Fatti:
A.
A.a. L'Organizzazione Sociopsichiatrica Cantonale (di seguito: OSC) ha escusso A.A._ con precetto esecutivo dell'Ufficio di esecuzione di Lugano del 15 ottobre 2013 per l'importo di fr. 1'500.-- oltre a interessi. Quale titolo di credito ha indicato "l'accompagnamento del 01.09.2011 a Ginevra del fratello C.A._".
A.b. In data 30 luglio 2014 il competente Giudice di Pace del Circolo di Lugano Ovest ha accolto l'istanza 19 febbraio 2014 di rigetto provvisorio dell'opposizione formulata dall'escussa, ponendo tassa, spese e ripetibili a carico della medesima.
B.
Con la qui impugnata sentenza 16 aprile 2015 il Tribunale di appello del Cantone Ticino, Camera di esecuzione e fallimenti, ha respinto il reclamo formulato dall'escussa in data 14 agosto 2014, ponendo a carico di lei le spese di giustizia.
C.
Con allegato 27 maggio 2015, A.A._ (qui di seguito: ricorrente) ha formulato ricorso sussidiario in materia costituzionale contro la pronuncia cantonale, chiedendo che ne venga accertata la nullità, subordinatamente che ne venga pronunciato l'annullamento.
Con decreto presidenziale 28 maggio 2015, al gravame è stato negato l'effetto sospensivo, decisione confermata su domanda di riconsiderazione con decreto 15 giugno 2015. Con ulteriore scritto 6 luglio 2015, la ricorrente postula di essere messa a beneficio del gratuito patrocinio e ricusa il Presidente della II Corte di diritto civile Giudice federale von Werdt.
Non sono state chieste determinazioni.
Diritto:
1.
1.1. La sentenza impugnata - emanata in materia di rigetto provvisorio dell'opposizione - è stata pronunciata in una causa che non raggiunge il valore di lite minimo di fr. 30'000.-- previsto dall'art. 74 cpv. 1 lett. b LTF e non concerne una questione di diritto di importanza fondamentale ai sensi dell'art. 74 cpv. 2 lett. a LTF. È dato pertanto unicamente il ricorso sussidiario in materia costituzionale (art. 113 segg. LTF; v. DTF 134 III 115 consid. 1.1). La sentenza impugnata è una decisione finale (art. 117 LTF combinato con l'art. 90 LTF; DTF 134 III 141 consid. 2 con rinvio) pronunciata su ricorso dall'ultima istanza cantonale (art. 114 LTF combinato con l'art. 75 cpv. 1 e 2 LTF). La ricorrente, soccombente in sede cantonale, è legittimata a ricorrere (art. 115 LTF). Il tempestivo (art. 117 LTF combinato con l'art. 100 cpv. 1 LTF) gravame è quindi in linea di principio ammissibile.
1.2. Giusta l'art. 116 LTF con un ricorso sussidiario in materia costituzionale può unicamente essere censurata la violazione di diritti costituzionali. Il Tribunale federale esamina la violazione di questi diritti soltanto se la parte ricorrente ha sollevato e motivato tale censura (art. 117 LTF combinato con l'art. 106 cpv. 2 LTF). Ciò significa che essa deve spiegare in modo chiaro e dettagliato, alla luce dei considerandi della sentenza impugnata, in che misura sarebbero stati violati diritti costituzionali (DTF 138 I 232 consid. 3; 134 II 244 consid. 2.2; sentenza 2D_58/2013 del 24 settembre 2014 consid. 2.1, non pubblicato in DTF 140 I 285).
1.3. Il Tribunale federale fonda la sua sentenza sui fatti stabiliti dall'autorità inferiore, che può unicamente completare se il loro accertamento è avvenuto in violazione del diritto ai sensi dell'art. 116 LTF (art. 118 cpv. 1 e 2 LTF), ovvero in modo arbitrario, ciò che la parte ricorrente deve esporre e dimostrare conformemente alle esigenze dell'art. 106 cpv. 2 LTF, applicabile in virtù del rinvio all'art. 117 LTF (DTF 136 I 332 consid. 2.2; sentenza 2D_58/2013 cit. consid. 2.2, non pubblicato in DTF 140 I 285). Il Tribunale federale non entra nel merito di critiche di natura appellatoria concernenti i fatti o l'apprezzamento delle prove (DTF 137 II 353 consid. 5.1; 136 II 101 consid. 3; sentenza 2D_58/2013 cit. loc. cit.).
1.4. Non possono essere addotti nuovi fatti o nuovi mezzi di prova, a meno che ne dia motivo la decisione impugnata, ciò che la parte ricorrente deve debitamente esporre nel proprio gravame (art. 117 LTF combinato con l'art. 99 cpv. 1 LTF; DTF 136 III 261 consid. 4.1).
2.
Il creditore che si avvale di un riconoscimento di debito constatato mediante atto pubblico o scrittura privata può chiedere il rigetto provvisorio dell'opposizione, che il giudice pronuncia a meno che il debitore non giustifichi immediatamente eccezioni che infirmano il riconoscimento di debito (art. 82 LEF). La procedura di rigetto dell'opposizione è una procedura documentale: il suo scopo non consiste nell'accertare l'esistenza del credito posto in esecuzione, bensì la mera esistenza di un titolo esecutivo. Il giudice esamina unicamente la forza probante del titolo prodotto dal creditore, la sua natura formale - e non la validità del credito -, attribuendogli forza esecutiva se il debitore non rende immediatamente verosimili le sue eccezioni liberatorie (DTF 132 III 140 consid. 4.1.1; v. anche DTF 139 III 444 consid. 4.1.1; sentenza 5A_40/2013 del 29 ottobre 2013 consid. 2.2, in SJ 2014 I pag. 172).
3.
Il Tribunale di appello ha dapprima giustificato la qualità di stare in lite dell'ente cantonale e la legittimazione della funzionaria firmataria a rappresentare tale ente: ha rammentato che parte alla procedura è invero il Cantone Ticino; che l'OSC ha la capacità processuale in vece del Cantone ("Prozessstandschaft") in virtù dell'art. 10 lett. g del decreto legislativo del Cantone Ticino dell'11 ottobre 2005 concernente il finanziamento tramite il budget globale e il mandato di prestazione delle Unità Amministrative Autonome (RL 2.5.1.1.3); infine, che la funzionaria firmataria, caposervizio delle finanze OSC, appare legittimata giusta l'art. 3 lett. b del regolamento del Cantone Ticino del 24 agosto 1994 sulle deleghe di competenze decisionali (RL 2.4.1.8). Nel merito, i Giudici cantonali hanno rilevato che la ricorrente medesima non contesta che il fax da lei inviato il 30 agosto 2011, con cui confermava l'assunzione del costo forfettario di fr. 1'500.-- per il trasferimento del fratello a Ginevra, costituisca un riconoscimento di debito; l'obiezione, che consiste nell'affermare di essere stata ingannata in merito al mezzo di trasporto poi utilizzato, non sarebbe stata sostanziata.
4.
4.1. Anche avanti al Tribunale federale la ricorrente ribadisce le censure di difetto di stare in lite dell'OSC e di difetto di legittimazione della sua rappresentante: l'OSC non avrebbe allegato né provato di possedere la personalità giuridica, bensì soltanto il Cantone Ticino l'avrebbe; e nessuna procura a favore della funzionaria firmataria sarebbe stata prodotta né alcuna norma specifica sarebbe stata invocata. Infine, il decreto legislativo richiamato dal Tribunale di appello non sarebbe più in vigore dopo il 31 dicembre 2014. A dire della ricorrente, l'autorità inferiore sarebbe quindi incorsa nell'arbitrio.
4.2. Per ampi tratti la critica appena riassunta non soddisfa le esigenze di motivazione proprie del ricorso sussidiario in materia costituzionale (supra consid. 1.2). A fronte delle chiare spiegazioni fornite dal Tribunale di appello circa le regole e le eccezioni che reggono la qualità di parte del Cantone Ticino ed il diritto di stare in lite dei suoi enti, non basta sollevare generici dubbi, ed esprimerli in modo apodittico ("[...] a chi scrive risulta che soltanto lo Stato del Cantone Ticino abbia la personalità giuridica [...]"). In questa misura, la critica ricorsuale appare puramente appellatoria ed è inammissibile.
Con riguardo alla presunta carenza del potere di rappresentanza della funzionaria firmataria, la ricorrente si contraddice quando afferma che non sarebbe stata prodotta alcuna procura né invocata alcuna norma specifica: a suo stesso dire, è esame al quale il giudice deve procedere d'ufficio. Ed il Tribunale di appello ha puntualmente esposto la base legale dell'agire della rappresentante (supra consid. 3).
Quanto alla censura secondo la quale il decreto legislativo concernente il finanziamento tramite il budget globale e il mandato di prestazione delle Unità Amministrative Autonome non sarebbe più in vigore dopo il 31 dicembre 2014, essa è manifestamente temeraria: la validità di detto decreto era stata prorogata fino al 31 dicembre 2015 (v. art. 14 del decreto nella versione valida fino a fine 2015), ed il medesimo è poi confluito nella legge del 12 ottobre 2015 di identica denominazione (LUAA; RL 2.5.1.1.3; entrata in vigore il 1° gennaio corrente).
4.3. Ne discende che le censure relative al diritto di stare in lite dell'OSC e alla sua rappresentanza sono infondate nella misura della loro ricevibilità.
5.
Da un profilo formale, la ricorrente censura l'assenza di motivazione della decisione del Giudice di Pace. Avallando il modo di procedere del primo giudice, pure il Tribunale di appello avrebbe violato l'art. 29 cpv. 2 Cost.
Appare alla lettura della sentenza impugnata che avanti al Tribunale di appello la ricorrente ha lamentato una carenza di motivazione del giudizio di primo grado limitatamente alla questione del potere di rappresentanza della funzionaria firmataria e non, come preteso nel gravame qui all'esame, con "riferimento agli elementi concreti dell'asserito titolo di rigetto". Poiché non sottoposta all'attenzione dell'autorità cantonale di ricorso (art. 75 cpv. 1 LTF; DTF 134 III 524 consid. 1.3 con rinvii; sentenze 4A_260/2014 dell'8 settembre 2014 consid. 1; 4A_94/2014 del 1° luglio 2014 consid. 1 e 3.2), quest'ultima censura è inammissibile.
6.
6.1. Nel merito, la ricorrente ritiene che il Tribunale di appello abbia arbitrariamente considerato il suo fax 30 agosto 2011 quale riconoscimento di debito. In primo luogo, alla luce del documento in questione, il creditore non sarebbe l'OSC bensì la Clinica Psichiatrica Cantonale; tale questione concerne l'identità fra creditore e escutente, che il giudice deve esaminare d'ufficio. Poi non sarebbe giusto dire che ella non abbia contestato la relativa conclusione del primo giudice. Infine, l'accordo avrebbe portato unicamente su un trasporto con mezzo privato e non tramite ambulanza.
6.2. La prima censura relativa alla reale titolarità del credito non è menzionata nella sentenza impugnata; se ne deve dedurre che essa non è stata sollevata in sede cantonale, né la ricorrente pretende il contrario. Ora, se è vero che l'identità fra creditore ed escutente va esaminata d'ufficio (art. 82 LEF; DTF 139 III 444 consid. 4.1.1; sentenza 5A_40/2013 del 29 ottobre 2013 consid. 2.2, in SJ 2014 I pag. 172; PIERRE-ROBERT GILLIÉRON, Commentaire de la loi fédérale sur la poursuite pour dettes et la faillite, tomo I, 1999, n. 74 ad art. 82 LEF e n. 68 ad art. 84 LEF, v. anche n. 22 ad art. 80 LEF per il rigetto definitivo dell'opposizione), è anche vero che sul debitore grava l'onere di collaborare alla raccolta degli elementi di giudizio, tanto più che la massima inquisitoria non trova applicazione nella procedura di rigetto (GILLIÉRON, op. cit., n. 67 ad art. 84 LEF; v. anche art. 255 lett. a CPC e contrario, norma inserita nel capitolo della procedura sommaria, applicabile al rigetto dell'opposizione, DTF 138 III 483 consid. 3.1). Posto che già la sola denominazione dell'escutente suggerisce la sua identità con il titolare del credito, sarebbe stato preciso dovere della ricorrente sollevare la presente eccezione già in prima sede. Peraltro, basta scorrere il sito internet dell'OSC per vedere che la Clinica Psichiatrica Cantonale non è altro che un ente di cura che fa parte dell'OSC (<http://www4.ti.ch/dss/dsp/osc/chi-siamo/presentazione-osc/>, consultato il 19 gennaio 2016), come d'altronde notorio.
Questa prima censura si appalesa dunque inammissibile.
6.3. La ricorrente sembra voler affermare che il fatto di aver espresso il proprio dissenso sul mezzo di trasporto mediante il quale suo fratello venne trasportato a Ginevra equivale a sufficiente contestazione della valenza del suo fax 30 agosto 2011 quale titolo del credito posto in esecuzione; in parole semplici, il proprio accordo non si sarebbe esteso al mezzo di trasporto e, pertanto, il suo fax non varrebbe titolo esecutivo.
La doglianza è infondata. Il fax in questione non fa menzione del mezzo di trasporto che sarebbe poi stato utilizzato dall'escutente per trasferire il fratello della ricorrente a Ginevra. Alla sua lettura, nulla permette di ritenere che il genere di mezzo di trasporto fosse criterio di rilievo. Ora, come è noto il giudice del rigetto non ha da chinarsi sul merito della vertenza, quest'ultimo essendo riservato al giudice di merito che la parte soccombente nella procedura di rigetto dell'opposizione è libero di adire: fa stato unicamente la forza probante del titolo prodotto dall'escutente (supra consid. 2), che nella presente fattispecie appare invero assolutamente cristallina.
La critica ricorsuale di violazione dell'art. 9 Cost. dev'essere pertanto respinta.
7.
Con allegato separato del 6 luglio 2015, la ricorrente chiede la ricusa del Giudice federale von Werdt, Presidente della II Corte di diritto civile. A sostegno, ella afferma di avvertire "un'innegabile ostilità, se non acredine, quantomeno mancanza di sensibilità" da parte del magistrato, per non aver egli mai accolto una sua doglianza, ed addirittura per averle negato l'effetto sospensivo in casi in cui l'opportunità della sua concessione era manifesta.
7.1. Allegati sottoposti all'attenzione del Tribunale federale devono essere debitamente motivati (art. 42 cpv. 1 LTF). Istanze di ricusa devono in particolare rendere verosimili i fatti su cui si fonda la domanda (art. 36 cpv. 1 seconda frase LTF). Istanze fondate essenzialmente sul fatto che il magistrato ricusato abbia in precedenza partecipato a decisioni sfavorevoli per l'istante, o motivate con argomenti altrimenti inconferenti o incomprensibili, sono inammissibili (v. in proposito sentenza 2F_12/2008 del 4 dicembre 2008 consid. 2, con riferimento alle DTF 114 Ia 278 consid. 1 e 105 Ib 301 consid. 1c, entrambe riferentesi all'art. 26 OG, di tenore essenzialmente identico all'art. 37 LTF; v. anche le seguenti sentenze riguardanti la ricorrente: 5A_314/2015 del 14 settembre 2015 consid. 4.1; 5A_415/2015 del 15 ottobre 2015 consid. 7; 5A_416/2015 del 15 ottobre 2015 consid. 7).
7.2. Ciò è quanto si verifica nel caso di specie, sicché la domanda di ricusa dev'essere dichiarata inammissibile.
8.
Ne discende che il ricorso dev'essere respinto nella ridotta misura della sua ammissibilità, con conseguenza di tassa e spese a carico della ricorrente soccombente (art. 66 cpv. 1 LTF). L'istanza di ricusa nei confronti del Giudice federale von Werdt, Presidente della II Corte di diritto civile, è inammissibile. Dalla mot ivazione della presente sentenza emerge che il gravame era sin dall'inizio privo di ogni possibilità di successo; pertanto non può essere concesso alla ricorrente il beneficio del gratuito patrocinio (art. 64 cpv. 1 LTF). Non sono dovute ripetibili all'opponente, la quale non è stata invitata a determinarsi e non è dunque incorsa in spese per la sede federale (art. 68 cpv. 1 LTF).
Per questi motivi, il Tribunale federale pronuncia:
1.
La domanda di ricusa del Giudice federale von Werdt, Presidente della II Corte di diritto civile, è inammissibile.
2.
Nella misura in cui è ammissibile, il ricorso è respinto.
3.
La domanda di assistenza giudiziaria della ricorrente è respinta.
4.
Le spese giudiziarie di fr. 500.-- sono poste a carico della ricorrente.
5.
Comunicazione alle parti e alla Camera di esecuzione e fallimenti del Tribunale d'appello del Cantone Ticino.