Faits :
A.
Par contrat de bail du 26 février 2003, le locataire X._ a pris à bail un appartement de quatre pièces sis à Genève. Le loyer a été fixé à 2'280 fr. par mois, charges comprises; il est demeuré inchangé. Par avis comminatoire du 20 août 2014, adressé sous pli recommandé non réclamé par le locataire, la (nouvelle) bailleresse Z._ l'a mis en demeure de lui régler dans les trente jours le montant de 4'538 fr. 05 à titre d'arriérés de loyer et de charges pour les mois de juillet et août 2014, ainsi que de frais de rappel (90 fr.) et de mise en demeure (50 fr.), sous déduction d'un acompte de 161 fr. 95. Elle lui a signifié qu'à défaut de paiement intégral de la somme réclamée dans le délai imparti, elle résilierait le bail conformément à l'art. 257d CO.
Considérant que le montant indiqué n'avait pas été intégralement réglé dans le délai fixé, la bailleresse a, par avis officiel du 1 er octobre 2014, résilié le bail pour le 30 novembre 2014. Ce formulaire mentionnait une mise en demeure du 30 novembre 2014 et un arriéré de loyer de 9'120 fr. pour la période du 1 er juillet au 31 octobre 2014. Dans la lettre d'accompagnement, la bailleresse a indiqué faire suite à la lettre recommandée qu'elle avait adressée au locataire le 20 août 2014. La résiliation n'a pas été contestée par le locataire.
Ensuite d'une demande du locataire, un arrangement de paiement a été convenu le 20 janvier 2015, portant sur le remboursement de la somme de 9'120 fr. en quatre mensualités de 2'280 fr., à payer du 1 er février au 1 er mai 2015, en sus des indemnités pour occupation illicite. Par courrier du 9 mars 2015, la bailleresse a écrit au locataire que l'arrangement suscité n'était pas respecté, les mensualités des 1 er février et 1 er mars n'ayant pas été honorées; elle a sollicité le versement de 4'560 fr. à réception de sa missive, à défaut de quoi une procédure en évacuation serait introduite. Le 1 er juin 2015, la bailleresse a fixé au locataire un état des lieux de sortie au 30 juin 2015. Elle a ensuite introduit une première requête en évacuation qui a été déclarée irrecevable.
B.
Par requête en protection de cas clair déposée le 15 décembre 2015, la bailleresse a derechef requis l'évacuation immédiate du locataire et l'exécution directe du jugement. Le locataire a conclu à l'irrecevabilité, objectant que la résiliation était nulle: l'avis de résiliation faisait référence à une mise en demeure du 30 novembre 2014 qui était inexistante, et un nouveau contrat de bail avait été conclu tacitement entre les parties. Par jugement du 3 février 2016, le Tribunal des baux et loyers du canton de Genève a condamné le locataire à évacuer l'appartement et autorisé la bailleresse à requérir l'évacuation par la force publique.
Le locataire a saisi la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice genevoise. Par arrêt du 25 avril 2016, cette autorité a confirmé le jugement du 3 février 2016.
C.
Le locataire (ci-après: le recourant) a interjeté un recours en matière civile concluant à ce que la requête de la bailleresse (ci-après: l'intimée) soit déclarée irrecevable. Il a sollicité l'effet suspensif.
L'intimée a conclu à ce que la demande d'effet suspensif soit rejetée et le recourant débouté de toutes autres ou contraires conclusions. L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.
Par ordonnance du 29 juin 2016, la présidente de la cour de céans a accordé l'effet suspensif au recours.
Considérant en droit :
1.
Le recourant soutient que la résiliation prononcée le 1 er octobre 2014 est nulle au motif que la formule officielle se réfère erronément à une mise en demeure du 30 novembre 2014 et serait dès lors viciée; il rappelle qu'une procédure en constatation de la nullité (introduite le 1 er février 2016, à savoir deux jours avant que le Tribunal des baux et loyers ne rende son jugement d'expulsion) est actuellement pendante devant la commission de conciliation. Il en déduit que la situation juridique au sujet de la validité de la résiliation n'est pas claire et la procédure de l'art. 257 CPC partant exclue.
1.1. Aux termes de l'art. 257 CPC, le tribunal admet l'application de la procédure sommaire lorsque l'état de fait n'est pas litigieux ou est susceptible d'être immédiatement prouvé (let. a) et que la situation juridique est claire (let. b); le tribunal n'entre pas en matière sur la requête lorsque cette procédure ne peut pas être appliquée. Il peut être procédé par cette voie pour l'expulsion de locataires (ATF 139 III 38 consid. 2.5.3). L'état de fait n'est pas litigieux lorsqu'il n'est pas contesté par le défendeur; il est susceptible d'être immédiatement prouvé lorsque les faits peuvent être établis sans retard et sans trop de frais. La situation juridique est claire lorsque l'application de la norme au cas concret s'impose de façon évidente au regard du texte légal ou sur la base d'une doctrine et d'une jurisprudence éprouvées. En règle générale, la situation juridique n'est pas claire si l'application d'une norme nécessite l'exercice d'un certain pouvoir d'appréciation de la part du juge ou que celui-ci doit rendre une décision en équité, en tenant compte des circonstances concrètes de l'espèce (ATF 141 III 23 consid. 3.2).
Une requête en expulsion d'un locataire selon la procédure sommaire pour les cas clairs (art. 257 CPC) est admissible même lorsque le locataire a contesté en justice le congé donné par le bailleur et que cette procédure est pendante. Dans une telle situation, il appartient au juge saisi de la requête d'expulsion d'examiner à titre préjudiciel la validité de la résiliation du bail. Si cette dernière est claire au sens de l'art. 257 CPC, il peut procéder. La procédure en contestation de la validité de la résiliation ne doit pas servir à des manoeuvres dilatoires en vue de retarder l'expulsion dans les cas clairs (ATF 141 III 262 consid. 3).
Une résiliation de bail peut être nulle; il faut cependant que la nullité soit prévue par une disposition légale ou découle de son sens et de son but. Ainsi, la résiliation est nulle lorsque le bailleur n'utilise pas la formule officielle indiquant au locataire la manière dont il doit procéder s'il entend contester la résiliation ou demander une prolongation du bail (art. 266l et 266o CO). La formule doit uniquement indiquer la chose louée sur laquelle porte le congé, la date à laquelle le congé sera effectif, le fait que le bailleur doit motiver le congé si le locataire le demande, les conditions légales dans lesquelles le locataire peut contester le congé et demander une prolongation du bail, ainsi que la liste des autorités de conciliation et leur compétence à raison du lieu (art. 9 al. 1 OBLF [RS 221.213.11]); elle ne doit pas indiquer le motif de résiliation (art. 9 al. 1 let. c OBLF e contrario). En effet, la résiliation d'un contrat de bail n'a pas besoin d'être motivée (art. 271 al. 2 CO). Toutefois, une motivation sommaire par l'indication du motif de résiliation, sur la formule officielle ou dans un autre écrit, peut être nécessaire en cas de résiliation anticipée afin que le locataire puisse comprendre qu'il ne s'agit pas d'une résiliation ordinaire; le seul défaut de cette indication sommaire, que la loi n'exige pas expressément, ne saurait toutefois entraîner la nullité de la résiliation pour le surplus conforme au droit, mais conduira, le cas échéant, à la traiter comme une résiliation ordinaire ensuite d'une interprétation selon le principe de la confiance (arrêts 4C.202/1994 du 3 octobre 1995 consid. 2b, in mp 1996 11, et 4C.16/2000 du 24 janvier 2001 consid. 2b/cc, in DB 2002 n° 10; cf. ATF 135 III 441 consid. 3, ATF 92 II 184 consid. 4a; DAVID LACHAT, Le bail à loyer, 2008, p. 662 ch. 1.6 et p. 701 ch. 5.7; PETER HIGI, Commentaire zurichois, 4 e éd. 1995, n° 54 ad art. 266g CO; ROGER WEBER, in Commentaire bâlois, 6 e éd. 2015, n° 5 ad art. 266l CO).
1.2. En l'espèce, l'intimée a donné le congé par écrit en utilisant la formule, dont il n'a pas été constaté qu'elle souffrait de lacunes quant aux indications légalement requises; l'intimée a en outre précisé résilier pour cause de retard dans le paiement du loyer ensuite d'une mise en demeure. Il s'ensuit que la résiliation a été correctement notifiée, peu importe l'inexactitude au sujet de la date de mise en demeure. Cela vaut d'autant plus que, comme l'a pertinemment relevé l'autorité précédente, la date de mise en demeure indiquée dans la formule correspond à la date pour laquelle la résiliation était donnée; il s'agissait manifestement d'une erreur de plume, ce qui ne pouvait pas échapper au recourant. Il ne saurait donc être question d'une résiliation nulle. Pour le surplus, le recourant ne discute pas la réalisation des conditions de l'art. 257d CO, à juste titre, et n'a pas demandé l'annulation du congé dans le délai de l'art. 273 CO. Le bail a donc manifestement pris fin.
2.
A titre subsidiaire, le recourant se prévaut de la conclusion d'un contrat de bail de fait, tant il serait vrai que plus de 17 mois se sont écoulés depuis la résiliation litigieuse (jusqu'au jugement de première instance!).
Le grief est irrecevable faute de motivation spécifique (art. 42 al. 1 et 2 LTF; ATF 140 III 115 consid. 2). Au demeurant, il apparaît téméraire. Le recourant entend tirer avantage des égards et de la patience dont la bailleresse, sans y être obligée, a fait preuve à son encontre, alors que lui-même n'a tenu aucun des engagements pris envers elle. La lecture chronologique des faits depuis la mise en demeure jusqu'au dépôt de la requête en évacuation montre à l'évidence qu'il ne saurait être question d'un comportement de l'intimée valant accord à la conclusion d'un nouveau contrat de bail ou, à défaut, pouvant de bonne foi être compris de la sorte par le recourant; il est inutile d'ajouter quoi que ce soit.
3.
Le recourant se plaint enfin d'une violation de l'art. 343 CPC en dénonçant le fait que l'autorité cantonale a ordonné une mesure de contrainte directe, sans lui laisser la chance de régler l'intégralité de son arriéré; il estime que la contrainte directe revêt un caractère subsidiaire et ne devrait être ordonnée que si la contrainte indirecte n'a pas produit d'effet ou semble vouée à l'échec.
L'argumentation est obscure. La présente procédure porte sur l'évacuation du recourant d'un appartement dont il était précédemment le locataire et qu'il occupe sans droit depuis la résiliation du bail. Une fois le contrat résilié, le paiement des arriérés est sans aucune pertinence pour la question de l'expulsion, car il n'impliquait en l'occurrence pas la conclusion d'un nouveau contrat de bail entre recourant et intimée et ne changeait strictement rien à l'obligation du recourant de quitter les lieux.
Lorsque le locataire reste dans les locaux à l'expiration du bail, le bailleur peut intenter une procédure d'expulsion (art. 267 CO; cf. LACHAT, op. cit., p. 816 ch. 8.1). En l'espèce, c'est ce qu'a fait l'intimée, et comme le recourant refusait de s'en aller, le juge a ordonné à bon droit son expulsion (art. 343 al. 1 let. d CPC).
4.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable. Par conséquent, le recourant supporte les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 LTF). Aucune indemnité de dépens n'est due à l'intimée dès lors qu'elle ne s'est pas fait représenter par un avocat.
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté dans la mesure où il est recevable.
2.
Les frais judiciaires, fixés à 2'000 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties et à la Chambre des baux et loyers de la Cour de justice du canton de Genève.
Lausanne, le 2 septembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti