Das Bundesgericht zieht in Erwägung:
1.
Das Amt für Justizvollzug des Kantons Basel-Stadt lud die Beschwerdeführerin am 13. Oktober 2016 zum Vollzug von zwei Ersatzfreiheitsstrafen von insgesamt 94 Tagen auf den 16. Januar 2017 in den Strafvollzug vor. Das Justiz- und Sicherheitsdepartement des Kantons Basel-Stadt trat am 2. Januar 2017 auf das Rekursbegehren wegen Verspätung nicht ein. Dagegen legte die Beschwerdeführerin Rekurs ein. Das Präsidium des Appellationsgerichts des Kantons Basel-Stadt wies das Gesuch, es sei dem Rekurs die aufschiebende Wirkung zu erteilen, mit Verfügung vom 13. Januar 2017 ab. Dagegen wendet sich die Beschwerdeführerin mit Eingaben vom 15. Januar 2017 (Poststempel) und 6. Februar 2017 an das Bundesgericht. Sie beantragt sinngemäss die Aufhebung der Verfügung und ihre rechtsgültige Freilassung bzw. die aufschiebende Wirkung für die Ersatzfreiheitsstrafe.
2.
Auf das sinngemässe Gesuch um Anordnung von (superprovisorischen) Massnahmen gemäss Art. 104 BGG trat der Präsident der Strafrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts am 17. Januar 2017 nicht ein.
3.
Die angefochtene Verfügung der Vorinstanz vom 13. Januar 2017 ist kein Endentscheid im Sinne von Art. 90 BGG. Sie schliesst das Verfahren nicht ab, sondern regelt ausschliesslich die Frage der aufschiebenden Wirkung des gegen den Nichteintretensentscheid vom 2. Januar 2016 erhobenen Rekurses. Sie ist mithin ein selbständig eröffneter Zwischenentscheid gemäss Art. 93 BGG. Nach Art. 93 BGG ("Andere Vor- und Zwischenentscheide") ist gegen selbständig eröffnete Vor- und Zwischenentscheide die Beschwerde in Strafsachen unter anderem zulässig, wenn sie einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil bewirken können (Abs. 1 lit. a; vgl. dazu BGE 141 IV 289 E. 1.2 S. 291 f.; 139 IV 113 E. 1 S. 115 ff.; je mit Hinweisen). Die Nichtgewährung der aufschiebenden Wirkung hat zur Folge, dass die beiden Ersatzfreiheitsstrafen vollzogen werden. Dies stellt für die Beschwerdeführerin einen nicht wiedergutzumachenden Nachteil dar.
Bei Zwischenentscheiden folgt der Rechtsweg der Hauptsache. Die Einladung in den Strafvollzug ist im Sinne von Art. 78 Abs. 2 lit. b BGG ein Entscheid über den Vollzug von Strafen. Dagegen ist die Beschwerde in Strafsachen zulässig. Zu ihrer Beurteilung ist die Strafrechtliche Abteilung des Bundesgerichts zuständig (Urteile 6B_1126/2016 vom 10. Oktober 2016 E. 1.3; 6B_824/2015 vom 22. September 2015 E. 1.1)
4.
4.1. Verfahrensgegenstand vor Bundesgericht bildet ausschliesslich der angefochtene Zwischenentscheid der Vorinstanz, mit welchem das Gesuch um Bewilligung der aufschiebenden Wirkung des Rekurses abgewiesen wurde. Soweit die Beschwerdeführerin sinngemäss die Rechtmässigkeit der Ersatzfreiheitsstrafen in Zweifel zieht und sie das Vorgehen der Strafvollzugsbehörden kritisiert, weil ihr vorschriftswidrig nicht mitgeteilt worden sei, dass die Busse in Raten bezahlt werden oder eine gemeinnützige Arbeit angetreten werden könne, äussert sie sich zu ausserhalb des Verfahrensgegenstands liegenden Fragen. Darauf ist nicht einzutreten.
4.2. Mit der beantragten Gewährung der aufschiebenden Wirkung des Rekurses verlangt die Beschwerdeführerin nach zutreffender Auffassung der Vorinstanz den Erlass einer vorsorglichen Massnahme. Vorsorgliche Massnahmen ergehen aufgrund einer bloss provisorischen Prüfung der Sach- und Rechtslage. Erforderlich ist eine Abwägung der auf dem Spiel stehenden Interessen. Der zuständigen Behörde steht dabei ein erheblicher Beurteilungsspielraum zu. Sie ist nicht gehalten, für ihren rein vorsorglichen Entscheid zeitraubende Abklärungen zu treffen, sondern kann sich mit einer summarischen Beurteilung aufgrund der ihr zur Verfügung stehenden Akten begnügen. Der vermutliche Ausgang des Verfahrens kann nur dann in Betracht gezogen werden, wenn die Aussichten eindeutig sind (BGE 130 II 149 E. 2.2; Urteil 2C_11/2007 vom 21. Juni 2007 E. 2.3.2, je mit Hinweisen).
4.3. Die Vorinstanz erwägt, der Rekurs der Beschwerdeführerin richte sich gegen einen Entscheid des Justiz- und Sicherheitsdepartements, mit welchem das Departement auf einen Rekurs wegen Säumnis nicht eingetreten sei. Die Beschwerdeführerin setze sich mit ihrer verspäteten Rekursanmeldung kaum auseinander. Sie mache allein eine Krankheit geltend und beziehe sich dabei auf die Bestätigung einer Naturheilpraktikerin. Damit berufe sie sich implizit auf einen Anspruch auf Wiedereinsetzung in die verpasste Frist. Das anwendbare kantonale Organisationsgesetz (OG) enthalte keine ausdrückliche Vorschrift über die Wiedereinsetzung im Falle einer Fristversäumnis im verwaltungsinternen Rekursverfahren. Indessen sei das Institut der Wiedereinsetzung in den vorigen Stand in ständiger Rechtsprechung aufgrund allgemeiner Rechtsgrundsätze anerkannt. Offen bleiben könne, ob im vorliegenden Zusammenhang auf das Attest einer Naturheilpraktikerin überhaupt abgestellt werden könne. Jedenfalls lasse sich diesem Attest nicht entnehmen, dass es der Beschwerdeführerin unmöglich gewesen wäre, innert Frist von zehn Tagen nach Erhalt der Vorladung zum Strafantritt einen Rekurs anzumelden. Ein solches Schreiben zu versenden, sei offensichtlich auch bei Antriebslosigkeit und Erschöpfung möglich. Dies gehe auch aus dem Attest hervor, welches der Beschwerdeführerin keine durchgängige Verhinderung an der Wahrnehmung von Terminen attestiere. In summarischer Beurteilung der Streitsache sei daher von einer eindeutig negativen Erfolgsprognose auszugehen.
5.
Die Beschwerdeführerin beruft sich vor Bundesgericht im Zusammenhang mit der Fristversäumnis auf ihre angebliche damalige Obdachlosigkeit. Weder aus der Beschwerde noch aus der angefochtenen Verfügung ergibt sich, dass sie diesen Einwand bereits vor der Vorinstanz vorgebracht hätte. Es handelt sich folglich um ein unzulässiges Novum im Sinne von Art. 99 BGG, welches im bundesgerichtlichen Verfahren nicht zu hören ist. Im Übrigen macht die Beschwerdeführerin geltend, die Fristversäumnis sei mit der Krankenbestätigung durch die Naturheilpraktikerin belegt. Sie wiederholt damit ihren im kantonalen Verfahren vertretenen Standpunkt. Mit den Erwägungen der Vorinstanz setzt sie sich nicht auseinander. Sie legt nicht dar, inwiefern bei einem Entscheid über vorsorgliche Massnahmen nicht die von der Vorinstanz genannten Grundsätze massgebend sein sollen und der angefochtene Zwischenentscheid bei Beachtung dieser Grundsätze Recht verletzen könnte. Sie legt auch nicht dar, inwiefern die Vorinstanz das ins Recht gelegte Attest der Naturheilpraktikerin willkürlich gewürdigt haben soll. Damit wird zusammenfassend nicht dargetan, dass bzw. inwiefern der Entscheid der Vorinstanz über die Verweigerung der aufschiebenden Wirkung unhaltbar wäre oder sonst wie gegen das Recht im Sinne von Art. 95 BGG verstossen könnte. Die Beschwerde enthält mithin keine Begründung, die den Anforderungen gemäss Art. 42 Abs. 2 BGG genügt. Darauf ist nicht einzutreten.
6.
Auf eine Kostenauflage kann ausnahmsweise verzichtet werden.
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Auf die Beschwerde wird nicht eingetreten.
2.
Es werden keine Kosten erhoben.
3.
Dieses Urteil wird den Parteien und dem Präsidium des Appellationsgerichts Basel-Stadt schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 16. Februar 2017
Im Namen der Strafrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Denys
Die Gerichtsschreiberin: Arquint Hill