Sachverhalt:
A.
A.a. René Strickler (Mieter, Gesuchsgegner, Beschwerdeführer) mietete mit Vertrag vom 3. Juni/1. Juli 2003 von der A._ AG mit Sitz in U._ (Vermieterin, Gesuchstellerin, Beschwerdegegnerin) eine Liegenschaft in Subingen/SO. Er hält auf diesem Grundstück Tiere. Die Vermieterin kündigte den Mietvertrag im Jahre 2009, worauf der Mieter ein Verfahren anhängig machte, das zur Erstreckung des Mietverhältnisses führte. Im Rahmen der zweiten Erstreckung schlossen die Parteien am 19. Februar 2014 einen Vergleich, in dem sich der Mieter verpflichtete, das gesamte Mietobjekt bis spätestens 31. Dezember 2015 zu räumen und zu verlassen.
A.b. Mit Urteil vom 9. März 2016 ordnete das Richteramt Bucheggberg-Wasseramt die Mietausweisung an. Unter anderem wurde der Mieter verpflichtet:
"5. (...) das Mietobjekt, die im Mietvertrag vom 3. Juni 2003 gemietete Fliegerhalle à 5'600m2 und das mit Mietvertrag vom 12. Oktober 2006 gemietete Land à 3'200m2 bis Donnerstag, 14. Juli 2016, 16.00 Uhr, vollständig, also insbesondere mit Abzug der dort gehaltenen Raubtiere (gemäss Tierliste 7 Tiger, 4 Löwen, 6 Pumas und ein Kragenbär) zu räumen und zu verlassen."
Ausserdem bestimmte es was folgt:
"7. Für den Fall, dass das Mietobjekt nicht urteilsgemäss geräumt und verlassen worden ist, wird das Oberamt Region Solothurn angewiesen, umgehend die zwangsweise Ausweisung zu veranlassen, nötigenfalls unter Anwendung von Polizeigewalt und unter zwangsweiser Verschaffung von Zugang in die Liegenschaft.
8. Die Gesuchstellerin hat bei der zwangsweisen Räumung mitzuwirken, indem auf Anweisung des Oberamtes der Zutritt zum Mietobjekt und die für die Räumung notwendigen Hilfspersonen organisiert (namentlich Schlüsselservice, Zügelunternehmen, Lagerung der Gegenstände, Verlegung und Unterbringen der Tiere) sowie die Kosten hierfür vorgeschossen werden.
9. Dem Gesuchsgegner wird für den Fall, dass die Liegenschaft innert der gesetzten Fristen nicht ordnungsgemäss geräumt und verlassen wird, hiermit die Strafe nach Art. 292 StGB ausdrücklich angedroht. Diese lautet: "Wer der von einer zuständigen Behörde oder einem zuständigen Beamten unter Hinweis auf die Strafdrohung dieses Artikels an ihn erlassenen Verfügung nicht Folge leistet, wird mit Busse bestraft".
A.c. Beschwerden des Mieters gegen die Mietausweisung wiesen das Obergericht des Kantons Solothurn am 9. Mai 2016 und das Bundesgericht am 29. Juli 2016 (Verf. Nr. 4A_373/2016) ab.
B.
B.a. Mit Verfügung vom 10. Februar 2017 trat das Richteramt Bucheggberg-Wasseramt auf das Begehren der Gesuchstellerin vom 11. Oktober 2016 nicht ein, soweit diese beantragt hatte, es seien geeignete Massnahmen anzuordnen bzw. der Vollzugsbehörde geeignete Weisungen zu erteilen. Das Eventualbegehren um Erläuterung von Ziffer 7 des Entscheids vom 9. März 2016 wies das Richteramt ab.
B.b. Das Obergericht des Kantons Solothurn hiess die Beschwerde der Vermieterin gegen diese Verfügung mit Urteil vom 14. August 2017 teilweise gut (Dispositiv-Ziffer 1). Es stellte fest, dass die Vollstreckung von Ziffer 5 des Urteils des Amtsgerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt vom 9. März 2016 aktuell als durchführbar zu beurteilen ist und dass die Anweisung an das Oberamt gemäss Ziffer 7 dieses Urteils, die zwangsweise Ausweisung des Beschwerdegegners zu veranlassen, weiterhin gilt (Dispositiv-Ziffer 2). Das Obergericht interpretierte das Gesuch der Vermieterin als Rechtsverweigerungsbeschwerde und hielt fest, dass die der Vollzugsbehörde aufgetragenen Vollstreckungsmassnahmen entgegen deren Ansicht durchführbar seien. Das Obergericht stellte zunächst in Frage, ob die Vollzugsbehörde alle Möglichkeiten einer vorübergehenden Unterbringung der Tiere ausgeschöpft habe, und hielt sodann fest, dass grundsätzlich auch im vorliegenden Fall ein Vorgehen möglich sei, wie es für Mietausweisungen üblich ist. So sei nicht erklärbar, weshalb die Raubtiere nicht vorübergehend bei Dritten untergebracht werden könnten mit Fristansetzung an den Mieter, die Tiere dort abzuholen unter der Androhung, dass diese öffentlich versteigert würden, wenn dies nicht fristgerecht geschehe - zumal in Ziffer 8 der Verfügung vom 9. März 2016 explizit von der Lagerung der Gegenstände und der Verlegung und Unterbringung der Tiere gesprochen werde. So wäre jedenfalls eine Veräusserung der Raubtiere zulässig, wenn dem Mieter zuvor unmissverständlich angedroht werde, dass eine Eigentumsübertragung erfolgen werde, wenn die Tiere nicht innert Frist vom Grundstück entfernt würden. Es stehe ausser Diskussion, dass die Tiere verkauft werden könnten, solange die Bestimmungen des Tierschutzgesetzes eingehalten würden.
C.
C.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen stellt der Mieter die Rechtsbegehren, es sei das Urteil der Zivilkammer des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 14. August 2017 aufzuheben und es sei das Gesuch der Beschwerdegegnerin vollumfänglich abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Der Beschwerdeführer beruft sich auf diverse zivilprozessuale Vorschriften und verfassungsrechtliche Bestimmungen. Er bringt nach einer Darstellung der Prozessgeschichte aus seiner Sicht vor, die Vorinstanz habe eine Rechtsverweigerung zu Unrecht geprüft, bestreitet, dass das Oberamt Pflichtverletzungen begangen habe und hält dafür, das Obergericht hätte sich zum Vorgehen konkret nicht äussern dürfen. Er wendet sich dagegen, dass die Vollzugsbehörde Pflichtverletzungen begangen habe und rügt "der guten Ordnung halber", im Vollstreckungsverfahren könne nicht über Eigentumsverhältnisse entschieden werden.
C.b. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde sei abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist.
C.c. Der Beschwerdeführer hat eine Replik eingereicht.
Erwägungen:
1.
Mit dem heutigen Entscheid in der Sache wird der Antrag auf Gewährung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.
2.
Die Beschwerde richtet sich gegen den Entscheid (Art. 90 BGG) eines oberen kantonalen Gerichts, das als Rechtsmittelbehörde (Art. 75 BGG) den Entscheid über die Vollstreckung eines rechtskräftigen Zivilurteils (Art. 72 Abs. 2 lit b Ziff. 1 BGG) ergänzt hat. Die Beschwerde ist fristgerecht eingereicht worden.
2.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid festgestellt, dass die Vollstreckung von Ziffer 5 des Urteils des Amtsgerichtspräsidenten von Bucheggberg-Wasseramt vom 9. März 2016 aktuell als durchführbar zu beurteilen ist und dass die Anweisung an das Oberamt gemäss Ziffer 7 dieses Urteils, die zwangsweise Ausweisung des Beschwerdegegners zu veranlassen, weiterhin gilt. Sie hat damit festgestellt, dass Ziffer 7 des rechtskräftigen Urteils über die Vollstreckung der Mietausweisung eine Grundlage für die zwangsweise Entfernung auch der Raubtiere aus dem Mietobjekt bildet, wobei sie in der Begründung darlegt, dass dies unter Umständen durch einen Verkauf bzw. eine öffentliche Versteigerung der Tiere an einen Erwerber möglich wäre, der eine tiergerechte Haltung garantiert. Auch wenn sich am Vollstreckungsentscheid vom 9. März 2016 materiell nichts geändert hat, wie die Beschwerdegegnerin bemerkt, ist der Beschwerdeführer durch diese Klarstellung beschwert. Seine Befugnis zur Beschwerde (Art. 76 BGG) ist zu bejahen.
2.2. Nach dem angefochtenen Entscheid übersteigt der Streitwert Fr. 30'000.--. Die Beschwerdegegnerin bestreitet dies mit der Begründung, der Entscheid der Vorinstanz habe keinerlei unmittelbare Auswirkungen auf die "Fristen im Vollstreckungsverfahren". Sie verkennt auch mit diesem Einwand, dass der angefochtene Entscheid die umstrittene Frage klärt, dass die angeordnete Räumung entgegen der Ansicht des Beschwerdeführers aufgrund von Ziffer 7 in Verbindung mit Ziffer 5 des rechtskräftigen Urteils durch eine zeitweise Unterbringung der Raubtiere bei Dritten oder letztlich durch deren Verkauf an Dritte vollstreckt werden kann, sofern diese eine tiergerechte Haltung gewährleisten. Angesichts des Aufwandes für die Räumung durch die umstrittene Verlegung und Unterbringung der Raubtiere bei Dritten kann bei einem Jahresmietzins von Fr. 36'000.-- Franken nicht ernsthaft in Frage gestellt werden, dass der massgebende Streitwert von Fr. 15'000.-- (Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG) erreicht ist, nachdem der Beschwerdeführer die Durchführbarkeit der Vollstreckung überhaupt bestreitet und dabei offenbar von der Vollstreckungsbehörde unterstützt wird.
2.3. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
3.
Die Vorinstanz hat die Beschwerde wegen Rechtsverweigerung teilweise gutgeheissen.
3.1. Der Beschwerdeführer bestreitet die Zuständigkeit der Vorinstanz. Er geht sinngemäss davon aus, die Vorinstanz habe das Gesuch der Beschwerdegegnerin als Fall von Rechtsverzögerung (Art. 319 lit. c ZPO) behandelt, gegen die jederzeit Beschwerde eingereicht werden kann (Art. 321 Abs. 4 ZPO). Rechtsverzögerung setzt in der Tat voraus, dass eine Behörde zum Erlass eines Entscheides zuständig ist und diesen pflichtwidrig verzögert. Zum Vollzug der Vollstreckung ist aber nach den Feststellungen der Vorinstanz das Oberamt Region Solothurn zuständig, während das erstinstanzliche Richteramt und das Kantonsgericht zur Anordnung der Vollstreckung zuständig sind und diese vorliegend auch angeordnet haben.
3.2. Die Vorinstanz hat jedoch die angefochtene Ergänzung nicht wegen Rechtsverzögerung, sondern wegen Rechtsverweigerung vorgenommen in der Erwägung, dass die zuständige Vollzugsbehörde die Vollstreckung der Anordnung zu Unrecht verweigere. Inwiefern sie damit nach dem massgebenden kantonalen Recht ihre Zuständigkeit überschritten haben soll, ist der Beschwerde nicht zu entnehmen. Es ist vielmehr davon auszugehen, dass die Vorinstanz gestützt auf Art. 334 Abs. 1 ZPO von Amtes wegen eine Erläuterung des Dispositivs des - nach Durchführung des Rechtsmittelverfahrens rechtskräftigen - Vollstreckungsentscheids vom 9. März 2016 vorgenommen hat, nachdem sich die Anordnung aufgrund der von der Vollzugsbehörde unterstützten Haltung des Beschwerdeführers als unklar erwiesen hat.
3.3. Während das Richteramt Bucheggberg-Wasseramt das Eventualbegehren um Erläuterung von Ziffer 7 des Entscheids vom 9. März 2016 abgewiesen hat, ist die Vorinstanz im Ergebnis davon ausgegangen, es seien die Voraussetzungen für eine Erläuterung von Amtes wegen nach Art. 334 Abs. 1 ZPO erfüllt, da das Oberamt den Nichtvollzug der Wegschaffung der Raubtiere vom Grundstück der Beschwerdegegnerin damit begründet hatte, dass diese innerhalb der Schweiz - ausser der Pumagruppe - nicht in Pflege gegeben werden könnten, sondern eine Aufnahme an die Bedingung geknüpft werde, dass das Eigentum an den Tieren übertragen werde. Da die Erläuterung eines (hier für die zuständige Vollzugsbehörde) unklaren Dispositivs nach Art. 334 Abs. 1 ZPO von Amtes wegen vorgenommen werden kann, bedurfte es eines gehörigen Antrags entgegen der Rüge des Beschwerdeführers nicht. Auch dass die Beschwerdegegnerin auf dem verwaltungsrechtlichen Rechtsmittelweg den Vollzug der Mietausweisung durch das Oberamt hätte beantragen können, ändert an der Zuständigkeit der Vorinstanz zur Erläuterung von Amtes wegen aufgrund der Weigerung der zuständigen Vollzugsbehörde nichts, nachdem die zur Anordnung der Vollstreckung zuständigen Gerichte mit der Sache von der vollzugsberechtigten Partei wenigstens formgerecht befasst worden sind.
4.
4.1. Die Vorinstanz hat im angefochtenen Entscheid festgestellt, dass die in Ziffer 7 des Vollstreckungsurteils vom 9. März 2016 angeordnete Vollstreckung durchführbar ist. Sie hat in der Begründung namentlich festgestellt, dass die Vollstreckung der Ausweisung der Pumagruppe durch Unterbringung zur Pflege bei Dritten nach den Angaben des Oberamts vollzogen werden kann, womit die Behauptung der Nichtdurchführbarkeit der Grundlage entbehrt. Ausserdem hat sie klargestellt, dass Ziffer 7 des Vollstreckungsurteils vom 9. März 2016 eine gültige Rechtsgrundlage für Modalitäten der Vollstreckung bildet, welche nicht nur die vorübergehende Unterbringung der Raubtiere, sondern nach entsprechender Fristansetzung an den Beschwerdeführer letztlich auch deren Verkauf umfassen.
4.2. Der Beschwerdeführer bestreitet Pflichtverletzungen der Vollzugsbehörden und kritisiert die Erwägung der Vorinstanz, wonach das Oberamt nicht abklärt habe, was eine nur vorübergehende Platzierung der Raubtiere kosten würde und es insbesondere keine Ausschreibung für eine bloss vorübergehende Unterbringung gemacht hatte. Er hält dafür, diese Feststellung stehe im Widerspruch mit den Ausführungen der Beschwerdegegnerin selbst, welche in ihrer Beschwerde an das Obergericht anerkannt habe, dass eine vorübergehende Unterbringung nicht möglich und auch nicht zielführend sei und die sich zudem einer etappenweisen Vollstreckung wiederholt widersetzt habe. Der Beschwerdeführer rügt, die Vorinstanz habe willkürlich und in Verletzung des rechtlichen Gehörs festgestellt, dass nicht sämtliche Varianten der Vollstreckung genügend abgeklärt worden seien und er hält dafür, es handle sich hier um alles andere als um einen klaren Fall, sondern es gehe um einen präjudizlosen Einzelfall. Schliesslich bringt er vor, dass im Vollstreckungsverfahren nicht über Eigentumsverhältnisse entschieden werden könne, sondern zum Entscheid über das materielle Recht der angerufene Richter zuständig sei.
4.3. Inwiefern die Vorinstanz mit ihrer Feststellung, das Oberamt habe nicht sämtliche Varianten abgeklärt, das rechtliche Gehör des Beschwerdeführers verletzt hätte und (auch im Ergebnis) in Willkür verfallen wäre, begründet dieser nicht. Darauf ist nicht einzutreten. Dem Beschwerdeführer kann weiter nicht gefolgt werden, wenn er die Ansicht vertritt, im Vollstreckungsverfahren könne nicht in seine Eigentumsrechte eingegriffen werden. Nicht nur die Vollstreckung von Geldforderungen führt letztlich dazu, dass dem Schuldner (im Betreibungs- oder Konkursverfahren) Sachen in seinem Eigentum entzogen und zur Befriedigung der Gläubiger verwertet werden; auch der Vollstreckung anderer Entscheide kann sich der Schuldner nicht unter Berufung auf sein Eigentum entziehen. Namentlich sieht Art. 343 Abs. 1 lit. d ZPO vor, dass eine direkte Zwangsmassnahme wie die Wegnahme einer beweglichen Sache oder die Räumung eines Grundstückes angeordnet werden kann, wenn der Entscheid auf die Verpflichtung zu einem Tun, Unterlassen oder Dulden lautet. Die Räumung eines Grundstückes ist grundsätzlich mit der Wegnahme der sich darauf befindenden Gegenstände verbunden, soweit der Schuldner nicht selbst für deren Wegführung oder Auslagerung besorgt ist (vgl. nur ADRIANO MAISSEN, Die Zwangsvollstreckung nach Art. 343 ZPO, ZZZ 2010 S. 64). Dasselbe gilt für Raubtiere, die zwar keine Sachen sind (Art. 641a Abs. 1 ZGB), für die aber die auf Sachen anwendbaren Vorschriften auch gelten, soweit - wie hier - keine besonderen Regelungen bestehen (Art. 641a Abs. 2 ZGB).
4.4. Zur Durchführung der Räumung werden die weggenommenen Sachen grundsätzlich für eine gewisse Zeit hinterlegt und anschliessend verwertet oder entsorgt (vgl. DANIEL STAEHELIN, in: Kommentar zur Schweizerischen Zivilprozessordnung [ZPO], Sutter-Somm/Hasenböhler/Leuenberger [Hrsg.], 3. Aufl. 2016, N. 24 zu Art. 343 ZPO; MAISSEN, a.a.O., S. 64; FELIX RAJOWER, Prozessuale Aspekte der Ausweisung von Mietern, AJP 1998 S. 804; RETO M. JENNY, in: Schweizerische Zivilprozessordnung, Brunner/Gasser/Schwander [Hrsg.], 2. Aufl. 2016, N. 22 zu Art. 343 ZPO). Die Kosten sind in der Regel von der obsiegenden Partei vorzuschiessen, werden aber schliesslich dem Schuldner auferlegt (MAISSEN, a.a.O., S. 64; FRANZ KELLERHALS, in: Berner Kommentar, 2012, N. 63 f. zu Art. 343 ZPO; FRANCESCO TREZZINI, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero [CPC], 2017, N. 24 zu Art. 343 ZPO). Zur Vermeidung entsprechender Kosten erscheint nicht ausgeschlossen, dass - nach entsprechender Androhung an den Schuldner - in besonderen Fällen eine Verwertung durch den Verkauf an Dritte auch ohne kurzzeitige Hinterlegung in Betracht fällt, zumal wenn der Schuldner schon reichlich Zeit zur Wegführung hatte und die - letztlich vom Schuldner zu tragenden - Kosten hoch ausfallen würden.
4.5. Die Vorinstanz hat Bundesrecht nicht verletzt und namentlich die Tragweite von Art. 343 Abs. 1 lit. d ZPO nicht verkannt, wenn sie festhielt, dass der Vollstreckungsentscheid vom 9. März 2016 eine hinreichende Rechtsgrundlage für die umstrittene Wegnahme der Raubtiere bildet und die möglichen Modalitäten der Räumung des Grundstücks auch in Bezug auf die Raubtiere durchführbar sind.
5.
Die Beschwerde ist abzuweisen, soweit darauf einzutreten ist. Die Gerichtskosten sind bei diesem Ausgang des Verfahrens dem Beschwerdeführer zu auferlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Dieser hat der anwaltlich vertretenen Beschwerdegegnerin deren Parteikosten für das Verfahren vor Bundesgericht zu ersetzen (Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG), wobei nach Art. 12 Abs. 1 des Reglements vom 31. März 2006 über die Parteientschädigung und die Entschädigung für die amtliche Vertretung im Verfahren vor dem Bundesgericht (SR 173.110.210.3) eine Pauschale zuzusprechen ist, welche die Mehrwertsteuer enthält.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 2'500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Solothurn, Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. November 2017
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Die Gerichtsschreiberin: Marti-Schreier