Faits :
A.
A._, exploite une épicerie italienne avec buvette attenante depuis 1994. Le 8 octobre 2009, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité en indiquant qu'il présentait une incapacité de travail de 50% depuis le 11 juillet 2008 en raison d'atteintes aux deux genoux et de hernies discales au niveau cervical.
L'Office de l'assurance-invalidité du canton de Genève (l'office AI) a mis en oeuvre une expertise rhumatologique et neurologique. Dans leur rapport du 12 août 2013, complété le 6 janvier 2014, les docteurs B._ et C._ ont diagnostiqué (avec répercussions sur la capacité de travail) des cervicalgies, des gonalgies ainsi qu'une périarthropathie de l'épaule droite; ils ont attesté que l'assuré présentait une capacité de travail de 50% s'il devait travailler seul ou avec l'aide d'un seul employé, et de 80% dans l'activité de patron de grande épicerie.
L'activité professionnelle indépendante de l'assuré a également donné lieu à un rapport d'enquête du 13 mars 2015. L'enquêtrice de l'office AI a retenu que l'assuré accomplissait 55 heures de travail par semaine avant l'atteinte à la santé, ses tâches étant réparties à concurrence de 27% pour la direction de l'entreprise, 27% pour les ventes et les livraisons, 18% pour les mises en place et les rangements, et 27% à la cuisine; l'incapacité de travail était de 50% dans le secteur de la vente et des livraisons, totale dans celui des mises en place et rangements, et de 70% à la cuisine. L'assuré avait alors réorganisé son entreprise et accomplissait des tâches adaptées à son état de santé, les travaux physiques étant délégués à ses employés; son horaire de travail avait été réduit à 40 heures et la répartition des tâches avait été modifiée. En particulier, l'assuré n'exerçait plus en cuisine et il avait engagé un cuisinier qui y travaillait sept heures par jour depuis novembre 2010.
Par décision du 17 mars 2015, l'office AI a rejeté la demande, après avoir fixé le taux d'invalidité à 0% pour l'année 2008 et à 30% dès l'année 2010.
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, en concluant au renvoi de la cause à l'office AI.
Par jugement du 27 avril 2016, la juridiction cantonale a admis le recours. Elle a reconnu le droit de l'assuré à une demi-rente d'invalidité du 1er avril 2010 au 31 janvier 2011 (fondé sur un taux d'invalidité de 57%), puis à un quart de rente à compter du 1er février 2011 (sur la base d'un degré d'invalidité de 44%).
C.
L'office AI interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation.
L'intimé conclut au rejet du recours. L'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Saisi d'un recours en matière de droit public (art. 82 ss LTF), le Tribunal fédéral exerce un pouvoir d'examen limité. Il applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF) et statue sur la base des faits retenus par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il peut néanmoins rectifier ou compléter d'office l'état de fait du jugement entrepris si des lacunes ou des erreurs manifestes lui apparaissent aussitôt (art. 105 al. 2 LTF). Il examine en principe seulement les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF) et ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant ne peut critiquer la constatation des faits importants pour le sort de l'affaire que si ceux-ci ont été établis en violation du droit ou de façon manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit du recourant à une rente de l'assurance-invalidité, singulièrement sur son taux d'invalidité au 1er avril 2010, 1er novembre 2010 et 1er mai 2011.
3.
Dans sa décision du 17 mars 2015, l'office recourant a constaté que l'état de santé de l'intimé s'était aggravé depuis novembre 2007 à la suite d'un accident. A la lumière des données communiquées par le Service médical régional et compte tenu des limitations fonctionnelles retenues, le recourant a estimé que l'intimé disposait d'une capacité de travail de 80% en qualité de patron d'une grande épicerie dès le 1er novembre 2008.
Le recourant a fixé le revenu sans invalidité à 104'768 fr. en se référant à la moyenne des bénéfices réalisés par l'intimé entre 2006 et 2007. Quant au revenu d'invalide, le recourant l'a arrêté à 106'143 fr. pour l'année 2008, sur la base de la moyenne des bénéfices perçus entre 2008 et 2009, période durant laquelle aucune collaboration supplémentaire en lien avec l'invalidité n'avait été jugée nécessaire. Par ailleurs, l'office recourant a constaté que le bénéfice d'exploitation moyen réalisé durant les exercices 2011 et 2012 s'était élevé à 73'484 fr. et que les charges hypothétiques imputables à l'invalidité étaient incluses dans ce résultat. La demande de rente devait dès lors être rejetée, car les taux d'invalidité respectifs de 0% et de 30%, issus de la comparaison des revenus, étaient inférieurs au seuil légal de 40% ouvrant droit à la rente.
4.
La juridiction cantonale a constaté que l'intimé exploitait une épicerie de produits italiens depuis 1994 avec une partie traiteur depuis janvier 1995, une sandwicherie à partir de 2003 avec agrandissement de l'établissement afin de disposer d'une petite salle de restauration pour les repas de midi. Depuis 2008, il proposait un service de livraison/traiteur à domicile. Dès 2010, l'intimé exploitait également la terrasse devant le magasin, entre avril et septembre. Jusqu'à son incapacité de travail en mai 2007, il travaillait 55 heures par semaine, d'abord seul puis avec quelques aides entre 2003 et 2006. Depuis 2006 il avait une serveuse à 50% et travaillait 40 heures par semaine dès 2007. De mai 2009 à avril 2011, il avait engagé une deuxième serveuse à temps partiel pour le service en salle. Jusqu'en octobre 2010, l'intimé faisait lui-même la cuisine et depuis novembre 2010, il occupait un cuisinier travaillant sept heures par jour pour le remplacer en cuisine. La masse salariale était de 18'000 fr. au cours des années 2006 à 2008; elle avait ensuite passé à 26'000 fr. en 2009, 39'247 fr. en 2010, 63'009 fr. en 2011 et 64'046 fr. en 2012. Quant au bénéfice net d'exploitation, il s'était élevé à 109'846 fr. en 2006, 104'932 fr. en 2007, 101'238 fr. en 2008, 87'385 fr. en 2009, 83'286 fr. en 2010, 60'986 fr. en 2011, et 67'335 fr. en 2012. Bien que le chiffre d'affaires fût en constante progression, les premiers juges ont déduit de cette évolution que le bénéfice d'exploitation était diminué par des charges en personnel en constante augmentation dont il n'était pas établi si elles étaient dues exclusivement à l'invalidité, ou si elles étaient aussi influencées par le développement de l'entreprise. Ils ont dès lors admis que la méthode ordinaire de comparaison des revenus basée sur l'évolution du bénéfice d'exploitation ne pouvait fonder une évaluation pertinente du degré d'invalidité. En conséquence, celui-ci devait être déterminé selon la méthode extraordinaire.
Pour appliquer cette méthode, la juridiction cantonale s'est fondée sur le rapport d'enquête pour activité professionnelle indépendante du 13 mars 2015 et a réparti les travaux de l'intimé en quatre champs d'activités, soit " direction - administration " (1), " vente - livraisons " (2), " mise en place - rangements " (3) et " travail de cuisine " (4). L'autorité judiciaire a repris la pondération sans handicap pour chaque champ d'activité du rapport d'enquête, soit 27,3% pour les champs 1, 2 et 4, et 18,2% pour le champ 3 (total: 100%). Trois pondérations avec handicap ont été effectuées en fonction de l'organisation interne de l'entreprise, du 1er avril au 31 octobre 2010, du 1er novembre 2010 au 30 avril 2011, puis à partir de mai 2011. Les taux d'incapacités de travail correspondants ont ensuite été fixés (0% dans le champ 1, 50% dans le champ 2, 100% dans le champ 3, 70% et respectivement 100% dans le champ 4). Quant aux salaires à prendre en considération, les premiers juges se sont référés à la table TA7 2010 de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS), prenant en compte les valeurs figurant sur les lignes 23 pour le champ d'activité 1, 27 pour les champs 2 et 3, et 37 pour le champ 4; les champs 2 et 3 ont été rangés dans le niveau de qualification 3, tandis que les champs 1 et 4 ont été placés dans le niveau de qualification 4 en raison du fait que l'intimé n'avait aucune formation de type commercial ou de cuisinier. Finalement, un facteur d'abattement de 10% a été appliqué au revenu statistique d'invalide.
Le taux d'invalidité de l'intimé a ainsi été fixé à 57% à partir du 1er avril 2010, à 44% depuis le 1er novembre 2010, puis à 45% à compter de mai 2011. Dans ces conditions, les premiers juges ont reconnu à l'intimé le droit à une demi-rente d'invalidité du 1er avril 2010 au 31 janvier 2011, cette prestation étant réduite à un quart de rente à compter du 1er février 2011.
5.
Dans un premier moyen, le recourant fait grief aux premiers juges d'avoir fixé à tort le moment déterminant pour le calcul du degré d'invalidité en 2010, au lieu de prendre la situation prévalant en novembre 2008. Il rappelle que l'incapacité de travail durable remontait à novembre 2007, époque à laquelle le recourant a eu une capacité de travail de 50% dans une activité d'exploitant d'une petite épicerie sans collaborateur ou avec un seul collaborateur, et de 80% dans l'activité d'exploitant d'une épicerie moyenne avec collaborateurs, service traiteur, buvette et petite restauration à midi.
Le recourant reproche ensuite à la juridiction cantonale de n'avoir pas évalué l'invalidité de l'intimé en application de la méthode générale de comparaison des revenus comme il l'avait fait, mais d'avoir utilisé à tort la méthode extraordinaire. Il relève que la masse salariale et le bénéfice d'exploitation n'avaient que très peu évolué de 2006 à 2008, si bien que la situation qui prévalait avant et après l'invalidité pouvait être établie en fonction des chiffres réels figurant dans les documents comptables versés au dossier. Les revenus antérieurs et postérieurs à l'invalidité pouvaient être fixés avec suffisamment de précision, ce qui justifiait l'application de la méthode ordinaire de la comparaison des revenus.
Pour le cas où l'invalidité de l'intimé devrait tout de même être évaluée selon la méthode extraordinaire, le recourant conteste le calcul opéré par les premiers juges. A son avis, ces derniers auraient dû tenir compte du niveau de qualification 3 pour tous les champs d'activités (1-4); de plus, ils n'auraient pas dû appliquer un facteur d'abattement de 10% sur le revenu d'invalide. Il signale par ailleurs deux erreurs de calcul, dont l'une concerne la pondération avec handicap pour la période du 1er avril au 31 octobre 2010 dans la partie vente/livraisons. Le taux d'invalidité serait ainsi de 46% d'avril à octobre 2010, puis de 31% dès novembre 2010.
6.
Dans ses déterminations sur le recours du 12 juillet 2016, la juridiction cantonale relève que l'erreur de saisie signalée par le recourant n'a pas d'incidence sur le droit de l'intimé à une demi-rente. Après rectification, le degré d'invalidité est de 52% au lieu de 57% pour la période du 1er avril au 31 octobre 2010.
Quant à l'intimé, il est d'avis que les griefs de l'office recourant sont entièrement infondés, à l'exception de l'erreur de transcription précitée qui ne modifie toutefois en rien l'issue du procès.
7.
7.1. Les premiers juges ont exposé les règles applicables à la solution du litige, singulièrement les situations dans lesquelles il est admissible d'appliquer la procédure extraordinaire d'évaluation de l'invalidité au lieu de la méthode générale de comparaison des revenus. Il suffit de renvoyer au consid. 12d du jugement attaqué (p. 17).
7.2. Le choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité est une question de droit sur laquelle le Tribunal fédéral se prononce librement (arrêt 9C_237/2016 du 24 août 2016 consid. 2.2).
Dans le cas d'espèce, postérieurement à la survenance de l'atteinte à la santé (en 2007) et jusqu'au jour où le recourant a statué, le 17 mars 2015 (cette date marquant la limite temporelle du pouvoir d'examen du juge: cf. ATF 131 V 407 consid. 2.1.2.1 p. 412 et les références), le chiffre d'affaires et la masse salariale de l'entreprise de l'intimé ont progressé tandis que le bénéfice net a diminué. Il n'a cependant pas été possible d'établir si cette évolution était due exclusivement à l'invalidité, ou si elle avait aussi été influencée par le développement de l'entreprise. En d'autres termes, on ignore si la diminution de la capacité de rendement fonctionnelle de l'intimé entraîne une perte de gain de même importance, soit 20%. Contrairement à l'opinion du recourant, les circonstances justifient le choix des premiers juges d'appliquer la méthode extraordinaire pour déterminer le taux d'invalidité de l'intimé. Compte tenu de ce choix de la méthode d'évaluation de l'invalidité, il n'est pas nécessaire d'examiner le grief du recourant concernant le moment déterminant pour le calcul de l'invalidité.
Dès lors qu'il n'est pas possible de chiffrer la perte de gain liée à l'invalidité, il faut en effet comparer les tâches que l'intimé exerce dans son activité professionnelle aux dates déterminantes, en faisant abstraction de tout revenu. Dans ce contexte, l'office recourant ne conteste pas la répartition des champs d'activités fixée par la juridiction cantonale, avec et sans atteinte à la santé, les pondérations avec et sans handicap (à l'exception de la valeur correspondant aux ventes-livraisons d'avril à octobre 2010, ainsi que le total de la pondération avec handicap dès novembre 2010), ni les taux d'incapacité de travail relatifs à ces champs d'activités.
7.3. Les deux erreurs signalées par le recourant étant corrigées, on peut reprendre les valeurs que la juridiction cantonale a retenues dans ses trois tableaux (consid. 15 du jugement attaqué, p. 20-23).
Du 1er avril au 31 octobre 2010, la situation est la suivante:
Champs d'activités sans atteinte à la santé Pondéra-tion sans handicap (en %) Heures de travail par semaine (sans handicap) Pondéra-tion exigible avec handicap (en %) Heures de travail par semaine (avec handicap) Incapacité de travail dans le champ d'activité (en %) Invalidité (en %) Direction 27.30% 15h 27.30% 15h 0.00% 0.00% Vente-livraisons 27.30% 15h 18.20% 10h 50.00% 13.65% Mise en place / range-ments 18.20% 10h 0.00% 0h 100.00% 18.20% Cuisine 27.30% 15h 27.30% 15h 70.00% 19.11% Total 100.00% 55h 72.80% 40h 50.96%
Dès le mois de novembre 2010, l'intimé a adapté sa charge de travail à ses limitations fonctionnelles, notamment en engageant un cuisinier et en déléguant les tâches physiques à ses employés (cf. rapport d'enquête du 13 mars 2015, p. 8). La nouvelle situation est ainsi la suivante:
Champs d'activités sans atteinte à la santé Pondéra-tion sans handicap (en %) Heures de travail par semaine (sans handicap) Pondéra-tion exigible avec handicap (en %) Heures de travail par semaine (avec handicap) Incapacité de travail dans le champ d'activité (en %) Invalidité (en %) Direction 27.30% 15h 44.40% 25h 0.00% 0.00% Vente-livraisons 27.30% 15h 22.70% 12.5h 50.00% 11.35% Mise en place / range-ments 18.20% 10h 0.00% 0h 100.00% 18.20% Cuisine 27.30% 15h 4.50% 2.5h 100.00% 4.50% Total 100.00% 55h 72.70% 40h 34.05%
Depuis mai 2011, l'intimé n'a plus qu'une serveuse et consacre davantage de temps à la vente. Les premiers juges ont procédé à un nouveau calcul de l'invalidité en augmentant le nombre d'heures afférentes au champ d'activité 2 et en diminuant les heures relevant du champ 1. Les données de l'autorité cantonale de recours relatives à la pondération exigible avec handicap peuvent être reportées dans le tableau qui suit:
Champs d'activités sans atteinte à la santé Pondéra-tion sans handicap (en %) Heures de travail par semaine (sans handicap) Pondéra-tion exigible avec handicap (en %) Heures de travail par semaine (avec handicap) Incapacité de travail dans le champ d'activité (en %) Invalidité (en %) Direction 27.30% 15h 40.90% 22.5h 0.00% 0.00% Vente-livraisons 27.30% 15h 27.30% 15h 50.00% 13.65% Mise en place / range-ments 18.20% 10h 0.00% 0h 100.00% 18.20% Cuisine 27.30% 15h 4.50% 2.5h 100.00% 4.50% Total 100.00% 55h 72.70% 40h 36.35%
7.4. Vu ce qui précède, le jugement entrepris est conforme au droit dans la mesure où il reconnaît à l'intimé le droit à une demi-rente d'invalidité du 1er avril 2010 au 31 janvier 2011, compte tenu du taux d'invalidité de 51% (valeur arrondie).
En revanche, la rente doit être supprimée dès le 1er février 2011 (art. 17 LPGA, 28 al. 2 LAI et 88a al. 1 RAI), dès lors que le taux d'invalidité est désormais inférieur au seuil ouvrant à la rente (34%, respectivement 36%). En ce sens, les conclusions de l'office recourant sont partiellement bien fondées.
8.
Vu l'issue du litige, les frais de la procédure seront répartis entre les parties, à parts égales (art. 66 al. 1 LTF). Le recourant est redevable d'une indemnité réduite de dépens à l'intimé (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est partiellement admis. Les ch. 2 et 3 du dispositif du jugement de la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, du 27 avril 2016, sont annulés en ce sens que l'intimé n'a pas droit au quart de rente d'invalidité dès le 1er février 2011. Les ch. 5 et 6 du dispositif dudit jugement sont annulés. Le recours est rejeté pour le surplus.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge des parties, à concurrence de 400 fr. chacune.
3.
Le recourant versera à l'intimé la somme de 1'200 fr. à titre de dépens pour la procédure fédérale.
4.
La cause est renvoyée à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, pour nouvelle décision sur les frais et dépens de l'instance cantonale, au regard de l'issue du procès.
5.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 12 janvier 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
Le Greffier : Berthoud