Erwägungen:
1.
1.1. A._ (nachfolgend: der Steuerpflichtige) hat steuerrechtlichen Wohnsitz in U._/FR. In einem Steuerverfahren, das er gegen den Kanton Bern führt, trat das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, mit Entscheid 100.2016.115/116U vom 15. September 2016 einzelrichterlich auf Beschwerden nicht ein, die dieser gegen Entscheide der Steuerrekurskommission des Kantons Bern vom 15. März 2016 betreffend Nichteintreten auf Revisionsgesuche gerichtet hatte.
1.2. Das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sandte den Entscheid vom 15. September 2016 an den Wohnsitz des Steuerpflichtigen in U._/FR. Die für diese Ortschaft zuständige Poststelle (V._/FR) retournierte den eingeschriebenen Brief nach ungenütztem Ablauf der Abholfrist an das Verwaltungsgericht. Mit Schreiben vom 22. Oktober 2016 wandte der Steuerpflichtige sich an das Verwaltungsgericht des Kantons Bern, wobei er ausführte, er halte sich derzeit in W._/VS auf und sei nur über Umwege in den Besitz des Entscheids gelangt. Er habe der Schweizerischen Post am 20. September 2016 einen vorübergehend gültigen Nachsendeauftrag erteilt, wonach seine Post nach W._/VS weiterzuleiten sei. Dies habe zumindest im Fall des Entscheids vom 15. September 2016 nicht geklappt. Er habe die Abholungseinladung, die ihm erst durch die Hilfestellung seiner ehemaligen Lebenspartnerin zugekommen sei, am 22. September 2016 an die Poststelle V._/FR gesandt und diese darum ersucht, dass das ihm zur Abholung angezeigte Schreiben, von dessen Inhalt er keine Kenntnis gehabt habe, nach W._/VS weitergeleitet werde. Die Poststelle von V._/FR sei auch dieser Anweisung nicht nachgekommen. Aus diesen Gründen, die er nicht zu vertreten habe, ersuche er darum, dass ihm für das bundesgerichtliche Verfahren eine neue Frist angesetzt werde.
1.3. Der Einzelrichter beantwortete das Schreiben vom 22. Oktober 2016 am 26. Oktober 2016 dahingehend, dass eine Erstreckung der dreissigtägigen Frist ausgeschlossen sei und es ebenso wenig in Frage kommen könne, den bereits eröffneten Entscheid vom 15. September 2016 erneut zu eröffnen. Weiterleitungen unterständen der Verantwortlichkeit der weiterleitenden Person und vermöchten den Lauf der Frist nicht zu beeinflussen. Ein etwaiges Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist sei an das Bundesgericht zu richten.
1.4. Mit Schreiben vom 1. November 2016 (Poststempel unleserlich) gelangt der Steuerpflichtige an das Bundesgericht. Er ersucht um Wiederherstellung der Beschwerdefrist gegenüber dem Entscheid 100.2016.115/116U vom 15. September 2016 und begründet dies damit, dass er für das zweimalige Fehlverhalten der Schweizerischen Post nicht verantwortlich gemacht werden können.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
2.
2.1. Das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist betrifft einerseits die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Bern, anderseits die direkte Bundessteuer. Aus diesem Grund sind praxisgemäss zwei Dossiers zu eröffnen. Die beiden Verfahren betreffen denselben Sachverhalt und werfen dieselben Rechtsfragen auf, weshalb sie ebenso praxisgemäss zu vereinigen sind (Art. 71 BGG [SR 173.110] i. V. m. Art. 24 BZP [SR 273]).
2.2. Die Sachurteilsvoraussetzungen der vorliegenden Gesuche sind unter Vorbehalt des Nachfolgenden erfüllt.
2.3. Gemäss Art. 100 Abs. 1 BGG ist die Beschwerde gegen einen Entscheid innert 30 Tagen nach der Eröffnung der vollständigen Ausfertigung beim Bundesgericht einzureichen. Die Beschwerdefrist beginnt am Tag nach der Mitteilung des anzufechtenden Entscheids zu laufen (Art. 44 Abs. 1 BGG). Als gesetzlich bestimmte Frist kann die Beschwerdefrist nicht erstreckt werden (Art. 47 Abs. 1 BGG). Im Fall einer Mitteilung, die nur gegen Unterschrift des Adressaten oder der Adressatin oder einer anderen berechtigten Person überbracht wird, gilt die Zustellung spätestens am siebenten Tag nach dem ersten erfolglosen Zustellungsversuch als erfolgt (Art. 44 Abs. 2 BGG). Die derart umschriebene Zustellungsfiktion findet freilich nur Anwendung, falls die Adressatin oder der Adressat mit der Zustellung der Mitteilung überhaupt hat rechnen müssen. Dies trifft zu, wenn zuvor ein Verfahrensverhältnis begründet worden war. Ein solches verpflichtet die Parteien, sich nach Treu und Glauben zu verhalten und unter anderem dafür zu sorgen, dass behördliche Akte, die das Verfahren betreffen, ihnen zugestellt werden können (BGE 141 II 429 E. 3.1 S. 431 f.; 139 IV 228 E. 1.1 S. 230; 138 III 225 E. 3.1 S. 227; je mit Hinweisen). Von einer verfahrensbeteiligten Person wird namentlich verlangt, dass sie für die Nachsendung ihrer an die bisherige Adresse gelangenden Korrespondenz besorgt ist, dass sie der Behörde gegebenenfalls längere Ortsabwesenheiten mitteilt oder eine Stellvertretung ernennt (BGE 139 IV 228 E. 1.1 S. 230, mit Hinweisen).
2.4. Ist eine Partei - durch einen anderen Grund als die mangelhafte Eröffnung - unverschuldeterweise abgehalten worden, fristgerecht zu handeln, so wird die Frist wiederhergestellt, sofern die Partei unter Angabe des Grundes innert 30 Tagen nach Wegfall des Hindernisses darum ersucht und die versäumte Rechtshandlung nachholt (Art. 50 Abs. 1 BGG).
3.
3.1. Es geht aus den dem Bundesgericht vorliegenden Unterlagen nicht restlos hervor, wie es sich mit dem Fristenlauf genau verhalten hat. Der Steuerpflichtige spricht davon, die Poststelle habe den Entscheid am 26. September 2016, mithin einem Montag, an das Verwaltungsgericht zurückgesandt. Dies deutet angesichts der siebentägigen Abholfrist darauf hin, dass diese Frist am Montag, 19. September 2016 begann. Der Steuerpflichtige macht nicht geltend, die Poststelle habe den Entscheid vorzeitig retourniert. Seinem eigenen Bekunden zufolge erging der vorübergehend gültige Nachsendeauftrag (erst) am 20. September 2016, also wohl nach dem mutmasslichen Beginn der Abholfrist.
3.2. Der Ablauf kann indes offen bleiben. Entscheidend ist, dass der Steuerpflichtige mit seinen Beschwerden vom 15. März 2016 ein Prozessrechtsverhältnis begründete und aufgrund dessen jederzeit mit einem Entscheid zu rechnen hatte. Er bediente sich zumindest während Teilen der laufenden Frist eines Nachsendeauftrags, was ihn von der ursprünglichen Pflicht, für die Entgegennahme besorgt zu sein, nicht entbindet. Das fehlerhafte Verhalten Dritter hinsichtlich der Zustellung ist der steuerpflichtigen Person ebenso zuzurechnen wie eigenes Fehlverhalten. Es verhält sich diesbezüglich gleich wie etwa im Bereich der Leistung des Gerichtskostenvorschusses durch eine Bank, die dem Auftrag nicht rechtzeitig nachkommt (vgl. Urteil 2C_222/2014 vom 10. März 2014 E. 2.2, in: ASA 82 S. 661).
3.3. Der Steuerpflichtige macht sodann geltend, er müsse das Gesuch um Wiederherstellung aufgrund einer akuten Erkrankung stellen. Worin die Krankheit besteht, bleibt offen und unbelegt. Auch dies ist aber von keiner weiteren Bedeutung, nachdem es dem Steuerpflichtigen jedenfalls möglich war, einen Nachsendeauftrag zu erteilen. Die versäumte Frist findet ihren Grund nicht in einer Erkrankung, sondern im Umstand, dass die Nachsendung, sollte der Auftrag überhaupt rechtzeitig erteilt worden sein, missglückte.
3.4. Diese Umstände begründen kein "unverschuldetes Hindernis" im Sinne von Art. 50 Abs. 1 BGG. Der Frage nach der Rechtzeitigkeit des Fristwiederherstellungsgesuchs ist mithin nicht nachzugehen. Das Gesuch ist sowohl für die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Bern als auch die direkte Bundessteuer abzuweisen.
3.5. Hinzu kommt, dass nach Art. 50 Abs. 1 zusammen mit dem Wiederherstellungsgesuch auch die versäumte Rechtshandlung (mithin hier die Beschwerde an das Bundesgericht) nachgeholt werden muss, was der Steuerpflichtige jedoch unterlässt.
4.
Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens in der Regel der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG), wobei auf die Erhebung von Gerichtskosten verzichtet werden kann, wenn es die Umstände rechtfertigen (Art. 66 Abs. 1 Satz 2 BGG). Im vorliegenden Verfahren ist ein Verzicht auf die Kostenerhebung angezeigt. Dem Kanton Bern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung auszurichten (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_1015/2016 (Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Bern, Steuerjahr 2006 und frühere Jahre) und 2C_1016/2016 (direkte Bundessteuer, Steuerjahr 2006 und frühere Jahre) werden vereinigt.
2.
Das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist im Verfahren 2C_1016/2016 wird abgewiesen.
3.
Das Gesuch um Wiederherstellung der Beschwerdefrist im Verfahren 2C_1015/2016 wird abgewiesen.
4.
Für das bundesgerichtliche Verfahren werden keine Kosten erhoben.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, Einzelrichter, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. November 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher