Faits :
A.
A._ a travaillé jusqu'au 31 mars 2009 pour B._ SA. Le 31 octobre 2012, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité que l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a acceptée en lui reconnaissant le droit à une rente entière d'invalidité dès le 1 er avril 2013, soit 6 mois après la présentation de la demande (décision du 18 octobre 2013).
Le 24 décembre 2014, A._ a ouvert action contre la Fondation de prévoyance de Generali Assurances Générales SA (ensuite substituée par la Caisse de pension de Generali Assurances Générales SA; ci-après: la caisse de pension) devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud, en concluant à l'octroi de prestations d'invalidité pleines et entières dès la fin de ses rapports de travail.
B.
Par jugement du 27 mars 2017, la Cour cantonale a admis partiellement l'action et a condamné la caisse de pension à verser de pleines et entières prestations d'invalidité à compter du 1 er septembre 2009.
C.
La caisse de pension interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement, en concluant à ce que le droit aux prestations d'invalidité soit reconnu seulement à partir du 1 er avril 2013.
A._ conclut au rejet du recours, tandis que l'Office fédéral des assurances sociales a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
Le litige porte sur la date à partir de laquelle A._ a droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle. Il n'est pas contesté, ni contestable, que le litige ne relève pas du domaine de la prévoyance obligatoire mais de la prévoyance plus étendue.
3.
3.1. Après avoir rappelé les dispositions légales, les principes jurisprudentiels et les dispositions réglementaires en la matière - auxquels le Tribunal de céans peut renvoyer - la juridiction cantonale a constaté, en se basant sur le dossier de l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud, que A._ avait présenté une incapacité de travail déjà depuis juin 2008 et d'au moins 40 % à partir de septembre 2008, ce qui justifiait l'ouverture du droit aux prestations une année après, soit le 1 er septembre 2009.
3.2. La recourante fait valoir que le règlement de la caisse de pension en vigueur à partir du 1 er janvier 2009 renvoie à ses art. 27 et 28 à la loi fédérale sur l'assurance-invalidité (LAI) tant pour la définition du droit à la rente d'invalidité que pour celle du début et de la fin de la rente (cf. notamment art. 28 al. 2 du règlement). Or, l'art. 29 al. 1 LAI prévoit que le droit à la rente prend naissance au plus tôt à l'échéance d'une période de six mois à compter de la date à laquelle l'assuré a fait valoir son droit aux prestations (conformément à l'art. 29 al. 1 LPGA, mais pas avant le mois qui suit le 18 e anniversaire de l'assuré, ce qui n'est pas déterminant en l'espèce).
3.3. A._ se réfère à l'argumentation développée par la juridiction cantonale, en précisant que la solution préconisée par la recourante ne s'applique qu'à la prévoyance obligatoire et non à la prévoyance plus étendue.
4.
4.1. Lorsqu'une institution de prévoyance professionnelle (de droit privé) décide d'étendre la prévoyance au-delà des exigences minimales fixées par la loi, les employés assurés sont liés à l'institution par un contrat innommé ( sui generis) dit de prévoyance. Le règlement de prévoyance constitue le contenu préformé de ce contrat, à savoir ses conditions générales, auxquelles l'assuré se soumet expressément ou par actes concluants. Il doit ainsi être interprété selon les règles générales sur l'interprétation des contrats. Pour ce faire, il convient de partir du texte du contrat (ou du règlement) avant de l'examiner dans son contexte; dans ce dernier cas, toutes les circonstances ayant précédé ou accompagné sa conclusion doivent être prises en considération (ATF 140 V 50 consid. 2.3 p. 52, 138 V 176 consid. 6 p. 181).
4.2. Il ressort de l'art. 28 al. 2 du règlement de la caisse de pension que "le droit à la rente d'invalidité prend naissance au plus tôt après une incapacité de travail de l'assuré d'une année, suivie d'une incapacité de gain permanente résultant de la même cause. Les dispositions de la LAI s'appliquent par analogie à la naissance du droit à la rente d'invalidité". Le texte de cette disposition est clair en ce sens qu'il renvoie explicitement aux dispositions de la LAI pour fixer le début de la rente. Il convient dès lors d'appliquer l'art. 29 al. 1 LAI et de reconnaître que le droit à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle naît à l'expiration du délai de six mois à compter de la demande de prestations prévu par cette disposition. L'argumentation développée par l'intimé, selon lequel l'art. 29 al. 1 LAI, auquel renvoie l'art. 26 al. 1 LPP, ne s'applique qu'à la prévoyance obligatoire comme il a été décidé dans l'ATF 140 V 470 consid. 3.2 et 3.3, ne lui est d'aucun secours. En effet, le règlement de la caisse de pension renvoie explicitement aux dispositions de la LAI. Compte tenu de la date à laquelle l'assurance-invalidité a fixé le début du droit à la rente, le droit aux prestations de la prévoyance professionnelle a pris naissance le 1 er avril 2013.
5.
Le recours se révèle ainsi bien fondé et le jugement du tribunal cantonal doit être réformé pour ce qui est du début du droit à la rente d'invalidité.
6.
Les frais de procédure sont mis à la charge de l'intimé qui succombe (art. 66 al. 1 LTF). La caisse de pension, même si elle obtient gain de cause, n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF; arrêt 9C_702/2011 du 28 février 2012 consid. 5, in SVR 2012 BVG n° 30 p. 121). L'admission du recours sur la seule question du début de la rente d'invalidité ne justifie pas de modifier la répartition des dépens en procédure cantonale au regard des conclusions de l'intimé en première instance (art. 68 al. 5 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis. Le chiffre II du dispositif du jugement du Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, du 27 mars 2017 est réformé en ce sens que la recourante est condamnée à verser à l'intimé de pleines et entières prestations d'invalidité à compter du 1 er avril 2013.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 7 septembre 2017
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Pfiffner
La Greffière : Flury