Sachverhalt:
A.
A.a. Die 1960 geborene A._ verunfallte am 9. August 1986 beim Turnen. Mit Verfügung vom 4. Dezember 2002 sprach ihr die Basler Versicherung AG (nachfolgend Basler) als obligatorischer Unfallversicherer bis 31. Dezember 2002 ein Taggeld, ab 1. März 1993 eine Hilflosenentschädigung bei einer Hilflosigkeit leichten Grades, ab 1. Januar 2003 eine Komplementärrente zur Rente der Invalidenversicherung aufgrund einer Erwerbseinbusse von 100 % und eine Integritätsentschädigung bei einer Integritätseinbusse von 80 % zu; sie übernahm weiter die Behandlungskosten und Medikamente sowie die Kosten der Hauspflege.
A.b. Am 22. Dezember 2002 verletzte sich A._ bei einem Autounfall. Mit Verfügung vom 23. März 2009 stellte die Basler die ihr am 4. Dezember 2002 zugesprochene Rente und Hilflosenentschädigung per sofort ein. Mit Verfügung vom 30. Oktober 2009 stellte sie die Leistungen rückwirkend per 31. Mai 2004 ein; sie forderte von der Versicherten Fr. 449'034.60 für unrechtmässig bezogene Renten, Teuerungszulagen und Hilflosenentschädigungen zurück; ebenfalls zurückgefordert wurden Leistungen für Heilbehandlungen ab 31. März 2004. Mit Entscheiden vom 4. März und 14. Juni 2010 wies die Basler die Einsprachen der Versicherten und ihres Krankenversicherers ab. Die Beschwerden der beiden Letzteren hiess das Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen in Aufhebung beider Einspracheentscheide dahingehend gut, dass es die Sache zur Prüfung der adäquaten Unfallkausalität der gesundheitlichen Beschwerden bzw. zur Klärung der Wiedererwägungsvoraussetzungen mit Bezug auf die Verfügung vom 4. Dezember 2002 und zur Prüfung der Leistungspflicht aus dem Ereignis vom 22. Dezember 2002 sowie zu anschliessender Neuverfügung an die Basler zurückwies (Entscheid vom 5. Dezember 2011). Die Beschwerde der Basler wies das Bundesgericht ab; auf jene der Versicherten trat es nicht ein (Urteil 8C_37 und 87/2012 vom 23. März 2012).
A.c. Mit Verfügung vom 26. September 2012 stellte die Basler die Leistungen bezüglich des Unfalls vom 9. August 1986 wiedererwägungsweise mangels adäquater Unfallkausalität der gesundheitlichen Beschwerden per 4. Dezember 2002 ein; die Leistungen für die Folgen des Unfalls vom 22. Dezember 2002 stellte sie per 31. Dezember 2003 ein. Die Einsprache der Versicherten wies sie mit Entscheid vom 30. April 2013 ab. In Gutheissung ihrer Beschwerde hob das Versicherungsgericht diesen Entscheid auf; betreffend die Folgen des Unfalls vom 22. Dezember 2002 wies es die Sache zu weiteren Abklärungen und neuer Verfügung im Sinne der Erwägungen an die Basler zurück (Entscheid vom 12. November 2014). Das Bundesgericht hiess die Beschwerde der Basler teilweise gut und hob diesen Entscheid auf; es wies die Sache zu neuer Entscheidung an die Vorinstanz zurück; im Übrigen wies es die Beschwerde ab (Urteil 8C_913/2014 vom 8. Juni 2015).
Mit Entscheid vom 7. Dezember 2015 (Verfahren UV 2015/32) hob das kantonale Gericht den Einspracheentscheid vom 30. April 2013 auf; bezüglich der Folgen des Unfalls vom 22. Dezember 2002 wies es die Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen und zu neuer Verfügung im Sinne der Erwägungen an die Basler zurück. Es sprach der Versicherten eine pauschale Parteientschädigung von Fr. 5'000.- (inkl. Barauslagen und Mehrwertsteuer) zu.
A.d. Die gegen den kantonalen Entscheid vom 7. Dezember 2015 von der Basler erhobene Beschwerde hiess das Bundesgericht gut, soweit es darauf eintrat. Es hob ihn in Bezug auf den Unfall der Versicherten vom 9. August 1986 auf und bestätigte in diesem Punkt den Einspracheentscheid der Basler vom 30. April 2013. Die Verfahrenskosten legte es den Parteien je zur Hälfte auf. Es wies die Sache zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das kantonale Gericht zurück (Urteil 8C_41/2016 vom 23. Juni 2016). Das hiergegen von der Versicherten erhobene Revisionsgesuch wies das Bundesgericht mit Urteil 8F_12/2016 vom 16. November 2016 ab.
B.
Am 25. November 2016 entschied das kantonale Gericht, die Basler habe die Versicherte für das Verfahren UV 2015/32 mit Fr. 5'000.- (inkl. Barauslagen und Mehrwertsteuer) zu entschädigen.
C.
Mit Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beantragt die Basler, der Kostenspruch sei aufzuheben mit der Feststellung, dass sie der Versicherten für das Verfahren UV 2015/32 (Entscheid vom 7. Dezember 2015) keine Parteientschädigung schulde; eventuell sei sie um 80 % auf Fr. 1'000.- zu reduzieren.
Das kantonale Gericht und das Bundesamt für Gesundheit verzichten auf Vernehmlassung. Die Versicherte schliesst auf Beschwerdeabweisung.
Erwägungen:
1.
Mit der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten kann eine Rechtsverletzung nach Art. 95 f. BGG gerügt werden. Das Bundesgericht wendet das Recht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Dennoch prüft es - offensichtliche Fehler vorbehalten - nur die in seinem Verfahren gerügten Rechtsmängel (Art. 42 Abs. 1 f. BGG; BGE 135 II 384 E. 2.2.1 S. 389).
2.
Im Verfahren vor dem kantonalen Versicherungsgericht hat die obsiegende Beschwerde führende Person Anspruch auf Ersatz der Parteikosten; diese werden vom Versicherungsgericht festgesetzt und ohne Rücksicht auf den Streitwert nach der Bedeutung der Streitsache und nach der Schwierigkeit des Prozesses bemessen (Art. 61 lit. g ATSG).
3.
Mit Urteil 8C_41/2016 vom 23. Juni 2016 hiess das Bundesgericht die Beschwerde der Basler gegen den Entscheid der Vorinstanz vom 7. Dezember 2015 (UV 2015/32) insoweit gut, als es die adäquate Unfallkausalität zwischen dem Unfall der Versicherten vom 9. August 1986 und ihrem gesundheitlichen Leiden ab 4. Dezember 2002 verneinte und den Einspracheentscheid vom 30. April 2013 in diesem Punkt bestätigte. Es trat auf die Beschwerde insofern nicht ein, als sie sich gegen die vorinstanzliche Rückweisung der Sache an die Basler zu weiteren Abklärungen und neuer Verfügung betreffend die Folgen des Unfalls vom 22. Dezember 2002 richtete. Zur Begründung führte das Bundesgericht aus, die Eintretensvoraussetzungen von Art. 93 BGG würden nicht dargetan und seien auch nicht ersichtlich. Ebenfalls auf Nichteintreten erkannte es bezüglich der Anträge der Basler auf Verneinung des Anspruchs auf Versicherungsleistungen ab Anfang August 1990 und Bestätigung des Rückerstattungsanspruchs für die ab 1. April 2004 zu Unrecht erbrachten Leistungen von Fr. 449'034.60. Dies begründete es damit, dass diese Punkte weder Gegenstand der Verfügung vom 26. September 2012 noch des Einspracheentscheides vom 30. April 2013 noch des angefochtenen Entscheides gewesen seien. Die Verfahrenskosten auferlegte es den Parteien je zur Hälfte und wies die Sache zur Neuverlegung der Parteientschädigung des vorangegangenen Verfahrens an das kantonale Gericht zurück.
4.
4.1. Im hier angefochtenen Entscheid vom 25. November 2016 erwog das kantonale Gericht, aufgrund des bundesgerichtlichen Urteils 8C_41/2016 sei sein Entscheid vom 7. Dezember 2015 (UV 2015/32) "betreffend die Folgen des Unfalls der Beschwerdegegnerin vom 22. Dezember 2002 sowie der damit verbundenen Rückweisung der Sache zur Vornahme weiterer Abklärungen und zu neuer Verfügung im Sinne der Erwägungen an die Basler in Rechtskraft erwachsen". Damit sei ihre Leistungspflicht weiterhin offen. Demnach sei von einem vollständigen Obsiegen der Beschwerdegegnerin auszugehen (vgl. BGE 132 V 215 E. 6.2 S.235; zur Überklagung vgl. Urteile 9C_288/2015 vom 7. Januar 2016 E. 4.2 und 9C_466/2007 vom 25. Januar 2008 E. 5) und eine pauschale Parteientschädigung von Fr. 5'000.- (einschliesslich Barauslagen und Mehrwertsteuer) insgesamt angemessen.
4.2. Der Basler ist beizupflichten, dass es vorliegend um zwei separate Streitfragen ging, nämlich um ihre Leistungspflicht einerseits aus dem Unfall der Beschwerdegegnerin vom 9. August 1986 und andererseits aus demjenigen vom 22. Dezember 2002. Letztinstanzlich obsiegte die Basler betreffend das erstgenannte Ereignis (Verneinung der Unfallkausalität des Leidens der Versicherten) und unterlag bezüglich des zweitgenannten (Nichteintreten auf die Beschwerde hinsichtlich des kantonalen Rückweisungsentscheids). Zudem unterlag sie hinsichtlich des Antrags auf Verneinung des Anspruchs auf Versicherungsleistungen ab Anfang August 1990 und Bestätigung des Rückerstattungsanspruchs ab 1. April 2004 (vgl. E. 3 hiervor).
Es sind keine Gründe ersichtlich, um von der vom Bundesgericht im Urteil 8C_41/2016 gestützt auf dieses Ergebnis angeordneten hälftigen Kostenteilung zwischen den Parteien abzuweichen (vgl. E. 3 hiervor). Folglich ist es gerechtfertigt, der Beschwerdegegnerin für das kantonale Verfahren bis zum Entscheid vom 7. Dezember 2015 eine hälftige Parteientschädigung, somit Fr. 2'500.- (inkl. Barauslagen und Mehrwertsteuer), zuzusprechen.
4.3. Irrelevant sind in diesem Verfahrensstadium die Vorbringen der Basler, die Beschwerdegegnerin sei für den Unfall vom 22. Dezember 2002 nicht mehr UVG-versichert gewesen, weshalb die Rückweisung als solche gegenstandslos geworden sei. Hierüber wird die Basler nämlich aufgrund des kantonalen Rückweisungsentscheides vom 7. Dezember 2015 neu zu verfügen haben, wie die Beschwerdegegnerin zu Recht vorbringt.
4.4. Inwiefern eine die Reduktion der Parteienentschädigung nicht rechtfertigende blosse "Überklagung" vorliegen soll - wie die Vorinstanz mit ihrem Hinweis auf die entsprechende Gerichtspraxis anzunehmen scheint (vgl. E. 4.1 hiervor) - ist nicht ersichtlich und wird auch von der Beschwerdegegnerin nicht geltend gemacht. Unbehelflich ist zudem ihr Einwand, in der Beschwerde der Basler gegen den Entscheid vom 7. Dezember 2015 habe es an einer Auseinandersetzung mit den Erwägungen des kantonalen Gerichts betreffend den Unfall vom 22. Dezember 2012 gefehlt.
5.
Dem Prozessausgang entsprechend sind die Verfahrenskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1, Art. 68 Abs. 2 BGG). Da die Vorinstanz keine Gerichtskosten erhoben hat und keine Parteikosten angefallen sind, entfällt eine Rückweisung an sie zwecks Neuverlegung derselben (vgl. Art. 67, Art. 68 Abs. 5 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Der Entscheid des Versicherungsgerichts des Kantons St. Gallen vom 25. November 2016 wird insoweit aufgehoben, als festgestellt wird, dass die Beschwerdeführerin der Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren UV 2015/32 (Entscheid vom 7. Dezember 2015) eine Parteientschädigung von Fr. 2'500.- (einschliesslich Barauslagen und Mehrwertsteuer) zu bezahlen hat. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 1'400.- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Versicherungsgericht des Kantons St. Gallen, Abteilung III, und dem Bundesamt für Gesundheit schriftlich mitgeteilt.
Luzern, 29. März 2017
Im Namen der I. sozialrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Maillard
Der Gerichtsschreiber: Jancar