Faits :
A.
A.a. A._ a été affilié à l'Institution de prévoyance B._ en qualité de salarié de l'entreprise C._ Sàrl à partir du 1 er janvier 2005. Il a quitté cette institution le 30 novembre 2007, ayant mis un terme à son activité salariée pour exercer la profession d'avocat indépendant. Le 28 mars 2008, il a déposé une demande à la Caisse paritaire de pension de la Fédération Suisse des Avocats (actuellement: Caisse de pension Fédération Suisse des Avocats, CPFSA; ci-après: la caisse) en vue d'assurer sa prévoyance professionnelle et celle de son personnel. Par lettre du 18 avril 2008, la caisse l'a admis comme assuré avec effet au 1 er avril 2008.
Le 6 août 2008, A._ a fait savoir à la caisse qu'il se trouvait en incapacité de travail depuis avril 2008. A cette occasion, il a produit des certificats d'arrêts de travail du docteur D._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, qui attestait d'une incapacité de travail de 50 % du 22 avril au 31 mai 2008. Cet arrêt de travail de 50 % a été prolongé jusqu'au 30 juin 2008, puis porté à 80 % jusqu'au 31 août 2008 (certificats des 23 avril, 6 juin et 4 juillet 2008).
Le 1 er juin 2009, le docteur E._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, a établi un rapport sur la base des éléments du dossier. Il a constaté que ceux-ci étaient insuffisants pour établir un diagnostic précis et a examiné quelques diagnostics pouvant entrer en ligne de compte. A propos du début de la maladie, il a considéré qu'elle avait été diagnostiquée pour la première fois le 22 avril 2008 mais qu'elle existait très vraisemblablement déjà auparavant. En ce qui concerne le début de l'incapacité de travail, il a estimé qu'il n'était pas complètement exclu, mais très extraordinaire (vraisemblance de moins de 1 %), que l'assuré ait pu passer d'une pleine capacité de travail à une maladie chronique ayant des incidences significatives sur la capacité de travail en l'espace de 14 jours. Il en a déduit que l'incapacité de travail existait déjà lors de l'affiliation.
A.b. Par demande, datée du 20 août 2008 et adressée à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI), A._ a requis l'octroi de prestations de l'assurance-invalidité.
Le docteur D._, psychiatre traitant, a diagnostiqué un trouble délirant et hallucinatoire persistant avec épuisement nerveux (F22.8 selon CIM-10) depuis avril 2008 (rapport du 10 septembre 2008), entraînant une incapacité totale d'exercer la profession d'avocat. Le docteur F._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie, et le docteur G._, spécialiste en médecine interne, ont examiné l'assuré à la demande de l'office AI. Dans leur rapport du 23 juin 2009, ils ont diagnostiqué des autres troubles psychotiques non organiques (F28 selon CIM-10) et se sont référés à l'arrêt de travail du docteur D._ pour fixer le début de l'incapacité au 22 avril 2008.
Par décision du 7 février 2011, l'office AI a octroyé à A._ une rente entière d'invalidité à partir du 1 er avril 2009, qui a été maintenue lors d'une procédure de révision (communication du 10 février 2012). Il a considéré notamment que depuis le 22 avril 2008, la capacité de travail de l'assuré était "considérablement" restreinte.
B.
Par mémoire daté du 6 mai 2011, A._ a ouvert action contre la caisse devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Il a conclu, principalement, à ce que son droit aux prestations d'invalidité de la part de la caisse fût reconnu avec effet rétroactif au 1er avril 2009 et que cette dernière fût tenue de calculer les prestations dues sur la base d'un salaire annuel de 118'422 francs. Subsidiairement, il a demandé que les prestations fussent calculées en fonction d'un salaire annuel de 80'000 francs. Plus subsidiairement, il a requis que la caisse fût tenue de lui verser les prestations minimales LPP à compter du 1er avril 2009, à charge pour elle de les calculer.
La juridiction cantonale a demandé une expertise au docteur H._, spécialiste en psychiatrie et psychothérapie. Dans un rapport du 4 juin 2014, l'expert a diagnostiqué un trouble schizotypique (F21 selon CIM 10). Il a admis qu'il était hautement vraisemblable (> 75 %) que l'assuré souffrait de troubles psychiques depuis les débuts de l'âge adulte, même si ceux-ci n'avaient pas été d'emblée incapacitants. De plus, il a considéré que l'assuré avait pu, de bonne foi, ne pas se rendre compte de ses troubles psychiques avant la consultation chez le docteur D._.
Par jugement du 2 juillet 2015, la juridiction cantonale a admis partiellement la demande en ce sens qu'elle a octroyé une rente entière d'invalidité limitée aux prestations minimales LPP.
C.
La caisse interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement. A titre principal, elle en demande la réforme en ce sens que toutes les conclusions de A._ soient rejetées. A titre subsidiaire, elle demande l'annulation du jugement et le renvoi de la cause à la juridiction cantonale pour complément d'instruction.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public peut être formé pour violation du droit, tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments du recourant ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). Le recourant qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération (cf. art. 97 al. 2 LTF).
2.
Le litige porte sur le point de savoir si la caisse recourante est tenue de prendre en charge le cas de l'intimé, singulièrement s'il existe un droit à une prestation d'invalidité de la prévoyance professionnelle fondée sur une incapacité de travail survenue durant la période d'assurance.
En instance cantonale, les premiers juges ont reconnu à l'intimé un droit aux prestations minimales LPP. En l'absence de recours de sa part, la question de son droit à des prestations plus étendues n'est plus litigieuse en procédure fédérale.
3.
3.1. La juridiction cantonale a constaté qu'aucune incapacité de travail de 20 % au moins due au trouble schizotypique n'était établie avant le 22 avril 2008 et qu'à cette date, l'intimé était assuré auprès de la recourante. Ceci induisait pour elle l'obligation de prester.
3.2. La recourante conteste être liée par la décision de l'AI. Elle estime qu'une incapacité de travail de 20 % existait déjà au début du délai d'attente d'un an fixé par l'assurance-invalidité et qu'en conséquence l'intimé n'était pas assuré par elle à cette époque.
4.
4.1. La jurisprudence a précisé que, si une institution de prévoyance reprend, explicitement - comme dans le présent cas (art. 21 al. 1 du Règlement de prévoyance en vigueur depuis le 1 er janvier 2008 et applicable en l'espèce) - ou par renvoi, la définition de l'invalidité de l'AI, elle est en principe liée lors de la survenance du fait assuré, par l'estimation de l'invalidité par les organes de l'assurance-invalidité, sauf si cette évaluation apparaît d'emblée insoutenable (ATF 138 V 409 consid. 3.1 p. 414, 126 V 308 consid. 1 p. 311 in fine; arrêt 9C_442/2015 du 13 octobre 2015 consid. 4.1 et les références). Cette force contraignante vaut aussi en ce qui concerne la naissance du droit à la rente et, par conséquent, également pour la détermination du moment à partir duquel la capacité de travail de l'assuré s'est détériorée de manière sensible et durable (ATF 129 V 150 consid. 2.5 p. 156, 123 V 269 consid. 2a p. 271 et les références citées), dans la mesure où l'office AI a dûment notifié sa décision de rente aux institutions de prévoyance entrant en considération (ATF 129 V 73 consid. 4.2 p. 75). Le Tribunal fédéral (arrêt B 45/03 du 13 juillet 2004 consid. 2.3.2 non publié dans l'ATF 130 V 501) a encore précisé que la force contraignante de la décision de l'AI pour l'institution de prévoyance vaut en ce qui concerne les constatations et appréciations des organes de l'assurance-invalidité qui étaient déterminantes dans la procédure de l'assurance-invalidité pour établir le droit à une rente d'invalidité et qui devaient effectivement faire l'objet d'une détermination; dans le cas contraire, les organes de la prévoyance professionnelle sont tenus d'examiner librement les conditions du droit aux prestations (cf. arrêt B 50/99 du 14 août 2000 consid. 2b).
Le fait que l'assurance-invalidité a fixé le début du droit à la rente n'exclut donc pas que l'incapacité de travail sur laquelle est fondé le droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle soit survenue (dans une mesure plus restreinte) plus d'une année auparavant (arrêt B 47/98 du 11 juillet 2000, in RSAS 2003 p. 45). Lorsque l'annonce pour obtenir des prestations de l'assurance-invalidité a été faite tardivement, il n'y a aucune raison, du point de vue de l'assurance-invalidité, d'examiner l'évolution de la capacité de travail au-delà de la période de douze mois précédant le dépôt de la demande prévue par l'ancien art. 48 al. 2 LAI dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2007 (arrêts 9C_414/2007 du 25 juillet 2008 et I 204/04 du 16 septembre 2004; HÜRZELER, in Commentaire LPP et LFLP, 2010, no 13 ad art. 23 LPP). Ainsi, pour ce qui est de la période antérieure, les constatations et autres appréciations des organes de l'assurance-invalidité n'ont a priori aucune force contraignante pour les organes de la prévoyance professionnelle (arrêt 9C_736/2013 du 7 avril 2014 consid. 3.2).
4.2. En l'espèce et conformément à la jurisprudence rappelée ci-avant, il y a lieu d'admettre que la recourante n'était pas liée par la décision de l'office AI fixant le départ de l'incapacité de travail au 22 avril 2008, puisqu'elle prétendait qu'une telle incapacité existait déjà avant cette date mais dans une mesure plus restreinte.
5.
5.1. La détermination du moment de la survenance de l'incapacité de travail, dont la cause est à l'origine de l'invalidité au sens de l'art. 23 al. 1 LPP, est une question de fait. En revanche, le point de vue sur la base duquel intervient la décision relative au moment de la survenance de l'incapacité de travail déterminante - à savoir de 20 % au moins - relève du droit (arrêts 9C_297/2010 du 23 septembre 2010 consid. 2.1 et 2.3, in SVR 2011 BVG n°14 p. 51, et 9C_127/2008 du 11 août 2008 consid. 2.2, in SVR 2008 BVG n° 34 p. 143). Cette question est donc examinée librement par le Tribunal fédéral.
5.2. En l'espèce, sur le plan médical, l'intimé a été examiné, le 19 février 2008, par le docteur I._, spécialiste en médecine interne et médecin traitant, à la demande de l'assurance-maladie ÖKK en vue d'un changement de la couverture dans l'assurance-maladie. Dans son rapport, ce médecin a mentionné qu'il n'avait constaté aucune pathologie depuis 2003, que le patient était guéri depuis mars 2003 et qu'aucune rechute n'était à prévoir.
La première incapacité de travail de plus de 20 %, figurant au dossier, a été attestée par le docteur D._ à partir du 22 avril 2008 (certificat du 23 avril 2008), rapport du 10 septembre 2008). Par la suite, les experts mandatés par l'AI, les docteurs F._ et J._, ont repris les constatations du docteur D._ sur cette question sans les discuter (rapport du 23 juin 2009). Dans son rapport du 1er juin 2009, le docteur E._ a considéré que la maladie dont souffre l'intimé avait été diagnostiquée le 22 avril 2008 mais qu'elle existait très vraisemblablement auparavant. Répondant à la question de savoir à partir de quand l'affection avait été symptomatique, ce médecin a estimé qu'un développement aussi rapide de la maladie - passage en approximativement 14 jours d'une pleine santé à une maladie chronique ayant des répercussions importantes sur la capacité de travail - n'était pas complètement exclu mais très exceptionnel (vraisemblance inférieure à 1 %). Dans son expertise judiciaire (rapport du 4 juin 2014), le docteur H._ a précisé qu'il était hautement vraisemblable que l'assuré souffrait de troubles psychiques depuis le début de l'âge adulte même si ceux-ci n'avaient pas été d'emblée incapacitants. Selon l'expert, l'assuré a été plus gravement symptomatique de temps à autre, sachant que ce type de trouble "évolue de façon chronique avec une intensité fluctuante". L'expert en a déduit que le trouble schizotypique n'était pas apparu soudainement en 2008 mais qu'il avait pu rester relativement discret pendant des années. S'agissant de l'incapacité de travail liée à cette pathologie, l'expert a retenu qu'il n'était pas exclu qu'elle ait été diminuée depuis plusieurs mois sans que l'assuré "ait dû ou voulu le faire attester médicalement au vu de sa situation d'indépendant".
Sur le plan économique, l'intimé a réalisé en 2007 un revenu pour son activité salariée de 44'640 fr. (selon déclaration d'impôts 2007) auquel s'ajoutent des honoraires encaissés de 70'779 fr. 95 (selon comptabilité du 1er janvier au 31 décembre 2007), soit un revenu brut de 115'419 francs. Ce montant est approximativement égal aux revenus obtenus pour les années 2005 et 2006. Ces données comptables et fiscales ne permettent pas d'établir une diminution de revenu en 2007 dont ou pourrait déduire une baisse de la capacité de travail d'au moins 20 % sur les périodes concernées comme le prétend en vain la recourante.
6.
En l'espèce, de nombreux éléments du dossier peuvent donner à penser que l'intimé a cherché à s'affilier à la caisse de pension recourante, alors qu'il se savait déjà atteint dans sa santé psychique. Il a ainsi rempli une demande d'offre à la fin du mois de mars 2008 (alors qu'il avait quitté l'institution de prévoyance précédente le novembre 2007), n'a pas mentionné avoir été assujetti précédemment à une institution de prévoyance, ni avoir fait l'objet d'une réserve pour raisons de santé (jugement entrepris, p. 52) puis, une fois son acceptation obtenue de la caisse de pension, a consulté le docteur D._ qui a attesté une incapacité de travail de 50 % depuis le 22 avril 2008.
Ce nonobstant, l'appréciation de la juridiction cantonale selon laquelle une incapacité de travail (de 20 % au moins) antérieure au 22 avril 2008 n'est pas démontrée selon la vraisemblance prépondérante, n'est pas arbitraire au regard des conclusions du docteur H._. Interrogé précisément sur le point de savoir si une diminution de l'incapacité de travail existait déjà le 10 avril 2008, l'expert psychiatre n'a pas répondu par l'affirmative: il a indiqué qu'il était difficile de répondre à cette question et qu'il n'était pas exclu que la capacité de travail eût été diminuée auparavant, sans que l'intéressé eût voulu la faire attester médicalement. Cette indication n'est pas suffisante pour conclure à une incapacité de travail de 20 % au moins avant la date attestée. Quant au rapport du docteur E._ invoqué par la recourante, il n'est pas déterminant sur ce point: le médecin conclut à l'existence d'une atteinte à la santé avant avril 2008, sans se prononcer clairement sur l'incapacité de travail.
En conclusion, la recourante n'a pas rendu suffisamment vraisemblable, au degré où la jurisprudence l'exige, l'existence d'une incapacité de travail d'au moins 20 % antérieure au début de l'assurance, résultant d'un trouble schizotypique.
7.
La recourante se prévaut encore d'une violation du principe inquisitoire, en soutenant que le manque de précision de l'expertise du docteur H._ devait amener la juridiction cantonale à demander un complément d'expertise.
Ce grief est sans fondement. En effet, la seule question qui aurait encore pu être soumise à un expert concernait l'existence d'une incapacité de travail au moment de la conclusion de l'assurance. Or cette question a été abordée par l'expert H._ qui n'a pas pu y répondre de façon catégorique au vu du type de pathologie dont souffrait l'intimé. On ne voit pas ce qu'un nouvel expert aurait pu faire comme autre constatation. La juridiction cantonale pouvait donc par appréciation anticipée des preuves renoncer à un tel complément.
8.
La recourante soutient que la juridiction cantonale ne pouvait pas lui renvoyer le dossier, car la procédure en matière de prévoyance professionnelle est une action sur laquelle la juridiction cantonale doit statuer elle-même.
Le Tribunal fédéral des assurances a jugé qu'un renvoi à l'institution de prévoyance était admissible si la juridiction cantonale s'était limitée à reconnaître le droit de l'assuré à des prestations et que la question du montant des prestations n'avait pas fait l'objet de la demande (ATF 129 V 450 consid. 4 p. 454).
En l'espèce, dans ses conclusions plus subsidiaires, A._ n'a pas pris de conclusions chiffrées quant à son droit aux prestations minimales LPP, puisqu'il a conclu "à charge pour elle (la recourante) de les calculer". Le renvoi de la cause à la recourante est donc conforme au droit fédéral.
Le recours doit dès lors être rejeté.
9.
La recourante, qui succombe, supportera les frais de justice (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge de la recourante.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 11 février 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Berthoud