Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt trat am 27. Januar 2016 auf eine Beschwerde mit der Begründung nicht ein, der Beschwerdeführer habe innert Frist weder den verlangten Kostenvorschuss geleistet noch um Erstreckung der Zahlungsfrist ersucht.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, der Entscheid vom 27. Januar 2016 sei aufzuheben.
2.
Die Vorinstanz geht im angefochtenen Entscheid noch davon aus, dass der Beschwerdeführer gemäss Zustellbeleg der Post die Annahme der Kostenvorschussverfügung verweigert habe (Entscheid S. 2). Der Beschwerdeführer macht unter anderem geltend, dies treffe nicht zu (Beschwerde S. 2). Dies wird von der Vorinstanz in ihrer Stellungnahme anerkannt, und sie beantragt demgemäss, ihr Entscheid sei in Gutheissung der Beschwerde aufzuheben (act. 6). Diesem Antrag ist zu entsprechen.
3.
Es sind keine Gerichtskosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Damit wird das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen und der Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt vom 27. Januar 2016 aufgehoben.
2.
Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. März 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn