Erwägungen:
1.
Das Kantonsgericht Luzern verurteilte den Beschwerdeführer im Berufungsverfahren am 1. September 2015 wegen Verletzung von Verkehrsregeln. Auf das dagegen eingereichte Revisionsgesuch trat die Vorinstanz am 27. Januar 2016 nicht ein.
Der Beschwerdeführer erstattete am 4. August 2015 Strafanzeige gegen den Beschwerdegegner 2 wegen Ehrverletzung. Die Anzeige betraf zwei Sachverhalte: Einerseits soll ihn der Beschwerdegegner 2 als Zeuge im Verfahren wegen Verletzung von Verkehrsregeln zu Unrecht belastet haben. Andererseits soll eine Email-Korrespondenz zwischen dem Beschwerdeführer und dem Beschwerdegegner 2 durch Letzteren in ehrverletzender Weise erfolgt sein. Die Staatsanwaltschaft Abteilung 1 Luzern stellte die Strafuntersuchung gegen den Beschwerdegegner 2 ein und verwies den Beschwerdeführer mit seiner Zivilforderung auf den Zivilweg. Eine dagegen eingereichte Beschwerde wies die Vorinstanz am 24. Mai 2016 ab, soweit sie darauf eintrat.
Der Beschwerdeführer wendet sich gegen die vorinstanzlichen Beschlüsse vom 27. Januar 2016 und 24. Mai 2016 mit Beschwerde an das Bundesgericht, ohne förmliche Anträge zu stellen.
2.
Mit der Beschwerde in Strafsachen kann auch die Verletzung von Verfassungsrecht gerügt werden (Art. 95 BGG). Die vom Beschwerdeführer zusätzlich erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist ausgeschlossen (Art. 113 BGG).
3.
Eine Beschwerde ans Bundesgericht ist innert 30 Tagen nach der Eröffnung des angefochtenen Entscheids einzureichen (Art. 100 Abs. 1 BGG). Der vorinstanzliche Beschluss vom 27. Januar 2016 wurde dem Beschwerdeführer am 15. Februar 2016 eröffnet. Die Beschwerdefrist lief bis zum 17. März 2016. Die dagegen eingereichte Beschwerde vom 5. Juli 2016 (Poststempel) ist verspätet. Darauf ist nicht einzutreten. Der Beschluss vom 24. Mai 2016 wurde dem Beschwerdeführer hingegen am 6. Juni 2016 zugestellt. Die Beschwerde vom 5. Juli 2016 erweist sich damit als rechtzeitig.
4.
Es kann offenbleiben, ob und inwieweit der Beschwerdeführer unter dem Gesichtswinkel von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG zur Beschwerde gegen den Beschluss vom 24. Mai 2016 legitimiert ist.
5.
In einer Beschwerde an das Bundesgericht ist unter Bezugnahme auf den angefochtenen Entscheid darzulegen, dass und inwiefern dieser nach Auffassung des Beschwerdeführers gegen das Recht verstösst (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht kann sich nur mit dem befassen, was Gegenstand des Beschluss vom 24. Mai 2016 war. Soweit die Ausführungen des Beschwerdeführers unverständlich sind, sich nicht konkret auf den genannten Beschluss beziehen oder den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG nicht genügen, kann auf die Eingabe nicht eingetreten werden. Dass die Vorinstanz den Sachverhalt willkürlich festgestellt haben könnte, ist gestützt auf die pauschalen Vorbringen des Beschwerdeführers nicht ansatzweise erkennbar.
Im Übrigen kann in Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG auf die Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden. Diese hat in Bezug auf den ersten Teil der Anzeige festgestellt, der Beschwerdeführer habe den Strafantrag nicht rechtzeitig gestellt. In Bezug auf den zweiten Teil der Anzeige hat sie ausgeführt, der Beschwerdeführer habe durch seine an den Beschwerdegegner 2 gerichteten unberechtigten Vorwürfe (Verleumdung, Irreführung der Rechtspflege) unmittelbar zu dessen Verhalten Anlass gegeben, wobei Provokation und Reaktion in einem angemessenen Verhältnis zueinander stünden. Es liege ein Strafbefreiungsgrund vor. Die Staatsanwaltschaft habe die Strafuntersuchung zu Recht eingestellt (Art. 319 Abs. 1 lit. d und e StPO). Der Beschwerdeführer bestreitet pauschal, dass provozierender Anlass und Reaktion in einem angemessenen Verhältnis zueinander stehen. Die Auffassung der Vorinstanz sei unverständlich und zeige exemplarisch die Verstösse gegen das Gleichbehandlungsprinzip. Mit diesen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die vorinstanzliche Beurteilung betreffend das Verhältnis Provokation/Reaktion ermessensfehlerhaft und der angefochtene Entscheid bundesrechtswidrig sein könnte. Worin die geltend gemachten Verstösse gegen das Gleichbehandlungsprinzip bestehen sollten, ist im Übrigen weder dargelegt noch ersichtlich. Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
6.
Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG). Dem Beschwerdegegner 2 ist keine Entschädigung auszurichten, weil er vor Bundesgericht keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde gegen den Beschluss vom 27. Januar 2016 wird nicht eingetreten.
Die Beschwerde gegen den Beschluss vom 24. Mai 2016 wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 1. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. September 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill