Faits :
A.
Arguant souffrir des suites d'un accident de scooter et d'une agression qui l'empêchaient d'exercer son activité de serveuse depuis le mois de janvier 2007, A._, née en 1958, a requis de la part de l'Office cantonal genevois de l'assurance-invalidité (ci-après l'office AI), le 29 novembre 2007, qu'il lui octroie des prestations.
Entre autres mesures médicales d'instruction, l'administration a récolté l'avis des médecins traitants. Ceux-ci ont évoqué différentes affections psychiques et somatiques (trouble dépressif, personnalité dépendante, fibromyalgie, capsulose rétractile, épicondylite opérée à deux reprises, gonalgies, lombo-sciatalgies) et, selon les périodes considérées ou les diagnostics retenus, attesté une incapacité partielle ou totale de travail (rapports des docteurs B._, spécialiste en psychiatrie, du 7 décembre 2007, C._, spécialiste en médecine interne générale, des 26/28 février 2008, 9 mars 2009 et 4 avril 2012, et D._, spécialiste en chirurgie de la main, des 25 septembre 2008 et 3 février 2009). L'office AI a également obtenu la production du dossier de l'assureur-accidents. Y figurent des rapports d'expertises pluridisciplinaires du Centre E._. Les experts ont considéré que, parmi toutes les pathologies observées (capsulite rétractile, status post-arthroscopie de l'épaule, dissociation scapho-lunaire, kyste dorsal au poignet, entorse à la cheville, téno-synovite des péroniers et du jambier, syndrome fémoro-patellaire du genou, discopathie L5/S1, status post-probables traumatismes cranio-cérébraux mineurs, possible atteinte au nerf médian, trouble de l'adaptation avec réaction dépressive prolongée, trouble somatoforme indifférencié), seules celles affectant l'épaule et le poignet prohibaient l'exercice de l'activité habituelle; les autres affections n'occasionnaient pas d'incapacité de travail (rapports des 22 juillet 2008 et 8 avril 2010).
Sur le plan professionnel, l'administration a aussi organisé des stages d'observation/orientation (communications des 14 décembre 2011 et 15 août 2013), qui n'ont pas été menés à terme pour des raisons médicales (rapports de stage des 26 avril 2012 et 2 octobre 2013).
L'office AI, par le truchement de son service médical régional (SMR), a inféré des éléments rassemblés que la capsulose rétractile, les lombo-sciatalgies et les gonalgies interdisaient la pratique de la profession de serveuse depuis le mois de janvier 2007 mais qu'elles permettaient de mettre en valeur une pleine capacité de travail avec une diminution de rendement de 20% dans une activité adaptée depuis le mois de juillet 2007; les autres troubles ont été classés parmi les diagnostics sans influence sur la capacité de travail (avis du docteur F._, médecin praticien, du 21 avril 2009). Le cas de l'assurée ayant été jugé stable (avis du docteur G._, médecin praticien, des 26 avril 2012 et 11 septembre 2013), l'administration s'est fondée sur l'appréciation du docteur F._ pour rejeter la demande de prestations (décision du 28 octobre 2013).
B.
A._ a déféré cette décision à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, concluant à l'octroi d'une rente entière. Elle a produit un nouvel avis du docteur C._ (rapport du 11 décembre 2013). L'office AI a en substance conclu au rejet du recours.
Les docteurs C._ et B._ ont été auditionnés au cours de la procédure (procès-verbal du 6 mai 2014 et rapport du 19 juin 2014).
Invitées à se déterminer, les parties ont maintenu leurs conclusions.
La juridiction cantonale a rejeté le recours (jugement du 9 mars 2015).
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, l'assurée recourt contre ce jugement. Elle demande son annulation et conclut à l'octroi d'une rente entière ou, subsidiairement, au renvoi du dossier à l'autorité précédente pour instruction complémentaire sous forme d'expertise judiciaire et nouvelle décision. Elle sollicite aussi l'assistance judiciaire - limitée aux frais de justice - pour la procédure fédérale.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il n'est limité ni par l'argumentation de la partie recourante ni par la motivation de l'autorité précédente. Il statue sur la base des faits établis par celle-ci (art. 105 al. 1 LTF), mais peut les rectifier et les compléter d'office si des lacunes et des erreurs manifestes apparaissent d'emblée (art. 105 al. 2 LTF). En principe, il n'examine que les griefs motivés (art. 42 al. 2 LTF), surtout s'ils portent sur la violation des droits fondamentaux (art. 106 al. 2 LTF). Il ne peut pas aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Le recourant peut critiquer la constatation des faits qui ont une incidence sur le sort du litige seulement s'ils ont été établis en violation du droit ou de manière manifestement inexacte (art. 97 al. 1 LTF).
2.
Le litige porte sur le droit de la recourante à une rente d'invalidité, plus particulièrement sur l'évaluation de sa capacité résiduelle de travail. Etant donné les critiques émises contre le jugement cantonal (sur le devoir d'allégation et de motivation, cf. FLORENCE AUBRY GIRARDIN, in: Commentaire de la LTF, 2e éd. 2014, n° 24 ad art. 42 LTF et les références jurisprudentielles citées), il s'agit pour l'essentiel d'examiner si, en se basant sur les rapports du Centre E._ et du docteur F._ pour confirmer le refus administratif de prester, le tribunal cantonal a arbitrairement apprécié les preuves ou violé les principes inquisitoire et de la libre appréciation des preuves.
Le jugement entrepris cite correctement les normes et la jurisprudence nécessaires à la solution du litige. Il suffit d'y renvoyer.
3.
En l'occurrence, les premiers juges ont estimé que le dossier constitué contenait suffisamment d'éléments pertinents pour statuer valablement. Ils ont concrètement constaté que les rapports du Centre E._ des 30 avril 2008 et 17 mars 2010 ainsi que du docteur F._ du 21 avril 2009 satisfaisaient aux exigences jurisprudentielles afin qu'une pleine valeur probante leur soit reconnue. Ils ont exposé les raisons pour lesquelles ils avaient considéré que les différents avis des médecins traitants ne remettaient pas en question les documents médicaux précédemment mentionnés. Ils ont encore relevé l'absence d'évolution positive ou négative de la situation médicale depuis la réalisation des expertises. Ils ont déduit de ce qui précède que la capacité de travail de l'assurée était nulle dans l'activité de serveuse depuis le mois de janvier 2007, mais totale avec toutefois une diminution de rendement de 20% dans une activité adaptée depuis le mois de juillet 2007.
4.
4.1. L'argumentation que la recourante développe dans son recours ne met pas en évidence un établissement manifestement inexact des faits ou une appréciation arbitraire des preuves, ni une contravention aux principes inquisitoire ou de la libre appréciation des preuves de la part de la juridiction cantonale.
4.1.1. Si les expertises du Centre E._ ont certes été mises en oeuvre sur mandat de l'assureur-accidents et répondent à des questions relatives davantage au lien de causalité entre l'accident et l'atteinte à la santé qu'à l'évaluation de la capacité de travail, comme le prétend l'assurée, il n'en demeure pas moins que son état de santé a fait l'objet de la part du Centre E._ d'analyses approfondies, dont les conclusions diagnostiques ne sont aucunement critiquées. De plus, la recourante oublie que le tribunal cantonal - comme l'office intimé - ne s'est pas «exclusivement» fondé sur les résultats de ces investigations, mais qu'il a encore pris en compte l'opinion du docteur F._ qui s'est exprimé de façon détaillée à propos des limitations fonctionnelles résultant de chaque pathologie diagnostiquée par les experts.
4.1.2. L'assurée dénie certes toute valeur probante aux conclusions du médecin du SMR dès lors que celui-ci s'était prononcé uniquement sur la base du dossier constitué par l'administration et qu'il ne dispose pas des titres de spécialiste nécessaires l'autorisant à le faire valablement, selon elle. Ce grief n'est cependant pas fondé. On rappellera en effet que le SMR doit apprécier les conditions du droit aux prestations, sans forcément réaliser un examen clinique (art. 49 al. 1 et 2 RAI). Par ailleurs, la recourante ne démontre pas en quoi un médecin praticien, titulaire d'un diplôme de médecine à l'instar de tout autre médecin, ne serait pas capable d'évaluer valablement l'incidence sur la capacité de travail de troubles spécifiques décrits de manière circonstanciée par des spécialistes.
4.1.3. En affirmant ensuite que, vu l'époque à laquelle elles avaient été récoltées, les données fournies par les experts ne permettaient pas de se faire une idée précise de son état actuel de santé, qui s'était péjoré comme l'attestait d'après elle l'augmentation de la médication prescrite, l'assurée ne met pas en doute le jugement attaqué dans la mesure où les premiers juges ont constaté - en se fondant sur les rapports ultérieurs des médecins traitants - que la situation médicale de celle-ci ne s'était pas significativement modifiée ou que le traitement médicamenteux prescrit n'exerçait aucun impact sur la capacité de travail. Il ne suffit effectivement pas eu égard au devoir d'allégation et de motivation (cf. consid. 1 et 2) d'évoquer des éléments auxquels il a déjà été répondu pour démontrer l'existence d'une appréciation arbitraire des preuves (au sujet de cette notion, cf. ATF 139 I 334 consid. 3.2.5 p. 339; 137 I 1 consid. 2.4 p. 5).
4.1.4. La même réponse peut être apportée aux griefs de la recourante relatifs au volet psychiatrique de l'expertise - qu'elle trouve sommaire - et à l'existence d'avis contradictoires sur ce plan. Le seul fait de mentionner la concision du travail de l'expert psychiatre ou l'existence d'opinions apparemment divergentes n'établit aucunement l'absence de pertinence des conclusions de l'expertise du point de vue psychiatrique, ni le caractère arbitraire du jugement qui s'y rapporte et dont les auteurs ont expliqué (bien que sommairement) les raisons qui les ont conduit à le faire.
4.1.5. L'assurée reproche encore à la juridiction cantonale d'avoir omis de prendre en compte les avis des autres spécialistes consultés ou de ne pas avoir explicitement exposé les motifs de son choix. Elle semble une nouvelle fois se contenter de retranscrire les diagnostics posés par ces spécialistes, ainsi que leur évaluation de sa capacité résiduelle de travail, sans dire exactement en quoi le tribunal cantonal se serait manifestement trompé en n'y faisant pas référence. Cela n'a toutefois pas d'incidence en l'espèce car, comme déjà indiqué supra, on ne saurait reprocher aux premiers juges d'avoir effectué une appréciation arbitraire des preuves en se basant sur les investigations des experts du Centre E._ qui étaient pleinement conscients des positions contradictoires adoptées par les divers praticiens interrogés et qui en avaient fait une synthèse amplement motivée. La juridiction cantonale a donc bel et bien justifié son choix de façon compréhensible pour la recourante et pour l'autorité judiciaire de recours, bien qu'elle ne l'ait fait qu'indirectement.
4.1.6. Ce qui précède (consid. 4.1.1 à 4.1.5) permet en outre d'écarter l'argument de l'assurée, qui perçoit une contravention aux principes inquisitoire et de la libre appréciation des preuves dans le fait pour le tribunal cantonal de ne pas avoir expliqué les raisons de l'éviction des rapports des médecins traitants ni discuté les éléments contenus dans ces rapports. En effet, comme déjà mentionné, le raisonnement des premiers juges ressort de façon suffisamment claire des considérants de l'acte attaqué. Les explications données, valables en ce qui concerne le caractère arbitraire ou non de l'appréciation des preuves, restent applicables dans le cadre de l'examen d'une violation ou non des principes inquisitoire et de la libre appréciation des preuves. L'interprétation que donne la recourante de certains éléments extraits de l'audition du docteur C._ n'y peut rien changer.
4.2.
4.2.1. L'assurée paraît également soutenir que les explications qu'elle a développées dans le cadre de la violation du principe inquisitoire (à savoir l'éviction de l'opinion des médecins traitants sans explication, ni analyse de son contenu) valent aussi pour une violation du droit d'être entendu qu'elle invoque.
4.2.2. Cet argument n'est pas plus fondé que les précédents. Compte tenu du devoir accru de motiver la violation des droits fondamentaux prévu par l'art. 106 al. 2 LTF (conformément à la pratique qui prévalait pour les recours de droit public; cf. ATF 130 I 26 consid. 2.1 p. 31, 258 consid. 1.3 p. 261), comme en l'espèce la violation de l'art. 29 al. 2 Cst. qui comprend l'obligation pour l'autorité judiciaire de motiver ses décisions (cf. ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88), le seul fait pour la recourante d'affirmer que le tribunal cantonal a omis de répondre à certaines de ses interrogations ne suffit pas à démontrer une violation effective de son droit d'être entendue. L'autorité judiciaire n'a effectivement pas l'obligation d'exposer et de discuter tous les faits, moyens de preuve et griefs invoqués par les parties, mais elle peut au contraire se limiter à ceux qui, sans arbitraire, lui paraissent pertinents (cf. ATF 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445). L'argument mentionné est d'autant moins pertinent que les premiers juges ont implicitement évoqué les motifs pour lesquels ils ont estimé que les avis des experts ainsi que du médecin du SMR devaient l'emporter sur ceux des médecins traitants (cf. consid. 4.1). De plus, le grief de violation du droit d'être entendu n'a dans ces circonstances pas de portée propre par rapport au grief tiré d'une mauvaise appréciation des preuves (cf. arrêt 8C_15/2009 consid. 3.2 in: SVR 2010 IV n° 42 p. 132; voir aussi ULRICH MEYER, Tatfrage - Rechtsfrage in: Grenzfälle in der Sozialversicherung, 2015, p. 102).
5.
5.1. L'assurée prétend enfin que la juridiction cantonale a violé le droit fédéral en n'analysant pas la fibromyalgie retenue par certains de ses médecins sous l'angle des principes jurisprudentiels développés en matière de troubles somatoformes douloureux.
5.2. Ce grief n'est pas non plus pertinent. La recourante oublie en effet que le tribunal cantonal a basé son jugement sur les avis du Centre E._ et du docteur F._. Or ces documents excluent - soit implicitement, soit explicitement - l'existence d'une fibromyalgie au motif notamment que la plupart des douleurs trouvaient leur étiologie dans les affections organiques objectivées, la symptomatologie douloureuse résiduelle permettant tout au plus de retenir un trouble somatoforme indifférencié sans incidence sur la capacité de travail. La juridiction cantonale ne pouvait donc être tenue d'examiner la pathologie évoquée sous l'angle des critères (ATF 130 V 352 et 132 V 65, désormais ATF 141 V 281) développés en matière de troubles somatoformes douloureux.
6.
Vu l'issue du litige, les frais judiciaires doivent être mis à la charge de la recourante (art. 66 al. 1 LTF) qui ne peut prétendre des dépens (art. 68 al. 1 LTF). L'assistance judiciaire (ne portant que sur le paiement des frais judiciaires) lui est cependant accordée puisqu'elle en remplit les conditions (art. 64 al. 1 et 2 LTF). Elle est rendue attentive au fait qu'elle devra rembourser la Caisse du Tribunal fédéral si elle devient ultérieurement en mesure de le faire (art. 64 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
L'assistance judiciaire est accordée à la recourante.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante. Ils sont toutefois supportés provisoirement par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour de justice de la République et canton de Genève, Chambre des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 4 janvier 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Cretton