Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Der Beschwerdeführer erstattete am 22. Dezember 2015 Strafanzeige gegen die "KESB Baden". Die Staatsanwaltschaft Baden erliess am 31. Mai 2016 in der Strafsache "Angehörige des Bezirksgerichts Baden, Familiengericht, Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde" wegen "Amtsmissbrauchs/Ermöglichung von Vermögensdelikten" gestützt auf Art. 319 Abs. 1 lit. a StPO eine Einstellungsverfügung, welche die Oberstaatsanwaltschaft des Kantons Aargau am 3. Juni 2016 genehmigte. Auf eine dagegen gerichtete Beschwerde trat die Vorinstanz wegen Verspätung mit Entscheid vom 27. Juli 2016 nicht ein.
Der Beschwerdeführer wendet sich ans Bundesgericht. Er verlangt sinngemäss die Aufhebung des angefochtenen Entscheids.
2.
Die Frist zur Einreichung einer Beschwerde in Strafsachen beträgt 30 Tage (Art. 100 Abs. 1 BGG). Der vorinstanzliche Entscheid ging dem Beschwerdeführer am 5. August 2016 zu. Die 30-tägige Frist zur Einreichung der Beschwerde endete am 14. September 2016 (Art. 46 Abs. 1 lit. b BGG). Die ergänzenden Eingaben vom 15. und 27. September 2016 sind verspätet, soweit sie sich nicht auf die Frage des Kostenvorschusses bzw. der unentgeltlichen Rechtspflege betreffend das vorliegende Verfahren beziehen.
3.
Gegenstand des bundesgerichtlichen Verfahrens kann nur sein, ob die Vorinstanz gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen hat, indem sie auf die Beschwerde gegen die Einstellungsverfügung wegen Verspätung nicht eingetreten ist. Soweit sich der Beschwerdeführer mit anderem, namentlich der materiellen Seite der Angelegenheit befasst, sind seine Ausführungen unzulässig. Darauf ist nicht einzutreten.
In Anwendung von Art. 109 Abs. 3 BGG kann im Übrigen auf die Erwägungen der Vorinstanz verwiesen werden. Danach hat die Staatsanwaltschaft dem Beschwerdeführer am 11. Mai 2016 den Erlass einer Einstellungsverfügung in Aussicht gestellt. Der Beschwerdeführer, welcher am 19. Mai 2016 Einsicht in die Akten genommen hat, habe davon nachweislich Kenntnis genommen. Er habe deshalb mit der Zustellung der Einstellungsverfügung rechnen müssen. Die mit eingeschriebener Post versandte Sendung sei ihm am 8. Juni 2016 zur Abholung gemeldet worden. Gestützt auf die Zustellfiktion gelte sie als am 15. Juni 2016 zugestellt. Die zehntägige Beschwerdefrist habe am 16. Juni 2016 zu laufen begonnen und am 27. Juni 2016 geendet. Die erst am 5. Juli 2016 erhobene Beschwerde sei folglich verspätet (Entscheid, S. 3 f.). Die dagegen gerichteten Vorbringen des Beschwerdeführers (vgl. Beschwerde, S. 2) dringen nicht durch, soweit sie den Begründungsanforderungen überhaupt zu genügen vermögen (Art. 42 Abs. 2 BGG). Die Form der Mitteilung und Zustellung der Einstellungsverfügung richtet sich nach den allgemeinen Vorschriften gemäss Art. 84 ff. StPO (vgl. Art. 321 Abs. 3 StPO). Die Zustellung erfolgt in Abweichung des Grundsatzes der Mündlichkeit schriftlich durch eingeschriebene Postsendung (Art. 85 Abs. 2 StPO). Der Beschwerdeführer verkennt, dass er mit einer Zustellung rechnen musste und auch ein erfolgloser Zustellungsversuch den Fristenlauf auslösen kann. Dass eine eingeschriebene Postsendung persönlich übergeben wird, ist nicht notwendig.
4.
Die Beschwerde ist im Verfahren nach Art. 109 BGG abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Das nachträgliche Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege ist in Anwendung von Art. 64 BGG abzuweisen, weil die Rechtsbegehren aussichtslos erschienen. Der finanziellen Lage des Beschwerdeführers (vgl. act. 13) ist bei der Bemessung der Gerichtskosten Rechnung zu tragen (Art. 65 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.
2.
Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird abgewiesen.
3.
Die Gerichtskosten von Fr. 800.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Aargau, Beschwerdekammer in Strafsachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 11. Oktober 2016
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint