Sachverhalt:
A.
X._ und Y._ bezogen als Paar für sich und ihre Familie von der Gemeinde A._ vom 1. Februar 2009 bis am 1. März 2011 wirtschaftliche Sozialhilfe von insgesamt Fr. 41'476.10. Mit der Anmeldung zum Leistungsbezug vom 4. Februar 2009 und ihrer Unterschrift auf dem entsprechenden Merkblatt bestätigten beide Lebenspartner, dass ihre Angaben vollständig sind und der Wahrheit entsprechen. Dennoch verschwiegen sie, dass sie über Goldschmuck im Wert von mindestens Fr. 30'000.-- verfügten.
Das Bezirksgericht Willisau sprach X._ und Y._ am 25. Januar 2016 vom Vorwurf des Betrugs frei und trat auf die Forderung der Gemeinde A._, welche sich am Strafverfahren als Privatklägerin beteiligte, nicht ein.
Auf Berufung der Staatsanwaltschaft und Anschlussberufung der Gemeinde A._ sprach das Kantonsgericht Luzern X._ und Y._ am 22. Dezember 2016 des Betrugs nach Art. 146 Abs. 1 StGB schuldig. Es verurteilte X._ zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu je Fr. 50.-- und Y._ zu einer bedingten Geldstrafe von 120 Tagessätzen zu je Fr. 60.--. Die Gemeinde A._ verwies es mit ihrer Forderung auf den Verwaltungsweg. Es auferlegte X._ und Y._ die Kosten des Untersuchungs- sowie erst- und zweitinstanzlichen Gerichtsverfahrens, mit Ausnahme der Übersetzungskosten und - unter Vorbehalt von Art. 135 Abs. 4 lit. a StPO - der Kosten der amtlichen Verteidigungen. Zudem verpflichtete es sie, 3/4 der Parteikosten der Gemeinde A._ von Fr. 8'005.50, d.h. Fr. 6'004.10, je hälftig zu tragen.
B.
X._ beantragt mit Beschwerde in Strafsachen, das Urteil vom 22. Dezember 2016 sei aufzuheben und er sei vom Vorwurf des Betrugs freizusprechen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen. X._ ersucht um unentgeltliche Rechtspflege.
C.
Y._ beantragt in ihrer Beschwerde in Strafsachen, das Urteil vom 22. Dezember 2016 sei aufzuheben und die Forderung der Privatklägerin sei vollumfänglich abzuweisen, sofern darauf einzutreten sei. Sie stellt ebenfalls ein Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege.
Erwägungen:
1.
Das Bundesgericht vereinigt mehrere Verfahren, wenn sie in einem engen sachlichen Zusammenhang stehen, namentlich wenn sie sich gegen denselben Entscheid richten und wenn sie die gleichen Parteien sowie ähnliche oder gleiche Rechtsfragen betreffen (vgl. Art. 71 BGG i.V.m. Art. 24 Abs. 2 lit. b BZP; BGE 133 IV 215 E. 1 S. 217; 126 V 283 E. 1 S. 285; 113 Ia 390 E. 1 S. 394). Diese Voraussetzungen sind vorliegend erfüllt. Es rechtfertigt sich daher, die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden in einem einzigen Entscheid zu beurteilen.
2.
Die Beschwerde hat ein Rechtsbegehren zu enthalten (Art. 42 Abs. 1 BGG). Die beschwerdeführende Person darf sich grundsätzlich nicht darauf beschränken, die Aufhebung des angefochtenen Entscheids zu beantragen, sondern sie muss einen Antrag in der Sache stellen (vgl. BGE 137 II 313 E. 1.3 S. 317; 136 V 131 E. 1.2 S. 135; je mit Hinweisen). Da die Beschwerdebegründung zur Interpretation des Rechtsbegehrens beigezogen werden kann, genügt es nach der Rechtsprechung jedoch, wenn sich aus der Beschwerdebegründung zweifelsfrei ergibt, was mit der Beschwerde angestrebt wird (BGE 137 II 313 E. 1.3 S. 317; 136 V 131 E. 1.2 S. 136; Urteil 6B_1099/2016 vom 1. September 2017 E. 1).
Aus der Beschwerde der Beschwerdeführerin geht hervor, dass sie nicht nur keine Parteientschädigung an die Beschwerdegegnerin 2 bezahlen will, sondern auch einen Freispruch vom Vorwurf des Betrugs erreichen möchte. Das Rechtsbegehren der Beschwerdeführerin auf Aufhebung des angefochtenen Urteils ist in diesem Sinne zu interpretieren. Damit enthält auch deren Beschwerde zulässige Anträge im Sinne von Art. 42 Abs. 1 BGG.
3.
3.1. Die Beschwerdeführerin rügt in verfahrensrechtlicher Hinsicht, gegen sie werde wegen Irreführung der Rechtspflege und Betrugs ermittelt. Die Anklage fordere jedoch lediglich eine Bestrafung wegen Betrugs, ohne das Verfahren wegen Irreführung der Rechtspflege vorgängig einzustellen oder einen Freispruch zu beantragen. Dies sei mit dem Anklagegrundsatz, dem Grundsatz der Verfahrenseinheit und dem Kumulationsprinzip nicht vereinbar. Sie sei daher vom Vorwurf des Betrugs und der Irreführung der Rechtspflege freizusprechen. Die Staatsanwaltschaft könne nicht einerseits behaupten, sie (die Beschwerdeführerin) habe den Goldschmuck gar nie besessen (Irreführung der Rechtspflege), und ihr andererseits im Zusammenhang mit dem Betrug gegenüber dem Sozialamt vorwerfen, sie hätte diesen deklarieren müssen. Die Staatsanwaltschaft hätte eine Eventualanklage erheben müssen. Sie könne das Verfahren wegen Irreführung der Rechtspflege nicht einfach sistiert halten. Nach Verwerfung der Hauptanklage könne nicht neu Eventualanklage erhoben werden, da dies ein Verstoss gegen das Akkusationsprinzip bedeuten würde.
3.2. Die Beschwerdeführerin meldete der Polizei am 26. September 2013, sie sei in ihrer Wohnung überfallen worden und ihr sei Bargeld in der Höhe von Fr. 30'000.-- sowie Goldschmuck im Wert von Fr. 60'000.-- bis Fr. 70'000.-- gestohlen worden. Im Rahmen der Abklärungen zu diesem Raubüberfall eröffnete die Staatsanwaltschaft Sursee am 13. März 2014 von Amtes wegen ein Strafverfahren wegen Betrugs und evtl. Irreführung der Rechtspflege gegen die Beschwerdeführerin (angefochtenes Urteil S. 2). Die Staatsanwaltschaft erklärte vor der Vorinstanz, das Verfahren bezüglich Irreführung der Rechtspflege und Raubs sei ein anderes Verfahren und habe mit dem vorliegenden Verfahren nichts zu tun. Dieses sei gesamthaft sistiert worden, da bislang weder die unbekannte Täterschaft gefasst, noch der Beschwerdeführerin eine Irreführung der Rechtspflege habe vorgeworfen werden können (angefochtenes Urteil E. 3.1 S. 8).
3.3. Auch wenn sich die Beschwerdeführerin nicht explizit dazu äussert, ist gestützt auf ihre Ausführungen davon auszugehen, dass das gegenüber ihr wegen Irreführung der Rechtspflege hängige Verfahren den Verdacht betrifft, sie könnte den Raub des Goldschmucks nur vorgetäuscht haben. Da gegenüber der Beschwerdeführerin diesbezüglich kein hinreichender, eine Anklage rechtfertigender Tatverdacht bestand (vgl. Art. 324 Abs. 1 StPO), konnte die Staatsanwaltschaft dies nicht eventualiter zur Anklage bringen. Ebenso wenig war die Staatsanwaltschaft verpflichtet, bezüglich des Vorwurfs der Irreführung der Rechtspflege einen gerichtlichen Freispruch zu beantragen.
Ob die Staatsanwaltschaft das Verfahren gegen die Beschwerdeführerin wegen Irreführung der Rechtspflege sistieren durfte oder ob diesbezüglich - wie von der Beschwerdeführerin geltend gemacht - vielmehr eine Einstellung hätte ergehen müssen, ist nicht im vorliegenden Verfahren zu prüfen. Das Bundesgericht hat sich auch nicht dazu zu äussern, ob bzw. unter welchen Voraussetzungen nach Abschluss des vorliegenden Verfahrens wegen Betrugs zum Nachteil der Beschwerdegegnerin 2 gestützt auf neue Erkenntnisse überhaupt noch ein Schuldspruch gegen die Beschwerdeführerin wegen Irreführung der Rechtspflege ergehen kann. Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens bildet ausschliesslich das vorinstanzliche Urteil vom 22. Dezember 2016 (vgl. Art. 80 Abs. 1 BGG).
Die Rügen der Beschwerdeführerin sind unbegründet, soweit darauf eingetreten werden kann.
4.
4.1. Die Beschwerdeführerin macht weiter geltend, im Polizeirapport vom 10. Januar 2014 finde sich die Bemerkung "Zufallsfunde". Die Polizei habe am 4. Oktober 2013, spätestens jedoch am 20. November 2013, wegen unwahrer Angaben gegenüber den Sozialbehörden gegen sie ermittelt. Dies sei ihr jedoch nicht eröffnet worden. Sie sei zwar als Auskunftsperson bezeichnet worden. Dennoch sei ihr mitgeteilt worden, dass sie zur Aussage verpflichtet sei. Zudem sei ihr lediglich ein Rechtsbeistand im Zusammenhang mit ihrer Rolle als Opfer angeboten worden, dies obschon der Betrugsvorwurf eine notwendige Verteidigung erfordert hätte. Die Befragungsprotokolle vom 4. Oktober und 20. November 2013 dürften daher nicht gegen sie verwendet werden. Ebenso wenig die "Früchte, der zu Unrecht erlangten Zufallsfunde".
4.2. Die Rüge ist unbegründet, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit dem Inhalt der Protokolle vom 4. Oktober und 20. November 2013 nicht näher auseinander und zeigt nicht auf, welche Aussagen angeblich unverwertbar sein sollen bzw. inwiefern die Vorinstanz überhaupt auf die erwähnten Einvernahmeprotokolle abstellt. Den ihr vorgeworfenen Besitz des Goldschmucks bestreitet sie nicht. Sie führt in ihrer Beschwerde vor Bundesgericht vielmehr wörtlich aus, unbestritten sei, dass ihr Lebenspartner und sie während der gesamten Bezugszeit Goldschmuck im Wert von ca. Fr. 30'000.-- besassen. Den Goldschmuck habe sie bereits zum Zeitpunkt der Einreise besessen. Während des Aufenthalts im Asylzentrum habe sie diesen bei einer verwandten Familie in Genf gelassen und ihn anschliessend wieder zu sich genommen (Beschwerde Ziff. 14 S. 9). Dass die Beschwerdeführerin Goldschmuck besass, ergab sich zudem bereits aus ihrer Anzeige bei der Polizei vom 26. September 2013 wegen Raubes (vgl. oben E. 2.2.; angefochtenes Urteil S. 2). Insofern liegt offensichtlich kein Verwertungsverbot vor. Welche weiteren sie belastenden Aussagen vom 4. Oktober und 20. November 2013 nicht gegen sie hätten herangezogen werden dürfen, begründet die Beschwerdeführerin nicht. Offenbleiben kann damit, ob im Zeitpunkt der polizeilichen Befragungen überhaupt ein Fall von notwendiger Verteidigung im Sinne von Art. 130 StPO vorlag.
5.
5.1. Die Beschwerdeführer rügen eine willkürliche Beweiswürdigung und eine Verletzung des Grundsatzes "in dubio pro reo". Sie machen geltend, sie hätten den Goldschmuck nicht bewusst verschwiegen, um die Beschwerdegegnerin 2 zu täuschen. Sie hätten den Begriff "Vermögen" mangels ausreichender Deutschkenntnisse nicht verstanden und nicht gewusst, dass der Goldschmuck zu deklarieren war. Sie seien nicht ausreichend bzw. präzise genug über ihre Pflichten aufgeklärt worden, als dass sie verstanden hätten, dass auch Gold ein Vermögenswert darstelle. Sie seien von der Sozialhilfebehörde nicht nach Goldschmuck oder Schmuck im Allgemeinen gefragt worden. Die Vorinstanz erachte ihre schlechten Deutschkenntnisse zu Unrecht als nicht glaubhaft.
Die Beschwerdeführerin argumentiert zudem, sie sei sich bewusst gewesen, dass der Schmuck wertvoll war. Entsprechend habe sie ihn auch versichern lassen. In ihrem Kulturkreis (Roma) stelle Goldschmuck jedoch keinen eigentlichen Besitz dar, da er an die nächste Generation weitergegeben werde. Sie haben den Schmuck nicht als den ihren, sondern ihren drei Söhnen gehörend angesehen. Ihre Absicht sei es gewesen, zu sparen und Goldschmuck für ihre Söhne anzuhäufen, damit diese später heiraten können.
Der Beschwerdeführer moniert schliesslich, er habe bereits vor seinem Umzug nach A._ Anträge betreffend Sozialhilfe gestellt und jedes Mal die entsprechenden Fragen beantwortet. Offenbar habe er stets Sozialhilfe erhalten, ohne den Schmuck je angegeben zu haben. Er habe daher davon ausgehen dürfen, dass eine entsprechende Deklaration auch dieses Mal nicht notwendig sein würde.
5.2. Die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz kann vor Bundesgericht nur gerügt werden, wenn sie offensichtlich unrichtig bzw. willkürlich im Sinne von Art. 9 BV ist (Art. 97 Abs. 1 und Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 143 IV 241 E. 2.3.1 S. 244; 143 I 310 E. 2.2 S. 313; je mit Hinweis). Willkür im Sinne von Art. 9 BV liegt vor, wenn die vorinstanzliche Beweiswürdigung schlechterdings unhaltbar ist, d.h. wenn die Behörde in ihrem Entscheid von Tatsachen ausgeht, die mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch stehen oder auf einem offenkundigen Fehler beruhen. Dass eine andere Lösung ebenfalls möglich erscheint, genügt nicht (BGE 143 IV 241 E. 2.3.1 S. 244 mit Hinweisen). Die Rüge der Willkür muss in der Beschwerde explizit vorgebracht und substanziiert begründet werden (Art. 106 Abs. 2 BGG). Auf eine rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid, wie sie z.B. im Berufungsverfahren vor einer Instanz mit voller Kognition vorgebracht werden kann, tritt das Bundesgericht nicht ein (BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375, 317 E. 5.4 S. 324; je mit Hinweisen).
Ob der Grundsatz "in dubio pro reo" als Beweiswürdigungsregel verletzt ist, prüft das Bundesgericht ebenfalls nur unter dem Gesichtspunkt der Willkür (vgl. BGE 138 V 74 E. 7 S. 82; 127 I 38 E. 2a S. 41).
Was der Täter wusste, wollte und in Kauf nahm, betrifft sogenannte innere Tatsachen, welche das Bundesgericht nur auf Willkür überprüft (Art. 97 Abs. 1 BGG; BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375 mit Hinweisen).
5.3. Die Vorinstanz erwägt im Wesentlichen, der Goldschmuck stelle nach den Darlegungen der Beschwerdeführer ihr Erbe und ihren Nachlass an ihre Kinder dar. Es habe ihnen klar sein müssen, dass im Rahmen des Sozialhilfebezugs die Pflicht zur Offenlegung der finanziellen Verhältnisse und zur Mitteilung eines allfälligen Erbes bestand und ihr Goldschmuck auch darunter falle. Die Beschwerdeführer hätten sich bei Beginn des Sozialhilfebezugs in der Gemeinde A._ bereits zehn Jahren in der Schweiz aufgehalten. Vor ihrer Einreise in die Schweiz hätten sie sieben Jahre in Deutschland gelebt. Die geltend gemachten schlechten Deutschkenntnisse seien unter diesen Umständen ebenso wenig glaubhaft wie die Unkenntnis der Gepflogenheiten in dem Sinne, dass Goldschmuck kein Vermögenswert darstellen solle. Dass ihnen der - grosse - finanzielle Wert des Goldschmucks bekannt gewesen sei, zeige auch das beabsichtigte Vorgehen beim Hauskauf in Kroatien, als sie den Goldschmuck als Sicherheit hätten hinterlegen wollen. Diese Absicht lege offen, dass sie sich sehr wohl bewusst waren, dass dem Goldschmuck ein erheblicher wirtschaftlicher Wert innelag, den sie für die Verfolgung finanzieller Ziele einsetzen konnten. Ein weiterer Hinweis dafür, dass den Beschwerdeführern der grosse Wert des Goldschmucks klar gewesen sei, sei, dass die Beschwerdeführerin nicht einmal zwei Monate nach Beendigung des Sozialhilfebezugs ein Tresorfach für dessen sichere Aufbewahrung gemietet habe. Nicht nachvollziehbar sei weiter, dass die Beschwerdeführer im Goldschmuck keinen Vermögenswert gesehen haben wollen, nach dem angezeigten Raubüberfall vom 26. September 2013 aber nicht gezögert hätten, die Polizei einzuschalten und gegenüber der Hausratversicherung Schadenersatz geltend zu machen (angefochtenes Urteil E. 5.3 S. 18 f.).
Die Beschwerdeführer hätten den Goldschmuck als Vermögenswert betrachtet und ihn auch für wirtschaftliche Transaktionen eingesetzt. Sie hätten gewusst, dass dieser einen erheblichen Wert darstellte, welcher mit dem Besitz eines Hauses oder einer grossen Menge Geld gleichzustellen sei und somit auch bei der Anmeldung zum Sozialhilfebezug anzugeben gewesen wäre. Den Beschwerdeführern sei die Zuordnung ihres Goldschmucks als Vermögenswert bewusst gewesen (angefochtenes Urteil S. 19 f.).
5.4. Die Beschwerdeführer besassen eine grosse Menge Goldschmuck. Gemäss den unbestrittenen Ausführungen der Vorinstanz, welche hierfür auf die Angaben der Beschwerdeführerin abstellt, hatte der Goldschmuck ein Gewicht von ca. 2 kg. Die Beschwerdeführerin selber schätzte den Wert des Goldschmucks auf weit mehr als Fr. 30'000.-- bzw. Fr. 60'000.-- bis Fr. 70'000.-- (angefochtenes Urteil S. 19). Den Beschwerdeführern war gemäss den willkürfreien Erwägungen der Vorinstanz auch der wirtschaftliche Wert des Goldschmucks bekannt, da sie diesen beim beabsichtigten Hauskauf in Kroatien als Sicherheit hinterlegen wollten. Sie betrachteten den Goldschmuck als eigentliche Vermögensanlage und Erbe an ihre Söhne. Unbehelflich sind angesichts des langen Aufenthalts der Beschwerdeführer in Deutschland und in der Schweiz auch die von diesen vorgebrachten schlechten Deutschkenntnisse und die angebliche Unkenntnis der schweizerischen Gepflogenheiten. Gleiches gilt für das Vorbringen der Beschwerdeführerin, der Schmuck habe nicht ihr, sondern ihren Söhnen gehört, zumal die Beschwerdeführer auch für ihre Söhne Sozialhilfe bezogen. Die Beschwerdeführerin widerspricht sich zudem selber, wenn sie einerseits geltend macht, der Schmuck habe ihren Söhnen gehört, andererseits darin aber ihr Erbe an ihre Söhne sieht. Nicht willkürlich ist daher die vorinstanzliche Feststellung, die Beschwerdeführer seien sich bewusst gewesen, dass sie den gemäss eigenen Angaben sehr wertvollen Goldschmuck der Sozialhilfebehörde als Vermögenswert hätten deklarieren müssen, auch wenn sie von dieser nicht ausdrücklich nach Gold oder Schmuck gefragt wurden. Aufgrund des langen Aufenthalts der Beschwerdeführer in der Schweiz durfte die Vorinstanz ohne Willkür davon ausgehen, diese hätten den Begriff "Vermögen" dem Grundsatz nach verstanden und insbesondere gewusst, dass nur in den Genuss von Sozialhilfe kommen soll, wer nicht anderweitig für seinen Lebensunterhalt aufkommen kann. Daraus folgt nach den willkürfreien Erwägungen der Vorinstanz, dass sich die Beschwerdeführer über ihre Pflicht zur Offenlegung des Goldschmucks im Klaren waren.
Nichts zu seinen Gunsten kann der Beschwerdeführer daraus ableiten, dass er trotz des Goldschmucks bereits früher in anderen Gemeinden Sozialhilfe bezog. Da er den Goldschmuck auch damals nicht deklarierte, kann er sich nicht auf den Vertrauensgrundsatz berufen. Dass er in den früheren Verfahren konkret die behördliche Auskunft erhalten hätte, der Besitz von Goldschmuck im Wert von mehreren zehntausend Franken sei für die Beurteilung des Anspruchs auf Sozialhilfe irrelevant, behauptet der Beschwerdeführer nicht.
Die Kritik der Beschwerdeführer an der vorinstanzlichen Beweiswürdigung ist unbegründet.
6.
6.1. Die Beschwerdeführer kritisieren die rechtliche Qualifikation als Betrug nach Art. 146 Abs. 1 StGB. Ihr Verhalten sei nicht arglistig gewesen. Der Beschwerdeführer wirft der Beschwerdegegnerin 2 ein leichtfertiges Verhalten vor, da sie ihn nicht in einer für ihn verständlichen Weise auf seine Pflichten hingewiesen habe. Sie hätte seine mangelhaften sprachlichen Kenntnisse erkennen und einen Dolmetscher beiziehen müssen. Die Beschwerdeführerin argumentiert in diesem Zusammenhang, sie sei anlässlich des Erstgesprächs mit dem Sozialamt nicht anwesend gewesen. Sie habe einzig das Anmeldeformular und das Merkblatt unterschrieben, ohne wirklich zu wissen, was ihr Lebenspartner wollte. Das Sozialamt habe nie Rücksprache mit ihr genommen und dessen Mitarbeiter hätten sie nie gesehen. Damit habe dieses grundlegendste Vorsichtsmassnahmen ausser Acht gelassen. Gesuchsteller für die wirtschaftliche Sozialhilfe sei zudem einzig ihr Lebenspartner gewesen. Die Sozialhilfebeträge seien auf sein persönliches Bankkonto ausbezahlt worden. Da sie nicht Leistungsempfängerin der wirtschaftlichen Sozialhilfe gewesen sei, könne sie keinen Betrug zum Nachteil der Beschwerdegegnerin 2 begangen haben. Ein Betrug durch Unterlassen sei mangels Garantenpflicht nicht möglich.
6.2.
6.2.1. Gemäss Art. 146 Abs. 1 StGB macht sich des Betrugs schuldig, wer in der Absicht, sich oder einen andern unrechtmässig zu bereichern, jemanden durch Vorspiegelung oder Unterdrückung von Tatsachen arglistig irreführt oder ihn in einem Irrtum arglistig bestärkt und so den Irrenden zu einem Verhalten bestimmt, wodurch dieser sich selbst oder einen andern am Vermögen schädigt.
6.2.2. Angriffsmittel beim Betrug ist die Täuschung des Opfers. Als Täuschung gilt jedes Verhalten, das darauf gerichtet ist, bei einem andern eine von der Wirklichkeit abweichende Vorstellung hervorzurufen (BGE 140 IV 11 E. 2.3.2; 135 IV 76 E. 5.1 mit Hinweisen). Die Täuschung im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB kann durch konkludentes Handeln erfolgen (BGE 140 IV 11 E. 2.3.2 mit Hinweis). Eine Täuschung durch Unterlassen setzt eine qualifizierte Rechtspflicht des Täters zum Handeln im Sinne einer Garantenpflicht voraus (BGE 140 IV 206 E. 6.3.1.2, 11 E. 2.3.2). Wer als Bezüger von Sozialhilfe oder Sozialversicherungsleistungen falsche oder unvollständige Angaben zu seinen Einkommens- oder Vermögensverhältnissen macht, täuscht nach ständiger Rechtsprechung durch zumindest konkludentes Handeln aktiv (vgl. BGE 140 IV 206 E. 6.3.1.3 S. 209, 11 E. 2.4.6 in fine S. 18; 131 IV 83 E. 2.2 S. 89; 127 IV 163 E. 2b S. 166; Urteile 6B_791/2013 vom 3. März 2014 E. 3.1.1; 6B_542/2012 vom 10. Januar 2013 E. 1.3).
6.2.3. Die Täuschung muss zudem arglistig sein. Arglist ist nach ständiger Rechtsprechung gegeben, wenn der Täter ein ganzes Lügengebäude errichtet oder sich besonderer Machenschaften oder Kniffe bedient. Bei einfachen falschen Angaben ist das Merkmal erfüllt, wenn deren Überprüfung nicht oder nur mit besonderer Mühe möglich oder nicht zumutbar ist, sowie dann, wenn der Täter den Getäuschten von der möglichen Überprüfung abhält oder nach den Umständen voraussieht, dass dieser die Überprüfung der Angaben aufgrund eines besonderen Vertrauensverhältnisses unterlassen werde. Arglist scheidet aus, wenn der Getäuschte den Irrtum mit einem Mindestmass an Aufmerksamkeit hätte vermeiden können. Auch unter dem Gesichtspunkt der Opfermitverantwortung erfordert die Erfüllung des Tatbestands indes nicht, dass das Täuschungsopfer die grösstmögliche Sorgfalt walten lässt und alle erdenklichen Vorkehren trifft. Arglist ist lediglich zu verneinen, wenn es die grundlegendsten Vorsichtsmassnahmen nicht beachtet (zum Ganzen BGE 142 IV 153 E. 2.2; 135 IV 76 E. 5.2 mit Hinweisen).
Nach der im Bereich der Sozialhilfe ergangenen Rechtsprechung handelt eine Behörde leichtfertig, wenn sie eingereichte Belege nicht prüft oder es unterlässt, die um Sozialhilfe ersuchende Person aufzufordern, die für die Abklärung der Einkommens- und Vermögensverhältnisse relevanten Unterlagen einzureichen (Urteile 6B_1168/2016 vom 17. März 2017 E. 3.1; 6B_988/2015 vom 8. August 2016 E. 2.3, nicht publ. in: BGE 142 IV 378; 6B_125/2012 vom 28. Juni 2012 E. 5.3.3 mit Hinweisen).
6.3.
6.3.1. Nicht zu hören sind die Beschwerdeführer, soweit sie geltend machen, sie hätten die von ihnen unterzeichneten Unterlagen (Anmeldeformular und Merkblatt) nicht verstanden. Damit wenden sie sich erneut gegen die vorinstanzliche Beweiswürdigung, ohne jedoch Willkür darzutun.
6.3.2. Fehl geht der Einwand der Beschwerdeführerin, sie sei nicht Leistungsempfängerin der Sozialhilfe gewesen. Das "Gesuch/Anmeldeformular" unterscheidet zwar zwischen dem Beschwerdeführer als Gesuchsteller und der Beschwerdeführerin als Ehe- bzw. Lebenspartnerin. Auch die Beschwerdeführerin unterschrieb das Formular jedoch als "Partnerin", womit sie ausdrücklich bestätigte, dass die Angaben im Formular vollständig sind und der Wahrheit entsprechen. Das "Merkblatt für EmpfängerInnen von Wirtschaftlicher Sozialhilfe" hat sie als "Bezügerin" nebst dem Beschwerdeführer eigenhändig mitunterschrieben. Sie profitierte auch insofern von der Sozialhilfe, als diese für die ganze Familie ausgerichtet wurde. Die Beschwerdeführerin hat daher als Empfängerin der Sozialhilfe zu gelten. Es kann auf die zutreffenden Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden (angefochtenes Urteil E. 6.2.1 S. 21 f.). Indem die Beschwerdeführer mit der Unterschrift der erwähnten Unterlagen wahrheitswidrig angaben, sie würden nebst dem im Formular erwähnten Kontokorrentkonto über kein weiteres Vermögen verfügen, täuschten sie die Sozialhilfebehörde zumindest durch konkludentes Handeln aktiv (vgl. oben E. 6.2.2 und die dort zitierte Rechtsprechung). Von einem blossen Unterlassen kann keine Rede sein.
6.3.3. Das Verhalten der Beschwerdeführer war, wie die Vorinstanz zutreffend ausführt, arglistig. Die Beschwerdeführer wurden im Anmeldeformular und im Merkblatt gehörig über ihre Mitwirkungspflicht aufgeklärt (vgl. angefochtenes Urteil E. 6.2.1 S. 21). Angesichts dieser Pflicht zur vollständigen und wahrheitsgetreuen Auskunftserteilung kann Arglist grundsätzlich auch bei einfachen falschen Angaben gegeben sein (Urteil 6B_689/2010 vom 25. Oktober 2010 E. 4.3.5). Der Sozialhilfebehörde war es praktisch unmöglich oder jedenfalls unzumutbar, die falschen Angaben zu überprüfen. Leichtfertigkeit kann insbesondere auch nicht darin erblickt werden, dass diese die Beschwerdeführer nicht ausdrücklich nach (Gold-) Schmuck fragte. Mangels Anhaltspunkten dafür, dass die Beschwerdeführer eine grosse Menge Goldschmuck besitzen könnten, war sie dazu nicht verpflichtet (vgl. angefochtenes Urteil E. 6.2.1 S. 21).
Der Schuldspruch wegen Betrugs im Sinne von Art. 146 Abs. 1 StGB verstösst nicht gegen Bundesrecht.
7.
7.1. Die Beschwerdeführerin beanstandet schliesslich, die Kosten des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin 2 seien unnötig verursacht worden. Die Beschwerdegegnerin 2 habe zwar Berufung angemeldet, jedoch die Frist für die Berufungserklärung verpasst und nach der Berufung der Staatsanwaltschaft daher Anschlussberufung erklärt. Dabei habe sie die Rückzahlung der angeblich zu Unrecht bezogenen Sozialhilfe von Fr. 41'476.10 beantragt, obschon es sich dabei nicht um Zivilforderungen, sondern um eine verwaltungsrechtliche Forderung handle. Zudem habe sie im Rahmen der Berufungsverhandlung den Tatbestand des unrechtmässigen Bezugs von Leistungen der Sozialhilfe nach Art. 148a Abs. 1 StGB in den Raum geworfen, welcher nicht anwendbar sei, da erst seit dem 1. Oktober 2016 in Kraft. Die rechtsvertretene Privatklägerin habe diverse schwerwiegende prozessuale und materielle Fehler begangen, die das Verfahren unnötig verzögert hätten. Weiter sei es die Staatsanwaltschaft gewesen, die den Strafpunkt an der Verhandlung vor der Vorinstanz vertreten habe. Diesbezüglich hätte es genügt, wenn die Beschwerdegegnerin 2 die Arbeit den Strafbehörden überlassen hätte. Da die Beschwerdegegnerin 2 mit ihren übrigen Anträgen (Eventualantrag auf Schuldigsprechung im Sinne von Art. 148a Abs. 1 StGB und Rückerstattung der Fr. 41'476.10) unterlegen sei, habe sie ihre Anwaltskosten selbst zu tragen. Die Vorinstanz habe sich mit den effektiven Verteilungsgrundsätzen und dem Zustandekommen der Honorarnote in Verletzung von Bundesrecht nur ungenügend auseinandergesetzt.
7.2.
7.2.1. Anders als die Bestellung eines unentgeltlichen Rechtsbeistands für die Privatklägerschaft (vgl. Art. 136 Abs. 1 lit. b StPO; Urteile 6B_1184/2017 vom 3. November 2017 E. 6; 1B_310/2017 vom 26. Oktober 2017 E. 2.4.1; je mit Hinweisen) ist der Beizug eines Anwalts durch die Privatklägerschaft zur Wahrung ihrer Interessen auf privater Basis jederzeit zulässig (vgl. Art. 127 Abs. 1 StPO) und nicht an die Voraussetzung geknüpft, dass im Strafverfahren Zivilforderungen geltend gemacht werden. Die Privatklägerschaft hat gemäss Art. 433 Abs. 1 lit. a StPO allerdings nur Anspruch auf Entschädigung für die durch den Beizug eines Rechtsbeistands verursachten Auslagen, wenn ein solcher notwendig war. Art. 433 Abs. 1 lit. a StPO gilt auch im Rechtsmittelverfahren (vgl. Art. 436 Abs. 1 StPO).
7.2.2. Die Rechtsprechung und Lehre erachten den Beizug eines Rechtsbeistands durch die Privatklägerschaft u.a. in folgenden Konstellationen als notwendig im Sinne von Art. 433 Abs. 1 StPO: Wenn die Privatklägerschaft wesentlich zur Abklärung einer Strafsache und Verurteilung des Täters beigetragen hat; bei komplexen, nicht leicht überschaubaren Straffällen, an deren gründlicher Untersuchung und gerichtlicher Beurteilung der Kläger ein erhebliches Interesse hatte; oder wenn der Beizug eines Anwalts im Hinblick auf die sich stellenden, nicht einfachen rechtlichen Fragen gerechtfertigt erschien (Urteil 6B_226/2017 vom 10. Juli 2017 E. 4.3.1 f.; WEHRENBERG/FRANK, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, Bd. II, 2. Aufl. 2014, N. 19 zu Art. 433 StPO; STEPHANIE EYMANN, Die Parteientschädigung an die Privatklägerschaft im Strafprozess, forumpoenale 5/2013, S. 316).
Beim Entscheid darüber, ob der Privatklägerschaft eine angemessene Entschädigung für notwendige Aufwendungen zusteht, verfügt der Richter über ein weites Ermessen. Das Bundesgericht greift nur ein, wenn das Gericht sein Ermessen über- oder unterschritten oder missbraucht und damit Bundesrecht verletzt hat (Urteil 6B_226/2017 vom 10. Juli 2017 E. 4.3.3 mit Hinweisen).
7.2.3. Die Beschwerdegegnerin 2 zog ihren Rechtsbeistand erst zu, nachdem sie im Berufungsverfahren bereits Anschlussberufung erhoben hatte und infolgedessen zur zweitinstanzlichen Hauptverhandlung vorgeladen worden war. Als Anschlussberufungsklägerin wurde sie unter Hinweis auf Art. 407 Abs. 1 StPO aufgefordert, persönlich zu erscheinen oder sich vertreten zu lassen (vgl. Akten Vorinstanz, amtl. Belege 8 und 11). Der Eventualantrag der Beschwerdegegnerin 2 auf Schuldigsprechung im Sinne von Art. 148a StGB war aufgrund des Rückwirkungsverbots (Art. 2 Abs. 1 StGB) offensichtlich unbegründet und der Antrag auf Bezahlung von Fr. 41'476.10 offensichtlich unzulässig, da die Beschwerdegegnerin 2 die zu Unrecht bezogenen Sozialhilfebeträge auf dem Verwaltungsweg einfordern muss (vgl. angefochtenes Urteil E. 8 S. 27). Insoweit kann sie daher nicht als obsiegend im Sinne von Art. 433 Abs. 1 lit. a StPO gelten.
7.2.4. Ihren Standpunkt in Bezug auf den bereits von der Staatsanwaltschaft als Berufungsklägerin beantragten Schuldspruch wegen Betrugs hätte die Beschwerdegegnerin 2 unabhängig von einer Anschlussberufung geltend machen können, da sie sich als Privatklägerin im Strafpunkt am Berufungsverfahren beteiligen durfte (vgl. Art. 405 Abs. 1 i.V.m. Art. 331 StPO). Die Vorinstanz verpflichtete die Beschwerdegegnerin 2 nur deshalb, persönlich zur zweitinstanzlichen Hauptverhandlung zu erscheinen oder sich vertreten zu lassen, weil sie Anschlussberufung erhob (vgl. oben E. 7.2.3). Als blosse Partei (vgl. Art. 104 Abs. 1 lit. b StPO), die nicht selber Berufung bzw. Anschlussberufung erklärte, wäre ihr die Teilnahme an der Berufungsverhandlung freigestanden (Art. 405 Abs. 2 StPO e contrario; NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung [StPO], Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 11 zu Art. 405 StPO; LUZIUS EUGSTER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 4 zu Art. 405 StPO). Zumindest hätte sie sich von einer allfälligen Verpflichtung zur persönlichen Teilnahme (wovon die Vorinstanz nicht ausging) ohne Weiteres dispensieren lassen können, da ihre Anwesenheit bzw. die Anwesenheit des für sie handelnden Gemeindepräsidenten nichts zur Sachverhaltsermittlung beigetragen hätte und damit nicht erforderlich war (vgl. BGE 143 IV 288 E. 1.4.4). Sie hätte sich dem von der Staatsanwaltschaft beantragten Schuldspruch wegen Betrugs stattdessen schriftlich anschliessen und dies auch schriftlich begründen können (vgl. Art. 405 Abs. 1 i.V.m. Art. 338 Abs. 3 StPO; NIKLAUS SCHMID, Schweizerische Strafprozessordnung [StPO], Praxiskommentar, 2. Aufl. 2013, N. 11 zu Art. 405 StPO; LUZIUS EUGSTER, in: Basler Kommentar, Schweizerische Strafprozessordnung, 2. Aufl. 2014, N. 4 zu Art. 405 StPO).
Ob für die Beteiligung der Beschwerdegegnerin 2 am Berufungsverfahren der Beizug eines Rechtsanwalts notwendig war, könnte daher infrage gestellt werden. Ein finanzielles oder besonderes anderweitiges Interesse der Beschwerdegegnerin 2 an einer strafrechtlichen Verurteilung der Beschwerdeführer ist nicht ersichtlich, da eine Verpflichtung zur Rückerstattung der unrechtmässig bezogenen Sozialhilfe unabhängig von einer strafrechtlichen Verurteilung wegen Betrugs denkbar ist (vgl. § 39 des Sozialhilfegesetzes des Kantons Luzern vom 16. März 2015 [SHG/LU]). Dass die Beschwerdegegnerin 2 durch den Beizug ihres Rechtsbeistands wesentlich zum Ausgang der Strafsache beigetragen hätten, lässt sich ebenfalls nicht ohne Weiteres sagen. Zu berücksichtigen ist zudem, dass es sich bei der Beschwerdegegnerin 2 um eine auf dem Gebiet der Sozialhilfe grundsätzlich rechtskundige Behörde handelt. Dass es erstinstanzlich zu einem Freispruch der Beschwerdeführer kam, zeigt dennoch, dass sich nicht einfach zu beantwortende Fragen stellten, womit der Fall für die Beschwerdegegnerin 2 eine gewisse Bedeutung erlangt haben mag. Auch wenn sie sich mangels Zivilforderungen nicht als Zivilklägerin konstituieren konnte, durfte sie als Privatklägerin im Strafpunkt von ihrem Recht auf Teilnahme am mündlichen Berufungsverfahren Gebrauch machen und sich hierfür durch einen Rechtsanwalt vertreten lassen. Daran ändert nichts, dass Art. 136 Abs. 1 StPO für die unentgeltliche Rechtsverbeiständung der Privatklägerschaft davon ausgeht, der Strafanspruch stehe grundsätzlich dem durch die Staatsanwaltschaft vertretenen Staat zu; die unentgeltliche Rechtsverbeiständung für die sich am Strafverfahren ausschliesslich als Strafklägerin beteiligende Privatklägerschaft ist nach Art. 136 Abs. 1 StPO daher ausgeschlossen (vgl. etwa Urteile 1B_310/2017 vom 26. Oktober 2017 E. 2.4.1; 1B_441/2015 vom 15. Februar 2016 E. 2.3.1; 6B_458/2015 vom 16. Dezember 2015 E. 4; BBl 2006 1181 Ziff. 2.3.4.3). Insgesamt lag es im weiten Ermessen der Vorinstanz, der Beschwerdegegnerin 2 gestützt auf Art. 436 Abs. 1 i.V.m. Art. 433 Abs. 1 lit. a StPO eine Entschädigung für die Auslagen im Zusammenhang mit dem Beizug des Rechtsbeistands im Berufungsverfahren zuzusprechen.
7.3. Die Kostenverteilung von 3/4 ist ebenfalls nicht zu beanstanden. Die Vorinstanz geht für die Festsetzung der Parteientschädigung von einem Stundenansatz von Fr. 230.-- (zzgl. MWST) und von einem angemessenen Zeitaufwand von 22.875 Stunden aus (3/4 des geltend gemachten Aufwands von 30.5 Stunden). Aus den Akten geht hervor, dass sich der Parteivortrag des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin 2 auf die Frage der Beweiswürdigung konzentrierte. Insoweit obsiegte die Beschwerdegegnerin 2. Der Rechtsvertreter musste sich im Berufungsverfahren zudem neu in die Akten einlesen. Die Entschädigung von insgesamt rund Fr. 6'000.-- (inklusive MWST und Auslagen) erweist sich daher nicht als offensichtlich unangemessen. Die Beschwerdeführerin behauptet nicht, eine vertieftere Auseinandersetzung mit der Honorarnote des Rechtsvertreters der Beschwerdegegnerin 2 hätte zu einer Kürzung der Parteientschädigung führen müssen. Sie kann der Vorinstanz folglich nicht vorwerfen, der angefochtene Entscheid sei ungenügend begründet. Ihre Beschwerde ist auch in diesem Punkt unbegründet.
8.
Die Beschwerden sind abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Die Gerichtskosten sind den Beschwerdeführern aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Deren Gesuche um unentgeltliche Rechtspflege sind in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage der Beschwerdeführer ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Der Beschwerdegegnerin 2 ist für das bundesgerichtliche Verfahren bereits deshalb keine Entschädigung zuzusprechen, weil sei nicht zur Stellungnahme aufgefordert wurde und daher keine Umtriebe hatte.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 6B_741/2017 und 6B_742/2017 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerden werden abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Gesuche der Beschwerdeführer um unentgeltliche Rechtspflege werden abgewiesen.
4.
Den Beschwerdeführern werden je Gerichtskosten von Fr. 1'200.-- auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Dezember 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Unseld