Sachverhalt:
A.
A.A._ und B._ sind die unverheirateten Eltern von C.A._ (geb. 2006), welche unter der alleinigen elterlichen Sorge der Mutter steht. Am 12. Dezember 2013 wurde über C.A._ eine Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 1 und 2 ZGB errichtet. Mit Schreiben vom 22. April 2014 ersuchte B._ um Zuteilung des alleinigen Sorgerechts über C.A._. Im Laufe des nachfolgenden Verfahrens beantragte er unter anderem im Eventualstandpunkt die Erteilung der gemeinsamen elterlichen Sorge. Mit Entscheid vom 8. Juli 2015 lehnte die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Mittelland Nord (KESB) eine Neuordnung der elterlichen Sorge ab und regelte den persönlichen Verkehr zwischen Vater und Tochter.
B.
Am 10. August 2015 erhob B._ Beschwerde beim Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht. Er beantragte im Wesentlichen, es sei ihm in Aufhebung des Entscheids der KESB die alleinige Sorge "inkl. Obhut" über C.A._ zu erteilen; eventuell sei das gemeinsame Sorgerecht der Eltern "mit Obhut beim Vater", subeventuell mit hälftig "geteilter Obhut und Betreuung" zu verfügen. Ausserdem stellte er Anträge zur Besuchs- und Ferienregelung, falls das Sorgerecht bei der Mutter verbleiben sollte. Mit Entscheid vom 30. Mai 2016 (eröffnet am 8. Juni 2016) verfügte das Obergericht die gemeinsame elterliche Sorge über C.A._. "Die Obhut" beliess es unter Regelung des Besuchs- und Ferienrechts des Vaters bei der Mutter.
C.
Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 10. Juli 2016 (Datum Poststempel) gelangt B._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er beantragt, in Aufhebung der Entscheide des Obergerichts und der KESB sei ihm "das alleinige Sorgerecht inkl. Obhut" über C.A._ "zu erteilen". Eventualiter sei "das gemeinsame elterliche Sorgerecht mit Obhut beim Vater", subeventualiter "das gemeinsame Sorgerecht und eine geteilte Obhut und Betreuung (50%:50%) zu verfügen". Ausserdem beantragt er, es sei ein "psychiatrisches und forensisches Gutachten" über A.A._ (Beschwerdegegnerin) einzuholen. Weiter sei die Beiständin in ihrem Amt zu bestätigen und es seien ihr "konkrete Aufgaben" zu erteilen. "Im Sinne einer vorsorglichen Massnahme" stellt B._ sodann Anträge zur Regelung des persönlichen Verkehrs zwischen Vater und Tochter während des Beschwerdeverfahrens. Diese Massnahme sei superprovisorisch und auch für den Fall anzuordnen, dass das Sorgerecht bei der Mutter verbleibe. Schliesslich ersucht er für das bundesgerichtliche Verfahren um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung.
Mit Verfügung vom 11. Juli 2016 hat der Präsident der II. zivilrechtlichen Abteilung das Gesuch um vorsorgliche Massnahmen abgewiesen und den Beschwerdeführer darauf aufmerksam gemacht, dass es ihm selbst obliegt, einen Anwalt seiner Wahl mit der Vertretung seiner Interessen zu beauftragen. Am 14. Juli 2016 ist A.A._eine Kopie der Beschwerdeschrift zur Kenntnisnahme zugestellt worden. Mit Eingabe vom 24. März 2017 hat sich B._ zur Frage geäussert, ob er die Beschwerdefrist eingehalten hat. Gleichzeitig stellt er ein Gesuch um Entzug der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde. Im Übrigen hat das Bundesgericht die Akten des kantonalen Verfahrens, hingegen keine Vernehmlassungen eingeholt.
A.A._ hat den obergerichtlichen Entscheid ebenfalls vor Bundesgericht angefochten (Verfahren 5A_499/2016).
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht prüft seine Zuständigkeit und die Zulässigkeit der Beschwerde von Amtes wegen und mit freier Kognition (Art. 29 Abs. 1 BGG; BGE 142 II 363 E. 1; 141 II 113 E. 1).
2.
2.1. Die Beschwerde gegen einen Entscheid ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Die Eingabe muss spätestens am letzten Tag der Frist beim Bundesgericht eingereicht oder zu dessen Handen der Schweizerischen Post oder einer schweizerischen diplomatischen oder konsularischen Vertretung übergeben werden (Art. 48 Abs. 1 BGG). Gesetzlich bestimmte Fristen können nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 1 BGG). Die Beweislast für die Rechtzeitigkeit der Beschwerdeerhebung, die mit Gewissheit feststehen und nicht bloss überwiegend wahrscheinlich sein muss, trägt die beschwerdeführende Person (Art. 8 ZGB). Es obliegt ihr somit der Nachweis, dass sie die Eingabe bis um 24 Uhr des letzten Tages der laufenden Frist der Post übergeben hat. Dabei wird vermutet, dass das Datum des Poststempels mit demjenigen der Übergabe an die Post übereinstimmt. Dies gilt sowohl bei Aufgabe der Eingabe am Postschalter als auch bei Einwurf im Postbriefkasten. Wer behauptet, er habe einen Brief schon am Vortag seiner Abstempelung in den Postbriefkasten eingeworfen, hat folglich die sich aus dem Poststempel ergebende Vermutung verspäteter Beschwerdeerhebung zu widerlegen. Ihm stehen dabei alle tauglichen Beweismittel zur Verfügung. Der entsprechende Nachweis kann insbesondere mit einem Vermerk auf dem Briefumschlag erbracht werden, wonach die Postsendung vor Fristablauf in Anwesenheit von Zeugen in einen Briefkasten gelegt worden ist (vgl. zum Ganzen BGE 142 V 389 E. 2.2 mit zahlreichen Hinweisen).
2.2. Aus dem sich in den kantonalen Akten befindlichen Zustellungsnachweis ergibt sich, dass das angefochtene Urteil dem Beschwerdeführer am 8. Juni 2016 eröffnet wurde (act. 11 pag. 453). Die Frist nach Art. 100 Abs. 1 BGG begann damit am 9. Juni 2016 und lief bis und mit Freitag, 8. Juli 2016. Der sich auf der Beschwerde befindliche Poststempel datiert vom 10. Juli 2016 (act. 4). Entsprechend wird vermutet, dass die Beschwerde an diesem Tag und damit verspätet der Post übergeben worden ist. Der Beschwerdeführer bringt hiergegen zwar vor, er habe die Beschwerde am späten Abend des 8. Juli 2016 in den Aussenbriefkasten der Poststelle an der E._strasse xxx in U._ eingeworfen. Er benennt indessen keinerlei Beweismittel, welche diese Darstellung stützen würden. Damit gelingt es ihm nicht, die Vermutung zu widerlegen, wonach er die Beschwerde am 10. Juli 2016 der Post übergeben hat. Die Beschwerde ist folglich verspätet erhoben worden, weshalb nicht auf sie einzutreten ist.
3.
Dem Ausgang des Verfahrens entsprechend wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Entschädigungspflicht besteht keine, da keine Vernehmlassungen eingeholt worden sind (Art. 68 Abs. 1 BGG). Die Beschwerde hatte unter den gegebenen Umständen von Anfang an keine Aussicht auf Erfolg. Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentggeltiche Rechtspflege und Verbeiständung ist daher abzuweisen (Art. 64 Abs. 1 BGG). Mit dem Entscheid in der Hauptsache wird das Gesuch des Beschwerdeführers betreffend den Entzug der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde gegenstandslos.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege und Verbeiständung wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um Entzug der aufschiebenden Wirkung der Beschwerde wird als gegenstandslos abgeschrieben.
4.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Parteikosten werden keine zugesprochen.
6.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde Mittelland Nord und dem Obergericht des Kantons Bern, Kindes- und Erwachsenenschutzgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 30. März 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Sieber