Erwägungen:
1.
1.1. A.A._ führt einen Landwirtschaftsbetrieb als Einzelfirma. Er war (mit 45 von 50 Aktien zu Fr. 1'000.--) Mehrheitsaktionär der X._ SA, über welche im Dezember 2010 der Konkurs eröffnet wurde. Mit seiner Ehefrau B.A._ hält er zudem sämtliche Aktien der Y._ SA.
1.2. Am 3. Januar 2010 überführte A.A._ seine privat gehaltenen Aktien der X._ SA zum früheren Steuerwert von Fr. 389'250.-- in die Bilanz seiner Einzelfirma. Kurz danach wurden 35 dieser Aktien (6 davon nach vorgängigem Rückkauf durch die X._ SA) mit dem gleichen Wert in die Y._ SA eingebracht.
1.3. In diesen Transaktionen erblickte die Steuerverwaltung des Kantons Freiburg bei der Staats- und der direkten Bundessteuer der Periode 2010 eine verdeckte Gewinnausschüttung an den Aktionär, weil die Einbuchungen bei Y._ SA "Non-Valeurs" darstellten. Deshalb nahm die Behörde beim steuerbaren Einkommen von A.A._ eine Aufrechnung von Fr. 302'750.-- vor. Auf Einsprache hin gewährte die Behörde den Abzug auf Ertrag von qualifizierten Beteiligungen (50% bei der Staats- und 40% bei der direkten Bundessteuer). Diese reduzierte Aufrechnung wurde vom Steuergerichtshof des Kantons Freiburg mit Urteil vom 31. August 2015 bestätigt.
1.4. Am 16. Oktober 2015 haben A.A._ und B.A._ Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Sie beantragen sinngemäss, das Urteil des Steuergerichtshofs vom 31. August 2015 aufzuheben. Für die Staatssteuer (Verfahren 2C_939/2015) und die direkte Bundessteuer (2C_940/2015) der Periode 2010 sei von der Aufrechnung als geldwerte Leistung abzusehen. Eventualiter sei die Sache zur Neubeurteilung an die Vorinstanz zurückzuweisen.
1.5. Die Steuerverwaltung und der Steuergerichtshof des Kantons Freiburg schliessen auf Abweisung der Beschwerde, soweit darauf überhaupt eingetreten werden könne. Die Eidgenössische Steuerverwaltung hat auf einen Antrag verzichtet.
1.6. Die Beschwerde ist im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG zu behandeln. Das rechtfertigt es auch, auf die sonst gebotene Trennung zwischen Staats- und direkter Bundessteuer zu verzichten.
2.
2.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die direkten Steuern des Kantons und des Bundes. Dagegen steht gemäss Art. 82 ff. BGG in Verbindung mit Art. 73 ff. des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG, SR 642.14) und mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Auf das form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel der gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG legitimierten Beschwerdeführer ist somit grundsätzlich einzutreten.
2.2. Die Vorinstanz hat die Verfahren betreffend die Staats- sowie die direkte Bundessteuer vereinigt und ein einziges Urteil gefällt. Die Beschwerdeführer fechten dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Das ist zulässig, sofern in der Beschwerde zwischen den beiden Steuerarten unterschieden wird und aus den Anträgen hervorgeht, inwieweit diese angefochten sind und wie zu entscheiden ist (vgl. BGE 135 II 260 E. 1.3.2 S. 264 f.; 131 II 553 E. 4.2). Das Bundesgericht seinerseits eröffnet in einem solchen Fall grundsätzlich zwei Verfahren, behält sich aber vor, die beiden Verfahren zu vereinigen und nur ein Urteil zu fällen. Das rechtfertigt sich auch hier, weil es um den gleichen Sachverhalt geht, sich dieselben Parteien gegenüberstehen, die Materie steuerlich harmonisiert ist und sich identische Rechtsfragen stellen (vgl. zum Ganzen u.a. das Urteil 2C_371/2013 vom 18. Juli 2014 E. 1.2 in: StR 69/2014 S. 800).
Ob in der vorliegend eingereichten Beschwerdeschrift die Ausführungen zur Staatssteuer genügend von denjenigen zur direkten Bundessteuer getrennt sind, kann mit Blick auf den Verfahrensausgang offen bleiben (vgl. zur getrennten Behandlung der beiden Aspekte auch oben E. 1.6).
2.3. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (vgl. Art. 95 BGG).
2.3.1. Unerlässlich ist namentlich, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin Bundesrecht verletzt wird. Die Beschwerdeschrift soll vor Bundesgericht z.B. nicht bloss die Rechtsstandpunkte und Argumente wiederholen, wie sie im kantonalen Verfahren vorgebracht worden sind, sondern muss sich konkret und spezifisch mit den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen (vgl. u.a. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.).
2.3.2. Besonderes gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Diese sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Mängel sind ebenfalls spezifisch geltend zu machen und zu begründen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 und 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62; je mit Hinweisen), sofern sie nicht ins Auge springen (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.3.3. Eine diesen strengen Anforderungen genügende Begründung ist hier nur teilweise zu erkennen. Soweit das nicht der Fall ist, kann auf die Beschwerde nicht eingetreten werden.
3.
3.1. In Anwendung von Art. 20 Abs. 1bis DBG bzw. Art. 21 Abs. 1bis des Gesetzes des Kantons Freiburg über die direkten Kantonssteuern vom 6. Juni 2000 (SGF 631.1; DStG/FR) und Art. 7 Abs. 1 StHG hat der Steuergerichtshof die von der Veranlagungsbehörde vorgenommene Aufrechnung wegen geldwerter Leistung geschützt, bei gleichzeitiger Gewährung des Abzugs auf Ertrag von qualifizierten Beteiligungen.
3.1.1. Diese reduzierte Aufrechnung wird im angefochtenen Urteil auf eine überzeugende Gesamtbeurteillung der zwischen den Beschwerdeführern und deren Gesellschaften in den Perioden 2009 sowie 2010 erfolgten Transaktionen gestützt. Im Jahr 2009 ging es um die Abschreibung der Aktionärskontokorrente und -darlehen mittels zahlreicher simulierter Verrechnungs- sowie Wertberichtigungsbuchungen. In der hier massgeblichen Periode 2010 beruhte die Aufrechnung als geldwerte Leistung auf der Verbuchung von Nonvaleur-Einbuchungen zwecks Rückzahlung bzw. Verrechnung von Guthaben gegenüber Gruppengesellschaften oder Aktionären.
3.1.2. Wie die Vorinstanz im angefochtenen Urteil (vgl. dort E. 3c S. 11) und in ihrer Vernehmlassung vor Bundesgericht festhält, haben die Beschwerdeführer anerkannt, dass die in die Y._ SA eingebrachten Aktien der X._ SA im massgebenden Zeitpunkt bereits wertlos waren.
3.2. Dagegen machen die Beschwerdeführer geltend, wenn der Steuergerichtshof eine solche Anerkennung angenommen habe, so beruhe das auf einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung; eine Anerkennung ergebe sich namentlich auch nicht daraus, dass die Beschwerdeführer das vorinstanzliche Urteil betreffend die Periode 2009 nicht angefochten hätten. Zudem setze eine geldwerte Leistung voraus, dass sich der Leistungserbringer bewusst sei bzw. sein müsse, eine solche Leistung zu erbringen; das sei hier nicht der Fall gewesen. Diese Argumente sind jedoch nicht einmal ansatzweise geeignet, ein vom angefochtenen Urteil abweichendes Ergebnis zu rechtfertigen:
3.2.1. Der Steuergerichtshof hat seine überzeugende und sorgfältige Gesamtbeurteilung der Umstände (vgl. oben E. 3.1.1) breit abgestützt und dabei auch für das Bundesgericht verbindliche Sachverhaltsfeststellungen getroffen (vgl. oben E. 2.3.2). Mit all dem setzen sich die Beschwerdeführer vor Bundesgericht nur teilweise auseinander (vgl. oben E. 2.3.1). In sämtlichen nicht angefochtenen Aspekten kann ohne weiteres auf das vorinstanzliche Urteil abgestellt und verwiesen werden.
3.2.2. Es fragt sich, inwiefern auf die Behauptung einer willkürlichen Sachverhaltsfeststellung eingetreten werden kann, vermag das dazu Vorgebrachte den Begründungserfordernissen doch kaum zu genügen (vgl. oben E. 2.3.2). Auf jeden Fall gelingt es den Beschwerdeführern in keiner Weise, die Feststellung des Steuergerichtshofs, wonach sie die Wertlosigkeit der Aktien im massgeblichen Zeitpunkt anerkannt haben, als geradezu offensichtlich unrichtig erscheinen zu lassen.
3.2.3. Die Vorinstanz hat aus ihren Sachverhaltsfeststellungen rechtliche Schlüsse gezogen, die in jeder Hinsicht zu überzeugen vermögen. Das Vorliegen einer geldwerten Leistung muss auf dieser Grundlage ausser Frage stehen, ebenso wie das Bewusstsein bzw. die Absicht des Erbringers, eine solche Leistung zu tätigen. Insbesondere ergeben die vorgenommenen Transaktionen nur dann wirklich einen Sinn, wenn die Beschwerdeführer um die schon damals bestehende Wertlosigkeit der Aktien wussten.
4.
4.1. Nach dem Gesagten sind die beiden Verfahren zu vereinigen und die Beschwerden im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf überhaupt eingetreten werden kann.
4.2. Bei diesem Ausgang des Verfahrens werden die Beschwerdeführer unter Solidarhaft kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_939/2015 (Staats- und Gemeindesteuern 2010) und 2C_940/2015 (direkte Bundessteuer 2010) werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der direkten Bundessteuer (Verfahren 2C_940/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern (Verfahren 2C_939/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 3'000.-- werden den Beschwerdeführern unter solidarischer Haftbarkeit auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Kantonsgericht des Kantons Freiburg, Steuergerichtshof, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 29. Februar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Matter