Faits :
A.
Par jugement du 17 juin 2014, le Tribunal de police de l'arrondissement de Lausanne a libéré X._ des accusations d'abus de confiance et de gestion déloyale.
B.
Par jugement du 14 novembre 2014, la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal vaudois a partiellement admis l'appel formé par Y._ et la société Z._ Ltd. Elle a réformé le jugement attaqué en ce sens qu'elle a condamné X._ pour gestion déloyale à une peine pécuniaire de 120 jours-amende, le montant du jour-amende étant fixé à 500 fr., cette peine étant complémentaire à celle prononcée le 29 mars 2010 par la Cour de cassation pénale vaudoise. Elle a suspendu l'exécution de la peine pécuniaire pendant deux ans et renvoyé Y._ et la société Z._ Ltd à agir par la voie civile.
Cette condamnation pour gestion déloyale repose sur les faits suivants:
B.a. Par convention d'actionnaires probablement signée le 9 avril 2003, X._, Y._, A._ et B._ ont décidé de s'associer afin de constituer la société Z._ Ltd, active dans le domaine de la prise de participations financières. Les parties à la convention ont convenu les modalités suivantes. Elles seraient actionnaires à parts égales de cette société; la composition de l'actionnariat devrait rester confidentielle; X._ serait désigné comme l'administrateur unique de la société; enfin, le capital-actions, d'un montant de 400'000 fr., devrait être entièrement libéré par un apport en nature; comme les parties souhaitaient maintenir une certaine confidentialité et que le droit suisse exigeait alors trois fondateurs, X._ devrait choisir deux personnes agissant à titre fiduciaire pour la constitution; enfin, immédiatement après la constitution, X._ serait chargé d'attribuer 1'000 actions par partie à la convention, à savoir un quart pour chacune d'elles.
B.b. En septembre 2002, dans la perspective de la création de la société Z._ Ltd, Y._ avait procédé à une opération d'achat et de vente de 20'300 actions de la société anonyme de droit français C._ SA. Cette transaction avait été exécutée par l'intermédiaire de la société D._ Ltd, dont X._ était l'administrateur; elle avait permis de réaliser un bénéfice de EUR 203'050.00.
Toujours en vue de constituer le capital-actions de la société Z._ Ltd, Y._ avait aussi fourni à X._, respectivement à la société D._ Ltd, 142'100 bons de souscription permettant d'acquérir 20'300 actions supplémentaires de la société C._ SA. C'est la société D._ Ltd précitée qui avait souscrit à ces nouvelles actions, pour un prix total de EUR 371'287.00. Cette acquisition avait été financée en partie par le réinvestissement de la quasi-totalité du bénéfice retiré de la première transaction, par EUR 201'650.00. Le solde, de EUR 169'637.00, avait été financé au moyen d'un crédit bancaire de EUR 175'000.00 obtenu par X._ à titre personnel.
En novembre 2003, avec l'accord des autres intéressés, X._ a vendu 5'300 actions de la société C._ SA, afin d'obtenir le remboursement de la somme qu'il avait avancée dans le cadre de l'acquisition des actions. Cette vente d'actions lui a permis d'encaisser EUR 190'637.14. X._ a alors remboursé le prêt qu'il avait obtenu auprès de la Banque E._.
B.c. Le 12 décembre 2003, par contrat d'apports en nature signé par X._ et les deux co-fondateurs fiduciaires, les 15'000 actions de la société C._ SA qui n'avaient pas été vendues ont été apportées, afin de constituer le capital-actions de la société Z._ Ltd. L'apport a été accepté pour une valeur totale de 837'000 francs. Il était en outre prévu dans ce contrat qu'une créance de 437'000 fr. en faveur de l'apporteur serait inscrite dans les livres de la société Z._ Ltd.
La société Z._ Ltd a ainsi été créée; elle a été inscrite au registre du commerce le 17 décembre 2003, avec X._ pour administrateur unique.
B.d. Entre le mois de septembre 2003 et celui d'octobre 2007, X._ a encaissé sur ses comptes bancaires personnels auprès de la Banque E._ (xxx et yyy) les dividendes des actions de la société C._ SA pour les années 2002, 2005 et 2006.
Il a encaissé à ce titre :
- 2'342 fr. 35 le 24 septembre 2003;
- 534 fr. 45 le 13 septembre 2006;
- EUR 4'406.40 le 11 octobre 2006;
- 742 fr. 20 le 24 septembre 2007;
- 9'766 fr. 16 le 31 octobre 2007.
Il est reproché à X._ d'avoir indûment perçu à ce titre un total de 13'385 fr. 16 et de EUR 4'406.40.
B.e. Les 4 et 7 janvier 2008, X._ a vendu les 1'400 actions restantes de la société C._ SA appartenant à la société Z._ Ltd pour des prix de 11'742 fr. 25 (vente de 400 actions le 04.01.2008) et 29'403 fr. 75 (vente de 1000 actions le 7 janvier 2008).
Il est reproché à X._ d'avoir procédé à cette vente sans droit et de s'être approprié abusivement le produit de celle-ci (cet argent a été crédité sur son compte bancaire E._ xxx).
B.f. Le 4 juin 2009, Y._ et la société Z._ Ltd ont déposé une plainte pénale contre X._.
C.
Contre ce dernier jugement, X._ dépose un recours en matière pénale devant le Tribunal fédéral. Il conclut, principalement, à la réforme du jugement attaqué en ce sens qu'il est libéré des chefs d'accusation d'abus de confiance et de gestion déloyale, qu'il est libéré du paiement de toute indemnité en faveur de Y._ et de la société Z._ Ltd et qu'il lui est alloué une indemnité au sens de l'art. 429 CPP, dont le montant est fixé à dire de justice, mais qui n'est pas inférieure à 51'165 fr. 30. A titre subsidiaire, il conclut à l'annulation du jugement attaqué et au renvoi de la cause à la cour cantonale pour nouvelle décision.
Considérant en droit :
1.
Le recourant se plaint que l'état de fait a été établi de manière manifestement inexacte sur plusieurs points.
1.1. Le Tribunal fédéral n'est pas une autorité d'appel, auprès de laquelle les faits pourraient être rediscutés librement. Il est lié par les constatations de fait de la décision entreprise (art. 105 al. 1 LTF), à moins que celles-ci n'aient été établies en violation du droit ou de manière manifestement inexacte au sens des art. 97 al. 1 et 105 al. 2 LTF, à savoir de façon arbitraire (art. 9 Cst.; cf. ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266). Pour qu'il y ait arbitraire, il ne suffit pas que la décision attaquée apparaisse discutable ou même critiquable; il faut qu'elle soit manifestement insoutenable et cela non seulement dans sa motivation, mais aussi dans son résultat (sur la notion d'arbitraire, cf. ATF 140 I 201 consid. 6.1 p. 205; 139 II 404 consid. 10.1 p. 445; 137 IV 1 consid. 4.2.3 p. 5).
Le grief d'arbitraire doit être invoqué et motivé de manière précise (art. 106 al. 2 LTF). Le recourant doit exposer, de manière détaillée et pièces à l'appui, que les faits retenus l'ont été d'une manière absolument inadmissible, et non seulement discutable ou critiquable. Il ne saurait se borner à plaider à nouveau sa cause, contester les faits retenus ou rediscuter la manière dont ils ont été établis comme s'il s'adressait à une juridiction d'appel (ATF 134 II 349 consid. 3 p. 352; 133 IV 286). Le Tribunal fédéral n'entre pas en matière sur les critiques de nature appellatoire (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266).
1.2. Le recourant reproche à la cour cantonale de ne pas avoir retenu, de manière arbitraire, qu'il avait été dans les faits piloté par Y._ dans le cadre d'un montage financier imaginé et conduit par ce dernier. Selon le recourant, cet élément serait déterminant pour l'examen de la qualité de gérant selon l'art. 158 CP.
Il n'y a pas lieu d'examiner ce grief, puisque, de toute façon, son admission ne serait pas susceptible d'influer sur le sort de la cause (cf. art. 97 al. 1 LTF). En effet, selon la jurisprudence, l'homme de paille qui se laisse manipuler ne peut se libérer dans le cadre de l'art. 158 CP de la responsabilité qui lui a été formellement conférée (cf. consid. 2.1.2).
1.3. Le recourant fait grief à la cour cantonale d'avoir versé dans l'arbitraire en déclarant que le sort des 13'600 actions de la société C._ SA détenues par Y._ à titre fiduciaire ne faisait pas directement l'objet de la présente procédure pénale. Il soutient que la question de la titularité des actions litigieuses est intrinsèquement liée avec celle du versement des dividendes, en particulier le versement de EUR 4'406.40 le 11 octobre 2006.
Par son argumentation, le recourant se borne à affirmer que le montant de EUR 4'406.40 versé le 11 octobre 2006 avec la communication " rglt dividendes ex 2005 " correspond au dividence des 13'600 actions C._ dont la société Z._ Ltd n'était plus propriétaire depuis le 15 août 2006. A supposer que - comme le soutient le recourant - la société Z._ Ltd n'est plus propriétaire de ces actions, le recourant n'en est pas pour autant propriétaire lui-même, et il ne le prétend du reste pas. Il ne peut donc retenir ce montant sur ses propres comptes. Le cas échéant, la société Z._ Ltd pourrait en être redevable au nouveau propriétaire des actions. Dans la mesure de sa recevabilité, le grief soulevé doit donc être rejeté.
2.
L'art. 158 CP punit celui qui, en vertu de la loi, d'un mandat officiel ou d'un acte juridique, est tenu de gérer les intérêts pécuniaires d'autrui ou de veiller sur leur gestion et qui, en violation de ses devoirs, aura porté atteinte à ces intérêts ou aura permis qu'ils soient lésés (ch. 1 al. 1). Le cas de la gestion déloyale aggravée est réalisé lorsque l'auteur a agi dans le dessein de se procurer ou de procurer à un tiers un enrichissement illégitime (ch. 1 al. 3).
Sur le plan objectif, il faut que l'auteur ait un devoir de gestion ou de sauvegarde, qu'il ait violé une obligation inhérente à cette qualité et qu'il en soit résulté un dommage. Sur le plan subjectif, il faut qu'il ait agit intentionnellement.
2.1. Le recourant conteste revêtir la qualité de gérant. Il soutient qu'il exerçait un rôle d'homme de paille et qu'il était " téléguidé " par Y._, qui, compte tenu de ses connaissances spécifiques sur le marché libre français notamment, avait seul une vision globale du groupe de sociétés impliquées et du montage de la société intimée.
2.1.1. L'infraction réprimée par l'art. 158 ch. 1 CP ne peut être commise que par une personne qui revêt la qualité de gérant. Selon la jurisprudence, il s'agit d'une personne à qui incombe, de fait ou formellement, la responsabilité d'administrer un complexe patrimonial non négligeable dans l'intérêt d'autrui (ATF 129 IV 124 consid. 3.1 p. 126). La qualité de gérant suppose un degré d'indépendance suffisant et un pouvoir de disposition autonome sur les biens administrés. Ce pouvoir peut aussi bien se manifester par la passation d'actes juridiques que par la défense, au plan interne, d'intérêts patrimoniaux, ou encore par des actes matériels, l'essentiel étant que le gérant se trouve au bénéfice d'un pouvoir de disposition autonome sur tout ou partie des intérêts pécuniaires d'autrui, sur les moyens de production ou le personnel d'une entreprise (ATF 123 IV 17 consid. 3b p. 21). En règle générale, une qualité de gérant est reconnue aux organes ou membres d'organes de sociétés commerciales.
2.1.2. En l'espèce, la position de gérant du recourant résulte de son statut d'administrateur unique de la société Z._ Ltd. C'est en vain que le recourant fait valoir qu'il a été entièrement " piloté " par Y._ et qu'il n'était dès lors qu'un homme de paille. En effet, selon la jurisprudence, l'homme de paille n'est pas exonéré de toute responsabilité dans le cadre de l'art. 158 CP, du fait qu'un tiers lui a prescrit le comportement à adopter (ATF 105 IV 106 consid. 2 p. 110; arrêts 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.1; 6B_66/2008 du 9 mai 2008 consid. 6.3.2; TRECHSEL/CRAMERI, in Trechsel/Pieth (édit.), Schweizerisches Strafgesetzbuch, Praxiskommentar, 2e éd., 2013, n° 5 ad 158 CP). Celui qui, en droit, assume des obligations, doit en répondre et ne peut dégager sa responsabilité qu'en se démettant de ses fonctions. Il ne peut invoquer à décharge sa dépendance à l'égard d'autres responsables, fussent-ils ses employeurs (ATF 105 IV 106 consid. 2 p. 110). La cour cantonale n'a donc pas violé le droit fédéral en reconnaissant au recourant la qualité de gérant.
2.2. Le recourant conteste avoir violé un devoir de gestion.
2.2.1. Pour qu'il y ait gestion déloyale, il faut que le gérant ait violé une obligation liée à la gestion confiée (ATF 123 IV 17 consid. 3c p. 22). Le comportement délictueux consiste à violer le devoir de gestion ou de sauvegarde. Pour dire s'il y a violation, il faut déterminer concrètement le contenu du devoir imposé au gérant. Cette question s'examine au regard des rapports juridiques qui lient le gérant aux titulaires des intérêts pécuniaires qu'il administre, compte tenu des dispositions légales ou contractuelles applicables (arrêts 6B_845/2014 du 16 mars 2015 consid. 3.2; 6B_967/2013 du 21 février 2014, consid. 3.2; 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.2; arrêt 6B_446/2010 du 14 janvier 2010 consid. 8.4.1).
2.2.2. La cour cantonale fait grief au recourant de s'être approprié les dividendes des actions C._, en choisissant de ne pas ouvrir de compte bancaire au nom de la société Z._ Ltd. Selon la cour cantonale, le recourant a sciemment conservé le contrôle effectif de ces montants, ce qui lui a permis de les mettre hors de portée de la société lorsqu'il l'a jugé utile. Dans le cas de la vente des actions C._, le recourant a procédé à la vente des dernières actions encore sous le contrôle de la société et s'est approprié le produit de cette vente. Dans les deux cas, il est reproché au recourant d'avoir " conservé " les montants litigieux.
2.2.3. La société Z._ Ltd n'a jamais été formellement titulaire d'un compte bancaire; les actifs étaient détenus par le biais d'une relation bancaire du recourant, qui avait notamment ouvert un compte bancaire à son nom comportant une rubrique Z._ Ltd. Le recourant a donc encaissé sur ses comptes privés les dividendes des actions C._ et le produit de la vente des 1'400 actions de cette société. Le seul fait de ne pas avoir ouvert un compte au nom de la société Z._ Ltd ne constitue pas en soi un acte de gestion déloyale. D'entente avec les personnes intéressées, le recourant était en droit de détenir à titre fiduciaire les montants appartenant à la société Z._ Ltd. En effet, les devoirs de gestion ne sous-entendent pas nécessairement l'obligation d'ouvrir un compte bancaire séparé au nom de la société. Pour le surplus, il ne ressort pas de l'état de fait cantonal qu'il y a eu confusion ou mélange des biens à gérer.
Le recourant ne s'est toutefois pas borné à ouvrir un compte à son nom pour la société Z._ Ltd, mais il a profité de l'organisation mise en place pour " conserver " les dividendes des actions C._ et le produit de la vente des 1'400 actions. Ces montants faisaient économiquement partie du patrimoine de la société Z._ Ltd. A la demande du nouvel administrateur, le recourant devait restituer à la société Z._ Ltd ce qu'il avait reçu en tant qu'administrateur de la société, à savoir notamment les montants qu'il détenait à titre fiduciaire (cf. art. 401 CO). En refusant de restituer les montants litigieux, le recourant a violé ses obligations d'administrateur et porté atteinte aux intérêts de la société. Il ne peut, à cet égard, rien tirer de la jurisprudence publiée aux ATF 129 IV 124, puisque celle-ci concerne la violation du devoir de restituer, prévu dans le contrat de travail.
2.3. Le recourant conteste avoir causé un dommage à la société intimée. Il fait valoir que les montants litigieux se trouvent toujours sur les comptes bancaires, qu'il utilisait pour la gestion de la société Z._ Ltd. Selon le recourant, ces montants seraient à la disposition de la société Z._ Ltd, de sorte que celle-ci n'aurait pas été prétéritée.
2.3.1. La notion de « dommage » au sens de cette disposition doit être comprise comme pour les autres infractions contre le patrimoine, en particulier l'escroquerie (ATF 122 IV 279 consid. 2a p. 281). Ainsi, le dommage est une lésion du patrimoine sous la forme d'une diminution de l'actif, d'une augmentation du passif, d'une non-augmentation de l'actif ou d'une non-diminution du passif, mais aussi d'une mise en danger de celui-ci telle qu'elle a pour effet d'en diminuer la valeur du point de vue économique (ATF 129 IV 124 consid. 3.1 p. 125 s.; 123 IV 17 consid. 3d p. 22). Un dommage temporaire ou provisoire est suffisant (ATF 122 IV 279 consid. 2a p. 281; arrêt 6B_1054/2010 du 16 juin 2011 consid. 2.2.1). Il n'est pas nécessaire que le dommage corresponde à l'enrichissement de l'auteur, ni qu'il soit chiffré; il suffit qu'il soit certain (arrêts 6B_967/2013 du 21 février 2014 consid. 3.3; 6B_986/2008 du 20 avril 2009, consid. 4.1).
2.3.2. Certes, le recourant n'a pas utilisé à son profit les montants litigieux, qui se trouvent encore sur ses comptes bancaires. Contrairement à ce que soutient le recourant, ces montants ne sont toutefois pas à la disposition de la société Z._ Ltd. En effet, ils sont sur des comptes au nom du recourant et celui-ci refuse de les lui restituer. La société Z._ Ltd qui ne peut disposer de ces montants subit un dommage.
2.4. Le recourant conteste avoir agi intentionnellement.
2.4.1. La conscience et la volonté de l'auteur doivent englober la qualité de gérant, la violation du devoir de gestion et le dommage (arrêt 6B_223/2010 du 13 janvier 2011 consid. 3.3.3). Le dol éventuel suffit; vu l'imprécision des éléments constitutifs objectifs de l'infraction, la jurisprudence se montre toutefois restrictive, soulignant que le dol éventuel doit être strictement caractérisé (ATF 123 IV 17 consid. 3e p. 23).
2.4.2. En l'espèce, il faut admettre que le recourant savait qu'il était l'administrateur de la société et que, vu son expérience en affaires, il ne pouvait qu'être conscient qu'il ne pouvait pas garder les montants litigieux sur ses comptes personnels. L'élément subjectif est donc réalisé.
2.5. Le recourant nie avoir agi dans un dessein d'enrichissement illégitime (art. 158 ch. 1 al. 3 CP). Il fait valoir qu'il aurait toujours agi dans le but de récupérer les frais qu'il avait avancés jusque-là à la société intimée.
2.5.1. S'agissant de la gestion déloyale au sens strict (art. 158 ch. 1 al. 1 CP), le dessein d'enrichissement illégitime n'est pas requis, mais constitue une circonstance aggravante. Par enrichissement, il faut entendre tout avantage économique. Il n'y a pas de dessein d'enrichissement illégitime chez celui qui s'approprie une chose pour se payer ou pour tenter de se payer lui-même, s'il a une créance d'un montant au moins égal à la valeur de la chose qu'il s'est appropriée et s'il a vraiment agi en vue de se payer. Si l'auteur croit fermement, mais par erreur, que ces conditions sont réalisées, il peut bénéficier de l'art. 13 CP (ATF 105 IV 29 consid. 3a p. 35 s.).
2.5.2. La cour cantonale a retenu la commission de l'infraction de gestion déloyale simple au sens de l'art. 158 ch. 1 al. 1 CP s'agissant du produit de la vente des actions C._ en 2008, en raison de la situation confuse des rapports de comptes entre les parties. En revanche, en ce qui concerne la perception des dividendes des actions C._ en 2003, 2006 et 2007, elle a retenu qu' " il y avait lieu de retenir un dessein d'enrichissement illégitime, dans la mesure où il est établi que le prévenu savait d'emblée que les montants qu'il détenait revenaient à la société et où on ne saurait admettre qu'il a tout au long de son activité d'administrateur considéré que la perspective de prétentions qu'il formulerait à l'issue de son mandat justifiait qu'il s'approprie ces montants ".
Selon l'état de fait cantonal, le recourant a effectivement des prétentions à l'encontre de la société Z._ Ltd. La cour cantonale a relevé que les intimés semblaient, au vu de leurs conclusions subsidiaires, admettre les prétentions du recourant à concurrence d'un montant de 28'551 fr. 75. Le recourant a toutefois refusé de formuler et d'établir le montant qui lui serait dû. En conséquence, le montant de sa créance est peut-être supérieur à 28'551 fr. 75, mais il est en tout cas inférieur au montant des avoirs qu'il conserve sur ses comptes. En refusant de restituer à la société Z._ Ltd les montants qui lui reviennent, le recourant a donc agi dans le dessein de s'enrichir.
Pour justifier son refus de formuler le montant qui lui serait dû, le recourant se retranche derrière le fait que les intimés montreraient peu d'empressement à clôturer les comptes de la société. A cet égard, il explique que la clôture des comptes nécessiterait de régler la question du prêt de EUR 300'000, respectivement des 13'600 actions C._ confiées à Y._. Cette argumentation ne lui est toutefois d'aucun secours, car, même si l'on suit le recourant et que l'on admet que les 13'600 actions ont disparu, c'est la société Z._ Ltd qui aurait une créance contre Y._, et non le recourant contre la société Z._ Ltd.
2.6. Le recourant invoque la prescription s'agissant de la perception des dividendes.
Dans la mesure où l'on a retenu le dessein d'enrichissement illégitime et la gestion déloyale aggravée selon l'art. 158 ch. 1 al. 2 CP pour les agissements reprochés en 2003, 2006 et 2007, la prescription est de quinze ans (art. 158 ch. 1 al. 3 et 97 al. 1 let. b CP). Dans ces conditions, elle n'est manifestement pas atteinte. Pour les agissements reprochés en 2008 où la gestion déloyale simple a été retenue, le délai de prescription de dix ans (art. 97 al. 1 let. c CP) n'était pas non plus atteint au moment du jugement de première instance. Le grief soulevé doit être rejeté.
3.
Le recourant dénonce une violation du principe in dubio pro reo (art. 6 § 2 CEDH et 32 Cst.). Il fait valoir que la cour cantonale a nourri de gros doutes sur sa culpabilité, puisqu'elle a relevé elle-même lors de la fixation de la peine " qu'il est difficile de déterminer le préjudice réel des lésés, de même que l'intensité de la volonté délictuelle du prévenu "; en outre, elle a souligné, lors de l'examen des conclusions civiles, que l'existence de prétentions du recourant était vraisemblable.
3.1. En ce qui concerne le fardeau de la preuve, il incombe entièrement et exclusivement à l'accusation d'établir la culpabilité du prévenu, et non à celui-ci de démontrer qu'il n'est pas coupable. La présomption d'innocence est violée lorsque le juge rend un verdict de culpabilité au seul motif que l'accusé n'a pas prouvé son innocence. Lorsque le recourant se plaint d'une telle violation, la cour de droit pénal examine librement s'il ressort du jugement, considéré objectivement, que le juge a condamné l'accusé uniquement parce qu'il n'avait pas prouvé son innocence.
Comme règle d'appréciation des preuves, la présomption d'innocence signifie que le juge ne doit pas se déclarer convaincu de l'existence d'un fait défavorable à l'accusé si, d'un point de vue objectif, il existe des doutes quant à l'existence de ce fait. Il importe peu qu'il subsiste des doutes seulement abstraits et théoriques, qui sont toujours possibles, une certitude absolue ne pouvant être exigée. Il doit s'agir de doutes sérieux et irréductibles, c'est-à-dire de doutes qui s'imposent à l'esprit en fonction de la situation objective. Dans cette mesure, la présomption d'innocence se confond avec l'interdiction générale de l'arbitraire, prohibant une appréciation reposant sur des preuves inadéquates ou sans pertinence (ATF 138 V 74 consid. 7 p. 82; 124 IV 86 consid. 2a p. 87 s.; 120 Ia 31 consid. 2 p. 33 ss).
3.2. Contrairement à ce que soutient le recourant, la cour cantonale n'a pas nourri de doute sur l'existence d'un dommage et l'intention délictuelle du recourant. Elle a simplement déclaré qu'il était difficile de chiffrer le montant du dommage, dans la mesure où l'on ignorait le montant exact des prétentions du recourant contre la société Z._ Ltd. Elle a toutefois tenu pour établi que le recourant refusait, sans droit, de restituer les montants qui appartenaient à la société. La cour cantonale a été convaincue de la culpabilité du recourant et n'a pas violé la présomption d'innocence.
4.
Le recourant se plaint du défaut de motivation du jugement attaqué (art. 5 § 2 et 6 § 3 CEDH; art. 29 Cst.). Il s'en prend en particulier à la motivation de la réalisation d'un dessein d'enrichissement illégitime.
4.1. Le droit d'être entendu consacré à l'art. 29 al. 2 Cst. implique l'obligation pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et que l'autorité de recours puisse exercer son contrôle. Il suffit que le juge mentionne, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision; il n'est pas tenu de discuter tous les arguments soulevés par les parties, mais peut se limiter à ceux qui lui apparaissent pertinents (ATF 136 I 229 consid. 5.2 p. 236; 136 V 351 consid. 4.2 p. 355; 134 I 83 consid. 4.1 p. 88; 133 III 439 consid. 3.3 p. 445; 130 II 530 consid. 4.3 p. 540). Savoir si la motivation présentée est convaincante est une question distincte de celle du droit à une décision motivée. Dès lors que l'on peut discerner les motifs qui ont guidé la décision des juges, le droit à une décision motivée est respecté même si la motivation présentée est erronée (arrêt 6B_431/2015 du 24 mars 2016 consid. 1.1).
4.2. La cour cantonale a retenu, s'agissant de la perception des dividendes, qu' "il y avait lieu de retenir un dessein d'enrichissement illégitime, dans la mesure où il est établi que le prévenu savait d'emblée que les montants qu'il détenait revenaient à la société et où on ne saurait admettre qu'il a tout au long de son activité d'administrateur considéré que la perspective de prétentions qu'il formulerait à l'issue de son mandat justifiait qu'il s'approprie ces montants ". En d'autres termes, elle a considéré que le recourant s'était approprié les dividendes des actions C._ en 2003, 2006 et 2007 en les faisant verser sur ses comptes personnels, alors qu'à l'époque il n'avait encore aucune prétention à l'encontre de la société Z._ Ltd. En revanche, lorsque, en 2008, il s'est approprié le produit de la vente des 1'400 actions C._, il faisait valoir le remboursement de frais de la société qu'il avait avancés à titre personnel. On discerne donc les motifs qui ont guidé la cour cantonale à retenir le dessein d'enrichissement illégitime dans le cas de la perception des dividendes des actions C._, et non dans celui de la perception du produit de la vente des 1'400 actions C._. Il n'y a pas de défaut de motivation qui serait constitutif d'une violation du droit d'être entendu.
5.
Le recours doit ainsi être rejeté dans la mesure de sa recevabilité.
Le recourant qui succombe devra donc supporter les frais (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 4'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Cour d'appel pénale du Tribunal cantonal du canton de Vaud.
Lausanne, le 25 mai 2016
Au nom de la Cour de droit pénal
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Denys
La Greffière : Kistler Vianin