Faits :
A.
A._, né en 1957, a été victime de deux accidents en 1986 et 1998 qui ont entraîné premièrement une fracture du plateau tibial droit puis une entorse du genou droit avec fissure du plateau tibial et rupture du ménisque. Pour les suites de ces accidents, la Caisse nationale suisse d'assurance en cas d'accidents (ci-après: CNA) a alloué à l'intéressé, entre autres prestations, une rente d'invalidité fondée sur un taux d'incapacité de gain de 24 % à partir du 1 er août 2002. Pour fixer le taux d'invalidité, elle s'est fondée sur un rapport d'examen médical final du 19 septembre 2002 de son médecin d'arrondissement, le docteur B._, spécialiste en chirurgie. Ce médecin a estimé la capacité de travail de l'assuré entière dans des activités adaptées à son handicap (activités légères alternant les positions assise et debout sans port de charges lourdes, ni montée et descente d'escaliers ou position figée de longue durée). A la suite de l'opposition de l'assuré contre cette décision, les parties ont conclu une transaction et se sont accordées pour fixer le taux de la rente d'invalidité à 30 %. L'augmentation du taux était uniquement liée à des raisons économiques, à savoir au montant du gain annuel assuré. Cette transaction a été entérinée par décision du 30 avril 2004.
En octobre 2008, l'assuré a annoncé à la CNA une rechute, en invoquant la diminution de sa capacité de travail. Se fondant notamment sur un rapport d'examen médical final de son médecin d'arrondissement, le docteur C._, spécialiste en chirurgie, du 28 janvier 2009, la CNA a refusé d'augmenter la rente d'invalidité du recourant (décision du 14 mai 2009 confirmée sur opposition le 19 octobre 2009). Elle a considéré que la capacité de travail résiduelle n'avait pas subi de modification notable par rapport à celle constatée lors de l'examen du 19 septembre 2002. En février 2010, l'assuré a annoncé une nouvelle rechute en vue d'une intervention chirurgicale (mise en place d'une prothèse du genou droit) pratiquée le 29 avril 2010, à la suite de laquelle il a perçu des indemnités journalières. Par la suite, l'assuré a subi une nouvelle opération en mars 2011 (remplacement de la rotule), puis une troisième en janvier 2013 (névrectomie du nerf infra-patellaire droit).
Par décision du 13 juin 2014, confirmée sur opposition le 13 avril 2015, la CNA a mis un terme au versement des indemnités journalières avec effet au 31 juillet 2014 et maintenu le droit de l'assuré à une rente d'invalidité d'un taux de 30 %. Se fondant en particulier sur les rapports médicaux des 15 novembre 2012 et 10 juin 2014 établis par le docteur C._, elle a considéré, une nouvelle fois, que la capacité de travail de A._ n'avait pas subi de modification notable par rapport à celle constatée lors de l'examen final du 19 septembre 2002. Par ailleurs, la CNA a refusé de prendre en charge une éventuelle incapacité de travail en raison des troubles psychiques apparus après l'annonce de sa rechute, faute d'un rapport de causalité avec les accidents.
B.
L'assurée a saisi la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura d'un recours contre la décision sur opposition du 13 avril 2015, en concluant au versement d'une rente d'invalidité supérieure à 30 % et au renvoi de la cause à la CNA pour qu'elle mette en oeuvre une expertise pluridisciplinaire aux fins de procéder au calcul du degré d'invalidité.
Par jugement du 12 janvier 2016, la Cour des assurances a rejeté le recours.
C.
A._ interjette un recours en matière de droit public en concluant à l'annulation du jugement cantonal et au renvoi de la cause à la CNA pour mise en oeuvre d'une expertise médicale.
La CNA conclut au rejet du recours, tout comme la juridiction cantonale, dans la mesure où il est recevable. L'Office fédéral de la santé publique a renoncé à se déterminer.
Considérant en droit :
1.
Le recours est dirigé contre un arrêt final (art. 90 LTF) rendu en matière de droit public (art. 90 LTF) par une autorité cantonale de dernière instance (art. 86 al. 1 let. d LTF). Il a été déposé dans le délai (art. 100 LTF) et la forme (art. 42 LTF) prévus par la loi. Il est donc recevable.
2.
Le litige porte sur le point de savoir si l'intimée était fondée, par sa décision sur opposition du 13 avril 2015, à maintenir le taux de la rente d'invalidité à 30 % à compter du 1 er août 2014, singulièrement sur le point de savoir si la juridiction cantonale pouvait confirmer cette décision sans ordonner une instruction complémentaire sous la forme d'une expertise.
Dans la procédure de recours concernant l'octroi ou le refus de prestations en espèces de l'assurance-accidents, le Tribunal fédéral n'est pas lié par l'état de fait constaté par l'autorité précédente (art. 105 al. 3 LTF).
3.
3.1. Sur le plan psychique, la juridiction cantonale a retenu que la causalité adéquate avec les accidents de 1986 (l'assuré percute le gardien en jouant au football) et 1998 (chute d'un quai de déchargement) n'était pas donnée, laissant ouverte la question de la causalité naturelle. Se fondant sur la jurisprudence établie du Tribunal fédéral relative aux troubles psychiques apparus postérieurement à un accident (cf. ATF 115 V 133 consid. 6c/aa p. 140), elle a considéré que les accidents appartenaient à la catégorie des accidents de gravité moyenne et qu'aucun des critères posés par la jurisprudence n'était rempli ou, en tout cas, ne revêtait une intensité particulière.
3.2. Invoquant les rapports médicaux de ses médecins traitants, le recourant soutient qu'un lien de causalité existe entre l'accident (sans préciser lequel des deux accidents) et ses troubles psychiques, et reproche au tribunal cantonal de n'en avoir pas tenu compte. Selon lui, la causalité adéquate devrait également être admise compte tenu de la gravité de l'accident et de ses circonstances, de l'aggravation de son état de santé et de la durée du traitement.
3.3. Contrairement aux affirmations du recourant, les premiers juges ont apprécié l'ensemble des rapports des psychiatres et psychologues consultés par l'assuré (cf. consid. 6.3 p. 9 du jugement attaqué). Ils en ont conclu que ces médecins ne s'étaient pas clairement prononcés sur la question du lien de causalité entre les troubles psychiques et les accidents, ce que le recourant conteste sans toutefois se référer très précisément à un avis médical en particulier. En ce qui concerne la causalité adéquate, la cour cantonale a exposé de manière détaillée, pour chacun des critères posés par la jurisprudence, les raisons pour lesquelles ils n'étaient pas réalisés. En l'espèce, le recourant ne développe aucune critique sur la motivation de la décision attaquée. Il se contente d'affirmer que plusieurs critères sont remplis en citant pour preuves " les diverses opérations, les séjours hospitaliers, la réelle intensité des douleurs, la durée des traitements et les longues incapacités de travail ". Une telle motivation est insuffisante au regard des exigences de l'art. 42 al. 2 LTF.
Partant, le jugement attaqué doit être confirmé en tant qu'il nie l'existence d'un lien de causalité entre les accidents de 1986 et 1998 et les troubles psychiques du recourant.
4.
4.1. Sur le plan somatique, la juridiction cantonale a considéré que les diagnostics et limitations fonctionnelles retenus par les médecins-conseils de l'intimée rejoignaient pour l'essentiel ceux des autres médecins consultés par le recourant. En outre, en ce qui concerne la capacité de travail, l'avis des médecins traitants n'étaient pas de nature à remettre en cause celui des médecins-conseils, en tant qu'ils indiquaient que l'activité de boucher n'était pas exigible - ce qui correspondait aux limitations retenues par le docteur C._ - ou attribuaient en partie l'incapacité de travail aux affections psychiques. Il n'y avait donc pas lieu de s'écarter de l'avis des médecins-conseils de la CNA, en particulier des rapports du docteur C._ des 10 juin 2014 et 15 novembre 2012. Aussi, la cour cantonale a-t-elle considéré que la situation du recourant ne s'était pas modifiée de manière notable depuis la dernière décision reposant sur un examen complet de son état de santé, à savoir la décision du 19 octobre 2009.
4.2. De son côté, se référant à une trentaine de rapports médicaux, le recourant soutient que son état de santé s'est dégradé au fil des années et que les diagnostics et les conclusions retenus par ses médecins traitants s'écartent des rapports des médecins-conseils de la CNA, auxquels il nie toute valeur probante. Il reproche à la juridiction cantonale d'avoir renoncé à ordonner une expertise médicale et d'être tombée dans l'arbitraire en écartant les rapports de ses médecins traitants.
5.
5.1. En présence de rapports médicaux contradictoires, le juge ne peut trancher l'affaire sans apprécier l'ensemble des preuves et sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion médicale et non pas sur une autre. L'élément déterminant pour la valeur probante d'un rapport médical n'est ni son origine, ni sa désignation, mais son contenu. A cet égard, il importe que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude fouillée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées, qu'il ait été établi en pleine connaissance du dossier, que la description des conséquences médicales soit claire et, enfin, que les conclusions de l'expert soient bien motivées (ATF 134 V 231 consid. 5.1 p. 232).
5.2. En l'occurrence, la juridiction cantonale a examiné l'ensemble des rapports dont se prévalait le recourant et a indiqué les raisons pour lesquelles elle a fait siennes les conclusions du docteur C._. Ce raisonnement est conforme aux principes fixés par la jurisprudence. En outre, les rapports du docteur C._ des 10 juin 2014 et 15 novembre 2012 remplissent les critères jurisprudentiels en matière de valeur probante, contrairement à ce que soutient le recourant. Par ailleurs, il n'existe pas de droit formel à une expertise médicale menée par un médecin externe dans la procédure d'octroi de prestations d'assurance sociale. La jurisprudence retient toutefois que lorsqu'il existe un doute, même léger, quant à la fiabilité et la pertinence des constatations des médecins internes à l'assurance, le juge a le devoir d'ordonner une expertise (cf. ATF 135 V 465 consid. 4 p. 467 ss). En l'espèce, on ne saurait reprocher à la cour cantonale d'avoir renoncé à mettre en oeuvre une expertise, dans la mesure où elle a retenu qu'il n'existait pas de contradiction majeure entre les rapports des médecins traitants et des médecins-conseils de la CNA et que, pour l'essentiel, ceux-ci se rejoignaient tant sur les diagnostics posés que sur les limitations fonctionnelles. A ce propos, en se limitant à énumérer l'ensemble des rapports médicaux établis depuis juillet 2010 et à en conclure qu'ils s'écartent de l'avis des médecins-conseils, le recourant n'explique pas concrètement en quoi consisteraient les contradictions dont il se prévaut et ne remet pas réellement en cause la fiabilité ou la pertinence des constatations des médecins internes à l'assurance.
En conclusion, la juridiction cantonale était fondée à se rallier à l'avis du docteur C._ pour apprécier l'état de santé actuel du recourant.
6.
Vu ce qui précède, le recours se révèle mal fondé et doit être rejeté. Le recourant, qui succombe, supportera les frais judiciaires (art. 66 al. 1 LTF).
Par ces motifs, le Tribunal fédéral prononce :
1.
2.
Le recours est rejeté.
3.
Les frais judiciaires, arrêtés à 800 fr., sont mis à la charge du recourant.
4.
Le présent arrêt est communiqué aux parties, à la Cour des assurances du Tribunal cantonal de la République et canton du Jura et à l'Office fédéral de la santé publique.
Lucerne, le 23 décembre 2016
Au nom de la Ire Cour de droit social
du Tribunal fédéral suisse
Le Président : Maillard
La Greffière : Castella