Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Anlässlich der jährlichen Überprüfung verweigerte das Amt für Justizvollzug des Kantons Zürich dem Beschwerdeführer am 15. Juni 2015 die bedingte Entlassung aus dem Strafvollzug. Einen dagegen eingereichten Rekurs wies die Direktion der Justiz und des Innern des Kantons Zürich am 14. September 2015 ab. Der Beschwerdeführer wandte sich am 19. Oktober 2015 mit Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses trat mit Verfügung vom 25. November 2015 auf das Rechtsmittel nicht ein, weil der Beschwerdeführer einen verlangten Kostenvorschuss angeblich nicht geleistet hatte.
Der Beschwerdeführer beantragt mit Beschwerde am Bundesgericht, die Verfügung des Verwaltungsgerichts vom 25. November 2015 sei aufzuheben und auf die Beschwerde vom 19. Oktober 2015 einzutreten (Anträge 1 und 2). Er macht geltend, im Gegensatz zur Feststellung des Verwaltungsgerichts sei der Kostenvorschuss am 3. November 2015, also innert Frist, auf das angegebene Konto einbezahlt worden.
Während das Amt für Justizvollzug und die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Zürich auf eine Stellungnahme verzichteten, liess sich das Verwaltungsgericht mit Eingabe vom 4. Januar 2016 vernehmen. Es bringt vor, die Ausführungen des Beschwerdeführers in Bezug auf die rechtzeitige Leistung des Kostenvorschusses würden anerkannt. Tatsächlich sei der Vorschuss am Verwaltungsgericht bis zum Erlass der Verfügung vom 25. November 2015 nicht registriert worden. Das Verwaltungsgericht beantragt demgemäss, die Anträge 1 und 2 der Beschwerde seien gutzuheissen.
Antragsgemäss ist die Beschwerde gutzuheissen, die angefochtene Verfügung aufzuheben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
2.
Für das bundesgerichtliche Verfahren sind keine Kosten zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat dem Beschwerdeführer für das bundesgerichtliche Verfahren eine angemessene Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 2 BGG). Die Entschädigung ist praxisgemäss dem Rechtsvertreter zuzusprechen. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die angefochtene Verfügung des Verwaltungsgerichts des Kantons Zürich vom 23. November 2015 wird aufgehoben und die Sache zur neuen Beurteilung an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Der Kanton Zürich hat dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Marcel Bosonnet, für das bundesgerichtliche Verfahren eine Parteientschädigung von Fr. 3'000.-- zu bezahlen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 3. Abteilung, Einzelrichter, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Oberholzer
Der Gerichtsschreiber: Monn