Erwägungen:
1.
In einem Strafverfahren wegen Betrug, übler Nachrede, Drohung usw. stellte der Beschuldigte A._ mit Schreiben vom 9. Februar 2016 ein Ausstandsbegehren gegen den Polizisten B._. Der Erste Staatsanwalt der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, trat mit Entscheid vom 9. Februar 2016 bzw. mit Berichtigung vom 16. Februar 2016 auf das Ausstandsbegehren nicht ein. Zur Begründung führte er zusammenfassend aus, dass nach Art. 59 Abs. 1 lit. a StPO die Staatsanwaltschaft endgültig über ein Ausstandsgesuch gegen einen Polizisten zu befinden habe. Die Einreichung einer Strafanzeige oder einer Beschwerde gegen die abgelehnte Person reiche nicht aus, um eine Befangenheit zu begründen. Im Ausstandsgesuch müsse vielmehr kurz aufgezeigt werden, weshalb ein Ausstandsgrund vorliegen sollte. Solches lasse sich dem Schreiben vom 9. Februar 2016 nicht entnehmen, weshalb auf das Gesuch nicht einzutreten sei. In einer Alternativbegründung führte der Erste Staatsanwalt zudem aus, dass das Gesuch im Übrigen abzuweisen gewesen wäre. A._ störe sich daran, dass ihm der Polizist eröffnet habe, er werde zugeführt, wenn er einer Vorladung keine Folge leiste. Dies sei die Androhung einer gesetzlich vorgesehenen Folge des Nichteinhaltens einer Vorladung (Art. 205 Abs. 4 StPO) und somit von vornherein nicht strafbar.
2.
A._ führt mit Eingabe vom 20. Februar 2016 (Postaufgabe 22. Februar 2016) Beschwerde in Strafsachen gegen den Entscheid des Ersten Staatsanwalts des Kantons St. Gallen. Das Bundesgericht verzichtet auf die Einholung von Vernehmlassungen.
3.
Nach Art. 42 Abs. 2 BGG ist in der Begründung einer Beschwerde in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid Recht verletzt. Die Bestimmungen von Art. 95 ff. BGG nennen die vor Bundesgericht zulässigen Beschwerdegründe. Hinsichtlich der Verletzung von Grundrechten gilt der in Art. 106 Abs. 1 BGG verankerte Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen nicht; insofern besteht eine qualifizierte Rügepflicht (Art. 106 Abs. 2 BGG; BGE 136 I 49 E. 1.4.1 S. 53, 65 E. 1.3.1 S. 68 mit Hinweisen). Es obliegt dem Beschwerdeführer namentlich darzulegen, inwiefern der angefochtene Entscheid gegen die gerügten Grundrechte verstossen soll.
Der Beschwerdeführer setzt sich mit der Begründung des Ersten Staatsanwalts nicht rechtsgenüglich auseinander. Mit seinen Ausführungen vermag der Beschwerdeführer nicht aufzuzeigen, inwiefern die Haupt- und die Alternativbegründung des Ersten Staatsanwalts bzw. dessen Entscheid selbst rechts- bzw. verfassungswidrig sein soll. Die Beschwerde genügt den gesetzlichen Formerfordernissen offensichtlich nicht, weshalb auf sie im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 Abs. 1 BGG nicht einzutreten ist.
4.
Auf eine Kostenauflage kann verzichtet werden (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und der Staatsanwaltschaft des Kantons St. Gallen, Untersuchungsamt St. Gallen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Februar 2016
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Fonjallaz
Der Gerichtsschreiber: Pfäffli