Sachverhalt:
A.
A._ und B._ sind die verheirateten Eltern der Tochter C._ (geb. 9. Februar 2009).
B.
B.a. Mit Eingabe vom 28. Januar 2015 beantragte B._ beim Bezirksgericht Luzern die Aufhebung des gemeinsamen Haushaltes sowie die Regelung der damit verbundenen Folgen.
B.b. Anlässlich der Eheschutzverhandlung vom 12. Mai 2015 schlossen die Eltern vor dem Bezirksgericht Luzern eine Vereinbarung, in der sie den Kontakt zu ihrer Tochter bis zum Vorliegen eines rechtskräftigen Eheschutzentscheides regelten.
B.c. Am 23. Juni 2015 fällte das Bezirksgericht Luzern den Eheschutzentscheid. Es stellte C._ unter die alternierende Obhut der Eltern und hielt fest, dass C._ ihren gesetzlichen Wohnsitz bei der Mutter hat. Ferner regelte das Bezirksgericht den Unterhalt des Kindes und der Mutter und wies das eheliche Haus A._ zu alleinigem Nutzen und Gebrauch zu.
C.
C.a. Gegen den Entscheid des Bezirksgerichts legte B._ Berufung beim Kantonsgericht Luzern ein.
C.b. Am 12. November 2015 fand vor dem Kantonsgericht eine Instruktionsverhandlung statt, an der die Parteien befragt wurden. Tags darauf beauftragte der Instruktionsrichter die Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde (KESB) Luzern damit, eine Erziehungs beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB zu errichten. Am 4. Dezember 2015 unterrichtete die KESB Luzern das Kantonsgericht darüber, dass es, das Ka ntonsgericht, die Errichtung einer Beistandschaft anordnen müsse. In der Verfügung sei zu erwähnen, ob das Besuchsrecht gemäss Anordnung des Bezirksgerichts gelte oder ob ein neues Besuchsrecht vorsorglich durch das Kantonsgericht festgelegt worden sei.
C.c. Mit Urteil vom 21. Januar 2016 änderte das Kantonsgericht, soweit vor Bundesgericht von Interesse, das bezirksgerichtliche Urteil insofern ab, als es C._ unter die (alleinige) Obhut der Mutter stellte. Der Vater wurde berechtigt und verpflichtet, C._ auf eigene Kosten und ohne Abzüge an den Unterhaltsbeiträgen jedes zweite Wochenende von Freitag, Schulschluss am Mittag, bis Montag, Schulbeginn am Morgen, sowie während sechs Wochen pro Jahr in den Schulferien zu sich zu Besuch zu nehmen. Ferner verpflichtete das Kantonsgericht A._, ab 1. August 2015 an den Unterhalt von C._ monatlich Fr. 1'205.-- zuzüglich Kinderzulagen zu bezahlen (Ziffer 1 des Dispositivs). Weiter errichtete das Kantonsgericht für C._ eine Besuchsbeistandschaft im Sinn von Art. 308 Abs. 2 ZGB; die Bestimmung der Person des Beistandes blieb der KESB Luzern überlassen (Ziffer 4 des Dispositivs). Schliesslich bestätigte das Kantonsgericht den erstinstanzlichen Kostenspruch. Die Gerichtskosten des Berufungsverfahrens auferlegte es A._; die oberinstanzlichen Parteikosten hatte jede Partei selbst zu tragen (Ziffer 5 des Dispositivs).
D.
D.a. Mit Beschwerde in Zivilsachen vom 4. März 2016 wendet sich A._ (Beschwerdeführer) an das Bundesgericht. Er verlangt die Anordnung der alternierenden Obhut, wobei seine Betreuungszeiten wie folgt zu regeln seien: Jede zweite Woche von Freitag Schulschluss am Mittag bis Dienstag Schulschluss sowie alternierend jede andere zweite Woche von Montag Schulschluss am Mittag bis Mittwoch Schulanfang; dazu während sechs Wochen in den Schulferien. Die monatlichen Kinderalimente seien ab 1. August 2015 bis zum bundesgerichtlichen Obhutsentscheid auf Fr. 1'205.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) und für die Zeit danach auf Fr. 1'090.-- (zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 115.--) festzusetzen. Im Eventualantrag verlangt der Beschwerdeführer, die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
D.b. Der Beschwerdeführer hat ein Gesuch um aufschiebende Wirkung gestellt, dem sich B._ (Beschwerdegegnerin) widersetzte. Das Bundesgericht entsprach dem Antrag zwecks Aufrechterhaltung des bisherigen Zustandes (Verfügung vom 18. März 2016).
D.c. In einer weiteren Eingabe vom 11. Mai 2016 hielt die Beschwerdegegnerin an ihrem Standpunkt fest, wonach die gemeinsame Obhut mit alternierender Betreuung im vorliegenden Fall eklatant gegen das Kindeswohl verstosse. Sie reichte Ausdrucke von an sie gerichteten E-Mails des Kinder- und Jugendschutzes der Stadt Luzern ein. Einem ersten Schreiben zufolge ist der Beschwerdeführer darüber informiert worden und damit einverstanden, dass die Besuche bis zu einem persönlichen Gespräch mit C._ sistiert seien. In einer zweiten E-Mail wurde der Beschwerdegegnerin mitgeteilt, dass die Besuche beim Vater jedes zweite Wochenende jeweils am Sonntag stattfinden, und ein weiteres Gespräch der Behörde mit dem Kind angekündigt.
D.d. Das Bundesgericht hat die Beschwerdegegnerin und die Vorinstanz eingeladen, in der Sache Stellung zu nehmen. Die Beschwerdegegnerin beantragt, die Beschwerde ihres Ehemannes kostenpflichtig abzuweisen (Eingabe vom 19. September 2016). Denselben Antrag stellt - unter Verzicht auf eine ausführliche Stellungnahme - auch das Kantonsgericht (Schreiben vom 16. September 2016). Die Eingaben wurden dem Beschwerdeführer zur Wahrung des rechtlichen Gehörs zugestellt.
Erwägungen:
1.
Der Beschwerdeführer wehrt sich binnen Frist gegen den Endentscheid einer letzten kantonalen Instanz (Art. 75, 90 und 100 BGG) über die Anordnung von Massnahmen zum Schutz der ehelichen Gemeinschaft (Art. 172 ff. ZGB). Wie vor der letzten kantonalen Instanz betrifft diese zivilrechtliche Streitigkeit (Art. 72 Abs. 1 BGG) auch vor Bundesgericht zum einen die Regelung der elterlichen Obhut über die gemeinsame Tochter C._ und zum andern den Kindesunterhalt. Stehen sowohl vermögensrechtliche als auch nicht vermögensrechtliche Fragen im Streit, ist die Beschwerde ohne Streitwerterfordernis zulässig (Urteil 5A_667/2011 vom 23. Januar 2012 E. 1.1 mit Hinweis). Die übrigen Eintretensvoraussetzungen sind erfüllt und geben zu keinen Bemerkungen Anlass. Auf die Beschwerde ist einzutreten.
2.
2.1. Eheschutzentscheide unterstehen Art. 98 BGG (BGE 133 III 393 E. 5.1 und 5.2 S. 396 f.). Daher kann nur die Verletzung verfassungsmässiger Rechte gerügt werden (s. dazu BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588). Es gilt das strenge Rügeprinzip (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass das Bundesgericht nur klar und detailliert erhobene und soweit möglich belegte Rügen prüft. Auf ungenügend begründete Rügen und rein appellatorische Kritik am angefochtenen Entscheid tritt es nicht ein (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246; 133 II 396 E. 3.1 S. 399 f.). Wird die Verletzung des Willkürverbots gerügt, reicht es daher nicht aus, wenn der Beschwerdeführer die Sach- oder Rechtslage aus seiner Sicht darlegt und den davon abweichenden angefochtenen Entscheid als willkürlich bezeichnet. Vielmehr muss er im Einzelnen darlegen, inwiefern das kantonale Gericht willkürlich entschieden haben soll und der angefochtene Entscheid deshalb an einem qualifizierten und offensichtlichen Mangel leidet (BGE 134 II 244 E. 2.2 S. 246). Auch eine Berichtigung oder Ergänzung der Sachverhaltsfeststellungen kommt nur in Frage, wenn die kantonale Instanz verfassungsmässige Rechte verletzt hat (BGE 133 III 585 E. 4.1 S. 588), was die rechtsuchende Partei wiederum präzise geltend zu machen hat.
2.2. Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen vor Bundesgericht nur so weit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG). Tatsachen oder Beweismittel, die erst nach dem angefochtenen Entscheid zutage getreten oder entstanden sind, können nicht durch das weiter gezogene Urteil veranlasst worden sein. Solche echten Noven sind im bundesgerichtlichen Verfahren unzulässig (BGE 133 IV 342 E. 2.1 S. 343 f.). Dies übersieht die Beschwerdegegnerin, wenn sie das angefochtene Urteil vor Bundesgericht mit Hinweisen darauf rechtfertigen will, wie sich C._s Situation seither entwickelt hat. Unbeachtlich bleiben muss auch die Tatsache, dass die aktuell praktizierte Besuchsregelung von der Vereinbarung abweicht, welche die Parteien am 12. Mai 2015 vor Bezirksgericht abgeschlossen hatten (vgl. Sachverhalt Bst. B.b).
3.
Anlass zur Beschwerde gibt zunächst die Art und Weise, wie es im vorinstanzlichen Verfahren zur Errichtung der Beistandschaft kam.
3.1. Der Beschwerdeführer stört sich an der vorinstanzlichen Feststellung, wonach die Erziehungsbeistandschaft für C._ nach der Instruktionsverhandlung vom 12. November 2015 errichtet worden sei. Dies sei aktenwidrig. Erst nach wochenlangem Warten habe sich aufgrund einer telefonischen Nachfrage bei der KESB Luzern am 13. Januar 2016 herausgestellt, dass der Beistand aus formellen Gründen nicht habe bestellt werden können und die KESB Luzern dies dem Kantonsgericht am 4. Dezember 2015 schriftlich mitgeteilt hatte (s. Sachverhalt Bst. C.b). Für den Beschwerdeführer geht aus dem fraglichen Schreiben der KESB Luzern "klar hervor", dass die Beistandschaft als vorsorgliche Massnahme gedacht gewesen war, mit der im kantonsgerichtlichen Verfahren versucht werden sollte, den Kommunikationskonflikt zwischen den Eltern im Hinblick auf eine mögliche Bestätigung der alternierenden Obhut zu "neutralisieren" und die familiäre Situation im Lichte des Kindeswohls besser einzuschätzen. Dies decke sich mit dem, was an der Instruktionsverhandlung besprochen worden sei. Der Vorinstanz wirft der Beschwerdeführer vor, den "nie kommunizierten Fehler" dadurch "heilen" zu wollen, dass sie in ihrem Entscheid erneut die Errichtung einer Besuchsbeistandschaft verfüge. Damit mache sie die "ursprünglich gewünschte Wirkung" der Beistandschaft "komplett zunichte", was gegen Treu und Glauben verstosse. Wenn die Vorinstanz eine geteilte Obhut allein mit dem Hinweis auf den massiven Widerstand der Beschwerdegegnerin ausschliesse und ihm, dem Beschwerdeführer, zugleich ohne Begründung die Möglichkeit nehme, diesen vehementen, einseitigen Widerstand mittels eines eingesetzten Beistands zu durchbrechen, erweise sich der vorliegende Eheschutzentscheid schon deshalb als offensichtlich unbillig und in stossender Weise ungerecht. Der Instruktionsrichter habe die Hinweise der KESB Luzern ignoriert und sich willkürlich über den gemeinsamen Wunsch der Parteien hinweggesetzt, eine Beistandsperson zur Konfliktminimierung beizuziehen.
3.2. Die Beschwerdegegnerin bestreitet, dass die Beistandschaft einvernehmlich mit dem Ziel errichtet worden sei, die Kommunikation zwischen den Eltern zu verbessern und so die Basis für eine alternierende Obhut vorzubereiten. Wie sich aus dem Verhandlungsprotokoll ergebe, habe sie, die Beschwerdegegnerin, der Beistandschaft nur unter der Voraussetzung zugestimmt, dass sie lösungsorientiert sei. Sie habe sich eine Entspannung für die Tochter erhofft, die bereits im November 2015 mit den häufigen, langen Besuchswochenenden beim Vater überfordert gewesen sei. Dass die Beistandschaft noch vor der gerichtlichen Zuteilung der Obhut eingerichtet werden sollte, stimme nicht und ergebe sich auch nicht aus dem Wortlaut des Protokolls der Verhandlung vom 12. November 2015. Die gegenteilige Betrachtungsweise sei reine Interpretation des Beschwerdeführers.
3.3. Das Kantonsgericht erwähnt, dass der Instruktionsrichter am 13. November 2015 eine Beistandschaft gemäss Art. 308 Abs. 2 ZGB anordnete. Es verschweigt indessen, dass und weshalb die KESB Luzern dieser Anordnung nicht Folge leistete und weshalb der Instruktionsrichter im kantonsgerichtlichen Verfahren nicht auf der Anordnung bestand (s. Sachverhalt Bst. C.b). Aus diesem Geschehensablauf folgt nun aber nicht, dass das Vorgehen der Vorinstanz als verfassungswidrig einzustufen ist. Weder tut der Beschwerdeführer dar, inwiefern er einen Anspruch darauf hatte, dass das Kantonsgericht mit seinem Urteil bis zur Einsetzung eines Besuchsrechtsbeistands zuwartete, noch zeigt er auf, warum die Vorinstanz mit ihrer Vorgehensweise einen derartigen Anspruch in verfassungswidriger Weise verletzte. Allein die Tatsache, dass der Instruktionsrichter seine Verfügung nicht umgehend durchsetzte und die Parteien auch nicht über den Widerstand der KESB Luzern informierte, lässt das Vorgehen des Instruktionsrichters bzw. des Kantonsgerichts nicht als willkürlich erscheinen. Vielmehr diente es der Verfahrensbeschleunigung, wenn das Kantonsgericht den Beistand zusammen mit dem Entscheid in der Sache einsetzte. Ausschliesslich appellatorisch sind schliesslich die Beteuerungen, mit denen der Beschwerdeführer sinngemäss geltend macht, der Beistand hätte die Aufgabe gehabt, die Chancen für eine alternierende Obhut zu verbessern. Darauf ist nicht einzutreten (E. 2.1).
4.
Hauptsächlich dreht sich der Streit um die Frage, ob die Obhut über C._ der Mutter allein oder beiden Eltern alternierend zu überlassen ist.
4.1. Nicht Gegenstand des hiesigen Verfahrens ist das väterliche Besuchsrecht, das die Beschwerdegegnerin für zu grosszügig bemessen hält. Die Beschwerdegegnerin hat sich mit dem kantonsgerichtlichen Urteil abgefunden. Das Bundesgerichtsgesetz kennt keine Anschlussbeschwerde (zu den hier nicht gegebenen Ausnahmefällen vgl. BGE 138 V 106 E. 2 S. 110 f.) und untersteht dem Verschlechterungsverbot (s. Urteil 5A_613/2008 vom 15. Juli 2009 E. 3.2). Die gesetzliche Vorgabe, wonach das Gericht bei Kinderbelangen in familienrechtlichen Angelegenheiten ohne Bindung an die Parteianträge entscheidet (Art. 296 Abs. 3 ZPO), gilt in Verfahren vor dem Bundesgericht nicht (vgl. Art. 1 ZPO).
4.2. Das Kantonsgericht spricht sich - anders als das Bezirksgericht - gegen eine geteilte Obhut aus. Es verweist auf die Eingaben und Belege, die ihm die Parteien eingereicht hatten, sowie auf den anlässlich der Instruktionsverhandlung gewonnenen Eindruck und stellt gestützt darauf fest, dass zwischen den Parteien nicht länger von einem bloss geringen Konfliktpotential ausgegangen werden könne. Vielmehr sei in Bezug auf die Betreuungsfrage von einer tiefen Zerstrittenheit mit unnachgiebigem Prozessieren zu sprechen. Im Anschluss an die Instruktionsverhandlung habe der Instruktionsrichter deshalb zur Wahrung des Kindeswohls in dieser konfliktbehafteten Situation eine Besuchsbeistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB angeordnet. Zudem sei dem Protokoll der Anhörung von C._ vom 11. Juni 2015 nicht zu entnehmen, dass das Kind stolz darauf sei, beim Vater zu übernachten. Vielmehr sei einzig davon die Rede, dass sie sehr gerne bei ihm sei.
C._s negativen Äusserungen über den Vater und ihren Zeichnungen samt Text steht das Kantonsgericht kritisch gegenüber. Ob die Mutter ihrer Pflicht zur Bindungstoleranz nachkomme und alles dazu beitrage, das Vater-Tochter-Verhältnis zu unterstützen und zu fördern, sei fraglich. In der Zeit des gemeinsamen Haushalts habe der Vater unbestrittenermassen ein sehr gutes und enges Verhältnis zu seiner Tochter gepflegt, auch wenn er unter der Woche nur untergeordnete alleinige Betreuungsanteile übernommen habe. Angesichts des Loyalitätskonflikts, in dem das Kind stecke, und des hartnäckigen Kampfes, den die Mutter gegen eine geteilte Obhut führe, seien die heutigen Aussagen des Kindes sehr zurückhaltend zu würdigen. Die Befragung der Parteien vor Kantonsgericht habe vorab die tiefe Zerstrittenheit der Eltern bezüglich der Belange von C._ offenbart. Beide würden ihr Verhältnis zur Tochter zwar als gut beschreiben. Nicht untypisch für ein Kind in dieser Situation bewältige C._ ihren Loyalitätskonflikt so, dass sie den meist unbewusst geäusserten Erwartungen des andern Elternteils zu entsprechen versuche, was sich namentlich in der Zeit um die Besuchsübergaben äussere.
Aus den Befragungen der Parteien ergebe sich sodann, dass diese nicht mündlich miteinander kommunizieren, sondern den Weg über E-Mail und SMS wählen. Gemäss dem Beschwerdeführer sei das am 12. Mai 2015 vereinbarte Besuchsrecht eingehalten worden, wobei die Beschwerdegegnerin es in den Herbstferien verweigert habe. Spontane Kontakte mit dem Kind kämen nicht mehr vor. Laut dem Beschwerdeführer möchte die Beschwerdegegnerin nicht, dass er an Elterngesprächen in der Schule teilnehme. Die Beschwerdegegnerin führe aus, dass es C._ mit der neuen Besuchsregelung seit Mai 2015 schlechter gehe. Das Besuchsrecht finde nach Vereinbarung statt, doch brauche C._ danach jeweils ungefähr einen Tag, um wieder ins Gleichgewicht zu finden. Während der Herbstferien habe sie wegen eines Vorfalls vom 4. September 2015 nicht zum Vater zu Besuch gehen wollen. Die Kommunikation sei wegen des Beschwerdeführers chaotisch; er suche Ausreden, lüge und erschwere ihr den Lebensalltag. Sie hätten eine "richtige Feindschaft" gegeneinander.
In den Augen des Kantonsgerichts offenbart das Beweisergebnis ein tiefes Zerwürfnis der Parteien. Es sei davon auszugehen, dass die Beschwerdegegnerin die Tochter vor der Trennung mehr als der Beschwerdeführer persönlich betreut habe, wobei beide Parteien schon damals berufstätig gewesen seien, die Beschwerdegegnerin in einem kleineren Rahmen. Anhaltspunkte dafür, dass der Beschwerdeführer C._ über längere Zeit allein betreut habe, bestünden keine. Von der Weiterführung eines (schützenswerten) Betreuungsmodells könne daher nicht ausgegangen werden. Das Beweisergebnis zeige aber auch, dass der Beschwerdeführer durchaus in der Lage wäre, gut zu C._ zu schauen, zumal zwischen Vater und Tochter bis mindestens im Mai 2015 grundsätzlich ein intaktes Verhältnis bestanden habe. Mit den beidseitigen Teilzeitpensen der Parteien seien die faktischen Voraussetzungen für eine geteilte Obhut grundsätzlich erfüllt. Letztlich scheitere diese Lösung "aber allein am erbitterten Widerstand" der Beschwerdegegnerin und nicht an demjenigen der betroffenen C._. Die Streitigkeiten zwischen den Parteien würden sich glaubhaft auf das Kind auswirken. C._ habe einen näheren emotionalen Zugang zur Mutter. Das Kantonsgericht erklärt dies mit der praktizierten Besuchsregelung sowie damit, dass die Mutter das Kind während des gemeinsamen Haushalts etwas mehr betreut hatte.
Die Vorinstanz kommt zum Schluss, dass mit einer geteilten Obhut für C._ gegen den massiven Widerstand der Beschwerdegegnerin, der sich in der Zwischenzeit durch den hervorgerufenen Loyalitätskonflikt ebenso massiv auf das Wohlergehen von C._ ausgewirkt habe, das Kindeswohl nicht gewahrt werde. Auch wenn die geteilte Obhut aus kinderpsychologischer Sicht und aus rechtspolitischen Gründen zu fördern sei, könne nicht darüber hinweggesehen werden, dass eine solche Lösung primär dem Kindeswohl zu dienen habe, und zwar unabhängig davon, ob die äusseren Voraussetzungen erfüllt seien. Deshalb sei C._ in die alleinige Obhut der Gesuchsgegnerin zu geben.
4.3. Der Beschwerdeführer wirft der Vorinstanz vor, Art. 298 Abs. 2 ZGB willkürlich anzuwenden. Es sei empirisch nachgewiesen, dass Kinder in der alternierenden Obhut besser aufgehoben seien: Sie würden bessere psychische Anpassungswerte zeigen, weniger unter Verlustängsten und unter Zurückweisung leiden, sich emotional stabil fühlen und mit der Familiensituation deutlich zufriedener sein. Für die alternierende Obhut sprächen auch verfassungsrechtliche Überlegungen. Das Zusammenleben von Eltern und Kindern sei grundrechtlich geschützt. Insbesondere bestehe ein Recht auf Kontakt und Zusammenleben, weshalb Eingriffe in diese Rechte einer besonderen Rechtfertigung bedürften.
Mit Blick auf die Beurteilung des Elternkonflikts sind laut dem Beschwerdeführer zwei Ebenen auseinanderzuhalten: Zum einen der "eigentliche gerichtliche Konflikt über die Obhutszuteilung", dem kein erhebliches Gewicht beigemessen werden dürfe. Wer in guten Treuen und Absichten den Rechtsweg beschreite und dem damit verbundenen Konflikt nicht ausweiche, dem könne dieses Verhalten nicht nachteilig angerechnet werden. Der Beschwerdeführer findet, die Vorinstanz setze die Anforderungen an den gerade noch zulässigen elterlichen Konflikt derart hoch an, dass in einem strittigen Verfahren und insbesondere vor einer zweiten kantonalen Instanz per se nicht mehr von einem gemässigten Konflikt ausgegangen werden könnte. Als zweite und entscheidende Ebene hebt der Beschwerdeführer die Beurteilung des Konflikts im Hinblick auf C._ s Alltag hervor. Der Beschwerdeführer beteuert, in dieser Hinsicht in keinem Konflikt mit der Beschwerdegegnerin zu sein. Den Schwierigkeiten bei den Übergaben der Tochter könne der Beistand Abhilfe schaffen. Er, der Beschwerdeführer, habe "auch aktenkundig keine massgeblichen Einwände gegen die Umsetzung der Obhut" durch die Beschwerdegegnerin. Er habe mit der Ausgestaltung der Freizeitaktivitäten, der schulischen Situation und Organisation, der Ernährung etc. überwiegend keine Probleme und streite sich mit der Beschwerdegegnerin auch nicht um solche Details. Die Erziehungsfähigkeit werde gegenseitig nicht in Abrede gestellt und sei deshalb ebenfalls kein Bestandteil des Konflikts. Folglich bestehe kein tiefgreifender Konflikt über die obhutsrelevanten Aspekte von C._. Das tiefe Zerwürfnis der Eltern beschränke sich auf die Frage, wer wie viel Zeit mit C._ verbringen darf. Diese gewichtige Tatsache werde von der Vorinstanz komplett ausgeblendet; das Kantonsgericht lege den Fokus alleine auf den erbitterten Widerstand der Beschwerdegegnerin.
Dem Kantonsgericht hält der Beschwerdeführer entgegen, die geteilte Obhut allein am konsequenten massiven Widerstand der Beschwerdegegnerin und dem dadurch hervorgerufenen Loyalitätskonflikt der Tochter scheitern zu lassen. Das unfaire, manipulative Verhalten der Beschwerdegegnerin werde zwar im angefochtenen Entscheid festgestellt, analysiert und auch stark kritisiert. Die Beschwerdegegnerin trage jedoch keinerlei negative Folgen davon, sondern gehe mit ihrer Verhaltensweise als "grosse Siegerin" aus dem Verfahren hervor. Inwiefern sich der durch die Beschwerdegegnerin stark geförderte Loyalitätskonflikt effektiv auf das Kindeswohl auswirke, erwähne die Vorinstanz mit keinem Wort. Der Entscheid, die alternierende Obhut einzig aufgrund des massiven Widerstands der Beschwerdegegnerin zu "kippen", sei grob stossend, offensichtlich unhaltbar und widerspreche dem grundsätzlichen Gerechtigkeitsgedanken. Die Zuteilung der alleinigen elterlichen Obhut an die Beschwerdegegnerin basiere auf Willkür, denn objektive Kriterien würden "aktenkundig ausser Acht gelassen". Eine solche Rechtsprechung öffne Tür und Tor für oppositionelles Verhalten eines Elternteils im Trennungs- und Scheidungsverfahren, das den gesetzgeberischen Intentionen und dem kinderpsychologischen Wissensstand diametral entgegenstehe. Die Möglichkeit des Richters, auch gegen den Willen eines Elternteils auf die alternierende Obhut zu erkennen, werde damit ad absurdum geführt; de facto führe die Vorinstanz das mit dem neuen Recht als überwunden geglaubte Veto-Recht wieder ein, könne ein Elternteil die alternierende Obhut doch einfach dadurch verhindern, dass er sich durch blosse, jedoch genügend intensive oder querulatorische Opposition auf Kosten der Kinder quer stelle. Zuletzt beklagt sich der Beschwerdeführer darüber, dass das Kantonsgericht bei der Ausübung einer alternierenden Obhut zwar eine Gefährdung von C._ s Wohl befürchte, jedoch in keiner Weise begründe, inwieweit das Kindeswohl durch einen erweiterten Kontakt mit ihm, dem Beschwerdeführer, gefährdet sein soll - dies obschon das Kindeswohl im Bereich der Obhutszuteilung durch das Gericht genau zu prüfen wäre.
4.4. Die Beschwerdegegnerin schliesst sich der Meinung des Kantonsgerichts an. Stünden sich die Eltern - wie hier - beinahe feindlich gegenüber und stelle sich das Kind selbst eindeutig gegen die Ausweitung der Betreuungszeiten, sei die alleinige Obhut - hier der Mutter - der einzig richtige Entscheid, um dem Kind die nötige und gewohnte Stabilität zu erhalten. Laut der Beschwerdegegnerin möchte C._ die überwiegende Zeit bei der Mutter verbringen und nicht wöchentlich zum Vater wechseln. Das Beharren des Vaters auf einem Betreuungsanteil, der über ein Besuchsrecht alle zwei Wochen am Wochenende hinausgehe, sei mit dem Bedürfnis des Kindes nicht vereinbar. Zentraler Konfliktpunkt sei die konkrete Frage des Umfangs der Betreuung von C._, nicht die einseitige Aufrechterhaltung des Konflikts, um dem Beschwerdeführer zu schaden. Die Beschwerdegegnerin bestreitet, als "grosse Siegerin" aus dem Verfahren hervorgehen zu wollen; dies seien die Worte des Beschwerdeführers, der sich offensichtlich als Verlierer fühle. Ihr gehe es einzig darum, die Bedürfnisse von C._ zu anerkennen und zu wahren. Im Übrigen hält die Beschwerdegegnerin die Voraussetzungen für eine alternierende Obhut nicht für erfüllt. In der Vergangenheit habe C._ kaum Zeit mit dem Beschwerdeführer allein zu Hause verbracht. Aus der Zeit des Zusammenlebens lasse sich die alternierende Obhut demnach nicht ableiten. Der alternierenden Obhut stehe auch die räumliche Distanz zwischen den getrennt lebenden Eltern entgegen. Der Beschwerdeführer lebe noch immer in der ehelichen Liegenschaft in Mühlau und sei bisher nicht nach Luzern umgezogen. Zur Überbrückung des Weges wäre C._ darauf angewiesen, dass der Beschwerdeführer sie mit dem Auto in die Schule bringe und wieder abhole.
4.5. Das Bundesgericht hat sich vor kurzem eingehend mit der Frage befasst, nach welchen Kriterien zu entscheiden ist, ob die alternierende Obhut - allenfalls auch gegen den Willen eines Elternteils - angeordnet werden kann (Urteile 5A_904/2015 vom 29. September 2016 E. 3.2.3 und 5A_991/2015 vom 29. September 2016 E. 4, beide zur Publikation vorgesehen). Unter den Kriterien, auf die es bei dieser Beurteilung ankommt, ist zunächst die Erziehungsfähigkeit der Eltern hervorzuheben, und zwar in dem Sinne, dass die alternierende Obhut grundsätzlich nur dann in Frage kommt, wenn beide Eltern erziehungsfähig sind. Weiter erfordert die alternierende Obhut organisatorische Massnahmen und gegenseitige Informationen. Insofern setzt die praktische Umsetzung einer alternierenden Betreuung voraus, dass die Eltern fähig und bereit sind, in den Kinderbelangen miteinander zu kommunizieren und zu kooperieren. Allein aus dem Umstand, dass ein Elternteil sich einer alternierenden Betreuungsregelung widersetzt, kann indessen nicht ohne Weiteres auf eine fehlende Kooperationsfähigkeit der Eltern geschlossen werden, die einer alternierenden Obhut im Wege steht. Ein derartiger Schluss könnte nur dort in Betracht fallen, wo die Eltern aufgrund der zwischen ihnen bestehenden Feindseligkeiten auch hinsichtlich anderer Kinderbelange nicht zusammenarbeiten können, mit der Folge, dass sie ihr Kind im Szenario einer alternierenden Obhut dem gravierenden Elternkonflikt in einer Weise aussetzen würden, die seinen Interessen offensichtlich zuwider läuft. Zu berücksichtigen ist ferner die geographische Situation, namentlich die Distanz zwischen den Wohnungen der beiden Eltern, und die Stabilität, welche die Weiterführung der bisherigen Regelung für das Kind gegebenenfalls mit sich bringt. In diesem Sinne fällt die alternierende Obhut eher in Betracht, wenn die Eltern das Kind schon vor ihrer Trennung abwechselnd betreuten. Weitere Gesichtspunkte sind die Möglichkeit der Eltern, das Kind persönlich zu betreuen, das Alter des Kindes, seine Beziehungen zu (Halb- oder Stief-) Geschwistern und seine Einbettung in ein weiteres soziales Umfeld (vgl. Urteile 5A_46/2015 vom 26. Mai 2015 E. 4.4.2 und 4.4.5; 5A_345/2014 vom 4. August 2014 E. 4.2). Auch dem Wunsch des Kindes ist Beachtung zu schenken, selbst wenn es bezüglich der Frage der Betreuungsregelung (noch) nicht urteilsfähig ist. Der Richter, der den Sachverhalt von Amtes wegen erforscht (Art. 296 Abs. 1 ZPO bzw. Art. 314 Abs. 1 i.V.m. Art. 446 ZGB), wird im konkreten Fall entscheiden müssen, ob und gegebenenfalls in welcher Hinsicht Hilfe von Sachverständigen erforderlich ist, um die Aussagen des Kindes zu interpretieren, insbesondere um erkennen zu können, ob diese seinem wirklichen Wunsch entsprechen. Während die alternierende Obhut in jedem Fall die Erziehungsfähigkeit beider Eltern voraussetzt, sind die weiteren Beurteilungskriterien oft voneinander abhängig und je nach den konkreten Umständen des Einzelfalls von unterschiedlicher Bedeutung. So spielen das Kriterium der Stabilität und dasjenige der Möglichkeit zur persönlichen Betreuung des Kindes bei Säuglingen und Kleinkindern eine wichtige Rolle. Geht es hingegen um Jugendliche, kommt der Zugehörigkeit zu einem sozialen Umfeld grosse Bedeutung zu. Die Kooperationsfähigkeit der Eltern wiederum verdient besondere Beachtung, wenn das Kind schulpflichtig ist oder die geografische Entfernung zwischen den Wohnorten der Eltern ein Mehr an Organisation erfordert. Oberste Maxime ist das Kindeswohl.
4.6. Folgt man dem angefochtenen Entscheid, so sind die objektiven Voraussetzungen für die Einrichtung einer alternierenden Obhut erfüllt. Soweit die Beschwerdegegnerin sich darauf beruft, dass sich der Beschwerdeführer in der Vergangenheit kaum längere Zeit allein um C._ gekümmert habe, übt sie appellatorische Kritik am von der Vorinstanz willkürfrei festgestellten Sachverhalt (vgl. E. 2.1). Laut der Vorinstanz scheitert die alternierende Obhut also einzig und allein am erbitterten Widerstand der Mutter gegen diese Betreuungslösung (s. E. 4.2). Wie sich aus der zitierten bundesgerichtlichen Rechtsprechung ergibt, sind Differenzen über die Betreuungsanteile für sich allein aber kein hinreichender Grund, von der Einrichtung einer alternierenden Obhut abzusehen. Ein Zerwürfnis der Eltern bzw. ihre allfällige Unfähigkeit, miteinander zu kommunizieren, steht einer alternierenden Obhut nur dort entgegen, wo die Eltern auch in anderen Kinderbelangen in gravierender Weise entzweit sind und nicht miteinander kooperieren können, so dass das Kind im Falle einer alternierenden Obhut Gefahr läuft, in seinem Wohlbefinden beeinträchtigt zu werden (E. 4.5).
Ob eine solche Gefährdung des Kindeswohls zu befürchten ist, lässt sich nur anhand einer Prognose beurteilen, welche die konkreten Umstände berücksichtigt (s. die zitierten Urteile 5A_991/2015, E. 4.2, und5A_904/2015, E. 3.2.3). In dieser Hinsicht erweist sich der angefochtene Entscheid als unvollständig: Dass sich die Eltern - über ihre unterschiedlichen Auffassungen betreffend das Betreuungsmodell hinaus - auch über andere Kinderbelange nicht einigen könnten, ist weder von den Parteien behauptet noch von der Vorinstanz festgestellt worden. Auch was den gegenwärtigen Zustand des Kindes bzw. die Frage angeht, ob und gegebenenfalls in welcher Weise sich bestehende Spannungen zwischen den Eltern auf das Kindeswohl auswirken, lassen sich dem angefochtenen Entscheid keine eindeutigen Erkenntnisse entnehmen: Einerseits findet das Kantonsgericht, das Verhältnis zwischen Vater und Tochter sei gut, anderseits erklärt es, dass sich die Zwistigkeiten zwischen den Eltern auf die Tochter "ausgewirkt" hätten. Worin diese Auswirkungen bestehen, bleibt allerdings im Dunkeln. Allein die Hinweise des Kantonsgerichts auf Probleme bei den Besuchsübergaben und auf Widerstände der Tochter, zum Vater zu gehen, vermögen eine sachverhaltsbasierte Prognose darüber, wie die Situation im Szenario einer alternierenden Obhut aussehen dürfte, nicht zu ersetzen. Dasselbe gilt für den Loyalitätskonflikt, den die Beschwerdegegnerin bei C._ dem angefochtenen Entscheid zufolge durch ihren massiven Widerstand gegen die alternierende Obhut in der Zwischenzeit hervorgerufen haben soll: Inwiefern das Kind im Falle einer alleinigen Obhut der Beschwerdegegnerin mit den Folgen der Trennung seiner Eltern besser zurechtkomme als bei einer alternierenden Obhut, vermag das Kantonsgericht nicht zu erklären. Die Gefahr, dass sich der Loyalitätskonflikt negativ auf ihr Wohlbefinden auswirkt, besteht für die Tochter auch dann, wenn sie ihren Vater nur alle vierzehn Tage übers Wochenende sieht. Allfälligen Belastungen infolge häufigerer Übergaben trägt die bereits eingerichtete Beistandschaft nach Art. 308 Abs. 2 ZGB Rechnung.
Im Ergebnis beklagt sich der Beschwerdeführer also zu Recht darüber, dass es dem angefochtenen Entscheid an einer Begründung gebreche, weshalb C._ s Wohl durch einen erweiterten Kontakt im Sinne einer alternierenden Obhut gefährdet sein soll. Das Kantonsgericht wird sich mit dieser Frage nach Massgabe der bundesgerichtlichen Rechtsprechung in einem neuen Entscheid befassen müssen. Die Beschwerde erweist sich mithin im Sinne des Eventualantrags (Ziffer 4 der Anträge; vgl. Sachverhalt Bst. D.a.) als begründet.
5.
Was die monatlichen Unterhaltsbeiträge für C._ angeht, erklärt sich der Beschwerdeführer in Ziffer 3 seiner Anträge bereit, ab 1. August 2015 bis zum Entscheid des Bundesgerichts den Betrag von Fr. 1'205.-- (zuzüglich allfälliger Kinderzulagen) zu bezahlen, den das Kantonsgericht festgesetzt hatte. Ab dem Zeitpunkt des bundesgerichtlichen Urteils soll die vom Bezirksgericht getroffene Regelung gelten (monatliche Kinderalimente von Fr. 1'090.-- zuzüglich Kinderzulagen von Fr. 115.--). In der Begründung dieses Begehrens steht geschrieben, die beantragten Unterhaltsbeiträge für C._ würden sich "nach der zu erteilenden alternierenden Obhut durch das Bundesgericht" richten. Damit bringt der Beschwerdeführer zum Ausdruck, dass er die Begehren zum Kindesunterhalt nicht unabhängig von denjenigen zur Obhutsfrage stellt. Entsprechend erfasst der unter Ziffer 4 gestellte Eventualantrag, den das Bundesgericht gutheisst (s. E. 4.6), sowohl das Begehren betreffend die Obhut als auch dasjenige betreffend den Unterhalt. Die Vorinstanz wird im Rahmen der Rückweisung deshalb auch über die Kinderalimente neu zu befinden haben, zumal Unterhalt und Betreuungsregelung zusammenhängen.
6.
Nach dem Gesagten ist die Beschwerde im Sinne des Eventualantrags, das heisst teilweise gutzuheissen. Der angefochtene Entscheid ist aufzuheben. Die Sache ist zur ergänzenden Feststellung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid an das Kantonsgericht zurückzuweisen. Im Rahmen der Rückweisung wird die Vorinstanz gegebenenfalls auch über die Kosten- und Entschädigungsfolgen des kantonalen Verfahrens neu zu befinden haben. Bei diesem Ausgang des Verfahrens rechtfertigt es sich, die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG). Im Übrigen haben die Parteien ihre eigenen Aufwendungen für das bundesgerichtliche Verfahren selbst zu tragen (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen. Das Urteil des Kantonsgerichts Luzern, 2. Abteilung, vom 21. Januar 2016 wird insoweit aufgehoben, als die Tochter C._ (geb. 9. Februar 2009) in die Obhut der Beschwerdegegnerin gegeben, das Besuchs- und Ferienrecht des Beschwerdeführers geregelt und der Kindesunterhalt festgesetzt wird, sowie in Bezug auf die darauf entfallenden Gerichtskosten und Parteientschädigungen des kantonalen Verfahrens. Die Sache wird zur ergänzenden Sachverhaltsfeststellung und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden den Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Kantonsgericht Luzern, 2. Abteilung, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 23. Dezember 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Monn