Faits :
A.
C._, né en 2009, est le fils des parents non mariés A._ et B._. Le 10 janvier 2010, la Justice de paix du district de Lavaux-Oron a attribué aux parents l'autorité parentale conjointe sur l'enfant et ratifié une convention prévoyant qu'en cas de dissolution du ménage commun, l'attribution de sa garde serait laissée à leur appréciation, une contribution étant alors versée pour son entretien et un droit de visite étant accordé au parent non gardien.
Les parents se sont séparés en juin 2012. L'enfant est resté vivre auprès de sa mère.
En raison du conflit parental, les relations personnelles entre l'enfant et ses parents ont fait l'objet de plusieurs ordonnances de mesures superprovisionnelles et provisionnelles.
Par ordonnance de mesures provisionnelles du 1er septembre 2014, la Juge de paix a interdit à la mère de transférer le domicile de l'enfant au Danemark, lui a provisoirement retiré le droit de déterminer le lieu de résidence de l'enfant, a confié provisoirement l'enfant à son père, a ordonné à la mère de ramener l'enfant au plus vite à son père avec les papiers officiels utiles à sa prise en charge, et a invité les parents à organiser l'exercice du droit de visite de la mère, conformément à la convention qu'ils avaient signée lors de la vie commune. Cette décision a été confirmée par arrêt du 5 novembre 2014 de la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
B.
Par décision du 10 septembre 2015, la Justice de paix a notamment maintenu l'autorité parentale conjointe de A._ et B._ sur C._, le droit de garde restant attribué au père et un droit de visite étant fixé en faveur de la mère. Le 9 mars 2016, la Chambre des curatelles a partiellement admis le recours interjeté par le père contre cette décision, celle-ci étant réformée en ce sens que l'autorité parentale sur C._ est attribuée exclusivement au père.
C.
Agissant le 10 juin 2016 par la voie du recours en matière civile au Tribunal fédéral, A._ conclut à la réforme de l'arrêt attaqué en ce sens que l'autorité parentale sur C._ demeure conjointe.
La cour cantonale s'est référée aux considérants de son arrêt. L'intimé et le SPJ ont conclu au rejet du recours, l'intimé sollicitant en outre le bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure fédérale.
Considérant en droit :
1.
L'arrêt entrepris concerne notamment l'attribution de l'autorité parentale sur un enfant né hors mariage. Il s'agit d'une décision finale (art. 90 LTF), de nature non pécuniaire, prise en application de normes de droit public dans une matière connexe au droit civil, à savoir en matière de protection de l'enfant (art. 72 al. 2 let. b ch. 6 LTF), rendue sur recours par une autorité supérieure statuant en dernière instance cantonale (art. 75 al. 1 et 2 LTF). Le recours a été interjeté en temps utile (art. 100 al. 1 LTF) et dans la forme prévue par la loi (art. 42 LTF) par une partie ayant succombé dans ses conclusions devant l'autorité précédente et ayant par conséquent un intérêt digne de protection à l'annulation ou à la modification de l'arrêt déféré (art. 76 al. 1 LTF). Le recours en matière civile est donc en principe recevable au regard des dispositions qui précèdent.
2.
2.1. Le recours en matière civile peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 s. LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Il ne connaît toutefois de la violation de droits fondamentaux que si ce grief a été dûment invoqué et motivé par le recourant (" principe d'allégation ", art. 106 al. 2 LTF; ATF 137 II 305 consid. 3.3), c'est-à-dire s'il a été expressément soulevé et exposé de manière claire et détaillée (ATF 142 II 369 consid. 2.1; 141 I 36 consid. 1.3).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut s'en écarter que si ces faits ont été établis de façon manifestement inexacte, c'est-à-dire arbitraire au sens de l'art. 9 Cst. (ATF 140 III 115 consid. 2, 264 consid. 2.3), ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF), et si la correction du vice est susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF). Le recourant qui soutient que les faits ont été établis d'une manière manifestement inexacte doit satisfaire au principe d'allégation susmentionné (cf. supra consid. 2.1). Les critiques de nature appellatoire sont irrecevables (ATF 140 III 264 consid. 2.3 et les références).
3.
La cour cantonale a retenu que le conflit entre les parents était en l'espèce si intense et général qu'il les mettait dans l'impossibilité absolue de collaborer. Ainsi, il était symptomatique de constater que, depuis décembre 2015, ils n'étaient toujours pas parvenus à s'entendre sur la première décision qu'ils devaient prendre depuis le prononcé de première instance, à savoir celle concernant le suivi thérapeutique de l'enfant et le choix d'un thérapeute, la mère s'opposant à la prise en charge de l'enfant par la doctoresse D._, pourtant encouragée par les experts. La mère avait aussi refusé que l'enfant soit confié à la maman de jour E._, évoquant des conflits passés et considérant que les mesures envisagées seraient plutôt de nature à perturber l'enfant. L'autorité cantonale a encore relevé que, de fait, les parties ne parvenaient plus à communiquer, se heurtant depuis plus de deux ans à d'importantes dissensions qui témoignent d'un conflit parental majeur, celui-ci ne pouvant être qualifié de ponctuel. En outre, on ne pouvait espérer que le règlement des questions de la garde et du droit de visite, qui divisent également les parties, permette de rétablir un minimum de coopération entre elles, partant, de maintenir l'autorité parentale conjointe, ce d'autant qu'à peine la décision des premiers juges prononcée, de nouveaux conflits avaient surgi et nécessitaient l'intervention de la justice. Enfin, il ressortait des éléments recueillis que la mère éprouve beaucoup plus de difficultés que le père à tolérer des liens de l'enfant avec l'autre parent. Par conséquent, l'enfant se trouvait triangulé dans le conflit parental, son père s'efforçant néanmoins d'éviter qu'il se trouve pris dans les démêlés qu'il rencontre avec sa mère.
En définitive, vu les circonstances, le bien de l'enfant commandait d'attribuer l'autorité parentale exclusive au père, en particulier pour ne pas risquer d'exposer l'enfant à un conflit de loyauté encore plus important. Une telle décision était indépendante de toute faute de la mère, et le souci de celle-ci pour son enfant - souci qui ne l'avait tout de même pas empêché d'aller vivre au Danemark, sans mesurer les conséquences de son choix ni envisager les souffrances que cela pourrait engendrer chez son fils - n'était pas remis en cause.
4.
La recourante fait valoir que la cour cantonale a violé l'art. 298d al. 1 CC en attribuant l'autorité parentale exclusive à l'intimé.
L'autorité parentale conjointe est la règle depuis l'entrée en vigueur le 1er juillet 2014 des nouvelles dispositions du Code civil relatives à l'autorité parentale (RO 2014 357), ce indépendamment de l'état civil des parents (art. 296 al. 2, 298a al. 1, 298b al. 2 et 298d al. 1 CC; ATF 142 III 1 consid. 3.3, 56 consid. 3). Il n'est qu'exceptionnellement dérogé à ce principe, lorsqu'il apparaît que l'attribution de l'autorité parentale exclusive à l'un des parents est nécessaire pour le bien de l'enfant. Une telle exception est en particulier envisageable en présence d'un conflit important et durable entre les parents ou d'une incapacité durable pour ceux-ci de communiquer entre eux à propos de l'enfant, pour autant que cela exerce une influence négative sur celui-ci et que l'autorité parentale exclusive permette d'espérer une amélioration de la situation. De simples différends, tels qu'ils existent au sein de la plupart des familles, d'autant plus en cas de séparation ou de divorce, ne constituent pas un motif d'attribution de l'autorité parentale exclusive, respectivement de maintien d'une autorité parentale exclusive préexistante (ATF 141 III 472 consid. 4.3 et 4.7; ATF 142 III 1 consid. 2.1). En outre, la seule distance géographique entre les parents n'est pas en soi suffisante pour déroger au principe de l'autorité parentale conjointe (ATF 142 III 1 consid. 3; 142 III 56 consid. 3).
5.
En l'espèce, le conflit parental est certes intense. L'autorité cantonale a pu établir, sur la base du rapport d'expertise, une extrême tension entre les parties, le fait que leurs échanges de mails sont difficiles, que ces relations tendues les entraînent dans un rapport de force, génèrent de nombreux malentendus et procès d'intention, participent à l'absence de repères pour l'enfant et amplifient le conflit de loyauté auquel il est exposé. Il y a lieu toutefois d'examiner sur quels éléments porte le conflit et si les parties se trouvent effectivement dans l'impossibilité de communiquer à propos des questions relevant de l'autorité parentale.
Le conflit s'est en particulier cristallisé autour des modalités d'exercice du droit de visite, de la fréquence et de la durée des contacts téléphoniques parent-enfant,et de la question du droit de garde; il ne peut toutefois être tenu compte de tels éléments comme critères d'attribution de l'autorité parentale exclusive, ceux-là devant être pris en considération en relation avec le règlement des relations personnelles et de la garde (art. 273 ss CC; arrêt 5A_22/2016 du 2 septembre 2016 consid. 5.2).
La cour cantonale se fonde aussi sur le fait que la mère s'est opposée à la prise en charge de l'enfant par la Dresse D._, et qu'elle a refusé que l'enfant soit confié à la maman de jour E._, pour en déduire que les parents ne parviennent absolument pas à s'entendre sur les questions relevant de l'autorité parentale. Or, en l'espèce, on ne peut déduire une situation de blocage du fait que la mère ait exprimé un avis divergent de celui du père sur le choix d'un thérapeute et d'une maman de jour. Il apparaît qu'elle a exprimé son désaccord avec les propositions du père, ceci pour des motifs précis relatifs aux personnes proposées, et non pas pour empêcher à tout prix que l'enfant soit pris en charge; rien n'indique d'ailleurs qu'elle aurait formulé des objections à l'égard d'autres personnes qui auraient été proposées par le père, ni qu'à l'avenir toute décision à ce sujet fera l'objet d'un désaccord entre eux. S'agissant en particulier du choix du psychothérapeute, comme l'expose la recourante, soulevant le grief d'omission arbitraire des faits en se référant de manière précise aux pièces 152 et 153 du dossier, elle s'est opposée à ce que son fils consulte la Dresse D._ pour le motif que celle-ci avait déjà suivi la demi-soeur de C._, de sorte qu'elle " ne peut pas avoir le regard neuf indispensable "; dans le même document, elle a indiqué qu'elle souhaitait cependant que la thérapie soit mise en place et qu'il convenait de choisir un autre thérapeute. Dans le cas de la maman de jour, pour autant que cette question ressortisse à l'autorité parentale, il ressort des faits de l'arrêt attaqué que la mère a fait valoir des conflits passés avec la personne proposée par le père.
Sans qu'il ne soit question ici de déterminer si l'opinion de la mère est justifiée, on ne saurait retenir, en l'occurrence, que les parties ne pourraient prendre ensemble ces deux décisions. Si elles n'ont pas été immédiatement d'accord sur le choix d'un thérapeute et d'une maman de jour, il s'agit de divergences d'opinion usuelles au cours du processus lors duquel deux personnes prennent une décision commune; ces divergences doivent pouvoir se résoudre entre les parties par la discussion, étant rappelé que les parents ont le devoir d'adopter un comportement coopératif, de faire les efforts de communication que l'on peut raisonnablement attendre d'eux et de tenir l'enfant à l'écart du conflit parental (ATF 142 III 1 consid. 3.4 p. 5; arrêts 5A_840/2016 du 30 janvier 2017 consid. 3.3.2 in fine; 5A_81/2016 du 2 mai 2016 consid. 5). Au demeurant, on relèvera que deux conflits ponctuels de ce type ne suffisent en principe pas à conduire au prononcé de l'autorité parentale exclusive: ils peuvent au besoin être résolus par des mesures prises par l'autorité compétente (art. 307 al. 1 CC).
En tant que l'intimé se prévaut du fait que la recourante ne s'acquitterait pas de la contribution d'entretien en faveur de son fils, il omet que d'éventuels conflits portant sur la pension alimentaire n'ont aucune pertinence s'agissant de l'attribution de l'autorité parentale (arrêt 5A_22/2016 du 2 septembre 2016 consid. 5.3).
Pour le surplus, il ne ressort pas de la décision attaquée que les parties auraient été dans l'impossibilité de communiquer à propos d'autres décisions relevant de l'autorité parentale. Dans ses observations du 17 mars 2017, l'intimé ne prétend pas que la cour cantonale aurait omis de constater l'existence de tels conflits (cf. supra consid. 2.2). Pour sa part, le SPJ a indiqué, dans sa réponse du 20 mars 2017, qu'il n'avait pas été confronté à un conflit entre les parents portant sur un autre domaine que le droit de visite. Quant aux considérations de l'intimé relatives au fait que les experts avaient préconisé de lui attribuer l'autorité parentale exclusive, on relèvera qu'il n'appartient pas quoi qu'il en soit aux experts, mais au juge, de déterminer si, au vu des faits retenus, il convient d'opter pour l'autorité parentale exclusive ou conjointe (arrêt 5A_609/2016 du 13 février 2017 consid. 4.4 et les références).
Il résulte de ce qui précède qu'à ce stade, les critères permettant exceptionnellement d'attribuer l'autorité parentale exclusive ne sont pas réunis. La décision entreprise doit être réformée en ce sens que l'autorité parentale sur C._ demeure conjointe, ce qui scelle le sort du recours, sans qu'il n'y ait lieu d'examiner les nombreux autres griefs soulevés par la recourante, ni sa conclusion - qui semble ressortir du contenu de son mémoire - tendant à ce qu'il soit fait interdiction au père de déplacer le lieu de résidence de l'enfant hors de Suisse sans son consentement (parmi plusieurs, cf. arrêt 5A_274/2016 du 26 août 2016 consid. 6).
6.
En conclusion, le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et réformé en ce sens que l'autorité parentale conjointe sur l'enfant C._ est maintenue. Les frais judiciaires sont mis à la charge de l'intimé, qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). Sa demande d'assistance judiciaire est admise (art. 64 al. 1 LTF). Les frais judiciaires lui incombant seront donc provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral (art. 64 al. 4 LTF). Il n'est pas alloué de dépens à la recourante qui, bien qu'ayant fait élection de domicile en l'Etude d'avocats Baudraz-Torchio par courrier du 7 juillet 2016, a agi sans le concours d'un mandataire professionnel (art. 68 al. 1 et 2 LTF; ATF 135 III 127 consid. 4 p. 136). Il appartiendra à l'autorité cantonale de statuer à nouveau sur les frais et dépens de la procédure cantonale (art. 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, l'arrêt attaqué est annulé et réformé en ce sens que l'autorité parentale sur l'enfant C._, né en 2009, est attribuée conjointement à A._ et B._.
2.
La requête d'assistance judiciaire de l'intimé est admise et Me Johanna Trümpy lui est désignée comme avocate d'office.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 2'000 fr., sont mis à la charge de l'intimé. Ils sont provisoirement supportés par la Caisse du Tribunal fédéral.
4.
Il n'est pas alloué de dépens à la recourante.
5.
Une indemnité de 2'500 fr., supportée par la Caisse du Tribunal fédéral, est allouée à Me Johanna Trümpy à titre d'honoraires d'avocat d'office.
6.
La cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision sur les frais et dépens de la procédure cantonale.
7.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Service de protection de la jeunesse, Office régional de protection des mineurs de l'Est, et à la Chambre des curatelles du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 12 avril 2017
Au nom de la IIe Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : von Werdt
La Greffière : Dolivo