Erwägungen:
1.
Dr. iur. et Dr. phil. A._ wurde im Zeitraum vom 27. April 2005 bis 4. Februar 2016 zehnmal stationär in den Universitären Psychiatrischen Kliniken Basel (UPK) behandelt. Sie beklagte sich ab 2012 verschiedentlich über unangebrachte Einweisungen und schlechte Behandlungen. Unter anderem verlangte sie am 2. November 2014 von den UPK "Probandenentschädigung, Schadenersatz und Schmerzensgeld von insgesamt 1,4 Millionen Franken". Die UPK lehnten die Vorwürfe und Begehren mehrmals mit jeweils eingehenden Stellungnahmen ab. In der Beantwortung der Begehren vom 2. November 2014 hielten sie am 10. November 2014 ausdrücklich fest, dass der Schriftenwechsel als abgeschlossen erachtet werde. Verschiedene weitere Eingaben beantworteten sie nicht; hingegen reagierten sie bzw. ihr Verwaltungsrat als zuständige Aufsichtsbehörde auf eine Beschwerde vom 19. September 2016 mit einer Eingangsbestätigung vom 21. November 2016; dabei stellte der Verwaltungsrat eine Stellungnahme in Aussicht, welche aber einige Zeit in Anspruch nehmen werde. Am 27. Januar 2017 hielt er gegenüber der Betroffenen fest, dass eine nochmalige Überprüfung durch den Verwaltungsrat auch unter Beachtung neu eingereichter Arztzeugnisse an der Beurteilung der Beschwerde nichts zu ändern vermöge.
Am 22. November 2016 machte A._ beim Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht geltend, sich am 20. September 2016 mit einer Beschwerde gegen die UPK an deren Verwaltungsrat gewandt, von diesem jedoch keine Empfangsbestätigung erhalten zu haben. Das Appellationsgericht nahm die Eingabe als Rekurs wegen Rechtsverweigerung entgegen. Mit Urteil vom 10. August 2017 wies es den Rekurs ab. Es hielt fest, dass von einem öffentlichen Spital nicht verlangt werden könne, auf wiederkehrende, längst beantwortete Vorwürfe immer wieder neu einzutreten; allerdings bedürfe es dabei einer förmlichen Feststellung, dass in einer Sache keine Korrespondenz mehr geführt werde, was vorliegend mit der Erklärung vom 10. November 2014, der Schriftenwechsel sei abgeschlossen, der Fall gewesen sei; die Erklärung vom 27. Januar 2017, dass keine neue Beurteilung erfolge, sei nicht zu beanstanden. Zusätzlich hielt das Appellationsgericht fest, dass allfällige Schadenersatzbegehren mit förmlicher Schadenersatzklage beim Gericht geltend zu machen wären; ob sich die Klage gegen die UPK selber (als heute selbstständige öffentlich-rechtliche Anstalt) oder gegen den Kanton zu richten hätte, sei mangels diesbezüglicher Zuständigkeit des Appellationsgerichts als Verwaltungsgericht nicht Gegenstand des vorliegenden Verfahrens.
Am 22. September 2017 hat A._ beim Bundesgericht Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten und subsidiäre Verfassungsbeschwerde erhoben. Sie stellt namentlich die Anträge, das Urteil des Appellationsgerichts sei als stossend aufzuheben; die UPK seien wegen Verstosses gegen § 7 und § 11 Abs. 1 lit. c KV-BS, Art. 7 und Art. 10 Abs. 2 und 3 BV und wegen mehrfachen Verstosses gegen die EMRK, insbesondere Art. 3 EMRK, zur Zahlung von Probandenentschädigung, Schadenersatz, Schmerzensgeld und Genugtuung im Umfang von 1,4 Mio. Franken zu verurteilen.
2.
2.1. Gemäss Art. 42 Abs. 1 und 2 BGG haben Rechtsschriften die Begehren und deren Begründung zu enthalten; in der Begründung ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt schweizerisches Recht (Art. 95 BGG) verletzt. Die Beschwerde führende Partei hat in gezielter Auseinandersetzung mit den für das Ergebnis des angefochtenen Entscheids massgeblichen Erwägungen plausibel aufzuzeigen, welche Rechte bzw. Rechtsnormen die Vorinstanz verletzt haben soll (BGE 140 III 86 E. 2 S. 88 f. mit Hinweisen). Beruht der angefochtene Entscheid auf kantonalem Recht (vorliegend auf kantonalem Verfahrensrecht), kann weitgehend bloss die Verletzung verfassungsmässiger Rechte, namentlich Willkür, bei dessen Anwendung gerügt werden; entsprechende Rügen bedürfen gemäss Art. 106 Abs. 2 BGG besonderer Geltendmachung und Begründung (BGE 141 I 36 E. 1.3 S. 41 mit Hinweisen).
2.2. Das Appellationsgericht hat erklärt, dass es für die Schadenersatz- und Genugtuungsforderungen nicht zuständig ist. Die Beschwerdeführerin stellt vor Bundesgericht entsprechende Begehren, ohne auf die - zutreffende (vgl. § 6 des Gesetzes des Kantons Basel-Stadt vom 17. November 1999 über die Haftung des Staates und seines Personals [Haftungsgesetz, HG]) - Äusserung der Vorinstanz einzugehen. (Auch) mangels eines diesbezüglichen kantonal-letztinstanzlichen Entscheids ist auf die Geldforderungen der Beschwerdeführerin nicht einzutreten.
Im Übrigen ist der Gegenstand des angefochtenen Urteils beschränkt auf die Frage, ob die UPK oder ihr Verwaltungsrat rechtsverweigernd, rechtsverzögernd oder sonst wie rechtsverletzend gehandelt haben, indem sie nach mehreren früheren erfolglosen Beschwerden in gleicher Angelegenheit den erneuten Vorbringen der Beschwerdeführerin keine weitere Folge gaben. Dafür ist allein kantonales Verfahrensrecht massgeblich; inwiefern die entsprechenden rein prozessualen Erwägungen des Appellationsgerichts bzw. dessen Entscheid im Ergebnis gegen die von der Beschwerdeführerin erwähnten verfassungs- und konventionsmässigen Rechte verstossen würden, lässt sich der Rechtsschrift nicht entnehmen.
2.3. Die Beschwerde enthält offensichtlich keine hinreichende, den Anforderungen von Art. 42 Abs. 2 bzw. Art. 106 Abs. 2 BGG genügende Begründung (Art. 108 Abs. 1 lit. b BGG). Es ist darauf mit Entscheid des Abteilungspräsidenten als Einzelrichter im vereinfachten Verfahren nach Art. 108 BGG nicht einzutreten.
2.4. Die Umstände rechtfertigen es, ausnahmsweise auf die Erhebung von Gerichtskosten zu verzichten (Art. 66 Abs. 1 zweiter Satz BGG).
Demnach erkennt der Präsident:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Verfahrensbeteiligten und dem Appellationsgericht des Kantons Basel-Stadt als Verwaltungsgericht schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 27. September 2017
Im Namen der II. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Seiler
Der Gerichtsschreiber: Feller