Erwägungen:
1.
Mit Urteil vom 1. März 2017 hat das Verwaltungsgericht des Kantons Basel-Stadt einen Rekurs von A._ gegen einen (wegen verspäteter Einreichung eines Rechtsmittels erfolgten) Nichteintretensentscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements des Kantons Basel-Stadt vom 10. November 2016 abgewiesen. Am 4. April 2017 ersuchte A._ mit Revisionsbegehren um Aufhebung des Urteils des kantonalen Verwaltungsgerichts vom 1. März 2017. Mit Urteil vom 18. Mai 2017 trat das kantonale Verwaltungsgericht auf das Revisionsbegehren nicht ein und wies das (sinngemässes) Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ab. Mit Eingabe vom 14. Juni 2017 erhob A._ bei Bundesgericht Einsprache gegen das Urteil der Vorinstanz vom 18. Mai 2017. Mit Schreiben vom 15. Juni 2017 wies der Präsident der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung des Bundesgerichts A._ darauf hin, dass seine Eingabe vom 14. Juni 2017 den gesetzlichen Anforderungen an eine Beschwerde an das Bundesgericht nicht genügen dürfte, und stellte ihm in Aussicht, dass bei ausbleibender Einreichung einer verbesserten Beschwerdeschrift vor Ablauf der gesetzlichen Beschwerdefrist auf diese Eingabe nicht eingetreten werde. A._ reichte zwei weitere, vom 20. Juni 2017 bzw. vom 25. Juni 2017 datierende Eingaben ein.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und Abs. 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
2.2. Im angefochtenen Urteil vom 18. Mai 2017 (E. 2.2) hat die Vorinstanz erwogen, die von A._ geltend gemachten neuen Tatsachen und Beweismittel hätten bei zumutbarer Sorgfalt bereits im Rekursverfahren geltend gemacht werden können und müssen und seien zudem nicht geeignet, zu einem für ihn günstigeren Entscheid zu führen. Sie würden deshalb keine zulässigen Revisionsgründe darstellen, weshalb auf das Revisionsgesuch vom 4. April 2017 nicht einzutreten sei. Wegen Aussichtslosigkeit könne zudem dem Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege nicht entsprochen werden.
2.3. Da Streitgegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens nur das Eintreten der Vorinstanz auf das Revisionsgesuch von A._ vom 4. April 2017 und die unentgeltliche Rechtspflege sein kann (Urteil 2C_747/2013 vom 8. September 2014 E. 2.1), zielen die Ausführungen in der Beschwerdeschrift an das Bundesgericht zu materiellen Rechtsverletzungen ins Leere. Soweit sich der Eingabe von A._ an das Bundesgericht prozessuale Ausführungen entnehmen lassen, legen sie auch nicht ansatzweise dar, inwiefern die Vorinstanz in diesem Punkt den Sachverhalt offensichtlich unrichtig erhoben hätte oder bei der Anwendung von Verfahrensbestimmungen schweizerisches Recht verletzt haben könnte. Die Eingabe enthält offensichtlich keine den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 BGG genügende sachbezogene Begründung, und es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten. Bei diesem Verfahrensausgang sind die Gerichtskosten des bundesgerichtlichen Verfahrens A._ aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Eingaben vom 14. Juni 2017, vom 20. Juni 2017 und vom 25. Juni 2017 wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 500.-- werden A._ auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Juni 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall