Sachverhalt:
A.
Der Schweizerische Verband für Pferdesport ersuchte für die Staats- und die direkte Bundessteuer der Perioden 2002 bis 2009 um Steuerbefreiung wegen der Verfolgung öffentlicher Zwecke (vgl. dazu schon das Urteil 2C_383/2010 vom 28. Dezember 2010). Die Steuerverwaltung des Kantons Bern verweigerte diese Befreiung. Das wurde auf Einsprache hin und danach im Rechtsmittelverfahren bestätigt, kantonal letztinstanzlich durch das Verwaltungsgericht des Kantons Bern mit Urteil vom 11. März 2016.
B.
Am 14. April 2016 hat der Verband Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, das verwaltungsgerichtliche Urteil aufzuheben und die Steuerbefreiung zu gewähren.
C.
Die Steuerverwaltung und das Verwaltungsgericht des Kantons Bern sowie die Eidgenössische Steuerverwaltung schliessen auf Abweisung der Beschwerde.
Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die direkten Steuern des Kantons und des Bundes. Dagegen steht gemäss Art. 82 ff. BGG in Verbindung mit Art. 73 ff. des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG, SR 642.14) und mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Der Beschwerdeführer ist zur Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten legitimiert (Art. 89 Abs. 1 BGG i.V.m Art. 146 DBG u. Art. 73 Abs. 2 StHG). Auf das form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel ist somit einzutreten.
1.2. Das gilt auch insoweit, als der Beschwerdeführer das vorinstanzliche Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe anficht (vgl. dazu im Einzelnen das Urteil 2C_603/2012, 2C_604/2012 vom 10. Dezember 2012 E. 1). Für die Staats- und die direkte Bundessteuer eröffnet das Bundesgericht zwei getrennte Verfahren (2C_314/2016 und 2C_315/ 2016), die jedoch praxisgemäss vereinigt werden.
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. In einem Urteil von 2010 hat sich das Bundesgericht schon einmal mit den hier massgeblichen Fragen befasst. Dabei ist es zu folgender Schlussfolgerung gelangt: Juristische Personen, die in erster Linie Erwerbs- oder Selbsthilfezwecke verfolgen, haben grundsätzlich keinen Anspruch auf Steuerbefreiung gemäss Art. 56 lit. g DBG, selbst wenn sie zugleich öffentlichen Zwecken dienen (vgl. das Urteil 2C_383/2010 vom 28. Dezember 2010 E. 2 in: ASA 80 S. 207). Auf diese Erwägungen des ersten Urteils kann hier verwiesen werden, was die Vorinstanz zu Recht getan hat. Zutreffend hat sie auch die Einwendung des Beschwerdeführers im neuen Verfahren zurückgewiesen, "entgegen der Meinung der Bundesgerichts" verfolge er keineswegs überwiegende Erwerbs- und Selbsthilfezwecke (vgl. dazu im Einzelnen E. 3.3 des angefochtenen Urteils).
2.2. Wie schon im ersten Verfahren, wo die Frage noch offen gelassen wurde (vgl. E. 3 u. 4 des zitierten Bundesgerichtsurteils), bringt der Beschwerdeführer vor, wenn die Steuerbefreiung wegen der Verfolgung öffentlicher Zwecke internationalen Sportverbänden zugestanden werde, so habe auch er Anspruch darauf, denn der internationale Aspekt sei kein massgebliches Unterscheidungsmerkmal.
2.2.1. Mit dieser Einwendung hat sich das Verwaltungsgericht ebenfalls befasst, ohne Bundesrecht zu verletzen. Vorab stützt es sich auf den Bundesratsbeschluss vom 5. Dezember 2008 betreffend die "Besteuerung internationaler Sportverbände mit Sitz in der Schweiz" und zitiert ausführlich aus der Begründung des Beschlusses, u.a. die wesentliche Feststellung, dass der internationale Sport zur Völkerverständigung beiträgt und somit ein anerkanntes Element der Friedensförderung darstellt, neben Werten wie Fairplay, Kampf gegen Rassismus und Diskriminierung, usw. Zudem hat der Standort Schweiz für die Verbandsführung des Weltsports eine ausserordentliche Bedeutung. Die bis anhin führende Position im Standortwettbewerb will die Schweiz auch in Zukunft behaupten. Deshalb sind den internationalen Sportverbänden attraktive Rahmenbedingungen zu bieten (vgl. E. 5.1 des vorinstanzlichen Urteils; zu den betreffenden Werten und deren Bedeutung für die Schweiz: siehe ebenda ausführlich E. 5.3).
2.2.2. Auf der Grundlage des Bundesratsbeschlusses erliess die Eidgenössische Steuerverwaltung am 12. Dezember 2008 das Rundschreiben "Steuerbefreiung von internationalen Sportverbänden" und hielt darin gegenüber den kantonalen Steuerverwaltungen fest, dass die in der Schweiz domizilierten und dem Internationalen Olympischen Komitee angeschlossenen internationalen Sportverbände (bzw. deren Unterverbände oder Konföderationen) nach Art. 56 lit. g DBG von der direkten Bundessteuer befreit sind, was aber z.B. nicht für den Fussballverband FIFA als kommerziell tätiger Verein gilt (vgl. E. 5.1 des angefochtenen Urteils; siehe auch - damit übereinstimmend - die Stellungnahme des Bundesrats vom 15. August 2012 zur am 6. Juni 2012 eingereichten und am 20. Juni 2014 abgeschriebenen parlamentarischen Interpellation 12.3441 betreffend die Steuerbefreiung von Sportverbänden bei der direkten Bundessteuer: www.parlament.ch/ratsbetrieb).
2.2.3. Wie die Vorinstanz richtig erkannt hat, erweisen sich der Bundesratsbeschluss und das Rundschreiben der Eidgenössischen Steuerverwaltung als bundesrechtskonform.
Für sich allein stellt zwar das Argument des Standortwettbewerbs mit Blick auf Art. 56 lit. g DBG keinen genügenden Unterscheidungsgrund gegenüber nationalen Verbänden dar. Wenn es nur darum ginge, den internationalen Sportorganisationen attraktive Rahmenbedingungen zu bieten, so wäre zweifelhaft, ob dies das Kriterium der Verfolgung öffentlicher Zwecke zu erfüllen vermag; auch wäre gegebenenfalls zu fragen, ob nicht ein Gesetz (im Gegensatz zu einem Bundesratsbeschluss oder einem Rundschreiben der EStV) notwendig sein könnte, um eine Steuerbefreiung nur auf dieser Grundlage zu rechtfertigen.
Wesentlich hat die Vorinstanz sich aber auch noch auf zwei andere, vom Bundesrat und der EStV als massgeblich hervorgehobene Gesichtspunkte gestützt: einerseits die Friedensförderung und Völkerverständigung, andererseits die Durchsetzung von Werten wie Fairplay, Kampf gegen Rassismus und Diskriminierung, usw. Von entscheidender Tragweite für die hier zu beurteilende Unterscheidung ist das Zusammenspiel dieser beiden zusätzlichen Gesichtspunkte. So mag durchaus sein, dass sich nationale Verbände auf ihrer Ebene auch der Durchsetzung von denselben oder ähnlichen Werten verpflichten. Dazu kommt aber bei internationalen Sportorganisationen der besagte Aspekt der Friedensförderung und Völkerverständigung, der nicht in allen Fällen gleich bedeutend ist. Für eine Steuerbefreiung wegen öffentlicher Zwecke muss das Zusammenspiel der beiden Gesichtspunkte nicht das einzig verfolgte Ziel sein und schliesst sogar - zumindest bis zu einem bestimmten Umfang - eine kommerzielle Tätigkeit nicht aus (vgl. oben E. 2.2.2).
Erforderlich, aber auch möglich ist, dass den beiden Gesichtspunkten, wenn sie zusammen betrachtet werden, ein hinreichend vorrangiges Gewicht zukommt, insbesondere gegenüber wirtschaftlichen und sonstigen Selbstinteressen, um eine unterschiedliche Behandlung gegenüber nationalen Verbänden im Rahmen von Art. 56 lit. g DBG zu rechtfertigen. Inwieweit das bei den einzelnen internationalen Sportorganisationen der Fall ist, muss hier nicht geprüft werden. Es genügt festzuhalten, dass eine verschiedene Beurteilung in Bezug auf die Verfolgung öffentlicher Zwecke durchaus angemessen sein kann und eine Gleichbehandlung im Unrecht demzufolge nicht zum Tragen kommt. Damit stimmt überein, dass der Anspruch des Beschwerdeführers auf rechtliches Gehör nicht verletzt ist, wenn die Vorinstanz ihm keinen Zugang zu den Steuerbefreiungsentscheiden der genannten internationalen Organisationen gewährt hat.
2.3. Im ersten Verfahren hat sich der Beschwerdeführer zudem auf eine Gleichbehandlung im Unrecht gegenüber dem Verband Swiss Olympic berufen (vgl. E. 3.3 des ersten Bundesgerichtsurteils). Im vorliegenden Prozess bringt er stattdessen vor, nationale Verbände seien generell (ohne jegliche Unterscheidung innerhalb dieser Kategorie) gleich zu beurteilen wie internationale Sportorganisationen. So erübrigt sich, auf einen Vergleich mit Swiss Olympic noch weiter einzugehen. Das Gleiche gilt für das im vorherigen Umgang noch diskutierte Beispiel der Stiftung Berner Symphonieorchester; diesbezüglich hat das Bundesgericht festgehalten, dass es sich um zwei massgeblich unterschiedliche Situationen handelt (vgl. E. 3.2 des erwähnten Bundesgerichtsurteils).
III. Kantons- und Gemeindesteuern
3.
Die für die Staatssteuer entscheidwesentlichen Bestimmungen (vgl. Art. 23 Abs. 1 lit. f StHG und Art. 83 Abs. 1 lit. g des Steuergesetzes des Kantons Bern vom 21. Mai 2000; [StG/BE; BSG 661.11]) stimmen mit den für die direkte Bundessteuer anwendbaren Vorschriften überein, so dass sich dieselbe Beurteilung rechtfertigt.
IV. Kostenfolgen
4.
Die Verfahren für die Staats- und die direkte Bundessteuer sind zu vereinigen. In beiden Verfahren unterliegt der Beschwerdeführer und wird somit kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_314/2016 und 2C_315/2016 werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde betreffend die direkte Bundessteuer (2C_315/2016) wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde betreffend die Kantons- und Gemeindesteuern (2C_314/2016) wird abgewiesen.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 4'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Bern, Verwaltungsrechtliche Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 17. Juli 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Matter