Erwägungen:
1.
1.1. Auf Gesuch der B._ AG (Beschwerdegegnerin) wies die Einzelrichterin des Bezirksgerichts Kreuzlingen A._ (Beschwerdeführerin) am 22. Oktober 2015 im Verfahren um Rechtsschutz in klaren Fällen gemäss Art. 257 ZPO an, die 4-Zimmer-Wohnung in der Liegenschaft Strasse U._ in V._ bis 3. November 2015 zu räumen. Die von A._ hiergegen erhobene Beschwerde wies das Obergericht des Kantons Thurgau mit Entscheid vom 14. Dezember 2015 ab und bestätigte den angefochtenen erstinstanzlichen Entscheid.
1.2. A._ hat diesen Entscheid mit Beschwerde vom 5. Januar 2016 beim Bundesgericht angefochten. Am 9. Februar 2016 reichte sie dem Bundesgericht - wie vorbehalten - eine Ergänzung ihrer Beschwerde ein, wobei sie vorbringt, der angefochtene Entscheid sei ihr erst am 11. Januar 2016 über das Amtsgericht Waldshut-Tiengen zugestellt worden. Sie begehrt, "die Entscheide des Obergerichts und des Bezirksgerichts Kreuzlingen vom 22.10.2015 abzuändern und den Antrag auf Mieterausweisung unter Kosten zu Lasten der Antragstellerin/ Beschwerdegegnerin zurückzuweisen".
Weiter ersucht sie um einstweilige Anordnung der aufschiebenden Wirkung. Die Beschwerdegegnerin beantragt die Abweisung dieses Gesuchs.
Es wurden keine Vernehmlassungen in der Sache eingeholt.
Am 1. März 2016 machte die Beschwerdeführerin unaufgefordert eine weitere Eingabe.
2.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (Art. 90 BGG) einer Vorinstanz im Sinne von Art. 75 BGG. Ob der Streitwert die nach Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG in mietrechtlichen Fällen geltende Grenze erreicht, kann offen bleiben, da sich die Beschwerde in anderer Hinsicht als unzulässig erweist:
3.
3.1. Mit Beschwerde in Zivilsachen können Rechtsverletzungen nach Art. 95 und 96 BGG gerügt werden. Die Beschwerde ist hinreichend zu begründen, ansonsten darauf nicht eingetreten werden kann (BGE 134 II 244 E. 2.1). In der Beschwerdeschrift ist in gedrängter Form darzulegen, inwiefern der angefochtene Akt Recht verletzt (Art. 42 Abs. 2 BGG). Unerlässlich ist dabei, dass auf die Begründung des angefochtenen Entscheids eingegangen und im Einzelnen aufgezeigt wird, worin eine vom Bundesgericht überprüfbare Rechtsverletzung liegt. Die beschwerdeführende Partei soll in der Beschwerde an das Bundesgericht nicht bloss die Rechtsstandpunkte, die sie im kantonalen Verfahren eingenommen hat, erneut bekräftigen, sondern mit ihrer Kritik an den als rechtsfehlerhaft erachteten Erwägungen der Vorinstanz ansetzen (BGE 140 III 115 E. 2 S. 116, 86 E. 2 S. 89). Die Verletzung von Grundrechten und von kantonalem und interkantonalem Recht prüft das Bundesgericht nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 106 Abs. 2 BGG). Das bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheides darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (BGE 135 III 232 E. 1.2 mit Hinweisen).
Das Bundesgericht legt seinem Urteil den Sachverhalt zugrunde, den die Vorinstanz festgestellt hat (Art. 105 Abs. 1 BGG). Dazu gehören sowohl die Feststellungen über den streitgegenständlichen Lebenssachverhalt als auch jene über den Ablauf des vor- und erstinstanzlichen Verfahrens, also die Feststellungen über den Prozesssachverhalt (BGE 140 III 16 E. 1.3.1 mit Hinweisen). Es kann die Sachverhaltsfeststellung der Vorinstanz nur berichtigen oder ergänzen, wenn sie offensichtlich unrichtig ist oder auf einer Rechtsverletzung im Sinne von Art. 95 BGG beruht (Art. 105 Abs. 2 BGG). Soweit eine Partei den Sachverhalt ergänzen will, hat sie mit Aktenhinweisen darzulegen, dass sie entsprechende rechtsrelevante Tatsachen und taugliche Beweismittel bereits bei den Vorinstanzen prozesskonform eingebracht hat (BGE 140 III 86 E. 2 S. 90; Urteile 4A_275/2011 vom 20. Oktober 2011 E. 2, nicht publ. in: BGE 137 III 539; 4A_214/2008 vom 9. Juli 2008 E. 1.2, nicht publ. in: BGE 134 III 570).
3.2. Die Beschwerde genügt diesen Begründungsanforderungen nicht, auch nicht in der am 9. Februar 2016 eingereichten, ergänzten Form:
Die Vorinstanz ging auf die im kantonalen Beschwerdeverfahren vorgebrachten Argumente der Beschwerdeführerin gegen die Aktivlegitimation der Beschwerdegegnerin ein. Den Einwand, die fragliche Liegenschaft stehe gar nicht im Eigentum der Beschwerdegegnerin, erachtete es unter Verweis auf Art. 326 Abs. 1 ZPO als neu und prozessual unzulässig. Die Beschwerdeführerin setzt sich mit dieser Beurteilung in ihrer Beschwerde an das Bundesgericht nicht auseinander und tut somit auch nicht rechtsgenüglich dar, inwiefern das Obergericht weiter auf ihre dahingehenden Ausführungen hätte eingehen müssen. Ihre Kritik, wonach der Nachweis der Eigentümerschaft der Beschwerdegegnerin im kantonalen Verfahren nicht erbracht worden sei, erfolgt ohne rechtsgenügliche Bezugnahme auf das angefochtene Urteil und ist daher unzulässig.
Sodann setzt sich die Beschwerdeführerin auch nicht hinreichend mit den Ausführungen des Obergerichts zu ihrem Argument auseinander, aufgrund nichtiger Mietzinserhöhungen habe kein Zahlungsrückstand (und damit kein Kündigungsgrund) bestanden. Sie rügt, die Vorinstanz habe den Entscheid des Bezirksgerichts Kreuzlingen vom 14. September 2015 ausser Acht gelassen, gemäss dem zum Zeitpunkt der Kündigung kein Mietrückstand bestanden habe. Sie hätte überdies, wenn sie von dieser Rechtsprechung hätte abweichen wollen, die Parteien vorgängig darauf hinweisen und ihnen Gelegenheit zur Stellungnahme geben müssen. Indessen tut die Beschwerdeführerin nicht mit Aktenverweisen dar, inwiefern sie sich bereits im kantonalen Verfahren auf diesen Entscheid berufen haben will. Die sinngemäss erhobene Gehörsrüge ist damit nicht hinreichend begründet. Ohnehin bezieht sich die in der Beschwerde zitierte Textpassage aus dem Entscheid des Bezirksgerichts vom 14. September 2015 offenkundig bloss auf die Frage, ob für die erhöhten Mietzinse eine unterschriftliche Schuldanerkennung und damit ein Rechtsöffnungstitel vorliegt, nicht aber auf die materiellrechtliche Frage, ob ein Mietzinsausstand bestand.
Ferner führt die Beschwerdeführerin was folgt aus:
"Der Entscheid des Obergerichts verletzt den Grundsatz des fairen Verfahrens. Die Entscheidung beruht darauf.
Zudem hat das Obergericht Vortrag der Gegenseite berücksichtigt, der der Beschwerdeführerin nie zur Kenntnis gebracht wurde.
Die Stellungnahme der Beschwerdegegnerin vom 27.11.2015 wurde der Beschwerdeführerin nicht übermittelt.
Das Obergericht hat sie gleichwohl berücksichtigt ( vgl. Textziff. 2 c), obwohl es unter Textziff. 3 c ausführt und durch Verweis auf Art 219, 221 ZPO belegt, dass Urkunden bereits dem Gesuch beizulegen sind, wenn sie den geforderten vollen Beweis erbringen sollen."
In diesen kaum nachvollziehbaren Ausführungen der anwaltlich vertretenen Beschwerdeführerin kann keine rechtsgenügliche Rüge einer Verletzung der zitierten ZPO-Bestimmungen und jedenfalls keine hinlänglich begründete Verfassungsrüge im Sinne von Art. 106 Abs. 2 BGG erblickt werden.
Von der Beschwerde verbleibt damit bloss die ohne Aktenhinweise oder Bezugnahme auf den vorinstanzlich festgestellten Sachverhalt vorgebrachte und damit ebenfalls unzulässige Rüge der Beschwerdeführerin, das Obergericht habe ihren Einwand nicht beachtet, "der Vermieter verhalte sich treuwidrig, wenn er die hier zwischen den Parteien praktizierte Zahlungsweise jahrelang hinnehme und dann bei einem erneuten Rückstand kündige, ohne zuvor auf einer Änderung des Zahlungsverhaltens zu bestehen." Auch damit kann die Beschwerdeführerin nicht gehört werden.
4.
Mangels hinreichender Begründung ist auf die Beschwerde nicht einzutreten. Mit diesem Entscheid in der Sache wird der Antrag der Beschwerdeführerin um aufschiebende Wirkung gegenstandslos.
Ausgangsgemäss wird die Beschwerdeführerin kostenpflichtig (Art. 66 Abs. 1 BGG). Der Beschwerdegegnerin ist für ihre Stellungnahme zum Gesuch um aufschiebende Wirkung eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 Abs. 1 BGG), die praxisgemäss unabhängig von der eingereichten Honorarnote zu bemessen ist (siehe Urteil 4C.330/2005 vom 20. Juni 2006 E. 7, nicht publ. in: BGE 132 III 626, mit Hinweisen).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden der Beschwerdeführerin auferlegt.
3.
Die Beschwerdeführerin hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 7. März 2016
Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Kiss
Der Gerichtsschreiber: Kölz