cantonale n'a pas versé dans l'arbitraire en retenant que la fondation se trouvait dans une situation financière précaire déjà au début 2008. Dans la mesure de leur recevabilité, les griefs soulevés doivent être rejetés.
1.4. Le recourant soutient que la cour cantonale est tombée dans l'arbitraire en retenant que le recourant avait démontré une volonté de dissimuler la réalité en utilisant le compte courant " P._ c/c " afin de comptabiliser ses honoraires.
Ce grief n'est pas pertinent. Le recourant a été condamné pour avoir prélevé des honoraires alors que la fondation ne disposait pas des moyens nécessaires et avoir ainsi violé l'art. 10 al. 4 des statuts de la fondation. Il n'a été condamné ni pour avoir facturé ses honoraires au travers de " P._ Sàrl " ni pour avoir dissimulé au conseil de fondation le versement et la comptabilisation de ses honoraires. La cour cantonale a du reste repris les conclusions de l'expert, selon lesquelles les honoraires du recourant avaient été "correctement facturés, comptabilisés". Elle a également relevé que la comptabilisation des honoraires du recourant sous la rubrique "R &D " des projets n'était pas très transparente, mais qu'elle n'était pas formellement contraire au droit (jugement attaqué p. 24).
1.5. Le recourant fait valoir que la cour cantonale a arbitrairement omis de constater que le conseil de fondation avait approuvé les comptes 2005 à 2008 à l'unanimité.
La cour cantonale n'a pas méconnu cet élément. Elle a exposé que, lors de la séance du 17 avril 2009, les comptes avaient été approuvés à l'unanimité des membres présents (jugement attaqué p. 19). Elle a également repris les déclarations de l'expert, selon lequel, de son point de vue, le conseil de fondation savait ou aurait dû savoir que le recourant facturait 12'000 fr. par mois à la fondation (jugement attaqué p. 25). Quant à la question de la portée de l'approbation des comptes, elle relève de l'application du droit. Elle sera examinée au considérant 2.3.
1.6. Le recourant reproche à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en retenant que son fils était inexpérimenté.
Lors de l'instruction, O._ a déclaré, selon ses propres termes, qu'il était un " apprenant" et que U._ était son maître de stage. Dans ces conditions, la cour de céans ne voit pas en quoi la cour cantonale serait tombée dans l'arbitraire en retenant que O._ était inexpérimenté. Le grief soulevé doit être rejeté.
2.
Dénonçant une mauvaise application de l'art. 158 CP, le recourant conteste sa condamnation pour gestion déloyale aggravée.
2.1. L'art. 158 CP punit celui qui, en vertu de la loi, d'un mandat officiel ou d'un acte juridique, est tenu de gérer les intérêts pécuniaires d'autrui ou de veiller sur leur gestion et qui, en violation de ses devoirs, aura porté atteinte à ces intérêts ou aura permis qu'ils soient lésés (ch. 1 al. 1). Le cas de la gestion déloyale aggravée est réalisé lorsque l'auteur a agi dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un enrichissement illégitime (ch. 1 al. 3).
Sur le plan objectif, il faut que l'auteur ait un devoir de gestion ou de sauvegarde, qu'il ait violé une obligation inhérente à cette qualité et qu'il en soit résulté un dommage. Sur le plan subjectif, il faut qu'il ait agi intentionnellement. Le dessein d'enrichissement illégitime constitue une circonstance aggravante (art. 158 ch. 1 al. 3 CP).
2.2. L'infraction réprimée par l'art. 158 ch. 1 CP ne peut être commise que par une personne qui revêt la qualité de gérant. Selon la jurisprudence, il s'agit d'une personne à qui incombe, de fait ou formellement, la responsabilité d'administrer un complexe patrimonial non négligeable dans l'intérêt d'autrui (ATF 129 IV 124 consid. 3.1 p. 126; 123 IV 17 consid. 3b p. 21). En règle générale, cette définition s'applique aux membres d'organes de fondations (cf. ATF 105 IV 106 consid. 2 p. 109 concernant un membre du conseil de fondation).
En l'espèce, la qualité de gérant du recourant n'est pas contestée. En sa qualité de directeur et de secrétaire général de la fondation de 1998 à 2009, le recourant était chargé de la gestion financière de celle-ci. Il disposait d'une grande indépendance, compte tenu de sa signature individuelle sur les comptes bancaires et le CCP.
2.3. Pour qu'il y ait gestion déloyale, il faut que le gérant ait violé une obligation liée à la gestion confiée (ATF 123 IV 17 consid. 3c p. 22). Le comportement délictueux consiste à violer le devoir de gestion ou de sauvegarde. Pour dire s'il y a violation, il faut déterminer concrètement le contenu du devoir imposé au gérant. Cette question s'examine au regard des rapports juridiques qui lient le gérant aux titulaires des intérêts pécuniaires qu'il administre, compte tenu des dispositions légales ou contractuelles applicables, voire encore d'éventuelles dispositions statutaires, de règlements internes, etc. (arrêts 6B_845/2014 du 16 mars 2015 consid. 3.2; 6B_967/2013 du 21 février 2014, consid. 3.2; 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.2; 6B_446/2010 du 14 janvier 2010 consid. 8.4.1).
2.3.1. Se référant aux conclusions de l'expertise T._ et aux déclarations du réviseur S._, le recourant fait valoir que la Fondation A._ avait la capacité financière de lui verser des honoraires et qu'il n'a donc pas violé son devoir de gestion en prélevant des honoraires.
Le recourant était directeur et secrétaire général de la fondation. Selon les statuts de la fondation, le secrétaire général était rémunéré, sous réserve et en fonction des moyens financiers à disposition de la fondation (art. 10 al. 4 des statuts). La rémunération du secrétaire général était donc soumise à une condition.
La formulation des statuts " sous réserve et en fonction des moyens financiers à disposition de la Fondation " peut certes être sujette à interprétation. Selon l'état de fait cantonal, dont le recourant n'a pas démontré l'arbitraire et qui lie par conséquent la cour de céans (art. 97 al. 1 et 105 al. 1 LTF), la fondation a connu de grosses difficultés financières dès le début 2008. L'expert a expliqué qu'en 2008 la fondation n'avait pas encaissé de royalties et qu'il n'y avait pas de montants suffisants permettant de payer les honoraires en retard et les autres charges de la fondation. Il a également déclaré que la fondation n'avait, en 2009, clairement plus les moyens de rémunérer le recourant (cf. consid. 1.3). Dans ces conditions, il est clair que la fondation n'avait pas les moyens nécessaires pour rémunérer le recourant en 2008 et 2009. En prélevant des honoraires pour des montants de 183'135 fr. en 2008 et de 40'350 fr. en 2009, le recourant a donc violé son devoir de gestion.
2.3.2. Le recourant fait valoir que les honoraires étaient correctement comptabilisés dans les comptes annuels et que le conseil de fondation a approuvé ceux-ci à l'unanimité; selon le recourant, chaque membre avait la possibilité lors de l'assemblée générale de contester le montant d'honoraires qui figurait dans la compatibilité, mais aucun ne l'a jamais fait.
Cet argument n'est pas pertinent.
Il faut tout d'abord relever que, selon l'expert, même si le conseil de fondation savait ou aurait dû savoir que le recourant facturait 12'000 fr. par mois à la fondation (jugement attaqué p. 25), la manière de comptabiliser du recourant sous la rubrique " R&D des projets ", sans être formellement contraire au droit, n'était pas très transparente (cf. jugement attaqué p. 24).
Dans tous les cas, en sa qualité de membre du conseil de fondation et de directeur de la fondation, le recourant devait respecter les directives statutaires. Vu les difficultés financières rencontrées par la fondation en 2008 et 2009, il ne pouvait pas prélever des honoraires sans violer l'art. 10 al. 4 des statuts de la fondation. L'approbation, par le conseil de fondation, des comptes annuels ne pouvait pas guérir le caractère indu de ces honoraires. En effet, le conseil de fondation était aussi soumis aux statuts de la fondation et n'était donc pas non plus autorisé à verser des honoraires au recourant compte tenu de la situation financière de la fondation; il aurait fallu modifier les statuts, ce qui nécessite le respect de règles matérielles et procédurales spéciales (cf. sur la modification des statuts, PARISIMA VEZ, in Commentaire romand, Code civil I, 2010, n. 10 ad art. 81 CC; cf. aussi arrêts 6B_310/2014 du 23 novembre 2015 consid. 3.9.5; 6S.187/2004 du 18 février 2005 consid. 3.2.2, sur l'absence d'impact de l'approbation de membres du conseil d'administration sur la réalisation de l'infraction de gestion déloyale).
2.4. La notion de « dommage » au sens de cette disposition doit être comprise comme pour les autres infractions contre le patrimoine, en particulier l'escroquerie (ATF 122 IV 279 consid. 2a p. 281). Ainsi, le dommage est une lésion du patrimoine sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif, mais aussi d'une mise en danger de celui-ci telle qu'elle a pour effet d'en diminuer la valeur du point de vue économique (ATF 129 IV 124 consid. 3.1 p. 125 s.; 123 IV 17 consid. 3d p. 22). Un dommage temporaire ou provisoire est suffisant (ATF 122 IV 279 consid. 2a p. 281; arrêt 6B_1054/2010 du 16 juin 2011 consid. 2.2.1). Il n'est pas nécessaire que le dommage corresponde à l'enrichissement de l'auteur, ni qu'il soit chiffré; il suffit qu'il soit certain (arrêts 6B_967/2013 du 21 février 2014 consid. 3.3; 6B_986/2008 du 20 avril 2009, consid. 4.1).
Le recourant fait valoir qu'au vu des difficultés de trésorerie rencontrées par la Fondation A._, il a renoncé, en partie, à l'encaissement de ses honoraires et qu'il a comptabilisé la partie non payée dans un poste compte courant (" P._ c/c ") figurant au passif du bilan sous la rubrique " Fonds étrangers ". Cet argument n'est pas pertinent. En effet, la comptabilisation dans un poste compte courant (" P._ c/c) de ces honoraires (même s'ils n'étaient pas payés) augmentait le passif de la fondation, de sorte que celle-ci a bien subi un dommage.
2.5. La conscience et la volonté de l'auteur doivent englober la qualité de gérant, la violation du devoir de gestion et le dommage (arrêt 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.3). Le dol éventuel suffit; vu l'imprécision des éléments constitutifs objectifs de l'infraction, la jurisprudence se montre toutefois restrictive, soulignant que le dol éventuel doit être strictement caractérisé (ATF 123 IV 17 consid. 3e p. 23).
Sur le plan subjectif, le recourant savait que sa rémunération était soumise à condition, puisqu'il avait lui-même préparé le texte des statuts et avait modifié la teneur de l'art. 10 à la demande expresse du Dr N._. Le recourant qui tenait la comptabilité était aussi au courant de la situation financière de la fondation. Dès la fin de l'année 2007, il a alerté les membres du conseil de fondation et, en 2008, il a obtenu de la banque Z._ qu'elle consente à un dépassement sur le compte courant de 150'000 francs C'est donc bien avec conscience et volonté qu'il a prélevé des honoraires, alors que selon les statuts de la fondation il n'y avait pas droit.
2.6. Le dessein d'enrichissement illégitime n'est pas requis, mais constitue une circonstance aggravante (art. 158 ch. 1 al. 3 CP). Par enrichissement, il faut entendre tout avantage économique. Il n'y a pas de dessein d'enrichissement illégitime chez celui qui s'approprie une chose pour se payer ou pour tenter de se payer lui-même, s'il a une créance d'un montant au moins égal à la valeur de la chose qu'il s'est appropriée et s'il a vraiment agi en vue de se payer. Si l'auteur croit fermement, mais par erreur, que ces conditions sont réalisées, il peut bénéficier de l'art. 13 CP (ATF 105 IV 29 consid. 3a p. 35 s.).
Le recourant fait valoir qu'il n'a pas voulu léser les intérêts de la Fondation A._ et qu'il a même réduit ses honoraires pour ne pas porter atteinte à ses intérêts patrimoniaux. Il expose qu'il a proposé de convertir une partie de ses arriérés d'honoraires en actions de la holding qui devait chapeauter la fondation. Ces arguments ne sont pas pertinents. En prélevant des honoraires indus, le recourant a agi en étant guidé par un dessein d'enrichissement, son enrichissement consistant dans le montant des honoraires.
2.7. En conclusion, les éléments constitutifs objectifs et subjectifs de l'infraction de gestion déloyale sont réalisés. La cour cantonale n'a pas violé le droit fédéral en condamnant le recourant en application de l'art. 158 ch. 1 CP.
3.
Le recours doit être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Comme ses conclusions étaient vouées à l'échec, l'assistance judiciaire ne peut être accordée (art. 64 al. 1 LTF). Le recourant devra donc supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF), dont le montant sera toutefois fixé en tenant compte de sa situation financière.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
La demande d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1600 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et au Tribunal cantonal du canton du Valais, Cour pénale II.
Lausanne, le 10 février 2017
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin