Erwägungen:
1.
1.1. Gegenüber A._ leitete das Kantonale Steueramt Zürich für die Perioden 2007 bis 2009 ein Nachsteuerverfahren ein. Es reduzierte die geltend gemachten Liegenschaftenverwaltungskosten auf 5% der Mietzinseinnahmen und verfügte bei der Staatssteuer sowie der direkten Bundessteuer entsprechende Nachsteuern.
1.2. Dagegen erhob A._ erfolglos Einsprache und sodann Beschwerde an das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich. Im Sinne einer reformatio in peius verweigerte dieses sogar den 5%-Pauschalabzug und erhöhte die bei der Staatssteuer geschuldeten Verzugszinsen.
1.3. Am 12. Oktober 2015 hat A._ Beschwerden in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten beim Bundesgericht eingereicht. Er beantragt, das verwaltungsgerichtliche Urteil vom 26. August 2015 aufzuheben und das Nachsteuerverfahren für die Staatssteuer (Verfahren 2C_921/2015) sowie die direkte Bundessteuer (2C_922/2015) der Perioden 2007 bis 2009 einzustellen.
1.4. Das Kantonale Steueramt Zürich, das Verwaltungsgericht des Kantons Zürich und die Eidgenössische Steuerverwaltung schliessen auf Abweisung der Beschwerde (n), (soweit darauf einzutreten sei).
1.5. Die Beschwerden sind im vereinfachten Verfahren gemäss Art. 109 BGG zu behandeln. Das rechtfertigt es auch, auf die ansonsten gebotene Trennung zwischen Staats- und direkter Bundessteuer zu verzichten.
2.
2.1. Angefochten ist ein kantonal letztinstanzlicher Endentscheid betreffend die direkten Steuern des Kantons und des Bundes. Dagegen steht gemäss Art. 82 ff. BGG in Verbindung mit Art. 73 ff. des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die Harmonisierung der direkten Steuern der Kantone und Gemeinden (StHG, SR 642.14) und mit Art. 146 des Bundesgesetzes vom 14. Dezember 1990 über die direkte Bundessteuer (DBG, SR 642.11) die Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten an das Bundesgericht offen. Auf das form- und fristgerecht eingereichte Rechtsmittel des gemäss Art. 89 Abs. 1 BGG legitimierten Beschwerdeführers ist somit grundsätzlich einzutreten.
2.2. Um einen Endentscheid gemäss Art. 90 BGG handelt es sich auch insoweit, als das Verwaltungsgericht (im Sinne einer reformatio in peius) die Sache zur Erhöhung der Nachsteuer und Neuberechnung der Verzugszinsen an das Kantonale Steueramt zurückgewiesen hat. Diesbezüglich geht es nur noch um eine rechnerische Umsetzung durch die unterinstanzliche Behörde, der keinerlei Entscheidungsspielraum mehr bleibt (vgl. u.a. BGE 134 II 124 E. 1.3 S. 127).
2.3. Die Vorinstanz hat die Verfahren betreffend Kantonssteuern und direkte Bundessteuer vereinigt und ein einziges Urteil gefällt. Der Beschwerdeführer ficht dieses Urteil mit einer einzigen Beschwerdeeingabe an. Das ist zulässig, sofern in der Beschwerde zwischen den beiden Steuerarten unterschieden wird und aus den Anträgen hervorgeht, inwieweit diese angefochten sind und wie zu entscheiden ist (vgl. BGE 135 II 260 E. 1.3.2 S. 264 f.; 131 II 553 E. 4.2). Das Bundesgericht seinerseits eröffnet in einem solchen Fall grundsätzlich zwei Verfahren, behält sich aber vor, die beiden Verfahren zu vereinigen und nur ein Urteil zu fällen. Das rechtfertigt sich auch hier, weil es um den gleichen Sachverhalt geht, sich dieselben Parteien gegenüberstehen, die Materie steuerlich harmonisiert ist und sich identische Rechtsfragen stellen (vgl. zum Ganzen u.a. das Urteil 2C_371/2013 vom 18. Juli 2014 E. 1.2 in: StR 69/2014 S. 800).
Ob in der vorliegend eingereichten Beschwerdeschrift die Ausführungen zur Staatssteuer genügend von denjenigen zur direkten Bundessteuer getrennt sind, kann mit Blick auf den Verfahrensausgang offen bleiben (vgl. zur getrennten Behandlung der beiden Aspekte auch oben E. 1.5).
2.4. Die Beschwerde ist nur gegen letztinstanzliche kantonale Akte zulässig (Art. 86 Abs. 1 lit. d BGG). Das Urteil des Verwaltungsgerichts hat die unterinstanzlichen Entscheide ersetzt (sog. Devolutiveffekt; vgl. u.a. BGE 134 II 142 E. 1.4 S. 144).
Hier wird zwar nicht beantragt, auch die Einspracheentscheide oder sogar die ursprünglichen Nachsteuerverfügungen aufzuheben. Die Beschwerdeschrift setzt sich aber an mehreren Stellen mit Erwägungen des Kantonalen Steueramts auseinander, die vom Verwaltungsgericht nicht übernommen worden sind und keinen Eingang in die Begründung des angefochtenen Urteils gefunden haben, z.B. zu einer Simulation der Verwaltungskosten. Auf all diese Stellen kann nicht weiter eingegangen werden (vgl. auch unten E. 2.5.1).
2.5. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften unter anderem die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletze (vgl. Art. 95 BGG).
2.5.1. Unerlässlich ist somit, dass die Beschwerde auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingeht und im Einzelnen aufzeigt, worin Bundesrecht verletzt wird. Die Beschwerdeschrift soll vor Bundesgericht z.B. nicht bloss die Rechtsstandpunkte und Argumente wiederholen, wie sie im kantonalen Verfahren vorgebracht worden sind, sondern muss sich konkret und spezifisch mit den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz auseinandersetzen (vgl. u.a. BGE 134 II 244 E. 2.1 S. 245 f.).
2.5.2. Besonderes gilt hinsichtlich der Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz. Diese sind für das Bundesgericht verbindlich, es sei denn, die Partei zeige auf, dass sie qualifiziert falsch oder in Verletzung von Verfahrensvorschriften getroffen worden sind; entsprechende Mängel sind ebenfalls spezifisch geltend zu machen und zu begründen (vgl. Art. 105 Abs. 1 und Art. 97 Abs. 1 BGG; dazu BGE 140 III 264 E. 2.3 S. 266 und 137 I 58 E. 4.1.2 S. 62; je mit Hinweisen), sofern sie nicht ins Auge springen (vgl. Art. 105 Abs. 2 BGG).
2.5.3. Eine diesen strengen Anforderungen genügende Begründung ist hier nur teilweise zu erkennen (vgl. dazu auch schon oben E. 2.4). Soweit das nicht der Fall ist, kann auf die Beschwerde ebenfalls nicht eingetreten werden.
2.6. Wenn das Bundesgericht seinem Urteil den von der Vorinstanz festgestellten Sachverhalt zugrundelegt, sofern die diesbezüglichen Feststellungen nicht offensichtlich unrichtig sind oder auf einer Rechtsverletzung beruhen, so müssen erstmals im bundesgerichtlichen Verfahren geltend gemachte Vorbringen und Tatsachen als unzulässige Noven unberücksichtigt bleiben, soweit nicht erst das vorinstanzliche Urteil dazu Anlass gegeben hat (vgl. Art. 99 Abs. 1 BGG).
Demgemäss kann hier auf grosse Teile der Beschwerdeschrift nicht weiter eingegangen werden. Als unzulässig erweisen sich namentlich all jene Ausführungen in der Beschwerdeschrift, wonach die Nachbesteuerung auf keinen neuen Tatsachen beruhe. Diesbezüglich hat sich der Beschwerdeführer vor dem Verwaltungsgericht überhaupt nicht geäussert und es auch unterlassen, auf die Argumentation des Kantonalen Steueramts in dessen Vernehmlassung zu replizieren. Zu Recht hat die Vorinstanz somit festgehalten, das Bestehen neuer Tatsachen sei nicht mehr angefochten. Unbeachtlich sind aus dem gleichen Grund die Vorbringen in der Beschwerdeschrift vor Bundesgericht, wonach keine unzulässige Steuerverkürzung erfolgt sei.
3.
3.1. Nach Art. 151 Abs. 1 DBG wird die nicht erhobene Steuer samt Zins als Nachsteuer eingefordert, falls sich aufgrund von Tatsachen oder Beweismitteln, die der Steuerbehörde nicht bekannt waren, ergibt, dass eine Veranlagung zu Unrecht unterblieben oder eine rechtskräftige Veranlagung unvollständig ist oder eine unterbliebene oder unvollständige Veranlagung auf ein Verbrechen oder ein Vergehen gegen die Steuerbehörde zurückzuführen ist. Mit dieser Vorschrift stimmen Art. 53 Abs. 1 StHG und § 161 Abs. 1 des Steuergesetzes des Kantons Zürich vom 8. Juni 1997 (LS 631.1; StG/ZH) überein.
3.2. In Anwendung dieser Bestimmungen hat das Verwaltungsgericht festgehalten, dass die Drittverwaltung einer Liegenschaft sich ohne Weiteres substanziiert mit Dokumenten nachweisen lässt. Obwohl der Beschwerdeführer mehrmals zu diesem Nachweis aufgefordert wurde, findet sich (nebst dem ungenügend aussagekräftigen Verwaltungsvertrag) kein einziges Dokument bei den Akten, welches die Drittverwaltung belegen würde (vgl. E. 1.3.3 des vorinstanzlichen Urteils).
3.3. Mit dieser entscheidwesentlichen Teilerwägung des angefochtenen Urteils (in der vor dem Verwaltungsgericht und somit auch hier einzig noch umstrittenen Frage, vgl. oben E. 2.6) setzt sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht nicht wirklich auseinander (vgl. oben E. 2.5.1). Er vermag somit nicht darzulegen, dass die von der Vorinstanz ihrem Urteil zugrunde gelegten Sachverhaltsfeststellungen geradezu offensichtlich unrichtig wären (vgl. oben E. 2.5.2). Ebenso wenig ist ersichtlich, inwiefern die vom Verwaltungsgericht aus diesen Feststellungen gezogenen rechtlichen Schlüsse gegen die hier massgeblichen Bestimmungen (vgl. oben E. 3.1) verstossen würden. Mangels eines substanziierten Nachweises der geltend gemachten Verwaltungskosten erweist sich die von den Behörden vorgenommene Nachbesteuerung als vollumfänglich gerechtfertigt. Das gilt auch insofern, als die Vorinstanz - im Sinne einer reformatio in peius - den vom Kantonalen Steueramt noch gewährten Pauschalkostensatz von 5% verweigert hat (vgl. E. 1.4 u. 2.1 des angefochtenen Urteils).
3.4. Ausführlich befasst sich der Beschwerdeführer vor Bundesgericht stattdessen mit einer anderen Teilerwägung des verwaltungsgerichtlichen Urteils (vgl. ebenda E. 1.3.2). Die Vorinstanz hat dort eingehend und überzeugend begründet, warum der eingereichte Verwaltungsvertrag für sich allein die geltend gemachte Drittverwaltung nicht (genügend) zu belegen vermag. Einmal mehr setzt der Beschwerdeführer diesbezüglich den Sachverhaltsfeststellungen der Vorinstanz nur seine eigene Sichtweise der Faktenlage entgegen und vermag er die von ihm behauptete Beweiskraft des Vertrags in keiner Weise darzutun (vgl. oben E. 2.5.2). Geradezu unzulässig sind seine Vorbringen überall dort, wo er argumentiert, aus dem strittigen Punkt ergebe sich weiter, dass die Nachbesteuerung nicht auf neuen Tatsachen beruhe (vgl. oben E. 2.6).
3.5. Soweit das Verwaltungsgericht bei der Staatssteuer und dem dort anwendbaren Verzugszins eine weitere reformatio in peius vorgenommen hat (vgl. E. 2.2 des angefochtenen Urteils), enthält die Beschwerdeschrift vor Bundesgericht keinerlei Rügen oder Vorbringen (vgl. oben E. 2.5.1). Eine nähere Prüfung erübrigt sich auch diesbezüglich.
4.
Nach dem Gesagten sind die beiden Verfahren zu vereinigen. Sie sind in Anwendung von Art. 109 BGG abzuweisen, soweit auf sie überhaupt eingetreten werden kann. Bei diesem Verfahrensausgang wird der Beschwerdeführer kostenpflichtig (vgl. Art. 65 f. BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Verfahren 2C_921/2015 (Staats- und Gemeindesteuern 2007 bis 2009) und 2C_922/2015 (direkte Bundessteuer 2007 bis 2009) werden vereinigt.
2.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der direkten Bundessteuer (Verfahren 2C_922/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
3.
Die Beschwerde wird hinsichtlich der Staats- und Gemeindesteuern (Verfahren 2C_921/2015) abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
4.
Die Gerichtskosten von insgesamt Fr. 6'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
5.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten, dem Verwaltungsgericht des Kantons Zürich, 2. Abteilung, und der Eidgenössischen Steuerverwaltung schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 3. Februar 2016
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Zünd
Der Gerichtsschreiber: Matter