Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist das Urteil einer kantonalen Rechtsmittelinstanz über einen definitiven Rechtsöffnungsentscheid, mithin eine Schuldbetreibungs- und Konkurssache. Die gesetzliche Streitwertgrenze ist erreicht. Die Beschwerde in Zivilsachen ist gegeben, womit die ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde entfällt (Art. 72 Abs. 2 lit. a, Art. 74 Abs. 1 lit. b, Art. 75 und Art. 113 BGG).
1.2. Mit der vorliegenden Beschwerde kann insbesondere die Verletzung von Bundesrecht gerügt werden (Art. 95 lit. a BGG). In der Beschwerde ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG; BGE 134 III 102 E. 1.1 S. 104). Die Missachtung verfassungsmässiger Rechte ist ebenfalls zu begründen (Art. 106 Abs. 2 BGG), wobei hier das Rügeprinzip gilt (BGE 133 III 589 E. 2 S. 591).
1.3. Das Bundesgericht wendet das Bundesrecht von Amtes wegen an (Art. 106 Abs. 1 BGG). Es legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 BGG). Neue Tatsachen und Beweismittel dürfen nur soweit vorgebracht werden, als erst der Entscheid der Vorinstanz dazu Anlass gibt (Art. 99 Abs. 1 BGG).
1.4. Der Beschwerdeführer verlangt einzig, das obergerichtliche Urteil sei aufzuheben, allenfalls mit Rückweisung an die Vorinstanz zu neuem Entscheid. Mit diesem Antrag verkennt er die reformatorische Rechtsnatur der Beschwerde (Art. 107 Abs. 2 BGG). Auch wenn ein Antrag in der Sache fehlt, ergibt sich immerhin aus der Begründung, dass das Gesuch der Gläubigerin (Beschwerdegegnerin) um definitive Rechtsöffnung abgewiesen werden soll.
2.
2.1. Die Vorinstanz ist den vom Beschwerdeführer gegen die beiden definitiven Rechtsöffnungstitel erhobenen Einwendungen nicht gefolgt. Sie erachtete die Stundung als nicht bewiesen. Die Vorbringen im Hinblick auf die Verrechnung sind nach Ansicht der Vorinstanz überdies ungenügend.
2.2. Der Beschwerdeführer besteht auch vor Bundesgericht darauf, dass er mit der Beschwerdegegnerin eine mündliche Vereinbarung getroffen habe, wonach sämtliche gegenseitigen Forderungen aus dem väterlichen Nachlass bis zum Zeitpunkt der Teilung des mütterlichen Nachlasses gestundet seien. Zudem macht der Beschwerdeführer die Verrechnung geltend. Zu diesen beiden Sachverhalten hätte die Beschwerdegegnerin vom Gericht befragt werden müssen.
3.
Anlass zur vorliegenden Beschwerde geben die Einwände in einem Verfahren der definitiven Rechtsöffnung.
3.1. Beruht die Forderung auf einem vollstreckbaren Entscheid eines schweizerischen Gerichts oder einer schweizerischen Verwaltungsbehörde, so wird die definitive Rechtsöffnung erteilt, wenn nicht der Betriebene durch Urkunden beweist, dass die Schuld seit Erlass des Entscheides getilgt oder gestundet worden ist oder die Verjährung anruft (Art. 81 Abs. 1 SchKG). Der Sachverhalt, auf welchem die Einwendungen gründen, muss nicht bloss glaubhaft gemacht werden wie bei der provisorischen Rechtsöffnung (Art. 82 Abs. 2 SchKG). Erforderlich ist vielmehr der strikte Urkundenbeweis (BGE 136 III 624 E. 4.2.3 S. 626; STAEHELIN, in: Basler Kommentar, Bundesgesetz über Schuldbetreibung und Konkurs, 2. Aufl. 2010, N. 4 zu Art. 81). In dieser Hinsicht entsprechen die Anforderungen denjenigen der Klage auf Aufhebung oder Einstellung der Betreibung nach Art. 85 SchKG (BGE 140 III 41 E. 3.3.2 S. 45). Mit dieser Einschränkung der Verteidigungsmittel wollte der Gesetzgeber verhindern, dass der Betriebene bei Vorliegen eines definitiven Rechtsöffnungstitels den Gang der Vollstreckung beliebig behindern kann (SCHMIDT, in: Commentaire romand, Poursuite et faillite, 2005, N. 1 zu Art. 81).
3.2. Vorab kritisiert der Beschwerdeführer, dass die Vorinstanz das Vorgehen der Erstinstanz geschützt habe, die ihm zur Beantwortung des Rechtsöffnungsgesuchs der Beschwerdegegnerin eine Notfrist/ Fristwiederherstellung verwehrte. Er schildert auch vor Bundesgericht sein kulturelles Engagement, welchem das Gericht nicht genügend Rechnung getragen habe. Diese Haltung sei wirklichkeitsfremd und in Anbetracht seiner Belastung im In- und Ausland erweise sich die Verweigerung einer Notfrist im konkreten Fall als willkürlich. Mit diesen (teils neuen) Vorbringen übergeht der Beschwerdeführer die Feststellung der Vorinstanz, wonach die Erstinstanz seine erst nach Fristablauf am 18. Oktober 2016 erfolgte Eingabe gleichwohl berücksichtigt hatte. Damit war auch keine Fristwiederherstellung notwendig. Indem sich der Beschwerdeführer mit dieser Begründung nicht auseinandersetzt, genügt er den Anforderungen an eine Beschwerde nicht (E. 1.2).
3.3. Nicht nachvollziehbar ist der Vorwurf des Beschwerdeführers, die Vollstreckbarkeit des angefochtenen Rechtsöffnungsentscheides hätte von der Vorinstanz aufgeschoben und das Verfahren sistiert werden müssen. Zwar behauptet er, im kantonalen Verfahren ein Gesuch um aufschiebende Wirkung gestellt zu haben, begnügt sich aber mit einem allgemeinen Hinweis auf die Akten. Zudem verweist er auf die Verfügung des Bundesgerichts, wonach im Verfahren 5A_78/2017 (betreffend Pfändungsankündigung) seiner Beschwerde (teilweise) die aufschiebende Wirkung erteilt worden ist. Welche Folgen dies für das Verfahren vor Obergericht hätte haben sollen, wird jedoch nicht weiter begründet.
3.4. In der Sache wirft der Beschwerdeführer der Vorinstanz vor, den Sachverhalt offensichtlich unrichtig festgestellt zu haben. In diesem Zusammenhang kritisiert er, dass die Beschwerdegegnerin nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden war. Soweit er darin eine Verletzung des rechtlichen Gehörs erblickt, ist er darauf aufmerksam zu machen, dass er diesbezüglich in seinen schutzwürdigen Interessen nicht verletzt ist (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Er ist daher nicht berechtigt, anstelle der von der Vorinstanz nicht zur Vernehmlassung eingeladenen Beschwerdegegnerin die Verletzung verfassungsrechtlicher Rechte geltend zu machen. Zudem betont der Beschwerdeführer seinen im kantonalen Verfahren gestellten Antrag, die Beschwerdegegnerin zum Parteiverhör zu laden. Auf diese Weise hätte die Tragweite der mündlichen Stundungsvereinbarung der Parteien und der Hintergrund der Verrechnungseinrede geklärt werden können. Auch hier geht er auf die einlässliche Begründung der Vorinstanz zu den prozessualen Besonderheiten des Rechtsöffnungsverfahrens nicht ein. Er verweist einzig auf die Möglichkeit, im summarischen Verfahren unter gewissen Voraussetzungen neben dem Beibringen von Urkunden auch andere Beweismittel anzubieten (Art. 254 Abs. 2 ZPO). Hingegen äussert er sich mit keinen Wort zur spezialgesetzlichen Regelung von Art. 81 Abs. 1 SchKG, wonach hinsichtlich der gegenüber einem definitiven Rechtsöffnungstitel zulässigen Einwendungen der strikte Urkundenbeweis erforderlich ist. Damit kann der Vorinstanz im Ergebnis keine Verletzung von Bundesrecht vorgeworfen werden, wenn sie eine Stundungsvereinbarung nach Erlass der von der Beschwerdegegnerin angerufenen Rechtsöffnungstitel als nicht erwiesen erachtet hat. Ebenso wenig ist der Vorwurf einer Rechtsverletzung begründet, wenn das Obergericht die Verrechnungserklärung als ungenügend nachgewiesen und zudem als erstmals vorgebrachtes und daher unzulässiges Novum im vorinstanzlichen Verfahren betrachtet hat.
4.
Nach dem Gesagten ist der Beschwerde insgesamt kein Erfolg beschieden. Ausgangsgemäss trägt der Beschwerdeführer die Verfahrenskosten (Art. 66 Abs. 1 BGG). Die Beschwerdegegnerin ist nicht zur Vernehmlassung eingeladen worden, womit ihr kein entschädigungspflichtiger Aufwand entstanden ist (Art. 68 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 3'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2017
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Levante