Faits :
A.
A.a. A._ a travaillé pour la société B._ AG à partir du 1 er janvier 2000. L'entreprise est affiliée pour la prévoyance professionnelle auprès de l'institution AXA Fondation LPP Suisse romande, Winterthur (anciennement: Winterthur-Columna fondation LPP, Lausanne; ci-après: AXA Winterthur). L'intéressé a été licencié avec effet au 31 mars 2002 pour des motifs de réorganisation. De juin 2002 à janvier 2005, il était inscrit à l'assurance-chômage française. Il a dans ce cadre accompli une formation de masseur au terme de laquelle il a obtenu un diplôme.
A.b. Alléguant souffrir d'une "atteinte de trouble de l'humeur bipolaire" depuis octobre 2004, A._ s'est annoncé à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'office AI) le 24 août 2005. Il a été mis au bénéfice d'une rente entière d'invalidité du 1 er octobre 2005 au 30 avril 2006 puis d'un trois quarts de rente dès le 1 er mai 2006 (décision du 23 octobre 2008). Au terme d'une procédure de révision, l'office AI lui a reconnu le droit à une rente entière d'invalidité à partir du 1 er juillet 2011 (décision du 18 septembre 2013).
A.c. Aux termes d'un échange de courriers, AXA Winterthur a nié le droit de A._ à une rente d'invalidité de la prévoyance professionnelle, notamment par écritures des 8 avril et 21 août 2013, au motif que les pièces au dossier n'attestaient pas d'une incapacité de travail survenue en 2002.
B.
A._ a ouvert action contre AXA Winterthur devant le Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, le 9 avril 2014. Il a conclu à la mise en oeuvre d'une expertise psychiatrique et à la nomination, à titre d'expert, du docteur C._, Centre D._, Département de psychiatrie légale de l'Hôpital E._, ainsi qu'à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité de la part d'AXA Winterthur avec effet rétroactif au 1 er octobre 2005. Par jugement du 13 août 2015, la juridiction cantonale l'a débouté.
C.
L'intéressé interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation. Il conclut à la reconnaissance de son droit à une rente entière d'invalidité de la part d'AXA Winterthur avec effet rétroactif au 1 er octobre 2005 ou au renvoi de la cause à l'instance inférieure afin qu'elle statue dans le sens des considérants.
Considérant en droit :
1.
Le recours en matière de droit public (au sens des art. 82 ss LTF) peut être formé pour violation du droit (circonscrit par les art. 95 et 96 LTF). Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF), sans être limité par les arguments de la partie recourante ou par la motivation de l'autorité précédente. Le Tribunal fédéral n'examine en principe que les griefs invoqués, compte tenu de l'exigence de motivation prévue à l'art. 42 al. 2 LTF, et ne peut aller au-delà des conclusions des parties (art. 107 al. 1 LTF). Il fonde son raisonnement sur les faits retenus par la juridiction de première instance (art. 105 al. 1 LTF) sauf s'ils ont été établis de façon manifestement inexacte ou en violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). La partie recourante qui entend s'écarter des faits constatés doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions de l'art. 105 al. 2 LTF sont réalisées sinon un état de fait divergent ne peut être pris en considération.
2.
2.1. Est litigieux en l'espèce le droit du recourant à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle de la part de l'intimée. Cette prétention dépend tout d'abord du point de savoir si l'incapacité de travail dont la cause est à l'origine de l'invalidité était déjà survenue avant la fin des rapports de prévoyance, le 30 avril 2002 (compte tenu de la période d'assurance prolongé d'un mois prévue par l'art. 10 al. 3 LPP). Si tel est le cas, il s'agira ensuite de déterminer s'il existe une connexité matérielle et temporelle entre l'incapacité de travail attestée médicalement et l'invalidité.
2.2. Le jugement entrepris expose correctement les dispositions légales et les principes jurisprudentiels relatifs au droit à des prestations d'invalidité de la prévoyance professionnelle ainsi qu'à la notion de survenance de l'incapacité de travail, en relation avec la double condition de la connexité matérielle et temporelle nécessaire pour fonder l'obligation de prester d'une institution de prévoyance. Il suffit donc d'y renvoyer.
3.
Le recourant se plaint d'une appréciation arbitraire des preuves menant à une violation de son droit d'être entendu. Il reproche aux premiers juges d'avoir refusé de mettre en oeuvre une expertise ainsi que d'entendre deux témoins, soit le médecin et le psychologue qui le suivaient à l'époque; ils auraient, selon lui, également dû prendre des renseignements auprès de l'ancien employeur. Tel qu'invoqué, le grief de violation du droit d'être entendu n'a en l'occurrence pas de portée propre par rapport à celui tiré de l'arbitraire dans l'appréciation des preuves (cf. arrêt 9C_274/2015 du 4 janvier 2016 consid. 4.2.2; voir aussi ULRICH MEYER, Tatfrage - Rechtsfrage, in: Grenzfälle in der Sozialversicherung, 2015, p. 102), de sorte qu'il sera examiné avec le fond. Du point de vue matériel, le recourant reproche à la juridiction cantonale d'avoir apprécié les faits de manière arbitraire en niant que l'incapacité de travail ayant conduit à l'invalidité était survenue durant la période où il était assuré auprès de l'intimée. Il fait également grief aux premiers juges d'avoir considéré que même dans l'hypothèse où une incapacité de travail existait - ce qui aurait supposé la réalisation de la condition de la connexité matérielle -, elle n'aurait été que de courte durée, interrompant ainsi la connexité temporelle.
4.
4.1. C'est à bon droit et de manière convaincante que la juridiction cantonale a nié une incapacité de travail survenue durant la période de couverture auprès d'AXA Winterthur, soit entre le 1 er janvier 2000 et le 30 avril 2002. Le recourant n'a en effet, à aucun moment durant la période déterminante, cessé de travailler ni transmis à son employeur le certificat médical de la doctoresse F._ du 25 février 2002 attestant son incapacité totale de travail, ce qu'il ne conteste d'ailleurs pas. Dans le cadre de la procédure d'instruction de l'office AI, l'employeur avait par ailleurs déclaré que l'intéressé avait été licencié pour des motifs de réorganisation. Si le trouble bipolaire dont il souffrait se caractérisait par une alternance de phases d'abattement et d'excitations, et que ces dernières étaient susceptibles de causer des difficultés dans ses relations interpersonnelles (par exemple irritabilité inacceptable devant l'autorité de ses supérieurs), l'employeur n'en avait pas fait état. En outre, aucun avis médical attestant une incapacité de travail entre le 1 er janvier 2000 et le 31 mars 2002 (période d'affiliation à AXA Winterthur) n'est venu confirmer celui de la doctoresse F._ du 25 février 2002. Se limitant à reprendre en substance une partie de l'argumentation déjà développée devant le tribunal cantonal à propos de la particularité des conséquences du trouble bipolaire sur la capacité de travail (en se référant notamment à un courrier de la doctoresse F._ à l'intimé du 12 novembre 2009), le recourant se contente de faire part de sa propre appréciation, sans remettre en cause les considérations des premiers juges. Il ne parvient dès lors pas à démontrer en quoi l'appréciation à laquelle ces derniers ont procédé serait entachée d'arbitraire.
4.2. La question de savoir si un déni propre au trouble bipolaire empêchait le recourant d'admettre son incapacité de travail, auquel cas la connexité matérielle aurait vraisemblablement été réalisée, n'a pas été examinée par la juridiction cantonale, dans la mesure où elle a considéré qu'il y avait de toute façon lieu de nier l'existence de la connexité temporelle. En effet, le recourant ne peut être suivi lorsqu'il allègue que la présomption d'aptitude au travail entre 2002 et 2005 était "réfragable". Selon lui, le but de son inscription au chômage, à partir de juin 2002, était de percevoir des indemnités correspondantes, ce qui ne signifiait pas qu'il était apte à travailler. Or il convient de relever que conformément à ce qu'ont retenu les premiers juges, le recourant suivait une formation de masseur dans le cadre de son affiliation à l'assurance-chômage, qu'il a menée à terme par l'obtention d'un diplôme en 2005. Il ne bénéficiait donc pas seulement d'indemnités, contrairement à ce qu'il allègue, mais suivait également une formation professionnelle, ce qui laisse raisonnablement supposer qu'il était apte à être placé sur le marché du travail. C'est donc sans arbitraire qu'il pouvait être admis que même dans l'hypothèse où il existait une incapacité de travail en date du 25 février 2002 (rapport de la doctoresse F._), elle n'avait été que de courte durée, soit jusqu'au mois de juin 2002, ce qui interrompt dès lors la connexité temporelle entre cette incapacité et l'invalidité constatée dès le mois d'octobre 2004 par l'office AI.
4.3. L'argumentation du recourant relative au grief tiré d'une violation des art. 9 et 29 al. 2 Cst, ainsi que de la violation du principe inquisitoire est insuffisante pour démontrer que l'appréciation (anticipée) des preuves à laquelle a procédé le tribunal cantonal serait insoutenable. Au vu des éléments qui précèdent (cf. supra consid. 4; une seule attestation d'incapacité de travail pour la période concernée, licenciement pour motifs de réorganisation et non pour maladie, inscription à l'assurance-chômage dès juin 2002, suivie d'une formation professionnelle achevée par un diplôme en 2005), la juridiction cantonale était en droit de renoncer à procéder à des mesures complémentaires d'instruction telles que requises par le recourant. Elle a relevé au surplus que la mise en oeuvre d'une expertise constituerait une appréciation strictement médico-théorique survenant plusieurs années après la période litigieuse, ce que n'admet pas la jurisprudence, et que l'audition des témoins ne serait pas de nature à influer sur l'issue de la cause.
4.4. Partant, le recours est mal fondé.
5.
Compte tenu de l'issue du litige, le recourant supportera les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 première phrase LTF). En sa qualité d'institution chargée d'une tâche de droit public, l'intimée n'a pas droit à des dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 18 mai 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
La Greffière : Flury