Considérant en fait et en droit :
1.
Par décision du 22 décembre 2015, le Vice-président du Tribunal civil de la République et canton de Genève (ci-après: le Tribunal civil) a rejeté la requête d'assistance juridique formée par X._, ressortissant français né en 1977 et domicilié en France, visant à intenter une action en dommages-intérêts contre l'Université de Genève, en raison de l'absence de chances de succès, notamment parce que ses prétentions étaient prescrites. Le 4 février 2016, le greffe de l'Assistance juridique a informé l'intéressé de son refus d'entrer en matière sur sa nouvelle demande d'assistance juridique déposée le jour précédent, puisqu'elle concernait la même procédure.
Par courrier daté du 6 mars 2016, mais déposé le 6 avril 2016, X._ a sollicité que la décision du 22 décembre 2015 lui soit à nouveau notifiée, car il ne l'avait pas reçue; il a joint à sa demande un courrier de la Poste française du 22 mars 2016 mentionnant que le facteur en charge de la distribution du courrier recommandé en cause avait attesté avoir déposé celui-ci dans la boîte aux lettres du recourant, par inadvertance. Plusieurs échanges ont eu lieu entre le recourant et le greffe de l'Assistance juridique.
Par acte du 21 avril 2016, X._ a recouru auprès du Vice-président de la Cour de Justice de la République et canton de Genève (ci-après: la Cour de Justice) contre la décision du 22 décembre 2015, en concluant à l'octroi de l'assistance juridique; il a notamment indiqué avoir reçu la décision querellée par courriel du 14 avril 2016 et soutenu que la Poste avait égaré le pli recommandé contenant la décision litigieuse. Par décision du 4 mai 2016, la Cour de Justice a déclaré irrecevable, pour cause de tardiveté, le recours formé par X._ contre la décision du 22 décembre 2015.
2.
X._ saisit le Tribunal fédéral d'un "recours en matière civile et simultanément [d'un] recours constitutionnel subsidiaire" contre la décision d'irrecevabilité du 4 mai 2016. Il estime, en substance, que la régularité de la notification de la décision du Tribunal civil du 22 décembre 2015 à son domicile français doit être vérifiée à l'aune du droit postal français. Il s'interroge au sujet des conséquences d'une attestation médicale sur la possibilité qu'il aurait de former une nouvelle demande d'assistance juridique. Il soutient ne jamais avoir, à défaut de remise contre signature du courrier contenant la décision du Tribunal civil, pris effectivement connaissance de cette décision et insiste, en tant qu'elle serait avérée, sur la distribution viciée du courrier par le facteur français. Il indique, pièce à l'appui, avoir déposé une plainte contre le facteur et la Poste française. Il fait encore valoir une violation de son droit à un procès équitable garanti par l'art. 6 CEDH (RS 0.101) et demande l'assistance juridique complète.
Il n'a pas été ordonné d'échange d'écritures.
3.
Compte tenu de l'issue du présent recours (cf. infra), il est inutile de déterminer par quel biais le recourant devait agir devant le Tribunal fédéral, à savoir par le recours (ordinaire) en matière de droit public ou par le recours constitutionnel subsidiaire. On précisera cela étant qu'à condition que la valeur litigieuse ne soit pas inférieure à 30'000 fr. (cf. art. 85 al. 1 let. a LTF [RS 173.110]) et sous réserve de la responsabilité de l'Etat pour les activités médicales soumise au recours en matière civile (art. 72 al. 2 LTF; art. 31 al. 1 let. d du Règlement du Tribunal fédéral du 20 novembre 2006 [RTF; RS 173.110.131]), le domaine de la responsabilité étatique et les décisions incidentes qui en dépendent (cf. ATF 137 III 261 consid. 1.4 p. 264; 135 I 265 consid. 1.2 p. 269) sont soumises à la voie du recours en matière de droit public (arrêt 2C_443/2012 du 27 novembre 2012 consid. 1.2) et non pas à celle du recours en matière civile, contrairement à ce que la précédente instance cantonale a indiqué au pied de sa décision attaquée.
4.
Le présent recours a pour objet la décision d'irrecevabilité que la Cour de Justice a prononcée en raison de la tardiveté du recours cantonal interjeté à l'encontre de la décision du 22 décembre 2015 refusant l'assistance juridique au recourant. Exorbitantes à l'objet du litige, les considérations du recourant au sujet de la possibilité de déposer une nouvelle demande d'assistance juridique sur la base d'une attestation de son médecin seront donc écartées.
5.
Le Tribunal fédéral conduit son raisonnement juridique sur la base des faits constatés par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF), à moins que ces faits n'aient été établis de façon manifestement inexacte - notion qui correspond à celle d'arbitraire (ATF 138 I 49 consid. 7.1 p. 51) - ou en violation du droit, au sens de l'art. 95 LTF (cf. art. 105 al. 2 LTF). Si le recourant entend s'écarter des constatations de fait de l'autorité précédente (cf. art. 97 al. 1 LTF), il doit expliquer de manière circonstanciée en quoi les conditions d'une exception prévue par l'art. 105 al. 2 LTF seraient réalisées. Sinon, il n'est pas possible de tenir compte d'un état de fait divergent de celui qui est contenu dans l'acte attaqué (ATF 137 II 353 consid. 5.1 p. 356).
5.1. Selon les constatations de fait résultant de la décision attaquée du 4 mai 2016, la décision du Tribunal civil avait été envoyée par pli recommandé au domicile français du recourant le 23 décembre 2015. Bien qu'aucun accusé de réception de cet envoi ne figurât au dossier cantonal, la Poste suisse avait néanmoins confirmé, grâce au système de suivi des envois, que la décision du Tribunal civil avait été distribuée le 26 décembre 2015. En outre, le courrier de la Poste française du 22 mars 2016 a confirmé que le facteur en charge de la distribution avait, au lieu de la lui remettre personnellement, déposé par mégarde le courrier recommandé dans la boîte aux lettres du recourant. Le pli recommandé n'avait de plus pas été retourné à son expéditeur suisse. Se fiant aux indications concordantes des postes suisse et française, la Cour de Justice en a déduit qu'en dépit de l'inadvertance précitée, le courrier contenant la décision du Tribunal civil était parvenu dans la sphère d'influence du recourant le 26 décembre 2015 déjà, si bien que le recours interjeté contre cette décision le 21 avril 2016 devait être déclaré irrecevable, car tardif.
5.2. Dans son recours devant le Tribunal fédéral, l'intéressé se contente de faire part de son "doute sérieux" au sujet de l'existence de la distribution du courrier précité et d'évoquer les "déclarations sujettes à caution du facteur". Ce faisant, il n'apporte toutefois pas la moindre preuve de ses allégués; les quelques éléments dont il se prévaut, en particulier l'écart d'une heure (11h33 et 12h33) dans la délivrance du courrier, apparaissant dans les faits constatés par la Cour de Justice et par la Poste française, ne sont pas propres à rendre manifestement inexacts (art. 9 Cst.) les constats figurant dans l'arrêt querellé, ni à invalider l'appréciation de la précédente instance selon laquelle la décision du Tribunal civil était effectivement parvenue dans la sphère d'influence du recourant le 26 décembre 2015, si bien que le recours interjeté le 21 avril 2016 était clairement tardif. Insuffisants et en large partie appellatoires (cf. art. 42 et 106 al. 2 LTF), les griefs développés par le recourant à cet égard doivent donc être écartés.
6.
Le recourant s'en prend à la décision d'irrecevabilité sous un second angle. Il prétend que l'appréciation des règles sur la validité de la notification de la décision du Tribunal civil à son domicile français dépendait du droit français et non pas des règles de droit suisse relatives à la notification et à l'entrée de l'acte dans la sphère d'influence de son destinataire.
6.1. A tort. La Cour de Justice a en effet, certes implicitement, à la faveur d'une interprétation large du champ d'application de la Convention de La Haye du 15 novembre 1965 relative à la signification et la notification à l'étranger des actes judiciaires et extrajudiciaires en matière civile ou commerciale (CLaH65; RS 0.274.131) liant tant la Suisse que la France, retenu que le présent litige sur fond de demande d'indemnisation contre l'Etat (en l'espèce, l'Université de Genève) était soumis audit traité ("en matière civile ou commerciale", cf., mutatis mutandis, arrêt 2E_2/2013 du 30 octobre 2014 consid. 4.1; s'agissant de l'interprétation libérale voulue par les Etats contractants en rapport avec le champ d'application du traité: BUREAU PERMANENT DE LA CONFÉRENCE DE LA HAYE DE DROIT INTERNATIONAL PRIVÉ (éd.), Manuel pratique sur le fonctionnement de la [CLaH65], 3e éd., 2006, p. 26 ss). L'art. 10 let. a CLaH65 prévoit en outre la possibilité pour les Etats contractants, sauf si l'Etat de destination déclare s'y opposer (cf. art. 21 par. 2 let. a CLaH65), d'adresser directement, par la voie de la poste, des actes judiciaires aux personnes se trouvant à l'étranger. A l'opposé de la Suisse, la France a accepté ce mode de notification et a de plus renoncé à se prévaloir du principe de réciprocité à l'égard de la Suisse, dont les autorités peuvent ainsi notifier des actes judiciaires "civils ou commerciaux" directement à des personnes résidant sur territoire français (cf. Tableau illustrant l'applicabilité de l'art. 10 let. a CLaH65, in Conférence de la Haye de droit international privé, https://www.hcch.net/en/states/authorities/details3/?aid=256; cf. aussi: http://www.rhf.admin.ch/rhf/fr/home/zivil/wegleitungen/alternativ_art10a.html; arrêts 4A_399/2014 du 11 février 2015 consid. 2.1; 4A_141/2015 du 25 juin 2015 consid. 5.1.1). Une fois ce point établi, et contrairement à ce que prétend le recourant, c'est par ailleurs à l'aune de la loi du tribunal saisi, en l'occurrence du droit matériel suisse, et non pas du droit français, que la validité de la notification de l'acte transmis par voie postale doit s'apprécier (cf. BUREAU PERMANENT, op. cit., p. 77 s.; arrêt 5A_389/2010 du 29 octobre 2010 consid. 3.2.2). Or, en l'espèce, rien n'indique que le concept de droit suisse de la "sphère d'influence" (cf. notamment ATF 140 III 244 consid. 5.1 p. 247), dont le recourant n'a du reste pas remis en cause la pertinence intrinsèque mais uniquement l'application à son cas, ait été mis en oeuvre de façon arbitraire par la précédente instance.
6.2. C'est partant sans violer le droit applicable ni verser dans l'arbitraire que les précédents juges ont considéré que la décision litigieuse avait été notifiée au recourant le 26 décembre 2015, de sorte que le recours interjeté contre la décision du Tribunal civil le 21 avril 2016 était tardif et devait donc être déclaré irrecevable.
7.
Au demeurant, à supposer que le recourant ait formulé son grief tiré de la violation de l'art. 6 par. 1 CEDH de manière recevable, ce qui apparaît comme douteux au regard de la motivation lacunaire contenue dans son recours (cf. art. 106 al. 1 LTF), ce grief est en tout état mal fondé. En effet, les garanties d'accès à la justice, y compris l'art. 6 CEDH, ne s'opposent pas aux conditions de recevabilité habituelles des recours (cf. ATF 136 I 323 consid. 4.3 p. 328 s.; arrêt de la Cour EDH Kemp et autres c. Luxembourg, du 24 avril 2008, req. 17140/05, par. 47).
8.
Par conséquent, en tant qu'il est recevable et indépendamment de sa qualification en tant que recours ordinaire ou constitutionnel subsidiaire, le recours s'avère manifestement infondé (art. 109 al. 2 let. a LTF, le cas échéant sur renvoi de l'art. 117 LTF). Le recours apparaissant d'emblée dépourvu de chances de succès, la demande d'assistance judiciaire est rejetée (art. 64 al. 1 LTF).
S'agissant d'un litige tombant sous le coup de la CLaH65, le présent arrêt pourra être directement adressé au recourant à son domicile français, contrairement, notamment, à la solution retenue dans les arrêts qui ont été rendus auparavant au sujet du recourant et qui concernaient de pures causes de droit public sortant d'emblée du champ de ladite convention (cf. arrêts 2C_201/2011 du 7 octobre 2011 consid. 6; 2C_197/2011 du 22 mars 2011, point 4 du dispositif; 2D_64/2010 du 24 novembre 2010, point 4 du dispositif; 2D_18/2009 du 22 juin 2009 consid. 2).
9.
Succombant, le recourant devrait en principe supporter les frais de la procédure fédérale; il se justifie toutefois d'y renoncer à titre exceptionnel (art. 65 et 66 al. 1 LTF). Il n'est pas alloué de dépens (art. 68 al. 1 et 3 LTF).
Par ces motifs, le Président prononce :
1.
Le recours est rejeté, dans la mesure où il est recevable.
2.
La requête d'assistance judiciaire est rejetée.
3.
Il n'est pas perçu de frais de justice.
4.
Le présent arrêt est communiqué au recourant, à l'Université de Genève, au Vice-président du Tribunal civil, ainsi qu'au Vice-président de la Cour de Justice de la République et canton de Genève.
Lausanne, le 30 juin 2016
Au nom de la IIe Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Seiler
Le Greffier : Chatton