Faits :
A.
G._ est propriétaire de la parcelle n°1207 du cadastre de la Commune de Corsier-sur-Vevey, sise au chemin xxx. D'une surface de 1'008 m2, cette parcelle présente une forte pente. Elle est comprise dans la zone de villas du plan d'extension fixant une zone de villas au lieu-dit «L'Hautigny», approuvé par le Conseil d'Etat le 12 avril 1966. Le règlement relatif à ce plan d'extension (ci-après: RPE «L'Hautigny» ou règlement spécial) a notamment été révisé en 1986 suite à l'adoption par la commune d'un plan de zones et de son règlement en 1983 (ci-après: RPE).
Le 28 février 2013, G._ a déposé une demande de permis de construire portant notamment sur un bâtiment de deux appartements: un premier logement occupant le rez-de-chaussée et le rez inférieur, d'une surface totale de 192 m2, et un deuxième appartement de 95 m2, au premier l'étage, avec un accès aux combles par un escalier. Le projet prévoyait une hauteur au faîte de 10.51 m correspondant à une altitude de 749.51 m. La hauteur moyenne à la corniche s'élevait à 6.80 m.
Au cours de l'enquête publique, le projet a suscité l'opposition de A.A._ et B.A._, propriétaires du fonds n° 1201, sis au nord-ouest de la parcelle de G._ et supportant une villa de deux étages; ceux-ci remettaient notamment en cause le caractère réglementaire de la hauteur de la construction.
G._ a modifié son projet en abaissant la hauteur de la toiture sur combles de 76 cm et en enfonçant la construction de 20 cm dans le terrain, ce qui a permis de réduire de 96 cm la hauteur du faîte, à une altitude de 748.55 m. Approuvant les plans modifiés, la municipalité a, par décision du 17 juillet 2013, levé l'opposition des époux A._ et délivré le permis de construire.
A.A._ et B.A._ ont recouru contre cette décision devant la Cour de droit administratif et public du Tribunal cantonal du canton de Vaud. Au cours de l'audience du 17 janvier 2014, G._ a présenté de nouvelles modifications de son projet, abaissant encore la hauteur au faîte de 14 cm. A.A._ et B.A._ ont néanmoins maintenu leur recours, que le Tribunal cantonal a admis par arrêt du 3 novembre 2014 (arrêt AC.2013.0389 versé au dossier cantonal). La cour cantonale a en substance considéré que le projet, même ainsi modifié, ne respectait pas la réglementation communale limitant le nombre de niveaux habitables à deux, y compris le rez-de-chaussée; les modifications exigées par une mise en conformité étant trop conséquentes, au sens du droit cantonal, pour être admises sans nouvelle mise à l'enquête, le Tribunal cantonal a annulé le permis de construire. Les considérants de ce premier arrêt précisent néanmoins que, suivant leur importance, si le projet ne s'en trouve pas sensiblement modifié, ces transformations pourraient ne faire l'objet que d'une enquête complémentaire.
B.
A la suite de ce premier arrêt, G._ a révisé son projet en remplaçant l'escalier permettant l'accès aux combles par un trappon. L'emplacement de la buanderie au niveau des combles a été agrandi pour accueillir également le chauffage. La hauteur au faîte a été légèrement abaissée, ramenant celui-ci à une altitude de 748.32 m. Les modifications prévues portent également sur la création d'un cagibi à l'angle nord-ouest, la suppression de deux Velux de la toiture et des ouvertures en façades pignon. La révision du projet englobe également l'abaissement du niveau du rez-de-chaussée de 20 cm par rapport au terrain naturel et la pose de panneaux solaires sur le pan ouest de la toiture.
Ces différentes modifications ont fait l'objet d'une demande complémentaire de permis de construire, mise à l'enquête publique du 30 janvier au 2 mars 2015. A.A._ et B.A._ ont formé opposition. C._, D._ ainsi que E.E._ et F.E._, propriétaires respectifs des parcelles voisines n os 1206, 1208 et 1202, se sont également opposés au projet. Les opposants ont notamment soutenu que les modifications apportées au projet initial, suite à l'arrêt du 3 novembre 2014, auraient dû faire l'objet d'une nouvelle mise à l'enquête publique principale et non pas d'une enquête complémentaire.
Par décision du 25 juin 2015, la municipalité a levé les oppositions et a délivré le permis de construire.
Par mémoires des 24 et 25 août 2015, les opposants prénommés ont recouru contre cette décision. Par arrêt du 21 avril 2016, le Tribunal cantonal a très partiellement admis les recours, exigeant l'adjonction d'une condition spéciale au permis de construire en vue de garantir le caractère inhabitable des combles. Pour le surplus, l'instance précédente a jugé que les modifications apportées au projet initial pouvaient être qualifiés de peu importantes et ne faire l'objet que d'une enquête complémentaire; il a par ailleurs estimé que les éléments du projet initial n'ayant pas été contestés au cours de la première enquête ne pouvaient plus être remis en cause. Le Tribunal cantonal a enfin considéré que le projet répondait à la législation cantonale sur l'énergie.
C.
Agissant par la voie du recours en matière de droit public, A.A._ et B.A._, C._, D._ ainsi que E.E._ et F.E._ demandent principalement au Tribunal fédéral d'annuler l'arrêt attaqué et la décision municipale délivrant le permis de construire. Subsidiairement, ils requièrent le renvoi de la cause à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Ils sollicitent également l'octroi de l'effet suspensif.
Le Tribunal cantonal se réfère aux considérants de son arrêt et conclut au rejet du recours. La Commune de Corsier-sur-Vevey et l'intimé demandent principalement au Tribunal fédéral de déclarer le recours irrecevable en tant qu'il porte sur la question de la hauteur du rez-de-chaussée et de le rejeter pour le surplus; subsidiairement, ils concluent au rejet du recours. Aux termes d'observations complémentaires du 7 juillet 2016, les recourants ont implicitement maintenu leurs conclusions. En référence aux observations du 7 juillet 2016, l'intimé et la municipalité se sont déterminés, le 20 juillet 2016, confirmant leur position.
Par ordonnance du 8 juin 2016, le Président de la Ire Cour de droit public a admis la requête d'effet suspensif.
Considérant en droit :
1.
Dirigé contre une décision finale (art. 90 LTF) prise en dernière instance cantonale (art. 86 al. 1 let. d LTF) dans le domaine du droit public de l'aménagement du territoire et des constructions (art. 82 let. a LTF), le recours est en principe recevable comme recours en matière de droit public selon les art. 82 ss LTF, aucune des exceptions prévues à l'art. 83 LTF n'étant réalisée. Les recourants ont pris part à la procédure de recours devant le Tribunal cantonal. En tant que propriétaires de parcelles directement voisines du projet, ils sont particulièrement touchés par l'arrêt attaqué confirmant l'autorisation de construire un bâtiment d'habitation qu'ils tiennent notamment pour contraire aux règles communales sur la hauteur des constructions. Ils peuvent ainsi se prévaloir d'un intérêt personnel et digne de protection à l'annulation de l'arrêt attaqué. Ils ont dès lors qualité pour agir au sens de l'art. 89 al. 1 LTF. Les autres conditions de recevabilité du recours en matière de droit public sont par ailleurs réunies, de sorte qu'il y a lieu d'entrer en matière.
2.
A l'appui de leur réponse, la municipalité et l'intimé - dont la représentation par le même mandataire pourrait être sujette à caution (cf. art. 12 let. c de la loi fédérale sur la libre circulation des avocats [LLCA; RS 935.61]) - a notamment produit une série d'illustrations du projet. S'agissant de pièces nouvelles, celles-ci sont irrecevables (art. 99 al. 1 LTF).
3.
Se plaignant d'une violation du droit d'être entendu, les recourants reprochent à la cour cantonale de n'avoir pas répondu à leur grief, aux termes duquel le projet ne respecterait pas la part de production d'énergie renouvelable imposée par l'art. 28a de la loi cantonale sur l'énergie du 16 mai 2006 (LVLEne; RS/VD 730.1).
3.1. La jurisprudence déduit du droit d'être entendu (art. 29 al. 2 Cst.) le devoir pour le juge de motiver sa décision, afin que le justiciable puisse la comprendre, la contester utilement s'il y a lieu et exercer son droit de recours à bon escient. Pour répondre à ces exigences, le juge doit mentionner, au moins brièvement, les motifs qui l'ont guidé et sur lesquels il a fondé sa décision, de manière à ce que l'intéressé puisse se rendre compte de la portée de celle-ci et l'attaquer en connaissance de cause (ATF 138 IV 81 consid. 2.2 p. 84; 134 I 83 consid. 4.1 p. 88 et les références). La motivation peut être implicite et résulter des différents considérants de la décision (arrêts 2C_23/2009 du 25 mai 2009 consid. 3.1, publié in RDAF 2009 II p. 434; 1B_501/ 2012 du 10 octobre 2012 consid. 3.1; 1B_121/2010 du 16 juin 2010 consid. 2.1). En revanche, une autorité se rend coupable d'un déni de justice formel prohibé par l'art. 29 al. 2 Cst. lorsqu'elle omet de se prononcer sur des griefs qui présentent une certaine pertinence ou de prendre en considération des allégués et arguments importants pour la décision à rendre (cf. ATF 133 III 235 consid. 5.2 p. 248; 126 I 97 consid. 2b p. 102; 125 III 440 consid. 2a p. 441).
3.2. Les griefs de violation des droits fondamentaux et des dispositions de droit cantonal sont soumis à des exigences de motivation accrues (art. 106 al. 2 LTF). La partie recourante doit alors indiquer les principes constitutionnels qui n'auraient pas été respectés et expliquer de manière claire et précise en quoi ces principes auraient été violés; de même, elle doit citer les dispositions du droit cantonal dont elle se prévaut et démontrer en quoi ces dispositions auraient été appliquées arbitrairement ou d'une autre manière contraire au droit (cf. ATF 136 II 489 consid. 2.8 p. 494; 133 IV 286 consid. 1.4 p. 287).
3.3. En l'espèce, se référant aux indications fournies, au stade de la réponse, par le constructeur, l'instance précédente a estimé que la couverture des besoins exigée par la loi était en l'espèce réalisée. Considérant que les recourants n'apportaient aucun élément susceptible de démontrer que la surface de panneaux solaires thermiques et photovoltaïques projetés ne couvriraient pas le besoin en énergie renouvelable à hauteur de 30%, comme exigé par l'art. 28a al. 1 LVLEne, elle a jugé leur critique insuffisamment motivée et l'a déclarée irrecevable.
Les recourants soutiennent que la cour cantonale ne pouvaient simplement se fier aux dires du constructeur pour juger de la conformité du projet sur ce point. Ce faisant, le Tribunal cantonal aurait injustement renversé le fardeau de la preuve pour ne pas répondre à leur grief, ce en violation de leur droit d'être entendus. Par cette critique, les recourants remettent en réalité en cause l'établissement des faits, plus particulièrement la proportion d'énergie renouvelable garantie par le projet, sans toutefois expliquer en quoi cette constatation serait arbitraire, alors que cette démonstration leur incombe (cf. art. 97 al. 1 LTF; ATF 135 II 313 consid. 5.2.2 p. 322 s.). On ne voit en particulier pas en quoi il serait insoutenable de s'être fié aux informations fournies par le recourant - architecte de son propre projet -, plus particulièrement à celles figurant dans le rapport technique du 14 janvier 2015, établi par l'entreprise H._, et ses annexes (notamment formulaire EN-VD-72 portant sur la part minimale d'énergie renouvelable).
Pour le surplus, les recourants ne prétendent pas que l'instance précédente aurait arbitrairement appliqué le droit cantonal de procédure administrative en déclarant irrecevable leur grief, faute de motivation suffisante; ils se contentent à cet égard d'affirmer laconiquement que leur moyen aurait été "soulevé de manière précise et quantifiée dans leur recours", ce qui se révèle insuffisant à l'aune des exigences de motivation des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF.
3.4. Sur le vu de ce qui précède, ce grief doit être rejeté dans la faible mesure de sa recevabilité.
4.
Selon les recourants, c'est à tort que l'instance précédente a jugé que la mise en conformité du projet pouvait intervenir par le biais d'une enquête complémentaire, au sens du droit cantonal. Ils soutiennent qu'en tout état la cour cantonale aurait faussement qualifié leur critique relative à la hauteur du rez-de-chaussée de grief nouveau irrecevable; à les suivre, les plaintes formulées, lors de la première enquête, à l'encontre de la hauteur au faîte engloberaient déjà - à tout le moins implicitement - ce grief.
4.1. Appelé à revoir l'interprétation d'une norme cantonale sous l'angle restreint de l'arbitraire, le Tribunal fédéral ne s'écarte de la solution retenue par l'autorité cantonale de dernière instance que si celle-ci apparaît insoutenable, en contradiction manifeste avec la situation effective, adoptée sans motifs objectifs et en violation d'un droit certain. En revanche, si l'application de la loi défendue par l'autorité cantonale ne s'avère pas déraisonnable ou manifestement contraire au sens et au but de la disposition ou de la législation en cause, cette interprétation sera confirmée, même si une autre solution - éventuellement préférable - paraît possible (ATF 141 I 172 consid. 4.3.1 p. 177; 137 I 1 consid. 2.4 p. 5). En outre, il ne suffit pas que les motifs de la décision critiquée soient insoutenables; encore faut-il que cette dernière soit arbitraire dans son résultat (ATF 141 I 149 consid. 3.4 p. 53 et les arrêts cités).
4.2. A teneur de l'art. 72b du règlement d'application de la loi du 4 décembre 1985 sur l'aménagement du territoire et les constructions (RLATC; RS/VD 700.11.1), l'enquête complémentaire doit intervenir jusqu'à l'octroi du permis d'habiter ou d'utiliser, mais au plus tard dans les quatre ans suivant l'enquête principale (al. 1). Elle ne peut porter que sur des éléments de peu d'importance, qui ne modifient pas sensiblement le projet ou la construction en cours (al. 2). La procédure est la même que pour une enquête principale, les éléments nouveaux ou modifiés devront être clairement mis en évidence dans les documents produits (al. 3).
D'après la jurisprudence cantonale, rappelée dans l'arrêt attaqué, la procédure de l'enquête complémentaire est admise lorsqu'un permis de construire est annulé sur recours, pour autant que cette enquête ne porte que sur des éléments permettant de rétablir la conformité du projet sans le modifier sensiblement, comme l'exige l'art. 72b al. 2 RLATC (cf. RDAF 1995 p. 287; arrêt cantonal AC.2011.0182 du 28 décembre 2011 consid. 1a; voir également BENOÎT BOVAY ET AL., Droit fédéral et vaudois de la construction, 4e éd. 2010, n. 1.5 ad art. 109 de la loi sur l'aménagement du territoire et les constructions du 4 décembre 1985 [LATC; RS/VD 700.11]). Dans un tel cas, comme le permis est annulé, aucun élément du projet ne bénéficie de la force de chose décidée. Les opposants ont ainsi le droit de faire examiner dans le cadre de l'enquête complémentaire, les griefs déjà soulevés lors de l'enquête "principale" mais qui n'ont pas donné lieu à une décision (cf. arrêt cantonal AC.2014.0038 du 20 août 2015 consid. 3b; RDAF 2014 I 113, n. 59 p. 191).
4.3. Aux termes de l'art. 68 du RPE, applicable par le renvoi de l'art. 4 du RPE «L'Hautigny », la hauteur des façades est mesurée sur la corniche à partir de la cote moyenne du terrain naturel au droit de celles-ci. L'art. 11 du règlement spécial prévoit que la hauteur à la corniche ne peut dépasser 6.50 m pour les bâtiments de plus de 90 m2 au sol. Cette même disposition précise que pour les terrains en pente, la municipalité peut autoriser des locaux habitables en dessous du rez-de-chaussée mais sur un seul niveau. La surface de ces locaux ne peut dépasser les 2/3 de la surface du niveau immédiat supérieur. Dans ce cas, la hauteur maximum de la façade aval mesurée sur la corniche est augmentée de 2.5 m, ce qui autorise une hauteur maximale à la corniche de 9 m. Sous réserve de cette exception, l'art. 11 du RPE «L'Hautigny » limite le nombre de niveaux habitables, dans la zone concernée, à un rez-de-chaussée et un étage sous la corniche ou un rez-de-chaussée et des combles habitables sur un niveau. Par ailleurs, l'art. 70 al. 2 RPE, prévoit qu'une galerie aménagée dans un comble, accessible seulement par un escalier particulier et qui complète l'appartement inférieur, ne sera pas comptée comme niveau supplémentaire.
4.4. Dans son premier arrêt du 3 novembre 2014, la cour cantonale a jugé que le projet contrevenait au nombre de niveaux habitables prévu par la législation communale, plus particulièrement en raison du caractère habitable des combles; elle a pour ce motif admis le recours et annulé le permis de construire. Elle a précisé que les travaux de mise en conformité pourraient faire l'objet d'une enquête complémentaire, au cas où le projet ne s'en trouverait pas sensiblement modifié. Pour le surplus, l'instance précédente a jugé que le projet litigieux, présentant une hauteur à la corniche de 6,89 m au niveau de la façade est et de 7,28 m, à l'ouest, respectait largement les exigences de hauteur définies par le droit communal (9 m selon l'art. 11 du règlement spécial).
4.5. A l'appui de leurs recours des 24 et 25 août 2015, dirigés contre le permis complémentaire délivré à la suite de ce premier arrêt, les recourants ont notamment fait grief à l'autorité communale d'avoir considéré que les modifications envisagées pour remettre le projet en conformité pouvaient être examinées dans le cadre d'une enquête complémentaire, en dépit de leur importance et de l'annulation du permis initial. Par ailleurs, se prévalant pour la première fois d'un ancien prononcé de la Commission cantonale de recours du 17 mai 1973 (in RDAF 1975 p. 211; ci-après également: le prononcé de la commission), les recourants ont soutenu que le rez-de-chaussée dépassait la hauteur maximale de 3 m autorisée par celui-ci.
Se référant à la jurisprudence relative à la mise en oeuvre d'une enquête complémentaire (cf. consid. 4.2), la cour cantonale a estimé que la dernière révision du projet n'entraînait pas de modification sensible de l'ensemble, de sorte que le constructeur avait à bon droit opté pour cette voie. En ce qui concerne la hauteur du rez-de-chaussée, l'instance précédente a retenu que, suite à la réduction de son implantation de 20 cm, la hauteur de ce niveau, par rapport au terrain naturel, s'élevait à 3,12 m à l'angle sud-ouest et à 3,44 m à l'angle sud-est. Confirmant le prononcé de l'ancienne Commission de recours et constatant le dépassement de la limite de 3 m, le Tribunal cantonal n'en a pas moins écarté ce grief; il a déclaré celui-ci irrecevable, faute d'avoir été soulevé dans le cadre de la procédure liée à l'enquête principale. Selon la cour cantonale la hauteur du rez-de-chaussée est une question indépendante, sans influence sur la hauteur d'ensemble du projet.
4.5.1. Devant la cour de céans, les recourants réaffirment, sans autre forme d'explication, que le constructeur aurait à tort choisi la voie de l'enquête complémentaire pour la mise en conformité de son projet, reprochant indirectement à la cour cantonale d'avoir admis cette manière de procéder.
Cette critique est irrecevable, faute de répondre aux exigences de motivation des art. 42 al. 2 et 106 al. 2 LTF, à deux égards. En premier lieu, les recourants ne prétendent pas que la jurisprudence appliquée par l'instance précédente (cf. consid. 4.2) se révélerait manifestement contraire à la législation cantonale. Il n'appartient pas au Tribunal fédéral de pallier ce défaut de motivation, même s'il peut apparaître douteux, sur le plan systématique, qu'une enquête complémentaire puisse être mise en oeuvre après l'annulation d'un permis de construire: l'art. 72b RLATC semble avoir été essentiellement adopté pour garantir, en cas de modifications ultérieures, en cours de travaux, la force exécutoire de la décision approuvant le projet initial (cf. RDAF 1995 p. 287 consid. 3); or la force de chose décidée fait en l'espèce défaut, le permis de construire "principal" ayant été annulé. Les recourants ne tentent ensuite pas non plus de démontrer que les modifications objets de la mise à l'enquête complémentaire ne répondraient pas à la définition de travaux de peu d'importance déduite de l'art. 72b RLATC - disposition que les recourants ne prennent au demeurant pas même la peine de citer.
4.5.2. Dans une argumentation subsidiaire à la précédente, les recourants soutiennent que, par leur contestation de la hauteur à la corniche, formulée dans le cadre de la première procédure, ils auraient déjà implicitement remis en cause la hauteur de chacun des étages individuellement, dont celle du rez-de-chaussée; à les suivre, il ne s'agirait pas d'un grief nouveau, mais d'une plainte précédemment émise, que la jurisprudence cantonale imposerait à l'instance de recours de réexaminer. Il serait par ailleurs arbitraire, selon eux, d'avoir confirmé la validité du prononcé de la Commission cantonale de recours (RDAF 1975 p. 211), d'avoir constaté que le projet dépassait les limites prescrites par celui-ci, mais de n'en avoir tiré aucune conséquence matérielle.
Si l'on doit, avec la cour cantonale, admettre que la hauteur à la corniche est fonction du niveau du terrain naturel et de la hauteur de la façade concernée, il est erroné d'affirmer que les dimensions du rez-de-chaussée n'auraient, dans ce cadre, aucune influence. A cet égard, la cour cantonale a adopté une position contradictoire: alors qu'elle reconnaît, dans un premier temps, que la réduction de la hauteur du rez-de-chaussée a permis "d'abaisser la hauteur au faîte du projet contesté", confirmant implicitement le lien intrinsèque existant entre la hauteur des différents étages et celle de l'entier du projet, elle retient, en revanche, dans un deuxième temps, que les dimensions de ce même niveau n'auraient aucune incidence, de sorte qu'il s'agirait d'une critique indépendante et nouvelle (cf. arrêt attaqué, consid. 3 i.f). Or, à ce stade, toutes choses égales par ailleurs, rien ne permet d'exclure qu'en cas d'admission du grief des recourants la hauteur générale du projet ne s'en trouverait pas nouvellement réduite. Par ailleurs, le prononcé de l'ancienne Commission cantonale de recours, tel qu'il est résumé à la RDAF (1975 p. 211), porte sur la qualification d'un niveau en rez-de-chaussée, respectivement sur la définition de cette notion; il précise qu'un niveau situé sur la quasi-totalité de sa surface au-dessus du sol naturel et dominant celui-ci de plus de trois mètres ne peut être qualifié de rez-de-chaussée. Force est ainsi de reconnaître que ce prononcé s'inscrit également dans le cadre de la contestation du nombre de niveaux, déjà soulevée par les recourants dans le cadre de la première procédure; si la qualification de rez-de-chaussée devait, en application de ce précédent, être niée, il s'imposerait d'examiner si les exigences définies par le RPE et le RPE «L'Hautigny» s'agissant du nombre d'étages demeureraient néanmoins respectées.
En définitive, en invoquant le précédent de la Commission cantonale de recours, les recourants ont réitéré leurs premiers griefs en développant une argumentation juridique nouvelle, de sorte que la cour cantonale ne pouvait, à l'aune de sa propre jurisprudence (cf. consid. 4.2) - dont l'interprétation faite dans l'arrêt attaqué est douteuse (cf. consid. 4.5.1) -, refuser d'entrer en matière sur le fond, sauf à verser dans l'arbitraire.
4.6. Le recours doit pour ce motif être admis et le dossier renvoyé à l'instance précédente pour qu'elle examine le grief valablement invoqué par les recourants; il lui incombera notamment d'examiner le projet litigieux à la lumière des principes déduits du prononcé de la Commission cantonale de recours du 17 mai 1973 (RDAF 1975 p. 211). Dans ce cadre, le Tribunal cantonal conserve l'entier du pouvoir d'appréciation que lui confère le droit cantonal: l'analyse de la conformité du projet, figurant dans l'arrêt attaqué, ne constitue qu'un obiter dictum sans portée juridique, ce premier jugement étant, sur ce point, fondé sur la seule irrecevabilité du grief.
5.
Les considérants qui précèdent conduisent à l'admission du recours dans la mesure de sa recevabilité. L'arrêt attaqué est annulé et la cause renvoyée à l'instance précédente pour nouvelle décision dans le sens des considérants. Les frais judiciaires sont supportés, par moitié par l'intimé (art. 66 al. 1 LTF), la Commune de Corsier-sur-Vevey en étant exemptée (art. 66 al. 4 LTF). Les recourants, qui obtiennent gain de cause avec l'assistance d'un avocat, ont droit à des dépens, à la charge de l'intimé et de la commune (art. 68 al. 1 et 2 et art. 66 al. 5 par renvoi de l'art. 68 al. 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est admis dans la mesure où il est recevable. L'arrêt attaqué est annulé et la cause est renvoyée au Tribunal cantonal pour nouvelle décision dans le sens des considérants.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 1'500 fr., sont mis à la charge de l'intimé.
3.
Une indemnité de 3'000 fr. est allouée aux recourants à titre de dépens, à la charge solidaire de l'intimé et de la Commune de Corsier-sur-Vevey.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et de la Municipalité de Corsier-sur-Vevey, ainsi qu'au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour de droit administratif et public.
Lausanne, le 25 juillet 2016
Au nom de la Ire Cour de droit public
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Fonjallaz
Le Greffier : Alvarez