Sachverhalt:
A.
Mit Verfügung vom 15. Juli 2010 sprach die Ausgleichskasse des Kantons Zürich A._ (geboren am 14. November 1945) ab 1. Dezember 2010 eine ordentliche Altersrente in Höhe von Fr. 1'578.- im Monat zu. Zufolge nachträglich gemeldeter Einkommen ermittelte die Ausgleichskasse ein höheres massgebendes durchschnittliches Jahreseinkommen und sprach dem Versicherten rückwirkend ab 1. Dezember 2010 neu eine Altersrente von monatlich Fr. 1'636.- zu (Verfügung vom 10. März 2011). Nachdem die ausstehenden persönlichen Beiträge für die Jahre 2005 und 2006 zum grossen Teil als uneinbringlich abgeschrieben werden mussten, verfügte die Ausgleichskasse am 28. November 2014 rückwirkend den entsprechend tieferen Rentenbetrag von Fr. 1'549.- pro Monat (Wert 2010) und forderte gleichzeitig die zu Unrecht bezogenen Differenzbetreffnisse von insgesamt Fr. 4'269.- von A._ zurück. Diese Verfügung erwuchs unangefochten in Rechtskraft. Mit Verfügung vom 13. Januar 2015 und Einspracheentscheid vom 19. Februar 2016 lehnte die Ausgleichskasse das Erlassgesuch des Versicherten mangels guten Glaubens während des Bezugs der zu hohen Rentenbeträge ab.
B.
Das Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich hiess die dagegen erhobene Beschwerde mit Entscheid vom 22. April 2016 in dem Sinne gut, als es den angefochtenen Einspracheentscheid aufhob, den guten Glauben bejahte und die Sache zur Prüfung der grossen Härte und anschliessenden neuen Verfügung über das Erlassgesuch an die Verwaltung zurückwies.
C.
Die Ausgleichskasse führt Beschwerde ans Bundesgericht mit dem Antrag auf Aufhebung des vorinstanzlichen Entscheids und Bestätigung ihrer Abweisung des Erlassgesuchs.
A._ schliesst sinngemäss auf Abweisung der Beschwerde, während das Bundesamt für Sozialversicherungen auf eine diesbezügliche Vernehmlassung verzichtet.
Erwägungen:
1.
Weil die Ausgleichskasse - bei Bejahung der grossen (wirtschaftlichen) Härte - zufolge des kantonalen Rückweisungsentscheids gezwungen wäre, eine ihres Erachtens rechtswidrige Verfügung zu treffen (Erlass der Rückforderung), hat der vorinstanzliche (Zwischen-) Entscheid für sie rechtsprechungsgemäss einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil im Sinne von Art. 93 Abs. 1 lit. a BGG zur Folge und ist deshalb seitens der Verwaltung selbständig anfechtbar (BGE 140 V 282; 133 V 477; Urteil 9C_951/2011 vom 26. April 2012 E. 1, nicht publ. in: BGE 138 V 218, aber in: SVR 2012 AHV Nr. 12 S. 46).
2.
Die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann wegen Rechtsverletzung gemäss den Art. 95 f. BGG erhoben werden. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG), und kann deren Sachverhaltsfeststellung von Amtes wegen nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG; vgl. auch Art. 97 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. Das kantonale Gericht hat die Voraussetzungen, die für den Erlass der Rückerstattung unrechtmässig bezogener Leistungen erfüllt sein müssen, nämlich die Gutgläubigkeit beim Leistungsbezug einerseits und - kumulativ - die grosse Härte der Rückerstattung andererseits (Art. 25 Abs. 1 zweiter Satz ATSG [SR 830.1]; BGE 138 V 218 E. 4 S. 220; 112 V 97 E. 2c S. 103), zutreffend dargelegt. Dasselbe gilt für die Rechtsprechung, wonach sich hier wie in anderen Bereichen das Mass der von gutgläubigen Versicherten zu verlangenden Sorgfalt nach einem objektiven Massstab beurteilt, wobei aber das den Betroffenen in ihrer Subjektivität Mögliche und Zumutbare (Urteilsfähigkeit, Gesundheitszustand, Bildungsgrad usw.) nicht ausgeblendet werden darf (BGE 138 V 218 E. 4 S. 220; SVR 2008 AHV Nr. 13 S. 41, 9C_14/2007 E. 4.1 mit Hinweis). Darauf wird verwiesen.
Gemäss vor Inkrafttreten des BGG ergangener und weiterhin gültiger Rechtsprechung ist mit Bezug auf die Überprüfungsbefugnis des Bundesgerichts zu unterscheiden zwischen dem guten Glauben als fehlendem Unrechtsbewusstsein und der Frage, ob sich jemand unter den gegebenen Umständen auf den guten Glauben berufen kann oder ob er bei zumutbarer Aufmerksamkeit den bestehenden Rechtsmangel hätte erkennen sollen. Die Frage nach dem Unrechtsbewusstsein gehört zum inneren Tatbestand und wird daher als Tatfrage nach Massgabe von Art. 105 Abs. 1 BGG von der Vorinstanz für das Bundesgericht verbindlich beurteilt. Demgegenüber gilt die Frage nach der gebotenen Aufmerksamkeit als frei überprüfbare Rechtsfrage, soweit es darum geht, festzustellen, ob sich jemand angesichts der jeweiligen tatsächlichen Verhältnisse auf den guten Glauben berufen kann (BGE 122 V 221 E. 3 S. 223; ARV 2015 S. 338, 8C_534/2015 E. 3.2).
3.2. Ebenfalls zutreffend hat die Vorinstanz erkannt, dass für die Rentenberechnung Beitragsjahre, Erwerbseinkommen sowie Erziehungs- oder Betreuungsgutschriften der rentenberechtigten Person zwischen dem 1. Januar nach Vollendung des 20. Altersjahres und dem 31. Dezember vor Eintritt des Versicherungsfalls (Rentenalter oder Tod) berücksichtigt werden (Art. 29bis Abs. 1 AHVG). Nach Art. 29quinquies Abs. 1 AHVG werden bei erwerbstätigen Personen nur die Einkommen berücksichtigt, auf denen Beiträge bezahlt wurden.
4.
Das kantonale Gericht erwog, es hätte dem Beschwerdegegner grundsätzlich bewusst sein müssen, dass es zu einer Rentenkürzung führen kann, wenn geschuldete AHV-Beiträge nicht entrichtet werden. Weil jedoch den Rentenverfügungen vom 15. Juli 2010 und 10. März 2011 keine näheren Angaben zur Berechnung der Altersrenten zu entnehmen gewesen seien (sondern neben dem Rentenbetrag nur die anwendbare Rentenskala und das jeweils massgebende durchschnittliche Jahreseinkommen), habe der in sozialversicherungsrechtlichen Fragen ohnehin nicht speziell bewanderte Versicherte die Rentenberechnung keiner Plausibilitätskontrolle unterziehen können. Sinngemäss stellt sich die Vorinstanz auf den Standpunkt, der Beschwerdegegner habe während des Leistungsbezugs nicht erkennen können, dass der ihm ausgerichtete Rentenbetrag unter Mitberücksichtigung der geschuldeten, aber noch nicht bezahlten (und in der Folge wegen Uneinbringlichkeit teilweise abgeschriebenen) Selbständigenbeiträge für die Jahre 2005 und 2006 ermittelt worden war. Im selben Sinne machte auch der Versicherte im kantonalen Verfahren geltend, er habe einfach das bezogen, was man ihm zugesprochen habe.
Dem hält die Ausgleichskasse entgegen, zusammen mit den Rentenverfügungen vom 15. Juli 2010 und 10. März 2011 seien dem Beschwerdegegner auch die diesbezüglichen Berechnungsblätter zugestellt worden, worin u.a. die einzelnen Beitragsjahre und die darauf entfallenden Einkommen aufgelistet gewesen seien. Somit habe er erkennen können, dass hinsichtlich der streitigen Beitragsjahre 2005 und 2006 Einkommen Berücksichtigung gefunden hätten, für welche die geschuldeten Beiträge bislang ausgeblieben seien. Folglich hätte der Versicherte für den Fall der weiteren (und schliesslich endgültigen) Nichtbezahlung der ausstehenden Beiträge mit der entsprechenden Rentenreduktion rechnen müssen, was den guten Glauben ausschliesse.
5.
Ob der Beschwerdegegner die von der Verwaltung erwähnten Rentenberechnungsblätter tatsächlich erhalten hat, ist zweifelhaft. Weder finden sich entsprechende Unterlagen bei den Akten noch werden sie in den Rentenverfügungen als Beilagen erwähnt. Sie wurden denn auch von der beschwerdeführenden Ausgleichskasse nicht nachgereicht. Wie sich aus den nachfolgenden Erwägungen ergibt, braucht indessen der Sache nicht näher nachgegangen zu werden.
In aller Regel sind sich Rentenansprecher darüber im Klaren, dass sich die Höhe ihrer ordentlichen AHV-Altersrente u.a. nach der Beitragsleistung richtet. Von derartigem Informationsstand darf auch beim Beschwerdegegner ausgegangen werden, zumal er nach seiner Anmeldung für die Altersrente von der Ausgleichskasse mit Schreiben vom 6. Mai 2010 um genauere Angaben zu verschiedenen Beitragslücken in seinem individuellen Konto (u.a. auch für das Jahr 2005) ersucht wurde. Am 7. Dezember 2010, d.h. im ersten Monat seines Rentenbezugs erhielt der Versicherte eine Nachtragsverfügung betreffend seine Selbständigenbeiträge für das Jahr 2005. Zuvor und danach bildeten ausstehende Sozialversicherungsbeiträge des Beschwerdegegners (namentlich für 2005/06) Gegenstand zahlreicher Betreibungs- und Pfändungsverfahren. Schliesslich mussten die persönlichen Beiträge für die Jahre 2005 und 2006 wegen Uneinbringlichkeit zum grossen Teil endgültig abgeschrieben werden.
Vor diesem Hintergrund durfte der Beschwerdegegner vernünftigerweise nicht davon ausgehen, dass die von ihm bezogene Altersrente - egal ob er seine offenen Beitragsschulden begleicht oder nicht - in betraglicher Hinsicht unverändert bleibt. Vielmehr führten die erwähnten Verwaltungsakte von Ausgleichskasse und Betreibungsamt dem Versicherten gleich zu Beginn des Rentenbezugs den grundlegenden Zusammenhang zwischen Beitragsleistung und Rentenhöhe unübersehbar vor Augen. Auch ohne nähere Kenntnisse über die Modalitäten einer Rentenberechnung hätten deshalb beim Beschwerdegegner erhebliche Zweifel an der weiteren Rechtmässigkeit des ausgerichteten Rentenbetrages aufkeimen müssen, zumal er (soweit ersichtlich) keine hinreichenden Zahlungsanstrengungen unternahm (oder vielmehr: unternehmen konnte). Diese bei gebotener Aufmerksamkeit ununterdrückbaren Zweifel schliessen den guten Glauben des Versicherten beim Leistungsbezug und damit den Erlass der Rückerstattung aus.
6.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend hat der Beschwerdegegner die Verfahrenskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Der Entscheid des Sozialversicherungsgerichts des Kantons Zürich vom 22. April 2016 wird aufgehoben und der Einspracheentscheid der Ausgleichskasse des Kantons Zürich vom 19. Februar 2016 wird bestätigt.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 700.- werden dem Beschwerdegegner auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Sozialversicherungsgericht des Kantons Zürich und dem Bundesamt für Sozialversicherungen schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 26. September 2016
Im Namen der II. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Glanzmann
Der Gerichtsschreiber: Attinger