Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer erhob am 7. Juli 2015 Strafanzeige gegen drei Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft Basel-Stadt wegen Amtsmissbrauchs, Amtsgeheimnisverletzung, Begünstigung und Amtspflichtverletzung. Am 18. August 2015 nahm die Staatsanwaltschaft die Anzeige nicht an die Hand. Eine dagegen gerichtete Beschwerde wies das Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt am 21. Januar 2016 ab. Am 9. Februar 2016 wies das Gericht eine Eingabe des Beschwerdeführers vom 1. Februar 2016 aus dem Recht, mit welcher er nachträglich den Ausstand des Richters verlangt hatte, welcher den Entscheid vom 21. Januar 2016 gefällt hatte.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht und beantragt, die Entscheide des Appellationsgerichts vom 21. Januar und 9. Februar 2016 seien aufzuheben. Die Staatsanwaltschaft sei anzuweisen, die Strafanzeige an die Hand zu nehmen und einem unabhängigen Staatsanwalt zu übergeben. Der vorinstanzliche Richter sei als befangen zu erklären.
2.
Gemäss Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG ist der Privatkläger zur Beschwerde in Strafsachen nur berechtigt, wenn der angefochtene Entscheid sich auf die Beurteilung seiner Zivilansprüche auswirken kann. Als Zivilansprüche im Sinne dieser Bestimmung gelten solche, die ihren Grund im Zivilrecht haben und deshalb ordentlicherweise vor dem Zivilgericht durchgesetzt werden müssen. Nicht in diese Kategorie gehören Ansprüche, die sich aus öffentlichem Recht ergeben. Öffentlich-rechtliche Ansprüche, auch solche aus Staatshaftungsrecht, können nicht adhäsionsweise im Strafprozess geltend gemacht werden und zählen nicht zu den Zivilansprüchen im Sinne von Art. 81 Abs. 1 lit. b Ziff. 5 BGG (Urteil 6B_530/2013 vom 13. September 2013).
Gemäss § 3 des Gesetzes über die Haftung des Staates und seines Personals des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 (Haftungsgesetz, SG 161.100) haftet der Staat für den Schaden, den sein Personal in Ausübung seiner amtlichen Tätigkeit Dritten widerrechtlich zufügt (Abs. 1). Gegenüber dem fehlbaren Personal steht der geschädigten Person kein Anspruch zu (Abs. 2). Wo der Staat gemäss § 3 für Schaden haftet, hat die geschädigte Person Anspruch auf Genugtuung, wenn sie in ihren Persönlichkeitsrechten schwer verletzt worden ist (§ 5). Allfällige Schadenersatz- und Genugtuungsansprüche des Beschwerdeführers gegen die Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft beurteilen sich ausschliesslich nach dem Haftungsgesetz und sind demnach öffentlich-rechtlicher Natur. Da ihm keine zivilrechtlichen Ansprüche zustehen, ist er zur vorliegenden Beschwerde grundsätzlich nicht legitimiert.
3.
Unbekümmert um die fehlende Legitimation in der Sache selbst kann der Privatkläger die Verletzung jener Parteirechte geltend machen, die ihm nach dem Verfahrensrecht, der Bundesverfassung oder der EMRK zustehen und deren Missachtung eine formelle Rechtsverweigerung bedeutet. Soweit eine Rüge zulässig ist, ist klar und detailliert darzulegen, inwieweit das angerufene Recht verletzt worden sein soll (Art. 106 Abs. 2 BGG).
3.1. Der Beschwerdeführer rügt Rechtsverweigerung und Verweigerung des rechtlichen Gehörs (Beschwerde S. 6). Indessen ist der Beschwerde nicht in einer den Anforderungen von Art. 106 Abs. 2 BGG genügenden Weise zu entnehmen, dass und inwieweit dem Beschwerdeführer im Rahmen des vorliegenden Strafverfahrens gegen die beschuldigten Mitarbeiter der Staatsanwaltschaft das rechtliche Gehör verweigert worden sein könnte.
3.2. Im Übrigen ist der Beschwerdeführer wie schon in seiner oben erwähnten Eingabe vom 1. Februar 2016 auch vor Bundesgericht der Ansicht, der Richter, der den angefochtenen Entscheid gefällt hat, sei als befangen zu erklären. Da die Funktion als Berufungsrichter (in einem Verfahren, welches eine Verurteilung des Beschwerdeführers betrifft) mit der Funktion eines Beschwerderichters (im vorliegenden Verfahren, welches eine Strafanzeige gegen Staatsanwälte betrifft) unvereinbar sei, hätte der Richter von sich aus in den Ausstand treten müssen (vgl. Beschwerde S. 17 - 20).
Im Entscheid vom 9. Februar 2016 stellt die Vorinstanz fest, dass die Befangenheit rechtzeitig und nicht erst nach der Replik geltend zu machen gewesen wäre. Was an dieser Erwägung gegen das Recht verstossen könnte, ist nicht ersichtlich. Dem Beschwerdeführer wurde bereits mit der Fristansetzung zur Replik am 28. September 2015 ausdrücklich mitgeteilt, dass das Beschwerdeverfahren dem von ihm erst am 1. Februar 2016 als befangen abgelehnten Richter zugeteilt wurde. Aus unbekannten Gründen hat der Beschwerdeführer die Sache nach dem 28. September 2015 auf sich beruhen zu lassen und den Ausstand des Richters, der ihm in einem früheren Verfahren angeblich einmal "eine Standpauke gehalten" haben soll, erst verlangt, nachdem dieser einen Entscheid gefällt hatte, mit welchem der Beschwerdeführer nicht einverstanden war. Ein solches Verhalten verstösst gegen Treu und Glauben.
Im Übrigen ergibt sich aus dem Verbot der Vorbefassung im Sinne von Art. 56 lit. b StPO nicht, dass ein Berufungsrichter grundsätzlich nicht als Beschwerderichter in einem anderen Verfahren amten kann. Eine solche grundsätzliche Unvereinbarkeit von Berufungs- und Beschwerderichter folgt entgegen der Meinung des Beschwerdeführers insbesondere nicht aus dem von ihm erwähnten Urteil des Bundesgerichts 1B_86/2015 vom 21. Juli 2015, in welchem es um ganz andere Fragen ging. Auch kann davon, dass der in Frage stehende Richter am 21. Juli 2015 von seiner Funktion als Berufungsrichter durch das Bundesgericht "enthoben" worden wäre, nicht die Rede sein.
Schliesslich verweist der Beschwerdeführer darauf, dass im Rubrum des angefochtenen Entscheids von ihm als "Beschuldigtem" die Rede ist. Dabei handelt es sich um einen offensichtlichen Irrtum in der Parteibezeichnung, aus welchem nicht auf die Befangenheit des Richters geschlossen werden kann.
Der Umstand, dass ein Richter "bisher alle unsere Beschwerden abgewiesen" hat (Beschwerde S. 18 oben), genügt nicht, um den Anschein der Befangenheit zu begründen. Die Beschwerde ist in diesem Punkt unbegründet.
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Bei diesem Ausgang sind die Gerichtskosten dem Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 66 Abs. 1 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 2'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien, der Staatsanwaltschaft des Kantons Basel-Stadt und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt, Einzelgericht, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 1. April 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Der Gerichtsschreiber: Monn