Faits :
A.
A._ a travaillé en qualité de maître de dessin auprès d'un établissement scolaire secondaire. A ce titre, il était assuré obligatoirement contre le risque d'accident auprès de la Caisse vaudoise (ci-après: la Caisse), à laquelle a succédé Mutuel Assurances SA (ci-après: Mutuel Assurances), ainsi qu'auprès de La Suisse, Société d'assurances contre les accidents (ci-après: La Suisse), à laquelle a succédé Helsana Assurances SA (ci-après: Helsana). En vertu d'un contrat de collaboration passé le 19 septembre 1983, la Caisse (alors Caisse cantonale vaudoise d'assurance en cas de maladie et d'accidents) et La Suisse, la Caisse garantissait les prestations de courte durée, notamment les frais de traitement et les indemnités journalières, alors que La Suisse garantissait les rentes d'invalidité et les indemnités pour atteinte à l'intégrité.
Le 8 octobre 2002, l'employeur a adressé à la Caisse une déclaration d'accident-bagatelle indiquant que l'assuré avait fait une chute le 12 septembre précédent en essayant de fermer une fenêtre et s'était blessé à la hanche, au bras et au genou droits. Le docteur B._, spécialiste en chirurgie orthopédique, a diagnostiqué une déchirure et une désinsertion de la coiffe des rotateurs de l'épaule droite avec rupture complète du tendon du biceps (rapport du 6 mars 2003). Le 5 novembre 2002, ce médecin a procédé à une arthroscopie de l'épaule droite. L'intéressé a repris son travail le 3 mars 2003.
Par décision du 11 avril 2003, confirmée sur opposition le 7 août 2006, la Caisse a supprimé le droit de l'assuré à des prestations à compter du 31 octobre 2002, motif pris de l'absence d'un lien de causalité entre les troubles de l'épaule droite subsistant après cette date et l'événement du 12 septembre 2002.
Saisie d'un recours, la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud a réformé la décision sur opposition attaquée en ce sens que la Caisse est tenue de prendre en charge les suites de l'accident au-delà du 31 octobre 2002 sur le plan orthopédique. Par ailleurs, elle a annulé ladite décision en tant qu'elle concernait l'aspect neurologique et a renvoyé la cause à la Caisse pour complément d'instruction et nouvelle décision (jugement du 1 er octobre 2009).
Après avoir complété l'instruction, Mutuel Assurances a rendu une décision le 10 juillet 2012, confirmée sur opposition le 19 février 2013, par laquelle elle a supprimé le droit de l'assuré à l'indemnité journalière à dater du 3 mars 2003.
B.
L'assuré a recouru devant la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud en concluant au maintien, à charge de Mutuel Assurances, de son droit à l'indemnité journalière pour la période du 1 er mars 2004 au 31 décembre 2011 et à l'octroi, à charge de Helsana, d'une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 80 %, à partir du 1 er janvier 2012, ainsi que d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité fondée sur un taux de 40 %. En outre, il demandait à la cour cantonale de constater que Mutuel Assurances et Helsana étaient solidairement responsables du remboursement des frais encourus par lui pour avis et traitements médicaux en relation avec le litige.
Par jugement du 21 janvier 2015, la cour cantonale a déclaré irrecevables les conclusions du recours tendant à l'octroi par Helsana d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité, ainsi que les conclusions relatives à la prise en charge des notes d'honoraires des médecins consultés. Par ailleurs, elle a rejeté le recours en tant qu'il était dirigé contre la suppression par Mutuel Assurances de l'indemnité journalière à compter du 3 mars 2003.
C.
A._ forme un recours contre ce jugement dont il demande l'annulation, en reprenant à titre principal ses conclusions déposées en instance cantonale. Subsidiairement, il demande le renvoi de la cause "aux instances inférieures" pour complément d'instruction et nouvelle décision, le tout sous suite de frais et dépens.
Mutuel Assurances conclut au rejet du recours sous suite de frais et dépens. Helsana demande la confirmation du jugement attaqué en tant qu'il déclare irrecevables les conclusions formées contre elle. La cour cantonale et l'Office fédéral de la santé publique ont renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 82 ss LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
2.1. Par un premier moyen, le recourant critique le jugement attaqué en tant que la cour cantonale a déclaré irrecevables ses conclusions tendant à l'octroi par Helsana d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité, motif pris de l'absence, sur ces points, d'une décision sujette à recours et d'un déni de justice. Il allègue qu'aucune délégation de pouvoirs n'a été faite par Helsana en faveur de Mutuel Assurances. D'ailleurs, il n'a pas été averti d'un accord entre les deux assureurs et encore moins de sa teneur. Au demeurant, un tel accord doit être qualifié de res inter alios acta. C'est pourquoi rien ne permettait de se convaincre que l'un des assureurs aurait eu, à un certain stade, le pouvoir d'engager l'autre. Par ailleurs, le recourant conteste l'argument de la cour cantonale relatif à l'absence d'une décision sujette à recours concernant le droit éventuel à une rente d'invalidité et/ou à une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Il soutient qu'en refusant l'octroi de "toutes prestations" au-delà du 3 mars 2003, Mutuel Assurances a implicitement statué sur la date de la stabilisation médicale, de sorte que sa décision est matériellement erronée. Aussi n'est-il pas possible de nier l'existence d'une décision.
2.2. Ces griefs sont mal fondés. Sous le couvert du grief de constatation incomplète des faits pertinents (art. 97 al. 2 LTF), le recourant focalise son argumentation sur le fait que le contrat de collaboration entre les deux assureurs ne lui est pas opposable. Ce faisant, il oublie que la décision sur opposition litigieuse ne supprime pas le droit à "toutes prestations" au-delà du 3 mars 2003 mais vise exclusivement l'indemnité journalière. En tout état de cause, ce contrat de collaboration ne change rien au fait que l'objet de la contestation est défini par la décision sur opposition, de sorte que la cour cantonale était fondée à refuser d'entrer en matière sur les conclusions du recourant tendant à l'octroi par Helsana d'une rente d'invalidité et d'une indemnité pour atteinte à l'intégrité. Par ailleurs, on peine à saisir la pertinence de l'argument selon lequel une décision sujette à recours aurait été rendue concernant les prestations susmentionnées, motif pris que la suppression de l'indemnité journalière à dater du 3 mars 2003 aurait pour effet de fixer la date de stabilisation médicale. Insuffisamment motivé, ce grief n'est dès lors pas admissible (art. 42 al. 2 LTF).
3.
3.1. Se référant au jugement de la cour cantonale du 1er octobre 2009, le recourant soutient, par un deuxième moyen, qu'il y a force de chose jugée sur la question de la causalité en ce qui concerne les atteintes orthopédiques. Aussi trouve-t-il surprenant que dans le jugement attaqué, la même cour se consacre dans des pages entières à l'examen du lien de causalité, alors que seul l'aspect neurologique devait faire l'objet d'une instruction. Dans ces conditions, l'atteinte dégénérative, sous la forme d'une arthrose, attestée par le docteur C._, spécialiste en chirurgie orthopédique (rapport d'expertise du 11 février 2011), n'était pas pertinente et, partant, ne suffit pas à renverser le jugement du 1er octobre 2009. D'ailleurs, Helsana ne partageait pas le point de vue de Mutuel Assurances puisqu'elle a proposé une transaction à l'assuré, ce qui démontre bien un "cafouillage" entre les assureurs qui ne collaboraient pas et ne présentaient aucune apparence d'un accord passé entre elles.
3.2. Ce moyen est mal fondé. Dans son jugement du 1er octobre 2009, la cour cantonale a admis l'existence d'un lien de causalité entre l'accident et les troubles de nature orthopédique subsistant après le 31 octobre 2002. Toutefois, cela ne présage en rien quant à l'existence d'un tel lien entre cet événement et les troubles persistant après le 3 mars 2003. Par ailleurs, les critiques toutes générales dirigées contre les conclusions de l'expert C._ ne reposent sur aucun élément objectif et ne sont pas de nature à mettre en cause le point de vue de la juridiction précédente.
4.
Par ailleurs, le recours ne contient aucune motivation à l'appui de la conclusion - déclarée irrecevable par la cour cantonale - tendant à ce que Mutuel Assurances et Helsana soient tenues pour responsables solidaires du remboursement des frais encourus pour avis et traitements médicaux en relation avec le litige. Aussi cette conclusion n'est-elle pas recevable (art. 42 al. 2 LTF).
5.
Vu ce qui précède, le jugement attaqué n'est pas critiquable et il n'est pas nécessaire de compléter l'instruction, comme le demande le recourant. Le recours se révèle ainsi mal fondé dans la mesure où il est recevable.
6.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Les intimées ne peuvent se voir allouer une indemnité de dépens (art. 68 al. 3 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Il n'est pas alloué de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal du canton de Vaud et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 3 février 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
Le Greffier : Beauverd