Sachverhalt:
A.
B.B._ (Mutter) und A._ (Vater) sind die nicht miteinander verheirateten Eltern von C.B._ (geb. 2007) und D.B._ (geb. 2010). Die Eltern verfügen über ein gemeinsames Sorgerecht. Sie leben seit September 2011 getrennt. Während ein Unterhaltsvertrag aus der Zeit des Zusammenlebens besteht, haben die Eltern keine ausdrückliche Regelung über die Betreuung der Kinder bzw. das Besuchsrecht getroffen.
B.
B.a. Mit Gesuch vom 22. März 2013 ersuchte der Vater um Regelung des Besuchs- und Ferienrechts sowie die Aufteilung der Feiertage. Er beantragte ein Besuchsrecht für jedes dritte Wochenende von Freitag 17.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr. Die Mutter beantragte ihrerseits Betreuungszeiten an jedem dritten Wochenende von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr. Ausserdem habe der Vater allfällige Zusatzkosten für die Fremdbetreuung zu übernehmen, falls er das Besuchswochenende weniger als zwei Wochen vorher absage. Im Rahmen einer zweiten Stellungnahme beantragte die Mutter - knapp ein Jahr später - Betreuungszeiten an jedem zweiten Wochenende von Freitag 18.00 Uhr bis Sonntag 18.00 Uhr. Mit Entscheid vom 6. August 2014 des Familiengerichts U._ als Kindes- und Erwachsenenschutzbehörde wurde der Vater berechtigt und verpflichtet, die beiden Kinder an jedem dritten Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, auf eigene Kosten zu sich oder mit sich auf Besuch zu nehmen; der Entscheid sah im Weiteren vor, dass Absagen betreffend Besuchstage nach Möglichkeit mindestens sieben Tage im Voraus zu erfolgen haben (Ziff. 1.1 des Entscheids). Im Weiteren regelte das Gericht das Ferienrecht (Ziff. 1.2) und die Feiertage (Ziff. 1.3).
B.b. Die Mutter gelangte gegen diesen Entscheid an das Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, mit dem Begehren, in Abänderung von Ziffer 1.1 des erstinstanzlichen Entscheides sei der Vater für berechtigt und verpflichtet zu erklären, seine Kinder jedes zweite Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, zu betreuen, wobei Absagen betreffend Kinderbetreuung an den Betreuungswochenenden mindestens sieben Tage im Voraus zu erfolgen hätten. Allfällige mit der Absage des Vaters (zwei Wochen oder weniger) verbundene, nachgewiesene Zusatzkosten für die Fremdbetreuung seien vom Vater zu tragen. Im Weiteren stellte sie einen Antrag auf Abänderung der Regelung betreffend das Ferienrecht; danach soll der Vater nicht nur berechtigt sein, zwei Wochen pro Jahr mit den Kindern Ferien zu verbringen, sondern dazu auch verpflichtet sein (Ziffer 1.2). Der Vater schloss auf Abweisung der Begehren. In Gutheissung der Beschwerde änderte das Obergericht Ziff. 1.1 des erstinstanzlichen Entscheides ab. Es berechtigte und verpflichtete den Vater, die Kinder an jedem zweiten Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, auf eigene Kosten zu sich zu nehmen oder für eine Betreuungsalternative besorgt zu sein. Sodann regelte es das Ferienrecht im Sinne des Antrages der Mutter.
C.
Der Vater (Beschwerdeführer) hat am 22. April 2015 (Postaufgabe) beim Bundesgericht Beschwerde erhoben. Er beantragt, das Urteil des Obergerichts aufzuheben und jenes des Familiengerichts U._ vom 6. August 2014 zu bestätigen. Eventuell sei die Sache an die Vorinstanz zurückzuweisen. In verfahrensrechtlicher Hinsicht ersucht er um Gewährung der aufschiebenden Wirkung.
D.
Mit Präsidialverfügung vom 12. Mai 2015 wurde der Beschwerde mit Bezug auf die Frage der Organisation einer Alternativbetreuung entgegen dem Antrag der Mutter (Beschwerdegegnerin) aufschiebende Wirkung zuerkannt.
E.
Die Beschwerdegegnerin hat sich am 17. Dezember 2015 zur Sache vernehmen lassen. Sie ersucht um Abweisung der Beschwerde. Weitere Stellungnahmen sind nicht erfolgt.
F.
Die Beschwerde wurde an der Sitzung der II. zivilrechtlichen Abteilung des Bundesgerichts vom 25. Februar 2016 öffentlich beraten und das Urteil anschliessend an die Beratung und Abstimmung mündlich eröffnet.
Erwägungen:
1.
1.1. Angefochten ist ein letztinstanzlicher kantonaler Endentscheid (Art. 90 BGG) betreffend Regelung des Umgangs des Beschwerdeführers mit seinen Kindern, mithin eine Zivilsache nicht vermögensrechtlicher Natur im Sinn von Art. 72 Abs. 1 BGG. Der Beschwerdeführer war Partei im kantonalen Verfahren (Art. 76 Abs. 1 lit. a BGG) und hat ein persönliches aktuelles Interesse an der Änderung bzw. Aufhebung des angefochtenen Urteils (Art. 76 Abs. 1 lit. b BGG). Auf die fristgerecht eingereichte Beschwerde (Art. 100 Abs. 1 BGG) ist grundsätzlich einzutreten.
1.2. Der Beschwerdeführer beantragt, das angefochtene Urteil aufzuheben und den Entscheid der ersten Instanz vom 6. August 2014 zu bestätigen. Aus der Begründung, welche für die Auslegung der Begehren beizuziehen ist (BGE 136 V 131 E. 1.2 S. 136), ergibt sich indes ohne Zweifel, dass er damit die Regelung seines "Betreuungsrechts" an den Wochenenden bzw. die Verpflichtung zur Organisation einer Ersatzbetreuung meint. Das ebenfalls geregelte Ferienrecht ist nicht Gegenstand der Beschwerde.
1.3. Auf die Eingabe der Beschwerdegegnerin ist nicht einzutreten, soweit sie darin neue, nach dem angefochtenen Entscheid eingetretene Tatsachen geltend macht. Entsprechende Tatsachenvorbringen sind vor Bundesgericht nicht zulässig (Art. 99 Abs. 1 BGG; BGE 133 IV 342 E. 2).
2.
2.1. Die Vorinstanz hat das "Betreuungsrecht" des Beschwerdeführers auf jedes zweite Wochenende von Freitagabend, 18.00 Uhr, bis Sonntagabend, 18.00 Uhr, festgesetzt und diesen über das Begehren der Beschwerdegegnerin hinaus verpflichtet, für eine Betreuungsalternative zu sorgen, falls er das Besuchsrecht nicht persönlich wahrnehmen könne. Nach den Ausführungen des Obergerichts scheinen beide Elternteile in etwa gleichem Mass über eine Bindung zu den Kindern und die Erziehungsfähigkeit zu verfügen. Der Beschwerdeführer hat zu seinen Töchtern eine gute Beziehung aufgebaut, und die Betreuung der Kinder anlässlich der Ausübung der Besuchswochenenden funktioniert gut. Zudem hat er sich bis zum Zeitpunkt der Trennung im September 2011 sehr um die Erziehung der Kinder gekümmert. Auch heute nimmt er eine wichtige Rolle für seine Töchter ein. Vor allem die ältere ist enttäuscht, wenn ein Besuchswochenende beim Vater abgesagt werden muss. Was die Möglichkeit der persönlichen Betreuung anbelangt, bestehen sowohl bei der Beschwerdegegnerin als auch beim Beschwerdeführer gewichtige Einschränkungen. Während der Beschwerdeführer über eine Vollzeitanstellung im Marketingbereich mit Arbeitsort V._ verfügt und arbeitsbedingt zeitweise im Ausland weilt, arbeitet die Beschwerdegegnerin mit einem 80%-Pensum in der Abteilung Radiologie des Kantonsspitals U._. Diese Anstellung ist laut Obergericht mit Schichtarbeit, Wochenendeinsätzen und unregelmässigen Arbeitszeiten verbunden, weshalb die Kinder bereits heute während der arbeitsbedingten Abwesenheit der Beschwerdegegnerin fremdbetreut werden; gemäss Obergericht ist sie daher auf zuverlässige Betreuungszeiten des Beschwerdeführers angewiesen.
In rechtlicher Hinsicht hat das Obergericht erwogen, aus der gemeinsamen elterlichen Sorge fliesse weder eine Pflicht noch ein Recht, das Kind hälftig zu betreuen. Hingegen habe sich die Betreuungsregelung am Kindeswohl auszurichten. Diese Regelung könne nach neuem Recht auch ein systematisches Betreuungsmodell gegen den Willen eines Elternteils beinhalten. Als Mitinhaber der elterlichen Sorge trage der Beschwerdeführer die geteilte Verantwortung für die Betreuung seiner Kinder, weshalb auch er seinen Teil an die Kinderbetreuung zu leisten habe. Er könne diese Pflicht nicht einfach auf die Beschwerdeführerin abschieben, welche selber für ihren Lebensunterhalt aufkommen müsse. Dies gelte unabhängig davon, dass die Kinder hauptsächlich bei der Mutter wohnten. Anders als einem nicht sorgeberechtigten Vater mit Besuchsrecht komme dem Beschwerdeführer grundsätzlich die gleich grosse Verantwortung für die Betreuung seiner Kinder zu, wie der Mutter. Mit Blick auf die Konstanz und die Stabilität der Beziehung zwischen dem Vater und den schul- bzw. vorschulpflichtigen Kindern erscheine eine Ausweitung des persönlichen Verkehrs auf jedes zweite Wochenende angezeigt. Dies stelle bei der gegebenen Ausgangslage der beiden berufstätigen Eltern ein Mindestmass an Betreuungsverantwortung des Vaters dar, um die elterliche Sorge faktisch ausüben zu können und seiner Verantwortung gerecht zu werden. Es sei dem Vater zumutbar, seine Kinder jedes zweite Wochenende zu betreuen, zumal er die Möglichkeit habe, bei allfälligen berufsbedingten Abwesenheiten eine Fremdbetreuung zu organisieren. Massstab für die Regelung der Betreuung sei allein das Kindeswohl; praktische Interessen der Eltern hätten zurückzustehen. Die zweiwöchentliche Betreuungsverantwortung dürfte einerseits dazu führen, dass die Kinder ihren Vater öfters sähen; andererseits verringere sie den einseitigen Organisationsdruck der Mutter, was sich beides positiv auf die Kinder auswirke. Das Betreuungsrecht und die Betreuungspflicht umfassten nicht nur die persönliche Betreuung, sondern auch die Verantwortung für eine Ersatzbetreuung. Deshalb erübrige sich eine Androhung hinsichtlich Zusatzkosten einer Fremdbetreuung.
2.2. Der Beschwerdeführer erblickt darin eine Bundesrechtsverletzung und macht zusammengefasst geltend, die Vorinstanz leite eine Betreuungspflicht aus der gemeinsamen elterlichen Sorge ab, was sich indes weder aus Art. 301 ZGB noch aus der Rechtsprechung (vgl. 5A_198/2013 vom 14. November 2014 E. 4.1) noch aus der Lehre ergebe. Die Vorinstanz verwechsle offensichtlich die Begriffe der elterlichen Sorge und der elterlichen Obhut. Im vorliegenden Fall übe die Beschwerdegegnerin die Obhut faktisch allein aus. Da es somit um die Regelung des persönlichen Verkehrs gehe, könne nicht von einer Betreuungspflicht des Besuchsrechtsberechtigten gesprochen werden. Massgebend für die Festsetzung des Besuchsrechts sei das Kindeswohl. Das an jedem dritten Wochenende auszuübende Besuchsrecht habe jahrelang funktioniert. Er sei infolge Auslandsabwesenheit nicht in der Lage, sein Recht an jedem zweiten Wochenende ausüben. Zudem sei es ihm aufgrund des Anfahrtsweges und der Staus nicht möglich, die Kinder am Freitagabend abzuholen. Zwar halte die Vorinstanz dafür, die Beschwerdegegnerin sei auf zuverlässige Betreuungszeiten durch den Vater angewiesen. Die sei indes kein Grund für eine Ausweitung des Besuchsrechts.
2.3. Die Beschwerdegegnerin schliesst sich den obergerichtlichen Ausführungen an und macht im Wesentlichen geltend, die Kinder stünden unter gemeinsamer elterlicher Sorge der Parteien; sie sei nicht Inhaberin der elterlichen Obhut, kümmere sich aber praktisch ausschliesslich um die Betreuung der Kinder und übe so die faktische Obhut aus. Der Beschwerdeführer entziehe sich seiner Verantwortung, indem er die Betreuungszeiten beliebig absage und ihr damit die Betreuungsverantwortung allein überbinde. Ihr finanzieller Beitrag für die beiden gemeinsamen Kinder sei aufgrund der Fremdbetreuungskosten (die insbesondere auch durch die vom Beschwerdeführer abgesagten Besuchswochenenden entstehen) und der reduzierten Erwerbstätigkeit sowie der Bezahlung der Lebenshaltungskosten bedeutend höher als der finanzielle Beitrag des Beschwerdeführers.
3.
3.1. Strittig ist vorliegend der Umfang des vom Beschwerdeführer auszuübenden Besuchsrechts. Nach Art. 273 Abs. 1 ZGB haben Eltern, denen die elterliche Sorge oder die Obhut nicht zustehen, und das unmündige Kind gegenseitig Anspruch auf angemessenen persönlichen Verkehr (Art. 273 Abs. 1 ZGB). Bei dessen Ausgestaltung steht das Kindeswohl im Vordergrund (BGE 131 III 209 E. 5 S. 212). Welche Ordnung des persönlichen Verkehrs zwischen Eltern und Kindern angemessen ist, lässt sich nicht objektiv und abstrakt umschreiben, sondern entscheidet sich im konkreten Einzelfall nach richterlichem Ermessen (Urteile 5A_72/2011 vom 22. Juni 2011 E. 1 mit Hinweisen; 5A_79/2014 vom 5. März 2015 E. 4.3). Ermessensentscheide dieser Art überprüft das Bundesgericht an sich frei; es greift allerdings nur ein, wenn die kantonale Instanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht hat, d.h. wenn sie grundlos von in Lehre und Rechtsprechung anerkannten Grundsätzen abgegangen ist, wenn sie Gesichtspunkte berücksichtigt hat, die keine Rolle hätten spielen dürfen, oder wenn sie umgekehrt rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Aufzuheben und zu korrigieren sind ausserdem Ermessensentscheide, die sich als im Ergebnis offensichtlich unbillig, als in stossender Weise ungerecht erweisen (BGE 141 III 97 E. 11.2; 135 III 121 E. 2; 131 III 209 E. 3 mit Hinweisen).
3.2. Wie das Obergericht zutreffend ausführt, hat sich die Betreuungsregelung am Kindeswohl auszurichten. Jede Regelung hat sich mithin am Kindeswohl messen zu lassen. Der Grundgedanke des Obergerichts, als Mitinhaber der elterlichen Sorge trage der Beschwerdeführer die geteilte Verantwortung für die Betreuung seiner Kinder, weshalb auch er seinen Teil an die Kinderbetreuung zu leisten habe, sowie die Auffassung, das Betreuungsrecht und die Betreuungspflicht umfassten nicht nur die persönliche Betreuung, sondern auch die Verantwortung für eine Ersatzbetreuung, greifen zu kurz. Denn diese Überlegungen lassen keinen Zusammenhang mit dem hauptsächlichen Kriterium, nämlich dem des Kindeswohls, erkennen. Das Obergericht geht von einer beruflichen Belastung des Beschwerdeführers aus. In diesem Zusammenhang ist nicht klar, ob er das vom Obergericht angeordnete Besuchsrecht trotz seines beruflichen Engagements, das teilweise Einsätze im Ausland mit sich bringt, auch tatsächlich wahrnehmen kann. Der Beschwerdeführer selbst erachtet dies infolge Abwesenheit im Ausland als ausgeschlossen. Ferner sind dem angefochtenen Entscheid keine konkreten tatsächlichen Feststellungen über die Ausgestaltung einer allfälligen durch den Beschwerdeführer zu organisierenden Fremdbetreuung zu entnehmen, falls er sein Besuchsrecht berufsbedingt nicht persönlich ausüben kann. Schliesslich fehlt eine Beurteilung, wie die konkret identifizierte, vom Vater zu organisierende Fremdbetreuung unter dem Gesichtspunkt des Kindeswohls im Verhältnis zu der von der Mutter beantragten Lösung (Organisation der Fremdbetreuung durch sie; Kosten zulasten des Vaters) steht. Anhand der von der Vorinstanz getroffenen tatsächlichen Feststellungen lässt sich zum heutigen Zeitpunkt nicht abschliessend beurteilen, ob die getroffene Regelung dem Kindeswohl entspricht. Damit hat die Vorinstanz von dem ihr zustehenden Ermessen einen falschen Gebrauch gemacht, indem sie rechtserhebliche Umstände ausser Acht gelassen hat. Der angefochtene Entscheid ist daher aufzuheben und die Vorinstanz anzuweisen, den Sachverhalt im geschilderten Umfang zu ergänzen und danach neu zu entscheiden.
4.
Der Beschwerdeführer obsiegt im Eventualantrag und gilt damit als teilweise obsiegend (Urteil 5A_40/2014 vom 17. April 2014 E. 5). Damit sind die Gerichtskosten den Parteien je zur Hälfte aufzuerlegen; zudem werden keine Parteientschädigungen gesprochen (Art. 66 Abs. 1 und Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht:
1.
Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und der Entscheid des Obergerichts des Kantons Aargau vom 3. März 2015 wird aufgehoben. Die Sache wird zur Ergänzung des Sachverhalts und zu neuem Entscheid an die Vorinstanz zurückgewiesen.
2.
Die Gerichtskosten von Fr. 1'500.-- werden beiden Parteien je zur Hälfte auferlegt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen gesprochen.
4.
Dieses Urteil wird den Parteien, dem Obergericht des Kantons Aargau, Kammer für Kindes- und Erwachsenenschutz, C.B._, U._, und D.B._, U._, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 25. Februar 2016
Im Namen der II. zivilrechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: von Werdt
Der Gerichtsschreiber: Zbinden