Faits :
A.
B._ a travaillé dès le 1 er novembre 2011 en qualité de responsable du service formation et développement au Centre A._ à un taux d'activité de 70 %. Son contrat de travail était soumis à la Convention collective de travail du secteur de la santé du canton de Neuchâtel, version droit public, 2008 - 2012.
Le 13 juillet 2012, le directeur général du Centre A._ et le directeur des ressources humaines ont fait part à la prénommée de griefs en relation avec la gestion de son horaire de travail, plus particulièrement en ce qui concerne l'utilisation de la timbreuse. Ils l'ont informée de l'ouverture prévue d'une procédure administrative portant sur ces faits et lui ont fait part de l'alternative consistant pour elle à présenter sa démission. Trois quarts d'heure environ après cet entretien, l'intéressée a donné son congé pour le 31 août 2012.
Par courrier du 6 août 2012, B._ a contesté les accusations de malhonnêteté formulées à son égard et a exprimé ses regrets d'avoir donné sa démission sous la contrainte. Le 10 septembre suivant, elle a déclaré invalider son congé donné sous l'empire d'une crainte fondée et a informé le Centre A._ qu'elle était disposée à reprendre son activité en tout temps. Le Centre A._ a répliqué que l'intéressée ne faisait plus partie de son personnel à la suite de sa démission (lettre du 24 septembre 2012).
B.
Par écriture du 21 juin 2013, B._ a ouvert action devant la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel en demandant que le Centre A._ soit condamné à lui payer, à titre de salaire, la somme de 44'706 fr. 10, ainsi qu'une indemnité pour tort moral d'un montant de 5'000 fr., le tout assorti d'intérêts. Subsidiairement, elle concluait au paiement d'un montant de 3'363 fr. 80 au titre d'un solde de vacances.
Statuant à titre préjudiciel sur la validité de la révocation, le 10 septembre 2012, de la démission remise par l'intéressée le 13 juillet 2012, la cour cantonale a reconnu que la demande était bien fondée dans son principe en tant qu'elle portait sur les salaires dus par le défendeur à la demanderesse, sous réserve du montant litigieux, et il a invité celle-ci à lui communiquer ses conclusions chiffrées définitives relatives au montant dû au titre du salaire. En outre, elle a décliné sa compétence pour connaître de l'action en responsabilité dirigée contre le défendeur (jugement du 17 mars 2014).
Le 7 juillet 2014, la demanderesse a réduit ses prétentions et a conclu à ce que le défendeur soit condamné à payer, à titre de salaire, la somme de 42'171 fr. 70. Par écriture du 17 juin 2015, elle a indiqué que l'indemnité due par le défendeur devait correspondre au montant maximum de six mois de salaire, soit 43'971 fr.
Par jugement du 30 juillet 2015, la cour cantonale a condamné le défendeur à payer à la demanderesse la somme de 43'971 fr., montant correspondant à six mois de salaire brut, avec intérêt à 5 % dès le 21 juin 2013.
C.
Le Centre A._ forme un recours en matière de droit public en concluant à la réformation du jugement attaqué en ce sens que B._ est déboutée de toutes ses conclusions, subsidiairement en ce sens que le Centre A._ est condamné à payer à la prénommée une somme fixée à dire de justice mais en aucun cas plus élevée que 7'328 fr. 50, avec intérêt à 5 % l'an dès le 21 janvier 2013. Plus subsidiairement encore, il demande le renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision dans le sens des considérants, le tout sous suite de frais et dépens.
L'intimée conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. La cour cantonale a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
1.1. La cour cantonale a tranché le litige par deux prononcés. Par son jugement du 17 mars 2014, elle a constaté que la résiliation des rapports de travail signifiée par l'intimée le 13 juillet 2012 était entachée d'un vice du consentement et que celle-ci était en droit de la révoquer, ce qu'elle avait fait valablement par son écriture du 10 septembre 2012. Dans la mesure où le recourant n'avait pas accepté la révocation de la démission, cela équivalait à une résiliation abusive, ouvrant droit à une indemnité. Aussi la cour cantonale a-t-elle proposé aux parties de discuter un règlement transactionnel au sujet de cette indemnité. Celles-ci n'étant toutefois pas parvenues à s'entendre sur ce point, la juridiction cantonale a rendu un second jugement, le 30 juillet 2015, par lequel elle a condamné le recourant à payer à l'intimée une indemnité correspondant à six mois de salaire brut.
Le jugement du 17 mars 2014 constitue une décision incidente, contre laquelle le recourant n'était pas tenu de recourir séparément. En revanche, celui-ci peut l'attaquer par le présent recours dirigé contre le jugement final rendu le 30 juillet 2015 (art. 93 al. 3 LTF).
1.2. La présente cause est une contestation pécuniaire en matière de rapports de travail de droit public, qui ne tombe pas sous le coup de l'exception de l'art. 83 let. g LTF. Quant au seuil de la valeur litigieuse de 15'000 fr. (art. 85 al. 1 let. b LTF), il est atteint.
Le Centre A._ est particulièrement atteint par la décision attaquée, au sens de l'art. 89 al. 1 LTF (qui s'applique en principe au recours des particuliers, mais peut, à certaines conditions réalisées en l'espèce, s'appliquer à un établissement de droit public ou une collectivité publique, touchés de façon analogue à un employeur privé [cf. ATF 134 I 204 consid. 2.3 p. 207]). Le jugement entrepris condamne le recourant à payer une indemnité pour résiliation abusive des rapports de travail, de sorte que l'intéressé a un intérêt digne de protection à son annulation.
Pour le surplus, déposé en temps utile et dans les formes requises, le recours est recevable au regard des art. 42, 90 et 100 al. 1 LTF.
2.
2.1. Le jugement attaqué repose sur la Convention collective de travail du secteur de la santé du canton de Neuchâtel, version droit public, 2008 - 2012 (ci-après: CCT Santé21), à laquelle était soumis le contrat de travail liant le recourant à l'intimée. Les art. 3 ss CCT Santé21 traitent de la fin des rapports de travail et l'art. 3.5 al. 4 déclare notamment applicables, à titre supplétif, les art. 336 à 336b CO (résiliation abusive). Ces dispositions s'appliquent donc à titre de droit cantonal supplétif (ATF 138 I 232 consid. 2.4 p. 236; 126 III 370 consid. 5 p. 372; 118 II 213 consid. 4 p. 220 et les références).
2.2. Sauf dans les cas cités expressément à l'art. 95 LTF, le recours ne peut pas être formé pour violation du droit cantonal en tant que tel. En revanche, il est toujours possible de faire valoir que la mauvaise application du droit cantonal constitue une violation du droit fédéral, en particulier, qu'elle est arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. ou contraire à d'autres motifs de droits constitutionnels (ATF 138 I 143 consid. 2 p. 149; 137 V 143 consid. 1.2 p. 145). Appelé à revoir l'application ou l'interprétation d'une norme cantonale ou communale sous l'angle de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motif objectif et en violation d'un droit certain (ATF 139 I 57 consid. 5.2 p. 61). En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale n'est pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution éventuellement plus judicieuse paraît possible (ATF 140 III 167 consid. 2.1 p. 168 et l'arrêt cité). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables, encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 140 III 167 consid. 2.1 précité).
Les griefs de violation des droits fondamentaux et des dispositions de droit cantonal sont en outre soumis à des exigences de motivation accrues (art. 106 al. 2 LTF). La partie recourante doit indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés; de même, elle doit citer les dispositions du droit cantonal dont elle se prévaut et démontrer en quoi ces dispositions auraient été appliquées arbitrairement ou d'une autre manière contraire au droit (cf. ATF 140 III 385 consid. 2.3 p. 387; 138 V 67 consid. 2.2 p. 69).
3.
3.1. La cour cantonale a constaté que l'entretien du 13 juillet 2012 entre l'intimée, le directeur général du Centre A._ et le directeur des ressources humaines n'avait pas pour but, à l'origine, de faire part à l'intéressée des griefs de son employeur au sujet de la gestion de son temps de travail et de l'utilisation prétendument erronée du système de timbrage. Lors de cet entretien - lequel n'a pas fait l'objet d'un procès-verbal -, les représentants de l'employeur ont exercé une pression sur l'intéressée en lui faisant part de leur intention d'ouvrir une procédure administrative au sujet des griefs invoqués, tout en indiquant qu'elle pouvait éviter une telle procédure en donnant sa démission pour le 31 août 2012. Du moment que l'intimée n'avait jamais fait l'objet du moindre reproche en ce qui concerne la gestion de son temps de travail et l'usage du système de timbrage, le soupçon d'une faute grave justifiant l'ouverture d'une procédure administrative apparaissait inconsistant. En outre, en taisant à l'intéressée l'obligation imposée par la loi de lui notifier un avertissement formel, l'employeur ne lui a pas laissé le choix de démissionner en toute connaissance de cause.
3.2. Le recourant n'expose pas en quoi ces constatations de fait ont été établies de façon manifestement inexacte. Il ne conteste ni la teneur de l'entretien dans ses grandes lignes ni le fait que l'intimée ne s'est pas vu impartir un délai pour se déterminer. L'impression qui prévaut est bien plutôt que l'entretien avait pour seul but d'inciter l'intéressée à remettre sa démission, ce qu'effectivement elle a fait. Le déroulement des faits - qui n'est pas remis en cause par le recourant - tend d'ailleurs à confirmer cette impression. Cela étant, on ne saurait voir aucune violation d'un droit fondamental dans les conclusions de la cour cantonale, selon lesquelles la résiliation des rapports de travail signifiée par l'intimée le 13 juillet 2012 était entachée d'un vice du consentement, lequel l'autorisait à la révoquer. En tout cas, ce point de vue ne procède pas d'une application arbitraire du droit.
3.3. Il en va de même en ce qui concerne l'appréciation juridique par la cour cantonale, en tant que celle-ci a retenu, en substance, une résiliation abusive du contrat de travail par l'employeur, lequel avait rejeté la proposition de l'intimée de reprendre son activité postérieurement à la révocation de sa démission. Lorsque la démission d'une salariée est entachée d'un vice du consentement qui autorise celle-ci à la révoquer, les rapports de travail doivent se poursuivre dans la mesure où une telle démission ne peut déployer d'effet. Si, dans cette situation, l'employeur ne satisfait pas à son obligation de continuer à employer la personne concernée, cela équivaut en substance à une résiliation abusive qui n'est pas acceptable.
3.4. Quant à l'indemnité correspondant à six mois de salaire brut allouée à l'intimée, elle apparaît certes généreuse au regard de la durée des rapports de travail. Toutefois, le recourant ne démontre pas à satisfaction de droit (art. 42 al. 2 en liaison avec l'art. 106 al. 2 LTF) en quoi la cour cantonale aurait abusé de son pouvoir d'appréciation de manière contraire au droit (cf. ATF 137 V 71 consid. 5.1 p. 72 s.; 132 V 393 consid. 3.3 p. 399).
3.5. Cela étant, il n'y a pas de motif de s'écarter du jugement entrepris, sans qu'il soit nécessaire d'ordonner un complément d'instruction, comme le demande le recourant. Le recours se révèle ainsi mal fondé.
4.
Vu l'issue du litige, l'intimée, représentée par un avocat a droit à des dépens à la charge du recourant (art. 68 al. 1 et 2 LTF). Par ailleurs, celui-ci supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Une indemnité de dépens de 2'800 fr. est allouée à l'intimée à la charge du recourant pour la dernière instance.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour de droit public du Tribunal cantonal de la République et canton de Neuchâtel.
Lucerne, le 19 mai 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd