Faits :
A.
A._, né en 1984, est titulaire d'un CFC d'horloger. Le 1 er juillet 2008, il a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité, invoquant une double hernie discale et des douleurs chroniques depuis le 12 décembre 2007, dues à une chute. Le 29 septembre 2011, il a sollicité l'assistance juridique.
Par deux décisions séparées du 22 novembre 2011, qui ont fait suite à deux projets du 12 octobre 2011, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (l'office AI) a refusé d'accorder à l'assuré l'assistance juridique gratuite pour la procédure administrative et a nié son droit à une rente.
B.
A._ a déféré ces décisions au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, en concluant principalement au versement d'une rente entière d'invalidité depuis le 1 er décembre 2008, subsidiairement au renvoi de la cause à l'office AI, ainsi qu'à l'octroi de l'assistance juridique dès le 29 septembre 2011.
La juridiction cantonale a joint les causes par ordonnance du 6 février 2012. Elle a ordonné la mise en oeuvre d'une expertise pluridisciplinaire, neurologique, rhumatologique, orthopédique et psychiatrique auprès du Centre B._. Le rapport a été déposé le 11 avril 2014.
Par jugement du 19 mars 2015, le Tribunal cantonal a rejeté les recours. L'assuré a été mis au bénéfice de l'assistance judiciaire pour la procédure cantonale de recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public contre ce jugement dont il demande l'annulation, en concluant principalement à l'octroi d'une rente entière d'invalidité depuis le 1 er décembre 2008 et de l'assistance juridique depuis le 29 septembre 2011, subsidiairement au renvoi de la cause aux premiers juges.
Considérant en droit :
1.
Le litige porte d'une part sur le droit du recourant à bénéficier de l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure administrative conduite par l'office intimé, d'autre part sur son droit à une rente d'invalidité.
2.
2.1. Le recourant soutient que l'assistance gratuite d'un conseil juridique pour la procédure administrative doit lui être accordée, au regard de la complexité de la matière, vaste, abondante, et - bien souvent - peu accessible à la compréhension du profane. Il relève que la question litigieuse ne se limite pas à déterminer l'étendue de sa capacité de travail exigible, mais aussi à démontrer les répercussions de ses troubles incapacitants en termes d'invalidité. Il estime que son CFC ne lui est pas utile dans ce contexte, que les médecins ignorent souvent ce que l'on exige d'eux dans un litige en matière d'assurances sociales, et que l'assistance d'un avocat s'impose en l'espèce. A cet égard, le recourant expose qu'il ne voit guère pour quelle raison il ne pourrait pas bénéficier des conseils d'un professionnel dans le cadre d'une procédure de contestation de l'AI alors que, théoriquement, une telle assistance est susceptible de lui être accordée dans le cadre d'une procédure judiciaire.
2.2. Bien que le recourant ne cite pas l'art. 37 al. 4 LPGA, son argumentaire se rapporte à l'application de cette disposition légale, qu'il estime avoir été transgressée. Le recourant ne conteste pas que les conditions qui président à l'octroi de l'assistance gratuite d'un conseil juridique dans la procédure administrative en matière d'assurances sociales (art. 37 al. 4 LPGA), objet du présent litige, ne sont pas les mêmes que celles qui justifient l'octroi de l'assistance judiciaire gratuite pour la procédure devant le tribunal cantonal des assurances (art. 61 let. f LPGA), qui lui a d'ailleurs été accordée (voir le consid. 3a p. 20 du jugement attaqué). Il tient simplement un discours de portée générale sur les bienfaits présumés de l'assistance d'un avocat lors de l'instruction d'une demande de prestations de l'AI, alléguant en substance que toute procédure administrative de cette nature justifie l'assistance d'un professionnel. Ce faisant, le recourant ne démontre pas que les circonstances de son cas seraient exceptionnelles au point d'exiger l'assistance d'un avocat au stade de la procédure administrative (cf. ATF 132 V 200 consid. 4.1 p. 201 et les références), ni en quoi le refus des premiers juges serait insoutenable dans la mesure où la nécessité d'une telle assistance a été niée (consid. 3 du jugement). Sur ce point, le recours est infondé.
3.
3.1. Le recourant conteste ensuite la valeur probante de l'expertise du Centre B._ du 11 avril 2014 qu'il estime être sujette à caution. Il relève qu'un expert tiers dont l'identité ne lui a pas été communiquée est intervenu et qu'il n'a pas pu se prononcer sur sa désignation ni sa récusation. Par ailleurs, il soutient que les experts se sont fondés sur des faits imprécis, que leur appréciation est lacunaire (notamment quant à l'anamnèse et à l'importance des douleurs), que son état de santé psychique et celui de sa dentition n'ont pas été pris en compte. En se référant à un rapport du docteur C._ du 14 juillet 2014, produit devant la juridiction cantonale, il estime qu'une nouvelle expertise judiciaire aurait dû être ordonnée. Il ajoute qu'une expertise du docteur D._, réalisée le 30 juin 2011, n'a pas été appréciée à sa juste valeur.
3.2. Les premiers juges ont exposé correctement les principes jurisprudentiels relatifs à l'appréciation des preuves et à la force probante des expertises médicales judiciaires. Il suffit de renvoyer au consid. 4b du jugement attaqué (p. 23).
Dans son jugement, le Tribunal cantonal a répondu à satisfaction aux griefs que le recourant renouvelle vainement en procédure fédérale. C'est ainsi que les experts pouvaient confier à un confrère médecin la tâche d'apprécier la clarté et la cohérence du texte de l'expertise, sans que cela ne constituât une violation du droit du recourant d'être entendu, puisqu'il n'y a pas eu d'examen médical ni d'appréciation de la situation de la part de ce médecin (voir le consid. 5a du jugement, p. 24).
En ce qui concerne l'expertise du Centre B._ du 11 avril 2014, le recourant échoue à démontrer en quoi sa réalisation aurait découlé d'une violation du droit fédéral. En effet, son discours consiste uniquement à opposer sa propre appréciation de la situation médicale à celle des experts, notamment en alléguant qu'ils l'auraient mal écouté ou mal compris, sans prendre sa situation psychique fragilisée en compte. Contrairement à ce que le recourant allègue, les premiers juges se sont pourtant interrogés sur la nécessité de mettre une nouvelle expertise judiciaire en oeuvre, à la lumière du rapport du docteur C._ du 14 juillet 2014; ils ont justifié les raisons pour lesquelles ils n'entendaient pas y donner suite, cela de façon convaincante (consid. 5b p. 25 du jugement). Pour le surplus, les arguments du recourant ne permettent pas d'admettre que les premiers juges auraient violé le droit fédéral en n'accordant pas une valeur prépondérante au rapport du docteur D._ du 30 juin 2011, établi à la demande du médecin traitant, mais en suivant les conclusions du rapport d'expertise judiciaire du Centre B._ du 11 avril 2014.
Quant à l'étendue de la capacité de travail du recourant (90 % dans l'activité habituelle et 100 % dans une activité adaptée à l'état de santé), les juges cantonaux l'ont fixée à juste titre en fonction des conclusions de l'expertise judiciaire qui a force probante. Le taux d'invalidité qui en découle (18 %) n'est pas contesté en tant que tel (consid. 5c pp. 26-27). Sur la question de la rente, le recours est également infondé.
4.
Le recourant, qui succombe, supportera les frais de la procédure (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
Le recours est rejeté.
2.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
3.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, au Tribunal cantonal du canton de Vaud, Cour des assurances sociales, et à l'Office fédéral des assurances sociales.
Lucerne, le 6 janvier 2016
Au nom de la IIe Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
La Présidente : Glanzmann
Le Greffier : Berthoud