Sachverhalt:
A.
Die Eheleute A._ und B._ haben steuerrechtlichen Wohnsitz in U._, Gemeinde V._/LU. Der Steuerpflichtige ist Alleinaktionär der am 6. November 2003 gegründeten C._AG mit Sitz in W._/LU. Am 31. Juli 2009 beschloss deren Generalversammlung die Ausrichtung einer Dividende von Fr. 5'000'000.-- für das Geschäftsjahr 2008, fällig am 30. Dezember 2009. Die Verrechnungssteuer belief sich damit auf Fr. 1'750'000.--, was sich aus dem Formular 103 vom 21. September 2009 ergibt, das die Gesellschaft bei der Eidgenössische Steuerverwaltung (ESTV) einreichte. Die Überweisung der geschuldeten Verrechnungssteuer blieb dagegen aus.
B.
Eine ausserordentliche Generalversammlung vom 17. März 2010 kam auf den Dividendenbeschluss vom 31. Juli 2009 zurück. Dem Protokoll zufolge geschah dies "infolge Verzichts des Aktionärs", weshalb die Gewinnausschüttung rückgängig gemacht werde. Darum unterbreitete die C._AG am 14. April 2010 der ESTV das Gesuch um Befreiung von der Verrechnungssteuer. In der Folge eröffnete der Amtsgerichtspräsident III von Luzern-Stadt am 22. September 2010 über die C._AG den Konkurs. Am selben Tag wies die ESTV das Gesuch der Gesellschaft vom 14. April 2010 um Befreiung von der Verrechnungssteuer ab. Der Entscheid erwuchs in Rechtskraft.
C.
Am 21. Mai 2012 setzten die zuständigen Behörden den von den Steuerpflichtigen hinsichtlich der Verrechnungssteuer geltend gemachten Rückerstattungsantrag von Fr. 2'292'017.-- um Fr. 1'750'000.-- auf Fr. 542'017.-- herab. Die Behörde berücksichtigte dabei, dass die C._AG die Verrechnungssteuer an die ESTV nicht abgeführt hatte. Am 22. April 2013 veranlagte die Gemeinde V._/LU die Steuerpflichtigen für das Steuerjahr 2009. Den Veranlagungsverfügungen zufolge ergab sich für die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Luzern ein Einkommen von Fr. 3'785'600.-- (steuerbar und satzbestimmend) und ein steuerbares Vermögen von Fr. 111'934'000.--. Das steuerbare und satzbestimmende Einkommen für die direkte Bundessteuer erreichte Fr. 4'437'500.--. In den Veranlagungen wurde die Dividende 2008 von Fr. 5'000'000.-- berücksichtigt.
D.
Die Steuerpflichtigen erhoben gegen die Veranlagungsverfügungen Einsprache, worauf die Gemeinde V._/LU das steuerbare und satzbestimmende Einkommen auf Fr. 3'677'900.-- bzw. Fr. 4'329'800.-- herabsetzte und das Vermögen unverändert beliess. Anlass für die Korrektur zugunsten der Steuerpflichtigen gab das Einkommen der Ehefrau aus unselbständiger Erwerbstätigkeit. Der Einspracheentscheid erwuchs unangefochten in Rechtskraft
E.
Am 31. Mai 2016 unterbreiteten die Steuerpflichtigen der Gemeinde V._/LU ein Gesuch um Revision der Veranlagungsverfügungen 2009, das diese an die Dienststelle Steuern des Kantons Luzern (nachfolgend: KSTV/LU) weiterleitete. Diese trat darauf mangels Wahrung der gesetzlichen Frist mit Entscheid vom 20. Juni 2016 nicht ein. Mit Entscheid vom 19. September 2016 wies das Kantonsgericht des Kantons Luzern, 4. Abteilung, die gegen den Revisionsentscheid gerichtete Verwaltungsgerichtsbeschwerde der Steuerpflichtigen ab, ebenso wie das Gesuch um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege.
F.
Mit Eingabe beim Bundesgericht vom 28. Oktober 2016 erheben die Steuerpflichtigen beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten. Sie beantragen, der angefochtene Entscheid sei aufzuheben und es sei ihnen das Recht zur unentgeltlichen Rechtspflege zu gewähren.
Der Abteilungspräsident als Instruktionsrichter (Art. 32 Abs. 1 BGG) hat von Instruktionsmassnahmen abgesehen.
Erwägungen:
I. Prozessuales
1.
1.1. Die Beschwerde betrifft einerseits die Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Luzern, anderseits die direkte Bundessteuer. Aus diesem Grund sind praxisgemäss zwei Dossiers zu eröffnen. Die beiden Verfahren betreffen denselben Sachverhalt und werfen dieselben Rechtsfragen auf, weshalb sie ebenso praxisgemäss zu vereinigen sind (Art. 71 BGG [SR 173.110] i. V. m. Art. 24 BZP [SR 273]).
1.2. Die Sachurteilsvoraussetzungen der Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten sind grundsätzlich erfüllt (Art. 42 Abs. 1 und 2, Art. 82 lit. a, Art. 83 e contrario, Art. 86 Abs. 1 lit. d und Abs. 2, Art. 89 Abs. 1, Art. 100 Abs. 1 BGG i. V. m. Art. 146 DBG [SR 642.11] und Art. 73 StHG [SR 642.14]). Aus der kurz gefassten (Laien-) Eingabe geht mit hinreichender Klarheit hervor, in welcher Weise Bundesrecht verletzt sein soll (Art. 95 lit. a BGG).
1.3. Die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten (einschliesslich der Grundrechte) und von kantonalem oder kommunalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht in jedem Fall nur, falls eine solche Rüge in der Beschwerde überhaupt vorgebracht und ausreichend begründet worden ist (qualifizierte Rüge- und Begründungspflicht gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG). Soweit die Beschwerdeschrift diesen Anforderungen nicht genügt, ist auf die Eingabe nicht einzutreten (BGE 142 I 99 E. 1.7.2 S. 106).
1.4. Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG; BGE 142 I 155 E. 4.4.3 S.156). Es kann die tatsächlichen Feststellungen der Vorinstanz, wozu auch die Beweiswürdigung zählt (BGE 141 IV 369 E. 6.3 S. 375), nur berichtigen oder ergänzen, soweit sie offensichtlich unrichtig - das heisst willkürlich - sind oder auf einer anderen Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruhen (Art. 105 Abs. 2 BGG; BGE 142 I 135 E. 1.6 S. 144 f.; 142 V 2 E. 2 S. 5). Entsprechende Rügen sind nach den Vorgaben von Art. 106 Abs. 2 BGG zu begründen.
II. Direkte Bundessteuer
2.
2.1. Eine rechtskräftige Verfügung oder ein rechtskräftiger Entscheid kann insbesondere dann auf Antrag oder von Amtes wegen zugunsten des Steuerpflichtigen revidiert werden, wenn erhebliche Tatsachen oder entscheidende Beweismittel entdeckt werden (Art. 147 Abs. 1 lit. a DBG). Die Revision ist ausgeschlossen, wenn der Antragsteller als Revisionsgrund vorbringt, was er bei der ihm zumutbaren Sorgfalt schon im ordentlichen Verfahren hätte geltend machen können (Art. 147 Abs. 2 DBG). Das Revisionsbegehren muss innert 90 Tagen nach Entdeckung des Revisionsgrundes, spätestens aber innert zehn Jahren nach Eröffnung der Verfügung oder des Entscheides eingereicht werden (Art. 148 DBG).
2.2. Die Vorinstanz hatte einzig zu prüfen, ob die KSTV/LU bundesrechtskonform zum Ergebnis gelangt ist, die Frist zur Einreichung eines Revisionsgesuchs sei ungenutzt verstrichen. Vor Bundesgericht kann auch nur dies Streitgegenstand sein (Urteil 2C_590/2016 vom 23. August 2016 E. 1.1, mit Hinweisen). Die Vorinstanz erkannte, der Steuerpflichtige habe wissen müssen, dass ihm die Dividende 2008 nicht ausgerichtet (bzw. gutgeschrieben) worden sei. An der ausserordentlichen Generalversammlung vom 17. März 2010 habe er auf die Dividende verzichtet. Am 22. Oktober 2010 habe die ESTV der Gesellschaft bekannt gegeben, dass die bis dahin nicht überwiesene Verrechnungssteuer zu bezahlen sei. Im Konkursverfahren habe er von den Aktiven und Passiven - und damit vom Umstand, dass die Dividendenzahlung noch ausstand - Kenntnis erhalten. Schliesslich sei der Verrechnungssteuerrückerstattungsanspruch der Steuerpflichtigen am 21. Mai 2012 um Fr. 1'750'000.-- gekürzt worden.
2.3. Der Steuerpflichtige wendet ein, entgegen der Annahme der Vorinstanz habe er durchaus davon ausgehen dürfen, dass es zur Gutschrift der Dividende 2008 (auf das Kontokorrentkonto in der Gesellschaft) gekommen sei. Am 24. Februar 2010 seien die Geschäftsbücher der Gesellschaft beschlagnahmt und ihm in der Folge weder von den Untersuchungsbehörden noch von der ausserordentlichen Konkursverwaltung zugänglich gemacht worden. Er sei am 8. Juni 2010 in Untersuchungshaft versetzt worden. An die Gesellschaft gerichtete Korrespondenz sei ihm vorenthalten worden. Zudem habe er an einer weiteren ausserordentlichen Generalversammlung vom 10. August 2010 beschlossen, den Verzicht vom 17. März 2010 rückgängig zu machen. Wenn schon, hätte die angebliche Dividendenzahlung um die Verrechnungssteuer gekürzt werden müssen, da ihm diese nicht rückerstattet worden sei.
2.4. Die vorgebrachten Einwände überzeugen nicht. Die Akten wurden gemäss den Ausführungen des Steuerpflichtigen am 24. Februar 2010 beschlagnahmt. Dennoch war es ihm möglich, am 17. März 2010 eine ausserordentliche Generalversammlung durchzuführen und den Dividendenbeschluss vom 31. Juli 2009 aufzuheben. Dasselbe gilt für die weitere ausserordentliche Generalversammlung, die im Übrigen nach scheinbar beendeter Untersuchungshaft - und nur kurz vor der Konkurseröffnung - erfolgte. Noch zu diesem Zeitpunkt bestimmte der Steuerpflichtige über die Geschicke der Gesellschaft und musste er Kenntnis von den die Gesellschaft betreffenden Vorgängen haben. Abgesehen davon, dass es höchst eigenartig ist, dass ein Alleinaktionär in einem derart bewegten Umfeld - Strafanzeigen gegen Mitarbeitende der Gesellschaft, eigene Untersuchungshaft, drohender Konkurs - nicht abgeklärt haben will, ob die Dividende von Fr. 5'000'000.-- tatsächlich überwiesen oder gutgeschrieben wurde, muss der Steuerpflichtige sich das Fremdwissen zumindest teilweise zurechnen lassen. So ist es unbehelflich, wenn er sinngemäss ausführt, die Verrechnungssteuer sei in den Händen des damaligen Verwaltungsrats D._ gelegen.
2.5. Die Steuerpflichtigen bringen, soweit überhaupt rechtsgenügliche Rügen im Sinne von Art. 106 Abs. 2 BGG vorliegen, nichts vor, was die vorinstanzliche Beweiswürdigung als willkürlich darstellen könnte. Darüber hinaus vermögen sich nicht vorzubringen, weshalb die 90-tägige Frist erst so spät hätte beginnen sollen. Die vorinstanzliche Auslegung und Anwendung des Bundesrechts erfolgte dementsprechend bundesrechtskonform, weshalb die Beschwerde insoweit unbegründet und abzuweisen ist.
III. Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Luzern
3.
§ 168 Abs. 1 lit. a und § 169 des Steuergesetzes (des Kantons Luzern) vom 22. November 1999 (StG/LU; SRL 620) entsprechen Art. 51 Abs. 1 lit. a und Abs. 3 StHG, die ihrerseits mit Art. 147 Abs. 1 lit. a und Art. 148 DBG übereinstimmen. Es kann damit in allen Teilen auf das Gesagte verwiesen werden. Dementsprechend ist die Beschwerde auch hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuer des Kantons Luzern abzuweisen.
IV. Unentgeltliche Rechtspflege im kantonalen Verfahren
4.
Bei dieser Rechtslage musste sich das Begehren um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege im vorinstanzlichen Verfahren als aussichtslos erweisen (Art. 29 Abs. 3 BV bzw. § 204 des Gesetzes (des Kantons Luzern) vom 3. Juli 1972 über die Verwaltungsrechtspflege (VRG/LU; SRL 40). Die Vorinstanz konnte das Gesuch daher willkürfrei abweisen. Im Übrigen hat sie den eingeschränkten finanziellen Möglichkeiten der Steuerpflichtigen mit einer herabgesetzten Gerichtsgebühr Rechnung getragen.
V. Kosten und Entschädigung
5.
5.1. Bei diesem Ausgang erweist sich das Gesuch der Steuerpflichtigen um Erteilung des Rechts zur unentgeltlichen Rechtspflege auch im bundesgerichtlichen Verfahren als aussichtslos, weshalb es abzuweisen ist (Art. 64 BGG; BGE 138 III 217 E. 2.2.4 S. 218). Mit Blick darauf ist die Bedürftigkeit nicht zu prüfen.
5.2. Nach dem Unterliegerprinzip sind die Kosten des bundesgerichtlichen Verfahrens der unterliegenden Partei aufzuerlegen (Art. 65 und Art. 66 Abs. 1 Satz 1 BGG). Die Steuerpflichtigen tragen die Kosten zu gleichen Teilen und unter solidarischer Haftung (Art. 66 Abs. 5 BGG). Dem Kanton Luzern, der in seinem amtlichen Wirkungskreis obsiegt, ist keine Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 3 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_1000/2016 (Staats- und Gemeindesteuern des Kantons Luzern, Steuerjahr 2009, Revision) und 2C_1001/2016 (direkte Bundessteuer, Steuerjahr 2009, Revision) werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_1001/2016 wird abgewiesen.
3.
Die Beschwerde im Verfahren 2C_1000/2016 wird abgewiesen.
4.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
5.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden den Beschwerdeführern auferlegt, unter solidarischer Haftung.
6.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht Luzern, 4. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 15. November 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Kocher