Erwägungen:
1.
A._ hat seinen Wohnsitz in U._. Er reichte am 31. Januar 2016 die Steuererklärung für die Steuerperiode 2014 ein und deklarierte einen Verlust aus selbstständiger Erwerbstätigkeit als Zahnarzt von Fr. -14'570.--. Auf Aufforderung der Veranlagungsbehörde hin reichte er weitere Unterlagen und Auskünfte ein. Am 20. Mai 2016 veranlagte ihn die Veranlagungsbehörde für die direkte Bundessteuer und die Staats- und Gemeindesteuer der Steuerperiode 2014 wegen fehlender Möglichkeit, den steuerrechtlich relevanten Sachverhalt aus den eingereichten Unterlagen und den erhaltenen Auskünften feststellen zu können (fehlende Beweiskraft des Kassabuches, fehlende Branchenüblichkeit des Bruttogewinns, fehlende Ersichtlichkeit, aus welchen Mitteln der Lebensunterhalt bestritten werde), nach Ermessen. Mit Verfügung vom 24. Juni 2016 trat die Veranlagungsbehörde auf seine Einsprache gegen die Ermessensveranlagung vom 20. Mai 2016 nicht ein. Das Steuergericht des Kantons Solothurn bestätigte diesen Nichteintretensentscheid mit Urteil vom 5. Dezember 2016 und wies den dagegen erhobenen Rekurs und die Beschwerde ab.
Mit Beschwerde vom 13. Januar 2017 gelangt A._ an das Bundesgericht. Er beantragt unentgeltliche Rechtspflege, stellt die Objektivität der kantonalen Steuerbehörde in Frage und nimmt zu einzelnen Steuerfaktoren ausführlich Stellung. Es wurden weder Akten eingeholt noch sind Instruktionsmassnahmen angeordnet worden.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze. Die Begründung hat sachbezogen zu sein; die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen).
2.2. Eine Ermessensveranlagung ist stets durchzuführen, wenn nach Abklärung des Sachverhalts durch die Veranlagungsbehörde eine nicht zu beseitigende Ungewissheit im Sachverhalt, d.h. ein Untersuchungsnotstand, besteht (Urteile 2C_1101/2014, 2C_1104/2014 vom 23. November 2015 E. 3; 2C_273/2013, 2C_274/2013 vom 16. Juli 2013 E. 3.4 mit Hinweisen). Gemäss der für die direkte Bundessteuer massgeblichen Regelung (Art. 132 Abs. 3 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer [DBG; SR 642.11]) kann eine Veranlagung nach pflichtgemässem Ermessen vom Steuerpflichtigen nur wegen offensichtlicher Unrichtigkeit angefochten werden, wobei die Einsprache zu begründen und allfällige Beweismittel zu nennen sind. Dieselbe Regelung gilt für die Staats- und Gemeindesteuer (Art. 48 Abs. 2 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden [StHG; SR 642.14]; § 149 Abs. 4 des Gesetzes des Kantons Solothurn vom 1. Dezember 1985 über die Staats- und Gemeindesteuern [StG/SO]). Fehlt es bei Einsprachen gegen Ermessensveranlagungen an der Prozessvoraussetzung der minimalen Begründung, ist auf die Einsprache nicht einzutreten (ausdrücklich § 149 Abs. 4 StG/SO; Urteile 2C_316/2014, 2C_317/2014 vom 30. April 2014 E. 2.1; 2C_554/2013, 2C_555/2013 vom 30. Januar 2014 E. 2.5; grundlegend bereits BGE 123 II 552 E. 4 S. 556 ff.; vgl. auch BGE 131 II 548 E. 2.3 S. 551). Im nachfolgenden Beschwerde- bzw. Rekursverfahren können zwar sämtliche Mängel des angefochtenen Entscheids und des vorangegangenen Verfahrens gerügt werden (für die direkte Bundessteuer: Art. 140 Abs. 3 DBG; für die Staats- und Gemeindesteuer Art. 50 Abs. 2 StHG; § 160 Abs. 4 StG/SO); dies ändert jedoch nichts daran, dass gemäss der ausdrücklichen Bestimmung von § 161 Abs. 3 StG/SO auf dieses Rechtsmittelverfahren die Bestimmungen über das Einsprachverfahren sinngemäss Anwendung finden und somit die inhaltliche Überprüfung der nach Ermessen veranlagten Steuerfaktoren auf offensichtliche Unrichtigkeit beschränkt bleibt (zur Zulässigkeit der Kognitionsbeschränkung bei Ermessenstaxationen BGE 131 II 548 E. 2.3 S. 551; für die Lehre MARKUS REICH, Steuerrecht, 2. Aufl. 2012, S. 577; RICHNER/FREI/KAUFMANN/MEUTER, Handkommentar zum DBG, 2. Aufl. 2009, N. 36, N. 51 zu Art. 140 DBG).
2.3. Die Veranlagungsbehörde ist auf die Einsprache des Beschwerdeführers zwar nicht eingetreten, hat jedoch weitgehend eine inhaltliche Beurteilung vorgenommen. Die Vorinstanz hat demzufolge ihre Beurteilung nicht auf die Eintretensfrage beschränkt, sondern eine materielle Prüfung durchgeführt (angefochtener Entscheid, E. 1.2). Der Beschwerdeführer zeigt in seiner Beschwerdeschrift an das Bundesgericht, die keinen Beschwerdeantrag (Art. 42 Abs. 2 BGG) enthält, jedoch nicht ansatzweise auf, dass die Vorinstanz den Einspracheentscheid der Veranlagungsbehörde vom 24. Juni 2016 wegen offensichtlicher Unrichtigkeit der ermessensweisen Veranlagung hätte aufheben müssen. Die blosse Wiederholung der eigenen Sichtweise des Beschwerdeführers und die Einreichung eines ausführlichen "Manuskripts zum Geschehen" ohne jegliche Auseinandersetzung damit, weshalb die Ermessensveranlagung vom 20. Mai 2016 inhaltlich offensichtlich unrichtig sein soll, reicht dazu nicht aus. Damit fehlt es der Beschwerde an einer sachbezogenen Begründung (Art. 42 Abs. 2 BGG; vgl. dazu oben, E. 2.1), weshalb darauf im vereinfachten Verfahren (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG) durch Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter nicht einzutreten ist.
3.
Wegen Aussichtslosigkeit (Art. 64 Abs. 1 BGG) kann das Gesuch um Erteilung der unentgeltlichen Rechtspflege nicht gutgeheissen werden. Die verursachten Gerichtskosten (Art. 65 BGG) sind entsprechend dem Verfahrensausgang dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 erster Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Die Verfahren 2C_42/2017 und 2C_43/2017 werden vereinigt.
2.
Auf die Beschwerden wird nicht eingetreten.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 600.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonalen Steuergericht Solothurn und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 20. Januar 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Die Gerichtsschreiberin: Mayhall