Sachverhalt:
A.
A.a. A._, geboren 2000, wurde im September 2011 in der Gemeinde V._ für die Primarschule angemeldet. Am 22. Dezember 2011 informierte die Schulpflege V._ die Vormundschaftsbehörde, dass A._ im Unterricht Verhaltensauffälligkeiten zeige, welche auf Verwahrlosung schliessen liessen. Mit Beschluss vom 27. März 2012 errichtete die Vormundschaftsbehörde für A._ eine Beistandschaft und entzog der Mutter die elterliche Obhut. In der Folge wurde A._ ab 8. August 2012 im Kinderheim X._ in U._ (Kanton Zug) untergebracht. Die Gemeinde V._ leistete subsidiäre Kostengutsprache ab 8. August 2012 bis Ende 2013, bestritt aber ihre Leistungspflicht. Eine Klage der Gemeinde V._ gegen die Stadt Zürich, wonach diese die Versorgerbeiträge zu bezahlen hätte, wurde vom Verwaltungsgericht des Kantons Zürich mit Urteil vom 8. Januar 2014 abgewiesen.
A.b. Am 20. Februar 2014 ersuchte die Gemeinde V._ das Amt für Jugend und Berufsberatung des Kantons Zürich, die Versorgertaxe für die Heimunterbringung von A._ vom 8. August 2012 bis Ende 2013 im Betrag von Fr. 115'920.-- zu übernehmen. Die Vorsteherin der Bildungsdirektion lehnte am 15. Mai 2014 eine Kostenübernahme durch den Kanton ab. Der Regierungsrat des Kantons Zürich wies einen dagegen erhobenen Rekurs mit Beschluss vom 26. August 2015 ebenfalls ab.
B.
Die Gemeinde V._ erhob gegen den regierungsrätlichen Beschluss Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Dieses hiess mit Urteil vom 18. November 2015 die Beschwerde gut und verpflichtete den Staat Zürich, der Gemeinde V._ Fr. 115'920.-- zuzüglich Zins zu 5 % ab dem 14. April 2014 zu bezahlen. Es erwog im Wesentlichen, gemäss § 9b Abs. 1 des zürcherischen Gesetzes vom 1. April 1962 über die Jugendheime und die Pflegekinderfürsorge (Jugendheimgesetz; LS 852.2) würden die Beiträge, welche nach den Regeln der Interkantonalen Vereinbarung vom 13. März 2002 für soziale Einrichtungen (IVSE; LS 851.5) dem Wohnkanton und nicht den Unterhaltspflichtigen zu verrechnen seien, durch den Staat übernommen.
C.
Der Staat Zürich, vertreten durch die Bildungsdirektion, erhebt mit Eingabe vom 11. Januar 2016 an das Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten mit dem Antrag, in Aufhebung des angefochtenen Entscheids und in Bestätigung der Verfügung der Bildungsdirektion vom 15. Mai 2014 und des Rekursentscheids des Regierungsrates vom 26. August 2015 sei festzustellen, dass die Beschwerdegegnerin keinen Anspruch auf Ersatz der geleisteten Versorgertaxe habe. Eventualiter sei die Angelegenheit für weitere Abklärungen und zum Neuentscheid an die Vorinstanz zurückzuweisen.
Die Gemeinde V._ beantragt, auf die Beschwerde sei nicht einzutreten; eventuell sei diese abzuweisen. Das Verwaltungsgericht äussert sich, ohne einen ausdrücklichen Antrag zu stellen.
Mit Verfügung des Präsidenten der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 9. Februar 2016 wurde der Beschwerde die aufschiebende Wirkung zuerkannt.
Erwägungen:
1.
Gegen den kantonal letztinstanzlichen Endentscheid in einer Angelegenheit des öffentlichen Rechts ist die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zulässig (Art. 82 lit. a, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Art. 90 BGG).
2. Zu prüfen ist die Legitimation des Beschwerdeführers.
2.1. Die Beschwerde ist namens des Staates Zürich erhoben und vom Amtschef des kantonalen Amtes für Jugend und Berufsberatung unterschrieben, der eine Vollmacht der Vorsteherin der Bildungsdirektion vorlegt. Ein Kanton wird grundsätzlich vor Gericht durch seine oberste Exekutivbehörde, d.h. den Regierungsrat, vertreten, welcher den Kanton von Verfassungs wegen nach aussen vertritt (vgl. auch Art. 71 Abs. 1 lit. c der Verfassung des Kantons Zürich vom 27. Februar 2005 [KV/ZH; SR 131.211]). Will eine nachgeordnete Behörde namens des Kantons Beschwerde führen, hat sie ihre Vertretungsbefugnis explizit darzutun, sei es durch einen entsprechenden speziellen Ermächtigungsbeschluss der Kantonsregierung oder durch Angabe der sie zur Prozessführung namens des Kantons berechtigenden kantonalen Vorschriften (BGE 141 I 253 E. 3.3 S. 256; 136 V 351 E. 2.4 S. 354). Der Beschwerdeführer beruft sich darauf, dass gemäss § 47 der kantonalen Finanzcontrollingverordnung vom 5. März 2008 (FCV; LS 611.2) bei Streitwerten von weniger als 400'000 Franken die zuständige Direktion über die Führung eines Prozesses entscheidet. Die Vertretungsbefugnis der Bildungsdirektion bzw. des von ihr bevollmächtigten Amtschefs ist daher zu bejahen. Zu prüfen ist jedoch, ob der Kanton als solcher zur Beschwerde legitimiert ist.
2.2. Der Beschwerdeführer beruft sich zu Recht nicht auf einen Legitimationsgrund nach Art. 89 Abs. 2 BGG. Er macht aber geltend, er sei nach Art. 89 Abs. 1 BGG zur Beschwerde legitimiert. Das Bundesgericht hat dazu in BGE 141 II 161 E. 2.1-2.3 ausgeführt:
"2.1 Nach Art. 89 Abs. 1 BGG ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten berechtigt, wer vor der Vorinstanz am Verfahren teilgenommen hat oder keine Möglichkeit zur Teilnahme erhalten hat, durch den angefochtenen Entscheid besonders berührt ist und ein schutzwürdiges Interesse an dessen Aufhebung oder Änderung hat. Diese Regelung ist in erster Linie auf Privatpersonen zugeschnitten, doch kann sich auch das Gemeinwesen darauf stützen, falls es durch einen angefochtenen Entscheid gleich oder ähnlich wie ein Privater oder aber in spezifischer, schutzwürdiger Weise in der Wahrnehmung einer hoheitlichen Aufgabe betroffen wird, namentlich wenn einem Entscheid präjudizielle Bedeutung für die öffentliche Aufgabenerfüllung zukommt. Die Beschwerdebefugnis zur Durchsetzung hoheitlicher Anliegen setzt eine erhebliche Betroffenheit in wichtigen öffentlichen Interessen voraus. Das allgemeine Interesse an der richtigen Rechtsanwendung begründet keine Beschwerdebefugnis im Sinne dieser Regelung. Gestützt auf die allgemeine Legitimationsklausel von Art. 89 Abs. 1 BGG sind Gemeinwesen nur restriktiv zur Beschwerdeführung zuzulassen (kürzlich bestätigt im Urteil 8C_918/2014 vom 27. Januar 2015, E. 3.2.2.1, vgl. BGE 140 V 328 E. 4.1 S. 329 f.; 138 II 506 E. 2.1.1 S. 508 f. mit Übersicht über die Rechtsprechung). Insbesondere ist die im Rechtsmittelverfahren unterlegene Vorinstanz nicht berechtigt, gegen den sie desavouierenden Entscheid an das Bundesgericht zu gelangen (BGE 140 V 321 E. 2.1.1 S. 323 mit Hinweisen).
2.2 Besondere Zurückhaltung ist geboten, wenn sich Organe desselben Gemeinwesens gegenüberstehen, namentlich die kantonalen Exekutivbehörden und das kantonale Verwaltungsgericht: Der Vorschlag des Bundesrats, die Kantonsregierungen in gewissen Fällen zur Anfechtung der Entscheide kantonaler Gerichte zu berechtigen, wurde in den Räten gestrichen (s. zur Entstehungsgeschichte BGE 140 V 328 E. 5.2 S. 331 f.; Urteil 8C_1025/2009 vom 19. August 2010 E. 3.3.4.1; MICHAEL PFLÜGER, Die Legitimation des Gemeinwesens zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten, 2013, S. 203 ff.). Entscheidend für diese Streichung des Beschwerderechts war dabei der Wille des Gesetzgebers, dass Streitigkeiten zwischen der obersten Exekutivbehörde und der obersten Justizbehörde eines Kantons nicht vom Bundesgericht entschieden werden sollen (PFLÜGER, a.a.O., S. 205). Eine kantonale Exekutive, deren Verfügung von der kantonal letztinstanzlichen Justizbehörde aufgehoben wurde, ist daher grundsätzlich nicht befugt, Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten zur Wiederherstellung ihrer Verfügung zu führen, erst recht dann nicht, wenn es um die Auslegung und Anwendung von kantonalem Recht geht (BGE 136 II 383 E. 2.5/2.6 S. 387 f.; 136 V 346 E. 3.5 S. 350; 134 V 53 E. 2.3.3 S. 58 ff.; Urteil 8C_1025/2009 vom 19. August 2010 E. 3.3.4.2 und 3.4; PFLÜGER, a.a.O., S. 136 f., 146 f., 162 f.; 205 ff.).
2.3 Geht es um Entscheide mit finanziellen Auswirkungen, hat die Rechtsprechung zwar in verschiedenen Konstellationen die Legitimation von Kanton oder Gemeinde bejaht (vgl. Hinweise in BGE 138 II 506 E. 2.1.2 S. 509 f.). Doch ist die Legitimation nicht schon dann zu bejahen, wenn ein Entscheid Auswirkungen auf das Vermögen des Gemeinwesens hat: Zur Begründung des allgemeinen Beschwerderechts genügt nicht jedes beliebige, mit der Erfüllung einer öffentlichen Aufgabe direkt oder indirekt verbundene finanzielle Interesse des Gemeinwesens (BGE 136 II 274 E. 4.2 S. 279; 136 II 383 E. 2.4 S. 387; 134 II 45 E. 2.2.1 S. 47 mit Hinweisen). So wurde die Legitimation des Gemeinwesens etwa verneint in seiner Eigenschaft als Schuldner von Entschädigungen nach Opferhilfegesetz (BGE 123 II 425 E. 4 S. 429 ff.), im Falle der Festlegung des Steuerwohnsitzes (BGE 136 II 274 E. 4.3 S. 280), aufgrund der Befürchtung, als Folge eines Entscheids haftpflichtig zu werden (BGE 133 II 400 E. 2.4.2 S. 407) oder der Tangierung des Kantons als Schuldner von (kantonalrechtlichen) Ergänzungsleistungen (BGE 134 V 53 E. 2.3.3 S. 58 f.). Auch eine Gemeinde kann sich nicht auf Art. 89 Abs. 1 BGG berufen, wenn sie die willkürliche Anwendung von kantonalen und kommunalen Bestimmungen über Beihilfen und Gemeindezuschüsse durch das kantonale Gericht rügt (Urteil 8C_918/2014 vom 27. Januar 2015 E. 3.2.2.2). Ebenfalls nicht legitimiert ist das Gemeinwesen, wenn ihm in Beschwerdeentscheiden gegen seine Verfügungen Verfahrens- oder Parteikosten auferlegt werden (BGE 134 II 45 E. 2.2.2 S. 47 f.; 133 II 400 E. 2.4.2 S. 407; Urteil 1C_79/2011 vom 10. März 2011 E. 1.4, in: JdT 2011 I S. 39). Verneint wurde die Legitimation auch in einem Fall, in welchem der Kanton die Erbschaftssteuer für Nachkommen abgeschafft hatte und die Auslegung der übergangsrechtlichen Regelung streitig war; der Kanton hatte mit der Abschaffung der Steuer dargetan, dass es für ihn nicht mehr um einen wichtigen Regelungsbereich ging, dies obwohl ein Steueraufkommen von insgesamt rund 30 Mio. Franken auf dem Spiel stand (BGE 136 II 383 E. 2.5 S. 387).
Bejaht wird die Legitimation in Konstellationen, in denen es um finanzielle Leistungen aus Rechtsverhältnissen geht, die zwar öffentlich-rechtlich geregelt sind, aber Analogien haben zu entsprechenden privatrechtlichen Instituten wie etwa das öffentliche Dienstrecht, das Staatshaftungsrecht oder das Enteignungsrecht. Im Übrigen ist das Gemeinwesen in seinen fiskalischen Interessen aber grundsätzlich nicht wie ein Privater betroffen, sondern in seiner Eigenschaft als Hoheitsträger (BGE 138 II 506 E. 2.3 S. 511 f.; 136 II 274 E. 4.2 S. 279; 135 II 156 E. 3.3 S. 160). Die Fälle, in denen diesbezüglich die Legitimation bejaht wurde, betreffen in der Regel Konstellationen, in welchen es um einen Konflikt zwischen verschiedenen Gemeinwesen geht, die einander nicht hoheitlich gegenüberstehen oder in denen ein Gemeinwesen Adressat einer von einem anderen Gemeinwesen getroffenen Verfügung ist, namentlich bei Streitigkeiten zwischen Kanton und Gemeinde oder zwischen Gemeinden unter sich (Hinweise in BGE 138 II 506 E. 2.1.2 S. 509 f.). Auch dann ist eine Gemeinde gegen einen kantonalen Entscheid, der ihr finanzielle Lasten auferlegt, nach Art. 89 Abs. 1 BGG nur zur Beschwerde legitimiert, wenn sie in qualifizierter Weise in zentralen hoheitlichen Interessen berührt ist (BGE 140 I 90 E. 1.2.2 S. 93 f.). Eine solche Betroffenheit wird in der Regel bejaht in Bezug auf Leistungen der Sozialhilfe (BGE 140 V 328 E. 6 S. 333 ff.) sowie den interkommunalen Finanzausgleich und ähnliche Regelungen (BGE 140 I 90 E. 1.2.2 S. 93 f.; 135 I 43 E. 1.3 S. 47; 135 II 156 E. 3.3 S. 160) und im Übrigen dann, wenn die streitigen finanziellen Leistungen eine beträchtliche Höhe erreichen und die Beantwortung der Streitfrage eine über den Einzelfall hinaus gehende präjudizielle Wirkung für die öffentliche Aufgabenerfüllung mit insgesamt wesentlicher finanzieller Belastung hat (Urteil 2C_949/ 2013 vom 24. März 2014 E. 2.2.2 [bejaht bzgl. kommunale Beiträge an kantonale Schulen]), nicht aber dann, wenn es bloss um eine einzelfallbezogene Beurteilung ohne Grundsatzfragen geht (BGE 140 I 90 E. 1.2.6 S. 95 [kommunaler Kostenanteil an einer Busverbindung]). Verneint wird die Legitimation, wenn es einzig um die finanziellen Folgen der Verwaltungstätigkeit geht, welche das Gemeinwesen in seiner Stellung als hoheitlich verfügende Behörde treffen (BGE 138 II 506 E. 2.3 S. 511 f.; Urteile 1C_670/2013 vom 10. Februar 2014 E. 4.2; 1C_220/2009 vom 26. April 2010 E. 2.2.2, nicht publ. in: BGE 136 II 204; 1C_79/2011 vom 10. März 2011 E. 1.4, in: JdT 2011 I S. 39). In solchen Fällen deckt sich das finanzielle Interesse des Gemeinwesens mit der Frage der richtigen Rechtsanwendung, was zur Legitimation nicht genügt, auch dann nicht, wenn der angefochtene Entscheid Präzedenzwirkung für weitere Fälle mit Auswirkungen auf die Kantonsfinanzen hat (BGE 138 II 506 E. 2.4 S. 512; 134 II 45 E. 2.2.1 S. 46 f.)."
2.3. Im soeben zitierten Urteil ging es um eine Beschwerde des Kantons Zürich, vertreten durch das Amt für Jugend und Berufsberatung, gegen ein Urteil des kantonalen Verwaltungsgerichts, worin dieses den Kanton verpflichtete, Ausbildungsstipendien zu bezahlen. Das Bundesgericht verneinte die Legitimation des Kantons mit der Begründung, im konkreten Fall gehe es um einen Streitwert von Fr. 5'700.--, allerdings habe das Urteil gemäss Darstellung des Beschwerdeführers infolge seiner Präjudizwirkung Mehrkosten von jährlich rund 3,8 Mio. Franken zur Folge (im Rahmen einer Maximalprognose sogar nahezu 37 Mio. Franken pro Jahr). Doch sei nicht ersichtlich, inwiefern es dabei um über das rein Finanzielle hinausgehende Interessen an der öffentlichen Aufgabenerfüllung gehen könnte. Dass das angefochtene Urteil einen zentralen Aspekt des Stipendienwesens beträfe und dessen System als Ganzes selber in Frage stellen würde, sei jedenfalls nicht dargetan. Sowohl im konkreten Fall als auch in Bezug auf die Präzedenzwirkung des angefochtenen Urteils gehe es vielmehr einzig um die Auswirkungen auf die Kantonsfinanzen. In dieser Konstellation sei die Legitimation des Kantons zu verneinen. Es verhalte sich anders als in den Fällen, in denen sich Gemeinden wehrten gegen kantonale Entscheide über die Aufgaben- und Kostenverteilung zwischen Kanton und Gemeinden oder die Kostentragung von Gemeinden; der Kanton wehre sich hier nicht gegen einen Entscheid, mit dem ihm eine hierarchisch höher stehende Körperschaft eine finanzielle Belastung direkt auferlege, sondern es gehe um eine Organstreitigkeit zwischen der kantonalen Exekutive und der kantonalen Judikative, für deren Beurteilung durch das Bundesgericht die Voraussetzungen fehlten. Es sei Sache des Kantons, den Konflikt selber zu schlichten, beispielsweise auf dem Wege einer Gesetzesrevision (BGE 141 II 161 E. 2.4 S. 167 f.). Auf die Beschwerde wurde daher nicht eingetreten.
2.4. Vorliegend verhält es sich ähnlich wie im zitierten Urteil. Zwar ging es dort um eine Streitigkeit zwischen dem Kanton und einer Privaten, während hier ein Streit zwischen dem Kanton und einer Gemeinde zur Diskussion steht. Das ändert aber nichts daran, dass sich der Kanton nicht gegen einen Entscheid wehrt, mit dem ihm eine hierarchisch höher stehende Körperschaft eine finanzielle Belastung auferlegt; es geht vielmehr um eine Anwendung kantonalen Rechts, welches vom Verwaltungsgericht anders ausgelegt wird als vom Regierungsrat und der Bildungsdirektion. Gemäss Darstellung des Beschwerdeführers ist aufgrund des angefochtenen Entscheids allein für das Jahr 2015 mit Rückforderungen seitens von Gemeinden in der Höhe von über 11 Millionen Franken zu rechnen. Es geht damit um die finanziellen Folgen der Verwaltungstätigkeit, welche den Kanton in seiner Stellung als hoheitlich verfügende Behörde treffen; das finanzielle Interesse des Kantons deckt sich mit der Frage der richtigen Rechtsanwendung, was nach der Entstehungsgeschichte von Art. 89 Abs. 1 BGG (BGE 140 V 328 E. 5.2 S. 331 f.) zur Legitimation nicht genügt, auch dann nicht, wenn der angefochtene Entscheid Präzedenzwirkung für weitere Fälle mit u.U. erheblichen Auswirkungen auf die Kantonsfinanzen hat (BGE 141 II 161 E. 2.3 S. 165 ff.; 138 II 506 E. 2.4 S. 512).
Darüber hinaus bringt der Beschwerdeführer freilich vor, die Kostenpflicht des Kantons würde zu Fehlanreizen führen, weil die Gemeinden versucht sein könnten, Kinder ausserhalb des Kantons zu platzieren, um für sich eine finanzielle Belastung zu vermeiden; damit würde die funktionierende Heimversorgung innerhalb des Kantons gefährdet. Es steht jedoch dem Kanton frei, die Gesetzgebung abzuändern und damit eine Klärung in seinem Sinne herbeizuführen, wenn dies dem Willen des Gesetzgebers entspricht.
3.
Auf die Beschwerde ist daher nicht einzutreten. Bei diesem Ausgang des Verfahrens hat der Kanton Zürich, um dessen Vermögensinteressen es geht, die Gerichtskosten zu tragen (Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Die Beschwerdegegnerin hat, obwohl anwaltlich vertreten, keinen Anspruch auf Parteientschädigung (Art. 68 Abs. 3 BGG; BGE 134 II 117 E. 7 S. 118 f.).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 5'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 4. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 8. April 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Klopfenstein