Faits :
A.
A.a. Les époux A.X._ et X._ ont ouvert un compte épargne placement auprès de la Banque Z._ (ci-après: la banque) en date du 14 décembre 2006.
Le 29 janvier 2007, le compte a été crédité de 422'910 fr., versés par une compagnie d'assurance auprès de laquelle X._ avait contracté une police d'assurance arrivée à échéance le 1 er janvier 2007.
La banque, par l'intermédiaire d'un collaborateur, a contacté les clients pour leur suggérer de placer cet argent. Après s'être enquise de leurs besoins et de leurs souhaits, elle leur a fait parvenir par lettre du 9 février 2007 « diverses propositions de placement à capital garanti». La liste annexée comprenait quatre produits avec la mention «protection 100%», dont trois émanaient de Lehman Brothers. Les clients ont opté pour un produit structuré à capital protégé de Lehman Brothers, qui offrait un rendement maximal de 50% en cinq ans. L'opération d'achat a été effectuée le 22 février 2007, selon le décompte d'achat en bourse.
Ce même 22 février 2007, la banque a adressé aux clients une brochure relative aux «risques particuliers dans le commerce des titres», qui comportait notamment la mention suivante:
«Les produits structurés ne vous confèrent que des droits envers l'émetteur. Outre le risque du marché, c'est donc surtout le risque de l'émetteur auquel vous devez prêter attention. Sachez donc qu'en sus d'une éventuelle perte imputable au recul du marché des sous-jacents, vous pouvez subir, dans un cas extrême, une perte totale de votre placement, suite à la défaillance de l'émetteur.»
Le compte bancaire du couple a été débité de 402'804 fr. 50 pour achat de titres, à la « date valeur» du 27 février 2007. La banque a perçu un courtage et des frais de garde.
A.b. Au début de l'année 2008, X._ s'est inquiété de la baisse de valeur du portefeuille, qui n'était plus que de 370'200 fr. au 31 décembre 2007. Le collaborateur de la banque l'a rassuré en lui rappelant que le remboursement du capital était garanti à 100% par l'émetteur.
A.c. Lehman Brothers a fait faillite le 15 septembre 2008, suite à quoi les clients ont ordonné à la banque de vendre la totalité de leurs titres. La banque les a informés de la possibilité de faire valoir leur créance dans le cadre des procédures de faillite ouvertes aux Etats-Unis.
B.
B.a. Le 15 février 2010, les clients ont ouvert action contre la banque devant le Tribunal cantonal neuchâtelois, concluant à ce que la défenderesse soit condamnée à leur verser 400'000 fr. plus intérêts.
La banque a conclu au rejet.
Suite à la nouvelle organisation judiciaire, la cause a été transmise au Tribunal civil du Littoral et du Val-de-Travers.
Après avoir touché des dividendes de liquidation de 47'654 fr. 35, les clients ont réduit d'autant leurs conclusions, qui s'élevaient dès lors à 352'345 fr. 65.
B.b. Par jugement du 23 juin 2015, le Tribunal civil a condamné la banque à payer aux clients le montant précité plus intérêts, sous déduction des acomptes perçus après le 24 octobre 2013, soit à tout le moins sous déduction de 14'347 fr. 30 et 11'711 fr. 65.
Selon l'analyse du Tribunal, la banque était liée aux clients par deux contrats de conseil en placement, conclus respectivement en début d'année 2007 et début d'année 2008. Les clients n'avaient pas pu prendre connaissance de la brochure sur les risques de placement avant de procéder à l'achat des titres. La banque avait manqué à son devoir d'information en n'expliquant pas suffisamment la notion de « capital garanti», qui pouvait prêter à confusion puisque le terme «garantir» signifie se porter garant, répondre ou se porter responsable de son propre fait ou du fait d'autrui. Ce manque d'information avait conduit les clients à tout investir dans le même produit, sans avoir compris qu'en cas de défaillance de Lehman Brothers, la banque ne garantirait pas le capital investi. La banque avait failli une seconde fois à son devoir d'information en assurant aux clients que leur placement restait garanti nonobstant une perte de valeur de 29'800 fr., les dissuadant ainsi de vendre leurs titres à un moment où la perte n'aurait été que limitée.
B.c. La banque a déféré cette décision à la Cour d'appel civile du Tribunal cantonal neuchâtelois. Par arrêt du 26 mai 2016, cette instance a entièrement rejeté la demande des clients, pour les motifs exposés ci-dessous.
Les parties étaient liées par un contrat de conseil en placement. Il n'était pas prouvé que la brochure informant du risque généré par la solvabilité de l'émetteur soit parvenue aux clients avant qu'ils ne décident d'acheter les titres litigieux. Cela étant, le risque d'une faillite de l'émetteur des titres, inhérent à la vie financière et économique, ne pouvait échapper aux clients, lesquels n'avaient pas établi qu'ils croyaient ne courir aucun risque de perte du capital. Comme le produit choisi offrait un rendement considérable au vu de l'état du marché en 2007 (50% en cinq ans), les clients ne pouvaient de bonne foi croire à une garantie absolue du capital, ce qui eût constitué une chimère; il était au demeurant notoire qu'à un rendement accru correspondait un accroissement proportionnel du risque de perte sur capital. Les clients n'avaient d'ailleurs pas réagi après avoir reçu la brochure mentionnant le risque lié à une défaillance de l'émetteur; ils n'avaient pas prétendu avoir été dans l'erreur ni manifesté l'intention de se défaire du produit acquis. Enfin, si la discussion s'était ouverte entre les clients et le collaborateur de la banque au sujet du risque concernant l'émetteur, ledit collaborateur aurait dit ce que tous les experts financiers croyaient à l'époque, à savoir que Lehman Brothers était un établissement solide et de bonne renommée, et donc que le risque précité n'était que théorique et infime. En bref, les clients n'auraient pas été dissuadés d'acquérir le produit structuré. Quant au fait d'avoir investi la totalité des 400'000 fr. sur le même produit, il s'agissait d'un choix librement opéré par les clients, qui disposaient en sus d'un immeuble faiblement hypothéqué, d'un compte-épargne de 125'000 fr. et du produit d'une autre assurance-vie (331'700 fr.) perçu en janvier 2008 et placé sur un compte à terme.
Dès lors, aucune faute ne pouvait être reprochée à la banque au moment du conseil de placement initial. Elle n'en avait pas davantage commis lorsqu'elle avait rassuré le client au début de l'année 2008 en faisant valoir que malgré la baisse enregistrée, la garantie de remboursement à 100% par l'émetteur subsistait. Cette information était exacte. En effet, la baisse de cours était la conséquence de la fluctuation du « sous-jacent» auquel les titres étaient adossés, soit le SMI (Swiss Market Index), sans signification ni lien direct possible avec la solvabilité de l'émetteur, que les milieux financiers ne remettaient pas sérieusement en cause à ce moment-là.
C.
Le Tribunal fédéral est saisi d'un recours en matière civile formé par A.X._ et par l'hoirie de X._, composée de A.X._, B.X._ et C.X._, lesquels concluent en tant que créanciers solidaires à ce que la banque soit condamnée à leur payer la somme de 318'313 fr. 95 plus intérêts.
Les recourants font valoir que X._ est décédé le... février 2016 en laissant pour uniques héritiers son épouse A.X._ et leurs deux fils B.X._ et C.X._. Ils ont produit un acte notarié établi dans le canton de Neuchâtel intitulé « certificat d'hérédité du... avril 2016».
La banque intimée a conclu au rejet du recours. L'autorité précédente s'est référée à son arrêt.
Considérant en droit :
1.
1.1. Le présent recours satisfait sur le principe aux conditions de recevabilité du recours en matière civile, notamment quant à l'exigence d'une valeur litigieuse minimale de 30'000 fr. (art. 74 al. 1 let. b LTF).
1.2. Les recourants font valoir qu'ils ont succédé à feu X._ dans la présente cause.
1.2.1. En vertu de l'art. 560 al. 1 CC, les héritiers acquièrent de plein droit l'universalité de la succession dès l'ouverture de celle-ci, à moins qu'ils ne la répudient (cf. art. 566 ss CC). Ils succèdent ipso iure au défunt dans les rapports juridiques qui ne sont pas indissociables de la personne du défunt, soit notamment dans les rapports relevant du droit des obligations, qui sont en principe transmissibles héréditairement (ATF 112 II 300 consid. 4b p. 305; 141 V 170 consid. 4.3). Ils prennent également de plein droit la place du défunt au procès lorsque celui-ci ne porte pas sur un droit strictement personnel (cf. art. 17 al. 3 PCF, par renvoi de l'art. 71 LTF; arrêt 4A_179/2015 du 16 décembre 2015 consid. 1.2).
En droit neuchâtelois, le notaire est compétent pour établir le certificat d'hérédité en la forme authentique (art. 9 al. 1 let. d de la loi concernant l'introduction du code civil suisse [LI-CC], RSN 211.1; art. 37 et 39 de la loi sur le traitement des actes à cause de mort et actes similaires [LACDM], RSN 214.10).
1.2.2. Les recourants ont produit un acte notarié qui atteste de leur qualité d'héritiers, respectivement en tant qu'épouse et fils de X._ décédé le... février 2016. L'avocat qui les représente, qui est aussi le notaire ayant établi l'acte précité, affirme que tous les héritiers ont accepté la succession. Le délai de répudiation de trois mois est manifestement écoulé. Enfin, la partie adverse n'a fait aucun commentaire.
Dans ces circonstances, il est pris acte du fait que A.X._, B.X._ et C.X._ ont succédé dans la procédure à X._.
2.
2.1. Le recours peut être interjeté pour violation du droit tel qu'il est délimité par les art. 95 et 96 LTF. Le Tribunal fédéral applique le droit d'office (art. 106 al. 1 LTF). Eu égard, cependant, à l'exigence de motivation contenue à l'art. 42 al. 1 et 2 LTF, il n'examine d'ordinaire que les griefs invoqués, sous réserve d'erreurs manifestes (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 116). Par ailleurs, il ne peut entrer en matière sur la violation d'un droit constitutionnel que si le moyen a été expressément soulevé et motivé de manière précise par la partie recourante (art. 106 al. 2 LTF; ATF 135 III 232 consid. 1.2; 134 II 244 consid. 2.2).
2.2. Le Tribunal fédéral statue sur la base des faits établis par l'autorité précédente (art. 105 al. 1 LTF). Il ne peut rectifier ou compléter les constatations de l'autorité précédente que si elles sont manifestement inexactes ou découlent d'une violation du droit au sens de l'art. 95 LTF (art. 105 al. 2 LTF). «Manifestement inexactes» signifie ici «arbitraires» (ATF 140 III 115 consid. 2 p. 117; 135 III 397 consid. 1.5). Encore faut-il que la correction du vice soit susceptible d'influer sur le sort de la cause (art. 97 al. 1 LTF).
La critique de l'état de fait retenu est soumise au principe strict de l'invocation énoncé par l'art. 106 al. 2 LTF (ATF 140 III 264 consid. 2.3 p. 266 et les références). La partie qui entend attaquer les faits constatés par l'autorité précédente doit expliquer clairement et de manière circonstanciée en quoi ces conditions seraient réalisées (ATF 140 III 16 consid. 1.3.1 p. 18 et les références). Si elle souhaite obtenir un complètement de l'état de fait, elle doit aussi démontrer, par des renvois précis aux pièces du dossier, qu'elle a présenté aux autorités précédentes, en conformité avec les règles de la procédure, les faits juridiquement pertinents à cet égard et les moyens de preuve adéquats (ATF 140 III 86 consid. 2 p. 90).
3.
3.1. Les recourants dénoncent une violation des art. 97 et 398 CO, respectivement de l'art. 11 LBVM (loi fédérale sur les bourses et le commerce des valeurs mobilières, RS 954.1). L'autorité précédente aurait enfreint le droit fédéral en refusant de retenir que la banque avait contrevenu à son devoir d'information et que cette violation était en lien de causalité avec le dommage subi.
3.2. La responsabilité contractuelle est engagée lorsque le cocontractant a violé ses obligations contractuelles de manière fautive et qu'il s'en est suivi un dommage, ce qui implique d'établir un lien de causalité naturelle et adéquate entre ledit manquement et le dommage (cf. art. 97 al. 1 CO; ATF 132 III 379 consid. 3.1; sur les notions de causalité naturelle et adéquate, cf. par ex. ATF 139 V 176 consid. 8.4).
Lorsque le manquement reproché est une omission, l'examen du lien de causalité revient à se demander si le dommage serait aussi survenu dans l'hypothèse où l'acte omis aurait été accompli. Les constatations de fait et le jugement de valeur sont imbriqués en ce sens que pour reconstituer le cours hypothétique des événements, il faut se fonder sur l'expérience générale de la vie et émettre un jugement de valeur. Aussi l'autorité de céans a-t-elle coutume de préciser qu'elle est liée, au sens de l'art. 105 al. 1 LTF, par les constatations concernant la causalité hypothétique lorsqu'elles reposent sur des faits ressortant de l'appréciation des preuves; en revanche, si la causalité hypothétique est déduite exclusivement de l'expérience de la vie, elle revoit librement cette question de droit (ATF 132 III 305 consid. 3.5; 115 II 440 consid. 5a; arrêts 4A_543/2016 du 1er novembre 2016 consid. 3.2.3 et 4A_588/2011 du 3 mai 2012 consid. 2.2.2).
En matière de causalité hypothétique, la jurisprudence se contente du degré de la vraisemblance prépondérante (ATF 132 III 715 consid. 3.2 p. 720; 124 III 155 consid. 3d p. 165).
3.3. Dans une affaire qui concernait également un placement dans un produit à capital protégé du groupe Lehman Brothers, la cliente, qui se qualifiait d'investisseuse avertie, s'était plainte de ce que la banque avait omis de l'informer quant à l'identité de l'émetteur.
La cour de céans, en se fondant notamment sur un rapport du 2 mars 2010 établi par l'Autorité fédérale de surveillance des marchés financiers FINMA, a jugé que la banque n'avait pas à attirer l'attention de la cliente sur la personne de l'émetteur, comme il n'apparaissait pas que les agences de cotation et la presse spécialisée auraient émis des réserves quant à la solvabilité de l'émetteur (arrêt 4A_624/2012 du 16 avril 2013 consid. 2.2.2).
3.4. Dans le présent cas, la banque a conseillé aux clients des produits «à capital garanti», la proposition écrite remise à ceux-ci mentionnant une «protection 100%». La banque n'a pas informé les clients du risque de perte totale du placement lié à une faillite de l'émetteur des titres. La cour cantonale devait dès lors définir quel aurait été le cours des événements dans l'hypothèse où la banque aurait discuté de ce risque avec les clients.
Au préalable, la cour a fait les constatations suivantes:
- A l'époque, tous les experts financiers croyaient que Lehman Brothers était un établissement solide et de bonne renommée, de sorte que le risque lié à l'émetteur n'était que théorique et infime.
- Dans son rapport du 2 mars 2010, la FINMA expliquait que jusqu'à sa mise en faillite, le groupe Lehman Brothers bénéficiait d'une bonne solvabilité; il était noté A2 par l'agence Moodys - et même mieux au moment de l'investissement, ajoutait la cour cantonale. Ce même rapport retenait aussi que les produits structurés à capital protégé sont adaptés pour une distribution à la clientèle de détail et qu'en termes de risque d'émetteur, ils sont comparables à des obligations de caisse ou des obligations ordinaires.
La cour cantonale a conclu que si la discussion s'était ouverte entre les clients et le conseiller en placement au sujet du risque lié à l'émetteur, les clients n'auraient pas été dissuadés d'acquérir un produit structuré comme ils le souhaitaient.
3.5. L'autorité précédente a déterminé le comportement hypothétique des clients en se fondant sur les informations dont disposaient alors les milieux spécialisés quant à l'émetteur. On peut admettre qu'un tel pronostic repose essentiellement sur l'expérience générale, sur la réaction normale qu'aurait un investisseur ordinaire. Il faut en inférer que la cour de céans revoit librement la question du cours hypothétique des événements. En revanche, elle est liée, au sens de l'art. 105 al. 1 LTF, par les constatations de fait concernant les circonstances dans lesquelles les parties ont agi.
3.6. Les recourants plaident qu'ils croyaient effectuer un placement sûr auprès d'une banque de proximité alors qu'il s'agissait d'un produit hautement spéculatif d'une banque américaine; s'ils avaient eu connaissance de ce fait, ils n'auraient pas effectué le placement.
Les recourants ne remettent pas en cause les constatations concernant la bonne renommée de Lehman Brothers, qui était supposée avoir une bonne solvabilité et qui bénéficiait d'une bonne cotation. La FINMA a au demeurant relevé dans son rapport précité publié sur Internet qu'à l'époque, il était indifférent que l'émetteur du produit soit Lehman Brothers, une grande banque suisse, Goldman Sachs, la Deutsche Bank ou la BNP; l'élément décisif était bien davantage la disponibilité, au moment souhaité, d'un produit à capital protégé sur le marché primaire (cf. arrêt précité 4A_624/2012 consid. 2.2.2; rapport p. 18, accessible à l'adresse Internet https://www.finma.ch/fr/news/2010/03/mm-lehman-madoff-20100302).
Il en découle que sous l'angle du risque encouru, le fait que l'émetteur du produit soit un groupe bancaire américain plutôt qu'une grande banque suisse n'avait pas d'incidence dans la prise de décision. Les recourants ne prétendent pas qu'ils auraient eu d'autres réticences que celle du risque quant au choix d'un produit émanant d'un groupe américain. De toute façon, ils ne remettent pas valablement en cause le fait que le risque quant à l'émetteur du produit n'était que théorique et infime. Or, en se fondant sur cette constatation et l'expérience générale de la vie, les juges cantonaux pouvaient légitimement en conclure que les clients auraient maintenu leur décision de placement s'ils avaient discuté avec leur conseiller du risque concernant l'émetteur. Qu'ils aient été novices en matière de placements financiers, comme ils le soutiennent, n'est pas de nature à modifier cette analyse.
3.7. La cour cantonale a également exclu une responsabilité de la banque pour avoir laissé investir quelque 400'000 fr. sur un seul produit et pour avoir rassuré les clients au début de l'année 2008 plutôt que de leur conseiller une revente des titres. Les recourants ne développent aucune argumentation sur ces points et ne contestent pas les faits sur lesquels la cour a fondé son analyse. Il n'y a dès lors pas à rediscuter ces aspects (cf. supra consid. 2.1).
3.8. En bref, la cour cantonale n'a pas enfreint le droit fédéral en excluant un rapport de causalité entre l'omission de la banque d'aborder la question du risque de l'émetteur et la perte subie sur les titres consécutivement à la faillite de Lehman Brothers. Point n'est besoin, dès lors, d'examiner les autres griefs du recours, qui ont trait essentiellement au devoir d'information.
4.
Le recours doit ainsi être rejeté.
Les recourants, qui succombent, doivent supporter solidairement les frais de la présente procédure (art. 66 al. 1 et 5 LTF). Ils sont en outre condamnés solidairement à verser des dépens à l'intimée (art. 68 al. 1, 2 et 4 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 6'500 fr., sont mis à la charge des recourants, solidairement entre eux.
3.
Les recourants sont condamnés solidairement à verser à l'intimée une indemnité de 7'500 fr. à titre de dépens.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux mandataires des parties et à la Cour civile du Tribunal cantonal du canton de Neuchâtel.
Lausanne, le 18 avril 2017
Au nom de la Ire Cour de droit civil
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente: Kiss
La Greffière: Monti