Sachverhalt:
A.
Am xx.xx.2014 starb C._ (geb. 1925). Mit Urteil vom 18. Februar 2014 stellte das Einzelgericht des Bezirksgerichts Dielsdorf fest, dass C._ als gesetzliche Erben seine Ehefrau D._ (geb. 1931) und die drei Töchter E._ (geb. 1954), F._ (geb. 1956) sowie A._ (geb. 1958) hinterliess. Zugleich eröffnete es den Erbvertrag, den der Verstorbene mit seiner Ehefrau am 27. Februar 2012 abgeschlossen hatte. Dieser Erbvertrag enthält unter anderem folgende Anordnung:
"Die Ehegatten setzen je einzeln und letztwillig Dr. iur. G._, Rechtsanwalt, U._, bzw. im Verhinderungsfall die B._ GmbH, U._, als Willensvollstrecker und Teilungsliquidator ein."
In der Folge hielt das Bezirksgericht fest, dass G._ das Amt des Willensvollstreckers angenommen habe.
B.
Mit Eingabe vom 12. Dezember 2014 teilte G._ dem Einzelgericht mit, dass er wegen unüberwindbarer Spannungen zwischen ihm und einem Teil der Erbinnen das Willensvollstreckermandat niederlege. Am 15. Januar 2015 teilte G._ dem Einzelgericht ausserdem mit, dass im Erbvertrag vom 27. Februar 2012 für den Fall der Verhinderung des ersten Willensvollstreckers die B._ GmbH als Willensvollstreckerin eingesetzt worden sei. Er erklärte, seines Erachtens sollte das Gericht diese Gesellschaft anfragen, ob sie bereit sei, das Mandat anzunehmen. "Federführend" wäre im Falle der Annahme Rechtsanwalt H._.
C.
Am 20. Januar 2015 setzte das Einzelgericht der B._ GmbH Frist an, um zu erklären, ob sie das Willensvollstreckermandat annehme, wobei Stillschweigen als Annahme gelte. A._ wehrte sich gegen diese Verfügung mit Beschwerde beim Obergericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Beschluss vom 5. Februar 2015 auf das Rechtsmittel nicht ein. Das Bundesgericht erachtete die dagegen erhobene Beschwerde als unzulässig (Urteil 5A_209/2015 vom 11. März 2015).
D.
Mit Schreiben vom 23. Februar 2015 erklärte Fürsprecher H._ in seiner Funktion als Gesellschafter und Geschäftsführer der B._ GmbH fristgerecht die Annahme des Willensvollstreckermandats. Daraufhin stellte das Einzelgericht des Bezirksgerichts Dielsdorf mit Urteil vom 3. März 2015 fest, dass die besagte Gesellschaft das Amt der Willensvollstreckerin angenommen hat (Ziffer 1). Es erklärte, die B._ GmbH sei in der Nachlasssache von C._ selig alleinige Willensvollstreckerin; nach Rechtskraft des Entscheides werde auf entsprechendes Gesuch hin ein neues Willensvollstreckerzeugnis sowie ein abgeänderter Erbschein ausgestellt (Ziffer 2). Das Einzelgericht bat G._ um Rückgabe seines Willensvollstreckerzeugnisses und bestimmte die Gerichtsgebühr zu Lasten des Nachlasses auf Fr. 500.--.
E.
A._ legte beim Obergericht des Kantons Zürich Berufung ein und verlangte, auf die Einsetzung der B._ GmbH als Willensvollstreckerin zu verzichten. Das Obergericht wies die Berufung ab, bestätigte das erstinstanzliche Urteil vom 3. März 2015 und auferlegte A._ die auf Fr. 3'000.-- bestimmte Entscheidgebühr (Urteil vom 13. Juli 2015).
F.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 15. August 2015 wendet sich A._ (Beschwerdeführerin) an das Bundesgericht. Sie beantragt, das obergerichtliche Urteil aufzuheben und "keine zweitberufene (Ersatz) Willensvollstreckerin einzusetzen" (Ziffer 1). Für den Fall, dass die Beschwerde in der Sache nicht gutgeheissen werden sollte, verlangt die Beschwerdeführerin, die zweitinstanzliche Entscheidgebühr von Fr. 3'000.-- herabzusetzen (Ziffer 2). Dazu eingeladen, sich zur Beschwerde vernehmen zu lassen, erklärt die B._ GmbH (Beschwerdegegnerin), sich am bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren nicht zu beteiligen (Eingabe vom 29. April 2016). Das Obergericht verzichtet auf eine Vernehmlassung (Eingabe vom 12. April 2016).
Erwägungen:
1.
1.1. Streitig ist die gerichtliche Feststellung, dass die Beschwerdegegnerin das Amt der Willensvollstreckerin angenommen hat und in der Nachlasssache von C._ selig alleinige Willensvollstreckerin ist. Das ist eine Zivilsache im Sinne von Art. 72 Abs. 1 BGG. Das angefochtene Urteil, das die erstinstanzlichen Feststellungen bestätigt, ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer letzten kantonalen Instanz, die als oberes Gericht entschieden hat (Art. 75 BGG).
1.2. Angelegenheiten betreffend Willensvollstrecker sind grundsätzlich vermögensrechtlicher Natur, so dass die Beschwerde nur zulässig ist, wenn der Streitwert mindestens Fr. 30'000.-- beträgt (Art. 74 Abs. 1 Bst. b BGG). Das Obergericht beziffert den Streitwert mit "mindestens Fr. 200'000.--". Wie sich aus der Verfügung der Vorinstanz betreffend die Festsetzung des Kostenvorschusses für das Berufungsverfahren ergibt, beruht diese Angabe auf der Überlegung, dass der Streitwert dem Anteil der Beschwerdeführerin am Nachlass entspreche. Mit Blick auf die Zulässigkeit der Beschwerde an das Bundesgericht kann der Streitwert in Angelegenheiten betreffend den Willensvollstrecker indessen nicht einfach mit dem Nachlasswert gleichgesetzt werden (Urteil 5A_518/2014 vom 24. November 2014 E. 1 mit Hinweisen). Allerdings darf das Bundesgericht bei der Streitwertbemessung die wirtschaftlichen Interessen berücksichtigen, die eine Partei im Streit betreffend den Willensvollstrecker verfolgt (Urteil 5A_395/2010 vom 22. Oktober 2010 E. 1.2.3 mit Hinweis). Sinngemäss wehrt sich die Beschwerdeführerin dagegen, dass mit dem angefochtenen Entscheid als Gesellschafter der Beschwerdegegnerin wiederum der frühere Willensvollstrecker G._ (s. Sachverhalt Bst. A und B) zum Zuge komme, dessen Untätigkeit unter anderem dazu geführt habe, dass Vermietungsobjekte nicht vermietet wurden. Mit Blick darauf ist ermessensweise davon auszugehen, dass der massgebliche Mindeststreitwert von Fr. 30'000.-- erreicht ist. Die im Übrigen rechtzeitig (Art. 100 Abs. 1 BGG) eingereichte Beschwerde ist grundsätzlich zulässig.
2.
2.1. Nach der Praxis stellt die behördliche Weigerung, ein Willensvollstreckerzeugnis auszustellen, grundsätzlich eine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG dar, weil die fragliche Bescheinigung lediglich deklaratorischen Charakter hat und dem Willensvollstrecker als Beweis für die Ernennung und Annahme der Funktion dient (Urteil 5A_257/2009 vom 26. Oktober 2009 E. 1.4). Eine Ausnahme von der Qualifikation als vorsorgliche Massnahme ist aber am Platz, wenn die kantonale Behörde selbst prüft, ob der Willensvollstrecker gültig eingesetzt wurde, und dabei auch keine endgültige Auslegung der entsprechenden Verfügung von Todes wegen durch den ordentlichen Richter in einem späteren Verfahren vorbehält (Urteil 5A_644/2015 vom 24. November 2015 E. 1.3). Dieselben Grundsätze müssen für die hier in Frage stehende gerichtliche Feststellung gelten, die der Ausstellung eines Willensvollstreckerzeugnisses vorangeht und mit der die Behörde in einem ersten Schritt klarstellt, wer das Mandat als Willensvollstrecker angenommen hat und damit Willensvollstrecker ist.
2.2. Im konkreten Fall hat das Einzelgericht am Bezirksgericht Dielsdorf geprüft, ob die Beschwerdegegnerin gültig als Willensvollstreckerin eingesetzt wurde und ob sie das Mandat gültig angenommen hat. Dabei hat sich das Einzelgericht hinsichtlich seiner eigenen Prüfungsbefugnis keine Einschränkungen auferlegt. Ebenso wenig hat es, was die Auslegung der Verfügung von Todes wegen (s. Sachverhalt Bst. A) angeht, auf einen vorläufigen Charakter seiner eigenen Beurteilung hingewiesen oder eine endgültige Prüfung durch den ordentlichen Richter in einem späteren Verfahren vorbehalten. Der angefochtene Entscheid beschlägt deshalb keine vorsorgliche Massnahme im Sinne von Art. 98 BGG. Daran ändert nichts, dass das Obergericht erklärt, die erste Instanz habe mit Blick auf ihre Pflicht zur Mitteilung der Mandatierung der Beschwerdegegnerin als Willensvollstreckerin in bloss "vorläufiger Auslegung" des Erbvertrags entscheiden und dabei "nur eine summarische Prüfung" vornehmen müssen, weil ihr "keine Kognitionsbefugnis betreffend die Rechtsgültigkeit der Einsetzung eines Willensvollstreckers" zugestanden habe und dies vielmehr "Sache des ordentlichen Richters" sei. Will deswegen auch das Obergericht den erstinstanzlichen Entscheid nur in diesem beschränkten Rahmen überprüfen, so folgt allein daraus nicht, dass der angefochtene Entscheid im bundesgerichtlichen Verfahren als vorsorgliche Massnahme (Art. 98 BGG) zu behandeln ist.
3.
3.1. Gegenstand der Beschwerde in Zivilsachen kann nur der Entscheid der Vorinstanz sein (Art. 75 BGG). Nicht einzutreten ist deshalb auf die Beschwerde, soweit sich die Beschwerdeführerin (erneut) über die Verfügung vom 20. Januar 2015 beklagt, mit der das Einzelgericht die Beschwerdegegnerin aufforderte, sich über die Annahme des Willensvollstreckermandates auszusprechen, und soweit sie den obergerichtlichen Beschluss vom 5. Februar 2015 beanstandet, mit dem die Vorinstanz auf eine Beschwerde gegen jene Verfügung nicht eintrat (s. Sachverhalt Bst. C). Dass sie ihre Einwände gegen diese prozessleitende (s. Urteil 5A_209/2015 vom 11. März 2015) Verfügung im Rahmen ihrer Beschwerde gegen das erstinstanzliche Urteil vom 3. März 2015 (s. Sachverhalt Bst. D) erneut vorgetragen hätte, ohne damit von der Vorinstanz gehört worden zu sein, macht die Beschwerdeführerin nicht geltend und ist auch nicht ersichtlich. Das Gesagte gilt sinngemäss, soweit die Beschwerdeführerin das erstinstanzliche Urteil vom 3. März 2015 kritisiert. Auch es ist nicht Gegenstand der Beschwerde an das Bundesgericht.
3.2. Im Übrigen äussert sich die Beschwerdeführerin kritisch zu verschiedenen Abschnitten und Aspekten des Verfahrens vor dem Einzelgericht und des kantonalen Beschwerdeverfahrens (vgl. Sachverhalt Bst. C). Unter anderem bemängelt sie, dass bestimmte Elemente oder Eingaben von den Behörden überhaupt nicht oder im Gegenteil zu Unrecht erwähnt wurden. Ausserdem beanstandet sie, dass ihre kantonale Beschwerde den Vorakten nicht beiliege. Schliesslich zeigt sie sich befremdet darüber, dass das Obergericht im Berufungsverfahren mit Verfügung vom 24. März 2015 die Prozessleitung an Ersatzrichter I._ delegiert habe, dieser am angefochtenen Urteil vom 13. Juli 2015 dann aber gar nicht mitgewirkt, sondern eine andere Beschwerde betreffend die Verbeiständung von D._ behandelt habe. Inwiefern ihr durch diese angeblichen Mängel ein konkreter Nachteil entstanden ist, der sich auf den Ausgang des vorinstanzlichen Verfahrens auswirkt, tut die Beschwerdeführerin nicht dar und ist auch nicht ersichtlich. Auf die erwähnten Ausführungen ist nicht einzutreten.
4.
4.1. Anlass zur Beschwerde gibt die Art und Weise, wie das Obergericht die Verfügung betreffend die Willensvollstreckung im Erbvertrag vom 27. Februar 2012 (s. Sachverhalt Bst. A) auslegt. Der Streit konzentriert sich auf die Passage, wonach "im Verhinderungsfall" die Beschwerdegegnerin als Willensvollstreckerin und Teilungsliquidatorin eingesetzt wird. Das Obergericht betont zunächst, im Rahmen der amtlichen Mitteilung der letztwilligen Einsetzung eines Willensvollstreckers habe die zuständige Behörde keine Kognitionsbefugnis betreffend die Rechtsgültigkeit der Einsetzung eines Willensvollstreckers; dies sei Sache des ordentlichen Richters. Entsprechend habe die erste Instanz mit Blick auf die "vorläufige Auslegung" des Erbvertrages lediglich eine "summarische Prüfung" vorzunehmen gehabt und sich "im Wesentlichen auf den Wortlaut des Erbvertrages stützen" können. Die Berücksichtigung ausserhalb des Erbvertrages liegender Beweismittel zur Ermittlung des wirklichen Willens des Erblassers erfolge hingegen grundsätzlich durch das ordentliche Zivilgericht. Vor diesem Hintergrund schützt das Obergericht das erstinstanzliche Verständnis der Formulierung "im Verhinderungsfall", wonach die Beschwerdegegnerin als Willensvollstreckerin amten solle, "sofern Dr. iur. G._ verhindert ist, dies also nicht tut". Entgegen der Ansicht der Berufungsklägerin ergebe sich aus dem Wortlaut auf den ersten Blick nicht, dass massgeblich wäre, aus welchen Gründen der erstgenannte Willensvollstrecker das Amt nicht ausübt. Insbesondere werde nichts darüber ausgesagt, ob es sich um einen objektiven oder subjektiven Grund handeln muss, ob der Grund von Anfang an bestehen muss oder ob er auch - wie vorliegend mit der Amtsniederlegung (s. Sachverhalt Bst. B) - zu einem späteren Zeitpunkt erst eintreten kann. Ebenso würden Anhaltspunkte dafür fehlen, dass der Ersatzwillensvollstrecker nur für den Fall des Vorversterbens von G._ vorgesehen ist, wie die Beschwerdeführerin geltend mache. Mit dieser Begründung erklärt das Obergericht, der Entscheid über die Mitteilung der Willensvollstreckung durch die Beschwerdegegnerin sei nicht zu beanstanden.
4.2. Die vorinstanzlichen Erkenntnisse darüber, wie weit im Verfahren betreffend die Mitteilung des Willensvollstreckerauftrages und die Feststellung der Mandatsannahme die Prüfungsbefugnis der (Rechtsmittel-) Behörde reicht, stellt die Beschwerdeführerin vor Bundesgericht nicht in Frage. Insbesondere bestreitet sie auch nicht, dass sich die Auslegung einer letztwilligen Verfügung im Rahmen dieses Verfahrens auf den Wortlaut konzentrieren kann. Angesichts dessen braucht das Bundesgericht dieses Thema nicht weiter zu erörtern (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f.; 137 III 580 E. 1.3 S. 584). Die Beschwerdeführerin hält es vielmehr auch unter Berücksichtigung der beschränkten Prüfungs- und Auslegungspflicht für willkürlich und abwegig, die Amtsniederlegung durch G._ als Verhinderungsfall auszulegen. Sie meint, als bewusste Handlung des bisherigen Willensvollstreckers, der angedrohten Absetzungsklage zu entgehen, könne der Akt der Amtsniederlegung keine Verhinderung und kein Ausfall sein. Soweit sie mit diesem Argument bestreiten will, dass der Wortlaut der letztwilligen Verfügung auch vom Willen des erstbezeichneten Willensvollstreckers beeinflusste Umstände als Verhinderungsgrund zulässt, verstrickt sich die Beschwerdeführerin allerdings in Widersprüche. Denn als Beispiel eines vom Wortlaut erfassten Verhinderungsgrundes nennt die Beschwerdeführerin unter anderem auch den Fall, dass G._ "seine selbständige Tätigkeit aufgibt und auf seine alten Tage das Rentnerdasein geniessen" würde. Warum der freiwillige Rückzug aus dem Berufsleben, nicht aber die Niederlegung des Willensvollstreckermandats als gewillkürter Verhinderungsgrund vom Wortlaut der letztwilligen Verfügung erfasst sein soll, vermag die Beschwerdeführerin nicht zu erklären. Sie setzt sich auch nicht mit der vorinstanzlichen Beurteilung auseinander, wonach es vom Wortlaut her nicht darauf ankomme, ob der "Verhinderungsfall" von Anfang an besteht oder erst nach der Annahme des Mandats eintritt.
4.3. Sodann missversteht die Beschwerdeführerin den angefochtenen Entscheid, wenn sie meint, dass es sich auch in den Augen des Obergerichts "nicht aufdrängt", die letztwillige Verfügung allein aufgrund ihres Wortlauts im Sinne der Einsetzung eines zweitberufenen (Ersatz-) Willensvollstreckers zu verstehen. Tatsächlich äussert sich die Vorinstanz zur These der Beschwerdeführerin, wonach der Ersatzwillensvollstrecker nach dem Willen des Erblassers nur für den Fall des Vorversterbens von G._ vorgesehen sei. In diesem Zusammenhang hält das Obergericht fest, dass sich ein solches Verständnis "nicht zwangsläufig aufdrängt", weil G._ einer der zwei Gesellschafter sowie der vorsitzende Geschäftsführer der Beschwerdegegnerin sei und mit seinem Tod auch das Schicksal der GmbH unklar sein dürfte. An der Sache vorbei geht auch der weitere Einwand der Beschwerdeführerin, dass G._, der als "Einzelperson" sein Amt niedergelegt habe, als einer der beiden Gesellschafter der Beschwerdegegnerin "nicht plötzlich nicht mehr verhindert sein" könne und angesichts dieses Widerspruchs die notwendige Voraussetzung für die Amtsannahme nicht erfüllt sei. Als Gesellschaft mit beschränkter Haftung (Art. 772 ff. OR) ist die Beschwerdegegnerin eine juristische Person mit eigenem Recht der Persönlichkeit (Art. 779 Abs. 1 OR i.V.m. Art. 52 ff. ZGB). Sofern sie als Willensvollstreckerin tatsächlich gültig eingesetzt wurde (s. E. 5), kann sie ihre Aufgaben grundsätzlich unabhängig davon wahrnehmen, ob G._ tätig wird. Daran ändert nichts, dass G._ Gesellschafter der Beschwerdegegnerin ist. Von einem "Widerspruch" kann nicht gesprochen werden. Die vorinstanzliche Auslegung der letztwilligen Verfügung ist in dieser Hinsicht nicht zu beanstanden.
4.4. Schliesslich ergeht sich die Beschwerdeführerin in weitschweifigen Mutmassungen darüber, dass G._ mit seiner "beabsichtigten Konstruktion", zuerst sein Amt niederzulegen und erst später das Einzelgericht zur Einsetzung der Beschwerdegegnerin aufzufordern (s. Sachverhalt Bst. B), das Verfahren "geradezu provoziert" und auf die Auslegung des Wortlauts Einfluss genommen habe. Sie wirft dem erstberufenen Willensvollstrecker "Machtmissbrauch" vor und beklagt sich darüber, dass G._ seine frühere Tätigkeit als einer der beiden Gesellschafter der Beschwerdegegnerin erneut aufnehmen könne. Diese verbitterten Ausführungen gelten letztlich nicht der vorinstanzlichen Auslegung der letztwilligen Verfügung. Vielmehr bringt die Beschwerdeführerin damit einmal mehr ihre Verdrossenheit über die Arbeit des ersten Willensvollstreckers zum Ausdruck. Darauf ist nicht einzutreten, denn dies ist nicht Thema des vorliegenden Prozesses.
5.
5.1. Der Streit dreht sich auch um die Frage, ob die Beschwerdegegnerin ihren Auftrag als Willensvollstreckerin rechtsgültig angenommen hat. In diesem Zusammenhang erinnert die Beschwerdeführerin an die erstinstanzliche Erkenntnis, wonach Fürsprecher H._ für die Beschwerdegegnerin lediglich kollektiv zeichnungsberechtigt ist. Dem Obergericht wirft sie vor, nicht von Amtes wegen zu prüfen, ob H._ im Schreiben vom 23. Februar 2015 (s. Sachverhalt Bst. D) mit seiner Unterschrift allein rechtswirksam für die Beschwerdegegnerin die Annahme des Willensvollstreckermandates habe erklären können. Der angefochtene Entscheid gehe darauf nicht ein, weil ihre "als Laiin eingereichte Rüge nicht konkret formuliert sei". Diese Unterlassung der rechtlichen Prüfung verletze die "Rechtssicherheit (Art. 5 BV) ". Das Obergericht stellt fest, dass die Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren zwar die Zeichnungsberechtigung von H._ und die Annahme des Mandats in Frage stelle, sich gleichzeitig aber auf die diesbezüglichen Ausführungen der Vorinstanz verlasse. Daraus folgert das Obergericht, dass auf "diese Ausführungen... nicht weiter einzugehen" sei. Es stellt sich die Frage, ob sich das Obergericht die Sache damit zu einfach macht bzw. ob es - wie die Beschwerdeführerin sinngemäss rügt - aus ihren Vorbringen im Berufungsverfahren die falschen Schlüsse zieht und die Anforderungen an die Begründung der Berufung überspannt.
5.2. Nach Art. 311 Abs. 1 ZPO muss die Berufung eine Begründung enthalten. Begründen im Sinne der genannten Vorschrift bedeutet aufzeigen, inwiefern der angefochtene Entscheid als fehlerhaft erachtet wird. Dieser Anforderung genügt der Berufungskläger nicht, wenn er lediglich auf die vor erster Instanz vorgetragenen Vorbringen verweist, sich mit Hinweisen auf frühere Prozesshandlungen begnügt oder den angefochtenen Entscheid in allgemeiner Weise kritisiert. Die Begründung muss hinreichend genau und eindeutig sein, um von der Berufungsinstanz mühelos verstanden werden zu können. Dies setzt voraus, dass der Berufungskläger im Einzelnen die vorinstanzlichen Erwägungen bezeichnet, die er anficht, und die Aktenstücke nennt, auf denen seine Kritik beruht (BGE 138 III 374 E. 4.3.1 S. 375; Urteile 5A_141/2014 vom 28. April 2014 E. 2.4, 5A_438/2012 vom 27. August 2012 E. 2.2, in: SZZP 2013 S. 29 f. sowie 4A_659/2011 vom 7. Dezember 2011 E. 3, in: SJ 2012 I S. 232). Sind die Anforderungen an die Begründung erfüllt, überprüft die Berufungsinstanz den angefochtenen Entscheid sowohl in rechtlicher als auch in tatsächlicher Hinsicht frei. Sie verfügt über volle Kognition (Art. 310 ZPO) und wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 57 ZPO). Bei alledem ist die Berufungsinstanz aber nicht gehalten, den erstinstanzlichen Entscheid völlig losgelöst von konkreten Anhaltspunkten in der Berufungsbegründung von sich aus in jede Richtung hin auf mögliche Mängel zu untersuchen, die eine Gutheissung des Rechtsmittels ermöglichen könnten. Abgesehen von offensichtlichen Mängeln beschränkt sich die Berufungsinstanz vielmehr darauf, die Beanstandungen zu beurteilen, welche die Parteien in ihren schriftlichen Begründungen (Art. 311 Abs. 1 und Art. 312 Abs. 1 ZPO) gegen das erstinstanzliche Urteil erheben (s. das zur Publikation vorgesehene Urteil 4A_619/2015 vom 25. Mai 2016 E. 2.2.4 mit weiteren Hinweisen).
Allein der Umstand, dass eine Partei nicht über eine juristische Ausbildung verfügt, verschafft ihr keinen Anspruch darauf, dass ihr das Berufungsgericht gestützt auf Art. 132 Abs. 1 und 2 ZPO eine Nachfrist ansetzt, damit sie eine inhaltlich ungenügende Berufungsbegründung ergänzen oder nachbessern kann (statt vieler: Urteil 5A_488/2015 vom 21. August 2015 E. 3.2.2 mit Hinweisen). Freilich darf die Berufungsinstanz speziell bei der Beurteilung von Laieneingaben an das Erfordernis, dass sich der Berufungskläger mit dem angefochtenen Entscheid auseinanderzusetzen hat, keine überspitzten Anforderungen stellen (vgl. PETER REETZ/SARAH HILBER, in: Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger, Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung, 3. Aufl. 2016, N 36 zu Art. 311 ZPO; MARTIN H. STERCHI, Berner Kommentar, Schweizerische Zivilprozessordnung, Bd. II, 2012, N 19 f. zu Art. 311 ZPO; I VO W. HUNGERBÜHLER/MANUEL BUCHER, in: Brunner/Gasser/Schwander, Schweizerische Zivilprozessordnung, Kommentar, Bd. II, 2. Aufl. 2016, N 31 zu Art. 311 ZPO). Insbesondere gilt im Berufungsverfahren auch kein Rügeprinzip, wie es im bundesgerichtlichen Beschwerdeverfahren im Anwendungsbereich von Art. 106 Abs. 2 BGG zum Tragen kommt (Urteil 5A_62/2014 vom 17. Oktober 2014 E. 2.2; zum Rügeprinzip im Sinne von Art. 106 Abs. 2 BGG s. BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246, 133 II 396 E. 3.2 S. 399).
5.3. Zwar trifft es zu, dass die Beschwerdeführerin im ersten Abschnitt von Ziffer 1.4 ihrer Berufungsbegründung erklärt, sich auf die Ausführungen des Bezirksgerichts zu verlassen und davon auszugehen, "dass die Unterschriften der B._ GmbH rechtsgültig geleistet wurden". Allerdings relativiert die Beschwerdeführerin diese Aussagen in den folgenden Abschnitten zusehends. Sie drückt ihr Befremden über die erstinstanzliche Beurteilung aus ("es erstaunt mich, dass...") und trägt Argumente vor, weshalb angesichts der Erstreckung der Frist zur Annahme des Willensvollstreckermandats "eine weitere Willensäusserung von Herrn Dr. G._ vorliegen" müsste. Die Ausführungen in der besagten Ziffer 1.4 der Berufungsschrift gipfeln im Vorwurf der Beschwerdeführerin, dass es "kaum im Sinne der Rechtsprechung sein" könne, dass sie "auf die Hilfe eines Rechtsvertreters angewiesen" sei um abzuklären, ob die Annahmeerklärung rechtsgültig ist. Dieser Satz lässt sich im Kontext der übrigen Vorbringen nicht anders als dahingehend verstehen, dass die Beschwerdeführerin vom Obergericht als Berufungsinstanz eben doch eine Überprüfung der besagten Annahmeerklärung fordert. Angesichts dessen und mit Rücksicht darauf, dass die Beschwerdeführerin im Berufungsverfahren nicht durch einen Anwalt vertreten war, kann ihr nicht entgegengehalten werden, sie habe ihre Begründung nicht eindeutig genug formuliert, um von der Berufungsinstanz ohne Mühe verstanden werden zu können. Widersprüche in der Begründung der Berufung dürfen der Partei nur dort angekreidet werden, wo sie sich als solche auch konkret auswirken, die fraglichen Unstimmigkeiten es der Berufungsinstanz also geradezu verunmöglichen, den wahren Sinn dessen zu erkennen, was die betreffende Partei sagen will. Dies ergibt sich aus dem Grundsatz, wonach auch Rechtsschriften wie alle übrigen Prozesshandlungen einer Partei nach Treu und Glauben auszulegen sind (Urteil 5A_393/2014 vom 21. Mai 2014 E. 2.1).
5.4. Wie soeben dargelegt, bringt die Beschwerdeführerin trotz ihrer anfänglich vermeintlichen Billigung des erstinstanzlichen Entscheids mit hinreichender Deutlichkeit zum Ausdruck, dass sie sich bezüglich der Frage der Annahme des Willensvollstreckermandats nicht mit dem erstinstanzlichen Entscheid abfinden will. Indem sich das Obergericht weigert, auf die angeblich widersprüchlichen Ausführungen der Beschwerdeführerin einzugehen, setzt es sich in bundesrechtswidriger Weise über die Anforderungen an die Begründung der Berufung hinweg, wie sie sich aus Art. 311 Abs. 1 ZPO ergeben (s. E. 5.2). Zugleich verweigert das Obergericht der Beschwerdeführerin, wie diese zutreffend rügt, auch das rechtliche Gehör (Art. 29 Abs. 2 BV; Art. 53 Abs. 1 ZPO), denn im Ergebnis weist es ihre Berufung (auch) hinsichtlich der Frage der gültigen Annahme des Willensvollstreckermandats ab, ohne dafür irgendeine Erklärung zu liefern. Die Beschwerde ist in diesem Punkt gutzuheissen. Das Obergericht wird sich in einem neuen Entscheid mit dem Argument der Beschwerdeführerin auseinandersetzen müssen, wonach die Beschwerdegegnerin die Annahme des Mandats als Willensvollstreckerin im Nachlass von C._ selig gar nicht gültig erklärt habe.
6.
6.1. Zuletzt rügt die Beschwerdeführerin als willkürlich, dass das Obergericht im Hinblick auf die Festsetzung der zweitinstanzlichen Entscheidgebühr für die Streitwertberechnung "den ganzen Nachlasswert als Grundlage annimmt". Im vorliegenden Fall sei die Nichteinsetzung des zweitberufenen (Ersatz-) Willensvollstreckers Streitgegenstand. Der Streit drehe sich einerseits darum, ob sie selbst bei der Verwaltung der Erbschaft mitwirken könne oder ob dies einem Willensvollstrecker obliegt, und anderseits um das Honorar des Willensvollstreckers. Der Streitwert sei entsprechend herabzusetzen. Dabei sei auch zu berücksichtigen, dass die Delegation an Ersatzrichter I._ nicht notwendig war.
6.2. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde in der Sache gutzuheissen (E. 5). Das Obergericht wird einen neuen Entscheid fällen müssen. Entsprechend ist ungewiss, ob die Beschwerdeführerin für das Berufungsverfahren überhaupt kostenpflichtig wird. Folgerichtig stellt sie ihr Begehren um Herabsetzung der zweitinstanzlichen Entscheidgebühr auch nur für den Fall der "Nichtgutheissung der Beschwerde" (s. Sachverhalt Bst. F). Damit braucht sich das Bundesgericht zu diesem Antrag nicht abschliessend zu äussern. Immerhin ist an die bundesgerichtliche Rechtsprechung zu erinnern, wonach der Nachlasswert als solcher grundsätzlich kein sachgerechtes Kriterium zur Streitwertbemessung ist, wenn einzig und spezifisch die Absetzungeines Willensvollstreckers streitig ist (BGE 135 III 578 E. 6.5 S. 582).
7.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens unterliegt die Beschwerdegegnerin. Sie hat für die Gerichtskosten aufzukommen (Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). An ihrem Unterliegen und der damit verbundenen Kostenpflicht ändert auch ihre Erklärung nichts, sich nicht am bundesgerichtlichen Verfahren zu beteiligen (s. Sachverhalt Bst. F). Die Beschwerdeführerin, die ihren Prozess vor Bundesgericht ohne anwaltliche Vertretung gewinnt, kann keine Entschädigung beanspruchen. Zwar fügt sie ihren Begehren vor Bundesgericht die Floskel "Dies unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten des Beschwerdegegners" an. Welche konkreten Kosten ihr durch das bundesgerichtliche Verfahren entstanden sind, tut die Beschwerdeführerin aber nicht dar. Allein der Umstand, dass sie den Entscheid des Obergerichts erfolgreich anficht, verschafft ihr losgelöst von den gesetzlichen Voraussetzungen (dazu Urteil 5A_162/2015 vom 27. Juli 2015 E. 8) keinen Anspruch auf eine Entschädigung.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 13. Juli 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zu neuem Entscheid im Sinne der Erwägungen an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.
3.
Es wird keine Parteientschädigung zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, und dem Bezirksgericht Dielsdorf schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 21. Juni 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: V. Monn