Faits :
A.
De nationalité brésilienne, X._, née en 1994, est arrivée en Suisse le 4 novembre 2004; elle a suivi l'école obligatoire à Genève et y a obtenu le certificat de maturité en juin 2014. Elle a commencé un baccalauréat en médecine humaine à la faculté de médecine de l'Université de Genève en septembre 2014.
Le 6 octobre 2014, X._ a adressé une demande d'aide au Service des bourses et prêts d'études du canton de Genève (ci-après: le Service des bourses). Ledit service a refusé cette demande le 16 septembre 2014, refus confirmé par décision sur réclamation du 30 octobre 2014.
B.
Par arrêt du 23 juin 2015, la Cour de justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de justice) a rejeté le recours d'X._. Elle a en substance considéré que celle-ci ne remplissait pas la condition de l'art. 15 al. 1 let. d de la loi genevoise du 17 décembre 2009 sur les bourses et prêts d'études (LBPE ou la loi sur les bourses; RS/GE C 1 20) exigeant, pour l'octroi d'une bourse à une personne bénéficiant d'un permis de séjour, un domicile en Suisse depuis cinq ans: l'intéressée n'était titulaire de son autorisation de séjour que depuis le 11 mai 2012; avant cela, elle ne bénéficiait d'aucun titre l'autorisant à vivre en Suisse. Le motif tiré de la durée du séjour dans notre pays n'était contraire ni au principe d'égalité ni à l'interdiction de discrimination.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, X._ demande au Tribunal fédéral, sous suite de frais et dépens, d'annuler l'arrêt du 23 juin 2015 de la Cour de justice, de dire et constater qu'elle fait partie du cercle des bénéficiaires ayant droit à une bourse ou un prêt, de lui octroyer une bourse d'un montant annuel de 16'000 fr., à savoir 1'333 fr. par mois; subsidiairement, de renvoyer la cause à l'instance cantonale pour nouvelles instructions et décision dans le sens des considérants.
Le Service des bourses ne s'est pas déterminé. La Cour de justice persiste dans les considérants et le dispositif de son arrêt.
Par ordonnance du 15 novembre 2015, la IIe Cour de droit public a refusé la requête d'assistance judiciaire présentée par X._.
Celle-ci s'est encore prononcée par écriture du 25 janvier 2016.
Considérant en droit :
1.
1.1. D'après l'art. 83 let. k LTF, le recours en matière de droit public est irrecevable contre les décisions en matière de subventions auxquelles la législation ne donne pas droit.
Le présent recours est dirigé contre une décision fondée sur la loi sur les bourses, la recourante contestant le refus de lui octroyer une aide sous forme d'une bourse d'études. Les bourses d'études sont des subsides octroyés sur la base de décisions (arrêt 2C_121/2007 du 17 août 2007 consid. 2) et il a déjà été jugé (arrêt 2C_144/2014 du 15 septembre 2014 consid. 1) que la loi sur les bourses conférait un droit à l'aide matérielle du canton (cf. notamment art. 15 LBPE) parce qu'elle en fixe les conditions d'octroi de manière précise sans laisser aux autorités de pouvoir discrétionnaire. Partant, le présent recours ne tombe pas sous le coup de l'art. 83 let. k LTF.
1.2. Au surplus, le recours remplit les conditions des art. 42 et 82 ss LTF. Il convient dès lors d'entrer en matière.
1.3. Cependant, selon un principe général de procédure, les conclusions en constatation de droit ne sont recevables que lorsque des conclusions condamnatoires ou formatrices sont exclues. Sauf situations particulières, les conclusions constatatoires ont donc un caractère subsidiaire (cf. ATF 141 II 113 consid. 1.7 p. 123; 135 I 119 consid. 4 p. 122 et les arrêts cités). Dans la mesure où la recourante conclut, parallèlement à l'octroi d'une bourse d'un montant annuel de 16'000 fr., à ce qu'il soit constaté qu'elle fait partie du cercle des bénéficiaires ayant droit à une bourse ou un prêt, elle formule une conclusion constatatoire qui est irrecevable.
2.
Aux termes de l'art. 106 al. 2 LTF, le Tribunal fédéral n'examine la violation de droits fondamentaux, ainsi que celle de dispositions de droit cantonal et intercantonal que si ce grief a été invoqué et motivé par le recourant. Cette disposition reprend le principe d'allégation selon lequel l'acte de recours doit, sous peine d'irrecevabilité, contenir un exposé succinct des droits constitutionnels ou des principes juridiques violés et démontrer, par une argumentation précise, en quoi consiste la violation (ATF 141 IV 249 consid. 1.3.1 p. 253; 139 I 229 consid. 2.2 p. 232).
3.
3.1. Invoquant les art. 8 Cst. et 23 CC, la recourante estime que c'est à tort que la Cour de justice a jugé qu'elle ne remplissait pas la condition relative au domicile légal en Suisse durant cinq ans et qu'elle a omis de prendre en considération la situation dans son ensemble. Elle invoque son arrivée en Suisse en 2004, le fait que sa mère a trouvé un emploi, qu'elle paie des impôts, et que toutes deux sont couvertes par l'assurance-maladie. En outre, elle souligne que ni l'école obligatoire ni le gymnase n'opèrent de distinction entre élèves en situation régulière et irrégulière; à cet égard, le canton de Genève l'avait acceptée pendant de nombreuses années. Elle serait privée de l'accès à des études supérieures du fait de l'application stricte de la loi ce qui aboutirait à une inégalité de traitement.
3.2. A la lecture du grief, bien qu'elle cite les art. 8 al. 1 et 2 Cst. et 23 CC, il semble que la recourante soutienne plutôt que le droit cantonal a été appliqué de façon arbitraire; elle ne mentionne cependant pas ce grief ni ne cite les dispositions cantonales applicables pas plus que l'interdiction de l'arbitraire (art. 9 Cst.). Ainsi, dans la mesure où elle entendait avancer un tel moyen, celui-ci ne répondant pas aux exigences en la matière (cf. consid. 2), il ne sera pas entré en matière.
En ce qui concerne le principe d'ég alité (art. 8 al. 1 Cst.), l'argumentation de la recourante, qui relève essentiellement de la discussion, n'est pas conforme aux exigences en la matière (cf. consid. 2). Pour se plaindre de la violation du principe d'égalité (art. 8 Cst.) par les juges précédents, elle aurait dû exposer concrètement en quoi l'interprétation et l'application du droit cantonal par ceux-ci ne respectait pas ce principe, ce qu'elle n'a pas fait. Elle se borne à substituer son opinion à celle de l'instance précédente; elle omet même de mentionner des cas ou un groupe de personnes par rapport auxquelles ledit principe serait violé: le principe d'égalité, par essence, oppose au moins deux catégories de personnes. En outre, selon la jurisprudence, le principe de la légalité de l'activité administrative prévaut en principe sur celui de l'égalité de traitement. En conséquence, le justiciable ne peut généralement pas se prétendre victime d'une inégalité devant la loi lorsque celle-ci est correctement appliquée à son cas (ATF 139 II 49 consid. 7.1 p. 61; 136 I 65 consid. 5.6 p. 78). Or, comme susmentionné, la recourante ne soutient pas que le droit cantonal aurait été appliqué de façon arbitraire.
Dans la mesure où la recourante prétend que le refus d'une bourse constituerait une discrimination au sens de l'art. 8 al. 2 Cst. car elle serait privée de l'accès aux études en raison de son manque de moyens financiers, auquel l'Etat refuse de suppléer, elle ne peut être suivie. L'art. 8 al. 2 Cst. prescrit que nul ne doit subir de discrimination du fait notamment de sa situation sociale (cf., sur ce principe, ATF 135 I 49 consid. 4.1 p. 43; 129 I 217 consid. 2.1 p.223; 127 V 121 consid. 3b p. 126). Outre que la recourante ne traite pas la question du groupe protégé par l'art. 8 al. 2 Cst. et qui serait ici discriminé (voire de la question de l'absence d'exigence d'un tel groupe en ce qui concerne la discrimination économique, cf. ATF 135 I 49 consid. 4.4 et 5 p. 55 ss; 132 I 49 consid. 8 p. 65), on relèvera que le refus de la bourse en cause n'est pas fondé sur la situation sociale de la recourante. La loi sur les bourses a précisément pour but de lutter contre une telle discrimination. Ledit refus est basé sur l'absence de séjour légal en Suisse de la recourante durant cinq ans, à savoir une des conditions de l'octroi d'une aide à teneur de l'art. 15 al. 1 let. d LBPE.
Finalement, il n'est pas contesté que la recourante a son domicile, au sens de l'art. 23 CC, en Suisse et on ne saisit pas la pertinence de cette disposition pour le présent cas.
4.
Selon la recourante, le refus d'une bourse violerait les art. 13 du Pacte international du 16 décembre 1966 relatif aux droits économiques, sociaux et culturels (RS 0.103.1) et 5 de la Convention internationale du 21 décembre 1965 sur l'élimination de toutes formes de discrimination raciale (RS 0.104).
Outre que les dispositions dudit pacte ne sont pas, sous certaines exceptions n'entrant pas ici en considération, directement justiciables (ATF 126 I 240 consid. 2 et 3 p. 241 ss) et que l'on ne voit pas en quoi la présente cause relèverait d'une quelconque discrimination raci ale, aucune argumentation ne vient soutenir cette allégation, si ce n'est que ces normes font partie de l'ordre juridique suisse et que tous les organes de l'Etat devraient les respecter. En conséquence, il ne sera pas entré en matière, ce grief étant insuffisamment motivé (cf. consid. 2).
5.
La recourante se prévaut encore de l'art. 2 de l'Accord intercantonal du 18 juin 2009 sur l'harmonisation des régimes de bourses d'études auquel le canton de Genève a adhéré en 2012.
Ce concordat a pour but l'harmonisation des 26 législations cantonales en matière de bourses d'études; chaque canton conserve néanmoins son autonomie quant à son régime de bourses. L'art. 2 de cet accord mentionne un principe général selon lequel l'octroi d'aides financières doit améliorer la fréquentation des filières de formation notamment en facilitant l'accès à la formation. Cela étant, l'art. 5 al. 1 let. c dudit accord prévoit qu'ont droit à une allocation les personnes de nationalité étrangère bénéficiaires d'un permis d'établissement ou les personnes titulaires d'un permis de séjour si elles séjournent légalement en Suisse depuis cinq ans. L'art. 15 al. 1 let. d LBPE, sur lequel s'est fondé l'autorité compétente pour refuser l'aide requise (cf. partie "Faits" let. B), reprend cette condition et il est donc conforme à l'accord susmentionné. Partant, le grief est rejeté.
6.
Les considérants qui précèdent conduisent au rejet du recours dans la faible mesure où il est recevable.
Succombant, la recourante doit supporter les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué au mandataire de la recourante, au Service des bourses et prêts d'études et à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre administrative, 1ère section.
Lausanne, le 30 juin 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
La Greffière : Jolidon