Faits :
A.
Par jugement du 4 août 2015, le Tribunal de police de l'arrondissement de U._ a déclaré X._ coupable de gestion déloyale et l'a condamné à une peine de 90 jours-amende à 50 fr. le jour avec sursis pendant deux ans. Il l'a également condamné à verser à A._ une indemnité de dépens de 13'106 fr. au sens de l'art. 433 CPP. Il a mis les frais de la procédure à la charge du prévenu condamné.
B.
Par jugement du 2 février 2016, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud a rejeté le recours de X._. Il l'a condamné aux frais de la procédure d'appel et à verser à A._ une indemnité de dépens pénaux de 3'240 francs.
C.
L'autorité précédente a retenu les faits suivants :
Le 3 octobre 2011, X._, agissant pour le compte de B._ Sàrl dont il était associé-gérant, et A._, propriétaire économique de C._ SA, ont signé un contrat de courtage portant sur la vente du fonds de commerce de l'institut de beauté « C._ » installé dans des locaux loués à U._ et exploité par C._ SA. Le prix de vente souhaité était de 55'000 francs. Une commission forfaitaire en faveur du courtier de 10'000 fr. était prévue jusqu'à un prix de vente de 100'000 francs.
Le 10 novembre 2011, A._ a vendu la totalité des actions de C._ SA à X._ pour le montant de 1 franc et, le même jour, ce dernier est devenu administrateur unique de la société.
Le 6 mars 2012, A._ a informé X._ qu'elle consentait à baisser le prix de vente de C._ SA à 35'000 francs.
Le 13 mars 2012, X._ a vendu la totalité du matériel qui se trouvait dans les locaux loués par C._ SA pour le prix de 10'000 fr., somme qu'il a versée sur le compte de B._ Sàrl, dont la faillite a été prononcée le 4 juin 2014. Le montant en question a donc été définitivement perdu.
L'instruction n'a pas permis de déterminer la valeur des actifs de C._ SA. Concernant la vente des actions de cette société, X._ a admis qu'elle avait eu lieu à titre fiduciaire et que le contrat de courtage avait gardé sa validité après cette vente.
D.
X._ interjette un recours en matière pénale au Tribunal fédéral contre le jugement du 2 février 2016. Principalement et en réformation du jugement cantonal, il conclut, avec suite de frais et dépens, à son acquittement pour la prévention de gestion déloyale et à sa libération du paiement de toutes les indemnités de dépens pénaux allouées à A._ ainsi que du paiement des frais judiciaires pour les deux instances. Il réclame pour lui une indemnité de dépens pénaux de 17'000 francs. Subsidiairement, il conclut à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi du dossier pour nouvelle décision à l'autorité précédente.
E.
Appelée à se prononcer, l'autorité précédente a renoncé à se déterminer et a renvoyé aux considérants de sa décision. L'intimée a pris position en concluant au rejet du recours et à la confirmation du jugement cantonal. Le recourant s'est déterminé sur cette écriture. L'intimée a encore adressé des déterminations.
Considérant en droit :
1.
L'autorité précédente a retenu l'existence d'un dommage causé à C._ SA par la vente du matériel, propriété de la société et se trouvant dans les locaux loués, pour le prix de 10'000 fr., montant immédiatement retenu par le courtier en paiement de la commission de courtage. Elle a estimé que la comparaison du patrimoine de la venderesse avant et après l'opération avait montré qu'elle avait été dépossédée de son matériel sans contrepartie.
1.1. Le recourant conteste cette appréciation. Il considère que le contrat de courtage exclusif signé entre les parties lui garantissait de percevoir le montant de la commission convenu, que la vente intervienne par son intermédiaire, par un tiers ou par le propriétaire. Il estime qu'il avait droit au montant de 10'000 fr. et que l'intimée lui devait le montant en question, ce qui exclut un enrichissement illégitime de sa part et une atteinte aux intérêts pécuniaires de l'intimée.
1.2. L'établissement d'un dommage est une question de fait (ATF 132 III 564 consid. 6.2 p. 576). En l'espèce, il est incontesté que le recourant a, par l'intermédiaire de sa société B._ Sàrl, encaissé un montant de 10'000 fr. représentant le prix de vente du mobilier appartenant à C._ SA. Ce faisant, il a porté atteinte aux intérêts pécuniaires de C._ SA qui s'est trouvée privée de son matériel sans avoir bénéficié en contrepartie du prix de vente. Dans cette mesure, l'existence d'un dommage est établie.
1.3. L'argumentation du recourant concernant la possibilité qu'il avait de compenser la commission de courtage prévue par le contrat du 3 octobre 2011 et le prix de vente doit s'examiner sous l'angle de l'enrichissement illégitime.
1.3.1. La gestion déloyale au sens de l'art. 158 ch. 2 CP exige que l'auteur ait agi avec un dessein d'enrichissement illégitime. Par enrichissement, il faut entendre tout avantage économique. Il n'y a pas de dessein d'enrichissement illégitime chez celui qui s'approprie une chose pour se payer ou pour tenter de se payer lui-même, s'il a une créance d'un montant au moins égal à la valeur de la chose qu'il s'est appropriée et s'il a vraiment agi en vue de se payer. Si l'auteur croit fermement, mais par erreur, que ces conditions sont réalisées, il peut bénéficier de l'art. 13 CP (ATF 105 IV 29 consid. 3a p. 35).
1.3.2. En l'espèce, l'autorité précédente a condamné le recourant en application de l'art. 158 ch. 2 CP, comme cela ressort de l'entête du dispositif du jugement. L'art. 158 ch. 2 CP constitue l'infraction prise en compte dans l'ordonnance pénale du 27 mars 2015 valant acte d'accusation (art. 356 al. 1 CPP). L'art. 158 ch. 2 CP est aussi l'infraction prise en compte dans le jugement de première instance. Toutefois, la motivation du jugement attaqué se réfère essentiellement à l'art. 158 ch. 1 al. 1 CP sans explication. Or, il se trouve que pour la gestion déloyale au sens strict selon l'art. 158 ch. 1 CP, le dessein d'enrichissement illégitime est une circonstance aggravante prévue par l'alinéa 3. En revanche, l'abus du pouvoir de représentation (art. 158 ch. 2 CP) implique nécessairement que soit réalisé le dessein d'enrichissement d'un point de vue subjectif.
Le jugement attaqué ne contient aucun élément de fait permettant de déterminer le dessein du recourant lorsqu'il a transféré le prix de la vente du matériel sur le compte de sa société de courtage. De même, l'autorité précédente ne s'est pas prononcée sur le droit de la société du recourant à la provision de courtage et sur le montant éventuel de celle-ci. Elle s'est limitée à affirmer que le recourant aurait violé les instructions reçues de l'intimée sans exposer les incidences de cette violation sur le droit à la commission, respectivement sur le dessein d'enrichissement.
Le recours doit donc être admis sur ce point et l'affaire renvoyée à l'autorité précédente pour nouvelle décision.
2.
L'autorité précédente a reconnu à A._ la qualité de lésée au sens de l'art. 115 al. 1 CPP, respectivement de partie plaignante au sens de l'art. 433 CPP. Admettant qu'en règle générale l'actionnaire d'une personne morale n'était pas directement lésé par une infraction touchant le patrimoine de la société, l'autorité précédente a néanmoins considéré que A._ avait aussi été directement lésée par les agissements du recourant. Elle justifie son appréciation par le fait que le contrat de courtage devait également préserver les droits propres de A._ en sa qualité de codébitrice du loyer. La société C._ SA n'ayant plus d'activité, l'intérêt de A._ était une reprise du bail, la liquidation de l'activité sociale et la vente du matériel, cela le plus rapidement possible. Ainsi, les manquements du recourant dans l'exécution du contrat ont obligé l'intimée à payer personnellement les dettes de la société, ce qui lui a causé un préjudice.
2.1. Le recourant conteste cette manière de voir. Il estime que A._ avait la qualité de lésée tant que l'action pénale concernait les actions de C._ SA. Cette question a toutefois été réglée par ordonnance de classement du 18 mars 2015. En procédure de première et deuxième instance, le recourant s'est uniquement vu reprocher une gestion déloyale pour s'être approprié le prix de vente du matériel appartenant à C._ SA. Pour le recourant, A._ n'est plus directement lésée même si elle a payé des dettes de la société avec ses propres fonds.
L'art. 115 al. 1 CPP dispose qu'est lésée toute personne dont les droits ont été touchés directement par l'infraction. La jurisprudence (ATF 140 IV 155 consid. 3.3.1 p. 158) a précisé qu'en cas de délit contre le patrimoine, le propriétaire de valeurs patrimoniales lésées était considéré comme personne lésée. Lorsque le délit contre le patrimoine est commis au préjudice d'une société anonyme, ni les actionnaires ni les créanciers de la société ne sont directement lésés.
2.2. En l'espèce, l'intimée était actionnaire de C._ SA et était également devenue créancière de celle-ci en payant des factures dues par la société. Le délit reproché au recourant est un acte de gestion déloyale commis au préjudice de C._ SA pour ne pas avoir mis à la disposition de la société le prix de vente résultant de la vente du matériel propriété de la société. Dans ces conditions, il y a lieu de constater que le délit porte atteinte directement au patrimoine de C._ SA et indirectement à celui de l'intimée, actionnaire et créancière de celle-ci. Dès lors, force est d'admettre que l'intimée ne pouvait pas être considérée comme lésée directement par l'infraction du recourant et qu'en conséquence, elle ne pouvait pas avoir la qualité de partie plaignante au sens de l'art. 118 CPP. La juridiction précédente devra donc tenir compte de cet élément lorsqu'elle statuera à nouveau sur l'affaire, en particulier l'intimée ne pouvait pas prétendre à une indemnité au sens de l'art. 433 al. 1 CPP.
3.
Le recourant, qui obtient gain de cause, ne supportera pas de frais (art. 66 al. 1 et 4 LTF). Au regard des circonstances d'espèce, il se justifie de mettre entièrement à la charge du canton de Vaud l'indemnité de dépens en faveur du recourant, qui a déposé son recours par l'intermédiaire d'un avocat (art. 68 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis, le jugement attaqué est annulé et la cause est renvoyée à l'autorité cantonale pour nouvelle décision.
2.
Il n'est pas perçu de frais de justice.
3.
Le canton de Vaud versera au recourant une indemnité de 3'000 fr. à titre de dépens pour la procédure devant le Tribunal fédéral.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 1 er novembre 2016
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Musy