Erwägungen:
1.
Die Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt führte gegen A._ unter der Verfahrensnummer xxx ein Strafverfahren wegen des Verdachts von Vermögensdelikten zum Nachteil von B._ und erhob am 5. Januar 2016 Anklage beim Strafgericht des Kantons Basel-Stadt.
2.
Im Rahmen dieses Strafverfahrens fand am 15. Dezember 2015 eine Einvernahme mit B._ als Auskunftsperson statt. Vor der Einvernahme von B._ wurde A._, welcher von seinem Teilnahmerecht Gebrauch machen wollte, einer Sicherheitskontrolle durch zwei Fahndungsbeamte der Kantonspolizei Basel-Stadt unterzogen. Daraufhin fand die Einvernahme von B._ in Anwesenheit von A._ und dessen amtlichen Verteidiger statt. Im Anschluss an diese Einvernahme fand eine Schlusseinvernahme mit A._ statt, welche indessen nach kurzer Zeit wieder abgebrochen wurde.
A._ wandte sich mit Eingabe vom 17. Dezember 2015 an das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt und machte u.a. "massive Mängel und grobe Verfahrensfehler" der Staatsanwaltschaft geltend. Das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt nahm die Eingabe als Beschwerde gegen die beiden Einvernahmen vom 15. Dezember 2015 und die damit in Zusammenhang stehenden Verfahrenshandlungen entgegen. Das Appellationsgericht hiess mit Entscheid vom 4. April 2016 die Beschwerde insoweit gut als es festhielt, dass der Beschwerdeführer nicht ordnungsgemäss zur Schlusseinvernahme vom 15. Dezember 2015 vorgeladen worden sei und dass insoweit sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt worden sei. Im Übrigen wies es die Beschwerde ab, soweit es darauf eintrat. Zur Begründung führte das Appellationsgericht zusammenfassend aus, dass die allgemein erhobenen Einwände gegen das Strafverfahren nicht Gegenstand des vorliegenden Beschwerdeverfahrens seien. Auf die Rechtsbegehren wie Einstellung des verjährten oder verwirkten Strafverfahrens, Wiedergutmachung und Entschädigung sowie Wiederherstellung des rechtmässigen Zustandes könne demnach nicht eingetreten werden. Die Sicherheitskontrolle anlässlich der Einvernahme vom 15. Dezember 2015 sei nicht zu beanstanden. Auch habe sich die einvernehmende Untersuchungsbeamtin korrekt verhalten. Demgegenüber sei festzustellen, dass der Beschwerdeführer nicht korrekt zur Schlusseinvernahme vorgeladen worden sei, was sein Anspruch auf rechtliches Gehör verletzt habe. Indessen habe nicht das Beschwerdegericht, sondern das Sachgericht darüber zu befinden, welche Auswirkungen die fehlende ordentliche Vorladung in Bezug auf die Verwertbarkeit der Schlusseinvernahme des Beschwerdeführers habe.
3.
Gegen den Entscheid des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt erhob A._ mit Eingabe vom "25.02.2016" (Postaufgabe 27. Mai 2016) Beschwerde in Strafsachen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
4.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Appellationsgerichts nicht auseinander. Mit der Darstellung seiner Sicht der Dinge vermag er nicht ansatzweise aufzuzeigen, inwiefern das Appellationsgericht seine Beschwerde rechts- bzw. verfassungswidrig behandelt haben sollte. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
5.
Auf eine Kostenauflage ist zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Juni 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli